barem culegere evaluare nationala 2012
Post on 23-Jun-2015
9.538 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1 Prof Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 02012=0, 20120=1,mai mic este numărul 0 5p
2. Resturile ce se pot obţine la împărţirea cu 6 sunt 0, 1, 2, 3, 4,5.Suma lor este 15
5p
3. Amplificăm raportul cu 25 şi se obţine 75100
, ceea ce înseamnă 75% 5p
4. 900- 39045’=50015’ 5p
5. Vcub=l3=125, l=5, d=5 3 5p
6. Dacă notăm cu x numărul total de persoane ce participă la sondaj, atunci
10228100
x= ⋅ , x=2280; 25% din 2280 înseamnă 570 de persoane ce răspund
cu „Nu”
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Patrulaterul ortodiagonal este patrulaterul ce are diagonalele perpendiculare 5p
2. 42-13=29 cărţi se găsesc pe raftul al doilea, 29+5=34 cărţi pe raftul al treilea, 42+29+34=105 cărţi în total
2p
3p
3. Notăm cu „a” numărul răspunsurilor corecte şi cu „b” numărul răspunsurilor greşite.Din textul problemei rezultă relaţiile: a+b=30 şi 5a-3b=110. Inmulţind prima relaţie cu 3 şi adunând-o cu a doua, se obţine a=25 răspunsuri corecte
2p
3p
4. a) f(x) = 3x-3. Se aleg de exemplu punctele de intersecţie cu axele de coordonate A(0, -3) şi B(1,0)
şi se reprezintă într-un sistem de axe, dreapta AB
2p
3p
b) Pentru a determina punctul de coordonate egale, situat pe graficul funcţiei,
rezolvăm ecuaţia f(x) =x; se obţine 32
x = deci punctul va fi M( 32
, 32
)
2p
3p
www.mate
info.r
o
1
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5
{ }
2 2
2 2
11 30 6 5 1112 35 7 5 35
( 6)( 5) 6 , ( ) 7( 7)( 5) 7
x x x x xx x x x xx x x xx x x
+ + + + += =
+ + + + ++ + +
= ∀ ∈ − −+ + +
2p
3p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) l=240 mm=24 cm; h=0,1 dm =1 cm;
Vcutie= 48∙ 24 ∙ 1 = 1152cm3
3p
2p
b) O duzină are 12 cutii de chibrite;
Vcub=12∙Vcutie=22∙ 3 ∙ 24∙ 3 ∙ 3 ∙ 23=29∙ P33= (23∙ 3P)3→ Platura cubului va fi egală cu23∙ 3P=24 cm
2p
3p
c) Aria totală a unei duzini este 6l2=6∙242=3456 cm2
Dacă pentru ambalarea unei duzini sunt necesari 3456 cm2 hărtie atunci pentru 125 duzini vor fi necesari 125∙3456 cm2=432000cm2=43,20 m2
2p
3p
2. a) 21+15+9+9+11+5=70 stâlpi 5p
b) AABEF=372 m2, ABCDE=432 m2,Atotală=804 m2;
43280410
5 , 30
3 7pp= → =⋅
2p
3p
c) BE= 6 13 6 3,5≅ ⋅ =21m,
BE=28 410−⋅ t⋅ , t=15000s
2p
3p
www.mate
info.r
o
2
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2 Prof. Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -2 5p
2. Fals;dacă ultima cifră a unui număr este 2, acesta nu poate fi pătrat perfect 5p
3. (68, 88)=4 5p
4. P=4l=36, l=9 5p
5. V=
3 27 2 9 21
212 2 4
l= =
5p
6. Din cele 100 pătrăţele ale figurii sunt colorate 52; p%100=52; p=52 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se desenează un cub cu muchia de 4 cm 5p
2. Notăm cu „m” preţul unei mese şi cu „s” preţul unui scaun.
3m+12s=576; m=4s; s=24 lei, m=96 lei
2p
3p
3. 7a+5b+3c=
(a+b+3c)+(3a+2b)=108+132=240
2p
3p
4. a) f(2)=1→a+b+2=1→a+b=-1
g(2)=1→3b-a=1. Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii şi se obţine a=-1 şi b=0→f(x)=-x+3 şi g(x)=1
1p
2p
2p
b) Se obţine după reprezentarea într-un acelaşi sistem de axe, un trapez
dreptunghic cu bazele 2 şi 3 , înălţimea 1→A 52
=
2p
3p
www.mate
info.r
o
3
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 2 2
2 2
2 2 2 2
3) ( 3)3) (2 3)
( 3 3)( 3 3) 6 2 64 12 9 4 12 9 8 18 4 9
((2
aa
a a a a a aa a a a a
a
a
a+ − −
=+ + −+ − + + + − ⋅
= =+ + + − + + +
2p
3p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) At= 2∙ (𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 + 𝐿𝐿 ∙ ℎ + 𝑙𝑙 ∙ ℎ)=35100 cm2 5p
b) V=𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 ∙ ℎ =450 dm3=450 l 5p
c) preţ total= 6 ∙ 3,51 ∙ 25 = 526,5 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 5p
2. a) 72=(x+7)(x+1)→x=5→ AB=12 cm şi AD=6 cm 5p
b) AABC = 12
AABCD=36, EC mediană în triunghiul ABC→AAEC=18 5p
c) DF este bisecroarea unghiului ADC; aplicănd teorema bisectoarei în
triunghiul ADC→ 12
AF AD AFCF DC FC
= → = , AC 6 5 2 5AF= → =
5p
www.mate
info.r
o
4
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3 Prof. Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -24+4= -20 5p
2. 123, 153, 183 5p
3 {0,1,2,3,4} 5p
4. 0 0 0( ) (180 24 ) : 2 78m B = − = 5p
5. b=6, B=20, linia mijlocie va fi egală cu 13 5p
6. P 32 8100 25
= = 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se va desena un paralelipiped dreptunghic respectând dimensiunile date 5p
2. f(x) =ax+b, f(1) =2, f(-2) =1→a+b=2 şi -2a+b=1→ a 13
= şi b 53
= 5p
3. Dacă 2
3xy= , atunci x =2k,y=3k→ 14
177
7 yx
x=
+
5p
4. a) 107: 3=35 rest 2, 107:4=16 rest 3, deci în sac pot fi 107 jucării 5p
b) x=3c1+2, x=4c2+3, x+1=12k, 300<12k-1<350, x+1∈{312,324,336,348}
x∈{311, 323, 335,347}
5p
5 22
2
12 4 (3 2) 4 5 3 26 (4 5)(4 5) 3(3
9 4 516 5 2)2 4 59
x x x xx x x
xx x
xx−
⋅−
+ + + − += ⋅ =
+ − + + +
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) d2=L2+l2+h2→h=30 cm 5p
www.mate
info.r
o
5
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) CS ( ), ; , ( )ESU SD EU EU ES ESU⊥ ⊥ ⊂ →
CD EU⊥ (teorema celor trei perpendiculare); EU=50 cm, SD=24 cm, CD= 2 481
5p
c) Vapă=50∙ 40 ∙hapă, hapă=7,5 cm
5p
2. a) ABCD trapez isoscel ortodiagonal→h=(b+B):2→CD=20 m
AABCD=10000 m2=100 ari
5p
b) ABMC=4000 m2=40% AABCD 5p
c) PAMCD=220 +60 5 m
(220 +60 5 ) ⋅12,5≅ 4427 lei
5p
www.mate
info.r
o
6
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4 Prof. Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. x= -9 5p
2. 5 zile 5p
3. 160 lei 5p
4. 4 cm 5p
5. 600 5p
6. 6 elevi 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se va desena o prismă hexagonală regulată ce va fi notată ABCDEFA’B’C’D’E’F’
5p
2. Prin cardinalul unei mulţimi înţelegem numărul de elemente al acelei mulţimi.
Numerele raţionale din mulţimea A sunt -12; 3; 2,94; 0; 12
şi 42
.
Cardinalul mulţimii A∩ este 6.
1p
3
1
3. Dacă fiecare elev ar cunoaşte o singură limbă străină, atunci în clasă ar fi 35 de elevi.
Diferenţa 35-25=10 reprezintă numărul elevilor ce cunosc ambele limbi
2p
3p
4. a) A(1,4) fG∈ ⇔ f(1) =4, B(-2,2) fG∈ ⇔ f(-2) =2,
după înlocuire se obţin relaţiile a+b=-4, -2a+b=2
se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii→a=-2, b=-2
1p
2p
2p
b) Se reprezintă într-un sistem de axe, de exemplu, punctele A(1,4) şi B(-2,2). 4p
www.mate
info.r
o
7
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Dreapta AB reprezintă graficul funcţiei 1p
5 2 2
2 2
6 5 5 5 ( 5)( 1) 12 15 5 3 15 ( 5)( 3) 3
x x x x x x x xx x x x x x x x
+ + + + + + + += = =
+ − + − − + − −
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) CDAM este un trapez dreptunghic cu bazele AM=x, CD=9m şi înălţimea AD=8m.
Aria unui trapez se calculează cu formula A= ( )2
B b h+ ⋅
Înlocuind se obţine ADAMC= 4x+ 36
2p
1
2
b) Aria triunghiului MBC poate fi calculată cu formula 2
b h⋅ ,
înălţimea din C a triunghiului coincide cu înălţimea trapezului, deci are lungimea 8 m şi baza este MB=15-x
înlocuind se obţine AMBC = 4(15-x)
1p
2p
2p
c) Fie MN⊥CD; CN=9-x=9-3=6m, MN=AD=8m
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul MNC se obţine CM= 10
3p
2p
2. a) Al=2(Lh+lh)=1600 m2 5p
b) Suprafaţa vopsită este egală cu 2A l=3200 m2
3200 ⋅0,025=80 kg
2p
3p
c) 80 ⋅40=3200 lei ar costa vopseaua necesară
20% din 3200=640 lei reducere
3200-640=2560 lei a costat vopseaua
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
8
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5 Prof. Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 17 5p
2. 24 5p
3. 711
5p
4. 1420 5p
5. 27 cm3 5p
6. -30 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se desenează tetraedrul CORP 5p
2. Numărul fetelor este 2 ⋅9=18 fete
Numărul eelevilor este 9+18=27 elevi
2p
3p
3. n= 763 7 3 147 2 7 3 7 7 3 7 3 2 7 7 0
7− + − − = − + − − =
5p
4.
a)
32 62 4
3 272 4
4,5
x x
x
x
− = − − ⇒
− = − ⇒
=
2p
2p
1p
b)
2 4 2
12 242
24 16, 82
x y yx
x y x y
y y y x
= ⇒ =
+= ⇒ + =
+ = ⇒ = =
1p
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
9
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
16 8 8 2z xy= = ⋅ =
5 (x+3)3- 25(x+3)= (x+3)(x+3-5)(x+3+5)= (x+3)(x-2)(x+8) 5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) A-B-C-D-E-F 22 km 5p
b) d=v ⋅ t⇒ t= dv
distanţa AC=11 Km⇒ t= 16
h= 16⋅60=10 minute
distanţa CE=7 km⇒ t= 112
h= 112
⋅60=5 minute
distanţa AE va fi parcursă în 15 minute
2p
1p
1p
1p
c) 12800:500=25,6
deci sunt necesare 26 de drumuri
4p
1p
2. a) At=6l2=216 dm2=2,16
216 dm2=2,16 m2
deci sunt suficinţi 3 m2
2p
2p
1p
b) 2,16m2 ⋅3= 6,48 lei 5p
c) V=216 cm3=0,216 dm3<1 dm3 Deci nu încape 1l de suc. 5p
www.mate
info.r
o
10
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6 Prof. Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 8 5p
2. 29
−
5p
3. -2,-1,0,1,2,3 5p
4. 2
1x
x +
5p
5. 36 2 5p
6. 3 feţe laterale şi două baze 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. desen 5p
2. a+b=15,
a=4b,
Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţi ⇒ a=12, b=3
1p
1p
3p
3. 1 3 3 1
1 3 1 3
1 3 1 3 3 1 1 3 2 3
− = −
+ = +
− + + = − + + =
Rezultatul este număr iraţional
1p
1p
2p
1p
4. a)preţul după prima scumpire este de 300+20%300= 360 lei;
preţul după a doua scumpire este de 360+ 10%360=396 lei
2p
3p
www.mate
info.r
o
11
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) 300+30%300=390 lei 5p
5 256= (a-b)2=a2+b2-2ab;
256=706-2ab
2ab=450
ab=225
2p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ADCE=paralelogram; AD⊥DE, ADCE⇒CE⊥DE⇒ DCE dreptunghic⇒DE=5 3
tg (DAB)= 3 ⇒m(∢DAB)=600
3p
2p
b) EC=EB=5 cm,
m(∢CBE) =600,deci triunghiul BEC este echilateral
2p
3p
c) Aria trapezului ABCD este 125 3
4cm2
Aria colii de hârtie este de 600 cm2>125 34
Deci poate fi decupat
2p
2p
1p
2. a) V=L ⋅ l ⋅h:2=4950 cm3 5p
b) V1=22 ⋅15 ⋅20=6600 cm3
Vpiatră=6600-4950=1650 cm3
3p
2p
c) Asticla=At-Ab= 2550 cm2 5p
www.mate
info.r
o
12
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7 Prof. Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 7,(3) 5p
2. 12 5p
3. 92,5g 5p
4. 300 5p
5. 9 3 5p
6. 6,65 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Inecuaţia este echivalentă cu 6x+2-10<4x+1 ⇒ 6x-4x<1+10-2 ⇒ 2x<9
x este număr natural ⇒ x ∈ {0,1,2,3,4}
4p
1
2. Fie a preţul unui kg de banane şi b preţul unui kg de portocale
14a+8b=86
22a+24b=158
Rezolvând sistemul format din cele două ecuaţii obţinem că 1 kg de banane costa 5 lei, un kg de portocale 2 lei,
deci, 3kg banane şi 1 kg de portocale costă 17 lei
1p
1p
1p
1p
1p
3. Raţionalizăm fiecare din termenii sumei cu expresiile conjugate
Se obţine 121 1− =10
4p
1p
4. a)2 x+1∈{± 1, ± 2, ± 3, ± 6}⇒2x∈{-2,-3,-4,-7,0,1,2,5}⇒x ∈{-1,-2,0,1}⇒A={0,1}
ecuaţia (2x+ 3 )(2-x 3 )=1 are soluţia x=1
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
13
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
A∩B={1}
b) -2 5p
5 (x+1)2+(y+3)2=0
x= -1, y= - 3
3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ADMN= AABCD – ADCM - AADN –AMNB =
=600-150-10(30-x)-5x= 150+5x
2p
3p
b)150+5x=200⇒5x=50⇒x=10 aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ADN şi obţinem DN = 20 2
2p
3P
c) Se verifică cu reciproca teoremei lui Pitagora ca triunghiul DMN este un triunghi dreptunghic în N
5p
2. a) V=L ⋅ l ⋅h=240000 cm3 5p
b) Dreptele D’B şi AD sunt necoplanare, ADBC, D’B∩BC={B}⇒unghiul dintre cele două drepte este unghiul D’BC. Triunghiul D’BC este dreptunghic în C; D’B=50 5
cos D’BC=√55 ⋅
2p
2p
1p
c)At=2(l ⋅L+L ⋅h+l ⋅h)=
= 23600 cm2
1p
4p
www.mate
info.r
o
14
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta8 Prof. Andrei Lenuţa
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 102 5p
2. 0 5p
3. 770 5p
4. 25 5p
5. 13 5p
6. 30 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează tetraedrul regulat Notează tetraedrul regulat MNPQ
4p 1p
2. 10a-16b=a-b+9a-15b =17+3(3a-5b) =17+3·23=86
2p 2p 1p
3. Notăm cu x numărul de probleme rezolvate în prima zi de Andrei ⇒ x+x+5+x+10+x+15= 110 4x+30=110 ⇒4x = 80⇒x = 20 (probleme a rezolvat Andrei în prima zi) In nicio zi numarul problemelor rezolvate nu este prim.
2p 2p 1p
4. a) ( ) ( )0 3 0 3 3 0, 3f A= ⋅ − = − ⇒ −
( ) ( )1 3 1 3 0 1,0f B= ⋅ − = ⇒ Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în sistemul de axe xOy Trasarea graficului funcţiei f
1p 1p 2p 1p
b) ( ) ( ), fA x y G f x y∈ ⇔ =
( ) 3 3x y f x y x x= ⇒ = ⇒ − = 32 32
x x= ⇒ = ⇒3 3,2 2
A
1p 2p 2p
5 22
2
1 1 2x xx x
+ = + −
2 22
1 7 2xx
+ = − =47
3p 2p
www.mate
info.r
o
15
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
( )( )
,10
,
DM AB M ABAM NB
CN AB N AB
⊥ ∈ ⇒ = =⊥ ∈
m
În ADM∆ ( ) 090m M = şi ( ) 045m A = ADM⇒∆ dreptunghic şi isoscel 10AM MD⇒ = = m
( ) 29002ABCD
AB CD DMA m
+ ⋅= =
2p 1p 2p
b) 2500
2ABCAB CNA m∆
⋅= =
5p
c) 2 180 20 2ABCDP AB DC AD= + + = +
2 360 40 2 416,4ABCDP m= + ≈
3p 2p
2. a) ( )
.0 2 2 2, 90 10000 6400 16400
T PABC m B AC AB BC∆ = ⇒ = + = + =
⇒ 16400 20 41AC = = cm
( ).
0 2 2 2, 90T P
ACA m A AA A C AC′ ′ ′∆ = ⇒ = − 20000 16400 3600= − = 60AA′⇒ = cm
2p 3p
b)Fie ( ) ( ), ,DM D B M D B d D D B DM⊥ ′ ∈ ′ ⇒ ′ = DD BDDM
D B′ ⋅
=′
60 20 41 12 41 6 82100 2 2⋅
= = = cm
1p 2p 2p
c) 340 40000l cm= Fie x înălţimea la care se ridică apa⇒ ABCDV A x= ⋅
340000 8000 40000 :80005
cm x xx cm
= ⋅ ⇒ ==
1p 1p 2p 1p
www.mate
info.r
o
16
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta9 Prof. Andrei Lenuţa
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 42 5p
2. (-∞;1] 5p
3. 4 5p
4. 192 5p
5. 26 5p
6. 6 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma triunghiulară regulată Notează prisma triunghiulară regulată
4p 1p
2. Fie x suma pe care o are Nicoleta 3 27 287
3xx⇒ + + =
10 1027 287 2603 3x x
⇒ + = ⇒ =
3260 7810
x⇒ = ⋅ =
2p 2p 1p
3. 1 a ba ba b−
=−+
2 1 3 2 2012 2011...2 1 3 2 2012 2011
E − − −= + + +
− − −
1 2012E = − +
1p
3p
1p
4. a) ( ) ( )0 3 0 2 2 0, 2f A= ⋅ − = − ⇒ −
( ) ( )1 3 1 2 1 1,1f B= ⋅ − = ⇒ Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în
1p 1p 2p
www.mate
info.r
o
17
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
sistemul de axe xOy Trasarea graficului funcţiei f
1p
b) Aflăm punctul de intersecţie al graficului funcţiei f cu axa Oy ( )0, 2A⇒ − Aflăm punctul de pe graficului funcţiei f care are ordonata egală cu 1
( )1,1B⇒ MAB∆ este dreptunghic, deci distanţa de la M la graficul funcţiei f este
înălţimea corespunzătoare ipotenuzei, ( ),MC AB C AB⊥ ∈
( ), fd M G MC⇒ = Aplicăm teorema lui Pitagora în MAB∆ pentru a afla lungimea lui AB 2 2 2 2 23 1 10 10AB MA MB AB⇒ = + = + = ⇒ =
MB MAMCAB⋅
= 3 1 3 101010
MC ⋅⇒ = =
1p 1p 1p 1p 1p
5 2 24 4 9 6 5x x y y− + + + = 2 24 4 1 9 6 1 3x x y y− + + + + +
( )224 4 1 2 1x x x− + = −
( )229 6 1 3 1y y y+ + = +
( ) ( )2 22 1 0, 3 1 0x y− ≥ + ≥ 2 24 4 9 6 5x x y y− + + + >0
1p 1p 1p 1p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Notăm VABCD piramida, O centrul bazei ABCD, M mijlocul laturii BC
În ( )( )0 2 2 290VOM m O VO VM OM∆ = ⇒ = −
OM apotema bazei 4OM⇒ = m
2 2 25 4 9 3VO VO= − = ⇒ = m
1p
2p
1p
1p
b) 2, ,
2b p
t l b l b
p aA A A A A l
⋅= + = =
24 8 5 802lA m⋅ ⋅
= = 2 2 2 264 80 64 144b tA m A m m m= ⇒ = + =
2 2 28 144 8 1 1160m m m⋅ + ⋅ =
1p 2p 1p 1p
c)
3bA hV ⋅
=
364 3 643
V m⋅= =
1p 3p
www.mate
info.r
o
18
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
64:3=21,(3), deci pot sta 21 de personae în cort. 1p
2. a)Fie ABCD trapezul dreptunghic, AB=10m,CD=8m, ( ) 060m B = , CM ⊥AB ⇒MB=2m ⇒BC=4 m În ( ) 0 2 2 2, 90CMB m M CM BC MB∆ = ⇒ = − 2 2 24 2 12CM⇒ = − =
2 3CM⇒ =
( )10 4 8 2 3 2 11 3ABCDP AB BC CD AD m m m m m= + + + = + + + = +
1p 1p 2p 1p
b) ( )
2ABCD
AB CD CMA
+ ⋅=
( ) 210 8 2 318 3
2m
+ ⋅= = 232m≈
2p
3p
c)32·17,50=580 lei<590 lei, deci sunt suficienţi 5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta10 Prof. Andrei Lenuţa
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -3 5p
2. 9 5p
3. 5 5p
4. 44 5p
5. 6 5p
6. 169 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
19
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. Desenează paralelipiped dreptunghic Notează paralelipiped dreptunghic
4p 1p
2. Fie a,b,c suma primită de ocupantul locului I, al II-lea respectiv al III-lea 330a b c⇒ + + =
{ }, ,a b c i.p { }1,2,3 2 3a b c⇒ = = , ,2 3k ka k b c⇒ = = =
6 3 2 11330 330 330 1802 3 6 6k k k k k kk k+ +
+ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
180a⇒ = lei, 90b = lei, 60c = lei
1p 1p 2p 1p
3. Notăm 2 5 2a n n= + + ( )2 1x a a⇒ = + + = 2 2 1a a+ +
( )21a + ( )22 5 3n n= + + , deci x este pătrat perfect pentru orice n∈ .
1p 2p 2p
4. a) ( ) 1 1 2 11 :
1 2 1 2 1 2E ⋅ = + + − −
1 1 2 1 3 2: :3 1 1 3 3 1
= + = − − − −
2 13 2 = − ⋅ −
13
=
1p 1p 2p 1p
b) ( ) ( )( )
2 2 2:2 2 2
x x xE xx x x− + +
=+ − −
( )( )2 2:
2 2 2x x
x x x=
+ − −
=( )( )
2 2 12 2 2 2
x xx x x x
−⋅ =
+ − +
2p 1p 2p
5 ( ) ( )1, 1fA m G f m∈ ⇔ =
( )1 2 1 1 3f = ⋅ + = 3m =
2p 2p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)A=L·l A=1500·100=150000 2m A=15 ha
1p 2p 2p
b)9,375 tone grâu obținute de pe 3,75ha 5p
www.mate
info.r
o
20
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) 9,375t=9375kg
5p
2. a) MN linie mijlocie în , 3
2ABABC MN AB MN∆ ⇒ || = = cm, dar
AB AC MN AC⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( )
.3,
ThME ABCNE AC d N AC NE
MN AC
⊥⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =⊥
În ( ).
0 2 2 2, 90Th Pitagora
EMN m EMN EN EM MN∆ = ⇒ = + 16 9 25= + = EN=5 cm
2p 1p 2p
b)
( )( )
,
AC MNAC EN AC EMNMN EN EMN
⊥
⊥ ⇒ ⊥⊂
5p
c) ( ) ( )
( )( )
,
,
EAC ABC AC
MN AC MN ABC
EN AC EN EAC
∩ =
⊥ ⊂ ⊥ ⊂
( ) ( )( ) ( ), ,EAC ABC MN NE MNE⇒ = =
( ) .sin.
cat opusăMNEip
=
45
MENE
= =
3p 2p
www.mate
info.r
o
21
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică VARIANTA 11
SUBIECTUL I 30 de puncte
1 18 5p
2 5 5p
3 10/3 5p
4 3 5p
5 14 5p
6 a=6 si b=2 5p
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1 Reprezentarea corectă a desenului 5p
2 ( 3 + 2 +1)2=6+2 6 +2 3 +2 2 2[(1+ 2 )(1+ 3 )+2]= 6+2 6 +2 3 +2 2
2p 3p
3 l=0,25
A=0,0625m2 3p 2p
4 a) f(2)=2 2+m=10 , m=8
3p 2p
b) A(0,6) B(3,0) Reprezentarea corectă a graficului
3p 2p
5 15 lei 5p
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1 a) BC=4 2 cm 5p
b) A=(B+b)h/2 A=24 cm2
3p 2p
c) 450 5p
2 a) AB=12m h=3 3 m
3p 2p
b) At=Al+2Ab At=12(18+ 3 )m2
3p 2p
c) V=108 3 m3 486 duble
3p 2p
www.mate
info.r
o
22
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
VARIANTA 12 Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică
SUBIECTUL I 30 de puncte
1 2 5p
2 b 5p
3 x=11 si y=1 5p
4 1 5p
5 d= 119 cm 5p
6 A=3 3 cm2 5p
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1 Realizarea corectă a desenului
5p
2 x+y=30; 15x+20y=500 20 duble
2p 3p
3 2+3*5+4*7=45 a=2, b=5, c=7
2p 3p
4 a) 4 a=6b
a=3 si b=2 2p 3p
b)Ma= (a+b)/2 Ma=2,5
2p 3p
5 E(x)=(4x2+4x)(4x2+4x+2) E(x)=8x(x+1)(2x2+2x+1)
2p 3p
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1 a) 2a+b=0 ; - a+b= - 6 f(x)=2x- 4
3p 2p
b) A(0; - 4) B(2; 0) Reprezentarea corecta a graficului
3p 2p
c) x=4 5 /5 u 5p
2 a) V=A bh=80m3 80: 40=2m3
3p 2p
b) V=Abh V=32 3 m3
3p 2p
c) A=64m2 1920 ţigle
3p 2p
www.mate
info.r
o
23
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE VARIANTA 13 Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică
SUBIECTUL I 30 de puncte
1 6 5p
2 8 5p
3 15 5p
4 л 5p
5 22 5p
6 2ha 5p
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1 72m2 5p
2 t=12
5p
3 M+C=4,10 (1) M+D=4,30 (2) C+D=5,20 (3) Adunând cele trei relaţii obţinem 2M+2C+2D=13,60 ⇒ M+C+D= 6,8 înlocuind în această relaţie relaţia (1) obţinem D= 2,70 lei Din relaţia (2) obţinem M= 1,60 lei Din relaţia (3) obţinem C= 2,50 lei
3p 2p
4 a) f(6)=6m+5=8 m=0,5
3p 2p
Fie OxB pr A= ⇒ ( )
.0 2 2 2, 90
T PAOB m B AO BO AB= ⇒ = + ⇒
2 2 26 8 100 10AO AO= + = ⇒ = u.m
3p 2p
5 5. [ ]1 8 8 1 8 7 9 7,9z z z z− ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ∈ −
5p
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1 a) ( ) ( ). 2
0 2 2, 90 24 3 3 603 3 67T P
pVOM m O VM a dm= ⇒ = + = ⇒ = 3p 2p
www.mate
info.r
o
24
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
23 18 3 67 81 672lA dm⋅ ⋅
= =
b)
223 81 3
4blA dm= =
( )2 2 281 67 81 3 81 67 3t l bA A A dm dm dm= + = + = +
3p 2p
c) 3648 3
3bA hV dm⋅
= =
3p 2p
2 a) (AB+MC) CB=3AD*DM DM=30cm
3p 2p
b) Perimetru AB+BC+CM+MA P=180cm
3p 2p
c) PQ=(AB+MC)/2 PQ=45cm
2p 3p
www.mate
info.r
o
25
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 14 Prof. Badea Daniela
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -99 5p
2. -4 5p
3. 20 5p
4. 36 5p
5. 12 5p
6. 500 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează tetraedrul Notează tetraedrul
4p 1p
2. S suma primită; mama îi dă 2 5
3S + lei
tata îi dă 60 1 5 3100 3 5
SS ⋅ − + =
lei
ecuaţia este 2 25 25 303 5 15
S SS S+ + + = ⇔ =
225S = lei.
1p 1p 2p 1p
3. 11 2 4020 19 42
x yx y− =
− =
42
xy=
=
3p 2p
4. a) { }0;1x∈ −
( ) ( ) ( ) ( )1E 1 : 1 1
8x x
x x x−
= + − − ⋅
( ) ( )11 1E1 8
x xx xxx
−+ − += ⋅
−
Finalizare
1p 2p 1p
1p
b) ( ) ( ) ( ) ( )
20122 3 2012 2 2011 4 1E 4 +E 4 +E 4 +....+E 4 =1+4+4 ... 4
3−
+ + = 3p
www.mate
info.r
o
26
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )4 E 1 4 1 13 3 4 3x x x⋅ − − −
= ⋅ = 2012
20124 1 1 43 3
x x− −= ⇔ =
1p
1p
5. ( ): , f f x ax b→ = + ( ){ } ( )fG O 2,0 2 0 2 0x A f a b∩ = ⇔ = ⇔ + =
( ){ } ( )fG O B 0, 6 0 6 6y f b∩ = − ⇔ = − ⇔ = − 3a =
( ) 3 6f x x= −
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2 2 2 2 2676 64 36 25d L l h h h= + + ⇔ = + + ⇔ = ( ) 22 796tA Ll Lh lh cm= + + =
31200V Llh cm= =
2p
2p
1p
b) ( )PQ D`B, Q D`B P, D`B PQd⊥ ∈ ⇒ = D`P 2 D`P 2 D`P=10cmDP 3 D`D 5
= ⇔ = ⇒
( )D`PQ D`BD caz I∆ ∆ D`P PQ D`Q 10= =D`B BD D`D 26
⇒ =
50PQ= cm13
1p
1p
1p
1p
1p
c)
( )
( ) ( )
'
' '
'
'
'APD
AMPD MAPD
' '
'2
APD
3MAPD
,V =V
3
, , N mijlocul lui 3cm2
40cm2
V 40cm
A d M ADD
ABd M ADD MN AD MN
AD PDA
⋅=
= ⇒ = =
⋅= =
=
1p 2p 1p 1p
2. a)AM=MT= 4 2m ; TN=NB= 2 2m L= ( )2 4 2 2 2 =12 2m+
2p
3p
b) `R 6m; R=4m; r=2m=
1p
www.mate
info.r
o
27
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )`2 2 2 2 21 R r R 12 m 37,8m
2S π π= + − =
22 2TN 0,5 2 2m 2,82mS = ⋅ =
21 2 37,8 2,82=34,98mS S S= − −
2p 1p
1p
c) 2 R`=12 m 37,8m=3780cmrL π π= 3780:30=126 (arbuşti pe circumferinţa rondului)
( )R+r =6 m 18,9m=1890cmaL π π= 1890:30=63(arbuşti) Finalizare: 126+63-1= 188 arbuşti
1p 1p 1p 1p 1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 15 Prof. Badea Daniela
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. x 5p
2. 9 5p
3. 2 5p
4. 78
5p
5. 36 5p
6. 36 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen Notaţii
4p 1p
2. 1904
4x y z t+ + +
=
3 3 3; ; 5 5 5
x y y z z t= = =
27 9 3 1904 875125 25 5
t t t t t+ + + = ⇔ =
189; 315; 525x y z= = =
1p 1p 2p 1p
3. 6 77 2 77 4a b a b b+ = ⇔ + = − ( ) ( )2 11 77 4 11a b b+ ⇔ −
1p 1p
www.mate
info.r
o
28
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )77 4 114 11
77 11b
b− ⇒
finalizare
1p 2p
4. a) { } ( ) ( )M 5 6 g 5 6f gG G f= ⇒ = ⇒ = ( ) ( )N 1;-2 1 2gG g∈ ⇔ = −
5 62
m nm n
+ = + = −
( ) 2 4g x x= −
1p 1p 2p 1p
b) { } ( ) ( )A 0 1 A 0;1fG Oy f= ⇒ = ⇒ { } ( ) ( )B 0 4 B 0; 4gG Oy g= ⇒ = − ⇒ −
2M
MABAB hA ⋅
=
252MABA =
1p 1p 2p 1p
5 ( ) ( )
( ) ( )
22
22
4 13 2 9 9 3,
6 34 = 3 25 25 5,
x x x x
y y y y
− + = − + ≥ = ∀ ∈
+ + + + ≥ = ∀ ∈
( )8, , valoarea minimã este 8.N x y≥ ∀ ∈ ⇒
2p 2p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) cercurile au diametrul de 24 cm 120:24=5 85=24 ◌3+13=24 ◌3+12+1 Total 35 coşuleţe (semidiscuri)
1p 1p 1p 2p
b) ( ) 0VAB isoscel cu m AVB 45∆ = VNB dr.isoscel VN=NB=6 2∆ ⇒ ANB dr. AB 12 2- 2cml∆ ⇒ = =
2 2 2 2
1, 41 2 1,42 0,58 2 2 0,5983,52 84,96 9 10 9 10l l l< < ⇒ < − <
⇒ < < ⇒ < < ⇔ < <
1p
1p
1p
1p 1p
c) MAB echilateral∆ )
4MB 4 36 401260 35 14001260 12,6 12
din bp l cm p cm
cm p cmcm m m
= = ⇒ < << <= >
Nu sunt suficienţi 12m de pamblică
1p 1p 1p 1p 1p
www.mate
info.r
o
29
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) DB 2 24 2cml= = BCD echilateral 24 2cmBC∆ ⇒ =
( ) ( ) ( )ABCDP =2 AB+BC 2 24 24 2 =48 1+ 2 cm= +
AC AO+OC 12 2+12 6cm= = ( )ABCDL=P +BD+AC 12 4 7 2 6 cm= + +
1p
1p 1p 1p 1p
b) ABCD ABD BCDS =S S+
( )
22
ABD
2BCD
2ABCD
S 288cm2288 3cm
S 288 1 3 cm
l
S
= =
=
= +
1p 1p 1p 2p
c) MNPQS =AC BD⋅
ABCD ortodiagonal ABCDAC BDS =
2⋅
⇒
ABCD
MNPQ
S 1=S 2
2p 1p 2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 16 Prof. Badea Daniela
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 12
5p
2. 6 5p
3. 20 5p
4. 7 5p
5. 12 2 5p
6. 2200 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen Notaţii
4p 1p
www.mate
info.r
o
30
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. ( )27 3 7 2 21− − +
10 2 21 7 2 21 3− − + =
3p 2p
3. ( ) 8 16E x x= − + ( ) 0 8 16 0E x x= ⇔ − + =
2x =
3p 1p 1p
4. a) nr. vaze cu câte 3 fire; = nr. vaze cu câte 5 firex y= 40
3 5 154x yx y+ =
+ =
2317
xy=
=
1p 2p 2p
b) 154 2 7 11= ⋅ ⋅ mulţimea divizorilor lui 154 mai mici ca 17 este { }1,2,7,11,14 nr. minim de vaze : 154:14=11
1p
2p 2p
5 ( ) ( )2 5 2;5 ff A G− = ⇒ − ∈ , Reprezentarea punctului A ( ) ( )3 5 3; 5 ff B G= − ⇒ − ∈
Reprezentarea punctului A Trasarea graficului
1p
1p
1p 1p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2 2 2x a a x= ⇔ = ( ) ( )2 2 1 2l x a x= + = +
3p 2p
b) ( ) ( )8 2 16 1 2P x a x= ⋅ + = +
( )( )16 10 2 1 1 2P = ⋅ − + 160cmP =
2p 1p
1p
c) ( )
22 24 8 1 2
2ABCDEFGHaS l x= − ⋅ = +
( ) ( )0 2paralelogram 2 sin 45 2 2S x a a x= + ⋅ ⋅ = +
( ) ( ) ( )2 2 28 1 2 8 2 2 8 3 2 2tS x x x= + + + = +
( ) ( )2 28 100 2 1 3 2 2 800cmtS = ⋅ − + =
1p 1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
31
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) ( )
( )( )
3,
,
TMN ABCPN BD MP BD d M BD MPPN BD ABC
⊥⊥
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =⊥
. ., 16 3 6
3 24
T PMNP N dr
MN MP cmACNP
∆ =
= ⇒ == =
2p
3p
b) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )`
` , ` ` ` , `
, `
D AC ABC AC
D O AC D O D AC m D AC ABC m D OD
DO AC D O ABC
=
⊥ ⊂ ⇒ =⊥ ⊂
. .` , 1 ` 6 6
` 12 6sin` 36 6
T PD OD D dr D O
DDOD O
∆ = ⇒ =
= = =
2p
1p
2p
c) ( )( )
( ) ( )( )`
` ` , ``
DE D O
AC D OD DE D AC d D D AC DEAC DE
DE D OD
⊥
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ ⊥ ⊂
` 4 3`
DO DDDE cmD O⋅
= =
3p 2p
www.mate
info.r
o
32
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 17 Prof. Badea Ion
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 5 5p
2. 75 5p
3. 1 5p
4. 8 5p
5. 18 2 5p
6. 893 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen cercuri tangente exterioare Desen tangentă comună
3p 2p
2. . .10 muncitori.............. 7 zile14muncitori............... x zile
10 7 514
3 5 8 zile
i p
x
⇒
⋅
= =
+ =
2p
2p 1p
3.
( )( ) ( )
13 | 13 |100 1013 | 91 13 9 3
13 |13 7 9 313 | 3 3
abc a b ca b a b c
a b a b ca b c
⇔ + +
⇔ + + − +
⇔ + + − +
⇔ − +
1p
2p 1p 1p
4. a) { } ( ) ( )f gG G M f x g x= ⇔ =
( )
3 1 1 3
2 3 0 00,1
x x
x xM
⇔ + = −
⇔ = ⇔ =
⇒
1p
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
33
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ( )3,4 fA G∈
( )3, 4 gB G− ∈
isoscelMAB∆ (MN înălţime şi mediană) dr.
3N=1dr 33
MN=3,AN= 3
MANMNtgAAN
∆⇒ = = =
( ) ( )0 060 60m A m AMB⇒ = ⇒ =
1p 1p
1p
1p
1p
5 ( ) ( )
( )
2 2
1 2 3 11 7 1 2 3 11
1 2 3 111 7
2 7 3 2 7 3/ 1
3 1 7 43;4
A
A
A
+ − + + + − +=
+ − +
⇔ = +
< < ⇔ < < +
⇔ < + <
⇔ ∈
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) fie ( )SO ABD⊥
( ) I.C. centrul bazei
(pătrat)SABCD regulată
SOA SOB SOC SODOA OB OC OD O
⇒∆ ≡ ∆ ≡ ∆ ≡ ∆
⇒ = = = ⇔
⇒
SBD dr.is SO=5 2∆ ⇒ 2
310 5 2 500 2 cm3 3 3
bA hV ⋅ ⋅= = =
2p
1p 2p
b) PBDP minim PB şi PC au lungime minimă⇔ PB SC şi PD SC⇔ ⊥ ⊥
( )SBC echilateral BP mediană
P mijlocul lui SCSP=5 cm
∆ ⇒
⇒
⇔
1p 1p 1p 1p 1p
c) PBD isoscel PO BD∆ ⇒ ⊥
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )PBD ACD BD
PO BD, PO PBD PBD , ACD POC
CO BD, CO ACD
m m
=
⊥ ⊂ ⇒ =⊥ ⊂
1p
2p
www.mate
info.r
o
34
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ) 0SOC dr.is. POC 45m∆ ⇒ = 2p
2. a) 3 20,76cm; 103800:20,76=50 plăci încap pe lungimeEG l= ≅ 600=36 16+24 16 2+1=33 rânduri de plăci încap pe lăţime⋅ ⇒ ⋅ 33 50 1650 plăci⋅ = (din care 16 sunt tăiate pe jumătate) ⇒1636 plăci întregi
100 41650 + =1666+6 6
1667 nr. total de plăci⇒
1p 1p 1p 1p 1p
b) plăcile închise la culoare se află: la fiecare rând cu număr impar din cele 33 rânduri⇒17 rânduri pe rândurile menţionate plăcile cu număr împar ⇒ 25 plăci 17 25 425 plăci închise la culoare⋅ =
2p 2p 1p
c) 2A=62,28m 62,28 1,2=74,736 75 saci 75 14=1050 lei⋅ ⇒ ⇒ ⋅ 63 30=1890 lei costă gresia⋅
( )65 1050+1890 = 1911 lei costă manopera100
⋅
=4851 lei tS
1p 1p 1p 1p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 18 Prof. Badea Ion
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 5p
2. 0 5p
3. A 5p
4. 38 5p
5. 12 9 3π − 5p
6. 35 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
35
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. Desen notaţii
4p 1p
2. x = nr. kg fursecuri de18 lei/kg ( )18 250 10 20
25x xx+ = + ⋅
⇔ =
1p 2p 2p
3. 8 2 15 8 2 15 15 3 5 1524
NN= − + + − + + += ∈
3p
2p
4. a) ( ) ( )0;2 0 2 2fA G f a∈ ⇔ = ⇔ =
( ) ( ) ( )2 6, 1 0, 4 3f f f− = = = Trasarea graficului
1p 1p
3p
b) [ ] ( )2;1 avem 2 2 2 2x f x x∈ − = ⇔ − + =
[ ] { }10 2;1 0x S⇔ = ∈ − ⇒ =
( ] ( )( ] { }
{ }2
3 1 2
1;4 avem 2 1 2
3 1;4 3
0;3
x f x x
x S
S S S
∈ = ⇔ − =
⇔ = ∈ ⇒ =
⇒ = =
1p
1p
1p
1p
1p
5 ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 2 22 4 4 1 5E x x x x x x m x= + + + − + + −
( )
( ) ( ) ( )
2 22 2
0 00 0 0
5 5 0 1 2 1 5m m E x x x x m x≥ ≥
≥ ≥ ≥
≥ ⇔ − ≥ ⇒ = + + − + −
( ) ( ) ( )0, şi 5E x x m⇒ ≥ ∀ ∈ ∀ ≥
2p 2p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ,CD AB AB CDα α⊂ ⇒ ( ), ` ` ` ` ` ` trapezCD CDD C D CD C D ABC Dα α = ⇒ ⇒
1 3
``
, `
R TDDDA AB D A ABAB D A
α
α
⊥⊥
⊥ ⇒ ⊥⊂
` trapez dreptunghicABC D⇒
1p 1p 2p 1p
b) ( )( ) ( )0ABC , 30 `m m DADα = =
ΔDAD` dr.,DD`=CC` AD=8cm, AD`=4 3⇒ . .
ΔC`MB dr. BC`=8cmT P⇒
( )ABC`D`P =AB+BC`+C`D`+ =4 7 3 cmAD +
1p 1p 1p 2p
www.mate
info.r
o
36
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) t ` ` ` ` ` `S ABCD ABC D DCC D ADD BCCS S S S S= + + + +
( ) ( )2 2ABCD ABC`D`
2 2 2DCC`D` ADD` BCC`
AB+CD AB+C`D` `S = =80cm ; S = =40 3cm
2 2` ` ` `S =32cm ; S = =8 3cm ; S 16cm2 2
AD AD
DD AD CC BC
⋅ ⋅
⋅ ⋅ = =
( ) 2tS 16 8 3 3 cm= +
1p 3p 1p
2. a) ( )484 22 4 2 2 8 88 18, 8 26l l x x x= = ⇒ = + = ⇔ = + =
1 2 2
31 2 1 2
2 3
1 2 3
468ha3 4, 394 5 3 4 5 12
5117ha, 156ha, 195ha4 3 12
S A A AAA A A A S
A AS S SA A A
= + + =
= = ⇔ = = = =
= = = = = =
1p 1p 1p 2p
b)
1v r c v r c v r c 94 1 6 4 3 6 13 139 3 9v=36ha, r=27ha, c=54ha.
A+ += = ⇔ = = = = =
3p 2p
c) 195 5 975t 975000kg, 975000 1,5 1462500lei (costă grâul)⋅ = = ⋅ =
totală
156 40=6240t=6240000kg, 6240000 2=12480000lei(costă fructele)112480000 1560000lei(costă legumele)8
S 15502500lei.
⋅ ⋅
⋅ =
=
1p 1p 1p 2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 19 Prof. Badea Ion
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 5p
2. 200 5p
3. { }2;8S = − 5p
4. 14 5p
5. 0,3 5p
www.mate
info.r
o
37
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
6. 60 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen Notaţii denumire
3p 1p 1p
2.
( )( )
2 15 8 =2 15 8
2 15 8 8 2 15
8 2 15 8 2 15
2
g
g
a
b
m a b
m
= + +
= − = −
= ⋅ = + −
=
1p
1p
2p 1p
3. 92 150t rămân după spălare10095 92 150 t rămân după strivire
100 10012 95 92 150 t zahăr=
100 100 10012 95 92 150000 15732kg/zi100 100 10015732 5=78660kg=78,66t
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ =
⋅
1p
1p
1p
1p
1p
4. a) ( ) ( )( )
( )( )
22 1 33 51 3 1 3 2 3 5
xx xE xx x x x
−+= ⋅
− + +
( ) ( )( )
( )( )
3 5 1 31 3 2 3 5
x x xE x
x x x+ −
= ⋅+ +
finalizare
3p
1p
1p
b) ( ) ( )
1 3 1 1 3 1 02 1 3 2 2 1 3 2
x xx x
− −≤ − ⇔ + ≤
+ +
( )1 3 1 3 10 0
2 1 3 1 3x x
x x− + +
⇔ ≤ ⇔ ≤+ +
11 3 03
1 5, \3 3
x x
x
+ < ⇔ < −
⇒ ∈ −∞ − −
1p 1p 1p 2p
www.mate
info.r
o
38
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 ( ) ( )( )
( ) ( )
1 3 1 1 2 3
1 3 3
f a a
a a
− = − − −
= − + −
( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 3 2 3, şi
1 03 2
11
f a b a a b a b
aa b
ab
− = ⇔ − + − = ∈
− =⇔ − =
=⇔ = −
1p 1p 1p 1p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
2
l
3 3 3A 22 2 3
pb p
l a l lA a⋅
= ⇔ = ⇔ =
2 22 2 2 2 9
36 42
p bl lx a a x
l x
= − ⇔ = =
⇔ =
2p
2p
1p
b)
223 324 3
4blA cm= =
2
3
2 628 3
324 3 18 1944 33
l bA A cm
V cm
= =
⋅= =
1p 2p 2p
c) OT VM⊥
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) 0
,
,
3. cos22 3
330
VBC
BC VMBC VOM OT VOM
BC OMBC OTOT VBC pr VO VT
m VO VBC m OVT
VO xVOMdr VVM x
m OVT
⊥ ⇒ ⊥ ⊂ ⇒⊥
⇒ ⊥
⇒ ⊥ ⇔ =
⇒ =
∆ ⇒ = = =
=
1p 2p 1p 1p
2. a) ( )2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 5 2bP x x x x x x x x x= + + + + + + + +
( )( )
2 10 2 12
4 5 2 6
b
b
P x x
P x
= +
= +
3p 1p
1p
www.mate
info.r
o
39
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ( )2 2 2 2 2 2 21 4 9 16 25 2 4 48S x x x x x x x= + + + − + =
22
2 2
4
52 52b
S xS x cm
=
= =
3p 1p 1p
c) 10 5
3 3QL WL x xQLW QIT QK TJQK IT
∆ ∆ ⇒ = ⇔ = ⇒ =
( )
22 2
b
10 53 3
5 743 6 53 3
740 ; A 48 4 1923
144 77, 837 % 78%185
22%
b
QL WL x xQLW QIT QK TJQK IT
x xTS x x
xA x x
AA
p
∆ ∆ ⇒ = ⇔ = ⇒ =
= + ⋅ + =
= = ⋅ = ⇒
= = ≅
⇒ =
1p 1p
1p
1p
1p
www.m
ateinf
o.ro
40
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 20 Prof Silvia Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 19 5p
2. { }1,2A B∩ = − 5p
3. 2 5p
4. 500cm 5p
5. 00 5p
6. 015 C 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. Pe al doilea raft sunt 3 27 81⋅ =
Pe al treilea raft sunt ( )2 27 81 723
+ =
Nr. total de cărţi 27 81 72 180+ + =
2p
2p
1p
3. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 50n n n n n+ + + + + + + + =
5 40 8n n= ⇒ =
numerele:8,9,10,11,12
10 11 12 1320⋅ ⋅ =
2p
1p
1p
1p
4. a)Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului funcţiei
4p
1p
www.mate
info.r
o
41
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ( ) ( )2, 1 2 1fP m m G f m m+ − ∈ ⇔ + = −
( ) ( )2 5 2 3f m m+ = − + +
( )5 2 3 1m m− + + = −
1m = −
2p
1p
1p
1p
5 ( )27 5 7 2 35 5 12 2 35+ = + + = +
( )5 7 5 35 5+ = +
( )7 5 2 7 35 14− = −
12 2 35 35 5 35 14a = + − − − +
21a = ∈
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) lungimea diagonalei cubului 6 3d dm=
3 3SA SD SA SD dm′ ′= = = =
12 3SA SD SA SD dm′ ′+ + + =
2p
2p
1p
b) lungimea apotemei piramidei 3 2pa dm=
2
b pl
P aA
⋅=
324 3 2 36 22lA dm⋅
= =
2p
1p
2p
c) ( )BC ABD′ ′⊂
B C BC′ ′⊥ şi ( ) B C AB B C ABD′ ′ ′⊥ ⇒ ⊥
1p
3p
www.mate
info.r
o
42
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ) ( ) ( )( ) 090A B C ABD m A B C ABD ′ ′ ′ ′ ′ ′⊥ ⇒ = 1p
2. a) ( ) : 2FM AB EF= −
( )12 6 : 2 3FM m= − =
3p
2p
b) Aria suprafeţei haşurate este de două ori aria trapezului ABFE
( )2ABFE
AB EF BMA
+ ⋅=
3 3BM m=
227 3ABFEA m=
1p
1p
2p
1p
c) 29 3BFCA m=
Raportul celor două arii este 14
1p
4p
www.mate
info.r
o
43
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 21 Prof Silvia Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 5p
2. 43
5p
3. 1120
5p
4. 5 2cm 5p
5. BC′ 5p
6. 04 C− 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. sticle îmbuteliate a doua zi: 21250 1250 750
5− ⋅ =
sticle îmbuteliate a treia zi: 3750 750 97510
+ ⋅ =
total: 1250 750 975 2975+ + =
2p
2p
1p
3. ( ) ( )5 6 56
x y x y x yx y+
= ⇔ + = −−
320% 4 30% 45 10x yx y= + ⇒ = +
1p
2p
www.mate
info.r
o
44
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
8811 5
2 3 40 85
xx yx y y
= = − ⇒ − = − =
2p
4. a) ( ) ( )0,2 0 2 1 2fA G f∈ ⇔ = ⇒ − ≠
( ) ( )1, 4 1 4 3 1 4fB G f− − ∈ ⇔ − = − ⇒ − − = −
( )0,2 fA G∉ şi ( )1, 4 fB G− − ∈
2p
2p
1p
b) ( ) ( )2 3 2 1 3 5f m m m+ = + − = +
( ) ( )3 3 3 1 3 10f m m m− = − − = −
3 5 3 10 9m m+ + − = ⇒76 143
m m= ⇒ =
2p
2p
1p
5 ( )( )
1 1 83 4 3 4 3 4 3 4x x x x
− =− + − +
( )22 3 49 24 164 4
xx x ++ +=
( )( )( ) ( )23 4 2 3 48
3 4 3 4 4 3 4x x
x x x+ +
⋅ =− + −
( ) ( )2 3 4 3 44 33 4 3 4 3 4
x xxx x x+ +−
+ =− − −
2p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) MABB A′ ′ - piramidă regulată
( )MO ABB′⊥ unde { }O AB A B′ ′= ∩
Înălţimea 5 3MO cm=
1p
1p
3p
b) O apotemă a piramidei este ( )MD cu D mijlocul lui ( )AB 1p
www.mate
info.r
o
45
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
10pa cm=
2b p
l
P aA
⋅=
220 10 1002lA cm⋅
= =
2p
1p
1p
c) 325 3 10 250 3prismei bV A h cm= ⋅ = ⋅ =
3100 5 3 500 33 3 3
bpiramidei
A hV cm⋅ ⋅= = =
Volumul de metal ce se pierde 3500 3 250 3250 33 3
cm− =
2p
2p
1p
2. a) Ariile celor 4 porţiuni haşurate sunt egale fiecare cu 212m
Suprafaţa haşurată este de 248m
4p
1p
b) 2112ABCDA m=
Suprafaţa aleilor este 2 2 2112 48 64m m m− =
2p
3p
c) Volumul de pietriş este produsul dintre suprafaţa aleilor şi înălţimea pietrişului
Volumul de pietriş este: 264 0,05 3,2m⋅ =
3p
2p
www.mate
info.r
o
46
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 22 Prof Silvia Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5− 5p
2. 108 5p
3. 12
5p
4. 38P cm= 5p
5. 060 5p
6. 25% 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează trunchiul de piramidă
Notează trunchiul
4p
1p
2. [ ]1 2 3 7 2.2x x− ≤ + ≤ ⇒ ∈ −
{ }0,1, 2A∩ =
3p
2p
3. ( ) ( ) ( )( )2 21 2 3 2 3x y x y x y x y− − + = + − + ⇒ − − =
( )3 2 1 5 3 2 7x y x y− + = ⇒ − =
( ){ }2 3 11, 2
3 2 7 2x y x
Sx y y
− − = =⇒ ⇒ = − − = = −
2p
1p
2p
4. a) fie f gM G G= ∩
1 42 5 3x y xx y y
− = =⇒ − = =
1p
3p
www.mate
info.r
o
47
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Punctul de intersecţie ( )4,3M 1p
b) ( )( ) ( ) ( )( ) 22 1 2 5 2 3 5f x g x x x x x+ ⋅ = + − = − −
( )2 22 1 6 3 2 2 5x x x x− + + = + +
2 22 3 5 2 2 5 5 10x x x x x− − = + + ⇒ − =
soluţia ecuaţiei: 2x = −
2p
1p
1p
1p
5 Formula de calcul prescurtat: ( )( )2 2a b a b a b− = − +
( ) ( ) ( )22 2 2 23 2 25 3 2 5 3 2 5x x x x x x + − = + − ⋅ + +
( ) ( )( )2 23 5 2 3 5 2E x x x x x= − + + +
1p
2p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
3b
piramideiA hV ⋅
=
236 3bA cm=
372 3pV cm=
1p
2p
2p
b) prismei bV A h= ⋅
3432 3prismeiV cm=
Volumul de material ce se pierde 3432 3 2 72 3 288 3cm− ⋅ =
5p
c) Piramidele cu vârful în V şi bazele ABB A′ ′ , BCC B′ ′ , respectiv ACC A′ ′au volumele egale
3288 3 96 33VABB AV cm′ ′ = =
3p
2p
2. a) ( )
2trapez
B b hA
+ ⋅=
1p
www.mate
info.r
o
48
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
CE AB⊥ şi 3 3CE cm=
227 3trapezA cm=
2p
2p
b) 26 3 3 9 3
2MCDA cm⋅= =
Raportul ariilor 9 3 1327 3
=
3p
2p
c) Justificarea faptului că BMDC este romb
MC AD justificat
BD MC BD AD⊥ ⇒ ⊥
3p
1p
1p
www.mate
info.r
o
49
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 23 Prof Silvia Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 6 5p
2. { }0,4A B∩ = 5p
3. 1, 45y = 5p
4. 236A cmπ= 5p
5. SM şi MC 5p
6. 27,5% 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează trunchiul de piramidă
Notează trunchiul de piramidă
4p
1p
2. Amplificarea fracţiilor
5 5 2 10 2 3x x x− + = − −
5 2 2 10 3 5x x x+ + = − +
9 12x =
soluţia: 43
x =
1p
1p
1p
1p
1p
3. 18045
3a b c
ba c b+ + =
⇒ =+ =
cel mai mic număr prim de 2 cifre este 11
11 3 135 11 124a c b a c= ⇒ = − ⇒ = − = sau 11 3 135 11 124c a b c a= ⇒ = − ⇒ = − =
2p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
50
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
11, 45, 124a b c= = = sau 124, 45, 11a b c= = =
4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului
4p
1p
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 1 5 7 2 3 2 15f f f f f n n n− + − + + + = − − − − − = − −
2 15 15n− − =
15n = − ∈
3p
1p
1p
5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 2 2 3 2 5 2 5 2 3 2 5 2+ + + ⋅ − + − = + + −
( )23 5 8 2 15p = + = +
p∉
3p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Proiecţia lui A B′ pe planul ( )ADD′ este A A′
Măsura unghiului dintre A B′ şi planul ( )ADD′ este ( )m AA B′
( ) 9 312 4
tg AA B′ = =
2p
1p
2p
b) Dacă h este înălţimea apei atunci 12 6 432apăV h= ⋅ ⋅ =
6h dm=
3p
2p
c) Notăm h′ înălţimea cu care creşte apa 3 312 6 6 216h dm′⋅ ⋅ = =
216 : 72 3h dm′ = =
3p
2p
2. a) Toate cele 6 pătrate sunt congruente
Aria unui pătrat este 2 26 36m=
Aria căutată 26 36 216m⋅ =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
51
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Cele 6 triunghiuri haşurate sunt echilaterale
Perimetrul este 12 6 72m⋅ =
3p
2p
c) Hexagonul se poate descompune în 6 triunghiuri echilaterale congruente cu cele haşurate
Cele două arii sunt egale
4p
1p
www.mate
info.r
o
52
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 24 Prof Ionel Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 89 5p
2. 36 5p
3. 34
5p
4. 10cm 5p
5. 090 5p
6. 010 C 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează un paralelipiped dreptunghic
Notează paralelipipedul
4p
1p
2. 2107 210 30
6a b c
c ca b c+ + =
⇒ = ⇒ =+ =
cel mai mare număr prim de 2 cifre este 97
97 180 97 83a b b= ⇒ = − ⇒ =
97, 83, 30a b c= = = sau 83, 97, 30a b c= = =
2p
1p
1p
1p
3. 2 24 10 25 7 13x x x x− − + − ≤ +
3 42 14x x≤ ⇒ ≤
( ],14x∈ −∞
2p
2p
1p
4. a) în prima zi cheltuieşte: 2020%
100 5S SS = =
1p
1p
www.mate
info.r
o
53
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
în a doua zi cheltuieşte: 35 735%100 20
S SS = =
în a treia zi cheltuieşte: 1 25%4 4
SS S= =
în cele 3 zile cheltuieşte: 20% 35% 25% 80%S S S S+ + =
2p
1p
b) 7 100
5 20 4S S SS − + + =
4 1005SS − =
500S =
2p
2p
1p
5 ( )( ) 24 1 1 4 1 16x x x+ − = −
( )2 24 3 16 24 9x x x− = − +
( )2 24 3 16 24 9x x x+ = + +
2 232 2 32 18 20x x− + + + =
1p
1p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Notez cu x lungimea laturii unui triunghi echilateral şi
2xBH =
202xx x+ + =
8x cm=
2p
1p
2p
b) HBC∆ - dreptunghic în B şi 2 2 2BC CH HB= −
2 2 28 4 48BC = − =
4 3BC cm=
2p
2p
1p
c) AOD∆ - echilateral 2p
www.mate
info.r
o
54
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4 32
ADAO = =
( )2
24 3 3
12 34AODA cm⋅
= =
2p
1p
2. a) Pe lungime încap 10 pătrate
Pe lăţime încap 60 :10 6= pătrate
Lăţime 6 20 120 1,2cm m= ⋅ = =
2p
2p
1p
b) Cele 4 arce formează un cerc cu raza de 10cm
Lungimea arcelor dintr-un pătrat este 2 10 20 cmπ π⋅ =
Lungimea tuturor arcelor este 12 mπ
2p
2p
1p
c)Lungimea tuturor arcelor este cuprinsă între 37,68 şi 37,8
Nr. minim de bare de 2m este 19
3p
2p
www.mate
info.r
o
55
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 25 Prof Ionel Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2,1 5p
2. 180 5p
3. 3 5p
4. 21L m= 5p
5. 060 5p
6. 1x = 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida regulată
Notează piramida
4p
1p
2. Notăm cu x - nr. de zile pentru finalizarea lucrării; lucrarea se termină în 3x − zile
( )56 3x − reprezintă nr. de butuci altoiţi în loc de 50x
punerea în ecuaţie: ( )56 3 50 120x x− = +
6 288 48x x= ⇒ = zile
1p
1p
2p
1p
3. ( )( )2 9 3 3x x x− = − +
( )( )2 25 5 5x x x− = − +
( )22 10 25 5x x x+ + = +
( )22 6 9 3x x x+ + = +
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
56
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )( )( )( )
( )( )( )( )
2 2
2 2
9 25 3 55 310 25 6 9
x x x xx xx x x x
− − − −=
+ ++ + + +
4. a) ( ) ( )2,1 2 1fA G f− ∈ ⇔ − =
( )2 2 5f a− = − +
2 5 1a− + =
2a =
2p
1p
1p
1p
b) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului
4p
1p
5 12 3 12 5 6x x− − ≤ − +
3 5 6x x− + ≤
2 6x ≤
3x ≤
( ],3x∈ −∞
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Dacă a şi b sunt celelalte două dimensiuni, volumul de apă se scrie 2a b⋅ ⋅ , 12 3a ⋅ ⋅ , 12 4b ⋅ ⋅
2 36 48ab a b= =
24a cm= , 18b cm=
2p
1p
2p
b) 24 18 2apăV = ⋅ ⋅
3864apăV cm=
4p
1p
c) 324 18 12 5184cutieV cm= ⋅ ⋅ =
35184 5,184cm l=
3p
1p
www.mate
info.r
o
57
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5,184 5,2< 1p
2. a) AMS∆ este echilateral
AM MS= şi MS MN= atunci AM MN=
3p
2p
b) Analog BN MN=
1 43
MN AB cm= =
2p
3p
c)
2212 3 36 3
4ABCA cm⋅= =
224 3 4 3
4AMSA cm⋅= =
236 3 3 4 3 24 3MNPQRSA cm= − ⋅ =
2 36 3 24 33⋅ =
2p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
58
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 26 Prof Ionel Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4, 4 5p
2. 4535 5p
3. 4x = ∈ 5p
4. [ ] 3 2MN cm= 5p
5. [ ] 6AE cm= 5p
6. 1x = 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma triunghiulară regulată
Notează prisma
4p
1p
2. Notăm cu x - nr. merelor din al doilea sac
3 3 3 4604 4 2x xx+ + ⋅ =
160x = mere în al doilea sac
3 160 1204⋅ = mere în primul sac
3 120 1802⋅ = mere în al treilea sac
1p
1p
1p
1p
1p
3. x - preţul mărfii
12 25,8100
x⋅ =
1p
1p
www.mate
info.r
o
59
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
25 8,6x = ⋅
215x =
2p
1p
4. a) ( ) ( )0,3 0 3fM m G f m∈ ⇔ =
11 32
m m m+ = ⇒ =
( ) 1 12 12 2
f x x = + + +
( ) 5 32 2
f x x= +
1p
1p
2p
1p
b) ( ) 5 31 4
2 2f = + =
( ) ( )5 31 1 1 1 12 2
f f−− = + = − ⇒ − = − =
( ) ( )1 1 4 1 52 2 2a
f fm
+ − += = =
1p
2p
2p
5 1 2 2 1 2 1x x x x+ + + = + + +
3 1 3x + =
1 1x + =
0x =
2x = −
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( )3 B b B b
hV A A A A= + +
21600BA cm=
1p
1p
www.mate
info.r
o
60
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2400bA cm=
( ) 324 1600 400 40 20 224003
V cm= + + ⋅ =
1p
2p
b) ( )
2B b t
l
P P aA
+ ⋅=
2 2 210 24 676 26t ta a cm= + = ⇒ =
( ) 2160 80 263120
2lA cm+ ⋅
= =
1p
2p
2p
c) Notăm cu x latura pătratului ce reprezintă suprafaţa apei
( )218 400 203apăV x x= + +
( )26 400 20 13950x x+ + =
( )210 2025x + =
2 235 1225x x cm= ⇒ =
1p
2p
1p
1p
2. a) 2 215 225pătratA m= =
225 40 1000curteA m= ⋅ =
225100 1000
p=
22,5%p =
1p
1p
2p
1p
b) ADR∆ - dreptunghic isoscel, 25AD DR m= =
40 25 15CR m= − =
ABCR - trapez dreptunghic
( )40 15 252ABCRA
+ ⋅=
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
61
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2687,5ABCRA m=
c) { }E MP CD= ∩ , 10PE m=
25 15 10ER m= − =
10 2PR m=
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
62
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 27 Prof Ionel Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. 23−
5p
3. 6a b⋅ = 5p
4. 250A cm=
5p
5. 090 5p
6. 3x = − 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma patrulateră regulată
Notează prisma
4p
1p
2. x - nr. necunoscut
( )12 8 2 44x x− + =
14 140x =
10x =
1p
2p
1p
1p
3. 128800 100
p=
400 1625
p = =
1p
2p
www.mate
info.r
o
63
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
128 costume reprezintă 16% din cele 800 costume 2p
4. a) ( ) ( )2,3 2 3fA G f∈ ⇔ =
2 1 3m + =
1m =
2p
2p
1p
b) ( )0 1f = ; ( )1 2f = ; ( )2 3f = ; ….. ( )69 70f =
( )1 69 691 2 3 69 2415
2+ ⋅
+ + + + = =
2p
3p
5 1 2 2 5 5 1 2 1 5 1 4 1x x x x x x x− − − + − = − − − + − = −
4 1 4x − =
1 1x − =
0x = ; 2x =
2p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Dacă CE AB BEC⊥ ⇒ ∆ - dreptunghic şi isoscel
2 3 2 7AB m= + + =
( )2ABCD
AB CD CEA
+ ⋅=
210ABCDA m=
2p
1p
1p
1p
b) beton ABCDV A BB′= ⋅
310 100 1000betonV m= ⋅ =
3p
2p
c) G densitatea volum= ×
3 31000 1000000m dm=
2,5 1000000 2500G Kg t= ⋅ =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
64
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) cort prismă piramidăV V V= +
316 2 32prismăV m= ⋅ =
316 1,5 83piramidăV m⋅
= =
332 8 40cortV m= + =
2p
1p
1p
1p
b) cort l prismă l piramidăS A A= +
2 16 2 32l prismăA m= ⋅ =
2,5pa m=
2
16 2,5 202l piramidăA m⋅
= =
232 20 52cortS m= + =
1p
1p
1p
1p
1p
c) pânză cortS S=
1,3pânzăS L= ⋅
1,3 52L ⋅ =
40L m=
1p
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
65
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 28 Prof. Breazu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 3 5p
2. 30 5p
3. 50 5p
4. 6 3 5p
5. 90 5p
6. 220 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen trapez Trapezul este dreptunghic
3p 2p
2. Ridicare corectă la pătrat Rezolvare până se obţine x 5≤
{ }A 0;1;2;3;4;5=
2p 2p 1p
3. ( ) 232, 59
= şi ( ) 10, 33
=
23a 3b9
1b 3a3
+ = − =
Cunoaşterea unei metode de rezolvare a sistemului 7a45
= şi 4b5
=
1p
1p 1p 2p
4. a) două puncte corect determinate pe graficul funcţiei f două puncte corect determinate pe graficul funcţiei g trasarea dreptelor prin punctele determinate
2p 2p 1p
b) ( ) ( )f x g x=
x 5 2x 1 x 2− = − + ⇒ =
1p 2p 2p
www.mate
info.r
o
66
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
y 3= − şi ( )M 2; 3−
5 Calcule şi rezultatul împărţirii egal 3 Calcule şi rezultatul înmulţirii egal 4 Rezultat final 7∈
2p 2p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)notam cu x, muchia tetraedrului înlăturat muchia rosie este egala cu 3-2x, de unde concluzia
1p 4p
b) muchia unui tetraedru înlăturat este o treime din muchia pietrei originale, adică de 1 cm;
Formula pentru volumul tetraedrului regulat 3l 2V12
= ;
Volumul total 32 cm4
2p 2p 1p
c) initial
27 2 9 2V12 4
= = ;
3final initial tetraedre
9 2 2V V V 2 2 cm4 4
= − = − =
3p 2p
2. a) diagonala pătratului este de 4 2 dm
ACEH 2 22
= = dm, ca linie mijlocie în triunghiul ADC
EH=2R R 2 dm=
1p 2p 1p 1p
b) 2 2patratA AB 16dm= =
2
semidiscπRA π
2= =
nehaşurată patrat semidiscA A 4A 16 4π= − = −
2p
2p
1p
c) ABOE 2dm
2= =
OE R 2dm 2dm− = − 2 1.41...
OE R 0,6dm 1dm− < , deci decuparea nu este posibilă
1p 1p 1p 2p
www.mate
info.r
o
67
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 29 Prof. Breazu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 12
5p
2. 160 5p
3. 9800 5p
4. 2 5p
5. 60 5p
6. 0,4 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen unghi diedru Precizarea unghiului plan al diedrului
3p 2p
2. Ecuaţia 2x 3x 2 0− + =
{ } { }1 2x ; x 1;2= 1 2x x 1− =
2p 2p 1p
3. a 0,8ba b 4,5
2
= + =
a b 1,8b+ = b 5, a 4= =
2p
1p 2p
4. a)
( )( )x 1 x 2x 1x 2 x 1 x 2 x 1+ −
− =− − − −
( )( )22x 1 2x 1
x 1 x 2x x 2− −
=+ −− −
Împărţirea şi rezultatul final
2p 2p 1p
b) { }2a 1 D 1; 2− ∈ = ± ± 3p
www.mate
info.r
o
68
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
soluţii acceptate { }a 0;3∈ 2p
5 6 2 5 5 1, 6 2 5 5 1+ = + − = − x 5=
( )20112 2011x x 5 1 5 1+ − − = − 20115 1− are ultimele două cifre 24 , de aici divizibilitatea cu 4
2p 1p 1p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 3paralelipipedV L l h 20 8 8 1280m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
2
3hexagon acoperis prisma hex.
8 1 1 MN 3l MN 4m;V V 6 12 3 m ;2 2 2 4
= = = = = ⋅ =
hală paralelipiped acoperisV V V 1280 12 3= + = + m
2p 2p 1p
b) stâlp 6
4 3h h a 8 8 2 3 m2
= + = + = + 5p
c) ( ) 2peretiA 2L 2l h 448m= + ⋅ =
22
acoperiş hexagon fata lat.3 4 3A A 3A 3 4 20 24 3 240 m
2⋅
= + = + ⋅ ⋅ = +
Cantitate vopsea ( )24 3 240 0,2 56,31litri+ ⋅ ≈
2p 2p 1p
2. a) Aplicarea teoremei Pitagora
AD AE 10 3= =
3p
2p
b) ADCE ADCA 2A AD DC 10 3 10 100 3= = ⋅ = ⋅ =
Aria sector cerc de centru A este 150πA
3=
Aria sector de cerc de centru C este 2100πA
3=
hasurata ADCE 1 2A A A A 100 3 50π= − − = −
2p 1p 1p 1p
c) 2
hasurata2 3 πA r
2−
= 3p
www.mate
info.r
o
69
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1r2 3 π
=−
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 30 Prof. Breazu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 30 5p
2. 16 5p
3. 3 5p
4. 4,5 5p
5. 3+ 6 5p
6. 2,3,1 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen trunghi isoscel Triunghiul are un unghi obtuz
3p 2p
2. ( )224x 12x 10 2x 3 1− + = − + 32x 3 0 x2
− = ⇒ =
33 5y 0 y5
− = ⇒ =
minE 1=
2p 1p 1p 1p
3. a b3 7=
Substituie b cu 2a+4 a=12 b=28
1p 1p 2p 1p
4. a) ( )f a 16=
calcule ce duc la 2a 16=
1p 2p
www.mate
info.r
o
70
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
a 4= ± 2p
b) ( )f x x 2= +
20 211 2 ... 20 2102⋅
+ + + = =
Calcule şi rezultat S=250
1p 2p 2p
5 1 322 2
− =
k k 13 3 2:2 2 3
+ =
Produsul este egal cu 10042 1
3 <
1p 2p 2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) diagonala cubului d 3 3 m= diagonala unei feţe d ' 3 2 m=
6cos α3
=
1p 1p 3p
b) cablu
d 3 3l m2 2
= =
total cablul 4 l 6 3 m= ⋅ =
1p 4p
c) împărţire a cubului în 27 cuburi congruente cu latura de 1m din principiul lui Dirichlet, există cel puţin 2 fluturi într-un cub mic diagonala cubului mic este 3 1,8< , de unde concluzia
2p 2p 1p
2. a) FE 2 2= ; HG 2= ; FH EG 13= =
1p 1p 3p
b) EH 17=
HI HGEI FE
= , deci HI 1EI 2
=
Folosind proporţii derivate, EH 3EI 2
=
2 17EI3
= ; 17IH3
=
1p 1p 1p 2p
www.mate
info.r
o
71
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) ABCDA 16=
DEFA 2= ; BGH1A2
= ; AFH ECGA A 3= =
piesa ABCD DEF BGH AFHA A A A 2A 7,5= − − − =
1p 3p 1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 31 Prof. Breazu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 40 5p
2. 10 5p
3. 1600 5p
4. 3 5p
5. 4 3 5p
6. 200 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen drepte paralele tăiate de o secantă
Unghiuri alterne-interne marcate corect
3p
2p
2. { } { }A 0;5;10;15;20;25 ; B 0;7;14;21;28;35;42;49;56= =
{ }A B 0;5;7;10;14;15;20;21;25;28;35;42;49;56∪ = are 14 elemente
{ }A B 0∩ = are un element
2p 2p 1p
3. a b 64a 3b 8+ =
= +
Substituim a în prima ecuaţie şi obţinem 4b 56=
2p
1p
www.mate
info.r
o
72
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b=14; a=50 2p
4. a) desfacere paranteze
reducere a termenilor asemenea şi obţinere a rezultatului
3p
2p
b) se foloseşte punctul a)
Calcule şi obţinerea rezultatului ( )( )( )2
1F aa 1 a a 1
= −+ + −
Rezolvarea ecuaţiei ( ) 31F a
a 1= −
− şi rezultatul a=0
1p
2p
2p
5 2 3 2 32 3
+= +
−
2 2 2 12 2
+= +
−
5 2 6 2 3+ = + Calcule şi rezultat 3∈
1p 1p 1p 2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) b
piramidaA hV
3⋅
=
2h EO2
= =
3ABCDE
2V cm6
=
3corp
2V cm3
=
1p 2p 1p 1p
b) EF AC BD 2= = = cm 5p
c) ABCD BDEF≡ , pătrate cu latura de 1cm 2
ABCD BDEFA A 1cm= = 3p 2p
2. a) ABC isoscel∆ cu Bh 12=
BABC
AC hA 602⋅
= =
3p
2p
www.mate
info.r
o
73
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Dacă CC' AB⊥ , atunci ABC2A 120CC'
AB 13= =
CC ' 60MN2 13
= =
MNPQ13 60A L l 302 13
= ⋅ = ⋅ =
2p 1p 2p
c) din asemănări de triunghiuri CC' MN NC NPCC' AC AB−
= =
notăm NP=x; MN=y şi atunci obţinem 13y x1120 13
− =
2
MNPQ120 169 13A xy x169 4 2
= = − −
Aria este maximă pentru 13x2
= , adică maxA 30=
2p 1p 1p 1p
www.mate
info.r
o
74
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 32 Prof. Bulgăr Delia Valentina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 57 5p
2. 5,5 5p
3. 384 5p
4. 30 5p
5. 60 5p
6. 10 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. 2 2 2 131 13 3 3 9
ab⋅ + = ⋅ + =
2 3 2 3 2 13 3 3 3
a b a b ab b b b+
= + = ⋅ +
0,(6)= 6 19 3=
2 2 2 131 13 3 3 9
ab⋅ + = ⋅ + =
2p
1p
2p
3. Se notează cu x timpul parcurs pe jos în drum spre şcoală, cu y timpul parcurs cu maşina spre şcoală. Ţinând cont că elevului îi trebuie acelaşi timp la dus ca şi la întors (mergând cu acelaşi mijloc de transport), scrie:
452 20
x yy+ =
=
y=10
x=35
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
75
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2x=70 (adică drumul dus-întors parcurs pe jos) 1p
4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului
4p
1p
b) x=0⇒ f(0)=-2; A(0,-2)
y=0⇒ f(x)=0⇒2x-2=0⇒x=1,B(1,0)
2p
3p
5 2 21 2 (1 ) 1a a a a− + = − = −
2 21 2 (1 ) 1a a a a+ + = + = +
a>1⇒ 1 a− =a-1; 1 a+ =1+a
x= 2 ( 1 1 ) 4a aa⋅ − + + =
4 2x = = ∈
1p
1p
1p 1p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) L=50cm=5dm,l=40cm=4dm
35 l =35dm 3
Notând cu x înălţimea la care ajunge apa, avem: 35=5·4·x,
x=1,75dm (17,5cm)
1p
1p
2p
1p
b) 3 3v 5 4 3 60 60acV dm dm l= ⋅ ⋅ = =
1 60 35 25V l l l= − =
4p
1p
c) V acv = 3 360 60 60000l dm cm= =
V 3 32 8cub cm= =
Vor intra 60000:8=7500 cubuleţe
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
76
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) MP=8m
NQ=6m
A rond =2
MP NQ⋅
A rond = 28 6 242
m⋅=
1p
1p
2p
1p
b) A 216 6 96dr AB BC m= ⋅ = ⋅ =
A 2haş dr rondA A= − ⋅
2·A 22 24 48rond m= ⋅ =
A 296 48 48haş m= − =
A 2haş rondA= ⋅
1p
1p
1p
1p
1p
c) Cea mai mare distanţă dintre două puncte ale dreptunghiului este lungimea diagonalei [AC]
Folosind teorema lui Pitagora se obţine:AC= 2 216 6 292+ =
Finalizare 292 324 18< =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
77
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 33 Prof. Bulgăr Delia Valentina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 5p
2. 8 5p
3. 144 5p
4. 6 5p
5. 1 222
sau 5p
6. joi 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. Prelucrează relaţia 1+3x <4
3şi obţine x < 11
3
A=(-∞ , 113
)
B={1,2,3,4,6,12}
A∩B={1,2,3}
2p
1p
1p
1p
3. 1 1 1 17,54 8 16
x x x+ + =
5x=280
x=56
2p
2p
1p
4. a)A(0,-3) fG∈ ⇒ f(0)=-3⇒b=-3 2p
www.mate
info.r
o
78
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
B(2,1) fG∈ ⇒ f(2)=1⇒2a+b=1
a=2
2p
1p
b) Fie M(x,y) fG∈ cu x=y
2x-3=x
x=3
M(3,3)
2p
1p
1p
1p
5 Raţionalizează numitorii obţinând:
N= 2 1 3 2 47(6 2 5)( ) 71 7 7 47− − −
+ − ⋅⋅
Aduce la acelaşi numitor obţinând:
N= 7 2 7 3 2 6 2 5 77
− + − − +⋅
Finalizare N=1∈
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)P 2 (6 5) 22b= ⋅ + = ) (m)
A l bP h= ⋅ =22·4=88 (m 2 )
88:2=44 (m liniari)
2p
2p
1p
b)V=L·l·h
V=6·5·4=120 (m 3 )
3p
2p
c) Notând cu x înălţimea la care ajunge nisipul, avem: 75=6·5·x,
x= 7530
x=2,5 (m)
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
79
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a)Raza cercului cu diametrul AB= 20m
Raza cercului cu diametrul BC= 10m
Lungimea a două semicercuri opuse este egală cu lungimea cercului. Lungimea cercului = 2 Rπ
Lungimea gardului= (60π +120) m
1p
1p
2p
1p
b)Aria dreptunghiului=800m 2
Aria a două dintre semidiscuri (cu raza 10m)=100π m 2
Aria celorlalte două semidiscuri (cu raza 20m)=400π m 2
Aria terenului =(800+500π )m 2
800+500π <800+500·3,15=2375<2400
1p
1p
1p
1p
1p
c)Notând cu N mijlocul lui [DC], avem PN⊥DC
şi { }PN AB M∩ = , PM⊥AB şi PM=40m
MB=20m
Aplică teorema lui Pitagora în PMB , obţine PB= 20 5 m
1p
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
80
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 34 Prof. Bulgăr Delia Valentina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -2 5p
2. 2 5p
3. 27 5p
4. 12 5p
5. 90 5p
6. 2 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. Notând cu x numărul de găini şi cu y numărul de iepuri
Numărul de capete=x+y
Numărul de picioare=2x+4y
Rezolvă sistemul 20
2 4 64x yx y+ =
+ =şi află x=8, y=12
1p
1p
1p
2p
3. 12 2 3=
27 3 3=
48 4 3=
75 5 3=
a=0
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
81
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) Calculează f(-5)=14,
f(4)=-4
Reprezintă A(-5,14) şi B(4,-4)
Trasează segmentul închis [AB]
1p
1p
2p
1p
b) 4-2x+2 2 =4
-2x=-2 2
x= 2 [ 5,4]∈ −
1p
2p
2p
5 E(n)= 2 2( 2 3)( 2 5) 1n n n n+ − + − + = 2 2[( 2 ) 3][( 2 ) 5]n n n n+ − + − +1
E(n)= 2 2 2 2( 2 ) 3( 2 ) 5( 2 ) 15 1n n n n n n+ − + − + + +
E(n)= 2 2 2( 2 ) 8( 2 ) 16n n n n+ − + +
E(n)= 2 2( 2 4)n n+ − , pătrat perfect , n∀ ∈
1p
1p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) înălţimea blocului = 3 16 24( )
2m⋅ =
4 16 64bP = ⋅ = (m)
aria laterală a blocului = bP h⋅ =64 ⋅24=1536(m 2 )
2p
2p
1p
b)diagonala bazei piramidei=16 2 (m)
înălţimea piramidei= 1 16 4( )4
m⋅ =
aplică teorema lui Pitagora:
muchia laterală a piramidei= 2 24 (8 2)+ =12(m)
1p
1p
3p
c)apotema piramidei= 144 64 4 5− = (m 2 ) 1p
www.mate
info.r
o
82
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Arie acoperiş= 216 4 54 128 5( )2
m⋅⋅ =
Număr ţigle= 128 5 220 2560 5 2560 5 5724⋅ = = ⋅ = ţigle
2p
2p
2. a) A 2disc Rπ=
4050discA π=
212757,5discA cm=
2p
2p
1p
b) neacoperită pătrat discA A A= −
218225pătratA cm=
25467,5neacoperităA cm=
1p
3p
1p
c) Latura pătratului haşurat= 2 2(45 2) (45 2) 90cm+ =
Sunt necesare 9 plăci.
Preţul= 378 lei
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
83
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 35 Prof. Bulgăr Delia Valentina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 32
5p
2. 10 5p
3. 16
5p
4. 45
5p
5. 60 5p
6. 14 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. 3 2− = 1
9
4 1216
− =
obţine a= 512
aduce 1 5 1, ,3 12 2
la acelaşi numitor
finalizare
1p
1p
1p
1p
1p
3. Notând 2n= numărul poşetelor (n∈ ), x = preţul poşetei
www.mate
info.r
o
84
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2n ⋅x+2 ⋅25=340
n ⋅x=145
Din condiţia x>100⇒ x=145 (lei)
3p
1p
1p
4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului
4p
1p
b) Notând G { }f OY A= , G { }f OX B= , f(0)=-3, A(0,-3)
2OA OBA ⋅
=
34,52OB⋅
=
OB=3 (3,0) (3) 0 1B f m⇒ ⇒ = ⇒ =
1p
1p
1p
2p
5 2 2(3 7) 9 6 7 7x x x− = − +
2( 7 3 )( 7 3 ) 7 9x x x+ − = −
2 2(3 7) 9 6 7 7x x x+ = + +
S= 29 6 7 7x x− + +2 ⋅ 2(7 9 )x− + 29 6 7 7x x+ + =28
1p
1p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Cum din datele problemei cele 16 cuburi sunt aşezate pe un pătrat, avem pe lungimea prismei 4 cuburi, pe lăţimea prismei 4 cuburi.
L=12cm, l=12cm, h=3cm
V= 3432L l h cm⋅ ⋅ =
1p
3p
1p
b) Pentru a avea la bază un pătrat cu latura de 6cm sunt necesare 4 cuburi, iar pentru a avea înălţimea cubului de 6cm sunt necesare 2 cuburi suprapuse.
Total cuburi=8
4p
1p
www.mate
info.r
o
85
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) Drumul minim de la F la I este „drumul drept”, adică ipotenuza 1 1FF I , unde 1 1F I coincide cu FI din desfăşurarea laterală a cubului.
1FF =4 ⋅6=24 (cm)
1 1F I =6cm
Aplicând teorema lui Pitagora în 1 1FF I , 1FI = 6 17 cm
2p
1p
1p
1p
2. a) A 2disc Rπ=
400discA π=
21260discA m=
2p
2p
1p
b) gazon discA A A= −
22500 3 4375A m= ≈
23115gazonA m=
1p
3p
1p
c) Punctele situate la distanţă maximă sunt vârfurile triunghiului
OA= 100 33
R m=
Finalizare
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
86
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 36 Prof. Burlăciuc Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 10101 5p
2. 3 5p
3. 14 5p
4. 121 5p
5. 90o 5p
6. 7 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. 12 3 36⋅ =
( )30 12 0,75 18 0,75 13,5− ⋅ = ⋅ =
10 36 13,5 32,5+ − =
2p
2p
1p
3. gm a b= ⋅ a > 0, b > 0
( )( )4 3 23 4 3 23 16 3 23gm = + − = ⋅ −
48 23 25 5gm = − = =
1p
2p
2p
4. a) ( )( )2 4 2 2x x x− = − +
( )( ) ( )( )2 22 3 6 12 5 6
2 2 2 2x x x x x
x x x x− − − + − +
=− + − +
1p
2p
www.mate
info.r
o
87
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )( )( )( )
2 3 32 2 2
x x xx x x− − −
=− + +
2p
b) ( ) ( ) { }3 2 3 3; 2;0;2;3
2x x x xx−
∈ ⇔ + − ∈ − − −+
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )2 3
2 2 3 2 52 2
x xx x x x
x x
+ −⇒ + + − + ⇒ +
+ +
{ }7; 1A = − −
1p
2p
2p
5 2 1 2 2 2 2 37 3 2 3 2n n n nA + + += ⋅ ⋅ + ⋅
( )2 1 2 33 2 7 3 2n nA += ⋅ ⋅ + ⋅
2 1 23 2 31 31n nA += ⋅ ⋅
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Vcutie = a b c⋅ ⋅
Vcutie = 2cm∙4cm∙6 cm = 48 cm3
2p
3p
b) Vcub= 3l
Vcub=23 =8 (cm3)
48: 8 = 6 bucăţele zahăr cubic
1p
2p
2p
c) După 4 zile Ioana consumă 2 bucăţele de zahăr cubic
6-2=4 bucăţele de zahăr cubic i-au rămas
( )6 4 66, 6 %100
p p⋅ = ⇒ =
1p
2p
2p
2. a) 2 2P L l= ⋅ + ⋅
EF = 2R = 2∙2 cm = 4 cm
DE = 3∙2R = 3∙2∙2 cm = 12 cm
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
88
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
PDEFG = 2∙4 cm + 2∙12 cm = 8 cm + 24 cm = 32 cm 2p
b) sin
2 2ADBAB DH AD DB ADBA ⋅ ⋅ ⋅
= =
unde { }AB DG H∩ =
din ADH cu ( ) 90om AHD = ⇒ AD = 2 2
din BDH cu ( ) 90 2 10om BHD BD= ⇒ =
5sin5
ADB =
2p
1p
1p
1p
c) 3carton ramas DEFG discA A A= − ⋅
4 12 48DEFGA L l= ⋅ = ⋅ = (cm2)
2 4discA Rπ π= = cm2
48 3 4 48 12 10carton ramasA π π= − ⋅ = − ≈ cm2
1p
1p
1p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 37 Prof. Burlăciuc Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 5p
2. 511
5p
3. (0; 4) 5p
4. 0,18 5p
5. 10 5p
6. 1929
5p
www.mate
info.r
o
89
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează trunchiul de piramida patrulatera regulată
Notează trunchiul de piramida patrulatera regulată
4p
1p
2. ( ) ( ), 11 11 , 11 , , 1a b a k b l k l= ⇒ = = =
2 11 5 11 176 2 5 16k l k l⋅ + ⋅ = ⇒ + =
( ) ( ){ }, 33,22a b ∈
2p
1p
2p
3. 5∙(3a+4b+c) =5∙14 ⇒ 15a + 20b +5c = 70
15a + 20b +5c – (2a-b+3c) = 70-9
13a + 21b + 2c = 61
2p
2p
1p
4. a) ( ) ( )
2 237 12 7 3 2 7+ = +
( )2237 12 7 3 2 3 2 7 2 7+ = + ⋅ ⋅ +
37 12 7 9 12 7 28+ = + +
2p
2p
1p
b) ( )2
3 2 7 3 2 7− = −
( )3 2 7 3 2 7 0 3 2 7 3 2 7 2 7 3< ⇒ − < ⇒ − = − − = −
3 2 7 2 7 3 4 7x = + + − =
( ) ( ) ( )2012 2012 20124 7 1 4 7 4 7 1 1 1x − − = − − = − =
2p
1p
1p
1p
5 ( )1 2 5f a b− = − ⇒ − + = −
( )1 4 3f a b= ⇒ + =
5, 43 1
a b aa b b− + = − =
⇔ + = = −
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
90
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ) 3 1f x x= + 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) cusca cuboid prismaV V V= +
30,8 1 0,8 0,64 cuboidV a b c m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
223 0,16 3
4blA m= =
30,16 3 prisma bV A h m= ⋅ =
( )3 3 30,64 0,16 3 0,16 4 3 cuscaV m m m= + = +
1p
1p
1p
1p
1p
b) usa MNPQ PQ
A A A= +
260 30 1800 MNPQA MN NP cm cm cm= ⋅ = ⋅ =
22900 450
2 2PQ
RA cmπ π π= = =
2 2 2 2 21800 450 1800 1413 3213 usaA cm cm cm cm cmπ= + ≈ + =
1p
1p
1p
2p
c) de vopsit l cuboid bA A P h= = ⋅
2 3,6 0,8 2,88 l cuboidA m= ⋅ =
2,88 0,3 0,864 litri vopsea⋅ =
1p
2 p
2p
2. a) paralelogram 2 si
GH CFCFGH GH CF m GF CH
GF CH⇒ ⇒ = = =
BH = AB – HG – GA = 24 m – 2 m – 2 m = 20 m
Din ( ) cu 90 16 oHCB m HCB HC m= ⇒ =
Lungimea gardului este GF=HC=16 m
1p
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
91
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) '
2 2ADEb i DE AAA ⋅ ⋅
= =
Fie CC’ şi DD’ înălţimi în trapez
( ) 1 2 cu 90 ' 9,6 o c c HC BCHCB m HCB CC mip BH⋅ ⋅
= ⇒ = = =
( ) 2 cu 90 ' ' 7, 2 oHCB m HCB BC BH BC BC m= ⇒ = ⋅ ⇒ =
DC=24-7,2-7,2=9,6 m ⇒DE=DC-EF-FC =9,6-2-2=5,6 m ⇒ 29,6 5,6 26,88
2ADEA m⋅= =
1p
2p
1p
1p
c) 21 2 12 16 96
2 2 2terasa BCHc c BC CHA A m⋅ ⋅ ⋅
= = = = =
21096 96 96 9,6 105,6 100
m+ ⋅ = + = gresie
105,6∙40 = 4224 lei costă gresia
2p
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 38 Prof. Burlăciuc Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 8 5p
2. 3 5p
3. - 4 5p
4. 14
5p
5. 75 5p
6. 6,3 5p
www.mate
info.r
o
92
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral
Notează prisma
4p
1p
2. 2011 2011 , 20122012 2011 2012
a a b k a k b kb= ⇔ = = ⇒ = =
2 2 2011 2012 2010 20102012 2011
a b k k kb a k k k− ⋅ −
= = =− −
2p
3p
3. F echiunitară ⇔ 2 13 4 3 2 3 149 2012n n n+ ++ ⋅ + ⋅ + =
2 13 4 3 2 3 1863n n n+ ++ ⋅ + ⋅ =
( )23 3 4 3 2 1863n + ⋅ + =
3 23 1863n ⋅ =
3 81 4n n= ⇒ =
1p
1p
1p
1p
1p
4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f
Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f
Trasarea graficului funcţiei f
2p
2p
1p
b) ( ) 3 2f n n= +
( ) ( )2 3 2 2 3 6 2 3 8f n n n n+ = + + = + + = +
( ) ( ) ( )( ) 22 9 3 2 3 8 9 9 30 25f n f n n n n n⋅ + + = + + + = + +
( ) ( ) ( )22 9 3 5 este patrat perfect, f n f n n n N⋅ + + = + ∀ ∈
1p
1p
2p
1p
5 21 25xx
+ =
1p
www.mate
info.r
o
93
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2 22 2
1 1 12 25 23x x xx x x
+ ⋅ ⋅ + = ⇔ + =
22
1 1 5 23x xx x
+ + = ⋅
23
2 3
1 115x xxx x x
+ + + =
3 33 3
1 1115 5 110x xx x
+ = − ⇔ + =
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( )3
tB b B b
hV A A A A= + + ⋅
2 2 220 400 BA L cm= = =
2 2 210 100 bA l cm= = =
( ) 330 400 100 200 10 700 7000 3
V cm= + + = ⋅ =
1p
1p
1p
2p
b)
{ }' , 'M E OM M E QN F⊥ ∩ = , ' 5 24' ' 4 ' 30
M F FNM FN M EM FN cmM E ME
⋅⇒ = ⇒ = =
5 4 9QN QF FN= + = + =
2 2 218 324 PRSTA ST cm= = =
( ) 324 100 324 180 4832 3
V cm= + + =
3 34832 4,832 dm 4,832 V cm litri= = =
1p
1p
1p
1p
1p
c) 'Fie OL MM⊥ ;
( )( )' '
, ' '
BC OMBC OO BC OMMOM OO OMM
⊥⊥ ⇒ ⊥
⊂
; ( )( )
'
'
BC OMMBC OL
OL OMM
⊥⇒ ⊥
⊂
1p
www.mate
info.r
o
94
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ){ }
( ) ( )( )
'
' ; ', ' '
'
OL MMOL BC
OL BCC d O BCC OLBC MM BCC
BC MM M
⊥⊥
⇒ ⊥ ⇒ =⊂
∩ =
'' '
2 2OMMOM M E MM OLA ⋅ ⋅
= =
( )( )' 10 30 60 37 60 37 ; ' ' 37 375 37
OM M EOL cm d O BCC cmMM⋅ ⋅
= = = ⇒ =
2p
1p
1p
2. a) 10 5 cm; ADE
2 2DCDE EC= = = = şi BCE sunt dreptunghice isoscele
( ) ( ) ( )45 180 45 45 90o o o o om AED m BEC m AEB= = ⇒ = − − =
225 AEBA cm=
2p
1p
2p
b) galben disc AEBA A A= −
ABE dreptunghic înscris în cerc ⇒AB = 2R= 10 cm ⇒R= 5 cm
2discA Rπ=
25discA π=
( )25 25 25 1galbenA π π= − = − cm2
1p
1p
1p
1p
1p
c)
2disc
albastru ABCDAA A= −
10 5 50ABCDA L l AB BC= ⋅ = ⋅ = ⋅ = cm2
25 100 25502 2albastruA π π−
= − = cm2
100 253,14 25 78,5 100 25 21,5 10,75 112
ππ π π −> ⇒ − < − ⇒ − < ⇒ < <
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
95
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 39 Prof: Burlăciuc Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 37 5p
2. ( ]3;2− 5p
3. 16 5p
4. 81 3 5p
5. 4 3 5p
6. 29 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează trunchiul de piramidă triunghiulară regulată
Notează prisma
4p
1p
2.
[ ]1 1
2 2
3 3
10 9 9 1014 9 9 14 9 10,14,2020 9 9 20
x c x cx c x c x kx c x c
= ⋅ + ⇔ − = ⋅= ⋅ + ⇔ − = ⋅ ⇒ − = ⋅= ⋅ + ⇔ − = ⋅
9 140 140 9 150 149 merex k x k x− = ⇒ = + < ⇒ =
3p
2p
3. a 3 , 6 , 23 6 2
b c k a k b k c k= = = ⇒ = = =
( )22 2 2 2 2 2 29 36 4 49 7a b c k k k k k+ + = + + = = este pătratul unui număr
3p
2p
4. a) Adunând cele două ecuaţii obţinem 4023 4023 12069 3a b a b+ = ⇔ + =
Scăzând cele două ecuaţii obţinem 1a b− + =
3, 1,1 2
a b aa b b+ = =
⇔ − + = =
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
96
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ): , 2 f R R f x x→ = + 1p
b) ( ){ }2;0fG Ox A∩ = −
( ){ }0;2fG Oy B∩ =
21 2 2 2 2AOB
c c AO OBA u⋅ ⋅= = =
2p
2p
1p
5 ( )( ) ( )( ) ( )( )2 22 5 3 4 1 7 10 7 12 1n n n n n n n n+ + + + + = + + + + +
( )( )2 2 7 10 12 1 22 121Notam n n a a a a a+ = ⇒ + + + = + +
( ) ( )22 2 211 7 11 7 11A a n n n n= + = + + = + + este număr natural, n∀ ∈N
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
3bA hV ⋅
=
2 100bA l= = cm2
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ); ;
ABC
ABCABC
VO ABC pr V Opr VA OA VA ABC VA AO VAO
A ABC pr A A
⊥ ⇒ =⇒ = ⇒ = =
∈ ⇒ =
VOA dreptunghic isoscel 2 5 22
lAO VO⇒ = = = cm
500 23
V = cm3
1p
1p
1p
1p
1p
b) VA AB VB VAB= = ⇒ echilateral
Dacă M mijloc VB ⇒AM şi CM sunt înălţimi în triunghiurile echilaterale VAB şi VBC
1p
www.mate
info.r
o
97
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( ); ; ;
;
VAB VBC VB
AM VB AM VAB VAB VBC AM CM AMC
CM VB CM VBC
∩ =
⊥ ⊂ ⇒ = =
⊥ ⊂
sin2 2MAC
AC OM AM MC AMCA ⋅ ⋅ ⋅= =
10 2 5 2 2sin35 3 5 3
AC OMAMCAM MC
⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅
1p
1p
2p
c) Drumul cel mai scurt este egal cu lungimea segmentului BD pe desfăşurarea piramidei
Fie BP înălţime în triunghiul VAB echilateral 5 3BP⇒ = cm
Din ( ) cu 90 10 3oBPD m BPD BD= ⇒ = cm (lungimea drumului)
2p
1p
2p
2. a) ABCDA L l AB BC= ⋅ = ⋅
BT şi BM tangente la acelaşi cerc ⇒BT=BM=12 cm 2 24AB BM⇒ = ⋅ = cm
( ) ( ) 120 bisectorea TOM 602
ooOB m BOM m BOT⇒ = = =
( ) cu 90 4 3 2 8 3o BTBOT m BTO tg BOT OT BC ROT
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = cm
192 3ABCDA = cm2
1p
1p
1p
1p
1p
b) 2 8 3cercL Rπ π= =
2sec 360tor circular o
uA Rπ= ⋅
2p
1p
www.mate
info.r
o
98
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )02
sec 1204 3 16360tor circular oA π π= ⋅ ⋅ =
2p
c) ( )
2trapez
B b iA
+ ⋅=
( ) ( )0, 360 90 90 120 60o o o oOM AB OT BE m MBT⊥ ⊥ ⇒ = − + + =
' , ' ; ' 2 8 3EE AB FF AB EE R⊥ ⊥ = =
( ) '' cu ' 90 ' 8 ' ' 24 8 8 8'
o EEBEE m E tg B BE EF E FBE
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = − − =
128 3ABEFA =
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
99
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 40 Prof: Burlacu Daniel
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 13 5p
2. 2 5p
3. 5 5p
4. 12 5p
5. 6 5p
6. 25 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Realizare desen.
Notare
3p
2p
2. Notăm cu x prețul inițial al televizorului.
10 990100
x x− =
90 99000x =
1100x = lei (prețul inițial al televizorului)
2p
2p
1p
3. 30a b c+ + =
23
2 3 55
a ka b c k b k
c k
== = = ⇒ =
=
2 3 5 30 3k k k k+ + = ⇒ =
6; 9; 15a b c= = =
1p
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
100
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a)
(3) 3 2 (3) 1(3; 1)
f fA G= − + ⇒ = −
⇒ − ∈
3p
2p
b)Reprezentarea corectă a unui punct de pe grafic.
Reprezentarea corectă a celui de-al doilea punct de pe grafic.
Trasarea graficului funcției.
2p
2p
1p
5 4 4 3 3 3 3 3 3 3 13A = + + + − − + =
A∈
4p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
2 2 2 2: ( ) 90 25 54 20
o
gard
AMQ m A MQ AM AQ MQ MQL MQ m∆ = ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
= =
3p
2p
b) 21 2 6 8 24
2 2MNPQ MNPQd dA A m= ⇒ = =
24 10 240= euro costă plantarea întregi zone cu flori
3p
2p
c)
2
2
2
48 24 24
48
24
pavaj ABCD MNPQ pavaj
ABCD
MNPQ
S A A S m
A m
A m
= − ⇒ = − =
=
=
5p
2. a) 310 6 4 240V L l h V m= ⇒ = = 5p
b) 232 4 128l b lA P h A m= ⇒ = =
128 : 4 32l= de vopsea
3p
2p
c) c) Vcub= 503 = 125000 cm3
Vcamera de depozitat = 240 m3=240 000 000 cm3
240 000 000 : 125 000 = 1920 cutii cubice
3p
2p
www.mate
info.r
o
101
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 41 Prof: Burlacu Daniel
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 3 5p
2. 0, 1, 2, 3 5p
3. 6 5p
4. 4 5p
5. 45o 5p
6. Vineri 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Realizare desen.
Notare
3p
2p
2. Notăm cu x suma inițială
30 1400100
x x− =
70 140000x =
2000x = lei (suma inițială)
2p
2p
1p
3. Notăm cu n − numărul de copii din șscoală
[4;5;6] 360 3
nn= += +
63n = (numărul minim de copii din școală)
2p
2p
1p
4. a)
( ; ) ( )
2 4 4fM a a G f a a
a a a∈ ⇒ =
− = ⇒ =
2p
2p
www.mate
info.r
o
102
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
(4;4)M este punctul de pe grafic cu abscisa egală cu ordonata 1p
b)
21 2
( ) 0 (2;0)(0) 4 (0; 4)
2 4 42 2AOB
Ox f x AOy f B
c cA u
∩ ⇒ = ⇒∩ ⇒ = − ⇒ −
= = =
2p
2p
1p
5 2 2 2( ) 4 12 9 3 12 12 3( ) 0
E x x x x x xE x
= − + − + − − +=
⇒Expresia nu depinde de x 3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 10: ( ) 90 5
2o
MBCxMBC m B A x∆ = ⇒ = =
2m 5p
b)
210030 5 30
100
ABCD
MBC ABCD
A m
A A x
=
= ⇒ =
6x =
2p
2p
1p
c) 2(10 4) 10 70
2AMCDA m+= =
270 29 2030m = lei costă gresia pentru cameră
3p
2p
2. a)
2 2 2
2
: ( ) 90
144 72 6 2
oVOA m O VO VA AO
VO VO m
∆ = ⇒ = −
= − ⇒ =
2p
3p
b)
22
2
34 144 34
250
l
l
lA m
A m
= =
≅
4p
1p
c)
250 20 500050 5000 2500
1005000 2500 7500
lei
lei
lei
=
=
+ =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
103
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 42 Prof: Burlacu Daniel
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2 5p
2. 3 5p
3. 11 5p
4. 28 5p
5. 48 5p
6. 7 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Realizare desen.
Notare
3p
2p
2. 5 5000 250100
=
250 2 500lei= ( va fi penalizat muncitorul)
3p
2p
3. Notăm cu x − numărul apartamentelor cu 2 camere
y −numărul apartamentelor cu 3 camere
562 3 144
2432
x yx y
xy
+ = + =
= =
În bloc sunt 24 de apartamente cu două camere si 32 de apartamente cu trei camere.
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
104
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4.
a)
(3) 1 (3; 1)
(3) 1 (3; 1)
(3; 1)
f
g
f g
f A Gg A G
A G G
= − ⇒ − ∈ ⇒= − ⇒ − ∈ ⇒ − ∈ ∩
2p
2p
1p
b)
2
(3; 1)
(0) 2 (0;2)
(0) 4 (0; 4)
66 3 9
2 2
f g
f
g
ABC
A G GG Oy f BG Oy g CBC u
b hA u
− ∈ ∩
∩ ⇒ = ⇒
∩ ⇒ = − ⇒ −
=
= = =
1p
2p
1p
1p
5 27 4 3 (2 3) 2 3 2 3
7 3 2 3 9 3AA
− = − = − = −
= + + − = =∈
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
2 2 2: ( ) 90500
oAMF m M AF AM MFAF m∆ = ⇒ = +
=
5p
b)
2800 600 480000 4848 1500 72000
ABCDA m halei
= = ==
cost plantare, întreținere și recoltare. 3p
2p
c) 48 3,5 168t t=
168 800 134400lei=
2p
2p
www.mate
info.r
o
105
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
134400 72000 62400lei− = rămân agricultorului 1p
2. a) 3 320 30 40 24000 24 24V cm dm l= = = =
24 2 48 50l l l= ∠ . Deci nu sunt suficiente două canistre.
3p
2p
b)300 : 50 6 /lei litru=
6 24 144lei lei= costă canistra de benzină
2p
3p
c)
2
2 ( )2 2600 5200
A L l h l L hA cm= + +
= =
2p
3p
www.mate
info.r
o
106
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 43 Prof. Ileana Cernovici
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 5p
2. 21 5p
3. 42 5p
4. 25 5p
5. 60 5p
6. 7,40 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. [ ]2;5A = −
numerele întregi din mulţimea A sunt : { }2;0;1;2;3;4;5−
( )3;3B = −
numerele întregi din mulţimea B sunt: { }2; 1;0;1;2− −
cel mai mare număr întreg care aparţine lui A şi B este 2
1p
1p
1p
1p
1p
3. Notăm cu a şi b cele 2 numere
122
a b+=
24a b+ =
57
ab=
1p
1p
www.mate
info.r
o
107
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
10a =
14b =
1p
1p
1p
4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului funcţiei
4p
1p
b) ( ) 3 2f x x= −
⇒ ( )2 3 2 2a f= = − ⋅ şi
( ) ( )2 3 2 2 3 2 2b f= − = − ⋅ − = +
gm a b= ⋅
( )( )3 2 2 3 2 2 9 8 1gm = − + = − =
1p
1p
1p
2p
5. 6 3 2x = + şi 6 18 6 3 2y = − = −
( )( ) ( )226 3 2 6 3 2 6 3 2 36 18 18
18
x y
x y
⋅ = + − = − = − =
⇒ ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2
2 2
6 3 2 6 3 2 36 36 2 3 2 36 36 2 3 2
2 36 2 18 108 108
x y
x y
+ = + + − = + + + − + =
⋅ + ⋅ = ⇒ + =
1p
2p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( ) ( ) 22 2 2 4 2 8 4 8 2 56 112totA ab ac bc cm= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ = 5p
b) 32 4 8 64cub paralelipipedV V cm= = ⋅ ⋅ = 5p
) 3 3
2 2 2sec
644
2 2 4 2 16 2tiunii
c V l ll cm
A l l l cm
= ⇒ =
⇒ =
= ⋅ = = =
5p
www.mate
info.r
o
108
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. ) 3 ; 2 66
a CD m AD CD AD mADCE dreptunghi CE m
= = ⇒ == ⇒ =
În triunghiul CEB avem ( ) ( )90 ; 45m E m B= = ⇒
Triunghiul CEB este dreptunghic isoscel
( ) 2
6
12 6 362 2ABCD
CE EB mCD AB AD
A m
⇒ = =
+ ⋅ ⋅= = =
1p 1p
1p
1p
1p
b) notăm cu x =cantitatea de gresie cumpărată
10 36100
90 100 3636 40100 90
x x
x x
− ⋅ =
⋅⋅ = ⇒ = =
Deci vom avea nevoie de 240m de gresie
2p
2p
1p
c)In triunghiul CEB dreptunghic isoscel aplic T.Pitagora
( )
2 2 2 2 26 6 36 36 72
72 6 2
9 6 2 3 6 18 6 2
6 3 218 6 2 3 236 36 6
ABCD
ABCD
ABCD
BC BE BC
BC
P AB BC CD DA
PA
⇒ = + = + = + =
⇒ = =
= + + + = + + + = +
++ +⇒ = = =
1p 1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
109
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 44 Prof. Ileana Cernovici
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -1 5p
2. ( )21 2a = + 5p
3. 5 5p
4. 600 5p
5. 19,85 5p
6. 33 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. Notăm cele 2 unghiuri A şi B
( ) ( ) 90m A m B+ =
( ) ( ) 0204
m Bm A = +
( ) 056m B = şi ( ) 034m A =
1p
2p
2p
3. ( ) ( ) ( )2 221 3 1 3 2 3 1 4 2 3x − = + = + + = +
2 1 2 3 2 33 3 3 33
y += + = + =
2p
2p
www.mate
info.r
o
110
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Stabilim egalitatea :
( ) ( )
2 34 2 3 63
2 2 3 2 2 3
++ = ⋅
⇔ + = +
1p
4. a) notăm cu x numărul apartamentelor cu 3 camere şi cu y numărul apartamentelor cu 2 camere.
3 2 7620
28x y
xx y+ =
⇒ = + = şi 8y =
5p
b) din p% 20 8 40p⋅ = ⇒ =
deci 40%
5p
5 ( ) ( )2 22 3 1 3E x x y= − + + +
Pentru ca E minim 2 0x⇒ − = şi 3 1 0y + =
2x⇒ = şi 13
y = −
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
4 2
2 2 22 22 :2 1 1 2 2 2
E− + − +− − = − = − + + − − −
2 2 4 2 2:1 3 16 4
− − + − = − −
( )
2 4 6 2 4 4 122 : : 43 12 3 12 3 4
2 4E
− − = = ⋅ = ⇒ − =
2p
1p
2p
) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
2
2 222
2 2
1 2 12 2 21 1 1 1 1 1 1
12 =1 2
x x xx x x xbx x x x x x x
x xx xE x xx x x
− + + + +− = + = =
+ − + − + − −
−+ += ⋅
− + +
3p
2p
www.mate
info.r
o
111
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 22 2 2
2 2 4 2 4 4
2 4 2 2 4 4
2 4 4 2
c E a b a b a b ab a b
E a b E a b a b ab a
a b ab a a a b a
+ + = + + = + + + + +
+ + + − = + + + + =
+ + + + + = + + +
din ( ) ( )2 22 0 2 0
2; 2a b a a b a
a b+ + + = ⇒ + = + =
⇒ = − =
deci 2; 2a b= − = soluţie
2p
1p
1p
1p
2.
)
( )
2
2
2
2
9 9 3 43 9 3 33 23
34
3 3 3 27 34 4
b
b b aca l la
lA
cm
− ± −= ⇒ = = =
= =
⋅=
2p
1p
2p
)
3
327 3 4
43
27 3 9 33
bdiamant
A hb V
cm
⋅= =
⋅=
=
1p
2p
2p
) 3 3 35 125
125 9 3100
9 3 4 36 3 12,475 5
c Vcutie l cmp
p
= = =
⋅ = ⇒
⋅= = ≈
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
112
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 45 Prof. Ileana Cernovici
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 11 5p
2. 3 34
5p
3. 150 5p
4. 300 5p
5. 12 5p
6. 38,5 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Realizează desenul şi identifică figura
5p
2. ( )( )( ) ( )( )( )
( )
2 1 2 2 3 2 2 31 2 1 2 2 3 2 3
2 1 2 2 3 2 2 31 1
2 1 2 2 3 2 2 3
2 2 2 2 3 2 2 30
− −+ − + =
+ − + −
− −+ − + =
−
− − + − − + =
− + + − − + =∈
1p
2p
1p
1p
3.
( ) ( ) ( )( )
( )
a+b+2 a+b +...+100 a+b 1 2 ... 100
100
a b
a b
= + + + + =
+ ⋅101
2⋅
( ) 50 101500 101 50500a b
=
+ ⋅ ⋅ =
⋅ =
2p
1p
1p 1p
www.mate
info.r
o
113
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. 21 2 242
c cA cm⋅= =
( )( )
( )( )2
4 5 224
24 5 2 48
5 18 56 0
x xA
x x
x x
+ −= =
+ − =
+ − =
1 22 2 2 2 2
1 2
10 6
Solutia care convine este 22 4 6; 5 2 2 8
6 8 36 64 100
8
0
241
xc c
ip c
perimet
c
u mip
r c
=⇒ = + = = ⋅ − =
= + = +
= + + =
= + =⇒ =
Nu trebuie
1p
1p
1p
1p
1p
b) pentru triunghiul dreptunghic avem
1 2 6 8 48 2410 10 5
c chip⋅ ⋅
= = = =
5p
5 ( ) ( )( )
( )
2 3 2 3 1
1 2 3 1
1; 1
f x g x x x x
f
M
= ⇒ − = − ⇒ =
= − = −
⇒ −
2p
2p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. ) ( ) ( ) ( )2
2 2 16 10 16 30 10 30 2 160 480 300
2 940 1880ta A ab ac bc
m
= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + =
⋅ =
5p
b) ( ) ( )( ), 3D D ABC DE AC E AC T′ ⊥ ⊥ ∈ ⇒ ⊥ că D E AC′ ⊥ ⇒
distanţa de la D′ la AC este D E′
in triunghiul DAC aplicăm T.Pitagora⇒AC 356=
160356
AD DCDEAC⋅
= =
În triunghiul ( ), 90D DE m D′ =
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
114
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Aplicăm TP2 2 2
10 10
D E D D DE
D E m′ =
′ ′⇒ = +
1p
c) Sup.acoperişului S 216 10 160m= ⋅ =
intr-o zi un muncitor izolează 4 2 5m ⇒ zile izolează 4 5 20⋅ = 2m
sunt necesari 160: 20=8 muncitori
1p
2p
2p
2. ) ( ) ( )2 2 20 12 6464 : 4 16
a P L l m= + = ⋅ + =
⇒ =
deci se folosesc 16 stâlpi
2p 2p
1p
b)Lungimea unui rând de sârmă este 64-4 60m=
60 m 3 180m⋅ = sârmă necesari pentru cele 3 rânduri
2p
3p
c) 180 1,25 225lei⋅ = 5p
www.mate
info.r
o
115
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 46 Prof Ileana Cernovici
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 2b = 5p
2. 1987 5p
3. 80 5p
4. 12 5p
5. 0 5p
6. 2 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect
Notează corect
4p
1p
2. 6 2 6 2 44 5 719 5 719 6 719
6 120 719 720 719 1
a b b c a b b c a b cE a b c c c c+ = + ⇒ + − = ⇒ + == + + − = + − = − =⋅ − = − =
2p
2p 1p
3. Notăm cu x , lungimea drumului şi avem
În prima etapă: 1 105
x +
Drum rămas 1 410 105 5
x x x − + = −
Etapa a doua: 1 4 10 172 5
x − +
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
116
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1 1 410 10 17 305 2 51 2 525 53 525
3525
252 1305
x x x
x x x
x x
x x
x x
+ + − + + =
+ + =
+ =
= −
= ⇒ =
1p
4. ) ( )( ) ( )( )( )( )
, ,
,
3
60
ABCa A B ABC A B pr A B
A B AB A BA
tg A BA
m A BA
′ ′ ′= =
′ ′=
′ = ⇒
′ =
1p
1p
1p
2p
)( ) ( )
{ }( )
( )( )
, ,
6 3, 3 32
b CE AB
AA ABC siCE ABC AA CE
CE AB CE A A AA AB A
CE A AB
d C A AB CE cm
⊥
′ ′⊥ ⊂ ⇒ ⊥
′ ′⊥ ⊥ ∩ =
′⇒ ⊥ ⇒
′ = = =
1p
1p
1p
1p 1p
5 Suma are 333 termeni pe care ii grupăm cîte 3
( ) ( ) ( )( )
2 4 2 331 2
4 331
7 1 7 7 7 1 7 7 ... 7 1 7 7
57 7 7 ... 7 57
S = + + + + + + + + + =
+ + +
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
3 5 222 4x yx y− = −
− =
3 5 22 610 5 20 8x y x
x y y− = − =
⇒ ⇒ − + = − =
Atunci AB=6 cm şi AC=8 cm
2p
1p
www.mate
info.r
o
117
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ), 90ABC m A =
avem
2 2 2
2
106 8 24
2 26 8 10 24
BC AB AC BC cmAB ACAria cm
Perimetru AB AC BC cm
= + ⇒ =⋅ ⋅
= = =
= + + = + + =
1p 1p
b) Fie AD BC⊥ , aplicăm T.catetei in
2
2 36 3,610
10 3,6 6,4
ABC AB BD BCABBD cmBC
DC BC BD CM
⇒ = ⋅ ⇒
= = =
= − = − =
1p 2p
2p
c)2 2
2 48 22 242
4cerc
r P AA rP
rA r cmπ π
⋅= ⇒ = = =
⇒ =
= =
2p
1p
2p
2.
a)
( ) ( )( ) ( )
( )
1;2 1 2 2
2; 1 2 1 2 1
11
1
f
f
A G f a b
B G f a b
ab
f x x
− ∈ ⇔ − = ⇔ − + =
− ∈ ⇔ = − ⇔ + = −
= −⇒ ⇒ =
= − +
1p
1p
1p
2p
b) 3MA MB ABM= = ⇒ dreptunghic isoscel
( )( )
45
1
m ABM
tg ABM
⇒ = ⇒
=
2p
2p
1p
) 2 2
1 2
3 2
6 3 23 3 9
2 2 2
c AB MA MB AB
P AM AB MBc cA
= + ⇒ =
= + + = +⋅ ⋅
= = =
1p 2p
2p
www.mate
info.r
o
118
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 47 Prof. Ciocănaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 96 5p
2. 5 5p
3. 10 lei 5p
4. 25 cm2 5p
5. 13 5p
6. 48 cm 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma.
Notează prisma.
Trasează diagonala AB’.
3p
1p
1p
2. Scrie mulţimea divizorilor naturali ai lui 5, D5 = {1, 5}.
Rezolvă ecuaţiile x+1 = 1 şi y-1 = 5 şi găseşte x = 0, y = 6.
Rezolvă ecuaţiile x+1 = 5 şi y-1 = 1, găseşte x = 4, y = 2 şi scrie mulţimea soluţiilor S = {(0, 6), (4, 2)}.
1p
2p
2p
3. Notează cu x preţul iniţial al laptopului; preţul după scumpire este x + 15% x
= x2023
.
Preţul după ieftinire este x2023 – 20%( x
2023 ) = x
2523 .
Scrie ecuaţia x2523 = 2300 şi determină x = 2500 lei.
1p
2p
2p
4. a) Fie punctul M(a,b) intersecţia celor două grafice. Scrie f(a) = b, g(a) = b deci f(a) = g(a).
Obţine f(a) = a – 2, g(a) = 2a + 1 şi a – 2 = 2a + 1, de unde a = - 3.
2p
2p
www.mate
info.r
o
119
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Calculează b = - 5 şi finalizează M(-3, -5). 1p
b) Folosirea lui M din rezolvarea punctului a) sau reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei g.
Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei g.
Trasarea graficului funcţiei g.
2p
2p
1p
5 Amplifică fiecare fracţie cu expresia conjugată a numitorului adică 23 + respectiv 12 − .
Obţine a = ( 23 + )2 + ( 12 − )2 - )13(22 − = 5+ 62 + 3- 22 - 62 +
22 .
Determină a = 8 şi finalizează a∈N.
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Scrie Lcerc = 2πR.
Calculează L cerc mare = 45π cm, L cerc mijlociu = 30π cm, L cerc mic = 15π cm.
Calculează L panglică necesară pentru cele 3 cercuri: mare, mijlociu, mic
L panglică = L cerc mare + L cerc mijlociu + L cerc mic = 90π cm
Calculează lungimea panglicii pentru fragmentul din Figura 1
L = 360π cm.
1p
2p
1p
1p
b) Precizează că suprafaţa vopsită corespunde Al a paralelipipedului dreptunghic (panglica metalică) cu secţiunea având P = 2(2 + 0,3) = 4,6 cm
Al panglică mare = 4, 6 ⋅45π = 207π cm2, Al panglică mijlocie = 4, 6 ⋅30π = 138π cm2,
Al panglică mica = 4, 6 ⋅15π = 69π cm2.
Calculează A culoare 1 = 4(Al panglică mare + Al panglică mica) = 1104 π cm2
Calculează A culoare 2 = 4 Al panglică mijlocie = 552 π cm2.
1p
2p
2p
c) Scrie Vparalelipiped = Abazei ⋅ h. 1p
www.mate
info.r
o
120
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Abazei = 2 ⋅ 0,3 = 0,6 cm2
Observă că panglica are lungimea totală egală cu L panglică de la punctul a) deci h = L panglică
Calculează Vparalelipiped = 0,6 ⋅90π = 54 π cm3.
1p
3p
2. a) Calculează diagonalele pătratelor
d pătrat mare = 30 2 cm, d pătrat mic = 15 2 cm.
Calculează lungimea L = 5 ⋅30 2 + 4 ⋅15 2 + 2(5+7) = 210 2 + 24 (cm).
Calculează lăţimea l = 3 ⋅30 2 + 2 ⋅15 2 + 2(5+7) = 120 2 + 24 (cm).
2p
2p
1p
b) Scrie A pătrat = l2
Calculează A pătrat mic = 152 = 225 (cm2), A pătrat mare = 302 = 900 (cm2).
Calculează Abordură = 2 ⋅5 (210 2 + 24) + 2 ⋅5 (120 2 + 24 - 10)
Abordură = 10 (330 2 + 38) cm2.
Calculează SV = 12 A pătrat mic + Abordură, SV = 12 ⋅225 + 10 (330 2 + 38) .
Calculează SM = 12 A pătrat mare, SM = 12 ⋅900 cm2.
1p
1p
1p
1p
1p
c) Scrie A dreptunghi = L ⋅ l
Calculează, cu rezultatele de la a) A dreptunghi = (210 2 + 24) (120 2 + 24)
A dreptunghi ≈ 61843,32 cm2
Smotiv geometric = 12 (A pătrat mic + A pătrat mare) = 12 (225 + 900) = 13500 (cm2).
Calculează raportul procentual Smotiv geometric/ A dreptunghi = 13500/ 61843,32 de unde rezultă 21,82%
1p
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
121
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 48 Prof. Ciocănaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 24 5p
2. 3 5p
3. 9 cm 5p
4. 15 lei 5p
5. 8 3 cm 5p
6. 248 cm2 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează cubul şi îl notează.
Trasează diagonala AC’ şi precizează “o diagonală a cubului”.
Trasează diagonala AD’ şi precizează “diagonala unei feţe a cubului”.
3p
1p
1p
2. Notează cu x costul unei cutii cu bomboane şi cu y costul unei prăjituri
Scrie sistemul 2x + 5y = 35,9 şi îl rezolvă obţinând x = 9,2 şi y = 3,5
3x + 2y = 34,6
Finalizează precizând costul unei cutii cu bomboane 9,2 lei şi costul unei prăjituri 3,5 lei.
1p
3p
1p
3. Scrie mulţimea divizorilor întregi ai lui 3, D3 = {± 1, ± 3}.
Rezolvă ecuaţiile a+1 = 1 şi b-1 = 3 şi găseşte a = 0, b = 4,
a+1 = -1 şi b-1 = -3 şi găseşte a = -2, b = -2.
1p
2p
www.mate
info.r
o
122
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Rezolvă ecuaţiile a+1 = 3 şi b-1 = 1 şi găseşte a = 2, b = 2,
a+1 = -3 şi b-1 = -1 şi găseşte a = -4, b = 0 şi scrie mulţimea soluţiilor S = {(0, 4), (-2, -2), (2, 2), (-4, 0)}.
2p
4. a) Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei f.
Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei f.
Trasarea graficului funcţiei f.
2p
2p
1p
b) Determinarea coordonatelor lui A în urma rezolvării ecuaţiei f(x) = 0,
adică -2x +3 = 0, x = 23
, A(23
, 0).
Determinarea coordonatelor lui B în urma calculării lui f(0) = 3, B(0, 3)
Observarea catetelor triunghiului dreptunghic AOB, OA = 23
, OA = 3,
aplicarea formulei A∆dr = 2
21cc şi găsirea rezultatului A∆AOB = 49
2p
1p
2p
5 Scrie formula mediei geometrice mg = ab , a,b > 0
Observă a = 21+ + 21− = 2 2 > 0 şi b = 2 > 0.
Calculează mg = 2
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Scrie Vcil = πR2h şi R = 1,5 cm.
Calculează volumul unei alveole Va = π 1,52 ⋅2 = 4,5 π (cm3).
Calculează volumul tuturor alveolelor V = 15 ⋅Va = 67,5 π (cm3).
2p
2p
1p
b) Calculează lungimea suportului 0,3 ⋅2 + 0,2 ⋅4 + 3 ⋅5 = 16,4 (cm).
Calculează lăţimea suportului 0,3 ⋅2 + 0,2 ⋅2 + 3 ⋅3 = 10 (cm).
Observă suprafaţa suportului S = Adreptunghi - 15 ⋅Adisc .
Înlocuieşte şi calculează S = 16,4 ⋅10 - 15 ⋅1,52 π = 164 – 33,75 π (cm2).
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
123
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) Observă că pătratul trebuie să fie înscris în cerc pentru ca Apătrat să fie maximă şi face desenul corespunzător.
Scrie l4 = R 2 .
Calculează suprafaţa maximă pe care o pot ocupa bomboanele Smax = 15 ⋅A pătrat
Smax = 15 ⋅2 R2 = 30 ⋅1,52 = 67,5 (cm2).
2p
1p
2p
2. a) Scrie A pătrat = l2, Adisc = π 2)
2( l .
Apetală1 = Adisc + 41 ( A pătrat - Adisc) ⇒ Apetală1 = π 2)
2( l +
41 ( l2 - π 2)
2( l ).
Calculează Apetală1 = 2)2
( l4
13 +π .
2p
2p
1p
b) Scrie Apetală2 = Adisc +
31 ( A ∆echilat - Adisc), A∆echilat =
432l , Adisc = πR2
raza cercului înscris în triunghiul echilateral R = 63l , Adisc = π 2)
63(l .
Apetală2 = π 2)63(l +
31 (
432l - π 2)
63(l ).
Calculează Apetală2 = 2)2
( l9
332 +π .
3p
1p
1p
c) Din punctele a) şi b)⇒ Apetală1 = 2)
2( l
413 +π , Apetală2 = 2)
2( l
9332 +π .
Scrie AF1 = 4 Apetală1= 4
13 +π l2, AF2 = 6 Apetală2 = 6
332 +π l2.
⇒2
1
F
F
AA
= )332(2
)13(3+
+
ππ ≈ 1,76.
1p
3p
1p
www.mate
info.r
o
124
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 49 Prof. Ciocănaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 101
5p
2. 39 lei 5p
3. 320 cm2 5p
4. -11 5p
5. 32 cm 5p
6. 5 3 cm 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida.
Notează piramida.
Desenează triunghiul format din înălţimea piramidei, apotema bazei şi apotema piramidei şi îl notează.
2p
1p
2p
2. Scrie formula 3)( ba − = 3223 33 babbaa −+− .
Face înlocuirile şi calculele 3)322( − = 3223 )3()3()22(33)22(3)22( −+− = 16 2 - 24 3 +18 2 -3 3 .
Finalizează 3)322( − = 34 2 - 27 3 .
2p
2p
1p
3. Scrie ecuaţia dată sub forma echivalentă x -2 = 2(x + 3).
Desface paranteza, separă şi reduce termenii asemenea şi găseşte x = - 8.
Scrie S = {-8} şi precizeză că -8 nu poate reprezenta lungimea unui segment
1p
3p
www.mate
info.r
o
125
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
pentru că este negativ. 1p
4. a) Notează f(x) = ax+ b, a, b∈R.
Din A, B∈Gf scrie relaţiile f(2) = 4 şi f(-1) = -3 şi apoi 2a + b = 4, respectiv – a + b = -3.
Rezolvă sistemul 2a + b = 4 obţine soluţia S = {(32,
37− )} şi finalizează
– a + b = -3
f(x) = 32
37
−x .
1p
2p
2p
b) Reprezintă grafic funcţia f folosind oricare două puncte ale sale.
Duce perpendicularele din A pe Ox şi din B pe Oy, le prelungeşte până se intersectează în C şi scrie coordonatele sale C(2, -3)
3p
2p
5 Scrie ecuaţia 2322 ±=−+x .
Obţine 2322 ±=+x şi apoi x + 2 2 = )23( ±± .
Obţine x1 = 23 − , x2 = - 233 − , x3 = 233 − , x4 = - 23 − şi apoi
S = {- 233 − , 233 − , - 23 − , 23 − }.
1p
2p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Scrie L sector cerc = πRu/ 1800
Asuprafeţelor plane = 3 ⋅ 20 ⋅800 = 48000 (cm2), pentru o coloană.
Asuprafeţelor circulare = 3 ⋅10 π ⋅800 = 24000 π (cm2), pentru o coloană.
Suprafaţa pictată este 2 ⋅(48000 + 24000 π) = 48000(2 + π) (cm2).
1p
2p
1p
1p
b) Din punctul a) rezultă k = Asuprafeţei circulare / Asuprafeţei plane
Calculează k şi obţine k = π/ 2.
Raportul procentual este 157,14%.
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
126
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) Scrie A∆echilat = l2 3 / 4 şi Asector cerc = πR2u/ 3600
Calculează Asecţiunii = A∆echilat mare - 3 A∆echilat mic + 3 Asector cerc
Asecţiunii = 602 3 / 4 - 3 ⋅202 3 / 4 + 3 ⋅ 102π/ 2 = 150 (4 3 - π) (cm2).
Vcoloane = 2 ⋅Asecţiunii ⋅ h, Vcoloane = 240000 (4 3 - π) (cm3).
2p
2p
1p
2. a) Observă faptul că cele 4 sectoare de cerc scoase din pătratul albastru formează un cerc L cerc = 2πR iar segmentul rămas din latura pătratului are lungimea 60 - 2 ⋅ 12= 36
Calculează L cerc = 24π cm , Lsegmente = 4 ⋅ 36 = 24 (cm).
Calculează lungimea conturului exterior (albastru) 24π + 144 = 24(π + 6).
2p
2p
1p
b) Observă faptul că motivele geometrice roşii au aceeaşi formă cu motivul albastru de la punctul a) deci L cerc = 8π cm, Lsegmente = 4 ⋅ 12 = 48 cm
L formă = 8π + 48 = 8(π + 6) (cm).
Observă faptul că motivul nu are lungimea laturii modificată, deci P = 4 ⋅ 20 = 80
Calculează lungimea conturului motivului geometric (roşu) 4 ⋅8(π + 6) + 80 = 16(2π + 17) (cm)
3p
1p
1p
c) Scrie A pătrat = l2, foloseşte punctul a) pentru Acerc = πR2.
Calculează aria figurii A1 = 202- π42 = 42(52- π).
Calculează aria figurii A2 = 202- 4 ⋅42 = 42(52- 4) = 21 ⋅42.
Calculează aria motivului geometric (roşu) Amotiv roşu = 4 ⋅ A1+ A2
Amotiv roşu = 4 ⋅ 42(52- π) + 21 ⋅42 = 42( 121- 4 ⋅π) (cm2).
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
127
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 50 Prof. Ciocǎnaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 28 5p
2. 80% 5p
3. 8 2 5p
4. 6,2 5p
5. 26 5p
6. 0 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Deseneazǎ tetraedrul
Noteazǎ tetraedrul
4p
1p
2. Aduce pe a la forma: 2 2 - 2
Calculeazǎ a2 = 12 – 8 2
Scrie a-1 = )12(2
1−
Raţionalizeazǎ şi obţine a-1 = 2
12 +
2p
1p
1p
1p
3. Calculeazǎ cât costǎ minifelicitǎrile: 1,8 lei
Calculeazǎ cât costǎ plicurile: 15,6 lei
Calculeazǎ cât costǎ minifelicitǎrile cu plicuri: 17,4 lei
2p
2p
1p
4. a) Alege corect perechile de puncte pentru f. 2p
www.mate
info.r
o
128
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Traseazǎ drepta corespunzǎtoare lui f şi o noteazǎ.
Alege corect perechile de puncte pentru g.
Traseazǎ drepta corespunzǎtoare lui g şi o noteazǎ.
1p
1p
1p
b) Scrie ecuaţiei f(x) = g(x).
Rezolvǎ ecuaţia şi gǎseşte x = 1.
Aflǎ f(1) sau g(1) = 3.
Scrie coordonatele punctului de intersecţie (1, 3).
1p
2p
1p
1p
5 Rezolvǎ ecuaţia |x – 2| - 5 = 3
Gǎseşte soluţiile 10 şi - 6
Rezolvǎ ecuaţia |x – 2| - 5 = - 3
Gǎseşte soluţiile 4 şi 0
Scrie mulţimea de soluţii S = {- 6, 0, 4, 10}
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Scrie formula volumului
Calculeazǎ volumul bazinului 3600 m3
Calculeazǎ volumul apei 2400 m3
1p
2p
2p
b) Scrie formula volumelor trunchiului de piramidǎ şi cubului
Calculeazǎ volumele trunchiului de piramidǎ şi cubului Vt = 84 m3, Vcub =
216 m3
Aflǎ înǎlţimea apei în care s-au introdus corpurile: 9 m
2p
2p
1p
c) Scrie
240084 şi calculeazǎ 0,035
Scrie 3600216 şi calculeazǎ 0,06
2p
2p
www.mate
info.r
o
129
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Exprimǎ rezultatele conform cerinţelor: 3,5%, respectiv 6% 1p
2. a) Scrie formula pentru lungimea cercului
Calculeazǎ lungimea celor 4 cercuri: 8π R
Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului şi-l calculeazǎ: 4R 2
Calculeazǎ lungimea materialului pentru 60 de elemente decorative:
240 R (2π + 2 )
1p
1p
1p
2p
b) Calculeazǎ lungimea celor 4 arce de cerc: 6π R
Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului şi-l calculeazǎ: 8R
Calculeazǎ lungimea materialului pentru 60 de elemente decorative:
120 R (3π + 4)
2p
1p
2p
c) Calculeazǎ lungimea materialului din figura A: 360 (3π + 4)
Calculeazǎ lungimea materialului din figura B: 720 (2π + 2 )
Raportul )22(720
)43(360++
ππ =
)22(243
++
ππ
2p
1p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 51 Prof. Ciocǎnaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 41
5p
2. 6 2 5p
3. -2 5p
4. 2 10 5p
www.mate
info.r
o
130
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5. 1200 5p
6. 36 2 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Deseneazǎ piramida
Noteazǎ piramida
Traseazǎ diagonalele bazei
3p
1p
1p
2. Observǎ numitorul comun şi amplificǎrile
Obţine inecuaţia 4x-2 < 9x+6
Aduce la forma x > -58
Finalizeazǎ x ∈ (-58 , +∞ ).
1p
1p
2p
1p
3. Aflǎ costul obiectului dupǎ prima ieftinire 18- 15% ∙ 18 = 15, 3
Aflǎ costul obiectului dupǎ a doua ieftinire 15,3- 10% ∙ 15,3 = 13,77
3p
2p
4. a) Alege corect perechile de puncte
Trasarea semidreptelor corespunzǎtoare
3p
2p
b) Ridicǎ binomul la pǎtrat
Aduce ecuaţia la forma: 4x2 + 10x -1 = 0
Calculeazǎ soluţiile x1,2 = 4
295 ±−
1p
2p
2p
5 Ridicǎ la pǎtrat numǎrǎtorul
Restrânge diferenţa de pǎtrate de la numitor
Obţine numǎrul 2
625 +
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
131
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Încadreazǎ numǎrul între 4 şi 5.
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Scrie formula ariei laterale
Calculeazǎ aria bazei
Efectueazǎ calculele şi gǎseşte rezultatul 4600 cm2.
2p
1p
2p
b) Calculeazǎ lungimea diagonalei d a paralelipipedului
302 + 202+ 402 = 2900; d = 10 29 cm.
Explicǎ: bagheta se sprijinǎ cu un capǎt într-un colţ al bazei cutiei şi cu
celǎlalt capǎt pe muchia lateralǎ opusǎ colţului considerat.
3p
2p
c) Screie formula volumului paralelipipedului
Calculeazǎ volumul: 30 ∙ 20 ∙ 40 = 24000 (cm3)
Calculeazǎ volumul unui cub 53 = 125 (cm3)
Calculeazǎ numǎrul de cuburi cu latura de 5 cm: 192
Calculeazǎ numǎrul de cuburi cu latura de 2 dm: 2
1p
1p
1p
1p
1p
2. a) r este jumǎtate din latura pǎtratului; r = 6 cm
R este jumǎtate din diagonala pǎtratului; R = 6 2 cm
Rr =
266 =
21
Raţionalizeazǎ 22 .
1p
2p
1p
1p
b) Scrie formula pentru aria pǎtratului: l42.
Calculeazǎ aria pǎtratului144 cm2.
Scrie formula pentru aria cercului: π r2.
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
132
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Calculeazǎ aria cercului 36π cm2.
Aria delimitatǎ de pǎtrat şi cercul de razǎ r 36(4 - π ) cm2.
1p
1p
c) Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului: 4l4
Calculeazǎ perimetrul pǎtratului 48 cm.
Scrie formula pentru lungimea cercului: 2π R.
Calculeazǎ lungimea cercului 12 2 π cm.
Calculeazǎ raportul π
22 .
1p
1p
1p
1p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 52 Prof. Ciocǎnaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -2 5p
2. 29,62 5p
3. 1200 5p
4. 48 3 5p
5. 108 5p
6. 6 5 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Deseneazǎ prisma
Noteazǎ prisma
3p
2p
www.mate
info.r
o
133
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. Scrie mulţimea A ca interval (3- 2 , 3 + 2 )
Scrie mulţimea B ca interval [-3, 2]
A
B = (3- 2 , 2]
2p
2p
1p
3. Stabileşte necunoscutele: numǎrul de covrigi x; numǎrul de pâini y
Scrie sistemul de ecuaţii 6x + 7y = 11,4
7x + 6y = 10,7
Rezolvǎ sistemul.
Interpreteazǎ rezultatele: x = 0,5 lei, y = 1,2 lei
1p
1p
2p
1p
4. a) Scrie ecuaţia a ∙ 2 + b = -6
Scrie ecuaţia a ∙ (-5) + b = -9
Rezolvǎ sistemul format cu cele douǎ ecuaţii şi gǎsirea lui a = 73 şi
b = 748− .
Scrie lui f(x) = 73 x -
748
1p
1p
2p
1p
b)
cu Ox ⇒ f(x) = 0, 73 x -
748 = 0 ↔ x = 16 ⇒ M (16, 0)
cu Oy ⇒ f(0) = - 748 ⇒ P(0, -
748 )
3p
2p
5 Calculeazǎ x = 5 - 2 6
Calculeazǎ y = 5 + 2 6
Calculeazǎ xy = (5 - 2 6 )(5 + 2 6 ) = 1⇒ 1=xy
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
134
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. a) Determinǎ razele cercurilor circumscrise bazelor R = 5 2 , r = 4 2 .
Scrie formula care dǎ legǎtura între R, r, h, m.
Înlocuieşte, efectueazǎ calculele, obţine rezultatul m2 = (5 2 - 4 2 )2
+ 62 de unde m = 38 .
2p
1p
2p
b) Observǎ o pereche de triunghiuri asemenea.
Scrie proporţia 54
6=
+xx cu x înǎlţimea piramidei mici.
Aflǎ x şi înǎlţimea piramidei din care provine rezervorul; înǎlţimea
piramidei este 30 m.
1p
2p
2p
c) Volumul trunchiului de piramidǎ: formulǎ şi calcul, Vt = 488 m3.
Scrie volumul bazinului piramidal, Vp = 31 Ab ∙ hp , înlocuieşte, calculeazǎ
hp= 183
4883 ⋅ , hp = 8 m.
3p
2p
2. a) Observǎ cele 12 unghiuri la centru congruente şi m (∠ AOM) = 300
Observǎ cele 6 unghiuri la centru de tipul ∠ AOB şi m (∠ AOB) = 600
m (∠ MOR) = 1200
2p
2p
1p
b) Aria triunghiului AOM = OA ∙ OM sin (∠ AOM)/ 2
A AOM∆ = 6 3 ∙ 6 21 ∙
21 = 9 3
Aria figurii cerute 12 ∙ 9 3 = 108 3 (cm2).
1p
2p
2p
c) Figura AMBNCPDQERFS are laturile congruente cu lungimea de 6 cm.
Calculeazǎ perimetrul figurii este 72 cm.
Scrie formula lungimii cercului de razǎ 6 3 şi calculeazǎ 12π 3
1p
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
135
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Calculeazǎ raportul 312
72π
, ajunge la rezultatul π
32
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 53 Prof. Ciocǎnaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0 5p
2. 8,25 5p
3. 5,5 5p
4. 24 5p
5. 48 5p
6. 64 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Deseneazǎ conul
Noteazǎ conul
4p
1p
2. Stabileşte necunoscutele: x metri de material pentru bluzǎ, y mertri de material pentru rochie
Scrie sistemul de ecuaţii 3x + 5y = 17
4x + 3y = 13,5
Rezolvǎ sistemul.
Interpreteazǎ rezultatele: x = 1,5 m, y = 2,5 m
1p
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
136
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. Transformǎ numǎrul 0,2(6) în fracţia ordinarǎ
154
Transformǎ numǎrul 1,(3) în fracţia ordinarǎ 34
Rezolvǎ ecuaţia
Scrie mulţimea de soluţii S = {56 }
2p
1p
1p
1p
4. a) Ridicǎ fiecare binom la pǎtrat
Calculeazǎ E (x) =142
2
2
+−
xx
Rezolvǎ ecuaţia x2 – 2 = 0 ⇒ x1,2 = ± 2
1p
2p
2p
b) Calculeazǎ E (1) = -1
Calculeazǎ E ( 3 ) = 21
Calculeazǎ 3
)3(E = 63
2p
2p
1p
5 Observǎ cǎ
abba 22 + =
ba +
ab
Calculeazǎ ab =
531−
= 4
53+
Efectueazǎ ba +
ab =
45315 −
2p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Scrie formula ariei totale a prismei pǎtratice drepte At prismǎ = Pb hp + 2Ab
Calculeazǎ aria totalǎ a prismei At prismǎ = 800 cm2
Scrie formula ariei totale a cilindrului At cil = 2π R (G + R)
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
137
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Calculeazǎ aria totalǎ a cilindrului At cil = 981,25 cm2 2p
b) Scrie formula volumului prismei pǎtratice drepte Vprismǎ = Ab hp
Calculeazǎ volumul prismei Vprismǎ = 1500 cm3
Scrie formula volumului cilindrului drept Vcil = π R2 hcil
Calculeazǎ volumul cilindrului Vcil = 1177,5 cm3
1p
1p
1p
2p
c) Scrie numǎrul de globuri: 12
Scrie formula şi determinǎ volumul unui glob Vg = 57,87648 cm3
Scrie raportul Vprismǎ/ Vcil = 1500/ 1177,5 = 200/ 157
1p
2p
2p
2. a) Observǎ cǎ baza fiecǎrui triunghi isoscel este de 2 dm şi înǎlţimea este de 3
Calculeazǎ aria unui triunghi isoscel: 3 dm2
Calculeazǎ aria triunghiului echilateral 3 dm2
Calculeazǎ aria triunghiurilor isoscele şi echilaterale 4(3 + 3 ) dm2
1p
1p
2p
1p
b) Scrie formula perimetrului pǎtratului şi o aplicǎ: Pp = 24 dm
Calculeazǎ lungimea laturilor congruente din triunghiurile isoscele: 10
Calculeazǎ perimetrul triunghiurilor isoscele: Pt = 8( 10 +1) dm
Scrie raportul Pp/ Pt = 10 13+
1p
2p
1p
1p
c) Scrie formula ariei pǎtratului şi o aplicǎ: Ap = 36 dm2
Scrie aria triunghiurilor isoscele: At = 12 dm2
Scrie raportul At/ Ap = 31 ; 33,33%
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
138
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
www.mate
info.r
o
139
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 54 Prof. Cocalea Rodica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 11 5p
2. 0,5 5p
3. 13,75 5p
4. 12 5p
5. 15 5p
6. 630 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. 3 5a b k= =
3a k= şi 5b k=
2 3 21 32 7
a b ka b k+
= = −− −
2p
1p
2p
3. Fie x şi y numărul de kilometri parcurşi în prima, respectiv a doua zi.
2x y+ numărul de kilometri parcurşi în a treia zi.
2912
x yx y ++ + =
972
x y+= numărul de kilometri parcurşi în a treia zi.
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
140
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului funcţiei
4p
1p
b) (3) 3 3 0f = − + =
0P =
3p
2p
5 ( )( ) 12a b a b+ − = , dar 2a b− = , atunci 6a b+ =
2 22( ) 3 7 3( 2) 2( ) 3( ) 1 67a b a b a b a b+ − + + − = + − − + =
2p
3p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2,4 m=24 dm; 3,6 m=36 dm; 30 cm=3 dm; 20 cm=2 dm
Ab = L l = 864 dm2; Aria unei plăci de gresie = 6 dm2
864: 6 = 144 plăci de gresie
1p
2p
2p
b) Dacă VO este înălţimea piramidei VABCD, în triunghiul dreptunghic VAO, cu 10 2AO = şi cu teorema lui Pitagora obţinem 10 2VO =
2400ABCDA dm=
34000 23 3
ABCDVABCD
A VOV dm⋅= =
2p
1p
2p
c)Volumul apei dislocate =Volumul piramidei VABCD
34000 28643bV A x x dm= ⋅ = ⋅ = , unde x este diferenţa de înălţime
3, 24 2 32,4 2x dm cm= =
1p
2p
2p
2. a) 12VA cm=
2144 3lA cm=
2p
2p
1p
b)proiecţia lui DM pe planul(ABC) este DE, unde E este mijlocul lui [OC]; unghiul este MDE
2p
www.mate
info.r
o
141
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
6 2 ; 3 2VO cm ME cm= =
6sin( )6
MDE =
3p
c) 3288 2 288 2V dm l= =
288 2 288 1,42 408,96 410< ⋅ = < , deci nu încap 410 litri
2p
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 55 Prof. Cocalea Rodica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 31 5p
2. 3 5p
3. 30 5p
4. 49 5p
5. 10 5p
6. 14 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. desenează tetraedrului notează tetraedrului
4p
1p
2. cu x, y şi z numere întregi, deci 2y
2( ) 3( 4 )x z y z+ = + cu x, y şi z numere întregi, deci ( ) 3x z+
( ) 6y x z+
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
142
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. 81x y z+ + =
81 92 3 4 2 3 4 9x y z x y z+ += = = = =
+ +
36z =
1p
3p
1p
4. a) (0) 4f = ; ( 1) 6f − =
(0) 3 ( 1) 20f f− ⋅ − = −
2p
3p
b) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului funcţiei
4p
1p
5 21 144aa
− =
22 1 12 144a a
a a − ⋅ + =
, de unde 2
2 12 144aa
− + =
22
1 146aa
+ =
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2 26 216tA l dm= =
2 2120 216 25920 259,2dm m⋅ = =
3p
2p
b) Volumul cutiei l3 = 603 = 216000 cm3
Volumul cutiuţei 153 = 3375 cm3
216000 : 3375 = 64 cutiuţe
2p
2p
1p
c) Mulţimea divizorilor lui 60 este{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. Trei numere consecutive pentru volum maxim sunt 4, 5 şi 6.
V=120 cm3
216000:120 = 1800 cutiuţe
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
143
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) 2144ABCDA cm=
26: 4
MBC
MBC ABCD
A xcmA A
==
2144 6 6(24 )AMCDA x x cm= − = −
2p
2p
1p
b) : 4MBC ABCDA A=
x = 6 dm
2p
3p
c) Drumul minim este DE, unde DE perpendiculara din D pe MC.
6 3MC cm=
Din aria triunghiului MDC scris în două moduri, cu baza DC, respectiv MC, rezultă 8 3DE cm=
2p
1p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 56 Prof. Cocalea Rodica
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 30 5p
2. 3 5p
3. 13 5p
4. 16π 5p
5. 48 5p
6. 11 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
144
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. Desenează prisma Notează prisma
4p
1p
2. 4 3 6a b− =
2012 2012(11 8 6 ) [11 2(4 3 )]a b a b− + = − −
Finalizare 2012( 1) 1− =
1p
2p
2p
3. Fie x numărul de nepoţi
5 3 6 4x x+ = −
7x =
1p
2p
2p
4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului funcţiei
4p
1p
b)
( )1( ) 32
1 3 , : 22
f a a
f a a
a a deci a
= −
= −
− = − =
2p
3p
5 2
2 2
2
2
12 ( 3)( 4)6 9 ( 3)
12 46 9 3
x x x xx x xx x xx x x
+ − = − +
− + = −
+ − +=
− + −
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2 5DO R m= =
Formula ariei cercului şi calculul ei, A= 20π m2
Aria semicercului 10π m2
2p
3p
b) În triunghiul dreptunghic AOD avem 2 5DO R m= = .
Dacă AO = x, atunci AD = 2x şi cu teorema lui Pitagora obţinem x = 2 şi
2p
2p
www.mate
info.r
o
145
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
AD = 4 m
1p
c) Suprafaţa plantată cu lalele AABCD = 16 m2
Suprafaţa plantată cu panseluţe 10π - 16 este aproximativ 31,4 - 16 = 15,4m2
Finalizare: 15,4 m2 < 16 m2 , deci suprafaţa plantată cu panseluţe este mai mică decât cea plantată cu lalele
3p
2p
2. a) 0( ) 60m ABC =
fie CE perpendicular pe AB; 5 3CE m=
2175 3ABCDA m=
1p
2p
2p
b) 2 2100 3 ; 75 3ABC ACDA m A m= =
p%=75%
2p
3p
c) AD=BC=10m
ABCDP 90m=
90 : 2,5 36= stâlpi
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
146
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta: 57 Prof: Constantin Corina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 10 5p
2. 59
5p
3. 66 5p
4. 13 5p
5. 26 5p
6. 48 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. { }32 1 1, 3x D− ∈ = ± ±
Finalizare { }1,0,1,2x∈ −
3p
2p
3.
Scrierea datelor cu ajutorul teoremei împărţirii cu rest:1
2
3
1507 7364 4458 8
x cx cx c
= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ +
unde 8x >
Aflarea (1500, 360, 450) = 30
Finalizare { }10,15,30x∈
2p
2p
1p
4. a) ( ) ( ) ( )1 1, 1 5, 3 11f f f− = − = =
Mulţimea valorilor este { }1,5,11−
3p
2p
www.mate
info.r
o
147
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) 3 2 1x + ≤
1 3 2 1x− ≤ + ≤
113
x− ≤ ≤ −
Finalizare 1x = −
1p
1p
2p
1p
5 ( )2 21 2 1x x x− = − +
( ) ( ) 23 3 9x x x+ − = −
( )2 22 4 4x x x+ = + +
( )2 23 6 9x x x− = − +
Finalizare 2 26 12 6 12x x x x− − = − −
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
( ) ( )BC AD
BC AMNAD AMN
⇒⊂
5p
b) ( )
( )( ),
,
MA ABCAS BD MS BD MS d M BDAS BD ABC
⊥
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
⊂
( )10 . .BD m T P=
( )4,8 . .AS m T I=
( )4 61 . .5
MS m T P=
2p
1p
1p
1p
c) ( ) { },MN ABC P P AD∩ = ∈
[ ] 816
DP mND liniemijlocie MAP
AP m=
∆ ⇒ =
1p
1p
www.mate
info.r
o
148
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )4 17 . .MP m T P=
( )10 . .PC m T P=
4 17 10 26,48 26MP PC m m m+ = +
1p
1p
1p
2. a) 2OA r m= = 5p
b) 5OB R m= =
Lăţimea este 3R r m− =
2p
3p
c) 2 221 65,94disc mare disc micA A m mπ− =
Se folosesc 65,94 : 20 3,29kg= gazon
Gazonul costă 3,29 25 82,25lei⋅ =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
149
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta: 58 Prof: Constantin Corina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 42 5p
2. 0 şi 1 5p
3. 4 5p
4. 73,5 5p
5. 512 5p
6. 14 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. 1 12
3 5a
aa− =
⇒ = + =
5p
3. Notăm cu x preţul fără TVA al televizorului
124 992 800100
x x lei= ⇒ =
992 – 800 = 192 lei reprezintă TVA-ul
1p
2p
2p
4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f
Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f
Trasarea graficului funcţiei
2p
2p
1p
b) Fie A şi B punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f cu axele de coordonate
5OA OB OAB= = ⇒ ∆ dreptunghic şi isoscel
1p
2p
www.mate
info.r
o
150
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Deci măsura unghiului este de 450 2p
5 ( )219 8 3 4 3 4 3 4 3+ = + = + = +
2 3 1 2 3 1− = −
Deci numărul 4 3 2 3 1 3 5+ − + + = este natural
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Se arată prin T.P. că apotema piramidei este de 4 m 5p
b) 236bA m=
2482
b pl
P aA m
⋅= =
284t l bA A A m= + =
1p
2p
2p
c) Pe desfăşurarea feţelor laterale VBC şi VCD se duce BD
212VBCA m=
52VBChA ⋅
=
Deci h = 4,8 m, iar BD = 9,6 m
1p
1p
1p
2p
2. a) 2disc micA mπ=
22 4disc mareR m A mπ= ⇒ =
Suprafaţa este 22 6disc mare disc micA A mπ+ ⋅ =
1p
2p
2p
b) Suprafaţa grădinii este 84 m2
Suprafaţa aleilor este 12 m2
Suprafaţa gazonului este 72 6π− m2
Cum 3,14 3,15π< < 18,84 6 18,90π⇒ < <
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
151
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Deci suprafaţa gazonului este mai mică decât 53,16 m2, adică mai mică decât 54 m2
1p
c) ( )58 . .AO m T P=
( )13 . .BO m T P=
7,6 3,6 11,2AO BO m+ + =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
152
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta: 59 Prof: Constantin Corina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 7 5p
2. 2 5p
3. 8 5p
4. 16 5p
5. 5 5p
6. 100 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează cubul
Notează cubul
4p
1p
2. 7 5 3 742542,5
x
x
B
− ≤ + ≤
− ≤ ≤
= −
2p
2p
1p
3.
Conform teoremei împărţirii cu rest, avem 1
2
3
3 25 24 2
D cD cD c
= + = + = +
D – 2 se divide cu 3, 5 şi 4
[ ]3,5,4 60=
Deci { } { }2 120,180 122,182D D− ∈ ⇒ ∈
2p
1p
1p
1p
4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f
Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f
2p
2p
www.mate
info.r
o
153
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Trasarea graficului funcţiei 1p
b)
{ } ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( )
, 1 1,1
, 0,1
, 0, 1
f g
g
f
G G A g x f x x A
G Oy B B
G Oy C C
∩ = = ⇒ = ⇒
∩ =
∩ = −
Deci 2, 1BC AB= =
Deci 12ABC
AB BCA ⋅= =
3p
1p
1p
5 Notăm 2y x x= +
Fracţia devine ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 24 21 6 3 2 3
y yy yy y y y y
− +− += =
+ − + − +
Deci obţinem fracţia 2
223
x xx x+ ++ +
1p
2p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 27 cm3 5p
b) L = 60 cm
l = 30 cm
h = 9 cm
2p
2p
1p
c) ( ) ( )
( ) ( )( )'
' , ''
ABC ABC ABBC AB ABC ABC C BCBC AB
∩ =
⊥ ⇒ =⊥
' 3'10
CCtg C BCBC
= =
3p
2p
2. a) 225pătratA cm=
Suprafaţa pavată este 2 225000000 2500cm m=
2p
3p
b) Piatra costă 112500 lei 2p
www.mate
info.r
o
154
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Manopera este 11250 lei
Deci pavarea străzii costă 123750 lei
2p
1p
c)
3
3 3
125
125000000 125piatră
pietre
V cm
V cm m
=
= =
Toată piatra cântăreşte 250 tone
250 : 15 = 16 rest 10, deci camionul face 17 transporturi
3p
1p
1p
www.mate
info.r
o
155
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta: 60 Prof: Constantin Corina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 100 5p
2. 236, 238 5p
3. 14 5p
4. 32 5p
5. 243 3 5p
6. -12 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează tetraedrul
Notează tetraedrul
4p
1p
2. Se pun 27 15 405⋅ = mere în pungi
Rămân 10 mere în ladă
3p
2p
3. Notăm cu x preţul unui kg de mere şi cu y preţul unui kg de portocale
Avem sistemul de ecuaţii: 5 4 20,506 8 31
x yx y+ =
+ =
Rezolvând sistemul, obţinem x = 2,50 şi y = 2
1p
2p
2p
4. a) Din ( ) 0f x =
Obţinem 2x = −
Deci ( )2,0A −
2p
2p
1p
b) Din ( ) ( )f x g x= 2p
www.mate
info.r
o
156
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Obţinem 1x =
Deci ( )1,3B
2p
1p
5 ( )2 34 2 17x x+ = +
( ) ( )5 4 17
3 1 3 1x
x x x x+
− =− + − +
( ) ( ) ( )2 17 3 12 2
3 17x x x
xx x+ − +
⋅ = +− +
1p
2p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
2 3 34prismă b
lV A h h h= ⋅ = ⋅ = ⋅
2 4paralelipiped bV A h l h h= ⋅ = ⋅ =
4 3 12 3 3cort
V h h= + ⋅ = +
Deci 3h m=
2p
1p
1p
1p
b) 3ABCA = ; ' ' 4ABB AA = ; 6BCEFA =
2' '2 2 5 38 2 3t ABC ABB A BCEFA A A A m= + + = +
242tA m
2p
2p
1p
c) Fie DT AE . Obţinem ATDE paralelogram
Avem 13 ( . .)DT CD m T P= =
Se demonstrează că TCB∆ dr. în C 2 3 ( . .)TC m T P⇒ =
Fie DP TC⊥ . Avem 10 ( . .)DP m T P= . Deci 2302DTC
TC DPA m⋅= =
sin2DTC
DT DC DA ⋅ ⋅= . Deci 2 30sin
13D =
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
157
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) 30 ( . .)AC m T P= 5p
b) Se determină lungimea înălţimii ACB∆ de 24 m ( . .)T Î , deci 24AD m=
Se determină proiecţia segmentului AC de 18 m ( . .)T C , deci 18DC m=
132ABCDP m=
Deci se folosesc 132 5 660m⋅ = de sârmă
1p
1p
1p
2p
c)
( )( ). .
ACB D drepteCDA ACB
CAB ACD alt in
≡⇒ ∆ ∆
≡
Deci 35
CDkAC
= =
Şi atunci 2 925
CDA
ACB
A kA
= =
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
158
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 61 Prof Conţu Valentin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. x = -1,5 5p
2. 40 ore 5p
3. 1440 lei 5p
4. 400 5p
5. 900 5p
6. 95 camere 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. A’ C’
B’
A C
B
5p
2.
2 3 2 3/ 5 5 5 10 2 3 102 2
13 7 13 713 2 7 ;2 2 2 2
x xA x R x
x x A
+ += ∈ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ + ≤ ⇒
⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ = −
3p
Finalizare { }1;2;3;4;5;627;
213
−−−−−−=
−= −ZZA 2p
5p
3. Obţine ecuaţia 1 1 3120
3 6 4x x x+ + = sau altă ecuaţie echivalentă , de exemplu
1 1 11203 6 4
x x x x − + + =
3p
5p
www.mate
info.r
o
159
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Finalizează x = 480 km 2p
4. a) Reprezintă grafic .Ex determină două puncte dele graficului ............. (0;6)............. (3;0)
Gf Oy AGf Ox B
⇒⇒
4p
Trasează graficul 1p
5p
b) justifică înălţimea în triunghiul dreptunghic AOB 2 p
calculează distanţa de la O la AB = 6 55
5p
5 Aplică formulele şi aduce la forma pătratului unui binom 3 p
Determină n = 62 2p
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) V piesei = 27 dm3 3p
Masa piesei 189 Kg 2p
5p
b) V lingou : V piesă = 35 piese rest 15 dm3 5p
c) Masa fontei neturnate 105 Kg 5p
2. a) Grupează tribunele două câte două sau calculează fiecare tribună separat
şi obţine 2 2 320A totala tribune R rπ π π= ⋅ + ⋅ = m2
sau dacă aproximăm 14,3≅π obţinem 1004,8 m2
5p
b) A teren = 512 m2 Calculează şi concluzionează că aria tribunelor de 1004,8 m2 este mai mică decât dublul ariei terenului (A teren = 512 m2)
5p
c) Justifică distanţa maximă ( dintre mijloacele semicercurilor opuse ) şi calculează 48 m (în ambele cazuri)
5p
www.mate
info.r
o
160
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 62 Prof Conţu Valentin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 9 5p
2. 8 numere 5p
3. 10 5p
4. 310 5p
5. 3 5p
6. 27 copii 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.
5p
2. 6a + 4b + 2c = 68 Scriem relaţia „pe jumătate” şi obţinem 3a + 2b + c = 34 a + 2b + 3c = 38 3a + 2b + c = 34 4a + 4b +4c = 72 ∕ 4 ⇒ a + b +c = 18
5p
3. În data de 30 decembrie pînă la ora 24:00:00 mai sunt 15h şi 25 min
Data de 31 decembrie este o zi întreagă
În data de 1 ianuarie sunt 20h şi 20 min
5p
www.mate
info.r
o
161
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
15h şi 25 min + 20h şi 20 min = 1 zi 11 h şi 45 min
+ 50 min întârziere = 1 zi 12 h şi 35 min
Timpul total (cu ziua de 31 dec)= 2 zile 12 h şi 35 min
4. a) Reprezintă grafic .Ex determină două puncte dele graficului
( )0;6)8;0(
BOxGfAOyGf
⇒⇒
4p
Trasează graficul 1p
5p
b) justifică înălţimea în triunghiul trapezului = 4 2 p
Determină punctul de intersecţie a graficelor C (3;4)
sau utilizează linia mijlocie în trapez 2p
Calculează aria ( ) 2182
436 cma =⋅+
=( ) 26 3 4
2a u
+ ⋅= 1p
5p
5 Scoate de sub radicali 5353)53(5614 2 −=−=−=− 2 p
2552)52(549 2 −=−=−=− 2p
Determină n = 53− + 25 − ⇒ n = 1 N∈ 1p
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Egalăm numeric formulele L3 = 6 ∙ L2 ⇒ 3p
L = 6 m 2p
5p
b) Masa cubului = volumul ∙ densitatea = 63∙0,9 [ m3∙ t/m3] = 194,4 t 5p
c) 194,4 t apă= 194,4 m3
V apă = L paralelipipsed∙ l paralelipiped ∙ hapă ⇒ 194,4 = 12∙ 8,1 ∙ hapă ⇒ hapă = 2m
5p
2. Aria totală celor două alei = 2 ∙ A dreptunghi – A pătrat ( suprapunerea din centru) ⇒ A totală alei = 2∙100∙4 –42 = 784 m2
5p
www.mate
info.r
o
162
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Diagonala pătratului = 100 m ⇒ Latura pătratului = 250
2100
=⇒ patratl
Aria ocupată de alei din pătrat este 2 ∙ 250 ∙4 – 42 = 400 2 – 16
După înlocuirea lui 2 cu 1,4 ⇒A alei = 544 m2
A flori = A pătrat – A alei = ( )2250 –544= 5000 -544 = 4456 m2
Nr de trandafiri = 4456 ∙4 = 17824
Preţul trandafirilor 17284 ∙ 12 = 213 888 lei
5p
c) Necesar de apă la o stropire litriR 22 ⋅⋅π = 3,15∙2500∙2 = 15750 litri = 15,75 m3 de apă
Numărul zilelor cu irigare este 5 zile în aprilie, 31 zile în mai, 30 zile în iunie , 31 zile în iulie şi 31 în august – 20 zile cu precipitaţii = 108 zile
Cantitatea de apă necesară pentru 108 zile este 15,75 m3 de apă ∙108 = 1701 m3 apă
V bazin = 20 ∙ 6 ∙ 3,15 = 378 m3
1701 : 378 = 4,5 Bazinul se va umple de 5 ori ( nu se umple pe jumătate)
5p
www.mate
info.r
o
163
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 63 Prof. Conţu Valentin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 53
+ 5p
2. 2 5p
3. [ ]3;1− 5p
4. 26 5p
5. 48 5p
6. 22 000 lei 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.
5p
2. „ Un produs este egal cu 0 dacă cel puţin un factor este 0 ” ⇒
202063
505
303
=⇒=−⇒=−
−=⇒=+
=⇒=−
xxxsau
xxsau
xx
3p
{ }3,2,5−=A 2p
5p www.mate
info.r
o
164
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3.
7321
3
21301652
103
1652
==++
=
=++=++−+−
=++−+−
=
cbam
cbacba
cbam
a
a
5p
4.
a)
643)(
43680680)8()0,8()0,8(
6606)0()6,0()6,0(
−=
=⇒=⇒=−⇒=⇒=⇒
−=⇒−=+⋅⇒−=⇒−=⇒−
xxf
aaafOxGfB
bbafOyGfA
5p
b) justifică în triunghiul dreptunghic AOB că OM este mediana din unghiul drept şi proprietatea medianei de a împărţi aria triunghiului în două arii egale 3 p
calculează aria Δ AOB = 24286
221 =
⋅=
⋅ cc
calculează aria Δ OMA = AΔAOB : 2 = 24 : 2 = 12
5p
5
„( ) Z
xxx
∈+
+++12
7412 2
şi Zx∈ ” ⇔ ( )[ ]741212 2 ++++ xxx
Dar 2)12(12 ++ xx ⇒ trebuie ca 7412 ++ xx
Însă 5)12(252474 ++=++=+ xxx şi condiţia devine 512 +x 3p
{ }
{ }{ }2,0,1,3
4,0,2,62
15,1,1,512
−−∈
−−−∈
−−−∈+
x
x
x
2p
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Numărul maxim de îngheţate este = 5caserole ∙6 straturi∙ 20 îngheţate =
600 de îngheţate
5p
www.mate
info.r
o
165
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Aria bazei = 5∙ Aria bazei unei caserole = 5 ∙ 60 ∙ 60= 18000 cm2 5p
c) Volumul frigorifer = Aria bazei∙ 6 ∙ înălţimea caserolei= 3p
18000 ∙ 6∙ 20 = 2160000 cm3 = 2160 dm3= 2160 litri 2p
5p
2. a) L porţiuni de drum = 2∙L segment + Lungimea unui cerc de rază medie
L porţiunii de drum = 2 ∙ 20 + 2∙π ∙(8+4) = 40 + 2∙ 3,14∙ 12 = 115,36 m
5p
b) Aria porţiunii de drum= 2∙Aria dreptunghi + A cerc mare – A cerc mic ⇒
Aria porţiunii de drum = 2∙20∙8 + π ∙162 – π ∙ 82 = 3p
Aria porţiunii de drum = 2∙20∙8 + 3,14∙256 –3,14∙ 64=
Aria porţiunii de drum = 320 +803,84 – 200,96 = 922,88 m2 2p
5p
c) Lungimea bordurii = 4 ∙ Lungime segment + L cerc mare + L cerc mic 2p
Lungimea bordurii= 4 ∙ 20 +2∙π ∙16 + 2∙ π ∙ 8 ⇒ 1p
Lungimea bordurii= 80 +2∙3,14∙16 + 2∙ 3,14∙ 8 ⇒
Lungimea bordurii= 80 +100,48 + 50,24 =230,72 metri de bordură 2p
5p
www.mate
info.r
o
166
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 64 Prof Conţu Valentin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. a = 3 5p
3. 14 lei 5p
4. 32 cm 5p
5. 6 cm 5p
6. 29 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.
5p
2. Calculaţi 6a + 8b– 2 c , ştiind că 9a2 +24ab + 16b2 = 36 ⇒ (3a+4b)2 = 6 2 ⇒ 3a + 4 b = 6 pt că a, b, c∈ℝ+
Din 3a + 4 b = 6 ⇒ 4c = 6 ⇒ 2c = 3 Suma 6a + 8b– 2 c = 2 ∙ 6 – 3 = 9
2p 1p 2p
3. Din staţia de plecare A urcă în tramvai x călători
In staţia terminală K vor fi în tramvai
x +3 –1+3 – 2 + 3 – 3 +3 – 4 + 3 – 5 + 3 – 6 + 3– 7 + 3– 8 + 3 – 9 =2 călători
5p
V
A B
C D
www.mate
info.r
o
167
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
x + 3 ∙ 9 – (1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 2
x +27–45 = 2
x = 20 In staţia de plecare (A) au urcat 20 de călători în tramvai
4. a) f : ℝ→ ℝ , cu f(x) = ax+1 şi A( 2 ; 2) aparţine graficului funcţiei f
⇒ f(2)= 2a+1=2 ⇒ 2a= 1 ⇒ a = 21
g : ℝ→ ℝ , cu g(x) = –x+ b şi B(6 ; 1) aparţine graficului funcţiei g ⇒ g(6)= –6+b= 1 ⇒ b=7
a·b = 21 ·7 =
27
2p
2p
1p
Determinăm coordonatele punctului B , unde { }BGgGf =
În B avem f(x) = g(x) ⇒ 465,1172
712
=⇒=⇒−=+⇒+−=+ xxxxxx
)3;4(312124)4( Bf ⇒=+=+=
)1;0(1120)0(0
)0;2(212
012
0)(0
AfxOYGf
ExxxxfyOXGf
⇒=+=⇒=⇒
−⇒−=⇒−=⇒=+⇒=⇒=⇒
0 ( ) 0 7 0 7 70 (0)
(7;0)(0;7)0 7 7
Gg OX y g x x x xGg OY
Cx g F
⇒ = ⇒ = ⇒ − + = ⇒ − = − ⇒ = ⇒⇒ = ⇒ = + = ⇒
2p
1p
1p
X O(0;0)
A(0;1)
B(4;3)
C(7;0) E(-2 0)
Y
Gf
Gg
www.mate
info.r
o
168
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
AOABC = AΔEBC – AΔEOA = 5,12225
212
239
222211 ==
⋅−
⋅=
⋅−
⋅ hbhb
2p
5 05444 22 =++++ bbaa ⇒ 014444 22 =+++++ bbaa ⇒
⇒ ( ) ( ) 0122 22 =+++ ba Dar orice număr real ridicat la putere pară este
pozitiv sau nul ⇒ fiecare termen al sumei este egal cu 0
⇒ a + 2 = 0 ⇒a = – 2
2b+1= 0 ⇒b = – 0,5
Produsul a∙b = – 2 ∙ (– 0,5) = 1
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.
a)
AB= 0,8m = 8 dm
VO = 0,6m = 6 dm
OM = AB:2 = 4 cm
ΔMOV aplicăm teorema lui Pitagora şi obţinem VM = 2 13 dm
5p
b) 3128264
3664
3dmhAbV =⋅=
⋅=
⋅=
Masa = volumul ∙ densitatea = 128 ∙1,3 kg = 166,4 kg ciocolată
5p
c) Vbaton= L∙l∙h = 20∙10∙2 cm3= 400 cm3 = 0,4 dm3
Numărul de batoane se obţine împărţind volmul piramidei la volumul unui baton 128 : 0,4 = 320 de batoane de ciocolată
5p
www.mate
info.r
o
169
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
320∙8 = 2560 lei
2. a) Aria unei celule = A cerc
A cerc = πππ 1001022 =⋅=R
Suprafaţa activă = 4 ∙ A cerc = π400
400 ∙3,14 < Sactivă < 400 ∙ 3,15
1256 cm2 < Sactivă < 1260 cm2
5p
b) A panou = L ∙ l = 1,2 ∙1,6 = 1,92 m2 = 19200 cm2
Lungimea şi lătimea panoului sunt multipli ai laturii bateriei solare
A baterie solară = 40 ∙40 = 1600 cm2
Numărul de celule = A panou : A baterie = 19200 : 1600 = 12 celule
A activă a panoului = 12 ∙S activă celulă
12∙1256 cm2 < Aactivă panou < 12∙1260 cm2
15072 cm2 < Aactivă panou < 15120 cm2
5p
c) Arăt că ABCD este un pătrat cu
latura 20 cm.
L conductori = P pătrat + L diagonale
L conductori = 4∙20 + 2∙ 20 2
98
322
20:60240
80140240204
<
<
<
−<+⋅
Adevărat
2p
3p
A B
C D www.mate
info.r
o
170
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 65 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 5p
2. 24 5p
3. 36 cm2 5p
4. 600 5p
5. 4 cm 5p
6. 36 puncte 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen
Notație
4p
1p
2. Fie n numărul căutat, n=9 c1+ 5, n=12 c2+5
n-5=9 c1, n-5=12 c2
n-5=[9;12](cel mi mic multiplu comun al lui 9 și 12), n-5 =36,
dar cum trebuie să fie format din trei cifre, n-5=108, n=113
2p
1p
1p
1p
3. 3 2 1 3x− ≤ − ≤
3 1 2 3 1x− + ≤ ≤ +
2 2 4x− ≤ ≤
1 2,x x Z− ≤ ≤ ∈
{ }1,0,1,2x∈ −
1p
1p
1p
1p
1p
4. a) fie x prețul inițial
www.mate
info.r
o
171
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 4 5( ) 546100 100 100
x x x x+ + + =
Rezolvarea ecuației și aflarea lui x=500 lei
2p
3p
b)546-500=46(diferența dintre prețul final și cel inițial)
500 46100
46 , 9,2%5
p
p p
=
= =
1p
2p
2p
5 2 ( 2) ( 2)x x x+ − + =
2( 2)( 1)x x+ − =
( 2)( 1)( 1)x x x+ + −
2p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) cea mai mare distanță este diagonala pătratului
100 2AC m=
100 2 140>
3p
2p
b) aria grădinii de zarzavat este aria semidiscului cu raza r=50 m
2
12502rAria π π= = m2
3925 1250 3938π< <
3p
2p
c) lungimea gardului=3AB+lungimea arcului BC
300 50lungimeagardului π= +
=300=157+457m
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
172
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) 3 384
4 cubV =
512cubV = litri
512cubV = dm3=51200 cm3
2p
2p
1p
b) 3cubV l=
3 512l =
l = 8 dm
1p
2p
2p
c) aria unei fețe=82=64 dm2
aria celor cinci fețe=320 dm2
prețul materialului= 480 lei
2p
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 66 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. 7
5p
3. 60 5p
4. 6 5p
5. 2 3 5p
6. 700 kg 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
173
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. Desen
Notație
4p
1p
2. 152 ) 3 1)
3 1 22 3 1
− − − = +
15
156 2 6 2 0 02
Z − − +
= = ∈
2p
3p
3. Notăm cu x lungimea drumului
1 153 2
x x+ =
x = 30 km
2p
3p
4. a) determinarea a două puncte de pe grafic
trasarea graficului
3p
2p
b) ( ;3 ) fA a a G∈
2 5 3a a− =
5a = −
( 5; 15)A − −
1p
2p
1p
1p
5 18 4 8 27x< + <
10 4 19x< <
10 194 4
x< <
{ }3;4x∈
1p
1p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de
www.mate
info.r
o
174
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
puncte)
1. a)aria peretelui= 5 2 2 1− =
=8 m2
2p
3p
b)aria unei placi=100 cm2
8 m2=80000 c m2
Nr.plăci=800
2p
2p
1p
c) prețul fară reducere=1000 lei
prețul după aplicarea reducerii=950 lei
2p
3p
2. a) bV A h=
2 3 34b
lA = =
3 3V = m3
1p
2p
2p
b) aria unei fețe=6 m2
costul fără reducere=900 lei
costul după reducere=810 lei
1p
2p
2p
c)lungimea= 13
13 3,6≈
3p
2p
www.mate
info.r
o
175
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 67 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 5p
2. 20 5p
3. 160 5p
4. 6 3 5p
5. 13 5p
6. 9 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen
Notație
4p
1p
2. Fie x cantitatea maximă dintr-o lădiță
1 259 3,67 4x n x n= + = +
1 256 ,63x n x n= =
x=cel mai mare divizor comun al nr. 56 și 63
x=7
2p
2p
1p
3. fete=21
nr. elevi=21=7=28
3p
2p
4. a)2a+b=7
-1a+b=-8
a=5, b=-3
f(x)=5x-3
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
176
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) intersecția cu axa Ox este punctul 3( ;0)
5M
intersecția cu axa Oy este punctul (0; 3)N −
3p
2p
5 1) 1)
2
1 1 21 1 1
x x
x x x
+ −
− =− + −
2
1 1 2( 1)( 1) 1x xx x x+ − +
=+ − −
2 2
2 21 1x x=
− −
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)raza unui rond=2 m
2aria rπ=
4aria π= m2
1p
2p
2p
b) aria parcului=48 m2
aria cu iarba= 48 8 22,88π− = m2
2p
3p
c) preț lalele=720 lei
preț panseluțe=450 lei
preț total=2340 lei
2p
2p
1p
2. a) latura pătratului de la suprafața apei=0,6 m
aria =0,36 m2=36 dm2
volumul apei=240 litri
1p
2p
2p
b)volumul pamânt= 1,92 m2
înălțimea stratului de pământ=0,0768 m= 7,68 cm
3p
2p
www.mate
info.r
o
177
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) apotema= 16,36
aria laterală=2,4 16,36 =9,70 m2
2p
3p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta68 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 100 5p
2. 50 5p
3. 34
5p
4. 24 5p
5. 3 5p
6. 340 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen
Notaţie
3p
2p
2. x = lungimea drumului
2 153
x x− =
1 153
x =
45x = km
2p
2p
1p
3. 3 2 2 186 6 6x x −− =
2p
www.mate
info.r
o
178
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2 18x + =
16x =
2p
1p
4. a) (3,3) (3) 3fA G f∈ ⇔ =
3 6 3x − =
3x =
2p
2p
1p
b)determinarea a două puncte care aparţin graficului
trasarea dreptei care reprezintă graficul
3p
2p
5 2
2
9 ( 3)( 3)8 16 ( 5)( 3)
x x xx x x x
− + −=
− + − −
finalizare
4p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) calculul înălţimii din A, AD=24cm
2b îA ⋅
= , 2360A cm=
Calculul înălţimii din B
1p
2p
1p
b) Fie BE înălţimea din B. În triunghiul dreptunghic ABE, cos( ) AEBAE
AB=
calculul lui AE folosind teorema lui Pitagora
finalizare
2p
2p 1p
c) calculul razei cercului
2cercL Rπ= şi finalizare
3p
2p
2. a) apotema bazei OM= 3 3 cm
VO=3cm
2p
3p
www.mate
info.r
o
179
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b)
3bA hV ⋅
=
81 3bA = cm2
81 3V = cm3
1p
2p
2p
c) t l bA A A= +
calculul ariei totale 162 81 3tA = + cm2
finalizare
1p
2p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 69 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 18 5p
2. 2,3,6,9; 5p
3. 21000 5p
4. (x-2)(x+2) 5p
5. 3 2 5p
6. -4 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen
Notaţie
3p
2p
2. Numărul întrebărilor la care nu ştie răspunsul = 14 2p
3p
www.mate
info.r
o
180
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
probabilitatea să primească o întrebare pe care nu o ştie = 14 142 3
=
3. 610 8
x=
4,8x ore=
3p
2p
4.
a) a,b,c,d = cele patru numere
8010075
10075 80 60
100 100 100
b a
c b
c a a
=
=
= ⋅ =
1p
1p
3p
b) 36
100d a=
69080 60 36 690
100 100 100250, 200, 150, 90
a b c d
a a a a
a b c d
+ + + =
+ + + =
= = = =
1p
1p
1p
2p
5 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 4 4 1 ( 2 1) 4 3 15( ) 4 4 1 2 1 4 3 15
E x x x x x x xE x x x x x x x
= + + − − + + − − +
= + + − + − + − − +
E(x) = x2 +6x +11.
2p 2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) raza cercului este R=2m
2
2
4cerc
cerc
L RL m
π
π
=
=
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
181
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b)
2
2
2
2
600
4
(600 4 )
ABCD
ABCD
cerc
cerc
gazon
A AB ADA mA RA mA m
π
π
π
= ⋅
=
=
=
= −
2p
2p
1p
c)suprafaţa piscinei= 24 mπ ,dacă
2
3,1412,56aria m
π =
=
Aria unei plăci=900cm2
2
2 2
900 20 1800018000 7 126000 12,6
cmcm m
⋅ =
⋅ = =
1p
2p
2p
2. a)apotema piramidei=8 cm
2192lA m=
3p
2p
b)aria laterală a prismei l bA P h= ⋅
2144lA m=
2p
3p
c)aria unei plăci=2400cm2=0,24m2
aria podelei=144m2
nr plăci=600
2p
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 70 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -240 5p
2. 5 5p
www.mate
info.r
o
182
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. 2a 5p
4. 2 5p
5. 18 5p
6. 240 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen
Notaţie
3p
2p
2. { }1,0,1,2,3,4,5,6A = −
{ }0,1,2,3,4B =
{ }{ }{ }
1,0,1,2,3,4,5,6
0,1,2,3,4
1,5,6
A B
A B
A B
∪ = −
∩ =
− = −
2p
2p
1p
3. Numărul bomboanelor lui Viorel=6
împreună au 15 bomboane
3p
2p
4.
a) ( , ) ( )
2 55
fA a a G f a aa a
a
∈ ⇔ =
− ==
2p
2p
1p
b) ( )
5 ,020, 5
f
f
G Ox
G Oy
∩ =
∩ = −
2254
Aria u=
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
183
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 83 2 5 22 2
3 2 2 2 5 20
a
aa N
= + −
= + −= ∈
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)AE=5-x, AG=3-x
Perimetru=2(5-x)+2(3-x
Perimetru=16-4x
1p
2p
2p
b)(5-x)(3-x)=8
2 8 7 0x x− + =
1x =
2p
1p
2p
c) suprafaţa podelei = 15m2
cantitatea de vopsea folosită = 20 l
preţul total = 240lei
2p
2p
1p
2. a) V = 80 m3 5p
b)Vapă = 60 m3
hapă = 3 m
2p
3p
c) într-o secundă se elimină 40 l apă
timpul necesar pentru eliminarea apei = 1500 s
1500secunde = 25 minute
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
184
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta71 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 14 5p
2. 2 5p
3. 53
5p
4. 600 cm2 5p
5. 72 cm2 5p
6. 7 elevi 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează cubul
Notează cubul
3p
2p
2. 3x+6 2 2 36 6 6
x x +− =
3 6 2 2 3x x x+ − = +
6 2 3x x+ = +
3x =
1p
1p
1p
2p
3. ( ,5) ( ) 5fA a G f a∈ ⇔ =
( ) 2 1
2 1 5
3
f a a
a
a
= −
− =
=
2p
1p
1p
1p
4. a)verificare 242:4 = 60 rest 2 2p
www.mate
info.r
o
185
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
242:5 = 48 rest 2
242:6 = 40 rest 2
2p
1p
b)teorema împărţirii cu rest D Î C R= × +
x=nr. Timbre
14 2x c= + , 25 2x c= + , 36 2x c= +
12 4x c− = , 22 5x c− = , 32 6x c− =
2 . . . . (4,5,6)x c m m m c− =
62x =
1p
1p
1p
1p
1p
5 ( )22 4 3 2 8 0x x y− + + − =
2 4 0x − = , 2 4 0x − = , 2x =
( )23 2 8 0x y+ − = , 3 2 8 0x y+ − = , 1y =
1p
2p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2MNPBA x= 5p
b) )
2
2
2
64001 640041600
40
ABCD
ABCD
A AD ABA m
x
xx m
= ⋅
=
= ⋅
==
1p 1p
1p
1p 1p
c) AMNPCD ABCD MNPBA A A= −
24800 48AMNPCDA m ha= =
Cantitatea recoltată=2400 tone
2p
2p
1p
2. a)
3bA hV ⋅
= 1p
www.mate
info.r
o
186
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
236bA dm=
348V dm=
2p
2p
b) volumul unei tablete=30cm3=0,03dm3
numărul de tablete=1600
3p
2p
c) nr. de cutii mici=16
nr. minim cutii mari=2
3p
2p
www.mate
info.r
o
187
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 72 Prof. Dobre Andrei Octavian
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. x = -3 5p
2. 10 lei 5p
3. 2700 lei 5p
4. 54 m2 5p
5. 1000 l 5p
6. 25% 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen cub
Desen desfasurare cub
2
3
2. A={2}
B=[0;4]
A∩B={2}
2p
2p
1p
3. Profesori = 0,(3) ⋅9000=3000
Părinţi = 25% ⋅9000 = 2250
Elevi = 9000 – 5250 = 3750
2p
2p
1p
4. a) f(a) = 16
(a-5)(a+3) = 0
a1 =5, a2=-3
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
188
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) A(0,1) ; B( 1
3− ,0)
AB= 103
Fie CD⊥AB , 2 10~5
AO AB OBAOB ADC DCAD AC DC
⇒ = = ⇒ =
2p
1p
2p
5 2 3 3 1 2 3 3 3 1 32 2x x
− + − + + −= ∈
+ +
32 { 3; 1;1;3} { 5; 3; 1;1}{1}
x D xA+ ∈ = − − ⇒ ∈ − − −=
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 1200000:3000 = 400 luni
400 luni = 33ani si 4 luni
Construcţia a fost finalizată în luna iunie
1p
2p
2p
b) Notăm piramida VABCD şi alegem un punct P∈(VO) astfel încât VP = AP=BP=CP=DP=a
( )
0
( ), ( ), ( )( , ( )) ( , )
( ) 60ABC
VO ABC V ABC B ABCpr VB OB m VB ABC m VB OB
m VBO
⊥ ∉ ∈ ⇒= ⇒ = =
=
În 0 0 138, ( ) 90 60 46 3VOB m O tg OB mOB
= ⇒ = ⇒ =
1p
2p
www.mate
info.r
o
189
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
În POB aplicam Teorema lui Pitagora
2 2 2(138 ) (46 3)92
a aa m⇒ = − +=
2p
c)
2 2
3
2 46 612696
5940163
baza
baza pirpiramidei
d l l mA l m
A hV m
= ⇒ =
= =
= =
3 3500000 500calcar piramida spatiiV V V m dam= − = =
5p
2. a) Unghiul dintre dreapta şi plan este CAB
030 CBtgAB
=
33 30
CB=
10 3CB m=
1p
1p
1p
2p
b) MN = 10 m (se află prin asemanarea triunghiurilor sau cu ajutorul funcţiilor trigonometrice)
3+2,5+2,5+2,5=10,5
(10,5-3):2,5=3 (B3B4 = etajul 3)
5p
c) Adr =200m2
Abloc =336m2
Aalee =136m2
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
190
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 73 Prof. Dobre Andrei Octavian
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -8 5p
2. 9 zile 5p
3. 1200 lei 5p
4. 36 cm2 5p
5. 960 3 cm2 5p
6. 6000 vizitatori 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen trunchi
Notare MATEINFO
3p
2p
2. 10 – x + x +15-x +14 = 30
x =9
3p
2p
3. Datorii = 240 + 15 + 10 +35 = 300 €
Fiecare student poate plăti 60 €
Toţi pot plăti 180 €
Mai au nevoie de 300 – 180 = 120 €
1
2
1
1
4. a) f (0) = -6 ; f(3) = 0
a=2, b= - 6
f(x) = 2x-6
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
191
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) 1 2
2C CAria ⋅
=
Aria = 9 u.m.2
2p
5 2 2 23 10 3 25 12 4 3 1 15 9 3 3 26x x x x x x+ + + − + − + = +
3 3 9x = −
3x = −
3p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Vapă = 10 5 apăh⋅ ⋅
apăh = 2dm (cel mai scurt drum)
3p
2p
b) Vcub = 64dm3
Vacvariu = 200 dm3
Vapă+ Vcub=164 dm3<Vacvariu => apa nu va ieşi din acvariu
2p
2p
1p
c)
0,3l...........1 s
90l............x s
x= 300s = 5minute
5p
2. a) l = 2R = 14 cm 5p
b) Adreptunghi=224 𝛑𝛑 cm2 ; Acerc1+Acerc2=98 𝛑𝛑 cm2
Arest = 224 𝛑𝛑 - 98 𝛑𝛑 = 126 𝛑𝛑 cm2
Apatrat = 9 cm2
Număr bijuterii = 14 𝛑𝛑 cm2 ≈ 43 piese
2p
1p
1p
1p
c) 1cm2………200€
9 cm2 …….. x
2p
www.mate
info.r
o
192
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
x = 1800 € (valoarea unei bijuterii)
Patru bijuterii costa 7200 €
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 74 Prof. Dobre Andrei Octavian
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -2 5p
2. 11 5p
3. 9,604 5p
4. π 5p
5. 64 000 l 5p
6. 1000 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen
Denimre trunchi
3p
2
2. 1/ 2 41/ 2 2
1/ 6 ( 1) { 6; 3; 2; 1;1;2;3;6}{ 7; 4; 3; 2;0;1;2;5}{0;1;2;5}
x xx x
x xxA
+ −+ +
⇒ + − ⇒ + ∈ − − − −∈ − − − −=
2p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
193
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. 1 2 10
1 2 8
9 10
9 10
... 40
... 436
182a
a a aa a aa a
a am
+ + + =+ + + =+ =
+= =
2p
2p
1p
4. a)
( ) ( )3 9
3(3) 0
f x g xx
xf
=− = −=
=
(3,0)A
1p
1p
1p
1p
1p
b) ' '
(0;6), (3;0)(3;0), (0; 3)
A BA B −
9 3 272 2 2
Baza înălţimeA ⋅ ⋅= = =
2p
2p
1p
5 29 4 5 ( 5 2) | 5 2 | 5 2− = − = − = −
a =
5 4 (6 4 2)(6 4 2)1 36 32 5− + + − =+ − = ∈
5p
www.mate
info.r
o
194
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Vparalelip=15 10 20⋅ ⋅ =3000 cm3
Valoare lingou = 600 000 €
2p
3p
b) Vcub=125 cm3
Număr lingouri = 3000:125= 24
3p
2p
c) Piramida patrulateră regulată de volum maxim are baza egală cu baza cubului si inalţimea egală cu muchia cubului.
ap = 5 52
cm
Ab = 25 cm2
225 52
Pb apAl cm⋅= =
225(1 5)tA cm= +
1p
1p
1p
1p
1p
2. a)
2 2
2
3, 24
1,62cerc
semicerc
A R mA m
π π
π
= =
=
2p
3p
b)2
( )2
(6 3,6) 5,8 27,842
trapezB b hA
m
+ ⋅= =
+ ⋅=
2p
3p
c)PQ = 5,8 – (1,2 + R) =
5,8 – (1,2+1,8) =2,8m
3p
2p
www.mate
info.r
o
195
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta75 Prof Dorneanu Bogdan
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1054 + 1054 : 2 = 1054 + 527 = 1581 5p
2. [ )2 1 3 1 4 1; 4x x A− ≤ − < ⇒ − ≤ < ⇒ = − 5p
3. x = preţ caiet; y = preţ creion
x + 3y = 12 ( )3 9 3 3 3 12 36x y x y⇒ + = + = ⋅ =
5p
4. 6 cm 5p
5. ( ) ( ) ( )' ' ( ' ', ) ( , ) 90oA C AC m A C BD m AC BD m AOD⇒ = = = 5p
6. 2 0 3 ( 2) 4 5 ( 1) 7 17 7mt
− + + + − + + + −= = =
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen piramidă
Apotemă
Înălţime
3p
1p
1p
2. x = preţ castraveţi, y = preţ morcov
2x + 3y = 12
4x 2y 16 : 2 2 8 2 8x y x y+ = ⇒ + = ⇒ = −
2x 3y 12 8 3 12 2 4y y y+ = ⇒ − + = ⇒ =
2y =
3x =
1p
1p
1p
1p
1p
3. (x, y, z) d.p. (4, 6, 7) şi x + y + z = 170 1p
www.mate
info.r
o
196
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
170 104 6 7 4 6 7 17x y z x y z+ += = = = =
+ +
10 404x x= ⇒ =
10 606y y= ⇒ =
10 707z z= ⇒ =
1p
1p
1p
1p
4.
a) ( ) ( )
( )( )( )
( )
2 2 2 2 2
2 2
2
12 3 5 2 2 3 3:1 1 1 2 1 1 1 1 5
1 12 2 3 3 5 11 5 1 1 5 1
xx x x xE xx x x x x x x x
x xx x x xx x x x
−+ − = − + = − + ⋅ − + − − + − − −
− −+ − + + −= ⋅ = ⋅ =
− + − +
3p
2p
b) 1 1 2 2( ) 1
1 1 1x xE xx x x− + −
∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ − ∈+ + +
{ }2
21 2 1 1 2; 1; 1; 2111
x D xxx
− ∈ ⇒ ∈ ⇒ + ∈ ⇒ + ∈ − −+ +∈
{ }3; 2; 0; 1x∈ − −
2p
2p
1p
5 2 2
22
22
4 3 10 21 04 3 0
4 3 010 21 0
10 21 0
x x y yx x
x xy y
y y
− + + + + ≤ − + = − + ≥ ⇒
+ + = + + ≥
( ) ( )2 22 24 3 0 4 3 0 2 1 0 2 1
32 1
1
x x x x x x
xx
x
− + = ⇒ − + = ⇒ − − = ⇒ − = ⇒
=− = ± ⇒ =
( ) ( )2 22 210 22 0 10 21 0 5 4 0 5 4
35 2
7
y y y y y y
yy
y
+ + = ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ + = ⇒
= −+ = ± ⇒ = −
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
197
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ) ( ) ( ) ( ){ }3; 3 ; 3; 7 ; 1; 3 ; 1; 7S = − − − − 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ADC∆ dreptunghic isoscel ( ) ( )
( )( )0
4545
90
oo
m DAC m DCAm CAB
m A
⇒ = = ⇒ ==
( ) ( ) 04545
isoscel
5 22
om CABm CBA
ACBABACB dreptunghic AC BC m
= ⇒ = ⇒∆
∆ ⇒ = = =
52
ACADC dreptunghic isoscel AD DC m∆ ⇒ = = =
( ) ( ) 25 10 537,5
2 2ABCD
AB DC ADA m
+ ⋅ + ⋅= = =
2p
1p
1p
1p
b) 25 1250 2
2
ADC
ABC
AD DCA
AC BCA∆
∆
⋅
= = =⋅
5p
c)Suprafaţă parchet cumpărat:
x – 10% din x = 50 y – 10% din y = 25
10 50100
9 5010
5009
x x
x
x
− = ⇒
= ⇒
=
10 25100
9 2510
2509
y y
y
y
− = ⇒
= ⇒
=
2
2
1 ..............................27500 ............................9
500 279
m lei
m x lei
x = ⋅3
1500 lei=
2
2
1 ..............................54250 ............................
9250 54 15009
m lei
m x lei
x lei= ⋅ =
3p
1 p
www.mate
info.r
o
198
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Suma totală = x + y = 3000 lei 1p
2. a) Fie { }' 'NP B C Q∩ =
' ' ' ' 3 2 3 3,4' ' 2
NB C echilateral B CNQNP B C∆
⇒ = = =⊥
BB’ = NP – NQ = 8,4 – 3,4 = 5 m
Suprafaţa văruită = ( )2 2lA Ll Lh lh⋅ = + + = 148 m 2 .
Cantitate var = 148 kg.
5p
b) Suprafaţă ţiglă = 2' '2 2 ' ' ' 2 6 4 48MNA BA A B A M m⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
preţ ţiglă = 48 ⋅56lei = 2688 lei
5p
c) ( ) ( )( ) ' ' , ( ) 'ABCpr D P DP m D P ABC m D PD= ⇒ =
( ) 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
' ' ' ' '
' 6 2 5 65 ' 65
TPD D ABC D D DP D P DP D D DC PC D D
D P D P
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = + = + + ⇒
= + + = ⇒ =
( ) ' 5 65sin '' 1365
DDD PDD P
= = =
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
199
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta76 Prof Dorneanu Bogdan
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )2 3 4 5 : 2 3 4 5 2 : 2 1− + − + − + − = − = − 5p
2. 2 24 0 4 22
x x xx
x− = ⇔ = ⇔ = ±⇒ =
∈
5p
3. 100 ...................................9050 .......................................
90 50 45 4500100
kg grâu kg făinăkg grâu x kg făină
x kg dag⋅= = =
5p
4. ( ) 060 6 24ABCDm A ABD echilateral AB cm P cm= ⇒ ∆ ⇒ = ⇒ = 5p
5. 2 2 23 4 5 50 5 2d = + + = = 5p
6. 1 0 2 1 3 1 4 3 5 3 6 2 7 3 8 4 9 5 10 3 162 6,481 1 3 3 2 3 4 5 3 25apm ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= = =+ + + + + + + +
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen piramidă 5p
2. 4x 9z 4 6 6 9
2(2 3 ) 3(2 3 )
2 12 3 ( 2)
18
x y y z
y y y z
+ = − + + =
− + + =
⋅ + ⋅ − =
2p
1p
1p
1p
3. x + y + z + t = 150 1p
www.mate
info.r
o
200
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
23
2 3 44
x kx y z k y k
z k
== = = ⇒ = =
20,5 0, (3)
32 3z qz tz t qt q=
⋅ = ⋅ ⇔ = = ⇒ =
2q 4k 2 6q k t k= ⇒ = ⇒ =
2k + 3k + 4k + 6k = 150 ⇒15k = 150⇒k = 10
x = 20; y = 30; z = 40; t = 60
1p
1p
1p
1p
4. a)
( )( )
( )( )
2, 1 2 1 2 1 11 10, 1 0 1
f
f
A G f m n mn nB G f
∈ = − = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − =− ∈ = −
5p
b) ( ) 1f x x= −
Fie { } ( ), , 0fG Ox C C x∩ =
( ) ( )0 1 0 1 1,0fC G f x x x C∈ ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇒
{ } ( ), 0, 1fG Oy B B∩ = −
Triunghiul căutat este BOC∆ , dreptunghic în O 1 . .2 2BOC
BO COA u a∆
⋅⇒ = =
2p
2p
1p
5 ( ) ( )( )( )
22 4 21 1 1, 16 2 2 4
2 2 4E x y x x y x y y y = − + + − = − + + − + +
Deoarece 21 1
2 4x − +
şi ( )( )( )22 2 4y y y− + + sunt nenegativi, valoarea
minimă a expresiei se obţine pentru ( )( )( )22 2 4y y y− + + = 0 şi pentru 21
2x −
= 0.
Astfel 12minE =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
201
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) F la egală distanţă de A, B, respectiv C, atunci F se găseşte la intersecţia mediatoarelor.
Fie { } ( , )AF BC M AM BC d A BC AM∩ = ⇒ ⊥ ⇒ =
6ABC isoscel
BM MC mAM BC∆
⇒ = =⊥
2 2 2 2 100 36 64 8TP
AM BC AB AM BM AM AM⊥ ⇒ = + ⇒ = − = ⇒ =
2p
3p
b) Focul trebuie aşezat in centrul cercului circumscris triunghiului ABC.
Notăm FA = FB = FC = x 8FM x⇒ = − .
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul FMB obţinem:
( )22 2 2 2 2
2 2
8 610064 16 36 16 10016
FB FM MB x x
x x x x x m
= + ⇔ = − + ⇔
= − + + ⇔ = ⇔ =
2p
1p
2p
c)distanţa foc – râu = FM = 8 – x = 8 - 100 128 100 28 7 1,75
16 16 16 4−
= = = = m.
număr parcurgeri foc – râu = 5000 20250
=
distanţa parcursă = 20 1,75 35m⋅ =
: 35 4 140dv t d v st
= ⇒ = = ⋅ =
1p
1p
1p
2p
2. a) Fie 11CE AB CE AD m⊥ ⇒ = =
Aplicăm T.P. în 2 2 2CEB CB CE EB∆ ⇒ = +
2 169 121 48 4 3EB EB⇒ = − = ⇒ =
DC = AE = AB – EB = 4 3
5p www.mate
info.r
o
202
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )12 3 24 12 3 2ABCDP AB BC CD AD= + + + = + = +
b)
( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2
217
194
338
LB BA LA LB BA
LB ABC LB BC LC LB BC
LB BD LD LB BD LB AD AB
⊥ ⇒ = + =⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = + =
⊥ ⇒ = + = + + =
Lungimea cablurilor = 217 194 338+ +
4p
1p
c)
( )212
52
3 3b
AB CD ADA hV
+ ⋅⋅⋅
= = = 3
3 11 52 110 33
m
⋅⋅
=
5p
www.mate
info.r
o
203
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta77 Prof Dorneanu Bogdan
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1
1 2
1 3 6 1 3 4 1 1: 12 4 4 2 4 6 2 2+ = + ⋅ = + =
5p
2. (12, 20) = 4 5p
3. ( )22 24 12 9 2 3x xy y x y+ + = + 5p
4. Fie rombul ABCD, BE înălţimea căutată.
2 2ABCDAC BD AC BDA BE CD BE
CD⋅ ⋅
= = ⋅ ⇒ =
2 2 2 5TP
CO DO CD CO OD CD⊥ ⇒ = + ⇒ =
8 6 4,82 5
BE cm⋅= =
⋅
5p
5. ( )( ) ( )( ' ' ') ' ' ' ', ' ' ' ', ' ' ' 'A B Cpr AC A C AC A C B AC A C AC A= ⇒ ≡ ≡
( ) ( )1' 3' ' ' ' ' ' ' sin ' '
' 33AA aAA A C B AA A C AC AAC a
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = =
5p
6. Se observă că funcţia ( ) 3 1f x x= + .
Deci ( )4 13x f= =
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen 5p
2. 22 2
2 2
1 1 1 1 14 16 2 16 14x x x x xx x x x x
+ = ⇒ + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ + =
2p
www.mate
info.r
o
204
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
22 2 4 2
2 2 2 4
1 1 1 114 196 2 196x x x xx x x x
+ = ⇒ + = ⇒ + ⋅ + = ⇒
44
1 194xx
+ =
2p
1p
3. Fie numărul căutat x.
( )
( )( )
2
2
2
5 4 : 5 1
5 4 5
5 95 3
2
x
x
xxx
+ − =
+ − =
+ =
+ == −
1p
1p
1p
1p
1p
4. a) [ ); 5B a= conţine exact trei numere întregi
[ )[ )
[ )5 ; 5
2 2; 5; 5
aa B
a a
∉ ⇒ = ⇒ =∈
( ] [ ) [ ]2, 4 2, 5 2, 4A B∩ = − ∩ =
3p
2p
b) A B∩ are un singur element.
[ ) ( ], 5 ; 4 2, 4a a∈ ∈ −
Dacă 4a A B φ> ⇒ ∩ = , deci nu are nici un element întreg.
Dacă [ ]4 , 4a A B a< ⇒ ∩ = , deci are cel puţin două elemente.
Concluzie: a = 4.
1p
3p
1p
5 Trebuie observat că dacă numerele sunt consecutive, resturile obţinute prin împărţirea celor 2012 numere la 2012 sunt numere diferite şi conform teoremei împărţirii cu rest aceste sunt 0, 1, 2, ……, 2011.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
1 2 ... 2011 3 0 1 2 ... 2011
2012 1 2 3 ... 2011 3 1 2 3 ... 2011
2012 2 1 2 3 ... 2011
x x x x
x
x
+ + + + + + + = ⋅ + + + +
+ + + + + = ⋅ + + + +
= ⋅ + + + +
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
205
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2012 20112012 22
2011
x
x
⋅= ⋅
=
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.
a)
1
2 2
2 22 10 2 3 20 6
AMDL AB l
AB O Aππ π
= + =
+ ⋅ =⋅ + ⋅ = +
1p
2p
2p
b)
( )
21
2
2
10 6 360 9
patinuarA AB AD O A
m
π
π
π
= ⋅ + =
⋅ + ⋅ =
+
2p
2p
1p
c)
( )( )
01 1 1
2 102 2 2
90, , ,
90
m NO A NO AD NO ABM O O N coliniare
m MO B MO BC MO AB
= ⇒ ⊥ ⇒ ⇒= ⇒ ⊥ ⇒
1NO D∆ dreptunghic isoscel 1 2 3 2ND DO⇒ = =
2MO B∆ dreptunghic isoscel 2 2 3 2MB BO⇒ = =
2 1 1 2 13 10 13NO NO O O MO= + = + = =
2NO B∆ dreptunghic 2 2 2 2 22 2 13 3 169 9 178
TPNB NO O B⇒ = + = + = + =
178NB MD⇒ = =
Lungime traseu 6 2 2 178ND DM MB BN= + + + = +
1p
1p
1p
1p
1p
2. a) ' ' ' 'ABCDA B C D prismă patrulater regulată ' ' ' 'A B C D⇒ pătrat ' ' 12 2 ' 6 2A C A O⇒ = ⇒ =
2 2 2 2' ' ' 100 72 28 2 7TP
VO A O VA VO OA VO VO⊥ ⇒ = + ⇒ = − = ⇒ =
2p
3p
b) suprafaţă pânză
43
pl piramida
AB aA
⋅= =
1p
www.mate
info.r
o
206
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2 2 2
2 28 36 64 812 62 2
p b
p pb
a h aa ala
= +⇒ = + = ⇒ =
= = =
4 12l piramidaA ⋅
=4
28 1283
m⋅=
3p
1p
c) 2 2 2 212 2,5 144 2,5 360 360000 360000piscinaV l h m dm l= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =
Concluzie: În piscină încap 360000l de apă.
4p
1p
www.mate
info.r
o
207
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 78 Prof…GAGA LOGHIN
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0 5p
2. 3 5p
3. 45 5p
4. 430 5p
5. 150 5p
6. 16 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Efectuează notațiile
4p
1p
2. Transformă numerele în fracții ireductibile
Scrie relația de invers proporționalitate și aducere la forma simplă 6 5a b=
Scrie media aritmetică 44a b+ =
Finalizează calculele
1p
2p
1p
1p
3. Se notează cu x numărul de elevi și cu y numărul de calculatoare. Se scriu
relațiile corespunzătoare( )
42 3y x
y x= −
− =
Rezolvare sistem și rezultat.
3p
2p
4. a) f(0) = 0; f(-2) = 4.
Rezolvare sistem și scriere funcție
Trasare grafic funcție, folosind intersecția cu axele
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
208
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Trasare dreapta y=4.
Formula arie
Calcul arie și rezultat
1p
2p
2p
5 2 22 2
1 1 1 1( )E x x x x xx x x x
= + + + = + + +
22 2
2 2
1 1 1 15 25 2 25 23x x x xx x x x
+ = ⇒ + = ⇒ + + = ⇒ + =
22
1 1( ) 5 23 28E x x xx x
= + + + = + =
1p
3p
1
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 50 0,5 ;cm m=
( )33 3 30,5 0,125V L m m= = =
1p
4p
b) Demonstrează că MBD′∆ este isoscel, cu [ ] [ ]MB MD′≡
Observă că MN este mediana corespunzătoare laturii BD′ într-un triunghi isoscel, deci MN este și înălțime MN BD′⇒ ⊥
Calculează MN
2p
2p
1p
c) Calculează suprafața vopsită 2 2 25 5 50 5 2500 12500S L cm= = ⋅ = ⋅ =
Calculează câte grupe de câte 5cm2 are suprafața: 12500 : 125 = 100
Calculează cantitatea de substanță nutritivă folosită: 100 50 5000 5ml litri⋅ = =
Calculează suma necesară
2p
1p
1p
1p
2. a)
22 23 100 3 25 3 25 1,7 42,5
4 4LA m m= = = = ⋅ =
5p
www.mate
info.r
o
209
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Calculează suma lungimilor aleilor :
( )2 34 2 2 2 2
L L TN L TP L TM L TN TP TM⋅ ⋅ ⋅= + + = + +
3 50 3 852
LTN TP TM m⇒ + + = = =
Suprafața aleilor: 285 0,3 25,5m⋅ =
Suprafața rămasă : 42,5 – 25,5 = 17 m2
2p
1p
1p
1p
c) 17m2 = 170000 cm2
170000 : 400 = 425 fire de roșii
425 x 0,75 = 318,75 lei
3p
1p
1p
www.mate
info.r
o
210
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 79 Prof…GAGA LOGHIN
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. 4211
5p
3. 19 5p
4. 24 5p
5. 5 5p
6. 6 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează triunghiul oarecare
Se trasează bisectoarele unghiurilor triunghiului (sau se enunță faptul că centrul cercului înscris se află la intersecția bisectoarelor)
Se trasează cercul înscris
1p
2p
2p
2. 2 1 5 5 2 1 5| 1 4 2 6|:2x x x− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ + ⇒ − ≤ ≤ ⇒
[ ]2 3 2,3x A− ≤ ≤ ⇒ = −
{ } { }1 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 33
x x x x−> ⇔ − > ⇔ − < − ∪ − >
{ } { } { } { } ( ) ( )4 2 2 2 2 1 , 1 2,x x x x B⇔ < ∪ − > ⇔ > ∪ < − ⇒ = −∞ − ∪ +∞
[ ) ( ]2, 1 2,3A B∩ = − − ∪
2p
2p
1p
3. Mai întâi aflăm numărul de apartamente cu 2 și 3 camere. Fie x numărul de apartamente cu 3 camere și y numărul de apartamente cu 2 camere. Avem:
www.mate
info.r
o
211
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
15 53 2 35 10x y xx y y+ = =
⇒ + = =
Fie a costul unui apartament cu 3 camere și b costul unui apartament cu 2 camere.
Avem: 5 2 6000010 5 540000 24000
b a a eurob a b euro= =
⇒ + = =
2p
3p
4. a) ( ) 51
2f =
5 5 12 22 2 2
a a+ = ⇒ = − =
( ) 122
f x x= + și reprezentare grafica
1p
2p
2p
b) . 3 31 4 1 4 0 0 0
2 2x x x x x + ≤ + ⇒ − ≤ ⇔ − ≤ ⇒ ≥
3 11 2 22 2
x x + ≤ +
3 1 4 1 0 02
x x x x+ ≤ + ⇒ − ≤ ⇔ ≥
[ )0,x∈ +∞
2p
2p
1p
5 ( ) ( ) ( )( )2 23 2 2 2 1 2 1 1 2x x x x x x x x x x+ + = + + + = + + + = + +
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 1 1 2 1 1
1 2 2 2 1 2 1 2 1 2x x x xE x
x x x x x x x x x x+ − + − −
= − = − = =+ + − + + + + + + +
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 1( ) 3 2 1 2 1
1 2 1 2E x x x x x
x x x x= + + ⋅ = + + ⋅ = ∈
+ + + +
1p
2p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 248 3 36 3 12 3t l b bA A A A dm= + ⇒ = − =
223 12 3 48 4 3
4bABA AB AB dm= = ⇒ = ⇒ =
1p
www.mate
info.r
o
212
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2 2 12 3; ; 36 3 6
3 2 2b p b p p
p p b lat p
A h P a aV h a a A a VM dm
⋅ ⋅ ⋅= = − = ⇒ = ⇒ = =
Notez cu M mijlocul laturii AB 3 2 36 4 4 2
6b pABa OM dm h VO dm= = = ⇒ = = − = Deci
312 3 4 2 15 63
V dm⋅= =
3 3 336 36 1296 15 3 1350litri dm dm dm= = < = . Deci încap 36 litri apă
3p
1p
b) 2 2 236 3 61,2 6120latA dm dm cm= = =
6120 : 30 = 204 grupe de câte 30 cm2.
30 x 100 = 3000 gr = 3Kg
3 x 25 = 75 lei
2p
1p
1p
1p
c) Deoarece
.
' 1 ' 1'3 3cf reciprocei Teoremei lui Thales
MO MO OOOO CVMV MC CV
= = ⇒ ⇒ =
Dar 2 2 2 2 36 12 4 3CV BV VM BM VM BM dm= = + = + = + =
4 3' 2, 27 22,73 3
CVOO dm cm⇒ = = ≈ =
2p
2p
1p
2. a) Notăm OM x= , raza cercului mic. Cele două cercuri egale au razele de 15m
APO∆ este dreptunghic în P, cu 15; 15; 30AO x AP OP x= + = = −
Aplicăm Teorema Pitagora în APO∆ : ( ) ( )2 2215 15 30x x+ = + −
2 230 225 225 900 60 90 900 10x x x x x x m⇒ + + = + − + ⇒ = ⇒ =
2 2100A x mπ π= =
1p
1p
2p
1p
b) ( )2 2 230 2 15 100 350nefolositaA mπ π π π= ⋅ − ⋅ + = 5p
www.mate
info.r
o
213
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) 2350 350 3 1050nefolositaA mπ= = ⋅ =
1050 : 12 = 87,5 = 88 pomi
88 x 16,5= 1452 lei
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
214
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 80 Prof. Ghidu Mihaela Alexandra
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 20 5p
2. 5 5p
3. 50 5p
4. 4 5p
5. 13 5p
6. 9 5p
SUBIECTUL II
1. Desenează piramida Notează piramida
5p
2. 2 22012 2 2012 1 (2012 1)− ⋅ + = − 22012 2 2012 1− ⋅ + = 2(2012 1)− = 22011 =2011
Finalizare :2011 N∈
5p
3. Se notează cu x , numărul de CD-uri cu preţul de 30 leri si cu y numărul de
CD-uri cu preţul de 40 lei ⇒10
30 40 325x y
x y+ =
⋅ + ⋅ =
⇒ 15 5;2 2
x y= =
Finalizare: ,x N y N∉ ∉ ⇒ nu poate cumpara exact 10 CD-uri cu exact 325 lei
5p
4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f Trasarea graficului functiei
5p
b) (0, 4)fG Oy B= 4OA⇒ = (4,0)fG Ox A= 4OB⇒ =
Folosind Teorema lui Pitagora in AOB∆ 4 2AB⇒ =
5p
www.mate
info.r
o
215
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
. ( , )
4 4 2 24 2
fOC AB d o G OCOA OBOC
AB
⊥ ⇒ =
⋅ ⋅= = =
5 2 2 2 23 4 2 3 5 4 4 3 2 3 1x y x y x x y y+ − + + = − + + + + 2 2( 2) ( 3 1)x y= − + + 2 2( 2) 0, ; ( 3 1) 0,x x R y y R− ≥ ∀ ∈ + ≥ ∀ ∈ Finalizare 2 23 4 2 3 5 0, ,x y x y x y R+ − + + ≥ ∀ ∈
5p
SUBIECTUL III
1. a) 260lab labA L l A m= ⋅ ⇒ = 2 2 21600 0,16placa placaA l A cm m= ⇒ = = Numărul de plăci necesare este : 60 : 0,16 375= 10% 375 37,5 38din = ≈ Numărul total de plăci achiziţionate : 375 + 38 = 413 plăci
5p
b)
2
2( )
2(10 6) 32lab
lab
P L lP m
= + ⇒
= + =
5p
c) Suprafaţa totală de gresie este 2 20,16 413 66,08m m⋅ = Costul gresiei este 130 66,08 8590,40lei⋅ = Costul plintei este 5 32 160lei⋅ = Costul total este de 8590,40 160 8750,40lei+ =
5p
2. a) Notăm prisma ABCA’B’C 2 3864 3 1,494 1,494bV A h V cm dm l= ⋅ ⇒ = ≈ ≈ Finalizare : Nu este sufficient 1l de apa pentru a umple vaza de flori
5p
b) vaza l bA A A= + 2864l b lA P h A cm= ⋅ ⇒ =
236 3bA cm=
2 2864 36 3 927 0,0927vazăA cm m= + ≈ ≈ Finalizare : se pot confectiona 3 : 0,0927 32,36 32vaze≈ ≈
5p
c) 2 22 (864 72 3) 988,56t l b tA A A A cm cm= + ⇒ = + ≈ Finalizare : suprafaţa de hârtie necesară este 21977,12cm≈
5p
www.mate
info.r
o
216
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 81 Prof. . Ghidu Mihaela Alexandra
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 8 5p
2. 4 5p
3. 8 5p
4. 24 5p
5. 125 5p
6. 32 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida Notează piramida
3p
2p
2. 3 37 7
a bab= ⇒ =
7 99 7
b bcc= ⇒ =
Finalizare : 13
ac=
2p
2p
1p
3. { }88 3 1 8, 4, 2, 1,1,2,4,8
3 1Z x D
x∈ ⇒ + ∈ = − − − −
+
⇒ { }3, 1,0,1x∈ − −
Finalizare : { }3, 1,0,1A = − −
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
217
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f
Trasarea graficului funcţiei
2p
2p
1p
b) S = 1 ( 3 1) 1 ( 3 2) 1 ... ( 3 2012) 1+ − ⋅ + + − ⋅ + + + − ⋅ +
S = 2013 3017− ⋅
2p
3p
5 c) 2 1 3 2 2012 2011...
2 2 6 6 2011 2012 2011 2012A = − + − + + −
⋅ ⋅
112012
A = −
10 1 (0,1)2012
A≤ ≤ ⇒ ∈
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2( ) 10P L l P m= + ⇒ =
26A L l A m= ⋅ ⇒ =
2p
3p
b) 210% 0,6dinA m=
Cantitatea cumpărată : 26 0,6 6,6m+ =
2 23000 0,3placa placăA L l A cm m= ⋅ ⇒ = =
Număr de plăci : 6,6:0,3 = 22 plăci
22 :8 ≈2,7 ⇒3 pachete
1p
1p
1p
1p
1p
c) Costul unui pachet : 30 0,3 8 72lei⋅ ⋅ =
Costul total : 3 72 216lei⋅ =
3p
2p
2. a) machetă prisma trh h h= +
16 12 28trh cm= + =
2p
3p
www.mate
info.r
o
218
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Fie ' ' ' 'ABCDA B C D trunchiul de piramidă regulată 40 2 2 44trL cm⇒ = + ⋅ =
22 , 2B ba cm a cm= =
Tangenta unghiului cautat este 75B b
ha a
=−
1p
2p
2p
c) ( _ )prismă tr tr tr prismăcarton l l b B bA A A A A A= + + +
4 34tra =
2 2 2(44 4) 4 34160 6 4 (44 4 )2cartonA + ⋅
= ⋅ + + + − 25055,68cm≈
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
219
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 82 Prof. Ghidu Mihaela Alexandra
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 12 5p
2. 0 5p
3. 125 5p
4. 40 5p
5. 5 5p
6. 30 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma Notează prisma
4p
1p
2. { }1 11,13,17,19x∈
1 3 3 19
x a xa= ⇒ = ⋅
{ }33,39,51,57a⇒ ∈
Finalizare : { }33,39,51,57A =
1p
2p
1p
1p
3. Valoare TVA : 24% 820 196,8din lei=
Preţul maşinii de spălat cu TVA : 820+ 196,8=1016,8lei
Valoare avans : 25% 1016,8 254,2din lei=
Suma de plătit in rate : 1016,8 254,2 762,6lei− =
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
220
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Valoarea unei rate : 762,6 : 6 127,1lei= 1p
4. a) ) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f Trasarea graficului funcţiei
2p 2p
1p
b) 2( 2 1) 2
2f − = − +
2( 2 3) 42
f − = − +
a= -2 ∈ Z
2p
2p
1p
5 Ridicând la pătrat relaţia se obţine : 2( ) 2 ( )( )c b c a c a c a c a+ = + + − + + −
2 22 2b c a⇒ = −
2 2 2b c a= −
Conform reciprocei teoremei lui Pitagora , triunghiul e dreptunghic
Finalizare : Unghiul drept este B
2p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2120l b lA P h A m= ⋅ ⇒ =
22,1fereastrăA m=
1,8uşaA m=
2v 120 2 2,1 1,8 114ăruibilăA m= − ⋅ − =
1p
1p
1p
2p
b) 80 ⋅114 = 9120 g = 9,12kg 5p
c) 2 ⋅9,12 kg = 18,24 kg
4 ⋅18,24 = 72,96 lei
2p
3p
www.mate
info.r
o
221
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) 140 : 30 4 postere≈
140 : 21 6 postere≈
Numar maxim de postere : 6 4 24 postere⋅ =
2p
2p
1p
b) 2 21, 4 1,96panouA m= =
2 230 21 630 0,063posterA cm m= ⋅ = =
224 0,063 1,512posteretA m= ⋅ =
21,96 1,512 0,448hartieA m= − =
2p
1p
1p
1p
c) 140-4 ⋅30 = 20 cm
140-6 ⋅21 = 14 cm
max max20 10d cm r cm⇒ = ⇒ =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
222
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 83 Prof. Grecu Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 16 5p
2. 5 5p
3. 15 5p
4. 144 5p
5. 56 5p
6. 0,03 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează cubul
Notează cubul
4p
1p
2. Notează cu x preţul la primul magazin : 10 99
100x x+ = ⇒ 90x =
Notează cu y preţul la al doilea magazin magazin : 10 99100
y y− = ⇒ 110y =
Diferenţa dintre preţuri : 110 90 20− =
Transformare în raport procentual : 2090 100
p=
Finalizare: 22, (2)%p =
1p 1p 1p 1p 1p
3. Calculează : 3a b=
Înlocuieşte în raport: 2 3 73 3 8
b b bb b b
⋅ +=
⋅ −
Finalizare: 2 73 8
a ba b+
=−
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
223
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a)Calculează: ( 1) 2 1E x x+ = + şi 1( ) 2
2E x x+ =
Aplică inegalitatea mediilor: 2 1 2 1(2 1)(2 1)2
x xx x − + +− + ≤
Finalizare
2p
2p
1p
b)Calculează: ( 1) 2 3E x x− = − şi 1( ) 2 2
2E x x− = −
Înlocuieşte: 4(2 1)(2 3) 1 (2 2)x x x− − + = −
Calculează: 2 24 8 4 4( 1)x x x− + = −
Finalizare: 2 24 8 4 4( 2 1)x x x x− + = − +
2p
1p
1p
1p
5 A = ( )6,3−
3 2 3x− ≤ − ≤ [ ]1,5B⇒ = −
[ )1,3A B∩ = −
( )6, 1A B− = − −
1p 2p 1p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)Aria dreptunghiului : drA L l= ⋅
Aria unei dale: 2 230 20 600 0,06ABCDA AB BC cm m= ⋅ = ⋅ = =
Află numărul de dale: 15 : 0,06 250=
1p 2p 2p
b)Aria triunghiului dreptunghic : 1 2
2c cA ⋅
=
220 15 1502 2ADE
AD AEA cm⋅ ⋅= = =
Congruenţa triunghiurilor , , ,ADE BCE BPF AQF
1p 1p 1p 1p
www.mate
info.r
o
224
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4 1200 4 150AEBF DCPQ ADEA A A= − ⋅ = − ⋅
AEBFA = 21200 600 600cm− =
1p
c) Calculează numărul necesar de cutii: 250 : 20 12 10rest=
Numărul necesar de cutii va fi 13.
Calculează preţul: 13 50,4 655,2lei⋅ =
2p 1p 2p
2. a) 2 2 2 2d L l h= + +
2 2 2 2BH AB BC BF= + +
2 2 2 2150 60 40BH = + +
10 277BH cm=
1p
1p
1p
2p
b) drA L l= ⋅
230 20 600coalaA cm= ⋅ =
26000ABFEA cm= , 22400BCGFA cm= , 29000ABCDA cm=
22 2 25800totala ABFE BCGF ABCDA A A A cm= ⋅ + ⋅ + =
25800 : 600 43= coli
1p
1p
1p
1p 1p
c)Calculează câte coifuri încap pe lungime: 150 : 20 7 10rest=
Calculează câte coifuri încap pe lăţime: 60 : 20 3=
Câte coifuri încap în cutie: 3 7 21⋅ =
1p 1p 1p
www.mate
info.r
o
225
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 84 Prof. Grecu Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 5 5p
2. 8,775 5p
3. 1150
5p
4. 26cm 5p
5. 290 3cm 5p
6. 416.984 telespectatori 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează cubul
Notează cubul
Construieste centrul bazei
Notează centrul bazei
2p
1p
1p
1p
2.
2
2010 20111 2 3 .......... 20102
2 (1 2 3 .......... 2010) 2011 2010 2011 20112010 2011 2011 2011(1 2010) 2011 20112011 2011 2011
⋅+ + + + =
⋅ + + + + + = ⋅ +⋅ + = + = ⋅
⋅ =
1p
2p
1p
1p
3. 100% 60% 40%− =
Notează cu x numărul de pagini al cărţii : 60 20 40 48100 100 100
x x x− − ⋅ =
100 60 8 4800x x x− − =
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
226
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
150x =
150 48 102− =
1p
4. a) 2 2(3 2, ) (2 3)fA m m G f m m+ ∈ ⇒ + =
22(3 2) 3m m+ + =
2 6 7 0m m− − =
( 7)( 1) 0m m− + =
7m =
1p
1p
1p
1p
1p
b) ( )
3f xx =
2 33
xx +=
3x =
(3) 9f =
(3,9) fP G∈
1p
1p
1p
1p
1p
5 2 28 16 12 36 4x x y y− + + + + =
2 2( 4) ( 6) 4x y− + + =
4 2x − ≤ şi 6 2y + ≤
[ ]2,6x∈
[ ]8, 4y∈ − −
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) drA L l= ⋅
215terenA AB BC m= ⋅ =
1p
1p
www.mate
info.r
o
227
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2discA Rπ=
23,14bazinA m=
gazon teren discA A A= − = 211,86m
1p
1p
1p
b)Află raza fundului bazinului: 1R =
33,14 1,20 3,768bazinV m= ⋅ =
33,768 3768m l=
3768 :1,5 2512= secunde
1p
1p
2p
1p
c) 2512 :120 20 112rest=
Finalizare: apa îşi schimbă culoarea de 20 de ori
3p
2p
2. a) drA L l= ⋅
22 45acoperişA BP BE m= ⋅ ⋅ =
Află preţul ţiglei: 45 4 180⋅ = lei
1p
2p
2p
b) 2 ( )lA h L l= +
Calculează suprafaţa pereţilor: 22 ( ) 91lA BC AB CN m= + =
Notează cu x suprafaţa acoperită de soluţia dintr-un flacon: 20 4300 x
=
260x m=
Calculează câte flacoane sunt necesare: 91: 60 1 31rest= ⇒ sunt necesare 2
1p
1p
1p
1p
1p
c) 2( )drP L l= +
Calculează lungimea aleii: 8 2 0,5 9L m= + ⋅ =
Calculează lungimea aleii: 5 2 0,5 6l m= + ⋅ =
Calculează perimetrul pe care se pun felinare: 30P m=
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
228
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Află numărul felinarelor: 30 : 3 10=
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 85 Prof. Grecu Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 19x 5p
2. 15− 5p
3. 34 5p
4. 2 6 5p
5. 33
5p
6. 8 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează şi notează piramida Desenează şi notează apotema
3p
2p
2. Notează cu x, y şi z cantităţile de hrană pe care le primesc lunar un pui de leu, un leu, respectiv un tigru.
2 2 20024 100 80 24 2 100 2 80 384x y z x y z+ += = = =
+ ⋅ + ⋅
12,5x kg=
52,08(3) 52y kg= ≈
41, (6) 42z kg= ≈
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
229
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. Determină corect două puncte ale graficului
Reprezintă corect cele două puncte
Trasează dreapta
2p
2p
1p
4. a) ( ) 2 4 2 : 1
1 ( 1)( 1) 1 2xE x
x x x x x = − + − − − + + +
( ) 2 2 4 2 2 2:( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 2
x x x xE xx x x x x x x x
+ − + = − + − − + − + − + + +
( ) 4 4 2:( 1)( 1) 2
xE xx x x
− = − + +
( ) 4 2:1 2
E xx x
=+ +
( ) 2( 2)1
xE xx+
=+
1p
1p
1p
1p
1p
b) ( ) 2 4
1xE xx+
=+
( ) 221
E xx
= + ∈+
{ }1 2, 1,1,2x + ∈ − − ⇒ { }3, 2,0,1x∈ − −
{ }{ } { }\ 2, 1,1 3, 2,0,1x∈ − − ∩ − −
{ }3,0x∈ −
1p
1p
1p
1p
1p
5. 2 24 3 12 ( 2 3)x x x− + = −
2 212 3 108 ( 6 3)y y y− + = −
2 3 6 3 0x y− + − ≤
2 3x = si 6 3y =
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
230
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
gm x y= ⋅ ⇒ 6gm =
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) bV A h= ⋅
2AB l=
Calculează 2400bA cm=
3400 10 4000V m= ⋅ =
1p
1p
1p
2p
b) Desenează desfăşurarea prismei si indică traseul cel mai scurt AE'.
4 80AE AB= =
2 2 2 6500AE AE EE′ ′= + =
10 65AE′ =
2p
1p
1p
1p
c)Fie AR ║ ,PQ R DD∈ ⇒′ [ ( , )] ( )AR PQ m AP PQ m PAR= ⇒ = ,
2,5RD PB= =
5 65
220 2
AR AP
RP BD
= =
= =
Fie PS AR⊥ , S AR∈ ⇒ 20 6665
PS =
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
231
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
8 66sin65
PSAAP
= = 1p
2. a) A L ldreptunghi = ⋅
216 10 160ABCDA m= ⋅ =
1 2
1
2
2126
rombd dA
dd
=⋅
==
212 6 362rombA m⋅
= = parchet colorat
2160 36 124m− = parchet alb
1p
1p
1p
1p
1p
b) 36
160 100p
=
36 100160
p ⋅=
22,5p =
Finalizare
2p
1p
1p
1p
c) rombA = 1 2 80
2d d⋅
=
Notăm cu x =distanţa cerută , 5x <
1
2
16 210 2
d xd x= −= −
(16 2 )(10 2 ) 160x x− − =
{ }24 52 0 0,13x x x− = ⇒ ∈
Soluţie: 0x =
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
232
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 86 Prof. Grecu Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 43
5p
2. 12 5p
3. 5 5p
4. 12017
5p
5. 108 5p
6. Vlad 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează şi notează paralelipipedul
Duce diagonala
3p
2p
2. 1 3 23 (3 2 3 1) 396x− + ⋅ − =
13 44 396x− ⋅ =
13 9x− =
3x =
2p
1p
1p
1p
3. 2 2 2 2
8 4 4 3 34 4 2 1 9
x y x yx x y x x y− + = +
− + + = + + + −
5 7 4
6 12x y
x− = −
− = −
2x =
2y =
2p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
233
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) Calculează câte 2 puncte pentru fiecare funcţie
Reprezintă câte 2 puncte pentru fiecare funcţie
Desenează dreptele
2p
2p
1p
b) Determină coordonatele punctelor A(2,0) , B(0,-2),D(-2,0)
Determină coordonatele punctului C
2 8( ) ( ) {( , )}3 3f gf x g x G G= ⇒ = −
OBCA ACD BODA A A= −
84| | 1632 2 3
CACD
AD yA⋅⋅
= ==
| | | | 22BOD
OD OBA ⋅= =
16 1023 3OBCAA = − =
1p
1p
1p
1p
1p
1p
5 2 22
1 1 1( ) 2 14x x xx x x
+ = + − ⋅ =
3 33
1 1 1 1( ) 3 ( ) 52x x x xx x x x
+ = + − ⋅ + =
2 3 5 52 3 5 5
1 1 1 1 1( )( ) 728 724x x x x xx x x x x
+ + = + + + = ⇒ + =
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) A L ldreptunghi = ⋅
2240 120 28800A cm= ⋅ =
22,88A m=
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
234
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Fie Q şi R proiecţiile lui P pe [AD], respectiv [DC] şi S punctul în care tacul intersectează [DC].
40PQDR dreptunghi DQ PR cm− ⇒ = =
80AQ AD DQ cm= − =
PAQ e dreptunghic isoscel ⇒ ( ) 45m PAQ = °
Din triunghiul DAS se calculează ( ) 45m DAS = °
1p
1p
1p
1p
1p
c) Calculează distanţa parcursă în timpul unei rotaţii complete: 2cercL Rπ=
18,84cerc cmL =
Calculează distanţa parcursă pâna la orificiu: 280PA =
112,8PA cm=
112,8 :18,84 5,98 6= ≈ rostogoliri
1p
1p
1p
1p
1p
2. a) Bprismăl hA P ⋅=
272 3 216
prismăl cmA = ⋅ =
5 3 2piramidăh = − = 85pA =⇒
272 85 36 852 2
B p
piramidălP A
cmA ⋅= ==
236(6 85)prelată prismă piramidăl l cmAA A= + = +
1p
1p
1p
1p
1p
b) Calculează volumul prismei
3972
prismă B
prismă
V A hV m
= ⋅
=
Calculează volumul piramidei
1p
www.mate
info.r
o
235
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3
3324 2 216
3
piramidăBpiramidă
piramidă
A hV
V m
⋅=
⋅= =
Calculează volumul de aer din cort
3972 216 1188cortV m= + =
Cât volum de aer este necesar pentru personal si cât volum de aer rămâne
3
3
15 4 601188 60 1128
mm
⋅ =
− =
Numărul maxim de bilete care pot fi vândute
1128 : 4 282=
1p
1p
1p
1p
c) Notăm cu “d” distanţa cerută
2( )piramidă
plasă
bază
A dA h
=
2225
324 4d
=
2 225 4324
d ⋅=
15 2 1, (6)18
d m⋅= =
1p
1p
1p
1p
1p
www.m
ateinf
o.ro
236
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta87 Prof GRIGORAȘ CAMELIA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4,6 5p
2. -1 5p
3. 800 kilograme 5p
4. 2400 2cm 5p
5. 600 2cm 5p
6. 02 C+ 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenul piramidei patrulatere regulate realizat corect.
Notațiile corecte.
3p
2p
2. Scrie relația sub forma: 2 26 9 10 25 0x x y y− + + − + =
Restrânge pătratele și scrie relația sub forma:
2 2( 3) ( 5) 0x y− + − = , 2 2( 3) 0, ( 5) 0x y− ≥ − ≥
2 2( 3) 0 ( 5) 0x şi y− = − = de unde 3 0x − = = 0 și 5 0y − = = 0, deci, x=3 și y= 5
Calculează perimetrul P = 2(3 cm +5 cm) = 16 cm și aria A = 3 cm∙5cm = 15 2cm
1p
1p
1p
2p
3. Notează corect : x - lungimea traseului de parcurs, 10
100x - distanța parcursă
în prima zi, 4∙ 10100
x - distanța parcursă a doua zi
1p
www.mate
info.r
o
237
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Scrie relația corectă: 10 104 60100 100
x x km+ ⋅ =
Rezolvă ecuația și scrie soluția algebrică x = 120
Scrie concluzia finală: traseul are lungimea 120 kilometri
2p
1p
1p
4. a) Reprezintă corect două puncte care aparțin graficului funcției f;
trasează corect fG
Reprezintă corect graficul funcției gG ;
2p
1p
2p
b) Identifică suprafața determinată de graficele funcțiilor f și g ca fiind trapezul dreptunghic cu baza mare de lungime 4 u.m., baza mică 2 u.m. și înălțimea 2 u.m.
Scrie formula de calcul a ariei trapezului A= ( )2
B b î+ ⋅
Calculează A = 6 2.u m
3p
1p
1p
5 Scrie a+b = 25, 2 2a b+ = 425
Scrie 2 2 2( ) 2a b a b ab+ = + +
Înlocuiește 625 = 425 2ab+
Calculează a b⋅ = 100
1p
2p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Scrie formula pentru 26tA l= ⋅
Calculează 26 6tA = ⋅ = 216 2dm
216 2dm = 2,16 2m , 2,16 2 23m m<
Concluzia finală: hârtia cumpărată ajunge
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
238
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Calculează cât reprezintă 5% din hârtia folosită 2 25 2,16 0,108
100m m⋅ =
Calculează necesarul de hârtie 2,16 2m + 0,108 2m = 2,268 2m
Calculează costul hârtiei folosite 2,268 2 3,5m lei⋅ = 7,938 lei
2p
2p
1p
c) Calculează diagonala cutiei d = l dm = 6 dm
Aproximează 3 ≈1,73 , 6 dm≈1,73 6 dm = 10,38dm =1,038 m
Concluzia finală: umbrela de lungime 1,2 m >1,038 m, deci nu încape în acea cutie
2p
2p
1p
2. a) Scrie formula de calcul a ariei terasei sub formă de triunghi dreptunghic
2ABCAB BCA∆
⋅= ;
Calculează aria 26 24 722 2ABC
AB BCA m∆⋅ ⋅
= = =
2p
3p
b) Notează CN x=
Scrie 2
4CMN
ABC
A xA∆
∆
=
2 2
2 2 224 576CMN CMN
ABC CMN ABNM
A Ax xA A x A x
∆ ∆
∆ ∆
⇒ = ⇒ = ⇒− − −
2 2576 12 2x x x m⇒ = − ⇒ =
Concluzionează că MN se află la 24 12 2m− metri faţă de AB.
1p
1p
1p
1p
1p
c) Suprafața mochetată va fi cea a trapezului AMNB
Pentru NB = 24 12 2m− , suprafața va fi jumătate din suprafața întreagii
terase, adică 36 2m
Calculează că mocheta va costa 36 2 18,2m lei⋅ = 655,20 lei.
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
239
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta88 Prof. GRIGORAȘ CAMELIA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. 3 5p
3. 2 5p
4. 25 2cm 5p
5. x(x+4) 5p
6. 11 elevi 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect cubul
Notează cubul după cerință
Desenează o diagonală a cubului
2p
1p
2p
2. Calculează suma cu care s-a redus prețul de sărbători: 10% din 120 = 10 120 12100
lei⋅ =
Stabilește prețul după reducere 120 lei – 12 lei = 108 lei
Calculează suma cu care s-a majorat prețul 10 108 10,8100
lei lei⋅ =
Stabilește prețul după majorare 108 lei + 10,8 lei =118,8 lei
2p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
240
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. Scrie relațiile între dimensiunile dreptunghiului L
l= 1
3 , L+ l = 16 cm
Află dimensiunile dreptunghiului L = 3 l, 3 l + l = 16 l = 4 cm și L = 12 cm
Scrie formula de calcul a ariei dreptunghiului A = L l
Calculează aria dreptunghiului A = L l = 4cm ⋅12cm = 48 2cm
1p
2p
1p
1p
4. a) Reprezintă corect două puncte care aparțin graficului funcției f
Trasează dreapta deteminată de cele două puncte
4p
1p
b) Observă că punctul de pe grafic egal depărtat de axele Ox și Oy este punctul care are coordonatele egale x = y = α
M( , ) ( ) 2 5 5fG fα α α α α α α∈ ⇒ = ⇒ ⋅ − = ⇒ =
Concluzia finală: punctul M(5;5) fG∈ și se află la egala distanță de Ox și Oy
2p
2p
1p
5 Descompune numărătorul:
4 2 4 2 25 4 4 4x x x x x− + = − − + = 2 2 2 2 2( 1) 4( 1) ( 1)( 4) ( 1)( 1)( 2)( 2)x x x x x x x x x− − − = − − = − + − +
Descompune numitorul:
3 2 24 4 ( 1) 4( 1) ( 1)( 2)( 2)x x x x x x x x x− − + = − − − = − − +
Simplifică raportul (ținând cont de condițiile date ) obținând x+1
2p
2p
1p
(30 de puncte)
1. a) Calculează apotema piramidei care va fi egală cu 20 2 cm
Calculează aria laterală a piramidei A l = 4· AVBC = 4 · 40 ·20 · 22
=
1600 2 cm2,
Calculează necesarul de glazură = 1600 2 · 10 g = 16000g 2 = 16 2 kg de glazură
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
241
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Scrie formula de calcul a volumului paralelipipedului dreptunghic
Calculează volumul cutiei de împachetat tortul Vcutiei = 40 · 40 ·20 = 32000 cm3
2p
3p
c) Scrie volumul de calcul al piramide regulate
Calculează volumul tortului Vtort = 32003
cm3,
Concluzionează că tortul va ocupa 33,(3) % din volumul cutiei
2p
2p
1p
2. a) Scrie perimetrul trapezului dreptunghic
Calculează laturile trapezului astfel : AB = 25 m, BC = 25 m, DC = 25 32
m, AD = 252
m
Calculează perimetrul grădinii 2550 (1 3)2
m+ + (lungimea gardului);
1p
2p
2p
b) Calculează aria suprafeței cultivate cu ceapă
2625 3 78,125 38ADCA m= = ; 2
4
78,125 378,125 310
m ha=
Calculează cantitatea de ceapă recoltată
cantitatea de ceapă recoltată
4
78,125 3 5000 7,8125 5 3 67,57810
kg kg= ⋅ = ⋅ ≈
2p
3p
c) Consideră punctul E [BC] situat la distanța notată x față de C
Exprimă aria trapezului AECD în funcție de x astfel:
1 25 25 3( )2 2 2AECDA x= + ⋅
Exprimă aria triunghiului AED∆ astfel: 1 25 3(25 )2 2AEDA x∆ = ⋅ − ⋅
Egalează cele două arii și obține x = 254
m (distanță față de punctul C)
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
242
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 89 Prof: GRIGORAȘ CAMELIA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 5p
2. 1 5p
3. 4 elemente 5p
4. 8 2dm 5p
5. 3 cm 5p
6. 8 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect prisma
Notează corect prisma
3p
2p
2. Calculează numărul fetelor 12 + 8 = 20 fete
Calculează numărul elevilor din clasă 12 băieți + 20 fete = 32 elevi
Scrie probabilitatea realizării evenimentului numărulcazurilorfavorabilenumărulcazurilorposibile
Calculează numărulcazurilorfavorabilenumărulcazurilorposibile
= 1232
= 38
1p
2p
1p
1p
3. Scrie expresia E(x) = 2 24 5 4 4 1x x x x− + = − + + =
Restrânge pătratul 2 24 4 ( 2)x x x− + = −
Observă că 2( 2) 0x − ≥
Valoarea minimă a expresiei scrisă sub forma E(x) 2( 2) 1x= − + se obține pentru 2( 2) 0x − =
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
243
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Găsește x = 2
4. a) Notează lungimile laturilor triunghiului cu a, b, c
Află lungimile laturilor:
Scrie relația de directă proporționalitate 3 4 5a b c k= = =
Scrie a = 3k, b = 4k, c = 5k
Scrie perimetrul a + b+ c = 3k + 4k +5k = 24 m
Află k = 2 și a = 6 m, b = 8m, c = 10m
1p
1p
1p
1p
1p
b) Scrie o formulă de calcul a ariei triunghiului ( fie observă că triunghiul este dreptunghic aplicând Reciproca Teoremei lui Pitagora, fie aplicând formula lui Heron ( )( )( )A p p a p b p c∆ = − − − , unde p este semiperimetrul )
Calculează 224A m∆ =
3p
2p
5 Scrie relația impusă dintre coordonatele punctului y = 3x
Află coordonatele punctului 3x = 2x+5 de unde, x = 5u.m. și y = 15u.m.
Concluzionează în final că : punctul P(5;15) fG∈ și are ordonata egală cu triplul abscisei
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Calculează înălțimea clădirii 3 24 18
4clădireh m m= ⋅ =
Calculează suprafața laterală a clădirii lcladireA = 4 224 18 1728m m m⋅ ⋅ =
2p
3p
b) Calculează diagonala acoperișului și lungimea muchiei acoperișului și obține 313m
5p
c) Calculează aria laterală a acoperisului care va fi egală cu 24 24 13 624lacoperisA m m m= ⋅ ⋅ =
Află numărul de țigle necesare 2624 20 12480m ţigle ţigle⋅ =
3p 2p
www.mate
info.r
o
244
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) Notează AD DE AE EF FC FB BC a= = = = = = = Scrie că ADE∆ echilateral,
Exprimă 3 3 ( 3 1)2 2
a aPM PE EF FM a a dam= + + = + + = +
Egalează ( 3 1) 8( 3 1) 8a dam a dam+ = + ⇒ = Calculează
232 16 3DEFCA dam= + ,
Calculează aria porţiunii haşurate 232 16 3dam+ .
1p
2p 2p
b) Calculează aria porţiunii nehaşurate 22 32(2 3)AEDA dam= ⋅ = + ; Calculează raportul
3 34
nehasurat
dreptunghi
AA
−= ;
2p
3p
c) Calculează în 2m suprafața cultivată 2 232(2 3) 3200(2 3)dam m+ = + ;
producţia 3200(2 3) 5,25 525 32(2 3) 62664kg kg= + ⋅ = ⋅ + ≈ de tomate
3p
2p
www.mate
info.r
o
245
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta90 Prof.Isofache Căătăălina Anca
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. (-2)(+2)-(-12):(+3)=0 5p
2. 9870 5p
3. P=
124 =
31 .
5p
4. P=20 2 cm. 5p
5. A=9 3 cm 2 . 5p
6. 9 lei. 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Reprezentarea corectăă a prismei triunghiulare regulate. 5p
2. x 2 +4x+10=(x+2) 062 ≥+ +6
Pentru x=-2,obţţinem valoarea minimăă=6.
5p
3. n=vâârsta bunicii
n=4x+3;n=6y+3;n=10z+3 x;y;z *N∈ .
n-3=4x; n-3=6y; n-3=10z.
[4;6;10]=60.
Rezultăă n-3 60M∈ .Deci n-3=60.Obţţinem n=63.
5p
4. a) A(0 ; 2 ) si B( 2 ;0)
Reprezentarea graficăă este dreapta AB.
5p
www.mate
info.r
o
246
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b)In triunghiul dreptunghic AOB,OA=OB= 2 ;AB=2,rezultăă
d(0;AB)=AB
OBQA ⋅ =1
5p
5 n 22 )3(96 +=++ nn ; )3)(3(92 +−=− nnn ; )3)(1(342 −−=+− nnnn
E(n)=1
)3)(1()3)(3(
)3( 2
−−−
⋅+−
+n
nnnn
n⇒E(n)=n+3 ZnZ ∈∀∈ , /{-3 ;1 ;3}.
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)A 21 990090110 m=⋅= ;A 2
2 800080100 m=⋅= .Deci 21 AAAzgura −=
zguraA =1900 m 2 .
5p
b) 22 10054 mAflori =⋅= ; 2120020302 mAsport =⋅⋅= ; 22tan 255 mA afan ππ =⋅=
)( tan2 afansportflorigazon AAAAA ++−= .Deci 2)256700( mAgazon π−= .
5p
c) 25,66215,786700 mAgazon =−=
6621,5:0,5=13243 ladiţţe de gazon
1213243 ⋅ =158916 lei
5p
2. a)V
3hAb
l⋅
= reprezintăă volumul lichidului ce se acumuleazăă îîn pââlnie,câând
pompele A’ si O funcţţioneazăă simultan.Rezultăă 36dmVl = .
1,5dm min/3 -0,5dm min/3 =1dm min/3 este debitul de lichid ce răămââne îîn pââlnie,câând pompele A’si O funcţţioneazăă simultan.
6dm 3 :1dm min/3 =6 minute funcţţioneazăă simultan pompele A’ si O.
335,06 dm=⋅ esenţţăă de vanilie se imbuteliazăă câând pompele A’ si O funcţţioneazăă simultan.
6dm 33 5,0: dm /min=12minute este timpul îîn care funcţţioneazăă numai pompa O
6min+12min+2min=20minute
In 20 min se îîmbuteliazăă 6dm 3 +3dm 3 =9dm 3 lichid.
5p
www.mate
info.r
o
247
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
60min:20min=3
9dm 3 x3=27dm 3 =27litri=27000 ml de esenţţăă de vanilie se ambaleazăă îîntr-orăă.
27000:250=108 sticluţţe de esenţţăă de vanilie.
b) 5401085 =⋅ sticluţţe/orăă
32406540 =⋅ sticluţţe de esenţţăă de vanilie/zi
3240:30=108 cutii /zi
5p
c) x=preţţul de fabricăă al unei sticluţţe de vanilie
86,1100124
=x .Rezulta x=1,50lei.
TVA=1,86-1,50=0,36lei/sticluţţa
40,116636,03240 =⋅ lei TVA/zi.
5p
www.mate
info.r
o
248
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 91 Prof Lica Roxana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2,5 3 0,5− = − 5p
2. 1102
5p
3. 12
5p
4. 20122011
5p
5. 3 2 5p
6. 4π dm 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 5p
2. (3,0)fG Ox A∩ = ; (0, 12)fG Oy B∩ = − ; 3 12 18
2 2OAB
OA OBA∆
⋅ ⋅= = =
5p
3. Fiecare dintre membrii familiei „imbatraneste” cu 15 ani, prin urmare suma varstelor este 53+15+15+15=98ani.
5p
4. a) ( )7 7 8 9 : 4 3
8,5 7,54
x+ + + ⋅ +> ≥ ; 34>31: 4 3 30x⋅ + ≥ ;
34> 7,75 3 30x⋅ + ≥ ; 34> 23,25 30x+ ≥ ; 34-23,25> 30 23,25x ≥ − ; 11,75 6.75x> ≥ . Notele sunt 10, 9, 8 si 7.
b) O nota: ( )7 7 8 9 : 5 3 98,5
4y+ + + + ⋅ +
≥ ; ( )31 : 5 3 9 34y+ ⋅ + ≥ ;
( )31 : 5 3 25y+ ⋅ ≥ ; ( )31 : 5 8,3y+ ≥ ; 31 41,5y+ ≥ ; 10,25y ≥
Raspuns: doua note
2p
3p
3p
2p
www.mate
info.r
o
249
5
.
( )( ) ( )
( )( )( )
( )
2 2
2 22
2
2 3 25 6 2 3 64 4 2 2
2 3 3 112 22
x x xx x x x xx x x x
x x xx xx
+ + ++ + + + += = =
+ + + +
+ + += = = +
+ ++
{ }2x∈ − −
, { } { }2 1 2 1, 1 1, 3x x x+ ⇒ + ∈ − ⇒ ∈ − −
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)Perimetrul este 2 3 2 2 10x x x⋅ + ⋅ = 5p
b)Aria totala este 26 3 6+ ⋅ =54m2
Lungimea foliei este 54:3=18m.
3p
2p
c)In triunghiul AEM cu masura unghiului E de 90°, din teorema lui Pitagora obtinem AM=3 10 . Asadar, DM+AM=6 10 . Costul total este 186lei.
2p
3p
2. a)
23 3 33 400 3 10 1000 3 1700 1,7
4 4lV h cm cm cm l= = = = =
5p
b)( )
( )( )
'' ', '
,
A A ABCAM BC A M BC d A BC A MAM BC ABC
⊥
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
⊂
, unde M este
mijlocul lui [BC]. In 'A AM∆ , ˆ( ) 90m A = ° , 2 2 2' 'A M A A AM= + =100+300=400, deci A’M=20cm
2p
2p
1p
c)Masura unghiului plan al diedrului este egala cu masura unghiului A’MA.
' 10 3'310 3
A Atg A MAAM
= = =
2p
3p
www.mate
info.r
o
250
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 92 Prof Lica Roxana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 9-8:2=9-4=5 5p
2. 720
5p
3. 11
5p
4. R=3cm, deci latura patratului este
3 2cm. Aria patratului este 18cm2.
5p
5. 2 2 2 2 8 7 2 8 6 2 7 6 112 96 84 292totalaA Ll Lh lh cm= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + + = 5p
6. ( )1 9 90 1 2 ... 9 45
2+ ⋅
+ + + + = = 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen. 5p
2. (3,0)fG Ox A∩ = ; (0,12). 3, 12fG Oy B OA OB∩ = = =
In triunghiul OAB, dreptunghic in O, se calculeaza lungimea lui AB-
ipotenuza, 153AB = . Distanta de la O la AB este inaltimea din O a
triunghiului OAB si are lungimea 36153 .
5p
3. Primul robinet are debitul 1 4Vd = , al doilea 2 6
Vd = . Debitul comun este
1 25
4 6 12V Vd d V+ = + = . Prin urmare sunt necesare 12
5 ore, adica 2 ore si 24
minute pentru a umple bazinul folosind ambele robinete.
5p
4. a) ( ) ( ) ( )
212 2 1 2 21
xxE x x xx x
+= ⋅ = + = +
+ . 5p
www.mate
info.r
o
251
b) { }2 2 2 2 4 2 0 2 0 2x x x x− ≤ + ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ∈ − 5p
5 1 2 101 2 10
1 2 3
4 5 10
4 5 10
... 15 ... 15010
87... 150 87 63... 63 9
7 7
a a a a a a
a a aa a aa a a
+ + += ⇒ + + + =
+ + =+ + + = − =+ + +
= =
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)Aria livezii este 0,5km2, adica 500000m2. Numarul de copaci este 500000:25 adica 20000.
5p
b) 1002•502-1000•500=3004m2 este suprafata luciului de apa.
Volumul de apa este 3004•0,5=1502m3.
3p
2p
c) Intretinerea livezii costa 500000lei.
Apa din canal valoreaza 1502•3 adica 4506lei.
Costul total 500000+2•4506=509012 lei.
2p
2p
1p
2. a) 1 0, 2 0,7 0,14V = ⋅ ⋅ = m3. 5p
b) diagonala televizorului este diagonala unei suprafete laterale.
2 2100 70 14900 10 149 122 .d cm= + = =
122 : 2,54 48".d =
3p
2p
c) Volumul paletului este 2•3•1,4=8,4m3
Nr de televizoare este 8,4:0,14=60.
2p
3p
www.mate
info.r
o
252
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 93 Prof Lica Roxana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0,5 1 1,5+ = 5p
2. 1987
5p
3. 12
5p
4. 20112012
− 5p
5. 100cm2 5p
6. 2500пcm2 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 5p
2. ( 2,0)fG Ox A∩ = − ; (0,8)fG Oy B∩ = ; 2 8 8
2 2OAB
OA OBA∆
⋅ ⋅= = =
5p
3. Diferenta de varsta intre copii este de 7 ani. Prin urmare baiatul are 14 ani iar fata 7 ani.
5p
4. a)
1002 8 260
c zz c+ =
+ =
z=90, c=10
b) 10 buchete formate dintr-un crin si 8 zambile
2p
3p
5p
5
( )
2
22
10 26 1110 25 5
x xx x x− +
= + ∈− + −
daca
2p
www.mate
info.r
o
253
( ){ } { }
5 1
5 1,1 4,6
x
x x
− ⇒
− ∈ − ⇒ ∈
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2 220 16 144π π π− = m2 5p
b) 2 16mπ = 32π m
5p
c) 40 1 125,6π ⋅ = m2 suprafata gardului
In total, 251,2litri.
2p
3p
2. a)1000cm3
5p
b)1000:16=62,5cm 5p
c) volumul tetraedrului este aprox. prin lipsa 155cm3
In total 1000:155=6,45
Raspuns:6.
2p
3p
www.mate
info.r
o
254
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 94 Prof. Corneliu Mănescu-Avram
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ⋅ , : , − 5p
2. 17 5p
3. 13,75 5p
4. 34 5p
5. 6 5p
6. 5 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenul corect
Notarea corectă
4p
1p
2. 1 ∈ 2A B⇒ ∈
4 5A B∈ ⇒ ∈
3 4 3 1 ;A A∈ ⇒ − = ∈ 3 5 3 2 .B B∈ ⇒ − = ∈
2p
2p
1p
3. x = distanţa parcursă, y = lugimea drumului în pantă
ecuaţia 2 2 54 3 6 4
x xy yy y− −+ + + =
x = 20 km.
1p
2p
2p
4. a) ( ) 3 1
2xf x −
= 1p
4p
www.mate
info.r
o
255
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
trasarea graficului
b) ( ) 1 2 1,
2xf x x x k k−
= + ∈ ⇔ = + ∈
( )2 1,3 1kA k k+ + , ,k∈ sunt toate punctele de coordonate întregi de pe graficul funcţiei
2p
3p
5 ( )( )5 2 3 25 5 1 5 5 1 5 5 1+ + = + + − + =
31 101= ⋅
numerele 31 şi 101 sunt prime, deoarece nu se divid cu 2, 3, 5, 7 < 101.
2p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) orice linie mijlocie a ΔABC 5p
b) triunghiul trebuie să fie dreptunghic
şoseaua este paralelă cu una dintre catete
staţia se construieşte la mijlocul ipotenuzei
2p
2p
1p
c) 2 2 217 8 15 ABC= + ⇒ ∆ dreptunghic în B
d = 17:2 = 8,5 km
2p
3p
2. a) 120 5p
b) 8 5p
c) 8 cuburi mari
2 8 8 5 56⋅ + ⋅ = cuburi mici
8+56=64 cuburi
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
256
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 95 Prof. Corneliu Mănescu-Avram
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0 5p
2. 107 5p
3. 4,2 5p
4. 4 5p
5. 1 5p
6. - 1,3 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenul corect 5p
2. 6 5p
3. ( ) 23 3
2
a+
5p
4. a) ( ) ( ) ( )0 2 0 0 0 0f f f E= ⇒ = ⇒ ∈ 5p
b) { } { }0 0x E x E∈ − ⇒ − ∈ −
Card E = 2 Card{ }0x E x∈ > + 1
2p
3p
5 5p
www.mate
info.r
o
257
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
6 7 2
1 5 9
8 3 4
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 210 : 3 = 70 mm 5p
b) 0,343 dm3 = 0,343 l 5p
c) 7 ⋅ 7 cm – 49 cm
29,7 cm - 14 cm = 15,7 cm
2 ⋅ 15,7 cm = 31,4 cm
49 cm + 31,4 cm = 80,4 cm
1p
1p
1p
2p
2. a) 7 ⋅ 6 = 42 5p
b) 11 ⋅ 7 ⋅ 6 = 462
77 + 55 = 132
462 – 132 = 330
2p
1p
2p
c) 5,4 ⋅ 10,5 ⋅ 24 ⋅ 1800 : 104 = 2,44kg
2,44 ⋅ 462 = 1131,6 kg
3p
2p
www.mate
info.r
o
258
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 96 Prof. Corneliu Mănescu-Avram
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 10 5p
2. 14 5p
3. 1 5p
4. 1 52+
5p
5. 2,4 5p
6. 2 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenul corect 5p
2. ( ) ( )13 10 5 2 5 13 10 2 13 5 4n k B n k k= + ∈ ⇒ + = + + = + se divide cu 13
n A⇒ ∈
5p
3. 18 şi 6 5p
4. a) 1 1 1, ,a b c
x y z= = = ,
22 2 2 xy yz xzA x y z
x y z + +
= + + + = + +
2 2 2x y z xy yz xzx y z
+ + + + +=
+ +
2p
3p
b) 1 abc
a b−
=+
( )( )( )( )( ) ( ) ( )2 22 2
2 2 21 1 1
1 1 1a b a b ab
a b ca b
+ + + + − + + + = =+
1p
2p
www.mate
info.r
o
259
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )( )2 21 1a ba b
+ +=
+
2p
5 4 2
2
11
x x xx
+ − ++
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente
x, y, z, t lungimile segmentelor cuprinse între vârfuri şi punctele de tangenţă
, , ,AB a x y BC b y z CD c z t AD d x t= = + = = + = = + = = +
a c b d x y z t+ = + = + + +
2p
2p
1p
b) Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice formate de
laturi cu diagonalele
5p
c) ( ) ( )2 2a c b d− = −
( )a c b d− = ± −
,a b c d= = ⇒ BD este mediatoarea lui [AC]
,a d b c= = ⇒ AC este mediatoarea lui [BD]
2p
1p
1p
1p
2. a)
2
3l hV = =
= 2574467 m3
2p
3p
b) M V ρ= =
= 6693614 t
2p
3p
c) 2308142 5p
www.mate
info.r
o
260
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 97 Prof. Corneliu Mănescu-Avram
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 10301 5p
2. 11 5p
3. 1,2% 5p
4. a b c d
a ⊥
⊥
b ⊥ ⊥
c ⊥
⊥
d ⊥ ⊥
5p
5. 4 5p
6. 2 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenul corect 5p
2. 11 182 11 183n⋅ < < ⋅
2003 2012n≤ ≤
2p
3p
3. sunt 10 băieţi
sunt 10 fete
numărul elevilor creşte cu 5%
1p
1p
3p
4. a) m=1, f1(a) = 2a ⇒ orice punct de pe grafic e de forma M(a, 2a)
m≠1, ( ) ( )( )2 1 1 0 1mf a a m a a− = − + = ⇒ = −
mulţimea căutată este o dreaptă, graficul funcţiei f1
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
261
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ( )1 2mf − = −
( )1, 2P − −
2p
3p
5 ( )252525 26 3 1 3 2 3N M M M= + = + + + =
33NN = ⋅
3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 15 ⋅ 20 ( )( )15 20 75x x− − − =
35 5 372
x −=
2, 29x ≈ m
2p
2p
1p
b) ( )( )15 20 15 20 75x x+ + − ⋅ =
35 5 612
x − +=
2,02x ≈ m
2p
2p
1p
c) 17,29 ⋅ 22,29 300− = 85,39
85,39 : 75 = 1,1385
13,85 %
2p
2p
1p
2. a) 33124 182=
182 : 2 = 91
2 2100 91 135,2+ ≈
135,2 182 2⋅ ⋅ =49212,8 m2
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
262
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) 33124 100
3V ⋅=
1104133V ≈ m3
5p
c) 2500000 : 1104133 ≈ 2,26 5p
www.mate
info.r
o
263
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta98 Prof Maniţiu Blandina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 192
5p
2. 12
5p
3. 4 5p
4. 24 5p
5. 45 0 5p
6. 7,00 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. 3 4 8 3 4 8x sau x
3 4 8 3 4 8 3 12 4x x x x
43 4 8 3 4 8 3 43
x x x x
A={4}
2p
1p
1p
1p
3. Notăm x preţul iniţial
15 21 2100
x x
3 23 20 3 460 23 46020
xx x x x
460 : 23 20x x lei preţul iniţial
1p
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
264
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) (0) 3 0 6 6f
(1) 3 1 6 3 6 3f
(2) 3 2 6 6 6 0f
(0) (1) (2) 6 3 0 9f f f
1p
1p
1p
2p
b) ( 1, ) fA m G ( 1)f m
3( 1) 6 m
3 6 9 9m m m
2p
2p
1p
5 2 2 2( 2 1) ( 2) 2 2 1 1 2 2 2 1 3 2 2
2 2 2( 2 1) ( 2) 2 2 1 1 2 2 2 1 3 2 2
2 2( 2 1) ( 2 1) 3 2 2 3 2 2 6
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Desenează şi notează paralelipipedul.
2( )tA L l L h l h .
2(3 1,5 3 0,75 1,5 0,75) 2(4,5 2,25 1,125)tA 2 7,875
215,75 .tA m
1p
1p
2p
1p
b) Aria unei plăci de faianţă 215 5 15 5 1125 .cm
Ariile feţelor laterale sunt:2 2 2
2 2 2
1,5 0,75 1,125 112503 0,75 2,25 22500
m m cmm m cm
11250:1125=10bucăţi şi22500:1125=20bucăţi
Avem nevoie de10 2 20 2 20 40 60 bucăţi faianţă.
1p
1p
1p
1p
1p
c) Volumul bazinului V L l h 1p
www.mate
info.r
o
265
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
33 1,5 0,75 4,5 0,75 3,375V m
3,375m 3 =3375dm 3 şi 1dm 3 =1litru
3375:675=5 15
din volumul bazinului se umple cu apă
Înălţimea apei în bazin va fi: 1 75 1 3 1 30,75 0,155 100 5 4 5 20
m
1p
1p
2p
1p
2. a) 1 1 12 3 12 3 9
4 4AM AB m MB m
A 23 3 9AMND AM MN m aria suprafeţei cultivată cu salată.
A 29 3 27MBCN MB BC m aria suprafeţei cultivată cu ridichi.
2p
2p
1p
b) A 212 3 36ABCD AB AD m
Notăm p procentul cerut 27 10036 27 75100 36
p p
75%din suprafaţa grădinii este cultivată cu salată.
1p 3p 1p
c) 9 12 108 fire salată
27 15 405 fire ridichi405 : 5 81 legături ridichi
1081,5=162 lei se obţin din vînzarea salatei
81 2 162 lei se obţin din vînzarea ridichilor
162+162=324 lei se obţin din vînzare în total.
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
266
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 99 Prof Maniţiu Blandina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 35 5p
2. 1 5p
3. a 19 5p
4. 5 2 cm. 5p
5. 90 5p
6. 20 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează cubul
Notează cubul
4p
1p
2. Notăm numărul cu x
Sfertul numărului 400 este 100
3 100 130 15.x
3 130 15 100 3 15 5.x x x
1p
1p
1p
2p
3. Notăm al doilea număr cu b
Media geometrică este 15b
15 75b
15 75 75 :15 5b b b
1p
1p
1p
2p
4. a) 2 25 6 2 3 6x x x x x
( 2) 3( 2)x x x
2p
2p
www.mate
info.r
o
267
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
(x 2)( 3)x 1p
b)
2
2
5 6 ( 2)( 3)4 ( 2)( 2)
x x x xx x x
Simplificăm prin ( 2)x şi obţinem fracţia 3 .2
xx
3p
2p
5 3 2 2 0 3 2 2 3 2 2
1 2 0 1 2 2 1 .
3 2 2 2 1 2 3 2 2 2( 2 1)
3 2 2 2 2 2 3 2 1
1p
2p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Desenează paralelipipedul.
2 2 2d a b c
2 2 24 8 2d
16 64 4 84 2 21.d
2 21 .d cm
1p
1p
1p
1p
1p.
b) Volumul paralelipipedului V a b c
V=4 38 2 64cm jumătate din paralelipiped are volumul 32cm 3
Un cub cu muchia 2 cm are volumul 2 32 2 8cm
32:8=4 cubuleţe
1p
2p
1p
1p
c) Aria laterală=2(ac+bc) unde a si b sunt dimensiunile bazei iar c este înălţimea.
2p
www.mate
info.r
o
268
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
A l 2(4 2 8 2) 2 24 48 cm 2 .
3p
2. a)A 22 3 5 45DISC R
A 45DISC m 2
4p
1p
b) Triunghiul OBC este dreptunghic
Notăm cu l latura pătratului şi aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiulOBC
2
2 2 2 2 454lOB BC OC l
5l 2180 2 36 6l l m
1p
1p
1p
2p
c)A 2 236ABCD l m
A 24545 .2DISC SEMIDISCA m
Raportul cerut este egal cu 36 7245 45
2
8 .5
Notăm cu p procentul care trebuie aflat
45 36 200 16036100 2 45
p p
50,95
50,95%din aria semidiscului este aria pătratului
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
269
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 100 Prof Maniţiu Blandina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 5p
2. 0,1,2,3,4,5,6 5p
3. 916
5p
4. 10 5p
5. 64 5p
6. 13 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. 86 2 258 banane
86 : 2 43 portocale consumate şi 43 portocale rămase
2 258 1723 banane consumate
258 172 86 banane rămase
43+86=129 fructe rămase în coş
1p
1p
1p
1p
1p
3. Notăm numărul copiilor cu x
400 2000 500 500x x
400 500 2000 500 100 2500 25x x x x copii.
Preţul: 25 400 2000 10000 2000 12000 lei
1p
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
270
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) (0) 3 0 4 4 (0,4) ff A G
4 4 4( ) 3 ( ) 4 0 ( ,0)3 3 3 ff B G
2p
3p
b) Punctul de intersecţie al G f cu Ox este 4( ,0)
3B
4 43 3
OB
Punctul de intersecţie al G f cu Oy este A(0,4) 4OA
1 2
44 4 1 83 4 .2 2 2 3 2 3AOB
c c OA OBA
2p
1p
2p
5 2 2 2 2 25 5 2 5 5 5 10 25 5 9 20x x x x x x x x x x
2 24 5 5 4 4 5 5 4 20 9 20.x x x x x x x x x x x
Avem 25 5 4 5x x x x
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Dacă notăm cu O ŞI O’centrele bazelor cubului,atunci înălţimea ornamentului va fi , ' ' 'VO ABCD O VO VO VO O O
Diagonala bazei cubului este 60 2 ' ' 30 2O C cm
22 2 2 2' ' ' ' ' ' 45 30 2VO C dreptunghic VO VC O C = 2225 ' 15 .VO cm
VO=60+15=75cm.
2p
1p
1p
1p
b)Trebuie calculată aria laterală a întregului ornament
2 2 24 4 60 4 3600 14400 .lateralăcubA l cm
A laterală piramidă =2
bazei piramideiPerimetrul apotema
Apotema 2215 30 1125 15 5piramidei cm
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
271
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
A lateral2240 15 5 1800 5
2piramidei cm
Aria hârtiei colorate este egală cu: (14400+1800 5 )cm 2 .
1p
1p
c)Calculăm volumul întregului ornament,şi avem:
2
3 '3
l VOl volumulcubului volumulpiramidei = 2 '
3VOl l
2
3 360 1560 3600 65 234000 .3
cm
1 dm 3 =1litru
234000cm 3 =234dm 3 =234litri de apă
2p
1p
1p
1p
2. a)Reprezintă segmentul MN ANMD trapez dreptunghic.
Ducem DEAB, E AB ) MN DE ,AE 120 80 : 2 40 : 2 20 şi din
triunghiul dreptunghic AED aflăm 2 2 2 625 400 225DE AD AE ,deci DE=15
20 30 30 1540 15 600
2 2ANMD
AN MD MNA
cm 2
1p
2p
2p
b)
2120 80 151500 .
2 2ABCD
AB CD DEA cm
Notăm cu p procentul care se cere,deci:
1500 600 40%100
p p
2p
1p
2p
c) 50 100 5000lei preţul plăcilor de forma ABCD.
40%din100este egal cu 40lei
2540=1000lei preţul plăcilor de forma ANMD
Preţul total al pavajului: 5000lei+1000lei=6000lei.
1p
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
272
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 101 Prof :Maniţiu Blandina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 5p
2. 76 5p
3. 47
5p
4. 12 5p
5. 150 5p
6. 38,5 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. Fie x numărul bărbaţilor
Vom avea 4x numărul femeilor
4 60 5 60 12x x x x
12 bărbaţi şi 124=48 femei
1p
1p
2p
1p
3. 32 5 / 4 8 3 20 / 3 5 174
x x x
5,17x
4p
1p
4. a) ( ) ( )f x g x
4 2 2 6x x x
(6) 6 4 10f
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
273
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
P (6,10) este punctual comun 1p
b)G f intersectează Ox în A( 4,0)
G g intersectează Ox în B(1,0)
Deci AB=1+4=5 şi înălţimea triunghiului ABP cu bază AB va fi 10.
A 10 5 10 25.2 2PAB
AB
1p
1p
1p
2p
5 22 6 9 3x x x
2 9 3 3x x x
22
2
36 9 39 3 3 3
xx x xx x x x
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
2 3 .4ABC
lA
A 2144 3 36 3 .4ABC cm
2p
3p
b)În 0 2 2 2, 90 .VOM m O VM VO OM
Dar OM= 1 1 3 2 33 3 2
lAM
2 22 10 2 3 100 12 112VM 4 7 .VM cm (apotema piramidei)
2bazei
lateralăPerimetrul apotemaA
236 4 7 72 7 .2lateralaA cm
1p
1p
1p
1p 1p
www.mate
info.r
o
274
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
a) Raportul înălţimilor celor două piramide este 4 2
10 5
3
' ' ' 2 8 .5 125
VA B C
VABC
VV
2p
3p
2. a) A
2
AB CD AD
A 245 35 24 80 24 40 24 960
2 2cm
2p
3p
b) A 2960 : 2 480NBCM cm 2480ANMDA cm
Dacă DM=x,atunci 24 480 480 : 24 20 .x x cm
3p
2p
c)Fie n pătrate cu latura de lungime l
2 480,n l n să fie minim.
480=30 16 este descompunerea lui 480 astfel ca n(primul factor) să fie minim iar al doilea să fie pătrat prfect,deci putem înscrie 30 pătrate cu latura de 4cm
1p
2p
2p
www.m
ateinf
o.ro
275
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 102 Prof Marcu Ştefan Florin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 6 5p
2. 0,07 5p
3. 80 5p
4. 1 5p
5. 60 5p
6. 12 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. 3x+6-1 ≤x+9
x≤2
A={ 0,1,2 }
Numărul de elemente =3
1p
2p
1p
1p
3. Notează lungimea drumului=x
12
x+ 25
x+2=x
x=20 km
1p
2p
2p
4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului funcţiei
4p
1p
b) 3x-6=x-4 2p
www.mate
info.r
o
276
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
x=1
y=-3
A(1,-3)
1p
1p
1p
5 2 2(2 5) 9 4 5x = − = −
2 9 4 5y = +
2 2x y+ =18∈N
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Notăm cu a,b,c lungimile muchiilor . Atunci :
2 2 25a b+ =
2 2 34b c+ =
2 2 41a c+ =
2 2 2 50a b c+ + =
Diagonala=5 2 m
1p
1p
1p
1p
1p
b) Folosim a) si avem :
2 50 25 25c = − = ⇒ c=5 m
2 50 34 16a = − = ⇒ a=4 m
2 50 41 9b = − = ⇒ b=3 m
2p
2p
1p
c) Aria=2 (ab+ac+bc )
Aria=94 2m
3p
2p
2. a) Se observă că : AD+BC=AB+CD=12 m 3p
www.mate
info.r
o
277
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Perimetrul=24 m 2p
b) AB=CD=6 m
S= ( )2
AD BC MN+
MN=4 2 m
S=24 2 2m
1p
1p
2p
1p
c) sinvi iS =8π , unde r=2 2 m
ciresiS =24 2 -8π
Verifică : 24 2 -8π <8π
2p
1p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 103 Prof Marcu Ştefan Florin .
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0 5p
2. 220 5p
3. 75 5p
4. 4 5p
5. 90 5p
6. 6 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
278
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. -3<2x-1<3
A=(-1,2)
A ( )Z N∩ − = ∅
2p
2p
1p
3. Notăm cu x=preţ caiet , şi cu y= preţ pix .
3x+2y=5 lei
2x+3y=5 lei
x=y=1 leu
x+y=2 lei
1p
1p
1p
1p
1p
4. a) A ( 2
3 , 0 )
B ( 0 ,2 )
3p
2p
b) f(m)=5
m=-1
3p
2p
5 2 1 3 2 22 1+
= +−
2 1 3 2 22 1−
= −+
2 1 2 12 1 2 1
N+ −+ ∈
− +
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Vom nota cu M=mijlocul laturii BC , cu O=centrul bazei .Ducem ON⊥VM .
Aplic teorema lui Pitagora , în triunghiul VOA
2p
www.mate
info.r
o
279
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
VA= 208
3p
b)
3bazeiAria hV ∗
=
bazeiAria =108 3 2m
V=288 3 3m
2p
2p
1p
c) Arăt că ON⊥ (VBC)
VO=8 m , OM=6 m
VM=10 m
ON=4,8 m
1p
1p
1p
2p
2. a) 70gardL π=
Arăt că 70gardL π= <221 m
3p
2p
b) parcS =1200+625π 2m
1200Sπ− =625 = 225
3p
2p
c) Se observă că întregul parc , poate fi înconjurat cu un gard , în formă de pătrat , de latură 70 m .
Arăt că : 70 2 <105
3p
2p
www.mate
info.r
o
280
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 104 Prof . Marcu Ştefan Florin .
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 10 5p
2. 9 5p
3. 160 5p
4. 5 5p
5. 30 5p
6. 13 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează cubul
Notează cubul
4p
1p
2. -5<x+1<5
-6<x<4
A are 9 elemente .
2p
1p
2p
3. Fie x=nr . cămile , y= nr . dromaderi . Atunci :
x+y=30
2x+y=50
x=20
y=10
1p
1p
1p
2p
4. a) Rezolvă ecuaţia f(x)=0 , deci x=2 .
Observă că 2 face parte din numerele -2011 , ...,2011
2p
2p
www.mate
info.r
o
281
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Produsul este egal cu 0 . 1p
a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului funcţiei
4p
1p
5 gM ab=
ab=1
gM ab= =1
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Ducem AM⊥BC , VO⊥ (ABC) , unde O este centrul bazei .
OM= 3 m
VM=2 3 m
1p
2p
2p
b) lateralaA =18 3 2m
V=9 3 3m
3p
2p
c) În VOM , OM= 3 m şi VM=2 3 m ,deci m(MVO)= 030
Atunci , m(VMO)= 060
3p
2p
2. a) gardL =3 ∗AB+ semicercL
semicercL =50π
gardL =300+50π
2p
2p
1p
b) livadaS = patratS + semidiscS
patratS =1 ha
semidiscS =1250π
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
282
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Arăt că 1250π <4000
c) meriS = ADMS + sfertcercS
ADMS =2500 2m
sfertcercS =625π 2m
periS =7500+1250π 2m
1p
1p
1p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 105 Prof : Marcu Ştefan Florin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. b 5p
2. 490 5p
3. 2,5 5p
4. 40 5p
5. 90 5p
6. 720 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. -4<2x-1<4
A={-1,0,1,2}
A ∩ N are 3 elemente .
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
283
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. Notăm cu l=latura pătratului . Atunci , suprafaţa iniţială este 2l .
l+50% l= 32
l
Suprafaţa finală = 94
2l
Suprafaţa finală- suprafaţa iniţială= 54
2l
54
=125%
1p
1p
1p
1p
1p
4. a) f(1)=3
f(1)=a-2
a=5
3p
1p
1p
b) ) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Trasarea graficului funcţiei
4p
1p
5 Recunoasterea formulei 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +
Aplicarea formulei pentru : a= 3 2 2− şi b= 3 2 2+
2p
3p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Notăm cu : l= muchia tetraedrului , cu R=raza cercului circumscris unei feţe a tetraedrului , şi cu h= înălţimea tetraedrului .
R= 33
l
R=10 m
h=10 2 m
1p
1p
3p
3
bA hV •=
2p
www.mate
info.r
o
284
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
223 75 3
4blA m= =
V=250 36m
2p
1p
c) Fie O un punct situat în interiorul tetraedrului . Notăm cu 1 2 3 4, , ,h h h h ,
distanţele de la O la feţele tetraedrului . Atunci : ABCD OABC OACD OABD OBCDV V V V V= + + +
1 2 3 4h h h h+ + + =h=10 2 m
2p
3p
2. a) S= 2 210000l m=
l=100 m
3p
2p
b) 2 2500meriS Rπ π= =
10000 2500pruniS π= −
Verifică inegalitatea
2p
1p
2p
c) OA=OB=R 2 =50 2 m
AB=100 m
100 2 100gardL m= +
3p
1p
1p
www.mate
info.r
o
285
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 106 Prof. Militaru Corina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 34 5p
2. 0 5p
3. 5 5p
4. 8 33
5p
5. 2 29 5p
6. 8 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Realizarea desenului
Notaţia tetraedrului
4p
1p
2. 27a b+ = , 25
100b a a= +
1 27 9 1084
a a a a+ + = ⇒ =
12a = şi 15b =
2p
2p
1p
3. 62a b c+ + = , 6 9 15a b c k= = =
626 9 15k k k+ + = , 31 62 180
90k k= ⇒ =
30,a = 20,b = 12c = .
2p
2p
4. a) ( )10 5 5 2 1x x− = − 2p
www.mate
info.r
o
286
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )( )24 1 2 1 2 1x x x− = − +
( ) 52 1
E xx
=+
2p
1p
b) 5 2 1| 5
2 1x
x∈ ⇒ +
+ ⇒ { }2 1 1, 5x + ∈ ± ±
{ }3, 1,0, 2x∈ − −
3p
2p
5 ( )3 3f − = − , ( )2 4g m= +
4 3 7m m+ = − ⇒ = −
3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Notăm cu x şi y - lungimile celor două alei
71
x yx y+ =
⇒ = +.
4x = m şi 3y = m
3p
2p
b) Notăm rombul ABCD şi AC∩BD = { }O .
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AOB ⇒ 2 2 2AB AO BO= +
2,5AB = m
3p
2p
c) Pe fiecare latură se plantează câte 5 arbuşti ⇒ sunt necesari 20 arbuşti
20 12,5 250⋅ = lei costă amenajarea grădinii
3p
2p
2. a) 3 364 1 64cub mareV cm= ⋅ =
Notăm L = latura cubului mare
3 64 4L L cm= ⇒ = .
3p
2p
b) Nr. cuburilor cu trei feţe vopsite = nr. vârfurilor cubului = 8
Nr. cuburilor cu două feţe vopsite = 2 ⋅ nr. muchiilor = 24
2p
2p
www.mate
info.r
o
287
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Nr. cuburilor cu o singură faţă vopsită = 4 ⋅ nr. feţelor = 24. 1p
c) 263prismei bV A h cm= ⋅ =
64prismeiV < ⇒ cuburile nu încap în cutia în formă de prismă
3p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 107 Prof. Militaru Corina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0 5p
2. 45
5p
3. 72 5p
4. 144° 5p
5. 24 3 5p
6. 12
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Realizarea desenului
Notaţia prismei
4p
1p
2. Notăm cu x – preţul iniţial al obiectului
10 63100
x x− =
2p
2p
www.mate
info.r
o
288
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
9x=630
70x = lei
1p
3. 1 1 3 1 1 32 23 1 1 3+ −
− = −−− +
3 1 1 3 12
+ + −=
3p
2p
4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Reprezentarea corectă a celor două puncte
Trasarea graficului
2p
2p
1p
b) ( ) ( ), 1 1fM a a G f a a− ∈ ⇒ = −
( ) 5f a a= −
5 1a a− = −
3a =
2p
1p
1p
1p
5 ( )2 22 1 4 4 1x x x+ = + +
( )( ) 23 1 2 1 6 1x x x x− + = + −
( )2 22 4 1x x x− = − +
2 2 2 24 4 1 6 1 4 1 6x x x x x x x x+ + − − + + − + = − − +
( )( ) 22 3 6x x x x− + = − − +
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.
a) [ ] [ ][ ] [ ]
( ) ( )
AC BCAE BD
CAE CBD
≡ ≡ ≡
⇒
3p
www.mate
info.r
o
289
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
CAE CBD⇒∆ ≡ ∆ ⇒ [ ] [ ]CE CD≡ 2p
b) Fie M – mijlocul segmentului[ ]AB şi N – mijlocul segmentului [ ]ED
( ),d C DE CM MN= +
75 32
CM =
( ) 75 3, 752
d C DE km
= +
3p
1p
1p
c) Distanţa parcursă de automobil = AE + ED + BD = 225 km
225 950 2
t = = = 4h şi 30min
Ajunge la destinaţie la ora 15 şi 25 min
2p
2p
2. a) Notăm VABCD – piramida regulată şi VO – înălţimea sa
AC = 4 2 2 2AO⇒ = dm .
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul VOA ⇒
VO = 2 2 dm.
2p
3p
b) Lungimea apotemei = 2 3 dm .
16 3lA = dm2
( ) 216 3 1tA dm= +
2p
2p
c) 32 2
3V = dm3
32 1,5 163
V ⋅< = dm3
2p
2p
www.mate
info.r
o
290
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Sunt suficienţi 18 dm3 . 1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 108 Prof. Militaru Corina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 3− 5p
2. [ )2,1− 5p
3. 5 5p
4. 80° 5p
5. 9 3 5p
6. 7,00 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Realizarea desenului
Notaţia cubului
4p
1p
2. Fie x – suma iniţială
I zi – 13
x ; A II-a zi – 1 2 120 204 3 6
x x⋅ + = +
13
x + 1 20 1276
x x+ + =
x = 294 lei
2p
3p
3. Fie n – numărul de elevi 2p
www.mate
info.r
o
291
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
n = 15a + 3 ; n = 20b + 3 ; n = 24c + 3
Deci , n – 3 este multiplu comun al numerelor 15, 20, 24
[ ]15,20,24 120= ⇒n = 123
3p
4. a) ( )22 2 1 1x x x− + = −
( )( )2 5 4 1 4x x x x− + = − −
( ) 14
xE xx−
=−
2p
2p
1p
b) ( ) 5 15 4
5 4E −
= =−
( ) 3 13 23 4
E −= = −
−
( ) ( )5 3 6E E− =
2p
2p
1p
5 Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului
Reprezentarea corectă a celor două puncte
Trasarea graficului
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
2000
8 10
l Ll L k
⋅ =
= =
2 25k = , 0k > 5k⇒ =
L = 50 m , l = 40m
5p
b) Aria locului de joacă = 900 2m
Aria rondului de flori = 4π 2m
Aria suprafeţei plantată cu gazon = 2000 – 900 – 4π = ( ) 21100 4 mπ−
5p
www.mate
info.r
o
292
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) Lungimea cercului = 1,6 π
1,6 π 1,6 3,15 5,04< ⋅ =
5,04 < 5,2 , deci sunt suficienţi 5,2 m bordură
2p
2p
2. a) 272lA m=
80 – 72 = 8 2m mai rămân
4p
1p
b) lungimea barei = diagonala paralelipipedului
d = 2 46 m .
2p
3p
c) 60 20 20lA L l L l= ⇒ + = ⇒ = −
( ) ( )2220 2 (20 ) 2 200 2 10V l l l l l= ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − −
Volumul ia valoarea maximă dacă ( )210 0 10l l L m− = ⇒ = =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
293
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 109 Prof. Mirita Petruta
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 16 5p
2. 80 5p
3. 110 000 5p
4. -2 5p
5. 9 3 cm2 5p
6. 152
cm 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 9 elemente 5p
2. x – nr. de băieţi y – nr. de fete
21 7y x
y x=
− = − cu soluţia x = 6 şi y = 12 , deci Elena are 5 colege .
5p
3. 4 327
5p
4. a) f(1)+f(-3) = 3 ⇒ rezultatul este 1. 5p
b)f(0)= 1
2,deci A(0, 1
2) este punctul de intersecţie cu axa Oy.
5p
5 . Latura 'AD C∆ - echilateral este egală cu diagonala unui pătrat , deci 12 2 . '
272 3AD C
A cm∆
= .. 5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
294
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. a)Arătăm că : E1=
( )21 1
11X
XX+
=++
,iar E1( 2 1− )= 12
; 5p
b) E2(x)= 3
1x +,
2E1(x)+ ( )2
1E x
=0 2
2
2 2 50 01 1 1
x x xx x x
+ +⇒ + = ⇒ =
+ − − { }/ 2x∈ ±
Soluţiile sunt: x1=0 şi x2=-5
5p
c) { } { }3 1/ 3 1 1, 3 4; 2;0;2
1x x x
x∈ ⇒ + ⇒ + ∈ ± ± ⇒ ∈ − −
+
5p
2. a) D 10 C 10 M A B 10 F 10 E
5p
b)d(F,CD) =FD ,în ( ) 0, 90 , 10 2DAF m A DF= = cm.
D(E,AC)=EM înălţime în triunghiul echilateral ACE , 10 2AC = .
EM=5 6 cm
5p
c) ( ),m FE DB =450 5p
www.mate
info.r
o
295
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 110 Prof. Mirita Petruta
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. x+y=6 şi x-y = 20
3.Deci 2 2 40x y− = .
5p
2. 2 22 6 2 6+ = + este falsă 5p
3. (1+ 2 )2+(1- 2 )2 =1+2 2 +2+1-2 2 +2= 6 5p
4. AB= 2 ,AC= 6 ,Aria ( ) = 3 cm2 5p
5. V
E ( ) 080m ACB =
A F C ( ) 0, 40m EF AC = .Deci
B
( ),m EF BC = ( ) 060m ABC = .
5p
6. 33,3 oC 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. E(x)=
2
2
1216
x xx− −−
= ( )( )( )( )
4 3 34 4 4
x x xx x x− + +
=− + +
5p
2. f: → , f(x)=3x+2
Gf 2 ,0
3Ox A − ∩ =
;Gf ( )0, 2Oy A∩ =
y=f(x)
5p www.mate
info.r
o
296
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. 1 0xx
+ ≥ Avem x+ 1 14x= .Calculăm 1x
x
+
2 =x + 2+ 1x
=16.
Deci 1xx
+
=4
5p
4. a)MB = 10 cm şi MC =2 34 cm 5p
b)CB AD ,AD MA⊥ CB MA⇒ ⊥ ;
CB AB⊥ , ( ),AB MA MAB⊂ ( )CB MAB⇒ ⊥ M
B A
C D
5p
5 A(1;5) fG∈ ( )1 5f⇔ = ⇔ m+1+m—3=5.Deci m= 7
2.
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)x-numărul de zile 2 (82 - 4x) = 100 - 6x ; x= 32 zile 5p
b) 2 2
1 1a b
+ = 2 2
22 2
3 2 2 3 2 2 6( 9 8)
a ba b+ + + −
= =−
5p
c) 32 3 2a b ab= ⇒ = . Deci
3 2a ba b++
=
352
3 123 22
aa
aa
+=
+
5p
2. a) 24tA = cm2 5p
www.mate
info.r
o
297
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
P
b) 2 2AD′ = , 5AM = , 2 5AP = , 4 16 2 5PD′ = + =
4 5 2 2APDP ′ = + cm
5p
c) DE AM⊥ si D E AM′ ⊥ .Unghiul celor doua plane este DED′
tg 2DDDE DE
α′
= = ; 8 4 552 5
AD DPDEAP⋅
= = = .Deci tg 52
α = .
5p
c) , 2OP AB OP cm⊥ = , 2 3 2
2CP = = cm,iar CO= 5 cm
5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 111 Prof. Mirita Petruta
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. [x] = 1 5p
2. A∩Z = { }1,0,1,2,3− 5p
3. 11
xx−+
5p
4. 3 cm 5p
www.mate
info.r
o
298
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5. 600 5p
6. 80 % 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 2 26 6 2 6 1x y xy x y− + − − + − 5p
2. Mama:27 ani; fiul : 7 ani ; fiica : 2 ani 5p
3.
cm15h =
5p
4. a) 60 % 5p
b) a=250 ; b=200 ; c=150 ; d=90 5p
5 403
AM MPAMP ADC MPAC CD
⇒ = ⇒⇒ = 5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( )( )
( )( )( )2224 3 8 3 2 3 2
( )3 2 3 2 25 6
x x x xE x
x x x+ − − +
= =+ − −
3 23 2
xx+
−
5p
b) ( )0 1E = − ( ]3 2 1 0 1 , 1x x x⇒ + + ≤ ⇒ ≤ − ⇒ ∈ −∞ − 5p
c) x=31 5p
www.mate
info.r
o
299
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) Ab = .Deci Ab = Ab = Ab = 9 m2
V
B
A C
5p
b) VO = h = 12 m
M – mijlocul [BC] ⇨ VM = ap
AM = hb = ⇨ AM = ⇨ AM = 3 m
OM = · AM OM = ·3 OM = m
În VOM (m( VOM) = 90°) VM 2 = VO 2 + OM 2 ⇨ VM 2 = 122 + 2 ⇨ VM 2 = 144 + 3 ⇨ VM = ⇨ VM = 7 m
5p
c) În VOC (m( VOC) = 90°):
tg( ) = tg( ) = tg (∢VCO) =
Fie N –mijlocul [AB] ⇨ CN = înălţimea bazei ⇨ CN = AM = 3 m OC = · AM OC = ·3 OC = 2 m
Deci tg( ) = = = = 2
5p
www.mate
info.r
o
300
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 112 Prof Mişca Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 10 5p
2. 3, (4) 5p
3. 10 5p
4. 8 5p
5. 8 2 5p
6. 20 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect paralelipipedul 4 puncte, notează 1 punct. 5p
2. 40% din420=
10040 420⋅ =168; 168 elevi participă la olimpiade şi concursuri.
5p
3. Eliminarea numitorilor: 10(x+3)+33=4(3x+2)-6(3-x) 2p; Eliminarea
parantezelor: 10x+30+33=12x+8-18+6x 2p; Finalizare x=873 1p.
5p
4. a) Alegerea corectă a punctelor de pe grafic (exemplu A(1;1) şi B(0;-1)) 2p; Reprezentarea corectă a puctelor în sistemul de axe ortogonale 2p Finalizare 1p
5p
b) n=2۰1-1+2۰2-1+2۰3-1+...+2۰2007-1=2(1+2+3+...+2007)-2007 2p n = 2007۰2008- 2007=2007P
2P 3p
5p
5 E(x)=
xxx
xxxxxxx 42:
)2(244 2222 +−
−+−+−+ ;
E(x)=42)2(
422
2
+−⋅
−+−
xxx
xxxx ; E(x)=
21−x
5p
(30 de
www.mate
info.r
o
301
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
SUBIECTUL III puncte)
1. a) În ∆ BAD BD2=AB2+AD2; BD=6 2 În ∆MAB, MB2= AB2+AM2,
MB=6 2 = MD deci ∆MBD echilareral
5p
b) Fie AC ∩ BD = {O}, AO⊥DB (diagonalele pătratului sunt perpendiculare) 1p MA⊥ (ABC), AO⊥ BD; AO, BD ⊂ (ABC) rezultă MO⊥BD 2p. Calculează MO=3 6 deci d(M, BD) = 3 6 cm 3p
5p
c) Unghiul dintre MC şi (ABC) este egal cu unghiul dintre MC şi AC;
sin (∠ MCA)=MCMA =
366 =
33
5p
2. a)Fie DE⊥ BC, E∈BC; ∆DEC dreptunghic în E şi m(∠CDE)=300 ⇒
(teor. unghiului de 300) EC=2
DC ; DE2=DC2-EC2; DE=4 3 cm rezultă
PABCD=4(9+ 3 )cm
5p
b)AABCD=
234)1612( + ; AABCD=56 3 m P
2P; A=56۰1,7 m P
2P=95,2 m P
2 5p
c) Preţul parchetului este de 95,2۰30 lei=2856 lei<2900 lei. Deci sunt suficienţi 2900 lei
5p
www.mate
info.r
o
302
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 113 Prof Mişca Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 5p
2. 5 2 5p
3. 60 5p
4. 10 3 5p
5. 40 5p
6. 113 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect prisma 4 puncte, notează 1 punct. 5p
2. x2=54+36 2 y2=54-36 2 Finalizare
2p
2p
1p
3. n=a(a2-1)
n=a(a-1)(a+1)
n este produs de trei numere consecutive, deci divizibil cu 3
1p
2p
2p
4. a) Fie x lungimea autostrăzii; În anul I s-a construit
41 x -1p;În anul al doilea
an s-a construit 10060 ۰
43 x=
209 x 1p;scrierea ecuaţiei :
41 x +
209 x +72=x 1p;
rezolvarea ecuaţiei şi scrierea soluţiei; lungimea autostrăzii este 240 km 2p
5p
b) 240 – 72 = 168; Pentru 168 km firma primeşte 168۰3000 : 240 = 2100 milioane euro
5p
www.mate
info.r
o
303
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 Alegerea corectă a punctelor de pe grafic (exemplu A(2;0) şi B(1;-2)) 2p; Repreprezentarea corectă a punctelor în sistemul de axe ortogonale 2p Finalizare 1p
5p
SUBIECTUL III
(30 de puncte)
1. a) At = l2 3 2p; At = 3 dm2 5p
b) V = l3
122
V = 1,41 : 12 dm3 = 0,1175 dm3=117,5 ml 5p
c) Cantitatea de lapte necesară pentru o zi este 117,5ml۰650=76375ml=76,375l; 3۰76,375=229,125 deci 229,125 lei costă cantitatea de lapte pentru o zi.
5p
2. a) Aria RterenR =50 ۰100 mP
2 P= 5000 m P
2 5p
b) AriaRpistei R= ( 100 + 12) ۰ ( 50 + 12 ) - 5000; AriaRpistei R= 6944 - 5000
AriaRpisteiR = 1944 mP
2
5p
c) Sunt necesare 5000۰30g = 150000g de seminţe = 150 kg seminţe. 5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 114 Prof. Mişca Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 5p
2. 0, 1, 2, 3 5p
3. 22 5p
4. 25π 5p
5. 13 5p
www.mate
info.r
o
304
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
6. 41 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect piramida patrulateră 4 puncte, notează 1 punct. 5p
2. 340-
10015 ۰340 = 289; noul preţ al bicicletei este de 289 lei
5p
3. n = 9xP
2 P+ 12x + 4 + 9x P
2 P– 4 - 18xP
2 P- 12x; n=0 ∈Z 5p
4. a) M(a;-1) ∈GRf ⇔ R f(a) = -1 R ⇔R
aP
2 P+ 2a = -1R ⇔
R
aP
2 P+ 2a + 1 = 0 R ⇔ R
(a + 1)P
2 P= 0 ⇒ a = -1
5p
b) a = -1 ⇒ f(x)= -x - 2 1p alegerea corectă a punctelor de pe grafic 2p reprezentarea corectă a punctelor şi trasarea graficului 2p
5p
5 Fie n numărul merelor din coş. n = 6cR1 R+ 2; n = 8cR2 R+ 2; n-2 = 6cR1 R= 8cR2R; n – 2 = [6,8], n=26, deci cel mai mic număr de mere din coş este 26.
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) DD' ⊥ (ABC); DB⊥AC; AC ∩ DB = {O}; DO, AC⊂ (ABC)⇒ (teorema celor trei perpendiculare) D'O⊥AC ⇒ d(D', AC)=D'O 3p
DO = 2
DB = 2
28 = 4 2 ⇒D'O=4 6 m 2p
5p
b) BB'⊥ (A'B'C')⇒ BB'⊥B'D'; B'D'=8 2 ; BB'=8 ; A RBB'D'R=32 2 m P
2P. 5p
c) ARl R= 4ARABB'A' R= 4۰64 = 256; ARl R= 256m P
2P; 256 : 40=6,4 deci sunt necesare
7 cutii cu vopsea 5p
2. a) l = 50 cm ⇒ raza = 25 cm 5p
b) ARpătrat R- ARdisc R= 2500 - 625π = 2500 - 1962,5 = 537,5. Pierderea este de 537,5 cm P
2 5p
c) LRcerc mare R+ LRcerc micR=2 π25⋅ +2 π10⋅ =50π +20π = 70π = 219,8 ;
219,8 cm = 2,198 m
5p
www.mate
info.r
o
305
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 115 Prof Mişca Maria
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 5p
2. 2 5p
3. 995 5p
4. 15 5p
5. 240 5p
6. 39 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect 4 puncte, notează corect 1 punct. 5p
2. 7
365
=++ x
⇒11 + x = 21⇒ x = 10. Trebuie să obţină nota 10. 5p
3. Punctul de pe graficul funcţiei care are coordonate egale are forma M(a,a)
(1p) M∈ Gf ⇔ f(a) = a⇔ 4a-1= a ⇔ a =31 (3p). Deci punctul de pe
graficul funcţiei de coordonate egale are forma M (31 ;
31 )
5p
4. a) Notăm cu x numărul persoanelor şi cu y preţul obiectului.(1p) Obţinem 25x = y-50 şi 35x = y + 40 (4p)).
5p
b) Rezolvarea sistemului şi scrierea soluţiei : x = 9 şi y = 275, deci sunt 9 persoane iar obiectul costă 275 lei.
5p
5 ⇒=== kcba
532a = 2k, b = 3k, c = 5k (2p) 2∙2k + 5∙3k + 7∙5k = 108 ⇔
54k = 108⇒ k=2 (2p) deci a=4, b=6, c=10. (1p)
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
306
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. a) At = 3∙AB∙ AAʹ+ 2∙
432AB ; At = 3∙6∙8 + 2∙
4362
; At = 18 ( 8 + 3 ) cm2 5p
b) AAʹ⊥ ABC), fie AM ⊥ BC, M∈BC; AM, BC⊂ (ABC)⇒ (T3⊥ ) AʹM ⊥BC ⇒d(Aʹ,BC) = AʹM. Aplicând teoreme lui Pitagora în triunghiul AʹAM avem: AʹM2 = AʹA2 + AM2; AʹM2 = 82 + (3 3 )2, AʹM = 91 cm
5p
c) AM⊥BC, AʹM⊥BC⇒ ∠ ((ABC), ( Aʹ BC))= ∠ (AM, AʹM);
tg∠ AʹMA=AM
AA ′=
338 ; tg∠ AʹMA=
938
5p
2. a) Pteren = AB + BE + CE + DC + AD = 120 ∙ 5 = 600. Sunt necesari 600 m de gard pentru împrejmuirea terenului
5p
b) Ateren= AABCD + ABCE = l2 +
432l ; Ateren = (14400 + 3600 3 ) m2 ;
Ateren = 20520 m2 ; 20520∙0,50 = 10260, deci amenajarea cu gazon a costat 10260 lei
5p
c) Fie M un punct în interiorul pătratului ABCD. d(M;AB) + d(M;BC) + d(M;CD) + d(M;AD) = AB + BC = 240 = constant
5p
www.mate
info.r
o
307
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 116 Prof Molea F Gheorghe
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 143 5p
2. 1800 5p
3. 0,91 5p
4. 053 5p
5. 100 3 5p
6. 1 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect paralelipipedul dreptunghic 2p
Desenează corect secţiunea diagonală 2p
Notează corect 1p
5p
2. Determină primul număr (15) 2p
Determină următoarele două numere (16 şi 17) 2p
Calculează media aritmetică (16) 1p
5p
3. 9a-6b=5a+2b 2p
a=2b 1p
12
ba= 1p
Finalizare 0,5ba= 1p
5p
4. a)Determinarea coordonatelor a două puncte care aparţin graficului funcţiei4p 5p
www.mate
info.r
o
308
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Reprezentarea graficului funcţiei f 1p
b) Fie K fG∈ ( ) ( )gG f a g a∩ ⇒ = ⇒ 2a-1=3a+1 2p
Determină a =-2 2p
Obţine K(-2;-5) 1p
5p
5 9 - 4 5 | 2 - 5 |= 5 - 2= 2p
5 - 2 - 5 3a = + 1p
1 1a = = 1p
Na∈ 1p
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 0 2sin 45
2= 1p
sinA2BAD
AB AD BAD⋅ ⋅= 2p
3 24BAD
xA = 2p
5p
b)Calculează BC=5dam 1p
Aplică corect teorema bisectoarei AB BDAC DC
= 2p
Substituie valorile şi determină 157
BD = dam 2p
5p
c)
0sin 45 22CAD
AC ADA x⋅ ⋅= = 1p
262ABC
AB ACA dam⋅= = 1p
BAD CAD ABCA A A+ = 2p
5p
www.mate
info.r
o
309
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Finalizare 12 27
x = 1p
2. a)Calculează AB=8cm 1p
Deduce că A BDC′ ′ este un tetraedru regulat de muchie 8 2cm 1p
32563ABDAV cm′ = 1p
232 3BDAA cm′ = 1p
( )( ) ( )( )32 3 8 3, , , 13 3ABDAV d A BDA de unde d A BDA cm p′ ′ ′= ⋅ =
5p
b) 12 4piesei ABA BDAA A A′ ′= ⋅ + ⋅ 2p
232ABAA cm′ = 1p
2384 128 3pieseiA cm= + 2p
5p
c)Fie O centrul bazei ABCD, 4 6A O C O cm′ ′= = 1p
Demonstrează că ( ) ( )( ) ( ); ;BDA BDC A O C O A OC′ ′ ′ ′ ′ ′= = 1p
232 2OA CA cm′ ′ = 1p
sin2OA C
OA OC A OCA ′ ′
′ ′ ′ ′⋅ ⋅= 1p
Finalizare 2 2sin3
A OC′ ′ = 1p
5p
www.mate
info.r
o
310
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 117 Prof.Molea F.Gheorghe
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -1,0,1 5p
2. 16 5p
3. 512
5p
4. 038 5p
5. 16 5p
6. 125 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect un triunghi dreptunghic 2p
Construieşte înălţimea din vârful unghiului A 2p
Specifică proiecţia vârfului unghiului drept pe ipotenuză. 1p
5p
2. Condiţiile 1; 2x x≠ ≠ 1p
2 24 4 2 1x x x x− + − = − + − 2p
32
x = 1p
Finalizare 32
S =
1p
5p
3. 22 9 3 3 33
4 4 2 4A a a a = + + + = + +
3p
( )23 0,
2a pentru a R + ≥ ∀ ∈
1p
5p
www.mate
info.r
o
311
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Finalizare ( )0,A a R> ∀ ∈ 1p
4. a) ( ) 2 4 4E x x x x= − + − 2p
( ) ( )4 4x x x= − + − 1p
( )( )4 1x x= − + 2p
5p
b) ( ) ( )2 4 4 2E x x x a b a= + − + + − 2p
4 3 1a a− = − ⇒ = 1p
4 2 4 6b a b+ − = − ⇒ = − 2p
5p
5 ( )( )2 29 14 9 18 4B b b b b= + + + + + 2p
Notează ( )2 9 14 , 4 4b b c unde c B c c+ + = ∈ ⇒ = + + 1p
( ) ( )22 22 9 16B c b b= + = + + 1p
B este pătratul unui număr întreg deoarece ( )2 9 16 ,b b b+ + ∈ ∀ ∈ 1p
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( ), 6
2CDd O CD = = m 2p
( ), 122
ABd O AB m= = 2p
( ) ( ) ( ), , , 18d AB CD d O AB d O CD m= + = 1p
5p
b) Construieşte ( ),DD AB D AB′ ′⊥ ∈ şi calculează 6AD m′ = 2p
Calculează 6 10AD m= 1p
36 12 10ABCDP AB BC CD DA m= + + + = + 2p
5p
c) 2144AOBA m= 1p 5p
www.mate
info.r
o
312
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
236CODA m= 1p
2324ABCDA m= 1p
( ) 2144AOD BOC ABCD AOB CODA A A A A m+ = − + = 1p
Finalizare AOB AOD BOCA A A= + 1p
2. a) Notăm cu L,l lungimile muchiilor bazelor,iar cu D,d lungimile
diagonalelor bazelor. 2, 2, , 03 2D dD L d l k k= = = = > 1p
3 2 2 2,2 2
k kL l= = 1p
0cos 60 42 t
L l L l cma−
= ⇒ − = 1p
2 4 22
kL l k− = ⇒ = 1p
Calculează înălţimea trunchiului ( )2 3cm 1p
5p
b)Triunghiul VMM’ este echilateral (isoscel cu un unghi de măsură 060 ) , unde M şi M’ sunt mijloacele laturilorBC, respectiv AD. 2p
VM=MM’ , VM=12cm 1p
22882piramida
B pl
P aA cm
⋅= = 2p
5p
c) ( )( ) ( ), ,d M VAD d M VM ′= 2p
( )( ) 3, 6 32
Ld M VAD cm= = 2p
( ) ( )( ) ( )( ), , 6 3BCII VAD d M VAD d B VAD cm⇒ = = 1p
5p
www.mate
info.r
o
313
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 118 Prof. Molea F. Gheorghe
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1130
5p
2. S={-1,0} 5p
3. 5 5p
4. K(3;3) 5p
5. 5 2 5p
6. 27000 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează corect trapezul 2p
Desenează corect linia mijlocie 2p
Notează corect 1p
5p
2. n=număr natural par 2 4 6 51
3 5 5 3a⇒ = − − − = − 2p
n=număr natural impar 2 4 6 1113 5 5 3
a⇒ = + + + = 2p
Finalizare 5 11;3 3
a ∈ −
1p
5p
3. ( )21 3 |1 3 | 3 1− = − = − 1p
13 4 3 |1 2 3 | 2 3 1− = − = − 2p
27 | 3 1 2 3 1|b = ⋅ − − + 1p
5p
www.mate
info.r
o
314
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )281 3b = = ± 1p
4. a) b=0 1 1
1b⇒ =
+ 1p
1 41 5a= −
+ 2p
4a+4=-5 1p
Finalizare 94
a = − 1p
5p
b) 1 1 11
1 1 1a a
a a a+ −
= = −+ + +
1p
111 1
bb b
= −+ +
1p
1 1 921 1 1 1 5
a ba b a b
+ = − + = + + + + 3p
5p
5 22 3 7 73 4
2 4 4x x x − + = − + ≥
2p
22 1 3 31
2 4 4y y y + + = + + ≥
2p
Expresia are valoare minimă dacă 3 02
x − = şi 1 3 10 ;2 2 2
y x y+ = ⇒ = = − 1p
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ABCDP AB BC CD DA= + + + 2p
230 120 100 50ABCDP = + + + 2p
Finalizare 500ABCDP m= 1p
5p
b) Demonstreză că patrulaterul AMCD este paralelogram 2p
Determină MB=130m 1p
5p
www.mate
info.r
o
315
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Foloseşte reciproca teoremei lui Pitagora în triunghiul BCM 1p
Deduce ( ) 090m BCM = 1p
c) Construieşte 'CC AB⊥ 1p
Calculeză 600'13
CM CBCC mMB⋅
= = 2p
2' 690002 13ABC
AB CCA m⋅= = 1p
Finalizare 0,53ABCA ha= 1p
5p
2. a) Fie M mijlocul muchiei BC.Deduce VM=4m folosind T.P.în VMC 1p
2 2 216 , 32 , 482
bbazei laterala totala b l
P VMA m A m A A A m⋅= = = = + = 2p
Pirdere material 25 48 2,4100
m= ⋅ = 1p
Necesarul de material 250,4m= ⇒nu sunt suficienţi 50 2m de material 1p
5p
b)Calculeză înălţimea piramidei ,obţinând 2 3m ,aplicând T.P. în VOM 2p
Scrie corect formula pentru volumului piramidei 3
bp
A hV ⋅= 1p
Deduce 332 33
V m= 2p
5p
c) 2 4 2AC l m= = 1p
24 62VAC
AC VOA m⋅= = 1p
( ),2VAC
VC d A CVA
⋅= 1p
Obţine ( ) 4 30,5
d A VC m= 2p
5p
www.mate
info.r
o
316
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta119 Prof.Muşat Claudia
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 3− 5p
2. 4 5p
3. 16 5p
4. 81 5p
5. 48 5p
6. 4 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează paralelipipedul
Notează paralelipipedul
4p
1p
2. E(a,b)=4ab
Finalizare E(a,b)=4∙21=84
3p
2p
3. a+b=34
a-3=b+1
a=19
b=15
1p
2p
1p
1p
4. a) 3 25 10 15 5 ( 3)( 1)x x x x x x+ − = + −
2 3 ( 3)x x x x+ = +
( ) 5( 1)E x x= −
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
317
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) 5 5 2 14x x− = −
3 9x = −
x= 3 {0, 3}R− ∉ − − deci x∈∅ .
2p
2p
1p
5 (3 1) 6 5f x x− = − +
(3 1) 3 ( ) 6 5 6 9f x f x x x− − = − + + −
4 Z= − ∈
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( )
2B b hA + ⋅
=
6AE m=
18AB x= +
4(30 )A x= +
1p
1p
1p
2p
b) 2 2 2BC CF FB= +
2 264BC x= +
264 164x+ =
2 100x = , 0x >
10x = .
1p
1p
1p
1p
1p
c) 2160trapezA m=
160∙18,5=2960 lei
95%∙2960=2812lei
2p
1p
2p
2. a) 2
2lOC =
1p
www.mate
info.r
o
318
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4 2OC =
2 2 2VO VC OC= −
3VO m=
1p
1p
2p
b)
3bA hV ⋅
=
2bA l=
264bA m=
364V m=
1p
1p
1p
2p
c)
2b p
l
P aA
⋅=
4 32bP l m= =
5VE m=
280lA m=
82,5 50 4125lei⋅ =
1p
1p
1p
1p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 120 Prof. Muşat Claudia
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -1 5p
2. 2 5p
3. 2 5p
4. 6 5p
www.mate
info.r
o
319
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5. 27 5p
6. 2 1y x= + 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenul
Respectarea dimensiunilor
4p
1p
2. 1 1 2x= − −
1 2 2< <
2 2 1− < − < −
3 1 2 2− < − − < −
1 2 ( 3, 2)− − ∈ − −
1p
1p
1p
1p
1p
3. Notăm cu x suma lui Ionel. 3
4x reprezintă suma cheltuită în prima zi.
Restul este4x
86x+ reprezintă suma cheltuită în a doua zi
3 1084 6x x x+ + =
1296x = lei
1p
1p
1p
1p
1p
4. a) 3( ;0)
5fG Ox B∩ =
(0,3)fG Oy A∩ =
Reprezentarea corectă a celor două puncte
Trasarea graficului
1p
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
320
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Fie , 2 ( , )Gf fP pr M MP d O G= = ⋅
3 265
AB =
3 26( , )26fd O G =
3 2613
MP =
1p
1p
2p
1p
5 2012 2012(4) ( 1) 1E = − −
1 1= −
0=
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( )
2B b hA + ⋅
=
(24 ) 162xA + ⋅
=
28(24 )A x m= +
1p
2p
2p
b) 2192ABCA m=
8ADCA x=
24 192x =
8x m=
1p
1p
1p
2p
c)Ateren=256m2
256∙4=1024kg roşii
95%∙1024=972,8 kg
972,8∙3=2918,4lei
1p
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
321
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a)V=Llh
V=1152m3
1p
4p
b)Al=288m2
288∙2=576m2
576∙2=1152kg vopsea
3p
1p
1p
c)Hsiloz=BB’+d(F’,B’C’)
d(F’,B’C’)= 12 3 6 32
= (Înălţime în triunghi echilateral)
H 4 6 3= +
6 3 6 10H> ⇒ >
2p
1p
1p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 121 Prof. Muşat Claudia
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2012 5p
2. 15
5p
3. 63 5p
4. 18 5p
5. 9 5p
6. 81 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
322
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. 117a b+ =
5 4 54
a a bb= ⇒ =
4 4 468a b+ =
52b =
65a =
1p
1p
1p
1p
1p
3. Notăm cu x numărul merelor rămase, x<150
164x M− ∈
184x M− ∈
1444x M⇒ − ∈
4 144 148x x− = ⇒ = , deci a mâncat 2 mere.
1p
1p
1p
1p
1p
4. a) 2 2 2(2 ) 4 4x y x xy y− = − +
2 2( 3 )( 3 ) 9x y x y x y− + = −
2 2 2( 2 ) 4 4x y x xy y− = − +
2 2( , ) 4 12E x y x y= −
1p
1p
1p
2p
b) 2 5 70x y x y+ = + + pătrat perfect, ,x y cifre 0 18 11x y x y⇒ ≤ + ≤ ⇒ + =
5x = şi 6y =
(5,6) 332E = −
3p
1p
1p
5 1 2 12 5 4x x x− +≤ ≤
10 4 4 10 5x x x≤ − ≤ + ⇒
1p
1p
www.mate
info.r
o
323
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
0 6 4 5x≤ − − ≤ ⇒
3 22 3
x− ≤ ≤ −
x Z∈ ⇒ { 1,0}x∈ −
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( ) 90 ( ) 45m AB m ACB= ⇒ =
( ) 150 ( ) 75m AC m ABC= ⇒ =
( ) 60m BAC =
Fie , , ( ) 30BE AC E AC m ABE AE x⊥ ∈ = ⇒ = ⇒
3BE x m=
1p
1p
1p
1p
1p
b) ; . . 3AC AE EC BECdr is BE EC x m= + ⇒ = =
(1 3)AC x= + ⇒
2x m=
2p
2p
1p
c)
4 ABC
abcRA
=
2 6BC =
2(2 3 6)ABCA m= +
2 2R m=
1p
1p
1p
2p
2. a) ( ) 60m ECD =
. Fie , 2 5CDQ pr E QC m DC m= = ⇒ =
2 3EQ m=
2p
1p
www.mate
info.r
o
324
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )2
B b hA + ⋅=
26 3A m=
1p
1p
b)Pentru 3 1,7= avem 210,2A m=
10,2:2=5,1 litri vopsea
5,1∙20=102 lei.
3p
1p
1p
c) EQB dreptunghic în Q
2 2 2EB EQ QB= +
2 2 2 29QB QC BC QB= + ⇒ =
41EB m=
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
325
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 122 Prof. Nicolaescu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 8 5p
2. 7 5p
3. -11 5p
4. 48 5p
5. 30 3 cm2 5p
6. 17 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează şi notează triunghiul.
Desenează mediatoarea.
3p
2p
2.
n=15c1+1, n=18c2+1
15 181n M M− ∈ ∩
[15,18]=90
Cel mai mare multiplu comun de 3 cifre=90·11=990
n=991
1p
1p
1p
1p
1p
3.
f(m2)=m
m2-6=m
m1=-2, m2=3
2p
1p
2p
4.
a) După raţionalizare 2 3 2 3 4a = + + − =
2 2 1b = +
3p
2p
www.mate
info.r
o
326
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) 2 1,5<
2 2 1 2 1,5 1 4b a= + < + = =
2p
3p
5. Prima zi: 50% din S=
2S
A doua zi: 58
din 2S = 5
16S
5 3002 16S SS = + +
S=1600
1p
1p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.
a)
ONAM pătrat cu latura=r.Atunci BP=BM=20-r şi CP=CN=20-r
BC=40-2r
T Pitagora în ∆BAC, ( )22 220 20 40 2r+ = −
40 2 20 2 20 10 2r r− = ± ⇒ = − ( 20 10 2r = + nu convine)
1p
2p
2p
b) ∆BMO dreptunghic în M
20 10 2OM r= = −
20 10 2BM r= − =
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
327
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
T. Pitagora în ∆BMO ( ) ( ) ( )2 22 10 2 20 10 2 400 2 2BO⇒ = + − = −
20 2 2BO = −
1p
1p
c) secgradina tor circular BMO CNO ONAMA A A A A∆ ∆= + + +
( ) ( )2
sec
400 2 2 135135 150 2 2360 360tor circular
OBAππ π⋅ − ⋅⋅
= = = − , deoarece
( ) 135om BOC =
( ) ( ) ( )100 2 1 100 2 1 200 3 2 2 200(2 2)BMO CNO ONAMA A A∆ ∆+ + = − + − + − = −
( ) ( ) ( )( )150 2 2 200 2 2 50 2 2 3 4gradinaA π π= − + − = − + m2
1p
2p
1p
1p
2.
Barem a) Fie M mijlocul laturii BC. , ' (( ), ( ' )) 'AM BC A M BC ABC A BC A MA⊥ ⊥ ⇒ =
3 3AM = iar din triunghiul A’AM obţinem ' 127A M = 3
'
9 3 10 90 3
' 30 33
90 3 30 3 33,3%100
piesă ABC
ABCA ABC
V A h cmA AAV
x
= ⋅ = ⋅ =
⋅= =
⋅ = ≈
( ) 3 3cos '' 127
AMA MAA M
= =
2p
2p
1p
b) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'BCC B A A B C BCC B A BC BB A CC AA A A A A A= + + + +
' ' ' 9 3 60 3 127 30 30 120 9 3 3 127BCC B AA = + + + + = + +
2p
3p
c) 39 3 10 90 3piesă ABCV A h cm= ⋅ = ⋅ =
3'
' 30 33
ABCA ABC
A AAV cm⋅= =
90 3 30 3 33,3%100
x⋅ = ≈
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
328
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 123 Prof. Nicolaescu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 11 5p
2. 4 5p
3. 12 5p
4. 5 5p
5. 9 cm2 5p
6. 12,5 mld lei 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma.
Notează prisma.
4p
1p
2.
666abc bca cab+ + = ⇒111(a+b+c)=666
a+b+c=6, a,b,c 0≠
Cel mai mic număr este 114
2p
1p
2p
3.
2 10 2 10f(2)+f(2 )+...+f(2 )=2(2+2 ... 2 ) 3 10+ + + ⋅
Fie S= 2 102+2 ... 2+ + , atunci 2S= 2 3 112 +2 ... 2+ + ,deci 2S-S=S=211-2=2046
Suma este egală cu 4092+30=4122
2p
2p
1p
4. a) E(x)= 2 2
1 1 2 3:2 1 2 2 1
xx x x x x x
+ − + − + − − + =
( ) ( ) ( ) ( )21 2 2 3:
2 ( 1) ( 2) 1 ( 2) 1 1x x x
x x x x x x x
− ++ − + − + − + − −
=
www.mate
info.r
o
329
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )( )( )211 1
2 1 3 3( 2)x x
x x x− −
⋅ =+ − +
2p
3p
b) E( 3 1+ )=
( ) ( )3 1 3 1
63 3 3 3 1 3−
= =+ +
5p
5. Cele trei numere sunt 4x,x,4x+6.
9x+6=150,deci x=16
Numerele sunt 64, 16, 70.
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2ABCD semicercA A A= +
( ) 220 100 3025 1800 625
2A π π
+ ⋅= + = +
2p
3p
b)
2
2 2
30
400 0,04alee
piatracubică
A m
A cm m
=
= =
. 30 : 0,04 750Nr buc = =
.1p
1p
3p
c) 2 semicercP AB CD l= + +
120 50 120 157 277P mπ= + = + =
2p
3p
2. a)
240 3 3 30 40 400 3 36004
A = + ⋅ ⋅ = +
400 1,8 3600 720 3600 4320A < ⋅ + = + = cm2
Nu este suficientă bucata respectivă.
2p
3p
www.mate
info.r
o
330
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b)
Răspunsul este afirmativ, o soluţie ar fi ca în figura de mai sus.Construind liniile mijlocii, suprafaţa fiecărui triunghi echilateral este partiţionată în patru suprafeţe echivalente, iar volumul fiecărei prisme triunghiulare asfel formate este un sfert din volumul cutiei iniţiale.
2p
1p
1p
1p
c) Muchia cubului după mărire 2050 50 60
100cm+ ⋅ =
Diagonala cubului 60 3 60 1,74 104,4cm cm= < ⋅ = 104,4 104,5< , deci în vas nu se poate introduce bagheta
2p
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 124 Prof. Nicolaescu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -7 5p
2. 5 5p
3. 28 5p
www.mate
info.r
o
331
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. 16 3
3cm2
5p
5. 3 cm 5p
6. 9 mii lei 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează trunchiul de piramidă.
Notează trunchiul de piramidă.
4p
1p
2.
32 512n = =29, deci n=3
( )23 2 1 2 3 2 2m+ = + = +
m=2
2p
2p
1p
3.
31 12
x +− ≤ < ⇒ -2≤x+3<2 ⇒ -5≤x< -1
{ }5, 4, 3, 2A = − − − −
3p
2p
4.
a) g(1)=2 ⇒3-m=2
m=1
3p
2p
b) (0,3)fG Oy A∩ =
(3,0)fG Ox B∩ =
(0, 1)gG Oy C∩ = −
ABC AOB COBA A A∆ ∆ ∆= +
3 3 1 3 62 2ABCA∆⋅ ⋅
= + =
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
332
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5. ( ) ( ) ( )3 33 3 3 3x x x x+ − − = + − + =
( ) ( ) ( )( )( )23 3 1 2 3 4x x x x x + + − = + + +
2p
3p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( )60 40
20(60 )2ABDE
xA x
+= = +
2 240 (60 )echilaterall x∆ = + −
( )2 260 40 3
4BCD
xA∆
− + =
( )2 2
sup
60 40 320(60 )
4rafaţă
xA x
− + = + −
1p
2p
1p
1p
b) ( )22 240 60 50x+ − =
60 30x− = ±
x=30 (x=90 nu convine deoarece ED<AB)
2p
2p
1p
c) 25 3 25 1,8 15
3 3r ⋅= < =
2225 706,5discA mπ<
Nu se poate înscrie un rond circular cu aria 706,5 m2.
3p
2p
2. a) (( ' '), ( ' ' ' '))OA D A B C D = 'OO M ,unde M este mijlocul lui A’D’ şi O’ centrul lui A’B’C’D’
0( ' ) 45m OO M = (OO’M triunghi dreptunghic isoscel)
3p
2p
www.mate
info.r
o
333
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ' '
3ADD AA OTV ⋅
= unde T este proiecţia lui O pe AD
1200 30 120003
V ⋅= = cm3
3p
2p
c) ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'BCC B ABB A CC D D OAA OA D ODDA A A A A A A= + + + + +
1200 1800 1800 150 13 600 2 150 13A = + + + + +
4800 300 13 600 2A = + + cm2
2p
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 125 Prof: Nicolaescu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0 5p
2. 72 5p
3. 12 5p
4. 18 5p
5. 38 cm2 5p
6. 24 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează tetraedrul
Notează tetraedrul
4p
1p
2. 512 ±=−x
x=3
2p
1p
www.mate
info.r
o
334
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
x=-2
NA∩ ={ }3
1p
1p
3. a+b=105
138
=ba
Rezolvare sistem
a=40 b=65
2p
2p
1p
4. a)f(2)=5
m=-9
2p
3p
b)
=∩ 0,
31AOxG f
( )1,0BOyG f =∩
3ˆ =Atg
2p
2p
1p
5 4
12)( 2 −=
xxE
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 325=DC m
DA=25 m
Lungimea gardului= ( )3525 + m
2p
2p
1p
b) Aria=
23625 m2
5p
c) CE=x, ( ) ( )
250325
232525 xx −=
+ 3p
www.mate
info.r
o
335
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
x=225
2p
2. a) V= ( ) 339254254
33 m=⋅++
V=39000 dm3=39000l
3p
b) ( ) 322 625,115,345,34
35,1 mV scoasăapă =⋅++=
3625,15 mVcub =
Finalizare
2p
2p
1p
c) 25=AC ,
A’C=2
134
Distanţa maximă este 25
1p
3p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 126 Prof: Nicolaescu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 10 5p
2. 240 5p
3. 2 5p
4. 18 5p
www.mate
info.r
o
336
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5.
625
5p
6. 5 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează trunchi de piramidă
Notează trunchiul
4p
1p
2. 43ba
=
( )222 5kba =+
2p
3p
3. x+10%x=
1011x
1761011%20
1011
=⋅−xx
x=200
2p
2p
1p
4. a) 24 −=m
24 +=n
5p
b) 4
2=
+=
nmM a
( )( ) 142424 =+−=gM
5p
5 f(0)+f(1)+…+f(2011)=3(0+1+…+2011)- 2∙2012= 20122
2201220113 ⋅−⋅
⋅ =
1006∙6029=6065174
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 245369 mπππ =+ 5p
www.mate
info.r
o
337
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Aria aleii=15 m2
Aria plăcii=0,04 m2
Numărul plăcilor este 375
2p
2p
c) Distanţa maximă se realizează când cercurile sunt tangente colţurilor dreptunghiului şi este egală cu 19371641 22 =+
5p
2. a)Aria plăcii de tablă=1,5m2
Suprafaţa vasului ==5∙0,25m2=1,25 m2
Finalizare
2p
2p
1p
b)Distanţa maximă este diagonala unui dreptunghi cu dimensiunile 1,5m,respectiv 0,5m
md 5,25,05,1 22 =+=
3p
2p
c)V cubului=0,125m3
Volumul cubuleţ=0,000125 m3
Numărul cubuleţelor este 1000
2p
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 127 Prof. Nicolaescu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 5p
2. 42 5p
3. 2x2+4x+10 5p
4. 25% 5p
www.mate
info.r
o
338
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5. 380 cm3 5p
6. 19 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează paralelipipedul
Notează paralelipipedul
4p
1p
2. n=3 5p
3. f(1)=1
m=1 sau m=-2
2p
3p
4. a) Verificarea relaţiei 5p
b) { }3,13 3 ±±=∈+ Dx
2 { 3, 2,3}R− ∉ − − − deci { }4,0, 6x∈ − −
2p
3p
5 Prima zi
4x
A doua zi 24
332 xx
=⋅
8024++=
xxx
x=320
1p
1p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Diametrul cercului=20 cm
Latura pătratului= cm210
Aria pătratului=200 cm2
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
339
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Aria material îndepărtat=(100π -200)cm2
( )200100100100
−=⋅ ππp
%31,36≈p
2p
2p
1p
c) 212288 ==l
diametrul cercului=24 cm
r=12 cm, deci trebuie să crească cu 2 cm
2p
2p
1p
2. a) 3
3320
310161016 dmVVV piramidăpedparalelipimaterial =⋅
−⋅=−= 5p
b)
225
2210' ==∠ AOOtg
5p
c) ( ) 961261616
210416
>+=+⋅
=tA deci nu este suficientă foiţa
respectivă
5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 128 Prof Nicolaescu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 8 5p
2. 43
5p
3. 24 5p
www.mate
info.r
o
340
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. 56 cm2 5p
5. 45o 5p
6. 120 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2.
−=
217'
213A
{ }8....,5,6 −−=∩ ZA
3p
2p
3. E(x)=x N∈ 5p
4. a)n=12c1+7
n=15c2+10
n=25c3+20
n+5 300251512 5 MnMMM ∈+⇒∩∩∈
n=295
2p
2p
1p
b) ( ) 82295 =u
7)3( 295 =u
4)4( 295 =u
5)5( 295 =u
Deci ultima cifră este 4
1p
1p
1p
1p
1p
5 a+r+n=120
a=3n
1p
1p
www.mate
info.r
o
341
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
n=5+r
n=25 c=75 r=20
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( )2218
26232362 +=⋅
⋅+=⋅+= ∆BAEABCD AAA 5p
b)BD+CE=6 21266262 +=++ 5p
c) '0
00
30222
135180, =−
=∠∆ ABEmdeciisoscelBAE
'0'00 3067302245 =+=∠+∠=∠ ABEmOBAmOBEm
2p
3p
2. a) Din ∆VO’B’,obţinem VO’=2
V=83+3
264 ⋅ =3
1664 m3
1p
4p
b)
21
42' ==∠VMOtg ,unde M este mijlocul lui A’D’,O’ centrul lui A’B’C’D’
5p
c) DB’= 38 <14m
DV= 141323210022 <=+=+ DOVO
Finalizare
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
342
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 129 Prof:Oláh Csaba
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2a = , 3b =
( 2a b⋅ = , 3a b< ≤ ⇒ 2a = , 3b = )
5p
2. 2
( ( )3 20 2
1 2 3 ... 100 62 3 1 2 4 ... 100 20 2 3 2k N
n k= ⋅ + ∈
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = +
Dupa teorema împărţirii cu rest, restul la împărţirea lui n la 3 este 2)
5p
3. 1
( ( )1
2012 101 100 2012 2011 2012 101 100 2011 1=
⋅ − ⋅ − = ⋅ − − = )
5p
4. 203
cm
( 3 4 5 20252 2 4 3 3
BBB b Bl B cm++ ⋅
= = = = ⇒ = = - lungimea bazei mari)
5p
5. 8
( 1 2 24 3 3 24 3 21 7x x x x x x+ + + + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = , al doilea număr 7 1 8+ = )
5p
6. a b>
( 72 2 126a = − = , 3 9 27 81 120b = + + + = a b⇒ > )
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Latura acestui cub va avea lungimea [ ]. . . . . 12,16,18 144c m m m c = , pentru că
212 2 3= ⋅ , 416 2= , 218 2 3= ⋅ , [ ] 4 212,16,18 2 3 144= ⋅ = .
2p
3p
www.mate
info.r
o
343
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. Simplificând cu 2 în b se obţine 1 3 1023...
2 4 1024b = + + + ,
1 1 1 1 3 10231 ... ...2 4 1024 2 4 1024
2 2a b + + + + + + + ++
= =
1 1 1
1 1 3 1 1 10231 ...2 2 4 4 1024 1024
1 10 1 11 5,52 2 2
= = =
+ + + + + + + + ⋅
= = = .
1p
2p
2p
3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 180 153 4 5 3 4 5 12
m A m B m C m A m B m C+ += = = = =
+ +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
15 453
15 604
15 755
m Am A
m Bm B
m Cm C
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
.
2p
1p
1p
1p
4. a) 52 32 2 2x x≤ ⇔ ≤ , { }0,1,2,3,4,5x∈ { }0,1, 2,3, 4,5A⇒ =
3 1 14y + <133
y⇒ < ⇒ { }0,1,2,3,4y∈ { }0,1,2,3,4B⇒ = .
2p
3p
b) { }\ 5A B = , \B A =∅ ⇒
⇒ ( ) ( ) { } { }\ \ 5 5A B A B B A∆ = ∪ = ∪∅ = .
3p
2p
5 Desenează trapezul
Notează trapezul.
3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) dacă R e mijlocul muchiei A B′ ′ , atunci lungimea drumului furnicii este
2
2 2 2
4 62 2 12 6 2 5 6 12 5AR RC AR cm
= ⋅′+ = = + = ⋅ = .
5p
www.mate
info.r
o
344
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ( )AB BCC B′ ′⊥ , ( )C B BCC B′ ′ ′∈ ⇒ C B AB′ ⊥ , de unde rezultă că
( )' ,d C AB = 2 212 12 12 2C B cm′ = + = .
2p
3p
c) 2 2 2 23 4 25 5MN MB B N cm′ ′= + = + = =
2 2 2 28 6 100 10NP NB BP cm= + = + = =
' 9 5 10 6 30C MNPA C M MN NP PA cm′ = + + + = + + + =
12 5 26,83AR RC cm cm′+ = ≈
30 12 5 30 26,83 3,17− ≈ − = -aproximativ, cu atât e mai lung drumul frunicii inapoi, faţă de drumul din a).
1p
1p
2p
1p
2.
a)
( )( ) ( )( )
22 122 2 2 24 2 4 2 2
2 2 2 2
1 1 11 2 11 1 1 1
x
x x x x xx x x x xx x x x x x x x
= +
+ − + + + −+ + + + −= = = =
+ + + + + + + +
2 1x x= − +
( )( )( )
( )( )( ) ( )
2 2 24 22
1 1 11 1 1 1 1 1
1 1 1
x x x x xx x x x x xx x x x x x
− − +−+ = + = + = − + = − +
+ + +
( ) ( )2 2 2 22
11 1 1 1 21
E x x x x x x x x xx x
= − + + ⋅ − + = − + + = − +− +
.
1p
2p
2p
b) ( ) 26 6 6 2 36 4 32E = − + = − = 5p
c) ( ) 2 2E x x x= − + , x N∈ , ( ) 7 7min 0
4 4 4x RE x
a∈
∆ −= − = − = > ⇒
( )E x N⇒ ∈ , x N∈ .
3p
2p
www.mate
info.r
o
345
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 130 Prof:Oláh Csaba
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. a b>
(32 83 3 81 81 6561a = = = ⋅ = ,
23 92 2 512b = = = a b⇒ > )
5p
2. 25
( 1 2502 254 5 ⋅ ⋅ =
)
5p
3. 3 şi8 5p
4. 6x =
(45
1 2 ... 9 105 10 1 2 ... 9 105 6x x x x x x=
+ + + + + + + = ⇒ + + + + = ⇒ = )
5p
5. 69 pagini
(9pagini cu o cifră,129 9 120− = ,120 : 2 60= pagini cu 2 cifre 69⇒ pagini)
5p
6. 12BC cm=
(Lungimea ipotenuzei este dublu faţă de lungimea catetei opuse unghiului de 30 2 6 12BC cm⇒ = ⋅ = )
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. ( )
1 1 11 1x x x x
= −+ +
,( )( )
1 1 11 2 1 2x x x x
= −+ + + +
, ...
( ) 1 1 1 1 1 1 1 1...1 1 2 9 10 10
E xx x x x x x x x
= − + − + + − = − =+ + + + + +
( )10
10x x=
+.
3p
2p
2. Fie m -numărul marinarilor de pe vapor, atunci
www.mate
info.r
o
346
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )60 30 50m m⋅ = + ⋅ 60 50 1500 10 1500 150m m m m⇒ = + ⇒ = ⇒ =
Numărul persoanelor de pe vapor : 150 30 180+ = .
3p
2p
3. ( )1 1 1 1 2 11
x x E x x x x x xx x
= + − ⇒ = + + + + − = ++ +
În mod similar ( ) ( )2 22 3 2 3 2 2 2 3 2 12 24a = ⋅ + + − = ⋅ = ⋅ =
( ) ( )24 2 24 1 10E a E= = + = .
2p
1p
2p
4. a) analizând datele problemei în sistemul cartezian se observă, că graficul funcţiei intersectează axele în ( )2,0B şi ( )0,2C
( )f x ax b= + , ( )2 0 2 0f a b= ⇒ + = , ( )0 2 2f b= ⇒ = ⇒
2 2a⇒ = − , adică 1a = −
( ) 2f x x= − + .
1p
2p
2p
b) folosind notaţiile din a) se observă că triunghiul OAC este dreptunghic si
isoscel în A , atunci 2 2 12 2OAC
OA ACA ⋅ ⋅= = = .
3p
2p
5 Se poate observa că ( )AB AC CB C AB= + ⇒ ∈ -punctele ,A B şi C sunt coliniare⇒
0ABCA⇒ = .
3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
( )2 20
2 5 2 4 4 5 2 4 9 922 2 2 2 2
x
x x x Zx x x x x
= −=
+ − + + −= = + = + ∈ ⇒
− − − − −
92
Zx
∈−
, { }9 9, 3, 1,1,3,9D = − − − { }2 9, 3, 1,1,3,9 ,x⇒ − ∈ − − −
{ } { }7, 1,1,3,5,11 1,3,5,11x N x∈ − − ∩ ⇒ ∈ .
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
347
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ( )3 5 25 2
3 1 3 1xx Z Z
x x⋅ −−
∈ ⇒ ∈+ +
( )( )5 3 10
3 5 2 15 6 5 5 15 5 11 1153 1 3 1 3 1 3 1 3 1
x
x x x Zx x x x x
= +=
⋅ − − − + += = − = − ∈ ⇒
+ + + + +
113 1
Zx
⇒ ∈+
, { }11 11, 1,1,11D = − − { }3 1 11, 1,1,11 ,x⇒ + ∈ − −
{ }2 104, ,0, 03 3
x N ∈ − − ∩ =
.
1p
1p
2p
1p
c) probabilitatea ca alegând un element din A , acesta să fie şi în B , înseamnă:
probabilitatea ca alegând un element din A , acesta să fie în A B∩
cum A B∩ =∅ , probabilitatea este zero : 0p = .
2p
3p
2. a) triunghiul B C M′ ′ este dreptunghic în 'B , ( )2 30MC MB m B CM′ ′ ′ ′= ⇒ =
( ) ( )2 3 2 3 6
30 33
x xtg B CM B C cmB C tg B CM tg
′ ′ ′ ′= ⇒ = = = =′ ′ ′ ′
.
2p
3p
b) triunghiul MBD este dreptunghic în B ( ( )MB ABCD⊥ ),
( )6 2 3MB BB B M cm′ ′= − = − , 6 2BD cm= (diagonala pătratului ABCD )
Scriem teorema lui Pitagora în triunghiul MBD :
( ) ( )2 22 2 2 6 2 3 6 2 36 24 3 12 72MD MB BD= + = − + = − + + =
( )120 24 3 24 5 3cm= − = − .
1p
1p
3p
c) [ ] [ ]' ' 3 3B C D B C D
BB C D MB C DBMC D
A BB A MBV V V ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′
′ ′⋅ ⋅= − = − =
( ) ( ) ( ) ( )2
3
62 6 2 3 6 6 2 3 12 3 3
3 3B C DA BB MB cm′ ′ ′ ′ ′= − = − = − = −
1p
2p
www.mate
info.r
o
348
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
' ' ' '3 3 36 216
ABCDA B C DV AB cm
= = =
( )' '
' ' ' '
12 3 3 3 3216 18
BMC D
ABCDA B C D
V
V
− −= = .
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 131 Prof:Oláh Csaba
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1
(Ultima cifră a numărului 1 2 3 ... 99⋅ ⋅ ⋅ ⋅ este 0 , pentru că e multiplu de 10 , atunci ultima cifră a numărului 1 2 3 ... 99 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + este 1)
5p
2. 1
( ( )1
3654 1236 1235 3654 3653 3654 1236 1235 3653 1=
⋅ − ⋅ − = ⋅ − − = )
5p
3. 35km
(Într-o oră primul biciclist face 15km , iar al doilea 20km , înseamnă că înainte cu o oră de a se întâlni, distanţa dintre ei va fi 15 20 35km km km+ = )
5p
4. 2x =
( ( )3 12 3 4 3 6 18ax bx x a b x x− = ⋅ − = ⋅ = , atunci
3 12 36 18 36 2ax bx x x− = ⇔ = ⇒ = )
5p
5. 8%
(Dacă produsul costa, iniţial x lei, atunci
După scumpirea cu 20% : 120 6100 5
xx = , dupa ieftinirea din urmă, cu 10% :
5p
www.mate
info.r
o
349
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
6 9 54 1085 10 50 100x x x⋅ = = , de unde se vede că preţul de după ieftinire e cu 8%
mai mare faţă de preţul iniţial.)
6. 143
( ( ) ( ) ( ) ( )1155
0 1 ... 10 2 0 1 ... 10 3 3 ... 3ori
f f f−=
+ + + = ⋅ + + + + + + + =
2 55 11 3 143= ⋅ + ⋅ = )
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. ( )( )1 2n n n+ + este un produs de 3 numere consecutive, deci este divizibil
cu 3 , înseamnă că poate fi scris sub forma ( )( )1 2 3n n n k+ + = , k N∈ ⇒
3 1a k⇒ = + nu e divizibil cu 3 (la împărţire dă restul1).
3p
2p
2. Desenează piramida
Se notează piramida.
4p
1p
3. Primul număr prim este 2 , deci suma primelor 20 de numere prime o să fie un număr impar (sumă de 19 numere impare plus un număr impar) rezultă
nu se împarte la 2 .
4p
1p
4. a) [ ]. . . . . 1, 2,3 6c m m m c = , atunci lucrând 6 ore:
primul muncitor ar termina de 2 ori , al doilea de 3ori iar al treilea de 6 ori lucrarea,
daca ar lucra împreună 6 ore ar termina de 2 3 6 11+ + = -ori lucrarea, deci
lucrarea ar termina în 611
ore, adică in 360 83211 11
= minute.
1p
2p
2p
b)dacă ar mai veni un muncitor, în 6 ore ar termina de 2 3 6 6 17+ + + = ori
lucrarea ar termina în 617
ore, adică în 360 32117 17
= minute.
2p
3p
www.mate
info.r
o
350
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 Dacă în vârfuri sunt cuburile roşii, numărul cuburilor albe este
12 12 4 4 2 4 48+ + ⋅ + ⋅ = , (12 pe două feţe opuse, 4 în centru si 2 pe margini pe restul de 4 feţe) care este şi numărul total de cuburi albe, după enunţul problemei
Numărul cuburilor roşii: 125 48 77− = .
3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) dacă raza cercului înscris in triunghiul AOB este r , atunci
1 2 2 3 6 1... 2O O O O O O r= = = ⇒ 1 2 3 4 5 6O O O O O O este hexagon regulat.
5p
b) 1 2 3 4 5 6 1 2
6O O O O O O OO OA A= ⋅ , 1 2OO O este tirunghi echilateral, 1 2 2O O r= =
12 3 12 4 32 3
= ⋅ ⋅ = cm ( r înseamnă o treime din înălţimea triunghiului
AOB )
( ) ( )1 2 3 4 5 6 1 2
22
1 2 24 3 33
6 6 6 72 34 4O O O O O O OO O
O OA A cm
⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = .
1p
1p
3p
c) fie aria zonei haşurate din interiorul hexagonului 1S , iar cea din exteriorul hexagonului 2S
( ) ( ) ( )12, 2
1 6 2 36 3 2 36 3 2 33
AOB C O rA AS r π π
− = ⋅ = − = − =
( ) ( ) 22 36 3 12 24 3 3 cmπ π= − = − ( 1S se compune din 6 ”vârfuri” de
triunghi, congruente - aria a trei „vîrfuri” este egală cu diferenta dintre aria triunghiului AOB şi a cercului inscris triunghiului AOB )
2S este diferenţa dintre aria cercului circumscris hexagonului ABCDEF
( 2144 cmπ )şi aria hexagonului ABCDEF ( 2216 3cm ) AOB ( 236 3cm= )
( ) 22 144 216 3 72 2 3 3S cmπ π= − = −
Atunci
2p
2p
www.mate
info.r
o
351
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )( )
1
2
24 3 3 1 3 3 1 5,19 3,14 1 2,05 0,623 3 6,28 5,19 3 1,092 3 372 2 3 3
SS
π πππ
− − − = = ⋅ ≈ ⋅ = ⋅ = −−−
. 1p
2. a) 1 2 3 6 3 12G G C B BF FD cm′ ′= + + = + + =
înălţimea triunghiului 1 2 3G G G este '3
6 3 12 2 32 3
h G G cm= = ⋅ ⋅ =
1 2 3
21 2 12 2 3 12 32 2G G G
G G hA cm⋅ ⋅= = = .
1p
2p
2p
b) triunghiul 1 2G G D este dreptunghic in 2G , 1 2 12G G cm= ,
22 6 3 2 33 2
G D cm= ⋅ = ,
( )22 2 21 1 2 2 12 2 3 12 12 12 3 4 13 2 39G D G G G D cm= + = + = ⋅ + = ⋅ ⋅ = .
2p
3p
c) dacă I e centrul cercului înscris în triunghiul 1 2 3G G G , iar r este raza acestui cerc, atunci r o să fie înălţime pentru triunghiurile 1 2G G I , 2 3G G I şi 3 1G G I
1 2 2 3 12 6 32 2 4 33 2
G G G G BG cm= = ⋅ = ⋅ ⋅ =
1 2 3 1 2 2 3 3 1
2 3 3 11 2
2 2 2G G G G G I G G I G G IG G r G G rG G rA A A A ⋅ ⋅⋅
= + + = + + =
( ) ( )1 2 2 3 3 112 4 3 4 3
12 8 3 2 3 2 32 2r rG G G G G G r
= = =
= ⋅ + + = + = +
,
dar 1 2 3
212 3G G GA cm= ( ) ( )12 32 3 2 3 12 3
2 3 2 3r r⇒ + = ⇒ = =
+
( )( )
( )2 2
6 3 2 3 36 3 36 18 3 12 6 333 2 3 2 3 3
cm− −
= = = = −+ −
.
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
352
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 132 Prof.Oláh Csaba
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 8 5p
2. { }0,1,2,3,4,5,6 5p
3. 7 5p
4. 32 5p
5. 16 5p
6. 50 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Fiecare latura creşte cu 10% ,
21110
aAria = =
2121100
a= , aria a crescut cu 21%
1p
2p
2p
2. ( )20 9x y+ + ,
{ }7,16x y+ ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 0,7 , 1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1 , 7,0 , 9,7 , 8,8 , 7,9x y ∈
1p
2p
2p
3. ( )( )2 2144 a b a b a b= − = − + =
( )12 a b− 12a b⇒ − = ,
0b = , 12a =
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
353
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
0ba=
1p
4. a) 3 33
1 1x
x x= −
+ +
{ }3 1, 2D = ,
{ }0,2A =
2p
1p
2p
b) 3 53 27,3 243= =
27 3 243x< <
{ }3,4,5B =
2p
2p
1p
5 Ipotenuza este diametrul cercului circumscris
Lungimea ipotenuzei 17
172
R =
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) x preţul iniţial, 13
10x după scumpire
7 13 9110 10
x⋅ = ,
100x = , preţul iniţial
1p
2p
2p
b) preţul iniţial x se măreşte cu %p , 100
100p x+ preţul mărit
7 10010 100
p x x+⋅ = ,
42,85%p =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
354
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) 3 13 9191 91
10 10⋅
+ ⋅ = preţul nou mărit
preţul micşorat cu 30% : 7 13 9110 10
⋅⋅ =
82,81=
2p
2p
1p
2. a) ( ) ( )( ) ( )1, ,m ABCD VBC m VM O= O centrul bazei, 1M piciorul apotemei
2 21 1 17VM VO OM= + =
( ) 11
1
17cos17
OMVM OVM
= =
2p
1p
2p
b)1 2
4VM MA = , 2M piciorul apotemei pe [ ]AD
( ) 1 22 1
1
2, VM MA
d M VMVM
= =
8 1717
=
2p
2p
1p
c) ( ) 2
22
sin , M PVM VPVM
= = ( P proiecţia lui 2M pe 1VM )
817
=
3p
2p
www.mate
info.r
o
355
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 133 Prof.Oláh Csaba
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4000− 5p
2. 3 5p
3. 12
5p
4. 30 5p
5. 255 5p
6. { }2,3,4 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 2 6 23 23 1 3 1 3 1
k ka N a Nk k k
= ∈ ⇒ = = + ∈− − −
{ }2 1, 2D = ,
1k =
3p
1p
1p
2. ( ) ( ) ( )180
2m A
m IBC m ICB−
+ = =
( ) 180 801802
m BIC −= − =
130= , deci măsura unghiului căutat este 180 130 50− =
2p
1p
2p
3. Trasarea sistemului
Reprezentarea funcţiilor
2p
3p
www.mate
info.r
o
356
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) x numărul elevilor clasei,
4x blonzi, 3
4x şateni
1 3 1 114 2 4 5 40x x x⋅ + ⋅ =
1140
x N x∈ ⇒ este multimplu de 40
x este 40
1p
2p
1p
1p
b) elevi cu ochii albaştri 11 40 11
40⋅
= (12,5% 15% 27,5%+ = )
nu au ochii albaştri: 40 11 29− = , (100% 27,5%− = )
în procente: 72,5%
-în paranteză este o altă rezolvare, care nu necesită rezultatul de la punctul a)., care se punctează la fel, cu 5p in total.
2p
1p
2p
5 ( )( )2 2a b a b a b− = + − ,
( )( )2 2a c a c a c− = + −
scoaterea factorului comun şi
scrierea rezultatului ( )( )( )a b a c c b− − −
1p
1p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) forma lui f : ( )f x ax b= + , , , 0a b R a∈ ≠
( )1 2f = , ( )0 3f =
( ) 3f x x= − +
1p
2p
2p
b)din perpendicularitate rezultă că ( )0,1D se găseşte pe graficul lui g
( )0 1g = , ( )1 2g =
1p
2p
www.mate
info.r
o
357
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ) 1g x x= + 2p
c) 2AB =
2 22 2 2 2AC = + = ,
2 2 22 2ABC
AB ACA ⋅ ⋅= = =
2=
1p
1p
2p
1p
2. a) suma distanţelor este triplul laturii
latura are 3cm
3p
2p
b) volumul cubului este 3 33 27cm=
3 3 327 27 1000 27.000cm mm mm= ⋅ = ,
se poate construi din 27.000 cuburi
2p
2p
1p
c). Înălţimea unei feţe laterale 3 5
2
aria laterală:
3 5324
2
⋅⋅ =
9 5=
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
358
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 134 Prof.Oláh Csaba
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 5p
2. 6 5p
3. 0 5p
4. 3 0,310
= 5p
5. 432 2 5p
6. 3 5 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 3 , 4 , 5x k y k z k= = =
2 2 2x y z+ =
3p
2p
2. 2 3 33 2 3
a aR = ⋅ =
1 3 33 2 6
a ar = ⋅ =
32 36
aR r= − = ⇒
12a⇒ =
2p
1p
1p
1p
3. 1 2 96P P+ = ani
1 2 3 108P P P+ + = ani
3 12P = ani
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
359
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a)punctele sunt necoliniare, câte două
formează un pentagon convex/concav
in total 10 drepte
2p
1p
2p
b) 4 puncte sunt coliniare
realizarea desenului
2p
3p
5 numărul se împarte la 5 şi 9
{ }0,5y∈
( )0 20 9y x= ⇒ +
( )5 25 9y x= ⇒ +
( ) ( ) ( ){ }, 7,0 , 2,5x y ∈
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 1 1 1
1 2 1 2= −
⋅, 1 1 1
2 3 2 3= −
⋅,..., 1 1 1
9 10 9 10= −
⋅
11 1 1 1 1 1...1 2 2 3 9 10
S = − + − + + − =
1110
= − =
910
=
2p
1p
1p
1p
b) 1 1 1
1 2 3 1 2 2 3= −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅,...., 1 1 1
9 10 11 9 10 10 11= −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
21 1 1 1...
1 2 2 3 9 10 10 11S = − + + − =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 1 272 110 55
= − =
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
360
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) 99 11
100 100= −
pornind invers 99 1 1 1 1 11 ...100 2 2 3 99 100
= − + − + + − =
1 1...1 2 99 100
= + +⋅ ⋅
, are 99 membri
1p
2p
2p
2. a)
3 212
aV = , 12a cm=
312 2 144 212
V cm= =
4p
1p
b) în triunghiul VMN : 1 2G G MN ( 1 2,G G centre de greutate în VAC şiVBC ,
,M N sunt mijloacele laturilor [ ]AB şi [ ]BC )
1 1 2VG G GVM MN
=
1 22 43
G G MN cm= =
2p
1p
2p
c) , , ,x y z t distanţele de la feţe, aria unei feţe: 36 3 ,
( ) ( )36 3 12 33
V x y z t x y z t= + + + = + + + ,
144 2 12 6 4 6312 3
x y z t cm cm+ + + = = = .
(Obs.: caz general - 63
ax y z t+ + + = , unde a este lungimea unei muchii)
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
361
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 135 Prof.Oláh Csaba
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 16 5p
2. 5 5p
3. 0 5p
4. 1 5p
5. 3 5p
6. 23
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 10 18 10a b b a+ − = +
2a b− =
7a = , 5b = , numărul este 75
1p
2p
2p
2. mediana care porneşte din unghiul drept este jumătate din ipotenuză
lungimea catetei - 8cm
aria triunghiului - 224cm
1p
2p
2p
3. 6 2 33= ,
2 3 12= , 3 2 18=
63 23
>
1p
2p
2p
4. a)trasarea sistemului cartezian 2p
www.mate
info.r
o
362
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
reprezentarea grafică a funcţiei 3p
b) 3 2 2 3x x− + = −
1x =
3p
2p
5 8 8ABCD DQPA A A= = ,
8 28
AMNCPQ
ABCD
A A AA A
−= =
34
=
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 1 2 1
2 1= −
+, 1 3 2
3 2= −
+,..., 1 10 9
10 9= −
+
1 2 1 3 2 ... 10 9S = − + − + + − =
10 1= −
2p
1p
2p
b) 1 2 1 1
2 2−
= − , 2 3 1 16 3 2−
= − ,..., 9 10 1 190 10 9−
= −
21 1 1 1 11 ...2 3 2 10 9
S = − + − + + − =
1 110
= −
2p
1p
2p
c) 9 1 1 1 1 1 11 1 ...
10 100 2 3 2 100 99− = − = − + − + + − =
1 2 2 3 99 100...2 6 9900
− − −= + + + ,
2S are 99 membri.
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
363
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) 2 3BU R BM R= ⇒ =
( )2 3 1 12BC R= + =
( )3 3 1R cm= −
2p
2p
1p
b) 3BM R= =
(9 3 3)cm= −
3p
2p
c) ( )2
22 33
4UVW
RA R= =
( ) ( )2
222 3 1 3
3 1 34ABC
RA R
+ = = +
( ) ( )2
2 22
3 1 1 2 324 2 33 1 3 3 1
UVW
ABC
A RA R
−= = = =
++ +
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
364
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta136 Prof Păcurar Cornel-Cosmin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 9 5p
2. 14 5p
3. 7,5 5p
4. 9 3 5p
5. 27 5p
6. 29 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. Fie x numărul mai mic 8x⇒ + este numărul mai mare
8 102
x x+ +=
2 8 20x + =
6x = e numărul mai mic și 14 e numărul mai mare
1p
1p
1p
2p
3. ( ) ( )3;3 3 3fA a G f a∈ ⇔ =
( )5 3 3 3 15 3 3 3a a a a− ⋅ + = ⇔ − + =
Finalizare: 3a =
2p
2p
4. a)Se notează cu x pretul inițial al telefonului 910%
10x x x⇒ − ⋅ = ⋅ este prețul
după prima ieftinire
2p
www.mate
info.r
o
365
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
9 9 9 15 15315% 110 10 10 100 200
x x x x ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅
este prețul după a doua ieftinire
153 153 200200
x x⋅ = ⇔ =
1p
2p
b) 200 153 47− =
% 200 47 200 47 2 47100
pp p⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ =
47 : 2 23,5 % 23,5%p p= = ⇒ =
1p
3p
1p
5 21 14xx
− =
22
12 14xx
− + =
22
1 16xx
+ =
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)Notăm cu VABCD piramida și O centrul bazei ABCD 2 2OA⇒ = cm
2 2 2VA VO AO= +
Finalizare: 2 2VO = cm
2p
1p
2p
b) 24 16bA = = cm2
3b
VABCDA hV ⋅
=
Finalizare: 332 23ABCDV cm=
2p
1p
2p
c)
224 34 4 16 3 16
4tVABCDA = ⋅ + = + 2p
www.mate
info.r
o
366
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
100 1600 3 1600tVABCDA⋅ = +
3 1,73 1600 3 2768⇒ ⋅ 1600 3 1600 4368⇒ ⋅ +
1p
2p
2. a) 48 ha=480000 m2 5p
b) AB AE x= =
2
6 62ABE ABCDxA A x BC⋅ = ⇔ ⋅ = ⋅
23 3x x BC x BC⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ =
3BC AB⇒ =
1p
2p
1p
1p
c) 2480000 3 480000ABCDA x= ⇔ =
400x = m 400AB AE⇒ = =
400 2BE⇒ = m
320000 565,685BE = 566BE⇒ m
1p
1p
1p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta137 Prof.Păcurar Cornel-Cosmin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 8 5p
2. [ ]3;7 5p
3. 108 5p
4. 20 5p
5. 60 5p
www.mate
info.r
o
367
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
6. Marți și vineri 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. Fie x numărul cărților de literatură 12 x⇒ − e numărul cărților de matematică
( )14 8 12 144 14 96 8 144 6 48x x x x x+ ⋅ − = ⇔ + − = ⇔ =
Finalizare: 8x =
2p
2p
1p
3. Reprezentarea corectă a unui punct care aparține graficului funcției
Reprezentarea corectă a altui punct care aparține graficului funcției
Trasarea graficului funcției
2p
2p
1p
4. a) 2020%
100S S⋅ = ⋅ lei cheltuiește în prima zi
3030%100
x x⋅ = ⋅ lei cheltuiește a doua zi
1 254 100
x x⋅ = ⋅ lei cheltuiește a treia zi
Evident 20 25 3020 25 30100 100 100
⇒
⇒persoana cheltuiește cel mai puțin în prima zi
1p
1p
1p
1p
1p
b) 20 30 25 100
100 100 100S S S S⋅ + ⋅ + ⋅ + =
20 30 25 10000 100S S S S⇔ + + + =
75 10000 100S S+ =
25 10000 400S S= ⇔ = lei
2p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
368
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 ( ) ( ) ( )( )2 220 5 4 20 5 4 5 5 4x x x x x x x x x x+ − = + − − = + − + = + −
( ) ( ) ( )( )2 29 20 5 4 20 5 4 5 5 4x x x x x x x x x x− + = − − + = − − − = − −
( )( )( )( )
2
2
4 520 59 20 4 5 5
x xx x xx x x x x
− ++ − += =
− + − − −
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ' 2 2 2BD L l h= + +
' 2 2 210 6 3 100 36 9 145 3 15BD = + + = + + = = m
2p
3p
b) 32 3 96laterală bazeiA P h= ⋅ = ⋅ = m2
( ) ( )2 2 10 6 32bazeiP L l= + = + = m
10 6 60bazeiA L l= ⋅ = ⋅ = m2
96 60 156laterală bazeiA A+ = + = m2=15600 dm2
240 1600plăciA = = cm2=16 dm2
15600 :16 975= numărul de plăci de gresie
975 : 25 39= numărul de cutii de gresie
1p
1p
1p
1p
1p
c)Fie x dm înălțimea până la care se ridică apa în bazin
10L = m=100 dm,l=6m=60 dm
100 60 6000apeiV L l x x x= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
6000 150000 150000 : 600x x⋅ = ⇔ =
25x = dm=2,5 m
1p
1p
1p
1p
1p
2. a) Fie O mijlocul lui
[ ] 80 402 2
DCCD R OD OC⇒ = = = = = m 40semicercL Rπ π= = m
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
369
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
AD+AB+BC=40+80+40=160
⇒ lungimea gardului este de 40 160π + m
1p
b) 2 2: 2 40 : 2 800semicercA Rπ π π⇒ = = ⋅ = m2
80 40 3200ABCDA = ⋅ = m2
3200 800grădinăA π= + m2
3,14 800 2512 3200 800 5712π π π⇒ ⇒ +
⇒ 5712grădinăA
1p
1p
1p
1p
1p
c) 2 280 40 6400 1600 8000 40 5ABC AC⇒ = + = + = = m
40 2EOC EC⇒ =
Q mijlocul lui [ ]AB , 40 5AEQ AE⇒ =
( )40 5 40 2 40 5 80 5 40 2 40 2 5 2AC CE AE+ + = + + = + = +
2p
1p
1p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta138 Prof.Păcurar Cornel+Cosmin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 208 5p
2. 6 5p
3. 2;4 5p
4. 72 5p
5. 90 5p
www.mate
info.r
o
370
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
6. 13,1 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. 2 5 12 2 4 2 10 24a b c a b c− − = ⋅ ⇒ − − =
5 9 21 3 3 15 27 63a b c a b c+ + = ⋅ ⇒ + + =
Prin însumarea relaţiilor 4 2 10 24a b c− − = şi 3 15 27 63a b c+ + =
7 13 17 87a b c⇒ + + =
2p
2p
1p
3. Fie x numărul de pagini citite în prima zi 5, 10, 15, 20x x x x⇒ + + + + reprezintă numărul de pagini cititite a doua ,a treia ,a patra, respectiv a cincea zi
5 10 15 20 230 5 50 230x x x x x x+ + + + + + + + = ⇔ + =
5 180 36x x= ⇔ =
36,41,46,51,56 reprezintă numărul de pagini citite în cele cinci zile
41 e număr prim,deci a doua zi numărul de pagini citite de Victor reprezintă un număr prim
1p
2p
1p
1
4. a)Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei f
Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei f
Trasarea graficului funcţiei f
2p
2p
1p
b) ( ) ( ){ }0 4 0; 4ff G Oy A= − ⇒ ∩ = −
( ) ( ){ }0 4 0;4gg G Oy B= ⇒ ∩ =
( ) ( )( )
4 3 4 4 8 2
2 2
f x g x x x x x
f
= ⇔ − = − + ⇔ = ⇔ =
= −
( ){ }2; 2f gG G C∩ = − , ( )0; 2D −
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
371
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2 8 82 2ABC
CD ABA ⋅ ⋅= = =
2p
5 3 2 6 2 6 2 6 6a = + + − − − +
9a⇒ = ∈
3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) DEF echilateral de latură 3,fie 3 3,
2DQ EF Q EF DQ⊥ ∈ ⇒ =
Cum prisma este dreaptă ( ) ( )BCF DEF⇒ ⊥
( ) ( )( ) 3 3,2
DQ BCF d D BCF DQ⇒ ⊥ ⇒ = =
2p
1p
2p
b) cort b ABCV A h A CF= ⋅ = ⋅
2 23 3 3 9 34 4 4ABC
lA = = =
m2
9 3 4 9 34cort ABCV A= = ⋅ =
m3
2p
2p
1p
c) 3 3 4 36l bA P h= ⋅ = ⋅ ⋅ = m2
9 32 36 24
24336 36 60,75 36 7,84
t l b
t
A A A
A
= + ⋅ = + ⋅
= + = + +
43,8 44tA ,deci sunt suficienţi 44 m2
5p
2. a) ( )2 28 14 2 42 84ABCDP = + = ⋅ = m
Lungimea gardului ( ) ( )84 10 8 84 18 66ABCDP BG GE= − + = − + = − = m
3p
2p
www.mate
info.r
o
372
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) 28 14 392ABCDA AB BC= ⋅ = ⋅ = m2
8 10BGFEA BE BG= ⋅ = ⋅ 80= m2
Aria curţii 392 80 312ABCD BGFEA A= − = − = m2
2p
2p
1p
c)Din teorema lui Pitagora în 2 2 2 196 784 980 14 5ABC AC AB BC AC⇒ = + = + = ⇒ =
2 2 2 100 400 500 10 5EFC FC EF EC FC⇒ = + = + = ⇒ =
2 2 2 16 64 80 4 5AGF AF AG GF AF⇒ = + = + = ⇒ =
, ,AF FC AC A F C⇒ + = ⇒ coliniare
1p
1p
1p
2p
www.m
ateinf
o.ro
373
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 139 Prof. Valer Pop
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 67 5p
2. {1,2,3,4,6,12} 5p
3. 47
5p
4. 36 5p
5. 12 5p
6. 144 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Construcţia figurii
Notarea figurii
4p
1p
2. A doua maşină transportă 3600:3=1200 kg de zahăr
Cele două maşini transportă 4800 kg de zahăr
3p
2p
3. f(x)=g(x) ,
rezultă x+2=2x-3, de unde x=5, rezultă a=5
f(a)=a+2=5+2=7, rezultă b=7
1p
2p
2p
4. a) Un termen al şirului este de forma 7k+2, k∈
107 = 7∙15+2, deci aparţine şirului
3p
2p
b) Se pot cumpăra maximum 3 stilouri
Răspuns: 3 cărţi şi 2 stilouri
1p
4p
5 2 2( 2) 4 4x x x− = − + 1p
www.mate
info.r
o
374
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ) ( )2 2x x 2 2 3x 1 5x − + − − = 3 22 2x x x+ − −
( )( )x 1 x 1 (x 2)− + + = 3 22 2x x x+ − −
Finalizare
2p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) BC=CD=DA=10m
PABCD=56m
28 de stâlpi
1p
3p
1p
b) Gardul costă 1400 de lei
Pentru muncitor se plăteşte suma de 252 de lei
3p
2p
c) A∆ABC=120 m2
4 pachete de sămânţă de gazon
3p
2p
2. a) Fie h înălţimea piramidei şi H înălţimea prismei. Avem 3
5hH
= şi
h+H=2,4 m=24 dm ,
rezultă h=0,9 m=9 dm
2p
3p
b) Apotema piramidei este de 95 dm
Aria totală a piramidei: 16( 4+ 95 ) dm2
Aria totală a prismei: 608 dm2
Aria totală a ornamentului: 16(42+ 95 ) dm2
1p
2p
1p
1p
c) Volumul piramidei este de 192 dm3
Volumul prismei: 960 dm3
Volumul ornamentului: 1152 dm3
Masa ornamentului: 31152 1,5 / 1728M V kg dm kgρ= ⋅ = ⋅ =
1p
1p
1p
2p
www.mate
info.r
o
375
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 140 Prof. Valer Pop
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 6 5p
2. 36 =6 5p
3. 14 5p
4. 9 cm 5p
5. 64 cm3 5p
6. 11 elevi 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Figura
Notarea figurii
4p
1p
2. 190 de elevi la gimnaziu
376 de elevi în şcoală
3p
2p
3. f(1) = -1, rezultă A fG∈
f(5) = 6, rezultă B fG∉
3p
2p
4. a) 67 = 13∙5+2 5p
b) 7∙6 + 6∙5 = 72 > 69, rezultă că nu ajung bomboanele 5p
5 E(x) = 9∈
E(x) nu depinde de x
4p
1p
SUBIECTUL III (30 de
www.mate
info.r
o
376
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
puncte)
1. a) AABCD = 864m2
PABCD =120m
2p
3p
b) Aria maximă de teren pe care o poate paşte calul este aria unui cerc cu raza de 9m.
Aria cercului este 81π m2 ≈254,34 m2
2p
3p
c) 254,34 30
864 100<
5p
2. a) 4 , 3 , 2
4 3 2L l i k L k l k i k= = = ⇒ = = =
Fie d diagonala bazei . Avem 2 2 2 2 2 2 316 9 25 95
d L l k k k k= + = + = = ⇒ = .
Dimensiunile rezervorului sunt: L = 2,4 m, l = 1,8 m, i =1,2 m.
1p
2p
2p
b) Volumul rezervorului 32, 4 1,8 1,2 5,184V Lli m= = ⋅ ⋅ = .
Apa din rezervor are masa de 5184 kg .
Rezervorul plin cu apă are masa de 5700 kg.
3p
1p
1p
c) Rezervorul plin conţine 5184 l de apă.
75% din capacitatea rezervorului este de 3888 litri .
Se poate uda o suprafaţă de 486 m2 de teren.
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
377
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 141 Prof. Valer Pop
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. x=3 5p
2. 33 lei 5p
3. 80 lei 5p
4. 180 cm2 5p
5. 900 5p
6. Anul 2008 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Figura
Notarea figurii
4p
1p
2. A = {4,5,6,7,8}
A∩[2;8) = {4,5,6,7}
4p
1p
3. 16,(6) kg 5p
4. a) 2f(x)+3 = -2x+9
g(x)-2 = 2x-3
rezultă ecuaţia -2x+9 = 2x-3 cu soluţia x=3
1p
1p
3p
b) - f(-3) = -6
g(-2) = -5
Rezultă propoziţia -6>-5, propoziţie falsă
1p
1p
3p
5 Se găseşte n=5 2p
www.mate
info.r
o
378
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Se găseşte x=6 3p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Volumul silozului 1728 m3
Volumul grâului din siloz: 1555,2 m3
Volumul lăzii unui camion : 11,52 m3
Numărul de transporturi: 135
1p
1p
2p
1p
b) 933,12 tone 5p
c) 419.904 lei 5p
2. a) OC=OB=30 m
AB=72 m
AAOCD = 1260 m2 , Aria sfertului de cerc este 225π m2
Aria terenului: (1260+225π ) m2
1p
1p
2p
1p
b) (144+15π ) metri 5p
c) AABD = 1080 m2
Aria terenului este de aproximativ 1966,50 m2
Aria cultivată cu trandafiri este de aproximativ 886,5 m2
Aproximarea prin lipsă de 1m2 este de 886 m2
1p
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
379
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 142 Prof. Valer Pop
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 2 5p
2. 1 5p
3. 0 5p
4. 12 cm 5p
5. 50 cm2 5p
6. 9% 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenul
Notaţia figurii
4p
1p
2. Preţul televizorului după ieftinire: 544 de lei
Preţul maşinii de spălat: 1280 de lei.
Preţul maşinii de spălat după scumpire: 1344 de lei .
Preţul celor două obiecte: 1888 de lei.
2p
1p
1p
1p
3. |1 3 | 3 1− = −
12 2 3=
Rezultatul: 0
1p
1p
3p
4. a) Notăm: x – nr. metrilor de stofă pentru uniforma de fată
y - nr. metrilor de stofă pentru uniforma de băiat
1p
www.mate
info.r
o
380
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Avem sistemul 5 8 349 6 36
x yx y+ =
+ =
Rezolvarea sistemului şi soluţia 2, 3x y= = .
Pentru o uniformă de băiat sunt necesari 3m de stofă.
1p
2p
1p
b) O uniformă de fată şi 3 uniforme de băiat
sau 4 uniforme de fată şi o uniformă de băiat.
3p
2p
5 Ecuaţia: ( ) 2f x x= , adică 6 2x x− + =
Soluţia ecuaţiei : x = 2
Aflarea coordonatelor lui M: M(2;4)
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) AEBCDGF =AABCD – AAEFG
AEBCDGF = 1728 – x2
2p
3p
b) AAEFG = AABCD:3 = 576 m2
x = 24 m
3p
2p
c) 575 m2 = 5,76 ari
5,76∙1200 = 6912 Euro
6912∙ 4,20 = 29.030,4 lei
2p
2p
1p
2. a) Volumul vasului: 96.000 cm3
Aria bazei vasului: 1600 cm2
Înălţimea vasului: 60 cm.
2p
2p
1p
b) Dacă introducând cubul în vas, nivelul apei se ridică în vas cu 5 cm rezultă că volumul cubului este echivalent cu al unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile: 40 cm, 40 cm , 5cm.
2p
www.mate
info.r
o
381
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Volumul cubului: 8000 cm3.
Muchia cubului are lungimea de 20 cm.
2p
1p
c) Aria laterală a vasului: 9600 cm2
Aria totală a cubului: 2400 cm2
Raportul este egal cu 4
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
382
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 143 Prof. Popa Camelia Sanda
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 5p
2. 35 5p
3. b 5p
4. 81π 5p
5. 36 5p
6. 7 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. . ; .x nr carti y nr rafturi− −
( )50 1060 4
y xy x+ =
− =
70x carti=
2p
3p
3. [ ]3 2 1 3 1;2x A− ≤ − ≤ ⇒ = −
4 3 33 3 ;33 2
X B− − ≤ ≤ ⇒ = −
[ ]1;2A B = −
2p
2p
1p
4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparțin graficului
Trasarea graficului funcței
4p
1p
www.mate
info.r
o
383
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 3 ... 2 1 2f f f f n n n n n n n+ + + + − = + + − =
2n N n n N∈ ⇒ = ∈
3p
2p
5 ( ) 5 2xE xx−
=
{ }2 16 8 0;1;...;8x x x≤ ⇒ ≤ ⇒ ∈
{ }0;3x∉ { }1;2;4;5;6;7;8x⇒ ∈
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2int. 222A m= 5p
b) 32,1apaV m=
21apaV hl=
4p
1p
c) . .15 ; 6ext extL m l m= =
3 3int. .280 ; 360extV m V m= =
( )77, 7 %p =
2p
2p
1p
2. a) 13SQ m=
70SNPQP m=
2p
3p
b) 230SMQS m=
30 15 450kg⋅ =
450 : 5 90cutii=
2p
2p
1p
c) 2100MNPQS m=
cost final=1320 lei
3p
2p
www.mate
info.r
o
384
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 144 Prof. Popa Camelia Sanda
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 22 5p
2. -6 5p
3. 2 5p
4. 120 5p
5. 48 5p
6. 105 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. 11 4a b=
2 30a b= +
110a =
40b =
1p
1p
2p
1p
3. 60a b+ =
2,75ab=
44; 16a b= =
x -numărul de ani; ( )44 3 16x x− = −
2x =
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
385
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) ( ) ( )1 3 1; 1 1f a f a= + − = +
23 4 7 0a a+ − =
71;3
a ∈ −
2p
2p
1p
b) Aflarea coordonatelor a două puncte situate pe grafic și trasarea graficului
( ), fMN AB d M G MN⊥ ⇒ =
12MABA =
4 22MAB
AB MNA MN⋅= ⇒ =
2p
1p
1p
1p
5 ( ) ( )32 2x x+ − +
( ) ( )22 2 1x x + + −
Finalizare
2p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 3 38 8000V l V m l= ⇒ = =
8000 : 250 32zile=
3p
2p
b) 2 25 20A l A m= ⇒ =
20 2 40l⋅ =
40 : 4 10cutii=
2p
2p
1p
c) 3 2 3d l d= ⇒ =
2 3 3,5m m< ⇒ nu se poate scufunda
3p
2p
www.mate
info.r
o
386
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a)
2036
CE mEF x
== −
720 20CDEFA x= − m2
2p
3p
b) 21296ABGEA m=
00720 30 1296x− = ⋅
16,56x =
2p
2p
1p
c) 2216gardA m=
216 25 5400lei⋅ =
3p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 145 Prof. Popa Camelia Sanda
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. 210 5p
3. 180 5p
4. 8 5p
5. 138 5p
6. 250 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. 120a b− = 1p
www.mate
info.r
o
387
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1 25 ; 3a c b c= =
1 220c c= +
1 25 3 120c c− =
150; 30a b= =
1p
1p
1p
1p
3. . , . 630x nr adulti y nr copii x y− − ⇒ + =
25 10 9525x y+ =
215; 415x y= =
1p
1p
3p
4. a) ( )22 6 9 3x x x+ + = +
( )11
3E x
x=
+
2p
3p
b) ( )( )2 9 3 3x x x− = + −
( )212 3
xE xx
=+
{ }6; 4; 2x∈ − − −
1p
2p
2p
5 ( )2 3 1f a a= +
22 3 2 0a a− − =
12;2
a ∈ −
1p
2p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) bV A h= ⋅
32V m=
2p
3p
b) ; 2VM AD VN BC VMNechilateral VM m⊥ ⊥ ⇒ ⇒ = 2p
www.mate
info.r
o
388
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2b p
l
P aA
⋅=
28lA m=
1p
2p
c )
34 3 400 3( 2) ( 2000)
3 3rezervor piramida prismaV V V m litri= + = + = +
200 3: 20 100 215,45min3rezervorV = +
1p
2p
2p
2. a)
2
400AEF
ABC
A xA
=
238AEFxA =
3p
2p
b) ( )1
3AEF ABC AEFA A A= −
200x m=
1p
4p
c) 215000 1,5AEFA m ha= =
22,5graum kg=
135graupret lei=
108finalpret lei=
2p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
389
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 146 Prof. Popa Camelia Sanda
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 5p
2. 10 5p
3. 1330
5p
4. 40 5p
5. 3 5p
6. 24 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. ,d i c r r i= ⋅ + <
1
2
2168 23,232039 37,37
i c ii c i
= ⋅ + <= ⋅ + <
37i⇒ >
143i =
1p
2p
2p
3. ( ) ( )9 a b a a b− = −
9, 5 95a b ab= = ⇒ =
2p
3p
4. a) 22 3 1 0a a− + =
1 ,12
a ∈
2p
www.mate
info.r
o
390
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3p
b) ( ) 2 2f x x= −
Alegerea corectă a două puncte care aparțin graficului
Trasarea graficului funcței
1p
2p
2p
5 ( ) ( )( )( )22 2 2 3 1x x x x x+ − − = + + +
( )( )2 5 6 2 3x x x x+ + = + +
( ) 1E x x= +
( )n N E n N∈ ⇒ ∈
1p
1p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2t l bA A A= +
218000lA cm=
23600bA cm=
221600tA cm=
1p
2p
1p
1p
b) ( ),AD ABC D AD′ ′≡
15 41AD′ =
5 41sin41
D AD′ =
2p
2p
1p
c) 30,27gV m=
0,27 200 54 puieti⋅ =
2p
3p
2. a) a) 2225pS cm= 2p
2p
www.mate
info.r
o
391
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
24500000fS cm=
20000 pietre
1p
b) 3675pV cm=
313,5totalV m=
2p
3p
c) 13,5 20 270lei⋅ =
270 15% 270 229,5− ⋅ = lei
2p
3p
www.mate
info.r
o
392
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 147 Prof Raţ Cristina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. 60 5p
3. 49
5p
4. 245
5p
5. 100 5p
6. 13 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida Notează piramida
4p 1p
2. Mg(x,y)= 3 4 1( 0, (1) 0,1 )(1,5 4)
4 3 15⋅ + ⋅ − ⋅
Finalizare Mg(x,y)= 22
3p 2p
3. 2 4 3 2x x+ ≥ + 2x→ ≤ Finalizare x={0,1,2}
3p 2p
4. a) Scrierea corectă a ecuaţiei din care se află preţul iniţial Rezolvarea corectă a calculelor Finalizarea preţul iniţial=200 lei
2p 2p 1p
b) Scrierea corectă a ecuaţei din care se află preţul dupa a prima scumpire Rezolvarea corectă a calculelor Finalizarea preţul după a prima scumpire=220 lei
2p 2p 1p
5 Înlocuirea lui x cu 2 Finalizarea E(2)=8
3p 2p
SUBIECTUL III (30 de
www.mate
info.r
o
393
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
puncte)
1. a)
6 4 8L l h K= = =
2 2 2 1044L l h+ + = 2 2116 1044 9 3K K K= → = → =
Finalizare L=18, l=12, h=24
1p 1p 1p 2p
b) 2 2Al Lh lh= + Finalizare Al=1440 m 2
2p 3p
c) 20,5 1440x l m= ⋅ 60→ cutii de vopsea(720 litri in cutii de 12l vopsea)
60 50 3000⋅ = lei
2p 1p 2p
2. a) Adreptunghi= 210 20 200m⋅ =
A semicerc=2
2Rπ
A= A dreptunghi-A semicerc=43 m 2
1p 2p 2p
b) Perimetrul=60 cm Lungimea celor 4 semicercuri 62,8 m Finalizare suma celor 2=122,8 m
2p 2p 1p
c) 157 m 2 : 10 m 2 =15,7 m 2 rezulta 16 m 3 5p
www.mate
info.r
o
394
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 148 Prof Raţ Cristina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0 5p
2. 3 5p
3. x=1 5p
4. 20 cm 5p
5. 216 5p
6. 8,11 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenaţi cubul Notaţi cubul
4p 1p
2. 2 3 4a b c K= = =
Înlocuim a,b,c in relaţia dată: 2 2 24 9 16 261 3K K K K+ + = → = Finalizare a=6,b=9,c=12
2p 2p 1p
3. x=1 y=2
2p 3p
4. a) a+b=6 f(0)=4 4b→ = a=2
2p 2p 1p
b)f(x)=2x+4 2x+4=8 2x→ =
2p 3p
5 x=8 y=2 x+y=10 20% ⋅10=2
1p 1p 1p 2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
395
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. a) Perimetrul ABCD=32 m 2 4 2
2lOB = =
VB= 41 Finalizare L=57,6 m <60
1p 1p 1p 2p
b)Al=4 ⋅AVBC
Calculul ariei lui VBC folosind formula 2
BC VM⋅
Finalizare Al= 80 m 2
1p 2p 2p
c) T=2L \Aflarea lui T=20 lei Finalizarea L=10 lei
1p 1p 3p
2. a)MNPQ=romb (diagonale perpediculare) 1 2
2d dAromb ⋅
=
Diagonala2=2l ( linie mijlocie AMB )
Finalizare A=16 m 2
2p 1p 1p 1p
b) Aparchet=48 m 2 48:2=24 pachete 24 ⋅75=1800 lei
2p 1p 2p
c) 16 ⋅25=400 lei(gresie) 12 ⋅60=720 lei(parchet) Finalizare 720+400=1120 lei
2p 2p 1p
www.mate
info.r
o
396
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 149 Prof Raţ Cristina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. {5,8} 5p
2. 35 5p
3. 299
5p
4. 7 2 5p
5. 21 cm 3 5p
6. 43
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenţi paralelipipedul Notaţi paralelipipedul
4p 1p
2. Factor comun 6n E= 6n (2+36-15), E= 6n ⋅22 E 11
2p 2p 1p
3. x=2 y=5
3p 2p
4. a) Scoaterea factorilor de sub radical Finalizare x+y=0
3p 2p
b) calculul lui x,x=14 3 15 2− calculul lui y,y=15 2 14 3−
2p 3p
5 f(-1)=-1 f(3)=11 Finalizare -11
2p 2p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
397
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. a) Al=2( Lh+lh)=192 m 2 1m 2 conine 2 plăci 192 2 384→ ⋅ = plăci
3p 2p
b) 384 ⋅15 lei=5760 lei 5p
c)384:16=24 pachete Calculul volumului=8m 3 24 ⋅8=193 m 3 , 200 m 3
1p 2p 2p
2. a)3 rânduri de locuri de parcare si 2 culoare 36:1,5=24(locuri pe un rând) 24 ⋅3=72(locuri în total)
1p 2p 2p
b)Aria dreptunghiului =396 m 2 suprafaţa ocupată de locurile de parcare 36 ⋅2 ⋅3=216 m 2 396-216=180 m 2 suprafaţa culoarelor
1p 2p 2p
c)15 ⋅1=15 lei in prima oră numărul de maşini din a doua oră = 10 , 10 ⋅1=10 lei in a doua oră 72 ⋅1=72 lei in a treia oră Suma : 72+10+15=97 lei
1p 1p 1p 2p
www.mate
info.r
o
398
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 150 Prof.RICU ILEANA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2,01 5p
2. [ ]1;1A B∩ = − 5p
3. 26620000 locuitori 5p
4. 72m2 5p
5. 40cm2 5p
6. 3 ore 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma Notează prisma
4p 1p
2. Not.cu a,a+2,a+4cele trei numere naturale impare consecutive⇒ ( ) ( )2 22 2 4 155a a a+ + + + =
⇒ 2 4 45 0a a+ − = ⇒ 1
2
5 5;7;99
aa= ∈ ⇒
= − ∉
1p
2p
2p
3. 2 3 2 34020
2 2
x y x yx y x y
= = ⇒ + =+ =
Finalizare x=24˚; y=16˚
3p 2p
4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f Trasarea graficului functiei
2p 2p 1p
b) ( ){ }2;0fG Ox A∩ =
( ){ }0; 4fG Oy B∩ = − 2 2 2 5AB OA OB= + =
2 5sin52 5
OAAB
α = = =
1p 1p 2p 1p
www.mate
info.r
o
399
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 ( ) ( )( )
2 2 2
5 5 5 5 104 20 25 4 20 25 4 25
x x x x xE xx x x x x
+ + − + − += =
+ + + − + +
Presupunem ca ( ) 1 ,2
E x x≤ ∀ ∈
⇔ 2
10 1 ,4 25 2
x xx
≤ ∀ ∈+
⇔2
2
20 4 25 0,4 25x x x
x− −
≤ ∀ ∈+
⇔
( )2
2
2 50,
4 25x
xx−
− ≤ ∀ ∈+
Este adevarata x∀ ∈
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 27,5 3 11,252AHEA m⋅
= =
⇒11,25m2 ˑ50kg=562.5kg vinete 562.5kgˑ 2lei=1125 lei
2p 2p 1p
b) 22,5 3 3,752AHBA m⋅
= =
⇒3,75m2 ˑ45kg=168,75kg ardei 168,75kgˑ 1,5lei=253,125 lei
2p 2p 1p
c) 210 3 30BEDCA m= ⋅ = 10 2 13 2 26BEDCp m= ⋅ + ⋅ = lungimea gardului
30m2 : 1m2=30 păsări maxim
2p 2p 1p
2. a) ( ) ( )ADDpr BD AD′ ′ ′= ⇒ ( )( );BD ADD AD B′ ′ ′=
În ( )( )90AD B m D AB′ ′ =
calculăm ( ) ( )ABtg AD BAD
′ = ∗′
În ( )( ).
90 100 2025 5 85T Pitagora
ADD m ADD AD′ ′ ′= ⇒ = + =
Înlocuim în rel.(*) ⇒ ( ) 2 8585
tg AD B′ =
1p
1p
2p
1p
b)Înălţimea apei în vază este de 34
din AA′ ⇒ 3 45 33,754
cm⋅ = 3 3100 33,75 3375 3,375 3,375apei bazeiV A h cm dm l= ⋅ = ⋅ = = =
2p 3p
c) 3 31 100 45 4500 4,5 4,5ABCDA B C D bazeiV V A h cm dm l′ ′ ′ ′= = ⋅ = ⋅ = = = se pot pune în
vază ⇒4,5litri - 4litri=0,5litri = 3 30,5 500dm cm= este volumul bilei introduse
⇒3
3 34 375 3500 5
3r r rπ
π π= ⇒ = ⇒ =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
400
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 151 Prof.RICU ILEANA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 43
5p
2. 10236 5p
3. 210 g 5p
4. OC=16 5p
5. 81cm2 5p
6. 9 capitole 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida Notează piramida
3p 2p
2.
( )22 2 21 1 4925 2 254 2 2
a b a b ab+ = + − =
− ⋅ = − =
3p
2p
3. x=bile rosii;y=bile galbene
( )5 5 455 4 1 5 5 4 4 9
x y x y xx y y y y= = = ⇔ ⇔ − = + − = + =
3p
2p
4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f Trasarea graficului functiei
2p 2p 1p
b) 3 ;0
2fG Ox A ∩ =
( ){ }6;0gG Ox B∩ = ⇒3 962 2
AB OB OA= − = − =
( ){ }3;3f gG G C∩ = 27
2 4C
ABCAB yA ⋅
= =
1p 1p 2p 1p
www.mate
info.r
o
401
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 2 3 4a b c k= = = si 2b=9d ⇒
a=2k;b=3k;c=4k; 23
d k=
Calculam 2a2 + b2 + 3c2 + 10d2=65k2+ 2409
k = 26259
k
2p 2p 1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)Calculam AC=10m Perpendiculara dusă din B pe AC intersectează A C′ ′ in B′′ si pe AC in B′ ⇒
4,8AB BCBB mAC⋅′ = = şi 3,8BB m′′ =
( )A BC ABC A C AC′ ′ ′ ′ ⇒
A B BC A C BBAB BC AC BB′ ′ ′ ′ ′′
= = =′⇒ 3,8A B m′ = si
4,75B C m′ = Finalizare:Lung.gard.=22,55m
2p 1p 1p 1p
b)Calculam 7,91A C m′ ′ =
Aalee=Atrapez=( ) 239,5
2AC A C B B
m′ ′ ′ ′′+ ⋅
=
3p
2p
c)Fie O centrul cercului înscris în ADC şi notăm cu r raza acestuia ADC AOC AOD DOCA A A A= + +
⇒ r=2 m Finalizare: 4cercA π= m2
2p 2p 1p
2. a) ( )2 2 34 68bazeiP L l m= + = ⋅ = 268 2,5 170l bazeiA P h m= ⋅ = ⋅ =
224 10 240bazeiA L l m= ⋅ = ⋅ = ⇒170+240=410m2faianta
1p 2p 1p 1p
b) 3240 2,5 600bazin bazeiV A h m= ⋅ = ⋅ = 380% 80% 600 480 480000apei bazinV V m litri= ⋅ = ⋅ = =
480000 litri : 1000=480kWh consum energie electrica 480kWh ˑ0,35leiˑ 4=672 lei costă lunar schimbarea apei în bazin
1p 2p 1p 1p
c)
3 480480 240 2240
apei bazeiV A h
m h h m
= ⋅
⇒ == ⋅ ⇒ = =
2p
3p
www.mate
info.r
o
402
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta152 Prof.RICU ILEANA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 32 5p
2. x=44 5p
3. 15 536 12
p = = 5p
4. 120˚ 5p
5. 18cm 5p
6. 11cm2 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma Notează prisma
3p 2p
2. c(a-b+3)=3293⇒89(a-b+3)=3293
⇒ a-b+3=37⇒ a-b=34
3p
2p
3. Scrierea complementului lui α Scrierea suplementului lui α 90 1
180 19αα
−= ⇔
−
Finalizare: α=85˚
1p
1p
1p
4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f Trasarea graficului functiei
2p 2p 1p
b) 3 4 1 4x x⇔ − − ≥
8 2x⇔ ≤14
x⇔ ≤
Cum { }0x S∈ ⇒ =
2p 2p 1p
www.mate
info.r
o
403
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 2 4 3 ; 12 2 2
x yx y
x y− =
⇒ = = − + =
Finalizare 2 24x y+ =10
3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)Raza dusă în punctul de tangenţă este perpendiculară pe tangentă.
⇒ ;OA l PC l OA PC OACP trapez⊥ ⊥ ⇒ ⇒ ;dar ( ) 90m A =
⇒ OACP este trapez dreptunghic Ducem PH OA⊥ ;aplicăm teor.Pitagora în PHO ⇒PH= 6 3cm
⇒ ( ) 212 6 3 36 32 2OACP
OA PC PHA cm
+ ⋅= = =
2p 2p 1p
b)Observam în PHO :2
OPOH = ⇒ ( ) 30m OPH =
⇒ ( ) 60m O =
⇒ OAB echilateral⇒2
23 81 34 4OAB
aA cm= =
În trapezul OACP cu ( ) 60m O =
⇒ ( ) 120m OPC =
În BPC isoscel ducem PM BC⊥ ⇒PM bisect. ⇒ ( ) 60m BPM =
şi
( ) 30m MBP =
⇒PM=3/2cm.Calc. 3 32
MB cm= ⇒ 3 3BC cm=
⇒ 29 32 4PBC
BC PMA cm⋅= =
227 32ABC OACP OAB PBCA A A A cm= − − =
2p
2p
1p
c)
2
sec . 360t cercRA π α⋅ ⋅
=
( )
22
1 sec . ;99 60 27360 2t C OA A cmπ π⋅ ⋅
= = =
( )
22
2 sec . ;33 120 3360t C PA A cmπ π⋅ ⋅
= = =
⇒ 21 2
33 1136 3 3 12 32 2OACPA A A A cmπ π = − − = − = −
2p
2p
1p
2. a) Baza hexagon regulat 10==⇒ OBAB m ( )( )
( ) . .0 2 2 21 2: 90 T P
VO ABCVO OB VOB m O c c ip
OB ABC
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ ∠ = → + = ⇒⊂
VO= 691013 22 =− m Fie VM apotema piramidei în faţa laterală VAB. Avem AM = 5 m
1222 =−= AMVAVM m
1p 2p 2p
www.mate
info.r
o
404
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) SABCDEF=150 3 m2
2bazei
lateralaP apA ⋅
= ⇒ 2.
60 12 3602latA m⋅
= =
VVABCDEF=150 23 m3
2p 2p 1p
c) Necesarul de material 2 ⋅ Alaterala = 720 m2. Costul materialului 720 ⋅ 13,50 = 9720 lei. Costul podelei: 150 3 m2ˑ20lei=300 3 lei ≈ 519lei ⇒9720 lei+519lei=10239lei total costuri
2p 2p 1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 153 Prof. Ricu Ileana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -6 5p
2. x= 5 3
11+
5p
3. P=0,5 5p
4. 42 lei 5p
5. 156cm2 5p
6. 1180 persoane 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 200
10
a b ca b ca b
+ + = + = − =
⇒ a=55;b=45;c=100
5p
2. V=Abazei·h⇒h=8cm 5p
3. (x-13)+(5+3x)=180⇒x=47 5p
www.mate
info.r
o
405
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) ( )
( ) ( )( )( ) ( )2 2
2 22
1 1 2 112 : 21 1 11 1
x x x xx x x x x xE xx xx x
− + −+ − − += = ⋅ =
− ++ +
5p
b) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 1 4 2 2 8 2 8 12 6 22 8 82 1 2 1 2 1
6 2 2 6 2 2 2 2 26 2
2 12 1
E− − + + +
+ = + = = =+ + +
+ − + −= = =
−+
5p
5 Not.MN==linia mij. ; B+b=2MN⇒ B+b=2( 7 1− );
Atrapez=( )
2B b h+
⇒ Atrapez=( 7 1− )( 7 1− )=7-1=6cm2
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)Adormitor=20 m2⇒20:1,25=16 cutii parchet 5p
b)Atrapez=
( )4 2 515
2+ ⋅
= m2
Asector cerc=2
225 6,25 19,6254 4R mπ π π⋅
= = ≈
⇒Aterasa=15+19,625=34,625m2
5p
c)34,625·32=1108 lei costă gresia 5p
2. a)Calc.BD=50cm;BE = ⋅51 BD=10cm;ED=40cm
In ∆MED avem:MD=40 2 cm⇒A∆MDB= 210002
BD ME cm⋅=
5p
b)Ducem EF BC⊥ ;avem( )( )( )
.3 .T perpME ABC
BC ABC MF BC
ME ABC
⊥
⊂ ⇒ ⊥⊥
8BE EFEF DC BEF BDC EF cmBD DC
⇒ ⇒ = ⇒ =
5p
www.mate
info.r
o
406
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
In ∆MEF: 2 2 2 421MF ME EF= + =
c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ); ; ;MCB ADB BC MCB ADB MF EF MFE∩ = = =
⇒ ( ) 40 58
MEtg MFEEF
= = =
5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 154 Prof. Ricu Ileana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. S={6;-3;-1;4} 5p
2. 1315
5p
3. P=0,2 5p
4. Diferenta=9,016 lei 5p
5. 16 3 5p
6. 198 3,9650
= carti 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 310
A = ; 3 210
B −= ;A<B
5p
2. Not.x=pretul initial ; 20%·x=lei se reduce pretul⇒x-20%·x=320⇒ 201 320
100x − =
⇒x=400 lei
5p
3. Not.P(a;b)⇒2a=3b(1) ( )fP G f a b∈ ⇔ = (2)
⇒2 3 9
3 6a b a
a b b= =
⇔ − = = ⇒P(9;6)
5p
www.mate
info.r
o
407
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4.
a)
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
2
2
22 2 2
2 2
2 13 1 21 1 1 1 2 2
13 2 1 2 21 1 1 2
1 1 11 1 1 2 2
a a aa a aE aa a a a a a a a a
a aa a a a a a aa a a a a
a a a aa a a a a a
− + − − += − + ⋅ = − + + − + + +
−− − + − + + + += ⋅ =
− + + +
+ − += ⋅ =
− + + + +
5p
b)
( )
2a1aaE
+−
= ⇒ ( ) 2 1 2 1 112 2 2 2
a aE aa a a a+ − +
= = − = −+ + + +
;
( ) { }2 /1 2 1E a a a si a∈ ⇔ + ⇔ + ∈ ± ∈ ; Avem a+2=1⇒ a= -1∉ ; a+2= -1⇒ a= -3∉ ; Deci a∈∅
5p
5 48:12=4cm lungimea unei muchii A=a2⇒A=16cm2
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Calculam 12 2B D′ ′ = cm; folosim teor.Pitagora în BB O′ ′
, ( ) 90m B′ =
⇒ O B′ = 66
5p
b) D C A B ′ ′ ⇒ ( )AD ,A B AD C ′ ′ ′= Triunghiul AD/C este echilateral (laturile sunt diagonale ale feţelor cubului) m(∠( AD/,A/B)) = m(∠ AD/C) = 600
5p
c) ( )AC BB D ′⊥ ⇒ AC B D ′⊥ (*) ;
( )AD A B D ′ ′ ′⊥ ⇒ AD B D ′ ′⊥ (**); Din (*) şi (**) rezultă B D (AD C)′ ′⊥
5p
2. a)Vpiramidei=Abazei·h=49·20=980cm3 5p
b)Vcilindru= 2R hπ =135π cm3 5p
c) m V ρ= ⋅ ⇒m=135π ·11,3=1525,5π grame≈4790.07grame≈4,790kg 5p
A
A B
M
www.mate
info.r
o
408
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 155 Prof. Ricu Ileana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0 5p
2. 0 5p
3. 4 3 3 2 3 0x x x⋅ − ⋅ + + − = ( )2 3 2 3 1 0x x⇒ − + + = 3 0 3x x⇒ − = ⇒ =
Sau 12 3 1 0 32
x x+ + = ⇒ + = − (nu are solutii;stim ca 0,x x≥ ∀ ∈ )
Deci A={3}; | x- 1 | ≤ 2⇔ -2 ≤ x-1 ≤ 2⇔ -1 ≤ x ≤ 3⇔ B=[-1;3] A∩B={3}
5p
4. 1 1 4 65 ;5 5a b
+ = ∉
5p
5. 4 6 5p
6. Februarie 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 180 9014 12 26 52x y z z= = = ⇒ =
5p
2. ( ) ( )2 1 1fM G f a b a b∈ ⇔ = ⇔ − =
( ) ( )3 2gM G g a b a b∈ ⇔ = ⇔ − = Din (1) si (2) ⇒ a= -2;b= -5
5p
3. Notam x=masura unui unghi⇒5x=masura unghiului mai mare⇒ x+5x+72=180⇒x=18◦⇒5x=90◦
5p
4.
a)E(x) are sens daca:
2
2
2
2 1 02 1 02 1 0
x xx xx
+ − ≠
− − ≠ + ≠
Consideram 2x2+x-1=0⇔ x2+x+x2-1=0⇔ x(x+1)+(x+1)(x-1)=0⇔
(x+1)(2x-1)=0⇔ x= -1sau x= 12
;
Analog,consideram 2x2-x-1=0⇔ x=1 sau x= - 12
2x2+1≠0, x∀ ∈ (deoarece 2x2≥0, x∀ ∈ si 2x2+1>0, x∀ ∈ )
5p www.mate
info.r
o
409
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Deci 1\ 1;2
x ∈ ± ±
b)
( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
2 2
2 2
22
2 2
2 1 2 1 2 1 2 11 11 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1
2 2 14 2 1 1 21 1 2 1 1 1 2 1 1
x x x xx xE xx x x x x x x x
xx x xx x x x x x x
− + − +− −= + ⋅ = + ⋅ = + − − + + + − +
+ + − − = ⋅ = ⋅ = + − + + − + +
5p
5 Not.a;a+1;a+2 laturile paralelipipedului⇒ ( ) ( )2 22 1 2 5 2a a a+ + + + = ⇒ a2+a2+2a+1+a2+4a+4=50⇒ a2+2a-15=0⇒ a1= -5nu convine); a2=3⇒3;4;5 sunt lungimile muchiilor ⇒V=60cm3
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)pr(ABC)SB=AB⇒ ( )( );SB ABC SBA=
In ∆ABD(AB≡AD=lat.romb; ( ) 60m A =
) ⇒ ( ) ( ) 60m ABD m ADB= =
⇒
∆ABC echilateral⇒AB=AD=BC=DC=14cm In ∆SAB( ( ) 90m A =
)⇒ cf.teor.Pitagora:SB=14 2 cm
5p
b)Not.BD∩AC={O};calculam diagonala AC astfel:in ∆AOB( ( ) 90m O =
)⇒
AO=7 3 ⇒AC=2AO=14 3 cm;
In ∆SAC( ( ) 90m O =
)⇒SC=28cm⇒ ( ) 14 1sin28 2
SAACSSC
= = = ⇒
( ) 30m ACS =
5p
c) ( )14 3 2SBCP = +
5p
2. a) ( )3
hV S s Ss= + + ;S=50·5=250m2;s=10m2⇒
( ) ( ) 32,4 250 10 250 10 0,8 250 10 50 2483
V m= + + ⋅ = + + =
5p
b)248:0,5=496 roabe 5p
c)248:4=62 transporturi de camion 5p
www.mate
info.r
o
410
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 156 Prof. Ricu Ileana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) { }\ 3 2;A π∩ = − 5p
2. S={-3;5} 5p
3. d=13cm 5p
4. 60◦ 5p
5. 19 0,021900
p = = 5p
6. 44 miliarde 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. 85 81 9
a bab
+ =
+= −
;rezolvând sistemul obţinem a=11;b=19 5p
2. L l=800;aria devine:
A= ( )( ) 21 1 1 2525% 25% 12504 4 16 16
l l L L lL lL lL lL lL cm+ ⋅ + ⋅ = + + + = =
5p
3. Apistei= . 2 4 5 20
2 2lat cilindruA rgπ π π= = ⋅ ⋅ = m2
5p
4.
a) ( )
( )
1 11 1
1 1 2 11 2 1
E xx x x x
x x x x xx x x
= − =− − + −
+ − − + − −= =
− − −
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
22 1 3 2 3 12 1 32 1 2 3 32 3 3
4 3 7 4 3 7 4 3 72 2 3 3 1
2 3 3 5
E
rationalizare
− −−− +⇒ − = = = = =
− − −− −
= = − +
5p
www.mate
info.r
o
411
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b)E(x)=2 2 21
2
1 0 11 2 1; : ;12 1 0 2
1:1 4 4 1 4 3 0 0 ;12
3 1 ;14 2
xx x cond x
x
Avem x x x x x x
x
− ≥ ⇔ − = − ⇔ ∈ − − = − + ⇔ − = ⇔ = ∉
= ∈
si
5p
5 Not.AD=a cm⇒AB=2a;PABCD=30⇒4a+2a=30⇒ a=5cm Cateta opusa unghiului de 30◦este ½ din ipotenuza. ⇒h=2,5cm. ⇒AABCD=b·h=10·2,5=25cm2
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.
a)( )( )
( )( )
.3 .
90
Teor perpMA ABCD
DC ABCD MD DC
AD DC m ADC
⊥⊂ ⇒ ⊥
⊥ =
Ducem OE⊥DC⇒OEAD,dar O=mijl.segm.[MC] ⇒OE=linie mijl.a
MDC ⇒OE=2
MD ;in MDC calc.MD=60cm⇒OE=30cm
5p
b)In ( )( )90ADM m A =
avem: ( ) 36 3sin60 5
MAADMMD
= = =
In ( )( )90ABM m A =
avem: ( ) 27 3cos45 5
ABABMMB
= = = unde BM s-a
calc.in ( )( )90MAB m A =
cu teor.Pitagora
In ( )( )90ADB m A =
avem: ( ) 48 1627 9
ADtg ADBAB
= = =
⇒ ( ) ( ) ( )sin 3cos 4ADM ABM tg ADB+ + = 42845
5p
c)Avem
( )( )
( ) ( ). . )
;.
CD MD cf pct aCD MD AD CD MAD
CD AD lat dreptunghi
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥⊥
⇒pr(MAD)CM=MD=60cm(s-a calc.la pct.a))
5p
2. a)Vcub=3,375m3 Vpiramida=1,125m3 ⇒Vcorp=4,5m3
5p
b)Slat.piram.= 2
p ap⋅ ;ap.=1,52
⇒ Slat.piram.=4,52
m2
Slat.cub=p·h=6·1,5=9m2
5p
www.mate
info.r
o
412
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) m
Vρ = ⇒m=V ρ =4500dm3·1,5=6750kg
5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 157 Prof. Ricu Ileana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. x=17-3 2 ⇒ propozitie falsa 5p
2. S={-11;14} 5p
3. x=16 5p
4. 135 5p
5. 0,4 5p
6. 56,25% 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. ( )2;5 2 5a a∈ ⇔ < < ⇒ a-2>0 si a-5<0
E= ( ) ( )2 22 5 2 5 2 5 3a a a a a a− + − = − + − = − − + =
5p
2. 2x-60=155-3x⇒x=43 5p
3. Notam x=nr.fetelor;y=nr.baietilor⇒
( )30
3 3 5x yx y+ =
+ = −⇒
1812
xy=
=
5p
4. a) a) *n N∈ avem:Caz I: ( ) 114124932 2 =⇒+=+⋅==⇒= rpkn kkk . Caz II : ( ) 331231439312 12 =⇒+=⋅+=⋅=⇒+= + rppkn kk .Suma resturilor este: 40153100343131313
2006
=+⋅=+++++++
termeni
.
5p
b) ( ) ( ) ( ) =+++++++=++++= 200720053200732 33133133133333 S
( )⇒+++++= 3123334 20053 p restul este 3.
5p
www.mate
info.r
o
413
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 AO= 2
3AM= 4 3
3; ( )( ) ( ) ( ); ; 60VA ABC VA AO VAO= = =
(cf.ipot.) ⇒
30AVO =
⇒VA=2AO= 8 33
;In∆VAO,cf.teor.Pitagora obtinem VO=4cm
Not.d(O;VA)=h;A∆VOA=2 2
VA h AO VO⋅ ⋅= ⇒h=2
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.
a)Construim MN⊥AB;avem:( )( )( )
( )
Re . .3 .
.
cipr Teor perpMC ABC ip
AB ABC CN AB
MN AB constr
⊥
⊂ ⇒ ⊥⊥
Calc.AB= 4 2 cm(Teor.Pitagora);2 2ABC
AB CN AC BCA ⋅ ⋅= =
⇒CN= 2 2
In ( )( )90MCN m C =
⇒MN= 2 6 cm
5p
b) n ( )( )90MCB m C =
⇒MB= 4 2 cm⇒AB=MB=MA= 4 2 cm⇒
∆MAB echilateral⇒A∆MAB=2 34
a =8 3 cm2
5p
c)Not. ( )( );d C MAB h= ;exprimam vol.piramidei in 2 moduri⇒
3 3ABC ABMA MC A h⋅ ⋅
= ⇒h= 4 33
5p
2. a)d = ⇒d = d = d = d= 30 m
5p
b)Sfaianta=Alaterala+Abazei Al = 2 (L·l + l·h) ⇒ Al = 2 (50·14 + 14·2) =256 m2 Ab = L·l ⇒ Ab = 50·14 = 700 m2 ⇒ S = 256 + 700 = 956 m2
5p
c) Sfaianta = 956 m2 = 9 560 000 cm2 Suprafaţa de faianţă ce poate fi acoperită cu o cutie de faianţă : S’ = 40·20 = 800 cm2. Numărul de cutii: n = . ⇒ n = = 11 950 cutii.
⇒ costul lucrării este:11 950 · 15 = 179 250 lei
5p
www.mate
info.r
o
414
Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 158 Prof. Soare Roxana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. 0 5p
3.
5p
4. u=60 5p
5. 144 5p
6. 64 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. desen 5p
2.
5p
3.
B(1,2)
C(-2,-1)
Obţinem
5p
4. a) ; 5p
www.mate
info.r
o
415
Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ⇔ { }3; 1;0;2x∈ − − 5p
5 5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) A=32m2 , deci cantitatea de parchet necesară este 35m2 . costul pentru 1m2
= 36 lei , deci costul parchetului este 1260 lei . 5p
b) . 5p
c) aria suprafeţei neacoperite de covor este (32- )m2
5p
2. a) înălţimea piramidei este 5p
b) ; =
⇒cantitatea de staniol necesară este 72 cm2
5p
c) 5p
www.mate
info.r
o
416
Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 159 Prof Soare Roxana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 5p
2. 80 5p
3. 17 5p
4. 90 5p
5. 8 38cm 5p
6.
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen +notaţie 5p
2.
Deci x este un divizor comun al numerelor 360,240,480 cuprins între 50 şi 80, de unde x=60 .
5p
3.
⇔
5p
4. a) Notăm cu x suma iniţială . Obţinem ecuaţia :
lei.
5p
b) În prima zi elevul a cheltuit 30 lei , iar în a doua zi 60 lei. 5p
5 5p
www.mate
info.r
o
417
Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 5p
b) MNPQ este romb 5p
c) costul gresiei este 105 ˑ45=4725 lei, costul chitului este 472,5 lei , iar costul manoperei este 5670 lei , deci costul total este 10867,5 lei
5p
2. a) Notăm cu x numărul natural impar, deci trei numere naturale impare consecutive x, x+2,x+4 ⇒x=5.
5p
b) 5p
c)Fie BM⊥B’C⇒ . Notăm ⇒
5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 160 Prof. Soare Roxana
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. 300 5p
3. 810 5p
4. 416 5p
5. 36 5p
6. 7,33 5p
SUBIECTUL II (30 de uncte)
www.mate
info.r
o
418
Evaluarea Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. Desen + notaţie 5p
2.
⇔
5p
3.
De unde obţinem
5p
4. a)
5p
b) 5p
5 Notăm cu x numărul de bănci .Obţinem ecuaţia :
, de unde rezultă că numărul de elevi este 33.
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 5p
b) 5p
c)patrulaterul AFDE este dreptunghi.
5p
2. a) 5p
b) ⇒numărul necesar de cutii este cutii
5p
c) ; vor încăpea 36 de cuburi de gheaţă. 5p
www.mate
info.r
o
419
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 161 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 6 5p
2. 1265 5p
3. - 6 5p
4. 27 5p
5. 45 5p
6. 27 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. ( ) ( )3 1 2 5 3 12 5x x | xx+ ∈ ⇔ − +−
1p
Formează sistemul:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )2 5 3 1
2 5 2 3 1 3 2 52 5 2 5
x | xx | x x
x | x
− + ⇒ − + − − − −
2p
Scrie divizorii ( ) { }172 5 17 1 1 17x D ; ; ;− ∈ = − − + + { }2 12 4 6 22x ; ; ;⇒ ∈ − 1p
Determină mulţimea { }6 2 3 11A ; ; ;= − + + + 1p
3. Notează x numărul paginilor din carte. 1p
Scrie modelul matematic: 3 157 2x x⋅ + = sau 3 157 2x x x⋅ + + = 1p
Rezolvă ecuaţia şi obţine soluţia 70x = 2p
Finalizare: Cartea are 70 pagini 1p
www.mate
info.r
o
420
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) Amplifică şi aduce la acelaşi numitor:
( )( )2 2 2
21 4 6 2 5 22 2 34
x xx x xE x x x xx
− − + + − += − − ⋅ + − +−
( ) ( )( )2 25 6 2 5 2
32 2x x x xE x xx x+ + − += ⋅
+− +
2p
Descompune numărătorii: ( )( )2 5 6 2 3x x x x+ + = + +
( )( )2 22 5 2 2 4 2 2 1 2x x x x x x x− + = − − + = − −
2p
Simplifică şi obţine rezultatul final:
( ) ( )( )( )( )
( )( )3 2 2 2 12 132 2
x x x xE x xxx x
+ + − −= ⋅ = −
++ −
1p
b) ( )( )
( ) ( )43 5 3 5 3 5 43 5
E x E x E xE x
+ = ⇒ + ⋅ − = −
( )( ) ( ) ( )22
3 5 4 7E x E x− = ⇒ =
3p
Rezolvă ecuaţia 2 1 7x − = şi obţine soluţiile { }3 4x ; ,dar∈ −
{ }13 2 2 42x \ ; ; ; x∈ − − ⇒ =
2p
5 gm a b= ⋅ 1p
Aplică formule de calcul prescurtat
( )( )( )( )7 4 3 3 5 7 4 3 3 5gm = − + + − ( )( )49 48 9 5= − −
2p
Finalizare 4 2gm = = 2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
421
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1.
a)
5p
a)2
B bMN += unde b ZE=
;40
;ZC BA C BA
CD ZEED BA D BA
⊥ ∈ = =⊥ ∈
cm
( )( ) ( )
ˆ 90ˆ: 45
ˆ 45
m CZCA m Z ZCA
m A
= °∆ ⇒ = °⇒ ∆= °
isoscel
60CA ZC⇒ = = m
160BA BD DC CA= + + = m
100MN = m
b) 1 21002 2
MN CD hA += ⋅ = 2m
2 39002 2
BA MN hA += ⋅ = 2m
5p
c) 1
2
2100% 100 100 53,84%3900
ApA
= ⋅ = ⋅ = 5p
2. a) 24 2400 30L m cm= = 3 300 30l m cm= = 2 4 240 30h , m cm= = 5p
b) Calculează aria laterală şi aria bazei A = 129,6 m2 + 72 m2 = 201,6 m2. 5p
c) suprafaţa acoperită de o cutie de faianţă 50 0 09 4 5, ,⋅ = m2.
Necesarul de faianţă: 225,6 m2 105 211 68% ,⋅ = m2.
Numărul de cutii necesare 211,68 : 4,5 = 47,04
Sunt necesare 48 cutii.
5p
www.mate
info.r
o
422
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 162 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 5p
2. 243 5p
3. 5 5p
4. 14 5p
5. 600 5p
6. 60 ha 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează tetraedrul
Notează tetraedrul
5p
2. 2 3 2 33 3 35 5x x+ +≤ ⇔ − ≤ ≤
[ ]9 6 9 6x A ;− ≤ ≤ ⇒ = −
5p
3. Un pix costă 3 1 8 5 4, ,⋅ =
5 caiete costă 5 1 8 9,⋅ =
4 pixuri costă 5 4 4 21 6, ,⋅ =
Total: 9 + 21,6 = 30,6
5p
4. a) : ;f ( ) ( )2 5 0 5f x x f= − ⇒ = −
( ){ }0; 5fG Oy A∩ = −
5p
www.mate
info.r
o
423
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 52 5 0 ;02 2fx x G Ox B − = ⇒ = ⇒ ∩ =
b) 2AOB
AO OBA∆⋅
=
525
5 42
AOB
AOA
BO ∆
= ⇒ =
=
(u.a.)
5p
5 ( ) ( )2 23 3 5 3 3 2 3 3 5 3 3 2n = − + ⋅ − = − + ⋅ −
3 3 5 3 3 5 3 3 5> ⇒ − = −
3 2 3 2 2 3< ⇒ − = −
23 3 5 6 3 3 1 1n n= − + − ⇒ = =
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) [AC = bisectoare ( ) 30m CAB⇒ = °
( )( )
90 1: 2 48230
m BABC BC AC AC BC
m A
= °∆ ⇒ = ⇒ = == °
m
5p
b) [AC =bisectoare DAC CAB⇒ ≡
:DC AB AC = secantă CAB ADC⇒ ≡ (alterne interne)
ACD DAC ADC⇒ ≡ ⇒∆ = isoscel [ ] [ ]AD DC⇒ =
Fie : 24P AC AP PC DP AC∈ = = ⇒ ⊥
( ) 3 24ˆˆ: 90 cos 16 32
APADP m P A ADAD AD
∆ = °⇒ = ⇒ = ⇒ =
5p
c) P AB BC CD DA= + + +
24 3 24 16 3 16 3 56 3 24 120,88 120P = + + + = + = < m ; este insuficent.
5p
www.mate
info.r
o
424
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. a) 2 4000A BC CF= ⋅ ⋅ = 2m 5p
b) 1000 3bV A= ⋅ = 3m
2 3 34b
lA = =
5p
c) 3 1,73sectiuniiA =
Debitul pe secundă: 3 32 / 1,73 3,46 /m s m s⋅ =
Debitul pe oră: 3 33600 3,46 / 12456 /m s m h⋅ =
5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 163 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. x− 5p
2. 6 5p
3. 8 5x = 5p
4. 9 5 5p
5. 6 5p
6. 200 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida.
Notează piramida.
5p
2. Calculează ( )0 7f = − şi ( )3 5f = −
Finalizează ( ) ( )0 2 3 3f f− =
5p
www.mate
info.r
o
425
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. Notează cele două numere cu a şi b
11,6a b= +
63,42a
a bm a b+= ⇒ + =
Determină 25,9b = şi 37,5a =
5p
4. a) ( ) ( )( )1 11 4
1 1 3 1x x
E xx x x
+ − = + ⋅ + − −
( ) ( )( )( )( ) ( )1 15 3 5 3
1 1 3 1 3 1x xx xE x E x
x x x x+ −+ +
= ⋅ ⇒ =+ − − −
5p
b) ( ) ( )5 3 3 1 5 33 1x x xx+
∈ ⇔ − +−
Formează sistemul ( ) ( )( ) ( )3 1 5 3
3 1 3 1
x x
x x
− + ⇒− −
( ) ( ) ( ) ( )3 1 15 9 15 5 3 1 14x x x x− + − − ⇒ −
( ) { }143 1 1;2;7;14x D− ∈ = { }3 2;3;8;15x⇒ ∈ ⇒ { }1;5x∈
dar 11; ;13
x ∈ − −
5x⇒ =
5p
5 ( )1 3 5 7 ... 4021 4021 1 2011: 2n = + + + + + = + ⋅
2011 2011 2011n = ⋅ = ∈
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Fie A = aria paralelogramului ( ) 12
A ABD A⇒ ∆ =
.10 215 36 29 2
RT ThCMCB MN BDCNCD
= = ⇒= =
( )( )
223
A MNCMNC BDC
A BDC∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ∆
( ) ( )4 29 9
A MNC A BDC A⇒ ∆ = ∆ =
5p www.mate
info.r
o
426
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ( ) 1 45ˆ ˆsin sin2 2
A ABM AB BM B B∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
( ) 1 45ˆ ˆsin sin2 2
A ADN AD DM D D∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
( ) ( )B D A ABM A ADN≡ ⇒ ∆ = ∆
Sau ( ) 12 6 6
BM h BC hA ABM A⋅ ⋅∆ = = =
( ) ' ' 12 6 6
DN h DC hA ADN A⋅ ⋅∆ = = =
5p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )A AMN A ABCD A ABM A MNC A AND∆ = − + +
( )1 1 2 4 26 6 9 9
A A A A MNC = − + + = = ⋅ ∆
5p
2. a) 80bV A h= ⋅ = 3m 5p
b) Transformă volumul în hl: 380 8000m hl=
Capacitatea silozului 72 / 8000 576000 576kg hl hl kg t⋅ = =
90% din 576 518,4t t=
5p
c) Cantitatea livrată din siloz 23
din 518,4 345,6t =
345,2 :12,8 27= zile
5p
www.mate
info.r
o
427
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 164 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 24x 5p
2. 2 5p
3. F 5p
4. 2 6 5p
5. 60° 5p
6. 87% 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează cubul.
Notează cubul.
5p
2. 5 293; ;4 5;24;8;2 5
A = −
53; ;24;82
A ∩ = −
22 2 3270 3; 1 ; 26 10 ; 4
430A
∩ = − + −
5p
3. ( ) ( );1 1fP a G f a∈ ⇔ =
3 5 1 2a a− = ⇒ =
( )2;1 fP G∈
5p
www.mate
info.r
o
428
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) Notează x = nr. apartamentelor cu 4 camere
y = nr. apartamentelor cu 2 camere
Formează sistemul 19
194 2 48x y
y xx y+ =
⇒ = − + =
Rezolvă 2 48 38 5x x= − ⇒ =
Interpretează rezultatul 5 apartamente cu 4 camere
5p
b) Calculează 19 5 14y = − =
Interpretează rezultatul 14 apartamente cu 2 camere.
METODA ARITMETICĂ
Se presupune că sunt numai apartamente cu 2 camere. În total ar fi 19 2 38⋅ = camere.
Diferenţa de camere 48 38 10− = camere rezultă din diferenţa 4 2 2− = camere pe apartament.
10 : 2 5= apartamente cu 4 camere
14 apartamente cu 2 camere
5p
5 ( )22 2 26 13 6 9 4 3 2 2x x x x x+ + = + + + = + + ≥ ( )23 0x + ≥ ( ) x∀ ∈
( )22 2 210 34 10 25 9 5 3 3y y y y y− + = − + + = − + ≥ ( )25 0y − ≥ ( ) y∀ ∈
( ) ( )2 3 5E x E x≥ + ⇒ ≥
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) V L l h= ⋅ ⋅
Fie lăţimea l x= . Atunci lungimea 2L x= şi înălţimea 2 32 2 2
L l x x xh + += = =
332 32xV x x x= ⋅ ⋅ =
3 3t = 3m apă
5p www.mate
info.r
o
429
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3 33 3 1x m x= ⇒ = m
2L = m ; 1l = m ; 1,5h = m
b) 120 ..............................1 minut
dpl
3000 .............................. minutel x
120 1 3000 1 253000 120
xx
⋅= ⇒ = = minute
5p
c) Calculează volumul de apă după 9 minute
120 9 1080 1080l l⋅ = = 3dm
22 1 2 200hA L l m m m= ⋅ = ⋅ = = 2dm
'hV A h= ⋅ şi află înălţimea la care se ridică apa
3 2 10801080 200 ' 5,4 0,54200
dm dm h dm m= ⋅ ⇒ = = .
5p
2. a) 2 240 1600DA Rπ π π= = ⋅ = 2cm
2 3200 3200DA π π⋅ = = 2cm
5p
b) 4 160L R= = cm
2 80l R= = cm
2160 80 12800A L l cm cm= ⋅ = ⋅ = 2cm
5p
c) ( )2 212800 3200 3200 4deseuA cm cmπ π= − = −
( )3200 4 4 4 3,15 0,85 0,215 21,25% 22%12800 4 4 4
deseu
dreptunghi
AA
− − −= = = = = = <
π π
5p
www.mate
info.r
o
430
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 165 Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 99− 5p
2. 3 5p
3. 0,37 5p
4. 18 5p
5. 45° 5p
6. 16 C° 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma.
Notează prisma.
5p
2. 2 7 5 5 2 7 5x x− ≤ ⇒ − ≤ − ≤
{ }2 2 12 1;2;3;4;5;6x A⇒ ≤ ≤ ⇒ =
{ }2; 1;0;1;2;3B = − −
{ }1;2;3A B∩ =
5p
3. ( )( )
11
22
4 7 17 34 9 19 5
a ca ca ca c− = ⋅ += ⋅ +
⇒+ = ⋅ += ⋅ +
[ ]4 7;9 63 59a a⇒ + = = ⇒ = 5p
4. a) Reprezintă un punct pe grafic.
Reprezintă al doilea punct pe grafic.
Trasează graficul funcţiei.
5p
www.mate
info.r
o
431
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
x 0 1
( )f x 3 1
( )0 3f =
( )1 1f =
b) 3OA =
32
OB =
2 2 2 9 3 594 2
AB OA OB AB= + = + ⇒ =
( ) 3 5;5
OA OBd O ABAB⋅
= =
5p
5
( ) ( )2 1 3 2 1 9...
102 2 6 6 1 1n n
n n n n+
− + − + + − =+ +
1 1 1 1 1 91 ...102 2 3 1n n
− + − + + − =+
1 1 9 1 10 99101
n n nn+ −
= ⇒ + = ⇒ =+
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 1 2 6 24 722 2
c cA ⋅ ⋅= = = 2m 5p
b) || MN CNMN AB CMN CAB kAB BC
⇒∆ ∆ ⇒ = =
2 12
AMV
ABC
A kA∆
∆= = 2
2k⇒ =
2 3 26 2
MN MN= ⇒ =
5p www.mate
info.r
o
432
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )2 12 2 24 12 2 12 2 224 2CN CN NB BC CN= ⇒ = ⇒ = − = − = −
c) ( ) 722ABCD
AB BCA ⋅= = m2
( ) ( )1 362AMNB ABCA A ∆= = m2
Costul mochetei 36 18,75⋅ lei 675= lei
5p
2. a) 6 6 6 723 3
bA hV ⋅ ⋅ ⋅= = = cm2 5p
b) 26 6 36 216tA a= ⋅ = ⋅ = cm2
216 cm2 0,0216= m2
Preţul: 0,0216 250 5,4⋅ = lei
5p
c) 216 72 144cutie piatraV V− = − = cm2 5p
www.mate
info.r
o
433
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 166 Prof. Telteu Constantin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. -1 5p
2. 4 5p
3. 40 5p
4. 240 5p
5. 20 5p
6. 27 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.
5p
2. 2a
x y zm + += …………………………………………………………….
( )2am a b c= + + ……………………………………………………………..
2p
3p
www.mate
info.r
o
434
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3. Cifrele numere prime sunt 2;3;5;7……………………………………………..
La 19 pagini s-a folosit cifra 2
La 17 pagini s-a folosit cifra 3(afară de cele care au şi cifra 2 şi pe care le-am numărat deja)
La 15 pagini s-a folosit cifra 5(afară de cele care au şi cifra 2 şi 3 pe care le-am numărat deja)
La 13 pagini s-a folosit cifra 7(afară de cele care au şi cifra 2 ; 3 şi 5pe care le-am numărat deja)…………………………………………………………
Total 64 pagini……………………………………………………………
1p
3p
1p
4. a) ( ) ( ) 1f x g x x= ⇒ = −
( ){ }1;0f gG G =
3p
2p
b)
reprezentarea grafică pentru f……………………………………..
reprezentarea grafică pentru g……………………………………..
Formula pentru aria triunghiului şi rezultatul 1A = ………………
2p
2p
1p
5 10a b+ =
9ab =
1p
1p
www.mate
info.r
o
435
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )2 100a b+ =
2 2 82a b+ =
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Dimensiunile interioare sunt: 15 ; 10 ; 5L dm l dm h dm= = = ………….
3int 416 416 400V dm l l= = > ……………………………………………..
Răspuns: Da………………………………………………………………
1p
3p
1p
b) Volumul cu tot cu pereţi 3 315 10 5 750dm dm= ⋅ ⋅ = ……………………
3 3 3750 416 334peretiV dm dm dm= − = …………………………………….
2p
3p
c) 22 13 4 2 8 4 13 8 272 dm⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = …………………………………….. 5p
2.
a)
În figură este desenat un sfert din coala lui Andrei.
22 2l lr+ =
3p
2p
www.mate
info.r
o
436
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( )2 1
2
lr
−=
1p
b) Răspuns: Irina. Se vede pe desen că diametrul discurilor desenate de ea au diametrul jumătate din latura foii de desen, iar cele desenate de Andrei sunt mai mici.(Se poate argumenta şi prin calcul observând că:
( )2 1 12 4Andrei Irina
lr r
−= < =
5p
c) Aria nepictată
22 2 20,8...4 0,2
16 4ll l lπ= − = ⋅ > ⋅ ………………………
Aria unui disc 2
2 23,14... 0, 216 16l l lπ
= = ⋅ < ⋅ ………………………………..
Răspuns: Da…………………………………………………………………..
2p
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 167 Prof. Telteu Constantin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0 5p
2. 21 5p
3. 3 5p
4. 2000 5p
5. 100 5p
6. 6,76 (rezultatul calculului este 6,7(6), dar fiind vorba de media clasei…) 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
437
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1.
5p
2. gm xy= …………………………………………………………………..
( )( )3 8 3 8gm = − + ……………………………………………………..
1gm = ………………………………………………………………………
2p
1p
2p
3. Dacă deschid cartea la pag: 90-91; 92-93; 94-95; 96-97; 98-99, suma numerelor cu care sunt numerotate paginile este 945…………………………
La o deschidere a cărţii, suma numerelor cu care sunt notate paginile vizibile este număr impar, iar suma a cinci numere impare este număr impar. R: NU
2p
3p
www.mate
info.r
o
438
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4.
a)
( ) ( ) 3 1 3 1; ,2 2 2 2 f gf x g x x f A G G = ⇒ = − = − ⇒ − − ∈
3p
2p
b) ( ) 3,
2Ad A Oy x= = − 5p
5 2
23
1434
a ba
b aa b
a
b
+= ⇒
= ⇒< ⇒
= ⇒
=
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) metal prisma piramidaV V V= − =
36 3 36 3 664 4 3
= ⋅ − ⋅ =
372 3 cm=
1p
2p
2p
www.mate
info.r
o
439
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) Suprafaţa ce trebuie vopsită are aria: . . .l pir l pr b prA A A A= + +
Fie D şi E mijloacele muchiilor [ ]BC şi [ ]' 'B C .
2.3 ; 39 9 39l pirOD cm EO cm A cm= = ⇒ = …………………………
2 2 236 39 39 18 64
A cm cm cm= + ⋅ + …………………………………………
( ) 29 39 12 3A cm= + + ……………………………………………………
1p
2p
1p
1p
c)
( ) ( )( ) ( )( )' ' ' ' , ' ' , ' 'BC B C BC OB C d C OB C d D OB C⇒ ⇒ =
Fie EOF pr D= . Avem:
( )( )
( )' '' ' ' '
' '' '
B C OEDB C OE B C DFDF OB C
B C DE EO DFDF OED
⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⇒ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥⊂
6 1313
DO EDDF cmOE⋅
= = .
SAU: Se poate arăta că distanţa este DF, cu reciproca a II-a a Teoremei celor trei perpendiculare.
2p
2p
1p
2. a) bazin dreptunghi discA A A= + = 1p
www.mate
info.r
o
440
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
220 10 5π= ⋅ + ⋅ =
( ) 2200 25 mπ= +
3p
1p
b) 220 14 7bazin borduraA π+ = ⋅ + ⋅ =
( ) 2280 49 mπ= + .
2280 49 200 25 155,36borduraA mπ π= + − − ≈
2p
1p
2p
c) ( )2 20 2 7 40 14extP mπ π= ⋅ + ⋅ = +
( )int 40 10P mπ= +
Diferenţa 4 12,56 .m mπ= ≈
2p
2p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 168 Prof. Telteu Constantin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 34
− 5p
2. 76
5p
3. 9 5p
4. 4 3 5p
5. 9 3 5p
6. 270 5p
www.mate
info.r
o
441
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.
5p
2. 12
x = −
13
y = −
12
z = −
z x y< <
1p
1p
1p
2p
3. x - numărul pozelor efectuate de o fată.
5x + - numărul pozelor efectuate de un băiat…………………………….
( )9 13 5 373x x+ + =
14x =
1p
2p
2p
4. a) ( )1 0f − =
3 0a− + =
3a =
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
442
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) ( )2 5f a= −
2 3 5a a+ = −
23.
a =
2p
1p
2p
5 22 1 92
22x = + =
22 1 12
22y = − =
2 2 5x y+ =
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Volumul paralelipipedului iniţial 3250iV dm=
Volumul paralelipipedului scos din cel iniţial 340sV dm=
Volumul corpului 3210cV dm=
2p
2p
1p
b) cA = (aria totală a paralelipipedului iniţial) ' ' ' '2 2EFF E FGG FA A− + =
2254dm=
3p
2p
c) 3 2FB dm=
Din 43 .FBC FC dm∆ ⇒ =
2p
3p
2. a) 10 5AC m=
4 5 , 2 5DO m OC m= =
8 5 ;OA m=
şi cu asemănare 16 5OB m=
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
443
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
20 5BD m= 1p
b) Tot din asemănare sau cu t. lui Pitagora 40AB m=
cu t. lui Pitagora 10 13CB m=
( )10 7 3ABCDP m= +
2p
2p
1p
c) Fie V intersecţia dreptelor AD şi BC. Din asemănarea triunghiurilor VDC şi
VAB se obţine 20 803 3
VD m VA m= ⇒ = ………………………………..
1003
VB m=
50p m=
Srp
= =
( )10, 6 m=
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
444
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 169 Prof. C. Telteu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 6 5p
2. 1100 lei 5p
3. 80% 5p
4. 4 5p
5. Nu 5p
6. 26 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.
5p
2. { }7 5p
3. 1 2 1 26 3; 15 3, , 0x c x c c c= + = + ≠
303x M− ∈
3 30 1000 34 1023x k k x− = > ⇒ = ⇒ =
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
445
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
4. a) .
3 2 3 2 3 2;0 05 5 5fA G f m
− ∈ ⇒ − = ⇒ =
5p
b) Precizarea a două puncte ale graficului
Reprezentarea lor în plan
Desenarea dreptei
2p
2p
1p
5 Scrierea formulei ( )( )2 2a b a b a b− = + −
(sau ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + + )
( ) ( )2 22 2 23 1 4 1 7 2 2x x x x x x x − + − + + = − + +
Finalizarea
1p
3p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a)
5p
b) 2 2MC cm=
2 6MB cm=
' 4 6BM MA cm+ =
1p
2p
2p
c) ' 4 2BA cm=
( ), ' 4d M BA cm=
1p
2p
www.mate
info.r
o
446
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ) 2'
' , '8 2
2BMA
BA d M BAA cm
⋅= =
2p
2. a) Suprafaţa zidurilor clasei: 2108 m
Ferestrele şi uşa la un loc: 216,2 m
2p
3p
b) Suprafaţa tablei: 25, 4m
De zugrăvit: 286,4 m
2p
3p
c) Suprafaţa clasei: 272 m
Număr elevi: 72 282,5 =
.
2p
3p
Varianta 170 Prof. C. Telteu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 0x = 5p
2. 25 5p
3. 50% 5p
4. 40 5p
5. 24 3 m 5p
6. 34 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
447
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1.
5p
2. { }12 5p
3. 1
2
3
244 499 390 6
c nc nc n
= += += +
( )240,96,84 12n = =
2p
3p
4. a) ( )1 3f =
0a =
2p
3p
b) ( ) 3f x x= +
Intersecţia cu Ox: ( )3;0−
Intersecţia cu Oy: ( )0;3
1p
2p
2p
5 Scrierea formulelor: ( ) 2 22a b a ab b± = ± + şi ( )( )2 2a b a b a b− = + −
Aplicarea lor corectă
Reducerea termenilor asemenea
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 32,5 m=3250 cm; 3250:15=216,(6), deci pt. lungime sunt nec. 217 pietre. 850:15=56,(6), deci pentru lăţime sunt necesare 57 pietre. În total sunt necesare: 217 57 12369⋅ = pietre,
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
448
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) O piatră are volumul: 315 15 3 675cm⋅ ⋅ = .
Toate pietrele au la un loc volumul: 3 312369 675 8349075 8,349075cm m⋅ = = .
2p
3p
c) 3 38,349075 1000 / 8349m lei m lei⋅ ≈ 5p
2. a) 2 2 225 625circA R mπ π π= = = 5p
b) 2 2400arenaA r mπ π= = 5p
c) 2 2225 706,5circ arenaA A m mπ− = ≈ (aproximare prin lipsă)
Nr. maxim spectatori: 706,5 : 0,5 1413= .
2p
3p
Varianta 171 Prof. C Telteu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 14 5p
2. 275 5p
3. 88 5p
4. 40 5p
5. da 5p
6. 14 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
449
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1.
5p
2. { }7M =
{ }\ 1, 2,3, 4B M B= =
2p
3p
3. 100 elevi reprezintă 25% din numărul de elevi ai şcolii
Numărul de elevi ai şcolii este 400.
3p
2p
4. a) ( ) ( )2, 2fM a G f a∈ ⇒ =
0a =
3p
2p
b) ( ) 0f b <
2b <
3p
2p
5 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 4 1 1 421 1 1 1 1 1
4 4 01 1
x x x x x xx x x x x x
x xx x
− + − + − + − = − − = + − − + − −
− = − = − −
3p
2p
www.mate
info.r
o
450
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2 dulapi în lungime, 16 în lăţime şi 13 în înălţime
2 16 13 416⋅ ⋅ = dulapi
3p
2p
b) Volumul dulapilor este 3. 500 15 15 416dulapV nr dulapi cm⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
346,8m= .
3p
2p
c) 3 312 2,5 2 60containerV m m= ⋅ ⋅ =
313,2liberV m=
3p
2p
2. a) 2discA Rπ=
2 225 78,5discA cm cmπ= ≈
3p
2p
b) 8 discuri pe lungime şi 6 discuri pe lăţime
48 discuri
3p
2p
c) Din fiecare pătrat cu latura de 10 cm se pierde acelaşi procent ca în cazul întregii foi.
2 2 2100 78,5 21,5cm cm cm− =
Deci se pierde 21,5% din material
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
451
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte Varianta 172 Prof. C. Telteu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2x = 5p
2. 650 5p
3. 87,5% 5p
4. 3 5p
5. 22cm 5p
6. 500 elevi 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.
5p
2. { } { }5 1;5 , 0;1;...;9D B= = 3p
www.mate
info.r
o
452
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 5D B D= 2p
3. Dacă x este vârsta unui frate al Irinei, atunci 2 12x x x+ + =
3x = ani
3p
2p
4. a) ( ) 0f x =
3 3 ,05 5 fx G
= ⇒ ∈
2p
3p
b) 3 3;
5 5x x∈ ∉ ⇒ − ∉
Răspuns: 0
3p
2p
5 ( )
2
2
2 2 2 12 2 2
xE xx
−= ⋅ −
−
( ) 0E x =
2 03
E
=
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2 210 8 100000 8000000cm cm⋅ ⋅ =
2 28000000 800cm m=
3p
2p
b)Toată piatra are volumul 2 3800 0,06 48V m m m= ⋅ =
48 3:15 9,6⋅ =
Deci au fost necesare 10 camioane.
2p
2p
1p
c) Volumul de piatră necesar 2 2 36000 6 6000 0,06 360m cm m m m⋅ = ⋅ = .
Preţul fără manoperă: 3360 3 100 108000 .leim t leit
⋅ ⋅ =
1p
2p
www.mate
info.r
o
453
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Preţul cu manoperă este: 10108000 108000 118800 .100
lei lei lei+ ⋅ =
2p
2. a) Ducem ( )|| , romb 15CE AD E AB AECD CE AE cm∈ ⇒ ⇒ = =
BEC∆ dreptunghic în C (recipr. T.Pit.)
12CF cm= (cu T. Înălţimii)
2330ABCDA cm=
1p
2p
1p
1p
b) ( ). . .MDC MAB T F A∆ ∆
Din proporţionalitatea laturilor 9 ; 12MD cm MC cm⇒ = =
36MDCP cm=
2p
2p
1p
c) MDC MAB∆ ∆ şi raportul de asemănare este 3
8
Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare
964
MDC
MAB
AA
=
2p
2p
1p
www.m
ateinf
o.ro
454
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 173 Prof: Iuliana Traşcă
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 14 5p
2. 75 5p
3. 9 5p
4. 0,815 5p
5. 30 5p
6. 900 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Desenează apotema
Notează piramida
2p
2p
1p
2. Fie x preţul iniţial, dupa scumpirea de 20% preţul devine 6
5x
După ieftinirea cu 20% preţul va fi 2425
x
Scrierea relaţiei 2425
x =960 şi aflarea lui x=1000
2p
2p
1p
3. 1521 39=
1888- 1521 =1849
1849 43=
2p
1p
2p
4. a) Scrierea relaţiei f(0)=0 3p
www.mate
info.r
o
455
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Finalizare m=2 2p
b) Scrierea relaţiei f(x)=3x
Aflarea a două puncte ale graficului
Trasarea graficului
1p
2p
2p
5 Se notează x2+2x cu y iar expresia devine : ( )
( )2
2
2 1 2 13 2 3 2
y y y yy y y y
+ + + +=
+ + + +
Descompunerile 2 2 1y y+ + = ( )21y + şi ( )( )2 3 2 1 2y y y y+ + = + +
Simplificarea raportului prin y+1
Scrierea rezultatului final 2
2
1 2 12 2 2
y x xy x x+ + +
=+ + +
.
1p
2p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) a) Scrierea relaţiei AABCDE=AABCD+ADEC BC=6 dm
AABCDE=60+5x
2p
1p
2p
b) Scrierea relaţiei 5x=60
Aflarea lui x=12 dm.
3p
2p
c) Cum M este mijlocul lui DC şi EM⊥DC, rezultă că triunghiul EDC este isoscel (ED=EC), DM =5 dm Aflarea lui DE din triunghiul dreptunghic DME, 090M = , cu teorema lui Pitagora, DE=13 dm=EC, PABCDE=48 dm
2p
3p
2. a) Fie l latura bazei, pa apotema piramidei,
2 33 ,4 2
pb l
l alA A⋅ ⋅
= =
Deducerea relaţiei 33p
la =
Fie ba apotema bazei, 36b
la = , 2 2 2b ph a a+ = , află 6l =
218 3 cmlA =
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
456
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
3
bA hV ⋅= 39 3 cmV⇔ = 1p
b) Fie fA aria unei feţe laterale, iar d distanţa cerută,
3fA d
V⋅
=
2
pf
l aA
⋅= 26 3 cmfA⇔ =
Finalizare 4,5 cmd =
2p
2p
1p
c) Fie α unghiul căutat htg
Rα = , 3 2 3
3lR R= ⇔ = cm
( R= raza cercului circumscris bazei )
Finalizare 32
tgα = .
4p
1p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 174 Prof: Iuliana Traşcă
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 5p
2. 12 5p
3. 18 5p
4. (9x-11y)(9x+11y) 5p
5. 6 5p
6. 58
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
457
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. Desenarea şi notarea corectă a cubului ABCDMNPQ
Desenarea diagonalei
4p
1p
2. 8 10x y= , 6y=5z, x+y+z=30
Finalizare x=8, y=10, z=12
3p
2p
3. 2NS MS SP= ⋅ SP⇔ =5cm MP =50 cm
Finalizare 2750 cmMNPQA MP SN= ⋅ =
2p
1p
2p
4. a)
3 2 7 5 2 115 2
a af − + − +
=
2 1a − = Finalizare {1,3}a∈
2p
2p
1p
b) ( )2 225 20 4f n n n= − + , ( )8 1 40 24f n n⋅ + = + 225 20 21 0n n+ − = ( ) ( )5 3 5 7 0n n⇔ − ⋅ + =
Finalizare 35
n =
2p
2p
1p
5 93 62 93 6210 11 10 11− = − , 34 51 51 3419 10 10 19− = − 71
2a
x= + ∈
−
{ }5,1,3,9x∈ −
2p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ) BN=MC=1 m BC= 13m
AD=11 m AF= 3 m
1p
2p
1p
1p
www.mate
info.r
o
458
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) 60 m
13DM = .
2720 m13ABCDA = .
230BDCA m= , 2330, m13ABD ABCD BDC ABDA A A A= − =
1p
2p
2p
c) ABDEFA = 2330 75933 m
13 13+ =
23 pungi
2p
3p
2. a) VA=10 cm AO=OB=OC=R=6 cm
3 cm2bRa = = , bBM R a= + 9 cmBM⇔ = .
2p
1p
2p
b) 3 6 3 cm
3ABR AB= ⇔ =
227 3 cmb
A = 73 cmpa =
29 219 cmlA =
1p
1p
2p
1p
c) Fie h înălţimea piramidei mici, V volumul piramidei iniţiale şi v volumul piramidei mici
372 3 cm3
bA VOV ⋅= =
39 3 cmv =
3V VO
v h =
388 4 cmhh
⇔ = ⇔ =
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
459
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 175 Prof: Iuliana Traşcă
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 6 5p
2. 17 5p
3. 13 5p
4. 64 5p
5. 50 5p
6. 1250 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenarea şi notarea corectă a piramidei Punctul M mijlocul lui BC
Desenarea apotemei VM
3p
1p
1p
2. 2 6 325 mm 5 mmV V= ⇔ =
Finalizare : Piatra cântăreşte 0,025 g.
4p
1p
3. Între viteză şi timp există o proporţionalitate inversă.. Fie x numărul minutelor cerute de problemă avem:
60 / 4 890 / 3km h hx x h
km h⋅
= ⇔ = .
x= 160 minute
1p
3p
1p
4. a) x∈ \ {-1,0,1}
4( ) xE xx+
=
2p
3p
b) 7 4( 3) ( 3) 1
3 3xE x E xx x+
+ = ⇔ + = ++ +
2p
www.mate
info.r
o
460
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
{ } { }3 -4, -2, -1, 1, 2, 4 -7, -5, -4, -2, -1, 1x x+ ∈ ⇔ ∈
3p
5 f(-2a+1)= 8a -1
3-4a=8a-1
Finalizare 1a3
=
2p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) CE=DF ipotenuze în triunghiuri dreptunghice congruente, 2 5CE = m
2 24DE DE
l lπ π= ⇔ = m,
2 4 24CF CF
l lπ π= ⇔ = m
( )4 5 3DECFp π= + m.
2p
2p
1p
b) EODA π= m2, 4COFA π= m2, bazinA π= m2. 24 mCOE FODA A= =
( ) 22 8 4gradina EOD COF COE bazin gradinaA A A A A A mπ= + + − ⇔ = +
2p
1p
2p
c) Aria sfertului de cerc cu raza 4 m este egală cu 4π m2
Aria sfertului de cerc cu raza 1 m este egală cu 4π m2
Aria cerută este: 154π m2
2p
2p
1p
2. a) 3 3 dm
6b bla a= ⇔ =
2 2 2 5 dmb p ph a a a+ = ⇔ =
22 2 2345 3 dm , 27 3 dm , 72 3 dm
4l b llA A A= = = =
1p
2p
2p
b) 336 3 dm 36 3 litri
3bA hV ⋅
= = = 3p
www.mate
info.r
o
461
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
36 3 litri>36 litri , deci în interiorul obiectului încap 36 litri de apă
2p
c) Fie x distanţa cerută,
2 2
sec
4 27 3 43 3
b
t
AA x x
= ⇔ =
4 dm3
x =
3p
2p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 176 Prof: Iuliana Traşcă
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 5p
2. 12
5p
3. 0 '36 4436 '' 5p
4. 60 5p
5. 23 5p
6. 1000 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenarea corectă a prismei triunghiulare regulate ABCA’B’C’
Notaţia corectă
Desenarea înălţimii OO ’
3p
1p
1p
www.mate
info.r
o
462
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. 62 601 1 1 1 1 1 312 3 5 2 3 5 30
x y z x y z+ += = = = =
+ +
x=30, y=20, z=12
3p
2p
3. 300110 90 312100 100
x y
x y
+ =
⋅ + ⋅ =
Soluţia finală x=210 şi y=90
3p
2p
4. a) f(a) =3a+1, f(b)=3b+1, 1
3a bf a b+ = + +
Finalizare
3p
2p
b) Scrierea relaţiei 3(1+2+...+n) +n=650
Calcului sumei ( 1)1 2 ...2
n nn ++ + + =
Rezolvarea ecuaţiei 23 5 1300 0n n+ − = ( ) ( )20 3 65 0n n⇔ − ⋅ + = şi aflarea lui n=20
2p
1p
2p
5 2
1( ) 36 11
E xx x
= ++ +
( )21( ) 33 2
E xx
= ++ +
Pentru x+3=0, adică 3x = − se obţine valoarea maximă pentru ( )E x
max72
E =
2p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ADBM ; AD=BC
( ) ( ) 060 echilateralm BCM m BMC BCM= = ⇔ ∆ cu latura de 8 m
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
463
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Fie h=d(B,DC)= 8 3 4 3 m2
=
( ) ( ) 24 3 4 m2ABCD
B b hA x
+ ⋅= = +
2p
b) DM h=4 3ABDMA x= ⋅
( )50% 4 3 2 3 4ABDM ABCDA A x x= ⇔ = +
x=4 m
2p
2p
1p
c) ( ) 24 3 4 4 32 3 mABCD ABCDA A= + ⇔ =
Preţul tablei va fi: 15 32 3 480 3 830,4⋅ = lei
830,4< 1000, deci suma de bani e suficientă pentru a cumpăra tabla.
2p
2p
1p
2. a) L= 6 4 4 2
8 2 2
+ ⋅
=20m, l=15 m, h=5 m
2 2 220 15 m 300 m 30000 dmbA = ⋅ = =
0,05 dam=5 dm, 225 dmplacaA =
30000:25=1200 plăci de gresie
2p
1p
1p
1p
b) 31500 m 1500000 bV A h= ⋅ = = litri
60% 1500000 900000apaV = ⋅ = litri
3p
2p
c) ( ) ( )27 2 3 3 2 2− ⋅ + ⋅ =25 2 m
Diagonala bazei este: 2 220 15 25+ =
Fie H înălţimea căutată: ( )22 225 25 2 25 mH H+ = ⇔ =
3p
1p
1p
www.mate
info.r
o
464
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 177 Prof.: Vasile Uleanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 5p
2.
22
5p
3. [-7 , 9) 5p
4. 2 5p
5. 1 5p
6. 13 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen şi notaţie corespunzătoare 5p
2. X= (5 – 1 +3 +1)36 = 836 = (23)36 = 210 454= (22)54 = 2108 ⇒ x ∈ A 5p
3. Ip= 10 cm , A= 20 cm2 , c1 = 2 5 şi c2 = 4 5⇒ P= 6 5 +10 cm 5p
4. a) a= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18
1 3 3 7 7 12 12 19 1 19 19− + − + − + − = − =
5p
b) 1
3< 18
19 < 19
20
5p
5 Se amplifică în paranteză cu n2+1 şi se obţine n16 ⋅n2 = n18 = (n9)2 = p.p. 5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 60000 litri – capacitatea maximă , 48000 litri – în bazin 5p
b) 75 de familii 5p
www.mate
info.r
o
465
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c)nov= 30 zile , 800 ⋅30 = 24000 l = 24 m3 , 24 ⋅ 4,25 = 102 lei 5p
2. a) Fie GF=x ⇒ AG=EF=AE=BG=x ⇒ DE= 30-x ⇒ A EFCD = ( 10)(30 ) 150
2x x+ −
= ⇒x= 20 ⇒AB= 40 ⇒
Aria ABCD=750 m2
5p
b) ABGF = 200 m2 Aria AGFE=400 m2 ⇒50% 5p
c) P dr AGFE =80m ; 6400 lei 5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 178 Prof.: Vasile Uleanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5p
2. 7 5p
3. 200 5p
4. 31 5p
5. 24 3 5p
6. 800 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen corect si notat corespunzător 5p
2. Se notează x2 + 2x = y şi după descompunere se obţine
2( 2)( 1)( 2)
yy y
++ +
,
iar după simplificare şi înlocuire se obţine ;
5p
www.mate
info.r
o
466
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2
2
2 22 1
x xx x+ ++ +
3. X= 3
3 , y = -3 .
5p
4. a) a= 56 , b= 24 , c=21 . 5p
b) 87,5% 5p
5 Fie d= (2n+7 , 5n+17 ) ⇒
/ 2 7/ 5 17
d nd n
+ +
⇒/ 5(2 7)/ 2(5 17)
d nd n
+ +
⇒
d/10n+35 –10n-34 ⇒ d/1⇒ f = ireductibila
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) L= 6m , h= 4 m , V=144 m3 = 144000 dm3 = 144000 l 5p
b )676800 lei 5p
c) 135360 lei 5p
2. a) AB= l6=R , AE = l3=R 3 , BE= d=2R ⇒ R= 10 km ⇒
PAEC =30 3 km
5p
b)Lc= 2π R = 20 ⋅3,14 = 62,8 km , 1h15min = 151
60 h = 5
4 h ⇒
Vm = Dt
= 50,24 km/h
5p
c) Dn =
( 3)2
n n −⇒D6= 9 artere principale de circulaţie Obs că sunt 6 artere
egale cu l3 şi 3 artere egale cu d ⇒ 6R 3 +6R < 120 3
⇒60 3 +60 < 120 3 ⇒ 1< 3 „A”
5p
www.mate
info.r
o
467
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 179 Prof.: Vasile Uleanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4x+13 5p
2. 6 5p
3. 72 cm 5p
4. 3 5p
5. 245
5p
6. 10 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen corect şi notat 5p
2. 4L+4l+4h=84 ⇒L+l+h=21⇒( L + l+ h)2 = 212 ⇒
L2+ l2 + h2 + 2Ll +2Lh +2lh =441 ⇒ d2 + 392 = 441 ⇒ d=7
5p
3. X= 1 1 1 1 1 33( ..... ) :
7 2 6 12 132 28+ + + + =
1 1 1 1 1 28( ..... )7 1 2 2 3 3 4 11 12 33
+ + + + ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 1 4 1( )1 12 33 9− ⋅ =
5p
4. a)fie x= distanţa dintre localităţi ⇒ x= 60 km , I= 15 km , II = 20 km . 5p
b) II = 20 km ⇒ 20
60= 33.(3) %
5p
5 | 5 2 3 | | 2 3 7 | | 7 5 | 10− + − + + = 5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
www.mate
info.r
o
468
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1. a)Al= 2h(L+l),
5 3 1L l h k= = = ⇒ L=5k , l=3k , h=k ⇒16k2 = 256 ⇒ k=4
⇒L= 20 m , l= 12 m , h= 4 m ⇒ V= 960 m3
5p
b) V= 960 m3 ⇒ 16 transporturi în 5 zile 5p
c) V1 = L ⋅l ⋅h1 = 20 ⋅12 ⋅3 = 720 m3 = 720000 litri 5p
2. a) L= 40m ⇒ l= 20 m . Cele 4 parcele au forma de : I= trapez dreptunghic , II= triunghi dreptunghic , III = dreptunghi , IV= dreptunghi ⇒ A1 = 300 m2 , A2 = 100 m2 , A3 = 200 m2 , A4 = 200 m2 .
5p
b) A1 + A3= 500 m2 ( roşii ) , A2 + A4= 300 m2 ( castraveţi ) ; 3500 kg roşii , 3000 kg castraveţi ; 14000 lei ( roşii ) , 7500 lei ( castraveţi ) ; total 21500 lei .
5p
c) 30%+7%+10%+13% = 60% ( cheltuieli ) ⇒ 40% profit =8600 lei 5p
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 180 Prof.: Vasile Uleanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 83
5p
2. π 5p
3. 1 5p
4. suplementare 5p
5. 1 5p
6. 250 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen corect şi notaţie corespunzătoare 5p
www.mate
info.r
o
469
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
2. f(x) liniară ⇒ f(x) = ax + b , A(-2;5 ) ∈ Gf ⇒ f(-2) = 5 şi B(-3;4 ) ∈ Gf ⇒ f(-3) = 4 ⇒ f(x)= x+7
5p
3. Ma.p = 1 1 2 2 3 3
1 2 3
a p a p a pp p p+ +
+ += 7,8
5p
4. a) | 9 | | 3 3 | | 6 3 | 0a b c− + − + − = ⇒ a= 9 , b =3 3 , c=6 3 u.l. 5p
b) triunghiul este dreptunghic în C ⇒A= 27 3 . .
2u a şi R= 3 3 u.l.
5p
5 S= {(0,1)} 5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) Ab = L ⋅ l = 20 ⋅6 = 120 m2 ⇒ 120: 3 = 40 ovine 5p
b) V prismă = Ab ⋅ h ⇒ Ab =
2 34
l = 9 3 m2 ⇒ V prismă= 180 3 m3
⇒ Cantitatea de nutreţ = 1800 3 ⋅30 kg = 5400 3 kg 9342 kg
5p
c) consumul = 9000kg , rest = 342 kg 5p
2. a) Aromb = 72 m2 ⇒ Adr = 72 m2 ⇒ L=12 m , l= 6m ⇒P= 36 m 5p
b) 75% 5p
c) Promb +Pdr = 84 m ; 6300 lei 5p
www.mate
info.r
o
470
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 181 Prof.: Vasile Uleanu
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 16
5p
2. 310
5p
3. 7830 5p
4. 14
5p
5. 3 5p
6. 800 euro 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desen corect şi notat corespunzător 5p
2. 2 2(2 3) ( 2) 0x y− + + = ⇒ x= 3
2 şi y = 2−
5p
3. a=36 , b=48 5p
4.
a) CD<AD<BC<AB ⇒
CD x123
AD xBC xAB x
= = + = + = +
⇒ x+ x+1 +x+2 +x+3 = 18 ⇒x=3
⇒ A = 18 cm2
5p
b) Fie CF⊥AB şi AE⊥BC ⇒ AABC =
2 2BC AE AB CF⋅ ⋅
= ⇒
CF= 4,8 cm
5p
www.mate
info.r
o
471
Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
5 ∈
−+
1332
xx Z ⇒
3 1/ 2 33 1/ 3 1
x xx x− +
− − ⇒
3 1/ 6 93 1/ 6 2
x xx x− +
− −⇒ 3x-1 / 11
⇒x∈{ 0, 4 } ⇒ A= { 0, 4 }
5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) R=30 2 cm , h= 40 cm , ab = 30 cm , ap = 50 cm , l= 60 cm ,
Al = 6000 cm2 ,
5p
b) Ab = 3600 cm2 , V = 48000 cm3 5p
c) 52,8 kg 5p
2. a) R=105 m . Dimensiunile terenului de joc sunt : L= 120 m , l= 70 m A=8400m2
5p
b) Dimensiunile stadionului sunt :
- teren de joc+tribuna I + tribuna II au forma unui dreptunghi cu dimensiunile de 120 m ,210 m şi cele 2 peluze care formează un cerc cu R= 105 m
S= 1575 (7π +16 ) m2
5p
c) 56966 lei 5p
www.mate
info.r
o
472
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 182 Prof Uruc Doina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 290 5p
2. 1 5p
3. 12 5p
4. 36 3 5p
5. 8 5p
6. [ )0,+∞ 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. ( ) 29 6 1 4E x x x= − + −
( ) ( )23 1 4E x x= − −
( )23 1 0x − ≥
Deci ( )min 4E x = −
2p
1p
1p
1p
3. 4 2 0x y− − =
3 3x− = −
1x =
Înlocuiește x
2y = −
1p
1p
1p
1p
1p
4. a) Calculează corect două valori ale funcției
Reprezintă corect punctele corespunzătoare
2p
2p
www.mate
info.r
o
473
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Trasează graficul 1p
b) Ox∩ : ( ) 0f x =
1 ,02
M −
Oy∩ : 0x =
( )0,1N
214
A u=
1p
1p
1p
1p
1p
5 3 2 2 1 2+ = +
5 2 6 2 3+ = +
7 2 12 3 2+ = +
Raționalizează cu conjugatele
1S = −
1p
1p
1p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 2V l h=
4lA lh=
4l
V lA
=
10l m=
8h m=
1p
1p
1p
1p
1p
b) 2100bA m=
Gresie ncesară: 102m2
Cutii gresie: 17 buc.
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
474
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
Preț: 467,5 lei 1p
c) 1BM B C⊥
( )1,d A B C AM=
40 4141
BM =
10 233741
AM =
1p
2p
1p
1p
2. a) 'CC AB⊥ , 'C AB∈ , ' 10 3CC m=
40AB m=
( )2ABCD
B b hA
+ ⋅=
2350 3ABCDA m=
2606ABCDA m
1p
1p
1p
1p
1p
b) DC ED EC
AB EA EB= =
3040 20
ECEC
=+
; 60EC =
30 3ED =
P ED DC EC= + +
( )90 30 3 30 3 3P m= + = +
1p
1p
1p
1p
1p
c) ' DEF pr F= , ' 10FF m=
' 20 3F D m=
10 13DF m=
2p
2p
1p
www.mate
info.r
o
475
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 183 Prof Uruc Doina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 13 5p
2. 15 5p
3. 12 5p
4. 200 5p
5. 17 5p
6. 25
5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează piramida
Notează piramida
4p
1p
2. Aduce la același numitor
Rezolvă corect parantezele
( ) 3E x = −
1p
2p
2p
3. 120% 60x⋅ =
10060120
x = ⋅
50x = lei
2p
2p
1p
4. a) ( )1 1 1f a b= ⇒ + =
( )2 0 2 0f a b= ⇒ + =
Rezolvă sistemul: a = -1; b = 2
1p
1p
2p
1p
www.mate
info.r
o
476
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
( ) 2f x x= − +
b) ( ): 0, 2Ox C∩
( ): 2,0Oy B∩
( ),d O BC este înălțimea triunghiului dreptunghic isoscel OBC
2 2BC =
2d =
1p
1p
1p
1p
1p
5 5 muncitori ar termina restul lucrării în 6 ore
3 muncitori ar termina restul lucrării în x ore
5 6 3 x⋅ = ⋅ (mărimi invers proporționale)
10x = ore
1p
1p
2p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) ( ) ( )( )' , 'AD BCC d A BCC AD⊥ ⇒ =
32ABC
lh =
4l BC m= =
2 3AD =
2p
1p
1p
1p
b) bV A h= ⋅
3160vagonV m=
340 3piesăV m=
34
piesă
vagon
VV
=
42,5%p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
477
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
1p
c) 2
3 lA A=
l bA P h= ⋅
2120lA m=
280A m=
2p
1p
1p
1p
2. a) număr de pași parcurși = 200
' 160AA m=
22
dl =
80 2l m=
2p
1p
1p
1p
b) 2 2BC m AB m= ⇒ = , ' 1AD AD m= = , AD BC⊥ , ( )D BC∈
' ' ' ' 'alee BCC B ABC A B CA A A A= + +
2' ' ' 316BCC BA BC DD m= ⋅ =
2' ' ' 1ABC A B CA A m= =
2318aleeA m=
1p
1p
1p
1p
1p
c) Realizează desenul corespunzător enunțului
150 120240 120 x
=+
72x cm=
2p
1p
2p
www.mate
info.r
o
478
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 184 Prof Uruc Doina
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 107 5p
2. 985 5p
3. 20 5p
4. 45o 5p
5. -2 5p
6. 7,60 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Desenează prisma
Notează prisma
4p
1p
2. Prima zi: 30% x⋅
A doua zi: 5 70%9
x⋅ ⋅
30 5 70 28100 9 100
x x x+ ⋅ + =
28 90 28x− = − ⋅
90x km=
1p
1p
1p
1p
1p
3. 127 5a c= + ; 224 5a c= +
15 27a c− = ; 25 24a c− =
[ ]5 27,24a − =
[ ]27,24 216=
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
479
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
221a = 1p
4. a) Aduce la același numitor rapoartele din paranteze
Obține pentru paranteză rezultatul ( )( )
71 1x x− +
Descompune ( )( )2 4 3 3 1x x x x− + = − −
( ) 31
xE xx−
=+
1p
2p
1p
1p
b) 3 41
1 1xx x−
= − ∈+ +
41x∈
+
{ }1 1, 2, 4x + ∈ ± ± ±
{ }0,3x∈
1p
1p
1p
2p
5 2 2x− ≤ −
1x ≥
[ )1,x∈ +∞
3p
1p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. a) 3 3
6 2bla m= =
3 3 32 2p
la m= =
2 2 2 6p bh a a h m= − ⇒ =
2 344t
lA = ⋅
29 3tA m=
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
480
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
b) 1 ||
2PM PN MN VAMA NV
= = ⇒
( ) ( )||VA VAC MN VAC⊂ ⇒
13
MNPMN PAVAV
⇒ =
1MN m=
1p
1p
2p
1p
c) 3 3
3lAM VN m= = = ; 6AN VM m= =
3 3 6VANP = + +
Fie ( ),NR VA R VA⊥ ∈
2 ' 23
NR PP= = , ( )( )' , 'PP VA P VA⊥ ∈
3 22VANA =
1p
1p
1p
1p
1p
2. a) , 48BD x BC x= = +
2AB BD DC= ⋅
2 48 2025 0x x+ − =
( )( )75 27 0x x+ − =
27BD m=
1p
1p
1p
1p
1p
b) DEB CDA
DE EB BDCD AD AC
= =
2DEB
CDA
A BDA AC
=
81400
DEB
CDA
AA
=
2p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
481
Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte
c) ( ) 90oDE AB m DEA⊥ ⇒ =
( ) 90oDF AC m DFA⊥ ⇒ =
( ) 90om A AEDF= ⇒ - dreptunghi
AD EF=
36EF m=
1p
1p
1p
1p
1p
www.mate
info.r
o
482
top related