curs metode numerice
Post on 26-Feb-2018
274 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
1/49
1
MODELARE NUMERICA SI SIMULARE IN OPTOELECTRONICA
Metode numerice de procesare a campului electromagnetic cu ajutorul
diferenelor finite i a straturilor absorbante
Forma diferentiala a ecuatiilor lui Maxwell
Ecuatiile lui Maxwell descriu evolutia campului electromagnetic in diferite medii de
propagare. Forma diferentiala a ecuatiilor lui Maxwell se defineste prin
t
BE , (1)
care exprima legea lui Faraday pentru inductia electromagnetica, si prin
t
D J , (2)
care exprima legea lui Ampere pentru un circuit electric. Determinarea solutiilor sistemului (1) +
(2) de ecuatii Maxwell se face in functie de proprietatile de material ale mediului in care se
propaga campul electromagnetic studiat si de conditiile initiale si/sau la limita impuse de
problema studiata. Proprietatile de material ale mediului de propagare la care ne-am referit mai
devreme sunt descrise prin intermediul urmatoarelor doua ecuatii constitutive
D E , unde 0r , (3)
B H , unde 0r . (4)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
2/49
2
Simbolurile introduse mai devrema au urmatoarele semnificatii si unitati de masura
fizice :
B reprezinta fluxul magnetic si se masoara in Vs/m2
;
D reprezinta fluxul dielectric (deplasarea electrica) si se masoara in As/ m2
;
E reprezinta intensitatea campului electric si se masoara in V/m ;
H reprezinta intensitatea campului magnetic si se masoara in A/m ;
J reprezinta densitatea curentului produs de sarcinile libere ( J E , unde reprezinta
conductivitatea specifica a mediului de propagare) si se masoara in A/m2
;
0 reprezinta permitivitatea electrica a vidului si se masoara in As/Vm ;
r reprezinta permitivitatea relativa si depinde de mediul in care se propaga undele
electromagnetice ;
0 reprezinta permeabilitatea magnetica a vidului si se masoara in Vs/Am ;
r reprezinta permeabilitatea relativa si depinde de mediul in care se propaga undele
electromagnetice.
Observatie:Prin intermediul ecuatiei de continuitate
t
J , (5)
din cele doua ecuatii ale sistemului lui Maxwell prezentat mai sus se poate deduce ca
0 B , (6)
relatie care exprima inexistenta polilor magnetici liberi, si
D , (7)
unde reprezinta densitatea sarcinilor libere, relatie care exprima legea lui Gauss.
Aplicand ecuatiilor (1) si (2) ale sistemului lui Maxwell transformata Fourier obinem
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
3/49
3
j E B , (8)
j J . (9)
Observatie:Sistemul (1) + (2) determina campul electromagnetic in spatiul timp, iar sistemul
(8) + (9) determina campul electromagnetic in spatiul frecventelor.
Discretizarea ecuatiilor lui Maxwell
Atunci cand discretizam campul electrc E in raport cu o retea de puncte in care spatiul si
timpul sunt esantionate prin subdiviziuni uniforme, pentru precizarea valorilor luiEin aceste
puncte adoptam notatia
, , , , ,n
i j k i x j y k z n t E E . (10)
In cazul campului magnetic Hprocedam in mod asemanator
, , , , ,n
i j k i x j y k z n t H H . (11)
De exemplu, tratand sistemul pamant-ionosfera (prezentat in figura 1) ca pe un imens
ghid de unde putem discretiza parametrii de material care intra in compozitia acestui ghid ca si
campul electromagnetic care se propaga prin el dupa o retea de puncte ca cea sugerata in figura
2.
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
4/49
4
Figura 1. Sistemul ionosfera-pamant.
Figura 2. Discretizarea sistemului ionosfera-pamant.
Discretizarea ecuatiilor lui Maxwell impune gasirea unei metode de discretizare a
derivatelor partiale ale componentelor ce alcatuiesc campul electromagnetic. Folosind aceste
conventii de scriere, formulele de aproximare ale derivatelor partialet
E,
x
E,
y
E,
z
E, prin
metoda difrerentelor finite, au urmatoarele expresii
1
, , , , , , , ,
0lim
t t t n n
i j k i j k i j k i j k
tt t t
E E E EE, (12)
Pamant
Ionosfera
60 km
40 km
Antena
Pamant
Ionosfera
60 km
40 km
Antena
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
5/49
5
, , , , 1, , , ,
0lim
n n n n
x x j k x j k i j k i j k
xx x x
E E E EE, (13)
, , , , , 1, , ,
0lim
n n n n
i y y k i y k i j k i j k
yy y y
E E E EE , (14)
, , , , , , 1 , ,
0lim
n n n n
i j z z i j z i j k i j k
zz z z
E E E EE. (15)
Observatie:Daca in relatiile (12)(15) inlocuim campul E cu campul H obtinem fara nici un
efort formulele de aproximare ale derivatelor partialet
H,
x
H,
y
H,
z
H.
Algoritmul lui Yee de aproximare a solutiilor sistemului lui Maxwell
Algoritmul lui Yee a fost special conceput pentru a servi la rezolvarea numerica a
diferitelor probleme ridicate de simularea virtuala a unor procese de fizice greu reproductibile in
laborator dar care pot fi complet descrise cu ajutorul ecuatiilor lui Maxwell. Pentru aproximarea
derivatelor partiale din componenta ecuatiilor lui Maxwell algoritmul lui Yee se folosese de
metoda elementului finit. Marele avantaji al acestui algoritm consta in modul de definire al
retelelor de discretizare a ecuatiilor lui Maxwell care are proprietatea de a reduce substantial
cantitatea de memorie RAM necesara pentru ca procesul de calcul sa poata fi asistat de
calculator. In domeniul timp, campurile E si H sunt esantionate dupa o retea de celule Yee.
Intr-o celula Yee (vezi figura 3) campurile electric si magnetic sunt diferentiate in spatiu si timp,
esantionarea facanduse la jumatatea intervalelor spatiale si temporale.
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
6/49
6
Figura 3. a) O celula Yee. b) O fata a unei celule Yee.
In continuare consideram ca mediul in care ne desfasuram experimentul este izotropic in
raport cu componenta electrica, avand permitivitatea , este omogen in raport cu componenta
magnetica, avand permeabilitatea egala cu permeabilitatea0
a vidului si are conductivitatea
descrisa prin tensorul
11 12 13
21 22 23
31 32 33
.
Pentru aproximarea lui E si H din ecuatiile lui Maxwell
t
t
BE
D J
J E
, (M 1)
ca functii spatio-temporale, definim o retea de celule Yee convenabila in raport cu care
descretizam apoi aceste ecuatii prin metoda elementului finit prezentata mai devreme.
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
7/49
7
Considerand reteaua definita prin 4, , ,
, , ,i j k n
i x j y k z n t
sistemul de ecuatii al lui Maxwell
se discretizeaza dupa cum urmeaza
(16)
(17)
(18)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
8/49
8
(19)
(20)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
9/49
9
(21)
(22)
(23)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
10/49
10
(24)
Relatiile tocmai gasite permit determinarea recurisva a evolutiei in timp a campului
electromagnetic. Intr-adevar, cunoscand campurile Hsi Jla momentul n- 0.5 si campul electric
Ela momentul n, din ecuatiile (16)(18) putem determina campul magnetic Hla momentul n+
0,5, iar din ecuatiile (19) (21) putem determina campul J la momentul n + 0,5. Folosind
rezultatele obtinute, putem determina apoi campul E la momentul n + 1. Dupa parcurgerea
acestor etape, procesul poate fi reluat pentru Hsi Jcunoscute la momentul n + 0.5 si Ecunoscut
la momentul n+ 1.
Pentru aproximarea lui E si H din sistemul
j
j
E B
J
J E
, (M 2)
(transformatele Fourier ale ecuatiile lui Maxwell) ca functii in domeniul frecventelor, definim o
retea de celule Yee convenabila in raport cu care descretizam apoi aceste ecuatii prin metoda
elementului finit prezentata mai devreme. Considerand reteaua definita prin
3, ,
, ,i j k
i x j y k z
sistemul de ecuatii al lui Maxwell se discretizeaza dupa cum urmeaza
(25)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
11/49
11
(26)
(27)
(28)
(29)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
12/49
12
(30)
(31)
(32)
(33)
In cazul sistemului actual, ca si in cazul sistemului (16) (24), necunoscutele sunt componentele
campurilor H si J la momentul n + 0.5 si componentele campului E la momentul n + 1,
considerandu-se cunoscute toate componentele campurilor Hsi Jla momentul n- 0.5 precum si
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
13/49
13
toate componentele campului Ela momentul n, dar spre deosebire de sistemul (16) (24) care
permite determinarea campurilor H, J si Ein doua etape: mai intai Hsi Jsi apoi E, sistemul (25)
(33) nu poate fi rezolvat prin explicitarea succesiva a necunoscutelor sale ci numai pintr-o
abordare globala.
Conditii la limita absorbante
In multe situatii regiunea spatiala in care dorim sa modelam un fenomen optoelectronic
este nemarginita in cel putin o directie. De exemplu in cazul ghidului de unda natural pamant-
ionosfera regiunea in care trebuie sa modelam este nemarginita pe orizontala. Alt exemplu
(ilustrat in figura 4 a)) este dat de o antena dipol care emite intr-un spatiu omogen nemarginit.
Datorita constrangerilor impuse de duratele de functionare si de capacitatile de memorie ale
tehnologiilor de calcul folosite - care sunt limitate, va trebui sa trunchem zona de manifestare a
procesului studiat astfel incat determinarea acestuia sa se faca numai intr-o zona de interes
marginita. In cazul figurii 4 b) aceasta zona este demarcata de dreptunchiul punctat. In aceasta
figura mediul care inconjoara dreptunghiul punctat trebuie sa absoarba undele incidente la
laturile acestui dreptunghi astfel incat campul electromagnetic modelat sa se comporte identic
cazului in care experimentl s-ar face intr-un mediu nemarginit.
Materialul folosit la truncherea zonei de interes se numeste nivel (strat) perfect adaptat.
Ideea unei astfel de tehnici de modelare locala a campului electromagnetic a fost introdusa in
1994 de catre Berenger, Chew si Weedon.
Indiferent de metoda de lucru folosita (rezolvarea sistemului lui Maxwell in domeniul
timp sau in domeniul frecventelor) si de tipul stratului absorbant folosit, acesta reflecta totusi o
parte din undele care il ating (procentul undelor reflectate depinde de tipul undelor incidente).
Optimizarea straturilor absorbante constituie inca un subiect de interes pentru cercetatori.
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
14/49
14
a) b)
Figura 4. a) Domeniu infinit. b) Domeniu marginit prin introducerea de conditii la limita
absorbante.
Aproximarea campului electromagnetic prin metoda PML (Perfectly Matched Layer)
In cazul folosirii conditiilor la limita absorbante ecuatiile lui Maxwell pentru domeniul
frecventelor au urmatoarele expresii
(34)
unde
(35)
Stratul perfect adaptat (conditii la
limita absorbante)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
15/49
15
, ,x y zg j g j g j , reprezentand un set de trei functii de variabila complexa dependente
de frecventa, iar , ,x y za a a , versorii axelor de coordonate. Undele plane care verifica sistemul
(34) au forma
(36)
unde este permitivitatea mediului (care poate fi si izotropic) in care se propaga unda,0
este
permeabilitatea vidului, este conductivitatea electrica a mediului si poate fi un tensor, keste
numarul de unda care poate fi functie de , , . Semnificatie ultimilor trei parametrii este
urmatoarea : reprezinta frecventa radiala a undeli emergente, este unghiul dintre directia de
propagare a undei si axa Oz, iar este unghiul azimutal al directiei de propagare a undei
unghiul dintre proiectia acestei directii pe planul Oxy si axa Ox .
Este simplu de observat ca in cazul 0x y zg j g j g j sistemul (36) se
reduce la forma traditionala a ecuatiilor lui Maxwell, iar expresia (36) la o unda plana standard.
De asemenea se poate observa usor ca unda plana furnizata de sistemul (34) difera de unda plana
furnizata de ecuatiile (8) si (9) prin factorul exponential
care are rolul de a ajusta disiparile produse de utilizarea metodei PML (utilizarii conditiilor la
limita absorbante). Diferitele impedante (exprimate prin rapoarte de forma x
y
E
H, etc.) care se pot
forma cu ajutorul componentelor campului electromagnetic furnizat de sistemul (34) sunt
identice cu cele care se pot forma cu ajutorul componentelor campului electromagnetic furnizat
de sistemul (M 2).
Figura 5 ilustreaza relatiile pe care trebuie sa le verifice functiile x xg g j si
y yg g j in cazul 2-dimensional pentru asigurarea conditiilor la limita absorbante : adica a
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
16/49
16
conditiilor de ne-reflexie a undelor plane incidente la interfetele stratului absorbant care
inconjoara zona de interes indiferent de unghiul de incidenta.
Figura 5. Conditii la limita absorbante.
Observatie: Pentru evitarea in continuare a folosirii tehnicii de splitare a campului
electromagnetic rescriem operatorul (35) sub forma
(37)
Daca vom considera
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
17/49
17
unde , ,x y z sunt trei constante reale pozitive, operatorul PML (utilizabil in domeniul
frecventelor) poate fi adus (pentru utilizare in domeniul timp) la forma
(38)
unde reprezinta produsul de convolutie iar functia u se defineste prin 0u t , daca 0x
si 1u t , daca 0x . Operatorul (38) implica cate un produs de convolutie dintre o functie
care descreste exponential la 0 si derivatele partiele ale componentelor campului
electromagnetic. Acest operator poate fi aplicat campurilor care se propaga in medii liniare
indiferent daca aceste medii sunt izotrope sau anizotrope. Datorita proprietatilor de liniaritate
ecuatiile (1) si (2) pot fi rescrise cu ajutorul operatorului (38) sub forma
(39)
unde
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
18/49
18
(40)
expresia cantitatii PML E obtinanduse din relatia de mai sus prin simpla inlocuire a
campului magnetic Hcu campul electric E.
Produsele de convolutie care apar in ecuatiile (39) pot fi eficient calculate utilizand
tehnica liniar-recursiva de calcul pe portiuni a produselor de convolutie dezvoltata de Kelley si
Luebbers in 1996.
Pentru mediile dispersive mai complicate, precum plasmele magnetizate, metoda
dezvoltata anterior prin utilizarea operatorului (38) nu asigura obtinerea unor coeficienti de
reflexie adegvati pentru benzile de frecvente dorite. Pentru a iesi din acest impas va trebui ca in
exprimarea functiilor , ,x y zg j g j g j sa folosim mai multi termeni. In mod concret
noi vom considera ca
1 1 1
1 1 11 , 1 , 1
1 1 1
N N Nyn ynxn xn zn zn
n n nx xn y yn z zn
bb b
g j j g j j g j j
. (41)
In aceste conditii noul operator PML se va scrie
(42)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
19/49
19
Prin utilizarea acestui nou operator cantitatea PML H devine
(43)
In relatiile de mai sus s-a aplicat operatorul parte rela termenilor care pot lua valori complexe
pentru ca procesul de calcul al produselor de convolutie sa solicite cat mai putina memorie RAM
din partea unitatii de calcul folosite. Cantitatea PML se exprima pintr-o relatie
asemanatoare celei de mai sus cu deosebirea ca in locul componentelor campului magnetic vor
apare componntele campului electric.
Observatie:Dezavantajele folosirii noului operator constau in majorarea volumului de calcul pe
care il impune. De exemplu, pentru evaluarea relatiei (43) numarul produselor de convolutie care
trebuiesc evaluate este de N ori mai mare decat cele necesare pentru evaluarea relatiei (40).
Aplicatie
Simulam fenomenul de propagare a undelor emise de o antena care produce un semnal
sinusoidal. In acest sens ni se dau locul in care este situata antena si campul electric produs deaceasta antena in timp. Pentru a simplifica modelul matematic al acestei probleme vom considera
ca ne situam in cazul tranzversal electromagnetic1, adica in cazul undelor plane. Daca o unda de
1Modul transversal de polarizare a luminii admite mai multe tipuri de clasificari:
Modul transversal electric, sau modul TE (Transverse electric) se caracterizeaza prin
absenta campului electric in directia de propagare a undei. Acest mod se mai numeste
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
20/49
20
acest tip se propaga paralel cu axa 0x atunci 0x zE E , 0x yH H . Dupa cum este normal,
vom presupune ca antena emite in atmosfera, dar pentru a ne apropia cat mai mult de conditiile
unei situatii reale, vom considera de asemenea ca in drumul ei unda va strabate si un mediudielectric.
Ipoteze de lucru
Pentru simplificarea calculelor vom considera parametrii constitutivi ai atmosferei
(spatiul in care transmite antena) egali cu cei ai vidului, adica 120 8,854185 10 F/m ,
9
0 400 10 H/m . Din acelasi motiv vom presupune ca dielectricul considerat in problema
nu are proprietati magnetice, adica 0d . In ceea ce priveste permitivitatea electrica a
dielectricului vom presupune ca este de 4 ori mai mare decat cea a vidului, adica 04d .
Caracteristicile tehnice ale antenei pe care urmeaza sa o studiem sunt sisntetizate in faptulca impulsurile emise de catre aceasta sunt descrise de ecuatia 0 0, sinyE x t E t , unde
0
2c
, 0 500nm .
adesea si modul H deoarece de-a lungul directei de propagare a undei apare numaicampul magnetic .
Modul transversal magnetic, sau modul TM(Transverse Magnetic)se caracterizeaza prin
absenta campului magnetic in directia de propagare a undei. Acest mod se mai numeste simodulE deoarece de-a lungul directei de propagare a undei apare numai campul electric.
Modul transversal electromagnetic, sau modul TEM (Transverse electromagnetic) se
caracterizeaza prin absenta atat a campului electric cat si a campului magnetic in directia
de propagare a undei.
Modul hibrid se caracterizeaza prin prezenta atat a campului electric cat si a celui
magnetic (ambele sunt considerate nenule) in directia de propagare a undei.
Dupa unii autori se considera ca directia de polarizare a unei unde electromagnetice este
data de directia campului magnetic, iar planul de polarizare este planul definit de directia de
propagare a undei si de directia campului magnetic.
Alt mod de a defini modul TE si modul TM: Consideram o unda electromagneticaarmonica in timp care se propaga pintr-un mediu multistratificat. n cazul special in care undaeste liniar polarizata dupa campul electric perpendicular pe planul de incidenta spunem ca unda
este polarizata transversal electric, iar atunci cand unda este liniar polarizata dupa campul sau
magnetic perpendicular pe planul de incidenta vom spune ca unda este polarizata transversal
magnetic. Orice unda plan polarizata poate fi descompusa in doua unde, una Te si alta TM.
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
21/49
21
Modelul matematic
Fata de datele problemei, fenomenul pe care dorim sa il simulam este modelat matematic
prin urmatorul sistem de ecuatii Maxwell
t
HE ,
t
EH , (44)
unde si vor lua dupa caz valorile 0 0, , ,d d ,respectiv, 0 0, .
Cum in cazul pe care il studiem 0x zE E , 0x yH H , sistemul (44) se transcrie
,y yz z
E EH H
x t x t
. (45)
Prin substitutii simple, sistemul de ecuatii (45) poate fi adus la forma
2 2 2 2
2 2 2 20, 0y y
z z
E E H H
x t x t
. (46)
ntr-adevar, derivnd n raport cu x prima ecuaie a setului (45), obinem2 2 2 22
2 2 2 2 0
y y y yzE E E EH
x x t t x t
. Analog, derivnd n raport cu x cea de a
doua ecuaie a setului (45), obinem2 2 2 2 2
2 2 2 2 0z z z z z
H H H H H
x x t t x t
.
Solutia generala complexificata a ecuaiei (46a) este de forma
, j tyE x t E x e , 1 2
x xE x C e C e , (47)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
22/49
22
unde1
C si2
C sunt doua constante de integrare arbitrare, iar j . Impunnd condiia ca
partea reala a acestei soluii s verificecondiiala limit 0 0, sin , 0yE x t E t t , obinem
02 1
02sin
EC C
x , unde . Astfel partea real a functiei
1 2, x x j t yE x t C e C e e ,
verifica verifica atat ecuatia (46a) cat si relatia
0 0, sin , 0yE x t E t t .
Ecuatia (46b) fiind identica cu ecuatia (46a) va admite ca solutie generala o expresie de
forma
, j t
zH x t H x e
, 1 2x x
H x D e D e
, (48)
unde la fel ca mai devreme,1
D si2
D sunt doua constante de integrare arbitrare, iar j .
Pentru a stabili legatura dintre cele doua componente yE si zH ale campului electric si magnetic
va trebui s introducem expresiile acestora in sistemul (45). Ca rezultat obtinem
1 2 1 2x x j t x x j tC e C e e j D e D e e , de unde prin identificare gasim
1 2
1 2
,C C
D D
. (50)
Observatii: 1) Cum 02 102sin
EC C
x , datorit relatiilor (50) deducem ca nici coeficenii
1D si 2D nu sunt independenti unul fata de celalat, chiar daca campului magnetic nu i se impune,
aparent, nici o constrangere.
2) Perechea 1 1, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e caracterizeaza o unda care se deplaseaza
paralel cu axa 0x catre dreapta, iar perechea 2 2, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , o unda
care se deplaseaza paralel cu aceeasi directie, dar catre stanga.
3) Dupa cum se stie impedanta mediului in care se propaga o unda transversal electromagnetica
ca cea analizata de noi se defineste prin relatiay
z
EZ
H . Astfel (datorita relatiilor (50)) in cazul
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
23/49
23
unei unde care se deplaseaza catre dreapta, impedanta mediului este egala cu
, iar in cazul
unei unde care se deplaseaza catre stanga, cu
.
Folosind rezultatele obtinute pana in prezent putem concluziona ca in fiecare din cele
patru regiuni ale figurii alaturate campul electromagnetic emis de antena este exprimat analitic
prin urmatoarele relatii :
1 1, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 1;
2 2, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 2;
3 3, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 3;
4 4, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 4.
Figura 5.
Legatura dintre cele partu randuri de solutii se facre prin intermediul relatiilor de
continuitate care trebuiesc satisfacute la nivelul fiecarei interfete de separatie de catre perechile
adiacente de solutii. Pentru a stabili aceste laegaturi analizam cazul unei unde electromagnetice
care se propaga dintr-un mediu in altul ca in figura de mai jos.
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
24/49
24
Figura 6.
Conditiile de continuitate la nivelul interfetei de separatie dintre mediile 1 si 2 sunt
,yi yr yt zi zr ztE E E H H H . (51)
Efectuand notatiileyi
i
zi
EZ
H , yr r
zr
EZ
H , yt t
zt
EZ
H si observand ca r iZ Z , in virtutea relatiilor
(51) putem determina coeficientii de transmitanta
2yt t
yi t i
E Z
E Z Z
, (52)
si de reflectanta
yr t i
yi t i
E Z Z
E Z Z
, (53)
ai undei emergente. ntr-adevar, sistemul (51) se transforma mai intai in sistemul
, yi yr yt
yi yr yt
i r t
E E EE E E
Z Z Z , iar apoi in sistemul
11 ,
yr yt
yr yt yi yi
yi yi i r t
E E
E E E E
E E Z Z Z . Folosind
notatiile yt
yi
E
E ,
yr
yi
E
E , ultimul dintre aceste sisteme devine 11 ,
i r tZ Z Z . Tinand
seama de faptul ca r iZ Z , acest ultim sistem ne furnizeaza solutia (52) si (53).
Observatie: Este usor de constatat ca 1 .
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
25/49
25
Abordarea numerica a problemei
Alegand ca domeniu de integrare produsul cartezian 0, 0,L T , ecuatiile (45) pot fi
discretizate prin intermediul urmatoarelor relatii de recurenta
0.5 0.5
0.5 0.5 1
1 0.5 0.5
0.5 0.5
1,
1,
, ,
n n n n
z i z i x i x i
i
n n n n
x i x i z i z i
i
tH H E E
x
tE E H H
x
i n
(54)
unde axa 0x a fost esantionata in punctele ,ix i x i , semiaxa pozitiva [0ta fost esantionata
in punctele ,nt n t n , paii celor doua diviziuni fiind alesi astfel incat conditia de
stabilitate Couran-Friedrichs-Lewy :
t1
xc
, (55)
sa fie satisfacuta, iar
, 0.5 ,i ii x i x i .
Interdependenta dintre cele doua relatii de recurenta (54) este ilustrata in figura 7 prezentata mai
jos. Pentru a vizualiza mai bine acest lucru rescriem relatiile (54) sub forma
0.5 0.5 1 0.5 0.5
0.5 0.5 1 0.5 0.5, , , , , , ,n n n n n n n n
z i z i x i x i x i x i z i z iH f H E E E g E H H i n
.
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
26/49
26
Figura 7.
Observaie:n figura de mai sus cerculeul abstractizeaz valoarea cmpului electric n punctul
de coordonate ,t x n care este reprezentat, iar patraelul, valoarea cmpului magnetic,
calculat de asemenea n punctul de coordonate ,t x .
Datorita faptului ca cele doua relatii de recurenta (54) sunt indexate dupa multimile
nemarginite si , folosirea lor in practica este imposibila. Obsevam totusi ca daca am
considera ca in afara unui interval marginit al axei 0x campul magnetic este nul la orice moemnt
de timp atunci relatiile de recurenta (54) ar putea furniza informatiile necesare procesarii
fenomenului care ne intereseaza in interiorul acelui interval. Pentru a fixa ideile sa consideram ca
zona spatio-temporala de interes pentru simularea unui anumit proces electromagnetic este
delimitata de produsul cartezian 0, 0,L T . Consideram ca intervalul 0,L este impartit in
0M subintervale de lungime x si ca intervalul 0,T este impartit in 0N subintervale de
lungime t astfel incat conditia de stabilitate (55) sa fie satisfacuta. In aceste conditii urmarind
diagrama din figura 7 putem observa cu usurinta ca in ipotezele
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
27/49
27
0.5 , 0.5 , 0, 0z zH x t H M x t t , (56)
0 0, sin , 0yE x t E t t , (56)
relatiile de recurenta (54) pot fi folosite pentru aproximarea solutiei sistemului (45) situata in
domeniul 0, 0,L T .
Yee a propus pentru asigurarea conditiilor (56) considerarea de o parte si de alta a
segmentului 0,L a cate unei regiuni, ca cele prezentate in figura 8, nereflectante cu
proprietatea de absortie a campului electromagnetic.
Figura 8.
Pentru modelarea matematica a probelemelor ridicate de determainarea parametrilor
constitutivi ai celor doua medii absorbante care incadreaza regiunea noastra de interes, ecuatiile
(45) trebuiesc inlocuite prin ecuatiile
,
y yz z
y
E EH H
Ex t x t
, (57)
unde conductivitatea electrica introdusa are menirea de a face ca mediul in care se propaga
undele electromagnetice sa fie cu pierderi (energia de propagare a undei electromagnetice sa fie
transformata in caldura).
Regiunea 1Regi-unea 2 Regiunea 3 Regiunea 4 Regiunea 5
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
28/49
28
Ca si mai devreme ecuatiile sistemului (57) se pot aduce la forma explicita
2 22 2
2 2 2 2,
y y yz z z E E EH H H
x t t x t t
. (58)
De asemenea se poate arata ca solutiile generale complexificate ale celor doua ecuatii (58) avand
respectiv formele , j tzH x t H x e si , j tyE x t E x e
sunt date de relatiile
1 2x xE x C e C e , 1 2
x xH x D e D e (59)
unde1
C ,2C , 1D , si 2D sunt constante de integrare arbitrare, iar
2 2 j j . (60)
Deoarece perechea 1 1, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e caracterizeaza o unda care se
deplaseaza paralel cu axa 0x catre dreapta, iar 2 2, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , o unda
care se deplaseaza paralel cu aceeasi directie, dar catre stanga, in virtutea rezultatelor obtinute
mai devreme putem concluziona ca in fiecare din cele cinci regiuni ale figurii 8 campul
electromagnetic emis de antena este exprimat analitic prin urmatoarele relatii:
1 1, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 1 ;
2 2, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 2 ;
3 3, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 3 ;
4 4, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e
, in regiunea 4 ;
5 5, , ,x j t x j t
y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 5.
Ca si mai devreme, legatura dintre cele cinci randuri de solutii se facre prin intermediul
relatiilor de continuitate care trebuiesc satisfacute la nivelul fiecarei interfete de separatie de
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
29/49
29
catre perechile adiacente de solutii. Efectuand notatiileyi
i
zi
EZ
H , yr r
zr
EZ
H , yt t
zt
EZ
H si
observand ca r iZ Z , in virtutea relatiilor (51) putem determina din nou coeficientii de
transmitanta
2yt t
yi t i
E Z
E Z Z
, (61)
si de reflectanta
yr t i
yi t i
E Z Z
E Z Z
, (62)
ai unei unde emergente intre doua regiuni adiacente. Diferenta intre formulele (52), (53) siformulele (61), (62) consta in expresiile diferite ale impedentelor care in situatia actuala au
valorile
2 2,ii i i i i ii
jZ j
,
r iZ Z , (63)
2 2,tt t t t t t t
jZ j
.
Precizare: In formulele (61) (63) este considerat cazul unei unde care se deplaseaza catre
dreapta din regiunea 3 in regiunea 4. In cazul unei unde care se deplaseaza catre stanga din
regiunea 2 in regiunea 1 relatiile (63) s-ar schimba in relatiile
2 2,ii i i i i i
i
jZ j
,
r iZ Z , (63)
2 2,tt t t t t t t
jZ j
.
Consideram acum ca ne situam in una dintre zonele delimitate de regiunile 1 si 2, sau de
regiunile 4 si 5. Pentru a evita distorsionarea solutiilor oferite de relatiile de recurenta (54)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
30/49
30
punem conditia ca 0 (undele incidente pe interfata dintre regiunile 1 si 2, sau dintre
regiunile 4 si 5 sa nu fie reflectate inapoi). Aceasta conditie este echivalenta cu faptul ca
impedantele celor doua regiuni adiacente sunt egale intre ele, adica cu faptul ca i t
i t
.
Pentru asigurarea satisfacerii conditiilor (56) consideram ca mediul absorbant care ocupa
regiunea 1 sau regiunea 5 (in functie de alegerea cazului tratat) are conductanta electrica
t i . In aceasta situatie
2 1 2 2 1 2
2 2 2 22 1 2 1t t t i i
j j
, (64)
daca ne referim la zona delimitata de mediul situat in regiunea 1, sau
2 1 2 2 1 2
2 2 2 22 1 2 1t t t i i
j j
, (65)
daca ne referim la zona delimitata de mediul situat in regiunea 2.
Notand Re t si Im t , avem
1 1, , ,j x t j x tx x
y zE x t C e e H x t D e e , (65)
daca x apartine segmentului delimitat pe axa 0x de regiunea 1, sau
5 5
, , ,j x t j x tx x
y z
E x t C e e H x t D e e , (66)
daca x apartine segmentului delimitat pe axa 0x de regiunea 5.
In cazul primului strat absorbant, deoarece mediul din regiunea 2 este spatiul liber, avem
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
31/49
31
0 0
0
2 1 2 2 1
2 2
.
Astfel, daca luam0
22
2 1x
, atunci 4x , deci factorul 4 63,5 10xe e este
suficient de mic pentru a putea sa consideram campul electromagnetic nul in stanga primului
strat absorbant.
In cazul celui de al doilea strat absorbant, deoarece mediul din regiunea 4 este este
dielectricul de parametrii constitutivi 0 04 ,d d , avem
0 0
0
2 1 4 2 14
2 2
.
Astfel, daca luam 02
2 1x
, atunci 4x , deci factorul 4 63,5 10xe e este
suficient de mic pentru a putea sa consideram campul electromagnetic nul in dreapta ultimului
strat absorbant.
In lumina acestor constatari, daca consideram ca regiunea 1 se intinde de la 0x
la 02x , regiunea regiunea 2 de la 02x la 03x , regiunea 3 de la 03x la 06x ,
regiunea 4 de la 06x la08x , si regiunea 5 de la
08x la010x , atunci simularea
fenomenului de propagare al undelor electromagnetice emise de antena in cauza poate fi simulat
de-a lungul intervalului 0 03 , 8 prin metida diferentelor finite prezentata in acest paragraf.
Pentru o mai buna intelegere a modului in care aparatul teoretic prezentat mai devreme
poate fi utilizat in cadrul aplicatiilor pracitce vom prezenta in continuare liniile de comanda ale
programului Matlab destinat procesarii acestui fenomen.
Liniile de cod pentru simularea asistata de calculator a fenomenului studiat mai devreme
% Permitivitatea
function epsilon=permittivity(k,sx,lambda0,M)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
32/49
32
epsilon0=8.854185*1e-12;
er1=4;
Dx=sx*lambda0;
x=k*Dx;
L=M*Dx;
if((x>=0)&(x2*lambda0)&(x
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
33/49
33
sigma=0;
elseif (x=(L-2*lambda0))
sigma=star2;
end
% Conductivitatea magnetica
function sigmastar=mconductivity(k,sx,lambda0,M)
epsilon0=8.854185*1e-12;
mu0=400*pi*1e-9;
Z0=sqrt(mu0/epsilon0);
Dx=sx*lambda0;
x=(k+0.5)*Dx;
L=M*Dx;
star=(2*pi/lambda0)*Z0;
if((x>2*lambda0)&(x
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
34/49
34
Dt=(st/c)*Dx;
E0=1;
m=150;
omega=beta0*c;
M=500;
N=4000;
E=zeros(1,M+1);
H=zeros(1,M+2);
for k=0:M
epsilon(k+1)=permittivitty(k,sx,lambda0,M);
ce(k+1)=1-Dt*econductuvity(k,sx,lambda0,M)/epsilon(k+1);
h(k+1)=1/epsilon(k+1);
end
h=h*Dt/Dx;
for k=0:(M-1)
mu(k+1)=permeability(k,sx,lambda0,M);
ch(k+1)=1-Dt*mconductivity(k,sx,lambda0,M)/mu(k+1);
e(k+1)=1/mu(k+1)
end
e=e*Dt/Dx;
for n=1:N
E(m+1)=E0*sin(omega*(n-1)*Dt);
H(2:M+1)=ch.*H(2:M+1)-e.*(E(2:M+1)-E(1:M));
E(1:M+1)=ce.*E(1:M+1)-h.*(H(2:M+2)-H(1:M+1));
E(m+1)=E0*sin(omega*n*Dt);
Ey(n,:)=E;
end
In figura 9 prezentm o secven a programului de simulare descris mai sus.
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
35/49
35
Figura 9.
Metode numerice de rezolvare a ecuatiilor lui Maxwell dependente de timp cu
ajutorul matricei exponeniale
Ecuatiile lui Maxwell descriu evolutia campului electromagnetic n spaiu si timp. Ele igsesc aplicaii n cadrul a diferite situaii fizice i joac un rol deosebit pentru foarte multe
dintre aplicaiile inginereti. n majoritatea cazurilor este nevoie ca ecuaiile lui Maxwell sa fierezolvate numeric. Una dintre cele mai cunoscute metode de rezolvare numerica a ecuaiilor luiMaxwell este cea a diferentelor finite pentru domeniul timp: FDTD (finite-difference time-
domain). Aceasta metoda foarte populara este flexibila, rapid i n acelai timp uor de aplicat.Metoda diferenelor finite pentru domeniul timp are ns i dezavantaje. Acestea constau nfaptul c aceast metod este puternic dependent de dimensiunea spaial a diviziunilor utilizatepentru discreditarea ecuaiilor i de numrul mare al pailor de integrare. Din aceste motive aufost cutate soluii alternative. n cele ce urmeaz vom prezenta o variant de ultimor care estefolosit pentru rezolvarea problemelor referitoare la ecuaiile lui Maxwell.
Algoritmul de integrare
Vom studia cazul ecuaiilor lui Maxwell pentru medii liniare, izotrope, nedispersive iconservative (nedisipative), adic
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
36/49
36
HE
t
EH
t
, (1)
unde , , , , , ,x y zt E t E t E t E E r r r r , , , , , , ,x y zr t H r t H r t H r t H H ,
r , r , x y z r i j k .
Proprietila fizice ale ecuaiilor lui Maxwell rezultate din forma simetrica a acestora pot fi
explicitate prin introducerea urmtoarelor cmpuri: , ,t tX r r H r ,
, ,t tY r r E r . Scriind
,, , , ,
,
TT
T
tt t t
t
X rZ r X r Y r
Y r, unde ,
T este
operatorul de transpoziie, ecuaiile lui Maxvell (1) devin
1 10
1 10
t
ZZ AZ , (2)
unde
1 10
1 10
A .
ntr-adevr,
,,, , , ,
, ,
TTT
T T
ttt t t
t t
r H rX rZ r X r Y r
Y r r E r;
,
,
T
T
tt
t t
t
H rrZ
E rr
;
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
37/49
37
1 1 10
1 1 10
T
T
TT
H
AZE
H
,
de unde
1 1,
t t
H E H ,
t t
H EE H .
n plus, matricea A are urmtoarea proprietete
1 10
1 1 0
T
A A .
Ecuaiei matriciale (2) i putem asocia sistemul
0
0
t
t
X
Y
. (3)
ntr-adevr,
0,
0.
t t t
t t t
HX H E
EY E H
Pentru o anumit diviziune a domeniului de definiie 3V , ecuaiile lui Maxwell (2)pot fi scrise sub forma
t
B , (4)
unde ,t r constituie o reprezentare a funciei , tZ Z r n punctele acelei diviziuni, iar
B reprezint analogul discret al matricei A . Soluia formal a ecuaiei (4) este dat de formula
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
38/49
38
, ,0 , ,0tt e t B r r U r r , (5)
unde , tt e BU r desemneaz matricea de evoluie temporal. Dac procedeul de discretizare
conserv simetriile fizice ale ecuaiilor lui Maxwell atunci matricea B este real i antisimetric
( T
B B ). Acest lucru implica faptul c , tU r este o matice ortogonal. Din punct de vederefizic, ortogonalitatea matricei ,tU r exprim conservarea energiei.
Spre deosebire de varianta tradiional de construire a algoritmilor de integrare anumeric a ecuaiilor lui Maxwell, expus in capitolul precedent, care datorit discretizriiderivatelor n raport cu timpul, asigura numai o stabilitate condiionat a acestora, utilizareasoluiei formal exacte (5) determinat in acest capitol, permite construirea unor algoritmi custabilitate necondiionat.
Problema aproximrii numerice a soluiei (5) este echivalent cu problema aproximrii
matricei exponeniale , tt e BU r pintr-o anumit matrice de evoluie , tU r . Dac
aproximarea ,tU r este ea insi o matrice ortogonal atunci 2
, 1t U r . Acest lucru
implic faptul c 22
, , 0 ,0t U r r r pentru orice condiie iniial ,0 r i orice
moment de timp t. n consecin algoritmul de integrare n raport cu timpul definit cu ajutorul
matricei ,tU r va fi necondiionat stabil prin construcie.
Formula de descompunere Suzuki
O metod sistematic de abordare a modului de construire al aproximaiilor matriceiexponeniale const n folosirea formulei lui Lie-Tratter-Suzuki
1 2
1
lim kp
mtp
tt m
mk
e e e
BB B BB. (6)
Dac pentru un 0
notm
11 , pe e
BBU r , (7)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
39/49
39
atunci ecuaia (6) ne sugereaz c 1 ,m
U r poate constitui o bun aproximare pentru , tU r
dac este suficient de mic, iar m suficient de mare (se considert
m pentru o valoare a
parametrului m suficient de mare n raport cu intervalul de variaie al parametrului timp t).
Referitor la cazul care ne intereseaz aici, dac toate matricele , , ,1 2 pB B B sunt reale i
antisimetrice, 1 ,U r este ortogonal prin construcie, iar o schem numeric bazat pe ecuaia
(7) va fi necondiionat stabil. Pentru valori mici ale lui , eroarea
1 2, ,mt m U r U r se anuleaz odat cu i n consecin vom spune c 1 ,U r
este o aproximaie de primul ordin a matricei ,U r .
Formula (7) ne ofer o procedur simpl i eficient prin care matricea ,U r poate fi
aproximat cu acuratee fr a i se schimba simetriile fundamentale. De exemplu, matricea
1 1/ 2 /2/ 2 / 2
2 1 1, , ,2 2
p p
T
e e e e
B BB BU r U r U r , (8)
reprezint o aproximare de ordinul 2 a matricei ,U r . Mai mult, dac matricea 1 ,U r este
ortogonal atunci i matricea 2 ,U r va fi de asemenea ortogonal.
Metoda lui Suzuki de descompunere fractal furnizeaz o metod general de construcie
a aproximaiilor de ordin nalt pornind de la aproximaiile iniiale 1 ,U r sau 2 ,U r . O
aproximare de ordinul 4 foarte folositoare este dat de relaia
4 2 2 2 2 2, , , , 1 4 , ,a a a a a U r U r U r U r U r U r , (9)
unde1/3
1
4 4a
.
Algoritmul ntr-un pas
Ideeia pe care se bazeaz acest algoritm este aceea a aproximrii foarte precise a matriceiexponeniale cu un polinom de matrice. Se tie c valorile proprii ale unei matrice antisimetrice
H sunt numere pur imaginare. Fie1
/i C B B , unde1
max ijj
i
B B . Valorile proprii ale
matricei C vor aparine intervalului 1,1 . Exprimnd vectorul ,0 r , (care nglobeaz
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
40/49
40
valorile iniiale ale soluiei sistemului lui Maxwell) n raport cu vectorii proprii jv ai matricei
C , relaia (5) devine
, ,0 , ,0jiziz j jj
t e e
C r r v r v , (10)
unde1
z t B , iar j reprezint valorile proprii ale matricei C .
Observaii:Relaia (10) este o una formal. Nici valorile proprii j i nici vectorii proprii jv
nu se cunosc. Pentru ceea ce urmeaz s facem nu este ns nevoie s cunoatem n mod explicit
aceste date. ntr-adevr, vom determina dezvoltarea sub form de polinom Cebev a lui , tU r
calculnd coeficienii corespunztori funciilor jiz
e v
ce apar n relaia (10). in particular, deoarece
1 1j , avem
01
2jiz k
k k j
k
e J z i J z T
, (11)
unde kJ z este funcia Bessel deordinul k, iar kT este polinomul lui Cebev de gradul k. Cu
ajutorul lui (11) relaia (10) devine
01
, 2 ,0k k kk
t J z i J z T
r I C r , (12)
undek
k kT i T ste polinomul lui Cebev modificat. Mai exact polinoamele de matrice kT C se obin recursiv scriind 0 ,0 ,0T C r r , 1 ,0 ,0T iC r C r ,..,
1 1,0 2 ,0 ,0k k kT iCT T C r C r C r , pentru orice 1k . Cum 1kT C din
construcie, iar / 2 !k k
kJ z z k pentru orice z real, eroarea rezultat din nlocuirea relaiei
(12) cu relaia
01
, 2 ,0K
k
k k
k
t J z i J z T
r I C r , (13)
se va diminua exponenial odat cu creterea lui K. Numrul K se determin din condiia
kJ z M pentru orice k K . Aici M este un parametru de control care determin acurateea
aproximaiei. Pentru M fixat, Kcrete liniar odat cu1
z t H . Facem precizarea c nu exist
nici o cerin ca t s ia numai valori mici.
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
41/49
41
Conform analizei numerice se tie c pentru un Kfixat, polinomul Cebev este foarteapropiat de polinomul minimax (adica de acel polinom de gradul Kcare are cea mai micdeviaie de la adevrata funcie i este mult mai exact dect polinomul lui Taylor de gradul K,de exemplu). n practic se consider K z .
n sens foarte strict, metoda ntr-un pas nu produce o aproximare ortogonal. Totuipentru nevoile practice ea este perceput ca fiind foarte n timp deoarece ea furnizeaz o
aproximare a operatorului de evoluie exact , tt e BU r , apropiat foarte exact de precizia de
calcul a computerului. Acest lucru implic de asemenea faptul c relaiile
, , 0t t H r H r i , , 0t t E r E r
au loc tot timpul (pentru orice t) ceea ce, la rndul su implic, c schema numeric nu vaproduce erori artificiale pe durata procesului de integrare.
Implementarea algoritmului
Etaple de baz ale construirii formulei produs i a funcionrii algoritmului ntr-un passunt cel mai bine ilustrate considernd cazul unidimensional al ecuaiilor lui Maxwell pentrumedii omogene 1-dimensionale (adic cel mai simplu caz al ecuaiilor lui Maxwell). Din punctde vedere conceptual dac procedm n acest fel nu avem nimic de pierdut deoarece extensia lacazurile neomogene de dimensiune 1 este imediat. n consecin vom conside-raproblema simulrii modului TEM al cmpului electromagnetic ntr-o cavitate de lungime L .
Raportnd aceast cavitate la sistemul de axe Oxyzca n figura 1 i considernd 0,0, ,zE x tE i 0, , ,0yH x tH , sistemul de ecuaii (1) datorate lui Maxwell devine
yz
y z
HE
x t
H E
x t
. (14)
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
42/49
42
Figura 1.
ntr-adevr, calculnd
0 0
x y z
z z zx y y
z
E E E
x y z y x x
E
e e e
E e e e ,
0 0
x y z
y y y
x z z
y
H H H
x y z z x x
H
e e e
H e e e .
i innd seama de presupunerea 1 i 1 , fcut pentru simplificarea calculului, sistemul(1) se reduce la sistemul (14).
Astfel problema simulrii modului TEM al cmpului electromagnetic prin cavitatea OL estemodelat matematic de sistemul de ecuaii (14) la care se adaug condiiile la limit
z 0, , 0zE t E L t , impuse de caracteristicile geometrice ale mediului de propagare (cea a
unui ghid de und liniar de lungime L ) i datele iniiale constnd n valorile cmpuluielectromagnetic de-a lungul cavitii la momentul iniial.
Pentru discretizarea sistemului de ecuaii cu derivate pariale (14) alegemL
n iconsiderm diviziunea
0 1 2 2 2 1 2: 0 2 2 2 1 22 2 2 2 2
k k nx x x x k x k x n L
LO x
y
z
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
43/49
43
a intervalului 0,L . Folosind apoi aproximrile
2 2 , 2 ,
2 22 1 ,
2
z z
z
E k t E k t
E k tx
;
2 1 , 2 1 ,2 2
2 ,2
y y
y
H k t H k t
H k tx
,
ecuaiile lui Maxwell (14) devin
2 2 , 2 ,2 2
2 1 ,2
2 1 , 2 1 ,2 2
2 ,2
z z
y
y y
z
E k t E k t
H k tt
H k t H k t
E k tt
. (15)
Definim vectorul
, t 0 , , 1 , ,.., 2 , , 2 1 , ,.., 2 ,2 2 2 2 2
z y z y zE t H t E k t H k t E n t
.
(16)
Acest vector conine att valorile cmpului electric ct i pe cele ale cmpului magnetic npunctele diviziunii .
Componenta de ordinul k a vectorului , t este dat de produsul scalar dintre
vectorul 0,..,0,1,0,..,0Tkk
e i vectorul ,t , adic , ,Tkk t t e . Folosind acest
rezultat este uor de constatat c ecuaiile (15) pot fi puse sub forma (4), unde matricea B estedat de relaia
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
44/49
44
1
1 11
1 n T T
k k k k k
B e e e e
10 0........0 0 0
1 10 .......0 0 0
...........................................
1 10 0 0.... 0
10 0 0.......0 0
. (17)
Se observ de asemenea faptul c matricea B este antisimetric prin construcie.
Algoritmi de tip Yee
Algoritmii de tip Yee decurg din formulele de descompunere n produse (7), (8) sau (9)studiate mai devreme. Pentru modelul unidimensional (17) este uor de observat c algoritmulYee ntr-un pas corespunde descompunerii
1 ,TT t tt t t e e D DU I D I D , (18)
unde
1
1 1
2
1 n T Tk k k k
k
D e e e e , (19)
n condiiile n care cmpurile E i H sunt aranjate n vectorul prin relaiile (16).
Notm faptul c ntruct 2 D O avem te t D I D (relaie exact). Astfel folosind
formula de ordinul nti a descompunerii n produse pentru aproximarea matricei te B i
descompunnd T B D D , redescoperim operatorul din algoritmul lui Yee. Totui, algoritmullui Yee este de ordinul doi i nu de ordinul nti. Pentru a realiza un pas cu algoritmul lui Yee
trebuie s cunoatem valorile lui ,zE x t i ale lui ,2
yH x t
i nu pe cele ale lui ,yH x t .
Aceast metod consta n evaluarea componentei yH la momente de perioad2
.
In locul formulei (18) putem folosi formula
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
45/49
45
2 22 ,2 2
Tt t
t Tt tt e e e t
D DDU I D I D I D . (20)
Efectul ultimului factor al produsului (20) este s propage componenta yH cu2
. Factorul din
mijloc propaga componenta zE cu . Primul factor propag componenta yH din nou cu2
. n
aceast schem cmpurile electric i magnetic sunt considerate n acelai moment (timp).Algoritmul; construit cu ajutorul matricei (20) are n timp o precizie de ordinul 2. De notat c
matricea 2t
eD
nefiind ortogonal nu se ctig nimic din punctul de vedere al stabilitii. ntruct
2 22 1, ,m me e
D D
U U , vedem, prin comparaie cu algoritmul lui Yee original, c
volumul de calcul suplimentar este proporional cu2
1m
, adic neglijabil dac numrul m de
pai este mare. n acord cu teoria general prezentat in paragraful 2, expresia (9) definete
schema lui Yee de ordinul 4, a crei realizare se face fr aproape nici un efort odat ce2
U a
fost gata determinat. Este uor de observat c modul de construire al algoritmilor de tip Yeeprezentat mai devreme funcioneaz i n cazul mult mai complicat al mediilor neomogene dedimensiuni 2 sau 3. Notm de asemenea i faptul c algoritmul lui Yee de ordinul 4 nu presupuneo extra stocare pentru a furniza valorile cmpului la momente intermediare. Pentru
exemplificare considerm cazul concret6
L :
0 L/6 2L/6 3L/6 4L/6 5L/6 L
Figura 2.
n aceast situaie
, t , , 2 , , 3 , , 4 , , 5 ,y z y z yH t E t H t E t H t ,
iar sistemul (4) devine
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
46/49
46
, ,10 0 0 0
2 , 1 1 2 ,0 0 0
3 , 1 10 0 0 3 ,
1 14 ,0 0 0
4 ,
15 , 0 0 0 05 ,
y y
zz
y
y
z
z
y
y
H t H t
t
E t E tt
H t H tt
E tE t
t
H t
H tt
, (21)
unde
10 0 0 0
1 10 0 0
1 10 0 0
1 10 0 0
10 0 0 0
B .
Dup cum se tie sistemul generat de ecuaia matricial (21) admite soluia
, ,0tt e B . (22)
Pentru calculul matricei exponeniale te B observm mai nti c
0 1 0 0 0
1 0 1 0 010 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
B ,
apoi, c notnd
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
47/49
47
0 1 0 0 0
0 0 0 0 01
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
D i
0 0 0 0 0
1 0 1 0 01
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
T
D ,
obinem relaiile
T B D D , 2 D O ,Tt t te e e B D D , te t D I D ,
Tt Te t D I D , t Te t t B I D I D ,
care ne conduc n final la rezultatul cutat, anume
2 2
2 2 2
2 2
1 0 0
1 0 0
1 1 2
0 0 1
0 0 1
t
t t t
t t
e t t t t t
t t
t t t
B .
n consecin pentru simularea modului de propagare al undelor electromagnetice de-a lungulcavitii OL (cu alte cuvinte pentru determinarea soluiei (21)) nu ne mai trebuie dect s
cunoatem vectorul ,0 care conine datele iniiale ale problemei(nprincipiu acest vector
este dat de problem).
Algoritmi necondiionat stabili
Descompunnd diviziunea n puncte impare i puncte pare putem descompunematricea B n dou pri
1
1 1 1
1
1 n T Tk k k k
k
B e e e e , (23)
2
2 1 2 2 11
1 n T Tk k k k
k
B e e e e , (24)
astfel nct 1 2 B B B . Potrivit teoriei generale expuse mai sus algoritmul de ordinul nti este
dat de matricea 1 , tU . Evident att 1B ct i 2B sunt matrice antisimetrice bloc-diagonale,
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
48/49
48
alctuite din cte o submatrice de dimensiune 1 1 i1
2
n matrice reale antisimetrice de
dimensiuni 2 2 . Cum exponenala unei matricebloc-diagonale este egal cu matricea bloc-diagonal alctuit din matricele exponenialeale blocurilor individuale, calculul numeric al
matricei 1eB
(sau al matricei 2eB
) se reduce la calculul a1
2
n matrice exponeniale de
dimensiune 2 2 . Fiecare dintre aceste matrice exponeniale acioneaz numai asupra unei
singure perechi de elemente ale vectorului ,t r , lsndu-le pe celelalte neschimbate. Indicii
fiecreia dintre aceste perechi sunt dai de subindicii vectorilor e i Te . Folosind algoritmul
generat de matricea 1 , tU este uor s construim algoritmii necondiionat stabili de ordin nalt
generai de matricele 2 ,tU i 4 ,tU , a se vedea relaiile (8) i (9).
Probleme
1) In conditile aplicatiei analizate in paragraful precedent, determinati coeficientul de reflexie la
nivelul interfetei de separatie dintre spatiul liber si dielectric (suprafata de ecuatie 06x ).
2) Folositi rezultatul obtinut dupa rezolvarea problemei 1 pentru a simula (prin modificarea
corespunzatoare a codului prezentat mai sus) campul electromagnetic reflectat in spatiul liber
0 02 6x de catre dielectric.
3) Simulati fenomenul de propagare a unei unde electromagnetice pentru care componenta
electrica E verifica conditiile initiale
2
220, 0 0, , 0 , , 0 0,
x m
x y zE x E x E e E x x
,
unde parametrii 0 ,E m si 0 sunt considerati cunoscuti.
4) Simulati fenomenul de propagare a unei unde electromagnetice pentru care componenta
electrica E verifica conditiile
0, 0, , 0, , 0, , [0, )x y zE x t E x t E x t x t t ,
-
7/25/2019 Curs Metode Numerice
49/49
si
20
220 0 0 0, 0, , , , 0,
t t
x y zE x t E x t Ae E x t t t
,
unde parametrii 00, 0, 0A t se considera cunoscuti.
top related