motto : un gand este o idee in trecere (pitagora 580 i.e.n. - 500 i.e.n.)

Motto : Un gand este o idee in trecere

(Pitagora 580 i.e.n. - 500 i.e.n.)

TEOREMA LUI THALESTEOREMA LUI THALES

SCURT ISTORICSCURT ISTORIC

EUCLIDEUCLID

EuclidEuclid din Alexandria , Egipt este cel mai din Alexandria , Egipt este cel mai important matematician al antichitatii , important matematician al antichitatii , cunoscut datorita tratatului sau in cunoscut datorita tratatului sau in matematici , matematici , “Elementele”.“Elementele”.

Putine sunt cunoscute despre viata Putine sunt cunoscute despre viata matematicianului , cu exceptia faptului ca matematicianului , cu exceptia faptului ca a predat in Alexandria.a predat in Alexandria.

In acea perioada Euclid era un nume foarte In acea perioada Euclid era un nume foarte comun si s-au facut multe confuzii si a fost comun si s-au facut multe confuzii si a fost dificil sa se gaseasca informatii despre dificil sa se gaseasca informatii despre Euclidul Alexandriei.Euclidul Alexandriei.

In general vorbind, nu avem nici o In general vorbind, nu avem nici o dificultate in a face din Euclid un dificultate in a face din Euclid un precursor al lui Arhimede. Cu precursor al lui Arhimede. Cu toate acestea, unele pasaje din toate acestea, unele pasaje din opera siracuzanului ne fac sa ne opera siracuzanului ne fac sa ne intrebam daca nu cumva Euclid intrebam daca nu cumva Euclid a fost fie unul din precursorii a fost fie unul din precursorii imediati ai lui Arhimede, fie chiar imediati ai lui Arhimede, fie chiar unul dintre contemporanii unul dintre contemporanii acestuia.acestuia.In orice caz, studiul In orice caz, studiul matematicilor epocii alexandrine matematicilor epocii alexandrine trebuie sa inceapa cu opera lui trebuie sa inceapa cu opera lui Euclid. Euclid.

ARHIMEDEARHIMEDE

Arhimede (287 î.Hr – 212 î.Hr) Arhimede (287 î.Hr – 212 î.Hr) este matematicianul grec care este matematicianul grec care a avut numeroase realizări nu a avut numeroase realizări nu numai în matematică, ci şi în numai în matematică, ci şi în fizică, astronomie, inginerie şi fizică, astronomie, inginerie şi filozofie. Ahimede e considerat filozofie. Ahimede e considerat unul din cei mai de seamă unul din cei mai de seamă oameni de ştiinţă din întreaga oameni de ştiinţă din întreaga istorie a civilizaţiei umane. istorie a civilizaţiei umane.

PITAGORAPITAGORA

PitagoraPitagora (c. (c. 580 580 î.Hrî.Hr.. - c. - c.500 500 î.Hrî.Hr..) a ) a fost un fost un filozoffilozof şi şi matematicianmatematician grecgrec, , originar din insula originar din insula SamosSamos, , întemeietorul pitagorismului, care întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realităţi punea la baza întregii realităţi teoria numerelor şi a armoniei teoria numerelor şi a armoniei

Tradiţia îi atribuie descoperirea Tradiţia îi atribuie descoperirea teoremei care îi poartă numele şi a teoremei care îi poartă numele şi a tablei de înmulţire. Ideile şi . Ideile şi descoperirile lui nu pot fi deosebite descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale cu certitudine de cele ale discipolilor apropiaţi discipolilor apropiaţi

THALES DIN MILETTHALES DIN MILET

Thales din Milet a fost declarat in anul 582 Thales din Milet a fost declarat in anul 582 i.e.n. unul dintre cei sapte intelepti ai i.e.n. unul dintre cei sapte intelepti ai antichitatii. A trait intre anii 624 – 546 antichitatii. A trait intre anii 624 – 546 i.e.n. in Grecia antica si a fost un i.e.n. in Grecia antica si a fost un recunoscut matematician, astronom si recunoscut matematician, astronom si filozof.filozof.

A fondat in Milet cea mai veche scoala A fondat in Milet cea mai veche scoala filozofica materialista, de care este legata filozofica materialista, de care este legata nasterea matematicii grecesti.nasterea matematicii grecesti.Este primul matematician care a enuntat Este primul matematician care a enuntat teoreme insotite de demonstratii, ca : teoreme insotite de demonstratii, ca :

Diametrul imparte cercul in doua parti Diametrul imparte cercul in doua parti

egale ;egale ; Unghiul inscris intr-un semicerc este drept Unghiul inscris intr-un semicerc este drept

( teorema cunoscuta si de egipteni) ;( teorema cunoscuta si de egipteni) ; Suma unghiurilor unui triunghi este de doua Suma unghiurilor unui triunghi este de doua

unghiuri drepte ;unghiuri drepte ; Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel

sunt egale ( fapt cunoscut si de egipteni si sunt egale ( fapt cunoscut si de egipteni si de babilonieni ) ;de babilonieni ) ;

Congruenta triunghiurilor care au o latura si Congruenta triunghiurilor care au o latura si unghiurile adiacente congruente ;unghiurile adiacente congruente ;

Asemanarea triunghiurilor avand unghiurile Asemanarea triunghiurilor avand unghiurile respectiv egale, in corelatie cu teorema care respectiv egale, in corelatie cu teorema care ii poarta numele si care este enuntata astfel ii poarta numele si care este enuntata astfel : :

TEOREMA LUI THALESTEOREMA LUI THALESTEOREMA:

O paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale.

Putem avea diverse situaţii în funcţie de Putem avea diverse situaţii în funcţie de latura la care se duce paralela şi poziţia latura la care se duce paralela şi poziţia

acesteia faţă de triunghi.acesteia faţă de triunghi. 1. Paralela intersectează laturile AB şi 1. Paralela intersectează laturile AB şi

AC. AC.

2. Paralela nu intersectează 2. Paralela nu intersectează laturile AB şi AC ci prelungiri laturile AB şi AC ci prelungiri

ale acestora. ale acestora.

3. Paralela nu intersectează laturile 3. Paralela nu intersectează laturile AB şi AC ci prelungirile acestora.AB şi AC ci prelungirile acestora.

Analizând cu atenţie relaţiile date de Analizând cu atenţie relaţiile date de teoerma lui Thales, consatăm că, de teoerma lui Thales, consatăm că, de fapt, ele sunt aceleaşi indiferent de fapt, ele sunt aceleaşi indiferent de poziţia dreptei construitepoziţia dreptei construite

Proporţionalitatea segmentelor Proporţionalitatea segmentelor determinate de paralelă pe laturile determinate de paralelă pe laturile triunghiului înseamnă că lungimile triunghiului înseamnă că lungimile segmentelor de pe o latură se pot segmentelor de pe o latură se pot obţine din lungimile segmentelor de obţine din lungimile segmentelor de pe cealaltă latură prin înmulţire cu pe cealaltă latură prin înmulţire cu un număr real nenul, adică:un număr real nenul, adică:

APLICATIIAPLICATIIO aplicaţie interesantă a acestei O aplicaţie interesantă a acestei

teoreme este calcularea înălţimii teoreme este calcularea înălţimii unui obstacol, când se cunoaşte unui obstacol, când se cunoaşte înălţimea unui etalon şi se măsoară înălţimea unui etalon şi se măsoară lungimea umbrei sale.lungimea umbrei sale.

DA

B C

A = Lungimea etalonului; A = Lungimea etalonului;

C = Lungimea umbrei obstacolului la o C = Lungimea umbrei obstacolului la o anumită oră;anumită oră;

B = Lungimea umbrei etalonului la B = Lungimea umbrei etalonului la aceiaşi oră, la aceiaşi latitudine; aceiaşi oră, la aceiaşi latitudine;

D = Înălţimea obstacolului.D = Înălţimea obstacolului.

D=(A*C)/BD=(A*C)/B

C=232/2 + 40 = 156m , ATUNCIC=232/2 + 40 = 156m , ATUNCID/156 = 2/2,13 ADICA D=146mD/156 = 2/2,13 ADICA D=146m

Thales a folosit această aplicaţie pentru a Thales a folosit această aplicaţie pentru a calcula înălţimea piramidei lui calcula înălţimea piramidei lui Keops. Baza . Baza piramidei măsura 232 m. De la marginea piramidei măsura 232 m. De la marginea bazei piramidei, umbra mai măsura încă 40 bazei piramidei, umbra mai măsura încă 40 m. Lungimea totală a umbrei este astfel:m. Lungimea totală a umbrei este astfel:

PROBLEMA REZOLVATAPROBLEMA REZOLVATA

În triunghiul ABC, AB=36, AC=48, În triunghiul ABC, AB=36, AC=48, BC=60. Se consideră D pe AB aşa încât BC=60. Se consideră D pe AB aşa încât AD=12 şi se duc dreptele: DE paralelă AD=12 şi se duc dreptele: DE paralelă cu BC, E pe AC, EF paralelă cu AB, F pe cu BC, E pe AC, EF paralelă cu AB, F pe BC, FG paralelă cu AC, G pe AB, GH BC, FG paralelă cu AC, G pe AB, GH paralelă cu BC, H pe AC, HI paralelă cu paralelă cu BC, H pe AC, HI paralelă cu AB, I pe BC şi IK paralelă cu AC, K pe AB, I pe BC şi IK paralelă cu AC, K pe AB. Se cere lungimea segmentului AB. Se cere lungimea segmentului [DK].[DK].

Construim figura corespunzatoare Construim figura corespunzatoare

datelor problemeidatelor problemei

Construind figura, constatăm că Construind figura, constatăm că punctele K şi D coincid, sau sunt punctele K şi D coincid, sau sunt foarte apropiate, deci, s-ar părea că foarte apropiate, deci, s-ar părea că DK=0. Să facem calculele pentru a DK=0. Să facem calculele pentru a verifica acesată observaţie. Pentru a verifica acesată observaţie. Pentru a nu complica inutil figura, vom scoate nu complica inutil figura, vom scoate separat, de fiecare dată, numai separat, de fiecare dată, numai elementele care ne interesează. elementele care ne interesează.

Pasul 1. Pasul 1.

Pasul 2. Pasul 2.

Pasul 3.Pasul 3.

Pasul 4Pasul 4

Pasul 5. Pasul 5.

Pasul 6.Pasul 6.

Prof. ALEXANDRU IONUTProf. ALEXANDRU IONUT

Bibloografie:“ISTORIA GENERALA A STIINTEI”Bibloografie:“ISTORIA GENERALA A STIINTEI”Publicata sub conducerea lui Rene TatonPublicata sub conducerea lui Rene TatonVol. I Stiinta antica si medievala de la origini la Vol. I Stiinta antica si medievala de la origini la 14501450Editura StiintificaEditura StiintificaBucuresti, 1970Bucuresti, 1970