4. 2011- macromecanica lam comp

Upload: andrei-mezei

Post on 06-Apr-2018

223 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    1/21

    1

    MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE

    Compozitele armate cu fibre sunt materiale ortotrope, a cror comportare seafl ntre cea a materialelor izotrope i a celor anizotrope.Diferenele dintre aceste materiale pot fi explicate prin rspunsul la traciunei forfecare.

    Traciune Forfecare pur

    Material izotrop

    Material anizotrop sau ortotrop general

    x3

    x2

    x1

    (T) 21

    (L)

    (T) 21

    (L)

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    2/21

    2

    Material ortotrop special

    O stare de tensiuni uniaxial pe o epruvet din material izotrop produce doar alungire n direcia de solicitare fr s modifice unghiuriledintre dou laturi adiacente. O stare de forfecare pur produce modificriunghiulare dar nu modific lungimile. Eforturi egale aplicate n direciidiferite produc modificri egale ale lungimilor i unghiurilor. Comportareamaterialelor izotrope este independent de direcie; tensiunile normale

    produc doar deformaii specifice liniare iar tensiunile tangeniale doardeformaii specifice unghiulare.n cazul unui material anizotrop tensiunea uniaxial i forfecarea pur

    produc modificri att ale lungimilor ct i a unghiurilor.

    Cnd se modific direcia efortului aplicat rspunsul materialului nuse schimb calitativ, ci doar cantitativ; cu alte cuvinte comportarea ladeformare a materialului anizotrop este dependent de direcie.Comportarea la deformare a unui material ortotrop este de asemeneadependent de direcia de aplicare a eforturilor. Totui cnd eforturile seaplic dup anumite direcii, rspunsul materialului este similar celui de lamaterialele izotrope. Aceste direcii cu o comportare special se numesc axe

    de simetrie a materialului.

    Legea lui Hooke generalizat

    n general starea de tensiuni n jurul unui punct este descris de 9componente ale tensorului tensiunilor, ijW , ca n fig. 3. Corespunztor

    (T) 2 1

    (L)

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    3/21

    3

    acestui tensor al tensiunilor exist i un tensor al deformaiilor specifice, ijI

    , cu 9 componente.Legea lui Hooke se poate scrie astfel

    ijijij C IW ! (1)

    X3

    X2

    X1

    3W

    2

    1W

    13

    12

    31

    32

    23

    21

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    4/21

    4

    n sistemul de coordonate 321 ,, xxx relaiile tensiuni-deformaii specificesunt:

    -

    !

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    666564636261

    565554535251

    464544434241

    363534333231

    262524232221

    161514131211

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    K

    K

    K

    II

    I

    X

    X

    X

    WW

    W

    CCCCCC

    CCCCCC

    CCCCCC

    CCCCCCCCCCCC

    CCCCCC

    (2)

    n care ijc sunt elementele matricei rigiditilor ? Ac n sistemul de coordonate

    321 ,, xxx

    Relaiile deformaii specifice-tensiuni se pot scrie:

    -

    !

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    666564636261

    565554535251

    464544434241

    363534333231

    262524232221

    161514131211

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    X

    X

    X

    W

    W

    W

    K

    K

    K

    I

    I

    I

    SSSSSS

    SSSSSS

    SSSSSS

    SSSSSS

    SSSSSS

    SSSSSS

    (3)

    n care ijS sunt elementele matricei complianelor ? AS n sistemul decoordonate 321 ,, xxx .Matricea complianelor este inversa matriceirigiditilor

    ? A ? A 1! CS (4)

    Pentru un material elastic matricele rigiditilor i ale complianelor suntsimetrice:

    jiij

    jiij

    CCSS

    !! 6,......,2,1, !ji (5)

    Datorit acestei simetrii numai 21 din cele 36 elemente sunt independente.

    Materiale ortotropeAtunci cnd exist trei plane de simetrie perpendiculare unul pe altul.

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    5/21

    5

    Pentru un material ortotrop se poate scrie matricea complianelor.

    ? A

    -

    !

    66

    55

    44

    332313

    232212

    131211

    00000

    00000

    00000

    000

    000

    000

    S

    S

    S

    SSS

    SSS

    SSS

    S (6)

    Matricea de rigiditate se obine prin inversarea matricii complianelor, iartermenii nenuli ai matricei de rigiditate sunt:

    ? A

    -

    !

    66

    55

    44

    332313

    232212

    131211

    0000000000

    00000

    000

    000

    000

    C

    C

    C

    CCC

    CCC

    CCC

    C (7)

    Dac se folosesc componentele inginereti ale matricei de rigiditate legea luiHooke se poate scrie sub forma:

    x3

    x2

    x1

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    6/21

    6

    jiji Q IW ! 6,......,2,1, !ji

    unde: iW = componentele tensiunilor

    ijQ = termenii matricei de rigiditate scris n funcie de constantele

    ingineretijI = componentele deformaiilor specifice.

    Deformaia specific unghiular inginereasc este de dou ori deformaiaspecific unghiular tensorial.

    -

    !

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    66

    55

    44

    332313

    232212

    131211

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    00000

    00000

    00000000

    000

    000

    K

    K

    KI

    I

    I

    X

    X

    X

    W

    W

    W

    Q

    Q

    Q

    QQQ

    QQQ

    QQQ

    (8)

    Ecuaiile constitutive scrise n funcie de termenii matricei complianelorsunt:

    -

    !

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    66

    55

    44

    332313

    232212

    131211

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    00000

    00000

    00000

    000

    000000

    X

    X

    X

    W

    WW

    K

    K

    K

    I

    II

    S

    S

    S

    SSS

    SSS

    SSS

    (9)

    Ecuaiile constitutive pentru materialele ortotrope arat c tensiunilenormale nu produc deformaii specifice unghiulare atunci cnd acestetensiuni sunt aplicate dup direciile 321 ,, xxx de ortotropie.

    Constantele ingineretiCoeficienii ijC ai matricei de rigiditate i ijS ai matricei complianelor

    nu se msoar direct n laborator. Constantele care pot fi msurate nlaborator se numesc constante inginereti .

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    7/21

    7

    Considernd un material ortotrop cu axele principale 321 ,, xxx supus lao stare de tensiuni tridimensional, se pot scrie urmtoarele ecuaii pentrustabilirea deformaiilor specifice n raport cu tensiunile i constanteleinginereti:

    33

    312

    2

    21

    1

    11 W

    RW

    RWI

    EEE!

    33

    32

    2

    21

    1

    122 W

    RWW

    RI

    EEE!

    13 23 3

    3 1 2

    1 2 3 E E E

    R R WI W W!

    23

    2323

    G

    XK !

    31

    3131

    G

    XK !

    12

    12

    12G

    XK !

    Unde 1E , 2E , 3E sunt modulii lui Young corespunztori celor treidirecii principale iar ijR coeficientul lui Poisson.

    i

    j

    ijI

    IR !

    n care i se refer la direcia efortului aplicat, iar j corespunde direcieideformaiei specifice laterale corespunztoare.

    1

    212

    I

    IR ! ( 01 {W i celelalte componente ale strii de

    tensiune sunt zero)

    1

    313

    I

    IR ! ( 01 {W )

    2

    121

    I

    IR ! ( 02 {W ) etc.

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    8/21

    8

    Coeficienii matricei complianelor sunt:

    ;1

    111

    ES ! ;1

    222

    ES ! ;1

    333

    ES !

    21 12

    12 21

    2 1

    S SE ER R! ! !

    31 13

    13 31

    3 1

    S SE E

    R R! ! !

    322

    23

    3

    3223 S

    EES !!!

    RR

    Folosind simetria termenilor din matricea complianelor jiij SS ! rezult:

    1

    12

    2

    21

    EERR ! ;

    3

    32

    2

    23

    EERR ! ;

    3

    31

    1

    13

    EERR !

    Intruct jiij RR {

    121

    221 RR

    E

    E! .a.m.d.

    Pentru lamele compozite cu armare unidirecional transversal

    izotrope )( 32 EE ! i 21 EE "" , rezult 1221 RR .dar 3223 RR ! .Ecuaiile constitutive pentru un material ortotrop exprimate n raport cu

    constantele inginereti sunt:

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    9/21

    9

    -

    !

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    12

    31

    23

    32

    23

    1

    13

    3

    32

    21

    12

    3

    31

    2

    21

    1

    12

    31

    23

    3

    2

    1

    100000

    01

    0000

    001

    000

    0001

    0001

    0001

    X

    X

    X

    W

    W

    W

    RR

    RR

    RR

    K

    K

    K

    I

    I

    I

    G

    G

    G

    EEE

    EEE

    EEE

    Macromecanica lamelei ortotrope

    n analiza structurilor compozite, de multe ori exist stri plane detensiuni. Ecuaiile constitutive n raport cu axele principale ale materialului

    lamelei ortotrope, pentru starea plana de tensiune sunt:

    -

    !

    12

    2

    1

    66

    2212

    1211

    12

    2

    1

    00

    0

    0

    K

    I

    I

    X

    W

    W

    Q

    QQ

    QQ

    n ecuaia de mai sus dac se exprim termenii Qij n funcie de

    constantele inginereti.rezult:

    1221

    111 1 RR

    !E

    Q

    1221

    212

    1221

    12112 11 RR

    R

    RR

    R

    !

    !

    EEQ

    1221

    222 1 RR

    !E

    Q

    1266 GQ !

    Folosind matricea complianelor putem scrie

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    10/21

    10

    -

    !

    12

    2

    1

    66

    2212

    1211

    12

    2

    1

    00

    0

    0

    X

    W

    W

    K

    I

    I

    S

    SS

    SS

    ntruct ? A ? A 1! QS se pot scrie urmtoarele relaii ntre termenii matricii

    de rigiditate i ai complianelor:

    2122211

    2211

    SSS

    SQ

    !

    2122211

    1122

    SSS

    SQ

    !

    2122211

    1212

    SSS

    SQ

    !

    6666

    1

    SQ !

    Lamela ortotrop special

    Lamela ortotrop special

    -

    !

    12

    2

    1

    66

    2212

    1211

    12

    2

    1

    00

    0

    0

    X

    W

    W

    K

    I

    I

    S

    SS

    SS

    (1)

    111

    1E

    S !

    1

    12

    2

    21

    12EE

    SRR

    !!

    T

    L

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    11/21

    11

    222

    1

    ES ! (2)

    1266

    1

    GS !

    Expresiile termenilor matricei ? AQ de rigiditate a lamelei ortotrope

    speciale sunt:

    -

    !

    12

    2

    1

    66

    2212

    1211

    12

    2

    1

    00

    0

    0

    K

    I

    I

    X

    W

    W

    Q

    QQ

    QQ

    (3)

    1221

    1

    11 1 RR!

    E

    Q

    1221

    212

    1221

    12112 11 RR

    R

    RR

    R

    !

    !

    EEQ (4)

    1221

    222 1 RR

    !E

    Q

    1266 GQ !

    Lamela la care axele de referin coincid cu axele de simetrie se numete

    lamela ortotrop special. Axele de simetrie sunt direcia longitudinal L(1)i direcia transversal T(2).

    Structurile compozite sunt realizate prin stivuirea mai multor lameleunidirecionale ntr-o anumit succesiune (secven) de orientare a lamelelor.

    De aceea direciile principale ale materialului L(1) i T(2) sunt orientate

    cu un anumit unghi U fa de axele de referin (x i y ). Fiecare lamel este

    ortotrop i respect relaiile tensiuni deformaii specifice n raport cu

    axele principale ale lamelei. Pentru calculul elementelor stratificate, din

    lamele compozite este necesar stabilirea relaiilor tensiuni deformaiispecifice n raport cu un sistem de coordonate general.

    Lamela ortotrop general este lamela pentru care relaiile dintremrimi (tensiuni, deformaii) se stabilesc n raport cu un sistem arbitrar de

    axe, Fig....

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    12/21

    12

    Fig...Lamela ortotrop generalSe consider o lamel ortotrop cu axele principale ale materialului

    orientate cu unghiul U fa de sistemul global de coordonate.Trecerea dintr-un sistem de coordonate local ntr-unul global se poate

    face scriind ecuaiile de echilibru pe un element reprezentativ, Fig. 3

    2

    x

    y

    y

    221

    xy x

    yx

    1

    12

    x

    1

    2

    y

    y

    yx

    yx

    x

    1

    y

    xx

    yx

    y

    yx

    T(2) L(1)

    x

    y

    xy

    xy

    xy

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    13/21

    13

    UUXUWUWW cossin2sincos 221 xyyx !

    UUXUWUWW cossin2cossin 222 xyyx ! (5)

    )sin(coscossincossin 2212 UUXUUWUUWX ! xyyx

    Dac se noteaz Ucos!c i Usin!s se poate scrie urmtoarea matrice de

    transformare:

    -

    !22

    22

    22

    1 2

    2

    sccscs

    cscs

    cssc

    T (6)

    iar ecuaiile de transformare se pot scrie:

    -

    !

    xy

    y

    x

    sccscs

    cscs

    cssc

    X

    W

    W

    X

    W

    W

    22

    22

    22

    12

    2

    1

    2

    2

    (7)

    Transformrile n starea plan de deformaii se pot scrie sub forma:

    -

    !

    xy

    y

    x

    sccscs

    cscs

    cssc

    K

    I

    I

    K

    I

    I

    22

    22

    22

    12

    2

    1

    22

    (8)

    n care termenii n c i s formeaz matricea

    ? A

    -

    !22

    22

    22

    2

    22 sccscs

    cscs

    cssc

    T (9)

    iar relaia se poate scrie:

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    14/21

    14

    ? A

    !

    xy

    y

    x

    T

    K

    I

    I

    K

    I

    I

    2

    12

    2

    1

    (10)

    Forma condensat a ecuaiilor constitutive n sistemul axelor principale ale

    materialului este:

    _ a ? A_ a11 IW Q! (11)

    Combinnd (11) cu (7) i (10) se obine

    ? A ? A ? A ? A_ axx TQT IW 2

    1

    1 !

    (12)

    Se poate scrie:

    ? A ? A ? A ? A211 TQTQ ! (13)

    care se numete matricea rigiditilor reduse transformate.

    Ecuaiile constitutive n sistemul de coordonate (x, y) se pot scrie apoi:

    _ a ? A_ axx Q IW ! (14)

    Sau, n forma extins:

    -

    !

    xy

    y

    x

    xy

    y

    x

    QQQ

    QQQ

    QQQ

    K

    I

    I

    X

    W

    W

    662616

    262212

    161211

    (15)

    Relaiile dintre elementele matricei ? AQ i ale matricei ? AQ sunt :

    UUUU 42222

    66124

    1111 sincossin)2(2cos QQQQQ !

    UUUU 44122266221112 sincoscossin4 ! QQQQQ

    UUUU 42222

    66124

    1122 coscossin22sin QQQQQ ! (16)

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    15/21

    15

    UUUU cossin2sincos2 36622123

    66121116 QQQQQQQ !

    UUUU 36622123

    66121126 cossin2sincos2 QQQQQQQ !

    UUUU 4466226622121166 sincoscossin22 ! QQQQQQ

    yMatricea rigiditilor reduse transformate ? AQ este populat n ntregime isimilar cu matricea ? AQ pentru o lamel anizotrop.

    yCoeficienii 16Q i 26Q diferii de zero definesc relaia de cuplare ntre

    rspunsul n-plan la tensiuni normale i de forfecare.De aici s-ar prea c exist 6 constante elastice care descriu comportarea

    lamelei. Totui 16Q i 26Q sunt combinaii liniare ntre cele 4 constante

    elastice de baz 66221211,,, QQQQ .

    yCoeficienii 16Q i 26Q sunt nuli pentru materiale izotrope i n cazul

    materialelor ortotrope n direciile principale ale materialelor. n acele cazuri

    nu exist cuplare ntre rspunsurile la tensiuni normale i cele tangeniale.

    Existena cuplrii dintre tensiunile normale i cele tangeniale este ilustrat

    n figura de mai jos, care arat forma nedeformat i cea deformat a unui

    element supus la o stare pur de tensiuni axiale:

    izotrop ortotropLamel ortotropsolicitat dup oax oarecare

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    16/21

    16

    n cazul materialelor izotrope sau ortotrope solicitate dup direciileprincipale ale materialului nu apar distorsiuni ale unghiului drept ( deci nu

    exist cuplare ntre tensiunile normale i cele tangeniale). n cazul lameleiortotrope solicitate dup o direcie oarecare cuplarea tensiuni normale-

    tensiuni tangeniale este evident prin distorsiunea unghiului drept iniial.Relaia dintre deformaiile specifice i tensiuni n cazul lamelei ortotrope

    generale se poate scrie sub forma:

    _ a _a_ axx S WI ! (`17)

    sau

    -

    !

    xy

    y

    x

    xy

    y

    x

    SSS

    SSS

    SSS

    X

    W

    W

    K

    I

    I

    662616

    262212

    161211

    (18)

    Compliana transformat este inversa matricei reduse transformat

    ? A ? A

    1

    ! QS (19)

    Care poate fi scris sub forma:

    ? A ? A ? A ? A1112 TQTS ! (20)

    Elementele matricei transformate a complianelor pot fi obinute, de

    asemenea, n funcie de elementele matricei complianelor:

    UUUU 42222

    66124

    1111 sincossin2cos SSSSS !

    UUUU 22662211441212 cossincossin SSSSS !

    UUUU 42222

    66124

    1122 coscossin2sin SSSSS !

    UUUU cossin22cossin22 36612223

    66121116 SSSSSSS ! (21)

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    17/21

    17

    UUUU 36612223

    66121126 cossin22cossin22 SSSSSSS !

    UUUU 4466226612221166 sincoscossin4222 ! SSSSSS

    Constantele inginereti ale lameleiDeseori este util cunoaterea expresiilor explicite pentru constantele

    inginereti n sistemul arbitrarde axe n raport cu cele din sistemul axelor

    principale ale materialului (1,2 ) orientate cu un unghi U , fa de sistemul de

    axe (x, y) ca n figura de mai jos:

    Presupunem c 0{xW iar componentele celelalte ale strii de tensiune sunt

    nule:

    UWW 21 cosx!

    UWW 22 sinx! (22)

    UUWX cossin12 x!

    Deformaiile specifice corespunztoare direciilor principale ale materialelorsunt:

    -

    !!

    2

    221

    1

    2

    22

    21

    1

    11

    sincos

    EEEEx

    URUWW

    RWI

    x

    x

    y

    x

    12

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    18/21

    18

    -

    !!

    2

    2

    1

    212

    2

    21

    1

    122

    sincos

    EEEEx

    UURW

    WW

    RI (23)

    1212

    1212

    cossin

    GG

    xUUWX

    K !!

    Deformaiile specifice n sistemul (x, y) se pot obine din ecuaia:

    -

    !

    xy

    y

    x

    sccscs

    cscs

    cssc

    K

    I

    I

    K

    I

    I

    22

    22

    22

    12

    2

    1

    22

    (24)

    de unde:

    UUKUIUII cossinsincos 122

    22

    1 !x UUKUIUII cossincossin 12

    22

    21 !y (25)

    UUKUUIIK 221221 sincoscossin)(2 !xy

    Modulul longitudinal Ex

    Plecnd de la ecuaiile constitutive pentru starea plan de tensiuni ntr-unsistem arbitrar de axe se poate scrie:

    _ a _ ax xSI W

    ! -

    (26)

    Dac starea de tensiuni este uniaxial, cu doar 0xW { deformaia specific

    liniar xI se poate scrie sub forma:

    xxS WI 11! (27)

    i din definiia modulului lui Yong rezult:

    x

    x

    xE

    WI !

    x

    x

    xE

    SW

    W !11

    rezult

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    19/21

    19

    UUU 42222

    66124

    1111 sincossin2cos

    11

    SSSSSE

    x

    !! (28)

    xE poate fi de asemenea exprimat n raport cu constantele inginereti n

    direciile principale ale materialului i orientarea U a fibrelor n raport cusistemul de axe (x, y).

    UUUR

    U 4

    2

    22

    1

    12

    12

    4

    1

    sin1

    cossin21

    cos11

    EEGEEx

    ! (29)

    Modululde elasticitate transversal (Ey)

    Folosind acelasi raionament cu 0{yW i toate celelalte componente nule

    rezult:

    22

    1

    SE

    y

    y

    y!!

    I

    W(30)

    sau n funcie de constantele inginereti:

    UUUR

    U 4

    2

    22

    1

    12

    12

    4

    1

    cos1

    cossin21

    sin11

    EEGEEy

    ! (31)

    Modululde elasticitate la forfecare (Gxy)

    Modulul (Gxy) este determinat din starea de tensiuni n care 0{xyX i

    celelalte componente nule:

    66

    1

    SG

    xy

    xy

    xy!!

    K

    X(32)

    sau n funcie de constantele inginereti n raport cu axele principale:

    UUUUR 4412

    22

    121

    12

    21

    cossin1

    cossin1422

    21

    !

    GGEEEGxy

    (33)

    Coeficientul lui Poisson,xy

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    20/21

    20

    11

    12

    S

    S

    x

    y

    xy !!I

    IR (cnd 0{xW ) (34)

    22

    12

    S

    S

    y

    x

    yx!!

    I

    IR (cnd 0{yW ) (35)

    Coeficieniide influen reciproc

    Cnd un material ortotrop este solicitat n alte direcii dect cele principaleale materialului rspunsul su structural se caracterizeaz prin cuplareaefectelor tensiuni normale - deformaii specifice unghiulare i tensiunitangeniale - deformaii specifice liniare. Cuplarea normal tangenial seevideniaz prin coeficienii de influen reciproc.

    1. Coeficientulde influen de primul tip, iji ,L

    este definit ca raportul dintredeformaia specific liniar i cea unghiular cnd 0{ijX

    ij

    i

    iji KI

    L !, (36)

    n cazul n care 0{xyX i ceilali componeni ai strii de tensiune sunt nuli se

    poate scrie:

    66

    16

    ,S

    S

    xy

    x

    xyx!!

    K

    IL (37)

    66

    26

    ,S

    S

    xy

    y

    xyy !! K

    IL (38)

    2. Coeficientulde influen de tip 2 , iij ,L este raportul dintre deformaia

    specific unghiular i cea specific liniar, n cazul aplicrii unei tensiuninormale 0{iW .

    i

    ij

    iijI

    KL !, (39)

    Primul indice corespunde deformaiei specifice induse, iar al doileacorespunde deformaiei specifice aplicate. Aceast convenie este opuscelei utilizate la coeficienii lui Poisson.Pentru cazul 0{xW i toi ceilali componeni 0!iW , coeficientul deinfluen xxy,L , este :

  • 8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp

    21/21

    11

    16

    ,S

    S

    x

    xy

    xxy !!I

    KL (40)

    iar n cazul 0{yW i ceilali componeni 0!iW , coeficientul de influen

    yxy ,L este:

    22

    26

    ,S

    S

    y

    xy

    yxy!!

    I

    KL (41)