t.lalescu.sect.bi var3

Concursul de Matematica ”TRAIAN LALESCU” - faza nationalaAnul I mai 2008- profil electric -

1. i) Sa se precizeze clasa de diferentiabilitate a functiei f : R→ R,

f(x) =[x +

12

]− [2x] + [x],

unde [.] reprezinta partea ıntreaga a expresiei pe care o contine.

ii) Pentru orice n ∈ N fie fn : R → R, fn(x) =[x + 2n

2n+1

]. Sa se studieze

convergenta seriei∞∑

n=0

fn(x).

iii) Sa se stabileasca daca functiile diferentiabile pot fi aproximate oricat debine prin functii discontinue.

2. Fie V spatiu vectorial dinMn(C) generat de matricile de forma AB−BA,A,B ∈Mn(C). Sa se arate ca dim CV = n2 − 1.

3. In spatiul real V = R3 se considera forma patratica

ϕ(x, x) = ξ21 + 2ξ2

2 + 3ξ23 + ξ1ξ2 + ξ1ξ3 + ξ2ξ3,

ın care ξ1, ξ2, ξ3 sunt coordonatele vectorului x ∈ V ın baza canonica {e1, e2, e3}.Se cer

i) Sa se arate ca forma biliniara simetrica asociata acestei forme patraticeeste un produs scalar.

ii) Sa se afle normele vectorilor e1, e2, e3 si cos(e1, e2) (ın raport cu produsulscalar definit la punctul i)).

4. Functiile f, f ′, f ′′ sunt continue pe [0, a], a ≥ 0 si f(0) = f ′(0) = 0. Sa searate ca ∫ a

0

|f(x)f ′(x)|dx ≤ a2

2

∫ a

0

(f ′′(x))2dx.

1