calcul -...

Radu Florea

Anca - Maria Boeriu

TENSIUNI REMANENTE

- Calcul -

SIBIU 2011

Radu Florea

Anca - Maria Boeriu

Descrierea CIP a Bibliotecii Nationale a României

Boeriu, Anca- Maria

Tensiuni remanente – Calcul / Radu Florea, Anca - Maria Boeriu. – Sibiu:

Editura Universităţii "Lucian Blaga" din Sibiu, 2011

Bibliogr.

ISBN 978-606-12-0216-4

Coordonare şi tehnoredactare: Anca - Maria Boeriu

Radu Florea

Anca - Maria Boeriu

TENSIUNI REMANENTE

- Calcul -

SIBIU 2011

Tensiuni remanente – Calcul

2

CALCULUL TENSIUNILOR

1. METODA GĂURII INCREMENTALE

1.1. Aparataj şi mod de lucru

Pentru determinarea tensiunilor remanente în adâncime cu ajutorul metodei

găurii incrementale se foloseşte o maşină universală de frezat.

În practicarea metodei găurii incrementale

Se plasează mai întâi o rozetă cu trei mărci tensometrice pe zona unde

dorim să facem măsurătoarea;

Se plasează sistemul de perforare (maşina de frezat) în centrul rozetei

folosind un aparat optic;

Se perforează gaura cu adaosuri de adâncime (incremente) crescătoare.

Pentru adaus se citesc valorile de deformare cu ajutorul unui aparat de

tensometrie;

Rezoluţia minimă este de aproximativ 15 [MPa] pentru oţelurile cu un

adaos de perforare de 0,02d (d- diametrul găurii);

După terminarea perforării diametrul găurii se măsoară cu mare precizie.

Rezultatul măsurătorilor (tabelul 1.1.) este prelucrat pe computer în scopul

extragerii mărimii tensiunilor reziduale, urmărind şi organigrama - figura

1.1.


3

Tabelul 1.1.: Măsurători de tensiuni reziduale

Adâncime [mm] ζ determinată [MPa] ζ real [MPa]

0 -95 -95

1,5 -75 -68

2,5 -62 -58

4,5 -35 -32

6,5 4 15

9 40 32

12,5 125 118

14 155 148

15,5 5 8

Când perforarea este terminată, se măsoară cu precizie diametrul găurii şi cu

ajutorul calculatorului, pornind de la curbele netede εl = f(p) se recalculează

deformaţiile observate la adâncimile ce corespund adaosurilor pentru care sunt

calculaţi coeficienţii de etalonare. Aceste adaosuri sunt fracţiuni ale diametrului real

al găurii.

Măsurările diametrelor găurii necesită ca diferenţa diametrului real şi a celui

măsurat să fie < 1%.

Pentru fiecare adâncime Z de găurire se evidenţiază deformaţiile εi (Z). Atunci

când găurirea este terminată, tensiunile reziduale principale ε1 (Z) şi ε2 (Z) sunt

calculate pornind de la relaţiile ce fac să intervină deformaţiile εi (Z) măsurate şi

coeficienţi de influenţă.


4

Figura 1.1. Organigramă de determinare a tensiunilor reziduale prin metoda găurii

incrementale

Problema esenţială în determinarea distribuţiei tensiunilor reziduale prin

această metodă este obţinerea acestor coeficienţi. Pentru aceasta realizăm o gaură cu

fund plat şi margini drepte şi în scopul stabilirii unei metode de prelucrare a găurii

adaptată fiecarui material şi pentru a nu introduce în piesă, zona rozetei, nici o

tensiune parazită. Este necesar ca găurirea să se facă cât mai precis şi reproductibil

pentru a obţine rezultatele măsurării şi cât mai precise.


5

Figura 1.2.: Rozetă cu 3 mărci tensometrice la 45°

1.2. Calculul tensiunilor

Pentru a determina distribuirea tensiunilor reziduale într-un material prin

metoda găurii incrementale am admis următoarele ipoteze:

materialul este elastic şi izotrop;

tensiunile sunt inferioare limitei de curgere a materialului;

componenta normală la suprafaţă este neglijabilă;

fundul găurii este plat.


6

Considerăm o piesă în care există o distribuţie a tensiunilor reziduale arbitrară

pe direcţiile principale 1 şi 2 (ce se confundă cu axele Z şi Y (figura 1.2.)); se

realizează o gaură de diametru d şi de adâncime H. Aplicând o forţă echivalentă

tensiunilor îndepărtate, starea de echilibru nu va fi schimbată.

Tensiunile de reacţie între straturile îndepărtate şi restul piesei sunt: tensiunea

radială ζr şi tensiunea de forfecare .

Eliminarea tensiunilor în timpul găuririi se face prin aplicarea altei tensiuni

egală şi de semn contrar. Distribuţia reală a tensiunilor va fi înlocuită printr-o

distribuţie în etape.

Figura 1.3.

11h - tensiunile principale

- unghiul dintre marca tensiometrică şi direcţia principală


7

Direcţii principale 1 şi 2

X, Y, Z – axe principale

H – adâncime gaură

d – diametru gaură

t

- tensiunea radială

H

- tensiunea de forfecare

1h - grosimea stratului îndepărtat

11h - adâncimea stratului

Grosimea stratului îndepărtat este notată Δhi, adâncimea stratului este notată

hi, tensiunile principale în acest strat pe 11h şi 12h şi numărul straturilor prin n.

Studiind stratul i, tensiunile de reacţie măsurate la suprafaţă după prelucrarea pe

maşina de frezat universală apare sub forma:

)]}90(cos1[)cos1({2

1 0

1

2

121

2

1 1 hhn (1.1.)

)]90(sinsin[2

1 0

1

2

121

2

111 hhr (1.2.)

unde unghiul θi este unghiul pe care îl face joja cu axa principală 1.

Aceste tensiuni sunt legate cu deformarea radială in prin relaţia:

)(E

111 rrin (1.3.)

de unde:

immin hhBhhA 2

121112111 cos)()()( (1.4.)


8

Deformările radiale sunt măsurate folosind o rozetă cu trei joje de tensiuni

dispuse în trei direcţii. Cele trei necunoscute ale problemei θi, ζ1h1 şi ζ2h1 pot să fie

determinate.

Atunci când se realizează gaura la al n-lea increment, deformaţiile la suprafaţă în

direcţiile θi, θi + φ, θi + ψ pot fi determinate prin sistemul celor trei ecuaţii 1.5., 1.6.,

1.7. :

iminn hhBhhA 2

12111211

1 cos)()( (1.5.)

)(cos)()( 2

12111211

2 iimmn hhBhhA (1.6.)

)(cos)()( 2

12111211

3 iimmn hhBhhA (1.7.)

În aceste ecuaţii n1 , n

2 , n3 reprezintă deformaţiile la suprafaţă datorate

numai celui de-al n-lea strat îndepărtat. Într-adevăr, deformaţiile măsurate la

suprafaţă în cursul celui de-al n-lea increment/adaos sunt datorate tensiunilor.

Existând în al n-lea strat îndepărtat tensiuni se poate extinde raţionamentul că acestea

există şi în straturile precedente.

in

n

iTn

1

1

(1.8.)

Relaţia (1.8.) arată că îndepărtarea unui start fără tensiuni va produce o

schimbare a deformaţiilor în suprafaţă provocată prin contribuţia straturilor

precedente ce conţin tensiuni reziduale din cauza redistribuirii tensiunilor în cursul

primei găuriri.

Sistemul de ecuaţii permite determinarea necunoscutelor θn, ζ1hn şi ζ2hn

pentru o geometrie a mărcilor tensiometrice şi tensiune dată.

Rozetele cu mărci tensometrice utilizate pentru acest memoriu sunt de tipul 3 mărci

tensiometrice la 45° (figura 1.4.).


9

Figura 1.4. Rozeta cu mărci tensiometrice la 45° VMM

]2

[2

1

)cos(sin2

)sin()cos(

)cos(sin2

)cos()sin(

31

3211

22

2122

2

22

2221

1

nn

nnnn

nnnnnn

nnnnnnnnnnnnhn

nnnnnn

nnnnnnnnnnnnhn

tg

BA

BABA

BA

BABA

Pentru a calcula soluţiile ecuaţiilor (1.5., 1.10., 1.11.) este necesar să

determinăm coeficienţii Ain şi Bin. Mărimea lor depinde de:

diametrul găurii

geometria rozetei

poziţia stratului i

adâncimea găurii

şi sunt calculaţi pentru adausurile de adâncime impuse. Aceste adausuri variază pe

măsură ce se creşte adâncimea găurii de la 0,01d la 0,25d (d = diametrul găurii).

(1.9.)

(1.10.)

(1.11.)


10

Rolul lor este de a ţine seama la calculul de redistribuirea tensiunilor în

straturile superioare în cursul celui de-al n-lea increment.

În sistemul de ecuaţii apar deformaţiile (ε). Pentru a cunoaşte parametrii care

pot influenţa răspunsul mărcilor(ε) şi modul de intervenţie asupra preciziei

rezultatelor, vom folosi în partea de descriere experimentală teste pe diferite rozete.

Sensibilitatea metodei găurii depinde în mod esenţial de raportul diametrului

găurii la distanţa dintre centrul găurii şi jojă (figura 1.5.), de lungimea jojei, de

grosimea incrementelor şi de adâncimea găurii.

Figura 1.3. pune în evidenţă faptul că dincolo de o adâncime echivalentă a 0,5

ori diametrul găurii de perforare (d), sensibilitatea unei rozete scade devenind

inferioară cu 45% răspunsului la suprafaţă.

Influenţa grosimii incrementului este dificil de evidenţiat. Dacă gradientul de

tensiune reziduală nu este important, avem interesul să facem adausuri destul de mari,

deoarece eforturile reziduale eliberate sunt proporţionale volumelor de materie

îndepărtate când diametrul găurii este fix. Deci cu cât grosimea îndepărtată este mai

mare, cu atât se detectează semnale mai puternice la suprafaţa jojelor, ce conduc la o

sensibilitate mai mare. O grosime prea mare riscă să provoace erori când există un

gradient ridicat, deoarece modelările utilizate presupun o omogeneitate a tensiunilor

reziduale pe fiecare increment. Trebuie deci să alegem bine incrementele după alura

gradientului tensiunilor reziduale în piesă.

Dezvoltări recente ale instrumentelor de tensometrie permit obţinerea unor

aparate din ce în ce mai sensibile şi stabile, cum este UPM 40 utilizată în studiul

nostru. Rezoluţia acestui aparat este de ± 1 μd (10-6

μm/m) ceea ce corespunde unei

rezoluţii minime de circa 15 MPa pentru oţeluri şi de 5 MPa pentru aliaje de aluminiu

cu un adaos de găurire de 0,02 d grosime (d = diametrul găurii).

Precizia metodei este determinată presupunând un model de calcul riguros şi faptul că

găurirea nu provoacă ecruisaj şi nici încălzire. Tipul de rozetă utilizată în calculul care

urmează este cu 3 joje la 45° (VMM).


11

Incertitudinile asupra mărimilor măsurate sunt:

ΔØ – incertitudinea asupra diametrului de găurire

Δε – incertitudinea asupra valorilor deformărilor

Ele conduc la alte incertitudini:

Δζ – incertitudinea asupra tensiunilor

Δθ – incertitudinea asupra poziţiei unghiulare ζ1

Ecuaţia (1.12.) leagă deformarea de al n-lea adaos:

εn = An (ζ1n + ζ2n) + Bn (ζ1n – ζ2n) cos2

θn (1.12.)

Dacă în ea facem înlocuirile:α = An (ζ1n + ζ2n) (1.13.)

β = Bn (ζ1n – ζ2n) (1.14.)

obţinem:

)(2

1

)(2

1

2

1

BA

BA

n

n

(1.15.)

Ştiind că utilizăm o rozetă cu 3 joje la 45°:

θ1 = θ

θ2 = θ + 45° (1.16.)

θ3 = θ – 45°

şi ţinând cont de notaţiile de mai sus, sistemul de ecuaţii devine:

2sin + =

2sin + =

2 cos + =

3

2

1

(1.17.)

din care valorile lui α şi ale lui β iau forma:

)(2

132 (1.18.)


12

2

312

2

32)2()(

2

1 (1.19.)

Incertitudinile asupra deformaţiilor sunt identice pentru cele trei direcţii şi sunt

estimate la ± 1 µd.

În acest caz Δ α = Δε (1.20.)

Δ β = 2 Δε (1.21.)

Incertitudinea asupra tensiunilor este determinată în parte de ecuaţia:

)(2

1

B

B

A

A

(1.22.)

În cazul tensiunilor izotrope (21

) vom avea β = 0 după relaţia (4.22.).

)(2

B

B

A

A

BA

(1.23.)

Principalele incertitudini asupra lui A şi B provin din eroarea diametrului de

deschidere, celui având interiorul de 0,02 mm, A

A şi )

B

B fiind neglijabile. În

aceste condiţii:

BA

2 (1.24.)

Calculele de mai sus consideră varianta ideală. Erorile parazite sunt de acelaşi

ordin de mărime ca şi erorile teoretice. Se estimează că erorile relative sunt cuprinse

între 6% şi 16%. La un calcul numeric erorile pot atinge 30%. Este greu să obţinem o

relaţie care să ţină seama de toţi factorii de influenţă. O eroare asupra straturilor

precedente poate să influenţeze mult stratul considerat.

1.3. Precizia şi repetabilitatea măsurătorilor

Cazul influenţei centrării găurii în raport cu rozeta:

Este evident din punct de vedere teoretic că gaura trebuie să fie prelucrată cu

maşini-unelte în centrul a trei joje. Precizia metodei depinde mult de operator în ceea

ce priveşte poziţionarea precisă a burghiului în centrul rozetei. După configurarea


13

descentrării, se poate atinge o eroare relativă ce poate varia de la 5 la 10% în calculul

tensiunilor. Folosind o lunetă se pot obţine centrări de circa 0,01 mm, care determină

o eroare de tensiuni de maximum 1%, ceea ce este acceptabil (tabelul 1.2.).

Tabelul 1.2.: Influenţa descentrării în raport cu rozeta (diametrul găurii d1= 4mm)

Rezultate cu o

centrare

perfectă

(hbar şi grad)

ζ 1 = -13

ζ2 = -13

Δζ1 = 0,32 2%

Δζ1 = 1,54 11%

Δζ1 = 1,44 11%

Δζ1 = 0,22 2%

Δζ1 = 0,12 0,8%

Δζ1 = 1,1 8%

ζ 1 = -1,4

ζ2 = -9,4

Δζ1 = 0,83 6%

Δζ1 = 0,11 2%

Δζ1 = 0,83 6%

Δζ1 = 0,11 2%

Δζ1 = 0,53 35%

Δζ1 = 0,36 3%

ζ 1 = - 7

ζ2 = -9

Θ = -87°

Δζ1 = 0,57 7%

Δζ1 = 0,46 5%

ΔΘ = 0,4°

Δζ1 = 0,52 7%

Δζ1 = 0,43 5%

ΔΘ = 0,3°

Δζ1 = 0,42 7%

Δζ1 = 0,54 6%

ΔΘ = 0,3°

Cazul influenţei perforării găurii asupra stării tensiunilor reziduale:

Tabelul 1.3. arată rezultatele obţinute prin diferite moduri de perforare

utilizate pe materiale detensionate. Se observă că tensiunile induse sunt slabe.

Tabelul 1.3.: influenţa modului de perforare

Material Tip de freză/aparat de

frezare

Deformare finală medie Presiuni/forţe reziduale

medii fictive

OLC 45 freză universală -2,3 μd 4 MPa

41 MoCr 11 freză cu banc fix -4 μd 4 MPa

OLC 45 freză cu aer comprimat -5,2 μd 6 MPa

OLC 45 freză universală -5 μd 5 MPa

Pentru testele noastre am folosit un sistem de perforare echipat cu o freză melc

pe o maşină de frezare universală. Acest sistem nu introduce aproape deloc tensiuni


14

reziduale de prelucrare mecanică. Am folosit rozete cu trei mărci tensiometrice de

tipul:

Hottinger Baldwin Messtechnik (notat S.F)

referinţă 3.120.RY 21.

caracteristici: 3 joje la 45°

r1 = 5 mm

r2 = 8 mm

rezistenţă: 120Ω ± 0,2%

K = 2,04 ± 1%

Vishay – micromăsurări (notat M.M)

o Referinţă EA-XX-062-RE-120

o caracteristici: 3 joje la 45°

r1 = 1,77 mm

r2 = 3,36 mm

rezistenţă: 120Ω ± 0,2%

K = 2,04 ± 1%

Graţie unei bune precizii a sistemului de măsurare, a sistemului de centrare şi

a unei bune calităţi a mărcilor tensiometrice, putem îmbunătăţi precizia metodei.

Ceilalţi doi factori antagonisti care joacă un rol important în precizia metodei

sunt plastificarea pe marginea găurii şi sensibilitatea metodei.

Plastificarea este una dintre problemele cel mai dificil de rezolvat deoarece

aceasta depinde de mulţi factori, printre care nivelul şi distribuţia tensiunilor

reziduale, direcţia tensiunilor principale, proprietăţile elastoplastice ale materialului,

diametrul găurii, etc.

1.4. Validare

Am studiat validitatea metodei pentru o testare de încovoiere cu 4 puncte in-

situ. Figura 1.5. arată comparaţia între distribuţia teoretică şi distribuţia experimentală

a tensiunilor reziduale. Rezultatele obţinute arată că eroarea maximă este inferioară

valorii de 30 MPa. Valorile tensiunilor determinate oscilează în jurul dreptei teoretice.


15

Figura 1.5.: Comparaţie a distribuţiei tensiunilor reziduale calculate (EF) şi

determinate prin metoda găurii (testare de încovoiere 4 puncte)

Am întreprins un studiu teoretic asupra variabilităţii de măsurare (cazul unei

rozete cu trei mărci tensiometrice plasate la 45°). Aceste calcule sunt efectuate într-un

caz ideal. Erorile perturbatoare sunt de acelaşi ordin de mărime ca şi erorile teoretice,

ceea ce pune multe probleme pentru a avea o estimare corectă a valorii erorilor.

Bibliografia estimează că ea este de circa 6% la 16%. Pentru aplicaţiile noastre

eroarea variază între 30 şi 50%. Este dificil să obţinem o expresie care să ţină cont de

toţi factorii de influenţă. O eroare asupra straturilor precedente trebuie să fie adăugată

la erorile straturilor considerate. Este deci indispensabil să expunem modalitatea de

calcul a erorilor pentru a avea o estimare mai cunoscută a variabilităţii măsurătorilor.


16

Un punct slab al metodei este calculul de eroare cu rozeta cu 3 mărci, unde

eroarea calculată corespunde unei estimări. O evaluare statistică cu un interval de

încredere este posibilă doar cu ajutorul rozetelor cu 8 joje [4].


17

2. METODA DIFRACŢIEI CU RAZE X

2.1. Aparataj şi mod de lucru

Probele au fost efectuate pe un aparat (Strainflex) ce conţine:

un generator de raze X

un microprocesor care asigură pilotarea goniometrului, procurarea şi

tratarea vârfurilor de difracţie şi calculul presiunilor/forţelor

un element goniometric de măsurare echipat cu un detector liniar,

analizator şi înregistrator

propagare/răspândire: λKα de crom

filtru din spate de Vanadium

plan difractant: (211)

unghiul Bragg 2Θ˚ = 156,33

dimensiunea zonei de analiză (în general utilizată) limitată pe piesă

printr-un şablon de Ø= 2mm (diametrul fasciculului maxim la nivelul

piesei Ø=4mm)

constante elastice radiocristalografice: 1/2S2 (211) = 5,86 ×10 Mpa

(Emacroscopic = 210000; νmacro = 0,29; factorul de anisotropie ARX=1,39)

2.2. Calculul tensiunilor

2.2.1. Principiu

În această metodă, joja de deformare este la distanţa interreticulară dhkl dintr-o

familie de planuri cristaline, distanţă la care se măsoară variaţiile de lungime funcţie

de tensiune. Măsurarea variaţiilor lui dhkl se face pornind de la legea lui BRAGG.

Într-adevăr, dacă planurile cristaline sunt supuse unei tensiuni ζ, distanţa dhkl va varia

şi va trece de exemplu de la do la d- figura 2.1a şi 2.1b.


18

Figura 2.1 a şi b

Expresia deformării ε:

00

0

d

d

d

dd

(2.1.)

Dacă diferenţiem legea lui BRAGG, obţinem:

cotd

d (2.2.)

d

d

cot

22 (2.3.)

Această relaţie arată:

că măsurarea deformării ε se face pornind de la determinarea lui Δθ, altfel

spus de la deplasarea liniilor de difracţie care corespund familiei de planuri

(hkl) pe care le studiem

că avem interesul să ne plasăm la unghiuri mari Θ pentru a creşte precizia.

Vom lucra cu linii de difracţie numite linii de întoarcere (Θ < 45º). Utilizarea

ecuaţiilor constitutive ale elasticităţii permite apoi calcularea tensiunii.

Tensiunea uniaxială

Să luăm în considerare cazul al unui cilindru supus unei tensiuni uniaxiale ζψ

care provoacă o deformare elastică εψ. Avem relaţia ζy = E.εy (figura 2.2.), în care εy


19

corespunde variaţiei Δd a planurilor cristaline perpendiculare pe axa de tracţiune, pe

care nu o putem măsura din motive fizice.

Figura 2.2.: Schema difracţiei cristalelor metalice ale unui cilindru supus unei tensiuni

uniaxiale

εx = εz = - γ εy.

Aceste deformaţii corespund variaţiilor de distanţă intereticulară a planurilor

paralele cu axa în lungime a cilindrului.

0

01

0

01

d

ddE

d

ddyx

(2.4.)

unde d1 = distanţa intereticulară a planurilor a căror normală este confundată cu

normala la suprafaţa de măsurare

do = distanţa intereticulară a aceloraşi planuri într-un eşantion fără tensiune (caz

imposibil de obţinut practic)

Trebuie să notăm bine deoarece sub această configuraţie experimentală, numai

planurile difractante paralele la suprafaţă sunt luate în considerare prin difracţie.


20

Remarcăm: pentru o aceeaşi familie de planuri difractante (hkl) care prezintă

diferite orientări pot fi greşite diferite stări de deformare (A în comprimare, B în

tracţiune); deci, dacă înclinarea eşantionului faţă de fascicolul de raze X se schimbă,

stările de deformare asociate planurilor difractante (hkl) vor suferi de asemeni

schimbări.

2.2.2. Ecuaţia generală

Pentru a obţine ecuaţia generală care să permită descrierea câmpului de

tensiuni pornind de la rezultate ale experienţelor de difracţie, acceptăm următoarele

ipoteze:

materialul trebuie să fie omogen, continuu şi izotrop;

deformările trebuie să fie elastice liniare (legea lui Hooke);

deformările şi tensiunile trebuie să fie omogene în volumul atins de razele

X.

Fie Si sistemul de referinţă care defineşte suprafaţa eşantionului şi Li sistemul

de referinţă laborator, în figura 2.3. În acest din urmă sistem, L3 este direcţia asociată

normalei familiei de planuri difractante (hkl) utilizată pentru măsurarea deformaţiilor.

Orientarea lui L3 în relaţie cu sistemul de referinţă asociat suprafeţei

eşantionului (referent eşantion) este descrisă prin unghiurile Ø şi ψ.

Schimbarea distanţei dhkl urmând L3 va fi o funcţie de Ø şi ψ, care va fi notată

ca dØψ. Deformarea se va scrie:

0

0

d

dd

(2.5.)

Deformarea EØψ poate fi scrisă funcţie de deformările εij exprimate în sistemul

de referinţă eşantion:

EØψ = a 3k – a 3l – Ekl (k, l = 1,3) (2.6.)

unde a3k şi a3l sunt cosinusuri directoare între L3 şi Sk şi respectiv Sl


21

Figura 2.3.: Definirea referenţilor laborator (Li) şi eşantion (Si)

Ele pot fi scrise sub forma unei matrici:

cossinsinsincos

0cossin

sinsinsincoscos

ik

a (2.7.)

Substituind ecuaţia (2.6.):

EØψ = E11 cos2Ø sin

2ψ + E12 sin

2Ø sin

2ψ + E22 sin

2Ø sin

2ψ + E33 cos

2ψ +

+E13 cosØ sin2ψ + E23 sinØ sin

2ψ

(2.8.)

În cazul unui material izotrop, ecuaţia constitutivă are forma:

kkijijiJ

E

v

E

vE

1 (2.9.)

unde δij = 1 dacă i = j şi δij = 0 dacă i ≠ j (2.10.)


22

Obţinem:

2

231333221133

2

33

2

22

2

12

2

11

sin)sincos(1

)(1

sin)sinsincos(1

E

v

E

v

E

v

E

vE

(2.11.)

Această ecuaţie permite asocierea deformărilor măsurate prin difracţie în

câmpul de tensiuni descris în referentul asociat eşantionului.

a) Dacă tensorii tensiunilor aplicate au forma:

000

00

00

22

11

şi

000

00

0

22

1211

(2.12.)

33

22

11

00

00

00

şi

00

00

0

33

22

1211

(2.13.)

variaţia EØψ faţă de sin2ψ va fi liniară (figura 2.4A).

b) Dacă ζ13 sau ζ23 sunt ne-nule, termenul asociat lui sin2ψ va contribui la

ecuaţia 2.10. Cum funcţia sin2ψ este o funcţie impară, ea va schimba semnul pentru ψ

> 0 şi ψ < 0, deci curba EØψ faţă de sin2ψ va prezenta o formă eliptică (figura 2.4B.).

c) În anumite cazuri (figura 2.4C), curba EØψ faţă de sin2ψ este îndepărtată fie

de comportamentul liniar fie de comportamentul eliptic. În acest caz, ipoteza de

izotropie nu mai este valabilă şi o tratare mai complexă a problemei devine necesară

(abordată în capitolele ulterioare).


23

A B C

Figura 2.4.: Curbele „d” faţă de sin2ψ găsite în mod obişnuit în analiza tensiunilor

reziduale; curbele (a) şi (b) pot fi aplicate prin ecuaţia 4.15.; curba (c) (material

anizotrop) nu poate fi explicată prin această ecuaţie.

2.2.3. Stări de tensiune plane

În cazul tensiunilor biaxiale ecuaţiile 2.11.şi 2.12. vor lua o formă în care:

2

0

0

2

1S

d

ddE

şi )(sin 22111

2 S

ζØ = ζ11 cos2Ø + ζ12 sin

2Ø + ζ22 sin

2Ø (2.14.)

reprezintă componentele tensiunii care urmează direcţia SØ (figura 4.9.)

E

vS

1

2

12

(2.15.)

E

vS

1 (2.16.)

sunt constantele elastice ale materialului studiat.


24

Se observă că:

1. ecuaţiile constitutive ale materialelor izotrope din punct de vedere

elastic au nevoie de 2 constante elastice independente; ele pot fi: E şi υ

sau mai bine ½ S2 şi S1

2. constantele elastice S1 şi ½ S2 necesare punerii în practică a metodei de

determinare a tensiunilor prin difracţie sunt pe de o parte diferite de

valorile obţinute prin teste mecanice şi pe de altă parte ele depind

puternic de alegerea familiei planurilor difractante; se definesc deci

pentru fiecare familie (hkl) de planuri difractante două constante

elastice radio-cristalografice: )(2

12

hklS şi )(1

hklS

Acestea sunt valori care trebuie să fie introduse în legea EØψ faţă de sin2ψ d.

Problema calculului lor sau a măsurării lor face obiectul unui studiu detaliat

într-un capitol ulterior.

2.2.4. Principii de măsurare biaxiale

După ecuaţia 2.16. se vede că, dacă se cunosc S1 şi ½ S2, este suficient să

măsurăm EØψ pentru 2 valori ale lui ψ pentru a determina ζØ. Măsurarea lui EØψ

revine la măsurarea distanţelor interreticulare.

- Relaţia între ecuaţia 2.15. şi distanţele interreticulaere:


25

Figura 2.5.: Orientările planurilor cristaline care servesc la măsurare prin raport la

suprafaţa eşantionului

a) ψ = 0 şi b) ψ ≠ 0

Pentru un unghi Ø dat:

0

0

d

ddE

(2.17.)

de unde:

00

0

0

0

d

dd

d

dd

d

ddEE

(2.18.)

Nu se comite decât o foarte slabă eroare înlocuind d0 prin d1 la denominant (<

0,1%) deci:

d

ddEE 1

(2.19.)

Şi ecuaţia poate fi scrisă:

d

ddK

Sd

dd

2

2 sin2

1

1 (2.20.)

Cum din punct de vedere al măsurării unghiul 2θ este determinat, se poate

rescrie ecuaţia sub forma:

d

ddg

d

d

2

2cot (2.21.)

Se poate considera în general că cotgθ este constantă şi se alege valoarea

cotgθ┴. În consecinţă, exprimând θ în grade, ecuaţia (2.20.) capătă forma:


26

2

2

1Ø

sin

1

360

2

1

cot)22(

S

g (2.22.)

sau mai bine ζØ = K (2θ┴ - 2θψ) (2.23.)

Pornind de la aceste rezultate, se vede că din punct de vedere experimental

determinarea tensiunilor reziduale necesită (cel puţin) măsurarea poziţiei a 2 vârfuri

de difracţie ale unei aceleiaşi familii (hkl) în funcţie de unghiul ψ.

Metoda de expuneri multiple (sau a sin2ψ)

Ecuaţia 4.46. se poate scrie:

2

2 sin2

1

cot

1360)22( S

g (2.24.)

luând

22

1

cot

1360S

gm (2.25.)

se obţine:

(2θ┴ - 2θψ) = m sin2ψ (2.26.)

Această ecuaţie corespunde celei a unei drepte de pantă m când (2θ┴ - 2θψ)

este dusă grafic în funcţie de sin2ψ (figura 2.6.). În acest caz, dacă un număr suficient

de valori ale θψ sunt reprezentate pentru valori ale lui sin2ψ în mod egal repartizate,

panta dreptei va permite determinarea lui ζØ:

ζØ = K1 . m (2.27.)

cu 360

2

1

cot

2

1

S

gK (2.28.)

Dreapta a cărei ecuaţie este 4.50 .este exprimată prin 20 puncte. Ea trece prin

origine.


27

Figura 2.6.: Reprezentarea lui εØψ – ε┴ = f (sin2ψ)

Figura 2.7.: Reprezentarea lui εØψ = f (sin2ψ)


28

Metoda dublei expuneri

Această metodă (utilizată pentru o evaluare rapidă a tensiunilor reziduale) este

bazată pe ecuaţia (2.29.). Numai 2 valori ale unghiului ψ sunt utilizate pentru a

determina ζØ. Pentru ψ = 0,

ζØ = K1 (2θo - 2θψ) (2.29.)

Metoda numită a „simplei expuneri”

În această metodă, toate datele necesare pentru analiza tensiunilor sunt

obţinute pentru o singură valoare a lui ψ, fiind ψ ≠ 0. Ea este bazată pe faptul că, într-

un material tensionat, conul lui Debye nu mai este circular (figura 2.8a). Acest

rezultat este o consecinţă directă a faptului că normalele N1 şi N2 ale planurilor care

contribuie la difracţie în punctele 1 şi 2 ale conului prezintă diferite înclinări (n1 şi n2)

în relaţie cu direcţia normală la suprafaţă (Ns). În acest caz, deformarea determinată

pe fiecare plan este diferită şi distanţa interreticulară va varia de-a lungul întregului

con al lui Debye introducând alterarea formei circulare. Determinarea diferenţei Δθ

între unghiurile lui Bragg corespunzând punctelor P1 şi P2 pe un film (figura 2.8.) sau

mai bine utilizând detectoare liniare plasate în mod adecvat (figura 2.8b), permite

evaluarea lui ζØ. (Atenţie: numai diametrul P1 P2 conţinut în planul definit de

fascicolul incident şi normala la suprafaţă permite această evaluare a lui σØ). Într-

adevăr utilizând ecuaţia se poate scrie pentru unghiurile lui Bragg asociate fiecărui

fascicol difractat:

2

1

2

1

cot)22(

S

g

1

2sin

1

360

(2.30.)

2

2

2

1

cot)22(

S

g

2

2sin

1

360

(2.31.)


29

Ţinând cont că

a)

2

2

2

1

2

1

sin

22

sin

22

(2.32.)

b) 11

90 n

22

90 n (2.33.)

nnn 21

Tensiunea ζØ se poate scrie:

ζØ = K' Δθ = K' (n2 – n1) (2.34.)

cu

22

2

sinsin

1

2

1

1

360S

K (2.35.)

şi 2

21

(2.36.)


30

Figura 2.8.: Schema metodei de determinare a tensiunilor reziduale numită a

„expunerii simple”

a) utilizând un film b) utilizând două detectoare liniare

Să remarcăm:

1) această procedură este similară metodei dublei expuneri prin faptul că două

unghiuri efective ψ sunt utilizate (n1 şi n2) pentru a determina tensiunea;

2) dacă unghiurile θp1 şi θp2 sunt determinate pentru mai multe înclinări (ψ0,

ψ1, ..., ψn), datele vor permite dezvoltarea unei analize de tip „expunere multiplă”

(sin2ψ)

3) luând β = 45°, sin 2β = 1 şi


31

2

2sin

2

1

1

360S

K (2.37.)

În acest caz, metoda prezintă sensibilitate maximă pentru determinarea lui ζØ.

2.2.5. Principii de măsurare triaxiale

S-a arătat că, în cazul tensiunilor triaxiale, termenul asociat lui sin2ψ

contribuie la ecuaţie. Ţinând cont că sin2ψ este o funcţie impară care schimbă semnul

pentru ψ > 0° şi ψ < 0°, curba EØ faţă de sin2ψ va prezenta o formă eliptică indicând

prezenţa tensiunilor ζ13 şi ζ23.

O metodă simplă care permite determinarea tensorului tensiunilor complet este

ceea ce numim metoda „lui Dolle”. Ca toate metodele pentru determinarea tensiunilor

triaxiale, ea are nevoie de măsurarea deformărilor pentru trei valori ale lui Ø şi ψ > 0°

şi ψ < 0°. În acest caz, termenii a1 şi a2 sunt definiţi:

12

0

1d

dda

2

33

2

22

2

12

2

112sin)sinsincos(

2

1S (2.38.)

)(2

13322111332

SS

2sin)sincos(

2

1

223132

0

2

S

d

dda (2.39.)

Tensiunile ζ11, ζ22, ζ12 şi ζ33 pot fi obţinute pornind de la măsurări ale pantelor

şi originile dreptelor a1 faţă de sin2ψ pentru trei direcţii Ø (Ø = 0°, Ø = 45° şi Ø =

90°).

Tensiunile ζ13 şi ζ23 pot fi deduse pornind de la pante şi origini ale dreptelor a2 faţă de

sin2ψ pentru două direcţii Ø (Ø = 0° şi Ø = 90°).


32

Să remarcăm:

1) În cazul tensiunilor biaxiale, s-a presupus că valoarea distanţei

interreticulare putea fi substituită prin valoarea corespondentă lui ψ = 0.

Dimpotrivă, în cazul tensiunilor triaxiale, diferenţa Δd = dØ – d0 trebuie să fie

utilizată în calcule. Cum termenul Δd este prea mic pentru deformări elastice,

o eroare de ordinul a 0,1% în valoarea lui d0 poate introduce o eroare extinsă

în Δd şi în analiza posterioară. În consecinţă, în metoda numită „a lui Dolle”,

cunoaşterea parametrului reţelei pentru materialul fără tensiunilor devine

critică.

2) În cazul unei stări de tensiuni triaxiale:

33

12

1211

00

02

0

(2.40.)

ecuaţia devine:

(d'33)Øψ = ½ s2 (ζØ – ζ33) sin2ψ + ½ S2 – S1(ζ11 – ζ22 – ζ33) (2.41.)

Utilizând metoda expunerilor multiple, valoarea (ζØ – ζ33) poate fi

determinată într-un mod precis. Dimpotrivă, valoarea lui ζ33 nu poate fi determinată

cu precizie deoarece cunoaşterea lui d0 prezintă dificultăţi experimentale. În

consecinţă, valoarea lui ζØ va avea de asemeni o lipsă de determinare crescută.

Raţionamentul lui ENSAM pe această chestiune este următorul: ţinând cont că

0)0(33

z şi

z

33

(2.42.)

variază slab cu adâncimea z, se poate asigura faptul că ζ33 = 0 în eşantion.


33

BIBLIOGRAFIE

1. Alpeter, P.Hôller - Influence of cementite specific residual stesses of the second

Kind on dynamic magnetic and magneto elastic measuring quantities. Proc. of 9th

Int. Conf. on experimental mechanics Copenhagen, Denmark, 20-24 Aug. 1990

pp.1322-1322.

2. Balekics,, M. – Tribologie. I.P. Traian Vuia. Timişoara, 1991.

3. Barret, C. S. – The Structure of Metals. New York. McGraw Hill. 1952.

4. Batista, A. C. – Contact Fatigue of Automotive Gears. Fatigue Fracture. Eng.

Motor. 23- 2000.

5. Berling, J.T. – Controlled Stain Testing Procedures. ASTM STP 465- 1969.

6. Berthe, D. – Les effets HD sur la fatigue des surfaces dans les contacts hertzienes.

Thèse d'état. 1974.

7. Borneke, K. – Prelucrarea termică a roţilor dinţate cilindrice dure la cementare.

Dis Aachen. 1976.

8. Bomas, H. Ş.a. – Calculation Method for the Fatigue Limit of Parts of Case

Hardened Steels. Material Science on Engineering A 234- 236. 1997.

9. Boucher, C. – Les contraintes résiduelles dans les constructions sables. SENLIS.

CEIM. 1981.

10. Broszeit, E. ş.a. – Influence of Internal Stresses of Material in Component

Subjected to Rolling- Contact Loads. ASME Journal of Tribology. 103- 1984.

11. Cohen, M. – Dislocation in Metals. New York. AIME. 1953.

12. Chang, L. ş.a. – On the Pressure Rippling and Roughness Deformation E.H.D.

Lubrification of Rough Surfaces. ASTM Journal of Tribology. 115- 1993.

13. Castex, L. ş.a. – Détermination des contraintes résiduelles par diffraction des

rayons X. Publ. Sc et Techniques. ENSAM. 1981.

14. Czichos, A. – Influence of Asperity Contact Conditions on the Failure of Sliding.

EHD Contacts Wear. 41- 1977.

15. Cottrell, A. A. – Dislocation and Plastic Flow in Crystals. Oxford Clarendon

Press. 1963.

16. Grandall, S., Dbbl, N.C. – An Introduction to the Mechanics of Solids. New York.

Mc Graw Hill. 1959.

17. Dang Van – Analyse critique des critères de fatigue. Ecole Polytechnique. Paris.

Aut 1977.


34

18. Dang Van – On a New Multiaxial Fatigue Limit Criterion; Theory on

Applications. Biaxial and Multiaxial Fatigue. EGF London, 1989.

19. Deutsch, I. – Rezistenţa materialelor. Bucureşti. Editura Didactică şi Pedagogică.

1976.

20. Dieter, G. E. – Mechanical Metallurgy. New York. McGraw Hill. 1970.

21. Elements Dobrovolski, V. ş.a. – Eléments de machines. Moskva Mir. 1971.

22. Dragoş, L. – Principiile mecanicii analitice. Buc. Ed. Tehnică. 1976.

23. Drăghici, I. Ş.a. – Îndrumar de proiectare în construcţia de maşini. Ed. Tehnică.

Bucureşti. 1981.

24. Dudiţă, F., Diaconescu, D. – Optimizarea structurală a mecanismelor. Ed.

Tehnică. Bucureşti.1987.

25. Elsdorf, M. G. – FVA Studiul indiar roţilor dinţate. Frankfurt. 1989.

26. Felner, C. E., Landgraf, R.W. – Selecting Materials to Resist Low Edge Fatigue.

Paper 69- DE- 59.ASME 1969.

27. Finie, I., Heller, W.R. – Crop of Engineering Materials, McGraw Hill. New York.

1959.

28. Florea, A. – Mecanisme si organe de maşini. Ed. Univ. “Lucian Blaga”. Sibiu.

2003.

29. Florea, R. – Organe de maşini. Ed. Tehnică. Bucureşti. 2007.

30. Florea, V. – Bazele proiectării maşinilor. Vol. I, II, III. Ed. Univ. “Lucian Blaga”.

Sibiu. 2002.

31. Fracht, M. M. – Strength of Materials. The Roland Press. New York. 1961.

32. Goodman, J. – Mechanics Applied to Engineering. Longman Green. London.

1999.

33. T.M Holden, R.R. Hosbons/S.R MacEwen, E.C. Flower, M.A. Bourkl -

Comparison between finite element calculations and neutron diffraction

measurements. Residual stress in a diametrically compressed ring. Proc. of the

NATO Advanced Research Workshop on Measurement of Residual Stress Using

Neutron Diffraction. Oxford, United Kingdom March -1991 pp. 93 – 112.

34. Houk, Y. – Determination of sabat peeled surface state using the magnetic

Barkhousen noise method. Int. symposium saarbitchen FRG. 1988.

35. Hibbeler, R. C. – Mechanics for Engineers. Studies and Programs. Macmillan

Publishing Company. New York. 1985.


35

36. Hoffman, O., Sacks, G. – Introduction to the Theory of Plasticity for Engineers.

McGraw Hill. New York. 1953.

37. Höhn, B. R., Oster, P. – Contactul flancului – contactul rulant. EDH. 1995.

38. Ioannides, E. ş.a. – Prediction of Rolling Bearing Life under Practical Operating

Conditions. Tribological Design of Machine Elements. Leeds- Lyon. 1989.

39. Jones, C. I. – Design. Metode şi aplicaţii. Ed. Tehnică. Bucureşti. 1975.

40. Jula, A. – Organe de maşini. Vol. I. Ed. Univ. Transilvania. 1989.

41. Kloos, K. A., Velten, E. – Influenţa călirii la cementare asupra rezistenţei variabile

a încovoierii probelor. München. 1984.

42. Kiessling, R. – Non Metallic Inclusions in Steel. Part III. The Iron and Steel

Institute. 1968.

43. Kuttner, Th., Zieger, H. – Calcularea rezistenţei oscilatorii la oboseală. 1992.

44. Issler, L. Ş.a. – Teoria de opunere a materialelor. Springer Verlag. Berlin. 1995.

45. Koller, R. – Konstruktionsmethode für den Machinen. Springer Verlag. Berlin.

1976.

46. Kweh, C. C. – Micro-elastohydrodynamic Lubrication of an Elliptical Contact

with Transverse and Three- dimensional sinusoidal roughness. Trans ASME.

Journal of Tribology. 111- 1989.

47. Lang, O. R. – Tensiunile reale ale piciorului dintelui şi solicitările admisibile.

1979.

48. Läpple, V. – Wärmebehandlung des Stahls. Europa Lehrmittel Verlag. Köln.

2006.

49. Lebrun, J. L. ş.a. - Détermination des contraintes résiduelles par diffraction des

rayons X. ENSAM. 1981.

50. Lessells, J. – Strength and Resistance of Metals. Wiley. New York. 1974.

51. Ladini, A., Perrin, M. - Détermination des contraintes résiduelles par diffraction

des neutrons. Mém. Sci. Rev. de Mét. 1989.

52. E. Macherauh, K.H. Kloss - Origine mesurement and evaluation of residual

stresses. Residual stress in science and technology, Vol.l- 1987, pp 3 - 26.

53. Maeder, J.L. ş.a. - Détermination des contraintes résiduelles par diffraction des

rayons X. CNRS 1989.

54. Mantea, St., Dulămiţa, T. – Teoria şi practica tratamentelor termice. Ed. Tehnică.

Bucureşti. 1966.


36

55. Matieşan, D. Ş.a. – Elemente de proiectare pentru reductoare. I. P. Cluj Napoca.

1985.

56. Meguid, G. A. – Engineering Fracture Mechanics. Elsever. New York. 1989.

57. Michau, B. ş.a. – Influence of Pressure Modulation in a Linear Hertzian Contact

on the Internal Stress Field. Wear. 28- 1994.

58. J. Mignot, D. Rondot - Méthode de séparation des dimensions du domaine et des

microdéformations à partir des coefficients de Fourier d'un seul profil de raie de

diffraction X" Acta mettallurgica, Vol 23, Nov 1975, pp. 1321 – 1324.

59. Murakami, Y., Endo, M. – Effects of defects, Inclusions and Structures. 21- 1998.

60. Neuber, H - Theory of Notch Stress,Springer-Verlag, Berlin. 1958.

61. Noyan, J.C., Cohen, J.B. – Residual Stress Measurement by Diffraction. Springer

Verlag. 1987.

62. Nowik, A. S. – Internal Friction in Metals. London. 1988.

63. Olszok, W. ş.a. – Teoria plasticităţii. Ed. Tehnică. Bucureşti. 1980.

64. Pohl, G. Ş.a. – Engineering Design. Springer Verlag. Berlin. 2003.

65. Pohl, G. Ş.a. – Konstructionslehre. Springer Verlag. Berlin. 2002.

66. Pascovici, M. – Lubrificaţia prezent şi perspective. Ed. Tehnică. Bucureşti. 1985.

67. Pavelescu, D. Ş.a. – Organe de maşini. E.D.P. 1985.

68. Pelecudi, Chr. – Bazele analizei mecanismelor. Ed. Academiei. Bucureşti. 1972.

69. Peterson, R. E. – Stress Concentration Factors. J. Wiley. New York. 1974.

70. Petch, N. J. – The Fracture of Metals. London Pergamon. 1984.

71. Pintschovius, L. – Determination of residual stress by Neutron Diffraction.

Journée Mettalurgic CEA SACLAY. 1989.

72. Pope, J. A. – Metal Fatigue. London Chapman. 2006.

73. Popescu, N., Vitănescu, C. – Tehnologia tratamentelor termice. Ed. Tehnică.

Bucureşti. 1974.

74. N. J. Rendler şi J. Vigness - Holle-drilling. Strain-gage. Method of measuring

residual stresses. Experrimental Mecanics, Vol.6, N° 12, Décembre 1966, pp.577

– 586.

75. Reed Hill, R. E. – Physical Metallurgy Principles. Von Nostrand. Princeton. 1964.

76. Reşetov, D. N. – Organe de masini. Editura Tehnica. Bucureşti. 1963.

77. Richards, C. W. – Engineering Materials Science. London Chapman & Hill

Limited. 1961.


37

78. Ripianu, A., Albu, A. – Osii şi arbori rectilinii. Ed. Tehnică. Bucureşti. 1974.

79. Roloff/ Matek ş.a. – Machinenelemente. Views der Technik. 2000.

80. Schönenbeck, G. – Influenţa lubrifiantului asupra oboselii flancului dintelui.

München. 1984.

81. Solomon, L. – Elasticitate lineară. Ed. Academiei. 1969.

82. Soudan, X. – Etudes comparatives des méthodes de determination des contraintes

résiduelles, difraction des rayons X, trou incremental.

83. Southwell, R. V. – An Introduction to the Theorz of Elasticity. Oxford University

Press. New York. 1941.

84. Sprauel, J. M. Ş.a. - X-Ray Stress Analysis. Epdic. Munich. 1991.

85. STP Bearing Steels. The Rating of Nonmetallic Inclusions. STP 575. ASTM

Philadelphia. 1975.

86. Stadlhauer, W. – Bainitic Steels for Rails. München. 2002.

87. Swan, H. Ş.a. – Failure Proces of Bearing Steel in Rolling Contact Fatigue in Ball

Bearing. Metallurgical Transactions. Aug. 1976.

88. Schoek, G. – Dislocation Theory of Plasticity of Metals. New York Publishers.

1960.

89. Shigley, D. – Mechanical Engineering Design. McGraw Hill. New York. 1972.

90. Săvescu, D. – Organe de maşini. Ed. Ex Libris. Braşov. 1999.

91. Shewann, P. G. – Transformation in Metals. McGraw Hill. New York. 2008.

92. Schuman, T. E. – Metalurgie fizică. Ed. Tehnică. Bucureşti. 1967.

93. Timoşenco, S. P., Goodier, J. N. – Theorz of Elasticity. McGraw Hill. New York.

1953.

94. Ueda, Y. ş.a. – Three dimensional welding residual stress calculated and

measured. Cambridge. Sept. 1985.

95. Vişa, I. Ş.a. – Proiectarea mecanismelor. Ex Libris. Braşov. 2004.

96. Voskamp, A. P., Microstructural Changes During Rolling Contact Fatigue. Delft.

1996.

97. Velten, E. – Dezvoltarea unui concept de rezistenţă pentru calcularea rezistenţei la

oboseală a probelor ecruisate ale stratului periferic. Dormstadt. 1984.


38

CUPRINS

CALCULUL TENSIUNILOR .......................................................................... 2

1. Metoda găurii incrementale ..................................................................... 2

1.1. Aparataj şi mod de lucru ............................................................ 2

1.2. Calculul tensiunilor .................................................................... 5

1.3. Precizia şi repetabilitatea măsurătorilor ..................................... 12

1.4. Validare ...................................................................................... 14

2. Metoda difracţiei cu raze X ..................................................................... 17

2.1. Aparataj şi mod de lucru ............................................................ 17

2.2. Calculul tensiunilor .................................................................... 17

2.2.1. Principiu ........................................................................... 17

2.2.2. Ecuaţia generală ............................................................... 20

2.2.3. Stări de tensiune plane ..................................................... 23

2.2.4. Principii de măsurare biaxiale ......................................... 24

2.2.5. Principii de măsurare triaxiale ......................................... 31

Bibliografie ............................................................................................. 33

calcul -...

Documents