UNIVERSITATEA “POLITEHNICA”

TIMIŞOARA

FACULTATEA DE CONSTRUCŢII DEPARTAMENTUL DE CONSTRUCŢII METALICE ŞI

MECANICA CONSTRUCŢIILOR Centrul de Excelenta pentru Mecanica Materialelor

şi Siguranţa Structurilor CEMSIG Ioan Curea 1, 300224 Timişoara, ROMÂNIA

Telefon Departament: ++40.256.403911 CEMSIG: ++40.256.403932 e-mail: dan.dubina@ct.upt.ro

Fax ++40.256.403917 ++40.256.403932

http://cemsig.ct.upt.ro

Contract nr. 425/08.12.2009

CALCULUL STRUCTURAL GLOBAL AL STRUCTURILOR METALICE

Recomandări, comentarii şi exemple de aplicare în conformitate cu SR EN 1993-1-1 şi SR EN 1998-1

Redactarea I-a

Timişoara, august 2010

COLECTIV DE ELABORARE

Şef Proiect

Prof. Dr. Ing. Dan DUBINĂ _____________________

Membri:

Conf. Dr. Ing. Florea DINU _____________________

Conf. Dr. Ing. Aurel STRATAN _____________________

Drd. Ing. Norin FILIP-VACARESCU _____________________

1

Cuprins

CUPRINS.............................................................................................................................................................. 1

1 INTRODUCERE ......................................................................................................................................... 3

2 MODELAREA STRUCTURILOR PENTRU ANALIZA GLOBALĂ .................................................. 4

2.1 INTRODUCERE....................................................................................................................................... 4 2.2 CLASIFICAREA STRUCTURILOR IN CADRE.............................................................................................. 5 2.3 IMPERFECŢIUNI ..................................................................................................................................... 7

2.3.1 Imperfecţiuni globale pentru cadre................................................................................................. 8 2.3.2 Imperfecţiuni locale pentru elemente ............................................................................................ 10 2.3.3 Imperfecţiuni pentru sistemul de contravântuiri ........................................................................... 11

2.4 REPREZENTAREA COMPORTĂRII NODURILOR IN ANALIZA ................................................................... 12 2.4.1 Clasificarea nodurilor după rigiditate .......................................................................................... 13 2.4.2 Clasificarea nodurilor după rezistenţă. ........................................................................................ 15 2.4.3 Clasificarea nodurilor după ductilitate......................................................................................... 17 2.4.4 Clasificarea secţiunilor elementelor ............................................................................................. 18

2.5 MODELAREA STRUCTURILOR PENTRU ANALIZA STRUCTURALA .......................................................... 20

3 CALCULUL STRUCTURILOR LA ACŢIUNI STATICE................................................................... 30

3.1 INTRODUCERE..................................................................................................................................... 30 3.2 ANALIZA ELASTICA............................................................................................................................. 33

3.2.1 Analiza elastica de ordinul I ......................................................................................................... 33 3.2.2 Analiza elastica de ordinul II ........................................................................................................ 36 3.2.3 Analiza de stabilitate..................................................................................................................... 39

3.3 ANALIZA GLOBALĂ PLASTICĂ............................................................................................................. 44 3.3.1 Analiza plastica de ordinul I (rigid-plastică) ................................................................................ 45 3.3.2 Analiza plastica de ordinul II........................................................................................................ 47

3.4 APLICAŢIE: CALCULULUI UNEI STRUCTURI IN CADRE METALICE MULTIETAJATE ................................ 52 3.5 APLICAŢIE: CALCULULUI UNEI HALE CU STRUCTURA METALICA ........................................................ 59

4 CALCULUL LA ACŢIUNEA SEISMICĂ ............................................................................................. 60

4.1 CONCEPTE DE PROIECTARE SEISMICĂ ................................................................................................. 60 4.1.1 Conceptul de proiectare disipativă a structurii............................................................................. 61 4.1.2 Conceptul de proiectare slab-disipativă a structurii..................................................................... 65 4.1.3 Alegerea principiului de proiectare .............................................................................................. 65

4.2 ACŢIUNEA SEISMICĂ ........................................................................................................................... 66 4.2.1 Generalităţi ................................................................................................................................... 66 4.2.2 Reprezentarea de bază a acţiunii seismice.................................................................................... 72 4.2.3 Reprezentarea alternativă a acţiunii seismice .............................................................................. 75 4.2.4 Spectru de calcul pentru analiza elastică...................................................................................... 79 4.2.5 Combinarea acţiunii seismice cu alte tipuri de acţiuni ................................................................. 80

4.3 METODE DE CALCUL STRUCTURAL ..................................................................................................... 81 4.3.1 Metoda forţelor laterale ................................................................................................................ 82 4.3.2 Calcul modal cu spectre de răspuns.............................................................................................. 85 4.3.3 Calcul dinamic liniar .................................................................................................................... 92 4.3.4 Calcul static neliniar..................................................................................................................... 92 4.3.5 Calcul dinamic neliniar................................................................................................................. 97

4.4 REGULARITATEA STRUCTURALĂ ŞI IMPLICAŢIILE ASUPRA CALCULULUI STRUCTURAL ....................... 99 4.4.1 Criterii de regularitate în plan.................................................................................................... 100 4.4.2 Criterii de regularitate în elevaţie............................................................................................... 102 4.4.3 Alegerea metodei de calcul structural......................................................................................... 103

4.5 MODELAREA STRUCTURII ................................................................................................................. 105 4.5.1 Generalităţi ................................................................................................................................. 105 4.5.2 Modelarea maselor ..................................................................................................................... 106 4.5.3 Modelarea amortizării ................................................................................................................ 108 4.5.4 Modelarea proprietăţilor mecanice ale structurii....................................................................... 109

2

4.5.5 Efectele de torsiune accidentală.................................................................................................. 111 4.6 COMBINAREA EFECTELOR COMPONENTELOR ACŢIUNII SEISMICE...................................................... 114 4.7 CALCULUL DEPLASĂRILOR ............................................................................................................... 115 4.8 APLICAŢII ......................................................................................................................................... 117

4.8.1 Metoda forţelor laterale .............................................................................................................. 117 4.8.2 Calcul modal cu spectre de răspuns............................................................................................ 127 4.8.3 Calcul static neliniar................................................................................................................... 143 4.8.4 Calcul dinamic neliniar............................................................................................................... 144

5 ANEXA 1: CALCULUL SIMPLIFICAT DE ORDINUL I LA STĂRI LIMITĂ ULTIME ............ 146

5.1 PROCEDEUL DE CALCUL.................................................................................................................... 146 5.1.1 Încărcarea modificată corespunzătoare criteriului Merchant-Rankine...................................... 146 5.1.2 Analiza elasto-plastică modificată corespunzătoare criteriului Merchant-Rankine................... 147 5.1.3 Capacitatea secţiunii modificată pentru a corespunde criteriului Merchant-Rankine ............... 148

5.2 METODE DE ANALIZĂ ....................................................................................................................... 148 5.2.1 Metoda grafică ............................................................................................................................ 148 5.2.2 Metoda lucrului mecanic virtual al mecanismelor rigid-plastice ............................................... 149 5.2.3 Metoda elastică-perfect plastică ................................................................................................. 150

6 ANEXA 2: CALCULUL CAPACITATII DE ROTIRE PLASTICA A SECTIUNILOR................. 151

7 BIBLIOGRAFIE ..................................................................................................................................... 153

3

1 INTRODUCERE

Manualul prezintă modul de calcul al structurilor in cadre metalice la acţiuni statice si dinamice (seismice). Pentru redactarea lui, s-a folosit ca baza normativa SR EN 1993-1-1, SR EN 1993-1-8 si SR EN 1998-1. Pentru clasificarea si modelarea in analiza a comportării nodurilor grinda-stâlp, s-au folosit prevederile din SR EN 1993-1-8.

In prima parte (cap. 2 si cap.3) se prezintă principalele etape ale calculului si alcătuirii structurilor metalice in cadre, începând cu modelarea structurii, alegerea tipurilor de noduri, clasificarea structurilor si analiza structurala. Se prezintă de asemenea si doua aplicaţii pe doua tipuri de structuri, una pentru o hala parter si una pentru o structura multietajata, in care se prezintă comparativ rezultatele analizelor de ordinul I si II, elastic si plastic.

In partea a doua (cap.4) se prezintă calculul structurilor la acţiunea seismica in conformitate cu SR EN 1998-1. Deoarece exista unele diferenţe intre SR EN 1998-1:2004 si norma de calcul seismic in vigoare (P100-1/2006), se precizează următoarele : Cu toate că P100-1/2006 foloseşte unele notaţii diferite de cele din SR EN 1998-1:2004,

aplicarea prevederilor din normativul românesc conduce la aceleaşi rezultate în ceea ce priveşte spectrele de răspuns elastic de acceleraţie.

P100-1/2006 stabileşte spectrul de calcul într-o manieră similară cu SR EN 1998-1:2004 şi Anexa Naţională, cu deosebirea că în P100-1/2006 pentru T=0 acceleraţia spectrală de proiectare este egală cu cea elastică (q=1 în loc de 1.5 pentru T=0) şi lipseşte limitarea inferioară a spectrului de calcul la valoarea β⋅ag.

Calcul maselor:

SR EN 1998-1:2004: , , ,1 1

N N

k j E i k ij i

G Qψ= =

+∑ ∑

P100-1/2006: , 2, ,1 1

N N

k j i k ij i

G Qψ= =

+∑ ∑

Condiţiile diferite de aplicare a metodei forţelor laterale Implementare diferită a efectelor torsiunii accidentale In finalul capitolului se prezintă mai multe aplicaţii referitoare la metodele de determinare a răspunsului seismic al structurilor in cadre metalice.

In Anexa 1 prezintă metode simplificate de calcul de ordinul I pentru starea limita ultima.

Anexa 2 prezintă o metoda simplificata pentru calculul capacitatii de rotire a secţiunilor dublu T.

4

2 MODELAREA STRUCTURILOR PENTRU ANALIZA GLOBALĂ

2.1 Introducere

Analiza globala a structurilor in cadre metalice se realizează pe baza unor ipoteze, atât in ceea ce priveşte comportarea globala a structurii (teoria de ordinul I/ordinul II) cat si in ceea ce priveşte comportarea secţiunilor (elastic, plastic) si a îmbinărilor (rigiditate, capacitate de rezistenta, capacitate de rotire).

In mod traditional, calculul unei structuri presupune mai multe etape si anume modelarea structurii, analiza structurii si apoi verificarea ei, care consta in evaluarea eforturilor interne si a deformatiilor si compararea cu valorile admise pentru o exploatare in siguranta.

Pentru a lua in considerare influenta formei deformate a structurii asupra eforturilor interne din structura, structurile sunt impartite in structuri rigide sau cu noduri fixe (la care analiza se poate face pe forma nedeformata) si structuri zvelte sau cu noduri deplasabile (la care trebuie sa se ia in considerare forma deformata). In funcţie de aceasta clasificare, se poate face un calcul de ordinul I sau un calcul de ordinul II. Pentru a lua in considerare posibilitatea pierderii stabilitatii locale a pereţilor secţiunilor, acestea sunt impartite in patru clase distincte, funcţie de raportul lăţime - grosime al pereţilor supuşi la compresiune. In funcţie de clasa secţiunii, se poate utiliza o analiza elastica sau plastica.

Efectele comportării nodurilor asupra distribuţiei forţelor şi momentelor interne dintr-o structura in cadre dar şi asupra deformaţiilor totale ale structurii trebuie luate în considerare acolo unde aceste efecte nu pot fi neglijate. Nodurile pot sa fie clasificate atât in funcţie de rezistenta cat si in funcţie de rigiditate. Se disting noduri rigide, semirigide si articulate din punct de vedere al rigiditatii si noduri cu rezistenta completa, parţiala si articulate din punct de vedere al rezistentei.

Efectele imperfecţiunilor (adică tensiunile reziduale şi imperfecţiunile geometrice) trebuie luate în considerare în mod corespunzător în analiza structurală. In cadrul imperfecţiunile geometrice, se face distincţie intre imperfecţiunile globale pentru cadre şi sistemele de contravântuiri si imperfecţiunile locale pentru bare.

2

1

Raspunsul liniar elastic1

Incarcare

Deplasare

αF

F

∆

F F

Valoarea maxima a incarcarii2

Figura 1. Relaţia forţă-deplasare pentru o structură in cadre multietajate

5

In acest capitol sunt prezentate proprietatile structurilor in cadre, ale elementelor si imbinarilor, care au o influenta semnificativa asupra raspunsului structurii la actiunea incarcarilor exterioare si modul in care aceasta influenta trebuie modelata in analiza globala.

2.2 Clasificarea structurilor in cadre

Structurile in cadre metalice multietajate sunt structuri relativ zvelte comparativ cu alte tipuri de structuri, astfel ca in anumite condiţii, este nevoie sa se reducă deplasările laterale prin dispunerea de contravântuiri verticale (Figura 2).

a) b)

Figura 2. Sisteme de contravântuiri: a) contravântuiri din bare; b) diafragme din otel

Daca sistemul de contravântuiri este suficient de rigid, atunci structura se numeşte contravantuita. Daca structura nu contine contravantuiri sau daca sistemul de contravantuiri nu este suficient de rigid, atunci structura este necontravantuita. Un cadru metalic poate fi considerat contravântuit daca sistemul de contravântuiri reduce deplasările orizontale cu cel puţin 80%. Aceasta relatie poate fi inteleasa si aplicata mai usor daca se utilizeaza reprezentarea din Figura 3, in care structura este impartita in doua, cu A se reprezinta sistemul de contravantuiri, care preia doar forte orizontale si cu B subsistemul care preia atat forte gravitationale cat si orizontale. Aplicarea prevederii anterioare se poate exprima sub forma:

( )0.8A A BK K K> +

(1)

sau

4A BK K>

(2)

Figura 3. Impartirea structurii in doua subansamble: A – sistemul de contravântuiri, B – cadrul portal

Efectele înclinaţiei orizontale iniţiale asupra cadrelor contravântuite trebuie luate in considerare la calculul sistemului de contravântuiri. Se poate considera ca înclinaţia orizontală iniţială (sau sistemul orizontal echivalent) precum si încărcările orizontale aplicate asupra

6

unui cadru contravântuit afectează numai sistemul de contravântuiri. Sistemul de contravântuiri trebuie calculat la acţiunea următoarelor încărcări: - încărcări orizontale aplicate cadrului; - încărcări orizontale sau verticale aplicate direct sistemului de contravântuiri; - efectul înclinaţiei orizontale (sau sistemului de forte orizontale echivalente) aferente

cadrului si sistemului de contravântuiri. Clasificarea structurilor in cadre in structuri contravantuite si necontravantuite nu

trebuie confundata cu clasificarea in funcţie de sensibilitatea la efectele de ordinul II, adică structuri cu noduri fixe si structuri cu noduri deplasabile. Astfel, un cadru poate fi considerat cu noduri fixe dacă răspunsul său la acţiunea unui sistem de forţe ce acţionează in planul său este suficient de rigid astfel încât pot fi neglijate momentele si forţele interne suplimentare datorate deplasărilor orizontale ale nodurilor (SR EN 1993-1-1, paragraf 5.2.1). Toate celelalte cadre pot fi considerate cu noduri deplasabile si efectele de ordinul II (P - ∆) trebuie luate in calcul. In general, structurile contravantuite sunt structuri cu noduri fixe, iar cele necontravantuite sunt structuri cu noduri deplasabile. Daca insa sistemul de contravântuiri este foarte flexibil, atunci structura contravantuita poate sa fie cu noduri deplasabile. De asemenea, daca rigiditatea structurii necontravantuite este mare si structura nu este sensibila la efectele de ordinul II, atunci structura poate fi considerata cu noduri fixe.

Atunci când o structura este clasificata cu noduri fixe, se poate efectua o analiza de ordinul I, deoarece efectele de ordinul II nu afectează răspunsul structurii. In cazul unei structuri clasificate cu noduri deplasabile, luarea în considerare a efectelor de ordinul doi poate fi realizată cu ajutorul unei analize corespunzătoare (cuprinzând procedee „pas cu pas” sau alte procedee interactive). Pentru cadrele la care primul mod de instabilitate cu noduri deplasabile este predominant, se poate efectua o analiză de ordinul unu, urmată de o amplificare a efectelor acţiunilor respective (exemplu momente încovoietoare) cu ajutorul coeficienţilor corespunzători. Pentru un caz de încărcare dat, un cadru poate fi considerat cu noduri fixe sau deplasabile in funcţie de raportul dintre încărcarea verticala totala FEd aplicata structurii si încărcarea critica elastica Fcr care conduce la instabilitatea laterala. In conformitate cu SR EN1993-1-1, clasificarea se face astfel: • Pentru analiza elastica:

o Daca 10crcr

Ed

F

Fα = ≥ , atunci structura este clasificata cu noduri fixe (3)

o Daca 10crcr

Ed

F

Fα = < , atunci structura este clasificata cu noduri deplasabile (4)

• Pentru analiza plastica:

o Daca 15crcr

Ed

F

Fα = ≥ , atunci structura este clasificata cu noduri fixe (5)

o Daca 15crcr

Ed

F

Fα = < , atunci structura este clasificata cu noduri deplasabile (6)

unde αcr este coeficientul de multiplicare a încărcărilor de calcul pentru a provoca instabilitatea elastică a structurii. Cadrele cu pantă mică a acoperişului şi structurile plane alcătuite din stâlpi si grinzi pot fi verificate în raport cu cedarea după un mod cu noduri deplasabile utilizând o analiză de ordin întâi dacă sunt îndeplinite condiţiile exprimate prin ecuaţiile (3) sau (5) pentru fiecare etaj. Pentru aceste structuri, αcr poate fi calculat aproximativ pornind de la următoarea formulă, cu condiţia ca în grinzi compresiunea axială să nu fie semnificativă:

7

,

Edcr

Ed H Ed

H h

Vα

δ

=

(7)

in care: - HEd este valoarea de calcul a rezultantei orizontale, la nivelul părţii superioare a etajului, a

încărcărilor orizontale, exercitate pe structură deasupra acestui nivel. - VEd este valoarea de calcul a încărcării verticale totale, la nivelul părţii inferioare a

etajului, exercitată pe structură deasupra acestui nivel. - δH,Ed este deplasarea orizontală relativă a părţii superioare a etajului în raport cu partea sa

inferioară când structura este supusă la încărcări orizontale de calcul (exemplu vânt) şi la încărcări orizontale aplicate la fiecare nivel.

- h este înălţimea etajului

Figura 4. Evaluarea aproximativa a coeficientul de multiplicare αcr

2.3 Imperfecţiuni Structurile in cadre metalice prezintă, indiferent de calitatea controlului la fabricatie si

montaj, mai multe tipuri de imperfecţiuni. Aceste imperfecţiuni constau in tensiuni reziduale, abateri de forma ale secţiunilor transversale, devieri de la rectilinitatea longitudinala, devieri de la verticalitate la montaj, excentricitati in noduri, etc. Unele dintre ele, cum ar fi de exemplu abaterile de la forma secţiunii sau abaterile de montaj sunt limitate prin tolerantele admise si sunt precizate in standardele de execuţie, de exemplu EN 1090 (2008). Aceste imperfecţiuni induc efecte secundare si de aceea pentru a obţine rezultate conservative, analiza structurilor trebuie sa tina seama de ele. Daca efectele imperfecţiunilor nu sunt incluse in formulele de rezistenta folosite la verificarea barelor, atunci ele sunt luate de regula in calcul prin intermediul imperfecţiunilor geometrice echivalente. In calcul trebuie luate în considerare următoarele imperfecţiuni (SR EN 1993-1-1, paragraf 5.3): a) imperfecţiuni globale pentru cadre (efectul P - ∆) b) imperfecţiuni locale pentru elemente (efectul P - δ).

In plus, atunci când este cazul, la structurile contravantuite trebuie luate in considerare si imperfecţiunile globale ale sistemele de contravântuiri.

Considerarea formei si sensului imperfectiunilor trebuie sa conduca la efectele cele mai defavorabile pentru structura. Astfel, este posibil ca aplicarea imperfectiunilor la o structura spatiala sa conduca la deplasari simetrice sau anti-simetrice ale colturilor opuse, astfel ca ele trebuie luate in considerare separat (Figura 5). Ele pot fi considerate pe orice directie insa pentru fiecare analiza se considera o singura directie de aplicare.

VEd

HEd

8

Forma imperfectiunilor globale si locale poate sa rezulte din modul de flambaj elastic in planul de flambaj considerat. Trebuie luate in considerare aici atat flambajul in plan cat si cel in afara planului, inclusiv flambajul prin incovoiere - rasucire.

Pentru structurile la care primul mod de flambaj este cel corespunzator unei structuri cu noduri deplasabile, efectul imperfectiunilor globale si locale se poate lua in considerare prin intermediul unei abateri de la verticala si al unei curburi a elementului (Figura 6).

Figura 5. Efecte de translaţie sau torsiune rezultate din aplicarea imperfecţiunilor: a) imperfecţiuni corespunzătoare abaterii de la verticală a feţelor A-A şi B-B (în acelaşi sens); b)

imperfecţiuni corespunzătoare abaterii de la verticală a feţelor A-A şi B-B (în sens contrar)

φ φ

L

N

e o,d

Figura 6. Imperfecţiunile globale si locale

2.3.1 Imperfecţiuni globale pentru cadre

Prima imperfectiune si anume abaterea de la verticala se defineste prin intermediul unghiului φ, care este dat de formula urmatoare (vezi si Figura 7):

0 h mφ φ α α= (8)

unde:

φ0 este valoarea de bază, φ0 = 1/200

αh este coeficientul de reducere aplicabil pentru înălţimea h a stâlpilor:

2

hh

α = dar 2

13 hα≤ ≤

9

h este inaltimea in metri αm este un factor de reducere pentru numărul de stâlpi dintr-un şir

1

0.5 1m mα = +

m reprezintă numărul de stâlpi într-un şir, introducând aici numai stâlpii care preiau o încărcare verticală NEd mai mare sau egală cu 50 % din valoarea medie pe stâlp în planul vertical considerat.

Trebuie mentionat aici ca pentru cadrele la care HEd ≥ 0.15VEd, imperfecţiunea globala

poate fi neglijata (pentru notaţii vezi Figura 4).

Figura 7. Imperfecţiuni echivalente corespunzătoare abaterii de la axa verticală

Imperfectiunile globale pot fi de asemenea luate in considerare si prin introducerea unor forte laterale echivalente la nivelul fiecarui etaj. Acest mod de introducere a imperfectiunilor este de obicei mai usor de folosit in practica comparativ cu metoda anterioara a „inclinarii” structurii. Fortele echivalente de la fiecare nivel se obtin prin multiplicarea incarcarilor gravitationale de la fiecare nivel cu imperfectiunea initiala φ. Pentru ca structura sa fie in echilibru, sistemul de forte rezultant se aplica si la baza, dar in directie inversa celor aplicate la nivelul etajelor.

φ

φΝEd

NEd

NEd φΝ Ed NEd

NEd

a)

φ F2

F1

F2

F1 φF1

φF2

φ(F1+F2)/2 φ(F1+F2)/2

b)

Figura 8. Imperfecţiunile cadrelor modelate prin intermediul unui sistem de forte echivalente: a) înlocuirea înclinaţiei iniţiale prin forţele orizontale echivalente; b) exemplu de aplicare a

forţelor orizontale echivalente la o structura

10

2.3.2 Imperfecţiuni locale pentru elemente

Abaterea barelor de la rectilinitate, sau imperfectiunea locala, este data de raportul e0/L, in care L este lungimea barei iar e0 este amplitudinea maxima a deplasarii laterale initiale. Valorile recomandate ale acestor deplasari initiale sunt date in Tabel 1, in functie de tipul de analiza si de curba de flambaj corespunzatoare elementului. Aceste imperfectiuni locale pot fi de regula neglijate in analiza globala, deoarece relatiile de verificare la stabilitate tin cont de aceste imperfectiuni.

Pentru cazurilor in care elementele au o zveltete mare, aceste imperfectiuni nu pot fi neglijate. Astfel, introducerea in analiza globala a imperfectiunilor locale este obligatorie daca pentru elementul solicitat la compresiune sunt indeplinite conditiile urmatoare: - elementul are cel putin un capat care este prins rigid si transmite moment incovoietor - zveltetea normalizata in plan (sau redusa) satisface conditia:

0.5 y

Ed

Af

Nλ > (9)

in care: NEd este valoarea de calcul a fortei axiale de compresiune λ este zvelteţea redusă în plan, calculată pentru bara considerată ca articulată la extremităţi.

Tabel 1. Valorile de calcul ale imperfecţiunilor iniţiale în arc e0 / L

Analiza elastica

Analiza plastica

Curba de flambaj

e0 / L e0 / L a0 1 / 350 1 / 300 a 1 / 300 1 / 250 b 1 / 250 1 / 200 c 1 / 200 1 / 150 d 1 / 150 1 / 100

Similar cu efectul imperfectiunilor globale, se pot inlocui imperfectiunile locale in arc cu

un sistem de forte orizontale echivalente aplicate la nivelul fiecarui element.

Figura 9. Înlocuirea imperfecţiunilor locale in arc cu un sistem de forte orizontale echivalente

11

2.3.3 Imperfecţiuni pentru sistemul de contravântuiri

Daca sunt folosite sisteme de contravantuiri pentru asigurarea legarii laterale pe deschiderea grinzilor sau a elementelor comprimate, atunci trebuie luata in calcul o imperfectiune geometrica echivalenta a elementelor stabilizate. Aceasta imperfectiune se poate considera sub forma unei imperfectiuni initiale in arc si este data de expresia:

0 me = L 500α (10)

in care L este deschiderea sistemului de contravântuiri iar αm este dat de expresia:

m

1= 0.5 1

mα +

(11)

in care m este numarul de elemente care sunt stabilizate. In mod simplificat, se poate inlocui imperfectiunea initiala in arc printr-o forta echivalenta

de stabilizare data de expresia (Figura 10):

0d 2= 8 q

Ed

eq N

L

δ+∑ (12)

in care δq este este săgeata sistemului de contravântuiri în planul stabilizat din actiunea fortei q, plus alte forte externe calculate printr-o analiză de ordinul intai (δq poate fi considerat 0 daca se foloseste o analiza de ordinul II).

Atunci cand sistemul de contravantuiri este folosit pentru stabilizarea talpii comprimate a unei grinzi cu inaltime constanta, forta NEd din Figura 10 se poate obtine cu relatia:

= EdEd

MN

h (13)

in care MEd este momentul maxim din grinda iar h este inaltimea totala a grinzii.

Atunci cand in grinda sunt si eforturi de compresiune, la calculul lui NEd trebuie sa se considere si o parte din efortul de compresiune din grinda.

N

L

Ed NEde0

qd

Figura 10. Imperfecţiuni pentru sistemul de contravântuiri

12

Daca grinzile sau elementele comprimate stabilizate cu sistemul de contravantuiri au imbinari de continuitate, trebuie sa se verifice sistemul de contravantuiri la forta locala data de relatia urmatoare, aplicata sistemului de catre fiecare grinda sau element comprimat in dreptul imbinarii de continuitate (Figura 11).

2 = 100

EdEd m

NN αΦ (14)

in care Φ = αmΦ0 iar Φ0 = 1/200. Trebuie sa se verifice de asemenea si ca sistemul de contravantuiri poate sa transmita

aceasta forta (data prin relatia anterioara) la punctele adiacente in care grinda sau elementul comprimat este stabilizat. In aceasta verificare trebuie inclusa orice incarcare exterioara care actioneaza asupra sistemului de contravantuiri, insa fortele care apar din imperfectiunile calculate cu relatia (8) pot fi omise.

Figura 11. Forţele din contravântuiri in îmbinările de continuitate ale elementelor comprimate

2.4 Reprezentarea comportării nodurilor in analiza

Calculul si proiectarea unei structuri in cadre metalice presupune in mod tradiţional ca nodurile dintre grinzi si stâlpi sunt fie foarte flexibile fie foarte rigide. In cazul grinzilor, daca acestea sunt solicitate predominant la încovoiere, atunci nodurile sunt considerate fie articulate fie rigide (vezi Figura 12.a). Nivelul real de rigiditate al nodurilor poate avea o influenta mare asupra răspunsului structurilor necontravantuite cu noduri deplasabile. De aceea, aceasta procedură de analiza poate fi folosită atâta timp cat nodurile sunt complet rigide sau complet articulate. In cazul structurilor contravantuite cu noduri fixe, la care preluarea forţelor laterale se face in principal de către sistemul de contravântuiri, rigiditatea nodurilor nu este atat de importanta ca in cazul structurilor necontravantuite.

Norma europeana SR EN 1998-1-8 recunoaşte faptul ca majoritatea nodurilor au o comportare reală situată intre rigid si articulat si de aceea oferă posibilitatea luării in calcul a acestei comportări prin introducerea nodurilor semi-rigide si/sau parţial rezistente (vezi Figura 12.b) (SR EN 1993-1-8, paragraf 5.2). Daca nodurile au o comportare apropiata de articulat, atunci folosirea caracteristicilor reale de rigiditate in locul celor teoretice articulate poate sa conducă la o reducere a deplasărilor laterale, cu implicaţii in reducerea greutatii structurii

Sistemul de contravântuiri

13

metalice. Daca nodurile au o comportare apropiata de rigid, folosirea caracteristicilor teoretice de nod rigid poate conduce la rezultate neconservative, inclusiv in ceea ce priveşte deplasările laterale. Introducerea in calcul a semi-rigiditatii poate fi făcută prin intermediul unui resort la rotire dispus la contactul dintre elemente. Rigiditatea la rotire S a resortului este parametrul care leagă momentul Mj transmis de îmbinare de rotirea relativă ϕ dintre elementele îmbinate. Atunci când această rigiditate este zero sau este foarte mică, nodul poate fi considerat articulat iar când această rigiditate are o valoare foarte mare, nodul poate fi considerat rigid. In toate celelalte situaţii intermediare, nodurile sunt considerate semi-rigide. La nivelul structurii, utilizarea unor noduri semi-rigide afectează nu doar deplasările structurii dar si distribuţia si valoarea eforturilor interne in structură.

ANALIZA GLOBALA

PREDIMENSIONAREA ELEMENTELOR

Alegerea si clasificarea elementelor

DETERMINAREA INCARCARILOR

IDEALIZAREA STRUCTURII

Cadru Imbinari

(geometrie, tipul elementelor, etc) (rigid, articulat)

Stari limitaCriterii de proiectare

da

nuDa?

Etapa 1

DIMENSIONAREA IMBINARILORSTRUCTURII Tipul imbinarii

(rigiditate, capacitate de rotire, rezistenta)

STOP

Etapa 2

(Simplu, continuu)

RASPUNSUL STRUCTURII

Stari limita Criterii de dimensionare (SLEN, SLU) (noduri fixe/deplabile, elastic/plastic)

Dimensionareaimbinarilor

da

Da?

nu, alte elemente nu, alte tipuri de imbinari

ANALIZA GLOBALA

PREDIMENSIONAREA ELEMENTELORAlegerea si clasificarea

elementelor

DETERMINAREA INCARCARILOR

IDEALIZAREA STRUCTURII

Cadru Imbinari

(geometrie, tipul elementelor, etc) (rigid, articulat, semirigid)

Stari limitaCriterii de proiectare

da

Da?

STOP

(Simplu, continuu, semi-continuu)

RASPUNSUL STRUCTURII

Stari limita Criterii de dimensionare (SLEN, SLU) (noduri fixe/deplabile, elastic/plastic)

nu, alte elemente

alte tipuri de imbinari

Alegerea imbinarilor

DETERMINAREA PROPRIETATILOR MECANICE

(Rigiditate, capacitate de rotire, rezistenta)

a) b)

Figura 12. Etapele procesului de proiectare bazat pe concepţia tradiţională a) si pe utilizarea comportării reale a nodurilor b)

2.4.1 Clasificarea nodurilor după rigiditate

Comportarea la rotire a nodurilor se situează in multe cazuri intre cele doua limite definite anterior si anume rigid si articulat. Atunci când elementele îmbinării sunt suficient de rigide, intre rotirea capătului grinzii si rotirea panoului stâlpului sunt diferenţe mici astfel ca nodul poate fi considerat rigid. Un nod rigid are o rotire globala de corp rigid care este rotirea in nod (Figura 13.a). Un astfel de nod trebuie proiectat astfel încât deformaţia lui să nu aibă o influenţă semnificativă asupra distribuţiei de eforturi in structură sau asupra deformaţiei globale. Deformaţiile nodurilor rigide trebuie să aibă valori care să nu reducă rezistenţa

14

structurii cu mai mult de 5%. Nodurile rigide trebuie să fie capabile să transmită forţele si momentele de calcul.

Daca elementele imbinarii sunt flexibile, atunci comportarea grinzii se apropie de aceea a unei grinzi simplu rezemate. In acest caz, nodul poate fi considerat nominal articulat, iar rotirea relativa dintre capatul grinzii si stalp este libera (Figura 13.b). Un astfel de nod va fi proiectat astfel încât să nu dezvolte momente semnificative care sa afecteze elementele structurii. Nodurile nominal articulate trebuie să fie capabile să transmită forţele de calcul si să permită producerea rotirilor rezultate.

Pentru cazurile intermediare, momentul transmis de imbinare va conduce la rotiri relative finite intre elementele imbinate. Astfel de noduri se numesc semi-rigide (Figura 13.c). Nodurile semi-rigide trebuie sa fie capabile să transmită forţele si momentele determinate prin calcul.

a) b) c)

Figura 13. Clasificarea nodurilor dupa rigiditate

In Figura 14 sunt prezentate trei tipuri de noduri grinda stalp realizate cu suruburi, care au proprietati de rigiditate diferite si care se apropie de clasificarea de rigid (a), semi-rigid (b) si articulat c).

a) b) c)

Figura 14. Exemple de noduri grinda-stâlp cu diferite nivele de rigiditate: a) nod rigid; b) nod semi-rigid; c) nod articulat (*)

* Nota: Nodurile din figura sunt cu titlu informativ. Clasificarea unui nod in funcţie de rigiditate se va face doar după determinarea exacta a rigiditatii acestuia.

15

In conformitate cu SR EN 1993-1-8, un nod grinda-stâlp poate fi clasificat din punct de vedere al rigidităţii ca rigid, nominal articulat sau semi-rigid prin compararea rigidităţii iniţiale la rotire Sj,ini cu valorile limita corespunzătoare, vezi Figura 15.

1

2

3

Mj

ΦΦΦΦ

Cadre contravântuite

1 rigid, daca Sj,ini ≥ 8EIb/Lb 2 semi-rigid *) 3 nominal articulat, daca Sj,ini ≤ 0.5EIb/Lb

1

2

3

Mj

ΦΦΦΦ

1 rigid, daca Sj,ini ≥ 25EIb/Lb 2 semi-rigid *) 3 nominal articulat, daca Sj,ini ≤ 0.5EIb/Lb

Cadre necontravântuite (cu condiţia ca la fiecare nivel Kb/Kc ≥ 0.1) *) Toate nodurile din zona 2 trebuie considerate ca semi-rigide. Nodurile din zonele 1 si 3 pot fi considerate semi-rigide daca este avantajos Kb valoarea medie a raportului Ib/Lb pentru toate riglele de la ultimul nivel; Kc valoarea medie a raportului Ic/Lc pentru toţi stâlpii de la ultimul nivel; Ib momentul de inerţie al riglei; Ic momentul de inerţie al stâlpului; Lb deschiderea cadrului; Lc inaltimea de nivel;

Figura 15. Limitele pentru clasificarea nodurilor riglă-stâlp după rigiditate in conformitate cu SR EN 1993-1-8

2.4.2 Clasificarea nodurilor după rezistenţă.

Un nod grinda-stâlp poate fi clasificat si după momentul capabil in: - nod cu rezistenţă completa - nod nominal articulate - nod cu rezistenţă parţială.

Aceasta clasificare se face prin compararea rezistenţei de calcul a nodului Mj,Rd cu rezistenta plastica a elementului îmbinat (de exemplu grinda).

Un nod poate fi clasificat cu rezistenţă completa dacă întruneşte criteriile exprimate in Figura 16. Rezistenta de calcul a unui nod cu rezistenta completa trebuie sa fie mai mare decât cea a elementului îmbinat. Rigiditatea unui nod cu rezistenţă completa trebuie să asigure ca, sub încărcările de calcul, rotirea dezvoltata in articulaţia plastica să nu depăşească capacitatea de rotire a nodului (Figura 17).

Un nod poate fi clasificat ca nominal articulat dacă momentul rezistent de calcul Mj,Rd este mai mic decât 25% din momentul rezistent de calcul al unui nod cu rezistenţă completa. Un nod nominal articulat trebuie să fie capabil să transmită eforturile de calcul, fără sa dezvolte

16

momente încovoietoare semnificative care pot afecta elementele structurii. Un nod nominal articulat trebuie de asemenea sa fie capabil sa permită dezvoltarea rotirilor din incarcarile de calcul.

Un nod care este capabil să preia si să transmită momente dar nu îndeplineşte criteriul pentru un nod cu rezistenţă completa poate fi clasificat ca nod parţial rezistent. Un nod parţial rezistent trebuie sa aibă o rezistenţa de calcul mai mare decât valoarea necesară pentru transmiterea eforturilor de calcul, dar poate fi mai mică decât cea a elementului îmbinat. Daca se adopta un calcul plastic, capacitatea de rotire a unui astfel de nod trebuie sa aibă o valoare care să asigure formarea si dezvoltarea articulaţiilor plastice sub încărcările de calcul. Capacitatea de rotire a unui astfel de nod poate fi determinată prin încercări experimentale. Atunci când sunt utilizate noduri a căror comportare este cunoscută, nu este necesară determinarea capacităţii de rotire prin încercări experimentale. Rigiditatea nodurilor cu rezistenţă parţială trebuie să aibă o valoare care să asigure nedepăşirea capacităţii de rotire in articulaţiile plastice sub încărcările de calcul (Figura 17).

Mj,Rd

a) Stâlp de la ultimul nivel

Mj,Rd ≥ Mb,pl,Rd

sau Mj,Rd ≥ Mc,pl,Rd

Mj,Rd

b) Stâlp de la un nivel intermediar

Mj,Rd ≥ Mb,pl,Rd

sau Mj,Rd ≥ 2Mc,pl,Rd

in care: Mb,pl,Rd este momentul plastic de calcul al grinzii Mc,pl,Rd este momentul plastic de calcul al stâlpului;

Figura 16. Noduri cu rezistenţă completa

Mj

φ

Mj.Rd

Rezistenţă totală

Articulat

Rezistenţă parţială

Limitele pentru rezistenţă Rezistenţa nodului

Figura 17. Clasificarea nodurilor după rezistenţă

17

2.4.3 Clasificarea nodurilor după ductilitate

Un nod grinda-stâlp poate fi clasificat si după ductilitate sau capacitatea de rotire plastica. Ductilitatea (sau lipsa acesteia) unui nod are consecinţe asupra tipului de analiza structurala care se poate utiliza. Clasificarea după ductilitate este similara cu clasificarea secţiunilor elementelor si exprima capacitatea nodului de evita o rupere fragila prematura (de exemplu ruperea in cordonul de sudura sau ruperea şuruburilor) si de a permite dezvoltarea de rotiri plastice fara o reducere semnificativa a capacitatii portante. In cazul unei analize plastice, capacitatea de rotire a nodurilor trebuie sa permită formarea mecanismului plastic de cedare prin formarea de articulaţii plastice înainte de ruperea nodurilor.

Clasificarea nodurilor după ductilitate se face in funcţie de capacitate de rotire, Φpl, corespunzătoare momentului rezistent plastic Mj,Rd (Figura 18).

Φpl

Φ

Mj

Mj,Rd

Figura 18. Capacitatea de rotire a unui nod

Există trei clase de ductilitate (Figura 19): - Clasa 1 : Noduri ductile: un nod ductil este capabil să dezvolte momentul plastic rezistent si să prezinte o capacitate de rotire suficient de mare - Clasa 2 : Noduri cu ductilitate medie: un nod cu ductilitate medie este capabil să dezvolte momentul plastic rezistent dar prezintă o capacitate de rotire limitată după atingerea acestui moment - Clasa 3 : Noduri fara ductilitate (fragile): cedarea prematură (datorită instabilităţii sau ruperii casante a unei componente a îmbinării) apare in nod înainte de atingerea momentului plastic rezistent.

Φ

MjDuctilitate

Clasa 3

Clasa 1Clasa 2

Φ

Mj

Figura 19. Clasele de ductilitate pentru noduri

18

Dacă rezistenţa de calcul a nodului este cel puţin egală cu 1.2 × rezistenţa plastică de calcul a elementului îmbinat, nu este necesară verificarea capacităţii de rotire a nodului. Capacitatea de rotire a nodurilor este o caracteristica importanta a structurilor in cadre metalice care sunt proiectate in domeniul plastic. De asemenea, in cazul structurilor in zone seismice, folosirea unui concept de proiectare disipativ obliga proiectantul la alegerea si utilizarea unor noduri cu buna ductilitate. Verificarea prin calcul a capacitatii de rotire nu este insa posibila decât pentru anumite configuraţii standard si doar pentru acţiuni statice (vezi SR EN 1993-1-8, paragraful 6.4). Pentru celelalte situaţii, norma recomanda verificarea capacitatii de rotire prin încercări experimentale conform EN 1990, anexa D sau folosind modele corespunzătoare de calcul, cu condiţia ca ele să fie bazate pe rezultatele unor încercări în conformitate cu EN 1990.

Ca un exemplu, nodul din Figura 14.a poseda o buna capacitate de rotire daca componenta slaba este talpa stalpului la incovoiere sau placa de capat la incovoiere, iar componentele imbinarii cu potential de rupere fragila (suruburi la intindere, sudura dintre grinda si placa de capat) au o suprarezistenta suficienta. 2.4.4 Clasificarea secţiunilor elementelor

Analiza globala a structurilor in cadre metalice se realizează pe baza unor ipoteze, atât in ceea ce priveşte comportarea secţiunilor si nodurilor (elastic/plastic) cat si a răspunsului geometric (teoria de ordinul I/ordinul II). După efectuarea analizei, urmează verificarea prin calcul a tuturor elementelor cadrului. Pentru aceasta, secţiunile elementelor trebuie clasificate după modul de comportare la încovoiere si/sau compresiune. Astfel, in conformitate cu SR EN 1993-1-1, secţiunile transversale ale elementelor supuse la compresiune sau/si încovoiere se clasifica in funcţie de raportul dintre lăţimea si grosimea pereţilor comprimaţi ai secţiunii in 4 clase (Figura 20) (SR EN 1993-1-1, paragraf 5.6): • Clasa 1: secţiuni transversale plastice - secţiunile care pot forma articulaţii plastice, având

capacitatea de rotire ceruta de o analiza plastica • Clasa 2: secţiuni transversale compacte - secţiunile care dezvolta un moment încovoietor

plastic capabil, dar care au limitata capacitatea de rotire • Clasa 3: secţiuni transversale semi-compacte - secţiunile in care eforturile in fibra extrema

pot atinge limita de curgere dar flambajul local împiedica dezvoltarea momentului încovoietor plastic capabil

• Clasa 4: secţiuni transversale zvelte - secţiunile la care trebuie luat in considerare efectul flambajului local pentru determinarea momentului încovoietor capabil sau a forţelor de compresiune capabile. In acest caz se lucrează cu caracteristicile geometrice ale secţiunii eficace.

M

φ

M p l

M e l

c l . 4

c l . 3 c l . 2

c l a s a 1

capacitatea de rotire

M M M

Figura 20. Clasele de secţiuni pentru elemente

19

Deoarece pereţii comprimaţi ai unei secţiuni transversale (inimă sau talpă) pot fi în general de clase diferite, clasa unei secţiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puţin favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi. De exemplu, daca inima unui profil I este de clasa 1 iar tălpile sunt de clasa 2, atunci secţiunea este clasificata de clasa 2. In Tabel 2 si Tabel 3 se prezintă limitele pentru fiecare clasa de secţiuni pentru pereţi interiori si tălpi in consola, in conformitate cu SR EN 1993-1-1.

Tabel 2. Rapoarte lăţime-grosime maxime pentru pereţi comprimaţi (SR EN 1993-1-1, 2006)

*) ψ ≤ -1 se aplică fie când tensiunea de compresiune σ ≤ fy fie când deformaţia specifică de întindere εy > fy/E

20

Tabel 3. Rapoarte lăţime-grosime maxime pentru pereţi comprimaţi (SR EN 1993-1-1, 2006)

2.5 Modelarea structurilor pentru analiza structurala

Analiza răspunsului structurii sub efectul acţiunilor exterioare necesita schematizarea (modelarea) fenomenului fizic real. Analiza se face pe baza unor ipoteze privind modelul structural (schema structurii de rezistenta, distribuţia si mărimea incarcarilor), comportarea elementelor, comportarea secţiunilor, a nodurilor si a materialului.

In funcţie de destinaţia construcţiei si de modul ei de comportare (sub acţiunile predominante), calculul structurii începe cu stabilirea soluţiei de principiu care consta in alegerea formei si dimensiunilor construcţiei, a soluţiei constructive pentru elementele principale si secundare. Pe baza acestor elemente, se stabileşte schema de calcul a structurii de rezistenţă. Stabilirea schemei de calcul are o importanţă deosebită în ansamblul procesului de proiectare. Având in vedere faptul că se calculează o schemă idealizată a structurii şi nu

21

structura reală, rezultă că în cazul în care schema de calcul va modela cât mai fidel structura reală, atunci se va asigura o siguranţa corespunzătoare în exploatare (dacă toate celelalte etape ale procesului de proiectare sunt rezolvate corect).

Alegerea si conformarea structurii trebuie sa tina seama de faptul ca structura poate sa fie solocitata atat de incarcari statice (de exemplu incarcarile din greuatate proprie sau zapada) cat si de incarcari dinamice (seismice). Cladirile in cadre multietajate sunt de regula proiectate pe baza criteriului de proiectare disipativa. Pentru acestea, SR EN1998-1 prezinta cerintele de alcatuire astfel incat sa se asigure o siguranta corespunzatoare sub actiunile de proiectare. In cazul structurilor pentru hale parter, realizate de regula in solutie usoara, chiar daca nu se conteaza pe capacitatea de disipare a structurii trebuie sa se tina seama de urmatoarele aspecte, cum ar fi: comportarea spaţială depinde în mare măsură de modul de alcătuire al acoperişului. De

aceea, se va acorda o atentie deosebita modului de dispunere a elementelor de rigidizare in planul acoperisului (contravantuiri, grinzi longitudinale);

la structurile amplasate în zone cu seismicitate redusă si care au acoperişuri uşoare, importanţa acţiunilor seismice nu este mare şi în multe situaţii acestea nu decid dimensionarea structurii;

la structurile amplasate în zone cu seismicitate mare, halele metalice uşoare de tip parter au posibilităţi reduse de disipare a energiei seismice reduse deoarece articulaţiile plastice iau naştere cu precadere în stâlpi;

în ambele situaţii, măsurile de conformare seismică de ansamblu prevăzute în P100-1/2006 (sau SR EN 1998-1) trebuie respectate.

De exemplu, daca se doreşte proiectarea unei hale industriale parter, in funcţie de geometria halei si de destinaţie, se poate alege sistemul constructiv astfel (Figura 21): - Se alege tipul de cadru transversal curent al structurii principale de rezistenta: cadru cu o

singura deschidere alcătuit din stâlpi si grinzi cu secţiuni din tabla sudata (Figura 22); - Tipul de cadru transversal de fronton utilizat pentru structura principala de rezistenta –

cadru cu doi stâlpi intermediari de fronton dispuşi la distanta de 8,0 m interax (Figura 23); - Traveea (distanta pe direcţie longitudinala intre doua cadre transversale) halei se stabileşte

la valoarea de 6,0 m (deschidere uzuala pentru panele si riglele de perete uşoare cu secţiune Z sau C);

- Sistemul de rezemare la baza al stâlpilor cadrelor transversale si de fronton - rezemare articulata (simplitate la montaj si sensibilitate redusa la tasări neuniforme);

- Se prevăd bare metalice de legătura intre cadrele transversale, dispuse la nivelul coltului cadrului si la nivelul coamei, după direcţia longitudinala a halei; Acestea au rolul de a lega pe direcţie longitudinala cadrele transversale (Figura 21);

- Se dispun contravântuirile pe direcţie longitudinala in pereţii marginali - in anumite travei ale halei se prevăd contravântuiri in X lucrând doar la întindere. Deoarece stâlpii sunt articulaţi la baza, este absolut necesara dispunerea acestor contravântuiri pentru a prelua forţele orizontale pe direcţie longitudinala (de exemplu din vânt sau seism) (Figura 21);

- Se dispun contravântuirile din acoperiş in traveile in care sunt dispuse contravântuirile in X din pereţii longitudinali. Acestea au rolul de a prelua sarcinile orizontale pe direcţie longitudinala de la nivelul acoperişului si de a le transmite la contravântuirile longitudinale (Figura 21);

- In cadrele de fronton se prevăd contravântuiri in X lucrând doar la întindere, amplasate adiacent colturilor halei – aceasta soluţie este opţionala, având in vedere ca pe direcţie transversala preluarea sarcinilor orizontale este realizata prin efectul de cadru. Daca hala este scurta pe direcţie longitudinala, efectul este vizibil, insa daca hala este lunga, dispunerea contravântuirilor are un efect limita la cadrele adiacente (Figura 23).

22

- Se prevăd contravântuiri longitudinale in X lucrând exclusiv la întindere in planul acoperişului, in zona coltului cadrelor (Figura 21).

Figura 21. Hala industriala parter

Figura 22. Cadru transversal curent

Figura 23. Cadru transversal

23

Figura 24. Detaliu de prindere a stâlpului la baza

După evaluarea incarcarilor se aleg elementele si se face analiza structurala. Daca se foloseşte metoda clasica (vezi Figura 12.a), cu rezultatele din analiza se face verificarea elementelor si apoi a îmbinărilor, inclusiv prinderile in fundaţii. Alegerea tipurilor de îmbinări intre elementele structurale trebuie făcuta inca din faza iniţiala de conformare structurala, deoarece in funcţie de modul lor de realizare, in analiza se considera articulate, rigide sau semi-rigide, articulate, cu rezistenta parţiala sau completa. De exemplu, prinderea la baza din Figura 24 este o prindere articulata insa daca placa de baza este extinsa si buloanele de ancoraj sunt dispuse in afara plăcii de capăt, atunci prinderea poate deveni semi-rigida.

Modelarea nodurilor grinda - stâlp are o importanta deosebita, in special la clădirile multietajate. Astfel, după stabilirea modelului geometric, este necesara stabilirea tipurilor de legături între elementele structurii si între structură şi fundaţii (de exemplu prinderi încastrate, articulate sau semirigide) (Figura 25).

a) b)

Figura 25. Schema de calcul pentru o structură în cadre multietajate: a) grinzile sunt prinse încastrat de stâlpi; b) grinzile din deschiderea mediană sunt prinse articulat de stâlpi

Pentru nodurile grinda - stâlp, deformabilitatea la încovoiere este cea mai importanta si are o influenta semnificativa asupra rezultatelor analizei structurale (Figura 26). Figura 27 prezintă curba moment - rotire (Mj - φ) impreuna cu curba idealizata caracterizata prin urmatorii parametri fundamentali: rigiditatea la rotire (Sj), rigiditatea initiala la rotire (Sj,ini), momentul capabil (Mj,Rd) si capacitatea de rotire (φCd).

Considerarea proprietăţilor de rezistenţă ale nodurilor conduce către trei modelări ale acestora: - rigide / rezistenţă completa; - rigide / rezistenţă parţială; - articulate.

24

Mj/Mpl,b

T-uri pe talpi

Placa de capat

Corniere pe talpi

Corniere pe inima

Sudata

Rotire (rad *103)

Figura 26. Relaţii moment-rotire pentru noduri uzuale

Mj

φj

Sj,ini

Mj.Rd

φCd

Sj

Figura 27. Curba moment - rotire pentru un nod grinda - stâlp

Daca insa si rigiditatea la rotire a nodului este considerată in calcul, acestea pot fi realizate si in variantă semi-rigidă. Astfel, apar noi posibilităţi de modelare si anume: - semi-rigid / rezistenţă completa; - semi-rigid / rezistenţă parţială.

SR EN 1993-1-1 permite luarea in considerare a acestor posibilităţi prin introducerea a trei modelări (Tabel 4): - continuu: acoperă cazul rigid / rezistenţă completa - semi-continuu: acopera cazurile rigid/rezistenţă parţială, semi-rigid/rezistenţă completa si semi-rigid/rezistenţă parţială - simplu: acoperă cazul articulat

Rolul îmbinărilor intre elemente este de a lega elementele intre ele. In funcţie de soluţia de îmbinare (rigid, semirigid sau articulat), îmbinările pot transfera in totalitate, parţial sau deloc eforturile din aceste elemente. Termenii continuu, semi-continuu si articulat se definesc deci astfel : - continuu: nodul asigură o continuitate perfectă la rotire intre elementele îmbinate; - semi-continuu: nodul asigură doar parţial continuitatea la rotire intre elementele îmbinate; - simplu: nodul întrerupe continuitatea la rotire intre elementele îmbinate.

Tabel 4. Modelarea nodurilor

Rezistenţă Rigiditate Rezistenţă completa Rezistenţă parţială Articulat

Rigid Continuu Semi-continuu - Semi-rigid Semi-continuu Semi-continuu - Articulat - - Simplu

25

Folosirea acestor tipuri de modelare trebuie făcută in concordanţă cu tipul de analiză

structurală. In cazul unei analize globale elastice, doar proprietăţile de rigiditate ale nodurilor sunt importante in modelare. Atunci când se efectuează o analiză rigid-plastică, caracteristica principală a nodului este rezistenţa. In toate celelalte tipuri de analiză, sunt importante atât proprietăţile de rigiditate cât si cele de rezistenţă. In Tabel 5 sunt prezentate modelările nodurilor pentru fiecare tip de analiză (SR EN 1993-1-8, paragraf 5.1).

Tabel 5. Tipurile de analiză si modelarea nodurilor

Metoda de calcul Clasificarea nodului

Elastică Articulaţie nominala Rigid Semirigid Rigid-plastică Articulaţie nominala Rezistenţă totală Rezistenţă parţială Elastic-plastică Articulaţie nominala

Rigid şi cu rezistenţă totală

Semirigid şi cu rezistenţă parţială Semirigid şi cu rezistenţă totală Rigid şi cu rezistenţă parţială

Tipul de model de nod

Simplă Continuu Semicontinuu

Deformaţia unui nod grinda-stâlp este data de cele doua componente si anume panoul

inimii stâlpului solicitat la forfecare si îmbinarea solicitata la încovoiere si forta axiala. Pentru a lua in considerare cele doua componente, se poate modela separat panoul inimii la forfecare si îmbinarea la moment si forta axiala. Simplificat, cele doua deformaţii pot fi modelate printr-un singur resort la rotire situat la intersecţia axelor elementelor îmbinate. Astfel, o configuraţie de nod de o singura parte se va modela printr-un singur nod iar o configuraţie de ambele parti se va modela prin doua noduri care insa interactioneaza. In cazul configuraţiei de nod de ambele parti, vor exista deci doua curbe caracteristice moment – rotire, una pentru nodul din partea stânga si una pentru cel din partea dreapta. Curba caracteristică a deformabilităţii din tăiere si rotire poate fi transformată intr-o curba Mb - φ prin intermediul parametrului de transformare β (Figura 28).

φci

Mb

Mb,i

φc

a) Îmbinare

γi

Mb

Mb,i

γ

b) Panoul inimii stâlpului

φci + γi

Mb, Mj

Mb,i

φ

c) Resort Figura 28. Caracteristica la încovoiere a resortului

Acest parametru pune in legătură directă forţa tăietoare din panoul inimii cu forţele de

întindere si compresiune din îmbinare. Curba caracteristică a resortului Mb - φ care reprezintă comportarea nodului este arătată in Figura 28c; aceasta rezultă prin însumarea rotirii din îmbinare (φc) cu cea din panoul inimii (γ).

26

In conformitate cu prevederile din SR EN 1993-1-8, paragraf 5.3, pentru configuraţiile de nod de ambele parti se poate distribui contribuţia panoului de inima intre cele doua resorturi (cel aferent nodului din stânga si cel aferent) prin intermediul parametrului β (Figura 29):

1 , 2, , 1,

2 , 1, , 2,

1 2

1 2

j b Ed j b Ed

j b Ed j b Ed

M M

M M

β

β

= − ≤

= − ≤ (15)

in care: β1 (β2) este parametrul de transformare pentru îmbinarea din dreapta (respectiv stânga) Mj,b1,Ed (Mj,b2,Ed) este momentul încovoietor aplicat grinzii din dreapta (respectiv stânga), la intersecţia axelor neutre ale elementelor.

a) b)

Figura 29. Forţele si momentele care actioneaza in nod: a) la marginea panoului de inima; b) la intersecţia axelor neutre

a) b)

Figura 30. Forţele si momentele care actioneaza asupra panoului de inima si asupra îmbinărilor: a) forţele tăietoare din panoul de inima; b) îmbinări, cu eforturile din grinzi

27

Mb

Fb

Fb

Vwp

Vwp

V Fwp b= β

in care F M Zb b=

Vwp

Mb1Mb2

Fb1

Fb1Vwp

Fb2

Fb2

22

11

b

bwp

F

FV

β

β

=

=, in care F M Zb b1 1= , F M Zb b2 2=

Figura 31. Definirea parametrului de transformare β Pentru cazul din Figura 32.a (configuraţie de nod de ambele parţi, momente egale si de

sensuri opuse), valoarea factorului de transformare este β = 0, pentru noduri de o singura parte β = 1 iar pentru nodul din figura Figura 32.c valoarea factorului de transformare este β = 2 (configuraţie de nod de ambele parţi, momente egale si de acelaşi sens).

Mb1,Ed Mb2,Ed

a)

Mb1,Ed

Mb1,Ed

b)

Mb1,Ed Mb2,Ed

c)

Figura 32. Limitele factorului β: a) momente egale si de sens invers; b) momente egale si de acelaşi sens

Valorile exacte ale parametrului de transformare β pot fi obţinute doar după determinarea

distribuţiei eforturilor interne, astfel ca determinarea lui cât mai exactă se poate face doar printr-un calcul in cicluri. SR EN 1993-1-8 prevede o metodologie pentru luarea in considerare a panoului de inima. Aceasta conţine următorii paşi: se realizează analiza structura si se considera pentru resorturile la rotire o valoarea

β = 1 pentru toate nodurile de o singura parte si β = 0 pentru nodurile de ambele parti, in toate combinaţiile de incarcari

pentru fiecare combinaţie, după analiza se verifica si se corectează valorile iniţiale ale parametrului β = 1 pentru nodurile de ambele parti

se repeta analiza structurala cu valorile corectate se repeta paşii b) si c) pana când se obţine convergenta.

28

Comportarea neliniară a nodurilor, reprezentate prin resorturi având o anumită rigiditate la rotire, este destul de dificil de utilizat in practica curentă de proiectare. De aceea, curba caracteristică reală moment-rotire a nodului poate fi modelată, fără o scădere semnificativă a preciziei, printr-o curbă caracteristică elastic-perfect plastică (Figura 33.a). Rigiditatea nodului in modelarea biliniara Sj se obţine prin impartirea rigiditatii iniţiale Sj,ini la coeficientul η, denumit si coeficient de modificare a rigiditatii. Valorile coeficientului η sunt date in Tabel 6 (SR EN 1993-1-8, paragraf 5.1). Această reprezentare are avantajul de a fi similară cu curba caracteristică a comportării elementelor la încovoiere (Figura 33.b).

Mj

φ Sj = Sj,ini /η

Mj.Rd

a) nod

Mb, Mc

φEI/L

Mpl.Rd

b) Element Caracteristica M-φ reala Reprezentare idealizata

Figura 33. Curbele biliniare moment-rotire

Tabel 6. Valorile coeficientului η

Tipul îmbinării Noduri riglă-stâlp Alte tipuri de noduri (grinda-grinda, stâlpi

la baza)

Sudate 2 3

Cu şuruburi si placă de capăt 2 3

Cu corniere prinse cu şuruburi 2 3,5

Placi de baza - 3

Momentul Mj,Rd corespunzător platoului este denumit moment rezistent de calcul sau

moment capabil. Sunt neglijate astfel efectele de ecruisare a materialului sau alte efecte. Acest lucru explică diferenţele dintre comportarea idealizată a nodului si comportarea reală. In funcţie de tipul de analiză, se pot alege diferite moduri de idealizare a caracteristicii M - φ. Modelarea elastică pentru o analiză elastică. Caracteristica principală a nodului este rigiditatea la rotire. In acest tip de analiză, avem doua posibilităţi de verificare: - verificarea elastică a rezistenţei nodului (Figura 34.a): rigiditatea constantă este egală cu rigiditatea iniţiala Sj,ini; la sfârşitul analizei, trebuie să se verifice dacă momentul de calcul MEd din nod este mai mic decât momentul rezistent elastic al îmbinării având valoarea 2/3Mj,Rd; - verificarea plastică a rezistenţei nodului (Figura 34.b): rigiditatea constantă este egala cu o rigiditate având valoarea cuprinsă intre rigiditatea iniţială si cea secantă relativă la Mj,Rd, Această rigiditate este definită ca Sj,ini/η Această modelare este valabilă pentru valori ale momentului MEd mai mici sau egale cu Mj,Rd.

29

Mj

φSj,ini

Mj.Rd

2/3Mj.Rd

a) Verificare elastica

Mj

φSj,ini /η

Mj.Rd

b) Verificare plastica

Caracteristica M-φ reala Reprezentare idealizata

Figura 34. Reprezentarea liniară a caracteristicii M-φ Modelarea rigid-plastică pentru o analiză rigid-plastică. In analiză este necesară doar rezistenţa de calcul Mj,Rd. Pentru a permite formarea si dezvoltarea articulaţiilor plastice in îmbinări, este necesară verificarea capacităţii de rotire a îmbinărilor (Figura 35.).

Mj

φ

Mj.Rd

Figura 35. Reprezentarea rigid-plastica a caracteristicii M-φ Modelarea neliniară pentru o analiză plastică de ordinul II. In calcul sunt necesare atât rezistenţa cât si rigiditatea. Se pot folosi curbe biliniare, triliniare, până la curbe complet neliniare. Pentru a permite formarea si dezvoltarea articulaţiilor plastice in noduri, este necesară si in acest caz verificarea capacităţii de rotire a nodului (Figura 36).

Mj

φSj,ini /η

Mj.Rd

a) Reprezentarea biliniara

Mj

φ

Mj.Rd

b) Reprezentarea triliniara

Mj

φSj,ini /η

Mj.Rd

c) Reprezentarea neliniara

Figura 36. Reprezentările neliniare ale caracteristicii M-φ

30

3 CALCULUL STRUCTURILOR LA ACŢIUNI STATICE

3.1 Introducere

Alegerea metodei de analiza globala trebuie sa tina cont de numeroşi factori, cum ar fi: deformabilitatea structurii, caracteristicile geometrice, proprietatile materialului. In funcţie de acestea, se poate opta pentru un anumit tip de calcul Figura 37. Rezultatele comparative ale acestor tipuri de analiza sunt prezentate in Figura 38.

Criterii pentru alegerea

metodei de analiza

Sensibilitatea la imperfectiuni

Clasificarea sectiunilor

Sectiune Rezistenta plastica

ANALIZA GLOBALA

Deplasabile Nedeplasabile

Sensibilitatea la deplasari laterale

Imbinari semirigide Imbinari partial rezistente

Comportarea reala a imbinarilor

Metoda de analiza

• Elastic I

• Elastic II

• Plastic I

• Plastic II

Figura 37. Alegerea metodei de analiza

Figura 38. Comparaţie intre diversele tipuri de calcul

Prima deosebire importantă ce poate fi făcută între tipurile de calcul este aceea care separă metodele elastice de cele plastice.

- CLE I - calcul de ordinul I, liniar elastic - CGN II - calculul de ordinul II, liniar elastic si

geometric neliniar - CNE I - calculul de ordinul I, neliniar elastic - CNE II - calculul de ordinul II, neliniar elastic - CEP I - calculul de ordinul I, rigid-plastic

31

In timp ce calculul elastic poate fi folosit în toate cazurile, calculul plastic nu poate fi folosit la toate structurile deoarece este supus anumitor restricţii si condiţii suplimentare. Calculul plastic oferă in schimb si avantaje, cum ar fi o reducere a greutatii structurii prin luarea in considerare a rezervei de rezistenta in domeniul plastic. De aceea, folosirea calculului plastic trebuie făcuta doar la acele structuri care au redundanta structurala corespunzătoare, care folosesc un otel ductil si la care secţiunile au o comportare plastica adecvata (secţiuni compacte de clasa 1). In plus, proiectantul trebuie sa se asigure ca îmbinările au o suprarezistenta corespunzătoare fata de elementele îmbinate (cel puţin egala cu cea a elementului îmbinat), in caz contrar trebuie sa se asigure ca ductilitatea lor (capacitatea de rotire plastica) este mai mare decât cerinţa rezultata din calcul.

O altă distincţie importantă trebuie făcută între tipurile de calcul care iau în considerare efectul formei reale deformate a structurii (bazate pe teoria de ordinul II) şi cele care neglijează efectul formei reale deformate a structurii (bazate pe teoria de ordinul I). Teoria de ordinul II poate fi aplicată în toate cazurile în timp ce teoria de ordinul I poate fi aplicată doar atunci când efectele deplasărilor asupra comportării structurii sunt neglijabile. Deoarece deplasările cauzate de încărcările exterioare pot modifica răspunsul structurii şi deci distribuţia eforturilor interne, este necesară evaluarea nivelului de la care aceste deplasări trebuie luate în calcul. Pentru structurile în cadre, încărcările exterioare care produc cele mai importante modificări faţă de răspunsul liniar sunt încărcările axiale. Figura 39 prezintă un element în consolă (de exemplu un stâlp), supus la capătul liber unei încărcări axiale şi unei încărcări orizontale.

Deplasarea orizontală a capătului liber şi curbura elementului conduc la apariţia unor momente suplimentare fata de situaţia in care elementul este considerat perfect rectiliniu si la care se neglijează deplasarea capătului liber. Aceste momente se datorează efectelor de ordinul II locale sau de element (P-δ) şi unor efecte de ordinul II globale (P-∆). In general, efectul P-∆ este mai important decât P-δ, care este semnificativ doar pentru stâlpii cu zvelteţe mare. Atunci când efectele P-∆ si P-δ sunt neglijate, fiecare element structural poate fi caracterizat printr-o matrice de rigiditate liniară. Luarea în considerare a efectelor de ordinul II se realizează prin modificarea termenilor matricei de rigiditate liniare astfel încât să devină

funcţii de factorul ε = L P EI , unde P este încărcarea axială, L este lungimea elementului

iar I momentul de inerţie.

M(x) = H·xM(L) = H·L

H

P

H

P

∆

L

x x

δ

M(x) = H·x + P·δ + P·∆x/LM(L) = H·L + P·∆

Figura 39. Efectele de ordinul II globale (sau P-∆) si locale (sau P-δ)

Calculul de ordinul I are următoarele avantaje:

32

- Este simplu, bine cunoscut şi înţeles, aşa că inginerii proiectanti au încredere în el şi îl găsesc uşor de aplicat. - Utilizează o capacitate de calcul minimă sau poate fi efectuat simplificat (vezi Anexa 1).

Calculul de ordinul I are insa si dezavantaje: - Nu include efectele geometrice (de ordinul II) şi luarea lor în considerare cere etape de calcul suplimentare. Aceste etape sunt calculul forţei critice de flambaj al structurii Fcr şi aplicarea unui factor de modificare derivat din Fcr. Valori aproximative ale lui Fcr pot fi determinate manual utilizând metode simplificate. - Pentru structurile flexibile (sensibile la efectele de ordinul II), rezulta bare cu secţiuni mai mari. - Nu este indicat să se utilizeze la structurile la care Fcr este apropiat de FEd.

Calculul de ordinul II are următoarele avantaje: - Poate sa includa efectele P-δ şi P-∆, evitând necesitatea iteraţiilor suplimentare. - Se pot obţine secţiuni mai mici pentru structurile mai flexibile. - Nu există limitări ale zvelteţii elementelor structurii care trebuie analizată.

Calculul de ordinul II are următoarele dezavantaje: - Cere un efort de calcul mai mare şi nu este practica fără utilizarea unui program de calcul. - Nu este la fel de simplu ca şi calculul de ordinul I, utilizarea lui fiind mai restrânsa.

33

Cadre cu noduri fixe

Analiza de ordinul I

Cadre cu noduri deplasabile

Analiza de ordinul II

Analiza de ordinul I

Rezistenta sectiunilor transversale si verificarea stabilitatii locale

Rezistenta nodurilor

Stabilitatea elementelor in afara planului

Analiza globala elastica

Considerarea efectelor de

ordinul II

Verificarea elementelor si a cadrului

Stabilitatea in plan a elementelor considerand

lungimile de flambaj pentru structuri cu noduri

deplasabile

Stabilitatea in plan a elementelor considerand lungimile de flambaj pentru

structuri cu noduri fixe

Modelarea structurii, modelarea incarcarilor

Introducerea

imperfectiunilor globale φ

αcr<10 Nu Da

daca 3crα ≥

Amplificarea HEd şi VEdφ cu 1

11

crα−

Figura 40. Analiza globală elastică si verificările la dimensionare (SR EN 1993-1-1)

3.2 Analiza elastica

Analiza elastica este folosita pe scara larga in proiectare si se poate folosi la toate tipurile de structuri. Nu necesita condiţii suplimentare referitoare la clasa de ductilitate a secţiunilor sau îmbinărilor. Structurile care lucrează în domeniul elastic se mai numesc sisteme conservative. Folosirea unei analize elastice trebuie sa fie insotita de verificarea eforturilor in elemente si îmbinări, pentru a nu fi atinsa capacitatea plastica a acestora. Figura 40 prezintă posibilităţile de utilizare a unei analize elastice si verificările necesare la dimensionare (SR EN 1993-1-1, 5.4.2). Se poate observa ca pentru structurile care nu sunt sensibile la efectele de ordinul II, adică structurile cu noduri fixe, se poate face o analiza de ordinul I, urmând ca verificările de rezistenta si stabilitate sa se facă cu valorile efoturilor obtinute in analiza. Atunci când structurile sunt cu noduri deplasabile si sunt sensibile la efectele de ordinul II, se poate face o analiza de ordinul I doar daca valoarea factorului αcr este ≥ 3, in caz contrar fiind necesara efectuarea unei analize de ordinul II.

3.2.1 Analiza elastica de ordinul I

Analiza elastică presupune un răspuns liniar al elementelor si nodurilor (Figura 41). Intr-o analiză de ordinul I, echilibrul se exprimă pe structura nedeformată. Intr-o astfel de analiză nu este necesar ca secţiunile elementelor si nodurile să îndeplinească cerinţa de a avea o

34

comportare ductilă (clasa secţiunii, clasa de ductilitate a nodului). Analiza globală elastică de ordinul I a unei structuri in cadre conduce la un răspuns liniar forţă-deplasare (Figura 42). In calcul se admit următoarele ipoteze simplificatoare: - materialul este continuu, omogen si izotrop - relaţia efort unitar-deformaţie specifica este liniara - relaţia forţa-deplasare este liniara - relaţia deformaţie specifica-deplasare este liniara si are următoarea forma:

- pentru bare solicitate axial

x

u xx ∂

∂=ε

- pentru bare solicitate la încovoiere cu forţa axiala (structuri plane)

2x

2x

x x

vy

x

u

∂

∂−

∂

∂=ε

- pentru bare solicitate la încovoiere cu forţa axiala (structuri spaţiale)

xr

x

wz

x

vy

x

u

xx

2

x2

2

x2

xx

∂

θ∂=γ

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂=ε

in care: - ux, vx si wx reprezintă deplasările unui punct al secţiunii curente de abscisa x, pe direcţia

axelor x, y si respectiv z - θx reprezintă rotirea in jurul axei x - r reprezintă distanta de la punct la centrul de greutate

σ

ε

M

M

φ

M

Elastic

M

φ

M

Elastic

φ

a) b) c)

Figura 41. Caracteristica de material a), curbele moment-rotire pentru elemente b) si noduri c) Ca urmare a admiterii acestor ipoteze si a faptului ca deplasările sunt mici in raport cu dimensiunile elementelor si structurii, apar următoarele consecinţe: - ecuaţiile de echilibru static se scriu in raport cu poziţia iniţiala a structurii - se aplica principiul suprapunerii efectelor, denumit si principiul independentei acţiunii

forţelor - structura reprezintă un sistem conservativ - eforturile si deplasările sunt funcţii liniare de forţele exterioare - proprietatile de rigiditate si de flexibilitate ale structurii nu depind de nivelul forţelor

exterioare, ci numai de caracteristicile structurii si de natura materialului.

35

Analiza elastica de ordinul IElemente si îmbinări cu comportare liniara

Forta

Deplasare Figura 42. Răspunsul forţă - deplasare intr-o analiză elastică de ordinul I

Analiza elastică de ordinul I oferă rezultate conservative atâta timp cât răspunsul structurii

diferă foarte puţin de răspunsul real, pentru un domeniu larg de acţiuni. In ceea ce priveşte starea limită de serviciu, o analiză elastică de ordinul I oferă o aproximare satisfăcătoare a răspunsului structurii deoarece, la acest nivel al încărcărilor exterioare, efectele neliniarităţii sunt reduse. După determinarea eforturilor de calcul in structură (forţe axiale, momente încovoietoare si forţe tăietoare), sunt necesare următoarele verificări: - evaluarea efectelor de ordinul II - verificarea rezistenţei secţiunilor - verificarea rezistenţei nodurilor - verificarea stabilităţii globale a elementelor - verificarea stabilităţii locale a elementelor - verificarea condiţiilor aferente SLEN

Una din metodele simplificate care permite aproximarea efectelor de ordinul II este metoda amplificării momentelor (SR EN 1993-1-1, paragraf 5.2.2). Astfel, pentru cadrele la care primul mod de flambaj corespunzator unei structuri cu noduri deplasabile este predominant, se poate realiza o analiza elastica de ordinul I, dupa care efectele (eforturi, deplasari) sunt amplificate prin anumiti coeficienti. Pentru cadrele cu un singur nivel calculate pe baza unei analize elastice de ordinul I, efectele de ordinul doi datorate acţiunilor pot fi calculate prin multiplicarea încărcărilor orizontale HEd (de exemplu vântul), ca şi încărcările echivalente VEdφ datorate imperfecţiunilor cu coeficientul:

11

1crα

− (16)

cu condiţia ca αcr ≥ 3,0, unde αcr se poate determina cu relaţia din paragraful 2.2, cu condiţia ca panta acoperişului sa fie mica şi compresiunea din grinzi sau arbaletrieri sa nu fie semnificativă. Pentru cadrele cu mai multe etaje, efectele de ordinul doi de deformare laterală pot fi calculate prin metoda anterioara cu condiţia ca toate etajele să prezinte o similitudine a repartiţiei încărcărilor verticale, a repartiţiei încărcărilor orizontale şi de rigiditate de cadru în raport cu încărcările orizontale. Verificarea rezistentei secţiunii (starea limita ultima) se face prin compararea efortului maxim cu rezistenta de calcul, care in calculul de ordinul I este chiar limita de curgere in fibra extrema (Figura 43). Este totuşi general acceptat ca acest tip de calcul poate fi utilizat pentru determinarea multiplicatorului λL1 al incarcarilor corespunzător formarii primei articulaţii plastice. Daca secţiunile verifica condiţiile pentru o comportare ductila (clasa 1 sau 2),

36

rezistenta secţiunii poate fi verificata folosind relaţia de interacţiune plastica. In relaţiile de verificare din SR EN 1993-1-1, in cazul in care coeficientul parţial de siguranţa pentru material γm este egal cu 1, compararea efortului maxim se va face fata de rezistenta plastica a secţiunii. La nivel de structura, acest lucru înseamnă ca se accepta ca analiza sa se duca pana la formarea primei articulaţii plastice in structura. In realitate, probabilitatea de formare a articulatiei plastice este destul de mica, deoarece materialul are o anumita suprarezistenta fata de valoarea de calcul iar incarcarile sunt amplificate prin coeficienţii corespunzători stării limita ultime (de exemplu 1.35 pentru incarcarea permanenta, sau 1.50 pentru incarcarile variabile). Verificarea rezistentei îmbinării se face prin compararea eforturilor de calcul cu rezistenta de calcul a îmbinării. Aceste verificări presupun insa ca structura si elementele structurale raman stabile. De aceea este de mare importanta si investigarea fenomenelor de instabilitate (in plan sau in afara acestuia si instabilitatea elementelor). Aceste fenomene pot duce la reducerea valorii multiplicatorului λL1. Pentru ca dimensionarea sa fie corecta, valoarea multiplicatorului λL1 trebuie sa fie cel puţin egala cu 1 (structura poate susţine cel puţin incarcarile de calcul aplicate).

Analiza elastica de ordinul IElemente si imbinari cu comportare liniara

Forta

Deplasare

λL1

Limita elastica

Figura 43. Domeniul de valabilitate al calculului de ordinul I, liniar elastic

3.2.2 Analiza elastica de ordinul II

Una din trasaturile structurilor metalice este zvelteţea mai mare a elementelor comparativ cu a celorlalte tipuri de structuri, de exemplu structurile in cadre din beton armat. Acest lucru face ca problemele de stabilitate sa fie importante si de aceea trebuie tratate cu atenţie. Atunci când se utilizează o analiza elastica, considerarea efectelor de ordinul doi este obligatorie dacă deformaţiile au o influenţă semnificativa asupra creşterii solicitărilor sau asupra comportamentului structural în general, condiţie care este exprimata prin relaţia:

10crcr

Ed

F

Fα = < (17)

in care Fcr si FEd au fost definite in paragraful 2.2. SR EN 1993-1-1 prezintă trei metode pentru luarea in considerare a efectelor de ordinul doi si a imperfecţiunilor: a) prin analiza globală se iau în considerare în totalitate imperfecţiunile (geometrice si de

material) si efectele de ordinul II; b) prin analiza globală se iau in considerare imperfecţiunile globale si efectele de ordinul II

globale (efectul P-∆), iar verificările de stabilitate la nivel de element ţin seama prin

37

modul lor de definire de imperfecţiunile locale (imperfectiunile locale in arc) si de efectele locale de ordinul II (efectul P-δ);

c) pentru cazurile de bază, prin verificări individuale de stabilitate ale barelor echivalente, utilizând lungimi de flambaj corespunzătoare modului global de instabilitate al structurii.

Prima metoda este cea mai complexa, deoarece prin analiza se tine seama de efectele de ordinul II si de imperfecţiunile globale ale structurii si cele locale ale elementelor. Daca se utilizează o astfel de analiza, nu este necesara verificarea de stabilitate a elementelor, fiind necesare doar verificările de rezistenta. A doua metoda este procedura de baza. Astfel, deoarece efectele de ordinul II locale (efectul P-δ) si imperfecţiunile locale sunt deja incluse in relaţia de verificare la stabilitate (SR EN 1993-1-1), este suficient ca in analiza sa se tina seama doar de efectele de ordinul II globale (efectul P-∆) si de imperfecţiunile globale. Lungimile de flambaj ale elementelor se pot considera in mod conservativ egale cu lungimile elementelor. In realitate, aceste lungimi de flambaj sunt mai mici astfel ca se pot folosi cele corespunzătoare unui mod de flambaj cu noduri fixe. Folosirea ultimei metode trebuie limitata doar la cazurile simple, la care se pot evalua uşor lungimile de flambaj ale elementelor. In acest caz, relaţiile de verificare a elementelor ţin cont de toate imperfecţiunile. In cazul calculului de ordinul II, liniar elastic si geometric neliniar, se admite ca relaţia σ-ε este liniara iar relaţia P-U este neliniară, deplasările pot fi mici sau mari dar rotirea de corp

rigid trebuie sa fie mica ( j iij

v v

l

−Ψ = ) (Figura 44).

σ

ε

P

U

a) b)

Figura 44. Calculul de ordinul II, liniar elastic si geometric neliniar: a) relaţia efort unitar - deformaţie specifica; b) relaţia forţa – deplasare

Relaţia deformaţie specifica-deplasare este neliniară si are următoarea forma generala: - pentru bare solicitate axial

2

x

2

xxx x

v

2

1

x

u

2

1

x

u

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=ε

- pentru bare solicitate la încovoiere cu forţa axiala (structuri plane)

2x

22

x

2

xxx x

vy

x

v

2

1

x

u

2

1

x

u

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=ε

- pentru bare solicitate la încovoiere cu forţa axiala (structuri spaţiale)

38

2x

2

2x

22

x

2

xxx x

wz

x

vy

x

v

2

1

x

u

2

1

x

u

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=ε

in care: - ux, vx si wx reprezintă deplasările unui punct al secţiunii curente de abscisa x, pe direcţia

axelor x, y si respectiv z - θx reprezintă rotirea in jurul axei x Ca urmare a admiterii acestor ipoteze si a faptului ca deplasările sunt mici in raport cu dimensiunile elementelor si ale structurii, apar următoarele consecinţe: - indiferent de mărimea deplasărilor, ecuaţiile de echilibru static se scriu in raport cu poziţia

deformata a structurii; - principiul suprapunerii efectelor se aplica numai pentru forţele transversale, cu condiţia

ca forţa axiala sa fie constanta; - eforturile si deplasările sunt funcţii neliniare de forţele axiale; - rigiditatea elementelor si structurii este funcţie de nivelul forţelor exterioare. Pentru un

anumit nivel al forţelor exterioare se defineşte o rigiditate secanta si o rigiditate tangenta (Figura 45) prin intermediul cărora se stabilesc relaţia forta - deplasare ( iSii UKP = ) si

relaţia varia forţei-variaţia deplasării ( iTii dUKdP = ); - soluţia problemei se determina printr-un calcul in cicluri, deoarece forma deformata reala

nu este cunoscuta de la început.

Rigiditatea tangenta

P

U

dUi

Ui

Pi

Rigiditatea secanta

i

iSi U

PK =

dPii

iTi dU

dPK =

Figura 45. Rigiditatea tangenta si secanta in cazul calculului de ordinul II, liniar elastic si

geometric neliniar Atunci când se utilizează o analiza globala de ordinul II, ca si in analiza de ordinul I, răspunsul liniar elastic al secţiunilor si al nodurilor este considerat valabil (Figura 41). Distribuţia eforturilor interne se calculează pe baza teoriei de ordinul II. Ecuaţiile de echilibru se exprimă pe structura deformată (efectul P-∆) iar dacă eforturile axiale sunt mari, poate fi luată in calcul o reducere a rigidităţii elementelor (efectul P-δ). Ca si in analiza elastică de ordinul I, secţiunile elementelor si nodurile nu trebuie sa verifice condiţiile cerute de o comportare ductilă (clasa secţiunii, clasa de ductilitate a nodului).

Curba forţă-deplasare, care acum cuprinde si neliniaritatea geometrică, se apropie asimptotic de linia orizontală care reprezintă valoarea multiplicatorului critic λcr. Această

39

valoare a lui λcr corespunde încărcării elastice critice de flambaj. Dacă se neglijează imperfectiunile locale in arc (efectul P-δ), valoarea încărcării maxime poate rezulta mai mare decât cea reala. Cu cât elementele comprimate sunt mai zvelte, cu atât efectele P-δ devin mai importante. Forţa critică elastică de flambaj este o valoare de referinţă pentru că reprezintă valoarea maximă teoretică a încărcării ce poate fi suportată de structură, in absenţa curgerii materialului. Spre deosebire de analiza elastică de ordinul I, in cadrul acestui tip de analiză eforturile interne conţin efectele de ordinul II. Calculul structurii se poate conduce in acelaşi mod cu cel efectuat in cadrul analizei elastice de ordinul I. Secţiunile sau nodurile cele mai solicitate permit determinarea limitei superioare a multiplicatorului încărcării λL2 (Figura 46) pentru care analiza elastică este valabilă.

Limita incarcarii peste care ipotezele comportarii liniare nu mai sunt strict valabile

Analiza de ordinul I, liniar elastic

P

U

Analiza de ordinul II, liniar elastica

λcr

λL2

instabilitate

Figura 46. Domeniul de valabilitate al analizei elastice de ordinul II

Atunci când in calcul se utilizează analiza elastică de ordinul II, stabilitatea cadrului in plan este acoperită de analiza structurală. In cele mai frecvente cazuri, imperfecţiunile locale ale elementelor nu sunt luate in considerare. De aceea verificarea stabilităţii elementelor (in plan si in afara lui) si a cadrului (in afara planului) poate intr-adevăr sa conducă la valori mai mici ale multiplicatorului λL2. Pentru un calcul corect, valoarea minimă a multiplicatorului λL2 trebuie sa fie 1. In ceea ce priveşte starea limita de serviciu, o analiză elastică de ordinul II oferă o bună aproximare a răspunsului structurii si al elementelor.

3.2.3 Analiza de stabilitate

Încărcarea critica elastica are un rol deosebit de important in evaluarea sensibilitatii unei structuri in cadre metalice la efectele de ordinul II. Aceasta încărcare critica prezintă un interes practic important, deoarece (King, 2001): - arata sensibilitatea unei structuri la efectele de ordinul II prin intermediul factorului αcr

(vezi paragraful 2.2); - poate fi folosit in practica mai uşor decât o analiza de ordinul II; - poate fi folosit in metodele aproximative de evaluare a efectelor de ordinul II (vezi de

exemplu 3.2.1); - reflecta sensibilitatea relativa la efectele de ordinul II a combinaţiilor de incarcari.

Evaluarea incarcarii critice elastice poate fi făcuta atât analitic cat si ajutorul programelor de calcul (de exemplu SAP2000). Alternativ, aceasta încărcare poate fi calculata prin metode aproximative. Utilizarea programelor de calcul este metoda preferata de proiectanţi, insa

40

obţinerea unor rezultate sigure trebuie sa tina cont de unele condiţii si anume (da Silva et all., 2010): - modelul structural reprezintă in mod corespunzător comportarea elastica a structurii; - discretizarea elementelor trebuie sa fie făcuta intr-un număr minim de elemente care sa

permită obţinerea semi-undelor sinusoidale pentru fiecare mod de flambaj (Figura 47); - determinarea incarcarii critice elastice se face pentru fiecare combinaţie de incarcari.

Incarcarile vor avea valorile corespunzătoare stării limita ultime. Pentru fiecare combinaţie, programul calculează valoarea αcr;

- deoarece structurile au mai multe moduri de flambaj, aceste moduri superioare pot sa aibă relevanta pentru evaluarea efectelor de ordinul II. Se recomanda sa se calculeze un număr suficient de moduri de flambaj pana la obţinerea unui mod de flambaj cu noduri deplasabile si a unuia cu noduri fixe (Figura 48).

Figura 47. Discretizarea recomandata pentru evaluarea incarcarii critice elastice

a) b)

Figura 48. Modul de pierdere a stabilităţii cu noduri deplasabile a) si cu noduri fixe b)

Metodele aproximative au fost folosite înainte de apariţia si dezvoltarea programelor de calcul. Ele raman si astăzi utile in practica, mai ales in faza de predimensionare sau pentru a elimina erorile mari din analiza numerica. SR EN 1993-1-1 permite determinarea aproximativa a incarcarii critice elastice pentru flambajul lateral, pentru structuri in cadre cu grinzi orizontale sau puţin înclinate, la care forta axiala de compresiune in grinzi este redusa (SR EN 1993-1-1, paragraf 5.2.1). Metoda se bazează pe metoda dezvoltata de Horne (1975) si permite determinarea parametrului αcr care corespunde instabilitatii laterale cu formula:

,

Ed icr

Ed H Ed

H h

Vα

δ

=

(18)

in care: - HEd este valoarea de calcul a rezultantei orizontale, la nivelul părţii superioare a etajului, a

încărcărilor orizontale reale şi fictive, exercitate pe structură deasupra acestui nivel

41

- VEd este valoarea de calcul a încărcării verticale totale, la nivelul părţii inferioare a etajului, exercitată pe structură deasupra acestui nivel

- δH,Ed este deplasarea orizontală relativă a părţii superioare a etajului în raport cu partea sa inferioară când structura este supusă la încărcări orizontale de calcul (exemplu vântul) şi la încărcări orizontale fictive aplicate la fiecare nivel de planşeu

- hi este înălţimea etajului (vezi Figura 4). Ca o alternativa la metoda propusa de Horne, Wood (1974) a dezvoltat o metoda care permite calcularea incarcarii critice a unui sistem echivalent grinda-stâlp prin intermediul coeficienţilor de distribuţie η1 si η2, determinaţi cu relaţiile următoare:

12111C

1C1 KKKK

KK

+++

+=η (19)

22212C

2C2 KKKK

KK

+++

+=η (20)

in care: Kc este coeficientul de rigiditate al stâlpului, dat de raportul I/L, K1 si K2 sunt coeficienţii de rigiditate ai stâlpilor adiacenţi, daţi tot de raportul I/L iar Kij reprezintă coeficienţii rigiditatii efective ai grinzilor adiacente. I este momentul de inerţie iar L este lungimea elementului.

K11

K21

K12

K22

Factor de distributie η1

K1

K1

KC

Factor de distributie η2

Stalp de verificat

Figura 49. Factori de distribuţie pentru stâlpii continui

Coeficienţii de rigiditate ai grinzilor depind de condiţiile de rezemare la capete. Când

grinzile nu sunt supuse la eforturi axiale, rigiditatea lor poate fi determinată în conformitate cu Tabel 7, cu condiţia rămânerii în domeniul elastic a grinzilor sub acţiunea momentelor de calcul. In cazul stâlpilor de la primul nivel, η2 este zero daca prinderea este fixa si η2 este egal cu 1 daca prinderea este articulata. Dacă grinzile sunt supuse la eforturi axiale, rigiditatea lor trebuie corectată în consecinţă. Pentru aceasta se pot utiliza funcţiile de stabilitate. O alternativă simplă constă în neglijarea surplusului de rigiditate datorat întinderii axiale şi considerarea efectelor compresiunii axiale cu valorilor aproximative prezentate în Tabel 8.

Tabel 7. Rigiditatea Kij a grinzilor fara eforturi exiale

Caz Rigiditatea Kij a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe

1

θ θ

L

I5,0K =

42

2

θ

L

I75,0K =

3

θ

L

I0,1K =

Caz Rigiditatea Kij a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile

1 θ θ

L

I5,1K =

2

θ

L

I75,0K =

3

θ

L

I0,1K =

Tabel 8. Rigiditatea Kij a grinzilor care au eforturi axiale

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe

1. θ θ

−=

EN

N0,11

L

I5,0K

2.

θ

−=

EN

N0,11

L

I75,0K

3.

θ

−=

EN

N4,01

L

I0,1K

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile

1. θ θ

−=

EN

N2,01

L

I5,1K

2.

θ

−=

EN

N0,11

L

I75,0K

3.

θ

−=

EN

N4,01

L

I0,1K

în care: 22E LEIN π=

43

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,5

0,525

0,55

0,575

0,6250,6

0,65

0,95

0,85

0,9

0,8

0,75

1,0

0,675

0,7

Incastrat Articulatη2

Incastrat

Articulat

η1

Figura 50. Cadrul echivalent si curbele lui Wood pentru determinarea coeficientului lungimii de flambaj lf /L pentru un cadru cu noduri fixe

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,0

1,05

1,1

1,15

1,251,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,2

2,42,6

2,83,0

4,0

5,0

Incastrat Articulatη2

Incastrat

Articulat

η1

Figura 51. Cadrul echivalent si curbele lui Wood pentru determinarea coeficientului lungimii de flambaj lf /L pentru un cadru cu noduri deplasabile

Aplicarea metodei se face astfel: - se determina lungimea echivalenta a stalpului care se analizeaza folosind ecuatiile 19-20

si curbele din Figura 51 sau Figura 54. - se determina incarcarea critica a stalpului cu ecuatia:

2

2cre

EIN

L

π= (21)

- se determina parametrului αcr cu ecuaţia:

crcr

Ed

N

Nα = (22)

44

Procesul se repeta pentru toţi stâlpii pentru a determina cea mai mica valoare a multiplicatorului incarcarii critice.

3.3 Analiza globală plastică Calculul in domeniul plastic este posibil datorita abilitatii structurilor metalice de a suferi

deformaţii plastice semnificative pana când se produce ruperea. Pentru structurile cu redundanta ridicata, prin redistributia plastica a eforturilor se poate ajunge la o capacitate portanta sporita fata de situaţia in care se realizează un calcul elastic si se considera ca atingerea rezistentei ultime este data de formarea primei articulaţii plastice (Figura 52).

Cedare plastica

P

U

Prima articulatie plastica

Redistributie plastica Calcul elastic

SR EN1993-1-1

Figura 52. Curba forta – deplasare din analiza plastica

Calcul plastic se poate utiliza insa doar atunci când sunt întrunite câteva condiţii minime referitoare la redundanta structurii, ductilitatea materialului, a elementelor si a nodurilor (SR EN 1993-1-1, paragraf 5.4.3): a) Materialul respectă următoarele condiţii: - raportul dintre rezistenţa la întindere minimă fu si limita de curgere minima fy satisface

condiţia:

2,1f

f

y

u ≥ (23)

- alungirea la rupere a unei epruvete de lungime 0A65,5 nu este mai mică de 15% (in care

A0 reprezintă aria secţiunii transversale iniţiale a epruvetei) - in diagrama σ-ε, deformaţia specifică ultimă εu corespunzătoare rezistentei la întindere fu este cel puţin cu 20% mai mare decât deformaţia specifică εy corespunzătoare limitei de curgere fy.

εy

σ

fu

εu

fy

E ε

Figura 53. Curba caracteristica pentru un otel cu comportare ductila

45

b) Este împiedicată deplasarea in afara planului a elementelor in dreptul secţiunilor in care se pot forma articulaţii plastice. c) Secţiunile in care pot sa apară articulaţii plastice trebuie sa aibă suficientă capacitate de rotire, adică să fie de clasa 1. d) Secţiunile in care pot sa apară articulaţii plastice au o secţiune simetrica fata de planul de încărcare. d) Incarcarile sunt aplicate static sau cvasistatic.

In Figura 54 prezintă posibilităţile de utilizare a unei analize plastice si verificările necesare la dimensionare in conformitate cu SR EN 1993-1-1.

Amplificareaincarcarilor exterioare

Cadre cu noduri fixe

Analiza de ordinul I

Cadre cu noduri deplasabile

Analiza deordinul II

(elasto-plastic)

Analiza de ordinul I

Multiplicatorul incarcarii critice cel putin egal cu 1

Stabilitatea in plan a elementelor considerand lungimile deflambaj pentru structuri cu noduri fixe si posibilitatea formarii

articulatiilor plastice

Rezistenta sectiunii transversale si, atunci cand estenecesara, verificarea capacitatii de rotire, stabilitatii locale

Verificarea capacitatii de rotire a imbinarilor

Stabilitatea elementelor in afara planului

Analizaglobalaplastica

Considerareaefectelor de

ordinul II

Verificareaelementelorsi a cadrului

rigid-plastic elastic-perfectplastic)

rigid-plastic elastic-perfectplastic

Figura 54. Analiza globală plastică si verificările la dimensionare (SR EN 1993-1-1)

3.3.1 Analiza plastica de ordinul I (rigid-plastică)

Conditiile pentru realizarea unui astfel de cadru au fost prezentate in paragraful anterior. In cadrul acestui calcul, eforturile unitare nu pot depasi o valoare limita (denumita limita de curgere) iar momentul încovoietor nu poate depasi valoarea limita Mp definita de intrarea in curgere a materialului pe întreaga secţiune. Nu are loc fenomenul de pierdere a stabilitatii pana la transformarea structurii intr-un mecanism cu un grad de libertate, iar deplasările structurii raman mici. Consecinţele acestor ipoteze sunt: - condiţiile de echilibru static se exprima in raport cu forma iniţiala structurii. - in secţiunile in care momentul încovoietor a atins valoarea limita Mp, se formează o

articulaţie plastica punctuala, restul elementului comportându-se elastic. - rigiditatea elementelor variază ca urmare a modificării condiţiilor de capăt, prin apariţia

articulaţiilor plastice. In ansamblu, structura isi modifica si ea rigiditatea. - soluţia se determina utilizând un calcul in cicluri, fie pentru determinarea răspunsului

structurii corespunzător unui anumit nivel al forţelor exterioare, fie pentru determinarea capacitatii portante

- In cadrul acestui tip de analiză, deformaţiile specifice elastice din elemente si noduri sunt

46

neglijate, considerându-se că sunt foarte mici in comparaţie cu deformaţiile specifice plastice. Este de asemenea neglijată ecruisarea materialului iar deformaţiile plastice sunt concentrate in secţiunile si nodurile in care este posibilă formarea de articulaţii plastice. Aceste secţiuni si noduri se consideră că au o capacitate de rotire infinită.

σ

ε

fy

Figura 55. Curba efort unitar - deformatie specifica in analiza rigid plastica

In Figura 56 este arătata curba efort unitar – deformatie specifica si răspunsul idealizat rigid-plastic al secţiunilor si al nodurilor. Se consideră că încărcarea maximă ce poate fi aplicată corespunde colapsului structurii.

M

φ

Rigid-plastic

φp

Mpl.Rd

Mpl.RdMpl.Rd

Articulatie plastica

Element

Mj

φ

Mj,R

Rigid-plastic

Articulatie plasticaMj.Rd

φp

Nod

Figura 56. Caracteristicile moment-rotire pentru elemente si noduri

Analiza constă, deci, in identificarea mecanismului plastic care guvernează cedarea structurii. Aceasta metodă se bazează pe principiul conform căruia, la atingerea încărcării maxime, sunt îndeplinite simultan următoarele condiţii: - condiţia de mecanism: există un număr suficient de articulaţii plastice sau articulaţii reale

(noduri articulate) pe structură pentru a forma un mecanism cinematic admisibil; - condiţia de echilibru: distribuţia momentului încovoietor pe structură este in echilibru cu

încărcările exterioare si cu reacţiunile; condiţia de plasticitate: momentele plastice capabile ale secţiunilor si ale nodurilor nu sunt

depăşite in nici o secţiune sau nod. Încărcarea ultimă poate fi obţinută prin aplicarea teoremelor calculului plastic: teorema de

minim si teorema de maxim. Conform teoremei de maxim, pentru o structură dată si pentru un anumit sistem de încărcări, mecanismul de cedare apare la o valoare a multiplicatorului încărcării care este mai mare sau egală cu multiplicatorul încărcării de cedare. Prin examinarea mecanismelor de cedare posibile, se retine cel pentru care valoare multiplicatorului încărcării este minimă si care este totodată static si cinematic admisibil. In Figura 57 sunt arătate mecanismele elementare de cedare (1 si 2) si mecanismul combinat 3

47

pentru un cadru simplu. Răspunsurile forţă-deplasare sunt reprezentate prin linii orizontale corespunzătoare încărcărilor de cedare asociate.

V

H

H

V

V

H

V H

l

h rigle

stalpi

Mp Stalpi

1) Mecanism de grinda

VM

lp

= 8

2) Mecanism de nivel

HM

hp

= 4

3) Mecanism combinat

HV l

h

M

hp

+ =2

6

Forta

Deplasare

Incarcarea de cedare

Mecanism plastic de cedare λL4

1

2

3

Figura 57. Răspunsul forţă-deplasare intr-o analiză rigid-plastică

Această analiză se poate realiza manual pentru cadre simple, insă pentru cadrele multietajate sau/si cu mai multe deschideri este necesară folosirea programelor de calcul. Dacă nu este posibilă neglijarea efectelor forţelor axiale si/sau tăietoare asupra momentului rezistent de calcul, sunt necesare unele verificări ale secţiunilor si îmbinărilor. Este necesară, de asemenea, verificarea stabilităţii cadrului in plan si in afara planului cât si stabilitatea elementelor in plan si in afara planului. Pentru un calcul adecvat, valoare minima a multiplicatorului încărcării λL4 trebuie sa fie 1. Analiza rigid-plastică permite obţinerea informaţiilor cu privire la rezistenţa cadrului insă nu oferă informaţii cu privire la deplasările si rotirile care apar. De aceea, această analiză trebuie să fie urmată de o analiză elastică a structurii pentru verificarea la starea limită a exploatării normale.

3.3.2 Analiza plastica de ordinul II

3.3.2.1 Analiza elastic-perfect plastică

Calculul elastic-perfect plastic de ordinul II presupune ca relaţiile σ-ε, M-φ si P-U sunt neliniare (Figura 58, Figura 59, Figura 60). Fenomenul de pierdere a stabilitatii structurii se poate produce in orice moment al incarcarii. Forţele pot varia funcţie de un singur parametru sau diferitele tipuri de forte pot avea legi proprii de variaţie. Momentul plastic este corectat funcţie de nivelul forţei axiale. Deplasările structurii pot fi mici sau mari. Consecinţele acestor ipoteze sunt următoarele: - condiţiile de echilibru static se exprima in raport cu forma deformata a structurii. - nu se aplica principiul suprapunerii efectelor. - rigiditatea elementelor si structurii este funcţie de nivelul forţelor exterioare si de mărimea

deplasărilor. - calculul poate furniza fie răspunsul structurii pentru un anumit nivel al forţelor exterioare,

fie nivelul forţelor pentru care structura isi pierde stabilitatea (sau isi atinge capacitatea portanta).

48

In analiza elastic-perfect plastică de ordinul II se introduce ipoteza ca secţiunile si nodurile rămân in stadiul elastic până când este atins momentul plastic capabil, după care comportarea devine perfect plastică.

σ

ε

fy

Figura 58. Curba efort unitar - deformatie specifica in analiza elastic-perfect plastica plastica

In Figura 59 este arătată comportarea elastic-perfect plastică a secţiunilor si nodurilor. Influenţa forţelor axiale si a forţelor tăietoare asupra momentului plastic capabil al secţiunii poate fi introdusă direct in calcul sau poate fi introdusă atunci când se face verificarea secţiunilor. Utilizarea analizei elastic-perfect plastice presupune că elementele si nodurile satisfac anumite cerinţe specifice. Acestea se refera la capacitatea de rotire a secţiunilor si a nodurilor (cel puţin in secţiunile critice), suficientă pentru a permite dezvoltarea tuturor articulaţiilor plastice in structură.

Intr-o analiză elastic-perfect plastică, de regulă, încărcările sunt aplicate incremental. Se realizează mai întâi o analiză elastică de ordinul II din care se determină încărcarea corespunzătoare formării primei articulaţii plastice intr-o secţiune si/sau nod. Analiza următoare se face pentru un nivel sporit al încărcărilor, pentru care structura se comportă diferit datorită introducerii unei articulaţii in secţiunea in care s-a format prima articulaţie plastică (cadrul modificat). Acest cadru se mai numeşte si cadrul deteriorat. Prin creşterea in continuare a încărcării, va apare o noua articulaţie plastică. Acest proces continuă până când structura se transformă intr-un mecanism. Răspunsul structurii intr-o analiză elastic-perfect plastică de ordinul II este reprezentat in Figura 60 prin linia continuă. Ramura 1 corespunde unei comportări elastice a cadrului. Aceasta curbă tinde asimptotic către linia orizontală care reprezintă forţa critica de flambaj doar in cazul când se consideră ca structura are o comportare infinit elastică. După apariţia primei articulaţii plastice, dacă se presupune că structura are o comportare infinit elastică, ramura 2 va continua si va tinde asimptotic către încărcarea critică de flambaj a cadrului deteriorat, care este un cadru cu o articulaţie. Procesul este continuat prin creşterea încărcărilor, structura se deteriorează progresiv până la formarea unui mecanism de cedare plastică. Încărcarea corespunzătoare este definită de multiplicatorul încărcării λL = λL2EPP (Figura 60).

49

Mpl.RdM

φ

Elastic-perfect plastic

Mpl.Rd

φ

φp

Mpl.Rd

φp

articulatia plastica

Element

Mj

φ

Mj.Rd

Elastic-perfect plastic

φ

Mj.Rd

φp

φp

articulatia plastica

Nod

Figura 59. Caracteristicile moment-rotire pentru elemente si noduri

Ramura 1

Forta elastica critica de flambajForta

Deplasare

Forta critica de flambaja cadrului deteriorat

Prima articulatie plastica

A doua articulatie plasticaRamura 2

Ramura 3 Ramura 4 Mecanismul de cedare

λL2EPP

Figura 60. Răspunsul forţă-deplasare intr-o analiză elastic-perfect plastică

Atunci când in analiză sunt incluse si influenţele forţelor tăietoare si axiale, nu este necesară o verificare suplimentară a secţiunilor sau nodurilor. Atunci când se utilizează o analiză de ordinul II la calculul cadrelor, stabilitatea in planul lor este acoperită de analiza structurală. Totuşi, este necesară verificarea stabilităţii elementelor si a cadrului in afara planului. Pentru un calcul adecvat, valoarea minimă a multiplicatorului încărcării, λL2EPP, trebuie sa fie l. Verificările corespunzătoare stării limită de serviciu trebuie efectuate.

3.3.2.2 Analiza elasto-plastică

Analiza elasto-plastica de ordinul II presupune ca relaţiile σ-ε, M-φ si P-U sunt neliniare (Figura 61, Figura 62). Pentru o mai bună estimare a încărcării maxime (in comparaţie cu cea furnizată de analiza elastic-perfect plastică), se poate realiza o analiză elasto-plastică de ordinul II in care plastificarea elementelor si a nodurilor este un proces progresiv si de aceea tranziţia de la comportarea elastică la cea plastică este un fenomen asemănător. Odată cu

50

creşterea momentului in secţiunea transversală a elementului, plastificarea se extinde dinspre fibra extremă spre axa neutră. Această comportare este descrisă cu ajutorul teoriei zonelor plastice. In Figura 62 sunt prezentate caracteristicile moment-rotire considerate in analiză, corespunzătoare secţiunilor si nodurilor. Cerinţele de ductilitate pentru secţiuni si noduri precum si procedura de analiză si verificare a cadrului sunt identice cu cele de la analiza elastic-perfect plastică. Verificarea capacitatii de rotire in sectiunile plastificate se poate face cu metoda simplificata prezentata in Anexa 2.

σ

ε

fy

σ

ε

fy

a) b)

Figura 61. Curba efort unitar - deformatie specifica in analiza elastic-perfect plastica: a) elastic-perfect plastic; b) elasto-plastic

M

M

φ

Elasto-plastic

φ

φp

Mpl.Rd

Mel.Rd

M

Element

Mj

φ

Mj

Elasto-plastic

φ

Mj.Rd

φp

Mjel.Rd

Nod

Figura 62. Caracteristicile moment-rotire pentru elemente si noduri

Modelele de cedare pentru starea limita ultima pot fi de doua feluri (Figura 63): - rigide: colapsul se produce prin formarea succesiva de articulatii plastice pana la atingerea

mecanismului plastic (similar cu analiza plastica de ordinul I) - flexibile: este posibil ca dupa formarea unui anumit numar de articulatii plastice, structura

sa isi piarda rigiditatea si sa cedeze prin pierderea stabilitatii unui element comprimat. Analiza elasto-plastică de ordinul II furnizează valoarea încărcării maxime ce poate fi

suportată de cadru, ca si valoarea deplasărilor corespunzătoare oricărui nivel al încărcării. In general, in analiză este considerată doar comportarea in planul cadrului, de aceea este necesară verificarea stabilităţii in afara planului cadrului.

Metoda de analiză elasto-plastică este destul de greu de utilizat in aplicaţii practice si, din cauza complexităţii ei, este utilizată mai mult in activităţile de cercetare.

51

Figura 63. Instabilitatea elasto-plastica

H=αH1

V=αV1 ∆

α

αcr=Vcr/V

αp

αu

1

2 3

4 Mecanism plastic

instabilitate elasto-plastica

Plastic I

Evolutie rigid-plastica

Stabilitate

α0 α1 α2 α3 α4

Vcr0 Vcr

4=0 Vcr3 Vcr

2 Vcr1

1 2

3 4

1 2 1 3

2 1

Vcr0 > Vcr

1 >Vcr2 >Vcr

3 >Vcr4

52

3.4 Aplicaţie: Calculului unei structuri in cadre metalice multietajate

Calculul s-a efectuat pe o structura metalica in cadre necontravantuite, avand 3 deschideri si 6 nivele (Figura 64), incarcarile utilizate avand valorile prezentate in Tabel 9.

Tabel 9. Incarcarile verticale si orizontale

Cazul Valoarea incarcarii verticale P [kN/m]

Încărcarea orizontala F [kN]

% Capacitatea portanta a grinzii

I 60.0 6.0 66%

αF

αF

αF

αF

αF

αF

αP

HEB360

HEB360

HEB360

HEB360

HEB360

HEB360

IPE360

IPE360

IPE360

IPE360

IPE360

IPE360

6.00 6.00 6.00

3.50

3.50

3.50

3.50

3.50

3.50

Figura 64. Structura analizata

Stâlpii sunt realizaţi din profile HEB360, iar grinzile sunt realizate din profile IPE360. Ambele secţiuni sunt realizate din otel S355 si sunt de clasa 1. Prinderile stâlpilor la baza se considera încastrate. Prinderile dintre grinzi si stâlpi se realizează cu placa de capăt extinsa si şuruburi de înalta rezistenta. Pentru a evidenţia influenta caracteristicilor îmbinărilor asupra răspunsului structurii, nodurile se vor considera in analiza in doua situaţii si anume: - noduri rigide cu rezistenta completa - noduri semi-rigide cu rezistenta parţiala. Structura se va analiza prin următoarele metode: - analiza de ordinul I elastic - Analiza de ordinul II elastic - Analiza de ordinul I rigid plastic - Analiza de ordinul II elastic - perfect plastic Pentru analiza structurala se foloseşte programul SAP2000 iar pentru calculul îmbinărilor programul CoP (http://www.connectionprogram.com). Calculul imperfectiunilor cadrului

Luarea in considerare a acestor imperfecţiuni se poate face prin intermediul unei imperfecţiuni geometrice echivalente, exprimata printr-o înclinare iniţiala φ:

0 h mφ φ α α= in care:

0 1 200φ =

53

2 20.43

212

: 0.663

1 10.5 1 0.5 1 0.81

3

1: 0.66 0.81 0.0026

200

h

h

m

h

dar

m

rezulta

α

α

α

φ

= = =

≥ =

= + = + =

= × × =

Înclinarea iniţiala φ poate fi înlocuita printr-un sistem de forte orizontale echivalente. La structurile in cadre, aceste forte orizontale echivalente trebuie aplicate la fiecare nivel (Figura 8). Încărcarea totala de nivel este egala cu 60kN/m×6m×3=1080kN. Valoarea forţei orizontale echivalente este egala cu 0.0026×1080=2.81kN. Calculul nodurilor grinda stalp

Nodurile grinda - stâlp sunt realizate cu placi de capăt de grosime 25 mm si şuruburi M24, gr.10.9, care lucrează ca şuruburi normale (Figura 66). Componenta slaba a nodului este panoul inimii stâlpului. Deşi nodul este considerat de mulţi proiectanţi un nod rigid si cu rezistenta completa, caracteristicile lui îl încadrează in categoria nodurilor semirigide si cu rezistenta parţiala. Daca se doreşte creşterea rigiditatii si a capacitatii portante, se poate intari inima prin doua metode: - Se foloseşte un o secţiune cu inima mai groasa (de exemplu profile HEM, profile sudate,

etc). Dezavantajul acestei soluţii este ca poate sa conducă la o creşterea semnificativa a consumului de otel.

- Se intareste inima stâlpului prin dispunerea de panouri suplimentare pe inima. Dezavantajele unei astfel de soluţii ţin de dificultatea realizării sudurii si de efectele secundare pe care aceasta le induce, cum ar fi de exemplu comportarea fragila sub incarcari repetate.

Figura 65. Plăci suplimentare pe inimă, SR EN 1993-1-8

Rezistenta nodului este foarte apropiata de cea a grinzii (89% din capacitatea plastica a grinzii) iar rigiditatea raportata la cea a grinzii este 13.2, adică mai mica decât limita pentru care poate fi considerat teoretic rigid de 25 (pentru structuri necontravantuite). Deoarece momentul extern este mai mic decat 2/3 din capacitatea nodului, rigiditatea nodului Sj este egala cu rigiditatea iniţiala Sj,ini. Se va considera in analiza atât cazul teoretic in care nodul este rigid cat si cel real in care se va modela semirigiditatea nodului printr-un resort dispus in nodurile structurii. Tipul de analiza structurala trebuie ales in funcţie de sensibilitatea structurii la deplasări laterale (ordinul I sau II) si in functie de capacitatea plastica a structurii (elastic sau plastic). Astfel, pentru un caz de încărcare dat, un cadru poate fi considerat cu noduri fixe sau deplasabile in funcţie de raportul dintre incarcarea verticala totala FEd aplicata structurii si incarcarea critica elastica Fcr care conduce la instabilitatea laterala. Pentru analiza

54

elastica, acest lucru se verifica prin evaluarea factorului crcr

Ed

F

Fα = .

Figura 66. Vedere nod grinda-stalp

Tabel 10. Caracteristicile nodurilor grinda-stalp

Tip nod Mj,Rd

[kNm] m*

(Mj,Rd/Mpl,b,Rd) Sj,ini

[kNm/rad] Sj

[kNm/rad] S*

j Tip

Caracteristici reale

314.3 0.89 75677.8 75677.8 13.2 semi-rigid

partial rezistent

Pentru structura cu noduri rigide, rezultatul analizei de flambaj cu programul SAP2000

arata ca valoarea acestui factor este 11.1crα = . Daca valoarea este > 10, atunci structura este

clasificata cu noduri fixe. Deoarece valoarea este mai mare decât limita din SR EN 1993-1-1, se poate face o analiza elastica de ordinul I cu imperfecţiuni (globale). Având in vedere insa ca este foarte aproape de limita, se va face si o analiza elastica de ordinul II pentru a observa care este diferenţa dintre cele doua tipuri de analiza. Pentru structura cu noduri semirigide, rezultatul analizei de flambaj arata ca valoarea acestui factor este 8.96crα = . Deoarece

10crα < , structura este clasificata cu noduri deplasabile. Este necesara deci efectuarea unei

analize elastice de ordinul II.

Figura 67. Analiza de flambaj cu programul SA2000

55

a) b)

Figura 68. Primul mod de flambaj pentru structura cu noduri rigide a) si cea nu noduri semirigide b)

Figura 69. Analiza de ordinul I si analiza de ordinul II – SAP2000

Figura 70 prezintă comparativ curbele pentru analiza elastica de ordinul I si II. Aşa cum era de aşteptat, pentru structura cu noduri rigide diferenţele intre rezultatele analizei de ordinul I si ordinul II sunt reduse, de circa 4%.

0

35

70

105

140

0 0.02 0.04 0.06 0.08Deplasarea la varf, [m]

Mul

tiplic

ator

ul in

carc

arii

, α

elastic ordinul I, rigid

elastic ordinul II, rigid

elastic ordinul I, semirigid

elastic ordinul II, semirigid

4

3

2

1

Figura 70. Curbele comparative multiplicatorul incarcarii – deplasarea la vârf pentru analiza de ordinul I si II, cu noduri rigide si semirigide

Efectul P-∆

56

Tabel 11. Comparaţie intre deplasările maxime la vârf

Analiza Deplasarea orizontala

la vârf [mm] Creştere fata de

ord.I rigid *

Elastic ordinul I, rigid 7.5 -

Elastic ordinul II, rigid 7.8 4%

Elastic ordinul I, semirigid 9.7 29.3%

Elastic ordinul II, semirigid 10.4 36%

* pentru nivelul de calcul al forţelor, adica α = 1

In cazul structurii cu noduri semirigide, aceasta diferenţa este mai mare, de circa 7%. Ambele valori sunt prezentate pentru nivelul de calcul al incarcarilor. Diferenţele semnificative apar insa daca se neglijează semirigiditatea nodurilor grinda-stâlp. Astfel, creşterea deplasării la vârf daca nodul se modelează cu caracteristicile reale de rigiditate este de circa 29% pentru analiza de ordinul I si de circa 33% pentru cea de ordinul II. Pentru a evalua rezerva de rezistenta a structurii fata de formarea primei articulaţii plastice dar si a mecanismului plastic de cedare, se realizează o analiza plastica pentru structura cu noduri rigide si cea cu noduri semirigide. In cazul analizei plastice, deoarece factorul

15crα < , este necesara efectuarea unui calcul de ordinul II. Pentru comparaţie, se prezintă

insa si rezultatele din calculul de ordinul I. Deoarece nodurile au capacitatea portanta mai mica decât a grinzilor (cu rezistenta parţiala), nodul trebuie sa ramana in stadiul elastic sub incarcarile de calcul. Pentru grinzi se definesc articulaţii plastice din încovoiere la capetele grinzilor (de tip M) si la capetele stâlpilor din încovoiere cu forta axiala (de tip P-M) (Figura 71, Figura 72).

Figura 71. Definirea articulaţiilor plastice de tip moment încovoietor pentru grinzi

Figura 73 prezintă comparativ curbele pentru analiza plastica de ordinul I si II. Pentru comparaţie, se prezintă si curbele rezultate din analiza elastica. Deoarece multiplicatorul corespunzător formarii primei articulaţii este mai mare decât 1, folosirea nodurilor cu rezistenta parţiala nu are influenta asupra siguranţei in exploatare sub incarcarile de calcul.

57

Multiplicatorul corespunzător formarii articulaţiilor plastice este apropiat de 2, ceea ce înseamnă ca structura are o rezerva mare de rezistenta. Figura 75 prezintă mecanismele plastice pentru structura cu noduri rigide si semirigide.

Figura 72. Definirea articulaţiilor plastice de tip P-M pentru stâlpi

0

35

70

105

140

0 0.02 0.04 0.06 0.08Deplasarea la varf, [m]

Mul

tipl

icat

orul

inca

rcar

ii, α

elastic ordinul I, rigidelastic ordinul II, rigidelastic ordinul I, semirigidelastic ordinul II, semirigidplastic ordinul I, rigidplastic ordinul II, rigidplastic ordinul I, semirigidplastic ordinul II, semirigid

4

3

2

1

58

Figura 73. Curbele comparative multiplicatorul incarcarii – deplasarea la vârf pentru analiza de ordinul I si II, cu noduri rigide si semirigide

Este interesant de remarcat ca semirigiditatea nodului modifica redistributia momentelor încovoietoare pe grinda de pe reazem către câmp, ceea ce duce la întârzierea formarii articulaţiei plastice la capete, unde oricum momentul încovoietor este mai mare decât in câmp (Figura 74).

Figura 74. Distribuţia momentul încovoietor pe grinda la formarea primei articulaţii plastice

Rigid ord. I Rigid ord. II

Semirigid ord. I Semirigid ord. II

Figura 75. Mecanismele plastice pentru analiza plastica

Distribuţia articulaţiilor plastice arata o buna conformare a structurii. Este important ca in cazul in care se face o astfel de analiza plastica, sa se verifice rotirea necesara din noduri

Nod rigid

Nod semirigid

59

pentru a se compara cu capacitatea de rotire a nodurilor. Detalierea structurii trebuie de asemenea sa tina seama de posibilitatea formarii articulaţiilor plastice, prin asigurarea stabilitatii laterale in dreptul articulaţiilor plastice potenţiale.

3.5 Aplicaţie: Calculului unei hale cu structura metalica

Calculul se efectueaza pe o structura metalica parter cu o singura deschidere (Figura 76, Figura 64). Prinderea stalpilor la baza se face cu placa de capat si buloane de ancoraj. Se adopta doua detalii constructive si anume cu buloanele dispuse intre talpile stalpului (nominal articulat) si cu buloanele dispuse in exterior (semi-rigid), pentru a observa influenta prinderii la baza. Imbinarile grinda-stalp si grinda-grinda se realizeaza cu placa de capat extinsa si suruburi de inalta rezistenta. Hala este amplasata in Bucuresti si este solicitata la actiunile permanente si climatice (vant, zapada).

Structura este realizata din elemente cu sectiuni din tabla sudata, preponderent de clasa 3. Calculul se va face in domeniul elastic cu programul SAP2000.

Figura 76. Ansamblu spaţial hala si detalii de imbinari

Figura 77. Acţiunile luate in calcul la dimensionare

Rezultatele calculului se vor prezenta in detaliu in redactarea finala.

60

4 CALCULUL LA ACŢIUNEA SEISMICĂ

Acţiunea seismică reprezintă o vibraţie a terenului, respectiv a bazei structurii. Acceleraţia, viteza şi deplasarea impusă bazei structurii variază în timp, acţiunea seismică având un caracter dinamic. Datorită vibraţiilor terenului, în structură se produc deformaţii, care generează la rândul lor forţe de revenire (datorită rigidităţii structurii), forţe de amortizare şi forţe de inerţie (datorită masei structurii). Aceste forţe trebuie să se afle într-un echilibru dinamic. Pentru cazul în care toate gradele de libertate dinamică ale structurii au aceiaşi direcţie cu acţiunea seismică, echilibrul dinamic al structurii poate fi exprimat prin ecuaţia de mişcare a sistemului (Chopra, 2001):

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )1 gm u t c u t k u t m a t+ + = −&& & (24)

unde [m] este matricea maselor, [c] este matricea de amortizare, [k] este matricea de rigiditate,

u&& este vectorul acceleraţiilor relative , u& este vectorul vitezelor relative, u este vectorul

deplasărilor relative, 1 este un vector unitar, iar ag(t) este acceleraţia terenului.

Calculul structurilor la acţiunea seismică necesită: (a) un model structural, (b) un model al acţiunii seismice şi (c) o metodă de calcul structural. După cum se poate observa din ecuaţia de mişcare (24) şi Figura 78, modelul structurii necesită la rândul său stabilirea unui model al maselor, amortizării şi al proprietăţilor mecanice ale structurii (rigiditate şi eventual rezistenţă).

Figura 78. Schema principială a elementelor necesare pentru efectuarea calculului structural la acţiunea seismică.

Acest capitol tratează aspecte specifice ale calcului structurilor metalice la acţiunea seismică conform SR EN 1998-1:2004, corelând modelul structurii şi al acţiunii seismice, şi metoda de calcul.

4.1 Concepte de proiectare seismică

Scopul efectuării unui calcul structural este acela de a obţine informaţiile necesare despre răspunsul structurii (eforturi, deformaţii, etc.) necesare pentru proiectarea acesteia. Structurile amplasate în zone seismice pot fi proiectate urmând două concepte principial diferite (SR EN 1998-1:2004, paragraful 6.1.2):

modelul structurii

modelul proprietăţilor mecanice ale structurii

modelul amortizării modelul maselor

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )1 gm u t c u t k u t m a t+ + = −&& &

modelul acţiunii seismice metode de calcul structural

61

comportare disipativă (ductilă) a structurii şi comportare slab-disipativă (fragilă) a structurii.

Diferenţa între comportarea disipativă şi slab-disipativă a unei structuri este dictată de ductilitatea acesteia. Ductilitatea reprezintă capacitatea structurii de a se deforma în domeniul plastic fără o reducere substanţială a capacităţii portante. În Figura 79 sunt prezentate la nivel principial relaţii forţă-deplasare ce caracterizează structuri cu comportare ductilă şi fragilă.

În cazul unei structuri cu o comportare fragilă, după atingerea limitei elastice (care este apropiată de forţa maximă), forţa înregistrează o degradare bruscă. Structurile cu o comportare fragilă au o capacitate redusă de deformare în domeniul plastic. În cazul unei structuri ductile, după atingerea limitei elastice, structura se deformează în domeniul plastic, până la atingerea forţei maxime (palier de consolidare). Structura cedează (forţa înregistrează o scădere substanţială) numai după consumarea unor deformaţii plastice importante. Structurile ductile pot supraveţui unor forţe seismice ce depăşesc forţa de curgere, deoarece după atingerea limitei elastice ele se pot deforma în domeniul plastic fără o degradare substanţială a forţei.

DEPLASARE

FO

RT

A

COMPORTARE FRAGILA

COMPORTARE

limita elastica

cedare

limita elastica

consolidare

cedare

DUCTILA

Figura 79. Reprezentarea principială a unei comportări ductile şi fragile a structurii.

4.1.1 Conceptul de proiectare disipativă a structurii

Din considerente economice multe structuri sunt proiectate pentru forţe seismice reduse substanţial faţă de cele care i-ar fi necesare pentru un răspuns elastic sub efectul acţiunii seismice corespunzătoare Stării Limită Ultime (SLU). Ca urmare, structura va depăşi limita elastică, înregistrând deformaţii plastice. Pentru a preîntâmpina avarierea excesivă a structurii şi a respecta cerinţa fundamentală de comportare la SLU – siguranţa vieţii, deformaţia plastică impusă de către acţiunea seismică nu trebuie să depăşească capacitatea de deformare în domeniul plastic a structurii. Astfel, rezistenţa minimă la forţe laterale (Fy) care trebuie asigurată structurii pentru ca aceasta să nu înregistreze avarii excesive este în relaţie directă cu capacitatea structurii de deformare în domeniul plastic. Pentru un nivel dat al acţiunii seismice corespunzătoare SLU, pot fi determinate diferite combinaţii rezistenţă/ductilitate care să asigure satisfacerea cerinţelor de proiectare la SLU (siguranţa vieţii).

În Figura 81 este prezentată relaţia principială între rezistenţa structurii la forţe laterale (Fy) şi cerinţa de deplasare inelastică (din) impusă structurii de un nivel dat al acţiunii seismice. Cu cât rezistenţa structurii la forţe laterale (Fy) este mai mică, cu atât cerinţa de ductilitate (µ = din/dy) impusă structurii este mai mare. Astfel, structurile care posedă o ductilitate mai mare pot fi proiectate pentru forţe laterale mai mici şi viceversa.

62

Normele de proiectare seismică oferă posibilitatea alegerii unor niveluri diferite de ductilitate (de obicei trei) a structurilor, încadrându-le pe acestea din urmă în clase de ductilitate. Alegerea unei clase de ductilitate la proiectarea unei structuri noi are două consecinţe majore în procesul de proiectare. Prima dintre acestea o reprezintă valoarea încărcării seismice de proiectare, care este determinată pe baza unui spectru de calcul, redus faţă de cel elastic cu valoarea factorului de comportare q. Structurile proiectate conform unei clase de ductilitate mai ridicate (şi care au o ductilitate mai mare) au asociate valori mai ridicate ale factorului de comportare q, şi, în consecinţă, forţe seismice de proiectare mai mici. Cea de-a doua consecinţă a alegerii clasei de ductilitate constă în necesitatea asigurării unui anumit nivel de ductilitate la nivel de structură. În acest scop, normele de proiectare seismică conţin prevederi specifice de detaliere şi proiectare pentru structurile din fiecare clasă de ductilitate, prevederi care au menirea să asigure structurii valori ale ductilităţii în acord cu clasa de ductilitate aleasă. Ductilitatea unei structuri se asigură pe baza unor criterii specifice diferitelor materiale de construcţii (oţel, b.a., lemn, etc.) şi tipuri de structuri (cadre contravântuite şi necontravântuite, pereţi structurali, etc). Spre exemplu, pentru asigurarea ductilităţii la nivel de structură, SR EN 1998-1:2004 impune cerinţe diferenţiate funcţie de clasa de ductilitate la nivel de: material (oţelul pentru construcţii este conform standardelor EN 1993, vezi paragraful 6.2

din SR EN 1998-1:2004); secţiune (în elementele disipative supuse la încovoiere sau compresiune este necesară

utilizarea unei clase de secţiuni corelate cu clasa de calitate a structurii, vezi Tabelul 1 şi paragraful 6.5.3 din SR EN 1998-1:2004);

element (limitarea zvelteţii elementelor structurale supuse la compresiune şi/sau încovoiere, inclusiv prin dispunerea unor legături transversale);

îmbinări (folosirea unor îmbinări cu o ductilitate demonstrată prin încercări experimentale - îmbinări disipative; fie asigurarea unei suprarezistenţe îmbinării, vezi paragraful 6.6.4 din SR EN 1998-1:2004);

structură (asigurarea unui mecanism plastic global prin ierarhizarea rezistenţei elementelor structurale, vezi Figura 80 şi paragraful 4.4.2.3 din SR EN 1998-1:2004).

Tabelul 1. Cerinţe impuse clasei de secţiune funcţie de clasa de ductilitate şi factorul de comportare de referinţă (conform SR EN 1998-1:2004)

Clasă de ductilitate a structurii

Valoare de referinţă a factorului de comportare q

Clasa secţiunii transversale necesară

1,5 ≤ q ≤ 2 clasa 1,2 sau 3 DCM

2 < q ≤ 4 clasa 1 sau 2 DCH q > 4 clasa 1

(a) (b)

63

Figura 80. Mecanism plastic global (a) şi mecanism plastic de nivel (b)

Verificarea directă a ductilităţii unei structuri ar fi posibilă doar dacă la proiectarea unei structuri s-ar folosi metode de calcul neliniar (plastic), static sau dinamic. Totuşi, calculul neliniar este considerat în prezent prea complex şi laborios pentru proiectarea curentă a structurilor la acţiunea seismică, fiind utilizat doar la proiectarea structurilor de importanţă ridicată sau la evaluarea unor construcţii existente. Metoda curentă de proiectare a structurilor amplasate în zone seismice foloseşte metode de calcul elastic (calcul modal cu spectre de răspuns sau calcul cu forţe laterale, în care forţele seismice de proiectare (FEd) se obţin prin reducerea forţelor seismice corespunzătoare unui răspuns elastic (Fel) prin intermediul factorului de comportare q. Într-un calcul elastic, sub acţiunea forţelor seismice de proiectare, structura va avea un răspuns elastic şi va înregistra o deplasare de. Acest model al structurii este însă principial diferit de comportarea reală a structurii, care va înregistra deformaţii în domeniul plastic (din) sub efectul acţiunii seismice de calcul (vezi Figura 82). De aceea, dimensionarea elementelor structurale şi a îmbinărilor pe baza eforturilor obţinute dintr-un calcul elastic nu este suficientă pentru proiectarea unei structuri la acţiunea seismică.

raspuns elastic

F y2

F

d

F y3

F y1

dy1

µ2

µ3

µ1

d y2 dy3

raspunsinelastic

din3 din2 din1

Fel

del

Figura 81. Relaţia principială între rezistenţa structurii şi cerinţa de deplasare inelastică.

În general, nu este economică şi nici posibilă realizarea tuturor elementelor unei structuri ca şi elemente ductile. Inevitabil o structură disipativă (ductilă) va conţine atât elemente disipative (ductile), cât şi elemente nedisipative (fragile). Pentru a asigura o comportare disipativă (ductilă) la nivelul întregii structuri, trebuie preîntâmpinată cedarea elementelor fragile. Aceasta se poate realiza prin ierarhizarea rezistenţei elementelor structurale, care să conducă la plasticizarea elementelor structurale ductile, preîntâmpinând cedarea elementelor structurale fragile. Acest principiu de proiectare se numeşte proiectare bazată pe capacitate şi este exemplificat în Figura 83. Astfel, structura (lanţul) este supusă la încărcarea seismică de proiectare FEd. În urma unui calcul elastic, toate elementele acestei structuri (ductile şi fragile) vor înregistra eforturi egale cu FEd. Aceste eforturi servesc la dimensionarea elementelor structurale ductile, folosind relaţii de verificare de tipul următor:

,ductil Rd EdF F≥ (25)

În structura acţionată de încărcarea seismică de calcul la SLU eforturile din elementele structurale vor fi însă în general mai mari decât FEd, fiind limitate de rezistenţa elementelor ductile (Fductil,Rd). Prin urmare, pentru a preîntâmpina cedarea elementelor fragile, acesta trebuie dimensionate astfel încât să posede o suprarezistenţă faţă de capacitatea elementelor

64

ductile:

, ,fragil Rd ductil RdF F≥ Ω⋅ (26)

unde Ω este un coeficient supraunitar şi ţine cont de diversele aspecte care pot conduce la rezistenţe ale elementelor ductile mai mari decât cele de calcul (fenomene de consolidare, rezistenţă a materialului mai mare decât cea considerată în calcul, etc.).

FEd = Fel/q

F

dde din

Fel

del

rãspuns inelastic

rãspuns infinit elastic

rãspuns sub acþiuneaseismicã de calcul

Figura 82. Relaţia principială între forţele seismice corespunzătoare unui răspuns infinit elastic (Fel), forţele seismice de proiectare (FEd) şi răspunsul plastic al structurii.

Figura 83. Principiul de proiectare bazată pe capacitate (adaptat după Paulay şi Priestley, 1992).

Spre exemplu, la cadrele metalice necontravântuite cu noduri rigide mecanismul plastic global impune formarea articulaţiilor plastice la capetele grinzilor, cu excepţia extremităţii inferioare a stâlpilor de la baza structurii (vezi paragraful 6.6.1 din SR EN 1998-1:2004). Practic, stâlpilor (elemente nedisipative) trebuie să li se asigure o suprarezistenţă faţă de grinzi (elemente disipative). În acest scop, elementele nedisipative se dimensionează pentru nişte eforturi amplificate faţă de cele determinate din combinaţia seismică de încărcări (vezi paragraful 6.6.3 din SR EN 1998-1:2004 şi Figura 84).

65

Figura 84. Principiul de determinare a eforturilor de calcul în elementele disipative şi în cele nedisipative.

Această procedură de calcul estimează eforturile din stâlpi corespunzătoare formării unui mecanism plastic în structură, atunci când în elementele disipative (grinzi) se formează articulaţii plastice.

În concluzie, proiectarea structurilor la acţiunea seismică conform principiului de comportare disipativă implică două faze. În prima fază se dimensionează elementele ductile (disipative) pe baza eforturilor determinate dintr-o analiză elastică a structurii supusă forţelor seismice de proiectare. Pe lângă rezistenţă, elementele desemnate ductile trebuie să posede şi o ductilitate corespunzătoare clasei de ductilitate alese. Ductilitatea se asigură prin folosirea unor detalii constructive şi principii de proiectare specifice diferitelor materiale şi tipuri de structuri. În cea de-a doua fază – proiectarea bazată pe capacitate – se dimensionează elementele fragile (nedisipative) pe baza unor eforturi în acestea corespunzătoare plasticizării elementelor ductile. Această procedură de proiectare are scopul să asigure o suprarezistenţă a elementelor fragile faţă de cele ductile, conducând la structuri ductile per ansamblu.

4.1.2 Conceptul de proiectare slab-disipativă a structurii

Structurile slab-disipative (fragile) au o ductilitate neglijabilă. Deoarece după atingerea limitei elastice forţa înregistrează o degradare bruscă, aceste structuri trebuie proiectate astfel, ca sub acţiunea seismică corespunzătoare SLU structura să rămână preponderent în domeniul elastic. Aceasta corespunde utilizării unui factor de comportare q apropiat de valoarea unitară la determinarea spectrului de calcul. Deoarece structurile proiectate conform conceptului de comportare slab-disipativă trebuie să aibă un răspuns preponderent elastic sub acţiunea încărcărilor seismice de calcul, proiectarea acestora se poate face conform procedurilor de calcul folosite la proiectarea structurilor amplasate în zone neseismice. Astfel, normele de calcul seismic (SR EN 1998-1:2004) se folosesc doar pentru determinarea încărcării seismice, iar verificările structurii la SLU se efectuează conform normelor generale de calcul a structurilor (de exemplu SR EN 1993 în cazul structurilor metalice).

4.1.3 Alegerea principiului de proiectare

Proiectarea unei structuri ca şi disipativă sau slab-disipativă este la latitudinea proiectantului. Principial, orice structură poate fi proiectată conform uneia dintre cele două abordări. Alegerea principiului de proiectare este de natură economică şi depinde de tipul structurii şi de zona seismică. În general, detaliile constructive şi cerinţele de proiectare menite să asigure ductilitate elementelor disipative conduc la un consum mai ridicat de materiale în structură. De aceea, dacă forţele seismice elastice (nereduse) care acţionează asupra unei structuri sunt relativ mici (structura este dimensionată preponderent din alte combinaţii de încărcări decât

66

cea seismică), se poate folosi principiul de proiectare slab-disipativă a structurii, care, prin omiterea cerinţelor de proiectare menite să asigure o comportare globală ductilă, va simplifica procesul de proiectare şi va conduce la un consum redus de material.

Totuşi, pentru multe tipuri de structuri acţiunea seismică reprezintă o solicitare foarte severă în comparaţie cu alte acţiuni, iar asigurarea unui răspuns elastic al structurii sub efectul acţiunii seismice de calcul la SLU ar conduce la dimensiuni exagerate ale elementelor structurale şi la un consum excesiv de material. În acest caz, se poate adopta principiul de proiectare disipativă a structurii, exploatând capacitatea structurii de a se deforma în domeniul plastic (ductilitatea) şi proiectând structura pentru nişte forţe seismice reduse faţă de cele corespunzătoare unui răspuns elastic.

În consecinţă, principiul de proiectare slab-disipativă se dovedeşte economic în cazul unor forţe seismice mici, iar cel de proiectare disipativă este mai economic în cazul unor forţe seismice ridicate. Forţele seismice fiind forţe de natură inerţială, sunt generate de acceleraţia care acţionează asupra maselor structurii ca urmare a mişcării seismice impuse bazei structurii. De aceea, forţele seismice vor avea valori reduse în cazul unor structuri uşoare şi atunci când acţiunea seismică are o intensitate redusă (zone cu seismicitate redusă). Viceversa, forţele seismice au valori importante în cazul structurilor cu mase mari şi a structurilor amplasate în zone cu seismicitate ridicată.

Un exemplu de structură uşoară, la care se pretează principiul de proiectare slab-disipativă, este reprezentat de halele metalice parter. Acestea sunt caracterizate pe de o parte de greutăţii proprii relativ mici şi pe de altă parte de încărcări mici din exploatare. Exemple tipice de structuri care atrag asupra lor forţe seismice ridicate sunt structurile multietajate.

4.2 Acţiunea seismică

4.2.1 Generalităţi

Cutremurele de pământ sunt evenimente care au loc relativ rar, dar care pot produce importante daune materiale şi umane. Efectele principale ale cutremurelor de pământ asupra mediului natural şi construit sunt: vibraţia ale terenului; incendii; modificarea proprietăţilor fizice ale terenului de fundare (consolidări, tasări, lichefieri); deplasarea directă a faliei la nivelul terenului; alunecări de teren; schimbarea topografiei terenului; valuri induse de cutremure, cum ar fi cele oceanice (tsunami) sau cele din bazine şi lacuri (seişe).

67

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

−1

0

1

2

−1.949

Vrancea 1977, INCERC, NS

timp t, s

acce

lera

tie

ag(t

), m

/s2

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.8

−0.4

0

0.4

0.8

−0.712

Vrancea 1977, INCERC, NS

timp t, s

vite

za v

g(t

), m

/s

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5

−0.25

0

0.25

0.5 0.416 Vrancea 1977, INCERC, NS

timp t, s

dep

lasa

re d

g(t

), m

Figura 85. Componenta NS a acceleraţiei, vitezei şi deplasării terenului înregistrate la staţia INCERC la cutremurul din 4 martie 1977 din Vrancea, România.

Dintre acestea, vibraţia terenului reprezintă efectul cel mai important al acţiunii seismice asupra construcţiilor inginereşti, iar caracteristicile acestea sunt folosite pentru definirea acţiunii seismice în normele de proiectare seismică. Vibraţia terenului poate fi reprezentată prin variaţia în timp a acceleraţiei terenului (accelerograme), a vitezei terenului sau a deplasării terenului, vezi Figura 85. Dintre cele trei modalităţi de reprezentare, accelerogramele sunt cele mai uzuale.

Accelerograma caracterizează complet o anumită mişcare seismică dintr-un amplasament dat, dar prezintă şi anumite inconvenienţe. Astfel, utilizarea directă a accelerogramei implică folosirea unui calcul dinamic al structurii, care este relativ laborios. În practica curentă de proiectare se folosesc cu predilecţie metoda de calcul cu forţe laterale şi calculul modal cu spectre de răspuns. Ambele metode de calcul structural global folosesc spectrele de răspuns pentru caracterizarea acţiunii seismice. Ca urmare, SR EN 1998-1:2004 foloseşte spectre elastice de răspuns pentru reprezentarea de bază a acţiunii seismice dintr-un amplasament dat. Accelerogramele reprezintă o modalitate alternativă de caracterizare a mişcării seismice în aceste documente normative.

68

0 10 20 30 40−2

0

2Vrancea 1977, INCERC, NS

t, sa g(t

), m

/s2

T = 1 sξ = 5%

0 10 20 30 40−0.5

0

0.5

−0.142

T = 1 s

t, s

u(t

), m

T = 2 sξ = 5%

0 10 20 30 40−0.5

0

0.5 0.395 T = 2 s

t, s

u(t

), m

T = 3 sξ = 5%

0 10 20 30 40−0.5

0

0.5

−0.346

T = 3 s

t, s

u(t

), m

0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

T, s

S de,

m

(1.0, 0.142)

(2.0, 0.395)

(3.0, 0.346)

Figura 86. Reprezentarea schematică a modului de obţinere a spectrului elastic de deplasare pentru înregistrarea seismică de la staţia INCERC a cutremurului din 4 martie 1977 din

Vrancea, România.

Un spectru de răspuns elastic este reprezentarea valorilor de vârf ale răspunsului seismic al unui sistem cu un singur grad de libertate dinamică funcţie de perioada proprie de vibraţie, pentru o anumită valoare a amortizării. Răspunsul seismic poate fi exprimat în termeni de deplasare, viteză sau acceleraţie. În Figura 86 se prezintă principiul de determinare a spectrului elastic de deplasare, exemplificat pentru înregistrarea seismică de la staţia INCERC a cutremurului din 4 martie 1977 din Vrancea, România. Pentru a construi un spectru de deplasare este necesar să se determine răspunsul seismic (deplasarea u(t)) al unor sisteme cu un singur grad de libertate dinamică având diferite valori ale perioadei proprii de vibraţie (T) şi o valoare fixă a amortizării ξ, sub acţiunea accelerogramei ag(t). Pentru a construi spectrul elastic de deplasare, din rezultatele răspunsului seismic în timp se reţin doar valorile de vârf (valorile maxime în modul) ale deplasării u(t), care se notează cu Sde(T) şi se reprezintă funcţie de perioada proprie de vibraţie T. În mod similar se poate obţine spectrul de viteză sau cel de acceleraţie.

Având la dispoziţie spectrele de răspuns elastic, se poate determina răspunsul seismic de vârf (deplasări, viteze, acceleraţii) al unui sistem cu un singur grad de libertate dinamică având o perioadă proprie de vibraţie T şi fracţiunea din amortizarea critică ξ. Totuşi, viteza şi acceleraţia maselor structurii, care se pot determina din spectrele de viteză şi acceleraţie nu au

69

o utilitate practică directă. În schimb, pentru calculul structurilor la acţiunea seismică prezintă interes alte două mărimi: pseudo-viteza şi pseudo acceleraţia.

Pseudo-viteza Sve(T) corespunzătoare perioadei proprii de vibraţie T se obţine înmulţind deplasarea spectrală Sde(T) cu pulsaţia proprie de vibraţie 2 Tω π= :

2

ve deS ST

π= (27)

Pseudo-viteza Sve are unităţi de viteză, dar are prefixul "pseudo" pentru că nu este egală cu viteza de vârf a sistemului cu un singur grad de libertate dinamică. Pseudo-viteza Sve este în relaţie directă cu valoarea de vârf a energiei de deformaţie.

În mod similar, pseudo-acceleraţia Sae(T) corespunzătoare perioadei proprii de vibraţie T se obţine înmulţind pseudo-viteza spectrală Sve(T) cu pulsaţia proprie de vibraţie 2 Tω π= :

2

2 2ae ve deS S S

T T

π π = =

(28)

Pseudo-acceleraţia Sae(T) are unităţi de acceleraţie, dar este diferită de acceleraţia de vârf a unui sistem cu un singur grad de libertate dinamică.

Principiul determinării spectrelor de pseudo-viteză Sve şi pseudo-acceleraţie Sae pe baza spectrului de deplasare Sde a mişcării seismice înregistrate la staţia INCERC la cutremurul din 4 martie 1977 din Vrancea este reprezentată în Figura 87.

Ţinând cont de faptul că proiectarea unei structuri se realizează pe baza valorilor de vârf ale eforturilor şi deformaţiilor, spectrele de răspuns au o importanţă practică deosebită. În cazul unui sistem cu un singur grad de libertate dinamică cu perioada proprie de vibraţie T, deformaţia de vârf a structurii |u(t)|max se obţine direct din spectrul de răspuns de deplasare Sde(T). Eforturile maxime din structură pot fi determinate impunând masei sistemului deplasarea spectrală Sde(T). O soluţie mai convenabilă pentru determinarea eforturilor constă în folosirea noţiunii de forţă statică echivalentă. Pentru un sistem cu un singur grad de libertate dinamică, se poate determina o forţă statică echivalentă F care produce deplasarea |u(t)|max ≡ Sde(T), vezi Figura 88. Această forţă statică echivalentă se poate determina ca şi produsul dintre rigiditatea k şi deplasarea de vârf Sde a sistemului:

deF k S= ⋅ (29)

Ţinând cont de definiţia pulsaţiei proprii de vibraţie k mω = (k este rigiditatea şi m este

masa sistemului) şi a relaţiei dintre aceasta şi perioada proprie de vibraţie 2 Tω π= , forţa statică echivalentă poate fi exprimată prin relaţia:

2

2de de aem m

TF k S S S

π = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ (30)

Relaţia (30) arată că pentru un sistem cu un singur grad de libertate dinamică forţa statică echivalentă F poate fi determinată ca şi produsul dintre masa sistemului m şi pseudo-acceleraţia spectrală Sae.

70

0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

T, s

S de,

m(1.0, 0.142)

(2.0, 0.395)

(3.0, 0.346)

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

T, s

S ve,

m/s

(1.0, 0.681)

(2.0, 1.308)

(3.0, 0.966)

0 1 2 3 40

2

4

6

8

T, s

S ae,

m/s

2

(1.0, 5.633)

(2.0, 3.917)

(3.0, 1.529)

Sde(T)

2

T

π×

Sve(T)

2

T

π×

Sae(T)

Figura 87. Principiul determinării spectrului de pseudo-viteză Sve şi a spectrului de pseudo-acceleraţie Sae pe baza spectrului de deplasare Sde pentru înregistrarea seismică de la staţia

INCERC a cutremurului din 4 martie 1977 din Vrancea, România.

|u(t)|max = Sde(T) |u(t)|max = Sde(T)

Fm

k

m

k

=k×Sde(T)=m×Sae(T)

ag(t)

Figura 88. Noţiunea de forţă statică echivalentă.

71

TB

TC

TD

T

Sde

TB

TC

TD

T

Sve

TB

TC

TD

T

Sae

Figura 89. Spectre de răspuns elastic de deplasare (Sde), pseudo-viteză (Sve) şi pseudo-acceleraţie (Sae) folosite pentru caracterizarea acţiunii seismice în norme.

Utilizarea forţelor statice echivalente şi a spectrelor de răspuns pentru determinarea răspunsului seismic al structurilor este deosebit de convenabil din punct de vedere practic. În primul rând, calculul dinamic laborios este necesar doar pentru determinarea spectrelor de răspuns. Odată ce spectrele sunt disponibile, răspunsul structurii (eforturi, deformaţii, etc.) poate fi obţinut printru-un calcul static al structurii. În cel de-al doilea rând, calculul cu forţe statice echivalente şi spectre de răspuns oferă direct răspunsul de vârf al structurii, necesar la proiectarea acesteia.

Mişcarea seismică este un fenomen cu un grad ridicat de incertitudine. Din acest motiv proiectarea structurilor la acţiunea seismică pe baza spectrului de răspuns al unei singure înregistrări seismice nu oferă un grad de siguranţă adecvat. Spectrele de răspuns elastic din normele de proiectare seismică se obţin prin prelucrarea înregistrărilor seismice existente în cadrul unor analize de hazard seismic, reprezentând o "înfăşurătoare" a spectrelor individuale. Mai mut decât atât, spectrele de răspuns elastic folosite în proiectare sunt idealizate pentru a avea o expresie matematică convenabilă. Spre exemplu, SR EN 1998-1:2004 foloseşte perioade de "control" sau "colţ" TB, TC şi TD, care delimitează zone de pseudo-acceleraţie

72

constantă (TB-TC), pseudo-viteză constantă (TC-TD) şi deplasare constantă (>TD), vezi Figura 89.

Se menţionează faptul că cele trei spectre de răspuns: de deplasare, pseudo-viteză şi pseudo-acceleraţie conţin aceiaşi informaţie, iar pentru determinarea răspunsului seismic al unei structuri este necesar doar unul dintre cele trei spectre. În general, normele de proiectare seismică folosesc spectrul de răspuns de pseudo-acceleraţie pentru caracterizarea acţiunii seismice. Din raţiuni de simplificare a exprimării, SR EN 1998-1:2004 omit termenul "pseudo-", folosind expresia "spectru de răspuns de acceleraţie", sau doar "spectru de răspuns".

4.2.2 Reprezentarea de bază a acţiunii seismice

În general, mişcarea seismică într-un amplasament depinde de o serie de factori, care depind de (1) sursa seismică, (2) propagarea undelor seismice între sursă şi amplasament, (3) amplasament (caracteristicile terenului de fundare, topografie, etc.) şi (4) interacţiunea teren-structură. Normele de proiectare seismică ţin cont doar parţial de aceste aspecte, din necesitatea de a simplifica această problemă complexă, ţinând cont în acelaşi timp de datele existente. SR EN 1998-1:2004 (paragraful 3.2.1) exprimă hazardul seismic pentru proiectare prin valoarea de referinţă a componentei orizontale a acceleraţiei de vârf a terenului agR determinată pentru intervalul mediu de recurenţă (IMR) de referinţă corespunzător stării limită ultime pe un teren "tare" (clasa de teren A conform SR EN 1998-1:2004). Anexa Naţională SR EN 1998-1:2004/NA:2008 prevăd un interval mediu de recurenţă pentru verificarea la starea limită ultimă este de 100 ani. Zonarea teritoriului României în termeni de valori de vârf ale acceleraţiei terenului pentru proiectare agR pentru cutremure având IMR = 100 ani este prezentată în Figura 90. Valoarea de referinţă a acceleraţiei terenului agR corespunde unui factor de importanţă γI = 1,0. Pentru alte valori ale intervalului mediu de recurenţă, respectiv pentru alte valori ale factorului de importanţă, acceleraţia de vârf a terenului se obţine multiplicând valoarea de referinţă a acceleraţiei de vârf a terenului cu factorul de importanţă:

g I gRa aγ= ⋅ (31)

SR EN 1998-1:2004 foloseşte spectre elastice de răspuns de acceleraţie pentru reprezentarea de bază a mişcării seismice într-un punct de pe suprafaţa terenului (vezi paragraful 3.2.2). Neglijând componentele de rotaţie, vibraţia unui punct de la suprafaţa terenului este caracterizată prin trei componente de translaţie: două componente ortogonale în plan orizontal şi o componentă în plan vertical. Spre exemplificare, în Figura 91 sunt prezentate cele două spectre de răspuns orizontale (Sae,x şi Sae,y) şi spectrul de răspuns vertical (Sae,z) acţionând pe un punct de pe suprafaţa terenului. Cele două componente orizontale ale mişcării seismice sunt considerate independente şi sunt reprezentate de acelaşi spectru de răspuns (Sae,x ≡ Sae,y).

Componenta verticală a mişcării seismice poate fi neglijată pentru majoritatea structurilor curente. Conform SR EN 1998-1:2004 paragraful 4.3.3.5.2, componenta verticală a mişcării seismice trebuie considerată atunci când acceleraţia verticală de vârf a terenului depăşeşte 0.25g, iar structura are una din următoarele caracteristici: conţine elemente orizontale cu deschideri de peste 20 m conţine elemente în console cu lungimea de peste 5 m conţine elemente orizontale precomprimate conţine stâlpi rezemaţi pe rigle este izolată la bază

73

Figura 90. Zonarea teritoriului României în termeni de valori de vârf ale acceleraţiei terenului pentru proiectare agR pentru cutremure având IMR = 100 ani

(SR EN 1998-1:2004/NA:2008).

Figura 91. Reprezentarea de bază a acţiunii seismice: două spectre de răspuns orizontale (Sae,x şi Sae,y) şi spectrul de răspuns vertical (Sae,z) acţionând pe un punct de pe suprafaţa terenului.

SR EN 1998-1:2004 (vezi paragraful 3.2.2.2) defineşte forma spectrului de răspuns elastic pentru componenta orizontală a mişcării seismice funcţie de tipul terenului şi magnitudinea sursei seismice. Terenul este clasificat în cinci clase de teren (A, B, C, D şi E), pentru care norma oferă valori ale factorul de amplificare S şi ale perioadelor de control TB, TC şi TD. Suplimentar, sunt definite două clase de teren speciale S1 şi S2, caz care necesare studii speciale. Pentru a ţine cont de magnitudinea sursei seismice care are contribuţia cea mai importantă la seismicitatea amplasamentului, sunt definite două forme ale spectrului de răspuns elastic orizontal: tip 1 şi tip 2. Spectrul de tip 1 este recomandat în cazul unei seismicităţi ridicate, caracterizată de magnitudini mai mari de 5.5, iar spectrul de tip 2 în cazul unei seismicităţi moderate, caracterizată de magnitudini mai mici de 5.5 (Fardis et al., 2005). În Figura 92 sunt reprezentate spectrele de răspuns elastic de tip 1 şi tip 2 pentru cele 5 clase de teren din SR EN 1998-1:2004. În cazul clădirilor importante este necesar considerarea

74

efectelor de amplificare topografică. Indicaţii asupra acestui fenomen există în SR EN 1998-5:2004.

(a)

(b)

Figura 92. Spectre de răspuns elastic de acceleraţie de tip 1 (a) şi de tip 2 (b) pentru clasele de teren A-E, conform SR EN 1998-1:2004.

(a)

(b)

Figura 93. Spectre de răspuns elastic de acceleraţie de tip 1 (a) şi de tip 2 (b), pentru condiţiile din România, conform SR EN 1998-1:2004/NA:2008.

Spectrul de răspuns elastic de acceleraţii pentru componenta verticală a mişcării seismice se determină printr-o procedură similară cu spectrul pentru componenta orizontală. Datorită lipsei unor date despre condiţiile locale de teren asupra formei spectrului de răspuns pentru componenta verticală a mişcării seismice (Fardis et al., 2005), în SR EN 1998-1:2004 aceasta nu depinde de tipul terenului.

Conform Anexei Naţionale SR EN 1998-1:2004/NA:2008 (vezi paragraful 3.1.2) în prezent în România nu există suficiente date pentru implementarea schemei de clasificare a tipurilor de teren (A, B, C, D, E, S1 şi S2) din SR EN 1998-1:2004. Pentru proiectare, condiţiile locale de amplasament se definesc la scară macroseismică, prin încadrarea teritoriului României în trei zone de teren/amplasament: Z1, Z2, Z3. Fiecare zonă de teren/amplasament are asociată un set de perioade de control TB, TC şi TD ce definesc forma spectrului de răspuns elastic de acceleraţie pentru componentele orizontale ale mişcării seismice. Spectrul de tip 1 se foloseşte

75

pe întreg teritoriul României, cu excepţia zonelor afectate de cutremurele din Banat unde hazardul seismic este caracterizat de agR = 0.20 g şi agR = 0.16 g (vezi Figura 93). Pentru componenta verticală a acţiunii seismice, Anexa Naţională SR EN 1998-1:2004/NA:2008 defineşte un singur tip de spectru pentru întreg teritoriul României.

4.2.3 Reprezentarea alternativă a acţiunii seismice

Ca şi reprezentare alternativă a acţiunii seismice, SR EN 1998-1:2004 (paragraful 3.2.3) permite utilizarea variaţiei în timp a acceleraţiei terenului (accelerogramelor), vitezei terenului sau deplasării terenului. În general, atunci când se foloseşte un calcul spaţial al structurii, sunt necesare trei componente ale vibraţiei terenului: două componente ortogonale în plan orizontal şi o componentă în plan vertical (vezi Figura 94). Pentru un calcul plan al structurii, acţiunea seismică este definită de două accelerograme: una în plan orizontal, şi una în plan vertical. În Figura 95 sunt prezentate accelerogramele pe direcţiile NS, EW şi verticală înregistrate la staţia INCERC (Bucureşti) la cutremurului din 4 martie 1977 din Vrancea, România. Accelerogramele ce caracterizează vibraţia terenului pe cele trei direcţii ortogonale trebuie considerate ca acţionând simultan asupra structurii, aşa cum se întâmplă într-o situaţie reală.

Figura 94. Componentele de translaţie ale unei înregistrări seismice.

După cum se poate observa din Figura 95, accelerogramele înregistrate în timpul unui eveniment seismic real au un aspect general diferit pe cele trei direcţii ortogonale, iar valorile de vârf ale acceleraţiei sunt înregistrate la momente diferite de timp. Din această cauză, se atrage atenţia asupra faptului că accelerograme folosite pentru reprezentarea acţiunii seismice pe cele trei direcţii ortogonale trebuie să fie diferite.

În general, selectarea accelerogramelor pentru calculul structural include considerarea următoarelor aspecte: (1) modul în care se obţin accelerogramele (prin generare artificială, de la evenimente seismice produse în trecut sau prin simulare); (2) compatibilitatea dintre caracteristicile accelerogramei şi caracteristicile sursei, mediului de propagare şi condiţiilor locale de teren ce controlează seismicitatea amplasamentului în cauză; (3) potrivirea dintre spectrul de răspuns ţintă şi cel al accelerogramelor, ţinând cont şi de proprietăţile structurii; (4) numărul de accelerograme utilizate şi implicaţiile asupra interpretării rezultatelor.

SR EN 1998-1:2004 (vezi paragraful 3.2.3.1) menţionează trei proceduri diferite pentru obţinerea accelerogramelor folosite pentru calculul structurilor la acţiunea seismică. Astfel, se pot folosi accelerograme artificiale, înregistrate şi simulate.

76

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

−1

0

1

2

−1.949

Vrancea 1977, INCERC, NS

timp t, s

acce

lera

tie

ag(t

), m

/s2

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

−1

0

1

2 1.623 Vrancea 1977, INCERC, EW

timp t, s

acce

lera

tie

ag(t

), m

/s2

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

−1

0

1

2

−1.058

Vrancea 1977, INCERC, VERT

timp t, s

acce

lera

tie

ag(t

), m

/s2

Figura 95. Componentele NS, EW şi verticală a acceleraţiei terenului înregistrate la staţia INCERC la cutremurul din 4 martie 1977 din Vrancea, România.

Accelerogramele artificiale se obţin prin generarea matematică a unui semnal al cărui spectru de răspuns să potrivească cu un spectru de răspuns "ţintă" (în general spectrul de răspuns elastic din norma seismică). Cu titlu de exemplu, în Figura 96 se prezintă trei accelerograme artificiale şi spectrele acestora împreună cu spectrul ţintă (spectrul de răspuns elastic pentru Bucureşti din SR EN 1998-1:2004/NA:2008). Procedura foloseşte un zgomot alb filtrat, modulat de o funcţie înfăşurătoare deterministă (Safak, 1988 în Erdik şi Durukal, 2003).

77

0 5 10 15 20 25 30 35−4

−2

0

2

4 3.37 B−1

timp t, s

acce

lera

tie

ag(t

), m

/s2

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35−4

−2

0

2

4 3.10 B−2

timp t, s

acce

lera

tie

ag(t

), m

/s2

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35−4

−2

0

2

4

−3.34

B−3

timp t, s

acce

lera

tie

ag(t

), m

/s2

(c)

0 1 2 3 40

2

4

6

8

T, s

Sae, m

/s2

spectru tinta

B−1

B−2

B−3

(d)

Figura 96. Trei accelerograme artificiale (a-c) şi spectrele acestora împreună cu spectrul ţintă (d)

78

Una dintre procedurile cele mai cunoscute de generare a accelerogramelor artificiale este cea implementată în programul SIMQKE (Gasparini and Vanmarcke, 1976). Această procedură are dezavantajul că nu reflectă fazarea reală a undelor seismice şi a accelerogramei (Iervolino et al., 2008). Metoda poate fi îmbunătăţită prin modificarea procedurii pentru a ţine cont de caracteristicile sursei seismice sau a distanţei dintre sursa seismică şi amplasament (Erdik şi Durukal, 2003; Chang şi Kawakami, 2006). O altă opţiune constă în adoptarea accelerogramelor semi-artificiale, care se obţin prin modificarea accelerogramelor înregistrate cu scopul potrivirii cu un spectru ţintă. Modificarea poate fi efectuată în domeniul de frecvenţe (de exemplu prin modificarea amplitudinilor spectrelor Fourier) sau în domeniul de timp (de exemplu prin transformate de tip wavelet, Iervolino et al., 2008). Accelerogramele obţinute prin această procedură au avantajul că păstrează caracterul esenţial al înregistrării originale. Mişcarea seismică poate fi modelată şi cu ajutorul unor pulsuri simple (Gioncu şi Mazzolani, 2002).

Accelerogramele înregistrate sunt variaţii ale acceleraţiei terenului înregistrate în timpul cutremurelor de pământ produse în trecut. Accesul la accelerograme înregistrate s-a îmbunătăţit permanent în ultimele decenii datorită dezvoltării rapide a reţelelor seismice digitale şi disponibilităţii bazelor de date cu mişcări seismice puternice. Printre sursele de înregistrări seismice de interes pentru România se amintesc baza de date europeană (the European Strong-Motion Database http://www.isesd.cv.ic.ac.uk) şi accelerogramele înregistrate în reţeaua INCERC la cutremurele vrâncene din 1977, 1986 şi 1990 (http://www.incerc2004.ro/accelerograme.htm). Majoritatea inginerilor preferă utilizarea accelerogramelor înregistrate faţă de cele artificiale sau simulate, deoarece acestea reprezintă evenimente seismice reale şi deoarece ei nu au în general suficiente cunoştinţe pentru generarea accelerogramelor artificiale/simulate. Accelerogramele înregistrate se selectează din baze de date trebuie să corespundă cutremurului de proiectare din punct de vedere a magnitudinii şi a distanţei dintre sursa seismică şi amplasament. Mai pot fi luaţi în calcul şi alţi factori, cum ar fi condiţiile locale de amplasament, tipul faliei, conţinutul de frecvenţă.

Accelerogramele simulate se obţin prin simularea fizică a mecanismelor de sursă şi de propagare a undelor seismice şi pot include modelarea efecte locale de amplasament. Se cunosc o serie de metode de simulare deterministă a mişcării seismice, dintre care se amintesc metoda diferenţelor finite 3D, metoda undelor discrete, metoda elementelor de frontieră indirecte, metoda însumării modale, teoria razelor, metoda pseudo-spectrală 2.5-D şi metoda diferenţelor finite 2.5D (Erdik and Durukal, 2003).

Indiferent de tipul de accelerograme utilizate, acestea trebuie să respecte următoarele condiţii: Media acceleraţiei de vârf a terenului pentru accelerogramele individuale nu trebuie să fie

inferioară valorii de calcul a acceleraţiei de vârf a terenului (ag·S). În domeniul perioade cuprins între 0.2T1 şi 2T1 (unde T1 este perioada fundamentală de

vibraţie a structurii pe direcţia pe care va fi aplicată accelerograma) valoarea medie a spectrului de răspuns calculată pentru toate accelerogramele considerate nu trebuie să fie mai mică decât 90% din valoarea corespunzătoare a spectrului de răspuns elastic (spectrul ţintă)

Cerinţa de potrivire dintre spectrul de răspuns mediu al accelerogramelor folosite în calcul şi spectrul de răspuns ţintă are obiectivul de a obţine o compatibilitate între cele două reprezentări ale acţiunii seismice din normă: prin spectre de răspuns elastic şi prin accelerograme. Limita inferioară a perioadei (0.2T1) ţine cont de modurile proprii de vibraţie superioare ale structurii, iar limita superioară (2T1) ţine cont de creştere perioadei proprii de vibraţie efectivă ca urmare a răspunsului plastic al structurii.

79

4.2.4 Spectru de calcul pentru analiza elastică

Proiectarea structurilor la acţiunea seismică care le-ar asigura un răspuns elastic sub efectul mişcării seismice de proiectare la SLU este în general neeconomică. Structurile care sunt proiectate la forţe seismice substanţial mai mici decât cele care le-ar asigura o comportare elastică, sunt capabile să supraveţuiască unui seism major (fără colapsul structurii, dar cu degradări structurale importante), datorită răspunsului structurii în domeniul plastic şi suprarezistenţei. Pentru a ţine cont de comportarea plastică a unei structuri supusă acţiunii seismice de calcul, în cazul unui global elastic forţele seismice de proiectare sunt reduse faţă de cerinţa elastică. SR EN 1998-1:2004 foloseşte în acest scop factorul de comportare q (cu valori ≥ 1). Factorul de comportare q este o aproximare a raportului dintre forţele seismice la care ar putea fi supusă structura dacă răspunsul său ar fi în totalitate elastic şi forţele seismice care se pot utiliza într-un calcul global elastic, asigurând în continuare un răspuns satisfăcător al structurii.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

T, s

Acc

eler

atie

sp

ectr

ala,

g

q=1.5

q

β⋅ag

Se

Sd, q=6.5

Figura 97. Spectru de răspuns elastic (Se) şi spectru de răspuns de calcul (Sd), conform SR EN 1998-1:2004/NA:2008.

În Figura 97 este reprezentat spectrul de răspuns elastic (Se) şi spectru de răspuns de calcul (Sd), conform paragrafului 3.2.2.5 din SR EN 1998-1:2004 şi Anexa Naţională, pentru componentele orizontale ale acţiunii seismice, calculate pentru un amplasament în Bucureşti şi un factor de comportare q=6.5. După cum se poate observa din Figura 97 spectrul răspuns de calcul se obţine din spectrul elastic prin reducerea acestuia cu factorul de comportare q, pentru valori ale perioadei T > TB. Pentru perioade T < TB, spectrul de proiectare este determinat pe baza unui factor de comportare redus faţă de valoarea de bază q, acesta atingând valoarea q = 1,5 pentru T = 0. Acest model recunoaşte faptul că structurile foarte rigide au cerinţe ridicate de ductilitate, impunând o reducere a factorului de comportare. O

80

altă particularitate a spectrului de calcul este limitarea acceleraţiilor spectrale în domeniul perioadelor lungi la valoarea β⋅ag.

4.2.5 Combinarea acţiunii seismice cu alte tipuri de acţiuni

Combinaţiile de acţiuni pentru verificarea structurilor se întocmesc conform SR EN 1990:2004. În cazul acţiunii seismice, combinaţia de încărcări pentru verificarea la starea limită ultimă se determină conform relaţiei (vezi paragraful 6.4.3.4 din SR EN 1990:2004):

, 2, ,1 1

k j Ed i k ij i

G P A Qψ≥ ≥

+ + +∑ ∑ (32)

unde: Gk,j valoarea caracteristică a acţiunii permanente j; Qk,i valoarea caracteristică a acţiunii variabile i; Aed valoarea de calcul a acţiunii seismice, Aed = γI⋅Aek; Aed valoarea caracteristică a acţiunii seismice ce corespunde intervalului mediu de

recurenţă corespunzător SLU (IMR=100); P Valoare reprezentativă a unei acţiuni de pretensionare; ψ2,i coeficient pentru determinarea valorii cvasipermanente a acţiunii variabile Qi, vezi Tabelul 2; γI coeficient de importanţă;

În combinaţia de încărcări pentru verificarea la SLU, încărcările permanente sunt introduse cu valoarea lor caracteristică. Încărcările variabile sunt considerate doar cu fracţiunea cvasipermanentă din încărcarea caracteristică. Această abordare reflectă probabilitatea mai mică de producere a unui cutremur cu IMR corespunzător SLU concomitent cu atingerea valorii maxime a încărcării variabile. Acţiunile variabile care se consideră în combinaţia seismică sunt cele utile şi din zăpadă. Încărcările variabile din vânt şi din variaţii de temperatură nu se combină cu acţiunea seismică (ψ2,i = 0 în acest caz).

Pentru calculul efectelor acţiunii seismice asupra unei structuri este necesară cunoaşterea maselor structurii. Aceste mase sunt cele care corespund încărcărilor gravitaţionale (permanente şi variabile) prezente în combinaţia seismică de acţiuni (32). Conform SR EN 1998-1:2004, paragraful 3.2.4, masele structurii pe baza cărora se determină Aek sunt cele corespunzătoare următoarelor încărcări:

, , ,1 1

k j E i k ij i

G Qψ≥ ≥

+∑ ∑ (33)

Coeficienţii de grupare ψE,i iau în considerare probabilitatea ca încărcările Qk,i să nu fie prezente pe întreaga structură în timpul cutremurului. Aceşti coeficienţi pot să ia în considerare o participare redusă a maselor la mişcarea structurii, datorită prinderii nerigide dintre ele. Coeficienţii de grupare se determină conform paragrafului 4.2.4 din SR EN 1998-1:2004, după cum urmează:

, 2,E i iψ ϕ ψ= ⋅ (34)

Valorile coeficienţilor ϕ se stabilesc conform cu Tabelul 3 (vezi paragrafului 4.2.4 din SR EN 1998-1:2004).

81

Tabelul 2. Coeficientul ψ2,i pentru determinarea fracţiunii cvasipermanente a acţiunii variabile conform SR EN 1990:2004 şi Anexei Naţionale.

Tipul de acţiune ψ2 Încărcări utile în clădiri, categoria (a se vedea SR EN 1991-1-1:2004 şi anexa naţională) Categoria A: clădiri rezidenţiale Categoria B: clădiri de birouri Categoria C: spaţii cu aglomerări de persoane Categoria D: spaţii comerciale Categoria E: spaţii pentru depozitare Categoria F: spaţii destinate traficului de vehicule (greutatea vehiculului ≤ 30 kN) Categoria G: spaţii destinate traficului de vehicule (30 kN <greutatea ≤ 160 kN) Categoria H: acoperişuri necirculabile

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0.6 0.3 0

Încărcări date de zăpadă (a se vedea SR EN 1991-1-3:2005 şi anexa naţională) 0.4 Acţiunea vântului (a se vedea SR EN 1991-1-4:2006 şi anexa naţională) 0 Acţiunea temperaturii, cu excepţia incendiilor (a se vedea SR EN 1991-1-5:2005) 0

Tabelul 3. Valorile coeficienţilor ϕ pentru determinarea ψE,i, conform SR EN 1998-1:2004.

Tipul de acţiune variabilă Etaj ϕ Categoriile A-C Acoperiş

Nivele cu utilităţi corelate Nivele ocupate independent

1.0 0.8 0.5

Categoriile D-F şi arhive 1.0 Categoriile conform SR EN 1991-1-1:2004.

4.3 Metode de calcul structural

Ecuaţia de mişcare (24) a unui sistem cu mai multe grade de libertate dinamică reprezintă un sistem de ecuaţii diferenţiale neomogene de ordinul doi. Principial, calculul structural la acţiunea seismică implică determinarea deplasărilor u(t) şi a altor mărimi de răspuns prin rezolvarea ecuaţiei de mişcare. Rezolvarea directă a ecuaţiei de mişcare prin procedee analitice nu este posibilă datorită faptului că acţiunea dinamică (mişcarea seismică) nu poate fi descrisă printr-o funcţie analitică. Dacă mai ţinem cont şi de faptul că în general acţiunea seismică produce un răspuns al structurii în domeniul plastic, devine evidentă complexitatea rezolvării ecuaţiei de mişcare. Ca urmare, deseori sunt adoptate diverse simplificări ce au scopul de a uşura calculul structural. Practic, diversele procedee de rezolvare a ecuaţiei de mişcare constituie diferite metode de calcul structural la acţiunea seismică. În continuare sunt descrise metodele de calcul structural la acţiunea seismică conform SR EN 1998-1:2004, paragraful 4.3.3.1: (1) metoda forţelor laterale; (2) calculul modal cu spectre de răspuns; (3) calculul static neliniar şi (4) calculul dinamic neliniar. Pe lângă acestea, mai este amintit şi calculul dinamic liniar, cu toate că această metodă de calcul nu este menţionată explicit în SR EN 1998-1:2004.

Proiectarea curentă a structurilor la acţiunea seismică foloseşte două metode de calcul structural: metoda forţelor laterale şi metoda de calcul modal cu spectre de răspuns. Ambele sunt metode de calcul elastic, bazându-se pe ipoteza unui răspuns elastic al structurii.

Metoda de calcul cu forţe laterale este cea mai simplă şi se poate aplica doar structurilor al căror răspuns este guvernat de modul fundamental de vibraţie. Această metodă de calcul nu se

82

poate aplica structurilor mai complexe, care nu sunt regulate pe verticală datorită distribuţiei neuniforme a rigidităţii, rezistenţei sau masei.

Metoda de calcul de referinţă pentru proiectarea curentă este calculul modal cu spectre de răspuns, deoarece aceasta ţine cont de proprietăţile dinamice ale structurii. Prin considerarea unui număr suficient de moduri proprii de vibraţie răspunsul seismic al structurii este foarte apropiat de cel "real".

Atât metoda forţelor laterale cât şi cea modală cu spectre de răspuns au două limitări majore. Prima dintre acestea se referă la natura acţiunii seismice, care este o acţiune dinamică, ce variază în timp. Rezultatele obţinute prin cele două metode de calcul reprezintă înfăşurătoarea mărimilor de răspuns (eforturi, deplasări, etc.), necunoscându-se variaţia acestora în timp.

Ce-a de-a doua limitare majoră a metodei de calcul cu forţe laterale şi a metodei modale cu spectre de răspuns o reprezintă faptul că ambele sunt metode de calcul elastic. În realitate, structurile proiectate folosind principiul de comportare disipativă vor avea un răspuns plastic sub efectul acţiunii seismice. Ductilitatea structurii nu este verificată în mod direct. Aceasta este luată în calcul în mod simplificat prin intermediul factorilor de comportare q.

Cu toate că prezintă aceste dezavantaje, cele două metode de calcul sunt preferate pentru proiectarea curentă a structurilor, deoarece oferă avantajul unei eficienţe ridicate, fiind metode de calcul elastic. Metoda de calcul cu forţe laterale este aplicabilă şi într-un calcul manual, iar metoda de calcul modal cu spectre de răspuns este implementată în majoritatea programelor de calcul structural. Pentru ambele metode de calcul, combinarea acţiunii seismice cu încărcările gravitaţionale se poate face folosind principiul suprapunerii efectelor.

Totuşi, există situaţii în care pot fi necesare metode mai avansate de calcul. Acestea includ proiectarea unor construcţii mai deosebite (cu deschideri sau înălţimi mari, sau cu forme complexe), sau evaluarea performanţei seismice a unor construcţii existente care nu respectă cerinţele de conformare seismică impuse de normele moderne. Printre metodele alternative de calcul structural se numără următoarele: (1) metoda de calcul static neliniar, (2) metoda de calcul dinamic liniar şi (3) metoda de calcul dinamic neliniar.

În metoda de calcul dinamic liniar acţiunea seismică este definită prin accelerograme, iar modelul structurii este elastic. Efectele acţiunii seismice se obţin prin integrarea directă a ecuaţiei de mişcare folosind metode numerice. Rezultatele unui calcul dinamic liniar sunt variaţii în timp ale mărimilor de răspuns.

Calcul dinamic neliniar îmbunătăţeşte calculul dinamic neliniar prin modelarea explicită a comportării neliniare (plastice) a structurii. Este metoda de calcul care permite modelarea cea mai fidelă a răspunsului seismic a structurii, dar care este şi cea mai complexă şi laborioasă.

4.3.1 Metoda forţelor laterale

Metoda de calcul cu forţe laterale reprezintă un calcul modal cu spectre de răspuns simplificat, care ia în considerare doar aportul modului fundamental de vibraţie la răspunsul structurii. Pe baza acestei simplificări, calculul modal cu spectre de răspuns se reduce la un calcul static al structurii sub efectul unor forţe laterale aplicate la nivelul planşeelor. Avantajul principal al acestei metode de calcul este simplitatea, metoda constând într-un calcul static al structurii sub acţiunea unor forţe statice echivalente aplicate pe cele două direcţii orizontale principale ale structurii (x şi y). Aceste forţe laterale reprezintă modelul acţiunii seismice pentru această metodă de calcul. Deoarece forţele laterale modelează dor componentele orizontale ale acţiunii seismice, metoda forţelor laterale nu poate fi folosită atunci când este necesară luarea în calcul a componentei verticale a acţiunii seismice.

83

Metoda forţelor laterale poate fi aplicată atât unor modele plane ale structurii, cât şi unor modele spaţiale. Rezultatele unui calcul cu forţe laterale reprezintă valorile de vârf ale eforturilor şi deplasărilor structurii.

Metoda forţelor laterale se poate aplica construcţiilor al căror răspuns seismic total nu este influenţat semnificativ de modurile proprii superioare de vibraţie. În acest caz, modul propriu fundamental de vibraţie are o contribuţie predominantă asupra răspunsului seismic total. Conform SR EN 1998-1:2004, paragraful 4.3.3.2 , aceste cerinţe pot fi considerate îndeplinite de structurile care îndeplinesc condiţiile de regularitate în elevaţie şi au perioada fundamentală de vibraţie T1 mai mică de min(4TC; 2.0 sec) pentru fiecare dintre cele două direcţii orizontale principale ale clădirii.

Determinarea forţelor laterale se efectuează în două etape. În prima etapă se determină forţa tăietoare de bază, iar în cea de-a doua etapă aceasta se distribuie pe înălţimea structurii conform modului fundamental.

Forţa tăietoare de bază are următoare expresie:

( )1b dF S T mλ= (35)

unde: Fb forţa tăietoare de bază corespunzătoare modului propriu fundamental, pentru fiecare

direcţie orizontală principală considerată în calculul clădirii; Sd(T1) ordonata spectrului de răspuns de proiectare corespunzătoare perioadei fundamentale

T1; T1 perioada proprie fundamentală de vibraţie a clădirii în planul ce conţine direcţia

orizontală considerată; m masa totală a clădirii; λ factor de corecţie care ţine seama de contribuţia modului propriu fundamental prin

masa modală efectivă asociată acestuia, ale cărui valori sunt: λ = 0.85 dacă T1 ≤ 2TC şi clădirea are mai mult de două niveluri şi λ = 1.0 în celelalte situaţii.

Pentru a determina forţele laterale prin distribuirea forţei tăietoare de bază pe înălţimea structurii, este necesar cunoaşterea modului fundamental de vibraţie. Pentru fiecare direcţie principală orizontală a clădirii, forţele laterale se determină cu relaţia:

i ii b

j j

mF F

m

φφ

=∑

(36)

unde Fi forţa seismică orizontală static echivalentă de la nivelul i; Fb forţa tăietoare de bază corespunzătoare modului fundamental; φi, φj componenta formei fundamentale pe direcţia gradului de libertate dinamică de

translaţie la nivelul i, respectiv j; mi, mj masa de la nivelul i, respectiv j.

În principiu, aplicarea metodei forţelor laterale necesită cunoaşterea modului propriu de vibraţie fundamental (perioada T1 şi deplasările φi), pentru fiecare direcţie principală orizontală a clădirii. Aceste valori pot fi determinate folosind metode ale dinamicii structurilor sau metode simplificate. Astfel, deplasările în modul fundamental de vibraţie pot fi aproximate prin deplasări orizontale care cresc liniar cu înălţimea. În acest caz forţele orizontale de nivel sunt date de relaţia:

84

i ii b

j j

m zF F

m z=

∑ (37)

unde zi, zj reprezintă înălţimea nivelului i, respectiv j faţă de baza construcţiei considerată in

model.

Forţele seismice orizontale se aplică sistemelor structurale ca forţe laterale la nivelul fiecărui planşeu considerat indeformabil în planul său. În Figura 98 sunt prezentate schematic forţele orizontale de nivel din metoda forţelor laterale. De menţionat că distribuţia "invers triunghiulară" a forţelor laterale (proporţionale cu înălţimea) reprezintă în mod simplificat forma modului fundamental de vibraţie. Forţele laterale fiind proporţionale cu masa de la nivelul i, vor avea această distribuţie doar în cazul în care masele de nivel sunt egale între ele.

zi

miFi

Fb

Figura 98. Reprezentare schematică a forţelor orizontale de nivel folosite în metoda de calcul cu forţe laterale.

Perioada proprie de vibraţie fundamentală T1 poate fi determinată prin metode ale dinamicii structurilor (metoda Rayleigh sau un program de calcul), fie pot fi adoptate relaţii empirice oferite de SR EN 1998-1:2004. Astfel, pentru clădiri cu înălţimi de până la 40 m, se poate utiliza următoarea formulă simplificată pentru estimarea perioadei fundamentale de vibraţie:

3 41 tT C H= (38)

unde: T1 este perioada fundamentală a clădirii, în secunde; H înălţimea clădirii, în metri, măsurată de la nivelul fundaţiei sau de la extremitatea

superioară a infrastructurii rigide Ct este un coeficient ale cărui valori sunt funcţie de tipul structurii, după cum urmează:

Ct = 0.085 pentru cadre metalice (necontravântuite), Ct = 0.075 pentru cadre din beton armat (necontravântuite) sau cadre metalice cu

contravântuiri excentrice, Ct = 0.05 pentru celelalte tipuri de structuri.

Expresia (38) este una empirică şi are la bază măsurători efectuate pe clădiri din California în timpul cutremurelor trecute (Fardis et al., 1995). Aceste măsurători includ aportul componentelor nestructurale la răspunsul total, oferind astfel estimări ale valorilor minime ale perioadei fundamentale de vibraţie. În general, perioada proprie de vibraţie determinată conform relaţiei empirice rezultă mai mică decât perioada proprie de vibraţie determinată printr-un calcul dinamic, fiind astfel acoperitoare (perioade proprii de vibraţie mai mici corespund unor ordonate spectrale, respectiv forţe laterale mai mari).

85

4.3.2 Calcul modal cu spectre de răspuns

Calculul modal cu spectre de răspuns este metoda de calcul de referinţă din SR EN 1998-1:2004 şi este descrisă în paragraful 4.3.3.3 al acestui standard. Metoda de calcul are la bază decuplarea sistemului de ecuaţii de mişcare (24) a unui sistem cu mai multe grade de libertate dinamică. Cu alte cuvinte, rezolvarea unui sistem de N ecuaţii diferenţiale este înlocuită cu rezolvarea a N ecuaţii independente, ceea ce uşurează substanţial problema. În plus, efortul de calcul este redus substanţial datorită determinării directe a valorilor de vârf al răspunsului seismic. Acest ultim fapt este posibil înlocuind determinarea variaţiei în timp a răspunsului (printr-un calcul dinamic direct) cu determinarea valorilor de vârf a răspunsului din spectre de răspuns de (pseudo-)acceleraţie. Determinarea directă a valorilor de vârf a răspunsului are un avantaj practic important, deoarece proiectare unei structuri se face pe baza răspunsului de vârf şi nu pe baza variaţiei acestuia în timp.

Decuplarea sistemului de ecuaţii este posibil datorită aplicării principiului suprapunerii răspunsurilor modale. Astfel, pentru a efectua un calcul modal cu spectre de răspuns este necesară determinarea modurilor proprii de vibraţie şi a perioadelor proprii de vibraţie, rezolvând problema de valori proprii:

[ ] [ ]( ) 2 0n nk mω φ− = (39)

unde ωn2 este pulsaţia proprie de vibraţie în modul propriu n (ω=2π/T), iar n

φ este

deformata din modul propriu de vibraţie n.

Modurile proprii de vibraţie sunt proprietăţi dinamice ale structurii, depinzând de rigiditatea structurii şi masele acesteia, şi fiind independente de forţele aplicate pe structură. În Figura 99 sunt reprezentate modurile proprii de vibraţie ale unei structuri cu patru nivele şi grinzile infinit rigide. Pentru o structură cu N grade de libertate dinamică se pot determina N moduri proprii de vibraţie. Modul propriu ed vibraţie fundamental corespunde celei mai mari perioade proprii de vibraţie Tn. Cunoscând modurile proprii de vibraţie şi masele structurii se pot calcula masele modale efective Mn

*, folosind relaţia următoare:

2

* 2

1 1

n n

n j jn j jnj j

M m mφ φ= =

= ∑ ∑ (40)

1φ , T1 2

φ , T2 3φ , T3 4

φ , T4

Figura 99. Deformata nφ unei structuri multietajate în modurile proprii de vibraţie 1-4.

86

Masa modală efectivă are o semnificaţie fizică foarte importantă, reprezentând aportul modului propriu de vibraţie n la răspunsul seismic total al structurii în termeni de forţă tăietoare de bază (reacţiunea totală la baza structurii). Masa modală efectivă se calculează pentru fiecare direcţie principală a structurii (x, y, z). Suma maselor modale efective din cele N moduri proprii de vibraţie ale unei structuri este egală cu masa totală a structurii:

*

1

N

n totn

M m=

=∑ (41)

Majoritatea programelor de calul structural determină modurile proprii de vibraţie, perioadele proprii de vibraţie şi masele modale efective ale unei structuri.

Calculul modal cu spectre de răspuns implică parcurgerea următoarelor etape (vezi Figura 100): 1. Se definesc proprietăţile structurii

- matricele masei [m] şi rigidităţii [k] - fracţiunea din amortizarea critică ξn

2. Se determină pulsaţiile proprii de vibraţie ωn (cu perioada proprie corespunzătoare Tn = 2π/ωn) şi modurile proprii de vibraţie φn

3. Se calculează răspunsul în fiecare mod propriu urmărind secvenţa de mai jos: - pentru perioada proprie Tn şi fracţiunea din amortizarea critică ξn se determină din spectrul de pseudo-acceleraţie ordonata spectrală Sa(Tn) - se calculează forţele statice echivalente fn - se calculează răspunsul rn din forţele fn, pentru fiecare cantitate de răspuns dorită (eforturi, deplasări, etc.)

4. Se combină contribuţiile modale rn pentru a obţine răspunsul total r.

În Figura 101 sunt prezentate contribuţiile modale şi valorile totale ale variaţiei în timp a forţei tăietoare de bază al unui cadru cu 5 nivele. Răspunsul de vârf al contribuţiilor modale Vbn(t) se înregistrează în general la momente diferite de timp, la fel şi valoarea de vârf a răspunsului total Vb(t). Într-un calcul modal cu spectre de răspuns nu se cunosc variaţiile în timp ale răspunsului din fiecare mod propriu de vibraţie rn(t), ci doar valorile de vârf ale răspunsului rn=maxt|r(t)|. În consecinţă, se folosesc diverse aproximări prin care se estimează răspunsul de vârf total r pe baza răspunsurilor de vârf modale rn.

Una dintre posibilităţi este considerarea că toate valorile de vârf ale răspunsurilor modale au loc la acelaşi timp şi au acelaşi semn algebric. Această ipoteză conduce la expresia:

1

N

nn

r r=

=∑ (42)

unde rn este valoarea de vârf a răspunsului din modul propriu n, r este răspunsul de vârf total; iar N este numărul modurilor proprii de vibraţie. Această metodă de combinare se numeşte suma valorilor absolute (ABS) şi oferă o aproximare corespunzătoare a răspunsului total doar pentru structurile care au perioade proprii de vibraţie apropiate.

O altă metodă de combinare a răspunsurilor modale este radical din suma pătratelor (RSP):

2

1

N

nn

r r=

= ∑ (43)

Această metodă de combinare a răspunsurilor modale oferă o aproximare corespunzătoare a răspunsului total doar pentru structurile care au perioade proprii de vibraţie distincte (moduri proprii de vibraţie independente). Conform paragrafului 4.3.3.3.2 din SR EN 1998-1:2004,

87

răspunsurile modale pentru două moduri proprii de vibraţie, j si i sunt considerate independente dacă perioadele proprii de vibraţie Tj şi Ti (cu Tj ≤ Ti) satisfac următoarea condiţie:

0.9j iT T≤ (44)

1. Se definesc proprietăţile structurale - matricele masei [m] şi rigidităţii [k] - fracţiunea din amortizarea critică ξn

ξ

[m]

[k]

2. Se determină pulsaţiile proprii de vibraţie ωn (cu perioada proprie corespunzătoare Tn = 2π/ωn) şi a modurilor proprii de vibraţie φn

φ1, T1 φ2, T2 φ3, T3

Ordonatele spectrale Sa(Tn) din spectrul de pseudo-acceleraţie funcţie de perioadele proprii de vibraţie Tn

Sa(T)

TT3 T2 T1

Sa(T3)

Sa(T2)

Sa(T1)

Forţele statice echivalente fn

f 1 f 2 f 3

3. Pentru fiecare mod propriu de vibraţie se determină:

Răspunsul rn din forţele fn, pentru fiecare cantitate de răspuns dorită (eforturi, deplasări, etc.)

r1 r2 r3

MA1 MA2 MA3

4. Se calculează răspunsul total r combinând contribuţiile modale rn (de exemplu folosind metoda RSP)

r

MA=√MA12+MA2

2+MA32

Figura 100. Schema de principiu a calculului modal cu spectre de răspuns.

88

Figura 101. Contribuţiile modale şi valorile totale ale forţei tăietoare de bază al unui cadru cu 5 nivele, (Chopra, 2001).

O metodă mai flexibilă de combinare a răspunsurilor modale este metoda de combinare pătratică completă (CPC), aceasta fiind aplicabilă atât structurilor cu moduri proprii apropiate cât şi celor cu moduri proprii distincte. Expresia răspunsului de vârf în această metodă este:

1 1

N N

in i ni n

r rrρ= =

= ∑ ∑ (45)

Fiecare termen de sub radicalul acestei relaţii reprezintă produsul dintre coeficientul de corelare ρin şi valorile de vârf ale răspunsurilor modale ri şi rn. Coeficientul de corelare variază între 0 şi 1, având valoarea unitară pentru i = n: ρin = 1. Astfel, ecuaţia (45) poate fi rescrisă sub forma:

2

1 1 1

N N N

n in i nn i n

i n

r r rrρ= = =

≠

= +∑ ∑ ∑1442443

(46)

Primul termen de sub radical este identic cu metoda RSP, iar cel de-al doilea termen include toţi factorii (i ≠ n), reprezentând "corecţia" aplicată metodei RSP pentru modurile proprii care nu sunt distincte.

89

Figura 102. Variaţia factorului de corelare ρin funcţie de raportul pulsaţiilor modale

in i nβ ω ω= (Chopra, 2001).

Variaţia factorului de corelare ρin funcţie de raportul pulsaţiilor modale in i nβ ω ω= este

prezentată în Figura 102. Se poate observa că pentru moduri proprii distincte (cu valori ωi ≠ ωn) factorul de corelare scade rapid odată cu creşterea raportului dintre pulsaţii, astfel încât metoda CPC se reduce la metoda RSP. În cazul în care structura are moduri proprii apropiate (ωi ≅ ωn), factorul de corelare este apropiat de valoarea unitară, răspunsul total fiind mai mare decât cel determinat cu metoda RSP.

Metodele RSP şi CPC au la bază teoria vibraţiilor stocastice (aleatorii). De aceea, aceste metode de combinare a răspunsurilor modale, cât şi determinarea răspunsului seismic al structurilor folosind metoda de calcul modal cu spectre de răspuns se potriveşte mişcărilor seismice cu o bandă largă de frecvenţe şi o durată lungă. Metoda de calcul modal cu spectre de răspuns nu este potrivită cutremurelor de tip puls sau celor care au o mişcare apropiată de cea armonică (Chopra, 2001).

În mod riguros, calculul modal cu spectre de răspuns implică luarea în consideraţie a tuturor modurilor proprii de vibraţie ale unei structuri. În cazul unor structuri mai complexe şi cu un număr mare de grade de libertate dinamică această abordare poate deveni excesiv de laborioasă şi consumatoare de timp, chiar şi atunci când se foloseşte un program de calcul structural. Totuşi, în general, se pot obţine rezultate suficient de apropiate de cele "exacte" dacă se iau în calcul doar primele câteva moduri proprii de vibraţie ale unei structuri. Conform paragrafului 4.3.3.3.1 din SR EN 1998-1:2004, trebuie luate în calcul modurile proprii cu o contribuţie semnificativă la răspunsul seismic total. Această condiţie este îndeplinită dacă: suma maselor modale efective pentru modurile proprii considerate reprezintă cel puţin

90% din masa totală a structurii, sau au fost considerate în calcul toate modurile proprii cu masă modală efectivă mai mare de

5% din masa totală.

90

În cazul modelelor spaţiale, condiţiile de mai sus se verifică pentru fiecare direcţie de calcul.

Cu titlu de excepţie, în cazul în care condiţiile anterioare nu pot fi satisfăcute pentru un număr suficient de mare de moduri proprii de vibraţie (spre exemplu, la clădirile cu o contribuţie semnificativă a modurilor de torsiune), numărul minim r de moduri proprii ce trebuie incluse într-un calcul spaţial trebuie să satisfacă următoarele condiţii:

3k n≥ şi 0.20kT s≤ (47)

unde: k numărul minim de moduri proprii care trebuie luate în calcul; n numărul de niveluri deasupra terenului; Tk perioada proprie de vibraţie a ultimului mod de vibraţie considerat k.

În general, prima condiţie (suma maselor modale efective să fie mai mare decât 90% din masa totală a structurii) se verifică relativ uşor, servind ca metodă de referinţă în stabilirea numărului minim de moduri proprii de vibraţie ce trebuie luate în calcul.

Metoda de calcul modal cu spectre de răspuns este metoda de calcul de referinţă din SR EN 1998-1:2004. Ea îmbină avantajul unui răspuns seismic al structurii suficient de apropiat de cel "real" cu eficienţa numerică. Totuşi, trebuie reţinut faptul că metoda de calcul modal cu spectre de răspuns este o metodă aproximativă şi are limitările ei.

Aproximaţiile acestei metode de calcul constau în combinarea răspunsurilor modale şi combinarea efectelor componentelor acţiunii seismice. Astfel, datorită combinării răspunsurilor modale prin oricare din cele trei metode descrise mai sus, rezultatele îşi "pierd" semnul, obţinându-se diagrame de eforturi sau deformate ale structurii aparent în contradicţie cu legile fizice. În Figura 103 este prezentată diagrama de moment încovoietor pe un cadru necontravântuit obţinut prin metoda forţelor laterale (un calcul static din forţe orizontale laterale, vezi Figura 103a) şi cea obţinută printr-un calcul modal cu spectre de răspuns (vezi Figura 103b). Se poate observa că diagrama de momente rezultată din calculul modal cu spectre de răspuns pare incorectă. De fapt, valorile individuale ale eforturilor sunt corecte ca şi mărime, dar toate au semn pozitiv. Este responsabilitatea inginerului să interpreteze corect datele oferite de programul de calcul.

Pentru a ţine cont de faptul că acţiunea seismică poate acţionează atât în sens pozitiv, cât şi negativ, şi pentru a ţine cont de faptul că nu se cunoaşte semnul (pozitiv/negativ) al rezultatelor unui calcul modal cu spectre de răspuns, efectele acţiunii seismice rezultate dintr-un calcul modal cu spectre de răspuns trebuie luate în calcul atât cu semnul pozitiv, cât şi cu cel negativ. Astfel, în combinaţia seismică de încărcări (32) trebuie adaptată, luând acţiunea seismică cu semnul ±:

, 2, ,1 1

k j Ed i k ij i

G P A Qψ≥ ≥

+ ± +∑ ∑ (48)

Această procedură este implementată în majoritatea programelor de calcul structural. Spre exemplificare, în Figura 104 este prezentată o diagramă tipică de moment încovoietor în combinaţia seismică de încărcări folosind metoda de calcul modal cu spectre de răspuns. Se poate observa că rezultatele reprezintă înfăşurătoarea eforturilor din combinaţia de încărcări (48), corespunzătoare atât sensului pozitiv, cât şi a celui negativ al acţiunii seismice.

91

(a)

(b)

Figura 103. Cadru necontravântuit cu noduri rigide – diagrame de moment încovoietor din acţiunea seismică: alura obţinută prin metoda forţelor laterale (a) şi cea obţinută prin metoda

de calcul modal cu spectre de răspuns (b).

Figura 104. Cadru necontravântuit cu noduri rigide – diagramă tipică de moment încovoietor în combinaţia seismică de încărcări folosind metoda de calcul modal cu spectre de răspuns.

O altă limitare a metodei de calcul modal cu spectre de răspuns este faptul că aceasta oferă doar valorile de vârf ale răspunsului, nu şi variaţia lor în timp. Ca urmare, efectele acţiunii seismice obţinute prin această metodă de calcul nu sunt corelate între ele. Spre exemplu, un stâlp dintr-un cadru necontravântuit spaţial, cu grinzi prinse rigid pe ambele direcţii, va fi solicitat la încovoiere biaxială (My,Ed şi Mz,Ed) cu efort axial (NEd). Calculul modal cu spectre de răspuns oferă valorile de vârf ale acestor eforturi, cu care se face verificarea de rezistenţă şi stabilitate a stâlpului. Totuşi, în realitate, valorile de vârf ale momentelor încovoietoare după cele două axe nu vor avea loc în acelaşi moment de timp. Ar fi mai corect să se verifice rezistenţa şi stabilitatea elementului structural la fiecare moment de timp, cu valorile instantanee ale eforturilor. Acest lucru nu este posibil însă atunci când se foloseşte metoda de calcul modal cu spectre de răspuns. Ca urmare, verificarea elementelor structurale pe baza metodei de calcul modal cu spectre de răspuns este acoperitoare, cu dezavantajul că poate fi uneori neeconomică.

Pentru a obţine rezultate cât mai corecte folosind metoda de calcul modal cu spectre de răspuns este necesar să se determine direct răspunsurile modale pentru fiecare mărime de răspuns de interes, după care acestea să se combine folosind una dintre procedurile ABS, RSP

92

sau CPC. Nu este corect ca unele mărimi de răspuns să fie determinate pe baza răspunsului total (Wilson, 2002).

Spre exemplu, deformata unei structuri obţinute printr-un calcul modal cu spectre de răspuns nu este foarte semnificativă, deoarece toate deplasările sunt valori pozitive. Pentru verificarea unei structuri la starea limită de serviciu în combinaţia seismică de încărcări este necesar calculul deplasărilor laterale relative de nivel. O aplicare corectă a metodei de calcul modal cu spectre de răspuns presupune calculul deplasărilor relative de nivel în fiecare mod propriu de vibraţie şi combinarea ulterioară a acestora prin una dintre procedurile ABS, RSP sau CPC. Unele programe de calcul structural nu oferă această posibilitate, fiind constrâns să determine deplasările relative de nivel pe baza deplasărilor totale ale structurii.

4.3.3 Calcul dinamic liniar

Metoda de calcul dinamic liniar foloseşte un model elastic al structurii (o relaţie liniară între forţă şi deplasare), iar răspunsul seismic este obţinut prin integrarea numerică directă a ecuaţiei de mişcare (24). Un calcul dinamic liniar oferă variaţia în timp a mărimilor de răspuns (eforturi, deplasări, etc.), la intervale stabilite (de obicei aceleaşi ca şi intervalul de digitizare al accelerogramei). În cazul în care structura are un răspuns elastic, această metodă de calcul reflectă cel mai fidel răspunsul real al structurii, fiind aplicabilă structurilor complexe. Dezavantajul acestei metode de calcul constă în faptul că este o metodă de calcul elastic, deci neconcludentă pentru răspunsul plastic al unei structuri. Metoda de calcul dinamic liniar necesită o putere de calcul mai mare decât metoda de calcul modal cu spectre de răspuns şi implică prelucrarea unui volum mult mai mare de informaţii. Metoda de calcul dinamic liniar nu este menţionată explicit în SR EN 1998-1:2004.

4.3.4 Calcul static neliniar

Metoda de calcul static neliniar (cunoscută şi sub numele de "push-over") a fost dezvoltată în încercarea de a găsi o metodă de calcul mai simplă decât calculul dinamic neliniar, dar care să reflecte totuşi comportarea plastică a elementelor structurale în timpul acţiunii seismice. În această metodă de calcul, modelul structurii este unul plastic, reprezentativ pentru comportarea monotonă a elementului (vezi Figura 105), iar încărcările sunt aplicate static şi monoton.

Asupra unei structuri solicitate seismic acţionează două tipuri de încărcări: cele gravitaţionale (verticale) şi cele seismice (laterale). Încărcările gravitaţionale sunt constante pe durata acţiunii seismice, în schimb cele seismice variază. Pentru multe structuri, răspunsul seismic este guvernat de modul fundamental de vibraţie. Pentru determinarea răspunsului elastic al acestor structuri se poate folosi metoda forţelor laterale, caz în care acţiunea seismică este modelată prin intermediul unor forţe laterale statice, proporţionale cu înălţimea şi cu masa concentrată la nivelul planşeelor. Metoda de calcul static neliniar este practic o extindere a metodei forţelor laterale, prin adoptarea unui model plastic al structurii. Calculul static neliniar are la bază două ipoteze: (1) răspunsul dinamic al structurii este guvernat de un singur mod propriu de vibraţie, care (2) nu variază pe durata acţiunii seismice. Într-un calcul static neliniar acţiunea seismică este modelată printr-o distribuţie de forţe laterale aplicate maselor structurii, la fel ca în metoda forţelor laterale.

93

F

d

Figura 105. Modelarea principială a comportării neliniare al elementelor structurale pentru calculul static neliniar.

Principiul de efectuare a unui calcul static neliniar este prezentat în Figura 106. În prima etapă se aplică încărcările gravitaţionale (G), în control de forţă, care rămân constante în continuare. În ce-a de-a doua etapă se aplică încărcările laterale (F), care cresc progresiv. Aplicarea forţelor laterale într-o analiză statică neliniară se efectuează în control de deplasare, prin impunerea unor deplasări laterale care cresc progresiv sub efectul forţelor laterale. Deoarece aplicarea forţelor laterale se face în control de deplasare, nu contează mărimea acestor forţe, ci doar distribuţia (alura) lor. Reprezentarea grafică a relaţiei dintre valoarea forţelor laterale (sau forţa tăietoare de bază) şi a deplasării de control (deplasarea laterală la vârful structurii) reprezintă curba de capacitate a structurii (vezi Figura 106). Această curbă creşte liniar până la formarea primei articulaţii plastice (punctul 2), când are loc o scădere a rigidităţii laterale a structurii. Odată cu creşterea forţelor laterale, se formează tot mai multe articulaţii plastice, până la formarea mecanismului plastic.

d

1

F

2

34

321

G

F

G G

F

d

4

G

F

Figura 106. Principiul de efectuare a unui calcul static neliniar.

Conform paragrafului 4.3.3.4.2.2 din SR EN 1998-1:2004, atunci când se foloseşte un calcul static neliniar, structura trebuie analizată pentru două distribuţii de forţe laterale: o distribuţie "uniformă", bazată pe forţe laterale proporţionale cu masele, indiferent de

înălţime (acceleraţie de răspuns uniformă), vezi Figura 107a; o distribuţie "modală", în care forţele laterale sunt proporţionale cu masele şi deplasările

din modul fundamental de vibraţie. Această distribuţie corespunde forţelor laterale determinate la fel ca în metoda forţelor laterale conform relaţiilor (36) sau (37), vezi Figura 107b.

Pe măsura formării articulaţiilor plastice, rigiditatea structurii se modifică, deci se modifică şi modul fundamental de vibraţie şi, în consecinţă, şi distribuţia de forţe laterale. O ilustrare a variaţiei distribuţiei forţelor laterale cu deformaţiile plastice ale structurii se poate urmări în Figura 108. Pentru a compensa incapacitatea calculului static neliniar clasic de a ţine cont de acest fenomen, SR EN 1998-1:2004 impune utilizarea a două distribuţii de forţe laterale: "modală" (mai potrivită în domeniul elastic) şi "uniformă" (mai potrivită în domeniul de

94

deformaţii plastice semnificative). Verificarea structurii trebuie să se bazeze pe efectele cele mai defavorabile produse de cele două distribuţii de forţe laterale. În plus, dacă structura nu este perfect simetrică, forţele laterale trebuie aplicate în ambele sensuri (pozitiv şi negativ).

F m

(a)

F m

(b)

Figura 107. Distribuţia uniformă (a) şi modală (b) a forţelor laterale pentru calculul static neliniar.

Figura 108. Modificarea distribuţiei forţelor laterale cu deformaţiile plastice ale structurii (Pinho, 2007a).

Conform paragrafului 4.3.3.4.2.1 din SR EN 1998-1:2004, metoda de calcul static neliniar poate fi folosită pentru: calculul valorilor factorului αu/α1 (redundanţa structurii), folosit pentru estimarea

factorului de comportare q, vezi Figura 109a; verificarea mecanismului plastic al structurii, vezi Figura 109b; proiectarea structurilor noi sau evaluarea celor existente, ca alternativă de proiectare

bazată pe un calcul elastic şi a factorul de comportare q.

Calculul static neliniar reflectă comportarea unei structuri în domeniul plastic sub acţiunea încărcării seismice, reprezentând "capacitatea" structurii. Acest calcul în sine nu reprezintă un nivel anume al acţiunii seismice şi nu poate fi folosit ca atare pentru proiectarea structurii. Totuşi, în anexa B a SR EN 1998-1:2004 este descrisă o metodă de calcul a deplasării ţintă, adică a deplasării indusă în structură de un anumit nivel al acţiunii seismice, definit printr-un spectru de răspuns elastic. Odată determinată deplasarea ţintă, structura poate fi analizată printr-un calcul static neliniar pentru această deplasare, iar performanţa structurii evaluată pe baza cerinţelor şi capacităţilor de deformaţii plastice în elementele structurale.

95

F

d

αu⋅F

α1⋅Fαu/α1

(a)

(b)

Figura 109. Factorul αu/α1 - redundanţa structurii (a) şi mecanismul plastic (b) obţinute printr-un calcul static neliniar.

Metoda de determinare a deplasării ţintă şi de evaluare a performanţei structurii descrisă în anexa B din SR EN 1998-1:2004 a fost dezvoltată de Fajfar (2000) care a denumit-o metoda N2. Această metodă combină un calcul static neliniar al sistemului cu mai multe grade de libertate dinamică (structura analizată) cu un calcul spectral al unui sistem cu un singur grad de libertate dinamică. Practic, structura cu mai multe grade de libertate dinamică se transformă într-un sistem cu un singur grad de libertate dinamică. Folosind spectre de răspuns inelastic, se determină cerinţa de deplasare a sistemului cu un singur grad de libertate dinamică, după care printr-o transformare inversă se revine la sistemul cu mai multe grade de libertate dinamică şi cerinţa de deplasare a acestuia. Determinarea deplasării ţintă şi evaluarea performanţei unei structuri prin metoda N2 implică parcurgerea următoarelor etape (adaptat după SR EN 1998-1:2004 şi Fajfar, 2000):

1. Se stabilesc datele iniţiale: - structura; - spectrul de răspuns elastic de (pseudo-) acceleraţie.

2a. Se alege forma deformată (modul propriu de vibraţie) φ, normalizat la deplasarea de la vârful structurii dn. 2b. Se determină distribuţia de

forţe laterale i i iF m φ= ⋅ .

2c. Se determină curba de capacitate Fb-dn printr-un calcul static neliniar al sistemului cu mai multe grade de libertate dinamică.

96

3a. Se determină masa sistemului echivalent cu un singur grad de libertate dinamică m*=∑mi⋅φi 3b. Se transformă sistemul cu mai multe grade de libertate dinamică într-un sistem cu un singur grad de libertate dinamică prin intermediul

factorului *

2i i

m

mφΓ =∑

* bFF =

Γ * nd

d =Γ

4. Se determină o relaţie forţă-deplasare echivalentă biliniară, cu forţa de curgere F*

y şi deplasarea de curgere d*

y.

5a. Se calculează perioada proprie de vibraţie T* a sistemului echivalent cu un singur grad de libertate dinamică 5b. Se calculează deplasarea elastică a sistemului cu mai multe grade de libertate dinamică d*

et

* **

*2 y

y

m dT

Fπ

⋅=

( )*

* *

2et e

Td S T

π

=

6a. Se calculează cerinţa de deplasare d*

t pentru T*<TC - Dacă F*

y/m*≥Se(T

*) răspunsul este elastic şi d*

t<d*et

- Dacă F*y/m

*<Se(T*) răspunsul

este neliniar şi

( )*

* **

1 1et Ct u et

u

d Td q d

q T = + − ≥

unde

( )* *

*

e

uy

S T mq

F

⋅

97

6b. Se calculează cerinţa de deplasare d*

t pentru T*≥TC * *t etd d=

7. Se calculează deplasarea ţintă a sistemului cu mai multe grade d libertate dinamică

*t etd d= Γ

8. Se efectuează un calcul static neliniar impunând deplasarea de control dt şi se determină cerinţele de deformaţii plastice locale θ în elemente şi îmbinări şi alte mărimi de interes.

9. Se evaluează performanţa seismică a structurii comparând cerinţele de deformaţii plastice cu capacitatea

capθ θ≤

Este important să se reţină că metoda de calcul static liniar are limitări importante. Astfel, calculul static neliniar este aplicabil doar structurilor al căror răspuns este guvernat de modul fundamental de vibraţie. Ipoteza potrivit căreia distribuţia forţelor laterale rămâne constantă cu creşterea deformaţiilor plastice ale structurii reprezintă o aproximare. Totuşi, calculul static neliniar are avantajul că este mai simplu de realizat decât un calcul dinamic neliniar, oferind totodată informaţii valoroase asupra răspunsului plastic al structurii sub efectul acţiunii seismice.

4.3.5 Calcul dinamic neliniar

Metoda de calcul dinamic neliniar foloseşte un model inelastic al structurii, iar răspunsul seismic este obţinut prin integrarea numerică directă a ecuaţiei de mişcare (24). Elementele structurii sunt astfel formulate ca să reflecte posibilitatea apariţiei unor deformaţii plastice. Modelul de calcul al elementului structural trebuie să reflecte comportarea inelastică la cicluri repetate a elementului structural (vezi Figura 110).

În cazul unui calcul dinamic neliniar acţiunea seismică este reprezentată direct de accelerograme. Datorită naturii probabilistice a acţiunii seismice, caracterizarea răspunsului structural pe baza unei singure accelerograme este irelevantă. Din această cauză SR EN 1998-1:2004 impune utilizarea a minim 3 accelerograme (vezi paragraful 3.2.3.1.2). Deoarece acest număr este unul mic din punct de vedere statistic, în acest caz se ia în calcul valoarea cea mai defavorabilă a răspunsului structurii. Dacă se foloseşte un număr mai mare de accelerograme (minim 7), răspunsul structurii poate fi evaluat pe baza valorilor medii ale răspunsului (vezi paragraful 4.3.3.4.3 din SR EN 1998-1:2004).

98

F

d

Figura 110. Modelarea principială a comportării neliniare al elementelor structurale pentru calculul dinamic neliniar.

Există mai multe metode numerice care pot fi folosite pentru integrarea directă a ecuaţiei de mişcare (24). Obiectivul acestor metode de calcul este satisfacerea echilibrului dinamic la intervale discrete de timp, cunoscând condiţiile iniţiale la timpul t=0 (Wilson, 2002). Majoritatea metodelor folosesc intervale de timp egale: ∆t, 2∆t, 3∆t, … N∆t şi pot fi încadrate în două categorii mari: metode explicite şi metode implicite.

Metodele explicite nu implică rezolvarea setului de ecuaţii liniare în fiecare pas. În esenţă, aceste metode folosesc ecuaţia diferenţială la timpul t pentru a prezice o soluţie la timpul t+∆t. Pentru majoritatea structurilor reale, care conţin elemente foarte rigide, obţinerea unei soluţii stabile implică adoptarea unui pas de timp foarte mic (Wilson, 2002). De aceea, toate metodele explicite sunt stabile condiţionat în raport cu dimensiunea pasului de integrare.

Metodele implicite încearcă să verifice ecuaţia diferenţială la timpul t după ce a fost găsită soluţia în pasul t-∆t. Aceste metode implică rezolvarea setului de ecuaţii liniare în fiecare pas, dar prezintă avantajul că permit folosirea unor paşi de timp mai mari (Wilson, 2002). Metodele implicite pot fi stabile condiţionat sau necondiţionat.

Într-un calcul dinamic neliniar sunt inevitabil prezente discontinuităţi ale acceleraţiei, datorate neliniarităţilor date de comportarea histeretică a materialelor, de îmbinări şi flambajul elementelor. Această situaţie conduce către alegerea metodelor de integrare implicite, simplu-pas şi stabile necondiţionat pentru calculul dinamic neliniar practic al structurilor.

Printre metodele de integrare directă folosite în calculul dinamic neliniar pot fi amintite următoarele: metoda Newmark, metoda acceleraţiei constante, metoda Wilson a factorului θ, metoda Hilber, Hughes şi Taylor a factorului α, etc. Datorită neliniarităţii problemei, se adoptă în general proceduri incremental-iterative (Pinho, 2007b). O astfel de procedură implică aplicarea încărcărilor în incremente de timp predefinite, echilibrul dinamic fiind soluţionat printr-o schemă iterativă, care se aplică până la atingerea convergenţei sau a limitei impuse asupra numărului de iteraţii. După fiecare pas de incrementare, matricea de rigiditate a structurii se actualizează, pentru a reflecta modificarea rigidităţii structurii datorită comportării neliniare.

Se pot folosi mai multe criterii de convergenţă, cum ar fi cele bazate pe deplasare/rotire, forţă/moment sau energie (Pinho, 2007b). Criteriul de convergenţă bazat pe deplasare/rotire oferă un control local direct al preciziei obţinut de soluţia problemei, de obicei fiind suficient pentru o precizie globală. Criteriul de convergenţă bazat pe forţă/moment este recomandat dacă criteriul de convergenţă bazat pe deplasare nu este suficient pentru echilibrarea eforturilor din elementele structurale. Precizia maximă se poate obţine dacă se combină criteriile de convergenţă de deplasare şi forţă, în schimb stabilitatea maximă a procedurii de calcul se obţine dacă se adoptă un singur criteriu d convergenţă.

99

De regulă dimensiunea pasului de timp de integrare este aleasă în intervalul 0.005 – 0.02 sec. Pot fi folosiţi algoritmi care ajustează automat dimensiunea pasului de integrare între nişte limite prestabilite, mărind pasul de integrare atunci când soluţia converge cu uşurinţă şi micşorându-l atunci când convergenţa se atinge mai greu.

Un calcul dinamic neliniar reprezintă teoretic modelul cel mai "exact" al răspunsului seismic al unei structuri. Avantajul principal al acestei metode de calcul constă în faptul că modelul structural reflectă posibilitatea apariţiei unor deformaţii plastice în structură. Se poate verifica tipul de mecanism plastic al structurii (parţial sau global) şi măsura în care sunt preîntâmpinate deformaţiile plastice în elementele nedisipative ale structurii. În cazul unui calcul dinamic neliniar, verificarea elementelor disipative se realizează direct prin comparaţia cerinţei de deformaţie plastică cu capacitatea. Cu alte cuvine, se verifică direct ductilitatea elementului, ceea ce nu este posibil printr-un calcul elastic (liniar). Elementele nedisipative, care trebuie să rămână în domeniul elastic în timpul acţiunii seismice, se verifică în termeni de eforturi (rezistenţă şi stabilitate), calculul dinamic neliniar oferind direct eforturile care se pot dezvolta în aceste elemente la formarea mecanismului plastic în structură.

Dezavantajul principal al calcului dinamic neliniar constă în faptul că acesta este foarte laborios, necesitând programe de calcul mai sofisticate, modelarea comportării plastice a elementelor structurale şi prelucrarea unui volum mare de rezultate. De aceea, această metodă de calcul nu se foloseşte în mod curent în proiectare. În schimb, calculul dinamic neliniar este util în evaluarea performanţei seismice a unor construcţii noi de importanţă ridicată, sau care au o formă foarte complexă, după ce acestea au fost dimensionate folosind metode uzuale de calcul. Un alt domeniu de aplicare a calcului dinamic neliniar este cel al evaluării performanţei seismice a clădirilor existente neconformate seismic. Aceste structuri nu respectă cerinţele de conformare seismică şi detaliile constructive din normele seismice moderne care să le asigure un răspuns ductil. De aceea, metodele de calcul elastic în acest caz sunt mai puţin concludente.

4.4 Regularitatea structurală şi implicaţiile asupra calculului structural

Observaţii ale avariilor suferite de structuri în cutremurele produse în trecut demonstrează că structurile regulate au un răspuns seismic mult mai favorabil decât structurile neregulate. Cu toate acestea, stabilirea exactă a "gradului de regularitate" a unei structuri este deosebit de complexă datorită multitudinii factorilor şi caracteristicilor structurale care trebuie late în consideraţie (Fardis et. al., 2005). Recunoscând această dificultate, SR EN 1998-1:2004 precizează o serie de criterii principiale ce trebui respectate pentru a putea considera o structură ca fiind regulată (vezi paragraful 4.2.3 din SR EN 1998-1:2004). Aceste criterii se referă atât la regularitatea în plan, cât şi la cea în elevaţie. Regularitatea în plan este o caracteristică unică a unii structuri. În schimb, clasificarea funcţie de regularitatea în elevaţie poate fi diferită pe fiecare dintre direcţiile principale ale structurii. În cazul clădirilor separate prin rosturi, din considerente de uniformitate seismică sau al reducerii efectelor variaţiilor de temperatură, rezultă unităţi dinamice independente. În acest caz, clasificarea din punct de vedere al regularităţii se face pentru fiecare unitate în parte.

Clasificarea funcţie de regularitatea structurilor are implicaţii asupra următoarelor aspecte ale calculului la acţiunea seismică: modelul structural, care poate fi plan sau spaţial; metoda de calcul structural, care poate fi cea cu forţe laterale sau metoda de calcul modal

cu spectre de răspuns; valoarea factorului de comportare q, care trebuie redusă în cazul structurilor neregulate pe

verticală.

100

Urmând această abordare, SR EN 1998-1:2004 nu interzice proiectarea structurilor neregulate. În schimb, descurajează folosirea unor configuraţii neregulate, impunând metode de calcul mai sofisticate şi făcându-le mai puţin economice (prin impunerea unor factori de comportare reduşi).

4.4.1 Criterii de regularitate în plan

Condiţiile de regularitate în plan sunt descrise în paragraful 4.2.3.2 din SR EN 1998-1:2004. O structură regulată în plan trebuie să aibă o distribuţie simetrică în plan a rigidităţii şi maselor în raport cu două axe ortogonale. Configuraţia în plan trebuie să fie compactă, apropiată de o formă poligonală convexă. Atunci când există retrageri în plan, acestea trebuie să fie cât mai reduse (la fiecare retragere aria dintre conturul exterior al planşeului şi linia poligonală convexă în care se încadrează planşeul nu depăşeşte 5 % din aria planşeului, vezi Figura 111) şi nu afecteze rigiditatea planşeului în planul său. Pentru a permite o distribuţie a forţelor seismice la sistemele de preluare a forţelor laterale, rigiditatea în plan a planşeelor trebuie să fie suficient de mare pentru a permite modelarea acestora ca şi diafragme rigide. Zvelteţea clădirii în plan λ = Lmax/Lmin nu trebuie să fie mai mare de 4, unde Lmax şi Lmin sunt dimensiunile în plan ale clădirii respectiv cea mai mare şi cea mai mică, măsurate pe direcţiile ortogonale de referinţă (vezi Figura 112).

Aria planseului, A

linia poligonala convexa încare se încadreaza planseul

Aria retragerii A2

Aria retragerii A3

Cerinta de regularitate în plan:A1≤0.05Α, A2≤0.05Α, A3≤0.05Α si A4≤0.05Α

Aria retragerii A1

Aria retragerii A4

Figura 111. Condiţia impusă retragerilor în plan ale planşeului pentru a clasifica structura regulată în plan.

Figura 112. Condiţia impusă zvelteţii clădirii plan pentru a clasifica structura regulată.

Pentru a clasifica o structură regulată în plan conform SR EN 1998-1:2004, mai este necesar ca la fiecare nivel şi pe fiecare direcţie de calcul x şi y, excentricitatea e0 şi raza de torsiune r să fie în conformitate cu cele două condiţii de mai jos:

101

e0x ≤ 0.30 rx şi e0y ≤ 0.30 ry (49)

rx ≥ ls şi ry ≥ ls (50)

unde: e0x, e0y distanţa dintre centrul de rigiditate şi centrul maselor, măsurată în direcţie normală pe

direcţia de calcul (vezi Figura 124); rx, ry raza de torsiune egală cu rădăcina pătrată a raportului între rigiditatea structurii la

torsiune şi rigiditatea laterală pe direcţia de calcul; ls raza de giraţie a maselor planşeului în plan (rădăcina pătrată a raportului dintre (a)

momentul de inerţie polar al maselor în plan faţă de centrul maselor planşeului şi (b) masa nivelului).

De regulă, pentru structurile regulate în plan primele două moduri proprii de vibraţie reprezintă moduri de translaţie pe cele două direcţii principale orizontale ale structurii (x şi y). Condiţia din relaţia (50) asigură faptul că modul propriu de vibraţie fundamental nu este unul de torsiune după axa verticală z şi previne o cuplare puternică a răspunsului de translaţie şi a celui de torsiune, care este considerat necontrolabil şi potenţial forte periculos (Fardis et al., 2005). Se menţionează faptul că dacă sistemele de preluare a încărcărilor laterale sunt distribuite uniform în plan, sau sunt amplasate pe perimetrul clădirii (vezi Figura 113a), relaţia (50) este verificată implicit. În schimb, dacă sistemele de preluare a încărcărilor laterale (cum ar fi cadrele contravântuite sau pereţii structurali) sunt concentrate într-un nucleu concentrat aproape de centrul planului (vezi Figura 113b), condiţia (50) s-ar putea să nu fie îndeplinită şi trebuie verificată explicit (Fardis et al., 1995).

sistem de preluarea fortelor laterale

sistem de preluarea fortelor laterale

sistem de preluarea fortelor laterale

sistem de preluarea fortelor laterale

Figura 113. Dispunerea în plan favorabilă (a) şi nefavorabilă (b) a sistemelor de preluare a forţelor laterale.

În cazul în care se adoptă un model spaţial ala structurii şi se determină modurile proprii de vibraţie, aceste rezultate pot fi folosite pentru a demonstra îndeplinirea condiţiei (50). Astfel, dacă modul de torsiune are perioada proprie de vibraţie mai mică decât modurile de translaţie, relaţia (50) poate fi considerată satisfăcută (Fardis et al., 1995).

La clădirile cu un singur nivel centrul de rigiditate este definit ca centrul de rigiditate laterală a componentelor principale la seism. Raza de torsiune r este definită ca rădăcina pătrată a raportului dintre rigiditatea la torsiune globală faţă de centrul de rigiditate laterală şi rigiditatea laterală globală, pe o direcţie, luând în considerare toate componentele principale la seism pe această direcţie.

Centrul de rigiditate laterală este punctul în plan care satisface următoarea condiţie: orice set de forţe laterale aplicate nivelelor clădirii în acel punct produc doar translaţii ale etajelor, fără nicio torsiune în jurul axei verticale. Centrul de rigiditate poate fi determinat în mod unic doar la clădirile cu un singur nivel. La clădirile multietajate, centrul de rigiditate laterală nu poate fi determinat în mod unic, poziţia acestui depinzând de distribuţia forţelor laterale folosite. O definiţie simplificată, pentru clasificarea regularităţii structurale în plan şi pentru calculul aproximativ al efectelor la torsiune este posibilă dacă sunt satisfăcute următoarele două condiţii:

102

Toate sistemele de preluare a încărcărilor laterale, cum ar fi nucleele, pereţii structurali, sau cadrele trebuie să fie continue de la fundaţie până la vârful clădirii.

Deformatele sistemelor individuale din încărcări laterale nu sunt foarte diferite. Această condiţie poate fi considerată satisfăcătoare în cazul sistemelor în cadre sau cu pereţi structurali. In general această condiţie nu este satisfăcută la sistemele duale.

La cadre şi la pereţi zvelţi cu deformaţii de încovoiere predominante, poziţia centrelor de rigiditate şi raza de torsiune a tuturor etajelor se poate calcula ca fiind centrul momentelor de inerţie al secţiunilor transversale ale elementelor verticale, conform următoarelor relaţii (Fardis et al., 1995):

( )

( )( )

( )y x

cs csxy

x EI y EIx y

EIEI

⋅ ⋅= =∑ ∑

∑∑ (51)

( )

( )( )

( )

2 2 2 2y x y x

x yxy

x EI y EI x EI y EIr r

EIEI

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= =∑ ∑

∑∑ (52)

unde EIx şi EIy sunt rigidităţile la încovoiere ale elementelor verticale într-un plan vertical paralel cu axa x, respectiv y. În cazul altor sisteme structurale, de exemplu cadre contravântuite, relaţiile (51) şi (52) pot fi adaptate înlocuind temenii EIx şi EIy cu rigidităţile Kx şi Ky sistemelor de preluare a încărcărilor verticale pe direcţia x, respectiv y.

4.4.2 Criterii de regularitate în elevaţie

Pentru ca o structură să fie considerată regulată în elevaţie, ea trebuie să respecte următoarele condiţii (paragraful 4.2.3.2 din SR EN 1998-1:2004): Sistemele de preluare a forţelor laterale trebuie să se dezvolte fără întreruperi de la

fundaţii până la ultimul nivel al structurii. Masa şi rigiditatea laterală a structurii trebuie să fie constante sau să se reducă gradual cu

înălţimea. La clădirile în cadre raportul dintre rezistenţa efectivă a etajului şi rezistenţa necesară din

calcul să nu varieze disproporţionat între etajele adiacente. Atunci când există retrageri, acestea trebuie să se încadreze în limitele exemplificate în

Figura 114.

103

1 2

1

0.2L L

L

−≤

3 1 0.2L L

L

+≤ (retrageri la o înălţime peste 0.15H)

3 1 0.5L L

L

+≤ (retrageri la o înălţime sub 0.15H)

2 0.3L L

L

−≤

1 2

1

0.1L L

L

−≤

Figura 114. Criterii de regularitate pentru structuri cu retrageri pe înălţime (SR EN 1998-1:2004).

4.4.3 Alegerea metodei de calcul structural

Regularitatea în plan a structurii implică o excentricitate mică între centrul de masă (CM) şi cel de rigiditate (CR), adică efecte de torsiune reduse. În acest caz forţele seismice care acţionează pe o anumită direcţie sunt preluate doar de sistemele de rezistenţă dispuse pe aceeaşi direcţie, care se încarcă în mod egal (vezi Figura 82a). Aceasta permite analiza fiecărui sistem de preluare a forţelor laterale în parte, adică folosirea unui model plan. Structurile care nu sunt regulate în plan implică efecte de torsiune importante şi, în consecinţă, sistemele structurale de preluare a forţelor laterale dispuse pe direcţia considerată a forţelor seismice se încarcă în mod neuniform. În plus, componenta acţiunii seismice care acţionează după o anumită direcţie va solicita şi sistemele de rezistenţă dispuse perpendicular pe aceasta (vezi Figura 82b). În aceste condiţii, este dificilă determinarea aportului diverselor sisteme de rezistenţă la preluarea acţiunii seismice dacă se folosesc modele plane. În acest caz, soluţia cea mai simplă de determinare a răspunsului structural o constituie utilizarea unui model spaţial al structurii. În concluzie, regularitatea în plan afectează modelul structural, care poate fi unul plan (2D) în cazul structurilor regulate în plan, şi trebuie să fie unul spaţial (3D) pentru structurile neregulate în plan.

Structurile care sunt regulate în elevaţie şi care nu sunt foarte flexibile (perioada proprie de vibraţie T1 trebuie să fie mai mică decât minimul dintre 4TC şi 2.0 sec), răspund preponderent în modul fundamental de vibraţie. În consecinţă, aceste structuri pot fi analizate folosind metoda forţelor laterale. Structurile care nu sunt regulate în elevaţie au o contribuţie semnificativă a modurilor proprii de vibraţie superioare la răspunsul total. În consecinţă, acestea trebuie analizate folosind un calcul modal cu spectre de răspuns. În concluzie, regularitatea în elevaţie afectează metoda de calcul, care poate fi metoda forţelor laterale dacă

104

structura este regulată în elevaţie, şi trebuie să fie metoda de calcul modal cu spectre de răspuns dacă structura este neregulată în elevaţie.

Se atrage atenţie asupra faptului că regularitatea în plan şi elevaţie nu impun în mod absolut modelul structurii sau metoda de calcul. Astfel, orice structură poate fi analizată folosind un model spaţial şi un calcul modal cu spectre de răspuns. Funcţie de regularitatea în plan şi în elevaţie proiectantul poate recurge la numite simplificări, cum ar fi modele mai simple (plane) şi/sau metode de calcul mai simple (metoda forţelor laterale).

CR=CM CM

CR

X

Y

DDDD1x

2x

DDDD1x

2x

Fx Fx

DDDD1y

DDDD2y

e0y

(a) (b)

Figura 115. Planul unei structuri cu o dispunere simetrică a sistemelor de preluare a forţelor laterale (a) şi cu o dispunere nesimetrică a acestora (b).

În Tabelul 4 este prezentată sintetic relaţia dintre regularitatea structurii (în plan şi în elevaţie) şi simplificările admise în calculul structural, precum şi necesitatea reducerii factorului de comportare q, conform paragrafului 4.2.3.1 din SR EN 1998-1:2004.

Tabelul 4. Consecinţa regularităţii structurale asupra proiectării structurii (SR EN 1998-1:2004). Regularitate Simplificare de calcul permisă În plan În elevaţie Model Calcul elastic liniar

Factor de comportare (q) pentru calcul elastic liniar

Da Da Plan Forţe laterale * Valoarea de referinţă Da Nu Plan Modal Valoare redusă (0.8q) Nu Da Spaţial Forţe laterale * Valoarea de referinţă Nu Nu Spaţial Modal Valoare redusă (0.8q) *Numai dacă structura perioada proprie de vibraţie T1 < min(4TC; 2.0 sec)

Factorul de comportare q reflectă capacitatea de deformare în domeniul plastic, precum şi redundanţa şi suprarezistenţa structurii. Valoarea de referinţă a acestui factor este precizată în SR EN 1998-1:2004 funcţie de tipul structurii, materialul din care este realizată aceasta şi clasa de ductilitate. Structurile care nu sunt regulate pe verticală sunt susceptibile de concentrări ale deformaţiilor plastice în anumite părţi ale structurii (o distribuţie neuniformă a cerinţei de ductilitate), ceea ce este echivalent cu o ductilitate redusă pe ansamblul structurii. Acest fapt implică necesitatea folosirii un factor de comportare q redus faţă de valoarea de referinţă. Conform paragrafului 4.2.3.1(7) din SR EN 1998-1:2004, pentru clădirile neregulate în elevaţie valorile factorului de comportare se obţin multiplicând valoarea de referinţă cu 0.8.

Metodele de calcul la acţiunea seismică folosite uzual în proiectare sunt (a) metoda forţelor laterale şi (b) metoda de calcul modal cu spectre de răspuns. Ca urmare SR EN 1998-1:2004 face referinţă doar la aceste două metode de calcul atunci când discută implicaţiile

105

regularităţii în plan şi în elevaţie asupra modelului structural şi a metodei de calcul. Cu toate acestea, prevederile normative pot fi extinse cu uşurinţă şi asupra celorlalte metode de calcul. Astfel, la fel ca şi metoda forţelor laterale, calculul static neliniar are la bază ipoteză că răspunsul structurii este guvernat de modul fundamental de vibraţie. De aceea, calcul static neliniar poate fi folosit doar pentru structuri care sunt regulate pe verticală şi au perioada proprie de vibraţie T1 mai mică decât minimul dintre 4TC şi 2.0 sec. Structurile neregulate în elevaţie trebuie analizate prin metode mai sofisticate, cum ar calculul dinamic liniar sau neliniar.

4.5 Modelarea structurii

4.5.1 Generalităţi

În general, pentru calculul structurilor la acţiunea seismică, modelul structurii trebuie să fie capabil să reprezinte într-un mod adecvat distribuţia în structură a (1) maselor, (2) amortizării şi (3) a proprietăţilor mecanice ale structurii (vezi Figura 78). Funcţie de metoda de calcul structural unele dintre acestea pot necesita o modelare mai simplă sau mai complexă.

În general, structura poate fi considerată ca fiind alcătuită din sisteme de preluare a forţelor gravitaţionale şi sisteme de preluare a forţelor laterale, conectate la nivelul planşeelor. Sisteme tipice de preluare a forţelor laterale sunt structurile în cadre necontravântuite (cu noduri rigide), cadrele contravântuite (centric sau excentric) şi pereţii structurali (vezi Figura 116a-c). Cu excepţia cadrelor necontravântuite cu noduri rigide, celelalte sisteme de preluare a forţelor laterale impun restricţii de ordin arhitectural, existând în consecinţă limitări în ceea ce priveşte dispunerea acestora în structură. În plus, sistemele de preluare a forţelor gravitaţionale sunt în general mai economice decât cele de preluare doar a forţelor laterale. De aceea, o structură tipică va conţine atât un sistem de preluare a forţelor gravitaţionale, cât şi unul de preluare a forţelor laterale (vezi Figura 116d), legate prin diafragme orizontale.

sistem de preluarea fortelor laterale

sistem de preluare a fortelor gravitationale

(a) (b) (c) (d)

Figura 116. Sisteme de preluare a forţelor laterale: cadre necontravântuite cu noduri rigide (a), cadre contravântuite centric (b), pereţi structurali (c);

sistem combinat de preluare a forţelor laterale şi gravitaţionale (e).

În Figura 117 este exemplificată alcătuirea unei structuri metalice cu două deschideri pe direcţia x, trei travei pe direcţia y şi trei nivele (un regim de înălţime P+2). Încărcările gravitaţionale sunt preluate de grinzile secundare articulate şi de cadrele interioare. Sistemul de preluare a încărcărilor laterale este dispus pe perimetrul clădirii (pentru asigurarea unei bune rezistenţe şi rigidităţi la torsiune), fiind compus din cadre necontravântuite cu noduri rigide pe direcţia x şi cade contravântuite centric pe direcţia y. Planşeele de beton armat (care

106

nu sunt reprezentate în desen) îndeplinesc rolul de diafragmele orizontale, asigurând conlucrarea spaţială a structurii şi transferul forţelor de inerţie induse în planşee de acţiunea seismică către sistemul de preluare a forţelor laterale.

Sistemul de preluare afortelor gravitationale:- cadre necontravântuite

cu noduri articulate- grinzi secundare

articulate

Sistemul de preluare afortelor laterale pe directia y:cadre contravântuite centricx

y

x

z y

Sistemul de preluare afortelor laterale pe directia x:cadre necontravântuite cunoduri rigide

Figura 117. Sisteme de preluare a încărcărilor laterale şi gravitaţionale: exemplu.

4.5.2 Modelarea maselor

Modelarea corectă a masei structurii este extrem de importantă în calculul la acţiunea seismică, "forţele seismice" fiind de fapt forţe de inerţie care apar datorită acceleraţiei induse maselor structurii. Este important să nu se confunde masa cu greutatea structurii, aceasta din urmă fiind forţa produsă de acceleraţia gravitaţională de pe Terra ce acţionează asupra unei mase. În general, masa unui corp poate fi redusă în centrul de greutate al acestuia, prin trei componente de translaţie şi trei componente de rotaţie.

Masa unei structuri este distribuită în întreg volumul acesteia (vezi Figura 118a). Totuşi, pentru a simplifica calculul structural, în cele mai multe cazuri, masa poate fi considerată concentrată în nodurile modelului structural (Figura 118b). În general, componentele de rotire ale maselor au o influenţă minoră asupra răspunsului dinamic al structurilor şi sunt neglijate. În cazul unui cadru plan, masele obţinute în acest mod vor avea componente pe cele două direcţii de translaţie (orizontală şi verticală). Considerând barele structurii infinit rigide axial şi neglijând componenta verticală a mişcării seismice, masele structurii pot fi considerate concentrate la nivelul planşeelor structurii, acţionând doar pe direcţia orizontală (Figura 118c).

b c

(a)

mamb mc

d e mf

(b)

m1

2

(c)

Figura 118. Un cadru plan cu masa distribuită (a), modelul acesteia cu masele concentrate în noduri (b) şi cu masa concentrată la nivelul planşeelor (c).

La modelele spaţiale ale structurilor, atunci când planşeele nu pot fi considerate infinit rigide în planul lor (de exemplu cazul planşeelor din lemn, sau a celor din beton armat cu goluri de dimensiuni mari), masele pot fi considerate concentrate în nodurile structurii, conform suprafeţei aferente (Figura 119a). În astfel de cazuri se pot neglija componentele de rotire ale

107

maselor, în calculul structural considerându-se doar componentele de translaţie. Pentru un model spaţial la care se neglijează componenta verticală a mişcării seismice, masele pot fi concentrate în nodurile structurii, considerând doar componentele de translaţie după cele două direcţii orizontale.

În cazul în care planşeele pot fi considerare infinit rigide în planul lor (de exemplu în cazul planşeelor din beton armat, cu o formă regulată şi goluri de dimensiuni mici), masele aferente unui nivel pot fi concentrate în centrul de masă al acelui nivel (vezi paragraful 4.3.1 din SR EN 1998-1:2004). Reducerea numărului de mase discrete dintr-un model structural este deosebit de importantă din punct de vedere al efortului de calcul, deoarece prin aceasta se reduc numărul de grade de libertate dinamică, respectiv dimensiunea problemei. Masele concentrate în centrul de masă al planşeului vor avea componente după direcţiile gradelor de libertate ale diafragmelor rigide (două translaţii în plan orizontal şi o rotire faţă de axa verticală, vezi Figura 119b). Componentele de translaţie ale masei se determină însumând toate masele aferente nivelului respectiv:

x y iM M m= =∑ (53)

Componenta de rotire a masei de nivel Mzz poartă denumirea de moment de inerţie al masei şi se poate determina conform relaţiei:

2zz i iM m d=∑ (54)

unde di este distanţa de la centrul de masă la masa discretă mi (vezi Figura 119c). În cazul unei mase distribuite uniform pe o suprafaţă, momentul de inerţie al masei se calculează ca şi produsul dintre momentul de inerţie polar şi valoarea masei uniform distribuită pe suprafaţă.

X

YCM

yi

mxi My

Mx

Mzz

mid i

(a) (b) (c)

Figura 119. Concentrarea maselor în noduri la planşee flexibile (a); concentrarea masei în centrul de masă în cazul unor diafragme rigide (b); masa mi şi distanţa di pentru calcul

momentului de inerţie al masei (c).

În programele de calcul structural efectul de diafragmă rigidă este de regulă modelat prin impunerea nodurilor de la nivelul unui planşeu a unei legături de tip "diafragmă rigidă". În astfel de situaţii, numărul gradelor de libertate dinamică este redus automat, masa nodurilor individuale (vezi Figura 119a) fiind concentrată în centrul de masă al nivelului (vezi Figura 119b).

Se atrage atenţia asupra faptului că modelarea maselor trebuie să fie corelată cu modelul structurii (plan sau spaţial) şi cu modelul acţiunii seismice. Masele generează forţe de inerţie pe direcţiile în care vibrează structura (adică pe direcţiile în care masele au acceleraţii). Astfel, atunci când este necesară luarea în calcul a componentei verticale a acţiunii seismice, pe lângă aceasta, este necesară modelarea componentelor verticale ale maselor.

108

4.5.3 Modelarea amortizării

În cazul metodei forţelor laterale, metodei de calcul modal cu spectre de răspuns şi a calculului static neliniar (la determinarea deplasării ţintă) amortizarea nu necesită o modelare explicită, deoarece efectul acesteia asupra răspunsului structural este inclusă în spectrele de răspuns.

Modelarea explicită a amortizării este însă necesară pentru calculul dinamic liniar şi calculul dinamic neliniar. Integrarea ecuaţiei de mişcare folosind metode numerice presupune cunoaşterea matricei de amortizare [c]. Întrucât obţinerea matricei de amortizare pe baza caracteristicilor geometrice ale structurii şi proprietăţilor materialelor componente nu este posibilă din punct de vedere practic, au fost propuse modele în care matricea de amortizare este proporţională cu matricea de masă, respectiv cu cea de rigiditate:

[ ] [ ] [ ] [ ]0 1c a m c a k= = (55)

În cazul amortizării proporţionale cu masa, fracţiunea din amortizarea critică corespunzătoare modului n este:

0 1

2nn

aξ

ω= (56)

În acest caz amortizarea este invers proporţională cu pulsaţia proprie (vezi Figura 120a). Coeficientul a0 poate fi determinat astfel ca să reprezinte fracţiunea din amortizarea critică dată într-un mod oarecare, de exemplu, ξi în modul i. Rezultă din ecuaţia (56):

0 2 i ia ξ ω= (57)

Cunoscând coeficientul a0, matricea de amortizare se poate determina din ecuaţia (55)a, iar fracţiunea din amortizarea critică din orice alt mod, de exemplu modul n, este dată de (56).

În mod similar, fracţiunea din amortizarea critică poate fi raportată la coeficientul a1 în cazul amortizării proporţionale cu rigiditatea. În acest caz:

1

2n n

aξ ω= (58)

Fracţiunea din amortizarea critică creşte liniar cu pulsaţia proprie (vezi Figura 120a). Coeficientul a1 poate fi determinat astfel ca să reprezinte fracţiunea din amortizarea critică dată într-un mod oarecare, de exemplu, ξj în modul j. Rezultă din ecuaţia (58):

1

2 j

j

aξ

ω= (59)

Cunoscând coeficientul a1, matricea de amortizare se poate determina din ecuaţia (55)b, iar fracţiunea din amortizarea critică din orice alt mod, de exemplu modul n, este dată de (58)b.

Nici una dintre cele două tipuri de amortizare nu este potrivită sistemelor cu mai multe grade de libertate dinamică, deoarece evidenţa experimentală indică valori ale fracţiunii din amortizarea critică similare pentru mai multe moduri proprii de vibraţie. O soluţie simplă a acestei probleme o constituie amortizarea de tip Rayleigh, care se obţine prin combinarea modelelor de amortizare proporţională cu masa şi amortizare proporţională cu rigiditatea:

[ ] [ ] [ ]0 1c a m a k= + (60)

Fracţiunea din amortizarea critică în modul n pentru un astfel de model este:

109

0 11

2 2n nn

a aξ ω

ω= + (61)

Coeficienţii a0 şi a1 pot fi determinaţi astfel ca să reprezinte fracţiunea din amortizarea critică dată în două moduri oarecare, de exemplu ξi şi ξj în modurile i şi j. Scriind ecuaţia (61) pentru cele două moduri proprii în formă matriceală rezultă:

0

1

1112

i i i

j j j

a

a

ω ω ξω ω ξ

=

(62)

Dacă se consideră aceeaşi fracţiune din amortizarea critică ξ în cele două moduri proprii, rezolvând ecuaţia (62) obţinem:

0 1

2 2i j

i j i j

a aω ω

ξ ξω ω ω ω

= =+ +

(63)

Cunoscând coeficienţii a0 şi a1, matricea de amortizare se poate determina din ecuaţia (60), iar fracţiunea din amortizarea critică din orice alt mod, de exemplu modul n, este dată de (61) şi reprezentată grafic în Figura 120b.

Figura 120. Variaţia amortizării modale funcţie de pulsaţie: amortizarea proporţională cu masa şi amortizarea proporţională cu rigiditatea (a); amortizarea de tip Rayleigh (b), Chopra, 2001.

În probleme practice, modurile i şi j se aleg astfel ca fracţiunea din amortizarea critică să reprezinte valori rezonabile în toate modurile proprii de vibraţie care contribuie semnificativ la răspunsul structurii. De exemplu, dacă fracţiunea din amortizarea critică ξ se atribuie modurilor 1 şi 4, modurile 2 şi 3 vor avea o fracţiune din amortizarea critică uşor mai mică decât ξ, iar modurile 5 şi mai mari – o amortizare mai mare decât ξ. Modurile proprii mai mari decât al cincilea vor avea o fracţiune din amortizarea critică care creşte cu pulsaţia proprie, răspunsul acestora fiind practic eliminat din cauza unei amortizări exagerate.

4.5.4 Modelarea proprietăţilor mecanice ale structurii

În cazul metodelor de calcul elastic (metoda forţelor laterale, metoda de calcul modal cu spectre de răspuns şi calculul dinamic liniar) modelul structurii trebuie să reprezintă adecvat distribuţia rigidităţilor în clădire (vezi paragraful 4.3.1 din SR EN 1998-1:2004). Pe lângă rigiditatea elementelor structurale, modelul structural trebuie să includă rigiditatea îmbinărilor, a panoului de inimă a stâlpului şi a prinderilor în fundaţii. Pe lângă acestea, modelul structural trebuie să includă şi elementele nestructurale care pot avea o influenţă semnificativă asupra răspunsului structurii seismice principale.

110

În cazul metodelor de calcul plastic (calculul static neliniar şi calculul dinamic neliniar) modelul structurii trebuie să includă şi rezistenţa (vezi paragraful 4.3.3.4.1 din SR EN 1998-1:2004), sau mai bine zis comportarea structurii în domeniul post-elastic.

Majoritatea structurilor metalice pentru clădiri pot fi modelate cu elemente de tip bară. Comportarea inelastică a elementelor structurale pentru calculul la acţiunea seismică se modelează în mod uzual prin două modalităţi diferite: plasticitate concentrată şi plasticitate distribuită.

Modelul cu plasticitate concentrată a unei bare încovoiate este alcătuită dintr-o porţiune elastică şi articulaţii plastice la capetele barei (vezi Figura 121). Deformaţiile plastice într-un astfel de element se produc doar în articulaţiile plastice punctuale. Acestea sunt amplasate la capetele barei deoarece anume acolo se înregistrează în general momentele maxime pe bară. Acest model de plasticitate are avantajul că este eficient numeric şi permite adoptarea a diferite relaţii constitutive (curbe histeretice) care să modeleze fenomene precum: consolidare, degradare de rezistenţă şi rigiditate, lunecări, etc. Modelul poate fi extins pentru a ţine cont de interacţiunea dintre momentul încovoietor şi forţa axială. În acelaşi timp, interpretarea rezultatelor este foarte comodă, deoarece calculul structural furnizează rotirile plastice în articulaţii, care pot fi comparate direct cu valorile capabile. Totuşi, modelul de bară cu plasticitate concentrată are şi o serie de dezavantaje. Astfel, calibrarea răspunsului histeretic necesită o experienţă bogată în acest sens. Poziţia predefinită a articulaţiilor plastice poate conduce la incapacitatea de a modela corect deformaţiile plastice (de exemplu atunci când momentul maxim nu este înregistrat la capetele barei). Nu în ultimul rând, acest model nu poate Modelul de plasticitate concentrată poate fi adaptat relativ uşor şi la alte tipuri de solicitări: axiale (pentru modelarea contravânturilor), de forfecare (pentru modelara linkurilor), etc.

În modelul de bară cu plasticitate distribuită (vezi Figura 122) răspunsul unei secţiuni se obţine prin integrarea răspunsului individual al unor fibre în care este discretizată secţiunea. Fibrele sunt caracterizate prin relaţii uniaxiale tensiune-deformaţie specifică. Împărţind bara într-o serie de segmente, modelul devine capabil să modeleze explicit plasticizarea progresivă pe secţiune şi dea lungul barei. Un alt avantaj îl constituie modelarea naturală a interacţiunii dintre moment şi forţă axială. Principalele dezavantaje ale modelului de bară cu plasticitate distribuită sunt puterea mare de calcul de care are nevoie şi interpretarea mai anevoioasă a rezultatelor.

parte elastica articulatieplastica

EI

M

θ

Figura 121. Modelarea unei bare încovoiate cu articulaţii plastice.

111

nod 2

σ

ε

nod 1

Sectiuni deintegrare

Figura 122. Modelarea unei bare încovoiate cu plasticitate distribuită.

O problemă specifică de modelare a structurii există în cazul cadrelor metalice contravântuite centric cu contravântuiri dispuse în X (contravântuiri diagonale), vezi Figura 123a. Conform paragrafului 6.7.2 din SR EN 1998-1:2004, în calculul elastic (prin metoda forţelor laterale sau calculul modal cu spectre de răspuns) se iau în considerare numai contravântuirile întinse, cele comprimate fiind neglijate din cauza flambajului. În cazul metodei de calcul cu forţe laterale, contravântuirile comprimate pot fi identificate uşor şi eliminate din modelul structural (vezi Figura 123b). Într-un calcul modal cu spectre de răspuns nu este posibilă identificarea contravânturilor comprimate, deoarece rezultatele calculului reprezintă o înfăşurătoare a efectelor acţiunii seismice considerată în ambele sensuri. Totuşi, se poate elimina câte una dintre cele două diagonale din fiecare panou contravântuit (vezi Figura 123b), considerând eforturile din contravântuiri ca fiind de întindere, indiferent de semnul obţinut din calcul.

(a)

F

(b)

Figura 123. Schema unui cadru contravântuit centric cu contravântuiri în X (a) şi modelul structural pentru un calcul elastic (b).

Atunci când se foloseşte o metodă de calcul plastic (metoda de calcul static neliniar sau metoda de calcul dinamic neliniar), modelul structural include atât contravântuirile întinse, cât şi cele comprimate (vezi Figura 123a) contravântuirile necesitând un model capabil să reflecte atât comportarea înainte de flambaj, cât şi după acesta.

4.5.5 Efectele de torsiune accidentală

În cazul construcţiilor cu planşee indeformabile în planul lor, efectele generate de incertitudinile asociate distribuţiei maselor de nivel şi/sau variaţiei spaţiale a mişcării seismice

112

a terenului se consideră prin introducerea unei excentricităţi accidentale adiţionale. Aceasta trebuie luată în calcul pentru fiecare direcţie principală a structurii şi pentru fiecare nivel, şi se raportează la centrul maselor. Conform paragrafului 4.3.2 din SR EN 1998-1:2004, excentricitatea accidentală se calculează cu expresia (vezi Figura 124):

eai = ±0.05 Li (64)

unde: eai excentricitatea accidentală a masei de la nivelul i faţă de poziţia calculată a centrului

maselor, aplicată pe aceeaşi direcţie la toate nivelurile Li dimensiunea planşeului perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice.

CMFx ±eay Ly

CM

Fy

±eax

Lx

x

y

Figura 124. Definiţia excentricităţii accidentale.

Aplicarea directă a acestor prevederi implică determinarea componentelor de translaţie şi de rotire a masei concentrată în centrului maselor (CM) şi deplasarea acesteia din poziţia sa nominală pe fiecare direcţie cu excentricitatea adiţională (vezi Figura 125). Această procedură poate fi aplicată pentru toate metodele de calcul structural.

eay Ly

x

y

Lx

eax

CM - pozitienominala

CM - pozitiedeplasata

Figura 125. Modelarea directă a excentricităţii accidentale.

Conform paragrafului 4.3.3.2.4 din SR EN 1998-1:2004, în cazul unui calcul cu forţe laterale pe un model spaţial al structurii, efectele accidentale de torsiune pot fi luate în considerare multiplicând efectele acţiunilor corespunzătoare elementelor de rezistenţă care lucrează independent cu un factor δ dat de relaţia:

1 0.6e

x

Lδ = + (65)

unde: x este distanţa în plan dinte elementul structural şi centrul maselor clădirii, măsurată

perpendicular pe direcţia acţiunii seismice considerate;

113

Le este distanţa în plan dintre două din cele mai depărtate elemente de preluare a încărcărilor laterale, această distanţă fiind măsurată perpendicular pe direcţia acţiunii seismice considerate.

În cazul unui calcul cu forţe laterale pe un model plan al structurii, efectele accidentale de torsiune pot fi luate în considerare multiplicând efectele acţiunilor corespunzătoare elementelor de rezistenţă care lucrează independent cu un factor δ dat de relaţia:

1 1.2e

x

Lδ = + (66)

Conform paragrafului 4.3.3.3 din SR EN 1998-1:2004, în cazul în care pentru obţinerea răspunsului seismic se utilizează calculul modal cu spectre de răspuns pe un model spaţial al structurii, efectul de torsiune produs de o excentricitate accidentală se poate considera prin introducerea la fiecare nivel a unui moment de torsiune (vezi Figura 126):

ai ai iM e F= (67)

în care: Mai moment de torsiune aplicat la nivelul i în jurul axei sale verticale eai excentricitate accidentală a masei de la nivelul i conform relaţiei (64) Fi forţa seismică orizontală aplicată la nivelul i

Momentul de torsiune se calculează pentru toate direcţiile şi sensurile considerate în calcul.

M3

M2

M1

Figura 126. Modelarea efectelor excentricităţii accidentale prin momente de torsiune aplicate în centrul de masă al planşeelor.

În cazul în care pentru obţinerea răspunsului seismic se utilizează calculul modal cu spectre de răspuns pe un model plan al structurii, efectele accidentale de torsiune pot fi luate în considerare multiplicând efectele acţiunilor corespunzătoare elementelor de rezistenţă care lucrează independent cu un factor δ dat de relaţia (66).

Conform paragrafului 4.3.3.4.2.7 din SR EN 1998-1:2004, în cazul în care pentru obţinerea răspunsului seismic se utilizează calculul static neliniar pe un model spaţial al structurii, efectul de torsiune produs de o excentricitate accidentală se poate considera prin factorul de amplificare care se aplică deplasărilor de pe latura rigidă/puternică se bazează pe rezultatele analizei modale elastice a modelului spaţial.

În cazul în care pentru obţinerea răspunsului seismic se utilizează calculul static neliniar pe un model plan al structurii, efectele accidentale de torsiune pot fi luate în considerare multiplicând efectele acţiunilor corespunzătoare elementelor de rezistenţă care lucrează independent cu un factor δ dat de relaţia (66).

114

4.6 Combinarea efectelor componentelor acţiunii seismice

Acţiunea seismică este reprezentată prin trei componente de translaţie ortogonale (două orizontale şi una verticală) ce acţionează simultan. Toate componentele acţiunii seismice au o contribuţie mai mică sau mai mare la efectele acţiunii seismice (deplasări laterale ale nodurilor structurii, eforturi şi tensiuni în elementele structurale, etc.).

În Figura 127 se exemplifică acest aspect pe baza forţei axiale dintr-un stâlp al structurii, care se consideră acţionată doar de componentele orizontale ale acţiunii seismice (Fx şi Fy). Forţele seismice Fx generează efortul axial N1x, iar componenta Fy a acţiunii seismice generează efortul axial N1y. Efortul axial total, ca şi efect al acţiunii seismice pe ambele direcţii orizontale este N1.

Valorile de vârf ale acceleraţiei terenului pentru componentele orizontale ale mişcării seismice nu au loc la acelaşi moment de timp. Acest fenomen este exemplificat în Figura 95 pentru componentele N-S, E-W şi verticală ale înregistrării seismice de la staţia INCERC a cutremurului din 04.03.1997 din Vrancea. În plus, din cauza unor rigidităţi în general diferite pe cele două direcţii orizontale, structura are perioade proprii de vibraţie diferite pe cele două direcţii. Deoarece răspunsul seismic în timp al unei structuri este determinat într-o măsură covârşitoare de perioada proprie de vibraţie, efectele acţiunii seismice din diferite componente ale sale au loc la momente de timp diferite, nefiind corelate statistic. Acest fapt afectează modul în care se determină efectele acţiunii seismice, funcţie de metoda de calcul structural folosită.

Figura 127. Exemplu de efecte ale componentelor acţiunii seismice.

În cazul unui calcul prin metoda forţelor laterale sau a unui calcul modal cu spectre de răspuns se determină direct valorile de vârf ale efectelor acţiunii seismice. Folosind exemplul din Figura 127, structura se analizează pe rând din cele două componente orizontale Fx şi Fy, obţinându-se valorile de vârf ale răspunsului (N1x şi N1y). Efectul total al ambelor componente orizontale ale acţiunii seismice (N1) nu este însă egal cu suma algebrică a efectelor acţiunii seismice considerate separat pe cele două direcţii (N1x şi N1y), deoarece aceste metode de calcul estimează direct valorile de vârf ale răspunsului, necunoscându-se timpul la care au loc.

De aceea, atunci când se utilizează metode de calcul care determină direct valorile de vârf ale efectelor acţiunii seismice, este necesară folosirea unui procedeu de combinare a efectelor acţiunii seismice care să reflecte acest fenomen. Conform paragrafului 4.3.3.5 din SR EN 1998-1:2004, valoarea de vârf a efectului acţiunii seismice, reprezentată prin acţiunea simultană a două componente orizontale ortogonale, se obţine cu regula de combinare radical din suma pătratelor a fiecărei componente orizontale:

2 2Ed Edx EdyE E E= + (68)

unde:

115

EdxE reprezintă efectele acţiunii datorate aplicării mişcării seismice pe direcţia axei

orizontale x alese pentru structură,

EdyE reprezintă efectele acţiunii datorate aplicării mişcării seismice pe direcţia axei

orizontale y, perpendiculară pe axa x a structurii.

Ca o alternativă a metodei de mai sus, efectele acţiunii seismice datorate combinaţiei celor două componente orizontale se pot calcula folosind următoarele combinaţii:

" "0.3Edx EdyE E+ (69)

0.3 " "Edx EdyE E+ (70)

unde "+" înseamnă "a se combina cu". Semnul fiecărei componente în combinaţiile de mai sus se ia astfel încât efectul acţiunii considerate să fie defavorabil. Această regulă de combinare are la bază ipoteza că în momentul în care una dintre componentele acţiunii seismice înregistrează valoarea de vârf, cealaltă componentă înregistrează 30% din valoarea de vârf.

Dintre cele două metode de combinare a efectelor componentelor acţiunii seismice, se recomandă utilizarea regulii radical din suma pătratelor, deoarece aceasta este mai versatil, iar sistemul de axe ales nu afectează rezultatele (Wilson, 2002). Acest ultim aspect este deosebit de important în cazul structurilor cu geometrie complexă, neregulate în plan şi a celor care nu au definite un sistem clar "direcţii principale" ortogonale (de exemplu clădirile cu formă circulară în plan).

În cazul în care se ţine cont şi de componenta verticală a mişcării seismice, relaţiile (68) - (70)devin:

2 2 2Ed Edx Edy EdzE E E E= + + (71)

0.3 " "0.3 " "Edx Edy EdzE E E+ + (72)

" "0.3 " "0.3Edx Edy EdzE E E+ + (73)

0.3 " " " "0.3Edx Edy EdzE E E+ + (74)

unde EdzE reprezintă efectele acţiunii seismice datorate aplicării componentei verticale.

Cu toate că regulile de combinare a efectelor acţiunii seismice date de relaţiile (68) - (70) sunt fundamentate doar pentru metode de calcul elastic, SR EN 1998-1:2004 extinde aceste reguli şi asupra calculului static neliniar. În acest caz, EEdx şi EEdy reprezintă forţele şi deformaţiile datorate aplicării deplasării ţintă pe direcţia x respectiv y.

În cazul unui calcul dinamic liniar sau neliniar efectuat pe un model spaţial al structurii dispare necesitatea unor reguli speciale de combinare a efectelor componentelor acţiunii seismice, deoarece răspunsul total se obţine direct prin aplicarea simultană a accelerogramelor pe două sau trei direcţii principale ale clădirii.

4.7 Calculul deplasărilor

Verificarea la starea limită de serviciu (SLS) are drept scop menţinerea funcţiunii principale a clădirii în urma cutremurelor, care pot apărea de mai multe ori în viata construcţiei, prin limitarea degradării elementelor nestructurale şi a componentelor instalaţiilor construcţiei. Pentru verificarea la SLS este necesar determinarea deplasărilor relative de nivel.

116

Atunci când se adoptă o metodă de calcul elastic (metoda forţelor laterale şi calculul modal cu spectre de răspuns), deplasările obţinute din calculul structural nu sunt relevante, deoarece răspunsul structurii este obţinut pe baza unui spectrului de răspuns de proiectare, redus faţă de cel elastic. Pentru a corecta această problemă, ţinând cont de prevederile paragrafelor 4.3.4 şi 4.4.3.2 din SR EN 1998-1:2004, în cazul metodelor de calcul elastic deplasările laterale la SLS se determină cu relaţia:

s d ed q dν= (75)

unde: ds deplasarea unui punct din sistemul structural ca efect al acţiunii seismice la SLS; qd factorul de comportare pentru deplasări, luat egal cu q în absenţa altor prevederi; de deplasarea aceluiaşi punct din sistemul structural, determinată prin calcul static elastic

sub încărcări seismice de proiectare; ν factor de reducere care ţine seama de intervalul de recurenţă al acţiunii seismice

asociat verificărilor pentru SLS. Pentru structuri din clasa de importanţă I şi II, SR EN 1998-1:2004 prevede o valoare ν = 0.5.

În Figura 128 este prezentată relaţia dintre forţă tăietoare de bază şi deplasarea laterală la vârful unei structuri. În urma unui calcul elastic din forţele de proiectare FEd se obţine deplasarea de. Această deplasare este determinată pe baza spectrului de proiectare, redus prin intermediul factorului q faţă de spectrul elastic, şi nu reprezintă deplasarea pe care o va înregistra structura sub efectul acţiunii seismice la SLS. De aceea, este necesară estimarea deplasării ds pe care o va înregistra structura supusă acţiunii seismice la SLS.

Dacă structura ar avea o comportare infinit elastică, acţiunii seismice nereduse i-ar corespunde forţa elastică q⋅FEd şi deplasarea q⋅de. Deoarece intervalul mediu de recurenţă corespunzător cutremurului de calcul la SLS este mai mic decât cel corespunzător SLU, forţele seismice corespunzătoare SLS vor fi mai mici decât cele corespunzătoare SLU. Valoarea forţelor seismice corespunzătoare SLS va fi, astfel, ν⋅q⋅FEd, iar a deplasărilor corespunzătoare: ds = ν⋅q⋅de. Acest raţionament, care explică relaţia (75), se bazează pe principiul deplasărilor egale şi este corect în mod riguros numai pentru structuri cu perioada proprie fundamentală mai mare decât TC. Cu toate acestea, din motive de simplitate, SR EN 1998-1:2004 nu ţine cont de relaţia dintre caracteristicile mişcării seismice (perioada de control TC), perioada proprie de vibraţie a structurii şi deplasările inelastice ale structurii.

raspunsinfinit elastic

q·de

ν ·q·FEd

ν ·q·dede

raspuns inelastic

FEd

q·FEd

d

F

Figura 128. Calculul deformaţiilor la SLS conform SR EN 1998-1:2004.

117

Verificarea la SLS se realizează prin limitarea deplasărilor relative de nivel corespunzătoare unui cutremur cu intervalul mediu de recurenţă corespunzător SLS, conform următoarei relaţii:

,SLS SLSr d re r ad q d dν= ≤ (76)

unde: SLSrd deplasarea relativă de nivel sub acţiuneă seismică asociata SLS

dre deplasarea relativă a aceluiaşi nivel, determinată prin calcul static elastic sub încărcări seismice de proiectare

,SLSr ad valoarea admisă a deplasării relative de nivel, care variază între 0.005h şi 0.01h (unde

h este înălţimea de nivel) funcţie de tipul elementelor nestructurale.

În cazul metodelor de calcul plastice (calcul static neliniar şi calcul dinamic neliniar) nu este nevoie să se efectueze un calcul special, deoarece nu există artificiul factorului de comportare. Deplasările obţinute dintr-un calcul static neliniar sau dinamic neliniar reflectă în mod direct răspunsul real al structurii. Pentru verificarea la SLS prin una din aceste două metode de calcul acţiunea seismică trebuie totuşi adaptată nivelului corespunzător SLS, prin reducerea acţiunii seismice corespunzătoare SLU folosind coeficientul ν.

4.8 Aplicaţii

4.8.1 Metoda forţelor laterale

În această aplicaţie se exemplifică aplicarea metodei forţelor laterale pentru calculul global la acţiunea seismică a unei structuri modelate folosind cadre plane situate pe cele două direcţii orizontale principale. În cele ce urmează se detaliază doar calculul cadrelor necontravântuite de pe direcţia x a structurii.

4.8.1.1 Datele problemei

Structura care urmează să fie analizată este un cadru metalic cu 3 etaje a câte 3.5 m fiecare, 2 deschideri a câte 6 m şi 3 travei de 5 m fiecare. Această structură este alcătuită din cadre contravântuite dispuse în axele A şi C, şi cadre necontravântuite cu noduri rigide dispuse în axele 1 şi 4 (vezi Figura 129). Cadrele din axele B, 2 şi 3 sunt cadre necontravântuite cu grinzile articulate şi preiau doar încărcări gravitaţionale. Planşeul este realizat din beton armat şi reazemă pe grinzile secundare, iar acoperişul se consideră circulabil. Structura este amplasată la Bucureşti şi urmează a fi proiectată conform clasei de ductilitate H. Încărcările gravitaţionale pe planşeu sunt alcătuite din încărcarea permanentă de 5 kN/mp şi încărcarea utilă de 3 kN/mp.

118

L L

H

H

H

T

T

T

(a)

1

2

3

4

A B C

x

yL L

T

T

T

(b)

Figura 129: Cadru spaţial (a) şi vedere în plan (b) a structurii analizate.

Caracteristicile principale ale structurii sunt prezentate sintetic mai jos: Deschidere L = 6 m; Travee B = 5 m; Înălţime etaj H = 3.5 m; Amplasament: Bucureşti; Încărcare permanentă pe planşeu gk = 5 kN/mp; Încărcarea utilă pe planşeu qk = 3 kN/mp; Structura va fi proiectată conform clasei de ductilitate H.

4.8.1.2 Modelul structurii

Conform paragrafului 4.2.3.2 din SR EN 1998-1:2004 această structură poate fi considerată ca fiind regulată în plan deoarece îndeplineşte următoarele condiţii: Structura este simetrică în plan faţă de cele două axe ortogonale; Planşeul are formă rectangulară şi nu prezintă retrageri; Planşeul este realizat ca şi placă din beton şi poate fi considerat diafragmă rigida; Zvelteţea clădirii în plan λ = Lmax/Lmin = 1.25 < 4, unde Lmax=15 m şi Lmin=12 m; Condiţii referitoare la excentricitatea e0 şi raza de torsiune r:

- e0x = 0 < 0.30 rx (centrul de masă coincide cu centrul de rigiditate) - x sr l≥ - în acest caz verificarea nu este necesara (Fardis et al., 1995) deoarece sistemele

de preluare a încărcărilor laterale (cadrele necontravântuite din axele 1 şi 4 şi cadrele contravântuite din axele A şi C) sunt dispuse simetric pe perimetrul structurii.

Conform paragrafului 4.2.3.3 din SR EN 1998-1:2004 această structură poate fi considerată ca fiind regulată în elevaţie deoarece îndeplineşte următoarele condiţii: structura nu prezintă retrageri pe înălţime; rigiditatea laterală şi masa structurii nu prezintă schimbări bruşte pe înălţime.

Deoarece structura este regulată în plan şi în elevaţie calculul poate fi efectuat folosind două modele plane pe fiecare direcţie. Forţele laterale sunt preluate de cadrele din axele 1 şi 4 pe direcţia x şi cadrele contravântuite din axele A şi C pe direcţia y (a se vedea SR EN 1998-1:2004 paragraful 4.3.1). În continuare se detaliază calculul prin metoda forţelor laterale pe direcţia x a structurii a cadrul necontravântuit din axul 1.

119

L L

H

H

H

Figura 130 : Cadrul plan în axul 1

4.8.1.3 Condiţii de aplicare a metodei forţelor laterale

Pentru a putea aplica metoda de calcul cu forţe laterale trebuie verificate următoarele condiţii (a se vedea SR EN 1998-1:2004 paragraful 4.3.1.1):

structura are perioada fundamentală de vibraţie T1 mai mică decât 4

2.0CT

s

⋅

;

structura îndeplineşte criteriile de regularitate în plan şi în elevaţie.

Estimarea perioadei proprii de vibraţie se face cu următoarea relaţie: (a se vedea SR EN 1998-1:2004 paragraful 4.3.2.2):

34

1 0.495tT C H s= ⋅ =4

2.0CT

s

⋅ ≤

unde: Ct = 0.085 pentru cadre necontravântuite din oţel; H = 3⋅3.5 m = 10.5 m reprezintă înălţimea totală a clădirii (H < 40 m, deci formula anterioară

este valabilă); TC = 1.6 s pentru structuri amplasate în Bucureşti (zona Z3 a se vedea SR EN 1998-

1:2004/NA:2008 paragraful 3.1.2).

Aceste condiţii fiind satisfăcute se poate aplica metoda forţelor laterale.

4.8.1.4 Încărcările gravitaţionale în combinaţia seismică de încărcări

Încărcările gravitaţionale în gruparea seismică de încărcări conform SR EN 1990:2004, paragraful 6.4.3.4 sunt următoarele:

, 2, ,1 1

k j i k ij i

G Qψ≥ ≥

+ ⋅∑ ∑

unde 2ψ = 0.3 pentru categoria B - clădiri de birouri (SR EN 1990:2004/NA:2006, paragraful

A1.2.2).

Folosind această combinaţie şi coeficienţii explicitaţi mai sus, încărcarea distribuită pe fiecare nivel este : ( )5 0.3 3 2.5 14.75 /kN m+ ⋅ ⋅ = . Încărcările gravitaţionale în combinaţia seismică de

încărcări aferente cadrului plan analizat sunt exemplificate în Figura 131.

120

6 m

A B

6 m

5 m

5 m

5 m

1

2

3

4

C

(a)

6 m 6 m

3.5 m

3.5 m

3.5 m

12.5kN/m

12.5kN/m

12.5kN/mGk

(b)

6 m 6 m

3.5 m

3.5 m

3.5 m

7.5kN/m

7.5kN/m

7.5kN/m

(c)

Figura 131: Încărcările gravitaţionale aferente cadrului din axul 1: suprafaţa aferentă (a) încărcarea permanentă (b) şi încărcarea utilă (c).

4.8.1.5 Masele structurii

Planşeul de b.a. asigurând efectul de şaibă rigidă, masele structurii pot fi considerate concentrate la fiecare nivel. Deoarece acţiunea seismică de pe direcţia x este preluată doar de cadrele din axele 1 şi 4, suprafaţa planşeului aferentă calculului maselor pe cadrul ax 1 reprezintă jumătate din aria planşeului (Figura 132a). Masele corespund încărcărilor gravitaţionale din combinaţia seismică de încărcări (a se vedea SR EN 1998-1:2004 paragraful 3.2.4) şi se determină conform relaţiei:

, , ,1 1

k j E i k ij i

G Qψ≥ ≥

+ ⋅∑ ∑

unde:

, 2,E i iψ ϕ ψ= ⋅

2ψ = 0.3 pentru Categoria B - clădiri de birouri (SR EN 1990:2004/NA:2006, paragraful

A1.2.2); 1.0ϕ = - pentru acoperiş (a se vedea SR EN 1998-1:2004 paragraful 4.2.4); 0.8ϕ = - pentru celelalte etaje.

valorile coeficienţilor de grupare ,E iψ sunt:

etaj 1: ,1 0.8 0.3 0.24Eψ = ⋅ =

etaj 2: ,2 0.8 0.3 0.24Eψ = ⋅ =

etaj3: ,3 1.0 0.3 0.3Eψ = ⋅ =

Masele concentrate de nivel sunt:

( )1

5 0.24 3 12 7.552.47

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

( )2

5 0.24 3 12 7.552.47

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

( )3

5 0.3 3 12 7.554.13

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

121

6 m

A B6 m

5 m

5 m

5 m

1

2

3

4

C

(a)

6 m 6 m

3.5 m

3.5 m

3.5 m

m1

m2

m3

(b)

Figura 132: Masele aferente cadrului din ax 1: suprafaţa aferentă (a) şi valorile maselor de nivel (b).

4.8.1.6 Acţiunea seismică

Conform paragrafului 4.3.3.5.2.din SR EN 1998-1:2004 componenta verticală a acţiunii seismice nu este obligatorie pentru acest caz luându-se în calcul doar componenta orizontală corespunzătoare cadrului plan analizat. Acţiunea seismică este reprezentată sub forma unui spectru de răspuns elastic (Figura 133) pentru componenta orizontală a acţiunii seismice, care se determină pe baza următorilor factori: perioadele de control TB = 0.16s, TC = 1.6s, TD = 2.0s şi factorul de teren respectiv S = 1

(structura este amplasată în Bucureşti – zona Z3 conform SR EN 1998-1:2004/NA:2006 paragraful 3.2.2.2):

acceleraţia terenului 0.24g I gRa a gγ= ⋅ = ,

unde 1.0Iγ = (clasa de importanţă II – a se vedea SR EN 1998-1:2004, paragraful 4.2.5)

şi 0.24gRa g= (structura este amplasată în Bucureşti – zona Z3 conform SR EN 1998-

1:2004/NA:2006 paragraful 3.2.2.1); factorul de corecţie 1η = pentru amortizare 5%ξ = (a se vedea SR EN 1998-

1:2004/NA:2006 paragraful 3.2.2.2).

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

T, s

Sa

e, g

Figura 133: Spectrul de răspuns elastic din amplasamentul structurii.

122

4.8.1.7 Calculul forţelor laterale

Determinarea forţei tăietoare de baza se face cu următoarea relaţie:

( )1b dF S T m λ= ⋅ ⋅

Termenii care intră în calculul forţei tăietoare de bază sunt explicitaţi mai jos: ( )1dS T reprezintă ordonata din spectrul de proiectare corespunzătoare perioadei

fundamentale de vibraţie a structurii (a se vedea SR EN 1998-1:2004, paragraful 3.2.2.5). Pentru valori ale perioadei proprii de vibraţie

B CT T T≤ ≤ (0.16 s ≤ 0.495 s ≤ 1.6 s)

ordonata din spectrul de proiectare este:

( )1

2.75d gS T a S

q= ⋅ ⋅

În această expresie s-a folosit valoarea 2.75 pentru coeficientul de amplificare dinamică corespunzător spectrului elastic de tip 1. Factorul de comportare q pentru cadre necontravântuite cu noduri rigide se determină conform paragrafului 6.3.2 din SR EN 1998-1:2004:

15 5 1.3 6.5uq α

α= ⋅ = ⋅ =

cu 1 1.3uα α = pentru cadre cu mai multe deschideri (a se vedea SR EN 1998-1:2004,

paragraful 6.3.1). Valoarea finală a ordonatei spectrului de proiectare corespunzătoare perioadei fundamentale de vibraţie a structurii este:

( )1

2.750.24 9.81 1 0.996

6.5dS T = ⋅ ⋅ ⋅ = m/s2

m reprezintă masa totală a structurii şi are valoarea 1 2 3 159tm m m m= + + =

λ reprezintă factorul de corecţie cu valoarea 0.85λ = pentru 2 CT T≤ ⋅ şi structură cu mai

mult de 2 etaje

Forţa tăietoare de bază:

0.996 159.022 0.85 134.6bF kN= ⋅ ⋅ =

Forţele laterale se calculează cu următoarea relaţie:

i ii b

j j

z mF F

z m

⋅= ⋅

⋅∑

(a se vedea SR EN 1998-1:2004, paragraful 4.3.3.2.3). Pentru a facilita acest calcul valorile au fost determinate tabelar după cum urmează:

nivel mi [t] zi [m] mi⋅zi Fi [kN] 3 54.128 10.5 568.3 68.3 2 52.477 7 367.1 44.2 1 52.477 3.5 183.7 22.1

∑ 1119.143 134.6

Conform paragrafului 4.3.3.2.4 din SR EN 1998-1:2004, în cazul unui calcul cu forţe laterale pe un model plan al structurii, efectele de torsiune accidentală pot fi luate în considerare multiplicând efectele acţiunii seismice cu un factor δ dat de relaţia:

123

7.51 1.2 1 1.2 1.6

15e

x

Lδ = + = + =

unde distanţele x şi Le pentru direcţia considerată a acţiunii seismice sunt indicate în Figura 134. Pentru structura analizată relaţia

6 m

A B6 m

5 m

5 m

5 m

1

2

3

4

C

CM

x

Lx

Figura 134: Distanţele x si Lx pentru direcţia acţiunii seismice considerate.

Pentru a lua în calcul efectele de torsiune accidentală, forţelor laterale se majorează cu coeficientul δ=1.6, acestea devenind (vezi şi Figura 135):

nivel Fi [kN] 3 109.3 2 70.7 1 35.4

6 m 6 m

3.5 m

3.5 m

3.5 m

35.4kN

70.7kN

109.3kN

Figura 135: Forţele laterale de calcul pentru cadrul ax 1.

4.8.1.8 Calcul structural

Calculul structural a fost realizat folosind programul SAP2000. Prima etapă constă în realizarea modelului cadrului plan din axul 1 (vezi Figura 136a) şi aplicarea acţiunii seismice pe acest cadru sub forma forţelor laterale calculate anterior (vezi Figura 136b).

124

(a)

(b)

Figura 136: Modelul structurii plane în ax 1(a) şi aplicarea forţelor laterale pe cadrul plan (b).

În urma unei analize statice momentele încovoietoare pe structură din acţiunea seismică introdusă prin forţele laterale sunt prezentate în Figura 137.

Figura 137: Diagrama de moment încovoietor din forţele laterale.

Combinaţia de încărcări pentru verificarea la starea limită ultimă (SLU) în situaţia de proiectare seismică este:

, 0.3k E d kG A Q+ + ⋅

Momentele încovoietoare pe structură din această combinaţie sunt prezentate în Figura 138.

125

Figura 138:Diagrama de moment încovoietor din combinaţia la SLU pentru seism

4.8.1.9 Calculul deplasărilor

Verificarea la SLS consta în limitarea deplasărilor relative de nivel laterale. Ţinând cont de prevederile paragrafului 4.4.3.2 şi 4.3.4 din SR EN 1998-1:2004, deplasările relative de nivel la SLS se calculează cu relaţia:

, ,r SLS r ed q dν= ⋅ ⋅

unde dr,e este deplasarea relativă de nivel din analiza liniară sub efectul acţiunii seismice de calcul. Valoarea factorului de reducere este ν=0.5 pentru clasa de importanta II (vezi SR EN 1998-1:2004/NA:2006, paragraful 4.4.3.2).

Astfel, pentru verificarea la SLS deplasările din acţiunea seismică de calcul se majorează cu produsul q ν⋅ . Practic pentru verificarea structurii la SLS deplasările relative de nivel se determină din următoarea combinaţie de încărcări:

, , 2, ,1 1

k j E d i k ij i

G q A Qν ψ≥ ≥

+ ⋅ ⋅ + ⋅∑ ∑

Deplasările relative de nivel ,r SLSd pentru structura analizată sunt prezentate în Figura 139:

126

22.7

57.5

84.5

0

84.5-57.5=27

57.5-22.7=34.8

22.7-0=22.7

dSLS [mm] dr,SLS [mm]

Figura 139: Calcul deplasărilor relative de nivel ,r SLSd .

127

4.8.2 Calcul modal cu spectre de răspuns

În această aplicaţie se exemplifică efectuarea unui calcul modal cu spectre de răspuns pentru modelul spaţial al unei structuri. Structura analizată este aceeaşi cu cea care a fost analizată în paragraful anterior cu metoda forţelor laterale.

4.8.2.1 Datele problemei

Structura care urmează să fie analizată este un cadru metalic cu 3 etaje a câte 3.5 m fiecare, 2 deschideri a câte 6 m şi 3 travei de 5 m fiecare. Această structură este alcătuită din cadre contravântuite dispuse în axele A şi C, şi cadre necontravântuite cu noduri rigide dispuse în axele 1 şi 4 (vezi Figura 140). Cadrele din axele B, 2 şi 3 sunt cadre necontravântuite cu grinzile articulate şi preiau doar încărcări gravitaţionale. Planşeul este realizat din beton armat şi reazemă pe grinzile secundare, iar acoperişul se consideră circulabil. Structura este amplasată la Bucureşti şi urmează a fi proiectată conform clasei de ductilitate H. Încărcările gravitaţionale pe planşeu sunt alcătuite din încărcarea permanentă de 5 kN/mp şi încărcarea utilă de 3 kN/mp.

L L

H

H

H

T

T

T

(a)

1

2

3

4

A B C

x

yL L

T

T

T

(b)

Figura 140: Cadru spaţial (a) şi vedere în plan (b) a structurii analizate.

Caracteristicile principale ale structurii sunt prezentate sintetic mai jos: Deschidere L = 6 m; Travee B = 5 m; Înălţime etaj H = 3.5 m; Amplasament: Bucureşti; Încărcare permanentă pe planşeu gk = 5 kN/mp; Încărcarea utilă pe planşeu qk = 3 kN/mp; Structura va fi proiectată conform clasei de ductilitate H.

Calculul structural se realizează cu programul SAP2000.

4.8.2.2 Modelul structurii

Primul pas este realizarea modelului structurii care include: Definirea proprietăţilor de material (deoarece acesta este un calcul in domeniul elastic

proprietatea relevantă o reprezintă modulul de elasticitate E);

128

Definirea secţiunilor: secţiunile se importa din biblioteca de profile europene a programului şi li se atribuie proprietăţile de material definite în pasul anterior;

Realizarea geometriei structurii: se generează geometria structurii şi se atribuie secţiunile definite anterior pe elementele corespunzătoare;

Se atribuie reazemele la baza structurii; Planşeul structurii este realizat din beton monolit care acţionează ca o şaibă rigidă in plan.

Aceasta se modelează atribuind legături de tip "diafragmă rigidă" nodurilor de la fiecare nivel (vezi Figura 141);

Figura 141:Atribuirea legăturilor nodale de tip "diafragmă rigidă" la fiecare nivel al structurii.

Se modelează legăturile dintre bare (articulaţiile) acolo unde este cazul: Pe direcţia x structura este alcătuită din care necontravântuite iar pe direcţia y din cadre contravântuite în X. Cadrele din axul 1 sunt cadre necontravâintuite cu noduri rigide si nu au articulaţii restul elementelor fiind articulate.

Conform paragrafului 6.7.2 din SR EN 1998-1:2004 calculul elastic la acţiunea seismică se face ţinând cont doar de diagonalele întinse. Acest lucru este modelat prin includerea în modelul structurii doar a uneia dintre cele două contravântuiri pentru fiecare panou contravântuit.

Modelul final din punct de vedere al geometriei al structurii analizate poate fi vizualizat in Figura 142.

129

Figura 142: Modelul 3D al structurii.

4.8.2.3 Încărcările gravitaţionale în combinaţia seismică de încărcări

Încărcările gravitaţionale folosite sunt încărcările permanente şi utile în combinaţia seismică de încărcări (SR EN 1990:2004, paragraful 6.4.3.4):

, , 2, ,1 1

k j E d i k ij i

G A Qψ≥ ≥

+ + ⋅∑ ∑

unde 2ψ = 0.3 pentru Categoria B - clădiri de birouri (SR EN 1990:2004/NA:2006, paragraful

A1.2.2).

Deoarece planşeul se sprijină pe grinzile secundare încărcările gravitaţionale vor fi modelate ca forţe distribuite pe grinzile secundare din suprafaţa aferentă fiecăreia (vezi Figura 143). Încărcarea permanentă:

− Grinzi secundare curente: 5 2 10 /kN m⋅ = ; − Grinzi marginale: 5 1 5 /kN m⋅ = .

Încărcarea utilă: − Grinzi secundare curente: 3 2 6 /kN m⋅ = ; − Grinzi marginale: 6 1 6 /kN m⋅ = .

Distribuţia încărcărilor pe structură poate fi vizualizată in Figura 144.

130

6 m 6 m

5 m

5 m

5 m

1

2

3

4

Figura 143: Suprafaţa aferentă pentru calculul încărcărilor gravitaţionale pe grinzile secundare.

(a)

(b)

Figura 144: Atribuirea încărcării permanente (a) şi a încărcării utile (b) pe structură

4.8.2.4 Acţiunea seismică

Conform paragrafului 4.3.3.5.2.din SR EN 1998-1:2004 componenta verticală a acţiunii seismice nu este obligatorie pentru acest caz luându-se în calcul doar componenta orizontală corespunzătoare cadrului plan analizat. Acţiunea seismică este reprezentată sub forma unui spectru de răspuns elastic (Figura 145) pentru componenta orizontală a acţiunii seismice, care se determină pe baza următorilor factori: perioadele de control TB = 0.16s, TC = 1.6s, TD = 2.0s şi factorul de teren respectiv S = 1

(structura este amplasată în Bucureşti – zona Z3 conform SR EN 1998-1:2004/NA:2006 paragraful 3.2.2.2):

acceleraţia terenului 0.24g I gRa a gγ= ⋅ = ,

unde 1.0Iγ = (clasa de importanţă II – a se vedea SR EN 1998-1:2004, paragraful 4.2.5)

şi 0.24gRa g= (structura este amplasată în Bucureşti – zona Z3 conform SR EN 1998-

1:2004/NA:2006 paragraful 3.2.2.1);

131

factorul de corecţie 1η = pentru amortizare 5%ξ = (a se vedea SR EN 1998-1:2004/NA:2006 paragraful 3.2.2.2).

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

T, s

Sa

e, g

Figura 145: Spectrul de răspuns elastic din amplasamentul structurii.

Deoarece sistemele de preluare a încărcărilor laterale diferă pe cele doua direcţii (cadre necontravântuite pe direcţia x si cadre contravantuite pe direcţia y), cu valori ale factorului de comportare q diferit pentru cele doua tipuri de cadre, acţiunea seismica de proiectare va fi modelată prin doua spectre de calcul diferite pe cele doua direcţii folosind prevederile din SR EN 1998-1:2004, paragraful 3.2.2.5. Spectrele de calcul Sd vor fi determinate folosind o amplificare dinamică în domeniul de pseudo-acceleraţie constantă de 2.75 corespunzătoare structurilor amplasate în Bucureşti şi valori ale factorului de comportare după cum urmează:

Pentru cadre necontravântuite (directia x) 1

5 5 1.3 6.5uq αα= ⋅ = ⋅ = (a se vedea

SR EN 1998-1:2004, paragraful 6.3.2) cu 1 1.3uα α = - cadre solicitate la încovoiere cu

mai multe deschideri (a se vedea SR EN 1998-1:2004, paragraful 6.3.1); pentru cadre contravântuite (direcţia y) 4q = (a se vedea SR EN 1998-1:2004, paragraful

6.3.2).

Cele două spectre de proiectare sunt reprezentate în Figura 146:

132

0 1 2 3 40.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

T, s

Sd, g

SR EN 1998−1:2004, ag=0.24 g, T

C=1.6, q=6.5

directia x

0 1 2 30

0.05

0.1

0.15

0.2

T, s

Sd, g

SR EN 1998−1:2004, ag=0.24 g, T

C=1.6, q=4

direcţia y

Figura 146: Spectrele de proiectare pe cele doua direcţii.

În programul SAP2000 cele două spectre de calcul se introduc ca funcţii de tip spectru de răspuns (response spectrum) folosind perechi de valori perioadă-acceleraţie (vezi Figura 147).

Figura 147: Modelarea spectrelor de proiectare în SAP.

4.8.2.5 Masele structurii

Planşeul de b.a. asigurând efectul de şaibă rigidă, masele structurii pot fi considerate

133

concentrate la fiecare nivel. Masele corespund încărcărilor gravitaţionale din combinaţia seismică de încărcări (a se vedea SR EN 1998-1:2004 paragraful 3.2.4) şi se determină conform relaţiei:

, , ,1 1

k j E i k ij i

G Qψ≥ ≥

+ ⋅∑ ∑

unde:

, 2,E i iψ ϕ ψ= ⋅

2ψ = 0.3 pentru Categoria B - clădiri de birouri (SR EN 1990:2004/NA:2006, paragraful

A1.2.2); 1.0ϕ = - pentru acoperiş (a se vedea SR EN 1998-1:2004 paragraful 4.2.4); 0.8ϕ = - pentru celelalte etaje.

valorile coeficienţilor de grupare ,E iψ sunt:

etaj 1: ,1 0.8 0.3 0.24Eψ = ⋅ =

etaj 2: ,2 0.8 0.3 0.24Eψ = ⋅ =

etaj3: ,3 1.0 0.3 0.3Eψ = ⋅ =

Suprafaţa considerată pentru calculul maselor concentrate din încărcările gravitaţionale se consideră ca în Figura 148.

6 m

A B

6 m

5 m

5 m

5 m

1

2

3

4

C

m1

m1

m2 m4

m2

m3

m3

m3

m3

m4m4

m4

Figura 148: Suprafaţa aferentă maselor concentrate în noduri.

Masele concentrate sunt : Nivel 1:

− [ ]

1

5 0.24 3 5 617.49

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

− [ ]

2

5 0.24 3 2.5 68.74

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

− [ ]

3

5 0.24 3 5 38.74

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

− [ ]

4

5 0.24 3 2.5 34.37

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

Nivel 2:

134

− [ ]

1

5 0.24 3 5 617.49

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

− [ ]

2

5 0.24 3 2.5 68.74

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

− [ ]

3

5 0.24 3 5 38.74

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

− [ ]

4

5 0.24 3 2.5 34.37

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

Nivel 3:

− [ ]

1

5 0.3 3 5 618.04

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

− [ ]

2

5 0.3 3 2.5 69.02

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

− [ ]

3

5 0.3 3 5 39.02

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

− [ ]

4

5 0.3 3 2.5 34.51

9.81m t

+ ⋅ ⋅ ⋅= =

Masele calculate anterior se vor atribui pe modelul structurii în SAP ca şi mase concentrate în noduri pe cele două direcţii x şi y pe care se consideră acţiunea seismică (a se vedea Figura 149).

(a)

(b)

Figura 149: Modelarea maselor concentrate în noduri în SAP (a) şi atribuirea lor pe modelul structurii (b)

135

4.8.2.6 Determinarea modurilor proprii de vibraţie

Datorită comportării planşeului structurii ca diafragmă rigidă fiecare nivel al structurii are 3 grade de libertate dinamică şi anume 2 translaţii orizontale şi o rotire după axa verticală rezultând maxim 9 moduri proprii de vibraţie. Numărul de moduri proprii de vibraţie care vor fi luate în calcul este precizat pentru modelul structurii în SAP prin setarea parametrilor corespunzători (vezi Figura 150).

Figura 150: Parametrii pentru determinarea modurilor proprii de vibraţie.

După rularea analizei primele două moduri proprii de vibraţie determinate sunt moduri de translaţie corespunzătoare celor două direcţii orizontale x şi y, respectiv modul 1 pe direcţia y şi modul 2 pe direcţia x, iar al treilea mod este de torsiune (a se vedea Figura 151).

Mod 1, T1=0.692 sec

Mod 2, T2=0.489 sec

Mod 3, T3=0.394 sec

Figura 151: Primele 3 moduri proprii de vibraţie

Masele modale efective raportate la masa totală a structurii (modal mass participating ratios) în modurile proprii de vibraţie se pot vizualiza sub formă de tabelară de către programul de calcul (a se vedea Figura 152).

136

Mod Period UX UY UZ SumUX SumUY SumUZUnitless Sec Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless

1 0.692297 0.81432 0 0 0.81432 0 0

2 0.488809 0 0.86968 0 0.81432 0.86968 0

3 0.393768 0 0 0 0.81432 0.86968 0

4 0.186351 0.144 0 0 0.95832 0.86968 0

5 0.163703 0 0.10719 0 0.95832 0.97687 0

6 0.121409 0 0 0 0.95832 0.97687 0

7 0.099788 0 0.02313 0 0.95832 1 0

8 0.091683 0.04168 0 0 1 1 0

9 0.067362 0 0 0 1 1 0

Figura 152: Masele modale efective raportate la masa totală a structurii.

Acest tabel conţine perioadele proprii corespunzătoare fiecărui mod propriu de vibraţie în secunde, masele modale efective raportate la masa totală a structurii pe cele 3 direcţii (Ux, Uy, Uz) şi valorile cumulate ale maselor modale efective raportate la masa totală a structurii (SumUx, SumUy, SumUz). Folosind acest tabel se calculează procentual masele modale efective pentru fiecare mod de vibraţie (acestea se găsesc la coloana Ux, Uy, Uz). Cu aceste mase modale efective exprimate procentual se poate determina numărul minim de moduri proprii de vibraţie care trebuie luate în calcul pentru analiza modală cu spectre de răspuns. Conform paragrafului 4.3.3.3.1 din SR EN 1998-1:2004 suma maselor modale efective pentru modurile luate în considerare trebuie să fie de minim 90% din masa totală a structurii. În cazul de faţă numărul minim de moduri proprii care trebuie luat în considerare este de 5. În această aplicaţie, pentru o mai mare precizie a rezultatelor se vor considera toate 9 modurile.

4.8.2.7 Calculul modal cu spectre de răspuns

Pentru definirea calculului modal cu spectre de răspuns trebuie definiţi următorii parametrii: Spectrele de calcul care se vor folosi. Determinarea acestora şi introducerea în modelul de

calcul a fost detaliată anterior în secţiunea 4.8.2.4. Modurile proprii de vibraţie. Modurile proprii folosite sunt cele determinate în

secţiunea4.8.2.6. Combinarea modurilor proprii de vibraţie. Datorită versatilităţii modurile proprii de

vibraţie au fost combinate cu metoda combinaţie pătratică completă (CQC). Combinarea efectelor componentelor acţiunii seismice. Conform paragrafului4.3.3.5.1 din

SR EN 1998-1:2004 efectele componentelor seismice se vor combina cu metoda radical din suma pătratelor (SRSS).

Parametrii enumeraţi mai sus sunt definiţi în modelul structurii după cum se ilustrează în Figura 153:

137

Figura 153: Parametrii calculului modal cu spectre de răspuns.

În modelul structurii, pentru acest exemplu, acţiunea seismică reprezentată prin spectrele de răspuns va fi denumită AE,d-SPEC.

4.8.2.8 Efectele de torsiune accidentală

Conform paragrafului 4.3.2 din SR EN 1998-1:2004 pentru a ţine cont de efectele de torsiune accidentală se introduce o excentricitatea accidentală suplimentară care trebuie luată în calcul pentru fiecare direcţie principală a structurii şi pentru fiecare nivel, şi se raportează la centrul maselor. Excentricitatea se calculează cu formula:

0.05ai ie L= ±

unde e1i excentricitatea accidentală a masei de la nivelul i faţă de poziţia calculată a centrului

maselor, aplicată pe aceeaşi direcţie la toate nivelurile Li dimensiunea planşeului perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice.

CMFx ±eay Ly CM

Fy

±eax

Lx

x

y

Figura 154. Definiţia excentricităţii accidentale.

Datorită faptului ca structura analizată în această aplicaţie are aceleaşi dimensiuni în plan la fiecare nivel valorile excentricităţilor pentru cele două direcţii sunt aceleaşi pentru fiecare etaj şi se vor nota pentru simplitate cu ex şi ey:

( )0.05 2 6 0.6xe m= ⋅ ⋅ =

( )0.05 3 5 0.75ye m= ⋅ ⋅ =

Spectrul de răspuns pe direcţia y

Combinarea modurilor proprii de vibraţie

Combinarea efectelor acţiunii seismice

Spectrul de răspuns pe direcţia x

138

În cazul de faţă în care pentru obţinerea răspunsului seismic se utilizează un model spaţial, conform paragrafului 4.3.3.3.3 din SR EN 1998-1:2004 efectul de torsiune produs de o excentricitate accidentală se poate considera prin introducerea la fiecare nivel a unui moment de torsiune :

iii FeM 11 = (77)

în care: M1i moment de torsiune aplicat la nivelul i în jurul axei sale verticale e1i excentricitate accidentală a masei de la nivelul i Fi forţa seismică orizontală aplicată la nivelul i

Momentul de torsiune se va calcula pentru direcţiile acţiunii seismice x şi y cu formula:

xi iy ixM e F= şi yi ix iyM e F=

unde Fix şi Fiy sunt forţele laterale calculate pe cele două direcţii. Aceste forţe laterale se vor calcula similar cu cele de la exemplul.4.8.1 cu următoarele precizări: Deoarece calculul se efectuează pe modelul spaţial al structurii masele concentrate la

fiecare nivel sunt calculate folosind încărcările gravitaţionale care acţionează pe întreg planşeul în combinaţia seismică de încărcări (a se vedea exemplul 4.8.1.2). Masele de nivel au valorile: m1 = m2 =104.9t şi m3 =108,2t.

Se vor folosi perioadele proprii exacte determinate în paragraful anterior pe modelul real al structurii şi anume: T = 0.488s pentru calculul pe direcţia x şi T = 0.692s pentru calculul pe direcţia y

Calculul forţelor laterale pe direcţia x este prezentat sintetic în cele ce urmează: Forţa tăietoare de bază este:

( ), 1 0.996 318 0.85 269.2b x d xF S T m kNλ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

unde Sd(T1x)este ordonata spectrului de proiectare pe direcţia x calculată cu valorile corespunzătoare ale perioadei şi factorului de comportare q şi m este masa totală a structurii m = m1+m2+m3= 318t;

Forţele laterale se calculează cu următoarea relaţie:

i ii b

j j

z mF F

z m

⋅= ⋅

⋅∑

şi au următoarele valori: − F1x = 44.2 kN − F2x = 88.3 kN − F3x = 136.7 kN

Calculul forţelor laterale pe direcţia y este prezentat sintetic în cele ce urmează: Forţa tăietoare de bază este:

( ), 1 1.61 318 0.85 435.2b y d yF S T m kNλ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

unde Sd(T1y)este ordonata spectrului de proiectare pe direcţia y calculată cu valorile corespunzătoare ale perioadei şi factorului de comportare q şi m este masa totală a structurii m = m1+m2+m3 = 318t;

139

Forţele laterale se calculează cu următoarea relaţie:

i ii b

j j

z mF F

z m

⋅= ⋅

⋅∑

şi au următoarele valori: − F1y = 71.4 kN − F2y = 142.8kN − F3y = 221 kN

Momentele de torsiune pentru fiecare nivel pe cele doua direcţii au următoarele valori:

M1,x=44.2⋅0.75 = 33.15 kNm

M2,x=88.3⋅0.75 = 66.22 kNm

M3,x=136.7⋅0.75 = 102.5 kNm

M1,y=71.4⋅0.6 =42.84 kNm

M2,y=142.8⋅0.6 =85.68 kNm

M3,y=221⋅0.6 =132.6 kNm

Momentele de torsiune pentru fiecare nivel sunt (Figura 155):

M1 = M1,x+ M1,y = 75.99 kNm

M2 = M2,x+ M2,y = 151.9 kNm

M3 = M3,x+ M3,y = 235.1 kNm

M3

M2

M1

Figura 155: Momentele de torsiune la fiecare nivel.

Aceste momente de torsiune se introduc în modelul structurii într-un caz de încărcare care pentru acest exemplu va fi denumit AE,d-M.

4.8.2.9 Calcul structural

Pentru această aplicaţie se vor arăta doar diagramele de forţă axială şi moment încovoietor obţinute din analiza modelului structurii în două variante: Diagramele de forţă axială şi moment încovoietor din calculul modal cu spectre de

răspuns; Diagramele de forţă axială şi moment încovoietor din combinaţia seismică de încărcări;

Conform SR EN 1990:2004, paragraful 6.4.3.4 combinaţia seismică de încărcări este:

, , 2, ,1 1

k j E d i k ij i

G A Qψ≥ ≥

+ + ⋅∑ ∑ cu valorile coeficientului 2ψ = 0.3.

140

Figura 156: Definirea combinaţiei seismice de încărcări în programul SAP2000.

Acţiunea seismică AE,d este alcătuită din spectrele de răspuns (AE,d-SPEC) şi momentele de torsiune (AE,d-M) care ţin cont de excentricitatea accidentală: AE,d = AE,d-SPEC + AE,d-M.

Pentru a ţine cont de faptul că acţiunea seismică poate veni din orice direcţie acţiunea seismică în combinaţia seismică se consideră cu + şi – pentru a corespunde celor 2 situaţii:

, , 2, ,1 1

k j E d i k ij i

G A Qψ≥ ≥

+ + ⋅∑ ∑

, , 2, ,1 1

k j E d i k ij i

G A Qψ≥ ≥

− + ⋅∑ ∑

Diagramele de forţă axială: Din calculul spectral ( AE,d-SPEC):

Figura 157: Diagrama de forţă axială pe structură din calculul modal cu spectre de răspuns.

141

Din combinaţia seismică de încărcări:

Figura 158: Diagrama de forţă axială pe structură în combinaţia seismică de încărcări.

Diagramele de moment încovoietor: Din calculul modal cu spectre de răspuns ( AE,d-SPEC):

Figura 159: Diagrama de moment încovoietor pe structură din calculul modal cu spectre de răspuns.

142

Din combinaţia seismică de încărcări:

Figura 160: Diagrama de moment încovoietor pe structură în combinaţia seismică de încărcări.

În diagramele din calculul spectral toate valorile apar cu semnul pozitiv. Semnul „+” pentru toate valorile provine din combinaţia modurilor proprii de vibraţie cu combinaţia pătratică completă (CQC) şi combinaţia efectelor acţiunii seismice cu radical din suma pătratelor (SRSS).

În diagramele din combinaţia seismică de încărcări valorile eforturilor pe elemente sunt date sub formă de înfăşurătoare. Acest lucru se poate vedea mai bine în Figura 161 care prezintă eforturile pentru un stâlp parter din axul 1.

Figura 161: Eforturile pe un stâlp parter din cadrul ax 1 din combinaţia seismică de încărcări.

143

Pentru simplitate valorile momentelor încovoietoare din calculul spectral ( AE,d-SPEC) se for afişa doar pentru cadrul din ax 1:

Figura 162: Diagrama de momentele încovoietoare din calculul modal cu spectre de răspuns pentru cadrul din ax 1.

Se observă ca toate valorile momentelor sunt mai mici decât cele obţinute pe acest cadru din analiza cu forţe laterale. Acest lucru demonstrează că un calcul modal cu spectre de răspuns oferă rezultate mai exacte şi o proiectare mai economică în comparaţie cu metoda forţelor laterale.

4.8.3 Calcul static neliniar

În această aplicaţie se exemplifică aplicarea calculului static neliniar pentru calculul global la acţiunea seismică a unei structuri modelate folosind cadre plane situate pe cele două direcţii orizontale principale. În cele ce urmează se detaliază doar calculul cadrelor necontravântuite de pe direcţia x a structurii. Structura analizată este aceeaşi cu cea care a fost analizată în paragraful anterior.

4.8.3.1 Datele problemei

Structura care urmează să fie analizată este un cadru metalic cu 3 etaje a câte 3.5 m fiecare, 2 deschideri a câte 6 m şi 3 travei de 5 m fiecare. Această structură este alcătuită din cadre contravântuite dispuse în axele A şi C, şi cadre necontravântuite cu noduri rigide dispuse în axele 1 şi 4 (vezi Figura 140). Cadrele din axele B, 2 şi 3 sunt cadre necontravântuite cu grinzile articulate şi preiau doar încărcări gravitaţionale. Planşeul este realizat din beton armat şi reazemă pe grinzile secundare, iar acoperişul se consideră circulabil. Structura este amplasată la Bucureşti şi urmează a fi proiectată conform clasei de ductilitate H. Încărcările gravitaţionale pe planşeu sunt alcătuite din încărcarea permanentă de 5 kN/mp şi încărcarea utilă de 3 kN/mp.

144

L L

H

H

H

T

T

T

(a)

1

2

3

4

A B C

x

yL L

T

T

T

(b)

Figura 163: Cadru spaţial (a) şi vedere în plan (b) a structurii analizate.

Caracteristicile principale ale structurii sunt prezentate sintetic mai jos: Deschidere L = 6 m; Travee B = 5 m; Înălţime etaj H = 3.5 m; Amplasament: Bucureşti; Încărcare permanentă pe planşeu gk = 5 kN/mp; Încărcarea utilă pe planşeu qk = 3 kN/mp; Structura va fi proiectată conform clasei de ductilitate H.

Calculul structural se realizează cu programul SAP2000.

Rezultatele calculului se vor prezenta in detaliu in redactarea finala.

4.8.4 Calcul dinamic neliniar

În această aplicaţie se exemplifică aplicarea calculului dinamic neliniar pentru calculul global la acţiunea seismică a unei structuri modelate folosind cadre plane situate pe cele două direcţii orizontale principale. În cele ce urmează se detaliază doar calculul cadrelor necontravântuite de pe direcţia x a structurii. Structura analizată este aceeaşi cu cea care a fost analizată în paragraful anterior.

4.8.4.1 Datele problemei

Structura care urmează să fie analizată este un cadru metalic cu 3 etaje a câte 3.5 m fiecare, 2 deschideri a câte 6 m şi 3 travei de 5 m fiecare. Această structură este alcătuită din cadre contravântuite dispuse în axele A şi C, şi cadre necontravântuite cu noduri rigide dispuse în axele 1 şi 4 (vezi Figura 140). Cadrele din axele B, 2 şi 3 sunt cadre necontravântuite cu grinzile articulate şi preiau doar încărcări gravitaţionale. Planşeul este realizat din beton armat şi reazemă pe grinzile secundare, iar acoperişul se consideră circulabil. Structura este amplasată la Bucureşti şi urmează a fi proiectată conform clasei de ductilitate H. Încărcările gravitaţionale pe planşeu sunt alcătuite din încărcarea permanentă de 5 kN/mp şi încărcarea utilă de 3 kN/mp.

145

L L

H

H

H

T

T

T

(a)

1

2

3

4

A B C

x

yL L

T

T

T

(b)

Figura 164: Cadru spaţial (a) şi vedere în plan (b) a structurii analizate.

Caracteristicile principale ale structurii sunt prezentate sintetic mai jos: Deschidere L = 6 m; Travee B = 5 m; Înălţime etaj H = 3.5 m; Amplasament: Bucureşti; Încărcare permanentă pe planşeu gk = 5 kN/mp; Încărcarea utilă pe planşeu qk = 3 kN/mp; Structura va fi proiectată conform clasei de ductilitate H.

Calculul structural se realizează cu programul SAP2000.

Rezultatele calculului se vor prezenta in detaliu in redactarea finala.

146

5 ANEXA 1: CALCULUL SIMPLIFICAT DE ORDINUL I LA STĂRI

LIMITĂ ULTIME

5.1 Procedeul de calcul

In aceasta anexa se prezintă metodele simplificate de calcul de ordinul I la stari limita ultime SLU. Procedeul de calcul este următorul: a) se aleg dimensiunile elementelor şi vutelor (daca exista). b) Pentru fiecare combinaţie de încărcări la starea limită ultimă SLU: Se determină αcr pentru combinaţia aleasă dintr-o analiză critică de flambaj. Daca αcr < 3, se aleg secţiuni mai puternice şi se reia calculul de la pasul precedent. Se face o analiză plastică pentru combinaţia de încărcări aleasă, ţinând seama că, dacă αcr <

10, fie analiza, fie rezultatele acestui pas trebuie modificate pentru a corespunde criteriului de cedare Merchant-Rankine. Modificările sunt descrise mai jos.

c) Momentele şi forţele rezultate se folosesc pentru verificările de rezistenţă. Aceste metode permit determinarea unor eforturi sigure şi apropiate de realitate, dar nu exacte. Termenul de factor de încărcare este folosit pentru a defini raportul dintre forţa aplicată şi forţa de calcul la SLU în orice etapă particulară a încărcării. Factorul de încărcare de cedare este factorul de încărcare cerut pentru a produce cedarea prin mecanism plastic. Factorul de încărcare corespunzător mecanismului nu trebuie să fie mai mic decât 1,0 şi va fi de obicei destul de mare.

5.1.1 Încărcarea modificată corespunzătoare criteriului Merchant-Rankine

Criteriul Merchant-Rankine poate fi evidenţiat făcând analiza plastică a cadrului la încărcările aplicate majorate cu factorul:

1

11

crα−

(78)

Pentru analiza plastică, criteriul Merchant-Rankine poate fi exprimat prin:

încarcarea de cedare

Factor de încarcare la cedare= 1

1Forta aplicata

11

crα

≥ × −

(79)

Acolo unde factorul de încărcare este mai mare decât 1,0, nu este indicat să se reducă eforturile calculate la cedare, prin împărţire cu factorul de încărcare la cedare, pentru că nu ar reflecta adevărata comportare la cedare. Reducerea eforturilor este posibilă numai printr-o metodă care respectă momentele plastice ale secţiunilor, cum ar fi o analiză elasto-plastică cu ajutorul unui program de calcul. Folosind o astfel de metoda, se pot determina eforturile pentru valoarea factorului de încărcare egală cu 1,0 şi acestea pot fi folosite pentru verificările ulterioare.

Justificarea acestei metode provine din faptul că Merchant-Rankine dă pentru cedare:

1 1 1

pl cr cedα α α+ = (80)

147

1 1 1

1 1 1

1

1

1

pl cr ced

cr ced

pl ced cr ced cr

ced cr cedpl

cedcr ced

cr

pl cedced

cr

F F F

F F

F F F F F

F F FF

FF FF

F FF

F

+ =

−= − =

= =− −

=−

(81)

unde: ced SLUF F= (82)

1 1

111

pl SLU SLUced

crcr

F F FF

F α

= =−−

(83)

5.1.2 Analiza elasto-plastică modificată corespunzătoare criteriului Merchant-Rankine

Analiza elasto-plastică de ordinul I este o procedură de analiză incrementală. Criteriul Merchant-Rankine poate fi observat în analiza elasto-plastică de ordinul I utilizând factorul:

1

1crα

− (84)

ca un factor de reducere aplicat factorului de încărcare calculat la formarea fiecărei articulaţii plastice. Cadrul este considerat încărcat cu combinaţia la SLU standard, incrementul forţelor este aplicat ca de obicei, dar factorul de încărcare este redus la formarea fiecărei articulaţii plastice, vezi Figura 165.

Figura 165. Diagrama forţă-deplasare redusa conform criteriului Merchant-Rankine

Marele avantaj al acestei metode este că ea identifică articulaţiile la SLU şi poate astfel determina un set de eforturi la 1,0 x SLU, cu secţiuni economice. Trebuie notat că factorul de încărcare corespunzător formării ultimei articulaţii plastice a mecanismului va fi acelaşi ca pentru orice altă metodă care foloseşte metoda Merchant-Rankine, dar această metodă permite calculul eforturilor pentru factori de încărcare inferiori condiţiei de cedare. Acesta este un

148

avantaj în comparaţie cu analizele rigid-plastice bazate pe metodele lucrului mecanic virtual, unde factorul de încărcare la cedare este mai mare decât cel cerut la SLU.

5.1.3 Capacitatea secţiunii modificată pentru a corespunde criteriului Merchant-Rankine

Metoda implică următoarea procedură: (1) Se aleg secţiunile iniţiale ale cadrului. (2) Se calculează forţa critică de flambaj a cadrului Fcr. (3) Se calculează factorul αcr = Fcr / FEd. (4) Se pune în concordanţă cu criteriul Merchant-Rankine prin împărţirea capacităţii plastice a

secţiunii cu coeficientul 1

11

crα−

.

(5) Se face o analiză rigid-plastică a cadrului folosind capacităţile plastice reduse de la punctul (4). (6) Se verifică factorul de încărcare la cedare de la (5), care trebuie să fie ≥ 1,0.

(7) Se amplifica toate eforturile cu coeficientul 1

11

crα−

.

5.2 Metode de analiză Cele trei metode obişnuite de analiză sunt:

(1) Metoda grafică. (2) Analiza lucrului mecanic virtual al mecanismelor rigid-plastice. (3) Analiza elastică-perfect plastică.

5.2.1 Metoda grafică

În metoda grafică (Figura 166), diagramele de momente încovoietoare se desenează pe bare, cu valorile maxime şi minime limitate de momentele plastice ale fiecărui element.

Figura 166. Metoda grafică

Pe rând, elementele trebuie alese pentru a satisface orice diagramă statică de moment încovoietor. Astfel metoda grafică se poate folosi pentru: • Analiza unor structuri foarte simple. • Proiectarea iniţială a oricărei structuri. Metoda grafică va găsi întotdeauna limita superioară a momentului încovoietor sau limita

149

inferioară a factorului de încărcare, deci este întotdeauna sigură, în ipoteza că s-a făcut corect. Metoda se recomandă pentru proiectarea iniţială a unei structuri, analiza finală fiind în mod normal rigid-plastică sau elastic-perfect plastică.

5.2.2 Metoda lucrului mecanic virtual al mecanismelor rigid-plastice

Metoda lucrului mecanic virtual calculează factorul de încărcare la cedare pentru un mecanism de cedare rigid-plastic. Structuri destul de extinse pot fi analizate fără calculator, de aceea metoda este adesea considerată ca metoda clasică (Figura 167).

Figura 167. Metoda lucrului mecanic virtual

Prin această metodă nu se găseşte ordinea apariţiei articulaţiilor plastice ci numai mecanismul de cedare. Trei probleme importante pot sa apară atunci când se utilizează această metodă: Metoda poate determina doar factorul de încărcare pentru mecanismul analizat. Dacă nu

este analizat mecanismul real, factorul de încărcare va fi supraestimat. Pentru a fi în siguranţă, diagrama completă de moment încovoietor a structurii trebuie trasată pentru factorul de încărcare cel mai mic al mecanismelor posibile.

Direcţia rotirilor trebuie verificată cu grijă pentru a se asigura că sunt în concordanţă cu mecanismul (Figura 168).

Nu găseşte nici o articulaţie care se formează, se roteşte şi apoi se închide. Metoda se foloseşte în mod special pentru a verifica o structură care a fost deja definită.

Figura 168. Rotiri în articulaţiile plastice conforme cu mecanismul de cedare

Diagrama de incarcari

Rotirea articulatiilor permite formarea mecanismului de cedare

150

5.2.3 Metoda elastică-perfect plastică

Metoda elastică-perfect plastică aplică forţele în mod crescător cu paşi mici şi consideră articulaţiile plastice pe structură, odată cu formarea lor (Figura 169). Se presupune că elementele se deformează ca elemente liniar elastice până la momentul plastic Mp

şi apoi se

comportă perfect plastic fără ecruisare. Este posibil să identifice articulaţii care se formează, se rotesc şi apoi se închid, sau chiar care se descarcă sau schimbă sensul rotirii, programul de calcul având aceste posibilităţi. Mecanismul final va fi mecanismul real de cedare, şi va fi identic cu mecanismul corespunzător celui mai mic factor de încărcare care poate fi găsit prin metoda rigid-plastică. Metoda are următoarele avantaje: • Se identifică mecanismul real de cedare. • Se identifică toate articulaţiile plastice, inclusiv orice articulaţie care s-ar putea forma şi apoi închide, şi care astfel nu va apare în mecanismul final, dar va trebui ţinut cont de ea. • Articulaţiile care se formează după SLU pot fi identificate şi deci acolo unde este posibil, costul îmbinărilor elementelor poate fi redus. Acest lucru poate produce economii în structură acolo unde rezistenţa elementelor este mai mare decât este necesar, în cazurile unde dimensionarea este determinată de deplasări sau unde se folosesc secţiuni supradimensionate. • Diagrama reală de momente încovoietoare de cedare sau la orice nivel până la cedare poate fi identificată.

Figura 169. Metoda elastică-perfect plastică

151

6 ANEXA 2: CALCULUL CAPACITATII DE ROTIRE PLASTICA A

SECTIUNILOR

Capacitatea de rotire plastică se determină cu relaţia:

1ur

p

θµ

θ= − (85)

unde θu este rotirea plastică definită prin cea corespunzătoare momentului de plasticizare a secţiunii, definită pe curba post-elastică (), iar θp este rotirea elastică la formarea articulaţiei plastice.

Figura 170. Curba de comportare reală a unei îmbinări

Capacitatea de rotire plastica pentru profile dublu T (Figura A.2) se determină cu relaţia:

2

46 10 0.8 0.2t tr

i

t R

bL Rµ α ε

= × +

(86)

unde:

2240( )

1 4 0.1

0.6 0.1 0.3

t

t t

t

N mmR

N Npentru

AR AR

Npentru

AR

ε

α

α

=

= − ≤

= ≤ ≤

(87)

Notaţiile de mai sus au următoarea semnificaţie: N – forţa axială din stâlp; A – aria secţiunii transversale a stâlpului; b – lăţimea tălpii comprimate; L – deschiderea grinzii standard, determinată conform Figura 171 în funcţie de mecanismul de cedare; R

t, R

i – limitele de curgere pentru tălpi, respectiv pentru inimă.

152

Figura 171. Caracteristicile profilelor dublu T şi deschiderea grinzii standard

În funcţie de capacitatea de rotire plastică rezultată din relaţia anterioara, elementele de structură pot fi clasificate în:

- Clasa 1 cu ductilitate bună, dacă µr ≥ 5,7

- Clasa 2 cu ductilitate medie, dacă 4.5 ≤ µr < 7.5

- Clasa 3 cu ductilitate slabă, dacă 1.5 ≤ µr < 4.5

Disiparea de energie seismică prevăzută prin proiectare este asigurată dacă:

r nµ µ> (88)

unde µn este capacitatea de rotire necesară, rezultata din calcul sau ceruta prin recomandarile din norma.

153

7 BIBLIOGRAFIE

SR EN 1993-1-1:2006. "Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-1: Reguli generale şi reguli pentru clădiri. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO).

SR EN 1993-1-8:2006. "Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-8: Proiectarea îmbinărilor. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO).

SR EN 1998-1:2004. "Eurocod 8: Proiectarea structurilor pentru rezistenţă la cutremur. Partea 1: Reguli generale, acţiuni seismice şi reguli pentru clădiri". Asociaţia de Standardizare din România (ASRO).

SR EN 1998-1:2004/NA:2008. "Eurocod 8: Proiectarea structurilor pentru rezistenţă la cutremur. Partea 1: Reguli generale, acţiuni seismice şi reguli pentru clădiri. Anexa naţională". Asociaţia de Standardizare din România (ASRO).

SR EN 1998-5:2004. "Eurocod 8: Proiectarea structurilor pentru rezistenţă la cutremur. Partea 5: Fundaţii, structuri de susţinere şi aspecte geotehnice". Asociaţia de Standardizare din România (ASRO).

P100-1/2006. "Cod de proiectare seismică - Partea I - Prevederi de proiectare pentru clădiri". Buletinul Construcţiilor, Vol. 12-13, 2006.

Fardis, M.N., Carvalho, E., Elnashai, A., Faccioli, E., Pinto, P. and Plumier, A. (2005). "Designer's Guide to EN 1998-1 and EN 1998-5. Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. General rules, seismic actions, design rules for buildings, foundations and retaining structures". Thomas Telford, London.

Erdik, M. and Durukal, E., (2003). "Simulation Modeling of Strong Ground Motion". In W.F. Chen and Charles Scawthorn (ed.), Earthquake Engineering Handbook, CRC Press.

Gasparini, D.A., and Vanmarcke, E.H. (1976). "Simulated Earthquake Motions Compatible with Prescribed Response Spectra," Department of Civil Engineering, Research Report R76-4, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts.

Iervolino, I., Maddaloni, G. and Cosenza, E., (2008). "Eurocode 8 Compliant Real Record Sets for Seismic Analysis of Structures", Journal of Earthquake Engineering, 12:1, 54 – 90.

Chang, H-Y. and Kawakami, H., (2006). "Effects of ground motion parameters and cyclic degradation behaviour on collapse response of steel moment-resisting frames". Journal of Structural Engineering, Vol. 132, no. 10, pages 2553-1562.

Gioncu, V. and Mazzolani, F.M., (2002). "Ductility of Seismic Resistant Steel Structures". Spon Press, London and New York.

Paulay, T, Priestley M.J.N. (1992). "Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings". USA: John Wiley and Sons.

SR EN 1990:2004 "Eurocod: Bazele proiectării structurilor". Asociaţia de Standardizare din România (ASRO).

Chopra, A. (2001). "Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering", Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey. ISBN 0-13-086973-2.

Wilson, E.L. (2002). "Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures, A Physical Approach with Emphasis on Earthquake Engineering", Third edition 2002, Computers and Structures Inc, U.S.A.

154

Pinho, R. (2007). "Using Pushover Analysis for Assessment of Buildings and Bridges", in "Advanced Earthquake Engineering Analysis", A. Pecker (Ed.), Springer, CISM Courses and Lectures no. 494.

Fajfar, P. (2000). "A nonlinear analysis method for performance-based seismic design". Earthquake Spectra, 16(3): 573-92.

Da Silva, L.S., Simoes, R., Cervasio, H. (2010). "Design of steel structures. Eurocode 3: Design of steel structures. Part 1-1: General rules and rules for buildings", ECCS Eurocode Design Manuals.

Maquoi, R., Chabrolin, B. (1996). "Frame design including joint behaviour", Final Report, European Commission.

Design of Tubular Steel Structures. Training and education for the Implementation of Eurocode 3 (2009), Cidect.

NP 042-2000. Normativ privind prescripţiile generale de proiectare. Verificarea prin calcul a elementelor de construcţii metalice şi a îmbinărilor acestora.