2

2.1 CALCULE TOPOGRAFICE SPECIFICE ACTIVITII DE CADASTRU

Se folosesc n lucrrile de cadastru cnd apar puncte noi ca urmare a operaiilor de parcelare, comasare, rectificare de hotar, detaare, etc

2.1.1 Calculul unui punct pe segment

Date: A(XA,YA), B(XB,YB) coordonatele extremitilor segmentului AB; d = AM, distana msurat; MeAB.

Se cere: M(XM,YM)a) Procedeul analiticABAM2. /. /. / Folosind raportul p -X

n figura 1.1 se observ c AAMM' ~ AABB' i se pot scrie rapoartele::sau:

. , ... (cu 6 zecimale);p =(2.1)XM=XA+MM'; YM=YA+AM';XM=XA+MM'; YM=YA+AM';

d - cunoscut (msurat);

Verificare: - coordonatele punctului M se folosesc la calcularea suprafeei triunghiului AMB care trebuie s fie zero, cnd M este pe aliniamentul AB, sau mai mic dect tolerana, cnd M este determinat cu o mic eroare:

SAB,T = M^[mpl;(2.2)Valoarea 0.005m reprezint abaterea admis pentru punctul M fa de aliniamentul AB (se consider drept nlime n AAMB).

AM MB2.1.1.2 Folosind raportul r =

n figura 1.1 se observ c AAMM' ~ AMBM" i se pot scrie rapoartele:d[m]

-d; sau:r =

(2.3)(cu 6 zecimale);

Verificare: - cu relaia (2.2)b) Procedeul trigonometricSe determin ab din coordonate:ab= am ;

Figura 2.2Se folosesc relaiile de la metoda radierii:

ym=y j"-'" ^- (2-5^Pot apare situaii cnd punctul M se gsete n afara segmentului AB, pe acelai aliniament astfel: Se folosesc relaiile demonstrate i aceeai verificare.

Figura 2.32.1.1.3 ir de puncle pe segmentPe segmentul AB se gsesc mai multe puncte distanele dintre puncte.X AM2, M.- ...Mj. Se cunosc distanele d; sauFigura 2.4

Analitic:(2.6) Trigonometric:to = XA + d; cos abfi=YA + diSin ab; (2.7)2.1.2 Calculul coordonatelor punctului de intersecie dintre dou drepte a) Procedeul analitic2.1.2.1 Punctul de intersectie se aflpe ambele drepte

Date:A, B, C, B (Xi,Yi);AB i CD drepte care seintersecteaz n punctul M;Se cere:M(XM,YM)YFigura2.5Se scrie raportul suprafeelor triunghiurilor care au aceeai nlime:

22Se adun numrorii ntre ei i numitorii nlre ei:sacd = sacm +

sacbd ~ M este punct pe segmentul AB:

Verificare: cu relaia (2.2).2.1.2.2 Punctul de intersectie ae gsete pe una din drepte i pe prelungir'ea celeilalte

Date: A,B,C,B(Xi,YO; AB i CD sunt dou drepte; MeAB; M se afl pe aliniamentul CD; Se cere: M(XM,YM)Y Figura 2.6

Se scrie raportul suprafeelor triunghiurilor care au aceeai nlime: P = -

Se scad numrtorii ntre ei i numitorii ntre ei: sacd= sacm - sadm sacbd= sacb - sadb

(2-9)AB S, .v,AM SM este punct pe segmentul AB:

Verificare: cu relaia (2.2).2.1.2.3 Punctul de interseclie se gsete pe prelungirea ambelor drepte

Date: AB i CD sunt dou drepte; M se afl prelungirea dreptelorAB i CD; Se cere: M(XM,YM)Figura 2.7('w.s t/i' spcL'ializai'e in Joitn/nnil ii> - ^

sacbd -M este punct pe segmentul AB:

Verificare: cu relaia (2.2).2.1.2.2 Punctul de intersectie se gsete pe una din drepte i pe prelungir'ea celeilalte

Date: A,B,C,B(Xi,YO; AB i CD sunt dou drepte; MeAB; M se afl pe aliniamentul CD; Se cere: M(XM,YM)Figura 2.6Se scrie raportul suprafeelor triunghiurilor care au aceeai nlime:

JACB '-'ADB

M este punct pe segmentul AB:Se scad numrtorii ntre ei i numitorii ntre ei: sacd = sacm - sadm sacbd= sacb - sadb(2-9)

Verificare: cu relaia (2.2).2.7.2.3 Pnnctul de intersectie se gsete pe prelungirea ambelor drepte

Date: A,B,C,B(Xi,Yi); AB i CD sunt dou drepte; M se afl prelungirea dreptelorAB i CD; Se cere:M(XM,YM)Figura 2.7

JACB'-'ADB :

Se scad numrtorii ntre ei i numitorii ntre ei: sacd= sacm - sadn* sacbd = sacb - sadb

M este^punct pe segmentul AB:Verificare: cu relaia (2.2). (2.10) p - este supraunitarb) Procedeul trigonometricSe folosesc formulele de la intersectia nainte:

Figura2.8

relaiile cu tg: gCD -XA -tg

= Yc+(XM-Xc)tg0CD=YA+(XM-: - relaiile cu ctg:Se va alege funcia trigonometric ce are valoarea absolut cea mai mic.2.1.3 Calculul coordonatelor punctelor de intersecie dintre o dreapt i cadrul geometric al planuluiDrept cadru geometric al planului pot fi considerate:limita foii de plan; limita tbii de seciune; limita trapezului; limita unui ptrat al caroiajului planului.a) Procedeul analiticDate: l,2,3,4(Xi,Yi); A,B(Xi,Yi); Se cer: M,N(Xi,Yi).' Figura 2.9Cadrul geometric este dat prin coordonatele punctelor intersecie dintre liniile caroiajului rectangular, iar dreapta AB este dat prin coordonatele punctelor de capt. Se scrie raportul suprafeelor triunghiurilor care au aceeai nlime:

Se adun numrtorii ntre ei i numitorii ntre ei:

(2.11)M este punct pe segmentul AB:Procednd n mod analog pentru punctul N se va obine valoarea raportului: (2.12) N este punct pe segmentul AB:Verificare: samnb = 0.b) Procedeul trigonometricSe folosesc relaiile de la intersecia nainte, particularizate astfel: Dreapta AB se intersecteaz cu dreapta 12 n punctul M:

; relaiile cu ctg nu se pot folosi; Dreapta AB se intersecteaz cu dreapta 14 n punctul N:

; relaiile cu tg nu se pot folosi;Verificarea coordonatelor se face cu refaia (2.2) pentru fiecare din punctele M i N.c 2.1.4 Determinarea coordonatelor unui punct folosind drepte paralele ajuttoareAsemenea cazuri se pot ntlni cnd dintr-un punct oarecare dat, se duce o paralel la o direcie cunoscut i se cere s se determine coordonatele punctului de intersecie dintre paralel i o alt dreapt care poate avea o poziie particular sau oarecare.a) Procedeul analiticPot fi ntlnite urmtoarele trei situaii:2.1.4.1 Cazul cnd se d o dreapt i im punct exterior eiDate: A,B,C(XuYi); AB este o dreapt i C un punct exterior ei; Prin C se duce o paralel la AB; prin B seduce o paralel la linia care trece prin A i C. Se cere: M (xm,ym) punctul de intersecie dintre cele dou drepte paralele. Figura2.10.In figura de mai sus ABMC este un paralelogram i se poate scrie:

Din aceste relaii se obin coordonatele punctului M:

Verifcarea coordonatelor se face calculnd distana BM din coordonate care trebuie s fie egal cu distana AC.2.1.4.2 Ca~ul a dou dreaple concnrenle i unpunct exterior lorDate: A,B,C(Xi,Y,); AB i BC sunt dou dreapte; D este un punct exterior lor; Prin D se duce o paralel la AB. Se cere: M (xm,ym) punctul de intersec: dintre paralel i dreapta BC. Figura2.11 Coordonatele punctului M se calculeaz cu relaiile de la punct pe segment:

unde:sabm = sabd (triunghiuri cu aceeai suprafa i aceeai nlime). Verificarea coordonatelor se face relaia (2.2).2.1.4.3 Cazul generalDate: A,B,C,D(Xi,Yi); AB i CD sunt dou dreapte; E (xe,ye) este un punct exteric Prin E se duce o paralel la AE Se cere: M (xm,ym) punctul de intersec dintre paralel i dreapta CD. Figura 2.12Prin punctul C se construiete o paralel la dreapta AB i prin punctul A se duce o paralel la BC obinnd punctul 2. Prin 2 se traseaz o perpendicular pe AB rezultnd punctul 1, iar pe dreapta EM se obine punctul 3. Prin D se duce o perpendicular pe AB obinnd punctul 4, respectiv 5 situat pe dreapta 2C. Se unete punctul A cu punctele C, D, E i 2, punctul B cu E i D i punctul M cu 2.Coordonatele

punctului M se calculeaz cu relaiile de la punct pe segment:unde:(suprafee necunoscute);

(suprafee cunoscute);Verificarea determinrii coordonatelor punctului M se face cu relaia (2.2).b) Procedeul trigonometricCele trei situaii prezentate anterior se rezolv trigonometric astfel:- pentru cazul 2.1.4.1 se folosesc relaiile de la metoda radierii lund cm^ ab;- pentru cazul 2.1.4.2 se folosesc relaiile de la intersecia nainte lund dm^ ab i intersectnd dreptele BC i DM;- pentru cazul 2.1.4.3 se folosesc relaiile de la intersecia nainte lund en/t" ab i intersectnd dreptele CD i EM;Verificarea se face cu relaia (2.2).2.1.5 Deterrainarea coordonatelor unui punct folosind drepte perpendiculare2.7.5.1 Ridicarea unei perpendiculareDate: A,B(XYi); d este msurat; Se cere: M (xm,ym) extremitatea unei perpendiculare de lungime d" ridicat din punctul AFigura2.13 a) Procedeul analiticAAMM'* ABB'A (au unghiuri egale)2.1.1.2 Folosind raportul n figura 1.1 se observ c AAMM' ~ AMBM'' i se pot scrie rapoartele:=>MB = DAB-d; sau:

(2.3)Verifcare: - cu relaia (2.2)b) Procedeul trigonometricSe determin ab din coordonate: (2.4)ab= am ; Figura 2.2Se folosesc relaiile de la metoda radierii: (2.5)Pot apare situaii cnd punctul M se gsete n afara segmentului AB, pe acelai aliniament astfel: Se folosesc relaiile demonstrate i aceeai verificare.Figura 2.3

2.1.1.3 ir de puncte pe segmentPe segmentul AB 'se gsesc mai multe puncte mi, M2, M3 ...M;. Se cunosc distanele dj saudistanele dintre puncte." b) Procedeul trigonometric

unde:o) = 0BC-0BAVerificare: se calculeaz sbam i sbmc : - din coordonate- pe cale geometric:2.1.7 Detaarea suprafeelorDefmiie: Detaarea unei suprafee este operaia prin care se separ o suprafa impus "5" dintr-o suprafa mai mare cunoscut "5", n anumite condiii date.Problema se reduce la determinarea elementelor care definesc dreapta de detaare (coordonatele extremitilor ei sau direcia i lungimea ei). Prin detaare se rezolv urmtoarele condiii:a) condiia de suprafa (5 - suprafaa exact impus a fi detaat din 5)b) condiia de delaare (se indic direcia i punctul prin care trebuie s treac liniade detaare)Situaii frecvente:- dreapta de detaare s treac printr-un punct dat, situat pe conturul suprafeei, in interiorul sau n exteriorul acesteia;- dreapta de detaare s fie paralel sau perpendicular la o latur a conturului suprafeei, sau la o direcie oarecare (detaare "paralel" sau "perpendicular");- detaarea s fie facut astfel nct s se respecte un raport de proporionalitate impus (detaare "proporional").Partea tehnic a detarii comport ntocmirea proiectului de parcelare (calcule de birou) i aplicarea acestuia pe teren. La birou se execut:determinarea suprafeelor;calculul elementelor necesare rezolvrii detarii (coordonate, unghi, distane);efectuarea detarii propriu-zise.Metode folosite:. *L 1) numerice - a) rezolvare analitic (reducere la calculul unui punct pe segment) b) rezolvare trigonometric (avantaj la aplicarea pe teren)2) grqfice - pentru suprafee mici, cu form regulat, pe planuri precise la scri mari Alegerea metodelor se face n fincie de precizia cerut la ap'licarea proiectului pe teren.2. /. 7.1 Detaarea suprafeelorprintr-o dreapt care trebuie s treacprintr-unpunct obligat2.1.7.1.1 Punctul obligat este un vrfal conturului 2.1.7.1. ]. 1 Detaarea n triunghia) Procedeul analiticDate: A^C^Yi); sabc = 5; 5 - suprafaa care se detaeaz; dreapta de detaare s treacprin B. Se cere:.

01_ M(XM,YM)a.. samb^^Figura2.17

b) Procedeul trigonometricse calculeaz din coordonate dab, qab, qac; sedeterminse face diferena

orientrilor:;se calculeaz ;se calculeaz , ca punct radiat.c) Procedeul grafic Figura2.18- se msoar grafic dab pe plan;2-s se determin h = ;dabse reduce h la scara planului i se aplic pe o perpendicular ridicat pe dreapta AB ntr-un punct oarecare;- prin extremitatea lui h se duce o paralel la AB care va intersecta pe AC n M;- se unete M cu B => 5 a fost detaat.2.1.7.1.1.2 Detaarea ntr-un patrulater sau poligon oarecare Cazul patrulateruluiDate: A,B,C,D(Xi,YO; 5 - suprafaa care se detaeaz din ABCD; dreapta de detaare s treacprinB. Se cere: M (XM,YM) a. . samb = 5 Figura2.19 Se reduce la detaarea lui 5 din AABD.Cazul poligonuluiDate: A, B,C, D, E, F (XYi); 5 - suprafaa care se detaeaz din ABCDEF; dreapta de detaare s treacprin C. Se cere: M (XM,YM) a. . samcb = 5 Figura 2.20s ~~ sabcm ;- se calculeaz sabc;- se calculeaz A5 = 5 - sabc;- A5 se detaeaz din AACF.*2.1.7.1.2 Punctul obligat se gsete pe o lalur a contunilui suprafeei2.1.7.1.2.1 Detaarea n triunghia) Procedeul analiticDate: A,B,C(Xi,Yi); NeAB 5 - suprafaa care se detaeaz; dreapta de detaare s treacprinN. Se cere:c.

001 M(XM,YM)a. . SAMN = 5Figura2.21Se unete N cu C, iar problema se reduce la cazul precedent 2.1.7.1.1.1.b) Procedeul trigonometric - analogc) Procedeul grafic - analog2.1.7.1.2.2 Detaarea ntr-un patrulater saupoligon oarecare Ca~ul patrulaternluiDate: A,B,C,D(Xi,Yi); NeAB 5 - suprafaa care se detaeaz din ABCD; dreapta de detaare s treac prinN. Se cere: M (XM,YM) a. . samn = $ Figura 2.22Se reduce la detaarea lui 5 din AAND.CADASTRU ______________________________________________________27Cazul poligon ulniDate: A,B,C,D,E,F(Xi,Yi); 5 suprafaa care se detaeaz din ABCDEF; N6AB dreapta de detaare s treacprin N. Se cere: M (XM,YM) a. . sabmn = 5Figura 2.23Detaarea suprafeei 5 se reduce la detaarea suprafeei A5 din AANF. Observaie'.Pe teren, pentru toate cazurile prezentate se va trasa punctul M prin aplicarea distanei d din punctul A . "d" se calculeaz din coordonate, ca la procedeul trigonometric, sau se determin grafic.2. /. 7.1.3 Punclul obligat se gsete n afara conturului suprafeei2.1.7.1.3.1 Detaarea n triunghi a) Procedeul analiticDate: A, B,C (Xi,Yi), un triunghi; D (X, Y) un punct exterior triunghiului; 5 - suprafaa care se detaeaz din AABC; dreapta de detaare s treacprin D. Se cere: M(XM,YM)iN(XN,YN)a..Figura2.24samn = *Se aplic formulele de la punct pe segment: iNotaii: cu p, i p2 necunoscute.(1)(2)Dar:(3) (4)nlocuind relaia (3) n (4) =>(5)Din relaia (1) se scade relaia (2) => s . (6) Relaia (5) se egaleaz cu (6) i se obine: (7)Se scoate p, n fiincie de p2: (8) Se scoate p2 n funcie de p^: (9) Inlocuind pe rnd relaiile (8) i (9) n (5), se obine: (10)Se grupeaz termenii dup necunoscutele p, i p2: (10') (11Valorile obinute pentru p, i p2 nlocuite n relaiile de la punct pe segment fac posibil determinarea coordonatelor punctelor M i N.Verificare: samn din coordonate trebuie s fie egal cu 5 dat.

b) Procedeul grafic

Figura 2.25

Pentru rezolvarea pe cale grafic a problemei, se procedeaz astfel:se duce prin D o dreapt care s determine n AABC suprafaa 5 = se determin aceast suprafa pe cale grafic; se calculeaz diferena A5 =5-5;cu baza M'N' se calculeaz nlimea h, care corespunde diferenei de suprafa A5, considerat ca fiind un dreptunghi;- pe o perpendicular pe M'N' se aplic valoarea lui h redus la scara planului; prin extremitatea lui h se duce o paralel la M'N', rezultnd punctele M", N"; se alege punctul ni astfel nct s realizeze o compensare a suprafeei cedate cu cea primit (vezi zonele haurate); se unete D cu ni ;se determin grafic aria suprafeei detaate i se compar cu 5 dat iniial;dac diferena dintre ele se ncadreaz n tolerana T = s/200, se consider problemarezolvat;dac diferena este mai mare dect tolerana, operaiile descrise mai sus se repet pncnd condiia este ndeplinit.2.1.7.2 Formula general a dearilor "proporionale ", "paralele " i "perpendicitlare " - procedeul analiticPentru deducerea formulei generale a detarilor specificate, se va considera patrulaterul oarecare ABCD, din care se va detaa o'suprafa 5, printr-o dreapt oarecare.Figura 2.26Coordonatele punctelor M i N care definesc poziia dreptei de detaare se vor determina aplicnd relaiile de la punct pe segment, astfel: (2)Rapoartele p, i p2 sunt cunoscute, ele putnd fi exprimate sub forma: AM _ samd _ samn

Pentru obinerea formulei generale, se exprim suprafaa 5 care trebuie detaat ca o sum de suprafee, innd cont i de relaiile (2);S =^+^ ~^ = P| '

La rndul su, suprafaa necunoscut sanmd poate fi exprimat astfel:

(4)Tinnd seama de relaiile de mai sus, rezult:Ca unnare, relaia (3) devine:

Cu notaiile: (7), relaia (6) devine:

Relaia (8) reprezint/