aplicatii seminarii a.l.g.a.d

7/23/2019 Aplicatii Seminarii a.l.g.a.d.

1/14

SEMINARU L 1 -APLICATII

TEMA :SPATII VECTO RIALE

1 .

Fie (1K, + , , 1K) un cam p

i

1 K

2

=Ix = (x

, x2)I

x

E 1 K

i

= 1 , 2 1 ,

Da c ,pe n t ru x =( x 1 ,x 2 ) , Y=( YI ,Y2 )

E

1K2

ia

K,sedefinete:

I. x+y= x+y ,x +y

)

i

II Ox = x a

),

atunci s se dem onstreze c (1K 2

, +,,

1K) este un 1K -spaiu vectorial.

2. S se arate c multime a m atricelor cu e lem ente reale de form a:

bcd

s4= M, M= -b a -d

a,b,c,deli

-c da -b

-d-c ba

fo rme az o s truc tu i l d e

spatiu

vec tor ia l peste corpul nu m ere lor rea le JR In raport de

operatiile induse din

M,., R).

3.

S se stabileasc care dintre urmtoarele multimi de vectori sunt liniar independente: 1)

S

={x =(8,-1,O),x2

=(6,-5, 1)}.

ii)

S2={x1

=(- 1,5,3),x2 =(-2,- 5,7),x

3 =(1 ,

2, 1O)}.

4.

In spaiul ve ctorial JR 3

se co nsider urm torul sistem de ve ctori: 9 = {e

= ( 3, 3, 0), e

2

= (1, 0, 0), e

3

= (1, 2, 3)} .S se arate

C a

m ultim ea 9 este baz .

5.

In spatiul vectorial

J R 3

se con sider urmtoarele ba ze: 9 = {e

= ( 2, 2, 0), e 2

= (

1, 0, 0),

e 3

= ( 1, 2, 3)},

= {e ' = (

1, 3, 3), e

2

' = (

2, 2, 3), e 3 ' =

, 7,

9)1.i.) S se gseascA

m atricea de t recere de la 6 la VA .) SA se gaseasca expres ia vectorulu i x = e

+ 3 e 2

+

7e

3

Inbaza 6 '.


2/14

SEMINARUL 2 -APLICATU

TEMA :SUBSPAT1I VECTORIALESOPERATII CU

SUBSPATII. SPATII EUCLIDIENE.

I. Subsp4ii vectoriale.Operalii cu subspaii.

1 Sa se studieze care dintre urmAtoarele submulpmi din

spatiul

aritmetic

3

formeaz

subspaii vectoriale: i S

= {

x = x1, x2, x3)

E

1RI

x1 + x 2 + x3 =

51, i i) S

2

= {

x = x1, x2 , ,

x 3

)e IR

3

Ix =O}.

OOx

2. Fie s4 = A

A = y 0 0 , x = y + z; x, y, z, u

E J R .S se arate c multimea s4

uzO

este un subspaiu vectorial al lui

N3

IR).

3 sa

se arate cA In

spatiul

vectorial al matricelor

1K ), +,., 1K ) submultimile definite

prin 8={ A E

Nn

fl ) TA = A} matrice simetrice), s4 = {A

e 7&

IIC)/TA = -A}

matrice antisimetrice) formeaz subspaii vectoriale i

1h

n

1K) = 8 EE) M.

4. S

se determine subspaii1e S

n

52

i

S

1 D

S

2

din spaiul aritmetic

J R

2

tiind c:

S

={x=(x ,x2

)e 1R

2

Ix =x2 1 S 2 ={x=(x 1 ,x2 )E I R 2 Ix =-x2 1 .

5.SA se determine dimensiunile subspapilor sum i intersece a subspaii1or generate de

sistemele de vectori:U = Ju l

= 2, 3, -1), u 2

= ( 1, 2, 2), u 3

= (

1, 1, -3)},V = {v

= (1, 2, 1),

= 1, 1, -1), v3

= (

1, 3, 3)} In spaiul vectorial 1k 3 i a se verifice teorema lui

Grassmann.

II Spaii euclidiene

1.

F ie V =

JR3,

spaiul vectorial real aritmetic. SA se arate c aplicaia < ,>: V x V -IR

este produs scalar, unde V x=

x1, x2 ,x3),

y=( Yi

Y 2 , y

3

), = x

y x 2 y

2

+ x3 y 3

2.

S se ortonormeze folosind procedeul Gram-Schmidt urmAtorul sistem de vectori din

spaiul euclidian JR

3

. < , >) ,

cu produsul scalar uzual:

{v

= (

2, 1, 2), v 2

= (

1, 2, -2), v 3

= (

2, -2, 1)}.


3/14

SEMINARUL 3 APLICATII.

TEMA : SPATIUL EUCLIDIAN AL

VECTORILOR LIBERI

I. Algebra vectorial f r reper ortonorm at

I.

Se dau vector

a

cu

I l l =

1

b =

2,

j I l I =

3 , (Lb)=

C alcu leaz no rm a v ec t o ru lu i d + b -

2 .Calculea zA un ghiul dint re vector i i 1 i i i ti ind c d I

d unde:

a=iii iI,

b=2111-31i, =3iii+ii j d=ifi+3i1.

3.Deternun volumul paralelipipedului construit pe suporturile reprezentantilor

vectorilor:

=2i1V+W, b=IiW, =ii+W, care auorigineacomuni

ti=1,

V=2, IIWH=3,4

tI,V)=.,

=

4.Calcu leaz:

, a+,

a++).

b

5.Venfica egah

xb)x(bx)

tatea:

-

(xb,bx,x) (,b,)

H. Algebra vectoriala cu reper ortonormat

1 . A rata i c vec ton i :

=2i+j, b =i+3k,

i+j--k,

pot construi o baz pentru '. Scriei expresia analitic a vectorului V = 2 i + j + k

In aceastA baz .

2.

Se dau vectorii OA=-4i+12j+3k, OB=3i+12j-4k,

OC=3i+2j-4k.

Aratati c:

t riunghiul O A B este isoscel i tr iung hiul A O C este dreptung hic. Determinat i lungim ea Inalt imii

duse din A pe baza BC a triunghiului ABC.

3 .

Pun ctele A (4, -2, 2), B(3, 1, 1 ), C(4, 2, 0), D(1,0,0) sunt vrfurile unu i tetraedru. Determinati

lungim ea Inaltimii tetraedrului DAB C, duse din D pe baza AB C.

4.

Se dau vectorii: =Ai+4j+6k, b=i+Xj+3k, =?i+4j.Determin ? astfel

Inc t cei trei vector i s f ie cop lana r i .


4/14

SEMINA RUL 4. APLICATII.

Tema:

PLANUL $I DREAPTA IN SPATIU

:Ecuatii de plane i de

drepte. Pozitii relative de drepte i plane.

1. S se scrie ecuapa generala a planului ()ij care: i) trece pnn punctul

P 6,-5,2) i ta ie p e

axele de coordonate segmente pozitive egale Intre ele; ii)are

ecuatille

parametrice:

x=-2+3u-4v, y=1-2u-v, z=1+u+v.

2. Se dau punctele A(1, -1, 21), B(2, -3, -4), C(-1, 0, -3), D(2, 0, 0), E(0,

5 ,

0 ) , F ( O ,

0, 3).

S se determine:

i ) AB, AC, AD,ecua ile dreptelor AB, BC i

ecuatiile

planelor (ACD),

(BCD),(DEF).

i i )

Ecuatia planului (it)care trece prin A i are normala de directie

AD.

i i i )

Pozitiile relative ale dreptelor AB i CD, precum i poziia dreptei AC

fat

de

planul (DEF).

3. S se scrie

ecuatia

g e n e ra l a p l a n u l u i ( ' iz ) c a re t re c e p r in a x a

Oz)

i prin punctul

A -3, 1, -2).

4. SA se scrie ecuatiile dreptei

d) tiind c:i) trece prin punctele A 1,0,2), B 1,1,0),ii)

contine punctul

C 1,0, 1)

i are vectorul director =-2 I + ;

iii) se afl la

intersectia planelor ():

x-y=0, )z): x-3z-1 =0.

5. Se consider planul ()r) :

3x +

5y 2z 6 =

0

i dreptele d ):--=

x1 y-21 z-3 .

+2 y+1 z+4

d 2

):=

d):-----=----=----.

Sasearateca:

2

i ) d)

intersecteaz planul (ar), determinndu-se coordonatele punctului de

intersectie;

i i )

d2 )

este paralela cu planul (,r),

i i i ) d

3

)

este perpendicular pe planul

. i z ) ,

aflndu-se coordonatele punctului de

intersectie.

6. S se determine ecuatiile perpendicularei coborte din punctul

M 1, 1, 2)

pe

dreapta:(d):

precum i simetricul punctului

M

fat.a

de dreapta

d).


5/14

Seminarul

5.

Ap1icaii.

Tema:

PLANUL $I DREAPTA IN

SPAIU:unghiuri i distane.

S C H IM B A R I D R R EP E R E IN P L A N I I N S P A T IU

1 .

Se dau dreptele:

f

x-y+z-3=0

-1 y+l

z+1

(d

):

(

d==

punctulMo

(-3,4,0).Secer:

2x+y-2z4-5=O

-5

i)

Ecuatia

planului (it) determinat de M

0

i (

d 2 ) .

ii)Distanta de la M

0

la (d

2 ).

iii)Unghiul dintre (d

) i (

d

2

).

iv)Ecuatiile dreptei (d) care trece prin M

0

i se sprijin pe (d

1

) i (d2

) .

2.

S se alle simetricul punctului M(-1, 1, 0) fata de planul (it) : x + y -3 z

+ 5

= 0.

3 .

S e d a u p l a ne l e

(iti):

x+2y+4z-1=0,

(it2):

2x-i -4y+8z-9=0,

(it3):

2x+ y-z- i -10=0 i ( i ra ) : x+ y+ z-2=0. S

se demo nstreze c a :

i ) (70II (7t2).

ii ) (7t1) i (it3) su n t p e r p en d i cu l a r e i sA se de t e rm i n e ec u a t i il e dr ep te i (d ) de i n t e r sec t i e a b r , p recu m i

m sur a a a u ng h i u l u i fo r m a t d e p l a ne l e

(7t1) i (it4).

4.Fat de un reper cartezian din

E

3

se dau punctele In coordonate cilindrice:

A4_2). B(104). C(8.6). D[63).

S se calculeze coordonatele carteziene ale punctelor date, precum lungimea segmentului

{BC].

5.Fiind date in coordonate carteziene punctele:

A(2J,

6,4), B(-,F2,

-

r2,2,

F

3

-

), C(0, - 6),

D(-16,0,0),

sa

se afle coordonatele sferice ale acestor puncte.


6/14

Seminarul 6. ApIicaii.

Tema: TRANSFORMARI LINIARE .VALORI PROPRII.

VECTOR PROPRI

1 .

Sa se verifice care din urmtoarele ap1icaii sunt transformri

liniare:

i)T: 1R 3

- 1R 3

, T(x) = (x +x 2 , x 2 + x 3 , x 3

+

x

), unde x =(x

, x 2 ,

x

3 ) .E

I R S .

ii)T:

3 -

T (x ) = (x

+

x2, 0 , x

1

+x 2

+ x

3 , x 4 ).

i i i)T :

tR, T(x) = (x , x 1 +x 2 , x 2 x).

2.

Fie T E

4 (fl 4

) o t ransform are l in ia r def in i t as t fe l :

T(x) = (x

2 + x3,

-

1 - x 2

+

x4, x1

+ x2 x4,

-

1 + x 3

+

x

4

).

S se a ra t e cA K er T = Tm T .

3 .

S se determine transformarea

liniar T: iR

- IR astfel

Inct T(v

) = u

, i =

1,3,

unde v

= (2, 4, 6) , v 2

= (0 , 0 , 1) , v 3

= ( 1, 0, 1) i respectiv u

= (

1, 0 , 0) , u

2

= (2, 0, 1) ,

U3 = (0,0, 6) .

5

4 .S se ce rce t ez e dac rna tncea A

= 2 -1

30

sa se determine matricea

diagonal.

3

0

s te d iagon a l izabi la . In caz af i rm at iv

5.S

se determine valoarea polinomului matriceal P(A) pentru matricea:

-2 3 -1 4

A=

undeP(A)=A4-4A3+6A2-4A+.

-3 3 -2 5

2 2 2 3


7/14

Seminarul 7. ApIicaii.

Tem a: FORM E BILINIARE. FORM E PATRATICE

1 .

n spaiu1 v ectorial

J R

4

se consider urmtoarea form biliniar:

g:JR4 x IR

4

IR,g(x,y)=2x

y

1 +x2

y 1

+x2

y

2 +3x3 y 3 +x4

y

+x4

y

4 ,

oricare ar fi x =(X , x

2 , x

3

, x

4

), y = (

Y i p Y 2

Y3, Y4) E

JR4

i ) S se scrie m atricea lui g In baz a can onicA din IR'.

ii ) S se gAseasca matricea lui g In baza:

={e' =(1, 1, 1, 1),e' 2 = (0 , 1 , 2 , 1 ) , e '

3

=(0, 1, 1,0),e'

4

=(1,0,0,2)}.

2.

se scrie forma

ptratic definit de u rmtoarea formA biiniar sime tric. S se

determ ine rangu l ei.

g:

] R 3

x

3

- IR, g(x, y) = x

y

2

+ x

2

y

1

+ x

y3

+ x

3

y

+ x

2

y

3

+ x

3

y

2

,

onca re ar

fix

= (x

,

x

2 ,

x

3

), y = (yi, Y2 y) E

3 .

3.

n spaiu11 eu clidian (1R

3

, < , >) cu p rodusul scalar uzual, se da forma p tratic:

h(x) = 2x

+4x

x

8x

x 3 4x 2 x 3 .

S se reduc h la

forma

cano nic, folosindu-se m etoda valori lor i vectori lor propri i .

4.

t il iznd m etoda Iu i Gauss s se reduc l a forma can on ic urm toarea form

ptratic:

h: J R

3

>

IR, h(x)= x +4x

x

2

+2x

x

3

+ x +2x

2

x

3

+3x,

pe n t ru onc e x = ( x

, x

2 , x 3 ) E

J R

3

i

se determ ine baza corespun ztoare ace stei form e

canonice.

5 .

e d forma ptratica:

h (x)=

5x+6x+4x-4xx -4x x 3 .

Util izn d m etoda lui Jacobi s se reduc h la forma cano nic.


8/14

SEM INARUL 8. APLICATII.

Tema:TRANSLAT I $I ROTAII. CONICE.

TRANSLATII I ROTATII.

1 . F a i A d e si ste m u l d e a x e ( x O y ) p u n c t u l M a re c o o r d o n a t e l e ( 1 ,

2 . S

se gseascA

coordonatele lui M

fata

d e s is te m u l ( x ' O 'y ' ) c u O '( 1 , 1 ) i a x a ( O 'x ' ) ro t it c u a = f a t

de axa (Ox ) .

2.Ce devine relatia dintre co ordonatele carteziene (x, y ) a le p unc telor M:

3x2 4xy 3y2 -2x-2y+1=0

fat de sistem ul de ax e oblinu t printr-o transl4ie a sistemu lui (xO y) c u o riginea In

'(l, 1) i

apo i rotire In sens trigon om etric cu u n un ghi a =

C O N I C E .

1.Fie fam il ia de co nice:

(F

x ): x2 +2xy+y2 -2x-4y 1 =O,AEIR.

Se ce re:

i )

S se d iscute na tura i genu l con ice lor

(r').

i i )

S se determine locul g eom etric a l cen trelor conicelor din fam il ie .

2.S se aduc l a forma cano n ic i

sa

se reprezin te grafic conica:

(F): 5 x

2

+8xy+5y

1 8x 1 8

y

+9=0.

3.S se reduc la forma c anon ic i sA se reprezinte con ica:

(F):x

2

-8xy+7y

2 +6x-6y+9=O.

4. S

se stabileasc natura i ge nu l conice i:

(F) : 9x 2

- 6x y

+ y

2

+

20x = 0

sa

se reduc la form a can onic i sA se reprezinte grafic .


9/14

SEMINARUL 9. APLICATH.

Tema: PROPRIETATI GENERALE ALE CONICELOR

1.Fie fam il ia de c onice:

(r

) : x 2

+

2Xxy +

y 2

. - 2x - 4y + 1 = 0, X

E

IR. Se cere:

i )S se discute natura i gen ul con icelor (Fx).

i i )S se determ ine locu l geo m etric a l cen trelor conicelor din fam il ie .

ii i)Pentru 7 = 1 sA se scrie

ecuatiile

axelor .

iv)Penlru X = sa

se determine ecu 4iile diametrilor conjug ai ai conicei

(1

J

care formea z un

ung hi de 600.

2.S se determine polul dreptei de

ecuatie

(d) : x - y - 1 = 0, In raport cu con ica:

1

,

):x

2

6x y + 2y 2

4x=0.

3 .S e d con i ca : ( [) :x

2 +5xy+3y2

-3y =O i se c e re :

i )S se scrie ecuapi le con icelor (F) tang ente con icei (F

) In punc tul M(2, 1) i care trec prin

pu nctele de intersectie ale coriicei (F'

) cu dreapta (d) : x + y 3 = 0.

i i )S se afle locul g eom etric a l cen trelor conicelor

M.


10/14

SEMINARUL 10. APLICATII.

Tema: Cuadrice. Sfera.

1. Sedausfera:(S):x 2 +y2 +z2

-6x+2y-2z-5=0 iplanu1:(7t):2x+y-2z-2=0.

i)SA se arate c

intersectia

planu lui cu sfera este u n c erc real .

ii)S se scrie ecu atlile acestui cerc.

i i i )S se afle coo rdonatele c entrului i raza c ercului .

2.S se scrie ecu atia sferei cu cen trul In C(-2, 1, 3) tang ent la plan ul:

(it): x-2y+2z-3 =0.

3. Se d sfera: (S) : 4x 2 + 4y 2 + 4z 2

- 8x + 1 6 y - 12 z + 13 = 0 .

i)S se af le coo rdonatele cen trului i raza sferei .

i i)SA se gA seasc pun ctele de intersectie ale sferei date cu un diam etru paralel cu dreapta de

param etri directori 3 ,4, 12.

4.S se determine gen eratoarele recti l in i i a le cuadricei: (H

):

x

2

-

1 = 0

continute In p lanul:

(it)

: 6x + 3y - 2z + 6 = 0 .


11/14

SEMINA RUL 11. APLICATII.

Tema: I. Generri de suprafete. Curbe plane - I.

I. Generri de suprafete.

1.

Sa se determine e cua tia suprafeei cilindrice ale crei gen eratoare sunt paralele cu dreap ta:

f

x y z = 0 ,

(d): i are curba directoare: (C): +y

2

+

z 2 - z

= 0,

x+2

y+

3

z=

0

x=0

2.

S se determine ecua lia suprafetei conice cu v rful In V(1, 1 , 1) i av nd curba directoare:

(C):{X +y

2

4 =0 ,

z=0.

3. Sa se determ ine

ecuatia

su p r afee i g e n er a te d e d r ep te c ar e se sp ri jin a p e axa (O z ) , p e

Ix-1=0,

dreapta: (d) :

r A m

n p a ra le l e c u p l a nu l ( it ) : x + y + z = 0 .

4.

S se determ ine e cuatia suprafeei care se o btine prin rotirea c urbei:

(C): I

2y 2 +z 2

5 = 0,

{x+z+3=0,

injurulaxel (d): x y z

II. Curb e plan e -I.

1. S se scr i e

ecuatiile

t ange nte lo r i no rm ale lo r la cu rba p l ana d a ta In reprez entare

1

x =-,

pa ram etric: (F):

+ 1 In punctele A (t = 1) , B(t = 0) .

y-

t+1

2. S se scrie ecu atiile tang entelor i

normalelor la curba data In reprezentare implicit:

3

a 3a

(I) : x + y 3 axy =0, in punctul At,-2)-

3.

S5 se gseasca lungimile segmentelor: tangent, subtangenta, normal,

subnormal ale curbei: (F) : y = tg x, In pu nctul A de abscisA

IC


12/14

SEMINARUL 12 APLICATII

Tema:Curbe plane - II.

1.

Sa se gA seasc ordinul con tactului In origine al cu rbelor plane: (F

):

y x

,

([ '2) : y = x

2 sin2

X.

2.

S se scrie

ecuatia

cerculu i oscula tor a l curbei : (F) : y = s in x , In pun ctu l A(x = 2)

.

3.

S se afle Infurtoarea familiei de cercuri:

(['):x

2 +y

-2x+X

-4X=O.

4. S se gseasc Infurtoarea famil ie i de drepte , pen tru c are sum a t ieturi lor pe ax ele

de coordonate este constant.

5. S se determ ine evo luta unei parabole .

6. S se studieze punctul singular al folium-ului Iui Descartes:

(F): x3

+y

3

-3axy=O

i s se scrie

ecuatiile

tangentelor In acest punct.

7.

S se defineascA , sA se gseasc ecuatia i

sa

se reprezinte g rafic urm toarele curbe plan e:

cicloida, epicicloida-cardioida, hipocicloida-astroida, cisoida lui Diodes, spirala lui

Arhimede.

I I


13/14

SEMINARUL 13. APLICATII.

Tem a:Curbe In spatiu.

Fie data prin ecu ati ile param etrice cu rba In spatiu:

x =3+2t+4t

3 ,

(F): y=4+3t+2t

3 ,

z=2+4t+3t

3

, tEJR.

S se arate c este o cu rb

plan

i sa se gseasc ecu atia planulu i care o contine.

x =e t ,

2 . Se co ns ider curba In spa iu da ta In reprezen ta re p a ram etri ca : (F) : y =

e

-

t ,

z=It

i pun ctul M (t = 0) pe curb. Se ce re:

a )

versorul tangentei In M la curbA;

b )

ecu ati ile tange ntei In M la curb;

c ) curbura curbei i versorul norm alei pr incipale in M la (F) ;

d)

ecuati i le

norm alei principale In M la (F);

e ) versorul binormalei In M la

F ) ;

1) ecu ati ile binorm alei In M la curba data;

g) ec uatia planu lui osculator In M la

F ) .

3. Sa se scrie ecu a ; i il e tang ente i i a p l anu lu i norm al l a curba In spa iu:

x2+y2=r2,

r( r/ rJ

(F):

n pu nctu l A '

2

+z=r

4.

searatecurmtoareacurbaInspaiu:(F): f=t cos tit sin tj+atk.

este o el ice conic.

I

5.

ie curba in

spaiiu:

(F ) : x2 = 2 ay , SA se ara te Ca ea e s te o e l ice .

X' =6a

2Z.

6 . Se co ns idera cu rba In spa iu :

(F):

f

=et

cost/i+et

sin

tJj+e_ 2 ti

i se cere s se arate cA ea reprezintA o c urbA Titeica.


14/14

SEMINARUL 14. APLICATII

Tem a: Elem ente de geom etrie diferential a suprafetelor.

1. S se determ ine ecuatia cartezian a suprafeei a cArei

ecuatie

vectorial este:

(1): =u

2 .i+uvj+(au+v 2

)k.

x =u

2

+v+1,

2 . Se d suprafaa de repreze n tare

param etric: E): y = u 2 - v +1,

z = uv +2

i f ie pun ctul M(u = 1, v = 1) pe supraf4A . SA se scrie ecuatiile

carteziene ale cu rbelor

U =

con stant i v = constant care tree prin pu nctul

M.

x =u

2

+v 2 ,

3.

ie data suprafaa In reprezentare pa ram etrica:

(s): y = u 2 -

v 2 ,

z = uv.

Se cere:

i) s

se scrie prima form fundam ental a sup rafeei;

i i )

sa

se calculeze e lem entul de arc pentru curbele u = 2, v = 1, v = au;

i i i)

s a se calculeze lun gim ea a rcului curbei u = au, cu prins Intre intersecti ile curbei u = a u

c u u = 1 i u = 2 .

x = 2(u + v ) ,

4.

e d suprafata de

ecuatii

pararnetrice:(): y = u

2 + v 2

,

z=

(u

3

+v

3 )

Se ce re s se calculez e:

i )

lung ime a arcului curbei u = 1, cu prins Intre curbele v = 1, v = 2;

i i )

unghiu l curbe lor u = 2 i v = 1;

i i i )

elem entu l de the a l suprafeei .

5 .

SA se calculeze un ghiul curbelor v = u + 1 i v = 3 - u de pe suprafata de rotatie:

(s):

f=u cos vi+u sin vj+u

2

k.

6 . S se ca l cu lez e In t re p un c te l e M

(1; 2) i M

2 (2;

3) lung imea arcului de curbA v = u + 1,

situatpe suprafaad erotaie:

s): F=ucos vi+u sin vj+.u.dk.

aplicatii seminarii a.l.g.a.d

Documents