Integrale prime

160Sisteme de ecuaii difereniale de ordinal nti

159Integrale prime

Integrale primeO importan deosebit n studiul soluiilor ecuaiilor difereniale ca i n mecanic, geometrie diferenial, etc., o reprezint noiunea de integral prim. Se consider sistemul linear de ecuaii difereniale scris sub forma normal

,(2.1)

unde este o funce nvectorial definit pe , este de clas . Funcia vectorial , reprezint funcia necunoscut care depinde de variabila independent i este de clas . n cazul general, sistemul (2.1) poate fi scris sub forma

(*)sau sub forma echivalent a unui ir de rapoarte, cnd spunem c sistemul diferenial este scris sub forma simetric

.(**)

Scrierea sistemului (*) sub forma simetric (**) este util n multe raionamente. De exemplu, dac sistemul diferenial este scris sub forma simetric (**), atunci nu este fixat care din cele () variabile este considerat ca variabil independent.2.1. Definiie. Funcia se numete integral prim a sistemului (2.1) (sau a cmpului vectorial ) dac pentru orice soluie a sistemului (2.1), pentru care , funcia , definit prin

,este constant pe . Desigur, vom considera cazul cnd nu se reduce la o constant, dar ia valoarea constant n lungul oricrei soluii a sistemului. Altfel spus, exist o constant astfel nct n lungul oricrei soluii , sau nc, graficele soluiilor sistemului (2.1) (curbele integrale ale sistemului) sunt curbe care rmn pe suprafeele de nivel constant ale funciei , definite prin

.(2.2)Deci, curbele integrale sunt linii de nivel constant ale funciei .

2.2. Observaie. Integralele prime ale ale unui sistem diferenial nu sunt unice: de exemplu, orice funcie constant este o integral prim (banal); integralele prime banale nu prezint interes.

Vom observa c orice funcie arbitrar de oricare dintre integralele prime ale sistemului este de asemenea o integral prim a sistemului, adic dac sunt integrale prime ale sistemului i este o funcie oarecare, atunci funcia , definit prin este o integral prim deoarece prin substituirea unei soluii arbitrare, toate funciile i, prin urmare i funcia , se reduc la constante.Este evident c integrala prim fiind o consecin a celor integrale prime nu este independent i de acestea nici astfel de integrale prime nu prezint interes.2.3. Teorem (Criteriu pentru integrale prime). Condiia necesar i suficient pentru ca funcia , de clas pe , s fie integral prim a sistemului (2.1), deci a cmpului vectorial continuu , este ca n s se verifice identitatea

.(2.3)

Demonstraie. Fie i funcie continu. Atunci din teorema de existen i unicitate a lui Peano, exist o soluie a.. . Deoarece i este integral prim a sistemului atunci exist astfel nct , , deci are derivata nul:

.

Deoarece este soluie a sistemului, atunci i relaia de mai sus poate fi scris n punctul sub forma

.

Cum punctul este ales arbitrar n rezult c relaia (2.3) este verificat i prin urmare necesitatea este demonstrat.. Suficiena condiiei se verific relativ uor, deoarece dac este o soluie a sistemului (2.1) i n ipoteza c relaia (2.3) este verificat n orice punct , avem

.Deci, exist , astfel nct .

Aceast teorem este important deoarece permite verificarea faptului c o funcie este integral prim fr s fie necesar cunoaterea soluiilor sistemului.2.4. Interpretare geometric a integralei prime. Analizm cazul unei singure ecuaii difereniale

,(2.4)

Presupunem c s-au nmulit numitorii sistemului (2.4)2 cu un anumit factor i atunci cele dou rapoarte ale sistemului (2.4)2 au acum la numitor funciile , respectiv . Dac notm, pentru simetrie, variabilele , respectiv cu literele , atunci putem scrie sistemul de ecuaii (2.4)2 sub formele echivalente:

,,(2.5)

sau

.(2.5')

n multe cazuri, soluiile sistemului simetric (2.4) nu pot fi determinate dect sub form parametric

(2.6)

unde funcia este inversabil pe , avnd inversa egal cu , iar dac funcia este soluia ecuaiei difereniale (2.4), atunci funcia s fie soluie a ecuaiei difereniale (2.4).

Dac notm valoarea comun a rapoartelor din (2.5) cu , atunci, cu notaiile corespunztoare, sistemul simetric (2.5) se scrie cu ajutorul sistemului autonom

(2.7)

n orice punct .Sistemul (2.7) poate fi interpretat astfel: n sistemul coordonatelor rectangulare , cu versorii axelor , facem ca la fiecare punct din domeniul , avnd vectorul de poziie , s-i corespund un cmp vectorial notat

. Dac acest cmp reprezint, de exemplu, cmpul vectorial al vitezelor unor particule asociat unei micri plane, identificate prin punctele din domeniul , atunci (2.7) poate fi scris sub forma vectorial echivalent

(2.7)

A rezolva sistemul (2.7) revine la a determina traiectoriile acestor particule n funcie de timp. Sistemul (2.7) se numete autonom pentru c funciile i , care definesc cmpul vectorial al vitezelor, sunt independente de timp, deci avem o micare staionar. Sistemele difereniale (2.4), respectiv (2.5), pot fi scrise cu ajutorul diferenialelor sub formele

(2.8)

Vom observa c dac este o integral prim asociat cmpului , atunci avem

.

Cmpul tangentelor la curbele integrale este dirijat dup direcia , avnd originea n punctul , respectiv dup direcia , avnd aceeai origine. Curbele integrale, soluii ale ecuaiei difereniale (2.4) i deci ale sistemelor autonome echivalente (2.7) sunt coninute n curbele de nivel . Pe de alt parte, lund gradientul funciei n fiecare punct al curbei integrale , atunci din relaia (2.3), n ipoteza , deducem c liniile de nivel corespunztoare au o tangent perpendicular pe vectorul .Aadar, condiia de ortogonalitate (direcia tangentei n acel punct), este echivalent cu ecuaia (versorul tangentei are componentele

,

respectiv cu ecuaia diferenial (2.7)1 sau (2.7)2. Deci, putem enuna urmtoarea 2.5. Proprietate caracteristic. Funcia de clas este integral prim a ecuaiei difereniale (2.3), dac i numai dac este ortogonal pe cmpul tangentelor la ecuaia diferenial considerat, adic , sau cu ajutorul produsului scalar putem scrie

,sau echivalent,

.Ultima relaie arat c derivata lui dup direcia vectorului este nul.Pentru ecuaia diferenial de ordinal , de forma

,(2.9)

(care dup cum se tie, este echivalent cu un sistem de ecuaii difereniale de ordinal nti) o integral prim este o funcie , de clas care rmne constant n lungul oricrei curbe integrale a ecuaiei (2.9). Aadar, putem scrie

,(2.10)

oricare ar fi soluia a ecuaiei (2.9). Evident, constanta depinde de curba integral.Dac membrul stng al ecuaiei (2.9) este difereniala total a funciei , adic are loc identitatea

,(2.11)

pentru orice, atunci funcia este o integral prim a ecuaiei (2.9).Vom observa c funcia , din (2.11), este privit ca o expresie diferenial care conine derivatele de ordinul ale funciei necunoscute. Relaia (2.10) poate fi scris sub forma (din teorema funciilor implicite)

,(2.10')

Dac se cunosc integrale prime () ale ecuaiei difereniale (2.9), atunci este posibil s reducem integrarea ecuaiei difereniale (2.9) la integrarea unei ecuaii difereniale de ordinul .De exemplu, ecuaia

,(2.12)

poate fi scris sub forma

.(2.13)

Atunci, este integral prim a ecuaiei (2.12). Aceasta fiind o ecuaie diferenial linear de ordinul nti neomogen, prin integrare conduce la soluia

.(2.14)

Soluia general a sistemului (2.1) depinde de constante arbitrare , avnd forma explicit

(2.15)

Din familia de soluii (2.15), pentru a determina soluia care verific condiia iniial

,(2.16)unde vectorul are componentele , trebuie s determinm constantele arbitrare , din ecuaiile:

,(2.17)

i valorile gsite trebuie s le substituim n relaiile (2.15).Dac rezolvm sistemul (2.15) n raport cu constantele arbitrare , atunci soluia general a sistemului capt forma

,(2.18)

Este clar c fiecare din egalitile (2.17) este o integral prim a sistemului (2.1). Aadar, pentru a obine soluia general a sistemului (2.1) trebuie gsite integrale prime ale sistemului, astfel ca sistemul (2.17) s poat fi rezolvat n raport cu necunoscutele .Exemplul 2.1. Se consider ecuaia diferenial

,(2.19)

a) S se determine soluia general inversnd rolul variabilelor.

b) S se scrie ecuaia n diferene, apoi s se determine o integral prim.

c) S se scrie sistemul simetric asociat ecuaiei difereniale.Soluie. a). Fie funcia necunoscut. Rsturnnd rapoartele care definesc ecuaia (2.19) obinem, pentru funcia necunoscut , ecuaia diferenial linear de ordinal nti:

.(2.20)Pentru rezolvarea ecuaiei (2.20) folosim metoda factorului integrant. Fie factorul integrant (vezi, paragraful 3.4). Atunci soluia general este . Aadar, soluia general are forma , .Se tie c factorul integrant transform ecuaia dat ntr-o diferenial total. ntr-adevr, nmulind ecuaia dat cu factorul integrant , avem

.Rezult integrala prim , . b). Ecuaia dat se scrie ca o ecuaie n diferene sub forma

.(2.21) Fie , atunci i deci, condiia necesar i

suficient ca ecuaia diferenial s fie exact nu este verificat. Ecuaia (2.20) poate fi transformat ntr-o ecuaie exact prin nmulirea cu un factor integrant . Vom determina funcia , astfel nct ecuaia

,

s fie exact. Dac introducem notaiile , i atunci, din condiia necesar i suficient ca ecuaia diferenial s fie exact, vedem c se verific condiia

,,(2.21)care reprezint o condiie necesar i suficient ca factorul integrant s fie o funcie numai de . n

consecin, cutnd factorul integrant de forma , deducem c acesta trebuie s verifice ecuaia diferenial i deci are expresia ,. nmulind (2.20) cu factorul integrant, gsim ecuaia exact . Deci, exist funcia a..

i .Acum, integrnd prima relaie n raport cu deducem ; impunnd condiia ca funcia s verifice ultima relaie, obinem ecuaia . De aici deducem c funcia are expresia i, n consecin, .Soluia general a ecuaiei (2.20) este , care evident reprezint o integral prim a ecuaiei. Soluia explicit se poate scrie sub forma , .c). Sistemul simetric asociat are forma

.(2.22)

Folosind proprietile proporiilor, din ultimul ir de rapoarte, deducem combinaia integrabil

,(2.23)

de unde, fr dificultate, obinem o integral prim de forma , .Exemplul 2.2. Determinai soluia sistemului

,

(2.24)construind direct soluia acestui sistem ct si construind dou integrale prime independente. _1206985834.unknown

_1267953061.unknown

_1267954399.unknown

_1366011884.unknown

_1366623848.unknown

_1366624641.unknown

_1366624981.unknown

_1366625543.unknown

_1366626087.unknown

_1366626282.unknown

_1366625642.unknown

_1366625358.unknown

_1366624744.unknown

_1366624461.unknown

_1366624484.unknown

_1366624142.unknown

_1366011963.unknown

_1366012081.unknown

_1366012209.unknown

_1366012348.unknown

_1366012105.unknown

_1366011991.unknown

_1366011941.unknown

_1365306867.unknown

_1365307496.unknown

_1365308001.unknown

_1365308102.unknown

_1365308214.unknown

_1365308035.unknown

_1365307768.unknown

_1365307081.unknown

_1365307241.unknown

_1365306980.unknown

_1363672700.unknown

_1363673522.unknown

_1365306834.unknown

_1363673066.unknown

_1363673480.unknown

_1363671961.unknown

_1363672110.unknown

_1363671511.unknown

_1267954439.unknown

_1267953733.unknown

_1267953982.unknown

_1267954193.unknown

_1267954353.unknown

_1267953996.unknown

_1267953880.unknown

_1267953966.unknown

_1267953782.unknown

_1267953626.unknown

_1267953688.unknown

_1267953717.unknown

_1267953651.unknown

_1267953576.unknown

_1267953614.unknown

_1267953180.unknown

_1267953427.unknown

_1207202232.unknown

_1235754723.unknown

_1239030939.unknown

_1239031087.unknown

_1239031129.unknown

_1239030961.unknown

_1235757908.unknown

_1239030839.unknown

_1235757756.unknown

_1235757793.unknown

_1207252461.unknown

_1207257705.unknown

_1207259608.unknown

_1207259990.unknown

_1207260200.unknown

_1207258864.unknown

_1207253315.unknown

_1207254875.unknown

_1207255303.unknown

_1207257290.unknown

_1207255237.unknown

_1207253575.unknown

_1207253223.unknown

_1207253250.unknown

_1207252987.unknown

_1207203299.unknown

_1207252233.unknown

_1207252365.unknown

_1207203597.unknown

_1207202408.unknown

_1206993347.unknown

_1206995529.unknown

_1207200711.unknown

_1207201294.unknown

_1207200677.unknown

_1206995756.unknown

_1206993541.unknown

_1206995451.unknown

_1206995488.unknown

_1206994819.unknown

_1206995427.unknown

_1206993410.unknown

_1206987364.unknown

_1206988103.unknown

_1206988527.unknown

_1206988769.unknown

_1206988192.unknown

_1206987963.unknown

_1206986358.unknown

_1206986873.unknown

_1206986134.unknown

_1206986237.unknown

_1206985963.unknown

_1206862567.unknown

_1206866594.unknown

_1206914926.unknown

_1206919897.unknown

_1206925186.unknown

_1206984555.unknown

_1206984712.unknown

_1206985794.unknown

_1206984658.unknown

_1206926607.unknown

_1206927456.unknown

_1206929179.unknown

_1206984542.unknown

_1206929224.unknown

_1206928754.unknown

_1206927202.unknown

_1206927331.unknown

_1206927120.unknown

_1206926404.unknown

_1206926423.unknown

_1206925321.unknown

_1206926303.unknown

_1206921841.unknown

_1206924361.unknown

_1206924649.unknown

_1206924677.unknown

_1206924048.unknown

_1206924124.unknown

_1206922139.unknown

_1206920302.unknown

_1206921667.unknown

_1206921818.unknown

_1206921557.unknown

_1206920185.unknown

_1206916159.unknown

_1206918783.unknown

_1206919879.unknown

_1206916492.unknown

_1206915353.unknown

_1206915889.unknown

_1206915979.unknown

_1206915494.unknown

_1206915121.unknown

_1206868367.unknown

_1206912772.unknown

_1206913882.unknown

_1206914793.unknown

_1206913814.unknown

_1206868799.unknown

_1206912483.unknown

_1206868750.unknown

_1206866700.unknown

_1206867584.unknown

_1206868210.unknown

_1206866747.unknown

_1206867130.unknown

_1206866655.unknown

_1206864139.unknown

_1206866114.unknown

_1206866323.unknown

_1206864920.unknown

_1206863766.unknown

_1206863926.unknown

_1206862614.unknown

_1206857768.unknown

_1206859639.unknown

_1206859945.unknown

_1206860007.unknown

_1206859702.unknown

_1206859335.unknown

_1206859538.unknown

_1206857819.unknown

_1206859275.unknown

_1206854089.unknown

_1206854334.unknown

_1206857079.unknown

_1206854152.unknown

_1206853393.unknown

_1206853541.unknown

_1206853716.unknown

_1205771658.unknown

_1205771826.unknown

_1205768676.unknown