capitolul 2 fiabilitatea echipamentelor studenti/note de curs/ionescu gh/3... · capitolul 2...

CAPITOLUL 2

FIABILITATEA ECHIPAMENTELOR

2.1. Indicatori de fiabilitate Pentru caracterizarea fiabilit��ii unui echipament se poate utiliza limbajul teoriei probabilit��ilor. Durata de func�ionare pân� la defectare a unui echipament (T – figura 1.4) este o variabil� aleatoare continu� a c�rei func�ie de reparti�ie o not�m cu F(t), [3]. În conformitate cu defini�ia unei func�ii de reparti�ie a unei variabile aleatoare, F(t) reprezint� probabilitatea ca durata T s� fie mai mic� decât valoarea t, adic� reprezint� probabilitatea ca echipamentul s� se defecteze în intervalul de timp (0, t).

Probabilitatea ca în intervalul (0,t) s� nu se produc� defectarea echipamentului reprezint� func�ia de fiabilitate R(t) �i este complementara probabilit��ii de defectare F(t). Cele dou� func�ii F(t) �i R(t) se refer� la evenimente care se produc sau nu în intervalul de timp scurs de la punerea în func�iune a echipamentului la momentul t=0 �i pân� în momentul curent t, �i nu la evenimente care au loc la momentul t, a�a cum ar reie�i din nota�ii. De fapt nota�iile F(t) �i R(t) reprezint� o form� simplificat� pentru func�iile F(0, t) �i R(0, t).

Pentru un interval de timp oarecare, asociat unei misiuni de durat� x ini�ializat� la momentul t, probabilitatea de defectare a unui echipament poate fi determinat� utilizând rela�ia urm�toare:

( ) ( ) ( ) ( )tFxtFxtTtPxt,tF −+=+<≤=+ (2.1)

În rela�ia (2.1) apare o probabilitate total�, care îns� nu reflect� în totalitate realitatea. Echipamentul, considerat f�r� reînnoire (prima defectare înseamn� �i sfâr�itul ”vie�ii” echipamentului), se poate defecta în intervalul (t, t+x) numai dac� nu s-a defectat în intervalul (0, t). Rezult� c� probabilitatea de defectare F(t, t+x) în intervalul (t, t+x) �i func�ia de fiabilitate R(t, t+x) sunt probabilit��i condi�ionate de buna func�ionare a echipamentului în intervalul (0, t). Astfel, se poate scrie:

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

16

( ) ( )( )

( ) ( )( )tR

tFxtFtTP

xtTtPxt,tF

−+=≥

+<≤=+ (2.2)

( ) ( )( )

( )( )tR

xtRtTP

xtTPxt,tR

+=≥

+≥=+ (2.3)

Comportarea local� a echipamentului în jurul unui moment dat, poate fi descris� cu ajutorul densit��ii de probabilitate a variabilei aleatoare T, definit� astfel:

( ) ( ) ( ) ( )dt

tdFt

tFttFlimtft

=−+=→ ∆

∆∆ 0

(2.4)

Densitatea de probabilitate f(t) reprezint� limita raportului dintre probabilitatea total� de defectare în intervalul ( )tt,t ∆+ �i m�rimea acestui interval când aceasta tinde c�tre zero. Densitatea de probabilitate f(t) este numit� �i lege de reparti�ie a timpului de func�ionare pân� la defectare a echipamentului �i are semnifica�ia unei probabilit��i totale de defectare în jurul momentului t, indiferent de comportarea anterioar� a echipamentului.

Pentru a descrie pericolul de defectare în jurul unui moment dat al unui echipament aflat în bun� stare pân� la acel moment, se define�te un alt indicator care descrie comportarea local� a echipamentului din punct de vedere al fiabilit��ii. Acest indicator, numit rat� de defectare, este o probabilitate condi�ionat� analog� ratei mortalit��ii din studiile demografice �i se define�te ca probabilitatea de defectare în jurul unui moment dat, condi�ionat� de buna func�ionare a echipamentului pân� în acel moment.

( ) ( ) ( )( )

( )( )tRtf

ttRtFttF

limtzt

=⋅

−+=→ ∆

∆∆ 0

(2.5)

Din rela�iile (2.4) �i (2.5) se ob�ine:

( ) ( )( )

dttdR

tR1

tz ⋅−= (2.6)

iar prin integrarea ecua�iei diferen�iale (2.6) în condi�ia ini�ial� R(0)=1 se ob�ine:

( )( )�−

=

t

0duuz

etR �i F(t)=1-R(t) (2.7)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

17

În afara indicatorilor prezenta�i, fiabilitatea unui echipament poate fi descris� �i prin caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare care a stat la baza caracteriz�rii acestuia �i anume timpul de func�ionare pân� la defectare, T. Aceste caracteristici sunt: media, abaterea medie p�tratic�, dispersia �i cuantila timpului de func�ionare.

Media timpului de bun� func�ionare se define�te utilizând rela�ia:

( ) ( )∞∈⋅= �∞

,0t,dttftm0

(2.8)

sau: ( )�∞

=0

dttRm (2.9)

În lucr�rile de specialitate se folosesc nota�iile urm�toare: � MTBF – Mean Time Between Failures (media timpului de func�ionare

între defect�ri); � MTTF – Mean Time To Failures (media timpului de func�ionare pân�

la defectare, pentru echipamente f�r� reînnoire ); � MTTFF – Mean Time To First Failures (media timpului de func�ionare

pân� la prima defectare).

Abaterea medie p�tratic� �i dispersia timpului de func�ionare se definesc cu ajutorul rela�iilor urm�toare:

( ) ( )dttfmt02

�∞ ⋅−=∆ (2.10)

∆σ = (2.11)

M�rimile � �i � caracterizeaz� gradul de uniformitate al performan�elor individuale ale unor echipamente de acela�i tip din punct de vedere al fiabilit��ii. Dac� procesul tehnologic de realizare a echipamentelor este bine controlat, valorile indicatorilor � �i � vor fi mici. De asemenea, cre�terea valorilor indicatorilor � �i �, determina�i în timpul derul�rii procesului de fabrica�ie, reprezint� un indiciu în evaluarea gradului de uzur� a liniei de fabrica�ie.

Un alt indicator, independent de timp, este cuantila timpului de func�ionare αt , definit� ca r�d�cin� a ecua�iei:

( ) αα =tF (2.12)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

18

Din ultima rela�ie se poate observa c� αt poate fi interpretat ca un timp de garan�ie, adic� timpul în care propor�ia de echipamente defectate dintr-o anumit� colectivitate nu dep��e�te valoarea prestabilit� �.

2.2. Modelarea uzurii echipamentelor În teoria fiabilit��ii, no�iunea de uzur� are un sens mai larg decât în limbajul obi�nuit. În fiabilitate prin uzur� se în�elege orice alterare în timp a caracteristicilor de fiabilitate, în sensul înr�ut��irii sau amelior�rii acestora. La baza acestei interpret�ri st� constatarea empiric� conform c�reia, în general, orice echipament parcurge trei perioade în evolu�ia sa:

� o perioad� a defect�rilor timpurii, când caracteristicile de fiabilitate se îmbun�t��esc în timp;

� o perioad� a duratei utile de via��, când performan�ele echipamentului r�mân constante;

� perioad� a uzurii propriu-zise, când are loc o înr�ut��ire rapid� a caracteristicilor de fiabilitate.

Pentru a putea caracteriza uzura echipamentelor este necesar s� se prezinte defini�iile urm�toare [3]:

Defini�ia 1. Se consider� func�ia de fiabilitate a unui echipament pentru o misiune de durat� x, ini�ializat� la momentul t:

( ) ( )( )

( )( )tR

xtRtTP

xtTPxt,tR

+=≥

+≥=+ (2.13)

Echipamentul este caracterizat de uzur� pozitiv� dac� func�ia de fiabilitate ( )xt,tR + este descresc�toare în intervalul ),0[t ∞∈ pentru orice valoare a

lui 0x ≥ . Uzura pozitiv� implic� faptul c� pentru orice misiune a echipamentului, fiabilitatea acestuia scade odat� cu vârsta.

Echipamentul este caracterizat de uzur� negativ� dac� func�ia de fiabilitate ( )xt,tR + cre�te cu t, oricare ar fi 0x ≥ , adic� pentru orice misiune a

echipamentului, fiabilitatea acestuia cre�te odat� cu vârsta sa.

Din punct de vedere matematic, uzura se poate exprima �i prin rata de defectare a unui echipament. Din rela�ia de definire a ratei de defectare se ob�ine:

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

19

( ) ( ) ( )( )

( )x

xt,tRlim

tRxxtRtR

limtz0x0x

+=⋅

+−=→→

(2.14)

Rata de defectare a unui echipament cu uzur� pozitiv� este cresc�toare, iar rata de defectare a unui echipament cu uzur� negativ� este descresc�toare în timp. Aceast� dependen�� este ilustrat� �i de rela�ia:

( ) ( )�+−

=+xt

t duuzext,tR (2.15)

din care se observ� c� pentru z(u) cresc�toare argumentul exponen�ialei rezult� cresc�tor în valoare absolut� �i deci func�ia ( )xt,tR + este descresc�toare cu t, iar pentru rata de defectare descresc�toare rezult� argumentul descresc�tor pentru exponen�ial� (în valoare absolut�) �i deci func�ia ( )xt,tR + cre�te cu t.

Defini�ia 2. Se nume�te echipament cu uzur� medie pozitiv�, echipamentul

la care func�ia R1

lnt1 ⋅ este cresc�toare în timp, iar un echipament cu uzur�

medie negativ� are func�ia R1

lnt1 ⋅ descresc�toare în timp.

Aceast� defini�ie este mai pu�in restrictiv� decât prima, astfel încât un echipament care este cu uzur� negativ� este �i cu uzur� medie negativ�, iar dac� este cu uzur� pozitiv� este �i cu uzur� medie pozitiv�, reciprocele acestor afirma�ii nu sunt adev�rate întotdeauna.

Defini�ia 3. Un echipament este degradabil dac� func�ia de fiabilitate asociat� unei misiuni de durat� x, ini�ializat� la vârsta t a echipamentului, este mai mic� decât func�ia de fiabilitate în intervalul (0, t), oricare ar fi vârsta t a acestuia �i durata misiunii x. Matematic, echipamentul degradabil poate fi definit prin rela�ia:

( ) ( ) 0x,t;tRxt,tR ≥<+ (2.16)

Din defini�ia anterioar� rezult� c� un echipament degradabil care a fost folosit este inferior unui echipament nou. No�iunea de echipament degradabil este mai pu�in restrictiv� decât aceea de echipament cu uzur� pozitiv�, care presupunea caracterul descresc�tor al func�iei ( )xt,tR + cu vârsta t a echipamentului. Echipamentele nedegradabile se definesc prin rela�ia:

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

20

( ) ( ) 0x,t;tRxt,tR ≥>+ (2.17)

Conform acestei rela�ii, echipamentele nedegradabile î�i îmbun�t��esc performan�ele de fiabilitate în timpul func�ion�rii, astfel încât un echipament care a fost folosit este mai bun decât unul nou.

Defini�ia 4. Un echipament este în medie degradabil dac� media timpului de func�ionare r�mas este mai mic� decât media timpului de func�ionare a echipamentului:

m(t)<m (2.18)

sau ( ) ( )��∞∞ <+ 00 dxxRdxxt,tR (2.19)

Rela�ia (2.19) reprezint� de fapt integrarea rela�iei (2.16) de definire a echipamentelor degradabile.

Un echipament este în medie nedegradabil dac� media timpului de func�ionare r�mas este mai mare decât media de func�ionare a echipamentului:

( ) ( )��∞∞ >+ 00 dxxRdxxt,tR (2.20)

Recapitulând cele patru defini�ii, care sunt din ce în ce mai pu�in restrictive, se poate afirma c� dac� un echipament este cu uzur� pozitiv�, atunci el este �i cu uzur� medie pozitiv�, este degradabil �i degradabil în medie. De asemenea, dac� un echipament este cu uzur� negativ�, atunci el este �i cu uzur� medie negativ�, este nedegradabil �i nedegradabil în medie.

Exist� îns� �i echipamente care nu se încadreaz� în nici unul din tipurile prezentate, �i anume echipamentele f�r� uzur�. Lipsa uzurii se define�te cu rela�ia: ( ) ( ) 0x,t;tRxt,tR ≥=+ (2.21)

Exist� o singur� lege de reparti�ie a timpului de func�ionare pân� la defectare care verific� rela�ia (2.21), anume legea de reparti�ie exponen�ial�, pentru care func�ia de fiabilitate este:

( ) tetR ⋅−= λ (2.22)

Ceilal�i indicatori de fiabilitate sunt da�i de rela�iile urm�toare:

Probabilitatea de defectare: ( ) te1tF ⋅−−= λ Densitatea de probabilitate: ( ) tetf ⋅−⋅= λλ Rata de defectare: ( ) λ=tz

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

21

Media timpului de func�ionare: ( )λ1

mtm == (2.23)

Dispersia: 22 1

Dλ

σ ==

Cuantila timpului de func�ionare: αλα −

⋅=1

1ln

1t

Reprezentarea grafic� a acestor indicatori este dat� în figura 2.1.

Fig. 2.1. Indicatori de fiabilitate pentru un echipament f�r� uzur�

Se constat� c� media timpului de func�ionare este aceea�i, indiferent de vârsta echipamentului, fiind egal� cu inversul ratei de defectare. Astfel de echipamente, caracterizate de o distribu�ie exponen�ial� a timpului de func�ionare sunt numite echipamente f�r� memorie.

În practic�, distribu�ia exponen�ial� este folosit� pentru modelarea echipamentelor în perioada util� de func�ionare, în care rata de defectare este stabil�. Aceast� perioad� este mai mare în cazul echipamentelor care nu con�in piese în mi�care, exemplu: echipamentele electronice, la care uzura este practic inexistent� în toat� perioada utiliz�rii lor. Lipsa uzurii nu trebuie s� conduc� la ideea c� procesul tehnologic de fabrica�ie ar fi deosebit de bine pus la punct. Exist� în acest caz o dispersie mare a timpului de func�ionare, care indic� o diversitate mare a echipamentelor individuale, caracteristic� echipamentelor electronice, la care procesele tehnologice, utilajele �i materialele folosite sunt mai complexe. O dispersie mic� ar ar�ta c� avem un proces tehnologic foarte bine controlat, caracteristic echipamentelor mecanice de mic� complexitate.

Echipamentele f�r� memorie, caracterizate de legea de distribu�ie exponen�ial�, sunt destinate de regul� unor misiuni repetate, ele fiind caracterizate de performan�e medii superioare, chiar dac� pe anumite intervale de timp comportarea lor las� de dorit.

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

22

O problem� deosebit� const� în identificarea tipului de uzur� pentru un echipament. Se consider� func�ia urm�toare:

( ) ( )�= FtS dttRFt 0 (2.24)

unde tF este cuantila de ordinul F a timpului de func�ionare. Ordinul cuantilei F reprezint� probabilitatea de defectare a echipamentului, având valori între 0 �i 1.

Pentru: ( ) 000 =�=�= FttF SF Pentru: ( ) mFttF SF =�∞→�=1 (2.25)

Func�ia ( )FtS poate fi normat� prin împ�r�ire la media timpului de func�ionare a echipamentului. Rezult�:

( ) ( )( )

( )( )

( )��

� ⋅=== ∞Ft

Ft

S

SS dttR

mdttR

dttR

tFt

FT 00

0 11

(2.26)

Aceast� func�ie are graficul înscris într-un p�trat de latur� 1, din primul cadran. Func�ia ( )FTS este:

� concav� pentru echipamente cu uzur� pozitiv�; � convex� pentru echipamente cu uzur� negativ�; � prima bisectoare pentru echipamente caracterizate de lipsa uzurii.

Verificarea experimental� a tipului de uzur� ce caracterizeaz� un echipament se efectueaz� prin estimarea func�iei ( )FTS pe baza rezultatelor ob�inute în urma încerc�rilor de fiabilitate sau a rezultatelor ob�inute în exploatare. Func�ia ( )FTS se reprezint� grafic (figura 2.2), concluziile tr�gându-se pe baza caracterului ei concav, convex sau liniar.

Fig. 2.2. Reprezentarea grafic�

a func�iei ( )FTS

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

23

Rezultatele experimentale, fie c� sunt ob�inute prin încerc�ri de laborator, fie c� sunt ob�inute în exploatare, constau din momentele de defectare ale unui e�antion de echipamente de acela�i tip, urm�rite în func�ionare în condi�ii bine precizate, pân� la defectarea tuturor. Momentele de defectare { }n,...,3,2,1i,ti = , ordonate cresc�tor, formeaz� o serie varia�ional�. La

momentul fiec�rei defect�ri, se poate estima probabilitatea de defectare F prin raportul dintre num�rul de ordine al defect�rii �i volumul e�antionului. Între dou� momente de defectare consecutive, probabilitatea de defectare F estimat� r�mâne constant�. Se ob�ine:

( )

��������

�

��������

�

�

≥

<≤−

<≤

<≤

<

=

−

+

∧

n

n1n

1ii

21

1

tt1

tttn

1n

.

.

tttni

.

.

tttn1

tt0

tF (2.27)

Probabilitatea de defectare estimat� se mai nume�te func�ie de reparti�ie empiric� a timpului de func�ionare. În continuare se poate ob�ine estima�ia func�iei de fiabilitate:

( )

��������

�

��������

�

�

≥

<≤−−

<≤−

<≤−

<

=

−

+

∧

n

n1n

1ii

21

1

tt0

tttn

1n1

.

.

tttni

1

.

.

tttn1

1

tt1

tR (2.28)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

24

Aceast� func�ie se poate reprezenta grafic ca în figura 2.3. Se poate estima

apoi func�ia ( )FTS la un moment de defectare oarecare, it , la care ni

F =�

.

Se poate scrie: ( )�⋅=��

�

� itS dttR

mni

T 01 ��

� (2.29)

Estima�ia mediei timpului de func�ionare se ob�ine ca medie aritmetic� a duratei de func�ionare pân� la defectare a echipamentelor urm�rite:

=

⋅=n

1iitn

1m� (2.30)

Fig.2.3. Func�ia de fiabilitate estimat�

Pornind de la rela�iile (2.28), (2.29) �i (2.30) se poate construi, pe baza rezultatelor experimentale, func�ia ( )FTS , din reprezentarea ei grafic� deducându-se caracterul uzurii echipamentului analizat. Procesul de verificare poate fi înso�it de erori ce pot apare datorit� caracterului aleator al rezultatelor experimentale.

De exemplu, pentru un echipament f�r� uzur�, din rezultatele experimentale se poate ob�ine o estima�ie neliniar� a lui ( )FTS

�, care oscileaz� în

jurul primei bisectoare ca în figura 2.4.

Ipoteza privind caracterul f�r� uzur� al echipamentului considerat este acceptat� dac� num�rul de intersec�ii dintre

Fig.2.4. Func�ia ( )FTS

� pentru un

echipament f�r� uzur�

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

25

func�ia ( )FTS estimat� �i prima bisectoare dep��e�te o anumit� limit�, impus� de riscul de ordinul I, adic� de probabilitatea de respingere a ipotezei când acesta este adev�rat�.

2.3. Legi de reparti�ie asociate mecanismelor de defectare

Exprimarea analitic� a func�iei de fiabilitate, constituie o problem� central� în teoria fiabilit��ii. Legile de reparti�ie utilizate de statistica matematic� sau de alte domenii cum ar fi statistica descriptiv�, economia, demografia, nu pot fi folosite în fiabilitate decât atunci când se cunosc foarte bine bazele fizice ale fenomenului de defectare, astfel încât domeniul de aplicare al legii respective s� poat� fi delimitat cât mai exact.

Utilizând ra�ionamente de ordin fizic �i în urma prelucr�rii unui volum foarte mare de date experimentale, s-au elaborat unele legi de reparti�ie specifice aplica�iilor legate de teoria fiabilit��ii: legea Birnbaum-Saunders, legea valorii extreme (Gumbel), Weibull, alfa etc. În acela�i timp au fost elaborate interpret�ri fizice intuitive pentru unele legi de reparti�ie clasice: legea normal�, gama, Rayleigh etc., precizându-se care sunt domeniile în care se pot aplica aceste legi de reparti�ie.

Asocierea dintre o lege de reparti�ie teoretic� �i un echipament concret se face printr-un ra�ionament care combin� interpretarea fizic� �i verificarea experimental�, cel mai important argument fiind cel dat de confruntarea cu rezultatele experimentale. Construc�ia unei legi de reparti�ie unice, specific� unui anumit mecanism de defectare este practic imposibil�, de aceea, în mod obi�nuit se recurge la selec�ia unei legi de reparti�ie dintre cele uzuale, lege care s� fie adecvat� mecanismului de defectare respectiv.

Criteriul fundamental în adoptarea legii de reparti�ie este coresponden�a dintre legea teoretic� �i rezultatele ob�inute pe cale experimental�. Procedeul de verificare este bazat pe teoria general� a verific�rii ipotezelor statistice. Astfel, se formuleaz� ipoteza nul� Ho privind natura legii de reparti�ie a timpului de func�ionare �i ipoteza alternativ� H1, care exclude valabilitatea tipului de lege propus.

Decizia între ipotezele formulate se face pe baza rezultatelor experimentale ob�inute prin urm�rirea unui e�antion din echipamentele care urmeaz� s� fie caracterizate, adic� prin efectuarea unui test statistic de concordan��.

Decizia care se ia poate fi afectat� de cele dou� riscuri de eroare:

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

26

� riscul de ordinul I, �: probabilitatea de respingere a ipotezei nule când aceasta este adev�rat�;

� riscul de ordinul II, �: probabilitatea accept�rii ipotezei nule, când aceasta este fals�.

Criteriul de decizie trebuie ales astfel încât riscurile � �i � s� nu dep��easc� anumite valori impuse ini�ial.

Criteriul utilizat cel mai frecvent este Kolmogorov-Smirnov, care presupune cunoa�terea momentelor de defectare ale tuturor echipamentelor din e�antion supus analizei. Cu ajutorul acestor momente, { }n,...,3,2,1i,ti = ordonate cresc�tor, se poate estima func�ia de reparti�ie

( )tF�

. Dac� F(t) este func�ia de reparti�ie teoretic�, propus� pentru caracterizarea fiabilit��ii echipamentului respectiv, teorema Kolmogorov-Smirnov arat� c� ecartul maxim ( ) ( )tFtFsup

t

�− , dintre func�ia de reparti�ie

teoretic� �i estima�ia ei este o variabil� aleatoare a c�rei lege de reparti�ie depinde numai de volumul e�antionului, nu �i de natura legii care se verific�. Criteriul de decizie pentru acceptarea sau respingerea ipotezei formulate este dat de cuantila de ordinul α−1 a distribu�iei Kolmogorov-Smirnov, care este tabelat�. Ipoteza este acceptat� dac� ecartul maxim dintre func�ia de reparti�ie estimat� �i cea teoretic� nu dep��e�te valoarea cuantilei. Testul Kolmogorov-Smirnov are dezavantajul c� presupune o încercare de fiabilitate prelungit� pân� la defectarea tuturor elementelor e�antionului. Testul Kolmogorov-Smirnov se poate aplica �i la încerc�ri trunchiate �i cenzurate. Prin mic�orarea cantit��ii de informa�ie, rezultat� din trunchiere �i cenzurare, puterea testului de concordan�� scade, astfel încât de multe ori testul las� s� se accepte mai multe ipoteze privind caracterul reparti�iei timpului de func�ionare (ex. Weibull, normal� �i exponen�ial�).

Pe lâng� faptul c� au o putere redus�, testele de concordan�� bazate pe încerc�ri trunchiate mai pot fi afectate de o eroare. Se face ipoteza c� legea adoptat� �i acceptat� de test este valabil� �i dincolo de intervalul de timp în care s-a efectuat testul de concordan��. Se poate întâmpla îns� ca, în timp, legea de distribu�ie s�-�i schimbe caracterul într-un mod care nu poate fi prev�zut pe baza încerc�rilor trunchiate efectuate.

O alt� modalitate de verificare a concordan�ei dintre o lege teoretic� �i datele experimentale este dat� de statistica informa�ional�. Astfel, dac� se consider� dou� legi de reparti�ie discrete T �i S, care asociaz� unei acelea�i

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

27

variabile aleatoare sistemele de probabilit��i n321 p,...,p,p,p �i respectiv

n321 q,...,q,q,q , astfel încât:

1qpn

1ji

n

1ii

==== (2.31)

Se define�te corela�ia informa�ional� între cele dou� distribu�ii S �i T prin:

=

⋅=n

1iiiT,S qpC (2.32)

Corela�ia dintre distribu�ie �i ea îns��i se nume�te energie informa�ional�:

=

=

==

==

n

1i

2iTT,T

n

1i

2iSS,S

qEC

pEC (2.33)

Coeficientul de corela�ie informa�ional� între reparti�iile S �i T rezult� prin normarea rela�iei (2.32):

TS

T,ST,S EE

CE

⋅= (2.34)

Din ultima rela�ie rezult� c� valoarea coeficientului de corela�ie informa�ional� între dou� legi identice de reparti�ie este maxim� �i egal� cu unitatea.

S� presupunem c� S este o lege de reparti�ie empiric�, estimat� pe baza unui e�antion de date experimentale, iar T este legea de reparti�ie teoretic� ce caracterizeaz� echipamentul analizat. Cu cât volumul de date experimentale cre�te, cu atât reparti�ia empiric� se apropie de cea teoretic�, iar coeficientul de corela�ie informa�ional� tinde c�tre unitate. Pentru un anumit volum de date experimentale, coeficientul va fi cu atât mai aproape de unitate cu cât legea de reparti�ie teoretic� adoptat� este mai aproape de realitate.

O alternativ� fa�� de alegerea unei legi de reparti�ie anumite dintr-o mul�ime de posibilit��i este construc�ia unei legi de reparti�ie generale, valabil� pentru toate echipamentele �i care se particularizeaz� prin precizarea valorilor numerice ale parametrilor care intervin în expresia ei analitic�. O astfel de lege de reparti�ie atât de flexibil�, încât s� includ� toate legile particulare posibile – dac� ar exista – ar avea un num�r foarte

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

28

mare de parametri astfel încât dificultatea ar fi translatat� de la problema stabilirii naturii legii, la evaluarea parametrilor s�i. Solu�ia const� în utilizarea legii de reparti�ie exponen�ial�, care poate aproxima orice lege de reparti�ie printr-o combina�ie sau printr-o succesiune de legi de reparti�ie exponen�iale.

Aceast� aproximare prin combina�ii de exponen�iale se mai nume�te �i aproximare continu�. Modelele fundamentale ale aproxim�rii continue sunt de tip serie, paralel sau triunghi.

În primul caz, aproximarea de tip serie se ob�ine printr-o combina�ie liniar� de reparti�ii exponen�iale. Astfel, o reparti�ie oarecare ( )tf poate fi scris�:

( ) ==

⋅− =⋅⋅=n

1ii

n

1i

ti 1cu;etf i ωλω λ (2.35)

Exemplu: Se consider� un echipament (o diod� semiconductoare) cu dou� moduri de defectare incompatibile: scurtcircuit �i întrerupere. Se presupune c� fiec�rui mod de defectare i se asociaz� o reparti�ie exponen�ial� de parametru iλ , iar iω este probabilitatea ca defectarea s� se produc� prin modul particular i, rezultând o reparti�ie a timpului de func�ionare dat� de rela�ia (2.35).

Conform modelului paralel, timpul de func�ionare pân� la defectare este o sum� a unor durate aleatoare repartizate dup� legi exponen�iale de parametri diferi�i. Echipamentul trece deci prin st�ri intermediare, de la starea ini�ial� de bun� func�ionare pân� la starea de defectare. Aceste st�ri intermediare pot reprezenta uzura pozitiv� a echipamentului.

Al treilea model elementar al aproxim�rii continue este modelul triunghi. Conform acestui model, echipamentul poate trece prin mai multe st�ri intermediare, ca în cazul modelului paralel, dar nu trebuie neap�rat s� le parcurg� pe toate pentru a atinge starea de defectare, aceasta fiind accesibil� din orice stare intermediar�.

Reprezentând prin nodurile unui graf st�rile echipamentului �i prin arce posibilit��ile de tranzi�ie, se ob�ine modelul din figura 2.5, în care starea ini�ial� este notat� cu “0”, iar starea de defectare este notat� cu “k”. Starea de defectare “k” este accesibil� din toate celelalte st�ri, cu probabilit��ile de tranzi�ie respective t,...,t,t 1k1kk ∆λ∆λ∆λ ⋅⋅⋅ −+ . Probabilit��ile de tranzi�ie între st�rile de bun� func�ionare sunt: t,...,t,t 1k21 ∆λ∆λ∆λ ⋅⋅⋅ − .

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

29

Analiza cantitativ� a acestui model se poate efectua prin metoda lan�urilor Markov.

Modelele elementare de tip serie, paralel �i triunghi pot fi combinate între ele, rezultând o multitudine de legi de reparti�ie exprimate sub forma unei combina�ii de exponen�iale �i de reparti�ii gama de diferite ordine.

Figura 2.5. Modelul triunghi al aproxim�rii continui

De�i nu înl�tur� dificult��ile asociate testelor de concordan��, modelul aproxim�rii continue a reparti�iilor, este deosebit de elegant �i util prin aceea c� ofer� o modalitate general� �i comod� de exprimare a legilor de reparti�ie, care poate fi utilizat� cu succes în analiza echipamentelor cu uzur� prin metoda lan�urilor Markov.

2.4. Reînnoirea echipamentelor 2.4.1. Procese de reînnoire

Analiza fiabilit��ii echipamentelor trebuie s� �in� seama �i de faptul c� asupra acestora se exercit� interven�ii exterioare care se opun degrad�rii prin recondi�ionarea total� sau par�ial� a echipamentului. Aceste interven�ii sunt posibile în cazul echipamentelor reparabile, acestea putând fi aduse, prin interven�ii exterioare, în starea de func�ionare “ca noi” sau într-o stare de bun� func�ionare, caracterizat� îns� de o anumit� uzur�, pornind din starea de “defectare”. Sunt îns� �i echipamente a c�ror evolu�ie se termin� odat� cu prima defectare, cum este cazul componentelor �i echipamentelor nereparabile.

În cazul echipamentelor cu posibilit��i de reînnoire, eficien�a lor în exploatare este determinat� atât de caracteristicile lor intrinseci, cât �i de

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

30

cele ale interven�iilor exterioare. În acest sens, se l�rge�te sensul no�iunii de fiabilitate ca fiind capacitatea echipamentului de a-�i îndeplini misiunea. Este esen�ial faptul c� la asigurarea fiabilit��ii unui echipament reparabil concur� capacitatea echipamentului de a-�i men�ine performan�ele în timp (fiabilitatea în sens restrâns) �i capacitatea de restabilire a acestor performan�e. Aceasta din urm�, numit� mentenabilitate, �ine atât de echipament, în m�sura în care arhitectura acestuia u�ureaz� activit��ile de diagnoz� tehnic� �i depanare, cât �i de modul de organizare a între�inerii echipamentului: aprovizionarea cu piese de schimb, volumul �i calificarea personalului de între�inere etc. Mentenan�a poate fi definit� ca ansamblul tuturor ac�iunilor efectuate în scopul men�inerii sau restabilirii unui echipament în stare normal� de func�ionare. Mentenan�a poate fi preventiv� sau corectiv�. Mentenan�a preventiv� reprezint� interven�iile sistematice care au loc de regul� dup� un plan, în vederea asigur�rii corecte a echipamentului. Mentenan�a corectiv� reprezint� interven�iile, necesare în urma unor defect�ri accidentale, care au drept scop restabilirea capacit��ii de func�ionare a echipamentului la parametri nominali.

În scopul analizei proceselor de reînnoire se admite faptul c� orice interven�ie exterioar� asupra unui echipament în vederea restabilirii performan�elor acestuia are loc la momentul unei defect�ri a echipamentului �i este efectuat� într-un timp neglijabil.

O asemenea interven�ie, capabil� s� pun� echipamentul în stare de func�ionare, va fi numit� reînnoire, indiferent de amploarea influen�ei sale asupra echipamentului. Evolu�ia unui echipament va fi reprezentat� deci de succesiunea unor momente de reînnoire nt,...,t,t 21 , �i a intervalelor dintre acestea: ...x,...,x,x n21 (figura 2.6).

Fig. 2.6. Evolu�ia unui echipament cu reînnoire

Dac� se consider� un interval de timp oarecare (0, t), num�rul de reînnoiri tN , efectuate în acest interval, este un proces aleator discret, numit proces

de reînnoire. Dac� acest proces este complet cunoscut se pot face previziuni asupra comport�rii echipamentului cu reînnoire, utilizate în elaborarea programului de mentenan��.

Cunoa�terea procesului aleator de reînnoire presupune calculul func�iei de reparti�ie ( ) ,r,t;rNP t ∀∀= sau cel pu�in al unor valori medii ale

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

31

procesului aleator tN . Pentru aceasta se consider� anumite ipoteze asupra reînnoirilor, legate atât de caracteristicile opera�iei de interven�ie cât �i de cele ale echipamentului.

Prima ipotez� prive�te caracterul independent al variabilelor aleatoare ...x,...,x,x n21 care reprezint� duratele de func�ionare ale echipamentului.

Se presupune deci c� modul de comportare a echipamentului între dou� reînnoiri succesive nu este corelat cu comportarea sa în intervalul dintre alte dou� reînnoiri. În cazul cel mai general, prin opera�ia de reînnoire echipamentul este complet transformat astfel încât, dup� fiecare reînnoire avem de-a face cu un echipament nou din punct de vedere al fiabilit��ii. În aceste condi�ii, echipamentul va fi caracterizat în fiecare interval de func�ionare ...x,...,x,x n21 de indicatorii generali de fiabilitate.

În realitate, reînnoirea nu schimb� cu totul caracteristicile echipamentului prin trecerea sa din starea de defectare în starea de bun� func�ionare. Influen�a reînnoirii asupra echipamentului este orientat� fie în sensul îmbun�t��irii, fi în sensul înr�ut��irii fiabilit��ii acestuia, în func�ie de performan�ele activit��ii de interven�ie asupra echipamentului. Peste aceast� influen�� se suprapune efectul uzurii acumulate în timp, uzur� care poate fi pozitiv� sau negativ�. Din combina�ia dintre propriet��ile intrinseci ale echipamentului cu cele ale opera�iilor de interven�ie rezult� modul de varia�ie al func�iei de fiabilitate.

Not�m cu ( )xRi func�ia de fiabilitate a echipamentului în intervalul dintre reînnoirea ( )1−i �i reînnoirea i. �inând seama de ordonarea func�iilor

( )xRi , se poate face o clasificare a reînnoirilor.

Se numesc reînnoiri propriu-zise acele reînnoiri care aduc echipamentul mereu în aceea�i stare, eliminându-se uzura acumulat� de la reînnoirea precedent�. În acest caz este valabil� rela�ia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xRxR......xRxRxR n ==== 321 (2.36)

iar procesul de reînnoire se nume�te simplu.

Atunci când în urma efectu�rii unei reînnoiri echipamentul este adus într-o stare diferit� de starea sa la momentul 0=t , rela�ia (2.36) se poate scrie:

( ) ( ) ( )( ) ( )xRxR

xR......xRxR

≠===

1

32 (2.37)

În acest caz procesul de reînnoire se nume�te general.

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

32

În procesele simple, to�i indicatorii de fiabilitate sunt identici în toate intervalele dintre reînnoiri succesive. În cazul proceselor generale exist� dou� tipuri de indicatori: cei defini�i pe primul interval de func�ionare (pân� la prima defectare – MTTF) �i cei defini�i pentru intervale dintre dou� defect�ri succesive (MTBF).

Procesele de reînnoire propriu-zise sunt caracteristice echipamentelor formate din elemente f�r� uzur�, la care reînnoirea const� din înlocuirea sau repararea elementelor defecte.

Se definesc reînnoirile pozitive prin:

( ) ( ) ( ) ( ) ......xR......xRxRxR n >>>>> 321 (2.38)

În cazul unui echipament f�r� uzur� sau cu uzur� negativ� reînnoirile pozitive sunt datorate unei calit��i necorespunz�toare a opera�iilor de interven�ie, în timp ce, în cazul echipamentelor cu uzur� pozitiv�, reînnoirile pot fi pozitive, chiar dac� ele contribuie la ameliorarea fiabilit��ii echipamentului, ac�iunea lor fiind contracarat� de efectul uzurii acestuia.

Reînnoirile negative se definesc prin rela�ia urm�toare:

( ) ( ) ( ) ( ) ......xR......xRxRxR n <<<<< 321 (2.39)

Pentru echipamentele cu uzur� pozitiv�, reînnoirile negative se datoreaz� unei calit��i deosebite ale opera�iilor de între�inere. Reînnoirile pot fi negative chiar dac� ele contribuie la înr�ut��irea caracteristicilor de fiabilitate ale echipamentului, acest lucru putându-se întâmpla datorit� efectului de ameliorare al uzurii negative.

Încadrarea reînnoirilor într-una dintre cele trei categorii este oarecum restrictiv�, întrucât nu toate reînnoirile efectuate asupra unui echipament pot fi de acela�i tip, chiar dac� sunt efectuate de c�tre aceea�i echip� de mentenan��.

Pentru a lua în considerare posibilit��ile ca printre reînnoiri pozitive s� se includ� �i unele reînnoiri negative sau invers, se consider� reînnoirile stohastic pozitive, respectiv stohastic negative, definite prin rela�iile:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ......xR......xRxR

......xR......xRxRst

nststst

stn

ststst

<<<<

>>>>

21

21 (2.40)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

33

Consider�m un echipament f�r� uzur�, asupra c�ruia se aplic� o reînnoire propriu-zis�, procesul de reînnoire fiind simplu [3]. Ne intereseaz� caracteristicile procesului aleator tN , definit ca num�rul de reînnoiri în intervalul ( )t,0 . Pentru aceasta se consider� un interval mic ( )tt,t ∆+ �i se evalueaz� probabilitatea ca pân� la momentul t+�t s� se produc� r reînnoiri:

( ) ( )rNPttP ttr =⋅=+ +∆∆ (2.41)

În intervalul ( )tt, ∆+0 , cele r reînnoiri se pot produce astfel: - r reînnoiri în ( )t,0 �i nici o reînnoire în ( )tt,t ∆+ ; - r - 1 reînnoiri în ( )t,0 �i o reînnoire în ( )tt,t ∆+ ; - r - 2 reînnoiri în ( )t,0 �i 2 reînnoiri în ( )tt,t ∆+ ; - �i a�a mai departe.

Probabilitatea defect�rii unui echipament f�r� uzur� într-un interval de timp ( )tt,t ∆+ este dat� de ( )tt ∆ε∆λ + , unde ( )t∆ε este un infinit mic superior lui t∆ , iar probabilit��ile asociate defect�rilor repetate în acest interval sunt infini�i mici superiori lui t∆ . Se poate scrie urm�toarea rela�ie de recuren��:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tttPtttPttP rrr ∆ε∆λε∆λ∆ +⋅−⋅++⋅⋅=+ − 11 (2.42)

Prin diferen�ierea rela�iei (2.42) se ob�ine:

( ) ( ) ( )tPtPdt

tdPrr

r1−⋅+⋅−= λλ (2.43)

Pentru a rezolva ecua�ia (2.43) se adopt� forma urm�toare pentru probabilitatea ( )tPr :

( ) ( ) trr etvtP ⋅−⋅= λ (2.44)

Înlocuind rela�ia (2.44) în rela�ia (2.43) se ob�ine:

( ) ( )tvdt

tdvr

r1−⋅= λ (2.45)

Rezolvând ecua�ia (2.45) în condi�iile ini�iale:

( )( )

...,,r

v

tv

r32

00

10

===

se ob�ine: ( ) ( ) !r/ttv rr λ= (2.46)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

34

astfel încât procesul aleator este dat de:

( ) ( ) tr

r e!r

ttP λλ −⋅= (2.47)

Rela�ia (2.47) reprezint� un proces aleator de tip Poisson, cel mai simplu proces de reînnoire. Procesul de reînnoire poate fi caracterizat în mod sintetic prin media �i dispersia num�rului de reînnoiri în intervalul ( )t,0 . Media num�rului de reînnoiri în intervalul ( )t,0 se nume�te func�ie de reînnoire �i are expresia urm�toare:

( ) ( ) tNMtH t λ∆

== (2.48)

Rela�ia (2.48) arat� faptul c� num�rul mediu de reînnoiri propriu-zise ale unui echipament f�r� uzur� este propor�ional cu m�rimea intervalului de timp considerat.

Prin derivarea func�iei de reînnoire se ob�ine densitatea de reînnoire ( )th , interpretat� ca probabilitatea producerii unei reînnoiri în jurul momentului t, indiferent de ordinul acesteia:

( ) ( ) λ∆

==dt

tdHth (2.49)

Rezult� în acest caz o valoarea constant� �i egal� cu rata de defectare a echipamentului.

Considerând acum un echipament cu uzur�, negativ� sau pozitiv�, asupra c�ruia se efectueaz� reînnoiri care nu modific� gradul de uzur� al echipamentului, se pot ob�ine func�ia �i densitatea de reînnoire prin generalizarea rela�iilor (2.48) �i (2.49):

( ) ( ) ( ) ( )tzth,tztHt

== �0

(2.50)

Se observ� c� func�ia de reînnoire este egal� cu logaritmul inversului func�iei de fiabilitate. Determinarea tipului reînnoirilor se poate face pe baza unei metode care analizeaz� primele trei durate de func�ionare

,x,x,x 321 înregistrate la un e�antion de n elemente. Pentru a alege între reînnoirile propriu-zise �i cele pozitive, se formuleaz� ipotezele nul� (H0) �i alternativ� (H1):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xRxRxR:H

xRxRxR:H

3211

3210

>>==

(2.51)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

35

Se noteaz� cu ,x,x,x iii 321 duratele de func�ionare pân� la a treia reînnoire, corespunz�toare echipamentului i din e�antion ( )n,...,,,i 321= . Se define�te variabila aleatoare iz , pentru fiecare element al e�antionului:

( )n,...,,,i

contrarcaz în,

xxxpentru,z iiii

321

0

1 321

=��� <<

= (2.52)

Valorile 1=iz reprezint� argumentele împotriva caracterului pozitiv al reînnoirilor, astfel încât dac� în e�antion exist� numeroase valori iz egale cu unitatea, se accept� ipoteza 0H �i se infirm� ipoteza 1H .

În vederea adopt�rii unei decizii se consider� variabila =

=n

iizS

1 �i se

accept� ipoteza 1H dac� kS ≤ , în caz contrar acceptându-se ipoteza 0H . Valoarea limitei de acceptare k se determin� pe baza riscului α de respingere a ipotezei 0H atunci când ea este adev�rat�.

Se presupune c� în urma verific�rii s-a stabilit c� reînnoirile efectuate sunt reînnoiri propriu-zise, adic� prin reînnoire echipamentul este adus mereu în aceea�i stare, starea de la momentul 0=t . Se ob�ine astfel un proces simplu de reînnoire descris de rela�ia:

( ) ( )tTPrNP rt <=≥ (2.53)

rela�ie ilustrat� în figura 2.7:

Fig. 2.7. Proces de reînnoire simplu

Num�rul de reînnoiri produse în intervalul ( )t,0 este mai mare decât r dac� �i numai dac� durata scurs� pân� la reînnoirea cu num�rul de ordine r este mai mic� decât t. Fie ( )tKr func�ia de reparti�ie a variabilei aleatoare rT �i

( )tkr densitatea de probabilitate. Se observ� distribu�ia discret� la un moment dat a procesului aleator tN , care poate fi exprimat� cu ajutorul func�iei de reparti�ie continu� a variabilei rT .

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

36

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 121

1

0

1==

−=+≥−≥== +tK,...,,r

tKtKrNPrNPrNP rrttt (2.54)

Procesul de reînnoire este complet caracterizat dac� func�ia de reparti�ie ( )tKr poate fi exprimat� cunoscând indicatorii de fiabilitate ai

echipamentului. Întrucât toate intervalele de func�ionare între reînnoiri consecutive sunt identic distribuite, cu densitatea de probabilitate ( )xf , se poate scrie conform teoremei privind distribu�ia sumei de variabile aleatoare independente:

( ) ( ) ( ) ( )���� ����� ��

rr

rrtf...tftftk

x...xxT

⊗⊗⊗=+++= 21

(2.55)

unde ⊗ reprezint� produsul de convolu�ie.

Pornind de la rela�ia (2.55) se poate calcula densitatea de probabilitate a duratei scurse pân� la reînnoirea r, prin integrarea c�reia se ob�ine func�ia de reparti�ie utilizat� în rela�ia (2.54).

Folosind transformata Laplace:

( ) ( ) ( ) dtetgtLgsg ts* ⋅−∞

⋅== �0

(2.56)

se ob�ine: ( ) ( )[ ]r**r sfsk = (2.57)

�i ( ) ( )[ ]r**r sf

ssK

1= (2.58)

Cu aceasta procesul simplu de reînnoire este complet caracterizat. Dac� procesul de reînnoire este general, atunci trebuie f�cut� distinc�ie între densitatea de probabilitate corespunz�toare primului interval ( )xf1 �i densitatea f(x) corespunz�toare tuturor celorlalte intervale. În acest caz func�ia de reparti�ie trebuie calculat� cu ajutorul rela�iilor:

( ) ( ) ( )[ ] 11

−⋅=

r***r sfsfsk (2.59)

( ) ( ) ( )[ ] 11

1 −⋅⋅=

r***r sfsf

ssK (2.60)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

37

Un proces general de reînnoire poate fi interpretat ca un proces simplu care începe s� fie observat de la un moment oarecare al evolu�iei sale (figura 2.8). Indiferent de tipul procesului, rela�ia fundamental� (2.54) r�mâne valabil�, distinc�ia între procesul simplu �i cel general f�cându-se prin modul de calcul al func�iei de reparti�ie ( )tKr .

Fig. 2.8. Reprezentarea unui proces de reînnoire

Utilizarea practic� a rela�iei (2.54) nu este îns� prea comod�, de aceea se prefer� caracterizarea procesului de reînnoire cu ajutorul func�iei de reînnoire H(t), care reprezint� num�rul mediu de reînnoiri produse în intervalul ( )t,0 . Pornind de la defini�ia mediei se ob�ine:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

∞

=

∞

=+

∞

=

=++=

+⋅−⋅++⋅−⋅+

+−=

=−===

121

43

32

21

11

1

33

22

rr

rrr

rt

tK......tKtK

....................................................

tKtK

tKtK

tKtK

tKtKrrNrPtH

(2.61)

Prin derivare se ob�ine densitatea de reînnoire:

( ) ( ) ( ) ∞

===

1rr tk

dttdH

th (2.62)

Aceast� rela�ie reprezint� probabilitatea producerii unei reînnoiri în jurul unui moment dat, indiferent de ordinul acesteia. Aplicând transformata Laplace rela�iilor (2.57) – (2.62) se ob�ine densitatea �i func�ia de reînnoire pentru procesul de reînnoire simplu:

( ) ( )[ ] ( )( )

∞

= −==

1 1r*

*r**

sf

sfsfsh (2.63)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

38

( ) ( )

���

��� −⋅

=)s(fs

sfsH

*

**

1 (2.64)

În cazul unui proces general de reînnoire rela�iile (2.63) �i (2.64) devin:

( ) ( ) ( ) ( )( )

∞

=

−

−=��

����⋅=

1

11

11r

*

*r***

sf

sfsfsfsh (2.65)

( ) ( )( )���

��� −⋅

=sfs

sfsH

*

**

1

1 (2.66)

Se analizeaz� în continuare cazul unui proces general. Trecând în domeniul timp se ob�ine pentru densitatea de reînnoire:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� −⋅+=⊗+=t

dtfhtftfthtfth0

11 τττ (2.67)

Ecua�ia (2.67) se nume�te ecua�ia reînnoirii.

Fig. 2.9. Explicativ� la ecua�ia reînnoirii

În jurul momentului t se poate produce prima reînnoire, probabilitatea acestui eveniment fiind ( )tf1 . Fie acum o reînnoire de ordin oarecare produs� în jurul momentului t �i fie τ momentul reînnoirii precedente (figura 2.9). Produsul ( ) ( )ττ −⋅ tfh reprezint� probabilitatea ca în jurul momentului τ s� fi avut loc o reînnoire oarecare, iar proxima reînnoire s� se produc� în jurul momentului t. Însumând aceste probabilit��i pentru toate valorile ( )t,0∈τ �i ad�ugând pe ( )tf1 se ob�ine probabilitatea unei reînnoiri în jurul momentului t, indiferent de ordinul acesteia, adic� se ob�ine densitatea de reînnoire.

Exemplu de mod de calcul al densit��ii �i func�iei de reînnoire [3]:

Se consider� un echipament format dintr-un element de baz� �i o rezerv� pasiv� care preia func�ionarea în caz de defectare a elementului de baz�. Se

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

39

presupune c� elementele echipamentului sunt f�r� uzur�. Rezult� c� durata de func�ionare pân� la defectare a echipamentului se ob�ine însumând duratele de func�ionare ale celor dou� elemente.

Reparti�ia timpului de func�ionare va fi convolu�ia a dou� reparti�ii exponen�iale identice:

( )

( )( )2

2

λλ

λλ λλ

+=

⋅⊗⋅=⋅−⋅−

ssf

eetf

*

tt

(2.68)

Trecând în domeniul timp, rezult� reparti�ia timpului de func�ionare a echipamentului de tip gama, cu parametrii 2=α �i λβ = :

( ) ( ) tettf

⋅−⋅⋅⋅=

λλλ (2.69)

Media timpului de func�ionare este egal� cu dublul mediei timpului de

func�ionare a unui element, adic� va fi λ2 . Dac� echipamentul este urm�rit

de la punerea în func�iune, procesul de reînnoire este simplu, iar func�ia �i densitatea de reînnoire se ob�in din:

( ) ( )( ) ( )λ

λ⋅+⋅

=−

=21

2

sssf

sfsh

*

**

(2.70)

( )( )λ

λ

⋅+⋅==

22

2

sssH

* (2.71)

Aplicând transformata invers� Laplace, se ob�ine :

( ) ��

�� −⋅=

⋅⋅− teth

λλ 21

2 (2.72)

( ) ��

�� −⋅−⋅=

⋅⋅− te

ttH

λλ 21

41

2 (2.73)

Se observ� c� densitatea de reînnoire tinde asimptotic c�tre o valoare constant�, care este inversul mediei timpului de func�ionare, iar func�ia de reînnoire are ca asimptot� o dreapt� cu panta egal� cu inversul mediei timpului de func�ionare. Aceasta arat� c�, dup� trecerea unui timp suficient

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

40

de îndelungat, probabilitatea producerii unei reînnoiri în jurul unui moment dat este constant� iar num�rul mediu de reînnoiri într-un interval de timp este propor�ional cu lungimea acestuia, aspecte reflectate în figura 2.10.

Fig. 2.10. Evolu�ia densit��ii �i a func�iei de reînnoire

2.4.2. Strategii de reînnoire

O metod� de cre�tere a eficien�ei echipamentelor în exploatare este planificarea unor revizii care s� asigure reînnoirea echipamentelor înainte de defectarea acestora. Momentele efectu�rii acestor revizii, numite �i reînnoiri profilactice sau preventive, constituie o strategie de reînnoire. Ca �i reînnoirile propriu-zise (efectuate în cazul defect�rilor accidentale), reînnoirile preventive elimin� complet uzura echipamentului, aducându-l în starea ini�ial�.

Dac� reînnoirile analizate pân� acum erau evenimente aleatoare, generate de defect�rile echipamentului, reînnoirile preventive pot fi evenimente aleatoare sau deterministe, dup� modelul în care sunt concepute strategiile de reînnoire. Astfel, peste procesul aleator al reînnoirilor propriu-zise se suprapune strategia aleatoare sau determinist� a reînnoirilor preventive. Strategiile de reînnoire pot fi clasificate în dou� categorii [3]:

� periodice; � neperiodice.

Strategiile neperiodice pot fi elaborate �inând seama de vârsta echipamentului, de uzura acestuia sau de alte m�rimi ce evolueaz� aleator. Ele sunt deci strategii ce au un caracter aleator.

Strategiile de reînnoire periodice sunt caracterizate de o durat� constant� între dou� reînnoiri preventive consecutive. Aceast� durat� fiind cunoscut�, rezult� c� aceste strategii au un caracter determinist.

Proiectarea strategiilor de reînnoire se poate face pe baza unor criterii diferite. Indiferent de criteriul adoptat în elaborarea strategiei, este

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

41

important s� se evalueze pentru fiecare strategie, costul mediu de între�inere a echipamentului în unitatea de timp. În acest scop se consider� costul unei reînnoiri propriu-zise egal cu unitatea �i se exprim� costurile reînnoirilor preventive cu frac�iuni din costul reînnoirii propriu-zise.

Trebuie precizat faptul c� abordarea strategiilor prin prisma costului mediu nu implic� neap�rat o viziune pur economic�, deoarece costurile individuale reprezint� în general expresii numerice ale dificult��ii, de orice natur� ar fi, întâmpinate în efectuarea unei reînnoiri.

Cea mai simpl� strategie de reînnoire periodic� const� în reînnoirea echipamentului fie la defectarea sa, fie la momentele de timp egal distan�ate { }...,,k,kT 21= . Aceast� strategie este cunoscut� în literatur� sub numele de BRP (Block Replacement Policy).

Un prim criteriu de proiectare a acestei strategii, respectiv de calcul al perioadei T, const� în impunerea unui anumit nivel minim al func�iei de fiabilitate în intervalul dintre dou� reînnoiri succesive:

( ) 0RTR ≥ (2.74)

Costul mediu de între�inere a echipamentului într-o perioad� de timp T este format din costul unei reînnoiri preventive b, �i costul mediu al reînnoirilor efectuate la defectarea echipamentului, numeric egal cu num�rul mediu al acestor reînnoiri.

Dac� se neglijeaz� duratele de reînnoire, num�rul mediu al reînnoirilor neprev�zute dintr-o perioad� este dat de func�ia de reînnoire H(T), astfel încât costul mediu al între�inerii echipamentului în unitatea de timp prin strategia BRP este dat de rela�ia urm�toare:

( )T

bTHCBRP

+⋅= 1 (2.75)

Costul dat de rela�ia (2.75) trebuie comparat cu costul mediu de între�inere a echipamentului în unitatea de timp în absen�a reînnoirilor preventive. Situa�ia în care nu se execut� reînnoiri preventive este numit� strategie FRP (Failure Replacement Policy). În acest caz o reînnoire se execut� în medie la un interval de timp egal cu media timpului de func�ionare m, astfel încât costul mediu în unitatea de timp va fi:

mCFRP

1= (2.76)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

42

Expresia (2.76) se ob�ine din (2.75) pentru o perioad� T tinzând spre infinit.

Exemplu: Se consider� un echipament având func�ia de fiabilitate urm�toare [3]:

( )14

2

10

2−−

⋅⋅−⋅−

=

−⋅=

ore

eetRtt

λ

λλ (2.77)

Un astfel de echipament este cu redundan�� activ�, care se defecteaz� atunci când se defecteaz� ambele elemente care îl compun. Strategia de reînnoire periodic� trebuie calculat� din condi�ia ca func�ia de fiabilitate în intervalul dintre dou� reînnoiri preventive consecutive s� nu scad� sub nivelul impus, 9900 ,R = . Din rela�iile (2.74) �i (2.77) se ob�ine:

ore6,10539,0

1ln

1T099,0e2e TT2 =≤�≤+⋅− ⋅−⋅⋅−

λλλ (2.78)

Pentru a calcula costul mediu al între�inerii echipamentului în unitatea de timp se evalueaz� func�ia de reînnoire a echipamentului pornind de la expresia func�iei de fiabilitate (2.77). Se ob�ine succesiv:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

�

�����

�

�����

�

�

��

�� +⋅=

⋅+⋅⋅=

−=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅−

+⋅=

⋅⋅−⋅⋅=−=

⋅⋅−

⋅−⋅−

t

*

**

*

tt

eth

sssf

sfsh

sssssf

eedt

tdRtf

λ

λλ

λ

λλ

λλλ

λλ

λλ

λλ

3

2

2

2

13

2

32

1

22

222

22

( ) ( )92

92

32 3

0−⋅+⋅⋅==�

⋅⋅−�

tte

tdtthtH

λλ (2.79)

Dac� se adopt� un cost b al reînnoirii preventive periodice egal cu 20% din costul unei reînnoiri propriu-zise (b=0.2), folosind rela�ia (2.75) se ob�ine costul mediu în unitatea de timp al strategiei BRP, cu perioada T dat� de condi�ia (2.78):

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

43

143

1008320

92

92

32

−−⋅⋅−

⋅=+−⋅+⋅⋅

= ore,T

,eT

C

T

BRP

λλ

(2.80)

În absen�a reînnoirilor preventive, costul mediu de între�inere a echipamentului în unitatea de timp poate fi calculat utilizând rela�ia (2.76):

( )

14

0

106603

2

23

−−

∞

⋅=⋅=

⋅== �

ore,C

dttRm

FRPλ

λ (2.81)

Analizând rezultatele ob�inute în rela�iile (2.80) �i (2.81) rezult� c� între�inerea echipamentului prin strategia BRP este mai costisitoare dar are avantajul asigur�rii unei fiabilit��i mai ridicate. Dac� analiza se limiteaz� la un punct de vedere pur economic, atunci este clar c� în perioada sta�ionar� a procesului de reînnoire, adoptarea unei strategii de reînnoire de tip BRP nu poate prezenta avantaje. În cazul unui proces de reînnoire sta�ionarizat

avem ( )mT

TH = , astfel încât:

( )FRPBRP C

mTb

mTbTH

C =>+=+⋅= 111 (2.82)

Din ultima rela�ie rezult� c� strategia de reînnoire periodic� poate prezenta avantaje economice numai în perioada tranzitorie a procesului de reînnoire, respectiv în perioada incipient� a între�inerii echipamentului în exploatare. În proiectarea strategiilor de reînnoire se urm�re�te minimizarea costului mediu de între�inere a echipamentului în unitatea de timp, astfel încât punând condi�ia de minim expresiei (2.75) se ob�ine:

bTHThT*** =��

��−�

�

��⋅ (2.83)

O condi�ie suficient� de existen�� a solu�iei *

T pentru ecua�ia (2.83) este caracterul cresc�tor al densit��ii de reînnoire h(t), sau, cu alte cuvinte

caracterul pozitiv al uzurii echipamentului. Înlocuind valoarea *

T , în rela�ia (2.74), se ob�ine costul mediu minim al între�inerii echipamentului în unitatea de timp atunci când se aplic� strategia BRP.

��

��= **

BRP ThC (2.84)

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

44

unde *BRPC este o func�ie cresc�toare de b, prin intermediul lui *T .

Pentru echipamentul cu func�ia de fiabilitate dat� de rela�ia (2.77) perioada optim� se ob�ine introducând expresia lui H(T) dat� de rela�ia (2.79) în ecua�ia (2.83):

***yTy;yeb

*

⋅⋅=+=⋅��

�

� ⋅− λ3129

1 (2.85)

Ultima ecua�ie fiind transcendent�, se rezolv� grafic. Condi�ia de existen��

a perioadei optime de reînnoire este 92<b . Cum s-a presupus b=0.2 aceast�

condi�ie este îndeplinit�. Valoarea minim� a costului strategiei BRP se ob�ine introducând solu�ia ecua�iei (2.85) în expresia (2.84) �i �inând seama de rela�iile (2.79):

���

�

�−⋅⋅= ⋅⋅− *T*

BRP eC λλ 313

2 (2.86)

A�a cum se observ� din exemplul anterior, elaborarea strategiei periodice optime din punct de vedere al costului mediu în unitatea de timp nu este dificil�, dac� este posibil calculul func�iei �i densit��ii de reînnoire. Acest calcul este uneori dificil datorit� imposibilit��ii ob�inerii analitice a transformatei Laplace pentru anumite legi de reparti�ie a tipului de func�ionare (ex. legea Weibull).

Strategia periodic� descris� (BRP) are inconvenientul planific�rii inflexibile, astfel încât este posibil ca, la scurt timp dup� efectuarea unei reînnoiri propriu-zise a echipamentului, s� urmeze o reînnoire preventiv� planificat�. Pentru evitarea unor asemenea situa�ii, s-a recurs la modificarea strategiei periodice. Reînnoirile preventive se execut� la momentele de timp { }...,,k,Tk 21=⋅ . Dup� orice defectare ap�rut� în intervalele ( ){ }...,,k,Tk,TTk D 21=⋅−⋅ , echipamentul nu este reînnoit, a�teptându-se momentul proximei reînnoiri preventive. Defect�rile ap�rute în intervalele ( )[ ]{ }...,,k,TTk,Tk D 211 =−⋅⋅− se remediaz� în mod obi�nuit, rezultând reînnoiri propriu-zise. Strategia de reînnoire se nume�te DRP ( Delayed Replacement Policy).

Pentru evaluarea costului mediu al între�inerii echipamentului în unitatea de timp este necesar s� se considere al�turi de costul b al reînnoirii preventive �i costul d al stagn�rii echipamentului ( sau al func�ion�rii sale incorecte ) în unitatea de timp. Costul mediu într-o perioad� T este format din:

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

45

a) costul reînnoirii preventive b; b) costul reînnoirii propriu-zise (al repar�rilor în caz de defectare).

( )DTTH −⋅1 c) costul duratei medii de stagnare:

( )� −⋅⋅⋅DT

dxxThxd0

Se ob�ine costul mediu în unitatea de timp:

( ) ( ) ( )���

�

���

�−⋅⋅⋅+−⋅+⋅= �

DT

DDDRP dxxThxdTTHbT

T,TC0

1 (2.87)

Prin minimizarea expresiei (2.87) dup� DT , se ob�ine valoarea optim�:

dT

*D

1= (2.88)

Înlocuind expresia (2.88) în (2.87), pentru TT*D << se ob�ine:

( ) ( )dtTh

TCT,TC BRP*DDRP ⋅

−=��

��

2 (2.89)

Considerând acum perioada optim� a reînnoirilor preventive, dat� de

rela�ia (2.83) bTHThT*** =��

��−�

�

��⋅ , se poate ob�ine costul minim al

strategiei DRP utilizând rela�ia (2.89):

��

�

�

�

⋅−⋅�

�

��=�

�

���

�

⋅⋅−⋅�

�

��=

=⋅⋅

��

��

−��

��=�

�

��=

*

*D*

**

*

**

BRP*D

*DRP

*DRP

T

TTh

TdTh

Td

ThTCT,TCC

21

2

11

2 (2.90)

Trecând la analiza strategiilor neperiodice de reînnoire vom considera cea mai simpl� strategie, la care reînnoirea preventiv� este determinat� de atingerea de c�tre echipament a unei anumite vârste, x. Aceast� strategie este cunoscut� în literatur� sub denumirea ARP (Age Replacement Policy).

Datorit� caracterului neperiodic al reînnoirilor preventive, realizarea efectiv� a strategiei este mai dificil�, fapt care se exprim� printr-un cost asociat unei reînnoiri preventive de tip ARP mai mare decât cel corespunz�tor reînnoirii preventive periodice (a>b).

În vederea determin�rii vârstei echipamentului la care trebuie efectuat� reînnoirea preventiv� se pot utiliza diverse criterii:

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

46

� asigurarea unui anumit nivel de fiabilitate; � condi�ia de extrem pentru o m�rime dependent� de x; � minimizarea costului mediu al între�inerii echipamentului în

unitatea de timp.

În continuare se va utiliza criteriul de minimizare a costului mediu de între�inere. Pentru stabilirea acestui cost se neglijeaz� duratele în care se efectueaz� reînnoirea echipamentului. Costul între�inerii echipamentului în toat� durata vie�ii sale va fi egal cu unitatea dac� echipamentul se defecteaz� în intervalul ( )x,0 �i cu costul a al reînnoirii preventive dac� echipamentul nu se defecteaz� în acest interval. Rezult� costul mediu al între�inerii echipamentului F(x)+a*R(x). Împ�r�ind expresia costului mediu la durata medie de via�� a echipamentului rezult� costul mediu în unitatea de timp dat de rela�ia urm�toare:

( ) ( ) ( )

( )�

⋅+=xARP

dttR

xRaxFxC

0

(2.91)

Minimizând rela�ia (2.91), rezult� ecua�ia vârstei optime la care trebuie s� se execute reînnoirea preventiv� a echipamentului:

( ) ( )a

xRtdtRxzx

xC *x*ARP*

−=��

��+⋅�

�

���=

∂∂

� 11

00

(2.92)

Condi�ia suficient� de existen�� a valorii optime *x este ca rata de defectare s� fie cresc�toare (echipamentul s� fie caracterizat de uzur� pozitiv�). Valoarea medie minim� a costului se ob�ine înlocuind solu�ia *x a ecua�iei (2.92) în rela�ia (2.91):

( ) ��

��⋅−=�

�

��= **

ARP*ARP xzaxCC 1 (2.93)

Costul mediu minim dat de rela�ia (2.93) este o func�ie cresc�toare de costul a al unei reînnoiri preventive.

Exemplu: Se consider� acela�i echipament descris de ecua�ia (2.77):

( ) t2t ee2tR ⋅⋅−⋅− −⋅= λλ

Înlocuind indicatorii de fiabilitate ai acestui echipament în expresia (2.92) se ob�ine:

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

47

( ) ( )*

x*

**

eR

aRaRa

⋅−=

=⋅−+⋅⋅−−⋅−

λ

0313212

(2.94)

Ecua�ia (2.94) are solu�ii reale pentru orice [ ]10,a ∈ . Solu�iile sunt pozitive

pentru 31

a < �i în acest caz cea mai mic� este subunitar�, deci acceptabil�.

Ca urmare, vârsta optim� a reînnoirii preventive se ob�ine din rela�iile:

( )( )

( )( )aaaa

lnR

lnx

aaaa

R

**

*

⋅−⋅−⋅−−⋅==

−⋅⋅−⋅−⋅−

=

343212111

123432

λλ

(2.95)

Condi�ia de existen�� a strategiei optime ARP este deci 31

a < . Dac� aceast�

condi�ie este îndeplinit�, costul mediu minim rezult� conform rela�iei (2.93):

( ) ( ) ( ) ( )( )aaa

aaaaxaC **

ARP ⋅−⋅+−⋅−⋅+

−⋅⋅=⋅⋅−=342

341271 λ (2.96)

Pentru a=25% �i 14

10−−= oreλ se ob�in valorile numerice:

141065071341133

2

14552135

61

−−⋅=++⋅⋅⋅=

=−

=

ore,C

orelnx

*ARP

*

λ

λ (2.97)

Dac� nu s-ar efectua reînnoiri preventive, costul mediu de între�inere în unitatea de timp ar fi 14 ore1066,0 −−⋅ . Strategia optim� ARP este deci avantajoas� fa�� de absenta oric�rei strategii de reînnoire.

Alegerea între diferite strategii de reînnoire trebuie f�cut� prin prisma unui criteriu unitar �i având în vedere variantele optime ale diverselor strategii. Astfel, se consider� strategiile ARP, BRP �i FRP, [3]. Criteriul de compara�ie între aceste strategii este costul mediu minim al între�inerii echipamentului în unitatea de timp. Pentru a ar�ta procedeul de decizie trebuie reamintit faptul c� expresiile costurilor ARPC �i BRPC sunt func�ii cresc�toare de costul individual al reînnoirilor preventive. Exist� deci dou�

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

48

valori unice 00 b,a de la care începând, sunt adev�rate inegalit��ile urm�toare:

( )( ) 0

0

bbCbC

aaCaC

FRP*BRP

FRP*ARP

>>

>> (2.98)

Din aceste inegalit��i rezult� c� pentru 0aa > �i 0bb > trebuie adoptat� strategia FRP, pentru 0aa > �i 0bb < trebuie adoptat� strategia BRP, iar pentru 0aa < �i 0bb > trebuie adoptat� strategia ARP. R�mâne cazul

0aa < �i 0bb < când trebuie f�cut� o alegere între strategiile ARP �i BRP. Întrucât func�iile costurilor ARPC �i BRPC sunt cresc�toare, exist� o

valoare unic� ( )ab* pentru care ( )aCbC *ARP

**BRP =�

�

�� . Cunoscând func�ia

( )ab* se poate decide u�or asupra strategiei de adoptat, �inând seama de

monotonia func�iei ( )bC*BRP . Dac� *bb > se adopt� strategia ARP �i dac�

*bb < se adopt� strategia BRP. Algoritmul de alegere a strategiei optime este prezentat în figura 2.11:

Fig. 2.11. Alegerea strategiei optime de reînnoire

În literatura de specialitate mai sunt prezentate �i alte strategii utilizate în reînnoirea echipamentelor. În cadrul capitolului 6 se va prezenta o strategie evolutiv� de reînnoire care face parte din categoria strategiilor de tip CRP (Continuous Replacement Policy). Implementarea strategiei tip CRP necesit� o supraveghere continu� a echipamentului prin intermediul m�rimilor m�surate, iar determinarea momentului proximei reînnoiri preventive se face în func�ie de evolu�ia parametrilor echipamentului, determina�i prin tehnici de diagnoz�.