aritmetic-recreativ

7/23/2019 ARITMETIC-RECREATIV

1/116


2/116

Capitolul 1Despre numere................................................................................. 1

Capitolul 2Cum se scriau numerele odinioari cum se scriu acum........ 8

Capitolul 3Ceva din istoria calculului numeric............................................ 16

Capitolul 4Curiozitile unor numere ntregii ale unor fracii........... 23

4.1Numere cu caliti morale........................................................ 23

4.2Unele numerei curiozitile lor............................................ 24

4.3Ptratei cuburi curioase........................................................ 32

4.4Numere trecute prin ciur......................................................... 55

4.5Curiozitile unor fracii.......................................................... 38

Capitolul 5iruri de numere........................................................................... 41

Capitolul 6Probleme asupra numerelor........................................................ 49

Capitolul 7Numere uriae............................................................................... 52Capitolul 8Diverse probleme recreative..................................................... 58

Capitolul 9Jocuri aritmetice...................................................................... 65

Capitolul 10Cum calculm rapid.................................................................... 76

Capitolul 11Cteva probleme celebre de aritmetic............................... 83

Capitolul 12Numere aezate n figuri......................................................... 8712.1Probleme cu figuri magice..................................................... 92

3


3/116

Capitolul 1Despre numere

1.Ceva despre unele numere cunoscutePmntul are o vrst de peste 2.000.000.000 de ani, iar viaa pe planeta

noastr exist de mai bine de 300.000.000 de ani. Pe planeta Mercur anul are 88 dezile pmnteti. Lumina nainteaz cu o vitez de aproximativ 300.000 de km/sec, ntimp ce viteza sunetului este de aproape 1.050 km/or. Corpurile, n micarea lor, sefreac de aerul nconjurtor i ca urmare li se ridic temperatura cu 25 la o vitezde 1.050 km/or. La o vitez de 2.100 km/or aceast temperatur ajunge la 157.

Iat numai cteva fenomene naturale astzi cunoscute, care au fostdescoperite i cercetate de savani. i multe, nesfrit de multe alte fenomenenaturale se mai petrec n jurul nostru dup anumite legi fizice, chimice, biologice,sociologice etc. ntre diversele fenomene naturale exist o serie de legturi, unelebine cunoscute, altele n curs de cercetare i multe nc nedescoperite.

Ce reprezint ns cele cteva numere citate o dat cu fenomenele artate?i, mai departe, ce reprezint marea imensitate de alte numere pe care gndulnostru nici nu le poate mcar cuprinde?

tiina numerelor ne nva c ele constituie mijlocul prin care noi reuim sexprimm, n anumite uniti de msur, relaiile cantitative ntre mulimea defenomene care se petrec n natur sau ntre imensitatea de obiecte care nenconjoar.

2.Cndi de ce a nceput omenirea snumereS-ar putea crede c omul a tiut s numere de cnd exist. Pare s nu fiechiar aa. Un lucru ns este adevrat: tiina numerelor este foarte veche i ea stla baza matematicii. Fr matematic nici nu vedem cum s-ar fi putut dezvolta toatecelelalte ramuri ale tiinei i tehnicii. Fr matematic nu ar fi putut progresa nicifizici nici chimia, nici astronomia i nici geografia.

Cele mai vechi documente tiinifice cunoscute ne dovedesc c ntr-o epocdestul de ndeprtat a existat la unele popoare - cum au fost sumerienii, egiptenii ichinezii antici - un nivel relativ ridicat de cunotine matematice.

Astfel, de la sumerieni (locuitorii Babilonului antic) ne-a rmas un text dematematic scris acum 4.000 de ani pe 44 de tblie de argil uscat. Pentru epocan care a fost scris, acest text constituie o adevrat enciclopedie matematic.

ntr-un muzeu din Moscova exist un papirus numit chiar Papirusul dinMoscova care a fost scris de egiptenii antici cu 19 secole .e.n. Un altul, cunoscutsub numele de Papirusul lui Rhind sau al lui Ahmes, a fost scris n urm cu 37 desecole. Dar cuprinsul acestui papirus nu aparine nici lui Rhind i nici lui Ahmes,deoarece englezul Rhind nu a fost dect proprietarul papirusului, iar egipteanulAhmes nu a avut dect rolul unui scrib care a transcris lucrarea intitulat Modul de

calcul pentru a ptrunde lucrurile, a cunoate tot ce este obscur i a nvinge oricedificultate. Aceast lucrare a fost alctuit de un autor necunoscut cu vreo 3

4


4/116

secole nainte de naterea lui Ahmes. Egiptenii vechi aveau i ei deci cunotinefoarte naintate de matematic nc acum 4.000 de ani.

n vechile cronici chinezeti i hinduse se ntlnesc probleme care dovedescc aceste popoare stpneau cunotine profunde de matematic. Nivelul ridicat alcunotinelor matematice la greci apare de abia cu 500 de ani .e.n. La acea epoc ei

au preluat o tiin avansat a numerelor de la babilonieni, egipteni, chinezi, hindui,fenicieni i alte popoare mai vechi. Despre modul cum numrau oamenii nainte dedescoperirea scrierii nu avem date precise. Se tie numai c egiptenii efectuaurecensminte nc acum 6.000 de ani. Dar de cnd a nceput omul s numere i pnla inventarea modului celui mai rudimentar de nsemnare n scris a rezultatului uneinumrri, au trecut mii i mii de ani.

Un lucru este sigur. Oamenii s-au folosit de numere din timpurile cele maindeprtate, i anume cam de pe la sfritul perioadei comunei primitive. Oameniicare au trit la nceputul acestei perioade aproape c nu aveau de ce s numere.

Felul lor de via nu le punea probleme a cror rezolvare s cear folosirea unornumere, i cu att mai puin cunoaterea noiunii de numr.Dup ce omul a trecut la viaa de pstor i agricultor, el a simit nevoia s

nceap s numere. Dar el nu a nceput s numere din dorina de a ti cte stele suntpe cer sau cte flori vede n jurul su. Numai necesitatea inerii unor socoteli aleanimalelor, ale pieilor, ale rezervelor alimentare sau ale altor obiecte care intrau nposesia obteasc sau privat, 1-a condus pe omul din epoca primitiv la gsirea unuimijloc de exprimare a cantitilor i mrimilor cu ajutorul numerelor.

Omul nc nu inventase scrisul, i nici mcar nsemnarea pe rboj, cnd a

simit nevoia de a cunoate lipsa unei vite din mica turm pe care o conducea. Acestom nu ar fi putut s spuncteoi sau cireni are n grmada pe care o posedinici ctefiare a ntlnit n calea lui, adic s efectueze o numrare. Nevoia de acontrola dac n turm a rmas numrul de oi sau de reni pe care i-a avut n ajun l-ampins la nceput pe om s deosebeasc numai o cantitate mai mic de una mai mare.Era un fel de numrare concret legat de anumite obiecte fr a putea exprimacantitatea prin numere.

Apoi muncile agricole trebuiau efectuate n anumite perioade ale anului i ntr-un anumit numr de zile. Omul nvase s cunoasc perioadele dup succesiunea

anotimpurilor, dar ca stie dac timpul prielnic muncilor agricole a trecut sau nu, eltrebuia s numere zilele.

Aadar, nu matematicienii au fost descoperitorii numerelor, ci simpli pstori iagricultori, adic aceia care au simit cei dinti nevoia s numere.

3. Cum a ajuns omul la ideea de numrDac nu dispunem de documente aa de vechi care s corespund epocii la

care omenirea a nceput s numere, cum putem totui s aflm ceva despre modul ncare omul a ajuns la ideea de numr? Sunt motive s presupunem c pn a ajunge la

stadiul actual de civilizaie, oamenii au trecut prin faze similare cu acelea n care segsesc unele popoare primitive din Africa i Oceania. Din studiul felului n care

5


5/116

numr aceste popoare, oamenii de tiin au tras concluzii care ne dau o idee asupramodului cum omenirea a putut s ajung la unele metode de numrare.

Omul primitiv nu cunoate noiunea abstract de numr, dar el poate sstabileasc o coresponden ntre obiectele de numrat i degetele sale.Corespondene se pot stabili i ntre alte obiecte i obiectele de numrat. S

presupunem, de exemplu, c avem o grmad de mere i un sac de nuci. Dac defiecare dat n care lum un mr din grmad scoatem i o nuc din sac, putem spunec am stabilit o coresponden ntre numrul acestor nuci i merele luate dingrmad. Adic am luat din grmad attea mere, cte nuci am scos din sac.

Corespondena ntre obiectele de numrat i degete s-a putut stabili pentruc numrul degetelor unei mini este acelai la toi oamenii. Numai din aceast cauzdegetele minii au devenit o unitate de msur pentru numrat. Numrarea la uniioameni primitivi nu se oprete la degete. Dac numrul obiectelor este mai maredect zece ei merg mai departe la alte pri ale corpului: la pumn, cot, subsoar,

umr, sn etc. ncep cu: organele prii stngi a corpului i apoi trec la parteadreapt. La urm ei i amintesc la ce parte a corpului au ajuns cu numrarea.Ordinea numrrii i pierde deci importana, rmne numai ideea de

cantitate. Dar aceast idee rmne mult timp legat de obiectele numrate. Oameniiprimitivi nu pot vorbi dect de obiectenumrate. Ei nu concep a exprima cinci fra spune cinci copaci sau cinci oameni, cinci cai i aa mai departe. Numai cutimpul dup ce au observat c toate obiectele enumerate n acelai fel au oproprietate nou, comun tuturor grupurilor de cinci sau ase, oamenii primitiviau ajuns la noiunea abstract de numr. Ei au putut constata atunci c noiunea de

cinci, de exemplu, poate cuprinde n ea i cinci copaci i cinci oameni i cincicai, adic attea alte noiuni concrete. n felul acesta oamenii au trecut la ogeneralizare a denumirilor numerelor. Au nceput s numere: doi, trei, patru, cincietc, fr s mai lege i obiectele de numere. Este interesant constatarea cdenumirile primelor cinci numere au o origine comun la multe popoare, ceea censeamn c aceste denumiri s-au nscut probabil atunci cnd strmoii oamenilorcare alctuiesc diferitele popoare fceau parte dintr-un singur trib.

4.Cel dinti numr nu a fost numrul 1

Se pare c primul numr folosit de omul primitiv nu a fost numrul 1, cinumrul 2. Numrul 1 singur este ceva abstract. El nu poate exista dect atunci cndai dou sau mai multe elemente identice pe care s le numeri.

Pn n Evul Mediu era rspndit ideea c unu nici nu reprezint mcar unnumr. Chiar i vechii nvai greci, care erau buni matematicieni, erau convini deacest lucru. Excluderea lui unu din familia numerelor venea de la faptul c oamenii,legau noiunea, de numr de aceea de mrime, cantitate, multitudine.

Numrul 2 a aprut, atunci cnd organizarea muncii n societatea primitiv acerut divizarea ei ntre dou persoane care triau n comun, adic divizarea muncii

ntre brbat i femeie. Denumirea de azi a numrului 2 de numr cu so sau amultiplilor lui 2 de numere perechi, este cu siguran o reminiscen din acelevremuri n care 2 reprezenta brbatul i femeia sau o pereche.

6


6/116

Rar se ntmpla ca n societatea primitiv s se foloseasc pentru o grup de 3uniti un termen special. Ceea ce trecea peste 2 era denumit mult sau foartemult. Deci 3 sau 4 putea fi mult, sau foarte mult, dup interesul pe care lreprezentau aceste numere n raport cu necesitile omului primitiv.

Nevoile economice, n dezvoltare, ale omului din societatea primitiv l-au

determinat s fac unele progrese n ntrebuinarea numerelor. Atunci a reuit sdescopere posibilitatea de a combina numrul 1 cu numrul 2. Astfel, pentru 3 s-antrebuinat unu cu doi, pentru 4 doi cu doi, iar pentru alte grupe de uniti, altecombinaii similare. Deci numrul 2 a devenit un fel de baz de numrare. De altfel,se tie precis c chinezii au ntrebuinat pn acum 5.000 de ani sistemul denumrare cu baza 2 cunoscut n matematic sub numele de numrare binar.Denumirea de azi de numere perechi sau numere pare a multiplilor lui 2 nu poatefi dect o amintire a epocii cnd 2 constituia o baz de numrare la o anumittreapt de dezvoltare a civilizaiei. i astzi chinezii mai folosesc termenii de

numere feminine i masculine pentru a arta numere cu so i fr so.

5.Cum mai numrunele popoare primitiveAproape toate popoarele care se afl pe o treapt de dezvoltare primitivi

care sunt deci foarte puin evoluate din punct de vedere social i cultural, numrfie fcnd diverse combinaii ntre numerele 1 i 2, fie servindu-se de degeteleminilor i ale picioarelor. Iat o serie de exemple:

O populaie primitiv din Brazilia numr: un deget, o pereche de degete; totce trece peste doi este mult pentru aceti oameni.

Indigenii din strmtoarea Torres au pentru numerele unu i doi denumirile deurapuni okosa. Ei numr: 1 = urapun, 2 = okosa, 3 = okosa urapun, 4 = okosa okosa,5 = okosa okosa urapun, 6 = okosa okosa okosa. Deci o numrare pe baz de doi ntoat regula. Pentru aceti oameni numere mai mari de 6 nu exist. Tot ce trece de 6este o grmad.

La fel unele triburi primitive din Australia reuesc s numere cu aceeai bazpn la 10. Pentru numere mai mari ca 10 ei ntrebuineaz un singur cuvnt: mult.

Alte triburi primitive din Australia, care pot concepe i numere mai mari ca10, numr fcnd combinaii mai complicate. Au termene speciale pentru numerele

unu, doi i trei, apoi ncep combinaiile:4 = doi i doi,5 = jumtate din degetele minilor,6 = jumtate din degetele minilor i unu,15 = cele dou mini i jumtate din degetele picioarelor etc.Populaia Bakairi se servete tot de numerele unu i doi pentru a numra pn

la 6. Ei nsoesc fiecare numrare cu ridicarea degetelor de la mna stng. Pentrunumerele cuprinse ntre 6 i 10 ridic pe rnd degetele de la mna dreapt, strigndmera, ceea ce nseamn acela. Ca s indice numere cuprinse ntre 10 i 20 ei ating

pe rnd degetele picioarelor, iar pentru a arta un numr mai mare ca 20 i tragprul din cap.

7


7/116

Populaia Bugilai din Noua Guinee are cte un cuvnt distinct pentru o serie denumere. Aceste cuvinte provin din denumirile prilor corpului pe care le ating atuncicnd exprim numerele respective. Astfel:

1 = tarangesa(degetul mic de la mna stng),2 = metakina(inelarul),

3 =ghinghimila(mijlociul),4 = topea(arttorul),5 = manda(degetul gros),6 =gaben(pumnul),7 = trankgimbe(cotul),8 =podei(umrul),9 = ugama(snul stng),10 = dala(snul drept),i aa mai departe pn se ajunge la degetul cel mic al minii drepte, adic la

numrul 31.Aceasta ne dovedete c denumirile obiectelor concrete care au servit lanceput pentru stabilirea unor corespondene ntre ele i obiectele de numrat,devin cu timpul nume ale numerelor. De altfel, este tiut c la multe popoarecuvntul mn sau pumn nseamn cinci. Iar la noi se mai spune i astzi unpumn de sare, pentru a arta o cantitate redus de sare sau o mn de oameni,pentru a indica un numr mic de oameni.

Populaiile primitive din insulele Oceanului Indian i unele populaii dinMalaezia nu au numere cardinalepeste trei. Chiar dac au termeni speciali pentru

grupuri de uniti mai mari ca trei, de la patru n sus ei numr astfel: al patrulea, alcincilea, al aselea etc. Aceti oameni au deci numere ordinalen loc de cardinale iprin urmare, de la patru n sus ei nu numr, ci enumr.

6. Sisteme vechii noi de numrarePopoarele au inventat n cursul evoluiei lor diverse sisteme de numrare dup

cum au folosit ca baz o grup sau alta de numere, potrivit specificului lor imomentului istoric n care s-au dezvoltat.

Babilonienii numrau n grupe de 60. Ei foloseau deci numrarea sexagesimal.

Calculele cu asemenea numere se fceau aa cum noi lucrm astzi cu numerele carereprezint grade, minute i secunde de arc de cerc. Ideea acestui fel de numrarele-a venit de la mprirea anului n 360 de zile.

Dar locuitorii Babilonului antic foloseau i o numeraie n care grupa de bazera zece, adic numeraia zecimal.

Egiptenii, la care matematica s-a dezvoltat independent de babilonieni,foloseau i ei numeraia zecimal.

Chinezii, dup cum am vzut, au numrat mult vreme socotind cu grupe de 2.Utilizau numrarea numitbinar.

i vechii greci foloseau numeraia zecimal. Ei ntrebuinau pentru unititermenul monade; zecile erau numite decade, pentru sute aveau termenulhecadecade, miile se numeau chiliade, i apoi urma termenul miriade, pentru zeci de

8


8/116

mii. Mai departe ei nu mergeau pentru c nu aveau nevoie. A trebuit s vin celebrulArhimede ca s le demonstreze c se poate merge i mai departe cu numrarea.

Unele popoare din Africa Central i Africa de Nord socotesc i astzi cugrupe de cte 12, adic numr cu duzina. Aceasta este numrtoarea duodecimal.Numrtoarea duodecimal a fost ntrebuinat mult vreme de popoarele germane

i se mai folosete i astzi n unele ramuri comerciale n care mrfurile se livreazcu duzina. Se numr: una, dou,..., unsprezece duzini, iar dousprezece duzini facun gross (mare, n limba german).

Pn la instaurarea regimului sovietic, popoarele din nord-estul Siberiei, carenu cunoteau nici mcar un alfabet ca s-i traduc gndurile n scris, nu tiau snumere dect pn la 20. De altfel ce nevoie aveau aceti oameni de numere maimari? Nimeni nu vna mai mult de 20 de foci sau 20 de morse, nimeni nu poseda maimult de 20 de piei i nici un pstor din tundr nu avea mai mult de 20 de reni. Pe ici,pe colo, rsrea ns cte un bogta care reuea s strng mai multe piei sau s-i

mreasc numrul renilor din cireada. Dar i atunci cnd renii dintr-o cireadaatingeau un numr mai mare, se numra tot n grupe de cte 20.n cartea sa Alitet pleac n muni scriitorul sovietic T.Semiukin, care a

trit muli ani n mijlocul vntorilor i pstorilor Ciucci, vorbind despre averea unuibogta, spune n coloritul local al graiului:

Cirezile de reni ale lui Eceavto sunt uriae. Bogia lui nu se poate socoti. Peunde trec cirezile lui, trei veri calde nu mai apuc s creasc iarba. Renii suntmprii n zece cirezi: n fiecare cireada sunt douzeci nmulit cu douzecii nco dat, i nco datdouzeci nmulit cu douzeci.

Deci o cireada a lui Eceavto avea 3 x 20 x 20 = 1200 de capete. Iar atuncicnd bogtaul Eceavto face nego cu cellalt bogta, Alitet, el i spune:Pentru douzeci de toporae i dau reni de zece ori cte douzeci.Pn la numrul 20, ciuccii numrau ns cu baza 5. Astfel numrul 16 se

exprima n limba acestui popor trei ori cincii unu. Aproape toi contemporanii notrinumr cu grupe de 10. Modul acesta de a numra a fost probabil primul ntrebuinatpe scara evoluiei, atunci cnd omul a avut nevoie s precizeze numere mai mari ca10. Oamenii au ajuns la numrarea pe grupe de 10 datorit faptului c ntotdeauna eis-au servit de degete ca mijloc natural de numrare. Numrarea pe degete s-a

nscut ca o necesitate i a fost apoi adoptati perfecionat de oameni pe msurce se iveau noi nevoi n evoluia societii. n felul acesta 10 a devenit bazanumeraiei zecimale.

Originea ntrebuinrii numeraiei zecimale trebuie cutat probabil lafenicieni, care au fost cei mai mari comerciani cunoscui n Antichitate. Fenicienii,mpini de nevoile comerului lor, au trebuit s gseasc metodele cele mai practicei mai simple de exprimare a numerelor.

O alt baz de numrare, de pild 12, ar fi poate mai comod dect baza 10.Se tie c numrul 12 se mparte exact prin 2, 3, 4 i 6, adic prin mai multe numere

dect 10. Dar avantajele care s-ar obine printr-o schimbare a bazei actuale denumrare nu sunt suficiente pentru a renuna la sistemul zecimal.

9


9/116

Vom vedea mai departe c se pot alctui sisteme de numrare lund ca bazorice numr. Depinde ct de comod considerm o baz sau alta, dup scopul urmritatunci cnd o folosim. Oricare sistem de numrare poate s dea posibilitateanumrrii la nesfrit. Cu toate acestea, mii i mii de ani oamenii au crezut cirulnatural al numerelor este limitat. Era stabilit credina ferm c numrarea se

oprete la un anumit numr limit. Acest numr nu era acelai n toate timpurile ipeste tot. Am vzut doar c i astzi exist oameni primitivi care se opresc cunumrarea la 6, la 10 sau la 31. Tot astfel, n decursul istoriei, oamenii s-au oprit cunumrarea la 3, apoi la 5, la 7, 10, 12, 13, 100, 1.000 etc. Bineneles c o dat euivirea de noi nevoi s-au descoperit noi numere, precum i mijloacele corespunztoarede exprimare a lor.

Vechii egipteni, care mult vreme nu i-au putut nchipui un numr mai mare ca100.000, au ajuns n perioada nfloririi comerului lor s cunoasci s foloseascnumere pn la 10.000.000.

nvaii greci, care conduceau cele mai nalte coli matematice din lumeaantic, nu au trecut mult vreme dincolo de miriad, adic de 10.000. Nici nu aveaumcar un termen, o expresie, pentru numere mai mari. Marele nvat Arhimede,calculnd numrul firicelelor de nisip care ar putea umple un glob ct Universulcunoscut pe vremea lui, a fost primul care a artat c omul poate numi numere orictde mari.

7.Despre Arhimedei problema firelor de nisipArhimede (287-212 .e.n.) a fost cel mai mare fizician i geometru al

Antichitii. A trit la Siracuza, cetate care a rezistat mult timp atacului romanilordatorit genialelor invenii tehnice ale acestui mare savant. Arhimede a inventatscripetele mobil, roile dinate i multe alte mecanisme. El este descoperitorulcelebrului principiu hidrostatic pe care se bazeaz plutirea corpurilor. A scris multecri de mecanici matematic, dar multe din ele s-au pierdut.

n cartea sa Psamites, Arhimede i-a pus problema s gseasc un numrfoarte mare care s fie accesibil inteligenei umane. Acest numr trebuia s fie maimare dect numrul firicelelor de nisip ce ar umple tot Universul. El nelegea prinUnivers sfera sistemului solar cunoscut pe vremea lui, sau mai bine zis un glob cu

centrul n Soare i cu o raz egal cu distana de la Soare pn la planeta Saturn.Dat fiind mijloacele de scriere i de exprimare a numerelor din vremea sa, problemanu prea chiar aa de simpl.

Arhimede i-a pus aceast problem nu cu scopul de a gsi pur i simplu unastfel de numr foarte mare. El voia, prin rezolvarea ei, s dovedeasc c existnumere nemsurat de mari, chiar dac n timpul su nu se gseau expresiile necesarepentru denumirea unor numere uriae.

Marele nvat gsi c numrul grunilor de nisip care ar umple sferaimaginat de el ar fi 1063. Bineneles c el nu s-a folosit nici de zero i nici de

exponent, pentru c acestea nu se cunoteau pe vremea lui. Dar cum s denumeascun asemenea numr, cnd cel mai mare numr exprimat de contemporanii lui eramiriada, adic 10.000 sau 104? Aici interveni geniul lui Arhimede.

10


10/116

Arhimede numi numere deprim ordinpe acelea care sunt mai mici ca miriadade miriade, adic numerele pn la 108. Apoi, din numerele urmtoare pn la 1016form grupa numerelor secunde. Pe urm trecu la numere terepn la 1024i aamai departe. Fiecare grup a numit-o octad. Opt octade le-a ntrunit ntr-operioadi form astfelperioada prim, perioada secundetc.

n felul acesta, servindu-se numai de cuvinte obinuite n limba greac, marelenvat reui s dea numere pn la unitatea urmat de 800 de milioane de zero. Unastfel de numr se poate scrie n minimum 60 de ani, cu o vitez de o cifr pesecund, i lucrnd 10 ore pe zi. Cu aceast problem Arhimede arta nvailor dintimpul su un mijloc prin care se pot familiariza cu numere neobinuit de mari pnatunci i le indic o cale de a gsi altele i mai mari.

8.De cte cuvinte avem nevoie pentru a numra?n afar de cele cteva popoare primitive artate, oamenii contemporani cu

noi tiu s numere pn la nesfrit. Dac ar trebui s folosim cte o denumireaparte pentru fiecare numr nu s-ar putea gsi attea cuvinte cte ne-ar trebui cas putem numra. Numrul cuvintelor compuse din sunetele alfabetelor uzuale s-arepuiza mult nainte de a ajunge la un numr mai mare dect oricare numr am vrea sni-l nchipuim noi.

Fr s fac aceste socoteli (de altfel nici nu le cunoteau), oamenii din celemai vechi timpuri au gsit mijloace practice pentru exprimarea numerelor. Ei aurezolvat problema numrrii socotind nu cu uniti separate, ci cu grupe de uniti.

Pentru fiecare grup de uniti au gsit un cuvnt separat: unu, doi, trei,

patru, ..., zece, i aa mai departe pn la un anumit numr. Apoi, adunnd grupele,una cu alta, cum ar fi un-spre-zece, doi-spre-zece etc, sau multiplicndu-le (deexemplu: treizeci, patruzeci etc), au obinut numere noi. n acest mod, cu ajutorulunei cantiti reduse de cuvinte au izbutit s fac diferite numrri, necesare iconvenabile n activitatea lor zilnic.

Se poate uor calcula de cte cuvinte, din orice limb, are nevoie omul pentrudenumirea tuturor numerelor care trebuie exprimate la numrarea pn la un anumitnumr.

S lum de exemplu limba romn. La numrarea pn la zece ne trebuie 10

cuvinte. De la unsprezece pn la douzeci, dac excludem conjuncia spre(vorbimnumai de numere), mai intervin nc 2 cuvinte noi:paisprezeceiaisprezece, care iele s-au nscut din compunerea i deformarea unor cuvinte dintre primele zece. Dela douzeci i unu pn la o sut ne mai trebuie nc 2 cuvinte noi: aizecii sut. Lanumrarea pn la o mie apare un singur cuvnt nou: mie. Deci pentru a numra pnla o mie avem nevoie, n limba romn, de 15 cuvinte diferite pe care le compunemaa cum ne cere sistemul nostru de numrare. Pn la un milion vom avea nevoie de 16cuvinte diferite, iar pn la un miliard de 17 cuvinte diferite i aa mai departe,pentru fiecare clas nou, un cuvnt nou.

Prin urmare, pentru a-i nlesni activitatea sa zilnic, omul a reuit s adopteun astfel de sistem de numrare nct s poat denumi rezultatul numrriiobiectelor care intervin n aceast activitate, cu un vocabular foarte redus.

11


11/116

Capitolul 2Cum se scriau numerele odinioari cum se scriu acum

9. Zorile scrierii numerelorReprezentarea numerelor cu ajutorul unor semne sau cifre, cum sunt cele

folosite de noi, sau apropiat de cele pe care le cunoatem i le ntrebuinm astzi,sunt realizri ale oamenilor din timpurile mai recente. Altele au fost cifrelecunoscute n urm cu 1.000 de ani, diferite de acestea au fost cifrele folosite acum2.000 de ani i foarte deosebite de cifrele noastre au fost semnele ntrebuinate depopoarele la care s-a dezvoltat o civilizaie n urma cu 60 de secole.

Se pare, c omul primitiv a nceput s zgrie n piatr sau s cresteze n lemnprimele numere atunci cnd trebuia s marcheze evenimente cereti pe care nevoial ndemna s le fixeze. Erau evenimente legate de productivitatea i fertilitateapmntului i a vitelor. El reprezenta atunci fiecare numr printr-un semnrudimentar, format din una, dou, trei sau cel mult patru liniue. De altfel, n aceaepoc omul nici nu tia s numere mai mult. Liniuele imitau degetele cu care eraobinuit s indice puinele numere pe care le folosea.

n cele mai vechi documente care s-au putut gsi, se vede c egipteniifoloseau pentru scrierea numerelor, n urm cu 6.000 de ani, desene similare cuacelea cu care reprezentau orice gnd al lor. Este scrisul cunoscut sub numele depictografie. Ulterior, nevoia de a deosebi numerele de celelalte cuvinte i-a ndemnats gseasc caractere speciale pentru scrierea cifrelor. Astfel apar la egipteni, nc

din sec. al XXXV-lea .e.n., numere scrise cu hieroglife (scriere sfnt). Cu timpul,aceste hieroglife au evoluat ajungndu-se la o simplificare a semnelor.

Cum scriau vechii egipteni numerele:(a) hieroglife vechi de 55 secole; (b) hieroglife simplificate; (c) scrierea

hieratic(rapid)

12


12/116

Scrierea cu hieroglife era greoaie. Un numr se obinea prin alturareasuccesiv a semnelor. Hieroglifele ne spun ns ceva bun. Din timpuri foartendeprtate egiptenii foloseau numeraia zecimal.

O dat cu dezvoltarea economici propirea tiinei i culturii, s-a simitnevoia unei reprezentri mai simple a numerelor i a unei scrieri mai rapide. S-a

trecut astfel la scrierea hieratic (rapid) a cifrelor. Unele semne trebuiaurepetate mai puin acum, dar prin aceasta egiptenii nu au reuit nc s creeze unsistem de scriere a numerelor orict de mari. Probabil c nici nu i-au pus mcarproblema continurii la nesfrit a operaiei de numrare.

Sumerienii i-au pus ns aceast problemi au rezolvat-o parial nc acumaizeci de secole. Ei au introdus n scrierea numerelor un principiu, pe ct de simplu,pe att de genial. Potrivit acestui principiu, orice cifr poate avea o valoare sau alta,dup poziia pe care o ocup n scrierea unui numr format din dou sau mai multecifre. Este de fapt principiul pe care noi l folosim n mod curent la scrierea

numerelor.Astfel, ntr-un numr oarecare scris de noi, de exemplu 85, observm c cifra5 reprezint uniti, deoarece ocup, n numrul dat, prima poziie de la dreapta, iarcifra 8 indic zecile pentru, c ocup al doilea loc. Deci cifra 8, datorit poziiei pecare o ocup, are o valoare de zece ori mai mare dect aceea pe care o are cnd esingur. Dac schimbm cifrele ntre ele, obinem numrul 58, care are cu totul altvaloare. Acest fel de a scrie numerele se numete sistem de poziii i ne dposibilitatea s scriem practic numere orict de mari sau orict de mici am voi noi.Sumerienii, care foloseau numeraia zecimal, aplicau i sistemul poziional, la

exprimarea grafic a numerelor. Semnele scrisului lor aveau forma de cuie, de undei numele de scriere cuneiform.

Scrierea cuneiforma numerelorSistemul de poziii, astfel cum l aplicm noi, a fost perfecionat de popoarele

indiene cu patru mii de ani mai trziu.

10. Cifre din litereFenicienii i vechii ebrei foloseau pentru scrierea lor curent un alfabet

format din 27 de caractere. Ei au gsit c este mai practic s utilizeze litereledrept cifre. Primele nou litere au devenit atunci uniti, urmtoarele 9 au fostdestinate zecilor, iar ultimele 9 litere au servit pentru reprezentarea sutelor. Doupuncte aezate peste o liter nmuleau cu 100 numrul reprezentat de aceasta.

13


13/116

Litera care reprezenta, de exemplu, numrul 20 putea s devin 2.000 dac aveadou puncte deasupra ei.

Grecii antici foloseau la nceput o scriere complicat a numerelor cu liniue ilitere. Contactul comercial cu fenicienii i ebreii i-a fcut s adopte, n sec. al Vl-lea.e.n., sistemul mai simplificat al acestor popoare. Pentru c ei nu aveau dect 24 de

litere n alfabetul lor, grecii au recurs la trei caractere speciale. Literele-sunete sedeosebeau de literele-cifre printr-un accent, iar un semn, aezat la stnga jos fceaorice liter-cifr de o mie de ori mai mare. Astfel:

123.9'''' = i la vechile popoare slave gsim un sistem asemntor pentru scrierea

numerelor. Un semn numit titlo aezat deasupra unei litere o fcea s devinnumr. Iati cteva exemple:

900100402010321

PMKIB~~~~~~~~

Cu cele 27 de litere ale alfabetului se puteau scrie astfel numere pn la 999.

Miile erau reprezentate de aceleai litere, la care se aduga, la stnga jos, un semnspecial. Pentru numere mai mari se ntrebuina un sistem original: se ncadra literarespectiv cu un anumit desen. Acest sistem de scriere a numerelor a fost folosit ila noi, atunci cnd s-au adoptat literele slave pentru scrierea n limba romn.

Mai mult de zece secole cifrele romaneau ocupat un loc important n scriereanumerelor. Cifrele romane i au originea n numrtoarea pe degete. ntregul sistem

roman are doar apte cifre distincte: I, V, X, L, C, Di M. Acestea par a fi litere.Dar numai dou din ele, C i M, sunt litere. O parte din ele i au originea nnumrarea pe degete.

Cifrele I, II, III reprezint tot attea degete. V nu este dect o mn cudegetele ntinse, iar X dou mini ncruciate. Litera C este iniiala cuvntului latincentum(o sut). Pentru c la nceput aceast liter se scria cu unghiuri drepte (L),jumtatea ei L s-a folosit pentru notarea numrului 50.

Litera M corespunde cuvntului latin miile(o mie). La nceput acest numr se

scria cu un semn special: un cerc tiat de un diametru vertical . Pentru 500 s-aadoptat atunci jumtatea din dreapta a acestui semn, adicD. Cu cifrele romane sepot scrie numere i mai mari; folosind liniue aezate n jurul cifrelor cunoscuse.

Aceast convenie a intervenit destul de trziu.La forma definitiv a cifrelor romane s-a ajuns de abia n anul 140 .e.n.

14


14/116

11. Cifrele captdefinitiv o valoare dupformi una duplocnchipuii-v o operaie aritmetic cu hieroglife, cu litere greceti sau cu

cifre romane. Pentru a nmuli ntre ele dou numere de cte patru-cinci cifretrebuiau nvinse greuti enorme. Un copil de astzi, din clasa a patra elementar,efectueaz o asemenea operaie ntr-un timp cel puin de zece ori mai scurt, dect

un calculator versat din antichitate. i aceasta numai pentru c un copil dinvremurile noastre folosete un sistem de scriere a cifrelor foarte avansat. Elntrebuineaz nou semne diferite pentru cele nou cifre de la 1 la 9, l introducepe zero unde i lipsesc unitile de un ordin oarecare i se bazeaz pe principiulpoziional.

Pentru a putea face fa nevoilor de calcul, la unele populaii, cum erautriburile semite din Siria i Palestina, s-a dezvoltat foarte mult calculul pe degete.Mai trziu, vechile popoare au inventat un instrument de calcul pe ct de simplu peatt de ingenios, numit abacus, despre care vom vorbi mai departe. El era similar cu

sciotulrusesc. Ce ne intereseaz ns acum, este s vedem cum s-a ajuns la sistemulactual de scriere a cifrelor, att de avantajos.Pn acum vreo 600 de ani, chinezii se foloseau pentru calcule de nite

bastonae scurte, din bambus sau filde, pe care le dispuneau vertical sau orizontal.Originea acestui fel de reprezentare a numerelor trebuie cutat tot n numrareape degete. Bastonaele nu erau dect o transpunere a degetelor n piese uormanipulabile la calcul. Pentru simplificare cifra 4 se construia i din dou bastonaencruciate.

Cu bastonae de bambus sau de filde vechii chineziformau cifrei apoi numere

Acest mod de figurare a cifrelor a fost utilizat apoi i n scris. nfiarea

cifrelor a suferit ns atunci cnd, pentru scrierea lor rapid, s-a adoptat metoda dea se ridica ct mai puin instrumentul de scris de pe pergament, pnz sau hrtie.Astfel s-au nscut cifrele de mn chinezeti. Aadar la chinezi apar pentru primaoar semne distincte pentru fiecare cifr de la 1 pn la 9. Mai exist ns cte unsemn special pentru 10, 100, 1.000 etc.

Cifre chineze scrise de mn

15


15/116

Dac privim cu atenie aceste semne observm c unele din ele se aseamnmult cu cifrele noastre care sunt universale. Hinduii au fost aceia care au reuit sfac adevratul salt calitativ n ceea ce privete numeraia scris, n sec. III e.n., eiau adoptat numai zece semne distincte pentru scrierea numerelor. n acelai timp auperfecionat sistemul de poziii inventat de sumerieni. Al zecelea semn folosit de

popoarele Indiei era un punct, care aezat deasupra unei cifre, o fcea de zece orimai mare.Lipsa unui ordin oarecare era indicat printr-un gol ntre cifre. Mai trziu,

prin sec. al VIII-lea e.n. hinduii au introdus cifra zero, n forma pe care noi ocunoatem astzi, cu scopul de a multiplica de zece, o sut sau o mie de ori un numr,sau de a ine locul cifrei de un ordin oarecare, cnd aceasta lipsete. Lrgirea iruluide numere naturale prin introducerea lui zero constituie cea mai important reformpe care au introdus-o popoarele Indiei n numeraia scris. Fr zero nici nu vedemcum am fi putut s ajungem la aa o dezvoltare i o simplificare a calculului

aritmetic.Numeraia scris hindus a fost preluat de arabi prin sec. al VIII-lea iintrodus apoi n Europa sub denumirea de sistem-arab. Pentru aceasta arabii s-aufolosit la nceput de cartea savantului uzbec Muhamed al Horezmi, intitulatAritmetica cu cifre hinduse, scris prin secolul al IX-lea. Dup ce aceast carte afost tradus n limba latin - limba tiinific din Evul Mediu - savanii europeni auluat cunotin de numeraia zecimal poziional. Traducerea ncepe cu cuvintele:Al-Horezmi despre socoteala hindus. De aceea, la nceput aritmetica expus cusistemul hindus s-a numit al-horismi apoi algorism. De la algorisms-a ajuns la

termenul algoritm, care n prezent are cu totul alt neles n matematic(algoritm -succesiunea de calcule necesare pentru rezolvarea unui anumit gen de probleme.Astfel, toate operaiile necesare pentru rezolvarea unei ecuaii de gradul I cu osingur necunoscut constituie un algoritm. Succesiunea de calcule necesare pentruextragerea rdcinii ptrate dintr-un numr este tot un algoritm).

Deocamdat ns, noul sistem a rmas cunoscut numai de cercul strmt alsavanilor. Comercianii europeni din sec. al Xll-lea i al XIII-lea care au nvataritmetica n universitile arabe, au putut i ei constata superioritatea nouluisistem fa de cel roman.

Renumitul matematician Fibonacci nu a fost dect fiul unui comerciant italian,care fiind trimis de tatl lui n interes de afaceri n Orient, a umblat i pe launiversitile arabe. La ntoarcerea sa n patrie a scris n anul 1202 celebra carte dearitmetic i algebr Liber abacei care a ajutat la popularizarea n Europa asistemului indo-arab.

16


16/116

Cifre hinduse, arabei europene

Cifrele romane, singurele rspndite pn atunci n Europa, nu ddeau nici oposibilitate de calcul. Ele erau bune doar pentru nsemnarea numerelor sau arezultatului unui calcul fcut prin abace sau diverse alte metode greoaie. Totui la

introducerea sistemului indo-arab s-a ntmpinat mult rezisten. Biserica catolicconsidera folosirea cifrelor arabe drept o erezie, iar autoritile feudale ddeauedicte speciale pentru interzicerea folosirii noului sistem.

Sistemul de numrare indo-arab s-a introdus definitiv n Europa de abia nsec. al XVI-lea, o dat cu slbirea puterii feudale i ntrirea burgheziei. Burgheziadin vremea aceea era interesat n propirea tiinei. Cifrele folosite de noi astzidifer, n parte, ca form, de cele hinduse sau arabe. Ele au suferit diversemodificri att datorit influenei unor cifre existente n unele regiuni ct ifanteziei scribilor i caligrafilor care copiau textele. Definitivarea i unificarea

formei cifrelor s-a fcut, ca i n cazul literelor, o dat cu rspndirea tiparului.Acesta este adevrul tiinific. Dar mai circul i legende asupra formrii

cifrelor arabe. Una care a prins este urmtoarea:Cifrele pe care noi le numim arabe ar fi fost inventate de regele Solomon al

ebreilor, care ar fi avut o piatr preioas tiat ca n figur. Din liniile acesteipietre s-ar fi format cifrele pe care noi le folosim astzi.

Piatra preioasa regelui Solomoni cifrele arabe derivate din ea...duplegend

Aceast ipotez, pe ct este de interesant ca fantezie de desen, pe atteste de naivi lipsit de baztiinific.

12. Ceva despre nimicLa nceput a fost chiar nimic, deoarece hinduii indicau printr-un gol lipsa unui

ordin oarecare dintr-un numr. Apoi au trecut la un punct, dup aceea la un ptratmic, pentru ca la urm s adopte un cercule care se poate scrie foarte simplu.Pentru c hinduii ntrebuinau cuvntul sunia, care nseamn gol, atunci cnd

17


17/116

aveau de indicat o astfel de lips n cuprinsul unui numr, arabii au tradus acestcuvnt n termenul corespunztor din limba lor. n arab gol se traduce prin ifr.

De aceea, cnd s-a introdus sistemul indo-arab care, fa de modul cunoscutde scriere a numerelor, se caracteriza prin prezena lui zero, s-a luat obiceiul de ase numi numerele scrise dup acest sistem, numere cu ifre. Cuvntul ifr sau

cifr a devenit apoi comun n limba multor popoare, nct astzi orice semn folositpentru scrierea unui numr este numit cifr. Cnd spunem cteodat nul n loc dezero, nu facem dect s pronunm cuvntul italienesc nulla, care nseamn totnimic.

i aceast nul, acest nimic, are rolul cel mai important n actuala numeraiescris pe care noi o considerm cea mai perfect. Dei este nimic, aceast cifrapare ca un ins care spune: Eu nu sunt nimic, ns atunci cnd sunt introdus ntrecifre, pot sin locul oricrei din ele i n acelai timp s le fac pe toate care se afln stnga mea de zece ori mai mari. Cnd sunt aezat o dat la dreapta unui numr l

fac i pe acesta de zece ori mai mare, iar cnd sunt aezat de mai multe ori lmresc de o sut, o mie, zece mii de ori....Numrul zero nu aparine irului natural de numere, deoarece cu el nu se

numr. ns n irul natural de numere fiecare numr este format din precedentul,la care se adaug o unitate sau din urmtorul, din care se scade o unitate. Astfelavem: 17 = 18 - 1, 16 = 17 - 1, ...,3 = 4 - 1, 2 = 3 - 1, 1 = 2 - 1.

Dac continum, putem spune c 0 = 1 - 1. Deci, n irul natural vom putea scriepe zero imediat naintea unitii. Se spune atunci c am extins irul natural denumere. Numrul zero mai are i alte particulariti. El este un numr par, deoarece

se poate obine prin scderea lui 2 dintr-un numr care este tot par. i totui estesingurul numr par care nu se poate divide prin 2...Zero ca numr nu se adun, nu se scade. Cnd se nmulete un numr oarecare

cu zero, acest numr devine tot zero. Totui zero este un operator, deoareceadugat la dreapta unui numr l nmulete pe acesta cu 10.

Mrimea 0 nu are proprietatea fracionrii, adic nu se poate mpri aa cumse mparte orice mrime reprezentat printr-un alt numr. Zero mprit printr-unnumr oarecare, afar de zero, d tot zero.

Mai este ceva interesant la acest numr 0. ncercai s nmulii un numr

oarecare, de exemplu 7, de zero ori cu el nsui. Vei spune c este o absurditate.Totui 7 ca i 8 sau 5 sau n fine, orice numr ridicat la puterea 0 este egal cu 1.Cu toate c, la prima vedere, se pare c un numr la puterea 0 nu are nici un sens icu att mai mult s fie egal cu 1, adic cu un numr natural, totui s-a admis acestlucru pentru c altfel nu se pot menine toate regulile stabilite n aritmetic cuprivire la calculele cu exponeni.

13. Cum scriem un numr n sistemul nostrui n alte sisteme de numrareAadar, noi numrm unu, doi, trei... opt, nou, zece. Cnd am ajuns la zece,

facem un pachet din aceste numere i ncepem iar s numrm de la unu. Dar ca s nuuitm c avem n urma noastr pachetul de zece, spunem: unsprezece, doisprezece iaa mai departe. Cnd am mai numrat zece facem un nou pachet i spunem douzeci.

18


18/116

Trecem apoi la treizeci, patruzeci etc. Cnd am fcut zece pachete de cte zece,spunem c am ajuns la o sut. Dac facem acum pachete mai mari, de cte zece zeci,adic de cte o suti strngem la un loc zece dintr-acestea, spunem c am ajuns lao mie. n felul acesta noi am nvat i tim s numram la nesfrit, tot fcndpachete de mii, de zeci de mii, de sute de mii i apoi facem un pachet din zece sute

de mii, adic un milion etc.Pentru c n felul nostru de a numra noi ne tot bazm pe pachete sau grupede cte zece pe care apoi le nmulim cu zece, iar rezultatul cptat din nou cu zecei aa mai departe, sistemul nostru de numrare s-a numit sistemul zecimal, iarnumrul zece l-am numit baza numeraiei zecimale.

Pentru scrierea numerelor pn la zece, noi folosim nou caractere distincte,adic cifrele de la 1 la 9. Cnd ajungem la zece, adugm un zero la unu, pentru c noiam fcut o convenie c zero la dreapta unui numr l face de zece ori mai mare.Deci noi scriem 10. La fel scriem 20, 30, 40,..., 100, 1.000 etc. Cnd scriem numrul

406, noi introducem un zero ntre 4 i 6 pentru c ne lipsesc zecile. Aceasta o facemtot pe baza unei convenii. Dar nu ntotdeauna s-au folosit oamenii de zero, de acestnimic, pentru a-i simplifica scrisul numerelor. Am vzut doar c destul de trzius-a ajuns la aceast invenie genial.

Am artat c mai existi alte sisteme de numrare n afar de acela cu bazazece. Cunoscnd sistemul aa de perfecionat al numeraiei scrise cu baza zece, scutm s-l generalizm i la celelalte sisteme de numrare. Nu este neaprat nevoies ne alegem sistemul cu baza de 60, 12, 5 sau 2, care au fost sau mai sunt nc n uzla diverse popoare. Baza noastr poate fi orice numr. Conducndu-ne dup modul

cum ne-am construit sistemul zecimal, putem spune c: pentru a scrie numerele nbaza zece ne trebuie 9 cifre semnificative, adic mai puin cu unu dect baza; dacnotm orice baz cu B, vom spune c pentru a scrie un numr n baza B, trebuie sadoptm (B - 1) caractere distincte pentru a reprezenta primele (B - 1) numere.

Am vzut c, n numeraia zecimal, de cte ori ne lipsete un ordin oarecarenoi l nlocuim cu un zero. i la numerele pe care le vom scrie n baza B l vom folosipe zero n acelai scop. Cunoscnd toate acestea, s spunem ceva despre numrareabinar, despre care tim c au mai ntrebuinat-o chinezii cu multe mii de ani nurm, dup unii chiar acum 5000 de ani, i care a devenit din nou foarte actual o

dat cu inventarea i punerea n funciune a calculatoarelor.

14. Numrarea binarEste numrarea cu baza 2. Pentru c suntem obinuii cu numrarea zecimal,

numrarea binar prezint pentru noi o serie de curioziti. Cele (B - 1) caracterecare se folosesc pentru primele (B - 1) numere se reduc la 2 - 1 = 1 caracter. Decinumrarea binar conine ca cifr distinct pe 1. Pentru a arta lipsa unui ordin,atunci cnd se scrie un numr n numrarea binar se ntrebuineaz tot simbolul 0ca i n numrarea zecimal.

Deci, n sistemul binar alte cifre dect 0 i 1 nu se vor ntrebuina, iar unnumr scris n acest sistem apare n forma 1, 10, 11, 101, 110,111,1000 i aa maideparte.

19


19/116

15. Cum se scrie un numr n sistemul binar?n orice sistem de numrare, fiecare cifr a unui numr reprezint baza la o

anumit putere, nmulit cu acea cifr. Puterile bazei pornesc de la 0 i cresc de ladreapta spre stnga numrului. De exemplu, la numrul 3.047 n baza zecimal:

7 reprezint pe 7 = 7 x 1 = 7 x 100

4 reprezint pe 40 = 4 x 10 = 4 x 101

0 reprezint pe 0 sute = 0 x 100 = 0 x 1023 reprezint pe 3 000 = 3 x 1000 = 3 x 103.

Deci se poate spune c un numr este format dintr-o sum de produse,fiecare produs fiind i el format dintr-o cifr a numrului nmulit cu baza la oanumit putere. Pentru a scrie un numr n sistemul binar vom proceda n felulurmtor:

- vom descompune numrul ntr-o sum de termeni, fiecare din aceti termenifiind format de 1, singura cifr semnificativ a sistemului binar, multiplicat cu 2 la o

putere, 2 fiind baza;- vom ordona termenii sumei dup puterile descresctoare ale lui 2, de lastnga la dreapta;

- pentru fiecare termen astfel obinut vom scrie cifra 1, iar pentru puterilelui 2 care lipsesc din ir vom scrie cifra 0.

De exemplu, s scriem n sistemul binar pe 61 din sistemul zecimal. Vom avea:61 = 1 + 22 + 23 + 24 + 25 sau 61 = 25 + 24 + 23 + 22 + 0 x 21 + 20n locul fiecrui termen vom scrie cifra 1, afar de penultimul (0 x 21), care va

fi nlocuit cu 0. Deci, vom avea (61)10 = (111101)2, adic 61 din sistemul zecimal se

scrie 111101 n sistemul binar. Sistemul binar cere foarte multe cifre pentrureprezentarea unui numr. Miile, care se scriu n sistemul zecimal cu 4 cifre, cer nsistemul binar 11 cifre. Primele 40 de numere scrise n sistemul binar sunt:

Sistemul Sistemul Sistemul Sistemul Sistemulzecimal binar zecimal binar zecimal binar zecimal binar zecimal binar

1 1 9 1001 17 10001 25 11001 33 1000012 10 10 1010 18 10010 26 11010 34 1000103 11 11 1011 19 10011 27 11011 35 1000114 100 12 1100 20 10100 28 11100 36 100100

5 101 13 1101 21 10101 29 11101 37 1001016 110 14 1110 22 10110 30 11110 38 1001107 111 15 1111 23 10111 31 11111 39 1001118 1000 16 10000 24 11000 32 100000 40 101000

16. Mainile electronice de calcul numrcu baza 2Cu toii am auzit despre alfabetul Morse. tim c acest alfabet are numai

dou semne: linie i punct. Cu ajutorul lor se poate scrie orice cuvnt i orice numr.Tocmai pentru c are numai dou semne, acest alfabet este cel mai nimerit pentru a

fi folosit n telegrafie. Un punct este un impuls electric scurt, iar o linie unul mailung. Deci n total dou semnale electrice foarte uor de obinut printr-o apsaremai scurt sau mai lung pe buton. Aplicarea sistemului binar la transmiterea

20


20/116

electric a numerelor este i mai simpl. Orice numr fiind format numai din unitii zerouri, el poate fi reprezentat prin prezena semnalului electric pentru unu iabsena semnalului electric pentru zero.

Acest sistem se aplic la nregistrarea numerelor n maina electronic decalculat. Operatorul introduce n main numerele, scrise n sistemul zecimal. Printr-

un dispozitiv automat maina le traduce n sistemul binar i totodat le imprim peo band care nainteaz cu o micare uniform. Imprimarea se face sub forma unormici orificii n band. Unde cade unitatea se produce o gaur, iar acolo unde vine unzero, rmne un spaiu. Astfel, numrul 37, care n sistemul binar se scrie sub forma100101, apare pe band: orificiu, gol, gol, orificiu, gol, orificiu. Fotoelementelemainii de calculat citesc numerele de pe aceast band foarte uor. Cnd n faaunei celule fotoelectrice trece un orificiu al bandei se produce un impuls electric, iaratunci cnd apare un gol impulsul se ntrerupe pentru un timp egal.

Maina memoreaz aceste impulsuri electrice cu dispozitivele ei alctuite

din mii i mii de piese radio-tehnice: lmpi electronice, fotoelemente, rezistene,semiconductori etc. De aici ncolo ncepe calculul propriu-zis cu ajutoruldispozitivului aritmetic format i el dintr-un mare numr de elemente electronice.Totul funcioneaz cu o vitez uimitoare. Astfel maina electronic americanOrdinator efectueaz ntre 42.000 i 50.000 de operaii ntr-o secund.

Iat deci cum un sistem de numrare, pe care populaiile primitive l-auinventat i folosit, i care ulterior a fost teoretizat de mintea omului cult, esteastzi din nou folosit n scopuri practice cu ajutorul celei mai moderne maini.

21


21/116

Capitolul 3Ceva din istoria calculului numeric

17.Mna, primul instrument pentru calculPrimele semne zgriate de omul primitiv, undeva pe un col de stnc, pe un os

sau pe un rboj nu i-au folosit dect pentru a fixa, fie datele unor evenimente maiimportante, fie numrul vitelor i al obiectelor utile din averea personal saucolectiv. Aceste semne nu au putut fi ntrebuinate niciodat pentru calcule i dealtfel inventatorii lor nici nu s-au gndit vreodat la aa ceva. Chiar i dup aceea,atunci cnd oamenii au inventat simboluri mai practice pentru fixarea numerelor, einu au avut de unde stie c acestea vor trebui s serveasc vreodat ca mijloacede calcul simplu i rapid. Era deci natural, ca mult mai trziu, cnd s-a ivit nevoiaefecturii unor calcule simple, rudimentare, omul s descopere c degetele miniisale, care i serveau continuu pentru numrat, sunt bune i pentru socotit. Mna adevenit deci un fel de instrument de calculat.

Mna ca prim instrument de calcul a dinuit dup aceea mii de ani, pentru cnici numerele formate din litere, cum erau cele greceti i nici chiar numerele scrisedin cifre romane nu ofereau posibilitatea unui calcul rapid i simplu. Numai cuajutorul numerelor scrise dup sistemul inventat de populaiile din India s-a pututgsi o tehnic de calcul care s duc la rezultate corecte, prin mijloacele cele maisimple i cu o vitez corespunztoare nevoilor.

Bineneles c naintea descoperirii primelor calcule numerice cu ajutorulsemnelor inventate de ei, indienii se serveau i ei de mn ca instrument de calcul.

Populaia din Bengal mai calculeazi astzi pe degete.18.Calculul pe degete al bengalezilor

La fel ca strmoii lor, bengalezii se folosesc de faptul c fiecare deget,afar de cel gros, are trei ncheieturi i un vrf, deci patru puncte distincte. Acestlucru le permite s numere pn la 16 numai cu patru degete ale unei singure mini,pornind de la prima ncheietur a degetului mic i trecnd succesiv la celelaltedegete.

Prin exerciii repetate ei ajung s ndoaie degetul gros n aa fel nct s

ating cu vrful su orice ncheietur a degetelor minii respective, iar fiecareatingere de acest fel nseamn pentru ei un numr. Astfel, ei tiu precis c a treiancheietur de la baz a degetului mijlociu reprezint numrul 11 sau c bazainelarului este 5 i aa mai departe. n felul acesta, servindu-se de ambele mini,aceti oameni pot face uor adunri i scderi de numere pn la 31 i nmuliri pnla 8 x 4 inclusiv.

19.nmulirea pe degete la triburile semite din Siriai PalestinaOamenii din aceste triburi cunoteau tabla nmulirii, ns numai pn la 5 x 5

i tiau s-o ntrebuineze mecanic aa cum tim noi s ne folosim de tabla nmuliriipn la 10 x 10, nmulirea unui numr mai mic dect 5 cu un numr cuprins ntre 5 i10, se fcea descompunnd pe ultimul ntr-o sum de dou numere dintre care unul

22


22/116

era neaprat 5, iar al doilea un numr pn la 5. Dup ce se opera nmulirea ambilortermeni ai acestei sume cu primul numr dat, se adunau rezultatele. Dac ns ambiifactori ai nmulirii erau cuprini ntre 5 i 10, se serveau de degetele minilor ca deo main de calculat, astfel: fiecare deget ntins, al unei mini era socotit drept ounitate; deci mna deschis, cu degetele ntinse, reprezenta numrul 5; ndoind un

deget, dou, trei sau patru, ncepnd cu cel mic se obineau numerele 6, 7, 8 sau 9;pumnul nchis era socotit 10.Fiecare factor al nmulirii era reprezentat de cte o mn cu degetele

dispuse conform regulilor de mai sus, dup mrimea numrului. La citirea rezultatuluinmulirii, degetele ndoite deveneau zeci, iar cele ntinse rmneau uniti. n acestfel, nmulirea se reducea la urmtoarele trei operaii simple care erau executate nordinea nirrii lor:

- adunarea degetelor ndoite, socotite ca zeci;- nmulirea degetelor ntinse, socotite ca uniti;

- adunarea rezultatelor de mai sus.Un exemplu ne va lmuri imediat. S presupunem c aceti oameni au avut defcut nmulirea: 6 x 8 = 48. Numrul 6 se reprezint printr-un deget ndoit i patrudegete ntinse de la o mn, iar numrul 8 prin trei degete ndoite i dou degetentinse de la cealalt mn. Vom avea deci: 1 + 3 degete ndoite 40

4 x 2 degete ntinse ___8Total 48

Cum se explic acest sistem de nmulire? S numim cu a i b numruldegetelor ndoite de la fiecare mn.

Atunci cei doi factori ai nmulirii devin: 6 = (5 + a)i 8 = (5 + b),iar numruldegetelor ntinse de la fiecare mn poate fi reprezentat respectiv, prin: (5 - a)i(5 - b).Adunnd degetele ndoite ca zeci am obinut 10(a+ b)i nmulind degetelentinse ca uniti avem (5 - a)(5 - b).Acum dac scriem identitatea: (5 + a)(5 + b) =10(a + b) + (5 - a)(5 - b)n care membrul al doilea reprezint exact operaiile pe carele-am executat mai sus pentru efectuarea nmulirii i dac efectum calculele,vedem c ea se verific.

20. O invenie genial: abacul roman, suan-panul chinezesci sciotul rusesc

Cei mai strlucii matematicieni ai Antichitii nu au reuit s inventeze regulisimple de calcul cu ajutorul numerelor scrise din litere. Nici calculul pe degete nuputea fi mpins dect pn la o anumit limit.

Chiar i vechiul procedeu numit n textele romane digitis comptare carepermitea 18 combinaii cu degetele minilor i care ddea posibilitatea exprimriinumerelor de mrimea miilor, nu a mai corespuns atunci cnd bogiile au nceput screasci cnd trebuiau mnuite numere mult mai mari. Operaiile cu cifrele romaneerau i ele extrem de greoaie. O simpl nmulire cu asemenea cifre cerea calculelungi i transformri.

Iat, de exemplu, cum se efectua cu cifre romane nmulirea a dou numeremici cum ar fi CCLXXXVII cu XXXII, adic 287 x 32:

23


23/116

CCX MMCCX MMCCX MM

LXXX XXX MMCCCCVII XXX CCX

CC II CCCCLXXX II CLXVII II XIV

MXCLXXXIVAm vzut c liniua de deasupra unei cifre o nmulete pe aceasta cu 1.000.

Deci X = 10.000, iar rezultatul nmulirii noastre se citete 9.184. Dac urmrim celedou coloane de cifre romane putem vedea i care sunt operaiile pariale folositepentru a ajunge la acest rezultat, ncepnd de la stnga spre dreapta, att cifreledenmulitului ct i cele ale nmulitorului le-am mprit n grupe care se pot uor

nmuli ntre ele mintal. Aceast operaie cere o mare atenie pentru ca nu cumva ocifr dintr-o grup s se strecoare n alta. Rezultatele nmulirilor pariale se aazunul sub altul astfel ca s cad, pe ct este posibil, mii sub mii, sute sub sute etc.

Apoi adunm rezultatele pariale ncepnd de la dreapta spre stnga. Totalulacestei adunri reprezint rezultatul nmulirii noastre. Iat aceast nmuliretradus n sistemul de cifre indo-arabe i cu semnele operaiilor pe care le folosimnoi:

200 x 10 = 2.000200 x 10 = 2.000

200 x 10 = 2.00080 x 30 = 2.4007 x 30 = 210

200 x 2 = 40080 x 2 = 160

7 x 2 = 149.184

Cu numerele scrise n sistemul indo-arab i cu tehnica noastr de calcul, oasemenea nmulire o poate face un copil de clasa a II-a elementar. n faa unor

asemenea greuti era deci natural ca popoarele, mpinse de aceleai necesiti, scaute alte ci i s inventeze sisteme noi de calcul folosind instrumente foarteasemntoare. Astfel s-a dezvoltat la romani abacul, la chinezi i coreeni suan panuli la rui sciotul.

Chinezii i egiptenii cunoteau acest instrument cu multe milenii nainte de eranoastr. Romanii l-au motenit sub o form rudimentar de la etrusci, dar lcunoteau i vechii greci. Cnd spaniolii au descoperit America, indigenii din Mexic iPeru tiau de mult s calculeze cu un instrument similar.

Abacul este o plac n care sunt spate o serie de nulee paralele. n

fiecare nule se introduc cte 10 pietricele care se pot mica la dreapta i lastnga. Deoarece n limba latin cuvntul pietricic se numete calculus, romanii auluat obiceiul de a numi calculare operaia de a socoti cu pietricelele abacului. De

24


24/116

acolo vin i cuvintele noastre calcul i calculator. n loc de pietricele se ntrebuinauuneori oscioare, iar sciotuli trage numele de la cuvntul rusesc sciot carenseamn, oscior. Pietricelele sau oscioarele sunt de obicei rotunjite ca nite bile.Bilele din primul rnd al instrumentului reprezint uniti, cele din rndul al doilea sefolosesc ca zeci, cele din rndul urmtor ca sute, i aa mai departe. Aceast

invenie genial de a da bilelor valori dup locul ocupat de ele, permite, cu abacul saucu sciotul, efectuarea de calcule cu numere foarte mari, dar nu orict de mari.

21.Cele patru operaii erauaseGreu, uor, cu degetele minilor, cu bastonae, cu pietricele, cu abacul sau

sciotul, cei vechi reueau s efectueze calcule aritmetice. Ei cunoteau cele patruoperaii care ns la unele popoare erau ase... Astfel la egipteni, dublarea unuinumr era considerat ca o operaie aritmetic aparte. La fel, mprirea prin doiera socotit ca a asea operaie. Prerea aceasta s-a meninut pn n sec. al XVI-

lea cnd a fost combtut definitiv de ctre matematicianul italian Luca Pacciuoli(numit i Luca de Borgo - matematician italian nscut la Borgo San Sepolero n anul1445; fiind clugr franciscan, a voiajat n rile orientului; a fost profesor dematematic n mai multe orae din Italia; a scris mai multe tratate de aritmeticigeometrie i o lucrare intitulat Despre proporia divin, n care trateazproblema tieturii de aur).

22.Despre Pitagorai tabla care nu este a lui PitagoraPitagora a fost unul din marii matematicieni ai Antichitii. El a trit ntre anii

580 - 500 .e.n. i o bun parte din viaa sa i-a petrecut-o cltorind prin Egipt,Asia Mic, Babilonia, India i poate chiar prin China. Din cltoriile sale, Pitagora aadus un nsemnat numr de cunotine matematice. Pe seama lui Pitagora se pun nsprea multe creaii tiinifice. Ar fi imposibil de crezut ca, ntr-o via de om, unsavant orict de genial s poat crea att. Probabil c toate cunotinele matematicepe care Pitagora le-a cules din rile n care a poposit cu prilejul cltoriilor sale, i-au fost atribuite acestui nvat, cu sau fr voina lui. Omenirea nu-l cunoate pePitagora din scrierile sale, pentru c de la el nu a rmas nimic scris.

Scrierile sale probabil c s-au pierdut sau au fost distruse. Exist i

posibilitatea ca el nici s nu fi scris nimic. Toat tiina lui Pitagora, cunoscutastzi, a fost reconstituit dup scrierile filozofilor greci Platon i Aristotel.

Cu toii l tim dup nume pe Pitagora, pentru c noi am nvat s memormnmulirea numerelor de la 1 pn la 10 duptabla lui Pitagora. Din cercetrile mairecente s-a dovedit c unele popoare ale Asiei cunoteau aceasttabla nmuliriide acum 4.000 de ani. De unde rezult c tabla lui Pitagoranu este a lui Pitagora...

Noi ns vom continua s-o numim mai departe tabla lui Pitagoranumai pentrumeritul pe care l-a avut acest nvat de a fi adus-o n Europa. Tabla lui Pitagora s-anscut, ca o necesitate a timpului, pentru c ddea posibilitatea s se efectueze n

mod mecanic nmulirea a dou numere mici. Pn n sec. al XV-lea nimeni nu cuta smemoreze aceste nmuliri.

25


25/116

Nu era folosit tehnica noastr de calcul care d posibilitatea s nmuletidou numere orict de mari, cunoscnd, din memorie, numai produsele unor numeremici, de la 1 pn la 9. Oamenii cutau atunci n tabla lui Pitagora produsul a dounumere aa cum noi cutm ntr-un dicionar traducerea unui cuvnt romnesc ntr-olimb strin. Dar aceast tabl permitea numai nmulirea unor numere mici. La

nmulirea numerelor mai mari, cei vechi ntmpinau dificulti uriae din cauzasistemelor pe care le foloseau la scrierea acestor numere, sisteme care nupermiteau o aranjare lesnicioas a calculelor.

n diferite cazuri dificultile erau nvinse datorit folosirii n mod mecanic aunor cunotine destul de avansate de matematic.

23.nmulirea egipteanEgiptenii antici reduceau orice nmulire la un ir de dublrii la o sum. n

aceast operaie ei se bazau pe o teorem, cunoscut n vremea aceea, potrivit

creia orice numr ntreg este suma unor puteri ale lui 2. Iat, de pild, cumefectuau egiptenii nmulirea 134 x 37 = 4.958. Descompunnd pe cel mai mic dintrefactorii acestei nmuliri n suma unor puteri ale lui 2, se obine: 37 = 2 + 22 + 25 sau37 = 1 + 22 + 25. Deci se poate scrie: 134 x 37 = 134 x (1 + 22 + 25). Calculul se aeazn felul urmtor:134 x 1 = 134134 x 22 = 134 x 2 x 2 = 268 x 2 = 536134 x 25 = 134 x 22 x 23 = 536 x 2 x 2 x 2 = 1.072 x 2 x 2 = 2.144 x 2 = 4.288

Total 4.958

Noi am aranjat foarte frumos i relativ uor acest calcul, pentru c dispunemde semne i mijloace de notare foarte practice. Gndii-v ns la egiptenii anticicare scriau cu hieroglife sau chiar cu scrierea hieratic i nu tiau s foloseascexponeni sau vreun alt simbol simplu care indic operaiile aritmetice.

24.nmulirea ruseascranii rui obinuiau s nmuleasc dou numere folosind dublarea unuia din

ele i mprirea prin doi a celuilalt. Operaia se aaz pe dou coloane. Primacoloan are drept cap pe cel mai mare dintre factori. Numerele din prima coloan se

dubleaz continuu, pe cnd cele din coloana a doua se mpart succesiv prin 2.nmulirea se termin atunci cnd n coloana a doua se obine drept ct numrul 1.Ultimul numr din coloana ntia este rezultatul nmulirii. S ncercm un exemplu:86 x 64 = 5.504:

86 64172 32344 16688 8

1 376 4

2 752 25 504 1

26


26/116

Cum se explic procedeul ntrebuinat de ranii rui? Foarte simplu. Primacoloan reprezint produsele succesive prin 2 ale unuia din factorii nmulirii. A douacoloan este format din tot attea caturi succesive prin 2 ale celuilalt factor alprodusului. Deci, n loc de 86 x 64, am efectuat de fapt urmtoarele operaii:

222222

6422222286

. Prin urmare noi nu am dect s nmulim i s mprim

produsul 86 x 64 prin aceeai cantitate. Prin aceasta, valoarea produsului nu s-aschimbat.

Ce se ntmpla ns cnd nmulitorul este un astfel de numr, nct dup omprire prin 2 obinem un numr impar? n acest caz operaia se aeaz la fel, iarmprirea prin 2 se continu mai departe lundu-se n considerare, numrul parimediat anterior. Numrul din coloana ntia care corespunde cu un numr impar dincoloana a doua se nseamn cu o cruce. Toate numerele cu cruci se adun apoi laultimul numr din coloana ntia. Suma obinut este rezultatul cutat al nmulirii.

Pentru a ti de ce se procedeaz astfel, s urmrim perechile de numere din celedou coloane ale nmulirii 185 x 148.

Am efectuat urmtoarele operaii: 74.x3702

148x2x185148x185 == Mai

departe: 37.x7402x2

148x2x2x18574x370148x185 === Cnd am trecut ns

de la 740 x 37 la 140 x 18, adic la ,2

36x2x740 am neglijat odat pe 740, pentru

c n loc de2

37am luat .

2

36

La fel, n una din operaiile urmtoare l-am neglijat odat pe 2.960. Urmeazdeci c aceste dou numere trebuie neaprat adugate la ultimul rezultat din coloanantia spre a putea obine rezultatul adevrat al produsului 185 x 148.

25. nmulirea musulmanPentru a efectua o nmulire, unele popoare musulmane ntrebuinau un

dispozitiv special de calcul care necesita i o liniatur special a hrtiei. S vedemcum se aranjeaz un astfel de calcul i pentru aceasta s lum ca exemplu nmulirea

3285 x 647. Deoarece avem de nmulit un numr de 4 cifre cu unul de 3 cifre,construim un dreptunghi care s cuprind 4 x 3 = 12 casete egale.

27


27/116

3 2 8 5

71

24

16

55

3

42

1

8 2

3

0

2

68

12

18

40

3

2 1 2 5 3 9 5O nmulire musulman

Fiecare caset o mprim n cte dou triunghiuri printr-o diagonal. Pelatura orizontal superioar a dreptunghiului scriem numrul mai mare care devinedenmulit. Pe latura vertical din stnga aezm cellalt numr scris de jos n sus.

Cifrele le dispunem astfel ca fiecare din ele s cad n dreptul unei casete.Multiplicm apoi fiecare cifr a nmulitorului pe rnd cu toate cifrele denmulitului.Rezultatele obinute le nscriem n casetele care se gsesc la intersecia coloaneiverticale cu linia orizontal a celor dou cifre care se nmulesc de fiecare dat.Cifra unitilor o nscriem n triunghiul superior al casetei, iar cifra zecilor n celinferior.

Acum nu avem dect s adunm cifrele care se afl ntre dou diagonaleconsecutive, de la dreapta spre stnga, iar rezultatele s le nscriem sub laturaorizontal inferioar. Astfel vom avea pe rnd: 5, apoi 3 + 6 = 9, pe urm 2 + 5 + 4 =

13 (scriem 3 i adunm 1 la suma cifrelor cuprinse ntre cele dou diagonaleurmtoare) i aa mai departe. Rezultatul nmulirii este 2.125.395.

Justificarea metodei este foarte simpl. De fapt, aplicnd procedeul artat,noi nu am fcut dect s facem urmtoarea operaie:

(3.000 + 200 + 80+ 5)(7 + 40 + 600) = 3.285 x 647Desfcnd aceste paranteze, nmulirile pariale le putem aranja uor astfel

cum se vede mai jos:3.000 X 7 = 21.000

200 X 7 = 1.400

80 X 7 = 5605 X 7 = 35

3.000 X 600 = 1.800.000200 X 600 = 120.00080 X 600 = 48.000

5 X 600 = 3.0002.125.395

Operaiile de mai sus nu sunt dect o repetare a nmulirilor pariale pe carele-am fcut cu cifrele din dreptunghiul anterior. Mai bine zis este o rotire cu 90 antregului dreptunghi inclusiv operaiile cuprinse n el. nmulirea musulman areavantajul c se poate ncepe calculul indiferent din care parte dorim, de la dreapta

28


28/116

sau de la stnga, de jos sau de sus. Introducerea acestei metode a fost consideratca o mare nlesnire n tehnica nmulirii.

26. Despre Neperi bastonaele luiJohn Neper a fost un matematician englez, originar din Scoia, care a trit

ntre anii 1550 - 1617. El este cunoscut mai ales ca inventator al logaritmilor. Cuajutorul logaritmilor ne putem permite s nlocuim o operaie aritmetic prin altainferioar: o ridicare la putere devine o nmulire; o mprire se nlocuiete printr-oscdere; n locul unei nmuliri se efectueaz o adunare i aa mai departe. Preocupatde a da metode lesnicioase de calcul, Neper a recurs la ajutorul unor bastonae.Aceasta nu nseamn c el s-a ntors la metoda folosit de chinezi n urm cu mii deani.

Pentru Neper fiecare bastona nu reprezenta un deget, adic o unitate.Bastonaele lui Neper poart nscrise pe ele numere care pot deveni uniti, zeci,

sute etc. Aceste bastonae sunt nite prisme cu baza ptrat. Feele lor suntmprite n cte 10 ptrate egale. Fiecare fa poart ca titlu nscris pe primulptrat un numr din irul de la 1 la 9. Exist deci bastonae cu titluri ca: 0, 1, 9, 8; 0,2, 9, 7; 0, 3, 9, 6; 0, 4, 9, 5; 1, 2, 8, 7; etc. n ptratele urmtoare sunt trasatediagonale de la dreapta sus spre stnga jos. n fiecare din aceste ptrate se aflnscrii multiplii titlului respectiv n ordinea cresctoare. Zecile acestor multipliisunt trecute n triunghiurile superioare, iar unitile lor n cele inferioare.

Bastonaele lui Neper

29


29/116


30/116

Capitolul 4Curiozitile unor numere ntregii ale unor fracii

4.1Numere cu caliti ... morale

27.Ce prere avea Pitagora despre numereLa popoarele la care s-a dezvoltat o matematic din timpurile cele mai vechi,tiina era deinut mai mult de preoi. Unii din ei cunoteau i tiina numerelor.Datorit anumitor combinaii pe care le fceau cu unele numere, preoii obineaurezultate care apreau curioase. De aceea ei ddeau nelesuri i interpretrisupranaturale acestor numere. Preoii atribuiau numerelor puteri magice pe care lefoloseau pentru dominarea spiritual a maselor i chiar a conductorilor politici imilitari. n cltoriile sale, Pitagora a nvat matematica i sub acest aspect. Dar,cu toate c reuise s demonstreze tiinific cauzele particularitilor unor numere

i unor figuri geometrice, el i-a bazat filozofia lui pe o idee care nou ni se preafoarte curioas.Ideea principal a filozofiei lui Pitagora se rezum la urmtoarele: totul este

numr; actele omului, muzica, tiina, fenomenele care se petrec n jurul nostru suntdominate de numr. Dup Pitagora i adepii lui, pitagoricenii, fiecare numr i arensemntatea lui i este investit cu anumite caliti...morale. Astfel, 1 reprezentaraiunea, iar 2 prerea. 3 era considerat ca primul numr masculin, alturi de 2 careavea calitatea de a fi primul numr feminin i deci 5, care rezult din unirea acestordou numere, era imaginea cstoriei. 4 avea ntr-nsul darul justiiei. 6 coninea

secretul sntii. 13 era vzut ca un numr nefast ... .a.m.d. La fel, pitagoriceniiinterpretau i figurile geometrice.

Aadar, Pitagora i pitagoricenii susineau c numerele guverneaz lumea.Bineneles c ei nu aveau dreptate n toat aceast filozofie a lor. Dup cum am maiartat la nceputul acestei cri, toate fenomenele care se petrec n jurul nostrusunt naturale. Ele au loc dup anumite legi fizice, chimice etc. Numrul nu reprezintdect un mijloc prin care putem exprima, n anumite uniti de msur, bine stabilite,relaiile cantitative ntre fenomene. Spre deosebire de maestrul lor care nelegeas-i in leciile publice n faa unui auditoriu vast, pitagoricenii au format societi

misterioase i secrete. Orice descoperire matematic se comunica membriloracestei societi sub prestare de jurmnt. Divulgarea secretelor era asprupedepsit.

Astfel se povestete c n sec. IV .e.n., un membru al unei societi depitagoriceni, Hippasus, a fost necat n baia sa pentru c a fcut cunoscut unorprieteni c la lista corpurilor geometrice cunoscute s-a mai adugat i un poliedruregulat cu 12 fee (marele filozof grec Democrit, care a trit ntre anii 460 i 360.e.n. i care era cel mai vestit cercettor al naturii din antichitate, a adus i el dincltoriile sale multe cunotine matematice adunate de la preoii egipteni; dar el a

scuturat aceste cunotine de colbul magiei i le-a redat curate, tiinific, aa cumle-a vzut el; de altfel, este tiut c Democrit a fost primul filozof materialist).

31


31/116

n fine, Pitagora i elevii lui, dup ce mai clasificau numerele n biei i fete,detepte i proaste, mulumite i nemulumite... ei mai considerau c existnumereperfectei numere amiabile(prietene). Cel puin denumirile ultimelor dou feluri denumere au putut s capete i o explicaie matematic, i de aceea vom vorbi despreele.

28.Ce sunt numerele perfecte?Pitagora a cunoscut dou numere ntregi: 6 i 28, care prezint urmtoarea

particularitate: fiecare din aceste numere este egal cu suma divizorilor si, din carese exclude nsui numrul. Astfel, 6 are ca divizori pe 1, 2, 3 i 6, iar 28 are cadivizori pe 1, 2, 4, 7, 14 i 28. La aceste dou numere, excluznd respectiv divizorii 6i 28, vom avea: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Muli ani dup Pitagora, Nicomacdin Alexandria (Nicomac din Alexandria, filozof i matematician grec nscut laGerasa (Arabia); a trit prin sec. I e.n.; adept al lui Pitagora, a scris o biografie a

acestui mare nvat, precum i o seam de lucrri de matematic i de muzic,dintre care mai multe s-au pierdut; ne-au rmas numai un manual de armonie iIntroducerea la studiul aritmeticii, din care rezult c Nicomac poseda cunotinefoarte avansate de aritmetic) i-a pierdut foarte mult timp ca s mai gseasci elnumai dou numere perfecte, 496 i 8.128. Pn la numrul 33.550.336 nu se maigsete un alt numr perfect.

Dup aceasta vine: 8.489.869.056, 137.438.691.328,2.305.843.008.139.952.128 i n fine, ultimul numr perfect care s-a calculat:

2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176. Toate numerele perfecte pe

care le-am artat sunt pare. Pe cnd teoria numerelor perfecte impare nu este nccomplet cunoscut, aceea a numerelor pare se cunoate bine i s-a dat chiar oformul cu care se poate gsi orice numr perfect par. Aceasta nseamnposibilitatea de calculare a unor numere mai mari ca ultimul artat mai sus, care defapt nu prezint nici o valoare practic.

29. Numere amiabileSe pot gsi perechi de numere, astfel ca suma divizorilor unuia din ele s fie

egal cu cel de al doilea i reciproc, suma divizorilor celui de al doilea s ne dea

primul numr, cu condiia ca ntre divizori s nu intre numrul nsui.S lum ca exemplu numerele 220 i 284. Divizorii lui 220 sunt: 1, 2, 4, 5, 10,

11, 20, 22, 44, 55, 110 i 220. Suma lor, din care se exclude 220, este 1 + 2 + 4 + 5 +10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Divizorii lui 284 sunt: 1, 2, 4, 71, 142 i 284.Suma lor din care se exclude 284, este 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. O perecheamiabil. Aceste dou numere, 220 i 284, constituie deci o pereche de numereamiabile.

O tabel cu primele 5 perechi de numere amiabile, n ordinea lor cresctoare,descompuse n divizorii lor, cu excluderea numrului considerat, se vede mai jos. Se

poate foarte uor urmri pe aceast tabel c suma acestor divizori ai unui numr ned numrul amicului su.

32


32/116

Numereleamiabile

DivizoriiSuma

divizorilor220284

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 1101 2 4 71 142

284220

2620

2924

1 2 4 5 10 20 131 262 524 655 1310

1 2 4 17 34 43 68 86 172 731 1462

2924

262050205564

1 2 4 5 10 20 251 502 1004 1255 25101 2 4 13 26 52 107 214 428 1391 2784

55645020

62326368

1 2 4 8 19 38 41 76 82 152 164 328 779 1558 31161 2 4 8 16 32 199 398 796 1592 3184

63686232

1074410856

1 2 4 8 17 34 68 79 136 158 316 632 1343 2686 53721 2 4 8 23 46 59 92 118 184 236 472 1357 2714 5428

1085610744

Se pare c sunt cunoscute pn n prezent toate perechile de numere amiabilepn la 100.000. Se cunosc nsi foarte multe perechi de numere amiabile i peste

100.000. Numrul perechilor cunoscute pn n prezent ar fi de circa 365.

4.2Unele numerei curiozitile lor

30. Cifra 1Cu cele 10 cifre de la O la 9, luate fiecare o singur dat, se pot forma fracii

a cror sum s fie egal cu unu:

1,9648

270135

=+ 1.296148

7035

=+

Numrul cel mai mare care se poate scrie, folosind de patru ori cifra 1, nueste 1111 ci 1111. Efectund operaiile, obinem un numr mai mare dect numrulformat din 28 urmat de 10 zerouri. Acest numr este aproximativ de 250.000.000ori mai mare dect 1.111.

31.Cifra7A ridica numrul 7 la puterea a patra constituie o operaie foarte simpl: 74

=7 x 7 x 7 x 7 = 2401. Numrul 2401 prezint ns o curiozitate legat de numrul 7.Dac facem suma cifrelor lui 2401, luate ca simple uniti, obinem din nou numrul7. ntr-adevr: 2 + 4 + 0 + 1 = 7.

S urmrim urmtoarele 5 operaii cu numrul 7:7 x 1 + 1 = 87 x 12 + 2 = 867 x 123 + 3 = 8647 x 1.234 + 4 = 8.6427 x 12.345 + 5 = 86.420

Iat ce observm interesant la acest frumos tablou de numere: adugndprodusului 7 x 1 o unitate, obinem ca rezultat un numr format dintr-o cifr par:8. Cnd trecem la produsul 7 x 12 i adugm acestuia 2 uniti, numrul rezultat aredou cifre pare i aa mai departe. Cifrele pare care formeaz aceste numere se

33


33/116

succed n ordinea lor descresctoare ncepnd cu 8 i terminnd cu zero. S nuuitm ci zero este un numr par. Din cele cinci rezultate de mai sus (8, 86, 864,8642 i 86420) s scoatem cifrele identice. Vom avea doi de 2, trei de 4, patru de 6i cinci de 8. Dac astfel grupate, adunm aceste cifre ca simple uniti, obinem:

2 + 2 = 4

4 + 4 + 4 = 126 + 6 + 6 + 6 = 248 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40, iar

4 = 4 x 112 = 4 x (1 + 2)24 = 4 x (1 + 2 + 3)40 = 4 x (1 + 2 + 3 + 4)

32.Cifra 9

Lund numerele de la 1 la 10 i nmulind pe fiecare din ele cu numrul 9, seobin urmtoarele produse:1 x 9 = 9, 2 x 9 = 18, 3 x 9 = 27, 4 x 9 = 36, 5 x 9 = 45,

6 x 9 = 54, 7 x 9 = 63, 8 x 9 = 72, 9 x 9 = 81, 10 x 9 = 90Ce observm privind coloanele de cifre de mai sus? Cifrele zecilor ale acestor

produse se succed n ordinea lor natural, iar cifrele unitilor se succed i ele, nsn ordine descresctoare. Aceste rezultate se explic prin faptul c 9 = 10 - 1, ideci nmulirea cu 9 nu este dect o nmulire cu (10 - 1). Astfel:

4 x 9 = 4 x (10 - 1) = 40 - 4 = 36 = 30 + 6

5 x 9 = 5 x (10 - 1) = 50 - 5 = 45 = 40 + 5Prin urmare, pentru fiecare cretere a denmulitului cu o unitate, produselecresc i ele cu o zece, dar descresc cu o unitate.

33.Numrul 14ntrebuinnd de 5 ori oricare din cifrele de la 1 la 9 i diverse semne

indicnd operaiuni aritmetice, se poate obine numrul 14 astfel:

1499999

148888

1477777

146

6666

1455555

144

4444

1433333

142221411111

22

=+

=+

=++

=+

++

=++

=+

=+

=+

=+++

Dac ncercai, mai putei gsi i alte combinaii similare.

34


34/116

34. Numrul 15i numrul 15 se poate obine cu oricare din cifrele cuprinse n irul natural

de la 1 la 9, ns ntrebuinnd fiecare cifr de 6 ori mpreun cu diferite semneindicnd operaii aritmetice.

( )

.15999999

15888888

1577

7777

156

66666

15555

555

15444444

15333

3331522222

15111111

2

=+++

=++

+

=+

+

=++

++

=+

=++

=++

=++

=++++

Se mai pot gsi i alte combinaii. ncercai!

35. Numerele 29i 41

Dac nmulim 29

2

cu 41

2

obinem numrul 1.413.721. Cum: 1.1891.413.721=

,vom putea scrie: 292 x 412 = 1.1892. Desprind acum cifrele numrului 1.189 n grupede cte 2 cifre i adunnd aceste grupe, obinem: 11 + 89 = 100.

S considerm acum din nou produsul: 292 x 412 = 1.413.721. i aici, dacdesprim pe 1.413.721 n grupe de cte 2 cifre de la stnga la dreapta i apoi de ladreapta spre stnga i adunm pe urm grupele respective, dm tot peste numrul100: 14 + 13 + 72 + 1 = 100, 12 + 73 + 14 + 1 = 100. Mai departe, inversnd numereleastfel grupate avem: 41 + 31 + 27 + 1 = 100, 21 + 37 + 41 + 1 = 100, i deci iar 100...

36. Numrul 37S considerm irul de numere format din multiplii lui 3 pn la 27: 3, 6, 9, 12,15, 18, 21, 24, 27. Dac nmulim fiecare termen al irului de mai sus cu 37, obinem:37 x 3 = 111, 37 x 12 = 444, 37 x 21 = 777, 37 x 6 = 222, 37 x 15 = 555, 37 x 24 =888, 37 x 9 = 333, 37 x 18 = 666, 37 x 27 = 999. Se observ deci c fiecare produseste format din 3 cifre egale. Dac adunm cifrele acestor produse, luate ca simpleuniti, obinem respectivii nmulitori ai lui 37 sau termenii irului de numere date:1 + 1 + 1 = 3, 2 + 2 + 2 = 6, 3 + 3 + 3 = 9 i aa mai departe.

De unde rezult aceast particularitate a numrului 37?

Rspunsul este foarte simplu: acest numr nmulit cu 3 ne d 111. Deci, dac lvom nmuli cu un multiplu de 3 vom obine multiplii de 111. De exemplu:37 x 18 = 37 x 3 x 6 = 111 x 6 = 666.

35


35/116

37. Alte particulariti ale numrului 3737 = 32 + 72 3 x 7, 37 x (3 + 7) = 33 + 73,3 x 7 x 37 = 777

38. Numrul 45Suma cifrelor de la 1 la 9 ne d numrul 45. ntr-adevr 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +

7 + 8 + 9 = 45.39. Numrul 45

Se poate descompune ntr-o sum de 4 termeni: 8, 12, 5 i 20, care prezint oparticularitate curioas. Dac se adun numrul 2 la primul termen, se scade 2 din aldoilea, se nmulete al treilea termen cu 2 i se mparte al patrulea tot cu 2 seobine totdeauna numrul 10.

40. Numrul 75

O particularitate similar cu a lui 45 o prezinti numrul 75. Acest numr sepoate descompune ntr-o sum de alte patru numere astfel: 8 + 16 + 3 + 48 = 75.Adunnd numrul 4 la primul termen al sumei, scznd acelai numr din al doilea,nmulind pe al treilea cu 4 i mprind pe al patrulea tot prin 4, obinem regulatnumrul 12.

41. Numrul 100ntrebuinnd cele 9 cifre semnificative, fr repetiie, se pot gsi numere

cu care s se scrie numrul 100 n urmtoarele 13 feluri:

.1005427

63198,100

537214896,100

836752491

100438175296,100

647582391,100

357142896,100

638574291

,10021

7638495,100

5427

63891,100

263157894

100189

632475,100

21

7638594,100

189

632574

=+++=+=+

=+=+=+=+

=+++=+++=+

=+++=+++=+++

Probabil c se mai pot gsi i alte moduri de exprimare a numrului 100 cutoate cele 9 cifre semnificative fr repetiie.

42.Iar 100Descompunnd n sumele de mai sus pe 74 n 70 + 4, pe 91 n 90 + 1 i aa mai

departe, se pot scrie aceste sume cu toate cifrele de la 0 la 9 luate o singur dat.De exemplu:

.1005427631890,100438752.1690

1005427

638190,100

189

6325470

=++++=++

=++++=++++

36


36/116

43.Tot 100Se poate obine numrul 100 utiliznd cele 10 cifre de la 0 la 9, fiecare o

singur dat, astfel:

.1006012

54

3987

,1005427

631980,100

189

6352470,100

7638

214950

=++++

=+++=++++=+++

44. Din nou 100Considernd numrul 100 ca suma a 4 termeni 12 + 20 + 4 + 64, se observ c:

12 + 4 = 16, 20 - 4 = 16, 4 x 4 = 16, 64 : 4 = 16. n aceast privin numrul 100prezint aceleai particulariti ca numerele 45 i 75 pe care le-am artat mai sus.

45. nco dat100

Utiliznd de 5 ori aceeai cifr se poate scrie numrul 100 n urmtoarelemoduri:

100 = 111 - 11, 100 = 5 x 5 x 5 5 x 5, 100 = 3 x 33 +33 , 100 = (5 + 5 + 5 + 5) x 5

46.Numrul 165Acest numr se poate descompune, ntr-un anumit mod, ntr-o sum de alte

patru numere formate din cte dou cifre astfel: 165 = 82 + 36 + 13 + 34. Dacinversm ordinea cifrelor la fiecare termen al sumei, obinem tot 165.

Iat: 28 + 63 + 31 + 43 = 165.47.Numrul 225

Numrul 225 se poate scrie sub forma unei sume de termeni astfel alctuii,nct toi la un loc s conin toate cele 9 cifre semnificative fr repetiie:

225 = 1 + 23 + 45 + 67 + 89.

48.Iari 225Suma cifrelor semnificative 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ne d un multiplu

de 9. Mai sunt i alte numere, la rndul lor multiplii de 9, care se pot descompunentr-o sum de numere care s conin toate cifrele de la 1 pn la 9: 162 = 9 + 12 +36 + 48 + 57, 171 = 2 + 18 + 39 + 47 + 65, 810 = 195 + 267 + 348. Chiar 225 se maipoate descompune ntr-o sum de ali termeni ndeplinind aceeai condiie:

225 = 1 + 35 + 42 + 69 + 78.Cea mai frumoas ns este descompunerea lui 225, artat n paragraful

precedent, deoarece, nafar de faptul c termenii sunt astfel formai nct cifrelesemnificative se succed n ordinea lor natural, fiecare termen se obine adugndnumrul 22 la precedentul. Astfel:

225 = 1 + (1 + 22) + (23 + 22) + (45 + 22) + (67+22).

37


37/116

49.Numrul 15.873S considerm irul de numere format din toi multiplii lui 7 pn la 63. Vom

avea: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63. nmulind fiecare termen al acestui ir cunumrul 15873, obinem: 15.873 x 7 = 111.111, 15.873 x 14 = 222.222, 15.873 x 21 =333.333, ..., 15.873 x 56 = 888.888, 15.873 x 63 = 999.999. Se vede deci, c

produsele lui 15.873 prin fiecare termen al irului de numere de mai sus sunt numereformate din cte ase cifre totdeauna aceleai.Cifra reprezentativ a fiecrui produs este chiar numrul de ordine al

termenului din irul de multiplii ai lui 7. De exemplu, produsul 333.333, care esteformat din ase de 3, este rezultatul nmulirii lui 15.873 cu numrul 21, adic cel deal treilea termen al irului de numere considerat la nceput.

Cum se explic acest joc de cifre?Este de la sine neles c dac 15.873 x 7 = 111.111, atunci i rezultatul

nmulirii lui 15.873 printr-un numr de dou ori mai mare cu 7 va fi dublu, adic

15.873 x 14 = 15.873 x 7 x 2 = 111.111 x 2 = 222.222.

50.Numrul 142.857S lum numerele: 1, 5, 4, 6, 2, 3, care sunt de fapt primele 6 cifre

semnificative aezate ntr-o anumit ordine. nmulind numrul 142.857 cu acestenumere n ordinea de mai sus, obinem:

142.857 x 1 = 142857,142.857 x 5 = 714285,142.857 x 4 = 57 1428,

142.857 x 6 = 857142,142.857 x 2 = 285714,142.857 x 3 = 428571.

Ce observm mai deosebit la aceste rezultate?- fiecare produs este format din cifrele numrului 142.857;- fiecare produs ncepe cu cifra cu care se termin precedentul;- cifrele de pe aceeai coloan sunt identice;- pornind de jos n sus pe fiecare linie oblic a cifrelor produselor, obinem

succesiv din nou aceste produse.

Astfel: 428.571, 285.714... Probabil c se mai gsesc i alte numere care auaceste proprieti.

51.Cum se mai poate scrie un milion?Cu toii tim s scriem un milion din 7 sau 3 cifre. Se scrie 1.000.000 sau 106.

Folosim astfel, fie dou cifre distincte, fie 3 cifre distincte. Dar dac am vrea sscriem un milion numai cu aceeai cifr, bineneles repetat de mai multe ori, amputea? Desigur, c da! Astfel putem scrie: 2 + 2 + 2 ... adic de 500.000 ori cifra 2,sau 4 + 4 + 4 ... adic de 250.000 ori cifra 4, i aa mai departe. Dar n felul acesta,

numrul cifrelor folosite ntrece cu foarte mult numrul de 7, tiute de noi.

38


38/116

Se poate ns scrie un milion, ntrebuinnd aceeai cifr maximum de 7 ori,ns cu diverse semne aritmetice ntre poziiile pe care le ocup cifra i nu numaisemnul plus, pe care l-am folosit mai sus. Astfel:

( )

( )

( )

( )

.999:9de5cu

888:8de6cu;7

777:7de7cu

6666:6de5cu;55:5de5cu

444:4de5cu;3333:3de6cu

2222:2de7cu;111:1de6cu

99

888777

6

555

4433

22111

2

+

++

+

++

++

+

++

+

+

+

Dac la fiecare caz n parte, din cele de mai sus, efectum operaiile indicatede semnele aritmetice, observm c toate aceste jocuri de cifre se reduc la a scrie106 = 1.000.000.

52. Un milion din toate cifrele de la 0 la 9ntrebuinnd toate cifrele de la 0 la 9 fiecare o singur dat, se poate scrie

numrul un milion sub forma urmtoare:( ) .4319762580 +++

Efectuai operaiile aritmetice i vei vedea.

53.Numrul 12.345.679Acest numr este format din opt cifre semnificative, aezate n ordinea lor

naturali din care lipsete ns cifra 8. Mai departe, s considerm irul de numereformat din toi multiplii lui 9 de la 9 la 81. Vom avea: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72,81. Dac nmulim numrul 12.345.679 cu un termen oarecare al acestui ir, obinemun numr format din 9 cifre egale. Exemple:

12.345.679 x 9 = 111.111.111

12.345.679 x 36 = 444.444.44412.345.679 x 63 = 777.777.77712.345.679 x 81 = 999.999.999.

Ce observm la rezultatele acestor nmuliri? Cifra din care este formatfiecare produs obinut prin nmulirea numrului 12.345.679 cu un termen al iruluide numere format din multiplii lui 9 indic locul acestui termen n irul considerat.

Exemplu: termenul 36 ocup locul 4, deci produsul numrului 12.345.679 cu 36va fi 444.444.444. Particularitile mai sus artate ale numrului 12.345.679 seexplic prin urmtoarele identiti:

12.345.679 x 9 = 111.111.11112.345.679 x 36 = 12.345.679 x 9 x 4 = 111.111.111 x 4 = 444.444.444

39


39/116

54.Numrul 123.456.789Dup cum vedei, acesta este un numr format din cele 9 cifre semnificative

aezate n ordinea lor natural. nmulind numrul 123.456.789 pe rnd cu fiecaredin cifrele semnificative, afar de acelea care sunt multipli de 3, adic 3, 6 i 9,obinem urmtoarele rezultate:

123.456.789 x 1 = 123.456.789123.456.789 x 2 = 246.913.578123.456.789 x 4 = 493.827.156123.456.789 x 5 = 617.283.945123.456.789 x 7 = 864.197.523123.456.789 x 8 = 987.654.312

Observai c rezultatele obinute sunt numere formate tot din toate cele 9cifre semnificative luate o singur dati aezate ntr-o ordine divers.

aritmetic-recreativ

Documents