calcul numeric

98
Marius PETCU Octavian CIRA CALCUL NUMERIC CURS I.D. 2010

Upload: laura-denuta

Post on 31-Oct-2015

322 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Calcul Numeric

Marius PETCU Octavian CIRA

CALCUL NUMERIC

CURS I.D.

2010

Page 2: Calcul Numeric

Calcul numeric Cuprins

CUPRINS 1. Prezentare generală a pachetului de programe Mathcad 2001 ............... 3

1.1. Structura mediului................................................................................... 3 2. Calculul expresiilor matematice ................................................................ 5

2.1. Forma de afişare a rezultatelor............................................................... 5 2.2. Inserarea funcţiilor .................................................................................. 7

3. Editări de documente Mathcad .................................................................. 9 4. Grafice de funcţii....................................................................................... 13

4.1. Reprezentarea carteziană .................................................................... 13 4.2. Reprezentarea polară ........................................................................... 18

5. Reprezentarea funcţiilor în spaţiu ........................................................... 21 5.1. Grafice suprafaţă .................................................................................. 21 5.2. Grafice bară, scater şi vector................................................................ 31 5.3. Reprezentarea corpurilor în 3D ............................................................ 32

6. Realizarea animaţiei.................................................................................. 35 7. Rezolvarea numerică a sistemelor liniare............................................... 39 8. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare............................................. 41

8.1. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor algebrice.......................................... 41 8.2. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor transcendente.................................. 43 8.3. Rezolvarea numerică a sistemelor neliniare ......................................... 45 8.4. Programare liniară şi neliniară .............................................................. 48 8.5. Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor.................................................... 50

9. Calculul derivatei şi a integralei .............................................................. 54 9.1. Calculul derivatei într-un punct ............................................................. 54 9.2. Calculul integralei definite..................................................................... 55 9.3. Aplicaţii ale calculului derivatei şi a integralei finite............................... 56

10. Operaţii cu matrici şi vectori.................................................................... 61 11. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale ........................................ 71

11.1. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale de ordinul 1 ................ 71 11.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul 2.......................................................... 72 11.3. Sisteme de ecuaţii diferenţiale........................................................... 74 11.4. Ecuaţii diferenţiale cu proprietăţi speciale.......................................... 75 11.5. Funcţii care determină ultimul punct al soluţiei .................................. 76 11.6. Rezolvarea problemelor la limită ....................................................... 77 11.7. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale ....................... 79

1

Page 3: Calcul Numeric

Calcul numeric Cuprins

11.8. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare cu funcţia Odesolve ........ 81

Bibliografie...................................................................................................... 82 Anexa 1 ........................................................................................................... 83

2

Page 4: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 1 – Prezentare generală

1. PREZENTARE GENERALĂ A PACHETULUI DE PROGRAME MATHCAD 2001

PROFESSIONAL

1.1 Structura mediului

Da Consideri importantă aplicarea noţiunilor teoretice de calcul numeric în practică ? După lansare în execuţie a programului Mathcad, pachetul de programe afişează un ecran de forma următoare:

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să navighezi în meniurile şi grupurile de butoane ale mediului

Mathcad. să operezi acţiuni simple asupra meniurilor şi grupurilor de

butoane.

• Primul rând al ecranului este ocupat cu simbolul grafic asociat pachetului, denumirea pachetului, titlul documentului (numele implicit al documentului este Untitled urmat de un număr de secvenţă) şi butoanele de redimensionare a ferestrei Mathcad.

Programul are o structură complexă, afisată sub o formă accesibilă.

• Rândul doi conţine titlurile meniurilor Mathcad care sunt: File, Edit, View, Insert, Format, Math, Symbolics, Window, Help şi butoanele de redimensionare a ferestrei documentului Mathcad.

• Rândul trei conţine bara Standard şi paleta Math iar rândul patru conţine bara Formatting; acestea constituie principale butoanele ale comenzilor Mathcad.

• Cursorul vertical pe ultima coloană a ecranului şi cursorul orizontal pe penultimul rând.

• Ultimul rând este ocupat (opţional) cu bara Status.

• Zona de lucru care cuprinde documentul Mathcad, este constituit din regiuni (zone dreptunghiulare). Documentul de mai jos are cinci regiuni (calculul numeric a lui ; calculul simbolic cu 50 de cifre zecimale a valorii ; calculul simbolic al unei primitive, inversa unei matrice de dimensiune 9x9 şi un grafic de funcţie).

• În dreapta ecranului se găsesc paletele Math. Acestea sunt: Evaluation, Graph, Symbolic, Calculus, Greek, Calculator, Matrix, Programming şi Boolean. Poziţia acestor palete odată

3

Page 5: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 1 – Prezentare generală

aleasă este reţinută de pachetul de program Mathcad şi ori de câte ori deschidem o astfel de paletă ea va ocupa aceea poziţie. La schimbarea poziţie unei palete vechea poziţie este “uitată”.

Studiu individual:

Programul Mathcad este produs de firma MathSoft, el este integrat complet WINDOWS, de aceea maniera de lucru este similară cu a produselor Microsoft. Cei care sunt familiarizaţi cu acest mod de lucru, întâlnit la produsele Microsoft, se vor adapta uşor cu produsul Mathcad.

Test de autoevaluare:

E timpul să deschizi mediul Mathcad şi pe baza tabelelor de meniuri din Anexa 1 de la sfarşitul acestui manual, să explorezi configuraţia acestora. Foloseşte Anexa 1 şi pentru a identifica grupurile de butoane (toolbars) şi funcţiile acestora.

Alege la întâmplare din Anexa 1 câteva elemente de meniu şiapoi, găseşte-le în structura de meniuri ale mediului Mathcad. Folosind meniul View, efectuează operaţiuni deascundere/afişare a paletelor Math.

4

Page 6: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice

2. CALCULUL EXPRESIILOR MATEMATICE

Ce cunoştinţe de matematică ar trebui să ai pentru a putea calcula orice expresie matematică ?

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să calculezi orice expresie matematică (calculabilă). să afişezi rezultatele calculelor în forma dorită.

2.1. Forma de afişare a rezultatelor Activând paleta de calcul aritmetic (Calculator) se pot construi expresii matematice care se vor calcula doar prin acţionarea tastei =. În mod implicit se afişează rezultatele cu 3 zecimale; activând comanda Result… din meniul Format se poate alege forma de afişare a rezultatelor cu ajutorul fişei Number Format având la dispoziţie în zona Format opţiunile : General, Decimal, Scientific, Engineering şi Fraction.

Forma de afişare General dă posibilitatea să se afişeze zerourile nesemnificative prin activarea opţiuni Show trailing zeros şi să se afişeze forma exponenţială pentru forma de afişare inginerească cu ajutorul opţiunii Show exponents in engineering format. Fereastra

Number of decimal places (cu valoarea implicită 3) ne permite alegerea numărului (între 0-15) de cifre afişate ale rezultatului. Fereastra Exponential threshold (cu valoarea implicită 3) ne permite precizarea numărului (între 0-15) de cifre ale mantisei din forma de

afişare exponenţială. Forma de afişare Decimal are fereastra Number of decimal places şi opţiunea Show trailing zeros. Formele de afişare Scientific şi Engineering au faţă de forma Decimal opţiunea suplimentară Show exponents as E+00. Pentru forma de afişare Fraction programul ne pune la dispoziţie ferestra Level of accuracy (nivelul de preciziei cu

Paleta de calcul permite introducerea de simboluri de operaţii.

5

Page 7: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice

valoarea implicită 12)) şi opţiunea Level mixed numbers de afişare a rezultatului sub formă de fracţie mixtă, ca în exemplu de mai jos:

12341.5 4334897187

264961=

Fişa Display Options oferă cu ajutorul ferestrei Matrix display style următoarele forme de afişare a matricelor şi a vectorilor: Automatic (tabel numerotat pe verticală şi orizontală; cu un cursor pe verticală şi cu unul pe orizontală, afişate dacă pe direcţia respectivă dimensiunea este mai mare sau egală cu 15 şi respectiv 10), Matrix (sub formă de matrice) şi Tabel (cu un cap de tabel pe verticală şi un cap de tabel pe orizontală numerotate). Opţiunea Expand nested arrays dacă este activată avem posibilitatea să definim matrice ce are elemente matrice, ca în exemplu de mai jos.

B A v( ):= B

1

2

2

1

1

6

3

1

9

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1

1

3

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

=

Fereastra Imaginary value permite alegerea caracterului ce se va afişa pentru unitatea complexă (valoarea implicită este i). În cel de al doilea caz s-a ales caracterul j pentru unitatea complexă.

3 2i+( )2 5 12i+= 3 2i+( )2 5 12j+=

Fereastra Radix ne dă posibilitatea să alegem baza de numeraţie în care se va afişa rezultatul. Avem la dispoziţie opţiunile Decimal (pentru baza 10), Binary (pentru baza 2, după fiecare număr afişat în binar apare caracterul b), Octal (pentru baza 8, după fiecare număr afişat în octal apare caracterul o) şi Hexadecimal (pentru baza 16, după fiecare număr afişat în hexa apare caracterul h).

23 12⋅ 276= 23 12⋅ 100010100b= 23 12⋅ 424o= 23 12⋅ 114h=

6

Page 8: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice

Fişa Unit Display are două opţiuni: Format units pentru afişarea şi a unităţilor de măsură şi opţiunea Simplify units when possible care dacă este activată va simplifica unităţile de măsură unde este posibil.

Ferestrele de pe fişa Tolerance sunt: Complex threshold (10), cu aloarea implicită 10 are următoarea semnificaţie: dacă modulul

măr complex) este mai mare ca sau mai mic decât afişa sub formă exponenţială. Dacă n=10 atunci pentru

numă şa rezultatul egal cu 1. Valoarea lui i 63. Fereastra Zero threshold (15) toarea semnificaţie:

mic ca este considerat egal cu 0.

2.2. Inserarea funcţiilor

trix sau apelând din meniul Insert iar în cadrul ei la comanda Insert Fuction sau la butonul cu acţiune rapidă . Paleta Insert

vrezultatului (nurezultatul se va

rul complex , ca valoarea a unei expresii, se va afin este un întreg între 0 ş

cu valoarea implicită 15 are urmăorice rezultat în modul, ce este mai Valoarea lui n este un întreg între 0 şi 307.

Pentru calculul unor expresii putem apela la posibilitatea de a se insera în expresie funcţii. Înserarea de funcţii se poate face de pe paletele Calculator, Calculus sau Ma

7

Page 9: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice

Function permite afişarea tuturor funcţiilor (All), a funcţiilor Bessel, a numere complexe, funcţiilor Curve Fitting, a

etodelor de rezolvare numerică a ecuaţiilor diferenţiale, a funcţiilor u

rier etc. În cele două zone se afişează a

Studiu individual:

Exerciţii rezolvate:

funcţiilor pentrumExpresion Type, funcţii pentru citire şi scriere de fişiere, funcţii pentroperaţiuni financiare, funcţii Fousintaxa funcţiei în prima zonă şi un text explicativ în cea de a douzonă.

eπ 23.1406926327793= πe

22.459157718361=

1 5+

21.61803398874989= 2( )π⎡⎣ ⎤⎦

36.59192142727842=

eππ

e−

1 5+

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

3

5 ln 2( )− ln 3( )− ln 4( )− ln 5( )−( )

2

3+ 0.506=

ln 56( ) sin cos 44.67( )( )+

3ln 678( ) log 223.98( )+ tan sin

π

e⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2.46459610178438=

1

12

E timpul s şi să verifici “corectitudinea”exercitiilor rezolvate de mai jos. Modifica modul de afişare a rezultatelor astfel încât să treci prin toateformele.

ă deschizi mediul Mathcad

sin 1( ) sin 2( )+ sin 3( )+ sin 4( )+

cos 1( ) cos 2( )+ cos 3( )+

tan 1( ) tan 2( )+

4!13

1

15

2

1 6++

+

+

+

0.558=

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0.034=

2( )3 3⎡

⎣⎤⎦

4 4⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

5 5

2.65200233368414=

Test de autoevaluare:

Calculează expresiile: ( ) ∑

=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π

+ 7

1k1k )ksin(

3

k

1

7tg

58ln ∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−10

1k k1klnk

∏ −⋅⋅

⋅10

1k2k2

211

=1k

8

Page 10: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 2 – Calculul expresiilor matematice

9

Page 11: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 3 – Editări de documente Mathcad

T

3. EDITĂRI DE DO

cu editarea documentebutoanele cu a in bara Formatting.

CUMEN E MATHCAD

Obiect

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să editezi un document ce conţine text, formule matematice, simboluri şi figuri, folosind mediul Mathcad.

ive:

Editarea unui document Mathcad este similară lor în Word. Pentru editarea regiunilor text se folosesc

cţiune rapidă dEditorul Mathcad foloseşte regiuni.

Primul buton este pentru stilul textului,

Text Style şi conţine paleta:

Se alege Enter se va a tlurilor din această list poate schimba cu ajutorul comenzii Style din meniul Formatgăse n

• Butonul Apply• Butonul New

defineşte o p Text Style. Paleta conferestre

un titlu din această listă, textul redactat până la primul fişa cu caracteristicile stilul respectiv. Stilul ti

ă se. Comanda Style deschide paleta Text Style pe care se

şte lista de titluri a stilurilor şi cinci butoa e:

comandă de aplicare a stilului respectiv; deschide paleta Define Style cu ajutorul căreia se oziţie în lista ţine două

o zonă şi patru butoane:

o Fereastra Name pentru numele noi poziţii în lista Text Style

(în cazul prezentat s-a ales numele de Nou);

10

Page 12: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 3 – Editări de documente Mathcad

o Fereastra Base On care pune la dispoziţie stilurile de bază pentru a construi noul stil (în cazul prezentat s-a ales stilul

Description va conţine descrierea caracteristicilor noului stil. Pe lângă alegerea din Base On se poate adăuga celelalte caracteristici cu butonul Font şi Paragraph. Butonul Font deschide paleta Text Format ce conţine patru ferestre, două zone şi două butoane:

Normal); o Zona

Fereastra Font pentru tipul caracterelor; Fereastra Font Style cu opţiunile:Regular, Italic,Bold şi Bold Italic.

Fereastra Size pentru mărimea caracterelor; OK i Cancel; Butonul ş Zona Effects a efectelor de scriere cu opţiunile:

Strikeout, Underline, şi Superscipt. live,

avy, Purple, Teal, Gray, Silver, Red, Lime, Yellow, Blue, Fuchsia, Aqua, White.

y

Subscript Fereastra Color cu culorile: Black, Maroon, O

N

Zona Sample unde se exemplifică cu textul Aa Bb YZz cum arată textul cu caracteristicile alese.

o Butonul Paragraph deschide paleta Paragraph Format cu

două zone o ferestră şi trei butoane.

Zona Indent pentru a fixa marginile paragrafului:

o Left marginea din stânga exprimată în inch; o Right marginea din dreapta exprimată în inch; o Special cu opţiunile none, First Line şi

Hanging. Fereastra Bullets care oferă opţiunile Bullets buline,

Numbers numere sau none pentru marcajul paragrafelor.

Butonul Tabs pentru a stabili poziţia bornelor de TAB Zona Aligment pentru a stabili alinierea: Left în

stânga, Right în dreapta sau Center central. • Butonul Modify… deschide paleta Define Style, paletă în care

a Name este blocată, conţinând numele stilului pentru fereastr

11

Page 13: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 3 – Editări de documente Mathcad

care caracteristicile urmează să fie modificate. În rest totul este identic cu cele descrise la butonul New.

• Butonul Delete pentru ştergerea stilului a cărui nume a fost marcat.

• Butonul Close pentru a închide paleta Text Style.

ea de a doua fereastră din bara ătoarea pentru Size (mărimea caracterelor), apoi urmeaz

C Formatting este pentru Font, urm ă butoanele: Bold, Italic, Underline, Align Left, Align Center, Align Right, Bullets şi Numbering. În cazul în care cursorul se află într-o regiune Math pe o variabilă, în fereastra Style se va afişa cuvântul Variables. În acest fel putem schimba stilul tuturor variabilelor din documentul Mathcad, apelând fereastra Font, Size, Bold, Italic şi Underline.

În acelaşi fel se poate schimba stilul constantelor şi a obiectelor utilizator. Studiu individual:

Editaţi în Mathcad textul de mai jos folosind următoarelecaracteristici: textul “Calcul stiintific” este afişat cu stilul Title, textul “Rezolvarea numerica a ecuatiilor” este afişat cu stilul Heading1, textul “Rezolvarea numerica a ecuatiilor neliniare” este afişat cu stilul Heading2, textul “Rezolvarea numerica a sistemelor de ecuatiineliniare” este afişat cu stilul Heading3, textul “Exemplu rezolvat” este afişat cu stilul Normal, variabilele sunt afişate cu font-ul Times New Roman de mărime 14 iar constantele cu font-ul Times New Roman de mărime 20.

Calcul stiintificRezolvarea numerica a ecuatiilor

Rezolvarea numerica a ecuatiilor neliniare

Rezolvarea numerica a sistemelor de ecuatii neliniareExemplu rezolvat

x 0.2:= y 0.9:=

given tan x y⋅( ) x2 x

2

22 y

2+ 1

Find x y,( ) 1.655− 107−

×

0.707

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=

12

Page 14: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 3 – Editări de documente Mathcad

toevaluare:

Test de au

Alege o pagină dintr-un curs oarecare, ce conţine atâelemente de text c

tât şi relaţii matematice şi editeaz-o în

nt care crează probleme şi adu-l în discu

Mathcad.

oteză orice eleme

N ţieătoarea activitate tutorială. la urm

13

Page 15: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii

4. GRAFICE D

4.1. Reprezentarea carteziană

ă considerăm cazul funcţiilor reale de o singură variabilă reală. Se i se alege rea. Acest

discrete în care se vor calcula valorile funcţie. Reprezentarea acestor

fun pentru g(x) şi h(x)) , variabilei a ”i se atribuie ” (:=)

(a,b ” (:=) valoarea

0.0001

E FUNCŢII

Sdefineşte funcţia ce urmează să fie reprezentată, apointervalul real pe care vrem să se realizeze reprezenta

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să reprezinţi grafic funcţii în coordonate carteziene şi/sau polare. să modifici modul de afişare a axelor, intervalul de reprezentare şi

modul de afişare.

interval se va împărţi în părţi egale de mărime δ, rezultând valori

puncte va furniza graficul funcţiei. De remarcat este faptul că expresiei f(x) (vezi exemplul prezentat) ”i se atribuie ” (:=) expresia

cţiei (analogvaloarea –5; variabilei b ”i se atribuie ” (:=) valoarea 5 . Intervalul

) poate fi oricât de mare. Variabilei δ ”i se atribuie0.005, evident valoarea de 0.005 poate fi înlocuită cu orice altă valoare. Se recomandă ca aceste valori să nu fie mai mici decât

şi să nu fie mai mari de 0.1.

f x( )x2 2− x3 3−−

x2 14

+

5+:= g x( ) f x( )2 3 cos 3x( )+ 2:= −

h x( ) f x( ) g x( )−:=

a 5−:= b 5:= δ 0.005:= x a a δ+, b..:=

6

4

2

6 4 2 0 2 4 6

4

2

f x( )

g x( )

h x( )

xGraficul functiilor f, g si h

14

Page 16: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii

Pentru a schimba caracteristicile graficului se dă un dublu clic pe regiunea grafic, astfel se deschide paleta Formatting Currently Selected X-Y Plot.

X şi axa Y sunt: Log tă se va afişa o scară logaritmică pe

axa respectiv Grid Lines şa linii de grilă pentru axa

res Nu ată, se va afişa valoarea numerică prin

ă

dacă comanda Auto Grid este activată, iar dacă ă schimbe

cele de la zona X. entru stilul de afişare a axelor avem zona Axes Style cu trei opţiuni

cartezine OX şi OY; ne va afişa numai graficul funcţiei.

Opţiunea Equal Scales, activată, va provoca egalizarea axe de coordonate.

Comenzile din fişa X-Y Axes pentru axa Scale, dacă este activa

ă; dacă este activată, se va afi

pectivă; mbered dacă este activ

care se trasează liniile de grilă pe axa respectivă; Autoscale dacă este activată, se va alege în mod automat scarde reprezentare pentru axa respectivă; Show Markers dacă este activată se va afişa valoarea minimă şi cea maximă a coordonatei respective; Auto Grid dacă este activată, se va alege o grilă în mod automat pentru axa respectivă;

Number of Grids numărul de linii de grilă, se alege în mod automat comanda Auto Grid nu este activată utilizatorul poate sacestă valoare.

Comenzile pentru axa Y sunt identice cuPcare se exclud una pe alta: opţiunea Boxed va provoca afişarea graficului într-un dreptunghi; va provoca afişarea graficului cu axele de opţiunea Crossed

coordonatele opţiunea No

15

Page 17: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii

Comenzile din fişa Traces ne permit alegerea pentru fiecare traseu al graficului (trace1, …, trace16): simbolul (Symbol) cu care se face trasarea (none fără simbol, x’s

cu x-uri, +’s cu plusuri, box cu pătraturi, dmnd cu romburi, o’s cu litera o);

linia de trasare (Line) care poate fi: o solid, linie continuă; o dot, linie scurtă întreruptă;

ă întreruptă;

u linie, points grafic cu puncte, error grafic cu bare de eroare - acest tip de grafic poate fi ales numai dacă avem două grafice ce dorim să le comparăm trasându-se bare de diferenţe - bar grafic cu bare, step grafic scară, draw grafic desenat, stem grafic sub formă de bare ce au cerc în capul barei);

Weight grosimea graficului ce poate varia între valorile 1 şi 9 (pixeli);

Hide Argument ascunderea argumentelor; Hide Legend ascunderea legendei.

o dash, linie lungo dadot, linie punct.

Color culoarea graficului funcţiei (red-roşu, blu-albastru, grn-verde, mag- magenta, cya-cian, brn-maro, blk-negru, wht-alb);

Type tipul liniei cu care se trasează graficul (lines grafic c

Fişa Labels pentru afişa titlul graficului, denumirea axelor de coordonate. Titlul graficului poate fi afişat dacă opţiunea de vizualizare titlu (Show Title) este activată. Titlul poate apărea: Above sus; Below jos.

16

Page 18: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii

Pentru afişarea denumiri axelor se va activa respectiv X-Axis şi/sau Y-Axis şi se va tasta denumirea axelor.

Fişa Defaults cu butonul de Change to Defaults pentru schimbarea lor responsabile de forma graficelor din acel iunea Use for Defaults care dacă este activată se

tuturor variabiledocument şi opţvor folosi în acel document valorile setărilor din acel moment.

Cu paleta X-Y Trace din paleta Graph se pot afla coordonatele x şi y le unui punct de pe grafic; se activează fereastra graficului apoi se nsează comanda Trace şi se indică punctul dorit de pe grafic; în

şează în ferestrele X-Value şi Y-Value valorile spective. Butoanele Copy X şi Copy Y copiază valoarea afişată în

ona de memorie Clipboard putem astfel atribui aceste valori unor u cu ajutorul comenzii Paste din meniul

Dacă este activată opţiunea Track Data Points, cursorul ca numai puncte de pe graficul funcţiei.

alamod automat se afirezvariabile din zona de lucrEdit. mouse-lui nu va indi

17

Page 19: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii

Comanda Zoom din paleta Graph permite selectarea unui dreptunghi din graficul reprezentat şi mărirea lui prin butonul Zoom; dacă imaginea mărită nu convine putem renunţa prin butonul

nzoom. Butonul FullView provoacă mărirea graficului funcţiilor stfel încât fereastra să fie maxim ocupată. Graficul unei funcţii sau

oate fi mărit sau micşorat mărind sau mic

ea gum ntului

această pregătire nu se face au funcţiile pe intervalul implicit

0 sau intersecţia intervalului [-10,10] cu domeniul de definiţie

Uaal mai multor funcţii p

şorând ferestra graficului ca orice fereastră Windows. De remarcat că versiunea Mathcad 2001 permite reprezentarfuncţiilor fără să facem pregătirile referitoare la variaţia ar efuncţiei pe domeniul de valori. DacăMathcad-ul reprezintă funcţia s[-10,1 ],al func iei (exemplu pentru funcţia ţ x:)x(f = se va genera graficul pe

0]=[-10,10]interva l [0,1lu ∩ R+), urmând ca utilizatorul să corecteze necesităţi.

Studiu individual:

puse:

acest interval de reprezentare după

Probleme pro

E timpul să deschizi mediul Mathcad şi să reprezinţi graficul următor rectat la intervalul [-5,5].

f x( )x 2−

unde intervalul [-10,10] a fost co2 x3 3−−

2 1x

4+

5+:= g x( ) f x( )2 3 cos 3x( )+ 2−:=

4 2 0 2 4

2

2

4

4

Grafice de functii

Valorile argumentului functiei

Val

orile

func

tiei

f x( )

g x( )

x

18

Page 20: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii

Să se reprezinte grafic următoarele funcţii :

[ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

( ) inpex:)x(f x2= [ ]3.1,8.1ervalult

3,3ervalulintpe)xsin(x:)x(f

5,5ervalulintpee1x:)x(f

1.1,0ervalulintpe)xln(x:)x(f

99.1,2ervalulintpex1:)x(f

99.1,2ervalulintpex1x:)x(f

99.1,2ervalulintpex1x:)x(f

99.1,2ervalulintpex41x412

:)x(f

x

2

2

2

22

π⋅π⋅−+=

−⋅−=

⋅=

−−=

−⋅−=

−−+=

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+−+⋅=

1

4.2. Repre n

Pentru exemplificare reprezentăm două spirale ale lui Arhimede pe

Test de autoevaluare:

Să se reprezinte grafic în

2.

3.

repere carteziene următoarelecurbe plane având la dispoziţie formulele parametrice: 1. Astroida dată de ecuaţiile: 33 )tsin(b)t(v)tcos(a:)t(u ⋅=⋅=

Bifoliul dat de ecuaţiile: )tsin()t(r:)t(v)tcos()t(r:)t(u)tcos())tsin(b)tcos(a(:)t(r 2 ⋅=⋅=⋅⋅+⋅=

Cardioida dată de ecuaţiile: ))tcos(1)(tsin(a2:)t(y))tcos(1)(tcos(a2:)t(x +⋅=+⋅=

Cicloida dată de ec4. uaţiile: ))tcos(1(a:)t(y))tsin(t(a:)t(x −⋅=−⋅=

ze tarea polară

un singur grafic. 1 2−

ρ θ( )3

θ⋅:= φ θ( )5

θ⋅:= θ 0 0.01, 5π..:=

30

60120

150

01804

90

240 300

210 330

20

ρ θ( )

φ θ( )

270θ

P ic p ta

rin comanda Polar Plot sau printr-un dublu clic pe regiunea grafolară, se poate interveni la caracteristicile graficului. Pale

19

Page 21: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii

Formatting Currently Selected Polar Axes conţine paletele: Polar Axes, Traces, Labels şi Defaults.

Zona Rad• ial pentru rază conţine opţiunile: Log Scale, dacă este activă se va afişa o scară logaritmică

pentru rază. Grid Lines, dacă este activă se vor afişa linii de grilă pentru rază. Numbered, dacă este activă se va afişa valoarea numerică prin

care se trasează liniile de grilă pentru rază; Show Markers dacă este activată se va afişa valoarea minimă şi

cea maximă a coordonatei respective; Auto Grid dacă este activată, se va alege o grilă în mod automat

pentru axa respectivă; Number of Grids numărul de linii de grilă, se alege în mod

comanda Auto Grid este activată, iar dacă comanda Auto Grid nu este activată utilizatorul poate să schimbe această valoare.

• hi cu opţiunile: ilă pentru

red, dacă este activă se va afi a valoarea numerică prin trasează liniile de grilă pentru unghi;

Auto Grid dacă este activată, se va alege o grilă în mod automat pentru axa respectivă;

Number of Grids numărul de linii de grilă, se alege în mod automat dacă comanda Auto Grid este activată, iar dacă comanda Auto Grid nu este activată utilizatorul poate să schimbe această valoare.

Pentru stilul de afişare a axelor folosim zona Axes Style unde avem trei opţiuni care se exclud una pe alta:

• opţiunea Boxed care, va provoca afişarea graficului într-un dreptunghi;

• opţiunea Crossed va provoca afişarea graficului cu axele de coordonatele OX şi OY.

• opţiunea None care va provoca afişarea numai a graficul funcţiei.

automat dacă

Zona Angular pentru ung Grid Lines, dacă este activă se vor afişa lini de gr

unghi. Numbe ş

care se

20

Page 22: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 4 – Grafice de funcţii

Paletele Traces, Labels şi Defaults sunt identice cu cele de la ţia paletei Labels care nu conţine

ferestrele Axis Labels. t că versiunea Mathcad 2001 nu necesită pregătirea

necesară pentru a indica variaţia unghiului θ. În caz că nu se precizează intervalul pe care variază unghiul Mathcad-ul consideră automat intervalul [0,α]

reprezentarea carteziană cu excep

De remarca

∩ D, unde D este domeniul de definiţie al ncţiei, iar α este aşa ales ca graficul funcţiei să facă o rotaţie

ceastă alegere automată poate fi corectată manual capetele intervalului. Asupra raţiei progresiei aritmetice

de t mai sus unde am schimba valoarea raţiei în

fucompletă, aschimbând nu se poate interveni numai dacă vom apela la modulreprezentare prezenta0.01. Prezentăm graficul celor două spirale fără să precizăm variaţia nghiului. u

ρ θ( ) 13

θ⋅:= φ θ( ) 2−5

θ⋅:=

0180

210

240

270

300

330

2

30

60

90

120

150

10

Spirale

ρ θ( )

φ θ( )

θ

Test de autoevaluare:

Reprezentaţi în coordonate polare următoarele funcţii:

aritmicalogSpirala0kaea:)( k ≥∈⋅=θρ θ⋅ R parabolicaSpiralaaa:)( +∈θ⋅=θρ R

π⋅=⋅+=θ+⋅=ρ 10..01.0,0:t)tcos(t)tsin(:)t()tsin()tcos(t:)t( 2

21

Page 23: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

5. REPREZEN

5.1. Grafice

entarea funcţiilor de două variabile reale, cu valori reale, pachetul Mathcad dispune de comenzi speciale de reprezentare a suprafeţelor în spaţiul cu trei dimensiuni. Se alege dreptunghiul [a,b]x[c,d] din planul XOY unde vrem să reprezentăm funcţia. Segmentul [a,b] se împarte în n părţi obţinându-se n+1 puncte echidistante. Tot aşa se împarte şi segmentul [c,d] în m părţi. Valorile funcţie în punctul de coordonate (xk,yj) se vor atribui elementului Mk,j al matricii M, acestea sunt valorile de pe axa Z. Pe punctul de coordonate (k,j,Mk,j) ce corespunde punctului de coordonate (xk,yj,f(xk,yj)) se “sprijină pânza” ce reprezintă suprafaţa descrisă de funcţia f.

TAREA FUNCŢIILOR ÎN SPAŢIU

suprafaţă

Obiect

Dup spentru a fi capabil: s r

ive:

ă tudiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente

ă eprezinţi grafic funcţii de două variabile sub forma de suprafe

Pentru reprez

n 30:= a 3−:= b 9:= hb a−

n:= k 0 n..:= xk a k h⋅+:=

m 22:= c 3−:= d 6:= qm

d c−:= j 0 m..:= y j c j q⋅+:=

f x y,( ) sin x2 y2+( ) cos x y+( )+:= M k j, f xk y j,( ):=

Grafic sub forma de panze

M

ţe, ş

S modifici textura, culoarea, şi alte c a

i linii de nivel. ă intervalele de reprezentare ar cteristici ale graficelor.

22

Page 24: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

Unui astfel de grafic i se poate modifica forma de prezentare folosind din3D dublu c

fişarea denumirii graficului, a axelor;

l de fundal;

Fiş

meniul Format comanda Graph, iar în această paletă comanda Plot. Apelul paletei 3-D Plot Format se poate obţine şi printr-un

lic pe grafic. Această paletă conţine următoarele fişe:

• General comenzi generale;

Axes comenzi referitoare la axe;

Appearance comenzi referitoare la modul de apariţie al graficului;

• Lighting comenzi referitoare la culorilor cu care se prezintă graficul;

• Title comenzi pentru a

• Backplanes comenzi referitoare la planu

• Special comenzi speciale;

• Advanced comenzi de prezentare;

• QuickPlot Data domeniul de reprezentare. a General

conţine zonele:

oate realiza prin “prinderea graficului” cu ajutorul s-a obţinut un unghi favorabil

• Zon u stilul axelor ne propune una din

er cu axele de coordonate la perimetrul vizibil al

o

• zona View unde se pot preciza unghiurile de vizualizare a graficului (Rotation, Tilt, Twist), iar prin comanda Zoom putem mări graficul, introducând valori mai mari ca 1 sau micşora graficul introducând valori cuprinse în intervalul (0,1). Ungiul de vedere se pmouse-lui şi rotirea lui, după ce putem rotunji valorile unghiurilor în mod manual.

a Axes Style pentrreprezentările:

Perimetgraficului; Corner cu axele de coordonate la locul tradiţional al lor; None fără axe de coordonate;

în caz că se activează comanda Equal Scales, se va face afişare a graficul cu axele de coordonate proporţional reprezentate.

23

Page 25: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

a o tare, de asemenea se

x este activată se va afişa

alelipiped.

• suprapus peste graficul 1, dacă există graficul 3 suprapus peste

alegerea unuia din modurile de

de puncte în spaţiu; bare în nodurile reţelei;

rafic sub formă de suprafeţe, realizat din i aşezate în nodurile de coordonate (k,j,Mk,j);

Fişa Axes

Zona Frames are două opţiuni: dacă opţiunea Show Border este activată se va afişmargine a dreptunghiului de prezenpoate alege culoarea acestei margini; dacă opţiunea Show Boparalelipipedul în care se încadrează graficul tridimensional, aici putem alege culoarea cu care se afişează acest par

Fişa Plot 1 (fişa Plot2, fişa Plot3 … dacă există graficul 2

graficul 1 şi 2 …) ne permitereprezentare a graficului:

Surface grafic sub formă de suprafeţă; Contur Plot grafic sub formă de linii nivel;

Data Points grafic sub formă Bar Plot grafic sub formă de Vector Field grafic sub formă de câmp de vectori; Patch Plot g

dreptunghiur

cuprinde 3 fişe pentru fiecare axă de coordonată: X- , , Axis Y-Axis Z-

pentru axa X;

activă se va alege o grilă în

numărul liniilor de grilă, pot fi precizate în cazul când comanda Auto Grid este inactivă;

Axis. Fiecare din aceste fişe conţine comenzi similare pentru axa X, axa Y şi axa Z:

• Zona Grids conţine următoarele: opţiunea Draw Lines dacă este activă, se vor vizualiza linile

de grilă opţiunea Draw Ticks dacă este activă, va vizualiza diviziunea

axei X; opţiunea Auto Grid dacă este

mod automat, care se va vizualiza; în acest caz culoarea, numărul şi grosimea liniilor de grilă nu pot fi precizate;

fereastra Line Color pentru a alege culoarea liniilor de grilă; fereastra Number pentru

24

Page 26: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

fereastra Line Weight pentru grosimea liniilor de grilă, pot fi precizate în cazul când comanda Auto Grid este inactivă.

şare a

minimă de pe aloarea implicită –1, iar limita maximă este ă 1; dacă opţiunea este inactivă,

lue;

ş tată. ş

• Zona Axis Format conţine următoarele: opţiunea Show Number dacă este activă, va vizualiza valorile

prin care trec liniile de grilă. fereastra Axis Color pentru a alege culoarea de afişare a axei

X; fereastra Axis Weight pentru a alege grosimea de afi

axei X.

• Zona Axis Limits conţine: opţiunea Auto Scale dacă este activă, limita

axa X este vvaloarea implicit Auto Scaleatunci aceste valori pot fi precizate de utilizator în:

fereastra Minimum Va fereastra Maximum Value.

Fi ele Y-Axis şi Z-Axis sunt similare cu fişa mai sus prezenFi a Appearance

ţine fişa Plot 1 (fişa Plot2, con fişa Plot3 … dacă există graficul 2 că există graficul 3 suprapus peste

l său conţine zonele:

e umplere a desenului;

• Po punctelor din nodurile

• Color Options cu opţiuni de colorare pentru cele 3 fişe Fill

Opţiunile din zona Fill Options sunt:

• pat

• opţde nivel ale suprafe

suprapus peste graficul 1, dagraficul 1 şi 2 …), care la rîndu

• Fill Options cu opţiuni d

Line Options cu opţiuni de trasare a liniilor;

int Options cu opţiuni de afişare a(k,j,Mk,j);

Options, Line Options şi Point Options.

opţiunea Fill Surface, care, dacă este activă, se va umple rulaterele ce constituie suprafaţa funcţiei;

iunea Fill Contours, care dacă este activă, va vizualiza liniile ţei funcţiei;

25

Page 27: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

• opţiunea No este constituit

• opţiunea Alternate Mesh, dacă este activată, (poate fi activată numai dacă Fill Surface este activă) va “umple” patrulaterele cu 2 triunghiuri (umplerea suprafeţei se face cu triunghiuri);

• opţiunea Smooth Shading, dacă este activă, (nu poate fi activată numai dacă Fill Surface este activă) va “umple” suprafaţa cu patrulatere.

Opţiunile din zona Line Options sunt:

• Wireframe suprafaţa sub formă de reţea (plasă);

• ContourLine suprafaţa sub formă de linii de nivel;

• No Lin• Hide Lines d

• Weight grosimeaOpţiunile din zon

• Draw Points se desenează

• Symbol în nodu i se va pune: dots (puncte), x’s (x-uri), +’s (plusuri), boxes

• Size dimensiun l .

Opţiunile din fişele Color Options (opţiuni de colorare) conţine comenzile:

• Colormap alege nuanţele dintr-o culoare în mod automat, nuanţele deschise pentru zonele înalte şi nuaţele închise pentru zonele joase;

• Solid Color ne permite alegerea unei singure culori pentru colorarea suprafeţei funcţiei.

Fişa Lighting conţine zonele:

g conţine:

pentru alegerea culorii de

fereastra Lighting Scheme conţine o listă de 6 scheme de colorat;

Fişele Light 1 …Light 8 sunt pentru cel mult 8 culori. Dacă On este activă culoarea respectivă participă la compunerea culori rezultat. Dacă Off este activă culoarea respectivă nu participă la compunerea culorii finale.

Zona Light Color din paleta culorilor de bază permite precizarea:

Fill nu vizualizează suprafaţa patrulaterelor din careă suprafaţa funcţiei;

e fără linii;

acă este activă nu se vizualizează liniile.

liniilor. a Point Options sunt:

punctele în nodurile reţelei.

rile reţele (pătrate), diamonds (romburi).

ea punctelor afişate, cu valori în intervalu(0.1,10)

• Zona Lightin opţiunea Enable Lighting dacă este activă permite

schimbarea schemei de colorare, dacă nu este activă nu putem schimba schema de colorare;

fereastra Ambient Light Colorbază;

o

26

Page 28: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

fereastră Diffuse Color pentru culori de difuzie; fereastră Specular Color pentru culori reflectate.

o Zon direcţia luminii prin

loca fere s

lumină fereastra

lumină; fereastra

lumină. opţ

pre e

a Light Direction precizeazălizarea sursei de lumină.

a tra X pentru coordonata x a sursei de ;

Y pentru coordonata y a sursei de

Z pentru coordonata z a sursei de

iunea Infinite Light Source dacă este activă ciz ază că sursa de lumină se află la infinit.

Fişa Title

conţine: zona Graph Title cu o fereastră în care se introduce titlul graficului, acest titlu poate fi afişat deasupra graficului dacă se activează opţiunea Above sau sub grafic dacă se activează opţiunea Below sau poate fi inhibată afişarea dacă activăm opţiunea Hide. ş

Fi a Backplane

27

Page 29: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

conţineBackp• Fişa X ni şi 2 zone:

ane Border dacă se activează se e planului X-Y;

one pentru fiecare axă;

desenarea linilor de nea este activă

eight pentru grosimea grilă.

senarea diviziunilor

Fişa S

3 fişe similare X-Y Backplane, Y-Z Backplane, X-Z lane:

-Y Backplane are 3 opţiuo opţiunea Fill Backplane dacă se activează se va

“umple” fundalul planului X-Y cu culoarea precizată de comanda Color;

o opţiunea Color care accesează paleta de culori de bază;

o opţiunea Backpltrasează marginil

o zona Grids conţine 2 z zona X-Axis are opţiunile:

• Draw Lines pentru grilă pe axa X. Dacă opţiuputem alege:

o Line Color pentru culoarea linilor de grilă;

o Line Wliniilor de

• Draw Ticks pentru dede pe axa X.

pecial

cu fişa Plot 1 (fişa Plot2, fişa Plot3 … dacă există graficul 2 suprapus peste graficul 1, dacă există graficul 3 suprapus peste graficul 1 şi 2 …) conţine 4 zone:

trele din zona Contour Options

e nivel;

• Opţiunile şi feres sunt: o opţiunea Fill pentru “umplerea” curbelor de contur cu

culoarea ce rezultă din alegerea ce se face în fişa Advanced;

o opţiunea Draw Lines pentru trasarea curbelor de nivel; o opţiunea Auto Contour alege în mod automat numărul de

curbe de nivel; o opţiunea Numbered pentru a vizualiza valoarea de nivel a

curbelor d

28

Page 30: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

o fereastra Number pentru precizarea numărului de curbe de nivel (nu poate fi folosit numai dacă comanda Auto Contour este inactivă);

.

ficele bară din zona Bar Plot Layout ne

o trix);

o

dintre elementele vizualizate.

ated Mesh (opţiuni de interpolare):

xiunea pe linii; nexiunea pe axa X; nexiunea pe axa Y;

opţiunile (solid, das

Fişa Advanced

o în ultima fereastră putem alege planul (în imaginea prezentată avem planul reprezentat de z=0 cu denumirea de Z-Contours) în care se trasează curbele de nivel

• Opţiunile referitoare la grapermite vizualizarea graficului sub formă:

de matrice (Mao de stivă (Stacked);

de plăci (Side by Side); o cu ajutorul ferestrei Spacing se poate stabili mărimea

spaţiile

• Zona Interpolo numărul de linii (Rows) necesare pentru interpolare; o numărul de coloane (Columns) necesare pentru

interpolare.

• Zona Conectivity opţiuni de conexiuni o Row Order pentru coneo Increasing X pentru coo Increasing Y pentru coo Increasing Z pentru conexiunea pe axa Z; o Line Style stilul liniilor de conexiune cu

hed, dotted, da-dot).

conţine 4 fişe (fişa Plot2, fişa Plot3 … dacă exist ă există graficul 3 sup

o opţiuneperspectiv

Advanced View Options, Plot 1ă graficul 2 suprapus peste graficul 1, dac

rapus peste graficul 1 şi 2 …), Printing şi Colormap .

• Fişa Advanced View Options are două opţiuni şi două ferestre: o opţiunea Enable Fog dacă este activă imaginea se

vizualizează în ceaţă; a Perspective pentru a realiza o imagine în

ă;

29

Page 31: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

o fereas schimba amplitudinea pe verticală a graficului cu procentul indicat;

o fereastra Viewing Distance pentru distanţa punctului de vedere, cu valori între 1 şi 99, această fereastră poate fi folosită numai dacă comanda Perspective este activă.

• Fişa Plot 1 are 3 ferestre: o fereastra Shininess pentru strălucirea desenului cu valori

între 0 şi 128; o fereastra %Transparency pentru transparenţa desenului

cu valori între 0% şi 100%; reastra Polygon Offset pentru contrast cu valori între 0

şi 10.

o High Quality Printing opţiune pentru a realiza o listare de înaltă calitate;

o Set as default setarea parametrilor de listare la valoarea implicită.

• Fişa Colormap care permite colorarea graficului în raport cu: o axa X (Increasing X); o axa Y (Increasing Y); o axa Z (Increasing Z). o fereastra Choose Colormap permite alegerea modul de

colorare. Aceste moduri de colorare sunt: Rainbow în culorile curcubeului; Grayscale în nuanţe de gri;

ase şi în culori calde pentru zonele înalte;

Gamma în nuanţe de gri; Greens în nuanţe de verde; Neon în nuanţe date de iluminarea cu neon; Reds în nuanţe de roşu; Royal în nuanţe regale; Topografic în nuanţele folosite în hărţile geografice.

Fişa Quick Plot cu fişa Plot 1 (fişa Plot2, fişa Plot3 … dacă există graficul 2 suprapus peste graficul 1, dacă există graficul 3 suprapus peste graficul 1 şi 2 …) şi fişa Coordinate System. Zona Coordinate System permite alegerea sistemului de coordonate:

Cartesian pentru sistemul de coordonate cartezian; Spherical pentru sistemul de coordonate sferic;

tra Vertical Scale cu valori între 1% şi 100% pentru a

o fe

• Fişa Printing

Blues în nuanţe de albastru; Fire în culori reci pentru zonele jo

30

Page 32: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

Cylindrical pentru sistemul de coordonate cilindric.

) x2 cos x( )⋅ y2 sin y( )⋅+ x y⋅+:=

În cele ce urmează prezentăm graficul funcţiei s sub forma liniilor denivel.

s x y,(Graficul cu linii de nivel

s Reprezentarea funcţiilor complexe poate fi realizată numai dacă

are

reprezentăm valorile funcţiei complexe în modul. Spre exemplificvom reprezenta un polinom cu coeficienţi complecşi.

a 1.2−:= b 1.2:= n 24:= k 0 n..:= hb a−

n:= xk a k h⋅+:=

c 1.2−:= d 1.2:= m 24:= j 0 m..:= qd c−

m:= y j c j q⋅+:=

P z( ) π5

z⋅ 0.575 i z⋅− ln 0.434( ) i+ 1+:= Mk j, P xk y j i+( )2:=

M M, M

31

Page 33: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

De remarcat că în primul grafic avem două reprezentări diferite suprapuse ale polinomului P, (Surface Plot şi Contour Plot) într-o singură regiune.

Studiu individual:

5.2. Grafice bară, scater şi vector

În exemplele prezentate matricea A are dimensiunea 10x10. Valorile lementelor matricei A sunt numere aleatoare ce depind de n, k şi j.

rea comenzii 3D Bar Chart se afişează spaţiul de a graficului cu bare. Se introduce denumirea matricei în

şi matrice A

e), i r dimensiune pot fi între valorile 0.1 şi 0.

Propunem câteva funcţii care să se reprezinte în 3D: 1. f(x,y)=sin(x-1)2+cos(y-1)2

2. f(z)=z5-1 z complex 3. Să se reprezinte zerourile polinomului z3-z2+1.4142z-1.4142 4. Să se reprezinte funcţia:

( )v1

v

v3v1u)v,u(g

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅=

5. Să se reprezinte grafic funcţia , unde

6

czbza:)z(f 2 +⋅+⋅=

CC →: . Să se analizeze în funcţie de a,b,c poziţia zerourilor funcţiei.. Să se determine punctele şa ale func

fţiei

in(x)s 2+cos(y)3+sin(x)4+cos(y)5

eP

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să reprezinţi grafic funcţii de două variabile sub forma de bare,

ectori. i alte

caracteristici ale graficelor.

scater şi vSă modifici forma, culoarea, intervalele de reprezentare ş

rin activareprezentarelocul rezervat şi printr-un simplu Enter se realizează graficul. Alături de graficul cu bare s-a prezentat pentru aceeagraficul scater. Punctele reprezentate se pot afişa sub următoarele forme: dots (discuri), x’s (x-uri), +’s (plusuri), boxes (pătrat

amonds (romburi); ale cărod1

32

Page 34: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

n 9:= k 0 n..:= j 0 n..:= Ak j, rnd n k⋅ j+( ):=

A A xemplul prezentat pe pagina următoare pentru graficul sub formă câmp de vectori s-a luat o funcţie f căreia i s-a calculat valorile în

unctele zk,j. Comanda Vector Field Plot va vizualiza un spaţiu de lorile vectorizate ale lui f. În

acest fel se obţine graficul prezentat.

În ee d

preprezentare în care se introduce va

f z( ) 2 sin z( )2⋅ cos 2 z⋅( )2

+:= n 9:= k 0 n..:= j 0 n..:= zk j,k11

j13

i+:=

f z( )→⎯

5.3. Repreze

ntarea corpurilor în 3D

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să reprezinţi grafic corpuri geometrice. să modifici textura, culoarea, intervalele de reprezentare şi alte

caracteristici ale graficelor.

33

Page 35: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

Pentru exemplificare prezentăm graficul benzii lui Moëbus. Având ecuaţiile parametrice a celor trei proiecţii vom genera matricele X ,Y şi Z. Aceste matrice vor constitui ansamblu (X,Y,Z) ce se va introduce în locul rezervat matricei sau funcţiei în regiunea Surface Plot. Ecuaţiile de generare a benzii lui Moëbus:

n 100:= k 0 n..:= j 0 n..:= uk2 π⋅ k⋅

n:= vj 0.5−

jn

+:=

a 1:= f 1:= θπ

2:= Xk j, a vj cos θ f uk⋅+( )⋅+( ) cos uk( )⋅:=

Yk j, a v+(:= j cos θ f uk⋅+( )⋅ ) sin uk( )⋅ Zk j, vj sin θ f uk⋅+( )⋅:=

X Y, Z,( ) Ecuaţiile pentru trunchiul de con înclinat:

Zk j, z αk hj,( ):=Yk j, y αk hj,( ):=Xk j, x αk hj,( ):=hj

Hn

j⋅:=αk2 π⋅

mk⋅:=

g α( ) x α 0,( ) x α H,( )−( )2y α 0,( ) y α H,( )−( )2

+ H2+:=

L α ρ,( ) α ρ⋅:=z α h,( ) h:=

y α h,( ) r R−

Hh R+⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

sin α( )⋅:=x α h,( ) R r−

Hh⋅ R+

r R−

Hh R+⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

cos α( )⋅+:=

j 0 n..:=k 0 m..:=n 10:=m 36:=H 5:=r 1:=R 2:=

34

Page 36: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 5 – Reprezentarea funcţiilor în spaţiu

X Y, Z,( )

Test de autoevaluare:

Reprezintă în 3D funcţia: f(x,y)=sin(x-1)2+cos(y-1)2

Reprezintă banda lui Moëbus folosind ecuaţiile de generare demai sus.

35

Page 37: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 6– Realizarea animaţiei

6. REALIZAREA ANIMA

În multe situaţii este important să realizăm grafice ce descriu un proces evolutiv, pentru aceste cazuri se foloseşte animaţia din Mathcad. Pentru exemplificare să considerăm o metodă de tip

tru determinarea soluţie 0 a ecuaţiei

ŢIEI

O i

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să realizezi animaţia data de evoluţia în timp a unei funcţii. să modifici parametri de care depinde anima

b ective:

ţia astfel încât să aibăun impact vizual corect.

0z 58

=Newton pen . Valoarea ţ

coo . Se vor vedea sub formă de animaţie punctele de coordonate (xFRAME,f(xFRAME).

ini ială este x0=9.5, în aceste condiţii metoda este convergentă. Calculăm valorile x1,x2,…,x9 şi reprezentăm grafic punctele de

rdonate (xFRAME,f(xFRAME))

x0 9.5:= k 0 9..:= xk 1+ xk 0.5 xk( )3

5⋅−:=

40

30

0 5 10

0

10

208

xFRAME( ) 5

xFRAME Valoarea iniţială a variabilei predefinite FRAME este 0. Activăm comanda Animate din meniul View şi selectăm regiunile care dorim să fie cuprinse în fereastra de animaţie, în cazul nostru graficul din stânga ferestrei Animate. Prin activarea comenzii Animate se va crea un fişier Video Clip cu extensia avi care poate fi vizualizat cu ajutorul comenzii Playback. Fişa Animate are o zonă denumită for FRAME şi 4 butoane: • zona for FRAME cu câmpurile:

o fereastra From, pentru valoarea de pornire a variabilei FRAME, valoarea implicită este 0;

o pentru valoarea de sfârşit a variabilei FRAME, o fereastra Tvaloarea implicită este 9;

36

Page 38: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 6– Realizarea animaţiei

o fere exprimată în număr de

• butonul Animate pentru generarea fişierului Video Clip cu

extensia avi; • but• but u

astra At pentru viteza de animaţiesecvenţe (frame-uri) pe secundă.

on l Cancel; on l Save As;

u

• butonul Options deschide fişa Compressor Options ce conţine

opţiunile de comprimare.

o fereastra Compressor cu standarde de comprimare; tra Compression Quality pentru calitatea imări, exprimată printr-un număr între 0 şi 100;

ey Frame Every este activată putem l d ame-uri e 1 şi 10 în fereastra

frames. Fereastra de Playback conţine un buton de play

o fereascompr

o dacă opţiunea Kschimba număru e fr într

şi unul de open . Meniul local al ferestrei Playback conţine:

• Comanda View ce conţine 3 opţiuni de afişare a Playback-

ului:

37

Page 39: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 6– Realizarea animaţiei

Half Size jumătate de mărime; ize mărime normală; ize mărime dublă.

Normal S Double S

Comanda de Speed are posibilitatea schimba viteza d

afişare în plaja 10%-190%. • e

• Comenzile Open şi Close sunt pentru deschiderea şi

închiderea fişierului Video Clip.

• Comanda Copy pentru a copia fereastra Playback;

Studiu individual:

Evolutia spiralei lui Arhimede: θ 0 0.001, 4 π⋅..:= p θ( ) 1 0.2 θ⋅+:= k 0 1, 20..:= x0 0:=

xk 1+ xk 0.9+:=

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

1

2

3

p xFRAME( )p θ( )

xFRAME θ,

Din meniul Traces modificati tipul de linie, grosimea si culoarea pentru primele doua trasari. Functia p va fi reprezentata de doua ori pe acelasi grafic.

38

Page 40: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 6– Realizarea animaţiei

Test de autoevaluare:

Animează evoluţia sinusoidei. Modifică variabileleătoare din fereastra Animate astfel încâtrea să se facă pe intervalul [0,2π], si cu o viteză.

corespunz reprezentaconvenabilă

39

Page 41: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 7– Rezolvarea numerică a sistemelor liniare

EA NUMERICĂ A SISTEMELOR LINIARE 7. REZOLVAR

ezolvarea sistemelor liniare de n ecuaţii şi n necunoscute se poate cad, apelând la funcţia lsolve. Sistemul matricială:

unde A ătrată de n linii şi n coloane nesingulară, iar b este un vector coloană ce reprezintă termenul liber. Se defineşte

şi termenul liber , prin atribuire. Se alege o variabilă căreia se ataşează semnul de atribuire := prin apăsarea tastei “două puncte” sau cu ajutorul mouse-lui de pe paleta Calculator a

tonu i

O

Dp

sind diverse moduri de rezolvare

biective:

upă studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente entru a fi capabil: să rezolvi cu ajutorul pachetului de programe Mathcad sisteme de

ecuaţii liniare. să determini vectorul soluţie folo

Rrealiza cu pachetul Mathliniar trebuie adus la forma

Ax=b este o matrice p

matricea A bi

.bu lu Apoi se apelează la comanda Matrix din meniul Insert. Acestă omandă va deschide paleta Insert Matrix.

c

Se precizează numărul de linii (Rows) şi numărul de coloane (Columns) şi apoi se acţionează comanda Insert. Se va afişa matricea ca în figura de mai sus, apoi în fiecare spaţiu va se introduce elementul respectiv. Pentru a creea un vector se procedează în acelaşi fel, doar că vectorul va avea o singură coloană. Acest mod de creare al matricilor este modul manual care nu permite introducerea matricilor mai mari de 10 pe 10. Pentru a introduce matrici de dimensiuni mai mari ca 100=10x10 se pot folosi funcţii pentru citirea matricilor din fişiere, create cu editoare de texte; sau precizarea elementelor matricei se face printr-un program ce atribuie elementele respective. Prin aceste modalităţi putem să creăm matrici de dimensiuni până la 1000000. Aceste dimensiuni pot fi extinse şi la dimensiuni de

40

Page 42: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 7– Rezolvarea numerică a sistemelor liniare

8000000 în cazul unor calculatoare cu memorii interne mai mari 128 oie de procesoare cu caz contrar timpii de

relucrare vor fi foarte mari.

Rezolvarea sistemului liniar se face cu funcţia lsolve care are ca argumenţi matricea şi termenul liber. Prin acţionarea tastei = se va vizualiza vectorul soluţie. Funcţia lsolve nu acceptă decât matrici ătrate şi vectori de aceaşi dimensiune cu numărul de linii al matricii.

funcţiilor pentru matrice şi vector pot fi abordate şi alte ăţi speciale. O

i să enul liber.

19

31

23−

37

29

41

Mb. Pentru dimensiuni aşa de mari este nevrecvenţe de de lucru cel puţin 300MHz, în f

p

pCu ajutorul

odalităţi de rezolvare a sistemelor liniare cu propietmmodalitate simplă de rezolvare este să inversăm matricea şacem produsul cu termf

A

11 13 17⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

b 2−

3

:=

1⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:= x A b⋅:= x 0.082175925925926

0.021990740740741−

1−0.027777777777778⎛

⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Rezolvare folosind matrici şi vectori

Test de autoevaluare:

Să se rezolve : următoarele sis eme liniare

t

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=⋅−−⋅+=−⋅+⋅+−=⋅+−+⋅=+++

4t2zy3x5tz2y2x1t2zyx24tzyx

)(⎪⎩

=+⋅+++⋅−⋅−

=−⋅+

+⋅+⋅

01.77

3 7.11z5 222yexe1

02ez2

15yln(3)xπ

⎪⎪⎪

⎪⎪⎨ −=⋅

+−⋅−⋅

3ππ

0.123z5 1e

3y3 7

2x7

1

⎪⎧

41

Page 43: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare

8. REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR NELINIARE

8.1. Rezo

ţii algebrice este: unde n este gradul polinomului iar ak coeficienţii polinomului, care pot fi numere reale sau numere complexe. Se pot pune următoarele probleme vis-a-vis de rezolvarea ecuaţiei algebrice: determinarea tuturor soluţiilor ecuaţiei sau determinarea unei anumite soluţie. Pentru determinarea numerică a tuturor soluţiilor ecuaţiei algebrice se procedează după cum urmează. Fie ca exemplu polinomul:

lvarea numerică a ecuaţiilor algebrice

Forma canonică a unei ecua

0axaxaxa 011n

1nn

n =+⋅++⋅+⋅ −− L

P x( ) 11 x11⋅ 13 x10

⋅− 8 x8⋅− 7 x7

⋅+ 6 x6⋅− 5 x5

⋅+ 3 x3⋅+ 2 x2

⋅− 1+:= atunci vectorul ce defineşte polinomul P este vectorul a (polyroots

tă vectori de dimensiune accep ≤ 100 sau altfel spus rezolvă numeric olinoame ar căror grad este p ≤ 99):

a 1 0 2− 3 0 5 6− 7 8− 0 13− 11(:= )T e aplică funcţia polyroots (funcţia foloseşte metoda lui Laguerre): S

x polyroots a( ):= x

0.753211955156556− 0.595152074139465i−

0.753211869146335− 0.595152135688143i+

0.554267781155217−

0.433950588737159− 0.838883475006448i−

0.433950542562189− 0.838883412789342i+

0.2602051623526 0.902116633101105i+

0.26020516306468 0.902116631654094i−

0.581801275916955 0.463734914766199i+

0.581801275916955 0.463734914766199i−

1.11054588173952

1.22114856812649

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Acest polinom are 3 rădăcini reale şi 8 complexe. Pentru a determina o rădăcină reală rvalul real căruia îi aparţine rădăcina şi aplicăm

vom preciza inte prima formă a funcţiei root (funcţia foloseşte metoda secantei)

pă cum urmează: du

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi numeric ecuaţii algebrice. să foloseşti reprezentările grafice pentru a determina vecinătăţile

soluţiilor.

42

Page 44: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare

α 1.22:= β 1.23:= root P x( ) x, α, β,( ) 1.22114856812645=

Pentru o rădăcină complexă vom alege o valoare iniţială pentru variabila z, rădăcina complexă determinată cu polyroots şi apoi aplică a doua formă a funcţiei root.

z 0.581801275916955 0.463734914766199i−:=

root P z( ) z,( ) 0.581801275916955 0.463734914766199i−= În cele ce urmează vom rezolva numeric o ecuaţiei algebrică a cărui

coeficienţi complecşi. c6 46− 48i−:= c5 124− 200i+:= c4 129 80i+:=

c 624− 5812i+:= c 11796 15808i+:= c 29184 21840i−:= c0 40320−:=

P z( ) c8 z c7 z⋅+ c6 z⋅+ c5 z⋅+ c4 z⋅+ c3 z3⋅+ c2 z2

⋅+ c1 z⋅+ c0+:=

polinom are

c8 1:= c7 4 12i−:=

3 2 1

8 7 6 5 4⋅

Se aplică funcţia polyroots.

polyroots c( )

⎛ ⎞6.99999999999921−⎜ ⎟2.99999999999183−

2.00000000001429i

8.00000000000291i

00000000000062i

5.00000000000151

4.−

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜

=

⎜⎜

5.99999999998341i

0.999999999999999⎜ ⎟⎝ ⎠

Se determină separat fiecare rădăcină.

000000291i root P z( ) z,( ) 8.00000000000001i=

i root P z( ) z,( ) 5.99999999999997i=

z 6.99999999999921−:= root P z( ) z,( ) 7−=

z 2.99999999999183−:= root P z( ) z,( ) 2.99999999999999−=

z 2.00000000001429i:= root P z( ) z,( ) 2.00000000000001i=

z 8.00000:=

z 4.00000000000062i−:= root P z( ) z,( ) 4i−=

z 5.99999999998341:=

z 0.999999999999999:= root P z( ) z,( ) 1=

z 5.00000000000151:= root P z( ) z,( ) 5.00000000000001= Prezentăm interpretarea grafică a rădăcinilor complexe ale polinomului de gradul doi cxbxa:)x(P . Pentru exemplificare fie a:=1, b:= -2 şi c:=2 .

2 +⋅+⋅=

43

Page 45: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare

2P z( ) z 2z− 2+:= f x y,( ) P x yi+( ):=

f f Studiu individual:

Test de autoevaluare:

8.2. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor transcendente

rice ecuaţie se poate scrie sub forma: f(x) = g(x). Această ecuaţie eb ie adusă la forma canonică f(x) - g(x) = 0.

Să se determine rădăcinile polinoamelor:

)5 131i7(z3z4ziπS(z)

3111i2z134z5i6zR(z)

2π-xe3x3 35x5 5Q(x)

8x72x63x54x45x36x27xP(x)

⋅−−+−⋅⋅=

⋅−⋅+⋅⋅−=

⋅+⋅−⋅=

−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−=

Să se determine rădăcinile polinomului pentru valorileparametrului m:=3, m:=3.5, m:=4, … , m:=7.

( ) ( ) 23425 m64ym48ym12y1mymy:y ⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅−+⋅+−= 2mP

Ob

Du l, vei avea cun ştinţe suficiente

să foloseşti reprezentările grafice pentru a determina vecinătă

iective:

pă studiul acestui capito opentru a fi capabil: să rezolvi numeric ecuaţii transcendente.

ţilesoluţiilor.

Otr u

44

Page 46: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare

Dup pe segmentul de inte cţia se anulează. Alegem ca valoare iniţială x, valoarea pentru care, conform graficului, fun ia se anulează. Această valoare se poate determina cu ajutorul paletei X-Y Trace. Pentru a determina soluţia ecuaţiei cu precizii până la 15 zecimale exacte apelăm la funcţia root.

următorul caz:

ă ce reprezentăm grafic funcţia h(x):=f(x) – g(x)res pu em să evaluăm valorile aproximative în care funt

Cele prezentate mai sus le exemplificăm cu

Studiu individual:

n condiţiile economiei de piaţă, luarea deciziei cNecontradictorie;

Determinaţi toate zerourile următoarelor funcţii: 1. ( ) xe221x:g(x) ⋅−−=

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−=

2xπcos2x:w(x)

3. 2x 1x22:f(x) −⋅−=

x11

x11:h(x)

−+−= 4.

Să itivă a ecuaţiei:

se determine cea mai mică rădăcină poz( ) 0x3cosx =⋅⋅

Să se rezolve ecuaţia lui Zurek

( ) ( )λ−⋅η⋅⋅μρ

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+⋅+⋅

−lc

4

z211ln1z2

z1

pentru 5.0:=ρ 35.0:=μ 1:c = 85.0:=η 30:=l 3:=λ .

45

Page 47: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare

Test de autoevaluare:

8.3. Rezolvarea numerică a sistemelor neliniare

Pendispest e precizeze un punct iniţial (de obicei în apropierea soluminproconpoaÎn cazul sistemului neliniar de ordinul 2, reprezentarea grafică poate să ne ajute. Prezentăm rezolvarea a două cazuri. 1. Un sistem neliniar de două ecuaţii cu două necunoscute.

tru rezolvarea sistemelor neliniare pachetul Mathcad ne pune la oziţie două funcţii: find şi minerr. Pentru aproximarea soluţiei căutate necesar să seţiei căutate) cu care va începe procesul iterativ al funcţiilor find şi err. Dacă punctul iniţial nu este ales din bazinul de atracţie al

cesului iterativ, generat de funcţiile find şi minerr, procesul nu va verge sau va converge către o altă soluţie. Alegerea punctului iniţial te fi o întreprindere grea mai ales în cazul dimensiunilor mai mari ca 2.

x 0.2:= y 0.9:=

Given tan x y⋅( ) x2 x2

22y2

+ 1 Find x y,( )0.00000016551329−

0.707106801110735⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

2.

Un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute.

x 1:= y 2:= z 2:=

given x logyz

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1+ y 0.4 z2+ 2x2

− z 2 xy20

⋅+

minerr x y, z,( )

1.08798164191759

2.62392219972735

2.14273895870249

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Determinaţi toate zerourile următoarei funcţii: )xcos(x:)x(f +=

Obiective:

D pitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: upă studiul acestui ca

să rezolvi numeric sisteme de ecuaţii neliniare. să foloseşti diferite metode de rezolvare numerică.

46

Page 48: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare

Cuvântul given deschide un spaţiu ecuaţie, spaţiu care se închide cu funcţia find sau minerr. Semnul “egal” dintre partea stângă şi partea

iilor se realizează prin apăsarea simultană a tastelor trl şi semnul egal sau de pe paleta Boolean. Dacă punem cursorul e fun ia de rezolvare a sistemului neliniar prin acţionarea tastei din

ul de rezolvare al sistemului:

dreaptă a ecuaţCp cţdreapta mouse-lui, se va afişa meni

Comanda Auto Select dacă este activată, va face o alegere automată a metodei de rezolvare a sistemului (Linear pentru sisteme niare, Nonlinear pentru sisteme neliniare, Quadratic pentru

cadrul metodelor pentru sisteme neliniare se alege în mod automat metoda Conjugate Gradient). Dacă această comandă este

activă, putem alege metoda de rezolvare a sistemului neliniar în mod manual.

Pentru sistemele neliniare mai avem la dispoziţie: metoda evenberg-Marquardt şi metoda Quasi-Newton). Comenzile Cut, opy şi Paste au o acţiune locală în cadrul regiunii ecuaţiei.

vanced Options… va provoca afişarea

liprobleme de programare neliniară). În

in

LCAcţionarea comenzii Adferestrei:

unde putem alege: estimarea derivatei (fa

Derivative estimation) să se că înainte estimării sau (Central) în timpul estimării; estimarea

r să se facă în mod tangent (Tangent) sau în mod pătratic ); să se facă un control variabilelor liniare (Yes) sau să nu

e facă controlul variabilelor liniare.

cazul că metoda aleasă nu converge la o soluţie, se poate încerca -3 a constantelor predefinite TOL şi

TOL. În cazul unei valori mai mici a constantei TOL se va obţine o

Cuvântul cheie

variabilelo(Quadratics Înschimbarea valorii implicite de 10C

given trebuiesă preceadă ecuaţiile sistemului.

47

Page 49: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare

soluţie de precizie mai bună. Dacă CTOL este egală cu 0.0001, atunci inegalitatea x<1 este, de fapt, x<1.0001.

Studiu individual:

Test de autoevaluare:

1. Să se rezolve sistemul neliniar

2. Să se determine o soluţie a sistemului neliniar

⎩ =⋅+⋅ 12y22x1.1⎨ ⎧ =⋅−+ 0.2x1.1y)sin(x

( )⎪⎪

⎪⎪

⎟⎠

⎜⎝

+=++

+ 32zyx

cosy

3. Să se determine o soluţie a sistemului neliniar

⎞⎛+

=++

1

xsin

11

31233z2yx

=+− πz5 xy3 y

x

x

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⋅+=

⋅−+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

20yx2z

x2z4.0y 22

1zylogx

1. Să se rezolve sistemul neliniar

pentru⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−⋅

=−−⋅

04y3yx

012y3xa { }7.5,,2,1.5,1a L∈

2. Să se determine o soluţie a sistemului neliniar

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⋅+=

⋅−+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

20yx2z

x2z4.0y

1zylogx

22

48

Page 50: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare

8.4. Program

achetul Mathcad pune la dispoziţie două funcţii (Maximize şi inimize) pentru rezolvarea problemelor de programare liniară şi

eliniară. Funcţia Maximize(f,z0,z1,…) ne calculează valorile variabilelor z0,z1,… pentru care se realizează restricţiile impuse şi cea mai mare valoare a funcţiei f. Funcţia Minimize(f,z0,z1,…) calculează valorile variabilelor z0,z1,…pentru care se satisfac restricţiile impuse şi valoarea funcţiei f în aceste puncte este cea mai mică. Prezentăm două exemple rezolvate pentru aceeaşi problemă: o minimizare şi o maximizare:

are liniară şi neliniară

PMn

Functia obiectiv f x y,( ) x y⋅ x+ y2+:=

Valorile initiale x 0:= y 0:=

given 1 x sin 11x( )⋅( )2− y2

≥ 1 x cos 7x( )⋅( )2− y2

≤u

v⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Minimize f x, y,( ):=

u

v⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0.911567852495918

0.420670938294961⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

= f u v,( ) 1.47200199465086=

Obiective:

După s diul acestui capitol ente pentru a fi capabil: să rezolvi numeric probleme de programare liniară. să foloseşti func

tu , vei avea cunoştinţe sufici

ţiile de minimizare respectiv maximizare, precum şirestricţiile impuse.

Functia obiectiv f x y,( ) x y⋅ x+ y2+:=

Valorile initiale x 0:= y 0:=

Given 1 x sin 11x( )⋅( )2− y2

≥ 1 x cos 7x( )⋅( )2− y2

≤u

v⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Maximize f x, y,( ):=

u

v⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0.864466883886695

0.997344268729066⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

= f u v,( ) 2.72133356640388=

49

Page 51: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 8– Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare

Test de autoevaluare:

Pe baza exemplelor de mai sus rezolvă următoarele problemede programare liniară:

≥⋅⋅

≤+

y)x11sin(x

100yx

)yxyxmax(

2

22

⋅ + +

0yx ≥⋅

R: x=-3.335 y=9.427

x≥⋅

)yxyxmin( ++⋅

y)x11cos(

100yx2

22

≥⋅⋅

≤+

x 0y

50

Page 52: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 9– Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor

A ŞI EXTRAPOLAREA FUNCŢIILOR 9. INTERPOLA E

d ne pune la dispoziţie două funcţii de interpolare: funcţia nterp, care realizează o interpolare liniară unind punctele furnizate cu

linii drepte şi funcţia interp, care realizează o interpolare spline.

• linterp(vx,vy,x) unde în vectorul vx se găsesc momentele determinărilor (sau distanţa la care sau făcut determinările…), în ordine crescătoare, sau doar un număr de ordine al măsurătorii; în vectorul vy se găsesc valorile măsurătorilor (determinărilor); x este variabila funcţiei ce se obţine prin interpolare.

R

Obiective:

După studpentru a f să det are fa

iul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente i capabil:

ermini prin interpolare valori intermedi

Una din problemele cele mai des întâlnite este interpolarea. Având un vector de date ce pot proveni dintr-un set de măsurători, sau un set de determinări, se pune problema găsirii unei funcţii care permite calcularea unor valori intermediare faţă de cele precizate. Pachetul

athcaMli

vx 1 1.7 2.1 2.8 3.2 3.3 4.1 5 5.2 6( )T:=

vy 1.11 1.97 1.05 0.32 0.55 1.35 1.03 1.5 1.25 1.85( )T:=

l x( ) linterp vx vy, x,( ):=

1 2 3 4 5 6

1

2Interpolarea liniara

Val

orile

mas

urat

e

l x( )

vy

Momentele de masurarex vx,

În exemplu mai sus prezentat funcţia l(x) s-a reprezentat sub formă de grafic pe intervalul [vx0, vx9]. În acest grafic s-au reprezentat şi nodurile ce au fost furnizate din măsurători făcute. • interp(vs,vx,vy,x) este funcţia de interpolare spline unde vs este

vectorul furnizat de una din funcţiile spline ajutătoare; vx , vy şi x

ţă de celeobţin te

să detu din măsurători.

ermini prin extrapolare valorile următoare faţă de cele din măsurători. obţinute

51

Page 53: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 9– Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor

au aceleaşi semnificaţi ca la funcţia linterp. Pentru interpolarea spline avem la dispoziţie patru funcţii pregătitoare.

• lspline(Mx,My) funcţia furnizează un vector ce se va folosi

în funcţia interp. Funcţia realizează o interpolare spline liniară cu condiţii de terminare liniare, unde Mx şi My pot fi vector sau matrice.

• pspline(Mx,My) funcţia furnizează un vector ce se va folosi în funcţia interp. Funcţia realizează o interpolare spline parabolică cu condiţii de terminare parabolice,

-a prezentat acelaşi exemplu de la interpolarea liniară realizându-se cele trei interpolări care apoi au fost vizualizate pe un singur grafic pentru a putea face o comparaţie între cele trei tipuri de interpolări spline.

unde Mx şi My pot fi vector sau matrice. • cspline(Mx,My) funcţia furnizează un vector ce se va

folosi în funcţia interp. Funcţia realizează o interpolare spline cubică cu condiţii de terminare cubice, unde Mx şi My pot fi vector sau matrice.

S

vs lspline vx vy,( ):= sl x( ) interp vs vx, vy, x,( ):=

vs pspline vx vy,( ):= sp x( ) interp vs vx, vy, x,( ):=

vs cspline vx vy,( ):= sc x( ) interp vs vx, vy, x,( ):=

1 2 3 4 5 6

1

1

2

3Interpolarea Spline

Momentele de masurare

Val

orile

mas

urat

e sl x( )

sp x( )

sc x( )

vy

x x, x, vx,

pot reprezenta coor onatele torile corespunzătoare valorilor

şi prin alte oduri.

Pentru interpolarea valorilor discrete dintr-o matrice pătrată se va proceda ca în exemplu de mai jos. Se defineşte o matrice cu n linii şi două coloane. În prima coloană se introduc cele n valori discrete de pe axa OX iar în a doua coloană se introduc cele n valori de pe axa OY. Aceste valori discrete (x,y) dunctelor în care s-au făcut măsurăp

din Mz. Matricea Mz cu valorile de interpolat se citeşte dintr-un fişier de tip prn cu ajutorul funcţie READPRN. Dimensiunea matricei Mz rebuie să fie nxn. Matricea Mz se poate evident defini t

m

52

Page 54: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 9– Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor

Mxy1

0

2

2

5

4

10

6

17

8

26

10

37

12

50

14

65

16

82

18⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

T:=

Mz READPRN "C:\Documents and Settings\Mz.prn"( ):=

vs lspline Mxy Mz,( ):= ssl t( ) interp vs Mxy, Mz, t,( ):=

k 0 rows Mxy( )..:= j 0 rows Mxy( )..:= Mlk j, sslk

j⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Folosind una din funcţiile spline lspline, pspline sau cspline se determină vectorul vs. Cu acest vector cu matricele Mxy, Mz şi cu ajutorul funcţiei interp definim funcţia ssl (spline spaţiu liniar) de argument t. În final fiecare element de indice k,j al matricei Ml va avea o valoare a funcţiei ssl în argumentul vectorul (k,j)T.

Ml Ml,

graficul prezentat s-au suprapus graficul de tip Surface Plot cu raficul de tip Contour Plot al funcţiei ssl.

şi interpolări cu funcţii spline parabolic sau

Îng În mod similar se pot facecubic.

{ }3,2,1n ∈Funcţia bspline de ordinul , cu sintaxa bspline(vx,vy,u,n) funcţia linterp, pentru n=2 este spline-ul parabolic iar

ntru =3 este spline-ul cubic. Dimensiunea vectorului este dată pentru n=1 este pe n ude formula ( ) n1vxrowsm −+= . Valorile capetelui vectorului u trebuie

fie în afara intervalului [vx0, vxm].

acă valorile intermediare ale vectorului u sunt identice cu valorile lui x, atunci vom obţine chiar funcţia mai sus notată cu l(t).

Dv

53

Page 55: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 9– Interpolarea şi extrapolarea funcţiilor

vxT 1 1.7 2.1 2.8 3.2 3.3 4.1 5 5.2 6( )=

u 0.99 1.7 2.1 2.8 3.2 3.3 4.1 5 5.2 6.01( )T:=

vs bspline vx vy, u, 1,( ):= bs1 t( ) interp vs vx, vy, t,( ):=

3

2

1 2 3 4 5 6

1

l t( ) 0.5+

bs1 t( )

t t,

uncţia predict(v,m,n) realizează extrapolarea. Având un set de ă determinăm

3.2

3.3

4.1

5

6

Fvalori sub forma unui vector, se pune problema surmătoarele n valori în funcţiei de cele m valori din vectorul furnizat. A se vedea cele două exemple prezentate.

1

1.7

2.1

2.8

⎛ 1.11

1.97

1.05

⎛⎜⎜⎜

⎞⎟⎟⎟

vx

5.2

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= predict vx 6, 3,( )

6.4

6.3

6.6

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= vy

0.32

0.55

1.35

1.03

1.5

1.25

1.85

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= predict vy 9, 5,( )

0.42

0.39

1.5

1.03

1.26⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Test de autoevaluare:

Se dau următorii vectori de măsurători:

vx 1 2 3 4 5 6( )T:= vy 1 1.2 1.9 3 2.8 2( )T:=

Să se determine valorile lui y în punctele: 2.3, 5.5 şi 7.

54

Page 56: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei

10. CALCULUL

10.1. Calculul derivatei într-un punct

punct se rmează să

derivăm, apoi i se atribuie lui x valoarea în care se va calcula

DERIVATEI ŞI A INTEGRALEI

Obiective:

pitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să calculezi valoarea derivatei unei funcţii într-un punct dat. să calculezi valoarea derivatei de ordinul n a unei funcţii într-un

punct dat.

După studiul acestui ca

Pentru a calcula valoarea derivatei unei funcţii într-unrocedează după cum urmează: se defineşte funcţia ce up

oderivata funcţiei. Se apelează funcţia de derivare din paleta Calculus în care se indică funcţia de derivat şi variabila după care derivăm.

f x( ) x2 ln x( )⋅:= x π:=x

f x( )dd

10.3341426530481=

g x( ) asin2x

1 x2+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= x 12

7:=

xg x( )d

d4965

−=

tru derivata de ordinul n se va apela funcţia de derivare de ordinul n din paleta Calculus.

ln x( )⋅:= x π:= f x( )

Pen

f x( ) x25x

d50.129006130447141=

g x( ) asin2x

1 x2+

d

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= x 1.28571428571429:= 2xg x( )d

d

20.730651342152773=

Temă de reflecţie:

Consideri că prin folosirea programului Mathcad la rezolvareaacestor probleme se pierde din semnificaţia lor matematică ?

55

Page 57: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei

Test de autoevaluare:

10.2. Calculul integralei definite

upă apelarea funcţiei de integrare finită se completează spaţile goale u funcţia de integrat, cu limitele de integrare, cu variabila după care se

Dcface integrarea.

f x m,( )m x⋅ sin x( )⋅

1 cos x( )2+

:=0

πxf x 1,( )

⌠⎮⌡

d 2.467=π

xf x 2,( )⌠⎮⌡

d 4.935=0

1

e

xln x( )2⌠⎮⌡

d 0.71828182867017=1

e

xln x( )2⌠⎮⌡

d286565398959

=

Studiu individual:

Pe baza exemplelor de mai sus calculează următoarele integrale definite:

1. ∫π

⋅14

dx2x

x)sin(2

2. ∫ ⋅2

2cos(x)3sin(x)

π

dx 0

Obiective:

După studiul acestui

Calculaţi derivatele de ordinul 1 şi ordinul 3:

capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să calculaţi valoarea integralei finite a unei funcţii date.

f x( ) x cos x( )⋅:= xπ

3:=

f x( ) sinx 1+⎛

x3⎜⎝

⎞ x 3:=⎟⎠

:=

în punctele indicate.

56

Page 58: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei

Test de autoevaluare:

10.3. Aplicaţii ale calculului derivatei şi a integralei finite

10.3.1. Calculul lungimii unei curbe Pentru calculul lungimii unei curbe avem formula bine cunoscută care va depinde de funcţie şi capetele intervalului pe care dorim să determinăm lungimea graficului.

L f a, b,( )

a

b

x1xf x( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2+

⌠⎮⎮⎮⌡

d:= g x( )2 cos x2( )⋅ sin 10 x

3

2⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ e

x−

2⋅−

6:=

L g 0, 3,( ) 4.5637756254=

2):

În exemplu prezentat mai jos calculăm lungimea curbelor f(t,2) şi g(t,

f t m,( ) t m t−( )⋅ cos 2π

m⋅ t⋅⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

⋅:=

g t m,( ) t m 1+ t−( )⋅ sin 2π

m 1+⋅ t⋅⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

2⋅:=

poi comparăm lungimea lor. a

Obiective:

uficiente pentru a fi capabil: să aplica

Calculează integrala finită:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe s

ţi cunoştinţele despre calculul derivatei şi al integraleidefinite la calculul unor elemente geometrice.

să determinaţi valorile unor elemente geometrice plecând de laecuaţii date.

∫ ⋅−1

0

x1x

57

Page 59: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei

0 2

4

2

2

f t 2,( )

g t 2,( )

t

h t( ) f t 2,( ):=

L h 1.5−, 3,( ) 15.599=

w t( ) g t 2,( ):=

L w 1.5−, 3,( ) 14.589=

L h 1.5−, 3,( ) L w 1.5−, 3,( )− 1.009=

10.3.2. Calculul centrului de greutate al unei plăci omogene

2 x−( )⋅ g x( ) 1 cos 2x( )−( )−:= a 0:= bf x( ) x 1+( ):= 2:=

δ 0.01:= x a a δ+, b..:= t g b( ) g b( ) δ+, f b( )..:=

f x( )

g x( )

x g a( )+

t

x x, a, b, Fie o placă omogenă de aceeaşi grosime delimitată de graficele funcţiilor f şi g şi de verticalele x=a şi x=b. Pentru a calcula centrul de greutate aplicăm coordonatelor centrului, care depind de f, g, a şi b.

ξ f g, a, b,( )a

bxx f x( ) g x( )−( )⋅

⌠⎮⌡

d

a

bxf x( ) g x( )−

⌠⎮⌡

d

:= η f g, a, b,( )

12 a

b

xf x( )2 g x( )2−( )⌠⎮⌡

d⋅

a

bxf x( ) g x( )−

⌠⎮⌡

d

:=

58

Page 60: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei

Pentru a aplica aceste formulele trebuie să avem relaţia: [ ]b,ax)x(g)x(f ∈∀>

xG ξ f g, a, b,( ):= xG 1.022= yG η f g, a, b,( ):= yG 0.221=

2.5

2−

f x( )

g x( )

y G

x

t

2.10 x x, x G, a, b,

Studiu individual:

10.3.3. Calculul ariilor corpurilor de rotaţie

ie

Avem o funcţ [ ]→b,a:g

Să se calculeze aria determinată de graficul funcţiei întreprimele două rădăcini pozitive şi axa OX.

( )2xcos2xf(x) ⋅π⋅−=

R ce generează suprafa corpului prin tirea în jurul axei OX. În cazul nostru concret a=0 iar b=1.

ţaro

g x( ) 1 x sin 11x( )⋅( )2−:=

0

0.5

1

g x( )

k

0 0.5 1x

n 30:= m 30:= k 0 n..:= j 0 m..:=

xk j, gn

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

cosm

⎛⎜⎝

πj⋅ ⎞⎟⎠

⋅:= zk j, gnk⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

sinm

⎛⎜⎝

πj⋅ ⎞⎟⎠

⋅:= yk j,kn

:=

59

Page 61: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei

x y, z,( )

ie suprafeţei de rotaţie avem formula:

Pentru calculul ar

A f a, b,( ) 2π

a

b

xf x( ) 1xf x( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2+⋅

⌠⎮⎮⎮⌡

d:= A g 0, 1,( ) 10.918=

Observaţie: Pentru aria totală va trebui să adunăm ariile celor două baze care sunt discuri, în cazul nostru baza mică este un disc de rază practic 0 pentru că g(1)=0.004.

R g 0( ):= R 1= r g 1( ):= r 0.004=

At A f 0, 1,( ) π R2⋅+ π r2⋅+:= At 18.708=

10.3.4. Calculul volumelor suprafeţelor de rotaţie

V f a, b,( ) πa

b

xf x( )2⌠⎮⌡

d⋅:= V g 0, 1,( ) 2.611=

Studiu individual:

Să se calculeze volumul şi aria laterală a corpului de rotaţie.Corpul este generat de rotaţia funcţiei g(x) între limitele 0 şi 1.

( )( )2x7cosx1)x(g ⋅⋅−= . R: V=2.506… A=8.309…

60

Page 62: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 10– Calculul derivatei şi a integralei

Test de autoevaluare:

Să se calculeze lungimea curbei:

g x( ) x2π x⋅−:= între punctele 2 şi 5.

)lculeze coordonatele

ă se calculeze volumul şi aria laterală a corpului de rota

Să se calculeze aria determinată de graficele funcţiilor sin(xşi cos(x) între π/4 şi 5π/4 . Să se cacentrului de greutate ale acestei plăci . S ţie.

şi 1. Corpul este generat de rotaţia funcţiei g(x) între limitele 0

g x( ) 1 x sin 11 x⋅( )⋅( )2−:= .

61

Page 63: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

11. OPERAŢII C

tribuim, pe rând, unei variabile cu indicele corespunzător ă dimensiunea vectorului este dată

ărora nu li s-a atribuit în mod explicit o valoare vor avea valoarea zero. Observaţie: pentru operaţiile din Mathcad prin vector se înţelege un masiv coloană;

3−:= w 1:= wT 0 3− 1( )=

U MATRICI ŞI VECTORI

Crearea unui vector în Mathcad se poate realiza în 4 moduri: 1. Să avalorile vectorului. Să remarcăm cde componenta cu indicele cel mai mare, iar componentele c

2 3ORIGIN 1:= w

2. Să apelăm la paleta de matrici şi să definim dimensiunea vectorul linie sau coloană, urmând să introducem

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să efectuezi operaţii cu matrici şi vectori. să aplici diverse funcţii asupra masivelor de date.

în poziţiile afişate valorile vectorului din poziţiile respective.

u 1 0 2 0 3( )T:=

ncţia READPRN un fişier ASCII ce conţine valorile c l ASCII poate fi creat cu un editor de texte, ca de

exemplu cu NOTEPAD-ul. În mod implicit, valoarea iniţială a indicelui unui vector este 0; această valoare poate fi schimbată

Mathcad ORIGIN o altă valoare (de obicei valoare este 1);

3. Să citim cu fuve torului. Fişieru

atribuind variabilei această

vector READPRN "C:\Documents and Settings\Vector.prn"( ):=

vectorT 1 2 3

1

4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3=

5 7 11 13 17 19 23 29 4. Dacă valorile componentelor vectorului depind de indice se poate defini o secvenţă care atribuie valorile respective.

f k n,( ) n k−( )2

:= k 1 3..:= vk f k 4,( ):= vT 9 4 1( )=

62

Page 64: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

Crearea de matrice se face în acelaşi mod cu crearea de vector, în cazul matricelor avem un masiv cu două dimensiuni.

3.1:= A 2.7−:= A 1 3, 6.7:= A 2 1, 5.9:= A , 6.6:= A 2 3, 2.3−:=

A

A5.9

1.1−

3.7

6.6

0

5.5

2.3−

8.3−

0.5

A 1 1, 1 2, 2 2

3 1, 4.9:= A 3 1, 1.1−:= A 3 3, 8.3−:= A 4 1, 3.7:= A 4 2, 5.5:= A 4 3, 0.5:=

3.1 2.7− 6.7⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= M

1

0

0

2

4

0

3

5

6

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

tua asupra masivelor cu paleta

a lcul determinantului, vectorizarea valorilor unei funcţii ce are ca argument o matrice, extragerea coloanei de matrice, transpusa de matrice, produsul scalar, produsul vectorial, suma componentelor vectorului, desenul de umplere a matricei.

asive:

1

Operaţiile pe care le putem efecM trix sunt: inversarea matricei, ca

Considerăm următoarele m

v 4⎛ 9⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

0

1

= w 3−⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

3.1

1.1

3.7

2.7

= A5.9

6.6 2.3−

0

5.5

6.7

8.3−

0.5

⎛ ⎞⎜⎜⎜

⎟⎟

⎜⎝

⎟⎟⎠

= M 0 4 5⎛ 1

0

2

0

3

6

⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

pentru fiecare operaţie de pe paleta Matrix prezentăm câte un

u:

0

0

0.25

0

0.2083333−

0.1666667

exempl

• Inversa şi determinantul unei matrice pătrate:

1 0.5− 0.0833333−⎛M 1− ⎜

⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= M 24=

⎛ ⎞ ⎛

• Vectorizarea:

f x( ) x2:= f M( )

→⎯⎯1

0

0

4

16

0

9

25

36

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= f M( )

1

0

0

10

16

0

31

50

36

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

aplicând vectorizarea, fiecărei componente a matricei i se aplică funcţia f, în cazul aplicării simple a funcţiei f are ca argument

ă în cazul nostru se ridică matricea la pătrat.

întreaga matrice, adic

• Extragerea unei coloane:

.1−

3.7

A 1⟨ ⟩

3.1

5.9

1

⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

0

5.5

= A 2⟨ ⟩

2.7−

6.6⎛ ⎞⎜⎜⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎟⎠

8.3−

0.5

= A 3⟨ ⟩

6.7

2.3−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎠

=

63

Page 65: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

• Transpus

a matricei:

AT3.1

2.7−

6.7

5.9

6.6

2.3−

1.1−

0

8.3−

3.7

5.5

0.5

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

• Produsul scalar, produsul vectorial (numai pentru vectori de dimensiune trei) şi suma elementelor unui vector:

v w⋅ 11−= v w×

7

9−

27−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= v∑ 14=

• Desenul de umplere a matricei:

K

Funcţia augment, de concatenare pe orizontală a matricelor şi vectorilor cu acelaşi număr de linii:

augment AT M, v, w,( )3.1

2.7−

6.7 2.3−

5.9

6.6

1.1−

0

3.7

5.5

1

0

2

4

3

5

9

4

0

3−

8.3− 0.5 0 0 6 1 1

⎛ ⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

=

Funcţia cholesky de factorizare Cholesky a matricei S simetrice şi pozitiv definite. Determină matricea sub diagonală L astfel încât

:

SLL T =⋅

S

4

1−

0

0

1−

4

1−

0

0

1−

4

1−

0

0

1−

4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= L cholesky S( ):= L

2

0.5−

0

0

0

1.936

0.516−

0

0

0

1.932

0.518−

0

0

0

1.932

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

LT

2

0

0

0

0.5−

1.936

0

0

0

0.516−

1.932

0

0

0

0.518−

1.932

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= L LT⋅

4

1−

0

0

1−

4

1−

0

0

1−

4

1−

0

0

1−

4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

Funcţia cols de numărare a coloanelor matricei:

cols AT( ) 4= cols M( ) 3= cols v( ) 1=

Funcţiile Mathcad pentru vector şi pentru matrice.

Funcţiile cond1, cond2, conde, condi, calculează numărul de condiţie al matricei pătrate. Numărul de condiţie este dat de relaţia

64

Page 66: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

MMc 1 ⋅= −

euclidiană ş unde norma este respectiv norma L1, norma L2, norma

i norma infinit:

cond1 M( ) 14= cond2 M( ) 10.145= conde M( ) 11.249= condi M( ) 14.25=

Funcţia Create Mesh, creează matricele pentru reprezentările în 3D.

X s t,( ) 2 cos s( )+( ) cos t( )⋅:= Y s t,( ) 4 cos s( )+( ) sin t( )⋅:= Z s t,( ) 2 sin s( )⋅:=

T CreateMesh X Y, Z, 30, 50,( ):=Tor

T uncţia CreateSpace, creează matricea pentru reprezentarea 3D cu

ajutorul regiunilor Scatter Plot. S-a reprezentat o curbă în spaţiu: F

Q t( ) t 1+:= S t( ) t 2+:= R t( ) t 3+:= fmap s( )

s1 sin s3( )⋅ cos s2( )⋅

s1 sin s3( )⋅ sin s2( )⋅

s1 cos s3( )⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Cs CreateSpace Q S, R, 100, fmap,( ):=

Curba in spatiu

Cs Funcţia cyl2xyz, pentru a transforma coordonatele cilindrice în coordonate rectangulare:

65

Page 67: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

cyl2xyz v( )

5.883−

6.811−⎛

1

⎜⎝

⎞⎟⎟⎠ 1

= cyl2xyz w( )

0

0⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠ 3

= cyl2xyz 1 2, 3,( )

0.416−

0.909⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Funcţia diag, pentru a genera o matrice ce are ca diagonală vectorul

rgumentul funcţiei:

0

0

4

0

0

1

din a

diag v( )

9 0 0⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= diag A 1⟨ ⟩( ) 0

0

0

5.9

0

0

0

1.1−

0

0

0

3.7

3.1 0 0 0⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= diag w( ) 0

0

3−

0

0

0

1

0 0⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

ătrată.

Funcţiile eigenvals, eigenvec şi eigenvecs, respectiv, pentru calcul valorilor proprii pentru o matrice pătrată; pentru calcul vectorului propriu pentru valoarea proprie indicată pentru o matrice pătrată şi pentru calculul tuturor vectorilor proprii pentru o matrice p

vp eigenvals C( ):= vp

0

0

0

0

0.02

3.72

4.1

3.22−

15.62−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= eigenvec C vp5,( )

0.6779896

0.1924424−

0.054166

0.0161759−

0.0141655

0.0161759−

0.054166

0.1924424−

0.6779896

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

eigenvecs C( )

0.14

0.05−

0.68−

0

0.68

0.13−

0.08−

0.03

0.15−

0

0.15

0.69

0.36−

0.59

0.1−

0

0.1

0.09−

0.59−

0.38−

0.08−

0

0.08

0.06−

0.19−

0.05

0.02−

0.01

0.02−

0.68

0.37−

0.4−

0.39−

0.29−

0.39−

0.08−

0.28−

0.53

0.08−

0.49−

0.08−

0.12−

0.5−

0.03−

0.37

0.43

0.37

0.13−

0.03

0.22−

0.45

0.7−

0.45

0.04

0.13 0.69− 0.09 0.06 0.68 0.08− 0.12− 0.13− 0.04⎛

0.05

0.14−

0.03−

0.08

0.59−

0.36

0.38

0.59

0.05

0.19−

0.4−

0.37−

0.53

0.28−

0.03−

0.5−

0.22−

0.03

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎟⎟

=

⎟⎠

IA

0.196

0.162−

0.117

0.007−

0.123

0.122−

0.045−

0.111

Funcţia geninv de calculul al inversei generalizate pentru o matrice ce nu neapărat este pătrată:

0.015− 0.039− 0.12− 0.039

IA := geninv A( )⎛ ⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

= IA A⋅

1

0

0

0

0

0

0

1

1⎛⎜⎜⎝

⎞⎟=⎟⎠

Funcţia genvals de calcul al valorilor proprii pentru o matrice pătrată în raport cu o matrice pătrată N:

2

3

1−

2

2

1−

M

N

1− 2 3⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:= vp genvals M N,( ):= vp

1.807

0.424−

0.784−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Funcţiile Mathcad pentru vector şi pentru matrice.

66

Page 68: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

Funcţia genvecs de calcul al vectorilor proprii (ce vor constitui o matrice) pentru o matrice pătrate M în raport cu o matrice pătrată N:

N

1−

2

3

2

1−

2

3

2

1−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:= X genvecs M N,( ):= X

0.716

0.294

0.633

0.954−

0.172−

0.244

0.59−

0.661−

0.464

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Observaţie: Între valorile proprii şi vectorii proprii avem relaţia:

f k( ) M X k⟨ ⟩⋅ vpk N⋅ X k⟨ ⟩

⋅−:= f 1( )

0

0

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= f 2( )

0

0

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= f 3( )

0

0

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

ez:

Funcţia hlookup(z,A,r), returnează din matricea A (poate fi şi vector) element le de pe linia r pentru care primul element de pe coloanele respective sunt egale cu

hlookup 0 C, 5,( )

1

2

3−

5

5

3−

2

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=C

0

0

0

0

1

0

0

0 0 0

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

3−

2

1

0

1

2

3−

5

3−

2

1

1

2

3−

5

7−

5

3−

2

0

1

2

3−

5

3−

2

1

0

0

1

2

3−

2

1

0

0

0

0

1

2

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ hlookup 1 C, 5,( ) 7−( )=

⎜⎜⎜⎝ 0 0 0 0 1 0 0 0 0

=

Funcţia identity generează matricea identitate de ordinul indicat:

identity 3( )

1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= identity 2( )1

0

0

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

= identity 4( )0

0

1

0

0

1

0

0

⎛ ⎞⎟⎟⎟

1

0

0

0

0

0

0

1

⎜⎜⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Funcţia IsArray, returnează 1 dacă argumentul funcţiei este un masiv şi returnează 0 dacă argumentul funcţiei nu este masiv:

0IsArray A( ) 1= IsArray v( ) 1= IsArray cols A( )( ) 0= IsArray "abc"( ) =

Funcţia IsScalar, returnează 1 dacă argumentul funcţiei este un scalar şi returnează 0 dacă argumentul funcţiei nu este scalar:

IsScalar rows A( )( ) 1= IsScalar A( ) 0= IsScalar v( ) 0=

Funcţia last returnează ultimul indice al vectorului:

ORIGIN 0:= last v( ) 2= ORIGIN 1:= last v( ) 3= last A 2⟨ ⟩( ) 4=

Funcţia length, returnează lungimea vectorului:

ORIGIN 0:= length v( ) 3= ORIGIN 1:= length v( ) 3= length A 2⟨ ⟩( ) 4=

67

Page 69: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

Funcţia lookup(z,A,B) determină poziţia valori z din matricea A în matricea B şi afişează aceste valori:

N

1−

2

3

2

1−

2

3

2

1−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= M

1

0

0

2

4

0

3

5

6

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

lookup 1− N, M,( )

1

4⎛

6

⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

M, N, −( )= lookup 2 N, M,( )

0

0

5

= lookup 6( ) 12

⎜⎜

⎞⎟⎟=

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Funcţia lsolve de rezolvare (simbolic sau numeric) a sistemelor

e:

liniar

b α( )α

1

3−

⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:= lsolve M b α( ),( )

4⎛⎜

⎞⎟α

1−

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

78

1−

2

⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

→ α 2:= lsolve M b α( ),( )1.164

0.875⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜⎝

⎟⎠0.5−

Tem

ubmatrix

0

1

0

0

1

0

1.5

0.5−

0

1

0.43

0

0

1

2

0

0

1−

3.5

0

2

4−

5.71

ă de reflecţie:

Această functie ai folosit-o mai devreme la rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare.

Funcţia lu(M) furnizează o matrice ce este constituită din matricele P, L, U concatenate pe orizontală şi care verifică identitatea . Matricele P, L, U se pot extrage cu funcţia s :

0 1 0 1⎛⎜lu N( )⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= P submatrix lu N( ) 1, 3, 1, 3,( ):=

L submatrix lu N( ) 1, 3, 4, 6,( ):= U submatrix lu N( ) 1, 3, 7, 9,( ):=

P

0

0

1

1

0

0

0

1

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= L

1

1.5

0.5−

0

1

0.429

0

0

1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= U

2

0

0

1−

3.5

0

2

4−

5.714

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

P N⋅

2

3

1−

1−

2

2

2

1−

3

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= L U⋅

2

3

1−

1−

2

2

2

1−

3

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

68

Page 70: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

Funcţia match(z,A), returnează linia şi coloana pe care se află valoarea z în matricea A:

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M

1

0

0

2

4

0

3

5

6

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= match 5 M,( )2

3⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

= match 3 M,( )1

3⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

=

Funcţia matrix(n,m,F), generează o matrice A de n linii şi m coloane, care are elementele date de ( )j,kF:A j,k = cu ORIGIN1n..ORIGIN:k +−= şi ORIGIN1m..ORIGIN:j +−= :

9 4 1

F k j,( ) v k j− 1+:= matrix last v( ) last v( ), F,( ) 4

1

9

4

4

9

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟=⎟⎠

pentru găsi minimul şi respectiv maximul unui Funcţiile min şi maxmasiv:

min v( ) 1= min A( ) 8.3−= max v( ) 9= max A( ) 6.7=

Funcţiile norm1, norm2, norme şi normi respectiv norma L1, norma L2, norma euclidiană şi norma infinit:

norm1 M( ) 14= norm2 M( ) 9.013= norme M( ) 9.539= normi M( ) 9=

lare, unde r este raza iar α unghiul în radiani: Funcţia pol2xy(r,α) de transformare a coordonatelor polare în coordonate rectangu

pol2xy 1π

2,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

0

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

= pol2xy 2π

4,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

1.414

1.414⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

= pol2xy 3π

6,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

2.598

1.5⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

Funcţia qr se aplică matricelor pătrate şi generează matricea formată din matricele Q şi R prin concatenare pe orizontală. Matricea Q este pătrată şi ortonormală (adică unde I este matricea

ate), iar matricea R este o matrice triangulară superioară astfel IQQ T =⋅

identitîncât avem identitatea RQM ⋅= . Matricele R şi Q se pot extrage cu funcţia submatrix:

QR qr N( ):= QR

0.267−

0.535

0.802

0.726−

0.436

0.532−

0.634−

0.724−

0.272

3.742

0

0

0.535

2.952−

0

0.535−

0.774−

3.621−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Q submatrix QR 1, 3, 1, 3,( ):= R submatrix QR 1, 3, 4, 6,( ):=

N

1−

2

3

2

1−

2

3

2

1−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= Q QT⋅

1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= Q R⋅

1−

2

3

2

1−

2

3

2

1−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Funcţia rows afişează numărul de linii pentru o matrice:

rows A( ) 4= rows AT( ) 3= rows v( ) 3= rows vT( ) 1=

69

Page 71: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

Funcţia rank determină rangul matricei:

rank

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

3= rank M( ) 3=

Funcţia rref determină rangul matricei indicând coloanele ce constituie minorul (în exemplu prezentat ultima linie este zero deci ea nu intră în constituirea minorului) a cărui determinat este diferit de

şi 2 cu coloana 2 şi 3 constituie minorul al cărui terminat este diferit de zero.

zero. Linia 1 de

rref

0 3 0

0 0 2

0 0 8−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

0 1 0

0 0 1

0 0 0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟=⎟⎠

Funcţia sph2xyz de transformare a coordonatelor sferice în coordonate rectangulare:

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sph2xyz 2π

2,

π

2,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

0

2

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= sph2xyz 2 0,π

2,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

2

0

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= sph2xyz 2π

2, 0,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

0

0

2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

uncţia stack de concatenare pe verticală a masivelor cu acelaş

3.1

5.9

1.1−

3.7

0

2.7−

6.6

0

5.5

3−

6.7

2.3−

8.3−

0.5

1

F i număr de coloane:

9 4 1⎛

stack vT A, wT,( )⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= stack M N,( )

0

0

1−

2

3

4

0

2

1−

2

5

6

3

2

1−

1 2 3⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

uncţia submatrix(A,ir,jr,ic,jc), extrage sub matricea din matricea

a Fîncepând de la linia ir până la linia jr şi de la coloana ic până lcoloana jc:

ORIGIN 0:= submatrix C 0, 3, 0, 3,( )

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

2

0

1

2

3−

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

ORIGIN 1:= submatrix C 1, 4, 1, 4,( )

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

2

0

1

2

3−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜

⎟⎟

=

⎜⎝ ⎟⎠ uncţia svd(M) şi svds(M) calculează respectiv, o matrice ce este

constituită din concatenarea pe verticală a matricelor U şi V, şi valoarea s:=svds(M) pentru care avem identitatea :

F

TV)s(diagUM ⋅⋅=

70

Page 72: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 11– Operaţii cu matrici şi vectori

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0.398−

UV svd M( ):= UV

0.684−

0.612−

0.243

0.044−

0.392−

0.919−

0.564−

0.789

0.885

0.081−

0.915−

0.394

0.463

0.058

0.996−

0.092

0.009

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= U submatrix UV 1, 3, 1, 3,( ):=

V submatrix UV 4, 6, ,(:=1 2 3⎛

1 3, ) U diag svds M( )( )⋅ VT⋅ 0

0

4

0

5

6

⎜⎜⎝

⎞⎟=⎟⎠

Funcţia tr calculează suma elementelor de pe diagonala principală:

tr M( ) 11= tr N( ) 3−= tr C( ) 11−= tr K( ) 11−=

kup(z,A,c), returnează din matricea A (poate fi şi vector)

pe

6.6 2.3−

Funcţia vlooelementele de pe coloana c pentru care primul element derândurile respective sunt egale cu z:

3.1 2.7− 6.7⎛ ⎞⎟⎜

A1.1−

3.7

0

5.5

8.3−

0.5

5.9⎜ ⎟⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

= vlookup 5.9 A, 3,( ) 2.3−( )= vlookup 1.1− A, 2,( ) 0( )=

Funcţiile xy2pol, xyz2cyl şi xyz2sph de transformare a coordonatelor rectangulare în respectiv coordonate polare, cilindrice şi sferice:

xy2pol 1 1,( )1.414⎛0.785

⎜⎝

⎞⎟⎠

1

= xyz2cyl 1 1, 1,( )

1.414

0.785⎛ ⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

= xyz2sph 1 1, 1,( )

1.732

0.785⎛

0.955

⎞⎜ ⎟⎜⎝

⎟⎠

=

diu individual:

Test de autoevaluare:

Stu

Introduceţi o matrice şi un vector apoi efectuaţi toate funcţiilerezentate mai sus. p

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

=

4110140110410114

:B Pentru matricea:

să se calculeze n2 BBBI ++++ L pentru n=8.

71

Page 73: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

A NUMERICĂ A 12. REZOLVAR ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

omene din realitate u la bază cel puţin o ecuaţie diferenţială. Pachetul Mathcad ne oferă

posibilitatea să rezolvăm cu uşurinţă aceste probleme, oferindu-ne mai multe funcţii în acest scop.

12.1. Rezolvarea numeric

Metoda Runge Kutta de ordinul 4 este folosită de funcţia Mathcad rkfixed. Sintaxa funcţiei este rkfixed(y,x0,xf,n,D) unde y este un vector de dimensiune n, x0, xf sunt capetele intervalului pe care dorim luţia discretă, n este numărul de puncte discrete ale intervalului [x0,xf] (se recomandă ca n≥500) iar D este o funcţie de variabile x şi y ce defineşte membrul drept al ecuaţiei. Pentru

rmătorul exemplu:

E

Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale este în multe cazuri o întreprindere grea pentru cei care nu au o instruire deosebită în această direcţie.

oarte multe din modelele matematice ale unor fenFa

ă a ecuaţiilor diferenţiale de ordinul 1

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale folosind diverse metode numerice.

să obţinem so

exemplificare prezentăm u( ) ( ) ( )

⎩⎨y(⎧ =′ siny

=⋅−⋅+

1)0xsin3xcos2y

orma anonică a ecuaţiei are partea stângă constituită numai din derivata funcţiei necunoscute. Din exemplu prezentat rezultă că x i fie xf:=3π (este la alegerea utilizatorului în funcţie de

l pe care doreşte să rezolve numeric ecuaţia diferenţială), rezultă că intervalul pe care ne interesează soluţia ecuaţiei este [0,3π], iar în acest interval vrem să cunoaştem valoarea y a soluţiei în 500 de puncte echidistante adică n:=500. Din exprimarea

ţiale rezultă că prima valoare a lui y ncţia D(x,y) egală cu membrul drept al

ecuaţiei. În aceste condiţii putem să apelăm funcţia rkfixed.

sin y( ) 2 cos x( )+ 3 sin x( )⋅− y rkfixed y x, x, n, D,( ):=

F c

0:=0, intervalu

ş

matematică a ecuaţiei difereneste 1, adică y0:=1. Definim fu

x0 0:= xf 3π:= n 500:= y0 1:=

D x y,( ) := 0 f

obţine în Mathcad notaţia x şi x se tastează

spectiv a lui f la indice. Această notaţie nu defineşte o componentă a vectorului ci o simplă variabilă.

Observaţie: Pentru a 0 fsuccesiunea de caractere x.0 şi x.f; punctul provoacă afişarea lui 0 şi re

72

Page 74: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

Pentru a defini elementul 0 al vectorului y se va folosi succesiunea

de caractere: y[0. Matricea y va avea 2 coloane şi 500 de linii, prima coloană (coloana 0) conţine valorile intermediare din intervalul [x0,xf] iar coloana a doua (coloana 1) conţine valorile soluţiei căutate.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

yT0= 0 0.019 0.038 0.057 0.075 0.094 0.113 0.132 0.151

1 1.053 1.106 1.158 1.209 1.26 1.31 1.359 1.406

lui furnizat de matricea y şi

intuitiv graficul obţinut prin reprezentarea punctelor (yk,0,yk,1). Dacă numărul de puncte este mare raportat la lungimea intervalului, se bţine un grafic ce aproximează bine soluţia continuă a ecuaţiei.

În locul tabelu este mult mai sugestiv

o

0 5 10

53.288

y 1⟨ ⟩

3.947− 5

y 0⟨ ⟩0 9.425

autoevaluare:

12.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul 2

Test de

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale de ordinul 2, folosind mediul Mathcad.

Rezolva

ţi ecuaţiile:

( )

( )( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−⋅=′

⎩⎨⎧

=+=′

⎩⎨⎧

==′

21yx1x2y

10yx2sin1y

00yxcosy

2

73

Page 75: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

Cu func ţiale de ordinul 2; în

alori ale lui y şi se fineş funcţia D sub formă de vector cu două componente, prima

componentă este y1 iar cea de a doua este termenul drept al formei canonice pentru ecuaţia diferenţială ordinară de ordinul 2. Pentru exemplificare, fie următoarea ecuaţie:

ţia rkfixed se pot rezolva şi ecuaţii diferenaceastă situaţie se precizează primele două vde te

( )( )( )⎪

⎪⎨

=′= 1.01.0y

⎪⎪⎧ ⋅−⋅−′⋅−=′′⋅

11.0y

y4x41yxyx 22

situaţia ecuaţiei de ordinul 2, funcţia rkfixed determină matricea y

coloane şi n linii. În coloana 0 se găsesc punctele din intervalul considerat, în coloana 1 se găsesc valorile

orile lemei. S-a renunţat la tabelarea matricii y,

0.1 xf 15:= n 2000:= y1

Înce are trei chidistantee

discrete ale soluţiei ecuaţiei, iar în coloana 2 se găsesc valderivatei soluţiei probpreferându-se reprezentarea grafică a punctelor obţinute.

x0 :=0.1 ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

:=

D x y,( )

y1

1x

− y1⋅14

x2 4−

2x⋅ y0⋅−

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= y rkfixed y x0, xf, n, D,( ):=

5 10 15

2

2y 1⟨ ⟩

y 2⟨ ⟩

y 0⟨ ⟩

2 1 0 1 2

1

3y 2⟨ ⟩

1

y 1⟨ ⟩

74

Page 76: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

Test de autoevaluare:

12.3. Sisteme de ecuaţii diferenţiale

le de ordinul 1, cu două ecuaţii, se pot rezolva cu ncţia rkfixed. Spre exemplificare, prezentăm rezolvarea unui

Sistemele diferenţiafusistem de ecuaţii diferenţiale pentru valoarea parametrului μ=-0.2.

x0 0:= xf 5:= n 1000:= y0

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= μ 0.2−:=

D x y,( )μ y0⋅ x y1⋅− y0( )2 y1( )2

+⎡⎣

⎤⎦ y0⋅−

μ y1⋅ x y0⋅+ y0( )2 y1( )2+⎡

⎣⎤⎦ y1⋅−

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:= y rkfixed y x0, xf, n, D,( ):=

0 1 2 3 4 5

1

11

0.4−

y 1⟨ ⟩

y 2⟨ ⟩

50 y 0⟨ ⟩

Funcţia Bulstoer(y,x0,xf,n,D) foloseşte algoritmul Bulirsch-Stoer şi

similară cu rkfixed, dar oferă o soluţie mai bună ca şi rkfixed în acelaş ondiţii. este

i c

Obiective:

capitol, vei avea cunoştinţe suficiente

losind mediul Mathcad. să rezolvi sistemele de ecua

Rezolvaţi ecuaţiile diferenţiale de ordinul 2:

( )( )

După studiul acestui pentru a fi capabil: să rezolvi sisteme de ecuaţii diferenţiale, fo

ţii diferenţiale folosind diverse metodenumerice.

( )( )( )

( ) ( )( )( )⎪

⎪⎨

==⋅+′⋅−′′

⎪⎨

⎧=

+⋅=′′⋅⎧ =⋅+′′

01yxexpyxyxsiny

21y1x2yx0xsinyy 22

( )⎩ +=′⎩ =′⎩ =′ 1sin11y11y10y⎪

⎪⎨ = 00y

75

Page 77: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

Funcţia Rkadapt(y,x ,x ,n,D) foloseşte algoritmul Runge utta

rkfixed în ela

0 f Kadaptat şi este similară cu rkfixed, dar oferă o soluţie mai bună ca şi

ac şi condiţii.

Studiu individual:

12.4. Ecuaţ etăţi speciale

u Bulirsch-Stoer pentru isteme “stiff”. Sistemul diferenţial este “stiff” dacă matricea discretă ce

ii diferenţiale cu propri

Aplicaţi aceste funcţii asupra exemplului de mai sus.

Pachetul Mathcad dispune de funcţii pentru ecuaţiile diferenţiale cu proprietăţi speciale:

ncţia Stiffb(y,x

Obiective:

tinţe suficiente pentru a fi capabil: să identifici argumentele funcţiilor de rezolvare. să rezolvi ecuaţii diferenţiale de tip „stiff” .

După studiul acestui capitol, vei avea cunoş

0,xf,n,D,J) foloseşte metoda Fsrezultă pentru rezolvarea sistemului este “aproape singulară”. Argumentele y,x0,xf,n,D sunt identice cu cele de la funcţia rkfixed, iar J este Jacobian-ul sistemului diferenţial.

x0 0:= xf 1:= n 500:= y0.1

0.1−⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

:= D x y,( )x y0⋅ x3 y1⋅−

sin x y0⋅( ) y1⋅

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

J x y,( )y0 3 x2

⋅ y1⋅− x x3−⎛

y0 y1⋅ cos x y0⋅( )⋅ x y1⋅ cos x y0⋅( )⋅ sin x y0⋅( )⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

y Stiffb y x0, xf, n, D, J,( ):=:=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.2

y 1⟨ ⟩

y 2⟨ ⟩

y 0⟨ ⟩

76

Page 78: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

unde prima coloană din J este xD

∂∂ , coloana 2 şi 3 reprezintă

0yD

∂∂ şi

respectiv 1y∂

.

Funcţia Stiffr

D∂

(y,x0,xf,n,D,J) foloseşte metoda Rosenbrock pentru isteme “stiff”. Argumentele sunt identice cu cele de la funcţia Stiffb.

12.5. Funcţ l punct al soluţiei

uncţia stiffb(y=f,x0,x,acc,D,J,kmax,save) foloseşte metoda Bulirsch- sisteme diferenţiale “stiff” determinând ultimul punct al

xed, atât

a lungul traiectoriei vor fi mai multe (valoarea

m ă este 2) este numărul maxim al punctelor

paţiu dintre punctele aproximate ale funcţiei.

sMetoda Rosenbrock evită aglomerarea punctelor discrete ale soluţiei pe un anumit interval.

Test de autoevaluare:

ii care determină ultimu

FStoer pentrusoluţiei. Unde y,x0,xf,D au aceeaşi semnificaţie ca şi în funcţia rkfiacc controlează precizia soluţiei; cu cât acc este mai mică cu numărul punctelor de-obişnuită a lui acc este 0.001), J este Jacobian-ul sistemului diferenţial,

ax (valoarea minimkintermediare în care soluţia aproximată este afişată, save cel mai mics

x0 0:= xf 1.2:= y0.2

0.2−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= D x y,( ) 0 1

sin x y0⋅( ) y1⋅

x y⋅ x3 y⋅−⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

acc 0.001:=

J x y,( )y y⋅ cos x y0⋅( )⋅

x

x y1⋅ cos x y0⋅( )⋅

x3−

sin x y0⋅( )y0 3 x2

⋅ y1⋅−⎛

0 1

⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:= kmax 2:=

save 0.0001:=

stiffb y x0, xf, acc, D, J, kmax, save,( ) 0

1.2

0.2

0.5631906

0.2−

0.2536392−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

O

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente

„stiff” folosind diverse metode implementate în structura funcţiilor Mathcad.

biective:

Rezolvă problema dată ca exemplu mai sus, folosind metodaRosenbrock.

pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale

77

Page 79: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

Observaţie: În afară de valoarea lui y0 (coloana 1) şi y1 (coloana 2) în xf se mai afişează valorile lui y0 şi y1 în primul pas al algoritmului. Funcţia stiffr(y,x0,xf,acc,D,J,kmax,save) foloseşte metoda Rosenbrock pentru sisteme diferenţiale “stiff”, determinând ultimul punct al soluţiei. Argumentele acestei funcţii sunt fel cu cele de la funcţia stiffb. Funcţia bulstoer(y,t0,t1,acc,D,kmax,save) foloseşte metoda Bulirsch-Stoer pentru sisteme diferenţiale “stiff” determinând ultimul punct al soluţiei. Argumentele funcţiei sunt similare cu ale funcţiei Bulstoer. Funcţia rkadapt(y,x0,xf,acc,D,kmax,save) foloseşte metoda Rosenbrock pentru sisteme diferenţiale “stiff”, determinând ultimul punct al soluţiei. Argumentele funcţiei sunt similare cu ale funcţiei rkfixed.

12.6. Rezolvarea problemelor la limită

0,xf,xd,D,load1,load2,score) ă

funcţiei necunoscute la capetele intervalului [x0 , xf]. Fie urm toarea problemă la limită:

Test de autoevaluare:

Funcţia bvalfit(v1,v2,x care calculeazvaloarea derivatei

ă

( )( )

y

( )⎪⎩

⎪⎨

==−≥−<

=21ysi5.11y

0xpentruxcos0xpentrux2

′′

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale care conţin puncte de discontinuitate

Rezolvă problema dată ca exemplu mai sus, folosind funcţiile: stiffr(y,x0,x c,D,J ,save) bulstoer(y,t

f,ac ,kmax1,acc,D,kmax,save)

f,0,t

rkadapt(y,x0,x acc,D,kmax,save)

(probleme la limită).

Să utilizezi funcţiile speciale pentru rezolvarea acestor probleme.

78

Page 80: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

Fie x0=-1 şi xf=1 şi dacă re cţprezentăm grafic fun ia din partea dreaptă semnului egal pe intervalul [x0 , xf] se vede că funcţia are o

=0. adiscontinuitate în punctul xd

x0 1−:= xf 1:= f x( ) x2 x 0<if

cos x( )− x 0≥if

:=

1 0 11

0

1

f x( )

x

xd 0:=

Condiţiile la limită ale derivatei funcţiei y nu sunt cunoscute, considerăm că aceste valori sunt 00 2v)1(ysi1v)1(y =′=−′ , unde valorile v10 şi v2 pot fi schimbate cu ori ce valori. Vectorul load1 conţine valorile

0

( ) ( )fxy( )0xy şi xy′ , iar load2 conţine valorile şi 0

( )xy f′ . Funcţia score(xd,y) defineşte comportarea funcţiei necunoscute y în punctul de discontinuitate.

uncţia bvalfit calculează valoarea derivatei funcţiei necunoscute y în rvalului [x0 , xf].

v10

Fcapetele inte

v10 0:= v20 0:= load1 x v1,( )1.5⎛

0 ⎜⎝

⎞⎟⎠

f v20:= load2 x v2,( )

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

f y0( )

:=

D x y,( )y1⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

D load1, load2, s, )

S 0.192 0.462( )=

:= s xd y,( ) y:= S bvalfit v1 v2, x0, xf, xd, ,(:=

Funcţia sbval(v,x1,x2,D,load,score) determină valorile derivatelor necunoscute în xf. Fie problema la limită:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪

=′′π=′=

π=′=

7.211y1y5.221y

0ye0y2

Fie intervalul [x

⎪⎧ ⋅−−= sinxyy 2v x

0 iar xf=1, valorile iniţiale ale derivatelor ecunoscute ) în x0 se introduc în vectorul v, vectorul load

0 , xf] cu x0=n ( ivysiy,y ′′′′′

conţine valorile funcţiilor ( ) ( ) ( )( )0iv

00 xy,,xy,xy L′ , vectorul D defineşte ecuaţia, iar vectorul ţine diferenţele score con

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f0f0f0 xyxy,xyxy,xyxy ′′−′′′−′− .

79

Page 81: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

80

( ) ( )( ) ( ) ( )fv

fiv

f xy,xy,xy ′′′ . Funcţia va calcula valorile

x0 0:= xf 1:= v

1.2

0.8

1.1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:= load x0 v,( )

e

π

v0

v1

v2

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:= D x y,( )

y1

y2

y3

y4

y0( )2− x sin x( )⋅−

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

:=

score xf y,( )

y0 22.5−

y1 π2

y2 21.7−

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= sbval v x0, xf, D, load, score,( )49.011−

226.602

343.668−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

12.7. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale

uncţia relax(a,b,c,d,e,f,u,rjac) pentru rezolvarea ecuaţiei Poisson,

unde u este o matrice pătrată ce conţine valorile pe frontieră; a, b, c, d, ţin coeficienţii ecuaţiilor diferenţiale, iar f

e conţine valorile iniţiale; rjac este raza

grid(M,ncycle) pentru rezolvarea ecuaţiei Poisson cu condiţii zero pe frontieră, unde M este o matrice cu 1+2n linii ce corespund domeniului pătrat; ncycle reprezintă numărul iteraţiilor algoritmului funcţiei multigrid. Prezen m câte un exemplu rezolvat cu funcţiile relax şi multigrid.

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: să rezolvi ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale, folosind cele

două metode date de funcţiile relax şi multigrid.

F

e sunt matrice pătrate ce coneste o matrice pătrată cspectrală a iteraţiilor lui Jacobi. Funcţia multi

Page 82: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

S

S relax a b, ,(:= c d, e, f, v, 0.5, )

f M−:=vn n, 0:=e 4− a⋅:=d 1.1 a⋅:=c 0.9 a⋅:=b a:=k j, 5:=

Mt t, 10.−:=Mt s, 10.5−:=Ms t, 12.9−:=Ms s, 13.9−:=Mm m, 0:=Mn n, 0:=

4j 0 n..:=k 0 n..:=t

3n:=s

n4

:=mn2

:=n 32:=

9

a

n 32:= mn2

:= sn4

:= t3n4

:=

Nn n, 0:= Nm m, 0:= Ns s, 0.5−:= Ns t, 0.5−:= Nt s, 0.2−:= Nt t, 0.2−:=

P multigrid N 10,( ):=

P

Test de autoevaluare:

Descrieţi diferenţele dintre cele două metode de rezolvareprezentate.

81

Page 83: Calcul Numeric

Calcul numeric Capitolul 12– Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

12.8. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare cu funcţia Odesolve

funcţia Odesolve(x,b[,step]) pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare, unde x este

e care

opţional). Pentru a folosi această funcţie se declară un spaţiu ecuaţie cu funcţia

xemplu

Obiective:

După studiul acestui capitol, vei avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabil: ţ ţ să rezolvi ecua ii diferen iale ordinare.

Pachetul Mathcad pune la dispoziţie

argumentul soluţiei ecuaţiei diferenţiale, b capătul intervalului prii (este se determină soluţia ecuaţiei iar step este pasul integră

cu ajutorul cuvântului cheie Given, spaţiu ecuaţie se închideOdesolve. Pentru a vedea modul de aplicare prezentăm un erezolvat.

x0 0:= xf 2 π⋅:= y 0 0:= y f 2π:= b 4:= s 0.01:=

Given 2xy x( )d

d5

xy x( )

2 d 2) sin x( )⋅d

⋅− 6 y x( )⋅+ 5 x 1−( )⋅ cos x( )⋅ 5x −(+

y x0( ) y 0 y xf( ) y f y Odesolve x b, s,( ):=

2

0 2 4

4

2

y x( )

x

Test de autoevaluare:

Rezolvaţi ecuaţia:

y″ + 3y = 0

cu condiţiile iniţiale: y(0) = 1, y′(0) = 2

82

Page 84: Calcul Numeric

Calcul numeric Bibliografie

Bibliografie:

1. *** MathC 7MathSoft, Inc., 101 Main Street, Cambridge, Massachusetts 02142, USA,

2. *** Mathc uideStand oft, IncMassachusetts 02142, U

3. *** Mathcad 8, MathConnexStreet, Cambridge, Massachusetts 02142, USA, August 1998.

4. *** Mathcad 8, User’s Guide, Mathcad 8 Profesional, Mathcad 8 Profe ic, MMain Street, Cambridge, Massachusetts 02142, USA, August 1998.

5. *** Mathc e MCamb achus

6. *** Mathcad, User’s Guide w

Professional, MatSoft, InMassachusetts 02142, U

7. Cira, O. Lecţii athcad, Casa

2001 (3 ediţii)

, C. Mathcad. Probleme de calcul numeric şi statistic, Casa de Editură

Albastră s.r.l., Cluj-Napoca, 1995. 9. Scheiber, E. Lixăndroiu, D. MathCAD. Prezenta

Bucureşti, 1994.

onnex, Mathcad Profesional, Getting Started Guide,

May 1997.

ad 7, Userard, MathS

’s G , Mathcad 7 Profesional, Mathcad 7 ., 101 Main Street, Cambridge, SA, May 1997.

User’s Guide, MathSoft, Inc., 101 Main

sional Academ athcad 8 Standard, MathSoft, Inc., 101

ad 8, Referenc anual, MatSoft, Inc., 101 Main Street, ridge, Mass etts 02142, USA, August 1998.

ith Reference Manual Mathcad 2001 c., 101 Main Street, Cambridge, SA, First printing November 2000.

de M de Editura Albastră, Cluj-Napoca, 2000-

8. Jalobeanu Raşa, I.

re şi probleme rezolvate, Ed. Tehnică,

83

Page 85: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

ANEXA1 - MENIURI MATHCAD

Meniul File Comandă Acţiune

New… (Ctrl+N) Deschide un nou document Mathcad. Open… (Ctrl+O) Deschide un document Mathcad ce a fost salvat

anterior. Close (Ctrl+W) Închide documentul Mathcad curent.

Salvează documentul Mathcad curent. Save (Ctrl+S) Save As… Sa

co are pentru a a ări ale

un rem să-l sch ea într-un no

lvează documentul Mathcad cu nume. Această mandă se foloseşte la prima salv

d un nume documentului, sau la salvor documente al căror nume vimbăm, sau să redirecţionăm salvar

u folder. Tr dresă de In

ansmite documentul Mathcad la o aternet.

Send…

Page Setup… De tăţile unui document Mathcad pentru tipărire.

fineşte proprie

Print Preview Vizualizează documentul Mathcad ce urmează să fie listat.

Recent Este lista ultimelor documente Mathcad care au fosfolMsaufiş

File t salvate şi închise. Lista afişată poate fi osită pentru deschiderea documentului athcad printr-un dublu clic pe numele fişierului

prin apăsarea numărului de ordine al ierului.

Exit Comandă de ieşire din sesiunea Mathcad.

Meniul Edit ndă Coma Acţiune

Undo (Alt+Bksp) în cadrul unei

enţa de

Anulează ultima comandă datăregiuni. Îndată ce cursorul părăseşte regiunea, Mathcad-ul “uită” secvcomenzi ce au fost executate în aceea regiune.

Redo (Ctrl+Y)

cad-ul “uită” secvenţa de

Activează ultima comandă dată în cadrul unei regiuni. Îndată ce cursorul părăseşte regiunea, Mathcomenzi ce au fost executate în aceea regiune.

Cut (Ctrl+X) se copiază în zona na se şterge.

une sau mai multe regiuni.

Conţinutul zonei selectatede memorie Clipboard şi apoi zoÎntr-o zonă poate să fie o parte dintr-o regiune sau o regi

Copy (Ctrl+C) Conţinutul zonei selectate se copiază în zona de memorie Clipboard. Într-o zonă poate să fie o parte dintr-o regiune sau o regiune sau mai multe regiuni.

Paste (Ctrl+V) Copiază conţinutul zonei de memorie Clipboard î documentul Mathcan d curent

84

Page 86: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

începând cu poziţia curentă a cursorului. Paste Special

ni, meta fişiere).

Similară cu comanda Paste dar se foloseşte în cazul copierii din zona de memorie Clipboard a unor regiuni mari (imagi

Delete (Ctrl+D) Şterge zonele selectate. Într-o zonă poate să fie o parte dintr-o regiune sau o regiune sau mai multe regiuni.

Select All Selectează toate regiunile documentului Mathcad.

Find…(Ctrl+F5) Caută un şir de caractere în cadrul documentului. Căutarea poate fi setată pentru egiuni Tr ext şi/sau regiuni Math.

Replace…(Sh aută şicaracter

ift+F5) C eventual înlocuieşte un şir de e cu un alt şir de caractere.

Go to Page… ută cu M rsorul pe pagina precizată. Check Spelling… Lansează corectorul lexical în regiunile text. Links… Comandă de editare a înlănţuirilor. Object… d

ăComansau înl

ă de activare a obiectelor încapsulate nţuite.

Meniul View Comandă Acţiune

Toolbar Comanda permite area sau ascunde tpaletei cadruvizualiza sau ascund

vizualizrea barelor S andard şi Format şi a

l paletei Math putem e paletele: C

Math. În alculator,

Graph, Matrix, Evaluation, Calculus, Boolean, Programming, Greek, Symbolic şi Modifier.

Status Bar Comanda poate fi activactivă se vizualizeazăultimul rând al ferestre

ă sau pasivă; dacă este bara de Status pe Mathcad.

Ruler În cazu omafişează o gradaţie oriz

l în care c anda este activă se ontală.

Regions În cazul în care comvizualizează regiunile d

anda este activă se ocumentului.

Zoom… Comanda permite măvizualiz vem la posibilităţi: 25%, 50%150% şi 200%.

rirea sau micşorarea dispoziţie următoarele , 75%, 100%, 125%,

ării. A

Refresh (şterg resturile de regiuni.

Ctrl+R) Se refac toate regiunile documentului şi se

Animate… Creează o fereastră de animaţie. Playback se va … Activează fereastra de animaţie în care

derula animaţia. Preferenc

statură (Keyboard

; paleta de Internet con

e… Cu ajutorul comenzi se accesează două palete. Paleta General are: opţiuni de start (Startup options), opţiuni de taOptions) şi dialectul de limbă engleză pentru corectorul lexical (Spell Check Dialect)

ţine următoarele câmpuri:

85

Page 87: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

nume utilizator (User Name), adresa de E-mail (E-mail), adresele de internet ale colaboratorilor (Collaboratory) şi Proxy Servers (HTTP, FTP, GOPHER).

Meniul Insert Comandă Acţiune

Comanda deschide o listă de comenzi pentru a însera ezenta grafice de funcţii. regiuni în care se pot repr

Graph

X-Y Plot (@)

Înserează reperele carteziene pentru reprezentarea carteziană a funcţiilor de o singură variabilă reală.

Polar Plot Înserează reperele polare pentru zentarea funcţiilor de o singură (Ctrl+7) repre

variabilă reală în coordonate polare. Comanda ne prezintă cele 5 moduri de vizualizare a graficelor de două variabile reale cu valori reale. Surface Plot (Ctrl+2)

Înserează o regiune în care se va reprezenta

3D Plot Wizard

o funcţie sub formă de pânze.

Contour Plot(Ctrl+5)

Înserează o regiune în care se va reprezenta o funcţie sub formă de linii de nivel.

3D Scatter Chart

Înserează o regiune în care se va reprezenta funcţie sub formă de

punte în spaţiu. o

3D Bar Plot Înserează o regiune în care se va reprezenta o funcţie sub formă de bare în spaţiu.

Vector Field Plot

Înserează o regiune în are se va reprezenta c

o funcţie sub formă de vectori.

Matrix… (Ctrl+M)

Comandă cu care se poate crea o matrice sau un vector.

Function… (Ctrl+F)

Deal

schide lista de funcţii Mathcad, listă din care se poate ege funcţia dorită spre consultare sau înserare.

Unit… (Ctrl+U)

Desis în prco

schide lista unităţilor de măsură a unuia din temele SI, MKS, CGS şi US. Sistemul se alegeealabil cu ajutorul comenzii Unit System din paleta menzii Options din meniul Math.

Pi(Ctrl+T)

Înun

cture serează o regiune Picture în care se poate reprezenta fişier imagine ce a fost salvat într-o matrice.

86

Page 88: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

k 0 50..:= j 0 200..:= Mk j, k2 j2+:=

M Area În

coa pa

serează o regiune ce poate fi securizată şi care va nţine expresii. Regiunea poate rămâne la vedere fără putea fi modificată sau copiată de cel ce nu cunoaşte rola sau poate fi chiar ascunsă.

Text Region Înserează o regiune text. Page Break În

loserează un caracter special de salt la pagină nouă în cul pe care îl ocupă cursorul.

Hiperlink… (Ctrl+K)

Comandă de creare a unei adrese de înlănţuire.

Re Înference… serează o referinţă. Component… La

(AWLi ft PushButton, MathSoft RadioButton,

ReM

nsează Wizard-ul pentru a însera componente xum Graph, Axum S-PLUS Script, Excel, File Read or rite, Input Table, MathSoft CheckBox, MathSoft stBox, MathSo

MathSoft Slider, MathSoft TextBox, MATLAB, ODBC ad, Scriptable Object, SmartSketch) în documentul athcad.

Object… În(AImMExEdMPoSeVi

serează obiecte realizate cu alte produse informatice dobe Photoshop Image, AutoCAD Drawing, Bitmap age, Image Document, Mathcad Document, Media Clip, icrosoft Equation 3.0, Microsoft Excel Chart, Microsoft cel Workseet, Microsoft Graph Chart, Microsoft Photo itor 3.0 Photo, Microsoft Photo Editor 3.0 Scan, icrosoft Power Point Prezentation, Microsoft Power int Slide, Word Document, Word Picture, MIDI quence Package, Paintbrush Picture, Snapshot File, deo Clip, Wave Sound, Word Pad Document).

Meniul Format Comandă Acţiune

Equation… prin care se poate alege forma de riab

utilizator. Prin Font (Arial, B tang,…), Font Style

, BEffects (Underlin

Deschide o paletăafişare a va ilelor, a constantelor şi a părţilor

această schimbarea putem stabili: ankGothic, Ba

(Regular, Italic old, Bold Italic), Size (8, 9, 10, … 72), e), Color (Black, Maroon, Olive, Navy, ay, Silver, Purple, Teal, Gr Red, Lime, Yellow, Blue,

ua, WFuchsia, Aq hite) şi Script (Western, Hebrew). Result… Comanda este

“Forma de afişar lor”. prezentată pe larg în paragraful e a rezultate

Text… Deschide o paletă prin care se poate alege forma de afişare a textelor din regiuni text. Prin această schimbarea putem stabili: Font ( , BankGothic, Arial

87

Page 89: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

Batang,…), FontItalic), Size (8,

Style (Regular, Italic, Bold, Bold 9, 10, … 72), Effects (Strikeout,

Underline, SubscrOlive, Navy, PuYellow, Blue, Fuc

ipt, ), Color (Black, Maroon, rple, Teal, Gray, Silver, Red, Lime, hsia, Aqua, White).

Superscript

Paragraph… Comanda desch(unitatea de măspentru marginea eft), marcajul (Indent)

argineopţiunea SpecialHanging). Se ponou cu: buline (Bnu fie marcat ( menea putem stabili

s) şi unde să se facă tâ u în

t).

ide o paletă pe care putem stabili ură este inch-ul !): Marcajul (Indent) din stânga (L

pentru m a din dreapta (Right) şi pentru ( ce are variantele none, Fist Line şi ate alege a se marca fiecare aliniat ullets) sau numere (Numbers) sau să none). De ase

poziţia bornelor de TAB (Tabalinierea: în s nga (Left), central (Center) sadreapta (Righ

Style… pcaracteristicile uHeading2, Headi al, Paragraph,

. Exente.

Deschide o aletă care permite să stabilim rmătoarelor componente: Heading1, ng3, Indent, List, Norm

Subtitle, Title istă valori prestabilite pentru aceste compon

Properties… Deschide o p care se poate stabili icile d

dacă este o regiune text atunci paleta are

lay at Original Size) iar t cu opţ nea text să ocupe toată

upy Page Width), regiunea

You Tylocul fişa Texturmătoarele opnegru (placehoEvaluation) penMathcad; (Disable Evaluation) pentru a nu permite evaluarea regiuni Mathcad şi să se realizeze optimizarea evaluării (Enable Optimization).

aletă pe caracterist e afişare a regiuni curente. Această regiune două fişe: fişa Display cu opţiunile culoarea de fond a regiuni (Background), încadrarea într-un dreptunghi

i afişarea regiuni cu a regiuni (Show Border) şunea oridimensi

xginală (Disp

giufişa Te iunile: reOcclăţimea documentului (

ăreşte text se mDown As

după textul introdus (Push Regions pe). Dacă avem o regiune non text în avem fişa Calculation care are ţiuni: să nu se afişeze pătrăţelul lder) după evaluare; (Enable

tru a permite evaluarea regiuni

Graph Forma graficelor X-Y Plot… Forma graficelor carteziene (a se

vedea paragraful „Reprezentarea carteziană”).

Polar Plot… Forma graficelor polare (a se vedea paragraful „Reprezentarea polară”).

3D Plot… lul „Reprezentarea funcţiilor

în spaţiu”).

Forma graficelor 3D (a se vedea capito

88

Page 90: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

Trace… Deschide o paletă în care se ava afişa coordonata x şi y a punctului indicat în regiunea grafic. Aceste valori pot fi copiate pentru ale atribui unor variabile în cadrul documentului (pentru amănunte a se vedea paragraful „Reprezentarea carteziană”).

Zoom… Deschide o paletă ce permite realizarea de detalii ale graficului afişat (pentru amănunte a se vedea paragraful „Reprezentarea carteziană”).

Se poate alege culorile pentru: Background… Fondul documentului Mathcad.

C

Highlight… Prim planul. Annotation… Dacă este activată, comanda

permite alegerea culorii pentru regiunile modificate.

Use DePallete

fault În cazul în care comanda este activată se va folosi paleta de culori implicită.

olor

OptimPallete

ize Foloseşte 256 de culori pentru imaginile din document.

Separate Regions

Comancazul c

dă pentru separarea regiunilor. Se va folosi în ând avem regiuni suprapuse.

Alinierea regiunilor în mod: Across Orizontal.

Align Regions

Down Vertical. Sec izur area regiunilor Loc …k Comanda oferă posibilitatea alegerii

unei parole pentru o regiune creată cu comanda Area. O regiune creată cu comanda Area poate fi formată din una sau mai multe regiuni Mathcad.

A

Un k

ck.

loc … Comanda permite renunţarea la parola pentru o regiune creată cu comanda Area şi care a fost securizată cu comanda Lo

Collapse În cazul că opţiunea este activată

fi ascunsă, în document va apare o linie.

regiunea creată cu comanda Area va

rea

Expand Comanda inversă comenzii Collapse, regiune ă se va vizualiza. a ascuns

Header/ Comanda deschide o paletă cu două fişe: Heade şi r

89

Page 91: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

Fo olocîn reapta (Right) sau central (Cfie ion), se polu

r of

ata curentă (Insert Date), ora curentă

eastă comandă e modifica:

(R…

oters… F oter. Ambele palete dau posibilitatea de a stabili ul de afişare a textului din Header şi Footer, adică

stânga (Left), în denter). Cu ajutorul opţiuni „toată lăţimea pentru care secţiune” (Use full width for each sectate acoperi toată lăţimea Header-lui sau a Footer-i.

• În grupul de comenzi Tools se găsesc următoarele butoane cu acţiune rapidă care vor insera (în locul indicat de cursor): numele fişierului (Insert File Name), calea şi numele fişierului (Insert File Path), numerele paginilor (Insert Page Number), numărul total de pagini a documentului Mathcad (Insert NumbePages), data ultimei salvări (Insert Date Last Saved), ora ultimei salvări (Insert Time Last Saved), d(Insert Time). În toate aceste texte înserate în Header şi Footer se pot stabili forma textului cu ajutorul comenzi Format. Acva deschide o paletă în care se poatFont (Arial, BankGothic, Batang,…), Font Style

egular, Italic, Bold, Bold Italic), Size (8, 9, 10, 72), Effects (Strikeout, Underline), Color lack, Maroon, Olive, Navy, Purple, Teal, ay, Silver, Red, Lime, Yellow, Blue, Fuchsia, ua, White) ş

(BGrAq i Alignment (Left, Center şi

ImFo

• Grnupa age number) şi posibilitatea

prfiracPaHefo

• Grşi sau mai multe din acest

n

Right). Ultima din grupa Tools este comanda age care permite inserarea în Header sau oter a unei imagini. upul Options are următoarele comenzi: mărul de start pentru numerotarea ginilor (Start at p

de a avea un Header şi Footer diferit pentru ima pagină (Different header and footer on st page). Această comandă dacă este tivată se vor genera două palete noi (Header ge 1 şi Footer Page 1) similare cu paletele ader şi Footer care ne dau voie să precizăm

rma diferită a pagini 1. upul Frame conţine comenzile: Page, Header Footer. Dacă una

comenzi sunt activate Frame-ul se va încadra î : pagină, în Header sau în Footer.

Coma ui Mathcad. ndă de repaginare a documentulRepaginate Now

Meniul Math Comandă Acţiune

90

Page 92: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

Calculate (F9) Declanşeadin toatedocumentu

ză operaţiunea de calcul a expresiilor regiunile ce preced cursorul în l Mathcad.

Calculate Worksheet

Comanda regiunilor

ce declanşează evaluarea tuturor din documentul Mathcad curent.

Automatic Calculation

Dacă comautoma apărăsi regregiuni seCalculate. manual, anumai dComanda ajutorul

stei F9 sau cu butonul cu acţiune rapidă

anda este activată se lucrează în mod t, dică la tastarea unui Enter (cursorul va

iunea) sau dacă se face un clic în afara va declanşa în mod automat comanda În caz contrar se lucrează în mod dică evaluarea regiunilor se va face

upă declanşarea comenzii Calculate. Calculate se poate declanşa cu

ta . Optimization Comanda lansează o procedură de consultare

între procesoarele simbolic şi numeric ale Mathcad-lui.

Options… Com nurmăto lation,

ispaly, Unit System şi Dimension. ables):

) cu valoarea

lă în

• a convergenţă (Convergente

ceastă opţiune poate fi modificată

doc Mathcad. Exemplu

• Pre r (Constraint Tolerance (CTOL)) cu valoarea implicită 0.001. Cu

ai mică vom

mplu

• random

Var

ă 4. Dacă avem un

0.00001

a da deschide o paletă ce conţine arele fişe: Built-InVariabiles, Calcu

DVariabile rezervate (Built-InVari

• Originea indicilor de matrice şi vector (Array Origin (ORIGIN)implicită 0. Această opţiune poate fi modificată şi printr-o atribuire simpcadrul documentului Mathcad. Exemplu ORIGIN:=1 Toleranţa lTolerance (TOL)) cu valoarea implicită 0.001. Aşi printr-o atribuire simplă în cadrul

umentului TOL:=0.00001

cizia soluţiilo

cât valoarea lui CTOL este mobţine soluţii mai precise cu funcţiile de rezolvare a ecuaţiilor minmize, maximize, find şi minerr. Această opţiune poate fi modificată şi printr-o atribuire simplă în cadrul documentului Mathcad. ExeCTOL:=0.00001 Valoarea iniţială pentru generatorii de numere aleatoare (Seed value fornumbers) cu valoarea implicită 1. iabile pentru fişierele PRN: • Precizia de citire a datelor din fişiere de

tip PRN (Precision (PRNPRECISION)) cu valoarea implicitfişier de tip PRN cu valori ale unor măsurători exprimate cu precizii de

, această variabilă va provoca

91

Page 93: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

citirea acestor date cu o comandă

tribuire simplă

rul de caractere din coloana de date din fişierul de tip PRN (Column

NCOLWIDTH)) cu valoarea e poate fi

tribuire simplă entului Mathcad.

WIDTH:=9 Obs v emple date s-a precizat ă datele au formatul: din nouă caractere pe un

t la partea zecimală.

recalculare automată ticaly). arităţii matricelor (Use

matrices). inte de calculul essions before

Preferinţele de performanţă (Performance Preference)

• Viteză mare de calcul (Higer speed calculatio

compatibility)

izarea operatorilor (Display): Semautpun Narrow Dot), p(La ţiu îngust (Thin Space) şi fără spaţiu (No Space).

• Semnul pentru derivare: semnul de derder rivate).

• Caracterele de la indice: afişate mari (Large Subscript) sau afişate mici (Small Subscrip

re: caracterele două puncte şi egal (Colon Equal) sau caracterul egal (Equal).

• Caractere pentru atribuire globală:

READPRN, numai cu precizia de 0.0001. Această opţiune poate fi modificată şi printr-o aîn cadrul documentului Mathcad. Exemplu PRNPRECISION:=5.

• Numă

Width (PRimplicită 8. Această opţiunmodificată şi printr-o aîn cadrul documExemplu PRNCOL

er aţie: cu cele două excrând cinci sun

• Restaurarea valorilor implicite la toate variabilele speciale (Restore Defaults)

Opţ alculation): iuni de calcul (C

• Opţiunea de toma(Recalculate au

• Verificarea singulstrict singularity checking for

• Optimizarea expresiilor înaexpresii ( exprOptimizecalculating).

n) • Asigurarea compatibilităţii (Backward

Vizual

nul pentru înmulţire: selectare omată (Auto Select), punctul (Dot), ctul Narrow ( unctul mare

rge Dot), caracterul x (x), spa

ivare (Derivative) sau semnul pentru ivata parţială (Partial De

t). • Caracterele pentru atribui

caracterul triplu egal (Tr )iple Equal sau

92

Page 94: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

caracterul egal (Equal). • Caractere pentru atribuire locală:

al (Equal). • Caractere pentru egalitate: caracterul egal

gros (Bold Equal) sau caracterul egal

Sistemul de unităţi: • Sistemul implicit (Default Unit).

• Sistemul CGS (CGS)

siune n

m uMaLuTim

uem

Lu ity) ance)

caracterul săgeată la stânga (Left Arrow) sau caracterul eg

(Equal).

• Sistemul Internaţional (SI). • Sistemul MKS (MKS)

• Sistemul US (US) • Fără sistem (None)

Dimen Să

ile s

Dimensioafişeze sau nu dimensiunile (Display s). Dacă s-a activat această obţine pute rmătoarele dimensiuni asă ave

• fişate:

sa (mass) ngimea (length) •

• pul (time) • C• T

rentul (charge) peratura (temperature)

minozitatea (luminos• • Materia (subst

Meniul Symbolics Comandă Acţiune

Comandă de evaluare a expresiilor după cum urmează:

Evaluate

Symbolically În mod simbolic (Shift+F9) Floating Point …

În v l de cifre exacte în limitele date de neg Calculul

e cifre exacte

irgulă flotantă cu un număru

i alităţile 1cifre4000 ≥≥ . expresie cu 30 d

eπ 23.1406926327792690057290863680 Co l

6

mp ex În complex cu partea reală şi partea complexă a numărului.

2 i+( ) 2 1 2i−( ) 3+ −8 i⋅+

Simplify Comandă de simplificare a expresiilor.

a b+( )2

a2 b2−

a b+( )a b−( )

Expand Comandă de expandare a expresiilor.

93

Page 95: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

a b+( )2 a2 2 a⋅ b⋅+ b2+

Fac Coman n dintr-o expresi

2 2

tor dă de determinare a factorului comue şi de scoatere a lui.

a b⋅ 3a+ a b⋅+ a b 3+ a b⋅+( )2⋅

Col ru extragerea unui factor comun parţial.

a

lect Pent a simplifica o expresie prin

a2 b2⋅ b 3+( )⋅+a b⋅ 3a+ a2 b2

⋅+ PolynCoe

că polinomul se dă sub e polinom factor se cu

omial Dacalfficients

z 1

formă dlează coeficienţii acestui polinom.

−( ) z 2−( )⋅ z 3−( )⋅ are coeficienţii 6− 11 6−( 1 )T Faţă de r orul se vor efectua următoa l

va iabila pe care se află cursre e operaţii:

V

Solve Determină soluţia ecuaţiei. Subs e cu altă expresie. titute Substituie o expresiDifferentiate Calculează derivata expresiei în funcţie

de variabila precizată. Integrate Calculează primitiva expresiei în funcţie

de variabila precizată. ExpaSerie

termină dezvoltarea în serie de nd to Se des … puteri a expresie.

ariable

ConvPartFact

e o ert to Descompune în sumă de fracţii simplial expresie raţională. or

Comenzi pentru matrice. Transpose Determină matricea transpusă.

M

Invert Inversează matricea.

atrix

Determinant Calculează determinantul matricei. Transformări. Fourier Transformata Fourier. In

Transform

verse Fourier Inversa transformatei Fourier. Laplace Transformata Laplace. Inverse Laplace Inversa transformatei Laplace. Z Transformata Z. Inverse Z Inversa transformatei Z. Stilul evaluări. Evaluation

e … MStyl od•

• rând o linie în afară (Verticaly,

(Horizontally) - Să se afişeze comentariile (Show Comments) - Să se facă evaluarea în locul pe care la ocupat expresia (Evaluate in Place).

ul de afişare a evaluării: Vertical; înserând o nouă linie (Verticaly, inserting lines) Vertical; însewithout inserting lines).

• Orizontal după expresie

94

Page 96: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

Meniul Window Comandă Acţiune

Cascade Se zeavizuali ză ferestrele în cascadă. TileH

orinzon

zeatal

Se vizuali ză ferestrele orizontal.

Tile Vert izualizea ical Se v ză ferestrele vertical. Windows List Lista documentelor deschise.

Meniul Help Comandă Acţiune

Mathcad Help (F1)

Mesaje explica• Listă de capitole (• Listă de• Motor

(Search)

tive pentru comenzile Mathcad. Contents).

noţiuni (Index) de căutare a cuvintelor cheie

. Dev lopeRef renc

eferinţe pentree

rs e

R u dezvoltare.

Autors Referenc

eferinţe ale ue

R tilizatorului de Mathcad.

Conectarea la adresa collab.mathsoft.com (Collaboratory).

R

Conectarea la www.mathsoft.com pentelor Mathcad (We

entru a accesa ocum b Library). colecţia d

Conectarea la www.mathsoft.com (Mathcad.com). Conectarea la www.mathsoft.com (Support) Conectarea la www.mathsoft.com (Web Store) Lansarea tutoTutorials).

rialului Mathcad (Overview and

Tabel de ref e (Quick Sheets and leerinţe rapid

Reference Tab s)

esourse Center

cad (Extending Mathcad). Extensii MathTip of t eDay …

omanda permafişat dacă com tup

Pr este ă.

h C ite alegerea unui mesaj ce va fi anda Show Tip of the Day at Star

din paleta eferences al meniului View activat

Open Book …

Permite deschiderea manualelor electronice Mathcad.

Mathcad Update

Componente Mathcad care completează versiunea pe care o avem.

About Mathca

intă urile de cop icenţa şi odul numed

Se prezc

: dreptr

yright, lic.

TOOLBAR (ZONA BUTOANELOR CU ACŢIUNE RAPIDĂ

Bara Standard Buton Semnificaţie

)

Acţiune New Workshee

Mathcat Deschide un nou document

d

95

Page 97: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

O en Workshe eschida fost s

et D e un document Mathcad ce alvat anterior.

p

Sa e Workshee zt Salvea ă documentul Mathcad. v Print Worksheet Tipăreşte documentul Mathcad. Print Preview Worksheet

fişeazpentru a avea o imagine de

samband

A ă documentul pe ecran

ancom

lu; se foloseşte înainte de a Print.

Ch ck Spelling eclanumai te ale limbi

lezeEnglishize))

e D şează corectorul lexical în dialec

(neng : American English, British

(-ise) şi British English (-

Cut zşi apoi Copia ă zona selectată în Clipboard

şterge această zonă.

Copy CopiazClipboa

ă zona selectată în rd.

Paste Copiază conţinutul Clipboard-ului în locul indicat de cursor.

Undo În cadrul unei regiuni anulează ultima comandă executată.

Redo În cadrul unei regiuni activează ultima comandă anulată.

Align Across Aliniere orizontală. Align Down Aliniere verticală.

Insert Function Înserare de funcţii. Insert Unit Înserare de unităţi de măsură. Calculate Declanşează evaluarea regiunilor

până la poziţia curentă a cursorului.

Insert Hyperlink Creează o legătură cu un fişier. Insert Component Înserează o componentă.

Zoom Vizualizarea documentului

micşorat, mărit sau unu la unu. Resourse Center Activarea cărţilor electronice. Help Afişarea mesajelor de ajutor.

Bara Formatting Buton Semni-

ficaţie Acţiune

Style Stilul de editare al documentului.

Font Fontul de editare al documentului.

Size Mărimea caracterelor din fontul ales.

Bold Zona selectată de text va fi afişată cu caractere groase.

96

Page 98: Calcul Numeric

Calcul numeric Anexa 1

97

Italic Zona selectată de text va fi afişată cu litere aplecate.

Underline Zona selectată de text va fi afişată cu litere subliniate.

Align Left

Alinierea textului selecta la stânga.

Align Center

Alinierea textului selectat la mijloc.

Align Right

Alinierea textului selectat la dreapta.

Bullets Dacă comanda este activată fiecare aliniat nou de text va fi precedat de o bulină.

Numbering Dacă comanda este activată fiecare aliniat nou de text va fi precedat de un număr de secvenţă.