CAPITOLUL 18Cuantificarea performanelor

portofoliului

Aplicaii

18.1. Un investitor i-a constituit un portofoliu la momentul t pentru care secunosc urmtoarele elemente:

Activul iCurs

bursier lamomentul t

Curs bursier estimat la t+1 Dividendestimat

Volatilitateai

Risculi

Pondereaactivului i

nportofoliu

p* = 30% p = 40% p=30% E(Dt+1)Aciunea

11500 1630 1640 1650 110 0,5 15% 60%

Aciunea2

1400 1590 1600 1610 120 0,6 17% 40%

* p = probabilitatea de realizare a cursului bursier la momentul t+1.

Rata de rentabilitate a activului fr risc a fost considerat de 7%.Coeficientul de corelaie dintre rentabilitile celor dou active are valoarea de0,2. Rentabilitatea prognozat a portofoliului pieei este de 25%. Determinaiperformana portofoliului utiliznd indicatorii clasici fundamentai de Sharpe,Treynor i Jensen. Care ar trebui s fie decizia managerului de portofoliu privindstructura acestuia?

Rezolvare:Pentru aprecierea performanei acestui portofoliu n cele dou momente este

necesar determinarea rentabilitii estimate a portofoliului. Vom determinarentabilitile estimate ale celor dou active, iar pe baza acestora se va determinarentabilitatea sperat a portofoliului.

Se va utiliza formula simplificat de estimare a celor dou rentabilitiastfel:

t

1tt1tt Cb

)D(ECbCbERE

%67,161500

11015003,016504,016403,01630RE 1

%86,221400

12014003,016104,016003,01590RE 2

Capitolul 18

E(Rp) = 0,6 0,1667 + 0,4 0,2286 = 0,10002 + 0,09144 = 0,19146 =19,146%.

Pentru a putea calcula indicatorii este necesar calcularea riscului total alportofoliului:

%52,1015172,0002448,0012724,0xx2xx 21122122

22

21

21

2p

%32,121232,02pp

Riscul sistematic al portofoliului va fi media aritmetic ponderat acoeficienilor de volatilitate corespunztoare celor dou active:

.54,06,04,05,06,0xx 2211p Indicatorul lui Sharpe:

p

fpp

R)R(ES

0,98587

Indicatorul lui Treynor:

2249,0R)R(E

Tp

fpp

Indicatorul lui Jensen ( p ) poate fi determinat pe baza indicatorului luiTreynor, conform relaiei de calcul: fM

Treynor

p

fp

p

p RRERRE

Deci valoarea lui p va fi de 0,024246.Aceste valori ale indicatorilor de performan trebuie comparate cu cele

nregistrate anterior de acelai portofoliu, cu cele ale altor portofolii gestionate deacelai manager de portofoliu (portofolii comparabile) sau cu un portofoliu alesdrept benchmark (portofoliu de referin). n baza acestor comparaii,managerul de portofoliu poate decide meninerea aceleiai structuri saumodificarea acesteia n viitor. n condiiile n care:

se adeveresc previziunile privind creterea cursului bursier pentru fiecareactiv n parte (de circa 15% pentru activul 2 fa de numai 9% pentruactivul 1);

nivelul dividendelor previzionate a fost de 120 u.m. pentru aciunea 2 fade 110 a aciunii 1;

rentabilitile ateptate corespunztoare celor 2 titluri i de riscul asociataciunii 2 destul de apropiat valoric de cel al aciunii 1,

Gestiunea portofoliului de valori mobiliare

managerul de portofoliu poate avea n vedere o modificare a ponderilor ntre celedou aciuni deinute. Nu este exclus, de asemenea, n condiiile unei pieefinanciare dinamice, i renunarea la aciunea 1 (sau chiar la ambele), nlocuind-ocu o alta mai performant.

18.2. Un investitor i-a constituit un portofoliu la momentul t pentru care secunosc urmtoarele elemente:

Activul iCurs

bursier lamomentul t

Curs bursier estimat la t+1 Dividendestimat

Volatilitateai

Risculi

Pondereaactivului i

nportofoliu

p* = 30% p = 40% p=30% E(Dt+1)Aciunea

11500 1630 1640 1650 110 0,5 15% 60%

Aciunea2

1400 1590 1600 1610 120 0,6 17% 40%

* p = probabilitatea de realizare a cursului bursier la momentul t+1.

Rata de rentabilitate a activului fr risc a fost considerat de 7%.Coeficientul de corelaie ntre cele dou active are valoarea de 0,2. Rentabilitateaprognozat a portofoliului pieei este de 25%. Se presupune c dividendelerespective vor fi ncasate n primul trimestru al anului t+1. nainte de ncasareadividendelor cursul bursier al aciunii 1 este estimat la 1530 u.m., iar pentruaciunea 2 la 1470 u.m. Numrul aciunilor de tipul 1 incluse n portofoliu a fostde 100.000, respectiv de 130.000 aciuni. Determinai rentabilitatea ateptat aacestui portofoliu obinut pe parcursul anului t+1, utiliznd indicatorul raterentabilitii ponderat de perioade.

Rezolvare:Pentru a putea anticipa rentabilitatea acestui portofoliu pentru ntreg

anul t+1, trebuie procedat la divizarea acestui an n dou subperioade, ncontextul ncasrilor de numerar din primul trimestru al acestui an. Pentruaceste sub-perioade se vor determina rentabiliti pariale ale portofoliului, careapoi vor fi asamblate ntr-o rentabilitate total pentru intervalul (sfritul anuluit, sfritul anului t+1).

Vom avea deci sub-perioada (t+1)1 acoperind intervalul de timp pn laaportul de lichiditi, respectiv sub-perioada (t+1)2 cuprinznd momentul ncasriipn la sfritul anului t+1.

%34,314001300004,015001000006,0 14001300004,015001000006,014701300004,015301000006,0R 1 1tp

Capitolul 18

%287,012013000011010000014701300004,015301000006,0 1201300004,01101000006,0000.240.16816001300004,016401000006,0R 2 1tp Rentabilitatea portofoliului pe ntreaga perioad va rezulta pe baza ecuaiei:Rp = (1 + 1 1tpR ) (1+

21tpR ) 1 = 3,6%.

18.3. Un investitor i-a constituit trei portofolii, caracterizate prin urmtoriiindicatori de performan:

Portofoliul RentabilitateaRp

Volatilitatea p (Rp)

X 15% 0,45 12%Y 18% 0,7 13%Z 22% 1,05 20%

Rentabilitatea activului fr risc Rf este de 9%, iar rentabilitateaportofoliului pieei, RM, este estimat la 30%. Identificai portofoliul cel maiperformant conform indicatorilor Sharpe, Treynor i Jensen.

Rezolvare:Pentru fiecare dintre cele trei portofolii se vor aplica formulele cunoscute

pentru determinarea indicatorilor Sharpe, Treynor i Jensen. nlocuind cu dateleproblemei, au rezultat urmtoarele rezultate:

Portofoliul Tp Ierarhie Sp Ierarhie Jp IerarhieX 0,133333 I 0,500000 III -0,03450 IY 0,128571 II 0,692308 I -0,05700 IIZ 0,123809 III 0,650000 II -0,09050 III

Pe baza datelor din tabelul de mai sus, concluzia este c indicatorii Treynori Jensen ofer aceeai ierarhie a performanei, respectiv portofoliul X iportofoliul Y, n timp ce indicatorul Sharpe aeaz pe locul I portofoliul Y, iarportofoliul X este ultimul ca nivel al performanelor. Opiunea pentru unul dintrecriterii sau altul depinde de perspectiva asupra riscului pe care o prezintinvestitorul, avnd n vedere c toate metodele caracterizeaz ageni riscofobi,ns cu percepii diferite asupra semnificaiei acestui termen (abatere medieptratic a rentabilitii, volatilitate).

18.4. Presupunem cazul aceluiai investitor din problema 18.3, pentru caremanagerul su de portofoliu a propus (n urma studiului pieei) un portofoliu T cafiind un portofoliu benchmark.

Gestiunea portofoliului de valori mobiliare

Pentru cele trei portofolii i, n plus, pentru portofoliul de referin acesta aefectuat prognoze ale micrilor viitoare privind performana acestora, concluziilefiind urmtoarele:

Portofoliul Rentabilitatea estimat pescenariu (%) (Rpi) Rpi - RBi (p.p./**) E(Rpi - RBi )

p*= 30% p= 40% p=30% p= 30% p= 40% p=30%X 15 17 20 0 0 -1 -0,3Y 17 18 19 +2 +1 -2 +0,4Z 18 19 20 +3 +2 -1 +1,4T 15 17 21 x x x* p = probabilitatea de realizare a scenariului.** p.p. = puncte procentuale

Analizai performana celor trei portofolii utiliznd indicatorul raport deinformaii.

Rezolvare:Se vor utiliza alte metode de msurare a performanelor celor trei portofolii,

cu excepia indicatorilor lui Sharpe, Treynor i Jensen.Pornind de la datele cunoscute vom putea determina indicatorul tracking

error i raportul de informaii a lui Sharpe (1994). Se observ ca rentabilitileprevizionate pentru cele patru portofolii sunt normal distribuite, ceea ce permiteutilizarea (n condiii de relevan) a indicatorilor de medie i dispersie. n fapt,cei doi indicatori sunt legai ntre ei, calculul raportului de informaii impunnddeterminarea prealabil a indicatorului tracking error.

Pentru a determina tracking error vom aplica formula cunoscut abateriimedii ptratice a diferenei de rentabilitate a fiecrui portofoliu fa de referin.Vom avea, n baza relaiei de calcul generale:

TE = (Rp RB) =

n

1i

2BpiBpi

RRERRp

147,0036,0027,0

3,013,03,004,03,003,0TE 222X

TEX = 0,004582%

728,1144,0768,04,023,04,014,04,023,0TE 222Y

TEY = 0,016248%

728,1144,0768,04,113,04,124,04,133,0TE 222Z

TEZ = 0,016248%

Capitolul 18

Conform acestui indicator, cel mai performant portofoliu va fi portofoliul Xpentru c nregistreaz cel mai mic risc de variaie a diferenelor de rentabilitatefa de valoarea medie ateptat a acestora. Portofoliile Y i Z se afl pe acelailoc din punctul de vedere al performanei, datorit faptului c, dei rentabilitileviitoare sunt diferite, ntre acestea exist o diferen de 1 punct procentual pentruambele portofolii.

Utiliznd indicatorii astfel determinai, poate fi estimat raportul deinformaii pentru fiecare portofoliu n parte astfel: TERERR REREIR gBp Bp

47356,65004582,0

3,0IRX

618,24016248,0

4,0IRY

164,86016248,0

4,1IRZ Indicatorul tracking error a determinat o anumit ierarhie a celor trei

portofolii, respectiv X, pe de o parte, i Y i Z. Pe de alt parte, raportul deinformaii schimb complet concluziile pentru c aeznd n acelai indicatorrentabilitatea i riscul unui portofoliu prin raportare la un benchmark seevideniaz faptul c:

portofoliul X se estimeaz a fi cel mai neperformant datorit uneidiferene medii de rentabilitate negative;

portofoliul Y va fi mai performant dect X datorit unei rentabiliti cedevanseaz, pe medie, rentabilitatea portofoliului benchmark;

portofoliul Z va fi cel mai performant fa de portofoliul benchmarkpentru c nregistreaz cea mai mare valoare a raportului de informaii.

Bineneles c strategiile de investire pe tipuri de portofolii trebuie s aibn vedere atitudinea fa de risc a investitorului care trebuie s opteze pentru ceeace i dorete mai mult: risc redus, dar i o rentabilitate aferent redus valoric saurentabilitate mai mare acceptnd un risc superior.

Dac aceste rezultate se vor nregistra, dar investitorul nu a cunoscut acesteprognoze, este foarte posibil acordarea unui calificativ necorespunztormanagerului de portofoliu, n baza gradului de performan obinut, n specialpentru portofoliul X.