www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Bacalaureat

Simulare Bacalaureat 2013 – Iasi 13.12.2012

Matematica M_mate-info

Subiecte rezolvate – Simulare Bacalaureat 2013 – Iasi 13.12.2012,

M_mate-info

Rezolvarea detaliata a subiectelor simulare Bacalaureat 2013 – Iasi 13.12.2012, M_mate-info

Subiectul I

1. Sa considera o progresie aritmetica (a n ) 1n in care a 3 = 5 si a 5 = 11. Calculati suma primilor sapte termeni ai progresiei.

Rezolvare:

Aplicam formula S n =2

)aa(n n1 pentru n = 7

Rezolvam urmatorul sistem de ecuatii pentru a determina ratia r si primul termen a 1 al

progresiei aritmetice

r4aar2aa

15

13

r4a11r2a5

1

1

r4a11)1(r2a5

1

1

r4a11

r2a5

1

1

. 6 = 2r r = 3

325a3r

1

65a3r

1

1a3r

1

a 7 = a 1 + 6r a 7 = - 1 + 6·3 = 17

Deci S 7 = 2

)aa(7 71 =2

)171(7 = 56.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

2. Determinati imaginea functiei f: R R, f(x) = x 2 - x + 2.

Rezolvare:

Graficul functiei de gradul al II-lea este o parabola cu varful V(-a2

b , -a4 ).

Deoarece a = 1 > 0 V(-a2

b , -a4 ) este punctul de minim al graficul functiei si

Im f =

,a4

= 1 - 8 = -7 - a4 = -

47 =

47 . Deci Im f =

,47 .

3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia 1x2x2 = x + 1.

Rezolvare:

Conditii de existenta a radicalului

01x01x2x 2

.

1x2x2 = x + 1 x 2 - 2x + 1 = (x + 1) 2 x 2 - 2x + 1 = x 2 + 2x + 1 4x = 0 x = 0

Verificam daca sunt satisfacute conditiile de mai sus:

x = 0 x 2 - 2x + 1 = 0 -2·0 + 1 = 1 > 0

x + 1 = 0 + 1 = 1 >0

Deci S = {0}.

4. Intr-o clasa sunt 25 de elevi dintre care 13 sunt fete. Determinati numarul de moduri in care se poate alege un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete si 2 baieti

Rezolvare:

Numarul de moduri in care pot fi alese cele 3 fete este C 313 . Fiecare alegere facuta va fi

completata cu 2 baieti pentru a obtine membrii comitetului

Numarul de moduri in care pot fi alese cei 2 baieti este C 21325 = C 2

12 .

Deci numar de moduri in care se poate alege un comitet reprezentativ este C 313 · C 2

12 .

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

5. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(2, - 1) si B(-1, 3). Determinati numerele

reale a si b pentru care

AB = a i

+ b j

.

Rezolvare:

AB = (x B – x A ) i

+ (y B – y A ) j a i

+ b j

= (- 1 – 2) i

+ (3 – (- 1)) j

a i

+ b j

= - 3 i

+ 4 j

a = -3 si b = 4.

6. Se considera trunghiul ABC cu AB = 4, AC = 7 si BC = 3 . Calculati masura unghiului B.

Rezolvare:

Aplicam teorema cosinusului AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2AB·BC· cos B cos B =BCAB2

ACBCAB 222

cos B = 3427316

=

3812 =

23 m( B̂ ) = 30 .

Subiectul II

1. Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x*y = (x – 4)(y – 4) + 4. a) Verificati ca legea „* ” este asociativa. b) Aratati ca x*y ,4 , oricare ar fi x, y ,4 . c) Calculati 1*2*3* ... *2013. Rezolvare: a) x*y = (x – 4)(y – 4) + 4 = xy – 4x – 4y + 16 + 4 = xy – 4x – 4y + 20 Fie x, y, z R oarecare. (x*y)*z = (xy – 4x – 4y + 20)*z = xyz – 4xz – 4yz + 20z – 4(xy – 4x – 4y + 20) – 4z + 20 = = xyz – 4xz – 4yz + 16z – 4xy + 16x + 16y - 80 + 20= xyz – 4(xy + yz + xz) + 16(x + y + z) – 60 (1) x*(y*z) = x*( yz – 4y – 4z + 20)= xyz – 4xy – 4xz + 20x – 4x - 4( yz – 4y – 4z + 20) + 20 = = xyz - 4xy – 4xz + 16x – 4yz + 16y + 16z – 80 + 20= xyz – 4(xy + yz + xz) + 16(x + y + z) – 60 (2) Din (1) si (2) (x*y)*z = x*(y*z) x, y, z R legea „* ” este asociativa b) Fie x, y ,4 oarecare x – 4 > 0 si y – 4 > 0 (x – 4)(y – 4) > 0│+ 4 (x – 4)(y – 4) + 4 > 4 x*y > 4 x*y ,4 , x, y ,4 c) Se constata ca x*4 = 4 si 4*x = 4 xR Folosim faptul ca legea „* „ este asociativa 1*2*3* ... *2013 = (1*2*3)*(4*(5*... * 2013)) = = (1*2*3)*4 = 4.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

2. Se considera matricele I 2 =

1001

, A =

1321

si multimea M = Qb,abAaI 2 .

a) Verificati ca A 2 = 7I 2 . b) Aratati ca multimea M este parte stabila in raport cu inmultirea matricelor din M 2 (Q). c) Aratati ca, pentru orice XM, X O 2 , exista YM astfel incat X·Y = I 2 . Rezolvare:

a) A 2 =

1321

·

1321

=

7007

= 7

1001

= 7 I 2 .

b) Fie X, YM oarecare X = a 1 I 2 + b 1 A si Y = a 2 I 2 + b 2 A, a 1 , b 1 , a 2 , b 2 Q oarecare X·Y = (a 1 I 2 + b 1 A)(a 2 I 2 + b 2 A) = a 1 a 2 I 2

2 + b 1 a 2 A· I 2 + a 1 b 2 I 2 ·A + b 1 b 2 A 2 = = a 1 a 2 I 2 + b 1 a 2 A + a 1 b 2 A + b 1 b 2 ·7 I 2 = (a 1 a 2 + 7b 1 b 2 )I 2 + (b 1 a 2 + a 1 b 2 )A. a 1 , b 1 , a 2 , b 2 Q (a 1 a 2 + 7b 1 b 2 ) si (b 1 a 2 + a 1 b 2 )Q X·YQ

c) Fie XM, X O 2 oarecare X =aI 2 + bA = a

1001

+ b

1321

=

bab3

b2ba, a, bQ

si a 0 sau b 0.

det X = bab3

b2ba

= (a + b)(a – b) – 6b 2 = a 2 - b 2 - 6b 2 = a 2 - 7b 2 .

Presupunem ca det X = 0 a 2 - 7b 2 = 0 a 2 = 7b 2 a = b 7 a este un numar irational sau a = 0. aQ contradictie a = 0 b = 0 contradictie (X O 2 ) Deci det X 0 pentru orice XM, X O 2 XM, X O 2 matricea este inversabila pentru orice XM, X O 2 , exista YM astfel incat X·Y = I 2 . Subiectul III

1. Se considera functia f: R R, f(x) = 1xx

12

.

a) Calculati dx)x(f

1 .

b) Aratati ca orice primitiva a functiei f este strict crescatoare.

c) Aratati ca F: R R, F(x) = 3

32 arctg3

1x2 este o primitiva a functiei f.

Rezolvare:

a) dx)x(f

1 = dx)1xx( 2 = 3

x 3

+ 2

x 2

+ x + C.

b) Fie F o primitiva a functiei f F este derivabila si F'(x) = f(x) F'(x) = 1xx

12

.

Consideram ecuatia x 2 + x + 1 = 0, = 1 – 4 = - 3 < 0.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Deci x 2 + x + 1 > 0 xR F'(x) = 1xx

12

> 0 xR F este strict crescatoare pe R

c) F este o primitiva a functiei f F este derivabila si F'(x) = f(x). F este derivabila pe R.

F'(x) = '3

1x2arctg3

32

=3

32 ·

13

1x2

'3

1x2

2

=3

32 ·1

31x4x4

32

2

= 34 ·

31x4x43

2 =

= 4x4x4

42

= 1xx

12

= f(x) xR F este o primitiva a functiei f.

2. Se considera functiile f, g: ,0 R, f(x) = xxln si g(x) = 2 x (ln x – 2).

a) Calculati dxxln

x)x(f .

b) Demonstrati ca functia g este o primitiva a functiei f. c) Determinati primitiva F: ,0 R a functiei f pentru care F(1) = 0. Rezolvare:

a) dxxln

x)x(f = dxxln

xxxln = dxx =

23

x 23

+ C = 3

xx2 + C.

b) g este o primitiva a functiei f g este derivabila si g'(x) = f(x). g este derivabila pe ,0 .

g'(x) = (2 x (ln x – 2))' = 2·x2

1 (ln x – 2) + 2 x ·x1 =

xxln -

xx2 +

xx2 =

=xxln = f(x) x ,0 .

Deci g este o primitiva a lui f. c) Fie F o primitiva a functiei f. Tinand cont de punctul b) F are forma F(x) = g(x) + C = = 2 x (ln x–2)+ C F(1) = 0 2(ln 1 – 2) +C = 0 2(0 – 2) + C = 0 - 4 + C = 0 C = 4. Deci F(x) = 2 x (ln x – 2) + 4.