bac m1 subiectul i

BAC subiectul I, problema 11) Aflaţi n ∈ N astfel încât 1+ 5 + 9... + n 231.= 41

2) Calculaţi: a) 241 i ;

2−

b)

21 1 ;1 i 1 i

− − + c)

1 1 .1+2i 1 2i

−−

41; 1; i5

− −

3) Ordonaţi crescător numerele 3 42, 4, 5.4) Să se calculeze suma numerelor naturale de două cifre divizibile cu 11. 495

5) Să se calculeze modulul numărului complex: a) 8+iz ;

7 4i=

− b)

2 iz .2 i

−=+

1; 1

6) Ştiind că 2z , z + z +1 0,∈ =C să se calculeze 44

1z + .z

1−

7) Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe ecuaţiile 2 2a) z = 9; b) z = 4.− − 3i; 2i± ±8) Aflaţi numerele a şi b ştiind că 2, a şi b sunt în progresie geometrică iar 2, 17 şi a sunt în progresie aritmetică. 32, 5129) Să se afle suma primilor 20 de termeni ai unei progresii aritmetice ştiind că 4 2 a a 4− = şi 1 3 5 6a a a a 30.+ + + = 420

10) Să se verifice egalităţile : a) ( ) ( )2 21+ i 3 + 1 i 3 4;− = − ( ) ( )4 42 + i + 2 i 14.− = −

11) Să se calculeze 1 2 3 99lg lg lg ... lg . 2 3 4 100

+ + + + 2−

12) Să se calculeze ( ) ( )3 3 3log 5 7 log 5 7 log 2− + + − . 2

13) Să se determine partea reală a numărului ( ) 3z 1 i 3 .= + 8−

14) Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe 2 2a) x 2x + 4 0; b) x 8x + 25 0.− = − = 1 i 3; 4 3i± ±

15) Ordonaţi crescător numerele 3 43, 5, 48.

16) Să se verifice propoziţiile: a) ( )32 log 4, 5 ,∈ b) ( )32 log 4, 5 .∈

18) Aflaţi partea întreagă a numărului 1 1 1 1a= + + +...+ .

1 2 2 3 3 4 2007 2008⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0

19) Să se calculeze modulul numărului complex: a) 2 9z i i ... i ;= + + + b) ( ) 4z 3+4i .= 1; 625

20) Să se determine partea imaginară a numerelor ( ) ( )10 10 1 ia) 1 i + 1 i ; b) .1 i

−+ −+

0; 1−

21) Stabiliţi egalităţile: 7 4 3 + 4 2 3 ;− − ∈ N 1 1 1+ +.....+ N.

1 2 2 3 99 100∈

+ + + 1; 9

22) Dacă 3log 2 a = să se demonstreze că 161+3alog 24=

4a.

23) Arătaţi că numărul ( )2 2008

1 1 11 ... 1; 2 .2 2 2

+ + + + ∈

24) Calculaţi valorile expresiilor: 34 3a) log 2+log 9+ 27; lg2 3b) 100 + 27;− 9 4c) log 3+log 2;

2 3d) log 2008 log 251 3.− − 5,5; 1; 1; 0

25) Dacă 1 2 31 0,a a a ...... 7

= calculaţi suma 1 2 3 6a a a ... a .+ + + + 27

26) Să se calculeze suma s 1 4 7 ... 31.= + + + + 176

28) Aflaţi partea întreagă a numerelor 2 2

1 1 1a) 1 ;3 3 3

− + − 7b) ;

5 2 1− ( ) 2

c) 3 7 ;+ 1d) .

3 2− 0;1;19;3

29) Aflaţi valoarea de adevăr a propoziţiei “Suma oricăror două numere iraţionale este număr iraţional”. F30) Fie ( )n n N

a∈ o progresie aritmetică. Ştiind că 3 19a a 10,+ = calculaţi 6 16a a .+ 10

31) Să se calculeze partea reală a numărului complex ( ) 6 z 3 i .= + 64−

32) Fie fracţia zecimală periodică ( ) 1 2 30, 769230 0,a a a ..... = . Să se calculeze 1 2 3 2008a a a ... a .+ + + + 9042

33) Aflaţi a R∈ astfel încât a 2i R.2 ai

+ ∈+

2±

34) Aflaţi numărul de elemente al mulţimii ( ) ( ] ( ]A B Z, dacă A 3,4 şi B 1,5 .− ∩ = − 4

35) Să se arate că funcţia ( )f : R R, f x 4x 8 2 4 2x→ = − − − este constanată.

36) Să se calculeze 1a) 2008 3 ;3

+ − { }b) 8 2,8 . − − − 46; 3,2−

37) Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţiile: a) 2z z 3 4i;+ = + 2b) x 3x 4 0,+ + =

c) 2z 3z 15 i,+ = + d) 3z 2z 1 i 3 6i.− + − = − e) z z 1 i.+ = + 3 i 71 4i; ; 3 i;2 i; i2

− ±− − +

38) Dacă 2a3

= calculaţi 10 10a .a

+ 21

39) Să se demonstreze că ( )2 3 8 92 1 3 3 3 ... 3 3 .+ + + + + <

40) Aflaţi x R∈ pentru care numerele x 1, 1 x şi 4+ − să fie în progresie aritmetică. 1−41) Aflaţi x R∈ pentru care numerele x, 6 şi x 5− să fie în progresie geometrică. 9

42) Să se arate că şirul cu termenul general n4na

n 3=

+ este strict crescător.

43) Să se arate că şirul cu termenul general 2na n 2= − este monoton. Z

44) Să se determine primul termen al progresiei aritmetice 1 2a , a , 13, 17.... 545) Să se determine primul termen al progresiei geometrice 1 3a , 6, a , 24.... 3±

46) Să se calculeze: 25 25a) ;

3 4i 3 4i+

+ − ( ) 20b) 1 i ;+ c) 5 12i 12 5i− − + ; 6; 1024; 0−

47) Aflaţi numărul complex z dacă z 7i 6z

+ = i

48) Se consideră progresia aritmetică de raţie r 2= cu 3 4a a 8+ = . Să se determine 1a . 1−49) Calculaţi lg 7 310 343.− 0

50) Să se arate că ( ) ( )2a) , 2 log 3, − ∞ ∩ ∞ = ∅ , b) ( )323 2, log 5∈ .

51) Să se calculeze: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2008a) 1 i 1 i 1 i ... 1 i ;− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − 4 3i 2 ib) 3 4i 1 2i

+ +−− −

. 0;0

52) Să se calculeze partea întreagă a numărului 2log 500. 8 53) Să se arate că numărul 1 i+ este rădăcină a ecuaţiei 4z 4 0.+ =54) Fie z un număr complex. Să se arate că dacă numărul 2z 3z+ este real atunci şi z este număr real.

55) Să se arate că numărul 1 3i 1 3i1 3i 1 3i

+ −+− +

este real. 1,6−

56) Să se determine numerele complexe z care verifică relaţia z 3i 6 z.+ = ⋅57) Fie z un număr complex. Să se arate că numărul ( ) i z z− este real.

58) Numerele pozitive a, b, c, d sunt în progresie geometrică. Dacă d a 7 şi c b 2− = − = aflaţi raţia. 259) Fie z o rădăcină a ecuaţiei 2z 2z 4 0.+ + = Să se calculeze modulul lui z. 260)Să se ordoneze crescător numerele 3

23!, 100, log 32.61) Fie a, b, c N∗∈ în progresie aritmetică. Dacă a b c+ + este număr par, arătaţi că a, b şi c sunt pare.

62) Să se calculeze ( ) ( ) 41 2i 3i 1

.5

− −

4−

63) Fie x R .∗∈ Să se calculeze 2

1 .x 1

+

0

64) Calculaţi modulul numărului complex z care satisface z 2z 3 i.+ = + 2

65) Arătaţi că { }6 4 2 a b 2 a,b Z .+ ∈ + ∈

66) O progresie aritmetică cu raţia 3 are suma primilor 10 termeni 150. Aflaţi primul termen. 1,5

67) Să se ordoneze crescător numerele 32 23 4a lg 2 lg 20, b C C şi c 4 4= − = − = − b, c, a

68) Aflaţi a,b R,∈ astfel încât să avem egalitatea ( ) 3cos + isin a + bi.π π = a 1, b 0= − =

69) Să se calculeze: 2 10 a) i i .... i ;⋅ ⋅ ⋅ 3 5 7 b) i i i i ;+ + + ( ) ( )2 2c) 1 2i 1 2i ;+ − − 2 3

1 1 1d)1 ;i i i

+ + +

( ) 20 e) 1 i ;− ( ) ( )( ) 4f ) 1 i i 1 .− − 10 i; 0; 8i; 0; 2 , 16−

70) Să se calculeze partea imaginară a numerelor: 1 2 31 1 2i 2 iz ; z ; z .

1+ i 1+ 2i 2 + 3i− −= = =

1 4 8 ; ; 2 5 13

− −

71) Să se calculeze partea reală a numerelor: 1 2 32 i 3 2i 2 + iz ; z ; z

3i + 4 1 2i 3 + i− −= = =

−

5 7 7 ; ; 7 5 10

72) Să se calculeze 2007i şi inversul numărului 2007i . 1; i

73) Se consideră ecuaţia 2x + 3x + 3 0,= cu rădăcinile 1 2x , x . Calculaţi 2 21 2a) x x ;+ 3 3

1 2b) x x ;+ 4 41 2c) x x ;+

5 51 2d) x x ;+

1 2

1 1e) ;x x

+ 1 2

2 1

x xf ) ;x x

+ 2 21 2

2 1

x xg) ;x x

+ 3 31 2

1 1h) .x x

+ 3; 0; 9; 27; 1; 1; 0; 0− −

74) Să se arate că numărul z 1 i= − verifică egalitatea ( )3 2z 2 z z .= −

75) Aflaţi x, y R∈ pentru care ( ) ( )x 1 2i y 2 i 4 3i.+ + − = + 2; 1

76) Aflaţi conjugatele numerelor complexe 10 111z i + i ,= ( ) ( )2z 1 2i i 2= − − şi 3

2 iz .3 + i

−= 1+ i; 5i; 0,5 + 0,5i− −

77) Demonstraţi că soluţiile ecuaţiei x 3 5 =5− − sunt numere în progresie aritmetică. 7,3,13−

78) Să se calculeze media aritmetică a elementelor mulţimii { }M 11,12,13,..,18 .= 292

79) Se consideră progresia aritmetică de raţie r 2= cu 3 4a a 8.+ = Să se determine 1a . 1−80) Dacă într-o progresie aritmetică 1a 3= şi raţia este r 3= aflaţi 5a . 1581) Calculaţi suma primilor cinci termeni in progresia aritmetică cu 1a 1= şi raţia r 5= . 55 82) Dacă într-o progresie geometrică 1a 0= şi raţia este 3 să se calculeze 10a . 083) Să se determine primul termen al progresiei aritmetice 1 2a , a , 13, 17.... 584) Să se determine primul termen al progresiei geometice 1 3a , 6, a , 24... 385) Numerele pozitive a, b, c, d sunt în progresie geometrică. Dacă d a 7 şi c b 2− = − = aflaţi raţia. 286) Să se determine numărul x pentru care 1 3 5 .... x 225.+ + + + = 29

87) Dacă x,y ( )1,1∈ − demonstraţi că x y1 xy

++ ( )1,1∈ − .

88) Demonstraţi (şi reţineţi) că ( )2 2 22 x y z xy xz yz+ + − − − ( ) ( ) ( )2 2 2x y y z x z= − + − + −

89) Demonstraţi că pentru orice numere reale pozitive au loc inegalităţile 2ab a bab .

a b 2+≤ ≤

+ ( este vorba

despre inegalitatea mediilor: media armonică ≤ media geometrică ≤ media aritmetică)!!

BAC subiectul I, problema 21) Rezolvaţi inecuaţiile: 2a) 2x 5x 3 0;− + ≤ 2b) x 10x 12 0, x Z;− + ≤ ∈ 2c) x 4x 3 0,− + − ≥ 2d) 2x 3x+1 0;− ≤

2e) x x 6 0, x Z ;− − ≤ ∈ 2f) 2x 5x+2 0.− ≤ { } [ ] [ ] { } [ ]31; ; 2,3,..,8 ; 1,3 ; 0,5; 1 ; 3,...,2 ; 0,5; 22

−

2) Să se rezolve ecuaţiile: 3x 1 x +1a) + 3;x +1 2x 1

− =−

x +1 x + 2 7b) + .x + 2 x + 3 6

= { } 13 1;5 ; ; 05

−

3) Aflaţi ( )( )min f x dacă ( ) 2 a) f : R R, f x 4x 8x 1;→ = − + ( ) 2b) f : R R, f x 3x 4x 2.→ = + + 2 3; 3

−

4) Să se arate că vârful parabolei 2y x 5x 1= + + se află în cadranul al treilea. 5 21 V ;2 4

− −

5) Fie funcţia ( ) 2f : R R, f x x 3x 2.→ = + + Să se arate că ( ) ( )f a f a 1 0, a R.+ + ≥ ∀ ∈6) Să se determine funcţiile de gradul al doilea care satisfac :

( ) ( ) ( )a) f 1 1, f 0 1, f 1 3;− = = = ( ) ( ) ( )b) f 1 4, f 1 2, f 2 7. − = = = ( ) ( )2 2f x x x 1; f x 2x 4x 1= + + = − +

7) Aflaţi valoarea maximă a funcţiilor f : R R :→ ( ) 2a) f x x 6x 9;= − + − ( ) 2b) f x 2x x.= − + 10; 8

8) Se consideră funcţia f : R R,→ ( ) 2f x ax x c= + + . Aflaţi a şi c dacă ( ) ( ) fA 1,2 , B 0,3 G .∈ 2; 3−

9) Să se determine a R∈ pentru care ecuaţia ( )2ax 3a 1 x a 3 0+ + + + = are rădăcini reale. ( ] [ ),0,2 1,− ∞ ∪ ∞

10) Să se determine funcţia de gradul I pentru care ( )( ) ( )f f x 2f x 1, x R.= + ∀ ∈ ( )f x 2x 1= +

11) Să se rezolve ecuaţia ( )( )f f x 0= ştiind că ( )f : R R, f x 3x 2.→ = − + 49

12) Rezolvaţi sistemele: x y 4

a) ;xy 3

+ = =

2

2

y x 3x 1b) .

y 2x x 4

= − +

= + + ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1,3 ; 3,1 ; 1,5 ; 3,19− −

13) Aflaţi a R∈ astfel încât inecuaţia ( )2ax + 2 a +1 x + 2a 1 0− ≥ să nu aibă soluţii reale. 3 13 3 13 ,

2 2 − +

14) Să se determine două numere reale care au suma 1 şi produsul 1.− 1 52

±

15) Aflaţi funcţia de gr. II al cărei grafic este tangent la Ox în ( )A 1,0 şi trece prin ( )B 0,2 . ( ) 2 f x =2x 4x+2−

16) Să se determine a R∈ astfel încât 2

2

x ax 2 0, x R.x 1+ + ≥ ∀ ∈

+ 2 2, 2 2 −

17) Să se afle Imf dacă ( )2

2

x x 2f : R R, f x .x 1

− +→ =+

3 2 2 3 2 2,

2 2 − +

18) Aflaţi valoarea minimă a funcţiei [ ] ( ) 2f : 2,2 R, f x x 3x 2.− → = − + 14

−

19) Să se determine funcţia f ştiind că reprezentările grafice ale funcţiilor f : R R→ şi ( )g : R R, g x 3x 2→ = − + sunt simetrice faţă de dreapta x 1. = ( ) f x 3x 3= −

20) Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţiile: 2a) x 2x 2 0;− + = 2x 3 x 1b) x 2 x 2

+ −=+ −

. 1 i;1 5± ±

21) Aflaţi a R∈ pentru care graficul funcţiei ( ) ( ) ( )2f : R R, f x a 1 x 3 a 1 x a 1→ = + + − + − intersectează axa Ox

în două puncte distincte. ( ) ( ) { },1 2,6; 1− ∞ ∪ ∞ − −

22) Fie funcţiile ( ) ( )2f ,g : R R, f x x 3x 2, g x 2x 1.→ = − + = − Rezolvaţi ecuaţia ( ) ( )f g x 0.=o 1; 1,5

23) Să se determine numărul real a astfel încât parabola ( ) 2y a 1 x ax 3 = + + + şi dreapta y x 1= + să aibă în

comun două puncte distincte. ( ) ( ),5 4 2 5+4 2,− ∞ − ∪ ∞

24) Fie funcţia ( )f : R R, f x 1 2x.→ = − Calculaţi suma ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )s f f 1 +f f 2 +f f 3 +...+f f 10 .= 210

25) Ordonaţi crescător numerele ( ) ( ) ( )f 2 , f 3 şi f 2 dacă ( ) 2f : R R, f x 6x 3x .→ = −

26) Aflaţi coordonatele punctelor de intersecţie ale graficelor funcţiilor x 1. = 1 1 ,3 3

−

27) Demonstraţi că vârful prabolei determinate de ( ) 2 f : R R, f x 2x 2x 1→ = + + se află pe dreapta x y 0.+ =

28) Se consideră funcţia ( )f : R R, f x x 2.→ = + Rezolvaţi ecuaţia ( )( ) ( )2 f f x f x .= 3; 0−

29) Se consideră funcţiile ( ) ( )f ,g : R R, f x 2 x, g x 3x 2.→ = − = + Calculaţi ( ) ( ) ( ) ( )f g x g f x .−o o 8−

30) Aflaţi imaginile funcţiilor : ( ) 2a) f : R R, f x x x 1;→ = + + ( ) 2

2xb) f : R R, f x .x 1

→ =+

[ ]3 ; ; 1,14

∞ −

31) Aflaţi m R∈ astfel încât 2a) x 3x m 0 x R;+ + > ∀ ∈ 2b) x mx 1, x R.+ ≥ − ∀ ∈ [ ]9 ; ; 2,24

∞ − 32) Să se demonstreze că dreapta de ecuaţie y 2x 3= + este tangentă la parabola 2y x 4x 12.= − + 33) Graficul unei funcţii de gradul al II-lea este parabola ce trece prin punctele ( ) ( ) ( )A 1, 3 , B 1,3 şi C 0,1 .− −

Aflaţi coordonatele vârfului acestei parabole. 3 13 ;2 4

−

34) Fie 1 2 x , x soluţiile ecuaţiei 2x x 1 0.+ − = Demonstraţi că 1 2

2 1

x x Z.x x

+ ∈ 3−

35) Aflaţi m pentru care ecuaţia 2x mx 1 m 0− + − = are rădăcini reale distincte. ( ) ( ),2 2 2 2 2 2,− ∞ − ∪ + ∞

36) Aflaţi coordonatele punctelor de intersecţie dintre dreapta y 2x 1= + şi parabola 2y x x 1.= + + ( ) ( )0,1 ; 1,3

37) Se consideră funcţia ( ) ( ) 3

1f : 0, R , f x . x

∞ → = Calculaţi ( ) ( )f f 512 .o 2

38) Fie funcţia f : R R,→ ( ) ( ) ( )2f x m 2 x m 1 x m 1, m 2.= + − − + − ≠ −

Aflaţi parametrul m real pentru care ( )f x 0, x R.≤ ∀ ∈ ( ), 3− ∞ −

39) Să se arate că dreapta y 2x 1= + nu intersecteaza parabola 2y x x 3.= − +

40) Aflaţi coordonatele punctelor de intersecţie dintre dreapta y 2x 1= + şi parabola 2y x x 3.= − + ( ) ( )2,5 ; 1,3

41) Aflaţi m pentru care parabola 2y x 2x m 1= − + − şi dreapta y 2x 3= + au două puncte comune. m 8<

42) Să se determine imaginea intervalului [ ]1,3 prin funcţia ( ) 2f : R R f x x 4x 3.→ = − + [ ] 1,0−

42) Rezolvaţi inecuaţia 2x 1 3x 2 .1 x 1 x

− +≥− −

( ) ( ), 3 1,− ∞ − ∪ ∞

44) Rezolvaţi sistemul 2 2x y 13

x y 5 + = + =

în mulţimea numerelor reale. ( ) ( )2,3 ; 3,2

45) Fie 1 2x , x soluţiile ecuaţiei 2x 3x 1 0.+ + = Calculaţi 3 31 2x x .+ 18−

46) Să se arate că ( ) ( )2 2x 4x 5 x 2x 2 1, R.+ + ⋅ + + ≥ ∀ ∈

47) Aflaţi axa de simetrie a graficului funcţiei ( ) 2f : R R, f x 3x 6x 1.→ = − + x 1=

48) Rezolvaţi ecuaţia x 3 4 x 1.− + − = [ ]3; 4

49) Fie 1 2x , x rădăcinile ecuaţiei 2x 5x 7 0.+ − = Stabiliţi dacă 3 31 2x x Z.+ ∈ 20−

50) Aflaţi punctele de intersecţie ale parabolei 2y x 5x 6= + − cu axele de coordonate. ( ) ( )6,0 , 1,0−

51) Se consideră funcţia ( ) 2f : R R, f x x x 2.→ = + − Să se calculeze ( )( )f 2 f 1 .⋅ − 10

52) Fie funcţiile ( ) ( )2f ,g : R R, f x x 2x 1, g x x 2008.→ = + + = − Arătaţi că ( ) ( )f g x 0, x R.≥ ∀ ∈o

53) Dem. că: a) funcţia ( ) 3f : R R,f x x 2sin x este impară;→ = − b) funcţia ( ) 22

1f : R R, f x xx

∗ → = − este pară.

54) Să se arate că 13

esate o perioadă a funcţiei ( ) { }f x 3x .=

55) Să se determine valorile lui m R∈ astfel încât: ( ) ( )2a) f x 3 m x 3= − + să fie strict crescătoare.

( ) ( )2b) f x m 2 x 3= − − să fie strict descrescătoare. ( ) ( )3, 3 ; 2, 2− −

56) Dacă ( )f : R R, f x 2x 1,→ = + aflaţi suma ( ) ( ) ( )S f 1 f 2 ... f 50 .= + + + 2600

57) Se consideră funcţia ( ) 2 4f : R R, f x x x .→ = − Calculaţi ( ) ( )fofofof 1 . 0

58) Să se determine punctele de intersecţie ale parabolelor 2y x x 1= + + şi 2y x 2x 6.= − − + ( ) 5 191,3 , ;2 4

−

59) Dacă ( ) 1f : R R, f x ,x

∗ → = aflaţi suma ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f f 10 f f 9 .. f f 9 f f 0 .− + − + + + 0

60) Se consideră funcţia ( )f : R R, f x 1 x.→ = + Calculaţi suma ( ) ( ) ( )f 1 f 2 ... f 10 .− + − + + − 45−

61) Fie funcţia ( ) 2f : R R, f x x 4x 3.→ = − + Aflaţi punctele de intersecţie ale graficului cu axa Ox. ( ) ( )1,0 , 3,0

62) Se consideră funcţiile ( ) ( )f , g : R R, f x 1 x, g x 2x 1.→ = − = − Arătaţi că f go este funcţie descrescăroare.63) Dacă f este o funcţie de gradul I neconstantă, demonstraţi că f fo este strict crescătoare.

64) Se consideră ecuaţia 2x 2x m 0, m R,− + = ∈ cu rădăcinile 1 2x şi x . Aflaţi m dacă 1 2x x =1.− 34

65) Fie funcţia ( ) 2f : R R, f x x 4x 9.→ = − + Să se arate că vârful parabolei asociate se află pe dreapta x y 7.+ =

66) Determinaţi m R∈ dacă: a) 2x 3x m 0, x R;+ + ≥ ∀ ∈ b) 2mx x 2 0, x R.+ − ≤ ∀ ∈9 9; ; , 4 8

∞ − ∞ −

67) Aflaţi funcţia de gradul al II-lea al cărei grafic trece prin punctele ( ) ( )A 1, 2 , B 1,1− − şi care intersectează axa

ordonatelor în punctul ( ) C 0,4 . ( ) 2f x 4,5x 1,5x 4= − − +

68) Fie funcţia ( ) ( )2f : R R, f x x m 1 x m.→ = + + + Aflaţi m astfel încât graficul funcţiei să fie tangent la Ox. 1

69) Numerele reale a şi b au suma 5 şi produsul 2. Calculaţi valoarea expresiei a bE .b a

= + 10,5

70) Să se determine imaginea funcţiei [ ] ( )f : 2; 1 R, f x 2x 1.− → = − + [ ] 1; 5−

71) Să se rezolve ecuaţiile : a) 1 2x x 4 ;− = + b) 1x 1;

1 x+ =

+ c) 1+ x 1 x.= − { } { } { } 1; 5 ; 2; 0 ; 0− −

72) Să se determine perechile ( )a,b de numere reale care satisfac 2 2a b a b 2+ = + = . ( ) 1; 1

73) Să se determine numerele reale x şi y astfel încât 2 2x 2y 1 şi x 6y 1.+ = − = ( ) ( ){ }1;0 ; 5, 2−

74) Aflaţi funcţiile de gradul I, strict crescătoare care îndeplinesc condiţia ( )( )f f x 4x 3, x R.= + ∀ ∈

75) Să se dea un exemplu de ecuaţie de gradul al II-lea cu coeficienţi reali care să aibă una dintre rădăcini 3.

76) Arătaţi că funcţiile ( ) ( ) 1 xf : 1,1 R , f x ln1 x

−− → =+

şi ( ) ( ) 3 xf : 3,3 R , f x ln3 x

−− → =+

sunt impare.

77) Rezolvaţi ecuaţiile: x 4 x 4 11a) 2 ;

3x 4 x 4+ −+ =− +

x+4 x 4 11b) +2 = .x 4 x+4 3

−−

{ } 52 5 ; 5,5

−

BAC subiectul I, problema 3

1) Să se determine inversa funcţiei bijective ( ) ( ) ( ) 2f : 0, 1, , f x x 1.∞ → ∞ = + ( )1f x x 1− = −

2) Să se determine inversa funcţiei bijective ( )f : R R, f x 2x 1.→ = − ( )1 x 1f x2

− +=

3) Determinaţi inversa funcţiei bijective ( )f : R R, f x x 1.→ = − ( )1f x x 1− = +

4) Rezolvaţi în mulţimea [ )0,2π ecuaţia 1sin x .2

= − 7 11 , 6 6π π

5) Rezolvaţi în mulţimea [ )0, π sin3x sin x.= 0; 4π

6) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţiile :

( ) ( )a) lg x 1 lg 6x 5 2;− + − = ( )x 12b) log 2 1 x;− + + = x x 1 8c) 9 3 0.

9++ + = { }35; 1; 1; 1 2log 2− − +

7) 3a) 7x 1 x 1;+ − = x xb) 4 2 56;− = x x xd) 3 4 6 2 9 .⋅ − = ⋅ { } { } { } 4, 0, 1 ; 3 ; 0 −

8) Rezolvaţi ecuaţiile : x xa) log 2 log 2 9;+ = ( )b) x 6 x 2 1 ;= − − 6 2 3c) x 2x 1 3 x.− + = − { }3 2; 6, 18 ;2

9) Rezolvaţi în mulţimea [ ]0,2π ecuaţiile : a) cos4x 1;= b) sin x cos x 0.+ = 3 3 70; ; ; ;2 , ;

2 2 4 4π π π π π π

10) Rezolvaţi ecuaţiile : ( )a) lg x 1 lg9 1 lg x;+ − = − ( ) ( )2b) lg 8x 9 lg x 1 lg x 1 .+ + = + − { } 9+ 161 9 , 4

11) Rezolvaţi în mulţimea [ )0,2π ecuaţiile : ( )a) tg x 1 2tgx;− = − 1b) cos2x ;2

= c) sin x cos x 1;+ = −

d) cos x sin x 0.− = 5 5 7 11 3 5; , ; ; ; , ; , ;

4 4 6 6 6 6 2 4 4π π π π π π π π π π

12) Rezolvaţi ecuaţiile : a) 2x 1 5;− + = 2x 1 x 1b) 3 10 3 27 0;+ +− ⋅ + = 3 3c) 8 x 9 4x.− = − { } { } 112 , 0,2 , 3

−

13) Să se rezolve ecuaţiile : 1a) arcsin arcsin x ;2 3

π+ = 1b) arcsin arcsin x .

22π+ = 1 2 ;

2 2

14) Rezolvaţi ecuaţiile : a) x 8 6 x 1 1;+ − − = 2x 3 x 1b) ;x 2 x 2

+ −=+ −

x xc) 3 9 2.+ = { } { } { }5; 17 , 1 5 , 0 ±

15) 2 4 811a) log x log x log x ;6

+ + = 2x x 1b) 2 3 2 8 0.+− ⋅ + = { } { } 2 , 1;2

16) a) 2x 1 3;− = b) x 2 x;= − ( ) ( )3 3c) log x 1 log x 3 1.+ + + = { } { } { }5 ; 1 ; 0

17) 2a) sin x 1 cos x;= + b) sin x cos x 1.+ = ( ) { }k1 k ,k Z , 2k ,k Z 2k ,k Z2 2π π − + π ∈ π ∈ ∪ + π ∈

18) x xa)16 3 4 4;+ ⋅ = ( )b) lg x 1 lg9 1 lg x;+ − = − 2x 1 x 2c) 2 2 160.+ ++ = { } { } { }0 ; 9 ; 3

19) x xa) 4 2 56;− = x x xb) 3 4 6 2 9 ;⋅ − = ⋅ c) x 1 x 1.+ − = { } { } { }3 ; 0 ; 0;1

20) ( )a)lg x lg 9 2x 1;+ − = ( ) ( ) ( )2b) lg x 9 lg 7x 3 1 lg x 9 .+ + + = + + { } { }2; 2,5 , 1,21

19) Aflaţi numărul de soluţii ale ecuaţiei sin x sin 2x= în intervalul [ )0,2 .π 5 ;

3 3π π

20) Să se demonstreze că funcţiile ( ) ( ) ( ) 1f : R R, f x 3x 1, f : 1, R, f x xx

→ = + ∞ → = − sunt injective.

21) Se consideră funcţia ( ) 2f : R R, f x x 6x 10.→ = − +

Să se calculeze suma ( ) ( ) ( )s f 1 + f 2 + ... + f 20 .= Să se rezolve ecuaţia ( )2f log x 1. = 1810; 8

22) Să se arate că funcţia ( ) x3f : R R, f x log 2 x→ = − este injectivă. ]

23) Să se rezolve inecuaţia 3 22 x 1.− ≥ [ ]1, 1−

24) Să se arate că funcţia ( ) ( ) ( ) x 3 f : 0, 1, 3 , f xx 1

+∞ → =+

este bijectivă.

25) Să se rezolve ecuaţiile : 3a) x 1 x 1;+ − = 2b) lg x 5lg x 6 0.+ − = { } { }60,1,9 ; 10; 10−

26) Să se justifice de ce, dacă funcţia ( ) ( )f : 1,2,3 4,5,6→ este injectivă, atunci ( ) ( ) ( )f 1 f 2 f 3 15.+ + =

27) Aflaţi numărul de soluţii ale ecuaţiei 1cos2x3

= în intervalul [ ]0,4 .π 1 1 arccos 2k ,k Z / 7solutii2 3

± + π ∈

28) Rezolvaţi ecuaţiile : a) x x4 2 56;− = b) sin x cos x;= c) ( )arcsin 1 x arccos x .2π− + =

13; k , k ; 4 2π + π ∈

¢

29) Se consideră funcţia bijectivă ( ) ( )( )f : R R cu f 1 2 şi f f 1 4.→ = = Calculaţi ( )1f 4 .− 2

30) Fie funcţia { } { } ( ) f : 1,2,3,..,100 1,2,3,..,100 , f x 101 x.→ = − Să se arate că f este bijectivă.

31) Să se determine numărul funcţiilor strict monotone { } { }f : 1,2,3 5,6,7,8 .→ 8

32) Să se rezolve în intervalul ( )0,5 ecuaţia 1sin 2x .

6 2π + = −

5 3, ,

2 6 2π π π

33) Rezolvaţi ecuaţiile: x 2x 1 2x 1

x 32 4a) 2 4 8 7 16 ;++ −

+ + = ⋅ x xb) 5 5 2;−+ = x xc)log 2 log 2 9.+ = 3 1; 0; 2

34) Fie ( )a 0, , a 1.∈ ∞ ≠ Studiaţi monotonia funcţiei ( ) ( ) xaf : 0, R, f x a log x.∞ → = +

34) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia 2 4log x log x 3.+ > ( ) 4, ∞

36) Rezolvaţi ecuaţia sin 2x cos x.= ( ) k2k , k 1 k , k2 6π π − + π ∈ ∪ − + π ∈

¢ ¢

37) Determinaţi soluţiie întregi ale inecuaţiei 2x 2x 8 0.+ − < { }3, 2, 1,0,1− − −

38) Determinaţi inversa funcţiei bijective ( ) ( ) xf : R 1, , f x e 1.→ ∞ = + ( ) ( )1f y ln y 1− = −

39) Determinaţi inversa funcţiei bijective ( ) ( ) ( ) 2f : 1, 0, , f x 3log x.∞ → ∞ = ( ) 31 yf y 2− =

40) Să se demonstreze că funcţia ( ) 3f : R R, f x 3x 1→ = + este injectivă.

41) Să se arate că numărul 1 3sin arcsin sin arccos2 2

+ este natural. 1

42) Rezolvaţi ecuaţiile: a) ( )sin x cos x 1;+ − = b) 1arcsin 2x .2

= − { } 1 12k ,k Z +2k ,k Z ; sin2 2 2π π ∈ ∪ π ∈ −

43) Rezolvaţi ecuaţiile: a) x x 1 x 12 2 2 56;+ −+ + = b) x 1 2 x 1;− + − = c) x 8 x 2.+ − = { }4; 1,2 ; 1

44) Să se rezolve în R ecuaţiile : a) 2x 1 x;− = b) x 1 x3 3 8;+ = − + c) 1arctgx arctg .3 2

π+ = ( )31; log 2; 0, 3

45) Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2lg x+lgx=6; b) x 1 x2 3 3 7;−⋅ + = c) 22x 16 x 11.+ + = { }31100, ; 1, log 2 ;3

1000 −

46) Rezolvaţi ecuaţiile: a) 22log x x 2 1;+ − = b) arctg 3 arctgx ;

2π+ = { } 33, 2 ;

3−

47) Rezolvaţi ecuaţiile: a) 32 x x 2 0;− − − = b) 3sin x 3 cos x 0;+ = { }1,2 ; k , k6π − + π ∈

¢

48) Dacă ( ) ( ) xf: 0, R, f x ,x +1

∞ → = calculaţi produsul ( ) ( ) ( )p f 1 f 2 .... f 10 .= ⋅ ⋅ ⋅ 111

49) Să se demonstreze că funcţia ( ) 2f:R R, f x x + 3x 4→ = − nu este injectivă.

50) Dacă funcţia ( ) 3f : R R, f x x x 2,→ = + − are inversa g : R R,→ să se calculeze ( )g 8 . 2

51) Dacă funcţia ( ) 5f : R R, f x x x 3,→ = + + are inversa g : R R,→ să se calculeze ( )g 5 1

52) Să se afle imaginea funcţiei ( ) 2

1 xf:R R, f x .x 1

−→ =+

1 2 1 2,

2 2 − +

53) Să se demonstreze că funcţia ( ) 3 2f:R R, f x x 2x x 2→ = + − − nu este injectivă.

54) Rezolvaţi ecuaţiile: a) ( )22 2log x log 4x 4;+ = b) 3sin x 3 cos x 0;+ =

12, ; k , k4 6

π − + π ∈

¢

55) Rezolvaţi ecuaţia sin x cos x 16 3π π + + − =

. { }2 2k , k 2k , k3π + π ∈ ∪ π ∈

¢ ¢

56) Rezolvaţi ecuaţiile: a) 32 x x 2 0;− − − = b) 3sin x 3 cos x 0;+ = { }1,2 ; k , k6π − + π ∈

¢

57) Să se afle imaginea funcţiei [ ] ( ) 2f : 0,2 R, f x 2x x .→ = − [ ]0,1

58) Se consideră funcţia ( )f : R R, f x x 3.→ = − Calculaţi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f 3 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 .− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0

59) Să se determine numărul funcţiilor bijective { } { }f : 2,4,6 2,4,6→ 3P 6=

60) Să se determine numărul funcţiilor 2 3f : Z Z→ 9

61) { } { } Să se determine numărul funcţiilor bijective definite pe mulţimea 1,2,3,4 cu valori în 5,6,7,8 . 24

62) ( )( ) ( ) ( )2Să se calculeze f g 1 dacă f ,g : R R, f x x x 1, g x x 1. 3→ = − + = +

63) ( ) ( ) ( )5Dacă funcţia f : R R, f x x 1, are inversa g:R R, să se calculeze g 1 + g 2 . 1 → = + →

64) { } { }Să se determine numărul funcţiilor definite pe mulţimea 1,2,3 cu valori în mulţimea 0,1 . 8

65) ( ) ( )3Dacă funcţia f : R R, f x x 3x 6, are inversa g : R R, să se calculeze g 10 . 1→ = + + →


xf:R R, f x . 4x 1

→ =+

[ ] 0,25; 0,25−

67) ( ) 2Să se demonstreze că funcţia f : R R, f x x x 1 nu este injectivă. → = + +

68) Să se studieze monotonia funcţiei ( ) ( ) x2010f : 0, R, f x 2010 log x.∞ → = + Z


xf:R R, f x .x 2

→ =+

2 2,

4 4

−

70) ( ) ( )Dacă funcţia f : R R, f x 3x 7, are inversa g : R R, să se calculeze g 10 . 1→ = + →

71) Funcţia ( )f : R R, f x ax b,→ = + are inversa ( )1f x 8x 3.− = − Determinaţi a şi b. 1 3; 8 8

72) Aflaţi domeniul maxim de definiţie al funcţiilor: a) ( ) 3f x x 4;= − b) ( ) 2f x x + 2x ; =

c) 2x 2+ 9 x ;− − d) ( ) 2f x 2 x + x 4.= − − ( ] [ ) [ ] ( ] { }R; , 2 0, ; 2,3 ; , 2 2− ∞ − ∪ ∞ − ∞ − ∪

73) Aflaţi domeniul maxim de definiţie al funcţiilor: a) ( ) ( )3f x log x 3 ;= + b) ( ) ( )2x 1f x log x 2 ;+= +

c) ( ) ( )f x arcsin x 2 ;= − d) ( ) 5f x log x 3; = + e) ( ) ( )f x arc tg 2 3x .= − [ ) ( ) ( ] { } [ ]3, ; 0, ; 1, 0 ; 1,3 ;R− ∞ ∞ − ∞ −


1) Fie mulţimea { }A 1,2,..,10 .= Aflaţi numărul submulţimilor lui A care au trei elemente şi conţin pe 1. 36

2) Aflaţi probanilitatea ca alegând un număr abc din mulţimea numerelor de trei cifre să avem a b.≠ 81

100

3) Aflaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea numerelor de două cifre să fie pătrat perfect. 1

15

4) Aflaţi probab. ca alegând un număr din mulţimea numerelor de 3 cifre acesta să aibă 2 cifre egale. 27

100

5) Să se determine numărul funcţiilor { } { } f : 1,2,3,4 1,2,3,4→ cu proprietatea că ( ) ( )f 1 f 4 .= 646) Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 2, 4, 6 şi 8 ? 247) Să se determine n N∗∈ pentru care muţimea { }1,2,...,n are exact 120 submulţimi de 2 elemente. 16

8) Câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu cifre din mulţimea { }1, 3, 5, 7, 9 ? 120

9) Să se determine numărul funcţiilor { } { } f : 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5→ cu proprietatea că ( ) ( ) f 1 f 2 .= 625

10) Să se determine numărul termenilor iraţionali din dezvoltarea binomului ( ) 200833 3+ 1339

11) Să se determine numărul funcţiilor { } { }f : 0,1,2 0,1,2→ cu proprietatea că ( )f 2 2.= 9

12) Să se determine a 0> ştiind că termenul din mijloc al dezvoltării 12

34

1aa

+ este egal cu 1848. 1340

13) Aflaţi termenul care nu conţine x din dezvoltatrea 9

2 1x + . x

7T 84=

14) Aflaţi numărul de elemente ale unei mulţimi ştiind că aceasta are 45 submulţimi de câte 2 elemente. 10

15) Câte numere de patru cifre se pot forma cu cifre din mulţimea { }1,3,5,7,9 . 4 516) Rezolvaţi ecuaţia 8 10

n n C C= . 18

17) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un număr de forma ab să avem a b 4.+ = 245

18) Să se calculeze 4 4 44 5 6 C C C . + + 21

19) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un număr k din mulţimea { } 0,1,2,...,7 , numărul k7C să fie prim.

1 4

20) Să se calculeze 4 4 38 7 7C C C .− − 0

21) Să se rezolve ecuaţia 2nC 10, n .< ∈ N 2, 3, 4

22) Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr n din mulţimea{ }1,2,3,...40 ,

numărul n 2 n2 6+ ⋅ să fie pătrat perfect. 12

23) Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr n din mulţimea { }10, 11, 12, ...40 , suma cifrelor lui să

fie divizibilă cu 3. 1031

24) Să se determine numărul funcţiilor { } { }f : 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3→ care au proprietatea ( ) ( )f 0 f 1 2.= = 16

25) Să se determine numărul funcţiilor { } { }f : 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3→ care au proprietatea ( )f 0 impar.= 12826) Să se determine probabilitatea ca, alegând o mulţime din mulţimea submulţimilor nevide ale mulţimii

{ }A 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,= aceasta să aibă toate elementele impare. 19

27) Fie mulţimea { }A 2, 1, 0, 1, 2 .= − − Să se determine numărul funcţiilor pare f : A A.→ 125

28) Să se determine probabilitatea ca, alegând o mulţime din mulţimea submulţimilor nevide ale mulţimii

{ }A 1, 2, 3, 4, 5 ,= aceasta să aibă produsul elementelor 120. 231

29) Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea binomului ( ) 52 1 .+ 3

30) Să se arate că pentru orice n , n 3∈ ≥N , are loc relaţia 2 3 3n n n 1C C C .++ =

31) Să se calculeze probabilitatea ca un element { }n 1,2,3,.....,8∈ să fie soluţie a inecuaţiei 2n + 5n 6 0.− < 18

32) Să se calculeze probabilitatea ca un element : a) din 5Z să fie inversabil; b) din 8Z să fie inversabil; c) din 9 Z să fie simetrizabil faţă de înmulţire; d) din 12Z să fie simetrizabil faţă de înmulţire;

e) din 6Z să fie simetrizabil faţă de înmulţire. 4 1 2 1 1 ; ; ; ; 5 2 3 3 3

33) Să se calculeze probabilitatea ca un element { }n 12,13,14,...,30∈ să fie divizibil cu 7. 3

19

34) Să se calculeze probabilitatea ca un element din 12Z să verifice: $ $2 2a) x 0; b) x 1;= =$ $

$ $2c) x x; d) să fie inversabil.= $ $2

e) x 2x; f) să nu fie inversabil.= 1 1 1 1 1 2; ; ; ; ; 6 3 3 3 3 3

35) Să se calculeze probabilitatea ca un element { }n 1,2,3,4,5∈ să verifice: na) 2 3n 2;≥ + n

2b) 2 3 log n;≤ + n 3 c) 3 n ;> nd) 3 19;< 3e) n! n ;< nf ) 3 19;>

ng) 3 10;> nh) 3 8n;≥ 2n 1i) log n

2−≥ .

2 2 4 2 4 3 3 3; ; ; ; ; ; ; ; 1 5 5 5 5 5 5 5 5

36) Să se calculeze probabilitatea ca : $ 2

7 a) x 1 în Z ;= $ 3

5b) x 1 în Z ;= $ 4

5c) x 1 în Z ;=

$ 2

8d) x 1 în Z ;= $6e) 3x 0 în Z ;=$ $ $ $ $ $2

4f ) 2x 2x 0 în Z ;+ = $ $ 2

4g) x 0 în Z .= $ 2 1 4 1 1; ; 1; ; ; 1; 7 5 5 2 2

37) Aflaţi probabilitatea ca $2007

3a)x 1, în Z , = $ $ 2

5b) x 1, în Z .= $ 1 2 ;3 5

38) Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea binomului ( ) 1004 5 1 .+ 26

39) Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr natural de patru cifre, acesta să fie divizibil cu 9. 19

40) Fie mulţimea { }A 1, 2, 3, ..., 1000 .= Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea

{ }3 n n A ,∈ acesta să fie număr raţional. 1

100

41) Fie mulţimea { }A 11, 12, 13, ..., 50 .= Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea

A acesta să fie divizibil cu 2 şi cu 5. 1

10

42) Să se rezolve în mulţimea numerelor nsturale inecuaţia x!2 2048.≤ 0, 1, 2, 3

43) Să se determine numărul termenilor iraţionali din dezvoltarea binomului ( ) 93 1 .+ 5

44) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un element din { }1, 2, ...,100 , acesta să nu fie divizibil cu 7. 4350

45) Stabiliţi dacă numărul 3nA , n , n 3∈ ≥N este divizibil cu 3. da, justificare

46) Câte numere de la 1 la 100 sunt divizibile cu 6 şi cu 8? 4

47) Câte elemente ale mulţimii { }k7A x x C , k 7= = ≤ sunt divizibie cu 7 ? 3

48) Câţi termeni ai dezvoltării ( ) 72 1+ sunt divizibili cu 14 ? 6 49) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii divizorilor naturali ai lui 56

acesta să fie divizibil cu 4. 12

50) Fie dezvoltarea ( ) 493 2x y .+ Ce termen conţine pe x şi pe y la puteri egale ? 29T ..=

51) Aflaţi x ∈ N astfel încât 2 2x xC A 30.+ = 5

52) Fie dezvoltarea 9

23

1a , a 0.a

+ ≠ Ce termen conţine 4a ? 7T ..=

53) Să se determine termenul care nu-l conţine pe x în dezvoltarea 200

3 2x , x 0.x

+ > 81T ..=

54) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un element din { }1, 3, 5, ...,2009 , acesta să fie divizibil cu 3. 13

55) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un element din { }2, 4, 6, ...,2010 , acesta să fie divizibil cu 4 dar să nu fie

divizibil cu 8. 251

100556) Aflaţi x N∈ astfel încât 2

2x 3C 3.− = 357) Fie mulţimea { }M 1, 2, 3, 4, 5, 6 .= Aflaţi probabilitatea ca, alegând una dintre submulţimile lui M, aceasta

să aibă exact două elemente 1564

58) Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării binomului ( ) n22x 5y− este egală cu 32. Să se determine

termenul de rang patru. 4 35000x y−

59) Să se determine x ∈ N ştiind că x 1 x 3x x 1C C 9.− −

−+ ≤ 460) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă

sume cifrelor egală cu doi. 1

300

61) Calculaţi 1020920

C .C

1110

62) Fie mulţimea M a tuturor funcţiilor definite pe { }A 1, 2, 3= cu valori în { }B 5, 6, 7= . Aflaţi probabilitatea

ca, alegând o funcţie din mulţimea M, acesta să fie injectivă. 29

63) Calculaţi 3 2 24 3 4A A C .− − 12

64) Să se determine numărul de diagonale ale unui poligin convex cu 8 laturi. 20

65) Aflaţi suma termenilor raţionali ai dezvoltării ( ) 51 2 .+ 41

66) Calculaţi 0 2 4 1616 16 16 16C C C .... C .+ + + + 152

67) Aflaţi n N∈ astfel încât 1 2n n3C 2C 8.+ = 2

68) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un număr de trei cifre, prima cifră să fie număr prim. 49

69) Să se determine numerele naturale n astfel încât 2 8n nC C .= 10

70) Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de 2 cifre, acesta să aibă ambele cifre impare. 5 :18

71) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un număr de trei cifre, produsul cifrelor să fie impar. 125900

72) Aflaţi n N∈ astfel încât 1 2n nC C 120.+ = 15

73) Calculaţi 3 25 6A 4C .− 0

74) Să se determine numărul 0 2 4 6 810 10 10 10 10n C C C C C .= − + − + 1

75) Câte funcţii { } { }f : 1,2,3,..,10 0,1→ au proprietatea ( ) ( ) ( ) ( )f 1 f 2 f 3 ... f 10 2?+ + + + = 210 C

76) Care este probabilitatea ca 7 să dividă numărul { }k7 C , k 0,1,2,3,4,5,6,7 .∀ ∈ 0,25

78) Fie mulţimea { }k11A x x C , k N , k 11= = ∈ ≤ . Aflaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea A,

acesta să fie divizibil cu 11. 9

12

79) Să se arate că numărul ( ) ( )n n 1 n 2+ + este divizibil cu 6 n N .∗∀ ∈80) Fie mulţimea { }A 1,2,3,4,5= şi M mulţimea funcţiilor f : A A.→ care este probabilitatea ca alegând o

funcţie din mulţimea M aceasta să fie bijectivă. 24 625

81) Aflaţi probabilitatea ca, alegând un element din { }0, 5, 10, ...,2010 , acesta să fie divizibil cu 25. 81403

82) Arătaţi că pentru orice număr n natural are loc egalitatea n n2n 2n 1C 2 C .−= ⋅

83) Să se calculeze probabilitatea ca o cifră din primele 7 zecimale ale numărului 17

să fie 1. 2 7

84) Să se calculeze probabilitatea ca aruncând un zar să obţinem una din rădăcinile ecuaţiei 2x 5x 4 0.− + = 13

85) Se consideră propoziţia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2P n : n 1 n 4 n 9 n 1 n 4 n 3 , n N.− − − = − − − ∈ Să se calculeze

probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea { }A 0,1,2,3,4,5= , propoziţia P(n) să fie adevărată. 13

86) Aflaţi probabilitatea ca un element al mulţimii { }M 0,1,2,3,4,5= să verifice relaţia:

n 2a) 2 n ;≤ nb) 2 3n;≤ n2c) 2 3 + log n;≤

1 1 1 ; ; 2 2 2

87) Aflaţi probabilitatea ca un element al mulţimii { }M 1,2,3,....,20= să se dividă cu 3. 0,3

{ }88) Câte elemente din mulţimea A 1,2,3,...,100 sunt divizibile cu 4 sau cu 5?= 40

89) Să se calculeze 1 2 3+ + .2! 3! 4!

2324

90) Să se determine al doilea termen al dezvoltării binomului ( ) 101+ 2 . 160 2

91) Să se determine numărul de elemente al mulţimii ( )2 3M Z . 81

92) Arătaţi că ( )n! n n +1 ! n!, n .∗⋅ = − ∀ ∈ N Să se calculeze suma S 1! 1+ 2! 2 + .... +100! 100.= ⋅ ⋅ ⋅ 101! 1−

93) Care este probabilitatea ca, alegând un număr natural de la 1 la 1000, acesta să fie cub perfect. 0,01

( )( )( ) ( )

{ } ( )

294) Se consideră funcţia f : R R, f x x 6x 10.

a) Să se calculeze f f 2 ; b) Să se arate că f x 1, x .

c) Să se calculeze probabilitatea ca un element din mulţimea 0,1,2,3 să verifice inegalitatea f x 5.

d

→ = − +

≥ ∀ ∈

≤

R

( ) ( ) ( ) ( )23) Să se calculeze suma f 1 + f 2 + ... + f 20 . e) Să se rezolve ecuaţia f log x 1. 2; ; 1810; 84

=


1) Aflaţi numărul m astfel încât distanţa dintre punctele ( ) ( )A 2,m , B m, 2− să fie 4. 2±

2) Să se calculeze lungimea medianei din A în triunghiul ABC, unde ( ) ( ) ( )A 2, 1 , B 2,0 , C 0,6 .− − 5

3) Aflaţi ecuaţia dreptei care trece prin ( )A 6,4 şi este perpendiculară pe d : 2x 3y 1 0.− + = 3x 2y 26 0+ − =

4) Fie vectorii ( ) ( )u ai a 1 j şi v 5a 1 i 2j.= + + = − − +r r r r r r

Aflaţi numărul a astfel încât u v.⊥r r

21; 5

−

5) Să se determine vârful D al paralelogramului ABCD dacă ( ) ( ) ( )A 2,9 , B 7, 4 , C 8, 3 .− − − ( ) 1; 10−

6) Se consideră ABCV cu vârfurile ( ) ( ) ( )A 2,9 , B 7, 4 , C 8, 3 .− − − Aflaţi cosB. 15 17

7) Se ştie că în ABCV vectorii AB AC şi AB AC+ −uuur uuur uuur uuur

au acelaţi modul. Demonstraţi că ABCV este dreptunghic.8) Fie paralelogramul ABCD şi punctele E şi F astfel încât AE EB, DF 2FE.= =

uuur uuur uuur uur

Demonstraţi că punctele A, C, F sunt coliniare.

9) Triunghiul ABC are laturile 13, 14 şi 15. Calculaţi lungimea razei cercului înscris şi înălţimea din A. 564; 5

10) Fie vectorii ( ) ( )u a 2 i 3j şi v 8i a 3 j.= − + = + +r r r r r r

Aflaţi a astfel încât vectorii u şi vr r

să fie coliniari. 6, 5−

11) Fie ABCV şi punctele D, E astfel încât AD 2DB, AE 2EC.= =uuur uuur uuur uuur

Să se demonstreze că DE BC.P

12) Să se determine ecuaţia simetricei dreptei d : 2x 3y 1 0− + = faţă de punctul ( )A 3,4 .− 2x 3y 35 0− + =

13) Să se calculeze distanţa de la punctul ( )A 3,0 la dreapta d : 3x 4y 1 0.− + = 2

14) Fie ( ) ( ) ( )M 1, 2 , N 3, 1 şi P 1,2 .− − − − Determinaţi Q astfel încât MNPQ să fie paralelogram. ( ) Q 3,1

15) Aflaţi ecuaţia dreptei ce conţine ( )A 2,2− şi este paralelă cu CD unde ( ) ( )C 2,1 , D 1, 3 .− − 4x 3y 14 0− + =

16) Aflaţi cel mai mare unghi al ABCV dacă ( ) ( ) ( )A 2, 2 , B 2,3 şi C 2,3 .− − B2π=

17) Aflaţi ecuaţia dreptei car trece prin ( )A 1,1− şi este perpendiculară pe d : 5x 4y 1 0.− + = 4x 5y 1 0+ − =

18) Aflaţi coordonatele centrului de greutate al ABCV dacă ( ) ( ) ( )A 1,0 , B 0,2 şi C 2, 1 .− − 1 1 G ,3 3

19) Să se determine ecuaţia medianei din A în ABCV unde ( ) ( ) ( )A 1,2 , B 2,3 şi C 2, 5 .− 3x y 5 0+ − =

20) Se consideră dreptele paralele d : x 2y 0− = şi g : 2x 4y 1 0.− − = Aflaţi distanţa dintre drepte. 510

21) Să se afle ecuaţia înălţimii duse din B în ABCV dacă ( ) ( ) ( )A 0,9 , B 2, 1 , C 5, 3− − . 5x 12y 22 0− − =

22) Se consideră punctele ( ) ( )A 1,3 , B 1, 1 .− − Aflaţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB. x 2y 2 0− + =

23) Să se afle măsura unghiului AOB dacă ( ) ( ) ( )O 0,0 , A 1,2 , B 3,1 . 4π

24) Fie punctele ( ) ( ) ( )A 2,0 , B 1,1 , C 3, 2 .− Să se afle sin C. 165

25) Fie ( ) ( ) ( )A 2, 1 , B 1,1 , C 1,3 .− − Aflaţi ecuaţia dreptei ce trece prin C şi este paralelă cu AB.

2x 3y 11 0+ − =

26) Fie ABCV , G centrul său de greutate şi M astfel încât MB 2MC.= −uuuur uuuur

Arătaţi că GM AC.P

28) Se consideră vectorii a i j= −r r r

şi b 2i 4 j.= +r r r

Calculaţi modulul vectorului a b.+r r

3 2

29) Fie punctele ( ) ( ) ( )A 2, 1 , B 1,1 , C 1,3− − şi ( )D a,4 . Aflaţi a astfel încât CD AB.⊥ ( )1, 6

30)Fie punctele ( ) ( ) ( )A 2, 1 , B 1,1 , C 1,3 .− − Aflaţi D astfel încât ABCD să fie paralelogram. ( )D 4,1

31) Să se calculeze lungima înălţimii din A în ABCV cu ( ) ( ) ( )A 1,2 , B 1,3 , C 0,4 .− 3 22

32) Fie punctele ( ) ( ) ( )A 1,0 , B 2,3 , C 1,4 .− Aflaţi produsul AB AC.⋅uuur uuur

1033) Să se determine m R∈ astfel încât vectorii u 2i 3j= −

r r r şi v mi 4j= +r r r

să fie perpendiculari. 634) Fie un triunghi echilateral cu aria 3. Calculaţi produsul AB AC.⋅

uuur uuur 2

35) Să se determine a R∈ astfel încât vectorii ( )u ai a 1 j= + +r r r

şi v 3i 5j.= +r r r

să fie coliniari. 32

36) Fie punctele ( ) ( ) ( )A 2, 1 , B 1,1 , C 1,3− − şi ( )D a,4 . Aflaţi a astfel încât CD AB.P 12

−

37) Fie punctele ( ) ( ) ( )A 1,2 , B 2,5 , C 3,m . Aflaţi m astfel încât AB AC 5⋅ =uuur uuur

3

38) Fie un triunghi ABC şi G centrul său de greutate. Dacă ( ) ( ) ( )A 1,1 , B 1,2 , G 3,4− aflaţi C. ( )C 3,9

39) Să se determine m pentru care punctele ( ) ( ) ( )A 1, 2 , B 4,1 , G 1,m− − sunt coliniare. 4−40) Se consideră dreptele 1d : 2x 3y 1 0,+ + = 2d : 3x y 2 0,+ − = şi 3d : x y a 0.+ + = Aflaţi numărul a pentru care cele trei drepte sunt concurente. 0

41) Fie triunghiul ABC care are AB 2, AC 3, BC 2 2.= = = Calculaţi AB AC.⋅uuur uuur

2,5

42) Fie punctele ( ) ( ) ( )A 1,2 , B 4,1 şi M 2, 1 .− Aflaţi lungimea vectorului MA MB.+uuuur uuuur

26

43) Fie punctele ( ) ( )A 1,3 , C 1,1 .− Calculaţi aria pătratului de diagonală AC. 4

44) Fie punctele ( ) ( )B 1,2 , C 2, 2 .− − Calculaţi distanţa de la origine la dreapta BC. 25

45) Să se determine ecuaţia cercului cu centrul în punctul ( ) M 1, 1− şi raza 2. ( ) ( )2 2x 1 + y +1 4− =

46) Să se determine un punct de coordonate întregi pe cercul 2 2 x y 13.+ =47) Să se determine raza cercului de ecuaţie 2 2x + y 2x 3.− = 2

48) Să se calculeze distanţa dintre dreptele x 2y 1 0 şi 2x 4y 3.+ − = + = 2020

49) Să se scrie ecuaţia dreptei paralelă cu 3x y 2 0− − = şi care trece prin origine. y 3x 0− =

50) Stabiliţi dacă punctele ( ) ( ) ( )A 5,2 , B 6,3 , C 7,4 sunt coloniare. da

51) Fie punctele ( ) ( ) ( )A 1,1 , B 1, 1 , C 2,0 .− − Aflaţi ·( )cos BAC . 2 55

52) Să se determine a,b ştiind că punctele ( ) ( )A a,1 , B 2,b se găsesc pe dreapta 2x y 3 0.− − = a 2, b 1= =

53) Să se calculeze lungima înălţimii din B în ABCV dacă AB 10, BC 24, CA 26.= = = 120 13

54) Aflaţi lungimea segmentului determinat de axele de coordonate pe dreapta x+3y 6=0.− L=2 10

55) Aflaţi aria ABCV cu laturile de ecuaţii AC : x y 1, AB : x 5y 17+ = + = şi BC : 3x y 3.− = ABCA 8= 56) Aflaţi coordonatele punctului de intersecţie al diagonalelor patrulaterului cu vâfurile în punctele

( ) ( ) ( ) ( )L 0, 5 , M 1,2 , N 4,7 , P 5,0 .− − ( )A 2,1

57) Se dau punctele ( ) ( )A 1;3 , B 2;1 . Aflaţi coordonatele simetricului A′ al lui A faţă de B. ( ) A 3, 1′ −

58) Stabiliţi dacă punctele ( ) ( ) ( )A 1,2 , B 3,3 , C 5,4 formează un triunghi.

59) Fie ( ) ( ) ( )A 1,1 , B 1, 1 , C 2,0 .− − Stabiliţi care dintre puncte se găsesc pe cercul ( ) ( )2 22x 1 2y 1 10.− + − =


1) Să se arate că, dacă ABCV este dreptunghic, are loc relaţia 2 2 2cos A cos B + cos C 1.+ =2) Fie vectorii u mi + 3j=

r r r şi ( )v m 2 i j.= − −r r r

Aflaţi m 0> astfel încât u v.⊥r r

3

3) Ştiind că 1sin a3

= calculaţi cos2a. 7 9

4) Calcuţai latura BC a triunghiului ascuţitunghic ABC ştiind că AB 6, AC 10= = şi ABCA 15 3.=V 76

5) Triunghiul ABC are B π=3

şi raza cercului circumscris R 1.= Să se calculeze AC. 3

6) Să se calculeze raza cercului circumscris ABCV dacă AB 6= şi C .π=6

6

7) Aflaţi raza cercului înscris în triunghiul cu laturile egale cu 3, 4, 5. 1

8) Să se calculeze lungimile înălţimilor triunghiului cu laturile egale cu 13, 14, 15. 56 168;12;5 13

9) Triunghiul ABC are B , C .π π= =6 4

Să de demonstreze că AB 2.AC

=

10) Arătaţi că vectorii u 5i 4 j= −r r r

şi v 2i + j=r r r

formează un unghi obtuz.

11) Aflaţi raza cercului circumscris ABCV dacă A , B şi AB 6.4 6π π= = = ( )3 6 2−

12) În ABCV ascuţitunghic, AC 2 3= şi raza cercului circumscris eset 2. Aflaţi B. 60o

13) Triunghiul ABC are AB 4, BC 5 şi AC 6.= = = Să se atate că µ µB 2C.=

14) Fie 3a ,2π ∈ π

astfel încât 5cosa .

13= − Să se calculeze sin a.

1213

−

15) Fie a , 2π ∈ π

astfel încât 3sin a .5

= Să se calculeze sin 2a. 2425

−

16) Să se calculeze lungimile perimetrul ABCV ştiind că µ µAB 6, B , C .4 6π π= = = ( )3 2 3 2 6+ +

17) Dacă ( ) ( ) ( ) A 3,4 , B 4, 3 şi C 1,2− − calculaţi ( )AB AB BC .⋅ +uuur uuur uuur

42

18) Să se arate că ctg1 tg1ctg2 .

2−=

19) Fie a,b R∈ astfel încât a b .− = π Să se arate că are loc relaţia cosa cos b 0.⋅ ≤

20) Calculaţi sin 75 sin15 .+o o 6 2

21) Să se calculeze suma cos1 cos2 cos3 ... cos179 .+ + + +o o o o 0

22) Triunghiul ABC are AB 3, BC 5, AC 7.= = = Calculaţi raza cercului înscris în triunghi. 32

23) Fie a,b R∈ astfel încât a b .3π+ = Să se arate că ( )sin 2a sin 2b sin a b 0.− − − =

24) Calculaţi perimetrul triunghiului ABO dacă ( ) ( )A 1,2 şi B 2,3 .− − 2 3 13+ +

25) Calculaţi ( ) ( )2i 5j 3i 4 j .+ ⋅ −r r r r

14−

26) Calculaţi sin sin .6 4 6 4π π π π + + −

22

27) Dacă 1sin a cosa3

+ = calculaţi sin 2a. 89

−

28) Fie a ,2π ∈ π

astfel încât 1sin a .3

= Să se calculeze tga. 24

−

29) Să se determine ( )a 0,2∈ π astfel încât tga sin a.= π30) Fie a R∈ astfel încât sin a cosa 1.+ = Calculaţi tg2a. 031) Să se arate că ( )sin x sin 3x sin 5x 1 2cos 2x sin 3x, x R.+ + = + ⋅ ∀ ∈

32) Fie ABCV cu 1sin A , sin B 1 şi BC 4.2

= = = Calculaţi aria triunghiului ABC. 8 3

33) Fie ABCV unde 3AB 5, AC 6 şi cos A .5

= = = Aflaţi raza cercului circumscris triunghiului dat. 258

34) Fie a,b ,2 2π π ∈ −

astfel încât a b .2π− = Să se arate că tga tgb 1.⋅ = −

35) Să se calculeze aria ABCV în care AM BC 4,= = [ ]M mij BC= şi ·AMC 150 .= o 4

36) Să se determine cel mai mare element al mulţimii { } A cos1, cos2, cos3= reprezentare grafică..

37) Fie a R∈ cu 2tga .5

= Să se calculeze sin a . 229

38) Triunghiul ABC are AB 6, AC 3= = şi BC 5.= Calculaţi lungimea înălţimii AD. 4 145

38) Ştiind că 0,2π α ∈

şi că tg ctg 2α + α = , să se calculeze sin 2 .α 1

40) Să se demonstreze că 2 2sin .8 2π −=

41) Să se demonstreze că sin 6 0.<

42) Ştiind că x ,2π ∈ π

şi că 3sin x ,5

= să se calculeze xsin .2

310

43) Ştiind că x R∈ şi că 1tgx ,2

= să se calculeze tg x .3π +

8 5 3+

44) Să se calculeze aria unui paralelogram ABCD cu AB 6, AD 8= = şi ·ADC 135 .= o 24 2

45) Fie ABC un triunghi care are AB 3, AC 5= = şi BC 7.= Să se calculeze cosA. 12

−

46) Să se demonstreze că 6 2sin105 .4+=o

47) Să se calculeze perimetrul ABC,V ştiind că ·AB 4, AC 3 şi BAC 60 .= = = o 7 13+

48) Să se demonstreze că ( ) ( ) 2 2sin a b sin a b sin a sin b, a, b R.+ ⋅ − = − ∀ ∈

49) Să se demonstreze că 6 2sin15 .4−=o

50) Fie a şi b numere reale astfel încât 1sin a sin b 1 şi cosa cos b .2

+ = + = Să se calculeze ( )cos a b .− 38

−

51) Să se calculeze raza cercului înscris în triunghiul care are laturile de lungimi 4, 5, 7. 62

52) Demonstraţi că 6 2sin105 sin 75 .4++ =o o

53) Ştiind că a ,2π ∈ π

şi 3sin a ,5

= să se calculeze ctga. 43

−

54) Să se calculeze lungimea medianei dusă din A în triunghiul ABC dacă AB=2, AC=3 şi BC=4. 102

55) În paralelogramul ABCD se cunosc AB=1, BC=2 şi ·BAD 60 .= o Calculaţi AC AD.⋅uuur uuur

5

56) Ştiind că ctga 2= şi ctgb 5,= să se calculeze ( )tg a b .+ 79

57) Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB=5, BC=7 şi AC=8. Să se calculeze µmA. 60o

58) Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC cu laturile de lungimi 5, 7 şi 8. 7 33

59) Ştiind că a 0,2π ∈

şi că tga 3,= să se calculeze sin 2a. 0,6

60) Să se calculeze tg2x, ştiind că ctgx=3. 34

61) Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că BC=3 şi 1cosA .2

= 3

62) Ştiind că a 0,2π ∈

şi că 12sin a ,13

= să se calculeze tg2a. 120119

−

63) Triunghiul ABC are laturile AB=2, AC=4 şi µmA 60 .= o Să se calculeze lungimea medianei din A. 764) Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic ştiind că are catetele de lungumi 5 şi 12. 6,5

65) Să se calculeze 2sin x ştiind că ctgx 6.= 1

3766) Fie triunghiul ABC în care AB AC 5= = şi BC 6.= Să se calculeze distanţa de la centrul de greutate al

triunghiului ABC la dreapta BC. 43

67) Fie vectorii ur

şi v.r

Ştiind că u 3=r

şi v 2,=r

să se calculeze ¶( )cos u,v .r r

56

69) Să se determine a ∈ N pentru care a, a+1, a+2 sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic. 2

70) Fie vectorii ur

şi v.r

Dacă u 1=r

, v 2=r

şi ¶u,v ,3π=

r r să se calculeze ( ) ( )2u v 2u v .+ ⋅ −

r r r r 9

71) Fie ABCD un patrulater, Să se arate că dacă AC BD 0⋅ =uuur uuur

atunci 2 2 2 2AB CD AD BC .+ = +

72) Fie triunghiul ABC în care tgA 2, tgB 3.= = Să se determine măsura unghiului C. 4π

73) Şiind că a 1tg ,2 3

= să se calculeze sina. 32

74) Şiind că tgx 4,= să se calculeze 2cos x. 1:17

75) Calculaţi a) 11sin ; 12

πb)

7cos ;12

π c) cos75 cos15 ; −o o d) sin 75 cos15 .⋅o o 6 2 2 6 2 2 3; ; ;

4 4 2 4− − +−

76) Să se determine ecuaţia medianei corespunzătoare laturii BC a triunghiului ABC, ştiind că ( )A 2,2 şi

ecuaţiile medianelor duse din B şi C sunt 2x y 2 0+ − = respectiv x y 2 0.− + = y 2=

77) Să se calculeze lungimea înălţimii dusă din A în triunghiul ABC dacă AB=2, AC=3 şi BC=4. 3 158

bac m1 subiectul i

Documents