cÂmpuri electrice Şi magnetice variabile În timp

7/30/2019 CMPURI ELECTRICE I MAGNETICE VARIABILE N TIMP

1/35

3. ELECTRODINAMICA

(CMPURI ELECTRICE I MAGNETICE VARIABILE N TIMP)

3.1. LEGEA INDUCIEI ELECTROMAGNETICE FARADAY LENZMETODE DE PRODUCERE A CURENTULUI ELECTRIC VARIABIL Dup cum s-a remarcat la capitolul anterior, apariia unui curent electric staionar nspaiu duce la apariia unui camp magnetic n jurul su. n prima jumtate a secolului al-IX-lea, prin experienele efectuate de ctre Michael Faraday n Anglia i Joseph Henry nStatele Unite, aproximativ n acelai timp, s-a dovedit c este posibil i fenomenul invers:un camp magnetic variabil n timpdetermin apariia unui curent electric de conducie.Cmpul magnetic respectiv se numete camp magnetic inductor, iar curentul care aparese numete curent electric de inducie.Apariia unui curent electric de conducie presupune existena unui circuit electricconductor la bornele cruia, ca urmare a existenei a unui camp magnetic variabil n timp

la suprafaa sa, s induc o tensiune electromotoare de inducie la bornele circuitului.Pentru a stabili legea induciei electromagnetice, considerm un circuit simplu formatdintr-un cadru conductor sub form de U, avnd deschiderea (vezi Figura 3.1).Circuitul este plasat ntr-un cmp magnetic uniform de inducie B, perpendicular laplanul acestuia. De-a lungul circuitului alunec, cu viteza constant v, o barconductoare, ab. Cu aceeai vitez sunt antrenate toate sarcinile legate (electronii) dinbar. Ca urmare, asupra fiecrui electron acioneaz, n sensul indicat de-a lungul barei, oforLorentz:

BvqfL = (3.1)

+

E Lf Bv

dS=vdt -vdt

Figura 3.1.

Deplasarea, n exces, a electronilor la un capt al barei, duce la apariia unui cmpelectric imprimat-ponderator asupra micrii fiecrui electron, de intensitate:

( ) BvE ef == (3.2)

avnd sensul indicat pe figur. Circulaia acestui cmp, de origine neelectrostatic, pecircuit, d, conform definiiei, mrimea tensiunii electromotoare induse n circuit:

dt

d

dt

SdB

dt

dS

dt

lvdt

C

BBBBlvldEe ======

(3.3)unde dS = vdt este variaia infinitezimal a ariei conturului n timpul dt. n calcululcirculaiei s-a avut n vedere faptul c E este diferit de zero numai pe bara ab. Prinurmare, tensiunea electromotoare (t.e.m.) de inducie care apare ntr-un circuit nchis, n

98

98


2/35

modul, rezult c este egal cu viteza de variaie a fluxului magnetic prin suprafaadelimitat de circuit.

Rezultatele experimentale obinute de Farady i completate de Lenz au fost publicate n1831 ca legea induciei electromagnetice:

dt

d Be

= (3.4) tensiunea

electromotoare indus este egal cu viteza de variaie a fluxului magnetic inductor luatcu semn schimbat- i este cunoscut sub denumirea de legea induciei electromagneticeFaraday - Lenz.

Semnul (minus) constituie implicaia lui Lenz n legea enunat i permite definirea ideterminarea semnului t.e.m. induse:t.e.m. indus are un astfel de semn nct, prin efectele secundare pe care le produce

(apariia campului magnetic indus), se opune variaiei n acelai sens a fluxuluimagnetic inductor.

Deducerea fcut, pe cazul particular considerat, n care t.e.m. apare ntr-un circuitintrodus ntr-un cmp magnetic inductor constant, atunci cnd se schimb dimensiunileconturului acelui circuit, poate fi generalizat. Legea este valabil ori de cte ori avemde a face cu existena unui flux magnetic variabil ntr-o regiune dat din spaiu,

indiferent dac n regiunea respectiv exist sau nu un circuit electric conductor.

Existena circuitului conductor nchis duce n plus, de fiecare dat, la apariia unuicurent electric de conducie, prin antrenarea n micare a electronilor liberi din acel

circuit sub aciunea t.e.m. induse.

Pornind de la expresia (3.4) i, generalizand expresia de definiie a fluxului magneticinductor, pot fi exprimate multiplele variante de producere a unui flux magnetic inductori, deci de apariie a unei t.e.m. de inducie i a unui curent de conducie ntr-un circuitconductor din regiunea respectiv:

( ) ( )[ ]

( )

=

====

VIVIIIIII

rdtd

dtd

tdtd

dt

d

SrIHN

SnNrIHSBe B

cos,

,

0

(3.5)

n expresia de mai sus fiecare dintre termenii numerotai cu cifre romane indic oposibilitate tehnic de producere a curentului alternativ printr-un circuit sau mai multecircuite aflate n aceeai regiune delimitat n spaiu. S analizm succint acesteposibiliti aa cum survin ele din aceast expresie:

I. Modificarea miezului (permeabilitii magnetice r) unei bobine sau unei spire,aflate ntr-un camp magnetic exterior uniform, prin introducerea sau scoaterea unei barepe baz de Fe, de asemenea, introducerea sau ndeprtarea unei bare magnetice n spiraduce la apariia la borne a unei t.e.m. induse.

II. Modificarea n timp a numrului de spire N a unei bobine plasat ntr-un campmagnetic uniform, induce la capetele bobinei o t.e.m.

III. Modificarea poziiei r , fa de un camp magnetic exterior, sau fa de un alt circuitparcurs de curent electric staionar, a unui al doilea circuit, duce la o variaie a fluxuluimagnetic inductor prin modificarea intensitii H a campului magnetic prin al doileacircuit, duce la apariia t.e.m. de inducie.

Deoarece H depinde de intensitatea I a curentului printr-un circuit, poate aprea ovariaie a fluxului magnetic, prin variaia intensitii curentului prin chiar acel circuit.Fenomenul este cunoscut sub denumirea de autoinducie. n acest caz legea autoinducieielectromagnetice se scrie:

99

99


3/35

dtdI

a Le = (3.6) unde e a estet.e.m. autoindus, L - este inductana circuitului.

IV. Rotirea unei spire sau a unui cadru metalic ntr-un cmp magnetic uniform. esteunghiul dintre versorul normalei la suprafaa S fa de liniile de inducie ale cmpuluimagnetic inductor. Rotaia uniform ( = t, unde - este viteza unghiular de rotaie) aunei spire de inductan L i rezisten ohmic R, aflat ntr-un cmp magnetic uniformdistribuit, n jurul unei axe de rotaie, normal la direcia liniilor de cmp, duce la apariiaunei t.e.m. i a unei intensiti a curentului electric prin spir, ale cror valori instantaneesinusoidale sunt date de relaiile:

( )

tItti

tUtBStBSe

MRBS

Re

Mdtd

dt

d B

sinsinsin

sinsincos

===

====

(3.7)

unde UM i IM sunt, respectiv, valorile maxime ale t.e.m. i intensitii curentului induse n

circuit.V. Modificarea suprafeei S a circuitului conductor aflat ntr-un cmp magneticexterior prin deformarea acestuia n timp, duce la variaia fluxului prin circuit i deci laapariia unei t.e.m. induse.

3.2. VALORI EFECTIVE ALE CURENTULUI ALTERNATIV SINUSOIDALDup cum se poate vedea din relaiile (3.6), att tensiunea ct i intensitatea curentului

variaz periodic, cu o perioad T = 2/, unde - este viteza unghiular a rotaiei spireicare este i pulsaia curentului alternativ. Cldura dezvoltat prin efect Joule n timpulelementar dt, printr-un rezistor oarecare R, este egal ca valoare cu dQ = dW = Ri 2dt,fiind egal cu aria delimitat de diagrama Ri2 = f(t) din Figura 3.2.

Tehnic, este necesar definirea intensitii efective (sau eficace) i a tensiunii efective.Se numete intensitate efectiv a curentului alternativ acea valoare egal cu intensitatea

unui curent continuu care, n timp de o perioad, dezvolt prin acelai rezistor R aceeai

cldur, adic:

===T

MT

T

M

T

tdtIItdtIRdtRiTRI0

212

0

2

0

22sinsin (3.8)

Vom efectua separat integrala de sub radical din expresia anterioar:

( ) ( ) TtTtdtdtdttdt TTTTT

t

T

21

0

02

21

21

21

2

0

21

21

0

21

0

22cos1

0

22sin22cossin ====

100

100


4/35

Figura 3.2

nlocuind ultimul rezultat n (3.8), se obine:

2

MII = (3.9)

Analog, dac se exprim cldura n funcie de tensiune, se obine valoarea efectiva c.a.:

2

MUU = (3.10)Aceste valori reprezint practic nlimea dreptunghiului de aceeai arie cu cea delimitatde graficul enunat anterior pentru energia debitat de curentul alternativ pe timp de operioad.

3.3. CIRCUITE N CURENT ALTERNATIV SINUSOIDAL3.3.1. Comportarea rezistorului pur ohmic n curent alternativ sinusoidalDup cum se tie, n curent continuu, orice rezistor las s treac curentul printr-o latur areelei n care acesta se afl plasat, limitnd valoarea intensitii prin legea lui Ohmpentru o poriune de circuit: I = U/R.

Trecerea curentului prin rezistor este, n fapt, o micare a sarcinilor locale sub aciuneat.e.m. care se propag prin rezistor, ca printr-un ghid de unde, cu o vitez apropiat deviteza luminii. n aceste condiii, evoluia n timp a t.e.m. este urmrit, se poateconsidera, n faz, de micarea local a sarcinilor libere, care, pentru metale, sunt

electronii liberi. Acest lucru face ca intensitatea curentului s fie n faz cu t.e.m.

sinusoidal aplicat la bornele rezistorului. ntr-o reprezentare fazorial tensiunea iintensitatea curentului printr-un rezistor sunt, practic, n faz, adic, defazajul poate ficonsiderat nul, aa dup cum se poate observa din Figura 3.3.

IU

Figura 3.3

3.3.2.Studiul comportrii bobinei ideale n curent alternativ sinusoidalDup cum se tie, n circuitele de curent continuu bobina las s treac curentul

electric, comportandu-se ca un element pur rezistiv.101

101


5/35

Dup cum se poate observa din relaiile (3.6), dependena de timp a t.e.m. estesinusoidal. Deci i intensitatea curentului prin bobin este variabil. n aceste condiii,prin autoinducie la bornele bobinei apare o tensiunea autoindus egal i de sens contrarn orice moment cu tensiunea inductoare. Se poate scrie:

( )

( )2sincos

sinsin

sin

==

==

===

ttI

tdtItdtdi

tULeLe

L

U

L

U

L

L

U

LL

U

L

Mdt

di

dt

di

a

MM

MM

LL

(3.11)

L

U L

U

-/2 LI /2

a) LIb)

Figura 3.4Dup cum se observ din Figurile 3.4 a) i b), inclusiv n curent alternativ, bobina las streac curentul electric. O bobin ideal se comport ca un element rezistiv de valoareL, numit reactan inductiv, XL = L. De asemenea, se poate observa c bobinaideal defazeaz intensitatea n urma tensiunii alternative aplicate cu -/2. Astfel, ntr-odiagram fazorial curent-tensiune, unul dintre fazori este perpendicular pe cellalt,tensiunea fiind naintea intensitii, dup cum se poate observa din figurile de mai sus.

3.3.3.Studiul comportrii condensatorului ideal n curent alternativ sinusoidalConsiderm un condensator ideal (fr strpungeri n domeniul studiat i, de asemenea,cu o inducie mutual ntre armturi, considerat nul n domeniul investigat), care esteconectat la o t.e.m. sinusoidal exprimat prin relaia (3.7).Dup cum se tie, n curent continuu, condensatorul ideal ntrerupe trecerea curentuluielectric.Ne propunem s studiem care sunt efectele acestui condensator introdus ntr-un circuit decurent alternativ sinusoidal.

ntr-un timp infinitezimal dt, condensatorul se va ncrca cu o sarcin dq i, la sfrit,va avea la borne tensiunea instantanee eC. Putem scrie:

( )2

sincos

)(sin)sin(

1

+==

=====

ttCUI

tCUIdetUdde

C

M

C

U

MC

dtd

MCC

dti

C

dq

CM

(3.12)

Dup cum se observ din ultima egalitate, condensatorul ideal las s treac curentul nc.a., comportndu-se ca un rezistor de valoare:

CCX 1= (3.13) numit

reactan capacitiv, care defazeaz intensitatea curentului cu +/2 naintea tensiunii

102

102


6/35

alternative sinusoidale aplicate. Acest lucru se poate observa i din reprezentrile dinFigurile 3.5.a), respectiv 3.5.b).

U CI

-/2

CI +/2 Ua) b)

Figura 3.5

3.3.4. Bobina real (circuitul RL serie) n curent alternativ sinusoidalR L

uR ea

e = UMsint

Figura 3.6

Considerm o bobin real de rezisten ohmic R i inductan L, care poate fi asimilatca un circuit serie RL, Figura 3.6. la bornele creia este cnectat o surs de tensiunealternativ sinusoidal de valoare instantanee e = UMsint. Scriind legea lui Kirchhoff nvalori instantanee pe ochiul de reea considerat, se obine:

dtdi

aR LeRieeu =+= (3.14)unde ea - este tensiunea autoindus, iar i - valoarea instantanee a intensitii curentului

prin ntreg circuitul.U =ZI

UL=LI

I

UR= RIFigura 3.7

innd cont de rezultatele obinute la paragrafele anterioare, diagrama fazorial acircuitului este cea reprezentat n Figura 3.7.Defazajul curent-tensiune va fi dat de relaia:

RL

U

U

R

Ltg == (3.15)

Impedana circuitului RL serie va fi:

103

103


7/35

( ) 2222

LRZI

UU

IU LR +=== + (3.16)

3.3.5. Circuitul RC serie n curent alternativConsiderm un circuit format dintr-un rezistor R i un condensator de capacitate C legate

n serie, Figura 3.8. Circuitul poate fi echivalentul unui condensator cu scpri - adicun condensator care, pentru valori ale tensiunii trecute peste o anumit limit, estestrpuns, prin el trecnd curent electric, chiar n condiii de staionaritate.

R C

UR UC

e= UMsint

Figura 3.8

Ne propunem s deducem defazajul curent - tensiune i impedana circuitului n curentalternativ.Diagrama fazorial a circuitului este cea din Figura 3.9. Circuitul, fiind serie, intensitateacurentului este fazorul de referin.Defazajul curent-tensiune va fi:

RCU

U

R

Ctg

1== (3.17)

UR= RI I

U=ZI

UC=I/(C)Figura 3.9

Urmrind diagrama fazorial, se poate deduce impedana circuitului:

( ) 21222

CI

UU

IU RZ CR +=== + (3.18)

3.3.6. Circuitul RLC serie de curent alternativ

UR=RI UL=LI UC=I/(C)

104

104


8/35

R L C

e=UMsint

Figura 3.10

UR=RI I

UL =LIU=ZI

UC=I/C

UL=LIU=ZI

UC=I/CUR=RI I

Figura 3.11

Considerm un circuit serie format din dintr-un rezistor R, o bobin ideal de inductanL i un condensator de capacitate C, legate n serie, alimentat de la o surs de curentalternativ U, Figura 3.10.Circuitul este echivalent cu cel format dintr-o bobin real i un condensator legate nserie.Diagrama fazorial posibil este reprezentat n cele dou figuri anterioare. Cea dinstnga este pentru un circuit reactiv - inductiv, cea din dreapta pentru unul reactiv-capacitiv.Defazajul curent-tensiune va fi dat de expresia:

R

L

U

UU C

R

CLtg

1 == (3.19) avnd valori

pozitive pentru circuitele reactiv - inductive i negative pentru cele reactiv -capacitive.Impedana circuitului va fi:

( ) ( ) 212212

CILR

IU LRIZ C +=== + (3.20) Intensitatea

curentului va fi dat de expresia:

( )212

C

LR

UZUI

+== (3.21) Se observ c

intensitatea prezint un maxim pentru:

LCCL 10

10 0

== (3.22) care este

cunoscut sub denumirea de condiia de rezonan, iar 0 - se numete pulsaia de

105

105


9/35

rezonan a circuitului. Condiia de rezonan impune o egalare a tensiunilor UL = UC, deaceea rezonana circuitului RLC serie este o rezonan a tensiunilor. Se observ c larezonan I0 = IM = U/R.n condiii de rezonan se definetefactorul de calitate, sau factorul de supratensiune:

RCR

L

U

U

U

U CLQ0

0

0

1

==== == (3.23)

3.4. INDUCTANA UNUI SOLENOIDConsiderm un solenoid de lungime , suficient de mare, care conine N spire

bobinate uniform ntr-un singur strat.

Figura 3.12

Fie - permeabilitatea magnetic absolut a miezului. Atunci cnd spirele sunt parcursede un curent electric staionar de intensitate I, pe axul s apare un cmp magnetic deinducie B, ale crui linii de cmp au o distribuie mai mult sau mai puin uniform, dupcum se poate vedea din Figurile 3.12 i 3.13, n funcie de forma i distribuia spirelor,precum i de lungimea solenoidului.Expresia induciei cmpului magnetic pe axa de simetrie a solenoidului va fi:

lNIB = (3.24)

Se definete inductana unui circuit ca fiind raportul dintre fluxul magnetic totalB iintensitatea I a curentului care strbat acel circuit. inndu-se cont de relaia (3.7),pentru un solenoid, aceasta va fi:

lSN

rIBNS

IBL

2

0===

(3.25)

Figura 3.13

3.5. ENERGIA CAMPULUI MAGNETIC

106

106


10/35

Considerm un circuit format dintr-o bobin toroidal de lungime i seciunetransversal interioar S, care conine N spire, alimentat, prin intermediulntreruptorului k, de la o surs care debiteaz t.e.m. , (vezi Figura 3.14). La nchidereantreruptorului k, intensitatea curentului crete de la 0 la valoarea I, corespunztoareregimului staionar. Concomitent crete i intensitatea H a cmpului

Figura 3.14

a nchiderea ntreruptorului k, intensitatea curentului crete de la 0 la valoarea I,corespunztoare regimului staionar. Concomitent crete i intensitatea H a cmpuluimagnetic n centrul torului. Dac spirele sunt suficient de dese, putem considera cmpulmagnetic generat ca fiind coninut numai n interiorul torului, cmpul exterior fiindneglijabil.Energia electric consumat pentru antrenarea sarcinilor n circuit ntr-uninterval de timp dt este:

IdtdW = (3.26)

Pe seama acestei energii consumate, intensitatea cmpului magnetic din interior crete cudH. Deoarece fluxul magnetic ce intersecteaz toate spirele crete cu dB = N1, unde 1este fluxul printr-o singur spir, datorit fenomenului de autoinducie electromagnetic,la bornele torului este indus o t.e.m. egal i de sens contrar cu cea aplicat. Dacintensitatea cmpului magnetic din interior este H, legea circulaiei cmpului magnetic alui reeAmp se scrie:

NHl

C

INIldH == (3.27)nlocuind valorile determinate n relaia (3.23), se obine:

==

=

==

HBHw

VW

HdHSldtNdWB

H

B

V

N

Hl

dt

d

B

B

2

12

2

1

2

2

1

(3.28) unde V = Sl - este

volumul torului, iar wB - este densitatea volumic de energie magnetic n tor.

3.6. CURENTUL DE DEPLASARE3.6.1. Necesitatea introducerii noiunii de curent de deplasare

ntr-un paragraf anterior, pornind de la necesitatea conservrii sarcinii electrice, care seadmite ca axiom, s-a dedus ecuaia de continuitate:

107

107


11/35

0=+

tcqidiv

(3.29) unde ci

- este vectorul densitate a curentului electric de conducie, iar q - este densitateavolumic de sarcin electric.

Aa dup cum s-a artat, n teoria matematic a cmpurilor vectoriale electrodinamice,

vectorul inducie a cmpului magnetic este determinat unic prin ecuaiile difereniale:

ciBrot

Bdiv

==

0

(3.30)

unde ic - este densitatea curentului de conducie care produce cmpul magnetic.Dac se scoate densitatea de curent din ultima ecuaie (3.30) i se nlocuiete n (3.29),aceasta devine:

00)(1 ==+

tt

qqBrotdiv

(3.31) ultima egalitate

este un paradox, urmnd a fi satisfcut chiar dac n regiunea respectiv din spaiu nuexist o variaie n timp a densitii volumice de sarcin, adic exist, conform ecuaiei(3.29) cureni de conducie. Paradoxul a fost rezolvat de ctre Maxwell, care menine

prima dintre ecuaiile (3.30) i redefinete densitatea de curent astfel nct cmpulmagnetic s rmn solenoidal. Face acest lucru folosind legea lui Gauss diferenial:

Ddivq = (3.32)Introducndu-se densitatea volumic de sarcin astfel redefinit n ecuaia decontinuitate, aceasta devine:

( ) ( ) 00 =+=+ tDctc idivDdividiv (3.33) Din ultima egalitate se observc derivata n raport cu timpul a induciei cmpului electric are dimensiunea uneidensiti de curent. Acesta se numete curent de deplasare. Acesta apare ori de cte oriexist ntr-o regiune din spaiu un cmp electric a crui inducie este variabil n timp.

Acesta se adaug curentului de conducie i, mpreun, alctuisec curentul total, astfelnct legea circuitului magnetic a lui reeAmp devine:

tD

ciHrot += (3.34)

3.6.2.Semnificaia fizic a curentului de deplasare + -p +p -

E0

ic Ep

Figura 3.15

Considerm un condensator plan, cu dielectric ntre armturi, introdus ntr-un circuit decurent alternativ, Figura 3.15. n aceste condiii, vectorul inducie a cmpului electric, D, este variabil n timp i are, dup cum s-a vzut, expresia:

PED += 0 (3.35) unde, aadup cum se poate vedea i din Figura 3.16 de mai sus, datorit polarizrii dielectriculuidintre armturi, E = E0 - Ep.n aceste condiii, curentul de deplasare, cu toate componentele sale se poate scrie:

108

108


12/35

PDp

p

Dvi

tP

i

t

E

i

t

E

tD

Di

+==

000

(3.36)

Dup cum se poate observa curentul de deplasare are trei componente. Prima componentiDv - se numete curent de deplasare n vidi apare atunci cnd exist un cmp electric

variabil n timp, chiar dac ntre armturile condensatorului nu exist nici un dielectric.Din punctul de vedere clasic, curentul de deplasare n vid nu are nici un suport intuitiv,nu poate fi legat de deplasarea unor sarcini electrice. Introducerea sa, din acest punct devedere, se justific doar prin verificarea consecinelor pe care le produce. Maxwell apresupus c introducerea curentului de deplasare nu este numai o noiune formal. Elcreaz n jurul su un cmp magnetic dup aceleai legi la care se supun i celelalte

componente ale curentului de deplasare. S-a constatat experimental c orice cmpelectric variabil n timp creaz un cmp magnetic variabil. n aceasta const de faptinducia magnetoelectric. Teoria cuantic justific ns apariia curentului de deplasaren vid - n vid exist sarcini electrice libere cum ar fi: electronii, pozitronii, pionii ,aflate n stri energetice pe care teoria clasic nu le poate explica. Aceasta face ca la

apariia unui cmp electric variabil, vidul s poat fi polarizat, ceea ce explic i faptulc un condensator cu vid nchide un circuit de curent variabil.iDp - este curentul de deplasare care apare la orientarea dipolilor electrici ai dielectriculuila apariia unui cmp electric ntre armturi.iP - se numete curent de polarizare. Ele se datoreaz deplasrii sarcinilor electricelegate, n timpul polarizaiei dielectricului sub aciunea cmpului electric variabil. Cnddielectricul este aezat ntr-un cmp electric variabil de frecven nalt, dipolii electriciaflai n componena dielectricului, rotindu-se la fiecare schimbare de polaritate, seciocnesc plastic ntre ei i de atomii sau structurile cristaline vecine, cednd din energiacinetic de rotaie. Aceasta duce la nclzirea dielectricului. Fenomenul este folosit ntehnic la nclzirea uniform, simultan n tot volumul, a dielectricului.

Curentul de deplasare n vid nu produce efecte termice, produce ns efecte magnetice caorice deplasare de sarcini electrice prin spaiu.n concluzie, faptul c un condensator nu ntrerupe un circuit de curent variabil este

datorat apariiei curentului de deplasare cu toate componentele sale. Acesta apare oriundeexist un cmp electric variabil. Prin urmare, el exist, spre deosebire de curentul deconducie care circul la suprafaa conductoare i n interiorul conductoarelor parcurse decureni variabili. Ele este ns incomparabil mai mic dect curentul de conducie.

3.7. CMP ELECTRODINAMIC - CMP ELECTROMAGNETICFORMA LOCALA - DIFERENIALA LEGII INDUCIEI ELECTROMAGNETICE

n Figura 3.16.(a, i b) este prezentat un flux magnetic variabil, generat de prezena nspaiu a unui cmp magnetic variabil, care strbate aria delimitat de un contur nchis C.

109

109


13/35

a) b)Figura 3.16

Atunci cnd fluxul magnetic crete n timp, n conturul C apare o t.e.m. indus i, deci uncmp electric de intensitate E care satisfac relaiile:

dt

d

C

BldE== (3.37)

Dac conturul inelar C este un dielectric, fiecare element din acesta se polarizeaz sub

aciunea cmpului electric indus E. Cnd C este deschis, prin el nu circul curent dar, caurmare a aciunii cmpului electric, apare o redistribuire a sarcinilor dielectricului, astfelnct capatele sale prezint o densitate superficial de sarcin. Dac conturul inelar esteun mediu conductor, prin el va circula un curent electric indus.

Generaliznd aceste situaii, Maxwell a tras concluzia c oriunde ntr-un spaiu datexist un cmp magnetic variabil n timp, apare un cmp electric variabil, indiferentdac n spaiul respectiv exist sau nu un mediu conductor. Coexistena n acel spaiu a

celor dou cmpuri genereaz o nou form de cmp numitcmp electrodinamic.Acest lucru se poate demonstra i matematic. Considernd relaia (3.37) i, aplicndteorema Stokes - Ampere, se obine:

tB

S

tB

S

S

tB

S

dtd

C

ErotSdSdErot

SdSdBldE

CC

CC

==

==

(3.38)

Aceast ultim relaie reprezint forma local, diferenial a legii inducieielectromagnetice Faraday - Lenz. Ea reprezint caracterul rotaional al cmpuluielectrodinamic, care este prezentat n Figura 3.16. (b).

Dup cum am artat i n paragraful precedent, un cmp de inducie electric variabiln timp duce la apariia unui curent de deplasare. Aceasta nseamn apariia unui cmpelectric variabil n timp. Acesta creaz, la randul su, un cmp magnetic variabil n timp.

Prin urmare, spaiul ocupat de un cmp electric variabil n timp, este concomitent, ocupatde un cmp magnetic variabil. Cele dou cmpuri electric i magnetic, sunt indisolubillegate ntre ele i formeaz cmpul electromagnetic.

3.8. ELECTRODINAMICA - APLICAII

3.8.1. Inel circular n cmp magnetic uniform variabil n timp

110

110


14/35

Un cmp magnetic uniform variabil este normal la planul unui inel circular cu diametrulD = 10 cm, format din srm de Cu cu diametrul srmei d = 2,54 mm. Se cere s sedetermine:

a) viteza de variaie a induciei B n timp pentru ca prin inel s apar un curentefectiv indus cu intensitatea I = 10 A;

b) indicai sensul curentului prin spir pentru B > 0, respectiv B < 0;c) cldura degajat prin spir n intervalul de timp t = 10 min.d) calculai sarcina electric care va circula prin spir n acelai interval de timp.

Inelul este plasat in aer. Se consider cunoscute: Cu = 17.10-9.m.

Rezolvare

a)Conform legii Faraday Lenz a induciei electromagnetice, se poate scrie:

( )dtdBD

dtdB

dt

SBd

dt

dSe B

4

2

====

(1)Conform legii lui Ohm, intensitatea efectiv a curentului prin circuit va fi:

Ddee

Re

Cud

DCusCu

eI

2

2

4

2

==== 2)

nlocuindu-se (1) n (2), se obine:

sTIDd

I

dtdB

dtdBDd Cu

Cu/67,02

2 8

8==

b)Sensul curentului prin spir va fi n funcie de poalritatea t.e.m. induse e. Sensullui e, conform regulii lui Lenz, va fi astfel stabilit, nct prin efectele secundare pe carele produce, adic, apariia cmpului magnetic indus, s se opun variaiei n acelai

sens a fluxului magnetic inductor. n Figurile 1a i 1b, sunt prezentate situaiile n carefluxul magnetic inductor crete, respectiv, scade.

inductor

B inductor

B

I I

indusB indusB

0dtdB 0dtdB

(a) (b)Figura 1

Sensul curentului prin spir pentru fiecare caz este cel indicat de sgeat.

c)Conform legii lui Joule, cldura dezvoltat prin efect electrocaloric n spir, nintervalul de timp considerat, va fi:

111

111


15/35

tRIWQ == 2 (3)nlocuind expresia rezistenei spirei, timpul i valoarea intensitii curentului n (3), seobine:

JtItItIQd

D

d

DCusCu

Cu 20124242

22 ===

d)Sarcina electric prin spir va fi:kCtIq 6==

3.8.2. Inducia electromagneticProblema 1 Fie un circuit format dintr-un cadru conductor sub form de U, avnd deschiderea (vezi Figura 1). Circuitul este plasat ntr-un cmp magnetic uniform de inducie B ,perpendicular la planul acestuia. De-a lungul circuitului alunec, cu viteza constant v ,o bar conductoare, ab.Deducei, din considerentele enunate, legea induciei electromagnetice Farady Lenz.

RezolvareCu aceeai vitez cu care este deplasat bara ab sunt antrenate toate sarcinile legate

(electronii) din bar, acestea, dei libere n micarea lor n ineriorul barei cilindricemetalice, aflate fiind n groapa de potenial a legturii metalice, sunt legate de bar. Caurmare, asupra fiecrui electron acioneaz, n sensul indicat de-a lungul barei, o forLorentz:

dt

d

dt

SdB

dt

dS

dt

lvdt

C

BBBBlvldEe ======

(1)+

a

E Lf Bv

bdS=vdt -

vdt

Figura 1

Deplasarea, n exces, a electronilor spre un capt al barei, duce la apariia unui cmpelectric imprimat-ponderator asupra micrii fiecrui electron, de intensitate:

( ) BvE ef

== (2)

avnd sensul indicat pe figur. Circulaia acestui cmp, de origine neelectrostatic, pecircuit, d, conform definiiei, mrimea tensiunii electromotoare induse n circuit:

dt

d

dtSdB

dtdS

dtlvdt

C

BBBBlvldEe ======

(3) unde dS = vdt este variaia

infinitezimal a ariei conturului n timpul dt. n calculul circulaiei s-a avut n vederefaptul c E este diferit de zero numai pe bara ab. Prin urmare, tensiunea electromotoare

112

112


16/35

(t.e.m.) de inducie care apare ntr-un circuit nchis, n modul, rezult c este egal cuviteza de variaie a fluxului magnetic prin suprafaa delimitat de circuit.Problema 3.8.2

Un disc metalic de raz a = 250mm, izolat de exterior, se rotete ntr-un plan orizontal cufrecvena n = 1000 rotaii/min:

a)n absena unui cmp magnetic exterior;b)ntr-un cmp magnetic exterior, avnd inducia B = 10-2 T, uniform distribuit.Se cere s se demonstreze c de fiecare dat apare ntre centrul discului i marginea sa odiferen de potenial i s se determine mrimea acesteia.Se consider cunoscute: masa de repaus a electronului - m0e=9,1.10-31Kg, sarcina negativ a electronului - e= 1,6.10-19C.Rezolvarea)Considerm un electron liber din structura discului , aflat la distana r ( )ar


17/35

B B

+ -

A I M B

v

Figura 3Pe figur s-a considerat c vectorul induie a cmpului magnetic iese din planul cadruluimetalic. Prin deplasarea firului A - B, suprafaa mturat de acesta crete, deci fluxulmagnetic inductor crete n timp. Conform conveniei impus de Lenz, cmpul magneticindus creat de firul A - B va fi de sens contrar celui inductor.Un burghiu drept plasat de-alungul firului A-B trebuie rotit n sens contrar vectorului inductor B. Sensul de deplasare

al burghiului astfel rotit coincide cu sensul curentului prin conductorul A-B. Trebuieinut cont de faptul c firul A-B se comport n acest caz ca un generator electric. Dupcum se tie, prin convenie internaional, sensul curentului electric prin interiorulgeneratorului este de la borna (minus) la + (plus) a bateriei. Astfel a fost stabilit semnult.e.m. induse pe figura de mai sus.Dac firul A - B a pornit n momentul t 0 = 0 din punctul O, n intervalul de timp t el aparcurs distana OM = v.t. Suprafaa mturat de fir n cmpul magnetic este cea atriunghiului AOB. Aplicnd legea induciei electromagnetice, se obine:

( )

tttgvU

tgtvStgvttgOMAB

tvOMBSBU

AB

MOBAdtdS

dtd

dt

d

ABB

)30,48(2

2.2

.

2

22

2

==

==

==

====

b)Aplicnd legea lui Ohm pentru circuitul ntreg, se obine

( )

( ) AI

tgvtBA

BOAOI

RBv

vtMO

BABOAOR

U

R

U AB

t

AB

25

.2

sin1

sin

coscos

1

1

==

=

=====

+

++

Problema 3.8.4

Un fir de rezisten R1 formeaz un semicerc de raz a. Acesta este plasat ntr-un cmp

magnetic uniform de inducie B orientat normal la suprafaa semicircular. Un fir identic,rectiliniu se mic diametral cu viteza constant v.Se cere s se deduc expresia intensitii curentului care trece prin conturul format, nfuncie de unghiul format dintre direcia de micare a firului i raza cercului dus dincentrul su la o extremitate a sa n contact cu semicercul.Se neglijeaz rezistena electric n punctele de contact electric.

Rezolvare

C

114

114


18/35

A M B v

O

Figura 1

Se observ din Figura 1 c aria mturat de firul A-B n timpul t este este ce delimitat deconturul ACBMA. Aceasta este cea a sectorului de cerc de unghi 2 din care trebuiesczut aria triunghiului AOB. Dup cum s-a vzut la Problema 3.8.1 , aria sectorului de

cerc va fi

222

2aS = . Se poate scrie deci:

( )

( )

tgvtaaS

tgvtatgMOBAvtaMO

aS

SS MOBA

22

2

2

2222

=

===

==

Tensiunea electromotoare indus la extremitile A-B ale firului va fi:

( ) ( )dtdvta

dtd

dtdS

dt

d

AB vtgvtaBaBUB

22

sin

2 2

+===

Lungimea conturului circular ACB este a= , iar a conturului ntreg ACBMA este:( ) tgvtaaBA +=+= 2 .

Aplicnd legea lui Ohm pentru circuitul ntreg, se obine:

1R

U

R

UABABI ==

Urmrind cu atenie figura, se poate determina relaia dintre unghiul i timpul t:

( )

=

====

sin

cos11cos

av

dtd

va

av

avta

aMO

tt

nlocuind aceste rezultate n relaiile de mai sus, se obine:

( ) ctI RBv ==+

sin11

Problema 3.8.5

O bar metalic de grosime neglijabil i lungime se rotete uniform cu vitezaunghiular ntr-un cmp magnetic exterior de inducie B orientat normal la planulmicrii, ca n figur. Se cere s se determine t.e.m. indus ntre extremitile barei:

a)folosind rezultatele obinute la punctul (a) al problemei de baz privindmicarea rectilinie uniform a unui conductor normal la liniile unui cmp magnetic;

b )folosind rezultatele obinute prin rezolvarea punctului (c) de la problema (2).

Rezolvare

115

115


19/35

a)Se consider un segment infinitezimal d la distana de axa de rotaie abarei care se rotete cu viteza constant =v normal la cmpul magnetic, vezi Figura1.

Figura 1

Diferena de potenial la extremitile sale va fi: dBdBvd ==

Tensiunea electromotoare la capetele barei se obine, integrndu-se expresia pe ntreagalungime a barei:

( ) 221

0

BdBd ===

b)Aria corespunztoare unitii de unghi solid pe care se rotete bara va fi:

2221

22 ===

SS

Unei rotaii cu d a barei n cmpul magnetic i corespunde o arie mturat:

ddSdS21

2==Conform legii induciei electromagnetice a lui Faraday, t.e.m. indus la capetele barei vafi:

221

2

2

BBdtd

dt

SdB

dt

d B ====

3.8.6. Circuitul RLC serie n curent alternativ sinusoidal

Problema 3.8.6.1

Alimentat la o tensiune continu U1 = 6 V, o bobin este parcurs de un curent cuintensitatea I1 = 2 A, iar la o tensiune alternativ instantanee e = 10 2 sin100t (V),intensitatea efectiv a curentului prin bobin rmne aceeai.

a)Calculai rezistena ohmic a bobinei.b)Definii i deducei valorile efective ale curentului alternativ sinusoidal aplicat.

116

116


20/35

c) cDemonstrai faptul c, n curent alternativ, bobina prezint o reactaninductiv i deducei expresia acesteia.

d) Deducei defazajul curent-tensiune introdus de o bobin ideal n curentalternativ i trasai diagrama fazorial a bobinei ideale.

e) Trasai diagrama fazorial pentru bobina real dat i calculai, din datele

problemei, inductana bobinei.f) Care va fi defazajul curent-tensiune la ieirea din bobina considerat?In serie cu bobina se conecteaza un condensator avnd capacitatea C = (5/).10-4F, ntreg

circuitul fiind reconectat apoi la aceeai surs alternativ de tensiune.g)S se demonstreze c, ntr-un circuit de curent alternativ, condensatorul nchide

circuitul i deducei expresia reactanei capacitive a acestuia n curent alternativsinusoidal.

h)Trasai diagrama fazorial curent-tensiune pentru condensatorul ideal. Care vafi defazajul curent-tensiune la ieirea din condensatorul ideal introdus n curentalternativ?

i)Calculai din datele problemei intensitatea efectiv a curentului care circul prin

circuitul cu condensator.j) Calculai tensiunea efectiv la bornele bobinei i ale condensatorului.Determinai pentru ce valori ale pulsaiei curentului alternativ utilizat, valoarea efectiv acderii inductive i capacitive de tensiune ating valoarea maxim.

k) Trasai diagrama fazorial a ntregului circuit.Care va fi defazajul curent-tensiune la bornele bobinei i ale ntregului circuit?

l) Calculai impedana circuituluiRLC-serie n curent alternativ.m) Calculai pentru ce valoare a capacitii condensatorului intensitatea efectiv

prin circuit este maxim. Calculai valoarea maxim a intensitii curentului prin circuit.n) S se calculeze puterile disipate pe circuit i factorul de putere al circuitului.

Se cere s se determine pulsaia curentului alternativ pentru care:

n1) puterea activ a circuitului este maxim;n2) puterea reactiv total a circuitului este nul;n3) puterea reactiv are valori extreme.

o) S se calculeze factorul de calitate i impedana caracteristic a circuitului RLCpropus.

p)ntr-un circuit serie RLC de curent alternativ puterea instantanee maxim estede n = 1,5 ori mai mare dect puterea aparent.Se cere s se determine impedana circuitului n acest caz.

Rezolvarea)ntr-un circuit de curent continuu o bobin se manifest numai prin rezistena sa

pur ohmic. Din datele problemei, se obine:== 31

1

I

U

LR (1)

b)n general valorile instantanee ale tensiunii, respectiv, intensitiii curentuluialternativ sinusoidal vor avea expresiile:

( )

tItti

tUtBStBSe

MRBS

Re

Mdtd

dt

d B

sinsinsin

sinsincos

===

====

(2)

117

117


21/35

Dup cum se poate vedea din relaiile (2), att tensiunea ct i intensitatea curentuluivariaz periodic, cu o perioad T = 2/, unde -este viteza unghiular a rotaiei spireicare este ipulsaia curentului alternativ generat. Cldura dezvoltat prin efect Joulentr-un timp elementar dt, printr-un rezistor oarecare R, este egal ca valoare cudQ = dW = Ri2dt, fiind egal cu aria delimitat de diagrama Ri2 = f(t) din Figura 1

prezentate mai jos.

Figura 1

Tehnic, este necesar definirea intensitii efective (sau eficace) i a tensiunii alternative.Se numete intensitate efectiv a curentului alternativ acea valoare egal cu intensitateaunui curent continuu care, n timp de o perioad dezvolt prin acelai rezistor R aceeai

cldur, adic:

===T

MT

T

M

T

tdtIItdtIRdtRiTRI0

212

0

2

0

22sinsin

(3)Vom efectua separat integrala de sub radical din expresia anterioar:

( ) ( ) TtTtdtdtdttdt TTTTT

t

T

21

0

02

21

21

21

2

0

21

21

0

21

0

22cos1

0

22sin22cossin ====

nlocuind ultimul rezultat n (3), se obine:

2

MII = (4)

Analog, dac se exprim cldura n funcie de tensiune, se obine valoarea efectiv c.a.:

2

MU

U = (5)Aceste valori reprezint practic nlimea dreptunghiului de aceeai arie cu cea delimitatde graficul enunat anterior pentru energia debitat de curentul alternativ pe timp de operioad.Pentru tensiunea alternativ dat n enunul problemei, se obine:

VU mU

102

210

2=== (6)

118

118


22/35

c) Dup cum se tie, n circuitele de curent continuu bobina las s treac curentulelectric, comportandu-se ca un element pur rezistiv.

Dup cum se poate observa din expresia valorii instantanee a tensiunii date, dependenade timp a t.e.m. este sinusoidal. Deci i intensitatea curentului prin bobin este variabil.n aceste condiii, prin autoinducie, la bornele bobinei apare o tensiunea autoindus egal

i de sens contrar n orice moment cu tensiunea inductoare. Se poate scrie:

( )

( )2

sincos

sinsin

sin

==

==

===

ttI

tdtItdtdi

tULeLe

L

U

L

U

L

L

U

LL

U

L

Mdt

di

dt

di

a

MM

MM

LL

(7)

Dup cum se observ, inclusiv n curent alternativ, bobina las s treac curentul electric.O bobin ideal se comport ca un element rezistiv de valoare L, numit reactaninductiv, XL = L.

d)De asemenea, se observ c bobina ideal defazeaz intensitatea n urma tensiuniialternative aplicate cu -/2.

LU

LU

-/2

LI +/2 LIa) b)

Figura 2

Astfel, ntr-o diagram fazorial curent-tensiune, unul dintre fazori este

perpendicular pe cellalt, tensiunea fiind naintea intensitii, dup cum se poate observadin figurile de mai jos (Figura 2 a) i Figura 2.b)).

e)Bobina real se comport ca un circuit serie RL. innd cont c intensitatea curentuluieste fazorul de referin, diagrama circuitului este cea reprezentat n Fig.3.Dup cum se poate observa din Figura 3, defazajul curent-tensiune la bornele bobinei

reale va fi:

RL

U

U

L R

Ltg == (8)

UL=LIU=ZI

L I

Figura 3 UR=RI

119

119


23/35

e) Deoarece intensitatea curentului este aceeai, se poate scrie:( ) ( )

( ) HRL

LRZIII

LIU

IU

Z

LRI

Z

UU

ZU LR

251221

22

12

1

1

2222

==

=+====== ++

(9)

f)nlocuind valoarea lui L n relaia (8), se obine:0

751 24,00042.0 == LR

LLtg

(10)

g) Se consider un condensator ideal (fr strpungeri n domemiul studiat i, deasemenea, cu o inducie mutual ntre armturi, considerat nul n domeniul investigat),

care este conectat la o t.e.m. sinusoidal exprimat prin relaia (2).Dup cum se tie, n curent continuu, condensatorul ideal ntrerupe trecerea curentuluielectric. Ne propunem s studiem care sunt efectele acestui condensator introdus ntr-uncurent alternativ sinusoidal.

ntr-un timp infinitezimal dt, condensatorul se va ncrca cu o sarcin dq i, la sfrit,va avea la borne tensiunea instantanee eC. Se poate scrie:

( )2

sincos

)(sin)sin(

1

+=======

ttCUI

tCUIdetUdde

C

M

C

U

MC

dtdMCC

dti

C

dq

CM

(11)

Dup cum se observ din ultima egalitate, condensatorul ideal las s treac curentulntr-un circuit de c.a., comportndu-se ca un rezistor de valoare:

CCX 1= (12) numitreactan capacitiv.

h)Condensatorul defazeaz intensitatea curentului cu +/2 naintea tensiunii alternativesinusoidale aplicate. Acest lucru se poate observa i din reprezentrile care urmeaz nFigura 4.

I CI

-/2 +/2 CU U

Figura 4i)

UL UR I

UC U

U UL UC

UR I b)a) Figura 5

120

120


24/35

Diferena dintre cele dou figuri const n raportul care exist ntre reactanele celor douelemente. n Figura 5a) XL > XC circuitul de acest tip se numete reactiv inductiv.n Figura 5b), XC > XL, circuitul fiind reactiv capacitiv.Din oricare dintre figurile de mai sus se poate determina expresia impedanei Z acircuitului RLC serie:

( ) ( ) 21222

CIUUU

IU LRZ CLR +=== + (13)

Din (13) se obine:

( )AI

CLR

UZU 61,0

212==

+

(14)

j)Tensiunile efective la bornele bobinei, respectiv, condensatorului vor fi:

( )VIXU

VLRIIZU

CI

CC

LRL

2,12

05,322

1

===

+==

(15)

ntr-un circuit serie RLC n curent alternativ, tensiunea efectiv inductiv va fi:

( )212

CLR

LL ILU

+

==

(16)Valoarea acesteia va fi maxim atunci cnd prima derivat n raport cu pulsaia curentuluia expresiei de mai sus se anuleaz. Se obine:

( )

( ) ( )2

2212

212

2

2

112

212

100RC

C

CLR

C

LC

L

C

L

LCLR

LR

d

dU UL+

+

===

+

+

(17)

Cderea efectiv de tensiune pe condensator n circuitul RLC serie va fi:

( )212

CLRC

UCI

CC IXU+

=== (18)

Valoarea ei va fi maxim pentru o pulsaie n raport cu care prima derivat a funciei de

mai sus se anuleaz. Se obine:

2

2

2

1

L

RLC

= (19)

k)Din figurile de mai sus, se poate extrage:

0

34

0

13,53

42,86161

====

==

LRL

U

U

L

R

L

R

L

C

tg

tg

(20)

l)Impedana circuitului RLC serie considerat va fi:== 39,16

61,0

10

IUZ (21)

m)Din (14) se observ c:

AI

FCLRZZII

R

U

Z

U

M

LCmM

m 3

10

400

11

0

12

0

===

======

(22)

n) inndu-se cont de formulele de definiie, se obine:

121

121


25/35

( )VAUIZIS

VARIXXXIPPP

WUIRIP

CLrrr CL

1,6

26,95

12,1cos

2

22

2

===

==+=

==

(23)

Factorul de putere va fi:18,0cos

1,6

12,1

== SP

(24)n1)Urmrind expresia puterii active:2

RIP= (25)se constat c aceasta are valoare maxim atunci cnd intensitatea curentului prin circuiteste maxim. Acest lucru se ntmpl la rezonan atunci cnd pulsaia este:

LC

10= (26)

n2)Puterea reactiv total a circuitului:( ) 22 IXXXIP CLr == (27)

este nul atunci cnd reactana total a circuitului este nul, adic la rezonan. Pulsaiade rezonan este cea determinat la punctul (n1).

n3) Calculnd extremul funciei:

22

22

XR

Xr UXIP +== (28)

prin derivarea acestei funcii n raport cu X i, egalnd cu zero:

( ) 02222

22

22==

+

+ XR

XR

XR

XdXd UU (29)

se obine:

===

====

R

U

rr

R

U

rr

m

M

PPRX

PPRXRX

2

2

2

2

(30)

Pulsaiile corespunztoare celor dou extreme vor fi:

( )

( )L

RL

Rm

LR

LR

M

20

2

2

20

2

2

+=

++=

(31)

o) Conform relaiei de definiie, factorul de calitate (supratensiune) al circuitului RLCserie considerat, va fi:

03,00

0

00

1 ======= RCR

L

U

U

U

U CLQ

(32)

unde 110 50 == sLC este frecvena de rezonan a circuitului pentru valorileinductive i capacitive date.Impedana caracteristic a circuitului va fi:

09,00

0

0=== QRZ

C

L(33)

122

122


26/35

Problema 3.8.6.2

Un circuit electric alimentat de la o tensiune alternativ cuprinde un solenoid real cu miezmagnetic, un condensator plan cu aer i un rezistor R1 = 10 , toate legate n serie.Solenoidul are lungimea cm30= i este format din N = 1000 spire bobinate ntr-un

singur strat, cu raza r = 2 cm fiecare.Se constat c pentru o frecven 1 = 35 KHz a generatorului de alimentare i o distand1 ntre armturile condensatorului, tensiunea efectiv la bornele rezistorului are valoareamaxim U1 = 0,6 V. Pentru aceeai distan d1 ntre armturile condensatorului, dar ofrecven2 = 50 KHz a tensiunii de alimentare, tensiunea efectiv la bornele rezistoruluiscade la U2 = 0,002 V.Dac pentru aceeai frecven 2, distana dintre armturile condensatorului crete cud = 1,8 mm, tensiunea efectiv la bornele rezistorului devine din nou maxim.Se cere s se determine:

a)distana iniial d1 existent ntre armturile condensatorului;b)valorile C1, C2 ale capacitii condensatorului n cele dou stri dac suprafaa

armturilor este S = 400cm2;c)inductana L a bobinei;d)valoarea rezistenei ohmice a ntregului circuit;e)permeabilitatea magnetic relativ a materialului din care este confecionat

miezul bobinei.Se consider cunoscute: permitivitatea dielectric absolut a aerului- 0=8,856.10-12F/m,permeabilitatea magnetic absolut a aerului 0=4.10-7 H/m

RezolvareCitind cu atenie textul problemei se pot trage unele concluzii i scrie unele relaiinecesare pentru rezolvarea acesteia. O tensiune maxim pe rezistorul pur ohmic denotun curent de intensitate maxim pe ntreg circuitul, deci circuitul serie funcioneaz larezonan. Se poate deci scrie:

LRRU

MCRIRUL +=== 111 111

11

(22)

unde, RL - este rezistena ohmic a solenoidului.Capacitatea condensatorului n acest moment va fi:

1

0

1 d

SC

= (23)

Atunci cnd frecvena tensiunii de alimentare crete, circuitul iese din rezonan i,tensiunea la bornele rezistorului ohmic va fi:

( ) ( )221

12

21

1212

CL

LRR

URIRU++

== (24)

Dac distana dintre armturile condensatorului crete i capacitatea sa devine:

dd

SC += 12

(25)

Se atinge din nou rezonana i, n consecin, se poate scrie:

MCIRUL 11

12 22

==

(26)

a)nlocuind (23) n (22) i (25) n (26) i mptrind apoi termen cu termenprimele relaii din (22) i (26), se obine:

123

123


27/35

( )( )

mmdddd

d

C

C

C

C73,1)(

1

11

222

1

22

1

1

1

1

2

2

1

11

22

2

1 ====

+

(27)

b)nlocuind valoarea obinut n (23) i (25), se obine:

pFC

pFC

dd

S

d

S

35,100

8,204

1

0

1

0

2

1

=

=

+

(28)

c)Inductana L se poate determina din oricare dintre condiiile de rezonan (22) sau (26):

HLCC

1,0222

211

11 ==

(29)

d)Dac se mpart termen cu termen ultimele egaliti din (22) i (24), se obine:( ) ( )

( )( )=+=

+

++38,52

121 2

2

1

21

12

1

21

12

21

2

1

U

U

C

L

CLL

RR

LRR

U

URR

(30)

e)Pornind de la formula de definiie a inductanei unui solenoid, se obine:

02.1920

20

0 =====

SN

Lr

SNrI

NSNI

IBNS

IrBL

(31)

Problema 3.9.6.3n diagrama prezentat n Figura 1 sunt trasai fazorii intensitate a curentului electric pentregul circuit i tensiune pe fiecare element constituient al circuitului. Valorile efectiveale tensiunii i defazajele curent-tensiune la capetele fiecrui element din circuit sunt U1= 20 V, U2 = 40 V, 2 = /6, U3 = 60 V, U4 = 100 V, U5 = 100 V, 5 = /4.

I

1

U 2

U 5U

2 3U

4U 5

Figura 1

a)S se reprezinte schema electric a montajului corespunztor diagrameifazoriale date.

124

124


28/35

b)tiind c circuitul este parcurs de un curent instantaneu i = 10 2 sin400t, secere s se determine:

b1)frecvena i pulsaia tensiunii aplicat la bornele circuitului;b2)valorile elementelor componente ale montajului;b3)defazajul curent-tensiune la bornele ntregului circuit;

b4)expresia valorilor instantanee ale tensiunii la bornele fiecrui element component cti la capetele circuitului;b5)puterile pe ntreg circuitul;b6)frecvena de rezonan i perioada proprie de oscilaie a circuitului;b7)factorul de calitate al circuitului.

Rezolvare

a)Dup cum se poate observa din diagrama fazorial dat, pe axa absciselor, de referineste fazorul intensitate a curentului electric pe ntreg circuitul. Aceasta denot c circuitulrespectiv este unul serie.

Schema electric a montajului corespunztor este cea din Figura 2:

C1 R2 L2 C3 R4 R5 L5

U~

Figura 2

b)Comparnd expresia instantanee a intensitii curentului prin circuit:

tItIi M 2sin2sin==

(32)b1)Se obine:

=

===

Hz

Hz

400

2004002 (33)

b2)Urmrind schema circuitului i scriind expresia tensiunii efective i a defazajului pefiecare element n parte, se obine:

FCUUI

CI

398

11 11==

( )mHtgL

R

tg

LRIIZU

I

UR

I

U

R

L 12,215,1

22

222

2

2

2

2

cos

sin

22

cos2

2

2

2

2

222

===

=

+==

(34)

FCIXUUI

CI

133

33333 ===

125

125


29/35

=== 104444 IU

RIRU

( )

mHL

R

tg

LRIIZU

I

U

I

U

RL 26,11

14,14

52

55

5

5

5

5 cos

sin

5

cos5

5

2

5

2

555

=

=

=

+==

b3)Dac UL este cderea reactiv-inductiv de tensiune pe ntregul circuit, UC este ceareactiv capacitiv, iar UR este cderea activ de tensiune, urmrindu-se diagramadagrama fazorial dat n enunul problemei, se obine:

( ) ( ) 0coscos

sinsin3052,0

55422

315522 +== ++++

UUU

UUUU

U

UU

R

CLtg (35)

Dup cum se observ, circuitul este reactiv inductiv deoarece defazajul este pozitiv.

b4)Urmrind diagrama fazorial, se obine:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )4555

44

2233

6222

2211

400sin2100sin2

400sin2100sin2

400sin260sin2

400sin240sin2

400sin220sin2

+=+=

==

==

+=+=

==

ttUu

ttUu

ttUu

ttUu

ttUu

(36)

( )+= tUu sin2

unde: ( ) ( ) ( )[ ] VUUUUUUUU 4,185sinsincoscos 23125522255422 +++++= nlocuind, se obine:

( )3400sin2185 += tu (37)b5)Puterea activ pe circuit va fi:

( ) WIUUUIUP R 1851coscos 55422 =++== (38)Puterea reactiv pe ntreg circuitul va fi:

( ) ( ) ( )[ ] VARUUUUIUUP CLr 105sinsin 315522 =++== (39)Puterea aparent pe circuit va fi:

VAUIS 1854== (40)

b6)Folosind valorile determinate pentru elementele circuitului i, impunnd condiia derezonan, se obine:

126

126


30/35

( )

=

==

===

=+

+

msT

KHz

KHz

LCC

CCeses

es

LLCL

Ces

7

137,0

8658,0

0

0

21

2152

0

10

20

110

10

(41)

b7)Factorul de calitate al circuitului va fi:

458,00 =es

es

R

LQ

(42)

3.8.4. Circuitul RLC paralel n curent alternativUn circuit cuprinznd un condensator variabil, o bobin de inductan L = 10-4H i unrezistor activ de rezisten R = 10 , legate n paralel, este alimentat de la un generatorde curent alternativ cu frecvena = 10 KHz, i tensiunea efectiv U care asigur ncircuitul principal o intensitate efectiv constant a curentului electric I = 20 mA.a)S se reprezinte diagrama fazorial curent tensiune a circuitului dat pentru o valoare a

capacitii condensatorului C = ( )F525

2

10 +

.

b)Calculai expresia defazajului curent-tensiune pentru circuit coninnd condensatorul devaloarea dat la punctul anterior.c)Calculai impedanaa circuitului n situaia n care capacitatea condensatorului este ceadat mai sus.d)Calculai pulsaia i frecvena de rezonan a intensitilor pentru circuitul dat.e)Determinai valoarea maxim a puterii pe care generatorul o poate disipa n rezistor.f)Calculai capacitatea condensatorului pentru care puterea activ prin circuit atingevaloarea maxim.g)Valorile C1, C2 ale condensatorului variabil pentru care puterea disipat pe rezistorul Reste o jumtate din puterea maxim debitat de generator.Rezolvarea) IC IL

Figura 1

I IC-IL

IR UDiagrama fazorial este reprezentat n Figura 1.

b)Din figur se observ c:

( )4

1 1

=====

LI

IICRtg

RU

LX

U

CX

U

R

LC

c)Urmrind diagrama fazorial din Figura1, se obine:

127

127


31/35

( ) ( )====

==

==

+

++ 2101

21

2

122

L

RLCR

L

CCIII

U

I

U

L

U

X

UL

X

U

C

R

U

R

Z

I

UCI

I

d)Impunnd condiia de rezonan a intensitilor pentru circuitul RLC paralel n curentalternativ, se obine:

( ) ( )HzHzCII

LCLLC 52

10052

102100

10

55

02

++======

e)Puterea activ n rezistor va fi maxim atunci cnd ntreaga intensitate debitat degenerator va trece prin acesta. Acest lucru se va ntmpla atunci cnd defazajul curent-tensiune este minim, adic la rezonan. Se obine:

.422

0 mWRIRIPMR ===

f)Din condiia de rezonan a curenilor se obine:

.53,22224

110

10 FCC LLL ====

g)n afara regimului de rezonan, puterea debitat de generator pe rezistorul R este2

RRIP= . Impunnnd condiia cerut, se obine:

( )

( )

=

=

=

+===

FC

FC

C

CUIRI

RL

LRR

UIR

RIR

12,4

94,0

2

1

2

111

12

211

2

1

22

22

2

3.8.5. Circuite de curent alternativ combinate

Problema 3.8.5.1

La o reea de curent alternativ cu pulsaia de = 103 s-1, n derivaie cu o bobin real derezisten ohmic R1 = 10 i inductan L1 = 0,01 H, este cuplat un rezistor de rezistenR2 = 20 , i, tot n derivaie cu acestea, un condenstor de capacitate C = 4.10 -5

F.Curentul prin R2 are valoarea I2 = 6A.

a)S deduc diagrama fazorial a circuitului i s se calculeze defazajul curent-tensiune labornele bobinei.b)Se cere s se calculeze:b1)intensitatea curentului prin bobina;b2) prin condensator;b3) curentul total prin circuitul principal;b4)factorul de putere al circuitului, precum i defazajul curent-tensiune la bornelentregului circuit.

Rezolvare128

128


32/35

a)Schema electric a circuitului este cea reprezentat n Figura 1.

I1 R1 L1

I2 R2

IC C

I U~

Figura 1

Deoarece circuitul este un circuit paralel, de referin, pe axa absciselor va fi tensiuneapentru ntreg circuitul.n Figura 2a este reprezentat diagrama fazorial a circuitului serie R1, L1, pentru care dereferin este intensitatea I1.Defazajul curent tensiune la bornele bobinei va fi:

4111

1

1 ===R

Ltg

n Figura 2b sunt reprezentai fazorii pentru fiecare element al circuitului paralel.Diagrama fazorial a ntregului circuit este reprezentat n Figura 2c.

IC2

U1I1cos1 IR2 U

1 UL1 I1 I1sin1

1 b)UR1 I1

a) IC I1sin1

I IC-I1sin1

I1cos1 I2 Uc)

Figura 2

129

129


33/35

b)Urmrind circuitul, se obine:

b1) ( )AI

LR

RI

ZU

Z

U48,82

12

1

22

11

1

1 ===+

b2) ACRIICX

UC 8,422 ===

b3)Urmrind diagrama fazorial din Fig.2c, se obine:

( ) ( ) AIIIII C 06,12sincos2

11

2

211 ++=

b4)Din diagrama fazorial a ntregului circuit, se obine:0cos 89,5995,0cos 211 = +

I

II

Problema 3.8.5.2

Pentru circuitul reprezentat n Figura 3, la funcionarea n regim sinusoidal,se cunoscurmtoarele date: R=2 , P1=2 W, PrC=-2 VAR, Um2=2 2 V.Se cere s se determine:a)diagrama fazorial a circuitului;b)intensitatea I1 a curentului ntre b-c;c)reactana inductiv a condensatorului din ramura 1 dintre b-c;d)tensiunea efectiv Ubc;e)intensitatea curentului pe ramura 2 dintre b-c i puterea reactiv Pr2 pe bobina L;f)intensitatea curentului prin circuitul principal;

I2 R L,Pr2

R I U2 Ca b c

C R

I1 PrC P1

U~

Figura 3

g)tensiunea efectiv la bornele ntregului circuit circuit;h)puterea activ P, reactiv Pr i puterea aparent pe ntreg circuitul;i)factorul de putere al circuitului;f)intensitatea efectiv I a curentului prin circuitul principal.Rezolvare

a) U1R I1130

130


34/35

1U1C

U1 U2 U2L b)a)

2 U2R I2

I1sin1 I2sin2

Ibc (I1sin1-I2sin2) c) bc Ubc=U1=U2I1cos1 I2cos2

Uab=IR Ubccosbc I

Ubcsinbc

U d)UC

Figura 4

n Figura 4a este reprezentat diagrama fazorial a circuitului serie R, C, n Fig.4b cea acircuitului serie de sus R,L, iar n Fig.4c diagrama fazorial a circuitului paralel dintrepunctele b-c. n Figura 4d este reprezentat diagrama fazorial a ntregului circuit.

b) AIRIPR

P111

2

11===

c) === 221

1

1 1

2

11 I

P

r

rXIXP

d) VXRIZIUbc 222

1

2

1111 =+==

e) VUmU

L 222

2==

( )

12421

2

2

222

2212

22

2

22

2

2

1

2

22

2222

IIX

VARPIXIUP

AUUIURIUUU

L

LL

LbcRLLRbc

==

=

===

==+=+=

Cei doi cureni sunt perpendiculari ntre ei deoarece rezistenele active ct i cele reactivepe cele dou ramuri sunt egale.f)Deoarece cei doi cureni sunt perpendiculari ntre ei, i egali, se obine:

AIII 222

2

1=+=

131

131


35/35

g)Deoarece curenii i reactanele pe circuitele 1 i 2 ntre b-c sunt egale, tensiunilereactive se anuleaz reciproc.Deoarece tensiunea la bornele condensatorului din circuitul principal serie este defazatcu

2

n urma intensitii, tensiunea la bornele ntregului circuit va fi:

( )

=

==

==++= VUVIXU

VIRUUUUU

Ccd

abcdbcab 10222

2222

h)Indiferent de modul de legare al consumatorilor activi, puterea activ total este sumaputerilor active pe circuit:

WIRIRRIP 82222

11

2 =++=

De asemenea puterea reactiv total va fi suma algebric a puterilor reactive pe ntregcircuitul:

VARPPPP rrrr 4321 =++=

VAUIS 54==

i) 52cos ==

SP

132

cÂmpuri electrice Şi magnetice variabile În timp

Documents