algebra liniara geometrie analitica si diferentiala

Tudor Boacă

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ

Editura Universităţii Petrol-Gaze din Ploieşti

2010

Copyright © 2010, Editura Universităţii din Ploieşti Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate editurii

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României BOACĂ TUDOR Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială / Tudor Boacă. -Ploieşti : Editura Universităţii din Ploieşti, 2010 Bibliogr. Index ISBN

Control ştiinţific: lector dr. Ilie Ristea Redactor: Prof. dr. ing. Tehnoredactare computerizată: Tudor Boacă Director editură: Prof. dr. ing. Şerban Vasilescu

Adresa: Editura Universităţii din Ploieşti

Bd. Bucureşti 39, cod 2000 Ploieşti, România

Tel. 0244-57 31 71, Fax 0244-57 58 47

CUPRINS

Prefaţă…………………………...……………………………………….. 7

1. Spaţii liniare……………………………………………………………… 9

1.1. Spaţii liniare..……………………………………………………………. 9 1.2. Subspaţii liniare……………………………………………..….………... 12 1.3. Dependenţă şi independenţă liniară……………………………………... 18 1.4. Bază. Dimensiune ………………………………………………………. 21 1.5. Schimbarea bazei unui spaţiu liniar ……….……………………………. 26 1.6. Varietăţi liniare…………………………………………………………... 28 1.7. Spaţii liniare izomorfe…………………...………………………………. 29 1.8. Produs scalar. Normă. Distanţă…...……………………………………... 31 1.9. Ortogonalitate. Baze ortonormate……….………………………………. 36 1.10. Schimbarea bazei într-un spaţiu euclidian………………….…………. 42 1.11. Exerciţii……………………………...…………………………………. 44

2. Operatori liniari……………………..…………………………….………… 61

2.1. Operatori liniari………………………………………………………….. 61 2.2. Nucleu şi imagine……………………………………………….……….. 64 2.3. Operatori liniari pe spaţii finit dimensionale…...……………………….. 67 2.4. Norma unui operator liniar……………………………………………… 73 2.5. Dualul unui spaţiu liniar…………………………………………………. 80 2.6. Operatori liniari pe spaţii euclidiene.……………………………………. 84 2.7. Exerciţii……………………………...…………………………..………. 92

3. Vectori şi valori proprii……………….………………………………...…... 99

3.1. Vectori şi valori proprii…………………………………….….……….... 99 3.2. Polinomul caracteristic al unui endomorfism…………….…..…..….... 101 3.3. Forma diagonală a unui endomorfism……………………….….…….. 103 3.4. Forma canonică Jordan………..………………………...…….……..… 110 3.5. Spectrul endomorfismelor pe spaţii euclidiene………....…………...… 125 3.6. Exponenţiala unei matrice …………...…..……………...…….…….… 134 3.7. Exerciţii……………………………...……………..………….………. 141

4. Forme biliniare. Forme pătratice…….………………………….…...…... 153

4.1. Forme biliniare……….…………………………………….….….….... 153 4.2. Forme pătratice……………………………..……………...….…..….... 158 4.3. Signatura unei forme pătratice reale…………………………..……….. 166 4.4. Exerciţii ……………...………..………………………...…………..… 169

5. Elemente de geometrie analitică…….………………………….…...…... 175

5.1. Spaţiul euclidian 3E …………....................................…….….….….... 175 5.2. Produse cu vectori geometrici.............……..……………...….…..….... 177 5.3. Sisteme de coordonate.....................…………………………..……….. 181 5.4. Izometriile lui 3E ......................………………………...…………..… 186 5.5. Planul şi dreapta...................................................................................... 195 5.6. Conice...................................................................................................... 200 5.7. Cuadrice.................................................................................................. 215 5.8. Exerciţii................................................................................................... 223

6. Elemente de geometrie diferenţială a curbelor.…..............................…... 233

6.1. Drumuri şi curbe......….…………………………………….….….….... 233 6.2. Curbe Frenet....……………………………..……………...….…..….... 239 6.3. Curbe în 2E …………………………..…....................................…….. 259 6.4. Exerciţii ……………...………..………………………...…………..… 275

Anexă…………………………………...……………..………………...…. 281

A.1. Matrice. Determinanţi…………..…………………..……………...…. 281 A.2. Sisteme de ecuaţii liniare…………………………...…………………. 291

Bibliografie………………………...…...……………..………………...…. 295

Notaţii……………………….....……...………………...…………………. 297

Index…………………………...…………...…………...…………………. 299

PREFAŢĂ

Cursul de faţă are la bază prelegerile de algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială pe care le-am ţinut mai mulţi ani studenţilor secţiilor de automatică şi calculatoare din cadrul Universităţii Petrol-Gaze Ploieşti. Conţinutul său acoperă însă şi programele analitice ale secţiilor de inginerie mecanică şi electrică şi, parţial, programa analitică a secţiei de matematică. Primele patru capitole, care acoperă algebra liniară, au fost publicate de sine stătător în anul 2004, la aceeaşi editură. Nu am efectuat asupra lor decât mici modificări. Am dorit să prezint în acest curs, într-un mod unitar, elementele de bază ale algebrei liniare, geometriei analitice şi geometriei diferenţiale a curbelor, prezentare care este posibilă datorită legăturii strânse care există între aceste discipline matematice. Expunerea noţiunilor fundamentale ale geometriei euclidiene din capitolul cinci are la bază rezultate fundamentale ale algebrei liniare: prorietăţile spectrale ale operatorilor liniari simetrici şi structura şi proprietăţile transformărilor izometrice ale unui spaţiu euclidian. Cartea cuprinde şase capitole şi o anexă. Fiecare capitol, pe lângă noţiunile teoretice, conţine un număr de probleme rezolvate complet precum şi probleme propuse spre rezolvare. Scopul acestora este acela de a clarifica şi fixa rezultatele teoretice şi structura demonstraţiilor prin care acestea au fost obţinute.

Anexa conţine o recapitulare a principalelor noţiuni de algebră necesare, în prealabil, pentru înţelegerea materialului expus. Doar cu câteva excepţii, rezultatele sunt prezentate fără demonstraţie.

Bibliografia de la sfârşitul cursului cuprinde lucrările pe care le-am utilizat când am scris această carte. În cazul în care am folosit unele rezultate fără a da demonstraţia lor, am precizat sursa bibliografică şi pagina unde cititorul poate urmări demonstraţia acestora. Mulţumesc călduros domnului lector dr. Ilie Ristea pentru atenţia cu care a citit manuscrisul acestui curs. Observaţiile pertinente ale domniei sale au dus la evitarea unor erori, la simplificarea unor demonstraţii şi la o mai bună structurare a materialului prezentat. Ploieşti, martie 2010

1. SPAŢII LINIARE

1.1. SPAŢII LINIARE

Fie V o mulţime nevidă şi K un corp comutativ. În cele ce urmează, prin corpul K vom înţelege unul dintre corpurile R (corpul numerelor reale) sau C (corpul numerelor complexe). 1.1. Definiţie. Aplicaţia ( ) yxy,x,: +=→× ϕϕ VVV , se numeşte lege de compoziţie internă, iar aplicaţia VVK →×:ψ , ( ) xx ααψ =, se numeşte lege de compoziţie externă pe V faţă de corpul K. 1.2. Definiţie. Spunem că legea de compoziţie internă ( ) yxyx +=,ϕ şi legea de compoziţie externă ( ) xx ααψ =, determină pe V o structură de spaţiu liniar (vectorial) dacă: a1) ( ) ( ) V∈∀++=++ zyxzyxzyx ,,,)( ; a2) astfel încât ( ) VV ∈∃ 0 ( ) VVV ∈∀=+=+ xxxx ,00 ; a3) ( ) ( ) VV ∈−∃∈∀ xx astfel încât ( ) ( ) V0=+−=−+ xxxx ; a4) ( ) V∈∀+=+ yxxyyx ,, ; b1) ( ) ( ) ( ) ( ) KV ∈∀∈∀= βααββα ,,, xxx ; b2) ( ) ( ) ( ) VK ∈∀∈∀+=+ xxxx ,,, βαβαβα ; b3) ( ) ( ) ( ) VK ∈∀∈∀+=+ yxyxyx ,,, αααα ; b4) ( ) V∈∀= xxx ,1 , 1 fiind unitatea din corpul K. 1.3. Observaţie. i) Pentru RK = spaţiul liniar se numeşte real iar pentru CK = spaţiul liniar se numeşte spaţiu liniar complex sau unitar. ii) Elementele mulţimii V se numesc vectori; vom nota vectorii prin litere ale alfabetului latin (x, y, z, u, v,…). Elementele corpului K se numesc scalari; vom nota aceste elemente prin litere ale alfabetului grec ( ),...,, γβα sau prin litere ale alfabetului latin cu indici . ( )naaa ,...,, 21

iii) Legea de compoziţie internă o vom numi adunarea vectorilor,. iar legea de compoziţie externă o vom numi înmulţirea vectorilor cu scalari. iv) Elementul neutru faţă de adunarea vectorilor îl vom nota , iar elementul V0

1. SPAŢII LINIARE 10

neutru faţă de adunarea din K îl vom nota cu (atunci când nu există pericol de confuzie acest element îl vom nota cu 0).

K0

1.4. Propoziţie. Fie V un spaţiu liniar peste K. Atunci: i) ( ) VVK ∈∀= xx ,00 ; ii) ( ) KVV ∈∀=⋅ αα ,00 ; iii) ( ) ( ) V∈∀−=⋅− xxx ,1 ; iv) Dacă KK 0≠∈ αα , şi V∈x astfel încât V0=xα , atunci V0=x ; v) Fie V∈yx, şi ( ) KK 0≠∈∀ αα , . Dacă yx αα = , atunci yx = . Demonstraţie. i) ( ) VKKKKKK 0000000 =⋅⇒⋅+⋅=⋅+=⋅ xxxxx . ii) ( ) VVVVV 0000000 =⋅⇒⋅+⋅=+⋅=⋅ ααααα VV . iii) ( )( ) ( ) ( ) xxxxxx ⋅−+=⋅−+⋅=⋅−+=⋅= 1111100 KV ( ) xx −=⋅−⇒ 1 . iv) Deoarece K0≠α , α este inversabil, deci putem scrie:

( ) ( )xxxx ⋅⋅=⋅=⋅= − αααα 1-11 VV 00 =⋅= −1α . v) ( ) ( ) ( ) ( ) VV 00 =−⋅=−+⋅=⋅−+⋅=⋅−+⋅= yxyxyxxx ααααααα . Din K0≠α şi iv) rezultă V0=− yx , deci yx = . 1.5. Exemple. i) Spaţiul vectorial K peste K. În acest caz KV = , adunarea vectorilor este adunarea din K, iar înmulţirea vectorilor cu scalari este înmulţirea din K. ii) Complexificatul unui spaţiu liniar real. Fie V un spaţiu liniar real. Pe produsul cartezian definim operaţiile: VV × ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VV ×∈∀++=+ vuyxvyuxvuyx ,,,,,,, , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CVV ∈+=∀×∈∀+−= ibayxbxaybyaxyx αα ,,,,, . Cu aceste legi de compoziţie VV × devine un spaţiu liniar complex, spaţiu care se numeşte complexificatul lui V şi se notează . VC

iii) Spaţiul liniar aritmetic cu n dimensiuni. Fie şi . Atunci x este de forma:

RRRRV ×××== Ln

nx R∈ ( ) nixxxxx i ,1,,,,, n21 =∈= RL .

1.11. EXERCIŢII 11

Pe definim adunarea vectorilor şi înmulţirea cu scalari a acestora astfel: nR ( ) ( ) n

nn yxyxyxyxyx R∈∀+++=+ ,,,,, 2211 L ,

( ) ( ) ( ) nn xxxxx RR ∈∀∈∀=⋅ ,,,,, 21 ααααα L .

În raport cu aceste legi de compoziţie este un spaţiu liniar real, numit spaţiul aritmetic de dimensiune n.

nR

iv) Spaţiul liniar al matricelor de tip nm× . Fie ( )KMV nm ,= mulţimea matricelor cu m linii, n coloane şi elemente din corpul K. Pentru , ( )KM nmBA ,, ∈

( )njmiijA,1,1

=== α , ( )

njmiijB,1,1

=== β , definim adunarea matricelor prin

( )

njmiijijBA,1,1

==+=+ βα

şi înmulţirea cu scalari a matricelor prin ( ) K∈=

== ααα ,

,1,1

njmiijaA .

În raport cu aceste legi de compoziţie mulţimea ( )KM nm, este spaţiu liniar peste corpul K. v) Spaţiul liniar al funcţiilor continue. Fie [ ]ba,CV = mulţimea funcţiilor reale continue . În raport cu legile de compoziţie [ ] R→baf ,: ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]bagfxgxfxgf ,,, C∈∀+=+ , ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) RC ∈∀∈∀= ααα ,,, bafxfxf , mulţimea este un spaţiu liniar real. [ ba,C ]vi) Spaţiul liniar al polinoamelor de grad cei mult n. Fie mulţimea polinoamelor de o variabilă reală, de grad cel mult n. În raport cu legile de compoziţie din exemplul v),

( )RPn

( )RPn este un spaţiu liniar real. vii) Spaţiul liniar al şirurilor de numere reale (complexe). Fie , sau

, unde: ( )RlV =

( )ClV = ( ) ( ){ }NRRl N ∈∈= ∈ nxx nnn , , ( ) ( ){ }NCCl N ∈∈= ∈ nxx nnn , .


Dacă sunt două şiruri de numere reale (sau complexe), ( ) ( ) NN ∈∈ == nnnn yyxx , atunci definim adunarea şirurilor prin ( ) N∈+=+ nnn yxyx şi înmulţirea şirurilor cu scalari prin ( ) ( CRN sau, ∈= ∈ )ααα nnxx . În raport cu aceste legi de compoziţie, ( )Rl (respectiv ( )Cl ) formează un spaţiu liniar real (respectiv complex).

1.2. SUBSPAŢII LINIARE

Fie V un spaţiu liniar peste corpul K . 2.1. Definiţie. Mulţimea nevidă V⊂M se numeşte subspaţiu liniar al lui V dacă: i) ; ( ) MyxMyx ∈∀∈+ ,,ii) ( ) ( ) MxMx ∈∀∈∀∈ ,, Kαα . 2.2. Observaţie. i) Dacă M este subspaţiu liniar al lui V atunci . M∈V0ii) Dacă M este subspaţiu liniar al lui V atunci MxMx ∈−⇒∈ . iii) V⊂M este subspaţiu liniar al lui V dacă şi numai dacă Myx ∈+ βα ,

, ( ) Myx ∈∀ , ( ) K∈∀ βα , . iv) Orice subspaţiu liniar al lui V este la rândul său un spaţiu liniar în raport cu operaţiile induse de V pe M. v) este un subspaţiu liniar al lui V, numit subspaţiul nul al lui V. { }V0=M Subspaţiile liniare ale lui V diferite de V şi de subspaţiul nul se numesc subspaţii proprii ale lui V. 2.3. Exemple. i) Fie ( ){ }niixxxx in

n ,,,,, 21 =∈== RRV L spaţiul aritmetic

real de dimensiune n şi ( ){ nxxM RR ⊂∈= 11 0,,0, L } . Se constată cu uşurinţă că M este un subspaţiu liniar al lui . nR

1.11. EXERCIŢII 13

ii) Spaţiul liniar al polinoamelor de grad cel mult n este un subspaţiu liniar al spaţiului liniar al funcţiilor reale continue de o variabilă reală

nP( )RC .

iii) Fie sistemul liniar omogen de m ecuaţii cu n necunoscute

njmiamixan

jijjij ,1,,1,,,1,0

1==∈==∑

=

R .

Mulţimea soluţiilor acestui sistem este un subspaţiu liniar în , adică suma a două soluţii ale sistemului, precum şi produsul dintre o soluţie a sistemului şi un scalar (număr real) sunt soluţii ale sistemului.

nR

Demonstraţia acestei afirmaţii se face cu uşurinţă dacă scriem sistemul de mai sus sub forma matriceală. Pentru aceasta fie ( )

njmiijaA,1,,1 ==

= matricea

coeficienţilor sistemului şi ( ) tnxxxX L21= vectorul coloană al necunoscutelor;

cu aceste notaţii sistemul liniar de mai sus capătă forma matriceală: . mXA

R0=⋅

Dacă şi ( ) t

nxxxX 112

111 L= ( ) t

nxxxX 222

212 L= sunt două soluţii ale

sistemului, atunci:

( ) mAXAXXXAR

0=+=+ 2121 ,

( ) ( ) mAXXAR

0== 11 αα . De aici rezultă că mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen de m ecuaţii cu n necunoscute este un subspaţiu liniar în . nRiv) Fie sistemul neomogen de ecuaţii liniare:

∑=

==n

jijij mibxa

1,1, ,

unde , R∈iij ba , njmi ,1,,1 == . Mulţimea soluţiilor acestui sistem, în ipoteza că acesta este compatibil, nu formează un subspaţiu liniar în . nR Pentru a demonstra acest fapt, să notăm cu ( ) n

tnbbbB

R0≠= L21

vectorul coloană al termenilor liberi ai sistemului şi să folosim notaţiile din exemplul iii); sistemul de mai sus capătă astfel forma matriceală: BXA =⋅ .


Dacă şi ( ) t

nxxxX 112

111 L= ( ) t

nxxxX 222

212 L= sunt două soluţii ale sistemului,

atunci: ( ) BBBBAXAXXXA ≠=+=+=+ 22121 , deci suma a două soluţii ale sistemului nu este soluţie a sistemului. v) Matricea pătratică ( ) ( )Rnnjiij MaA ∈=

= ,1, se numeşte simetrică dacă

njiaa jiij ,1,; == şi antisimetrică dacă njiaa jiij ,1,; =−= . Mulţimea matri-celor simetrice, notată , şi mulţimea matricelor antisimetrice, notată

, sunt subspaţii liniare în ( )Rs

nM( )Ra

nM ( )RnM . Pentru a demonstra această afirmaţie este suficient să constatăm că suma a două matrice simetrice (antisimetrice) şi înmulţirea unei matrice simetrice (antisimetrice) cu un număr real sunt matrice simetrice (antisimetrice). 2.4. Definiţie. Dacă şi sunt subspaţii ale spaţiului liniar V peste K, atunci mulţimea

1M 2M

{ }2121 , MyMxyxMM ∈∈+=+ se numeşte suma subspaţiilor liniare şi . 1M 2M 2.5. Propoziţie. Fie şi subspaţii liniare ale spaţiului liniar V peste K. Atunci:

1M 2M

i) este un subspaţiu liniar al lui V; 21 MM +ii) este un subspaţiu liniar al lui V. 21 MM ∩iii) Dacă , sunt subspaţii liniare ale lui V atunci este un

subspaţiu liniar al luiV.

IiM i ∈, IIi

iM∈

Demonstraţie. i) Dacă 2121 , MMzz +∈ , atunci există şi

astfel încât 121 , Mxx ∈

221 , Myy ∈ 111 yxz += , 222 yxz += . Deoarece şi sunt subspaţii liniare rezultă că:

1M 2M

121 Mxx ∈+ , 221 Myy ∈+ , 11 Mx ∈α , 21 My ∈α , ( ) K∈∀ α . Avem: ( ) ( ) 21212121 MMyyxxzz +∈+++=+ , 21211 MMxxz +∈+= ααα ,

1.11. EXERCIŢII 15

şi deci este un subspaţiu liniar al lui V. 21 MM +ii) Fie 2121 ,,,, MyxMyxMMyx ∈∈⇒∩∈ şi cum sunt subspaţii liniare rezultă

21 , MM

1Myx ∈+ βα , 2Myx ∈+ βα pentru orice K∈βα , , deci

21 MMyx ∩∈+ βα . Afirmaţia iii) rezultă imediat din i). 2. . Exemplu. Fie 5′ ( ){ }R∈= 111 0,0, xxM , ( ){ }R∈= 222 0,,0 xxM două subspaţii liniare în . Suma acestor subspaţii liniare este: 3R ( ){ }R∈=+ 212121 ,0,, xxxxMM . Faptul că această mulţime este un subspaţiu liniar în se verifică cu uşurinţă. 3R 2.6. Observaţie. i) Intersecţia unui număr oarecare de subspaţii liniare ale lui V este un subspaţiu liniar al lui V, fapt ce rezultă cu uşurinţă din propoziţia 2.5. ii) Dacă este o mulţime nevidă, atunci există cel puţin un subspaţiu liniar al lui V care conţine A. Într-adevăr, acest subspaţiu poate fi luat chiar spaţiul liniar în sine.

V⊂A

2.7. Definiţie. Dacă A este o mulţime nevidă din spaţiul liniar V, atunci intersecţia tuturor subspaţiilor liniare ale lui V ce conţin mulţimea A se numeşte subspaţiul liniar generat de A. 2.8. Definiţie. Dacă A este o mulţime nevidă din spaţiul liniar V, mulţimea: ( ) { }niAxnxxxAL iinn ,1,,,2211 =∈∈∈+++= ∗ KN αααα L se numeşte acoperirea liniară a mulţimii A. Expresia se numeşte combinaţie liniară a vectorilor , .

∗∈+++ Nnxxx nn ,2211 ααα L

1x nxx ,,2 L

2.9. Observaţie. Acoperirea liniară a unei mulţimi este subspaţiul liniar al lui V alcătuit din toate combinaţiile liniare finite care se pot forma cu vectorii mulţimii respective. Într-adevăr, dacă ( )ALyx ∈, şi K∈βα , atunci yx βα + este o combinaţie liniară finită cu vectori din ( )AL deci aparţine lui . Dacă

şi ( )AL

( )ALx∈ K∈α atunci, în mod evident, ( )ALx∈α . Rezultă de aici că ( )AL este un subspaţiu liniar al lui V. În plus, fiecare vector Ax∈ este o combinaţie liniară cu vectori din A , deci ( )ALA⊂ .


2.10. Propoziţie. coincide cu subspaţiul liniar generat de mulţimea A. ( )AL Demonstraţie. Fie , subspaţiul liniar generat de mulţimea A. Aceasta

înseamnă că pentru fiecare i din mulţimea de indici I, subspaţiul liniar conţine mulţimea A. este un subspaţiu liniar ce conţine mulţimea A, deci

. Deoarece

IIi

iMM∈

=

iM( )AL

( )ALM ⊆ ( ) IiMA i ∈∀⊂ , , rezultă că orice combinaţie liniară cu vectori din A aparţine lui ( ) IiM i ∈∀, , deci şi lui M. De aici rezultă că

, fapt ce încheie demonstraţia. ( ) MAL ⊆ 2. . Exemplu. Fie 01 ′ ( ) ( ){ } 3

21 0,1,0,0,0,1 R⊂=== eeA . Să arătăm că aco-perirea liniară a acestei mulţimi coincide cu următorul subspaţiul liniar din : 3R ( ){ }R∈= 2121 ,0,, xxxxM . Orice combinaţie liniară cu vectori din A este de forma ( )0,, 212211 αααα =+ ee şi aparţine evident lui M, de unde deducem că ( ) MAL ⊆ . Cum incluziunea inversă rezultă din egalitatea: ( ) ( ) ( ) 22112121 0,1,00,0,10,, exexxxxx +=+= , obţinem în final ( ) MAL = . 2.11. Definiţie. Suma subspaţiilor liniare şi ale spaţiului liniar V se numeşte directă şi notăm

1M 2M

2121 MMMM ⊕=+ dacă orice vector x din se scrie în mod unic sub forma 21 MM + 221121 ,, MxMxxxx ∈∈+= . 2. . Exemplu. Suma directă a subspaţiilor liniare din : 11 ′ 3R ( ){ }R∈= 111 0,0, xxM , ( ){ }R∈= 222 0,,0 xxM , este subspaţiul liniar din 3R ( ){ }R∈= 2121 ,0,, xxxxM . 2.12. Propoziţie. Dacă şi sunt subspaţii liniare ale spaţiului liniar V, 1M 2M

1.11. EXERCIŢII 17

atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) ; { }V0=∩ 21 MM ii) 2121 MMMM ⊕=+ . Demonstraţie. i) ii). Fie ⇒ 2121 xxxxx ′+′=+= , 111 , Mxx ∈′ , . 222 , Mxx ∈′Atunci şi 2211 xxxx ′−=′− 111 Mxx ∈′− , 222 Mxx ∈′− , fapt ce implică: =′− 11 xx

{ V0=∩∈′−= 2122 MMxx }. De aici rezultă că 11 xx ′= , , deci suma este directă.

22 xx ′=

21 MM +ii) i). Fie ⇒ 2121 MMMM ⊕=+ . Dacă 21 MMx +∈ atunci el se scrie în mod unic sub forma: 221121 , MxMxxxx ∈∈+= . Pentru , vectorul x capătă şi descompunerea 21 MMu ∩∈ ( ) ( )uxuxx −++= 21 ,

, . Din unicitatea descompunerii lui x ca sumă dintre un vector din şi un vector din rezultă

11 Mux ∈+ 22 Mux ∈−

1M 2M uxx += 11 , uxx −= 22 , deci şi .

V0=u{ }V0=∩ 21 MM

2.13. Observaţie. Dacă niM i ,1, = sunt subspaţii liniare ale spaţiului liniar V atunci suma acestora este un subspaţiu liniar al lui V: { }niMxxxxMMM iinn ,1,2121 =∈+++=+++ LL .

Dacă atunci suma subspaţiilor liniare { V0==I

n

iiM

1

} niM i ,1, = este directă şi

notăm nn MMMMMM ⊕⊕⊕=+++ LL 2121 . 2.14. Definiţie. Dacă şi sunt subspaţii al spaţiului liniar V astfel încât

atunci şi se numesc subspaţii complementare. 1M 2M

21 MMV ⊕= 1M 2M 2.15. Exemple. i) Fie în ( ){ }3,1,,, 321

3 =∈== ixxxx i RRV subspaţiile liniare:

( ){ }R∈= 21211 ,0,, xxxxM , ( ){ }R∈′′′′= 32321 ,,,0 xxxxM . Se constată cu uşurinţă că , dar suma nu este directă, deoarece 21

3 MM +=R


vectorul se poate descompune sub forma ( ) 21321 ,, MMxxxx +∈= ,xxx ′′+′=

, în două moduri distincte şi anume: 21 , MxMx ∈′′∈′ ( ) ( ) =+= 321 ,0,00,, xxxx ( ) ( 321 ,,00,0 xxx += ) .

ii) Mulţimile ( ){ }R∈= 21211 ,0,, xxxxM , ( ){ }R∈= 331 ,0,0 xxM , sunt subspaţii complementare în . Într-adevăr, şi orice vector

se scrie în mod unic sub forma

3R 213 MM +=R

3R∈x ( ) ( ) ( )321321 ,0,00,,,, xxxxxxx +== , , ( ) . ( ) 121 0,, Mxx ∈ 23,0,0 Mx ∈

iii) Mulţimile ( ){ }R∈= iii xxM 0,,,,0,0 LL , ni ,1= sunt subspaţii liniare în şi . nR n

n MMM ⊕⊕⊕= L21RDacă , ( ){ }0,,0,11 L=A ( ){ }0,,0,1,02 L=A , ( ){ }1,,0,0, LL =nA , atunci ( ) niMAL ii ,1, == şi ( ) ( ) ( )n

n ALALAL ⊕⊕⊕= L21R . iv) Subspaţiile liniare ale lui din exemplul 2.3 v), nR ( )Rs

nM şi sunt subspaţii complementare. Într-adevăr, fie

( )RanM

( ) ( )Rnnjiij MaA ∈== ,1,

şi:

( ) ( )Rsn

njijiij

s MaaA ∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

= ,1,21 ,

( ) ( )Ran

njijiij

a MaaA ∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

= ,1,21 .

Atunci as AAA += , fapt ce implică ( ) ( ) ( )RRR a

nsnn MMM += ; deoarece avem şi

( ) ( ) ( ){ }RRRnM

an

sn MM 0=∩ , rezultă ( ) ( ) ( )RRR a

nsnn MMM ⊕= .

1.3. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINIARĂ

Fie V un spaţiu liniar peste K , , S nevidă. V⊂S 3.1. Definiţie. Mulţimea S se zice liniar independentă dacă pentru orice şi orice ,

∗∈NnSxi ∈ ni ,1= condiţia:

1.11. EXERCIŢII 19

V0=+++ nn xxx ααα L2211 implică 021 ==== nααα L . O mulţime care nu este liniar independentă se numeşte liniar dependentă. 3.2. Observaţie. i) Mulţimea nevidă este liniar independentă dacă orice combinaţie liniară nulă cu vectori din S are loc numai cu toţi scalarii nuli.

V⊂S

ii) Dacă din combinaţia liniară nulă a vectorilor V∈ix , ni ,1= rezultă că toţi scalarii sunt nuli, atunci spunem că vectorii V∈ix , ni ,1= sunt liniar independenţi. iii) Dacă atunci S este liniar dependentă. S∈V0 3.3. Exemple. i) În mulţimea nR ( ) ( ) ( ){ }1,,0,0,,0,,0,1,0,0,,0,1 21 LLLL ==== neeeS este liniar independentă. ii) Fie şi vectorii , , ( )RCV = tx 2

1 cos= tx 22 sin= 13 =x . Aceşti vectori sunt

liniar dependenţi deoarece combinaţia liniară nulă , , are loc dacă luăm

01sincos 32

22

1 =⋅++ ααα tt( ) R∈∀ t 1,1 321 −=== ααα . iii) Vectorii , R∈=== txxx tctbta ,e,e,e 321 acbacba ≠≠≠∈ ,,, R , sunt liniar independenţi în . Într-adevăr, să considerăm combinaţia liniară nulă ( )RC

0332211 =++ xxx ααα . Aceasta implică: , . Dacă luăm pe rând în relaţia de mai sus

0eee 321 =++ tctbta ααα ( ) R∈∀ t1,0 == tt şi 2=t atunci obţinem

sistemul liniar omogen în necunoscutele 321 ,, ααα :

.0eee

0eee0

23

22

21

321

321

=++

=++

=++

cba

cba

ααα

ααα

ααα

Determinantul acestui sistemului este de tip Vandermonde şi este diferit de zero deoarece . Aceasta înseamnă că sistemul de mai sus are numai soluţia banală deci vectorii consideraţi sunt liniar independenţi.

acba ≠≠≠

iv) Vectorii , , , , 10 =x tx =12

2 tx = nn tx =,L R∈t , sunt liniar independenţi în

spaţiul liniar , sau în spaţiul liniar ( )RC ( )RPn . v) Fie vectorii ( ) mjxxxx n

njjjj ,1,,,, 21 =∈= RL . Atunci combinaţia liniară nulă


nnn xxx

R0=+++ ααα L2211 ne conduce la sistemul liniar omogen în necu-

noscutele mii ,1, =α :

nixm

jijj ,1,0

1==∑

=

α .

Fie ( )

mjniijxA,1,,1 ==

= matrice acestui sistem. Sistemul de mai sus are numai soluţia banală (deci vectorii mjx j ,1, = sunt liniar independenţi) dacă şi numai dacă

matricea A, care are pe coloane coordonatele vectorilor mjx j ,1, = , are rangul egal cu m. 3.4. Propoziţie. Fie V un spaţiu liniar peste K . Atunci: i) { }V0≠= xxS este liniar independentă. ii) Orice submulţime a unei mulţimi liniar independentă este liniar independentă. iii) Dacă o mulţime conţine o submulţime liniar dependentă, atunci S este liniar dependentă.

V⊂S

iv) Dacă este liniar dependentă, atunci cel puţin un vector din S poate fi scris ca o combinaţie liniară a celorlalţi vectori ai mulţimii S.

{ V⊂= nxxxS ,,, 21 L }

Demonstraţie. i) Dacă , din combinaţia liniară nulă V0≠x V0=xα , rezultă

0=α . Afirmaţiile ii) şi iii) sunt consecinţe imediate ale definiţiei liniar independenţei unei mulţimi. iv) Fie liniar dependentă. Atunci combinaţia liniară nulă

{ V⊂= nxxxS ,,, 21 L }V0=+++ nn xxx ααα L2211 are loc cu cel puţin un scalar nenul; fie acesta

1α . Atunci , ceea ce încheie demonstraţia. nn xxxx αααααα 1133

1122

111

−−− −−−−= L

3.5. Propoziţie. Fie vectorii liniar independenţi în spaţiul liniar V. Atunci orice vectori din

nxxx ,,, 21 L

1+n ( )nxxxL ,,, 21 L sunt liniar dependenţi.

Demonstraţie. Fie ∈+121 ,,, nyyy L ( )nxxxL ,,, 21 L . Atunci: , ∑=

=n

jjiji xy

1α

1,1 += ni . Combinaţia liniară nulă implică : , V0=∑+

=

1

1

n

iii yβ ∑ ∑

=

+

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛n

jj

n

iiij x

1

1

1V0βα

iar din liniar independenţa vectorilor se obţine sistemul liniar omogen în necunoscutele

nxxx ,,, 21 L

121 ,,, +nβββ L :

1.11. EXERCIŢII 21

njn

iiij ,1,0

1

1==∑

+

=

βα .

Acest sistem liniar şi omogen are şi soluţii nebanale deoarece are mai multe necunoscute decât ecuaţii. De aici rezultă că vectorii sunt liniar dependenţi.

121 ,,, +nyyy L

1.4. BAZĂ. DIMENSIUNE

Fie V un spaţiu liniar peste corpul K. 4.1. Definiţie. Spunem că este un sistem de generatori dacă . Spunem că spaţiul liniar V este finit generat dacă are un sistem de generatori finit ( ) şi infinit generat în caz contrar.

V⊂S ( ) V=SL

( ) ∞<Scard 4.2. Exemple. i) În mulţimea nR

( ) ( ) ( ) }{ 1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,1 21 LLLL ==== neeeS , este un sistem de generatori deci este finit generat. nRMulţimea ( ) ( ) ( ) }{ 0,1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,1 121 LLLL ====′ −neeeS nu este un sistem de generatori în deoarece vectorul nR ( ) nR∈1,,0,0 L nu poate fi scris ca o combinaţie liniară a vectorilor mulţimii S ′ . ii) Fie ( )RV nmM ,= , { } ( )Rnmji MnjmiIS ,, ,1,,1; ⊂=== , unde este matricea din care are toate elementele egale cu zero, mai puţin elementul de pe linia i şi coloana j, care este egal cu unu. Dacă

jiI ,

( )RnmM ,

( )njmiijaA

,1,,1 ===

atunci , deci ∑∑= =

=m

i

n

jjiij IaA

1 1, ( ) ( )SLM nm =R, şi ( )RnmM , este finit generat.

iii) În mulţimea ( )RPn { R∈= ttttS n,,,,1 2 L } este un sistem de generatori şi deci este finit generat. Mulţimea ( )RPn { }R∈=′ − ttttS n 12 ,,,,1 L nu este un sistem de generatori în . ( )RPn

iv) Fie mulţimea tuturor polinoamelor de o variabilă reală şi ( )RPV ={ } ( )RPNR ⊂∈∈= nttS n , . Mulţimea S este infinită şi liniar independentă,

deoarece combinaţia liniară nulă , 01 10 =+++⋅ nntt ααα L ( ) ( ) NR ∈∀∈∀ nt , ,

implică 010 ==== nααα L . Rezultă de aici că spaţiul liniar al tuturor


polinoamelor de o variabilă reală este infinit generat. v) În spaţiul liniar , vectorii ( )Rl ( ) NN ∈= ∈ inini ,ξξ cu proprietatea 0=inξ pentru şi in ≠ 1=iiξ formează un sistem de generatori, deci este infinit generat.

( )Rl

4.3. Definiţie. Se numeşte bază în spaţiul liniar V peste corpul K un sistem de generatori liniar independent. 4.4. Observaţie. Se poate arăta că orice spaţiu liniar diferit de spaţiul nul admite o bază ( pentru demonstraţia acestui rezultat vezi, de exemplu, [12], pag.124). 4.5. Propoziţie. Fie V un spaţiu liniar finit generat. Atunci toate bazele lui V au acelaşi număr de elemente. Demonstraţie. Fie şi B B′ două baze în V, ( ) nB =card , ( ) nB ′=′card . Deoarece B este bază, această mulţime este liniar independentă şi . Dacă , atunci cu propoziţia 3.5 ar rezulta că

( ) V=BLnn >′ B′ ar fi liniar dependentă, deci

nu ar fi bază în V. Rezultă că nn ≤′ . Dacă schimbăm acum B cu B′ obţinem , deci nn ′≤ nn ′= .

4.6. Definiţie. i) Dacă V este un spaţiu liniar finit generat şi B este o bază în V, numărul se numeşte dimensiunea lui V. Dacă V este spaţiul nul, atunci .

( ) ( )Bn carddim == V( ) 0dim =V

ii) Un spaţiu liniar de dimensiune n se numeşte n-dimensional. Un astfel de spaţiu îl vom nota . nV 4.7. Exemple. i) Mulţimea

( ) ( ) ( ){ }1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,1 21 LLLL ==== neeeB este o bază în , numită baza canonică şi nR ( ) nn =Rdim . ii) are dimensiunea . O bază în acest spaţiu este: ( )RPn 1+n { }R∈= ttttB n,,,,1 2 L . iii) Spaţiul are dimensiunea ( )RnmM , nm ⋅ . O bază în acest spaţiu este dată de mulţimea:

1.11. EXERCIŢII 23

{ }njmiIB ji ,1,,1;, === , unde matricea este cea din exemplul 4.2. jiI ,

iv) Dacă V este un spaţiu liniar complex, atunci spaţiul care coincide cu V ca grup aditiv şi cu înmulţirea cu numere reale definită exact ca în V, se numeşte trecerea în real a spaţiului V. În particular, dacă trecem în real spaţiul liniar complex obţinem spaţiul liniar real de dimensiune . O bază a acestui spaţiu este: { }, obţinută prin trecerea în real a bazei { } .

VR

nCV = nn 2RCR = n2nn eieieieee ,,,,,,, 2121 LL

nneee C⊂,,, 21 L

4.8. Teoremă. Mulţimea formează o bază în spaţiul liniar V peste corpul K dacă şi numai dacă orice vector

}{ neeeB ,,, 21 L=V∈x se scrie în mod unic sub

forma: , nnexexexx +++= L2211 nixi ,1, =∈K . Demonstraţie. Dacă este bază în V atunci , deci orice vector

}{ neeeB ,,, 21 L= ( )BL=VV∈x se scrie sub forma nnexexexx +++= L2211 , nixi ,1, =∈K .

Dacă mai există încă o descompunere a lui x de forma nnexexexx ′++′+′= L2211 , nixi ,1, =∈′ K , atunci: ( ) ( ) ( ) V0=′−++′−+′− nnn exxexxexx L222111 şi cum

vectorii sunt liniar independenţi rezultă neee ,,, 21 L nixx ii ,1, ==′ , deci descompunerea lui x după vectorii bazei B este unică. Reciproc, dacă orice vector din V se scrie în mod unic sub forma din enunţ atunci şi vectorul nul are această proprietate, deci combinaţia liniară nulă

V0=+++ nneee ααα L2211 implică 021 ==== nααα L deci B este bază în V. 4.9. Definiţie. Dacă este bază în V şi }{ neeeB ,,, 21 L= V∈x se scrie sub forma

, atunci scalarii nnexexexx +++= L2211 nixi ,1, =∈K se numesc coordonatele vectorului x în baza B. În acest caz vom scrie ( ) V∈= nxxxx ,,, 21 L .

4.10. Lema schimbului. Dacă }{ neeeB ,,, 21 L= este bază în V şi { p21 L }fff ,,, np ≤

} este un sistem liniar independent în V atunci şi (după o

eventuală renumerotare) { nppp 2121 LL ++ eeefffB ,,,,,,,=′ este bază în V. Demonstraţie. Pentru rezultă 1=p np ≤ şi V0≠1f . În aceste condiţii avem


nneaeaeaf +++= L22111 , cu cel puţin un scalar 0≠ka , nk ,1= . Fie acesta . Combinaţia liniară nulă

1a

V0=+++ nneef ααα L221 ne conduce la condiţia: ( ) ( ) V0=+++++ nnn eaeaea ααααα L22211 . Deoarece vectorii

sunt liniar independenţi rezultă: neee ,,, 21 L

01 =aα , niaii ,2,0 ==+αα şi deoarece obţinem 01 ≠a nii ,2,0,0 === αα . De aici rezultă că sistemul de vectori

este bază în V. { neef ,,, 21 L } Presupunem proprietatea adevărată pentru 1−p , adică şi mulţimea

np ≤−1{ }npp eeff ,,,,, 11 LL − este bază în V. Dacă np =−1 atunci mulţimea

{ }121 ,,, −pfff L ar fi bază în V, fapt ce ar contrazice liniar independenţa vectorilor . Deci pfff ,,, 21 L npnp ≤⇒<−1 şi din ipoteza de inducţie avem:

nnppppp eefff αααα +++++= −− LL 1111 , cu cel puţin un scalar npjj ,, =α nenul. Fie acesta pα . În continuare, demonstraţia liniar independenţei sistemului de vectori { }npp eeff ,,,,, 11 LL + se face la fel ca în cazul 1=p . 4.11. Corolar. Dacă atunci: n=Vdim i) orice sistem de m vectori cu este liniar dependent; nm >ii) un sistem de n vectori este bază în V dacă şi numai dacă este liniar independent; iii) un sistem de n vectori este bază în V dacă şi numai dacă este un sistem de generatori al lui V; iv) dacă M este un subspaţiu propriu al lui V atunci Vdimdim <M . Demonstraţie: Afirmaţiile i)-iv) sunt consecinţe imediate ale lemei schimbului. 4.12. Teoremă (Grassmann). Fie subspaţii liniare ale spaţiului liniar de dimensiune finită V. Atunci:

21 , MM

( ) ( )212121 dimdimdimdim MMMMMM ∩−+=+ . Demonstraţie. Să considerăm ( ) rMM =∩ 21dim , qMpM == 21 dim,dim şi

{ }reeeB ,,, 21 L= bază în 21 MM ∩ . Cu lema schimbului completăm această bază până la o bază { }prr eeeeeB ′′= + ,,,,,, 1211 LL în şi până la o bază 1M

{ }qrr eeeeeB ′′′′= + ,,,,,, 1212 LL în . Să arătăm că mulţimea 2M

{ }qrprr eeeeeeeS ′′′′′′= ++ ,,,,,,,,, 1121 LLL

1.11. EXERCIŢII 25

este bază în . Avem evident incluziunea 21 MM + ( ) 21 MMSL +⊆ . Dacă

atunci x este de forma: 21 MMx +∈ 21 xxx += , cu 11 Mx ∈ , . Astfel putem scrie:

22 Mx ∈

pprrrr eeeex ′++′+++= ++ ξξξξ LL 11111 ,

qqrrrr eeeex ′′++′′+++= ++ ηηηη LL 11112 ,

deci ( )SLMM ⊆+ 21 . De aici şi din incluziunea inversă stabilită mai sus rezultă

( )SLMM =+ 21 . Mai avem de arătat că S este liniar independentă. Fie combinaţia liniară

V0=′′′′++′′′′+′′++′′+++ ++++ qqrrpprrrr eeeeee αααααα LLL 111111 . Vectorul

=x ( )qqrrpprrrr eeeeee ′′′′++′′′′−=′′++′′+++ ++++ αααααα LLL 111111 aparţine subspaţiului deci este o combinaţie liniară a vectorilor din . De aici rezultă

21 MM ∩ B01 =′′==′′+ qr αα L , 01 =′==′+ pr αα L , iar din combinaţia liniară

V0=++ rree αα L11 şi din liniar independenţa mulţimii { }reeeB ,,, 21 L= rezultă 01 === rαα L . Mulţimea S este deci liniar independentă; ea fiind şi un sistem de generatori al subspaţiului 21 MM + , este bază în acest subspaţiu. Acum, pentru a încheia demonstraţia, este suficient să remarcăm că S conţine

rqp −+ vectori. 4.13. Propoziţie. Dacă V este spaţiu liniar de dimensiune finită, atunci orice subspaţiu liniar al său are cel puţin un complement. Demonstraţie. Fie M un subspaţiu liniar al lui V şi { }reeeB ,,, 21 L= o bază în M, bază pe care o completăm până la o bază { }nrr eeeeeB ,,,,,, 1211 LL += în V. Atunci subspaţiul liniar ( )nr eeLM ,,11 L+= este un complement al lui M, deoarece . 1MM ⊕=V 4.14. Observaţie. Complementul unui subspaţiu liniar nu este în general unic. De exemplu, în subspaţiile 3R ( ){ }R∈= ααα ,,01M şi ( ){ }R∈= ββ,0,02M sunt complemente distincte ale subspaţiului liniar ( ){ }R∈= 2121 ,0,, xxxxM .


1.5. SCHIMBAREA BAZEI ÎNTR-UN SPAŢIU LINIAR

Fie un spaţiu liniar peste K şi nV { }neeeB ,,, 21 L= , { }nfffB ,,, 211 L= baze în . Deoarece elementele bazei sunt vectori din , ele pot fi exprimate în

mod unic prin combinaţii liniare ale vectorilor bazei nV 1B nV

B : nnecececf 12121111 +++= L

nnecececf 22221212 +++= L

……………………………. niniii ecececf +++= L2211

……………………………. . nnnnnn ecececf +++= L2211

5.1. Definiţie. Matricea ( )KnMC∈ , ( )

njiijcC,1, =

= , se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza . 1B 5.2. Propoziţie. Matricea ( )KnMC∈ este matrice de trecere dacă şi numai dacă este nesingulară. Demonstraţie. Fie ( )

njiijcC,1, =

= ( )KnM∈ , { }neeeB ,,, 21 L= bază în şi nV

niecfn

jjiji ,1,

1== ∑

=

. Combinaţia liniară nulă implică: nV0=∑

=

n

iii f

1α

. nj

n

j

n

iiij ec V0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑

= =1 1α

De aici şi din liniar independenţa vectorilor obţinem sistemul liniar şi omogen în necunoscutele

neee ,,, 21 L

nii ,1, =α :

njcn

iiij ,1,0

1==∑

=

α .

Acest sistem are doar soluţia banală dacă şi numai dacă 0det ≠C .

1.11. EXERCIŢII 27

5.3 Propoziţie. Dacă , { }neeeB ,,, 21 L= { }nfffB ,,, 211 L= sunt baze în , nV

( ) ( )Knnjiij McC ∈== ,1,

este matricea de trecere de la B la iar ( ) , reprezintă acelaşi vector în baza B respectiv baza , atunci:

1B nxxx ,,, 21 L

( nyyy ,,, 21 L ) 1B

njycxn

iiijj ,1,

1== ∑

=

.

Demonstraţie. Fie . Atunci: ∑∑==

==n

iii

n

jjj fyexx

11

. ∑ ∑∑ ∑∑= == ==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

n

jj

n

iiij

n

i

n

jjiji

n

iii eycecyfyx

1 11 11

Deoarece scrierea unui vector într-o bază este unică rezultă:

njycxn

iiijj ,1,

1== ∑

=

şi demonstraţia este încheiată. 5.4. Observaţie. Dacă notăm ( ) t

nB xxxX L21= , ( ) tnB yyyX L211

= atunci transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei poate fi scrisă sub forma matriceală: ,

1Bt

B XCX =

sau

( ) Bt

B XCX 1

1

−= .

Din această formulă deducem că în timp ce vectorii bazei noi se scriu în funcţie de vectorii bazei vechi cu ajutorul elementelor matricei C, coordonatele unui vector în baza nouă se scriu în funcţie de coordonatele aceluiaşi vector în baza veche cu ajutorul elementelor matricei ( ) 1−tC . Din acest motiv elementele unui spaţiu liniar finit dimensional se mai numesc vectori contravarianţi.


1.6. VARIETĂŢI LINIARE

Fie V un spaţiu liniar peste corpul K. 6.1. Definiţie. Dacă V∈yx, , se numeşte dreaptă determinată de x şi y mulţimea ( ) ( ){ }KV ∈−+=∈= λλλ ,1, yxzzyxD . 6.2. Definiţie. Se numeşte varietate liniară sau mulţime plană în spaţiul liniar V orice submulţime cu proprietatea : V⊂E ( ) EyxDyxEyx ⊂⇒≠∈ ,,, . 6.3. Observaţie. Dacă M este un subspaţiu liniar în V şi V∈0x , notăm { }MxxxxM ∈+=+ 00 . 6.4. Propoziţie. Mulţimea este varietate liniară dacă şi numai dacă există un subspaţiu liniar

V⊂EV⊂M şi V∈0x astfel încât: 0xME += .

Demonstraţie. Fie E varietate liniară în V, Ex ∈0 şi mulţimea

{ }ExxxxEM ∈−=−= 00 . Dacă atunci există Myy ∈21, Exx ∈21 , astfel încât 011 xxy −= , . Avem:

022 xxy −=

=−+=+ 02121 2xxxyy 0021 21

212 xxxx −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + .

Deoarece E este varietate liniară rezultă Exx ∈+ 21 21

21 ; în plus din

( ) Exxx ∈−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 021 1

21

21 λλ , ( ) K∈∀ λ , pentru 2=λ obţinem

, deci Exxx ∈−+ 021 Myy ∈+ 21 . Pentru Exxxy ∈−= ,0 şi K∈α avem: ( )( ) Mxxxxxy ∈−−+=−= 000 1 ααααα , deci M este subspaţiu liniar al lui V.

1.11. EXERCIŢII 29

Reciproc, fie M subspaţiu liniar al lui V, V∈0x şi . Pentru

, , 0xME +=

011 xxy += 022 xxy += Mxx ∈21 , , şi K∈λ avem ( ) Mxx ∈−+ 21 1 λλ şi ( ) ( ) Exxxyy ∈+−+=−+ 02121 11 λλλλ , deci E este varietate liniară.

6.5. Definiţie. Dacă este un spaţiu liniar de dimensiune n peste K şi M este un subspaţiu liniar al lui de dimensiune

nV

nV 1−n atunci varietatea liniară se numeşte hiperplan. nxxME V∈+= 00 ,

Dacă este varietate liniară atunci subspaţiul M din propoziţia 6.4 se numeşte subspaţiul director al varietăţii E.

V⊂E

Dimensiunea varietăţii E este egală cu dimensiunea subspaţiului său director.

1.7. SPAŢII LINIARE IZOMORFE

Fie V, W două spaţii liniare peste acelaşi corp K al scalarilor. 7.1. Definiţie. Spaţiile V, W se numesc izomorfe dacă există o aplicaţie bijectivă

astfel încât: WV →:f i) ( ) ( ) ( ) ( ) V∈∀+=+ yxyfxfyxf ,, ; ii) ( ) ( ) ( ) ( ) KV ∈∀∈∀= λλλ ,, xxfxf . Aplicaţia f cu proprietăţile de mai sus se numeşte izomorfism. 7.2. Propoziţie. Fie V, W două spaţii liniare peste acelaşi corp al scalarilor K şi

un izomorfism. Atunci: WV →:f i) ; ( ) WV 00 =fii) dacă sunt liniar independente în V atunci rxxx ,,, 21 L ( ) ( ) ( rxfxfxf ,,, 21 L ) sunt liniar independente în W. Demonstraţie. i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VVV ∈∀+=+= xfxfxfxf ,00 , deci . ( ) WV 00 =fii) Combinaţia liniară nulă ( ) ( ) ( ) V0=+++ rr xfxfxf ααα L2211 implică: ( ) ( )VW 0fxxxf rr ==+++ 0ααα L2211 .Din injectivitatea aplicaţiei f rezultă

acum V0=+++ rr xxx ααα L2211 iar liniar independenţa vectorilor implică

rxxx ,,, 21 L

021 ==== rααα L .


7.3. Propoziţie. Două spaţii liniare finit dimensionale peste acelaşi corp al scalarilor sunt izomorfe dacă şi numai dacă au aceeaşi dimensiune. Demonstraţie. Necesitatea. Fie n=Vdim , { }neeeB ,,, 21 L= bază în V şi izomorfismul . Cu propoziţia precedentă rezultă că vectorii ,

, sunt liniar independenţi în W. Cum aplicaţia f este surjectivă, WV →:f ( )1ef

( )2ef ( )nef,L

pentru fiecare există în V astfel încât .

Aceasta înseamnă că vectorii

W∈y ∑=

=n

iiiexx

1( ) ( )∑

=

==n

iii efxxfy

1

( )1ef , ( )2ef , ( )nef,L formează un sistem de generatori în W ; aceşti vectori sunt şi liniar independenţi în W deci mulţimea

este bază în W. ( ) ( ) ( ){ }nefefefB ,,, 211 L=Suficienţa. Fie n== WV dimdim şi { }neeeB ,,, 21 L= , baze în V, respectiv W. Să considerăm aplicaţia care face ca

vectorului să-i corespundă vectorul . Această

aplicaţie este evident bijectivă; în plus, pentru oricare doi vectori ,

din V şi pentru orice scalar

{ }nfffB ,,, 211 L=WV →:f

V∈=∑=

n

iiiexx

1W∈=∑

=

n

iii fxy

1

∑=

=n

iiiexx

1

∑=

′=′n

iiiexx

1K∈λ avem:

, ( ) ( ) ( ) (xfxffxxexexfxxfn

iiii

n

iii

n

iii ′+=′+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+=′+ ∑∑∑

=== 111)

)

}

, ( ) (xffxexfxfn

iii

n

iii λλλλ ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑

== 11

deci aplicaţia f este un izomorfism. 7.4. Observaţie. i) Izomorfismul definit în propoziţia 7.3 duce baza nnf WV →:

{ neeeB ,,, 21 L= din în baza nV ( ) ( ) ( ){ }nefefefB ,,, 211 L= din şi în aceste baze vectorii şi

nW

nx V∈ ( ) nxf W∈ au aceleaşi coordonate. ii) Izomorfismul utilizat în demonstraţia propoziţiei 7.3 se numeşte izomorfism canonic. ii) Spaţiul liniar peste K şi spaţiul sunt izomorfe, izomorfismul canonic

fiind dat de aplicaţia , .

nV nKn

nf KV →: ( ) nn

fn

iii xxxexxx KV ∈⎯→⎯=∈ ∑

=

,,,, 211

L

1.11. EXERCIŢII 31

1.8. PRODUS SCALAR, NORMĂ, DISTANŢĂ

Fie V un spaţiu liniar peste corpul K. 8.1. Definiţie. Aplicaţia KVV →×:ϕ se numeşte produs scalar pe V dacă verifică axiomele: i) ( ) ( ) ( ) VV 0=⇔=∈∀≥ xxxxxx 0,;,0, ϕϕ ; ii) ( ) ( ) ( ) ( ) V∈∀+=+ yxxyxyxyxx ,,,,,, 212121 ϕϕϕ ; iii) ( ) ( ) ( ) ( ) KV ∈∀∈∀= λϕλλϕ ,,,,, yxyxyx ; iv) ( ) ( ) ( ) V∈∀= yxxyyx ,,,, ϕϕ . Un spaţiu liniar peste care s-a definit un produs scalar se numeşte spaţiu prehilbertian real pentru RK = , respectiv spaţiu prehilbertian complex sau unitar pentru CK = . În cele ce urmează, dacă KVV →×:ϕ este un produs scalar, vom nota ( ) ><= yxyx ,,ϕ , astfel încât axiomele i)-iv) se scriu sub forma:

i) ( ) VV 0=⇔=><∈∀≥>< xxxxxx 0,;,0, ; ii) ( ) V∈∀><+>=<>+< yxxyxyxyxx ,,,,,, 212121 ; iii) ( ) ( ) KV ∈∀∈∀><=>< λλλ ,,,,, yxyxyx ; iv) ( ) V∈∀><=>< yxxyyx ,,,, . 8.2. Observaţie. i) Dacă V este un spaţiu prehilbertian complex, atunci:

=><+><=><+><=>+<=>+< xyxyxyxyxyyyyx ,,,,,, 21212121

( ) V∈∀><+><= 2121 ,,,,, yyxyxyx ;

=><=><=><=>< xyxyxyyx ,,,, λλλλ ( ) ( ) CV ∈∀∈∀><= λλ ,,,, yxyx . ii) În cazul unui spaţiu prehilbertian real axioma iv) se scrie:


( ) V∈∀>=<>< yxxyyx ,,,, . Spunem în acest caz că produsul scalar este o aplicaţie simetrică. iii) ( ) VKKKK ∈∀=><=>=<>< xxxxxx ,,,, 0000 . 8.3. Exemple. i) Fie un spaţiu liniar de dimensiune n peste corpul C, nV

{ }neeeB ,,, 21 L= bază în şi vectorii din . nV ∑∑==

==n

iii

n

iii eyyexx

11, nV

Aplicaţia CVV →× nn:ϕ , ( ) ∑=

=><=n

iii yxyxyx

1,,ϕ este un produs scalar pe

, fapt ce se verifică cu uşurinţă. nV ii) Fie mulţimea şirurilor 2l ( ) ( ) •

•∈ ∈∀∈ NCN nxx nnn ,, cu proprietatea că seria

∑∞

=1

2

iix este convergentă. Se constată cu uşurinţă că dacă atunci

,

2, l∈yx

2l∈+ yx 2l∈xλ , ( ) C∈∀ λ , deci este un subspaţiu liniar al lui 2l l . Fie aplicaţia:

( ) ∑∞

=

=><=→×1

22 ,,:i

ii yxyxx,yϕϕ Cll .

Deoarece ( 22

21

iiii yxyx +≤ ) rezultă că seria ∑∞

=1iii yx este convergentă deci

ϕ este bine definită, În plus, ϕ verifică axiomele i)-iv) din definiţia produsului scalar, deci este un produs scalar pe . 2l

iii) Aplicaţia este un produs scalar pe spaţiul

liniar al funcţiilor reale continue pe

( ) ( ) ( )∫=><=b

a

xxgxfgfgf d,,ϕ

[ baC , ] [ ]ba, , peste corpul numerelor reale. 8.4. Propoziţie (inegalitatea Cauchy-Buniakovski). Dacă V este un spaţiu prehilbertian peste K atunci: ( ) V∈∀><><≤>< yxyyxxyx ,,,,, . Demonstraţie. Fie V∈yx, . Dacă V0=y , inegalitatea este evidentă. Pentru

avem V0≠y 0, ≥>−−< yxyx λλ , ( ) K∈∀ λ , de unde cu proprietăţile

1.11. EXERCIŢII 33

produsului scalar obţinem: ( ) K∈∀≥><+><−><−>< λλλλλ ,0,,,, yyxyyxxx . Inegalitatea ce trebuie demonstrată se obţine din inegalitatea de mai sus dacă

luăm ><><

=yyyx

,,λ .

8.5. Definiţie. Fie V un spaţiu liniar peste corpul K. Aplicaţia RV →:ψ , se numeşte normă pe V dacă verifică axiomele: i) ( ) ( ) ( ) VV 0=⇔=∈∀≥ xxxx 0;,0 ψψ ; ii) ( ) ( ) ( ) ( ) V∈∀+≤+ yxyxyx ,,ψψψ ; iii) ( ) ( ) ( ) ( ) KV ∈∀∈∀≤ λψλλψ ,, xxx . Dacă RV →:ψ este o normă pe V vom nota ( ) xx =ψ , astfel încât axiomele i)-iii) se scriu sub forma: i) ( ) VV 0=⇔=∈∀≥ xxxx 0;,0 ; ii) ( ) V∈∀+≤+ yxyxyx ,, ; iii) ( ) ( ) KV ∈∀∈∀⋅≤ λλλ ,, xxx . 8.6. Exemple. i) Fie . Pentru nKV = ( ) n

nxxxx K∈= ,,, 21 L definim aplicaţiile: knk

xx,1

max=∞

= ,

∑=

=n

kkxx

11

,

∑=

=n

kkxx

1

222 .

Se constată cu uşurinţă că aceste aplicaţii sunt norme pe . Ultima normă definită mai sus se numeşte norma euclidiană pe .

nKnK

ii) Aplicaţiile [ ] R→baC ,:2,1ψ , definite prin:

( )[ ]

( )txxbat ,

1 sup∈

=ψ , ( ) ( )( ) 21

22 dttxx

b

a∫=ψ ,


sunt norme pe . [ ]baC , 8.7. Definiţie. Un spaţiu liniar peste care s-a definit o normă se numeşte spaţiu liniar normat. Fie un şir de elemente din spaţiul liniar normat V. ( ) ∗∈Nnnx 8.8. Definiţie. Spunem că şirul ( ) ∗∈Nnnx converge către V∈x dacă pentru orice

0>ε există astfel încât ( ) ∗∈ NεN ( ) ( )εε Nnxxn ≥∀<− , . Dacă şirul converge către ( ) ∗∈Nnnx V∈x spunem că acest şir converge în normă

către x şi notăm acest fapt prin xxnn=

∞→lim sau prin xxn ⎯→⎯ ⋅ .

8.9. Definiţie. Spunem că şirul ( ) ∗∈Nnnx este şir Cauchy în V dacă pentru orice

0>ε există astfel încât ( ) ∗∈ NεN ( ) ( )εε Nnmxx mn ≥∀<− ,, . Dacă orice şir Cauchy în V converge către un element din V, spunem că V este un spaţiu liniar normat complet sau un spaţiu Banach. 8.10. Propoziţie. Dacă V este un spaţiu prehilbertian peste K atunci aplicaţia

( ) ><==→ xxx ,,: xRV ψψ este o normă pe V. Demonstraţie. Cu notaţia V∈><= xxxx ,, , inegalitatea Cauchy-Buniakovski se scrie: ( ) V∈∀⋅≤>< yxyxyx ,,, . Axiomele i), iii) se obţin imediat din axiomele produsului scalar. Pentru a verifica axioma ii) a normei avem:

=><+><+><+><=>++=<+ yyxyyxxxyxyxyx ,,,,,2 ≤><++≤><++= yxyxyxyx ,2,Re2 2222

( ) 222 2 yxyxyx +=⋅++≤ ,

La stabilirea ultimei inegalităţi am folosit inegalitatea Cauchy-Buniakovski.

1.11. EXERCIŢII 35

8.11. Definiţie. Într-un spaţiu prehilbertian V, norma V∈><= xxxx ,, se numeşte norma generată de produsul scalar. Un spaţiu prehilbertian complet în raport cu norma generată de produsul scalar se numeşte spaţiu Hilbert. Un spaţiu Hilbert de dimensiune finită se numeşte spaţiu euclidian. În cele ce urmează, vom nota un spaţiu euclidian de dimensiune n prin . nE 8.12. Exemple. i) este un spaţiu euclidian de dimensiune n în raport cu produsul scalar:

nK

( ) ( ) nnn

n

iii yyyyxxxxyxyx K∈===>< ∑

=

,,,,,,,,, 21211

LL .

Norma generată de acest produs scalar este norma euclidiană:

( ) nn

n

ii xxxxxx K∈=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

,,,, 21

21

1

2L .

ii) Pe produsul scalar nR

( ) ( ) nnn

n

iii yyyyxxxxyxyx R∈===>< ∑

=

,,,,,,,,, 21211

LL

generează norma euclidiană:

( ) nn

n

ii xxxxxx K∈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

,,,, 21

21

1

2L .

iii) este un spaţiu Hilbert în raport cu norma 2l

( ) 2

21

1

2 , lN ∈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∗∈

∞

=∑ iii

i xxxx .

iv) Spaţiul nu este complet în raport cu norma: [ baC , ]

( ) ttxxxxb

ad,

22

∫=><= .


Prin completarea acestui spaţiu în raport cu norma de mai sus se obţine spaţiul Hilbert numit spaţiul funcţiilor de pătrat integrabil pe [ baL ,2 ] [ ]ba, . 8.13. Propoziţie. Dacă V este un spaţiu prehilbertian, atunci: i) ( ) ( ) V∈∀+=−++ yxyxyxyx ,,2 2222 .

ii) ( ) V∈∀><=−−++−−+ yxyxyixiyixiyxyx ,,,42222 . Demonstraţia acestor afirmaţii este simplă şi o lăsăm cititorului drept exerciţiu. Prima identitate se numeşte identitatea paralelogramului, iar a doua se numeşte identitatea de polarizare. 8.14. Definiţie. Aplicaţia RVV →×:d se numeşte distanţă pe V dacă verifică axiomele: i) ( ) yxyxd =⇔= 0, ; ii) ; ( ) ( ) ( ) V∈∀= yxxydyxd ,,,,iii) ( ) ( ) ( ) ( ) V∈∀+≤ zyxyzdzxdyxd ,,,,,, . Un spaţiu liniar peste care s-a definit o distanţă se numeşte spaţiu metric. Un spaţiu prehilbertian V este un spaţiu metric, deoarece aplicaţia ( ) ( ) V∈∀>−−<=−= yxyxyxyxyxd ,,,, , este o distanţă pe V, fapt ce se verifică cu uşurinţă.

1.9. ORTOGONALITATE. BAZE ORTONORMATE

Fie V un spaţiu prehilbertian. 9.1. Definiţie. Vectorii V∈yx, se numesc ortogonali (sau perpendiculari) dacă

0, =>< yx şi acest fapt îl notăm yx ⊥ . Mulţimea se zice ortogonală dacă

V⊂A( ) Ayxyx ∈∀=>< ,,0, . Spunem că mulţimea A este perpendiculară pe

mulţimea B, V⊂BA, şi scriem BA ⊥ , dacă:

( ) ( ) ByAxyx ∈∀∈∀=>< ,,0, .

1.11. EXERCIŢII 37

9.2. Exemple. i) Şirul de funcţii LL ,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1 tntnttttformează o mulţime ortogonală în [ ]ππ ,2 −L . ii) Mulţimea formată din vectorii ( )0,,0,0,11 L=e , ( ) ,,0,,0,1,02 LL=e

( 1,,0,0,0 L=ne ) este ortogonală în . nR 9.3. Definiţie. Mulţimea { } IiixAA ∈=⊂ ,V , unde I este o mulţime oarecare de indici, se numeşte ortonormată dacă:

( )⎩⎨⎧

∈∀≠=

=><.,,,0

,1,

Ijijiji

xx ji

Dacă utilizăm simbolul lui Kronecker,

⎩⎨⎧

≠=

=,,0

,1jiji

ijδ

atunci condiţia de ortonormare a mulţimii A se scrie: ( ) Ijixx ijji ∈∀=>< ,,, δ . 9.4. Propoziţie. Fie V un spaţiu prehilbertian. Atunci: i) orice sistem ortogonal de vectori nenuli este liniar independent; ii) dacă atunci orice sistem ortogonal format din n vectori este bază; n=Vdimiii) ( ) yxyxyxyx ⊥∈∀+=+ ,,,222 V . Demonstraţie. i) Fie vectorii nenuli ortogonali doi câte doi, adică nxxx ,,, 21 L

( ) jixx ji ≠∀=>< ,0, şi combinaţia liniară nulă V0=+++ nn xxx ααα L2211 .

Dacă înmulţim scalar egalitatea de mai sus cu nixi ,1, = , obţinem 0, =>< iii xxα , ni ,1= şi cum nixi ,1, =≠ V0 rezultă nii ,1,0 ==α .

Afirmaţia ii) rezultă imediat din i) şi din faptul că orice n vectori liniar independenţi dintr-un spaţiu liniar de dimensiune n formează o bază în acel spaţiu. iii) Dacă yxyx ⊥∈ ,, V atunci:

=><+><+><+><=>++=<+ yyxyyxxxyxyxyx ,,,,,2 22 yx += .


9.5. Observaţie. Egalitatea de la punctul iii) al propoziţiei de mai sus poartă numele de teorema lui Pitagora. 9.6. Inegalitatea lui Bessel. Fie { }peeeE ,,, 21 L= un sistem ortonormat în

spaţiul prehilbertian V. Pentru V∈x , fie . Atunci: yxzeexyp

iii −=><=∑

=

,,1

pjexexeyexez jjjjj ,1,0,,,,, ==><−><=><−><=>< , deci vectorul z este perpendicular pe ( )peeeL ,,, 21 L . Cum ( )peeeLy ,,, 21 L∈ rezultă . Dacă aplicăm acum teorema lui Pitagora, obţinem:

yz ⊥

∑∑==

><≥+><=+=p

ii

p

ii exzexzyx

1

22

1

2222 ,, .

Inegalitatea

2

1

2, xexp

ii ≤><∑

=

,

obţinută mai sus, se numeşte inegalitatea lui Bessel. 9.7. Observaţie. În condiţiile de la 9.6, fie ( )peeeLy ,,, 211 L∈ . Atunci

( )peeeLyy ,,, 211 L∈− şi cum ( ) ⊥− yx ( )peeeL ,,, 21 L rezultă ( ) ( 1yyyx −⊥− ); teorema lui Pitagora aplicată vectorilor yx − şi 1yy − ne dă: ( ) ( ) 22

122

12

1 yxyyyxyyyxyx −≥−+−=−+−=− . Din această inegalitate rezultă că vectorul ( )peeeLy ,,, 21 L∈ are proprietatea că realizează cea mai mică distanţă dintre x şi un vector din ( )peeeL ,,, 21 L . 9.8. Definiţie. i) Dacă { } este un sistem ortonormat în spaţiul prehilbertian V, atunci numerele

Iiie ∈

Iiex i ∈>< ,, se numesc coeficienţii Fourier ai vectorului V∈x , după sistemul ortonormat { } Iiie ∈ .

ii) Dacă V este un spaţiu prehilbertian real şi V∈yx, sunt nenuli, atunci numărul [ ]πϕ ,0∈ , definit prin

yxyx⋅

><=

,cosϕ

1.11. EXERCIŢII 39

se numeşte unghiul vectorilor x şi y. 9.9. Teoremă. Fie sistemul { } •∈= NiifB liniar independent în spaţiul prehilbertian V. Atunci există sistemul { } •∈=′ NiieB ortonormat astfel încât ( ) ( ) ( ) •∈∀= NnfffLeeeL nn ,,,,,,, 2121 LL .

Demonstraţie. Vom face demonstraţia prin inducţie după n. Pentru început să remarcăm faptul că deoarece { } •∈= NiifB este liniar independentă rezultă . ( ) •∈∀≠ NV ifi ,0Pentru luăm şi evident 1=n 11 fg = ( ) ( )11 gLfL = . Pentru fie 2=n

11 fg = ,

K∈−= 2112122 , λλ gfg . Din condiţia , obţinem: 0, 12 =>< gg

><><

=11

1221 ,

,gggfλ .

Vectorul este nenul deoarece în caz contrar ar rezulta că vectorii , deci şi vectorii , ar fi liniar dependenţi. Vectorii sunt liniar independenţi deoarece sunt ortogonali şi cum avem evident

2g 12 , gf

12 , ff 21 , gg( ) ( )2121 ,, ffLggL ⊆ rezultă că

. ( ) ( 2121 ,, ffLggL = )Presupunem că am determinat 1−p vectori cu proprietăţile: 121 ,,, −pggg L

i) sunt ortogonali; 121 ,,, −pggg L

ii) ( ) ( )121121 ,,,,,, −− = pp fffLgggL LL . Fie 11,2211 −−−−−−= ppppppp gggfg λλλ L . Din condiţiile: 1,1,0, −==>< pjgg jp obţinem

1,1,,,

−=><

><= pj

gggf

jj

jpjpλ .


Dacă ar rezulta că vectorii ar fi liniar dependenţi şi deci

V0=pg 121 ,,,, −pp gggf L

( ) ( ) ( )121121121 ,,,,,,,,,, −−− == pppp fffLgggLgggfL LLL , fapt ce ar implica liniar dependenţa vectorilor . Rezultă şi cum vectorii sunt ortogonali doi câte doi, ei sunt liniar independenţi şi

pfff ,,, 21 L V0≠pg

pp gggg ,,,, 121 −L

( ) ( )pp fffLgggL ,,,,,, 2121 LL = . Am demonstrat prin inducţie existenţa sistemului ortogonal { } VN ⊂•∈iig . Nu avem acum decât să punem

•∈= Nigg

e ii

i1

şi teorema este demonstrată. 9.10. Observaţie. i) Procedeul folosit în demonstraţia teoremei 9.9 se numeşte procedeul Gram-Schmidt. ii) Vectorul pp gf − are proprietatea că este perpendicular pe subspaţiul ( )121 ,,, −pgggL L şi

∑∑∑−

=

−

=

−

=

><=><

=><=−1

1

21

12

221

1

2,

,,

p

jjp

p

jj

jpjj

p

jjppp ef

g

gfgggf λ .

9.11. Corolar. În orice spaţiu euclidian există baze ortonormate. Demonstraţie. Dacă este o bază în spaţiul euclidian atunci cu teorema 9.9 există sistemul ortonormat

{ nfffB ,,, 21 L= } nE{ }neeeB ,,, 21 L=′ în astfel

încât nE

( ) ( ) nnn EfffLeeeL == ,,,,,, 2121 LL . 9.12. Propoziţie. Fie un spaţiu euclidian peste corpul K,

bază ortonormată în şi . Atunci:

nE { }neeeB ,,, 21 L=

nE n

n

iii

n

iii Eeyyexx ∈== ∑∑

== 11,

i) ∑=

=><n

iii yxyx

1, ;

ii) ∑=

=n

iixx

1

22 ;

iii) pentru RK = unghiul vectorilor nEyx ∈, este:

1.11. EXERCIŢII 41

222

21

222

21

2211cosnn

nn

yyyxxxyxyxyx

++++++

+++=

LL

Lϕ .

Demonstraţie. i) Deoarece baza B este ortonormată avem:

∑∑∑∑∑== ===

==><=><n

iii

n

iji

n

jji

n

jjj

n

iii yxyxeyexyx

11 111,, δ .

ii) 2

11

2 , ∑∑==

==>=<n

ii

n

iii xxxxxx .

Afirmaţia iii) este o consecinţă imediată a afirmaţiilor i) şi ii). 9.13. Definiţie. Dacă este o bază ortonormată în spaţiul

euclidian şi , atunci scalarii se numesc

coordonatele euclidiene ale vectorului x.

{ neeeB ,,, 21 L= }

nE n

n

iii Eexx ∈=∑

=1nxxx ,,, 21 L

9.14. Propoziţie. Dacă M este un subspaţiu liniar al spaţiului euclidian atunci există un unic subspaţiu liniar

nE⊥M în astfel încât: nE

i) ⊥⊥ MM ; ii) . ⊥⊕= MMEn

Demonstraţie. i) Fie { }pfffB ,,, 21 L=′ bază în M pe care o completăm până la o bază { }npp fffffB ,,,,,, 121 LL +=′′ în . Aplicăm bazei nE B ′′ procedeul Gram-Schmidt şi obţinem baza ortonormată { }npp eeeeeB ,,,,,, 121 LL += astfel încât ( ) ( ) MeeeLfffL pp == ,,,,,, 2121 LL . Fie . Deoarece bazele din M şi

( )npp eeeLM ,,, 21 L++⊥ =

⊥M sunt ortogonale, rezultă ⊥⊥ MM . ii) Fie . Atunci ⊥∩∈ MMx 0, =>< xx deci

nEx 0= , fapt ce arată că suma ⊥+ MM este directă. Dacă atunci: nEx∈

, ⊥

+===

∈′′∈′′′+′=+== ∑∑∑ MxMxxxexexexxn

piii

p

iii

n

iii ,,

111

de unde rezultă că . ⊥+= MMEn

Pentru a arăta unicitatea subspaţiului ⊥M cu proprietăţile de mai sus, fie astfel încât şi . Pentru , din

⊥1M

⊥⊥ 1MM ⊥⊕= 1MMEn⊥∈ 11 Mx ⊥⊕= MMEn


rezultă , descompunerea fiind unică. În plus este perpendicular pe M deci pe . Atunci:

⊥∈′′∈′′′+′= MxMxxxx 11111 ,, 1x

1x′

21111111111 ,,,,0 xxxxxxxxxx ′=>′′′<+>′′<=>′′′+′<=>′<= ,

de unde obţinem . Rezultă , deci . Asemănător

se arată că , deci . nEx 0=′1

⊥∈′′= Mxx 11⊥⊥ ⊆ MM1

⊥⊥ ⊆ 1MM ⊥⊥ = MM1

9.15. Definiţie. Dacă M este un subspaţiu al spaţiului euclidian atunci nE ⊥M se numeşte complementul ortogonal al lui M. 9.16. Observaţie. i) Dacă M este un subspaţiu al spaţiului euclidian şi nE ⊥M este complementul său ortogonal, atunci orice vector nEx∈ se scrie în mod unic sub forma: . ⊥∈′′∈′′′+′= MxMxxxx ,,

Vectorii x′ şi se numesc proiecţiile vectorului x pe subspaţiile M respectiv

x ′′⊥M .

ii) Dacă { }peeeB ,,, 21 L= este o bază ortonormată în M atunci proiecţia vectorului x pe M este:

, ∑=

><=p

iii eexx

1,

iar distanţa (conform observaţiei 9.7) dintre vectorul x şi subspaţiul M este: ( ) xxxMxd ′−=′′=, .

1.10. SCHIMBAREA BAZEI ÎNTR-UN SPAŢIU EUCLIDIAN

Fie bazele ortonormate , { }neeeB ,,, 21 L= { }neeeB ′′′=′ ,,, 21 L în spaţiul euclidian şi nE ( ) ( )Knnjiji McC ∈=

= ,1, matricea de trecere de la baza B la baza B′ . După

cum am văzut, . 0det ≠C

Dacă , , atunci: ∑=

=′n

kkiki ece

1∑=

=′n

lljlj ece

1

1.11. EXERCIŢII 43

∑∑∑∑= ===

=><=><=>′′=<n

klk

n

ljlik

n

lljl

n

kkikjiij eeccececee

1 111,,,δ

njiccccn

kjkik

n

kkl

n

ljlik ,1,,

11 1=== ∑∑∑

== =

δ .

Egalităţile de mai sus se pot scrie sub forma matriceală: n

tICC =⋅ ,

unde: ( )

njiji

tcC

,1, == .

10.1. Definiţie. matricea ( )CnMC∈ cu proprietatea n

ttICCCC =⋅=⋅ se

numeşte matrice unitară. Dacă matricea ( )RnMC∈ are proprietatea atunci această matrice se numeşte matrice ortogonală.

ntt ICCCC =⋅=⋅

Matricea t

CC =• se numeşte adjuncta matricei C. 10.2. Propoziţie. i) Dacă ( )CnMC∈ este matrice unitară atunci 1det =C ; ii) Dacă este matrice ortogonală atunci ( )RnMC∈ 1det ±=C ; iii) Dacă este o bază ortonormată în şi matricea unitară C este matrice de trecere de la baza B la baza

{ neeeB ,,, 21 L= } nE{ }nfffB ,,, 21 L=′ , atunci B′ este

ortonormată. Demonstraţie. i) Avem: CCC

tdetdetdet ==∗ . Atunci:

( ) 2detdetdetdetdetdetdet1 CCCCCCCIn =⋅=⋅=⋅== ∗∗ , de unde rezultă 1det =C . ii) ( ) ( ) 2detdetdetdetdetdetdet1 CCCCCCCI tt

n =⋅=⋅=⋅== , de unde rezultă . 1det ±=C iii) Deoarece baza B este ortonormată iar matricea de trecere este unitară avem:


∑∑∑∑∑∑= == ===

==><=><=><n

k

n

lkljlik

n

k

n

llkjlik

n

lljl

n

kkikji cceeccececff

1 11 111,,, δ

njicc ji

n

kjkik ,1,,

1=== ∑

=

δ ,

deci baza B′ este ortonormată.

1.11. EXERCIŢII

11.1. Exerciţii rezolvate. 1) Fie sistemul de vectori { }4321 ,,, vvvvS = , ( )0,0,1,11 =v , ,

, . ( )1,0,1,12 −=v

( )0,0,2,03 =v ( )1,1,0,04 =va) Să se verifice dacă S formează o bază în . În caz afirmativ să se determine coordonatele vectorului în baza S.

4R( 5,2,1,5=v )

b) Dacă S este bază în să se determine matricea de trecere de la baza canonică a spaţiului la baza S.

4R4R

Rezolvare. a) Fie A matricea având pe coloane coordonatele vectorilor

. Deoarece determinantul acestei matrice este egal cu 2 rezultă 4321 ,,, vvvv4rang =A şi cu exemplul 3.3, v) deducem că vectorii sunt liniar

independenţi. Cum rezultă că S este bază în . Pentru a determina coordonatele vectorului considerăm combinaţia liniară:

4321 ,,, vvvv4dim 4 =R 4R

( 5,2,1,5=v ) 44332211 vvvvv αααα +++= . Introducem expresiile vectorilor în egalitatea de mai sus şi obţinem astfel sistemul liniar neomogen:

4321 ,,,, vvvvv

5

2

1 25

42

4

321

21

=+

=

=+−

=+

αα

α

ααα

αα

Deoarece vectorii sunt liniar independenţi sistemul de mai sus are soluţie unică; aceasta este:

4321 ,,, vvvv2,1,3,2 4321 ==== αααα . În baza S vectorul v

1.11. EXERCIŢII 45

se scrie sub forma: 4321 232 vvvvv +++= , sau ( ) Sv ,2,1,3,2= . b) Avem: , 211 eev += 4212 eeev +−= , 23 ev = , 434 eev += , astfel încât matricea de trecere de la baza canonică la baza B este:

.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

1100001001110011

C

2) Fie mulţimea:

( )RR 3,2,,,;,0

0Mvuyxvuy

vuyx

AAM ⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== .

a) Să se arate că M este un subspaţiu liniar în ( )R3,2M ; să se determine o bază în M şi dimensiunea lui M. b) Să se determine un subspaţiu complementar lui M şi o bază în acest subspaţiu. c) Să se descompună vectorul

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

743532

A

după aceste subspaţii.

Rezolvare. Fie , , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

00vu

vuxA M

vuvux

A ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

00

11

1111 R∈βα , .

Atunci: ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+−++=+

00

11

1111 vvuu

vvuuxxAA

βαβαβαβαβα

βα M∈ deci

M este un subspaţiu liniar în ( )R3,2M . Fie { }654321 ,,,,, EEEEEEB = unde:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

000001

1E , , , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

000010

2E ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

000100

3E

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

001000

4E , , ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

010000

5E ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

100000

6E


Sistemul de vectori B este o bază în ( )R3,2M ; dacă MA∈ atunci

( ) ( )53431 EEvEEuExA +−+++= deci în această bază matricea A are coordonatele ( )0,,,,0, vuvux − . Din combinaţia liniară nulă ( ) ( ) ( )R3,253343211 MEEEEE 0=+−+++ ααα rezultă

0321 === ααα deci vectorii 53431 ,, EEEEE +−+ sunt liniar independenţi, aparţin lui M şi generează acest subspaţiu . Sistemul { }534311 ,, EEEEEB +−+= este deci o bază în M. b) Fie şi ( )6521 ,, EEELM = 1MMA ∩∈ ; atunci

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

000

vuvux

cba

A

de unde rezultă . De aici deducem că suma ( )R3,2MA 0= 1MM + este directă; în

plus vectorii , formează o bază în deci şi este subspaţiu complementar lui M.

53431 ,, EEEEE +−+ 652 ,, EEE ( )R3,2M( ) 13,2 MMM ⊕=R 1M

c) Din condiţia

( ) ( ) 66552453343211743532

EEEEEEEE αααααα ++++−+++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

rezultă 7,6,3,2,3,2 654321 ===−=== αααααα astfel încât obţinem:

, , . 21760030

023502

743532

AAA +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= MA ∈1 12 MA ∈

3) Fie spaţiul liniar al polinoamelor de grad cel mult n şi . Să se arate că sistemul de vectori

( )RnP R∈0x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }n

n xxxfxxxfxxxfxf 02

02010 ,,,,1 −=−=−== L este o bază în ( )RnP . Să se determine coordonatele unui vector în această bază.

( )RnPp∈

Rezolvare. Fie nii ,0, =∈Rα şi combinaţia liniară

1.11. EXERCIŢII 47

( )RnPnn fff 0=+++ ααα L1100 ,

combinaţie care ne conduce la identitatea ( ) ( ) ( ) ( ) R∈∀=+++ xxfxfxf nn ,01100 ααα L . Membrul stâng al acestei egalităţi este un polinom de gradul n, polinom care coincide cu polinomul nul. Acest lucru se poate întâmpla numai dacă toţi coeficienţii acestui polinom sunt nuli. Punând această condiţie se obţine

0210 ===== nαααα L deci vectorii sunt liniar independenţi; cum ei sunt în număr de şi cum

nfff ,,, 10 L

1+n ( ) 1dim += nPn R rezultă că sistemul de vectori { este bază în }nfff ,,, 10 L ( )RnP .

Fie acum , ;să determinăm ( )RnPp∈ ( ) ∑=

=n

j

jj xaxp

0nib i ,0, = astfel încât:

nn fbfbfbbp ++++= L22110 . Această combinaţie liniară ne conduce la condiţia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R∈∀−++−+−+= xxxbxxbxxbbxp n

n ,02

02010 L , din care obţinem ( )00 xpb = . Derivând succesiv identitatea de mai sus şi luând

după fiecare derivare obţinem 0xx = ( ) ( ) nixpi

b ii ,1,

!1

0 == şi deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn fxp

nfxpfxpfxpp 0201000 !

1!2

1!1

1++′′+′+= L .

4) Să se determine matricea de trecere de la baza ( ){ ( )3,3,2,1,2,1 21 === eeB ,

la baza ( 1,7,33 =e ) } ( ){ ( ) ( )}6,1,1,1,2,5,4,1,3 321 −====′ fffB din . 3R Rezolvare. Pentru a determina matricea de trecere de la baza B la baza B′ vom porni de la definiţia matricei de trecere; avem astfel egalităţile:

.3332321313

3232221212

3132121111

ecececfecececf

ecececf

++=++=++=

Din prima egalitate se obţine sistemul


,4 3

1732 332

131211

131211

131211

=++=++=++

ccccccccc

care are soluţia 4,9,27 131211 ==−= ccc . Procedând analog şi cu celelalte două egalităţi obţinem în final:

. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=8941

1220714927

C

5) Fie sistemul:

.02 23

02 34501032

4321

4321

4321

=−++=+++=+++

xxxxxxxxxxxx

a) Să se determine o bază ortonormată în subspaţiul liniar M al soluţiilor sistemului. b) Să se determine ⊥M şi o bază în ⊥M . Rezolvare. a) Matricea sistemului are rangul doi astfel încât mulţimea soluţiilor sistemului este: ( ){ }R∈−−+= βαβαβαβα ,,,82,6M . O soluţie oarecare x a sistemului se poate pune sub forma: 21 vvx βα += unde

, . Vectorii generează subspaţiul M şi sunt liniar independenţi deci formează o bază în M.

( )0,1,2,11 −=v ( 1,0,8,62 −=v ) 21 ,vv

Pentru a ortonormaliza această bază fie 11 vg = , 12122 gvg λ−= . Din condiţia

obţinem 0, 12 =>< gg3

11622

,,

11

1221 ==

><><

=gggvλ şi ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 0,

311,

32,

37

2g . În

final luăm ( )0,1,2,16

111

11 −== g

ge , ( )0,11,2,7

17411

22

2 −−== gg

e .

b) Pentru a determina ⊥M este suficient să determinăm toţi vectorii perpendi-culari pe baza { din M. Condiţiile ne }21 ,vv 4

21 ,0,,0, R∈=><=>< xvxvx

1.11. EXERCIŢII 49

conduc la sistemul:

,0 860 2

421

321

=+−=+−

xxxxxx

sistem care are soluţia generală: ( ){ }R∈−−=⊥ βαβαβαβα ,,,,M 42324 . O bază în ⊥M se obţine luând pe rând 0,1 == βα şi 1,0 == βα în soluţia generală de mai sus; rezultă ( ) ( )4,0,1,2,0,2,3,4 43 −== vv . Această bază se

ortonormalizează la fel ca baza precedentă şi se obţine: ( )0,2,3,4291

3 =e ,

( )58,5,22,1942341

4 −=e .

6) În spaţiul liniar cu produsul scalar uzual se consideră vectorii

, 3R

( )1,2,11 −=e ( )3,2,12 =e , ( )1,0,13 =e . Dacă ( )321 ,, eeeLM = să se determine ⊥M şi să se proiecteze vectorul ( ) 38,18,8 R∈=x pe M şi ⊥M .

Rezolvare. Deoarece determinantul având pe coloane coordonatele celor trei vectori este egal cu zero, vectorii sunt liniar dependenţi. Doi dintre ei, de exemplu , sunt liniar independenţi astfel încât:

321 ,, eee

21 ,ee( ) ( ){ }R∈+−= βαβα ,3,2,11,2,1M . Pentru a determina ⊥M este suficient

să determinăm toţi vectorii ( ) 3321 ,, R∈= xxxx perpendiculari pe .

Condiţiile 21 ,ee

,0, 1 =>< ex 0, 2 =>< ex , ne conduc la sistemul

,032

0 2

321

321

=++=++−

xxxxxx

a cărui soluţie generală este: ( ){ }R∈−−=⊥ αααα ,,M . O bază în ⊥M este dată de vectorul ( )1,1,13 −−=′e . Pentru a proiecta vectorul pe cele două subspaţii fie descompunerea

. Atunci ( 8,18,8=x )

⊥∈′′∈′′′+′= MxMxxxx ,, 2211 eex αα +=′ şi condiţiile , ne conduc la sistemul:

0, 1 =>′′< ex0, 2 =>′′< ex


.,,,

,,,

2222211

1122111

><=><+><

><=><+><

exeeee

exeeee

αα

αα

Efectuând produsele scalare se obţine sistemul 162 1 =α , 366 2 =α cu soluţia:

6,8 21 == αα . Proiecţia vectorului x pe subspaţiul M este: =+=′ 21 68 eex ( 14,12,2= ) iar proiecţia lui x pe ⊥M este ( )6,6,6 −=′−=′′ xxx .

7) Fie , [ ]1,1−= CV ( ) ( )∫−=><

1

1d, ttgtfgf produsul scalar pe acest spaţiu

liniar şi sistemul de vectori [ ]{ }4,1,1,1 =−∈= iCfS i , unde: , , , , . Să se ortonormeze acest sistem de vectori.

( ) 11 =tf ( ) ttf =2

( ) 23 ttf = ( ) 3

4 ttf = [ 1,1−∈t ] Rezolvare. Luăm 1212211 , gfgfg λ−== ; din condiţia 0, 21 =>< gg rezultă

=><><

=11

1221 ,

,gggfλ 0, deoarece şi astfel 0d,

1

112 ==>< ∫− ttgf 22 fg = .

În continuare căutăm de forma 3g 23213133 ggfg λλ −−= ; din condiţiile

, obţinem 0, 13 =>< gg 0, 23 =>< gg32

,,

11

1331 =

><><

=gggf

λ , 0,,

22

2332 =

><><

=gggf

λ ,

astfel încât ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

21

23

32

31 22

3 ttg . În mod analog obţinem =−= ttg533

4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= tt

23

25

52 3 . Normele acestor vectori sunt:

( ) 2d, 21

1

1111 ==><= ∫− tggg ,

( )32d, 2

11

1

2222 ==><= ∫− ttggg ,

5322d

31,

21

1

1

22

333 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=><= ∫− ttggg ,

7522d

53,

21

1

1

23

444 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=><= ∫− tttggg .

iar sistemul ortonormat căutat este:

1.11. EXERCIŢII 51

2

111

11 == g

ge ,

tgg

e231

22

2 == ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

31

22531 2

33

3 tgg

e ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== ttg

ge

53

22751 3

44

4 .

Remarcă. Polinoamele obţinute prin ortogonalizarea sistemului de vectori

, ca în exemplul de mai sus, se numesc polinoamele lui Legendre. Aceste polinoame, care se notează , verifică următoarea formulă:

[ ] ( ){ ∗− ∈=→− NR i ittff ii ,,1,1: 1 }

N∈nPn ,

( ) ( )[ ]n

n

n

nn ttn

tP 1dd

!21 2 −⋅

= .

Primele patru polinoame Legendre sunt:

, , ( ) 10 =tP ( ) ttP =1 ( )21

23 2

2 −= ttP , ( ) tttP23

25 3

3 −= .

8) Fie un spaţiu euclidian real şi nE piEe ni ,1, =∈ . Determinantul

( )><><><

><><><><><><

=Γ

pppp

p

p

p

eeeeee

eeeeeeeeeeee

eee

,,,

,,,,,,

,,,

21

22221

11211

21

L

MLMM

L

L

L

se numeşte determinantul Gram al sistemului de vectori { }piEe ni ,1, =∈ . Să se arate că sistemul de vectori { }piEe ni ,1, =∈ este liniar independent dacă şi numai dacă ( ) 0,,, 21 ≠Γ peee L . Rezolvare. Fie combinaţia liniară

nEppeee 0=+++ ααα L2211 .Înmulţim scalar

egalitatea de mai sus cu pjEe nj ,1, =∈ ; obţinem astfel sistemul liniar în


necunoscutele pii ,1, =α :

.0,,,

0,,,

0,,,

2211

2222211

1122111

=><++><+><

=><++><+><

=><++><+><

ppppp

pp

pp

eeeeee

eeeeee

eeeeee

ααα

ααα

ααα

L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

L

L

Sistemul de mai sus are numai soluţia banală dacă şi numai dacă determinantul său este diferit de zero. Cum determinantul acestui sistem este ( )peee ,,, 21 LΓ ,

rezultă că vectorii pjEe nj ,1, =∈ sunt liniar independenţi dacă şi numai dacă ( ) 0,,, 21 ≠Γ peee L .

9) Fie un spaţiu euclidian real, M un subspaţiu propriu al lui şi

. Să se determine: nE nE

MEx n \∈a) proiecţia vectorului x pe subspaţiul M; b) distanţa de la x la M. Rezolvare. a) Fie { }peee ,,, 21 L , np < bază în M. Deoarece avem

şi descompunerea este unică. Fie ;

condiţia este echivalentă cu condiţiile

⊥⊕= MMEn

⊥∈′′∈′′′+′= MxMxxxx ,, ∑=

=′p

iiiex

1α

⊥∈′′ Mx pjex j ,1,0, ==>′′< , condiţii care se scriu sub forma:

pjexee j

p

ijii ,1,,

1=><=><∑

=

α .

Se obţine astfel sistemul: ><=><++><+>< 11122111 ,,,, exeeeeee ppααα L ><=><++><+>< 22222211 ,,,, exeeeeee ppααα L

.,,,, 2211 ><=><++><+>< pppppp exeeeeee ααα L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

Determinantul acestui sistem este determinantul Gram al sistemului de vectori

. Cum vectorii sunt liniar independenţi rezultă peee ,,, 21 L peee ,,, 21 L

( ) 0,,, 21 ≠Γ peee L şi sistemul de mai sus are soluţie unică; soluţia sistemului se obţine cu regula lui Cramer sub forma:

1.11. EXERCIŢII 53

( )

( ) pieee

eexeee

p

piii ,1,

,,,,,,,,,,

21

1121 =Γ

Γ= +−

L

LLα .

În particular, dacă baza { }peee ,,, 21 L este ortonormată atunci >=< ii ex,α ,

pi ,1= şi

. i

p

ii eexx ∑

=

><=′1

,

b) Distanţa de la vectorul x la subspaţiul M se defineşte prin formula ( ) yxMxd

My−=

∈inf, .

Dacă atunci, cu observaţia 9.7, pentru orice vector ⊥∈′′∈′′′+′= MxMxxxx ,,

My∈ avem

( ) ( ) 22222 xxyxxxyxxxyx ′−≥−′+′−=−′+′−=− . Pentru se obţine egalitate în inegalitatea de mai sus de unde rezultă expresia distanţei din observaţia 9.16:

xy ′=

( ) xxxMxd ′′=′−=, . De aici obţinem: ( ) =>′′−<−>′−<=>′−′−<=′′= xxxxxxxxxxxMxd ,,,, 22

∑=

><−=>′−<=p

iii exxxxx

1

2 ,, α ,

sau: ( ) 22

2211 ,,,, Mxdxxexexe pp −=><++><+>< ααα L . Dacă acestei ecuaţii îi ataşăm ecuaţiile ><=><++><+>< 11122111 ,,,, exeeeeee ppααα L


><=><++><+>< 22222211 ,,,, exeeeeee ppααα L

,,,,, 2211 ><=><++><+>< pppppp exeeeeee ααα L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

atunci obţinem un sistem liniar în necunoscutele pii ,1, =α , sistem care trebuie să fie compatibil. Condiţia de compatibilitate a acestui sistem este

( )

0

,,,,

,,,,,,,,,,,,,

221

222212

112111

212

=

><><><><

><><><><><><><><><><><−><

eeeeeeex

eeeeeeexeeeeeeexxexexeMxdxx

pppp

p

p

p

L

MMMMM

L

L

L

,

din care obţinem:

( ) ( )( )p

p

eeeeeex

Mxd,,,,,,,

,21

212

L

L

Γ

Γ= .

11.2. Exerciţii propuse 1) a) Să se arate că mulţimea tuturor şirurilor convergente de numere reale for-mează un spaţiu liniar real relativ la adunarea şirurilor şi înmulţirea dintre un număr şi un şir. b) Să se arate că mulţimea , kC Nk∈ , a funcţiilor reale continue de n variabile reale, definite pe mulţimea deschisă , şi care au derivate parţiale până la ordinul k continue pe U, este spaţiu liniar real în raport cu adunarea funcţiilor şi înmulţirea acestora cu scalari reali.

nU R⊂

2) Să se studieze care din următoarele submulţimi din spaţiul aritmetic tridimensional formează subspaţii liniare: 3R a) ( ){ }0,, 33211 == xxxxS ; b) ( ){ }02,, 3213212 =−+= xxxxxxS ; c) ( ){ }12,, 3213213 =−+= xxxxxxS ;

d) ( ){ }02,, 23

22

213214 =−+= xxxxxxS ;

e) ( ){ }3,1,1,, 3215 =>= ixxxxS i .

1.11. EXERCIŢII 55

3) Să se verifice dacă vectorul ( ) 43,0,2,1 R∈−=v este o combinaţie liniară a vectorilor ( ) ( ) ( )1,2,1,2,1,0,3,2,2,4,9,3 321 −=−=−−= eee . În caz afirmativ să se determine combinaţia liniară nulă a vectorilor . 321 ,,, eeev 4) Să se determine dacă următoarele familii de vectori sunt liniar dependente sau liniar independente. În cazul liniar dependenţei să se determine relaţia de dependenţă liniară: a) ( ) ( ) ( ) 3

321 2,0,1,1,1,1,0,2,1 R∈−−=== vvv ; b) ( )RCvtvtv ∈=== 1,cos,sin 321 ; c) ( )RCvtvtv ∈=== 1,cos,sin 3

22

21 ;

d) ( ) acbaCevvv tctbta ≠≠≠∈=== ,,e,e 321 R ; e) ( )R2

23

221 3,1,1 Pttvttvtv ∈++=+−=+= ;

f) . ( )R24321 1111

,2101

,1011

,2001

Mvvvv ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5) Să se determine care din următoarele sisteme de vectori ale spaţiului liniar

sunt liniar independente: ( )RC a) ; { }ttS 2cos,2cos,1=

b) ; { }tS tt ch,e,e −=

c) . { }tntttt ttttS e,,e,e,e,e 32 L= 6) Să se verifice dacă următoarele familii de vectori din sunt baze. În caz afirmativ să se determine coordonatele vectorului

4R( )4,3,2,1=v în baza

: { }4321 ,,, vvvvB = a) ( ) ( ) ( ) ( )1,1,0,0,0,0,2,0,1,0,1,1,0,0,1,1 4321 ==−== vvvv ; b) ( ) ( ) ( ) ( )1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 4321 −−=−−=−−== vvvv ; c) ( ) ( ) ( ) ( )1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1 4321 −−==== vvvv . 7) Să se afle câte o bază în subspaţiul liniar M şi dimensiunea acestuia dacă: a) ( ) ( ) ( ){ }( ) 4

321 0,3,1,1,1,0,2,1,1,3,1,2 R⊂−−==== eeeLM ; b) ( ) ( ) ( ){ }( ) 5

321 3,5,1,2,4,1,1,0,1,1,1,3,1,0,2 R⊂−=−=−== eeeLM ;


c) ( )RR 3,2,,0

0Mzyx

zyyx

AM ⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== .

8) Să se determine dimensiunea subspaţiilor liniare generate de următoarele sisteme de vectori din spaţiul liniar ( )RC : a) { }jiaa,niaS jii

tnatatata ≠≠=∈= ,,1,e,,e,e,e 3211 RL ;

b) { }R∈= atttS tantatata e,,e,e,e 22 L .

9) Să se determine dimensiunile sumei şi intersecţiei subspaţiilor liniare generate de următoarele sisteme de vectori:

21 ,MM

a) ( ) ( ) ( ){ }3,1,1,2,2,1,1,3,2 321 −==−== uuuU , ( ) ( ) ( ){ }3,3,1,1,1,1,1,2,1 321 =−=== vvvV în ; 3R b) ( ) ( ) ( ){ }3,1,2,1,2,1,1,0,1,2,1,1 321 −−=−−=−== uuuU , ( ) ( ) ( ){ }3,2,0,3,1,1,1,2,1,0,1,2 321 =−−−−=== vvvV în . 4R 10) În se consideră subspaţiul liniar M generat de vectorii ,

. Să se determine toate subspaţiile cu proprietatea că .

3R ( )0,0,11 =e( 0,1,12 =e ) 3

1 R⊂M

13 MM ⊕=R

11) Să se arate că următoarele familii de vectori sunt baze în spaţiul vectorial specificat, să se determine matricea de trecere de la baza B la baza B′ şi coordonatele vectorului x (scris în baza canonică) în bazele B şi B′ : a) ( ) ( ) ( ){ } 3

321 0,1,1,1,0,1,1,0,1 R⊂=−=== fffB ( ) ( ) ( ){ } 3

321 0,0,1,0,1,1,1,1,1 R⊂====′ gggB , ( )7,5,2=x ; b) { } ( )R23

221 1,1,1 PftftfB ⊂=−=+==

{ } ( )R2322

1 1,,1 PtgtgttgB ⊂+==++==′ , ; 21 ttx +−=

c) , ( )R44321 0001

,0011

,0111

,1111

MffffB ⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

1.11. EXERCIŢII 57

, ( )R44321 2100

,0111

,0110

,1001

MggggB ⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==′

. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5132

x

12) Să se verifice că următoarele operaţii determină produse scalare pe spaţiile liniare specificate: a) ; 3

332211 ,,, R∈++=>< yxyxyxyxyxb) 3

332211 ,,, C∈++=>< yxyxyxyxyx ;

c) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]{ }continuã,,:,,,d, fbafbaCgfttgtfgfb

aR→=∈∀=>< ∫ ;

d) ( ) (R22

2102

210221100 ,,, Ptbtbbqtataapbababaqp ∈++=++=∀++=>< ); e) ( ) ( ) ( ) ,,,Tr, 2 RMBABABA t ∈∀=>< unde ( ) nnaaaA +++= L2211Tr este urma matricei ( )

njiijaA,1, =

= . 13) Să se ortonormeze următoarele sisteme de vectori: a) ( ) ( ) ( ){ } 3

321 1,1,0,1,0,1,0,1,1 R⊂==== vvvB ; b) ( ) ( ) ( ){ } 3

321 1,2,2,2,2,1,2,1,2 R⊂−=−=== vvvB ; c) ( ) ( ) ( ){ } 4

321 7,8,2,3,3,5,1,1,1,2,2,1 R⊂−=−=−== vvvB ; 14) Să se determine complementul ortogonal ⊥M al subspaţiului liniar M unde

. ( ) ( )( ) 421 1,1,1,1,0,0,1,1 R⊂−=== vvLM

15) Fie mulţimea ( ){ }0,, 321

3321 =++∈= xxxxxxM R . Să se arate că M este

subspaţiu liniar în , să se determine complementul ortogonal 3R ⊥M al subspaţiului liniar M, o bază în ⊥M şi să se proiecteze vectorul pe M şi

( )6,2,1=x⊥M .

16) Fie familia de vectori { }321 ,, vvvB = , unde ( ) ( ,1,1,0,2,0,1 21 −= )= vv

. Să se arate că B este bază în şi să se ortonormeze. ( 0,1,13 −=v ) 3R 17) Să se determine o bază ortonormată faţă de produsul scalar canonic în subspaţiul liniar M al soluţiilor sistemului:


.02 23

02 34501032

4321

4321

4321

=−++=+++=+++

xxxxxxxxxxxx

Să se determine ⊥M , o bază ortonormată în ⊥M şi să se proiecteze vectorul

pe M şi ( 7,5,2,1=x ) ⊥M . 18) Fie S mulţimea soluţiilor sistemului

.0 0

0 0 0

541

632

6521

531

641

=+−=++−=−+−=+−=+−

xxxxxx

xxxxxxx

xxx

Să se afle complementul ortogonal şi să se proiecteze vectorul

pe .

⊥S( )1,1,1,1,1,1=x ⊥S

19) Fie spaţiul liniar al şirurilor de numere reale ( )R2l ( ) ∗∈= Nnnxx pentru care

seria este convergentă. Să se arate că aplicaţia ∑∞

=1

2

nna ( ) ( ) RRR →× 22: llϕ ,

este un produs scalar şi să se ortonormeze sistemul

unde

( ) ∑∞

=

=><=1

,,i

ii yxyxyxϕ

{ } (R2,, lzyx ⊂ )∗∈

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Nnnx 121 ,

∗∈− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Nnny 131 ,

∗∈− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Nnnz 141 .

20) Fie [ ]π2,0C spaţiul liniar al funcţiilor reale de o variabilă reală continue pe

intervalul [ ]π2,0 cu produsul scalar ( ) ( )∫=><π2

0d, ttgtfgf . Să se ortonorme-

ze sistemul de vectori din [ ]π2,0C : ( ) ( ) tntftf n cos,1 120 == − , , .

( ) tntf n sin2 =∗∈Nn

21) Să se determine în complementul ortogonal subspaţiului liniar definit prin

3R( ){ 321

3321 ,, xxxxxxM ==∈= R }

). Să se găsească proiecţiile vectorului

pe subspaţiile liniare M şi ( 3,2,1=x ⊥M .

1.11. EXERCIŢII 59

22) Fie un spaţiu euclidian real şi nE { } nm Evvv ⊂,,, 21 L , nm < o familie de vectori. Să se arate că: a) dacă { reprezintă familia obţinută din } nm Eeee ⊂,,, 21 L { }mvvv ,,, 21 L în urma aplicării procedeului Gram-Schmidt, atunci au loc relaţiile: ( ) miev ii ,1, =∀≥ ; b) au loc relaţiile: , ( ) ( ) ( )nn vvveee ,,,,,, 2121 LL Γ=Γ

222

2121 ,,, nn vvvvvv ⋅⋅⋅≤Γ KL .

23) Fie spaţiul liniar real [ ]2,0C=V cu produsul scalar ( ) ( ) ( ) V∈∀=>< ∫ gfxxgxfgf ,,d,

2

0.

a) Să se scrie inegalitatea Cauchy-Buniakovski pentru acest produs scalar. b) Să se calculeze distanţa dintre vectorii f şi g şi norma acestor vectori dacă:

, ( ) 1=xf ( ) [ ]( ]⎩

⎨⎧

∈−∈

=.2,1,2

1,0 ,xxxx

xg

24) Să se determine o bază ortonormată în subspaţiul soluţiilor sistemului:

.0203

4321

4321

=−−=+−−

xxxxxxxx

25) Fie pe spaţiul liniar real produsul scalar [ 4,0C ] ( ) ( ) ( ) V∈∀=>< ∫ g,f,xxgxfg,f

4

0d .

a) Să se scrie inegalitatea Cauchy-Buniakovski pentru acest produs scalar. b) Să se calculeze unghiul dintre vectorii:

( )

( ) [ ]( ]⎩

⎨⎧

∈−∈

=

=

.4,2,22,0,

,

xxxx

xg

xxf


26) Să se arate că aplicaţia ( ) ( )∫=><

e

1dln, tttgtfgf

este un produs scalar pe spaţiul liniar [ ]e,1C şi să se determine unghiul dintre vectorii: ( ) ( ) ttgtf == ,1 . 27) În cu produsul scalar uzual se consideră subspaţiul S al soluţiilor sistemului liniar

6R

.0 0

0 0 0

541

632

6521

531

641

=+−=+−=−+−=+−=+−

xxxxxx

xxxxxxx

xxx

2. OPERATORI LINIARI

2.1. OPERATORI LINIARI

Fie V, W două spaţii liniare peste K. 1.1. Definiţie. Aplicaţia WV →:U , se numeşte operator liniar (transformare liniară, aplicaţie liniară, morfism) dacă: i) ( ) ( ) ( ) ( ) V∈∀+=+ yxyUxUyxU ,, ; ii) ( ) ( ) ( ) ( ) KV ∈∀∈∀= λλλ ,, xxUxU . Un operator liniar VV →:U se numeşte endomorfism. Un operator liniar WV →:U injectiv se numeşte monomorfism. Un operator liniar WV →:U surjectiv se numeşte epimorfism. Un endomorfism bijectiv se numeşte automorfism. 1.2. Exemple. i) Fie V un spaţiu liniar peste corpul K şi M un subspaţiu liniar al lui V. În raport cu legile de compoziţie induse de V, M este spaţiu liniar. Aplicaţia ( ) ( ) MxxxUMU ∈∀=→ ,,: V , numită operator de incluziune, este liniară. ii) Fie [ ]baC ,1=V , [ ]baC ,=W . Operatorul: [ ] [ ] ( ) ffUbaCbaCU ′=→ ,,,: 1 este liniar. Acest operator se numeşte operatorul de derivare. iii) Operatorul [ ] ( ) ( )∫=→

b

attffURbaCU d,,: ,

se numeşte operatorul integral. El este evident un operator liniar. iv) Fie matricea ( ) ( )Rnmnjmiij MaA ,,1;,1

∈===

şi vectorii ( ) nnxxxx R∈= ,,, 21 L ,

( ) mmyyyy R∈= ,,, 21 L . Fie: ( ) t

nxxxX L21= , ( ) tmyyyY L21= .

2. OPERATORI LINIARI 62

Definim operatorul mnU RR →: astfel: ( ) XAYyxU =⇔= . Să arătăm că acest operator este liniar. Pentru nxx R∈21 , , ( )nxxxx 112111 ,,, L= ,

( )nxxxx 222212 ,,, L= avem: ( ) ( ) ( ) ( )21212121 xUxUxxUAXAXXXA +=+⇒+=+ , ( ) ( ) ( )xUxUAXXA λλλλ =⇒= 11 , deci operatorul U este liniar. 1.3. Propoziţie. Operatorul WV →:U este liniar dacă şi numai dacă: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KV ∈∀∈∀+=+ βαβαβα ,,,, yxyUxUyxU . Demonstraţie. Necesitatea. Dacă WV →:U este liniar atunci pentru orice

V∈yx, , K∈βα , avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yUxUxUxUyxU βαβαβα +=+=+ . Suficienţa. Dacă în condiţia din teoremă punem 1== βα rezultă ( ) ( ) ( )xUxUyxU +=+ , iar pentru 0=β avem ( ) ( )xUxU αα = , deci operatorul

U este liniar. Fie ( )WV ,L mulţimea operatorilor liniari WV →:U . Operatorii

( )WV ,, 21 LUU ∈ sunt egali dacă ( ) ( ) ( ) V∈∀= xxUxU ,21 . Suma dintre operatorii 1U şi 2U din ( )WV ,L este operatorul definit prin: ( )( ) ( ) ( ) ( ) V∈∀+=+ xxUxUxUU ,2121 . Operatorul sumă este evident liniar. Produsul dintre operatorul ( )WV ,LU ∈ şi scalarul K∈λ este operatorul: ( )( ) ( ) ( ) V∈∀= xxUxU ,λλ , care este evident un operator liniar. În raport cu adunarea operatorilor şi înmulţirea operatorilor cu scalari ( )WV ,L este un spaţiu liniar peste K. Mulţimea operatorilor liniari VV →:U se notează ( )VEnd şi se numeşte mulţimea endomorfismelor spaţiului liniar V. Mulţimea automorfismelor spaţiului liniar V o vom nota cu ( )VAut . 1.4. Propoziţie. Fie ( )WV ,LU ∈ . Atunci: i) ( ) WU 00 =V ; ii) Dacă M este un subspaţiu liniar al lui V atunci ( )MU este un subspaţiu liniar al lui W. Demonstraţie. i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VVV ∈∀+=+= xUxUxUxU ,00 , deci ( ) WU 00 =V .

2.7. EXERCIŢII 63

ii) Pentru ( )MUyy ∈21 , există Mxx ∈21 , astfel încât ( ) 11 yxU = , ( ) 22 yxU = . Fie K∈βα , . Atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21212121 xxUxUxUxUxUyy βαβαβαβα +=+=+=+ , ceea ce implică ( )MUyy ∈+ 21 βα , deci ( )MU este un subspaţiu liniar în W. 1.5. Teoremă. Fie nV şi W două spaţii liniare peste corpul K, { }neeeB ,,, 21 L= bază în nV şi nfff ,,, 21 L vectori arbitrari din W. Atunci: i) există un unic operator liniar WV →nU : astfel încât ( ) nifeU ii ,1, == ; ii) dacă nfff ,,, 21 L sunt liniari independenţi atunci operatorul WV →nU : , ( ) nifeU ii ,1, == este injectiv.

Demonstraţie. i) Fie nV∈=∑=

n

iii exx

1 şi operatorul WVn →:U definit prin

( ) ∑=

=n

iii fxxU

1. Să arătăm că operatorul definit mai sus este liniar. Pentru

∑=

=n

iiiexx

1, n

n

iiieyy V∈=∑

=1, K∈βα , , avem:

( ) ( ) ∑∑∑===

+=+=+n

iii

n

iii

n

iiii fyfxfyxyxU

111βαβαβα = ( ) ( )yUxU βα + ,

ceea ce implică liniaritatea operatorului U. Pentru a demonstra unicitatea operatorului U, fie ( )WV ,nLT ∈ , astfel

încât ( ) nifeT ii ,1, == . Atunci imaginea vectorului nV∈=∑=

n

iii exx

1 prin

operatorul T este:

( ) ( ) ( )xUfxeTxexTxTn

iii

n

iii

n

iii ===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑∑

=== 111.

Deoarece x a fost ales arbitrar în nV rezultă UT = .

ii) Fie ∑=

=n

iiiexx

1, n

n

iiieyy V∈=∑

=1şi ( ) ( )yUxU = . Atunci din definiţia lui U

rezultă ( )n

n

iiii fyx V0=−∑

=1 şi cum vectorii nifi ,1, = sunt liniar independenţi


obţinem niyx ii ,1, == deci yx = . Injectivitatea operatorului U este astfel demonstrată. 1.6. Compunerea operatorilor liniari. Dacă WWV ′,, sunt spaţii liniare peste acelaşi corp al scalarilor K şi ( )WV ,1 LU ∈ , ( )WW ′∈ ,2 LU , compunerea operatorilor liniari 1U şi 2U se defineşte precum compunerea funcţiilor de o variabilă reală: ( )( ) ( )( ) V∈= xxUUxUU ,1212 o . Operatorul compus 1,: UU o2UUWV =′→ este evident un operator liniar; el se mai numeşte produsul operatorilor 1U şi 2U . Operatorul WV →:U se zice inversabil dacă este injectiv. În acest caz, operatorul ( ) VV →− UU :1 definit prin ( ) ( ) yxUxyU =⇔=−1 se numeşte inversul operatorului U . Dacă ( )WV ,LU ∈ este inversabil, atunci inversul său este un operator liniar. Într-adevăr, deoarece ( )WV ,LU ∈ este inversabil, el este injectiv; pentru

( )VUyy ∈21 , există V∈21 , xx astfel încât ( ) 11 yxU = , ( ) 22 yxU = . Atunci:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) =+=+=+ −−−21

121

121

1 xxUUxUxUUyyU βαβαβα ( ) ( )2

11

121 yUyUxx −− +=+= βαβα ,

de unde rezultă liniaritatea operatorului 1−U .

2.2. NUCLEU ŞI IMAGINE

Fie V şi W două spaţii liniare peste corpul K. 2.1. Definiţie. Se numeşte nucleul operatorului liniar WV →:U mulţimea ( ){ }WV 0=∈= xUxUKer . Se numeşte imaginea operatorului WV →:U mulţimea ( ){ }V∈= xxUUIm . 2.2. Propoziţie. Fie ( )WV ,LU ∈ . Atunci: i) UKer este un subspaţiu liniar în V;

2.7. EXERCIŢII 65

ii) UIm este un subspaţiu liniar în W. Demonstraţie. i) Fie K∈∈ βα ,,Ker, Uyx . Atunci:

( ) ( ) ( ) W0=+=+ yUxUyxU βαβα , deci Uyx Ker∈+ βα . ii) Deoarece ( )VUU =Im , afirmaţia rezultă din propoziţia 1.4, ii). 2.3. Propoziţie. Dacă ( )WV ,LU ∈ atunci următoarele afirmaţii sunt echiva-lente: i) U este injectiv; ii) { }V0=UKer . Demonstraţie. )) iii ⇒ . Fie ( )WV ,LU ∈ injectiv şi Ux Ker∈ ; atunci ( ) W0=xU . Deoarece U este liniar avem ( ) WV 00 =U iar din injectivitatea

operatorului U rezultă W0=x deci { }V0=UKer . )) iii ⇒ . Dacă ( ) ( )yUxU = , cum ( )WV ,LU ∈ rezultă ( ) W0=− yxU ; din { }V0=UKer avem V0=− yx , de unde rezultă yx = şi injectivitatea

operatorului U este demonstrată. 2.4. Definiţie. Dimensiunea nucleului operatorului ( )WV ,LU ∈ se numeşte defectul lui U. Dimensiunea imaginii operatorului U se numeşte rangul lui U. 2.5. Teoremă. Fie ( )WV ,nLU ∈ . Atunci: nUU =+ KerdimImdim . Demonstraţie. Fie npU ≤=Kerdim . Dacă 0=p atunci { }

nU V0=Ker şi

aplicaţia ( ) ( ) ( ) ( ) nnn xxUxTUT VVV ∈∀=→ ,,: este inversabilă deci este un izomorfism de spaţii liniare, de unde rezultă că nU n == VdimImdim . Fie 1≥p şi { }peeeE ,,, 21 L= o bază în UKer , pe care o completăm până la o

bază în V. Fie Uy Im∈ . Atunci există n

n

iii exx V∈=∑

=1 astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑+=+===

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

n

piii

n

piii

p

iii

n

iii eUxeUxeUxexUxUy

1111.


De aici rezultă că ( ) ( ) ( )( )npp eUeUeULU ,,,Im 21 L++= . Să arătăm că vectorii ( ) ( ) ( )npp eUeUeU ,,, 21 L++ sunt liniar independenţi în

UIm . Din combinaţia liniară nulă ( ) ( ) ( ) W0=+++ ++++ nnpppp eUeUeU ααα L2211 rezultă ( ) W0=+++ ++++ nnpppp eeeU ααα L2211 , deci:

Ueee nnpppp Ker2211 ∈+++ ++++ ααα L .

În aceste condiţii există scalarii pii ,1, =α astfel încât:

ppnnpppp eeeeee αααααα +++=+++ ++++ LL 22112211 . Cum vectorii niei ,1, = sunt liniar independenţi avem nii ,1,0 ==α , fapt ce implică liniar independenţa vectorilor ( ) ( ) ( )npp eUeUeU ,,, 21 L++ . Deoarece aceşti vectori generează subspaţiul UIm rezultă că ei formează o bază în UIm deci

pnU −=Imdim şi teorema este demonstrată. 2.6. Teoremă. Fie ( )WV ,nLU ∈ . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) U este injectiv; ii) dacă vectorii peee ,,, 21 L sunt liniar independenţi în nV atunci şi vectorii ( ) ( ) ( )peUeUeU ,,, 21 L sunt liniar independenţi în W;

iii) ( ) nU n =Vdim ; iv) dacă { }neee ,,, 21 L este bază în nV atunci ( ) ( ) ( ){ }neUeUeU ,,, 21 L este bază în W. Demonstraţie. )) iii ⇒ . Fie ( )WV ,nLU ∈ injectiv şi peee ,,, 21 L vectori liniar independenţi în nV . În aceste condiţii, combinaţia liniară nulă

( ) ( ) ( ) W0=+++ pp eUeUeU ααα L2211 , implică ( ) W0=+++ ppeeeU ααα L2211 şi cum U este injectiv avem: V0=+++ ppeee ααα L2211 . Deoarece vectorii peee ,,, 21 L sunt liniar independenţi rezultă 01 === pαα L , fapt ce implică liniar independenţa vectorilor ( ) ( ) ( )peUeUeU ,,, 21 L .

)) iiiii ⇒ . Dacă { }neeeB ,,, 21 L= este bază în nV , atunci ( ) ( ) ( )neUeUeU ,,, 21 L

2.7. EXERCIŢII 67

sunt liniar independenţi, deci nU ≥Imdim . Din teorema 2.5 avem nU ≤Imdim deci nU =Imdim .

)) iviii ⇒ . Fie ( )nUy V∈ ; atunci există vectorul n

n

iii exx V∈=∑

=1 astfel încât

( ) ( )∑=

==n

iii eUxxUy

1. De aici rezultă că ( ) ( ) ( )( )nn eUeULU ,,1 L=V şi cum

( ) nU n =Vdim rezultă că ( ) ( ) ( ){ }neUeUeU ,,, 21 L este bază în ( )nU V . )) iiv ⇒ . Dacă )iv este adevărată atunci ( ) nUU n == Imdimdim V şi cu teorema

2.5 rezultă 0Kerdim =U , deci { }V0=UKer şi U este injectiv. 2.7. Propoziţie. Fie ( )nnLU WV ,∈ . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) U este injectiv; ii) U este surjectiv; iii) U este bijectiv. Demonstraţie. )) iii ⇒ Dacă ( )nnLU WV ,∈ este injectiv atunci { }V0=UKer şi cu teorema 2.5 rezultă nU =Imdim deci nU W=Im şi U este surjectiv.

)) iii ⇒ . Din surjectivitatea operatorului U rezultă nU W=Im şi nU =Imdim ; teorema 2.5 ne dă 0Kerdim =U de unde rezultă U injectiv. Afirmaţia iii) implică i) şi ii) în mod evident. În plus, dacă i) implică ii) atunci i) implică iii) şi demonstraţia este încheiată.

2.3. OPERATORI LINIARI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE

Fie mn WV , două spaţii liniare peste corpul K , { }neeeB ,,, 21 L= bază în nV , { }mfffB ,,, 21 L=′ bază în mW şi ( )mnLU WV ,∈ .

Deoarece ( ) njeU mj ,1, =∈W , aceşti vectori sunt combinaţii liniare ale vectorilor bazei B′ , adică:

( ) njfaeUm

iiijj ,1,

1== ∑

=

.

Dacă n

n

ijj exx V∈=∑

=1 atunci avem:


( ) ( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ∑∑∑

= ===

n

j

m

iiijj

n

jjj

n

jjj faxeUxexUxU

1 111

∑∑ ∑== =

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

m

iiii

m

i

n

jjij fyfxa

11 1,

unde

mixayn

jjiji ,1,

1== ∑

=

.

Vom constata în cele ce urmează că formulele de mai sus caracterizează operatorii liniari pe spaţii finit dimensionale. 3.1. Teoremă. Fie mn WV , spaţii liniare peste corpul K, { }neeeB ,,, 21 L= bază în nV , { }mfffB ,,, 21 L=′ bază în mW şi operatorul mnU WV →: . Fie

n

n

jjj exx V∈=∑

=1, ( ) ∑

=

==m

iii fyxUy

1. Condiţia necesară şi suficientă ca U să fie

liniar este să existe scalarii njmiaij ,1,,1, ==∈K astfel încât:

mixayn

jjiji ,1,

1== ∑

=

.

Demonstraţie. Necesitatea. Fie mnU WV →: liniar. Afirmaţia din teoremă a fost demonstrată la începutul acestui paragraf.

Suficienţa. Fie mnU WV →: , n

n

jjj exx V∈=∑

=1, ( ) ∑

=

==m

iii fyxUy

1, astfel încât:

mixayn

jjiji ,1,

1== ∑

=

.

Dacă notăm ( ) t

nxxxX L21= , ( ) tmyyyY L21= , ( )

nijmiijaA,;,1 ==

= atunci condiţia din enunţul teoremei se scrie matriceal sub forma: ( )xUyXAY =⇔⋅= . Pentru ( ) ( ) nnn xxxxxxxx V∈== 222122121111 ,,,,,,, LL şi K∈21 ,αα avem

2.7. EXERCIŢII 69

( ) t

nxxxX 121111 L= , ( ) tnxxxX 222122 L= şi:

( ) 22112211 XAXAXXA ⋅+⋅=+ αααα .

De aici rezultă:

( ) ( ) ( )22112211 xUxUxxU αααα +=+ , deci operatorul U este liniar. 3.2. Definiţie. Matricea ( )

nijmiijaA,;,1 ==

= din teorema 3.1 se numeşte matricea ataşată operatorului liniar mnU WV →: în bazele B şi B′ . 3.3. Observaţie. i) Matricea ataşată unui operator liniar mnU WV →: depinde de bazele din nV şi mW . ii) Matricea ataşată unui operator liniar mnU WV →: conţine pe coloane coordonatele imaginilor vectorilor bazei din B prin operatorul U. iii) Rangul operatorului mnU WV →: este egal cu rangul matricei ataşate lui în două baze arbitrare B şi B′ din nV şi respectiv mW . iv) Endomorfismul nnU VV →: este inversabil dacă şi numai dacă matricea ataşată lui într-o bază oarecare este nesingulară. Într-adevăr, avem echivalenţele: U inversabil⇔ U injectiv { }

nV0=⇔ UKer 0Kerdim =⇔ U ⇔=⇔ nUImdim nA =⇔ rang .

v) Dacă operatorilor ( )mnLUU WV ,, 21 ∈ li se ataşează matricele 21 , AA atunci operatorului sumă i se ataşează matricea 21 AA + iar operatorului K∈λλ ,1U i se ataşează matricea 1Aλ , afirmaţii ce se verifică cu uşurinţă. vi) Operatorii ( )mnLUU WV ,, 21 ∈ sunt egali dacă şi numai dacă matricele ataşate lor în două baze arbitrare din B şi B′ sunt egale. vii) Operatorului identitate pe nV , ( ) ( ) ( ) nn xxxILI VV ∈∀=∈ ,, i se ataşează într-o bază oarecare din nV matricea unitate din ( )KnM . 3.4. Propoziţie. Fie mn WV , spaţii liniare peste corpul K. Atunci spaţiile liniare ( )mnL WV , şi ( )KnmM , sunt izomorfe.

Remarcă. Din izomorfismul acestor spaţii liniare rezultă că spaţiul ( )mnL WV , are dimensiunea nm ⋅ . Demonstraţie. Fie { }neeeB ,,, 21 L= , { }mfffB ,,, 21 L=′ baze în nV , respectiv


mW , ( )mnLU WV ,∈ şi A matricea ataşată operatorului U în bazele B şi B′ . Fie

operatorul ( ) ( ) ( ) AUUMLU nmmn =→ ~,,:~, KWV . Să arătăm că acest operator este

un izomorfism de spaţii liniare. Să remarcăm pentru început că dacă operatorilor ( )mnLUU WV ,, 21 ∈ li se ataşează matricele ( )KnmMAA ,21 , ∈ atunci operatorului

K∈+ 212211 ,, αααα UU , i se ataşează matricea 2211 AA αα + . În aceste condiţii ( ) ( ) ( )221122112211

~~~ UUUUAAUUU αααααα +=+=+ , deci operatorul U~ este liniar. El este şi injectiv, deoarece dacă ( ) ( )21

~~ UUUU = atunci matricele asociate operatorilor ( )mnLUU WV ,, 21 ∈ sunt egale deci 21 UU = . Pentru a încheia demonstraţia este suficient acum să aplicăm propoziţia 2.7. 3.5. Propoziţie. Dacă pmn WWV ,, sunt spaţii liniare peste corpul K şi operatorilor ( ) ( )pmmn LULU WWWV ,,, 21 ∈∈ li se asociază în bazele nB V⊂ ,

mB W⊂′ , pB W⊂′′ matricele ( )KnmMA ,1 ∈ şi respectiv ( )KmpMA ,2 ∈ atunci operatorului ( )pnLU WV ,∈ , 12 UUU o= i se ataşează matricea:

( )KnpMAAA ,12 ∈= . Demonstraţie. Fie { }neeeB ,,, 21 L= , { }mfffB ,,, 21 L=′ , { }pgggB ,,, 21 L=′′ baze în nV , mW şi respectiv pW . În aceste baze, operatorilor ( )mnLU WV ,1 ∈ ,

( )pmLU WW ,2 ∈ şi ( )pnLU WV ,∈ , 12 UUU o= , li se ataşează matricele ( )

njmiijaA,1;,11 ==

= ( )KnmM ,∈ , ( )mjpiijbA

,1;,12 === ( )KmpM ,∈ , ( ) ∈=

== njpiijA,1;,1

γ ( )KnpM ,∈ . Atunci, din modul cum am definit matricea ataşată unui operator

liniar rezultă ( ) ∑=

=m

iiijj faeU

11 , ( ) ∑

=

=p

kkkii gbfU

12 , ( ) ∑

=

=p

kkkjj geU

1γ şi în plus:

( ) ( )( ) ( ) ∑ ∑∑∑= ===

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

m

i

p

kkkiij

m

iiij

m

iiijjj gbafUafaUeUUeU

1 112

1212

∑∑ ∑== =

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

kkkj

p

kk

m

iijki ggab

11 1γ ( ) njpkab kj

m

iijki ,1,,1,

1==∀=⇒∑

=

γ ,

adică 12 AAA = . 3.6. Observaţie. i) Fie ( )nLU V∈ , U injectiv. Atunci operatorul U este inversabil şi IUUUU == −− oo 11 , unde ( ) ( ) ( ) nn xxxILI VV ∈∀=∈ ,, este operatorul

2.7. EXERCIŢII 71

identitate pe nV . Dacă A şi B sunt matricele ataşate operatorilor U şi respectiv

1−U într-o bază oarecare din nV , atunci din propoziţia 3.5 rezultă că

nIABBA == deci 1−= AB . ii) Fie ( )nGL V mulţimea endomorfismelor inversabile pe nV . Această mulţime coincide cu mulţimea ( )nVAut . În raport cu operaţia de compunere a operatorilor această mulţime formează o structură de grup, numită grupul liniar al spaţiului liniar nV . Acest grup este izomorf cu grupul multiplicativ al matricelor nesingulare de ordinul n cu elemente din K. 3.7. Definiţie. Matricele ( )KnMBA ∈, se numesc matrice asemenea dacă există o matrice nesingulară ( )KnMC ∈ astfel încât ACCB 1−= . Asemănarea matricelor este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea ( )KnM . Într-adevăr, ( )KnMA∈ este asemenea cu ea însăşi deoarece nn IAIA 1−= , deci relaţia de asemănare a matricelor este reflexivă. Dacă matricea A este asemenea cu B atunci există matricea nesingulară C astfel încât ACCB 1−= . De aici obţinem

1−= BCCA şi dacă notăm 11 CC =− avem 1

11 CBCA −= deci matricea B este

asemenea cu matricea A. De aici rezultă că relaţia de asemănare este simetrică. Pentru a arăta că relaţia de asemănare este şi tranzitivă, fie matricele 321 ,, AAA astfel încât 1A este asemenea cu 2A şi 2A este asemenea cu 3A . Atunci există matricele nesingulare 1,CC astfel încât CACA 1

12

−= , 121

13 CACA −= . De aici obţinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

1111

11111

11112

113 CCACCCCACCCCACCCACA −−−−−− ==== ,

fapt ce probează tranzitivitatea relaţiei de asemănare. Dacă matricele A şi B sunt asemenea atunci ele au acelaşi determinant deoarece:

( ) ACACCACB detdetdetdetdetdet 11 =⋅⋅== −− . 3.8. Teoremă. Matricele ( )KnMBA ∈, sunt ataşate aceluiaşi endomorfism

( )nU VEnd∈ în bazele E şi E′ din nV dacă şi numai dacă ( ) tt CACB 1−

= , unde ( )KnMC∈ este matricea de trecere de la baza E la baza E′ . Demonstraţie. Fie { }neeeE ,,, 21 L= , { }nfffE ,,, 21 L=′ baze în nV şi

( ) ( )Knnjiij McC ∈== ,1,

matricea de trecere de la baza E la baza E′ . Fie ( )

njiijaA,1, =

= , ( )njiijbB

,1, == , ( )KnMBA ∈, matricele ataşate operatorului


( )nU VEnd∈ în bazele E şi E′ din nV . Avem:

( ) njeaeUn

kkkjj ,1,

1== ∑

=

,

( ) nifbfUn

jjjii ,1,

1== ∑

=

,

∑=

=n

jjiji ecf

1.

Cu aceste relaţii obţinem

( ) ( ) k

n

k

n

jkjij

n

j

n

kkkjij

n

jjij

n

jjiji eaceaceUcecUfU ∑ ∑∑ ∑∑∑

= == ===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1 11 111,

( ) niecbecbfbfU k

n

k

n

jjkji

n

j

n

kkjkji

n

kjjii ,1,

1 11 11=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== ∑ ∑∑ ∑∑

= == ==

.

iar din aceste egalităţi rezultă: ( ) tttt CACBCABC 1−

=⇒= . Reciproc, fie ( )KnMBA ∈, astfel încât ( ) tt CACB 1−

= , 0det ≠C . Dacă

{ }neeeE ,,, 21 L= este bază în nV atunci vectorii niecfn

jjiji ,1,

1== ∑

=

formează o

bază E′ în nV . Fie operatorul ( )nLU V∈1 căruia în baza E′ i se asociază

matricea ( ) tt CACB 1−= (deci tt CABC = ). În aceste condiţii avem:

( ) niecbecbfbfU k

n

k

n

jjkji

n

j

n

kkjkji

n

jjjii ,1,

1 11 111 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== ∑ ∑∑ ∑∑

= == ==

,

( ) ( ) nieaceaceUcecUfU k

n

k

n

jkjij

n

j

n

kkkjij

n

jjij

n

jjiji ,1,

1 11 111=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ∑∑ ∑∑∑

= == ===

.

Condiţia tt CABC = implică ( ) nkiaccbn

jkjij

n

jjkji ,1,,

11=∀=∑∑

==

; de aici şi din

egalităţile de mai sus obţinem ( ) ( )ii fUfU =1 , ni ,1= adică UU =1 .

2.7. EXERCIŢII 73

3.9. Observaţie. Din cele de mai sus rezultă că fiecare clasă de echivalenţă dată de relaţia de asemănare pe ( )KnM corespunde unui endomorfism ( )nLU V∈ şi conţine toate matricele ataşate operatorului U în bazele spaţiului liniar nV . 3.10. Definiţie. Fie V un spaţiu liniar peste corpul K şi ( )VEnd∈U . Operatorul liniar U se numeşte: a) proiecţie dacă UUU =o (sau UU =2 ); b) involuţie dacă IUU =o , unde I este operatorul identitate pe V; c) structură complexă dacă IUU −=o ; d) endomorfism nilpotent de indice p dacă ( )VL

pU 0= , 2, ≥∈ pp N . 3.11. Propoziţie. Dacă ( )VEnd∈U este o proiecţie atunci: UU ImKer ⊕=V . Demonstraţie. Fie V∈x şi ( )xUxy −= . Atunci: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V0=−=−=−=−= xUxUxUxUxUUxUxUxUyU 2 , deci ( ) UxUxy Ker∈−= . Rezultă că vectorul V∈x poate fi pus sub forma: ( ) ( ) UxUUyxUyx Im,Ker; ∈∈+= , deci UU ImKer +=V . Să arătă că suma precedentă este directă adică UU ImKer ⊕=V . Pentru aceasta este suficient să arătăm că avem: { }V0=∩ UU ImKer . Fie pentru aceasta

UUz ImKer ∩∈ . Din Uz Im∈ rezultă că există V∈x astfel încât ( ) zxU = iar din Uz Ker∈ rezultă ( ) V0=zU . Atunci avem ( ) ( )( ) ( ) zxUxUUzU ====V0 şi cum UUz ImKer ∩∈ rezultă { }V0=∩ UU ImKer .

2.4. NORMA UNUI OPERATOR LINIAR

Fie WV , spaţii liniare normate peste corpul K şi ( )WV,LU ∈ . 4.1. Definiţie. Operatorul ( )WV,LU ∈ se numeşte continuu în V∈0x dacă pentru orice 0>ε există ( ) 0>εδ astfel încât ( ) ( ) ( ) V∈∀<− xxUxU ,0 ε cu proprietatea ( )εδ<− 0xx .


Operatorul ( )WV,LU ∈ se numeşte continuu pe V dacă este continuu în orice

V∈x . 4.2. Observaţie. Se poate arăta că operatorul ( )WV,LU ∈ este continuu în

V∈0x dacă şi numai dacă pentru orice şir ( ) ∗∈Nnnx de elemente din V convergent către V∈0x , şirul ( )( ) ∗∈NnnxU converge către ( )0xU . 4.3. Propoziţie. Operatorul ( )WV,LU ∈ este continuu în V∈0x dacă şi numai dacă el este continuu în V0 . Remarcă. Din propoziţia 4.3 rezultă că ( )WV,LU ∈ este continuu pe V dacă şi numai dacă este continuu în V0 Demonstraţie. Fie U continuu în V0 şi 0>ε dat. U fiind continuu în V0 rezultă că există 0>δ astfel încât pentru V∈< yy ,δ avem: ( ) ( ) ( ) ε<=− yUUyU V0 . Fie acum V∈xx ,0 cu 0x fixat, astfel încât δ<− 0xx . Rezultă: ( ) ( ) ( ) εε <−⇒<− 00 xUxUxxU , adică U este continuu în 0x . Reciproc, fie U continuu în V∈0x şi 0>ε dat. Atunci există 0>δ astfel încât pentru δ<− 0xx avem ( ) ( ) ε<− 0xUxU . Fie V∈< yy ,δ şi 0xyx += . Rezultă 0xxy −= , δ<− 0xx şi ( ) ( ) ( ) ( ) ε<−=−= 00 xUxUxxUyU , deci U este continuu în V0 . 4.4. Definiţie. Operatorul WV →:U se numeşte mărginit dacă există 0>M astfel încât ( ) ( ) V∈∀< xxMxU , . 4.5. Propoziţie. Operatorul ( )WV,LU ∈ este mărginit dacă şi numai dacă este continuu.

2.7. EXERCIŢII 75

Demonstraţie. Necesitatea. Fie ( )WV,LU ∈ mărginit; există deci 0>M astfel

încât ( ) ( ) V∈∀≤ xxMxU , . Fie 0>ε şi ( )Mεεδ = . Atunci pentru orice

V∈x cu ( )εδ<x avem ( ) εε=⋅<≤

MMxMxU , fapt ce implică

continuitatea operatorului U în V0=x . Suficienţa. Fie ( )WV,LU ∈ continuu. Atunci pentru 1=ε există 0>δ astfel

încât ( ) 1≤xU , ( ) V∈∀ y cu δ≤y . Fie VV 0≠∈ xx , şi xx

y2δ

= .

Deoarece 2δ

=y avem ( ) ( )xUx

xx

UyU22

1 δδ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≥ , de unde rezultă

( ) xxUδ2

≤ . Afirmaţia din propoziţie are deci loc cu δ2

=M . Pentru a

încheia demonstraţia mai avem de constatat că pentru V0=x inegalitatea din teoremă este evidentă. 4.6. Propoziţie. Dacă ( )WV ,nLU ∈ atunci U este continuu.

Demonstraţie. Fie { }neeeB ,,, 21 L= bază în nV şi n

n

iiiexx V∈=∑

=1. Dacă pe nV

considerăm norma euclidiană 21

1

2

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

n

iixx atunci nixxi ,1,

2=≤ şi

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑====

⋅≤≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

ii

n

iii

n

iii

n

iii eUxeUxeUxexUxU

12

111.

Pentru ( )∑=

=n

iieUM

1 obţinem ( )

2xMxU ≤ ; aplicăm acum rezultatul din

propoziţia 4.5 şi demonstraţia este încheiată. Remarcă. Fie V un spaţiu liniar peste K şi

21, ⋅⋅ două norme pe V. Normele

21, ⋅⋅ se numesc echivalente dacă există 0, >βα astfel încât

121xxx βα ≤≤ .


Se poate arăta că pe un spaţiu liniar finit dimensional orice două norme sunt echivalente ([5], pag. 191). În particular, pe un spaţiu liniar finit dimensional orice normă RV →⋅ n: este echivalentă cu norma euclidiană; există deci

0, >βα astfel încât: xxx βα ≤≤

2.

Astfel demonstraţia propoziţiei 4.6 nu depinde de norma aleasă pe nV . 4.7. Propoziţie. Dacă ( )WV,LU ∈ este continuu atunci expresia ( )xUU

x 1sup

==

este o normă pe ( )WV,L . Demonstraţie. Deoarece ( )WV,LU ∈ este continuu, este mărginit, deci există

0>M astfel încât ( ) ( ) V∈∀≤ xxMxU , . Atunci ∞<≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Mx

xU 1 deci

aplicaţia UU a din enunţul propoziţiei este bine definită. Să arătăm că ea verifică axiomele normei. i) Din ( ) ( ) V∈∀≥ xxU ,0 rezultă ( ) ( ) ( )WV ,,0sup

1LUxUU

x∈∀≥=

=;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VV W ∈∀=⇔∈∀=⇔=⇔==

xxUxxUxUUx

,,00sup01

0 , de

unde rezultă ( )WV ,LU 0= . ii) Fie ( )WV ,, 21 LUU ∈ operatori liniari continui. Atunci: ( )( ) ( ) ( ) ≤+=+=+

==xUxUxUUUU

xx21

121

121 supsup

( ) ( )( ) ( ) ( ) =+≤+≤

===xUxUxUxU

xxx2

11

121

1supsupsup

21 UU += . iii) Fie K∈λ . Atunci:

2.7. EXERCIŢII 77

( )( ) ( ) ( ) UxUxUxUU

xxx⋅====

===λλλλλ

111supsupsup .

4.8. Observaţie. i) U se mai numeşte norma indusă pe spaţiul liniar ( )WV,L de normele din V şi W. ii) Pentru orice V∈x avem: ( ) xUxU ⋅≤ . Într-adevăr, pentru V0≠x obţinem

( ) ( ) UxyUxxx

UxxUy

⋅=⋅≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

=1sup1 ,

iar pentru V0=x inegalitatea este evidentă. iii) U este cel mai mic număr 0≥M astfel încât ( ) ( ) V∈∀≤ xxMxU , . Într-adevăr, din ( ) ( ) V∈∀≤ xxMxU , rezultă

( ) VV 0≠∈∀≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xxM

xxU ,, ,

de unde deducem MU ≤ . iv) ( )xUU

x 1sup

≤= . Într-adevăr, din definiţia normei unui operator liniar avem

( )xUU

x 1sup

≤≤ .

Pe de altă parte, pentru 1,, ≤≠∈ xxx VV 0 obţinem:

( ) UUxxx

UxxU ≤⋅≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

1 ,

deci ( ) UxU

x≤

≤1sup .

v) Fie ( )VLUU ∈21 , continui şi 12 UUU o= . Atunci:

21 UUU ⋅≤ . Într-adevăr, avem: ( ) ( )( ) ( ) xUUxUUxUUxU ⋅⋅≤⋅≤= 212121 , deci


U este continuu şi ( ) 2121

11supsup UUxUUxUU

xx⋅=⋅⋅≤=

==.

vi) Fie ( )VM spaţiul liniar al operatorilor liniari şi continui VV →:U . Operaţia de compunere a operatorilor se mai numeşte înmulţirea (produsul) operatorilor. Înmulţirea operatorilor este asociativă, are element neutru operatorul identitate pe V dar nu este comutativă. Un spaţiu liniar pe care s-a definit operaţia produs cu proprietăţile de mai sus se numeşte algebră. Dacă spaţiul liniar V este normat atunci algebra se numeşte algebră normată. În algebra normată ( )VM putem defini puterile unui operator astfel: IU =0 , UU =1 , UUU o=2 , UUU o23 = ,

UUU nn oL 1, −= . Avem: 22 UUUUUU =⋅≤= o . Dacă presupunem

că ∗∈≤ NkUU kk , atunci 11 ++ ≤⋅≤= kkkk UUUUUU o . Prin

inducţie după n rezultă că ( ) ∗∈∀≤ NnUU nn , . 4.9. Norma operatorilor liniari pe spaţii finit dimensionale. Fie nV , mW spaţii liniare peste K, ( )mnLU WV ,∈ nenul şi ( ) ( )Knmnjmiij MaA ,,1;,1

∈===

matricea asociată lui U în bazele { }neeeB ,,, 21 L= şi { }mfffB ,,, 21 L=′ din nV şi respectiv mW .

a) Să considerăm pe nV şi mW normele: n

n

iii exx V∈=∑

=1, ini

xx,1

max=∞

= ;

m

m

iii fyy W∈=∑

=1, imi

yy,1

max=∞

= . Atunci: ( ) ∑=

=m

iii fyxU

1, mixay

n

jjiji ,1,

1== ∑

=

şi:

( ) ≤≤== ∑∑=====

n

jjijmi

n

jjijmiimi

xaxayxU1,11,1,1

maxmaxmax

∑∑==∞

===⋅=⋅≤

n

jijmi

n

jijmijnj

axax1,11,1,1

maxmaxmax .

De aici rezultă că LaUn

jijmi

=≤ ∑== 1,1

max .

Fie 0i astfel încât ∑=

=n

jjiaL

10

şi ji

ji

jj

n

jj a

axexx

0

01

1~,~~ == ∑=

dacă 00≠jia şi

0~ =jx dacă 00=jia . Atunci 1~ =

∞x şi:

2.7. EXERCIŢII 79

( ) ( ) LaxaxaxUxUUn

jji

n

jjji

n

jjijmix

==≥=≥= ∑∑∑===== 1

01

01,11

~~max~sup ,

de unde rezultă LU ≥ . Din cele două inegalităţi obţinute rezultă că norma operatorului liniar

( )mnLU WV ,∈ este:

∑==

=n

jijmi

aU1,1

max .

b) Fie nV şi mW normele: n

n

iii exx V∈=∑

=1, ∑

=

=n

jjxx

11

; m

m

iii fyy W∈=∑

=1,

∑=

=m

iiyy

11

. Atunci:

( ) ∑ ∑∑∑∑ ∑∑= ===== ==

=⋅≤⋅≤==m

i

n

jjijnj

m

iij

n

jj

m

i

n

jjij

m

ii xaaxxayxU

1 1,1111 11max

∑==

⋅=m

iij

njax

1,11max .

De aici rezultă că:

LaUm

iijnj=≤ ∑

== 1,1max .

Fie 0j astfel încât ∑=

=m

ijiaL

10

şi vectorul j

n

jj exx ∑

=

=1

~~ astfel încât 0~ =jx pentru

0jj ≠ şi 1~0=jx . Atunci 1~

1=x , ( ) i

m

iji faxU ∑

=

=1

0~ şi

( ) ( ) ∑==

==≥=m

iji

xLaxUxUU

101

~sup ,

de unde rezultă LU ≥ . Norma operatorului liniar U este în acest caz:

∑==

=m

ijinj

aU1,1

max .


Remarcă. Din cele două cazuri studiate mai sus deducem că norma unui operator liniar pe spaţii finit dimensionale este dată de matricea ataşată operatorului liniar considerat. Pornind de la aceste două exemple, se poate introduce norma unei matrice după cum urmează. Fie spaţiul liniar ( )KV nmM ,= şi vectorul ( ) ( )Knmnjmiij MaA ,,1;,1

∈===

. Definim norma acestui vector prin:

∑==

=n

jijmi

aA1,1

max ,

sau

∑==

=m

ijinj

aA1,1

max .

Faptul că aceste expresii sunt norme pe ( )KV nmM ,= rezultă cu uşurinţă din 4.7 şi 4.9. În plus, din 4.8, vi) rezultă că pentru ( )KnmMBA ,, ∈ avem: BABA ⋅≤⋅ . O normă cu această proprietate se numeşte normă matriceală (vezi capitolul 3, paragraful 6).

2.5. DUALUL UNUI SPAŢIU LINIAR

Fie V un spaţiu liniar peste corpul K. 5.1. Definiţie. Aplicaţia KV →:f se numeşte funcţională liniară dacă: i) ( ) ( ) ( ) ( ) V∈∀+=+ yxyfxfyxf ,, ; ii) ( ) ( ) ( ) ( ) KV ∈∀∈∀= ααα ,, xxfxf . O funcţională liniară pe un spaţiu liniar finit dimensional se mai numeşte formă liniară. 5.2. Observaţie. i) Deoarece corpul K poate fi organizat ca spaţiu liniar peste el însuşi funcţionala liniară KV →:f este un operator liniar particular. De aici rezultă că proprietăţile operatorilor liniari stabilite mai sus se regăsesc şi

2.7. EXERCIŢII 81

în cazul funcţionalelor liniare. ii) Dacă KV →:f este o funcţională liniară nenulă atunci { }K0Im ≠f şi cum

fIm este un subspaţiu liniar în K rezultă că 1Imdim =f . Deoarece f este un operator liniar particular avem nff =+ ImdimKerdim , de unde rezultă că

1Kerdim −= nf . iii) O funcţională liniară este continuă dacă şi numai dacă este mărginită. 5.3. Exemple. i) Fie [ ]baC ,=V şi aplicaţia [ ] R→baCf ,: , definită prin:

( ) ( ) ( ) [ ]baCxttxxfb

a,,d ∈∀= ∫ . Deoarece ( ) ( ) ( )[ ] =+=+ ∫

b

attytxyxf dβαβα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) R∈∀∈∀+=+= ∫∫ βαβαβα ,,,,,dd baCyxyfxfttyttxb

a

b

a,

rezultă că aplicaţia f este o funcţională liniară.

ii) Fie K∈nααα ,,, 21 L . Aplicaţia KK →nf : , ( ) ∑=

=n

iii xxf

1α , ( ) nx K∈∀ ,

( )nxxxx ,,, 21 L= este o formă liniară pe nK . iii) Fie H un spaţiu Hilbert complex şi Hx ∈0 . Aplicaţia C→Hf : definită prin ( ) ( ) Hxxxxf ∈∀><= ,, 0 este o funcţională liniară pe H. 5.4. Propoziţie. Fie nV un spaţiu liniar peste K şi { }neeeB ,,, 21 L= bază în nV . Aplicaţia KV →nf : este funcţională liniară dacă şi numai dacă există scalarii

nii ,1, =∈Kα astfel încât:

( ) ( ) n

n

iii

n

iii exxxxf V∈=∀= ∑∑

== 11,α .

Demonstraţie. Necesitatea. Fie KV →nf : liniară şi n

n

iii exx V∈=∑

=1. Atunci:

( ) ( ) ∑∑∑===

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

iii

n

iii

n

iii xefxexfxf

111α , unde ( ) nief ii ,1, ==α reprezintă

valorile funcţionalei liniare pe vectorii bazei B.

Suficienţa. Fie ( ) ( )Knn MaaaA ,121 ∈= L şi pentru n

n

iii exx V∈=∑

=1 fie matricea

( ) ( )K1,21 nt

n MxxxX ∈= L . Expresia ( ) ∑=

=n

iii xxf

1α se scrie matriceal sub

forma: ( ) XAxf ⋅= . Pentru n

n

iii eyy V∈=∑

=1 punem ( ) t

nyyyY L21= şi βα ,

arbitrari în K obţinem:


( ) ( ) ( ) ( )yfxfYAXAYXAyxf βαβαβαβα +=⋅+⋅=+⋅=+ ,

deci aplicaţia f este funcţională liniară. Mulţimea funcţionalelor liniare continue KV →:f formează un spaţiu liniar peste corpul K. Acest spaţiu se numeşte dualul lui V şi se notează ∗V . 5.5. Teoremă. Dacă nV este un spaţiu liniar peste K şi ∗

nV este dualul său atunci: n==∗

nn VV dimdim .

Demonstraţie. Fie { }neeeB ,,, 21 L= bază în nV . Dacă n

n

iii exx V∈=∑

=1,

aplicaţiile ( ) nixxff iii ,1,,: ==→ KV n sunt funcţionale liniare, fapt ce se verifică cu uşurinţă. Să arătăm că aceste funcţionale sunt liniar independente în

∗nV . Fie combinaţia liniară ,nifff innn 1,,2211 =∈=+++ ∗ K

Vαααα 0L , care

implică ( ) ( ) ( ) ( ) nV∈∀=+++ xxfxfxf nn ,02211 ααα L . Pentru niex i ,1, == relaţia de mai sus ne dă nii ,1,0 ==α , fapt ce implică liniar independenţa funcţionalelor nif i ,1, = . Rămâne să arătăm că ( )nfffL ,,, 21 L=∗

nV . Fie ∗∈ nf V . Din propoziţia 5.4 rezultă că f este de forma ( ) K∈=∑

=i

n

iii axaxf ,

1,

ni ,1= , n

n

iii exx V∈=∑

=1. Deoarece ( ) nixfx ii ,1, == rezultă ( ) ( )∑

=

=n

iii xfaxf

1

deci ∑=

=n

iii faf

1 şi atunci ( )nfffL ,,, 21 L=∗

nV . Rezultă că sistemul de vectori

{ }nfff ,,, 21 L este bază în ∗nV şi deci n=∗

nVdim . 5.6. Observaţie. Funcţionalele liniare ( ) nixxff iii ,1,,: ==→ KV n au proprietatea : ( ) njief ijji ,1,, == δ . 5.7. Definiţie. Dacă { }neeeB ,,, 21 L= este o bază în nV atunci baza din ∗

nV ,

( ){ }njieffffB ijjin ,1,,,,, 21 ===∗ δL se numeşte bază duală.

2.7. EXERCIŢII 83

5.8. Teorema lui Riesz. Dacă nE este un spaţiu euclidian de dimensiune n atunci pentru orice funcţională liniară K→nEf : există un vector unic nEx ∈0 astfel încât ( ) ( ) nExxxxf ∈∀><= ,, 0 şi 0xf = . Demonstraţie. Dacă ∗=

nE0f luăm

nE0=0x şi ( ) ( ) nnE E∈∀=>=< xxxf ,0,0 .

Evident în acest caz avem 0==nE0f .

Dacă ∗≠nE

0f , atunci 1Kerdim −= nf . Fie M unicul complement ortogonal al

lui fKer . Cu teorema dimensiunii rezultă 1dim =M . Fie nEzMz 0≠∈ , ; dacă

pentru nEx∈ luăm ( )( ) zzfxfxy −= atunci avem :

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0=−= zfzfxfxfyf ,

deci fy Ker∈ . De aici rezultă

( )( )

( )( )

2,,,0 zzfxfzxzz

zfxfxzy −><=>−<=><= ,

adică

( )( ) ><= zxzzfxf ,2 ,

de unde prin explicitarea lui ( )xf obţinem:

( ) ( )><= z

zzfxxf 2, .

Luăm acum ( ) zzzfx 20 = şi obţinem ( ) ><= 0, xxxf .

Pentru a demonstra unicitatea lui 0x fie nEx ∈′0 astfel încât ( ) ( ) nExxxxf ∈∀>′<= ,, 0 . Atunci avem ( ) nExxxx ∈∀=>′−< ,0, 00 . Pentru

00 xxx ′−= obţinem 020 =− xx , adică 00 xx ′= .

Să demonstrăm acum ultima afirmaţie din teoremă. În baza inegalităţii Cauchy-Buniakovski, constatăm pentru început că norma funcţionalei f verifică


inegalitatea:

( ) 001

011

sup,supsup xxxxxxffxxx

=⋅≤><=====

.

Fie acum 00

1 xx

y ⋅= ; deoarece 1=y rezultă

( )yff ≥ ><= 000

,1 xxx

= 0x

şi teorema este complet demonstrată.

2.6. OPERATORI LINIARI PE SPAŢII EUCLIDIENE

Fie nE un spaţiu euclidian complex şi ( )nELU ∈ un operator liniar. Teorema lui Riesz ne permite să asociem operatorului U un operator liniar ( )nELU ∈∗ numit adjunctul lui U. 6.1. Propoziţie. Dacă ( )nELU ∈ atunci: ( ) ><=

==yxUU

yx,sup

1;1.

Demonstraţie. Dacă U este operatorul nul, afirmaţia este evidentă. Fie

( )nELU ∈ nenul. Cu propoziţia 4.6 rezultă că ( )nELU ∈ este continuu, deci mărginit (propoziţia 4.5), iar din inegalitatea Cauchy-Buniakovski obţinem:

( ) ( ) ( ) nEyxyxUyxUyxU ∈∀⋅⋅≤⋅≤>< ,,, . De aici rezultă că există ( ) ><=

==yxUL

yx,sup

1;1 şi UL ≤ . Fie acum nEx∈

astfel încât ( )nExU 0≠ , x

xx 1=′ şi ( ) ( )xU

xUy 1= . Atunci din inegalitatea

( ) LyxU ≤>< , , ( ) 1,, ==∈∀ yxEyx n ,

rezultă ( ) xLxU ≤ , deci LU ≤ , fapt ce încheie demonstraţia. 6.2. Propoziţie. Dacă ( )nELU ∈ atunci există un unic operator ( )nELU ∈∗

2.7. EXERCIŢII 85

astfel încât:

( ) ( ) ( ) nEyxyUxyxU ∈∀><=>< ∗ ,,,, . Demonstraţie. Fie ( )nELU ∈ şi nEy∈ . Aplicaţia C→nEf : , definită prin ( ) ( ) ><= yxUxf , este evident o funcţională liniară pe nE şi din teorema lui

Riesz rezultǎ cǎ există şi este unic nEy ∈∗ astfel încât ( ) ,y,xxf ><= ∗ ( ) nEx∈∀ . Este natural astfel să considerăm operatorul ,EE:U nn →

∗ ( ) ∗∗ = yyU ; cu ajutorul expresiei analitice a funcţionalei f obţinem ( ) ( ) ( ) nEy,x,yU,xy,xU ∈∀><=>< ∗ . Să arătăm că operatorul definit mai

sus este liniar. Dacă nEyy ∈21 , şi K∈21 ,αα atunci:

( ) ( ) ( ) =><+><=>+< 22112211 ,,, yxUyxUyyxU αααα ( ) ( ) =><+><= ∗∗

2211 ,, yUxyUx αα ( ) ( ) >+<= ∗∗

2211, yUyUx αα , ceea ce implică ( ) ( ) ( )22112211 yUyUyyU ∗∗∗ +=+ αααα . Pentru a demonstra unicitatea, fie operatorul ( )nELU ∈∗

1 astfel încât ( ) ( ) ( ) nEy,x,yU,xy,xU ∈∀><=>< ∗

1 . Atunci, pentru orice nEy,x ∈ avem ( ) ( ) ><=>< ∗∗ yU,xyU,x 1 , de unde obţinem ( )( ) ,0, 1 =>−< ∗∗ yUUx

( ) nEyx ∈∀ , . Pentru ( )( )yUUx ∗∗ −= 1 egalitatea precedentǎ ne dǎ ( )( ) ,01 =− ∗∗ yUU ( ) nEy∈∀ , fapt ce implicǎ ( )( )yUU ∗∗ − 1 , ( ) nEy∈∀ , adicǎ

∗∗ =UU1 . 6.3. Definiţie. Dacă nE este un spaţiu euclidian şi ( )nELU ∈ atunci operatorul

( )nELU ∈∗ cu proprietatea ( ) ( ) ( ) nEyxyUxyxU ∈∀><=>< ∗ ,,,, , se numeşte adjunctul operatorului U. 6.4. Observaţie. i) Propoziţia 6.2 precizează că adjunctul unui operator liniar pe un spaţiu euclidian există şi este unic. ii) Fie ( )nELU ∈ şi ( )nELU ∈∗ adjunctul său. Atunci: ( ) ( ) UyxUyUxU

yxyx≤><=><=

==

∗

==

∗ ,sup,sup1;11;1

,


( ) ( ) ∗∗

====≤><=><= UyUxyxUU

yxyx,sup,sup

1;11;1,

de unde rezultă ∗= UU . ii) Dacă într-o bază ortonormată din nE operatorului ( )nELU ∈ i se ataşează matricea ( ) ( )Knnjiij MaA ∈=

= ,1, atunci operatorului adjunct i se ataşează în

aceeaşi bază matricea adjunctă a matricei A: ( ) tnjiji AaA ==

=

∗

,1,.

Într-adevăr, fie în spaţiu euclidian nE baza ortonormată { }neeeB ,,, 21 L= şi ( )nELU ∈ . Dacă acestui operator i se ataşează în baza considerată matricea

( ) ( )Knnjiij MaA ∈== ,1,

atunci pentru n

n

iii

n

iii Eeyyexx ∈== ∑∑

== 11, avem:

( ) ∑∑ ∑∑ ∑∑= = == ==

=><⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=>⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<=><

n

i

n

kkik

n

jjij

n

i

n

kkki

n

jjij eeyxaeyexayxU

1 1 11 11,,,

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ∑∑ ∑ ∑

= == = =

n

i

n

jijij

n

i

n

kikk

n

jjij yxayxa

1 11 1 1δ

=>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑∑∑ ∑

= === =

n

j

n

kkkj

n

iiij

n

jj

n

iiij exeyaxya

1 111 1,

∑ ∑∑= ==

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<=

n

jj

n

iiij

n

kkk eyaex

1 11, .

Fie operatorul liniar ( )nELU ∈∗ definit astfel:

( ) ( ) ∑ ∑ ∑∑∑∑= = ===

∗

=

∗∗ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

i

n

jj

n

iiij

n

jjiji

n

iii

n

iii eyaeayeUyeyUyU

1 1 1111.

Atunci avem: ( ) ( ) ( ) nEyxyUxyxU ∈∀><=>< ∗ ,,,, . iii) Dacă nE este un spaţiu euclidian real şi A este matricea ataşată operatorului

( )nELU ∈ atunci operatorului adjunct i se ataşează matricea tA . 6.5. Propoziţie. Dacă nE este un spaţiu euclidian real sau complex atunci: i) ( ) ( ) ( )nELUUUUU ∈∀+=+ ∗∗∗

2,12121 , ;

ii) ( ) ( ) ( )nELUUUUU ∈∀= ∗∗∗2,11221 ,oo ;

2.7. EXERCIŢII 87

iii) ( ) ( ) ( )nELUUU ∈∀=∗∗ , ;

iv) ( ) ( ) ( ) ( ) K∈∀∈∀= ∗∗ ααα ,, nELUUU . Demonstraţie. i) ( )( ) ( ) ( ) =><+><=>+< yxUyxUyxUU ,,, 2121

( ) ( ) =><+><= ∗∗ yUxyUx 21 ,, ( ) ( ) ( ) ( ) >+<=>+< ∗∗∗ yUUxyUUx 2121 ,, , pentru orice nEyx ∈, . ii) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) =><=><=>< ∗ yUxUyxUUyxUU 122121 ,,,o

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) nEyxyUUxyUUxyUUx ∈∀><=><=><= ∗∗∗∗ ,,,,, 211212 oo .

iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =><=><=><=><∗∗∗∗ xUyxyUyUxyxU ,,,,

( ) ( ) ( ) nEyxyxU ∈∀><=∗∗ ,,, .

iv) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =><=><=><=>< ∗∗ yUxyUxyxUyxU αααα ,,,, ( ) ( ) ( ) nEyxyUx ∈∀><= ∗ ,,, α . 6.6 Definiţie. Matricea ( )CnMA∈ se numeşte hermitică dacă ∗= AA . 6.7. Definiţie. Operatorul ( )nEU End∈ se numeşte autoadjunct dacă ∗=UU . Dacă nE este un spaţiu euclidian complex atunci un operator autoadjunct se mai numeşte hermitic. Dacă nE este un spaţiu euclidian real atunci un operator autoadjunct se mai numeşte simetric. 6.8. Observaţie. ( )nEU End∈ este autoadjunct dacă şi numai dacă: ( ) ( ) ( ) nEyxyUxyxU ∈∀><=>< ,,,, . 6.9. Propoziţie. Operatorul ( )nEU End∈ este hermitic dacă şi numai dacă

( ) ( ) nEx,xU,x ∈∀∈>< R . Demonstraţie. Necesitatea. Dacă ∗=UU atunci:

( ) ( ) ( ) ><=><=>< xUxxxUxUx ,,, , deci ( ) ( ) nEx,xU,x ∈∀∈>< R . Suficienţa. Fie ( ) ( ) nEx,xU,x ∈∀∈>< R . Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ><=><=><=>< ∗ xUxxxUxUxxUx ,,,, , de unde rezultă că: ( )( ) ( ) nExxUUx ∈∀=>−< ∗ ,0, . Fie C∈∈+= αα ,Ez,y,zyx n . Atunci

egalitatea precedentă ne conduce la condiţia ( )( ) ( ) nEzyyUUz ∈∀=>−< ∗ ,,0, şi pentru ( )( )yUUz ∗−= rezultă ( )( ) ( ) nEyyUU ∈∀=− ∗ ,0 , deci ∗=UU .


6.10. Propoziţie. ( )nEU End∈ este hermitic dacă şi numai dacă matricea ataşată lui într-o bază ortonormată în nE este hermitică. Demonstraţie. Pentru a demonstra propoziţia este suficient să constatăm că doi operatori din ( )nEEnd sunt egali dacă şi numai dacă matricele ataşate lor în aceeaşi bază sunt egale. 6.11. Definiţie. Operatorul ( )nEU End∈ se numeşte unitar dacă ( ) ( ) ( ) nEyxyxyUxU ∈∀><=>< ,,,, . Remarcă. Un operator unitar păstrează produsul scalar în nE . 6.12. Propoziţie. Operatorul ( )nEU End∈ este unitar dacă şi numai dacă ( ) ( ) nExxxU ∈∀= , . Demonstraţie. Necesitatea. Dacă ( )nEU End∈ este unitar atunci el păstrează produsul scalar, deci ( ) ( ) ( ) nEyxyxyUxU ∈∀><=>< ,,,, . Pentru xy =

condiţia precedentă devine: ( ) 22 xxU = , deci ( ) ( ) nExxxU ∈∀= , . Suficienţa. Fie ( ) ( ) nExxxU ∈∀= , . Identitatea de polarizare ( propoziţia 8.13, capitolul 1) aplicată vectorilor ( )xU şi ( ) nEyxyU ∈,, , ne dă:

( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) −++−−+=>< 222

41, yUixUiyUxUyUxUyUxU

( ) ( ) ]=−− 2yUixUi

( )[ ( ) ( ) ( ) ]=−−++−−+= 2222

41 yixUiyixUiyxUyxU

[ ] ><=−−++−−+= yxyixiyixiyxyx ,41 2222 .

6.13. Observaţie. i) Orice operator unitar este injectiv. Într-adevăr, dacă

( )nEU End∈ unitar atunci ( )nExU 0= implică ( ) xxU ==0 , deci

nEx 0= şi { }

nEU 0=Ker . ii) Un endomorfism unitar ( )nEU End∈ este un izomorfism. Într-adevăr, dacă

( )nEU End∈ este unitar, el este injectiv şi cum acţionează pe un spaţiu de dimensiune finită, este un izomorfism.

2.7. EXERCIŢII 89

iii) Dacă ( )nEU End∈ este unitar atunci el este inversabil şi 1−U este unitar. Într-adevăr, dacă U este unitar el este injectiv deci inversabil. Atunci:

( ) ( ) ( ) nEyyxUxyU ∈∀===− ,1 . iv) Dacă ( )nEU End∈ este unitar atunci IUUUU == ∗∗ , unde I este operatorul identitate pe nE . Într-adevăr, dacă U este unitar, el este inversabil şi pentru

nEyx ∈, avem: ( ) ( ) ( )( ) ( ) nEyxyUUxyUxUyx ∈∀<=><=>< ∗ ,,,,, , de unde rezultă IUU =∗ . Înmulţim acum la stânga cu U, la dreapta cu 1−U în ultima egalitate şi obţinem IUU =∗ . v) Din relaţiile precedente rezultă că dacă ( )nEU End∈ este unitar atunci

∗− =UU 1 . 6.14. Propoziţie. Fie nE un spaţiu euclidian complex. Operatorul ( )nEU End∈ este unitar dacă şi numai dacă matricea ataşată lui într-o bază ortonormată este unitară. Demonstraţie. Necesitatea. Fie ( )nEU End∈ unitar, { }neeeB ,,, 21 L= bază ortonormată în nE şi ( )

njiijaA,1, =

= matricea ataşată lui U în această bază. Atunci

pentru ( ) ∑=

=n

iiijj eaeU

1 şi ( ) ∑

=

=n

ikkll eaeU

1avem:

( ) ( ) ∑∑∑∑= ===

=><=><=><=><n

iki

n

kklij

n

kkkl

n

iiijljlj eeaaeaeaeUeUee

1 111,,,,

jl

n

iilij

n

iik

n

kklij aaaa δδ === ∑∑∑

== = 11 1,

adică AAIAA n

∗∗ == . Suficienţa. Fie A unitară. Din calculul efectuat mai sus avem:

( ) ( ) jl

n

iilijlj aaeUeU δ∑

=

==><1

, .

Atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑∑ ∑= == =

==><=><n

jjl

n

llj

n

j

n

llljj yxeUyeUxyUxU

1 11 1,, δ

( ) n

n

jlj

n

llj Eyxyxeeyx ∈∀><=><= ∑∑

= =

,,,,1 1

.


6.15. Observaţie. i) Dacă nE este un spaţiu euclidian real atunci un operator

( )nEU End∈ cu proprietatea ( ) ( ) ( ) nEyxyxyUxU ∈∀><=>< ,,, se nu-meşte operator ortogonal. Operatorul ( )nEU End∈ este ortogonal dacă şi numai dacă matricea ataşată lui într-o bază ortonormată este ortogonală (adică

ntt IAAAA == ).

ii) O matrice A ortogonală cu 1det =A se numeşte matrice de rotaţie în nR . iii) Mulţimea matricelor ortogonale este un subgrup al grupului ( )nGL R numit grupul ortogonal pe nR , care se notează ( )nO R . Mulţimea matricelor de rotaţie este un subgrup al lui ( )nO R numit grupul special ortogonal pe nR , care se notează ( )nSO R . 6.16. Definiţie. Fie nE un spaţiu euclidian şi nEa∈ fixat. Aplicaţia:

nna EET →: , ( ) axxTa += , ( ) nEx∈∀ , se numeşte translaţie de vector a. 6.17. Propoziţie. Fie nE un spaţiu euclidian. Atunci: i) ( ) nbaabba EbaTTTTT ∈∀== + ,,oo ; ii) IT =0 ; iii) ( ) an TEa ,∈∀ este un operator inversabil şi ( ) aa TT −

− =1 ; iv) Translaţia nna EET →: , nEa∈ , nu este operator liniar; v) Orice translaţie păstrează distanţa euclidiană, adică ( ) ( ) yxyTxT aa −=− , ( ) nEyx ∈∀ , ; vi) Mulţimea translaţiilor unui spaţiu euclidian formează un grup comutativ izomorf cu grupul aditiv ( )+,nE , numit grupul translaţiilor şi notat ( )nETr . Demonstraţia acestei propoziţii este imediată şi o lăsăm cititorului drept exerciţiu. 6.18. Definiţie. Dacă nE este un spaţiu euclidian real, o funcţie surjectivă care păstrează distanţa euclidiană se numeşte izometrie. 6.19. Observaţie. i) Orice izometrie este injectivă, deci bijectivă. ii) Transformările ortogonale sunt izomerii. iii) Compunerea a două izometrii este o izometrie. Mulţimea izometriilor unui spaţiu euclidian nE formează un grup notat ( )nEIz .

2.7. EXERCIŢII 91

6.20. Teoremă. O izometrie nn EER →: cu proprietatea ( )

nEnER 00 = este un operator ortogonal. Demonstraţie. Fie nn EER →: o izometrie. Atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnEnEnE ExxRxRRxRxx ∈∀=−=−=−= ,000 , de unde rezultă că izometria R păstrează norma. Atunci pentru orice nEyx ∈, avem:

( ) ( ) yxyRxR −=− , sau ( ) ( ) ( ) ( ) =+><+ 22 ,2 yRyRxRxR 22 ,2 yyxx +><+= . Cum R păstrează norma, din egalitatea de mai sus

obţinem ( ) ( ) ><=>< yxyRxR ,, , deci R păstrează produsul scalar. Să arătăm acum că R este un operator liniar. Fie pentru aceasta nEzyx ∈,, şi

K∈βα , ; din condiţia ( ) ( ) ><=>< yxyRxR ,, , obţinem:

( ) ( ) =><+><=>+<=>+< zyzxzyxzRyxR ,,,, βαβαβα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) >+<=><+><= zRyRxRzRyRzRxR ,,, βαβα . De aici rezultă că ( ) ( ) ( ) ( ) 0, =>−−+< zRyRxRyxR βαβα , pentru orice

nEzyx ∈, . Deoarece R este o funcţie surjectivă, putem lua în egalitatea de mai sus ( ) ( ) ( ) ( )yRxRyxRzR βαβα −−+= ; în aceste condiţii, pentru nEyx ∈, şi

K∈βα , arbitrari avem ( ) ( ) ( ) 02 =−−+ yRxRyxR βαβα , deci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K∈∀∈∀+=+ βαβαβα ,,,, nEyxyRxRyxR . 6.21. Propoziţie. Dacă R este o izometrie, atunci există o translaţie na EaT ∈, şi un operator ortogonal O astfel încât OTR a o= . Demonstraţie. Fie ( )

nERa 0= şi translaţiile aa TT −, . Funcţia RT o1− este o izometrie care păstrează pe

nE0 ; cu teorema precedentă rezultă că RTO a o−= este un operator ortogonal şi OTR a o= . 6.22. Definiţie. Se numeşte simetria spaţiului euclidian real nE faţă de un subspaţiu al său E′ , aplicaţia nn EET →: , definită prin: ( ) ( ) nExxxxT ∈∀−′= ,2 ,


unde x′ este proiecţia lui x pe E′ . 6.23. Teoremă. Simetria unui spaţiu euclidian real nE faţă de un subspaţiu al său E′ este o transformare ortogonală involutivă. Demonstraţie. Din modul cum a fost definită rezultă că simetria este o transformare liniară. Dacă nEx∈ şi x′ este proiecţia lui x pe E′ atunci

Exx ′⊥′− şi: ( ) 222 ,4 xxxxxxT =+>−′′<= . Rezultă că T este o transformare ortogonală. Fie ( ) ( )xxxxxxTy −′+′=−′== 2 . Deoarece xx ′− este perpendicular pe E′ rezultă că x′ este proiecţia lui ( )xTy = pe E′ şi din

( )xTxx −′= 2 rezultă că ( ) ( ) nExyTx ∈∀= , . Atunci TT =−1 deci T este o transformare ortogonală involutivă.

2.7. EXERCIŢII

7.1. Exerciţii rezolvate. 1) Să se verifice dacă următorii operatori sunt liniari şi în caz afirmativ să se determine matricea ataşată operatorului liniar respectiv în baza canonică: a) ( ) ( ) ( ) 3

32121133233 ,,,,,,: RRR ∈=+++=→ xxxxxxxxxxxUU ;

b) ( ) ( ) ( ) 3321211332

33 ,,,1,,,: RRR ∈=++++=→ xxxxxxxxxxxUU ; c) ( ) ( ) ( ) 3

3211322

33 ,,,,,,: RRR ∈==→ xxxxxxxxUU . Rezolvare: a) Fie ( ) ( ) 3

321321 ,,,,, R∈== yyyyxxxx , R∈βα , . Atunci: =+ yx βα ( )332211 ,, yxyxyx βαβαβα +++ şi ( ) ( ++=+ 22 yxyxU βαβα

) =++++++++ 2211113333 ,, yxyxyxyxyx βαβαβαβαβα ( ) ( ) =+++++++= 211332211332 ,,,, xxxxxxxxxxxx βα ( ) ( )yUxU βα + , deci

operatorul U este liniar. Pentru a determina matricea ataşată acestui operator în baza canonică determinăm imaginile vectorilor bazei canonice prin operatorul U: ( ) ( )1,1,01 =eU , ( ) ( )1,0,12 =eU , ( ) ( )0,1,13 =eU . Matricea ataşată acestui

operator este:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011101110

A .

2.7. EXERCIŢII 93

Observaţie. Dacă notăm ( )xUy = atunci coordonatele vectorului y sunt:

213

312

321

xxyxxyxxy

+=+=

+=

relaţii care ne dau expresia analitică a operatorului U în baza canonică. Din teorema 3.1 (suficienţa) rezultă liniaritatea operatorului U. b) ( ) ( ++=+ 22 yxyxU )1,, 2211113333 ++++++++ yxyxyxyxyx , ( ) ( ) ( ++=+ 22 yxyUxU )2,, 2211113333 ++++++++ yxyxyxyxyx

deci U nu este liniar. c) Operatorul nu este liniar deoarece: ( ) ( )113322

22

22 ,,2 yxyxyxyxyxU ++++=+ ,

( ) ( ) ( )113322

22 ,, yxyxyxyUxU +++=+ .

2) Fie operatorul 33: RR →U , a cărui expresie analitică în baza canonică din 3R este: ( ) ( )321321321 2,2,2 xxxxxxxxxxU −++−++−= . a) Să se determine matricea B ataşată operatorului U în baza { }321 ,, fffF = unde: ( ) ( ) ( )0,0,1,0,1,1,1,1,1 321 === fff . b) Să se determine nucleul şi imaginea operatorului U. Rezolvare. a) Matricea ataşată operatorului U în baza canonică este:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

211121112

A .

Deoarece 3211 eeef ++= , 212 eef += , 13 ef = matricea de trecere de la baza canonică la baza F este:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

001011111

C .

Matricea operatorului U în baza B se obţine acum prin aplicarea formulei de transformare a matricei unui operator liniar la schimbarea bazei spaţiului:


( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−==

−

30 00 301 2 0

1 tt CACB .

b) pentru a determina nucleul operatorului U este necesar să determinăm mulţimea soluţiilor sistemului ( ) 3R

0=xU sau:

.02 0 2 0 2

321

321

321

=−+=+−=++−

xxxxxxxxx

Sistemul de mai sus este compatibil simplu nedeterminat ţi are soluţia generală: ( ){ }R∈= αααα ,,KerU . Pentru a determina imaginea operatorului U este necesar să determinăm tripletele ( ) 3

321 ,, R∈yyy pentru care sistemul

3321

2321

1321

2 2 2

yxxxyxxxyxxx

=−+=+−=++−

este compatibil. Din condiţia ca determinantul caracteristic al acestui sistem să fie egal cu zero obţinem: ( ){ }0,,Im 321321 =++= yyyyyyU . 3) Să se arate că există un unic operator liniar 33: RR →U astfel încât ( ) ii wvU = , 3,1=i unde: ( )5,3,21 =v , ( )2,1,02 =v , ( )0,0,13 =v , ( )1,1,11 =w ,

( )1,1,12 −=w , ( )2,1,23 =w . Rezolvare. Fie { }321 ,, eee baza canonică în 3R . Deoarece operatorul U este liniar condiţiile ( ) ii wvU = , 3,1=i se scriu:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) .22

2 532

3211

32132

321321

eeeeUeeeeUeUeeeeUeUeU

++=−+=+++=++

2.7. EXERCIŢII 95

Prin rezolvarea acestui sistem în raport cu necunoscutele ( ) ( ) ( )321 ,, eUeUeU obţinem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,4,6,1,7,11,2,1,2 321 =−−−== eUeUeU iar matricea ataşată lui U este:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=0124716112

A .

4) Fie operatorul liniar 33: RR →U definit astfel: ( ) 3

321 ,, R∈= xxxx ,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+−−+= 321321321 3

232

31,

32

31

32,

31

32

32 xxxxxxxxxxU .

a) Să se arate că U este inversabil şi să se determine 1−U . b) Să se arate că U este ortogonal. Rezolvare. Fie ( ) ( ) ( )321321 ,,,,,, yyyyxxxxxUy === . Atunci operatorul U este definit de ecuaţiile:

3211 31

32

32 xxxy −+=

3212 32

31

32 xxxy +−=

3213 32

32

31 xxxy ++−= .

Deoarece determinantul matricei acestui sistem este diferi de zero, sistemul are soluţia unică

3211 31

32

32 yyyx −+=

3212 32

31

32 yyyx +−=

3213 32

32

31 yyyx ++−= .

b) Pentru a arăta că U este ortogonal este suficient să arătăm că

ntt IAAAA =⋅=⋅ sau tAA =−1 . Verificarea acestor egalităţi este imediată.


5) Să se determine adjunctul operatorului liniar nnU CC →: , ( ) xixU ⋅= . Rezolvare. Căutăm nnU CC →: astfel încât ( ) ( ) ><=>< ∗ yUxyxU ,, , pentru orice nyx C∈, . Avem ( ) ><=>< yxiyxU ,, şi cum =><=>< yxiyxi ,,

>−<=><= yixyix ,, rezultă ( ) yiyU −=∗ . 7.2. Exerciţii propuse.

1) Fie operatorii liniari 5,1,: 33 =→ iU i RR definiţi astfel: ( ) ( )3212111 ,, xxxxxxxU +++= , ( ) ( )2113322 ,, xxxxxxxU −−−= , ( ) ( )3323213 ,, xxxxxxxU +++== , ( ) ( )3213213211 222,, xxxxxxxxxxU ++−−−++= , ( ) ( )3221321 ,22, xxxxxxxU −−++= . a) Să se determine matricele ataşate acestor operatori în baza { }321 ,, fffF = unde ( )1,1,11 =f , ( )1,1,02 =f , ( )1,0,03 =f . b) Să se determine nucleul, imaginea, defectul şi rangul acestor operatori. 2) Să se determine endomorfismul ( )( )R3End PU ∈ astfel încât: ( ) 32 21 tttU +−=+ , ( ) 322 ttttU −=+ , ( ) 332 2ttttU +=+ , ( ) 232 41 ttttU −=+++ .

Să se determine matricea acestui endomorfism în baza canonică. 3) Fie operatorul ( ) ( )RR 22: MMU → definit astfel:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

2-110

0 211

XXXU .

Să se determine matricele ataşate acestui operator în baza canonică şi în baza { }4321 ,,, FFFFF = unde:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1111

1F , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0111

1F , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0011

1F , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0001

1F .

4) Fie în 3R vectorii ( )1,2,31 −=v , ( )1,2,12 −=v , ( )2,0,13 =v . Să se arate că există un unic operator liniar RR →3:U astfel încât ( ) 81 −=vU , ( ) 02 =vU , ( ) 63 =vU .

2.7. EXERCIŢII 97

5) Să se determine matricele ataşate transformărilor liniare 33: RR →U în baza

( ) ( ) ( ){ }1,1,1,3,1,2,3,2,1 321 ==== fffF dacă matricele ataşate acestor operatori în baza canonică sunt:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

000 001023

A ;

b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−=

6226223 21

A .

6) Să se arate că există un unic operator liniar 33: RR →U astfel încât ( ) ii wvU = , 3,1=i unde: ( )1,3,51 =v , ( )1,1,12 −=v , ( )0,1,13 −=v ,

( )0,1,21 −=w , ( )0,3,12 −=w , ( )0,1,13 =w . 7) Să se arate că transformările liniare definite de matricele

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−=

1281221142127 18 27

1A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

1000 000 01

2A

sunt proiecţii. 8) Să se arate că operatorii liniari definiţi de următoarele matrice sunt operatori nilpotenţi de ordinul doi (cazul a) şi respectiv de ordinul trei cazurile b şi c):

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0010

A ; b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000100010

A ;c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

00 030 0020

A .

9) Să se arate că endomorfismul 33: RR →U definit de matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

ϕϕ

ϕϕ

sin0cos010

cos0sinA

este ortogonal.


10) Să se arate că operatorii liniari 2,1,: 33 =→ iUi RR , 44

3 : RR →U sunt ortogonali:

a) ( ) ( )213213211 22,2,221 xxxxxxxxxU −++−+= ,

b) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++−= 321321312 3

231

32,

62

322

62,

22

22 xxxxxxxxxU ,

c) ( ) ( )43214321432143213 ,,,21 xxxxxxxxxxxxxxxxxU +−−−+−−−++++= .

11) Fie 22: CC →U endomorfismul definit prin matricea ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

iii

A31

1 în

baza canonică a spaţiului 2C . Să se determine operatorii hermitici 22: CC →iU , 2,1=i astfel încât să avem 21 iUUU += .

12) Să se arate că operatorul 22: CC →U definit de matricea ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

2334

ii

A

este un operator hermitic.

3. VECTORI ŞI VALORI PROPRII

Fie nV un spaţiu liniar peste corpul K. Aşa cum am văzut, operatorul ( )nU VEnd∈ este caracterizat prin matricea ataşată lui într-o bază oarecare din

nV . Această matrice conţine pe coloane coordonatele imaginilor vectorilor bazei prin operatorul U. Dacă { }neeeB ,,, 21 L= este o bază în nV cu proprietatea că ( ) iii eeU λ= , nii ,1, =∈Kλ , atunci matricea ataşată lui U are forma diagonală.

Scopul principal al acestui capitol este stabilirea condiţiilor pe care trebuie să le satisfacă endomorfismul ( )nU VEnd∈ astfel încât să existe o bază în nV , faţă de care matricea ataşată acestui endomorfism să aibă forma diagonală.

3.1. VECTORI ŞI VALORI PROPRII

Fie V un spaţiu liniar peste corpul K. 1.1. Definiţie. Subspaţiul liniar V⊂M se numeşte subspaţiu invariant pentru endomorfismul ( )VEnd∈U dacă ( ) MMU ⊆ . 1.2. Definiţie. Scalarul K∈λ se numeşte valoare proprie a endomorfismului

( )VEnd∈U dacă există { }VV 0\∈x astfel încât: ( ) xxU λ= . Vectorul { }VV 0\∈x cu proprietatea de mai sus se numeşte vector propriu corespunzător valorii proprii λ . Mulţimea valorilor proprii ale endomorfismului ( )VEnd∈U se numeşte spectrul endomorfismului U şi se notează ( )Uσ . 1.3. Observaţie. i) Dacă { }VV 0\∈x este vector propriu al endomorfismului U atunci vectorul K∈αα ,x are aceeaşi proprietate. ii) { }V0\KerU este format din vectorii proprii ai lui U corespunzători valorii proprii 0=λ .


100

iii) Dacă K∈λ este valoare proprie a endomorfismului ( )VEnd∈U atunci operatorul IUT λ−= nu este injectiv, deci nu este inversabil. 1.4. Propoziţie. Fie ( )VEnd∈U . i) Dacă K∈λ este valoare proprie a lui U atunci mulţimea ( ){ }xxUxM λλ =∈= V este un subspaţiu liniar al lui V, invariant pentru U; ii) Dacă K∈21 , λλ sunt valori proprii distincte ale lui U atunci: { }V0=∩

21 λλ MM ;

iii) Vectorii proprii ai lui U corespunzători la valori proprii distincte sunt liniar independenţi. Remarcă. Subspaţiul λM conţine vectorii proprii ai operatorului U corespunză-tori valorii proprii K∈λ şi vectorul V0 . Acest subspaţiu se numeşte subspaţiul propriu corespunzător valorii proprii λ . Demonstraţie. i) Fie λMxx ∈21 , . Atunci ( ) ( ) 2211 , xxUxxU λλ == şi pentru

K∈21 ,αα avem: ( ) ( ) ( ) =+=+=+ 221122112211 xxxUxUxxU λαλααααα ( )2211 xx ααλ + , ceea ce arată că λM este un subspaţiu liniar al lui V. Fie

λMx∈ . Deoarece λM este subspaţiu liniar în V rezultă că pentru orice λMx∈ avem ( ) λλ MxxU ∈= , deci λM este invariant pentru U. ii) Fie 21 λλ ≠ valori proprii ale lui U şi

21 λλ MMx ∩∈ . Atunci ( ) xxU 1λ= ,

( ) xxU 2λ= , de unde rezultă xx 21 λλ = sau ( ) V0=− x21 λλ . Cum 21 λλ ≠ rezultă V0=x deci { }V0=∩

21 λλ MM .

iii) Vom demonstra afirmaţia prin inducţie după numărul n al vectorilor proprii. Pentru 1=n fie 1x vector propriu corespunzător valorii proprii 1λ ; cum V0≠1x rezultă că acest vector este liniar independent. Considerăm afirmaţia adevărată pentru kn = şi să o demonstrăm pentru 1+= kn . Fie 1,1, += kixi vectori proprii corespunzători valorilor proprii 1,1, += kiiλ distincte două câte două şi combinaţia liniară nulă

V0=+++ ++ 112211 kk xxx ααα L .

3.7. EXERCIŢII

101

Dacă aplicăm operatorul U acestei egalităţi obţinem:

V0=+++ +++ 111222111 kkk xxx λαλαλα L . Înmulţim prima egalitate cu 1+kλ şi o scădem din a doua; obţinem ( ) ( ) ( ) V0=−++−+− +++ kkkkkk xxx 121221111 λλαλλαλλα L . Cum jikjiji ≠=≠ ,,1,,λλ şi kjx j ,1=≠ V0 rezultă kii ,1,0 ==α iar din combinaţia liniară nulă iniţială rezultă 01 =+kα . Propoziţia este demonstrată.

3.2. POLINOMUL CARACTERISTIC AL UNUI ENDOMORFISM

Fie nV un spaţiu liniar de dimensiune n peste corpul K, ( )nVEnd∈U şi ( ) ( )Knnjiji MaA ∈=

= ,1,, matrice asociată lui U în baza { }neeeB ,,, 21 L= . Fie

( )Uσλ ∈ şi ∑=

=n

jjjexx

1 un vector propriu corespunzător acestei valori proprii.

Condiţia ( ) xxU λ= se scrie atunci sub forma:

∑∑ ∑== =

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

iii

n

ii

n

jjij exexa

11 1λ .

De aici obţinem sistemul de ecuaţii liniare în necunoscutele nixi ,1, = :

nixxa i

n

jjij ,1,

1==∑

=

λ ,

sau

( )( )

( ) .0

00

2211

2222121

1212111

=−+++

=++−+=+++−

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

λ

λλ

L

LLLLLLLLLLLLLL

L

L

Pentru ( ) ( )K1,21 n

tn MxxxX ∈= L sistemul de mai sus capătă forma matricială:


102

( ) ( )K1,nMn XIA 0=− λ .

2.1. Definiţie. Scalarul K∈λ se numeşte valoare proprie a matricei ( )KnMA∈ dacă există ( ) ( )KK

1,1, nMnMX 0≠∈ astfel încât:

( ) ( )K1,nMn XIA 0=− λ .

Vectorul X cu proprietatea de mai sus se numeşte vector propriu al matricei A corespunzător valorii proprii λ . Sistemul ( ) ( )K1,nMn XIA 0=−λ se numeşte

sistem caracteristic al matricei A. 2.2. Definiţie. Polinomul ( ) ( )nIAP λλ −= det se numeşte polinom caracteristic al matricei A iar ecuaţia ( ) ( ) 0det =−≡ nIAP λλ se numeşte ecuaţie caracteristică a matricei A. 2.3. Observaţie. i) Sistemul caracteristic ( ) ( )K1,nMn XIA 0=−λ are soluţii

nebanale dacă şi numai dacă ( ) 0det =− nIA λ ; rezultă că K∈λ este valoare proprie a matricei A dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice. ii) Întrucât polinomul caracteristic ( ) ( ) 01

111 αλαλαλλ ++++−= −− Ln

nnnP

are gradul n rezultă că ecuaţia caracteristică ( ) 0=λP are n rădăcini reale sau (şi) complexe, deci orice matrice ( )CnMA∈ are n valori proprii. iii) Matricea ( )RnMA∈ poate să nu aibă valori proprii. Privită însă ca matrice din ( )CnM ea are cel puţin o valoare proprie (din C). În acest caz vectorii proprii corespunzători valorii proprii RC \∈λ aparţin complexificatului lui nR , pe care l-am notat nC R . 2.4. Propoziţie. Două matrice asemenea au acelaşi polinom caracteristic. Demonstraţie. Fie ( )KnMBA ∈, matrice asemenea; există deci ( )KnMC∈ nesingulară astfel încât CACB 1−= şi: ( ) ( ) ( ) =−=−=− −−− CIACCICCACIB nnn λλλ 111 detdetdet ( ) ( )nn IACIAC λλ −=⋅−⋅= − detdetdetdet 1 .

3.7. EXERCIŢII

103

2.5. Observaţie. i) Dacă endomorfismul ( )nU VEnd∈ i se ataşează într-o bază

{ }neeeB ,,, 21 L= din nV matricea ( )KnMA∈ atunci matricele asemenea cu matricea A au acelaşi polinom caracteristic conform propoziţiei 2.4. Cum matricele ataşate lui ( )nU VEnd∈ în bazele din nV sunt asemenea, rezultă că polinomul ( ) ( )nIAP λλ −= det depinde numai de U şi nu de reprezentarea matriceală particulară a lui U într-o bază din nV . De aceea polinomul ( )λP se numeşte polinom caracteristic al endomorfismului U. ii) Valorile proprii ale endomorfismului ( )nU VEnd∈ sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice ( ) 0det =− nIA λ a matricei A ataşată lui U într-o bază oarecare din

nV şi în baza celor de mai sus ele se ataşează în mod unic endomorfismului U. Prin spectrul endomorfismului ( )nU VEnd∈ , notat ( )Uσ , înţelegem spectrul matricei ataşate lui U într-o bază oarecare din nV . iii) Vectorii proprii ai endomorfismului ( )nU VEnd∈ corespunzători valorii proprii λ sunt soluţiile sistemului ( ) ( )K1,nMn XIA 0=− λ .

iv) Fie nV un spaţiu liniar real, ( )nU VEnd∈ , nCV complexificatul lui nV . Dacă A

este matricea ataşată lui U într-o bază din nV , atunci această matrice, privită ca matrice din ( )CnM defineşte un operator din ( )n

CVEnd . Acest operator se numeşte complexificatul endomorfismului ( )nU VEnd∈ şi se notează UC . Deoarece U şi UC au aceeaşi reprezentare matriceală, valorile proprii ale lui UC sunt valorile proprii din C ale matricei reale asociate lui U.

3.3. FORMA DIAGONALĂ A UNUI ENDOMORFISM

Fie nV un spaţiu liniar de dimensiune n peste corpul K. 3.1. Definiţie. Spunem că endomorfismul ( )nVEnd∈U este diagonalizabil dacă există o bază în nV astfel încât matricea A ataşată lui U în această bază să fie o matrice diagonală. Matricele asemenea matricei A se numesc matrice diagonalizabile. 3.2. Propoziţie. Endomorfismul ( )nVEnd∈U este diagonalizabil dacă şi numai dacă există o bază în nV formată cu vectori proprii ai endomorfismului U. Demonstraţie. Dacă ( )nVEnd∈U este diagonalizabil, atunci există o bază

{ }neeeB ,,, 21 L= în nV astfel încât matricea ataşată lui U în această bază este o matrice diagonală:


104

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nna

aa

A

L

LLLL

L

L

00

0000

22

11

.

Atunci din definiţia matricei ataşate unui operator liniar avem ( ) iiii eaeU = ,

ni ,1= , deci vectorii niei ,1, = , sunt vectori proprii ai endomorfismului U, asociaţi valorilor proprii niaii ,1, = . Reciproc, dacă { }neeeB ,,, 21 L= este o bază în nV formată din vectori proprii ai lui U corespunzători valorilor proprii nii ,1, =λ , atunci ( ) iii eeU λ= , ni ,1= , deci matricea ataşată lui U în baza { }neeeB ,,, 21 L= este matricea diagonală:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

A

λ

λλ

L

LLLL

L

L

00

0000

2

1

.

3.3. Definiţie. Fie ( )Uσλ∈ o valoare proprie a endomorfismului ( )nU VEnd∈ . Se numeşte multiplicitate algebrică a valorii proprii λ şi o notăm ( )λam , ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ ca rădăcină a ecuaţiei caracteristice a endomorfismului U. Se numeşte multiplicitate geometrică a valorii proprii λ şi o notăm ( )λgm , dimensiunea subspaţiului propriu λM corespunzător valorii proprii λ . 3.4. Propoziţie. Dacă ( )nU VEnd∈ şi ( )Uσλ ∈0 atunci ( ) ( )00 λλ ag mm ≤ . Demonstraţie. Fie ( )Uσλ ∈0 valoare proprie multiplă de ordinul m (deci

( ) mma =0λ ) a ecuaţiei caracteristice a endomorfismului U şi 0λM subspaţiul

propriu corespunzător acestei valori proprii. Fie ( ) npmM g ≤== 00

dim λλ şi { }peeeB ,,, 21 L= bază în 0λM .

Dacă np = atunci, în baza de mai sus, operatorului U i se ataşează matricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

0

0

00

0000

λ

λλ

L

MLMM

L

L

A ,

3.7. EXERCIŢII

105

deci polinomul caracteristic al endomorfismului U este ( ) ( ) ( )nnP 01 λλλ −−= . De aici rezultă că 0λ este rădăcină multiplă de ordinul n a ecuaţiei caracteristice, adică ( ) ( )00 λλ ga mpnm === .

Dacă np < , atunci completăm baza { }peeeB ,,, 21 L= până la o bază

{ }neeeB ,,, 21 L=′ în nV . Deoarece piei ,1, = sunt vectori proprii ai lui U corespunzători valorii proprii 0λ avem ( ) pieeU ii ,1,0 == λ . Pentru ceilalţi

vectori ai bazei B′ putem scrie ( ) npjeaeUn

iiijj ,1,

1+==∑

=

, deci matricea ataşată

lui U în baza B′ este:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

+

+

+

+

nnpn

pnpp

np

np

aa

aa

aaaa

A

LL

LLLLLLL

LL

LLLLLL

LL

LL

1,

1,0

21,20

11,10

000

00

0000

λ

λλ

.

Polinomul caracteristic are în acest caz forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )λλλλλ QIAP pp

n ⋅−−=−= 01det , unde

( )

λ

λλ

λ

−

−−

=

++

+++++

+++++

nnpnpn

nppppp

nppppp

aaa

aaaaaa

Q

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

L

MLMM

L

L

.

Deoarece ( ) p

0λλ − divide ( )λP rezultă ( ) ( )00 λλ ga mpm =≥ şi propoziţia este demonstrată. 3.5. Teoremă. Endomorfismul ( )nU VEnd∈ este diagonalizabil dacă şi numai dacă polinomul său caracteristic are toate rădăcinile în corpul K şi

( ) ( )λλ ga mm = , ( ) ( )Uσλ ∈∀ .


106

Remarcă. Teorema de mai sus afirmă că ( )nU VEnd∈ este diagonalizabil dacă şi numai dacă polinomul său caracteristic are toate rădăcinile în corpul K şi dimensiunea fiecărui subspaţiu propriu este egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzătoare ca rădăcină a ecuaţiei caracteristice a endomorfismului U. Demonstraţie. Fie ( )nU VEnd∈ un endomorfism diagonalizabil. Atunci există o bază { }neeeB ,,, 21 L= în nV , formată din vectori proprii ai lui U, faţă de care matricea ataşată endomorfismului U este diagonală. Dacă această matrice are pe diagonală elementele npp ≤,,,, 21 λλλ L , atunci polinomul caracteristic al

endomorfismului U este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pmp

mmnP λλλλλλλ −−−−= L22

111 , unde

pimi ,1, = este egal cu numărul de apariţii al valorii pii ,1, =λ pe diagonala

matricei ataşate lui U. Rezultă că nmp

iii =∑

=

şi pii ,1, =∈Kλ sunt valori proprii

ale lui U de multiplicităţi pim i ,1, = . Fără a afecta generalitatea putem presupune că primii 1m vectori din bază corespund valorii proprii 1λ , următorii

2m vectori corespund valorii proprii 2λ şi aşa mai departe. Atunci vectorii 21 ,ee ,

1, meL aparţin subspaţiului propriu

1λM deci numărul lor 1m este cel mult egal

cu dimensiunea subspaţiului propriu 1λ

M , adică 11 dim λMm ≤ . Dar din

propoziţia 3.4 avem inegalitatea ( ) ( ) 1111dim mmmM ag =≤= λλλ , deci

11 dim λMm = . Analog se arată că piMmii ,2,dim == λ .

Reciproc, fie pλλλ ,,, 21 L valorile proprii distincte două câte două, cu ordinele

de multiplicitate pim i ,1, = , ale lui U. Presupunem că ( ) K⊂Uσ şi

ii Mm λdim= , ( ) pi ,1=∀ . Fie sistemul de vectori:

{ } nmeeeeeeeBp

iipmpmmmm == ∑

=+−+

111211121 ,,,,,,,,,,, LLLL ,

unde { }

1211 ,,, meeeB L= este bază în 1λ

M şi { } pieeeBimimimi ,2,,,, 2111

== +−+−L

sunt baze în piMi

,2, =λ . Deoarece fiecare sistem de vectori piBi ,1, = este liniar independent şi conţine vectorii proprii ai lui U corespunzători valorilor proprii pii ,1, =λ , distincte două câte două, rezultă că B este bază în nV . În raport cu această bază matricea ataşată endomorfismului U este diagonală, fapt ce se constată cu uşurinţă.

3.7. EXERCIŢII

107

3.6. Observaţie. i) Din propoziţia precedentă rezultă cu uşurinţă că ( )nU VEnd∈ este diagonalizabil dacă şi numai dacă

pn MMM λλλ ⊕+⊕⊕= L21

V .

ii) Fie { } nmeeeeeeeBp

iipmpmmmm == ∑

=+−+

111211121 ,,,,,,,,,,, LLLL baza din

propoziţia precedentă şi matricea ( )neeeQ ,,,col 21 L= , matricea având pe coloane coordonatele vectorilor proprii ai endomorfismului ( )nEndU V∈ . Atunci:

( )λ

λ

λλ

DQAQ

p

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−

L

LLLL

L

L

00

0000

2

1

1 ,

unde cu ( )λD am notat matricea diagonală, în care pe diagonala sa apar valorile proprii ale endomorfismului U. Fiecare valoare proprie pjj ,1, =λ , apare de jm

ori, pj ,1= , în ordinea în care au fost introduse coordonatele vectorilor proprii drept coloane ale matricei Q. 3.7. Algoritm de diagonalizare. Dacă nV este un spaţiu liniar de dimensiune n peste corpul K şi ( )nU VEnd∈ atunci pentru diagonalizarea endomorfismului U se procedează după cum urmează. 1) Se alege o bază { }nfffB ,,, 21 L=′ în nV şi se determină matricea ( )KnMA∈ ataşată lui U în această bază. 2) Se determină spectrul ( )Uσ al endomorfismului U prin rezolvarea ecuaţiei ( ) ( ) 0det =−≡ nIAP λλ . Dacă ( ) K⊄Uσ atunci endomorfismul U nu este

diagonalizabil şi algoritmul se opreşte. 3) Dacă ( ) K⊂Uσ şi valorile proprii pjj ,1, =λ ale lui U au ordinele de

multiplicitate nmpjmp

jjj == ∑

=1,,1, , se determină rangul matricelor nj IA λ− ,

pj ,1= . Dacă ( ) jnj mnIA −=− λrang , pj ,1= , adică ( ) ( )==jjg Mm λλ dim

( ) pjmm jaj ,1, === λ , atunci cu teorema 3.5 rezultă că U este diagonalizabil. Dacă există cel puţin o valoare proprie

0jλ pentru care are loc inegalitatea


108

( )00

rang jnj mnIA −>− λ

atunci U nu este diagonalizabil şi algoritmul se opreşte. 4) Pentru fiecare ( )Uj σλ ∈ , pj ,1= , se rezolvă sistemele omogene

( ) ( ) pjXIAnMnj ,1,

1,==− K0λ

şi se determină astfel subspaţiile proprii pjM

j,1, =λ . O bază jB în subspaţiul

pjMj

,1, =λ se determină prin atribuirea valorii 1 câte unei necunoscute

secundare (din cele jm existente) şi valorii 0 pentru celelalte necunoscute secundare. 5) Sistemul de vectori pBBBB ∪∪∪= L21 formează o bază în nV , alcătuită din vectori proprii ai endomorfismului U. 6) Se construieşte matricea Q punând pe coloanele acesteia coordonatele vectorilor proprii ai endomorfismului U. Atunci conform observaţiei 3.6 avem: ( )λDQAQ =−1 . Deoarece matricea unui endomorfism se modifică la schimbarea bazei după formula ( ) tt CACB 1−

= , rezultă că matricea de trecere de la baza iniţială a lui nV la baza pBBBB ∪∪∪= L21 este tQC = . 3.7′ . Exemple. 1) Fie operatorul liniar 33: RR →U căruia în baza canonică din

3R i se ataşează matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011101110

A .

Să se verifice dacă U este diagonalizabil şi în caz afirmativ să se determine o bază în 3R faţă de care matricea ataşată lui U este o matrice diagonală. Rezolvare. Determinăm mai întâi valorile proprii. Ecuaţia caracteristică este

0233 =−− λλ şi are rădăcinile 21 =λ , 132 −== λλ . Cum prima valoare proprie este simplă subspaţiul propriu corespunzător

1λM are dimensiunea unu

3.7. EXERCIŢII

109

şi astfel avem ( ) ( )22 ga mm = . Pentru a determina acest subspaţiu trebuie să rezolvăm sistemul ( ) ( )R1,331 MXIA 0=− λ , sistem care se scrie sub forma:

.02

0 2

0 2

321

321

321

=−+

=+−

=++−

xxxxxx

xxx

Mulţimea soluţiilor acestui sistem este ( ){ }R∈= ααααλ ,,

1M

iar o bază în acest subspaţiu este dată de vectorul propriu ( )1,1,11 =e . Să determinăm acum dimensiunea subspaţiului propriu corespunzător valorii proprii 12 −=λ , a cărei multiplicitate algebrică este ( ) 21 =−am . Vectorii proprii corespunzători acestei valori proprii se detrermină prin rezolvarea sistemului ( ) ( )R1,332 MXIA 0=−λ . Acest sistem se reduce la ecuaţia:

0321 =++ xxx Mulţimea soluţiilor acestei ecuaţii este: ( ){ }R∈−−= βαβαβαλ ,,,

2M ,

care formează un subspaţiu liniar de dimensiune doi al lui 3R . O bază în acest subspaţiu este dată de vectorii proprii ( )0,1,12 −=e , ( )1,0,13 −=e . Deoarece endomorfismul U are toate valorile proprii în corpul R iar multiplicitatea algebrică a fiecărei valori proprii este egală cu multiplicitatea sa geometrică rezultă că endomorfismul U este diagonalizabil. O bază faţă de care matricea ataştă lui U are forma diagonală este formată din vectorii proprii

( )1,1,11 =e , ( )0,1,12 −=e , ( )1,0,13 −=e iar matricea ataşată lui U în această bază este:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

100010002

.


110

2) Fie operatorul liniar 33: RR →U căruia în baza canonică din 3R i se ataşează matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

211122111

A .

Să se verifice dacă U este diagonalizabil. Rezolvare. Valorile proprii ale endomorfismului U sunt: 221 == λλ , 13 =λ . Subspaţiul propriu corespunzător valorii proprii duble 21 =λ este dat de mulţimea soluţiilor sistemului

.0

0 2 0

21

31

321

=−=−=+−−

xxxxxxx

Prin rezolvarea acestui sistem obţinem ( ){ }R∈= ααααλ 2,,

1M ,

subspaţiu care are dimensiunea egală cu unu; cum ( ) ( ) 1222 =>= ga mm rezultă că endomorfismul U nu este diagonalizabil. În acest caz matricea ataşată endomorfismului U poate fi adusă la forma canonică Jordan, după un algoritm pe care îl vom obţine în cele ce urmează.

3.4. FORMA CANONICĂ JORDAN

În dezvoltările care urmează un rezultat foarte important este dat de următoarea teoremă. Teorema Cayley-Hamilton. Fie ( )KnMA∈ şi

( ) ( )nIAP λλ −= det ( ) 011

11 αλαλαλ ++++−= −− Ln

nnn

polinomul său caracteristic. Atunci:

( ) ( ) ( )KnMnn

nnn IAAAAP 0=++++−= −

− 11

11 αα L .

3.7. EXERCIŢII

111

Demonstraţie. Fie ( )KnMA∈ , ( ) ( )nIAP λλ −= det polinomul său caracteristic; dacă ( )+− nIA λ este reciproca matricei nIA λ− (definiţia 1.19, anexă), atunci

( )( ) ( ) ( ) nnnnn IPIIAIAIA λλλλ =−=−− + det

şi ( )+− nIA λ este o matrice de polinoame de grad 1−n . Rezultă că reciproca matricei nIA λ− are forma

( ) 011

21

1 BBBBIA nn

nnn ++++=− −

−−

−+ λλλλ L ,

unde ( ) 1,0, −=∈ niMB ni K . Introducând expresia lui ( )λP şi valoarea matricei ( )+− nIA λ în egalitatea ( )( ) ( ) nnn IPIAIA λλλ =−− + şi grupând după puterile lui λ obţinem:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) . 01

0012

211

nnn

nn

nnn

nn

IIIBABBABBAB

αλαλα

λλλ

+++=

=+−++−+− −−−−

L

L

Prin identificarea coeficienţilor puterilor lui λ deducem: nnnnnnnnn IBAIBBAIBBAIB 001011211 ,,,, αααα ==−=−=− −−−− L . Amplificăm aceste relaţii la stânga respectiv cu n

nn IAAA ,,,, 1 L− şi le adunăm; obţinem astfel: ( ) ( )KnMn

nn

nn IAAAAP 0=++++= −

− 011

1 αααα L şi teorema este demonstrată. Fie nV un spaţiu liniar de dimensiune n peste corpul K şi ( )nU VEnd∈ . 4.1. Definiţie. Se numeşte celulă Jordan de ordinul n ataşată scalarului K∈λ şi se notează ( )λmJ , matricea

( ) ( )Kmmm MJ ,

10000000

001000010000

∈

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

λλ

λλ

λ

λ

L

L

MMMMMM

L

L

L

.


112

Prin bloc Jordan se înţelege o matrice de forma

( )

( )( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

λ

λλ

λ

sJ

JJ

B

L

MMMM

L

L

00

0000

2

1

având pe diagonală celule Jordan cu acelaşi scalar λ . Se numeşte matrice sub forma canonică Jordan o matrice bloc diagonală J care are pe diagonală blocuri Jordan cu scalari eventual diferiţi. 4.2. Definiţie. Spunem că endomorfismul ( )nU VEnd∈ este adus la forma canonică Jordan dacă există o bază în nV faţă de care matricea ataşată lui U este sub forma canonică Jordan. 4.3. Propoziţie. Fie ( )nU VEnd∈ . Atunci există două subspaţii WM , în nV , invariante pentru U, astfel încât: i) WMn ⊕=V ; ii) restricţia lui U la subspaţiul M este un operator nilpotent; iii) dacă

nW V0≠ restricţia lui U la subspaţiul W este inversabilă.

Demonstraţie. i) Fie kU puterea k, ∗∈ Nk a endomorfismului U, k

k UN Ker= , k

k UR Im= . kN şi ∗∈ NkR k , sunt evident subspaţii liniare în nV . Să arătăm că aceste subspaţii sunt invariante pentru U şi că există ∗∈ Ns astfel încât: LL ==⊂⊂⊂ +121 ss NNNN , LL ==⊃⊃⊃ +121 ss RRRR . Fie ∗∈∈ NkNx k , . Atunci ( )

nV0=xU k şi ( ) ( )( ) ( )nVnV 00 ===+ UxUUxU kk 1 ,

deci 1+⊂ kk NN . În plus, din ( )nV0=xU k rezultă ( )( )

nV0=− xUU k 1 deci ( ) kk NNxU ⊂∈ −1 , ( ) kNx∈∀ . De aici rezultă că ( ) kk NNU ⊂ .

Fie acum ∗∈∈ NkRy k , ; există deci nx V∈ astfel încât ( ) yxU k = . Atunci: ( ) ( )( ) ( )( ) k

kk RxUUxUUyU ∈== , deci ( ) kk RRU ⊂ . În plus, din ( ) yxU k = avem ( ) ( )( ) 1

1−

− ∈== kkk RxUUxUy , deci 1−⊂ kk RR .

3.7. EXERCIŢII

113

Deoarece kN , ∗∈ Nk sunt subspaţii liniare într-un spaţiu liniar finit dimensional, rezultă că există ∗∈Ns astfel încât 1+= ss NN . Să arătăm că

( ) ∗+ ∈∀= NqNN qss , . Pentru aceasta fie qsNx +∈ ; atunci ( )

nqs xU V0=+ sau

( )( )n

qs xUU V0=−+ 11 . De aici şi din 1+= ss NN rezultă ( )( )n

qs xUU V0=−1 , deci

( )n

qs xU V0=−+ 1 . Continuând procedeul, obţinem în final ( )n

s xU V0= , deci

sNx∈ şi sqs NN ⊂+ . Cum qss NN +⊂ , ( ) ∗∈∀ Nq rezultă qss NN += . Deoarece ( ) ∗∈∀=+ NknRN kk ,dimdim , din 1+= ss NN obţinem 1dimdim += ss RR şi

cum ss RR ⊂+1 avem 1+= ss NN . În mod similar, din ( ) ∗+ ∈∀= NqNN qqs ,

rezultă ( ) ∗+ ∈∀= NqRR qqs , .

Fie acum ss RWNM == , . M şi N sunt subspaţii liniare în nV , invariante pentru U. Să arătăm că WMn ⊕=V . Fie WMx ∩∈ . Din Mx∈ rezultă

( )n

s xU V0= iar din Wx∈ rezultă că există ny V∈ astfel încât ( )yUx s= .

Atunci ( ) ( )n

ss xUyU V0==2 deci sNy 2∈ şi cum ss NN 2= rezultă sNy∈ . În

aceste condiţii avem ( )n

s yU V0= deci n

x V0= şi { }n

WM V0=∩ . Suma WM + este directă şi cum nWM =+ dimdim rezultă WMn ⊕=V .

ii) Fie ( ) ( ) ( ) MxxUxUMU n ∈∀=→ ,,: 11 V . Deoarece ( ) { }n

s MU V0= rezultă

( ) ( ) ( ) MxxUxUn

ss ∈∀== ,1 V0 deci sU1 este nilpotent de indice s. iii) Fie ( ) ( ) ( ) WxxUxUWU n ∈∀=→ ,,: 22 V . Dacă Wx∈ există ny V∈ astfel încât ( )yUx s= . Dacă ( )

nxU V0= atunci ( ) ( )yUxU s

n1+==V0 , deci

ss NNy =∈ +1 , de unde rezultă ( )n

s yU V0= şi n

x V0= . Astfel avem { }

nU V0=2Ker deci 2U este inversabil.

4.4. Definiţie. Subspaţiul M din propoziţia 4.3 se numeşte nucleul stabil al lui U şi îl notăm ( )UM iar subspaţiul W se numeşte imaginea stabilă a lui U şi îl notăm ( )UW . 4.5. Observaţie. i) Dacă nnU VV →: este nilpotent, adică ( ) ∗∈∃ Ns astfel încât

( )nVEndsU 0= atunci ( ) ( ) { }

nVV 0== UWUM n , . ii) Dacă nnU VV →: este un automorfism atunci ( ) { } ( ) nUWUM V

nV == ,0 . 4.6. Propoziţie. Fie nV spaţiu vectorial peste K, ( )nU VEnd∈ , nv V∈ astfel încât

( )nV0≠− vU k 1 şi ( ) ∗∈= N

nV kvU k ,0 , ( ) ( ) ( )( )vUvUvUvLW k 12 ,,,, −= L . Atunci:


114

i) ( ) ( ) ( ){ }vUvUvUvB k 12 ,,,, −= L este bază în W; ii) W este invariant pentru U şi matricea restricţiei lui U la subspaţiul W, în baza B este:

( )KkM∈

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0100

001000010000

L

MMLMM

L

L

L

.

Demonstraţie. i) Fie combinaţia liniară nulă ( ) ( )

nk

k vUvUv V0=+++ −121 ααα L .

Aplicăm acestei egalităţi endomorfismul 1−kU şi obţinem: ( ) ( ) ( )

nk

kkk vUvUvU V0=+++ −− 22

21

1 ααα L . Deoarece ( ) ( ) ( )

nkkk vUvUvU V0==== −+ 221 L şi ( )

nk vU V0≠−1 rezultă 01 =α .

Aplicăm egalităţii ( ) ( ) ( )n

kk vUvUvU V0=+++ −12

32 ααα L endomorfismul 2−kU

şi obţinem: ( ) ( ) ( )n

kk

kk vUvUvU V0=+++ −− 323

12 ααα L . La fel ca în primul caz

rezultă 02 =α . Repetând acest procedeu obţinem 021 ==== nααα L deci sistemul ( ) ( ) ( ){ }vUvUvUvB k 12 ,,,, −= L este liniar independent. În plus B este şi sistem de generatori pentru W deci este bază în W. ii) Fie Wx∈ şi ( ) ( )vUxvUxvxx k

k1

21−+++= L . Atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) =+++= vUxvUxvUxxU k

kL221

( ) ( ) ( )vUxvUxvUx kk

11

221

−−+++= L ,

adică W este un spaţiu invariant pentru U. Dacă notăm ( ) ( )vUevUeve k

k1

21 ,,, −=== L atunci ( ) ( ) L,, 3221 eeUeeU == , ( ) ( )

nV0==− kkk eUeeU ,1 , deci restricţia lui U la W are ataşată în baza B matricea din enunţul propoziţiei. 4.7. Definiţie. Subspaţiul W din propoziţia de mai sus se numeşte subspaţiu U-ciclic. 4.8. Corolar. În condiţiile propoziţiei de mai sus fie K∈λ şi operatorul

3.7. EXERCIŢII

115

nnU VV →:1 ,

nVIUU λ+=1 . Atunci W este invariant pentru 1U şi matricea ataşată restricţiei lui 1U la W în baza B este:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λλ

λ

10000000

001000010000

L

L

MMMMMM

L

L

L

.

Demonstraţie. Dacă Wx∈ atunci ( ) ( ) WxxUxU ∈+= λ1 deoarece W este invariant pentru restricţia lui U la W. Avem:

( )( )

( )( ) kk

kkk

eeUeeeU

eeeUeeeU

λλ

λλ

=+=

+=+=

−−

1

111

3221

2111

,

,,

LLLLLLL

şi demonstraţia este încheiată. 4.9. Observaţie. i) Fie ( ) ( )UU jn σλ ∈∈ ,End V o valoare proprie a lui U,

( )nEndI VnV ∈ operatorul identitate pe nV şi nnjT VV →: ,

njj IUT Vλ−= . Dacă

jM λ este subspaţiul propriu al lui U corespunzător valorii proprii jλ atunci

jj MT λ=Ker . Fie ( )jTM nucleul stabil al lui jT şi jT~ restricţia lui jT la ( )jTM .

Cu propoziţia 4.3 rezultă că jT~ este nilpotent şi ( )jTM este invariant pentru jT , deci şi pentru U, din modul cum a fost definit operatorul jT . Dacă ( )jTMI este

operatorul identitate pe j

M λ , atunci operatorul ( )jTMjjj ITU λ+= ~~ este restricţia

lui U la j

M λ . Fie jn indicele de nilpotenţă al operatorului jT~ şi K∈λ o valoare

proprie a lui jT~ . Se constată cu uşurinţă că jnλ este o valoare proprie a lui jnjT~ şi

cum ( )nV0=xT jn

j~ , ( ) ( )jTMx ∈ rezultă 0=λ , deci ( ) { }0~ =jTσ .


116

Fie acum ( )jU~σλ∈ ; atunci există ( )jTMx∈ ,

nx V0≠ astfel încât ( ) xxU j λ=~ şi

( ) ( )xxT jj λλ −=~ . Ultima egalitate implică ( )jj T~σλλ ∈− şi cum ( ) { }0~ =jTσ

obţinem jλλ = . Deci singura valoare proprie a endomorfismului jU~ (dacă aceasta există) este egală cu jλ . ii) Fie ( )nU VEnd∈ , ( )UM şi ( )UW nucleul stabil şi respectiv imaginea stabilă ale lui U. Cu propoziţia 4.3 avem ( ) ( )UWUM ⊕=nV şi ( )UM , ( )UW sunt subspaţii invariante pentru U. Dacă { }peeeB ,,, 21 L=′ , { }npp eeeB ,,, 21 L++=′′ sunt baze în ( )UM , respectiv ( )UW , atunci BBB ′′∪′= este o bază în nV în raport cu care matricea ataşată lui U este o matrice bloc diagonală, adică este de forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

00A

AA , ( ) ( )KK pnp MAMA −∈∈ 21 , .

iii) Fie ( )nU VEnd∈ cu polinomul caracteristic:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pmp


111 , nm

p

ii =∑

=1.

Dacă notăm ( ) ( ) ( ) ( ) ( )λλλλλλ iiim

ii PPQP :, =−= , pi ,1= atunci polinomul caracteristic se scrie: ( ) ( ) ( ) piQPP ii ,1, == λλλ . Deoarece polinoamele piQi ,1, = sunt prime între ele se poate arăta (vezi Brînzănescu, V., Stănăşilă, O., Matematici speciale, Editura All, Bucureşti, 1998, pag. 95) că există polinoamele [ ]λK∈iH , pi ,1= astfel încât

IQHQHQH pp =+ ooLooo 2211 , unde ( ) λλ =I , ( ) K∈∀ λ ; în plus avem

piHQQH iiii ,1, == oo . Dacă aplicăm acum teorema Cayley-Hamilton şi legătura cate există între operatorii liniari şi matricele ataşate lor obţinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nVnVnVnV End

pmp

mmn IUIUIUUP 0=−−−−= λλλ oLoo 22

111 ,

sau încă ( ) piPQQP

nEndiiii ,1, === V0oo .

3.7. EXERCIŢII

117

4.10. Definiţie. Operatorul ( )UIUT jnjj σλλ ∈−= ,V se numeşte endomorfism asociat lui U şi valorii proprii jλ de multiplicitate jm . Subspaţiul

( )UPTM ijm

jj KerKer ==

λ se numeşte subspaţiu asociat lui U. Din definiţia de mai sus rezultă că dacă ( ) { }pU λλλσ ,,, 21 L= atunci U are p endomorfisme asociate şi p subspaţii proprii asociate. 4.11. Teoremă. Dacă ( )nU VEnd∈ , ( )UIUT jnjj σλλ ∈−= ,V , jm

jj TM Ker=

λ , atunci: i) pjMM j

j,1, =⊂

λ

λ ;

ii) pjMj

,1, =λ sunt subspaţii invariante pentru U;

iii) pn MMM λλλ

L⊕⊕= 21V . Demonstraţie. i) ( ) jjm

jjjjMTTIUM λ

λ λ =⊂=−= KerKerKernV ;

ii) Fie jMx λ∈ ; atunci ( )

nV0=xT jmj şi ( ) ( )( )xTTxT j

jmj

jmj ==

+

nV01 deci

( ) jj MxT λ

∈ . Rezultă că jM λ este invariant pentru jT ; în plus, dacă jMx λ∈

atunci ( ) ( ) jjj MxxTxU λλ ∈+= , deci jM λ este invariant pentru U.

iii) Fie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pmp


111 , nm

p

ii =∑

=1, polinomul

caracteristic al endomorfismului U, ( ) ( ) imiiP λλλ −= , ( ) ( ) ( )λλλ ii PPQ := ,

pi ,1= . Cu observaţia 4.9 iii) rezultă că există polinoamele [ ]λK∈iH , pi ,1= astfel încât IQHQHQH pp =+ ooLooo 2211 , unde ( ) λλ =I , ( ) K∈∀ λ şi

piHQQH iiii ,1, == oo . Din cele de mai sus obţinem egalitatea de endomor-fisme: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

nVIUQUHUQUHUQUH pp =+++ oLoo 2211 . Fie nx V∈ . Atunci din egalitatea de mai sus şi din ( ) ( ) ( ) ( )UHUQUQUH iiii oo =

pi ,1= rezultă: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )xUHUQxUHUQxUHUQx pp+++= L2211 .


118

Dacă notăm ( ) ( )( )( ) pixUHUQx iii ,1, =∈ , egalitatea de mai sus se scrie:

pxxxx +++= L21 . Să arătăm că ii Mx λ∈ , pi ,1= . Avem:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

niiiiiiii xUHUQUPxUHUQUPxUP V0=== o , unde am folosit faptul că ( ) piPQQP

nEndiiii ,1, === V0oo .

De aici rezultă că pn MMM λλλ

+++⊂ L21V şi cum incluziunea inversă este

evidentă avem pn MMM λλλ

+++= L21V . Pentru a arăta că suma de mai sus este directă este suficient să arătăm că descompunerea pxxxx +++= L21 ,

ii Mx λ∈ , pi ,1= obţinută mai sus este unică. Presupunem pentru aceasta că

nx V∈ se descompune şi sub forma pyyyx +++= L21 , piMy ii ,1, =∈ λ . Fie

piMyxz iiii ,1, =∈−= λ ; dacă pizi ,1, ==

nV0 atunci suma este directă. Presupunem prin absurd că

nV0≠1z şi fie pzzzz −−−−= L321 . Atunci: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )pzUQzUQzUQzUQ 1312111 −−−−= L şi din modul cum a fost definit polinomul 1Q rezultă

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) =−−−−= 22

23

321 1 zIUIUIUzUQ mpmp

mn

nVnVnV λλλ oLo

nV0= ,

deoarece ( ) 22

22 Ker mIUMz

nVλλ−=∈ .

Analog rezultă ( ) ( )nV0=== pzQzQ 131 L , deci ( )( )

nV0=11 zUQ .În plus avem:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) =−−−−= 11

12

21 1 zIUIUIUzUQ mpmp

mni nVnVnV λλλ oLo

nV0= , pi ,2= ,

deci ( )( )nV0=1zUQi , pi ,1= . În aceste condiţii egalitatea

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )11221111 zUHUQzUHUQzUHUQz pp+++= L implică

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )nV0=+++= 11221111 zUQUHzUQUHzUQUHz ppL .

3.7. EXERCIŢII

119

Contradicţia obţinută implică piz

ni ,1, == V0 deci piyx ii ,1, == şi suma pMMM λλλ

+++ L21 este directă. 4.12. Teoremă. Cu notaţiile din teorema precedentă avem: i) pimM i

i ,1,dim ==λ ;

ii) ( ) pimIUM ii ,1,dim ==−nVλ ;

iii) ( ) piMIUM ii ,1, ==− λλ

nV .

Demonstraţie. i) Fie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pmp


111 , nm

p

ii =∑

=1.

Cu teorema 4.11 avem pn MMM λλλ

L⊕⊕= 21V , cu pjTM jmj

i ,1,Ker ==λ subspaţii invariante pentru U, nnjT VV →: ,

njj IUT Vλ−= . Restricţia jT~ a lui

jT la jM λ este un endomorfism nilpotent de indice jm şi cu observaţia 4.9 i)

rezultă că restricţia jU~ a lui U la subspaţiul jM λ are cel mult valoarea proprie

jλ . Cu observaţia 4.9 ii) rezultă că există o bază în nV în raport cu care matricea ataşată lui U are forma bloc diagonală ( )pAAAA ,,,diag 21 L= , ( ) ( ) pjMnMA j

jjnj ,1,dim, ==∈λK .

Dacă notăm cu

jUP ~ polinomul caracteristic al lui pjU j ,1,~ = atunci:

( ) ( ) ( ) ( )λλλλ

pUUU PPPP ~2

~1

~ L⋅=

de unde rezultă că fiecare polinom

jUP ~ se descompune în factori liniari peste K,

deci are valori proprii. Din observaţia 4.9 i) rezultă că ( ) { } pjU jj ,1,~ == λσ şi

jλ are multiplicitatea pjn j ,1, = ; în aceste condiţii, polinomul caracteristic al

lui U are forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pnp

nnnP λλλλλλλ −−−−= L22

111 . De aici şi din

expresia iniţială a polinomului caracteristic rezultă pjmn jj ,1, == .

ii) Din propoziţia 4.3 rezultă că subspaţiile ( ) ( ) pjTMIUM jj ,1, ==−nVλ sunt

invariante pentru pjTj ,1, = . Aceeaşi afirmaţie este adevărată şi pentru

imaginile stabile ( ) pjTW j ,1, = şi în plus ( ) ( )jjn TWTM ⊕=V .


120

Fie ( ) jj nTM =dim , ( ) pjnnTW jj ,1,dim =−= . Cu observaţia 4.9 ii) există atunci o bază în nV astfel încât matricea ataşată lui U în această bază are forma bloc diagonală

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

00A

AA , ( ) ( )KK

jnnjn MAMA −∈∈ 21 , .

Matricele 21 , AA sunt asociate restricţiilor

21

~,~jj UU la subspaţiile ( )jTM

respectiv ( ) pjTW j ,1, = ; în aceste condiţii polinomul caracteristic al endomorfismului U se scrie sub forma: ( ) ( ) ( )λλλ

2~

1~

jUjU PPP ⋅= .

De aici rezultă că

21

~,~jj UU au valori proprii; în plus, ca la punctul i), rezultă că

1

~jU are doar valoarea proprie jλ . Să arătăm că ( )

2

~jj Uσλ ∈ . Presupunem contrar

şi fie ( )jTWx∈ , nV0≠x astfel încât ( ) xxU jj λ=

2

~ . Atunci: ( )( ) =− xIUnj Vλ

( )njj xxU V0=−= λ

2

~ , deci ( )jj TMTx ⊂∈Ker şi ( ) { }njj TTWx V0=∩∈ Ker ,

astfel încât n

x V0= , contradicţie. De aici rezultă ( ) 02

~ ≠jjUP λ , ( ) 0=jjQ λ şi

deoarece polinomul caracteristic al endomorfismului U are forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )λλλλλλλλλ

2~1 U

jnj

nj

jmjjj PQQPP −−=−== ,

rezultă că ( ) jjj mnTM ==dim .

iii) Avem ( ) ( )jjm

jj TMTKerM ⊂=

λ şi cum ( )jj TMM dimdim =

λ rezultă că

( ) pjMTM jj ,1, ==

λ . 4.13. Teoremă. Fie ( )nU VEnd∈ , pjj ,1, =λ valorile proprii ale lui U, de

multiplicităţi pjm j ,1, = , nmp

jj =∑

=1,

njj IUT Vλ−= , jmj

j TM Ker=λ , pj ,1=

şi jjj MMU λλ

→:~ , restricţiile lui U la jM λ , pj ,1= . Atunci pentru orice

pj ,1= există o bază jB în jM λ astfel încât matricea ataşată lui jU~ în această bază să fie bloc Jordan având pe diagonală scalarul jλ .

3.7. EXERCIŢII

121

Demonstraţie. Cu propoziţia 4.3 şi teorema 4.12 avem:

{ } ( ) jj

sj

sjjjjn

MTMTTTTM λλ ==⊂⊂⊂⊂=⊂ − KerKerKerKer 12 LV0 ,

unde pjms j ,1, =≤ . Fie skTd kjk ,0,Kerdim == . Atunci:

jss mddddd =<<<<<= −12100 L . Reamintim că jm este multiplicitatea algebrică a valorii proprii jλ iar

jTd Ker1 = este multiplicitatea geometrică a aceleiaşi valori proprii. Fie 21211 , −−− −=−= ssss ddpddp , 1, dps =L ; atunci ss dppp =+++ L21 . Fie

skTTx kj

kj ,0,Ker\Ker 1 =∈ − . Un astfel de vector se numeşte vector de înălţime k

şi are proprietatea că ( ) ( )n

kjn

kj xTxT VV 00 ≠= −1, . Deoarece 1−−= sss ddp , putem

alege 1p vectori 121 ,,, puuu L în 1Ker\Ker −s

jsj TT astfel încât ei să fie liniar

independenţi şi { } jsj

sjp MTTuuuL λ

==⊕ − KerKer,,, 1

121 L . Acest lucru se poate

realiza de exemplu prin completarea unei baze din 1Ker −sjT până la o bază în

sjTKer . Să arătăm că vectorii ( ) ( ) ( )

121 ,,, pkj

kj

kj uTuTuT L sunt liniar independenţi

şi ( ) ( ) ( ){ } { }n

ksjp

kj

kj

kj KerTuTuTuTL V0=∩ −− 1

121 ,,, L , 1,1 −= sk . Pentru a

demonstra prima parte a afirmaţiei, fie combinaţia liniară nulă ( ) ( ) ( )

npkjp

kj

kj uTuTuT V0=+++

112211 ααα L . Atunci ( )

nppkj uuuT V0=+++

112211 ααα L deci ( ) ( ){ } =∩∈+++ −− 1

11112211 Ker,, ksjp

kj

kjpp TuTuTLuuu LL ααα { }

nV0 . Din afirmaţia de mai sus rezultă

npp uuu V0=+++112211 ααα L şi cum vectorii

121 ,,, puuu L sunt liniar independenţi obţinem 0121 ==== pααα L .

Pentru a demonstra a doua parte a afirmaţiei fie vectorul

( ) ( ){ } 1

11 ,, −−∩∈ ksjp

kj

kj KerTuTuTLu L .

Atunci ( ) ( )

1111 pkjp

kj uTuTu αα ++= L şi ( )

nks

j uT V0=−− 1 . De aici rezultă că

( ) ( )np

sjp

sj uTuT V0=++ −−

1

1

111

1 αα L , fapt ce implică 0121 ==== pααα L şi


122

deci

nu V0= . Vectorii

121 ,,, puuu L fiind aleşi rezultă

( ) ( ) ( ){ } 21

121 Ker\Ker,, −−⊂ sj

sjp

kj

kj

kj TTuTuTuT L

deoarece ( )( )=−

ijsj uTT 1 ( )i

sj uT

nV0= , 1,1 pi = şi ( )( )=−ij

sj uTT 2 ( ) ≠−

isj uT 1

nV0 ,

1,1 pi = . Din cele demonstrate mai sus rezultă că ( ) ( ) ( ){ }

121 ,, pkj

kj

kj uTuTuT L este un

sistem liniar independent şi ( ) ( ) ( ){ }n

sjp

kj

kj

kj TuTuTuTL V0=∩ −2

121 Ker,, L Atunci

121 −− ≤+ ss ddp deci 2211 pddp ss =−≤ −− . Completăm o bază a lui 2Ker −sjT cu

vectorii ( ) ( ) ( ) 21

211121 Ker\Ker,,,,,, −−+ ∈ s

jsjpppjjj TTuuuTuTuT LL până la o bază

a lui 1−sjKerT (menţionăm că vectorilor ( ) ( ) ( )

121 ,,, pjjj uTuTuT L , care sunt în

număr de 1p li s-au adăugat în această etapă 12 pp − vectori). Vectorii obţinuţi sunt liniar independenţi şi:

( ) ( ) ( ) ( ){ } { }n

sjpjpjpjj KerTuTuTuTuTL V0=∩ −

+3

2

211

2

1

21

2 ,,,,, LL .

Rezultă că 3322 pddp ss =−≤ −− şi deci putem completa sistemul de vectori obţinut până acum până la o bază a lui 2Ker −s

jT , prin adăugarea a 23 pp − vectori. În final obţinem sistemul de vectori:

121 ,,,Ker psj uuuT L∋ ;

( ) ( ) ( )211121

1 ,,,,,,Ker pppjjjsj uuuTuTuTT LL +− ∋ ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

LLL ;,,,,,,,,,Ker3122111

22

21

22pppjpjpjjj

sj uuuTuTuTuTuTT ++− ∋

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .,,,,,

,,,,,,,Ker

11112

2

211

2

1

12

11

1

spspspjspj

psjp

sjp

sj

sj

sjj

uuuTuT

uTuTuTuTuTT

LL

LL

+−−+−

−+

−−−−∋

Acest sistem conţine js mppp =+++ L21 vectori liniar independenţi,

vectori care formează o bază în jM λ . Precizăm că vectorii spsp uu ,,11

L+−

formează o bază în jjTM Ker=λ deci sunt vectori liniar independenţi

corespunzători valorii proprii jλ .

3.7. EXERCIŢII

123

Vectorii de pe fiecare coloană a tabelului de mai sus generează câte un subspaţiu ciclic în

jM λ , în conformitate cu propoziţia 4.6 şi anume: 1p subspaţii ciclice de

dimensiune s, 12 pp − subspaţii ciclice de dimensiune 1−s , 23 pp − subspaţii ciclice de dimensiune 2−s ,…, 1−− ss pp subspaţii ciclice de dimensiune 1. În total se generează 1dps = subspaţii ciclice (un număr egal cu multiplicitatea geometrică a valorii proprii jλ ). În baza:

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

}spsp

spjspspjsppsjpjp

psjpjpp

sjpjpjp

sjjj

sjjj

uu

uTuuTuuTuTu

uTuTuuTuTuTu

uTuTuTuuTuTuTuB

,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,

11

1112122

2

22

11

211111

1

1

2

11

21

22

2211

12

11

L

LLL

LL

LLL

+−

−−+−+−

−

+−

++−

−−=

matricea ataşată operatorului U~ , conform corolarului 4.8, este un bloc Jordan cu scalarul jλ pe diagonală, bloc ce conţine 1p celule Jordan de ordin s, 12 pp − celule Jordan de ordin 1−s , 23 pp − celule Jordan de ordin 2−s ,…, 1−− ss pp celule Jordan de ordin 1. În total se generează 1dps = celule Jordan (un număr egal cu multiplicitatea geometrică a valorii proprii jλ ). Teorema este demonstrată. 4.14. Teoremă (Jordan). Dacă endomorfismul ( )nVEnd∈U are toate valorile proprii în corpul K atunci există o bază în nV faţă de care matricea ataşată lui U are forma canonică Jordan. Demonstraţie. Dacă pjj ,1, =λ sunt valorile proprii ale lui U, de multiplicităţi

pjm j ,1, = , nmp

jj =∑

=1,

njj IUT Vλ−= , jmj

j TM Ker=λ , pj ,1= atunci cu

teorema 4.11 avem pn MMM λλλ

⊕⊕⊕= L21V . Cu teorema 4.13 rezultă că în

fiecare subspaţiu jM λ , pj ,1= , există o bază jB faţă de care matricea asociată

restricţiei jU~ este un bloc Jordan cu scalarul jλ pe diagonală. Cu observaţia 4.9 ii) rezultă că în baza nBBBB ∪∪∪= L21 matricea ataşată operatorului U are forma canonică Jordan. 4.15. Algoritm de jordanizare. 1) Se fixează o bază în nV şi se determină matricea A ataşată endomorfismului nVEnd∈U în această bază.


124

2) Se rezolvă ecuaţia caracteristică ( ) 0det =− nIA λ şi se determină astfel valorile proprii pjj ,1, =λ ale lui U, de multiplicităţi pjm j ,1, = . Dacă toate valorile proprii sunt în corpul K algoritmul continuă; în caz contrar U nu este jordanizabil. 3) Se determină vectorii proprii liniar independenţi corespunzători fiecărei valori proprii pjj ,1, =λ ( deci se determină multiplicitatea geometrică a fiecărei valori proprii).

4) Se determină subspaţiul pjMj

,1, =λ (cu rezultatele obţinute la pasul 3). Pot

să apară următoarele situaţii. i) Dacă jj

mM =λdim (multiplicitatea geometrică coincide cu cea algebrică)

atunci baza jB căutată a subspaţiului j

M λ este formată din vectorii proprii liniar

independenţi corespunzători valorii proprii jλ . ii) Dacă jj

mM <λdim atunci se calculează numărul de celule Jordan

corespunzătoare valorii proprii jλ (acesta este egal cu multiplicitatea geometrică a valorii proprii jλ ) şi apoi se determină vectorii principali asociaţi, care sunt în număr de

jj Mm λdim− . Aceasta se poate realiza prin utilizarea metodei din

demonstraţia teoremei 4.13 în modul următor. Fie )(KerKer njj IUTu λ−=∈ . Dacă vectorului u îi asociem matricea coloană X atunci v se obţine prin rezolvarea sistemului omogen ( ) ( )K1,nMnj XIA 0=− λ . Dacă 12

1 Ker\Ker jj TTv ∈

atunci din teorema 4.13 rezultă ( ) jTvT Ker1 ∈ deci ( ) jTvvT Ker1 ∈= . Dacă 1X este matricea coloană asociată vectorului 1v atunci 1v se determină prin rezolvarea sistemului liniar neomogen ( ) XXIA nj =− 1λ . Fie 23

2 Ker\Ker jj TTv ∈ ; atunci ( ) 212 Ker jTvvT ∈= şi dacă 2X este matricea

coloană asociată vectorului 2v ,acest vector se determină prin rezolvarea sistemului liniar neomogen ( ) 12 XXIA nj =− λ . Procedeul expus mai sus se continuă până la determinarea tuturor vectorilor principali asociaţi valorii proprii

jλ . Deci pentru determinarea vectorilor principali asociaţi valorii proprii jλ se rezolvă succesiv sistemele liniare: ( ) ( )K1,nMnj XIA 0=− λ ,

( ) XXIA nj =− 1λ ,

( )LLLLLLLLL

,12 XXIA nj =− λ

3.7. EXERCIŢII

125

impunându-se în prealabil condiţia de compatibilitate a acestora ( prin alegerea convenabilă a membrului drept al sistemelor). Se obţin astfel un număr de seturi de vectori egal cu

jM λdim , seturi ce conţin

fiecare câte un vector propriu din baza spaţiului j

M λ şi vectorii principali

asociaţi acestuia (în cazul în care sistemele liniare care generează vectorii principali sunt compatibile). Vectorii proprii liniar independenţi corespunzători valorii proprii jλ împreună cu vectorii principali asociaţi acestora formează o bază jB în

jM λ .

5) Sistemul pBBBB ∪∪∪= L21 este o bază în nV faţă de care matricea ataşată lui U are forma canonică Jordan. 4.16. Observaţie. Fie ( )Uj σλ ∈ cu multiplicitatea algebrică jm , s indicele de

nilpotenţă al endomorfismului njj IUT Vλ−= (deci ( ) j

jsj MTMKerT λ

== ). Atunci: a) dimensiunea blocului Jordan corespunzător valorii proprii jλ este egală cu multiplicitatea algebrică jm a acestei valori proprii; b) blocul Jordan conţine un număr de celule egal cu multiplicitatea geometrică a valorii proprii jλ astfel: 1p celule Jordan de ordin s, 12 pp − celule Jordan de ordin 1−s , 23 pp − celule Jordan de ordin 2−s ,…, 1−− ss pp celule Jordan de ordin 1; c) vectorilor principali liniar independenţi corespunzători valorii proprii jλ le corespunde un număr de vectori principali asociaţi egal cu

jj Mm λdim− .

3.5. SPECTRUL ENDOMORFISMELOR PE SPAŢII EUCLIDIENE

Fie nE un spaţiu euclidian complex (unitar) şi ( )nEU End∈ un operator autoadjunct (hermitic). Scopul principal al acestui paragraf este de a demonstra că un operator hermitic este diagonalizabil (există deci o bază în nE în raport cu care matricea ataşată lui U este matrice diagonală). În cazul unui operator hermitic vectorii şi valorile proprii ale acestuia, pe lângă proprietăţile generale obţinute în acest capitol, au, aşa cum este de aşteptat, proprietăţi suplimentare. 5.1. Propoziţie. Valorile proprii ale unui operator hermitic ( )nEU End∈ sunt reale.


126

Demonstraţie. Fie ( )nEU End∈ hermitic; atunci ( ) ( ) ><=>< yUxyxU ,, , ( )∀

nEyx ∈, . Fie ( )Uσλ∈ şi x un vector propriu corespunzător acestei valori proprii, adică ( )

nExxxU 0≠= ,λ . Din propoziţia 6.19 capitolul 2, rezultă

( ) R∈>< xUx , iar din egalitatea ( ) xxU λ= obţinem ( ) ><= xU,xx 2λ , deci ( ) R∈

><= 2

,x

xUxλ .

5.2. Observaţie. Din demonstraţia propoziţiei 5.1 rezultă că dacă ( )nEU End∈ este hermitic, ( )Uσλ∈ şi x vector propriu corespunzător acestei valori proprii atunci:

( )2

,x

xUx ><=λ .

Relaţia de mai sus se numeşte câtul Rayleygh-Ritz. 5.3. Propoziţie. Vectorii proprii ai unui operator hermitic ( )nEU End∈ corespunzători la valori proprii distincte sunt ortogonali. Demonstraţie. Fie ( ) 2121 ,, λλσλλ ≠∈ U şi 21 , xx vectori proprii corespunzători acestor valori proprii. Deoarece ( ) ( ) 221111 , xxUxxU λλ == , prin înmulţirea scalară a primei egalităţi cu 2x şi a celei de-a doua cu 1x rezultă:

( ) ><=>< 21121 ,, xxxxU λ , ( ) ><=>< 21221 ,, xxxUx λ (unde am folosit faptul că R∈2λ ). Cum U este hermitic, din egalităţile de mai sus obţinem

>< 211 , xxλ ><= 212 , xxλ şi cum 21 λλ ≠ rezultă 0, 21 =>< xx . 5.4. Teoremă. Dacă ( )nEU End∈ este hermitic atunci există o bază ortonormată în nE formată din vectori proprii ai lui U. Matricea ataşată lui U în această bază este matrice diagonală. Demonstraţie. Vom face demonstraţia prin inducţie după dimensiunea spaţiului. Pentru 1=n afirmaţia este evidentă. Presupunem că afirmaţia este adevărată pentru orice spaţiu euclidian de dimensiune 1−n . Fie ( )Uσλ ∈1 (această valoare proprie există deoarece ecuaţia caracteristică a endomorfismului U are cel puţin o rădăcină complexă). Cu propoziţia 5.1 rezultă R∈1λ . Fie 1x un vector propriu corespunzător acestei valori proprii şi ( )11 xLM = . Atunci complementul

3.7. EXERCIŢII

127

ortogonal ⊥1M al lui 1M este un subspaţiu invariant pentru U. Pentru a

demonstra această afirmaţie fie ⊥∈ 1Mx . Rezultă:

( ) ( ) 0,,,, 111111 =><=><=><=>< xxxxxUxxxU λλ , deci ( ) ⊥∈ 1MxU . Fie acum ⊥⊥ → 111 : MMU restricţia lui U la subspaţiul ⊥

1M . Operatorul 1U astfel definit este hermitic. Faţă de produsul scalar din nE , ⊥

1M este un spaţiu euclidian de dimensiune 1−n ; din ipoteza de inducţie rezultă că există o bază

{ }nxxxB ,, 321 L= ortonormată în ⊥1M formată din vectori proprii ai lui 1U

(deci şi ai lui U). Avem ( ) ( )nn xxLxLMME ,,2111 L⊕=⊕= ⊥ şi cum nixx i ,2,1 =⊥ rezultă că { }nxxxxB ,,, 321 L= este bază ortonormată în nE .

Faţă de această bază matricea ataşată lui U este diagonală, având pe diagonală valorile proprii ale lui U. 5.5 Propoziţie. Fie nE spaţiu euclidian complex şi ( )nEU End∈ unitar. Atunci: i) valorile proprii ale lui U sunt de modul unitar; ii) vectorii proprii corespunzători la valori proprii distincte sunt ortogonali. Demonstraţie. i) Deoarece ( )nEU End∈ este unitar din propoziţia 6.7 capitolul 2, rezultă ( ) ( ) nExxxU ∈∀= , . Dacă ( )Uσλ∈ şi x este un vector propriu corespunzător acestei valori proprii atunci: ( ) xxxUx ⋅≤== λλ , de unde rezultă 1=λ . ii) Fie ( ) 2121 ,, λλσλλ ≠∈ U şi 21 , xx vectori proprii corespunzători acestor valori proprii. Operatorul U fiind unitar avem ( ) ( ) ><=>< 2121 ,, xxxUxU de unde rezultă: ><=>< 212211 ,, xxxx λλ , ><=>< 212121 ,, xxxxλλ adică

( ) 0,1 2121 =><− xxλλ . Cum 21 λλ ≠ rezultă 121 ≠λλ deci 0, 21 =>< xx . 5.6. Teoremă. Fie nE spaţiu euclidian complex şi ( )nEU End∈ unitar. Atunci există o bază ortonormată în nE formată din vectori proprii ai lui U. Demonstraţie. Vom demonstra teorema prin inducţie după dimensiunea spaţiului. Pentru 1=n afirmaţia este evidentă. Presupunem afirmaţia adevărată pentru orice spaţiu euclidian de dimensiune 2,1 ≥− nn . Fie ( )Uσλ ∈1 (această valoare proprie există deoarece ecuaţia caracteristică a endomorfismului U are cel puţin o rădăcină complexă), 1x un vector propriu corespunzător acestei valori


128

proprii, 11 =x , ( )11 xLM = şi ⊥1M complementul ortogonal al lui 1M . Pentru

⊥∈ 1Mx avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ><=><=><=>=< 111111 ,,,,0 xxUxxUxUxUxx λλ . Deoarece 111 == λλ rezultă 01 ≠λ ; de aici şi din egalitatea de mai sus

obţinem ( ) 0, 1 =>< xxU , ( ) ⊥∈ 1MxU deci ⊥1M este invariant pentru U. În conti-

nuare demonstraţia urmează pas cu pas demonstraţia teoremei 5.4. 5. 7. Propoziţie. Fie H spaţiu Hilbert complex şi ( )HEnd∈U un operator autoadjunct. Atunci: ( ) ><=

=xxUU

x,sup

1.

Demonstraţie. Fie ( ) ><=

=xxUM

x,sup

1. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski

scrisă pentru 1, =∈ xx H , ne dă: ( ) ( ) UxUxxUxxU =⋅≤⋅≤>< 2, , de unde rezultă UM ≤ . Să stabilim acum inegalitatea UM ≥ ; din această inegalitate şi din cea de mai sus va rezulta UM = . Pentru început să constatăm că U fiind autoadjunct, teorema 6.19, capitolul 2 ne dă ( ) ( ) HR ∈∀∈>< xxxU ,, .

Pentru HH 0≠∈ xx , avem 11=x

x şi atunci:

( ) MxxUx

xx

xx

U ≤><=>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛< ,

11,1

2 .

Inegalitatea de mai sus ne conduce la: ( ) ( ) nExxMxxU ∈∀≤>< ,, 2 . Din inegalitatea (care se demonstrează cu uşurinţă):

3.7. EXERCIŢII

129

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,,, ,,,4

>−−<−>++<++>−−<−>++<=><

yixyixUiyixyixUiyxyxUyxyxUyxU

şi din ( ) ( ) HR ∈∀∈>< xxxU ,, obţinem

( ) ( ) ( )

[ ( ) ( ) ]

[ ] [ ].24

1

,,41

,,41,Re

2222 yxMyxyxM

yxyxUyxyxU

yxyxUyxyxUyxU

+=−++≤

≤>−−<+>++<≤

≤>−−<−>++<=><

În stabilirea ultimei egalităţi am folosit identitatea paralelogramului. Din inegalitatea de mai sus, pentru HH 0≠∈ xx , , obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .12

1,Re1,

22 MxU

xUxM

xUxU

xUxUxU

xUxU

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+≤

≤><=><=

Atunci: ( ) MxUU

x≤=

=1sup şi propoziţia este demonstrată.

5.8. Aplicaţie. i) Ne propunem să determinăm norma unui operator hermitic

( )nEU End∈ , nE spaţiu euclidian complex. Fie { }neeeB ,,, 21 L= bază în nE formată din vectori proprii ai operatorului U şi

( ) { }nU λλλσ ,,, 21 L= spectrul lui U. Atunci norma vectorului ∑=

=n

iii exx

1 este

21

1

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

n

iixx şi

( ) ( ) 22

0

2

1

22

1

2

1

2 xxexeUxxU ii

n

ii

n

iiii

n

iii λλλ ≤=== ∑∑∑

===

,

unde

0iλ este valoarea proprie de modul maxim a lui U. Din această inegalitate

rezultă 0iU λ≤ . Pentru

0iex = avem ( )000 iii exU λλ == , deci:


130

0iU λ= .

ii) O formulă asemănătoare se obţine şi în cazul unui operator oarecare

( )nEU End∈ , nE spaţiu euclidian complex, în modul următor. Fie { }neeeB ,,, 21 L= bază în nE , faţă de care operatorului U i se ataşează

matricea ( )njijiaA

,1, == . Pentru n

n

iii Eexx ∈=∑

=1 avem:

( )

( )( ) .,

,

1 1 11 1 1

1 11 1

2

>=<

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<=

∗

= = == = =

= == =

∑ ∑∑∑ ∑∑

∑ ∑∑ ∑

xxUU

xxaaxaxa

exaexaxU

n

kk

n

j

n

ijikij

n

i

n

j

n

kkikjij

n

ii

n

jjij

n

ii

n

jjij

Se constată cu uşurinţă că UU ∗ este hermitic ( ∗U fiind adjunctul lui U). Atunci dacă 0λ este valoarea proprie de modul maxim a operatorului hermitic UU ∗ din ultima egalitate şi cu ajutorul propoziţiei 5.7 deducem: ( ) ( )( ) 0

1

2

1

2 ,supsup λ=><== ∗

==xxUUxUU

xx.

Remarcă. Formula dată de propoziţia 5.7 se poate obţine în cazul particular al aplicaţiei 5.8 (norma unui operator hermitic pe un spaţiu euclidian complex) astfel: ( ) ( ) 1,,

0

2 ===≤≤>< xUxUxxUxxU iλ .

Pentru

0iex = avem ( )000000

,, iiiiii eeeeU λλ =><=>< , deci:

( ) UxxU

x=><

=,sup

1.

5.9. Definiţie. Fie H un spaţiu Hilbert. Operatorul ( )HEnd∈U se numeşte pozitiv dacă ( ) 0, ≥>< xxU pentru orice H∈x . 5.10. Propoziţie. Orice operator pozitiv ( )HEnd∈U este autoadjunct.

3.7. EXERCIŢII

131

Demonstraţie. Dacă ( ) ( ) H∈∀≥>< xxxU ,0, , atunci ( ) R∈>< xxU , şi în egalitatea

( ) [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ] ,,,

,,41,

>−−<−>++<+

+>−−<−>++<=><

yixyixUyixyixUi

yxyxUyxyxUyxU

expresiile din paranteze sunt reale. Permutând locurile lui x şi y vom avea:

( ) [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]

[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]

( ) .,

,,

,,41

,,

,,41,

><=

=>−−<−>++<−

−>−−<−>++<=

=>−−<−>++<+

+>−−<−>++<=><

yxU

yixyixUyixyixUi

yxyxUyxyxU

xiyxiyUxiyxiyUi

xyxyUxyxyUxyU

De aici obţinem: ( ) ( ) ( ) ><=><=>< yUxxyUyxU ,,, , deci U este autoadjunct. 5.11. Teoremă (Rayleigh-Ritz). Fie ( )nEU End∈ un operator hermitic şi

nλλλ ≤≤≤ L21 valorile sale proprii. Atunci:

( ) ( ) ><=><

===≠

xxUx

xxUxx

n ,sup,sup1

20

max λλ ,

( ) ( ) ><=><

===≠

xxUx

xxUxx

,inf,inf1201min λλ .

Demonstraţie. Fie { }neeeB ,,, 21 L= bază în nE formată din vectori proprii ai lui

U şi n

n

iii Eexx ∈=∑

=1. Atunci:

( ) ∑∑ ∑== =

=><=><n

iii

n

i

n

jjjiii xexexxxU

1

2

1 1,, λλ ,


132

de unde obţinem ( ) 2

max2

min , xxxUx λλ ≤><≤ . Dacă

nx E0≠ atunci inegalităţile precedente se pot scrie sub forma:

( )max2min

, λλ ≤><

≤x

xxU .

Dacă x este vector propriu corespunzător valorii proprii nλλ =max atunci

( )max2

, λ=><

xxxU ,

iar dacă x este vector propriu corespunzător valorii proprii 1min λλ = atunci

( )min2

, λ=><

xxxU .

Pentru a încheia demonstraţia să observăm că

( ) ( ) 1,,,,2 =′>′′<=>⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<=

>< xxxUxx

xxU

xxxU ,

deci

( ) ( ) ><=><

=≠xxU

xxxU

xx,sup,sup

12

0.

5.12. Observaţie. Teorema de mai sus ne dă o caracterizare variaţională a celei mai mari şi a celei mai mici valori proprii pentru un operator hermitic. Pentru a obţine o caracterizare variaţională a valorii proprii 12 λλ ≥ fie ( )11 eLM = , unde

1e este un vector propriu corespunzător valorii proprii 1λ şi ⊥1M complementul

său ortogonal. Atunci ( )neeeLM ,,, 321 L=⊥ şi pentru ⊥

=

∈= ∑ 12

Mexxn

iii obţinem

3.7. EXERCIŢII

133

( ) 22

1

2

22,, xxexexxxU

n

iii

n

jjj

n

iiii λλλ ≥=><=>< ∑∑∑

===

.

Pentru 2ex = inegalitatea de mai sus devine egalitate astfel încât obţinem

( ) ( ) ><=><

=⊥=

⊥≠

xxUx

xxU

exx

exnEx

,min,min1

12

1

2 0λ .

5.13. Teoremă (teorema infsup). Fie ( )nEU End∈ un operator hermitic şi

nλλλ ≥≥≥ L21 valorile sale proprii. Atunci:

( ) ( ) ><=><

==

∈∈≠∈∈

xxUx

xxUMxjMM

nExMxjMMj ,supinf,supinf

1

2

x0

λ ,

unde { MEMM nj ∈= subspaţiu liniar de dimensiune }1+− jn . Demonstraţie. Fie { }neeeB ,,, 21 L= bază ortonormată în nE formată din vectori proprii ai lui U şi jMM ∈0 , ( )njj eeeLM ,,, 10 L+= . Dacă 0Mx∈ atunci

∑=

=n

jiiiexx şi

( ) 2

1

2

2

2

22,, xxxexexxxU j

n

iij

n

iii

n

jjj

n

iiii λλλλ =≤=><=>< ∑∑∑∑

====

.

De aici rezultă ( ) ( ) 02 ,, Mxx

xxUj ∈∀≤

>< λ

Pentru 2ex = inegalitatea de mai sus devine egalitate şi astfel obţinem:

( )2

0

,supx

xxU

nEx

j><

=≠∈

0xM

λ .

Pentru a încheia demonstraţia este suficient să arătăm că


134

( ) ( ) j

nEMx

j MMx

xxU∈∀

><≤

≠∈

,,sup 2

0x

λ .

Într-adevăr, pentru jMM ∈ avem 1dim +−= jnM şi ( ) jeeeL j =,,,dim 21 L , deci ( )jeeeLM ,,, 21 L∩ conţine şi vectori diferiţi de

nE0 .

Fie ( )jeeeLMz ,,, 21 L∩∈ ; atunci ∑=

=j

iiiezz

1 şi

( ) 2

1

2

1

2, zxzzzU j

j

ijj

j

iii λλλ =≥=>< ∑∑

==

.

De aici rezultă

( ) ( )22

,sup,x

xxUz

zzU

nExMx

j><

≤><

≤≠∈

0

λ

şi teorema este astfel demonstrată.

3.6. EXPONENŢIALA UNEI MATRICE

Fie ( )nU KEnd∈ , { }neeeB ,,, 21 L= bază în nK şi ( )njiijaA

,1, == matricea ataşată

endomorfismului U în această bază. Aşa cum am văzut (propoziţia 4.7, capitolul 2), expresia ( )xUU

x 1sup

==

defineşte o normă pe ( )nKEnd , numită norma indusă pe ( )nKEnd de norma din nK . Expresia de mai sus defineşte o normă şi pe spaţiul liniar ( )KnM al matricelor de ordinul n cu elemente din corpul K. Într-adevăr, dacă X, Y sunt vectorii coloană formaţi cu ajutorul coordonatelor vectorilor nyx K∈, atunci

( ) XAYxUy =⇔= şi:

( ) XAxUUxx 11

supsup==

== ,

3.7. EXERCIŢII

135

deci putem lua XAA

x 1sup

== .

Se constată cu uşurinţă că aplicaţia ( ) RK →⋅ nM: definită mai sus verifică axiomele normei. În plus (observaţia 4.8, capitolul 2) avem: ( ) ( )Kn

nn MBAAABABA ∈∀=⋅≤ ,,; , deci spaţiul ( )KnM devine astfel o algebră normată. 6.1. Definiţie. Aplicaţia ( ) XAAM

xn

1sup,:

==→⋅ RK se numeşte normă

matriceală.

6.2. Observaţie. Dacă pe nK luăm norma ∑=

=n

iixx

11

atunci

∑==

=n

iijnj

aA1,1

max ,

iar dacă pe nK luăm norma ini

xx,1

max=∞

= atunci

∑==

=n

jijni

aA1,1

max .

Remarcă. i) Deoarece ( )KnM este finit dimensional cu norma din definiţia de mai sus ( )KnM devine un spaţiu liniar normat complet (sau spaţiu Banach). ii) Şirul de matrice ( ) ( ) ( ) NKN ∈∀∈∈ nMAA nnnn ,, este convergent către

( )CnMA∈ dacă 0lim =−∞→

AAnn.

iii) Seria de matrice ( ) ( ) NKK ∈∀∈∈∑∞

=

kMAaAa nkkk

kk ,,;0

se numeşte

convergentă dacă şirul sumelor parţiale ∑=

=n

kkkn AaS

0 este convergent.

6.3. Definiţie. Dacă ( )KnMA∈ atunci numărul ( ) ( ){ }AA σλλρ ∈= ,max


136

se numeşte raza spectrală a matricei A. 6.4. Observaţie. Aşa cum am văzut (aplicaţia 5.8) pentru CK = şi norma euclidiană pe nC avem ( )AAA ∗= ρ , iar pentru RK = şi norma euclidiană pe nR avem: ( )AA ρ= . 6.5. Propoziţie. Fie seria de puteri peste C

LL +++++=∑∞

=

nn

kk

k

xaxaxaaxa 2210

0

cu raza de convergenţă 0>R . Atunci pentru orice matrice ( )CnMA∈ astfel încât RA < , seria de matrice

LL +++++=∑∞

=

nnn

k

kk AaAaAaIaAa 2

2100

este o serie convergentă în spaţiul Banach ( )CnM . Demonstraţie. Fie 0>r astfel încât RrA << . Atunci seria numerică

∑∞

=0k

kk ra este absolut convergentă, deci seria de numere reale pozitive ∑

∞

=0k

kk ra

este convergentă. Cu proprietăţile normei matriceale obţinem k

kk

kk

kk

k raAaAaAa ⋅<⋅≤⋅=

şi dacă notăm cu ∑=

=n

k

kkn AaS

0 atunci:

∑∑∑+

+=

+

+=

+

+=+ <≤=−

pn

nk

kk

pn

nk

kk

pn

nk

kknpn raAaAaSS

111.

Cum seria ∑∞

=0k

kk ra este convergentă, şirul sumelor sale parţiale este convergent

3.7. EXERCIŢII

137

deci este şir Cauchy. Atunci din ultima inegalitate rezultă că şirul ( ) N∈nnS este şir Cauchy în ( )CnM şi cum acest spaţiu este complet rezultă că ( ) N∈nnS este un şir

convergent, deci ∑∞

=0k

kk Aa este convergentă.

6.6. Definiţie. Dacă în condiţiile propoziţiei 6.5, notăm ( ) ∑∞

=

=0k

kk rarf atunci

suma seriei de matrice ∑∞

=0k

kk Aa se notează ( )Af şi se numeşte funcţia de

matrice A definită de funcţia f. 6.7. Observaţie. Din teorema Cayley-Hamilton rezultă că puterile nkAk ≥, sunt combinaţii liniare de matricele 12 ,,,, −n

n AAAI L . Într-adevăr, dacă polinomul caracteristic al matricei A este ( ) ( ) n

nnnP αλαλλ +++−= − L111

atunci teorema Cayley-Hamilton ne dă ( ) ( )CnMnn

nnnn IAAA 0=++++− −− ααα L22

111

de unde obţinem ( ) ( ) ( ) nn

nnnnnn IAAA ααα 122

111

1 111 −−−−− −++−+−= L Afirmaţia este deci adevărată pentru nk = ; în continuare demonstraţia afirmaţiei se face prin inducţie după k. Din cele de mai sus rezultă că orice polinom de matrice A aparţine subspaţiului ( )12 ,,,, −n

n AAAIL L . Şirul ( ) N∈nnS al sumelor parţiale ale seriei de

matrice ∑∞

=0k

kk Aa este un şir de polinoame de matrice deci este un şir de elemente

din subspaţiul ( )12 ,,,, −nn AAAIL L . Cum acest subspaţiu este finit dimensional el

este închis în ( )CnM de unde rezultă că ( )∈Af ( )12 ,,,, −nn AAAIL L .

Fie seria de puteri

LL +++++== ∑∞

= !!2!11

!

2

0 nxxx

kxe

n

k

kx .

Această serie are raza de convergenţă +∞=R deci pentru orice ( )CnMA∈ condiţia RA < din propoziţia 6.5 este îndeplinită.


138

Acest fapt ne permite să dăm următoarea definiţie.

6.8. Definiţie. Suma seriei ∑∞

=0 !1

k

kAk

se numeşte exponenţiala matricei A şi notăm

LL +++++==∑∞

=

nn

k

kA An

AAIAk

e!

1!2

1!1

1!

1 2

0.

Fie ( )nλλλ ,,,diag 21 L matricea cu toate elementele egale cu zero, mai puţin cele de pe diagonala principală care sunt egale cu nλλλ ,,, 21 L . 6.9. Propoziţie (proprietăţile exponenţialei). Dacă ( )CnMA∈ atunci:

i) ( )

nnM

Ie =K0

; ( ) C∈∀= λλλ ,e nnI Ie .

ii) Dacă ( )nA λλλ ,,,diag 21 L= atunci ( )nA eeeeλλλ

,,,diag 21 L= . iii) Dacă ( )CnMBA ∈, şi ABBA = atunci BAABBA eeeee +== .

iv) Pentru orice ( )CnMA∈ matricea Ae este nesingulară şi ( ) AA ee −−=

1 .

v) Dacă ( )CnMCA ∈, şi C nesingulară atunci CeCe ACAC 11 −−= .

vi) Dacă ( ) ( )Cnp MAAAA ∈= ,,,diag 21 L atunci ( )pAAAA eeee ,,,diag 21 L= . vii) Dacă ( )λrJ este o celulă Jordan atunci:

( )

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

⋅=

1!3

1!2

1!1

1

01!1

1!2

1

001!1

10001

L

MMMMM

L

L

L

rrr

ee rJ λλ .

viii) Dacă ( )CnMA∈ şi R∈t atunci ( ) AtAt eAet

⋅=dd .

Demonstraţie. i) Egalităţile rezultă imediat din formula de definiţie a exponenţialei unei matrice. ii) Dacă ( )nA λλλ ,,,diag 21 L= atunci ( ) ( ) ∗∈∀= NkA k

nkkk ,,,,diag 21 λλλ L ;

3.7. EXERCIŢII

139

formula din enunţul teoremei se obţine prin înlocuirea matricelor ∗∈ NkAk , în formula de definiţie a exponenţialei unei matrice şi ţinând cont de formulele:

njk

e kj

k

j ,1,!

10

== ∑∞

=

λλ .

iii) Deoarece ABBA = atunci cu formula binomului lui Newton avem:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+= ∑∑∑=

−∞

=

∞

=

+k

j

jkj

k

k

k

BA BAjkj

kk

BAk

e000 !!

!!

1!

1 .

De aici obţinem:

BA

m

m

j

jk

kmjmj

mj

k

BA eeBm

Aj

BAmj

kk

e ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= ∑∑∑∑

∞

=

∞

==+=

∞

=

+

000,0 !1

!1

!!!

!1 .

În ultima relaţie am aplicat teorema lui Mertens asupra produsului a două serii. iv) Deoarece ( ) ( ) AAAA ⋅−=−⋅ putem aplica rezultatul de la iii) matricelor A şi

A− şi obţinem: ( )

nnAAAA Ieeee ===⋅ −+− 0 .

v) Pentru orice matrice nesingulară ( )CnMC∈ şi pentru orice ∗∈ Nk avem

( ) CACCAC kk 11 −− = şi atunci:

( ) CAC

k

k

k

k

k

kA eCACk

CACk

CAk

CCeC1

0

1

0

1

0

11

!1

!1

!1 −∞

=

−∞

=

−∞

=

−− ===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑∑ .

vi) Din ( ) ( )Cnp MAAAA ∈= ,,,diag 21 L rezultă ( )k

pkkk AAAA ,,,diag 21 L= şi

formula din enunţul teoremei rezultă acum prin aplicarea formulei de definiţie a exponenţialei unei matrice. vii) Dacă scriem matricea ( )λrJ sub forma ( ) rrr HIJ += λλ , atunci matricele

rIλ şi rH comută şi cu iii) obţinem: ( ) rHrHrIrHrIrJ eeeeee λλλλ === + .


140

În plus avem

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

010000

1000010000

K

OMM

MMO

L

rH ,

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0010000000010

010000000000

2

L

KMM

O

MMMO

L

L

rH , ( )CrMrrH 0=,L ,

astfel încât obţinem:

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

== ∑−

=

1!3

1!2

1!1

1

01!1

1!2

1

001!1

10001

!11

0

L

MMMMM

L

L

L

rrr

Hk

e kr

r

k

rH .

viii) Fie seria

( ) ( ) ( ) LL +++++= kkn

At Atk

AtAtIe!

1!2

1!1

1 22 ;

aplicând teorema de derivare termen cu termen a seriilor uniform convergente obţinem:

( ) ( )

( )Atkk

n

kkAt

eAAtk

AtAtIA

Atk

AtAtAet

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++=

+−

++++= −

LL

LL

!1

!21

!11

!11

!21

!11

dd

22

1322

şi propoziţia este complet demonstrată. Remarcă: Dacă ( )RnMA∈ atunci ( )Rn

A M∈e .

3.7. EXERCIŢII

141

7. EXERCIŢII

7.1. Exerciţii rezolvate. 1) În baza canonică din 4R operatorului liniar 44: RR →U i se ataşează matricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=

3 2 2 22 3 22 2 23 2 22 2 3

A .

Să se determine o bază ortonormată faţă de care matricea ataşată operatorului U să fie o matrice diagonală. Rezolvare. Deoarece matricea A este simetrică, teorema 5.4 ne asigură că există o bază în 4R formată din vectori proprii ai endomorfismului U; matricea ataşată lui U în această bază este diagonală. Ecuaţia caracteristică ( ) 0det 4 =− IA λ are rădăcinile 3,5 4321 −==== λλλλ . Pentru 5=λ sistemul ( )

144 ,XIA M0=⋅− λ

se reduce la ecuaţia: 04321 =−++− xxxx . Subspaţiul propriu corespunzător valorii proprii 5=λ este ( ){ }R∈−+= γβαγβαγβα ,,,,,M , subspaţiu care are dimensiunea egală cu trei. Rezultă că multiplicităţile algebrică şi geometrică ale valorii proprii 5=λ coincid. Un vector propriu corespunzător valorii proprii 5=λ este ( )1,1,1,11 =v . Căutăm un vector propriu perpendicular pe 1v ; coordonatele acestui vector formează o soluţie a sistemului: 04321 =−++− xxxx 04321 =+++ xxxx . O soluţie a acestui sistem este de exemplu ( )1,1,1,12 −−=v . Căutăm acum un


142

vector propriu 3v astfel încât 13 vv ⊥ , 23 vv ⊥ ; coordonatele acestui vector formează o soluţie a sistemului: 04321 =−++− xxxx 04321 =+++ xxxx 04321 =−−+ xxxx . O soluţie a acestui sistem este ( )1,1,1,13 −−=v . Pentru 3−=λ sistemul ( )

144 ,XIA M0=⋅− λ este:

.033030303

4321

4321

4321

4321

=++−=++−=−−+=−++

xxxxxxxxxxxxxxxx

O soluţie a acestui sistem este ( )1,1,1,14 −−=v . Se constată cu uşurinţă că vectorii proprii obţinuţi sunt ortogonali. Deoarece 24321 ==== vvvv o bază ortonormată formată din vectori proprii ai endomorfismului U este

{ }4321 ,,, ffff , unde: ( )1,1,1,121

1 =f , ( )1,1,1,121

2 −−=f , ( )1,1,1,121

3 −−=f ,

( )1,1,1,121

4 −−=f .Matricea ataşată endomorfismului U în această bază este:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

3000050000500005

B .

2) Să se aducă la forma canonică Jordan endomorfismul ( )3End R∈U căruia în baza canonică din 3R i se ataşează matricea:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−−

=674343111

A .

Rezolvare. Ecuaţia caracteristică ( ) 0det 3 =− IA λ are rădăcinile 11 −=λ ,

3.7. EXERCIŢII

143

132 == λλ . Pentru 11 −=λ mulţimea soluţiilor sistemului ( ) 031 =− XIA λ este

( ){ }R∈−= ααα ,,0S ,

iar un vector propriu corespunzător valorii proprii 11 −=λ se obţine luând 1=α ; acest vector este ( )1,1,01 −=v . Pentru 132 == λλ sistemul ( ) 03 =− XIA λ se scrie sub forma:

0474020

321

321

321

=++=++=++

xxxxxxxxx

şi are soluţia generală ( ){ }R∈−= ααα ,0,S . Multiplicitatea geometrică a valorii proprii 2=λ este egală cu unu; cum multiplicitatea sa algebrică este egală cu doi rezultă că U nu este diagonalizabil. Pentru a aduce endomorfismul U la forma canonică Jordan vom folosi algoritmul 4.15. Fie 322 R

IUT λ−= ; atunci 2KerT ( ){ }R∈−= ααα ,0, , ( ){ }R∈−= βαβαβα ,,,2Ker 2

2T 2

23

2 KerKer TT = . Rezultă că indicele de nilpotenţă al operatorului 2T este 2=s . Cu notaţiile din teorema 4.13 avem: 11 =d , 22 =d , 1121 =−= ddp , 112 == dp . Blocul Jordan corespunzător valorii proprii 2=λ are dimensiunea egală cu doi şi este format dintr-o singură celulă Jordan (reamintim că acest număr este egal cu 1p ). Fie ( )αα ,0,col1 =X ; sistemul ( ) 132 XXIA =− λ se scrie sub forma

α

α

−=++=++=++

321

321

321

47402

xxxxxxxxx

Sistemul de mai sus este compatibil pentru orice valoare R∈α şi are soluţia


144

generală ( ){ }R∈−−= 333 ,,,2 xxxS ααα . Un vector propriu corespunzător valorii proprii 2=λ este ( )1,0,12 −=v iar un vector principal asociat acestuia se obţine luând 1,1 3 == xα în soluţia generală a sistemului ( ) 132 XXIA =− λ . Obţinem astfel vectorul ( )1,1,33 −=v . Dacă luăm în 3R baza { }231 ,, vvv şi considerăm matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

111011130

Q

atunci în această bază matricea ataşată endomorfismului U este:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=−

210020001

1 QAQ .

Remarcă. Pentru a aduce endomorfismul U la forma canonică Jordan se poate proceda şi în modul următor: -se determină, ca mai sus, un vector propriu corespunzător valorii proprii

11 −=λ : ( )1,1,01 −=v ; -se alege un vector 2

223 Ker\Ker TTv ∈ : de exemplu ( )1,1,33 −=v ;

-se calculează ( )322 vTv =

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−−−

==101

113

474363111

322 vTv ;

-baza în raport cu care endomorfismul U are forma canonică Jordan este

( ){ }3231 ,, vTvv . 3) Fie endomorfismul ( )4End R∈U căruia în baza canonică i se ataşează matricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−

=

1200230042542043

A .

3.7. EXERCIŢII

145

Să se aducă matricea acestui endomorfism la forma canonică Jordan. Rezolvare. Ecuaţia caracteristică ( ) 0det 4 =− IA λ are rădăcinile 121 == λλ ,

143 −== λλ . Fie endomorfismul 41 RIUT −= ; deoarece matricea acestui

endomorfism are rangul trei rezultă că 1Kerdim 1 =T şi valoarea proprie 1=λ are multiplicitatea geometrică egală cu 1. Un calcul simplu ne arată că nucleele endomorfismelor 1T , 2

1T sunt: ( ){ }R∈= ααααα ,,,Ker 1T , respectiv ( ){ }R∈= βαβαβα ,,,,Ker 2

1T şi 2

13

1 KerKer TT = . Indicele de nilpotenţă al endomorfismului 1T este 2=s şi 1Kerdim 11 == Td , 2Kerdim 2

12 == Td , 1121 =−= ddp , 112 == dp ; rezultă că blocul Jordan corespunzător valorii proprii 121 == λλ are dimensiunea doi şi este format dintr-o singură celulă Jordan. Alegem 1

211 Ker\Ker TTv ∈ :

( )0,1,0,11 =v . În aceste condiţii avem:

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−

=

2222

2200220042642042

11 vT

şi sistemul ( ){ }111 , vTv este bază în 2

11 KerTM =

λ . Calcule similare efectuate pentru 143 −== λλ ne dau: ( ){ }R∈= ααα 0,0,,Ker 2T , ( ){ }R∈= βαβα ,0,0,,Ker 2

2T , şi 2

23

2 KerKer TT = . Indicele de nilpotenţă al endomorfismului 42 RIUT += este

2=s . Pentru ( )0,0,0,1,Ker\Ker 222

22 =∈ vTTv avem ( ) ( )0,0,4,422 =vT şi sistemul ( ) ( ){ }222111 ,,, vTvvTv este bază în 4R .


146

Matricea ataşată endomorfismului U în această bază este

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=−

1100010000110001

1 QAQ ,

unde:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0020002140204121

Q .

4) Fie endomorfismul ( )4End R∈U căruia în baza canonică i se ataşează matricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−=

1110110110310111

A .

Să se aducă matricea acestui endomorfism la forma canonică Jordan. Rezolvare. În acest caz valorile proprii ale endomorfismului ( )4End R∈U sunt

14321 ==== λλλλ ; multiplicitatea algebrică a acestei valori proprii este deci ( ) 41 =am şi pentru operatorul 44: RR →T , 4R

IUT −= avem: ( ){ }R∈−−== αβαββαλ 2,,,Ker MT , ( ){ }0,,,Ker 43214321

2 =+−+−= xxxxxxxxT , 43Ker R== λMT . Indicele de nilpotenţă al endomorfismului T este 3=s şi 2Kerdim1 == Td ,

3Kerdim 22 == Td , 4Kerdim 3

3 == Td , 1231 =−= ddp , 1122 =−= ddp ,

3.7. EXERCIŢII

147

213 == dp . Rezultă că blocul Jordan corespunzător valorii proprii 1=λ conţine

o celulă Jordan ( 11 =p ) de dimensiune trei ( 3=s ), nici o celulă Jordan de dimensiune doi ( 012 =− pp ) şi o celulă Jordan de dimensiune unu ( 123 =− pp ). Alegem acum un vector 23

1 Ker\Ker TTv ∈ : ( )0,0,0,11 =v . În aceste condiţii avem: ( ) ( )0,1,1,01 −−=vT , ( ) ( ) λMvT ∈−−= 2,2,2,21

2 . Alegem acum λMv ∈2 astfel încât ( ) λMvvL =21 , : ( )1,0,0,12 =v . Sistemul ( ) ( ){ }21

211 ,,, vvTvTv este

bază în 4R în raport cu care matricea ataşată endomorfismului U este:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−

1000011000110001

1 QAQ ,

unde

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=

1200021002101201

Q .

5) Să se calculeze tAe unde

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

400130322

A .

Rezolvare. Fie ( )RnMA∈ şi funcţia de matrice ( ) ∑∞

=

=0k

kk AaAf . Cu teorema

Cayley-Hamilton rezultă că matricea nA se scrie ca o combinaţie liniară de matricele 12 ,,,, −n

n AAAI L . După un raţionament prin inducţie rezultă că matricele nkAk ≥, aparţin subspaţiului liniar ( )12 ,,,, −n

n AAAIL L , de unde rezultă că ( ) ( )12 ,,,, −∈ n

n AAAILAf L . Fie nii ,1, =λ valorile proprii simple ale matricei A. Există un singur polinom de gradul 1−n cu proprietatea că valorile sale în punctele nii ,1, =λ coincid cu valorile funcţiei f. Expresia acestui


148

polinom este dată de formula lui Lagrange ( [4], pag. 562) :

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )j

n

j njjjjjj

nnnjnjn fIAIAIAIA

Af λλλλλλλλλλλλλ

∑= +−

+−

−−−−

−−−−=

1 111

111

LL

LL.

Expresia de mai sus se poate pune sub forma

( ) ( )∑=

=n

jjj fZAf

1λ ,

iar coeficienţii njZ j ,1, = nu depind de funcţia de matrice f ci numai de A. În cazul exemplului nostru, valorile proprii ale matricei A sunt 21 =λ , 32 =λ ,

43 =λ iar funcţia de matrice ( )Af se reduce la un polinom de gradul doi. Pentru funcţia ( ) tzzf e= avem ( ) tf 2e2 = , ( ) tf 3e3 = , ( ) tf 4e4 = şi ( ) ttttA ZZZAf 4

33

22

1 eeee ++== . Deoarece coeficienţii 3,1, =iZi nu depind de funcţia de matrice f ci numai de matricea A, pentru ( ) zzf = , ( ) 1−= zzf , respectiv ( ) 2zzf = obţinem sistemul AZZZ =++ 321 432 3321 32 IAZZZ −=++ 2

321 1694 AZZZ =++ , sistem care are soluţia:

32

1 627

21 IAAZ +−= ,

32

2 86 IAAZ −+−= ,

32

3 325

21 IAAZ +−= .

Cu aceste valori, exponenţiala matricei A se obţine sub forma:

( ) ( ) ( )[ ]ttttA IAAIAAIAA 43

233

223

2 e65e862e12721e +−+−+−++−= .

3.7. EXERCIŢII

149

Remarcă. Din propoziţia 6.9, v) avem ( ) QQ tAQtAQ ee 11 −−= de unde obţinem

( ) 11

ee −−= QQ QtAQtA ,

unde matricea Q conţine pe coloane vectorii proprii ai matricei A. Calculând aceşti vectori proprii obţinem

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

200210121

Q

şi cu ajutorul formulei precedente obţinem exponenţiala matricei A. 6) Să se calculeze tAe unde

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−−

=674343111

A .

Rezolvare. Vom folosi remarca precedentă şi forma canonică Jordan obţinută în exemplul 2. Exponenţiala matricei A o vom calcula cu ajutorul formulei ( ) 11

ee −−= QQ QtAQtA ,

unde (vezi exemplul 2):

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

111011130

Q .

Deoarece

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=−

210020001

1 QAQ

formula ( ) 11

ee −−= QQ QtAQtA (vezi şi propoziţia 6.9, vi)) ne dă:


150

( ) == −− 11ee QQ QtAQtA =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

111011130

ee00e000e

332111121

22

2

tt

t

-t

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−−+−−−−+−

=t-tt-tt

t-tt-tt

t-tt-tt

222

222

222

e2e2e7e6eeee3e3eeee4e3e2

.

7.2. Exerciţii propuse. 1) Dacă A este matricea ataşată operatorului liniar 33: RR →U , să se determine o bază în care matricea ataşată acestui operator liniar să aibă forma diagonală:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

100002023

A ; b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−=

163053064

A ;

c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=444174147

A ; d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=422633211

A ;

e) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−−=

221342573

A ; f) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

122020210

A .

2) Să se verifice dacă matricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=

6201220000201002

A

poate fi adusă la forma diagonală. 3) Să se afle valorile proprii şi vectorii proprii pentru operatorii liniari

33: RR →U definiţi de matricele:

3.7. EXERCIŢII

151

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

444174147

A ; b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−=

163053064

A ;

c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

100002023

A ; d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=422633211

A ;

e) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

122020021

A ; f) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−−=

221342573

A .

4) Să se aducă la forma canonică Jordan matricele:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

9142691331

A ; b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

200044010

A ;

c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=201335212

A ; d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−−=

121332574

A ;

e)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=

3111131111511115

A .

5) Să se determine vectorii proprii şi valorile proprii şi apoi să se aducă la forma diagonală matricele ortogonală şi respectiv simetrică:

R∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= ϕ

ϕϕ

ϕϕ,

cos0sin010

sin0cosA ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=021200100

A


152

6) Să se calculeze tAe în următoarele cazuri:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−=

163053064

A ; b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=422633211

A ;

c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

402000201

A ; d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=496375254

A ;

e) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

212044010

A ; f) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

113012002

A ;

g)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

=

1314350300110013

A ; h)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−

=

01617121700140013

A .

4. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

4.1. FORME BILINIARE

Fie un spaţiu liniar de dimensiune n peste corpul R. nV 1.1. Definiţie. Aplicaţia RVV →× nnU : se numeşte formă biliniară dacă: i) ( ) ( ) ( ) ( ) V∈∀+=+ yxxyxUyxUyxxU ,,,,,, 212121 ; ii) ( ) ( ) ( ) ( ) RV ∈∀∈∀= λλλ ,,,,, nyxyxUyxU ; iii) ( ) ( ) ( ) ( ) V∈∀+=+ 212121 ,,,,,, yyxyxUyxUyyxU ; iv) ( ) ( ) ( ) ( ) RV ∈∀∈∀= λλλ ,,,,, nyxyxUyxU . 1.2. Observaţie. i) O formă biliniară este o aplicaţie RVV →× nnU : liniară în ambele argumente. ii) Aplicaţia este formă biliniară dacă şi numai dacă: RVV →× nnU : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RV ∈∀∈∀+=+ 212122112211 ,,,,,,,, αααααα nyxxyxUyxUyxxU , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RV ∈∀∈∀+=+ 212122112211 ,,,,,,,, αααααα nyyxyxUyxUyyxU .

iii) În cazul unei aplicaţii biliniare definită pe un spaţiu liniar complex, condiţia iv) din definiţia 1.1 se înlocuieşte cu condiţia: iv/) ( ) ( ) ( ) ( ) CV ∈∀∈∀= λλλ ,,,,, nyxyxUyxU . 1.3. Definiţie. Forma biliniară RVV →× nnU : , definită pe un spaţiu liniar real, se numeşte simetrică dacă:

( ) ( ) ( ) nyxxyUyxU V∈∀= ,,,, . Dacă este un spaţiu liniar complex, o formă biliniară cu proprietatea: nV ( ) ( ) ( ) nyxxyUyxU V∈∀= ,,,, se numeşte hermitică.

4. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE 154

Forma biliniară simetrică KVV →× nnU : ( )RK = sau hermitică se numeşte pozitiv semidefinită dacă

( )CK =( ) ( ) nxxxU V∈∀≥ ,0, . Dacă în plus avem

( )nV0=⇔= xxxU 0, atunci U se numeşte pozitiv definită.

1.4. Exemple. i) Orice produs scalar real (complex) este o formă biliniară simetrică (hermitică) pozitiv definită.

ii) Fie un spaţiu liniar complex de dimensiune n, .

Aplicaţia ,

nV n

n

jjj

n

iii eyyexx V∈== ∑∑

== 11,

CVV →× nnU : ( ) ni,jayxayxU ij

n

i

n

jjiij ,1,,,

1 1=∈=∑∑

= =

C este o formă

biliniară pe , fapt ce se verifică cu uşurinţă. nViii) Fie nD R⊂ o mulţime deschisă, o funcţie de clasă pe D şi

. Aplicaţia R→Df : 2C

Dx ∈0 ( )( ) RRR →× nnxf :d 02 ,

( )( )( ) ( )∑∑= = ∂∂

∂=

n

i

n

jji

ji

yxxxx

fyxxf1 1

0

2

02 ,d ,

este o formă biliniară simetrică numită diferenţiala a doua a funcţiei f în punctul

. 0x 1.5. Teoremă. Fie un spaţiu liniar real de dimensiune n, bază în . Aplicaţia este o formă biliniară pe dacă şi numai dacă:

nV { }neeeB ,,, 21 L=

nV RVV →× nnU : nV

( ) ,,1,,,1 1

nj,iayxayxU ij

n

i

n

jjiij =∈=∑∑

= =

R

pentru orice . n

n

jjj

n


== 11,

Demonstraţie. Fie formă biliniară, ,

vectori din . Atunci:

RVV →× nnU : ∑=

=n

iiiexx

1∑=

=n

jjjeyy

1

nV

, ( ) ( ) ∑∑∑∑∑∑= == ===

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

i

n

jjiij

n

i

n

jjiji

n

yjj

n

iii yxaeeUyxeyexUyxU

1 11 111,,,

unde am notat ( ) njiaeeU ijji ,1,,, == .

4.4. EXERCIŢII 155

Reciproc, fie aplicaţia , a cărei expresie analitică este: RVV →× nnU :

( ) ni,jayxayxU ij

n

i

n

jjiij ,1,,,

1 1=∈=∑∑

= =

R .

Dacă notăm ( )

njiijaA,1, =

= , X, Y vectorii coloană formaţi din coordonatele

vectorilor , atunci expresia de mai sus a aplicaţiei U

se scrie matriceal sub forma:

n

n

jjj

n


== 11,

. AYXU t= Pentru RV ∈∈ βα ,,,, nzyx , cu notaţiile de mai sus, putem scrie:

( ) ( )( ) ( ) ,,,

,zyUzxU

ZAYZAXZAYXzyxU ttt

βαβαβαβα

+==+=+=+

deci U este liniară în primul argument. Analog se arată liniaritatea lui U în al doilea argument. 1.6. Definiţie. Dacă este formă biliniară, RVV →× nnU : { }neeeB ,,, 21 L= bază în , matricea nV ( )

njiijaA,1, =

= , ( ) njieeUa jiij ,1,,, == se numeşte matricea ataşată formei pătratice U în baza B. 1.7. Observaţie. Expresia analitică a unei forme biliniare definită pe un spaţiu liniar complex raportat la baza { }neeeB ,,, 21 L= este:

( ) ( ) nj,ieeUayxayxU jiij

n

i

n

jjiij ,1,,,,

1 1=∈==∑∑

= =

C .

1.8. Teoremă. Fie spaţiu liniar real, nV { }neeeB ,,, 21 L=′ , baze în , formă biliniară. Dacă

{ }nfffB ,,, 21 L=′′

nV RVV →× nnU : ( )njiijaA

,1, == , ( )

njiijbB,1, =

= sunt matricele ataşate lui U în bazele B′ respectiv B ′′ iar ( )

njiijcC,1, =

= este matricea de trecere de la baza B′ la baza B ′′ atunci: . tCACB =


Demonstraţie. Deoarece ( )

njiijcC,1, =

= este matrice de trecere de la baza B′ la baza B ′′ avem:

niecfn

jjiji ,1,

1==∑

=

.

Atunci:

( ) ( )

,,1,,

,,,

1 11 1

1 111

njicacacc

eeUccececUffUb

n

ljl

n

kklik

n

k

n

lkljlik

n

k

n

llkjlik

n

lljl

n

kkikjiij

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

∑ ∑∑∑

∑∑∑∑

= == =

= ===

de unde rezultă . tCACB = 1.9. Observaţie. i) Dacă este un spaţiu liniar complex şi este o formă biliniară atunci rezultatul din teorema 1.8 se scrie:

nV CVV →× nnU :

tCACB = . ii) Fie este un spaţiu liniar real şi nV RVV →× nnU : o formă biliniară simetrică. Atunci egalităţile ( ) ( ) njieeUeeU ijji ,1,,,, == implică njiaa jiij ,1,, == deci matricea ataşată unei forme biliniare simetrice este simetrică. Se arată cu uşurinţă că şi reciproca acestei afirmaţii este adevărată. iii) Dacă este un spaţiu liniar complex şi nV CVV →× nnU : este o formă biliniară hermitică atunci ( ) ( ) njieeUeeU ijji ,1,,,, == implică ,jiij aa =

nji ,1, = deci matricea ataşată unei forme biliniare hermitică este hermitică. Se arată cu uşurinţă că şi reciproca acestei afirmaţii este adevărată. 1.10. Definiţie. Se numeşte rangul formei biliniare RVV →× nnU : rangul matricei ataşată lui U într-o bază din . Dacă nV nU =rang atunci forma biliniară U se numeşte nedegenerată. Remarcă. Dacă matricea C este nesingulară şi atunci matricele A şi B au acelaşi rang deci rangul unei forme pătratice nu depinde de baza spaţiului.

tCACB =

4.4. EXERCIŢII 157

1.11. Definiţie. Mulţimea ( ) ( ){ }nn yyxUxU VV ∈∀=∈= ,0,Ker se numeşte nucleul formei biliniare U. Remarcă. Mulţimea UKer este un subspaţiu liniar în . nV 1.12. Teoremă. Fie formă biliniară. Atunci: KVV →× nnU : UnU Kerdimrang −= . Demonstraţie. Fie bază în , { }neeeB ,,, 21 L= nV ( ) K∈=

= ijnjiij aaA ,,1,

, nji ,1, =

matricea ataşată lui U în această bază. Pentru fie n

n

jjj

n


== 11,

. ( ) 0,1 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑

= =

n

jj

n

iiij yxayxU

Vectorul x aparţine nucleului formei biliniare U dacă şi numai dacă

este soluţie a sistemului liniar şi omogen: ( nxxx ,,, 21 L )

njxan

iiij ,1,0

1==∑

=

.

Dimensiunea subspaţiului liniar al soluţiilor acestui sistem este egală cu

An rang− şi cum UKer coincide cu mulţimea soluţiilor sistemului, teorema este demonstrată. Remarcă. Din teorema de mai sus rezultă că U este nedegenerată dacă şi numai dacă { }

nV0=UKer . 1.13. Definiţie. Vectorii nyx V∈, se numesc ortogonali în raport cu forma biliniară simetrică dacă RVV →× nnU : ( ) 0, =yxU . Baza { }neeeB ,,, 21 L= din

se numeşte ortogonală în raport cu forma biliniară simetrică U dacă nV( ) njijieeU ji ,1,,,0, =≠= .

1.14. Observaţie. Dacă baza { }neeeB ,,, 21 L= este ortogonală în raport cu forma


biliniară simetrică atunci expresia analitică a lui U faţă de RVV →× nnU : această bază este:

. ( ) ∑=

=n

iiiii yxayxU

1,

4.2. FORME PĂTRATICE

Fie un spaţiu liniar real şi nV RVV →× nnU : o formă biliniară simetrică. 2.1. Definiţie. Aplicaţia , RV →nF : ( ) ( )xxUxF ,= se numeşte formă pătratică. Forma biliniară U care defineşte forma pătratică F se numeşte polara lui F. 2.2. Observaţie. Dacă ( )

njiijaA,1, =

= este matricea ataşată formei biliniare U în baza atunci: { }neeeB ,,, 21 L=

( ) ( )

.

,,

1 1

1 111

XAXxax

xxaeyexUxxUxF

tn

i

n

jjiji

n

i

n

jjiij

n

jjj

n

iii

==

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

∑ ∑

∑∑∑∑

= =

= ===

Matricea A din formula de mai sus se numeşte matricea ataşată formei pătratice în baza B; această matrice coincide cu matricea polarei U. 2.3. Propoziţie. Dacă este o formă pătratică atunci există o unică formă biliniară simetrică

RV →nF :RVV →× nnU : astfel încât ( ) ( ) ( ) nxxxUxF V∈∀= ,, .

Demonstraţie. Fie ( )

njiijaA,1, =

= matricea ataşată formei pătratice într-o bază oarecare din . Atunci: nV

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ,,2

2 1 11 11 1

1 1

yFyxUxF

yyayxaxxa

yxyxayxF

n

i

n

jjiij

n

i

n

jjiij

n

i

n

jjiij

n

i

n

jjjiiij

++=

=++=

=++=+

∑∑∑∑∑∑

∑∑

= == == =

= =

4.4. EXERCIŢII 159

de unde rezultă:

( ) ( ) ( ) ([ ]yFxFyxFyxU −−+=21, ) .

2.4. Definiţie. Fie un subspaţiu liniar şi nM V⊂ RVV →× nnU : o formă biliniară. Mulţimea ( ) ( ){ }MxyxUyM n ∈∀=∈=⊥ ,0,V se numeşte complementul ortogonal al lui M în faţă de U. nV Remarcă. Se constată cu uşurinţă că ⊥M este subspaţiu liniar în . nV 2.5. Teoremă. Fie formă biliniară simetrică şi M un subspaţiu liniar în . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

RVV →× nnU :

nVi) ; ⊥⊕= MMnVii) restricţia lui U la M este nedegenerată. Demonstraţie. Fie restricţia lui U la M nedegenerată. Atunci egalitatea ( ) ( ) MyyxU ∈∀= ,0, are loc dacă şi numai dacă

nx V0= . De aici rezultă:

{ }n

MM V0=∩ ⊥ . Fie { }peeeB ,,, 21 L=′ bază în M pe care o completăm până la

o bază în V . Dacă atunci condiţiile { }neeeB ,,, 21 L= n⊥

=

∈=∑ Meyyn

jjj

1

( ) piyeU i ,1,0, == se scriu:

( ) pieeUyn

jjij ,1,0,

1==∑

=

.

Deoarece restricţia lui U la M este nedegenerată, matricea sistemului de mai sus are rangul p deci subspaţiul soluţiilor sistemului (subspaţiu care coincide cu ⊥M ) are dimensiunea . De aici rezultă că şi cum pn − nMM =+ ⊥dimdim

{ }n

MM V0=∩ ⊥ avem . nMM V=⊕ ⊥

Reciproc, dacă rezultă nMM V=⊕ ⊥ { }n

MM V0=∩ ⊥ ceea ce înseamnă că restricţia lui U la M este nedegenerată.


2.6. Definiţie. Spunem că forma pătratică are expresia canonică dacă expresia sa analitică într-o bază din este:

RV →nF :

nV

( ) ,niaxaxF i

n

iii 1,,

1

2 =∈= ∑=

R .

2.7. Observaţie. Dacă este o formă biliniară simetrică şi baza

este ortogonală în raport cu forma biliniară U atunci: RVV →× nnU :

{ neeeB ,,, 21 L= }

. ( ) ( ) ∑=

==n

iiii xaxxUxF

1

2,

2.8. Teoremă. Dacă este o formă pătratică atunci există o bază în faţă de care F are expresia canonică.

RV →nF : nV

Demonstraţie. Să presupunem că forma pătratică F este nedegenerată deci şi polara U are aceeaşi proprietate. În acest caz vom demonstra teorema prin inducţie după dimensiunea spaţiului. Pentru 1=n baza căutată este formată dintr-un vector nenul. Presupunem că afirmaţia din teoremă este adevărată pentru

, . Deoarece U este nedegenerată avem 1−n 2≥n { }n

U V0=Ker ; există deci vectorii astfel încât nyx V∈, ( ) 0, ≠yxU . Din egalitatea

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ([ ]yyUxxUyxyxUyFxFyxFyxU ,,,21

21, −−++=−−+= )

deducem că cel puţin unul din scalarii ( )yxyxU ++ , , ( )xxU , , este nenul. Există deci astfel încât

( yyU , )ne V∈1 ( ) 0, 11 ≠eeU . Fie şi ( )1eLM = ⊥M

complementul lui ortogonal faţă de U. Dacă Mx∈ atunci R∈= λλ ,1ex şi ( ) ( ) ( ) 0,,, 11111 ≠== eeUeeUxeU λλ pentru 0≠λ . De aici rezultă că restricţia lui

U la M este nedegenerată. Cu teorema 2.5 avem şi restricţia lui U la

⊥⊕= MMnV⊥M este nedegenerată; atunci rezultă că şi cu ipoteza de

inducţie în 1dim −=⊥ nM

⊥M , există o bază { }neee ,,, 32 L ortogonală faţă de restricţia lui U la ⊥M deci şi faţă de U. Din modul cum au fost construiţi, vectorii sunt

ortogonali doi câte doi faţă de U Să arătăm că aceşti vectori sunt şi liniar independenţi, deci formează o bază în . Fie combinaţia liniară:

neee ,,, 21 L

nV nieee inn ,1,,02211 =∈=+++ Rαααα L .

4.4. EXERCIŢII 161

Atunci: ( ) ( ) ( ) ( iiinininni eeUeeUeeUeeeU ,,,,0 1111 )ααααα =++=++= LL şi cum rezultă ( ) 0, ≠ii eeU nii ,1,0 ==α . Baza astfel obţinută are proprietăţile cerute de enunţul teoremei. Fie acum cazul când U este degenerată, deci { }

nU V0≠Ker ; notăm

MKerU = şi W complementul lui M. În aceste condiţii avem: { }

nn WMWM VV 0=∩=⊕ , . Din teorema 1.12 rezultă UnM rangdim −= şi atunci avem:

UMnW rangdimdim =−= . Aceasta înseamnă că restricţia lui U la W este nedegenerată. Fie

. Din prima parte a demonstraţiei rezultă că există o bază UWp rangdim =={ }pfffB ,,, 21 L=′ în W, ortogonală faţă de restricţia lui U la W deci şi faţă de U.

Completăm baza B′ până la o bază { }npp fffffB ,,,,,, 121 LL += în . Deoarece vectorii aparţin lui

nV

np ff ,,1 L+ UKer , ei satisfac egalităţile: ( ) nphkhkffU hk ,1,,,0, +=≠= , de unde rezultă că baza B este ortogonală faţă de U şi teorema este complet demonstrată. În cazul formelor pătratice pe spaţii euclidiene teorema de mai sus are o demonstraţie mult mai simplă. 2.9. Teoremă. Dacă este un spaţiu euclidian real şi este o formă pătratică atunci există o bază ortonormată în faţă de care F are expresia canonică.

nE R→nEF :

nE

Demonstraţie. Fie o bază ortonormată în şi A matricea ataşată formei pătratice F în această bază. Atunci

{ nfffB ,,, 21 L=′ } nEtAA = şi matricea A defineşte

un operator simetric nn EEU →:~ , ( ) XAYyxU =⇔=~ , unde X, Y sunt vectorii coloană ce conţin coordonatele vectorilor x respectiv y. Cu teorema 5.4, capitolul


3, rezultă că există o bază { }neeeB ,,, 21 L= ortonormată în , bază formată din vectori proprii ai lui U

nE~ , astfel încât matricea ataşată lui U~ în această bază este

diagonală şi: . ( ) QAQD 1−=λ Precizăm că matricea Q este ortogonală şi conţine pe coloane coordonatele vectorilor proprii normaţi ai endomorfismului U~ iar matricea diagonală ( )λD conţine pe diagonală valorile proprii ale lui U~ , în ordinea în care au fost trecuţi vectorii proprii în matricea Q (deci în baza B). Matricea de trecere este , iar matricea ataşată formei pătratice F în baza

tQC ={ }neeeB ,,, 21 L= este:

( )λDQAQQAQCACB tt ==== −1 . În baza astfel găsită forma pătratică are expresia canonică:

, . ( ) ( )∑=

′=n

iii xxF

1

2λ ∑=

′=n

iiiexx

1

2.10. Teoremă (metoda lui Gauss). Dacă este un spaţiu liniar complex şi

o formă pătratică atunci există o bază nV

CV →nF : { }neeeB ,,, 21 L= în faţă de care F are expresia canonică.

nV

Demonstraţie. Fie bază în faţă de care F are expresia

analitică .Să presupunem pentru început că există ,

, astfel încât . Printr-o eventuală rearanjare a vectorilor în bază putem presupune că

{ }nfffB ,,, 21 L=′ nV

( ) ∑∑= =

=n

i

n

jjiij xxaxF

1 1

∗∈Ni

ni ≤ 0≠iia011 ≠a . Atunci:

( )

( )

( ) .1

11

2

2 2

21212111

11

2 22 211

11

21212111

11

2 2111

2111

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

= =

= == =

= ==

′++++=

=+−+++=

=++=

n

i

n

jjiijnn

n

i

n

jjiij

n

i

n

jjijinn

n

i

n

jjiij

n

kkk

xxaxaxaxaa

xxaxxaaa

xaxaxaa

xxaxxaxaxF

L

L

4.4. EXERCIŢII 163

Fie baza obţinută din baza B cu ajutorul matricei de trecere: { nfffB ′′′=′ ,,, 21 L }

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−−

=

100

01̀0

1

11

1

11

12

11

L

MMMM

L

Laa

aa

aC

n

.

În această bază coordonatele vectorului sunt: ∑=

=n

iii fxx

1

,,2,

,12121111

nixx

xaxaxax

ii

nn

==′

+++=′ L

iar forma pătratică are următoarea expresie analitică:

( ) ( ) ∑∑∑== =

′′=′′′+′=n

iiiji

n

i

n

jij fxxxxax

axF

12 2

21

11

,1 .

Expresia este o formă pătratică în ji

n

i

n

jij xxa ′′′∑∑

= =2 21−n variabile căreia i se poate

aplica procedeul de mai sus. Astfel, după cel mult 1−n paşi se obţine o bază faţă de care F are expresia canonică { neeeB ,,, 21 L= }

, ( ) ∑=

=+++=n

iiinn eyxyyyxF

1

2222

211 ,ααα L nii ,1, =∈Cα .

Dacă ( ) niaii ,1,0 =∀= şi F nu este identic nulă atunci există . Printr-o eventuală rearanjare a vectorilor în baza putem presupune că . Dacă considerăm baza

jiaij ≠≠ ,0

1B 012 ≠a{ }nfffB ′′′=′ ,,, 21 L , unde

niffffffff ii ,3,,, 212211 ==′−=′+=′ ,

atunci între coordonatele vectorului x în bazele şi 1B 1B′ există relaţiile

,,3,212

211

nixx

xxxxxx

ii =′=

′−′=

′+′=


astfel încât în baza forma pătratică capătă expresia: 1B′

. ( ) ji

n

i

n

jij xxaxF ′′′= ∑∑

= =1 1

Această expresie conţine cel puţin două pătrate (deoarece ), deci i se poate aplica metoda expusă în prima parte a demonstraţiei.

( ) ( ) 22

2121 xxxx ′−′=

2.11. Observaţie. Între coordonatele vectorului x în bazele { }nfffB ,,, 21 L=′ şi

din teorema precedentă există relaţiile: { neeeB ,,, 21 L= }

( ) ( )

( ) ,

1

2,11

21,11

211,22222

111,12121111

nn

nn

nn

nnnn

nnn

nnnn

nnnn

xay

xaxay

xaxaxayxaxaxaxay

−

−−−

−−−−

−−

−−

=

+=

′+′++′=

++++=

LLLLLLLLLLLLLLLLL

L

L

relaţii care se pot scrie matriceal sub forma: . ( )CnMAXAY ∈= 11 , Matricea de trecere de la baza la baza B este: 1B . ( ) tAC 1

1−=

2.12. Teoremă (Jacobi). Fie o formă pătratică şi RV →nF : ( )

njiijaA,1, =

= matricea ataşată formei F în baza { }neeeB ,,, 21 L= . Dacă determinanţii

, 111 a=Δ2221

12112 aa

aa=Δ , An det, =ΔL

sunt nenuli atunci există o bază { }neeeB ′′′=′ ,,, 21 L faţă de care expresia formei pătratice este:

( ) ( ) 2

1

1i

n

i i

i xxF ′ΔΔ

= ∑=

− ,

4.4. EXERCIŢII 165

unde şi . 10 =Δ ∑=

′′=n

iiiexx

1

Demonstraţie. Fie polara formei pătratice F; căutăm vectorii bazei

RVV →× nnU :B′ de forma:

, 1111 ece =′

LLLLLLLLLL

,,

3332231133

2221122

ecececeecece++=′

+=′

.2211

2211

nnnnnn

jjjjjj

ececece

ececece

+++=′

+++=′

L

LLLLLLLLLLL

L

Pentru determinarea coeficienţilor punem condiţiile: ijc

( )( ) jinjeeU

eeU

jj

ij

,1,,1;1,

,0,

===′

=′

şi obţinem astfel sistemele liniare:

.1

00

2211

2222121

1212111

=+++

=+++

=+++

jjjjjjjj

jjjjj

jjjjj

cacaca

cacacacacaca

L

LLLLLLLLLLLLL

L

L

Determinanţii acestor sisteme sunt njj ,1, =Δ şi ei sunt diferiţi de zero conform ipotezei; rezultă că sistemele de mai sus au soluţie unică. Cu regula lui Cramer obţinem:

j

j

jjj

j

j

jjj

aa

aaaa

cΔ

Δ=⋅

Δ= −

−

−

−

1

1,1,

1,221

1,111

1000

1

L

MMM

L

L

.

Să determinăm acum expresia formei pătratice în baza B′ . Pentru ji < avem:


( ) ( ) ( ) 0,,,1

2211 =′=+++′=′′ ∑=

i

kkjkiiiiiijij eeUcecececeUeeU L .

Dacă ji = obţinem:

. ( ) ( ) ( ) jj

j

kkjkjjjjjjjjj ceeUcecececeUeeU =′=+++′=′′ ∑

=12211 ,,, L

Pentru ji > din simetria formei biliniare U rezultă ( ) ( ) 0,, =′′=′′ jiij eeUeeU .

Obţinem astfel ( ) 0, =′′ ij eeU pentru ji ≠ , ( )j

jjj eeU

Δ

Δ=′′ −1, , nj ,1= şi forma

pătratică F capătă expresia:

( ) ( ) 2

1

1i

n

i i

i xxF ′ΔΔ

= ∑=

− ; 10 =Δ , . ∑=

′′=n

iiiexx

1

4.3. SIGNATURA UNEI FORME PĂTRATICE REALE

Fie un spaţiu liniar real. nV 3.1. Definiţie. Forma pătratică se numeşte pozitiv semidefinită dacă

. Dacă în plus RV →nF :

( ) ( ) nxxF V∈∀≥ ,0 ( )n

xxF V0=⇔= 0 atunci F se numeşte pozitiv definită. Forma pătratică F se numeşte negativ definită dacă F− este pozitiv definită. Dacă există nyx V∈, astfel încât ( ) 0<xF şi atunci F se numeşte nedefinită.

( ) 0>yF

3.2. Teoremă (criteriul lui Sylvester). Fie o formă pătratică, RV →nF :

( )njiijaA

,1, == matricea ataşată formei F în baza { }neeeB ,,, 21 L= şi

determinanţii:

, 111 a=Δ2221

12112 aa

aa=Δ , An det, =ΔL .

Forma pătratică este: RV →nF :i) pozitiv definită dacă şi numai dacă nii ,1,0 =>Δ ;

4.4. EXERCIŢII 167

ii) negativ definită dacă şi numai dacă ( ) niii ,1,01 =>Δ− .

Demonstraţie. Fie formă pătratică pozitiv definită, polara ei, bază în şi

RV →nF : RVV →× nnU :{ }neeeB ,,, 21 L= nV ( )

njiijaA,1, =

= matricea ataşată lui F în această bază. Presupunem prin absurd că există np ≤≤1 astfel încât . Aceasta înseamnă că o linie a determinantului

0=Δ p

pΔ este o combinaţie liniară de

celelalte linii (vezi corolar 1.24, anexă) adică există R∈iα , pi ,1= nu toţi nuli astfel încât: piaaa pipii ,1,02211 ==+++ ααα L . Egalităţile de mai sus se pot scrie sub forma: ( ) pieeeeU ipp ,1,0,2211 ==+++ ααα L . Amplificăm egalităţile de mai sus cu iα şi sumăm după pi ,1= ; obţinem astfel:

( ) 0, 22112211 =++++++ pppp eeeeeeU αααααα LL . Deoarece U este pozitiv definită egalitatea de mai sus implică: 02211 =+++ ppeee ααα L şi cum scalarii R∈iα , pi ,1= nu sunt toţi nuli rezultă că vectorii piei ,1, = sunt liniar dependenţi, ceea ce contrazice ipoteza că { }neeeB ,,, 21 L= este bază în . Rezultă că nV npp ,1,0 =≠Δ . Cu teorema lui Jacobi există o bază în faţă de care F are expresia canonică:

nV

( ) ( ) 2

1

1i

n

i i

i xxF ′ΔΔ

= ∑=

−

şi cum F este pozitiv definită rezultă nii

i ,1,01 =>ΔΔ − . Deoarece din

egalităţile de mai sus obţinem

010 >=Δ

nii ,1,0 =>Δ .


Reciproc, dacă nii ,1,0 =>Δ atunci nii

i ,1,01 =>ΔΔ − şi din ( ) ( ) 2

1

1i

n

i i

i xxF ′ΔΔ

= ∑=

−

rezultă ( ) ( ) nxxF V∈∀≥ ,0 . Dacă ( ) 0=xF atunci din expresia canonică a lui F dată de teorema lui Jacobi rezultă nixi ,1,0 ==′ deci

nx V0= .

Dacă F este negativ definită atunci FF −=1 este pozitiv definită. Fie nii ,1, =Δ′ determinanţii din teorema lui Jacobi corespunzători matricei A− . Din prima parte a demonstraţiei rezultă că nii ,1,0 =>Δ′ şi cum ( ) i

ii Δ−=Δ′ 1 obţinem

( ) niii ,1,01 =>Δ− şi teorema este complet demonstrată.

3.3. Definiţie. Fie o formă pătratică cu expresia canonică

, în care p coeficienţi sunt strict pozitivi, q sunt strict negativi şi

sunt egali cu zero. Tripletul

RV →nF :

( ) ∑=

=n

iii xaxF

1

2

( qpnd +−= ) ( )dqp ,, se numeşte signatura formei pătratice F. 3.4. Teoremă (legea inerţiei). Signatura unei forme pătratice este aceeaşi în orice expresie canonică a lui F.

RV →nF :

Demonstraţie. Fie , { }neeeB ,,, 21 L= { }neeeB ′′′=′ ,,, 21 L două baze în faţă de nV care forma pătratică F are expresiile canonice:

, ( ) ∑=

=n

iii xaxF

1

2 ( ) ( ) ∑∑==

′′=′=n

jjj

n

jjj exxxbxF

11

2 , ,

cu signaturile , respectiv ( dqp ,, ) ( )dqp ′′′ ,, . Bazele de mai sus pot fi alese astfel încât coeficienţii şi să ia valorile 1, 0 sau ia jb 1− . Printr-o aranjare convenabilă a vectorilor în cele două baze putem considera că primii p (respectiv p′ ) coeficienţi sunt egali cu 1, următorii q (respectiv q′ ) sunt egali cu şi restul nuli. În aceste condiţii avem:

1−

( ) ∑∑+

+==

−=qp

pii

p

ii xxxF

1

2

1

2

în baza B şi respectiv

4.4. EXERCIŢII 169

( ) ( ) ( )∑∑′+′

+′=

′

=

′−′=qp

pii

p

ii xxxF

1

2

1

2

în baza B′ . Teorema este demonstrată dacă arătăm că pp ′= şi . Să presupunem prin absurd că

qq ′=pp ′> şi fie subspaţiile liniare ( )peeeLM ,,, 21 L= ,

( )npp eeeLM ′′′=′ +′+′ ,,, 21 L . Avem pM =dim , pnM ′−=′dim şi cum pp ′> deducem că npnpMM >′−+=′+ dimdim . R zult că subspaţiul e ă MM ′+ nu este sumă directă de subspaţii şi deci { }

nV0≠′∩MM . Fie

nxMMx V0≠′∩∈ ~,~ . Atunci

nnpppppp exexexexexexx ′′++′′+′′=+++= ++++ LL 22112211

~ şi astfel

, . ( ) 0~1

2 ≥= ∑=

p

iixxF ( ) ( ) 0~

1

2 ≤′−= ∑+′=

n

piixxF

Din cele două inegalităţi rezultă ( ) 0~ =xF , ceea ce implică pixi ,1,0 == ,

şi deci 021 =′==′=′ +′+′ npp xxx Ln

x V0=~ . Deoarece ultima egalitate contrazice ipoteza

nx V0≠~ , rezultă că pp ′≤ ; analog se arată că pp =′ , deci . pp ′=

În acelaşi mod obţinem , de unde rezultă qq ′= dd ′= şi ( )dqp ,, ( )dqp ′′′= ,, . 3.5. Observaţie. i) Din teorema de mai sus rezultă că forma pătratică este pozitiv definită dacă şi numai dacă are signatura

RV →nF :( )0,0,n .

ii) Din teorema 2.11 rezultă că forma pătratică F este pozitiv definită dacă şi numai dacă toate valorile proprii ale matricei ataşată formei F într-o bază dată sunt strict pozitive. iii) Din teorema 3.2 rezultă că F este pozitiv definită dacă şi numai dacă

nii ,1,0 =>Δ .

4.4. EXERCIŢII

4.1. Exerciţii rezolvate.


1) Fie forma pătratică , 33: RR →F ( ) 32312122 41043 xxxxxxxxF −++−= . Să se

aducă această formă pătratică la o expresie canonică cu ajutorul transformărilor ortogonale de coordonate. Rezolvare. Pentru a aduce forma pătratică la o expresie canonică cu ajutorul transformărilor ortogonale de coordonate trebuie să determinăm o bază în formată din vectori proprii ai matricei ataşate formei pătratice (vezi teorema 2.9). Matricea formei pătratice este:

3R

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

025232520

A

şi are valorile proprii 7,5,1 321 −==−= λλλ . Un vector propriu asociat valorii proprii 11 −=λ se obţine prin rezolvarea sistemului ( ) 331 R

0=− XIA λ . Acest sistem se scrie sub forma

0250222052

321

321

321

=+−=−−=++

xxxxxxxxx

iar o soluţie a lui este ( 1,2,11 )−−=f . Calcule asemănătoare efectuate pentru

52 =λ şi 73 −=λ ne dau: ( )1,0,12 =f , ( )1,1,13 −=f ; se constată cu uşurinţă că vectorii sunt ortogonali iar vectorii 321 ,, fff

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−==′6

1,6

2,6

111

11 f

ff ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==′

21,0,

211

22

2 ff

f ,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−==′3

1,3

1,3

113

33 f

ff ,

formează o bază ortonormată în . Matricea 3R

4.4. EXERCIŢII 171

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=′′′=

31

21

61

310

62

31

21

61

,,col 321 fffQ

este ortogonală şi dacă luăm matricea de trecere avem: tQC =

. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=== −

700050001

1 QAQQAQCAC tt

În urma transformării ortogonale de coordonate

xxxx

xxxXQX

xxxx

′+′+′=

′+′−=⇔′=

′−′+′−=

31

21

61

31

62

31

21

61

213

12

3211

forma pătratică are expresia canonică: ( ) ( ) ( ) ( ) 2

32

22

1 75 xxxxF ′−′+′−= . 2) Să se aducă forma pătratică , 33: RR →F ( ) 211332 4 xxxxxxxF ++= la o expresie canonică folosind metoda lui Gauss. Rezolvare. Deoarece forma pătratică are toţi coeficienţii 3,1,0 == iaii , efectuăm transformarea de coordonate

33

212

211

yxyyxyyx

=−=+=

⇔

33

212

211

21

21

21

21

xy

xxx

xxy

=

−=

+=

,


în urma căreia F capătă expresia ( ) 31

22

21 2 yyyyxF +−= . Printr-o singură grupare

în pătrate obţinem:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) , 21

21

21

21

23

22

21

23

2

21

2

321

23

22

231

xxx

xxxxxx

yyyyxF

′−′−′=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=−−+=

unde

.21

21

21

21

33

212

3211

xx

xxx

xxxx

=′

−=′

++=′

Pentru a determina baza în raport cu care forma pătratică are expresia canonică găsită, fie matricea

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

100

021

21

121

21

1A .

Matricea de trecere către baza căutată este (vezi observaţia 2.11) . ( ) tAC 1

1−=

După efectuarea calculelor obţinem matricea de trecere

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

111011011

C

şi baza formată din vectorii ( )0,1,11 =f , ( )0,1,12 −=f , ( )1,1,13 −−=f .

4.4. EXERCIŢII 173

3) Utilizănd metoda lui Jacobi să se aducă forma pătratică , 33: RR →F( ) 323121

23

22

21 81687 xxxxxxxxxxF −−−++= la o expresie canonică.

Rezolvare. Fie { 321 ,, eeeB }= baza canonică din ; în metoda lui Jacobi, baza în raport cu care forma pătratică F are expresia canonică se caută sub forma:

3R

.3332231133

2221122

1111

ecececeecece

ece

++=′+=′

=′

Coeficienţii ,3,1,,1, == jjicij se determină din condiţiile

( )( ) ,3,1,1,

,0,

==′

<=′

jeeU

jieeU

jj

ij

unde U este polara formei pătratice F. Pentru 1=j , condiţia ne dă ( ) 1, 11 =′ eeU

11

111

011 ==

ΔΔ

=a

c . Pentru 2=j , condiţiile ( ) 0, 12 =′ eeU , ( ) 1, 22 =′ eeU ne conduc

la sistemul

⇔ 10

22221221

22121211

=+=+

cacacaca

17404

2212

2212

=+−=−

cccc

,

sistem care are soluţia 94,

91

2212 −=−= cc .

În cazul 3=j , condiţiile ( ) 0, 13 =′ eeU , ( ) 0, 23 =′ eeU , ( ) 1, 33 =′ eeU ne dau sistemul

100

333323321331

333323221321

331323121311

=++=++=++

cacacacacacacacaca

⇔ 1 480474084

332313

332313

332313

=+−−=−+−=−−

ccccccccc

;

soluţia acestui sistem este 811,

814,

818

332313 =−=−= ccc .

Baza în raport cu care forma pătratică F are expresia canonică este:


( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=+−−=′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−−=′

==′

811,

814,

818

811

814

818

0,91,

94

91

94

0,0,1

3213

212

11

eeee

eee

ee

iar expresia canonică este

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21

21

21

23

3

222

2

121

1

0

811

91 xxxxxxxF ′+′−′=′

ΔΔ

+′ΔΔ

+′ΔΔ

= .

4.2. Exerciţii propuse. 1) Să se aducă următoarele forme pătratice la o expresie canonic[ cu ajutorul metodei lui Gauss: a) ; ( ) 323121

23

22

21 2243 xxxxxxxxxxF +++++=

b) ( ) 433232413121 xxxxxxxxxxxxxF +++++= ; c) ; ( ) 434232413121

24

22

21 2222442 xxxxxxxxxxxxxxxxF ++++++++=

d) ; ( ) 32312123

22

21 3444 xxxxxxxxxxF −+−++=

e) . ( ) 32312123

22

21 441688 xxxxxxxxxxF +++++=

2) Să se aducă la o expresie canonică, folosind transformările ortogonale de coordonate, următoarele forme pătratice: a) ; ( ) 323121 22 xxxxxxxF ++=

b) ; ( ) 32312121 222 xxxxxxxxF −−−=

c) ; ( ) 32312123

22

21 844141417 xxxxxxxxxxF −−−++=

d) ( ) 43323121 2662 xxxxxxxxxF +−−= ; e) . ( ) 323121

23

22

21 484363 xxxxxxxxxxF −−−++=

3) Utilizând metoda lui Jacobi, să se aducă următoarele forme pătratice la o expresie canonică: a) ; ( ) 31

23

22

21 223 xxxxxxF −++=

b) ; ( ) 32312121 222 xxxxxxxxF −−−=

c) ; ( ) 32312123

22

21 44168 xxxxxxxxxxF +++++=

4.4. EXERCIŢII 175

d) ; ( ) 434232413124

23

22

21 6222444 xxxxxxxxxxxxxxxF ++++++++=

e) . ( ) 32312123

22

21 222777 xxxxxxxxxxF +++++=

5. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ

Scopul acestui capitol este acela de a introduce principalele noţiuni şi rezultate ale geometriei analitice. În geometria analitică se lucrează în spaţiul fizic de dimensiune trei (spaţiul experienţei cotidiene). Vom identifica acest spaţiu cu spaţiul euclidian 3E . În unele cazuri (de exemplu la studiul conicelor) vom vom utiliza în locul spaţiului 3E spaţiul euclidian 2E . Rezultatele obţinute în capitolul 2 (operatori liniari pe spaţii euclidiene) vor fi utilizate pe larg în acest context.

5.1. SPAŢIUL EUCLIDIAN E3

Dacă ne alegem un punct din spaţiu în care considerăm trei drepte perpendiculere două câte două şi pe aceste drepte stabilim un sens de parcurgere atunci putem asocia fiecărui punct din spaţiu un sistem ordonat de trei numere, numere care se numesc coordonatele carteziene ale punctului considerat. În cele ce urmează, în loc de a spune că aceste trei numere precizează poziţia punctului în spaţiu vom spune că ansamblul acestor numere este chiar un punct al spaţiului. În acest fel identificăm punctele spaţiului fizic cu elementele spaţiului aritmetic de dimensiune trei. 1.1. Definiţie. Spaţiul euclidian tridimensional este mulţimea tuturor tripletelor ordonate de numere reale

( ){ }3,1,,, 3213 =∈= ixxxx i RE .

Un astfel de triplet ( )321 ,, xxx=x se numeşte punct al lui 3E . După cum ştim din algebra liniară 3E devine un spaţiu liniar real de dimensiune trei, dacă definim adunarea vectorilor ( ) ( )321321 ,y,yy,,x,xx == yx şi înmulţirea cu scalari R∈α prin:

( )332211 y,xy,xyx +++=+ yx ,

5. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ 176

( )321 x,x,x αααα =x .

Punctul ( )000 ,,=0 se numeşte originea lui 3E . Fie ( ) ( )321321 ,v,vv,,p,pp == vp puncte din 3E . 1.2. Definiţie. Se numeşte vector în 3E segmentul orientat de extremităţi p şi

vp + ; p se numeşte punctul de aplicaţie al vectorului iar vp + vârful vectorului. 1.3. Definiţie. Ansamblul ( ) p, vvp = se numeşte vector tangent la 3E în punctul p; v se numeşte partea vectorială a vectorului tangent pv . Vom spune că vectorii tangenţi qp ,wv sunt egali şi notăm qp wv = dacă qp = şi wv = . 1.4. Observaţie. Un vector tangent ( )vpv ,p = se compune deci din punctul său de aplicaţie p şi din partea sa vectorială v; pv se mai numeşte vector legat în punctul p. 1.5. Definiţie. Vectorii tangenţi pv şi qv cu aceeaşi parte vectorială dar puncte de aplicaţie diferite se numesc paraleli. Fie p un punct din 3E . 1.6. Definiţie. Mulţimea ( )3ETp formată din vectorii tangenţi la 3E în punctul p se numeşte spaţiul tangent la 3E în punctul p. 1.7. Observaţie. Pentru ( )3ETwv ppp , ∈ definim suma acestor vectori tangenţi prin ( )ppp wvwv +=+ , iar dacă R∈α definim produsul dintre vectorul tangent pv şi scalarul α prin ( )pp vv αα = . Cu aceste operaţii ( )3ETp devine un spaţiu liniar izomorf cu 3E . Într-adevăr, aplicaţia ( ) ( ) pp vvETE =→ ϕϕ ,: 33 este liniară şi bijectivă deci este un izomorfism între spaţiile liniare 3E şi ( )3ETp . Acest izomorfism se numeşte izomorfismul natural.

5.8. EXERCIŢII

177

1.8. Definiţie. Se numeşte câmp vectorial pe 3E o funcţie U care asociază fiecărui punct 3Ep∈ un vector tangent ( )pU la 3E în punctul p. Fie 321 ,, UUU câmpuri vectoriale pe 3E astfel încât ( ) ( )pU 0,0,11 =p ,

( ) ( )pU 0,1,02 =p , ( ) ( )pU 1,0,03 =p . 1.9. Definiţie. Ansamblul 321 ,, UUU se numeşte reper (sistem de coordonate) natural pe 3E . 1.10. Propoziţie. Dacă V este un câmp vectorial pe 3E atunci există şi sunt unice funcţiile reale 321 ,, vvv definite pe 3E astfel încât 332211 UvUvUvV ++= . Funcţiile 321 ,, vvv se numesc funcţiile de coordonate euclidiene ale câmpului vectorial V. Demonstraţie. Din definiţia unui câmp vectorial rezultă că partea vectorială ( )pV depinde de p deci aceasta poate fi scrisă sub forma ( ) ( ) ( )( )ppp 321 ,, vvv .

Astfel am definit pe 3E trei funcţii reale 321 ,, vvv . Atunci:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,

1,0,00,1,00,0,1

,,

3332211

321

321

Eppppppp

ppp

pppp

∈∀++=

=++=

==

UvUvUv

vvv

vvvV

ppp

p

deci câmpurile vectoriale V şi ∑=

3

1iiiUv sunt egale.

5.2. PRODUSE CU VECTORI GEOMETRICI

Fie ( ) ( ) 3321321 ,,,,, Eqp ∈== qqqppp .

2.1. Definiţie. Produsul scalar (interior) al punctelor p, q este numărul real 332211 qpqpqp ++=⋅qp .


2.2. Observaţie. Se constată cu uşurinţă că produsul scalar are proprietăţile: i) liniaritate în ambele argumente ( ) rqrprqp ⋅+⋅=⋅+ βαβα , ( ) ( ) RErqp ∈∀∈∀ βα ,,,, 3 , ( ) qrprqpr ⋅+⋅=+⋅ βαβα , ( ) ( ) RErqp ∈∀∈∀ βα ,,,, 3 ; ii) simetrie ( ) 3,, Eqppqqp ∈∀⋅=⋅ ; iii) pozitiv definire ( ) 0pppEppp =⇔=⋅∈∀≥⋅ 0,,0 3 . 2.3. Definiţie. Norma unui punct ( ) 3

321 ,, Ep ∈= ppp este numărul pozitiv

( ) ( )21

23

22

212

1ppp ++=⋅= ppp .

2.4. Definiţie. Dacă ( ) ( ) 3

321321 ,,,,, Eqp ∈== qqqppp atunci distanţa euclidiană dintre punctele p şi q este numărul pozitiv

( ) ( ) ( ) ( )[ ]21

233

222

211, qpqpqpd −+−+−=−= qpqp .

2.5. Definiţie. Produsul scalar (interior) al vectorilor tangenţi pv şi pw este numărul real wvwv ⋅=⋅ pp . Cosinusul unghiului a doi vectori se defineşte prin formula: [ ]πθθ ,0,cos ∈⋅⋅=⋅ wvwv pp . Doi vectori se numesc ortogonali dacă produsul lor scalar este egal cu zero. Un vector de lungime unu se numeşte versor.

5.8. EXERCIŢII

179

2.6. Definiţie. Un sistem { }321 ,, eee de vectori unitari ortogonali doi câte doi şi care aparţin spaţiului tangent la 3E în p se numeşte reper în punctul p. 2.7. Observaţie. Fie { }321 ,, eee un reper în punctul p din 3E . Dacă ( )3ETv p∈ atunci: ( ) ( ) ( ) 332211 eeveeveevv ⋅+⋅+⋅= . Într-adevăr, deoarece 321 ,, eee sunt ortogonali doi câte doi, ei sunt liniar independenţi şi cum dimensiunea spaţiului liniar ( )3ETp este egală cu trei (reamintim că acest spaţiu este izomorf cu 3E ) rezultă că { }321 ,, eee este bază în

( )3ETp . Putem scrie deci: 332211 eeev ααα ++= . Atunci ( ) 3,1,332211 ==⋅++=⋅ jjjj αααα eeeeev , de unde obţinem expresia căutată. Spunem că relaţia ( ) ( ) ( ) 332211 eeveeveevv ⋅+⋅+⋅= reprezintă o dezvoltare ortogonală a vectorului v după reperul { }321 ,, eee . În cazul reperului natural ( ) ( ) ( ){ }ppp 321 ,, UUU relaţia de mai sus se scrie

( ) ( )∑=

==3

1321 ,,

iiiUvvvv pv .

Numerele 321 ,, vvv se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului v.

2.8. Definiţie. Dacă ( )∑=

=3

1iiiUv pv şi ( )∑

=

=3

1iiiUw pw sunt vectori tangenţi la 3E

în punctul p produsul vectorial al acestor vectori este vectorul tangent la 3E în punctul p dat de formula:

( ) ( ) ( )

321

321

321

wwwvvv

UUU pppwv =× .

2.9. Observaţie. Din proprietăţile determinanţilor rezultă că: i) produsul vectorial este o aplicaţie liniară în ambele argumente; ii) este adevărată egalitatea:


( ) ( )3,, ETwvvwwv p∈∀×−=× . 2.10. Propoziţie. i) Produsul vectorial al vectorilor v, w este un vector perpendicular pe v şi w; ii) pentru orice ( )3, ETwv p∈ este adevărată egalitatea: ( )222 wvwvwv ⋅−⋅=× . Demonstraţie. Produsul scalar al vectorilor v şi wv× este:

( ) 0

321

321

321

==×⋅wwwvvvvvv

wvv

deci wv× este perpendicular pe v . Analog se arată că wv× este perpendicular pe w . ii) Avem:

( ) ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅−⋅ ∑∑∑

===

23

21

22

21

23

1

3

1

23

1

2222 wvwvwvwvi

iii

ii

iwvwv

( ) =++−++++ 32323131212122

23

21

23

23

22

21

22 2 wwvvwwvvwwvvwvwvwvwv

( ) ( ) ( ) =−−+−= 21221

23113

22332 wvwvwvwvwvwv 2wv × .

2.11. Observaţie. Din formula de definiţie a cosinusului unghiului a doi vectori obţinem:

( )

wvwvwv

⋅

⋅−=

222

sinθ

de unde rezultă că norma produsului vectorial este egală cu θsin⋅⋅=× wvwv . Formula de mai sus precizează faptul că norma produsului vectorial al vectorilor v şi w este egală cu aria paralelogramului determinat de v şi w.

5.8. EXERCIŢII

181

2.12. Definiţie. Prin produsul mixt al vectorilor u, v şi w din spaţiul tangent la

3E în punctul p înţelegem numărul

( ) .

321

321

321

wwwvvvuuu

=×⋅ wvu

Notăm produsul mixt al vectorilor u, v şi w prin ( )wvu ,, .

5.3. SISTEME DE COORDONATE

În paragraful precedent am introdus cu ajutorul reperului natural coordonatele euclidiene ale unui vector situat în spaţiul tangent. Formularea şi rezolvarea unor probleme concrete pot fi simplificate dacă utilizăm un sistem de coordonate curbilinii în locul sistemului coordonatelor euclidiene [21]. 3.1. Definiţie. Câmpurile vectoriale 321 ,, EEE formează un sistem de coordonate ortogonale pe 3E dacă 3,1,, ==⋅ jiEE ijji δ . Fie DD ′, domenii din 3E şi transformarea DD →′:ϕ , ( )321 ,, ϕϕϕϕ = . Pentru ( ) D′∈321 ,, θθθ notăm

( ) 3,1,,, 321 == ix ii θθθϕ . (1) Spunem că ϕ este un difeomorfism de clasă ∗∈ NkC k , dacă este inversabilă şi

1, −ϕϕ sunt funcţii de clasă kC . Dacă transformarea ϕ este de clasă 1C determinantul:

( )( ) ( ) ( ) D

DxxxDJ

jij

i ′∈≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

===

321

3,1,

321321

321 ,,,0,,det,,,,

θθθθθθθϕ

θθθ, (2)

se numeşte jacobianul sau determinantul funcţional al transformării ϕ . Spunem că ϕ este kC difeomorfism pe imagine dacă dacă ( )D′ϕ este deschisă şi

( )DD ′→′ ϕϕ : este kC difeomorfism. Spunem că ϕ este regulată în punctul ( ) D′∈= 0

302

010 ,, θθθθ dacă este de clasă 1C pe o vecinătate deschisă a lui


0θ şi ( ) 0,, 0

302

01 ≠θθθJ . Spunem că ϕ este regulată pe D′ dacă este regulată în

orice punct din D′ . Se poate arăta că dacă ϕ este regulată în punctul ( ) D′∈= 0

302

010 ,, θθθθ atunci există o vecinătate deschisă V a lui 0θ cu

proprietatea că restricţia lui ϕ la V este difeomorfism pe imagine ([18], volumul doi, pagina 80). În particular, dacă ϕ este regulată în 0θ atunci există o vecinătate deschisă V a lui 0θ pe care ϕ este inversabilă. Dacă DD →′:ϕ este regulată atunci ( )D′ϕ este deschisă ([18], volumul doi, pagina 81). În cele ce urmează vom considera transformări regulate DD →′:ϕ care sunt bijective. Astfel de transformări le vom numi transformări de coordonate. Fie DD ′→:ψ ,

( )321 ,, ψψψψ = inversa transformării ϕ . Pentru ( ) Dxxx ∈321 ,, notăm

( ) 3,1,,, 321 == ixxxii ψθ (3) 3.2. Definiţie. Numerele 321 ,, θθθ se numesc coordonate curbilinii.

3.3. Observaţie. Pentru .1 const=θ ecuaţiile (1) definesc o suprafaţă în spaţiul euclidian numită suprafaţă coordonată 1θ . Analog se definesc suprafeţele coordonate 2θ , 3θ . Suprafeţele coordonate .2 const=θ , .3 const=θ se intersectează după o curbă pe care variază numai 1θ , numită curbă coordonată

.1θ Analog se definesc curbele coordonate 2θ , 3θ . Prin orice punct p D∈ trece câte o singuri curbă din cele trei familii curbe de coordonate. Coordonatele curbilinii 321 ,, θθθ se numesc ortogonale dacă curbele coordonate se intersectează sub unghiuri drepte în orice punct din D. Cu ajutorul coordonatelor curbilinii punctul D∈x se scrie

( ) ( ) ( )∑∑==

==3

1321

3

1,,

iii

iii UUx 00x θθθϕ (4)

Fie vectorii

( ) ( ) ( )∑= ∂∂

=∂∂

=3

1321 ,,

ii

i U xxxg θθθθϕ

θ ααα , 31,=α (5)

Vectorul ( )xgα are proprietatea că este dirijat după tangenta la curba coordonată

αθ ce trece prin punctul x din D în care sunt calculate derivatele parţiale din (5). Deoarece 0≠J vectorii ( ) 3,1, =αα xg sunt liniar independenţi, deci formează o

5.8. EXERCIŢII

183

bază în spaţiul tangent la 3E în punctul considerat;această bază se numeşte bază naturală în punctul x , corespunzătoare coordonatelor curbilinii 321 ,, θθθ . 3.4. Definiţie. Mărimile

( ) ( ) 3,1,2

3

2

2

2

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

== αθϕ

θϕ

θϕ

ααααα xgxh (6)

se numesc coeficienţii lui Lamé. Cu ajutorul coeficienţilor lui Lamé versorii tangenţi în fiecare punct la liniile de coordonate au expresiile:

( ) ( ) 3,1,1== αα

αα xgx

hE . (7)

Două cazuri de coordonate curbilinii des utilizate în aplicaţii sunt coordonatele cilindrice şi coordonatele sferice. În 2E se utilizează în unele aplicaţii coordonatele polare. 3.5. Exemplu (sistemul de coordonate cilindrice). Fie ( )∞+∈= ,01 rθ , ( )πθθ 2,02 ∈= , R∈= z3θ şi transformarea ( ) ( ) ( ){ }0,0,,\2,0,0: 21321

3 =≥→××∞ xxxxxERπϕ :

.sincos

3

2

1

zxrxrx

===

θθ

Din modul cum a fost definită rezultă că ϕ este o bijecţie de clasă ∗∈NkC k , şi

0≠= rJ pe D′ . Rezultă că transformarea este kC difeomorfism. În plus, coeficienţii lui Lamé sunt ( ) ( ) 1== xgx rrh , ( ) ( ) rh == xgx θθ , ( ) ( ) 1== xgx zzh , (unde am notat valorile 1, 2, 3 ale indicelui α respectiv prin zr ,,θ ), iar versorii tangenţi liniilor de coordonate au expresiile:


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ).

cossinsincos

3

21

21

xxxxx

xxx

UEUUE

UUE

z

r

=+−=+=

θθθθ

θ

Coordonatele cilindrice zr ,,θ sunt coordonate curbilinii ortogonale iar

zr EEE ,, θ formează un sistem de coordonate ortogonale, fapte ce se verifică cu uşurinţă. 3.6. Exemplu (sistemul de coordonate sferice). Fie ( )∞+∈= ,01 rθ , ( )πθθ ,02 ∈= , ( )πϕθ 2,03 ∈= şi transformarea ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0,,\2,0,0,0: 21321

3 =≥→××∞ xxxxxEππϕ :

.cossinsincossin

3

2

1

θϕθϕθ

rxrxrx

===

Rezultă că ϕ este o bijecţie de clasă ∗∈NkC k , şi 0sin2 ≠= θrJ pe D′ . Rezultă că transformarea este kC difeomorfism. În acest caz avem

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) θϕθϕθθ

θϕθϕθ

θ sinsincoscoscos

cossinsincossin

321

321

rUrUrU

UUUrr

xxxxxg

xxxxxg

−+=∂∂

=

++=∂∂

=

( ) ( ) ( ) ϕθϕθϕϕ cossinsinsin 21 rUrU xxxxg +−=∂∂

= ,

unde am notat valorile 1, 2, 3 ale indicelui α respectiv prin ϕθ ,,r . Coeficienţii lui Lamé au valorile

( ) ( ) 1== xgx rrh , ( ) ( ) rh == xgx θθ , ( ) ( ) θϕϕ sinrh == xgx , iar versorii tangenţi liniilor de coordonate au expresiile:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .cossin

sinsincoscoscoscossinsincossin

21

321

321

ϕϕθϕθϕθθϕθϕθ

θ

xxxxxxx

xxxx

UUEUUUE

UUUE

z

r

+−=−+=++=

Coordonatele sferice ϕθ ,,r introduse mai sus sunt ortogonale (iar zr EEE ,, θ

5.8. EXERCIŢII

185

formează un sistem de coordonate ortogonale) deoarece 0=⋅=⋅=⋅ rr EEEEEE ϕϕθθ . 3.7. Exemplu (sistemul de coordonate polare). În acest exemplu vom considera spaţiul euclidian bidimensional format din mulţimea tuturor dubletelor ordonate de numere reale

( ){ }2,1,, 212 =∈= ixxx i RE .

Un astfel de dublet ( )21 , xx=x îl vom numi punct al lui 2E . Fie ( )∞+∈= ,01 rθ , ( )πθθ 2,02 ∈= şi transformarea ( ) ( ) ( ){ }0,0,\2,0,0: 2121

3 =≥→×∞ xxxxEπϕ :

.sin

cos

2

1

θθ

rxrx

==

Numerele θ,r se numesc coordonate polare. Transformarea ϕ este o bijecţie de clasă ∗∈NkC k , şi 0≠= rJ pe domeniul ( ) ( )π2,0,0 ×∞ . Rezultă că transformarea este kC difeomorfism. În acest caz avem

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .cossin

sincos

21

21

θθθ

θθ

θ rUrU

UUrr

xxxxg

xxxxg

+−=∂∂

=

+=∂∂

=

Coeficienţii lui Lamé sunt ( ) ( ) 1== xgx rrh , ( ) ( ) rh == xgx θθ iar versorii tangenţi liniilor de coordonate au expresiile:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .cossin

sincos

21

21

θθθθ

θ xxxxxx

UUEUUEr

+−=+=

Coordonatele polare sunt ortogonale (iar θEEr , formează un sistem de coordonate ortogonale), fapte ce se verifică cu uşurinţă.


5.4. IZOMETRIILE LUI 3E

În cele ce urmează vom considera aplicaţii ale lui 3E în el însuşi care păstrează distanţele între puncte. Transformări de acest tip ale spaţiului euclidian nE au fost considerate în paragraful 2.6, unde au fost prezentate principalele proprietăţi ale acestora. În acest paragraf vom detalia aceste proprietăţi în cazul spaţiului euclidian 3E . 4.1. Definiţie. Prin izometrie a lui 3E înţelegem o aplicaţie 33: EE →F astfel încât: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3,,,, Eqpqpqp ∈∀= dFFd . 4.2 Observaţie. i) Fie F şi G două izometrii ale lui 3E şi GFH o= . Atunci: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )qpqpqpqp ,,,, dGGdGFGFdHHd === , deci compunerea a două izometrii este o izometrie. ii) Aplicaţia identitate 33: EE →I , ( ) pp =I , ( ) 3Ep∈∀ este evident o izometrie. iii) Orice izometrie este o aplicaţie injectivă. Într-adevăr dacă 3, Eqp ∈ sunt astfel încât ( ) ( )qp TT = atunci ( ) ( )( ) ( )qpqp ,,0 dTTd == , deci qp = . 4.3 Exemplu. Translaţia. Fie 3Ea∈ un punct fixat şi aplicaţia 33: EE →T definită prin: ( ) ( ) 3, Epapp ∈∀+=aT . Aplicaţia aT se numeşte translaţia de vector a. Avem: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )qpqpaqapaqapqp ,,, ddTTd aa =−=+−+=++= , deci translaţia de vector a este o izometrie. Se constată cu uşurinţă că aplicaţia identitate este translaţia de vector 0.

5.8. EXERCIŢII

187

Dacă notăm ( ) ( ) ( )321321 ,,,,,, qqqpppT === qpqp , ( )321 ,, aaa=a atunci relaţia ( ) app +=aT se scrie

.333

222

111

apqapqapq

+=+=+=

Relaţiile de mai sus ne dau expresia analitică a translaţiei de vector a. 4.4 Propoziţie. i) Fie ba TT , translaţiile de vector a, respectiv b. Atunci baabba TTTTT +== oo unde baT + este translaţia de vector a+b; ii) Translaţia de vector a este inversabilă şi inversa sa este translaţia de vector –a; iii) Pentru orice două puncte 3, Eqp ∈ există o unică translaţie T astfel încât ( ) qp =T .

Demonstraţie. i) Pentru 3Ep∈ avem

( )( ) ( )( ) ( ) ( )pabpbppp baababa TTTTTT +=++=+==o , ( )( ) ( )( ) ( ) ( )pbapappp bababab TTTTTT +=++=+==o .

ii) Fie 3Eq∈ . Atunci ( ) qaaqaq =+−=−aT de unde rezultă că aT este surjectivă, deci inversabilă. În plus ITTTTT aaaa === −− 0oo . iii) Translaţia de vector pq − duce vectorul p în vectorul q. Dacă aT are proprietatea că ( ) qp =aT atunci qap =+ de unde rezultă pqa −= . 4.5. Exemplu. Rotaţia în jurul unei axe. Înainte de a introduce rotaţia lui 3E în jurul unei axe să spunem câteva cuvinte despre o izometrie importantă a lui 2E . Izometriile lui 2E se definesc la fel ca izometriile lui 3E . Afirmaţiile din propoziţia 4.4 sunt valabile şi pentru translaţia de vector a a lui 2E . Să considerăm următoarea transformare a lui 2E : pentru [ )πθ 2,0∈ , fie 2: EE 2 →C , ( ) qp =C , ( )21 , pp=p , ( )21 ,qq=q , astfel încât


.cossin

sincos

212

211

θθθθ

ppqppq

+=−=

Dacă ( ) vu =C şi

θθθθ

cossinsincos

212

211

uuvuuv

+=−=

atunci

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ,,

cossin

sincos,,

2

222

211

22211

22211

22

up

vqvu

d

upupupup

upupdCCd

=

=−+−=−+−+

+−−−==

θθ

θθ

deci transformarea C este o izometrie a lui 2E . În plus avem pq = iar cosinusul unghiului α dintre punctele p şi q este egal cu

( )( ) .coscoscos 2

221

22

21 θθα =

++

=⋅⋅

=pp

pppq

pq

Rezultă de că transformarea C realizează o rotaţie a lui 2E de unghi θ . Se arată cu uşurinţă că transformarea C este liniară şi matricea ei este

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

θθθθ

cossinsincos

A .

Matricea A, care se numeşte matricea rotaţiei plane, este o matrice ortogonală, adică are proprietatea că 2IAAAA tt =⋅=⋅ . Să definim acum o transformare 33: EE →C care asociază punctului

( )321 ,, ppp=p punctul ( )321 ,, qqq=q astfel încât:

.

cossinsincos

33

212

211

pqppqppq

=+=−=

θθθθ

5.8. EXERCIŢII

189

Transformarea de mai sus este liniară (fapt ce se verifică cu uşurinţă) şi are matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

1000cossin0sincos

θθθθ

A .

A este ortogonală deoarece avem 3IAAAA tt =⋅=⋅ . Calcule asemănătoare celor din cazul rotaţiei plane ne arată că transformarea lui 3E definită mai sus este o izometrie a lui 3E ; această transformare C realizeză o rotaţie de unghi θ a lui

3E în jurul subspaţiului ( ){ }R∈33,0,0 xx (axa 3x0 ). Ca mai sus se arată că transformarea definită de matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

θθθθ

cossin0sincos0001

A

reprezintă o rotaţie de unghi θ în jurul subspaţiului ( ){ }R∈11 0,0, xx (axa 1x0 ). O rotaţie de unghi θ în jurul subspaţiului ( ){ }R∈22 0,,0 xx (axa 2x0 ) este realizată de transformarea definită de matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

θθ

θθ

cos0sin010

sin0cosA .

Mai mult, se poate arăta că orice rotaţie a lui 3E este caracterizată de o matrice de forma

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

1000cossin0sincos

αααα

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

ββββ

cossin0sincos0001

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

1000cossin0sincos

γχγγ

Unghiurile γβα ,, se numesc unghiurile lui Euler. 4.6. Definiţie. Transformarea liniară 33 EE →:C se numeşte ortogonală dacă păstrează produsul scalar, adică:


( ) ( ) ( ) 3,, Eqpqpqp ∈∀⋅=⋅CC . 4.7. Propoziţie. Dacă 33 EE →:C este o transformare ortogonală atunci C este o izometrie a lui 3E . Demonstraţie. Deoarece transformarea C păstrează produsul scalar avem: ( ) ( ) ( ) ( ) 322 , Eppppppp ∈∀=⋅=⋅= CCC , deci transformarea C păstrează norma. Cum transformarea C este liniară avem ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) qpqpqpqp −=−=−= CCCCCd , , deci transformarea C este o izometrie. 4.8. Observaţie. i) Am arătat (teorema 6.20, capitolul 2) că o izometrie

33: EE →F cu proprietatea că ( ) 00 =F este o transformare ortogonală. ii) Dacă 33: EE →F este o izometrie atunci există o unică translaţie aT şi o unică transformare ortogonală C astfel încât CTF a o= . iii) Fie 33: EE →C o transformare ortogonală şi ( )

3,1, ==

jiijA α matricea ataşată acestei transformări în baza canonică. Atunci:

( ) ( ) 3,1,,3

1

3

1

3

1==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⋅= ∑∑∑

===

ljCCi

ilijk

kkli

iijljljjl ααααδ eeeeee ,

egalităţi care se scriu matriceal sub forma tt AAIAA ⋅==⋅ 3 . Rezultă că matricea ataşată unei transformără ortogonale este o matrice ortogonală (vezi şi observaţia 6.15, capitolul 2). iv) În demonstraţia propoziţiei precedente am arătat că o transformare ortogonală păstrează norma. Se poate arăta că şi afirmaţia reciprocă este adevărată. Într-adevăr, fie 33 EE →:C astfel încât ( ) ( ) 32 , Eppp ∈∀=C (propoziţia 8.13, capitolul 1). Scriind identitatea

5.8. EXERCIŢII

191

( )22

41 qpqpqp −−+=⋅ , ( ) 3, Eqp ∈∀

pentru ( )pC şi ( )qC , obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )=−−+=⋅ 22

41 qpqpqp CCCCCC

( ) ( )( )==−+= 22

41 qpqp CC

( ) qpqpqp ⋅=−−+= 22

41 , ( ) 3, Eqp ∈∀ ,

ceea ce încheie demonstraţia. v) Dacă matricea A este ortogonală atunci 1det ±=A . 4.9. Definiţie. Transformarea ortogonală 33 EE →:C se numeşte de specia întâia dacă 1det +=A şi de specia a doua dacă 1det −=A . 4.10. Observaţie. Rotaţiile lui 3E sunt transformări ortogonale de prima specie. 4.11. Definiţie. Se numeşte simetria spaţiului euclidian 3E faţă de un subspaţiu M al său aplicaţia 33: EE →F , ( ) ppp −′= 2F , unde p′ este proiecţia ortogonală a lui p pe subspaţiul M. Fie { }mB eee ,,, 21 L= o baza în M. Atunci proiecţia lui 3Ep∈ pe M este (vezi observaţia 9.16, capitolul 1)

( ) .∑=

⋅=′m

1ieepp ii

Să considerăm operatorul de proiecţie 33:Pr EE →M , ( ) pp ′=MPr care asociază fiecărui 3Ep∈ proiecţia sa pe M. Din relaţia de definiţie a proiecţiei deducem

( ) ( )∑=

⋅=m

1ieepp iiMPr .

Pentru 3, Eqp ∈ şi R∈βα , formula de mai sus aplicată punctului

3Eqp ∈+ βα ne dă


( ) ( )( ) ( ) ( ) =⋅+⋅=⋅+=+ ∑∑∑===

i

m

iii

m

iiiiM eeqeepeeqpqp

m

1i 11Pr βαβαβα

( ) ( )qp MM PrPr βα += , adică operatorul de proiecţie este liniar. Cu ajutorul operatorului de proiecţie simetria lui 3E faţă de subspaţiul M se scrie: IF M −= Pr2 . 4.12. Observaţie. i) Simetria faţă de un subspaţiu este o transformare ortogonală involutivă (propoziţia 6.23, capitolul 2). ii) Un punct 3Ex∈ se numeşte punct fix al transformării 33: EE →F dacă ( ) xx =F . Se constată cu uşurinţă că un punct 3Ex∈ este punct fix al simetriei

faţă de subspaţiul M dacă şi numai dacă M∈x . 4.13. Teoremă. Simetria spaţiului 3E faţă de subspaţiu M de dimensiune m este o transformare ortogonală de specia întâia dacă 1=m şi de specia a doua dacă

2=m . Demonstraţie. Fie { }mii ,1=e bază ortonormată în M pe care o completăm

până la o bază ortonormată { }321 ,, eee în 3E . Pentru ∑=

=3

1iiip ep , ∑

=

=′m

iiip

1ep

obţinem ( ) ∑∑+==

−=−′==3

12

miiii pF eeppppq

m

1ii de unde rezultă că:

mipq ii ,1, == , 3,1, +=−= mjpq jj . Transformarea T are în baza ortonormată { }321 ,, eee matricea

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−m

m

II

A30

0,

deci ( ) mA −−= 31det . Rezultă că simetria T este o transformare ortogonală de specia întâi sau a doua după cum m−3 este par sau impar.

5.8. EXERCIŢII

193

4.14. Exemplu. Să determinăm matricea simetriei spaţiului 3E faţă de subspaţiul ( ){ }0,, 321

3321 =++∈== xxxxxxM Ex .

Complementul ortogonal al acestui subspaţiu este ( ){ }321

3321 ,, xxxxxxM ==∈==⊥ Ex .

Proiecţia p′ a punctului ( )321 ,, ppp=p pe M este punctul situat la intersecţia dintre subspaţiul M şi varietatea liniară determinaţă de p şi ⊥M . Pentru a obţine punctul p′ trebuie să rezolvăm sistemul algebric liniar

⎩⎨⎧

−=−=−=++

.0

332211

321

pxpxpxxxx

Soluţia acestui sistem este

333

2 3211

pppp −−=′ , 33

23

3212

pppp −+−=′ , 3

233

3213

pppp +−−=′ ,

iar coordonatele punctului ppq −′= 2 sunt

,3

23

23

3211

pppq −−= ,3

233

2 3212

pppq −+−= .33

23

2 3213

pppq +−−=

Din aceste relaţii obţinem matricea simetriei lui 3E faţă de subspaţiul M:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−

=

31

32

32

32

31

32

32

32

31

A .

4.15. Observaţie. Cu ajutorul rezultatelor obţinute până acum putem obţine expresia analitică a unei izometrii arbitrare CTF o= . Fie ( )

3,1, =jiijα matricea

transformării ortogonale C, ( ) ( ) 3321321 ,,,,, Eqp ∈== qqqppp şi ( )pq C= .

Identificând vectorii p şi q cu vectorii coloană ( )tppp 321 şi ( )tqqq 321 relaţia ( )pq C= capătă forma matriceală


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

ppp

qqq

ααααααααα

.

Dacă T este translaţia de vector ( )321 ,, aaa=a atunci: ( ) ( )( ) ( ) appp +== CCTF o sau

∑=

=+=3

13,1,

jjjiji iapq α .

Relaţiile de mai sus caracterizează izometriile lui 3E . Sub formă matriceală acestea se scriu:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

aaa

ppp

qqq

ααααααααα

.

Izometriile lui 2E sunt caracterizate de relaţia

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

2221

1211

2

1

aa

pp

qq

αααα

,

unde ( )2,1, =

=jiijA α este o matrice ortogonlă. În cazul unei rotaţii plane matricea

A este (α fiind unghiul de rotaţie)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

αααα

cossinsincos

A ,

iar în cazul simetriei faţă de subspaţiul ( ){ }R∈= λλλ kM , , unde k este un număr real fixat, matricea A este:

ktgA =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= ααααα

,2cos2sin

2sin2cos.

5.8. EXERCIŢII

195

5.5. PLANUL ŞI DREAPTA

În capitolul I, paragraful 1.6 am definit varietăţile liniare ale unui spaţiu liniar şi am arătat că o mulţime E a unui spaţiu liniar este o varietate liniară dacă şi numai dacă există un subspaţiu liniar M şi un vector a astfel încât a+= ME . M se numeşte subspaţiul director al varietăţii liniare E. Dimensiunea unei varietăţi liniare este egală cu dimensiunea subspaţiului său director. În cele ce urmează vom studia varietăţile liniare ale lui 3E . Cum 3dim 3 =E , varietăţile liniare ale lui 3E diferite de 3E sunt de dimensiune unu sau doi. 5.1. Definiţie. Se numeşte dreaptă în 3E o varietate liniară de dimensiune unu. Fie ( )d o dreaptă în 3E . Există deci un subspaţiu liniar M de dimensiune unu şi un vector ( ) 3

321 ,, Ea ∈= aaa astfel încât ( ) a+= Md Fie ( ) 3

321 ,, Eu ∈= uuu nenul astfel încât { } { }Ruu ∈== λλSpM . Atunci avem: ( ) { }Rau ∈+= λλd . 5.2. Propoziţie. Condiţia necesară şi suficientă ca ( ) 3

321 ,, Ex ∈= xxx să aparţină dreptei ( )d este ca să existe R∈t astfel încât:

.333

222

111

autxautxautx

+=+=+=

Demonstraţie. Să presupunem că ( ) ( )dxxx ∈= 321 ,,x . Atunci există R∈t astfel încât aux += t . Afirmţia din propoziţie rezultă imediat scriind egalitatea precedentă pe coordonate. Reciproc, să presupunem că au loc egalităţile din enunţul propoziţiei. Atunci avem aux += t , R∈t , deci ( )d∈x .


5.2. Definiţie. Ecuaţiile

,,333

222

111

R∈+=+=+=

λλλλ

auxauxaux

(1)

se numesc ecuaţiile parametrice ale dreptei ( )d . Ecuaţia: aux += λ , R∈λ (2) se numeşte ecuaţia vectorială a dreptei ( )d . 5.3. Observaţie. i) Dacă numerele reale 321 ,, uuu sunt nenule atunci ecuaţiile (1) se pot scrie sub forma:

3

33

2

22

1

11

uax

uax

uax −

=−

=− . (3)

Ecuaţiile (3) se numesc ecuaţiile canonice ale dreptei ( )d , iar 321 ,, uuu se numesc parametrii directori ai dreptei ( )d ii) Spunem că dreapta ( )d obţinută mai sus este determinată de punctul a şi de vectorul director u. Fie ( ) ( )321321 ,,,,, bbbaaa == ba două puncte distincte ale lui 3E . 5.4. Definiţie. Prin dreapta determinată de punctele ( ) ( )321321 ,,,,, bbbaaa == ba se înţelege dreapta determinată de punctul ( )321 ,, aaa=a şi de vectorul director

ab − . Din cele de mai sus rezultă că ecuaţiile parametrice ale dreptei determinată de punctele a şi b sunt:

( )( )( ) .,3333

2222

1111

R∈−+=−+=−+=

λλλλ

abaxabax

abax (4)

Dacă 332211 ,, bababa ≠≠≠ atunci ecuaţiile (4) sunt echivalente cu ecuaţiile:

33

33

22

22

11

11

abax

abax

abax

−−

=−−

=−− . (5)

5.8. EXERCIŢII

197

5.5. Observaţie. Fie ( )321 ,, aaa=a , ( )321 ,, bbb=b , ( )321 ,, ccc=c trei puncte distincte din 3E . Vectorii acab −− , aparţin spaţiului tangent la 3E în punctul a. Ei sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă punctele a, b, c sunt coliniare. Într-adevăr, fie a, b, c puncte coliniare şi ( ) { }Rau ∈+= λλd dreapta căreia îi aparţin aceste puncte. Atunci există numerele reale nenule 1λ şi 2λ astfel încât

uab 1λ=− , uac 2λ=− . Aceste egalităţi implică liniar dependenţa vectorilor ab − şi ac − . Reciproc, dacă vectorii acab −− , sunt liniar dependenţi atunci

există un vector u situat în spaţiul tangent în punctul a la 3E şi numerele reale nenule 1λ , 2λ astfel încât aub += 1λ , auc += 2λ . De aici rezultă că punctele b şi c aparţin dreptei determinată de punctul a şi de vectorul director u. Dcele de mai sus rezultă că punctele a, b, c sunt coliniare dacă şi numai dacă matricea

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−−−

332211

332211

acacacababab

are rangul egal cu unu. 5.6. Definiţie. Se numeşte plan o varietate liniară de dimensiune doi a lui 3E . Fie M un subspaţiu liniar de dimensiune doi al lui 3E . Există deci vectorii liniar independenţi ( ) ( ) 3

321321 ,,,,, Evu ∈== vvvuuu astfel încât { } { }Rvuvu ∈+== μλμλ ,,SpM Dacă ( ) 3

321 ,, Ea ∈= aaa atunci mulţimea ( ) { }Ravua ∈++=+= μλμλ ,MP (6) este un plan. 5.7. Definiţie. Planul ( )P dat de (6) se numeşte planul determinat de punctul a şi de subspaţiul M. Ecuaţia Rvuax ∈++= μλμλ ,, (7) se numeşte ecuaţia vectorială a planului.


5.8. Propoziţie. Condiţia necesară şi suficientă ca punctul ( )321 ,, xxx=x să aparţină planului determinat de punctul ( )321 ,, aaa=a şi de subspaţiul liniar generat de vectorii liniar independenţi ( ) ( )321321 ,,,,, vvvuuu == vu este să existe

R∈μλ, astfel încât:

.3333

2222

1111

vuaxvuax

vuax

μλμλμλ

++=++=++=

(8)

Demonstraţie. Dacă ( )321 ,, xxx=x aparţine planului determinat de (6) atunci există R∈μλ, astfel încât avux ++= μλ . Scriind această egalitate pe coordonate obţinem (8). Reciproc, dacă că au loc relaţiile (8) atunci acestea implică avux ++= μλ deci

( )P∈x . 5.9. Definiţie. Relaţiile (8) se numesc ecuaţiile parametrice ale planului. 5.10. Observaţie. Fie planul ( )P dat de ecuaţiile parametrice

.,,3333

2222

1111

R∈++=++=++=

μλμλμλμλ

vuaxvuax

vuax (9)

Dacă privim ecuaţiile de mai sus ca formând un sistem în necunoscutele μλ, condiţia de compatibilitate a acestui sistem se scrie:

0

321

321

332211

=−−−

vvvuuu

axaxax, (10)

unde condiţia de liniar independenţă a vectorilor u şi v se scrie

2321

321 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛vvvuuu

rang .

Fie ( )321 ,, www=w produsul vectorial al vectorilor u şi v, unde

5.8. EXERCIŢII

199

32

321 vv

uuw = ,

13

132 vv

uuw = ,

21

213 vv

uuw = .

Dezvoltând determinantul (10) după prima linie obţinem ecuaţia ( ) ( ) ( ) 0333222111 =−+−+− waxwaxwax , (11) ecuaţi care se scrie vectorial sub forma ( ) 0=⋅− wax . (12) Din proprietăţile produsului vectorial deducem că vectorul w este perpendicular pe u şi v deci pe subspaţiul director al planului ( )P . Vom spune în acest caz că vectorul w este perpendicular pe planul ( )P . 5.11. Definiţie Un vector ( )321 ,, www=w perpendicular pe subspaţiul director al unui plan ( )P se numeşte vector director al acelui plan. Numerele reale

321 ,, www se numesc parametrii directori ai planului ( )P . Ecuaţia (12) se numeşte ecuaţia planului determinat de punctul a şi de vectorul w. Dacă desfacem parantezele în ecuaţia (11) şi notăm 332211 wawawaw −−−= obţinem ecuaţia 0332211 =+++ wxwxwxw . (13) Ecuaţia (12) se numeşte ecuaţia generală a planului. Fie acum punctele necoliniare ( )321 ,, aaa=a , ( )321 ,, bbb=b , ( )321 ,, ccc=c . Vectorii ab − , ac − sunt liniar independenţi şi deci generează un subspaţiu liniar M de dimensiune doi în 3E . Ecuaţia planului ( )P ce trece prin punctul a şi are subspaţiul director M este (dacă utilizăm (10)):

0

332211

332211

332211

=−−−−−−−−−

acacacabababaxaxax

, (14)

ecuaţie care este echivalentă cu ecuaţia:


0

1111

321

321

321

321

=

cccbbbaaaxxx

. (15)

Ecuaţia (15) se numeşte ecuaţia planului determinat de trei puncte necoliniare. Un caz particular de trei puncte necoliniare este acela în care ( )0,0,a=a ,

( )0,,0 b=b , ( )c,0,0=c , 0,0,0 ≠≠≠ cba . În aceste condiţii ecuaţia planului determinat de aceste puncte este:

01321 =−++cx

bx

ax . (16)

Ecuaţia (16) se numeşte ecuaţia planului prin tăieturi.

5.6. CONICE

Fie 2E spaţiul euclidian de dimensiune doi, 3,1,,, ==∈ jiaaa jiijij R şi aplicaţia RE →2:F definită prin: ( ) ( ) 33223113

22222112

211121 222, axaxaxaxxaxaxxFF +++++==x .

Vom impune condiţia ca 02

22212

211 ≠++ aaa , adică în expresia lui F cel puţin unul

din coeficienţii termenilor de gradul doi este diferit de zero. 6.1. Definiţie. Se numeşte conică sau curbă de gradul doi mulţimea punctelor

( ) 221 , Ex ∈= xx cu proprietatea că ( ) 0, 21 =xxF . Ecuaţia precedentă se numeşte

ecuaţia generală a conicei. 6.2. Exemple. Exemplele de mai jos se obţin printr-o alegere convenabilă a coeficienţilor din ecuaţia generală a conicei. Vom arăta pe parcursul acestui paragraf că exemplele de mai jos acoperă, într-un sens pe care îl vom preciza, toată familia conicelor. i) Elipsa este conica de ecuaţie

5.8. EXERCIŢII

201

012

22

2

21 =−+

bx

ax , 0, >ba .

Un caz particular al ecuaţiei de mai sus este acela în care Rba == . Se obţine astfel ecuaţia cercului de rază R cu centrul în origine. ii) În cazul ecuaţiei

012

22

2

21 =++

bx

ax , 0, >ba

se constată că nu există numere reale 21 , xx care să verifice ecuaţia de mai sus. Această conică este mulţimea vidă; ea se mai numeşte elipsă vidă. iii) Hiperbola are ecuaţia:

012

22

2

21 =−−

bx

ax , 0, >ba

iv) Ecuaţia

02

22

2

21 =+

bx

ax , 0, >ba

este verificată numai de origine. De aceea conica din acest exemplu se numeşte punct dublu. v) Ecuaţia

02

22

2

21 =−

bx

ax , 0, >ba

reprezintă două drepte secante. Aceste drepte au ecuaţiile:

( ) 0: 211 =−

bx

axd , ( ) 0: 21

2 =+bx

axd .

vi) Conica de ecuaţie

0222 =− ax , 0>a


constă din două drepte paralele de ecuaţii ( ) 0: 21 =− axd , ( ) 0: 22 =+ axd . vii) Două drepte confundate: 02

2 =x . viii) Pereche vidă de drepte paralele: 022

2 =+ ax , 0>a ix) Parabola este conica de ecuaţie: 02 1

22 =− pxx , 0>p .

Vom nota o conică prin simbolul ( )γ ; ecuaţia ( ) 0, 21 =xxF o vom numi ecuaţia conicei ( )γ . Dacă notăm ( )txxX 21= , ( )

2,1, ==

jiijaA , ( )taaB 2313= atunci ecuaţia conicei ( )γ se scrie 02 33 =++ aXBAXX tt . Pe lângă matricea simetrică A introdusă mai sus, vom utiliza şi matricea

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

33333231

232221

131211

aBBA

aaaaaaaaa

D t .

6.3. Definiţie. Matricea D se numeşte matricea asociată conicei ( )γ . Vom folosi în cele ce urmează notaţiile:

Adet=δ , Ddet=Δ , 2211 aaI += ,

3332

2322

3331

1311

2221

1211

aaaa

aaaa

aaaa

K ++= .

6.4. Observaţie. Fie izometria 22: EE →H şi aplicaţia RE →2:~F ,

HFF o=~ . După cum ştim orice izometrie a lui 2E se compune dintr-o translaţie şi o transformare ortogonală. Dacă 0XXCX +′=

5.8. EXERCIŢII

203

este expresia analitică a izometriei H ( unde 2ICC t =⋅ şi ( )0

2010 xxX t = ) atunci

funcţia F~ este: ( ) 3321

~~2~,~ aXBXAXxxF tt +′+′′=′′ , unde ACCA t=

~ , (1) BCAXCB tt += 0

~ , (2) ( ) 33000

02

0133 2,~ aXBAXXxxFa tt ++== . (3)

Ecuaţia ( ) 0,~

21 =′′ xxF defineşte în mod evident o conică ( )γ~ . Matricea D~ asociată acestei conice este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

33~~~~

~aBBA

Dt

. (4)

Fie matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

10010

022221

011211

0 xccxcc

XCS . (5)

Matricea S are determinantul egal cu determinantul matricei C şi calcule elementare ne arată că are loc egalitatea: DSSD t=~ . (6) 6.5. Definiţie. Conicele ( )1γ şi ( )2γ de ecuaţii ( ) 0, 211 =xxF şi respectiv

( ) 0, 212 =xxF se numesc echivalente izometric dacă există o izometrie 22: EE →H astfel încât HFF o12 = .

Relaţia de mai sus este o relaţie de echivalenţă în mulţimea conicelor. Fiecare conică ( )γ determină o clasă de echivalenţă. Dacă D este matricea ataşată conicei ( )γ vom nota cu [ ]D mulţimea matricelor ataşate conicelor echivalente izometric cu ( )γ .


Fie M o mulţime oarecare şi ( ) M→Ω RM 3: o funcţie de elementele unei matrice de ordinul trei. O astfel de funcţie o vom numi funcţie de matrice. De exemplu funcţia care asociază unei matrice urma sa este o funcţie de matrice. Un alt exemplu este funcţia care asociază unei matrice rangul său. 6.6. Definiţie. Funcţia de matrice Ω se numeşte invariant izometric al conicei ( )γ dacă această funcţie este constantă pe mulţimea [ ]D . 6.7. Propoziţie. i) δ,I şi Δ sunt invarianţi izometrici; ii) Rangurile matricelor A şi D sunt invarianţi izometrici. Demonstraţie. i) Polinomul caracteristic asociat matricei A este ( ) δλλλ +⋅−= IPA

2 iar polinomul caracteristis asociat matricei D este ( ) ( ) Δ−⋅+−= λλλλ KDTrPD

23 . Dacă [ ]DD∈~ atunci au loc relaţiile (1)-(4), (6) stabilite în observaţia 6.4. Din relaţia (1) deducem: ( ) )det(detdetdet)~det( 222 IACIACIA t λλλ −=⋅−⋅=− deci matricele A şi A~ au acelaşi polinom caracteristic. De aici rezultă că I şi δ sunt invarianţi izometrici. Cum matricea S are determinantul egal cu determinantul matricei C din formula (6) obţinem ( ) DCDSDSD t detdetdetdetdetdet~det 2 =⋅=⋅⋅= deci Δ este invariant izometric. ii) Fie 33: EE →U operatorul liniar definit de matricea tS Cum tS este nesingulară, U este un izomorfism. Atunci vectorii 3,,1, ≤= kkiiv din 3E sunt liniar independenţi dacă şi numai dacă vectorii ( ) kiU i ,1, =v au aceeaşi proprietate. Cum matricea DS t are pe coloane coordonatele vectorilor ( ) 3,1, =iU id , 3,1, =iid fiind vectorii definiţi de coloanele matricei D, rezultă

că numărul maxim de vectori liniar independenţi din mulţimea { }3,1, =iid coincide cu numărul maxim de vectori liniar independenţi din mulţimea

5.8. EXERCIŢII

205

( ){ }3,1, =iU id . Cum rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de

coloane (linii) liniar independente, rezultă că matricele D şi DS t au acelaşi rang. Raţonamente asemănătoare ne duc la concluţia că şi matricele D şi DSS t au acelaşi rang. La fel se arată că matricele A şi ACC t au acelaşi rang. 6.8. Definiţie. Spunem că punctul ( )0

2010 , xx=x este centru de simetrie al conicei

( )γ dacă odată cu orice punct al conicei şi simetricul său faţă de 0x aparţine conicei. 6.9. Observaţie. Simetricul punctului ( )2

021

010 , xxxx ′+′+=′+ xx faţă de 0x este

punctul ( )2021

010 , xxxx ′−′−=′− xx . Punctul 0x este centru de simetrie al conicei

( )γ de ecuaţie ( ) 0, 21 =xxF dacă pentru orice punct ( )21 , xx ′′=′x astfel încât ( ) 0, 2

021

01 =′+′+ xxxxF rezultă ( ) 0, 2

021

01 =′−′− xxxxF .

6.10. Propoziţie. Punctul ( )0

2010 , xx=x este centru de simetrie al conicei ( )γ de

ecuaţie ( ) 0, 21 =xxF dacă şi numai dacă ( )02

01 , xx este soluţie a sistemului:

.0

0

23222121

13212111

=++=++

axaxaaxaxa

Demonstraţie. Necesitatea. Fie ( )0

2010 , xx=x centru de simetrie al conicei.

Atunci pentru orice punct ( )21 , xx ′′=′x astfel încât ( ) 0, 2021

01 =′+′+ xxxxF avem

( ) 0, 2021

01 =′−′− xxxxF . Dacă luăm ( ) txxX 21 ′′=′ ecuaţiile precedente se scriu:

( )( ) .0~2

,0~2

330

330

=+′+−′′

=+′++′′

aXBAXXAXaXBAXXAX

ttt

ttt

Scăzând ecuaţiile de mai sus obţinem: ( ) ,00 =′+ XBAX tt pentru orice punct ( )21 , xx ′′=′x astfel încât ( ) 0, 2

021

01 =′+′+ xxxxF . Acest fapt

implică 00 =+ tt BAX , ecuaţie care este echivalentă cu ecuaţia 00 =+ BAX . Ultima ecuaţie nu reprezintă altceva decât sistemul din enunţul propoziţiei. Suficienţa. Fie ( )0

2010 , xx=x o soluţie a sistemului din enunţul propozitiei. Atunci

avem 00 =+ BAX şi


( ) ( ) ( )0

22011

02

01

022

011 ,,, xxxxFxxFXAXxxxxF t −′−′=+′′=+′+′ .

Dacă ( ) 0, 0

22011 =+′+′ xxxxF atunci avem şi ( ) 0, 0

22011 =−′−′ xxxxF deci

( )02

010 , xx=x este centru de simetrie al conicei.

6.11. Observaţie. Din propoziţia de mai sus rezultă că putem avea următoarele situaţii: i) 0≠δ ; în acest caz sistemul 0=+ BAX are soluţie unică şi conica are centru de simetrie unic. Spunem în acest caz că avem o conică cu centru. ii) 0=δ şi rangul matricei

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

232221

131211

aaaaaa

Ae

este egal cu 1. Din condiţia 02

22212

211 ≠++ aaa rezultă că 1=rangA şi deci

sistemul 0=+ BAX este compatibil nedeterminat. Conica are o infinitate de centre de simetrie. Spunem în acest caz că conica ( )γ are o dreaptă de centre. iii) 0=δ şi rangul matricei eA este egal cu 2. În acest caz sistemul 0=+ BAX este incompatibil şi conica nu are centre de simetrie. 6.12. Observaţie. Fie conica ( )γ de ecuaţie 02 33 =++ aXBAXX tt . În urma translaţiei 0XXX +′= ecuaţia conicei devine: 0~~2 33 =+′+′′ aXBXAX tt , unde: BAXB += 0

~ , ( ) 3300002

0133 2,~ aXBAXXxxFa tt ++== .

i) Fie 0≠δ şi ( )0

201 , xx soluţia unică a sistemului 0=+ BAX . Cu ajutorul regulei

lui Cramer deducem:

2321

131102

2322

131201

1,1aaaa

xaaaa

x ⋅−=⋅=δδ

.

5.8. EXERCIŢII

207

Atunci: ( ) ( ) 33

0223

0113000

02

0133 ,~ axaxaXBXBAXxxFa ttt ++=++== ,

şi prin înlocuirea expresiilor găsite pentru 0

1x şi 02x obţinem

δ

δδ

Δ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−⋅⋅= 33

2321

131123

2322

13121333

1~ aaaaa

aaaaa

aa .

În acestcaz translaţia de vector ( )0

201 , xx ne conduce la conica de ecuaţie:

0=Δ

+′′δ

XAX t .

ii) Să considerăm acum cazul în care 0=δ , sistemul 0=+ BAX este compatibil nedeterminat şi ( )0

201 , xx o soluţie a acestui sistem. Suma minorilor diagonali de

ordinul doi ai matricei D este:

3332

2322

3331

1311

aaaa

aaaa

K += .

Fie translaţia 0XXX +′= şi K~ suma minorilor diagonali de ordinul doi ai matricei D~ . Cum matricea D~ este în acest caz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

33

2221

1211

~0000

~

aaaaa

D ,

deducem ( ) 332211

~~ aaaK ⋅+= . Din condiţiile 0=δ , 02

22212

211 ≠++ aaa rezultă că 11a şi 22a nu pot fi simultan

nuli. Dacă 011 ≠a şi 022 =a atunci din 0=δ deducem 012 =a şi din a doua ecuaţie a sistemului 0=+ BAX obţinem 023 =a . În aceste condiţii soluţiile sistemulul 0=+ BAX sunt de forma ( ) R∈− αα ,,/ 1113 aa .


Obţinem astfel:

( )2133311

1133

0223

011333

1~ aaaa

axaxaa −=++= ,

KaaaK =−= 2133311

~ . Dacă 0,0 2211 ≠≠ aa atunci din prima ecuaţie a sistemului 0=+ BAX obţinem

R∈=−−= ααα ,, 02

11

13

11

1201 x

aa

aax şi înlocuind în expresia lui 33

~a găsim:

3331

1311

1133

1~aaaa

aa = .

După calcule asemănătoare dar utilizând a doua ecuaţie a sistemului 0=+ BAX găsim:

3332

2322

2233

1~aaaa

aa = .

Ultimele două egalităţi ne permit să scriem

( ) Kaaaa

aaaa

aaaK =+=⋅+=3332

2322

3331

1311332211

~~ .

Deci în cazul conicelor cu o infinitate de centre K este invariant la translaţiile de forma ,0XXX +′= unde ( )0

201 , xx este un centru al conicei.

6.13. Propoziţie. Conica ( )γ de ecuaţie 02 33 =++ aXBAXX tt este: i) cu o dreaptă de centre dacă şi numai dacă 0,0 =Δ=δ ; ii) fără centru dacă şi numai dacă 0,0 ≠Δ=δ . Demonstraţie. i) Sistemul 0=+ BAX are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă 1== erangArangA . Fie conica ( )γ cu o dreaptă de centre. Atunci

1== erangArangA , deci 0=δ . În plus deoarece matricea eA este formată din primele două linii ale matricei D , dezvoltând Δ după ultima linie obţinem

0=Δ . Reciproc, pentru 0,0 =Δ=δ avem 1=rangA . Să arătăm că .1=erangA Fie 011 ≠a . Deoarece 0=δ , deducem:

5.8. EXERCIŢII

209

( )211231213

2321

131132

2322

1312311111 aaaa

aaaa

aaaaa

aaa −−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ⋅ .

Cum 0=Δ egalitatea de mai sus ne conduce la condiţia

02321

1311 =aaaa

,

condiţie care implică .1=erangA Dacă 022 ≠a , calcule asemănătoare ne conduc la egalitatea

02322

1312 =aaaa

egalitate care implică din nou .1=erangA Cum 11a şi 22a nu pot fi simultan nuli obţinem astfel afirmaţia din propoziţie. ii) Dacă 0,0 ≠Δ=δ , din demonstraţia afirmaţiei i) deducem 2=erangA deci conica nu are centru. Reciproc, dacă conica nu are centru, atunci 1=rangA ,

2=erangA , deci dacă 011 ≠a atunci

02321

1311 ≠aaaa

,

de unde obţinem 0≠Δ . Dacă 022 ≠a atunci

02322

1312 ≠aaaa

şi 0≠Δ . 6.14. Teoremă. Fie ( )γ o conică cu centru de ecuaţie 02 33 =++ aXBAXX tt şi

21 , λλ valorile proprii ale matricei A. Atunci ( )γ este echivalentă izometric cu conica de ecuaţie:

( ) ( ) 0222

211 =

Δ+′′+′′δ

λλ xx . (7)


Demonstraţie. Fie ( )0

201 , xx centrul de simetrie al conicei. Aşa cum am văzut

(observaţia 6.12) translaţia 0XXX +′= ne conduce la conica de ecuaţie:

0=Δ

+′′δ

XAX t .

Fie 21 , λλ valorile proprii ale matricei A, ( )21111 ,vv=v , ( )22122 ,vv=v vectori proprii ortonormaţi corespunzători acestor valori proprii şi matricea ortogonală

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

vvvv

C .

Deoarece

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −

2

11

00λ

λACCACC t ,

în urma transformării ortogonale XCX ′′=′ ecuaţia conicei devine:

( ) ( ) 0222

211 =

Δ+′′+′′δ

λλ xx ,

fapt ce închie demonstraţia. Ecuaţia (7) se numeşte ecuaţia redusă (canonică) a unei conice cu centru. 6.15. Definiţie. Conica ( )γ se numeşte nedegenerată dacă 0≠Δ şi degenerată în caz contrar. 6.16. Observaţie. Fie ( )γ o conică cu centru şi ( )0

201 , xx centrul său. Atunci

conica este degenerată dacă şi numai dacă centrul aparţine conicei. Într-adevăr,

cum ( )δΔ

=02

01 , xxF , 0=Δ dacă şi numai dacă ( ) 0, 0

201 =xxF .

6.17. Clasificarea conicelor cu centru. Rezultatele stabilite până acum ne permit să clasificăm conicele cu centru. Deoarece ecuaţia caracteristică a matricei A este 02 =+⋅− δλλ I , avem I=+ 21 λλ , δλλ =⋅ 21 deci semnele valorilor proprii sunt determinate de semnele lui I şi δ . Avem următoarea clasificare:

5.8. EXERCIŢII

211

I) Conice nedegenerate ( 0≠Δ ) i) elipsa ( 0,0 <Δ⋅> Iδ ); în acest caz ecuaţia conicei este

( ) ( ) 01

2

22

1

21 =−

Δ′′

+Δ′′

δλδλ

xx ;

ii) elipsa vidă ( 0,0 >Δ⋅> Iδ );

iii) hiperbola ( 0<δ ); în acest caz 1λ şi 2λ au semne contrare. Dacă 01

<⋅Δλδ

atunci 02

>⋅Δλδ

şi ecuaţia conicei devine

( ) ( ) 01

2

22

1

21 =−

Δ′′

−Δ

−

′′

δλδλ

xx .

II) Conice degenerate ( 0=Δ ) i) punct dublu ( 0>δ ); în acest caz ecuaţia conicei este ( ) ( ) 02

222

11 =′′+′′ xx λλ . ii) pereche de drepte secante ( 0<δ ); în acest caz 1λ şi 2λ au semne contrare. Dacă 01 >λ şi 02 <λ atunci ecuaţia conicei este: ( ) ( ) 022112211 =′′−−′′⋅′′−+′′ xxxx λλλλ . 6.18. Observaţie. Fie D matricea asociată conicei ( )γ , K suma minorilor diagonali de ordinul doi ai acestei matrice şi transformarea ortogonală XCX ′= . Matricea asociată conicei după această transformare este DSSD t=~ (observaţia 6.4), unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

100C

S .


Matricea S este ortogonală. Polinomul caracteristic ataşat lui D~ este:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) =⋅−⋅=−=−= SIDSSIDSIDP ttD detdetdetdet~det 333~ λλλλ

( ) ( )λλ DPID =−= 3det , deci este invariant la transformări ortogonale. Cum ( ) ( ) Δ−⋅+−= λλλλ KDTrPD

23 rezultă că şi K este invariant la transformări ortogonale. Cum K este invariant la translaţiile de forma ,0XXX +′= unde ( )0

201 , xx este un centru al conicei

(observaţia 6.12), rezultă că acest coeficient este un invariant la izometrii de forma 0XXCX +′= , unde 0X reprezintă un centru al conicei. 6.19. Teoremă. Fie ( )γ o conică de ecuaţie 02 33 =++ aXBAXX tt . Dacă conica ( )γ are o dreaptă de centre atunci ea este echivalentă izometric cu conica de ecuaţie:

( ) .022

2 =+′′IKx (8)

Demonstraţie. Aşa cum am mai precizat în observaţia 6.12 din condiţiile 0=δ ,

0222

212

211 ≠++ aaa rezultă că 11a şi 22a nu pot fi simultan nuli. Atunci

02211 ≠+= aaI . Din propoziţia 6.13 rezultă că în acest caz avem 0=Δ . Matricea A are valorile proprii I== 21 ,0 λλ . Fie ( )0

201 , xx un centru al conicei. În

urma translaţiei 0XXX +′= ecuaţia conicei devine: 0~

33 =+′′ aXAX t , unde ( ) 33

0223

0113

02

0133 ,~ axaxaxxFa ++== .

Fie ( )21111 ,vv=v , ( )22122 ,vv=v vectori proprii ortonormaţi corespunzători valorilor proprii 01 =λ şi respectiv I=2λ şi matricea ortogonală

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

vvvv

C .

5.8. EXERCIŢII

213

În urma transformării ortogonale XCX ′′=′ ecuaţia conicei devine: ( ) 0~

332

2 =+′′ axI . În urma acestor transformări matricea D~ (observaţia 6.4, formula 4) este

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

33~0000000

~

aID ,

iar suma minorilor diagonali de ordinul doi ai acesteia este 33

~~ aIK ⋅= . Cum K

este un invariant (observaţia 6.12), rezultă IKa =33

~ şi ecuaţia conicei devine:

( ) .022

2 =+′′IKx

Ecuaţia (8) se numeşte ecuaţia redusă (canonică) a unei conice cu o dreaptă de centre. 6.20. Teoremă. Fie ( )γ o conică fără centru şi de ecuaţie

02 33 =++ aXBAXX tt . Atunci ( )γ este echivalentă izometric cu conica de ecuaţie:

( ) 02 132

2 =′′Δ

−−′′ xI

x . (9)

Demonstraţie. Fie ( )γ o conică fără centru. Atunci 0=δ , 0≠Δ , 0≠I . Fie

( )21111 ,vv=v , ( )22122 ,vv=v vectori proprii ortonormaţi corespunzători valorilor proprii 01 =λ şi respectiv I=2λ şi matricea ortogonală

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

vvvv

C .

În urma transformării ortogonale XCX ′= ecuaţia conicei devine:

( ) 0~2~2 332231132

2 =+′+′+′ axaxaxI , (10) unde 2123111313

~ vavaa += , 2223121323~ vavaa += .


Printr-o grupare convenabilă a termenilor, ecuaţia (10) se pune sub forma:

0~2

~~2~

13

22333

113

223

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

+′+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +′

aIaIaxa

IaxI .

Cu ajutorul translaţiei

,0

222

0111

xxxxxx

+′′=′

+′′=′

unde 13

332230

1 ~2

~

aIIaax⋅−

= , I

ax 2302

~−= , ecuaţia conice devine:

( ) 0~2 113

22 =′′+′′ xaxI . (11)

Matricea D~ (observaţia 6.4) este

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

00~00

~00~

13

13

aI

aD

şi are determinantul ( )2

13~~ aI−=Δ . Cum Δ este un invariant izometric rezultă

( ) Δ=−=Δ 213

~~ aI , de unde obţinem:

( ) 0~ 213 ≠

Δ−=

Ia .

Cu acest rezultat ecuaţia (11) se scrie

( ) 02 132

2 =′′Δ

−±′′ xI

x . (12)

Demonstraţia se încheie constatând că o eventuală simetrie faţă de axa 2xO ′′ ( de ecuaţii 2211 , yxyx =′′−=′′ ) transformă ecuaţia (12) în ecuaţia (9). Ecuaţia (9) se numeşte ecuaţia redusă (canonică) a parabolei.

5.8. EXERCIŢII

215

5.7. CUADRICE

Studiul cuadricelor se aseamănă în foarte multe privinţe cu studiul conicelor. Rezultatele pe care le vom prezenta mai jos sunt extinderi ale rezultatelor obţinute în paragraful 5.6. De aceea în cele ce urmează vom enunţa rezultatele fără a mai da demonstraţia lor. Fie 4,1,,, ==∈ jiaaa jiijij R şi aplicaţia RE →3:F definită prin:

( ) ( )

.2222 22,,

443342241143223

311321122333

2222

2111321

axaxaxaxxaxxaxxaxaxaxaxxxFF

++++++++++==x

Vom impune condiţia ca 02

23213

212

233

222

211 ≠+++++ aaaaaa , adică în expresia lui

F cel puţin unul din coeficienţii termenilor de gradul doi este diferit de zero. 7.1. Definiţie. Se numeşte cuadrică sau suprafaţă de ordinul doi mulţimea punctelor ( ) 3

321 ,, Ex ∈= xxx cu proprietatea că ( ) 0,, 321 =xxxF . Ecuaţia ( ) 0,, 321 =xxxF se numeşte ecuaţia generală a cuadricei. Vom nota o cuadrică prin simbolul ( )Σ ; vom da o cuadrică precizând ecuaţia ( ) 0,, 321 =xxxF satisfăcută de coordonatele punctelor sale. Această ecuaţie o

vom numi ecuaţia cuadricei ( )Σ . Dacă notăm ( )txxxX 321= , ( )

3,1, ==

jiijaA , ( )taaaB 342414= atunci ecuaţia cuadricei ( )Σ se scrie 02 44 =++ aXBAXX tt . Pe lângă matricea simetrică A introdusă mai sus, vom utiliza şi matricea

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=44

44434241

34333231

24232221

14131211

aBBA

aaaaaaaaaaaaaaaa

D t .


7.2. Definiţie. Matricea D se numeşte matricea asociată cuadricei ( )Σ . Vom utiliza în cele ce urmează notaţiile:

Adet=δ , Ddet=Δ , 332211 aaaI ++= ,

3332

2322

3331

1311

2221

1211

aaaa

aaaa

aaaa

J ++= ,

=K suma minorilor diagonali de ordinul trei ai matricei D , =L suma minorilor diagonali de ordinul doi ai matricei D.

7.3. Observaţie. Fie izometria 33: EE →H şi aplicaţia RE →3:~F , HFF o=~ . După cum ştim orice izometrie a lui 3E se compune dintr-o

translaţie şi o transformare ortogonală. Dacă 0XXCX +′= este expresia analitică a izometriei H ( unde 3ICC t =⋅ şi ( )0

302

010 xxxX t = )

atunci funcţia F~ este: ( ) 44321

~~2~,,~ aXBXAXxxxF tt +′+′′=′′′ , unde

tt ACCA =~ , (1)

BCAXCB tt += 0~ , (2)

( ) 4400003

02

0144 2,,~ aXBAXXxxxFa tt ++== . (3)

Ecuaţia ( ) 0,,~321 =′′′ xxxF defineşte în mod evident o cuadrică ( )Σ~ . Matricea D~

asociată acestei cuadrice este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

44~~~~

~aBBAD

t. (4)

Fie matricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1000

10

03

02

01

333231

232221

131211

0

xxxccccccccc

XC

S t . (5)

5.8. EXERCIŢII

217

Matricea S are determinantul egal cu determinantul matricei C şi calcule elementare ne arată că are loc egalitatea:

DSSD t=~ . (6) 7.4. Definiţie. Cuadricele ( )1Σ şi ( )2Σ de ecuaţii ( ) 0,, 3211 =xxxF şi respectiv

( ) 0,, 3212 =xxxF se numesc echivalente izometric dacă există o izometrie 33: EE →H astfel încât HFF o12 = .

Relaţia de mai sus este o relaţie de echivalenţă în mulţimea cuadricelor. Fiecare cuadrică ( )Σ determină o clasă de echivalenţă. Dacă D este matricea ataşată cuadricei ( )Σ vom nota cu [ ]D mulţimea matricelor ataşate cuadricelor echivalente izometric cu ( )Σ . Fie M o mulţime oarecare şi ( ) M→Ω RM 4: o funcţie de elementele unei matrice de ordinul patru. O astfel de funcţie o vom numi funcţie de matrice. 7.5. Definiţie. Funcţia de matrice Ω se numeşte invariant izometric al cuadricei ( )Σ dacă această funcţie este constantă pe mulţimea [ ]D . 7.6. Propoziţie. i) δ,, JI şi Δ sunt invarianţi izometrici; ii) Rangurile matricelor A şi D sunt invarianţi izometrici. 7.7. Definiţie. Spunem că punctul ( )0

302

010 ,, xxx=x este centru de simetrie al

cuadricei ( )Σ dacă odată cu orice punct al cuadricei şi simetricul său faţă de 0x aparţine cuadricei. 7.8. Observaţie. Simetricul punctului ( )3

032

021

010 ,, xxxxxx ′+′+′+=′+ xx faţă de

0x este punctul ( )3032

021

010 ,, xxxxxx ′−′−′−=′− xx . Punctul 0x este centru de

simetrie al cuadricei ( )Σ de ecuaţie ( ) 0,, 321 =xxxF dacă pentru orice punct ( )321 ,, xxx ′′′=′x astfel încât ( ) 0,, 3

03

021

01 =′+′+′+ xxxxxxF rezultă

( ) 0,, 3032

021

01 =′−′−′− xxxxxxF .

7.9. Propoziţie. Punctul ( )0

302

010 ,, xxx=x este centru de simetrie al cuadricei ( )Σ

de ecuaţie ( ) 0,, 0321 =xxxF dacă şi numai dacă ( )0

302

01 ,, xxx este soluţie a

sistemului:

.0

00

34333232131

24323222121

14313212111

=+++=+++=+++

axaxaxaaxaxaxaaxaxaxa


7.10. Observaţie. Sistemul de mai sus se scrie matriceal sub forma: 0=+ BAX . Din propoziţia 7.9 rezultă că putem avea următoarele situaţii: i) 0≠δ ; în acest caz sistemul 0=+ BAX are soluţie unică şi cuadrica are centru de simetrie unic. Spunem în acest caz că avem o cuadrică cu centru. ii) 0=δ şi sistemul 0=+ BAX este compatibil simplu nedeterminat; în acest caz spunem că avem o cuadrică cu o dreaptă de centre. iii) 0=δ şi sistemul 0=+ BAX este compatibil dublu nedeterminat; în acest caz spunem că avem o cuadrică cu un plan de centre. iv) 0=δ , 2=rangA şi sistemul 0=+ BAX este incompatibil; în acest caz cuadrica nu are centre de simetrie. v) 0=δ , 1=rangA şi sistemul 0=+ BAX este incompatibil; în acest caz spunem că avem o cuadrică fără dreaptă de centre. 7.11. Propoziţie. Fie cuadrica ( )Σ de ecuaţie ( ) 0,, 321 =xxxF . Cuadrica ( )Σ este: i) cu centru dacă şi numai dacă 0≠δ ; ii) fără centru dacă şi numai dacă 0=δ şi 0≠Δ ; iii) cu dreaptă de centre dacă şi numai dacă 3,2 ≤= rangDrangA ; iv) cu plan de centre dacă şi numai dacă 2,1 ≤= rangDrangA ; v) fără dreaptă de centre dacă şi numai dacă 3,1 == rangDrangA . Pentru demonstraţia acestei propoziţii vezi [14], pagina 159. 7.12. Definiţie. Cuadrica ( )Σ se numeşte nedegenerată dacă 0≠Δ şi degenerată în caz contrar. 7.13. Observaţie. Fie ( )Σ o cuadrică având centrul ( )0

302

01 ,, xxx şi fie translaţia

0XXX +′= . În urma aceste translaţii ( )Σ este echivalentă cu cuadrica ( )Σ~ căreia i se ataşează matricea

( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛= 0

302

01 ,,0

0~xxxF

AD .

Cum Δ este un invariant izometric avem ( )0

302

01 ,,~ xxxF⋅=Δ=Δ δ , de unde

obţinem

5.8. EXERCIŢII

219

( )δΔ

=03

02

01 ,, xxxF .

7.14. Teoremă. Fie ( )Σ o cuadrică cu centru de ecuaţie 02 44 =++ aXBAXX tt şi 321 ,, λλλ valorile proprii ale matricei A. Atunci ( )Σ este echivalentă izometric cu cuadrica de ecuaţie:

( ) ( ) ( ) 0233

222

211 =

Δ+′′+′′+′′δ

λλλ xxx . (7)

7.15. Teoremă. Fie ( )Σ o cuadrică de ecuaţie 02 44 =++ aXBAXX tt . Dacă cuadrica ( )Σ are o dreaptă de centre atunci ea este echivalentă izometric cu cuadrica de ecuaţie:

( ) ( ) .0222

211 =+′′+′′

JKxx λλ (8)

Pentru demonstraţie vezi [14], pagina 265. 7.16. Teoremă. Fie ( )Σ o cuadrică de ecuaţie 02 33 =++ aXBAXX tt . Dacă cuadrica ( )Σ are un plan de centre atunci ea este echivalentă izometric cu cuadrica de ecuaţie:

( ) 022

1 =+′′ILx ,

unde L este suma minorilor diagonali de ordinul doi ai matricei D. Pentru demonstraţia acestei teoreme vezi [14], pagina 266. 7.17. Teoremă. Fie ( )Σ o cuadrică de ecuaţie 02 44 =++ aXBAXX tt . Dacă cuadrica ( )Σ este fără centre atunci ea este echivalentă izometric cu cuadrica de ecuaţie:

( ) ( ) 02 32

222

11 =′′⋅Δ

−−′′+′′ xJ

xx λλ .

Pentru demonstraţia acestei teoreme vezi [14], pagina 264.


7.18. Teoremă. Fie ( )Σ o cuadrică de ecuaţie 02 33 =++ aXBAXX tt . Dacă cuadrica ( )Σ este fără dreaptă de centre atunci ea este echivalentă izometric cu cuadrica de ecuaţie:

( ) 02 22

1 =′′⋅−−′′ xIKx .

Demonstraţia acestei teoreme poate figăsită în [14], pagina 267. 7.19. Ecuaţiile obţinute în teoremele 7.14-7.18 se numesc ecuaţiile reduse (canonice) ale cuadricei. 7.20. Exemple. Rezultatele prezentare în teoremele 7.14-7.18 ne permit să obţinem clasele izometrice de suprafeţe de ordinul al doilea (cuadrice). În funcţie de natura cuadricei (cu centru, fără centru, cu o dreaptă de centre etc.) utilizarea unei izometrii convenabile ne permite să obţinem ecuaţia redusă a cuadricei respective. Dăm mai jos exemple de cuadrice împreună cu câteva proprietăţi ale acestora: a) Cuadrice nedegenerate a1) Elipsoidul:

0,0,0,012

23

2

22

2

21 >>>=−++ cba

cx

bx

ax .

Numerele pozitive a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Intersecţiile elipsoidului cu axele se numesc vârfurile elipsoidului. Acestea sunt punctele ( )0,0,aA , ( )0,,0 bB , ( )cC ,0,0 . Se constată cu uşurinţă că originea este centru de

simetrie iar planele de coordonate sunt plane de simetrie. Aceeaşi proprietate o au şi axele de coordonate. Dacă utilizăm sistemul de coordonate sferice generalizate

,cossinsincossin

3

2

1

θϕθϕθ

crxbrxarx

===

ecuaţia elipsoidului devine 1=r . Dacă înlocuim 1=r în relaţiile precedente obţinem ecuaţiile parametrice ale elipsoidului:

5.8. EXERCIŢII

221

,cossinsincossin

3

2

1

θϕθϕθ

cxbxax

===

unde [ ]πθ ,0∈ , [ )πϕ 2,0∈ . a2) Elipsoidul vid:

012

23

2

22

2

21 =+++

cx

bx

ax , 0,0,0 >>> cba .

a3) Hiperboloidul cu o pânză:

012

23

2

22

2

21 =−−+

cx

bx

ax , 0,0,0 >>> cba .

Ca şi în cazul elipsoidului, hiperboloidul cu o pânză are originea centru de simetrie iar planele de coordonate sunt plane de simetrie. Aceeaşi proprietate o au şi axele de coordonate. a4) Hiperboloidul cu două pânze:

012

23

2

22

2

21 =−−−

cx

bx

ax , 0,0,0 >>> cba .

Această suprafaţă are aceleaşi simetrii ca şi elipsoidul sau hiperboloidul cu o pânză. Dintre axe numai 1xO intersectează hiperboloidul în punctele )0,0,(a ,

)0,0,( a− . a5) Paraboloidul eliptic:

02 32

22

2

21 =−+ x

bx

ax , 0,0 >> ba .

a6) Paraboloidul hiperbolic:

02 32

22

2

21 =−− x

bx

ax , 0,0 >> ba .


b) Cuadrice degenerate b1) Conul

0,0,0,02

23

2

22

2

21 >>>=−+ cba

cx

bx

ax .

b2) Punctul dublu

0,0,0,02

23

2

22

2

21 >>>=++ cba

cx

bx

ax .

b3) Cilindrul eliptic:

0,0,012

22

2

21 >>=−+ ba

bx

ax .

b4) Cilindrul eliptic vid:

0,0,012

22

2

21 >>=++ ba

bx

ax

b5) Cilindrul hiperbolic:

0,0,012

22

2

21 >>=−− ba

bx

ax .

b6) Cilindrul parabolic: 0,02 1

22 >=− ppxx .

b7) Pereche de plane secante:

0,0,02

22

2

21 >>=− ba

bx

ax .

b8) Dreaptă dublă:

0,0,02

22

2

21 >>=+ ba

bx

ax .

5.8. EXERCIŢII

223

b9) Pereche de plane paralele: 0,022

1 >=− aax . b10) Pereche vidă de plane paralele: 0,022

1 >=+ aax . b11) Pereche de plane confundate: 02

1 =x .

5.8. EXERCIŢII

8.1. Exerciţii rezolvate. 1) Să se determine ecuaţia redusă a conicei: 022416245 21

2221

21 =−+−+− xxxxxx .

Să se precizeze izometria prin care se obţine ecuaţia redusă. Rezolvare. Deoarece

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2225

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−=

2228222825

D ,

obţinem 6=δ , 216−=Δ . Cum valorile proprii ale matricei A sunt 11 =λ ,

62 =λ , ecuaţia redusă a conicei (vezi teorema 6.14) este

( ) ( ) 0366 22

21 =−′′+′′ xx .

Conica este o elipsă de semiaxe 6,6 == ba . Centrul de simetri al conice se obţine prin rezolvarea sistemului:

.0444

016410

21

21

=++−=−−

xxxx


Soluţia acestui sistem este: 1,2 0

201 == xx . Dacă efectuăm translaţia (vezi

observaţia 6.12)

12

22

11

+′=+′=

xxxx

ecuaţia conicei devine

( ) ( ) 036245 2221

21 =−′+′′−′ xxxx .

Vectorii proprii ortonormaţi corespunzători valorilor proprii 11 =λ , 62 =λ sunt

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=5

2,5

11v respectiv ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=5

1,5

22v . Ecuaţia canonică a conicei se obţine

cu ajutorul rotaţiei

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′′′

⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

2

1

2

1

51

52

52

51

xx

xx

.

Rototranslaţia prin care s-a obţinut ecuaţia redusă a conicei este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′′′

⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12

51

52

52

51

2

1

2

1

xx

xx

.

Observaţie. Dacă explicităm din ultima relaţie 1x ′′ şi 2x ′′ obţinem

.

53

52

52

54

52

51

212

211

++−=′′

−+=′′

xxx

xxx

Ecuaţiile axelor de simetrie ale elipsei ( ) ( ) 0366 22

21 =−′′+′′ xx se obţin din

condiţiile 0,0 21 =′′=′′ xx . Aceste ecuaţii sunt:

.32

42

21

21

−=+−=+

xxxx

5.8. EXERCIŢII

225

Se constată imediat că aceste axe se intersectează în centrul de simetrie al conicei. 2) Să se determine ecuaţia redusă a conicei: .0642 2

2221

21 =+−+− xxxxx

Rezolvare. În acest caz 4,0 −=Δ=δ , 2=I . Conform propoziţiei 6.13 avem o conică fără centru şi (cu teorema 6.20) ecuaţia redusă a conicei este: ( ) 02 1

22 =′′−′′ xx .

Observaţie. Este interesant să punem în evidenţă şi în acest caz izometria prin care se obţine ecuaţia redusă a conicei. Valorile proprii ale matricei

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1111

A

sunt: 21 =λ , 02 =λ . Vectorii proprii ortonormalizaţi corespunzători acestor

valori proprii sunt ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

21,

21

1v şi respectiv ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21,

21

2v . După

efectuarea rotaţiei

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

21

21

21

21

xx

xx

,

ecuaţia conice devine: ( ) 0322 21

21 =+′−′+′ xxx .

Printr-o grupare convenabilă a termenilor, ecuaţia de mai sus se scrie:

.04

25222

2

2

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−′−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′ xx


Pentru a obţine ecuaţia redusă a conice este suficient să efectuăm translaţia:

.

425

22

22

11

+′′=′

−′′=′

xx

xx

Izometria căutată se obţine prin compunerea rotaţiei şi translaţiei obţinute:

.

47

21

21

43

21

21

212

211

+′′+′′−=

+′′+′′=

xxx

xxx

3) Să se determine ecuaţia redusă a conicei: 04222 21

2221

21 =−++++ xxxxxx .

Rezolvare. Deoarece 0=Δ=δ avem o conică cu o dreaptă de centre. Urma matricei A este 2=I şi suma minorilor diagonali ai matricei D ataşată conicei este 10−=K . Ecuaţia redusă a conicei se obţine prin utilizarea teoremei 6.19:

( ) .0252

2 =−′′x

Conica este formată din dreptele paralele ( )1d şi ( )2d având ecuaţiile:

( ) 0210: 21 =−′′xd , ( ) 0

210: 22 =+′′xd .

Observaţie. Dacă procedăm ca în exemplul precedent, obţinem izometria prin care se ajunge la ecuaţia redusă de mai sus:

.

21

21

21

21

21

21

212

211

−′′+′′−=

−′′+′′=

xxx

xxx

Prin inversarea relaţiilor de mai sus obţinem

5.8. EXERCIŢII

227

,

21

21

21

21

21

212

211

++=′′

−=′′

xxx

xxx

expresii care înlocuite în ecuaţiile dreptelor ( )1d şi ( )2d ne dau ecuaţiile acestor drepte în reperul iniţial: ( ) 051: 211 =−++ xxd , ( ) 051: 212 =+++ xxd . Aceste ecuaţii se pot obţine direct, observând că ecuaţia iniţială a conicei se poate scrie, printr-o descompunere în factori, sub forma: ( )( ) .05151 2121 =+++−++ xxxx 4) Să se determine ecuaţia resusă a cuadricei: 015222 1323121

23

22

21 =−−−−−+− xxxxxxxxxx .

Rezolvare. Avem 233,4 =Δ−=δ . Suntem în cazul unei cuadrice cu centru.

Valorile proprii ale matricei

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−

=111111111

A

sunt .2,2,1 321 −=== λλλ Pentru a obţine ecuaţia redusă a cuadricei aplicăm rezultatul din teorema 7.14:

( ) ( ) ( ) .083322 2

32

22 =−′′−′′+′′ xxx

Cuadrica este un hiperboloid cu o pânză. 5) Să se determine ecuaţia redusă a cuadricei 01248465 3213231

23

22

21 =−++++++− xxxxxxxxxx .

Să se precizeze izometria prin care se obţine ecuaţia redusă.


Rezolvare. În acest caz 49,0 −=Δ=δ şi suma minorilor diagonali ai matricei A este 14−=J . Valorile proprii ale matricei

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

523210301

A

sunt 0,2,7 321 =−== λλλ iar suma minorilor diagonali de ordinul doi ai acestei matrice este 14−=J . Pentru a obţine ecuaţia redusă a conicei aplicăm rezultatul dat de teorema 7.17:

( ) ( ) 01427 32

22

1 =′′−′′−′′ xxx . Conica este un paraboloid hiperbolic. Pentru a preciza izometriile prin care se obţine această ecuaţie redusă, determinăm mai întâi vectorii proprii ortonormaţi ai matricei A , corespunzători

valorilor proprii determinate mai sus. Aceştia sunt: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

214,

211,

212 ,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−6

1,6

2,6

1 , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

141,

142,

143 .

După rotaţia

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′′

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

3

2

1

141

61

214

142

62

211

143

61

212

xxx

xxx

,

ecuaţia cuadricei devine

( ) ( ) 0114327

37427 321

22

21 =−′+′−′+′−′ xxxxx .

Printr-o grupare convenabilă a termenilor, ecuaţia de mai sus se scrie:

024

71462

722127 3

2

2

2

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +′−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +′ xxx .

5.8. EXERCIŢII

229

Translaţia

,24

762

7212

33

22

11

−′′=′

−′′=′

−′′=′

xx

xx

xx

ne conduce la ecuaţia redusă precizată mai sus. Izometria prin care se obţine ecuaţia redusă este:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−′′

−′′

−′′

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

24

762

721

2

14

1

6

1

21

4142

62

211

14

3

6

1

21

2

3

2

1

3

2

1

x

x

x

xxx

.

6) Să se determine ecuaţia redusă a cuadricei: 0424454 3131

23

22

21 =−+++++ xxxxxxx .

Rezolvare. Avem 0=δ , 0=Δ . Rangul matricei

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

102050204

A

este egal cu 2 iar rangul matricei D ataşată cuadricei este egal cu 3. Conform propoziţiei 7.11 cuadrica are o dreaptă de centre. Cum suma minorilor diagonali de ordinul doi ai matricei A este 25=J iar suma minorilor diagonali de ordinul trei ai matricei D este 125−=K , ecuaţia redusă a cuadricei se obţine prin aplicarea rezultatului din teorema 7.15:

( ) ( ) 0122

21 =−′′+′′ xx .

Cuadrica este un cilindru circular cu axa de simetrie axa 30x .


8.2. Exerciţii propuse 1) Fie 3E∈p , 321 ,, vvv ( )3ETp∈ . i) Să se verifice identitatea lui Jacobi: ( ) ( ) ( ) 0vvvvvvvvv =××+××+×× 213132321 . ii) Dacă vectorii 321 ,, vvv sunt formează o bază în ( )3ETp să se arate că şi vectorii

( ) 32321

1 ,,1 vv

vvvv ×=′ , ( ) 13

3212 ,,

1 vvvvv

v ×=′ , ( ) 21321

3 ,,1 vv

vvvv ×=′

au aceeaşi proprietate. Baza { }321 ,, vvv ′′′ se numeşte baza reciprocă asociată bazei { }321 ,, vvv . 2) Fie transformarea 22: EE →T definită de matricea

( )πθθθθθ

2,0,cossin

sincos∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=C .

Să se arate că: a) transformarea T este o izometrie; b) T este o simetrie faţă de dreapta ce trece prin origine şi face cu axa 1x0 un

unghi egal cu 2θ .

3) Fie transformarea 33: EE →T definită de matricea

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

31

32

32

32

32

31

32

31

32

A .

Se cere:

5.8. EXERCIŢII

231

a) să se arate că T este o izometrie; b) să se arate că 1=λ este valoare proprie a lui T; c) să se determine mulţimea punctelor fixe ale acestei transformări. 4) Fie punctele ( )0,0,0=0 , ( )3,4,121 −=p , ( )4,12,32 −=p , ( )4,3,23 −=p . Să se arate că 21 p0pΔ este isoscel iar 31 p0pΔ este dreptunghic. Să se calculeze aria triunghiului 321 ppp . 5) Să se calculeze volumul tetraedrului determinat de punctele ( )0,0,0=0 ,

( )3,1,11 −=p , ( )4,2,32 −=p , ( )4,3,23 =p . Să se scrie ecuaţia planului determinat de punctele 321 ,, ppp . 6) Să se determine simetricul punctului ( )4,3,2 −=p faţă de planul ( )π de ecuaţie: 052 321 =−+− xxx . 7) Să se determine coordonatele proiecţiei punctului ( )3,0,1=p pe dreapta ( )d având ecuaţiile: 01321 =+−+ xxx , 05432 321 =+++ xxx . 8) Fie paralelogramul 4321 pppp unde ( )1,1,11 −=p , ( )1,3,22 −=p , ( )0,2,33 =p . Să se determine coordonatele punctului 4p . 9) Fie punctele ( )1,1,31 −=p , ( )1,3,12 −=p , ( )3,1,13 −−=p , ( )2,2,4 α=p . Să se determine R∈α astfel încât punctete 4321 ,,, pppp să fie coplanare. Să se determine ecuaţia planului care conţine aceste puncte. 10) Să se determine ecuaţiile reduse ale conicelor: a) 01116242411 21

2221

21 =++++− xxxxxx ;

b) 036422 212221

21 =+−−+− xxxxxx ;

c) 036422 212221

21 =+−−−− xxxxxx ;

d) 0805632845 212221

21 =+−−++ xxxxxx ;

e) 011261286 212221 =+−−+ xxxxx ;

f) 032 212122

21 =++++ xxxxxx .

11) Să se determine ecuaţiile reduse ale cuadricelor: a) 038643 2132

22

21 =++−++ xxxxxx ;

b) 0644567 322123

22

21 =−−−++ xxxxxxx ;


c) 0284644324 3213231

23

22

21 =++++−+++ xxxxxxxxxx ;

d) 0824644 321312123

22 =+++−−+− xxxxxxxxx ;

e) 084844324 321323123

22

21 =+−+−+++ xxxxxxxxxx ;

f) 0161082216887 32132312123

22

21 =+−+−−++++ xxxxxxxxxxxx ;

g) 01222 322122

21 =+−−−+ xxxxxx .

6. ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

În acest capitol vom defini noţiunea de curbă cu ajutorul unei relaţii de echivalenţă în mulţimea drumurilor şi vom pune în evidenţă principalele proprietăţi diferenţiale ale curbelor în 3E (numite şi curbe în spaţiu) şi 2E (curbe plane). Vom introduce reperul Frenet într-un punct curent al unei curbe în spaţiu precum şi noţiunile de curbură şi torsiune. În cazul curbelor plane vom acorda o atenţie specială exemplelor de curbe ce apar în diverse aplicaţii.

6.1. DRUMURI ŞI CURBE

Fie I un interval al axei reale (intervalul I poate fi de forma ( )ba, , [ ]ba, , ( )+∞∞− , , [ )ba, , ( ]ba, ). Aplicaţiile 3: E→Iα se numesc funcţii vectoriale; dacă ( ) ( ) ( ) ( )( )txtxtxt 321 ,,=α , It∈ atunci funcţiile reale 3,1,: =→ iIxi R se numesc componentele funcţiei vectoriale α . 1.1. Definiţie. Se numeşte drum în 3E o funcţie continuǎ 3: E→Iα . Mulţimea ( ) ( ){ }IttI ∈= αα se numeşte imaginea drumului α . 1.2. Definiţie. Drumul [ ] 3,: E→baα se numeşte închis dacă ( ) ( )ba αα = . Dacă α este o funcţie injectivă atunci drumul α se numeşte simplu. Elementele mulţimii ( ) ( ){ }IttI ∈= αα se numesc puncte ale drumului α . Punctele unui drum simplu se numesc puncte simple. Un punct (al unui drum) care nu este simplu se numeşte punct multiplu. 1.3. Observaţie. Fie punctul ( )αI∈p ; notăm

6. ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ A CURBELOR 234

( ) ( ){ }pp =∈=− tIt αα 1 . Punctul p este un punct multiplu al drumului α dacă şi numai dacă ( )p1−α conţine mai mult decât un element. Cardinalul mulţimii ( )p1−α se numeşte ordinul de multiplicitate al punctului p. 1.4 Exemple. i) Fie punctul ( )321 ,, ppp=p şi vectorul ( ) 0u ≠= 321 ,, uuu . Aplicaţia 3: ER →α , ( ) ( )332211 ,, tuptuptupt +++=α este un drum simplu. Imaginea sa este dreapta ce trece prin punctul p şi are vectorul director u. Aplicaţia 3

1 : ER →α , ( ) ( )33

323

213

11 ,, utputputpt +++=α este de asemenea un drum simplu. El are aceeaşi imagine cu drumul α . ii) Drumul 3: ER →α , ( ) ( )bttrtrt ,sin,cos=α , R∈t , 0>r , 0>b este un drum simplu. Imaginea sa este situată pe cilindrul de ecuaţie 22

221 rxx =+ .

Imaginea acestui drum se numeşte elicea cilindrică. iii) Fie drumul [ ] 32,0: E→πα , ( ) ( )tatatat sin2,2sin,cos2 2=α , 0>a şi punctul ( ) ( )0,0,20 a==αp . Cum ( ) p=πα rezultă că punctul p este un punct multiplu al drumului α . Dacă ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]πα 2,0,,, 321 ∈= ttxtxtxt atunci constatăm că au loc egalităţile ( ) ( ) ( ) 22

322

21 4atxtxtx =++ , ( )( ) ( ) 22

22

1 atxatx =+− , ( ) [ ]π2,0∈∀ t , de unde rezultă că imaginea drumului α aparţine intersecţiei dintre sfera de ecuaţie 22

322

21 4axxx =++ şi cilindrul de ecuaţie

( ) 222

21 axax =+− .

1.5. Definiţie. Drumul 3: E→Iα se numeşte neted dacă α este o funcţie derivabilă pe I şi derivata 3: E→′ Iα este o funcţie continuă. 1.6. Observaţie. Fie 3: E→Iα un drum neted şi ( )bat ,0 ∈ . ( ) ( ) ( ) ( )( )0302010 ,, txtxtxt ′′′=′α este un vector ce aparţine spaţiului tangent la 3E în

punctul ( )0tα . Acest vector se numeşte vector tangent la drumul α în punctul ( )0tα .

1.7. Definiţie. Drumul 3: E→Iα se numeşte regulat dacă este neted şi ( ) ( ) Itt ∈∀≠′ ,0α . Dacă pentru It ∈0 avem ( ) 00 =′ tα spunem că ( )0tα este un

punct singular al drumului α . 1.8. Definiţie. Se numeşte drum de clasǎ kC , ∗∈ Nk o aplicaţie 3: E→Iα de clasǎ ( )IC k .

6.4. EXERCIŢII 235

Dacă intervalul I nu este deschis vom considera că funcţia α este de clasă kC ,

∗∈ Nk în interiorul intervalului şi toate derivatele până la ordinul k au limite laterale finite la extremităţile intervalului, dacă aceste extremităţi aparţin intervalului. 1.9. Observaţie. Două drumuri diferite pot avea aceeaşi imagine. Într-adevăr drumurile

31 4

1,0: E→⎥⎦⎤

⎢⎣⎡α , ( ) ( )0,,ttt =α ,

[ ] 3

2 1,0: E→α , ( ) ( )0,, 22 ttttt −−=α sunt diferite (drumul 1α este simplu iar 2α nu) dar au aceeaşi imagine şi anume

mulţimea ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈

41.00,, xxx .

1.10. Definiţie. Aplicaţia 1: II →ϕ se numeşte homeomorfism dacă este bijectivă, continuă şi cu inversa continuă. Aplicaţia 1: II →ϕ se numeşte difeomorfism de clasă ∗∈ NkC k , dacă este bijectivă şi ϕ şi 1−ϕ sunt de clasă

∗∈ NkC k , . 1.11. Observaţie. i) Orice aplicaţie 1: II →ϕ continuă şi bijectivă este strict monotonă [16]. Cu acest rezultat homeomorfismele se împart în două clase: homeomorfisme directe care sunt realizate de funcţii strict crescătoare şi homeomorfisme inverse care sunt realizate de funcţii strict descrescătoare. ii) Dacă [ ] [ ]11 ,,: baba →ϕ este homeomorfism atunci [ ] [ ]baba ,,: 11

1 →−ϕ este homeomorfism. iii) Compunerea a două homeomorfisme este un homeomorfism. iv) Prin compunerea a două homeomorfisme din aceeaşi clasă se obţine un homeomorfism direct iar prin compunerea a două homeomorfisme din clase diferite se obţine un homeomorfism invers. Fie drumurile 3: E→Iα , 3

11 : E→Iα . 1.12. Definiţie. Spunem că drumul 1α este echivalent cu drumulα dacă există un homeomorfism crescător 1: II →ϕ astfel încât ( ) ( ) ( ) ( ) Ittt ∈∀= ,1 ϕαα o .


1.13. Observaţie. i) Drumul 3: E→Iα este echivalent cu el însuşi. Într-adevăr pentru a arăta acest fapt este suficient să luăm II →:ϕ , ( ) ( ) Ittt ∈∀= ,ϕ . ii) Dacă drumul 3: E→Iα este echivalent cu drumul 3

11 : E→Iα atunci drumul 1α este echivalent cu drumul α . Într-adevăr dacă 1: II →ϕ este un homeomorfism crescător astfel încât ϕαα o1= atunci II →−

11 :ϕ este un

homeomorfism crescător şi ϕαα o=1 . iii) Fie drumurile 3: E→Iα , 3

11 : E→Iα , 322 : E→Iα astfel încât drumul 1α

este echivalent cu drumul α şi drumul 2α este echivalent cu drumul 1α . Atunci drumul 2α este echivalent cu drumul α . Într-adevăr dacă 1: II →ϕ , 211 : II →ϕ sunt homeomorfisme crescătoare astfel încât ϕαα o1= şi 121 ϕαα o= , atunci aplicaţia 2:~ II →ϕ este un homeomorfism crescător şi ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ==== tttt ϕϕαϕϕαϕαα ooooo 12121 ( ) ( ) ( ) Itt ∈∀= ,~

2 ϕα o . Din observaţia precedentă rezultă că relaţia între drumuri definită mai sus este reflexivă, simetrică şi tranzitivă, deci este o relaţie de echivalenţă. Dacă

3: E→Iα , 311 : E→Iα sunt drumuri astfel încât 1α este echivalent cu α vom

spune că drumurile α şi 1α sunt echivalente şi vom nota acest fapt prin α ~ 1α . 1.14. Observaţie. i) Două drumuri echivalente au aceeaşi imagine. Într-adevăr, fie 3: E→Iα , 3

11 : E→Iα două drumuri echivalente şi 1: II →ϕ astfel încât ϕαα o1= . Dacă ( )αI∈p atunci există It ∈0 astfel încât ( )0tα=p . Dacă notăm

( ) 110 Itt ∈=ϕ atunci avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( )111010 ααϕαα Ittt ∈==== qp o , deci ( ) ( )1αα II ⊆ . Raţionamente asemănătoare ne conduc şi la incluziunea ( ) ( )αα II ⊆1 de unde obţinem ( ) ( )1αα II = .

ii) Relaţia de echivalenţă între drumuri definită mai sus împarte mulţimea drumurilor din 3E în clase de echivalenţă. 1.15. Definiţie. Se numeşte curbă în 3E o clasă de echivalenţă în mulţimea drumurilor din 3E . Curba definită de drumul din exemplul 1.4 i) se numeşte elicea cilindrică iar curba definită de drumul din exemplul 1.4 ii) se numeşte curba lui Viviani

6.4. EXERCIŢII 237

1.16. Observaţie. i) Fie o curbă în 3E ( deci o clasă de drumuri echivalente în

3E ) şi 3: E→Iα un reprezentant al acestei clase de echivalenţă. Vom nota curba prin simbolul ( )α şi vom numi drumul α o parametrizare a curbei ( )α . Vom spune uneori că drumul α defineşte curba ( )α . Dacă drumul 3

1: E→Iβ este echivalent cu drumul α vom numi drumul β o reparametrizare a curbei ( )α . Homeomorfismul crescător II →1:ϕ astfel încât ϕαβ o= se numeşte schimbare de parametru a curbei ( )α . ii) Se poate da noţiunii de curbă o definiţie într-un anumit sens mai generală decât definiţia 1.15, după cum urmează. Fie o mulţime C inclusă în 3E . Mulţimea C se numeşte curbă dacă pentru orice punct C∈p există un drum

3: E→Iα , unde I este un interval deschis, şi o vecinătate deschisă W a lui p astfel încât ( ) WCI ∩=α şi aplicaţia ( )αα II →: este un homeomorfism. Aplicaţia α se mai numeşte parametrizare locală a curbei C în jurul punctului p. Dacă există o parametrizare locală care este şi globală (adică ( ) CI =α ) atunci curba C se numeşte simplă. iii) Aşa cum vom vedea mai departe, dacă o funcţie f îndeplineşte anumite condiţii atunci mulţimea fZ a zerourilor acesteia este o curbă, conform definiţiei de mai sus. Dacă ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ittxtxtxt ∈= ,,, 321α este o parametrizare a curbei ( )α atunci relaţiile

( )( )( ) Ittxxtxxtxx

∈===

,33

22

11

se numesc ecuaţiile curbei ( )α (sau reprezentarea parametrică a curbei ( )α ). 1.17. Observaţie. Se poate arăta că: i) orice drum echivalent cu un drum închis este închis; ii) orice drum echivalent cu un drum simplu este simplu. Afirmaţiile din observaţia precedentă se demonstrează uşor; lăsăm demonstraţia lor în seama cititorului. 1.18. Definiţie. Se numeşte curbă simplă o curbă definită de un drum simplu. Se numeşte curbă închisă o curbă definită de un drum închis. Curba lui Viviani definită de drumul din exemplul 1.4 i) este o curbă închisă.


Pentru a defini echivalenţa a două drumuri de clasă ∗∈ NkC k , vom folosi un difeomorfism crescător de clasă ∗∈ NkC k , . Fie 3: E→Iα , 3

11 : E→Iα două drumuri de clasă ∗∈ NkC k , . 1.19. Definiţie. Spunem că drumul 1α este echivalent cu drumul α dacă există un difeomorfism crescător 1: II →ϕ , de clasă ∗∈ NkC k , , astfel încât: ( ) ( )( ) ( ) Ittt ∈∀= ,1 ϕαα o . 1.20. Observaţie. Drumurile din primul exemplu de la punctul 1.4 nu sunt echivalente deoarece singura funcţie RR →:ϕ cu proprietatea ϕαα o1= este funcţia ( ) R∈= ttt ,3ϕ . Această funcţie nu este însă un difeomorfism. Fie 3: E→Iα , 3

11 : E→Iα două drumuri regulate. 1.21. Definiţie. Spunem că drumul 1α este echivalent cu drumul α dacă există un difeomorfism crescător 1: II →ϕ astfel încât: ( ) ( )( ) ( ) Ittt ∈∀= ,1 ϕαα o . 1.22. Definiţie. Se numeşte curbă de clasă ∗∈ NkC k , o curbă definită de un drum de clasă ∗∈ NkC k , . Se numeşte curbă regulată o curbă definită de un drum regulat. Curbele de clasă 1C se numesc curbe netede. Fie [ ] 3,: E→baα , [ ] 3

111 ,: E→baα două drumuri netede echivalente. Se poate arăta ([18], vol. II, pag.197) că este adevărată egalitatea:

( ) ( )∫∫ =′1

1

1 ddb

a

b

a

tttt αα .

1.23. Definiţie. Fie ( )α o curbă netedă şi [ ] 3,: E→baα o parametrizare a sa. Lungimea curbei ( )α este:

( ) ( )∫ ′=b

a

ttl dαα .

6.4. EXERCIŢII 239

1.24. Observaţie. i) Dacă ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]battxtxtxt ,,,, 321 ∈=α atunci:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ′+′+′=b

a

ttxtxtxl d23

22

21α .

ii) Fie btta ≤<≤ 21 , ( ) ( )2211 , tt αα == pp . Lungimea arcului curbei ( )α cuprins între punctele 1p şi 2p este

( ) ( )∫ ′=2

1

21

1

dt

t

ttl αpp .

1.25. Exemplu. Fie curba ( )α definită de drumul din exemplul 1.4. Lungimea acestei curbe este:

( ) 222

0

22222 2dcossin brtbtrtrl +=++= ∫ παπ

.

Formula lungimii unui arc al unei curbe regulate ne permite să introducem o reparametrizare a unei astfel de curbe, reparametrizare cu proprietăţi remarcabile. De acest aspect ne vom ocupa în paragraful următor.

6.2. CURBE FRENET

Fie ( )α o curbă regulată, 3: E→Iα o parametrizare a sa şi ( ) [ ]batt ,, ∈=αp un punct oarecare al curbei. Deoarece curba este regulată vectorul ( )tα′ este nenul; el aparţine spaţiului tangent la 3E în punctul p şi se numeşte vector tangent la curba ( )α în p. 2.1. Definiţie. Parametrizarea [ ] 3,: E→baα a curbei ( )α se numeşte parametrizare naturală (sau parametrizare canonică) dacă ( ) ( ) [ ]batt ,,1 ∈∀=′α . Vom arăta că orice curbă regulată posedă o parametrizare naturală.


2.2. Teoremă. Pentru orice curbă regulată există o parametrizare naturală. Demonstraţie. Fie ( )α o curbă regulată, 3: E→Iα o parametrizare a sa, It ∈0 şi aplicaţia ( )II ψψ →: ,

( ) ( )∫ ′=t

t

t0

dτταψ .

Aplicaţia ψ este un difeomorfism crescător şi ( ) ( )tt αψ ′=′ , It∈ . Dacă

( )II ψ=1 şi II →1:ϕ este inversa aplicaţiei ψ atunci ϕ este un difeomorfism crescător şi ( )( ) ( ) Ittt ∈∀= ,ψϕ . Prin derivarea acestei identităţi obţinem ( )( ) ( ) ( ) Ittt ∈∀=′′ ,1ψψϕ , adică

( )( ) ( ) ( ) Itt

t ∈∀′

=′ ,1α

ψϕ .

Să arătăm că aplicaţia 3

1: E→Iβ definită prin ( ) ( )( ) 1, Isss ∈= ϕαβ o este o parametrizare naturală a curbei ( )α . β este evident o reparametrizare (de clasă

1C ) a curbei ( )α şi

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1,1 Isss

sss ∈′′

=′′=′ ϕαϕα

ϕϕαβ .

De aici rezultă că ( ) ( ) Iss ∈∀=′ ,1β şi teorema este demonstrată.

2.3. Observaţie. i) Fie 1: II →ψ , ( ) ( )∫ ′=t

t

t0

dτταψ difeomorfismul din

demonstraţia teoremei precedente. Parametrul ( )ts ψ=: reprezintă lungimea arcului curbei ( )α de extremităţi ( )00 tα=p şi ( )tα=p ; s este un parametru natural al curbei ( )α . Acest parametru va juca un rol important în cele ce urmează. ii) Fie 3: E→Iα o parametrizare a curbei regulate ( )α de clasă 3C şi

31: E→Iβ parametrizarea naturală a acestei curbe. Atunci ( ) ( )( ) Ittt ∈= ,ψβα

şi

6.4. EXERCIŢII 241

( ) ( )( ) ( ) Itttt ∈′′=′ ,ψψβα , (1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Itttttt ∈′′′+′′′=′′ ,2 ψψβψψβα , (2) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ittttttttt ∈′′′′+′′′′′+′′′′=′′′ ,33 ψψβψψψβψψβα . (3) Din (1) rezultă că vectorii ( )tα′ şi ( ) ( )tss ψβ =′ , sunt paraleli, deci vectorul

( ) ( )ss β ′=t (4) este tangent la curbă în punctul ( ) ( )st βα ==p . Din (1) şi (2) rezultă că vectorii ( )tα′ şi ( )tα ′′ sunt liniar independenţi dacă şi numai dacă vectorii ( )sβ ′ şi ( ) ,sβ ′′ ( )ts ψ= , sunt liniar independenţi. Mai mult, deoarece

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tstttt

ts ψα

ψψα

ψβ =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′′′′

−′′′

=′′ ,12 , (5)

rezultă că vectorii ( ) ( )tt αα ′′′ , sunt liniar independenţi dacă şi numai dacă

( ) ( )tss ψβ =≠′′ ,0 . Din (1) şi (2) obţinem ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tstssstt ψββαα =′′′×′=′′×′ ,3 , (6) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tstssssttt ψβββααα =′′′′′′′=′′′′′′ ,,,,, 6 , (7) egalităţi care vor fi utilizate în cele ce urmează. 2.4. Definiţie. Fie ( )α o curbă regulată de parametrizare naturală 3E→1: Iβ . Vectorul ( ) ( ) 1, Isss ∈′= βt se numeşte versor tangent la curba ( )α în punctul

( )sβ=p . Fie ( )α o curbă regulată de parametrizare 3: E→Iα şi It ∈0 . Dacă

311 : E→Iα este o reparametrizare a curbei ( )α astfel încât ϕαα o1= , unde

1: II →ϕ este un difeomorfism crescător de clasă 1C , atunci vectorii ( )0tα′ şi ( )( )01 tϕα′ sunt liniar dependenţi (vezi formula (1) din observaţia 2.3) deci dreapta


determinată de punctul ( )0tα=p şi de vectorul director ( )0tα′ nu depinde de parametrizarea curbei ( )α . 2.5. Definiţie. Se numeşte tangenta la curba regulată ( )α în punctul ( )0tα=p dreapta determinată de punctul ( )0tα=p şi de vectorul director ( )0tα′ . 2.6. Observaţie. Vom nota tangenta la curbă intr-un punct al curbei prin simbolul ( )T . Dacă 3: E→Iα , ( ) ( ) ( ) ( )( )txtxtxt 321 ,,=α , It∈ este o parametrizare a curbei regulate ( )α şi ( ) 3,1,00 =≠′ itxi atunci ecuaţiile tangentei la curba ( )α în punctul ( )0tα=p sunt:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )03

033

02

022

01

011:tx

txxtx

txxtx

txxT′−

=′−

=′− . (8)

2.7. Definiţie. Se numeşte plan normal al curbei regulate ( )α în punctul

( )0tα=p planul determinat de acest punct şi de vectorul director ( )0tα′ . 2.8. Observaţie. Vom nota planul normal al curbei regulate ( )α într-un punct al său cu simbolul ( )nΠ . Ecuaţia planului normal al curbei în punctul ( )0tα=p este: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0: 030330202201011 =′−+′−+′−Π txtxxtxtxxtxtxxn (9) Fie ( )α o curbă de clasă 2C şi de parametrizare naturală 3

1: E→Iβ . 2.9. Definiţie. Curba ( )α se numeşte curbă Frenet dacă ( ) ( ) 1, Iss ∈∀≠′′ 0β . 2.10. Exemple. i) Fie 0,0 >> br şi curba ( )α de parametrizare 3: ER →α , ( ) ( ) R∈= tbttrtrt ,,sin,cosα (elicea cilindrică). Pentru 00 =t fixat, parametrul

natural al acestei curbe este:

( ) ( ) tbrtst

22

0

d: +=′== ∫ τταψ , R∈t ,

de unde obţinem difeomorfismul crescător RR →:ϕ , ( ) sbr

s22

1+

=ϕ .

Parametrizarea naturală a elicei cilindrice este: 3: ER →β , ϕαβ o= ,

6.4. EXERCIŢII 243

( ) R∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++= ss

brbs

brrs

brrs ,,1sin,1cos

222222β .

Versorul tangentei la curbă într-un punct oarecare al acesteia este:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++−=′=

2222222222,cos,sin

brb

brs

brr

brs

brrss βt .

De aici obţinem:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−

+=′′ 0,sin,cos1

222222 brsr

brsr

brsβ

şi

( ) 22 brrs+

=′′β .

Rezultă că ( ) ( ) R0 ∈∀≠′′ ss ,β deci elicea cilindrică este o curbă Frenet. Interpretarea normei vectorului ( )sβ ′′ o vom obţine în cele ce urmează. ii) Fie dreapta determinată de punctul ( )321 ,, aaa=a şi de vectorul director

( )321 ,, uuu=u . O reprezentare parametrică a acestei curbe este 3: ER →α , ( ) ( ) R∈+++= ttuatuatuat ,,, 332211α . Pentru 00 =t fixat parametrul natural al

acestei curbe este:

( ) ( ) tutuuutst

=++=′== ∫ 23

22

21

0

d: τταψ .

Parametrizarea naturală a curbei se obţine sub forma 3: ER →β ,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= s

uuas

uuas

uuas 3

32

21

1 ,,β , R∈s .

Versorul tangentei la curbă într-un punct oarecare al acesteia este

( ) ( ) uu

t 1=′= ss β .


De aici obţinem ( ) ( ) R0 ∈∀=′′ ss ,β , deci dreapta considerată nu este o curbă Frenet. Punctele unei curbe regulate ( )α de clasă 2C şi de parametrizare naturală

31: E→Iβ , cu proprietatea că 0=′′β se numesc puncte inflexionale. Din

exemplul de mai sus rezultă că toate punctele unei drepte sunt puncte inflexionale. 2.11. Observaţie. i) O curbă ( )α de clasă 2C este curbă Frenet dacă şi numai dacă vectorii ( ) ( )tt αα ′′′ , sunt liniar independenţi ( ) It∈∀ . ii) Dacă α şi 1α sunt două parametrizări ale curbei ( )α de clasă 2C iar vectorii α′ şi α ′′ sunt liniar independenţi atunci şi vectorii β ′ şi β ′′ sunt liniar independenţi. Aceasta înseamnă că sistemele de vectori { }αα ′′′, şi { }ββ ′′′, generează acelaşi subspaţiu liniar. Fie ( )α o curbă Frenet, 3: E→Iα o parametrizare a sa şi It ∈0 . 2.12. Definiţie. Se numeşte plan osculator al curbei Frenet ( )α în punctul

( )0tα=p planul deteminat de punctul p şi de subspaţiul director generat de vectorii ( )0tα′ şi ( )0tα ′′ . 2.13. Observaţie. i) Din observaţia 2.11 rezultă că planul osculator nu depinde de parametrizarea curbei. ii) Vom nota planul osculator al curbei regulate ( )α într-un punct al său cu simbolul ( )oΠ . Ecuaţia planului osculator al curbei ( )α în punctul ( )0tα=p este:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0:

030201

030201

033022011

=′′′′′′′′′−−−

Πtxtxtxtxtxtx

txxtxxtxx

o . (10)

Produsul vectorial ( ) ( )00 tt αα ′′×′ ne dă un vector director al planului osculator. Dacă notăm cu

( ) ( )( ) ( )0302

0302

txtxtxtx

m′′′′′′

= , ( ) ( )( ) ( )0103

0103

txtxtxtx

n′′′′′′

= , ( ) ( )( ) ( )0201

0201

txtxtxtx

p′′′′′′

= (11)

parametrii directori ai planului osculator atunci ecuaţia (10) se scrie: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0: 033022011 =−+−+−Π txxptxxntxxmo . (12)

6.4. EXERCIŢII 245

Fie ( )α o curbă Frenet, 3: E→Iα o parametrizare a sa şi It ∈0 . 2.14. Definiţie. Se numeşte normală principală a curbei ( )α în punctul

( )0tα=p intersecţia dintre planele normal şi osculator ale curbei în punctul ( )0tα=p .

2.15. Observaţie. Vom nota normala principală a curbei regulate ( )α într-un punct al său cu simbolul ( )N . Din modul în care a fost definită normala principală rezultă că un vector director al acesteia este vectorul ( ) ( ) ( )( )000 ttt ααα ′′×′×′ . Dacă notăm cu

( ) ( )

pntxtx

m 0302~ ′′= ,

( ) ( )mptxtx

n 0103~ ′′= ,

( ) ( )nmtxtx

p 0201~ ′′= (13)

parametrii directori ai normalei principale, atunci ecuaţiile acesteia sunt:

( ) ( ) ( ) ( )p

txxn

txxm

txxN ~~~: 033022011 −=

−=

− . (14)

Fie ( )α o curbă Frenet, 3: E→Iα o parametrizare a sa şi It ∈0 . 2.16. Definiţie. Se numeşte binormală a curbei Frenet ( )α în punctul ( )0tα=p dreapta ce trece prin acest punct şi este perpendiculară pe planul osculator al curbei în punctul ( )0tα=p . 2.17. Observaţie. Vom nota binormala curbei regulate ( )α într-un punct al său cu simbolul ( )B . Deoarece un vector director al planului osculator este vector director al binormalei ecuaţiile binormalei sunt (în ipoteza 0≠m , 0≠n , 0≠p ):

( ) ( ) ( ) ( )p

txxn

txxm

txxB 033022011: −=

−=

− . (15)

2.18. Definiţie. Se numeşte plan rectificator al curbei Frenet ( )α în punctul

( )0tα=p planul ce trece prin punctul p şi este perpendicular pe normala principală a curbei în acest punct. 2.19. Observaţie. Vom nota planul rectificator al curbei regulate ( )α într-un punct al său cu simbolul ( )rΠ . Ecuaţia planului osculator al curbei ( )α în


punctul ( )0tα=p este: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0~~~: 033022011 =−+−+−Π txxptxxntxxmr . (16) 2.20. Observaţie. Fie ( )α o curbă Frenet, 3: E→Iα o parametrizare a sa şi

It ∈0 . Am definit mai sus în punctul ( )0tα=p tangenta ( )T , normala principală ( )N , binormala ( )B , planul normal ( )nΠ , planul rectificator ( )rΠ şi planul osculator ( )oΠ . Din modul în care au fost definite aceste elemente rezultă: i) ( ) ( ) ( )orT Π∩Π= , ( ) ( ) ( )noN Π∩Π= , ( ) ( ) ( )rnB Π∩Π= ; ii) ( ) ( )NT ⊥ , ( ) ( )BN ⊥ , ( ) ( )TB ⊥ ; iii) ( ) ( )or Π⊥Π , ( ) ( )no Π⊥Π , ( ) ( )rn Π⊥Π . Fie ( )α o curbă Frenet, 3: E→Iα o parametrizare a sa şi It ∈0 . În punctul

( )0tα=p al curbei putem deci defini trei drepte perpendiculare două câte două: tangenta, normala principală şi binormala. Dacă luăm acum pe curbă un alt punct

( ) 011 , ttt >=αq putem defini aceste drepte şi în acest punct; dreptele nu vor avea însă, în general, aceleaşi subspaţii directoare (aceeaşi vectori directori) ca în punctul p. Pentru a caracteriza modul în care variază direcţiile acestor drepte pe curbă vom determina legăturile care există între versorii directori ai acestor drepte şi derivatele acestor versori în raport cu parametrul natural al curbei. Vom obţine astfel formulele lui Frenet. Fie ( )α o curbă de parametrizare 3: E→Iα . 2.21. Definiţie. Se numeşte câmp vectorial pe curba 3: E→Iα o funcţie Y care asociază fiecărui It∈ un vector ( )tY tangent la 3E în punctul ( )tα=p . 2.22. Exemplu. Fie ( )α o curbă regulată şi 3: E→Iα o parametrizare a sa. Aşa cum ştim ( )tα′ este un vector tangent la curbă în punctul ( )tα=p ; el aparţine spaţiului tangent ( ) ( )3EtTα . Funcţia α′ este un câmp vectorial pe curba ( )α . Proprietăţile câmpurilor vectoriale definite pe o curbă sunt analoage proprietăţilor câmpurilor vectoriale definite pe 3E . De exemplu, dacă Y este un câmp vectorial pe curba 3: E→Iα atunci, pentru fiecare It∈ , putem scrie:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∑=

==e

iiit tUtytytytytY

1321 ,, αα .

6.4. EXERCIŢII 247

Funcţiile 3,1,: =→ iIyi R se numesc funcţiile de coordonate euclidiene ale câmpului Y. Dacă aceste funcţii sunt de clasă 1C atunci câmpul vectorial Y este derivabil şi

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) IttUtytytytytYe

iiit ∈′=′′′=′ ∑

=

,,,1

321 αα .

Prin derivarea câmpului vectorial Y se obţine un nou câmp vectorial Y ′ pe curba ( )α . 2.23. Observaţie. i) Fie Y şi Z două câmpuri vectoriale pe curba ( )α , derivabile şi 3: E→Iα o parametrizare a curbei. Dacă

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∑=

==e

iiit tUtytytytytY

1321 ,, αα ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∑=

==e

iiit tUtztztztztZ

1321 ,, αα

atunci produsul scalar al acestor două câmpuri vectoriale defineşte o funcţie reală pe I a cărei derivată este:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑===

′+′=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′⋅

3

1

3

1

3

1))()((

iii

iii

iii tztytztytztytZtY ’

( ) ( ) ( ) ( ) IttZtYtZtY ∈′+′= , . ii) Fie Y un câmp vectorial derivabil pe curba ( )α astfel încât norma sa este constantă, adică există o constantă 0>c astfel încât ( ) ( ) ItctY ∈∀= , . Atunci prin derivarea identităţii ( ) ( ) ( ) ItctYtY ∈∀=⋅ ,2 obţinem: ( ) ( ) ( ) IttYtY ∈∀=⋅′ ,0 . Aceasta înseamnă că derivata unui câmp vectorial Y de normă constantă pe curba ( )α este un câmp vectorial (pe curba ( )α ) perpendicular pe Y. Fie ( )α o curbă Frenet de clasă 3C şi de parametrizare 3: E→Iα . Fie

1: II →ψ ca în teorema 2.2, 11 ,: −=→ ψϕϕ II şi 3

1: E→Iβ , ϕαβ o= parametrizarea canonică. Fie ca mai sus ( ) Itts ∈= ,: ψ parametrul natural al curbei. În formula (4) din observaţia 2.3 amstabilit că ( ) ( )ss t=′β , 1Is∈ este


versorul tangentei la curbă în punctul ( )sβ=p . Cum ( ) 1,1 Iss ∈=t obţinem ( ) ( ) 1,0 Iss ∈=⋅′ tst . Rezultă deci că vectorul ( ) ( ) 1, Isss ∈′=′′ tβ este

perpendicular pe versorul ( )st . Cum ( )sβ ′′ este o combinaţie liniară a vectorilor ( )tα′ şi ( )tα ′′ (vezi formula (5)) rezultă că ( )sβ ′′ este un vector director al

normalei principale. Fie funcţia: ( ) ( ) 11 ,,: IssskIk ∈′′=→ ∗

+ βR (17) şi vectorul

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,11 Isss

ssk

s ∈′′′′

=′= ββ

tn . (18)

2.24. Definiţie. Funcţia k dată de (17) se numeşte curbura curbei ( )α . Versorul n dat de formula (18) se numeşte versorul normalei principale. 2.25. Observaţie. Fie ( )α o curbă regulată, 3

1: E→Iβ parametrizarea naturală a acestei curbe ca mai sus şi ( ) ( ) 1, Isssk ∈′′= β . Atunci ( )α este o curbă Frenet dacă şi numai dacă funcţia k verifică condiţia ( ) ( ) 1,0 Issk ∈∀> . Să considerăm acum versorul

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 Issss

sss ∈′′×′′′

=×= βββ

ntb . (19)

Versorul ( )sb este un vector director al binormalei curbei ( )α în punctul

( )sβ=p . 2.25. Definiţie. Versorul b dat de formula (19) se numeşte versorul binormalei. Am obţinut astfel trei câmpuri vectoriale bnt ,, pe curba ( )α , cu proprietăţile: ( ) ( ) 1, Isss ∈′= βt ,

( ) ( ) ( ) 1,1 Isss

s ∈′′′′

= ββ

n ,

6.4. EXERCIŢII 249

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 Issss

s ∈′′×′′′

= βββ

b ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,0 Isssssss ∈=⋅=⋅=⋅ tbbnnt , ( ) ( ) ( ) 1,1 Issss ∈=== bnt . 2.26. Definiţie. Sistemul de câmpuri vectoriale pe curba ( )α { }bnt ,, se numeşte reper Frenet al curbei. Derivatele câmpurilor vectoriale bnt ,, sunt la rândul lor câmpuri vectoriale pe curba ( )α . Pentru 1Is∈ vectorii ( )st ′ , ( )sn′ , ( )sb′ se pot dezvolta ortogonal după sistemul { }bnt ,, . O astfel de dezvoltare am obţinut deja pentru ( )st ′ şi anume (vezi formula (18)): ( ) ( ) ( ) 1, Isssks ∈=′ nt . (20) Pentru vectorul ( )sb′ dezvoltarea ortogonală corespunzătoare este: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ssssssssss bbbnnbttbb ⋅′+⋅′+⋅′=′ . Deoarece ( ) ( ) 0=⋅ ss tb prin derivare obţinem ( ) ( ) ( ) ( ) 0=′⋅+⋅′ ssss tbtb şi cum ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0=⋅=′⋅ ssskss nbtb rezultă că ( ) ( ) 0=⋅′ ss tb . În mod similar, din

egalitatea ( ) ( ) 0=⋅ ss nb obţinem ( ) ( ) ( ) ( )ssss nbnb ′⋅−=⋅′ şi cum ( ) ( ) 0=⋅′ ss bb dezvoltarea ortogonală a vectorului ( )sb′ se scrie: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1, Isssss ∈′⋅−=′ nnbb . (21) Fie funcţia

( ) ( ) ( ) 11 ,,: IssssI ∈′⋅=→ nbR ττ . (22) 2.27. Definiţie. Funcţia τ dată de formula (22) se numeşte torsiunea curbei ( )α . Cu ajutorul acestei funcţii (21) se scrie ( ) ( ) ( ) 1, Issss ∈−=′ nb τ . (23) Fie acum dezvoltarea ortogonală a vectorului ( )sn′ :


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ssssssssss bbnnnnttnn ⋅′+⋅′+⋅′=′ . Din egalitatea ( ) ( ) 0=⋅ ss tn obţinem ( ) ( ) ( ) ( ) ( )skssss −=′⋅−=⋅′ tntn şi cum ( ) ( ) 0=⋅′ ss nn şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sssss τ−=′⋅−=⋅′ nbnb , dezvoltarea ortogonală a

vectorului ( )sn′ devine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, Isssssks ∈+−=′ btn τ . (24) 2.28. Definiţie. Formulele (20), (23), (24) se numesc formulele lui Frenet. 2.29. Observaţie. Formulele lui Frenet se scriu matriceal sub forma:

( )( )( )

( )( ) ( )

( )

( )( )( )⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′′

sss

sssk

sk

sss

bnt

bnt

000

00

ττ , 1Is∈ .

2.30. Exemplu. Ne propunem să calculăm curbura şi torsiunea elicei cilindrice a cărei parametrizare naturală am obţinut-o în exemplul 2.10, i):

( ) R∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++= ss

brbs

brrs

brrs ,,1sin,1cos

222222β .

Deoarece în exemplul 2.10, i) am găsit că ( ) 22 brrs+

=′′β , rezultă pentru

curbura elicei cilindrice expresia ( ) 22 brrsk+

= . Deoarece

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−

+=′′ 0,sin,cos1

222222 brsr

brsr

brsβ

din (18) obţinem:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−= 0,sin,cos

2222 brs

brssn .

Formula (22) ne da: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ssssss nntnb ′⋅×=′⋅=τ =

6.4. EXERCIŢII 251

0cos1sin1

0sincos

cossin

22222222

2222

2222222222

brs

brbrs

br

brs

brs

brb

brs

brr

brs

brr

++−

++

+−

+−

+++++−

= =

22 brb+

= .

Raportul dintre curbura şi torsiunea acestei curbe este ( )( ) r

bsks=

τ .

2.31. Observaţie. Pentru a obţine versorii reperului Frenet al unei curbe se determină reprezentarea naturală a curbei 3

1: E→Iβ şi apoi se utilizează formulele:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .,

,1,

1Issss

ss

s

ss

∈×=

′′′′

=

′=

ntb

n

t

ββ

β

Curbura curbei se determină cu relaţia ( ) ( ) 1Isssk ∈′′= β , iar torsiunea cu relaţia: ( ) ( ) ( ).sss nb ′⋅=τ În unele aplicaţii sunt însă utile formule care utilizează pentru calculul acestor mărimi o parametrizare oarecare a curbei. 2.32. Propoziţie. Fie ( )α o curbă Frenet şi 3: E→Iα o parametrizare a sa,

It ∈0 şi ( ) ( )∫ ′=t

t

t0

dτταψ .

Atunci:


( ) ( ) ( ) ,1 tt

s αα

′′

=t (25)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 tttt

s αααα

′′×′′′×′

=b (26)

( ) ( ) ( ) ,sss tbn ×= (27)

( ) ( ) ( )( )

,3t

ttsk

α

αα′

′′×′= (28)

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) .,:,,,2 Itts

ttttts ∈=

′′×′

′′′′′′= ψ

ααααατ (29)

Demonstraţie. Formula (23) rezultă din formula (1). Pentru a obţine formula de calcul a curburii (28) folosim formula (6) şi faptul că vectorii β ′ şi β ′′ sunt ortogonali:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3t

ttssssk

α

ααβββ

′

′′×′=′′×′=′′= .

Din (25) şi (28) şi (5) deducem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )tttt

sssk

sss αααα

ββ ′′×′′′×′

=′′×′=×=11ntb .

Formula (27) este evidentă. Pentru obţinerea formulei de calcul a torsiunii (29) utilizăm (22) şi obţinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ssssss nntnb ′⋅×=′⋅=τ .

Cum ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )s

sks

sksks

sks tttn ′′+′

′−=′′=′ 1]1[ 2 formula precedentă ne dă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ssssk

ssssk

s βββτ ′′′′′′=′′′= ,,1,,122 ttt .

Pentru a obţine formula (29) este suficient să utilizăm în această relaţie formulele (7) şi (28).

6.4. EXERCIŢII 253

2.33. Propoziţie. Dacă curbura unei curbe Frenet este identic nulă atunci imaginea curbei se află pe o dreaptă. Demonstraţie. Fie ( )α o curbă Frenet având curbura identic nulă şi 3

1: E→Iβ o parametrizare naturală a sa. Cum ( ) ( )ssk β ′′= rezultă că ( ) ( ) 1,0 Iss ∈∀=′′β , deci există un vector u astfel încât ( ) 1, Iss ∈=′ uβ . Prin integrare, ultima egalitate ne dă ( ) ( ) 100 ,, Isssss ∈+= uββ de unde deducem că ( )βI se află pe o dreaptă. Cum două drumuri echivalente au aceeaşi imagine, concluzia propoziţiei este adevărată şi pentru o parametrizare oarecare a curbei. 2.34. Observaţie. Propoziţia de mai sus ne spune numai că imaginea curbei se află pe o dreaptă; nu tragem de aici concluzia că parametrizarea curbei este dată de o funcţie afină, aşa cum se întâmplă în cazul unei drepte. Ca exemplu în acest sens să considerăm drumurile din exemplul 1.4. Aceste drumuri nu sunt echivalente (vezi observaţia 1.20) şi cum ( ) ( )3

332

321

311 ,, utputputpt +++=α

obţinem ( ) ( )32

22

12

1 3,3,3 utututt =′α , ( ) ( )3211 6,6,6 tututut =′′α . Deoarece aceşti vectori sunt liniar dependenţi, curbura curbei ( )1α este nulă deci imaginea acestei curbe se află pe dreapta ( )α . 2.35. Definiţie. O curbă se numeşte plană dacă imaginea sa este conţinută într-un plan. Fie ( )α o curbă Frenet. Legătura dintre torsiunea acestei curbe şi proprietatea de a fi o curbă plană este dată de următoarea propoziţie. 2.36. Propoziţie. O curbă Frenet este curbă plană dacă şi numai dacă torsiunea în orice punct al curbei este egală cu zero. Demonstraţie. Fie ( )α o curbă Frenet, de parametrizare 3: E→Iα . Fie planul ( )π , de parametri directori pnm ,, , astfel încât ( ) ( )πα ⊂I . Dacă ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ittxtxtxt ∈= ,,, 321α , deoarece tangenta la curbă este situată în planul

( )π , avem ( ) ( ) ( ) ( ) ,,0321 Ittxptxntxm ∈∀=′+′+′ de unde obţinem ( ) ( ) ( ) ( ) Ittxptxntxm ∈∀=′′+′′+′′ ,0321 .


Ultimele două relaţii ne spun că vectorii ( ) ( ) Ittt ∈′′′ ,,αα sunt paraleli cu planul ( )π . Atunci ( ) 1, Iss ∈b este un vector constant, ceea ce implică ( ) 1,0 Iss ∈=′b deci ( ) 1,0 Iss ∈=τ . Reciproc, dacă ( ) 1,0 Iss ∈=τ versorul binormalei este constant ( ) 10 , Iss ∈= bb .

Cum ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ittttt

s ∈′′×′′′×′

= ,1 αααα

b rezultă că ( ) ( ) Itt ∈∀=⋅′ ,00bα .

Cum ( ) ( ) )( 00 ′⋅=⋅′ bb tt αα deducem de aici că există It ∈0 astfel încât ( ) ( ) ( ) Ittt ∈∀⋅=⋅ ,000 bb αα . Cum ultima identitate se scrie ( ) ( )( ) 000 =⋅− btt αα ,

It∈ rezultă că imaginea lui ( )α este conţinută într-un plan perpendicular pe vectorul 0b şi care trece prin punctul ( )0tα . 2.37. Propoziţie. Fie o curbă Frenet de parametrizare naturală 3

1: E→Iβ . Dacă curbura curbei este egală cu o constantă 00 >k şi torsiunea curbei este nulă

atunci imaginea curbei se află situată într-un cerc de rază 0

1k

.

Demonstraţie. Deoarece 0≡τ , din propoziţia 2.36 rezultă că ne aflăm în cazul unei curbe plane. Fie curba ( )γ de parametrizare 3

1: E→Iγ ,

( ) ( ) ( ) 10

,1 Issk

ss ∈+= nβγ . Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 100

,011 Issssskk

ssk

ss ∈=+−+=′+=′ bttnt τγ .

Din identitate precedentă deducem că ( )γ se reduce la un punct; există deci punctul 3Ep∈ astfel încât ( ) 1, Iss ∈= pγ .Din definiţia curbei ( )γ deducem că

( ) ( ) 10

,1 Isk

s ∈∀=− pβ . Înseamnă că orice punct al imaginii curbei date se

află la aceeaşi distanţă 0

1k

de punctul fix p, deci ( )βI se află pe cercul de rază

0

1k

şi cu centrul în punctul p.

Ecuaţiile carteziene implicite ale unei curbe. Fie Ω o mulţime deschisă şi conexă din 3R şi funcţia de clasă ∗∈ NkC k , :

2: E→Ωf , ( ) ( ) ( )( )32123211321 ,,,,,,, xxxfxxxfxxxf = .

6.4. EXERCIŢII 255

Vom nota cu fZ mulţimea zerourilor lui f, ( ) ( ) ( ){ }0,,,0,,,, 32123211321 ==Ω∈= xxxfxxxfxxxZ f şi cu fC mulţimea punctelor critice ale lui f ( ) ( ){ }2,,rang,, 321321 <Ω∈= xxxJxxxC ff , unde fJ este matricea

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=321

3

2321

2

2321

1

2

3213

1321

2

1321

1

1

321

,,,,,,

,,,,,,,,

xxxxfxxx

xfxxx

xf

xxxxfxxx

xfxxx

xf

xxxJ f .

Punctele ( ) Ω∈321 ,, xxx cu proprietatea că ( ) 0,, 321 ≠xxxJ f se numesc puncte regulate ale aplicaţiei f. În general fZ nu este imaginea unei curbe; putem spune numai că fZ este o mulţime închisă în 3E . Există însă situaţii în care mulţimea fZ este imaginea unei curbe în 3E ; exemplul următor stă mărturie în acest sens. 2.38. Exemplu. Fie 2,1,,,, =∈ idcba iiii R astfel încât

2rang222

111 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cbacba

şi funcţia 23: ER →f , definită prin

( ) ( )23222121312111321 ,,, dxcxbxadxcxbxaxxxf ++++++= . Mulţimea fZ este formată din soluţiile sistemului:

.0

0

2322212

1312111

=+++=+++

dxcxbxadxcxbxa


Fie 22

11

cbcb

a = , 22

11

ccac

b = ,22

11

baba

c = şi ( )03

02

01 ,, xxx o soluţie a sistemului de

mai sus. Atunci mulţimea fZ constă din tripletele ( )321 ,, xxx cu proprietatea:

.,0

31

022

011

R∈+=

+=

+=

ttcxxtbxxtaxx

Am obţinut astfel reprezentarea parametrică a unei drepte ( )α ; imaginea ( )αI a acestei drepte coincide cu fZ . Aşa cum am precizat, mulţimea fZ a zerourilor unei funcţii 23: ER →f nu este în general imaginea unei curbe. Dacă însă f îndeplineşte anumite condiţii, atunci (cel puţin local) fZ coincide cu imaginea unui drum regulat. Condiţiile la care trebuie să supunem funcţia f sunt cele din teorema funcţiilor implicite. Vom da mai jos enunţul acestei teoreme; cititorul care doreşte să urmărească demonstraţia teoremei poate consulta [18], volumul II, pagina 75. 2.39. Teoremă. Fie 2: E→Ωf , ( )21 , fff = de clasă ∗∈NkC k , , 2RR×⊂Ω o mulţime deschisă şi ( ) Ω∈0

302

01 ,, xxx astfel încât:

i) ( ) fZxxx ∈03

02

01 ,, ;

ii) ( ) ( )

( ) ( ).0

,,,,

,,,,

03

02

01

3

203

02

01

2

2

03

02

01

3

103

02

01

2

1

≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

xxxxfxxx

xf

xxxxfxxx

xf

Atunci există o vecinătate deschisă 1V a lui 01x , o vecinătate deschisă 2V a lui 0

2x , o vecinătate deschisă 3V a lui 0

3x şi funcţiile unice 21: VV →ϕ , 31: VV →ψ de clasă kC astfel încât: i) ( ) ( ) 0

301

02

01 ; xxxx == ψϕ ;

ii) ( ) ( )( ) ( ) Vxxxxf ∈∀= 1111 ,0,, ψϕ . 2.40. Propoziţie. Fie 2: E→Ωf , ( )21 , fff = de clasă ∗∈ NkC k , , 2RR×⊂Ω o mulţime deschisă şi ( ) ff CZxxx \,, 0

302

01 ∈ . Atunci există o vecinătate deschisă

W a punctului ( )03

02

01 ,, xxx astfel încât WZ f ∩ să fie imaginea unui drum regulat

simplu de clasă kC .

6.4. EXERCIŢII 257

Demonstraţie. Deoarece ( ) fCxxx ∉0

302

01 ,, , rangul matricei ( )0

302

01 ,, xxxJ f este

egal cu doi. Putem presupune, pentru a face o alegere că determinantul din enunţul teoremei 2.39 este diferit de zero. Deoarece condiţiile din teorema 2.39 sunt îndeplinite există o vecinătate deschisă 1V a lui 0

1x , o vecinătate deschisă 2V a lui 0

2x , o vecinătate deschisă 3V a lui 03x şi funcţiile unice 21: VV →ϕ ,

31: VV →ψ de clasă kC astfel încât

( ) ( )( ) ( ) Vxxxxf ∈∀= 1111 ,0,, ψϕ . Mulţimea 321 VVVW ××= este o vecinătate deschisă a punctului ( )0

302

01 ,, xxx şi

( ) ( )( ){ }11111 ,, VxxxxWZ f ∈=∩ ψϕ . Fie drumul 3

1: E→Vα , ( ) ( ) ( )( ) 1,,, Vttttt ∈= ψϕα . Acest drum este de clasă kC şi ( ) WZI f ∩=α . Cum ( ) ( ) ( )( ) 1,,,1 Vtttt ∈′′=′ ψϕα rezultă că drumul este

regulat. Deoarece egalitatea ( ) ( ) 12121 ,, Vtttt ∈=αα , implică 21 tt = rezultă că aplicaţia α este injectivă şi deci drumul α este simplu. Fie 2: E→Ωf , ( )21 , fff = ca în propoziţia precedentă. 2.41. Definiţie. Ecuaţiile

( )( ) 0,,

0,,

3212

3211

==

xxxfxxxf

se numesc ecuaţiile carteziene implicite ale curbei ( )α . 2.42. Observaţie. Condiţia ( ) ff CZxxx \,, 0

302

01 ∈ din propoziţia 2.40 (deci

condiţia ca punctul ( ) fZxxx ∈03

02

01 ,, să fie regulat) este numai o condiţie

suficientă ca WZ f ∩ să fie imaginea unui drum regulat. Dacă ( ) fZxxx ∈03

02

01 ,,

este un punct critic al lui f nu putem afirma că fZ nu este local imaginea unui drum regulat. 2.43. Exemplu. Fie curba lui Viviani ( )α definită de drumul

[ ] 32,0: E→πα , ( ) ( )tatatat sin2,2sin,cos2 2=α , 0>a


şi funcţia 23: EE →f definită prin ( ) ( )( )22

222

122

322

21321 ,4,, axaxaxxxxxxf −+−−++= .

Mulţimea fZ a zerourilor acestei funcţii este mulţimea soluţiilor sistemului:

( ) .0

0422

22

1

223

22

21

=−+−

=−++

axax

axxx (30)

Am văzut (exemplul 1.4, iii) că ( ) fZI ⊆α . Să arătăm că ( )αIZ f ⊆ . Fie ( ) fZxxx ∈0

302

01 ,, . Deoarece acest punct se află pe sfera de rază a2 cu centrul

în origine, coordonatele acestui punct se scriu (în coordonate sferice):

[ ] [ ).2,0,,0,cos2

sinsin2cossin2

00003

0002

0001

πθπϕϕθϕ

θϕ

∈∈=

=

=

axaxax

Cum punctul ( )0

302

01 ,, xxx se află pe cilindrul de ecuaţie ( ) 022

22

1 =−+− axax obţinem condiţia 00 cossin θϕ = . De aici deducem că 00 sincos θϕ = , astfel încât putem scrie: ( ) ( ) ( )αθθθ Iaaaxxx ∈= 000

203

02

01 sin2,2sin,cos2,, .

Rezultă de aică că ( )αIZ f ⊆ ; cum şi incluziunea inversă este adevărată obţinem

( )αIZ f = . fZ este deci o curbă definită de ecuaţiile carteziene implicite (30) iar aplicaţia α este o parametrizare globală a curbei fZ (vezi observaţia 1.16 ii). Punctele critice ale funcţiei f se obţin din condiţia ca rangul matricei Jacobi a acestei funcţii,

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=022

222,,

21

321321 xax

xxxxxxJ f ,

să fie mai mic decât doi. Se obţine sistemul: ( ) 0,0,0 32132 ==−= xxaxxx . Singura soluţie a acestui sistem care aparţine mulţimii fZ este

0,2 321 === xxax . Propoziţia 2.40 nu se mai poate aplica în acest punct.

6.4. EXERCIŢII 259

Cu toate acestea, fZ este imaginea ( )αI a unui drum într-o vecinătate a punctului ( ) ( ) ( )παα === 00,0,2ap şi punctul p (care este un punct dublu al curbei) este un punct regulat deoarece ( ) ( )a2,0,00 =′α , ( ) ( )a2,0,0 −=′ πα .

6.3. CURBE ÎN 2E

Fie I un interval al axei reale. Vom considera în cele ce urmează funcţii vectoriale de forma 2: E→Iα ; dacă ( ) ( ) ( )( )txtxt 21 ,=α , It∈ atunci funcţiile reale 2,1,: =→ iIxi R le vom numi componentele funcţiei vectoriale α . Vom numi drum în 2E o funcţie continuǎ 2: E→Iα . Mulţimea ( ) ( ){ }IttI ∈= αα o vom numi imaginea drumului α . Noţiunile de drum închis, drum simplu, drum de clasă ∗∈ NkC k , , drum regulat, drumuri echivalente se introduc la fel ca în 3E . 3.1. Definiţie. Se numeşte curbă în 2E o clasă de echivalenţă în mulţimea drumurilor din 2E . Dacă ( ) ( ) ( )( ) Ittxtxt ∈= ,, 21α este o parametrizare a curbei ( )α atunci relaţiile

( )( ) Ittxxtxx

∈==

,22

11

se numesc ecuaţiile curbei ( )α (sau reprezentarea parametrică a curbei ( )α ). 3.2. Exemple. 1) Astroida este curba plană de ecuaţii parametrice:

[ ] .0,2,0,sin

cos3

2

31

>∈=

=

attaxtax

π

Graficul astroidei este prezentat în figura 1.


Figura 1. Astroida Dacă eliminăm parametrul t între ecuaţiile astroidei obţinem ecuaţia:

0,32

32

232

1 >=+ aaxx . Ecuaţia de mai sus se numeşte ecuaţia astroidei sub forma implicită. 2) Cardioida este curba plană dată de parametrizarea

( )( ) [ ] .0,2,0,2sinsin2

2coscos2

2

1

>∈−=−=

atttaxttax

π

Figura 2. Cardioida

6.4. EXERCIŢII 261

3) Cicloida este curba plană descrisă de un punct situat pe un cerc de rază r care se rostogoleşte fără alunecare pe o dreaptă fixă. Ecuaţiile parametrice ale cicloidei sunt:

( )( ) .,cos1

sin

2

1

R∈−=−=

ttrxttrx

Figura 3. Cicloida 4) Fie un punct fix situat în planul unui cerc la distanţa a de centrul cercului. Cercul de rază r se rostogoleşte fără alunecare pe o dreaptă fixă. Curbele descrise astfel de punctul considerat se numesc trohoide. Ecuaţiile parametrice ale unei trohoide sunt:

.0,,cossin

2

1

>∈−=−=

attarxtartx

R

Figura 4. Cicloida alungită


În cazul ra = trohoida este o cicloidă, pentru ra > trohoida se mai numeşte cicloida alungită (figura 4) iar pentru ra < trohoida se numeşte cicloida scurtată (figura 5).

Figura 5. Cicloida scurtată 5) Cisoida lui Diocles este curba cu reprezentarea parametrică

.,

12

12

2

3

2

2

2

1

R∈+

=

+=

tt

atx

tatx

Figura 6. Cisoida lui Diocles

6.4. EXERCIŢII 263

7) Foliumul lui Descartes este curba dată de reprezentarea parametrică:

{ } .0,1\,1

3,1

33

2

231 >−∈+

=+

= att

atxt

atx R

Figura 7. Foliumul lui Descartes 8) Strofoida dreaptă are reprezentarea parametrică:

( ) ( ) .0,,1

1,11

2

2

22

2

1 >∈+−

=+−

= att

ttaxttax R

Figura 8. Strofoida dreaptă


Ecuaţia carteziană implicită a unei curbe plane. Fie D o mulţime deschisă şi conexă din 2E şi funcţia R→DF : de clasă

∗∈ NkC k , . Vom nota cu FZ mulţimea zerourilor lui F, ( ) ( ){ }0,, 2121 =∈= xxFDxxZ F şi cu FC mulţimea punctelor critice ale lui F:

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∂∂

=∂∂

∈= 0,,0,, 212

211

21 xxxFxx

xFDxxCF .

Pentru ( ) Dxx ∈= 21 ,p vectorul ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

= 212

211

,,, xxxFxx

xFgradF se numeşte

gradientul funcţiei F; el aparţine spaţiului tagent la 2E în punctul p. Înseamnă că mulţimea FC este formată din punctele din D în care gradientul lui F se anulează. Punctele în care cel puţin una dun derivatele parţiale ale lui F nu se anulează se numesc puncte regulate. În general mulţimea fC nu este imaginea unei curbe în 2E ; despre fC putem spune numai că este o mulţime închisă din 2E . Pentru alegeri convenabile ale funcţiei F (vezi exemplele de mai jos) există însă un drum α în 2E astfel încât

( )αIZ F = . Dacă sunt îndeplinite anumite condiţii (de exemplu cele impuse de teorema funcţiilor implicite) vom arăta că, local, mulţimea zerourilor lui F coincide cu imaginea unui drum regulat. 3.3. Exemple. i) Fie RR →2:F , ( ) 1, 2

22121 −+= xxxxF şi drumul

[ ] 2,0: E→πα , ( ) ( )ttt sin,cos=α . Se constată cu uşurinţă că ( )αIZ F = . Un alt drum a cărui imagine coincide cu FZ se poate obţine astfel. Fie [ ] R→− 1,1:f ,

( ) 221 1 xxf −= . Se constată cu uşurinţă că avem:

( )( ) 0, 11 =xfxF , ( ) [ ]1,11 −∈∀ x . Spunem că am explicitat din ecuaţia ( ) 0, 21 =xxF pe 2x în funcţie de 1x . Cu

ajutorul funcţiei f construim drumul [ ] 21,1:~ E→−α , ( ) ( )21,~ ttt −=α care are proprietatea că ( )α~IZ F = .

6.4. EXERCIŢII 265

iii) Curba pe care o prezentăm în acest exemplu se numeşte lemniscata lui Bernoulli. Ea se defineşte printr-o ecuaţie implicită de forma ( ) 0, 21 =xxF . Vom arăta că mulţimea zerourilor funcţiei F este reuniunea imaginilor a două drumuri în 2E . Fie 0>a şi funcţia RR →2:F definită prin

( ) ( ) ( ) ( ) 221

22

21

2222

2121 ,,2, R∈−−+= xxxxaxxxxF .

Mulţimea FZ este reprezentată grafic în figura de mai jos.

Figura 9. Lemniscata lui Bernoulli Fie un punct ( ) FZxx ∈21 , ; în coordonate polare avem θcos1 rx = , θsin2 rx = . Condiţia ( ) FZxx ∈21 , ne conduce la θ2cos2 22 ar = . Fie drumurile:

21 4

,4

: E→⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

ππα , ( ) ( )ttattat sin2cos2,cos2cos21 =α ,

22 4

5,4

3: E→⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππα , ( ) ( )ttattat sin2cos2,cos2cos22 =α .

Se constată că reuniunea imaginilor acestor drumuri coincide cu mulţimea zerourilor lui F: ( ) ( ) FZII =∪ 21 αα . Fie RR →⊂ 2: DF o funcţie de clasă ∗∈ NkC k , . Dacă mulţimea FZ constă numai din puncte regulate ale lui F atunci FZ este reuniunea imaginilor unor drumuri regulate de clasă ∗∈ NkC k , . Demonstraţia acestui fapt (propoziţia 3.5) are la bază teorema funcţiilor implicite ([18], volumul II, pagina 68).


3.4. Teoremă. Fie R→DF : o funcţie de clasă ∗∈NkC k , , 2R⊂D o mulţime deschisă şi conexă şi ( ) Dxx ∈0

201 , astfel încât:

i) ( ) FZxx ∈02

01 , ;

ii) ( ) 0, 02

01

2

≠∂∂ xxxF .

Atunci există o vecinătate deschisă 1V a lui 01x , o vecinătate deschisă 2V a lui 0

2x , şi funcţia unică 21: VV →ϕ , de clasă kC , astfel încât: i) ( ) 0

201 xx =ϕ ;

ii) ( )( ) ( ) 1111 ,0, VxxxF ∈∀=ϕ . 3.5. Propoziţie. Fie R→DF : o funcţie de clasă ∗∈NkC k , , 2R⊂D mulţime deschisă şi conexă şi ( ) FF CZxx \, 0

201 ∈ . Atunci există o vecinătate deschisă W a

punctului ( )02

01 , xx astfel încât WZ F ∩ să fie imaginea unui drum regulat simplu

de clasă kC . Demonstraţie. Deoarece ( ) FCxx ∉0

201 , cel puţin una din derivatele parţiale ale lui

F calculate în ( )02

01 , xx este diferită de zero. Putem presupune, pentru a face o

alegere, că ( ) 0, 02

01

2

≠∂∂ xxxF . Deoarece condiţiile din teorema 3.4 sunt îndeplinite,

există o vecinătate deschisă 1V a lui 01x , o vecinătate deschisă 2V a lui 0

2x şi funcţia unică 21: VV →ϕ , de clasă kC , astfel încât

( )( ) ( ) 1111 ,0, VxxxF ∈∀=ϕ . Mulţimea 21 VVW ×= este o vecinătate deschisă a punctului ( )0

201 , xx şi

( )( ){ }1111 , VxxxWZ F ∈=∩ ϕ . Fie drumul 2

1: E→Vα , ( ) ( )( ) 1,,, Vtttt ∈= ϕα . Atunci drumul α este de clasă kC şi ( ) WZI F ∩=α . Cum ( ) ( )( ) 1,,,1 Vttt ∈′=′ ϕα rezultă că drumul este

regulat. Cum egalitatea ( ) ( ) 12121 ,, Vtttt ∈=αα , implică 21 tt = rezultă că aplicaţia α este injectivă şi deci drumul α este simplu. Fie R→DF : ca în propoziţia precedentă.

6.4. EXERCIŢII 267

3.6. Definiţie. Ecuaţia ( ) 0, 21 =xxF se numeşte ecuaţia carteziană implicită a unei curbe plane. 3.7. Observaţie. Condiţia ( ) 0, 0

201 ≠xxgradF este o condiţie suficientă ca

mulţimea FZ să coincidă într-o vecinătate a punctului ( )02

01 , xx cu imaginea unui

drum regulat. Dacă este un punct critic al lui f nu putem afirma că fZ nu este local (adică într-o vecinătate a punctului ( )0

201 , xx ) imaginea unui drum regulat.

3.8. Exemplu ([2], pagina 28). Fie RR2 →:F , ( ) ( )2

2121 , xxxxF −= . Mulţimea zerourilor funcţiei F este ( ){ }21

221 , xxxxZ F =∈= R .

Cum ( ) ( ) ( )( )212121 2,2, xxxxxxgradF −−−= rezultă că mulţimea punctelor critice ale lui F coincide cu mulţimea zerourilor sale. Cu toate acestea FZ este imaginea curbei ( )α de reprezentare parametrică 2: ER →α , ( ) ( ) Rtttt ∈= ,,α . 3.7. Observaţie. O curbă plană poate fi dată prin următoarele reprezentări. i) Reprezentarea parametrică; curba este dată în acest caz prin ecuaţiile parametrice:

( )( ) .,22

11

Ittxxtxx

∈==

ii) Reprezentarea implicită; curba este dată prin ecuaţia carteziană implicită: ( ) 0, 21 =xxF . iii) Reprezentarea explicită. Fie funcţia continuă R→If : . Prin graficul acestei funcţii înţelegem mulţimea ( )( ){ }IttftG f ∈= , . Dacă considerăm acum curba ( )α de parametrizare 2: E→Iα , ( ) ( )( )tftt ,=α ,

It∈ . Este evident că imaginea curbei ( )α coincide cu graficul funcţiei f.


În aceste condiţii spunem că relaţia ( ) Ixxfx ∈= 112 , este reprezentarea explicită a curbei ( )α . iv) Reprezentarea în coordonate polare. Fie funcţia R→If : continuă,

θcos1 rx = , θsin2 rx = coordonatele carteziene ale unui punct din 2E în funcţie de coordonatele sale polare. Vom considera acele puncte din 2E pentru care ( )θfr = , I∈θ . Se obţine astfel o curbă ( )α în 2E de parametrizare: ( ) θθ cos1 fx = , ( ) θθ sin2 fx = . Relaţia ( )θfr = , I∈θ se numeşte reprezentarea curbei ( )α în coordonate polare. 3.8. Exemple. 1) Spirala lui Arhimede. Ecuaţia acestei curbe în coordonate polare este: 0,0, ≥>= θθ kkr

Figura 10. Spirala lui Arhimede 2) Spirala hiperbolică. Este curba de ecuaţie: 0, >= aarθ

6.4. EXERCIŢII 269

Figura 11. Spirala hiperbolică

3) Spirala logaritmică. Este curba de ecuaţie: 0,0,e >>= kccr kθ

Figura 12. Spirala logaritmică 4) Cardioida. În coordonate polare, ecuaţia acestei curbe este: ( ) [ ] 0,2,0,cos12 >∈−= aar πθθ . Graficul cardioidei este prezentat în figura 2.


5) Foliumul lui Descartes are ecuaţia implicită 0,03 21

32

31 >=−+ axaxxx .

Graficul acestei curbe este prezentat în figura 7. Reper Frenet. Curbura unei curbe plane Fie ( )α o curbă regulată, 2: E→Iα o parametrizare a sa şi ( ) [ ]batt ,, ∈=αp un punct oarecare al curbei. Deoarece curba este regulată, vectorul ( )tα′ este nenul; el aparţine spaţiului tangent la 2E în punctul p şi se numeşte vector tangent la curba ( )α în p. 3.9. Definiţie. Se numeşte tangenta la curba regulată ( )α în punctul ( )0tα=p dreapta determinată de punctul ( )0tα=p şi de vectorul director ( )0tα′ . 3.10. Observaţie. Vom nota tangenta la curbă intr-un punct al curbei prin simbolul ( )T . Dacă 2: E→Iα , ( ) ( ) ( )( ) Ittxtxt ∈= ,, 21α este o parametrizare a curbei regulate ( )α şi ( ) 2,1,00 =≠′ itxi ecuaţiile tangentei la curba ( )α în punctul ( )0tα=p sunt:

( ) ( )( )

( )( )02

022

01

011:tx

txxtx

txxT′−

=′− . (1)

Panta tangentei la curbă în punctul ( )0tα=p este

( )( )01

02

txtxm

′′

= . (2)

3.11. Definiţie. Se numeşte normala la curba regulată ( )α în punctul ( )0tα=p dreapta ce trece prin punctul p şi este perpendiculară pe tangenta la curbă în acest punct. 3.12. Observaţie. Vom nota normala la curbă intr-un punct al curbei prin simbolul ( )N . Panta m′ a acestei drepte se obţine din (2) şi din condiţia de perpendicularitate a două drepte de pante m şi respectiv m′ : 1−=′⋅mm . Cu aceste precizări obţinem ecuaţia normalei la curba regulată ( )α în punctul

( )0tα=p sub forma:

6.4. EXERCIŢII 271

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0: 0202201011 =′−+′− txtxxtxtxxN . (3) Teorema 2.2 rămâne adevărată şi în cazul curbelor regulate de clasă

∗∈ NkC k , în 2E : orice curbă regulată admite o parametrizare naturală. Dacă

1II →:ψ , ( ) ( )∫ ′=t

t

t0

dτταψ , It ∈0 atunci parametrul natural pe curba ( )α este

( )ts ψ=: . Fie II →1:ϕ inversa funcţiei ψ şi 21: E→Iβ , ϕαβ o= o

parametrizare naturală a curbei ( )α . Atunci versorul ( )sβ ′ , 1Is∈ este tangent la curbă în punctul ( ) 1, Iss ∈= βp . 3.13. Definiţie. Vectorul ( ) ( )ss β ′=t , 1Is∈ se numeşte versorul tangentei la curbă în punctul ( )sβ=p . 3.14. Observaţie. Din formula ( ) ( )( ) Ittt ∈= ,ψβα obţinem prin derivare: ( ) ( )( ) ( ) Itttt ∈′′=′ ,ψψβα , (4) de unde deducem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )txtxt

ss 21 ,1 ′′′

=′=α

βt . (5)

Se constată cu uşurinţă că versorul

( ) ( ) ( ) ( )( )txtxt

s 12 ,1 ′′−′

=α

n (6)

este perpendicular pe versorul t. 3.15. Definiţie. Vectorul dat de formula (6) se numeşte versorul normalei la curbă în punctul ( ) ( )st βα ==p . Am obţinut prin construcţia de mai sus două câmpuri de vectori nt, pe curba ( )α cu proprietăţile: ( ) ( ) 1,0 Isss ∈=⋅nt , ( ) ( ) 1,1 Isss ∈== nt .


3.16. Definiţie. Sistemul { },, nt de câmpuri vectoriale pe curba ( )α se numeşte reper Frenet al curbei. 3.17. Fie, în spaţiul tangent la 2E în punctul p, bazele ortonormate formate din versorii reperului natural şi respectiv din versorii reperului Frenet. Matricea C de trecere de la prima bază la cea de a doua este

( )( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′−

′′′

=txtxtxtx

tC

12

211α

şi are determinantul pozitiv. Spunem în acest caz că bazele considerate au aceeaşi orientare. Fie ( )α o curbă regulată de clasă 2, ≥kC k . Derivatele câmpurilor vectoriale

,, nt sunt la rândul lor câmpuri vectoriale pe curba ( )α . Pentru 1Is∈ vectorii ( )st ′ , ( )sn′ se dezvoltă ortogonal după sistemul { }nt, :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )sssssss nnttttt ⋅′+⋅′=′ , ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ssssssss nnnttnn ⋅′+⋅′=′ . Cum t şi n au norma constantă rezultă că: ( ) ( ) 0=⋅′ ss tt , ( ) ( ) 0=⋅′ ss nn , 1Is∈ . În plus din condiţia de ortogonalitate ( ) ( ) 0=⋅ ss nt , 1Is∈ , obţinem ( ) ( ) ( ) ( )ssss nttn ⋅′−=⋅′ , 1Is∈ .

Cu ajutorul acestor identităţi şi al funcţiei

( ) ( ) ( ) 11 ,,: IsssskIk ∈⋅′=→ ntR , (7) dezvoltările ortogonale de mai sus se scriu: ( ) ( ) ( ),ssks nt =′ (8) ( ) ( ) ( ) 1, Isssks ∈−=′ tn . (9) 3.18 Definiţie. Funcţia k se numeşte curbura curbei ( )α . Formulele (8), (9) se numesc formulele lui Frenet pentru curbe plane. 3.19. Observaţie. Formulele lui Frenet se pot scrie sub forma matriceală:

6.4. EXERCIŢII 273

( )( )

( )( )

( )( ) 1,

00

Isss

sksk

ss

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

nt

nt

.

3.20. Propoziţie. Dacă ( )α este o curbă regulată de clasă 2C şi 2: E→Iα , ( ) ( ) ( )( ) Ittxtxt ∈= ,, 21α este o parametrizare a sa atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) Itts

txtx

txtxtxtxsk ∈=′+′

′′′−′′′= ,:,

23

22

21

2121 ψ . (10)

Demonstraţie. Din formula (5) obţinem prin derivare:

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

′

′′⋅′−′′′

′

′′⋅′−′′

′=′′ tx

ttttxtx

ttttx

ts 2221212 ,1

ααα

ααα

αβ . (11)

Pentru a obţine formula de calcul a curburii este suficient acum să utilizăm (6), (7) şi (10):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] 23

21

21

2121

txtx

txtxtxtxsssssk′+′

′′′−′′′=⋅′′=⋅′= nnt β . (12)

3.21. Observaţie. i) Fie funcţia continuă R→If : şi curba ( )α dată prin reprezentarea explicită ( )12 xfx = , Ix ∈1 . După cum ştim o reprezentare parametrică a acestei curbe este dată de aplicaţia 2: E→Iα , ( ) ( )( ) Ittftt ∈= ,,α . Deoarece în acest caz ( ) ttx =1 , ( ) ( )tftx =2 formula

curburii devine:

( ) ( )( )[ ]

Ittf

tftk ∈′+

′′= ,

1 23

2. (13)

ii) Fie funcţia R→If : continuă şi curba ( )α reprezentată în coordonate polare prin relaţia ( )θfr = , I∈θ . Deoarece ecuaţiile parametrice ale curbei ( )α sunt ( ) θθ cos1 fx = , ( ) θθ sin2 fx = ,


formula (12) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] 2

322

2 2

θθ

θθθθθff

ffffk′+

′′−′+= . (14)

iii) Să considerăm acum o curbă dată prin ecuaţia carteziană implicită ( ) 0, 21 =xxF , unde R→DF : este o funcţie ce puţin de clasă 2C pe domeniul

2R⊂D . Fie ( ) FZxx ∈02

01 , astfel încât ( ) 0, 0

201

2

≠∂∂ xxxF . Deoarece sunt îndeplinite

ipotezele din teorema funcţiilor implicite, există o vecinătate deschisă 1V a lui 01x , o vecinătate deschisă 2V a lui 0

2x , şi funcţia unică 21: VVf → , de clasă 2C , astfel încât ( ) 0

201 xx =ϕ , ( )( ) ( ) 1111 ,0, VxxfxF ∈∀= . Din ultima identitate

obţinem prin două derivări succesive:

( ) ( )( )0

2012

02

0110

1 ,,xxFxxF

xfx

x

′

′−=′ ,

( ) [ ]2

1222121

2

221

3

2

01 21

xxxxxxxxx

FFFFFFFF

xf ′′′+′′′′−′′′′

−=′′ .

În ultima egalitate toate derivatele parţiale ale funcţiei F sunt calculate în punctul ( )0

201 , xx . Formula pentru calculul curburii unei curbe dată sub forma implicită se

obţine prin înlocuirea expresiilor lui ( )01xf ′ şi ( )0

1xf ′′ de mai sus în formula (13):

( )23

222

221

2

1222121

2

2210

201

][

2,

xx

xxxxxxxx

FF

FFFFFFFxxk

′+′

′′′+′′′′−′′′−= . (15)

Precizăm că toate derivatele care apar în formula (15) se calculează în punctul ( )0

201 , xx .

3.22. Definiţie. Punctul ( )0tα=p , It ∈0 se numeşte inflexional dacă în acest punct curbura curbei este nulă. 3.23. Observaţie. În cazul unei curbe dată în reprezentarea explicită din formula (13) rezultă că parametrul It ∈0 este inflexional dacă şi numai dacă ( ) .00 =′′ tf

6.4. EXERCIŢII 275

Regăsim aici caracterizarea punctelor de inflexiune ale unei funcţii RIf →: de clasă 2C . În general, condiţia ca parametrul It ∈0 să fie inflexional este: ( ) ( ) ( ) ( ) 002010201 =′′′−′′′ txtxtxtx . Această condiţie este echivalentă cu condiţia ca vectorii ( )0tα′ şi ( )0tα ′′ şă fie liniar dependenţi.

6.4. EXERCIŢII

4.1. Exerciţii rezolvate 1) Să se determine reperul Frenet pentru curba având reprezentarea naturală

[ ] 32,0: E→πβ , ( ) [ ]πβ 2,0,cos53,sin1,cos

54

∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= sssss .

Rezolvare. Deoarece curba este dată printr-o reprezentare naturală, versorul tangentei este:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=′= sssss sin

53,cos,sin

54βt .

Cum ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=′′ ssss cos

53,sin,cos

54β , rezultă ( ) ( ) 01 kssk ==′′= β şi din

formula lui Frenet ( ) ( ) ( )ssks nt =′ deducem

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ssss cos

53,sin,cos

54n .

Versorul binormalei este:

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=×=

54,0,

53sss ntb .

Din propoziţia 2.37 deducem că suntem în cazul unei curbe plane cu imaginea

situată pe un cerc de rază 11

0

=k

. Centrul cercului este punctul

( ) ( ) ( )0,1,01

0

=+= sk

nsp β .


Parametrul natural s este lungimea arcului acestei curbe. Cum [ ]π2,0∈s şi lungimea cercului de rază 1 este π2 rezultă că imaginea curbei date coincide cu cercul de rază 1 şi cu centrul în punctul ( )0,1,0=p . 2) Să se determine versorii reperului Frenet, curbura şi torsiunea pentru curba ( )α având reprezentarea parametrică: 3: ER →α , ( ) ( )323 3,3,3 tttttt +−=α ,

R∈t . Rezolvare. Vom utiliza formulele (25)-(29). Avem: ( ) ( )22 33,6,33 tttt +−=′α , ( ) ( )ttt 6,6,6−=′′α , ( ) ( )6.0,6−=′′′ tα , ( ) ( ) ( )1,2,118 22 +−−=′′×′ ttttt αα , ( ) ( )( ) ( ) 216=′′′⋅′′×′ ttt ααα , ( ) ( )123 2 +=′ ttα ,

( ) ( ) ( )1218 2 +=′′×′ ttt αα . Înlocuind aceste expresii în formulele (25)-(29) obţinem:

( )( )222

1,2,112

1 tttt

+−+

=t ,

( )( )1,2,112

1 222

+−−+

= tttt

b ,

( )0,1,21

1 22 tt

t−−

+=×= tbn ,

( )22 131+

==t

k τ .

Observaţie. În exerciţiul 1 am utilizat pentru determinarea versorilor reperului Frenet o reprezentare naturală a curbei. În aplicaţia de mai sus nu este recomandabil să urmăm această cale, deoarece calculele ar fi mult mai complicate. Într-adevăr, pentru 00 =t parametrul natural al curbei este

( ) ( ) ( ) ( )tttstt

32d123d: 3

0

2

0

+=+=′== ∫∫ τττταψ .

6.4. EXERCIŢII 277

Pentru a obţine o parametrizare naturală a curbei trebuie să explicităm t din relaţia precedentă şi să introducem expresia obţinută în parametrizarea α a curbei. Explicitarea lui t ar duce însă la calcule complicate (ar trbui utilizate formulele lui Cardano). 3) Fie ( )α o curbă Frenet, 3: E→Iα o parametrizare a sa cu proprietatea că

( ) ( ) Itct ∈∀>=′ ,0α . Să se arate că:

α′=c1t , α

α′′

′′=

1n , ααα

′′×′′′

=c

1b , 2ck

α ′′= , ( )

22

,,αααατ′′

′′′′′′=

c.

Rezolvare. Prima formulă este evidentă. Condiţia ( ) ( ) Itct ∈∀>=′ ,0α este echivalentă cu ( ) ( ) 2ctt =′⋅′ αα , ( ) It∈∀ . Dacă derivăm ultima identitate, obţinem ( ) ( ) 0=′′⋅′ tt αα , ( ) It∈∀ , deci vectorii α′ şi α ′′ sunt ortogonali. De aici se obţine a doua formulă. Din ortogonalitatea vectorilor α′ şi α ′′ şi din proprietăţile produsului vectorial obţinem ααα ′′=′′×′ c . Formula a treia este acum evidentă. Ultimele două formule se obţin din (28) şi (29) în care utilizăm identitatea ααα ′′=′′×′ c . 4.2. Exerciţii propuse 1) Să se determine curbura curbei plane avînd reprezentarea parametrică

2: ER →α , ( ) ( ) R∈= tttt ,, 3α . 2) Fie curba ( )α , 3

1: E→Iβ o reprezentare naturală a sa, t, n, b versorii reperului Frenet într-un punct oarecare al curbei, τ şi k torsiunea şi respectiv curbura curbei şi vectorul bt k+=τω . Să se arate că:

.,

,

bbnntt

×=′×=′×=′

ωωω

Vectorul ω se numeşte vector Darboux. 3) Să se calculeze curbura curbelor având următoarele reprezentări parametrice: a) 3: ER →α , ( ) ( )332211 ,, tuptuptupt +++=α , 3,1,, =∈ iup ii R ; b) ( ) 32,0: E→πα , ( ) ( ) ( ) R∈∈= RttRtRt ,2,0,0,sin,cos πα .


4) Să se găsească o parametrizare naturală pentru curba de ecuaţii parametrice:

( )( )( ) .,e

,sine,cose

3

2

1

R∈=

=

=

ttxttxttx

t

t

t

5) Fie 3

11 : E→Iβ , 322 : E→Iβ două parametrizări naturale ale aceleiaşi curbe

regulate ( )α . Să se arate că există R∈0s astfel încât ( ) ( )012 sss += ββ , ( ) 2Is∈∀ . 6) Fie curba ( )α de ecuaţii parametrice:

( )( ) ( )( ) ( ) [ ] .0,2,0,sin1

sin1

cos

223

222

221

pqttqptx

tqpqtx

tqpptx

<<∈++=

+−=

−=

π

Să se arate că:

i) imaginea curbei aparţine paraboloidului eliptic 32

22

2

21 2x

qx

px

=+ ;

ii) curba este un cerc, calculând curbura şi torsiunea curbei.

7) Fie curba ( )α de reprezentare parametrică 3: E→Iα , ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2,

3,

4

234 ttttα . Se

cere: i) să se determine punctul p ce aparţine imaginii curbei, în care tangenta la curbă este paralelă cu planul de ecuaţie 023 321 =++ xxx ; ii) să se determine ecuaţiile tangentei normalei principale, binormalei, planelor normal, osculator şi rectificator la curba ( )α în punctul p. 8) Să se arate că tangentele la curba de ecuaţii ( ) ( )ttatx cossin1 += , ( ) ( )ttatx cossin2 −= , tbx −= e3 , 0,0 >>∈ bat R , intersectează planul 21Oxx după cercul 22

221 4axx =+ .

6.4. EXERCIŢII 279

9) Fie curba plană de ecuaţii

( ) ( )( ) [ ] .0,2,0,cos

cossinsin23

2

21

>∈=

+=

attatxtttatx

π

Dacă p şi q sunt punctele de intersecţie al normalelor la curbă cu axele 1Ox şi

2Ox atunci ( ) ad 2, =qp . 10) Să se arate că normalele la curba de ecuaţii parametrice

( ) ( )( ) ( ) [ ] ,0,2,0,cossin

cossin

2

1

>∈−=+=

atttatxttatx

π

se află la aceeaşi distanţă faţă de origine. 11) Să se determine ecuaţiile tangentei şi normalei la curbele de ecuaţii parametrice: i) ( ) ,cos1 tatx = ( ) [ ] .0,0,2,0,sin2 >>∈= battbtx π ii) ( ) ,cos3

1 tatx = ( ) [ ] 0,2,0,sin 3

2 >∈= attatx π . iii) ( ) ( ),sin1 ttatx −= ( ) ( ) ( ) 0,2,0,cos12 >∈−= attatx π . iv) ( ) ,cos1 tattx = ( ) ( ) 0,,0,sin2 >+∞∈= attattx . 12) Să se determine ecuaţiile tangentelor la curba de ecuaţii ( ) ,1 ttx = ( ) R∈+−= ttttx ,34

2 , care trec prin origine.


13) Să se determine parametrul natural (pentru 00 =t ) al curbei de ecuaţii paramerice:

( )( ) .0,,2

,33

2

21

>∈=

=

atattxattx

R

14) Să se determine o parametrizare naturală a curbei:

( )( ) ( ) .,0,sine

,cose

2

1

+∞∈=

=

tttxttx

t

t

15) Să se determine curbura curbei de ecuaţii parametrice:

( )( ) [ ].2,0,sin

,cos

2

1

π∈==

ttbtxtatx

16) Să se calculeze curbura şi torsiunea curbei de ecuaţii parametrice: ( ) 2

1 1 ttx += , ( ) ,2 ttx = ( ) R∈= tttx ,3

3 . 17) Să se arate că toate planele normale la curba:

( )( )( ) [ ] ,2,0,cos

,cossin,sin

3

2

21

π∈===

ttatxttatx

tatx

trec prin origine.

ANEXĂ

A.1. MATRICE. DETERMINANŢI

Fie K un corp comutativ. În cele ce urmează, prin corpul K vom înţelege unul dintre corpurile R (corpul numerelor reale) sau C (corpul numerelor complexe). 1.1. Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau matrice de tip

) un tablou cu m linii şi n coloane nm×

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

L

MLMM

L

L

21

22221

11211

ale cărui elemente njmia ji ,1,,1, == aparţin corpului K. Această matrice se notează ( )

njmiijaA,1,1

=== iar mulţimea matricelor de tipul cu

elemente din corpul K se notează

nm×

( )KnmM , . Dacă nm = , matricea se numeşte pătratică de ordinul n şi notăm ( ) ( )Knnjiij MaA ∈=

= ,1,.

Pentru matricea 1=m ( ) ( )Knn MaaaA ,111211 ∈= L se mai numeşte vector linie iar pentru 1=n matricea

( )K1,

1

21

11

n

n

M

a

aa

A ∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=M

se mai numeşte vector coloană. Unei matrice A de tip putem să-i asociem sistemul ordonat de vectori linie din :

nm×( )KnM ,1

ANEXĂ 282

( ) niaaal iniii ,1,21 == L şi sistemul ordonat de vectori coloană din ( )K1,mM

.,1,2

1

nj

a

aa

c

nj

j

j

j =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=M

1.2. Definiţie. Două matrice ( )

njmiijaA,1,1

=== , ( )

njmiijbB,1,1

=== de acelaşi tip se zic egale

dacă au elementele corespunzătoare egale, adică: ( ) ( ) njmiba ijij ,1,,1, =∀=∀= . 1.3. Definiţie. Se numeşte suma matricei ( )

njmiijaA,1,1

=== cu matricea ( )

njmiijbB,1,1

=== ,

ambele cu elemente din K, matricea, notată cu BA+ , dată de regula: ( )

njmiijij baBA,1,1

==+=+ .

1.4. Definiţie. Se numeşte matrice nulă de tip nm× matricea care are toate elementele egale cu zero şi notăm această matrice cu . ( )KnmM ,

0 Se verifică imediat că operaţia de adunare defineşte pe mulţimea o structură de grup comutativ.

( )KnmM ,

1.5. Definiţie. Se numeşte produsul matricei ( )

njmiijaA,1,1

=== cu scalarul K∈λ

matricea, notată cu Aλ , dată de regula: ( )

njmiijaA,1,1

=== λλ .

Se constată cu uşurinţă că operaţiile de adunare a matricelor şi de înmulţire a matricelor cu scalari definesc în mulţimea matricelor de acelaşi tip o structură de spaţiu liniar. 1.6. Definiţie. Se numeşte transpusa matricei ( ) ( )Knm

njmiij MaA ,,1,1 ∈=

== matricea

A.2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 283

notată ( ) ( )Kmn

minjji

t MaA ,,1,1 ∈=

== , care se obţine din A prin transformarea liniilor în

coloane. 1.7. Definiţie. Se numeşte produsul matricei ( )

njmiijaA,1,1

=== de tipul cu nm×

matricea ( )

pjniijbB,1,1

=== de tipul pn× matricea notată cu AB, de tipul , dată

de regula:

pm×

( )pj

miijcAB,1,1

=== , . ∑

=

=n

kkjikij bac

1

Fie grupul permutărilor cu n elemente şi permutarea nS nS∈σ :

. ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛=

nn

σσσσσ

L

L

321321

1.8. Definiţie. Perechea se numeşte inversiune a permutării ( ji, ) σ dacă ji < şi ( ) ( )ji σσ > . Notăm cu ( )σinv numărul inversiunilor permutării σ .

1.9. Definiţie. Se numeşte signatura (semnul) permutării σ şi notăm ( )σε expresia: . ( ) ( ) ( )σσε inv1−= Se constată cu uşurinţă că avem:

( ) ( ) ( )∏≤<≤ −

−=

nji ijij

1

σσσε .

Fie o matrice pătratică de ordinul n cu elemente din corpul K. (KnMA∈ ) 1.10. Definiţie. Numărul ( ) ( ) ( ) ( )nn

nSaaaA σσ

σσσε L2211det ∑

∈

=

se numeşte determinantul matricei A sau determinant de ordin n şi se mai notează astfel:

ANEXĂ 284

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MLMM

L

L

21

22221

11211

det = .

Uneori se mai notează prescurtat Adet A sau

njiija,1, =

. 1.11. Proprietăţile determinanţilor. 1) Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse, adică . tAA detdet =2) Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul. 3) Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale. 4) Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atunci determinantul său este nul. 5) Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un scalar K∈λ se obţine o matrice al cărui determinant este egal cu λ înmulţit cu determinantul matricei iniţiale. 6) Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale atunci determinantul matricei este nul. 7) Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice este o combinaţie liniară de celelalte linii (sau coloane), atunci determinantul matricei iniţiale este nul. 8) Dacă la o linie (sau coloană) a matrice A adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi scalar, atunci matricea obţinută are acelaşi determinant ca şi matricea A. Fie determinantul de ordinul n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

d

L

MLMM

L

L

21

22221

11211

= .

1.12. Definiţie. Determinantul de ordinul 1−n care se obţine suprimând linia i şi coloana j din determinantul d se numeşte minorul elementului şi se notează

. Elementul se numeşte complementul algebric al elementului în determinantul d.

ija

ijd ( ) ijji

ij d+−= 1δ

ija


1.13. Teoremă. Fie determinantul de ordinul n:

njiijad,1, =

= . Atunci pentru orice are loc egalitatea: ni ≤≤1 ininiiii aaad δδδ +++= L2211 . (1) Egalitatea (1) poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după linia i. 1.14. Corolar. Fie

njiijad,1, =

= un determinant de ordinul n. Pentru orice ji ≠ are loc egalitatea: 02211 =+++ jninjiji aaa δδδ L . (2) Demonstraţie. Fie determinantul

,

21

21

21

11211

nnnn

inii

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

d

L

LLLL

L

LLLL

L

LLLL

L

=′

care s-a obţinut din d prin înlocuirea liniei j cu linia i. Cum d are două linii egale, din proprietatea 4) a determinanţilor rezultă

′0=′d . Egalitatea (2) se obţine

acum dezvoltând determinantul după linia j cu ajutorul formulei (1). 1.15. Teoremă. Fie determinantul de ordinul n:

njiijad,1, =

= . Atunci pentru orice nj ≤≤1 are loc egalitatea: njnjjjjj aaad δδδ +++= L2211 . (3) Egalitatea (3) poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după coloana j. 1.16. Propoziţie. Fie n un număr natural nenul. Atunci pentru orice două matrice

are loc egalitatea: (KnMBA ∈, ) . ( ) BAAB detdetdet ⋅=

ANEXĂ 286

1.17. Definiţie. Matricea pătrată ( )KnMA∈ se numeşte inversabilă dacă există o matrice ( )KnMB∈ astfel încât , nIBAAB == unde este matricea unitate de ordinul n. Matricea B, dacă există, se notează cu nI

1−A şi se numeşte inversa matricei A. 1.18. Teoremă. Matricea ( )KnMA∈ este inversabilă dacă şi numai dacă

. În acest caz 0det ≠A

( ) naA

Ajiij ,1

det1

,1 == +−

şi este complementul algebric al elementului , adică . +

ija jia ( ) jijiji

ij da δ=−= ++ 1 Demonstraţie. Presupunem că matricea A este inversabilă. Există astfel încât . În acest caz avem

( )KnMB∈

nIBAAB == ( ) 1detdet == nIAB sau (propoziţia 1.16) 1detdet =⋅ BA şi cum K∈Adet , rezultă 0det ≠A . Invers, presupunem 0det ≠= Ad . Fie ( )

njiijaA,1, =

++ = , ( ) jijiji

ij da δ=−= ++ 1 şi

( )njiijbBAA

A ,1,det1

=

+ == . Atunci:

( ) ∑∑∑==

+

=

+ =−==n

kjkik

n

kjk

kjik

n

kkjikij a

Ada

Aaa

Ab

111 det11

det1

det1 δ .

Dacă ij = atunci din formula (1), care dă dezvoltarea determinantului după linia i, obţinem . Dacă 1=iib ij ≠ din corolarul 1.14 (formula (2)) obţinem .

Rezultă , adică

0=ijb

nIB = nIAAA

=+

det1 . Analog se arată că nIAA

A=+

det1 , fapt ce

încheie demonstraţia. 1.19. Definiţie. Fie ( ) ( )Knnjiij MaA ∈=

= ,1,. Matricea ( ) ( )

njijinjiijaA,1,,1, ==

++ == δ se numeşte reciproca matricei A. Dacă matricea ( )KnjMA∈ este inversabilă, din teorema 1.18 şi definiţia 1.19 rezultă:


+− = AA

Adet

11 .

1.20. Teoremă (regula lui Cramer): Fie un sistem de n ecuaţii liniare cu n necunoscute, cu coeficienţi din corpul K:

.2211

22222121

11212111

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

(4)

Notăm cu ( )

njiijaA,1, =

= matricea coeficienţilor. Dacă 0det ≠= Ad atunci sistemul (4) are o unică soluţie dată de egalităţile:

ddx 1

1 = , ddx 2

2 = , ddx n

n =,L ,

unde

nnnn

n

n

aab

aabaab

d

L

MLMM

L

L

2

2222

1121

1 = ,

nn

n

n

inninn

ii

ii

i

a

aa

abaa

abaaabaa

dM

LL

LMMMMM

LL

LL

2

1

1,1,1

1,221,221

1,111,111

−−

−−

−−

= ,

nnn

n

baa

baabaa

d

L

MLMM

L

L

21

22221

11211

= .

Demonstraţie. Cu notaţiile ( ) t

nxxxX L21= , ( ) tnbbbB L21= sistemul (4) se

scrie sub forma BAX = . (5)

Dacă înmulţim în (5) la stânga cu 1−A obţinem BAX 1−= şi cum +− = AA

Adet

11 ,

ANEXĂ 288

( )

njijiA,1, =

+ = δ , deducem: ( ) ijji

ij d+−= 1δ

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

∑

∑

∑

=

=

=

−

dd

dddd

b

b

b

dBAX

nn

jjnj

n

jjj

n

jjj

MM

2

1

1

12

11

1 1

δ

δ

δ

,

sau

ddx 1

1 = , ddx 2

2 = , ddx n

n =,L .

Fie matricea ( ) ( )Knm


== .

1.21. Definiţie. Se numeşte matrice extrasă din matricea A (sau submatrice a matricei A) orice matrice B obţinută din A eliminând anumite linii şi coloane şi păstrând ordinea liniilor şi coloanelor rămase. Numim minor de ordin al matricei A determinantul unei submatrice de ordinul p a lui A.

1, ≥pp

1.22. Definiţie. Fie o matrice nenulă. Se numeşte rangul matricei A numărul r egal cu ordinul maxim al minorilor nenuli ai matricei A.

( )KnmMA ,∈

Vom nota Ar rang= . Dacă atunci luăm prin definiţie ( )KnmMA

,0= 0rang =A .

Cu alte cuvinte, rangul unei matrice are următoarele proprietăţi: 1) există un minor de ordinul r nenul; 2) orice minor de ordin mai mare ca r este egal cu zero. Din definiţia rangului şi din proprietăţile determinanţilor rezultă următoarele proprietăţi ale rangului unei matrice: 1) ; ( )nmA ,minrang0 ≤≤2) ; tAA rangrang =30 rangul unei matrice nu se modifică prin permutarea liniilor sau coloanelor matricei; 4) rangul unei matrice nu se schimbă dacă înmulţim o linie (sau coloană) cu un scalar nenul din K;


5) rA =rang dacă şi numai dacă există un minor de ordinul r nenul al lui A şi orice minor de ordinul 1+r al lui A este nul. Fie ( ) ( )Knm


== . Vom nota cu ( )Knm Mlll ,121 ,,, ∈L vectorii linie şi

cu vectorii coloană asociaţi matricei A. Considerăm acoperirile liniare

( )K1,21 ,,, mn Mccc ∈L

( )mlllL ,,, 21 L şi ( )ncccL ,,, 21 L ale acestor vectori, mulţimi care sunt subspaţii liniare în ( )KnM ,1 şi respectiv ( )K1,mM . 1.23. Teoremă (Kronecker). Rangul matricei ( )KnmMA ,∈ este egal cu numărul maxim de coloane (respectiv linii) care sunt liniar independente, adică: ( ) ( )nm cccLlllLA ,,,dim,,,dimrang 2121 LL == . Demonstraţie. Fie Ar rang= . Pentru ( )KnmMA

,0= afirmaţia din teoremă este

evidentă. Dacă ( )KnmMA,

0≠ atunci 0≠r şi deci există un minor de ordinul r nenul. Deoarece rangul unei matrice nu se schimbă prin permutarea liniilor sau coloanelor, putem presupune că submatricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

rrrr

r

r

aaa

aaaaaa

B

L

MLMM

L

L

21

22221

11211

este nesingulară. Pentru a arăta că ( )ncccLr ,,,dim 21 L= trebuie să arătăm că vectorii sunt liniar independenţi şi că formează un sistem de generatori pentru subspaţiul liniar

rccc ,,, 21 L

( )ncccL ,,, 21 L . Fie combinaţia liniară ( )K1,2211 mMrrccc 0=+++ ααα L ; scrisă pe componente,

egalitatea de mai sus reprezintă un sistem omogen de r ecuaţii liniare. Primele r ecuaţii ale acestui sistem sunt:

.0

0

0

2211

2222121

1212111

=+++

=+++

=+++

rrrrr

rr

rr

aaa

aaa

aaa

ααα

ααα

ααα

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

Cum , pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica regula lui Cramer 0det ≠B

ANEXĂ 290

şi obţinem astfel 021 ==== rααα L , rezultat care implică liniar independenţa vectorilor . rccc ,,, 21 L

Să arătăm acum că vectorii formează un sistem de generatori pentru subspaţiul liniar

rccc ,,, 21 L

( )ncccL ,,, 21 L . Pentru aceasta este suficient să arătăm că orice

coloană nrjc j ,1, += este o combinaţie liniară a coloanelor . Fie matricea pătratică

rccc ,,, 21 L

,

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

ijirii

rjrrrr

jr

jr

aaaaaaaa

aaaaaaaa

M

L

L

MMLMM

L

L

21

21

222221

111211

unde ni ,1= şi nrj ,1+= . Dacă ri ≤ avem 0det =A deoarece M are două linii egale; dacă ri > avem 0det =A deoarece rA =rang şi M este o matrice pătratică de ordinul 1+r . Dacă notăm cu α complementul algebric al lui şi cu

ija

kα complementul algebric al lui în M, atunci prin dezvoltarea lui după ultima linie obţinem:

ika Mdet

02211 =+++ ririi aaa ααα L . Deoarece 0≠α , egalitatea de mai sus ne dă

( ) miaaaa irr

iiij ,1,022

11 =∀=−−−−=

αα

αα

αα

L

şi cum rααα ,,, 21 L nu depind de i, rezultă:

( ) micccc rr

j ,1,022

11 =∀=−−−−=

αα

αα

αα

L .

Ultima egalitatea arată că vectorii formează un sistem de generatori pentru subspaţiul liniar

rccc ,,, 21 L

( )ncccL ,,, 21 L . Deoarece egalitatea ( )mlllLr ,,,dim 21 L= se arată în mod analog, teorema este demonstrată.


1.24. Corolar. Determinantul unei matrice pătratice este nul dacă şi numai dacă una dintre liniile (respectiv coloanele sale) este o combinaţie liniară de celelalte linii (respectiv coloane). Demonstraţie. Fie ( ) ( )Knnjiij MaA ∈=

= ,1,. Vom face demonstraţia pentru liniile

matricei A. Dacă atunci 0det =A 1rang −≤ nA . Din teorema 1.23 rezultă că ( ) 1,,,dim 21 −≤ nlllL nL , deci vectorii sunt liniar dependenţi; acest

rezultat arată că unul din aceşti vectori este o combinaţie liniară a celorlalţi. nlll ,,, 21 L

Reciproc, să presupunem că vectorii sunt liniar dependenţi. Atunci nlll ,,, 21 L

( ) 1,,,dim 21 −≤= nlllLr nL şi de aici rezultă 0det =A .

A.2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Fie sistemul de m ecuaţii cu n necunoscute

,2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

(1)

unde ( ) njmiba iij ,1,,1,, ==∀∈K . 2.1. Definiţie. Sistemul (1) se numeşte compatibil dacă are cel puţin o soluţie. Dacă 021 ==== mbbb L sistemul (1) capătă forma

.0

00

2211

2222121

1212111

=+++

=+++=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

(2)

şi se mai numeşte sistem omogen ataşat sistemului (1). Se constată cu uşurinţă că orice sistem omogen este compatibil deoarece admite soluţia banală 021 ==== nxxx L . Fie ( )

njmiijaA,1,1

=== matricea coeficienţilor sistemului (1) şi eA matricea

ANEXĂ 292

.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmnmm

n

n

e

baaa

baaabaaa

A

L

MMMMM

L

L

21

222221

111211

2.2. Definiţie. Matricea eA se numeşte matricea extinsă a sistemului (1). Dacă notăm cu coloanele matricei A şi cu nccc ,,, 21 L ( ) t

mbbbb L21= coloana termenilor liberi atunci sistemul (1) se scrie sub forma:

. (3) ∑=

=n

iii bxc

1

2.3. Teoremă (Kronecker-Capelli). Sistemul (1) este compatibil dacă şi numai dacă . eAA rangrang = Demonstraţie. Presupunem că sistemul (1) este compatibil; fie ( )nξξξ ,,, 21 L o soluţie a sa. Din (3) obţinem

, ∑=

=n

iiicb

1ξ

deci coloana b este o combinaţie liniară a coloanelor matricei A, ceea ce implică

. De aici rezultă ( ncccLb ,,, 21 L∈ ) ( ) ( )bcccLcccL nn ,,,,,,, 2121 LL = şi cu teorema lui Kronecker 1.23 obţinem . eAA rangrang =Reciproc, presupunem că . Din teorema lui Kronecker rezultă

şi cum, în mod evident, avem

eAA rangrang =( ) ( bcccLcccL nn ,,,,dim,,,dim 2121 LL = )

( ) ( )bcccLcccL nn ,,,,,,, 2121 LL ⊆ obţinem ( ) ( bcccLcccL nn ,,,,,,, 2121 LL )= . Deci , adică există ( ncccLb ,,, 21 L∈ ) K∈nααα ,,, 21 L astfel încât nncccb ααα +++= L2211 . Aceasta înseamnă că ( )nααα ,,, 21 L este o soluţie a sistemului (1), deci acest sistem este compatibil. Teorema este demonstrată. Fie ( )

njmiijaA,1,1

=== matricea coeficienţilor sistemului (1); definim operatorul

astfel: ( ) ( )KK 1,1,: mn MMU →


( ) ( )∀= ,xAxU ( ) ( )K1,21 n

tn Mxxxx ∈= L . (4)

Acest operator este evident liniar. În plus imaginea operatorului U este: . ( )ncccLU ,,,Im 21 L= Se constată cu uşurinţă că mulţimea soluţiilor sistemului liniar omogen (2) este egală cu nucleul operatorului U. 2.4. Teoremă. Subspaţiul liniar al soluţiilor sistemului (2) are dimensiunea egală cu An rang− . Demonstraţie. Sistemul (2) fiind omogen, mulţimea soluţiilor sale coincide cu nucleul operatorului U. Deoarece spaţiul liniar ( )K1,nM are dimensiunea n iar operatorul U este liniar, teorema 2.5, capitolul 2, ne dă:

nUU =+ KerdimImdim . Cum ( ) AcccLU n rang,,,dimImdim 21 == L , rezultă şi teorema este demonstrată.

AnU rangKerdim −=

2.5. Corolar. Un sistem liniar omogen are numai soluţia banală dacă şi numai dacă An rang= . 2.6. Definiţie. Numim sistem fundamental de soluţii al unui sistem liniar omogen orice bază a subspaţiului liniar al soluţiilor acestui sistem. Considerăm acum sistemul (1) compatibil, S mulţimea soluţiilor acestui sistem şi

o soluţie particulară. Fie mulţimea ( ) Sxxxx tn ∈= 00

2010 L

{ }UxxxKerUx Ker00 ∈+=+ , unde U este operatorul dat de relaţia (4). 2.7.Teoremă. Dacă sistemul (1) este compatibil atunci UxS Ker0 += . 2.8. Corolar. Dacă sistemul (1) este compatibil, atunci el are o soluţie unică dacă şi numai dacă An rang= . 2.9. Corolar. Fie . Sistemul (1) are o soluţie unică dacă şi numai dacă nm =

ANEXĂ 294

0det ≠A . În acest caz soluţia sistemului (1)se obţine cu regula lui Cramer.

2.10. Observaţie. Fie rA =rang , ( ){ }riiriii ,1,,, 21 == ξξξξ L , un sistem fundamental de soluţii al sistemului (2). Cu teorema 2.7 rezultă că mulţimea soluţiilor sistemului (1), în cazul în care aceste este compatibil, este: { },nixS irr 1,22110 =∈++++= Rαξαξαξα L . Fie sistemul (1), cu . Printr-o eventuală renumerotare a ecuaţiilor şi necunoscutelor sistemului, putem presupune că matricea

rAA e == rangrang

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

rrrr

r

r

aaa

aaaaaa

M

L

MLMM

L

L

21

22221

11211

are rangul r. În acest caz se numeşte minor principal al sistemului (1). Asociem sistemului (1) sistemul:

Mdet

.2211

22222121

11212111

rnrnrr

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

(5)

Necunoscutele se numesc necunoscute principale , iar necunoscute secundare.

rxxx ,,, 21 L nr xx ,,1 L+

Se poate arăta că mulţimea soluţiilor sistemului (5) coincide cu mulţimea soluţiilor sistemului (1). Cu observaţia 2.10 rezultă că pentru a determina soluţia generală a sistemului (1) este suficient să determinăm o soluţie particulară a sa şi un sistem fundamental de soluţii al sistemului (5). Acest sistem fundamental se determină astfel: 1) se atribuie unei necunoscute secundare valoarea 1 iar celelalte necunoscute secundare se iau egale cu 0; 2) se rezolvă sistemul (5) cu regula lui Cramer; 3) soluţiile astfel obţinute, care sunt în număr de rn− , formează sistemul fundamental de soluţii căutat.

BIBLIOGRAFIE

1. Bă lan, V., Algebră liniară, geometrie analitică, Editura Fair Partners, Bucu-

reşti, 1999. 2. Blaga, A.P. , Lectures on Classical Differential Geometry, Editura

Risoprint, Cluj-Napoca, 2005. 3. Brânzănescu, V., Stănăş i lă , O., Matematici speciale, Editura All, Bucu-

reşti, 1998. 4. do Carmo, M., Differenţial Geometry of Curves and Surfaces, Prentice

Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976. 5. Colojoară , I., Analiză matematică , Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1983. 6. Cruceanu, V., Elemente de algebră liniară şi geometrie, Editura Didactică

şi Pedagogică, Bucureşti, 1973. 7. Démidovitch, B., Maron, I . , Eléments de calcul numérique, Éditions

Mir, Moscou, 1979. 8. Gibson, C.G., Elementary Geometry of Differentiable Curves. An

Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

9. Grigore, Gh., Lecţii de analiză numerică, Tipografia Universităţii Bucu-reşti, 1990.

10. Horn, R. A., Johnson C.R., Analiză matricială, Editura Theta, Bucu-reşti, 2001.

11. Ianuş , S. , Curs de geometrie diferenţială, Editura Universităţii Bucureşti, 1981.

12. Ion, D. I . , Nicolae, R., Algebra, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucu-reşti, 1981.

13. Kühnel, W., Differenţial geometry. Curves, Surfaces, Manifolds, American Mathematical Society, 2005.

14. Miron, R., Geometrie analitică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1976.

15. Năstăsescu, C., Ni ţă C. ,Vraciu, C., Bazele algebrei, Vol. 1, Editura Academiei, Bucureşti, 1986.

16. Nicolescu, M., Dinculeanu, N., Marcus, S. , Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971.

BIBLIOGRAFIE 296

17. O’Neill , B. , Elementary Differential Geometry, Academic Press, New

York, 1967. 18. Pascu, M., Analiză matematică (două volume), Editura Universităţii

Petrol-Gaze din Ploieşti, 2008. 19. Ristea, I . , Isbăşoiu, D., Algebră liniară, Editura Premier, Ploieşti,

1999. 20. Ristea, I . , Isbăşoiu, D., Geometrie analitică şi diferenţială, Editura

Premier, Ploieşti, 2000. 21. Soós, E. , Teodosiu, P. , Calcul tensorial cu aplicaţii în mecanica soli-

delor, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1983. 22. Şabac, I. Gh., Matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucu-

reşti, 1981. 23. Udriş te , C. , Algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1982. 24. Vîlcu, A.D., Vîlcu, G.E, Geometrie analitică şi vectorială, Editura

Printech, Bucureşti, 2004.

NOTAŢII

V spaţiu liniar nV spaţiu liniar de dimensiune n

H spaţiu Hilbert K corp comutativ R corpul numerelor reale

nR spaţiul liniar aritmetic de dimensiune n C corpul numerelor complexe N mulţimea numerelor naturale

( )KnmM , spaţiul liniar al matricelor de tip nm× cu elemente din K ( )KnM spaţiul liniar al matricelor de ordinul n cu elemente din K

( )AL acoperirea liniară a mulţimii A V0 elementul neutru al spaţiului liniar V

( )njmiijaA,1,1

=== matrice cu m linii şi n coloane

tA transpusa matricei A ∗A adjuncta matricei A +A reciproca matricei A ATr urma matricei A

Adet determinantul matricei A Arang rangul matricei A

nI matricea unitate de ordinul n [ ]baC , spaţiul liniar al funcţiilor reale continue de o variabilă [ ]bax ,∈

[ ]baC ,1 spaţiul liniar al funcţiilor reale continue, cu derivata continuă pe [ ]ba,

( )RC spaţiul liniar al funcţiilor reale continue de o variabilă reală ( )RP spaţiul liniar al polinoamelor ( )RnP spaţiul liniar al polinoamelor de grad cel mult n [ ]baL ,2 spaţiul liniar al funcţiilor de pătrat integrabil

( )Rl spaţiul liniar al şirurilor de numere reale ( )Cl spaţiul liniar al şirurilor de numere complexe ( )3EpT spaţiul tangent la 3E în punctul p ( )nGL R grupul liniar pe nR( )nO R grupul ortogonal pe nR( )nSO R grupul special ortogonal pe nR

NOTAŢII 298

( )Scard numărul de elemente ale mulţimii S

( )WV ,L spaţiul liniar al operatorilor liniari WV →:U ( )VEnd spaţiul liniar al endomorfismelor spaţiului V

∗U adjunctul operatorului liniar U UKer nucleul operatorului liniar U

UIm imaginea operatorului liniar U ( )Uσ spectrul operatorului U

Ae exponenţiala matricei A ( )σε signatura permutării σ

z conjugatul numărului complex z ( )λam multiplicitatea algebrică a valorii proprii λ ( )λgm multiplicitatea geometrică a valorii proprii λ >⋅⋅< , produs scalar

⊥M complementul ortogonal al subspaţiului liniar M ⊕ sumă directă de subspaţii liniare ( neee ,,, 21 LΓ ) determinantul Gram al vectorilor neee ,,, 21 L

⋅ modulul ⋅ norma ⎯→⎯ ⋅ convergenţa în normă

min valoare minimă max valoare maximă inf margine inferioară sup margine superioară

INDEX

acoperirea liniară, 15 con, 222 adjunctul unui operator, 85 conică, 200 adunarea vectorilor, 9 conică cu centru, 206 algebră normată, 78 conice echivalente izometric, 203 algebră, 78 conică degenerată, 210 aplicaţia identitate, 186 conică nedegenerată, 210 aplicaţie liniară, 61 convergenţă în normă, 34 astroida, 259 coordonate carteziene, 175 automorfism, 61 coordonate curbilinii, 182 coordonate curbilinii ortogonale, 182 bază, 22 coordonate euclidiene, 41, 179 bază canonică, 22 coordonatele unui vector, 23 bază duală, 82 criteriul lui Sylvester, 166 bază naturală, 183 cuadrică, 215 bază ortonormată, 40 cuadrică cu centru, 218 bază reciprocă, 230 cuadrică cu dreaptă de centre, 218 binormală, 245 cuadrică cu plan de centre, 218 bloc Jordan, 111 cuadrică fără dreaptă de centre, 218 cuadrică degenerată, 218 cardioida, 260, 269 cuadrică nedegenerată, 218 câmp vectorial, 177, 246 cuadrice echivalente izometric, 217 câtul Rayleygh-Ritz, 126 curba lui Viviani centru de simetrie, 205 curbă, 236 celulă Jordan, 111 curbă coordonată, 182 cerc, 201 curbă de clasă kCcicloida, 261 curbă de gradul doi, 200 cicloida a lungită, 262 curbă Frenet,242 cicloida scurtată, 262 curbă închisă, 237 cilindru eliptic, 222 curbă netedă, 238 cilindru hiperbolic, 222 curbă plană, 253 cilindru parabolic, 222 curbă regulată, 238 cisoida lui Diocles, 262 curbă simplă, 237 coeficienţi Fourier, 38 curbura unei curbe, 248 coeficienţii lui Lamé, 183 combinaţie liniară, 15 defectul unui operator, 65 complement algebric,284 determinant de ordin n, 283 complementul ortogonal, 42, 159 determinantul Gram, 51 complexificatul unui endomorfism, 103 determinant funcţional, 181

INDEX 300

difeomorfism de clasă , 181 kC epimorfism, 61 difeomorfism pe imagine, 181 exponenţiala unei matrice, 138 dimensiunea unui spaţiu liniar, 22 expresie canonică, 160 distanţă, 36 distanţă euclidiană, 178 foliumul lui Descartes, 263 dezvoltare ortogonală, 179 forma canonică Jordan, 112 dreaptă, 28, 195 formă biliniară hermitică, 153 dreaptă de centre, 206 formă biliniară nedegenerată, 156 dreaptă dublă, 222 formă biliniară simetrică, 153 drepte confundate, 202 formă biliniară, 153 drepte paralele, 202 formă liniară, 80 drepte secante, 201 formă pătratică nedefinită, 166 drum, 233 formă pătratică, 158 drum simplu, 233 formă pozitiv definită, 154, 166 drum de clasă , 234 kC formă pozitiv semidefinită, 154, 166 drum închis, 233 formula lui Lagrange, 148 drum regulat, 234 formulele lui Frenet, 250 drumuri echivalente, 236 funcţia de matrice, 137, 204 dualul unui spaţiu liniar, 82 funcţie vectorială, 233 funcţii de coordonate euclidiene, 177, 247 ecuaţia redusă a unei conice, 210 funcţională liniară, 80 ecuaţia redusă a unei cuadrice, 220 ecuaţia generală a unui plan, 199 gradient, 264 ecuaţia generală a unei conice, 200 grupul liniar, 71 ecuaţia generală a unei cuadrice, 215 grupul ortogonal, 90 ecuaţia planului determinat de trei puncte necoliniare, 200

grupul special ortogonal, 90

ecuaţia planului prin tăieturi, 200 grupul translaţiilor, 90 ecuaţia vectorială a unei drepte, 196 ecuaţia vectorială a unui plan, 197 hiperbola, 201 ecuaţie caracteristică, 102 hiperboloidul cu două pânze, 221 ecuaţii canonice, 196 hiperboloidul cu o pânză, 221 ecuaţiile implicite ale unei curbe, 257 hiperplan, 29 ecuaţiile parametrice ale unei drepte, 196 homeomorfism, 235 ecuaţiile parametrice ale unui plan, 198 homeomorfism direct, 235 ecuaţiile unei curbe, 237 homeomorfism invers, 235 elicea cilindrică, 234 elipsa, 200 identitatea de polarizare, 36 elipsoid, 220 identitatea lui Jacobi, 230 endomorfism, 61 identitatea paralelogramului, 36 endomorfism asociat, 117 imagine stabilă, 113 endomorfism diagonalizabil, 103 imaginea unui drum, 233

INDEX 301

endomorfism nilpotent, 73 imaginea unui operator, 64 inegalitatea lui Bessel, 38 inegalitatea Cauchy-Buniakovski, 32 invariant izometric, 204 minor de ordin p, 296 inversiune, 283 minor,178 involuţie, 73 monomorfism, 61 izometrie, 90, 186 morfism, 61 izomorfism canonic, 30 multiplicitate algebrică, 104 izomorfism natural, 176 multiplicitate geometrică, 104 izomorfism, 29 mulţime liniar dependentă, 19 mulţime liniar independentă, 18 înmulţirea cu scalari, 9 mulţime ortogonală, 36 înmulţirea operatorilor, 77 mulţime ortonormată, 37 mulţime plană, 28 jacobian, 181 mulţimi perpendiculare, 36 lege de compoziţie externă, 9 necunoscute principale, 294 lege de compoziţie internă, 9 necunoscute secundare, 294 legea inerţiei,168 norma euclidiană, 33 lema schimbului, 23 norma generată de produsul scalar, 35 lemniscata lui Bernoulli, 265 norma indusă, 77 lungimea unei curbe, 238 normală principală, 245 normă matriceală, 80, 135 matrice, 175 normă, 33 matrice adjunctă, 43 norme echivalente, 75 matrice antisimetrică, 14 nucleu stabil, 113 matrice asemenea, 71 nucleul unei forme biliniare, 157 matrice asociată unei conice, 202 nucleul unui operator, 64 matrice asociată unei cuadrice, 216 matrice de rotaţie, 90 operator autoadjunct, 87 matrice de trecere, 26 operator de incluziune, 61 matrice diagonalizabilă, 103 operator hermitic, 87 matrice extinsă, 292 operator inversabil, 64 matrice hermitică, 87 operator liniar continuu, 73 matrice inversabilă, 286 operator liniar, 61 matrice nulă, 282 operator mărginit, 74 matrice ortogonală, 43 operator ortogonal, 90 matrice pătratică, 175 operator pozitiv, 130 matrice reciprocă, 111, 286 operator simetric, 87 matrice simetrică, 14 operator unitar, 88 matrice transpusă, 282 operatorul de derivare, 61 matrice unitară, 43 operatorul integral, 61 matricea ataşată unui operator, 69 ordinul de multiplicitate al unui punct, 234 matricea rotaţiei plane, 188 orientarea unei baze, 272

INDEX 302

metoda lui Gauss, 162 origine, 282 parametrizare a unei curbe, 237 reparametrizare, 237 plan, 197 reper, 179 plan normal, 242 repre Frenet, 249 plan osculator reper natural, 177 plan rectificator, 245 reprezentare parametrică, 237 parabola, 202 reprezentarea explicită a unei curbe, 267 paraboloid eliptic, 221 reprezentarea unei curbe în coordonate

polare, 268 paraboloid hiperbolic, 221 rotaţia în jurul unei axe, 187 partea vectorială a unui vector tangent, 176 parametri directori, 196, 199 schimbare de parametru, 237 parametrizare globală, 237 signatura unei permutări, 283 parametrizare locală, 237 simbolul lui Kronecker, 37 parametrizare naturală (canonică), 239 simetrie, 91, 191 pereche de plane paralele, 223 sistem caracteristic, 102 pereche de plane secante, 222 sistem de coordonate, 177 polara unei forme pătratice, 158 sistem de coordonate cilindrice, 183 polinoamele lui Legendre,51 sistem de coordonate ortogonale, 181 polinom caracteristic, 102 sistem de coordonate polare, 185 procedeul Gram-Schmidt, 40 sistem de coordonate sferice, 184 produs mixt, 181 sistem de generatori, 21 produs scalar, 31, 177 sistem fundamental de soluţii, 293 produs scalar, 31 sistem ortonormat, 38 produs vectorial, 179 spaţii liniare izomorfe, 29 produsul operatorilor liniari, 64, 78 spaţiu Banach, 34 proiecţie, 42, 73 spaţiu euclidian, 35 punct, 281 spaţiu Hilbert, 35 punct critic, 255 spaţiu liniar (vectorial), 9 punct dublu, 201 spaţiu liniar complex (unitar), 9 punct de aplicaţie, 176 spaţiu liniar finit generat,21 punct fix, 192 spaţiu liniar infinit generat, 21 punct inflexional, 244, 274 spaţiu liniar n-dimensional, 22 punct multiplu, 233 spaţiu liniar normat complet, 34 punct regulat, 264 spaţiu liniar normat, 34 punct simplu, 233 spaţiu liniar real, 9 punct singular, 234 spaţiu metric, 36 spaţiu prehilbertian complex, 31 rangul unei forme biliniare, 156 spaţiu prehilbertian real, 31 rangul unei matrice, 288 spaţiu tangent, 176 rangul unui operator, 65 spaţiul aritmetic de dimensiune n, 11 raza spectrală, 136 spaţiul liniar finit generat, 21

INDEX 303

regula lui Cramer, 287 spectru, 99 spirala lui Arhimede, 268 transformări de coordonate, 182 spirala hiperbolică, 268 translaţie, 90, 186 spirala logaritmică, 269 trohoida, 261 strofoida dreaptă, 263 structură complexă, 73 unghiul a doi vectori, 39 submatrice, 182 unghiurile lui Euler, 189 subspaţii complementare, 17 subspaţiu asociat, 117 valoare proprie, 99 subspaţiu director, 29, 195 varietate liniară, 28 subspaţiu invariant, 99 vector coloană, 175 subspaţiu liniar generat de o mulţime, 15 vector director, 196, 199 subspaţiu liniar, 12 vector de înălţime k, 121 subspaţiu propriu, 12, 100 vector în 3E , 282 subspaţiu U-ciclic, 114 vector linie, 281 subspaţiul nul, 12 vector propriu, 99 suma de subspaţii liniare, 14 vector, 9 suma de subspaţii liniare,14 vector legat, 176 suma directă, 16 vector tangent la 3E , 176 suprafaţă coordonată, 182 vector tangent la o curbă, 239 suprafaţă de ordinul doi, 215 vectori contravarianţi, 27 vectori ortogonali, 36 şir Cauchy, 34 vectori paraleli, 176 versor, 178 tangenta la o curbă, 242 versor tangent, 241 teorema Cayley-Hamilton, 110 versorul binormalei, 248 teorema funcţiilor implicite, 256 versorul normalei principale, 248 teorema infsup, 133 vârf al unui vector, 176 teorema Kronecker-Capelli, 292 teorema lui Grassmann, 24 teorema lui Jacobi, 164 teorema lui Jordan, 123 teorema lui Kronecker, 289 teorema lui Pitagora, 38 teorema lui Riesz, 83 teorema Rayleigh-Ritz, 131 torsiune, 249 transformare ortogonală, 189 transformare ortogonală de specia întâia, 191

transformare ortogonală de specia a doua, 191

transformare liniară,61

INDEX 304

Transformare regulată, 181

algebra liniara geometrie analitica si diferentiala

Documents