c3 identificarea sistemelor

Click here to load reader

Post on 26-Nov-2015

60 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

q

TRANSCRIPT

  • Capitolul

    Elemente de Identificarea Sistemelor

    Acest capitol constituie o trecere n revist a elementelor de baz din domeniul Identificrii (experimentale a) Sistemelor. Este evideniat importana etapelor de achiziie a datelor, alegerea modelului de identificare i a metodei pentru estimarea parametrilor acestuia. Discuia este focalizat pe o serie de metode de identificare bazate pe tehnici recursive, nrudite cu Metoda Celor Mai Mici Ptrate. Aceste metode sunt utilizate pentru identificarea att n bucl deschis, ct i nchis i se bazeaz pe principiul adaptrii parametrice n manier recursiv. Sunt evideniate performanele i limitrile acestor metode, precum i mijloacele statistice de validare ale modelelor identificate. Capitolul se ncheie cu prezentarea unor tehnici de identificare n bucl nchis, utilizate cu prioritate n controlul adaptiv.

    3.1 Principiul adaptrii parametrice Posibilitile recente oferite de calculul numeric permit dezvoltarea i implementarea algoritmilor de identificare a modelelor discrete ale proceselor [14], [18], [52], [55]. Identificarea modelelor parametrice prin tehnici recursive de prelucrare [26] ofer numeroase avantaje raportat la alte proceduri de identificare cunoscute. Algoritmi de identificare performani, avnd o exprimare recursiv convenabil calcului numeric, au fost dezvoltai cu prioritate n ultima perioad. Principiul de estimare a parametrilor unui modelul discret cu ajutorul unei proceduri recursive este ilustrat n Figura 3.1. Un model parametric discret este implementat pe un calculator. Diferena ntre ieirea procesului y i ieirea predictat cu ajutorul modelului, y , diferen numit eroare de predicie, este folosit de o procedur de adaptare recursiv, care, la fiecare moment de eantionare, va modifica parametrii modelului pentru a minimiza un criteriu de optimizare ptratic exprimat n funcie de eroarea de predicie. Intrarea u folosit n experimentul de identificare ca semnal de stimul al procesului, este n general o secven binar pseudo-aleatoare (SPAB), generat de calculator (succesiune de impulsuri rectangulare de durat variabil, cu amplitudinea determinat de caracteristicile procesului). Odat

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 70

    modelul identificat, o validare obiectiv poate fi efectuat cu ajutorul unor teste statistice aplicate erorii de predicie y y = i ieirii predictate y . Testul de validare permite ca, pentru un proces dat, s se aleag cel mai bun algoritm, respectiv cel mai bun model ca structur pentru estimarea parametrilor.

    Figura 3.1. Principiul estimrii parametrice adaptive.

    Aceast abordare modern de identificare elimin toate defectele metodelor clasice i ofer n plus alte posibiliti, cum ar fi: urmrirea variaiilor parametrilor procesului n timp real, identificarea modelelor de perturbaie, validarea rezultatelor experimentului de identificare, etc. Elementul cheie pentru abordarea prin recuren a mecanismului de identificare a modelelor dinamice discrete, este algoritmul de adaptare parametric (aap), care ajusteaz parametrii modelului de predicie pe baza informaiilor primite din proces, la fiecare pas de eantionare. Acest algoritm are o structur recursiv, adic noua valoare a parametrilor se obine din valoarea precedent la care se adaug un termen de corecie dependent de ultimele msuratori, dup urmtorul principiu general:

    (3.1) n (3.1), vectorul care conine mrimile msurate la intrarea i ieirea procesului, se numete vector al regresorilor (observaiilor). Reamintim c exist algoritmi nerecursivi de identificare parametric, care trateaza n bloc fiierele de date I/O obinute pe o perioad de timp. Raportat la aceste tehnici, identificarea recursiv ofer avantajele urmtoare: obinerea unei

    Proces discretizat

    CNA +

    EOZ PROCES CAN

    Model discret ajustabil

    Algoritm de adaptare parametric

    Parametrii modelului

    u y

    y ^

    Parametrii estimai urmtori (vector)

    Parametrii estimai cureni (vector)

    = +

    Amplificare de

    adaptare (matrice)

    Mrimi msurate regresate (vector)

    Eroare de

    predicie (scalar)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 71

    estimri a modelului pe msur ce procesul evolueaz, o compresie important de date, deoarece algoritmii recursivi nu trateaz n fiecare moment dect o pereche I/O, necesitatea unei memorii i a unei puteri de calcul sensibil mai reduse, posibilitatea realizrii unei identificri n bucl nchis, posibilitatea de identificare a sistemelor cu parametri variabili n timp. Paragraful urmtor este dedicat prezentrii algoritmilor de identificare bazai pe mecanismul de adaptare parametric.

    3.2 Algoritmi de identificare recursiv pe baz de gradient Algoritmul de adaptare parametric poate fi proiectat cu ajutorul unor tehnici de optimizare de tip gradient, mpreun cu un criteriu ptratic exprimat n funcie de eroarea de predicie. Obiectivul const n determinarea parametrilor optimali prin minimizarea acestui criteriu. Considerm un proces cu parametri necunoscui. Modelul discret al procesului este de tip ARX i poate fi exprimat prin ecuaiile (1.12) (detaliat) sau (1.15)-(1.16) (n form polinomial), da pentru k N n loc de 1k + . Dac se introduc notaiile:

    1 2 1 2

    T

    nA nBa a a b b b = i

    ( ) [ ( 1) ( 2) ( )( 1) ( 2) ( ) ,

    T

    T

    k y k y k y k nA

    u k d u k d u k d nB

    =

    (3.2)

    unde este vectorul parametrilor necunoscui ai modelului ARX, iar este vectorul regresorilor (format din date I/O msurate), modelul ARX se poate exprima simplu sub forma:

    ( ) ( ) Ty k k= , k N . (3.3) Plecnd de la exprimarea (3.3), n care se consider c i vectorul parametrilor variaz n timp, se poate construi un model de predicie ajustabil ca n ecuaiile (1.12) sau (1.13). Mai precis:

    ( )

    01

    1

    ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)

    ( ) ( ) ( ) ( 1)1 ( ), .

    nA

    nB

    T

    y k a k y k a k y k nA

    b k u k d b k y k nB d

    k k k

    + = + +

    + + + + =

    = +

    N

    (3.4)

    De notat c ( )1k + depinde de valori I/O msurate pn la momentul k , dar nu i la momentul 1k + (a se vedea definiia (3.2)). Se consider c expresia (3.4) reprezint un predictor a priori. Se poate arta c acesta este optimal [52], [55], n sensul c minimizeaz eroarea de predicie a priori, definit prin:

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 72

    ( ) 0 0( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( )Tk y k y k y k k k + = + + = + + , k N . (3.5) n mod similar, se poate defini eroarea de predicie a posteriori, folosind vectorul de parametri estimai la pasul urmtor (i nu la pasul curent, ca n definiia (3.5)): ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1)Tk y k y k y k k k + = + + = + + + , k N . (3.6) Plecnd de la aceste definiii, se caut un algoritm de adaptare parametric recursiv, cu memorie. Structura general a unui astfel de algoritm este urmtoarea (n concordan cu principiul general (3.1)):

    ( )0 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ), ( ), ( 1)k k k k k k k+ = + + = + + f , k N , (3.7) unde funcia f care definete corecia aditiv depinde de informaiile disponibile la momentul 1k + , cel mult. Pentru e deduce expresia termenului de corecie, se poate rezolva o problem de minimizare a ptratului erorii de predicie a priori, la fiecare pas de eantionare:

    ( )0

    20

    ( )( )

    ( 1) arg min ( 1)k

    k

    k k + = +

    J

    , k N . (3.8)

    Soluia problemei (3.8) se poate obine printr-o procedur iterativ de tip gradient. n acest caz, algoritmul de adaptare parametric are forma: ( )0( ) ( 1) ( ) ( )kk k k+ = P J , k N , (3.9) unde 0>P este matricea de adaptare parametric (strict pozitiv definit). De exemplu, 2= P I , cu R (matrice diagonal constant). Prin derivarea definiiei (3.5), se obine:

    ( )0 0

    ( )0

    ( 1) ( ) 2 ( 1) ( 1)( ) 2 1 ( 1), .

    kk k k k

    k k k k

    + = + + = = + + +

    P

    P N (3.10)

    Algoritmul de adaptare parametric exprimat de ecuaia (3.10) prezint riscul de oscilaie, dac amplificarea de adaptare este mare. Pentru a evita acest risc, folosim aceeai abordare a gradientului, dar considerm varianta care folosete un criteriu exprimat n funcie de eroarea de predicie a posteriori. Cu alte cuvinte, se poate rezolva o problem de minimizare aletrnativ:

    ( )1

    21

    ( 1)( 1)

    ( 1) arg min ( 1)k

    k

    k k+

    +

    + = +

    J

    , k N . (3.11)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 73

    Soluia problemei (3.11) are aceeai form ca i soluia problemei de optimizare (3.8), dar adaptat la noul criteriu de optimizare (cu definiia (3.6)): ( ) ( )1 1( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 1 ( 1)kk k k k k k++ = + = + + + P PJ , k N . (3.12) Pentru a compara cele dou metode de gradient (exprimate de relaiile recursive (3.10), respectiv (3.12)), poate fi pus n eviden o corelaie ntre cele dou erori de predicie. Prin combinarea definiiei (3.6) cu relaia recursiv (3.12), se obine: ( ) ( ) ( )

    0

    1 1

    ( 1)

    ( 1) ( 1) 1 ( ) 2 1 1 ( 1)T Tk

    k y k k k k k k +

    + = + + + + + P

    ,

    k N , (3.13) de unde rezult:

    ( ) ( )0

    1 ( 1)( 1)1 2 1 1T

    kkk k

    + + =

    + + + P, k N . (3.14)

    nlocuind ecuaia (3.14) n relaia recursiv (3.12), se obine:

    ( )( ) ( )

    02 1 ( 1) ( 1) ( )

    1 2 1 1Tk k

    k kk k+ +

    + = ++ + +

    P

    P, k N . (3.15)

    Algoritmul de gradient (3.15) este mai stabil dect (3.10), pentru orice matrice de amplificare strict pozitiv definit, datorit factorului de normare care nsoete corecia.

    3.3 Metoda Celor Mai Mici Ptrate n variant recursiv (MCMMP-R) Folosind algoritmii pe baz de gradient, se minimizeaz ptratul erorii de predicie la fiecare moment de eantionare. Aceasta se realizeaz printr-o deplasare dup cea mai rapid direcie de descretere a oricruia dintre criteriile 0J sau 1J , cu un pas dependent de matricea de adaptare P . Cu toate acestea, deoarece pasul de naintare ctre optim este constant, viteza de convergen este modest. Ar trebui gsit o manier de a opera cu pas variabil. O posibilitate este dat de reeta general a algoritmilor de gradient cu pas variabil pentru criterii ptratice, cum este cea a Algoritmului Gauss-Newton [52], [55]. Complexitatea acestei metode este ns relativ ridicat. Pentru a obine un pas variabil cu efort sczut de calcul, se poate considera problema minimizrii erorii ptratice de predicie globale, evaluate pe ntregul orizont de msur curent. Aceasta se formueaz nsumnd ptratele erorilor de predicie a priori pe orizontul de msur, calculate cu ajutorul vectorului curent de parametri:

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 74

    ( )( )

    2

    ( ) 0( )

    ( 1) arg min ( 1) 1 ( )k

    T

    k n

    k

    k y n n k=

    + = + +

    J

    , k N . (3.16)

    Soluia problemei (3.16) este oferit de Metoda Celor mai Mici Ptrate n variant recursiv (MCMMP-R). Exist dou strategii de determinare a soluiei: fie utiliznd o metoda de gradient (ca n seiunea precedent), fie printr-o abordare matricial, ingenioas. Vom descrie a doua strategie (prima menionat putnd constitui un exerciiu util pentru cititor). Pentru a deduce relaiile recursive ale algoritmului aferent MCMMP-R (care concur la determinarea vectorului corector ( 1)k + din (3.7)), se pleac de la expresia estimaiei parametrilor necunoscui n variant nerecursiv [52], [55]. Aceasta poate fi exprimat astfel nct s fie pus n eviden pasul curent de eantionare:

    1

    0 0

    ( ) ) ( ) ) ( )k k

    T

    n n

    k n n n y n

    = =

    = ( (( (( (( ( , k N . (3.17)

    Teorema fundamental a MCMMP ofer, printre altele, posibilitatea de a determina matricea de auto-covarian a erorii de estimare relative la vectorul parametrilor din (3.17), tradiional notat prin ( )( )kP . Astfel, conform teoremei, ea este proporional chiar cu matricea inversat din ecuaia (3.17). Aceasta sugereaz notarea matricii inversate din (3.17) prin ( )kP . Aadar, prin definiie:

    1

    0( ) ) ( )

    kT

    n

    k n n

    =

    = P ( ( ( ( , k N . (3.18)

    De notat c matricile ( )kP sunt toate simetrice i (strict) pozitiv definite, deoarece matricile care au fost inversate au i ele aceast proprietate. Un prim pas n calea deducerii unei relaii recursive ntre vectorii parametrilor l constituie utilizarea unei recurene evidente pe care o verific matricile 1( )kP :

    11

    0 01

    ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )

    ( 1) ) ( ), ,

    k kT T T

    n n

    T

    k n n n n k k

    k k k k

    = =

    = = + =

    = +

    P

    P N

    ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

    ( ( ( ( (3.19)

    unde (0)P este o matrice iniial arbitrar aleas, cu condiia s fie simetric i (strict) pozitiv definit. Folosind recurena (3.19) (i acelai artificiu ca n deducerea acestei recurene) egalitatea (3.17) devine (pentru k N ):

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 75

    ( )( )

    ( )

    1

    0 0

    1

    1

    1

    ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( )

    ( 1) ( 1)( ) ( 1) ( 1) ) ( )

    ( ) ( ) ) ( ) ( 1) ) ( ) ( 1) ( ) ) ( ) ( ) ( 1) .

    k k

    n n

    T

    T

    k k n y n k n y n k y k

    k k

    k k k k y k

    k k k k k k y k

    k k k y k k k

    = =

    = = + =

    = + =

    = + =

    = +

    P P

    P

    P P

    P P

    P

    ( ( (( ( (( ( (( ( (

    ((((( (( (( (( (

    ( ( ( (

    (3.20)

    n relaia recurent (3.20), este remarcabil faptul c estimaia curent a vectorului parametrilor necunoscui se exprim prin simpla adugare a unui vector corector. Procesul recursiv pleac de la o valoare iniial (0) oarecare. Rezult c vectorul corector este definit prin:

    ( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 1)Tk k k y k k k= P ( ( ( ( , k N (3.21) i pune n eviden doi factori remarcabili. Primul dintre ei este chiar eroarea de predicie a priori a modelului de regresie de la pasul anterior (a se vedea definiia (3.5)):

    0 ( ) ( ) ( ) ( 1)Tk y k k k = , k N . (3.22) Pentru a reactualiza parametrii este aadar necesar prognozarea ieirii procesului furnizor de date folosind istoria valorilor acesteia pn la pasul curent. Al doilea factor este un vector definit prin:

    ( ) ( ) )k k k= P (((( , k N . (3.23) i se numete ctig (de senzitivitate). Rolul su este de a pondera eroarea de predicie pentru fiecare component a vectorului parametrilor estimai. Nu toi parametrii sunt la fel de sensibili la reactualizare, acest lucru justificnd prezena ctigului n expresia vectorului corector. Cu definiiile (3.22) i (3.23), ecuaia recurent (3.20) devine:

    0 ( ) ( 1) ( ) ( )k k k k= + , k N . (3.24)

    n acest moment, ecuaiile (3.22)-(3.24) ar putea constitui esena algoritmului aferent al MCMMP-R. Acest algoritm sufer ns de un inconvenient major: pentru evaluarea ctigului cu definiia (3.23) este necesar inversarea unei matrici la fiecare pas de reactualizare. Aa cum se tie, efortul de calcul necesar acestei operaii este proporional cu puterea a treia a dimensiunii matricii , adic a lungimii vectorului parametrilor modelului de identificare. Chiar dac se exploateaz

    Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt

    Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt

    Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt

    Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 76

    proprietile de simetrie ale acestor matricilor, efortul de calcul nu se reduce semnificativ. n anumite situaii (de exemplu cnd perioada de eantionare are valori mici, iar numrul de parametri are valori mari), este posibil ca urmtorul set de date achiziionate s fie disponibil nainte de ncheierea calculelor pentru reactualizarea vectorului de parametri, din cauza operaiei de inversare, care este mare consumatoare de timp. Din acest motiv, algoritmul trebuie optimizat, n sensul evitrii operaiei de inversare, dac este posibil. Din fericire, un rezultat remarcabil din Teoria Matricilor permite optimizarea algoritmului n sensul dorit. Este vorba despre lema de inversare matricial exprimat prin:

    ( ) 1 11 1 11T

    TT

    + = +

    A bb AA bb Ab A b

    , (3.25)

    pentru orice matrice inversabil A i orice vector b cu dimensiune corespunztoare acesteia. Astfel, relaia de recuren (3.19) poate fi exprimat cu ajutorul lemei (3.25), n mod echivalent, astfel:

    11 ( 1) ) ( ) ( 1)( ) ( ) ) ( ) ( 1)1 ( ) ( 1) )

    TT

    T

    k k k kk k k k kk k k

    = + = +

    P PP P PP

    ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ,

    k N . (3.26) Matricea ( 1)k P fiind (strict) pozitiv definit, numitorul fraciei din ecuaia (3.26) este ntotdeauna strict pozitiv, deci inversabil. Relaia de recuren (3.26) ilustreaz un aspect remarcabil: la fiecare pas de reactualizare, efortul depus pentru inversarea matricii la pasul anterior este conservat, fiind necesar doar o corecie n care nu se mai inverseaz o matrice, ci un scalar. Se poate observa cu uurin c, datorit simetriei matricii ( 1)k P , efortul de calcul implicat de relaia (3.26) este acum proporional cu ptratul lungimii vectorului parametrilor, ceea ce poate conduce la o mbuntire semnificativ (n special n cazul modelelor complexe). Algoritmul aferent MCMMP-R poate fi i mai mult optimizat, dac relaia recurent (3.26) este folosit n evaluarea ctigului (3.23). Astfel, se constat verificarea urmtoarei proprieti remarcabile (pentru k N ):

    ( 1) ) ( ) ( 1) )( ) ( ) ) ( 1) )1 ( ) ( 1) )

    ( 1) ) ( 1) ) ( ) ( 1) )

    T

    T

    T

    k k k k kk k k k kk k k

    k k k k k k k

    = = =

    +

    + =

    P P P P

    P

    P P P

    ( (( (( (( (( (( (( (( ( ( ( ( (

    ( ( (( ( (( ( (( ( (1 ( ) ( 1) )

    ( 1) ) ( ) ( 1) )

    T

    T

    k k k

    k k k k k

    +

    P

    P P

    ( ( ( (( (( (( (( (

    1 ( ) ( 1) )( 1) )

    .

    1 ( ) ( 1) )

    T

    T

    k k kk kk k k

    =

    +

    =

    +

    PP

    P

    ( ( ( (((((

    ( ( ( (

    (3.27)

    Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 77

    Rezult c relaia recursiv a matricilor inverse (3.26) poate fi simplificat: ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)Tk k k k k= P P P , k N . (3.28) Varianta de baz a algoritmului aferent MCMMP-R este aadar constituit din relaiile (n aceast ordine): (3.22) (eroarea de predicie a priori), (3.27) (ctigul de senzitivitate), (3.28) (matricile de auto-covarian a erorii de estimare) i (3.24) (vectorul urmtor al parametrilor estimai). Pentru iniializarea algoritmului, exist dou strategii. Dac nu sunt disponibile informaii referitoare la procesul furnizor de date nainte de iniierea calculului recursiv, se apeleaz la o iniializare neutr, care const n:

    (0) ales arbitrar (eventual nul) i 0(0) = P I , cu 0 + R . (3.29) Altfel, se apeleaz la o iniializare personalizat. Astfel, mai nti, se iniiaz achiziia datelor furnizate de proces n manier off-line, pe un orizont de msur redus (cel mult de ordinul zecilor de date aciziionate). Apoi, se apeleaz la una dintre metodele de identificare nerecurente, de preferin din clasa MCMMP, pentru a evalua matricea (0)P i vectorul (0) . De notat c matricea se obine prin inversare, de aceast dat. Operaia de inversare se execut ns numai o singur dat, n etapa de iniializare. De exemplu, n cazul utilizrii MCMMP, iniializarea personalizat const n:

    11

    0(0) ) ( )

    NT

    n

    n n

    =

    = P ( ( ( ( i

    1

    0

    (0) (0) ) ( )N

    n

    n y n

    =

    =

    P (((( . (3.30)

    De regul, iniializrile personalizate conduc la timpi tranzitorii mai mici n procesul recursiv de adaptare a parametrilor dect iniializrile neutre, numai c ele necesit un set de date achiziionate a priori. Dei nu se specific explicit, dac este disponibil, setul redus de date achiziionate trebuie centrat pe medie, pentru evitarea pierderii consistenei din cauza erorilor sistematice de msur. De notat totui c iniializarea acestui algoritm este important doar n stabilirea timpului tranzitoriu necesar pentru ca parametrii estimai s nceap s i urmreasca pe cei adevrai, dar, aa cum s-a demonstrat, ea nu are influen asupra consistenei estimaiei [55]. Cu toate acestea, este recomandat ca matricea iniial (0)P s fie (strict) pozitiv definit i simetric. Dac ea nu verific aceste proprieti, algoritmul continu s funcioneze, dar rezultatele sale pot fi extrem de eronate n zona tranzitorie. MCMMP-R este folosit n numeroase aplicaii, de exemplu de reglare adaptiv sau de filtrare adaptiv. (Alte versiuni ale acestei metode sunt descrise n [55].) Algoritmul de identificare aferent arat c ecuaia de reactualizare (3.24) are o form similar ecuaiei (3.15) obinut prin Metoda Gradientului. Cu toate acestea, matricea de amplificare este acum variabil n timp i corecteaz automat att direcia gradientului, ct i lungimea pasului de avans.

    Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 78

    Mai mult, acest n cadrul acestui algoritm, amplificarea de adaptare este descresctoare, n sensul c matricea ( 1) ( )k k P P este pozitiv semi-definit la orice pas de adaptare k N (a se vedea relaia (3.26)). Aceasta implic faptul c, n cursul reatualizrii parametrilor, este acordat din ce n ce mai puin pondere noilor erori de predicie, deci noilor msurtori. Alte tipuri de ponderare a erorilor de predicie n vederea evalurii coreciei pot fi de asemenea considerate.

    3.4 Variante ale MCMMP-R utilizate n comanda numeric Formula de reprezentare a inversei amplificrii de adaptare (3.19) se generalizeaz prin introducerea a dou ponderi 1 i 2 care variaz n intervalul (0,1] , aa cum este indicat n continuare:

    1 11 2( ) ( 1) ( 1) ( 1) ) ( )Tk k k k k k = + P P ( ( ( ( , k N . (3.31)

    Cele dou ponderi din ecuaia (3.31) au efecte opuse: creterea lui 1 provoac o cretere a amplificrii de adaptare, n timp ce creerea lui 2 conduce la diminuarea acesteia. Pentru fiecare alegere a ponderilor se produce un profil de variaie a amplificrii de adaptare i o interpretare difereniat n termenii criteriului ptratic de eroare. Prin aplicarea lemei de inversare matricial (3.25) asupra relaiei recursive (3.31), se obine o relaie recursiv generalizat verificat chiar de amplifcarea de adaptare:

    11

    2

    1 ( 1) ) ( ) ( 1)( ) ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( 1) )( 1)

    T

    T

    k k k kk k kk k k kk

    = +

    P PP PP

    ( ( ( ( ( ( ( (

    ,

    k N . (3.32) Criteriul de minimizare trebuie de asemenea generalizat, astfel nct s se in cont de ponderile 1 i 2 . O generalizare frecvent utilizat n aplicaii conduce la urmtoarea problem de minimizare:

    ( )( ),1 2

    21 2

    ( ) 0( )

    ( 1) arg min ( ) ( ) ( 1) 1 ( )k

    k n n T

    k n

    k

    k k k y n n k

    =

    + = + +

    J

    ,

    k N . (3.33) Practic, asupra erorilor de predicie acioneaz acum dou ferestre exponeniale alunectoare: una, cu baza 1 , care amplific datele recente, depondernd datele

    Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt

    Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt

    Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 79

    nvechite i alta, cu baza 2 , care, din contr, amplific datele mai vechi, depondernd datele recente. n continuare, vor fi precizate cteva alegeri posibile pentru cele dou ponderi, alegeri nsoite de interpretri corespunztoare, referitoare la aplicabilitatea algoritmului asociat MCMMP-R generalizate (MCMMP-RG). 3.4.1 MCMMP-RG cu amplificare descresctoare n acest caz: 1 2( ) ( ) 1k k = = , k N . (3.34) Acesta este cazul particular care conduce la MCMMP-R n varianta de baz. Amplificarea de adaptare are un profil descresctor, recomandat n identificarea proceselor (cvasi-)staionare. 3.4.2 MCMMP-RG cu factor de uitare constant n acest caz: 1( ) (0,1)k = & 2( ) 1k = , k N , (3.35) Valorile tipice ale constantei (numit i factor de uitare) sunt:

    [0.95,0.999] . Criteriul de minimizare trebuie de asemenea adaptat profilului amplificrii de adaptare prin ponderarea ptratelor erorilor de predicie cu o fereastr alunectoare de tip exponenial, avnd baza egal cu factorul de uitare:

    ( )( )

    2

    ( ) 0( )

    ( 1) arg min ( 1) 1 ( )k

    k n T

    k n

    k

    k y n n k

    =

    + = + +

    J

    , k N . (3.36)

    Efectul premeditat al factorului de uitare este acela de a introduce o atenuare din ce n ce mai puternic asupra datelor nvechite, care trebuie s fie din ce n ce mai repede uitate. Ponderea maxim este deinut de ultimul termen al sumei din definiia criteriului J , adic de ultima eroare de predicie. Acest profil al amplificrii de adaptare este recomandat n identificarea proceselor cu parametri lent variabili n timp.

    3.4.3 MCMMP-RG cu factor de uitare variabil n acest caz: 1 1 2( ) ( 1) (1 ) ( 1)k k k = + & 2( ) 1k = , k N . (3.37) unde [0.95,0.999] este un factor de compromis. Procesul recursiv al ponderii

    1 (factorul de uitare variabil) debuteaz cu o valoare iniial aleas tot n

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 80

    intervalul [0.95,0.999] . Se observ c irul factorilor de uitare este cresctor, limita sa fiind egal cu 1. n acest context, problema de optimizare se reformuleaz astfel:

    ( )( )( )

    2

    ( ) 0( )

    ( 1) arg min ( ) ( 1) 1 ( )

    k

    kk n T

    k n

    k

    k k y n n k

    =

    + = + +

    J

    , k N . (3.38)

    Cum factorul de uitare tinde asimptotic la 1, rezult c efectul de uitare este mai pronunat pentru datele iniiale dect pentru datele ndeprtate de momentul iniierii adaptrii. Profilul amplificrii de adaptare tinde spre un comportament descresctor. Acest tip de algoritm este recomandat n identificarea proceselor cu parametri care se stabilizeaz la valori staionare, dup o anumit durat de timp.

    3.4.4 MCMMP-RG cu urm constant n acest caz, ponderile sunt alese automat la fiecare pas de adaptare, astfel nct s se asigure o valoare constant a urmei matricii de amplificare (suma termenilor diagonali ai acesteia trebuie s fie constant): [ ] [ ] 0Tr ( ) Tr (0)k n= = P P , k N . (3.39) n ecuaia (3.35), n este numrul de parametri ai vectorilor ( )k , iar 0 1,4 este ctigul iniial. Pentru deducerea restriciei verificate de cele dou ponderi, se poate aplica operatorul Tr (urm = trace, n limba englez) asupra recurenei (3.32):

    [ ] [ ]011

    2

    2

    011

    2

    Tr ( 1) ) ( ) ( 1)1Tr ( ) Tr ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( 1) )( 1)

    1 ( ) ( 1)) ), .( 1)( 1) ( ) ( 1) )( 1)

    T

    T

    T

    T

    k k k kk n k kk k k k

    k

    k k kn kkk k k k

    k

    = = = +

    = +

    P PP P

    P

    P

    PN

    ( ( ( ( ( ( ( (

    ( ( ( ( ( ( ( (

    (3.40) Relaia (3.40) s-a obinut innd cont de cteva proprieti elementare ale operatorului Tr , cum ar fi: liniaritate, urma unui scalar este egal cu acel scalar i

    [ ] [ ]Tr Tr=AB BA , chiar dac produsul matricilor nu este comutabil (n general, AB BA ). Dup cteva calcule algebrice elementare, din (3.40) rezult restricia:

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 81

    [ ]2

    0 12

    0 1

    1 ( )( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 1)Tn k

    kk k n k k k

    =+ + +P I P ( ( ( ( , k N . (3.41)

    Evident, n (3.39), numitorul nu se poate anula, fiind strict pozitiv. De aceast dat, ambele ponderi intervin n exprimarea criteriului de minimizare (de exemplu, ca n ecuaia (3.33)), ntre ele existnd corelaia (3.41). Acest profil asigur o vitez de convergen suficient de mare, cu pstratea unei amplificri de adaptare aproximativ constante (mai ales dac se pleac de la o matrice diagonal). Metoda este recomandat n identificarea proceselor ai cror parametri prezint o variabilitate medie sau rapid n timp.

    3.4.5 MCMMP-RG cu amplificare descresctoare i urm mrginit n acest caz, se realizeaz o combinaie ntre condiiile (3.34) i (3.39), cu nlocuirea celei din urm prin:

    [ ] 0Tr ( )k n P , k N . (3.42) Profilul de atenuare rezutat este recomandat n identificarea proceselor cu parametri variabili n timp, atunci cnd lipsesc informaiile cu ajutorul crora s-ar putea construi o iniializare a algoritmului de adaptare.

    3.4.6 MCMMP-RG cu factor de uitare variabil i urm mrginit n acest caz, se realizeaz o combinaie ntre condiiile (3.37) i (3.42), eventual, cu eliminarea condiiei ca 2 s fie unitar. Dac s-ar impune condiia de urm constant (adic inegalitatea (3.42) s-ar verifica la limit, pentru fiecare pas de adaptare), atunci ecuaiile (3.37) i (3.41) ar constitui un sistem cu dou necunoscute (cele dou ponderi). Dac sistemul este compatibil, cu cel puin o soluie valid (ambele ponderi subunitare), atunci MCMMP-RG rezultat este cu factor de uitare variabil i urm constant. Ambele variante sunt recomandate n identificarea proceselor cu varibilitate medie sau rdicat, srace n informaii preliminare capabile s conduc la o iniializare personalizat a procedurii de adaptare parametric.

    3.4.7 MCMMP-RG cu amplificare constant n acest caz: 1( ) 1k = & 2( ) 0k = , k N , (3.43) ceea ce, mpreun cu (3.32), produce imediat: ( ) (0)k =P P , k N , (3.44) de unde i numele metodei. De fapt, am revenit la algoritmul rezultat prin aplicarea Metodei de Gradient i cercul se nchide. Acest algoritm este recomandat n

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 82

    identificarea proceselor staionare sau variabile n timp, dar cu puini parametri i n prezena unui nivel sczut de zgomot. Performanele sunt eident inferioare celor oferite de cazurile anterioare, dar complexitatea este mai mic.

    Din prezentarea anterioar, rezult c matricea de amplificare ( )kP (sau urma acesteia) constituie o msur a vitezei de convergen. Acest fapt era de ateptat, deoarece matricea de auto-covarian a erorii de estimare joac acelai rol. Practic, ambele matrici msoar gradul de grupare a parametrilor estimai n jurul valorilor adevrate. Cu ct ele se grupeaz mai rapid, cu att matricile descresc mai rapid (la fel ca i urmele lor). Dac descreterea matricilor ( )kP este nesemnificativ, atunci fie s-a ajuns la valori staionare ale parametrilor, fie identificarea a euat (n special din cauza semnalelor de stimul alese inadecvat). Oricum, dac iniializarea procedurii de reactualizare nu poate fi dect neutr, se recomand alegerea unui ctig iniial 0 suficient de mare (de ordinul miilor). Pentru iniializrile personalizate, chiar dac (0)P este produs automat (de exemplu, ca n (3.30)), uneori se prefer nlocuirea acesteia cu o matrice diagonal constant, ca n cazul iniializrii neutre, dar alegnd un ctig iniial subunitar.

    3.5 Validarea modelelor de identificare Adecvana unui model de identificare trebuie testat n finalul experimentului de identificare. Nu este suficient ca modelul s fie corect determinat att ca structur ct i ca parametri. El poate s nu fie un model valid, n special din cauza caracterului su particular pronunat, n raport cu datele achiziionate. Inadecvana sa se manifest n special atunci cnd datele simulate sunt foarte diferite de datele achiziionate de la procesul furnizor de date ntr-un nou experiment econometric, altul dect cel n urma cruia au rezultat datele de identificare, dar efectuat n aceleai condiii. Aadar, odat determinat, orice model de identificare trebuie validat. Validarea const practic n comparaia dintre un set de date achiziionate i setul de date simulate cu ajutorul modelului, ambele fiind generate prin stimularea cu acelai semnal de intrare. Setul de date trebuie s fie produs ntr-un experiment econometric diferit de cel n urma cruia au rezultat datele utilizate pentru determinarea modelului, dar ambele experimente se desfoar n aceleai condiii sau foarte asemntoare. n aceast seciune, va fi prezentat una dintre metodele cele mai cunoscute de validare, corespunztoare MCMMP, numit i test de albire. Presupunerea de la care se pleac n definirea testului de albire este c datele achiziionate din proces au o distribuie Gaussian. Dac testul de albire este trecut cu succes, atunci se consider c:

    modelele de sistem util (filtru raional cu poli i zerouri) i de perturbaie (filtru raional avnd aceiai poli ca i sistemul util) sunt adecvate i valide, adic reprezentative pentru procesul de identificat;

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 83

    metoda de identificare corespunde modelului de identificare propus; structura polinoamelor A i B (gradele lor), precum i valoarea ntrzierii

    pure d au fost corect specificate. Principiul care st la baza testului de albire este urmtorul: dac modelul determinat este adecvat, eroarea de predicie dintre datele simulate i cele achiziionate tinde s fie un zgomot alb Gaussian pe msur ce orizontul de msur crete (de unde i numele de test de albire). Proprietatea de necorelare se exprim prin:

    ( ) ( ){ }0 0 lim , , 0N NN E n n k = , ,n k N , (3.45) unde 0 este eroarea de predicie a priori definit n (3.5), iar N (specificat acum explicit ca variabil de care depinde 0 ) reprezint estimaia vectorului parametrilor pe un orizont de msur de dimensiune N . Condiia (3.45) are dou dezavantaje majore. n primul rnd, ea este greu (dac nu imposibil) de verificat n practic. n al doilea rnd, nu se face referire la tipul de distribuie a erorii de predicie. De aceea, o form practic a Testului de albire se bazeaz pe proprietile distribuiei Gaussiene de medie nul i deschidere

    0 /N N = (adaptiv, n funcie de dimensiunea orizontului de msur). Parametrul 0 este determinat de gradul de corelaie existent ntre valorile variabilelor aleatoare avnd aceast distribuie. Orice astfel de variabil aleatoare produce valori ntr-un interval oarecare [ , ] + cu un nivel de ncredere ( )N . Nivelul de ncredere exprim de fapt probabilitatea ca variabila aleatoare s produc valori n intervalul specificat, deci este egal cu aria de sub graficul distribuiei peste acel interval. Zgomotului alb Gaussian i corespund intervalele i nivelele de ncredere tipice asociate din Tabelul 3.1.

    Tabelul 3.1. Intervale i nivele de ncredere tipice pentru validarea modelelor.

    [ , ] + 2.17 2.17,N N

    +

    1.96 1.96,

    N N +

    1.808 1.808,

    N N +

    ( )N 97% 95% 93%

    Informaia din tabel poate fi fructificat n proiectarea versiunii practice a testului de albire. Pentru aceasta, se evalueaz mai nti un numr de valori ale secvenei de auto-corelaie asociate erorii de predicie:

    ( ) ( )1

    1 ( ) , ,

    N

    N Nn k

    r k n n kN k

    = +

    =

    , 0, 4Nk

    (auto-covarian);

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 84

    ( )( ) (0)r kkr

    = ,

    4,0 Nk (auto-corelaie). (3.46)

    Evaluarea din (3.46) se oprete la aproximativ un sfert din dimensiunea orizontului de msur, deoarece, dincolo de acest prag, erorile de calcul acumulate devin importante. (n suma de definiie a funciei de auto-covarian rmn din ce n ce mai puini termeni.) La pasul urmtor trebuie contorizat numrul de valori ale secvenei de auto-corelaie ce aparin fiecruia din intervalele de ncredere ale tabelului anterior. Acestea se normalizeaz apoi cu numrul total de valori calculate ale lui (adic / 4 1N + ) i se exprim n procente. n final, se compar procentajele obinute cu nivelele de ncredere ale tabelului. Pentru un interval de ncredere ales, Testul de albire este pozitiv (adic modelul este validat) dac procentul de valori ale lui din interval este cel puin egal cu nivelul de ncredere corespunztor. Astfel, criteriul ofer 4 nivele de validare:

    Nivelul 0: nici unul dintre cele 3 teste de albire nu este pozitiv (model i/sau metod de identificare invalide).

    Nivelul 1: doar unul dintre cele 3 teste de albire este pozitiv (model i/sau metod de identificare la limita de validitate).

    Nivelul 2: dou dintre cele 3 teste de albire sunt pozitive (model i/sau metod de identificare valide, dar cu validitate limitat; pentru anumite tipuri de intrri, modelul s-ar putea s nu funcioneze corect).

    Nivelul 3: toate cele 3 teste de albire sunt pozitive (model i/sau metod de identificare valide, cu validitate extins la majoritatea covritoare a tipurilor de intrri, dac procesul furnizor de date a fost stimulat cu semnale din clasa SPAB).

    Dac testul de albire a fost trecut cu succes de ctre mai multe modele de identificare, se va alege modelul de complexitate minim (conform Principiului parsimoniei [52], [55]). Subliniem nc o dat o validare complet i corect a modelului de identificare se efectueaz utiliznd o nou secven de I/O achiziionat din proces, diferit de cea care a servit pentru identificare. Exist un alt aspect al validrii care trebuie considerat. Dac raportul dintre energia erorilor de predicie rezidual i cea a datelor de ieire este foarte sczut (de exemplu, sub -60 dB), testul de albire devine inutil. Aceasta, pe de o parte, pentru c nivelul de zgomot este att de mic nct efectul asupra estimaiilor parametrilor determinai cu ajutorul MCMMP este neglijabil i, pe de alt parte, pentru c zgomotul rezidual poate s conin, n acest caz, o component semnificativ care nu este gausian (de exemplu, zgomotul provocat de propagarea erorii de rotunjire). Aceast situaie apare, de exemplu, la identificarea pornind de la fiiere de date I/O utilizate n simulri ale modelelor fr zgomot.

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 85

    3.6 Algoritmi de identificare n bucl nchis n practic, exist multe situaii n care identificarea n bucl deschis este dificil sau imposibil de realizat (de exemplu, un proces cu un comportament integrator sau instabil n bucl deschis, etc.). Exist de asemenea sisteme automate n care procesul are parametri variabili n timp i prezena unui regulator pentru controlul unui astfel de proces este obligatorie; n acest caz se impune, n mod evident, utilizarea identificrii n bucl nchis pentru configuraii de sisteme adaptive de reglare. Importana practic a identificrii n bucl nchis este recunoscut n literatura de specialitate i dovedit prin apariia i dezvoltarea unor metode specifice [26]. Ideea central este de a utiliza, pe ct posibil, aceleai tehnici de identificare folosite n bucl deschis (spre exemplu, algoritmii afereni MCMMP), n timpul exploatrii sistemului n bucl nchis, cu precauii suplimentare. Dou puncte de vedere pot fi evideniate. n primul, se ncearc reducerea problemei identificrii n bucl nchis la proceduri aferente MCMMP-R pentru bucl deschis, din motive de ordin practic, algoritmii i metodele de identificare n bucl deschis fiind bine cunoscute i validate la ora actual. Acest punct de vedere a condus la apariia metodelor CLOE (closed-loop output-error) care, n locul erorii de predicie din algoritmul de adaptare bazat pe MCMMP-R, utilizeaz eroarea de ieire CL pentru ajustarea parametrilor modelului de predicie, n cazul sistemelor n bucl nchis. Aceste metode furnizeaz ns estimri nedeviate numai pentru anumite tipuri de perturbaii. Al doilea punct de vedere poate fi considerat o extensie a primului i se bazeaz pe observaia conform creia, ntr-o configuraie de sistem n bucl nchis, comanda i perturbaia sunt corelate. Metodele prezentate au la baz aceeai utilizare a algoritmilor n bucl deschis, ns n cadrul unor scheme particulare, care permit o decuplare virtual a comenzii de perturbaie. Aceste metode sunt cunoscute sub denumirea de metode directe i metode indirecte de identificare n bucl nchis. Vom trata cele dou abordri i vom acorda o atenie mai mare primului caz, deoarece algoritmii cu care se opereaz sunt prezentai n formula cunoscut de la identificarea n bucl deschis i n consecin sunt mai simplu de implementat.

    3.6.1 Principiul algoritmilor de identificare n bucl nchis Algoritmii prezentai n aceast seciune funcioneaz dup principiul adaptrii parametrice, bazat pe eroarea de predicie de la identificarea n bucl deschis. Aceti algoritmi prelucreaz, de fapt, eroarea de ieire, ca diferen ntre ieirea sistemului de calcul, cu modelul ajustabil inclus, i ieirea sistemului fizic de reglare care include procesul. O schem de principiu pentru identificarea n bucl nchis este prezentat n Figura 3.2, unde regulatorul numeric este de tip RST.

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 86

    Figura 3.2. O schem de identificare n bucl nchis.

    Obiectivul identificrii este de a minimiza un criteriu exprimat n funcie de eroarea dintre ieirea procesului i cea a modelului adaptiv (AAP = algoritm de adaptare parametric), obinnd estimri mai bune pentru noile modele, care sunt utilizate eventual la algoritmul de reglare. n aceast schem putem evidenia dou tipuri de algoritmi de identificare n bucl nchis:

    1. Algoritmi recursivi de identificare n bucl nchis de tip eroare de ieire, unde parametrii modelului sunt ajustai printr-un AAP care utilizeaz eroarea CL n locul erorii de predicie standard

    0 . Aa cum ilustreaz i Figurile 3.1 i 3.2, cele dou erori nu sunt formal diferite (se definesc la fel), ns ieirea modelului y se evalueaz cu intrri diferite. n bucl deschis (Figura 3.1), procesul i modelul funcioneaz cu aceeai intrare u , de aceea ieirea modelului y este o valoare predictat a ieirii procesului. n bucl nchis (Figura 3.2), intrarea modelului u este fabricat de ctre regulatorul RST plecnd de la ieirea modelului y i nu a procesului y , de aceea ea este doar o ieire simulat.

    2. Algoritmi recursivi de identificare n bucl nchis cu date filtrate. Ecuaiile predictorului se pot exprima utiliznd mrimile de comand u , de ieire y

    PROCES

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 87

    i eroarea de ieire CL . Acest fapt conduce la o exprimare a erorii de predicie utilizat de algoritmul aferent MCMMP-R pentru identificarea n bucl deschis, calculat cu date filtrate.

    Pentru ambele categorii de algoritmi, scopul este acelai: estimarea parametrilor procesului, exprimat ca i modelul, dar cu parametrii adevrai n locul parametrilor necunoscui sau estimai. Spre deosebire de cazul buclei deschise, procesul este acum un model de tip eroare de ieire (OE output error) i nu de tip ARX. Dac se noteaz prin A i B cele dou polinoame ale funciei de sistem care descrie procesul (definite ca n (1.16), dar cu simbolul adugat n notaia coeficienilor), atunci, conform Figurii 3.2, ecuaia ieirii se poate exprima ca mai jos:

    ( ) ( )( ) ( )* 1

    * 1( )d B qy k q u k w k

    A q

    = + , k N (3.47)

    unde w reprezint perturbaiile care afecteaz procesul. Echivalent, ecuaia (3.47) se poate exprima prin:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    * 1 * 1 * 1

    * 1

    1

    , .T

    y k A q y k B q u k d A q w k

    k A q w k k

    = + + =

    = + N (3.48)

    Vectorul regresorilor din (3.48) este definit prin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ... 1 ...T k y k y k nA u k d u k d nB = , k N . (3.49) Comanda procesului este produs de regulatorul RST (exprimat prin cele 3 polinoame din definiia (1.25)):

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

    11 1

    1 1

    1 ( ) ( ) uR q

    u k T q r k R q y k r k y kS q S q

    = = , k N , (3.50)

    unde r este mrimea de referin, iar cu ur este un semnal de excitaie extern aplicat aditiv la ieirea regulatorului. n acest context, ecuaia modelului de predicie cu parametri variabili n timp este:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    1 1

    1 1 1 1

    1 ( ) , ,

    k k

    T

    y k A q y k B q u k d

    k k k

    + = + + + =

    = + N (3.51)

    cu notaii naturale.

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 88

    Comanda modelului de predicie este fabricat de ctre acelai regulator RST, dar opernd cu ieirea predictat n locul celei msurate din proces:

    ( ) ( ) ( )( ) ( )1

    1

    u

    R qu k r k y k

    S q

    = , k N . (3.52)

    Eroarea de predicie/ieire este definit atunci n mod natural exact ca n (3.5): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ( )TCL k y k y k y k k k + = + + = + + , k N . (3.53) Diferena dintre definiiile (3.5) i (3.53) este dat de maniera n care se evalueaz ieirea predictat. Se observ c, pentru valori constante ale parametrilor estimai, vectorul curent al regresorilor modelului, ( )k , depinde (implicit) numai de semnalele de referin extern ( r sau ur ). Dac acestea nu sunt corelate cu perturbaia w , nici vectorul regresorilor nu este curelat cu aceasta. Pentru toate metodele de identificare n bucl nchis, algoritmul de adaptare parametric are aceeai form general de exprimare, obinut prin combinarea Metodei de Gradient cu MCMMP-RG, pentru orice k N :

    1 11 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1) ( 1)Tk k k k k k + = + + +P P ( ( ( ( ; (3.54)

    11

    2

    1 ( ) 1) ( 1) ( )( 1) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) 1)( )

    T

    T

    k k k kk k kk k k kk

    + +

    + = + + +

    P PP PP

    ( ( ( ( ( ( ( (

    ; (3.55)

    ( ) ( )0

    1 ( 1)( 1) 1 1 ( ) 1T

    kkk k k

    + + =

    + + +P ; (3.56)

    1 ( 1) ( ) ( 1) 1) ( 1)k k k k k+ = + + + + P (((( . (3.57)

    n grupul de ecuaii recursive (3.54)-(3.57), dei 0 este tot eroarea de predicie a priori i 1 tot eroarea de predicie a posteriori, ele se evalueaz diferit fa de cazul proceselor n bucl deschis. Ceilali parametri ai reetei recursive (ponderile

    1 , 2 i iniializrile) sunt precizai ns n aceeai manier ca n cazul proceselor funcionnd n bucl deschis (dei, uneori, 2 (0,2) ). De altfel rolul lor este acelai, precizat n cadrul seciunilor precedente. Pentru fiecare metod de identificare n bucl nchis se va preciza maniera de calcul a celor dou erori de predicie i a parametrilor algoritmului.

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 89

    De notat c, pentru acest algoritm, este necesar ca regulatorul RST s fie cunoscut. Aceasta nu constituie o restricie, avnd n vedere strategia prezentat n primul capitol, sumarizat de diagrama logic din Figura 1.2. Pe baza modelului de identificare rezultat, se va proiecta ulterior o variant mbuntit a regulatorului RST, urmat de o nou identificare, apoi de o nou mbuntire a regulatorului, etc. n paragrafele care urmeaz, sunt descrii o serie de algoritmi particulari, n care se precizeaz maniera de calcul a erorii de predicie a priori, 0 (de regul, n funcie de eroarea de ieire CL sau de o estimaie a acesteia). De altfel, uneori se apeleaz la urmtoarea terminologie natural. Astfel, se pot defini doi predictori cu ajutorul vectorilor estimai ai regresorilor i parametrilor. Primul este predictorul a priori, definit prin:

    ( ) ( )( ) ( ) ( )0 1 1 1Ty k y k k k k + = + = + , k N , (3.58) iar al doilea este predictorul a posteriori, definit prin:

    ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1Ty k y k k k k + = + + = + + , k N . (3.59) Acestora le corespund eroarea de ieire (predicie) a priori: ( ) ( ) ( )0 0 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1TCL k y k y k y k k k + = + + = + + , k N , (3.60) (definit ca n (3.53)) i eroarea de ieire (predicie) a posteriori: ( ) ( ) ( )1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 1TCL k y k y k y k k k + = + + = + + + , k N . (3.61) 3.6.2 Algoritmul CLOE n varianta de baz Aa cum am menionat deja, numele algoritmului descris n acest paragraf provine din limba englez: CLOE = Closed Loop Output Eror (model de tip eroare de ieire integrat n bucl nchis). Pentru construcia acestui tip de algoritm, se pleac de la faptul c ieirea sistemului n bucl nchis (3.48) poate fi exprimat n funcie de eroarea de ieire (3.53). Astfel, prin combinarea ecuaiilor (3.48), (3.50) i (3.53), se obine:

    ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

    * 1 1* 1

    1

    * 1 * 1

    * 1

    ( 1) ( 1) ( 1)

    1 ( 1)

    ( 1) ( 1)( 1), .

    CL

    dCL

    d

    k y k y k

    B q R qA q q k

    S q

    A q y k q B q u k

    A q w k k

    + = + + =

    = +

    + + + +

    + + N

    (3.62)

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 90

    Grupnd termenii care conin eroarea de ieire din (3.62) i invocnd ecuaia (3.51), n care vectorul parametrilor este cel adevrat i nu cel estimat, se obine:

    ( ) ( ) ( )( )( )

    * 1 1* 1 *

    1

    * 1

    ( 1) ( 1) ( 1)

    ( 1), .

    d TCL

    B q R qA q q k k y k

    S q

    A q w k k

    + + = + + +

    + +

    N

    (3.63) Operatorul raional care se aplic erorii de ieire poate fi exprimat mai simplu prin:

    ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( )( )( )

    * 1 1 * 1 1 * 1 1 * 1* 1

    1 1 1

    dd B q R q A q S q q B q R q P qA q q

    S q S q S q

    ++ = = ,

    (3.64) unde polinomul de la numrtor are simbolul specific polinoamelor cu parametri adevrai deoarece acestea intr n componena sa. Folosind notaia (3.64) i (nc o dat) ecuaia (3.51), o exprimare echivalent a relaiei (3.63) este urmtoarea:

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( )( ) ( )

    1 1 * 1*

    * 1 * 1

    1* * 1

    * 1

    ( 1) ( 1) ( ) ( 1)

    ( 1) ( 1) ( 1) ( ) , .

    TCL

    T T

    S q S q A qk k k w k

    P q P q

    S qk A q w k k k k

    P q

    + = + + + =

    = + + + +

    N

    (3.65) Dac n primul termen al sumei vectorul regresorilor ar fi cel din definiia (3.49) i nu cel estimat, acesta, mpreun cu termenul de zgomot ar produce chiar ieirea msurat a ieirii procesului la momentul urmtor, caz n care polinoamele P i S ar fi identice. Aadar, s-ar putea spune c eroarea de ieire n bucl nchis se obine prin filtrarea unei pseudo-erori de predicie. Filtrul utilizat are polii definii de numrtorul operatorului raional (3.64). Ecuaia (3.65) sugereaz maniera n care ar putea fi definit eroarea de predicie a priori n algoritmul general (prin estimarea erorii de ieire):

    ( )( )

    10

    1

    ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )

    TCL

    k

    S qk k y k k k

    P q

    + = + = + + , k N . (3.66)

    Polii filtrului estimat din (3.66) sunt rdcini ale polinomului (de asemenea estimat): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 dk k kP q A q S q q B q R q = + , k N . (3.67)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 91

    Cu aceast precizare, se obine varianta de baz a algoritmului CLOE, constituit, n ordine, din ecuaiile (3.67), (3.66) i grupul de relaii recursive (3.54)-(3.57). Convergena acestui algoritm (exprimat prin anularea asimptotic a erorii de ieire a priori) este asigurat dac referina i perturbaiile nu sunt corelate. Perturbaiile intervin indirect n algoritm, prin ecuaia (3.66), care opereaz cu valorile msurate la ieirea procesului. Pentru alegerea ponderii 2 , se impune unerori restricia ca filtrul din (3.66) s poat fi exprimat prin:

    ( )( ) ( )

    11 2

    1 2S q

    H qP q

    = + , k N . (3.68)

    unde H este o funcie de sistem precizat. Restricia (3.68) poate contribui la creterea vitezei de convergen a algoritmului. De altfel, acest filtru joac un rol important i n exprimarea funciei de sistem n bucl nchis (pentru structura din Figura 3.2). Dup cteva calcule elementare, se poate ajunge la expresia ieirii y , n funcie de cea a referinei filtrate ur i perturbaiei w :

    ( )( ) ( ) ( )

    11 1

    1( ) ( ) ( )d u

    S qy k q B q r k A q w k

    P q

    = + , k N . (3.69)

    3.6.3 Algoritmul CLOE filtrat Pentru a mbunti precizia Algoritmului CLOE de baz, vectorul estimat al regresorilor se poate nlocui cu versiune a sa filtrat. Astfel, plecnd de la expresia (3.65) a erorii de ieire n bucl nchis, primul factor poate fi exprimat echivalent prin:

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    1 1 1 1

    * 1 * 1 * 11

    ( 1) ( 1) ( 1)

    T T Tf

    S q Q q S q Q qk k k

    P q P q P qQ q

    + = + = + ,

    k N , (3.70)

    unde polinomul Q este definit prin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 dQ q A q S q q B q R q = + , (3.71) cu polinoamele A i B estimate n manier off-line, eventual pe sistemul n bucl deschid, naintea iniierii procedurii de adaptare parametric. Dac estimaia off-line este suficient de precis, polinoamele Q i P au coeficieni apropiai ca valoare.

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 92

    Folosind identitatea (3.70), ecuaia (3.65) devine:

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( )( ) ( )

    1 1 * 1*

    * 1 * 1

    1* * 1

    * 1

    ( 1) ( 1) ( ) ( 1)

    ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ,

    TCL f

    T Tf f f

    Q q S q A qk k k w k

    P q P q

    Q qk A q w k k k

    P q

    + = + + + =

    = + + + +

    k N , (3.72) unde fw este versiunea filtrat a zgomotului (folosind) tot filtrul cu zerourile S i polii Q . Practic, dac locul vectorului estimat filtrat al regresorilor ar fi luat chiar de vectorul filtrat al regresorilor, n (3.72) ar apare o eroare de predicie a priori, filtrat. n aceste condiii, eroarea de predicie a priori definit n (3.66) poate fi nlocuit de:

    ( )( )

    10

    1

    ( 1) ( 1) ( 1) ( )

    Tf f

    k

    Q qk y k k k

    P q

    + = + + , k N , (3.73)

    unde:

    ( )( )

    1

    1( ) ( )

    fS q

    y k y kQ q

    = & ( )( )

    1

    1 ( ) ( )

    T Tf

    S qk kQ q

    = , k N . (3.74)

    3.6.4 Algoritmul CLOE extins (X-CLOE) De regul, perturbaia w este asimilat ca un zgomot colorat produs prin filtrarea unui zgomot alb Gaussian e . Se poate chiar considera c filtrul de zgomot are polii dai de polinomul A , iar zerourile de un polinom C , cu aceeai form ca i A (termen liber unitar), stabil. Aadar:

    ( )( )

    1

    1( ) ( )C q

    w k e kA q

    = , k N . (3.75)

    Filtrul adaug un set de parametri care trebuie de asemenea estimai (coeficenii polinomului C ). Ecuaia (3.63), care exprim eroarea de ieire, poate fi rescris lund n considerare modelul de zgomot (3.75) (i definiia (3.64)):

    ( )( ) ( )

    * 1* * 1

    1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)TCL

    P qk k y k C q e k

    S q

    + = + + + + , k N .

    (3.76)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 93

    Adugnd termenul ( )* 1 ( 1)CLC q k + n ambii membri ai ecuaiei (3.76), se obine:

    ( )( ) ( )( ) ( )

    * 1 *

    * 1* 1 * 1

    1

    ( 1) ( 1) ( 1)

    ( 1) ( 1),

    TCL

    CL

    C q k k y k

    P qC q k C q e k

    S q

    + = + + +

    + + + +

    k N (3.77) Ecuaia (3.77) pune n eviden un nou filtru aplicat erorii de ieire:

    ( )( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )( )

    * 1 * 1 * 1 1 * 1* 1

    1 1 1

    H q P q C q S q P qC q

    S q S q S q

    = = . (3.78)

    Polinomul *H din definiia (3.78) poate fi exprimat detaliat ca mai jos:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 1 * 1 1 * 1 1 * 1 11 2

    1 2 ,

    d

    nHnH

    H q C q S q A q S q q B q R q

    h q h q h q

    = =

    = + + + (3.79)

    termenul liber fiind anulat de diferena ( ) ( )* 1 * 1C q A q (unde fiecare polinom are termenul liber unitar). Cu definiia (3.78), expresia (3.77) devine:

    ( ) ( )( )( )

    * 1* 1 *

    1

    * 1

    ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

    ( 1), .

    TCL CL

    H qC q k k y k k

    S q

    C q e k k

    + = + + + + +

    + +

    N

    (3.80)

    Noua expresie, (3.80), sugereaz considerarea urmtorului model extins de predicie (n locul modelului (3.51)), cu notaii naturale:

    ( )( )

    1

    1

    ( 1) ( 1) ( ) ( 1)kT CL

    H qy k k k k

    S q

    + = + + + , k N . (3.81)

    Coeficienii polinomului estimat kH pot extinde vectorul curent estimat al parametrilor modelului de predicie. n acelai timp, vectorul estimat al regresorilor poate fi extins cu valori regresate ale erorii de ieire filtrate cu ( )11/ S q , notate prin

    ,CL f . Mai precis, cu extensiile:

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 94

    1 2

    , , ,

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)

    T Te nH

    T Te CL f CL f CL f

    k k h k h k h k

    k k k k k nH

    =

    + = + +

    ,

    k N , (3.82) modelul de predicie se poate exprima din nou ca n definiia (3.51), dar cu vectori extini:

    ( 1) ( 1) ( )Te ey k k k+ = + , k N . (3.83)

    Vectorul parametrilor adevrai poate fi extins ntr-o manier similar, astfel c din combinaia ecuaiilor (3.80) cu (3.83), rezult:

    ( ) ( )* 1 * 1( 1) ( 1) ( ) ( 1)TCL e e eC q k k k C q e k + = + + + , k N . (3.84) Noua exprimare a erorii de ieire este acum:

    ( )* 11

    ( 1) ( 1) ( ) ( 1)TCL e e ek k k e kC q

    + = + + +

    , k N . (3.85)

    Se poate arta cu uurin c ieirea msurat a procesului are urmtoarea exprimare remarcabil (n care intervin vectorii extini i eroarea de ieire): ( ) ( )* 1 * 1( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)Te e CLy k k C q k C q e k + = + + + + + , k N . (3.86) Din (3.86), rezult:

    ( ) ( )( )

    ( )* 1

    * 1 * 1 * 1

    11 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)Te e CL

    C qk e k y k k

    C q C q C q

    + + + = + + +

    ,

    k N , (3.87) care, nlocuit n (3.85), permite nlturarea zgomotului alb (nemsurabil!) din expresia erorii de ieire i simplificarea evalurii:

    ( 1) ( 1) ( 1) ( )TCL e ek y k k k + = + + , k N . (3.88)

    Nu mai rmne dect s fie precizat eroarea de predicie a priori pentru algoritmul geeral, plecnd de la (3.88):

    0

    ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )TCL e ek k y k k k + = + = + + , k N . (3.89) Algoritmul X-CLOE const n ecuaiile: (3.89), (3.54)-(3.57), cu evaluarea coeficienilor polinomului ( )1kC q dintr-o identitate polinomial similar lui

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 95

    (3.79) (n care, practic, se nlocuiesc valorile adevrate ale parametrilor cu valorile curent estimate). De notat c procedura (3.54)-(3.57) funcioneaz acum cu vectorul parametrilor extini e n locul celui tradiional.

    3.6.5 Algoritmul CLOE generalizat (G-CLOE) Generalizarea pleac de la introducerea unui set suplimentari de poli n filtrul de zgomot, diferi de cei dai de polinomul A . Mai precis, ipoteza (3.75) se generalizeaz prin:

    ( )( ) ( )

    1

    1 1( ) ( )C q

    w k e kA q D q

    = , k N , (3.90)

    unde polinomul D este de asemenea stabil i are aceeai exprimare ca polinoamele A i C (termenul liber este unitar). Raionamentul pentru deducerea expresiei erorii de predicie a priori este similar celui din paragraful precedent. Astfel, ecuaia (3.63) poate fi rescris echivalent, lund n considerare modelul de zgomot (3.75) (i definiia (3.64)):

    ( )( )

    ( )( )

    * 1 * 1*

    1 * 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)TCL

    P q C qk k y k e k

    S q D q

    + = + + + + , k N .

    (3.91) Adugnd termenul ( ) ( )* 1 * 1/ ( 1)CLC q D q k + n ambii membri ai ecuaiei (3.91), se obine:

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    * 1*

    * 1

    * 1 * 1 * 1

    * 1 1 * 1

    ( 1) ( 1) ( 1)

    ( 1) ( 1),

    TCL

    CL

    C qk k y k

    D q

    C q P q C qk e k

    D q S q D q

    + = + + +

    + + + +

    k N (3.92)

    Predictorul care va fi utilizat poate fi exprimat cu ajutorul unui semnal de eroare definit prin:

    ( ) ( )1 1 ( 1) ( 1) ( 1)dk kv k A q y k q B q u k + = + + , k N . (3.93) Folosind (3.93), dup o serie de calcule elementare, se poate arta c ieirea msurat poate fi exprimat n aa fel nct polinomul D s nu mai apar la numitor. Expresia care urmeaz pare complicat, ns realizeaz acest efect:

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 96

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    * 1 * 1

    * 1 1 1 * 1* 1

    1

    * 1

    * 1 * 1 1

    * 1 * 1 1

    1 1 1 1

    11 1

    + 1 1

    1 1

    1 1 , ,

    d

    CL

    k

    dk

    y k A q y k q B q u k

    H q S q S q C qk C q e k

    S q

    D q v k

    D q A q A q y k

    q D q B q B q u k k

    + = + + + +

    + + + + + +

    +

    + +

    + + N

    (3.94) unde:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    1 1 1 1 1

    1 1 1 1

    1 1 1

    1 11 2

    1

    1

    1 ,

    d

    nHnH

    H q C q S q D q P q

    C q A q D q S q

    q B q D q R q

    h q h q h q

    = + =

    = + +

    + =

    = + + + +

    . (3.95)

    avnd n vedere c termenul liber al polinomului C A D este nul. Polinomul (3.95) este utilizat alturi de semnalul de eroare (3.93) pentru a defini predictorul generalizat:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

    1 1

    11

    1

    1 1 1 1

    1

    1 1 1 , .

    dk k

    kk CL

    y k A q y k q B q u k

    H qD q v k k k

    S q

    + = + + + +

    + + + + N (3.96)

    Combinnd ecuaiile (3.92), (3.94) i (3.96), se obine o nou expresie a erorii de ieire:

    ( )( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )

    * 1

    * 1

    * 1 1

    * 1 1

    * 1 1

    * 1

    ( 1) ( 1) ( )

    ( 1)

    ( 1) ( 1), .

    TCL

    kCL

    k

    D qk k k

    C q

    H q H qk

    C q S q

    D q D qv k e k k

    C q

    + = + +

    + +

    + + + +

    N

    (3.97)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 97

    Pentru a putea defini eroarea de predicie a priori, trebuie eliminat zgomotul alb din expresia (3.97). Aceasta se poate realiza cu ajutorul ecuaiei originale a ieirii msurate (3.48), n care zgomotul colorat este exprimat prin (3.90). Rezult:

    ( )( )

    ( )( )

    * 1 * 1

    * 1 * 1 ( 1) ( 1) ( 1)TD q D qk e k y k

    C q C q

    + + + = +

    , k N , (3.98)

    expresie care, introdus n (3.97) produce:

    ( )( )

    ( )( )

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )( )

    * 1 * 1

    * 1 * 1

    * 1 1

    * 1 1

    * 1 1

    * 1

    ( 1) ( 1) ( 1) ( )

    ( 1)

    ( 1), .

    TCL

    kCL

    k

    D q D qk y k k k

    C q C q

    H q H qk

    C q S q

    D q D qv k k

    C q

    + = + + +

    + +

    + +

    N

    (3.99)

    Introducnd vectorii extini:

    ]

    1 2 1 2

    , , ,

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)

    ( ) ( 1) ( 1)

    T Te nH nD

    T Te CL f CL f CL f

    k k h k h k h k d k d k d k

    k k k k k nH

    v k v k v k nD

    =

    + = + +

    +

    k N (3.100) (unde eroarea de ieire filtrat

    ,CL f este produs cu ajutorul filtrului ( )11/ S q ), din (3.99) rezult chiar ecuaia (3.88), adic:

    ( 1) ( 1) ( 1) ( )TCL e ek y k k k + = + + , k N (3.101)

    (dar cu vectorii extini definii ca n (3.100)). Evident, eroarea de predicie a priori are tot forma (3.89), iar algoritmul G-CLOE este format din ecuaiile (3.89), (3.54)-(3.57). Cum parametrii polinoamelor H i D sunt estimai explicit (aa cum arat vectorul extins e definit n (3.100)), rezult c parametrii polinomului C se pot identifica folosind identitatea (3.95), n care se folosesc parametrii estimai n locul celor adevrai. 3.6.6 Algoritmul CLOE cu date filtrate Posibilitatea utilizrii algoritmului de identificare n bucl deschis pentru identificarea n bucl nchis este determinat de faptul c expresia predictorului, dat de (3.51), poate fi rescris sub forma:

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 98

    ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

    1

    1

    1 11

    1

    1 1 ( ) 1 ( ) ( 1)

    1 ( ) ( 1), ,

    kT TCL

    dkT

    k CL

    P qy k k k k k k

    S q

    q B q R qk k A q k k

    S q

    + = + = + + + =

    = + + + +

    N

    (3.102) unde expresia polinomului estimat kP rezult direct din definiia (3.64). Pentru deducerea egalitii (3.102) s-au utilizat ecuaiile (3.50), (3.52) i (3.53), care pot fi exprimate compact dup cum urmeaz:

    ( )( ) [ ]

    1

    1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)CL

    S qk y k y k u k u k

    R q

    + = + + = + + , k N .

    (3.103) Scznd ecuaia (3.102) din ecuaia (3.48), exprimat pentru 1k + , se obine o nou expresie a erorii de ieire:

    ( )( ) ( )

    ( )( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    1

    1 1

    1

    1 1

    1* * 1

    1 1

    ( 1) ( 1) ( 1) ( )

    ( 1)

    ( 1) ( ) ( 1) ,

    TCL

    k

    OLk

    T

    k

    S qk y k k k

    S q P q

    S qk

    S q P q

    S qk k A q w k

    S q P q

    + = + + = +

    = + =+

    = + + + +

    ,

    k N , (3.103) n care diferena ( 1) ( 1) ( 1) ( )TOL k y k k k + = + + joac rol de eroare de predicie n bucl deschis (OL = open loop, n limba englez), deoarece din valoarea msurat se scade valoarea simulat cu aceeai intrare ca a procesului i parametrii curent estimai. Aadar, o prim semnificaie a ecuaiei (3.103) este aceea c eroarea de ieire n bucl nchis poate fi evaluat prin filtrarea erorii de ieire n bucl deschis (evaluat cu ajutorul unei metode de identificare n bucl deschis, cum ar fi MCMMP-R). O alt semnificaie rezult din ultima expresie, care poate fi rescris astfel:

    ( ) ( ) ( )( ) ( )1 * 1

    *

    1 1( 1) ( 1) ( ) ( 1)

    TCL f

    k

    S q A qk k k w k

    S q P q

    + = + + ++

    , k N , (3.104)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 99

    unde ( 1)f k + este vectorul regresorilor filtrat:

    ( )( ) ( )

    1

    1 1( 1) ( 1)

    fk

    S qk k

    S q P q

    + = ++

    , k N . (3.105)

    Cu alte cuvinte, pentru evaluarea erorii de ieire, este posibil utilizarea unei metode de identificare n bucl deschis (de exemplu, MCMMP-R), care s opereze cu un vector filtrat al regresorilor. Filtrul trebuie ns reactualizat la fiecare pas de adaptare, deoarece polii si depind de polinomul kP . Acest filtru are o caracteristic interesant: sunt atenuate semnalele de frecven nalt care depesc lrgimea de band a modelului estimat al buclei nchise. Dac regulatorul conine un integrator (de exemplu, ( ) ( ) ( )1 1 101S q q S q = ), atunci componentele continue vor fi de asemenea filtrate. Estimaii consistente ale parametrilor modelului pot fi obinute pentru anumite tipuri de zgomote i filtre. De exemplu, consistena este asigurat dac zgomotul colorat este produs prin filtrarea unui zgomot alb sub forma:

    ( ) ( )( ) ( )

    1 1

    1 * 1( ) ( )S q P q

    w k e kS q A q

    += , k N . (3.106)

    Pentru observarea efectului zgomotului asupra estimrilor parametrilor, putem utiliza alte metode recursive de identificare cunoscute, n bucl nchis: Metoda Celor Mai Mici Patrate Extins, Metoda Erorii de Ieire cu Model de Predicie Extins, Metoda Verosibilitii Maxime, Metoda Minimizrii Erorii de Predicie, etc. [52], [55]. Ecuaia (3.104) sugereaz de asemenea maniera n care se poate defini eroarea de predicie a priori. Astfel, o posibilitate este de a opera n bucl nchis cu:

    0( 1) ( 1) ( 1) ( )Tf fk y k k k + = + + , k N , (3.107)

    unde fy sunt datele de ieire filtrate:

    ( )( ) ( )

    1

    1 1( 1) ( 1)

    fk

    S qy k y k

    S q P q

    + = ++

    , k N . (3.108)

    n acest caz, ecuaiile algoritmului sunt (n ordine): (3.64) (pentru reactualizarea polinomului kP ), (3.108), (3.105), (3.107), (3.54)-(3.57). O alt posibilitate este de a apela la un algoritm de identificare n bucl deschis. n urma unui astfel de algoritm, se poate evalua eroarea de predicie OL , astfel c eroarea de predicie a priori (n bucl nchis) se determin prin filtrare:

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 100

    ( )( ) ( )

    10

    1 1( 1) ( 1)

    OLk

    S qk k

    S q P q

    + = ++

    , k N . (3.109)

    Algoritmul de adaptare este constituit n acest caz din procedura de identificare n bucl deschis, urmat de evaluarea erorii de predicie OL i de ecuaiile (3.109), (3.54)-(3.57). Consistena estimaiilor astfel determinate este asigurat dac regulatorul RST ajunge s realizeze o rejecie performant a perturbaiilor. 3.6.7 Validarea modelelor de identificare n bucl nchis Spre deosebire de cazul modelelor identificate n bucl deschis, testul de validare a unui model de bucl nchis depinde i de regulatorul integrat n sistemul global. De aceea, scopul validrii este, n acest caz, acela de a determina acel model care ofer o predicie mai bun pentru procesul integrat n sistemul n bucl nchis, deci n prezena regulatorului implicat n operaiunea de identificare. Testul de validare se desfoar ntr-o manier similar cu testul pentru identificarea n bucl deschis, dar eroarea de predicie este obinut cu ajutorul unui model de predicie al buclei nchise. Cea mai natural alegere este eroarea de predicie a priori, 0 . Poate fi ns utilizat i eroarea de predicie a posteriori 1 , determinat de ecuaia (3.56) din cadrul algoritmului de adaptare parametric. Indiferent de tipul de eroare de predicie ales, testul de validare este cel descris n seciunea 3.5. Acesta se poate desfura la sfritul procesului de adaptare parametric pentru un regulator dat, nainte de a propune modelul obinut etapei urmtoare de adaptare, focalizat pe regulator. Practic, pentru a opri procesul de adaptare parametric, se impune un prag de precizie 0 > i se testeaz norma diferenei dintre doi vectori succesivi ai parametrilor estimai: ( 1) ( )k k+ . Dac aceasta este inferioar pragului , procesul de adaptare parametric nceteaz. n acel moment, exist K valori ale erorii de predicie a priori ( K fiind egal cu numrul de iteraii efectuale pn la stoparea procedurii de adaptare). Aceste valori (care trebuie memorate n prealabil) se introduc n testul de validare al modelului.

    3.6.8 Algoritmi van der Hof O alt abordare a problemei de identificare n bucl nchis, a fost propus de Paul Van den Hof i a generat dou categorii de metode de identificare: directe i indirecte [20]. Abordarea se sprijin pe schema de proces n bucl nchis, reprezentat n Figura 3.3, unde 0G este filtrul util al procesului, 0H este filtrul de zgomot exogen, C este un compensator (de regul, un sistem raional), u este mrimea de comand, y este mrimea de ieire, w este un zgomot colorat obinut prin filtrarea zgomotului alb e (de regul, Gaussian), 1r este semnalul exogen de comand i 2r este referina de ieire.

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 101

    Figura 3.3. Structura van der Hof de identificare n bucl nchis.

    Ecuaiile de baz care caracterizeaz funcionarea sistemului din Figura 3.3 sunt urmtoarele:

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    12 1

    10

    10

    u n C q r n y n r n

    y n G q u n w n

    w n H q e n

    = +

    = +

    =

    , n N . (3.110)

    Din (3.110), rezult cu uurin expresiile funciilor de sistem asociate, n raport cu fiecare pereche de semnale intrare-ieire:

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    11 10

    1 1 10

    21 1 1 10 0

    10

    11 10

    1 1 10 0

    21 1 1 10 0

    11

    1 1

    1

    1 1

    u n r nC q G q

    C q C q H qr n e n

    C q G q C q G q

    G qy n r n

    C q G q

    C q G q H qr n e n

    C q G q C q G q

    = + +

    + + +

    = + +

    + + + +

    ,

    n N . (3.111) Dac se introduce funcia de sensibilitate:

    ( ) ( ) ( )1

    0 1 10

    11

    S qC q G q

    =

    +, (3.112)

    ecuaiile (3.111) pot fi scrise sub forma compact:

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 102

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    1 1 1 1 1 10 1 0 2 0 0

    1 1 1 1 10 0 1 0 0 2

    1 10 0

    u n S q r n C q S q r n C q H q S q e n

    y n G q S q r n C q G q S q r n

    H q S q e n

    = +

    = + +

    +

    ,

    n N . (3.113) Lund ca punct de plecare ecuaii le (3.113), avem dou tipuri de metode de identificare n bucl nchis:

    identificarea direct, care utilizeaz perechea de semnale msurate { , }u y i identific modelul ca i n cazul identificrii n bucl deschis;

    dentificarea indirect, care estimeaz modelul sistemului n bucl nchis i apoi utilizeaz modelul cunoscut al regulatorului pentru calculul modelului procesului.

    Pentru operaia de identificare n bucl nchis, aceste metode dispun de informaii despre:

    comanda u i ieirea (msurabil) y ; resursele de caracterizare pentru semnalele 1r i 2r i valorile lor msurate; structura regulatorului C .

    Obiectivul procedurii de identificare n bucl nchis, este n acest caz determinarea modelelor pentru funciile de sistem 0G i 0H .

    3.6.8.1. Tehnici directe de identificare Aceste tehnici utilizeaz semnale msurate u i y pentru a identifica modelul procesului, fr s se fac apel la informaiile asupra regulatorului. Modelul de identificare are n acest caz, forma general tradiional [SoSt89], [SCS05]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, , ,y n G q u n H q n = + , n N , (3.114) unde ( ),n exprim eroarea dintre procesul furnizor de date i model, exprimat prin:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , ,n H q y n G q u n = , n N . (3.115) Vectorul parametrilor necunoscui, a fost specificat intenionat n notaiile funciilor de sistem, el nglobnd coeficienii modelului parametric. O estimare parametric poate s fie obinut prin minimizarea unui criteriu ptratic uzual:

    ( )21

    1 argmin ,

    n

    N

    Nn

    nN =

    =

    R

    . (3.116)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 103

    innd cont de expresiile (3.313), eroarea dintre proces i model (3.115) poate fi exprimat n aa fel nct s fie pus n eviden corelaia care exist cu semnalele de intrare 1r , 2r i zgomotul alb e :

    ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0

    1 21 1 1

    1 1 1 1 10 0

    1 21 1

    1 1 1 10 0

    1

    1 1 10 0

    11

    1 1 1 10 0

    ,

    , , ,

    , ,

    , ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    G q S q C q G q S q H q S qn r n r n e n

    H q H q H q

    G q S q G q C q S qr n r n

    H q H q

    G q C q H q S qe n

    H q

    S q G q G qr n

    H q

    C q S q G q G q

    = + +

    +

    + =

    = +

    +

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    21

    1 1 1 10 0

    1

    ,

    1 ,, .

    ,

    r nH q

    H q S q G q C qe n n

    H q

    +

    + +

    N

    n N . (3.117) Problema este relativ complex, dat fiind exprimarea (3.117) a erorii de model, dar ea poate fi simplificat prin specificarea unor modele particulare. n general mrimea exogen este nul n abordrile directe, fapt care produce simplificare important. O abordare direct interesant este descris n [55], unde, dac regulatorul i procesul se exprim prin funcii de sistem raionale, cele 4 polinoame (deci i cele dou ale regulatorului) pot fi identificate separat cu ajutorul unui model global cu 2 intrri i 2 ieiri, folosind MCMMP multi-dimensional.

    3.6.8.2. Tehnici indirecte de identificare Principala diferen ntre metodele indirecte i cele directe de identificare n bucl nchis este dat de faptul c metodele indirecte utilizeaz un semnal exogen

    1r , suficient de persistent pentru identificarea dinamicii procesului, avnd n vedere c principalul obstacol de identificare n bucl nchis este c u i w sunt mrimi corelate. n acest caz, spre deosebire de abordarea din paragraful precedent, 1r devine una dintre intrrile principale ale sistemului global. Funcia de sistem corespunztoare acestei intrri este exprimat de modelul urmtor:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,y n R q r n K q n = + , n N , (3.118)

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 104

    unde ( ),n exprim tot eroarea dintre procesul furnizor de date i model (ca n abordarea direct). Cele dou funcii de sistem din modelul (3.118) corespund urmtoarelor funcii de sistem din cadrul schemei de bucl nchis (a se vedea Figura 3.3 i ecuaiile (3.111)):

    ( ) ( )( ) ( )1

    010 1 1

    01G q

    R qC q G q

    =

    + & ( ) ( )( ) ( )

    101

    0 1 101

    H qK q

    C q G q

    =

    +. (3.119)

    Atunci se poate construi un model n bulc deschis care s reflecte ecuaiile (3.119). Mai precis:

    ( ) ( )( ) ( )1

    11 1

    ,

    ,

    1 ,G q

    R qC q G q

    =

    +

    & ( ) ( )( ) ( )

    11

    1 1

    ,

    ,

    1 ,H q

    K qC q G q

    =

    +

    . (3.120)

    O metod de estimare n bucl deschis poate conduce la identificarea cu o anumit precizie a perechii { , }R K . Folosind informaiile despre regulatorul C , din (3.120) (cu R i K estimate n bucl deschis) se pot determina estimaiile funciilor de sistem 0G i 0H (prin rezolvarea unui sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute):

    ( ) ( )( ) ( )1

    10 1 1

    1R q

    G qC q R q

    =

    & ( ) ( )( ) ( )1

    10 1 1

    1K q

    H qC q R q

    =

    . (3.121)

    Astfel, folosind un semnal exogen aplicat ntre regulator i proces, se ajunge la o identificare n bucl deschis, pentru c intrarea i zgomotul sunt acum necorelate. n cazul n care referina 2r este nul, pot fi puse n eviden dou metode indirecte remarcabile, descrise succint n continuare: Metoda pasului dublu i Metoda factorilor coprimi. A. Metoda pasului dublu Ecuaiile (3.113) se pot particulariza n noile condiii prin:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    1 1 1 10 1 0 0

    1 1 1 10 0 1 0 0

    u n S q r n C q H q S q e n

    y n G q S q r n H q S q e n

    =

    = +, n N . (3.122)

    Mrimea exogen filtrat ( )10 1S q r se poate nota prin 1u , astfel c ecuaiile (3.122) se exprim simplificat ca mai jos:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    1 1 11 0 0

    1 1 10 1 0 0

    u n u n C q H q S q e n

    y n G q u n H q S q e n

    =

    = +, n N . (3.123)

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 105

    Pentru identificarea funciilor de sistem 0G i 0H se adopt o strategie compus din doi pai. La primul pas, se efectueaz dou operaii, dup cum urmeaz.

    a) Se caut o conexiune n structura sistemului nchis pentru care intrarea este necorelat cu zgomotul. Pentru aceasta, se identific ansamblul care asigur transferul de la semnalul exogen 1r , la comanda u . Avnd n vedere expresia lui u din (3.123), se poate considera modelul de ideintificare n bucl deschis:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,u n S q r n T q n = + , n N , (3.124) unde u este ieirea i 1r este intrarea. n urma identificrii cu o metod de bucl deschis, se poate astfel estima sensibilitatea 0S (modelul ei estimat fiind notat prin 0S ).

    b) Se utilizeaz sensibilitatea estimat pentru evaluarea mrimii exogene estimate:

    ( )11 0 1 ( ) ( )u n S q r n= , n N , (3.125) La pasul al doilea, se efectueaz alte dou operaii:

    a) Se stabilete un nou model de identificare n bucl nchis, n care intrarea este 1u , iar ieirea este y . Avnd n vedere a doua ecuaie din (3.123), i ecuaia (3.118), modelul este exprimat prin:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,y n G q u n K q n = + , n N . (3.126) n urma identificrii cu o metod de bucl deschis, se poate astfel estima funcia de sistem 0G (modelul ei estimat fiind notat prin 0G ). De notat c sensibilitatea estimat 0S nu servete deocamdat dect la evaluarea intrrii

    1u , n vederea identificrii lui 0G .

    b) Pentru estimarea celei de-a doua funcii de sistem, 0H , se va utiliza estimaia lui K din (3.126), avnd n vedere similitudinea acesteia cu (3.118). Astfel, conform rezultatului din (3.121), ar trebui s se obin:

    ( ) ( )( ) ( )1

    10 1 1

    0

    1K q

    H qC q G q

    =

    . (3.127)

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 106

    Cu toate acestea, dac regulatorul C este necunoscut, ecuaia (3.127) nu poate fi implementat. Din fericire, dac revedem definiia (3.112) a sensibilitii, se poate considera c factorul care nmulete estimaia lui K este chiar sensibilitatea estimat 0S . Astfel, o estimaie implementabil a lui

    0H este urmtoarea:

    ( ) ( ) ( )1 1 10 0 H q K q S q = . (3.128) Mai mult, tot din definiia sensibilitii, se poate determina chiar i o estimaie a funciei de sistem a regulatorului:

    ( ) ( )( ) ( )1

    011 1

    0 0

    1

    S qC q

    G q S q

    = , (3.129)

    B. Metoda factorilor coprimi n ecuaiile (3.122) , se introduc urmtoarele notaii: ( ) ( ) ( )1 1 10 0 0N q G q S q = & ( ) ( )1 10 0D q S q = , (3.130) care pun n eviden perechea de funcii de sistem ce acioneaz asupra intrrii 1r . Dac s-ar opera cu polinoame, atunci 0D (care continu s joace rolul de sensibilitate) l-ar divide pe 0N , adic ar fi constituit dintr-un ansamblu de factori primi ai acestuia. Cu noile notaii, ecuaiile de baz ale sistemului n bucl nchis (3.122) se pot exprima echivalent prin:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    1 1 1 10 1 0 0

    1 10 1 0 0

    u n D q r n C q H q S q e n

    y n N r n H q S q e n

    =

    = +, n N . (3.131)

    n cazul n care 0N i 0D nu prezint zerouri instabile, ele ar putea fi estimate prin metode de identificare n bucl deschis, utiliznd mrimile 1r , u i y . Modelele de identificare sunt de forma:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,yy n N q r n K q n = + , n N , (3.132) pentru 0N , respectiv:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,uu n D q r n T q n = + , n N , (3.133) pentru 0D .

  • 3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 107

    Odat 0N i 0D identificate, se obine imediat:

    ( ) ( )( )1

    010 1

    0

    N qG q

    D q

    = . (3.134)

    Pentru a identifica i cea de-a doua funcie de sistem, 0H , se apeleaz din nou la reeta dat de (3.118) (similar lui (3.132)) i (3.121). Astfel, rezult imediat:

    ( ) ( )( ) ( )1

    10 1 1

    0

    1K q

    H qC q N q

    =

    . (3.135)

    Implementabilitatea soluiei (3.135) depinde de cunoaterea regulatorului C . n cazul n care acesta nu este cunoscut, el poate fi estimat folosind estimaia factorului 0D (care, de fapt este o estimaie a sensibilitii, conform definiiilor (3.130)). Mai precis, funcia de sistem a regulatorului poate fi estimat cu ajutorul definiiei (3.112):

    ( ) ( )( ) ( )( )

    ( )1 1

    0 011 1 1

    0 0 0

    1 1

    D q D qC q

    G q D q N q

    = = . (3.136)

    Din (3.135) i (3.136), rezult o soluie implementabil pentru estimaia funciei de sistem 0H :

    ( ) ( )( ) ( )( )( )

    1 11

    0 1 1 10 0

    1K q K q

    H qC q N q D q

    = =

    . (3.137)

    Ecuaiile (3.134) i (3.137) arat c inversa sensibilitii estimate constituie un factor comun al estimaiilor funciilor de sistem util 0G i parazit 0H . Acest tip de identificare n bucl nchis permite accesul la factorii procesului prin utilizarea semnalului exogen 1r , al referinei 2r (creia i se poate atribui alt rol dect cel de referin) i al transferului ur 1 , respectiv yr 2 . Identificarea acestor factori poate s fie fcut cu ajutorul metodelor de identificare n bucl deschis. Semnalul 1r poate fi uor calculat dac se cunoate regulatorul C , cu ajutorul relaiei: ( ) ( ) ( ) ( )11r k u k C q y k= + , n N . (3.138)

  • AUTOMATIC INDUSTRIAL 108

    Cele mai performante dintre metodele prezentate pentru identificarea n bucl deschis i nchis sunt implementate sub forma unor produse software dedicate sau integrate n alte produse standard, existente pe pia, larg utilizate n unele aplicaii industriale.