rotatie bidimensionala

Rotatie bidimensionala

Rotatie tridimensionala

Forma indiciala a rotatiei

9 parametrii ce descriu rotatia 3D

Rotatia nu poate modifica lungimea unui vector

• constrangerea pentru miscarea solidului rigid va fi

• folosind transformarea matriciala

9-6=3GL

• matricea este ortogonala Transpusa

matrice proprie matrice improprieSpatiul inversiunii este

• este ortogonal si nu modifica distantele

• nu poate fi o rotatie

Rotatia solidului rigid este reprezentata de matrici ortogonala proprii !

Cum se interpreteaza actiunea matricii A pe r ( ) ?

- rotim r in jurul unei axe cu un anumit unghi in directia acelor de ceasornic (+)

- rotim axele de coordonate in jurul aceleiasi axe cu acelasi unghi, dar in directie opus (unghiul +=in sens invers acelor de ceasornic)

Rotatie cu un unghi in jurul axei Ozin sens invers acelor de ceasornic

Rotatie cu un unghi in jurul axei in sens invers acelor de ceasornic

Rotatie cu un unghi in jurul axei in sens invers acelor de ceasornic

Miscarea solidului rigid se studiaza facand urmatorii pasi:

Se definesc axele (axele solidului) atasate solidului rigid

- Originea fixata intr-un punct al solidului rigid- Axele avand la t=0 aceeasi directie cu axele spatiale

Folosim R(t) pentru a descrie miscarea originii

Folosim A(t) pentru a descrie rotatia axelor

- Utilizam unghiurile Euler

-

Observam ca avem 6 coordonate independente

Teorema lui EulerIn general, deplasare unui solid rigid in raport cu un punct fixat este o rotatie in raport cu o axa

- o rotatie 3D arbitrara este echivalenta cu o rotatie in jurul un ei axe - orice rotatie 3D lasa un vector neschimbat- pentru orice matrice de rotatie A exista un vecror r care satisface

- matricea A are valoarea proprie egala cu 1

Dem

deoarece

( si deoarece pentru matrici impare )

Q.E.D

Exista posibilitatea introducerii unui vector de rotatie ?

Teorema lui Euler evidentiaza un alt mod de a descrie rotatia 3D:

1. directia axelor (2 parametrii) si unghiul de rotatie (1 parametru)2. pare similar cu momentul unghiular !

Diferenta de baza consta in : ComutativitateMomentul unghiular este un vector

- nu conteaza ordinea adunarii a doua momente unghiulare

Rotaia nu este un vector- doua rotatii se aduna diferit , rezultatul depinzand de ordinea lor

Rotatiile infinitezimale sunt comutative

• ele pot fi reprezentate prin vectori• sunt importante pentru a descrie modul in care un solid rigid isi schimba orientarea in timp

doua rotatii infinitezimale succesive conduc la

In general comutativa

Inversa rotatiei infinitezimale este:

Deoarece antisimetric

Definim acum rotatia infinitezimala a unui vector

Conform teoremei lui Euler rotatia infinitezimalaa unui vector este echivalenta cu rotatia de unghidФ in jurul unei axe n

unde

se comporta aproape ca un vector

se roteste in acelasi fel ca si r in raport cu coordonatele rotatieie

In spatiul inversiunilor S un vector ordinar se incerseaza dupa legea:

iar nu

Un astfel de vector este numit vector axial (momentul unghiular, c.magnetic)

Care este legatura dintre acceleratia unghiulara si unghiurile Euler?Consideram un corp solid in rotatie

Definim coordonatele corpului solid

Intre momentele t si t+dt, coordonateleCS se rotesc cu

- rotatia are loc in sens invers acelor de ceasornic- observam ca in spatiul coordonatelor, orice punct r al rigidului se va misca dupa legea:

Pentru un vector oarecare V

deoarece

Spatiul coordonatelor Coordonatele rotatieiIncercam sa utilizam viteza unghiulara pentru a descrie rotatia rigidului!

Rotatii infinitezimale

este

In sistemul

Stim deja sa exprimam vitezele in termenii derivatelor temporale ale unghiurilor Euler!Care este forma Lagrangianului ?

Energia cinetica a unui sistem multi-particula este:

Miscarea CM Miscarea in jurul CM

Definind axele solidului din CM

Componenta translationala Componenta rotationala

Aceasta separare este valabila cand CM este originea sistemului axelor solidului

Consideram momentul unghiular total:

Pe componente:

Tensorul de inertie I

Utilizand formalismul indicial

Iar componentele matricii au forma

Pentru cazul unei distributii continue de masa:

Cum exprimam energia cinetica in functiede momentul unghiular total ?

Energia cinetica datorata rotatiei are forma:

Tinand cont de versorul directiei vitezei unghiulare

unde este momentul de inertie

in raport cu axa nObs. - n se misca in timp - I=I(t)

Daca originea axelor corpului solid nu se gaseste in CMeste bine sa separammiscarea de translatiede cea de rotatie

de la origine de la CM

I al CM I in raport cu CM

Ce am reusit sa demonstram ?

- Viteza datorata rotatiei

- Conexiunea dintre ω si unghiurile Euler

- Forma Lagrangianului cu cumponentele sale : translatie/rotatie

- Definirea tensorului de inertie- calculu momentului cinetic si al energiei cinetiece

Cu ajutorul tensorului de rotatie R, tensorul de inertie poate fi diagonalizat

Proprietatile cinematice ale unui solid rigid sunt complet descrise dac se cunosc:masa, axele principale si momentele de inertieCe sunt axele principale ?

- Fie un corp solid a carui axe sunt•tensorul de inertie I (in general) nu este diagonal•el poate fi diagonalizat prin

- Rotind cu R noi axe de coordonate in care

Putem alege un set de axeale solidului care sa diago-nalizeze tensorul de inertie

Axele principale

Cum facem aceasta alegere ?

-consideram versorii axelor principale

Vector propriu Valoare proprie

- exprimam I in orice sistem de coordonate al solidului

- rezolvam ecuatia cu valori proprii

- vectorii proprii indica axele principale

- utilizam aceste axe pentru a redefini coordonatele solidului si a simplifica I

Ecuatia miscarii de rotatie !

- ecuatia newtoniana a mis carii da

Axele “spatiale” Axele “solidului”

- Luam axele principale ale solidului

Ecuatia Euler de miscare a solidului in raprt cu un punct fix

Cazuri speciale

In SCM

Tensorul de inertie in formalism indicial

Tensor simetric

Momente de inertie in raport cu axele de coordonate

Pentru distributii continue de masa

EXEMPLE

Determinati componentele Iij ale tensorului de inertie {Iij} pentru un cub de densitate uniforma, de latura b si masa M, avand unul din colturi plasat in origine

b

M

deoarece

datorita simetriei

Momentul Unghiular in formalism indicial

deoarece

Legatura dintre momentul unghiular si Trot

dar

Axe principale de inertie

Determinarea formei diagonale a {Iij} este echivalenta cu gasirea unui nousistem de trei axe de coordonate pentru care energia cinetica de rotatie si momentul unghiular sunte date de:

Aceste axe se numesc axe principale de inertie !

Avand dat un sistem de referinta inertial in solid, putem trece la axele principaleprintr-o transformare ortogonala = transformare pt. axe principale

Existenta solutiilor netriviale implica anularea determinantului:

Ecuatie seculara sau ecuatie caracteristica

( In aplicatii, momentele principale de inertie, fiind valori proprii ale lui I, sunt solutiile ecuatiei seculare)

EXEMPLUDeterminati principalele axe de inertie pentru cubul din exemplul anterior

Facem urmatoarea notatie

Valori proprii

Matricea care diagonalizeaza {Iij) va fi

Matricea diagonalizata a lui

Teorema axelor paralele

Sistem care are originea in CM al corpului rigid

Sistem cu originea intr-un punct diferit (dar axe paralele)

Componentele tens. Inertie in noul sistem

Coord. CM

Tensorul de inertie pentru CM= teorema axelor paralele

EXEMPLUPentru cubul anterior

EXEMPLU

Dinamica solidului rigid

Proiectam ecuatia pe principalele axe de inertie

Deoarece axele principale de inertie sunt independente de timp

Ecuatiile Euler

EXEMPLU

Demonstrati ca dupa lovirea orizontala cu un tac, o bila de biliard vaaluneca fara rotatie pe distanta

= viteza initiala

dupa care va incepe sa se roteasca, fara sa alunece, un timp

Cand forta impulsiva a incetat, conditiile initiale sunt:

Forta de frecare este:

Ecuatia de miscare va fi:

Ecuatia momentului cinetic:

Integrand cele doua ecuatii:

Tinand cont de conditiile initiale:

Conditia de rostogolire pura (fara frecare):

Integram

Titirezul

Orice solid in miscare de revolutie este un titirez simetric.

Axa de simetrie este

Inexistenta cuplurilor de torsiune

(+)

notam

Ecuatiile Euler proiectate pe principalele axe de inertie

indep. de timp

Acest vector efectueaza o miscare de precesie cu o frecventa de precesie

=const.

Notand cu unghiul dintre si

Pentru miscarea de revolutia unui corp turtit

cazul Pamantului

zile- Pamantul nu este un corp rigid

- Structure sa interna estenfluida