Exist dou modele de evaluare a opiunilor: modelul Black - Scholes i modelul binomial. Cele doua tipuri de modele se bazeaz pe raionamente de arbitraj i hedging i pornesc de la premisa c piaa nu permite operaiuni de arbitraj.

2 Modelul Black-Scholes

La inceputul anilor 70, Fischer Black si Myron Scholes au avut o contributie capitala in dezvoltarea metodelor de evaluare a optiunilor. Modelul care le poarta numele se bazeaza pe o ecuatie diferentiala, ecuatie ce este satisfacuta de pretul oricarui produs financiar derivat. Ei au rezolvat aceasta ecuatie si au gasit o solutie analitica pentru o optiune Call de tip european. Pentru aceasta formula, cunoscuta ca formula lui Black-Scholes, cei doi au fost rasplatiti cu premiul Nobel pentru economie in 1997. Faimoasa ecuatie, scrisa in 1969 a fost intampinata cu reticenta in mediile financiare, de altfel ea a fost publicata abia in anul 1973, dar s-a dovedit a fi una din cele mai importante instrumente folosite in evaluarea produselor financiare.

2.1 Ipotezele modelului

Vom presupune c sunt ndeplinite urmtoarele ipoteze privind piaa i opiunile de tranzacii: Considerm c opiunile sunt de vnzare (Call) de tip european; Variaia cursurilor activelor suport descrie o lege log-normal, adic urmrete procesul stochastic continuu n timp:

(2.1)

unde reprezint media rentabilitilor activului suport, driftul; -abaterea medie ptratic a rentabilitilor, volatilitatea; S preul activului suport; dt - creterea infinitezimal a timpului. Termenul W este cunoscut ca miscare Browniana sau proces Wiener i este o variabil aleatoare care sintetizeaz toate elementele pieei. Volatilitatea i driftul sunt considerate a fi constante pe toat durata opiuni; Pe durata de via a opiunii nu au loc vrsminte de dividente; Piaa financiar este considerat fr fiscalitate i costuri de tranzacionare; Piaa nu permite oportuniti de arbitraj; Rata dobnzii anuale fr risc, r, nu se schimb pe durata opiunii. De subliniat faptul c toate ipotezele de mai sus pot fi relaxate ajungndu-se la modele mai apropiate de realitate. Modelul Black-Scholes este complet, n sensul c integreaz cei cinci factori determinani ai valorii: preul activului suport S;preul de exerciiu E; rata dobnzii anual fr risc r; perioada pn la scadena opiunii - = T - t (cu T s-a notat scadena iar cu t momentul curent, la emiterea opiunii t = 0); varianta cursului activului suport 2.

2.2 Ecuaia Black Scholes

Valoarea unei opiuni reprezint prima pltit la semnarea contractului sau preul la care ea se tranzacioneaz pe pia la un moment ulterior emiterii. La scaden valoarea unei opiuni este egal cu funcia de payoff : pentru opiunile CALL - max(S E , 0) pentru opiunile PUT - max( E S , 0 ) .

Putem scrie valoarea unei opiuni ca: V (S, t ; , ; E , T ; r) . Subliniem faptul c prin ; s-au separat tipurile de variabile i parametrii: S i t sunt varibile; i sunt parametrii asociai activului suport; E i T sunt parametrii legai de particularitatea fiecrui contract; r este un parametru asociat pieei monetare n care activul suport este cotat.

Aa cum am precizat n paragraful anterior presupunem c preul activului are urmtoarea ecuaie de dinamic: dS = S dt + S dW (2.4) Folosindu-se un rezultat clasic n teoria ecuaiilor stochastice i anume lema lui It se obine urmtoarea ecuaie: (2.2)

Determinarea valorii teoretice pornete de la determinarea valorii aleatoare ntr-un context temporar al unui portofoliu format din: o poziie long de unitate de derivativ, uniti din activul support, poziie short. Mrimea se presupune a fi constant pe un nterval mic de timp. Valoarea acestui portofoliu este : = V (S, t) S (2.3) iar variaia preului portofoliului n intervalul de timp dt este dat de relaia: d = dV dS (2.4) Folosind relaiile (2.2) i (2.4) obinem: (2.5)

Presupunnd, pentru moment c valoarea opiunii i derivatele ei sunt cunoscute se observ c se cunosc toate valorile din partea dreapt a ecuaiei (2.5) exceptnd valoarea lui dS. n consecin putem clasifica termenii din partea dreapta n felul urmtor: termeni deterministici, cei care au n componen pe dt i termeni cu caracter aleator, termenii ce conin dS. Acest termen stochastic reprezint riscul investiiei fcute n portofoliul nostru. ntrebarea fireasc care se pune este: Putem reduce sau chiar elimina riscul? Prin alegerea lui acest lucru se poate face teoretic i aproape n practic. Vom alege pe ca fiind: 2.6)

componenta stochastic reducndu-se astfel la zero. Acesta este un exemplu clasic de hedging .

(2.7) Am ajuns s deinem n acest fel un portofoliu fr risc. ntruct, conform ipotezelor fcute, piaa nu permite oportuniti de arbitraj, variaia valorii portofoliului dat de formula (2.7) va coincide cu variaia unei sume egale depuse ntr-un cont bancar care nu prezint risc: d= r dt (2.8) Acesta este un exemplu de no arbitrage. Dac partea dreapt a ecuaiei (2.7) este mai mare dect r dt, putem realiza un profit garantat mprumutnd o sum din banc pentru ai investi n portofoliul nostru. Pe de alt parte, dac partea dreapt a ecuaiei (2.7) este mai mic dect r dt vindem portofoliul i depozitm n banc. n fiecare caz am obine profit fr risc ceea ce contrazice ipoteza noastr legat de absena posibilitilor de arbitraj. nlocuind (2.3), (2.6) i (2.7) n relaia (2.8) obinem ecuaia Black-Scholes: (2.9) Aceast ecuaie este o ecuaie cu derivate pariale de ordinul doi, liniar, de tip parabolic. Gsirea unei soluii unice depinde de impunerea unor aa numite condiii finale i condiii pe frontier. n cazul n care avem o opiune Call, ecuaiei (2.9) i se ataeaz urmtoarea condiie final: C(T , S) = max(S - E , 0) (2.10) i condiiile pe frontier:

(2.11)

Soluia ecuaiei difereniale (2.9) cu condiiile (2.10) i (2.11) este :

C(S , t) = S N(d1) - E e-r ( T t ) N(d2) (2.12) unde

si

N(d) reprezint probabilitatea cumulat pentru distribuia normal standard, respectiv:

Din relaia de paritate PUT - CALL a opiunilor :

se poate deduce valoarea unei opiuni Put :

Cea mai simpl generalizare a modelului Black-Scholes l reprezint cazul n care, pe durata de valabilitate a opiunii, aciunile suport genereaz dividend. Presupunem c activul de baz primete constant D0. n aceste condiii procesul stochastic care caracterizeaz variaia cursului activului suport este: dS = ( - D0) S dt + S dW Iar ecuaia Black-Scholes devine :

Pe baza unui raionament asemntor modelului clasic, se ajunge la urmatoarea formul pentru valoarea unei opiuni CALL de tip european: C(S , t) = S e-Do (T - t) N(d1) - E e-r (T - t) N(d2) , unde

iar pentru o opiune PUT :

P(S , t) = - S e-Do (T - t) N(- d1) - E e-r (T - t) N(- d2) .

n ncheierea acestui paragraf vom analiza indicatorii de sensibilitate ai valorii unei opiuni. Din punct de vedere matematic senzitivitatea unei funcii este cuantificat de valoarea derivatei funciei respective. Conform tradiiei indicatorii de senzitivitate sunt notai cu litere greceti.

Cel mai important indicator este DELTA- i reprezint sensibilitatea valorii unei opiuni la variaia cursului suport. Matematic, este derivata nti a preului opiunii n raport cu preul activului suport :

Economic, msoar riscul poziiei n portofoliu: este de 1/2 pentru o aciune de paritate; mai mare dect 1/2 pentru CALL n cazul cursurilor supraevaluate iar pentru PUT n cadrul cursurilor subevaluate; mai mic dect 1/2 n cazurile contrare. Pentru aprecierea riscului asumat de investitor, este mai relevant utilizarea coeficientului GAMA- . Acesta msoar sensibilitatea coeficientului delta la o variaie unitar a activului suport i este derivata a doua a preului opiunii n raport cu preul aciunii:

Acest coeficient crete pe msur ce se apropie scadena opiunii. Dac coeficientul se asociaz cu viteza de reacie a preului opiunii la variaiile de curs ale aciunii, coeficientul se asociaz cu acceleraia. Cunoaterea acestei acceleraii permite s se ajusteze riscul portofoliului i s se vad dac poziia acestui risc se apropie de zero . Sensibilitatea valorii opiunii n funcie de ceilali factori se analizeaz prin coeficienii teta, vega, rho i nabla. Coeficientul TETA- msoar sensibilitatea preului unei opiuni la o variaie a duratei:

Cu ct se apropie scadena, coeficientul crete iar valoarea n timp a opiunii scade.

Coeficientul VEGA- v msoar sensibilitatea preului unei opiuni la o variaie a volatilitii cursului activului suport :

Cu ct opiunea se apropie de scaden , vega scade . Coeficienii RHO- i NABLA- exprim sensibilitatea preului unei opiuni n raport cu variaia ratei de dobnd fr risc, respectiv cu variaia preului de exerciiu:

n continuare vom da valorile indicilor de sensibilitate pentru opiuni CALL i PUT n cazul n care activul suport genereaz dividend:

2.3 Volatilitate stochastic

n modelul Black-Scholes s-a presupus c volatilitatea are o volatilitate cu o valoare cunoscut constant, sau o funcie bine determinat. Din pcate realitatea pieei contrazice acest situaie. n practic, volatilitatea nu este constant, nu poate fi prezis pentru perioade de timp mai mari dect cteva luni i nici mcar nu poate fi observat direct. Din aceste motive, pare natural s prezentm volatilitatea nsi ca o variabil aleatoare care satisface un proces stochastic. Ca i n paragraful precedent, presupunem c variaia cursului activului suport satisface: dS = S dt + S dW1 dar, n plus presupunem c volatilitatea, urmeaz urmtorul proces stochastic: d = p(S, v, t) dt + q(S, v, t) dW2 Cele dou procese Wiener W1 i W2 sunt corelate, avnd factorul de corelaie . n acest caz valoarea unei opiuni este o funcie de trei variabile, V (S , , t) i deoarece avem dou surse de risc trebuie s construim un portofoliu de acoperire care s conin, pe lng opiune alte dou componente. Presupunem c deinem un portofoliu constituit dintr-o opiune a crei valoare este V (S , , t) , o cantitate - de active suport i un numr - 1 de opiuni de valoare V1(S , , t). n consecin valoarea portofoliului este : = V - S - 1 V1 i variaia valorii n intervalul de timp dt este d = dV - dS - 1 dV1 .

Folosindu-se o tehnic similar cu cea din cazul clasic Black-Scholes se ajunge la urmtoarea ecuaie ce caracterizeaz preul unei opiuni cu volatilitate stochastic: (2.14) Funcia care apare n formul se numete the market price of volatility risk. Exemple de referin pentru modelele ce conin volatilitate stochastic au fost date de: Taylor (1986), Hull & White (1987), Johnson & Shanno (1987), Wiggins (1987) , Stein & Stein (1991), Amin & Ng (1993), Heston (1993), Heston & Nandi (1993), Bates (1996), etc.

EXEMPLU 2.1 : MODELUL LUI HESTON n modelul lui Heston se consider c variaia activului suport este dat de ecuaia:

3 Modelul Binomial

A fost elaborat de Cox, Ross i Rubinstein n anul 1979 i adaug la ipoteza de pia perfect o ipotez specific: variaiile preurilor pe pia ale opiunii i ale activului suport urmrete o lege binomial n timp discret.

3.1 Modelul binomial simplu

Considerm urmtorul model simplu pentru cursul activului suport: Valoarea iniial a activului suport este S0 . n cadrul unei perioade de timp, t, nainte de scaden, cursul activului suport S0 poate urca pn la uS0 cu o probabilitate p, sau poate scdea pna la dS0 cu o probabilitate 1 - p, unde u este un factor multiplicator de cretere de curs, de forma 1+ rata de cretere, iar d este un factor multiplicator n scdere de curs, de forma 1-rata de diminuare. Pentru a elimina orice posibilitate de arbitraj se impune condiia: 0 < d < 1 < u.

Primele dou ecuaii sunt astfel alese nct s dea pasului binomial acelai drift i aceeai abaterea medie ptratic a rentabilitilor ca i cele date de ecuaia (2.1). Ecuaia (3.3) s-a ales astfel nct dup fiecare scdere a cursului activului suport urmat de o cretere (sau cretere urmat de scdere), activul revine la valoaraea lui iniial. Rezolvarea sistemului ne conduce la soluiile:

Valoarea unei opiuni poate s ia valoarea maxim Vu cu probabilitatea p sau valoarea minim Vd cu probabilitatea 1 p.

Fig 4.2 Reprezentarea schematic a modelului.

Pentru a determina valoarea opiunii, V0, trebuie s rspundem la dou intrebri. Prima ntrebare este: Sunt cunoscute valorile Vu si Vd ? . Cu siguran le cunoatem la scaden ( T ), aceste valori fiind date de funcia payoff. De exemplu valoarea unei opiuni CALL de tip european poate s ia, la scadent, valoarea maxim Cu = max( uS0 E , 0) cu probabilitatea p sau valoarea minim Cd = max( dS0 E , 0) cu probabilitatea 1 p. Vine firesc acum s ne intrebm: Daca cunoastem valorile Vu si Vd putem determina V0 ? . Rspunsul la aceast ntrebare este dat n cele ce urmeaz.

Procesul de arbitraj ntre un portofoliu de active suport i un altul de CALLuri, corespunztoare pe o pia eficient, conduce la un randament egal cu dobnda far risc R. Astfel costruim un portofoliu ce combin cumprarea unei opiuni CALL i vnzarea unui numr corespunztor, de active suport. Acest portofoliu este perfect acoperit. Valoarea portofoliului la momentul iniial va fi:

iar la t valoarea portofoliului va fi 0 + = Vu u S0 cu o probabilitate p ( p [0, 1]) sau 0 + = Vd d S0 cu o probabilitate 1 p. Pentru ca portofoliul s fie fr risc, trebuie ca cele dou valori posibile ale acestuia la scadena opiunii s fie egale, u = d . Din aceast condiie rezultnd ponderea de active suport ce trebuie vndute pentru o opiune cumprat n scopul obinerii unui portofoliu acoperit:

(3.5)

n cele din urm valoarea portofoliului fr risc este :

(3.5)

n cele din urm valoarea portofoliului fr risc este :

(3.6)

Deoarece portofoliu este fara risc, putem folosi argumentul de non-arbitraj, i deci, variaia valorii portofoliului va coincide cu variaia unei sume egale depuse ntr-un cont bancar care nu prezint risc: = r t (3.7) Se obine astfel urmtoarea ecuaie ce reprezint valoarea iniial a opiunii , V0 , cunoscndu-se valorile opiunii la urmtorul pas de timp t , Vu i Vd :

3.2 Modelul multi-pas

Modelul anterior se poate imbunti dac divizm intervalul de timp t n N perioade egale de timp de mrime k.Presupunem ca la timpul tn = nk valoarea activului suport are dou posibiliti: ori crete, ori coboar de la valoarea curent. Cel mai natural mod de a indexa nodurile este prezentat mai departe.Vom nota cu valoarea activului suport, unde specific nivelul de timp, iar m este un index care indic posibilele valori ale activului suport la momentul tn = nk . Deci valoarea iniial a activului suport este pentru nodul Formula general a termenului are noduri surori si si este: , iar cele dou noduri surori la timpul tn = (n + 1)k sunt (3.10). si

Dac se cunosc dou viitoare valori ale opiunii, de exemplu

atunci, folosind formula (3.9), putem evalua valoarea actual a opiunii -

Astfel cunoscnd valorile finale , care sunt de fapt funciile de payoff, putem gsi valoarea iniial a opiunii calculnd regresiv.

Fig. 4.3 Model de indexare a nodurilor