asimptote - 3 pagini

5
prof . Cialâcu Ionel ASIMPTOTE. Termenul de „ asimptotă” provine din limba greacă şi se traduce în sens larg prin expresia „asemănător cu”. Cuvântul denumeşte o dreaptă şi se referă la faptul că în anumite situaţii descrise mai jos( pe anumite vecinătăţi), graficul unei funcţii are forma unei drepte. Fie R a R I R I f , , : punct de acumulare pentru I. Definiţie. Spunem că dreapta x=a este asimptotă verticală la stanga a lui f dacă ) ( lim x f a x a x sau ) ( lim x f a x a x . Observaţie. Dreapta x=a este o dreaptă paralelă cu Oy, deci verticală. Exemplu. Fie funcţia 1 , 1 1 , 1 1 ) ( , : x x x x f R R f Observăm că 1 1 1 0 x x lim ceea ce ne arată că x=1 este asimptotă verticală la stânga pentru f. Analog se defineste conceptul de asimptota verticala la dreapta. Exemplu. Fie funcţia 3 1 ) ( , ) , 3 ( : x x f R f . Avem 3 3 1 () 0 x x lim f x , ceea ce arată că dreapta x=3 este asimptotă verticală la dreapta pentru f. Observaţii: a) Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca funcţia să fie definită în a. b) Dacă f este definită şi continuă în a , atunci limitele laterale în a sunt finite şi egale cu f(a), deci graficul nu are asimptotă verticală în punctele de continuitate ale funcţiei . c) Admit asimptote verticale: funcţiile ale căror legi de corespondenţă sunt exprimate prin fracţii, în punctele in care se anulează numitorul; funcţiile ale căror legi de corespondentă sunt exprimate prin logaritmi, ) ( ln ) ( x g x f , în punctele pentru care g(x)=0. Definiţie. Spunem că dreapta x=a este asimptotă verticală la dreapta a lui f dacă ) ( lim x f a x a x sau ) ( lim x f a x a x . Definiţie. Spunem că dreapta x=a este asimptotă verticală a lui f dacă este asimptotă verticală atât la stânga cât şi la dreapta sau numai lateral. Definiţie. Fie funcţia R I f : , astfel încat ) ( sau este punct de acumulare al lui I. Spunem că dreapta y=b este asimptotă orizontală a lui f spre ) ( sau dacă b x f x ) ( lim , respectiv R b b x f x , ) ( lim .

Upload: lucian-simion

Post on 19-Oct-2015

80 views

Category:

Documents


20 download

TRANSCRIPT

  • prof . Cialcu Ionel

    ASIMPTOTE.

    Termenul de asimptot provine din limba greac i se traduce n sens larg prin expresia asemntor cu. Cuvntul denumete o dreapt i se refer la faptul c n anumite situaii descrise mai jos( pe anumite vecinti), graficul unei funcii are forma unei drepte.

    Fie RaRIRIf ,,: punct de acumulare pentru I.

    Definiie. Spunem c dreapta x=a este asimptot vertical la stanga a lui f dac

    )(lim xf

    ax

    ax sau

    )(lim xf

    ax

    ax.

    Observaie. Dreapta x=a este o dreapt paralel cu Oy, deci vertical.

    Exemplu. Fie funcia

    1,1

    1,1

    1

    )(,:

    x

    xxxfRRf

    Observm c 1

    1

    1

    0xx

    lim

    ceea ce ne arat c x=1 este asimptot vertical la stnga

    pentru f.

    Analog se defineste conceptul de asimptota verticala la dreapta.

    .

    Exemplu. Fie funcia 3

    1)(,),3(:

    xxfRf . Avem

    3

    3

    1( )

    0xx

    lim f x

    , ceea ce arat c

    dreapta x=3 este asimptot vertical la dreapta pentru f.

    Observaii: a) Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca funcia s fie definit n

    a.

    b) Dac f este definit i continu n a , atunci limitele laterale n a sunt finite i egale cu f(a), deci graficul nu are asimptot vertical n punctele de continuitate ale funciei .

    c) Admit asimptote verticale:

    funciile ale cror legi de coresponden sunt exprimate prin fracii, n punctele in care se anuleaz numitorul;

    funciile ale cror legi de corespondent sunt exprimate prin logaritmi, )(ln)( xgxf , n punctele pentru care g(x)=0.

    Definiie. Spunem c dreapta x=a este asimptot vertical la dreapta a lui f dac

    )(lim xf

    ax

    ax sau

    )(lim xf

    ax

    ax.

    Definiie. Spunem c dreapta x=a este asimptot vertical a lui f dac este asimptot

    vertical att la stnga ct i la dreapta sau numai lateral.

    Definiie. Fie funcia RIf : , astfel ncat )( sau este punct de acumulare al lui

    I. Spunem c dreapta y=b este asimptot orizontal a lui f spre )( sau dac

    bxfx

    )(lim , respectiv Rbbxfx

    ,)(lim .

  • prof . Cialcu Ionel

    Observaie : Dreapta y=b este paralel cu axa Ox, deci este o dreapt orizontal.

    Nu are sens s cutm asimptote orizontale spre )( sau dac domeniul I al funciei nu

    are puncte de acumulare )( sau .

    Exemplu.

    Funcia )2(|2|

    12)(,}2{:

    2

    xx

    xxfRRf are asimptot orizontal y=2 spre i

    y= -2 spre deoarece ( ) 2xlim f x

    i ( ) 2xlim f x

    .

    Fie RRIf : unde I conine un interval de forma (a, ), Ra .

    Analog se definete conceptul de asimptot oblic la ramura spre , admind c I conine un interval de forma ( ,b), Rb .

    Demonstraie.

    Presupunem c nmxy este asimptot oblic spre i determinm m i n.

    Avem nnmxxfmxxf ])([)( i

    ( ( ) ) [ ( ) ] 0x xlim f x mx lim f x mx n n n n

    .

    De asemenea 0)(

    ))(

    (

    n

    x

    mxxfimlm

    x

    xfiml

    xx.

    Cum mmx

    xf

    x

    xf

    )()( se deduce c mmm

    x

    xf

    x

    xfiml

    xx

    )(lim

    )(.

    Observaii. 1) Pentru determinarea asimptotei oblice se procedeaz astfel

    2) O funcie nu poate admite att asimptot orizontal ct i oblic spre ( ). 3) Dac m=0 atunci funcia are asimptot orizontal spre ( ).

    Definiie. Spunem c dreapta nmxy este asimptot oblic la ramura spre a

    funciei f dac distana dintre dreapt i grafic, msurat pe vertical, tinde ctre 0 cnd x tinde ctre , adic dac

    0])([

    nmxxfimlx

    Teorem. Dreapta nmxy este asimptot oblic la ramura spre a lui f dac i

    numai dac exist constantele nmRnm ,(, sunt finite) unde ( )

    ,x

    f xm lim

    x

    [ ( ) ], 0x

    n lim f x mx m

    - se calculeaz x

    xfm

    x

    )(lim

    ;

    - dac m este finit, atunci se calculeaz ])([lim mxxfnx

    ;

    - dac i n este finit atunci dreapta nmxy reprezint asimptota oblic a lui f

    spre

  • prof . Cialcu Ionel

    Exemplu de grafic de funcie care admite o asimptot vertical i una oblic;

    Exemplu de grafic de funcie care admite o asimptot orizontal.

    Aplicaie. Se consider funcia f: D R, f(x) = 2

    21)3(

    x

    xx . S se determine asimptotele

    acesteia.

    Rezolvare: Avem: D = R\{0}. Cutm asimptote orizontale spre + i - .

    xlim f(x) = + nu exist asimptot orizontal spre + .

    xlim f(x) = - nu exist asimptot orizontal spre - .

    Deci cutm eventuala asimptot oblic. Pentru aceasta calculm:

    m =

    11)3(

    lim)(

    lim3

    2

    x

    xx

    x

    xf

    xx

    n= .135

    lim35

    lim))((lim2

    2

    2

    323

    x

    xx

    x

    xxxxmxxf

    xxx

    d1: y = x + 1 asimptot oblic spre + . Analog , y = x + 1 asimptot oblic i spre - . Cutm asimptotele verticale. Pentru aceasta calculm limitele laterale n x = 0.

    .0

    3)(lim

    .0

    3)(lim

    00

    00

    xf

    xf

    xx

    xx

    d2: x = 0 asimptot vertical.

  • prof.Cialcu Ionel

    ASIMPTOTE.Fie punct de acumulare pentru I.Observaie. Dreapta x=a este o dreapt paralel cu Oy, deci vertical.Exemplu. Fie funciay= -2 spre deoarece i .2) O funcie nu poate admite att asimptot orizontal ct i oblic spre ().3) Dac m=0 atunci funcia are asimptot orizontal spre ().