breviar teoreticctmbacescu.ro/wp-content/uploads/2018/06/fisa-de-lucru-u... · 2018. 6. 11. · , o...
Post on 04-Feb-2021
8 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
1
Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”
Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal” Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612 Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava
Disciplina FIŞĂ DE LUCRU
Tema/Unitatea:Permutări. Matrice. Determinanţi.
Aplicații ale determinanților în geometrie
Expert educaţie: prof. Monoranu Mihaela Doina, Colegiul Tehnic „Mihai Băcescu” Fălticeni
Breviar teoretic
Permutări
Definiţie: Fie n . O funcţie bijectivă :{1,2,..., } {1,2,..., }n n se numeşte permutare de grad n.
Notaţie: :{1,2,..., } {1,2,..., }n n şi
1 2 3 ...
1 2 3 ... ( )
n
n
(permutare de grad n).
nS este mulţimea tuturor permutărilor de n elemente.
Numărul tuturor permutărilor de grad n este !n . Produsul (compunerea) permutărilor
Definiţie: Fie , nS . Permutarea
1 2 3 ...
1 2 3 ... ( )
n
n
se
numeşte compunerea (produsul) permutărilor , nS şi se notează .
Notaţie: 2 3 2 1; ; ........ n n
Observaţie:
Nu are sens să vorbim despre produsul a două permutări de grade diferite.
( ) , nS astfel încât ( produsul permutărilor nu este operaţie comutativă)
Proprietăţile înmulţirii
1. Înmulţirea permutărilor este asociativă: , , , ,nS
2. Elementul neutru:
1 2 3 ..., .i. ,
1 2 3 ...n n
ne S e a e e S
niar
e se numeşte permutarea identică.
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
2
3. Orice permutare are inversă: 1 1 1. .n nS S a î e
Transpoziţii
Definiţie: Se numeşte transpoziţie de grad n permutarea nS cu proprietatea
,
,
(k) ,
, { , }
i j
j pentru k i
i pentru k j
k pentru k i j
Notaţie: , ,i j i j
Proprietăţi:
1. , ,i j j i
2. 1
, ,i j i j
3. 2
,i j e
4. Orice transpoziţie este o permutare impară.
5. Numărul transpoziţiilor de gradul n este egal cu 2.nC
Inversiuni, signatura (semnul) unei permutări
Definiţie: Fie , {1,2,..., },i j n . Se defineşte inversiune a permutării nS o pereche ordonată
,i j cu i j şi .j i
Numărul inversiunilor unei permutării se notează cu m şi 2 10
2n
n nm C
.
Definiţie: Număru
1m
se numeşte signatura (semnul) permutării .
Definiţie: Permutarea se numeşte permutare pară dacă 1 şi permutarea se numeşte
permutare impară dacă 1 . Observaţii:
1. Orice transpoziţie este permutare impară.
2.
1
, ( ) ni j n
i jS
i j
.
3. Dacă , nS , atunci .
4. 1 , ( ) nS şi 1e . 5. Permutarea nS este pară (respectiv impară) dacă ambele permutări şi au acelaşi semn
(respectiv semne contrare).
6. Orice permutare din nS este un produs de transpoziţii.
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
3
Matrice
Fie 1,2,...,mM şi 1,2,...,nN , m,n N*
Definiţie: O aplicaţie f: :A M N , ( , ) ijA i j a , ( ) , ( )i M j N , se numeşte matrice de tip
(m,n) cu elemente din .
Notaţie:
11 12 1
21 22 2
1 2
...........
...........
...............................
...........
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
, 11
( )ij i mj n
A a
Observaţii:
1. Matricea A are m linii şi n coloane iar ,1 ,1ija i m j n se numesc elementele matricei.
2. Dacă 1n , o matrice de tipul (m,n) se numeşte matrice coloană şi
11
12
1
.
.
m
a
a
A
a
.
3. Dacă 1m , o matrice de tipul (m,n) se numeşte matrice linie şi 11 12 1. . nA a a a .
4. Dacă m n , o matrice de tipul (m,n) se numeşte matrice pătratică de ordin n.
Notaţie:
, ( )m n mulţimea matricelor de tip (m,n) cu elemente din .
( )n mulţimea matricelor pătratice de ordin n cu elemente din .
Definiţie: Matricele 11
( )ij i mj n
A a
şi 11
( )ij i mj n
B b
se numesc matrice egale dacă ij ija b ,
( ) , ( )i M j N .
Definiţie: Fie 1 ,( ) ( )ij i j n nA a . Sistemul ordonat de elemente 11 22( , ,..., )nna a a se numeşte
diagonala principală a matricei A iar sistemul ordonat 1 2 1 1( , ,..., )n n na a a se numeşte diagonala
secundară.
Definiţie: Într-o matrice pătratică suma elementelor de pe diagonala principală se numeşte urma
matricei şi se noteză ij1
( )n
i
Tr A a
.
Operaţii cu matrice
Adunarea matricelor. Fie matricele 11
( )ij i mj n
A a
şi 11
( )ij i mj n
B b
. Matricea 11
( )ij ij i mj n
A B a b
se
numeşte suma matricelor A şi B.
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
4
Proprietăţi:
1. Adunarea matricelor este asociativă: A B C A B C , ,, , ( )m nA B C .
2. Adunarea matricelor este comutativă: A BB A , ,, ( )m nA B
3. Matricea ,m nO care are toate elementele 0 este elementul neutru al adunării matricelor:
, ,m n m nA O O A A , ,( ) ( )m nA .
4. Orice matrice este simetrizabilă în raport cu operaţia de adunare:
, ( )n mA , ,( ) ( )n mA astfel încât ,( ) ( A) m nA A A O . ( A se numeşte
matricea opusă matricei A).
Înmulţirea cu scalari a matricelor: Fie matricea 11
( )ij i mj n
A a
şi .
Matricea 11
( )ij i mj n
A a
se numeşte produsul dintre scalarul şi matricea A.
Înmulţirea matricelor: Fie matricele 11
( )ij i mj n
A a
şi 11
( )jk j nk p
B b
. Matricea
1 ,
1
( ) ( )ik i m m pk p
C A B c
unde 1
n
ik ij jk
j
c a b
se numeşte produsul matricei A cu matricea B.
Proprietăţi:
1. Înmulţirea matricelor este asociativă:
A B C A B C , , , ,( ), ( ), ( )m n n p p qA B C 2. Înmulţirea matricelor este distributivă la stânga respectiv la dreapta, faţă de adunarea
matricelor: )( C A BB CA A , , ,( ), , ( )m n n pA B C
( )C A CA B B C , , ,, ( ), ( )m n n pA B C
3. Matricea unitate de ordin n,
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
( )0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
n nI
este element neutru faţă de
înmulţirea matricelor şi are proprietatea , ( )n n nA I I A A A .
4. Înmulţirea matricelor este necomutativă: ( ) , ( ) . .nA B a i A B B A .
Transpusa unei matrice:
Definiţie: Fie 1 ,1
( ) ( )ij i m m nj n
A a
. Matricea 1 ,1
( ) ( )ji j n n mi m
a
se numeşte transpusa matricei A
şi se notează cu 1 ,1
( ) ( )t ji j n n mi m
A a
.
Matricea transpusă se obţine din matricea A prin schimbarea liniilor în coloane şi a coloanelor în linii.
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
5
Proprietăţi:
1. ,( ) , ( ) ( )t t
m nA A A
2. ,( ) , ( ) , ( )t t t
m nA B A B A B
3. , ,( ) , ( ) ( ), ( )t t t
m n n pA B B A A B
Ridicarea la putere a matricelor pătratice
Definiţie: Fie ( ),n nA A O . Matricea ...k ori
A A A A
se numeşte puterea k a matricei A şi se
notează ... ,k
k ori
A A A A A
k iar 0
nA I .
Determinanţi
Definiţie: Fie ( )nA . Numărul 1 (1) 2 (2) ( )det( ) ( )n
n n
S
A a a a
se numeşte determinantul
matricei A sau determinant de ordin n.
Observaţii:
1. Un determinant de ordin n este determinantul unei matrice pătratice de ordin n.
2. Determinantul de ordin 2: 11 12
11 22 12 21
21 22
a aa a a a
a a .
3. Determinantul de ordin 3:
11 12 13
21 22 23 11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
Teorema lui Hamilton – Cayley: Dacă 2( )A atunci
2
2 2(A) det(A)A Tr A I O
Proprietăţile determinanţilor:
1. Determinantul unei matrici este egal cu determinantul matricei transpuse. 2. Dacă toate elementele unei linii (sau ale unei coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci
determinantul matricei este nul.
3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantul matricei iniţiale.
4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice sau proporţionale atunci determinantul său este nul.
5. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un număr
obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu înmulţit cu determinantul matricei
iniţiale.
6. Fie 1 ,( ) ( )ij i j n nA a o matrice pătratică de ordinul n. Dacă toate elementele liniei i sunt
de forma ' '' , ( ) 1,ij ij ija a a j n şi
'A ( respectiv ''A ) este matricea care se obţine din A
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
6
înlocuind elementele de pe linia i cu elementele '
ija ( respectiv ''
ija ), ( ) 1,j n atunci
' ''det( ) det( ) det( )A A A .
7. Dacă o linie (sau o colană) a unei matrice pătratică este o combinaţie liniară de celelalte linii (sau coloane) atunci determinantul matricei este zero.
8. Dacă la o linie (sau o colană) a unei matrice adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea
iniţială.
9. Determinantul produsului a două matrice este egal cu produsul determinanţilor celor două
matrice: det( ) det( ) det(B)AB A , ( ) , ( )nA B .
10. Dacă ( )nA atunci det( ) (det( ))n nA A .
11. Dacă ( )nA şi atunci det( ) det( )nA A .
Definiţie: Fie d un determinant de ordin n. Determinantul de ordin 1n care se obţine din d prin
suprimarea liniei i şi coloanei j se numeşte minorul elementului ija şi se notează cu ijd .
Definiţie: Numărul ( 1)i j
ijd se numeşte complementul algebric al elementului ija şi se notează cu
ij .
Dezvoltarea determinantului după linia i sau după coloana j
Dacă d un determinant de ordin n, atunci dezvoltarea determinantului după linia i este:
1 1 2 2 ... , 1i i i i in ind a a a i n
Dacă d un determinant de ordin n, atunci dezvoltarea determinantului după coloana j este:
1 1 2 2 ... , 1j j j j nj njd a a a j n
Aplicații ale determinanților în geometrie Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte
1. Ecuaţia dreptei determinată de punctele 1 1 2 2, , ,A x y B x y este 1 12 2
1
: 1 0
1
x y
AB x y
x y
,
Observaţie: Un punct ,M x y aparţine unei drepte dacă
' '
1 1
2 2
1
1 0
1
x y
x y
x y
.
2. Condiţia de coliniaritate a punctelor 1 1 2 2 3 3, , , , ( , )A x y B x y C x y este 1 1
2 2
3 3
1
1 0
1
x y
x y
x y
.
3. Distanţa de la punctul 0 0 0,M x y la dreapta : 0h ax by c este 0 0
02 2
,ax by c
d M ha b
.
4. Aria suprafeţei triunghiulare ABC , unde 1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y , este
1
2ABC
A , unde
1 1
2 2
3 3
1
1
1
x y
x y
x y
.
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
7
Exemple de itemi de tip examen de bacalaureat
1. Fie permutarea 4S ,
1243
4321 .
a) Calculați 4 ;
b) Determinaţi numărul elementelor mulţimii *N nA n ; c) Rezolvaţi ecuaţia ex 2013 ; d) Determinaţi semnul permutării ;
e) Rezolvaţi ecuaţia 4x .
2. Se consideră permutarea 5
1 2 3 4 5
4 1 5 3 2S
şi mulţimea *nA n N
a) Să se calculeze permutarea inversă 1 .
b) Să se găsească numărul elementelor mulţimii A .
c) Să se arate că orice permutare din A este pară.
3. Fie nA mulţimea permutărilor pare ale unei mulţimi cu n elemente. Să se determine n, ştiind că nA are
cardinalul !54
)!2(
n.
4. Se consideră permutarea 5
1 2 3 4 5
3 1 5 4 2S
.
a) Să se calculeze signatura permutării .
b) Să se calculeze 2014 .
c) Să se rezolve ecuaţia 1 2 3 4 5
4 5 2 3 1x
.
5. Fie permutarea 5
1 2 3 4 5
1 3 4 5 2S
.
a) Determinaţi inversiunile permutării .
b) Determinaţi numărul de elemente ale mulţimii k k
c) Fie 2,3, 4,5i şi transpoziţia (1, ).i Arătaţi că
6. Se consideră permutările 1 23
231
şi 3123
321S
.
a) Calculaţi 2 .
b) Arătaţi că mulţimea *n n N are 3 elemente.
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
8
c) Fie ,n m astfel încât n m . Arătaţi că 6 divide nm .
7. Se consideră matricele
11
21,
32
43BA şi .
10
012
I
a) Să se calculeze matricea 2B , unde .2 BBB
b) Să se verifice că .32
431
A
c) Să se arate că ,6 244 IC unde 12 ABC .
8. Se consideră matricele
3
2
1
,
3
2
1
YX şi
100
010
001
3I . Definim matricea tYXA unde
tY este transpusa matricei Y.
a) Să se arate că matricea
963
642
321
A .
b) Să se calculeze determinantul matricei A.
9. Se consideră matricea ).(31
622 RMA
Se notează
denori
n AAA ... , .*Nn
a) Să se calculeze determinantul matricei A.
b) Să se arate că .232 OAA
c) Să se calculeze suma .10...2 102 AAA
10. Se consideră matricele
a
aAyxX
1
9, cu Ryxa ,, şi 00B .
a) Să se arate că dacă BAX , atunci .092 xa b) Să se determine valorile reale ale numărului a pentru care determinantul matricei A este nenul.
11. Se consideră matricea ).(10
052 RMA
a) Să se calculeze ,2 AA unde .2 AAA .
b) Ştiind că ,10
05
n
nA ,Nn 2n şi denori
n AAA ... , să se rezolve ecuaţia
.12552)det( nnA
c) Să se determine matricea .... 20082 AAAB
12. Se consideră matricele
12
24,
42
21BA şi
10
012I în ).(2 RM
a) Să se verifice că .BAAB
b) Să se calculeze ,22 BA unde .2 AAA şi .2 BBB
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
9
c) Să se arate că ,5 244 IC unde BAC .
13. Se consideră mulţimea .1,, 2
aZba
bab
bbaAG
a) Să se verifice dacă matricele
10
012I şi respectiv
00
002O aparţin mulţimii G.
b) Să se determine matricea )(2 ZMB astfel încât ,2 bBaIbab
bba
., Zba
14. Se consideră matricele ,
000
300
430
,
300
130
113
BA
100
010
001
3I şi funcţia
)()(: 33 RMRMf , ,3)( 32 IXXXf unde .2 XXX
a) Să se calculeze .det 3 BI b) Să se demonstreze că .)( 3 BIAf
c) Să se arate că 233
33)( BBIAf , unde ).()()()( 3 AfAfAfAf
15. Fie matricea ,
2
2
111
)(2
2
kk
kk
xx
xxkA cu 2,1,0k , 10 x şi 21, xx sunt soluţiile ecuaţiei
.022 xx a) Să se calculeze determinatul matricei A(0).
b) Să se determine matricea ).2()1( AA
c) Să se calculeze suma elementelor matricei A(k) pentru fiecare 2,1,0k .
16. Se consideră matricele
00
002O ,
10
012I şi
baA
10, unde ., Zba
a) Să se calculeze ,2A unde .2 AAA .
b) Să se verifice că ,22 bAaIA unde .2 AAA .
c) Ştiind că )(2 ZMX cu ,XAAX să se arate că există Znm , astfel încât .2 nAmIX
17. Se consideră matricele
11
11,
11
11BA şi
00
002O .
a) Să se calculeze ,2A unde .2 AAA .
b) Să se verifice că .2 2OBAB
c) Să se determine matricele )(2 RMX care verifică egalitatea .2OAXB
18. În mulţimea 2( )M notăm cu
tA transpusa matricei A.
a) Să se calculeze ,22tII unde
10
012I .
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
10
b) Să se demonstreze că pentru )(2 RMA şi Rm are loc relaţia .tt mAmA
c) Să se determine matricele )(2 RMA pentru care ,2OAAt unde
00
002O .
19. Se consideră mulţimea .2
2
Ra
aa
aaaAM Pentru MA se notează
denori
n AAA ... ,
unde .*Nn
a) Să se arate că ,2 aaAaA .Ra b) Să se arate că dacă ,, MYX atunci .MXY
c) Să se determine Ra astfel încât .232 aAaAaA
20. Se consideră mulţimea
Rba
bab
babaAM ,, şi matricea
10
012I .
a) Să se calculeze determinantul matricei 1,1 .A
b) Să se demonstreze că dacă ,, MBA atunci .MBA
c) Să se arate că ,0,0det 2 bAI .Rb
21. Se consideră matricele
11
11A şi
10
012I .
a) Să se verifice că ,2, 22 IA unde .2 AAA .
b) Să se determine Rx astfel încât 0det 2 xIA . c) Să se rezolve în )(2 RM ecuaţia XAAX .
22. Se consideră matricele
00
002O ,
dc
baA din )(2 RM şi
tA transpusa matricei A.
a) Ştiind că 4ad şi 3bc , să se calculeze Adet . b) Să se calculeze .tAA
c) Să se demonstreze că dacă suma elementelor matriceitAA este egală cu 0, atunci 0det A .
23. Se consideră matricele
100
010
001
3I şi
100
110
111
X din )(3 RM . Se notează
denori
n XXXX ... pentru *Nn .
a. Să se calculeze 2X .
b. Să se determine inversa matricei X.
c. Să se determine numărul real r astfel încât 323 3 IrXXX .
24. Se consideră matricea
a
a
aH
00
010
0ln1
)( , unde a >0.
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
11
a. Să se calculeze )(det aH , 0a . b. Să se arate că )()()( baHbHaH , 0, ba .
c. Să se calculeze determinantul matricei )2012(...)3()2()1( HHHH .
25. În )(2 RM se consideră matricele
xx
xxxA
4110
251)( , Rx .
a) Să se calculeze )1()1( AA .
b) Să se verifice dacă ,11 22 xAxA Rx . .
26. În )( 83 ZM se consideră matricele
5̂0̂0̂
0̂3̂0̂
0̂0̂1̂
A ,
5̂7̂3̂
0̂3̂2̂
0̂0̂1̂
B
1̂0̂0̂
0̂1̂0̂
0̂0̂1̂
3I .
Se notează XXX 2 , pentru 83 ZMX .
a) Să se arate că 32 IA .
b) Să se rezolve ecuaţia matriceală 3IXA , unde 83 ZMX .
c) Să se calculeze 2AB .
27. Se consideră matricea A =
1
12
, unde
1 3
2
i
. Calculaţi A 2 +A 3 +…+ nA
28. Se consideră matricea A =
cossin
sincos. Să se calculeze:
a) ,nA n .
b)
31
1312
.
29. Se consideră determinatul
axa
bxa
abx
xbaD
1
1
1
,, , unde a, b şi x sunt numere reale.
a) Să se calculeze 0,1,1D . b) Să se demonstreze că xaaD ,, nu depinde de numărul real x. c) Să se rezolve ecuaţia 0,, xbaD , unde a, b sunt numere reale distincte.
30. a) Să se calculeze determinantul 120121
112012
.
b)Să se calculeze determinantul 12
21
xx
xx
, ştiind că 1x şi 2x sunt soluțiile ecuaţiei
0242 xx .
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
12
31. Se consideră determinatul
acb
bac
cba
d , unde a, b, Rc .
a) Să se calculeze determinantul d pentru 2, 1, 1a b c .
b) Să se verifice dacă ,2
1 222accbbacbad Rcba ,, .
c) Să se rezolve în R ecuaţia .0
253
325
532
xxx
xxx
xxx
32. Se consideră determinatul ,
213
132
321
xxx
xxx
xxx
d unde 1x , 2x , Rx 3 sunt soluţiile ecuaţiei
0233 xx .
a) Să se calculeze .321 xxx
b) Să se arate că 6333
2
3
1 xxx .
c) Să se calculeze valoarea determinantului d.
33. Se consideră determinatul 21
931
111
)(
aa
aD unde a este număr real.
a) Să se calculeze valoarea determinantului ).9(D
b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia .0)( aD
c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia .0)3( xD
34. Se consideră determinatul
acb
bac
cba
cu Rcba ,, .
a) Ştiind că ,1a 0b şi ,1c să se calculeze determinantul .
b) Să se arate că ,222 bcacabcbacba .,, Rcba
c) Să se rezolve ecuaţia ,0
211
121
112
x
x
x
Rx .
35. Se consideră determinatul
11
11
11
)(
a
a
a
aD unde a este număr real.
a) Să se calculeze determinantul pentru 1a a = -1.
b) Să se demonstreze că ,21)( 2 aaaD pentru orice a număr real.
-
INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA
Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -
Învățământ Preuniversitar
13
c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4)( aD .
36. a) Fie punctele 1,2 , 1,3 , 0,4A B C . Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A al triunghiului ABC.
b) Se consideră punctele 1, 2A şi 3, 4B . Să se calculeze distanţa de la originea axelor de coordonate la dreapta AB.
c)Se consideră dreptele paralele de ecuaţii 1 : 2 6d x y şi 2 : 2 4 11d x y . Să se calculeze distanţa dintre cele două drepte.
37. a) Laturile AB, BC şi AC ale triunghiului ABC sunt date prin ecuaţiile:
21 22 0, 5 12 7 0, 4 33 146 0x y x y x y .
Să se calculeze distanţa de la centrul de greutate al triunghiului la latura BC.
b) Determinaţi parametrul real astfel încât punctele 1, 5 , 4 , , 2, 3A B C să fie coliniare.
c) Se consideră punctele 2 , 1 , 1,0 , 1,2A m m B C . Să se determine parametrul real m
astfel încât 1
2ABC
A .
38. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1 , 1, 2A B şi ,nC n n cu Zn .
a) Să se scrie ecuaţia dreptei 24CC .
b) Să se arate că *Zn punctele O, ,nC 1nC sunt coliniare.
c) Să se calculeze aria triunghiului 3ABC .
39. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 7, 4 ,A ,B a a şi 3, 2C unde a . a) Pentru a = 0 să se calculeze aria triunghiului ABC. b) Pentru a = - 2 să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele B şi C.
c) Să se determine a pentru care orice punct , 2M x cu Rx este coliniar cu punctele B şi C.
40. În reperul cartezian xOy se consideră dreptele 042: yxAB şi 023: yxBC .
a) Să se determine coordonatele punctului B.
b) Pentru 4,0 , 0,2 , 1, 1A B C să se scrie ecuaţia medianei triunghiului ABC,duse din vârful C.
c) Pentru 4,0 , 0,2 , 1, 1A B C să se calculeze aria triunghiului ABC.
41. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2 31
log , log 92
n
n
nA
şi , 2 ,nB n n .*Nn
a) Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele 1B şi .2B
b) Să se arate că ,nn BA *Nn .
c) Să se demonstreze că pentru *Nn punctul nA aparţine dreptei .21AA
top related