1

Concursul Interjudeţean de Matematică „Cristian S. Calude”

ediţia a III-a, 30 noiembrie 2002

Clasa a VI-a

Problema 1. a) Arătaţi că 17 abc dacă şi numai dacă ( )17 15 a bc⋅ + .

b) Justificaţi că numerele 12 5 7n nA

+= ⋅ + şi 12 5 3n nB

+= ⋅ + sunt prime între ele pentru orice n∈� . Cecilia Solomon Problema 2. Aflaţi numărul natural n ştiind că media aritmetică a celor mai mici n numere impare consecutive, micşorată cu 1, este egală cu numărul natural 0 1 2 20012 2 2 ... 2A = + + + + . Maria Minea şi Cecilia Solomon Problema 3. Fie într-un plan 1 2 3 4; ; ;d d d d patru drepte distincte concurente şi { }1 2 3 4d d d d O∩ ∩ ∩ = .

a) Justificaţi că dreptele 1 2 3 4; ; ;d d d d formează în jurul punctului O cel puţin un unghi de măsură

mai mare sau egală cu 045 . b) Justificaţi că cel mult două unghiuri formate de dreptele 1 2 3 4; ; ;d d d d în jurul punctului O au

măsura mai mică decât 090 . c) Câte unghiuri proprii se formează dacă mai construim încă o dreaptă d în acelaşi plan? Observaţie. Considerăm că două drepte paralele sau confundate nu formează nici un unghi, iar două drepte concurente formează patru unghiuri. Constantin Ursu

Clasa a VII-a Problema 1. Determinaţi toate tripletele de numere prime ( ); ;a b c ∈ × ×� � � care satisfac

inegalitatea a b c a b b c c a⋅ ⋅ < ⋅ + ⋅ + ⋅ . Constantin Ursu Problema 2. Dacă numerele { }, 0;1a b∈ sau ,a b sunt numere raţionale pozitive subunitare, atunci

numărul ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ }0;11 1 1 1 1 1

a b c

b c c a a b+ + ∈

+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + sau este raţional pozitiv subunitar.

Constantin Ursu Problema 3. În triunghiul ABC∆ avem ( ) 030m B =� , ( ) 020m C =� , ( )D BC∈ , ( )E AC∈ astfel

încât [ ] [ ]AC DC≡ şi [ ] [ ]EC BD≡ . Aflaţi ( )m EBC� .

Petre Bătrâneţu

2

Clasa a VIII-a

Problema 1. Să se determine numărul de elemente al mulţimii2

1, , 100

3 8

nA x x n n

n n

+= ∈ = ∈ <

− ⋅ + � � .

Mariana Coadă Problema 2. a) Într-un grup format din 7 persoane, orice persoană are vârsta egală cu media aritmetică a vârstelor altor două persoane din grup. Ştiind că vârsta minimă este de 20 ani, iar vârsta maximă este30 ani, să se arate că suma vârstelor tuturor persoanelor din grup se divide cu 10 sau 25 . Romeo Zamfir b) Să se calculeze înălţimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic, ştiind că între lungimile . ,a b c ale ipotenuzei şi, respectiv, catetelor există relaţia 4 2 2 4 2 26 2b c a b b c⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ . Mitică Dudău

Problema 3. Să se arate că 2 2 2

1 1 1 9

sin sin sin 2α β γ+ + ≥ , unde , ,α β γ sunt măsurile unghiurilor

formate de o diagonală a unui paralelipiped dreptunghic cu muchiile ce pornesc din acelaşi vârf cu aceasta. Emil Dumitrescu

Clasa a IX-a

Problema 1. Fie , , 0x y z ≥ . Demonstraţi că 31 1 1

yx z

x x y x y z+ + <

+ + + + + +.

Iuliana Duma Problema 2. Fie ABC un triunghi, iar M un punct interior triunghiului ABC∆ . Să se demonstreze

că 0MBC MAC MAB

MA S MB S MC S⋅ + ⋅ + ⋅ =���� ���� ����� �

.

*** Problema 3. Fie n un număr natural, 3n ≥ . Să se arate că afirmaţiile următoare sunt echivalente: a) Există n numere naturale impare 1 2, ,...,

na a a astfel încât 1 2 1 2... ...

n na a a a a a⋅ ⋅ ⋅ = + + + .

b) 4 | 1n − . Vasile Popa

Clasa a X-a Problema 1. Înălţimile [ ] [ ] [ ]' , ' , 'AA BB CC ale triunghiului ascuţitunghic ABC∆ se prelungesc şi

intersectează cercul circumscris triunghiului în '', '', ''A B C . Fie 'S şi ''S ariile triunghiurilor

' ' 'A B C∆ şi '' '' ''A B C∆ . Să se arate că: ' ' ' 9 '

'' '' '' ''

AA BB CC S

AA BB CC S

⋅+ + ≥ .

selectată de Marin Dolteanu

Problema 2. Se dau numerele întregi 1 2, ,...,

na a a , aflate în progresie aritmetică. Ştiind că suma lor

este nulă şi că suma pătratelor lor este egală cu 280, să se afle termenul al 5-lea. Emil Dumitrescu

3

Problema 3. Determinaţi valoarea de adevăr a propoziţiei:

*, ,m a b∀ ∈ ∃ ∈� � astfel încât 1 2

şi şi 0 22

a m b m a bm

+≤ ≤ < + ⋅ ≤

+.

Constantin Ursu

Clasa a XI-a Problema 1. Fie ( ), nA B M∈ � astfel încât t

nA A I⋅ = , t

nB B I⋅ = şi n∈� , n impar. Să se arate că

cel puţin una din matricele A B+ sau A B− este singulară. ∗∗∗

Problema 2. Fie :f ∗ ∗→� � o funcţie cu proprietatea că şirul cu termenul general ( )

2n

f nx

n= ,

pentru orice n∗∈� , este convergent către un număr real pozitiv pe care-l notăm cu x . Să se arate că

funcţia f nu este surjectivă. Jenică Crînganu Problema 3. Fie şirul ( ) ( )

10;n n

a≥

⊂ + ∞ şi 0α > . Definim şirul ( )1n n

x≥

⊂� astfel 1x α= şi pentru

orice 1n ≥ avem că ( )21

1

2n n n nx x x a+ = ⋅ + + . Să se cerceteze natura şirului ( )1n n

x≥

în următoarele

cazuri:

a) 1

na

n= , n ∗∀ ∈� .

b) ( )

2

22 2 21 21 ...

nn

n

ba

b b b=

+ + + +, n ∗∀ ∈� , unde ( )

1n nb

≥⊂ � este un şir de numere reale.

Iuliana Duma

Clasa a XII-a Problema 1. Se consideră funcţia :f →� � care admite o primitivă F astfel încât ( ) ( )cos sinf x F x⋅ =

cos ,x x= ∀ ∈� şi ( )0 1F = . Să se arate că funcţia :g →� � , ( ) ( ) ( )cos sing x F x F x= ⋅ este

constantă şi să se determine funcţia f pe intervalul ( )0;1 .

Romeo Zamfir

4

Problema 2. Fie 3p ≥ un număr prim şi 2 2

cos sinip p

π πε

⋅ ⋅= + ⋅ . Dacă matricea ( )1pA M −∈ � cu

( )1det 0p

A Iε −+ ⋅ = , atunci să se demonstreze că A şi 1pA I −− sunt inversabile cu ( )11pA M

−

−∈ �

şi ( ) ( )1

1 1p pA I M

−

− −− ∈ � .

Florin Costache

Problema 3. Fie funcţia :f →� � , ( ) 44 1f x x= + şi :F →� � o primitivă a sa cu ( )0 0F = . Să

se arate că: a) F este bijectivă.

b) Şirul cu termenul general 1

1n

nk

x Fk=

= ∑

, 1n∀ ≥ , este divergent.

Jenică Crînganu

Premianţii de la

Concursul Interjudeţean de Matematică „Cristian S. Calude”

ediţia a III-a, 30 noiembrie 2002

Precizăm că datorită regulamentului concursului elevii nu au avut posibilitatea să

conteste punctajul obţinut şi că pentru acordarea Marelui Premiu a fost constituită o comisie

formată din cadre didactice de la Universitatea „Dunărea de Jos” din Galaţi care a analizat

lucrările elevilor: Iuga Adrian din Focşani, clasa a XII-a, care a avut 21 puncte (punctaj

maxim), Alexandru Sava din Galaţi, clasa a IX-a, care a avut 21 puncte (punctaj maxim) şi

Ismail Andrei din Galaţi, clasa a XI-a, care a avut 20 de puncte din 21 puncte posibile. Comisia

a decis să acorde Marele Premiu al concursului elevului ISMAIL ANDREI din clasa a XI-a la

Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” din Galaţi

Clasa a VI-a

Premiul I: Cristian Moise, Şcoala Gimnazială „Mihai Eminescu” Galaţi Premiul al II-lea: Sergiu Ioan, Colegiul Naţional „Alexandru Ioan Cuza” Galaţi Premiul al III-lea: George Culache, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Ina Martha Dumitrescu, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Menţiuni: Viviana Mustaţă, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Oana Mădălina Răşcanu, Liceul Teoretic „Costache Negri” Galaţi Nicolae Codrescu, Şcoala Gimnazială „Sfânta Ana” Galaţi Oana Diana Oprea, Şcoala Gimnazială „Ion Creangă” Galaţi

5

Clasa a VII-a

Premiul I: Ada Mitric, Colegiul Naţional „Gh. Roşca Codreanu” Bârlad, Vaslui Premiul al II-lea: Oana Violeta Paţilea, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Premiul al III-lea: Andrei Babuş, Şcoala Gimnazială „Jose Marti” Bucureşti Alexandra Coclează, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Menţiuni: Dragoş Iftimie, Liceul Mihail „Kogălniceanu” Vaslui Violeta Nazare, Şcoala Gimnazială „Mihai Eminescu” Galaţi Ana Maria Petrea, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Anca Arbune, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi

Clasa a VIII-a

Premiul I: Andrei Caragea, Liceul Teoretic „Costache Negri” Galaţi Premiul al II-lea: Adrian Găinar, Şcoala Gimnazială nr. 3 Bârlad, Vaslui Premiul al III-lea: Răzvan Ciucă, Liceul Pedagogic Constanţa

George Roşca, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Menţiuni: Ioana Alexandra Marin, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Irina Presa, Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân” Constanţa

Clasa a IX-a

Premiul I: Alexandru Sava, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Premiul al II-lea: Remzi Ibram, Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân” Constanţa

Premiul al III-lea: Cristian David, Liceul Teoretic „Alexandru Vlahuţă” Rm. Sărat, Buzău

Ionaşcu Laurenţiu, Colegiul Naţional „Unirea” Focşani, Vrancea

Menţiuni: Irina Paraschiv, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Marius Poke, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Răzvan Crăciunescu, Liceul Teoretic „Alexandru Vlahuţă” Rm. Sărat, Buzău

Otilia Pupezeanu, Colegiul Naţional „Nicolae Bălcescu” Brăila

Clasa a X-a

Premiul I: Alexandru Antohe, Liceul de Internaţional de Informatică Constanţa

Premiul al II-lea: Irina Manea, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Daniel Balaban, Colegiul Naţional „Gh. Roşca Codreanu” Bârlad, Vaslui Premiul al III-lea: Smaranda Frangu, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Menţiuni: Răzvan Amza, Liceul Teoretic „Alexandru Vlahuţă” Rm. Sărat, Buzău

Cristina Boeriu, Colegiul Naţional „Radu Negru” Braşov

Horaţiu Brânză, Colegiul Naţional „Gh. Munteanu Murgoci” Brăila

Bogdan Stroe, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Cătălina Şacu, Liceul Teoretic „Spiru Haret” Tulcea

Clasa a XI-a

Premiul I: Ismail Andrei, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Premiul al II-lea: Alexandru Chirvăsuţă, Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân” Constanţa

Premiul al III-lea: Liviu Eşanu, Liceul Teoretic „Spiru Haret” Tulcea

Carmen Turcitu, Colegiul Naţional „Unirea” Focşani, Vrancea

6

Menţiuni: Andrei Alexandru, Liceul Teoretic „Mihail Kogălniceanu” Vaslui Florina Cârlan, Colegiul Naţional „Gh. Roşca Codreanu” Bârlad, Vaslui Silviu Gănceanu, Colegiul Naţional „Gh. Roşca Codreanu” Bârlad, Vaslui

Clasa a XII-a

Premiul I: Adrian Iuga, Colegiul Naţional „Unirea” Focşani, Vrancea

Premiul al II-lea: Florin Bratu, Colegiul Naţional „Nicolae Bălcescu” Brăila

Premiul al III-lea: Dan Dumitru, Colegiul Naţional „Unirea” Focşani, Vrancea

Laurenţiu Cocanu, Colegiul Naţional „Mihail Kogălniceanu” Galaţi Menţiuni: George Matei, Liceul Teoretic „Spiru Haret” Tulcea

Ana-Maria Lepădatu, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Gabriel Sandu, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Bogdan Antohe, Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi Vladimir Vădeanu, Colegiul Naţional „Nicolae Bălcescu” Brăila