curs - 04 - cfdp
Post on 24-Dec-2015
252 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
11/13/2013
1
Metoda Elementului Finitcurs
As. Dr. Ing. Crișan Andreidep. de Construcții Civile și Mecanica Construcțiilor
Universitatea POLITEHNICA Timișoaraandrei.crisan@ct.upt.ro
2013 - 2014 Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Datele problemei
• Elementul de tip zăbrea (TRUSS)
• Transformarea: coordonate locale – coordonate globale
• Rezolvarea unei grinzi cu zabrele simple
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Tipuri de sisteme in MEF
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
11/13/2013
2
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
F = Δ × k
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
Equația elementului:Ke
. δe = fe
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelorCompatibilitatea
Echilibrul
Într-un nod, valorea necunoscutăa deplasărilor trebuie să fieaceeași pentru toate elementeleconectate în acel nod
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelorCompatibilitatea
Echilibrul
Suma forțelor interne aplicate înnodul i trebuie să fie egală curezultanta forțelor exterioare înnod
11/13/2013
3
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
�� −��
−�� �� + �� + �� −�� − ��
−�� − �� �� + ��
δ�
δ�
δ�
=
F�
F�
F�
�� −��
−�� �� −�� − ��
−�� − �� �� + �� + �� −��
�� + �� + �� �� ��
δ�
δ�
δ�
δ�
=
F�
F�
F�
F�
Compatibilitatea
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Matricea de rigiditate
k1
k1
0
0
k1
k1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
F1
F2
0
0
1
0
0
0
0
0
k2
k2
0
0
k2
k2
0
0
0
0
0
1
2
3
4
0
F2
F3
0
2
0
0
0
0
0
k3
k3
0
0
k3
k3
0
0
0
0
0
1
2
3
4
0
F2
F3
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k4
k4
0
0
k4
k4
1
2
3
4
0
0
F3
F4
4
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Matricea de rigiditate
K
k1
k1
0
0
k1
k1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k2
k2
0
0
k2
k2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k3
k3
0
0
k3
k3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k4
k4
0
0
k4
k4
kN
m
f
R1
R2
R3
R4
F1
F2
0
0
1 0
F2
F3
0
2
0
F2
F3
0
3
0
0
F3
F4
4
11/13/2013
4
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
�� −�� � �−�� �� + �� + �� −�� − �� �
� −�� − �� �� + �� + ��� −��
� � ��� − �� + ��� ��
δ�
δ�
δ�
δ�
=
F�
F�
F�
F�
Compatibilitatea
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
�� −�� � �−�� �� + �� + �� −�� − �� �
� −�� − �� �� + �� + ��� −��
� � ��� − �� + ��� ��
δ�
δ�
δ�
δ�
=
F�
F�
F�
F�
Echilibru
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Matricea de rigiditate – proprietăți
• Simetrică• Singulară, nu are inversă• Suma elementelor pe linii și coloane este 0Lătimea de bandă = 2m - 1
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
– Pasul 5: Aplicarea condiţiilor de margine
�� −�� � �−�� �� + �� + �� −�� − �� �
� −�� − �� �� + �� + ��� −��
� � ��� − �� + ��� ��
δ�
δ�
δ�
δ�
=
R�
���
1 0
11/13/2013
5
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
– Pasul 5: Aplicarea condiţiilor de margine
� � � �� �� + �� + �� −�� − �� �� −�� − �� �� + �� + ��� −��
� � ��� − �� + ��� ��
�δ�
δ�
δ�
=
R�
���
1 0
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
– Pasul 5: Aplicarea condiţiilor de margine
– Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuații
Ke. δe = fe
Ke-1 . Ke
. δe = Ke-1 . fe
I . δe = Ke-1 . Fe
δe = Ke-1 . fe
| Ke-1 (înmulțire la stânga) 2
3
4
Kmod1
0
0
P
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
– Pasul 5: Aplicarea condiţiilor de margine
– Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuații
Kmod
k1 k2 k3 k2 k3
0
k2 k3 k2 k3 k4
k4
0
k4
k4
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
– Pasul 5: Aplicarea condiţiilor de margine
– Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuații
Kmod1
1
k1
1
k1
1
k1
1
k1
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k3
1
k1
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3
k1 k4 k2 k3
11/13/2013
6
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
– Pasul 5: Aplicarea condiţiilor de margine
– Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuații
2
3
4
1
k1
1
k1
1
k1
1
k1
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k3
1
k1
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3
k1 k4 k2 k3
0
0
P
2
3
4
Kmod1
0
0
P
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
– Pasul 5: Aplicarea condiţiilor de margine
– Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuații
P 100 kN
k
1500
2000
2200
1200
kN
m
2
3
4
0.06667
0.09048
0.17381
m
2
3
4
Kmod1
0
0
P
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Recapitulare Cursul 3– Rezolvarea unei aplicații simple – sistem de resoarte
– Pasul 1: Discretizarea sistemului
– Pasul 2: Alegerea / determinarea funcţiilor de interpolare
– Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietăților elementelor
– Pasul 4: Asamblarea elementelor
– Pasul 5: Aplicarea condiţiilor de margine
– Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuații
f
k1
k1
0
0
k1
k1 k2 k3 k2 k3
0
0
k2 k3 k2 k3 k4
k4
0
0
k4
k4
kN
m
1
2
3
4
fT 100 5.821 10
14 5.821 10
14 100 kN
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Datele problemei
– Grade de liberate în noduri?
AE
L
1
1
1
1
u1
u2
Fe1
Fe2
y
x?
k
11/13/2013
7
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Datele problemei
– Grade de liberate în noduri
y
x
LocalGlobal
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Datele problemei
– Necunoscute?
y
x
În nod: 2 deplasări (x, z) => u şi v
Element: 4 deplasări necunoscute4 forţe nodale
) Lo x2 x1 2 y2 y1 2
angle x.2 x.1 y.2 y.1
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Datele problemei
– Necunoscute?
y
x
În nod: 2 deplasări (x, z) => u şi v
Element: 4 deplasări necunoscute4 forţe nodale
.u u.2 u.1 cos ( )
.v v.2 v.1 sin ( )
.u .v
. u.2 u.1 cos ( ) v.2 v.1 sin ( )
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Datele problemei
– Forma matriceală
y
x
F.1a
F.2a
0
F.2a AE
L.o
.eT u.1 v.1 u.2 v.2
f.eT F.1 F.2 F.3 F.4
KeA E
Lo
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
11/13/2013
8
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Obținerea matricei de rigiditate
KeA E
Lo
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
Sistem de coordonale
global
Sistem de coordonale
local
A E
L.
1
1
1
1
1
2
F.a1
F.a2
K.e .e f.e
.e
u.1
v.1
u.2
v.2
f.e
F.1
F.2
F.3
F.4
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Obținerea matricei de rigiditate
KeA E
Lo
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
Sistem de coordonale
global
�� = cos � �� − si� � ��
�� = sin � �� + cos � ��
x1
y1
cos ( )
sin ( )
sin ( )
cos ( )
x1
y1
x1
y1
cos ( )
sin ( )
sin ( )
cos ( )
x1
y1
Transformarea local - global
Transformarea global - local
Sistem de coordonale
local
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Obținerea matricei de rigiditate
KeA E
Lo
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
Sistem de coordonale
global
�� = cos � �� − si� � ��
�� = sin � �� + cos � ��Sistem de
coordonale local
x1
y1
cos ( )
sin ( )
sin ( )
cos ( )
x1
y1
x1
y1
cos ( )
sin ( )
sin ( )
cos ( )
x1
y1
Transformarea global – local pentru 2 puncte
Transformarea global - local
x1
y1
x2
y2
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
x1
y1
x2
y2
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Transformarea coordonatelor – global – local
Sistem de coordonale
global
Sistem de coordonale
local
K.e .e f.e
.e
u.1
v.1
u.2
v.2
f.e
F.1
F.2
F.3
F.4
.e
.1
0
.2
0
f.e
Fa.1
0
Fa.2
0
e e
fe fe
K.e .e f.e
K.e .e f.e
K.eA E
L
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
11/13/2013
9
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Transformarea coordonatelor – global – local
Sistem de coordonale
global
Sistem de coordonale
local
e e
fe fe
K.e .e f.e
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
K.e .e f.e
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Transformarea coordonatelor – global – local
Sistem de coordonale
global
Sistem de coordonale
local
e e
fe fe
K.e .e f.e
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
K.e .e f.e
1K.e .e f.e
K.e .e f.e
K.e 1K.e
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Transformarea coordonatelor – global – local
K.e 1K.e
KeA E
L
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
T
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
T
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Transformarea coordonatelor – global – local
K.e 1K.e
K
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
T1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
K.e
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( )2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
cos ( ) sin ( )
sin ( )2
11/13/2013
10
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Transformarea coordonatelor – global – local
K.e 1K.e
K
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
T1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
0
0
0
0
cos ( )
sin ( )
0
0
sin ( )
cos ( )
� =��
�
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = cos (�)� = sin (�)
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Modul de elasticitateE = 210e9 Pa
Lungime elementeL = 4m
Diametre bareBare orizontale d1 = 0,05 mBare înclinate d2 = 0,10 m
F = 5e4 N (50 kN)
y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiNoduri: 1, 2, 3
X Y1 0 0
2 2 � �3 4 0
Elemente: 1, 2, 3Start Final
1 1 22 1 33 2 3
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelor
�� = �� − ��� + �� − ��
�
�� =(4 4 4)
�� = �����(�� − ��, �� − ��)
�� = (60 0 300)
��� = (��� ��� ���)
�� =���
�
��� =
����
�
� = cos (�)� = sin (�)
� =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
���
��= (4.123�8 1.03�8 4.123�8)
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
11/13/2013
11
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelor
� =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
�1 =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = 600
� = cos 600 =1
2
� = sin 600 =3
2
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelor
�1 =
0.25 0.433 −0.25 −0.4330.433 0.75 −0.433 −0.75−0.25 −0.433 0.25 0.433
−0.433 −0.75 0.433 0.75
� =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = cos 600 =1
2
� = sin 600 =3
2
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelor
�1 =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = 600
�2 =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = 00
� =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = cos 00 = 1� = sin 00 = 0
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelor
�1 =
0.25 0.433 −0.25 −0.4330.433 0.75 −0.433 −0.75−0.25 −0.433 0.25 0.433
−0.433 −0.75 0.433 0.75
�2 =
1 0 −1 00 0 0 0
−1 0 1 00 0 0 0
� =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = cos 00 = 1� = sin 00 = 0
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
11/13/2013
12
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelor
�1 =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = 600
�2 =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = 00
�3 =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = 3000
� =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = cos 3000 =1
2
� = sin 3000 = −3
2
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelor
�3 =
0.25 −0.433 −0.25 0.433−0.433 0.75 0.433 −0.75−0.25 0.433 0.25 −0.4330.433 −0.75 −0.433 0.75
� =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
� = cos 3000 =1
2
� = sin 3000 =3
2
�1 =
0.25 0.433 −0.25 −0.4330.433 0.75 −0.433 −0.75−0.25 −0.433 0.25 0.433
−0.433 −0.75 0.433 0.75
�2 =
1 0 −1 00 0 0 0
−1 0 1 00 0 0 0
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelor
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
�3 =
0.25 −0.433 −0.25 0.433−0.433 0.75 0.433 −0.75−0.25 0.433 0.25 −0.4330.433 −0.75 −0.433 0.75
� =
�� �� −�� −���� �� −�� −��
−�� −�� �� ��−�� −�� �� ��
�1 =
0.25 0.433 −0.25 −0.4330.433 0.75 −0.433 −0.75−0.25 −0.433 0.25 0.433
−0.433 −0.75 0.433 0.75
�2 =
1 0 −1 00 0 0 0
−1 0 1 00 0 0 0
��2
�
��1
�
��2
�
���
��= (4.123�8 1.03�8 4.123�8)
y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelor
�3 =
1.031 −1.785 −1.031 1.785−1.785 3.092 1.785 −3.092−1.031 1.785 1.031 −1.7851.785 −3.092 −1.785 3.092
�1 =
1.031 1.785 −1.031 −1.7851.785 3.092 −1.785 −0.75
−1.031 −1.785 1.031 1.785−1.785 −3.092 1.785 3.092
�2 =
1.03 0 −1.03 00 0 0 0
−1.03 0 1.03 00 0 0 0
� 108
� 108
� 108
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
11/13/2013
13
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globale
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globale
k1
1.031
1.785
1.031
1.785
0
0
1.785
3.092
1.785
3.092
0
0
1.031
1.785
1.031
1.785
0
0
1.785
3.092
1.785
3.092
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k2
1.03
0
0
0
1.03
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.03
0
0
0
1.03
0
0
0
0
0
0
0
k3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.031
1.785
1.031
1.785
0
0
1.785
3.092
1.785
3.092
0
0
1.031
1.785
1.031
1.785
0
0
1.785
3.092
1.785
3.092
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
� 108
� 108� 108
y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globale
K
2.061
1.785
1.031
1.785
1.03
0
1.785
3.092
1.785
3.092
0
0
1.031
1.785
2.062
0
1.031
1.785
1.785
3.092
0
6.184
1.785
3.092
1.03
0
1.031
1.785
2.061
1.785
0
0
1.785
3.092
1.785
3.092
� = �1 + �2 +�3
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
� 108
y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de margine
ÎncărcăriRezemări
� =
00___0
� =
__
5000000_
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
11/13/2013
14
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţii
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
� = ��� � �
���� = ������ � ����
Matricea de rigiditate- Simetrică şi singulară
y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţii
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
���� = ������ � ����
�1�
�1�
�2�
�2�
�3�
�3�
= ��� �
�1�
�1�
�2�
�2�
�3�
�3�
00
�2�
�2�
�3�
0
= ������ �
�1�
�1�
5000000
�3�
y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţii
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
���� = ������ � ����
00
�2�
�2�
�3�
0
= ������ �
�1�
�1�
5000000
�3�
K
2.061
1.785
1.031
1.785
1.03
0
1.785
3.092
1.785
3.092
0
0
1.031
1.785
2.062
0
1.031
1.785
1.785
3.092
0
6.184
1.785
3.092
1.03
0
1.031
1.785
2.061
1.785
0
0
1.785
3.092
1.785
3.092
� 108
y
x
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţii
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
���� = ������ � ����
00
�2�
�2�
�3�
0
= ������ �
�1�
�1�
5000000
�3�
K
2.061
1.785
1.031
1.785
1.03
0
1.785
3.092
1.785
3.092
0
0
1.031
1.785
2.062
0
1.031
1.785
1.785
3.092
0
6.184
1.785
3.092
1.03
0
1.031
1.785
2.061
1.785
0
0
1.785
3.092
1.785
3.092
� 108
y
x
11/13/2013
15
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţii
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
���� = ������ � ����
00
�2�
�2�
�3�
0
= ������ �
�1�
�1�
5000000
�3�
y
x
K.mod
2.062
0
1.031
0
6.184
1.785
1.031
1.785
2.061
108
K.mod1
0.728
0.14
0.485
0.14
0.243
0.28
0.485
0.28
0.971
108
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţii
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
���� = ������ � ����
00
�2�
�2�
�3�
0
= ������ �
�1�
�1�
5000000
�3�
y
x
d.mod
0.364
0.07
0.243
103
d
0
0
3.638 104
7.004 105
2.427 104
0
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţii
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3
K
2.061
1.785
1.031
1.785
1.03
0
1.785
3.092
1.785
3.092
0
0
1.031
1.785
2.062
0
1.031
1.785
1.785
3.092
0
6.184
1.785
3.092
1.03
0
1.031
1.785
2.061
1.785
0
0
1.785
3.092
1.785
3.092
108
d
0
0
3.638 104
7.004 105
2.427 104
0
� = � � �
y
x
f
50.004
43.282
49.993
9.214 103
0.011
43.273
103
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţii
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
f
50.004
43.282
49.993
9.214 103
0.011
43.273
103
y
-50.004
y-43.282 43.273
49.993
� = � � �
11/13/2013
16
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţiiPasul 7: Calcule suplimentare
Determinarea eforturilor în bare
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
f
50.004
43.282
49.993
9.214 103
0.011
43.273
103
y
-50.004
y-43.282 43.273
49.993
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţiiPasul 7: Calcule suplimentare
Determinarea eforturilor în bare
Echilibrul în noduri
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
f
50.004
43.282
49.993
9.214 103
0.011
43.273
103
y
-50.004
y-43.282 43.273
49.993
-50004
-43282Ne2
�1� + ��1 ���� 600 + ��2 � ��� 00 = 0
�1� + ��1 ���� 600 + ��2 � ��� 00 = 0
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţiiPasul 7: Calcule suplimentare
Determinarea eforturilor în bare
Echilibrul în noduri
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
f
50.004
43.282
49.993
9.214 103
0.011
43.273
103
y
-50.004
y-43.282 43.273
49.993
-50004
-43282Ne2
−50004 + ��1 �
�
�+ ��2 � 1 = 0
−43282 + ��1 �
�
�+ ��2 � 0 = 0
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţiiPasul 7: Calcule suplimentare
Determinarea eforturilor în bare
Echilibrul în noduri
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
f
50.004
43.282
49.993
9.214 103
0.011
43.273
103
y
-50.004
y-43.282 43.273
49.993
-50004
-43282Ne2
−50004 + ��1 �
�
�+ ��2 � 1 = 0
��1 =
43282
32
= 49978
11/13/2013
17
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţiiPasul 7: Calcule suplimentare
Determinarea eforturilor în bare
Echilibrul în noduri
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
f
50.004
43.282
49.993
9.214 103
0.011
43.273
103
y
-50.004
y-43.282 43.273
49.993
-50004
-43282Ne2
49978 ��
�+ ��2 � 1 = 50004
��1 =
43282
32
= 49978
Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF
• Exemplu de analiză cu element finit – Grindă cu zăbrele
Pasul 1: Discretizarea structuriiPasul 2: Alegerea funcţiilor de interpolarePasul 3: Proprietăţile elementelorPasul 4: Asamblarea matricei globalePasul 5: Aplicarea condiţiilor de marginePasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaţiiPasul 7: Calcule suplimentare
Determinarea eforturilor în bare
Echilibrul în noduri
F = 5e4 N (50 kN)
1
2
3
2
1 3y
x
f
50.004
43.282
49.993
9.214 103
0.011
43.273
103
y
-50.004
y-43.282 43.273
49.993
-50004
-43282Ne2
��2 = 50004 −49978
2= 25015
��1 =
43282
32
= 49978
top related