245

6CALIBRAREA PROGRAMELOR DE ANALIZĂ

NELINIARĂ. TESTĂRI NUMERICE

6.1. INTRODUCERE

Posibilitatea abordării directe a analizei şi verificării structurilor în cadre scoatepregnant în evidenţă creşterea considerabilă a capacităţii de rezolvare a unorprobleme complexe, din punct de vedere al volumului calculelor numerice, adusăde utilizarea calculatoarelor numerice de ultimă generaţie. Performanţele de analizănumerică şi de grafică ale calculatoarelor personale şi ale staţiilor de lucru,permiţând utilizarea tot mai extinsă a metodelor avansate de calcul în proiectareacurentă a structurilor. În ultimii ani, dezvoltarea unor metode de analiză neliniarăavansată de calcul susceptibile de a fi folosite în practica de proiectare, a cunoscutun interes crescând, în principal, pentru structurile în cadre metalice. În accepţiagenerală, prin metode de analiză neliniară avansată se înţelege orice metodă decalcul care poate descrie în mod satisfăcător rezistenţa, rigiditatea şi stabilitateaglobală a structurii, cu un efort computational rezonabil, în aşa fel încât verificareaindividuală a fiecarui element component al structurii să nu mai fie necesară.Metodele de calcul din aceasta categorie trebuiesc verificate şi calibrate pe anumitestructuri considerate drept standard, în comparaţie cu metodele de analiză maisofisticate, dar care datorită efortului computaţional (fizic şi uman) ridicat, nu pot fiaplicate în proiectarea curentă. În acest scop în S.U.A.(Task Group 29, Second-Order Analysis for Frame Design; Task Group 28, Computer Applications), Europa(European Convention for Constructional Steelworks, ECCS), Australia şi Japoniaau fost constituite grupuri de specialişti în vederea selectării şi documentării câtmai precise a structurilor în cadre metalice reprezentative, şi realizarea pachetuluide structuri standard de calibrare. La baza selecţiei acestor structuri de calibrare s-a avut în vedere, în principal, următoarele criterii:

• o temeinică documentare în ceea ce priveşte descrierea structurilor,• structurile selectate se bucură de o bună recunoaştere de către

cercetători, fiind utilizate că probleme de test pentru programele deanaliză elasto-plastică de ordinul al II-lea realizate de-a lungultimpului,

246

• să permită efectuarea testărilor în domeniul critic de comportareglobală cum ar fi comportarea în apropierea încărcării limită şi postlimită (comportarea post critică) cu posibilitatea de a furniza informaţiireferitoare la modul de plastificare a barelor structurii, valoareaîncărcării limita, etc.

• se vor considera atât structuri cu un grad mic de nedeterminare statică,sensibile la efectul de dezvoltare a zonelor plastice în lungul barelorasupra comportării de ansamblu, cât şi structuri mai complexe, cu ungrad mare de nedeterminare statică,

• barele se consideră prinse rigid sau semirigid în noduri,• nu apar probleme de pierdere locală de stabilitate (flambaj local sau

flambaj din torsiune) a barelor structurii, înainte de atingerea încărcăriilimită de cedare globală a structurii.

Informaţiile care trebuiesc furnizate în legatură cu procesul de calibrare aprogramelor de analiză avansată, şi a structurilor de calibarare se împart în douăcategorii şi anume (W.F.Chen, S.Toma, 1994 ):

(1) Informaţii de intrare cu privire la:• Metodele analitice utilizate.

Modelarea neliniarităţii materiale şi a efectelor de ordinul al II-lea,procedurile iterative utilizate, efectele de pierdere locală destabilitate, efectul forţelor tăietoare asupra plastificării secţiunilor,tipul de element utilizat la discretizarea barelor, numărul deelemente, etc.

• Configuraţia structurii analizate:Topologie, legăturile cu terenul, structuri contravântuite saunecontravântuite, etc.

• Conformarea barelor structurii:Dimensiunile secţiunilor transversale şi lungimile barelor, direcţiilede solicitare la încovoiere (încovoiere după axa de inerţie maximăsau minimă), etc.

• Relaţiile constitutive neliniare σ-ε ale materialului structurii:Efortul unitar de iniţiere a curgerii, modulul de elasticitate iniţial şicel corespunzător reconsolidării materialului, curba efort unitar-deformaţie specifică, curba de interacţiune corepunzătoareplastificării integrale a secţiunilor, etc.

• Imperfecţiuni materiale:Distribuţia tensiunilor reziduale pe înălţimea secţiunii transversale,valori ale tensiunilor reziduale, etc.

• Imperfecţiuni geometrice: Imperfecţiuni geometrice locale, globale, etc.

• Condiţii de încărcare a structurii:Încărcări verticale (gravitaţionale) şi orizontale, concentrate saudistribuite, monotone sau ciclice, proporţionale sauneproporţionale (secvenţe de încărcare), etc.

247

• Nodurile structurii:Noduri rigide, sau semirigide (flexibile), rigiditatea iniţială aconexiunii, parametrii de modelare a comportării neliniare aconexiunilor semirigide, tipul curbei moment-rotire, etc.

(2) Informaţii de ieşire cu privire la:• Relaţii de tip încărcare-deformaţie:Curbele încărcare-deplasare corespunzătoare tuturor gradelor delibertate asociate unui nod (deplasare orizontală, verticala, rotire),încărcarea limită de producere a colapsului structurii, etc.• Distribuţia eforturilor pe bară: Eforturi axiale, momente încovoietoare, forţe tăietoare, etc.• Distribuţia tensiunilor pe secţiune• Distribuţia zonelor plastice în lungul barelor.• Durata analizei şi tipul calculatorului.

Având în vedere diferenţele dintre codurile de proiectare şi tipurile de materialeutilizate la proiectarea structurilor metalice, de la o ţară la alta, tipurile de cadreutilizate pentru calibrarea programelor de analiză neliniară avansată vor fi diferite.În acest sens în Statele Unite, Europa, Australia şi Japonia s-au propus diferitestructuri în cadre metalice pentru calibrare. Pentru structurile în cadre spaţialeşi/sau din beton armat, chiar dacă s-au făcut paşi importanţi în modelareacomportării elasto-plastice şi a considerării celorlalţi factori determinanţi decomportare în analiza structurală, normativele de proiectare, după cunoştintelenoastre, nu cuprind încă prevederi explicite referitoare la analiza neliniarăavansată globală. Propunerile din prezenta lucrare referitoare la structurile spaţialeşi din beton armat se doresc o încercare de extindere a acestei concepţii de analizăstructurală la acest tip de structuri.

Testarea performanţelor modelului de calcul elasto-plastic de ordinul al II-lea acadrelor plane şi spatiale cu noduri semirigide, propus în lucrare, că şi aprogramului de calcul, NEFCAD elaborat de autorul acestei lucrari, în cele douăversiuni, cea ştiinţifică şi cea cu aplicabilitate directă în proiectare se prezintă încontinuare, utilizând drept structuri de test, cadrele de calibrare din oţel propuse înS.U.A. şi Europa. Se vor compara, de asemenea, performanţele programuluirealizat în raport cu alte programe realizate în acest sens pentru analiza avansată astructurilor în cadre metalice, realizându-se totodată şi o calibrare a programuluiNEFCAD. Calibrarea programului NEFCAD, în versiunea cu aplicabilitate directăîn proiectare, constă în efectuarea unor testări numerice pentru alegereaparametrilor curbelor de comportare material neliniară la nivel de secţiune (curbeM-N-Φ), pentru modelarea cât mai adecvată a calculului elasto-plastic (ipotezazonelor plastice), utilizând în acest scop tehnicile şi tipurile de structuri propuse înliteratura de specialitate pentru "calibrarea" caracteristicilor de calcul.

6.2. TESTĂRI NUMERICE PE STRUCTURI ÎN CADRE PLANE

6.2.1 Cadre de calibrare propuse în Europa

248

În Europa ECCS (European Convention for Constructional Steelworks) aselectat trei tipuri de cadre pentru calibrarea programelor de analiză elasto-plasticăde ordinul al II-lea (Vogel, s. al., 1984): cadrul portal, cadrul fermă şi cadrul cuşase nivele şi două deschideri. În lucrările (Vogel, 1985 Ziemian, 1992) se prezintăprincipalele caracteristici ale acestor "structuri de calibrare", precum şi rezultateleanalizelor elasto-plastice de ordinul al II-lea, efectuate pe baza unor programe decalcul dezvoltate în acest scop.

Compararea performanţelor programului NEFCAD şi calibrarea acestuia, va firealizată, în principal, în raport cu un program de analiză elasto-plastică de ordinulal II-lea elaborat la universitatea Cornell, CU-SP2D, care modelează neliniaritateamaterialului în ipoteza formării zonelor plastice ("elemente finite de fibră"), şi acărui rezultate pentru structurile de calibrare, sunt prezentate în literatura despecialitate (Ziemian, 1992). De asemenea, pe baza programului NEFCAD se vaface un studiu comparativ privind influenţa tensiunilor reziduale asupra răspunsuluiglobal al structurilor în cadre metalice.

Principalele ipoteze avute în vedere la efectuarea analizelor în cazul cadrelor decalibrare europene sunt (Vogel, 1985, W.F. Chen, S.Toma, 1994):

(1) Sectiunile plane ramân plane şi după deformare.(2) Pierderea de stabilitate în afara planului (flambajul lateral din torsiune)

este prevenit.(3) Nu apar probleme ale flambajului local ale secţiunilor.(4) Conexiunile de prindere ale barelor în noduri sunt rigide.(5) Este inclus efectul neliniarităţii geometrice globale, P-∆.(6) Este inclus efectul neliniarităţii geometrice locale, P-δ.(7) Relaţiile constitutive σ-ε utilizate pentru modelarea neliniarităţii fizice

la nivel de fibră sunt cele propuse de EC3. Descărcările elastice aleunor fibre sunt neglijate.

(8) Este luat în considerare efectul tensiunilor reziduale.(9) Efectul deformaţiilor din forţe tăietoare, precum şi efectul forţei

tăietoare asupra plastificării secţiunilor este neglijat. Tensiunile suntconsiderate uniaxiale în planul elementului.

(10) Tensiunile reziduale sunt distribuite uniform pe întreaga lungime abarei.

(11) Se consideră doar solicitări în planul de rigiditate maxim alesecţiunilor.

Relaţiile constitutive σ-ε, modelarea imperfecţiunilor materiale (ale tensiunilorreziduale), a imperfecţiunilor geometrice (locale şi globale) se face conformprevederilor normei europene de calcul, EC3. Aspectele legate de aceste modelăriau fost prezentate pe parcursul lucrării, şi nu vor mai fi reluate în continuare.Încărcările aplicate asupra structurilor sunt proporţionale.

6.2.1.1 Cadrul portalGeometria, proprietăţile materiale şi secţionale ale barelor structurii,

imperfecţiunile geometrice şi încărcările aplicate asupra cadrului portal, propus şi

249

analizat pentru prima dată de catre Vogel (1985), sunt prezentate în figura 6.1.Conexiunile de prindere ale barelor în noduri se consideră rigide, iar legăturilebarelor cu terenul sunt de asemenea de tip încastrare. Încărcările sunt aplicateproporţional, monoton crescător, până la atingerea încărcării limită de cedare. Înanaliza efectuată pe baza programului NEFCAD, s-au utilizat două elemente de tipbară pentru discretizarea stâlpilor şi un singur element pentru discretizarea grinzii.

Figura 6.1 Cadrul portal

Într-o primă fază s-a făcut un studiu comparativ privind influenţa tensiunilorreziduale asupra capacităţii portante de ansamblu a structurii. În acest scop, s-auluat în considerare două tipuri de distribuţii ale tensiunilor reziduale pe înălţimeasecţiunii şi anume, cele propuse de normele europene (tipul 1), EC3 şi celeamericane (tipul 2), AISC-LRFD (v. cap.4). Analiza structurii s-a efectuat cuajutorul programului NEFCAD, în varianta în care modelarea neliniarităţii fizice serealizează la nivel de fibră (pentru o monitorizare explicită a efectului dezvoltărilorzonelor plastice în secţiune), relaţiile constitutive neliniare σ-ε considerate fiindcele propuse în norma europeana EC3, cu privire la calculul structurilor metalice(elastic perfect plastic cu reconsolidare). Integrarea numerică, pentru determinareacaracteristicilor secţionale de rigiditate, realizându-se cu ajutorul metodei Simpson,utilizând o reţea de 21x21 puncte pentru discretizarea tălpilor respectiv ale inimilorsecţiunilor. Integrarea numerică în lungul barelor s-a realizat cu metoda Gauss-Lobatto, utilizând un număr de 7 noduri de integrare pe element.

Astfel curbele încărcare-deplasare laterală, precum şi factorii limită deîncărcare, corespunzătoare analizelor efectuate, în ipoteza neglijării efectuluitensiunilor reziduale şi în ipoteza considerării acestora, sunt prezentate în figura6.2. În figura 6.3. s-a reprezenat grafic distribuţia procentuală a zonelor plastice înlungul barelor, corespunzătoare încăracării limită obţinută în urma analizei elasto-plastice de ordinul al II-lea, considerând distribuţia tensiunilor reziduale conformnormei europene.

250

Fig

Dcapetcazurplasticu aju(Voge

V

Fig

. 6.2. Curbele încărcare-deplasare laterală, efectul tensiunilor reziduale

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014Deplasarea laterala (m)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p

Cu tensiuni reziduale, tipul 2, Plim=1.025

Fara tensiuni reziduale, plim=1,045

Cu tensiuni reziduale, tipul 1, plim=1,025

e asemenea sunt prezentate procentele de plastificare ale secţiunilor de laele stâlpilor corespunzătoare factorilor limită de încărcare obţinuţi în cele treii de analiză pe baza programului NEFCAD, precum şi procentele deficare obţinute în urma analizei structurii, în ipoteza formării zonelor plastice,torul programului CU-SP2D (Ziemian, 1992), şi a analizei efectuate de Vogell, 1985). Distribuţia tensiunilor reziduale considerată în analizele efectuate de

4

4 Zoneplastice

cσ=σ

62.6(57.6)[57.5]{52,8}]62,2[

56.2(50.8)[45.6]{58,8}]58,7[

45,6(38,3)[0,0]{44,4}]52,1[

54,0(45,2)[41,1]{57,6}]58,2[

alori: NEFCAD Tipul 1 plim=1,025 NEFCAD (Tipul 2) plim=1,025 NEFCAD [Fara tens.rez.]plim=1,045

{CU-SP2D} plim=1,000]Vogel[ plim=1,022 a.Tipul 1 (EC3) b. Tipul 2 (AISC-LRFD) c.Fara tensiuni rez.

Zoneelastice

cσ<σ

Zoneplastice

cσ=σ

Fig.6.4 Dezvolatrea zonelor plastice în cele treivariante de considerare a tensiunilor reziduale

.6.3. Distribuţia procentuală secţiunilorplastificate

3

251

Vogel şi Ziemian este cea prevăzută în EC3. Numărul de "elemente finite de fibră"utilizat în analiza efectuată de Ziemian cu ajutorul programului CU-SP2D este de50 pentru modelarea stâlpilor şi 20 de asemenea elemente pentru modelarea grinzii.În literatura de specialitate, avută la dispozitie, nu s-au gasit detalii despre modul dediscretizare a structurii, în analiza efectuata de Vogel. În figura 6.4. sunt prezentateditribuţiile zonelor plastice în secţiunile şi în lungul barei 3-4, în cele trei cazuri deanaliză efectuate cu programul NEFCAD: fără considerarea efectului tensiunilorreziduale, distribuţia tensiunilor reziduale conform EC3 şi distribuţia tensiunilorreziduale conform AISC-LRFD. De observat că în toate cele trei cazuri, nici intr-osecţiune deformatiile nu au depăşit limita palierului de curgere (ε<10εc).

Referitor la analizele efectuate, până acum, în cazul cadrului portal, se poateconcluziona faptul că deşi factorul limită de încărcare nu este sensibil influenţat deexistenţa tensiunilor reziduale (diferenţă de 3%), existenţa şi tipul de distribuţie atensiunilor reziduale pe înalţimea secţiunii au un efect important în ceea ce priveştedezvoltarea zonelor plastice şi a valorilor rigidităţii secţionale şi a celor globale alebarelor structurii, în timpul procesului de încărcare, fiind esenţial de luat înconsiderare într-o analiză avansată.

De asemenea, este de observat eficienţa în ceea ce priveşte numarul deelemente utilizat de programul NEFCAD în comparaţie cu cel utilizat de programulCU-SP2D, la un nivel de acurateţe a rezultatelor comparabil. Factorul limită deîncărcare obţinut pe baza programului NEFCAD, în varianta unei analize la nivel defibră şi o distribuţie a tensiunilor reziduale conforme cu cea prevazută de EC3 arezultat egal cu plim=1,025, care este în excelentă concordanţă cu factorii deîncărcare limită obţinuti printr-o analiză asemănătoare de către Vogel (1985,plim=1,022) şi Ziemian (1992, plim=1,00). Se constată de asemenea o bunăconcordanţă în ceea ce priveşte procentele de plastificare ale secţiunilor de lacapetele stâlpilor. De menţionat că durata de execuţie a programului NEFCAD, încazul exemplului studiat, în care modelarea neliniarităţii fizice s-a facut la nivel defibră, este de circa 40 de minute, pe un calculator PC 586, 133Mhz. În lucrările dereferinţă folosite nu se fac specificaţii cu privire la timpul de execuţie în cazulanalizelor efectuate de Vogel şi Ziemian.

Posibilitatea adoptării unor relaţii analitice pentru modelarea neliniarităţii fizicela nivel de secţiune este studiată în cele ce urmează. În figurile 6.5 şi 6.6. suntprezentate rezultatele analizei efectuate pe baza programului NEFCAD, în variantacu "aplicabilitate directă" în proiectare, şi în care modelarea neliniaritătii fizice s-afăcut la nivel de secţiune, utilizând în acest scop relaţiile prezentate în cadrulcapitolului 5. Astfel în figura 6.5 sunt prezentate comparativ curbele încărcare-deplasare laterală, obţinute pe baza programului NEFCAD, considerând relaţiileanalitice 5.33-5.34 pentru determinarea modulului de rigiditate la încovoiere şi amodului de rigiditate axial, valoarea tensiunii reziduale maxime de compresiunefiind luată crc σ⋅=σ 3,0 şi considerând relaţiile de tip Ramberg-Osgood, valoareaparametrilor de formă luaţi în calcul fiind a=1, n=35, respectiv a=1, n=400. În acestultim caz (n=400) s-a simulat o analiză elasto-plastică de ordinul al II-lea,considerând formarea de articulaţii plastice. De asemenea s-a reprezentat grafic

252

curba încărcare-deplasare laterală obţinută pe baza programului CU-SP2D(modelarea în ipoteza formării zonelor plastice). Valorile momentelorîncovoietoare şi ale eforturilor axiale obţinute în urma celor patru analize efectuatesunt prezentate în figura 6.6. Valorile numerice prezentate corespund factorilorlimită de încărcare corespunzători fiecărei analize în parte.

Fig. 6.

Fig

76767679

5. Curbele încărcare-deplasare laterală considerând diferite modele de calcul.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4D (cm)

Fact

orul

de

inca

rcar

e

CU-SP2D, plim=1,00

NEFCAD, Ramberg-Osgood n=35,plim=1.045NEFCAD, ec. 5.33-5.34, plim=1.015

NEFCAD, Ramberg-Osgood, n=400(art. plastice), plim=1.05

72,68

Valori: NEFCAD, ec. 5.33-5.34, plim=1.015 NEFCAD, Ramberg-Osgood, n=35, plim=1.045 NEFCAD, Ramberg-Osgood, n-400, plim=1.05 CU-SP2D, plim=1.00

. 6.6. Diagrama de momente incovoietoare (kNm) şi eforturi axiale (kN)

86,3087,8285,6887,03

,10,89,04,55

81,6082,7382,2582,42

73,6067,0075,73

2797289829112765

2870297329812843

253

Se observă o foarte bună corelare a curbei obţinute cu programul CU-SP2D(zone plastice) cu curba obţinută cu programul NEFCAD în varianta modelăriineliniarităţii fizice pe baza relaţiilor (5.33-5.34) propuse, precum şi o destul debună corelare cu curba obţinută în varianta modelării pe baza relaţiei Ramberg-Osgood (n=35). Diferenţele procentuale intre factorii limită de încărcare obţinuţi încele două cazuri de analiză ale programului NEFCAD (Ramberg-Osgood, n=35,plim=1.045; respectiv relaţiile propuse, plim=1.015) şi cel determinat pe baza uneianalize rafinate, în ipoteza dezvoltărilor zonelor plastice, la nivel de fibră (CU-SP2D, plim=1.00) fiind sub 5%. Aceeaşi concordanţă aproape perfectă se poateobserva şi intre valorile eforturilor obţinute cu programul CU-SP2D şi programulNEFCAD. De menţionat faptul că în acest caz analiza efectuată cu programulNEFCAD (pâna la atingerea încărcării limită) în toate cele trei cazuri studiate adurat aproximativ 20 de secunde. În analizele efectuate cu programul NEFCAD s-autilizat metoda de integrare Simpson, în varianta recursivă, pentru efectuareaintegrării numerice în lungul elementelor.

Următoarele analize efectuate cu programul NEFCAD se bazează pe omodelare a neliniarităţii fizice la nivel de secţiune, utilizând în acest sens relaţiile5.33-5.34. Ele au drept scop evidenţierea sensibilităţii metodei de analiză, în cazulacestei structuri, cu privire la: numărul de elemente utilizate pentru discretizareastâlpilor, efectul neliniarităţii geometrice, neproporţionalitatea încărcărilor. Pentruaceste cazuri lucrările de referinţă utilizate nu oferă date comparative.

Influenţa numărului de elemente de tip bară dreaptă de cadru plan, utilizat ladiscretizarea stâlpilor cadrului, asupra acurateţii rezultatelor poate fi urmărită înfigura 6.7. Se observă o diferenţă de circa 3% mai mare a factorului limită deîncărcare în cazul utilizării unui singur element pe bară (stâlp) (plim=1,045) faţă decazul împărţirii unui stâlp în 20 de elemente (plim=1,01). Diferenţa dintre factoriilimită de încărcare obţinuti în varianta împărţirii stâlpilor în două respectiv 20 deelemente este practic nesemnificativă (sub 1%).

Ponderea efectului neliniaritatii geometrice asupra răspunsului global alstructurii poate fi urmărită grafic în figura 6.8. Se observă o diferenta de circa 7%între factorul limită de încărcare obţinut în varianta considerării efectuluineliniarităţii geometrice (tipul 1, plim=1,015) în comparaţie cu cazul neglijării totalea acestuia (tipul 2, plim=1,09). Efectul încărcărilor neproporţionale asupracomportării neliniare a cadrului portal poate fi urmărit grafic în figurile 6.9 şi 6.10,în care sunt reprezentate curbele încărcare-deplasare laterală în ipoteza aplicăriineproporţionale a încărcărilor verticale şi laterale. Efectul aplicării într-o primăetapă a încărcărilor verticale, pâna la o valoare a factorului de încărcare vertical,plim,v=1,00 (P=2800 kN), urmată de aplicarea forţei orizontale (H), asupracomportării de ansamblu a cadrului poate fi urmărit în fig. 6.9. Efectul defavorabilal tensiunilor reziduale asupra comportării structurii la acest tip de încărcare, estepregnant scos în evidenţă în acest exemplu. Factorul limită de încărcare obţinut înurma analizei care ia în considerare efectul tensiunilor reziduale, crc σ⋅=σ 3,0 ,este plim=1,00 în timp ce factorul limită obţinut în ipoteza neglijării acestor tensiunieste plim=1,40, fiind apropiat de cel determinat în urma analizei în ipoteza formării

254

articulaţiilor plastice (modelarea neliniarităţii fizice pe baza curbelor Ramberg-Osgood, n=400), plim=1,45.

Fig. 6.7 Influ

Fig. 6.8 Efe

enţa numărului de elemente asupra curbei încărcare-deplasare laterală.

ctul neliniarităţii geometrice locale asupra curbei încărcare-deplasarelaterală.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50Deplasare laterala (cm)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p

NEFCAD, 1 element, plim=1,045

NEFCAD, 2 elemente, plim=1,015

NEFCAD, 20 de elemente, plim=1,01

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00Deplasarea laterala (cm)

Fact

orul

de

inca

rcar

e

NEFCAD, tipul 1,plim=1,015

NEFCAD, tipul 2, plim=1,09

255

Fig. 6.9 Curbele încărcare-deplasare laterală în cazul unor încărcărineproporţionale: forţe verticale constante, forţa orizontală variabilă.

Fig. 6.10 Curbele încărcare-deplasare laterală în cazul unor încărcărineproporţionale: forţe verticale variabile, forţa orizontală constantă.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40Deplasarea laterala (cm)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p

Inc.neproportionale; ModelareRamberg-Osgood, n=400, plim=1,45Inc. neproportionale,

Inc. proportionale, plim=1,015

Inc. neproportionale

2

Această diferenţă foarte mare (de 40%) dintre cele două analize (cu şi fărăconsiderarea tensiunilor reziduale), se datorează în principal forţelor axiale decompresiune foarte puternice la care sunt supuşi stâlpii cadrului (la finele primeisecvenţe de încărcare forţele axiale din stâlpi ajungând la valori de circa 80% dincapacitatea plastică axială). În figura 6.10 sunt reprezentate curbele de încărcare-deplasare laterală obţinute în urma unei analize în care aplicarea fortei orizontaleconstituie prima secvenţă de încărcare, pâna la factorul de încărcare plim,o=1,00(H=35 kN), urmată de aplicarea forţelor verticale. Se constată de asemeneadiferenţe între cazul de considerare a efectelor tensiunilor reziduale (plim=1,02) şicazul de neglijare a acestora (plim=1,056), în acest caz diferenţele fiind mult maimici, de circa 3,5%. De asemenea în figurile 6.9 şi 6.10 sunt reprezentate curbeleîncărcare-deplasare laterala în varianta aplicării proporţionale a încărcărilor. Seconstată diferenţe nesemnificative în ceea ce priveşte factorii limită de încărcareobţinuţi în cele două variante de aplicare a încărcarilor (proporţionale, plim=1,015 şirespectiv neproporţionale plim,o=1,00, plim,v=1,02). Pe baza acestor observaţii sepoate concluziona faptul că această structură este foarte puţin sensibila la diferitelemoduri de aplicare a forţelor.

6.2.1.2. Cadrul fermă

Geometria, proprietăţile materiale şi secţionale ale barelor structurii,imperfecţiunile geometrice şi încărcările aplicate asupra cadrului fermă, propus şianalizat pentru prima dată de către Vogel (1985), sunt prezentate în figura 6.11.Conexiunile de prindere ale barelor în noduri se consideră rigide, iar legăturilebarelor cu terenul sunt de tip articulaţie. Încărcările sunt aplicate proporţional,monoton crescător, pâna la atingerea încărcarii limită de cedare. În analiza de"calibrare" efectuată cu programul NEFCAD, s-au utilizat două elemente de tipbară cadru plan pentru discretizarea stâlpilor şi un singur element pentrudiscretizarea grinzilor. Metoda numerică de integrare în lungul barelor utilizată afost metoda Simpson în varianta recursivă (generarea unui număr crescător deintervale pâna la atingerea preciziei dorite).

q=11 kN/m

56

Fig. 6.11. Caracteristicile cadrului fermă.

α=150

ψ0s

ψ0s

ψ0rψ0r

IPE

360

IPE

360

IPE 360 IPE 360

E= 205 kN/mm2

σc=235 N/mm2

ψ0s=1/300ψ0r=1/432

20,00 m

4,0

0 m

6,0 kN 3,0 kN

257

Curbele încărcare-deplasare (laterală şi verticală) obţinute pe baza programuluiNEFCAD în varianta de modelare a neliniarităţii fizice la nivel de secţiune,utilizând în acest scop relaţiile 5.33-5.334 propuse în cadrul capitolului 5, suntprezentate în figura 6.12. De asemenea sunt prezentaţi factorii limită de încărcare(corespunzători unei matrici de rigiditate globale singulare a structurii) obţinuţi înurma acestor analize. Factorul limită de încărcare obţinut în cazul utilizării curbeiRamberg-Osgood pentru modelarea comportării elasto-plastice a secţiunilor, cuvalorile parametrilor a=1, n=35, a rezultat plim=1,068, care este în perfectăconcordanţă cu cel obţinut de Ziemian cu programul CU-SP2D (plim=1,07) şi Vogel(plim=1,07), care au utilizat în acest scop un model de analiză bazat pe conceptul dezone plastice, precum şi cu cel determinat cu programul NEFCAD, în variantamodelării comportării elasto-plastice a secţiunilor la nivel de fibră (plim=1,08).Relaţiile constitutive σ-ε ale materialului, valorile şi distribuţia tensiunilorreziduale în secţiune au fost considerate, în aceste analize, conform prescripţiilorEC3. De remarcat diferenţa destul de apreciabilă a valorilor factorilor limită deîncărcare, obţinuti pe baza acestor analize, faţă de valorile obţinute print-o analizăce utilizeaza conceptul de articulaţie plastică obţinute de Vogel şi Ziemian(plim=0,96 respectiv 0,97), precum şi cu programul NEFCAD, în variantaconsiderării parametrilor curbei Ramberg-Osgood, a=1, n=400 (simulareaarticulaţiilor plastice, plim=0,98). Aceasta diferenţă, dintre analizele bazate peconceptul de articulaţii plastice respectiv zone plastice, se datorează în primul rândfaptului că acest cadru este solicitat cu preponderenţă la eforturi de încovoiere şimai puţin la eforturi ce pot sa producă fenomene de pierdere a stabilităţii,asigurându-se în acest fel posibilitatea intrării accentuate în domeniul dereconsolidare a materialului. Atât în analizele efectuate de Vogel şi Ziemian, înipoteza "zonelor plastice" precum şi în analiza efectuata cu programul NEFCAD, învarianta modelării neliniarităţii fizice la nivel de fibră, efectul reconsolidăriimaterialului a fost luat în considerare, în timp ce în analizele efectuate în ipoteza"articulaţiilor plastice" se neglijează acest aspect. Pentru confirmarea acestui fapt s-a reluat analiza cadrului cu programul NEFCAD în varianta modelării neliniarităţiifizice la nivel de fibră, utilizând de data aceasta curba elastic-perfect plastic (fărăreconsolidare) pentru modelarea punctuală a neliniarităţii fizice, renunţându-se înacelaşi timp şi la modelarea tensiunilor reziduale. În acest caz valoarea factoruluilimită de încărcare a rezultat plim=0,98 care este în perfectă concordanţă cu ceaobţinută în analizele bazate pe conceptul de articulatie plastică.

De asemenea în figura 6.12 sunt prezentate curbele încărcare-deplasareobţinute cu programul NEFCAD, în varianta modelării neliniarităţii fizice la nivelde secţiune, utilizând în acest scop relaţiile 5.33-5.34. Modelarea comportăriielasto-plastice a secţiunilor pe baza acestor relaţii nu permite considerarea efectuluide reconsolidare a materialului. Factorii limită de încărcare obţinuti în urma acestoranalize, în care efectul tensiunilor reziduale este luat în considerare crc σ⋅=σ 3,0(plim=0,97), respectiv fără considerarea efectului tensiunilor reziduale (plim=0,975)găsindu-se într-o bună coincidenţă cu cel determinat cu programul NEFCAD învarianta neglijării efectului de reconsolidare şi a tensiunilor reziduale (plim=0,98).

258

De asemenea se observă că efectul tensiunilor reziduale asupra comportării deansamblu a structurii, în acest caz, este nesemnificativ, diferenţa dintre valorilefactorilor limită de încărcare fiind sub 1%.

Diagramele de momente încovoietoare şi de eforturi axiale, precum şi valorilenumerice ale acestora sunt prezentate în figura 6.13. Se constată prin comparareavalorilor date o bună concordanţă între eforturile obţinute prin analiza cu programulNEFCAD (Ramberg-Osgood, n=35) cu cele obţinute prin analiza cu programulCU-SP2D. De asemenea se constată o bună coincidenţă a valorilor acestor eforturiobţinute prin analizele ce au la bază conceptul de articulaţie plastică (Vogel,plim=0,96) şi NEFCAD (Ramberg-Osgood, n=400, plim=0,98).

F

ig. 6.12. Curbele încărcare-deplasare pentru cadrul fermă.

259

Distribuţia procentuală a secţiunilor plastificate, din lungul barelor cadrului,este prezentată în figura 6.14. Se constată şi în acest caz o bună apropiere avalorilor procentuale de plastificare, pentru secţiunile marcate în figură, obţinute cuprogramul NEFCAD (analiza de fibră) cu cele obţinute de Ziemian (CU-SP2D) şiVogel.

De remarcat eficienţa modelului de calcul propus şi a programului de calculNEFCAD, care la un numar redus de elemente de discretizare (2 elemente pe stâlp,1 element pe grindă) oferă rezultate comparabile (diferenţe sub 5%) cu aleprogramului CU-SP2D dar care utilizează un număr mult mai mare de elemente (20de "elemente finite de fibra" pe stâlp, şi 40 pe grindă).

a) Eforturi axiale, kN

b) Momente încovoietoare, kNm.

Fig. 6.13. Diagrama de momente încovoietoare şi de eforturi axiale.

Fig. 6.14. Distribuţia procentuală a secţiunilor plastificate.

114,5 (106,3) [107,3] {115,1}

120,1 (111,3) [112,4] {120,7}

192,1 (161,2) [167,4] {192,6} ]165,6[

235,2 (227,6) [238,3] {234,2}]239,0[

275,0 (239,4) [240,0] {288,8} ]238,4[

Valori: NEFCAD, Ramberg-Osgood, n=35, plim=1,068 (NEFCAD, rel. 5.33-5.34, σrc=0,3σc, plim=0,970) [NEFCAD, Ramberg-Osgood, n=400, plim=0,980] {CU-SP2D, plim=1,070} ]Vogel, art. plastice, plim=0,960[

1,5 m

18,1 (0,0) [24,5]

91,2 (84,7) [76,1]

60,2 (52,9) [54,1]

98,1 (93,9) [98,2]

Valori: NEFCAD, analiza de fibra, plim=1,08 (CU-SP2D, plim=1,07) [Vogel, zone plastice, plim=1,07]

260

Fig. 6.15 I

Discretizarepuncte de in21 de puncinimii (integmetoda Simfibre longituşi 2 fibre programulufi urmărită laterala, obţbaza curbei obţinut în ipplim=1,08 cupe bara, plim

6.2.1.3

Următocu şase nivanalizat de analiză elas(Vogel, 198(Vogel, 198Vogel şi a prinderile b

nfluenţa numărului de elemente asupra comportării neliniare a cadruluifermă.

a secţiunilor transversale s-a facut în programul NEFCAD astfel: 21 detegrare pe lăţimea tălpilor, 11 puncte de integrare pe grosimea tălpilor,

te de integrare pe înalţimea inimii, 11 puncte de integrare pe lăţimeararea numerică pe suprafaţa secţiunilor transversale fiind condusă cupson), în timp ce în programul CU-SP2D, s-a utilizat un numar de 16dinale şi 2 fibre transversale pentru tălpi, respectiv 16 fibre pe înalţimepe lăţimea inimii. Sensibilitatea metodei de calcul propusă şi a

i NEFCAD la numărul de elemente utilizat în discretizarea barelor poateîn figura 6.15, unde s-a reprezentat grafic curba încărcare-deplasareinută în varianta modelarii comportarii elasto-plastice a secţiunilor peRamberg-Osgood cu parametrii a=1, n=35. Factorul limită de încărcareoteza utilizării unui singur element pentru modelarea barelor a rezultat 2,8% mai mare decit în ipoteza utilizării unui număr de 40 de elemente=1,05.

Cadrul cu şase nivele şi două deschideri

area structură propusă de ECCS drept "cadru de calibrare", este cadrulele şi două deschideri, propus de Vogel (Vogel, 1985) şi care a fostmulţi cercetători în vederea testării performanţelor programelor de

to-plastică de ordinul al II-lea, în ipoteza formării articulaţiilor plastice5; Orbison, 1986; Ziemian, 1992) şi în ipoteza formării zonelor plastice5; Ziemian, 1992; Clarke, 1994). Descrierea structurii propuse de

încărcărilor se prezintă în figura 6.16. Ca şi în exemplele anterioarearelor în noduri se consideră rigide, iar încărcările sunt aplicate

261

proportional.Testarea performanţelor modelului de calcul elasto-plastic de ordinul al II-lea

propus în lucrare, s-a făcut prin compararea rezultatelor obţinute cu programulNEFCAD, elaborat în acest scop, în cele două versiuni de modelare a neliniarităţiifizice în ipoteza formării zonelor plastice (analiza de fibră respectiv analiză la nivelde secţiune), cu rezultate ale unor programe de calcul similare, publicate înliteratura de specialitate (Ziemian, 1992; W.F. Chen, 1994).

Fig. 6.16. Cadrul cu şase nivele şi două deschideri.

Compararea şi calibrarea rezultatelor programului NEFCAD în variantamodelării simplificate a neliniarităţii fizice la nivel de secţiune, pe baza relaţiiloranalitice prezentate în cap. 4, a fost realizată cu rezultatele furnizate de programulNEFCAD, în varianta unei "analize de fibră" prin modelarea explicită adezvoltărilor zonelor plastice în secţiune şi în lungul barelor, a tensiunilor rezidualeşi ale efectelor de reconsolidare ale materialului, precum şi cu rezultatele furnizatede programul CU-SP2D (ipoteza formării de zone plastice) şi CU-STAND (ipotezaformării de articulaţii plastice), programe utilizate în acelaşi scop de Ziemian(Ziemian, 1992).

În toate analizele efectuate cu programul NEFCAD s-a utilizat un singurelement pentru discretizarea barelor (considerarea fiecărei bare ca un singurelement).

262

Fig. 6.1

Fig. 6.18 Co

În figura nivelului 6, NEFCAD înreconsolidare(plim=1,20);

Analiza la nivel de fibra

7 Curbele încărcare-deplasare laterală, analiza "la nivel de fibră"

mparaţii între analiza "la nivel de fibră" şi cea "la nivel de secţiune"

6.17 se prezintă curbele încărcare-deplasare laterală, corespunzătoareobţinute printr-o analiză de fibră (zone plastice) cu programul următoarele ipoteze de calcul: cu considerarea efectului de a materialului şi fără considerarea efectului tensiunilor rezidualecu considerarea efectului de reconsoildare a materialului şi a

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Deplasarea laterala, D6(m)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p

NEFCAD, fara tens. rez, plim=1,20

NEFCAD, fara reconsolidare, tipul1,plim=1,134NEFCAD, tipul2, plim=1.186

NEFCAD, tipul 1, plim=1,186

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Deplasarea laterala, D6(m)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p Analiza de fibra, tipul 1, plim=1,186

Analiza, curba Ramberg-Osgood, a=1,n=35, plim=1,19

Analiza de fibra, fara reconsolidare, tipul1, plim=1,134

Analiza, rel. 5.33-5.34, plim=1,131

263

tensiunilor reziduale având valorile şi distribuţia în secţiune conforme cuprevederile EC3 (tipul 1, plim=1,186); cu considerarea efectului de reconsolidare şia tensiunilor reziduale având valorile şi distribuţia conforme cu AISC-LRFD (tipul2, plim=1,186); fără considerarea efectului de reconsolidare dar cu considerareaefectului tensiunilor reziduale, distribuţia şi valorile tensiunilor reziduale însecţiune fiind cea prevăzută de EC3, rezultând în acest caz factorul limită deîncărcare plim=1,134. Numărul de puncte de integrare (Simpson) şi dispunereaacestora pe înalţimea secţiunii transversale este similar cu cel utilizat în exemplulanterior (cadrul fermă). Integrarea numerică în lungul barelor s-a realizat cu metodaGauss-Lobatto, considerând un numar de 9 noduri. Timpul de calcul, pentru fiecareastfel de analiză, a fost de aproximativ 6 ore, utilizând un calculator PC 586,133Mhz. Din analiza acestor rezultate se constată o diferenţă de 1,18% întrefactorul limită de încărcare obţinut în ipoteza neglijării efectului tensiunilorreziduale (plim=1,20) faţă de ipoteza considerării acestuia (plim=1,186), precum şi odiferenţa de 6% intre valorile factorilor limită de încărcare obţinuti în ipotezaneglijării efectului de reconsolidare (plim=1,134) respectiv a considerării acestuia(plim=1,186).

Curbele comparative încărcare-deplasare laterală, obţinute cu programulNEFCAD, în varianta unei analize la nivel de fibră (modelarea explicită a efectuluitensiunilor reziduale, tipul 1, şi a efectului de reconsolidare sau de neglijare aacestuia) şi în ipoteza unei analize la nivel de secţiune (pe baza relaţiilor tipRamberg-Osgood respectiv a relaţiilor (5.33-5.34) sunt prezentate în fig. 6.18. Seconstată o foarte bună concordanţă între curba obţinută prin analiza de fibră(considerarea reconsolidării şi a tensiunilor reziduale, tipul 1) cu curba obţinutăprintr-o modelare simplificată a comportării elasto-plastice a secţiunilor utilizând înacest scop relaţiile Ramberg-Osgood cu următorii parametri a=1, n=35, diferenţadintre valorile factorilor limită de încărcare obţinuti fiind de 0,33%. De asemenease constată aceeaşi foarte bună corelare a curbelor obţinute în cele două versiuni demodelare a neliniarităţii fizice, cea de fibră (fără reconsolidare şi considerareatensiunilor reziduale, tipul 1) şi cea de secţiune, utilizând relaţiile 5.33-5.34,diferenţa dintre valorile factorilor limită de încărcare find în acest caz de numai0,26%. Timpul de analiza (pâna la atingerea încărcării limită), în varianta în careneliniaritatea fizica este modelata la nivel de secţiune, a fost de circa 100 de ori maimic decit timpul de analiza în varianta în care modelarea s-a facut la nivel de fibrăşi de circa 200 de ori mai mic decit timpul necesar efectuării analizei, pe o staţieVAX3200, cu programul CU-SP2D (zone plastice).

Distribuţia procentuală a secţiunilor plastificate, din lungul barelor, precum şivalorile comparative pentru anumite secţiuni sunt prezentate în figura 6.19.a.Dezvoltarea zonelor plastice în anumite secţiuni semnificative din acest punct devedere sunt prezentate în figura 6.19.b, iar în figura 6.20 este prezentat modul dedezvoltare a zonelor plastice în lungul barei A-B, corespunzător diferitelor moduride tratare a efectului tensiunilor reziduale (fără considerarea acestuia respectivconsiderarea valorilor şi distribuţiilor conform EC3, respectiv AISC-LRFD).

Curbele comparative încărcare-deplasare laterală, pentru nivele 4 şi 6, obţinute

2

cu programul NEFCAD (relaţii analitice Ramberg-Osgood, a=1, n=35 şi n=600),precum şi cu programele CU-SP2D (zone plastice) şi CU-STAND (articulaţiiplastice) sunt prezentate în figura 6.21. Se observă o bună corelare a curbelor cuprogramul CU-SP2D (zone-plastice) pentru n=35 şi cu programul CU-STANDpentru n=600. Diagramele de momente încovoietoare şi de eforturi axiale sunt dateîn figura 6.22, observându-se de asemenea o mai mare apropiere de valorilemomentelor încovoietoare date de programul CU-SP2D în cazul n=35 şi deprogramul CU-STAND pentru n=600. Încărcarea limită diferă cu 0,84% faţă deCU-SP2D pentru n=35 şi cu 0,88% faţă de CU-STAND, pentru n=600.

În figura 6.23 se prezintă comparativ efectele conexiunilor flexibile asupracurbelor de comportare, considerându-se tipul de prindere C-5/8 ale grinzilor înnoduri cu caracteristicile date în lucrarea (J.Y.R. Liew, W.F. Chen, 1994)(R=47716,17 kNm/rad; Mu=134,063 kNm; n=0,80), în varianta comportării liniarerespectiv neliniare (modelul celor trei parametri) ale conexiunilor. Pentru acestecazuri lucrările de referinţă nu oferă date comparative.

89.6 96.6 75.7 86.21

64

Fig. 6.19.(a) Distribuţia procentuală a secţiunilor plastificate; (b) Dezvoltarea zonelor plastice în secţiune.

Valori: NEFCAD, tipul 1, plim=1,186 CU-SP2D, plim=1,180 Vogel, zone plastice plim=1,110

Compresiune

Intindere

Intindere

Compresiune

Sectiunea transversala 1-1 Sectiunea transversala 2-2

Sectiunea transversala 3-3

20.6(65.5)[28.2]

58.8(57.6)[58.3]

58.1(58.3)[56.1]

88.6(90.7)[83.4]

24.1(33.5)[20.9]

95.8(91.6)[95.4]

95.9(96.2)[90.8]

14.4(3.7)[23.7]

17.0(0.0)[14.5]

63.1(45.6)[72.4]

61.0(36.2)[52.1]

55.0(45.6)[63.8]

42.7(34.4)[34.7]

(90.7)[82.5]

(90.7)[97.11]

(90.7)[73.8]

(82.0)[43.0]

1

Compresiune

Reconsolidareε>10εc

Curgereεc ≤ε≤10εc

Elasticε<εc

265

Fig. 6.20 Dezvoltarea zonelor plastice în lungul barei AB

Fig. 6.21. Curbele comparative încărcare-deplasare laterală pentru nivelele 4 şi 6.

Valori: NEFCAD, n=35, plim=1,19NEFCAD, n=600, plim=1,14CU-STAND, plim=1,13CU-SP2D, plim=1,18

Fig. 6.22. Diagramele de momente încovoietoare şi eforturi axiale.

a. Distributia EC3 b. Distributia AISC-LRFD c. Fara tensiuni reziduale

Talpa superioara

Talpa inferioara

Vedere frontala

266

Fig

. 6.23. Efectul conexiunilor semirigide asupra curbelor de comportare încărcare-deplasare laterală.

267

6.2.2. Cadre de calibrare propuse în S.U.A.

În Statele Unite ale Americii un număr mare de "cadre de calibrare" au fostpropuse de-a lungul timpului în vederea testării metodelor şi ale programelor decalcul elasto-plastic de ordinul al II-lea. Un număr reprezentativ de cercetători cares-au ocupat cu selectarea structurilor de calibrare vor fi amintiţi în continuare,descrierea în detaliu a caracteristicilor geometrice, şi de încărcare ale acestorstructuri fiind dată în lucrarea (S. Toma, s.al., 1991).

Yarimci (1966) a propus două cadre cu un grad relativ mare de nedeterminarestatica: trei nivele şi două deschideri respectiv o deschidere, pentru verificareaprocedurii analitice de analiză propusă, efectuând în acelaşi timp şi testăriexperimentale la scară reală asupra acestor cadre. Rezultatele furnizate de analizeleşi testările experimentale efectuate de Yarimci, pe aceste cadre, au stat la bazatestărilor programelor de calcul realizate de diverşi cercetători.

Kanchanalai (1977) a efectuat un studiu amănunţit cu privire la comportareastâlpilor metalici supuşi la solicitări de încovoiere cu efort axial, elaborând totodatămetode de analiză elasto-plastică de ordinul al II-lea, în ipoteza formării zonelorplastice. Testarea procedurilor propuse a fost efectuată pe structuri cu un grad micde nedeterminare statică (cadre portal), sensibile la efectele formării graduale azonelor plastice în secţiunile din lungul barelor. Studiile efectuate de Kanchanalaiau o importanţă deosebită întrucât ele stau la baza relaţiilor de interacţiune propusede standardul american pentru proiectarea elementelor metalice supuse laîncovoiere cu efort axial (AISC-LRFD, 1986).

El-Zanaty (El-Zanaty s.al., 1980) a efectuat studii intensive cu privire la efectuldezvoltării zonelor plastice în secţiunile din lungul barelor, pe baza programului decalcul realizat în acest scop, utilizând în acest sens structuri cu diverse grade decomplexitate (console, structuri în cadre, etc.).

Profesorul McGuire împreună cu colaboratorii săi de la universitatea Cornell auefectuat o serie de studii cu privire la comportarea elasto-plastică a structurilor încadre metalice (Orbison, 1982; White, 1985; Deierlein, 1990). Scopul principal alacestor studii a fost implementarea procedurilor analitice de calcul elasto-plastic deordinul al II-lea realizate în practica de proiectare. Orbison (1982) a analizat cadrullui Yarimci utilizând rezultatele testărilor experimentale pentru verificareaprocedurii de analiză propuse, White (1985) a utilizat cadrul portal propus de El-Zanaty, pentru verificarea procedeului de analiză elasto-plastică de ordinul al II-lea(zone plastice) realizat.

Profesorul Chen şi colaborătorii săi de la universitatea Purdue (GoTo,AlMashary, King, Lew) s-au concentrat asupra dezvoltării procedeelor simplificatede analiza elasto-plastică de ordinul al II-lea a cadrelor plane cu conexiuni flexibile,propunând un procedeu ("refined plastic hinge") care îmbunătaţeşte metodaarticulaţiilor plastice cu formare punctuală şi instantanee, utilizând pentruverificarea programelor realizate structuri în cadre propuse de (Moncarz, 1981;Lindsey, 1985; El-Zanaty, Yarimci şi Orbison).

Testarea metodei de calcul elasto-plastic de ordinul al II-lea, propusă în lucrare,

268

precum şi a programului de calcul NEFCAD realizat în acest scop, va fi făcutăutilizând structurile de calibrare propuse de El-Zanaty, Ziemian şi Liew.

6.2.2.1. Cadrul portal (El-Zanaty)

În figura 6.24 sunt prezentate caracteristicile geometrice, secţionale şi deîncărcare pentru cadrul portal propus de El-Zanaty (El-Zanaty, 1980), pentrucalibrarea şi testarea programelor de analiză elasto-plastică de ordinul al II-lea,considerat a fi foarte sensibil la efectele dezvoltărilor zonelor plastice asupracomportării neliniare globale (White, 1985; King, s.al., 1992). Nodurile cadruluisunt considerate rigide (exceptând nodurile de la baza cadrului care sunt articulaţii),iar încărcările sunt aplicate neproporţional astfel: într-o primă etapă sunt aplicateforţele exterioare verticale (N) până la o fracţiune k din efortul axial plastic Np alstâlpilor urmând ca în următoarea etapă să fie aplicată forţa orizontală H (forţeleverticale N rămânând constante), pâna la atingerea încărcării limită de cedare saupână la atingerea deplasării maxime impuse. Cadrul se consideră fără imperfecţiunigeometrice.

Fig. 6.24. Cadrul portal El-Zanaty

Cadrul a fost analizat utilizând programul NEFCAD în varianta în caremodelarea comportării elasto-plastice a secţiunilor se face pe baza relaţiiloranalitice 5.33-5.34 (zone plastice) şi pe baza relaţiilor analitice de tip Ramberg-Osgood, a=1, n=600 (articulaţii plastice). La discretizarea barelor cadrului s-auutilizat un numar de 4 elemente pe fiecare stâlp, şi un element pe grindă, iarintegrarea nunerică în lungul elementului s-a făcut cu metoda Gauss-Lobatto,utilizând un numar de 5 puncte de integrare.

W200x46N

W20

0x46

L

N

L/r=40σc=25N/mm2

E=200N/mm2

σrc=0,333σc

L

H

269

În figura 6.25 sunt prezentate curbele comparative încărcare-deplasare lateralăconsiderând încovoierea în planul de rigiditate maxim (fig. 6.25.a), respectiv minim(fig. 6.25. b). S-au considerat trei situaţii de încărcare, corespunzătoare fracţiunilork=0,2, 0,4 şi 0,6 din efortul axial plastic, Np, al stâlpilor. Se observă o foarte bunăconcordanţă între curbele încărcare-deplasare laterală, obţinute cu programulNEFCAD (rel. 5.33-5.34, zone plastice) cu cele determinate de White (White,1980) printr-o analiză elasto-plastică de ordinul al II-lea în ipoteza formării zonelorplastice (modelarea neliniarităţii fizice efectuându-se la nivel de fibră utilizând înacest scop un număr de 50 de elemente pentru discretizarea cadrului şi un număr deaproximativ 200 de fibre pentru secţiunile transversale). De asemenea se observă căo analiză elasto-plastică de ordinul al II-lea, bazată pe conceptul de articulaţieplastică punctuală cu formare instantanee, simulată cu programul NEFCADutilizând relaţiile de tip Ramberg-Osgood cu parametrii a=1, n=600, pentrumodelarea comportării elasto-plastice a secţiunilor, supraestimează, în toatesituaţiile studiate, încărcările limită de cedare, ajungând la valori cu 80% mai maripentru axa de inerţie maximă respectiv la valori cu 380% mai mari pentru axa deinerţie minimă, comparativ cu cele determinate cu programul NEFCAD dar careconsideră relaţiile 5.33-5.34 cu considerarea efectului tensiunilor reziduale,σrc=0,333σc, pentru modelarea neliniarităţii fizice a secţiunilor şi care se află intr-oconcordanţă bună (diferenţe mai mici de 5% în toate situaţiile) faţa de celedeterminate de White printr-o analiză la nivel de fibră.

În figura 6.26 sunt prezentate curbele de interacţiune sub forma adimensionalăN/Np-HL/2Mp obţinute cu programul NEFCAD în varianta formării articulaţiilorplastice (a=1, n=600) şi în varianta plastificării distribuite (rel. 5.33-5.34) cuconsiderarea tensiunilor reziduale (σrc=0,333σc) şi fără considerarea acestora(σrc=0). Pentru determinarea acestor curbe procesul de încărcare a cadrului esterealizat în două etape: prima, consideră doar încărcarea verticală N, monotoncrescătoare, până la o valoare constantă corespunzătoare unei fracţiuni din sarcinamaximă Np (Nlim), iar a doua etapă consideră doar încărcarea orizontală monotoncrescătoare H, pâna la atingerea colapsului (matricea de rigiditate globală astructurii devine singulară), (Hlim). Perechea (Nlim, Hlim) reprezintă încărcareaverticală respectiv orizonatală maximă, corespunzătoare unui echilibru stabil alcadrului. S-a analizat atât cazul încovoierii după axa de inerţie minimă cât şi cazulîncovoierii după axa de inerţie maximă. Se confirmă, şi prin intermediul acestuiexemplu, faptul că efectul tensiunilor reziduale faţă de axa de inerţie minimă estemai defavorabil decât în cazul solicitărilor de încovoiere cu compresiune după axade inerţie maximă, şi de asemenea diferenţe mai mari între curbele de interacţiuneobţinute în ipoteza articulaţiilor plastice faţă de cea a plastificării distribuite, înplanul de rigiditate minim faţă de cel maxim.

270

Fig. 6.25. Curbele comparative încărcare-deplasare laterală: (a) încovoire în planulde rigiditate maxim.

Fig. 6.25. Curbele comparative încărcare-deplasare laterală :(b) încovoiere înplanul de rigiditate minim.

NEFCAD l ifi

.

Fig. 6.26. Curbele de interacţiune N/Np-HL/2Mp pentru cadrul portal El-Zanaty : (a)încovoiere în planul de rigiditate maxim.

Fig. 6.26

271

. Curbele de interacţiune N/Np-HL/2Mp pentru cadrul portal El-Zanaty : (b)încovoiere în planul de rigiditate minim.

272

6.2.2.2 Cadrul cu două deschideri şi două nivele (Ziemian)

În figura 6.27. sunt prezentate caracteristicile geometrice şi de încărcare alecadrului cu două deschideri şi două nivele propus de Ziemian pentru calibrareaprogramelor de analiză avansată în cazul considerării unor caracterisici secţionaleşi materiale prevăzute de codul american de proiectare al structurilor metalice(Ziemian, 1992). Conexiunile de prindere ale barelor sunt considerate rigide, iarlegăturile stâlpilor cu terenul se realizează prin intermediul unor articulaţii. Cadruleste supus unor încărcări verticale (gravitaţionale), iar efectul imperfecţiunilorgeometrice sunt neglijate în analiză. Acest cadru a fost selectat de Ziemian, în urmaunor cercetări numerice anterioare efectuate de Iffland şi Birnstiel prezentate într-un raport asupra stabilităţii structurilor în cadre metalice în AISC (AmericanInstitute of Steel Construction, 1982).

În ananeliniarităformare inzonelor pltib "beammodelareaplastice, sfibră" în nforţele uniforţe conczonelor plfibre longicu cel utiZiemian p

Fig. 6.27. Caracteristicile cadrului Ziemian.

lizele efectuate de Ziemian s-au considerat două metode de modelare aţii fizice, cea bazată pe formarea articulaţiilor plastice punctuale şi custantanee (CU-STAND) şi cea bazată pe conceptul de formare graduală aastice (CU-SP2D). În primul caz s-au utilizat un număr de 4 elemente de-column" pentru modelarea grinzilor respectiv 2 elemente pentru stâlpilor, în timp ce în al doilea caz, cel bazat pe conceptul de zone-au facut o discretizare mult mai rafinată utilizând "elemente finite deumăr de 60 pentru fiecare gindă şi 50 de elemente pentru fiecare stâlp, iarform distribuite, atât într-un caz cât şi în celălalt au fost transformate înetrate în nodurile de discretizare astfel obţinute. Monitorizarea dezvoltăriiastice în secţiunile transversale s-a făcut printr-o discretizare a acestora întudinale şi transversale, utilizând un număr şi o dispunere de fibre identiclizat în cazul cadrului fermă. Factorul limită de încărcare obţinut derin analiza la "nivel de fibră" (CU-SP2D) a rezultat plim=1,01 care este cu

2,5% mai mare decât cel determinat de Clarke (M.J. Clarke, 1994), plim=0,985printr-o analiză similară, şi cu 0,1% mai mare decât cel determinat printr-o analizăbazată pe conceptul de articulaţie plastică (CU-STAND, plim=1,01).

În analiza elasto-plastică de ordinul al II-lea efectuată cu programul NEFCAD,în ipoteza formării de zone plastice, s-au considerat două distribuţii ale tensiunilorreziduale pe înalţimea secţiunii şi anume cele corespunzătoare prevederilornormelor european EC3 (tipul 1), şi american AISC-LRFD (tipul 2). De asemeneas-a analizat şi cazul în care efectul acestora este neglijat. Relaţiile constitutive σ-εconsiderate, ca şi în analizele efectuate de Ziemian şi Clarke, au fost cele prevăzutede EC3, elasto-plastic cu reconsolidare.

Fig. 6.28. Curipote

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0Deplasarea laterala, D1(m)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p

Cu tensiuni reziduale, tipul 1,Plim=1.01

Cu tensiuni reziduale, tipul 2,Plim=1.01

Fara tensiuni reziduale,Plim=1.02

1.2

273

bele încărcare-deplasare laterală obţinute cu programul NEFCAD înza dezvoltărilor zonelor plastice (analiza la nivel de fibră).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0Deplasarea laterala, D2(m)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p

Cu tensiuni reziduale, tipul 1,Plim=1.01

Cu tensiuni reziduale, tipul 2,Plim=1.01

Fara tensiuni reziduale,Plim=1.02

274

Fig. 6.29 Distribuţia procentuală a secţiunilor plastificate în lungul barelor.

În analiza efectuată cu programul NEFCAD s-a utilizat un singur elementpentru discretizarea barelor cadrului, iar integrarea numerică în lungul barelor s-aefectuat cu metoda Gauss-Lobatto, considerând un număr de 11 puncte deintegrare, secţiunile transversale din dreptul acestor noduri fiind acoperite de oreţea de puncte de integrare (Simpson) similară cu cea utilizată în cazul cadruluifermă, monitorizarea stării de tensiuni şi deformaţie din interiorul secţiunilorfacându-se în aceste puncte.

În figura 6.28 sunt prezentate curbele comparative încărcare-deplasare laterală,pentru cele două nivele ale cadrului, obţinute cu programul NEFCAD în ipotezaformării zonelor plastice, cu şi fără considerarea tensiunilor reziduale. Factoriilimită de încărcare obţinuti cu programul NEFCAD se află într-o perfectăconcordanţă cu cel determinat de Ziemian printr-o analiză similară la nivel de fibră.

Distribuţia procentuală a secţiunilor plastificate în lungul barelor obţinute cuprogramul NEFCAD, corespunzătoare factorilor limită de încărcare, în cele treiipoteze de analiză (cu considerarea tensiunilor reziduale, tipul 1 şi 2, respectiv fărăconsiderarea tensiunilor reziduale) este prezentată în figura 6.29. De asemenea suntprezentate procentele totale de plastificare în dreptul unor secţiuni, obţinute cuprogramul NEFCAD în cele trei ipoteze de calcul, precum şi cele obţinute deZiemian (CU-SP2D) şi Clarke, printr-o analiză similară.

De asemenea sunt prezentate poziţiile şi ordinea de formare a articulaţiilorplastice, în urma analizei efectuate de Ziemian cu programul CU-STAND, înipoteza formării de articulaţii plastice, constatându-se o concordanţă întredispunerea articulaţiilor plastice şi secţiunile cu procente ridicate de plastificare.

55.5(56.3)[43.2]{55.7}]43.7[

58.7(55.8)[60.2]{48.9}]51.7[

95.3(95.7)[95.3]{65.0}]97.8[

83.3(83.3)[83.3]{0.00}]59.6[

16.6(21.5)[0.0]{22.6}]16.0[

58.8(57.3)[57.8]{57.4}]59.5[

25.14(36.8)[11.5]{0.00}]18.1[

96.5(95.1)[96.2]{93.9}]83.9[

84.9(82.0)[78.5]{30.6}]66.9[ 96.9

(97.0)[96.8]{96.6}]98.3[

97.1(97.1)[97.0]{95.3}]98.3[

NEFCAD, tipul 1, plim=1,01NEFCAD, tipul 2, plim=1,01NEFCAD, σr=0, plim=1,02CU-SP2D, plim=1,01Clarke, plim=0,985

#1

#2

#3

#4

#5

#688.1(87.9)[87.9]{93.4}]80.8[

Fig. 6.

Curbobţinute secţiune,6.30. Şi integrareun număÎn urma

275

30. Curbele încărcare-deplasare laterală în ipoteza modelării neliniarităţiifizice la nivel de secţiune

ele încărcare-deplasare laterală, pentru cele două nivele ale cadrului,cu programul NEFCAD, în ipoteza modelării neliniarităţii fizice la nivel de pe baza relaţiilor analitice propuse 5.33-5.34, sunt prezentate în figuraîn acest caz s-a utilizat un singur element pentru discretizarea barelor, iara numerică în lungul elementelor s-a facut cu metoda Simpson aplicată per crescător de intervale până la atingerea criteriului de convergenţă impus. acestor analize se observă că factorul limită de încărcare, obţinut în

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-0.04 -0.03 -0.03 -0.02 -0.02 -0.01 -0.01 0.00

Deplasarea laterala, D1(m)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p

NEFCAD, rel. 5.33-5.34,plim=0,98

NEFCAD, a=1, n=35,plim=1,012

NEFCAD, a=1, n=600(art. plastice), plim=1,00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-0.03 -0.03 -0.02 -0.02 -0.01 -0.01 0.00 0.01Deplasarea laterala, D2(m)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p

NEFCAD, rel 5.33-5.34,plim=0,98

NEFCAD, a=1, n=35, plim=1,012

NEFCAD, a=1, n=600(art.plastice), plim=1,00

276

varianta modelării comportării elasto-plastice a secţiunilor pe baza relaţiilor de tipRamberg-Osgood cu parametrii a=1, n=35 este cu 0,2% mai mare (plim=1,012)decât cel determinat cu programele NEFCAD şi CU-SP2D printr-o analiză înipoteza dezvoltării zonelor plastice, iar factorul limită de încărcare obţinut învarianta modelării neliniarităţii fizice pe baza relaţiilor 5.33-5.34 (plim=0,98) estemai apropiat ca valore de cel determinat de Clarke (plim=0,985). De asemenea s-atrasat curba încărcare-deplasare laterală obţinută în cazul considerării următorilorparametri ai curbei Ramberg-Osgood, a=1, n=600, factorul limită de încărcarerezultând în acest caz plim=1,0 care este în perfectă corelare cu cel determinat deZiemian cu programul CU-STAND, în ipoteza formării de articulaţii plastice.

Influenţa numărului de elemente, utilizate la discretizarea barelor cadrului,asupra valorii factorului limită de încărcare a fost testată, efectuând o analizăconsiderând un număr de zece elemente pentru discretizarea fiecărei bare (stâlpilorşi grinzilor), parametrii curbei Ramberg-Osgood, consideraţi fiind a=1, n=35,constatându-se o diferenţă foarte mică (plim=1,005) faţă de cazul utilizării unuisingur element pe bară (plim=1,012), în ambele situaţii integrarea numerică înlungul elementelor realizându-se cu metoda Simpson-recursiv.

Sensibilitarea metodei şi a programului de calcul NEFCAD la metoda numericăde integrare utilizată pentru determinarea coeficienţilor de corecţie a fost deasemenea testată, în cazul unei analize ce modelează comportarea elasto-plastică asecţiunilor, prin intermediul relaţiilor Ramberg-Osgood cu parametrii a=1 şi n=35,considerând de asemenea barele structurii ca un singur element.

Fig. 6.31. Influenţa numărului de puncte Gauss-Lobatto asupra curbelor decomportare încărcare-deplasare laterală

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-0.03 -0.03 -0.02 -0.02 -0.01 -0.01 0.00Deplasarea laterala, D2(m)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, p

Simpson recursiv

Gauss-Lobatto, 9 puncte

Gauss-Lobatto, 7 puncte

Gauss-Lobatto, 5 puncte

Gauss-Lobatto, 3 puncte

În figura 6.31 sunt prezentate curbele comparative încărcare-deplasare lateralăobţinute în cazul utilizării metodei Simpson de integrare aplicată repetat pe unnumăr tot mai mare de subintervale până la atingerea preciziei impuse (diferenţadintre două evaluări succesive ale integralelor este mai mică decât toleranţa decalcul impusă, 1E-5), precum şi în cazul utilizării metodei Gauss-Lobatto,considerând un număr de 3, 5,7 şi 9 puncte de integrare în lungul barelor. Seconstată că pentru un număr de 9 puncte de integrare Gauss-Lobatto, curbaîncărcare-deplasare laterală se află într-o concordanţă foarte bună cu cea "exactă"determinată folosind metoda Simpson-repetat pentru calcularea coeficienţilor decorecţie, dar care utilizează un număr mult mai mare de puncte de integrare (pentrusatisfacerea preciziei impuse se ajunge în unele situaţii la necesitatea generarii unuinumar de 45 de puncte de integrare Simpson)

6.2.2.3. Cadrul cu o deschidere şi două nivele (Liew)

Caracteristicile geometrice şi de încărcare ale cadrului cu o deschidere şi douănivele, propus de Liew (Liew, 1992), pentru testarea şi calibrarea programelor deanaliză avansată, cu considerarea efectelor comportării neliniare ale conexiunilorsemirigide, sunt prezentate în figura 6.32. Imperfecţiunile geometrice globale alecadrului, considerate în analizele ce vor fi efectuate în continuare, sunt deasemenea prezentate în figura 6.32, introducerea acestora în analiză efectuându-seprin modificarea configuraţiei geometrice iniţiale (fără imperfecţiuni geometrice).Încărcările aplicate asupra cadrului sunt forţele uniform distribuite de la cele douănivele, amplificate cu coeficientul de încărcare 1.4.

CaracteristicRi0=107832

277

Fig. 6.32 Cadrul Liew

ile conexiunilor semirigide pentru cele două niveluri sunt: C-3/4:,2 kNm/rad, Mu=200,4 kNm, n=0,80; C-1/2: Ri0=23275,59 kNm/rad,

278

Mu=92,00 kNm, n=1,57. Pentru a modela comportarea neliniară a conexiunilor s-aconsiderat relaţia moment-rotire, după (J.Y.R., Liew s.al. 1993), cu parametriicorespunzători conexiunilor prezentate mai sus (Ri0, rigiditatea iniţială a conexiunii,Mu-momentul ultim al conexiunii, n parametrul de formă). Curbele comparativeîncărcare-deplasare laterală pentru cele două nivele ale cadrului, obţinute cuprogramul NEFCAD şi cu programul PHINGE (Liew, 1992) sunt prezentate înfigura 6.33.

Fig. 6

Proconcepunui anla stadintegracalibraaproxim(v. caconsidbaza fucoordoprogrape bazreziduaconsidremodegenera

.33. Curbele încărcare deplasare-laterală în cazul modelării forţelor uniformdistribuite ca forţe concentrate în noduri (4 elemente pe grinzi)

gramul PHINGE (Liew, 1992), modelează neliniaritătea fizică, pe bazatului de articulaţie plastică punctuala cu formare graduală, corespunzătorumit stadiu intermediar de pătrundere a plastificării în secţiune, pornind deiul perfect elastic şi ajungând la stadiul limită corespunzător plastificăriile a secţiunii, pe baza unor relaţii analitice de tip parabolic, deduse prinre. Plastificarea distribuită din lungul barei este surprinsă în mod

ativ în calcul, pe baza conceptului de modul tangent de elasticitate, Et-CRCp. 2). Efectul neliniarităţii geometrice locale şi globale este luat înerare, în programul PHINGE, corectând coeficienţii matricei de rigiditate pencţiilor de stabilitate, respectiv reactualizând la fiecare treaptă de încărcarenatele şi lungimile barelor structurii (v. cap.2). În analiza efectuată cumul NEFCAD, modelarea comportării elasto-plastice ale secţiunilor s-a făcuta relaţiilor analitice aproximative 5.33-5.34 considerând efectul tensiunilorle, σrc=0,333σc. Întrucât modelul utilizat de programul PHINGE, nu poate

era forţe distribuite în lungul barei, forţele uniform distribuite au fostlate şi transformate în forţe concentrate echivalente în nodurile adiţionale

te în lungul grinzilor (4 elemente pe grinda, 5 noduri). În analiza efectuată cu

279

programul NEFCAD modelarea cadrului s-a facut în doua variante, prima similarăcu cea efectuata de Liew, în programul PHINGE (4 elemente pe grinzi, 1 elementpe stâlpi fig. 6.33), şi cea de-a doua care consideră fiecare bară a cadrului ca unsingur element (fig. 6.34).

Se constată o foarte buna concordanţă între curbele încărcare-deplasare laterală,precum şi între factorii limită de încărcare obţinuţi cu cele două programe, valoareafactorului limită de încărcare obţinută cu programul NEFCAD (plim=1,103) fiind cu0,65% mai mare decât cea obţinută de Liew cu programul PHINGE (plim=1,096).

În figura 6.34 sunt prezentate curbele încărcare deplasare laterală obţinute cuprogramul NEFCAD, considerând trei moduri de comportare a conexiunilor deprindere ale grinzilor în noduri, şi anume: rigida (Ri0=∞), şi semirigidă cucomportare liniară respectiv neliniară, iar în figura 6.35 sunt prezentate diagramelede momente încovoietoare corespunzătoare acestor cazuri de comportare aconexiunilor, la valoarea 1.0 a factorului de încărcare. În figura 6.35 esteprezentată, de asemenea, poziţia şi ordinea de apariţie a articulaţiilor plastice,obţinute cu programul PHINGE.

Se constată o creştere a valorii încărcării limită în cazul considerării nodurilorrigide (plim=1,18), respectiv semirigide cu comportare liniară (plim=1,178), faţă decazul considerării comportării neliniare a conexiunilor semirigide (plim=1,103). Deasemenea se înregistrează diferenţe semnificative (cu pâna la 50%), în cele treisituaţii, între valorile momentelor încovoietoare de pe grinzi.

6.3. CONSIDERAŢII PRIVIND ANALIZELE EFECTUATE PESTRUCTURILE DE CALIBRARE PLANE

Rezultatele obţinute sunt relevante pentru performanţele programului de calculNEFCAD elaborat pe baza algoritmului propus şi evidenţiază elocventsensibilitatea metodei de calcul propuse în surprinderea efectelor neliniarităţiimateriale în cele două variante de considerare a plastificării distribuite (zoneplastice) (modelarea neliniarităţii la nivel de fibră respectiv la nivel de secţiune pebaza relaţiilor aproximative M-N-Φ, N-M-ε), a celei geometrice, a prinderilorsemirigide atât în varianta de comportare liniară cât şi a celei neliniare ca şi aimperfecţiunilor geometrice şi mecanice (tensiuni reziduale).

Referindu-ne la rezultatele obţinute utilizând structurile de calibrare europenepropuse de ECCS (Vogel, 1985) şi cele americane (Chen, Toma, 1994) se constatăo bună concordanţă între metoda prezentată în lucrare şi cele de referinţă, atâtpentru valoarea încărcării limită şi curbele de comportare cât şi pentru momenteleîncovoietoare şi forţele axiale, respectiv procentele de plastificare ale secţiunilor.Faţă de majoritatea lucrărilor de referinţă din literatura de specialitate, prezentapropunere consideră un model de comportare elasto-plastică cu formarea de zoneplastice, evitând însă, discretizarea exagerată a barelor structurii, specifică metodeielementelor finite, prin considerarea fiecărei bare ca un singur element, reducândsensibil memoria şi timpul de calculator solicitat, precum şi volumul calculelor.

280

Fig. 6.34. Curbele încărcare-deplasare laterală obţinute cu programul NEFCADconsderând diferite moduri de comportare a conexiunilor de prindere ale grinzilor

(1 element pe grindă).

Fig.

Calide tip Rcurbură comparaconstat ccomporta=1 şi nefectelora=1 şi articulaţirelaţiilorsecţiunil(diferenţEfectul transversdeosebirconducâexecuţiea secţiuna progra

Cu p

281

6.35. Diagrama de momente încovoietoare la factorul de încărcare 1,0(1,4 x Încărcarea gravitaţională)

brarea curbelor de comportare elasto-plastică în secţiune, moment-curbură,amberg-Osgood, respectiv a relaţiilor moment încovoietor-efort axial-

propuse, s-a făcut prin modificarea parametrilor de formă a acestora şirea curbelor încărcare-deplasare laterală rezultate, cu cele de referinţă. S-aă, în cazul utilizării unor relaţii de tip Ramberg-Osgood, pentru modelareaării elasto-plastice a secţiunilor, se obţine o modelare acceptabilă pentru=35 faţă de modelul bazat pe conceptul de zone-plastice, cu considerarea de reconsolidare ale materialului, şi în cazul considerării unor parametriin>300 se obţine o modelare apropiată de modelul bazat pe formareailor plastice punctuale cu formare instantanee. De asemnea prin utilizarea analitice 5.33-5.34 pentru modelarea comportării elasto-plastice aor, se obţine o modelare foarte apropiată de modelul zonelor plasticee sub 5%), fără considerarea efectului de reconsolidare a materialului.dezvoltărilor zonelor plastice şi a tensiunilor reziduale în secţiunileale este surprins în mod aproximativ în cele două modele analitice, spree de analizele ce modeleaza neliniaritatea fizică la nivel de fibră,nd însă la o micşorare considerabilă a timpului de analiză. Durata de a programului NEFCAD, în varianta modelării comportării elasto-plasticeilor pe baza acestor relaţii analitice fiind de circa 200 de ori mai mic decâtmului CU-SP2D (zone-plastice).rivire la analizele elasto-plastice de ordinul al II-lea efectuate utilizând

282

structurile de calibrare europene şi americane în cele doua variante de modelare aleneliniarităţii fizice, cea bazată pe conceptul de articulaţie plastică respectiv înipoteza plastificării distribuite, se pot formula următoarele concluzii:

1. În cele mai multe dintre situaţii, modelul articulaţiilor plastice,supraestimează capacitatea de rezistenţă şi stabilitate a structurilor, maicu seamă în cazul unor structuri în care eforturile axiale decompresiune sunt puternice, unde diferenţa faţă de modelul plastificăriidistribuite poate ajunge la valori de 80% în cazul considerăriiîncovoierii în planul de rigiditate maxim şi 380% în cazul încovoieriiîn planul de rigiditate minim.

2. Tensiunile reziduale, nu influenţează în mod hotărâtor asuprafactorului limită de încărcare, atât timp cât efortuile axiale din baresunt neglijabile. Efectul lor devine important odată cu creştereaeforturilor axiale din bare, conducând la o micşorare a factorului limităde încărcare cu pâna la 80% faţă de cazul neglijării acestora.

3. În cazul unor solicitări de încovoiere cu efort axial după axa de inerţieminimă, efectul tensiunilor reziduale asupra comportării elasto-plasticea structurii este mai defavorabil, în comparaţie cu cazul unor solicităridupă axa de inerţie maximă.

6.4. TESTĂRI NUMERICE PE STRUCTURI ÎN CADRE SPAŢIALE

6.4.1 Cadrul spaţial cu şase nivele şi două deschideri (Orbison, 1982)

În figura 6.36 sunt prezentate caracteristicile geometrice, secţionale şi deîncărcare pentru cadrul spaţial cu şase nivele şi două deschideri propus de Orbison(Orbison, 1982) pentru calibrarea programelor de analiză elasto-plastică de ordinulal II-lea. Nodurile cadrului sunt considerate rigide iar legăturile cu terenul suntconsiderate de tip încastrare. Cadrul se consideră fără imperfecţiuni geometrice.Structura este alcătuită din profile metalice de tip I având modulul de elasticitatelongitudinal E=206850 MPa, modulul de elasticitate transversal G=79293 MPa, iarvaloarea tensiunii de iniţiere a curgerii este considerată σc=250 MPa. Structura estesupusă acţiunii combinate a unor încărcări laterale de tip vânt uniform distribuită peîntreaga înalţime a structrii precum şi încărcărilor gravitaţionale uniform distribuitepe fiecare nivel.

Încărcarea gravitaţională uniform distribuită pe nivel având intensitatea de 9.6kN/m2 este echivalată în încărcări distribuite pe lungimea grinzilor de nivelrezultând valorile din Fig.6.36c. Încărcările laterale sunt considerate ca acţionândpunctual, pe direcţia Y a cadrului, în nodurile de îmbinare grindă-stâlp avândvaloarea de 53.4 kN, (Fig. 6.36c). Încărcările gravitaţionale şi cele laterale suntaplicate proporţional pe structură.

F

Percalcul specialpunctu(Orbisoşi Kimgraduaconsideutilizarplasticătensiunde anabarelorplasticedeformplasticeinelastideform

Y (a)

ig. 6.36. Caracteristicile geoemetrice, secspaţial Orbiso

formanţele metodei de calcul propuse dNEFCAD realizat sunt comparate cu reitate. În ipoteza plastificării concentratale cu formare instantanee, structurn,.s.al. 1982) şi Liew (Liew, s.al., 2000) (Kim, s.al., 2001) au utilizat modele nlă a secţiunilor din lungul barelor. Morare plastificarea graduală a secţiunilea aşa numitei articulaţii plastice cu for a secţiunilor fiind monitorizată la nivel e-deformaţie cu luarea în considerare a liză a lui Jiang este unul bazat pe mod, şi utilizarea teoriilor de curgere plastică a secţiunilor din lungul elementului aţie (σ-ε) utilizată este cea corespunzăto, fără reconsolidare. În metoda de calccităţii se face atât la nivel de scţiuaţie de tip Ramberg-Osgood coroborate

7

.315

m

7.315m 7.315m

W 1

2x53

W 1

2x87

W 1

2x53

W 12x26 W 12x26

W 12x26 W 12x26

X

A

Y

X

Z

H

= 6

x 3

.658

m =

21.

948m

W12

x87 W12

x87

W12

x120

W12

x120

W10

x60

W10

x60

W12

x87

W10

x60

W12

x87

W10

x60

(b) (c)

283

ţionale şi de încărcare ale cadruluin.

e autor precum şi a programului dezultatele prezentate în literatura dee sub forma articulaţiilor plasticea a fost analizată de Oribison în timp ce Jiang (Jiang, s.al., 2002umerice ce consideră plastificareadelul de analiză a lui Kim ia în

or de capat ale elementelor prinmare graduală, comportarea elasto-de fibră utilizând relaţii constitutiveefectului de reconsolidare. Modelulelarea în elemente finte de fibră a la determinarea comportării elasto-finit. Relaţia constitutivă tensiune-are unei comportări elastic perfect

ul pe care o propunem, modelareane prin utilizarea relaţiilor efort-cu relaţiile de intercaţiune N-My-Mz

35.2

53.4kN 53.4 kN 53.4kN

17.6

17.6kN/m 17.6

17.6 17.6

17.6

284

de tip Orbison (v. cap.2), cât şi la nivel de fibră, prin utilizarea relaţiilorconstitutive tensiune-deformaţie elastic-perfect plastic. Toate modelele de analiză,mai sus menţionate, includ efectele neliniarităţii geometrice în raspunsul global alstructurii. Efectul deformaţiilor de lunecare asupra rigidităţii de ansamblu astructurii este de asemenea luat în considerare.

Fig.6.37. Curbele încărcare-deplasare la nodul A în direcţia Y.

R-O, n=300

R-O, n=30

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00

Deplasare [cm]

Fact

orul

de

inca

rcar

e

Nefcad, fara efectul def. de lunecareNefcad,cu considerarea efectului def. de lunecareElemente finite (Jiang)Articulatie plastica cu formare graduala (Kim)

1.2

Fig. 6.38. Curbele încărcare-deplasare la nodul A în direcţia X.

R-O n=30

R-O, n=300

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-20 -15 -10 -5 0Deplasari [cm]

Fact

orul

de

inca

rcar

e

Nefcad, fara efectul def. de lunecareNefcad, cu considerarea efectului def. de lunecareElemente finite (Jiang)

285

În metoda de calcul propusă (NEFCAD) s-a utilizat un singur element pentrumodelarea barelor structurii. Integrarea numerică în lungul barei s-a făcut cumetoda Gauss-Lobatto, utilizând un număr de 7 puncte de integrare. În cazulmodelării inelasticităţii la nivel de fibră, integrarea tensiunilor şi eforturilor pesecţiune s-a efectuat aplicând tehnica integrării pe contur. Curbele comparativeîncărcare-deplasare laterală, pentru nodul A (Fig. 6.36), obţinute cu programulNEFCAD (modelarea inelasticităţii la nivel de secţiune pe baza relaţiilor analiticeefort-deformaţie de tip Ramberg-Osgood, (a=1, n=30 şi n=300), precum şi cuprogramele elaborate de Kim, şi Jiang sunt prezentate în figurile 6.37 şi 6.38.Efectul deformaţiilor de lunecare asupra răspunsului neliniar global al strcuturiipoate fi observat de asemenea în Fig.6.37. Se poate constata o foarte bunăconcordanţă între curbele de răspuns furnizate de programul NEFCAD şi cele dereferinţă. De asemea, în Tabelul 6.1 sunt prezentate sintetic modelele de analizămai sus menţionate şi factorii limită de încărcare obţinuti. Este important demenţionat faptul că, în modelul bazat pe elemente finite de fibră, Jiang ş.al. 2002,convergenţa este asigurată doar prin utlizarea a unui număr de cel puţin 9 elementefinite pe bară, ceea ce conduce la un timp de calcul foarte ridicat. După cum sepoate observa analiza neliniară NEFCAD, în varianta alegerii parametrilor curbeiRamberg-Osgood (a=1, n=300), conduce la un factor limită de cedare a structuriifoarte apropiat de cel furnizat de analizele efectuate de Liew şi Orbison (articulaţieplastică) şi Jiang (zone plastice). Aceasta se datorează faptului că datorităconformarii structurale şi a încărcărilor, zonele plastice sunt concentrate doar lacapetele barelor.

Acest lucru se poate observa şi din Fig. 6.39 unde este prezentată distribuţiaprocentuală a zonelor plastice pe structură obţinute cu programul NEFCAD învarianta modelării inelasticităţii la nivel de fibră. Cu toate acestea soluţia obţinutăcu programul NEFCAD în varianta n=30 este apropiată de cea dată de Kim (Kim,ş.al., 2001) unde efectul de reconsolidare al materialului a fost luat în considerare(Fig. 6.37-6.38).

Figura 6.39 prezintă rezultatele analizei obţinute cu programul NEFCADcorespunzătoare colapsului structural (matrice de rigiditate singulară) în variantamodelării inelasticităţii la nivel de fibră: diagramele de momente încovoietoare(Fig.6.39a), distribuţia procentuală a zonelor plastice pe structură (Fig.6.39b),configuraţia deformată a structurii (Fig.6.39c), curbele încărcare deplasare lateralăîn direcţia Y pentru nodul A (Fig. 6.39d). De asemenea curbele comparative aleanalizei prin metoda propusă şi implementată în aplicaţia NEFCAD şi cea obţinutăde Jiang sunt prezentate în Fig.6.39d, observânu-se o foarte bună corelare. Deasemenea, răspunsul structurii sub forma curbei încărcare deplasare lateralăobţinută în varianta modelării inelasticităţii secţionale cu relaţia propusă de autor(v. cap.5., rel. 5.40) cu următorii parametrii de formă: α=2, p=0.0001 esteprezentată în Fig. 6.39d. Se poate constata o excelentă corelare cu rezultatelefurnizate de analiza la nivel de fibră. De menţionat faptul că analiza acesteistructuri, pe un calculator Pentium III la 733 MHz în varianta modelăriiinelasticităţii la nivel de fibră a durat cca 12 minute în timp ce acceaşi analiză dar

2

în varianta modelării inelasticităţii la nivel de secţiune prin utlizarea relaţiiloranalitice efort-deformaţie a durat doar 40 de secunde. Lucrările de referinţă studiatenu oferă date comparative cu privire la acest aspect.

În figura 6.40 se prezintă comparativ efectele conexiunilor flexibile, în variantacomportării liniare respectiv neliniare, modelul celor trei parametri (Kishi&Chen,1986) asupra răspunsului global al structurii, considerându-se cazul unor legăturiflexibile pe direcţiile momentelor încovoietoare faţă de axa de încovoiere majoră agrinzilor cu următoarele caracteristici: (1) în cazul în care conexiunea grindă-stâlpse realizează faţă de axa de încovoiere majoră a stâlpului, factorul de fixare g=0.86,momentul încovoetor ultim Mu=300kNm, parametrul de formă, n=1.57; (2) în cazulîn care conexiunea grindă-stâlp se realizează faţă de axa de încovoiere minoră astâlpului, factorul de fixare p=0.86, momentul ultim de încovoiere Mu=200kNm,parametrul de formă n=0.86. Pe direcţiile celorlalte eforturi legăturile se considerăperfect rigide. De asemnea este studiat şi efectul de şaibă rigidă (Chiorean&Bârsan,2005b) a planşeelor asupra răspunsului neliniar al structurii. În aceste exemplemodelarea neliniarităţii de material a structurii s-a facut considerând curbelemoment-curbură de tip Ramberg-Osgood cu următorii parametri: a=1, n=35. Pentruaceste cazuri lucrările de referinţă studiate nu oferă date comparative. Dinrezultatele obţinute şi prezentate sintetic în Fig. 6.40 sub forma curbelor încărcaredeplasare laterală la punctul A în direcţia X se observă că efectul de şaibă rigidăschimbă în mod radical răspunsul structurii în domeniul post-critic de comportareatât în varianta unor conexiuni rigide cât şi în varianta unor conexiunui semi-rigidede prindere ale barelor în noduri. De asemnea pentru structura studiată factorullimită de încărcare a rezultat cu cca. 12% mai mare în cazul în care în analiză seţine seama de efectul de şaibă rigida a planşeelor, faţă de cazul în care acest efectnu este luat în considerare.

86

Fig. 6.39. Analiza

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.0

Fact

orul

de

inca

rcar

e

(a) Diagramele de momenteîncovoietoare

(c) Deformata structurii (d

la niv

0 5.

) Curb

(b) Distribuţia procentuală azonelor plastice pe structura

287

el de fibră.

00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00

Deplasare [cm]

Nefcad,relatii M-Phi propuse

Elemente finite (Jiang)

Nefcad, modelarea inelasticitatii la nivel de fibra

ele încărcare deplasare laterală

288

Fig. 6

6.4.2

Strucspaţial ccalibrareîn figuraelasticitaσc=344.8gravitaţişi presiumodelatăcadrului

ÎncăgrinzilorPentru cprezentas.al., 200exempluplastice, elementede încărmodelul

1.2

.40. Efectul conexiunilor semi-rigide şi a şaibei rigide asupra răspunuluineliniar al cadrului spaţial Orbison.

Cadrul spaţial cu 20 de nivele şi trei deschideri (Liew)

tura, caracteristicile geometrice, secţionale şi de încărcare pentru cadrulu 20 de nivele şi trei deschideri propus de Liew (Liew, s.al., 2000) pentrua programelor de analiză elasto-plastică de ordinul al II-lea sunt przentate 6.41. Carcateristicile de material utilizate în analiză sunt: modulul dete longitudinal E=2×105 N/mm2, tensiunea de inţiere a curgeriiN/mm2. Structura este supusă acţiunii combinate a unei încărcări

onale uniform distribuite pe fiecare nivel având intensitatea de 4.8 kN/m2

nii vântului pe direcţia Y a cadrului. Încărcarea laterală, din vânt, este în forţe concentrate în nodurile de îmbinare grindă stâlp în direcţia Y arezultând valorile din Fig.6.41c.rcarea gravitaţională este echivalată în încărcări distribuite pe lungimea longitudinale şi transversale de nivel rezultând valorile din Fig. 6.41c.ompararea rezultatelor programului NEFCAD s-au utilizat rezultatele

te în literatura de specialitate de Liew (Liew, s.al., 2000) şi Jiang (Jiang2). Modelele numerice utilizate în aceste lucrări au fost descrise în cadrullui anterior. În modelul Liew bazat pe conceptul de formare a articulaţiilorstâlpii cadrului au fost modelaţi cu un sigur element de bară în timp ce 4 de bară au fost utilizate la modelarea grinzilor. Valoarea factorului limită

care, corespunzător colapsului structural, obţinut de Liew fiind 1.031. Înde analiză bazat pe utilizarea elementelor finite de fibra Jinag ş.al. 2002,

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Deplasare [cm]

Fact

orul

de

inca

rcar

e

Fara efectul de saiba rigida

Cu considerarea efectului de saiba rigida

Noduri semi-rigide, comportare neliniară Noduri semi-rigide, comportare liniară Noduri rigide

fiecare bară a structurii a fost discretizată în 8 elemente de fibră, inelasticitatea dematerial fiind evaluată la nivel de fibră utilizând relaţii constitutive tensiune-deformaţe cu comportare elastic-perfect plastic. Valoarea factorului limită deîncărcare raportat fiind 1.00.

Fig.

ÎelemconsLobarelaţprecformpropparaCore

6.41. Caracteristicile geometrice, secţional

n modelul de analiză propus, barele struent, monitorizarea plastificării distribuite iderată prin disunerea a unui număr de 11tto. Comportarea elasto-plastică a secţiunil

iilor constitutive efort-deformaţie la niveum şi cele propuse de autor (v. cap.5, rea α=2, p=0.0001. Curbele de interacţiune use de Orbison (Orbison, s.al.,1982). În ametrului de formă a curbei Ramberg-Osgospunzător celor două valori ale parametrul

H =

20

x 3.

658m

73.16

m

W8x31

W10x60

W12x87

W12x106

W 14x132( Secţiu

ni st

âlpi

)

W 14x145

W 14x159

W 14x176

W12x26

W16

x36

W

21x5

7

W12x26

W

21x5

7

W12x26

W16

x36

W12x26

W12x26

W16

x36

W12x26

W16

x36

W12x26

7.315m 7.315m 7.315m

7.315

m 7

.315

m

Nodul A

Nodul B

8.8

289

e şi de încărcare ale structurii Liew.

cturii sunt modelate cu un singurîn secţiunile din lungul barei fiind puncte de integrare de tip Gauss-or este luată în calcul prin utlizareal global de tip Ramberg-Osgood,l. 5.40) cu următorii parametrii debiaxiale N-My-Mz utilizate sunt celecest sens s-au ales două valori aleod şi anume n=30 respectiv n=300.ui n s-au obţinut următoarele valori

12.9kN 25.8 kN 25.8kN 12.9 kN

8.8

8.8kN/m

17.6 17.6

8.8

8.8

8.88.8

17.6

8.8 8.8 8.8

(c)

290

ale factorului limită de încărcare, corespunzător colapsului structural (matrice derigidate singulară): pentru n=300 valoarea factorului limită de încărcare este 1.005,respectiv 1.062 pentru cazul n=30. Curbele comparative încărcare-deplasarelaterală la nodurile A şi B ale structurii (Fig.6.41) pe direcţia Y de acţiune aîncărcării laterale sunt prezentate în Fig. 6.42. În varianta modelării neliniarităţii dematerial în baza relaţiei (5.40) moment-curbură propuse în capitolul 5 al cărţii arezultat următorul factor limită de încărcare 1.012 iar curba încărcare deplasarelaterală pentru nodurile A şi B comparativ cu cea obţinută printr-o analiza la nivelde fibra este prezentată în Fig. 6.43.

Fig. 6.42. Curbele încărcare-deplasare la nodurile A şi B în direcţia Y.

Fig. 6.43. Curbele încărcare deplasare la nodul A.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 50 100 150Deplasare [cm]

Fact

orul

de

inca

rcar

e

Elemente finite(Jiang), plim=1.00

Nefcad, relatii moment-curburapropuse, plim=1.012

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 50 100 150 200Deplasari [cm]

Fact

orul

de

inca

rcar

e

Jiang s.al.-elemente finite de fibraNefcad, n=300Nefcad, n=30Liew s.al.-articulatii plastice

Nodul B Nodul A

Se constată o bună concordanţă între curbele de răspuns obţinute cu programulNEFCAD şi cele de referinţă. Rulând programul NEFCAD pe un calculatorPentium III la 733 Mhz, analiza a durat cca 6 minute care este de cca 200 de orimai mic decât cel necesitat pentru efectuarea analizei în metoda elementelor finiteJiang. s.al. 2002.

6.4.3 Cadrul spaţial cu 2 nivele şi o deschidere (Vogel şi Maier 1987)

În figura 6.44 sunt prezentate caracteristicile geometrice şi de încărcare alecadrului cu două nivele şi o deschidere propus de Vogel şi Maier (Vogel&Maier,1987), pentru testarea performanţelor modelelor de analiză neliniară. Conexiunilede prindere ale barelor sunt considertae rigide, iar legăturile stâlpilor cu terenul serealizează prin intermediul unor încastrări.

Fig. 6.44.

Structurmaterial: melasticitate σc=24830Nbazat pe me

291

Caracteristicile geometrice şi de încărcare ale cadrului Vogel&Maier.

a este alcătuita din profile W14x43 cu următoarele caracteristici deodulul de elasticitate longitudinal E=210x105N/cm2, modulul detransversal G=80x105N/cm2, tensiunea de iniţiere a curgerii

/cm2. Structura a fost analizată de Vogel şi Maier utilizând un modeltoda elementelor finite de fibră şi utilizarea teoriilor de curgere plastică

287.76cm

287.76cm287.76cm

292

(c) Dia

Fig.6.45. Rezultatele ana

(a) Distribuţia procentuală azonelor plastice pe structură

(b) Deformata structurii

Cedareastâlpului

Secţiuni completplastificate

gramele de momente încovoetoare

lizei neliniare corespunzătoare încărcării de colaps.

în modelarea comportării elato-plastice ale secţiunilor. Relaţia constitutivătensiune-deformaţie fiind una de tip elastic-perfect plastic. Valoarea parametruluide încărcare F (Fig.6.44) obţinut de Vogel şi Maier corespunzătoare colapsuluistructural fiind F=192.85kN.

Utilizând aplicaţia NEFCAD, structura a fost analizată în varianta modelăriiinelasticităţii la nivel de secţiune pe baza relaţiilor analitice (5.40) propuse de autorîn cadrul capitolului 5. De asemenea s-a efectuat o analiză în care neliniaritatea dematerial a fost modelată la nivel fibră cu considerarea unor relaţii constitutive σ-εelastic-perfect plastic. Efectele neliniarităţii geometrice locale şi globale fiind luateîn considerare în ambele modele. Un singur element s-a utilizat la discretizareabarelor structurii şi un număr de 13 puncte de integrare numerică Gauss-Lobatto înlungul barei.

coremodpe sde nodnelirespfigu

293

Fig. 6.46. Curbele comparative încărcare-deplasare.

Figura 6.46 prezintă rezultatele analizei efectuate cu programul NEFCADspunzătoare colapsului structural (matrice de rigiditate singulară) în variantaelării inelasticităţii la nivel de fibră: distribuţia procentuală a zonelor plasticetructură (Fig.6.45a), configuraţia deformată a structurii (Fig.6.45b), diagramelemomente încovoietoare (Fig.6.45c). Curbele încărcare-deplasare laterală laul A în direcţia X obţinute cu aplicaţia NEFCAD în varianta modelăriiniarităţii de material pe baza relaţiilor analitice efort-deformaţie propuse,ectiv cu cea obţinută de Vogel şi Maier, sunt prezentate pentru comparaţie înra 6.46. Valoarea de referinţă a forţei F fiind Fr=190 kN. Se poate observa o

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6Deplasare in directia X (cm)

Fact

orul

de

inca

rcar

e, F

/Fr

Nefcad, plim=1.001Vogel-zone plastice, plim=1.015

2

foarte bună corelare între rezultatele obţinute de aplicaţia NEFCAD cu cea dereferinţă (Vogel&Maier, 1987).

6.4.4 Analiza de tip "pushover" pentru o structură în cadre spaţială dinbeton armat

Aplicaţia NEFCAD dezvoltată pe baza metodei descrise în cadrul capitolului 5reprezintă un sistem de calcul complet integrat ce conţine pe lângă modulul deanaliză statică neliniară şi cel de analiză dinamică modală, funcţii complexe deevaluare a performanţei seismice a structurilor în cadre plane şi spaţiale.Principalele carcateristici care dau valoare deosebită aplicaţiei dezvoltate, cuaplicabilitate directă la analiza de tip pushover a structurilor din beton armat, sunt:(1) modelarea plastificării distribuite a elementelor structurale cu modelareainelasticităţii la nivel de fibră, considerând relaţii constitutive σ-ε pentru fiecarematerial constituent al secţiunii (beton cu diferite grade de confinare, oţel cu saufără considerarea reconsolidării); (2) considerarea efectelor neliniarităţii geometricelocale şi globale cu posibilitatea studiului în domeniul post critic de comportare; (3)analiză modală 3D; (4) evaluarea forţelor seismice corespunzătoare modurilornormale de vibraţie ale structurii; (5) determinarea deplasării ţintă (targetdisplacement); (6) funcţii complexe de evaluare a proprietăţilor de rezistenţă şideformaţie a elementelor structurale.

• Spectrul elastic de raspuns: Tipul 1• Tipul terenului: Tipul A• Acceleratia terenului de proiectare:

PGA=0.3g• Masa:40(80) tone pe nivel

Nodul decontrol (A)

94

Fig.6.47. Studiul de caz. Structura în cadre spaţială din beton armat.

60 x6030 x50

Hnivel=3.658m

S1

G1

deSaMrpsl

dtcuc

Modul 1-Transversal (T=1.5s)

Masa modala efectivas=75%

Forţa tăietoare de bază=349 kN

Modul 1-Longitudinal (T=1.27s)

Masa modala efectiva=82%

Forţa tăietoare de bază=483kN

295

Fig.6.48. Evaluarea şi distribuţia forţelor seismice de nivel.

Un exemplu de calcul complet, conform cu prevederile normativului europeane analiză şi proiectare seismică a structurilor EC8, este prezentat în continuare,xemplificând etapele de aplicare a analizei statice neliniare de tip "pushover".tructura propusă, Fig. 6.47, o structură în cadre spaţială din beton armat, estenalizată luând în considerare neliniaritatea geometrică şi cea de material.odelarea inelasticităţii se face în două variante, la nivel de "fibră" considerând

elaţiile constitutive neliniare pentru beton şi armătură respectiv la nivel de secţiunerin considerarea relaţiilor neliniare moment-curbură. La discretizarea barelortructurii este utilizat un singur element cu 11 puncte de integrare Gauss-Lobatto înungul elementului.

Configuraţia geometrică şi distribuţia pe verticală a forţelor seismice rezultatăin analiza modală pentru modul 1 de vibraţie, pe directiile longitudinal respectivransversal structurii, sunt prezentate în Fig. 6.48. Încărcarea gravitaţionalăorespunzătoare unei încărcări de nivel de 4.8kN/m2 se consideră aplicată ca forţăniform distribuita pe grinzile de nivel. Masa sistemului se conideră punctuală fiindoncentrată în nodurile structurii, luând în considerare toate cele 6 grade de

Forţa tăietoare de bază:• Direcţia transversală: Sz=349kN• Direcţia longitudinală: Sx=483kN

296

libertate dinamică asociate unui nod al structurii. Distribuţia pe verticală a forţelorseismice pe structură se consideră cea rezultată din analiza modală. Forţeleseismice sunt aplicate punctual în nodurile structurii pe direcţiile principale aleacesteia. Încărcările gravitaţionale corespunzătoare unei grupări seismice de calculse consideră constante. Astfel, încărcarea este aplicată pe structură în doua etape,întro-primă etapă sunt aplicate forţele gravitaţionale după care intensitatea acestoraeste menţinută constantă, urmând ca în următoarea etapă să fie aplicate continuucrescător forţele laterale de tip seismic, distribuţia acestora pe înalţimea structuriipastrându-se de asemenea constantă.

Pentru construirea curbei forţă-deplasare pentru nodul de control A din vârfulstructurii (Fig. 6.47) se va efectua o analiză neliniară în care se va ţine seama atât

de neliniaritatea fizică cât şi de neliniaritatea geometrica, respectiv de influenţamărimii deplasărilor şi eforturilor structurii. Modelarea elasto-plastică a secţiunilorva fi efectuată în doua variante, una în care inelasticitatea materialului semodelează la nivel de "fibră" pe baza relaţiilor constitutive pentru oţel şi betonprecum şi de modul real de de alcătuire al secţiunii, şi a doua, pe baza relaţiiloraproximative moment-curbură de tip Ramberg-Osgood, cu parametrul de formăn=600 (elastic-perfect plastic). Integrarea numerică a tensiunilor pe secţiuneefectuându-se cu metoda descrisă în cadrul capitolului 4. Pentru determinareacurbelor de interacţiune N-My(Mz) corespunzătoare celor două direcţii deîncovoiere, se va utiliza aplicaţia ASEP (v. capitoul 4). Mai departe, pentrudeterminarea unei relaţii analitice de interacţiune plastică, curbele de interacţiunedeterminate printr-o analiză la nivel de fibră, vor fi aproximate prin intermediulunor funcţii polinomiale de gradul 3. În final, suprafaţa de interactiune seaproximeaza prin relaţia dată în Tabelul 6.2. În varianta de analiză în carecaracterul elasto-plastic al secţiunilor este evaluat aproximativ, pe baza curbelormoment-curbură elastic-perfect plastic, rigidităţile secţionale vor fi cele rezultatedin analiza ASEP ce defineşte legea moment-curbură. Aceste caracteristici suntdetreminate printr-o analiză preliminară, moment-curbură cu programul ASEP,considerând modul real de alcătuire al secţiunii şi dispunerea barelor de armătură însecţiune.

Caracteristicile de modelare elasto-plastică a secţiunilor, sunt prezentatesintetic în Tabelul 6.2.

Fig. 6

297

.49. Curbele forţă deplasare la nodul A în direcţia transversală.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00Deplasare [cm]

Fact

orul

de

inca

rcar

e

Plastificare concentrata, Plim=1,245Zone plastice, Plim=1,269

298

F

Curbcele doudoua dirprezenta

Dupfactor limdirecţia modelăriplastificălungul blimită devarianta factor dcorespunsemnificinelasticse dato(comporgradualăbeton caconstitutdevenind

ig. 6.50. Curbele forţă-deplasare la nodul A în direcţie longitudinală.

ele compararive, forţă-deplasare pentru nodul de control A, obţinute înă variante de modelare a neliniarităţii de material, şi corespunzătoare celorecţii de acţiune a încărcării seismice (transversal şi longitudinal) suntte în Fig.6.49-6.50.a cum se poate observa, ambele modele de analiză conduc practic la acelaşi

ită de încărcare; colapsul structurii, corespunzător unei forţe seismice petransversală, are loc pentru un factor de încărcare 1.245 în variantai concentrate a plastificării (articulaţii plastice) respectiv 1.269 în variantarii distribuite cu formarea graduală a zonelor plastice în secţiune şi în

arelor. În cazul aplicării forţei seismice pe direcţia longitudinală, factorul încărcare, în varianta plastificării concentrate este 1.202, în timp ce înplastificării distribuite structura îşi pierde capacitatea de rezistenţă la une încărcare 1.20. Cu toate acestea, exceptând porţiunile din curbazătoare unei comportări liniar elastice, se poate observa o diferenţăativă în forma curbelor forţă-deplasare pe zonele cu comportament, corespunzătoare unui nivel ridicat al intensităţii forţelor seismice. Aceastarează limitării modelului bazat pe formarea articulaţiilor plasticetare elastic-perfect plastic) incapabil să surprindă intrarea în curgere a barelor de armătura, propagarea graduală a fisurilor în elementele de urmare a creşterii continue a intensităţii eforturilor, neliniaritatea relaţiilorive tesniune deformaţie pentru betonul din zona comprimată, elementele mai puţin rigide ca urmare a creşterii deformaţiilor plastice în betonul

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00Deplasare [cm]

Fact

orul

de

inca

rcar

e

Plastificare concentrata, Plim=1.202

Zone plastice, Plim=1.20

comprimat, etc. Toate acestea conduc la o flexibilizare a structurii, corespunzătorreflectată în varianta modelării inelasticităţii la nivel de fibră.

În curba sistemusistemupoate fsisteme

Directia longitudinala

Fig.

Fig. 6.51. Calcularea deplasărilor ţintă. Direcţia longitudinală.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00Deplasare[cm]

Fort

a ta

ieto

are

de b

aza

[kN

]

Curba pushover(model de fibra)

Diagrama elasto-plastica idealizatapt.sistemul SDOFDeplasare tinta (Dt=22.9cm)-PGA=03gDeplasarea tinta (Dt=45.8cm)-PGA=0.6gDeplasarea tinta (Dt=11.5cm)-PGA=0.15g

299

Fig. 6.52. Calcularea deplasărilor ţintă. Direcţia transversală.

continuare, pentru evaluarea performanţelor seismice ale structurii analizate,forţă-deplasare stabilită prin analiza neliniară mai sus menţionată pentrul structural real (MDOF), se converteşte într-o relaţie forţă-deplasare, pentrul echivalent cu un grad de libertate (SDOF), pentru ca parametrii acesteia săi puşi în relaţie directă cu spectrele seismice de răspuns, construite pentru cu un grad de libertate. În acest scop, forţa de iniţiere a curgerii se ia egală

Directia transversala

0

100

200

300

400

500

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00Deplasare [cm]

Fort

a ta

ieto

are

de b

aza

[kN

]

Curba pushover(modelul de fibral)

Diagrama elasto-plastica idealizataa sistemului SDOF

Deplasarea tinta (Dt=15.7cm)-PGA=03g

Deplasarea tinta (Dt=31.4cm)-PGA=0.6g

Deplasarea tinta (Dt=7.9cm)-PGA=0.15g

3

cu forţa corespunzătoare colapsului strcutural (matrice de rigiditate singulară).Rigiditatea iniţială a sistemului idealizat la un singur grad de libertate (SDOF) sedetermină astfel încât capacitatea de absorbţie de energiei să nu se modifice prinschematizarea curbei, adică, ariile celor două curbe să fie egale. În final, curbaelasto-plastică idelaizată pentru sistemul cu un singur grad de libertate seconverteşte la sistemul structural real pentru determinarea cerinţelor de deplasareale structurii reale (target displacements).

Figurile 6.51 şi 6.52 reprezintă curbele "pushover" corespunzătoare modeluluide "fibră" şi curbele elasto-plastice idelalizate pentru fiecare direcţie de acţiune aseismului. De asemenea pe curba de capacitate a structurii sunt marcate cerinţele dedeplasare (deplasările ţintă) corespunzătoare a trei cutremure cu următoareleacceleraţii ale terenului: PGA=0.15g, PGA=0.3g respectiv PGA=0.6g.

Corespunzător acestor deplasări globale se determină deplasările individualeale elementelor, capacitatea de deformare plastică la nivelul structurii, elementelor,secţiunilor critice ale elementelor cadrului etc., verificându-se dacă sunt îndeplinitecondiţiile pentru starea limită considerată. În tabelul 6.3. sunt prezentate sinteticprincipalele elemente implementate în aplicaţia NEFCAD la evaluareaperformanţei seismice a structurilor în cadre.

GPd6ccpc

00

În figurile 6.53 respectiv 6.54 sunt prezentate variaţia curburii în lungul grinzii1, respectiv S1 (Fig. 6.47) corespunzătoare celor trei cutremure considerate,GA=0.15g, PGA=0.3g respectiv PGA=0.6g. De asemenea, este prezentată stareae deformaţie plastică a secţiunilor critice de pe elementul considerat. În figura.55 este prezentată configuraţia deformată a structurii şi valoarea deplasării ţintăorespunzătoare cutremurelor, pe direcţia transversală a structurii, precum şi ceaorespunzătoare colapsului structural. De asemenea este prezentată distribuţiarocentuală a zonelor plastice pe structură corespunzătoare celor trei cutremureonsiderate.

Fig. 6.53. Variaţia curburii în lungul grinzii corespunzătorare cutremurelorPGA=0.15g, PGA=0.3g, PGA=0.6g.

Variatia curburii in lungul grinzii

-0.0150

-0.0100

-0.0050

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0.0200

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

Lungimea (m)

Cur

bura

PGA=0.15gPGA=0.3gPGA=0.6g

301

Fig. 6.54.Variaţia curburii în lungul stâlpului corespunzătorare cutremurelorPGA=0.15g, PGA=0.3g, PGA=0.6g.

Variatia curburii in lungul stilpului

-0.0070

-0.0060

-0.0050

-0.0040

-0.0030

-0.0020

-0.0010

0.0000

0.0010

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

Lungimea stilpului (m)

Cur

bura

PGA=0.15g

PGA=0.3g

PGA=0.6g

3

remdnav

PGA=0.15gDt=7.9cm

PGA=0.3gDt=15.7cm

PGA=0.6gDt=31.4cm

ColapsDt=64.8cm

02

Fig. 6.55. Capacitatea de deformare plastică la nivelul structurii.

6.5. Consideraţii privind testările numerice efectuate pe cadre spaţiale

Referindu-ne la analizele efectuate, utilizând structurile de test spaţiale din oţel,ezultatele obţinute sunt relevante pentru performanţele aplicaţiei NEFCADlaborată pe baza algoritmului propus de autor şi evidenţiază elocvent sensibilitateaetodei de calcul propuse în surprinderea efectelor neliniarităţii materiale în cele

ouă variante de considerare a plastificării distribuite (zone plastice) (modelareaeliniarităţii la nivel de fibră respectiv la nivel de secţiune pe baza relaţiilorproximative M-N-Φ, N-M-ε), a celei geometrice, a prinderilor semirigide atât înarianta de comportare liniară cât şi a celei neliniare.

Principalele caracteristici, care dau valoare deosebită programului de calcul

303

elaborat şi-l fac competitiv cu alte programe care vizează calculul neliniar alstrcturilor din bare, derivă din faptul că, spre deosbire de metoda elementelor finitecare obţine acurateţea prin subânpărţirea barelor între noduri, prezentul programdiscretizează structura în elemente constituite din întreaga bară. O astfel deabordare conduce la un număr redus de grade de libertate, identic cu cel din analizaliniară a structurilor, acelaşi model numeric utilizat la analiza liniară statică saudinamică putând fi utilizat la analiza neliniară cu luarea în considerare aneliniarităţii fizice şi a celei geometrice - deplasări mari. Timpul calculator relativredus precum şi multitudinea de informaţii pe care aplicaţia le furnizează, constânddin: date privind evoluţia stării de solicitare (eforturi, deplasări, apariţia şiextinderea zonelor plastice până la apariţia mecanismului de cedare, factori deîncărcare limită), modurile dinamice de vibraţie şi forţele seismice corespunzătoare,date cu privire la evaluarea performanţelor seismice ale structurii analizate(controlul deplasărilor structurale, deplasări relative de nivel, monitorizareadeformaţiilor la nivelul fibrelor extreme comprimate ale secţiunilor sau la nivelularmăturilor din oţel, etc), fac din programul elaborat un instrument deosebit însprijinul proiectării seismice a structurilor în cadre.