an.fourier i.pdf

Cap. 1

Serii Fourier

1.1 Preliminarii de algebra liniara

a. Descompunerea unui vector dintr-un spatiu euclidian dupaun sistem ortogonal de vectori.

Daca v1, . . . , vn reprezinta un sistem de vectori nenuli si reciproc ortogo-nali, i.e 〈vi, vj〉=0 pentru orice i 6= j, unde 〈∗, ∗〉 reprezinta produsul scalaral spatiului, atunci orice vector v din el si care poseda o descompunere deforma

v =n∑i=1

αivi,

va avea coeficientii αi obtinuti prin formulele

αi =〈v, vi〉〈vi, vi〉

. (1.1)

Acest fapt se deduce direct din proprietatile produsului scalar astfel:amplificam scalar expresia lui v cu vj si folosind liniaritatea p.s. obtinem

〈v, vj〉 =n∑i=1

αi 〈vi, vj〉 .

Deoarece ın membrul drept termenii pentru care i 6= j sunt nuli, relatiadevine

〈v, vj〉 = αj 〈vj, vj〉 .

5

6 CAP. 1. SERII FOURIER

Pe de alta parte, din pozitivitatea p.s. rezulta ca pentru orice vector nenulvj : 〈vj, vj〉 6= 0. Astfel obtinem expresia coeficientului αj.

In mod perfect similar se obtine si expresia produsului scalar a doi vectoriv, w din acelasi spatiu - vectori care se exprima sub forma combinatiilorliniare v =

∑ni=1 αivi si w =

∑nj=1 βjvj:

〈v, w〉 =n∑i=1

n∑j=1

αiβj 〈vi, vj〉 =n∑i=1

αiβi 〈vi, vi〉 . (1.2)

1.2 Definitia seriei Fourier

Consideram un spatiu de functii f(t) definite pe intervalul [−L,L], L > 0,reale si continui1, avand reprezentari de forma

f(t) = a0 +∞∑n=1

(an cos

nπt

L+ bn sin

nπt

L

). (1.3)

In acest spatiu se considera p.s.

〈f, g〉 =

∫ L

−Lf(t)g(t)dt (1.4)

deducandu-se prin calcul urmatoarele rezultate (exercitii!):

〈1, 1〉 = 2L ,

⟨cos

nπt

L, cos

nπt

L

⟩= L,

⟨sin

nπt

L, sin

nπt

L

⟩= L;

n 6= m⇒⟨

cosnπt

L, cos

mπt

L

⟩= 0,

⟨sin

nπt

L, sin

mπt

L

⟩= 0;

∀n∀m :

⟨cos

nπt

L, sin

mπt

L

⟩= 0.

Extinzand la sumele infinite de tipul (1.3) rationamentul care ne-a condusla formulele pentru coeficientii αi (conf.(1.1)), obtinem pentru coeficientii

1In §1.3 ipoteza continuitatii va fi slabita.

1.3. CONVERGENTA SERIILOR FOURIER 7

acestor serii urmatoarele expresii:

a0 =1

2L

∫ L

−Lf(t)dt, an =

1

L

∫ L

−Lf(t) cos

nπt

Ldt, bn =

1

L

∫ L

−Lf(t) sin

nπt

Ldt

(1.5)

Introducandu-le apoi ın (1.3) obtinem seria Fourier a functiei f(t).

1.3 Convergenta seriilor Fourier

In intervalele de continuitate ale functiei f(t) din [−L,L], seria F. cores-punzatoare acesteia converge uniform catre f(t).

Vom presupune ca ın (−L,L) f(t) are doar un numar finit (sau zero) dediscontinuitati, care sunt toate de speta I-a2. O astfel de functie se numestecontinua pe portiuni.

Atunci, ın punctele de discontinuitate seria F. converge punctual, iarsuma sa coincide, ın fiecare din ele, cu media celor doua limite laterale alefunctiei ın punctul respectiv.

Exemplul 1.1. Functia

f(t) =

{−1 daca −π < t < 0

1 daca 0 < t < π

are seria F. urmatoare

4

π

∞∑k=0

sin(2k + 1)t

2k + 1.

Verificati calculandu-i coeficientii!

In punctul de discontinuitate t = 0 seria F. capata valoarea 0. Limitelelaterale ale functiei sunt:

f(0−) = −1, f(0+) = 1, iar media lor estef(0−) + f(0+)

2= 0.

2In care limitele laterale ale functiei f(t) exista si sunt finite.


1.4 Serii Fourier pentru functii pare/impare

Daca functia f(t) este para, i.e. ∀t : f(−t) = f(t), atunci∫ L

−Lf(t)dt = 2

∫ L

0

f(t)dt

iar daca f(t) este impara, i.e. ∀t : f(−t) = −f(t) atunci∫ L

−Lf(t)dt = 0 (explicati!)

De aici rezulta ca atunci cand dezvoltam ın serie F. o functie f(t) para,aceasta va contine doar termeni - functii pare, i.e.

a0 +∞∑n=1

an cosnπt

L(1.6)

iar coeficientii sai vor fi

a0 =1

L

∫ L

0

f(t)dt, an =2

L

∫ L

0

f(t) cosnπt

Ldt (1.7)

Similar, ın cazul unei functii impare dezvoltarea sa Fourier va continedoar functii impare, avand forma

∞∑n=1

bn sinnπt

L(1.8)

cu coeficientii corespunzatori

bn =2

L

∫ L

0

f(t) sinnπt

Ldt (1.9)

Exemplul 1.2. f(t) = |t| pentru − 1 < t < 1 este o functie para. SeriaF. va avea atunci forma (1.6), iar coeficientii sai - forma(1.7).

a0 =

∫ 1

0

tdt =1

2

1.5. FUNCTII PERIODICE. PRELUNGIREA PRIN PERIODICITATE. 9

an = 2

∫ 1

0

t cosnπtdt =

[cosnπt

n2π2+

sinnπt

nπ

]1t=0

=2

n2π2(cosnπ − 1)

de unde a2k = 0 si a2k+1 =−4

(2k + 1)2π2, k = 0, 1, 2, . . .

Seria F. a functiei f(t) este

1

2− 4

π2

∞∑k=0

1

(2k + 1)2cos(2k + 1)πt.

Exemplul 1.3. f(t) = t pentru− 2 < t < 2 este o functie impara, seriaF. avand forma (1.8) cu coeficientii de forma (1.9):

bn =1

2

∫ 2

−2t sin

nπt

2dt =

2

n2π2

[sin

nπt

2− 1

2nπt cos

nπt

2

]2t=−2

= −4 cosnπ

nπ= (−1)n+1 4

nπ.

Astfel

f(t) =4

π

∞∑n=1

(−1)n+1

nsin

nπt

2.

1.5 Functii periodice. Prelungirea prin peri-

odicitate.

Dezvoltarea ın serie F. a unei functii periodice f(t) cu perioada p = 2Lse extinde, ın mod natural, de la intervalul [−L,L] la ıntreg intervalul dedefinitie a ei (eventual toata axa reala). Aceasta se poate realiza si ın cazulcand f(t) este definita numai pe [−L,L] prelungind-o ”prin periodicitate”.Adica definind-o ın afara acestui interval prin conditia

∀t ∈ [−L,L] ∀n ∈ Z : f(t+ np) = f(t).

Exemplul 1.4. Functia f(t) = |t|,−1 < t < 1 se poate prelungi prinperiodicitate, cu perioada p = 2, definind-o astfel

f(t) =

{{|t|} daca 2k < t < 2k + 1

1− {|t|} daca 2k + 1 < t < 2k + 2


unde {|t|} reprezinta partea fractionara3 din |t|, iar k orice numar ıntreg.In acest caz seria F. a functiei ramane aceeasi

1

2− 4

π2

∞∑k=0

1

(2k + 1)2cos(2k + 1)πt,

dar ea converge catre functia extinsa f(t) ın fiecare punct al axei reale.In plus, datorita continuitatii functiei f(t) (vezi figura), convergenta seriei

sale Fourier este uniforma.

1.6 Integrarea si derivarea seriilor Fourier

1.6.1 Integrarea termen cu termen a seriilor Fourier

Seria F. (1.3) a unei functii f(t) definita ın intervalul [−L,L] , continua saucontinua pe portiuni (cf.§1.3), poate fi integrata termen cu termen obtinandu-se reprezentarea urmatoare:

∫ t

−Lf(u)du = a0(t+ L) +

L

π

∞∑n=1

[ann

sinnπt

L− bnn

(cos

nπt

L+ (−1)n+1

)](1.10)

pentru −L ≤ t ≤ L.

Exemplul 1.5. Plecand de la functia f(t) din exemplul 1.1 si integrandtermen cu termen seria sa F. obtinem reprezentarea functiei∫ t

−πf(u)du =

{−(t+ π) daca −π < t < 0

t− π daca 0 < t < π

3De exemplu {|1.41|} = 0.41

1.6. INTEGRAREA SI DERIVAREA SERIILOR FOURIER 11

sub forma seriei F. urmatoare:

4

π

∞∑k=0

∫ t

−π

sin(2k + 1)u

2k + 1du.

Trecand la primitive si distribuind suma4 gasim:

− 4

π

[∞∑k=0

cos(2k + 1)t

(2k + 1)2−∞∑k=0

cos(2k + 1)π

(2k + 1)2

]

care, tinand seama ca5

∞∑k=0

cos(2k + 1)π

(2k + 1)2= −

∞∑k=1

1

(2k + 1)2= −π

2

8,

rezulta

4

π

∞∑k=0

cos(2k + 1)t

(2k + 1)2+π

2=

{t+ π daca −π < t < 0π − t daca 0 < t < π

= π − |t|.

Ceea ce nu este decat o alta forma a rezultatelor obtinute ın exemplul 1.2.Explicati!

1.6.2 Derivarea termen cu termen a seriilor Fourier

Daca f(t) cu t ∈ [−L,L] este o functie continua, avand o derivata f ′(t)continua pe portiuni (§1.3) si verificand f(−L) = f(L), atunci ın fiecaret ∈ (−L,L) pentru care f ′′(t) exista, derivata f ′(t) se poate reprezenta prinseria F.

π

L

∞∑n=1

(−nan sin

nπt

L+ nbn cos

nπt

L

)) (1.11)

obtinuta din seria F. (1.3) a lui f(t) prin derivare termen cu termen.

Exemplul 1.6. Reluam functia f(t) = |t|, t ∈ [−1, 1] . Derivata sa

f ′(t) =

{−1 daca −1 < t < 0

1 daca 0 < t < 1

4Utilizam aici convergenta noii serii obtinute prin integrare termen cu termen.5Pentru ultima egalitate a se vedea §1.12, exercitiul VII.


are o discontinuitate cu ”salt finit” ın t = 0, f ′(0+) − f ′(0−) = 2, iar f ′′(t)exista (si este nula) cu exceptia originii. Asadar seria F. a functiei f ′(t) seobtine derivand termen cu termen seria functiei f(t) din exemplul 1.2:

1

2− 4

π2

∞∑k=0

1

(2k + 1)2cos(2k + 1)πt.

Ceea ce ne conduce la seria F. urmatoare:

4

π

∞∑k=0

1

(2k + 1)sin(2k + 1)πt.

Comparand-o cu cea obtinuta ın exemplul 1.1, unde expresia functiei eraaceeasi, constam ca singura deosebire ıntre cele doua serii rezida ın aparitia(aici) a lui π la argumentul sinusurilor. Daca ne raportam la forma generala(1.3), aceasta deosebire rezida ın valoarea lui L: aici L = 1, iar ın exemplul1.1. L = π.

1.7 Dezvoltarea ın serie de cosinusuri/sinusuri

Cand functia f(t) este definita pe intervalul [0, L] reprezentand o semiperioada,atunci ea poate fi prelungita la intervalul [−L,L]:

fie ca functie para f(−t) = f(t), t ∈ [0, L](Figura 1),fie ca functie impara f(−t) = −f(t), t ∈ [0, L](Figura 2).

In primul caz functia se dezvolta ın serie de cosinusuri, iar ın al doileacaz - ın serie de sinusuri (conform §1.4).

1.7. DEZVOLTAREA IN SERIE DE COSINUSURI/SINUSURI 13

Exemplul 1.7. Functia f(t), t ∈ [0, 2]

f(t) =

{t daca 0 < t < 1

2− t daca 1 < t < 2

se prelungeste la functia para g(t), t ∈ [−2, 2] prin conditia

g(t) =

{f(−t) daca −2 < t < 0f(t) daca 0 < t < 2

si la functia impara h(t), t ∈ [−2, 2] prin conditia

h(t) =

{−f(−t) daca −2 < t < 0

f(t) daca 0 < t < 2

Ele au urmatoarele reprezentari grafice:

Observam astfel ca g(t) reprezinta restrictia functiei f(t) din exemplul 1.4.la intervalul [−2, 2] si, conform celor stabilite anterior, seria sa F. coincidecu cea a lui f(t), adica

1

2− 4

π2

∞∑k=0

1

(2k + 1)2cos(2k + 1)πt.

Functia h(t), fiind impara, va avea o serie F. de sinusuri. Calculandu-icoeficientii obtinem

8

π2

∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)2sin

(2k + 1)πt

2.


1.8 Serii Fourier ın complex

Intrucat functiile trigonometrice cos t si sin t se pot exprima cu ajutorulfunctiei exponentiale complexe eit prin formulele

cos t =eit + e−it

2si sin t =

eit − e−it

2i,

ınlocuindu-le ın seria (1.3) obtinem

a0 +∞∑n=1

(aneinπtL + e−

inπtL

2+ bn

einπtL − e− inπtL

2i

).

Rearanjand termenii ın suma

a0 +∞∑n=1

an − ibn2

e

inπt

L +∞∑n=1

an + ibn2

e−inπt

L (1.12)

si notand noii coeficienti ce apar

c0 = a0, cn =an − ibn

2, c−n =

an + ibn2

,

seria Fourier va capata forma complexa6

∞∑n=−∞

cne

inπt

L . (1.13)

Totodata coeficientii complecsi cn se pot deduce din formulele (1.5) astfel:

cn =1

2(an − ibn) =

1

2L

∫ L

−Lf(t)

(cos

nπt

L− i sin

nπt

L

)dt

Deci

cn =1

2L

∫ L

−Lf(t)e

−inπt

L dt n ∈ Z (1.14)

6Sensul acestei notatii este, ca si ın cazul seriilor obisnuite, cel de limita; anume aicilimn→∞

∑k=nk=−n cke

ikπtL .

1.9. INTERPRETAREA FIZICA A SERIILOR FOURIER 15

Exemplul 1.8. Consideram functia urmatoare:

f(t) =

0 daca −π < t < −π

2

1 daca −π2< t < π

2

0 daca π2< t < π

Aici

L = π, c0 =1

2π

∫ π

−πf(t)dt =

1

2π

∫ π2

−π2

dt =1

2,

cn =1

2π

∫ π

−πf(t)e−intdt =

1

2π

∫ π2

−π2

e−intdt =1

nπ

(einπ2 − e− inπ2

2i

), n ∈ Z.

Ultima paranteza este exact sin nπ2

astfel ıncat cn = 1nπ

sin nπ2

. Observamca c−n = cn deoarece f(t) este functie para si ca pentru n = 2k, cn = 0.

Intrucat c2k−1 = (−1)k−1

(2k−1)π (explicati!) seria complexa se reduce la

1

2+

∞∑k=−∞

(−1)k−1

(2k − 1)π(ei(2k−1)t + e−i(2k−1)t).

Ultima paranteza fiind 2 cos(2k − 1)t, rezulta ca aceasta serie este o functiereala, cum era de asteptat. Ea converge uniform catre functia f(t) ın totintervalul [−π, π] cu exceptia punctelor de discontinuitate −π

2si π

2ale lui

f(t); ın acestea seria converge punctual (catre 12).

1.9 Interpretarea fizica a seriilor Fourier

Seria F. reprezinta un concept matematic esential ın studiul multor fenomenefizice. De exemplu, ın cazul celor periodice (oscilatii, vibratii, etc), se ope-reaza cu notiuni ca: frecventa unghiulara, amplitudine, faza s.a. Sa notamcu T perioada unui astfel de fenomen. Atunci 2π

Tva reprezenta frecventa

unghiulara si o vom nota cu ω0. Intrucat T = 2L rezulta ca πL

= ω0 sireprezentarea unei functii f(t), t ∈ [−L,L] ca serie F. va fi, conform (1.3),

f(t) = a0 +∞∑n=1

(an cosnω0t+ bn sinnω0t)


unde coeficientii respectivi se calculeaza dupa formulele:

a0 =1

T

∫ T2

−T2

f(t)dt; an =2

T

∫ T2

−T2

f(t) cosnω0tdt; bn =2

T

∫ T2

−T2

f(t) sinnω0tdt.

Introducem notiunea de amplitudine definita prin An = (a2n + b2n)1/2 sicea de faza, definita prin δn = arctan(−bn/an).

Reprezentarea lui f(t) poate fi astfel adusa la formele

f(t) = a0 +∞∑n=1

An

(anAn

cosnω0t+bnAn

sinnω0t

)si apoi7

f(t) = a0 +∞∑n=1

An cos(nω0t+ δn) (1.15)

Numerele: ω0, 2ω0, 3ω0, . . . alcatuiesc spectrul de frecventa a lui f(t),numarul nω0 reprezinta a n-a frecventa armonica, iar numarul δn - al n-leaunghi de faza.

Numerele A0 = |a0|, A1, A2, . . . reprezinta spectrul de amplitudine alui f(t), iar functia cos(nω0t+ δn) - a n-a armonica a lui f(t).

Precizam ca ın cazul reprezentarii prin serie F., spectrul de amplitudineeste discret deoarece aceasta serie este definita doar pentru un sir discret defrecvente.

Exemplul 1.9. Sa determinam armonicele si spectrul de amplitudine alfunctiei

f(t) =

{π daca −π < t < 0

π − t daca 0 ≤ t ≤ π

Functia este definita pe [−π, π], T = 2π, ω0 = 2π/T = 1. Spectrulfrecventelor va fi: 1, 2, 3 . . . , iar reprezentarea Fourier prin frecvente va aveaforma

f(t) = a0 +∞∑n=1

(an cosnt+ bn sinnt)

unde

a0 =1

2π

∫ 0

−ππdt+

1

2π

∫ π

0

(π − t)dt =3π

4,

7Alegerea lui An si δn conduc la an/An = cos δn, bn/An = − sin δn.

1.10. APROXIMAREA PRIN POLINOAME TRIGONOMETRICE 17

an =1

π

∫ 0

−ππ cosntdt+

1

π

∫ π

0

(π − t) cosntdt =1

πn2[1− (−1)n].

Din care rezulta a2k−1 = 2(2k−1)2π , a2k = 0, k = 1, 2, . . . .

Apoi bn = 1π

∫ 0

−π π sinntdt + 1π

∫ π0

(π − t) sinntdt = (−1)nn, n = 1, 2, . . . .

Astfel ıncat

f(t) =3π

4+

2

π

∞∑k=1

cos(2k − 1)t

(2k − 1)2+∞∑n=1

(−1)n sinnt

npentru− π ≤ t ≤ π.

Pentru a determina armonicele si spectrul de amplitudine, trebuie grupatitermenii cu aceleasi frecvente. Ceea ce conduce la urmatoarea rearanjare aseriei F.

f(t) =3π

4+

(2

πcos t− sin t

)+

1

2sin 2t+

(2

9πcos 3t− 1

3sin 3t

)+

+1

4sin 4t+

(2

25πcos 5t− 1

5sin 5t

)+ . . .

Astfel putem, de exemplu, trage concluzia ca a cincea armonica esteproportionala cu 2

25πcos 5t− 1

5sin 5t, sau putem gasi cateva amplitudini

A0 =3π

4, A1 =

[(2

π

)2

+ (−1)2

]1/2, A2 =

1

2, A3 =

[(2

9π

)2

+

(−1

3

)2]1/2

, etc.

1.10 Aproximarea prin polinoame trigono-

metrice

O aplicatie importanta a seriilor F. o constituie si aproximarea functiilor.Fie f(t) cu t ∈ [−π, π] o functie reprezentabila pe acest interval printr-o

serie Fourier a0 +∑∞

n=1(an cosnt + bn sinnt). Aceasta ınseamna ca pentrut ∈ [−π, π]:

f(t) = limN→∞

[a0 +

N∑n=1

(an cosnt+ bn sinnt)

](1.16)


Astfel f(t) se poate aproxima cu o suma partiala a seriei sale Fourier.Am numit8 polinom trigonometric de gradul N orice functie

F (t) = A0 +N∑n=1

(An cosnt+Bn sinnt) (1.17)

unde A0, An, Bn, n = 1, 2, . . . sunt numere reale.Pentru a evalua ”calitatea” aproximarii functiei f(t), pe ıntreg inter-

valul [−π, π], printr-un polinom trigonometric, este necesar sa consideramo ”distanta” ıntre functii definite pe acest interval. Exista mai multe posi-bilitati de alegere9, dar ın cazul de fata argumente solide conduc la urmatoarea

E(f, F ) =

∫ π

−π(f(t)− F (t))2dt. (1.18)

Ea poarta numele de eroare patratica, pe intervalul [−π, π], a lui F (t)fata de f(t) si este un numar nenegativ.

Problema. Sa se determine polinomul trigonometric de grad N (fixat)avand cea mai mica eroare patratica, pe intervalul [−π, π], fata de functiaf(t).

Pentru ınceput vom exprima aceasta eroare sub forma∫ π

−πf 2dt− 2

∫ π

−πfFdt+

∫ π

−πF 2dt (1.19)

obtinuta prin dezvoltarea integrandului si distribuirea integralei.Prin calcul, ultima integrala se poate exprima astfel10∫ π

−πF 2dt = π

(2A2

0 +N∑n=1

A2n +

N∑n=1

B2n

)(1.20)

si totodata a doua dintre cele trei integrale se poate exprima sub forma∫ π

−πfFdt = π

(2A0a0 +

N∑n=1

Anan +N∑n=1

Bnbn

). (1.21)

8Vezi Algebra liniara, cap.4, exemplul 4.1.4.9Spre exemplu: E(f, F ) = max−π≤t≤π |f(t)− F (t)|

10Se folosesc relatiile de ortogonalitate ıntre functiile:1, cos t, sin t, cos 2t, . . . ın raport cuprodusul scalar 〈f(t), g(t)〉 =

∫ π−π f(t)g(t)dt (vezi §1.1 si §1.2)

1.10. APROXIMAREA PRIN POLINOAME TRIGONOMETRICE 19

Inlocuim aceste doua expresii ın (1.19) si obtinem

E =

∫ π

−πf 2dt−2π

[2A0a0 +

N∑n=1

(Anan +Bnbn)

]+π

[2A2

0 +N∑n=1

(A2n +B2

n)

].

(1.22)Inlocuim ın (1.22) coeficientii A0, An, Bn respectiv cu coeficientii Fourier

corespunzatori a0, an, bn si obtinem expresia

E∗ =

∫ π

−πf 2dt− π

[2a20 +

N∑n=1

(a2n + b2n)

]. (1.23)

In final scadem ultima relatie din penultima

E − E∗ = π

{2(A0 − a0)2 +

N∑n=1

[(An − an)2 + (Bn − bn)2

]}. (1.24)

Avand ın membrul drept o suma de patrate rezulta ca E − E∗ ≥ 0, ega-litatea realizandu-se doar atunci cand A0 = a0, An = an, Bn = bn. Adica areloc urmatoarea

Teorema. Dintre toate polinoamele trigonometrice de grad N , cel careaproximeaza cel mai bine functia f(t) pe intervalul [−π, π], ın sensul caeroarea patratica sa fie minima, este polinomul avand coeficientii Fourierai functiei f(t).

Aceasta eroare minima este E∗, data de formula (1.23).

Plecand de la rezultatele de mai sus putem extrage cateva concluzii impor-tante din p.d.v. teoretic. Pentru ınceput sa observam ca polinomul trigono-metric avand coeficientii Fourier ai functiei f(t) reprezinta suma partiala

SN = a0 +N∑n=1

(an cosnt+ bn sinnt) (1.25)

a seriei F. si avand ca limita functia f(t) (cf(1.16)).Inlocuind-o ın (1.22), tinand seama de semnificatia lui E si de sim-

plificarile ce ne-au condus la (1.23), obtinem∫ π

−π[f(t)− SN(t)]2dt =

∫ π

−πf 2dt− π

[2a20 +

N∑n=1

(a2n + b2n)

]. (1.26)


Integrala din membrul stang fiind nenegativa (deoarece integrandul estenenegativ), rezuta ca pentru orice N

2a20 +N∑n=1

(a2n + b2n) ≤∫ π

−πf 2dt (1.27)

Pentru N →∞ se obtine

2a20 +∞∑n=1

(a2n + b2n) ≤∫ π

−πf 2dt (1.28)

numita inegalitatea lui Bessel pentru seriile Fourier.Presupunand ca integrala din dreapta exista si este finita, aceasta inega-

litate demonstreaza convergenta seriei 2a20 +∑∞

n=1(a2n + b2n) si deci ca

limn→∞

an = 0 si limn→∞

bn = 0. (1.29)

Un alt rezultat important este faptul ca daca

limN→∞

[∫ π

−π[f(t)− SN(t)]2dt

]= 0,

ceea ce se verifica de catre toate functiile ce apar ın aplicatii, atunci are loc

2a20 +∞∑n=1

(a2n + b2n) =

∫ π

−πf 2dt. (1.30)

(1.30) se numeste relatia lui Parseval pentru seriile Fourier.

1.11 Utilizarea softului M ın calcul

Putem face diverse calcule legate de seriile F., calcule atat simbolice, catsi numerice, folosind comenzi ale pachetului de programe Mathematica -soft pe care ıl vom nota ın continuare cu M 11. Trecem ın revista catevadintre ele exemplificandu-le.

Dezvoltarea unei functii periodice f[t], cu perioada p = 2L, ın serie Fouriertrunchiata la primii n+1 termeni12, se face prin comanda

11In tot acest text ne referim la versiunea 7 a softului respectiv.12Acestia se considera raportandu-ne la formula (1.3).

1.11. UTILIZAREA SOFTULUI M IN CALCUL 21

FourierTrigSeries[f[t],t,n,FourierParameters− > {1, (π/L)}]

Cand parametrii Fourier nu sunt specificati, ei au valorile {1, 1}, adicaperioada p = 2π.

Exemplul 1.1 reluat(vezi §1.3). Functia

f(t) =

{−1 daca −π < t < 0

1 daca 0 < t < π

se poate codifica ın M prin comanda13

f[t ]:=Which[−π < t < 0,−1, 0 < t < π, 1].

Astfel

FourierTrigSeries[f[t],t,5,FourierParameters− > {1, 1}]

are ca rezultat4 sin[t]

π+

4 sin[3t]

3π+

4 sin[5t]

5π

reprezentand primii 6 termeni ai seriei

4π

∑∞k=1

sin(2k−1)t2k−1 .

De mentionat ca ceilalti 3 termeni sunt nuli, deoarece a0 = a1 = a2 = 0.Daca vrem sa obtinem termenul general al acestei serii, putem apela la

comanda14.

FourierSinCoefficient[f[t],t,2n-1,FourierParameters− > {1, 1}]

care ne furnizeaza rezultatul

−4 cos2 nππ−2nπ .

13O comanda echivalenta este Piecewise[{{−1,−π < t < 0}, {1, 0 < t < π}}].14De notat ca aceasta comanda, cat si perechea ei FourierCosCoefficient, calculeaza

acesti coeficienti pe baza formulelor (1.7) si respectiv (1.9), valabile doar ın cazul dezvol-tarii unei functii pare, respectiv impare. Pentru a calcula coeficientii F. ai unei functiioarecare exista comanda FourierCoefficient care calculeaza coeficientul cn, n ∈ Z dinformula (1.14) si din care se pot extrage an = cn + c−n, bn = i(cn − c−n).


Constatam imediat ca este exact coeficientul b2n−1 din seria F. core-spunzatoare.

Pentru a dezvolta o functie f[t] definita pe o semiperioada (cf. §1.7) ınserie de cosinusuri/sinusuri dispunem de comenzile corespunzatoare:

FourierCosSeries si respectiv FourierSinSeries.

Exemplul 1.7 reluat(cf.§1.7). Functia f(t), t ∈ [0, 2] definita astfel

f(t) =

{t daca 0 < t < 1

2− t daca 1 < t < 2

va putea fi dezvoltata ın serie F. ca functie para, respectiv impara, faraa mai construi prelungirile g(t) si h(t).

Astfel, pentru a obtine primii 6 termeni din prima dezvoltare aplicamfunctiei

f[t ]:= Piecewise[{{t, 0 < t < 1}, {2− t, 1 < t < 2}} ]

comanda

FourierCosSeries[f[t],t,6,FourierParameters− > {1, π/2}]

si obtinem1

2− 4

π2cos [πt]− 4

9π2cos[3πt].

Similar, pentru a determina primii 6 termeni din a doua dezvoltare uti-lizam comanda

FourierSinSeries[f[t],t,6,FourierParameters− > {1, π/2}]

obtinand8

π2sin

[πt

2

]− 8

3π2sin

[9πt

2

]+

8

25π2sin

[5πt

2

].

Confruntand aceste rezultate cu cele doua serii Fourier corepunzatoaredin exemplul 1.7, constatam coincidenta cu termenii lor similari, daca ıi ra-portam la forma generala (1.3).


Observatie. Este interesant de urmarit, cu ajutorul comenzilor graficedin M, modul ın care polinoamele SN definite de (1.25) aproximeaza o functie

f(t), −L < t < L

de tipul celor descrise la ınceputul §1.3.Vom trata chiar exemplul 1.1, din paragraful mentionat, referitor la functia

f(t) codificata mai sus:

f[t ]:=Which[−π < t < 0,−1, 0 < t < π, 1].

Asa cum am vazut, seria F. trunchiata la primii N termeni se obtine princomanda

FourierTrigSeries[f[t],t,N ]

Vom defini asadar

SN=FourierTrigSeries[f[t],t,N ]

si aplicand comanda Plot[{f[t],S2, S5},{t,−π, π}] obtinem o reprezentare graficaın care apar: graficul lui f(t) - cu linie punctata - si graficele celor doua poli-noame trigonometrice S2 si S5 cu linie continua. 15

Ceeace ne sugereaza doua observatii:1. ca marind N aproximarea se ımbunatateste si2. ca ın vecinatatea punctului de discontinuitate t=0, aceasta aproximare

se ınrautateste.

15Aceasta comanda, ın cazul de fata, trebuie insotita de anumite specificatii: pentrutrasare cu linie punctata si marcarea cu S2 si S5 a celor doua curbe. Cititorului interesatın cunoasterea acestui soft ıi recomandam consultarea lucrarii de referinta H. Ruskeepaa,Mathematica Navigator, ed. a III-a, Elsevier 2009, cap. 5-7.


1.12 Exercitii

I) Se considera sistemul de vectori coloana

v1 = (1, 1,−1, 1)T , v2 = (1,−1, 1, 1)T , v3 = (0, 2, 2, 0)T ,

ortogonal ın raport cu produsul scalar 〈v, w〉 = vTw si vectorul v = (2,−1, 1, 3)T .Determinati coeficientii αi ai dezvoltarii v =

∑3i=1 αivi.

II) Determinati perioada fiecareia din urmatoarele functii:

1)cos t+ sin 2t; 2)2 sin 2t− 3 cos t3; 3)sin t cos t.

III) Folositi identitati trigonometrice pentru a obtine dezvoltarile ın seriiFourier (finite) ale urmatoarelor functii:

1)sin t cos t; 2)1− 2 sin2 t; 3)4 cos 2t cos 5t.

IV) Determinati dezvoltarile ın serie F. ale urmatoarelor functii pe inter-valul lor de definitie:

1)

f(t) =

{3 daca −π < t < 01 daca 0 < t < π

(p = 2π)

2)

f(t) =

{1 + t daca −1 < t < 01− t daca 0 < t < 1

(p = 2)

3)

f(t) = 1 + |t|, −1 < t < 1 (p = 2)

1.12. EXERCITII 25

V) Dezvoltati ın serie F. de cosinusuri (functie para) urmatoarele functiidefinite pe o semiperioada:

1)f(t) = | cos t|, 0 ≤ t ≤ π

2)

f(t) =

{cos t daca 0 < t < π/2

0 daca π/2 < t < π

3)f(t) = (t− π)2/π2, 0 ≤ t ≤ π

VI) Dezvoltati ın serie F. de sinusuri (functie impara) urmatoarele functiidefinite pe o semiperioada:

1)f(t) = sin t, 0 ≤ t ≤ π

2)

f(t) =

{sin t daca 0 < t < π/2

0 daca π/2 < t < π

3)f(t) = (t− π)2/π2, 0 ≤ t ≤ π

VII) Aplicati relatia lui Parseval (1.30) dezvoltarii ın serie F. a functiei

f(t) =

{−1 daca −π < t < 0

1 daca 0 < t < π

pentru a arata ca∑∞

k=11

(2k+1)2= π2

8.

Cap. 2

Transformata Fourier

2.1 Integrale Fourier

Seriile Fourier pot reprezenta functii definite pe intervale finite [−L,L],sau functii periodice cu perioada 2L. In cazul reprezentarii functiilor nepe-riodice si definite pe (−∞,∞) se impune o generalizare pentru L → ∞numita reprezentare integrala Fourier. Aceasta reprezentare constituiebaza transformarii integrale Fourier, similara ın multe privinte trans-formarii integrale Laplace, atat din p.d.v. al proprietatiilor sale, cat si alaplicatiilor sale.

Pentru a defini reprezentarea integrala F. plecam de la o functie definitape (−∞,∞), avand ın fiecare interval finit:- un numar finit (sau zero) de puncte de extrem si- un numar finit (sau zero) de discontinuitati de I-a speta (vezi §1.3).

Pentru o astfel de functie f(t) pentru care exista integralele1∫∞−∞ f(u)du

si∫∞−∞ |f(u)|du, definim:

A(ω) =1

π

∫ ∞−∞

f(u) cosωudu si B(ω) =1

π

∫ ∞−∞

f(u) sinωudu (2.1)

reprezentarea integrala Fourier a functiei f(t) fiind

f(t) =

∫ ∞0

[A(ω) cosωt+B(ω) sinωt]dω (2.2)

1Se mai spune ın acest caz ca functia este integrabila, respectiv absolut integrabila, pe(−∞,∞).

27

28 CAP. 2. TRANSFORMATA FOURIER

Rezultat. Daca functia f(t) satisface conditiile stipulate mai sus, atunciın orice punct t de continuitate a ei, f(t) verifica relatia (2.2) si ın orice punctt de discontinuitate, relatia:

1

2[f(t+ 0) + f(t− 0)] =

∫ ∞0

[A(ω) cosωt+B(ω) sinωt]dω (2.3)

Exemplul 2.1. Determinati reprezentarea integrala F. pentru functiaf(t) = e−|t|.

Functia satisface conditiile de existenta ale reprezentarii si este para.Verificati!Deci si f(t) cosωt este para, astfel ıncat

A(ω) =1

π

∫ ∞−∞

e−|u| cosωudu =2

π

∫ ∞0

e−u cosωudu

=2

π

[ωu sinωu− cosωu

1 + ω2

]∞u=0

=2

π(1 + ω2).

Totodata e−|u| sinωu este functie impara ın ω, deci B(ω) = 0.Deoarece f(t) este continua pe R, are loc relatia (2.2)

∀t ∈ R : e−|t| =2

π

∫ ∞0

cosωt

1 + ω2dω.

Observatie. Cand functia este impara, A(ω) = 0, iar

B(ω) =2

π

∫ ∞0

f(t) sinωtdω.

Exemplul 2.2. Determinati reprezentarea integrala F. pentru

f(t) =

{t/a daca |t| < a

0 daca |t| > a

unde a > 0.Functia satisface conditiile de existenta ale reprezentarii si este impara.

Verificati! Conform observatiei: A(ω) = 0, iar

B(ω) =2

aπ

∫ a

0

t sinωtdt =2

aπ

[sinωt

ω2− t cosωt

ω

]at=0

=2

aω2π.(sinωa−ωa cosωa)

2.2. TRANSFORMATA FOURIER 29

Pentru t ∈ (−a, a) functia este continua, deci satisface (2.2)

f(t) =2

aπ

∫ ∞0

sinωt(sinωa− ωa cosωa)

ω2dω.

In t = a, avand o discontinuitate, ın virtutea relatiei (2.3):

2

aπ

∫ ∞0

sinωa(sinωa− ωa cosωa)

ω2dω

va fi egala cu 12[f(a + 0) + f(a − 0)] = 1

2; egalitate din care putem extrage

formula de calcul a integralei improprii ce apare ın ea∫ ∞0

sinωa(sinωa− ωa cosωa)

ω2dω =

aπ

4.

2.2 Transformata Fourier

Introducand ın (2.3) expresiile coeficientilorA(ω) siB(ω) din (2.1) obtinem

1

2[(t+0)+f(t−0)] =

1

π

∫ ∞0

[∫ ∞−∞

f(u)(cosωu cosωt+ sinωu sinωt)du

]dω =

=1

π

∫ ∞0

[∫ ∞−∞

f(u) cosω(t− u)du

]dω.

Intrucat integrandul primei integrale este functie para de ω, prin extinderealimitei acesteia de la 0 la −∞, integrala se dubleaza (explicati!) si putemcontinua sirul egalitatilor cu

1

2π

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞


]dω.

Adica

1

2[f(t+ 0) + f(t− 0)] =

1

2π

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞


]dω (2.4)

Pe de alta parte ∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞

f(u) sinω(t− u)du

]dω = 0 (2.5)


integrandul∫∞−∞ f(u) sinω(t− u)du fiind functie impara ın raport cu ω.

Amplificand (2.5) cu i si adunand-o la (2.4) obtinem

1

2[f(t+0)+f(t−0)] =

1

2π

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞

f(u)[cosω(t− u) + i sinω(t− u)]du

]dω

echivalenta cu

1

2[f(t+ 0) + f(t− 0)] =

1

2π

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞

f(u)eiω(t−u)du

]dω

Intrucat eiω(t−u) = eiωte−iωu putem scoate de sub a doua integrala factoruleiωt ce nu depinde de u, iar factorul 1√

2πın fata membrului drept; rezulta

1

2[f(t+ 0) + f(t− 0)] =

1√2π

∫ ∞−∞

eiωt[

1√2π

∫ ∞−∞

f(u)e−iωudu

]dω.

In ipoteza continuitatii lui f(t), aceasta formula capata forma simplificata

f(t) =1√2π

∫ ∞−∞

eiωt[

1√2π

∫ ∞−∞

f(u)e−iωudu

]dω. (2.6)

Introducem urmatoarea notatie

f(ω) =1√2π

∫ ∞−∞

f(t)e−iωtdt. (2.7)

Intrucat variabila u din (2.6) poate fi ınlocuita cu oricare alta, ın spetacu t, din (2.6) si (2.7) rezulta

f(t) =1√2π

∫ ∞−∞

f(ω)eiωtdω. (2.8)

Definitii si notatii. Functia f(ω) se numeste transformata Fouriera functiei f(t) si se mai noteaza F{f(t)}.

In aceste conditii, functia f(t) va reprezenta transformata Fourier in-versa a functiei f(ω), notandu-se cu F−1{f(ω)}.

Astfel formula (2.6) exprima fapul ca F−1{F{f(t)}} = f(t).Prin permuarea integralelor ın (2.6) se poate arata ca are loc si relatia

F{F−1{f(ω)}} = f(ω).

2.2. TRANSFORMATA FOURIER 31

Conditiile de existenta ale transformatelor F., directa si inversa, suntaceleasi ca si ın cazul integralelor F.(cf.§2.1)

Exemplul 2.3. Determinati transformata F. a functiei

f(t) =

{1 daca |t| < a0 daca |t| > a

Solutie.

f(ω) =1√2π

∫ a

−ae−iωtdt =

1√2π

eiωa − e−iωa

iω=

1

ω

√2

π

eiωa − e−iωa

2i=

√2

π

sinωa

ω

Se observa ca, deoarece sinωa este marginit, lim|ω|→∞ f(ω) = 0.

Comentariu. Functia

sinc(ω) =

{sinωω

daca ω 6= 01 daca ω = 0

se numeste sinus cardinal si are graficul din figura urmatoare:

Cu ajutorul ei, transformata functiei din exemplu capata expresia√

2πa sinc(ωa).


g(t) =

{1 daca 0 < t < a0 altfel.

Solutie.

g(ω) =1√2π

∫ a

0

e−iωtdt =1√2π

1− e−iωa

iω.

Ca si ın exemplul precedent, numaratorul fiind marginit, lim|ω|→∞ g(ω) = 0.

Observam aici ca, desi g(t) este functie reala, g(ω) este functie complexa.


2.3 Proprietati ale transformatei Fourier

1. Liniaritatea transformatei F este proprietatea prin care, pentruorice functii transformabile F. f si g si orice numere a si b,

F{af(t) + bg(t)} = aF{f(t)}+ bF{g(t)} (2.9)

Aplicatie. Utilizand cele doua exercitii anterioare calculam transformatafunctiei 3f(t)− 2g(t):

F{3f(t)− 2g(t)} = 3F{f(t)} − 2F{g(t)} =

√2

π

(3 sinωa

ω− 1− e−iωa

iω

).

2. Transformata Fourier a derivatei. Daca f(t) este derivabila,lim|t|→∞ f(t) = 0 si f ′(t) este absolut integrabila pe (−∞,∞), atunci

F{f ′(t)} = iωf(ω) (2.10)

Demonstratie.

F{f ′(t)} =1√2π

∫ ∞−∞

f ′(t)e−iωtdt =

=1√2π

[f(t)e−iωt|∞−∞ − (−iω)

∫ ∞−∞

f(t)e−iωtdt

]= iωF{f(t)} = iωf(ω).

Observatie. Daca f ′(t) si f ′′(t) satisfac conditiile anterioare referitoarela f(t) si f ′(t), atunci

F{f ′′(t)} = −ω2f(ω) (2.11)

Demonstratia se face aplicand de doua ori proprietatea precedenta.Alte proprietati ale transformatei Fourier:

3. Scalarea lui t:

F{f(at)} =1

af(ωa

)unde a > 0.2

4. Translatia lui t:

F{f(t− a)} = e−iωaf(ω)

2Cand a < 0 : F{f(at)} = − 1a f(ωa ).

2.3. PROPRIETATI ALE TRANSFORMATEI FOURIER 33

5. Translatia lui ω:

F{eiλtf(t)} = f(ω − λ)

Demonstratia proprietatii 3.

F{f(at)} =1√2π

∫ ∞−∞

f(at)e−iωtdt =

prin schimbarea de variabila t = ua

=1√2π

∫ ∞−∞

f(u)e−iωuadu

a=

1

a√

2π

∫ ∞−∞

f(u)e−iωaudu =

1

af(ωa

).

Exercitii: demonstrati 4 si 5.

Functia delta δ(t) a lui Dirac si transformata sa Fourier.Numita impropriu functie, δ(t) este o operatie ce capata sens doar atunci

cand apare ın integrandul unei integrale definite. Relatiile∫ ∞−∞

δ(t− a)f(t)dt =

∫ ∞−∞

δ(a− t)f(t)dt = f(a) (2.12)

unde a este orice numar real, sunt definitorii pentru δ(t). Pe baza lor deter-minam

F{δ(t− a)} =1√2π

∫ ∞−∞

δ(t− a)e−iωtdt =1√2πe−iωa. (2.13)


f(t) = δ(t− a)e−b2t2 .

Solutie. Conform (2.13)

F{δ(t− a)e−b2t2} =

1√2π

∫ ∞−∞

δ(t− a)e−b2t2e−iωtdt =

1√2πe−(a

2b2+iωa).


2.4 Produsul de convolutie

Ca si ın cazul transformatei Laplace si ın cel al transformatei Fourier sedefineste o operatie ıntre doua functii transformabile F. - operatie numitaprodus de convolutie3 si notata ∗.

Definitia ei este urmatoarea

(f ∗ g)(t) =

∫ ∞−∞

f(u)g(t− u)du =

∫ ∞−∞

f(t− u)g(u)du. (2.14)

Legatura stransa pe care aceasta operatie o are cu transformata F. apare ın

Teorema convolutiei. Daca functiile f(t) si g(t) sunt transformabileF., corespunzandu-le functiile f(ω) si respectiv g(ω), atunci

F{(f ∗ g)(t)} =√

2πF{(f)(t)}F{(g)(t)} =√

2πf(ω)g(ω) (2.15)

si reciproc

(f ∗ g)(t) =

∫ ∞−∞

f(ω)g(ω)eiωtdω. (2.16)

Exemplul 2.6. Pentru a calcula transformata F. inversa

F−1{

2 sin2 ω

πω2

}putem folosi un rezultat obtinut ın exemplul 2.3 din §2.2 (aici pentru a=1)

f(t) = F−1{√

2

π

sinω

ω

}=

{1 daca |t| < 10 daca |t| > 1.

Conform (2.15) functia cautata va fi 1√2π

(f ∗ f)(t).Pentru a determina produsul de convolutie f ∗ f ne vom folosi de o

functie larg utilizata si numita functia lui Heaviside sau treapta uni-tate. Definitia sa este

u(t− a) =

{0 daca t < a1 daca t > a

(2.17)

3Ea difera de operatia cu acelasi nume din cazul transformatei Laplace.

2.4. PRODUSUL DE CONVOLUTIE 35

Cu ajutorul ei f(u) = u(1− |u|) si f(t− u) = u(1− |t− u|), iar

f(u)f(t− u) =

{1 daca −1 < u < t+ 10 ın rest

cand −2 < t < 0 si

f(u)f(t− u) =

{1 daca t− 1 < u < 10 ın rest.

cand 0 < t < 2.Convolutia va fi obtinuta sub forma

(f ∗ f)(t) =

{ ∫ t+1

−1 du = 2 + t, daca −2 < t < 0∫ 1

t−1 du = 2− t, daca 0 < t < 2,

iar ın rest (f ∗ f)(t) = 0.Sau altfel

(f ∗ f)(t) =

{2− |t|, daca |t| < 2

0 daca |t| > 2.

In final

F−1{

2 sin2 ω

πω2

}=

{2−|t|√

2π, daca |t| < 2

0 daca |t| > 2.

Demonstratia teoremei convolutiei.

F(f ∗ g) =1√2π

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞

f(u)g(t− u)du

]e−iωtdt.

Prin schimbarea ordinii de integrare

F(f ∗ g) =1√2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(u)g(t− u)e−iωtdtdu.

Luand ca noua variabila de integrare pe t − u = v ın locul lui t rezultat = u+ v si

F(f ∗ g) =1√2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(u)g(v)e−iω(u+v)dvdu.


Aceasta ultima integrala se descompune ın produsul

1√2π

∫ ∞−∞

f(u)e−iωudu

∫ ∞−∞

g(v)e−iωvdv

care se mai poate scrie sub formele

1√2π

[√

2πF(f)][√

2πF(g)] =√

2πF(f)F(g).

Relatia (2.16) se obtine din (2.15) prin aplicarea transformarii Fourierinverse F−1.

Relatia lui Parseval pentru transformata Fourier∫ ∞−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞−∞|f(ω)|2dω (2.18)

se poate obtine facand t = 0 ın relatia (2.16). Membrul stang al acestei relatiidevine astfel

∫∞−∞ f(u)g(−u)du. Inlocuim apoi g(−u) cu f(u) si observam

ca F{f(−t)} va fi conjugata complexa a functiei f(ω) (deoarece f(t) este ofunctie reala). Astfel integrandul din stanga devine f 2(t) = |f(t)|2, iar cel

din dreapta f(ω)f(ω) = |f(ω)|2.

Exemplul 2.7. Sa se determine solutia ecuatiei integrale

y(t) = f(t) +

∫ ∞−∞

y(u)g(t− u)du

unde f(t) si g(t) sunt functii transformabile F. cunoscute.Solutie. Transformam F. ecuatia care, ın virtutea teoremei convolutiei,

deviney(ω) = f(ω) +

√2πy(ω)g(ω).

Rezulta y(ω) = g(ω)

1−√2πg(ω)

. Din care, prin transformarea F. inversa,

y(t) = F−1{

f(ω)

1−√

2πg(ω)

}=

1√2π

∫ ∞−∞

f(ω)

1−√

2πg(ω)eiωtdω,

ın ipoteza ca aceasta ultima integrala exista.

2.5. TRANSFORMATE FOURIER PRIN COSINUS/ SINUS 37

2.5 Transformate Fourier prin cosinus/ sinus

Plecand de la descompunerea functiei exponentiale e−iωt = cosωt−i sinωttransformata F. a functiei f(t) se poate descompune, la randul sau astfel

F{f(t)} =1√2π

∫ ∞−∞

f(t) cosωtdt− i 1√2π

∫ ∞−∞

f(t) sinωtdt.

Daca f(t) este o functie para, atunci integrandul primului termen va fi siel functie para, pe cand integrandul celui de al doilea termen va fi functie im-para. Astfel ıncat transformata lui f(t) capata ın acest caz forma (explicati!):

F{f(t)} =

√2

π

∫ ∞0

f(t) cosωtdt.

In mod analog, cand f(t) este functie impara, integrandul primuluitermen va fi si el functie impara, iar integrandul celui de al doilea termen -functie para. Astfel

F{f(t)} = −i√

2

π

∫ ∞0

f(t) sinωtdt.

Definitii si notatii. Se numeste transformata Fourier prin cosinusa functiei f(t)4 functia

Fc{f(t)} =

√2

π

∫ ∞0

f(t) cosωtdt (2.19)

notata si fc(ω).Se numeste transformata Fourier prin sinus a functiei f(t) functia

Fs{f(t)} =

√2

π

∫ ∞0

f(t) sinωtdt (2.20)

notata si fs(ω).

4In cazul ambelor transformate, functia f(t) trebuie sa satisfaca aceleasi conditii ca siın cazul transformatei F. (vezi §2.1 si §2.2). Totodata functia f(t) poate fi definita doarın intervalul [0,∞), caz ın care conditiile impuse trebuie satisfacute pe acest interval.


Observatie. Daca f(t), (−∞ < t < ∞) este o functie transformabilaFourier (conf. §2.2) si daca

∀t : f(−t) = f(t) atunci F{f(t)} = Fc{f(t)},

iar daca

∀t : f(−t) = −f(t) atunci F{f(t)} = −iFs{f(t)}.

unde f(t) este functia f(t) restrictionata la intervalul [0,∞).

Exemplul 2.8. Sa se determine fc(ω) si fs(ω) daca

f(t) =

{1 daca 0 < t < a0 daca t > a

cu a > 0.Rezolvare.

fc(ω) =

√2

π

∫ a

0

cosωtdt =

√2

π(sin aω

ω)

fs(ω) =

√2

π

∫ a

0

sinωtdt =

√2

π(1− cos aω

ω).

Transformatele Fc si Fs se bucura de proprietati identice sau asemanatoarecu cele ale transformatei F. complexe F .

1) Liniaritatea

Fc{af(t) + bg(t)} = aFc{f(t)}+ bFc{g(t)}. (2.21)

Fs{af(t) + bg(t)} = aFs{f(t)}+ bFs{g(t)}. (2.22)

2)Transformatele derivatelor

Proprietate. Daca f(t) este continua si absolut integrabila pe R, f ′(t)exista si este continua pe portiuni, iar limt→∞ f(t) = 0, atunci

Fc{f ′(t)} = ωFs{f(t)} −√

2

πf(0), (2.23)


Fs{f ′(t)} = −ωFc{f(t)}. (2.24)

Demonstratie (2.23).

Fc{f ′(t)} =

√2

π

∫ ∞0

f ′(t) cosωtdt =

=

√2

π

[(t) cosωt|∞t=0 + ω

∫ ∞0

f(t) sinωtdt

]=

= −√

2

πf(0) + ωFs{f(t)}.

Demonstratie (2.24). Exercitiu!

Daca exista f ′(t) si f ′′(t) satisfacand conditiile pe care le satisfac f(t)si f ′(t) din proprietatea anterioara, atunci aplicandu-le aceasta proprietateobtinem formulele

Fc{f ′′(t)} = ωFs{f ′(t)} −√

2

πf ′(0) = −ω2Fc{f(t)} −

√2

πf ′(0), (2.25)

Fs{f ′′(t)} = −ω2Fs{f(t)}+

√2

πωf(0). (2.26)

Exemplul 2.9. Determinati Fc{f(t)} unde f(t) = e−at, t ∈ R, a > 0.

Solutie. Intrucat f(t) verifica

f ′′(t) = a2f(t) (exercitiu!)

prin aplicarea lui Fc obtinem conf.(2.25)

a2Fc(f) = Fc(f ′′) = −ω2Fc(f)−√

2

πf ′(0) = −ω2Fc(f) + a

√2

π.

Ceea ce conduce la

(a2 + ω2)Fc(f) = a

√2

π

de unde

Fc(e−at) =

√2

π

(a

a2 + ω2

).


Inversele transformatelor Fc si Fs se noteaza F−1c si respectiv F−1s .Ele se definesc, ca si ın cazul celor directe, plecand de la transformata F.

complexa, aici F−1, descompunand-o:

F−1{f(ω)} =1√2π

∫ ∞−∞

f(ω) cosωtdω + i1√2π

∫ ∞−∞

f(ω) sinωtdω

Analizand, pe rand, cazul f(ω) functie para, respectiv impara, ajungemla fel ca si ın cazul direct, la egalitatile corespunzatoare:

F−1c {f(ω)} =

√2

π

∫ ∞0

f(ω) cosωtdω (2.27)

F−1s {f(ω)} =

√2

π

∫ ∞0

f(ω) sinωtdω. (2.28)

Exemplul 2.10. Sa se determine F−1c { 11+ω2} =

√2π

∫∞0

cosωt1+ω2 dω.

Solutie. Intrucat f(ω) = 11+ω2 este o functie para, putem extinde inter-

valul de integrare la ıntreaga axa reala, ınjumatatind totodata integrala

F−1c{

1

1 + ω2

}=

1√2π

∫ ∞−∞

cosωt

1 + ω2dω.

Noua integrala se poate calcula utilizand metoda reziduurilor din analizacomplexa (vezi capitolul corespunzator) si se obtine expresia πe−|t|. Revenindla integrala initiala, unde t > 0, obtinem

F−1c{

1

1 + ω2

}=

√π

2e−t.

Exemplul 2.11. Sa se determine F−1s {e−aω} (discutie dupa a ∈ R).

Solutie. Intrucat integrandul transformatei

F−1s {e−aω} =

√2

π

∫ ∞0

e−aω sinωtdω


are o primitiva de tip elementar, anume

−e−aω(t cos tω + a sin tω)

a2 + t2,

calculul se reduce la aplicarea formulei Leibniz - Newton. Singura problemaramane stabilirea conditiei de existenta a limitei

limω→∞

e−aω(t cos tω + a sin tω)

a2 + t2.

Aceasta conditie este ca exponentiala e−aω sa fie descrescatoare, adicaa > 0. Caz ın care

F−1s {e−aω} =

√2

π

t

a2 + t2.

Exemplul 2.12. Ecuatia cu derivate partiale ce guverneaza fenomenulpropagarii caldurii ıntr-o bara de sectiune neglijabila este5

∂u

∂t=∂2u

∂x2(2.29)

u(x, t) reprezentand temperatura barei ın punctul de abscisa x si la momentult. Presupunand ca la momentul initial t = 0 punctele barei - ce reprezintasemiaxa Ox pozitiva - se gasesc la temperatura zero

u(x, 0) = 0, 0 < x <∞ (2.30)

si ca ın capatul din stanga al barei, x = 0, este mentinuta o temperaturaconstanta

u(0, t) = u0, t ≥ 0 (2.31)

sa se determine distributia de temperatura ın bara la orice moment t ≥ 0.6

Vom utiliza ca metoda de lucru transformarile Fourier Fs si F−1s .Pentru ınceput transformam (2.29) prin Fs considerand pe x ca variabila

si pe t ca parametru ın u(x, t). Conform formulei (2.26) si conditiei (2.31),rezulta (2.29)

5Ecuatia are ın general forma ∂u∂t = a2 ∂

2u∂x2 , dar alegand a = 1 nu se pierde nimic din

esenta metodei pe care o vom urmari.6Aceeasi ecuatie descrie si fenomenul de difuzie a unui fluid ın alt fluid presupus a

ocupa un tub subtire de sectiune neglijabila si lungime mare (teoretic infinita). u(x, t) vareprezenta, ın acest caz, concentratia ın punctul x la momentul t.


Fs{∂2u

∂x2

}= −ω2us(ω, t) +

√2

πu0ω

unde am notat Fs{u(x, t)} cu us(ω, t).Totodata Fs{∂u∂t } = ∂

∂tus(ω, t), presupunand ca cei doi operatori Fs si ∂

∂t

comuta. Ceea ce conduce la

∂

∂tus(ω, t) + ω2us(ω, t) =

√2

πu0ω

adica la o ecuatie diferentiala liniara de ordinul I cu coeficienti constanti, ınfunctia necunoscuta us si variabila t. Solutia ei generala este7

us(ω, t) =

√2

π

u0ω

+ C(ω)e−ω2t,

unde C(ω) este constanta - ın raport cu variabila t a ecuatiei diferentiale- constanta de care depinde solutia generala. Inainte de a o determina, neıntoarcem, prin transformata F−1s , ın spatiul (x, t):

u(x, t) = F−1s {us(ω, t)} =

√2

π

∫ ∞0

[√2

π

u0ω

+ C(ω)e−ω2t

]sinωxdω.

Impunand conditia (2.30) - pe care u(x, t) trebuie sa o satisfaca - gasim

u(x, 0) =

√2

π

∫ ∞0

[√2

π

u0ω

+ C(ω)

]sinωxdω = 0, pentru orice x ∈ (0,∞).

Ceea ce conduce la C(ω) = −√

2πu0ω

.

In final solutia problemei (2.29) - (2.31) va fi

u(x, t) =2u0π

∫ ∞0

1− e−ω2t

ωsinωxdω.

7A se vedea capitolul ”Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti” din materiasemestrului I.


2.6 Utilizarea softului M ın calcul

La fel ca ın §1.11 vom trece si aici ın revista principalele comenzi aleacestui soft, acum legate de transformatele Fourier anterior prezentate si levom exemplifica.8

Transformata F. complexa, pe care am notat-o F , aplicata unei functiif(t) este calculata ın M prin comanda

InverseFourierTransform[f[t],t,ω]9

Exemplul 2.3 reluat. Reamintim codificarea ın M a unei functii definitepe ramuri, cum este

f(t) =

{1 daca |t| < a0 daca |t| > a

anume

f[t ]:= Which[Abs[t] < a, 1, Abs[t] > a, 0]

Prin comanda

InverseFourierTransform[f[t],t,ω]

vom obtine urmatorul rezultat

−

√2π

sin[aω](−1 + UnitStep[−a])

ω

Functia UnitStep este codificarea ın M a functiei lui Heaviside sautreapta unitate (vezi exemplul 2.6), acest rezultat mai complicat datorandu-se faptului ca am introdus ın definitia lui f parametrul a fara a-i precizasemnul. Pentru eliminarea aceastei imprecizii includem comanda de mai susıntr-o comanda care face specificatia necesara

Assuming[a > 0, InverseFourierTransform[f[t],t,ω]]

8Si ın acest paragraf ne referim la versiunea 7 a acestui soft.9Notatia variabilei functiei f si a functiei transformate f sunt la alegerea operatorului.


Primim acum exact rezultatul din exemplul 2.3√2π

sin[aω]

ω.

Exemplul 2.4 reluat.Aici vom utiliza si o alta M-instructiune prin care sa exprimam functiile

definite pe ramuri (ındeosebi cele cu doua ramuri), anume

g(t) =

{1 daca 0 < t < a0 altfel.

Aceasta este

g[t ]:=If [0 < t < a, 1, 0]

Tinand cont de cele anterior discutate, folosim si conditionala Assumingconstruind instructiunea

Assuming[a > 0,InverseFourierTransform[g[t],t,ω]]

si obtinem−i+ i cos[aω] + sin[aω]√

2πω,

adica un rezultat aparent diferit de cel obtinut ın exemplul corespunzator demai sus. Aplicand o noua M-comanda:

−i+ i cos[aω] + sin[aω]√2πω

//TrigToExp

obtinem transformarea acestei expresii prin ınlocuirea functiilor trigonome-trice cu cele exponentiale complexe, respectiv

cos[aω] =eiaω + e−iaω

2, sin[aω] =

eiaω − e−iaω

2i: rezultand− i√

2πω+ie−iaω√

2πω,

adica cel din §2.2.Exemplul 2.6 reluat. Transformata F. inversa F−1 a unei functii f[ω]

se obtine prin M-comanda:

FourierTransform[f[ω],ω,t].


Astfel pentru functia f[ω] = 2 sin2 ωπω2 prin comanda mentionata obtinem

(−2 + t)Sign[−2 + t] + t Sign[−2 + t]− 2t Sign[t] + 2 Sign[2 + t] + t Sign[2 + t]

2√

2π

Pentru a o explicita folosim tot conditionala Assuming precizand cateunul din intervalele [−∞,−2], [−2, 0], [0, 2], [2,∞] de pe axa t.Spre exemplu, alegand intervalul [−2, 0]:

Assuming[−2 < t < 0, FourierTransform[f[ω],ω,t]]

produce rezultatul 2+t√2π

, adica expresia functiei obtinute ın exemplul 2.6 pen-tru acest interval.

Transformatele Fourier prin cosinus, respectiv prin sinus, precum si in-versele lor, se obtin in mod similar prin comenzile:

FourierCosTransform pentru Fc

FourierSinTransform pentru Fs

InverseFourierCosTransform pentru F−1c

InverseFourierSinTransform pentru F−1s .

Exemplul 2.8 reluat. Pentru functia f(t) depinzand de parametrul reala > 0 si codificata ın M prin instructiunea

f [t ] := If[0 < t < a, 1, 0]

transformata Fc{f(t)} prin comanda

FourierCosTransform[f[t],t,ω]

produce urmatorul rezultat

−√

2πSin[aω](−1+UnitStep[−a])

ω.

Utilizand conditionala pentru a > 0


Assuming[a > 0, FourierCosTransform[f[t],t,ω]]

obtinem rezultatul asteptat √2πSin[aω]

ω.

Exemplul 2.11 reluat.Comanda

InverseFourierSinTransform[e−aω, ω, t]

produce rezultatul √2/π t/(a2 + t2).

identic cu cel din §2.5.

2.7. EXERCITII 47

2.7 Exercitii

I) Determinati reprezentarea integrala (2.2) pentru urmatoarele functii:

1)

f(t) =

{π/2 daca 0 ≤ t < 1

0 daca ın rest

si duceti din ea formula

∫ ∞0

sinω

ωcosωtdω =

π/2 daca 0 ≤ t < 1π/4 daca t = 10 daca t > 1

2)

f(t) =

{πt daca 0 < t < 10 daca t > 1

si duceti din ea formula

∫ ∞0

sinω − ω cosω

ω2sinωtdω =

πt/2 daca 0 < t < 1π/4 daca t = 10 daca t > 1

II) Determinati, prin integrare directa, transformata Fourier (complexa)F{f(t)} pentru fiecare din urmatoarele functii:

1)

f(t) =

{e2t daca t < 0

0 daca t > 0

2)

f(t) =

{1 daca 0 < t < a0 ın rest

3)

f(t) =

{e2it daca |t| < 1

0 daca |t| > 1


4)

f(t) =

{t daca |t| < 10 daca |t| > 1

5)

f(t) = e−a|t|, −∞ < t <∞, a > 0

III) Cunoscand ca F−1{

1√2π(a+iω)

}= e−atu(t), calculati F−1

{1

2π(a+iω)2

}.

Indicatie. Utilizati exemplul 2.6.

IV) Determinati transformata Fourier prin cosinus Fc{f(t)} pentru fiecaredin urmatoarele functii:

1)

f(t) =

−1 daca 0 < t < 1

1 daca 1 < t < 20 daca t > 2

2)

f(t) =

{t daca 0 < t < 10 daca t > 1

3)

f(t) =

{t2 daca 0 < t < 10 daca t > 1

4)

f(t) =

{cos t daca 0 < t < π

0 daca t > π

V) Stiind ca F{e−t2} = 1√2e−w

2/4, determinati Fc{e−t2}.

Indicatie. Utilizati observatia din §2.5.

2.7. EXERCITII 49

VI) Determinati transformata Fourier prin sinus Fs{f(t)} pentru fiecaredin urmatoarele functii:

1)f(t) = e−πt

2)

f(t) =

{sin t daca 0 < t < π

0 daca t > π

3)

f(t) =

{1 daca 0 < t < 1

2− t daca 1 < t < 2

4)

f(t) =

{1− t2 daca 0 ≤ t < 1

0 daca t > 1

VII) Determinati transformatele Fourier inverse urmatoare:

1)

F−1c{

sinω

ω

}2)

F−1s{

sinω − ω cosω

ω2

}Indicatie. Utilizati exercitiul I.VIII) Verificati rezultatele urmatoarelor convolutii:1)

e−tu(t) ∗ e−tu(t) = te−tu(t)

2)e−tu(t) ∗ e−tu(−t) = (1/2)e−|t|

3)e−tu(t) ∗ e−2tu(t) = (e−t − e−2t)u(t)

unde u(t) este functia Heaviside (conf.§2.4).


IX) Verificati egalitatile:1)

F{eiω0t} =√

2πδ(ω − ω0)

2)F−1{eiω0t} =

√2πδ(ω + ω0)

3)

F{cosω0t} =

√π

2[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)]

4)

F{sinω0t} = i

√π

2[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]

unde δ(ω) este functia Dirac (conf. §2.3).

an.fourier i.pdf

Documents