4. 2011- macromecanica lam comp
TRANSCRIPT
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
1/21
1
MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
Compozitele armate cu fibre sunt materiale ortotrope, a cror comportare seafl ntre cea a materialelor izotrope i a celor anizotrope.Diferenele dintre aceste materiale pot fi explicate prin rspunsul la traciunei forfecare.
Traciune Forfecare pur
Material izotrop
Material anizotrop sau ortotrop general
x3
x2
x1
(T) 21
(L)
(T) 21
(L)
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
2/21
2
Material ortotrop special
O stare de tensiuni uniaxial pe o epruvet din material izotrop produce doar alungire n direcia de solicitare fr s modifice unghiuriledintre dou laturi adiacente. O stare de forfecare pur produce modificriunghiulare dar nu modific lungimile. Eforturi egale aplicate n direciidiferite produc modificri egale ale lungimilor i unghiurilor. Comportareamaterialelor izotrope este independent de direcie; tensiunile normale
produc doar deformaii specifice liniare iar tensiunile tangeniale doardeformaii specifice unghiulare.n cazul unui material anizotrop tensiunea uniaxial i forfecarea pur
produc modificri att ale lungimilor ct i a unghiurilor.
Cnd se modific direcia efortului aplicat rspunsul materialului nuse schimb calitativ, ci doar cantitativ; cu alte cuvinte comportarea ladeformare a materialului anizotrop este dependent de direcie.Comportarea la deformare a unui material ortotrop este de asemeneadependent de direcia de aplicare a eforturilor. Totui cnd eforturile seaplic dup anumite direcii, rspunsul materialului este similar celui de lamaterialele izotrope. Aceste direcii cu o comportare special se numesc axe
de simetrie a materialului.
Legea lui Hooke generalizat
n general starea de tensiuni n jurul unui punct este descris de 9componente ale tensorului tensiunilor, ijW , ca n fig. 3. Corespunztor
(T) 2 1
(L)
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
3/21
3
acestui tensor al tensiunilor exist i un tensor al deformaiilor specifice, ijI
, cu 9 componente.Legea lui Hooke se poate scrie astfel
ijijij C IW ! (1)
X3
X2
X1
3W
2
1W
13
12
31
32
23
21
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
4/21
4
n sistemul de coordonate 321 ,, xxx relaiile tensiuni-deformaii specificesunt:
-
!
12
31
23
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
12
31
23
3
2
1
K
K
K
II
I
X
X
X
WW
W
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCCCCCCCC
CCCCCC
(2)
n care ijc sunt elementele matricei rigiditilor ? Ac n sistemul de coordonate
321 ,, xxx
Relaiile deformaii specifice-tensiuni se pot scrie:
-
!
12
31
23
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
12
31
23
3
2
1
X
X
X
W
W
W
K
K
K
I
I
I
SSSSSS
SSSSSS
SSSSSS
SSSSSS
SSSSSS
SSSSSS
(3)
n care ijS sunt elementele matricei complianelor ? AS n sistemul decoordonate 321 ,, xxx .Matricea complianelor este inversa matriceirigiditilor
? A ? A 1! CS (4)
Pentru un material elastic matricele rigiditilor i ale complianelor suntsimetrice:
jiij
jiij
CCSS
!! 6,......,2,1, !ji (5)
Datorit acestei simetrii numai 21 din cele 36 elemente sunt independente.
Materiale ortotropeAtunci cnd exist trei plane de simetrie perpendiculare unul pe altul.
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
5/21
5
Pentru un material ortotrop se poate scrie matricea complianelor.
? A
-
!
66
55
44
332313
232212
131211
00000
00000
00000
000
000
000
S
S
S
SSS
SSS
SSS
S (6)
Matricea de rigiditate se obine prin inversarea matricii complianelor, iartermenii nenuli ai matricei de rigiditate sunt:
? A
-
!
66
55
44
332313
232212
131211
0000000000
00000
000
000
000
C
C
C
CCC
CCC
CCC
C (7)
Dac se folosesc componentele inginereti ale matricei de rigiditate legea luiHooke se poate scrie sub forma:
x3
x2
x1
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
6/21
6
jiji Q IW ! 6,......,2,1, !ji
unde: iW = componentele tensiunilor
ijQ = termenii matricei de rigiditate scris n funcie de constantele
ingineretijI = componentele deformaiilor specifice.
Deformaia specific unghiular inginereasc este de dou ori deformaiaspecific unghiular tensorial.
-
!
12
31
23
3
2
1
66
55
44
332313
232212
131211
12
31
23
3
2
1
00000
00000
00000000
000
000
K
K
KI
I
I
X
X
X
W
W
W
Q
Q
Q
QQQ
QQQ
QQQ
(8)
Ecuaiile constitutive scrise n funcie de termenii matricei complianelorsunt:
-
!
12
31
23
3
2
1
66
55
44
332313
232212
131211
12
31
23
3
2
1
00000
00000
00000
000
000000
X
X
X
W
WW
K
K
K
I
II
S
S
S
SSS
SSS
SSS
(9)
Ecuaiile constitutive pentru materialele ortotrope arat c tensiunilenormale nu produc deformaii specifice unghiulare atunci cnd acestetensiuni sunt aplicate dup direciile 321 ,, xxx de ortotropie.
Constantele ingineretiCoeficienii ijC ai matricei de rigiditate i ijS ai matricei complianelor
nu se msoar direct n laborator. Constantele care pot fi msurate nlaborator se numesc constante inginereti .
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
7/21
7
Considernd un material ortotrop cu axele principale 321 ,, xxx supus lao stare de tensiuni tridimensional, se pot scrie urmtoarele ecuaii pentrustabilirea deformaiilor specifice n raport cu tensiunile i constanteleinginereti:
33
312
2
21
1
11 W
RW
RWI
EEE!
33
32
2
21
1
122 W
RWW
RI
EEE!
13 23 3
3 1 2
1 2 3 E E E
R R WI W W!
23
2323
G
XK !
31
3131
G
XK !
12
12
12G
XK !
Unde 1E , 2E , 3E sunt modulii lui Young corespunztori celor treidirecii principale iar ijR coeficientul lui Poisson.
i
j
ijI
IR !
n care i se refer la direcia efortului aplicat, iar j corespunde direcieideformaiei specifice laterale corespunztoare.
1
212
I
IR ! ( 01 {W i celelalte componente ale strii de
tensiune sunt zero)
1
313
I
IR ! ( 01 {W )
2
121
I
IR ! ( 02 {W ) etc.
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
8/21
8
Coeficienii matricei complianelor sunt:
;1
111
ES ! ;1
222
ES ! ;1
333
ES !
21 12
12 21
2 1
S SE ER R! ! !
31 13
13 31
3 1
S SE E
R R! ! !
322
23
3
3223 S
EES !!!
RR
Folosind simetria termenilor din matricea complianelor jiij SS ! rezult:
1
12
2
21
EERR ! ;
3
32
2
23
EERR ! ;
3
31
1
13
EERR !
Intruct jiij RR {
121
221 RR
E
E! .a.m.d.
Pentru lamele compozite cu armare unidirecional transversal
izotrope )( 32 EE ! i 21 EE "" , rezult 1221 RR .dar 3223 RR ! .Ecuaiile constitutive pentru un material ortotrop exprimate n raport cu
constantele inginereti sunt:
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
9/21
9
-
!
12
31
23
3
2
1
12
31
23
32
23
1
13
3
32
21
12
3
31
2
21
1
12
31
23
3
2
1
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001
X
X
X
W
W
W
RR
RR
RR
K
K
K
I
I
I
G
G
G
EEE
EEE
EEE
Macromecanica lamelei ortotrope
n analiza structurilor compozite, de multe ori exist stri plane detensiuni. Ecuaiile constitutive n raport cu axele principale ale materialului
lamelei ortotrope, pentru starea plana de tensiune sunt:
-
!
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
00
0
0
K
I
I
X
W
W
Q
QQ
QQ
n ecuaia de mai sus dac se exprim termenii Qij n funcie de
constantele inginereti.rezult:
1221
111 1 RR
!E
Q
1221
212
1221
12112 11 RR
R
RR
R
!
!
EEQ
1221
222 1 RR
!E
Q
1266 GQ !
Folosind matricea complianelor putem scrie
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
10/21
10
-
!
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
00
0
0
X
W
W
K
I
I
S
SS
SS
ntruct ? A ? A 1! QS se pot scrie urmtoarele relaii ntre termenii matricii
de rigiditate i ai complianelor:
2122211
2211
SSS
SQ
!
2122211
1122
SSS
SQ
!
2122211
1212
SSS
SQ
!
6666
1
SQ !
Lamela ortotrop special
Lamela ortotrop special
-
!
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
00
0
0
X
W
W
K
I
I
S
SS
SS
(1)
111
1E
S !
1
12
2
21
12EE
SRR
!!
T
L
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
11/21
11
222
1
ES ! (2)
1266
1
GS !
Expresiile termenilor matricei ? AQ de rigiditate a lamelei ortotrope
speciale sunt:
-
!
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
00
0
0
K
I
I
X
W
W
Q
QQ
QQ
(3)
1221
1
11 1 RR!
E
Q
1221
212
1221
12112 11 RR
R
RR
R
!
!
EEQ (4)
1221
222 1 RR
!E
Q
1266 GQ !
Lamela la care axele de referin coincid cu axele de simetrie se numete
lamela ortotrop special. Axele de simetrie sunt direcia longitudinal L(1)i direcia transversal T(2).
Structurile compozite sunt realizate prin stivuirea mai multor lameleunidirecionale ntr-o anumit succesiune (secven) de orientare a lamelelor.
De aceea direciile principale ale materialului L(1) i T(2) sunt orientate
cu un anumit unghi U fa de axele de referin (x i y ). Fiecare lamel este
ortotrop i respect relaiile tensiuni deformaii specifice n raport cu
axele principale ale lamelei. Pentru calculul elementelor stratificate, din
lamele compozite este necesar stabilirea relaiilor tensiuni deformaiispecifice n raport cu un sistem de coordonate general.
Lamela ortotrop general este lamela pentru care relaiile dintremrimi (tensiuni, deformaii) se stabilesc n raport cu un sistem arbitrar de
axe, Fig....
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
12/21
12
Fig...Lamela ortotrop generalSe consider o lamel ortotrop cu axele principale ale materialului
orientate cu unghiul U fa de sistemul global de coordonate.Trecerea dintr-un sistem de coordonate local ntr-unul global se poate
face scriind ecuaiile de echilibru pe un element reprezentativ, Fig. 3
2
x
y
y
221
xy x
yx
1
12
x
1
2
y
y
yx
yx
x
1
y
xx
yx
y
yx
T(2) L(1)
x
y
xy
xy
xy
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
13/21
13
UUXUWUWW cossin2sincos 221 xyyx !
UUXUWUWW cossin2cossin 222 xyyx ! (5)
)sin(coscossincossin 2212 UUXUUWUUWX ! xyyx
Dac se noteaz Ucos!c i Usin!s se poate scrie urmtoarea matrice de
transformare:
-
!22
22
22
1 2
2
sccscs
cscs
cssc
T (6)
iar ecuaiile de transformare se pot scrie:
-
!
xy
y
x
sccscs
cscs
cssc
X
W
W
X
W
W
22
22
22
12
2
1
2
2
(7)
Transformrile n starea plan de deformaii se pot scrie sub forma:
-
!
xy
y
x
sccscs
cscs
cssc
K
I
I
K
I
I
22
22
22
12
2
1
22
(8)
n care termenii n c i s formeaz matricea
? A
-
!22
22
22
2
22 sccscs
cscs
cssc
T (9)
iar relaia se poate scrie:
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
14/21
14
? A
!
xy
y
x
T
K
I
I
K
I
I
2
12
2
1
(10)
Forma condensat a ecuaiilor constitutive n sistemul axelor principale ale
materialului este:
_ a ? A_ a11 IW Q! (11)
Combinnd (11) cu (7) i (10) se obine
? A ? A ? A ? A_ axx TQT IW 2
1
1 !
(12)
Se poate scrie:
? A ? A ? A ? A211 TQTQ ! (13)
care se numete matricea rigiditilor reduse transformate.
Ecuaiile constitutive n sistemul de coordonate (x, y) se pot scrie apoi:
_ a ? A_ axx Q IW ! (14)
Sau, n forma extins:
-
!
xy
y
x
xy
y
x
QQQ
QQQ
QQQ
K
I
I
X
W
W
662616
262212
161211
(15)
Relaiile dintre elementele matricei ? AQ i ale matricei ? AQ sunt :
UUUU 42222
66124
1111 sincossin)2(2cos QQQQQ !
UUUU 44122266221112 sincoscossin4 ! QQQQQ
UUUU 42222
66124
1122 coscossin22sin QQQQQ ! (16)
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
15/21
15
UUUU cossin2sincos2 36622123
66121116 QQQQQQQ !
UUUU 36622123
66121126 cossin2sincos2 QQQQQQQ !
UUUU 4466226622121166 sincoscossin22 ! QQQQQQ
yMatricea rigiditilor reduse transformate ? AQ este populat n ntregime isimilar cu matricea ? AQ pentru o lamel anizotrop.
yCoeficienii 16Q i 26Q diferii de zero definesc relaia de cuplare ntre
rspunsul n-plan la tensiuni normale i de forfecare.De aici s-ar prea c exist 6 constante elastice care descriu comportarea
lamelei. Totui 16Q i 26Q sunt combinaii liniare ntre cele 4 constante
elastice de baz 66221211,,, QQQQ .
yCoeficienii 16Q i 26Q sunt nuli pentru materiale izotrope i n cazul
materialelor ortotrope n direciile principale ale materialelor. n acele cazuri
nu exist cuplare ntre rspunsurile la tensiuni normale i cele tangeniale.
Existena cuplrii dintre tensiunile normale i cele tangeniale este ilustrat
n figura de mai jos, care arat forma nedeformat i cea deformat a unui
element supus la o stare pur de tensiuni axiale:
izotrop ortotropLamel ortotropsolicitat dup oax oarecare
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
16/21
16
n cazul materialelor izotrope sau ortotrope solicitate dup direciileprincipale ale materialului nu apar distorsiuni ale unghiului drept ( deci nu
exist cuplare ntre tensiunile normale i cele tangeniale). n cazul lameleiortotrope solicitate dup o direcie oarecare cuplarea tensiuni normale-
tensiuni tangeniale este evident prin distorsiunea unghiului drept iniial.Relaia dintre deformaiile specifice i tensiuni n cazul lamelei ortotrope
generale se poate scrie sub forma:
_ a _a_ axx S WI ! (`17)
sau
-
!
xy
y
x
xy
y
x
SSS
SSS
SSS
X
W
W
K
I
I
662616
262212
161211
(18)
Compliana transformat este inversa matricei reduse transformat
? A ? A
1
! QS (19)
Care poate fi scris sub forma:
? A ? A ? A ? A1112 TQTS ! (20)
Elementele matricei transformate a complianelor pot fi obinute, de
asemenea, n funcie de elementele matricei complianelor:
UUUU 42222
66124
1111 sincossin2cos SSSSS !
UUUU 22662211441212 cossincossin SSSSS !
UUUU 42222
66124
1122 coscossin2sin SSSSS !
UUUU cossin22cossin22 36612223
66121116 SSSSSSS ! (21)
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
17/21
17
UUUU 36612223
66121126 cossin22cossin22 SSSSSSS !
UUUU 4466226612221166 sincoscossin4222 ! SSSSSS
Constantele inginereti ale lameleiDeseori este util cunoaterea expresiilor explicite pentru constantele
inginereti n sistemul arbitrarde axe n raport cu cele din sistemul axelor
principale ale materialului (1,2 ) orientate cu un unghi U , fa de sistemul de
axe (x, y) ca n figura de mai jos:
Presupunem c 0{xW iar componentele celelalte ale strii de tensiune sunt
nule:
UWW 21 cosx!
UWW 22 sinx! (22)
UUWX cossin12 x!
Deformaiile specifice corespunztoare direciilor principale ale materialelorsunt:
-
!!
2
221
1
2
22
21
1
11
sincos
EEEEx
URUWW
RWI
x
x
y
x
12
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
18/21
18
-
!!
2
2
1
212
2
21
1
122
sincos
EEEEx
UURW
WW
RI (23)
1212
1212
cossin
GG
xUUWX
K !!
Deformaiile specifice n sistemul (x, y) se pot obine din ecuaia:
-
!
xy
y
x
sccscs
cscs
cssc
K
I
I
K
I
I
22
22
22
12
2
1
22
(24)
de unde:
UUKUIUII cossinsincos 122
22
1 !x UUKUIUII cossincossin 12
22
21 !y (25)
UUKUUIIK 221221 sincoscossin)(2 !xy
Modulul longitudinal Ex
Plecnd de la ecuaiile constitutive pentru starea plan de tensiuni ntr-unsistem arbitrar de axe se poate scrie:
_ a _ ax xSI W
! -
(26)
Dac starea de tensiuni este uniaxial, cu doar 0xW { deformaia specific
liniar xI se poate scrie sub forma:
xxS WI 11! (27)
i din definiia modulului lui Yong rezult:
x
x
xE
WI !
x
x
xE
SW
W !11
rezult
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
19/21
19
UUU 42222
66124
1111 sincossin2cos
11
SSSSSE
x
!! (28)
xE poate fi de asemenea exprimat n raport cu constantele inginereti n
direciile principale ale materialului i orientarea U a fibrelor n raport cusistemul de axe (x, y).
UUUR
U 4
2
22
1
12
12
4
1
sin1
cossin21
cos11
EEGEEx
! (29)
Modululde elasticitate transversal (Ey)
Folosind acelasi raionament cu 0{yW i toate celelalte componente nule
rezult:
22
1
SE
y
y
y!!
I
W(30)
sau n funcie de constantele inginereti:
UUUR
U 4
2
22
1
12
12
4
1
cos1
cossin21
sin11
EEGEEy
! (31)
Modululde elasticitate la forfecare (Gxy)
Modulul (Gxy) este determinat din starea de tensiuni n care 0{xyX i
celelalte componente nule:
66
1
SG
xy
xy
xy!!
K
X(32)
sau n funcie de constantele inginereti n raport cu axele principale:
UUUUR 4412
22
121
12
21
cossin1
cossin1422
21
!
GGEEEGxy
(33)
Coeficientul lui Poisson,xy
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
20/21
20
11
12
S
S
x
y
xy !!I
IR (cnd 0{xW ) (34)
22
12
S
S
y
x
yx!!
I
IR (cnd 0{yW ) (35)
Coeficieniide influen reciproc
Cnd un material ortotrop este solicitat n alte direcii dect cele principaleale materialului rspunsul su structural se caracterizeaz prin cuplareaefectelor tensiuni normale - deformaii specifice unghiulare i tensiunitangeniale - deformaii specifice liniare. Cuplarea normal tangenial seevideniaz prin coeficienii de influen reciproc.
1. Coeficientulde influen de primul tip, iji ,L
este definit ca raportul dintredeformaia specific liniar i cea unghiular cnd 0{ijX
ij
i
iji KI
L !, (36)
n cazul n care 0{xyX i ceilali componeni ai strii de tensiune sunt nuli se
poate scrie:
66
16
,S
S
xy
x
xyx!!
K
IL (37)
66
26
,S
S
xy
y
xyy !! K
IL (38)
2. Coeficientulde influen de tip 2 , iij ,L este raportul dintre deformaia
specific unghiular i cea specific liniar, n cazul aplicrii unei tensiuninormale 0{iW .
i
ij
iijI
KL !, (39)
Primul indice corespunde deformaiei specifice induse, iar al doileacorespunde deformaiei specifice aplicate. Aceast convenie este opuscelei utilizate la coeficienii lui Poisson.Pentru cazul 0{xW i toi ceilali componeni 0!iW , coeficientul deinfluen xxy,L , este :
-
8/3/2019 4. 2011- Macromecanica Lam Comp
21/21
11
16
,S
S
x
xy
xxy !!I
KL (40)
iar n cazul 0{yW i ceilali componeni 0!iW , coeficientul de influen
yxy ,L este:
22
26
,S
S
y
xy
yxy!!
I
KL (41)