AFLAREA ULTIMEI CIFRE A UNUI NUMAR NATURAL SCRISSUB FORMA DE PUTERE

Introducere

1) Se stie ca un numar natural care este patrat perfect (p.p.) areultima cifra una din cifrele: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Iar un numar natural carenu este patr. perf. are ultima cifra una din cifrele: 2, 3, 7, 8.

2) Sa mai remarcam ca numerele naturale terminate cu una dincifrele 0, 1, 5 sau 6, la orice putere s-ar ridica se vor termina tot cucifra respectiva. Exemple: 705 = … 0; 413 = 68921; 8523 = … 5; 567

= 1727094849536. Ingeneral: (… 0)n = … 0; (… 1)n = … 1; (… 5)n

= … 5; (… 6)n = … 6.

********************************************************************************************************************************************************************

Aflarea ultimei cifre a unui numar natural scris sub forma de putere.Exemple:

1) Aflarea ultimei cifre a numarului 42002 . Cercetăm mai întâi careeste ultima cifra a puterilor lui 4 până până ajungem la o putere careare ultima cifră: 0,1,5 sau 6. Avem 41 = 4; 42 = …6 ; 43 =…4; 44 = …6. Constatăm că ultima cifră se repetă. Aceasta seîntâmplă de atâtea ori de câteori se cuprinde exponentul 2 în 2002 , de 1001 ori. Deci 42002 =(42)1001 = ( … 6)1001 = … 6.

2) Aflarea ultimei cifre a numarului 3111 . Cercetăm ultima cifra aputerilor lui 3. Avem 31 = …3; 32 = …9; 33 = …7; 34 = …1; 35 =…3; de aici încolo ultima cifra se repeta, adica 36 = ?; 37 = ?; 38 = ?

Dar de cîte ori se ia 34 pentru a se ajunge la 3111 ? Se procedeazaastfel: se împarte 111 la 4. Deci 111 = 4 27 + 3. De aici avem ca3111 = 34 27 + 3 = 34 27 33 = (34)27 33 = ( … 1)27 33 = ( … 1) 27 = …7 . Ultima cifra, deci, a numarului 3111 este 7.

3) Aflarea ultimei cifre a numarului 7999 . Avem 71 = …?; 72 = …?;73 = …?; 74 = …? Apoi7999 = 74 249 + 3 = (verificati ca 999 : 4 = 249 rest 3) = (??) 249 ?? = ( …?) 249 ??? = ( … ?) (…?) = … ? (Inlocuiti semnele de intrebare cucifrele necesare).

4) Aflati pe caiete ultima cifra a numerelor 81001 ; 22003 .

5) Sa se arate (pe caiete) ca numarul 21999 + 72000 + 92001 nu estepatrat perfect.

*****************************************************************************************************************************************