1

C. Stoica Introducere în mecanica cuantică relativistă Note de curs 10/1/2011 Universitatea din București Facultatea de Fizică

2

3

1. Ecuaţia lui Dirac

În prima parte a acestui capitol vom prezenta metoda lui Dirac care

permite găsirea unei ecuaţii relativiste care să descrie evoluţia particulelor de

spin 1/2. Vom căuta, desigur, să scriem atât ecuaţia cât şi toate mărimile

cinematice şi dinamice într-o formă covariantă. Vom considera la început cazul

cel mai simplu: particula liberă. Vom porni de la ecuaţia de evolutie temporală

obişnuită pentru particula liberă, ecuaţie care este corectă şi în cazul mişcării

relativiste

=i Ht

(1.1)

şi vom impune ca valorile proprii ale operatorului Hamiltonian, H , să

satisfaca relaţia corectă , din punct de vedere relativist, între impulsul şi energia

particulei:

22 2 4 2=E m c c p (1.2)

Pentru exemplificare vom lucra în reprezentarea coordonatelor, în care

operatorii ataşaţi energiei şi impulsului sunt:

; respectivE i p it

(1.3)

sau, pe componente

= = , =1,3i i

ip i i i (1.4)

unde am notat cu , 1,3i ii

x

derivata covariantă.

Vectorul patru-impulsul p de componente 1

,E pc

este reprezentat în spaţiul

configuraţiilor, conform principiului de corespondenţă, de 4-operatorii

diferenţiali

0: , , / =1,3iip i i i i i

c t

(1.5)

4

Notaţiile folosite aici sunt cele uzuale:

0

0= = ; = =1,3 ;i

ix x ct x x i

= , = 0,3x

1

: ,c t

(1.6)

Metrica pe care o vom folosi se defineşte prin componentele tensorului:

1 . = = 0

= = 1 . = =1,3

0

pt

g g pt

în rest

(1.7)

sau sub formă matriceală

1 0 0 0

0 1 0 0=

0 0 1 0

0 0 0 1

g

(1.7.a)

După cum se ştie, relaţiile = g

definesc legătura dintre componentele

contravariante şi cele covariante ale 4-gradientului.1

Transpusă conform principiului de corespondenţă sub forma unei ecuaţii de

evolutie, relaţia (1.2) se scrie sub forma

2

2 2 4 2 2 2

2= m c c

t

(1.8.a)

sau

1Pestetot în cuprinsul acestei lucrări se foloseşte convenţia de sumare a lui Einstein atunci când indicii la care se

referă sunt litere ale alfabetului grec.

5

2 222

2 2

1= 0

mc mc

c t

(1.8.b)

care este binecunoscuta ecuaţie Klein-Gordon. Ea poate fi scrisă în forma

covariantă

2

= 0mc

(1.9.a)

împreună cu adjuncta ei:

2

* = 0mc

(1.9.b)

în condiţiile în care este o funcţie scalară cu valori complexe.

Dacă în ecuaţia (1.9.a) înmulţim la stânga cu * şi înmulţim tot la stînga cu

în ecuaţia (1.9.b) şi apoi scadem membru cu membru cele două relaţii astfel

obtinute, găsim

* * = 0

sau

* *( ) = 0

Dacă notăm cu * *= ( )2

ij

m

) atunci ecuaţia de mai sus poate fi

pusă sub forma unei ecuaţii de continuitate

= 0j (1.10)

sau, explicit

= 0jt

(1.11)

unde

6

0 ** 0 0 * *

2= = ( ) = ( )

2 2

j i i

c mc mc t t

(1.12)

ar trebui interpretată, pentru particula de spin 1/2, ca densitate de probabilitate

de localizare, iar

* *= ( )2

ij

m (1.13)

ca densitatea curentului probabilităţii de localizare.

Observăm două carenţe majore ale acestei construcţii teoretice:

a) Densitatea de probabilitate de localizare (1.12) nu este pozitiv definită.

b) Formula (1.2) şi apoi ecuaţia (1.8) permit existenţa unor valori negative ale

energiei particulei libere, alături de cele pozitive, pentru acelaşi impuls p

2

2 4 2=E m c c p (1.14)

Deci pentru particula liberă ar rezultă posibilitatea existenţei unor stări de

energie negativă

2 2( , ] [ , )E mc mc

valorile pozitive şi negative ale energiei fiind separate de un interval energetic

interzis, de lărgime 22 .mc

Desigur, dacă particula de spin 1/2 s-ar gasi în câmpul extern al unei forţe

conservative care conduce la apariţia unei energii potenţiale negative, atunci ar

apărea nivele discrete de energie situate în intervalul energetic interzis, deoarece

energia totală a particulei ar deveni mai mică decât 2.mc

Faptul că spectrul energetic nu este mărginit inferior lasă impresia că din sistem

se poate extrage o cantitate de energie oricât de mare ( catastrofa radiativă ).

Este cazul unei particule de spin 1/2 aflată iniţial în repaus şi supusă unei

perturbaţii externe care să-i permită saltul peste intervalul de valori interzise 2= 2E mc între continuum-ul de stări de energie pozitivă şi cel de stări de

energie negativă. Este de asemenea pus în discuţie conceptul de stare staţionară

stabilă. Astfel, stările legate ale electronilor atomici corespunzând unor nivele

discrete de energie din intervalul 2 2,mc mc ar fi instabile; atomii ar fi

instabili, putând trece spontan dîntr-o stare legată într-o stare de energie

7

negativă cuprinsă în intervalul 2( , ]mc , cu eliberarea unei cantităţi de

energie oricât de mare.

Pentru a preveni aceste inconveniente, P.A.M.Dirac a propus în 1928 o ecuaţie

pentru particulele de spin 1/2 care ar trebui să satisfacă imperativ următoarelor

exigenţe:

1. Trebuie să se prevină apariţia unei densităţi de probabilitate de localizare

negativă; pentru aceasta, ecuaţia nu trebuie să introducă derivate în raport cu t

de ordin mai mare decât 1 .

2. În virtutea covarianţei relativiste, ecuaţia trebuie să implice coordonatele

spaţiale şi timpul într-o maniera simetrică , '' pe picior de egalitate ''; rezultă

atunci că şi derivatele parţiale în raport cu coordonatele spaţiale pot fi cel mult

de ordinul 1. Va fi vorba deci de o ecuaţie diferenţială cu derivate partiale de

ordinul 1.

3. Ecuaţia trebuie să fie liniară pentru a satisface şi principiul superpoziţiei.

Trebuie ca soluţiile acestei ecuaţii să satisfacă identic şi ecuaţiei Klein-Gordon,

reflectând astfel relaţia relativistă corectă (1.2) între energia şi impulsul

particulei.

Să presupunem că ecuaţia ar avea forma

2

1 2 31 2 3= ( ) =i i c mc H

t x x x

(1.15)

unde Hamiltonianul H ar fi

2

1 2 31 2 3= ( )H i c mc

x x x

(1.16)

Tripletul 1 2 3 , , , împreună cu , trebuie să fie nişte mărimi independente

de coordonate şi de timp, deci constante. Se ştie din teoria cuantică nerelativistă

că particulele de spin 1/2 sunt descrise de operatori Hamilton care admit drept

coeficienţi matricele 22 ale lui Pauli, iar starea cuantică a acestor particule este

descrisă de vectori de stare cu două componente, numiţi spinori de undă. Tot în

mecanica cuantică nerelativistă se arată că apariţia matricelor Pauli asigură

invarianţa teoriei faţă de rotaţiile triedrului de referinţă din spaţiul euclidian

tridimensional. Toate acestea ne fac să presupunem că 1 2 3 , , şi sunt

8

matrice constante, iar vectorul de stare al electronului este o funcţie cu mai

multe componente ( matrice sau vector coloană) de forma

1

2

( , )

( , )=

( , )N

r t

r t

r t

(1.17)

cu care s-ar putea construi o densitate de probabilitate de localizare

1

2* * * *

1 2

=1

( , ) = = =N

N i i

i

N

r t

(1.18)

Ar mai trebui să aratăm că aceasta densitate de probabilitate, definită ca mai

sus, reprezintă componenta temporală a unui 4-vector al curentului densităţii

probabilităţii de localizare , care să satisfacă ecuaţiei de continuitate. Pentru ca

Hamiltonianul (1.16) să poată acţiona şi la stânga trebuie ca 1 2 3 , , şi să

fie matrice pătrate NN. Dimensiunea lor o vom determina în cele ce urmează.

Pentru simplitatea scrierii, vom nota cu tripletul de matrice 1 2 3, , , astfel

că Hamiltonianul H al particulei libere relativiste de spin 1/2 se scrie sub forma

:

2=H i c mc (1.19)

Deoarece operatorul Hamiltonian H este autoadjunct, trebuie ca matricele şi

să fie hermitice: =i i =1,3i şi = .

Reiterind în ecuaţia (1.15) aplicarea operatorului it

rezultă :

2

2 2 2

2= i c mc i c mc

t

sau explicit

2

2 2 2 2 2 4

2= i j i j i i ic m c i c

t

(1.20)

9

Ecuaţia de mai sus se reduce la ecuaţia Klein-Gordon numai dacă matricele

1 2 3 , , şi satisfac relaţiilor :

2

, = = 2

, = = 0 , =1,3

=

i j i j j i ij N

i i i

N

i

1

1

(1.21)

Vom postula aceste relaţii şi atunci ecuaţia (1.20) ia forma ecuaţiei Klein-

Gordon (1.8) , îndeplinind condiţia 4.

Pentru a demonstra caracterul covariant al formalismului vom introduce

matricele Dirac definite prin relaţiile

0 =

şi

= , =1,3i

i i

(1.22)

Acestea satisfac relaţiilor

, = 2 Ng 1 (1.23)

precum şi

0 0= , = = = = =i i

i i i i

care pot fi scrise într-o singură formulă

0 0= , = 0,3 (1.24)

Acestea vor fi condiţiile definitorii pentru matricele lui Dirac . În continuare

este util să notam cu ansamblul matricelor 1 2 3, , .

Vom defini în mod obişnuit şi matricele = g

adică

0

0 = şi = , =1,3i

i i . De asemenea, pentru un 4-vector arbitrar a de

componente contravariante 0 1 2 3 0: , , , ,a a a a a a a vom folosi notaţia (

Feynman )

10

0 0=a a a a

(1.25)

Din (1.21) rezultă că pentru i j avem =i j j i şi prin urmare

= = 1 .N

i j j i i jDet Det Det Rezultă că matricele şi pot

avea numai dimensiune pară : N=2,4,... Ele trebuie să fie, desigur,

independente. Pentru N=2 există doar 3 matrice independente care anticomută,

matricele lui Pauli din cazul nerelativist. Rezultă că dimensiunea N a acestor

matrice trebuie să fie mai mare sau egală cu 4. Vom arata în paragraful următor

că N=4, arătând că 4 matrice independente care satisfac relaţiilor (1.23) sunt

suficiente pentru a construi cu ajutorul lor 15 matrice independente de

dimensiunea 44 care, alaturi de matricea unitate , pot servi ca bază pentru

descompunerea oricărei alte matrice de acest fel.

După înmulţirea la stânga cu 0 = , ecuaţia (1.15) se scrie sub forma

3

0

0

=1

= k

k

k

mci i

1 (1.26)

care poate fi explicitată pe componente după cum urmează :

4 4 3

0

0

=1 =1 =1

= , 1,4k

ij j ij k ij j

j j k

mci i i

Ecuaţia (1.26) mai poate fi pusă sub forma

= 0mc

i

1 (1.27)

sau , pe componente ,

4

=1

= 0 , 1,4ij ij j

j

mci i

În sfârşit, o altă scriere pe care o vom folosi face apel la notaţia (1.25) , astfel că

ecuaţia se poate pune sub forma

= 0mc

i

1 (1.28)

11

sau , pe componente ,

4

=1

= 0 , 1,4ij ij j

j

mci i

Adjuncta ecuaţiei (1.27) este

= 0mc

i

1 (1.29)

Săgeata de deasupra operatorului diferenţial arată că acţiunea acestuia se

manifestă la stânga. Pe componente , ecuaţia de mai sus se scrie ca

4

* *

=1

= 0ij ij j

j

mci

Dacă avem în vedere că 0 0= şi că 2

0 = 1 , atunci prin înmulţirea la

dreapta cu 0 a ecuaţiei adjuncte rezultă :

= 0mc

i

1

sau

= 0mc

i

1 (1.30)

unde am notat cu

0=

Soluţiile cu patru componente ale ecuaţiei Dirac (1.27) se numesc bispinori.

Dacă înmulţim ecuaţia (1.27) la stânga cu şi ecuaţia (1.30) la dreapta cu ,

iar apoi le adunăm membru cu membru, obţinem , într-adevăr, o ecuaţie având

aspectul ecuaţiei de continuitate

= = = 0j (1.31)

unde

12

=j (1.32)

este 4-vectorul curentului densităţii de probabilitate de localizare.

Ecuaţia (1.32) este o ecuaţie de continuitate în care componenta temporală , 0j ,

a 4-curentului de densitate de probabilitate de localizare este chiar densitatea de

probabilitate de localizare pozitiv definită :

0 0= = =j (1.33)

În ceea ce priveşte problema valorilor negative ale energiei, Dirac a dat o

rezolvare deosebit de elegantă (inspirată) şi , pentru momentul respectiv (1930),

extrem de inovatoare. Deşi acum poate părea desuetă , pentru continuitatea

expunerii în spiritul ei original, dar şi în semn de apreciere a argumentelor

teoretice aduse , îl vom cita intocmai pe P.A.M. Dirac:2

''Un electron aflat într-o stare de energie negativă este un obiect străin

experienţei noastre, dar pe care îl putem studia din punct de vedere teoretic;

putem , în particular, prezice mişcarea sa într-un câmp electromagnetic dat

oarecare. Rezultatul calculului, efectuat fie în mecanica clasică, fie în teoria

cuantică, este că un electron de energie negativă este deviat de câmp exact ca şi

cum ar fi un electron de energie pozitiva dacă ar avea o sarcină electrică

pozitiva e în locul sarcinii negative obişnuite e .

Acest rezultat sugerează imediat asimilarea electronului de energie negativă cu

pozitronul. Am putea fi tentaţi să admitem că un electron aflat într-o stare de

energie negativă este chiar un pozitron, dar aşa ceva este inacceptabil , pentru că

pozitronul observat nu are defel o energie cinetică negativă .

Putem obţine un rezultat mai bun utilizând principiul de excluziune al lui Pauli ,

în virtutea căruia o stare cuantică dată nu poate fi ocupata de mai mulţi electroni

. Să admitem că în Univers, aşa cum îl cunoaştem noi , toate stările de energie

negativă ar fi ocupate de electroni şi că distribuţia astfel obtinută nu ar fi

accesibilă observaţiei noastre datorită uniformităţii sale în tot cuprinsul spaţiului

. În aceste condiţii , orice stare de energie negativă neocupată , reprezentând o

ruptură a acestei uniformităţi , trebuie să se reveleze observaţiei ca un fel de

lacună (n.n. vacanţă/gol ). Putem admite că aceste goluri constituie pozitronii.

Aceasta ipoteză rezolvă principalele dificultăţi ale interpretării stărilor de

energie negativă. Un gol în distribuţia electronilor de energie negativă

reprezintă o energie pozitivă , pentru că corespunde unui deficit local de energie

negativă . În plus, mişcarea acestui gol într-un câmp electromagnetic oarecare

2P.A.M. Dirac, '' THEORIE DU POSITRON ``, Rapport du 7

e Conseil Solvay de Physique, Structure et

Proprietés des Noyaux Atomiques, p.203, (1934)

13

este identică cu aceea a electronului necesar pentru a compensa acest gol. Putem

trage de aici două concluzii : întâi că mişcarea golului poate fi reprezentată

printr-o funcţie de undă Schrödinger analogă celei care descrie mişcarea unui

electron , şi în al doilea rând că golul se comportă într-un câmp în acelaşi fel ca

un electron pozitiv de energie pozitiva.``

Trebuie să menţionăm că, faţă de punctul său de vedere iniţial exprimat în

articolul A Theory of Electrons and Protons , Proc. Roy. Soc., A126, 360,

(1930), când Dirac considera că protonul este echivalentul lacunei

(golului/vacanţei) de electron de energie negativă , datorită -spunea el -şi

retinerii care exista în epocă faţă de introducerea teoretică a unor noi particule ''

elementare '' , o serie de argumente teoretice legate de rata de anihilare electron-

proton în atomi, (Julius Robert Oppenheimer, Phys. Rev., 35, 562, (1930) ; Igor

Tamm, Z. f. Phys., 62, 545, (1930)) l-au facut să se răsgândească (P.A.M. Dirac,

Proc. Roy. Soc., 133, 60, (1931) ) şi să considere că golurile apar nu ca protoni,

ci ca un tip nou de particule încarcate electric, de aceeaşi masa ca electronul .

Această particulă , numită pozitron , a fost descoperită de către Carl D.

Anderson în radiaţia cosmică , în 2 august 1932.

În sfârsit , trebuie să mai spunem că dezvoltarea teoriei cuantice a câmpurilor a

facut să nu mai fie necesară interpretarea antiparticulelor ca goluri ale unui

continuum insesizabil, cu atât mai mult cu cât argumentele lui Dirac , bazate pe

principiul lui Pauli , nu se pot susţine în cazul bozonilor. În locul acestei

construcţii teoretice trebuie pusă o teorie multi-particulă care să cuprindă într-o

manieră consistentă atât particulele cât şi antiparticulele. Acest deziderat se

realizează în cadrul celei de a doua cuantificări , prin introducerea unor câmpuri

cuantice capabile să creeze şi să anihileze particule.

14

2. Matricele lui Dirac

Fie 4 matrice cu patru linii şi patru coloane , , = 0,3 , cu proprietăţile :

0 0

, = 2

= = 0,3

g

1

(2.1)

Vom defini , de asemenea , următoarele 16 matrice 44 :

1) 1 = 1

2) 1 2 3 0

2 3 4 5 = ; = ; = ; = ;i i i

3) 2 3 3 1 1 2

6 7 8 = ; = ; = ;i i i

0 1 0 2 0 3

9 10 11= ; = ; = ; (2.2)

4) 0 2 3 0 3 1 0 1 2 1 2 3

12 13 14 15= ; = ; = ; = ;i i i

5) .

0 1 2 3

16 5= =not

i

Principalele proprietăţi ale acestor 16 matrice , rezultate din definiţiile (2.1) sunt

următoarele3:

A)

2

= =1,16i i 1 , (2.3)

B) Pentru orice pereche i şi j există

k , , , 1,16i j k astfel încât

=i j ks (2.4)

unde = 1s sau .i

3Vezi R.H. Good , Jr., Rev.Mod.Phys., 27 ,187, (1955)

15

C) Pentru orice pereche i şi

j avem

=i j j i (2.5)

D) Pentru oricare i , cu exceptia lui

1 , există , 2,16j j astfel încât

= sau = 0j i j i i j j i (2.6)

Din ultima proprietate rezultă că urma oricărei matrice i este zero :

2= = = = = 0i i j i j i j iTr Tr Tr Tr Tr (2.7)

pentru oricare = 2,16.i

E) Cele 16 matrice sunt liniar independente. Pentru a demonstra acest lucru ,

considerăm o combinaţie liniară a lor, nulă : 16

=1= 0i ii

a . Rezultă , cu ajutorul

formulei (2.7) , că 16

1=1= = 0i ii

Tr a Na , deci 1 = 0a .

În continuare înmulţim întreaga combinaţie , pe rând , cu fiecare dintre

matricele , = 2,16j j şi , folosind proprietatea (A) , rezultă în acelaşi mod

că toţi ceilalţi coeficienţi sunt nuli : = 0 , = 2,16ia i .

În concluzie putem spune că nu pot fi reprezentate 4 matrice , = 0,3 cu

proprietatea (2.1) ca matrice pătrate de dimensiune mai mică decât 4, căci nu

pot exista 16 matrice liniar independente , =1,16j j de dimensiune mai

mică. Dimensiunea minimă pentru 4 matrice care satisfac relaţiile (2.1) este 4

4 (reprezentarea ireductibilă ). Reprezentarile de ordin superior sunt reductibile

la reprezentări cvasidiagonale . În consecinţă, cele 16 matrice i formează o

bază în spaţiul matricelor cu 4 linii şi 4 coloane , deci orice matrice A cu aceste

dimensiuni poate fi reprezentată ca o combinaţie liniară de forma

16

=1

= i i

i

A a (2.8)

unde , conform cu (2.3) , (2.4) şi (2.7) avem

1

=4

i ia Tr A (2.9)

16

F) Orice matrice A care comută cu toate cele 4 matrice este un multiplu al

matricii unitate (lema lui Schur ) . Pentru demonstraţie vom face mai întâi

observaţia că orice matrice A care comută cu toate cele 4 matrice comută şi cu

toate cele 16 matrice . Atunci

2= = , 1,16i i iA A A i (2.10)

Putem dezvolta pe A sub forma

= j j k k

k j

A a a

(2.11)

unde am separat contribuţia uneia dintre cele 16 matrice , j , cu condiţia ca

aceasta să nu fie matricea unitate 1 , deci 1j . Conform proprietăţii (D) ,

există o matrice i din mulţimea 2,16i care anticomută cu

j , adică

= .i j i j Astfel, dacă înmulţim relaţia (2.11) şi la stânga şi la dreapta cu

i şi avem în vedere ca A comută cu i , precum şi proprietăţile A) şi C),

obţinem :

= =i i j j k i k i j j k k

k j k j

A A a a a a

Înlocuind pe A în membrul stâng conform relaţiei (2.11) , se obţine

= j j k k j j k k

k j k j

a a a a

Dacă înmulţim relaţia de mai sus cu j în fiecare membru şi apoi calculăm

urma , rezultă conform relaţiilor (2.3) , (2.4) şi (2.7) că = = 0j ja a . Alegerea

matricii j a fost arbitrară , singura condiţie pe care am pus-o fiind aceea ca ea

să nu fie matricea unitate 1 . Prin urmare toţi coeficienţii dezvoltării (2.8) ai

unei matrice A care comută cu toate cele 4 matrice se anulează , cu excepţia

coeficientului 1a al matricii 1 = 1 . Atunci A este un multiplu al matricii unitate

.

17

Teorema fundamentala a lui Pauli

Teorema fundamentală a lui Pauli asigură invarianţa ecuaţiei lui Dirac în raport

cu diferitele reprezentări posibile ale matricelor . Teorema lui Pauli poate fi

formulata după cum urmează :

Toate reprezentarile ireductibile 44 ale matricelor Dirac cu proprietatea

(2.1) sunt echivalente , până la o transformare unică , nesingulară şi

unitară . ( Reprezentarile ireductibile ale algebrei Dirac (2.1) sunt unitar

echivalente ) .

Astfel , considerând două seturi de matrice care satisfac relaţiilor (2.1) ,

, = 0,3 şi ' , = 0,3 , conform teoremei fundamentale a lui Pauli ,

există o matrice T unică , nesingulară şi unitară astfel încât cele două seturi de

matrice , şi ' , sunt legate printr-o transformare de echivalenţă (

similitudine ) de forma

1' = T T (2.12.a)

sau

' =T T (2.12.b)

Pentru demonstrarea acestei afirmaţii vom considera matricele i şi 'i

( =1,16)i construite cu matricele si, respectiv, ' , = 0,3 după

modelul dat de (2.2) , precum şi matricea

16

=1

= 'i i

i

T A (2.13)

unde A este o matrice arbitrară 44 astfel aleasă ca T să fie nesingulară . Avem

, conform relaţiei (2.4) :

= unde = 1 sau i j ij k ijs s i (2.14)

Atunci rezultă că

2 22

= =i j i j ij k ijs s 1

(2.15)

18

Dacă înmulţim relaţia de mai sus cu j i şi ţinem sema de relaţia (2.3) rezultă:

2

=i j ij j is (2.16)

sau

2

3= = ( )j i ij i j ij ks s (2.17.a)

Evident că matricele ' satisfac unor relaţii similare :

3' ' = ( ) 'j i ij ks (2.17.b)

Vom prelucra relaţia (2.13) după cum urmează , înmulţind fiecare membru la

stânga cu ' j şi la dreapta cu j , pentru oricare 1,16j :

16 16 16

3

=1 =1 =1

' = ' ' = ( ) ' = ' =j j j i i j ij k ij k k k

i k k

T A s As A T (2.18)

sau, având în vedere relaţia (2.3) ,

' = sau = ' 1,16j j j jT T T T j (2.19)

În particular, pentru = 2,3,4,5j avem :

' =T T (2.20)

Vom demonstra mai departe că matricea T este nesingulară . Pentru aceasta vom

arăta mai întâi că se poate alege A astfel încât T să fie diferită de matricea 0 (cu

toate elementele nule) . Vom proceda prin metoda reducerii la absurd . Astfel ,

vom considera că toate elementele matricii T ar fi nule pentru oricare matrice A

:

16 4

=1 , =1

= ' = 0 , , =1,4mn i ipqmp qni p q

T A m n

(2.21)

Să alegem matricea A astfel încât elementele ei să fie de forma

= pr qspqA (2.22)

19

unde indicii r şi s sunt arbitrar aleşi . De pildă , pentru r=1 şi s=2

0 1 0 0

0 0 0 0=

0 0 0 0

0 0 0 0

A

(2.23)

Dacă introducem elementele de forma (2.22) ale matricei A în relaţia (2.21)

aceasta devine :

16

=1

' = 0 , , =1,4i imr sni

s n (2.24)

Adevarată pentru oricare s şi oricare n , relaţia (2.24) poate fi pusă sub forma

compact matriceală

16

=1

' = 0 i imri

(2.25)

care contrazice liniar independenţa matricelor i , pentru că coeficienţii 'i mr

nu sunt toti nuli , din moment ce 2

' =i 1 . Astfel , rezultă că există matricea A

astfel încât T 0 . Mai departe vom demonstra că T este nesingulară . Fie

16

=1

' = ' 'i i

i

T A (2.26)

( Aici am schimbat rolurile matricelor şi ' faţă de relaţia (2.13) ) . Un calcul

analog celui care ne-a condus de la (2.13) la (2.19) ne dă că

' = ' ' 1,16j jT T j (2.27)

Am arătat mai sus că există 'A astfel încât 'T 0 . Atunci , înmulţind relaţiile

(2.19) şi (2.27) membru cu membru, avem

' = ' ' ' = ( ' ) , 1,16j j j j j jT T T T T T j

1

(2.28)

20

Aşadar matricea 'T T comută cu toate matricele . Atunci , conform lemei lui

Schur, rezultă că ' =T T c1 unde c 0 . Din moment ce 'T 0 , rezultă că există 1 1= 'T c T .

Atunci relaţia (2.20) poate fi scrisă şi sub forma

1' = T T (2.29)

Pentru a demonstra că matricea T este unică vom proceda tot prin reducere la

absurd . Astfel, vom considera că exista doua matrice, 1T şi

2T care satisfac

simultan unor relaţii de forma (2.20.b) :

1

1 1

1

2 2

1

2 2

' =

şi

' =

sau

= '

T T

T T

T T

Atunci avem 1 1

1 2 2 1' = 'TT T T sau

1

1 1

1 2 1 2 ' = 'TT TT

(2.30)

Deci matricea 1

1 2TT comută cu toate cele 4 matrice ' şi , conform lemei lui

Schur , este un multiplu al matricii unitate

1

1 2 1 2= sau =TT c T cT1 (2.31)

ceea ce demonstrează unicitatea matricii T , până la o constantă multiplicativă

arbitrară , c . Această constantă poate fi fixată printr-o condiţie de '' normare ''

de forma

=1DetT (2.32)

la o valoare egala cu 1/ 4

1 = 1 sau i .

În sfârşit , vom demonstra că matricea T este unitară . Vom porni de la relaţia

(2.20) ' =T T şi vom scrie adjuncta ei sub forma

21

' =T T

(2.33)

unde , conform cu (2.1) , avem 0 0=

dar şi

0 0' = ' ' ' = 0,3

. Putem prelucra relaţia (2.33) după cum

urmează :

0 0 0 0' ' ' = T T

sau, conform cu (2.29)

0 1 1 0 1 0 0 1 0 0= = T T T T T T T T T T T

sau încă ,

0 0 0 0= ( )T T T T

Înmulţind ultima relaţie , membru cu membru, la stânga şi la dreapta , cu 0 şi

având în vedere că 2

0 = 1 rezultă :

0 0 0 0= = 0,3 T T T T

deci

0 0 , = 0 = 0,3T T

Atunci , conform lemei lui Schur , 0 0 =T T c

1 . După repetarea aceleiaşi

înmulţiri cu 0 rezultă că =T T c

1 . Prin urmare avem :

1=T cT (2.34)

unde condiţia de normare (2.32) fixează constanta =1c . Atunci

1=T T (2.35)

ceea ce înseamnă că matricea T este unitară .