am_xi_pag190-207

ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC (simbol AM XI)

AM - XI. 001 S se calculeze: ( )

L nn

n n

n= + lim ,

2 2

3N .

a) b) L nu exist c) L = 1 0=Ld) L = 1

3 e) L

n k

n k=

= +=

0 223

2

,

,

1 f)

32=L

AM - XI.002 Precizai toate valorile parametrului ( )a +0, pentru care lim

n

n n n

n na

+ ++ =

2 33 4

0 .

a) b) c)( )a 0 1, ( )a 2 3, ( )a 0 4, d) ( )a 0 2, e) { }a 5 6 7, , f) ( )a +0,

AM - XI. 003 S se calculeze limita irului cu termenul general an

nnn

= 3 1!

, .

a) 1 b) 0 c) 3 d) 13

e) 2 f) 12

AM - XI. 004 S se calculeze limita irului cu termenul general ( )an

nn

n

=! 2

.

a) 1 b) 2 c) 0 d) e e) 3 f) 13

AM - XI. 005 S se calculeze , unde lim

n na

Analiz matematic XI 191

an

nn =

1

12

1 13

1 1 22 2 2

... , .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 21

e) 41

f) 31

AM - XI. 006 S se determine limita irului cu termenul general

*242

,2

11...211

211

211 1 N

+

+

+

+= na nn .

a) 4 b) 2 c) 1 d) 0 e) 12

f) 3

AM - XI. 007 Care este limita irului cu termenul general *32793 ,5...555 N= na nn ?

a) 53 b) 5 c) 15

d) 25

e) 2 53 f) 2 5

AM - XI. 008 Calculai limita irului cu termenul general 1,sin2 = nn

nan

a) 1 b) 0 c) d) 2

e) 2 f)

AM - XI. 009 S se precizeze valoarea limitei L x xn n

= lim cos cos ... cos2 2 22x ,

unde . { }x R \ 0

a) b)L x x= sin L xx

= sin c) L x= sin

192 Culegere de probleme

d) L x= sin2

e) L x= 2 sin f) L xx

= sin 22

AM - XI. 010 Fie x R . S se calculeze: ( )f x xeen

nx

nx= ++lim

11

.

a) ,( )f x = 1 x R b) ( )f x x= , x R c) ( )f x x= 2 , x R

d) e) f)( )f x x xx

= N R, , ,0 1, limita

L n a nn

nnn

k n=

++

lim

1

1 1 12

.

a) b) c) Lk

a kk

=

0 33

3

,ln ,

,=

1

Lk

ka k

= =

0 33

3

,,

ln ,L

ka kk ak a

= >+ >

, ,,

30 3

Lk

k= + >0 3

3,

,L

k ak a

a k=

< > =

,,

ln ,

3 13 1

0

i i

Analiz matematic XI 193 AM - XI. 013 Care este valoarea limitei irului cu termenul general

a n nnn

n

= + ++

2 32 1

?

a) e b) e3 c) e d) 1e

e) e2 f) 0

AM - XI. 014 S se calculeze , unde limn n

a annn

n

= +

2

2

211

2

, R . a) b) c) 0 d) e) f) e e e2 AM - XI. 015 S se calculeze limita irului cu termenul general

( )( )( )[ ]

( )an n n n n

n nnn

n

n=

+ + ++

2 2 2

2 3

1 1 2 11, .

a) b) e c) d) e) e f) 1 e2 6 e4 e3 3

AM - XI. 016 S se calculeze L nn n n

= + +

lim sin 2 4

12

tg n .

a) b) c)L = 0 L = 2 L = 12

d) L = 1 e) L = 1 f) L = 3 AM - XI. 017 S se determine mulimea valorilor a R , astfel ca

( )

limn

a n

n

+=

1 23

2 2 2

.

194 Culegere de probleme a) b)( )0 1, { } 2 2, c){ }0 1, d){ }0 1 2, , e) ( ) 2 2, f) ( ) 11, AM - XI. 018 S se determine constanta R astfel nct lim

nn n n n n +

s fie finit.

a) b) 1 0 c) 0 1< 1 e) = 1 f) = 12

AM - XI. 019 S se determine numerele reale a, b, c astfel nct lim

nn an cn bn + + + =

2 2 1.

a) a b c= = =1 0, , 1 b) a b c= = = 1 0, , 1 c) a b c= = = 1

d) e)a b c= = = 0 a b c= = = 1 0, , 1 f) a b c= = = 0 1, AM - XI. 020 Ce relaie trebuie s existe ntre parametrii reali a i b astfel nct s aib loc relaia: ( )limn a n b n n + + + + + =1 2 3 0 ? a) b)a b+ = 0 a b+ + =1 0 c) a b+ = 1

d) e)a b= = 1 a b= =1 0, f) a b2 2= AM - XI. 021 Fie numere reale astfel nct a a ak0 1, , ... , a a ak0 1 0+ + + =... . S se calculeze ( )L a n a n a nn k= + + + +lim ...0 3 1 3 31 .k+

a) b) c)L = 1 L = 2 L k=3

d) L = 12

e) L = 0 f) L k= 23

AM - XI. 022 S se determine a b, R astfel nct: limn

n an b =1 033 .

Analiz matematic XI 195 a) b)a b= =1 0, a b= =1 1, c) a b= =1 0,

d) e)a b= = 0 a b= = 1 f) a b= =1 2,

AM - XI. 023 S se calculeze lim sinn

n n + + 2 2 3 4 .

a) 12

b) 14

c) 34

d) 13

e) 1 f) 0

AM - XI. 024 S se calculeze lim ......n

n

na a ab b b

+ + + ++ + + +

11

2

2 , dac ( )a b, , 11 .

a) 11

ab

b) 11

ba

c) 11+

ab

d) 11+

ab

e) ab + 1 f)

11++

ba

AM - XI. 025 ntr-o progresie aritmetic suma primilor n termeni

este

a a an1 2, , ..., , ...

S nn = +3 922 n , oricare ar fi . S se determine i s se calculeze: n 1 an

L a a an an

n

n= + + +lim

...1 2 .

a) b)a n Ln = =3 1, a n Ln = + =3 3 12, c) 2,33 =+= Lnan d) a n Ln = + =2 32, e) 2

3,33 =+= Lnan f) a n Ln = =4 23, AM - XI. 026 S se calculeze limita irului ( )xn n1 , unde

( ) ( ) ( )x ac a ab c a ab ab c a ab ab cn n n= + + + + + + + + + + +2 2 3 ... ... 1 , a, b, c fiind numere reale astfel nct c b< 1 1, i bc < 1.


a) 0 b) ( )( )ac

c bc1 1 c) 1

d) ( )( )2

1 1ac

c bc e) f)ac ( )( )abc

c bc1 1

AM - XI. 027 S se calculeze: ( )limnk

n

nk nk n

= +13 2 2

1

.

a) 1 b) 56

c) 32

d) 23

e) 43

f) 2

AM - XI. 028 Dac lim ...n n

+ + + =1

12

162 2

2 , care este valoarea limitei

( )lim ...n n + + + +

1

13

15

1

2 12 2 2 ?

a) 2

2 b)

2

3 c)

2

4 d)

2

8 e)

2

12 f) 2

3

2

AM - XI. 029 S se calculeze:

+++ 14

1...151

31lim 2nn

.

a) 1 b) 2 c) 32

d) 12

e) 35

f) 3

AM - XI. 030 S se determine limita irului ( ) ( )= ++=

n

knnn kk

kaa1

221 112 unde , .

a) 1 b) 0 c) e d) 1e

e) 1 e f) 2

Analiz matematic XI 197

AM XI. 031 S se calculeze ( )

( )=

+=

n

knk

kkL2

!1112lim

a) L = 1 b) L = e; c) L = e2; d) L = 0; e) L = 2 f) L =e1

AM - XI. 032 Se consider irul cu termenul general

( ) *,21...

421

311 N++++= nnnnS . S se calculeze:

n

nn

nS

4

12lim .

a) 1 b) 12e

c) e d) 1e

e) 2e f) 4e

AM - XI. 033 S se calculeze ( )L k kn kn n

= +

=lim

43

121

.

a) b)L = 1 L e=32 c) L e= d) L e=

43 e) L e=

12 f) L = 2

AM - XI. 034 Fie ( )an

nn= + 1 ! i S a a an n= + + +1 2 ... , oricare ar fi . n N

*

S se calculeze: . limn n

S

a) 0 b) e c) 1 d) + e) 2 f) 12

AM - XI. 035 Fie irul , unde ( )an n1 ( )ax

k k xn k

n

= + += arctg 1 1 21 i x > 0 . S se calculeze . lim

n na


a) b) c) arctg+ 12x

d) arctg 1x

e) 1 f) 0

AM - XI. 036 S se calculeze limita irului cu termenul general:

an n n n

nn = ++

++ +

+1

1

1

2

1 12 2 2

... , .

a) 2 b) 12

c) 23

d) 1 e) 4 f) 3

AM - XI. 037 S se calculeze limita irului cu termenul general a k kn k

nnk

n

= ++ =3

41

1,

a) 2 b) 12

c) 14

d) 13

e) + f) 0

AM - XI. 038 S se calculeze: limn

k

n kn =

+ 1 121 .

a) 12

b) 1 c) 2 d) 14

e) 4 f) 3

AM - XI. 039 S se calculeze: lim cosn

k

n

n n =+ +1

3 1 21

k

.

a) 12

b) 0 c) 14

d) 13

e) 1 f) 2

AM - XI. 040 Notnd L nn kn k

n

= +

=lim cos

2

1

, precizai care din urmtoarele afirmaii este adevrat.

Analiz matematic XI 199 a) b) c)L = 0 L = 1 L = + d) L e= e) L nu exist f) L = 2

AM - XI. 041 Fie irul astfel nct ( )xn n0 x0 1= i x x x nnn

n

+ = +1 33 1

0, .

S se calculeze . limn n

x a) 1 b) 0 c) 2 d) nu exist e) + f)

AM - XI. 042 Fie irul definit prin ( )xn n0 x0 3= i x x nn n= 13 4 11 , . S se calculeze . lim

n nx

a) 0 b) 1 c) d) 2 3 e) 6 f) nu exist

AM - XI. 043 Fie irul definit astfel: ( )an n0 a a a nn n n+ = 1 110 0, . S se determine n funcie de L

n n= lim a a0 R .

a) b) c)L a= 0 L aa=

00

1

tg2.

a) 1 b) 0 c) 1 d) e) 2

f) 2

Analiz matematic XI 205 AM - XI. 067 S se calculeze: ( )lim sin sinx x x + 1 .

a) b) c) 0 d) 1 e) + 12

f) 2

AM - XI. 068 S se calculeze: lim sinsin

, , *x

mxnx

m n unde N .

a) mn

b) ( ) 1 m mn

c) ( ) 1 m n mn

d) ( ) 1 mn mn

e) nm

f) ( ) 1 n m nm

AM - XI. 069 S se calculeze: lim sinx

xx 1

2

2

.

a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 2

f)

AM - XI. 070 S se calculeze: ( ) ( )( ) ( )lim

sinsin

, , , ,x

ax axbx bx

a b a b 0 0 0

tgtg

unde R .

a) ab

b) ab

2

2 c) a b d) a

b

3

3 e) a

b

4

4 f) a b 3 3

AM - XI. 071 S se calculeze: L x x

x xx

= + +

lim

1 11

11

arctg 1 arctg.

a) b) c) 0 d) 1 e) 1 f) 2 +


AM - XI. 072 S se calculeze: ( )L n xx

nn x= lim

cos arcsin, *

0 2

1 unde N .

a) 0 b) 1 c) n d) n2 e) n2

2 f) n

2

4

AM - XI. 073 S se calculeze: limsinx

xex

0 3

31 .

a) 1 b) 1 c) 12

d) e e) e2 f) +

AM - XI. 074 S se calculeze: limcos

sinx

xx

x0

2 1

.

a) 1 b) 0 c) 1 d) sin1 e) e f) 2

AM - XI. 075 S se calculeze: limx

xxx

x

+

+

12

11 .

a) 0 b) 1 c) 2 d) e e) 1e

f) 2e

AM - XI. 076 S se calculeze: ( )limx

xx 3 67 2

tg .

a) 0 b) 1 c) e d) e 3 e) e4 f) e12

AM - XI. 077 S se calculeze: lim cosx

xxx +

21

2 . a) 0 b) 1 c) e d) e) e f) e e 2

2 2

Analiz matematic XI 207 AM - XI. 078 Se consider irul ( )bn n1 cu termenul general b a a an n= + + +1 2 ... , unde ( )a x nxn x x= lim sin0 11

2

. S se calculeze: . limn n

b

a) 1 b) e 11 e c) e d) e 1 e)

11e f) 0

AM - XI. 079 Fie , definit prin relaia ( )f : ,0 + R ( ) ( ) ( ) ( )[ ]f x x x nx x= + + + + + + +1 1 1 2 1 1ln ln ... ln pentru orice x > 0 . S se determine ( )lim

xf x0 .

a) 1 b) 0 c) d) en( )

en n+1

2 e) ( ) ( )

en n n+ +1 2 1

6 f) e n2

AM - XI. 080 S se calculeze: lim sinsin

x

xx xx

x

0 .

a) 1 b) 1e

c) 0 d) e e) 2e f) e2

AM - XI. 081 S se calculeze limita: ( )limx

x xx

a b

+

12

1 1 .

a) b) ab ab

c) ab d) a b e) a b f) 2 2 3 3 12

ab

AM XI. 082 S se determine Ra astfel ca funcia

ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC AM - XI. 074 S se calculeze: .

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