analiz a matematic a - usab-tm.ro codruta... · 1 serii numerice 1.1 de nit˘ii. exemple de...

Analiza matematica

Chis Codruta

Cuprins

1 Serii numerice 5

1.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi . . . 8

1.3 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni oarecare . . . 16

1.4 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Serii de puteri 23

2.1 Suma unei serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Operatii cu serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Derivarea seriilor de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Integrarea seriilor de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


3 Formula lui Taylor 35

3.1 Serii Taylor pentru functii de doua variabile . . . . . . . . . 38


4 Notiuni de topologie ın Rn 41

5 Functii de mai multe variabile 45

5.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


6 Limite. Continuitate 49

6.1 Limita unei functii ıntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2 Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


3

4 CUPRINS

7 Derivate partiale 55

7.1 Derivate partiale de ordinul ıntai . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2 Derivate partiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3 Gradient. Diferentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3.1 Diferentierea functiilor compuse . . . . . . . . . . . . 62

7.4 Hessiana unei functii ıntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . 64


8 Extreme locale ale functiilor de mai multe variabile 67

8.1 Extreme neconditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.2 Extreme conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


9 Elemente de calcul integral 77

9.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.1.1 Primitive reductibile la primitivele functiilor rationale 79

9.2 Functii integrabile. Integrala definita . . . . . . . . . . . . . 80

9.3 Aplicatii ale integralelor definite . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.3.1 Aria subgraficului unei functii continue si pozitive . . 83

9.3.2 Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivata

continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.3.3 Volumul unui corp de rotatie . . . . . . . . . . . . . . 84

9.3.4 Aria suprafetelor de rotatie . . . . . . . . . . . . . . 84

9.3.5 Centre de greutate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10 Ecuatii diferentiale 87

10.1 Introducere ın teoria ecuatiilor diferentiale . . . . . . . . . . 87

10.2 Ecuatii diferentiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.2.1 Ecuatii cu variabile separabile . . . . . . . . . . . . . 89

10.2.2 Ecuatii diferentiale omogene . . . . . . . . . . . . . . 92

10.2.3 Ecuatii diferentiale liniare de ordinul I . . . . . . . . 93

10.2.4 Ecuatii diferentiale de tip Bernoulli . . . . . . . . . . 95

10.3 Modele matematice ale cresterii populatiei . . . . . . . . . . 97

10.3.1 Modelul lui Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.3.2 Modelul lui Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1

Serii numerice

1.1 Definitii. Exemple

Definitie. Fie (an)n≥1 un sir de numere reale si sn =∑ni=1 ai, n ≥ 1. Cu-

plul ((an)n≥1, (sn)n≥1) se numeste serie numerica si se noteaza∑n≥1 an sau∑

n an sau∑∞n=1 an.

• Elementul an se numeste termen general al seriei, elementele sirului (an)n≥1

se numesc termenii seriei;

• elementele sirului (sn)n≥1 se numesc sumele partiale ale seriei, iar elemen-

tul sn se numeste suma partiala de rang n.

Definitie. O serie de numere reale∑n≥1 an se numeste convergenta daca

sirul (sn)n≥1 al sumelor partiale este convergent; daca sirul sumelor partiale

are limita, aceasta limita se numeste suma seriei, si scriem

limn−→∞

sn = s =⇒∑n≥1

an = s.

In particular,

limn−→∞

sn =∞ =⇒∑n≥1

an =∞,

limn−→∞

sn = −∞ =⇒∑n≥1

an = −∞.

Daca sirul sumelor partiale nu are limita, atunci seria se numeste oscilanta.

Daca o serie este oscilanta sau are suma ±∞, ea se numeste divergenta.

Exemplu. Daca r ∈ R este un numar real, seria∑∞n=0 r

n se numeste seria

geometrica de ratie r.

5

6 1. SERII NUMERICE

Fie r = 1. Atunci suma partiala de ordin n a seriei geometrice este

sn = 1 + 1 + . . .+ 1︸︷︷︸n+1

= n+ 1.

Deoarece limn−→∞(n+ 1) =∞, seria∑∞n=0 1n este diveregenta.

Pentru r 6= 1, suma partiala de ordin n a seriei geometrice este

sn =1− rn+1

1− r.

Propozitie. Fie∑∞n=0 r

n o serie geometrica.

(i) Daca |r| < 1, atunci seria geometrica este convergenta , cu suma

1

1− r.

(ii) Daca |r| ≥ 1, atunci seria geometrica este divergenta.

Demonstratie. (i) Daca |r| < 1, atunci limn−→∞ rn+1 = 0, astfel ca

limn−→∞ sn = 11−r , deci seria este convergenta, cu suma 1

1−r .

(ii) Daca |r| > 1, atunci limn−→∞ |r|n+1 =∞, deci suma este divergenta.

Daca r = 1, am vazut mai sus ca seria geometrica diverge.

Daca r = −1, atunci sirul sumelor partiale alterneaza ıntre valorile 0 s1,

deci si aceasta serie este divergenta.

Exemplu. 1− 23

+ (23)2 − · · · = ∑∞

n=1(−23)n = 1

1−(− 23

)= 3

5.

Observatie. Uneori, asa cum am vazut si ın exemplele de mai sus, primul

termen al unei serii nu este neaparat a1.∑∞n=1(1

2)n si

∑∞n=2

1lnn

sunt exemple

de asemenea serii. In al doilea caz, trebuie sa ıncepem cu n = 2, deoarece1

ln 1nu este definit.

Exemplu. Putem scrie numarul 13

ca

1

3= 0, 33333 . . . =

3

10+

3

100+

3

1000+ . . .+

3

10n+ . . . .

Aceasta expresie este o serie, avand termenul general an = 310n

. Putem

demonstra ca aceasta serie este convergenta:

3

10+

3

100+

3

1000+ . . .+

3

10n+ . . . =

3

10(1 +

1

10+

1

100+ . . .+

1

10n+ . . .) =

=3

10

∞∑k=0

(1

10)k =

3

10· 1

1− 110

=3

10· 10

9=

3

9=

1

3.

1.1. DEFINITII. EXEMPLE 7

De altfel, orice numar subunitar x poate fi gandit ca suma unei serii con-

vergente, deoarece daca x = 0, a1a2a3 . . . an . . ., atunci

x =a1

10+

a2

100+

a3

1000+ . . .+

an10n

+ . . . =∞∑n=1

an10n

.

O conditie necesara de convergenta a unei serii numerice este urmatoarea:

Propozitie. Fie∑n≥1 an o serie convergenta de numere reale. Atunci sirul

(an)n≥1 este convergent la 0.

Demonstratie. Fie s =∑∞k=1 ak. Pentru doua sume partiale consecutive

avem atunci

sn =n∑k=1

= (a1 + a2 + . . .+ an−1) + an = sn−1 + an,

deci

an = sn − sn−1.

Atunci

limn−→∞

an = limn−→∞

(sn − sn−1) = limn−→∞

sn − limn−→∞

sn−1 = s− s = 0.

Rezulta atunci urmatoarea conditie suficienta de divergenta:

Corolar. Fie∑n≥1 an o serie de numere reale. Daca sirul (an)n≥1 nu are

limita sau are limita nenula, atunci seria data este divergenta.

Observatie. Daca∑n≥1 an este o serie pentru care limn−→∞ an = 0, nu

rezulta neaparat ca seria data este convergenta.

Contraexemplu. Seria armonica∑n≥1

1n

este divergenta, cu suma∑n≥1

1n

=

∞, ın ciuda faptului ca limn→∞1n

= 0:

Sa presupunem ca seria data ar fi convergenta cu suma∑n≥1

1n

= s. Fie

sn = 1 +1

2+ · · ·+ 1

n.

Rezulta deci ca limn→∞ sn = s. Dar

s2n − sn =1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n>

1

2n+

1

2n+ · · ·+ 1

2n︸︷︷︸n

= n · 1

2n=

1

2

si obtinem ca

s2n >1

2+ sn , (∀)n ≥ 1.

8 1. SERII NUMERICE

Trecand la limita ın ultima relatie, obtinem:

s ≥ 1

2+ s,

ceea ce este absurd. Prin urmare presupunerea facuta nu poate fi adevarata,

deci seria armonica este divergenta.

O proprietate importanta a seriilor convergente este urmatoarea:

Propozitie. Fie∑n≥1 an si

∑n≥1 bn doua serii convergente cu sumele s,

respectiv t, si fie α, β ∈ R. Atunci seria∑n≥1(αan + βbn) este convergenta

si are suma αs+ βt.

Demonstratie. Fie sn, respectiv tn, sumele partiala de rang n ale celor

doua serii. Atunci suma partiala de rang n a seriei∑n≥1(αan + βbn) este

αsn + βtn, si avem

limn−→∞

(αsn + βtn) = α limn−→∞

sn + β limn−→∞

tn = αs+ βt.

Corolar. Presupunem ca seria∑n≥1(αan + βbn) este convergenta pentru

anumite constante α, β ∈ R∗. Atunci∑n≥1 an este convergenta daca si nu-

mai daca∑n≥1 bn este convergenta.

Observatie. Din convergenta seriei∑n≥1(αan + βbn) nu rezulta ınsa

convergenta seriilor∑n≥1 an si

∑n≥1 bn.

Contraexemplu. Seria∑n≥1((−1)n + (−1)n+1) este convergenta, ın timp

ce seriile∑n≥1(−1)n si

∑n≥1(−1)n+1 sunt divergente.

1.2 Criterii de convergenta pentru serii cu

termeni pozitivi

Definitie. Spunem ca seria∑n≥1 an este cu termeni pozitivi daca orice

termen al sa este pozitiv: an > 0, (∀)n ≥ 1.

Propozitie. Sirul sumelor partiale ale unei serii cu termeni pozitivi este

strict crescator.

Demonstratie. Fie (sn)n≥1 sirul sumelor partiale ale unei serii cu termeni

pozitivi∑n≥1 an. Atunci

sn+1 − sn = an+1 =⇒ sn+1 > sn,∀n ≥ 1,

1.2. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI9

deci sirul (sn) este crescator.

Corolar. O serie cu termeni pozitivi are ıntotdeauna suma(finita sau nu).

Cateva criterii pentru studiul seriilor cu termeni pozitivi sunt:

C1) Seria∑n≥1 an cu termeni pozitivi este convergenta daca si numai daca

sirul (sn)n≥1 al sumelor partiale este marginit.

Demonstratie. Sirul (sn) al sumelor partiale este monoton, astfel ca el

este convergent daca si numai daca este marginit. Proprietatea enuntata

rezulta atunci imediat.

C2) Primul criteriu al comparatiei.

Fie∑n≥1 an,

∑n≥1 bn doua serii de numere reale nenegative, astfel ıncat

(∃)n0 ∈ N : an ≤ bn, (∀)n ≥ n0.

Atunci au loc proprietatile:

(a)∑n≥1 bn convergenta =⇒ ∑

n≥1 an convergenta.

(b)∑n≥1 an divergenta =⇒ ∑

n≥1 bn divergenta.

Demonstratie. Daca notam cu sn, respectiv tn, sumele partiale de rang n

ale seriilor∑n≥1 an si

∑n≥1 bn, atunci din inegalitatea din enunt rezulta ca

sn − sn0 ≤ tn − tn0 , (∀)n ≥ n0.

(a) Daca seria∑n≥1 bn este convergenta, atunci limn−→∞ tn < ∞, de unde

rezulta ca limn−→∞ sn = tn + sn0 − tn0 <∞, deci∑n≥1 an este convergenta.

(b) Daca seria∑n≥1 an este divergenta, atunci limn−→∞ sn = ∞, de unde

rezulta ca limn−→∞ tn = sn + tn0 − sn0 =∞, deci∑n≥1 bn este divergenta.

Exemplu. Sa studiem convergenta sau divergenta seriei∑∞n=1

1√n.

Deoarece 1√n≥ 1

n, (∀)n ≥ 1, si deoarece seria

∑∞n=1

1n

este divergenta,

rezulta ca∑∞n=1

1√n

este divergenta.

Exemplu. Vom studia natura seriei∑∞n=1

1n!

.

Daca n ≥ 4, atunci n! ≥ 2n, deci 1n!≤ 1

2n. Deoarece seria

∑∞n=1

12n

este o

serie geometrica, cu ratia 12< 1, ea este convergenta, de unde rezulta ca

10 1. SERII NUMERICE

seria∑∞n=1

1n!

este convergenta.

Observatie. Daca pentru un numar natural oarecare N , seria∑∞n=N+1 an

este convergenta, atunci seria∑∞n=1 an este convergenta. De asemenea,

daca seria∑∞n=N+1 an este divergenta, atunci seria

∑∞n=1 an este divergenta.

Adunarea unui numar finit de termeni la o serie nu afecteaza deci

convergenta sau divergenta seriei.

Definitie. Spunem ca doua serii de numere reale∑n≥1 an,

∑n≥1 bn au

aceeasi natura daca ambele sunt convergente sau ambele sunt divergente.

Notatie. Notam acest lucru prin∑n≥1 an ∼

∑n≥1 bn

C3) Al doilea criteriu al comparatiei.

Fie∑n≥1 an,

∑n≥1 bn doua serii de numere reale nenegative astfel ıncat

limn→∞

anbn

= l.

Atunci au loc urmatoarele:

(a) Daca 0 < l <∞, cele doua serii au aceeasi natura.

(b) Daca l = 0 si∑n≥1 bn este convergenta, atunci

∑n≥1 an este convergenta.

(c) Daca l =∞ si∑n≥1 bn este divergenta, atunci

∑n≥1 an este divergenta.

Demonstratie. (a) Deoarece limn→∞anbn

= l, exista un numar natu-

ral N , astfel ıncat anbn∈ (l − l

2, l + l

2), (∀)n ≥ N . Prin urmare au loc

l2bn ≤ an ≤ 3l

2bn, (∀)n ≥ N . Deoarece seria

∑n≥1 bn are evident aceeasi

natura ca si seriile∑n≥1

l2bn si

∑n≥1

3l2bn, pe baza primului criteriu de

comparatie rezulta afirmatia din enunt.

(b) Daca l = 0, atunci exista un numar natural N , cu proprietatea caanbn< 1, (∀)n ≥ N . Dar atunci an < bn, (∀)n ≥ N , de unde aplicand primul

criteriu de comparatie se obtine proprietatea enuntata.

(c) Daca l = ∞, atunci exista un numar natural N , cu proprietatea caanbn> 1, (∀)n ≥ N . Dar atunci an > bn, (∀)n ≥ N , de unde aplicand primul

criteriu de comparatie se obtine proprietatea enuntata.

Exemplu. Vom arata ca∑n≥1

nn2+1

este divergenta.

Fie an = nn2+1

, bn = 1n. Atunci limn→∞

anbn

= 1, deci seriile∑n≥1 an si∑

n≥1 bn au aceeasi natura . Dar∑n≥1

1n

este divergenta, deci si∑n≥1

nn2+1

este divergenta.


C4) Al treilea criteriu al comparatiei.

Fie∑n≥1 an,

∑n≥1 bn doua de numere reale nenegative, astfel ıncat :

(∃)n0 ∈ N :an+1

an≤ bn+1

bn, (∀)n ≥ n0.

Atunci au loc proprietatile:

(a)∑n≥1 bn convergenta =⇒ ∑

n≥1 an convergenta.

(b)∑n≥1 an divergenta =⇒ ∑

n≥1 bn divergenta.

Demonstratie. Inegalitatea

an+1

an≤ bn+1

bn, (∀)n ≥ n0

poate fi transcrisa ın forma

an+1

bn+1

≤ anbn, (∀)n ≥ n0,

de unde rezulta ca anbn≤ an0

bn0, (∀)n ≥ n0, adica

anan0

≤ bnbn0

, (∀)n ≥ n0.

Deoarece seriile∑n≥1 an si

∑n≥1

anan0

, respectiv∑n≥1 bn si

∑n≥1

bnbn0

au aceeasi

natura, din ultima inegalitate si primul criteriu de comparatie rezulta afirmatiile

din enunt.

C5) Criteriul condensarii.

Fie∑n≥1 an o serie de numere reale pozitive, ai carei termeni formeaza un

sir descrescator, convergent catre 0. Atunci seria∑n≥1 an are aceeasi natura

ca si seria∑n≥0 2na2n .

Demonstratie. Deoarece sirul sumelor partiale al seriei∑n≥1 an este

monoton, seria este convergenta daca si numai daca sirul sumelor partiale

este marginit, sau, ceea ce este echivalent(datorita monotoniei), daca si nu-

mai daca sirul sumelor partiale are un subsir marginit.

Deoarece sirul (an) este descrescator, avem inegalitatile

2ka2k ≥ s2k+1 − s2k ≥ 2ka2k+1 , (∀)k ∈ N.

Adunand inegalitatile acestea pentru k = 0, n− 1, obtinem atunci

n−1∑k=0

2ka2k ≥ s2n ≥1

2

n∑k=1

2ka2k , (∀)n ∈ N.


Din primul criteriu de comparatie deducem atunci ca seriile∑n≥1 an si∑

n≥0 2na2n au aceeasi natura.

Aplicatie(Seriile armonice generalizate).

Fie α > 0 un numar real pozitiv. Seria∑n≥1

1nα

se numeste seria armonica

generalizata de grad α. Termenii ei sunt pozitivi si descresc catre 0, astfel

ca putem folosi criteriul condensarii pentru a studia convergenta ei. Prin

urmare ∑n≥1

1

nα∼∑n≥0

2n1

(2n)α.

Studiem acum seria∑n≥0 2n 1

(2n)α. Avem

∑n≥0

2n1

(2n)α=∑n≥0

(2

2α

)n=∑n≥0

(1

2α−1

)n.

Aceasta este o serie geometrica, de ratie 12α−1 . Ea este convergenta daca si

numai daca ratia este subunitara. Aceasta conditie este ın cazul nostru

1

2α−1< 1⇐⇒ 2α−1 > 1⇐⇒ α− 1 > 0⇐⇒ α > 1.

Am obtinut deci urmatorul rezultat:

Seria armonica generalizata de grad α este

convergenta, daca α > 1

divergenta, daca α ≤ 1

C6) Criteriul radacinii(al lui Cauchy).

Fie∑n≥1 an o serie de numere reale pozitive si fie l = lim n

√an. Atunci:

(a) Daca l < 1, seria∑n≥1 an este convergenta.

(b) Daca l > 1, seria∑n≥1 an este divergenta.

(c) Daca l = 1, natura seriei∑n≥1 an poate fi oricare.

Demonstratie. (a) Daca l < 1, atunci exista n0 ∈ N cu proprietatea ca

n√an <

l+12, (∀)n ≥ n0. Dar atunci are loc

an <

(l + 1

2

)n, (∀)n ≥ n0.

Deoarece seria∑∞n=1( l+1

2)n este geometrica, cu ratia subunitara, ea este o

serie convergenta, si atunci din primul criteriu de comparatie rezulta ca seria∑∞n=1 an este convergenta.

(b) Daca l > 1, atunci pentru orice n0 ∈ N fixat putem gasi n ∈ N cu


n ≥ n0 astfel ıncat an > 1. Dar atunci nu putem avea limn−→∞ an = 0.

Prin urmare, conform criteriului necesar de convergenta, seria∑∞n=1 an nu

este convergenta.

(c) Daca l = 1, este suficient sa indicam doua serii cu aceasta proprietate,

dintre care una sa fie convergenta, iar cealalta sa fie divergenta. Consideram

seriile∑∞n=1

1n

si∑∞n=1

1n2 . Deoarece pentru orice functie polinomiala P cu

coeficientul dominant pozitiv are loc

limn−→∞

n

√P (n) = 1,

rezulta ca lim n

√1n

= lim n

√1n2 = 1, dar prima serie este divergenta, iar a doua

convergenta.

In foarte multe situatii este utila urmatoarea

C6’) Varianta practica a criteriului radacinii

Fie∑n≥1 an o serie de numere reale pozitive astfel ıncat exista limita l =

limn−→∞ n√an. Atunci:




Exemplu.∑n≥1

nα

2neste convergenta, ∀α ∈ R.

Intr-adevar,

n√an = n

√nα

2n−→ 1

2< 1 =⇒

=⇒∑n≥1

nα

2nconvergenta.

Exemplu.∑n≥2

1(lnn)n

este convergenta.

Observam ın primul rand ca seria ıncepe de la n = 2 deoarece 1(ln 1)1

nu este

definit.

n√an = n

√1

(lnn)n=

1

lnn−→ 0 < 1 =⇒

=⇒∑n≥2

1

(lnn)nconvergenta.

C7) Criteriul raportului(al lui d’Alembert).

Fie∑n≥1 an o serie de numere reale pozitive. Atunci:


(a) Daca liman+1

an< 1, seria

∑n≥1 an este convergenta.

(b) Daca (∃)n0 ∈ N, astfel ıncat an+1

an≥ 1, (∀)n ≥ n0 seria

∑n≥1 an este

divergenta.

(c) Daca liman+1

an= 1, natura seriei

∑n≥1 an poate fi oricare.

Demonstratie. (a) Daca liman+1

an< 1, atunci exista n0 ∈ N astfel ıncat

an+1

an< l+1

2, (∀)n ≥ n0. Dar atunci

an+1

an<l + 1

2=

( l+12

)n+1

( l+12

)n, (∀)n ≥ n0.

Deoarece seria∑∞n=1( l+1

2)n este convergenta, din al treilea criteriu de convergenta

rezulta ca seria∑n≥1 an este convergenta.

(b) Daca (∃)n0 ∈ N, astfel ıncat an+1

an≥ 1, (∀)n ≥ n0, atunci rezulta ca

an ≥ an0 , (∀)n ≥ n0. Dar atunci nu putem avea limn−→∞ an = 0. Prin

urmare, conform criteriului necesar de convergenta, seria∑∞n=1 an nu este

convergenta.

(c) Seriile∑∞n=1

1n

si∑∞n=1

1n2 au proprietatea ca liman+1

an= 1. Prima dintre

ele este divergenta, iar a doua este convergenta.

Ca ın cazul criteriului radacinii, si pentru criteriul raportului avem o

C7’) Varianta practica a criteriului raportului

Fie∑n≥1 an o serie de numere reale pozitive astfel ıncat exista limita l =

limn−→∞an+1

an. Atunci:




Exemplu. Aratam ca∑n≥1

n2n

este convergenta.

Cu notatia an = n2n

, avem

an+1

an=n+ 1

2n−→ 1

2< 1 =⇒

=⇒∑n≥1

n

2nconvergenta.

C8) Criteriul lui Kummer.

Fie∑n≥1 an o serie de numere reale pozitive.


(a) Daca exista un sir (tn) de numere pozitive, un numar r > 0 si n0 ∈ N

cu proprietatea ca

tnanan+1

− tn+1 ≥ r, (∀)n ≥ n0,

atunci seria∑n≥1 an este convergenta.

(b) Daca exista un sir (tn) de numere pozitive cu proprietatea ca seria∑∞n=1

1tn

este divergenta si un numar natural n0 ∈ N cu proprietatea ca

tnanan+1

− tn+1 ≤ 0, (∀)n ≥ n0,

atunci seria∑n≥1 an este divergenta.

Demonstratie. (a) Din inegalitatea tnanan+1− tn+1 ≥ r, deducem ca

ran+1 ≤ tnan − tn+1an+1, (∀)n ≥ n0,

de unde obtinem sirul de inegalitati

ran0+1 ≤ tn0an0 − tn0+1an0+1

ran0+2 ≤ tn0+1an0+1 − tn0+2an0+2

. . . . . . . . .

ran+1 ≤ tnan − tn+1an+1.

Adunand aceste inegalitati, obtinem ca

r(sn − sn0) ≤ tn0an0 − tn+1an+1 ≤ tn0an0 , (∀)n ≥ n0,

deci

sn ≤ sn0 +1

rtn0an0 , (∀)n ≥ n0,

adica sirul sumelor partiale este marginit, si cum el este si monoton crescator,

este convergent. Seria∑n≥1 an este deci convergenta.

(b) Inegalitatea tnanan+1

− tn+1 ≤ 0 este echivalenta cu anan+1

≤ tn+1

tnsau

tntn+1≤ an+1

an. Deoarece seria

∑∞n=1

1tn

este divergenta, din al treilea criteriu

de comparatie rezulta ca seria∑n≥1 an este divergenta.

C9) Criteriul lui Raabe si Duhamel.

Fie∑n≥1 an o serie de numere reale pozitive.

(a) Daca exista un numar ρ > 1 si un numar natural n0 ∈ N astfel ıncat

n

(anan+1

− 1

)≥ ρ, (∀)n ≥ n0,


atunci seria∑n≥1 an este convergenta.

(b) Daca exista un numar natural n0 ∈ N astfel ıncat

n

(anan+1

− 1

)≤ 1, (∀)n ≥ n0,

atunci seria∑n≥1 an este divergenta.

Demonstratie. Aplicam criteriul lui Kummer, considerand sirul tn = n.

Putem scrie

tnanan+1

− tn+1 = n

(anan+1

− 1

)− 1.

(a) Notand r = ρ− 1, avem r > 0 si este ındeplinita conditia

tnanan+1

− tn+1 ≥ r, (∀)n ≥ n0,

care conform criteriului lui Kummer ne asigura convergenta seriei date.

(b) Daca n(

anan+1− 1

)≤ 1, (∀)n ≥ n0, atunci

tnanan+1

− tn+1 ≤ 0, (∀)n ≥ n0,

si seria∑n≥1 an este divergenta.

Varianta practica a criteriului Raabe-Duhamel

Fie∑n≥1 an o serie de numere reale pozitive si sa presupunem ca exista

l = limn−→∞ n( anan+1− 1). Atunci:

(a) Daca l > 1, atunci seria∑n≥1 an este convergenta.

(b) Daca l < 1, atunci seria∑n≥1 an este divergenta.


1.3 Criterii de convergenta pentru serii cu

termeni oarecare

Definitie. O serie∑n≥1 an de numere reale se numeste serie absolut con-

vergenta daca are proprietatea ca seria∑n≥1 |an| este convergenta. O serie

convergenta∑n≥1 an cu proprietatea ca seria

∑n≥1 |an| este divergenta se

numeste serie semiconvergenta.

1.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE17

Definitie. Un sir (un)n≥1 se numeste sir fundamental(sau sir Cauchy) daca

este satisfacuta urmatoarea conditie:

(∀)ε > 0 =⇒ (∃)nε :| un+p − un |< ε, (∀)n ≥ nε, p ∈ N.

Se poate demonstra ca un sir de numere reale este convergent daca si numai

daca este fundamental. In cazul seriilor obtinem atunci urmatorul criteriu

de convergenta:

C1) Criteriul lui Cauchy.

Fie∑n≥1 an o serie de numere reale. Atunci

∑n≥1 an este convergenta daca

si numai daca

(∀)ε > 0 =⇒ (∃)nε ≥ 1 :

∣∣∣∣∣∣n+p∑

k=n+1

ak

∣∣∣∣∣∣ < ε, (∀)n ≥ nε, p ∈ N.

Corolar. Orice serie absolut convergenta este convergenta.

Corolar. Printr-o permutare a termenilor unei serii absolut convergente se

obtine tot o serie absolut convergenta, avand aceeasi suma.

C2) Criteriul lui Abel.

Daca seria de numere reale∑n≥1 an are sirul sumelor partiale (sn)n≥1 marginit,

iar (αn)n≥1 este un sir de numere pozitive descrescator la 0, atunci seria∑n≥1 αn · an este convergenta.

Definitie. O serie∑n≥1 an se numeste serie alternanta daca are loc relatia

an · an+1 < 0, (∀)n ≥ 1. O asemenea serie se scrie

u1 − u2 + u3 − u4 + . . .+ u2n−1 − u2n + . . . ,

unde un > 0, (∀)n ≥ 1 sau un < 0, (∀)n ≥ 1.

Pentru serii alternante are loc urmatorul criteriu de convergenta:

C3) Criteriul lui Leibniz.

Fie∑n≥1(−1)nan o serie alternanta de numere reale. Daca sirul (an)n≥1

este monoton convergent la zero, atunci seria este convergenta.


Exemplu. Seria∑n≥1(−1)n 1

neste convergenta, deoarece sirul ( 1

n)n≥1 de-

screste catre zero.

1.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE19

CRITERII DE CONVERGENTA

(Tabel recapitulativ)

Criterii Descriere Exemple si comentarii

Criteriul de Seria∑∞n=0 r

n este∑∞n=0

12n

este

convergenta • convergenta, cu suma convergenta, cu suma 2

pentru seriile 11−r daca |r| < 1

geometrice • divergenta daca |r| ≥ 1∑∞n=0 2n este divergenta

Criteriul Daca (an)n≥1 nu converge Daca an −→ 0 atunci

suficient la 0, atunci∑∞n=0 an

∑∞n=0 an poate fi

de divergenta este divergenta. convergenta(∑∞n=0

1n2 )

sau divergenta(∑∞n=0

1n)

Criteriul • Daca 0 ≤ an ≤ bn, (∀)n Nu este necesar ca

comparatiei (sau an+1

an≤ bn+1

bn, (∀)n) an ≤ bn(sau an+1

an≤ bn+1

bn,

si∑∞n=0 bn este convergenta, etc.) pentru toti n ∈ N,

atunci∑∞n=0 an ci doar pentru n ≥ N ,

este convergenta. unde N ∈ N este fixat

• Daca 0 ≤ bn ≤ an, (∀)n (convergenta sau

(sau an+1

an≥ bn+1

bn, (∀)n) divergenta unei serii

si∑∞n=0 bn este divergenta, nu este afectata

atunci∑∞n=0 an de valorile primilor

este divergenta. catorva termeni)

Criteriul de∑∞

n=01nα este Seriile armonice

convergenta divergenta daca α ≤ 1 generalizate se folosesc

pentru serii convergenta daca α > 1. pentru studiul naturii

armonice unor serii cu ajutorul

generalizate criteriilor de comparatie


Criteriul Daca an ≥ 0, bn ≥ 0 Acest criteriu se foloseste

comparatiei si exista l > 0 pentru a studia natura unei

cu limita astfel ıncat serii∑∞n=0 an si

limn−→∞anbn

= l, putem gasi o serie

atunci seriile∑∞n=0 bn, astfel ıncat∑∞

n=0 an,∑∞n=0 bn (a) cunoastem natura

sunt fie seriei∑∞n=0 bn

ambele convergente, (b) Limita limn−→∞anbn

este

fie ambele divergente usor calculabila

Criteriul Daca an > 0 si Daca l = 1, atunci

raportului limn→∞an+1

an= l, seria poate fi

(D’Alembert) atunci∑n≥1 an este convergenta(

∑∞n=1

1n2 )

• convergenta sau divergenta(∑∞n=1

1n).

daca l < 1 si

• divergenta

daca l > 1.

Criteriul Daca an > 0 si Daca l = 1, atunci

radacinii l = limn−→∞ n√an, seria poate fi

(Cauchy) atunci∑n≥1 an este convergenta(

∑∞n=1

1n2 )

• convergenta sau divergenta(∑∞n=1

1n).

daca l < 1 si * Criteriul radacinii

• divergenta se aplica cel mai

daca l > 1. frecvent atunci cand an

este de forma an = (. . .)n

(∑ 1

(lnn)n=∑

( 1lnn

)n)

Criteriu pentru Seria∑n≥1(−1)nan, Daca an 6−→ 0

serii alternante cu an ≥ 0, este seria este divergenta.

(Leibniz) convergenta daca Criteriul lui Leibniz

(i) limn−→∞ an = 0 si se aplica

(ii) (an)n≥1 este numai daca

descrescator termenii seriei sunt

cu semne alternante

Criteriul Daca∑n≥1 |an| Pentru studiul convergentei

convergentei converge, atunci seriei∑n≥1 |an|

absolute∑n≥1 an converge se pot folosi criteriile

absolut de convergenta

pentru serii cu

termeni pozitivi

1.4. PROBLEME PROPUSE 21

1.4 Probleme propuse

Calculati sumele urmatoarelor serii

1.∑n≥0

14n

2.∑n≥2

12n

3.∑n≥0

1005n

4.∑n≥2

1n(n+1)

5.∑n≥0

1(n+1)(n+2)

6.∑n≥2

2(n+3)

3n

7.∑n≥4

5(n−2)

6(n+1) 8.∑n≥0

5n

100

9.∑n≥3

1n(n−1)

10.∑n≥0

(1

2n+ 1

5n

)Studiati natura urmatoarelor serii

11.∑n≥1

2n

n2 12.∑n≥1

rn

nr′, r ∈ (0, 1)

13.∑n≥1

rn

nr′ , r ≥ 1 14.

∑n≥2

n!nn

15.∑n≥1

nn

(2n)!16.

∑n≥1

en

n5

17.∑n≥1

en

n!18.

∑n≥1

n23

10k

19.∑n≥2

n(lnn)n

20.∑n≥1

3n+nn!+2

21.∑n≥1

4n

n3 22.∑n≥1

√n lnnn3+1

23.∑n≥1

34n+5

nn24.

∑n≥1

n2n!(2n)!

25.∑n≥1

(2n)!n2n!

26.∑n≥1( n!

nn)n

27.∑n≥1(n

n

n!)n 28.

∑n≥2

en

(lnn)n

29.∑n≥1

(lnn)n

n2 30.∑n≥1( n

3n+2)n

Aflati care dintre urmatoarele serii sunt convergente, absolut convergente,


respectiv divergente

31.∑n≥1(−1)n 32.

∑n≥1

(−1)n+1

2n

33.∑n≥2

(−1)n

n lnn34.

∑n≥1

(−1)n

n32

35.∑n≥2

(−1)nnlnn

36.∑n≥1

(−1)n lnnn

37.∑n≥1

(−1)n+1

5n−438.

∑n≥1 sin

nπ2

39.∑n≥0 cos

nπ2

40.∑n≥1

(−3)n

n!

41.∑n≥1

n!(−3)n

42.∑n≥1

(−2)n

n2

43.∑n≥1

n2

(−2)n44.

∑n≥2

(−1)n+1√n(n+1)

45.∑n≥2

(−1)nn2

n3+146.

∑n≥1

cos(nπ6

)

n2

47.∑n≥1

sin(nπ7

)

n3 48.∑n≥1

(−1)n(n+2)n(n+1)

49.∑n≥2

(−1)nn(n+1)(n+2)3

50.∑n≥2

(−1)nn(n+1)(n+2)4

51.∑n≥1

(−1)n2n

n52.

∑n≥1

(−1)n+1

n!

53.∑n≥1

(−1)nnn

n!54.

∑n≥1

(−1)n√n

n+3

55.∑n≥2

(−1)n(n2+3)n3+4

2

Serii de puteri

Definitie. Fie a un numar real oarecare si (an)n∈N un sir de numere.

Numim serie de puteri(sau serie Taylor) centrata ın punctul a, cu coeficientii

an, seria∞∑n=0

an(x− a)n,

ın care numarul x ∈ R reprezinta o variabila.

Exemplu. Seriile urmatoare sunt cateva serii de puteri centrate ın 0:

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . .

1− x3

+ x2

5− . . .+ (−1)n xn

2n+1+ . . .

1 + x1!

+ x2

2!+ . . .+ xn

n!+ . . .

Definitie. Seriile de puteri centrate ın punctul 0 se mai numesc si serii

MacLaurin.

Definitie. (i) Spunem ca o serie de puteri converge ın punctul x daca seria∑∞n=0 an(x − a)n este convergenta. In caz contrar spunem ca seria diverge

ın x.

(ii) Spunem ca o serie de puteri converge pe o multime D daca ea converge

ın orice punct x ∈ D.

Exemplu. Vom ıncerca sa determinam punctele x ∈ R ın care converge

seria de puteri∞∑n=0

xn

3n= 1 +

x

3+x2

32+x3

33+ . . .

23

24 2. SERII DE PUTERI

Solutie. Al n-lea termen al seriei este an = xn

3n. Aplicam criteriul raportului

pentru a studia convergenta seriei

∞∑n=0

∣∣∣∣xn3n

∣∣∣∣ .Avem

limn−→∞

|an+1||an|

=∣∣∣∣x3∣∣∣∣ .

Deducem ca pentru x ∈ R cu |x| < 3, seria initiala este absolut convergenta,

iar daca |x| > 3, deoarece limn−→∞ |an| =∞ 6= 0, seria este divergenta. Sa

consideram acum separat cazul cand |x| = 3.

Pentru x = 3, seria initiala de puteri devine

∞∑n=0

xn

3n=∞∑n=0

3n

3n=∞∑n=0

1n,

care este evident divergenta.

Pentru x = −3,

∞∑n=0

xn

3n=∞∑n=0

(−3)n

3n=∞∑n=0

(−1)n,

care diverge de asemenea.

Problema centrala ın studiul seriilor de puteri este determinarea multimii

numerelor reale pentru care seria este convergenta.

Definitie. Multimea

K =

{x ∈ R

∣∣∣∣∣∞∑n=0

an(x− a)n -convergenta

},

se numeste multimea de convergenta a seriei.

Observatie. Oricare ar fi∑∞n=0 an(x − a)n o serie de puteri centrata ın

punctul a, are loc a ∈ K, deoarece pentru x = a, seria de puteri devine

a0 + 0 + 0 + . . .+ 0 + . . .

Prin urmare, K este o multime nevida.

Lema. (i) Daca o serie de puteri∑∞n=0 an(x − a)n converge ıntr-un punct

t ∈ R, atunci ea converge absolut ın orice punct x ∈ R cu |x− a| < |t− a|.

25

(ii) Daca o serie de puteri∑∞n=0 an(x − a)n diverge ıntr-un punct t ∈ R,

atunci ea diverge ın orice punct x ∈ R cu |x− a| > |t− a|.Demonstratie. (i) Din criteriul necesar de convergenta rezulta ca limn−→∞ an(t−a)n = 0. Prin urmare exista n0 ∈ N cu proprietatea ca |an(t − a)n| <1, (∀)n ≥ n0. Pentru n ≥ n0 avem atunci ca

|an(x− a)n| = |an(t− a)n| ·∣∣∣∣∣(x− a)n

(t− a)n

∣∣∣∣∣ = |an(t− a)n| ·∣∣∣∣x− at− a

∣∣∣∣n < ∣∣∣∣x− at− a

∣∣∣∣n .Deoarece seria geometrica

∑∞n=0

∣∣∣x−at−a

∣∣∣n de ratie subunitara este convergenta,

din primul criteriu al comparatiei si inegalitatea de mai sus rezulta ca seria∑∞n=0 an(x− a)n este absolut convergenta.

(ii) Daca seria∑∞n=0 an(x − a)n ar fi convergenta, atunci ar rezulta, con-

form punctului (i), ca seria∑∞n=0 an(t − a)n ar fi absolut convergenta, si

deci convergenta. Acest lucru ar contrazice ınsa ipoteza. Prin urmare, pre-

supunerea ca seria∑∞n=0 an(x − a)n ar fi convergenta nu poate fi corecta,

deci∑∞n=0 an(x− a)n este divergenta.

Teorema I a lui Abel. Pentru orice serie de puteri∑∞n=0 an(x−a)n exista

un numar R, cu 0 ≤ R ≤ ∞, astfel ıncat

a) Seria este absolut convergenta pe intervalul deschis (a−R, a+R).

b) Seria este divergenta pentru orice x cu |x− a| > R.

Demonstratie. Fie

R = sup

{|t− a| ∈ [0,∞)

∣∣∣∣∣∞∑n=0

an(t− a)n - convergenta

}.

Din lema de mai sus rezulta ca numarul R verifica toate afirmatiile din

enuntul teoremei.

Definitie. Numarul R din enuntul teoremei de mai sus se numeste raza de

convergenta a seriei de puteri, iar intervalul deschis I = (a − R, a + R) se

numeste intervalul de convergenta al seriei de puteri.

Observatie. Afirmatia teoremei I a lui Abel se poate sintetiza ın relatia

(∃)R ∈ [0,∞] : (a−R, a+R) ⊆ K ⊆ [a−R, a+R].

Observatie. In cazul cand R ∈ (0,∞), teorema lui Abel nu spune

nimic despre convergenta sau divergenta seriei de puteri ın capetele


a− R si a + R ale intervalului de convergenta. Convergenta seriei

de puteri ın aceste puncte se studiaza separat, folosind diverse

criterii de convergenta(cum ar fi criteriul necesar, criteriile de

comparatie, Raabe-Duhamel, Leibniz,. . . ).

Este utila si urmatoarea

Propozitie. Daca seria de puteri este absolut convergenta ıntr-unul dintre

capetele a − R sau a + R ale intervalului de convergenta, atunci ea este

absolut convergenta si ın celalalt capat.

Demonstratie. Avem ca

|an(a−R− a)n| = |an(−R)n| = |anRn| = |an(a+R− a)n|,

de unde rezulta ca afirmatia propozitiei este triviala.

Raza de convergenta a unei serii de puteri este data de

Teorema lui Cauchy si Hadamard. Fie∑∞n=0 an(x−a)n o serie de puteri

si R raza sa de convergenta. Daca notam

ω = lim n

√|an|, atunci R =

1

ω.

(Folosim aici conventiile uzuale 10

=∞, 1∞ = 0.)

Demonstratie. Fie x ∈ R un numar real oarecare. Atunci

lim n

√|an(x− a)n| = |x− a|lim n

√|an| = |x− a|ω.

(i) Daca |x− a| < 1ω

, atunci

lim n

√|an(x− a)n| < 1,

de unde, conform criteriului radacinii, rezulta ca seria∑∞n=0 an(x− a)n este

absolut convergenta.

(ii) Daca |x− a| < 1ω

, atunci

lim n

√|an(x− a)n| > 1,

de unde rezulta ca termenul general al seriei∑∞n=0 an(x − a)n nu converge

la 0, deci seria este divergenta.

Din cele demonstrate la (i) si (ii) obtinem ca numarul

R =1

ω

27

este raza de convergenta a seriei date.

Exemplu. 1) Pentru seria

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . =∞∑n=0

xn

avem n

√|an| = 1, (∀)n ≥ 2, deci ω = 1, si atunci R = 1.

2) Pentru

1 +x

1!+x2

2!+ . . .+

xn

n!+ . . . =

∞∑n=0

1

n!xn,

n

√|an| = n

√1n!

, ω = lim n

√1n!

= 0, si R =∞.

Uneori raza de convergenta poate fi gasita pe o cale ceva mai simpla:

Propozitie. Fie∑∞n=0 an(x − a)n o serie de puteri. Daca exista limita

limn−→∞|an+1||an| , atunci

ω = limn−→∞

|an+1||an|

,

deci pentru raza de convergenta R = 1ω

avem ın acest caz

R = limn−→∞

|an||an+1|

.

Exemplu. Determinam multimea de convergenta a seriei de puteri

x

1+x2

2+x3

3+ . . .+

xn

n+ . . .

Coeficientul termenului general al seriei date este an = 1n. Deoarece exista

limn−→∞|an+1||an| = limn−→∞

nn+1

= 1, avem ω = 1, deci R = 1. Intervalul

de convergenta este deci I = (−1, 1) si pentru multimea de convergenta Kavem I ⊆ K ⊆ [−1, 1]. Ramane sa mai studiem convergenta seriei de puteri

ın capetele intervalului de convergenta.

Pentru x = 1, seria de puteri devine seria armonica, care este divergenta.

Deci 1 6∈ K.

Pentru x = −1, seria de puteri devine o serie alternanta, pentru care mod-

ulele termenilor formeaza un sir descrescator, convergent la 0. Conform cri-

teriului lui Leibniz, aceasta este o serie convergenta, deci rezulta ca −1 ∈ K.

Am dedus astfel ca multimea de convergenta a seriei de puteri date este

K = [−1, 1).


2.1 Suma unei serii de puteri

Definitie. Fie∑∞n=0 an(x − a)n o serie de puteri si K multimea sa de

convergenta. Pentru fiecare x ∈ K sa notam

σ(x) =∞∑n=0

an(x− a)n = a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + . . .+ an(x− a)n + . . .

Am definit astfel o functie σ : K −→ R : x 7−→ σ(x). Functia aceasta se

numeste suma seriei de puteri∑∞n=0 an(x− a)n.

Observatie. Suma unei serii de puteri este o functie definita numai pe

multimea de convergenta a seriei de puteri, desi functiile putere an(x− a)n

care sunt termenii seriei de puteri sunt definite pe ıntreaga multime R a

numerelor reale.

Exemplu. 1) Seria

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . =∞∑n=0

xn

are multimea de convergenta este K = (−1, 1). Pentru orice x ∈ K, seria

corespunzatoare(care este o seria geometrica) are suma

σ(x) = 1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . =1

1− x.

Functia f : R \ {1} −→ R : x 7−→ 11−x este ınsa diferita de σ, deoarece are

un alt domeniu de definitie.

Functia suma σ asociata unei serii de puteri are urmatoarele proprietati:

Propozitie. Suma σ unei serii de puteri∑∞n=0 an(x − a)n este o functie

continua pe intervalul de convergenta.

Teorema II a lui Abel. Fie∑∞n=0 an(x−a)n o serie de puteri si R raza sa

de convergenta. Daca seria este convergenta ın punctul a−R(sau ın a+R),

atunci suma σ a seriei este continua ın acest punct.

Observatie. Prin urmare, suma unei serii de puteri este o functie continua

pe ıntregul ei domeniu de definitie.

2.2. OPERATII CU SERII DE PUTERI 29

2.2 Operatii cu serii de puteri

Propozitie. Fie∑∞n=0 an(x − a)n si

∑∞n=0 bn(x − a)n doua serii de puteri

centrate ıntr-un acelasi punct a, si fie α un numar real nenul oarecare. Daca

R1 si R2 sunt razele de convergenta ale celor doua serii, atunci:

1) raza de convergenta R a seriei suma∑∞n=0(an + bn)(x− a)n verifica ine-

galitatea

R ≥ inf(R1, R2).

2) raza de convergenta a seriei

α∞∑n=0

an(x− a)n =∞∑n=0

αan(x− a)n

este R1.

3) raza de convergenta R′ a seriei produs∑∞n=0 cn(x−a)n, ai carei coeficienti

sunt dati prin

cn = a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0 =n∑k=0

akbn−k,

verifica inegalitatea

R′ ≥ inf(R1, R2).

Observatie. Multimea seriilor de puteri centrate ıntr-un punct formeaza

un spatiu vectorial ın raport cu operatiile de adunare (1) si ınmultire cu

scalari (2), respectiv un inel ın raport cu operatiile de adunare (1) si ınmultire

(3).

2.3 Derivarea seriilor de puteri

Definitie. Fie∑∞n=0 an(x− a)n o serie de puteri:

a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + . . .+ an(x− a)n + . . .

Seria care are ca termeni derivatele termenilor acestei serii,

a1 + 2a2(x− a) + 3a3(x− a)2 + . . .+ nan(x− a)n−1 + . . .

este de asemenea o serie de puteri, pe care o vom numi seria derivatelor

seriei∑∞n=0 an(x − a)n. Pentru cele doua serii are loc atunci urmatoarea


proprietate:

Propozitie. Daca∑∞n=0 an(x − a)n este o serie de puteri, avand suma σ,

atunci:

1) Seria derivatelor are aceeasi raza de convergenta.

2) Functia σ este derivabila pe intervalul de convergenta, si derivata sa σ′

coincide pe acest interval cu suma seriei derivatelor.

Corolar. O serie de puteri poate fi derivata ”termen cu termen”.

Exemplu. Seria derivatelor a seriei de puteri

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . .

este

1 + 2x+ 3x2 + . . .+ nxn−1 + . . .

Deoarece pentru suma primei serii de puteri avem

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . =1

1− x, (∀)x ∈ (−1, 1),

suma seriei derivatelor va fi

1 + 2x+ 3x2 + . . .+ nxn−1 + . . . =1

(1− x)2, (∀)x ∈ (−1, 1).

2.4 Integrarea seriilor de puteri

Propozitie. Daca∑∞n=0 an(x − a)n este o serie de puteri, avand suma σ,

atunci:

1) Seria∑∞n=0

ann+1

(x−a)n+1 este o serie de puteri cu aceeasi raza de convergenta.

2) Suma ξ a seriei∑∞n=0

ann+1

(x− a)n+1 este o primitiva a functiei σ.

Corolar. O serie de puteri poate fi integrata ”termen cu termen”.

Exemplu. Consideram seria de puteri

1− x2 + x4 − x6 + . . .+ (−1)nx2n + . . .

care este convergenta pentru x ∈ (−1, 1). Suma ei este

1− x2 + x4 − x6 + . . .+ (−1)nx2n + . . . =1

1 + x2, (∀)x ∈ (−1, 1).


Integrand termen cu termen ın ultima relatie, obtinem

arctg(x) = x− x3

3+x5

5− x7

7+ . . .+ (−1)n

x2n+1

2n+ 1+ . . . , (∀)x ∈ (−1, 1).

Deoarece pentru x = 1, seria 1 − 13

+ 15− 1

7+ . . . + (−1)n 1

2n+1+ . . . este

convergenta(conform criteriului lui Leibniz), din teorema a II-a a lui Abel

deducem ca

π

4= arctg(1) = lim

x−→1arctg(x) =

= limx−→1

(x− x3

3+x5

5− x7

7+ . . .+ (−1)n

x2n+1

2n+ 1+ . . .) =

= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .+ (−1)n

1

2n+ 1+ . . .

Am obtinut deci identitatea

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .+ (−1)n

1

2n+ 1+ . . . ,

care a fost descoperita de Leibniz. Pentru demonstratia convergentei seriei

din membrul drept, el a folosit pentru prima data criteriul de convergenta

pentru serii alternante care astazi ıi poarta numele.


Determinati intervalele de convergenta si domeniile de convergenta ale urmatoarelor

serii de puteri:


1.∑∞n=0 x

n 2.∑∞n=1

xn

n2n

3.∑∞n=1

x2n−1

2n−14.∑∞n=1

2n−1x2n−1

(4n−3)2

5.∑∞n=1

(−1)n−1xn

n6.∑∞n=0

(n+1)5x2n

2n+1

7.∑∞n=0(−1)n(2n+ 1)2xn 8.

∑∞n=0

xn

n!

9.∑∞n=0 n!xn 10.

∑∞n=1

xn

nn

11.∑∞n=1( n

2n+1)2n−1xn 12.

∑∞n=0 3n

2xn

2

13.∑∞n=1

nn+1

(x2)n 14.

∑∞n=1

n!xn

nn

15.∑∞n=2

xn−1

n3nln(n)16.

∑∞n=0 x

n!

17.∑∞n=0 n!xn! 18.

∑∞n=1

xn2

2n−1nn

19.∑∞n=1

xnn

nn20.

∑∞n=1

(−1)n−1(x−5)n

n3n

21.∑∞n=1

(x−3)n

n5n22.

∑∞n=1

(x−1)n

n9n

23.∑∞n=1

(−1)n−1(x−2)2n

2n24.

∑∞n=1

(x+3)n

n2

25.∑∞n=1 n

n(x+ 3)n 26.∑∞n=1

(x+5)2n−1

2n4n

27.∑∞n=1

(x−2)n

(2n−1)2n28.

∑∞n=1

(−1)n+1(2n−1)2n(x−1)n

(3n−2)2n

29.∑∞n=1

n!(x+3)n

nn30.

∑∞n=1

(x+1)n

(n+1)ln2(n+1)

31.∑∞n=1

(x+2)n2

nn32.

∑∞n=1(1 + 1

n)n

2(x− 3)n

Prin derivare sau integrare, sa se calculeze sumele seriilor de puteri:


33. x+ x2

2+ x3

3+ . . .+ xn

n+ . . .

34. x− x2

2+ x3

3− . . .+ (−1)n−1 xn

n+ . . .

35. x+ x3

3+ x5

5+ . . .+ x2n−1

2n−1+ . . .

36. x− x3

3+ x5

5− . . .+ (−1)n−1 x2n−1

2n−1+ . . .

37. 1 + 2x+ 3x2 + . . .+ (n+ 1)xn + . . .

38. 1− 3x2 + 5x4 − . . .+ (−1)n−1(2n− 1)x2n−2 + . . .

39. 1 · 2 + 2 · 3x+ 3 · 4x2 + . . .+ n(n+ 1)xn−1 + . . .

Gasiti sumele seriilor:

40. 1x

+ 2x2

+ 3x3

+ . . .+ nxn

+ . . .

41. x+ x5

5+ x9

9+ . . .+ x4n−3

4n−3+ . . .

42. 1− 13·3 + 1

5·32 − . . .+ (−1)n−1 1(2n−1)·3n−1 + . . .

43. 12

+ 322

+ 523

+ . . .+ 2n−12n

+ . . .

3

Formula lui Taylor

Definitie. Fie f : I −→ R o functie, derivabila de n ori ıntr-un punct

a ∈ I. Pentru fiecare x ∈ I putem atunci defini polinomul

Tn(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f”(a)

2!(x− a)2 + . . .+

f (n)

n!(a)(x− a)n.

Polinomul Tn(x) se numeste polinomul Taylor de gradul n(sau de ordinul n)

asociat functiei f ın punctul a.

Definitie. Daca pentru fiecare x ∈ I notam

Rn(x) = f(x)− Tn(x),

atunci vom putea scrie

f(x) = f(a) +x− a

1!f ′(a) +

(x− a)2

2!f”(a) + . . .+

(x− a)n

n!f (n)(a) +Rn(x),

oricare ar fi x ∈ I. Aceasta egalitate se numeste formula lui Taylor de

ordinul n corespunzatoare functiei f ın punctul a. Functia Rn se numeste

restul de ordinul n al formulei lui Taylor.

Observatie. Polinomul lui Taylor Tn(x) are proprietatea ca

T (k)n (a) = f (k)(a), (∀)k = 0, n.

Corolar. Restul de ordinul n al formulei lui Taylor este o functie derivabila

de n ori ın punctul a si

R(k)n (a) = 0, (∀)k = 0, n.

35

36 3. FORMULA LUI TAYLOR

Observatie. Pentru restul Rn de ordin n al formulei lui Taylor are loc

proprietatea

limx→a

Rn(x)

(x− a)n= 0.

Propozitie. Daca f este derivabila de n ori ın punctul a ∈ I, atunci exista

o functie α(x) definita pe I astfel ca

limx→a

α(x) = 0 = α(a)

si astfel ca pentru orice x ∈ I sa avem

f(x) = f(a) +x− a

1!f ′(a) +

(x− a)2

2!f”(a) + . . .+

+(x− a)n

n!f (n)(a) +

(x− a)n

n!α(x).

In continuare vom presupune ca f este derivabila de n+ 1 ori pe ıntreg

intervalul I. Pentru restul de ordinul n al formulei lui Taylor vor fi atunci

valabile urmatoarele formule:

1) Pentru orice numar natural p, cu 1 ≤ p ≤ n + 1 exista ξ cuprins ıntre a

si x astfel ca

Rn(x) =(x− a)p(x− ξ)n−p+1

n!pf (n+1)(ξ).

In aceasta forma, Rn se numeste restul lui Schlomlich-Roche pentru formula

lui Taylor.

2) Daca ın formula de mai sus punem p = 1, obtinem restul lui Cauchy

pentru formula lui Taylor:

Rn(x) =(x− a)(x− ξ)n

n!f (n+1)(ξ).

3) Daca ın formula de la 1) luam p = n + 1, obtinem restul lui Lagrange

pentru formula lui Taylor

Rn(x) =(x− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ).

Observatie. Punctul intermediar ξ depinde de a, x, n si p. Prin urmare,

punctul ξ nu este neaparat acelasi pentru cele trei formule de mai sus.

Observatie. Deoarece ξ este cuprins ıntre a si x, exista un numar θ(care

depinde de asemenea de a, x, n si p) astfel ıncat 0 < θ < 1 si

ξ = a+ θ(x− a).

37

Daca notam h = x− a, atunci ξ = a+ θh, si formula lui Taylor se va scrie

f(a+ h) = f(a) +h

1f ′(a) +

h2

2f”(a) + . . .+

hn

n!f (n)(a) +Rn,

unde restul Rn poate avea una din formele:

Rn = hn+1(1−θ)n−p+1

n!pf (n+1)(a+ θh) (Schlomlich-Roche);

Rn = hn+1(1−θ)nn!

f (n+1)(a+ θh) (Cauchy);

Rn = hn+1

(n+1)!f (n+1)(a+ θh) (Lagrange).

Exercitiu. Scrieti formula lui Taylor cu restul lui Lagrange ın punctul 0

pentru urmatoarele functii:

1) f : R −→ R, f(x) = ex.

2) f : R −→ R, f(x) = sin(x).

3) f : R −→ R, f(x) = cos(x).

4) f : (−1,∞) −→ R, f(x) = ln(1 + x).

Definitie. Fie f : I −→ R o functie indefinit derivabila ıntr-un punct

a ∈ I. Atunci putem considera seria urmatoare:

f(a) +x− a

1!f ′(a) +

(x− a)2

2!f”(a) + . . .+

(x− a)n

n!f (n)(a) + . . .

Aceasta serie de puteri se numeste seria Taylor a functiei f ın punctul

a. Ea are o raza de convergenta 0 ≤ R ≤ ∞, o multime de convergenta

nevida K care contine cel putin punctul a, si un interval de convergenta

(a− R, a + R) ⊆ K. Pe multimea K este definita functia suma T a acestei

serii de puteri.

Sumele partiale ale seriei Taylor a functiei f ın punctul a sunt evident

polinoamele Taylor asociate functiei f ın punctul a. Deoarece pentru nu-

mere x aflate ”aproape” de numarul a, polinoamele Tn(x) aproximeaza din

ce ın ce mai bine functia f(x), se pune ıntrebarea daca vom putea scrie

f(x) = T (x), (∀)x ∈ I ∩ K.

Raspunsul la aceasta ıntrebare este dat de urmatoarea

Teorema. Seria Taylor a functiei f ın punctul a este convergenta ıntr-un

punct x ∈ I∩K catre valoarea f(x) a functiei f ın x daca si numai daca val-

orile ın x ale resturilor Rn ale formulelor lui Taylor formeaza un sir (Rn(x))

convergent catre 0.


3.1 Serii Taylor pentru functii de doua vari-

abile

Dezvoltarea ın serie Taylor a unei functii f(x, y) ın jurul unui punct (a, b)

are forma

f(x, y) = f(a, b) +1

1![(x− a)

∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y]f(a, b)+

+1

2![(x−a)

∂

∂x+(y−b) ∂

∂y]2f(a, b)+. . .+

1

n![(x−a)

∂

∂x+(y−b) ∂

∂y]nf(a, b)+. . . ,

unde

[(x− a)∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y]f(a, b) =

∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b),

[(x− a)∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y]2f(a, b) =

∂2f

∂x2(a, b)(x− a)2+

+2∂2f

∂x∂y(a, b)(x− a)(y − b) +

∂2f

∂y2(a, b)(y − b)2,

s.a.m.d.


1. Aratati ca

i) ex = 1 + x1!

+ x2

2!+ . . .+ xn

n!+ . . . , (∀)x ∈ R

ii) sin(x) = x− x3

3!+ x5

5!− . . .+ (−1)n−1 x2n−1

(2n−1)!+ . . . , (∀)x ∈ R

iii) cos(x) = 1− x2

2!+ x4

4!− . . .+ (−1)n x2n

(2n)!+ . . . , (∀)x ∈ R

iv) ln(1 + x) = x− x2

2+ x3

3− . . .+ (−1)n−1 xn

n+ . . . , (∀)x ∈ (−1, 1]

v) ln(1− x) = −x− x2

2− x3

3− . . .− xn

n− . . . , (∀)x ∈ [−1, 1)

vi) (1 + x)m = 1 + m1!x + m(m−1)

2!x2 + . . . + m(m−1)...(m−n+1)

n!xn + . . . , (∀)x ∈

(−1, 1)

2. Determinati dezvoltarile ın serie MacLaurin ale urmatoarelor functii,

indicand si intervalele ın care este valabila fiecare dezvoltare:


i) f(x) = ax; ii) f(x) = sin(x+ π4);

iii) f(x) = cos(x+ a); iv) f(x) = sin2(x);

v) f(x) = ln(2 + x); vi) f(x) = 2x−3(x−1)2

;

vii) f(x) = 3x−5x2−4x+3

; viii) f(x) = cos2(x);

ix) f(x) = x1+x2

; x) f(x) = 1√4−x2 ;

xi) f(x) = ch(x); xii) f(x) = sh(x);

xiii) f(x) = ln(1+x1−x); xiv) f(x) = (1 + x) ln(1 + x);

xv) f(x) = ln(x+√

1 + x2); xvi) f(x) = arctg(x);

xvii) f(x) = arcsin(x); xviii) f(x) = ln(1 + x− 2x2));

xix) f(x) = (1 + x)e−x; xx) f(x) = 3√

8 + x.

3. Scrieti primii trei termeni nenuli ai dezvoltarilor ın serie MacLaurin ale

urmatoarelor functii:

i)f(x) = tg(x); ii)f(x) = th(x); iii)f(x) = ln(cos(x));

iv)f(x) = ecos(x); v)f(x) = esin(x).

4. Dezvoltati functia f(x) = x3−2x2−5x−2 ın serie de puteri ale lui x+4.

5. Dezvoltati functia f(x) = ln(x) ın serie de puteri ale lui x− 1.

6. Dezvoltati functia f(x) = 1x

ın serie de puteri ale lui x− 1.

7. Dezvoltati functia f(x) = 1x2

ın serie de puteri ale lui x+ 1.

8. Dezvoltati functia f(x) = 1x2+3x+2

ın serie de puteri ale lui x+ 4.

9. Dezvoltati functia f(x) =√x ın serie de puteri ale lui x+ 2.

10. Dezvoltati functia f(x) = cos(x) ın serie de puteri ale lui x− π2.

11. Dezvoltati functia f(x) = ln(x) ın serie de puteri ale lui 1−x1+x

.

12. Dezvoltati functia f(x) = x√1+x

ın serie de puteri ale lui x1+x

.

13. Folosind dezvoltarea functiei arctg(x), aflati numarul π cu o zecimala

exacta.


14. Folosind dezvoltarea functiei ex, aflati numarul e cu trei zecimale exacte.

15. Dezvoltati ın serie de puteri ale lui x si y urmatoarele functii:

i) f(x, y) = sin(x) sin(y), ii) f(x, y) = ln(1− x− y + xy),

iii) f(x, y) = sin(x2 + y2), iv) f(x, y) = arctg( x+y1−xy )

v) f(x, y) = 1−x+y1+x−y .

16. Fie f(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2. Dezvoltati f(x + h, y + k) ın serie de

puteri ale lui h si k.

17. Dezvoltati ex+y ın serie de puteri ale lui x− 2 si y + 2.

18. Dezvoltati sin(x+ y) ın serie de puteri ale lui x si y − π2.

19. Scrieti formula lui Taylor de ordinul doi ın punctul (0, 0) pentru

urmatoarele functii:

i) f(x, y) = ex cos(y), ii) f(x, y) = (1 + x)1+y.

4

Notiuni de topologie ın Rn

Spatiul vectorial Rn are o structura de spatiu euclidian definita de produsul

scalar si de norma asociata. Cu ajutorul normei se poate defini pe Rn o

distanta:

d : Rn ×Rn −→ R, d(X, Y ) = ||X − Y ||, (∀)X, Y ∈ Rn.

Proprietatile functiei distanta sunt:

1) d(X, Y ) ≥ 0, (∀)X, Y ∈ Rn.

2) d(X, Y ) = 0⇐⇒ X = Y .

3) d(X, Y ) = d(Y,X), (∀)X, Y ∈ Rn.

4) d(X, Y ) ≤ d(X,Z) + d(Z, Y ), (∀)X, Y, Z ∈ Rn.

O functie cu proprietatile functiei distanta de mai sus se mai numeste si

metrica, si spunem ca (Rn, d) este un spatiu metric.

Definitie. Fie X ∈ Rn si r ∈ R+.

• Bila deschisa de centru X si raza r este multimea

B(X, r) = {Y ∈ Rn|d(X, Y ) < r}.

• Bila ınchisa de centru X si raza r este multimea

B(X, r) = {Y ∈ Rn|d(X, Y ) ≤ r}.

• Sfera de centru X si raza r este multimea

S(X, r) = {Y ∈ Rn|d(X, Y ) = r}.

41

42 4. NOTIUNI DE TOPOLOGIE IN RN

Definitie. Fie X ∈ Rn si V ⊆ Rn. V se numeste vecinatate a lui X

daca exista r > 0 cu proprietatea ca B(X, r) ⊆ V . Multimea vecinatatilor

punctului X o vom nota cu V(X), iar daca V este o vecinatate a lui X,

vom scrie V ∈ V(X).

Definitie. O multime D ∈ Rn se numeste multime deschisa daca este

vecinatate pentru orice punct al sau, i.e.

(∀)X ∈ D (∃)r > 0 : B(X, r) ⊆ D.

Vom nota cu D multimea multimilor deschise incluse ın Rn.

• Complementarele multimilor deschise se numesc multimi ınchise.

• O multime compacta este o multime ınchisa si marginita.

Propozitie. Multimile deschise incluse ın Rn au urmatoarele proprietati:

1) Rn, ∅ ∈ D.

2) Daca D1, D2 ∈ D, atunci D1 ∩D2 ∈ D.

3) Daca (Di)i∈I ∈ D este o familie oarecare de multimi deschise, atunci

∪i∈IDi ∈ D.

Definitie. O familie T de submultimi ale lui Rn care satisface conditiile

din propozitia de mai sus, se numeste topologie pe Rn.

Observatie. Multimea D a multimilor deschise din Rn formeaza deci o

topologie pe Rn.

Definitie. Perechea (Rn,D) fomeaza un spatiu topologic.

Definitie. Fie M ⊆ Rn o submultime oarecare a spatiului topologic

(Rn,D).

• Interiorul lui M(notat Int(M)) este cea mai mare multime deschisa

continuta ın M . Avem

Int(M) = {X ∈ Rn|M ∈ V(X)}.

• Exteriorul lui M(notat Ext(M)) este interiorul multimii complementare

lui M ın Rn:

Ext(M) = {X ∈ Rn|(∃)r > 0 : B(X, r) ∩M = ∅}.

43

• Inchiderea(sau aderenta lui M)(notata M) este cea mai mica multime

ınchisa care contine M si este complementara exteriorului multimii M :

M = {X ∈ Rn|(∀)r > 0 =⇒ B(X, r) ∩M 6= ∅} =

= {X ∈ Rn|(∀)V ∈ V(X) =⇒ B(X, r) ∩M 6= ∅}.

• Multimea punctelor de acumulare a lui M(notata M ′) este

M ′ = {X ∈ Rn|(∀)V ∈ V(X) =⇒ B(X, r) ∩M \ {X} 6= ∅}.

• Frontiera lui M(notata Fr(M)) consta din punctele aderente atat lui M ,

cat si complementarei lui M :

Fr(M) = {X ∈ Rn|(∀)V ∈ V(X) =⇒ B(X, r) ∩M 6= ∅ 6= B(X, r) \M}.

• Multimea punctelor izolate ale multimii M(notata Iz(M)) consta din

punctele aderente ale lui M care nu sunt puncte de acumulare:

Iz(M) = M \M ′.

44 4. NOTIUNI DE TOPOLOGIE IN RN

5

Functii de mai multe variabile

5.1 Definitii. Exemple

Definitie. Fie D ⊆ Rn o submultime a spatiului Rn. O functie f : D −→R se numeste functie(scalara) de n variabile. Multimea D este domeniul de

definitie al lui f , notat Dom(f), iar multimea {f(X)|X ∈ D} se numeste

imaginea functiei f , si o notam Im(f).

Observatie. Uneori nu se indica domeniul de definitie al unei functii, ci

doar spatiul Rn ın care este inclus acesta. In acest caz se considera de

regula ca domeniul de definitie este domeniul maxim de definitie, pentru

care au sens toate calculele care se fac pentru determinarea imaginii unui

vector prin functia a carei lege de corespondenta este indicata.

Exemplu. 1) Pentru functia f : R4 −→ R, definita prin

f(x1, x2, x3, x4) = x21 + x2

2 + x23 + x2

4,

domeniul de definitie este R4, iar imaginea este R+.

2) Fie f : D ⊆ R4 −→ R, data de legea de corespondenta

f(x1, x2, x3, x4) =1

x21 + x2

2 + x23 + x2

4 − 1.

Domeniul de definitie nu este indicat, astfel ca trebuie considerat ca fiind

domeniul maxim de definitie al expresiei care defineste legea de corespondenta

prin care este definita functia. Astfel,

Dom(f) = {X ∈ R4|x21 + x2

2 + x23 + x2

4 − 1 6= 0} =

45

46 5. FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE

= {X ∈ R4|d(X, 0) 6= 1} = R4 \ S(0, 1).

Imaginea functiei f este R \ (−1, 0].

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile. Graficul functiei

f este multimea

Gf = {(X, xn+1) ∈ Rn+1|X ∈ D, xn+1 = f(X)}.

Exemplu. Graficul functiei f : B(0, 1) ⊆ R2 −→ R, definita prin f(X) =√1− ||X||2 este semisfera ”superioara” S+(0, 1) ⊆ R3.

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile si α ∈ R.

Linia de nivel α a lui f este multimea Lα(f) = {(x1, x2, . . . , xn) = X ∈D, f(X) = α}. Ea se mai numeste preimaginea(sau imaginea inversa) a lui

α si se mai noteaza si f−1(α).


Determinati domeniile si imaginile functiilor urmatoare

1. f(x, y) =√x2 + y2; 2. f(x, y) =

√1 + x+ y;

3. f(x, y) =xy ; 4. f(x, y) =

√1− x2 − 4y2;

5. f(x, y) =√

1− x2 + 4y2; 6. f(x, y) = sin(x+ y);

7. f(x, y) = ex + ey; 8. f(x, y) = 1(x2−y2)3/2 ;

9. f(x, y) = tan(x− y); 10. f(x, y) =√

x+yx−y ;

11. f(x, y) =√

x−yx+y ; 12. f(x, y) = sin−1(x+ y);


13. f(x, y) = cos−1(x− y); 14. f(x, y) =y|x| ;

15. f(x, y) =x2−y2x+y ; 16. f(x, y) = ln(1 + x2 − y2);

17. f(x, y) = x2y + 2y

x ; 18. f(x, y, z) = x+ y + z;

19. f(x, y, z) =√x+ y + z; 20. f(x, y, z) = 1√

x2+y2+z2;

21. f(x, y, z) = 1√x2−y2+z2

; 22. f(x, y, z) =√−x2 − y2 − z2;

23. f(x, y, z) = ln(x− 2y − 3z + 4); 24. f(x, y, z) =xyz ;

48 5. FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE

6

Limite. Continuitate

6.1 Limita unei functii ıntr-un punct

Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile, A = (a1, a2, . . . , an) ∈ D′

un punct de acumulare al domeniului de definitie al functiei f si l ∈ R.

Definitie. Spunem ca functia f are limita l ın punctul A daca pentru

orice vecinatate U a lui l exista o vecinatate V a lui A cu proprietatea ca

f(X) ∈ U, (∀)X ∈ V ∩D \ {A}.

O forma echivalenta a definitiei de mai sus este:

Definitie. Functia f are limita l ın punctul A daca pentru orice vecinatate

U a lui l exista δ > 0 astfel ıncat f(X) ∈ U, (∀)X ∈ D, 0 < d(X,A) < δ.

Daca l ∈ R este un numar finit, putem transcrie definitiile de mai sus

ın forma urmatoare:

Definitie. Functia f are limita l ın punctul A daca pentru orice ε > 0

exista δ > 0 astfel ıncat

|f(X)− l| < ε, (∀)X ∈ D, 0 < d(X,A) < δ.

Observatie. Aceasta ultima varianta a definitiei poarta si numele de ”cri-

teriul ε− δ”.

In cazul cand l =∞, putem formula definitia ın modul urmator:

Definitie. Functia f are limita ∞ ın punctul A daca pentru orice M ∈ R


f(X) > M, (∀)X ∈ D, 0 < d(X,A) < δ.

49

50 6. LIMITE. CONTINUITATE

Asemanator, pentru l = −∞ avem

Definitie. Functia f are limita −∞ ın punctul A daca pentru orice m ∈ R


f(X) < m, (∀)X ∈ D, 0 < d(X,A) < δ.

Exemplu. Vom arata ca

limX−→(−4,1,0,3)

(x1 + 2x2 − x3 + 3x4) = 7.

Solutie. Fie ε > 0 dat. Vom cauta sa determinam δ > 0 cu proprietatea

ca

|x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 7| < ε

daca

0 <√

(x1 + 4)2 + (x2 − 1)2 + x23 + (x4 − 3)2 < δ

Pentru aceasta, sa observam ca putem folosi inegalitatea modulului si scrie:

|x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 7| = |x1 + 4 + 2x2 − 2− x3 + 3x4 − 9| ≤

≤ |x1+4|+|2x2−2|+|x3|+|3x4−9| = |x1+4|+2|x2−1|+|x3−0|+3|x4−3|.

Fiecare dintre numerele |x1 + 4|, |x2− 1|, |x3− 0|, |x4− 3| mai mic sau egal

cu √(x1 + 4)2 + (x2 − 1)2 + x2

3 + (x4 − 3)2.

Prin urmare, rezulta ca

|x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 7| ≤ 7√

(x1 + 4)2 + (x2 − 1)2 + x23 + (x4 − 3)2 =

= 7 · d((x1, x2, x3, x4), (−4, 1, 0, 3)).

Fie acum δ = 17ε. Daca d(X, (−4, 1, 0, 3)) < δ, atunci conform inegalitatii

de mai sus are loc:

|f(X)− 7| = |x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 7| ≤ 7δ = 7ε

7= ε

si deci

limX−→(−4,1,0,3)

(x1 + 2x2 − x3 + 3x4) = 7.

Exemplu. Vom arata ca pentru functia

f : R5 \ {0} −→ R, f(x1, x2, x3, x4, x5) =x2

1 − x22 + x2

3 − x24 + x2

5

x21 + x2

2 + x23 + x2

4 + x25

6.2. CONTINUITATE 51

nu exista limX−→0 f(X).

Solutie. Vom arata acest lucru demonstrand ca putem obtine doua valori

diferite apropiindu-ne de 0 pe doua cai diferite. Fie X −→ 0 cu x1 = x2 =

x3 = x4 = 0 si x5 −→ 0, adica ne apropiem de 0 de-a lungul axei Ox5.

Atunci avem

f(X) =x2

5

x25

= 1,

astfel ca

lim(0,0,0,0,x5)−→0

f(X) = 1.

Fie acum X −→ 0 cu x1 = x2 = x3 = x5 = 0 si x4 −→ 0. Atunci

f(X) =−x2

4

x24

= −1,

astfel ca

lim(0,0,0,x4,0)−→0

f(X) = −1.

Deoarece am obtinut doua rezultate diferite, deducem ca limita nu poate

exista.

Observatie. Retineti deci ca limita unei functii ıntr-un punct, daca exista,

este unica. Sau, cu alte cuvinte, daca apropiindu-ne de punctul a ın mai

multe moduri obtinem limite diferite, atunci functia nu are limita ın punctul

A.

6.2 Continuitate

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile reale si A ∈ D.

Spunem ca functia f este continua ın punctul A daca pentru orice vecinatate

U a lui f(A) exista o vecinatate V a punctului A astfel ıncat f(X) ∈ U ,

pentru orice X ∈ V ∩D.

Observatie. Daca A este un punct izolat al multimii D, atunci exista

o vecinatate V a sa, astfel ıncat V ∩ D = {A}. Dar atunci, pentru orice

vecinatate U a lui f(A) are loc f(X) ∈ U , pentru orice X ∈ V ∩D(deoarece

A este singurul element din V ∩D si f(A) se afla ın orice vecinatate a sa).

Inseamna ca orice functie este continua ın orice punct izolat al domeniului

sau de definitie.

Observatie. Daca A ∈ D este ınsa un punct de acumulare al lui D, atunci


functia f este continua ın A daca si numai daca f are limita ın punctul A

si aceasta limita este egala cu f(A).

Exemplu. Functia f : R5 −→ R definita prin f(0) = 0 si

f(x1, x2, x3, x4, x5) =x2

1 − x22 + x2

3 − x24 + x2

5

x21 + x2

2 + x23 + x2

4 + x25

, (∀)X 6= 0

nu are limita ın 0, prin urmare nu este continua ın 0.

Continuitatea ıntr-un punct poate fi studiata si ea cu ajutorul unui ”cri-

teriu ε−δ”, deoarece definitia continuitatiiıntr-un punct este echivalenta cu

urmatoarea:

Definitie. Functia f : D ⊆ Rn −→ R este continua ıntr-un punct A ∈ Ddaca pentru orice ε > 0 exista δ > 0 astfel ıncat

|f(X)− f(A)| < ε, (∀)X ∈ D, d(X,A) < δ.

Definitie. (i) Un polinom p(X) = p(x1, x2, . . . , xn) ın variabilele x1, x2,

. . . , xn este o suma finita de termeni(numiti monoame) de forma

αxm11 xm2

2 . . . xmnn ,

unde m1,m2, . . . ,mn ∈ N, iar α ∈ R. Gradul unui monom este suma

m = m1 +m2 + . . .+mn, iar gradul unui polinom este cel mai mare dintre

gradele monoamele sale.

(ii) O functie rationala r(X) = r(x1, x2, . . . , xn) ın variabilele x1, x2, . . . , xn

este o functie care poate fi scrisa ca raportul dintre doua polinoame:

r(X) =p(X)

q(X).

Propozitie. (i) Orice polinom ın n variabile este continuu ın orice punct

din Rn.

(ii) Orice functie rationala r = p/q este continua ın orice punct A ∈ Rn cu

proprietatea ca q(A) 6= 0.

(iii) Daca f si g sunt doua functii continue ıntr-un punct A atunci f + g si

fg sunt cotinue ın A.

(iv) Daca f si g sunt continue ın A si g(A) 6= 0, atunci f/g este continua ın

A.


(v) Daca f este continua ın A, iar h est eo functie de o variabila, care este

continua ın punctul f(A), atunci functia compusa h ◦ f este continua ın A.

Exemplu. p(X) = x31x

52x

85 − 3x1x

42x

24 + 5x2

1x32x

43x

24x5 este continua ın orice

punxt A din R5.

Exemplu.

r(X) =x2

1x5x44 + x1x

22x

33x

55 − x6

1x2x35

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 2x5 − 6

este continua ın orice X ∈ R5, cu exceptia acelor X care satisfac egalitatea

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 2x5 = 6.

Observatie. O multime de vectori care verifica o egalitate ca cea de mai

sus se numeste hiperplan. In general, un hiperplan ın Rn este o multime de

forma

H = {X ∈ Rn | a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b}

unde a1, a2, . . . , an, b sunt numere reale.

Exemplu. Functia sin(x21+2x1x4−x4

3x55) este continua ın orice a din R5, fi-

ind o compusa a functiei continue de o variabila sin si a unei funtii continue.


Verificati cu ajutorul definitiei valorile limitelor

1. lim(x,y)−→(1,2)

(3x+ y) = 5 2. lim(x,y)−→(3,−1)

(x− 7y) = 10

3. lim(x,y)−→(5,−2)

(ax+ by) = 5a− 2b 4. lim(x,y)−→(0,0)

2x2yx2+y2

= 0

5. lim(x,y)−→(4,1)

(x2 + 3y2) = 19 6. lim(x,y)−→(1,1)

xy

= 1

Aratati ca urmatoarele limite nu exista


7. lim(x,y)−→(0,0)

x+yx−y 8. lim

(x,y)−→(0,0)

xyx2−y2

9. lim(x,y)−→(0,0)

ax2+bycx2+dy

, a, b, c, d > 0 10. lim(x,y,z)−→(0,0,0)

xy+2xy+3yzx2+y2+z2

11. lim(x,y)−→(0,0,0)

xyzx3+y3+z3

Calculati limitele urmatoare

12. lim(x,y)−→(0,0)

3xy√x2+y2

13. lim(x,y)−→(0,0)

x3+y3

x2+y2

14. lim(x,y)−→(−4,3)

1+xy1−xy 15. lim

(x,y)−→(1,2)ln(1 + ex+y)

16. lim(x,y)−→(1,1)

x−yx2−y2 17. lim

(x,y)−→(2,5)sh(x+1y−2

)

18. lim(x,y)−→(0,0,0)

yx2+z3

x2+y2+z219. lim

(x,y)−→(4,1,3)ln(x− yz + 4x3y5z)

Studiati continuitatea functiilor urmatoare ın origine.

20. f(x, y) =

3xy√x2+y2

(x, y) 6= (0, 0)

c (x, y) = (0, 0)

21. f(x, y) =

xy|x|+|y| (x, y) 6= (0, 0)

c (x, y) = (0, 0)

22. f(x, y, z) =

yz−x2

x2+y2+z2(x, y, z) 6= (0, 0, 0)

c (x, y, z) = (0, 0, 0)

7

Derivate partiale

7.1 Derivate partiale de ordinul ıntai

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ Rn o functie de n variabile, definita pe

o multime deschisa D din Rn si fie A ∈ D un punct fixat al domenilui de

definitie. Spunem ca functia f este derivabila partial ın raport cu variabila

xi ın punctul A daca exista si este finita limita

lim∆xi−→0

f(a1, . . . , ai−1, ai + ∆xi, ai+1, . . . , an)− f(a1, . . . , ai−1, ai, ai+1, . . . , an)

∆xi.

Atunci cand exista, limita de mai sus se noteaza cu∂f∂xi

(A).

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ Rn o functie de n variabile si Di o multime

inclusa ın domeniul D de definitie al functiei. Spunem ca f este derivabila

partial ın raport cu variabila xi pe Di daca f este derivabila partial ın raport

cu xi ın orice punct A ∈ Di.

Definitie. Derivata partiala a unei functii f : D ⊆ Rn −→ Rn ın raport

cu variabila xi este functia (∂f/∂xi) : Di −→ R definita de limita de mai

sus pe multimea punctelor pe care f este derivabila partial ın raport cu

variabila xi.

Observatie. Din definitia derivatei partiale ın raport cu o variabila se poate

constata ca ea se calculeaza fixand toate celelalte variabile constante(egale

cu componentele corespunzatoare ale punctului ın care se face calculul),

apoi derivand dupa variabila respectiva. In consecinta, atunci cand cal-

culam derivate partiale putem folosi regulile de derivare pentru functii de o

55

56 7. DERIVATE PARTIALE

variabila.

Observatie. Atentie! Chiar daca pentru calculul unei derivate partiale de-

rivam practic ın raport cu o singura variabila, fixand celelalte variabile, o

derivata partiala este o functie de n variabile.

Exemplu. Derivatele partiale ale functiei f(X) = x21 − x2

2 + 3x1x2x3 − x4x1

sunt:∂f∂x1

= 2x1 + 3x2x3 + x4x21

∂f∂x3

= 3x1x2

∂f∂x2

= −2x2 + 3x1x3 ∂f

∂x4= − 1

x1

Notatie. Frecvent vom folosi ın loc de ∂f∂xi

notatia fxi , sau pentru simpli-

tate fi; astfel derivatele partiale din exemplul de mai sus se scriu fx1 = f1 =

2x1 + 3x2x3 + x4x21

, fx2 = f2 = −2x2 + 3x1x3, s.a.m.d.

Observatie. Spre deosebire de cazul functiilor de o singura variabila, o

functie care este derivabila partial ın raport cu toate variabilele nu este ın

mod necesar continua ın acel punct.

Exemplu. Fie f : R2 −→ R, definita prin

f(x, y) =

xy

x2+y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).

Aratati ca fx si fy exista ın punctul (0, 0), dar ca f nu este continua ın

origine.

Solutie. Vom arata ın primul rand ca nu exista lim(x,y)−→(0,0) f(x, y), deci f

nu poate fi continua ın origine. In acest scop, vom considera ıntai (x, y) −→(0, 0) cu y = x. Pentru acest caz avem atunci:

xy

x2 + y2=

x2

x2 + x2=

1

2,

astfel ca daca ar exista lim(x,y)−→(0,0) f(x, y), aceasta ar fi egala cu 12. Sa

consideram acum (x, y) −→ (0, 0) cu y = −x. Atunci

xy

x2 + y2=−x2

x2 + x2= −1

2,

de unde ar rezulta ca lim(x,y)−→(0,0) f(x, y) ar fi egala cu −12. Prin urmare

limita nu poate exista si deci functia f nu este continua ın origine. Pe de

7.2. DERIVATE PARTIALE DE ORDIN SUPERIOR 57

alta parte avem

fx(0, 0) = lim∆x−→0

f(0 + ∆x, 0)− f(0, 0)

∆x= lim

∆x−→0

(0+∆x)·0(0+∆x)2+02

− 0

∆x=

= lim∆x−→0

0

∆x= lim

∆x−→00 = 0.

Analog, obtinem ca fy = 0. Astfel ın punctul (0, 0) exista ambele derivate

partiale fx si fy, chiar daca functia f nu este continua ın acest punct.

7.2 Derivate partiale de ordin superior

Pentru functii de o variabila, y = f(x) derivatele de ordinul I si al II-lea

sunt date de

y′ =df

dxsi y” =

d2f

dx2=

d

dx

(df

dx

).

Cu alte cuvinte, derivata de ordinul al doilea este derivata derivatei de

ordinul ıntai.

Asemanator, pentru o functie de doua variabile z = f(x, y), putem

deriva fiecare din ”primele” derivate ∂f/∂x si ∂f/∂y ın raport cu fiecare

din variabilele x si y, obtinand astfel patru derivate partiale de ordinul doi:

Definitie. Fie f : D ⊆ R2 −→ R o functie de doua variabile, z = f(x, y),

derivabila partial ın raport cu ambele variabile pe D, astfel ıncat fiecare

derivata partiala este de asemenea derivabila partial. Se pot obtine atunci

derivatele partiale de ordinul doi ale functiei f ın urmatoarele moduri:

(i) Derivand de doua ori ın raport cu x:

∂2z

∂x2=∂2f

∂x2= fxx =

∂

∂x

(∂f

∂x

).

(ii) Derivand ıntai ın raport cu x si apoi ın raport cu y:

∂2z

∂y∂x=

∂2f

∂y∂x= fxy =

∂

∂y

(∂f

∂x

).

(iii) Derivand ıntai ın raport cu y si apoi ın raport cu x:

∂2z

∂x∂y=

∂2f

∂x∂y= fyx =

∂

∂x

(∂f

∂y

).


(i) Derivand de doua ori ın raport cu y:

∂2z

∂y2=∂2f

∂y2= fyy =

∂

∂y

(∂f

∂y

).

Observatie. Derivatele partiale ∂2f/∂x∂y si ∂2f/∂y∂x se numesc derivate

partiale mixte de ordinul doi.

Observatie. In notatia ”fractionara”, a calcula ∂2f/∂x∂y ınseamna a

deriva ıntai ın raport cu variabila y, si apoi ın raport cu x, adica de-

rivam ın ordinea inversa aparitiei variabilelor la numitorul ”raportului de

derivare”(asemanator cu situatia ıntalnita la compunerea functiilor), spre

deosebire de notatia ”indiciala” fyx, ın care ordinea scrierii variabilelor core-

spunde ordinii ın care efectuam derivarile partiale.

Exemplu. Fie z = f(x, y) = x3y2 − xy5. Vom calcula derivatele partiale

de ordinul doi ale lui f .

Solutie. Avem fx = 3x2y2− y5 si fy = 2x3y− 5xy4. Derivatele partiale de

ordinul al doilea sunt:

fxx = ∂∂x

(fx) = 6xy2 fxy = ∂∂y

(fx) = 6x2y − 5y4

fyx = ∂∂x

(fy) = 6x2y − 5y4 fyy = ∂∂y

(fy) = 2x3 − 20xy3.

Asemanator putem defini derivate de ordinul doi si ın cazul unei functii

de n variabile:

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile, derivabila partial

pe D ın raport cu fiecare variabila, astfel ıncat fiecare derivata partiala este

la randul ei derivabila partial. Derivata partiala de ordinul doi ın raport cu

variabilele xi si xj este atunci functia

∂2f

∂xj∂xi=

∂

∂xj

(∂f

∂xi

)= fxixj .

Adesea, pentru a simplifica notatia, vom scrie fij ın loc de fxixj .

Observatie. In exemplul de mai sus am avut fxy = fyx. Acest lucru nu

este ıntamplator. Mai exact, are loc urmatoarea teorema(proprietatea a

fost observata de L.Euler care a enuntat ın 1734 rezultatul, demonstrat mai

tarziu de catre Schwarz):

Teorema. (Criteriul lui Schwarz) Daca f : D ⊆ Rn −→ R este o

7.3. GRADIENT. DIFERENTIALA 59

functie de n variable, iar A ∈ D un punct din domeniul de definitie, ın care

f , fi, fj, fij si fji sunt continue, atunci are loc egalitatea

fij(A) = fji(A).

Corolar. Daca o functie f admite derivate mixte continue, atunci aceste

derivate mixte sunt egale.

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile. In mod analog

celui ın care am definit derivate partiale de ordinul doi, se pot defini derivate

partiale de ordin t pentru orice numar t ∈ N∗:

∂tf

∂xt1i1∂xt2i2 . . . ∂x

tkik

unde k ∈ N∗, t1, t2, . . . , tk ∈ N∗ cu t1 + t2 + . . . + tk = t, iar i1, i2, . . . , ik ∈{1, . . . , n}. Cum criteriul lui Schwarz se extinde ın mod natural la derivate

partiale de orice ordin, vom scrie cel mai adesea pentru o derivata de ordin

t mai simplu∂tf

∂xt11 ∂xt22 . . . ∂x

tnn

,

unde t1, t2, . . . , tn ∈ N cu t1 + t2 + . . .+ tn = t.

Definitie. O functie f : D ⊆ Rn −→ R de n variabile se numeste functie

de clasa Ck pe D(si scriem f ∈ Ck(D)) daca f admite derivate partiale de

ordinul k pe D, iar acestea sunt functii continue pe D.

Definitie. O functie f : D ⊆ Rn −→ R de n variabile se numeste functie

de clasa C∞ pe D(si scriem f ∈ C∞(D)) daca f este de clasa Ck pe D pentru

orice numar natural k.

Observatie. Orice polinom de n variabile este o functie de clasa C∞ pe

Rn.

7.3 Gradient. Diferentiala

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile definita pe o

multime deschisa D ⊆ Rn si A ∈ D un punct al domeniului de definitie

cu proprietatea ca f este derivabila partial ın raport cu fiecare variabila ın


punctul A. Vectorul notat ∇f(A), care are drept componente derivatele

partiale ale functiei f ın punctul A

∇f(A) =

(∂f

∂x1

(A),∂f

∂x2

(A), . . . ,∂f

∂xn(A)

)

se numeste gradientul lui f ın punctul A. Daca f este derivabila partial pe

D, atunci gradientul lui f este functia vectoriala(i.e., cu domeniul de valori

un spatiu vectorial) ∇f : D −→ Rn, definita prin

∇f(X) =

(∂f

∂x1

(X),∂f

∂x2

(X), . . . ,∂f

∂xn(X)

), (∀)X ∈ D.

Exemplu. Fie f : R4 −→ R, f(X) = x21 − x2

2 + 3x1x2x3 − x4x1

. Vom

determina ∇f .

Solutie. Conform definitiei gradientului lui f , avem

∇f(X) = (fx1(X), fx2(X), fx3(X), fx4(X)) =

= (2x1 + 3x2x3 +x4

x21

,−2x2 + 3x1x3, 3x1x2,−1

x1

).

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile definita pe o

multime deschisa D ⊆ Rn si A ∈ D un punct al domeniului de definitie.

Spunem ca f este diferentiabila ın punctul A daca exista o aplicatie liniara

T : Rn −→ R si o functie g : V0 −→ R, unde V0 este o vecinatate a

originii spatiului Rn, astfel ıncat A + V0 ⊆ D, lim∆X−→0g(∆X)||∆X|| = 0 si are

loc egalitatea

f(A+ ∆X)− f(A) = T (∆X) + g(∆X).

Daca functia f este diferentiabila ın punctul A, forma liniara T de mai sus

se numeste diferentiala functiei f ın punctul A si se noteaza dAf .

Exemplu. Orice forma liniara f : Rn −→ R este diferentiabila ın orice

punct A ∈ Rn si dAf = f, (∀)A ∈ Rn.

Demonstratie. Datorita aditivitatii formei liniare f are loc egalitatea

f(A+ ∆X)− f(A) = f(∆X) + 0,

astfel ca este ındeplinita conditia din definitia de mai sus, cu T = f si

g = 0(functia constant nula).


O formula a diferentialei unei functii este data de urmatoarea

Propozitie. Fie f derivabila partial ın raport cu toate variabilele pe o

vecinatate a unui punct A al domeniului de definitie, astfel ıncat derivatele

partiale sunt continue ın A. Atunci f este diferentiabila ın punctul A si

dAf(H) = (∇f(A), H) =

=∂f

∂x1

(A) · h1 +∂f

∂x2

(A) · h2 + . . .+∂f

∂xn(A) · hn, (∀)H ∈ Rn.

Am vazut ceva mai devreme ca o functie derivabila partial ıntr-un punct

nu este neaparat continua ın acel punct. Altfel stau lucrurile ın cazul unei

functii diferentiabile ıntr-un punct:

Propozitie. Daca f : D ⊆ Rn −→ R este o functie diferentiabila ın

punctul A ∈ D, atunci f este continua ın acel punct.

Demonstratie. Trebuie sa aratam ca limX−→A f(X) = f(A). Deoarece f

este diferentiabila ın A, are loc egalitatea

f(X)− f(A) = (∇f(A), X − A) + g(X − A).

Conform inegalitatii Cauchy-Buniakowski-Schwarz, avem ca

0 ≤ |(∇f(A), X − A)| ≤ ||∇f(A)|| · ||X − A||,

de unde rezulta ca limX−→A(∇f(A), X − A) = 0. De asemenea,

limX−→A

g(X − A) = limX−→A

g(X − A)

||X − A||· ||X − A|| = 0.

Prin urmare, limX−→A(f(X) − f(A)) = 0, de unde rezulta afirmatia din

enunt.

Alte proprietati ale functiilor diferentiabile sunt date de urmatoarea

Propozitie. Fie f si g functii de n variabile, diferentiabile pe o multime

deschisa D ⊆ Rn, iar α ∈ R un scalar oarecare. Atunci functiile f + g si

αf sunt diferentiabile pe D si au loc egalitatile

∇(f + g) = ∇f +∇g, ∇(αf) = α∇f.

Observatie. Din aceasta propozitie deducem ca multimea functiilor diferentiabile

pe o multime deschisa are o structura de spatiu vectorial real.


7.3.1 Diferentierea functiilor compuse

Indicam aici cateva formule care reprezinta analoagele pentru functii de mai

multe variabile ale formulei de derivare a unei functii compuse cunoscute

pentru functii de o singura variabila:

(f ◦ g)′(t) = (f ′ ◦ g)(t) · g′(t).

Propozitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie diferentiabila de n variabile si

g1, g2, . . . , gn : I ⊆ R −→ R functii derivabile de o variabila, cu proprietatea

ca

g(t) = (g1(t), g2(t), . . . , gn(t)) ∈ D, (∀)t ∈ I.

Atunci functia f ◦ g : I −→ R, data de (f ◦ g)(t) = f(g1(t), g2(t), . . . , gn(t))

este o functie derivabila de o variabila si are loc egalitatea

(f ◦ g)′(t) = (∇f(g(t)), g′(t)) =

=∂f

∂x1

(g(t)) · g′1(t) +∂f

∂x2

(g(t)) · g′2(t) + . . .+∂f

∂xn(g(t)) · g′n(t), (∀)t ∈ I,

unde g′(t) = (g′1(t), g′2(t), . . . , g′n(t)).

Exemplu. Fie z = f(x, y) = xy2 si fie x = cos t si y = sin t. Atunci

z = z(t) si z′(t) =∂f

∂x· x′(t) +

∂f

∂y· y′(t) =

= y2(− sin t) + 2xy(cos t) = (sin2 t)(− sin t) + 2(cos t)(sin t)(cos t) =

= 2 sin t cos2 t− sin3 t.

Propozitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie diferentiabila de n variabile

si g1, g2, . . . , gn : G ⊆ Rm −→ R functii diferentiabile de m variabile, cu

proprietatea ca

g(Y ) = (g1(Y ), g2(Y ), . . . , gn(Y )) ∈ D, (∀)Y ∈ G.

Atunci functia h = f ◦ g : G −→ R, definita prin h(Y ) = (f ◦ g)(Y ) =

f(g1(Y ), g2(Y ), . . . , gn(Y )) este o functie diferentiabila de m variabile si au

loc egalitatile

∂h

∂yj=

∂f

∂x1

∂g1

∂yj+∂f

∂x2

∂g2

∂yj+ . . .+

∂f

∂xn

∂gn∂yj

, (∀)j = 1,m.


Exemplu. Fie z = f(x, y) = sinxy2. Daca x = rs

si y = er−s, sa se

calculeze ∂z∂r

schi ∂z∂s

.

Solutie. Tinand cont de formulele de mai sus, putem scrie

∂z

∂r=∂f

∂x

∂x

∂r+∂f

∂y

∂y

∂r= (y2 cosxy2) · 1

s+ (2xy cosxy2) · er−s =

e2(r−s)

scos

(r

se2(r−s)

)+

2re2(r−s)

scos

(r

se2(r−s)

)si

∂z

∂s=∂f

∂x

∂x

∂s+∂f

∂y

∂y

∂s= (y2 cosxy2) ·

(− r

s2

)+ (2xy cosxy2) · (−er−s) =

−re2(r−s)

s2cos

(r

se2(r−s)

)− 2re2(r−s)

scos

(r

se2(r−s)

).

Definitie. Fie X, Y ∈ Rn. Segmentul [X, Y ] care uneste X si Y este

multimea

[X, Y ] = {V ∈ Rn | (∃)t ∈ [0, 1] : V = tX + (1− t)Y }.

Observatie. X = 1X + (1− 1)Y ∈ [X, Y ] si Y = 0X + (1− 0)Y ∈ [X, Y ].

Putem formula acum o extindere a teoremei cresterilor finite a lui Lagrange

Propozitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie diferentiabila pe D si

X, Y ∈ D cu proprietatea ca [X, Y ] ⊆ D. Atunci exista un punct C ∈ [X, Y ]

cu proprietatea ca

f(Y )− f(X) = (∇f(C), Y −X).

Demonstratie. Fie g : [0, 1] −→ R definita prin g(t) = f(X + t(Y −X)) = (f ◦ h)(t), unde h : [0, 1] −→ Rn, h(t) = X + t(Y − X). Atunci

h(t) = X + t(Y −X) ∈ [X, Y ], (∀)t ∈ [0, 1], g(0) = f(X), g(1) = f(Y ) si g

este o functie derivabila. Aplicand teorema lui Lagrange pentru functia g,

rezulta ca exista t0 ∈ (0, 1) cu proprietatea ca

g(1)− g(0) = g′(t0)(1− 0) = g′(t0).

Dar

g′(t) = (∇f(h(t)), h′(t)) = (∇f(h(t)), Y −X),

astfel ca pentru C = h(t0) obtinem

f(Y )−f(X) = g(1)−g(0) = g′(t0) = (∇f(h(t0)), Y −X) = (∇f(C), Y −X).

Afirmatia este deci demonstrata.


7.4 Hessiana unei functii ıntr-un punct

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile derivabila partial

de doua ori ın raport cu fiecare variabila pe multimea deschisa D ⊆ Rn si

A ∈ D un punct al domeniului de definitie al lui f . Matricea hessiana a

functiei f ın punctul A este matricea

Hf (A) =

∂2f∂x2

1(A) ∂2f

∂x1∂x2(A) . . . ∂2f

∂x1∂xn(A)

∂2f∂x2∂x1

(A) ∂2f∂x2

2(A) . . . ∂2f

∂x2∂xn(A)

...... . . . ...

∂2f∂xn∂x1

(A) ∂2f∂xn∂x2

(A) . . . ∂2f∂x2

n(A)

Observatie. Daca derivatele partiale mixte ale functiei f sunt continue, din

criteriul lui Schwarz rezulta ca matricea hessiana a functiei f este simetrica.

Exemplu. Fie f : D ⊆ R3 −→ R, definita prin

f(x, y, z) = ln(x+ 2y + 3z)

si A = (2, 2, 5). Vom determina matricea hessiana a functiei f ın punctul

A.

Solutie. Derivatele partiale de ordinul ıntai ale functiei f sunt

∂f

∂x=

1

x+ 2y + 3z,

∂f

∂y=

2

x+ 2y + 3z,

∂f

∂z=

3

x+ 2y + 3z.

Derivatele de ordinul al doilea sunt

∂2f∂x2 = − 1

(x+2y+3z)2∂2f∂x∂y = − 2

(x+2y+3z)2∂2f∂x∂z = − 3

(x+2y+3z)2

∂2f∂y∂x = − 2

(x+2y+3z)2∂2f∂y2 = − 4

(x+2y+3z)2∂2f∂y∂z = − 6

(x+2y+3z)2

∂2f∂z∂x = − 3

(x+2y+3z)2∂2f∂z∂y = − 6

(x+2y+3z)2∂2f∂z2 = − 9

(x+2y+3z)2


Astfel ca matricea hessiana a functiei f ın punctul A = (2, 2, 5) este

Hf (2, 2, 5) =

− 1441 −

2441 −

3441

− 2441 −

4441 −

6441

− 3441 −

6441 −

9441

Definitie. Forma patratica care are drept coeficienti elementele matricei

hessiene Hf (A) ale unei functii f : D ⊆ Rn −→ R de n variabile ıntr-un

punct A ∈ D se numeste forma hessiana asociata functiei f ın punctul A.

Vom nota cu hf,A aceasta forma patratica

hf,A(z1, z2, . . . , zn) =∂2f

∂x21

(A)z21 +

∂2f

∂x22

(A)z22 + . . .+

∂2f

∂x2n

(A)z2n+

+2∂2f

∂x1∂x2

(A)z1z2 + 2∂2f

∂x1∂x3

(A)z1z3 + . . .+ 2∂2f

∂x1∂xn(A)z1zn+

+2∂2f

∂x2∂x3

(A)z2z3 + . . .+ 2∂2f

∂xn−1∂xn(A)zn−1zn

(Am presupus aici ca derivatele mixte sunt egale, asa cum este cazul aproape

ıntotdeauna.)

Exemplu. Pentru cazul functiei f : D ⊆ R3 −→ R, f(x, y, z) = ln(x +

2y + 3z), pentru care am determinat mai sus matricea hessiana ın punctul

A = (2, 2, 5), forma hessiana ın acelasi punct este

− 1

441(z2

1 + 4z22 + 9z2

3 + 4z1z2 + 6z1z3 + 12z2z3).


Calculati ∂z/∂x si ∂z/∂y pentru functiile urmatoare

1. z = x2y 2. z = xy2 3. 3exy3

4. z = sin(x2 + y3) 5. z = 4x/y5 6. z = eytg(x)

7. z = ln(x3y5 − 2) 8. z =√xy + 2y3 9. z = (x+ 5y sinx)4/3

Calculati derivatele partiale de ordinul ıntai si doi ale functiilor urmatoare

ın punctele indicate:


10. f(x, y, z) = xyz, ın (2, 3, 4)

11. f(x, y, z) =√x+ 2y + 3z ın (2,−1, 3)

12. f(x, y, z) = x−yz

ın (−3,−1, 2)

13. f(x, y, z) = sin(x2 − y2 + z) ın (0, 1, 0)

14. f(x, y, z) = ln(x+ 2y + 3z) ın (2, 2, 5)

15. f(x, y, z) = tg xyz

ın (1, 2,−2)

16. f(x, y, z) = y3−z5x2y+z

ın (4, 0, 1)

17. f(x, y, z) = exy(ch(z)− sh(z)) ın (2, 3, 0)

18. f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 ın (a, b, c)

19. Costurile de productie ale unui fabricant pentru a produce x unitati

din produsul A si y unitati din produsul B este dat de

C(x, y) =50

2 + x+

125

(3 + y)2.

Calculati costul marginal al fiecarui produs.

20. Venitul realizat de acelasi fabricant este dat de

V (x, y) = ln(1 + 50x+ 75y) +√

1 + 40x+ 125y.

Calculati venitul marginal realizat cu fiecare produs.

8

Extreme locale ale functiilor de

mai multe variabile

Orice functie continua definita pe o multime compacte are urmatoarea pro-

prietate remarcabila:

Teorema lui Weierstrass Fie f : K ⊆ Rn −→ R o functie continua

avand drept domeniu de definitie o multime compacta K ⊆ Rn. Atunci

exista doua puncte X1, X2 ∈ K si doua numere reale m,M ∈ R cu propri-

etatea ca

m = f(X1) ≤ f(X) ≤ f(X2) = M, (∀)X ∈ K.

Definitie. Numerele reale m si M poarta numele de minim global, respec-

tiv maxim global al functiei f , iar punctele X1 si X2 ın care se ating aceste

valori se numesc punct de minim global, respectiv punct de maxim global.

Definitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie de n variabile si A ∈ D un punct

al domeniului de definitie. Punctul A se numeste punct de maxim(minim)

local al functiei f daca exista o vecinatate V a sa cu proprietatea ca

f(X) ≤ f(A)(resp. f(X) ≥ f(A)), (∀)X ∈ V ∩D.

Valoarea f(A) a functiei f ın punctul A se numeste maxim local(respectiv

minim local) al functiei f .

Valorile minime sau maxime(locale sau globale) ale unei functii se numesc

extreme ale functiei, iar punctele ın care se ating aceste valori se numesc

67

68 8. EXTREME LOCALE ALE FUNCTIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

puncte de extrem.

8.1 Extreme locale neconditionate ale functiilor

diferentiabile

Propozitie. Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie diferentiabila de n variabile

definita pe multimea deschisa D ⊆ Rn si A ∈ D un punct de extrem local.

Atunci

∇f(A) = 0.

Demonstratie. Fie A = (a1, a2, . . . , an) si hi : Ii −→ R functia definita

prin hi(x) = f(a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an) pe un interval Ii cu propietatea

ca ai ∈ Ii si (a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an) ∈ D, (∀)x ∈ Ii. Conform enuntului,

rezulta ca hi este derivabila pe Ii si ai este un punct de extrem local pentru

functia hi. Conform teoremei lui Fermat, avem atunci

h′i(ai) = 0.

dar din definitia lui hi rezulta ca

h′i(ai) =∂f

∂xi(A).

Prin urmare, obtinem ca

∂f

∂xi(A) = 0, (∀)i = 1, n,

adica ∇f(A) = 0.

Definitie. Un punct A se numeste punct critic al unei functii f daca f

este diferentiabila ın A si ∇f(A) = 0.

Observatie. Din propozitia de mai sus avem ca orice punct de extrem local

al unei functii diferentiabile este un punct critic. Reciproca nu este ın gen-

eral adevarata, adica nu orice punct critic este neaparat un punct de extrem.

Exemplu. Fie f : R2 −→ R, f(x, y) = 1 + x2 + 3y2. Atunci ∇f(x, y) =

(2x, 6y), astfel ca singurul punct critic al functiei f este (0, 0), care este

8.1. EXTREME NECONDITIONATE 69

evident un punct de minim local(si chiar global).

Exemplu. Fie f : R2 −→ R, f(x, y) = 1 − x2 − 3y2. Atunci ∇f(x, y) =

(−2x,−6y), care se anuleaza numai pentru (0, 0), care este un punct de

maxim local(si chiar global).

Exemplu. Fie f : R2 −→ R, f(x, y) = x2 − y2. Avem ∇f(x, y) =

(2x,−2y), deci singurul punct critic este (0, 0). Acesta ınsa nu este nici

punct de maxim local, deoarece ın orice vecinatate a sa se gasesc puncte

(x, y) cu |x| > |y|, pentru care f(x, y) > 0, nici punct de minim local,

caci orice vecinatate a sa contine puncte (x, y) cu |x| < |y|, pentru care

f(x, y) < 0.

Definitie. Un punct critic al unei functii derivabile f care nu este punct

de extrem local al functiei f , se numeste punct-sa al lui f .

Pentru a recunoaste care dintre punctele critice ale unei functii sunt

puncte de extrem local, vom utiliza polinoamele de aproximare ale lui Tay-

lor:

Fie f : D ⊆ Rn −→ R o functie diferentiabila de n variabile, definita

pe multimea deschisa D, si fie A ∈ D un punct critic al lui f . Conform

teoremei lui Taylor, ıntr-o vecinatate V ⊆ D a punctului A putem scrie

f(X) = T2(f ;A)(X) +R2(f ;A)(X), (∀)X ∈ V,

unde T2(f ;A)(X) este polinomul Taylor de ordinul 2 asociat functiei f ın

jurul punctului A, iar R2(f ;A)(X) este restul formulei lui Taylor de ordinul

2, despre care stim ca

limX−→A

R2(f ;A)(X)

||X − A||2= 0.

Polinomul Taylor de ordinul 2 asociat lui f ın jurul lui A este

T2(f ;A)(X) = f(A) +∂f(A)

∂x1

(x1 − a1) + . . .+∂f(A)

∂xn(xn − an)+

+∂2f(A)

∂x21

(x1 − a1)2 + . . .+∂2f(A)

∂x2n

(xn − an)2+

+2∂2f(A)

∂x1∂x2

(x1 − a1)(x2 − a2) + . . .+ 2∂2f(A)

∂xn−1∂xn(xn−1 − an−1)(xn − an)


Cu notatiile si definitiile din paragraful precedent putem scrie

T2(f ;A)(X) = f(A) + (∇f(A), X − A) + hf,A(X − A).

Tinand cont de faptul ca A este un punct critic, din formula lui Taylor de-

ducem urmatoarea aproximare, valabila ıntr-o vecinatate a punctului critic

A:

f(X) ≈ f(A) + hf,A(X − A),

sau

f(X)− f(A) ≈ hf,A(X − A).

Deducem ca un punct critic este

• punct de minim, daca hessiana hf,A este pozitiv definita.

• punct de maxim, daca hessiana hf,A este negativ definita.

• punct-sa, daca hessiana hf,A este nedefinita.

In celelalte situatii, cand hessiana este semidefinita, punctul critic poate fi

de oricare din cele trei tipuri(minim, maxim, punct-sa).

Exemplu. Fie f(x, y) = 2x3 − 24xy + 16y3. Vom determina natura

punctelor critice ale lui f .

Solutie. Gradientul lui f este ∇f(x, y) = (6x2 − 24y,−24x+ 48y2), astfel

ca punctele critice ale lui f sunt solutiile sistemului x2 − 4y = 0

x− 2y2 = 0⇐⇒

4y4 − 4y = 0

x = 2y2

Solutiile acestui sistem sunt (0, 0) si (2, 1). Matricea hessiana a functiei f

ıntr-un punct oarecare (x, y) este

Hf (x, y) =

12x −24

−24 96y

Forma hessiana este atunci

hf ;(x,y)(z1, z2) = 12xz21 + 96yz2

2 − 48z1z2.

Pentru punctul critic (0, 0), forma hessiana este

hf ;(0,0)(z1, z2) = −48z1z2,

8.2. EXTREME CONDITIONATE 71

care este o froma nedefinita, deci (0, 0) este un punct-sa. In punctul critic

(2, 1) avem

hf ;(2,1)(z1, z2) = 24z21 + 96z2

2 − 48z1z2 = 24((z1 − z2)2 + 3z22),

deci forma hessiana este pozitiv definita, astfel ca punctul (2, 1) este un

punct de minim local.

Etapele pe care le parcurgem deci cand dorim sa determinam punctele

de extrem local ale unei functii dierentiabile definite pe o multime deschisa,

sunt:

• Calculam derivatele partiale de ordinul ıntai si de ordinul doi.

• Determinam punctele critice.

• Pentru fiecare punct critic ın parte construim forma hessiana asociata

functiei ın acel punct si studiem definirea(pozitiva, negativa sau ”non”),

studiu din care deducem daca punctul critic este un punct de extrem lo-

cal(minim sau maxim) sau un punct-sa.

8.2 Extreme locale conditionate. Regula mul-

tiplicatorilor lui Lagrange

In probleme de optimizare cautam de multe ori sa determinam valori ex-

treme(locale sau globale) a unei functii ale carei variabile nu sunt ”libere”,

ci conditionate de anumite restrictii:

max(min)[f = f(x1, x2, . . . , xn)]

g1(x1, x2, . . . , xn) = 0

g2(x1, x2, . . . , xn) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

gm(x1, x2, . . . , xn) = 0

Pentru puncte de extrem conditionat este valabila urmatoarea propri-

etate

Propozitie. Fie f, g1, . . . , gm : D ⊆ Rn −→ R functii diferentiabile de n

variabile, si A ∈ Dr = {X ∈ D|gj(X) = 0, (∀)j = 1,m}. Daca punctul


A este un punct de extrem local al functiei f ın raport cu multimea Dr a

punctelor din D care respecta conditiile g1(X) = 0, . . . , gm(X) = 0, atunci

exista numere reale λ1, . . . , λm ∈ R cu proprietatea ca

∇f(A) = λ1∇g1(A) + . . .+ λm∇gm(A).

Definitie. Numerele λ1, . . . , λm care au aparut mai sus poarta numele de

multiplicatori ai lui Lagrange.

Vom prezenta ın continuare Metoda multiplicatorilor lui Lagrange

pentru determinarea punctelor de extrem local conditionat ale unei functii.

Fie deci f, g1, . . . , gm : D ⊆ Rn −→ R functii diferentiabile de n variabile,

si Dr = {X ∈ D|gj(X) = 0, (∀)j = 1,m} multimea punctelor din D care

respecta conditiile g1(X) = 0,. . . , gm(X) = 0. Etapele pe care le parcurgem

pentru a determina punctele de extrem local ale functiei f ın raport cu

multimea Dr sunt:

• Construim functia lui Lagrange L : D×Rm −→ R asociata functiei f

si conditiilor exprimate cu ajutorul functiilor g1, . . . , gm:

L(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm) = f(x1, . . . , xn)−

−λ1g1(x1, . . . , xn)− . . .− λmgm(x1, . . . , xn).

• Calculam derivatele partiale de ordinul ıntai si doi ale functiei lui La-

grange(pentru derivatele de ordinul al doilea este suficient sa calculam doar

derivatele ın raport cu variabilele xi).

• Rezolvam sistemul de ecuatii ∇L(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm) = 0:

∂f∂x1

(X,λ)− λ1∂g1∂x1

(X,λ)− . . .− λm∂gm∂x1

(X,λ) = 0

∂f∂x2

(X,λ)− λ1∂g1∂x2

(X,λ)− . . .− λm∂gm∂x2

(X,λ) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∂f∂xn

(X,λ)− λ1∂g1∂xn

(X,λ)− . . .− λm∂gm∂xn

(X,λ) = 0

g1(x1, . . . , xn) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

gm(x1, . . . , xn) = 0

8.2. EXTREME CONDITIONATE 73

aceasta este doar o transcriere a conditiilor ∇f(A) = λ1∇g1(A) + . . . +

λm∇gm(A), g1(A) = 0,. . . , gm(A) = 0, pe care trebuie sa le verifice un

punct de extrem conditionat.

• Pentru fiecare solutie (A, µ) a sistemului de mai sus, studiem semnul pe

care ıl poate lua forma patratica

hf ;A;µ : Rn −→ R, hf ;A;µ(z1, . . . , zn) =∂2L(A, µ)

∂x21

z21 + . . .+

∂2L(A, µ)

∂x2n

z2n+

+2∂2L(A, µ)

∂x1∂x2

z1z2 + 2∂2L(A, µ)

∂xn−1∂xnzn−1zn,

ale carei variabile nu sunt libere, ci verifica conditiile

dA(gj)(z1, . . . , zn) = 0, (∀)j = 1,m

(corespunzatoare faptului ca vrem sa comparam valoarea functiei f ın punc-

tul A doar cu valori ale lui f ın puncte dintr-o vecinatate a lui A care se

gasesc ın multimea Dr). Aceste conditii se pot transcrie sub forma

∂g1∂x1z1 + ∂g1

∂x2z2 + . . .+ ∂g1

∂xnzn = 0

∂g2∂x1z1 + ∂g2

∂x2z2 + . . .+ ∂g2

∂xnzn = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∂gm∂x1

z1 + ∂gm∂x2

z2 + . . .+ ∂gm∂xn

zn = 0

Din acest sistem vom putea exprima m dintre variabilele zk ın functie de

celelalte n −m, astfel ca, ınlocuind ın forma patratica hf ;A;µ, vom ajunge

sa studiem definirea unei forme patratice cu n−m variabile independente.

• In functie de rezultatul obtinut, vom putea deduce natura punctului critic

A ∈ Dr:

- daca forma patratica este pozitiv definita, atunci A este un punct de

minim local conditionat.

- daca forma patratica este negativ definita, atunci A este un punct de

maxim local conditionat.

- daca forma patratica este nedefinita, atunci A nu este punct de extrem

local conditionat.

Exemplu. Fie f : R3 −→ R, definita prin f(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23,

si fie g1, g2 : R3 −→ R, g1(x1, x2, x3) = 2x1 + x2 + x3 − 2, g2(x1, x2, x3) =


x1− x2− 3x3− 4. Vom ıncerca sa determinam punctele de extrem local ale

lui f ın raport cu conditiile g1(x) = 0 si g2(x) = 0.

Solutie. • In primul rand construim functia lui Lagrange

L : R5 −→ R, L(x1, x2, x3, λ1, λ2) = x21 + x2

2 + x23−

−λ1(2x1 + x2 + x3 − 2)− λ2(x1 − x2 − 3x3 − 4).

• Derivatele partiale ale functiei lui Lagrange sunt

∂L∂x1

= 2x1 − 2λ1 − λ2∂L∂λ1

= −(2x1 + x2 + x3 − 2)

∂L∂x2

= 2x2 − λ1 + λ2,∂L∂λ2

= −(x1 − x2 − 3x3 − 4)

∂L∂x3

= 2x3 − λ1 + 3λ2

iar cele de ordinul doi sunt

∂2L

∂x21

=∂2L

∂x22

=∂2L

∂x23

= 2,

∂2L

∂x1∂x2

=∂2L

∂x1∂x3

=∂2L

∂x2∂x3

= 0,

• Sistemul asociat este

2x1 − 2λ1 − λ2 = 0

2x2 − λ1 + λ2 = 0

2x3 − λ1 + 3λ2 = 0

2x1 + x2 + x3 − 2 = 0

x1 − x2 − 3x3 − 4 = 0

Solutia acestui sistem este(

4431, 1

31, −27

31; 30

31, 28

31

), deci avem un singur punct

critic, a =(

4431, 1

31, −27

31

), si corespunzator valorile multiplicatorilor sunt µ =(

3031, 28

31

).

• Forma patratica asociata este

hf ;a;µ(z1, z2, z3) = 2z21 + 2z2

2 + 2z23 ,

iar variabilele z1, z2, z3 satisfac conditiile

dA(g1)(z1, z2, z3) = 0 si dA(g2)(z1, z2, z3) = 0,


adica sistemul de ecuatii 2z1 + z2 + z3 = 0

z1 − z2 − 3z3 = 0

cu solutia z1 = 23z3, z2 = −7

3z3, z3 ∈ R.

• Forma patratica hf ;A;µ se poate scrie atunci ca o forma patratica de o

singura variabila(i.e., o functie de gradul II): h(z3) = 1249z2

3 , care este

evident pozitiv definita, astfel ca punctul A =(

4431, 1

31, −27

31

)este un punct

de minim local conditionat.


Determinati punctele de extrem local si valorile extreme locale corespunzatoare

ale urmatoarelor functii(domeniul de definitie se presupune ca este cel maxim

posibil):

1. f(x, y) = 7x2 − 8xy + 3y2 + 1

2. f(x, y) = x2 + y3 − 3xy

3. f(x, y) = xy2 + x2y − 3xy

4. f(x, y) = 1y− 1

x− 4x+ y

5. f(x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2

6. f(x, y) = 1+x−y√1+x2+y2

7. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y − 6z − 11

8. f(x, y, z) = x+ y2

4x+ z2

y+ 2

z(x > 0, y > 0, z > 0).

Determinati puntele de extrem conditionat ale functiilor urmatoare

9. f(x, y) = xy daca x+ y = 1

10. f(x, y) = x+ 2y daca x2 + y2 = 5

11. f(x, y) = x2 + y2 daca 3x+ 2y = 6

12. f(x, y, z) = x− 2y + 2z daca x2 + y2 + z2 = 9

13. f(x, y, z) = xy2z3 daca x+ y + z = 12(x > 0, y > 0, z > 0)

14. f(x, y, z) = xyz daca x+ y + z = 5, xy + xz + yz = 8

9

Elemente de calcul integral

9.1 Primitive

Definitie. Fie f : I −→ R o functie definita pe un interval I ⊆ R. Spunem

ca f admite primitive pe I daca exista o functie F : I −→ R, astfel ıncat

a) F este derivabila pe I;

b) F ′(x) = f(x), (∀)x ∈ I.

Functia F se numeste o primitiva a functiei f .

Propozitie. Fie f : I −→ R o functie care admite primitive pe I. Daca

F1, F2 : I −→ R sunt doua primitive ale lui f , atunci exista o constanta

C ∈ R cu proprietatea ca F2(x) = F1(x) + C, (∀)x ∈ I.

Definitie. Fie f : I −→ R o functie care admite primitive. Multimea

primitivelor lui f se numeste integrala nedefinita a functiei f , notata∫f(x) dx

Notand cu C multimea functiilor constante definite pe I, daca F este o

primitiva a lui f , atunci ∫f(x) dx = F + C .

Propozitie. O functie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.

Propozitie. O functie continua pe un interval admite primitive pe acel

interval.

Propozitie. Daca f, g : I −→ R sunt functii care admit primitive, iar

λ ∈ R, atunci f + g si λ · f sunt functii care admit primitive. Pentru

77

78 9. ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL

acestea, ∫(f(x) + g(x)) dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx ,∫

(λ · f(x)) dx = λ ·∫f(x) dx .

Propozitie. (formula de integrare prin parti) Daca f, g : I −→ R

sunt functii derivabile cu derivate continue, atunci functiile f ′g si fg′ admit

primitive pe I si∫f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x) dx .

Teorema. (prima metoda de schimbare de variabila) Fie I, J ⊆ R

doua intervale si φ : I −→ J , f : J −→ R doua functii cu proprietatile:

a) φ este derivabila pe I;

b) f admite primitive pe J .

Atunci functia (f ◦ φ) · φ′ admite primitve pe I, iar daca F este o primitiva

a lui f , atunci F ◦ φ este o primitiva a lui (f ◦ φ) · φ′, astfel ca∫f(φ(x)) · φ′(x) dx = F (φ(x)) + C .

Observatie. In aplicarea primei metode de schimbare de variabila dis-

tingem:

- o functie de integrat h : I −→ R;

- se cauta doua functii cu proprietatile din teorema de mai sus, astfel ıncat

h(x) = f(φ(x)) · φ′(x), (∀)x ∈ I;

- se cauta o primitiva F a lui f ;

- se determina o primitiva H a functiei h prin H = F ◦ φ:∫h(x) dx =

∫f(φ(x)) · φ′(x) dx = F (φ(x)) + C .

Teorema. (a doua metoda de schimbare de variabila) Fie I, J ⊆ R

doua intervale si φ : I −→ J , f : J −→ R doua functii cu proprietatile:

a) φ este bijectiva, derivabila, cu derivata nenula;

b) functia h = (f ◦ φ) · φ′ admite primitive.

Atunci functia f admite primitive, iar daca H este o primiiva a lui h, atunci

H ◦ φ−1 este o primitiva a lui f , astfel ca∫f(x) dx = H(φ−1(x)) + C .

Observatie. In aplicarea celei de-a doua metode de schimbare de variabila

distingm:

9.1. PRIMITIVE 79

- functia de integrat f : J −→ R;

- se cauta φ : I −→ J , bijectiva, derivabila si cu derivata nenula;

- se construieste functia h(t) = f(φ(t)) · φ′(t);- se cauta o primitiva H a functiei h;

- se obtine o primitiva F a functiei f prin F = H ◦ φ−1:∫f(x) dx =

∫h(φ−1(x)) · 1

φ′(φ(x))dx = H(φ−1(x)) + C .

9.1.1 Primitive reductibile la primitivele functiilor rationale

In acest paragraf, prin R(x, y, z, . . .) vom ıntelege o functie rationala ın vari-

abilele x, y, z, . . .

Integrale de forma∫R(x, xr1 , xr2 , . . .) dx

Daca r1 = p1q1, r2 = p2

q2, . . . ∈ Q, iar n = c.m.m.m.c. al numerelor naturale

q1, q2, . . ., se face substitutia x = tn.

Integrale de forma∫R(eλx) dx, λ ∈ R∗

Se face substitutia eλx = t.

Integrale de forma∫R(x, n1

√ax+ b, n2

√ax+ b, . . .) dx

Daca n = c.m.m.m.c. al numerelor naturale n1, n2, . . ., se face substitutian√ax+ b = t.

Integrale de forma∫R(x, n

√ax+bcx+d

) dx

Se face substitutia n

√ax+bcx+d

= t ⇐⇒ ax+bcx+d

= tn.

Integrale de forma∫R(x,

√ax2 + bx+ c) dx

Se face una dintre substitutiile lui Euler: i) Daca a > 0, alegem t =√ax2 + bx+ c± x

√a.

ii) Daca c > 0 si 0 6∈ I, alegem t =√ax2+bx+c±

√c

x.

iii) Daca b2 − 4ac > 0, ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) si x1 6∈ I, alegem

t =√ax−x2x−x2 .


De asemenea, se pot folosi substitutii trigonometrice:

i) Pentru∫R(x,

√a2 − x2) dx, alegem x = a sin(t) sau x = a cos(t).

ii) Pentru∫R(x,

√a2 + x2) dx, alegem x = a tg(t).

iii) Pentru∫R(x,

√x2 − a2) dx, alegem x = a sec(t).

Integrale de forma∫xm(axn + b)p dx, cu m,n, p ∈ Q

Se face una dintre substitutiile lui Cebısev:

i) Daca p ∈ Z si m+1n

= rs, alegem t = (xn)

1s .

ii) Daca m+1n∈ Z si p = r

s, alegem t = (axn + b)

1s .

iii) Daca m+1n

+ p ∈ Z si p = rs, alegem t = (a+ bx−n)

1s .

Integrale de forma∫R(sin(x), cos(x)) dx

i) Daca R(−sin(x), cos(x)) = −R(sin(x), cos(x)), alegem t = cos(x).

ii) Daca R(sin(x),−cos(x)) = −R(sin(x), cos(x)), alegem t = sin(x).

iii) Daca R(−sin(x),−cos(x)) = R(sin(x), cos(x)), alegem t = tg(x).

iv) In celelalte cazuri se poate folosi substitutia t = tgx2.

9.2 Functii integrabile. Integrala definita

Definitie. Fie f : [a, b] −→ R o functie, definita pe un interval [a, b], ∆ =

(a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b) o diviziune a intervalului, iar ξ =

(ξ1, ξ2, . . . , ξn) un sistem de puncte intermediare(i.e. ξi ∈ [xi−1, xi], (∀)i =

1, n). Suma Riemann asociata functiei f , diviziunii ∆ si sistemului de

puncte intermediare ξ este numarul real

σ∆(f ; ξ) =n∑i=1

f(ξi) · (xi − xi−1) .

Definitie. O functie f : [a, b] −→ R se numeste functie integrabila

Riemann daca exista un numar I ∈ R astfel ıncat pentru orice ε > 0,

exista ηε > 0 cu proprietatea ca pentru orice diviziune ∆ = (a = x0 < x1 <

x2 < . . . < xn−1 < xn = b) cu norma ||∆|| = maxi=1,n(xi−xi−1) < ηε si orice

sistem de puncte intermediare ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn), cu ξ ∈ [xi−1, xi], (∀)i =

9.2. FUNCTII INTEGRABILE. INTEGRALA DEFINITA 81

1, n are loc inegalitatea |σ∆(f ; ξ)−I| < ε. In acest caz, numarul I se numeste

integrala definita a functiei f pe intervalul [a, b] si se noteaza

I =∫ b

af(x) dx .

Observatie. Pentru o functie integrabila Riemann f : [a, b] −→ R, inte-

grala I =∫ ba f(x) dx este unic determinata.

Observatie. Orice functie integrabila Riemann pe un interval este marginita.

Teorema. O functie f : [a, b] −→ R este integrabila Riemann daca si nu-

mai daca pentru orice sir de diviziuni (∆n)n≥1, ∆n = (a = xn0 < xn1 < . . . <

xnln = b) cu limn−→∞ ||∆n|| = 0 si orice sisteme de puncte intermediare aso-

ciate acestora ξn = (ξn1 , ξn2 , . . . , ξ

nln), cu ξni ∈ [xni−1, x

ni ], atunci sirul sumelor

Riemann corespunzatoare (σ∆n(f ; ξn))n este convergent. In acest caz lim-

itele tuturor acestor siruri coincid, iar daca I ∈ R este limita lor comuna,

atunci ∫ b

af(x) dx = lim

||∆n||−→0σ∆n(f ; ξn) = I .

Definitie. Fie f : [a, b] −→ R si ∆ = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b)

o diviziune a intervalului [a, b]. Pentru fiecare i = 1, n, notam mi =

infx∈[xi−1,xi] f(x) si Mi = supx∈[xi−1,xi]f(x). Suma inferioara Darboux

asociata functiei f si diviziunii ∆ este numarul s∆(f) =∑ni=1mi(xi −

xi−1). Suma superioara Darboux asociata functiei f si diviziunii ∆

este numarul S∆(f) =∑ni=1Mi(xi − xi−1).

Teorema. O functie marginita f : [a, b] −→ R este integrabila Riemann

daca si numai daca pentru orice ε > 0 exista ηε > 0 cu proprietatea ca pen-

tru orice diviziune ∆ a intervalului [a, b] cu ||∆|| < ηε are loc inegalitatea

S∆(f)− s∆(f) < ε.

Teorema. Orice functie monotona f : [a, b] −→ R este integrabila.

Teorema. Orice functie continua f : [a, b] −→ R este integrabila.

Teorema. (Leibniz-Newton) Daca f : [a, b] −→ R este o functie

integrabila Riemann care admite primitive, iar F este o primitiva a sa,

atunci ∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a) .

Propozitie. (liniaritatea integralei) Daca f, g : [a, b] −→ R sunt doua

functii integrabile, iar λ, µ ∈ R, atunci functia λ · f + µ · g este integrabila


si ∫ b

a(λ · f(x) + µ · g(x)) dx = λ ·

∫ b

af(x) dx+ µ ·

∫ b

ag(x) dx .

Propozitie. (aditivitatea integralei) Daca f : [a, b] −→ R este o functie

integrabila Riemann, iar c ∈ (a, b), atunci

∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx+

∫ b

cf(x) dx .

Corolar. Daca f : [a, b] −→ R este o functie integrabila Riemann, atunci

∫ aa f(x) dx = 0 ;∫ ab f(x) dx = −

∫ ba f(x) dx .

Propozitie. Daca f, g : [a, b] −→ R sunt doua functii integrabile, cu

proprietatea ca f(x) ≤ g(x), (∀)x ∈ [a, b], atunci

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx .

Teorema de medie Daca f : [a, b] −→ R este o functie continua, atunci

exista c ∈ (a, b), astfel ıncat

∫ b

af(x) dx = f(c) · (b− a) .

Teorema de existenta a primitivelor pentru functiile continue Daca

f : [a, b] −→ R este o functie continua, x0 ∈ [a, b] si y0 ∈ R, atunci functia

F : [a, b] −→ R, definita prin

F (x) =∫ x

x0dx+ y0

este o primitiva a functiei f , pentru care F (x0) = y0.

Propozitie. (formula de integrare prin parti) Daca f, g : [a, b] −→R sunt doua functii derivabile, cu derivatele continue, atunci∫ b

af(x) · g′(x) dx = (f(x) · g(x))|ba −

∫ b

af ′(x) · g(x) dx ,

unde (f(x) · g(x))|ba = f(b) · g(b)− f(a) · g(a).

Propozitie. (formula de schimbare de variabila(I)) Fie h : [a, b] −→R o functie cu proprietatea ca exista doua functii φ : [a, b] −→ I si f :

9.3. APLICATII ALE INTEGRALELOR DEFINITE 83

I −→ R, astfel ıncat φ este derivabila cu derivata continua, f continua, iar

pentru orice x ∈ [a, b], h(x) = f(φ(x)) · φ′(x). Atunci∫ b

ah(x) dx =

∫ b

af(φ(x)) · φ′(x) dx =

∫ φ(b)

φ(a)f(t) dt .

Propozitie. (formula de schimbare de variabila(II)) Fie f : [a, b] −→R o functie continua si φ : [c, d] −→ [a, b] o functie bijectiva si derivabila,

cu derivata nenula. Atunci∫ b

af(x) dx =

∫ φ−1(b)

φ−1(a)f(φ(t)) · φ′(t) dt .

9.3 Aplicatii ale integralelor definite

9.3.1 Aria subgraficului unei functii continue si pozi-

tive

Definitie. Fie f : [a, b] −→ R o functie continua, cu f(x) ≥ 0, (∀)x ∈ [a, b].

Multimea

Γf = {(x, y) ∈ R2|x ∈ [a, b], 0 <≤ y ≤ f(x)}

se numeste subgraficul functiei f .

Propozitie. Fie f : [a, b] −→ R o functie continua, cu f(x) ≥ 0, (∀)x ∈[a, b]. Atunci

Aria(Γf ) =∫ b

af(x) dx .

Corolar. Daca f, g : [a, b] −→ R sunt doua functii continue, cu g(x) ≤f(x), (∀)x ∈ [a, b], iar

Γg,f = {(x, y) ∈ R2|x ∈ [a, b], g(x) <≤ y ≤ f(x)} ,

atunci

Aria(Γg,f ) =∫ b

a(g(x)− f(x)) dx .

9.3.2 Lungimea graficului unei functii derivabile cu

derivata continua

Propozitie. Fie f : [a, b] −→ R o functie derivabila cu derivata continua.

Lungimea graficului functiei f este atunci

l(f) =∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx .


9.3.3 Volumul unui corp de rotatie

Definitie. Fie f : [a, b] −→ R o functie continua, cu f(x) ≥ 0, (∀)x ∈ [a, b].

Multimea

Cf = {(x, y, z) ∈ R3|x ∈ [a, b],√y2 + z2 ≤ f(x)}

se numeste corp de rotatie generat prin rotirea aubgraficului functiei

f ın jurul axei Ox.

Propozitie. Fie f : [a, b] −→ R o functie continua, cu f(x) ≥ 0, (∀)x ∈[a, b]. Atunci volumul corpului de rotatie Cf este

V ol(Cf ) = π ·∫ b

af 2(x) dx .

9.3.4 Aria suprafetelor de rotatie

Definitie. Fie f : [a, b] −→ R+ o functie derivabila cu derivata continua.

Suprafata de rotatie generata de rotirea graficului functiei f ın

jurul axei Ox este multimea

Sf = {(x, y, z) ∈ R3|x ∈ [a, b],√y2 + z2 = f(x)} .

Propozitie. Fie f : [a, b] −→ R+ o functie derivabila cu derivata continua.

Aria suprafetei de rotatie Sf este

Aria(Sf ) = 2π ·∫ b

af(x) ·

√1 + (f ′(x))2 dx .

9.3.5 Centre de greutate

Def O placa plana P se numeste omogena daca exista o constanta ρ > 0,

numita densitate superficiala, astfel ıncat masa oricarei portiuni A ⊆ P

a placii P sa fie data de m(A) = ρ · Aria(A).

Propozitie. Daca P1, P2, . . . , Pn sunt placi plane omogene cu aceeasi

densitate superficiala si avand interioarele disjuncte doua cate doua, de

centre de greutat Gi(xi, yi), i = 1, n, atunci reuniunea placilor are centrul

de greutate G cu coordonatele date de

xG =

∑ni=1 xi · Aria(Pi)∑ni=1Aria(Pi)

, yG =

∑ni=1 yi · Aria(Pi)∑ni=1Aria(Pi)

.

9.3. APLICATII ALE INTEGRALELOR DEFINITE 85

Propozitie. Fie f : [a, b] −→ R o functie continua, cu f(x) ≥ 0, (∀)x ∈[a, b]. Atunci placa plana omogena Pf reprezentata prin subgraficul Γf al

functiei f are centrul de greutate G cu coordonatele date de

xG =

∫ ba x · f(x) dx∫ ba f(x) dx

, yG =1

2·∫ ba f

2(x) dx∫ ba f(x) dx

.

Propozitie. Fie f, g : [a, b] −→ R doua functii continue, cu proprietatea

ca g(x) ≤ f(x), (∀)x ∈ [a, b]. Placa omogena Pg,f reprezentata de multimea

Γg,f are atunci coordonatele centrului de greutate date de

xG =

∫ ba x · (f(x)− g(x)) dx∫ ba (f(x)− g(x)) dx

, yG =1

2·∫ ba (f 2(x)− g2(x)) dx∫ ba (f(x)− g(x)) dx

.

10

Ecuatii diferentiale

10.1 Introducere ın teoria ecuatiilor diferentiale

Fenomenele din natura si societate au adesea un pronuntat caracter dinamic,

ele fiind procese evolutive ın timp conform unor legi proprii. Exemple de

asemenea fenomene pot fi evolutia unui grup biologic sau social, precum si

o reactie chimica.

Studiul unui asemenea proces evolutiv presupune urmarirea unui numar

de parametri care caracterizeaza procesul sau fenomenul respectiv. In lim-

baj matematic, acest grup de parametri reprezinta starea sistemului sau a

procesului si formeaza un grup de functii dependente de timp. De exem-

plu, starea unei populatii poate fi descrisa prin numarul de indivizi din care

este compusa. Starea unei reactii chimice poate fi data, dupa caz, de tem-

peratura sau concentratia uneia sau mai multor substante care participa la

reactie.

Starea sistemului apare relativ rar ca o functie explicita de timp, ci,

mult mai adesea, ca solutie a unei anumite ecuatii care descrie o lege ce

guverneaza fenomenul respectiv.

Modelarea matematica a unui fenomen dinamic revine la stabilirea aces-

tor ecuatii, care sunt ın majoritatea cazurilor ecuatii diferentiale.

Definitie. Se numeste ecuatie diferentiala de ordinul I o ecuatie

de forma

F (x, y, y′) = 0 , (10.1)

87

88 10. ECUATII DIFERENTIALE

unde F : D ⊆ R3 −→ R este o functie, x ∈ I = (a, b) ⊆ R este variabila

independenta, y = y(x) ese functia necunoscuta, iar y′ = y′(x) este derivata

de ordinul I a functiei necunoscute.

Observatie. Relatia (10.1) se numeste forma generala(implicita) a

ecuatiei diferentiale.

Definitie. Daca ecuatia (10.1) se poate transcrie ın forma

y′ = f(x, y) , (10.2)

atunci aceasta se numeste forma explicita(sau normala) a ecuatiei

diferentiale.

Definitie. Se numeste solutie(sau integrala) a ecuatiei diferentiale

(10.1) sau (10.2) o functie y = y(x), y : I ⊆ R −→ R, derivabila pe I

pentru care

F (x, y(x), y′(x)) = 0 , (∀)x ∈ I .

Definitie. Se numeste solutie generala(sau integrala generala) a

ecuatiei diferentiale (10.1) o familie de functii {φ(x;C)|C ∈ R} pentru care

F (x, φ(x;C), φ′(x;C)) = 0 , (∀)x ∈ I, C ∈ R .

Definitie. Se numeste solutie particulara a ecuatiei diferentiale (10.1)

o functie y = φ1(x) care se obtine din solutia generala dand o valoare par-

ticulara constantei reale C.

Definitie. O solutie a ecuatiei diferentiale, care nu se poate obtine prin

particularizarea constantei dintr-o solutie generala, se numeste solutie sin-

gulara.

Observatie. A rezolva sau a integra o ecuatie diferentiala ınseamna deter-

minarea tuturor functiilor y = y(x) care verifica, pentru x dintr-o anumita

multime o relatie de forma (10.1).

Definitie. Graficul unei solutii y = y(x) a ecuatiei se numeste curba in-

tegrala a ecuatiei date.

Definitie. Prin problema Cauchy atasata unei ecuatii (10.1) se

ıntelege problema determinarii acelo solutii ale ecuatiei care verifica o egal-

itate de forma

y(x0) = y0 , (10.3)

10.2. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL I 89

unde x0 ∈ I, iar y0 ∈ R sunt fixate. Relatia (10.3) se numeste conditie

initiala.

Observatie. O problema Cauchy consta deci dintr-o ecuatie diferentiala si

o conditie initiala: y′ = f(x, y)

y(x0) = y0

(10.4)

Teorema. Fie ecuatia diferentiaa y′ = f(x, y), unde f : D ⊆ R −→ R,

(x0, y0) ∈ D. Daca f satisface conditiile

(i) f este continua pe D;

(ii) f admite derivata partiala ∂f∂y

continua pe D,

atunci exista un interval (x0−h, x0 +h) si o functie unica y = y(x) definita

pe acest interval, care sa fie solutie a problemei Cauchy.

Observatie. Din punct de vedere geometric, rezolvarea problemei Cauchy

revine la determinarea unei cubr integrale a ecuatiei care sa treaca prin

(x0, y0)

Observatie. Daca y = φ(x;C) este o solutie generala a ecuatiei diferentiale,

atunci problema Cauchy se poate rezolva daca exista C ∈ R cu proprietatea

ca y0 = φ(x0;C).

10.2 Ecuatii diferentiale de ordinul I

Primele ecuatii diferentiale de ordinul I au fost rezolvate ın secolul XVII,

odata cu aparitia calcului integral:

y′ = f(x) , x ∈ I , (10.5)

unde f : I ⊆ R −→ R este o functie continua. Solutia acestei ecuatii este

y(x) = y0 +∫ x

x0f(t) dt .

10.2.1 Ecuatii cu variabile separabile

Definitie. Se numeste ecuatie cu variabile separabile o ecuatie de

forma

y′ = f(x) · g(y) , (10.6)

unde f : (a, b) −→ R si g : (c, d) −→ R sunt functii continue, iar g nu se

anuleaza ın nici un punct din intervalul (c, d)(a, b, c, d,∈ R).


Observatie. Functia g fiind continua si nenula, pastreaza semn constant

pe intervalul (c, d). Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca

g > 0 pe (c, d)(ın caz contrar, ınlocuim f si g cu −f , respectiv −g). Fie

y = y(x), y : (a, b) −→ (c, d), o solutie a ecuatiei (10.6). Atunci putem

”separa variabilele”:

y′ = f(x) · g(y) ⇐⇒ y′(x)

g(y(x))= f(x) , (∀)x ∈ (a, b) .

Deoarece f este continua, f si fie F : (a, b) −→ R o primitiva a sa. De

asemenea, fie G : (c, d −→ R o primitiva a functiei 1g. Rezulta ca G′ = 1

g,

G ◦ y : (a, b) −→ R este derivabila si

(G ◦ y)′(x) = G′(y(x)) · y′(x) =1

g(y(x))· y′(x) = f(x) , (∀)x ∈ (a, b) ,

astfel ca (G ◦ y)′ = f . Dar atunci (G ◦ y)′ = F ′, astfel ca exista o constanta

reala C ∈ R cu proprietatea ca G ◦ y = F + C. Rezulta ca

y(x) = G−1(F (x) + C), (∀)x ∈ I ⊆ (a, b) . (10.7)

Reciproc, fie y = y(x) de forma (10.7). Atunci

y′(x) = (G−1(F (x) + C))′ = (G−1)′(F (x) + C) · (F (x) + C)′ =

= 1G′(G−1(F (x)+C))

· F ′(x) = 1G′(y(x))

· f(x) = f(x)

( 1g

)(y(x))=

= f(x) · g(y(x)) ,

astfel ca y = y(x) este solutie a ecuatiei (10.6). Am demonstrat astfel

urmatoarea

Propozitie. Fie f : (a, b) −→ R si g : (c, d) −→ R doua functii

continue cu g 6= 0 pe (c, d). Atunci ecuatia cu variabile separabile

y′ = f(x) · g(y)

are solutia generala

y = y(x) , y(x) = G−1(F (x) + C) , (∀)x ∈ I ⊆ (a, b) ,

unde F : (a, b) −→ R este o primitiva a functiei f , G : (c, d) −→ R este o

primitiva a functiei 1g, iar C ∈ R este o constanta reala.


Observatie. Cand avem de rezolvat o ecuatie diferentiala cu variabile

separabile, de forma y′ = f(x) · g(y), procedam astfel:

1) separam variabilele: y′(x)g(y(x))

= f(x).

2) integram si obtinem∫ dyg(y)

=∫f(x) dx, egalitate care este echivalenta cu

G ◦ y = F + C, C ∈ R.

3) Scriem solutia generala

y(x) = G−1(F (x) + C) , C ∈ R .

4) Daca avem date si conditii initiale, i.e. avem de rezolvat problema Cauchy y′ = f(x) · g(y)

y(x0) = y0

solutia se obtine considerand ın solutia generala C = G(y0) − F (x0), sau,

echivalent rezolvand ın raport cu y = y(x) ecuatia∫ y(x)

y0

dt

g(t)=∫ x

x0f(s) ds . (10.8)

Exemplu. 1) Sa consideram ecuatia y′ = 2x · (1 + y2). Pentru a o

rezolva, separam ın primul rand variabilele:

y′

1 + y2= 2x .

Prin integrare, avem ca ∫ dy

1 + y2=∫

2x dx ,

de unde, tinand cont de∫ dy

1 + y2= arctg(y) + C si

∫2x dx = x2 + C ,

obtinem ca

arctg(y(x)) = x2 + C , cu C ∈ R .

Solutia generala a ecuatiei date este atunci

y(x) = tg(x2 + C) , C ∈ R .

2) Sa consideram problema Cauchy y′ = 2x · yy(1) = 2


Determinam solutia generala a ecuatiei diferentiale din cadrul sistemului:

y′ = 2x · y ⇐⇒ y′

y= 2x =⇒

∫ dyy

=∫

2x dx⇐⇒⇐⇒ ln(|y|) = x2 + C, C ∈ R⇐⇒ y = ±ex2+C , C ∈ R

⇐⇒ y = ±eC · ex2 , C ∈ R⇐⇒ y(x) = K · ex2 , K = ±eC ∈ R∗ .

Pentru a rezolva problema Cauchy, determinam constanta nenula K astfel

ıncat sa fie verificata conditia initiala y(1) = 2:

y(1) = 2⇐⇒ K · e12 = 2⇐⇒ K · e = 2⇐⇒ K =2

e.

Obtinem astfel solutia

y(x) =2

e· ex2 = 2ex

2−1 .

Observatie. Am fi putut rezolva problema Cauchy si direct, fara sa mai

scriem solutia generala a ecuatiei diferentiale, folosind egalitatea integralelor

definite: ∫ y(x)2

dtt

=∫ x

1 2s ds⇐⇒ ln(y(x))− ln(2) = x2 − 12 ⇐⇒⇐⇒ ln(y(x)) = ln(2) + x2 − 1⇐⇒ y(x) = eln(2)+x2−1 ⇐⇒⇐⇒ y(x) = 2ex

2−1 .

10.2.2 Ecuatii diferentiale omogene

Definitie. O ecuatie diferentiala se numeste ecua�zie diferentiala omogena

daca poate fi adusa la forma

y′ = f(y

x

). (10.9)

Pentru a rezolva ecuatia se considera functia auxiliara

z(x) =y(x)

x. (10.10)

Din relatia de mai sus obtinem succesiv:

y(x) = x · z(x) =⇒ y′(x) = z(x) + x · z′(x) .

Inlocuind ın relatia (10.9), tinand cont de (10.10), obtinem atunci ecuatia

z(x) + x · z′(x) = f(z(x)), sau, echivalent,

z′ =f(z)− z

x, (10.11)


care este o ecuatie cu variabile separabile. Rezolvand aceasta ecuatie se

gasesc solutiile z = z(x), care ne permit, cu ajutorul relatiei (10.10) sa

scriem solutiile ecuatiei omogene (10.9):

y = y(x) = x · z(x) .

Exemplu. Sa consideram ecuatia 2xyy′ = x2 + 3y2. Impartind ecuatia

prin x2 se ob�zine

2xyy′

x2= 1 + 3y2

x2⇐⇒ 2 y

x· y′ = 1 + 3

(yx

)2⇐⇒

⇐⇒ y′ =1+3( yx)

2

2 yx

,

care reprezinta o ecuatie diferentiala omogena. Cu notatia z(x) = y(x)x

obtinem ecuatia cu variabile separabile

z′ =1

x·(

1 + 3z2

2z− z

).

Pentru rezolvarea acesteia scriem succesiv:

2z·z′1+z2

= 1x

=⇒∫ 2z

1+z2dz =

∫ 1xdx⇐⇒

⇐⇒ ln(1 + z2) = ln(|x|) + C, C ∈ R⇐⇒ 1 + z2 = eln(|x|)+C , C ∈ R⇐⇒⇐⇒ z2 = ±x · eC − 1, C ∈ R⇐⇒ z = ±

√K · x− 1, K = ±eC ∈ R∗ .

Putem scrie atunci solutia ecuatiei initiale:

y(x) = ±√K · x− 1 , K ∈ R∗ .

Daca ın plus am avea si o conditie initiala, ca de exemplu y(1) = 2, deter-

minam constanta K ıncat sa fie verificata aceasta conditie:

±1 ·√K · 1− 1 = 2 =⇒

√K − 1 = 2⇐⇒ K − 1 = 4⇐⇒

⇐⇒ K = 5 .

Solutia problemei Cauchy este atunci

y(x) = x√

5x− 1 .

10.2.3 Ecuatii diferentiale liniare de ordinul I

Definitie. O ecuatie diferentiala de forma

y′ + P (x) · t = Q(x) , (10.12)


ın care P,Q : I ⊆ R −→ R sunt doua functii continue, se numeste ecuatie

diferentiala liniara de ordinul I.

Observatie. Denumirea provine de la faptul ca atat functia necunoscuta

y, cat si derivata sa y′ apar numai la puterea ıntai.

Observatie. DacaQ(x) = 0, ecuatia se numeste ecuatie liniara omogena

de ordinul I, ın caz contrar ea numindu-se ecuatie liniara neomogena

de ordinul I.

Pentru rezolvarea ecuatiei (10.12) vom folosi metoda variatiei constan-

telor:

1) Vom determina solutia generala y = φ(x;C) a ecuatiei omogene y′ +

P (x) · y = 0, dupa care

2) Vom ınlocui constanta C cu o functie C(x), pe care o vom determina

ın asa fel ıncat functia y = φ(x;C(x)) sa fie solutie a ecuatiei neomogene

y′ + P (x) · y = Q(x).

Fie deci ecuatia omogena

y′ + P (x) · y = 0 .

Aceasta este o ecuatie cu variabile separabile, pentru care putem scrie suc-

cesiv:

y′ = −P (x) · y ⇐⇒ y′

y= −P (x) =⇒

∫ dyy

= −∫P (x) dx =⇒

=⇒ ln(|y|) = −∫P (x) dx+ C, C ∈ R⇐⇒

⇐⇒ y(x) = ±eC · e−∫P (x) dx, C ∈ R⇐⇒

⇐⇒ y(x) = K · e−∫P (x) dx, K = ±eC ∈ R∗

Pentru ecuatia neomogena cautam aum o solu�zie de forma

y(x) = K(x) · e−∫P (x) dx ,

prin ”varierea constantei” K. Pentru functia y de mai sus avem

y′(x) = K ′(x) · e−∫P (x) dx +K(x) · e−

∫P (x) dx · (−P (x)) .

Inlocuind ın ecuatia (10.12) obtinem

K ′(x) · e−∫P (x) dx +K(x) · e−

∫P (x) dx · (−P (x))+

+K(x) · e−∫P (x) dx · P (x) = Q(x)⇐⇒

⇐⇒ K ′(x) = Q(x) · e∫P (x) dx =⇒

=⇒ K(x) =∫Q(x) · e

∫P (x) dxdx+K1, K1 ∈ R .


Obtinem atunci solutia generala a ecuatiei (10.12):

y(x) =(∫

Q(x) · e∫P (x) dxdx+K1

)· e−

∫P (x) dx, K1 ∈ R .

Exemplu. Sa consideram problema Cauchy y′ + 2xy = x3

y(0) = e−12

Ecuatia diferentiala din cadrul problemei este una liniara de ordinul I, cu

P (x) = 2x si Q(x) = x3. Solutia sa generala va fi de forma

y(x) =(∫

x3 · e∫

2x dxdx+K)· e−

∫2x dx, K ∈ R .

Avem ∫2x dx = x2 + C

si

∫x3 · ex2dx = 1

2

∫x2 ·

(2x · ex2

)dx = 1

2

∫x2 ·

(ex

2)′dx =

12

(x2 · ex2 −

∫(x2)′ · ex2dx

)= 1

2(x2ex

2 − ex2) = 12· ex2(x2 − 1) ,

astfel ca

y(x) =(

1

2· ex2(x2 − 1) +K

)· e−x2 =

1

2(x2 − 1) +K · e−x2 , K ∈ R .

Dterminam acum constanta K ∈ R, astfel ıncat sa fie verificata conditia

initiala y(0) = e−12

:

1

2· (−1) +K · e0 =

e− 1

2⇐⇒ K =

e

2,

si solutia problemei Cauchy este

y(x) =1

2(x2 − 1) +

e

2· x−x2 =

1

2

(x2 − 1 + e1−x2

).

10.2.4 Ecuatii diferentiale de tip Bernoulli

Definitie. O ecuatie diferentiala de forma

y′ + P (x) · y = Q(x) · yα , (10.13)

ın care P,Q : I ⊆ R −→ R sunt doua functii continue, cu Q neidentic nula,

iar α ∈ R \ {0, 1}, se numeste ecuatie diferentiala de tip Bernoulli.


Observatie. Valorile exceptate ale exponentului α corespund unor ecuatii

liniare de ordinul I(omogena pentru α = 1, respectiv neomogena pentru

α = 0).

Pentru rezolvarea ecuatiei (10.13), ımpartim ecuatia prin yα, obtinand

y′ · y−α + P (x) · y1−α = Q(x) ,

sau, echivalent,

(1− α)y′ · y−α + (1− α)P (x) · y1−α = (1− α)Q(x) ,

Considerm functia auxiliara z(x) = y(x)1−α, pentru care z′ = (1− α)y′y−α.

Inlocuind ın relatia de mai sus, avem ca

z′ + (1− α)P (x) · z = (1− α)Q(x) ,

care este o ecuatie liniara de ordinul I ın raport cu functia necunoscuta

z = z(x). Rezolvand aceasta ecuatie, din solutia sa z = z(x) putem obtine

o solutie y = y(x) = z(x)1

1−α a ecuatiei de tip Bernoulli initiale.

Exemplu. Sa consideram ecuatia diferentiala

y′ + 4xy = x√y .

Aceasta este o ecuatie de tip Bernoulli, ın care P (x) = 4x, Q(x) = x, iar

α = 12. Pentru z = z(x) = y(x)1−α =

√y(x) obtinem atunci ecuatia liniara

z′ + 2xz =x

2,

a carei solutie generala are forma

z(x) =(∫ x

2· e∫

2x dx +K)· e−

∫2x dx, K ∈ R .

Obtinem

z(x) =(

1

4· ex2 +K

)· e−x2 =

1

4+K · e−x2 .

Prin urmare,

y(x) = (z(x))1

1−α = (z(x))2 =(

1

4+K · e−x2

)2

, K ∈ R .

10.3. MODELE MATEMATICE ALE CRESTERII POPULATIEI 97

10.3 Modele matematice ale cresterii populatiei

Daca p(t) este populatia unei anumite specii dintr-un anumit areal la un

moment t, iar d(p, t) este diferenta dintre rata natalitatii si cea a mor-

talitatii, atunci ın ipoteza ca populatia este izolata(i.e. nu au loc emigrari

si imigrari), viteza de crestere a populatiei va fi

p′(t) = d(p, t) .

10.3.1 Modelul lui Malthus

Un model simplificat de crestere, propus de Malthus, presupune ca aceasta

viteza de crestere este proportionala cu p:

p′(t) = α · p(t) , cu α ∈ R, constant.

Considerand ca ıntr-un moment t0, populatia este p0, obtinem o problema

Cauchy: p′(t) = α · p(t)p(t0) = p0

Solutia acestei probleme se obtine separand variabilele t si p, si integrand:

p′(t)p(t)

= α =⇒∫ p(t)p0

dpp

=∫ tt0αds⇐⇒

⇐⇒ ln(p(t))− ln(p0) = α(t− t0)⇐⇒ ln(p(t)) = ln(p0) + α(t− t0)⇐⇒⇐⇒ p(t) = p0 · eα(t−t0) .

Ultima relatie reprezinta legea malthusiana de crestere a populatiei.

10.3.2 Modelul lui Verhulst

Un alt model, mai realist, a fost propus de biologul olandez Verhulst ın

1837. Modelul sau ia ın considerare si interactiunile dintre indivizii unei

specii(mai exact, efectul inhibitor al aglomerarii). El a considerat o ecuatie

de forma

p′(t) = α · p(t)− β · p2(t) ,

ın care α, β > 0 sunt constante, cu β foarte mica ın comparatie cu α.

Considerand ca la un moment t0, populatie este p0, se obtine problema

Cauchy p′(t) = α · p(t)− β · p2(t)

p(t0) = p0


Ecuatia diferentiala din cadrul problemei,

p′ − α · p = −β · p2 ,

este o ecuatie Bernoulli cu coeficienti constanti P (t) = −α si Q(t) = −β, de

exponent e = 2. Trecand la functia auxiliara z = z(t), z = p1−e = p1−2 = 1p,

obtinem ecuatia liniara neomogena cu coeficienti constanti

z′ + (1− e)P (t) · z = (1− e)Q(t)⇐⇒ z′ + α · z = β ,

pentru care solutia generala este data de

z(t) =(∫β · e

∫α dtdt+K

)· e−

∫α dt = (

∫β · eαtdt+K) · e−αt =

=(βα· eαt +K

)· e−αt = β

α+K · e−αt .

Folosind conditia initiala p(t0) = p0, rezulta ca z(t0) = 1p0

, astfel ca

βα

+K · e−αt0 = 1p0

=⇒=⇒ K =

(1p0− β

α

)· eαt0 = 1

αp0· (α− βp0) · eαt0

Rezulta caz(t) = β

α+ 1

αp0· (α− βp0) · eαt0 · e−αt =

= 1αp0·(βp0 + (α− βp0) · e−α(t−t0)

)si obtinem legea lui Verhulst:

p(t) = 1z(t)

= αp0βp0+(α−βp0)·e−α(t−t0) =

= αp0·eα(t−t0)βp0·eα(t−t0)+(α−βp0)

Bibliografie

[1] Angel,A.R., Porter,S.R., A Survey of Mathematics with Applica-

tions, Addison-Wesley, New York, 1997

[2] Batschelet,E., Introduction to Mathematics for Life Scientists,

Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1971

[3] Cret,F., Elemente de Modelare si Matematici Speciale, Editura MIR-

TON, Timisoara, 2000

[4] Cret,F., Otiman,P., Elemente de Matematici aplicate ın economia

agroalimentara, Editura Agroprint, Timisoara, 2002

[5] Cret,F., Rujescu,C., Boldea,M., Rotariu,L., Ivan,M., Ele-

mente de Matematici Speciale, teorie si aplicatii, Editura MIRTON,

Timisoara, 2000

[6] M.Craioveanu, I.D.Albu Geometrie afina si euclidiana, Editura Fa-

cla, Timisoara, 1982.

[7] G.Chidiosan, D.Criveanu, Gh.David, M.Popa Culegere de

Probleme–Matematici si Cercetari operationale, Tipografia Univer-

sitatii din Timisoara, Timisoara, 1990.

[8] J.Curwin, R.Slater Quantitative Methods for Bussiness Decisions,

Chapmann & Hall, London, 1994.

[9] B.Demidovich Problems in Mathematical Analysis, Mir Publishers,

Moscow, 1976.

[10] D.K.Faddeev, I.S.Sominskii Culegere de probleme de algebra supe-

rioara, Editura Tehnica, Bucuresti, 1954.

99

100 BIBLIOGRAFIE

[11] D.Flondor, N.Donciu Algebra si Analiza matematica–culegere de

probleme, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1979.

[12] Garfunkel,S., Moore,D.S., Introduction to Contemporary Mathe-

matics, W.H.Freeman & Co, New York, 1988

[13] S.I.Grossman Multivariable Calculus, Linear Algebra, and Differen-

tial Equations, Harcourt Brace Jovanovich, 1986.

[14] Iaglom,A.M., Iaglom,I.M., Probleme nelementare tratate elemen-

tar, Editura Tehnica, Bucuresti, 1983

[15] Ion D.Ion, N.Radu Algebra, Editura didactica si pedagogica, Bu-

curesti, 1991.

[16] Gh.Ivan Initiere ın Algebra liniara, Tipografia Universitatii din

Timisoara, Timisoara, 1993.

[17] Mihoc, M. Matematici aplicate ın economie(Algebra liniara), Ti-

pografia Universitatii ”Babes–Bolyai” din Cluj–Napoca, Cluj–Napoca,

1995.

[18] Miller,C.D., Heeren,V.E., Hornsby,E.J., Mathematical Ideas,

Scott, Foresman & Co, London, 1990

[19] Muja,A., Diatcu,E., Matematica pentru economisti, Editura Victor,

Bucuresti, 1999

[20] M.Nicolescu, N.Diculeanu, S.Marcus Analiza Matematica, Edi-

tura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1971.

[21] Orman,G.V., Capitole de matematici aplicate, Editura Albastra,

Cluj-Napoca, 1999

[22] I.P.Popescu Geometrie afina si euclidiana, Editura Facla, Timisoara,

1984.

[23] Popescu,O., Raischi,C., Badin,V., Butescu,V., Firica,O.,

Toma,M., Woinaroski,S., Matematici aplicate ın economie, Editura

Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1993

BIBLIOGRAFIE 101

[24] M.Postnikov Linear Algebra and Differential Geometry (”Lecture

Notes in Geometry”-Semester II), Editura Mir, Moscova, 1982.

[25] I.Purcaru Matematici generale si elemente de optimizare, Editura

Economica, Bucuresti, 1997.

[26] Pusztai,A., Ardelean,Gh., LATEX, Ghid de utilizare, Editura

tehnica, Bucuresti, 1994

[27] Rus,I.A., Iancu,C., Modelare matematica, Casa de editura TRAN-

SILVANIA PRESS, Cluj-Napoca, 2000

[28] Sabac,I.Gh., Matematici speciale, Editura Didactica si Pedagogica,

Bucuresti, 1965

[29] P.Stanciu, D.Criveanu, Gh.David, W.Fuchs Matematici aplicate

ın economie, Editura Facla, Timisoara, 1981.

[30] Tan,S.T., College Mathematics, for the managerial and social sci-

ences, Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1983

[31] A.Thuizat, G.Girault Algebre lineaire et applications, Collection

Durrande, Paris, 1977.

[32] C.Udriste, C.Radu, C.Dicu, O.Malancioiu Probleme de algebra,

geometrie si ecuati diferentiale, Editura didactica si pedagogica, Bu-

curesti, 1981.

[33] Vasiliu,D.P., Vasiliu,A.M.D., Metode cantitative ın probleme eco-

nomice, Editura ”Tribuna economica”, Bucuresti, 2000

[34] Vogel,A., Funktionentafeln und statistische Tabellen, Verlag Konrad

Wittwer, Stuttgart, 1979

[35] Waner,S., Costenoble,S.R., Finite Mathematics applied to the real

world, Harper Collins College Publishers, New York, 1996

analiz a matematic a - usab-tm.ro codruta... · 1 serii numerice 1.1 de nit˘ii. exemple de...

Documents