BBAARRCCAANN CCAARRMMEENN -- MMIIHHAAEELLAA

BBAAZZEELLEE PPSSIIHHOOPPEEDDAAGGOOGGIICCEE AALLEE RREEZZOOLLVVĂĂRRIIII PPRROOBBLLEEMMEELLOORR DDEE AARRIITTMMEETTIICCĂĂ

LLUUCCRRAARREE MMEETTOODDIICCOO -- ŞŞTTIIIINNŢŢIIFFIICCĂĂ

EEddiittuurraa SSffâânnttuull IIeerraarrhh NNiiccoollaaee 22001100

IISSBBNN 997788--660066--88119933--1144--44

4

Coordonator ştiinţific: Profesor universitar doctor GHEORGHE DUMITRIU

5

CUPRINS ARGUMENTE PRIVIND IMPORTANŢA, ACTUALITATEA ŞI MOTIVAREA ALEGERII TEMEI....... 5

CAP. 1 PROFILUL PSIHOLOGIC AL VÂRSTEI ŞCOLARE MICI .............................................................. 8

1.1. CARACTERIZARE GENERALĂ ........................................................................................................................ 8 1.2. GÂNDIREA, PROCES PSIHIC INTELECTUAL DE PRELUCRARE LOGICĂ A INFORMAŢIILOR ........................ 16

1.2.1. Operaţiile fundamentale ale gândirii................................................................................................. 17 1.2.2. Tipuri de gândire................................................................................................................................. 18 1.2.3. Activităţile gândirii ............................................................................................................................. 20

CAP. 2 MATEMATICA ÎN CURRICULUMUL NAŢIONAL........................................................................ 23

2.1. SCOPUL STUDIERII MATEMATICII ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PRIMAR ................................................................ 23 2.2. STRUCTURA PROGRAMEI ŞCOLARE LA MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PRIMAR................................ 24 2.3. REZOLVAREA DE PROBLEME ÎN CONŢINUTUL PROGRAMEI DE MATEMATICĂ A ÎNVĂŢĂMÂNTULUI PRIMAR ................................................................................................................................................................ 26 2.4. NOŢIUNEA DE PROBLEMĂ ŞI DE REZOLVARE A PROBLEMELOR................................................................ 26 2.5. CLASIFICAREA PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ ÎN CICLUL PRIMAR ...................................................... 27 2.6. ETAPELE REZOLVĂRII PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ ............................................................................ 28 2.7. ASPECTE PSIHOPEDAGOGICE ŞI METODOLOGICE PRIVIND REZOLVAREA PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ............................................................................................................................................................................. 31

CAP. 3 COORDONATE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII PRIVIND REZOLVAREA PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ................................................................................................................. 40

3.1. OBIECTIVELE ŞI IPOTEZA CERCETĂRII........................................................................................................ 40 3.2. METODICA CERCETĂRII .............................................................................................................................. 40

3.2.1. Eşantionul experimental ..................................................................................................................... 40 3.2.2. Etape de desfăşurare........................................................................................................................... 41 3.2.3. Metode şi tehnici de cercetare psihopedagogică .............................................................................. 44

3.3. MODALITĂŢI DE UTILIZARE ŞI APLICARE A METODELOR ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ ........................................................................................................................................................ 50

CAP. 4 PREZENTAREA, ANALIZA ŞI INTERPRETAREA REZULTATELOR CERCETĂRII APLICATIVE ......................................................................................................................................................... 75

4.1. REZULTATELE OBŢINUTE LA EVALUAREA INIŢIALĂ ................................................................................. 75 4.2. REZULTATELE OBŢINUTE LA EVALUĂRILE FORMATIVE ........................................................................... 77 4.3. REZULTATELE OBŢINUTE LA EVALUAREA FINALĂ ................................................................................... 84

CONCLUZII........................................................................................................................................................... 88 BIBLIOGRAFIE.................................................................................................................................................................... 108

6

ARGUMENTE PRIVIND IMPORTANŢA, ACTUALITATEA ŞI MOTIVAREA ALEGERII TEMEI

În condiţiile în care şcoala contemporană deplasează accentul de pe memorarea unui volum

de cunoştinţe pe dezvoltarea gândirii creatoare, pe însuşirea metodelor şi tehnicilor muncii intelectuale, pe dobândirea deprinderilor de muncă independentă, elevul devine participant activ la propria formare, iar învăţătorul se situează pe o nouă poziţie, aceea de îndrumător al elevului.

Faptul că învăţarea participativ-creativă a devenit problema centrală a didacticii moderne, a dat naştere la numeroase căutări în vederea descoperirii modalităţilor eficiente de educare a elevilor în spiritul unei atitudini conştiente şi active, care să-i antreneze permanent pe copii la un efort mintal susţinut şi să-i înarmeze cu capacităţile necesare unei activităţi de învăţare productivă care să solicite intens operaţiile gândirii logice.

Consider importantă această temă întrucât activitatea de rezolvare de probleme are cele mai bogate valenţe formative, în cadrul ei valorificându-se atât cunoştinţele matematice de care dispune elevul, cât şi dezvoltarea intelectuală a acestuia.

Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conştientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaştere, volitive şi motivaţional – afective: gândirea, memoria, imaginaţia, limbajul, voinţa, motivaţia şi atenţia.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată şi mai antrenată este gândirea, prin operaţiile logice de analiză, sinteză, comparaţie, abstractizare şi generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi şi deprinderi de a analiza situaţia dată de problemă, de a intui şi descoperi calea prin care se obţine ceea ce se cere în problemă. În acest mod, „rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea şi dezvoltarea capacităţilor creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilităţii ei, a capacităţilor anticipativ-imaginative, la educarea perspicacităţii şi spiritului de iniţiativă, la dezvoltarea încrederii în forţele proprii”. (Neacşu, I., 1988, p. 197)

Prin rezolvarea problemelor de matematică, elevii îşi formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv şi în studiul altor discipline de învăţământ, îşi cultivă şi educă calităţile moral – volitive. În acelaşi timp, se îmbogăţeşte orizontul de cultură generală al elevilor prin utilizarea în conţinutul problemelor a unor cunoştinţe pe care nu le studiază la alte discipline de învăţământ ( informaţii legate de distanţă, timp, cantitate, greutate etc.).

Problemele de aritmetică, fiind strâns legate cel mai adesea prin însuşi enunţul lor de viaţă, de practică, dar şi prin rezolvarea lor, generează la elevi un simţ al realităţii de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva şi alte probleme practice cu care se vor confrunta în viaţă.

Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi şi atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înşişi probleme.

Prin conţinutul lor, prin tehnicile de abordare şi soluţionare utilizate, rezolvarea problemelor de aritmetică conduce la cultivarea şi educarea unei noi atitudini faţă de muncă, a prieteniei, a disciplinei conştiente, dar şi a spiritului emulativ, a competiţiei cu sine însuşi şi cu alţii.

Toate aceste valenţe formative în personalitatea elevilor, pe care le generează procesul de rezolvare şi compunere a problemelor de aritmetică justifică importanţa temei alese, motiv pentru care învăţătorul trebuie să îi acorde atenţia cuvenită.

Programa de matematică prevede, pentru fiecare clasă a ciclului primar, obiective cadru, obiective de referinţă, exemple de activităţi de învăţare şi conţinuturi referitoare la rezolvarea problemelor de aritmetică. De asemenea, aspecte privind rezolvarea şi compunerea de probleme de aritmetică sunt cuprinse şi în conţinutul a 5 standarde curriculare de performanţă (din totalul de 14) la finele învăţământului primar, ceea ce evidenţiază importanţa şi actualitatea temei alese.

7

Din experienţa anilor anteriori am remarcat anumite dificultăţi întâmpinate de elevi în procesul de rezolvare şi compunere a problemelor, cum ar fi:

- nu analizează suficient enunţul problemei pentru a delimita datele problemei, relaţiile dintre date şi întrebarea problemei (delimitarea ipotezei de concluzie, a ceea ce se cunoaşte de ceea ce trebuie aflat);

- de cele mai multe ori elevul pierde ideea conducătoare care l-ar aduce la rezolvarea problemei, nu mai ştie ce trebuie să facă cu un rezultat parţial obţinut;

- nu acordă suficientă atenţie întocmirii planului de rezolvare al problemei; - nu verifică întotdeauna rezultatul obţinut prin rezolvarea problemei;

- de cele mai multe ori elevii nu găsesc de la început mai multe căi de rezolvare a unei problemei, fiind nevoie de sprijinul învăţătorului; - unii elevi au slabe deprinderi de calcul, efortul lor concentrându-se nu asupra raţionamentului problemei, ci asupra efectuării calculelor (de altfel, există o tendinţă generală a elevilor de a fi absorbiţi de calcul);

- aplică mecanic algoritmi de lucru, ceea ce poate conduce la rezolvări incorecte. În speranţa de a-i ajuta pe elevi să depăşească aceste dificultăţi, mi-am propus să organizez activităţi variate de învăţare pentru toţi copiii, în funcţie de nivelul şi ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia, îmbinând metode tradiţionale cu metode activ - participative, care să stimuleze participarea activă, fizică şi psihică, individuală şi colectivă a elevilor în procesul învăţării, având un pronunţat caracter formativ – educativ.

Strategia alternativă promovată cu precădere în lucrarea de faţă este învăţarea bazată pe cooperare, ca activitate ce implică efort cognitiv, volitiv, emoţional şi care se realizează cu mai multă eficienţă atunci când elevul este angajat într-o relaţie interumană.

Lucrarea este structurată în 4 capitole cu subcapitole adiacente, astfel: a) partea întâi constituie o fundamentare teoretică, psihopedagogică a temei alese (capitolele 1 şi

2); b) partea a doua cuprinde metodica cercetării, modalităţile de introducere a „factorului de progres”

în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică (capitolul 3); c) partea a treia cuprinde rezultatele cercetării aplicative sub forma datelor concrete, tabele

analitice şi sintetice, diagrame, histograme, poligoane de frecvenţă, indici statistici; sunt prezentate, comparate şi interpretate psihologic şi pedagogic rezultatele obţinute de elevi la evaluarea iniţială, la testele docimologice aplicate la sfârşitul fiecărui capitol ce include rezolvarea problemelor de aritmetică, dar şi rezultatele obţinute de elevi la evaluarea finală (capitolul 4).

d) ultima parte a lucrării prezintă concluziile ce confirmă ipoteza de lucru a cercetării întreprinse. La sfârşitul lucrării am constituit o secţiune destinată anexelor (fişe de lucru, teste de

evaluare, fotografii), după care am adăugat lista cu sursele bibliografice utilizate.

8

CAP. 1 PROFILUL PSIHOLOGIC AL VÂRSTEI ŞCOLARE MICI (6/7 – 10/11 ani)

1.1. Caracterizare generală

Profilul psihologic este „o expresie cantitativ – calitativă a totalităţii componentelor, proceselor şi însuşirilor psihice, precum şi a relaţiilor interfuncţionale dintre acestea, caracteristice unei anumite etape din dezvoltarea ontogenetică a copiilor şi diferenţiate de la un individ la altul”(Nicola, I., 1994, p. 89). Astfel, în caracterizarea vârstei şcolare mici trebuie să ţinem seama de faptul că, în jurul vârstei de 6 - 7 ani, în viaţa copilului se petrece un eveniment cu totul deosebit, acela al intrării la şcoală. Întreaga sa dezvoltare fizică şi psihică este influenţată de acest nou factor.

„Vârsta şcolară se constituie ca un stadiu nou, calitativ superior, bazat pe achiziţiile anterioare, pe experienţa cognitivă a copilului pe care o valorifică şi o restructurează, în funcţie de noile dominante psihofizice şi noile solicitări ale mediului”(Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 23). P. Osterrieth realizează următoarea caracterizare a acestui stadiu:

- „6 ani – vârsta extremismului, a tensiunii şi agitaţiei; - 7 ani – vârsta calmului, a preocupărilor interioare, a meditaţiei, în care apare pentru prima

dată interioritatea, una din trăsăturile dominante ale stadiului următor; - 8 ani – vârsta cosmopolită, a expansiunii, a extravaganţei, a interesului universal; - 9 ani – vârsta autocriticii, a autodeterminării”(ibidem, p. 24); - „vârsta de 10 ani, cu echilibru, cu buna sa adaptare, cu calm, dar însufleţita sa siguranţă, cu

ţinută lipsită de încordare constituie pe drept cuvânt, apogeul copilăriei, momentul de deplină înflorire şi deplină integrare, a caracteristicilor copilului mare”(Creţu, T., 2005, p. 108).

La rândul său, M. Debesse caracterizeză vârsta şcolară ca „vârsta raţiunii”, „vârsta cunoaşterii”, „vârsta socială” (apud Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 24).

Dezvoltarea proceselor cognitive inferioare (senzaţii, percepţii,

reprezentări) Este perioada în care continuă să se dezvolte toate formele de sensibilitate (vizuală, auditivă,

tactilă, chinestezică etc.), precum şi toate formele complexe ale percepţiei: spaţiului, timpului, mişcării. Sub influenţa sistemului de solicitări determinat de activitatea şcolară, percepţia îşi diminuează caracterul sincretic, sporind în precizie, volum, inteligibilitate. Creşte acuitatea discriminativă faţă de componentele obiectului perceput; se formează schemele logice de interpretare ce intervin în analiza spaţiului şi timpului perceput.

Acum trebuie realizate obiective importante ale învăţării perceptive, precum: - dezvoltarea sensibilităţii şi a activităţii discriminative a analizatorilor; - însuşirea unor criterii şi procedee de explorare, investigare a câmpului perceptiv (vizuală,

tactilă, audutivă); - ordinea de relevare a însuşirilor; - formarea unor structuri perceptive, cum sunt cele corespunzătoare cifrelor, literelor,

semnelor convenţionale. În acest fel se realizează trecerea treptată de la formele simple, spontane, superficiale ale

percepţiei la cele complexe şi la observaţie. La intrarea în şcoală percepţiile copiilor păstrează încă unele trăsături care vin în contradicţie

cu activitatea pe care vin să o desfăşoare. Elevii de vârstă şcolară mică se caracterizează printr-o deosebită receptivitate faţă de realitatea înconjurătoare. Dar percepţia lor este globală uneori, superficială. Învăţătorul trebuie să asigure, în desfăşurarea procesului instructiv-educativ, condiţii favorabile de sporire a eficienţei învăţării perceptive prin orientarea şi conducerea completă a capacităţii elevilor de sesizare, conştientizare, discriminare, recunoaştere şi interpretare adecvată a

9

obiectelor şi fenomenelor percepute concret, intuitiv, direct, observaţional. Pe parcursul micii şcolarităţi, percepţia câştigă noi dimensiuni, evoluează. Procesele percepţiei spaţiului se datoresc în primul rând îmbogăţirii experienţei proprii de viaţă a copilului sub influenţa şcolară, crescând şi precizia diferenţierii şi denumirii formelor geometrice.

În cadrul procesului de învăţare uneori nu este necesar şi nici chiar posibil ca obiectele, fenomenele reale să fie prezente şi să fie percepute direct de elevi. Totuşi, în aceste condiţii cunoaşterea lor poate fi realizată deoarece informaţiile percepute anterior nu dispar fără urmă din mintea elevilor. Ele au capacitatea de a fi conservate şi reactualizate la nevoie în lipsa stimulilor care le-au determinat, ca urmare a procesului psihic de reprezentare a lor sub formă de imagini secundare.

Percepţiile stau la baza formării reprezentărilor, iar acestea la rândul lor, pregătesc şi uşurează generalizările din gândire.

La intrarea în şcoală copilul posedă numeroase reprezentări despre obiectele de uz casnic, despre fructe, animale, oameni din jurul său. Copilul ajunge să înţeleagă toate aceste lucruri apelând la reprezentări. Caracteristic pentru micul şcolar este trecerea de la apariţia involuntară la capacitatea de a evoca reprezentări în mod voluntar, precum şi creşterea elementului generalizator care facilitează asimilarea, însuşirea treptată a noţiunilor. Datorită activităţii organizatoare a cuvântului, reprezentările micului şcolar se eliberează treptat de caracterul lor difuz, devenind mai precise, mai clare. De la reprezentări separate se trece la grupuri de reprezentări. Noile caracteristici - claritatea, coerenţa, mobilitatea - pe care le dobândesc reprezentările în cursul micii şcolaritaţi fac posibil ca elevul să le poată stăpâni şi dirija cursul.

Având în vedere toate aceste caracteristici, cunoaşterea şi înţelegerea procesului de formare, pe etape, a reprezentărilor şi conceptelor matematice, spre exemplu, generează cerinţe de ordin psihologic ce se cer respectate în conceperea actului didactic:

1. orice achiziţie să fie dobândită de copil prin acţiune însoţită de cuvânt; 2. copilul să beneficieze de experienţă concretă variată şi ordonată în sensul implicaţiilor

matematice; 3. situaţiile de învăţare trebuie să favorizeze operaţiile mentale, copilul amplificându-şi

experienţa cognitivă; 4. dobândirea unei anume structuri matematice să fie rezultatul unor acţiuni concrete cu

obiecte, imagini sau simboluri, pentru acelaşi conţinut matematic; 5. dobândirea reprezentărilor conceptuale să decurgă prin acţiunea copilului asupra

obiectelor, pentru a favoriza reversibilitatea şi interiorizarea operaţiei; 6. învăţarea să respecte caracterul integrativ al structurilor, urmărindu-se transferul vertical

între nivelurile de vârstă şi logica formării conceptelor; 7. acţiunile de manipulare şi cele ludice să conducă treptat spre simbolizare. Dezvoltarea proceselor cognitive superioare (gândirea, memoria,

imaginaţia, limbajul) După opinia psihologilor, dezvoltarea intelectuală reprezintă principalul salt calitativ al

şcolarităţii mici, gândirea intuitivă cedând locul gândirii operatorii, procedeele intuitive, empirice ale preşcolarităţii fiind înlocuite cu construcţiile logice şi reversibile. Operaţiile mintale se formează prin interiorizarea acţiunilor externe. Caracteristica principală a operaţiei logice este reversibilitatea, adică posibilitatea folosirii concomitente a sensului direct şi invers, a anticipării rezultatului, efectuării unor corecţii, toate acestea desfăşurându-se pe plan mintal.

De asemenea, „se formează ideea de invarianţă, conservare a unor caracteristici (cantitate, greutate, volum), după cum urmează: la 7 – 8 ani copiii admit conservarea substanţei, către 9 ani

10

recunosc conservarea greutăţii, iar la 11 – 12 ani, conservarea volumului”(Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 25-26).

Aceste operaţii, care se substituie intuiţiei sunt, deocamdată, „concrete”, ele se desfăşoară pe plan mintal, dar continuă să fie legate de acţiunea cu obiectele şi datele pe care le oferă percepţia.

Dat fiind caracterul concret al gândirii elevului din şcoala primară, faptul că el rămâne tributar celor văzute ori trăite sau unor imagini şi amintiri despre nenumăratele situaţii cu care a venit în contact, intuiţia – directă şi indirectă – stă la baza întregii didactici a acestei trepte de învăţământ. Astfel, în procesul învăţării cognitive, elevul porneşte de la un material faptic, iar prin intermediul operaţiilor de abstractizare şi generalizare desprinde însuşirile generale şi esenţiale ale anumitor clase de obiecte, fenomene, relaţii, însuşiri integrate în noţiuni / concepte. De aceea, procesul de predare – învăţare a matematicii în clasele I-IV trebuie să însemne mai întâi efectuarea unor acţiuni concrete, adică operaţii cu obiectele, care se structurează şi se interiorizează, devenind progresiv, operaţii logice, abstracte.

Învăţătorul trebuie să respecte însă anumite cerinţe privitoare la intuiţie: - să folosească raţional materialul didactic; - să selecteze materialul potrivit funcţiei pe care o îndeplineşte intuiţia:

* „izvor de informaţii, sub forma reprezentărilor, în vederea prelucrării, elaborării generalizărilor şi formării capacităţilor de a opera cu noile concepte

* funcţia de concretizare, în sensul că un concept odată elaborat pe calea abstractizării sau pe cale pur logică, urmează să fie aplicat din nou obiectelor şi fenomenelor reale, cazurilor particulare”(Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 234)

- să dozeze raportul dintre cuvânt şi intuiţie; - să solicite intens elevul în efectuarea unor activităţi variate de observaţie, de selectare, analiză, sinteză, comparaţie, verbalizare etc. „Procesul gândirii, exprimat prin noţiuni, judecăţi şi raţionamente, se dezvoltă la elevi cu

precădere prin intermediul învăţării şcolare, prin solicitarea permanentă la lecţii, prin activitatea sistematică de cunoaştere riguroasă a realităţii”(Dumitriu, Gh., 2004, p.91).

Memoria, „procesul psihic complex de întipărire, stocare şi reactualizare activă, selectivă şi inteligibilă a informaţiei achiziţionate” (ibidem, p. 120), prezintă între 6 şi 10 ani următoarele caracteristici:

- creşte caracterul activ al memoriei prin faptul că, mai ales elevii de clasa a III-a şi a IV-a tind să extragă din materialul de învăţat ceea ce este important şi reuşesc să scoată ideile principale, să alcătuiască planul unei lecturi, planul de rezolvare a unei probleme etc.;

- se accentuează caracterul voluntar şi conştient al proceselor memoriei, dezvoltându-se astfel formele mediate, logice ale memoriei, precum şi volumul, trăinicia memorării;

- realizarea unei mai bune legături cu gândirea şi creşterea rolului memoriei logice; - încep să apară particularităţi individuale în realizarea memoriei, referitoare la uşurinţa

memorării la trăinicia păstrării şi reactualizarea promptă. Şcolarul mic reţine în general mai uşor formele, culorile, întâmplările decât definiţiile,

demonstraţiile, explicaţiile. Uneori el memorează mecanic, nu logic, memorează cuvinte, nu idei, pune pe acelaşi plan ideile principale cu cele secundare. Importante de cunoscut pentru învăţator sunt calităţile memoriei: volumul, mobilitatea, rapiditatea, trăinicia, promptitudinea la memorare, conservare şi reactualizare, calităţi ce pot fi modelate, educate şi perfecţionate la niveluri performanţiale superioare, mai ales că la această vârstă creşte considerabil volumul memoriei şi se îmbogăţesc indicatorii trăiniciei şi rapidităţii memorării diferitelor conţinuturi. Învăţătorul îl ajută să memoreze voluntar, intenţionat logic.

Într-o foarte strânsă legatură cu gândirea şi limbajul se află imaginaţia. Cu cât copilul este mai evoluat pe plan mintal, cu cât posedă mai multe noţiuni şi un vocabular activ mai bogat, cu atât imaginaţia lui va avea mai multe elemente, mai mult material pentru a construi, pentru a crea. Este

11

foarte mult solicitată imaginaţia reproductivă, copilul fiind pus adesea în situaţia de a reconstitui imaginea unor realităţi.

În strânsă legătură cu imaginaţia reproductivă se dezvoltă imaginaţia creatoare. Ascultând o poveste, şcolarul mic este capabil să şi-o reprezinte transformator, introducând modificări în desfăşurarea subiectului. Formele creative ale imaginaţiei şcolarului mic sunt stimulate de joc şi fabulaţie, de povestire şi compunere, de activităţile practice şi muzicale, de contactul cu natura şi de activităţile cu munca.

Aşadar, în perioada micii şcolaritaţi, imaginaţia se află în plin progres, atât sub raportul conţinutului cât şi al formei. Comparativ cu vârsta preşcolară, ea devine însă mai “critică”, se apropie mai mult de realitate, copilul însuşi adoptând acum faţă de propria imaginaţie o atitudine circumspectă, de autocontrol. Jocul constituie polul extern de asimilare a realităţii de către eul copilului şi el conţine o doză de imaginaţie creatoare care va constitui motorul întregii gândiri viitoare şi chiar a raţiunii.

Astfel, imaginaţia este o condiţie (o cauză) a gândirii şi totodată un rezultat al ei. La începutul şcolarităţii mici, imaginaţia prezintă un conţinut redus, dar odată cu înaintarea în vârstă şi ca rezultat al muncii şcolare, ea devine mai bogată, capătă caracter critic şi manifestă aspecte creative.

Odată cu intrarea în şcoală şi învăţarea citit – scrisului, copilul dobândeşte “conştiinţa limbajului”(apud Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 26).

„Limbajul este activitatea psihică individuală de comunicare a mesajului prin intermediul unor ansambluri de coduri, semne şi simboluri. Cu ajutorul limbajului, oamenii schimbă idei, informaţii, emoţii, sentimente şi imagini, îşi reglează comportamentele, interacţionează în situaţii sociale şi rezolvă diferite probleme”( Dumitriu, Gh., 2004, p. 94).

Principala caracteristică a dezvoltării limbajului în învăţământul primar constă în faptul că limba devine un obiect de învăţământ, fiind însuşită în mod conştient, sistematic, pe baze ştiinţifice, sub toate aspectele sale importante: fonetic, lexical, gramatical, stilistic etc.

Dezvoltarea limbajului, ca şi dezvoltarea intelectuală, este „produsul interacţiunii psihosociale, îndeosebi verbale, care se desfăşoară continuu, sistematic între adulţi şi copii. De altfel, nu poate avea loc o achiziţie a competenţelor lingvistice, matematice, ştiinţifice, a procedeelor de gândire în afara procesului de comunicare interpersonală, a schimbului de mesaje cu părinţii şi educatorii”(ibidem, p. 132).

Învăţarea unei ştiinţe, cum e şi matematica, începe de fapt cu asimilarea limbajului ei noţional. Studiul matematicii, încă de la clasa I, urmăreşte să ofere elevilor, la nivelul lor de înţelegere, posibilitatea explicării ştiinţifice a conceptului de număr natural şi a operaţiilor cu numere naturale. Dacă înţelegerea acestor noţiuni se realizează la nivelul rigorii ştiinţifice a matematicii, atunci şi limbajul în care se exprimă acest sistem de noţiuni trebuie să întrunească rigoarea ştiinţifică. De altfel, programa şcolară pentru clasele I-IV la matematică prevede la obiectivul cadru 3 – formarea şi dezvoltarea capacităţii de a comunica utilizând limbajul matematic – următoarele obiective de referinţă şi exemple de activităţi de învăţare:

clasa Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare

I 3.1 să verbalizeze modalităţile de calcul folosite în rezolvarea unor probleme practice şi de calcul

- exprimarea în cuvinte proprii a modului de lucru folosit în rezolvarea unor sarcini care solicită operarea cu obiecte, desene sau numere; - exerciţii de utilizare adecvată a limbajului matematic în situaţii cotidiene;

a II-a 3.1 să exprime oral, în cuvinte proprii, etape ale rezolvării unor probleme

- citirea enunţului unei probleme; redarea liberă, cu voce tare, a enunţului; - utilizarea unei scheme simple pentru a figura pe

12

scurt datele şi paşii de rezolvare ai unei probleme; - verbalizarea personală a demersului de calcul.

a III-a 3.1 să exprime clar şi concis semnificaţia calculelor făcute în rezolvarea unei probleme

- exerciţii de transpunere a unor enunţuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian; - exerciţii de transpunere a unor enunţuri simple din limbaj cotidian în limbaj matematic; - justificarea alegerii demersului de rezolvare a unei probleme; - utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele şi paşii de rezolvare a unei probleme;

a IV-a 3.1 să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau în scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme

- utilizarea metodelor de analiză sintetică şi analitică pentru a descrie demersul de rezolvare a unei probleme ; - utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele şi paşii de rezolvare a unei probleme.

Importanţa acordată utilizării limbajului matematic este evidenţiată şi prin conţinutul a două

standarde curriculare de performanţă la finele învăţământului primar : S2 Folosirea corectă a terminologiei matematice învăţate în contexte variate ; S14 Exprimarea orală şi scrisă, într-o manieră concisă şi clară, a modului de lucru în

rezolvarea de exerciţii şi probleme. Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte şi mai generale, se

introduce la început cu unele dificultăţi. De aceea, trebuie asigurată mai întâi înţelegerea noţiunii respective, sesizarea esenţei, de multe ori într-un limbaj cunoscut de copii, accesibil lor, făcând unele concesii din partea limbajului matematic. Spre exemplu, denumirea numerelor în operaţiile matematice poate fi reţinută cu uşurinţă şi cu multă plăcere de către elevi în texte de felul:

Adunarea – ncepe acum La scădere primul sunt Termenii pornesc la drum. Şi mă cheamă descăzut. La sfârşit de pui egal, Locul doi ocup uşor. Obţii sumă sau total! Şi mă numesc scăzător.

Obţin, fără să greşesc, O diferenţă sau un rest!

Pe parcursul ciclului primar, limbajul matematic este îmbogăţit progresiv. Se fac permanent

treceri de la o treaptă de abstractizare la alta, se organizează activităţi în plan obiectual (cu obiecte), în plan simbolic (cu simboluri neconvenţionale, apoi cu simboluri convenţionale), în plan verbal şi în plan mental interiorizat. Orice nouă achiziţie matematică are la bază achiziţiile precedente, trecerea de la un stadiu inferior la altul superior făcându-se printr-o reconstrucţie continuă a sistemului noţional şi operativ.

„Prin dezvoltarea limbajului, copilul îşi măreşte posibilităţile generale de a învăţa, de a acumula cât mai multă experienţă socială şi culturală, îşi formează personalitatea, conştiinţa de sine şi de altul, se împlineşte ca fiinţă umană.” (Dumitriu, Gh., 2004, p. 119).

Procesele reglatorii (afective, volitive, motivaţia, atenţia) Intrarea în şcoală, trecerea la o nouă formă de activitate şi un nou status – rol (cel de elev)

aduce restructurări importante în planul proceselor şi fenomenelor psihice cu rol reglator şi stimulativ în învăţare. Manifestările afective „se diversifică şi se extind, (...) se desprind două tendinţe convergente, una de expansiune, de ataşare faţă de alte persoane şi alta de preocupare faţă

13

de sine. Prin cea din urmă se întrezăresc germenii viitoarei conştiinţe de sine, a eului care se priveşte pe sine. Este aşa – zisa tendinţă a interiorităţii, a concentrării asupra lui însuşi; el învaţă să nu exteriorizeze tot ce gândeşte şi tot ce simte” (Nicola, I., 1994, p. 91).

„Se dezvoltă la această vârstă emoţiile şi sentimentele intelectuale, morale, estetice: viaţa în grup, raporturile de cooperare, contribuind hotărâtor în dezvoltarea judecăţii morale la copil. Curiozitatea, trebuinţa de a afla, de a cunoaşte, de explorare şi documentare constituie premise ale stimulării, formării şi dezvoltării motivaţiei şcolare” (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 27).

Învăţătorul trebuie să cultive prin toate mijloacele motivaţia intrinsecă, interesul pentru cultură, pentru cunoaştere, pentru frumos.

Se structurează motivaţia învăţării şcolare, trecându-se de la motive extrinseci simple şi personale la cele cu semnificaţie socială (învăţarea este cerută de integrarea în societate, învăţarea îţi asigură un loc în viaţă) şi se formează motivaţia intrinsecă (curiozitate, interes cognitiv).

Pentru a-i determina pe micii şcolari să se angajeze la o activitate atât de complexă şi de dificilă cum este activitatea de învăţare, în special a matematicii, trebuie stimulate o serie de mobiluri interne şi externe care să declanşeze dorinţa, atracţia şi interesul pentru învăţare însoţite de satisfacţia efortului tensional, de bucuria succesului.

Interesul pentru matematică se cultivă prin conţinutul învăţământului matematic, prin dezvăluirea „secretelor” ştiinţei matematice, prin atractivitatea pentru problematic. Copiii de vârstă şcolară mică dau o nuanţă afectivă întregii lor activităţi. Pe măsură ce li se pun în faţă dificultăţi noi, fiind orientaţi să le depăşească, ei trăiesc bucuria succesului, dobândesc încredere în puterile lor, începe să-i intereseze activitatea matematică. La aceasta contribuie şi conţinutul interesant al matematicii, prezentarea lui la nivelul posibilităţilor lor de înţelegere, formele atractive de desfăşurare a activităţilor (întreceri, jocuri, prezentarea ilustrată a problemelor în PPT). Orice exagerare, în sensul depăşirii capacităţilor de înţelegere ale elevilor (forţarea minţii lor pentru a accepta abstracţiuni matematice improprii acestei vârste), dar şi o minimalizare a capacităţilor de tip subsolicitare, îi îndepărtează de matematică.

Organizarea optimă a învăţării, pe temeiul dezideratelor informativ – formative ale învăţământului, contribuie şi la stimularea procesului de organizare a conduitei voluntare, comportamentul şcolarului mic fiind tot mai puternic ,,impregnat cu o notă de intenţionalitate şi planificare” (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 27). Multe din conduitele copilului încep să se deruleze sub semnul lui ,,trebuie’’, ,,este necesar’’, ,,nu trebuie’’. Voinţa, ca mod de răspuns la aceste comenzi, iradiază larg în cuprinsul personalităţii copilului punându-şi amprenta şi asupra altor compartimente ale vieţii psihice. Influenţează mult desfăşurarea celorlalte procese psihice senzoriale, logice, afective. Percepţia devine intenţionată, sistematică şi susţinută prin efort voluntar, transformându-se în observaţie. Tot acum se formează memoria şi atenţia voluntară, capacitatea concentrării mentale voluntare de durată mai mare în rezolvarea unor probleme de gândire.

Regimul muncii şcolare, prin sarcinile multiple şi complexe ce le instituie, impune micului şcolar şi o foarte mare disciplinare a conduitei generale şi o permanentă solicitare a atenţiei.

La începutul micii şcolarităţi, capacitatea de concentrare este încă redusă, ca şi volumul atenţiei. Posibilitatea de distribuire, volumul şi flexibilitatea atenţiei se dezvoltă însă evident chiar din primul an de şcoală. Condiţiile muncii şcolare determină creşterea treptată a volumului atenţiei, ceea ce constituie un indicator pentru modificarea activităţii vieţii psihice în ansamblu, pentru dezvoltarea unor mijloace de orientare şi concentrare extensivă. Activitatea de citit şi scris crează condiţii de distribuţie (la semnul grafic, la cuvântul verbalizat, la sens) şi în acelaşi timp impune dezvoltarea, uneia dintre cele mai importante însuşiri ale atenţiei, concentrarea, ce face posibilă mobilizarea rapidă, de mare volum şi adâncime a cunoştintelor, a capacităţii ideative şi de creaţie.

În perioada micii şcolarităţi apare şi se impune educarea atenţiei şcolarului prin educarea formelor sale: involuntară, voluntară, postvoluntară. Aceasta se realizează prin dezvoltarea

14

motivaţiei, educarea voinţei, formarea unor interese stabile, profunde, a unei atitudini active în procesul cunoaşterii, activarea, stimularea permanentă a gândirii şi implicarea acţională în activitate.

Personalitatea şcolarului mic Statutul de şcolar cu noile lui solicitări, cerinţe, sporeşte importanţa socială a ceea ce

întreprinde şi realizează copilul la această vârstă. Noile împrejurări lasă o amprentă puternică asupra personalităţii lui atât în ceea ce priveşte organizarea ei interioară cât şi în ceea ce priveşte conduita sa externă.

„Sistem dinamico – energetic al personalităţii”, „temperamentul se modulează, căpătând anumite nuanţe emoţionale, suportă toate influenţele dezvoltării celorlalte componente superioare ale personalităţii şi dobândeşte o anumită factură psihologică” (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 28). Copiii se disting printr-o mare diversitate temperamentală. Există copii vioi, expansivi, comunicativi şi copii retraşi, lenţi. Contactul cu influenţele modelatoare ale procesului educaţional dă naştere la anumite compensaţii temperamentale.

Aptitudinile, „componenta executivă a personalităţii, latura instrumental – operaţională” (ibidem, p. 50) se exprimă mai clar în rezultatele elevului, se dezvoltă prin activitate, învăţare şi antrenament. Inteligenţa, ca aptitudine generală, contribuie la formarea celor mai variate capacităţi şi la adaptarea cognitivă a copilului la situaţii noi. Prezentă în toate procesele de cunoaştere, inteligenţa se manifestă în special în formarea şi evoluţia gândirii. Nivelul inteligenţei se constată din facilitarea învăţării, a gradului înţelegerii şi rezolvării de probleme noi.

„Din perspectiva teoriei cognitiv-constructiviste a lui Piaget, inteligenţa este definită ca fiind capacitatea individului de adaptare la situaţii noi, de a rezolva problemele întâlnite, de a construi progresiv structuri cognitive tot mai elaborate.”(Dumitriu, Gh., 2004, p. 44) Mica şcolaritate este perioada în care începe structurarea caracterului, organizarea trăsăturilor caracteriale, conturarea unor dominante. Se dezvoltă noi trăsături de caracter stimulate de învăţarea şcolară: onestitatea, modestia, spiritul colectiv, solicitudinea, simţul de răspundere, sârguinţa, perseverenţa, curajul, tendinţa spre dominanţă sau spre supunere. De asemenea, în mod obişnuit se descrie un caracter prin cele trei atitudini fundamentale: atitudinea faţă de ceilalţi, atitudinea faţă de muncă şi atitudinea faţă de sine. De altfel, dezvoltarea aspectelor atitudinale şi a trăsăturilor de caracter reprezintă un obiectiv prioritar al şcolii.

„Personalitatea şcolarului mic progresează în sensul consolidării şi formării de noi însuşiri caracteriale şi a cristalizării mai clare a imaginii de sine” (Creţu, T., 2005, p.125).

Copilul devine capabil să-şi dirijeze voluntar conduita, să-şi fixeze scopuri în mod autonom. E vârsta la care se pun bazele dimensiunii cognitiv – morale a caracterului. Se îmbogăţeşte şi se diversifică câmpul interacţional, acest stadiu fiind denumit şi „vârsta socială” ( Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 28). „Perioada de la 9 la 12 ani este considerată de Paul Osterrieth ca maturitatea copilului, caracterizată prin dezvoltarea dimensiunii interioare, a unui început de autonomie şi autodeterminare” (idem). Se intensifică mecanismul socializării, se conturează sentimentele sociomorale, şcolarul mic manifestându-şi deplin trebuinţa de apartenenţă la grup, de prietenie şi cooperare.

Toate aceste achiziţii ale şcolarităţii mici, prezentate sintetic, subliniază rolul decisiv al procesului de învăţământ în dezvoltarea psihică cognitivă, afectivă, volitivă, relaţională a copilului. În acest sens se impune cu precădere unitatea şi convergenţa demersurilor şcolii şi familiei în complexul proces de modelare socioculturală a personalităţii şcolarului mic. Creativitatea, „dimensiune complexă a personalităţii”, „valoare social – umană şi educaţională de prim rang”(ibidem, p. 61), se manifestă în munca, învăţarea şi jocul elevului. Cuprinde diverse componente de ordin intelectual, afectiv, motivaţional, voluntar, atitudinal şi aptitudinal. Presupune o structură în care interacţionează factori precum: inventivitate, ingeniozitate,

15

fluiditate şi flexibilitate în gândire, capacitatea de a elabora soluţii noi, originale, vigoare imaginativă, sensibilitate la probleme, trebuinţe de performanţe, de realizare şi autorealizare, de autoafirmare.

„Activitatea de rezolvare şi compunere a problemelor oferă terenul cel mai fertil din domeniul activităţilor matematice pentru cultivarea şi educarea creativităţii şi inventivităţii” (Săvulescu, D., 2006, p. 170). Diferenţa dintre a învăţa „rezolvarea unei probleme” şi „a şti” (a putea) să rezolvi o problemă nouă înseamnă, în esenţă, creativitate, dar de niveluri diferite. Rezolvarea unei probleme „învăţate” oferă mai puţin teren pentru creativitate decât rezolvarea unei probleme noi care, la rândul ei, este depăşită de alcătuirea (compunerea) unor probleme noi.

În scopul cultivării creativităţii elevilor, în activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc procedee variate, cum ar fi:

complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebării; rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee; scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie; alegerea celei mai scurte şi mai economicoase căi de rezolvare; determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o anumită

categorie şi încadrarea sau nu a unei probleme într-o anumită categorie de probleme; transformarea problemelor compuse în exerciţii astfel încât ordinea operaţiilor să fie în

succesiunea judecăţilor şi a relaţiilor corespunzătoare conţinutului problemei; transformarea problemei compuse în exerciţii cu paranteze care să indice ordinea

operaţiilor; transformarea şi compunerea din 2-3 probleme simple a uneia compuse; etc. Compunerea de probleme este o activitate complexă şi constituie una din modalităţile

principale de a dezvolta gândirea independentă şi originală a copiilor, de cultivare şi educare a creativităţii gândirii lor. Această activitate începe din clasa I, dar, deoarece capacitatea copiilor la această vârstă de a elebora judecăţi este redusă, se impune necesitatea gradării treptate a acesteia. Am observat că elevii clasei I întâmpină o serie de greutăţi în ceea ce priveşte compunerea problemelor. Transparenţa acţiunilor din realitate în probleme se face cu greutate, apar unele cuvinte în plus, se fac unele dezacorduri între cuvinte, apar greşele de formulare. Toate acestea se datorează limbajului matematic redus pe care îl posedă elevii din clasa I. Şi în activitatea de compunere a problemelor se pot folosi mai multe procedee:

compuneri de probleme după o acţiune, o poveste; compuneri de probleme după tablouri şi imagini; compuneri de probleme după modelul unor probleme rezolvate anterior; compuneri de probleme după o formulă numerică dată; compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile; completarea de către elevi a datelor care lipsesc; compuneri de probleme după întrebări date; completarea (formularea) întrebării unei probleme; compuneri de probleme după formulă literală; compuneri de probleme după scheme; complicarea treptată a unei probleme; crearea liberă de probleme etc. Se recomandă ca atât compunerea problemelor cât şi rezolvarea acestora să se facă şi în

situaţii de joc didactic. Competiţia generată de joc va contribui nu numai la activizarea intelectuală a copiilor, dar şi la formarea personalităţii acestora, la manifestarea unei conduite atitudinale faţă de muncă, faţă de întrecerile în cadrul grupului şcolar. Totodată, se va avea în vedere creşterea

16

mobilităţii gândirii, a capacităţilor sale divergente, creatoare, dezvoltarea calităţilor de bază: rapiditate, operativitate, capacitate de control şi autocontrol, calităţi ale atenţiei.

Procesul compunerii de probleme prin muncă independentă, cât şi rezolvarea de probleme date pentru muncă independentă dezvoltă creativitatea elevilor, îi înarmează cu încredere în puterea lor de muncă, îi formează pentru a fi în măsură să judece şi să rezolve orice problemă de orice natură, cu care se pot confrunta în viaţa practică.

Pe măsură ce elevii compun sau rezolvă probleme singuri, fără sprijinul altora, probleme din ce în ce mai dificile, creşte atât satisfacţia împlinirii, cât şi dorinţa de a lucra în continuare. Se formează deprinderile de muncă independentă, spiritul de iniţiativă, curajul de a infrunta orice situaţie, dorinţa de afirmare.

Având în vedere toate aceste aspecte, se poate concluziona că matematica participă cu mijloace proprii la modelarea personalităţii, nu numai sub aspect intelectual, ci şi sub aspect estetic şi moral.

Din punct de vedere al dezvoltării intelectuale învăţarea matematicii exersează judecata, îl ajută pe elev să distingă adevărul ştiinţific de neadevăr, să-l demonstreze. Antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoaşterea ipotezelor şi a consecinţelor, îl învaţă pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situaţii, să degajeze esenţialul de neesenţial, dezvoltă atenţia, antrenează memoria logică, exersează analiza şi sinteza, favorizează dezvoltarea imaginaţiei creatoare, îl ajută pe elev să-şi formeze un simţ critic constructiv.

Sub aspect estetic, trezeşte gustul faţă de frumuseţea matematicii, exprimată prin relaţii, formule, figuri, demonstraţii, cultivă unele calităţi ale exprimării, cum ar fi: claritatea, ordinea, conciziunea, eleganţa.

Din perspectiva dezvoltării morale, matematica formează gustul pentru adevăr, obiectivitate şi echitate, creează nevoia de rigoare, discernământ şi probarea ipotezelor, creează nevoia de a cunoaşte, de a înţelege, formează deprinderi de cercetare şi investigare, stimulează voinţa de a duce la capăt un lucru început. 1.2. Gândirea, proces psihic intelectual de prelucrare logică a informaţiilor

Gândirea reprezintă nivelul cel mai înalt de prelucrare şi integrare a informaţiei despre lumea externă şi despre propriul nostru EU. Prin ea se realizează saltul calitativ al activităţii de cunoaştere de la particular la general, de la accidental la necesar, de la simpla constatare a existenţei obiectului la interpretarea şi explicarea lui legic-cauzală, se face trecerea de la procesele psihice cognitiv senzoriale la cele cognitiv superioare.

Prin urmare, gândirea este procesul psihic de reflectare mijlocită şi generalizat-abstractă - sub forma noţiunilor, judecăţilor şi raţionamentelor - a însuşirilor comune, esenţiale şi necesare ale obiectelor şi a relaţiilor legice, cauzale între ele.

Gândirea constă într-o „succesiune de operaţii care duc la dezvăluirea unor aspecte importante ale realităţii şi la rezolvarea anumitor probleme” (Cucoş, C., 1998, p. 57).

„Gândirea este un proces intelectual de operaţii şi strategii coordonate în acţiuni mintale prin care se prelucrează, corelează, decodifică informaţii şi se rezolvă probleme”(Dumitriu, Gh., 2004, p. 72). Se implică pregnant în formarea conceptelor şi operaţiilor, în înţelegerea noţiunilor, în rezolvarea problemelor.

Unităţile de bază din care se compune gândirea sunt: (apud Lupu, C, 2006, p. 155) imaginea (ca reprezentare mentală a unui obiect, unitatea cea mai primitivă a gândirii); simbolul (o unitate abstractă a gândirii, care redă obiectul, eventual calitatea, cuvântul fiind

cel mai simplu simbol); conceptul (o etichetă pusă unei clase de obiecte, evenimente care au în comun câteva

atribute);

17

operaţia (acţiune interiorizată, reversibilă, utilă la formarea conceptelor sau la rezolvarea problemelor);

regula sau legea (cea mai complexă unitate a gândirii, ce presupune stabilirea relaţiei între două sau mai multe concepte). Ordonarea şi gruparea unităţilor de bază ale gândirii permit stabilirea laturilor acestora, care

pot fi: una informaţională – dezvăluie conţinutul gândirii, faptul că acesta dispune de „unităţi

informaţionale” despre obiecte, fenomene, evenimente; una operaţională – relevă funcţionalitatea gândirii, faptul că ea implică transformări ale

informaţiilor pentru a obţine procese care, prin depăşirea situaţiei problematice, să asigure adaptarea la mediu. Din perspectiva acestor laturi, gândirea poate fi definită şi ca „un proces de schimbare şi

reorganizare a informaţiilor stocate în memorie, în vederea creării unor noi informaţii” (Lupu, C., 2006, p. 156).

Conceptele se află la diverse niveluri de constituire, ocupând locuri diferite în sistemul informaţional al individului. Ele pot fi clasificate astfel:

după gradul de generalitate – individuale, particulare şi generale; după existenţa sau inexistenţa unui corespondent concret în realitatea înconjurătoare –

concrete şi abstracte; după calea de formare şi conţinutul lor – empirice (se formează în relaţiile cotidiene, de

viaţă, din societate, având un conţinut neorganizat) şi ştiinţifice (reprezintă produsul unor demersuri organizate ce conţin esenţialitatea obiectelor şi fenomenelor).

Gândirea foloseşte două categorii de operaţii: operaţii fundamentale (de bază) – sunt prezente în orice act de gândire şi constituie

scheletul ei (analiza şi sinteza, abstractizarea şi generalizarea, comparaţia şi concretizarea logică); operaţii instrumentale – sunt folosite în anumite acte de gândire şi particularizează în

funcţie de domeniul cunoaşterii în care gândirea este implicată (algoritmice şi euristice, productive şi neproductive, convergente şi divergente) 1.2.1. Operaţiile fundamentale ale gândirii Gândirea este procesul psihic care dispune de cel mai vast sistem de operaţii. Psihologia studiază operaţiile gândirii ca instrumente psihice dobândite şi perfecţionate prin dezvoltare intelectuală, prin învăţare şi exerciţiu. Operaţiile gândirii acţionează de cele mai multe ori în cupluri operatorii ce se completează reciproc: analiza şi sinteza, abstractizarea şi generalizarea, comparaţia, concretizarea logică şi particularizarea, sistematizarea. Analiza reprezintă separarea mentală a unor obiecte, fenomene sau însuşiri, elemente ale lor şi cercetarea lor separată. Această operaţie permite delimitarea esenţialului de neesenţial, a necesarului de întâmplător. Prin analiză, sunt selectate însuşirile interne, proprii obiectului, prin eliminarea însuşirilor neesenţiale, accidentale, ce le acoperă. Sinteza, operaţia inversă analizei, reuneşte mental elementele realizând întregul. Nu este o simplă asociere sau însumare, ci o operaţie ce presupune relaţionarea logică a însuşirilor obiectului; include obiectul gândit într-o clasă de obiecte, îl corelează cu alte obiecte, desprinde, dintr-un ansamblu de date, un principiu logic de dezvoltare şi interacţiune. Abstractizarea este operaţia de extragere a proprietăţilor generale comune unei categorii de obiecte, fenomene ş.a., eliminându-le pe cele particulare (sau reţinerea celor semnificative pentru etapa respectivă de studiu şi neglijarea celor nesemnificative). Gândirea trece astfel de la aparenţă la esenţă, de la variabil la invariabil, de la concret la abstract.

18

În psihologia cognitivă, abstractizarea este asimilată atenţiei selective. Aceasta este prezentată într-o multitudine de sarcini, mai simple sau mai complexe, cum ar fi:

o sarcinile de clasificare şi sortare – presupun gruparea unor obiecte după unul sau mai multe criterii;

o sarcinile de modificare a clasificărilor – presupun regruparea elementelor clasificate deja după un alt criteriu decât cel folosit anterior;

o sarcinile de rezolvare a problemelor – este importantă capacitatea de a face abstracţie de informaţiile irelevante, nepertinente, mai ales de ordin perceptiv.

Generalizarea este operaţia prin care însuşirile extrase cu ajutorul abstractizării sunt extinse la o întreagă clasă de obiecte – fenomene. Generalizarea mentală constituie premisa oricărei cunoaşteri teoretice, deoarece soluţionarea unei probleme teoretice înseamnă raportarea nu doar la cazul particular în care ea apare, ci şi raportarea ei la toate cazurile similare. Una dintre condiţiile esenţiale şi necesare pentru declanşarea şi stimularea generalizării o reprezintă flexibilitatea gândirii. Un rol important îl are transferul, înţeles ca o extensie în plan mental a informaţiilor condensate asupra întregii clase de obiecte şi fenomene. Generalizarea face apel la inferenţele inductive şi deductive. O mare importanţă teoretică şi practică o are generalizarea conceptuală, care se referă la faptul că elaborarea unui concept include, în mod necesar, posibilitatea aplicării lui la o multitudine de obiecte şi la o întreagă clasă de elemente. Comparaţia este operaţia prin care se stabilesc în plan mental asemănările şi deosebirile esenţiale dintre obiecte şi fenomene, pe baza unui criteriu. Este utilă pentru analiză şi sinteză. Concretizarea este operaţia opusă abstractizării, prin care aspectele generale se realizează prin luarea în considerare şi a însuşirilor particulare. E un efort al gândirii de a pătrunde cât mai adânc în concreteţea obiectelor şi fenomenelor. Particularizarea, operaţie opusă generalizării, constă în individualizarea (precizarea) unui obiect, fenomen ş.a., făcând parte dintr-o categorie definită prin proprietăţi generale.

Sistematizarea reprezintă operaţia gândirii cu ajutorul căreia cunoştinţele asupra obiectelor sau fenemenelor se leagă şi se ordonează într-un sistem.

1.2.2. Tipuri de gândire A. După tipul operaţiilor presupuse, gândirea poate fi algoritmică şi euristică..

a) Gândirea algoritmică se bazează pe operaţii prefigurate, pe treceri riguroase de la o stare la alta în succesiunea obligatorie a evenimentelor în timp, efectuarea corectă a succesiunii de operaţii, conducând în mod necesar la soluţionarea integrală şi sigură a problemelor. Demersurile ordonate şi respectarea regulilor de înlănţuire a operaţiilor conduc la obţinerea sigură a rezultatului.

Gândirea algoritmică este eficientă în rezolvarea problemelor bine definite, când relaţia dintre datele problemei şi condiţiile ei, ca şi relaţia dintre rezultatele parţiale şi rezultatele finale sunt bine formulate.

b) Gândirea euristică presupune operaţii în curs de elaborare, care abia urmează a fi descoperite, desfăşurarea ei având un caracter arborescent, din fiecare „nod” individul trebuind să aleagă o cale din mai multe posibile. Operaţiile nu sunt strict determinate, ele sunt probabilistice, ramificate, fiind posibile nenumărate modalităţi de abordare. Operarea este dirijată de planuri şi strategii, de înaintări prudente, dar şi de reveniri treptate, de succese şi eşecuri, de încercări şi erori. Gândirea euristică este eficientă în situaţiile noi, neobişnuite, incerte, atunci când individul nu este bine informat, nu cunoaşte nici rezultatele, nici metodele de a ajunge la ele, ci acestea trebuie descoperite. Ea este extrem de productivă atunci când individul se confruntă cu probleme slab determinate, în care relaţia dintre date şi condiţii, dintre rezultatele parţiale şi rezultatul final urmează a fi descoperite.

Relaţiile dintre gândirea algoritmică şi cea euristică sunt complexe şi extrem de diversificate. Nu există o gândire pur sau exclusiv algoritmică, pur sau exclusiv euristică, ci forme de gândire

19

predominant de un tip sau altul, înlocuindu-se sau completându-se rapid una pe alta, dependent de particularităţile rezolutive. B) După finalitatea sa, gândirea poate fi : reproductivă, productivă şi critică.

Gândirea reproductivă şi cea productivă sunt diferenţiate între ele pe criteriul rezolvării problemelor noi.

Modul de operare al gândirii reproductive este simplist, liniar, neproductiv din punct de vedere calitativ. El reflectă un nivel extrem de scăzut de integrare activă a operaţiilor, fiind mai degrabă automatizat şi stereotipizat.

Modul de operare al gândirii productive este mult mai elaborat şi presupune descoperirea unui nou principiu de relaţionare a datelor problemei decât cel însuşit deja. Unii autori numesc gândirea productivă gândire productiv – creatoare. Acest tip de gândire urmăreşte elaborarea a cât mai multor soluţii posibile, a cât mai multor explorări posibile a fenomenelor şi problemelor.

Gândirea critică constă din procesul mental de analiză sau evaluare a informaţiei, mai ales afirmaţii sau propoziţii pretinse de unii oameni a fi adevărate. Ea duce la un proces de reflecţie asupra înţelesului acestor afirmaţii, examinând dovezile şi raţionamentul oferit şi judecând faptele.

Gândirea critică este un act mental continuu şi dificil de aplicat, ea cere antrenament, perseverenţă, experienţă şi talent, din partea celui care o însuşeşte, dezvoltă şi utilizează, dar odată preluată la nivel superior, posesorul ei este capabil să extragă cea mai mare şi mai relevantă cantitate de informaţie dintr-o observaţie, un experiment, un dialog, o confruntare argumentantă, o situaţie imprevizibilă şi complicată, sau o analiză de caz.

Condiţie şi modalitate de realizare a învăţării eficiente cu rol esenţial în dezvoltarea personalităţii individului, gândirea critică se caracterizează prin: a) formularea de către elevi a unor păreri personale, eventual originale; b) dezbaterea responsabilă a tuturor ideilor şi soluţiilor avansate; c) alegerea raţională a soluţiilor optime din multitudinea celor posibile; d) rezolvarea eficientă a problemelor în timp optim. Prin natura şi modul de manifestare, gândirea critică se manifestă în două dimensiuni esenţiale: una socială conform căreia învăţarea şi munca în colaborare duc la construirea solidarităţii umane şi o dimensiune pragmatică – învăţarea ce are la bază dezvoltarea gândirii critice creează posibilitatea implicării active a elevilor în activitate prin stârnirea curiozităţii şi rezolvarea problemelor de viaţă. Munca la clasă trebuie proiectată şi desfăşurată astfel încât să genereze un climat de încredere care să determine în rândul elevilor rezolvarea eficientă a problemelor în urma investigaţiei temeinice a dezbaterilor autentice şi a găsirii răspunsului adecvat. Consecutiv cu obişnuirea elevilor de a lucra în acest mod, aceştia vor dobândi deprinderi valoroase de gândire critică şi de învăţare eficientă şi autentică. Progresul realizat de şcolari prin formarea capacităţii de a gândi creativ, constructiv, eficient şi critic presupune paşi:

- de la reacţii personale la idei susţinute public, argumentate convingător; - de la respectul pentru ideile altora la încrederea în sine; - de la intuitiv la logic; - de la o singură perspectivă în abordarea unei probleme, la mai multe.

A gândi critic înseamnă: o a deţine cunoştinţe valoroase şi utile şi a avea convingeri şi credinţe întemeiate pe acestea, o a-ţi forma opinii independente şi a accepta ca ele să fie supuse evaluării, o a construi argumente pentru a da consistenţă opiniilor, o a manifesta flexibilitate, toleranţă, respect pentru ideile altora; a le accepta sau respinge

numai pe bază de argumente,

20

o a participa activ la elaborarea de soluţii, a colabora, o a învăţa să gândeşti eficient

şi presupune raţionalitate şi mai puţin subiectivism nefondat pe argumente pertinente. Specific acestor caracteristici este şi îndemnul adresat educatorilor:

”Nu vă mândriţi cu predarea unui număr mare de cunoştinţe. Stârniţi numai curiozitatea.

Mulţumiţi-vă să deschideţi minţile, nu le supraîncărcaţi. Puneţi în ele scânteia”.

Anatole France C) După sensul de evoluţie al gândirii, gândirea poate fi divergentă şi convergentă.

Gândirea divergentă este considerată caracteristica distinctivă a creativităţii, întrucât reclamă din partea elevilor căutarea cât mai multor soluţii sau îndepărtarea în cât mai multe direcţii în raport cu punctul iniţial de plecare. Se „mişcă” de la unitate la diversitate, de la sintetic la analitic.

În schimb, gândirea convergentă este considerată ca fiind caracteristica distinctivă a inteligenţei, se „mişcă” în sens invers, de la diversitate la unitate, de la analiză la sinteză. D) După demersurile logice ale gândirii, gândirea poate fi inductivă, deductivă şi analogică.

Gândirea inductivă facilitează extragerea şi formularea unei concluzii dintr-o multitudine de cazuri particulare. În gândirea inductivă, mişcarea cunoaşterii se realizează de la particular la general, de la multitudinea trăsăturilor, atributelor la concepte, relaţii, legi. În gândirea inductivă intervine adeseori hazardul, de aceea îşi păstreză un caracter probabilistic. Conceptele, relaţiile şi legile sunt rezultatul gândirii inductive, formarea lor implicând abstractizări şi generalizări, diferenţieri şi asimilări simultane.

Gândirea deductivă se caracterizează prin mişcarea cunoaşterii în sens invers celei inductive, adică de la general la particular. Permite controlul conceptelor, relaţiilor şi legilor obţinute prin gândirea inductivă. Dacă un adevăr dedus se dovedeşte a fi fals prin confruntarea cu realul şi dacă regulile raţionamentului deductiv au fost corect aplicate, înseamnă că legea de la care s-a pornit este eronată. Interferenţele deductive împlinesc un mare rol în înţelegere, în rezolvarea problemelor (permit înţelegerea problemei, planificarea acţiunilor, ordonarea lor în timp), în raţionament (asigură tercerea de la premise la concluzii). Gândirea deductivă are un caracter riguros sistematic şi conduce întotdeauna la o anumită concluzie.

Gândirea analogică constă în: stabilirea asemănărilor dintre diverse obiecte, fenomene, evenimente, idei, acolo unde

par a nu exista; transferul de informaţie de la un obiect cunoscut, asimilat, la altul necunoscut,

neasimilat încă. „J. Piaget consideră că gândirea analogică este accesibilă copilului în jurul vârstei de 12 ani,

când acesta a ajuns în stadiul operaţiilor formale, deci când operarea cu abstracţiile simbolice devine posibilă” (apud Lupu, C., 2006, p. 166).

1.2.3. Activităţile gândirii

Activităţile fundamentale ale gândirii sunt: conceptualizarea, înţelegerea, rezolvarea problemelor, raţionamentele, decizia şi creaţia (apud Lupu, C., 2006, p. 166-169).

1. Conceptualizarea A conceptualiza înseamnă a forma şi a asimila concepte. Conceptualizarea reprezintă: capacitatea de abstractizare a însuşirilor unei clase de obiecte, care sunt apoi încorporate într-

o imagine sau într-o idee – concept,

21

capacitatea de a sesiza atributele distinctive ale unei clase de obiecte 2. Înţelegerea

Gândirea nu poate fi concepută în afara înţelegerii, în afara sesizării şi corelării atributelor esenţiale ale obiectelor şi fenomenelor. A înţelege înseamnă: a sesiza existenţa unei legături între setul noilor cunoştinţe şi setul vechilor cunoştinţe gata

elaborate; a stabili natura şi semnificaţia acestei legături; a încadra şi încorpora noile cunoştinţe în cele vechi, care în felul acesta se modifică şi se

îmbogăţesc. 3. Rezolvarea problemelor

Din perspectiva psihologiei cognitive, rezolvarea de probleme este o activitate laborioasă care constă în elaborarea ipotezelor, stabilirea strategiilor de căutare şi elaborare a informaţiilor. Rezolvarea de probleme este concepută de cognitivişti ca un proces de prelucrare a informaţiilor.

Din cercetările de psihologia gândirii s-a constatat că procesul rezolvării de probleme depinde, în mare măsură, de modalităţile prin care prelucrăm şi decodificăm informaţiile din situaţii, mesaje, enunţuri, probleme, care pot fi bine structurate, slab definite sau contradictorii. Studiile efectuate au demonstrat că rezolvarea problemelor bine structurate implică, în general, modele algoritmice de gândire şi secvenţe de operaţii logice, iar soluţionarea situaţiilor slab definite presupun strategii euristice, seturi de operaţii probabilistice. (apud Dumitriu, Gh., 2004, p. 84) Strategiile algoritmice sunt „procedee sau secvenţe operaţionale sistematice şi riguroase cuprinzând raţionamente, scheme intelectuale standardizate, fixate prin reguli precise, care asigură obţinerea sigură a rezultatului unei sarcini”. În general, problemele algorimice sunt structurate logic, au un singur răspuns corect sau un număr foarte mic de soluţii, şi „se rezolvă cu ajutorul gândirii convergente, a analizei verticale desfăşurată într-un singur plan cognitiv”. Spre deosebire de strategiile algorimice, cele euristice sunt „sisteme operaţionale nestandardizate, flexibile şi divergente, ce uzează de raţionamente neformalizate, scheme deschise, fluente, probabilistice, menite să caute şi să descopere rezultatul unei probleme”. Problemele euristice sunt structurate creativ, dispun de mai multe soluţii ce se pot rezolva prin imaginaţie, prin „explorare laterală a diverse planuri şi perspective, prin gândire divergentă”. (apud Dumitriu, Gh., 2004, p. 83-86)

Procesualitatea rezolvării problemelor – „în activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc următoarele noţiuni: problemă, situaţie problematică, spaţiu problematic şi conduită rezolutivă” (Lupu, C., 2006, P. 168).

a) Problema se asociază cel mai frecvent cu bariera, obstacolul, semnul de întrebare , dificultatea teoretică sau practică, lacuna cognitivă, care se cer a fi înlăturate, depăşite, rezolvate.

„Problema apare deci ca un obstacol cognitiv în relaţiile dintre subiect şi lumea sa, iar asumarea sarcinii de a depăşi obstacolul, ca şi demersurile cognitive şi tehnice întreprinse în acest scop conturează domeniul rezolvării problemelor. (P. P. Neveanu)”(apud Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 125).

b) Situaţia problematică este sau devine ceea ce apare ca fiind atipic, netransparent, nedeterminat, ambiguu, ceea ce generează tensiuni, conflicte.

„Rezolvitorul trăieşte simultan două realităţi: una de ordin cognitiv, referitor la experienţa pe care şi-o reactualizează, şi alta de ordin motivaţional, ce rezultă pe baza elementului – surpriză, de noutate şi necunoscut, cu care se confruntă acesta. (I. Radu)” (apud Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 125).

„O situaţie problematică generează probleme (N. Chomsky), tensiune psihică (N. Mager) deoarece subiectul, implicat voluntar, conştientizează faptul că posibilităţile, resursele cognitive şi operaţionale de care dispune sunt insuficiente sau inadecvate în raport cu cerinţele situaţiei.”(apud Dumitriu, Gh., 2004, p. 85)

22

c) Spaţiul problematic presupune prezenţa a trei categorii de stări: stări iniţiale (ceea ce se dă); stări finale (ceea ce se cere); stări intermediare (ansamblul transformărilor succesive ale stărilor iniţiale în stări finale). d) Conduita rezolutivă reprezintă trecerea de la o stare la alta.

Operaţiile implicate în rezolvarea unei probleme sunt sintetizate de G. Polya în schema :

izolare recunoaştere regrupare mobilizare previziune organizare

reamintire suplimentare combinare

Astfel, rezolvarea începe cu mobilizarea în vederea găsirii soluţiei. Ea este însoţită de

recunoaşterea unor aspecte cunoscute şi de reamintirea unor definiţii, teoreme. Are loc izolarea unui detaliu, precum şi combinarea detaliilor disparate. Urmează regruparea datelor şi suplimentarea viziunii asupra problemei. În centrul acestor operaţii se află previziunea, întrucât toate operaţiile menţionate urmăresc să ne conducă spre soluţie. În final se realizează organizarea, adică corelarea elementelor care contribuie la rezolvarea problemei.

4. Raţionamentele sunt determinate de procese şi de mecanisme. Procesele reprezintă tot ceea ce se întâmplă în timpul rezolvării problemelor, evenimentele

externe şi interne care se produc în decursul rezolvării problemelor, ca şi schimbările care rezultă. Principalele procese rezolutive sunt:

„interpretarea situaţiei sau reprezentarea problemei; elaborarea scopurilor şi planificarea; memorarea evenimentelor critice; evaluarea rezultatelor acţiunii.” (Lupu, C., 2006, p. 169).

Mecanismele sunt „reguli sau sisteme care, prin funcţionarea lor, angajează procesele solicitate de rezolvarea problemelor. Cele mai cunoscute mecanisme sunt: activarea în memorie a semnificaţiilor, a cunoştinţelor declarative şi procedurale; producerea inferenţelor; raţionamentele, memorizarea, mecanismele deciziei” (idem).

5. Decizia Decizia reprezintă acea parte a gândirii pe care o realizăm în cazul unei reuşite (generalizare,

particularizare, aplicare) sau a unui eşec (alegem altă cale, abandonăm, reformulăm problema, verificăm).

6. Creaţia Creaţia reprezintă una dintre cele mai complexe activităţi ale gândirii, forma ei externă

ducând la un nivel nou de sinteză. Creaţia foloseşte un ansamblu de propoziţii care nu sunt precedate şi nici cunoscute dinainte ca fiind relevante pentru soluţii.

23

CAP. 2 MATEMATICA ÎN CURRICULUMUL NAŢIONAL

2.1. Scopul studierii matematicii în învăţământul primar Studiul matematicii în şcoala primară îşi propune „să asigure pentru toţi elevii formarea competenţelor de bază vizând: calculul aritmetic, noţiuni introductive de geometrie, măsurare şi măsuri” (Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Naţional pentru Curriculum, 2003, p. 2). Aceste competenţe vor permite elevului:

stăpânirea şi folosirea corectă în contexte variate în cotidian a terminologiei şi a conceptelor matematice;

construirea şi rezolvarea exerciţiilor şi problemelor; folosirea de idei, reguli şi metode matematice în abordarea unor probleme practice sau

situaţii cotidiene, intuirea avantajelor pe care le oferă matematica în abordarea, clasificarea şi rezolvarea unor astfel de probleme sau situaţii;

formarea obişnuinţei de a-şi imagina şi folosi reprezentări variate pentru depăşirea unor dificultăţi sau ca punct de plecare pentru intuirea, ilustrarea, clasificarea sau justificarea unor idei, algoritmi, căi de rezolvare etc.;

explorarea problematicii operaţiilor cu numere, consolidarea deprinderilor de calcul aritmetic, aprofundarea înţelegerii conceptului de număr, parcurgând etapele: 1. operarea cu numere pornind de la reprezentări (concrete, grafice); 2. calcul mintal; 3. calcul în scris folosind: forme echivalente ale numerelor, descompuneri variate,

proprietăţile operaţiilor, legăturile dintre operaţii, ordinea operaţiilor, algoritmi uzuali; 4. tehnici de calcul rapid; 5. estimarea şi aproximarea ordinelor de mărime sau a rezultatealor unor calcule, urmate de

verificări. abordarea cu încredere a subiectelor matematice, descrierea orală sau în scris şi susţinerea cu

argumente (intuitive) a propriilor demersuri şi a rezultatelor acestora; construirea de generalizări şi particularizări simple ale unor idei sau procedee.

Studiul matematicii în învăţământul primar are ca scop „să contribuie la formarea şi dezvoltarea capacităţii elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula şi rezolva probleme pe baza relaţionării cunoştinţelor din diferite domenii, precum şi la înzestrarea cu un set de competenţe, valori şi atitudini menite să asigure o cultură generală optimă”(Săvulescu, D., 2006, p. 8).

În cadrul studierii matematicii vor fi dezvoltate capacităţile de explorare-investigare, interesul şi motivaţia pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate.

„Învăţarea matematicii în şcoală urmăreşte conştientizarea naturii matematicii, pe de o parte, ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un sistem de capacităţi, cunoştinţe, procedee, iar pe de altă parte, ca disciplină dinamică, strâns legată de viaţa cotidiană, de rolul ei în ştiinţele naturii, în tehnologii şi în ştiinţele sociale” (Lupu, C., 2006, p. 26).

Predarea matematicii la clasele I-IV are în vedere trei planuri: instructiv, educativ şi practic, având drept obiectiv fundamental dezvoltarea intelectuală a elevilor, însuşirea instrumentelor de calcul şi de rezolvare a problemelor. Elevii îşi însuşesc noţiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieţii. Orice nouă achiziţie matematică are la bază achiziţiile precedente, trecerea de la un stadiu inferior la altul superior făcându-se printr-o reconstrucţie a sistemului noţional şi operativ.

24

2.2. Structura programei şcolare la matematică în învăţământul primar Trecerea sistematică de la învăţământul instructiv la cel de modelare a capacităţilor

intelectului a impus elaborarea prezentului curriculum de matematică pentru învăţământul primar ca o continuare a curricumului pentru învăţământul preşcolar şi ca o bază a învăţământului gimnazial.

Proiectarea Curriculumului de matematică s-a realizat conform următoarelor principii: asigurarea continuităţii la nivelul claselor şi ciclurilor; actualitatea informaţiilor predate şi adaptarea lor la nivelul de vârstă al elevilor; diferenţierea şi individualizarea predării-învăţării; centrare pe aspectul formativ; corelaţia transdisciplinară – interdisciplinară (eşalonarea optimă a conţinuturilor matematice corelate cu disciplinele reale pe arii curriculare, asigurându-se coerenţa pe verticală şi orizontală); delimitarea unui nivel obligatoriu de pregătire matematică a tuturor elevilor şi profilarea posibilităţilor de avansare în învăţare şi de obţinere de noi performanţe.

Acest curriculum are drept obiectiv crearea condiţiilor favorabile fiecărui elev de asimila materialul într-un ritm individual, de a-şi transfera cunoştinţele acumulate dintr-o zonă de studiu în alta.

Astfel, accentele induse de finalităţile învământului primar vizează următoarele: Schimbări în abordarea conţinuturilor: trecerea de la o aritmetică teoretică la o varietate

de contexte problematice care generează aritmetică, în care activitatea pentru rezolvare de probleme prin tatonări, încercări, implicare activă în situaţii practice şi căutarea de soluţii dincolo de cadrul strict al celor învăţate, capătă o importanţă deosebită.

Schimbări în ceea ce se aşteaptă de la elev: aplicarea mecanică a unor algoritmi se va înlocui cu elaborarea şi folosirea de strategii în rezolvare de probleme.

Schimbări la nivelul tipurilor de învăţare solicitate: transferarea accentului de la activităţi de memorare şi repetare la activităţi de explorare – investigare; stimularea atitudinii de cooperare.

Schimbări ale perspectivei acţiunii de predare: schimbarea rolului învăţătorului de la transmiţător de informaţii la cel de organizator de activităţi variate de învăţare pentru toţi copiii, în funcţie de nivelul şi ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia.

Schimbări în evaluare: trecerea de la subiectivismul şi rigiditatea notei la transformarea evaluării într-un mijloc de autoapreciere şi stimulare a copilului. Astfel, memorarea mecanică de reguli şi definiţii, reproducerea şi exersarea repetitivă a

acestora, problemele / exerciţiile cu soluţii sau răspunsuri unice, activitatea frontală, evaluarea cu scopul catalogării elevului, îşi pierd din importanţă.

Rămâne, deci, de maximă actualitate îndemnul de acum mai bine 2000 de ani , făcut de Plutarh: ,,Capul copilului nu este un vas pe care să-l umpli , ci o făclie pe care s-o aprinzi , astfel încât , mai târziu să lumineze cu lumină proprie .”

În acelaşi timp, devin mult mai preţuite: activitatea de rezolvare de probleme prin încercări; implicarea activă în situaţii practice şi căutarea de soluţii din experienţa de viaţă a

elevilor; crearea de situaţii de învăţare diferite prin utilizarea unei varietăţi de obiecte, analiza

paşilor de rezolvare a unei probleme, formularea de întrebări, argumentarea deciziilor luate în rezolvare;

asumarea de către învăţător a rolului de a facilita învăţarea şi de a-i stimula pe copii să lucreze în echipă;

25

scopul evaluării constă în surprinderea progresului competenţelor matematice individuale ale elevului. Programa şcolară pentru matematică (ciclul primar) descrie oferta educaţională a

disciplinei pe ani de studiu, pentru fiecare ciclu. Fiecare dintre programe îşi propune să transforme toate aceste idei menţinate anterior în realităţi ale practicii şcolare prin intermediul componentelor sale: obiective cadru, obiective de referinţă, activităţi de învăţare, conţinuturi şi standarde de performanţă.

Nota de prezentare descrie parcursul disciplinei matematică, argumentează structura didactică adoptată şi sintetizează o serie de recomandări privind modul de aplicare considerate semnificative de către autorii programei. În notele de prezentare ale fiecăreia dintre programe sunt prezentate explicit dominantele curricumului la disciplina matamatică. Pentru învăţământul primar, aceste dominante educaţionale derivă din obiectivele ariei curriculare Matematică şi Ştiinţe ale naturii:

- construirea unei varietăţi de contexte problematice, în măsură să genereze deschideri către domeniul matematicii;

- folosirea unor strategii diferite în rezolvarea problemelor; - organizarea unor activităţi de învăţare pentru elevi, în grup şi individual, în funcţie de

nivelul şi de ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia; - construirea unor secvenţe de învăţare care să permită activităţi de explorare / investigare la

nivelul noţiunilor de bază studiate. Obiectivele cadru sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate şi complexitate ce se

referă la formarea unor capacităţi şi atitudini specifice disciplinei.Acestea sunt: 1. cunoaşterea şi utilizarea conceptelor specifice matematicii; 2. dezvoltarea capacităţilor de explorare / investigare şi rezolvare de probleme; 3. formarea şi dezvoltarea capacităţii de a comunica utilizând limbajul matematic; 4. dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte

diferite. Obiectivele cadru exprimă faptul că scopul predării – învăţării matematicii în şcoala primară

nu se mai limitează la însuşirea noţiunilor specifice şi la cunoaşterea procedurilor de calcul, ci urmăreşte stimularea capacităţii elevului de a explora noţiuni şi concepte necunoscute, de a experimenta, de a-şi dezvolta posibilităţile de comunicare. Se urmăreşte formarea unor atitudini şi calităţi personale în raport cu acest domeniu de studiu.

Fiecărui obiectiv cadru îi sunt asociate mai multe obiective de referinţă. Acestea descriu capacităţi şi deprinderi ca rezultate aşteptate ale învăţării şi progresia în achiziţia acestor capacităţi şi cunoştinţe matematice de la un an de studiu la altul

Lectura sistemului obiectivelor de referinţă la matematică din ciclul primar oferă imaginea dezvoltării progresive a deprinderilor şi capacităţilor prevăzute prin curriculum pentru fiecare an de studiu, oferă o hartă a evoluţiei capacităţilor dobândite de elev pe parcursul anilor de studiu, creează premisele pentru centrarea actului didactic pe aspectele formative ale învăţării. Exemplele de activităţi de învăţare propun modalităţi de organizare a activităţii în clasă recomandate pentru realizarea obiectivelor propuse. Programa de matematică oferă exemple de astfel de activităţi pentru fiecare obiectiv de referinţă. Aceste exemple urmăresc să valorifice experienţa concretă a elevului (cea de viaţă şi cea dobândită prin învăţare) şi permit adoptarea unor strategii didactice adecvate scopului urmărit în contexte variate de învăţare.

Conţinuturile sunt mijloace prin care se urmăreşte atingerea obiectivelor cerute prin curriculum. La disciplina matematică, conţinuturile sunt organizate tematic şi au o dezvoltare în spirală, conceptele evoluând şi îmbogăţindu-se de la un an la altul.

Standardele curriculare de performanţă oferă criterii generale de evaluare, din perspectiva programei, la finalul şcolii primare. Reprezintă un sistem de referinţă comun şi echivalent la

26

sfârşitul unei trepte de şcolaritate pentru evidenţierea progresului realizat de elevi de la o treaptă de şcolaritate la alta. Aceste standarde constituie elementul de bază pentru elaborarea descriptorilor de performanţă şi a criteriilor de notare.

2.3. Rezolvarea de probleme în conţinutul programei de matematică a învăţământului primar

Programa de matematică prevede pentru fiecare clasă a ciclului primar următoarele obiective cadru, obiective de referinţă, exemple de activităţi de învăţare şi conţinuturi referitoare la rezolvarea problemelor de aritmetică.

Rezolvarea problemelor de aritmetică sunt organizate a se preda în “spirală”, care constă în reîntoarcerea la acelaşi conţinut, de fiecare dată pe o treaptă superioară, respectând în acest fel particularităţile psihologice caracteristice vârstei şcolare mici.

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenându-i în rezolvarea de sarcini ce solicită eforturi mărite pe măsură ce înainteză în studiu şi pe măsură ce experienţa lor rezolutivă se îmbogăţeşte. Astfel, odată cu învăţarea primelor operaţii aritmetice (de adunare şi scădere), se începe rezolvarea orală a primelor probleme simple. Primele probleme simple sunt cele cu care copilul se confruntă zilnic în şcoală, la cumpărături, în familie, în timpul jocului. De aceea, primele probleme de matematică sunt prezentate sub formă de joc şi sunt probleme – acţiune pentru a căror rezolvare se utilizează un variat material didactic ilustrativ. Treptat, elevii ajung să rezolve aceste probleme şi în formă scrisă.

Un salt calitativ îl constituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse: în clasa I folosind operaţii de adunare şi / sau scădere fără trecere peste ordin, cu numere naturale în concentrul 0-100, în clasa a II-a – operaţii de adunare şi / sau scădere fără şi cu trecere peste ordin cu numere naturale în concentrul 0-1000, în clasa a III-a – operaţii de acelaşi ordin sau de ordine diferite, cu numere naturale în concentrul 0-1000, în clasa a IV-a – operaţii de acealaşi ordin sau de ordine diferite, dar cu numere naturale în concentrul 0-1000000. De asemenea, se remarcă introducerea rezolvării problemelor de organizare a datelor în tabele (la clasele a III-a şi a IV-a), cât şi a rezolvării problemelor prin metoda figurativă, a rezolvării problemelor prin încercări, a rezolvării problemelor de estimare, respectiv de logică şi probabilităţi (la clasa a IV-a).

2.4. Noţiunea de problemă şi de rezolvare a problemelor

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învăţarea matematicii în

învăţământul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză şi sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înţelegere a celor învăţate şi aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoştinţe matematice solide (noţiuni, definiţii, reguli, tehnici de calcul), precum şi deprinderi de aplicare a acestora.

Rezolvarea de probleme înseamnă „asumarea sarcinii de depăşire şi de eliminare a dificultăţii teoretice sau practice prin demersuri cognitiv-operaţionale şi strategii rezolutive specifice cerinţelor acesteia” (Dumitriu, Gh., 2004, p. 85); ea trebuie să decurgă ca o necesitate firească, solicitată de situaţii concrete din viaţă.

„Procesul rezolutiv presupune acoperirea lacunei cognitive din gândirea şi experienţa subiectului, înţelegerea conflictului din datele şi cerinţele problemei, efectuarea operaţiilor de transformare a necunoscutului în cunoscut.” (Dumitriu, Gh., 2004, p. 85)

Cuvântul „problemă” îşi are originea în limba latină şi a intrat în vocabularul românesc din limba franceză. Cuvântul „proballein” folosit de matematicieni şi psihologi are semnificaţia: „ceea

27

ce ţi se aruncă în faţă ca obstacol” sau provocare. Noţiunea de problemă are un conţinut larg şi cuprinde o gamă largă de preocupări şi acţiuni din domenii diferite.

În sens psihologic, o „problemă” este orice situaţie, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat; este „o dificultate sau un obstacol cognitiv care implică una ori mai multe necunoscute ce nu pot fi rezolvate adecvat datorită insuficienţei sau ineficienţei sistemului de răspunsuri ale subiectului”(Dumitriu, Gh., 2004, p. 85).

În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică ce necesită o soluţionare, o rezolvare, poartă numele de problemă.

După „Dicţionarul explicativ al limbii române”, cuvântul problemă are următoarele definiţii:

- „chestiune care prezintă aspecte neclare, discutabile, care necesită o lămurire, o precizare, care se pretează la discuţii”;

- “chestiune importantă care constituie o sarcină, o preocupare (majoră) şi care cere o soluţionare (imediată)”;

- “chestiune care intră în sfera preocupărilor, a cercetărilor cuiva; obiect principal al preocupărilor cuiva”;

- “(mat.) chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin raţionamente, a unor date”;

- “dificultate care trebuie rezolvată pentru a obţine un anumit rezultat; greutate, impas”. În matematică, prin problemă se înţelege „o situaţie a cărei rezolvare se obţine prin

procese de gândire şi calcul” (Lupu, C., 2006, p. 284). „Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situaţii practice sau a unui

complex de situaţii practice în relaţii cantitative şi în care, pe baza valorilor numerice date şi aflate într-o anumită dependenţă unele faţă de altele şi faţă de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute” (Neacşu, I., 1988, p. 196).

Toate definiţiile pentru noţiunea de problemă vizează efortul de gândire al elevului pentru a înlătura ceea ce îi apare în faţă ca „o barieră, un obstacol”, pentru că „unde nu există o sarcină sau o dificultate, unde nimic nu trebuie căutat şi rezolvat, acolo finalitatea gândirii lipseşte” (Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 125).

G. Polya afirma că „a rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieşire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluţia unei probleme este o performanţă specifică inteligenţei, iar inteligenţa este apanajul distinctiv al speciei umane”. (apud Lupu, C., 2006, p. 288)

2.5. Clasificarea problemelor de matematică în ciclul primar

De-a lungul vremii, în psihopedagogie, s-au născut încercări de clasificare şi încadrare a problemelor într-o anumită topologie.

Din punct de vedere al educării creativităţii, W. Reitman clasifică problemele în cinci categorii (apud Lupu, C., 2006, p. 284 – 285):

1. reproductiv – necreative – ce cuprind probleme de aplicare a algoritmilor de lucru, de consolidare şi înţelegere a operaţiilor matematice, care necesită doar gândire reproductivă, rezolvarea lor implicând folosirea strategiilor algoritmice;

2. demonstrativ – explicative (inovativ – creative) – probleme ce includ aflarea a două numere când se cunoaşte suma şi diferenţa lor, suma şi raportul, probleme de mişcare, de amestec, aliaje;

3. euristic – creative – probleme ce presupun specificarea cerinţei şi a condiţiilor ce trebuie satisfăcute;

28

4. inventiv – creative – probleme compuse de elevi după o schemă dată sau probleme cu variabile compuse de elevi;

5. probleme de optimizare (de reproiectare creativă) – problemele care solicită procesul de transfer al cunoştinţelor fie de la alte discipline, fie din realitate. Sunt specifice elevilor mai mari, având un grad de dificultate sporit.

Problemele de matematică din ciclul primar se pot clasifica şi în funcţie de următoarele criterii (apud Neacşu, I., 1988, p. 197):

a) după finalitate şi după sfera de aplicabilitate, se structurează în: 1) probleme teoretice 2) aplicaţii practice ale noţiunilor învăţate

b) după conţinutul lor, problemele matematice pot fi: 1) probleme de aritmetică 2) probleme de geometrie 3) probleme de mişcare

c) după numărul operaţiilor, se identifică: 1) probleme simple 2) probleme compuse

d) după gradul de generalitate al metodei folosite în rezolvare: 1) probleme generale, în rezolvarea cărora se foloseşte fie metoda sintetică (pornind de

la datele problemei către întrebare), fie metoda analitică (pornind de la întrebare către datele problemei);

2) probleme tipice (particulare) , rezolvabile printr-o metodă specifică: grafică, reducere la unitate, a falsei ipoteze, a comparaţiei.

e) după rolul lor: 1) probleme cu rol informativ:

- utile în practică - de cultură generală

2) probleme cu rol formativ: - de exersare a gândirii - de educare a creativităţii

f) probleme nonstandard, cu multiple valenţe formative: probleme recreative, rebusistice, de perspicacitate, de ingeniozitate

Un alt criteriu în funcţie de care se pot clasifica problemele de matematică este şi după tipul de raţionament solicitat (după metoda folosită), conform căruia sunt: (apud Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 129)

- probleme tipice care solicită un raţionament de tip convergent (probleme rezolvabile prin diferiţi algoritmi: metoda figurativă, reducerii la unitate, falsei ipoteze, comparaţiei etc.);

- probleme netipice care solicită un raţionament de tip divergent şi metode euristice de rezolvare. 2.6. Etapele rezolvării problemelor de aritmetică

În orice problemă de matematică sunt evidenţiate trei elemente: - datele, ceea ce este cunoscut şi dat sub formă de valori numerice şi relaţii; - cerinţele, care indică ce anume trebuie determinat utilizând datele problemei; - condiţiile, care arată în ce fel cerinţele sunt legate de date. Pe baza înţelegerii datelor şi a condiţiei problemei, raportând datele cunoscute la cerinţe şi

condiţii, elevul trebuie să construiască şirul de judecăţi care conduce la aflarea soluţiei problemei.

29

Pe măsură ce elevul îşi însuşeşte modalităţi de rezolvare şi experienţa lui în rezolvarea problemelor creşte, se dezvoltă capacităţile de explorare şi investigare şi capacitatea rezolutivă.

În rezolvarea unei probleme, aspectul cel mai important este construirea raţionamentului de rezolvare, adică a acelui şir de judecăţi orientate către descoperirea necunoscutei. Elevul tebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul „film”al desfăşurării raţionamentului şi să-l reţină drept element esenţial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme. Pentru a ajunge la generalizarea raţionamentului comun unei categorii de probleme, elevii trebuie să aibă formate capacităţile de a analiza şi a înţelege datele problemei, de a sesiza condiţia problemei şi de a orienta logic şirul de judecăţi către întrebarea problemei.

În faţa unei probleme, elevul este în contact cu două categorii de date precise: ce se dă (contextul problemei) şi ceea ce se cere (întrebarea problemei). Între aceste două elemente există un „gol” care trebuie „umplut” cu ajutorul cunoştinţelor şi metodelor cunoscute. Pentru a rezolva o problemă, elevul trebuie să aplice unele cunoştinţe dobândite anterior (în alte condiţii de rezolvare) la situaţia actuală, printr-o operaţie de transfer. Transferul este posibil prin analiză şi sinteză.

Pornind de la datele problemei, elevul caută în bagajul de informaţii anterioare acele cunoştinţe care sunt în relaţie cu datele pe care problema i le oferă. El alege o anumită informaţie şi analizează în ce măsură acea informaţie poate fi utilizată în situaţia dată. Dacă informaţia nu e necesară, încearcă o alta până când găseşte elementele de sprijin care îl ajută să descopere informaţiile utilizabile în noua situaţie.

În acest proces de analiză şi sinteză a unor informaţii şi de valorificare a experienţei sale rezolutive, copilul de vârstă şcolară mică trebuie ajutat, întrucât această capacitate de a folosi cunoştinţele anterioare, de a descoperi relaţii noi prin valorificarea celor vechi este încă insuficient dezvoltată. De cele mai multe ori, elevul pierde ideea conducătoare care l-ar aduce la rezolvarea problemei, nu mai ştie ce trebuie să facă cu un rezultat parţial obţinut. Rezolvarea unei probleme solicită un efort al gândirii şi o atitudine creatoare, care vor fi cu atât mai susţinute, cu cât „cheia problemei” se găseşte în relaţii mai îndepărtate, mai ascunse faţă de datele cunoscute ale problemei.

Etapele procesului rezolutiv se pot sintetiza schematic în „paradigma problemelor”: spre a reduce manipulate direcţionate prin: de:

Figura 2.1. Paradigma rezolvării unei probleme (Neagu, M, Mocanu, M., 2007, p. 126)

Punerea problemei

Definirea cerinţelor problemei şi a datelor

Date „Golul” (demers) Rezultat

Deprinderi şi algoritmi de

calcul Raţionamente

logice Strategie

30

Datele unei probleme reprezintă pentru elevi punctul de plecare în rezolvare şi oferă primele informaţii legate de calea de urmat. Rezolvarea oricărei probleme se produce printr-o continuă reorganizare a datelor, prin punerea lor în alte relaţii decât cele „vizibile” în enunţ, prin reformularea problemei la diferite niveluri, prin elaborarea unor strategii logice, prin descoperirea strategiei optime care duce la identificarea soluţiei.

Pentru ca elevul să devină conştient de fiecare verigă a raţionamentului, a drumului către soluţie, sunt necesare sarcini sub formă de exerciţii de reorganizarea a datelor şi reformularea problemei la diferite niveluri.

După identificarea şi rezolvarea fiecărei probleme simple din componenţa problemei complexe, sunt necesare cerinţe de reformulare a problemei. În acest fel se realizează legături logice între datele problemei (de cele mai multe ori descoperite de elevi în demersul de rezolvare), ce vor ajuta elevul să găsească soluţia. Acest demers se constituie în etapa de analiză (sintetică sau analitică) a oricărei probleme.

A şti să rezolvi o problemă presupune a înţelege datele şi ordinea lor, condiţiile problemei, relaţiile dintre datele problemei, precum şi a elabora şirul de judecăţi pentru a construi raţionamentele de rezolvare. Există două situaţii în rezolvarea problemelor, situaţii care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor: când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă – tip – în acest caz elevul e solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparţine problema dată. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeaşi categorie, având acelaşi mod de organizare a judecăţilor, acelaşi raţionament, în mintea elevilor se fixează principiul de rezolvare a problemei, schema mintală de rezolvare. Acestă schemă se fixează ca un algoritm sau semialgoritm de lucru, care se învaţă, se transferă şi se aplică la fel ca regulile de calcul. când elevul întâlneşte probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mintală cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experienţa şi cunoştinţele de rezolvare, deşi prezente, nu mai sunt orientate şi mobilizate spre determinarea categoriei de probleme şi spre aplicarea algoritmului de rezolvare şi elevul trebuie ca, pe baza datelor şi a condiţiei problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. Ţinând cont de particularităţile de vârstă ale elevilor, în rezolvarea problemelor se parcurg următoarele etape (apud Lupu, C., 2006, p. 297 – 299):

a) Expunerea enunţului problemei (comunicarea enunţului problemei) – se realizează prin citire sau enunţare orală de către învăţător sau de elevi. Se va avea în vedere citirea şi enunţarea expresivă a textului, scoţându-se în evidenţă anumite date şi legăturile dintre ele, precum şi întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă şi pe caiete datele problemei.

b) Însuşirea conţinutului problemei (înţelegerea enunţului problemei) este etapa căreia trebuie să i se acorde importanţa cuvenită, pentru că de aceasta depinde înţelegerea corectă, asigurarea participării active şi conştiente a elevilor la rezolvare. Prin discuţii cu elevii trebuie reţinute elementele matematice importante: datele problemei, relaţiile dintre date, întrebarea problemei. Să se insiste asupra fondului, nu a formei, dând libertate elevului să se exprime liber, aceasta convingându-ne că a înţeles problema. Este binevenită ilustrarea problemei cu ajutorului materialului didactic, la clasa I, iar la clasele mai mari cu scheme grafice sau alte semne convenţionale.

c) Analiza problemei (examinarea problemei) este etapa cea mai importantă în rezolvarea problemei. Acestei etape trebuie să i se acorde timp suficient, să nu se efectueze în grabă, superficial, ci cu multă răbdare, cu efort de gândire pentru descoperirea căii de rezolvare a problemei. Examinarea problemei înseamnă un şir de raţionamente orientate către întrebarea problemei prin care se găsesc relaţii între perechi de valori numerice şi se împarte problema dată în probleme simple. Succesiunea problemelor simple ce alcătuiesc problema compusă se face astfel

31

încât întrebarea ultimei probleme să coincidă cu întrebarea problemei date. Acest lucru se face prin două metode: metoda analitică şi metoda sintetică.

Analiza profundă a datelor problemei trebuie sa-l conducă pe elev la desprinderea de concret, la transpunerea situaţiei concrete pe care o prezintă problema în relaţii matematice. Renunţarea la elementele concrete şi înlocuirea acestora cu expresii potrivite, fac posibilă schematizarea problemei – deci pasul necesar spre generalizare.

d) Întocmirea planului de rezolvare este etapa care urmează examinării problemei. Acest plan este, de fapt, o ordonare sintetică a întrebărilor problemelor simple, reieşite din problema compusă, în timpul examinării. Planul de rezolvare nu este un scop în sine, ci un mijloc prin care ajutăm elevii să înţeleagă cum se desfăşoară procesul de examinare şi cum se formulează concluziile acestei examinări. Pentru alcătuirea planului se folosesc în exprimare numai mărimi sau cantităţi fără numere (sau cu cât mai puţine numere) şi fără calcule, întrucât acum se stabilesc numai raporturile cantitative dintre mărimi sau relaţii de calcul. Planul de rezolvare se poate formula fie prin propoziţii interogative (mai ales la clasele mici), fie prin propoziţii afirmative.

e) Rezolvarea propriu-zisă a problemei constă în stabilirea operaţiei corespunzătoare fiecărui punct din plan şi efectuarea calculelor ce conduc la obţinerea rezultatului final.

f) Activităţi suplimentare după rezolvarea problemei: - verificarea rezultatului obţinut prin rezolvarea problemei – prilej de convingere privind

justeţea rezolvării; - scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei – cu rol în fixarea algoritmului de

rezolvare, dar şi în antrenarea sistematică a intelectului elevilor; - căutarea şi aplicarea unui alt mod de rezolvare – ceea ce contribuie la dezvoltarea gândirii

creatoare; - formularea de alte probleme ce se rezolvă după acelaşi exerciţiu etc.

2.7. Aspecte psihopedagogice şi metodologice privind rezolvarea problemelor de aritmetică Rezolvarea problemelor simple

Problemele simple sunt acele probleme cu care copilul se confruntă zilnic la şcoală şi acasă, în timpul jocului. Pentru a-i face pe copii să înţeleagă încă din clasa întâi utilitatea activităţii de rezolvare a problemelor trebuie ca aceştia să înţeleagă că în viaţa de toate zilele se întâlnesc cu situaţii când trebuie să găsească un răspuns la diferite întrebări.

În acest început rezolvarea problemelor se face numai pe cale intuitivă. De aceea, primele probleme sunt sub formă de joc, au caracter de probleme – acţiune şi se bazează pe un bogat material didactic ilustrativ.

Rezolvarea primelor probleme se realizează în plan concret (au mai venit ... răţuşte, au plecat … iepuraşi, au zburat ... rândunici etc.) ilustrate prin imagini sau prin acţiuni ale copiilor sub formă de joc (de exemplu, copilul vine la magazin, cumpără, plăteşte). În această etapă activitatea de rezolvare a problemelor este foarte aproape de aceea de calcul. Dificultatea pe care o întâmpină copiii este aceea de transpunere a acţiunilor concrete în relaţii matematice.

În enunţul unei probleme, în prima fază, formulat de copil sau de învăţător nu se spune “5 răţuşte + 2 răţuşte” ci “ pe lac erau 5 răţuşte şi au mai venit 2 răţuşte” sau nu se spune “6 rândunici – 3 rândunici” ci se spune că “pe o creangă erau 6 rândunici din care au zburat 3 rândunici”. Elevii trebuie să traducă în relaţii matematice acţiunile exprimate în enunţul problemei. Cei mai mulţi reuşesc să facă acest lucru pe baza experienţei pe care o au din perioada preşcolară sau din primele operaţii cu mulţimi de la începutul clasei I.

De acum elevii sunt familiarizaţi cu noţiunea de problemă, întrebarea problemei, rezolvarea şi rezultatul problemei. Învăţătorului îi este mult mai uşor acum trecând de la problema-acţiune la

32

realizarea unui desen schematic prin care să redea conţinutul problemei şi cu ajutorul căruia elevul să găsească relaţiile şi operaţiile matematice potrivite.

Deosebit de atractive sunt, la clasa I, problemele sub formă de versuri: Radu are 3 pisici. Un băiat, cuminţel,

Lângă ele mai vin 5. 3 copii cheamă la el. Pleacă două, supărate. Şi-alţi 2 vin ca să se joace Câte au rămas de toate? În total, acum sunt …. La fel de plăcute sunt jocurile ce dezvăluie miracolul combinaţiilor, dezvoltă imaginaţia, flexibilitatea gândirii şi plăcerea căutărilor : Am pe catedră, ascunse, 7 bile : unele albe, altele negre. Spuneţi-mi, fără să le vedeţi, câte ar putea fi albe şi câte negre ?

Deşi rezolvările de probleme simple par uşoare, învăţătorul trebuie să aducă în atenţia elevilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o operaţie:

a) probleme simple bazate pe adunare: de aflare a sumei a doi termeni; de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unităţi decât un alt număr dat; probleme generate de expresia “cu atât mai mult”; b) probleme simple bazate pe scădere: de aflare a restului; de aflare a unui număr care să aibă cu un anumit număr de unităţi mai puţin decât un

număr dat; de aflare a unui termen când se cunoaşte suma şi un termen al sumei; probleme generate de expresia “cu atât mai puţin”;

b) probleme simple bazate pe înmulţire: de aflare a produsului; de repetare de un număr de ori a unui număr dat; de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat probleme generate de expresia “de atâtea ori mai mult”;

c) probleme simple bazate pe împărţire: de împărţire a unui număr dat în părţi egale; de împărţire prin cuprindere a unui număr prin altul; de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât altul; de aflare a unei părţi dintr-un întreg; de aflarea a raportului dintre două numere date. În general, problemele simple sunt uşor înţelese şi rezolvate de către elevi. Pentru depăşirea

şi evitarea unor dificultăţi în rezolvarea de probleme trebuie să se aibă în vedere: rezolvarea unui număr mare de probleme, analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme, prezentarea unor probleme cu date incomplete, prezentarea unor probleme a căror întrebare lipseşte, prezentarea unor povestiri matematice, completarea unui text cu date conform cu realitatea, compunerea de probleme cu anumite date sau după scheme date.

Antrenarea şcolarilor mici în rezolvarea unei game cât mai largi de probleme simple bazate pe cele 4 operaţii contribuie la înarmarea acestora cu strategii rezolutive flexibile, cu evidente deschideri spre zona creativităţii.

Uneori, în lipsa unei atente analize a enunţului unei probleme ce conţine expresii ce sugerează vizibil o anumită operaţie matematică, se poate ajunge la erori de rezolvare prin aplicarea mecanică, automatizată, a unui model de rezolvare. O falsă problemă de adunare poate fi şi cea de genul: “La colţul jucăriilor se află două mingi. Câte maşinuţe sunt, dacă în total sunt 9 jucării: mingi şi maşinuţe?”. Expresiile din enunţul problemei sugerează adunarea, dar analiza enunţului şi stabilirea relaţiilor logice dintre informaţii conduce spre soluţia corectă. Elevii trebuie învăţaţi să

33

analizeze, să judece întregul context, să stabilească corect relaţiile dintre părţile implicate în problemă.

Rezolvarea de probleme simple este unul dintre primii paşi orientaţi spre exersarea flexibilităţii şi fluenţei gândirii.

Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea oricărei probleme compuse trece prin mai multe etape. În fiecare dintre aceste etape, datele problemei apar în combinaţii noi, reorganizarea lor la diferite niveluri ducând spre soluţia finală. E vorba de un permanent proces de analiză şi sinteză, prin care elevul separă şi reconstituie, desprinde şi construieşte raţionamentul ce conduce la soluţia problemei.

Examinarea unei probleme se face, de regulă, prin metoda analitică sau prin metoda sintetică.

A rezolva o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi mai întâi problema în ansamblu, apoi pornind de la întrebarea problemei, o descompunem în probleme simple din care e alcătuită într-o succesiune logică, astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date.

A rezolva o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a presupune gruparea datelor problemei după relaţiile dintre ele, astfel încât să se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile şi a se aşeza aceste probleme într-o succesiune astfel alcătuită încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.

În practică, am constatat că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, am observat că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei şi sunt tentaţi să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluţiei problemei. Metoda analitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor şi, folosind-o, îi ajută să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenţie întrebarea problemei.

Rezolvând probleme prin metoda sintetică, elevii îşi dezvoltă gândirea reproductivă, iar rezolvarea problemelor prin metoda analitică le dezvoltă gândirea productivă, creatoare. Se mai poate menţiona faptul că procesul analitic nu apare şi nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două operaţii ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune şi interdependenţă, ele condiţionându-se reciproc şi realizându-se într-o unitate inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia dintre aceste metode: în examinarea unei probleme intervenind ambele operaţii ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sunt situaţii când una devine dominantă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcătuită constituie în esenţă un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Din aceste motive, cele două metode apar deseori sub denumire unică: metodă analitico-sintetică.

O mare atenţie trebuie să se acorde problemelor care presupun mai multe moduri de rezolvare. Astfel, se dezvoltă prin rezolvarea lor mobilitatea gândirii, creativitatea, simţul estetic, se formează priceperi de a găsi noi procedee de rezolvare, se educă atenţia, spiritul de investigaţie şi perspicacitate ale elevilor. De cele mai multe ori elevii nu găsesc de la început mai multe căi de rezolvare. Învăţătorul are sarcina de a dirija gândirea elevilor prin întrebări ajutătoare spre găsirea altor modalităţi de rezolvare.

Rezolvarea problemelor tipice

Prin problemă tipică se înţelege acea construcţie matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care a fost încadrată într-o anumită categorie / tip şi algoritmul de rezolvare este cunoscut. Elevii trebuie să fie antrenaţi în căutarea procedeului de rezolvare. Analiza prezintă un anumit tip de

34

raţionament ce constituie mijlocul principal pentru căutarea procedeului rezolvării, elevul descoperind legătura şi dependenţa dintre mărimile date în problemă. În momentul descoperirii algoritmului de rezolvare pentru un tip de probemă, rezolvarea mai multor probleme de acelaşi tip contribuie la formarea deprinderilor de rezolvare.

Metoda figurativă este o metodă ce constă în reprezentarea grafică a mărimilor necunoscute şi

marcarea prin desen a relaţiilor dintre mărimile date în problemă. Figura reprezintă o schematizare a enunţului şi a relaţiilor matematice date.

Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă se pot împărţi în două mari categorii: a) cu date sau mărimi „discrete”, ceea ce înseamnă că mărimile pot fi numărate una câte una şi

se pot pune în corespondenţă după anumite criterii, situaţie în care mărimile se figurează prin simboluri;

b) cu date sau mărimi „continui”, caz în care le figurăm prin segmente. Exemplul I: figurarea prin segmente

Într-o gospodărie sunt găini şi raţe, în total 114 păsări. Ştiind că numărul găinilor este de 5 ori mai mare decât cel al raţelor, să se afle câte găini şi câte raţe sunt în gospodărie.

raţe _____ găini _____ _____ _____ _____ _____ 114 păsări 1 + 5 = 6 (părţi egale sau de 6 ori numărul raţelor) 114 : 6 = 19 (raţe) 19 × 5 = 95 (găini) Exemplul II: figurarea se face prin utilizarea literelor şi a combinaţiilor de litere La o reuniune sunt băieţi şi fete. Numărul băieţilor este de 4 ori mai mare decât numărul fetelor.

Părăsesc reuniunea 4 băieţi şi 4 fete. Se constată că la reuniune sunt de 7 ori mai mulţi băieţi decât fete.

Câţi băieţi au fost la început la reuniune? B B B B B B B BFB BFB BFB BFB BFB BFB ... BFB B B B B B B B B B B B B B B B B B B BFB BFB ... BFB B B B B B B B BBB BBB BBB BFB BFB ... BFB BB BB BB

4 grupări Constatăm că după plecare au rămas 4 × 1 = 4 (fete) şi 4 × 7 = 28 (băieţi) Deci, la început erau 4 + 4 = 8 (fete) şi 28 + 4 = 32 (băieţi).

Tot în categoria problemelor care se rezolvă prin metoda figurativă sunt şi:

35

- problemele de aflare a două numere când se cunoaşte suma şi diferenţa lor (exemplu: Suma a două numere este 48. ştiind că primul număr este cu 6 mai mare decât al doilea, aflaţi cele două numere.) (alt exemplu: Suma a două numere este 40, iar diferenţa lor este 60. Să se afle cele două numere.); - probleme de aflare a două numere când se cunoaşte suma / diferenţa şi raportul lor: a) sumă – raport (exemplu: Suma a două numere este 115, iar câtul lor este 4. care sunt cele două numere?); b) diferenţă – raport (exemplu: Într-o vază sunt de 5 ori mai multe garoafe decât trandafiri. Numărul trandafirilor este cu 32 mai mic decât numărul garoafelor. Câte flori din fiecare fel sunt în vază?) c) sumă – diferenţă – raport (exemplu: Suma a două numere naturale este 86. Să se afle numerele ştiind că dacă se împarte numărul mai mare la numărul mai mic se obţine restul 2 şi câtul 3.) Probleme de egalare a datelor. Metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie se foloseşte în rezolvarea problemelor în care cele două mărimi care se dau sunt comparate, valorificându-se în rezolvare relaţia de proporţionalitate care poate exista între ele. Se urmăreşte eliminarea unei necunoscute fie prin înlocuirea ei, fie prin reducere şi aducere la acelaşi termen de comparaţie. Problemele de acest tip se recunosc relativ uşor din modul cum este redactat enunţul care este alcătuit din două situaţii distincte. După recunoaşterea tipului este recomandată scrierea datelor în mod corespunzător, unele sub altele, conform celor două situaţii din enunţ. Cele mai simple probleme din această categorie sunt problemele de reducere la unitate (regula de trei simplă) Exemplu: În 5 lăzi încap 60 de sticle de apă. Câte sticle încap în 7 astfel de lăzi? Analizând datele problemei, se ajunge la concluzia că pentru aflarea numărului de sticle din 7 lăzi e necesar să cunoaştem câte sticle încap într-o ladă. 5 lăzi .............................................60 sticle 7 lăzi ............................................. ? sticle 5 lăzi ............................................ 60 sticle 1 ladă ........................................... 60 : 5 = 12 (sticle) 7 lăzi ............................................ 12 × 7 = 84 (sticle) Tot în categoria problemelor ce se rezolvă prin metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie sunt şi problemele de eliminare a unei mărimi prin reducerea la unitate. Metoda constă în a transforma (prin înmulţire sau împărţire) una din cele două mărimi, astfel încât să aibă aceeaşi valoare în cele două situaţii date în problemă. În acest caz rămâne o singură necunoscută şi un termen de comparaţie (ceilalţi 2 termeni având acum aceeaşi valoare, se pot elimina prin scăderea celor două relaţii membru cu membru). Exemplu: Ştiind că 9 cărţi şi 6 caiete costă 324 de lei, iar 4 cărţi şi 3 caiete costă 146 de lei, aflaţi care este preţul unei cărţi şi al unui caiet. 9 cărţi ..............................6 caiete .................................... 324 lei 4 cărţi ..............................3 caiete .................................... 146 lei Se observă că valorile care dau numărul de caiete sunt proporţionale: dacă a doua oară s-ar fi cumpărat de 2 ori mai mult, cantitatea de caiete cumpărate de fiecare dată ar fi fost aceeaşi. Datorită acestui fapt, se pot dubla toate valorile celei de-a doua relaţii. 9 cărţi ..............................6 caiete .................................... 324 lei 4 cărţi ..............................3 caiete .................................... 146 lei × 2 Se obţin următoarele relaţii:

36

9 cărţi ..............................6 caiete .................................... 324 lei 8 cărţi ..............................6 caiete .................................... 282 lei Acum numărul de caiete este acelaşi şi diferenţa de preţ este dată de numărul diferit de cărţi cumpărate în cele două situaţii. Scăzând cele două relaţii membru cu membru se obţine: 1 carte ................................. / ............................................32 lei 9 cărţi .................................................................................32 × 9 = 288 (lei) 6 caiete ....................................... 324 – 288 = 36 (lei) 1 caiet ......................................... 36 : 6 = 6 (lei) Problemele de eliminare a unei mărimi prin înlocuire (substituţie) sunt probleme care se rezolvă prin înlocuirea unei mărimi prin alta, pe baza relaţiilor cantitative dintre ele. Aceste probleme se pot clasifica în două categorii: - probleme în formularea cărora se utilizează expresii comparative ce presupun folosirea operaţiilor de adunare şi scădere (mai mare / mai mic, mai mult / mai puţin, mai scump / mai ieftin cu o anumită mărime, cantitate, valoare) ; - probleme în formularea cărora se utilizează expresii comparative ce presupun folosirea operaţiilor de înmulţire şi împărţire (mai mare / mai mic, mai mult / mai puţin, mai scump / mai ieftin de un număr de ori) . Exemplu: 5 kg portocale şi 9 kg de banane au costat 74 lei. Aflaţi cât costă 1 kg de portocale şi 1 kg de banane, ştiind că bananele sunt cu 2 de lei/ kg mai scumpe decât lămâile. 5 kg portocale .......................... 9 kg banane ...............................74 lei - 5 + 9 = 14 (kg portocale) ..................74 + 5 × 2 = 84 (lei) 1 kg banane ............................... 84 : 14 = 6 (lei) 1 kg portocale .............................................................................. 6 – 2 = 4 (lei) Verificare: 5 × 4 + 9 × 6 = 74 Probleme de presupunere. Metoda falsei ipoteze În rezolvarea problemelor de acest tip se pleacă de la întrebarea problemei şi se face o presupunere arbitrară asupra uneia dintre datele necunoscute, se reface problema pe baza presupunerii. Rezultatele obţinute pe baza presupunerii se modifică (în plus sau în minus), după cum presupunerea făcută este mai mare, respectiv mai mică decât rezultatul real. Refăcând problema, se ajunge la un rezultat care nu concordă cu cel real din problemă. Acesta este fie mai mare, fie mai mic decât valoarea dată în enunţ. În acest moment se compară rezultatul obţinut pe baza presupunerii cu cel real, din punct de vedere al câtului şi se observă „de câte ori” s-a greşit prin presupunerea făcută, obţinându-se un număr (coeficient de corecţie) cu ajutorul căruia „se corectează” presupunerea în sensul micşorării sau a măririi de acest număr de ori. Exemplu: Să se afle 4 numere a căror sumă este 120, ştiind că al II-lea este jumătate din I, al

III-lea un sfert din suma primelor două, iar al IV-lea o treime din suma primelor trei. Presupunem că 8 este primul număr. 8 : 2 = 4 (al II-lea număr) (8 + 4) : 4 = 3 (al III-lea număr) (8 + 4 + 3): 3 = 5 (al IV-lea număr) Constatăm că suma celor 4 numere este 8 + 4 + 3 + 5 = 20, contrar enunţului problemei. 120 : 20 = 6 (coeficientul de corecţie) 8 × 6 = 48 (I număr) 4 ×6 = 24 (al II-lea număr) 3 ×6 = 18 (al III-lea număr)

37

5 ×6 = 30 (al IV-lea număr) Verificare: 48 + 24 + 18 + 30 = 120 Alte exemple: * Mihai are porumbei şi iepuri. Ştiind că sunt în total 51 de capete şi 132 de

picioare, să se afle câţi porumbei şi câţi iepuri are Mihai. * 18 caiete de 48 file şi respectiv 200 file au împreună 2080 file. Câte caiete

sunt de fiecare fel? Deşi aceste probleme sunt probleme-tip, demersul de rezolvare este de tip divergent. Probleme de rest din rest. Metoda mersului invers (metoda retrogradă) Se foloseşte în anumite probleme în care elementul necunoscut apare la începutul şirului de relaţii dat în enunţ. Analizând operaţiile date în enunţ şi cele efectuate în rezolvarea problemei, se constată că în fiecare etapă se efectuează operaţia inversă celei din enunţ. Deci, nu numai „mersul” este invers, ci şi operaţiile efectuate pentru rezolvare sunt inverse decât cele din problemă. Exemplu: Am ales un număr. L-am înmulţit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obţinută am

împărţit-o la 7 şi din cât am scăzut 11, obţinând 200. ce număr am ales? Notând cu n numărul căutat, enunţul se transcrie matematic astfel: (n × 5 + 42) : 7 – 11 = 200 descăzut scăzător rest (n × 5 + 42) : 7 = 200 + 11 (n × 5 + 42) : 7 = 211 deîmpărţit împărţitor cât (n × 5 + 42) = 211 × 7 n × 5 + 42 = 1477 T1 T2 S n × 5 = 1477 – 42 n × 5 = 1435 n = 1435 : 5 n = 287 Corectitudinea rezultatului obţinut se verifică prin înlocuire în enunţul iniţial şi rezolvarea exerciţiului obţinut se face respectând cerinţele enunţului. Probleme care se rezolvă prin încercări Uneori întâlnim probleme ce nu se pot rezolva direct. În acest caz, un procedeu ar fi încercările, care se pot „corecta” pas cu pas, până se obţin rezultatele ce verifică toate condiţiile problemei. Activitatea de rezolvare de probleme prin încercare – eroare urmăreşte să trezească curiozitatea elevilor pentru aflarea rezultatelor unor exerciţii şi probleme (obiectiv de referinţă din programa clasei a II-a), să determine elevii să manifeste iniţiativă în a propune modalităţi diverse de abordare a unei probleme (clasa a III-a) şi să caute noi căi de rezolvare a acestora (clasa a IV-a). Problemele care se rezolvă prin încercări apar precizate în curriculumul naţional, la conţinuturi, în mod distinct, la clasa a IV-a. Cu toate acestea, rezolvarea prin încercare – eroare este introdusă ca procedeu de lucru încă din clasa I, prin activităţile de învăţare ce vizează găsirea variantelor de descompunere şi compunere a numerelor naturale sau aflarea necunoscutei: „să exploreze modalităţi de a descompune numere mai mici ca 100 în sumă sau diferenţă”. Rezolvând acest tip de problemă, elevii conştientizează că nu trebuie să trateze cu superficialitate nicio

38

informaţie, oricât de inutilă ar părea la prima vedere, ea putându-se dovedi „cheia” rezolvării problemei. Multe probleme pe care elevul nu ştie să le rezolve utilizând metode standardizate (de exemplu, metoda grafică pentru probleme de sumă şi diferenţă) pot fi abordate şi rezolvate în final prin încercări (chiar dacă procedeul se poate dovedi a fi mai anevoios). Problemele care se rezolvă prin încercări îi obişnuieşte pe elevi cu nevoia de a-şi reorganiza propriile cunoştinţe, pentru a recurge la noi structuri cognitive, îi orientează spre descoperirea de noi procedee de acţiune şi de verificare a soluţiilor găsite. Prin folosirea frecventă a acestui tip de problemă se constată o perfecţionare a procedurilor de descoperire inductivă folosită de copii: căutare, tatonare, încercare, selecţie în raport cu un set de condiţii date. Exemple: * Aflaţi prin încercări numerele naturale de 3 cifre care să aibă suma cifrelor egală cu 6. * Găsiţi prin încercări valorile lui a şi b, ştiind că a + b = 12, iar a – b = 6. Probleme de estimare În viaţa cotidiană, elevii sunt foarte des puşi în situaţia de a „estima”, făcând foarte bine acest lucru, dar neconştientizând că în acel moment au rezolvat o problemă de estimare. Rezolvarea problemelor de estimare este precizată distinct, la conţinuturi, doar la clasa a IV-a. Cu toate acestea, ca procedeu de calcul, estimările sunt introduse şi în clasele anterioare: exerciţii-joc de estimare a numărului de obiecte dintr-o mulţime fixată din mediul cotidian, exerciţii de rotunjire a numerelor prin adăugare sau omisiune la sute sau zeci, exerciţii de estimare a rezultatului unei operaţii, exerciţii de utilizare a rotunjirilor în estimarea rezultatului unei operaţii etc. De fapt, estimările se dovedesc a fi foarte utile: - în scop de comparare a numerelor (prin estimarea ordinului de mărime), folosind proprietăţile sistemului zecimal; - ca procedeu de verificare, ţinând cont de relaţiile dintre numerele care intervin în operare şi de ordinul de mărime al rezultatului; - ca procedeu de calcul rapid, prin rotunjirea numerelor şi estimarea rezultatului; - în justificarea unor algoritmi de calcul; - în rezolvarea unor situaţii în care calculul nu este posibil sau relevant.

Exemplu: Andrei îşi propune să rezolve 6 probleme în timp de 40 de minute. Dacă pentru a rezolva o problemă are nevoie de 8 minute, îi va ajunge timpul?

Răspunsul poate fi estimat astfel: 8 se rotunjeşte prin adaos la 10. Timpul necesar estimat va fi: 10 × 6 = 60 (min) Răspuns: cele 40 de minute propuse nu ajung pentru rezolvarea problemei (40 < 60) Verifică prin calcul răspunsul. Alt exemplu: Suma a două numere este cuprinsă între 72 şi 78. Dacă primul termen al sumei

este 25, estimaţi ce valori poate lua cel de-al doilea termen? Verificaţi prin calcul.

Probleme de logică Problemele de logică nu necesită deprinderi de calcul. Pentru a găsi soluţia este suficient un raţionament logic. Prin comparaţie cu problemele clasice, problemele de logică ies din tiparul obişnuit al problemelor lucrate de elevi, le plac, îi stimulează, îi amuză, fiind deseori o cale atractivă pentru însuşirea noţiunilor obligatorii din curriculumul naţional. Aceasta se explică prin faptul că, în categoria problemelor de logică, sunt introduse multe tipuri de exerciţii şi probleme ce nu fac apel la

39

cunoştinţe cu conţinut aritmetic. Mulţi elevi, care din cauza unui antrenament redus în operarea cu numere întâmpină dificultăţi de rezolvare a problemelor, reuşesc sa rezolve astfel de probleme pentru că utilizează doar raţionamente logice. Problemele de logică vizează cultivarea şi exersarea creativităţii elevilor (îndrăzneală, isteţime, spirit inovator, flexibilitatea şi originalitatea gândirii, nonconformism), crearea unor situaţii generatoare de motivaţie intrinsecă ce favorizează stimularea interesului pentru matematică, exersarea gândirii divergente, dezvoltarea plăcerii şi priceperii de a raţiona riguros, educarea unor trăsături volitive pozitive pentru întrega conduită a elevului (tenacitate, concentrare, voinţa de a învinge, dorinţa de autodepăşire controlată didactic etc.). Chiar dacă rezolvarea problemelor de logică este precizată în programa şcolară la matematică doar la clasa a IV-a, problemele de logică pot fi „presărate” pe parcursul întregului ciclu primar, în diverse momente ale lecţiilor, în cadrul tuturor disciplinelor de învăţământ, nefiind abordabile doar la matematică. Ele constituie de multe ori un liant între diversele discipline (având un pronunţat caracter interdisciplinar), găsindu-şi aplicabilitatea imediată şi fiind în majoritatea cazurilor inspirate din problemele întâlnite în viaţa de zi cu zi. Exemple: * Fiecare dintre cei 4 fraţi are o soră. Câţi copii are familia?

* Anul trecut, Oana şi Mihaela aveau împreună 30 de ani. Câţi ani au împreună anul acesta?

Probleme de probabilităţi În natură şi în viaţa cotidiană au loc diferite întâmplări sau evenimente. Elevul este pus de foarte multe ori în situaţia de a aplica gradul de probabilitate, şansele ca un eveniment, o situaţie, o întâmplare să se producă. O afirmaţie legată de o întâmplare poate fi cotată de către un elev ca fiind sigur că se va produce, în timp ce un alt elev o poate aprecia ca fiind posibilă sau chiar imposibilă. Este foarte important ca elevul de azi, viitorul adult, să poată judeca şi interpreta corect unele evenimente din viaţa cotidiană, să poată calcula probabilitatea (şansa) ca acestea să se producă, să le poată ordona şi clasifica pe o scală a şanselor de realizare (de la sigur sau imposibil) sau pe o scală a preferinţelor (de la foarte plăcut la foarte neplăcut). Exemplu: Care dintre evenimentele următoare sunt sigure? Dar posibile? Dar imposibile? Dan va deveni înalt de 40 m. Dacă astăzi este luni, ieri a fost duminică. Mă voi uita la televizor săptămâna aceasta în fiecare seară. Adunând un număr cu 1, se obţine succesorul său. Dintr-o sămânţă de dovleac a răsărit un stejar. Exemplificările practice şi teoretice privind tipurile de probleme şi modalităţile de rezolvare a acestora evidenţiază faptul că în domeniul rezolvării de probleme sunt folosite, cu precădere, strategii intelectuale algoritmice (la probleme bine structurate), iar în formularea sau elaborarea de noi întrebări, ipoteze, probleme şi soluţii sunt implicate strategiile euristice (la probleme slab definite). Ambele strategii sunt utilizate în activitatea intelectuală sau practică, dar în ponderi diferite, specifice tipului de sarcină sau de problemă. Chiar dacă sunt diferite, aceste două tipuri de gândire interacţionează şi se completează reciproc.

40

CAP. 3 COORDONATE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII PRIVIND REZOLVAREA PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ

3.1. Obiectivele şi ipoteza cercetării

Obiectivele propuse în realizarea acestei lucrări sunt de fundamentare psihopedagogică, ştiinţifică şi metodologică: să demonstrez că, indiferent de domeniu, rezolvarea creativă de probleme trebuie să fie

atributul ce caracterizează omul în orice ipostază s-ar afla: şcoală, familie, mediu, societate; să realizez o cercetare psihopedagogică privind rezolvarea problemelor de aritmetică

îmbinând metode tradiţionale cu metode şi procedee active şi de cooperare; să promovez ideea că prin rezolvarea problemelor de aritmetică se dezvoltă gândirea şi

operaţiile ei, creativitatea, tăria de caracter, sentimentele şi atitudinile pozitive, spiritul de competiţie intelectuală.

Cercetarea a pornit de la următoarea ipoteză: dacă se utilizează metode activ-participative

în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică, atunci se contribuie la optimizarea învăţării, la eficientizarea acesteia, la creşterea randamentului şcolar al elevilor la matematică. 3.2. Metodica cercetării

Cercetarea pedagogică este definită ca fiind „o strategie proiectată şi realizată în scopul de a surprinde relaţii şi fapte noi între componentele acţiunii educaţionale şi de a elabora, pe această bază, soluţii optime pentru problemele procesului educaţional. Este un demers raţional, organizat în vederea surprinderii relaţiilor funcţionale şi cauzale dintre variabilele acţiunii educaţionale practice. (I. Drăgan, I. Nicola)”. (apud Dumitriu, C., 2004, p. 6)

Metodica este definită ca „un sistem de prescripţii, procedee, tehnici, mijloace prin care se concretizează aplicarea unei metode sau unui grup de metode; modelul concret de lucru în cercetare” (Dumitriu, C., 2004, p. 53).

În vederea testării ipotezei formulate mi-am propus mai multe direcţii de acţiune care pot fi considerate totodată etape în derularea cercetării:

- stabilirea eşantionului experimental; - administrarea factorului experimental; - înregistrarea, prelucrarea, analiza şi interpretarea rezultatelor; - stabilirea diferenţelor între cele două faze (finală şi esenţială) în cadrul eşantionului.

3.2.1. Eşantionul experimental

Eşantionul este alcătuit din 21 de elevi ai clasei a III-a din Şcoala cu Clasele I-VIII Baraţi, din care 12 fete şi 9 băieţi, cu vârsta cuprinsă între 9 şi 10 ani. 4 fete (D.M.L., G.I., M.A., Z.I.) se află în plasament la Casa de Copii „Sf. Maria” Baraţi, două din ele având ambii părinţi decedaţi, iar celelalte două provenind din familii cu condiţii foarte precare de trai.

Conform chestionarului de culegere a datelor, completat de părinţii elevilor la începutul anului şcolar, am înregistrat următoarele date despre familiile din care provin copiii:

- din toţi părinţii (33, 1 fiind decedat), 31 au studii medii (5 – 8 clase, 20 – 10 clase, 3 – 12 clase, 3 – liceu) şi 2 studii universitare;

- 16 lucrează în diverse meserii, 2 sunt pensionari de boală, 3 lucrează în străinătate, 3 mămici sunt în concediu de creştere a copilului până la 2 ani, 9 sunt casnice;

41

- doar 2 copii sunt singuri la părinţi, 11 mai au un frate, iar 4 mai au doi fraţi. Doar 6 copii (B.D., C.R., C.A., L.E., R.R., T.O.) proveniţi din familii organizate şi cele 4

fete de la Casa de Copii beneficiază de sprijin permanent în învăţare, 5 copii (A.B., B.I., P.E, P.P., T.A.) – doar sporadic, iar 6 (A.R., B.P., C.G., D.C., F.B., L.A.) – deloc.

Colectivul clasei este relativ omogen, majoritatea copiilor fiind normal dezvoltaţi atât fizic, cât şi intelectual. Elevii sunt disciplinaţi, nu creează probleme în timpul orelor, sunt comunicativi şi sociabili, cu un nivel normal de dezvoltare intelectuală. Eleva Matei Andreea de la Casa de Copii înregistrează rămâneri în urmă la învăţătură, explicabile datorită faptului că a frecventat sporadic grădiniţa, cât şi cursurile clasei I si a II-a semestrul I, fiind integrată în colectivul nostru în semestrul II al clasei a II-a. A făcut progrese la învăţătură foarte mari, având în vedere că s-a lucrat diferenţiat şi am avut o colaborare foarte bună cu învăţătorul de sprijin al acesteia. 3.2.2. Etape de desfăşurare

Cercetarea a cuprins trei etape: 1. Etapa constatativă, desfăşurată în perioada 15. 09. 2008 – 1. 10. 2008, a constat în

utilizarea mai multor metode şi procedee de cunoaştere a particularităţilor psihice ale elevilor clasei. La disciplina matematică am aplicat test de evaluare iniţială pentru a cunoaşte nivelul de

cunoştinţe al elevilor, condiţiile în care aceştia se pot integra în activitatea care urmează. Cunoaşterea capacităţilor de învăţare ale elevilor, a nivelului de pregătire de la care pornesc

şi gradului în care stăpânesc cunoştinţele şi abilităţile necesare asimilării conţinutului etapei care urmează, reprezintă o condiţie hotărâtoare pentru reuşita activităţii didactice.

Subliniind rolul şi însemnătatea acestui tip de evaluare pentru integrarea elevilor în activitatea care începe, R. Ausubel conchide: „Dacă aş vrea să reduc toată psihopedagogia la un singur principiu, eu spun: ceea ce influenţează cel mai mult învăţarea sunt cunoştinţele pe care elevul le posedă la plecare. Asiguraţi-vă de ceea ce el ştie şi instruiţi-l în consecinţă.” (apud Cerghit, I., Radu, I.T., Popescu, E., Vlăsceanu, L., 1991, p. 111)

Prelucrarea şi analiza rezultatelor mi-au dat posibilitatea formulării concluziilor cu privire la colectivul de elevi, la fiecare elev în parte, cât şi a adoptării unor măsuri de sprijinire şi recuperare a unor elevi.

2. Etapa formativ – ameliorativă, desfăşurată în perioada 1. 10. 2008 – 31. 05. 2009, a cuprins proiectarea, organizarea şi desfăşurarea demersului didactic la disciplina matematică, introducerea „factorului de progres” (folosirea metodelor active şi de cooperare în rezolvarea problemelor de aritmetică), urmărindu-se antrenarea tuturor elevilor în procesul propriei lor formări.

În această etapă am parcurs la clasă conţinutul următoarelor unităţi de învăţare şi am urmărit atingerea obiectivelor de referinţă aferente acestora, astfel:

Strategii didactice Unitatea de

învăţare Obiective de referinţă

metode şi procedee

mijloace de învăţământ

forme de organiza

re

Evaluare

Numerele naturale de

1.1 să înţeleagă şi să utilizeze sistemul poziţional de formare a numerelor naturale mai mici decât 1 000 000 1.2 să scrie, să citească, să compare, să ordoneze, să facă

Exerciţiul Jocul didactic Explicaţia Demonstraţia Conversaţia Conversaţia

Planşe didactice Manualul Culegere de matematică Fişe de lucru

frontală indivi-duală pe grupe

Observa-rea sistemati-că a activităţii şi compor-

42

la 0 la 1000 estimări folosind numere naturale mai mici decât 1 000 000 2.2 să descopere, să recunoască şi să utilizeze corespondenţe simple şi succesiuni de obiecte sau numere asociate după reguli date

euristică Conversaţia catehetică observaţia

Jetoane Numărătoare cu discuri

Adunarea şi scăderea numerelor naturale de la 0 – 1000

1.3 să efectueze operaţii de adunare şi de scădere cu numere mai mici decât 10 000: - fără trecere peste ordin - cu trecere peste ordin 2.4 să estimeze ordinul de mărime al rezultatului unui exerciţiu cu cel mult două operaţii prin rotunjirea numerelor pentru a limita erorile de calcul 2.6 să rezolve şi să compună probleme de tipul: ?±a=b sau ?±a<b, a şi b numere mai mici ca 1 000 2.7 să folosească simboluri pentru a pune în evidenţă numere necunoscute în rezolvarea de probleme 3.1 să exprime clar şi concis semnificaţia calculelor făcute în rezolvarea unei probleme

Exerciţiul Jocul didactic Explicaţia Demonstraţia Conversaţia Problematiza-rea Algoritmiza-rea Cubul Metoda ciorchinelui

Planşe didactice Manualul Culegere de matematică Fişe de lucru

frontală indivi-duală pe grupe

Înmulţirea numerelor naturale mai mici ca 100

Împărţirea numerelor naturale mai mici ca 100

Înmulţirea şi împărţirea în intervalul de numere

1.4 să efectueze operaţii de înmulţire şi împărţire cu numere naturale mai mici decât 100 2.3 să exploreze modalităţi de efectuare a înmulţirii sau împărţirii în 0-1000 folosind diferite tipuri de grupări şi reprezentări 2.5 să exploreze modalităţi variate de a compune şi descompune numere naturale mai mici decât 1000 2.6 (....) sau de tipul ?c=d; ?:c=d unde c 0, d este multiplu al lui c, în intervalul de numere naturale de la 0 la 100

Exerciţiul Jocul didactic Explicaţia Demonstraţia Conversaţia Problematiza-rea Algoritmiza-rea Învăţarea prin descoperire

Planşe didactice Manualul Culegere de matematică Fişe de lucru Laptop Prezentări în Power Point Video proiector

frontală indivi-duală pe grupe frontală indivi-duală pe grupe

tamentului elevului Examina-rea orală testul docimolo-gic portofoliul Observa-rea sistemati-că a activităţii şi compor- tamentului

43

naturale de la 0 la 1000

2.7, 3.1 Ecran de proiecţie

Rezolvarea de probleme

2.6, 2.7 2.9 să colecteze date, să le sorteze şi să le clasifice pe baza unor criterii date, să le organizeze în tabele 3.1 4.1 să manifeste iniţiativă în a transpune diferite situaţii în context matematic, propunând modalităţi diverse de abordare a unei probleme 4.2 să depăşească blocaje în rezolvarea de probleme, să caute prin încercare-eroare noi căi de rezolvare 4.3 să manifeste un comportament adecvat în relaţiile cu colegii dintr-un grup de lucru în cadrul activităţilor practice de rezolvare de probleme

Exerciţiul Jocul didactic Explicaţia Demonstraţia Conversaţia Problematiza-rea Metoda cadranelor Metoda Ştiu / Vreau să ştiu / Am învăţat Organizatorul grafic

Planşe didactice Manualul Culegere de matematică Fişe de lucru

frontală indivi-duală pe grupe

Numerele naturale de la 0 la 1 000 000

1.1 1.2 2.2

Exerciţiul Jocul didactic Explicaţia Demonstraţia Conversaţia Învăţarea prin descoperire

Planşe didactice Manualul Culegere de matematică Fişe de lucru Jetoane Numărătoare

frontală indivi-duală pe grupe

Adunarea şi scăderea numerelor naturale în intervalul de la 0 la 10 000

1.3 2.4 2.6 2.7 3.1 4.1,4.2, 4.3

Exerciţiul Jocul didactic Explicaţia Demonstraţia Conversaţia

Planşe didactice Manualul Culegere de matematică Fişe de lucru

frontală indivi-duală pe grupe

Elemente intuitive de geometrie

2.1 să recunoască şi să descrie forme plane şi spaţiale, să clasifice obiecte şi desene după criterii variate

Planşe didactice Manualul Culegere de matematică Fişe de lucru trusă geometrică forme spaţiale

frontală indivi-duală pe grupe

2.8 să utilizeze instrumente şi Planşe frontală

elevului Examina-rea orală testul docimolo-gic portofoliul Observa-rea sistemati-că a activităţii şi compor- tamentului elevului

44

Măsurare şi unităţi de măsură

unităţile de măsură standard şi nonstandard pentru lungime, capacitate, masă, timp şi unităţile monetare în situaţii variate

didactice Manualul Culegere de matematică Instrumente diverse de măsură

indivi-duală pe grupe

Examina-rea orală testul docimolo-gic portofoliul

Pe baza rezultatelor obţinute am adoptat decizii adecvate de organizare a unor activităţi

diferenţiate, atât cu elevii ce dovedesc un randament crescut la învăţătură, cât şi cu elevii ce manifestă goluri în cunoştinţe.

3. Etapa finală, evaluativă, s-a desfăşurat în perioada 1. 06. 2009 – 15. 06. 2009, în cadrul acesteia aplicându-se probe de evaluare pentru a se stabili nivelul de pregătire al elevilor şi modul în care au evoluat de la testele iniţiale. 3.2.3. Metode şi tehnici de cercetare psihopedagogică

Metoda de cercetare ştiinţifică este “un ansamblu de operaţii intelectuale prin care o disciplină sau o ramură a cunoaşterii caută să ajungă la adevăruri pe care să le demonstreze, să le verifice. Ele sunt ghidate de concepţia generală a cercetătorului, de principiile teoretico-ştiinţifice de la care acesta porneşte, respectiv, de metodologia cercetării”( Dumitriu, C., 2004, p. 53). Tehnica de cercetare e subordonată metodei şi este definită, în general, ca „un ansamblu de prescripţii metodologice (reguli, procedee) pentru o acţiune eficientă” (idem). Procedeul este „maniera de acţiune, de utilizare a instrumentelor de investigare”, iar instrumentele sunt „uneltele materiale” de care se foloseşte cercetătorul în cunoaşterea ştiinţifică a fenomenului cercetat. (apud Dumitriu, C., 2004, p.53)

Într-o cercetare psihopedagogică sunt utilizate mai multe metode pentru a strânge informaţii complementare, limitele unei metode fiind completate de către altă metodă.

În cadrul cercetării am plecat de la obiectivele cadru şi de referinţă ale programei şcolare, pe baza cărora am redactat o listă a obiectivelor operaţionale pe capitole. În funcţie de acestea am fixat itemii în vederea realizării unuia din scopurile de bază ale învăţării eficiente, acela de a asigura tuturor elevilor cel puţin performanţa minimă acceptabilă care, odată atinsă, permite elevului să treacă la activitatea imediat superioară. Am folosit următoarele metode de cercetare psihopedagogică:

1. Metoda observaţiei este utilizată frecvent în şcoală deoarece, atât observaţia spontană (pasivă), cât şi cea ştiinţifică (provocată), oferă acumularea unui material faptic bogat, fiind în măsură să furnizeze date care privesc comportarea elevilor la lecţii, în recreaţii, în cadrul activităţilor extracurriculare şi în familie. Interesul cadrului didactic este de a vedea conduita elevilor în timpul unor teme impuse, modul de lucru, îndemânarea, conştiinciozitatea, perseverenţa, iniţiativa.

Această metodă a furnizat date referitoare la unele particularităţi psihice implicate în activitatea de învăţare şcolară, capacitatea de percepere, spiritul de observaţie, posibilitatea de reactualizare a cunoştinţelor, reprezentărilor, reacţia elevului la întrebările adresate, gradul de concentrare a atenţiei, rapiditatea şi spontaneitatea răspunsurilor, caracteristici ale limbajului, nivelul formării unor deprinderi, prezenţa sau absenţa unor înclinaţii, aptitudini, reacţii faţă de succes sau de

45

eşec. Observaţia s-a derulat în situaţii cât mai variate, datele obţinute fiind consemnate fără a atrage atenţia elevilor şi fiind corelate cu cele furnizate de alte metode.

Am observat la elevi fapte de conduită ce aparţin unui anumit tip de temperament : - coleric – L. E. – precipitată în acţiune, reacţii motorii abundente, devine nervoasă când

greşeşte ; - sangvinic – echilibrat afectiv, egal în manifestări, stăpân pe sine, răbdător, comunicativ, cu

iniţiativă, vesel, optimist, uşor adaptabil în situaţii noi – B. I., C. G., D.L., F.B., L.A., P.P., Z.I. ; - flegmatic - echilibrat afectiv, egal în manifestări, stăpân pe sine, răbdător, calm, greu

adaptabil în situaţii noi, tenace, meticulos, execută activitatea / proba în tăcere, gesturile şi cuvintele sunt aproape absente, nu se manifestă zgomotos la reuşită – A.B., B.D., C.R., M.A., P. E., R.R., T.A. ;

- melancolic – se decide greu pentru acţiune, are gesturi şovăielnice, e vădit emoţionat înainte de probe, tendinţa de supraestimare a sarcinii, dar de subapreciere personală, se pierde în caz de eşec, are nevoie de încurajare pentru a relua lucrul, se închide uneori în sine şi „se blochează” total – A.R., B.P., T.O.

M-am orientat asupra temperamentelor elevilor pentru că pe terenul fiecărui temperament formarea unui sistem de lucru sau trăsături de caracter se produc diferit. În activităţile realizate în grup am observat, spre exemplu, că elevul T.O. devine comunicativ, sociabil, iar aprecierile pozitive din partea învăţătorului au un efect benefic asupra acestuia.

Folosirea metodelor active şi de cooperare în cadrul lecţiilor de matematică şi nu numai, a avut un impact benefic asupra elevilor, în sensul că au contribuit la dezvoltarea abilităţilor de comunicare şi de lucru în echipă.

Am remarcat, de asemenea, consecvenţa cu care elevii R.R., T.A. şi P.P. au lucrat suplimentar exerciţii şi probleme de aritmetică, în vederea participării la concursul naţional « Micul matematician ». Ca urmare a strădaniei acestora, elevii R.R. şi P.P. au obţinut un punctaj maxim de 100 de puncte, aferent premiului I, iar elevul T.A. – 90 de puncte, premiul III.

2. Metoda convorbirii a fost folosită atât pentru obţinerea unor informaţii de la elevi, cât şi

de la tutorii acestora. Astfel, am făcut constatări referitoare la interesele şi aspiraţiile copiilor, la climatul familial, condiţiile materiale, regimul zilnic al elevului, starea sănătăţii, pasiuni. Totodată, am cules date despre motivele pentru care s-au pregătit/nu s-au pregătit pentru lecţii, preferinţele/repulsia faţă de unele activităţi, posibilităţi de pregătire a temelor. La şedinţele cu părinţii, dar şi în cadrul consultaţiilor, am oferit părinţilor elevilor informaţii despre diverse activităţi de învăţare efectuate la clasă, despre obiectivele urmărite la unităţile de învăţare parcurse, despre modalităţi de îndeplinire a acestora. Am insistat să le ofere sprijin copiilor la efectuarea temelor pentru acasă. Am prezentat permanent părinţilor sau tutorilor situaţia la învăţătură a elevilor, reflectată în calificativele obţinute la testele de evaluare sau la examinările orale şi am discutat cu aceştia în privinţa adoptării unor măsuri de sprijin, de recuperare sau, dimpotrivă, de dezvoltare a deprinderilor de muncă intelectuală.

Am purtat discuţii cu mama elevei L.E. în privinţa comportamentului uneori agitat la ore şi în timpul pauzelor şi am aflat că acesta se datora problemelor existente în familie (tatăl violent, locuiesc în aceeaşi casă cu părinţii acestuia, bunicul fetei alcoolic).

Elevul T.A., foarte bun la învăţătură, sociabil, comunicativ a avut în ultima perioadă momente dese de tristeţe, de apatie, acestea datorându-se suferinţei mamei sale, foarte bolnavă, motiv pentru care am purtat discuţii încurajatoare cu familia acestuia.

Confruntând materialul obţinut cu datele furnizate de celelalte metode, convorbirea contribuie la întregirea portretului psihologic al personalităţii elevului, ajută la luarea unor măsuri eficiente de înlăturare sau prevenire a unui eşec, favorizând obţinerea performanţelor şcolare.

46

3. Metoda analizei produselor activităţii mi-a furnizat informaţii despre procesele psihice şi unele trăsături de personalitate ale elevilor prin prisma obiectivării lor în produsele activităţii: desene, lucrări scrise, portofoliu, caiete de teme, creaţii literare, compuneri etc. Aceste produse ale activităţii şcolare ale elevilor poartă amprenta, pe de o parte a cerinţelor speciale ale disciplinelor de învăţământ, iar pe de altă parte , a caracteristicilor lor individuale. Folosirea acestei metode mi-a permis depistarea copiilor cu potenţial creativ remarcabil (B.D., L.A., R.R., Z.I.), a elevilor ce au întocmit un portofoliu exemplar (B.D, D.M.L., R.R., Z.I.).

Din corectarea caietelor de teme la matematică sau chiar a fişelor de lucru, am remarcat nivelul de corectitudine al rezolvării sarcinilor, aspectul estetic, progresul / regresul înregistrat de la o etapă la alta, capacitatea de punere în practică a cunoştinţelor teoretice, capacitatea de reprezentare, bogăţia vocabularului şi precizia lui, nivelul şi calitatea cunoştinţelor şi a deprinderilor.

4. Metoda biografică ne pune la îndemână o serie de date privind evoluţia psihologică a

elevului, în interdependenţă cu influenţa factorilor externi ai dezvoltării. Această metodă „se bazează pe cercetarea vieţii şi activităţii individului în vederea

cunoaşterii istoriei personale necesare în stabilirea profilului personalităţii sale, precum şi pentru explicarea comportamentului actual al persoanei.” (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 87)

Datele au fost furnizate de discuţiile cu părinţii. Mulţi dintre părinţii elevilor care au frecventat regulat grădiniţa, au precizat că aceştia au făcut progrese mai ales în ceea ce priveşte trăsăturile temperamentale, de la un temperament interiorizat, evoluând spre unul echilibrat sau chiar exteriorizat (elevii A.B., B.I., C.R., D.C., C.A., P. E.).

5. Testul sociometric mi-a furnizat date privind relaţiile afectiv – simpatetice dintre membrii

grupului. A fost structurat pe două criterii: asocierea pentru lucru în clasă şi aşezarea în bănci. (apud Hussar, E., Leonte, R., 2005, p. 244) (anexa 1)

Am întocmit matricea sociometrică (sociomatricea) – tabel cu dublă intrare în care membrii

grupului sunt notaţi şi pe verticală şi pe orizontală, cu „+“ preferinţele, cu „-“ respingerile, pentru primul criteriu, asocierea pentru lucrul în clasă.

Iea (indicele de expansiune afectivă) reprezintă numărul alegerilor şi respingerilor emise de

fiecare elev şi reiese din însumarea pe orizontală a numărului alegerilor şi respingerilor emise de fiecare elev.

Isp (indicele de statut preferenţial), pozitiv, negativ sau zero, indicând popularitatea, respingerea, izolarea, este suma, pe verticală, a alegerilor şi respingerilor şi aplicarea formulei:

Isp = 1

N

nRnA , în care: nA = numărul de alegeri; nR = numărul de respingeri; N = numărul

membrilor grupului (fig. nr. 3.1)

Pasul următor a constat în realizarea unei benzi gradate a valorilor preferenţiale principale, corespunzătoare variaţiei mărimii indicilor de statut preferenţial individual. (fig. nr. 3.2) Ea cuprinde 5 valori psihosociale: foarte populari, populari, acceptaţi, indiferenţi, respinşi:

- foarte populari – cu o forţă mare de atracţie în grup; - populari – cu o forţă relativ mare în grup; - acceptaţi – cu o putere medie de atracţie, până la indicele 0; - indiferenţi pentru grup – cu indicele preferenţial o; - respinşi de grup, cu indicele sub 0, cu valori negative (neacceptaţi). (apud Dumitriu, C.,

2004, p. 114, 116)

47

numele şi prenumele

Iea

S Total=21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 A.B. - + - - + + 6 2 A.R. - + - + + - 6 3 B.P. + - + - - + 6 4 B.D. + - + - - + 6 5 B.I. + + - - - + 6 6 C.R. + - - - + + 6 7 C.G. + - + - + - 6 8 C.A. + - + - - + 6 9 D.C. + - - + + - 6 10 D.L. + - - + - + 6 11 F.B. + - - + + - 6 12 G.I. + - + - - + 6 13 L.E. - + + - - + 6 14 L.A. + + - - + - 6 15 M.A. - + + - - + 6 16 P.E. + - - - + + 6 17 P.P. + + - - - + 6 18 R.R. + - + - + - 6 19 T.A. - - - + + + 6 20 T.O. - - - + + + 6 21 Z.I. + + - - - + 6 Alegeri primite

4 4 2 8 7 2 1 3 2 3 7 13 2 1 4

Respingeri primite

1 4 2 1 4 5 1 4 5 16 10 2 1 1 1 4 1

Isp

0.15

0 0 0.35

-0.2

0

0.35

-0.1

5

0 -0.2

0

0.15

-0.2

5

0.10

-0.8

0

-0.5

0

-0.1

0

0.10

0.30

0.65

0.05

-0.1

5

0.15

Fig. nr. 3.1. Matrice sociometrică privind asocierea la învăţătură

48

Tabel 3.2. Banda de variaţie - asocierea la lucrul în clasă

Rezultatele testului sociometric mi-au confirmat unele observaţii cu privire la relaţiile afectiv

– simpatetice dintre elevii clasei. Mă aşteptam ca eleva Roca Roxana să fie preferată de majoritatea elevilor, să fie liderul grupului, având în vedere rezultatele sale foarte bune la învăţătură şi conduita sa ireproşabilă în rândul elevilor, dar şi ca eleva Lecuşanu Emanuela să fie respinsă de majoritatea elevilor clasei datorită rezultatelor slabe ale acesteia la învăţătură, cât mai ales datorită faptelor sale de conduită specifice temperamentului coleric. M-a surprins faptul că elevii Fecioru Bogdan şi Lecuşanu Andrei nu au fost preferaţi de copii; sunt foarte inteligenţi, sclipitori, dar nu întotdeauna consecvenţi în efectuarea temelor pentru acasă, tind să cred că respingerea acestora se datorează faptului că provin din familii nevoiaşe, iar uneori şi-au însuşit pe nedrept obiecte ale colegilor. Am purtat discuţii în acest cu aceştia, cu familiile acestora, iar în cadrul colectivului de elevi am căutat să le dezvolt o imagine de sine pozitivă.

Pentru a reda sub formă grafică ansamblul relaţiilor interpersonale am întocmit sociograma colectivă sub formă de cercuri concentrice care indică zone de concentrare descrescândă a alegerilor. În funcţie de gradul de popularitate, am localizat subiecţii în zonele I, II, III, IV şi V din sociogramă, relaţiile (de alegere sau respingere) fiind marcate prin săgeţi, astfel:

fete băieţi Preferinţe: Respingeri:

reciproce unilaterale reciproce unilaterale

Nr. alegerilor şi

respingerilor

Nr. operatorilor cu acelaşi nr. de

alegeri

Indicele statutului preferenţial

Valoarea psihosocială de tip preferenţial

13 A 1 S18 i = 0,65 Foarte popular 8 A 1 R 7 A 7 A 1 R

1 1 1

S4 i = 0,35 S6 i = 0,35 S17 i = 0,30

Popular Popular Popular

4 A 1 R 3 A 4 A 1 R 2 A 3 A 1 R 2 A 1 R

1 1 1 1 1 1

S1 i = 0,15 S10 i = 0,15 S21 i = 0,15 S12 i = 0,10 S16 i = 0,10 S19 i = 0,05

Acceptat Acceptat Acceptat Acceptat Acceptat Acceptat

4 A 4 R 2 A 2 R 1 A 1 R

1 1 1

S2 i = 0 S3 i = 0 S8 i = 0

Indiferent Indiferent Indiferent

2 R 2 A 5 R 1 A 4 R 4 R 4 R 5 R 10 R 16 R

1 1 1 1 1 1 1 1

S15 i = -0,10 S7 i = -0,15 S20 i = -0,15 S5 i = -0,20 S9 i = -0,20 S11 i = -0,25 S14 i = -0,50 S13 i = -0,80

Respins Respins Respins Respins Respins Respins Respins Respins

49

Fig. nr. 3.3. Sociograma colectivă a grupului Am depistat 12 relaţii de alegere reciprocă ( A.B. şi B.D., A.B. şi R.R., A.B. şi Z.I., A.R. şi

C.R., A.R. şi P.P., B.D. şi R.R., C.R. şi P.P., B.P. şi C.G., C.A. şi R.R., D.L. şi G.I., C.R. şi P. E., P.E. şi P.P.) şi 6 relaţii de respingere reciprocă (A.B. şi L.E., B.D. şi C.G., F.B. şi T.O., D.C. şi L.E., L.A. şi T.A., L.E. şi P.P.), ceea ce mi-a fost de folos în constituirea perechilor sau a grupurilor de lucru.

Pe baza informaţiilor oferite de testul sociometric am putut realiza orientarea pozitivă a relaţiilor dintre membrii unui grup, am putut explica tensiunile latente sau manifestate între ei, am putut converti relaţiile negative în relaţii pozitive cu valenţe educativ-formative. S-a impus conştientizarea fiecărui elev asupra rolului, statutusului şi poziţiei sale în grup în mod realist şi consilierea acestora pentru a diminua conflictele sau atitudinile negative.

6. Testele docimologice oferă informaţii cantitative asupra fenomenului investigat,

reprezentând „un set de probe sau întrebări cu ajutorul căruia se verifică şi se evaluează nivelul asimilării cunoştinţelor şi al capacităţilor de a opera cu ele, prin raportarea răspunsurilor la o scară de apreciere etalon, elaborată în prealabil” (Nicola, I., 1994, p. 335).

S18

S4 S21 S10

S1 S12

S8

S3

S13

S5

S15

S7

S17 S6

S19 S16

S2

S11

S9

S20

S14

50

Aplicate periodic în procesul instructiv – educativ în cadrul orelor de matematică, dar şi la alte obiecte, au ajutat la determinarea nivelului de cunoştinţe, priceperi, deprinderi, dar şi a gradului de dezvoltare a capacităţilor intelectuale. Ele (anexele 2 – 12) au fost concepute în corelaţie cu obiectivele operaţionale stabilite, cuprinzând seturi de itemi prin care am urmărit înregistrarea şi evaluarea performanţelor şcolare, iar rezultatele obţinute au fost interpretate, consemnate, apoi sistematizate în tabele centralizate, grafice, histograme, diagrame areolare, ajutând la interpretarea datelor, în capitolul nr. 4 al acestei lucrări.

7. Experimentul psihopedagogic este apreciat ca „cea mai importantă metodă de cercetare,

deoarece furnizează date precise şi obiective” (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 74). Este o formă particulară a experimentului natural şi poate fi de două feluri: constatativ şi formativ. Spre deosebire de experimentul constatativ ce vizează măsurarea şi consemnarea unei situaţii, experimentul formativ presupune intervenţia în grupul şcolar în vederea determinării anumitor schimbări prin introducerea unor „factori de progres”. (apud Dumitriu, C., 2004, p. 96)

Astfel, în cadrul experimentului psihopedagogic de tip formativ, am verificat influenţa folosirii metodelor active şi de cooperare în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică la clasa a III-a asupra rezultatelor şcolare ale elevilor la această disciplină.

Am parcurs următoarele etape: testarea iniţială a grupului experimental în vederea evaluării cunoştinţelor la matematică,

la începutul anului şcolar 2008 / 2009 – prin examinări orale, test predictiv; introducerea „factorului de progres”, respectiv a noii strategii de predare – învăţare

(învăţarea bazată pe cooperare) în grupul experimental; ca instrumente am folosit fişe de lucru, prezentări în Power Point, teste docimologice la sfârşitul fiecărei unităţi de învăţare;

retestarea (testarea finală) pentru evidenţierea rolului „factorului de progres” în stimularea randamentului şcolar.

Experimentul a furnizat date de ordin cantitativ şi calitativ, cu mai mare grad de precizie; datele au fost concludente, prelucrate şi interpretate cu ajutorul metodelor şi tehnicilor statistico – matematice. În ordonarea şi gruparea datelor am apelat la următoarele tehnici statistico-matematici: tabele centralizatoare de rezultate - analitice (consemnarea rezultatelor individuale ale subiecţilor investigaţi) şi sintetice (gruparea datelor măsurate); forme de reprezentare grafică: histograma, poligonul frecvenţelor şi diagrama areolară; indici pentru determinarea „tendinţei centrale”: media aritmetică, mediana, modul (categoria modală, dominanta)

În cadrul cercetării, metodele utilizate nu au fost aplicate izolat, ci s-au completat unele pe altele, obţinând astfel informaţii corecte, obiective, concrete.

3.3. Modalităţi de utilizare şi aplicare a metodelor în rezolvarea problemelor de aritmetică

În activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică la clasa a III-a, an şcolar 2008 / 2009, am avut în vedere plasarea elevului în centrul acţiunii didactice, înlocuirea momentelor de predare centrate pe învăţător cu cele de învăţare autentică centrate pe elev, comutarea accentului pe selectarea şi aplicarea, în demersul predării – învăţării, a strategiilor didactice incluzive care fac din spaţiul clasei şcolare un mediu securizant şi prietenos nu doar pentru elevii capabili de performanţe superioare, ci şi pentru cei timizi, retraşi, neîncrezători, cu dificultăţi de adaptare la cerinţele învăţării şcolare.

Strategia alternativă promovată este învăţarea bazată pe cooperare - ca activitate ce implică efort cognitiv, volitiv, emoţional - în primul rând pentru valenţele ei activizatoare,

51

motivante pentru obţinerea performanţelor şcolare, în al doilea rând, pentru design-ul atractiv pe care îl conferă orei. Am îmbinat metodele tradiţionale cu metodele active şi de cooperare, activitatea frontală cu cea individuală, pe perechi sau pe grupuri, am folosit mijloace didactice diversificate: ilustraţii, planşe, manualul de matematică, culegeri de matematică, fişe de lucru, soft-uri educaţionale cu exerciţii şi probleme ce au fost rezolvate interactiv folosind operaţii de înmulţire şi împărţire.

Conversaţia a fost folosită în predarea noilor cunoştinţe, în verificarea cunoştinţelor asimilate, în pregătirea lecţiei noi, în sistematizarea lecţiei şi fixarea cunoştinţelor predate, în activitatea de rezolvare a problemelor.

Mecanismul conversaţiei a constat într-o succesiune logică de întrebări cu pondere adecvată între întrebări de tip reproductiv – cognitiv („care este?”, „ce este?”, „cum?” etc.) şi productiv – cognitive („în ce scop?”, „ce s-ar întâmpla dacă?”, „din ce cauză?” etc.). Întrebările au fost precise, în contextul conţinutului, au fost exprimate concis, simplu şi clar : „care este întrebarea?”, „ce se dă?”, „ce trebuie să aflăm?”, „cum aflăm?”, „ce operaţie sugerează expresia de 7 ori mai mult?” etc. Ele au respectat succesiunea logică a sarcinilor de învăţare, au stimulat gândirea copilului, au fost în acord cu capacitatea de explorare a copiilor, nu au sugerat răspunsurile aşteptate.

În analiza sau explicarea metodei de lucru în rezolvarea unei probleme s-au formulat întrebări şi răspunsuri prin intermediul cărora elevii au fost dirijaţi să valorifice experienţa cognitivă de care dispun şi să facă asociaţii care să faciliteze dezvăluirea de aspecte noi. Am acordat importanţă formulării întrebărilor cât şi a răspunsurilor, având în vedere faptul că această metodă are o mare valoare formativă prin tipul de gândire pe care îl antrenează (convergent sau divergent), dar şi prin introducerea şi exersarea limbajului specializat al matematicii, contribuind astfel la dezvoltarea personalităţii elevului.

Observaţia este „o activitate perceptivă, intenţionată, orientată spre un scop, reglată prin cunoştinţe, organizată şi condusă sistematic, conştient şi voluntar”( Săvulescu, D., 2006, p. 49). A fost însoţită de explicaţie, demonstraţie, exerciţiu şi lucrul cu manualul (culegerea de matematică) şi a vizat asigurarea saltului de la observaţia sistematică dirijată la observaţia sistematică realizată independent de elev.

Demonstraţia, „metodă intuitivă care exploatează caracterul activ, concret – senzorial al percepţiei copilului” (Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 38) s-a realizat folosind diverse materiale:

- obiecte concrete (beţişoare, creioane) la rezolvarea unor probleme simple prin operaţie de înmulţire sau împărţire;

- imagini, planşe, reprezentări grafice (demonstraţie figurativă); - desene la tablă; - imagini audio –vizuale; - fişe de lucru. În rezolvarea problemelor simple bazate pe înmulţire şi împărţire am avut în vedere faptul că

sunt activităţi intelectuale noi, motiv pentru care trebuie să asigur o bază perceptivă corespunzătoare pentru înţelegerea, însuşirea şi aplicarea acestor noţiuni / concepte, în contexte variate.

Imaginile din manual, observate de către elevi cu ajutorul învăţătorului, au facilitat transmiterea noilor informaţii, însuşirea conştientă a noului conţinut, au asigurat evoluţia în planul intelectual al elevilor de la intuitiv la logic, de la concret la abstract. Limbajul matematic s-a îmbogăţit continuu şi treptat cu noile noţiuni: „factori”, „produs”, „deîmpărţit”, „împărţitor”, „cât”, „de ... ori mai mare / mic”, „de atâtea ori mai mult / puţin”. Am urmărit permanent dezvoltarea gândirii – condiţionată şi strâns legată de dezvoltarea limbajului, dar şi de dezvoltarea experienţei cognitive directe (senzaţii, percepţii, reprezentări). Înţelegerea sensului operaţiei de înmulţire solicită valorificarea deprinderilor de adunare exersate în cazul particular al adunării cu termeni egali. S-au efectuat probleme simple de tipul:

52

Percepţia elevilor a devenit intenţionată, sistematică şi susţinută prin efort voluntar,

transformându-se în observaţie. Convenţia de scriere 4 × 2 pentru adunarea cu termeni egali pune în evidenţă pe 2 ca termen

care se repetă şi pe 4 ca numărul termenilor egali. Convenţia de notaţie acordă primului număr din înmulţire rolul de a număra „de câte ori se repetă termenul adunării”, în timp ce al doilea număr din înmulţire numeşte „termenul care se repetă în adunare”, semnul înmulţirii indicând „repetarea unui termen prin adunare”. În acest fel, înmulţirea se prezintă ca o modalitate de scriere „prescurtată” a adunării cu termeni egali şi al identificării unui procedeu de numărare prin grupare, urmată de utilizarea unei convenţii de scriere. Asemănător s-a procedat şi în cazul următoarelor două probleme:

Demersul didactic a urmărit formarea deprinderilor de verbalizare în limbaj matematic specifice operaţiei de înmulţire cu folosirea repetată a unor exprimări de tipul „de .... ori câte ...” sau „... repetat de ... ori”, pentru a exprima verbal scrierea sub formă de înmulţire a unei adunări cu termeni egali.

Problemele simple bazate pe înmulţire au constat în: - repetarea de un număr de ori a unui număr dat ; - aflarea produsului ; - aflarea unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat. Semnificative în acest sens au fost şi problemele din fişele de lucru efectuate de către elevi în

clasă, individual sau în perechi:

53

Câte ouă sunt în cele 7 cuiburi?

____ + ____ + ____ + ____ + ____ + ____ + ____ = ____ ____ x ____ = _____ R: _______ ouă

Elevii au completat astfel: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 7 x 5 = 35 R: 35 ouă

Câte flori sunt în cele 5 vaze? Calculează prin adunare repetată, apoi prin înmulţire.

___ + ___ + ___ + ___ + ___ = ___ ___ x ___ = ____ R: _____ flori

Elevii au completat astfel: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 3 x 5 = 15 R: 15 flori Câţi porumbei sunt pe creangă?

_____ + _____ + _____ + _____ + _____ + _____ = ______ De __ ori câte __:

______ x ______ = ______ R: _______ porumbei Elevii au completat astfel: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 De 6 ori câte 2 :

6 x 2 = 35 R: 12 porumbei

Având în vedere caracterul concret al gândirii elevului la această vârstă, problemele simple ce se rezolvau print-o singură operaţie de înmulţire sau de împărţire au fost însoţite şi de imagini corespunzătoare conţinutului acestora, creând în acest fel posibilitatea de a vizualiza concret întreg demersul de rezolvare a problemei, operaţiile efectuate structurându-se, interiorizându-se, devenind progresiv operaţii logice, abstracte.

Am urmărit, de asemenea, formarea deprinderilor de calcul utilizând operaţia de înmulţire

şi tabla înmulţirii prin învăţare conştientă, cu utilizarea unor procedee variate. Unul dintre acestea este folosind materiale realizate în PowerPoint şi proiectate cu ajutorul laptop-ului şi al videoproiectorului :

- „Învăţăm înmulţirea cu 2 împreună cu Bambi”;

54

- „Învăţăm înmulţirea cu 3 împreună cu Donald şi familia lui”; - „Învăţăm înmulţirea cu 4 împreună cu Cenuşăreasa”; - „Învăţăm înmulţirea cu 5 împreună cu Pinocchio”; - „Învăţăm înmulţirea cu 6 împreună cu Mickey şi Minnie Mouse”; - „Învăţăm înmulţirea cu 7, 8 şi 9 împreună cu Albă ca Zăpada şi cei 7 pitici”; - „Învăţăm înmulţirea cu 0, 1 şi 10 împreună cu cei 101 dalmaţieni”. Prin această formă atractivă de prezentare a conţinutului învăţării, am intenţionat să cultiv

motivaţia intrinsecă, interesul pentru cunoaştere, pentru frumos, să stimulez participarea activă a tuturor elevilor clasei, mai ales a celor timizi, neîncrezători în forţele proprii.

Materialele prezentate au trezit interesul elevilor (chiar şi a celor mai timizi sau a celor cu rezultate mai slabe la învăţătură, cum ar fi T.O., L.E., A.R., M.A., C.CA) , le-au declanşat curiozitatea, dorinţa de a se afirma, de a participa activ la rezolvarea sarcinilor, au contribuit la dezvoltarea spiritului de iniţiativă şi de competiţie. Exerciţiile şi problemele rezolvate au mobilizat toţi elevii clasei, au format atitudini pozitive în rândul acestora.

Înţelegerea sensului operaţiei de împărţire s-a bazat pe semnificaţia matematică a unor

situaţii practice care se transcriu matematic printr-o scădere repetată. S-au efectuat probleme simple folosind, pentru început, scăderea repetată, de tipul:

Am insistat pe modalitatea de verbalizare „3 se cuprinde în 15 de 5 ori”. Am explicat elevilor că în împărţirea „15 : 3” 15 semnifică „numărul din care se scade treptat”, iar 3 numeşte „numărul care se scade repetat din 15”, iar semnul grafic al împărţirii indică scăderea repetată. Am pus accentul în predare pe folosirea unor exprimări de tipul „n este micşorat de m ori” sau „n se cuprinde de m ori”, pentru a exprima scrierea sub formă de împărţire a unei scăderi repetate. Problemele - acţiuni desfăşurate cu elevii au fost, la început, obiectuale şi au avut ca scop aflarea numărului care indică „de câte ori se cuprinde” împărţitorul în deîmpărţit.

În fişa de lucru „Împărţirea prin scădere repetată” elevii au lucrat probleme de tipul: Sunt 12 ghinde. Fiecare veveriţă primeşte câte ____ ghinde. Pentru câte veveriţe ajung ghindele?

55

12 - ____ - ____ - ____ - ____ = ____

12 : ____ = ____ R: ____ veveriţe

Elevii au atribuit, prin încercuire, câte 3 ghinde pentru fiecare veveriţă, conform modelului, au scris numărul 3 ca număr ce se scade repetat din 12 (12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 4) , 3 ca împărţitor în împărţirea „12 : 3 = 4” şi au constatat că cifra 4, rezultatul împărţirii, reprezintă numărul de veveriţe pentru care ajung ghindele, întrucât 3 se cuprinde în 12 de 4 ori.

Împărţirea semnifică o scădere repetată, dar raţionamentele ce decurg din situaţii practice care solicită împărţire se structurează diferit sub forma procedeului de împărţire în părţi egale şi împărţire prin cuprindere. Ambele tipuri de raţionament se reduc la scădere repetată şi se transcriu simbolic sub forma unor împărţiri, dar acţiunile care le generează sunt diferite.

Împărţirea în părţi egale este „o formă de raţionament specifică unor situaţii matematice care solicită separarea unei mulţimi în submulţimi disjuncte, ştiind numărul de elemente ale mulţimii date şi numărul de submulţimi care se formează” (Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 119):

Traseul metodic care rezultă din acţiune a cuprins următorii paşi: - s-a stabilit numărul de obiecte ce trebuie împărţite în mod egal; - s-a repartizat câte un obiect în fiecare grupă până nu a mai rămas niciunul; - s-a stabilit prin numărare numărul de obiecte repartizat în fiecare grupă; - s-a scris sub formă de împărţire: deîmpărţitul semnifică numărul de obiecte ce trebuie

împărţite în mod egal, împărţitorul reprezintă numărul de subgrupe formate, iar câtul dă numărul de obiecte din fiecare grupă;

- s-a analizat modul în care a fost efectuată împărţirea, cum s-a aflat câtul şi semnificaţia fiecăruia dintre termenii împărţirii 12 : 4 = 3.

Pe fişele de lucru în clasă, în lecţiile de predare a noilor cunoştinţe, elevii au efectuat, conform traseului metodic, probleme asemănătoare cum ar fi:

Repartizează mărgelele, în mod egal, pe cele 7 şiraguri. Câte mărgele va avea fiecare şirag?

____ : ___= ___

R:___mărgele

Rezolvare: 42 : 7 = 6 (mărgele) Pune la fiecare rochiţă acelaşi număr de nasturi.

Câţi nasturi va avea fiecare rochiţă?

56

____ : ___ = ___ R: ____ nasturi

Rezolvare: 36 : 6 = 7 (nasturi)

Veveriţa împarte 15 nuci aflate în săculeţ celor 3 pui. Câte nuci primeşte fiecare pui?

____ : ___ = ____

R:____ nuci

Rezolvare: 15 : 3 = 5 (nuci)

Împărţirea prin cuprindere este „o formă de raţionament specifică unor situaţii matematice

care solicită separarea unei mulţimi în submulţimi disjuncte ştiind numărul de elemente ale mulţimii date şi numărul de elemente din fiecare submulţime”(Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 119). În această situaţie, traseul metodic a cuprins următorii paşi:

- s-a stabilit numărul n de obiecte care se scad repetat; - s-au scăzut câte n obiecte până nu a mai rămas niciun obiect nerepartizat; - s-a stabilit prin numărare numărul de grupe în care sunt câte n obiecte; - s-a scris sub formă de împărţire: deîmpărţitul semnifică numărul dat de obiecte,

împărţitorul numărul de obiecte din fiecare grupă, iar câtul reprezintă numărul de subgrupe ce poate fi obţinut prin scădere repetată;

- s-a analizat modul în care a fost efectuată împărţirea şi cum s-a aflat câtul. Pe fişele de lucru în clasă, în lecţiile de predare a noilor cunoştinţe, elevii au rezolvat,

conform traseului metodic specific împărţirii prin cuprindere, astfel de probleme, cum ar fi: Fiecare albină trebuie să culeagă nectarul de pe 9 flori. Pentru câte albinuţe ajung

florile?

45 floricele

_____ : ____ = ____ R: _____ albinuţe

Elevii au repartizat câte 9 flori fiecărei albine şi au constatat că 2 albine rămân fără flori. Au scris împărţirea 45 : 9 = 5, în care 5 reprezintă numărul de 5 subgrupe de flori formate, corespunzătoar pentru 5 albinuţe din cele 7.

Sunt 16 cireşe. Fiecare copil primeşte 4 cireşe. Câţi copii primesc cireşe?

57

____ : ____ = ____ R:____ copii

Scrierea exerciţiului problemei, 16 : 4 = 4 (copii), a fost realizată de către toţi elevii clasei.

În pungă sunt 72 nuci. Colorează atâtea farfurii câte sunt necesare pentru a pune câte 8

nuci pe fiecare.

_____ : ____ = ____ R: _____ farfurii

Elevii au desenat câte 8 nuci pe farfurie, au constatat că o farfurie rămâne goală şi au scris operaţia corespunzătoare demersului aplicat: 72 : 8 = 9 (farfurii).

Tabla împărţirii s-a fundamentat pe legătura cu înmulţirea, reversibilitatea fiind caracteristica principală a operaţiei logice, iar stabilirea rezultatului a rezultat din aplicarea tablei înmulţirii (6: 2 = 3 pentru că 2 × 3 = 6).

Pentru cunoaşterea, fixarea şi aplicarea tablelor înmulţirii şi împărţirii am efectuat un număr mare de exerciţii şi probleme, a căror rezolvare se face aplicând aceste table în diferite situaţii. În acest fel, elevii au reuşit să recunoască situaţiile matematice şi practice în care se impune efectuarea înmulţirilor şi împărţirilor. Elevii au fost conduşi în felul acesta să facă trecerea de la gândirea concretă la cea abstractă.

Unitatea de învăţare „Rezolvare de probleme”, parcursă în perioada 9.03 – 20.03.2009, a

inclus şi conţinuturi şi obiective de referinţă care vizează formarea unor deprinderi de organizare a datelor în tabele şi diagrame. Aceste competenţe sunt necesare pentru a apropia şi pregăti elevul de realitatea practică, pentru a da aplicabilitate cunoştinţelor, pentru a-l deprinde să înţeleagă şi să interpreteze corect diversele informaţii cu care se confruntă şi care îi sunt prezentate sub forme variate.

Prezentarea datelor problemelor sub formă de tabel a înlesnit procesul rezolutiv al acestora, întrucât a asigurat suportul intuitiv. A fost solicitată observaţia, atenţia voluntară, limbajul (prin folosirea expresiilor „cu ... mai mare / mic”), voinţa şi mai ales gândirea elevilor.

La prima problemă prezentată în anexa 14 au efectuat operaţii de analiză (identificând numărul fiecărui tip de floare la care se referă întrebarea: 234 de lalele, 228 de trandafiri, 126 de garoafe şi 36 de crini) şi sinteză (aflând totalul lalelelor şi garoafelor, cerut la ultima întrebare, prin operaţia de adunare 234 + 126 = 360).

Prin aflarea diferenţelor dintre numărul de flori s-a solicitat gândirea comparativă, dar şi capacitatea de a aplica algoritmul de calcul al scăderii cu trecere peste ordin:

a) 234 – 228 = 6; 234 – 126 =8; b) 228 – 36 =192; 126 – 36 = 90 Răspuns: a) cu 6 lalele mai multe decât trandafiri; cu 8 lalele mai multe decât garoafe; b) numărul crinilor este cu 192 mai mic decât al trandafirilor şi cu 90 mai mic dacât al garoafelor;

58

c) 360 lalele şi garoafe. Acest algoritm a fost aplicat cu greutate de către elevii T.O., L.E., M.A., C.A., cărora li s-a asigurat sprijin fie de învăţătorul clasei, fie de elevii R.R., P.P., T.A., L.A. care efectuaseră foarte rapid calculele.

Sarcini asemănătoare a avut şi cea de-a doua problemă. Conform cerinţelor, elevii au calculat următoarele:

a) numărul total al fetelor: 22 + 18 + 14 +12 + 10 = 76; numărul total al băieţilor: 20 + 22 + 24 + 18 + 16 = 100;

b) numărul copiilor veniţi din fiecare ţară: 22 + 20 = 42 (copii din România) 18 + 22 = 40 (copii din Franţa) 14 + 24 = 38 (copii din Italia) 12 + 18 = 30 (copii din Germania) 10 + 16 = 26 (copii din Spania)

c) numărul total de copii veniţi în tabără - fie însumând numărul total al fetelor cu numărul total al băieţilor (76 + 100 = 176), fie aflând totalul numărului de copii din fiecare ţară (42 + 40 + 28 + 30 + 26 = 176); elevii R.R., P.P., L.A., F.B., T.A., D.C.şi Z.I. au observat ambele moduri de rezolvare a sarcinii, dovedind faptul că dispun de o gândire divergentă; d) cu cât este mai mare numărul copiilor din România decât celor din Germania: 42 – 30 = 12, solicitând analiza şi comparaţia ca operaţii fundamentale ale gândirii; Folosind datele din tabel, elevii au formulat şi alte întrebări, dovedind gândire productivă (după finalitate), gândire divergentă (după sensul de evoluţe al gândirii, de la unitate la diversitate):

- Cu cât este mai mare numărul băieţilor din Italia faţă de numărul băieţilor din Franţa? - Cu cât este mai mare numărul copiilor din România faţă de numărul celor din Spania? - Cu cât este mai mic numărul fetelor din Germania decât numărul celor din România? etc. A treia problemă din aceeaşi anexă reprezintă datele cu ajutorul unui tabel, dar şi cu a două

diagrame. Au observat datele, le-au comparat şi au răspuns la întrebările problemei: - cine a împrumutat mai multe cărţi cu aventuri? (răspuns: băieţii) - cine a împrumutat mai puţine cărţi cu poezii? (răspuns: băieţii) - care sunt cărţile cele mai citite? (răspuns: albumele) Au formulat şi alte întrebări, folosind aceste diagrame: - câţi băieţi au împrumutat cărţi de la biblioteca şcolii? Dar fete? - cu câte albume s-au citit mai mult decât poveşti? - cu câte poezii s-au citit mai puţine decât romane? - cu câte reviste au citit mai mult băieţii decât fetele? - cu câte cărţi cu aventuri faţă de romane au citit mai puţin băieţii? etc. După citirea, interpretarea şi prelucrarea datelor din aceste diagrame, elevii au putut cu

uşurinţă să realizeze ei înşişi diagrame după tabelul de mai jos în care sunt prezentate sporturile preferate ale copiilor dintr-o clasă, comparând datele, evidenţiind asemănări şi deosebiri:

59

02468

10121416

volei

fotba

l

atleti

sm

gimna

stică şa

h

Felul sporturilor

Nr.

fete

lor

02468

10121416

volei

fotba

l

atleti

sm

gimna

stică şa

h

Felul sporturilor

Nr. b

ăieţ

ilor

Redactând soluţiile problemelor sub formă tabelară sau utilizând diagramele, elevii au

învăţat să economisească timp şi energie, să extragă esenţialul (dovedind gândire convergentă), să prezinte cu mai multă uşurinţă şi claritate demersul parcurs în rezolvarea acestora (dovedind consecvenţă în gândire), să sesizeze şi să sublinieze relaţiile existente între date, să le interpreteze (dovedind gândire critică).

Tabelele şi diagramele „dezvoltă capacitatea de sinteză şi de conceptualizare şi încurajează comutarea abstract – concret, prin transformarea cifrelor în simboluri vizuale uşor de asimilat şi prin încurajarea gândirii comparative” (Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 162).

Problematizarea reprezintă “una dintre cele mai apreciate metode active, cu valenţe

euristice, formative recunoscute în practica educaţională”, fiind denumită de R. M. Gagné “predare prin rezolvare de probleme” sau “rezolvarea productivă de probleme” (apud Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 313).

“Constă dintr-o suită de procedee prin care se urmăreşte crearea unor situaţii – problemă care antrenează şi oferă elevilor posibilitatea să surprindă diferite relaţii între obiectele şi fenomenele realităţii, între cunoştinţele anterioare şi noile cunoştinţe prin soluţiile pe care ei înşişi, sub îndrumarea profesorului, le elaborează.” (Nicola, I., 1994, p. 313)

Problematizarea se bazează pe crearea unor “stări conflictuale, contradictorii”, ce pot să rezulte din trăirea simultană a două realităţi de cunoaştere diferite: “experienţa anterioară” de care dispune elevul (informaţii, deprinderi) şi “elementul de noutate şi surpriză, de necunoscut” (impus de o nouă sarcină) în faţa căreia datele vechi se dovedesc a fi cu totul insuficiente pentru a se ajunge la explicaţia sau rezolvarea dorită. (apud Cerghit, I., Radu, I.T., Popescu, E., Vlăsceanu, L, 1991, p. 72)

În problematizare, cel mai important lucru este crearea situaţiilor problematice şi mai puţin punerea unor întrebări, care ar putea foarte bine să şi lipsească. Metoda presupune mai multe momente: un moment declanşator, unul tensional şi unul rezolutiv, iar recurgerea la această metodă implică existenţa, la elev, a unui fond aperceptiv suficient, dozarea dificultăţilor în funcţie de o anumită gradaţie, alegerea celui mai potrivit moment de plasare a problemei în lecţie, manifestarea unui interes real pentru rezolvarea problemei. (apud Cucoş, Constantin, 2000, p. 92)

Am rezolvat probleme cu ajutorul problematizării , urmărind în unele cazuri chiar crearea de alte probleme, pornindu-se de la problema – sursă. Spre exemplu, am solicitat elevilor să completeze întrebările problemelor exemplificate mai jos:

Mama are 10 mere şi le împarte în mod egal celor 2 copii.

Mama are 10 mere şi le împarte câte două copiilor ei.

Câte mere primeşte fiecare copil? Câţi copii vor primi câte 2 mere?

60

Au observat că acţiunea care s-a efectuat este diferită ca semnificaţie. Deşi formal este scrisă aceeaşi împărţire (10 : 2 = 5), semnificaţia deîmpărţitului, a împărţitorului şi a câtului este diferită.

Antrenarea elevilor în rezolvarea unei game cât mai largi de probleme simple bazate pe cele 4 operaţii a contribuit la înarmarea acestora cu strategii rezolutive flexibile, cu evidente deschideri spre zona creativităţii, stimulând gândirea euristică, productiv-creatoare.

Astfel, operaţia de scădere, spre exemplu, se poate scrie simbolic sub forma clasică a - b = ?, dar am propus şi rezolvat şi alte variante care, transpuse sub forma unor probleme simple, ilustrate de schemele: ? = a – b, a - ? = b, b = a - ?, b + ? = a, a = b + ?, ? + b = a, a = ? + b:

Varianta de bază La o librărie s-au adus 416 creioane. S-au vândut 198 dintre creioane. Câte creioane au rămas nevândute?

Variante explorativ – investigative 1. Câte creioane sunt acum în librărie, dacă din cele 416 care au fost aduse s-au vândut 198? 2. La o librărie s-au adus 416 creioane. Câte creioane au mai rămas, dacă s-au vândut 198 din ele? 3. La o librărie s-au vândut 198 creioane din cele 416 aduse. Câte creioane au mai rămas? 4. La o librărie s-au s-au vândut 198 de creioane. Câte creioane au mai rămas nevândute, ştiind că au fost aduse în total 416 creioane? 5. La o librărie au fost aduse 416 creioane, din care 198 s-au vândut. Câte creioane au rămas nevândute? 6. Câte creioane mai sunt în librărie, dacă acestea, împreună cu cele 198 pierdute, au fost 416? 7. La o librărie s-au adus 416 de creioane. Câte au mai rămas, după ce s-au vândut din ele 198?

La operaţia de înmulţire, alături de tipul clasic a × b = ?, elevii R.R., P.P., T.A., L.A., F.B. au

formulat încă trei tipuri de probleme simple, după schemele: ? = a × b, ? : a = b, b = ? : a, dovedind flexibilitate, profunzime, fluiditate şi chiar originalitate în gândire.

Varianta de bază Corina are două mingi, iar păpuşi de 3 ori mai multe. Câte păpuşi are Corina?

Variante explorativ – investigative 1. Câte păpuşi are Corina, dacă are 2 mingi,

iar păpuşi de 3 ori mai multe? 2. Câte păpuşi are Corina, dacă are de 3 ori

mai puţine mingi, iar mingi are 2? 3. Corina are 2 mingi şi de 3 ori mai puţine

păpuşi. Câte păpuşi are Corina? În cadrul unităţii de învăţare „Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0 –

1000”, parcursă în perioada 6.10. - 24.10.2008, am abordat o gamă variată de exerciţii şi probleme a căror rezolvare am efectuat-o parcurgând etapele problematizării , solicitând în permanenţă soluţii de la elevi, dinamizând astfel şi mai mult orele de matematică.

Exemplu: „Dintr-o livadă s-au cules în total 800 kg de fructe, din care 220 kg de cireşe, 250 kg de

vişine, 180 kg de mere, iar restul perei. Câte kg de pere s-au cules?” Pentru început am propus elevilor o rezolvare sintetică a problemei, ceea ce înseamnă că am

plecat de la datele iniţiale către întrebarea finală a problemei. Elevii s-au gândit să calculeze cantitatea totală de cireşe, vişine şi caise, sumă pe care să o

scadă din cantitatea totală de fructe.

61

a) 220 kg + 250 kg + 180 kg = 650 kg (cireşe, vişine şi mere) b) 800 kg – 650 kg = 150 kg (pere)

Schematic, această rezolvare a fost redată sub următoarea formă: Rezolvarea analitică, deşi mai dificilă, având în vedere că se porneşte de la întrebarea

finală, a creat o stare conflictuală în gândirea elevilor, între metoda clasică cu care s-au obişnuit şi care este mai uşor de aplicat şi această cale, mai abstractă, care îi determină pe elevi să analizeze problema în ansamblul ei şi să studieze toate informaţiile date care îi pot ajuta în rezolvarea finală.

Cu ajutorul învăţătorului, elevii au propus să se afle, pe rând, câte kg de fructe rămân de fiecare dată după ce este eliminată cantitatea de cireşe, vişine, respectiv mere.

Exerciţiul problemei a fost redat astfel: 800 kg – 220 kg – 250 kg – 180 kg = 150 kg După aceste două metode de rezolvare am solicitat elevii să conceapă alte întrebări care să

pună în alte realţii datele problemei. 3 elevi (P.P., T.A., F.B.) au sugerat următoarele întrebări, precum şi rezolvările aferente: 1) Câte kg de cireşe şi mere s-au cules în total? 220 kg + 180 kg = 400 kg 2) Cu câte kg de vişine s-au cules mai mult dacât kg de mere? 250 kg – 180 kg = 70 kg 3) Cu câte kg de cireşe s-au cules mai puţin decât kg de vişine? 250 kg – 220 kg = 30 kg Pornind de la această problemă, împreună cu elevii am conceput alte variante, modificând

parţial datele iniţiale. „Ştiind că dintr-o livadă s-au cules 220 kg de cireşe, 250 kg de vişine, 180 kg de mere şi 150

kg de pere, să se afle cantitatea totală de fructe.” (eleva R.R.) Problema se poate rezolva printr-o operaţie de adunare cu mai mulţi termeni:

220 kg + 250 kg + 180 kg + 150 kg = 800 kg „ Din 800 kg de fructe culese dintr-o livadă, 470 kg au fost cireşe şi vişine, 650 kg au fost

cireşe, vişine, şi mere, iar 580 kg au fost vişine, mere şi pere. Câte kg de fructe de fiecare fel s-au cules din livadă?” (elevii P.P. şi L.A.) Analizând datele acestei probleme se poate observa că a fost mult modificată problema –

sursă, grupându-se câte două, respectiv câte trei, cele 4 categorii de fructe despre care se vorbeşte în problemă.

Elementul de noutate care provoacă stare de confuzie, situaţia – problemă, constă tocmai în această nouă perspectivă prin care este prezentată vechea problemă.

Elevii au observat că de această dată sunt puşi în situaţia de a descoperi cantitatea de fructe de fiecare fel, raportându-se de fiecare dată la cantitatea totală de 800 kg de fructe.

800 kg fructe în total

cireşe 220 kg

vişine 250 kg

mere 180 kg

? kg de cireşe, vişine şi mere s-au cules în total

? kg de pere s-au cules

62

Simbolic, datele problemei au fost redate astfel: cantitatea de cireşe = C C + V + M + P = 800 kg cantitatea de vişine = V C + V = 470 kg cantitatea de mere = M C + V + M = 650 kg cantitatea de pere = P V + M + P = 580 kg

C = ? V = ? M = ? P = ? După cum se poate observa, din fiecare relaţie lipseşte o anumită cantitate de fructe, dar

cantitatea de vişine este comună. În această situaţie, s-a rezolvat problema astfel: a) 650 kg – 470 kg = 180 kg (M) a) 800 kg – 470 kg = 330 kg (M + P) b) 800 kg – 650 kg = 150 kg (P) b) 580 kg – 330 kg = 250 kg (V) c) 800 kg – 580 kg = 220 kg (C) c) 470 kg – 250 kg = 220 kg (C) d) 470 kg – 220 kg = 250 kg (V) d) 650 kg – 470 kg = 180 kg (M)

e) 330 kg – 180 kg = 150 kg (P)

Această variantă a avut rolul de a-i familiariza pe elevi cu un nou tip de problemă – gruparea celor patru elemente, câte două, respectiv câte trei – a cărei rezolvare se desfăşoară în etape bine determinate, fapt ce duce şi la formarea unui algoritm de rezolvare a oricărei probleme de acest tip, a cărei generalitate poate fi redată astfel: a + b + c = x a + c = y b + c = z, unde x, y, z sunt numere naturale bine determinate a, b, c = ?

Antrenând toate componentele personalităţii – intelectuale, afective, volitive – problematizarea a contribuit la stimularea interesului, curiozităţii, spiritului de explorare al elevilor. Astfel, printr-un efort susţinut, elevii vor ajunge să-şi formeze treptat un stil individual de muncă, independenţă în gândire, autonomie, curaj în argumentare precum şi în susţinerea unor opinii personale.

Aplicarea metodei presupune însă o serie de condiţii care nu pot fi ignorate: toţi elevii să fie obişnuiţi a fi activi la lecţiile de matematică; elevii să fie obişnuiţi a lucra individual în timpul orei sau în colaborare în grupe mici; să fi fost folosită metoda descoperirii de mai multe ori; majoritatea elevilor să fie buni rezolvatori de probleme, să manifeste şi să fie lăsaţi să-şi

manifeste creativitatea; să existe în colectivul de elevi un spirit de întrecere şi cei talentaţi să fie apreciaţi

corespunzător de elevi; să fie obişnuiţi a gândi calificativul ca recompensă pe plan secund, satisfacţia principală

fiind înţelegerea, descoperirea, creaţia. Prin folosirea frecventă a problematizării, ca metodă de învăţare, se constată o perfecţionare

a procedurilor de descoperire inductivă folosite de elevi încă din clasa I (căutare, încercare – eroare, selecţie). Primele lor încercări nesigure sunt înlocuite treptat cu un plan de acţiune: stabileşte mental unele relaţii, elimină etape şi valorifică calitativ experienţa căpătată în alte situaţii de învăţare.

„Valoarea formativă a acestei metode este indiscutabilă: se consolidează structuri cognitive, se stimulează spiritul de explorare, se formează un stil activ de muncă, se cultivă autonomia şi curajul în afişarea unor poziţii proprii.” (Cucoş, C., 2000, p. 92)

Algoritmizarea, metodă bazată pe utilizarea şi valorificarea algoritmilor în învăţare, a fost

folosită atât ca metodă de sine stătătoare, cât şi ca procedeu în cadrul altor metode, fiind eficientă

63

datorită faptului că oferă elevului un instrument de lucru operativ, economicos, iar prin folosirea repetată a algoritmilor, elevul reuşeşte să-şi „disciplineze” propria gândire.

„Algoritmizarea angajează un lanţ de exerciţii, operaţii dirijate, executate într-o anumită ordine, aproximativ constantă, integrate la nivelul unei scheme de acţiune didactică standardizată, ajungându-se în acest fel la o înlănţuire logică de conţinuturi, în vederea îndeplinirii sarcinilor de instruire.” (Săvulescu, D., 2006, p. 54)

În rezolvarea problemelor de aritmetică, algoritmii se prezintă sub diverse forme: reguli de calcul (operaţii matematice), exerciţiul de rezolvare al unei probleme, schema de rezolvare a unei probleme. În momentul descoperirii algoritmului de rezolvare pentru un tip de problemă, rezolvarea mai multor probleme de acelaşi tip contribuie la formarea deprinderilor de rezolvare. Antrenamentul parcurs de elevi a conţinut sarcini care au solicitat elevilor să modifice formularea problemei, să introducă date suplimentare în problemele de tipul rezolvat, să modifice datele, să adauge întrebări suplimentare.

Astfel, în faza de început a învăţării s-a recurs la scheme operaţionale fixe, la algoritmi. Prin repetare şi conştientizare au fost însă identificate şi alte soluţii algoritmice (alternative sau cu totul noi, mai suple, rafinate, decât cele prescrise iniţial), ajungându-se la o nouă fază de învăţare, cea euristică, de descoperire de noi variante, soluţii, noi scheme de procedură. Odată verificate şi completate, „procedeele euristice se transformă în algoritmi, iar la nivelul ei elementar euristica rezidă în alegerea algoritmului potrivit pentru efectuarea unei sarcini noi pentru elevi” (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C, 2004, p. 318)

Exemple de probleme ce au fost efectuate de elevi cu ajutorul acestei metode:

Problema a fost rezolvată prin exerciţiul 50 – (10 × 2 + 8 × 2 + 6) = 50 – (20 + 16 + 6) = 50 – 42 = 8. Au reuşit să scrie direct acest exerciţiu doar 6 elevi din clasă (T.A., P.P., R.R., L.A., F.B.,

D.C), 11 copii au efectuat mai întâi calculele aferente, iar pe baza acestora au scris exerciţiul problemei, dovedind că au citit cu atenţie conţinutul problemei, l-au confruntat cu desenul alăturat şi s-au mobilizat în aplicarea algoritmului de calcul.

În urma analizării cu atenţie a conţinutului problemei, 17 copii din 21 au scris corect

exerciţiul problemei: 3 × 9 + 2 × 10 = 47, un aspect îmbucurător care mi-a evidenţiat că elevii dispun de o gândire convergentă şi reproductivă. Cei 4 copii (L.E., M.A., C.A., A.R.) care nu au scris corect acest exerciţiu au scris operaţia 9 + 10 = 19 sau 3 + 9 + 2 + 10 = 24, dovedind în acest fel fie că nu au acordat atenţia cuvenită conţinutului problemei, fie nu au sesizat înţelesul expresiei „câte..” ce sugera operaţia de înmulţire.

64

Elevii au fost obişnuiţi ca, de cele mai multe ori, după ce rezolvă o problemă să o transpună în exerciţiu (formulă numerică sau literală). Datele numerice şi relaţiile dintre ele fiind stabilite, efortul gândirii se concentreză la transpunerea formulei numerice sub formă de problemă concretă. Posibilităţile sunt limitate, acceantul punându-se pe rigoarea ştiinţifică a transformării.

Mai mult a fost solicitată gândirea elevilor când li s-a cerut să alcătuiască o problemă după: un desen dat:

Am dirijat atenţia elevilor către desenul dat şi au observat că în problemă este vorba despre

mere şi farfurii. Este cunoscut numărul total al merelor şi faptul că se aşază câte două mere pe o singură farfurie. Aceste observaţii au fost de un real folos elevilor, întrucât au facilitat foarte mult compunerea textului problemei astfel: „Pe o farfurie sunt 12 mere. Se pun câte 2 mere pe câte o farfurie. Câte farfurii sunt necesare?” sau „Maria are 12 mere. Ea pune câte 2 mere pe câte o farfurie. De câte farfurii are nevoie?”.

Şi în acest caz s-a procedat asemănător, iar elevii au compus cu uşurinţă problemele simple:

„Într-un telescaun se pot aşeza 3 copii. Câţi copii se pot aşeza pe două telescaune de acelaşi fel?” şi „Pe un derdeluş sunt 8 copii aşezaţi pe săniuţe. Câte săniuţe s-au ocupat dacă s-au aşezat câte 2 copii pe o săniuţă?”.

Observaţia dirijată de mine, întrebările ajutătoare adresate elevilor, dar şi desenele corespunzătoare problemelor au contribuit într-o foarte mare măsură la compunerea problemelor de către aproape toţi elevii clasei, stimulându-le în acest fel imaginaţia creatoare, creativitatea, gândirea productiv – creatoare. un exerciţiu dat:

„Într-o grădină sunt 8 rânduri a câte 7 lalele şi 3 rânduri a câte 4 zambile. Cu câte lalele sunt mai multe decât zambile?” (elevul P.P.) „Aflaţi diferenţa dintre produsul numerelor 8 şi 7 şi produsul numerelor 3 şi 4.” (eleva R.R.)

„Mihai a cumpărat 5 kg de struguri a 7 lei kg şi 8 kg de mere a 4 lei kg. Ce rest a primit de la 94 de lei?” (elevul L.A.) „Andrei are 94 de nuci. El dă la 5 fete câte 7 nuci, iar la 8 băieţi câte 4 nuci. Cu câte nuci mai rămâne Andrei?” (elevul T.A.)

65

„Mama are 14 creioane şi 12 carioci. Ea le împarte în mod egal celor 2 copii ai săi. Câte creioane şi carioci primeşte fiecare copil?” (elevul F.B.) „Aflaţi jumătatea sumei numerelor 14 şi 12.” (eleva Z.I.)

Faptul că la dispoziţia elevilor a fost doar exerciţiul problemei, fără desene aferente, a constituit o dificultate pentru unii elevi (C.R., B.D., D.L., P.E., G.I., B.P.) care reuşiseră înainte să compună probleme după desene date, ceea ce mi-a întărit convingerea că gândirea elevilor la această vârstă încă mai este concretă, iar saltul de la senzorial la logic, de la concret la abstract se realizează diferit, în funcţie de particularităţile psihice individuale ale fiecărui copil.

după o formulă literală:

a = 295 a + b + c = 903 a + b + c = 810 b = a + 46 a = 25 b = 303 c = (a + b) + 103 b = a + 16 c = b - 15

a + b + c = ? c = ? a = ?

a = 7 a = 3 a = b × 5 b = a × 5 b = a × 6 b = 8 c = a + b c = a × b c = a – b a + b + c = ? a + b + c = ? a + b + c = ? Am observat că le-a fost destul de uşor elevilor să alcătuiască probleme după aceste formule literale, datorită faptului că datele problemei sunt prezentate mult mai explicit, elevul vizualizând clar ce se cunoaşte în problemă şi ce trebuie să afle. Au alcătuit astfel de probleme: „Paul are 295 de lei, Ovidiu cu 46 lei mai mult decât Paul, iar Cornel cu 103 lei mai mult decât Paul şi Ovidiu la un loc. Câţi lei au împreună cei 3 copii?” „Suma a 3 numere este 903. Primul număr este 25, al II-lea număr este cu 16 mai mare decât primul. Care este al III-lea număr?” „Într-o pădure sunt 810 castani, stejari şi plopi. Ştiind că 303 sunt stejari, cu 15 mai puţin sunt plopi, să se afle câţi castani sunt.” ş.a. după scheme simple ce pornesc de la relaţiile dintre datele problemei, ajungându-se la întrebarea

problemei (metoda sintetică), după scheme alcătuite pe calea metodei analitice (pornind de la întrebarea problemei) sau după scheme grafice:

„Aflaţi suma dintre câtul numerelor 24 şi 6 şi câtul numerelor 36 şi 6.” (elevul P.P. – stăpâneşte conceptele matematice şi le aplică în probleme conform algoritmului sugerat de schemă, utilizează corect limajul matematic)

66

Ultimele 3 reprezentări grafice au pus în dificultate elevii, întrucât erau probleme tipice care

solicitau un raţionament de tip convergent, problemele rezolvându-se prin metoda figurativă, conţinut al programei şcolare a clasei a IV-a. Doar 3 copii (P.P, R.R şi T.A.) au reuşit să compună problemele, datorită faptului că au lucrat mult suplimentar exerciţii şi probleme pentru concursul naţional „Micul matematician”, dar dispun şi de capacitate intelectuală foarte bună: „Într-o fermă sunt 690 de găini şi raţe. Numărul raţelor este cu 280 mai mare decât numărul găinilor. Să se afle câte găini şi câte raţe sunt în acea fermă.” (elevul P.P) „Suma a două numere este 35. Să se afle care sunt numerele, ştiind că al doilea număr este de 4 ori mai mare decât primul.” (elevul T.A.) „Într-o clasă sunt 28 de elevi, din care fetele sunt de 3 ori mai multe decât băieţii. Câte fete şi câţi băieţi sunt în acea clasă?” (eleva R.R.)

Prin urmare, în orice activitate intelectuală, inclusiv rezolvarea şi compunerea de probleme, procedeele algoritmice şi cele euristice se îmbină în proporţiile cerute de natura sarcinii, mobilizând la elevi procesele psihice cognitive, volitive şi motivaţional – afective, în funcţie de particularităţile psihice ale fiecăruia.

Metoda cadranelor, metodă a gândirii critice, este o modalitate de rezumare şi sintetizare a

unui conţinut informaţional, solicitând participarea şi implicarea elevilor în înţelegerea lui adecvată. Metoda “urmăreşte realizarea unei lecturi conştiente a unui text şi realizarea unui act de reflecţie personală în legătură cu acesta” (Leonte, R., Stanciu, M, 2004, p. 16); presupune trasarea a două axe principale perpendiculare în urma cărora apar patru cadrane în care elevii notează: datele problemei, planul de rezolvare al problemei, formula numerică a problemei şi compun o problemă asemănătoare după exerciţiul problemei date.

- 275 de copii la creşa cu program normal - cu 9 mai puţini copii la creşa cu program prelungit Câţi copii sunt în total la cele două creşe?

Plan de rezolvare

Exerciţiul problemei

Compune o problemă asemănătoare care să se rezolve prin acelaşi exerciţiu

În această situaţie elevii au avut de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate

anterior, cu deosebirea că este încadrată diferit în pagina caietului. Am „citit” de pe feţele lor mirarea şi, în acelaşi timp, teama, întrucât aparent li s-a părut foarte complicat. Însă, după citirea problemei cu glas tare de către toţi elevii, au realizat că de fapt rezolvaseră anterior destul de multe

67

probleme de acest gen, cu deosebirea că încadrarea în pagină era diferită. S-a construit raţionamentul de rezolvare pe baza înţelegerii datelor şi a condiţiei problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută. Analiza profundă a datelor problemei i-a condus pe elevi la desprinderea de concret, la transpunerea situaţiei concrete pe care o prezintă problema în situaţii matematice. Astfel, ei au aplicat schema mintală de rezolvare, fixată ca un algoritm de lucru, care se transferă şi se aplică la fel ca şi regulile de calcul. Renunţarea la elementele concrete şi înlocuirea acestora cu expresiile matematice potrivite au făcut posibilă schematizarea problemei – deci pasul necesar spre generalizare.

- 275 de copii la creşa cu program normal - cu 9 mai puţini copii la creşa cu program prelungit Câţi copii sunt în total la cele două creşe?

Plan de rezolvare 1) 275 – 9 = 266 (copii la creşa cu program prelungit) 2) 275 + 266 = 541 (copii în total)

Exerciţiul problemei 275 + (275 – 9) = 541

„Într-o seră sunt 275 răsaduri de roşii şi cu 9 mai puţine răsaduri de ardei. Câte răsaduri sunt în total ?”

Raţionamentul de rezolvare concretizat în planul de rezolvare şi exerciţiul problemei a fost

elaborat prin inferenţe deductive, în care cunoaşterea s-a realizat de la general la particular (expresia „cu … mai puţin” şi noţiunea de „total” sugerează folosirea operaţiei de adunare), în consecinţă am urmărit stimularea gândirii deductive la elevi, care are un caracter riguros sistematic, cu rol însemnat în înţelegerea şi rezolvarea problemelor.

În mod asemănător, s-a procedat şi la rezolvarea următoarei probleme, cât şi a celor de pe fişa de lucru (activitate desfăşurată în perechi, anexa 15).

- s-au adus 10 pachete a câte 9 cărţi fiecare pachet - s-au vândut 7 pachete Câte cărţi au mai rămas ?

Plan de rezolvare 1) 10 – 7 = 3 (pachete rămase) 2) 3 × 9 = 27 (cărţi rămase) Alt mod de rezolvare : 1) 10 × 9 = 90 (cărţi în 10 pachete) 2) 7 × 9 = 63 (cărţi în 7 pachete)

3) 90 – 63 = 27 (cărţi nevândute) Schema problemei

10 - 7 10 × 9 7 × 9

3 × 9 90 - 63

27 27

Compune o problemă asemănătoare „Pentru o aniversare s-au adus 10 platouri cu câte 9 prăjituri. S-au consumat doar prăjiturile de pe 7 platouri. Câte prăjituri au mai rămas ?”

Schematizarea problemei este o cerinţă care nu duce la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci,

dimpotrivă, la cultivarea şi educarea creativităţii, la antrenarea sistematică a intelectului elevilor.

68

Metoda cadranelor poate fi considerată şi metodă de recapitulare şi sistematizare a cunoştinţelor şi se poate utiliza în cadrul conexiunii inverse, evaluării, retenţiei. Informaţia este rezumată, sintetizată, esenţializată, prelucrată în cuvinte cât mai puţine, pe baza celor 4 criterii (câte unul pentru fiecare cadran), pentru a intra în spaţiul cadranului. Tehnica are mai multe etape :

comunicarea sarcinii de lucru ; activitatea individuală / în perechi / pe grupe ; activitatea frontală / evaluarea muncii pe grupe.

Aşezarea în cadrane a problemei, a planului de rezolvare etc. impune elevului o ordine logică în rezolvarea şi compunerea de probleme. Rezolvarea problemelor sub această formă a constituit un cadru optim de afirmare a potenţialului individualităţii fiecărui copil, iar prin modalitatea de lucru pe perechi a creat posibilitatea cooperării între elevi, a stimulat sentimentul de eficienţă personală, iar elevii cu posibilităţi intelectuale mai reduse (L.E., A.R., M.A., T.O., C.A.) au fost înţeleşi şi ajutaţi de elevii buni rezolvitori de probleme (P.P., R.R., T.A., Z.I., F.B.).

Ştiu / Vreau să ştiu / Am învăţat este “o metodă de învăţare prin descoperire prin care

elevii realizează un inventar a ceea ce ştiu deja despre o temă şi apoi formulează întrebări legate de tema nouă la care vor găsi răspunsuri prin valorificarea cunoştinţelor anterioare” (Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 49). Scopul folosirii acestei metode este “formarea unui stil de învăţare eficient prin conştientizarea legăturii dintre experienţa cognitivă şi noile achiziţii” (Hussar, E., Safciuc, T., 2008, p. 17)

Etapele metodei: (apud Leonte, R., Stanciu, M, 2004, p. 18) - colectivul se organizează în perechi şi fiecare pereche primeşte ca sarcină realizarea unei liste cu ceea ce ştiu sau cred că ştiu despre o anumită temă (brainstorming); în timp ce elevii realizează lista, învăţătorul desenează pe tablă un tabel pe care elevii îl vor completa întâi în perechi şi apoi la tablă:

Ştiu Vreau să ştiu Am învăţat Elevii notează ceea ce ştiu sau cred că ştiu despre tema dată

Elevii notează ceea ce doresc să afle nou în legătură cu tema dată

Elevii notează ceea ce au învăţat despre tema nouă.

- fiecare pereche va completa propriul tabel şi se vor nota apoi, în tabelul de pe tablă, în coloana din stânga, informaţiile cu care toată clasa e de acord; - elevii vor formula întrebările generate de nouă temă, iar învăţătorul le va scrie în a doua coloană a tabelului; aceste întrebări vor evidenţia nevoile de învăţare ale elevilor în legătură cu tema aflată în discuţie; - elevii citesc textul individual sau cu un coleg, sau învăţătorul citeşte elevilor; după lectura textului se revine asupra întrebărilor din a doua coloană şi se analizează la care dintre întrebări s-a găsit răspunsul în text; răspunsurile elevilor vor fi notate în coloana “Am învăţat”; - elevii compară ceea ce ştiau deja în legătură cu tema respectivă (informaţiile din prima coloană a tabelului) cu ceea ce ei au învăţat (informaţiile din a treia coloană a tabelului); unele dintre întrebări pot rămâne fără răspuns sau pot genera întrebări noi, acestea putând fi folosite ca punct de plecare pentru investigaţii personale.

Elevilor li s-a părut accesibilă şi această modalitate de rezolvare a problemelor, mai ales că fusese folosită încă din clasa a II-a, la lecţiile de cunoaştere a mediului, respectiv de ştiinţe ale naturii în clasa a III-a.

Rezolvarea problemelor a fost efectuată atât sintetic (de la date spre întrebare), cât mai ales analitic (de la întrebare spre date), pentru a solicita mai mult gândirea elevilor, pentru a nu aplica mecanic algoritmul de rezolvare, pentru a mă asigura că elevii au înţeles foarte bine datele şi condiţia fiecărei probleme, că au raportat datele cunoscute la cerinţe şi condiţii, ceea ce îi ajută să

69

construiască şirul de judecăţi ce conduce la găsirea soluţiei, stimulând în acest fel exersarea gândirii logice la elevi. Am rezolvat în clasă, împreună cu elevii, următoarele probleme:

Ştiu Vreau să ştiu Am învăţat - în 3 zile – 860 kg legume I şi II – 428 kg II şi III – 543 kg

1) Câte kg de legume a cules în I zi? 2) Câte kg de legume a cules în a II-a zi? 3) Câte kg de legume a cules în a III-a zi?

1) 860 kg – 543 kg = 317 kg 2) 428 kg – 317 kg = 111 kg 3) 543 kg – 111 kg = 432 kg

Ştiu Vreau să ştiu Am învăţat

- 5 băieţi şi 5 fete - 200 kg de fructe - o fată – 15 kg

1) Câte kg de fructe au cules 5 fete? 2) Câte kg de fructe au cules 5 băieţi? 3) Câte kg de fructe a cules o fată?

1) 15 × 5 = 75 2) 200 – 75 = 125 3) 125 : 5 = 25

Ştiu Vreau să ştiu Am învăţat

- Corina a cules ghiocei - a făcut 5 buchete cu câte 7 ghiocei - i-au rămas 4

Câţi ghicei a cules Corina ? 5 × 7 + 4 = 39

Metoda a oferit feedback continuu şi eficient, a antrenat toţi elevii, individual, frontal şi în

perechi, elevii şi-au sistematizat cunoştinţele, şi-au clarificat pe loc ceea ce se cunoaşte în problemă şi ceea ce se cere. Lucrând în perechi sau în grup (anexa 16), a contribuit la cultivarea şi educarea unei noi atitudini faţă de muncă (simţul responsabilităţii faţă de grup), a prieteniei, a cooperării între elevi, a toleranţei, ceea ce a stimulat, încurajat şi motivat mai ales pe elevii mai timizi, mai neîncrezători în forţele proprii.

Metoda cubului am folosit-o când am dorit explorarea unui subiect, a unei situaţii din mai

multe perspective, oferind astfel elevilor “posibilitatea de a-şi dezvolta competenţele necesare unor abordări complexe şi integratoare” (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 321).

Etapele metodei (apud Leonte, R., Stanciu, M, 2004, p. 24): - se realizează un cub pe ale cărui feţe se notează cuvintele: descrie, compară, analizează,

asociază, aplică, argumentează; - se anunţă tema / subiectul pus în discuţie; - se împarte grupul în 6 subgrupuri, fiecare subgrup rezolvând una dintre cerinţele înscrise pe

feţele cubului; - se comunică, întregului grup, forma finală a scrierii; - lucrarea în forma finală poate fi desfăşurată pe tablă, pe flanelograf sau pe pereţii clasei. Spre exemplu, în cadrul unităţii de învăţare „Rezolvare de probleme” am aplicat această

metodă, iar elevii au avut de rezolvat sarcini precum: 1) descrie – „Observă datele înregistrate în tabel, apoi răspunde la întrebările: .....” 2) compară – „Compară produsul numerelor 7 şi 9 cu diferenţa numerelor 158 şi 89 ş.a.” 3) analizează - „Analizează datele problemei şi întocmeşte planul de rezolvare al acesteia”

70

4) asociază – „Asociază corespunzător ....” 5) aplică - „Compune o problemă care să se rezolve printr-o operaţie de înmulţire şi o operaţie de adunare” 6) argumentează - „Completează următoarele argumente: dacă împărţim un număr la 6 obţinem un număr .........;” ş.a. (anexa 17 )

Am dedus următoarele avantaje ale folosirii acestei metode în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică:

- a determinat participarea conştientă a elevilor prin implicarea maximă a acestora în rezolvarea sarcinilor;

- a permis diferenţierea sarcinilor de învăţare; - a format deprinderi de muncă intelectuală; - a stimulat gândirea logică a elevilor; - a crescut responsabilitatea elevului faţă de propria învăţare, dar şi faţă de grup; - a crescut eficienţa învăţării - elevii învaţă unii de la alţii; - a dezvoltat abilităţi de comunicare şi cooperare la elevi. De asemenea, am dedus şi unele dezavantaje, cum ar fi: - rezolvarea sarcinilor a solicitat resurse mari de timp; - se creează un zgomot oarecare; - facilitează erori în învăţare; - nu există un control precis asupra cantităţii / calităţii cunoştinţelor dobândite de fiecare

elev. Organizatorul grafic, ca metodă de învăţare activă, facilitează esenţializarea unui material

informativ care urmează să fie exprimat sau scris, schematizând ideea / ideile. „Reprezentarea vizuală a unor noţiuni, fenomene, concepte, îl ajută pe elev să recurgă la

informaţia anterioară deţinută, să analizeze, să sintetizeze, să evalueze şi să decidă (poate în urma unui asalt de idei) ce va lua în considerare şi ce va omite din tot ceea ce ştie pentru a rezolva o problemă / situaţie – problemă.” (Leonte, R., Stanciu, M, 2004, p. 28)

Organizatorii grafici (OG) permit prezentarea structurată a informaţiei în mai multe moduri: (apud Leonte, R., Stanciu, M, 2004, p. 28 – 31)

OG de tip secvenţial – elevii sunt solicitaţi să listeze conceptele, evenimentele, itemii etc.,

în ordine cronologică, numerică, deci etapizat, secvenţial 1. _____________________ 2. _____________________ 3. _____________________

În cadrul unităţii de învăţare „Numerele naturale de la 0 la 1000000” elevii au fost solicitaţi să rezolve probleme de tipul: „Observă tabelul dat şi scrie pe caiete numele oraşelor în ordinea crescătoare a numărului

de locuitori, conform recensământului populaţiei.” „La ora de educaţie fizică, 8 elevi au făcut o cursă de rezistenţă. După 5 minute, s-au notat

distanţele parcurse. Ordonează distanţele de la cea mai mică la cea mai mare. Cine a parcurs cea mai mare distanţă? Dar cea mai mică? Care sunt elevii care au parcurs o distanţă mai mică de 760 m?”

71

Problemele au solicitat foarte mult operaţiile fundamentale ale gândirii (analiza şi sinteza, abstractizarea – sarcinile de clasificare şi sortare presupun gruparea după un anumit criteriu - , comparaţia, sistematizarea), atenţia voluntară şi cea selectivă a elevilor, voinţa acestora şi nu au necesitat deprinderi de calcul. Chiar dacă la prima vedere elevii au considerat destul de uşoare problemele date, faptul că nu toţi au reuşit să se încadreze în timpul acordat, m-a determinat să constat că şi în această situaţie posibilitatea rezolvării problemelor diferă de la elev la elev, în funcţie de particularităţile psihice ale fiecăruia. Capacitatea de concentrare este încă redusă la unii elevi ai clasei (A.R., T.O., L.E., M.A., G.I., C.G.), ceea ce a determinat o mobilizare mai greoaie a acestora în aducerea la bun sfârşit a sarcinii. Spre deosebire de aceştia, elevii C.R., P.P., P.E., B.D., D.C., L.A., Z.I., F.B., D.L., A.B. au reuşit să rezolve corect şi rapid problemele date în timpul acordat, astfel: - la prima problemă – „Craiova, Braşov, Cluj-Napoca, Galaţi, Timişoara, Iaşi, Constanţa”; - la a doua problemă – „712, 721, 736, 750, 754, 763, 803, 813; Sorin a parcurs cea mai mare distanţă; Amelia a parcurs cea mai mică distanţă; Carolina, Bogdan, Amelia, Antonia, Ştefania au parcurs o distanţă mai mică de 760m”.

OG pentru structuri de tip descriere – elevilor li s-a cerut să noteze caracteristicile,

proprietăţile, utilizările, componentele etc. unei operaţii matematice. Acest tip de organizator grafic este o variantă a metodei ciorchinelui şi foloseşte ca procedeu brainstorming-ul.

Prin aplicarea acestei metode am urmărit la elevi stimularea gândirii divergente (după sensul de evoluţie al gândirii, de la unitate la diversitate), a gândirii euristice (după tipul operaţiilor presupuse), a gândirii productiv – creatoare (după finalitate), a memoriei logice, a imaginaţiei, a folosirii corecte a limbajului matematic, dar şi cultivarea şi educarea calităţilor moral – volitive. Toate aceste beneficii s-au datorat strategiei promovate, cea a învăţării prin cooperare, care a permis elevilor să ofere şi să primească sprijin, să ia iniţiative, să îşi construiască opinii şi să le împărtăşească, să asculte activ şi să accepte alte opinii. Am urmărit, de asemenea, chiar formarea unor trăsături de personalitate, precum spontaneitate, inventivitate, dorinţa de afirmare, spiritul colectiv, curajul. Am împărţit elevii clasei în 3 grupe a câte 5 elevi şi o grupă cu 6 elevi, ţinând cont şi de relaţiile afectiv – simpatetice dintre elevi constatate cu ajutorul testului sociometric, dar şi de asigurarea unui echilibru în privinţa capacităţilor intelectuale ale elevilor, astfel: - I grup (ADUNAREA) – A.B., D.L., Z.I., T.A., G.I., M.A.; - al II-lea grup (SCĂDEREA) – A.R., P.P., C.R., P.E., T.O.; - al III-lea grup (ÎNMULŢIREA) – L.E., R.R., C.A., L.A., B.D.; - al IV-lea grup (ÎMPĂRŢIREA) – F.B., D.C., C.G., B.I., B.P. Metoda a fost aplicată în perioada recapitulării finale, întrucât oferea elevilor posibilitatea de a-şi reactualiza şi sistematiza cunoştinţele despre operaţiile matematice însuşite pe parcursul

72

întregului an şcolar. Nu a fost o sarcină tocmai uşoară, fiind nevoie uneori să intervin în fiecare grup cu sugestii ajutătoare.

ADUNAREA

semn grafic „+” sumă (total)

termeni

Dacă se grupează convenabil 2 termeni ai unei sume de mai mulţi termeni, suma rămâne aceeaşi.

cu ... mai mult

operaţie de ordinul I

Adunarea oricărui număr cu 0 nu schimbă valoarea numărului.

cu .... mai mare

Dacă se schimbă ordinea termenilor, suma rămâne aceeaşi.

a pune

a mări cu

a adăuga a mai veni

SCĂDEREA

semn grafic „-” descăzut

scăzător

rest

a pleca

operaţie de ordinul I

cu ...mai puţin

diferenţă

au mai rămas

a mânca

a pierde

cu .... mai mic

a lua

73

După completarea „ciorchinilor” de către membrii fiecărui grup s-a realizat turul galeriei, lucrările fiind expuse, prezentate, analizate şi apreciate ca într-o galerie expoziţională, în formă orală. Ca puncte tari ale metodei evidenţiez: - stimulează motivaţia învăţării, a activităţii în clasă; - contribuie la crearea ethosului şcolar prin personalizarea spaţiului clasei; - exersează interaprecierea şi capacitatea de apreciere obiectivă (gândirea critică).

ÎNMULŢIREA

semn grafic „×” factori

produs

triplul

de .... ori câte ...

dublul

de ... ori mai mult

operaţie de ordinul II Dacă înmulţim un număr cu 1,

obţinem ca produs acelaşi număr.

adunare repetată de termeni egali

de .... ori mai mare

Dacă unul dintre factori este 0, produsul este 0.

ÎMPĂRŢIREA

semn grafic „:” deîmpărţit

împărţitor

cât şi rest

sfert

şesime

pătrime (sfert)

de ... ori mai puţin

se împarte în mod egal

operaţie de ordinul II

jumătate

se cuprinde

scădere repetată

de .... ori mai mic

operaţia inversă înmulţirii

74

OG pentru structuri de tip problemă – soluţie

În această situaţie elevilor li s-a cerut să detecteze problema / situaţia – problemă şi să o rezolve, să găsească soluţia / soluţiile. Exemple:

Metoda a fost aplicată tot în perioada recapitulării finale, întrucât elevii şi-au format deprinderi de rezolvare a problemelor; am renunţat la scrierea întrebărilor din planul de idei în favoarea transpunerii problemei în relaţii matematice şi, mai ales, în favoarea scrierii rezolvării problemei sub formă de exerciţiu, folosind în felul acesta mult mai eficient timpul de lucru.

PROBLEMA SOLUŢIA

- castani - 48 - stejari – de 6 ori mai puţin ? copaci

48 : 6 = 8 (stejari) 48 + 8 = 56 (copaci)

48 + (48 : 6) = 56

78 elevi – total 26 – cu trenuleţul 24 – în leagăn restul – cu maşinuţele - în fiecare maşinuţă – câte 4 copii ? maşinuţe

26 + 24 = 50 78 – 50 = 28 28 : 4 = 7

(78 – 26 – 24) : 4 = 7

[78 – (26 + 24)] : 4 = 7

78 – 26 = 52 52 – 24 = 28 28 : 4 = 7

75

CAP. 4 PREZENTAREA, ANALIZA ŞI INTERPRETAREA REZULTATELOR CERCETĂRII APLICATIVE

4.1. Rezultatele obţinute la evaluarea iniţială

Evaluarea iniţială s-a efectuat la începutul programului de instruire, respectiv la începutul anului şcolar 2008 / 2009 (perioada 15 septembrie – 1 octombrie 2008) şi a stabilit nivelul de pregătire al elevilor, în acel moment, condiţiile în care aceştia s-au putut integra în activitatea ce a urmat, îndeplinind astfel o funcţie pedagogică prioritar predictivă. Examinările orale şi proba scrisă de evaluare au vizat verificarea gradului în care elevii stăpânesc cunoştinţele de matematică învăţate în clasa a II-a, necesare activităţii didactice viitoare.

Obiectivele evaluate în cadrul testului predictiv (anexa 2) au fost următoarele: - să completeze şiruri date cu numere până la 1000, respectând pasul de numărare; - să completeze relaţii date cu numere corespunzătoare, astfel încât acestea să fie adevărate; - să efectueze operaţii de adunare şi de scădere cu numere naturale de la 0 la 1000, fără şi cu

trecere peste ordin; - să afle numărul necunoscut dintr-o operaţie de adunare, respectiv de scădere; - să rezolve corect problema dată.

Interpretarea rezultatelor testului predictiv: În urma analizei rezultatelor obţinute de elevii grupului experimental am constatat

următoarele: - itemii exerciţiilor 1, 2 şi 3 se refereau la utilizarea sistemului poziţional de formare a

numerelor naturale mai mici decât 1 000 (formarea, scrierea, compararea numerelor); cele mai mari dificultăţi au fost la identificarea acelor numere naturale mai mici decât 1000 care îndeplineau anumite criterii, ceea ce m-a determinat să înţeleg că elevii fie nu stăpânesc limbajul matematic (numere pare / impare), fie nu dispun de o gândire convergentă, capabilă să identifice soluţia de la diversitate la unitate, de la analiză la sinteză. (niciun elev nu a identificat toate cele 3 numere naturale, 1 elev a identificat două numere din cele 3, 14 elevi au identificat doar un singur număr din cele 3, iar 6 nu au identificat corect niciun număr );

- doar 2 elevi au descoperit pasul de numărare la şirurile de numere de la ex. 1 şi le-au completat corect, 10 elevi au completat doar două şiruri din cele 3, iar 9 elevi au completat doar un singur şir ;

- 11 elevi au completat corect toate cele 6 numere care lipsesc din relaţiile date, 8 elevi au completat 4 numere, iar 2 copii – două numere ;

- 10 elevi au efectuat corect toate operaţiile de adunare şi scădere de la exerciţiul nr. 4, 7 elevi au efectuat corect 4 operaţii din cele 6, iar 4 elevi două operaţii din cele 6, ceea ce înseamnă că marea majoritate şi-a însuşit algoritmul de calcul specific acestor operaţii ;

- sarcinile itemului 5 s-au dovedit a fi dificile pentru majoritatea elevilor, doar 2 elevi au rezolvat corect cele 3 subpuncte ale exerciţiului, 7 elevi nu au rezolvat deloc exerciţiul, demonstrând încă o dată că nu stăpânesc bine limbajul matematic, nu asociază conceptul de sumă cu operaţia de adunare, diferenţa cu operaţia de scădere, unii chiar le confundă între ele ;

- cele 4 numere necunoscute au fost aflate doar de 4 elevi, 4 elevi au aflat doar 3 numere, 8 elevi – două numere, iar 5 elevi niciun număr, ceea ce demonstrează că nu au suficient de dezvoltată gândirea deductivă, nu analizează suficient relaţia dată, nu conştientizează, spre exemplu, că scăzătorul este mai mare decât descăzutul sau diferenţa, pentru că a fost aflat prin adunare şi nu prin scădere, cum ar fi trebuit;

76

- problema a fost efectuată cu plan de rezolvare doar de 5 elevi, fără plan de rezolvare de 4 elevi, 7 elevi au scris doar prima întrebare a problemei şi operaţia corespunzătoare, iar 5 elevi nu au rezolvat deloc problema .

Am coroborat informaţiile obţinute în urma acestui test cu gradul de implicare al elevilor în efectuarea temei dată pentru perioada vacanţei de vară. Verificarea efectuării acestei teme, din punct de vedere cantitativ şi mai ales calitativ, a reliefat faptul că majoritatea elevilor nu a acordat atenţia cuvenită temei, unii neefectuând-o deloc, iar alţii lucrând superficial. În situaţia de faţă era de aşteptat ca elevii să obţină rezultate mai puţin bune, după o perioadă în care nu au lucrat sistematic sau nu au lucrat deloc.

Aceste informaţii mi-au fost de un real folos, m-au ajutat să-mi proiectez activitatea următoare ţinând cont de particularităţile fiecărui elev în parte.

Am înregistrat rezultatele obţinute de elevi la testul predictiv în tabele centralizatoare analitice şi sintetice:

Am determinat “valoarea centrală” sau “tendinţa centrală” (apud Dumitriu, C., 2004, p. 142)

prin stabilirea modului (dominantei), adică a valorii cu frecvenţa cea mai mare din şirul de date. Examinând valorile centralizate în tabele, observăm că frecvenţa maximă este 8, deci modul este B (bine).

Am reprezentat grafic datele din tabelele centralizatoare realizând histogramă, poligon de frecvenţă şi diagrame circulare în sectoare, astfel:

Itemi Nr. crt.

Numele şi prenumele elevului

1 2 3 4 5 6 7 Califi-cativ final

1 A.B. B S FB FB S S I B 2 A.R. B S B B S S S S 3 B.P. B I FB FB B B B B 4 B.D. B S FB FB B S FB B 5 B.I. S I B FB I I S S 6 C.R. B S FB FB B S FB B 7 C.G. B I B S I I I I 8 C.A. S I B S I I I I 9 D.C. S S B B I S I S 10 D.L. S S B B S S S S 11 F.B. S S B B S S S S 12 G.I. S S B B I B S S 13 L.E. S I S S I I I I 14 L.A. B B FB FB B B B B 15 M.A. S I S S S I S I 16 P.E. B S FB B S B FB B 17 P.P. FB S FB FB FB FB FB FB 18 R.R. FB S FB FB FB FB FB FB 19 T.A. B S FB FB B FB B B 20 T.O. S S FB B I S S S 21 Z.I. B S FB FB S FB B B

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * I S B FB

Nr. elevi

Procente Calificativ

4 19,05 % I 7 33,33 % S 8 38,10 % B 2 9,52 % FB

Calificativ Frecvenţa I 4 S 7 B 8 FB 2

77

0

1

23

4

5

6

78

FB B S I

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

FB B S I

FB10%

B38%

S33%

I19%

FBBSI

FB10%

B38%

S33%

I19%

FBBSI

4.2. Rezultatele obţinute la evaluările formative

Evaluările formative au realizat verificări sistematice pe parcursul programului (perioada 1.

10. 2008 – 31. 05. 2009), pe unităţi de învăţare. Cunoaşterea nivelului atins de elevi m-a ajutat să determin aspectele pozitive şi lacunele procesului de instruire, prin raportarea la obiectivele avute în vedere. Astfel, am urmărit îndeosebi cum a rezolvat fiecare elev problemele de aritmetică, ce dificultăţi a întâmpinat în rezolvarea acestora, în vederea ameliorării sau chiar a înlăturării acestora prin intermediul situaţiilor de instruire organizate la clasă au implicat şi folosirea metodelor active şi de cooperare. Unitatea de învăţare „Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-1000”

(perioada 6.10. – 24.10.2008) Obiective evaluate în cadrul testului docimologic din 21.10.2008 (anexa 3): - să calculeze sume şi diferenţe cu numere până la 1000, fără şi cu trecere peste ordin; - să stabilească legătura dintre adunare şi scădere pentru aflarea numărului necunoscut; - să rezolve corect problemele date. Interpretarea rezultatelor testului:

Nr. elevi

Procente Calificativ

5 24 % FB 10 47 % B 4 19 % S 2 10 % I

Calificativ Frecvenţa FB 5 B 10 S 4 I 2

78

După corectarea testelor, am concluzionat următoarele: - elevii stăpânesc mai bine algoritmul de efectuare a operaţiilor de adunare şi scădere fără trecere peste ordin şi mai ales cu trecere peste ordin; - cele 4 numere necunoscute au fost aflate de 8 elevi, tot 8 au aflat 3 numere din 4, 4 elevi au aflat doar 2 numere, iar un singur copil a aflat un singur număr, ceea ce a însemnat un progres destul de vizibil în ceea ce priveşte înţelegerea de către elevi a legăturii dintre adunare şi scădere pentru aflarea numărului necunoscut; - la exerciţiul nr. 6, faptul că 5 elevi au obţinut FB şi doar unul I, demonstrează că limbajul matematic a fost mai bine înţeles, elevii au asociat suma şi diferenţa cu operaţia corespunzătoare; - problema a fost rezolvată corect de 7 elevi, 8 elevi au scris doar două operaţii din 3, 5 elevi au scris doar o operaţie din 3, iar un singur elev a scris corect operaţia, dar a greşit la calculul acesteia. Îmbunătăţirea rezultatelor s-a datorat lucrului sistematic, organizat, efectuarea unui număr considerabil de exerciţii şi mai ales de probleme care se rezolvau prin două sau 3 operaţii. Am reprezentat grafic rezultatele centralizate în tabele, prin comparaţie cu cele obţinute la testul predictiv.

0

2

4

6

8

10

FB B S I

frecventa testpredictivfrecventa testformativ

FB

BS

IFB

B

S

I

0

2

4

6

8

10

12

Calificative

Nr. e

levi

Diagrama test predictiv

FB10%

B38%

S33%

I19%

FBBSI

Diagrama test formativ

FB24%

B47%

S19%

I10%

FBBSI

Unitatea de învăţare „Înmulţirea numerelor naturale mai mici ca 100” (perioada 3.11 –

12.12.2008) Obiective evaluate: - să calculeze produsul a două numere naturale scrise cu o singură cifră folosind adunarea repetată de termeni egali sau tabla înmulţirii;

79

- să completeze cu numere potrivite, astfel încât să fie adevărate egalităţile date; - să respecte ordinea efectuării operaţiilor în exerciţii; - să rezolve corect problemele date, cu plan de rezolvare; - să scrie rezolvarea problemelor sub formă de exerciţiu, folosind paranteze rotunde; - să completeze datele problemei cu numere corespunzătoare; - să compună o problemă după un exerciţiu dat;

Centralizarea şi reprezentarea grafică a rezultatelor testului nr. 1 „Înmulţirea când unul din factori este 2, 3, 4 sau 5” (prezentat în anexa 4), din 18.11.2008:

Centralizarea şi reprezentarea grafică a rezultatelor testului nr. 2 „Înmulţirea când unul dintre factori este 6, 7, 8, 9, 0, 1 sau 10” (prezentat în anexa 5), din 28.11.2008:

Centralizarea şi reprezentarea grafică a rezultatelor testului nr. 3 „Înmulţirea numerelor naturale” (prezentat în anexa 6), din 9.12.2008:

Diagrama test formativ 3 "Inmultirea numerelor naturale mai mici ca 100"

FB48%

B33%

S19%

I0%

FBBSI

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * FB B S I

Calificativ Frecvenţa FB 9 B 9 S 3 I -

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * FB B S I

Calificativ Frecvenţa FB 5 B 8 S 7 I 1

Calificativ Frecvenţa FB 10 B 7 S 4 I -

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * FB B S I

Diagrama test formativ 1 "Inmultirea când unul din factori este 2, 3, 4 sau 5”"

FB 43%

B43%

S14%

I 0%

FB B S I

Diagrama test formativ 2 "Inmultirea când unul dintre factori este 6, 7, 8,

9, 0, 1 sau 10"

FB 24%

B38%

S33%

I 5%

FB B S I

80

Interpretarea rezultatelor testelor de evaluare formativă 1, 2 şi 3 de la unitatea de învăţare „Înmulţirea numerelor naturale mai mici ca 100”: - elevii au obţinut rezultate destul de bune la testul nr. 1 la toţi itemii, ceea ce înseamnă că au înţeles terminologia specifică înmulţirii, au perceput înmulţirea ca o adunare repetată de termeni egali, au rezolvat majoritatea dintre ei problema prin două operaţii, dovedindu-se astfel eficienţa activităţii frontale îmbinată cu cea individuală, pe perechi şi pe grupe, dar mai ales eficienţa fişelor de lucru şi a materialelor interactive de pe CD, proiectate cu ajutorul laptop-ului şi al video proiectorului; - la testul nr. 2 se constată o mică scădere a rezultatelor elevilor, având în vedere 3 situaţii neexistente în testul nr. 1: faptul că înmulţirile conţin ambii factori mai mari decât 5, exerciţiul nr. 3 conţine sarcini cu grad mai mare de dificultate, elevii trebuind să facă legătura şi cu operaţiile de ordinul II şi, la sfârşitul testului au avut de compus o problemă ce presupunea 3 operaţii matematice pentru rezolvare; - doar 8 copii din clasă au rezolvat problema 5 de la testul nr. 2 (problemă foarte asemănătoare cu problema nr. 6 de la testul nr. 1) şi 5 copii au compus problema după exerciţiul dat, ceea ce m-a determinat să insist mai mult la clasă pe scrierea rezolvării unei probleme sub formă de exerciţiu, dar şi realizarea schemei de rezolvare a unei probleme. - la testul nr. 3, cu grad de dificultate medie, am constatat că toţi elevii au ştiut să scrie adunările repetate ca înmulţiri, dar şi înmulţirile corespunzătoare desenelor, au rezolvat problemele mai mulţi copii, chiar şi cei mai slabi la învăţătură au reuşit să scrie prima operaţie din rezolvarea problemelor, ceea ce m-a bucurat foarte mult, dovadă că fişele de lucru şi metodele folosite în rezolvarea problemelor au antrenat gândirea elevilor şi au îmbunătăţit rezultatele şcolare la matematică. Am reprezentat grafic, comparativ, datele din tabelele centralizatoare ale celor 3 teste de evaluare formativă aplicate în cadrul unităţii de învăţare „Înmulţirea numerelor naturale mai mici ca 100”:

0123456789

10

FB B S I

test formativ 1test formativ 2test formativ 3

Poligon de frecventa comparativ

0

2

4

6

8

10

12

I S B FB

Calificative

Nr. e

levi test formativ 1

test formativ 2test formativ 3

Unitatea de învăţare „Împărţirea numerelor naturale mai mici ca 100” (perioada 15.12.2008 – 20.02.2009)

Obiective evaluate: - să scrie scăderi repetate ca împărţiri; - să efectueze corect împărţiri folosind scăderea repetată sau legătura dintre înmulţire şi împărţire; - să verifice prin probă rezultatul obţinut; - să aplice proba împărţirii sau a înmulţirii aflând numărul necunoscut;

81

- să respecte ordinea efectuării operaţiilor în exerciţii; - să recunoască în probleme situaţii concrete sau expresii ce presupun efectuarea operaţiei de împărţire; - să rezolve corect probleme cu conţinut practic; - să scrie rezolvarea problemei sub formă de exerciţiu; - să alcătuiască schema de rezolvare a problemei; - să compună o problemă după un exerciţiu dat.

Centralizarea şi reprezentarea grafică a rezultatelor testului nr. 1 „Împărţirea numerelor naturale mai mici ca 100” (prezentat în anexa 7), din 27.01.2009:

Diagrama test formativ "Împărţirea numerelor naturale mai mici ca 100"

FB47%

B29%

S24%

I0%

FBBSI

Interpretarea rezultatelor testului:

- toţi elevii clasei au scris scăderile repetate sub formă de înmulţire şi au efectuat împărţiri , folosind legătura cu înmulţirea, aspect la care mă aşteptam având în vedere că majoritatea stăpânesc destul de bine tabla înmulţirii;

- 10 copii au efectuat foarte bine operaţiile corespunzătoare ale problemelor, iar 3 dintre ei (P.P., R.R., T.A.), datorită faptului că au lucrat suplimentar sistematic în vederea pregătirii concursului naţional “Micul matematician”, au rezolvat ultima problemă a testului în două moduri, au scris rezolvarea problemei sub formă de exerciţiu sau sub formă de schemă, dovedind că dispun de o gândire divergentă, dar şi productiv - creatoare.

Centralizarea şi reprezentarea grafică a rezultatelor testului nr. 2 „Ordinea efectuării operaţiilor” (prezentat în anexa 8), din 17.02.2009:

Diagrama test formativ "Ordinea efectuării operaţiilor"

FB43%

B33%

S19%

I5%

FBBSI

Rezultatele testului au fost foarte asemănătoare cu cele ale testului anterior, iar cu cei 5 elevi care au obţinut calificative de insuficient şi suficient am lucrat separat exerciţii şi probleme de dificultate medie, pentru formarea algoritmului de calcul, în timp ce ceilalţi copii au lucrat în perechi

Calificativ Frecvenţa FB 10 B 6 S 5 I -

Calificativ Frecvenţa FB 9 B 7 S 4 I 1

82

exerciţii şi probleme de pe fişe de lucru, dar şi în grupe a câte 4 elevi exerciţii şi probleme din culegere. Unitatea de învăţare „Înmulţirea şi împărţirea în intervalul de numere naturale de la 0

la 1000” (perioada 23.02. – 6.03.2009) Obiective evaluate: - să înmulţească un număr cu o sumă sau o diferenţă; - să efectueze înmulţiri cu 10 sau 100; - să înmulţească un număr natural de două cifre, respectiv de 3 cifre cu un număr de o cifră, prin adunare repetată sau folosind diverse modalităţi (adunare repetată, grupări de termeni, reprezentări); - să împartă o sumă sau o diferenţă la un număr de o cifră; - să calculeze câtul împărţirii unui număr natural la 10 sau 100; - să împartă un număr natural mai mic decât 100, respectiv decât 1000, la un număr de o cifră, folosind diverse modalităţi (scăderea repetată, grupări de termeni, reprezentări). - să aplice proba împărţirii sau a înmulţirii aflând numărul necunoscut; - să respecte ordinea efectuării operaţiilor în exerciţii; - să dovedească gândire logică în rezolvarea problemei date.

Centralizarea şi reprezentarea grafică a rezultatelor testului (prezentat în anexa 9) din 5.03.2009:

Diagramă test formativ

"Înmulţirea şi împărţirea în intervalul de numere naturale de la 0 la 1 000"

FB33%

B38%

S19%

I10%

FBBSI

Interpretarea rezultatelor testului: - cu toate că nu s-au mai înregistrat decât 7 calificative de „FB”, e de apreciat faptul că 15 elevi din cei 21 ai clasei au obţinut rezultate bune şi foarte bune la test, ţinând cont de faptul că şi cunoştinţele evaluate au avut un grad de dificultate mai ridicat; gândirea algoritmică şi cea euristică s-au completat una pe cealaltă, întrucât pentru efectuarea înmulţirilor şi a împărţirilor elevii au trebuit să exploreze modalităţi variate de a compune şi descompune numere naturale mai mici ca 1 000, şi nu utilizând algoritmul propriu-zis de efectuare a înmulţirii şi împărţirii, care este specific clasei a IV-a; - problema nr. 6 din test a fost rezolvată în întregime de cei 15 elevi, 7 dintre ei au scris şi întrebările aferente operaţiilor matematice, 5 au alcătuit suplimentar şi schema problemei; - cei 6 copii cu rezultate mai slabe nu au suficiente deprinderi de muncă intelectuală, motiv pentru care au alocat mai mult timp decât ar fi fost necesar pentru efectuarea calculelor.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * FB B S I

Calificativ Frecvenţa FB 7 B 8 S 4 I 2

83

Unitatea de învăţare „Rezolvarea de probleme” (perioada 9.03. – 20.03.2009) Obiective evaluate: - să recunoască situaţii concrete sau expresii ce presupun efectuarea unei anumite operaţii matematice; - să rezolve probleme prin cel mult două operaţii (de acealaşi ordin, de ordine diferite) sau * prin mai mult de două operaţii; - să răspundă la întrebările problemei, folosind date organizate în tabele; - să compună o problemă după un exerciţiu dat.

Centralizarea şi reprezentarea grafică a rezultatelor testului:

Diagramă test formativ "Rezolvare de probleme""

FB48%

B33%

S19%

I0%

FBBSI

Interpretarea rezultatelor testului (prezentat în anexa 10), din 19.03.2009:

- rezultatele testului au fost foarte bune, niciun elev nu a obţinut calificativul “insuficient”, iar 17 elevi au obţinut rezultate bune şi foarte bune ; aceste rezultate confirmă faptul că elevii s-au mobilizat în identificarea datelor şi a necunoscutelor din probleme, au recunoscut situaţiile concrete sau expresiile ce presupuneau efectuarea unor operaţii de adunare, scădere, înmulţire sau împărţire, au identificat tipul problemei, au ales demersul de rezolvare al acesteia; - elevii au observat cu atenţie datele din tabel şi au fost capabili să raporteze fiecare întrebare a problemei la acestea, dovedind un real simţ practic;

- 7 elevi au compus corect problema după exerciţiul dat, dovedind creativitate, inventivitate, capacitate de a imagina un context problematic pornind de la exerciţiul dat, dar şi capacitate de a transpune enunţuri simple din limbaj cotidian în limbaj matematic; - faptul că elevii au efectuat operaţii matematice cu numere naturale în concentrul 0-100 a constituit un avantaj, motiv pentru care atenţia a fost concentrată mai mult asupra demersului de rezolvare a problemelor şi mai puţin spre efectuarea calculelor, deci elevii au realizat un real progres în privinţa construirii raţionamentului de rezolvare a problemelor.

Astfel, “factorul de progres" cu care s-a intervenit în activitatea propriu-zisă de rezolvare a problemelor de aritmetică a contribuit considerabil la formarea deprinderilor eficiente de muncă intelectuală şi, implicit, la îmbunătăţirea performanţelor şcolare ale elevilor la matematică.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * FB B S I

Calificativ Frecvenţa FB 10 B 7 S 4 I 0

84

Unitatea de învăţare: „Adunarea şi scăderea numerelor naturale în intervalul de la 0 la 10 000” (perioada 6.04. – 30.04. 2009)

Obiective evaluate: - să efectueze operaţii de adunare şi de scădere cu numere mai mici decât 10 000, fără şi cu trecere peste ordin; - să afle numărul necunoscut prin efectuarea probei; - să rezolve corect o problemă prin două operaţii; - să compună o problemă după o schemă grafică dată.

Centralizarea şi reprezentarea grafică a rezultatelor testului (prezentat în anexa 11), din 28.04.2009:

Diagramă test formativ "Adunarea şi scăderea numerelor naturale în

intervalul de la 0 la 10 000"

FB43%

B38%

S19%

I0%

FBBSI

Interpretarea rezultatelor testului: - rezultatele testului au fost pe măsura aşteptărilor mele, întrucât exerciţiile şi problemele au cuprins doar operaţii de ordinul I, elevii întâmpinând unele dificultăţi mai mult la adunările şi scăderile cu trecere peste ordin; - tipul problemei a fost identificat de către toţi elevii, majoritatea au explicat clar şi concis în planul de rezolvare al problemei semnificaţia calculelor utilizate; - am observat, de asemenea, la punctul nr. 6 al testului, că cei mai mulţi dintre elevii care au compus problema mai întâi au scris operaţiile pe care le presupunea schema dată şi apoi au formulat textul problemei; aceasta demonstrează că au manifestat iniţiativă în a transpune situaţia dată într-un context matematic, obiectiv de referinţă ce se regăseşte în programa şcolară pentru clasa a III-a, la disciplina matematică.

4.3. Rezultatele obţinute la evaluarea finală

Unitatea de învăţare: „Recapitulare finală” (perioada 1.06. – 12.06.2009) Obiective evaluate: - să utilizeze sistemul poziţional de formare a numerelor naturale mai mici decât 1 000 000; - să compare numere naturale mai mici decât 1 000 000, utilizând semnele de comparaţie potrivite; - să efectueze operaţii de adunare şi de scădere cu numere mai mici decât 10 000, fără şi cu trecere peste ordin; - să efectueze operaţii de înmulţire şi împărţire cu numere naturale mai mici decât 100;

Calificativ Frecvenţa FB 9 B 8 S 4 I 0

85

- să afle numărul necunoscut dintr-o operaţie de adunare, de scădere, de înmulţire respectiv de împărţire; - să rezolve corect problema dată.

Centralizarea şi reprezentarea grafică a rezultatelor testului de evaluare finală (prezentat în anexa 12), din 9.06.2009, comparativ cu rezultatele testului predictiv:

Tabel sintetic cu frecvenţa calificativelor la itemii ce privesc rezolvarea de probleme:

I5 I4 I7 Calificative test iniţial test final test iniţial test final

FB 2 8 5 11 B 5 12 4 9 S 7 1 7 1 I 7 - 5 -

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * I S B FB

Nr. elevi

Procente Calificativ

- 0 % I 2 10 % S 9 43 % B 10 47 % FB

Calificativ Frecvenţa I - S 2 B 9 FB 10

Nr. crt.

Numele şi prenumele elevului

Calificativ evaluare iniţială

Calificativ evaluare finală

1 A.B. B B 2 A.R. S B 3 B.P. B B 4 B.D. B FB 5 B.I. S B 6 C.R. B FB 7 C.G. I B 8 C.A. I B 9 D.C. S FB 10 D.L. S FB 11 F.B. S FB 12 G.I. S B 13 L.E. I S 14 L.A. B FB 15 M.A. I S 16 P.E. B B 17 P.P. FB FB 18 R.R. FB FB 19 T.A. B FB 20 T.O. S B 21 Z.I. B FB

Itemi – rezolvare de probleme test predictiv

test final

test predictiv

test final

Nr. crt.

Numele şi prenumele elevului

I5 I4 I7 I7 1 A.B. S B I B 2 A.R. S B S B 3 B.P. B B B B 4 B.D. B FB FB FB 5 B.I. I B S B 6 C.R. B FB FB FB 7 C.G. I B I B 8 C.A. I B I B 9 D.C. I B I FB 10 D.L. S B S FB 11 F.B. S FB S FB 12 G.I. I B S B 13 L.E. I S I S 14 L.A. B FB B FB 15 M.A. S B S B 16 P.E. S B FB FB 17 P.P. FB FB FB FB 18 R.R. FB FB FB FB 19 T.A. B FB B FB 20 T.O. I B S B 21 Z.I. S FB B FB

86

Diagrama rezultatelor testului de evaluare iniţială

FB10%

B38%

S33%

I19%

FBBSI

Diagrama rezultatelor testului de evaluare finală

FB47%

B43%

S10%

I0%

FBBSI

0

2

4

6

8

10

FB B S I

rezultate test deevaluare iniţialărezultate test deevaluare finală

Poligon de frecvenţă comparativ

0

2

4

6

8

10

12

I S B FB

Calificative

Nr. e

levi

rezultateletestului deevaluare iniţialărezultateletestului deevaluare finală

Calificativ Frecvenţa test predictiv

Frecvenţa test final

I 4 - S 7 2 B 8 9 FB 2 10

87

Comparate, rezultatele obţinute la testul predictiv şi cel final, au demonstrat că pe tot parcursul anului şcolar, prin aplicarea sistematică a metodelor active şi a instruirii diferenţiate în cadrul lecţiilor, progresul înregistrat de elevi a fost atât calitativ cât şi cantitativ. Acest lucru a fost constatat din uşurinţa şi plăcerea cu care elevii şi-au însuşit un volum mare de cunoştinţe cu care au operat în rezolvarea problemelor şi a situaţiilor – problemă (cunoştinţe dobândite în special prin eforturi proprii), din plăcerea de a lucra pe tot parcursul anului şcolar. Testul de evaluare finală a fost conceput în manieră asemănătoare cu cea a testului iniţial, pentru ca rezultatele obţinute să poată fi comparate, cunoştinţele prevăzute de programă fiind definite sub forma obiectivelor operaţionale codificate în itemi.

Tabelul analitic şi cel sintetic, diagramele, histograma comparativă şi poligonul de frecvenţă evidenţiază clar îmbunătăţirea rezultatelor şcolare ale elevilor la matematică.

Sintetizând rezultatele obţinute la cele două teste de evaluare şi corelându-le cu rezultatele obţinute la testele formative am constatat că elevii clasei a III-a au înregistrat progrese vizibile privind cunoaşterea şi utilizarea conceptelor specifice matematicii, capacitatea de a rezolva probleme de aritmetică, capacitatea de a comunica utilizând limbajul matematic.

Varietatea exerciţiilor şi a problemelor rezolvate au solicitat în cea mai mare măsură gândirea elevilor care, având caracteristica de a fi concret - intuitivă la această vârstă, a realizat, treptat şi diferit, saltul spre o gândire logică, abstractă, în funcţie de particularităţile psihice ale fiecărui elev. Orice nouă achiziţie matematică a avut la bază achiziţiile precedente, trecerea de la un stadiu la altul, superior, făcându-se printr-o reconstrucţie continuă a sistemului noţional şi operativ. A avut loc, deci, „o restructurare a achiziţiilor noi pe fondul celor deja asimilate, actele de învăţare prin reproducere având şi rol de fixare, de consolidare, fiind completate cu cele de învăţare productivă, de creaţie”. (apud Neacşu, I., 1988, p. 30)

Elevii cu capacitate de învăţare mai scăzută (L.E., T.O., A.R., C.A., C.G., M.A), datorită faptului că au fost cuprinşi în activităţi frontale, dar trataţi individual, au reuşit să obţină calificative mai bune la evaluările din a doua parte a anului şcolar decât la început, devenind astfel mai motivaţi, mai încrezători în forţele proprii, mai ambiţioşi.

În rezolvarea problemelor, deprinderile şi abilităţile se referă în special la analiza datelor, a condiţiei, la capacitatea de a înţelege întrebarea problemei şi a orienta întreaga desfăşurare a raţionamentului în direcţia descoperirii soluţiei problemei. Faptul că, la testul de evaluare finală, 10 elevi din clasă au obţinut calificativul „FB”, 9 elevi – calificativul „B” şi 2 elevi – calificativul „S”, denotă că toţi elevii (100%) au atins performanţele minime prevăzute de programa şcolară a clasei a III-a, 43 % - performanţele medii şi 47 % - performanţele maxime. Deci, elevii şi-au însuşit conştient cunoştinţele matematice şi le-au conferit aplicabilitate în cadrul exerciţiilor şi, mai ales, al problemelor. În procesul aplicării practice a cunoştinţelor învăţate pe parcursul anului şcolar s-a îmbogăţit experienţa de cunoaştere şi de viaţă a elevilor; ei au reuşit să-şi formeze şi consolideze deprinderi de muncă independentă, deprinderi practice, s-au obişnuit să muncească sistematic. Dezvoltarea intelectuală s-a realizat treptat, progresiv, concomitent cu particularităţile de vârstă şi individuale ale fiecărui elev. Cunoştinţele au fost accesibile, corespunzătoare nivelului de înţelegere al elevilor.

Raportând rezultatele obţinute de către fiecare elev la posibilităţile sale intelectuale, la capacitatea sa de învăţare, concluzionez că nivelul dezvoltării psihointelectuale, capacitatea de învăţare, nivelul cunoştinţelor, priceperilor şi deprinderilor le vor permite asimilarea în mod diferenţiat a noilor cunoştinţe prevăzute în curriculum-ul şcolar al clasei a IV-a.

88

CONCLUZII „Educaţia autentică trebuie să plece întotdeauna în opera de modelare a naturii umane de la cunoaşterea diversităţii caracteristicilor şi forţelor pe care le posedă fiecare copil, elev sau individualitate în parte. Cunoaşterea structurii şi dinamicii caracteristicilor personalităţii, a nivelului de dezvoltare intelectuală, emoţională, atitudinală constituie, de fapt, piatra unghiulară a oricărui proces educaţional care îşi propune formarea dirijată a omului, influenţarea modului său de comportare, adaptare şi integrare în viaţa socială. ” (Dumitriu, Gh., 2004, p.6) Astfel, în anul şcolar 2008 / 2009, mi-am propus să creez condiţii optime de afirmare a potenţialului individualităţii fiecărui elev în situaţii personalizate sau socializate de învăţare, în special în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică. Am avut în vedere folosirea în activitatea didactică a unor diverse metode şi procedee activ-participative în rezolvarea problemelor, crearea unor situaţii de învăţare bazate pe autonomia intelectuală şi acţională a elevilor, stimularea imaginaţiei creatoare, a potenţialului lor creator, a gândirii critice, dar şi a gândirii divergente centrată pe strategii euristice.

Am intenţionat: - să nu fiu un simplu „transmiţător de informaţii”, ci un bun organizator al unor activităţi

variate de învăţare pentru toţi copiii, în funcţie de nivelul şi ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia; - să îi fac pe elevi să aibă încredere în ei, facilitând învăţarea şi stimulând pe copii să lucreze

în echipă; - să le stimulez eforturile intelectuale, să le formez şi să le educ calităţi moral – volitive; - să le dezvolt interesul şi sensibilitatea la probleme noi, să fie receptivi la situaţii

problematice cu conţinut matematic; - să stimulez colaborarea, interesul şi motivaţia pentru aplicarea matematicii în contexte

variate; - să îmbin modalităţile de învăţare reproductivă cu cele de învăţare euristică în activitatea de

rezolvare şi compunere de probleme; - să adaptez metodele de predare – învăţare – evaluare pentru fiecare conţinut, pentru fiecare

formă de organizare şi pentru profilul psihologic al elevilor. Elevii şi-au format deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetică, au exprimat clar şi

concis semnificaţia calculelor făcute în rezolvarea unei probleme prin: - transpunerea unor enunţuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian şi invers; - justificarea alegerii demersului de rezolvare a unei probleme; - utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele şi paşii de rezolvare a unei probleme.

Au manifestat iniţiativă în a transpune diferite situaţii în context matematic, propunând modalităţi diverse de abordare a unei probleme: găsirea mai multor soluţii la anumite probleme, scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei, compunerea unei probleme după un exerciţiu sau după o schemă grafică. Exerciţiile şi problemele au fost judicios gradate sub aspectul efortului mintal pe care-l solicită de la elevi şi raţional programate atât în suita de lecţii, cât şi în cadrul secvenţelor fiecărei lecţii, conducând la formarea şi consolidarea deprinderilor de calcul şi de rezolvare de probleme, concomitent cu dezvoltarea psihică a elevilor.

Elevii au depăşit blocaje în rezolvarea de probleme, au căutat prin încercare – eroare noi căi de rezolvare. Au manifestat un comportament adecvat cu colegii din grupul de lucru, în cadrul activităţilor practice de rezolvare de probleme. Îmbinarea formelor de activitate – frontală, pe microgrupuri şi individuală – a creat posibilităţi largi pentru mobilizări multiple şi variate ale elevilor în vederea rezolvării problemelor. Având în vedere faptul că elevii diferă între ei din punct de vedere al aptitudinilor, al ritmului de învăţare, al gradului de înţelegere a fenomenelor (unii sunt profunzi, alţii sunt superficiali), al capacităţii de învăţare şi al rezultatelor obţinute, am realizat

89

tratarea individuală şi diferenţiată a elevilor prin mai multe procedee: acţiuni individualizate desfăşurate pe fondul activităţilor frontale, cu întrega clasă de elevi, teme diferenţiate pentru acasă (sarcini de lucru cu volum şi grad de dificultate diferenţiat), activităţi pe grupe de nivel, cu repartizarea unor sarcini diferite, potrivit particularităţilor elevilor, cât şi stimularea pe parcursul lecţiilor a tuturor elevilor clasei, prin distribuţia solicitărilor (întrebărilor) în raport de posibilităţile lor.

Lecţiile în care s-au folosit metode active au fost dinamice, plăcute, stimulatoare şi au antrenat toţi elevii clasei. Metodele au constituit o provocare, o curiozitate atât pentru elevi, cât şi pentru mine, cadrul didactic, elevii nu au avut timp de alte preocupări, li s-a părut că ora a trecut repede.

Am constatat în primul rând plăcerea şi interesul cu care elevii au primit acest tip de activităţi, cum se ajută încurajându-se, explică şi celorlalţi ce ştiu, îşi exprimă gândurile fără reţineri şi cei mai timizi capătă curaj având sprijinul grupului. Utilizarea metodelor active a determinat o mai bună colaborare între copii, au devenit mai toleranţi, doresc să se ajute între ei, iar ceea ce este mai important este faptul că s-au împrietenit, nemaiţinând cont de rezultatele obţinute la învăţătură, formându-se totodată un spirit de echipă; au învăţat că pentru realizarea unor sarcini de grup au nevoie unii de alţii.

Rezultatele obţinute la evaluări şi aprecierile pozitive i-au motivat pe elevi, iar această motivaţie a avut un rol dinamizator, de stimulare a efortului de învăţare şi de concentrare a lui în timpul lecţiei.

Efortul pe care l-a făcut fiecare elev în rezolvarea conştientă a unei probleme a presupus o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaştere, volitive şi motivaţional – afective: gândirea, memoria, imaginaţia, limbajul, voinţa, motivaţia şi atenţia. Rezultatele obţinute de elevi confirmă ipoteza lucrării. Astfel, am constatat că prin utilizarea metodelor activ – participative în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică, am contribuit la optimizarea învăţării, la eficientizarea acesteia, la stimularea potenţialului intelectual şi creativ al elevilor, la obţinerea performanţelor fiecăruia în funcţie de particularităţile de vârstă şi individuale.

Pledez pentru ideea conform căreia învăţătorul, cunoscând varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularităţile elevilor cu care lucrează, valenţele conţinutului pe care trebuie să le atingă prin predare – învăţare, să acţioneze pentru a contribui la dezvoltarea disponibilităţilor şi aptitudinilor copiilor, creând un context social – educaţional adecvat, folosind metode eficiente de interacţiune, promovând comportamente şi stiluri didactice flexibile, adaptând metodele de predare – învăţare – evaluare pentru fiecare conţinut, pentru fiecare formă de organizare şi pentru profilul psihologic al elevilor. Elevii de aceeaşi vârstă pot avea deosebiri individuale mai mult sau mai puţin semnificative datorate modului de viaţă, experienţei acumulate, dar şi datorită dispoziţiilor naturale individuale. Aceasta impune din punct de vedere pedagogic ca în procesul de învăţământ să se respecte particularităţile de vârstă şi cele individuale ale elevilor, deoarece modul de a percepe, de a înţelege, de a memora, de a opera pe plan mintal nu este identic la toţi elevii. Prin organizarea unor activităţi de învăţare variate, adaptate nevoilor individuale ale fiecărui elev, învăţătorul stimulează colaborarea, interesul şi motivaţia elevilor pentru rezolvarea problemelor de aritmetică, pentru aplicarea matematicii în contexte variate. „Este dovedit faptul că se produce o dezvoltare optimă a aptitudinilor, capacităţilor şi competenţelor persoanei acolo unde condiţiile de mediu şi educaţie sunt favorabile, în consonanţă cu structura şi dinamica personalităţii individuale. Deci, cu atât mai justificat este un act pedagogic cu cât educaţia săvârşită de adult se realizează în serviciul formării abilităţilor intelectuale, dezvoltării competenţelor cognitive, psihomotorii şi împlinirii personalităţii copilului / elevului.” (ibidem, p. 7)

90

ANEXE Anexa 1

TEST SOCIOMETRIC (apud Hussar, E., Leonte, R., 2005, p. 244)

Numele şi prenumele .............................................. Data ................................. I. a) Numeşte 3 colegi cu care ai dori să lucrezi în clasă la o temă dată. 1. ................................ 2. ................................ 3. ................................

b) Numeşte 3 colegi cu care nu ai dori să lucrezi în clasă la o temă dată. 1. ................................ 2. ................................ 3. ................................ II. a) Numeşte 3 colegi cu care ai dori să stai în bancă. 1. ................................ 2. ................................ 3. ................................

b) Numeşte 3 colegi cu care nu ai dori să stai în bancă. 1. ................................ 2. ................................ 3. ................................

91

Anexa 2 TEST DE EVALUARE INIŢIALĂ

1. Completează şirurile cu încă 3 numere:

a) 784; 786; 788; _____; _____; _____; b) 690; 686; 682; _____; _____; _____; c) 150; 250; 350; _____; _____; _____.

2. Scrie: a) cel mai mare număr par format din două cifre diferite: _____; b) cel mai mic număr impar format din trei cifre diferite: _____; c) cel mai mare număr par format din trei cifre diferite: _____. 3. Completează cu numerele care lipsesc pentru ca relaţiile să fie adevărate: 27 < ____ < 29 577 > ____ 660 = ____ 567 > ____ > 565 ___ < 678 990 < ____ 4. Calculează: 385 + 511 - 427 + 565 - 654 - 457 + 543 299 177 187 122 299 5. Rezolvă următoarele cerinţe: a) La numărul 230 adaugă diferenţa numerelor 600 şi 263. b) La suma numerelor 543 şi 298 adaugă numărul 177. c) Din diferenţa numerelor 409 şi 214 scade cel mai mic număr de două cifre. 6. Află numărul necunoscut: a – 245 = 595 b + 458 = 693 716 – b = 428 539 – a = 405 7. La o fermă sunt 183 de oi, vaci cu 79 mai puţine decât oi. Câte animale sunt în total la fermă? Descriptori de performanţă:

Calificativ Itemi SUFICIENT BINE FOARTE BINE

1 Completează corect un şir Completează corect două şiruri

Completează corect şirurile

2 Scrie corect un număr Scrie corect două numere Scrie corect toate numerele 3 Completează corect 2

numere Completează corect 4 numere Completează corect 6 nr.

4 Calculează corect 2 exerciţii Calculează corect 4 exerciţii Calculează corect 6 exerciţii 5 Rezolvă corect o cerinţă Rezolvă corect două cerinţe Rezolvă corect cele 3

cerinţe 6 Află 2 numere necunoscute Află 3 numere necunoscute Află 4 numere necunoscute 7 Rezolvă o operaţie Rezolvă problema fără plan Rezolvă corect problema

92

Anexa 3 TEST DE EVALUARE: „Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-1000”

„ 1. Completează tabelele următoare cu numerele potrivite: a)

a b a + b 123 87 615 180 336 419

b) n n - 105

531 642 753

2. Uneşte cu o linie operaţia cu rezultatul potrivit: 106 – 102 873 318 + 105 415 526 – 111 423 747 + 126 4 3. Află numărul: a) cu 255 mai mare decât 327; b)cu 189 mai mic decât 291; c) cu 543 mai mare decât 167. 4. Notează cu A relaţiile adevărate şi cu F pe cale false: 915 – 360 = 455 237 + 408 < 654 512 – 228 > 280 5. Află numărul necunoscut: a + 146 = 300 a – 216 = 395 437 + a = 654 854 – a = 428 6. Ce număr obţii dacă: a) la suma numerelor 434 şi 219 adaugi 32; b) din suma numerelor 519 şi 116 scazi 208; c) la diferenţa numerelor 693 şi 237 adaugi 148. 7. Suma a 3 numere naturale este 991. primul număr este 157, iar al doilea număr este cu 187 mai mare decât primul număr. Care este al treilea număr?” Descriptori de performanţă:

Calificativ Itemi SUFICIENT BINE FOARTE BINE

1 a a, b parţial a, b 2 Uneşte o operaţie cu

rezultatul potrivit Uneşte două operaţii cu rezultatul potrivit

Uneşte 3 operaţii cu rezultatul potrivit

3 a a, b a, b, c 4 1 situaţie 2 situaţii 3 situaţii 5 Află două numere

necunoscute Află 3 numere necunoscute Află 4 numere necunoscute

6 a a, b a, b, c 7 Rezolvă o operaţie Rezolvă două operaţii Rezolvă corect prin 3

operaţii

93

Anexa 4

TEST DE EVALUARE: „Înmulţirea când unul din factori este 2, 3, 4 sau 5” (Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., 2008, p. 68)

„1. Completează enunţurile cu noţiunile corespunzătoare:

a) ..................... sunt numerele care se înmulţesc. b) Rezultatul înmulţirii se numeşte ...................... . c) „×” se citeşte ................................ .

2. Calculează: a) 3 × 2 = b) 8 × 3 = c) 4 × 9 = 7 × 5 = 6 × 2 = 6 × 3 = 2 × 2 × 9 = 8 × 2 × 2 = 7 × 2 × 2 = 3. Completează tabelul:

factor 2 9 4 7 6 factor 3 5 8 produs 10 32 24 40

4. Rezolvă sarcinile: a) află dublul numărului 5: .............................................; b) află triplul numărului 8: .............................................; c) măreşte produsul numerelor 2 şi 3 de 2 ori: ........................................ . 5. Completează casetele cu numerele potrivite: 6 × = 30 4 × = 16 9 + 3 × = 18 × 4 = 28 × 3 = 21 30 - × 9 = 12 6. Marius are 5 cutii cu câte 9 bomboane fiecare. Îşi serveşte cu câte o bomboană cei 29 de colegi. Cu câte bomboane mai rămâne Marius? 7. Completează datele problemei cu numerele corespunzătoare: Anca are ........ portocale. Dan are dublu faţă de Anca. În total, cei doi copii au ....... portocale.” Descriptori de performanţă:

94

Anexa 5

TEST DE EVALUARE: „Înmulţirea când unul dintre factori este 6, 7, 8, 9, 0, 1 sau 10” (Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., 2008, p. 69, 70)

Descriptori de performanţă:

95

Anexa 6

TEST DE EVALUARE: „Înmulţirea numerelor naturale” (Pacearcă, Ş., Mogoş, M., 2005, p. 37)

96

Anexa 7

TEST DE EVALUARE: „Împărţirea numerelor naturale mai mici ca 100” (Pacearcă, Ş., Mogoş, M., 2005, p. 55)

97

Anexa 8

TEST DE EVALUARE: „Ordinea efectuării operaţiilor” (Pacearcă, Ş., Mogoş, M., 2005, p. 61)

98

Anexa 9

TEST DE EVALUARE „Înmulţirea şi împărţirea în intervalul de numere naturale de la 0 la 1000” (Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., 2008, P. 75, 76)

99

Anexa 10

TEST DE EVALUARE „Rezolvare de probleme” ( Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., 2008, p. 73, 74)

5.

100

Anexa 11

TEST DE EVALUARE „Adunarea şi scăderea numerelor naturale în intervalul de la 0 la 10 000” ( Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., 2008, P. 80, 81)

101

Anexa 12

TEST DE EVALUARE FINALĂ ( Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., 2008, p. 85, 86)

102

Anexa 13

Probleme realizate în PowerPoint şi rezolvate interactiv de elevi

103

Anexa 14 PROBLEME DE ORGANIZARE A DATELOR ÎN TABELE

104

Anexa 15

Probleme (fişă de lucru în clasă)

O carte are două volume. Primul volum are 256 de pagini, iar al doilea de 2 ori mai multe pagini. Din ambele volume eu am citit 486 de pagini. Câte pagini au mai rămas de citit?

Plan de rezolvare

Exerciţiul şi schema problemei

Compune o problemă asemănătoare care să se rezolve prin acelaşi exerciţiu

- s-au adus 74 l de lapte - s-au consumat 20 l - restul s-a turnat în bidoane de 9 l Câte bidoane s-au folosit?

Plan de rezolvare

Exerciţiul şi schema problemei

Compune o problemă asemănătoare care să se rezolve prin acelaşi exerciţiu

105

Anexa 16 PROBLEME (fişă de lucru în clasă)

ŞTIU VREAU SĂ ŞTIU AM AFLAT 2013 bărbaţi cu 968 mai puţine femei

.............................................................

............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

ŞTIU VREAU SĂ ŞTIU AM AFLAT Bunica a cules din grădină 24 kg de roşii şi 18 kg de ardei. Ea doreşte să pună legumele în lăzi de câte 6 kg, fără să le combine.

.............................................................

............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

ŞTIU VREAU SĂ ŞTIU AM AFLAT s-au plantat 1223 meri, cu 2321 mai mulţi peri, iar pruni cât meri şi peri la un loc

.............................................................

............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

..............................................................

106

Anexa 17 Rezolvare de probleme (activitate pe grupe)

1. DESCRIE

Alcătuieşte o problemă după exerciţiul: 94 – (5 × 7 + 8 × 4) =

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

2. COMPARĂ Compară:

a) sfertul numărului 36 cu dublul numărului 3: ..........................................................................................................................................

b) produsul numărului 8 şi 4 cu jumătatea numărului 64: ..........................................................................................................................................

c) câtul numerelor 81 şi 9 şi câtul numerelor 72 şi 8: .......................................................................................................................................... 3. ANALIZEAZĂ

Analizează datele problemei şi întocmeşte planul de rezolvare al acesteia:

O cantitate de 35 l de lapte se toarnă în bidoane de câte 5 l, altă cantitate de 42 l se toarnă în bidoane de 7 l fiecare. Câte bidoane sunt necesare pentru tot laptele?

Plan de rezolvare

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

107

4. ASOCIAZĂ Asociază corespunzător: jumătatea numărului 846 537 numărul de 5 ori mai mare decât 123 423 numărul cu 263 mai mic decât 800 730 numărul cu 127 mai mare decât 603 249 triplul numărului 83 111 o cincime din numărul 555 615 .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 5. APLICĂ

Compune o problemă care se rezolvă prin două operaţii de înmulţire, folosind numerele: 9, 7, 5. .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................

6. ARGUMENTEAZĂ Completează următoarele argumente: a) dacă înmulţim un număr cu 5 obţinem un număr ....................................................................................................................................; b) dacă scădem 16 dintr-un număr obţinem un număr ....................................................................................................................................; c) dacă împărţim un număr la 7 obţinem un număr ....................................................................................................................................; d) dacă adunăm un număr cu 123 obţinem un număr ...................................................................................................................; e) dacă Irina a rezolvat în 3 zile în mod egal 63 de probleme, aflăm ...................................................................................................................; f) dacă s-au cumpărat 6 cutii cu bomboane, iar în fiecare cutie sunt 8 bomboane, aflăm ..................................................................................... .

108

BIBLIOGRAFIE

Cerghit, I., Radu, I.T., Popescu, E., Vlăsceanu, L, 1991, Didactica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti

Creţu, T., 2005, Psihologia copilului, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Proiectul pentru Învăţământul Rural

Cucoş, C. (coord.), 1998, Psihopedagogie pentru examenele de definitivare şi grade didactice, Editura Polirom, Iaşi

Cucoş, C., 2000, Pedagogie, Editura Polirom, Iaşi Dumitriu, C., 2004, Introducere în cercetarea psihopedagogică, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti Dumitriu, Gh., 2004, Sistemul cognitiv şi dezvoltarea competenţelor, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, Psihopedagogie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti Hussar, E., Aprodu, D. (coord.), 2008, Şcoala incluzivă – şcoală europeană: concepte, metode,

practici, Editura Casei Corpului Didactic, Bacău Hussar, E., Leonte, R., 2005, Ghidul învăţătorului – manager al clasei de elevi, Editura Casei

Corpului Didactic, Bacău Hussar, E., Safciuc, T., 2008, Colaborare şi incluziune în sala de clasă: ghid metodic de

utilizare a strategiilor incluzive în învăţământul preuniversitar, Editura Casei Corpului Didactic Bacău

Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., 2008, Evaluarea elevilor la clasa a III-a, Editura Casei Corpului Didactic, Bacău

Leonte, R., Stanciu, M., 2004, Strategii activ – participative de predare – învăţare în ciclul primar: ghid metodico – ştiinţific în vederea utilizării metodelor active în învăţământul primar, Editura Casei Corpului Didactic Bacău

Lupu, C., 2006, Didactica matematicii, Editura Caba, Bucureşti Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Naţional pentru Curriculum, 2003,

Matematică – programa şcolară, clasele I – a II-a, Bucureşti Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Naţional pentru Curriculum, 2004,

Matematică – programa şcolară, clasa a III-a, Bucureşti Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Naţional pentru Curriculum, 2005,

Matematică – programa şcolară, clasa a IV-a, Bucureşti Neacşu, I. (coord.), 1988, Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti Neagu, M., Mocanu, M., 2007, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom,

Iaşi Nicola, I., 1994, Pedagogie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti Pacearcă, Ş., Mogoş, M., 2005, Matematică, manual pentru clasa a III-a, Editura Aramis,

Bucureşti Săvulescu, D. (coord.), 2006, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura “Gheorghe

Alexandru”, Craiova