prof . Cialcu Ionel

ASIMPTOTE.

Termenul de asimptot provine din limba greac i se traduce n sens larg prin expresia asemntor cu. Cuvntul denumete o dreapt i se refer la faptul c n anumite situaii descrise mai jos( pe anumite vecinti), graficul unei funcii are forma unei drepte.

Fie RaRIRIf ,,: punct de acumulare pentru I.

Definiie. Spunem c dreapta x=a este asimptot vertical la stanga a lui f dac

)(lim xf

ax

ax sau

)(lim xf

ax

ax.

Observaie. Dreapta x=a este o dreapt paralel cu Oy, deci vertical.

Exemplu. Fie funcia

1,1

1,1

1

)(,:

x

xxxfRRf

Observm c 1

1

1

0xx

lim

ceea ce ne arat c x=1 este asimptot vertical la stnga

pentru f.

Analog se defineste conceptul de asimptota verticala la dreapta.

.

Exemplu. Fie funcia 3

1)(,),3(:

xxfRf . Avem

3

3

1( )

0xx

lim f x

, ceea ce arat c

dreapta x=3 este asimptot vertical la dreapta pentru f.

Observaii: a) Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca funcia s fie definit n

a.

b) Dac f este definit i continu n a , atunci limitele laterale n a sunt finite i egale cu f(a), deci graficul nu are asimptot vertical n punctele de continuitate ale funciei .

c) Admit asimptote verticale:

funciile ale cror legi de coresponden sunt exprimate prin fracii, n punctele in care se anuleaz numitorul;

funciile ale cror legi de corespondent sunt exprimate prin logaritmi, )(ln)( xgxf , n punctele pentru care g(x)=0.

Definiie. Spunem c dreapta x=a este asimptot vertical la dreapta a lui f dac

)(lim xf

ax

ax sau

)(lim xf

ax

ax.

Definiie. Spunem c dreapta x=a este asimptot vertical a lui f dac este asimptot

vertical att la stnga ct i la dreapta sau numai lateral.

Definiie. Fie funcia RIf : , astfel ncat )( sau este punct de acumulare al lui

I. Spunem c dreapta y=b este asimptot orizontal a lui f spre )( sau dac

bxfx

)(lim , respectiv Rbbxfx

,)(lim .

prof . Cialcu Ionel

Observaie : Dreapta y=b este paralel cu axa Ox, deci este o dreapt orizontal.

Nu are sens s cutm asimptote orizontale spre )( sau dac domeniul I al funciei nu

are puncte de acumulare )( sau .

Exemplu.

Funcia )2(|2|

12)(,}2{:

2

xx

xxfRRf are asimptot orizontal y=2 spre i

y= -2 spre deoarece ( ) 2xlim f x

i ( ) 2xlim f x

.

Fie RRIf : unde I conine un interval de forma (a, ), Ra .

Analog se definete conceptul de asimptot oblic la ramura spre , admind c I conine un interval de forma ( ,b), Rb .

Demonstraie.

Presupunem c nmxy este asimptot oblic spre i determinm m i n.

Avem nnmxxfmxxf ])([)( i

( ( ) ) [ ( ) ] 0x xlim f x mx lim f x mx n n n n

.

De asemenea 0)(

))(

(

n

x

mxxfimlm

x

xfiml

xx.

Cum mmx

xf

x

xf

)()( se deduce c mmm

x

xf

x

xfiml

xx

)(lim

)(.

Observaii. 1) Pentru determinarea asimptotei oblice se procedeaz astfel

2) O funcie nu poate admite att asimptot orizontal ct i oblic spre ( ). 3) Dac m=0 atunci funcia are asimptot orizontal spre ( ).

Definiie. Spunem c dreapta nmxy este asimptot oblic la ramura spre a

funciei f dac distana dintre dreapt i grafic, msurat pe vertical, tinde ctre 0 cnd x tinde ctre , adic dac

0])([

nmxxfimlx

Teorem. Dreapta nmxy este asimptot oblic la ramura spre a lui f dac i

numai dac exist constantele nmRnm ,(, sunt finite) unde ( )

,x

f xm lim

x

[ ( ) ], 0x

n lim f x mx m

- se calculeaz x

xfm

x

)(lim

;

- dac m este finit, atunci se calculeaz ])([lim mxxfnx

;

- dac i n este finit atunci dreapta nmxy reprezint asimptota oblic a lui f

spre

prof . Cialcu Ionel

Exemplu de grafic de funcie care admite o asimptot vertical i una oblic;

Exemplu de grafic de funcie care admite o asimptot orizontal.

Aplicaie. Se consider funcia f: D R, f(x) = 2

21)3(

x

xx . S se determine asimptotele

acesteia.

Rezolvare: Avem: D = R\{0}. Cutm asimptote orizontale spre + i - .

xlim f(x) = + nu exist asimptot orizontal spre + .

xlim f(x) = - nu exist asimptot orizontal spre - .

Deci cutm eventuala asimptot oblic. Pentru aceasta calculm:

m =

11)3(

lim)(

lim3

2

x

xx

x

xf

xx

n= .135

lim35

lim))((lim2

2

2

323

x

xx

x

xxxxmxxf

xxx

d1: y = x + 1 asimptot oblic spre + . Analog , y = x + 1 asimptot oblic i spre - . Cutm asimptotele verticale. Pentru aceasta calculm limitele laterale n x = 0.

.0

3)(lim

.0

3)(lim

00

00

xf

xf

xx

xx

d2: x = 0 asimptot vertical.

prof.Cialcu Ionel

ASIMPTOTE.Fie punct de acumulare pentru I.Observaie. Dreapta x=a este o dreapt paralel cu Oy, deci vertical.Exemplu. Fie funciay= -2 spre deoarece i .2) O funcie nu poate admite att asimptot orizontal ct i oblic spre ().3) Dac m=0 atunci funcia are asimptot orizontal spre ().