4 electricitatea trimis
DESCRIPTION
Fizica UTMTRANSCRIPT
79
3. Electrostatica şi curentul continuu
3.1. Sarcina electrică. Legea lui Coulomb
În natură există două tipuri de sarcină electrică, numite convenţional sarcini pozitive sau
negative. Sarcina electrică este un mod de existenţă şi de organizare a materiei, care poate fi
evidenţiat pe cale experimentală. Sarcinile electrice de acelaşi semn se resping, pe când sarcinile de
semn contrar se atrag. Aşa dar, studiul experimental al sarcinilor electrice ne relevă următoarele
proprietăţi ale acestora:
1. Sarcina electrică este discretă, adică sarcina electrică conţinută de un corp electrizat
este întotdeauna egală cu un multiplu întreg al sarcinii elementare e :
q ne . (3.1)
2. În cazul unui sistem fizic izolat, adică sistem de corpuri ori particule, care nu face
schimb de sarcini electrice cu corpurile exterioare, sarcina electrică totală rămâne
constantă în timp. Această afirmație poartă denumirea de legea conservării sarcinii
electrice.
3. Sarcina electrică este o mărime fizică scalară ce măsoară starea de electrizare şi se
numeşte cantitate de sarcină electrică, se notează prin q , 1 CSI
q , Coulomb.
4. Sarcina elementară e este cea mai mică sarcină electrică posibilă (sarcina electronului în
valoare absolută): 19
1,6 10 Ce
. Menţionăm faptul că sarcina electrică a protonilor
este egală cu e , iar cea a electronilor este egală cu e .
Legea lui Coulomb este o lege experimentală determinată în 1785, care afirmă, că forţa de
interacțiune dintre două sarcini punctiforme fixe acţionează de-a lungul dreptei ce uneşte cele
două sarcini şi este direct proporţională cu produsul sarcinilor şi invers proporţională cu
pătratul distanţei dintre ele. Forţa coulombiană este de atracţie dacă sarcinile sunt de semne
contrare şi de respingere dacă sarcinile sunt de acelaşi fel.
Fie două sarcini electrice punctiforme, 1q şi 2q , aflate la distanţa r una de cealaltă
(Fig.3.1).
Prin sarcină punctiformă se subînțelege un corp încărcat, dimensiunile liniare ale căruia
pot fi neglijabile comparativ cu distanţa r până la alte corpuri încărcate. Forţa coulombiană dintre
cele două sarcini electrice analitic poate fi scrisă
1,21 2
1,2 2,
rq qF k
rr (3.2)
80
unde 1,2F este forţa cu care sarcina 2q acţionează asupra sarcinii
1q , 1q şi
2q sunt mărimile
sarcinilor punctiforme, r – distanţa dintre sarcini, 1,2r este vectorul ce uneşte sarcina 1q cu 2q .
Constanta de proporţionalitate k din (3.2) depinde de natura mediului în care sunt plasate corpurile.
În Sistemul Internaţional constanta de proporţionalitate are
forma : 0
1,
4k
(3.3)
unde 0 - se numeşte constanta electrică şi are valoarea:
12
0 8,85 10 Fm
. Fig. 3.1.
Prin urmare legea lui Coulomb se poate scrie astfel:
1 2
2
0
1.
4
q qF
r (3.4)
3.2. Intensitatea câmpului electric. Principiul superpoziţiei
Experimental s-a demonstrat, că prezenţa sarcinii electrice într-un punct din spaţiu, determină
modificarea proprietăţilor fizice ale spaţiului înconjurător, creând un câmp electric. Deci câmpul
electric este o stare a materiei generată în jurul unei sarcini electrice care se manifestă prin acţiunea
unor forţe de natură electrică asupra oricărei sarcini electrice introduse în câmp.
Pentru descrierea câmpului electric, vom precauta o sarcină oarecare q , care creează în jurul
său un câmp electric. Şi plasăm într-un oarecare punct al câmpului, la o distanţă arbitrară r o
sarcină electrică de probă 0q . Astfel conform legii lui Coulomb asupra sarcinii de probă 0q v-a
acţiona forţa F :
0 2
0
1.
4
q rF q
rr
(3.4)
De unde rezultă, că forţa de interacţiune electrică, ce acţionează asupra sarcinii de probă 0q , nu
depinde numai de mărimea sarcinii q şi r , dar depinde şi de mărimea sarcinii de probă 0q . În cazul
când cercetăm diferite sarcini de probă 01 02, ,. . .q q atunci asupra lor din partea câmpului sarcinii q ,
vor acţiona diferite forţe 1 2, ,. . .F F . Atunci pentru toate sarcinile de probă raportul 0
,F
q este
constant şi depinde numai de mărimea sarcinii q şi r . Această mărime caracterizează câmpul
electric al sarcinii q în punctul dat şi se numeşte intensitatea câmpului electric
0
.F
Eq
(3.5)
81
Utilizând legea lui Coulomb (3.4) şi considerând 2q sarcina q , iar
1q sarcina de probă 0q obţinem
2
0
1,
4
q rE
rr (3.6)
unde vectorul r
r este versorul vectorului de poziţie r . Ca unitate de măsură a intensităţii este
N V
=C m
E . Prin urmare, din (3.5) rezultă, că intensitatea câmpului electric E este o mărimea
fizică vectorială numeric egală cu forţa ce acţionează asupra unei sarcini punctiforme unitare situată
în punctul dat al câmpului. Sensul vectorului intensitatea câmpului electric E coincide cu sensul
forţei F .
Conform relaţiei (3.5), forţa ce acţionează asupra sarcinii de probă 0q este
0 .F q E
Iar asupra oricărei sarcini punctiforme într-un punct al câmpului cu intensitatea E v-a acţiona forţa
.F qE
(3.7)
Deci, în cazul când sarcina de probă 0q este pozitivă, atunci vectorii F şi E au acelaşi sens, dar
dacă sarcina 0q este negativă, au sensuri opuse.
Experimental s-a demonstrat, că dacă câmpul electric este creat de un sistem de sarcini
electrice punctiforme 1 2 3, , ,. . . , nq q q q , atunci intensitatea câmpului electric a unui sistem de
sarcini punctiforme este egală cu suma vectorială a intensităţilor câmpurilor electrice, create
de fiecare sarcină a sistemului
1 2
1
. . . .n
n i
i
E E E E E
(3.8)
Această afirmaţie se numeşte principiul superpoziţiei câmpurilor electrice. Acest principiu dă
posibilitatea de a calcula intensitatea câmpului electric a oricărui sistem de sarcini.
De asemenea principiul superpoziţiei câmpurilor electrice poate fi aplicat şi în cazul
determinării intensităţii câmpului unui dipol electric în vid. Numim dipol electric un sistem
format din două sarcini punctiforme egale ca mărime şi opuse ca semn q şi q , distanţa
dintre care este cu mult mai mică decât distanţa până la care se determină câmpul sistemului.
Vectorul, orientat de-a lungul axei dipolului (adică dreapta, care trece prin cele două sarcini) de la
sarcina negativă spre cea pozitivă şi egal cu distanţa dintre aceste sarcini şi se numeşte brațul
dipolului l (Fig. 3.1).
82
Să cercetăm o metodă de determinare a
valorii şi sensului vectorului E în orice
punct al câmpului, creat de un sistem de
sarcini în repaus 1 2 3, , ,. . . , nq q q q .
Vectorul P q l se numeşte moment
electric al dipolului.
Fig. 3.1.
Din principiul superpoziţiei E E E
1. Punctul studiat A (Fig. 3.2) se află pe axa dipolului:
.AE E E
(3.9)
După definiţia dipolului 2
lr ,
deci: 3 3
0 0
1 2 1 2
4 4A
ql PE
r r
(3.10)
2. Potenţialul câmpului în punctul B situat pe
perpendiculara la axa dipolului în mijlocul ei.
2 220 0
1 1. 3.11
4 4
4
q qE E
l rr
Din asemănarea triunghiurilor isoscele ce se sprijină pe
segmentul l şi vectorul BE , rezultă: Fig. 3.2
2
2
.
2
BE l l
E rlr
(3.12)
Substituind în (3.12) relaţia (3.11) adică E obţinem
3 /3
0 0
1 1.
4 4B
ql PE
rr
(3.13)
Se poate demonstra că intensitatea câmpului dipolului într-un punct arbitrar a lui se determina astfel
2
3
0
11 3cos ,
4
PE
r
(3.14)
unde este unghiul dintre axa dipolului şi direcţia spre punctul dat.
83
Câmpul electric poate fi reprezentat grafic cu ajutorul unui sistem de linii numite linii de
câmp. Linia de câmp reprezintă liniile trasate în câmpul electric astfel, încât direcţia tangentei
în orice punct a lor coincide cu direcţia vectorului intensităţii câmpului (Fig. 3.3).
Drept sens pozitiv al liniei de câmp se ia sensul vectorului
intensităţii câmpului E . Prin urmare, liniile câmpului electric î-şi
au începutul pe sarcinile pozitive şi sfârşitul pe sarcinile
negative (Fig. 3.4).
Fig. 3.3.
Fig. 3.4.
Numărul liniilor de câmp, care pătrund printr-o suprafaţă unitară, situată perpendicular pe
liniile suprafeţei, este egal cu valoarea numerică a vectorului E .
3.2. Fluxul vectorului intensităţii câmpului electric.
Teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic în vid
Admitem, că desimea liniilor de câmp, sunt egale cu valoarea numerică a vectorului E ,
atunci numărul liniilor, care străbat o unitate de suprafaţă dS , perpendicular pe vectorul E , v-a fi
numeric egal cu EdS . În cazul când elementul de suprafaţă dS este orientat astfel, încât normala
dusă la suprafaţă formează cu vectorul E unghiul , atunci numărul de linii care străbat această
suprafaţă v-a fi egal
cos ,nEdS E dS (3.15)
unde nE este componenta vectorului E în direcţia normalei la suprafaţa dată.
Ori pentru numărul de linii care străbat unitatea de suprafaţă obţinem relaţia
,E n
S
N E dS (3.16)
84
unde E se numeşte flux al vectorului intensităţii câmpului electric E şi
este egal numeric cu numărul liniilor de câmp ce intersectează suprafaţa
considerată S. Este important să menţionăm că schimbând direcţia normalei
(Fig. 3.5), se v-a schimba semnul componentei normale nE şi prin urmare, se v-
a schimba semnul fluxului vectorului intensităţii.
Să calculăm fluxul vectorului E în cazul unei sarcini punctiforme situată în
centrul unei suprafeţe sferice închise (Fig. 3.6). Atunci pentru fluxului
vectorului E vom obţine d EdS . Fig. 3.5.
Intensitatea câmpului electric în punctele de pe suprafaţa considerată,
conform relaţiei (3.6) se determină astfel 2
0
1
4
q rE
rr ,
iar fluxul vectorului E pentru un element dS este
2
0
1
4
r nqd E n dS dS
rr
. (3.16)
Fig. 3.6. Considerând r n r , atunci obținem 2
0
1
4
qd dS
r
Integrând ultima relaţie obţinem 2 2
0 0
1 1.
4 4S
q qdS S
r r
Deoarece aria suprafeţei sferice 2
4S r atunci, fluxul vectorului E a unei sarcini punctiforme
într-o suprafaţă sferică este 0
.q
(3.17)
Admitem, că este dată o suprafaţă închisă în interiorul căreia se află nu o sarcină, dar
1 2, ,. . . , nq q q sarcini punctiforme. Intensitatea câmpului electric rezultant conform principiului
superpoziţiei este 1
n
i
i
E E
, iar sarcina totală 1
n
i
i
q q
. Astfel
1
,n
E i
iS S
EdS E dS
sau obținem relaţia
10
1.
n
E i
i
q
(3.18)
Acest rezultat este valabil nu numai pentru suprafeţele sferice, dar şi pentru suprafeţe închise
arbitrare. Relaţia (3.18) se numeşte teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic în vid.
85
Fluxul vectorului intensităţii câmpului electrostatic printr-o suprafaţă închisă este egal
cu suma algebrică a tuturor sarcinilor din interiorul acestei suprafeţe, împărţită la constanta
electrică 0.
În cazul unei repartiţii continue a sarcinii cu o densitate de volum atunci, teorema lui Gauss
(3.18) ia forma
1
, ,n
i
i V
dqq dV
dV
(3.19)
0
1.n
S S V
EdS E dS dV
(3.20)
3.4. Potenţialul câmpului electric. Relaţia dintre potenţial şi intensitatea
câmpului electrostatic
Asupra oricărei sarcini care se află într-un câmp electric acţionează o forţă electrică care
poate deplasa această sarcină. Să determinăm lucrul L efectuat pentru deplasarea unei sarcini de
probă 0q în câmpul electric la o distanţă r
0 0
2
0 0
1.
4 4P
q q q qdrL E Fdr C
r r
(3.21)
Energia potenţială a sarcinii de probă 0q care se află în câmpul sarcinii q la distanţa r este
0
0
1.
4P
q qE
r
(3.22)
Din ultima relaţie rezultă că raportul 0
PE
q nu depinde de sarcina de probă 0q şi din această cauză
este o caracteristică energetică a câmpului numită potenţial câmpului electrostatic
0 0
1.
4
PE q
q r
(3.23)
Conform relaţiei (3.23) rezultă că potenţialul este numeric egal cu energia potenţială
a sarcinii pozitive în punctul dat al câmpului.
Lucrul efectuat de către forţele câmpului electrostatic la deplasarea unei sarcini 0q din
punctul 1 în punctul 2 poate fi reprezentat ca
112 2 0 1 2 0 .p pL E E q q U (3.24)
86
Prin urmare, lucrul câmpului electric efectuat la deplasarea unei sarcini unitare 0q din
punctul 1 în punctul 2 al spaţiului este egală cu diferenţa de potenţial al câmpului în aceste
două puncte. Dacă considerăm că punctul 2 al spaţiului este situat la infinit, atunci din relaţia
precedentă avem
0 ,L q sau 0
.L
q (3.25)
Astfel potenţialul câmpului electric într-un punct al spaţiului este definit ca lucrul mecanic
al forţelor electrice efectuat pentru a deplasa sarcina de probă din punctul dat la infinit.
1 J
=1 V1C
Volt .
Ca rezultat am stabilit, că câmpul electric poate fi caracterizat cât prin vectorul intensităţii
câmpului E atât şi prin potenţialul scalar . Evident, că între aceste mărimi există o careva relaţie.
Pentru a determina relaţia dintre vectorul E şi scalarul procedăm astfel.
Lucrul efectuat de forţele câmpului asupra sarcinii q pe segmentul de drum dl este
E ldL F dl qE dl , (3.26)
şi respectiv lucrul este egal cu descreşterea energiei potenţiale:
pdL dW d q q dll
. (3.27)
Egalând aceste relaţii (3.26) cu (3.27) obţinem
l lqE dl q dl El l
, (3.28)
unde prin l am considerat o direcţie arbitrară al spaţiului, lE este proiecţia vectorului E pe direcţia
considerată l . Relaţia (3.28) poate fi scrisă şi pentru toate direcţiile spaţiului
; ;x y zE E Ex y z
(3.29)
;E i j k E i j kx y z x y z
,
sau
E grad (3.30)
87
Intensitatea câmpului electric este egală cu gradientul potenţialului , luat cu semnul
„-”. Semnul „-” indică că vectorul E este orientat în direcţia micşorării rapide a scalarului .
Câmpul electric poate fi reprezentat intuitiv nu numai folosind liniile de câmp, dar şi prin
intermediul suprafeţelor cu acelaşi potenţial (Fig. 3.7a, 3.7b).
Suprafaţa, în toate punctele căreia potenţialul câmpului electric are aceeaşi valoare se
numeşte suprafață echipotenţială. Liniile de câmp electric şi
implicit intensităţile câmpului electric sunt perpendiculare pe
suprafaţa echipotenţială (Fig. 3.8). În electrostatică suprafeţele
metalice sunt suprafeţe echipotenţiale. Pentru o sarcină
punctiformă suprafeţele echipotenţiale sunt sfere concentrice
cu centrul pe sarcina electrică.
Fig. 3.7a.
Fig. 3.8. Fig. 3.7b.
3.5. Câmpul electrostatic în medii dielectrice
Momentul dipolar al moleculelor dielectricului. Polarizarea dielectricilor
Se numesc dielectrici substanţele care în condiţii obişnuite practic nu conduc curent
electric. Un dielectric este un material izolator, cu alte cuvinte în dielectrici nu există purtători de
sarcină electrică liberi, care ar putea efectua o mişcare ordonată sub acţiunea câmpului electric şi ar
forma curent electric de conducţie. Dielectrici pot fi: toate gazele neionizate, unele lichide ( apa
distilată, benzol, ulei de petrol, vegetal, sintetic etc.) şi corpuri solide (sticla, porţelanul, cauciucul,
ceramica, etc.). Rezistivitatea dielectricilor 6 1510 10 ,m iar a metalelor
8 610 10 .m
88
Orice moleculă, din care este compus dielectricul, constă din atomi, care conţin un nucleu
încărcat pozitiv şi electroni încărcaţi negativ, care se rotesc în jurul nucleului. Molecula poate fi
considerată aproximativ ca un dipol electric cu momentul dipolar p ql, unde q
este
sarcina sumară pozitivă a tuturor nucleelor atomice din moleculă, iar l este vectorul dus din
centrul de greutate al electronilor în molecula în centrul de greutate al sarcinilor pozitive ale
nucleelor atomice.
Dielectricii pot fi împărţiţi în 3 grupe mari:
1) Substanţele, care au o structură simetrică, adică centrele de greutate ale sarcinilor pozitive şi
negative în lipsa câmpului electric exterior coincid, ( 2 2 2 4, , , ...N O CO CH ) atunci molecula
se numeşte nepolară. Adică momentul dipolar este nul. Corespunzător dielectricul care
constă din aşa molecule se numeşte dielectric nepolar (Fig. 3.9).
2) Substanţele, care au o structură asimetrică ( 2 3 2, , ,H O NH SO CO ...),
la care centrele de greutate menţionate nu coincid, iar moleculele
posedă moment dipolar propriu, atunci astfel de dielectrici se
numesc dielectrici polari. Din cauza mişcării haotice termice
momentul dipolar rezultant devine nul. Fig. 3.9.
3) Substanţele care au o structură ionică ( Na, Cl, KCl, KBr...).
La introducerea dielectricului într-un câmp electric exterior, sarcinile electrice din care sunt
compuse moleculele se deplasează şi anume cele pozitive în direcţia câmpului iar cele negative
opus câmpului. Ca rezultat apare un moment electric rezultant al dielectricului sau se mai spune că
are loc polarizarea dielectricului. Polarizarea dielectricului se numeşte procesul orientării
dipolilor sau a apariţiei dipolilor orientaţi sub acţiunea câmpului electric. In corespundere cu
cele trei grupe de dielectrici se deosebesc trei tipuri de polarizare:
1) Polarizarea electronică ( de deformare);
2) Polarizarea de orientare ( dipolară);
3) Polarizarea ionică.
Drept măsură cantitativă a polarizării dielectricului serveşte vectorul ,P numit vector de
polarizare sau polarizabilitatea dielectricului, egal cu raportul dintre suma momentelor
dipolare ale tuturor moleculelor dielectricului din volumul V infinit de mic, către volumul
dat
1
1.
n
i
i
P PV
(3.31)
89
Experienţele au arătat că pentru dielectrici cu excepţia segnetoelectricilor, polarizabilitatea
este direct proporţională cu intensitatea câmpului electric.
0 ,P E (3.32)
unde este o constantă de proporţionalitate şi se numeşte susceptibilitatea dielectrică a
substanţei care caracterizează proprietăţile dielectricului şi este o mărime adimensională.
Susceptibilitatea dielectrică este legată de permitivitatea lui prin relaţia:
1 , (3.33)
unde se numeşte permitivitate dielectrică a substanţei date, care ne indică de câte ori se
micşorează intensitatea câmpului electric în mediu (substanţă) comparativ cu intensitatea lui
în vid
0E
E (3.34)
3.6. Teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic într-un mediu
dielectric
La studierea câmpului electrostatic în dielectrici vom deosebi două tipuri de sarcini electrice:
libere şi legate. Se numesc sarcini legate, sarcinile care intră în componenţa atomilor şi
moleculelor, precum şi sarcinile ionilor în medii cristaline cu reţea ionică. Sarcinile libere
sunt:
1. sarcinile particulelor, care se pot deplasa sub acţiunea câmpului electric la distanţe
macroscopice;
2. excesul de sarcini comunicate corpului, care schimbă neutralitatea electrică a lui.
Câmpul macroscopic în interiorul dielectricului, reprezintă suma dintre câmpul mediu al
sarcinilor exterioare
0E şi câmpul mediu al sarcinilor legate
E
EEE 0 . (3.35)
Atunci aplicarea teoremei Gauss pentru câmpul electrostatic în vid ne dă
/
0
1 1 10 0
1 1n n n
i i
i i iS
EdS q q q
(3.36)
90
Aplicarea relaţiei (3.36) pentru calculul câmpului electrostatic format de un sistem dat de sarcini
libere într-un mediu este complicată din cauza că nu se cunoaşte distribuţia sarcinilor legate în
câmp.
Să calculăm suma tuturor sarcinilor legate. Fie un dielectric nepolar (Fig. 3.10). Numărul de
dipoli intersectaţi de suprafaţa închisă (suprafaţa Gauss)
0 cos ,d n n dS l unde 0n este concentraţia moleculelor
dielectrice. Atunci sarcina ce corespunde acestor dipoli va fi
0' cos .edq qdn n PdS PdS (3.37)
De unde sarcinile legate
'S
q PdS (3.38)
Atunci teorema Gauss are aspectul
Fig. 3.10.
0
0
1,
S S
EdS q PdS
(3.39)
sau
0 0.E P dS q
(3.40)
Se numeşte deplasare electrică (sau inducţie electrică) mărimea fizică D determinată prin
relaţia 0E P D
(3.41)
In acest caz teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic într-un mediu dielectric are
aspectul
0.S
DdS q (3.42)
Fluxul vectorului deplasării electrice a câmpului electrostatic printr-o suprafaţă
arbitrară închisă, dusă în câmp este egal cu suma algebrică a sarcinilor electrice libere din
interiorul acestei suprafeţe.
Substituind în (3.41) relaţia vectorului de polarizare P (3.32)obţinem:
0 0 0 1 ,D E E E
(3.43)
91
sau 0 .D E (3.44)
Aşadar în dielectricii anizotropi direcţiile lui D
şi E nu coincid.
3.7. Condiţiile câmpului electrostatic la frontiera dintre doi dielectrici
Să stabilim relaţia dintre valorile intensităţii E şi a deplasării electrice D a câmpului
electrostatic în două medii dielectrice 1 11 ,E D şi 2 22 ,E D într-un punct arbitrar A situat pe
suprafaţa de separaţie a acestor medii.
Trasăm în A vectorii unitari - tangent la
suprafaţa de separaţie şi n - normal (Fig. 3.11).
Construim un contur închis L de formă
dreptunghiulară ce conţine A aşa încât două laturi
sunt paralele cu suprafaţa dl iar celelalte două au
lungimea dh . Fig. 3.11.
Să cercetăm mărimea .L
E dl
Această mărime se numeşte circulaţia vectorului intensităţii câmpului electrostatic. Se poate
demonstra teorema despre circulaţia vectorului intensitate
0e
L L
Edl E dl (3.45)
Circulaţia vectorului de intensitate a câmpului electrostatic de-a lungul oricărui contur închis
este egală cu zero. Egalitatea cu zero a circulaţiei intensităţii câmpului electrostatic arată că, liniile
câmpului electrostatic nu pot fi închise. Ele încep şi se termină pe sarcini (pozitive sau negative
corespunzător) sau se duc spre infinit. Aşa dar în cazul nostru avem
1 20
lim 0.h
L
Edl E E dl
(3.46)
Deci, conchidem că în ambii dielectrici componentele tangenţiale ale vectorului E trebuie sa fie
egale, 1 2E E
şi înlocuind componentele lui E cu componentele lui D împărţite la 0 ,
conform relaţiei (3.44) obţinem relaţia
1
1 2
2
.D D
(3.47)
92
Rezultă, că componenta normală a vectorului D şi componenta tangenţială a vectorului E trecând
prin suprafaţa de separaţie a doi dielectrici se schimbă mereu. Aceste relaţii sunt valabile şi pentru
suprafaţa dielectricului în vid., considerând una din permitivităţile dielectrice egală cu unitatea.
Componenta tangenţială a intensităţii
câmpului electric E nu variază la trecerea
dintr-un dielectric în altul prin suprafaţa lor
de separaţie
0
S
DdS q
Fig. 3.12.
00 0
lim lim 0h h
S
DdS q
2 1 0n nD D dS
(3.48)
de unde 1
2 1 2 1
2
, .n n n nD D E E
(3.49)
Fig. 3.13.
La trecerea prin suprafaţa de separaţie a două medii componenta normală a deplasării
electrice nu variază, dacă pe această suprafaţă lipsesc sarcini electrice libere (Fig. 3.13).
1 21 2
1 2
,n n
E Etg tg
E E
1 2 22 1
1 1 1
.n
Etg tg
E
(3.50)
Deci, rezultă că trecând prin frontiera de separaţie a doi dielectrici liniile de câmp se refractă.
93
3.8. Conductoare în câmp electric. Energie câmpului electric
3.8.1 Distribuţia sarcinilor electrice într-un conductor
Proprietăţile electrice ale conductorilor în electrostatică sunt determinate de comportarea
electronilor de conducţie în câmpul electrostatic exterior. În lipsa acestui câmp, câmpurile electrice
ale electronilor de conducţie şi a ionilor pozitivi se compensează reciproc şi conductorul este neutru
din punct de vedere electric. În prezenţa câmpului exterior electronii liberi în conductor se
redistribuie astfel ca în orice punct din interiorul lui, câmpul electric al electronilor de conducţie şi
al ionilor pozitivi să compenseze câmpul exterior. Fenomenul de redistribuire a sarcinilor în
conductor sub influenţa câmpului electrostatic exterior se numeşte inducţie electrostatică.
Sarcinile electrice care apar în acest caz pe suprafaţa conductorului egale numeric între ele
dar de semn opus, se numesc sarcini induse. La scoaterea conductorului din câmpul electric
sarcinile induse dispar. Vectorul E lângă suprafaţa conductorului, este orientat după normala la
suprafaţă, în caz contrar componenta tangenţială ar provoca o deplasare a sarcinilor pe suprafaţa
conductorului, ceea ce contrazice condiţiei de echilibru a sarcinilor. Aşadar, pentru conductorii
plasaţi în câmp electrostatic sunt satisfăcute următoarele condiţii:
1) În interiorul conductorului intensitatea câmpului electric va deveni egală cu zero
0E iar la suprafaţă , 0nE E E unde nE şi E sunt componentele normală
şi tangenţială ale vectorului E ;
2) Suprafaţa conductorului este o suprafaţă echipotenţială (unde potențialul este acelaşi);
3) Toate sarcinile necompensate se află pe suprafaţa conductorului.
Să stabilim relaţiile dintre ,D E şi densitatea superficială a sarcinilor libere de pe
conductor.
De introdus, ro, sigma si tau.
0
S
DdS q
pentru 0,h
0
lim nh
S
DdS D dS
însă 0 .q dS (3.51)
Atunci
.n nD dS dS D (3.52)
Conform (3.44) 0 .D E
Prin urmare rezultă că
94
0
,nE
(3.53)
unde este permitivitatea mediului în care este plasat conductorul. Această relaţie este adevărată
pentru conductori de formă arbitrară.
Fig. 3.14.
Unde descriem în text figura 3.14
3.8.2. Capacitatea electrică a unui conductor izolat. Condensatoarele
Din cele menţionate anterior, cunoaştem deja că conductoarele au proprietatea de a acumula
sarcina electrică. Este evident faptul, că sarcina concentrată pe un conductor izolat (în apropierea lui
nu se află alţi conductori, corpuri sau sarcini), este proporţională cu potenţialul lui
q C , (3.54)
unde coeficientul de proporţionalitate C se numeşte capacitatea electrică a conductorului. De
unde rezultă că
.q
C
(3.55)
Deci, capacitatea electrică a unui conductor izolat este egală numeric cu sarcina electrică, care
trebuie comunicată pentru ca potenţialul lui să crească cu 1 V. În SI capacitatea electrică se măsoară
în farazi, 1 C
=1 F.1 V
C
Ea depinde de dimensiunile şi forma conductorului, dar nu depinde de
materialul din care este confecţionat de starea de agregare, forma şi dimensiunile cavităţilor din
interiorul conductorului.
Ca exemplu vom considera capacitatea unui conductor sferic de raza R care se află într-un
mediu dielectric cu permitivitatea . Potenţialul suprafeţei acestui conductor ce posedă sarcina
electrică q , este dat de relaţia
95
0
1.
4
q
R
Conform (3.55) obţinem
04 .
qC R
(3.56)
Dacă vom apropia de un conductor încărcat alte corpuri, atunci pe suprafaţa lor vor apărea
sarcini induse (în cazul conductorilor) sau legate (în cazul dielectricilor). Aceste sarcini vor diminua
câmpul electric, adică vor micşora potenţialul φ. Din definiţia capacităţii se poate conchide, că
capacitatea conductorului va creşte.
În practică este necesară existenţa instalaţiilor, care ar acumula cantităţi considerabile de
sarcină electrică, chiar şi în cazul când deţin un potenţial mic. Aşa dispozitive se numesc
condensatoare, care au proprietatea de a stochează sarcina electrică.
Condensatoarele pot fi de diverse configuraţii, iar fiecare din ele constau din perechi de
conductori între care se află un mediu dielectric (Fig. 3.15a, b, c). Asupra capacităţii
condensatorului nu trebuie să influenţeze corpurile înconjurătoare. Din această cauză, armăturile au
aşa o formă încât, câmpul creat de sarcinile acumulate pe armături să fie concentrat în spaţiul îngust
dintre armături. Asemenea condiţii îndeplinesc 1) două plăci paralele, 2) două cilindre coaxiale, 3)
două sfere concentrice, etc.
Fig. 3.15.a) b) c)
1. Confesatorul plan compus din două placi paralele cu aria S fiecare, încărcate cu
sarcini de semn opus şi situate la o distanţă mică d una de alta (Fig. 3.16a; 3.16b).
Intensitatea câmpului electric între plăcile condensatorului
este 0
,E
(3.57)
unde este permitivitatea dielectrică a mediului dintre plăcile
condensatorului; este densitatea superficială a sarcinilor, care în
cazul unei distribuţii uniforme a sarcinii este Fig. 3.16a.
.q
S
(3.58)
96
Substituind expresia de mai sus în (3.57) obţinem
0
qE
S . (3.59)
În conformitate cu relaţia 1 2
0
qdEd
S
, unde diferenţa de potenţial
dintre armături 1 2 , se mai numeşte şi tensiune electrică U ,
atunci: 1 2
0
qdU
S
. (3.60)
Aşa cum q
CU
, pentru capacitatea condensatorului plan obţinem
0SC
d
. (3.61) Fig. 3.16b.
2. Condensatorul sferic constă din două sfere concentrice cu razele 1r şi 2r , unde 1 2r r
(Fig. 3.17). Intensitatea câmpului dintre armăturile condensatorului sferic este
2
0
1
4
qE r
r ,
iar diferenţa de potenţial 1 2
0 1 2
1 1
4
q
r r
.
Substituind diferenţa de potenţial în relaţia 1 2
qC
obţinem: 1 20
2 1
4r r
Cr r
. (3.62)
Fig. 3.17.
În cazul când 2 1 1d r r r atunci capacitatea condensatorului sferic se determină
folosind relaţia capacităţii condensatorului plan.
Condensatoarele se mai caracterizează şi cu tensiunea de străpungere, adică la diferenţe de
potenţial mari poate avea loc străpungerea electrică a dielectricului.
Merită de menţionat, că pentru diferite scopuri aplicative bateriile de condensatori se obţin
prin conectează a în paralel şi în serie:
1. Conectarea în paralel (Fig. 3.18). Admitem că sunt date n condensatoare cu capacităţile
1 2, ,..., nC C C . Pe fiecare din cele două sisteme de armături se acumulează sarcina:
1 1 2 2; ; .n nq C q C q C
97
Ori sarcina sumară
1 1
.n n
i i
i i
q q C
în baza comparaţiilor obșinem m:
1 2
1
... .n
n i
i
C C C C C
(3.63)
Fig. 3.18.
Deci, capacitatea electrică a condensatoarelor la conectarea lor în paralel este egală cu suma
capacităţilor acestor condensatoare.
2. La conectarea în serie (Fig. 3.19) a condensatoarelor fiecare condensator are aceiaşi sarcină q
datorită fenomenului de influenţă electrostatică, dar în schimb, diferenţa de potenţial pe fiecare
condensator este diferită, fiind invers proporţională cu capacitatea condensatoarelor astfel
1 1
.n n
i
i i i
q
C
Pe de altă parte, avem
1
1.
n
i
C C
Prin urmare, comparând relaţiile de mai sus obţinem Fig. 3.19.
11
1 1 1 1... .
n
in iC C C C
(3.64)
Aşadar, la conectarea în serie mărimea inversă a capacității totale este egală cu suma
mărimilor inverse ale capacităţilor condensatoarelor.
3.8.3. Energia câmpului electric
1. Energia unui sistem de sarcini punctiforme imobile
În baza celor menţionate, cunoaştem că forţele de interacţiune dintre corpurile încărcate sunt
conservative. Aşadar, un sistem de corpuri încărcate posedă energie potenţială.
Vom cerceta un sistem din două sarcini punctiforme 1q şi 2q , situate una de alta la distanţa
12r . Fiecare sarcină aflându-se în câmpul celeilalte posedă energie potenţială
98
1 1 12 ,pE q (3.65)
2 2 21,pE q (3.65)
unde
2 112 21
0 0
1 1, ,
4 4
q q
r r
(3.66)
1 2 .p p pE E E (3.67)
Atunci
1 12 2 21 1 12 2 21
1.
2pE q q q q (3.68)
Pentru n sarcini 1
1,
2
n
p i i
i
E q
(3.69)
unde 0 este potenţialul câmpului creat de toate sarcinile sistemului în punctul unde se află sarcina
iq cu excepţia sarcinii iq .
2. Energia unui conductor izolat încărcat.
Pentru calcularea energiei unui conductor izolat încărcat cu sarcina q , aplicăm relaţia
(3.69). Prin urmare, observăm că un conductor izolat cu sarcina q poate fi considerat drept un
sistem de sarcini punctiforme q . Conform celor menţionate în cazul anterior, un astfel de sistem
posedă energie, care şi reprezintă lucrul efectuat la deplasarea sarcinii la infinit.
Admitem că la mărirea sarcinii conductorului, transferând sarcina dq de la infinit pe
suprafaţa lui, lucrul efectuat împotriva forţelor câmpului este
,qL dq
(3.70)
unde este potenţialul conductorului, ori ţinând cont că 0 , atunci
.qL dq (3.71)
Aşa cum capacitatea condensatorului q q
CC
, (3.71) ia forma
.
qdL dq
C
(3.72)
Deci, formula (3.72) redă lucrul care se consumă mărirea energiei conductorului
,p
qdE dL dq
C
(3.73)
99
2
0
1.
2
q
p
qE qdq
C C
(3.74)
Astfel, pentru energia potenţială a unui conductor avem
2 2
.2 2 2
p
q q CE
C
(3.75)
3. Energia unui condensator încărcat.
Admitem că, condensatorul considerat este plan, capacitatea căruia este 0SC
d
, unde
este permitivitatea dielectrică a mediului dintre armăturile condensatorului, S este aria suprafeţelor
lor, d este distanţa dintre armături. Substituind relaţia de mai sus în (3.75), obţinem
222
0 0( )( ).
2 2 2p
SCE Sd
d d
(3.76)
Considerând în ultima relaţie cazul condensatorului plan obținem relația
2
0 ,2
p
EE V
(3.77)
unde Ed
, iar V S d
este volumul spaţiului dintre plăcile condensatorului.
4. Energia câmpului electric
În continuare, vom nota energia câmpului electric prin W , iar relaţia (3.75) poate fi scrisă
astfel
2
0 .2
EW V
(3.78)
Atunci densitatea de volum a energiei câmpului electrostatic este
2
0 .2
EWw
V
(3.79)
Utilizând relaţia (3.44) 0D E , expresia (3.77) se poate scrie
2 2
0
0
.2 2 2
E D EDw
(3.80)
Prin urmare, formula (3.80) este valabilă pentru un dielectric izotrop.
100
3.9. Curentul electric continuu
3.9.1. Intensitatea şi densitatea curentului. Tensiunea electromotoare
Mişcarea ordonată a electronilor în metale şi a ionilor în unele lichide sau gaze, sub
acţiunea câmpului electric se numeşte curent electric de conducţie. Această mişcare este un
fenomen complex, deoarece purtătorii de sarcină electrică din conductor se află într-o continuă
mişcare termică şi suferă multiple accelerări, frânări, devieri etc., datorită ciocnirilor. Din aceste
considerente putem vorbi numai despre viteza medie a mişcării ordonate numită viteză de
antrenare. O măsură cantitativă a curentului electric este intensitatea curentului. Intensitatea
curentului electric este o mărime fizică scalară, egală cu sarcina electrică care trece într-o
unitate de timp prin secţiunea transversală a conductorului
.
qI
t
(3.81)
În cazul când curentul electric nu variază în timp, atunci curentul se numeşte curent staţionar ori
continuu, prin urmare, intensitatea căruia va fi
.
qI
t
(3.82)
Ca unitate de măsură în SI intensitatea curentului se măsoară în Amperi: 1C
=1 A.1 s
I
Aşa cum, curentul electric poate fi distribuit neuniform pe suprafaţa prin care circulă, el poate fi
caracterizat cu ajutorul vectorului densităţii curentului j
. Densitatea curentului electric este o
mărime fizică vectorială, orientată în sensul intensităţii curentului electric dI şi având modulul
egal cu sarcina electrică care trece în unitatea de timp, prin unitatea de arie dS a secţiunii
transversale a conductorului
.dI
jdS
(3.83)
Aşadar, cunoscând vectorul densităţii curentului, se poate determina intensitatea curentului care
circulă prin orice suprafaţă S
cosdI jdS jdS ,
.dI jdS (3.84)
Fie dată o porţiune de conductor, care conţine N purtători de sarcină q, în unitatea de volum.
101
În intervalul de timp t prin secţiunea a II a conductorului va trece sarcina
.dq Nq nV nqS t
(3.85)
Atunci ,d
qj n q
S t
sau .dj nq (3.86)
Fig. 3.20.
Prin convenţie, sensul curentului electric se consideră sensul deplasării ordonate a
purtătorilor de sarcină electrică pozitivă.
Fie două corpuri conductoare A şi B cu sarcinile +q şi -q (Fig. 3.21) la care este aplicată o
diferenţă de potenţiale (Fig. 3.21) A şi B .
Fig. 3.21. Fig. 3.22.
Dacă legăm cele două corpuri printr-un conductor, datorită diferenţei de potenţial
A B prin firul conductor vom avea un curent electric de conducţie. După un timp relativ
scurt potenţialele A şi B se vor egala şi curentul electric se va întrerupe. Pentru menţinerea unui
curent electric staţionar trebuie să avem un circuit închis, de la A la B şi apoi de la B la A prin alt
fir conductor. Însă pe porţiunea BCA (Fig. 3.22) sarcinile electrice ar trebui să se deplaseze
împotriva forţelor electrice şi deci, aceasta nu poate avea loc fără o intervenţie exterioară a unei aşa
numite surse electrice. Această sursă comunică purtătorilor de sarcină electrică energia necesară ca
aceştia să poată trece prin firul conductor .BCA Deci pentru menţinerea curentului electric staţionar
sunt necesare forţe imprimate (exterioare) care acţionează fie pe întregul circuit, fie pe o porţiune a
acestuia. Forţele imprimate pot fi caracterizate de lucrul mecanic efectuat de acestea pentru
deplasarea sarcinilor electrice pe întregul circuit. Mărimea fizică, egală cu lucrul mecanic
102
efectuat de forţele imprimate pentru deplasarea unei unităţi de sarcină electrică pozitivă prin
circuit se numeşte tensiune electromotoare (t.e.m.)
,exL
qE
(3.87)
de unde rezultă că t.e.m. în SI se măsoară în 1 J
=1 V .1 C
VoltE
Forţele imprimate care acţionează asupra sarcinii sunt
,i iF qE (3.88)
unde iE este intensitatea câmpului electric imprimat.
Pe un circuit închis avem
.i iL Fdl q E dl q E (3.89)
Aşa cum t.e.m. pe întregul circuit se determină ca circulaţia câmpului electric imprimat
.iE dl E (3.90)
Atunci pentru o porţiune de circuit avem
2
12
1
.iE dl E
(3.91)
Dacă în circuit mai acţionează şi forţele electrostatice, atunci
.i C i cF F F q E E
(3.92)
Pentru lucrul mecanic putem scrie
2 2
12 12 1 2 12 1 2
1 1
,i cL q E dl q E dl q q q qU E E
ori 12L qU
(3.93)
Mărimea fizică egală numeric, cu lucrul mecanic efectuat de forţele electrostatice şi de
forţele imprimate asupra unei unităţi de sarcină pozitivă se numeşte cădere de tensiune sau
tensiunea U pe porţiunea respectivă de circuit
12 1 2 12.U E (3.94)
Căderea de tensiune este egală cu diferenţa de potenţial numai pe porţiunea de circuit în care nu
acţionează forţe exterioare (imprimate).
103
3.9.2. Legea lui Ohm. Rezistenţa conductoarelor.
Fizicianul german Ohm a stabilit experimental că, intensitatea curentului electric printr-un
conductor este proporţională cu tensiunea U electrică aplicată pe conductor U
IR
, unde R este
rezistenţa a electrică a conductorului. Această relaţie reprezintă legea lui Ohm pentru o porţiune
omogenă de circuit sub formă integrală. Mărimea
1,G
R
(3.95)
unde G este un coeficient de proporţionalitate şi se numeşte conductanţă electrică. În SI are
unitatea de măsură
1 1 A1 = =1 Sm
Ω 1 VS ( Siemens).
Rezistenţa conductorului omogen depinde atât de forma şi dimensiunile lui, cât şi de
proprietăţile şi starea materialului din care acesta este confecţionat. Pentru un conductor omogen
,
lR
S
(3.96)
0 1 ,t t (3.97)
unde este rezistivitatea electrică a conductorului (constantă de material). Fig.3.33.
Pentru conductibilitatea electrică a conductorului putem scrie
1
.
(3.98)
Prin urmare
1.
US I UI
l S l
Deoarece
UE
l
şi
Ij
S
atunci obținem
1
.j E
(3.99)
Conform relaţiei (3.98) luând în consideraţie faptul că vectorii j şi E coincid ca sens obţinem
.j E (3.100)
Relaţia obţinută reprezintă legea lui Ohm pentru o porţiune omogenă de circuit sub formă
diferenţială. Pentru o porţiune neomogenă de circuit legea lui Ohm are forma
1 2 ,IR
E
(3.101)
104
unde R este rezistenţa totală a circuitului (include şi rezistenţa sursei electrice). Pentru un circuit
închis 1 2 şi legea lui Ohm devine
.IR r
E
(3.102)
3.9.3. Lucrul şi puterea curentului electric. Legea lui Joule - Lentz
Fie un conductor omogen la capetele căruia este aplicată tensiunea U. În timpul t prin
secţiunea transversală a conductorului considerat va trece sarcina dq I dt . Lucrul efectuat pentru
deplasarea sarcinii dq prin conductor este
22 .
UdL Udq IUdt I Rdt dt
R
(3.103)
După definiţie puterea este
22 .
dL U dq UP IU I R
dt dt R
(3.104)
Dacă curentul trece printr-un conductor metalic în stare de repaos, tot lucrul mecanic efectuat de
curent se consumă pentru încălzirea lui. Din legea conservării energiei avem cantitatea de căldură
care se degajă la trecerea curentului va fi egală cu mărimea acestui lucru
22 ,
UdQ dL IUdt I Rdt dt
R
(3.105)
ori
2
0
.
t
Q RI t dt (3.106)
Aceste relaţii reprezintă legea lui Joule - Lentz sub formă integrală. Într-un element de conductor
în timpul dt în volumul dV dS dl se va degaja căldura
22 2 2 .dl
dQ I Rdt j dS dt j dS dl dt j dV dtdS
(3.107)
Cantitatea de căldura degajată dQ , într-o unitatea de volum, în unitatea de timp se numeşte putere
specifică a curentului şi este
2.dQ
W jdVdt
(3.108)
Substituind în formula (3.108) legea lui Ohm sub formă diferenţială j E şi relaţia
1
,
105
obţinem 2.W jE E
(3.109)
Formulele (3.108) şi (3.109) reprezintă legea lui Joule - Lentz sub formă diferenţială.
5. Câmpul magnetic
5.1. Câmpul magnetic în vid. Legea lui Biot – Savart - Laplace
Experienţele au arătat că în jurul conductorilor parcurşi de curenţi şi în jurul magneţilor
permanenţi există un câmp de forţă numit câmp magnetic. Existenţa lui poate fi observată uşor
după forţa cu care acţionează el asupra sarcinilor electrice în mişcare, asupra altor conductori
parcurşi de curent şi asupra magneţilor permanenţi.
Aşa cum, pentru cercetarea câmpului electrostatic se foloseau sarcinile punctiforme de
probă, vom folosi un cadru parcurs de curent pentru studiul câmpului magnetic cu dimensiunile
mult mai mici decât distanţa până la curenţii generatori de câmp magnetic. Orientarea conturului în
spaţiu se caracterizează cu sensul normalei la suprafaţa conturului. În calitate de direcţie pozitivă a
normalei se ia direcţia în care înaintează un burghiu de dreapta la rotirea lui în sensul curentului
electric.
Experimental s-a stabilit, că câmpul magnetic are o acţiune de orientare asupra cadrului
parcurs de curent. Acest rezultat este condiţionat de o anumită direcţie a câmpului magnetic. În
calitate de direcţie a câmpului magnetic în punctul dat se ia direcţia de-a lungul căreia se află
normala pozitivă la contur.
Admitem că într-un punct arbitrar al câmpului magnetic, vom introduce un cadru prin care
circulă curent electric cu intensitatea I (Fig. 3.1). Asupra cadrului acţionează un cuplu de forţe.
Momentul forţelor care roteşte cadrul în câmp depinde intensitatea curentului şi aria cadrului şi nu
depinde de forma cadrului, ,M I S .
Prin urmare, acţiunea câmpului magnetic asupra unui cadru plan, este dată prin mărimea
fizică egală cu produsul curentului care circulă prin cadru la aria acestui cadru numit moment
magnetic al cadrului mP
mP IS
(3.1)
Dacă în unul şi acelaşi punct al câmpului magnetic, vom
introduce n cadre cu diferite momente magnetice, atunci
mP ISN (3.2)
106
si vom observa că, din partea câmpului magnetic asupra acestor
Fig. 3.1.
cadre vor acţiona diferite momente de rotaţie. Iar raportul dintre momentul de rotaţie maximal,
către momentul magnetic propriu max
m
M
P, prin punctul dat al câmpului este o mărime
constantă ce serveşte ca o caracteristică de forţă a câmpului în punctul dat numit vectorul
inducţiei magnetice
max
m
Mconst B
P (3.3)
max mM P B (3.4)
max sinmM P B
(3.5)
unde B este vectorul inducţiei magnetice, care este o caracteristică cantitativă a câmpului
magnetic, iar mP B .
Câmpul magnetic, spre deosebire de câmpul electric nu acţionează asupra sarcinii electrice imobile.
Aşa cum câmpul electric poate fi reprezentat grafic cu ajutorul liniilor de câmp a vectorului E ,
câmpul magnetic este reprezentat grafic cu ajutorul liniilor de
câmp a vectorului B , tangentele cărora în orice punct coincid
ca direcţie şi sens cu vectorul B (Fig. 3.2). În cazul câmpului
electric, liniile de câmp a vectorului E încep pe sarcinile
pozitive şi se sfârşesc pe cele negative, pe când în cazul
câmpului magnetic liniile de câmp ale vectorului B sunt
întotdeauna închise, ceea ce demonstrează că în natură nu
există sarcină magnetică.
Fig. 3.2.
Desimea liniilor, adică numărul de linii ce pătrund în direcţia normală pe o unitate de
suprafaţă, se ia ca fiind egală cu valoarea inducţiei magnetice B . Direcţia liniilor de câmp magnetic
se determină cu regula burghiului de dreapta: mânerul burghiului, care înaintează în sensul
curentului, se roteşte în sensul liniei de câmp magnetic.
În cazul când inducţia magnetică B , este creată de câteva sarcini mobile sau curenţi, atunci
inducţia magnetică este egală cu suma vectorială a inducţiei câmpurilor create de fiecare sarcină sau
curent aparte 1
n
i
i
B B
. (3.6)
107
Această este relaţia principiul superpoziţiei câmpurilor magnetice.
În anul 1820 savanţii francezi Biot şi Savart au cercetat experimental câmpul magnetic al
diferitor conductori. Au stabilit experimental că câmpul magnetic al unui element dl de conductor
depinde de intensitatea curentului I , care generează câmpul magnetic şi depinde de distanţa de la
elementul considerat până într-un punct unde a fost determinată inducţia câmpului magnetică B .
Rezultatele experimentale, au fost generalizate de către Laplace, care a observat, că câmpul
magnetic generat de un conductor parcurs de curentul staţionar I poate fi calculat ca suma
vectorială a tuturor câmpurilor magnetice a elementelor date.
Să determinăm inducţia câmpului magnetic B , creat de o sarcină mobilă q , într-un punct al
spaţiului M , poziţia căruia în momentul de timp dat se determină prin raza vectoare r .
Aşa cum, viteza mişcării sarcinii electrice q , este c , deci
inducţia magnetică într-un moment de timp t se determină în funcţie de
poziţia sarcinii în acest moment de timp (Fig. 3.3).
Experimental s-a stabilita, că inducţia câmpului magnetic în
punctul M al spaţiului, este proporţională cu mărimea sarcinii electrice q , Fig. 3.3.
viteza mișcării ei şi sinusul unghiului dintre direcţia vectorului vitezei şi a razei vectore r în
momentul t, şi invers proporţională cu pătratul modulului razei vectore
2
sinqB k
r
. (3.7)
Formula (3.7) se poate scrie în forma vectoriala
3
q rB k
r
, (3.8)
unde k este coeficient de proporţionalitate
0
4k
, (3.9)
iar 0 este constanta magnetică, valoarea căreia reiese din relaţia 7
0 2
N4 10
A .
Prin urmare, relaţia (3.8) are aspectul
0
34
q rB
r
. (3.10)
Formula (3.10) permite determinarea inducţiei câmpului magnetic creat de o sarcină mobilă q .
În continuare vom determina câmpul magnetic, creat de un conductor arbitrar, parcurs de
curent electric. Admitem, că este dat un astfel de conductor (Fig. 3.4), din care vom separa un
108
element infinit de mic dl şi vom determina câmpul magnetic dB creat de acest element, într-un
punct arbitrat al spaţiului M .
Considerăm S aria secţiunii transversale a conductorului dat, atunci,
numărul de sarcini dN ce se conţin în elementul dl este
dN n S dl ,
unde n este numărul de sarcini într-o unitate de volum (concentraţia
sarcinilor).
Este evident, că în punctul M , fiecare sarcină va crea câmpul
magnetic, conform formulei (3.10). În cazul dat câmpul magnetic creat de
toate sarcinile elementului dl va fi Fig. 3.4.
0
3.
4
S q n r dldB BdN B n S dl
r
(3.11)
Aşa cum, sarcinile electrice din conductor sunt identice, atunci vectorul densităţii curentului electric
este j q n , unde n este numărul de sarcini care pătrund într-o unitate de timp printr-o
unitate de suprafaţă perpendiculară pe această suprafaţă. Deci, (3.11) ia forma
0
3.
4
S j r dldB
r
(3.12)
Vectorul densităţii curentului j şi vectorul dl au acelaşi sens. Substituim dl dl , deoarece
vectorul dl este orientat de-a lungul vectorul dl , în direcţia curentului I ori a densităţii curentului
j . Prin urmare, are loc egalitatea
j dl j dl (3.13)
Sau 0 0 0
3 3 3.
4 4 4
S j dl r j S dl rS j dl rdB
r r r
(3.14)
Ţinând cont că I j S , ca rezultat pentru dB obţinem
0
34
I dl rdB
r
(3.15)
Formula (3.15) reprezintă legea lui Biot – Savart – Laplace. Modulul vectorului dB se determină
din formula
0
2
sin.
4
I dldB
r
(3.16)
109
Menţionăm, că formulele (3.15) şi (3.16) pot fi aplicate şi în cazul determinării inducţiei
câmpului magnetic al diferitor conductoare. Ca exemple vom determina inducţia câmpului magnetic
al conductorului rectiliniu si circular.
a) Câmpul magnetic al unui conductor rectiliniu infinit lung
Fie dat un conductor rectiliniu infinit lung parcurs de curent electric. Să determinăm câmpul
magnetic într-un punct A al spaţiului, situat la o careva distanţă d de la conductor.
Din Fig. 3.5, observăm că
2, .
sin sin sin
d rd d dr dl
Substituind aceste relaţii în legea lui Biot-Savart-Laplace (3.16)
obținem
0 0sinsin sin
4 sin 4
I IrddB d
d R
0 0 0
0
2sin
4 4 2
I IIB dB d
d d d
Fig. 3.5.
Aşadar, inducţia câmpului magnetic unui conductor rectiliniu infinit lung se determină din formula
0 .2
IB
d
(3.17)
În acest caz, liniile de câmp ale vectorului inducţiei magnetice
reprezintă o totalitate de circumferinţe concentrice, ce înconjoară
conductorul (Fig. 3.6).
Fig. 3.6.
b) Câmpul magnetic al unui conductor circular
Fie dat câmpul magnetic, produs de un curent ce circulă printr-un
conductor circular de raza R. Să determinăm inducţia câmpului magnetic în
centrul acestui conductor (Fig. 3.7). Prin urmare, fiecare element dl dă
naştere în centrul conductorului unui câmp, orientat după sensul normalei. În
conformitatea cu (3.16) avem Fig. 3.7
0
2.
4
IdB dl
R
110
Atunci putem scrie
2
0 0 0
2 2
0
24 4 2
RI I I
B dB dl RR R R
(3.18)
Să determinăm în continuare câmpul magnetic într-un punct situat la distanţa x de la conductorul
circular (Fig. 3.8). Vectorul rezultant B este orientat de-a lungul axei curentului.
În cazul dat ||dB dB dB , iar
|| sin .R
dB dB dBr
Deoarece unghiul dintre dl şi r este un unghi
drept atunci
0 0|| 2 3
.4 4
R I dl R I R dldB dB
r r r r
Fig. 3.8.
Integrând ultima relaţie și considerând că 2 2r R d obţinem
2 2
0 0 0
3 23 3 2 20
22 .
4 4 4
RIR I R R I
B dB dl Rr r R d
(3.19)
Pentru 0d , ultima relaţie are ca caz limită formula (3.18), adică se reduce la inducţia magnetică
în centrul curentului circular.
Considerând în formula (3.19), 2
mP R I (momentul magnetic al circuitului), si faptul că
pentru cazul distanţelor mari de la circuit 2R poate fi neglijat
comparându-l cu 2d , atunci putem scrie
0
3
2.
4
mPB
d
(3.20)
Liniile de câmp ale inducţiei magnetice în cazul
curentului circular sunt prezentate în Fig. 3.9.
Fig. 3.9.
5.2. Circulaţia vectorului inducţiei magnetice pentru câmpul magnetic în vid
Prin analogie cu circulaţia vectorului intensităţii câmpului electric E , vom introduce
noţiunea de circulaţie a vectorului inducţiei magnetice B .
Pentru a calcula circulaţia vectorului B , admitem că este dat un conductor parcurs de curent
electric cu intensitatea I, (Fig. 3.10). Considerăm un contur închis cu lungimea l în jurul
111
conductorului considerat şi separăm un element dl din acest contur. Direcţia vectorului B va
coincide cu direcţia tangentei duse prin fiecare punct a circumferinței cu raza R . Menţionăm, că
din figura dată, Bdl R d şi este proiecţia elementului dl pe direcţia inducţiei magnetice B ,
d este unghiul de deplasare a elementului dl , de-a lungul conturului, iar R este distanţa de la
curentul rectiliniu până la elementul dl .
Aplicând legea lui Biot-Savart-Laplace şi ţinând cont de
proprietatea produsului scalar a doi vectori l BB dl B dl ,
putem scrie
0 0 .2 2
l B
I IB dl B dl R d d
R
(3.21)
Prin urmare, pentru circulaţia vectorului B obţinem
0 0 .2 2
l B
l l l l
I IB dl Bdl R d d
R
Fig. 3.10.
Aşa cum, pe întregul contur 0 2 atunci
2
00
0
.2
l
l
IB dl d I
(3.22)
Relaţia (3.22) este obținută pentru curentul rectiliniu. Însă, în conformitate cu principiul
superpoziţiei câmpurilor magnetice 1
n
i
i
B B
, adică în cazul când cuprinde mai mulţi curenţi,
atunci circulaţia vectorului rezultant B se determină din formula
0
1 1
,n n
i i
i il l
B dl B dl I
(3.23)
unde n este numărul de conductori parcurşi de curent, care sunt cuprinşi în interiorul conturului l
de formă arbitrară. Circulaţia vectorului B de-a lungul unui contur închis arbitrar este egală
cu produsul dintre constanta magnetică 0 şi suma algebrică a curenţilor care întretaie
suprafaţa mărginită de contur.
De asemenea se poate demonstra, cazul când conturul nu cuprinde curent atunci
0.l
l
B dl (3.24)
Din cele menţionate mai sus, putem conclude că circulaţia vectorului B , de-a lungul unui
contur este diferită de zero numai în cazul când conturul după care se calculează circulaţia
112
vectorului B cuprinde curent. Toate câmpurile care posedă această proprietate se numesc câmpuri
turbionare ori solinoidale.
5.3. Câmpul magnetic al solenoidului
Numim solenoid, o bobină cilindrică cu un număr mare de spire, înfăşurate de-a lungul unui
miez comun. Pentru a calcula inducţia câmpului magnetic al unui solenoid, vom aplica relaţia
(3.23). Fie dat un astfel de solenoid (Fig. 3.11).
Calculăm câmpul magnetic, adică circulaţia vectorului B , de-a lungul unui contur care
coincide cu una din liniile de câmp a vectorului B . Prin urmare, circulaţia vectorului B a acestui
circuit poate fi reprezentat astfel
.l l l
ABCDEA ABC CDEA
B dl B dl B dl (3.25)
Aşa cum, secţiunea circuitului CDEA, este situată înafara solenoidului,
atunci, curentul cuprins de circuit este egal cu zero, deci Fig. 3.11.
0 0.l
CDEA
B dl B
Aşadar, înafara unui solenoid inducţia câmpului magnetic este egală cu zero. Prin urmare, putem
afirma că relaţia (3.25) ia forma
.l l
ABCDEA ABC
B dl B dl Bl (3.26)
Dacă circuitul ABC trece prin interiorul solenoidului, atunci el încadrează curentul sumar şi
conform relaţiei (3.22), avem
0 ,l
ABCDEA
B dl I N (3.27)
unde N este numărul de spire ale solenoidului, care revin la o unitate de lungime a lui, I este
intensitatea curentului în solenoid. Egalând ultimele două relaţii, obţinem
00 sau .
I NBl IN B
l
(3.28)
Ca rezultat am obținut în (3.28) inducţia câmpului magnetic al solenoidului.
113
5.4. Legea lui Amper. Interacţiunea curenţilor
Generalizând rezultatele cercetărilor acţiunii câmpului magnetic asupra diferitor conductori
parcurşi de curent, Ampere a stabilit că forţa ,dF cu care acţionează câmpul magnetic asupra unui
element de conductor dl parcurs de curent ce se află într-un câmp magnetic este direct
proporţională cu intensitatea curentului I şi cu produsul vectorial dintre elementul de lungime dl şi
inducţia B
sin .dF I dl B IBdl
(3.29)
Direcţia vectorului dF poate fi stabilită cu regula mâinii stângi (vezi Fig. 3.12).
Aşezăm mâna stângă, astfel încât vectorul B să intre în palmă, iar cele patru degete întinse să
fie aşezate de-a lungul conductorului în sensul curentului, atunci
degetul mare întins va indica direcţia forţei. Legea lui Ampere se
foloseşte la determinarea forţei de interacţiune dintre doi conductori
parcurşi de curent. Fie doi conductori infinit lungi paraleli parcurşi de
curenţii 1I şi 2I care se află la distanţa R unul de altul. Fiecare
conductor generează un câmp magnetic care acţionează asupra Fig. 3.12.
altui conductor parcurs de curent. Să determinăm forţa cu care câmpul magnetic al curentului 1I
acţionează asupra unui element de lungime al conductorului al doilea
0 11
2,
4
IB
R
(3.30)
Pentru forțe putem scrie
0 1 21 2 1
2,
4
I IdF I B dl dl
R
(3.31)
0 1 2
2 1 2
2.
4
I IdF I B dl dl
R
(3.32)
Forțele sunt egale şi sunt de sensuri opuse 1 2dF dF . Astfel
rezultă, că doi curenţi paraleli de acelaşi sens se atrag cu forţa Fig. 3.13.
(Fig. 3.13)
0 1 22
4
I IdF dl
R
(3.33)
114
Aşa cum coeficientul de proporționalitate 0
4k
, atunci obținem
1 22I IdF k dl
R
(3.34)
Legea lui Ampere dă posibilitate să determinăm unitatea de măsură a inducţiei magnetice:
max1 1 N
1T =1A×1 mSI
dFB B
I dl
5.5. Acţiunea câmpului magnetic asupra sarcinii electrice în mişcare.
Forţa Lorentz
Un şir de experienţe afirmă, că câmpul magnetic acţionează nu numai asupra conductorilor
parcurşi de curent dar şi asupra sarcinilor aparte care se mişcă în câmp magnetic. Forţa ce
acţionează asupra unei sarcini electrice q , care se mişcă într-un câmp magnetic cu viteza v se
numeşte Forţa Lorentz şi se exprimă prin formula
,F q B (3.35)
iar modulul acestei forţe este
sin .F q B (3.36)
Dacă asupra particulei încărcate în mişcare acţionează şi câmpul electric atunci forţa devine egală
cu
F qE q vB
(3.37)
În continuare vom analiza un conductor parcurs de curentul cu intensitatea I, care se găseşte
într-un câmp magnetic omogen (B=const), situat perpendicular pe liniile de câmp a vectorului
inducţiei magnetice. Separăm un element dl al acestui conductor şi să determinăm forţa care
acţionează asupra acestui element dl . În elementul considerat dl , se conţin dN sarcini
dN nS dl ndV , (3.38)
unde n este concentraţia sarcinilor, iar S este aria secţiunii conductorului.
Atunci ţinând cont, că forţa care acţionează asupra unei sarcini are aspectul (3.35) obținem
.dF dN F ndVF q B ndV (3.39)
În continuare vom folosi formula vectorului densităţii curentului electric j q n si a
intensitatea curentului I j dS q n dS .
115
Înmulţim ultima relaţie la elementul dl și obținem
I dl j dS qn dS dl q n dV q N . (3.40)
Astfel I dl q N .
În cele din urmă formula (3.29) ia aspectul AdF q N B si reprezintă legea lui Ampere
pentru forţa cu care câmpul magnetic acţionează asupra unui element de curent.
Admitem că într-o unitate de volum există N purtători de sarcină, prin urmare asupra unei sarcini
acţionează forţa
.AqN BF
F q BN N
Modulul acestei forţe va fi
sinLF q B . (3.41)
Deoarece forţa Lorentz este întotdeauna perpendiculară pe viteza mişcării sarcinii din care cauză ea
schimbă numai direcţia acestei viteze modulul rămânând constant, adică această forţă nu efectuează
lucru mecanic 0LFL . Direcţia forţei Lorentz se determină după regula mâinii stângi: dacă mâna
stângă este aşezată astfel, ca vectorul B să intre în palmă, iar patru degete întinse sunt
orientate în sensul vectorului viteză v atunci degetul mare întins sub 090 va indica direcţia
forţei ce acţionează asupra sarcinii pozitive. Dacă sarcina este negativă, atunci direcţia forţei este
inversă celei determinate cu regula mâinii stângi (Fig. 3.45).
Să cercetăm careva cazuri particulare.
În cazul când în (3.41) unghiul 0, 0LF , putem afirma că în acest caz sarcina în
câmpul magnetic se mişcă rectiliniu uniform, de-a lungul liniilor de câmp a vectorului B .
Dacă ,2
LF q B
, deci într-un câmp magnetic omogen, traiectorie sarcinii
electrice ce se deplasează cu viteza , este circulară.. În acest caz forţa Lorentz care acţionează
asupra sarcinii din partea câmpului magnetic, joacă rolul de forţă centripetă
2m m
q B RR q B
,
unde R este raza traiectoriei.
Atunci când 0,2 2
, în acest caz sarcina se mişcă în câmpul magnetic
atât după liniile de câmp a vectorului B , cât şi dea lungul circumferinței, iar în rezultatul
compunerii acestor două mişcări, sarcina se va mişca în câmpul magnetic după spirală.
116
5.6. Fluxul câmpului magnetic. Teorema lui Gauss pentru câmpul
magnetic
Fie o suprafaţă S mărginită de un contur (Fig. 3.14). Flux al vectorului inducţiei magnetice
printr-o suprafaţă S , reprezintă totalitatea liniilor de câmp magnetic ce străbat acea
suprafaţă. Fluxul magnetic , este mărimea fizică scalară dat de relaţia (2.11)
,B nd BdS B dS (3.42)
dS dS n
aici dS este un vector valoarea numerică al căruia reprezintă aria unei
suprafeţe elementare dS , perpendicular pe acest element de suprafaţă, n
este vectorul normal dus la suprafaţă, atunci
cosnB B
este componenta vectorului B în direcţia normalei la elementul de suprafaţă. Fig. 3.14.
În dependenţă de valoarea cos , unde unghiul B n , atunci fluxul magnetic poate fi
atât pozitiv, cât şi negativ. Prin urmare, fluxul magnetic printr-o suprafaţă arbitrară S este
.B n
S S
BdS B dS (3.43)
Pentru un câmp magnetic omogen şi o suprafaţă plană perpendiculară vectorului B , nB B const
avem B BS . (3.44)
Unitatea de măsură pentru fluxul magnetic în sistemul internaţional este Weberul (Wb).
21 T 1 m 1 WbB
Întrucât liniile de câmp magnetic, spre deosebire de liniile de câmp a vectorului E nu au început şi
nici sfârşit, sunt linii închise, aceasta demonstrează că în natură nu există sarcini magnetice. Prin
urmare, fluxul câmpului magnetic care trece prin orice suprafaţă închisă este nul
0.B n
S S
BdS B dS (3.45)
Formula (3.45) reprezintă Teorema lui Gauss în formă integrală pentru câmpul magnetic.
Dacă câmpul magnetic este produs de mai mulţi curenţi, care pot aparţine unor circuite diferite,
atunci fluxul magnetic din interiorul unui contur oarecare, închis, este egal cu suma algebrică a
fluxurilor produse de curenţii distincţi, în interiorul acelui contur, adică
1 2 1 2
1
... ...n
n n i
iS S
B dS B B B dS
. (3.46)
117
5.7. Lucrul efectuat la deplasarea conductorului cu curent în câmp
magnetic
Admitem, că un conductor cu lungimea l parcurs de curentul I se poate deplasa liber într-
un câmp magnetic omogen, perpendicular la planul în care se deplasează conductorul. Prin urmare,
la deplasarea conductorului cu curent în câmpul magnetic se efectuează un lucru. Pentru a calcula
lucrul efectuat, vom analiza un contur conectat la o sursă de curent prevăzut cu un element mobil
dl . Introducem acest contur într-un câmp magnetic omogen, astfel ca elementul considerat dl să
fie perpendicular liniilor de câmp a vectorului B , (Fig. 3.15). Din partea câmpului magnetic asupra
elementului dl va acţiona forţa Amper AF , în rezultatul căreia
elementul se deplasează la o distanţă oarecare dx . Această forţă
efectuează asupra elementului un lucru
.AdL F dx IBdl dx IBdS (3.47)
Aşa cum fluxul magnetic este egal cu produsul BdS , obţinem:
dL I d (3.48) Fig. 3.15.
Deci, lucrul elementar efectuat pentru deplasarea conductorului parcurs de curent într-un câmp
magnetic este egal cu produsul dintre intensitatea curentului şi fluxul magnetic intersectat de
conductorul în mişcare. Să calculăm acum lucrul pentru deplasarea unui contur închis parcurs de
curentul I în câmp magnetic. Această afirmaţie este valabilă şi în cazul când conductorul cu curent
se deplasează într-un câmp magnetic sub un unghi .
6. Inducţia electromagnetică
6.1. Fenomenul inducţiei electromagnetice.
Fenomenul de producere a tensiuni electromotoare într-un circuit închis, aflat sub influenţa
unui flux magnetic variabil este inducţia electromagnetică, ori tensiunea electromotoare ce ia
naştere în circuit este proporţională cu fluxul ce străbate suprafaţa delimitată de conturul închis al
circuitului. Acest fenomen poate fi pus în evidenţă prin mai multe experimente.
1. Fie un conductor rectiliniu ce se deplasează paralel cu el însuşi, cu o viteză , într-un câmp
magnetic cu inducţia B . Evident, că se vor deplasa şi sarcinile electrice, mişcarea cărora poate
fi considerată ca un caz particular al curentului electric. Aşa cum sarcinile electrice se mişcă
într-un câmp magnetic, sub acţiunea unei forţe, electronii liberi se vor deplasa la o extremitate a
conductorului, producând acolo o sarcină negativă în exces. La cealaltă extremitate a
conductorului, lipsa de electroni dă o încărcare de sarcină pozitivă. Astfel va apărea un câmp
118
electric în interiorul conductorului, datorită căruia asupra electronilor vor acţiona şi forţă
electrostatică, orientată în sens contrar câmpului electric, care va echilibra într-un moment forţa
electromagnetică. Deci, deplasarea electronilor încetează iar în conductor se produce o t.e.m..
În cazul când conductorul continuă să se mişte în câmp magnetic cu o viteză constantă, t.e.m.
din conductor va fi şi ea constantă şi prin circuit va trece un curent continuu. T.e.m. care a luat
naştere în conductor, în urma deplasării lui în câmp magnetic, se numeşte t.e.m. de
inducţie electromagnetică, pe când curentul din circuit este curent indus. Existenţa
curentului în circuit poate fi constatată, dacă la capetele conductorului conectăm un
galvanometru. Sensul curentului în conductor, cât şi sensul t.e.m., se schimbă dacă schimbăm
sensul deplasării conductorului, sau schimbăm sensul câmpului magnetic. T.e.m. indusă în
conductor depinde de intensitatea câmpului magnetic şi de viteza mişcării conductorului în
câmpul magnetic şi i
nu depinde de metoda cu care a fost indusă,.
2. Dacă faţă de o bobină conectată în serie la un galvanometru (formând astfel un circuit închis)
vom deplasa un magnet permanent şi invers, deplasăm bobina faţă de magnetul permanent,
atunci galvanometrul ne va indica prezenţa curentului de inducţie în baza inducţiei
electromagnetice. Mărimea t.e.m. este cu atât mai mare cu cât deplasarea magnetului se face
mai rapid. Sensul curentului depinde de sensul de deplasare al magnetului şi de polaritatea lui.
În baza acestor experienţe stă principiul funcţionării maşinilor electrice în regim de generator.
Același proces se poate observa şi în cazul când magnetul permanent este înlocuit cu un
electromagnet şi se efectuează aceeaşi deplasare.
3. O altă experienţă este: luăm două bobine, una alimentată de la o sursă de curent continuu, iar
cealaltă având în circuitul ei intercalat un galvanometru. Ambele bobine fiind fixe una faţă de
cealaltă. În rezultatul conectării şi deconectării circuitului, adică bobina a doua de la sursa de
curent, galvanometrul unit la prima bobină, de asemenea ne va indica prezenţa curentului de
inducţie. Pe acest principiu se bazează principiul de funcţionare a transformatoarelor electrice.
Din cele menţionate mai sus, rezultă ca variația fluxului magnetic prin suprafața circuitului
determină apariția în circuit a unei tensiuni electromotoare. Daca circuitul este închis, aceasta
tensiune electromotoare va da naștere curentului indus.
Fenomenul de inducție electromagnetica consta în apariția unei tensiuni electromotoare într-un
circuit străbătut de un flux magnetic variabil în timp.
Legea lui Faraday: t.e.m. indusă într-un circuit electric închis, ca urmare a variaţiei
fluxului magnetic prin suprafaţa mărginită de contur, este egală cu viteza variaţiei fluxului
magnetic, luat cu semnul minus
.d
dt
E (6.1)
119
Regula lui Lenz pentru determinarea sensului curentului indus: Tensiunea electromotoare
indusa si curentul indus au un astfel de sens încât fluxul magnetic produs de curentul indus sa
se opună variației fluxului magnetic inductor. Această lege dă posibilitatea de a determina sensul
curentului de inducţie care apare în contur în baza inducţiei electromagnetice. Astfel, se explică
semnul minus în legea lui Faraday, ca o opoziţie a t.e.m. indusă la variaţia fluxului magnetic
inductor.
Aşa dar, la inducerea curentului într-un circuit ca urmare încep să se mişte sarcinile electrice, în
rezultatul căruia apare o energie localizată în câmpul magnetic creat de sarcinile electrice în
mişcare. Menţionăm, că această energie, apare datorită lucrului efectuat de forţele exterioare la
deplasarea sarcinii.
Analog proceselor mecanice, termice, în cazul fenomenelor electromagnetice de asemenea
se îndeplineşte legea conservării energiei. De aceia vom obţine cantitativ expresia t.e.m. de inducţie
reieşind din legea conservării energiei, la aceste procese.
Vom cerceta un circuit alimentat de o baterie de t.e.m. ,
prevăzut cu un element mobil dl , situat înafara câmpului magnetic (Fig.
6.1), 0B
.dL I dt E (6.1)
În timpul dt ,dq I dt Fig. 6.1.
conform legii Joule - Lentz: 2dQ I R dt (6.2)
Aşa cum, dL dQ rezultă că 2I R dt I dt I
R
EE . (6.3)
Am obţinut legea lui Ohm pentru un circuit întreg.
Pentru cazul când circuitul considerat se află în câmp magnetic
omogen B const atunci, prin deplasarea elementului mobil dl
dl B sub acţiunea forţei lui Amper se va efectua un lucrul
suplimentar (Fig. 6.2) Fig. 6.2
' AdL F dx IBdl dx IBdS Id . (6.4)
Pe baza legii conservării energiei avem
'dL dQ dL
2I dt I Rdt Id E
(6.5)
Împărţind relaţia (6.5) la I R dt obţinem
120
,d
IR Rdt
E
de unde i
i
d
dtI I I
R R
EE E
(6.6)
În cazul variaţiei fluxului inducţiei magnetice prin circuitul considerat, intensitatea
curentului electric corespunde existenţei în circuit a unei surse suplimentare de t.e.m.
i
d
dt
E
(6.7)
Semnul „ –” este exprimarea matematică a regulii lui Lentz: curentul de inducţie în contur
are întotdeauna aşa un sens, încât câmpul magnetic creat de el se împotriveşte variaţiei câmpului
magnetic care dă naştere acestui curent.
Relaţia (6.7) a fost obţinută în cazul conturului mişcător când împreună cu el se mişcau şi
sarcinile electrice ivite în acest contur, prin urmare, asupra lor acţionează forţa lui Lorentz 0LF .
Merită de menţionat că i poate să apară şi în cazul conturului nemişcător, când 0LF . Reieşind
din presupunerile lui Maxwell prezenţa unui câmp magnetic variabil în spaţiu, duce la apariţia unui
câmp electric variabil BE . Atunci circulaţia vectorului BE de-a lungul oricărui contur închis ne dă
variaţia parţială a fluxului magnetic în timp şi nu în spaţiu
.i B
l
E dlt
E (6.8)
6.2. Fenomenul de autoinducţie. Inductanţa
Se ştie că la trecerea unui curent electric printr-un contur, se creează un câmp magnetic şi un
flux magnetic, propriu circuitului. Dacă, curentul şi fluxul propriu este constant, nu apare
fenomenul de inducţie electromagnetică. În cazul când curentul din circuit variază, şi fluxul produs
de el şi în consecinţă în circuit se produce o t.e.m. de inducţie electromagnetică, numită t.e.m. de
autoinducţie. Ca orice t.e.m. de inducţie electromagnetică, prin curentul pe care-l produce, ea se
opune variaţiilor curentului din circuit.
În conformitate cu legea lui Biot-Savart-Laplace, inducţia magnetică este proporţională cu
intensitatea curentului, prin urmare şi fluxul magnetic este proporţional cu curentul I în contur
,I L (6.9)
unde coeficientul de proporţionalitate L se numeşte inductanţa conturului care se măsoare în
121
1 Wb V× S
= 1 H1 A ASI
L .
Să calculăm inductanţa unui solenoid de o aşa lungime l, încât să-l putem considera infinit
de lung și cu aria secţiunii transversale S şi N
nl
spire (pe o unitate de lungime). Dacă prin
solenoid circulă un curent I , în interiorul solenoidului apare un câmp magnetic omogen cu inducţia
0 .B In
(6.10)
Fluxul magnetic ce străbate fiecare spiră a solenoidului este
,B S
iar, fluxul magnetic total va fi:
2 2
0 0 ,N nl B S I n l S I n V (6.11)
unde V S l este volumul solenoidului.
Comparând formulele (6.9) si (6.11) pentru inductanţa solenoidului obţinem
2
0 n l S L (6.12)
sau 2
0 n V L (6.13)
Folosind legea lui Faraday obținem
.a
d d dI dI I
dt dt dt dt
E
LL L
Dacă conturul nu se deformează şi const , atunci 0d
dt
L prin urmare, obţinem
,a
dI
dt E L
(6.14)
unde „ – „ condiţionat de regula lui Lentz, arată că existenţa inductanţei în contur duce la încetinirea
variaţiei curentului electric.
Conform relaţiilor (6.9) şi (6.14) este evident că inductanţa depinde numai de forma
geometrică a conturului şi de proprietăţile magnetice ale mediului care înconjoară conturul
(când nu depinde de H , adică în lipsa feromagneticilor).
6.3. Inducţia mutuală
Fie două conture imobile, aşezate destul de aproape unul de altul. Dacă în conturul 1 circulă
curentul 1I atunci fluxul magnetic produs de acest curent este proporţional cu 1I
(Fig. 6.3). Notând
122
cu 21
fluxul care străbate conturul 2 putem scrie
21 21 1L I , unde 21L
este un coeficient de
proporţionalitate.
Dacă în conturul 1 a avut loc o variaţie a curentului 1I ,
atunci în conturul 2 va avea loc o variaţie afluxului magnetic
21 şi ca rezultat seva induce o t.e.m.
21 112 21
d dI
dt dt
E L
(6.15)
Analogic considerând că prin conturul 2 parcurge curentul 2I , Fig. 6.3.
atunci el creează în conturul 1 un flux magnetic 12
12 12 2 ,I L
şi respectiv la variaţia curentului 2I , în conturul 1 se va induce tensiunea electromotoare:
12 221 12 .
d dI
dt dt
E L
(6.16)
Tensiunea electromotoare care apare într-un circuit electric, datorată variaţiei unui curent
electric într-un alt circuit, poartă numele de t.e.m. de inducţie mutuală.
Aşa deci, coeficientul de proporţionalitate L poartă denumirea de inductanţa mutuală
sau inductivitate mutuală. Prin urmare, calculele confirmate de experienţe, demonstrează că în
cazul circuitelor legate (alăturate) 21 12L L . Deci, inductanţa mutuală depinde atât de forma
geometrică, dimensiunile şi amplasarea reciprocă a conturelor, cât şi de permeabilitatea mediului
în care se află ele.
6.4. Energia câmpului magnetic. Densitatea de energie
Vom cerceta un conductor cu inductanţa L prin care circulă un curent cu intensitatea .I
Aşa cum am afirmat mai sus, acest conductor este înconjurat de un câmp magnetic, care apare şi
dispare odată cu apariţia şi dispariţia curentului electric prin conductorul considerat. Din acest
motiv este natural să presupunem, că o parte a energiei localizate în acest câmp trebuie să fie egală
cu lucrul efectuat de curent pentru crearea acestui câmp magnetic
dW dL .
Variaţia curentului cu dI conduce la variaţia fluxului magnetic cu d
.d dI L
Însă pentru a varia fluxul magnetic cu d este necesar să efectuăm un lucru mecanic dL
123
.dL I d I dI L (6.17)
Altfel putem scrie că .dW I dI L (6.18)
Deci, energia câmpului magnetic este:
max 2
02
II
W I dI LL
(6.19)
Aşa dar, conductorul cu inductanţa L, parcurs de curentul I, posedă energia
2
2
IW
L (6.20)
localizată în câmpul magnetic generat de acest curent.
Să cercetăm energia câmpului magnetic omogen a unui solenoid. Inductanţa solenoidului
infinit conform relaţiei (6.13) este
2
0 , .H
n V H n I In
L
Atunci, vom exprima energia câmpului magnetic prin mărimile care îl caracterizează
2 22 2
0 02
1 1,
2 2 2
I HW n V VH
n
L (6.21)
unde V este volumul solenoidului, iar H este intensitatea câmpului magnetic.
Prin urmare, conform celor menţionate în paragraful 5.3, câmpul magnetic al solenoidului
infinit lung este omogen şi diferit de zero numai interiorul solenoidului. Astfel, energia W (6.21),
se află în interiorul solenoidului şi este redistribuită în tot volumul solenoidului cu o densitate de
energie w constantă
Densitatea de energie W
wV
(6.22)
2 2
0 01.
2 2
V H Hw
V
(6.23)
Aplicând relaţia 0
0
sauB
B H H
obţinem densitatea de energie faţă de vectorul inducţiei
magnetice B
2 2 2
0 0
2 2
0 02 2 2
H B Bw
. (6.24)
Ori considerând 0
B
H , densitatea energiei faţă de B şi H va fi
124
2
2 2
B H BHw
B . (6.25)
Această relaţie este dedusă pentru câmpuri omogene, însă ea este valabilă şi în cazul
câmpurilor neomogene. Trebuie menţionat, că ea este valabilă pentru dependenţă liniară între B şi
H adică este valabilă numai pentru para şi diamagnetici.
Pentru determinarea energiei câmpului magnetic, se ea integrala după volumul considerat
2
0 .2
V V
HW wdV dV
(6.26)
6.5. Câmpul magnetic în substanţă. Momentele magnetice ale electronilor
şi atomilor
Experienţele demonstrează, că orice substanţă introdusă în câmp magnetic se magnetizează.
Pentru studiul proprietăţilor magnetice ale diferitor medii este nevoie să cercetăm acţiunea câmpului
magnetic asupra atomilor şi moleculelor substanţei. Conform concepţiilor fizicii clasice electronii în
atom se mişcă pe traiectorii închise (orbite), formând un sistem de curenţi orbitali închişi.
Electronul ce se mişcă pe o orbită circulară de rază r cu viteza (Fig. 6.4) este echivalent cu un
curent circular (orbital) cu intensitatea I
,2
v
I e er (6.26)
unde este frecvenţa de rotaţie a electronului pe orbită. Curentului
orbital îi corespunde un moment magnetic mP numit moment magnetic
orbital al electronului
Fig. 6.4.
,mP I S n e S n (6.27)
unde S este suprafața orbitei. Sensul vectorului mP se determina cu regula burghiului de dreapta. Pe
de altă parte, electronul ce se mişcă pe orbită posedă şi un moment cinetic numit moment mecanic
orbital al electronului direcţia căruia se determină tot cu regula burghiului de dreapta şi are valoarea
22 2 2 . eL mvr m r r m r m S (6.28)
Din (6.27) şi (6.28) obtinem
,2
m e e
eP L gL
m
(6.29)
125
unde 2
eg
m se numeşte raport giromagnetic (magneto-mecanic) al momentelor orbitale ale
electronului. Semnul „-” arată că direcţiile momentelor magnetic şi mecanic sunt contrare.
Determinarea experimentală a raportului giromagnetic a fost realizată în experienţele lui A.
Einstein şi V. de Haas. În rezultatul cărora s-a observat însă, că acest raport este de 2 ori mai mare
decât cel obţinut teoretic. Pentru interpretarea acestui rezultat a fost făcută presupunerea, adeverită
anterior şi teoretic, că în afara momentelor orbitale mP şi
eL electronul mai posedă un moment
mecanic al impulsului propriu esL numit spin, care este o caracteristică a particulei tot atât de
indisolubilă ca şi masa şi sarcina electrică. Spinului electronului esL îi corespunde un moment
magnetic propriu (de spin) ,msP care este proporţional cu esL şi orientat invers lui esL
,ms s esP g L
unde sg este raportul giromagnetic al momentelor de spin. S-a constatat, că proiecţia
momentului magnetic de spin pe direcţia vectorului B poate lua doar una din următoarele 2 valori
2msB B
eP
m
numit magnetonul lui Bohr. Momentul magnetic total al atomului aP este egal cu suma
vectorială a momentelor magnetice orbitale şi de spin a electronilor care compun acest atom
.a m msP P P (6.30)
Menţionăm, că momentele magnetice ale nucleului atomului este parte componentă a
momentului magnetic a atomului, însă momentele magnetice ale nucleului sunt de mii de ori mai
mici decât cele a electronilor şi din această cauză se neglijează.
6.6. Dia, para şi feromagnetismul. Intensitatea câmpului magnetic.
Ecuaţiile de bază ale magnetostaticii
Pentru a înţelege mecanismul magnetizării substanţelor introduse într-un câmp magnetic,
este necesar să cercetăm acţiunea câmpului asupra electronilor ce se mişcă în interiorul atomului.
Fie un electron în atom se mişcă pe o orbită circulară. În acest caz apare un microcurent
indus de câmpul magnetic exterior, care va crea un câmp magnetic al atomului orientat conform
regulii lui Lentz invers celui exterior. Însumând câmpurile tuturor atomilor se obţine un câmp
magnetic interior. Dacă câmpul magnetic interior este orientat invers celui exterior are loc efectul
126
numit diamagnetic, iar substanţele, care se magnetizează astfel se numesc diamagnetice
, , , ... .Bi Ag Au Cu
Dacă câmpul magnetic interior este orientat în acelaşi sens cu cel exterior are loc efectul
numit paramagnetic iar substanţele, care se magnetizează astfel se numesc paramagnetice
( , ,....Pt Al ). Efectul diamagnetic există şi la substanţele paramagnetice însă el este mult mai slab.
Pentru o descriere cantitativă a magnetizării substanţelor se introduce o mărime vectorială numită
vector de magnetizare J determinat cu momentul magnetic al unei unităţi de volum
1.m
a
PJ P
V V
(6.31)
Câmpul magnetic rezultant în magnetic este 0 0 0, B B B B H câmp magnetic
exterior. Unde B este câmpul creat de curenţii moleculari. Pentru descrierea câmpului creat de
curenţii moleculari, vom cerceta un magnetic în formă de cilindru cu aria secţiunii transversale S şi
lungimea ,l care se află într-un câmp magnetic exterior cu inducţia 0.B Câmpul magnetic interior
va fi orientat în acelaşi sens pentru paramagnet şi invers pentru diamagnet (Fig. 6.5). Toţi curenţii
interiori se compensează, rămânând numai curenţii moleculari care
intersectează suprafaţa laterală.
Curentul care trece suprafaţa laterală este asemănător curentului
prin solenoid şi creează în interiorul lui un câmp cu inducţia
0 .
IB
l
I este intensitatea curentului molecular, l este lungimea cilindrului cercetat. Fig. 6.5.
Momentul magnetic al curentului molecular este
.I I V
P S ll l
(6.32)
Deci .P I
JV l
(6.33)
Aşa dar
0 .B J (6.34)
Atunci
0 0
0
.B
B H J H J
(6.35)
Experienţa demonstrează că pentru câmpuri magnetice cu intensitate nu mare, J H , adică:
127
,J H (6.36)
unde este susceptibilitatea magnetică a substanţei. Pentru 0 substanţa este diamagnet, iar
pentru 0 paramagnet.
Atunci
0 01 ,B H H
(6.37)
unde 1 este permeabilitatea magnetică a substanţei. Luând în consideraţie existenţa
curenţilor moleculari legea curentului total devine 0 .l
B dl I I
Se poate demonstra că
,l
I J dl (6.38)
atunci 0
,l
BJ dl I
sau ,l
H dl I
unde 0
BH J
(6.39)
0
0 0 01 .
H J B
B H H H H
(6.40)
Această relaţie reprezintă teorema despre circulaţia vectorului .H
Pentru vid 1 şi atunci (6.40) ia forma
0B H (6.41)
De unde reiese unităţile de măsură a intensităţii câmpului magnetic in sistemul SI:
2 2
0
0
T A N A A= =
N A m N m
BH
, deci
A
mSIH .
Comparând (6.41) şi (6.40) rezultă că
0
.B
B (6.42)
Prin urmare, permeabilității magnetice relative a substanţei , ne arată de câte ori creşte sau se
micşorează inducţia câmpului magnetic în substanţă comparativ cu valoarea ei în vid.
128
Conform celor menţionate anterior, putem face următoarea remarcă: în cazul diamagneticilor
0B B și ca rezultat 1; 0 , pentru paramagnetici 0B B iar 1; 0; şi pentru
feromagnetici 0B B , iar 1; 0.
6.7. Bazele teoriei lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic.
Câmpul electric turbionar
Din legea lui Faraday i
d
dt
E rezultă, că orice variaţie a fluxului inducţiei magnetice
duce la apariţia t.e.m. de inducţie ca rezultat a unui curent de inducţie. Această t.e.m. de inducţie
poate apărea chiar şi în circuite ce se află în stare de repaos. Dar este cunoscut, că t.e.m. în orice
circuit apare numai atunci, când asupra purtătorilor de sarcină acţionează forţe exterioare. Care este
natura forţelor exterioare în acest caz? Experienţele demonstrează, că aceste forţe imprimate nu
sunt legate nici de procesele termice, nici de cele chimice. Apariţia lor nu poate fi explicată nici de
forţa Lorentz, deoarece asupra sarcinilor nemişcate ele nu acţionează. Maxwell a înaintat o ipoteză,
că orice câmp magnetic variabil generează în spaţiul înconjurător un câmp electric, care şi este
cauza apariţiei curentului de inducţie. Deci, conturul în care apare t.e.m. joacă un rol secundar, fiind
un „aparat” de detectare a acestui câmp. Aşadar, conform teoriei lui Maxwell câmpul magnetic
variabil generează un câmp electric BE circulaţia căruia este
.B i
l
dE dl
dt
E
(6.43)
Știm că S
B dS , atunci
.B
l S
dE dl B dS
dt (6.44)
Pentru cazul conturului imobil, suprafaţa mărginită de acel contur va fi la fel imobilă, atunci putem
scrie astfel
.B
l S
BE dl dS
t
(6.45)
În relaţia (6.45) luăm derivata parţială deoarece, pentru cazul dat este importantă doar variaţia în
timp şi anume această variaţie în timp a câmpului magnetic duce la apariţia câmpului electric
turbionar, în fiecare punct al spaţiului.
129
În baza teoriei lui Maxwell, concludem că înafara de câmpul electric qE ce ţine de sarcinile
electrice, poate exista şi câmpul electric turbionar BE care este creat de variaţia în timp a câmpului
magnetic.
Aşa cum, circulaţia vectorului intensităţii câmpului electrostatic qE de-a lungul unui contur
închis este egală cu zero 0.q
l
E dl
Atunci comparând circulaţia vectorilor BE şi qE observăm că între aceste mărimi este o diferenţă
principială: circulaţia BE este diferită de zero. Aşadar, câmpul electric BE generat de câmpul
magnetic variabil este un câmp turbionar.
6.8. Curentul de deplasare
Conform concepţiilor lui Maxwell, dacă un câmp magnetic variabil excită în spaţiu un
câmp electric turbionar, atunci şi variaţia câmpului electric trebuie să excite un câmp
magnetic turbionar. Pentru determinarea unei caracteristici cantitative între câmpul electric
variabil şi câmpul magnetic excitat de el, Maxwell a făcut presupunerea despre existenţa aşa
numitului curent de deplasare.
Să cercetăm un circuit de curent alternativ, ce conţine un condensator. Curentul de
conducţie, mişcarea purtătorilor liberi de sarcină are loc în tot circuitul, în afară de spaţiul dintre
armăturile condensatorului. Între armaturile condensatorului ce se încarcă şi se descarcă există un
câmp electric variabil, caracterizat de prin vectorul deplasării şi conform lui Maxwell prin el circulă
un curent de deplasare prin spaţiu fără conductori
,d
S S S
dq d DI I dS dS dS
dt dt t t
(6.46)
unde S este aria armăturii, q sarcina distribuită pe armături, densitatea de suprafaţă a sarcinii fiind .
În caz general .d
S
DI dS
t
(6.47)
Pe de altă parte ,d d
S
I j dS (6.48)
de unde rezultă că
d
Dj
t (6.49)
care este densitatea curentului de deplasare. Aşa dar vectorii j şi dj au acelaşi sens.
130
Dacă spaţiile dintre armăturile condensatorului
(Fig. 6.6) conţine un dielectric, atunci datorită faptului că
0 ,D E P
densitatea curentului de deplasare are forma
0 ,d
E Pj
t t
(6.50)
Fig. 6.6.
unde 0
E
t este densitatea curentului de deplasare în vid şi
P
t este densitatea curentului de
polarizare. Menţionăm, că curentul de deplasare există nu numai în vid sau dielectrici, dar şi în
interiorul conductorilor prin care trece curent alternativ, însă în acest caz el este foarte mic
comparativ cu cel de conducţie şi se neglijează. Maxwell, de asemenea a introdus noţiunea de
curent total egal cu suma curenţilor de conducţie şi de deplasare. Aşa dar densitatea curentului
total este .t
Dj j
t
(6.51)
Noţiune de curent total, i-a permis lui Maxwell să generalizeze teorema despre circulaţia
vectorului .H Iar experienţa demonstrează, că această teoremă se îndeplineşte întotdeauna şi are
aspectul
.l S
DH dl j dS
t
(6.52)
6.9. Ecuaţiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic
Ecuaţiile lui Maxwell sunt legile de bază ale câmpului electromagnetic în teoria clasică. Ele
leagă vectorii , ,E D B şi H , care reprezintă câmpul electromagnetic, de sursele sale şi de
caracteristicile mediului în care se găseşte câmpul electromagnetic.
Prima ecuaţie a lui Maxwell, este de fapt forma integrală a legii lui Gauss care spune că
liniile câmpului electric sunt linii deschise care pornesc, sau vin, la sarcinile electrice q din
interiorul suprafeţei închise S.
1) Legea lui Gauss în electrostatică
,lib
i
iS V
DdS q dV (6.53)
unde este densitatea de volum a sarcinilor
131
,S V
DdS dV (6.54)
unde (6.54) ne arată că sursa inducţiei electrice o constituie o distribuţie de sarcină electrică
q de densitate ρ.
Ecuaţia doi, arată că liniile câmpului magnetic care intră într-o suprafaţă închisă S ies
întotdeauna din acea suprafaţă. Acest lucru se întâmplă dacă aceste linii magnetice sunt linii (curbe)
închise.
2) Legea lui Gauss pentru magnetism
0.S
BdS
(6.55)
Ecuaţia trei este legea inducţiei electromagnetice şi arată că tensiunea electromotoare într-un
circuitul este dată de variaţia temporală a fluxului câmpului magnetic prin suprafaţă S.
3) Legea inductiei electromagnetice a lui Faraday
d
dt
E
;l
Edl BS E
(6.56)
Atunci
,l S S
d BEdl BdS dS
dt t
(6.57)
unde
.q BE E E (6.58)
Aşadar
,l S
BEdl dS
t
(6.59)
(6.59) a fost obţinută în urma generalizării legii inducţiei electromagnetice a lui Faraday şi arată că
un câmp magnetic variabil într-un punct din spaţiu determină apariţia unui câmp electric rotaţional.
132
Analog, ecuaţia patru, arată că tensiunea magnetomotoare dintr-un circuitul închis este dată
de intensitatea curentului (sau fluxul densităţii de curent) de conducţie prin suprafaţa S şi de
variaţia temporală a intensităţii curentului de deplasare prin suprafaţa dată.
4) Legea lui Ampere – Maxwell
.l S
Hdl I jdS (6.60)
Legea lui Ampere utilizând noţiunea de curent de deplasare are aspectul
.l S
DHdl j dS
t
(6.61)
Împreună cu relaţiile de legătură putem scrie
0
0
,
,
.
D E
B H
j E
(6.62)
unde γ este conductivitatea substanţei.
Cele patru legi formulate mai sus alcătuiesc sistemul complet de ecuaţii ale lui Maxwell sub
formă integrală. Mai des aceste ecuaţii se folosesc sub formă diferenţiala care permit descrierea
câmpului electromagnetic în orice punct al spaţiului. Ele pot fi uşor obţinute din cele integrală
folosind două teoreme ale analizei câmpului vectorial.
Teorema lui Ostrogradski care leagă integrala după suprafaţă cu integrala după volum
S V
AdS divA dV (6.63)
Unde
yx zAA A
divAx y z
(6.64)
Teorema lui Stokes care leagă integrala după contur cu integrala după suprafaţă
l S
Adl rotAdS (6.65)
unde
y yx xz zA AA AA A
rotA i j ky z z x x y