3. teoremele lui kirchhoff
DESCRIPTION
Teoria Campului Electromagnetic - Circuite in Regim SinusoidalTRANSCRIPT
-
TEOREMELE LUI KIRCHHOFF
Terminologie
Se consider o reea complet cu N noduri, L laturi (poriuni neramificate mrginite de noduri) i O ochiuri fundamentale. Laturile care conin surse se numesc laturi active, iar celelalte, laturi pasive. O poriune de reea se numete activ sau pasiv dup cum conine, respectiv nu conine laturi active.
O latur se numete pasivizat dac provine dintr-o latur sau poriune de reea activ prin anularea valorilor t.e.m.ale acestora, rezistenele interne ramnnd nemodificate.
O reea se numete complet (izolat) dac nu are borne de acces cu exteriorul. O reea incomplet se numete dipol dac are dou borne de acces cu exteriorul i multipol dac are mai multe borne de acces. Se numesc ochiuri succesiunea de laturi constituind o linie nchis.
Sistem de ochiuri fundamentale- ansamblul de ochiuri care cuprinde toate laturile reelei, astfel c existena unuia dintre ochiurile sistemului nu poate fi dedus din cunoaterea laturilor celorlalte ochiuri fundamentale, iar existena oricrui alt ochi al reelei (nefundamental) poate fi dedus din cunoaterea laturilor ochiurilor fundamentale ale sistemului. ntr-o reea dat exist mai multe sisteme de ochiuri fundamentale. Ochiurile fundamentale sunt independente, n sensul c oricare integral scris pentru unul din ele, este liniar independent de integralele scrise pentru celelalte ochiuri independente.
TEOREMA I KIRCHHOFF Cu ajutorul legii de conservare a sarcinii electrice n regim staionar, s-a demonstrat teorema continuitii:
0=i
Dac nconjoar nodul (r) al unei reele suma intensitilor curenilor care concur n nodul (r) este nul. Semnul pozitiv se alege dirijat dinspre nod spre exterior. Teorema 1 se enun:
Suma algebric a curenilor laturilor ce se ntlnesc ntr-un nod este nul. Teorema 1 se aplica de (N-1)ori.
-
TEOREMA II KIRCHHOFF
Scriind t.e.m. + sdEE i )( pe curba ce trece prin axa conductorilor ce formeaz ochiul
(p) se obine:
n regim staionar = 0sdE i deci, =
=
pn
kki EsdE
1 unde kE este t.e.m. a sursei
corspunztoare laturii k.
= =
==
n
k k
n
kkkk
p
RIAdsIsdJ
1 1 cu =kR rezultanta laturii k.
Cu aceasta se obine pentru ochiul p, relaia:
= =
=
p pn
k
n
kkkk IRE
1 1
Cu enunul: suma algebric a t.e.m. ale surselor n lungul unui ochi este egal cu suma cderilor de tensiune din laturile ochiurilor. Semnul (+) corespunde surselor sau laturilor pentru care sensul de debitare, respectiv sensul curenilor coincide cu sensul de integrare.
Numrul ochiurilor independente pentru care se va scrie ecuaia independent este
10 += nl .
CALCULUL TENSIUNII NTRE DOU NODURI
Se consider un ochi format dintr-un lan de laturi ale reelei cuprinse ntre cele dou noduri A i B, care se nchide prin aer.
B
AB RK IK
EK
=+ sdJsdEE i )(
A
-
Parcurgnd ochiul de la B la A prin laturi i de la A la B prin aer se obine ___ Teoremei II a lui Kirchhoff:
=
AB ABABkkk UlRE )( sau
==
AB BAkkkkkkAB ElRlREU )()(
TEOREMA CONSERVRII PUTERILOR
FORMA 1 Suma algebric a puterilor primite de toate laturile reelelor pe la bornele lor, este nul pentru o reea izolat.
FORMA 2 Suma algebric a puterilor debitate de sursele din reea este egal cu suma puterilor disipate n rezistenele laturilor:
= =
=l
k
l
kkkkk IRIE
1 1
2 0
DEMONSTRAIE Se consider o latur n general activ pentru care se scrie conform conveniei de la receptoare relaia:
bkkkk UlRE =*
Multiplicnd relaia anterioar cu Ik se obine relaia de bilan energetic a laturii: 2kkkbkkk IRIUIE =+
RK
EK
Vc
Ubk
IK Vb
-
unde: gkkk PlE = - puterea debitat de surs
bkkbk PlU = - puterea primit pe la borne
RKkk PlR =2
- puterea disipat n rezisten
Observaie Conform conveniei de la receptoare, pentru asocierea sensurilor de referin produsul UbI are semnificaia de putere primit algebric de latura respectiv.. Dac produsul UbI rezult negativ numeric, rezult c puterea este efectiv cedat de latur.
Dac s-ar fi folosit convenia de la generatore, pentru asocierea sensurilor de referin produsul UbI ar fi reprezentat puterea cedat de latura pe la borne. Dac produsul UbI ar fi rezultat negativ din calculul numeric, puterea ar fi fost efectiv primit de latur. Considerm, Teorema I Kirchhoff pentru un nod, i se multiplic ecuaia obinut cu potenialul Vb al acelui nod.
0)( = kb IV Se consider apoi suma tuturor ecuaiilor scrise pentru toate nodurile:
0)(1
==
N
bkb IV
n aceast sum dubl, fiecare curent Ik va aprea de dou ori fiind multiplicat pe rnd cu fiecare cele dou poteniale de la bornele laturii k, intervenind cu semnul (+) pentru curentul care iese i (-) pentru curentul care intr. Deci suma anterioar se poate transforma ntr-o sum pe laturi
=
=
L
kcbk VVl
10)( unde bccb UVV = tensiunea de la bornele laturilor k
deci =
=
L
kbkkUI
10 i 0)(
1=
=
k
L
kkkk IEIR deci, toerema conservrii puterilor sub forma
prezentat este o consecin a teoremelor lui Kirchhoff.
TEOREMA TRANSFERULUI MAXIM DE PUTERE Se consider circuitul din figur, considerndu-se cunoscute valorile t.e.m. E i a
rezistenei iR (interioar a sursei).
-
Se cere determinarea rezistenei receptorului R pentru care puterea dat de generator pe la bornele AB este maxim.
( ) 022
26 >
+===
ib RR
REIIUP
Funcia este continu, anulndu-se pentru = RsiR 0 i are un punct de extrem n
acest interval.
Maximul, se obine din condiia:
RRdRdP
ib
== 0
Deci: O sarcin conectat la bornele unei surse absoarbe putere maxim dac valoarea rezistenei ei este egal cu rezistena intern a sursei.
Puterea maxim debitat de generator la borne, este Ri
EP4
2
max =
Deoarece puterea debitat de surs este:
ig R
EEIP2
2
==
randamentul instalaiei este n acest caz n care iRR =
5,0==g
b
PP
Grafic, variaia puterii la borne n funcie de variaia rezistenei R se prezint:
A
B
Ri
R
E Ub
-
TEOREMA SUPERPOZIIEI Intensitatea curentului electric n oricare latur a unei reele electrice liniare complete
este suma algebric a intensitilor curenilor pe care i-ar stabili prin acea latur fiecare din surse, dac s-ar gsi singur n reea. Teorema rezult din caracterul liniar al ecuaiei lui Kirchhoff.
=
=
b
k 10 (pentru fiecare nod 1...2,1 = Nb )
=kE kk
IR (pentru fiecare ochi 0...2,1=p )
Rezolvnd prin regula lui Cramer sistemul de ecuaii se obine pentru curentul din latura j o expresie de forma:
=
=++++=1
2211......
kKKjLLjKKjjjj EGEGEGEGEGI
adic o funcie liniar i omogen n raport cu t.e.m. din laturi. =KjG conductana de transfer de
la latura K la j.
Relaia se poate scrie =
=
L
kjKj II
1
unde KJKjK EGI = este curentul din latura j cnd toate t.e.m. sunt nule n afar de Ek. Deci [ ]
hjEEjjk jKII
==
;0;0.
Deci, calculul unei reele cu teorema superpoziiei const din: - anularea t.e.m. a tuturor surselor din reea, afar de una singur (cu pastrarea rezistenei
interioare); - calculul curenilor reelei mai simple obinute astfel; - repetarea operaiei pentru numrul total de laturi active ale reelei;
Pb
R
Ri 3Ri 2Ri
Pbmax
-
- calculul curenilor reali fcnd suma algebric a curenilor obinui anterior n fiecare latur.
TEOREMELE GENERATORULUI ECHIVALENT
Se numete sarcin echivalent a unei reele neizolate date, schema unei reele fictive care ar putea nlocui reeaua dat n reeaua mai mare din care face parte, fr s se schimbe curenii care intr sau ies pe la bornele de acces sau diferenele de potenial dintre borne.
Se consider un dipol liniar activ, adic o reea liniar i activ cu bornele de acces A i B. Dac la aceste borne se leag o rezisten, va trece un curent IAB, iar ntre borne se va stabili o
tensiune RIU ABAB = .
Teoremele generatorului echivalent arat c un dipol liniar activ admite dou scheme echivalente, numite: schema generatorului de tensiune echnivalent (fig.1) i schema generaturului de curent echivalent (fig.2).
A
B
IAB
R UAB EK
A
B
IAB
Fig. 1
R
Fig. 2
RABO RABO
RABO
-
TEOREMA GENERATORULUI DE TENSIUNE ECHIVALENT (Thvenin - Helmholtz)
Curentul IAB debitat de o reea liniar ntr-o rezisten R legat la bornele (AB) este egal cu raportul ntre tensiunea UABO de mers n gol la bornele (AB) i suma ntre rezistena exterioar R i rezistena interioar a reelei pasivizate RABO.
Demonstraia se bazeaz pe teorema superpoziiei. Se presupune reeaua cu rezistena R provenind prin superpoziie din dou reele (a) i (b) ca n figur.
(a) are toate sursele cu t.e.m. din reeaua iniial i n plus o surs cu t.e.m. ABOUE = n latura de rezisten R, sensul ei fiind opus sensului de referin al curentului. n acest fel se poate menine UABO i nu trece nici un curent prin latura de rezisten R.
(b) are un singur generator cu t.e.m. ABOUE = care acioneaz n latura de rezisten R i al crui sens coincide cu sensul curentului.
Curentul ABO
ABO
ABOAB RR
URR
EI+
=
+
= , unde ABOR este rezistena reelei pasivizate ntre
bornele AB.
)0( ==+= ABABABABAB IIIII
deci ABO
ABOAB RR
UI
+=
Ek0
A
B
IAB
UAB
A
B
IAB=0
E=UABO
RABO Ek=0
IAB
E=UABO a b
-
unde UABO este tensiunea de la borne nainte de legarea rezistenei R; RABO este rezistena reelei pasivizate nainte de legarea rezistenei R. deoarece expresia coincide cu expresia curentului debitat de un generator cu t.e.m. UABO i rezistena interioar serie RABO pe o rezisten exterioar R, rezult c aceast teorem stabilete c o reea electric poate fi nlocuit
n raport cu dou borne printr-un generator echivalent de tensiune avnd t.e.m. ABOUE = i
ABOi RR = . Schema este convenabil n special cnd RRABO .
RU
I ABOAB
TEOREMA GENERATORULUI ECHIVALENT DE CURENT (NORTON)
Tensiunea ABU produs n sarcin de o reea liniar care alimenteaz o rezisten exterioar
R, este egal cu raportul dintre curentul de scurtcircuit ABSI al reelei la acele borne i suma
ntre conductana reelei pasivizat 0
0
1AB
AB RG = i conductana reelei exterioare
RG 1=
Pentru demonstraie, considerm teorema precedent ABSI se obine legnd bornele
AB n scurtcircuit (rezistena exterioar R=0). Conform teoremei lui Thvenin-Helmholtz, el are valoarea
ABABAB
ABABS UGR
UI ==
0
0
0
Tensiunea ABU n sarcina este:
0
0
AB
ABABAB RR
URIRU
+==
Deoarece G
R 1= i 0
0
1AB
AB GR = ,
rezult:
GGI
UAB
ABAB
s
+=
0
Schema echivalent este cea din figura 2, deoarece din aceast teorem rezult c orice reea se poate nlocui n raport cu dou borne A,B cu un generator echivalent de curent care
debiteaz un curent constant sABq
II = i are o conductan interioar (n paralel) 0ABi
GG = .
-
n adevr, din fig.2 se deduce:
0
0
AB
ABAB
i
igAB RR
RI
RRR
IIs +
=
+=
i 0
0
AB
ABABABAB RR
RRIRIU
s +
==
i GG
IUAB
ABsAB+
=
0
1
Schema este convenabil n special cnd GGAB 0 .
TEOREMA CURENILOR DE OCHIURI (MAXWELL)
Teorema curenilor de ochiuri reprezint o metod de rezolvare a reelelor de L laturi i N noduri, ce const n alctuirea unui sistem de 1+= NLO ecuaii, corespunztor ochiurilor
fundamentale, mereu inferior numrului L de ecuaii n sistemul lui Kirchhoff. Curenii fictivi, nchii asociai ochiurilor fundamentale ndeplinesc urmtoarele condiii:
pentru fiecare latur a reelei, curentul real trebuie s fie suma algebric a curenilor de ochiuri care trec prin acea latur.
Exemplu:
Relaiile ntre cureni sunt:
I3
I
E
-
3215
423213
2311
IIIIIIIIIII
IIII
==
==
==
Aplicnd T II Kirchhoff, obinem:
4422
554433
225511
00
RIIRERIRIRIIRIRIR
+=
=
+=
nlocuind, obinem:
( )( )
( ) ( ) 42321352142332
21352111
)(0)(0
RIIRIIERIIRIIRI
RIIRIIRI
+=
=
+=
Grupnd, rezult:
( )( )
( ) 342241234254315
32251251
00
IRRIRIREIRIRRRIR
IRIRIRRR
++=
+++=
++=
La scrierea ecuaiei s-a inut cont:
=pE algebric a surselor aferente ochiului
>= 0lorrezistenteR pp
=pqR rezistenelor laturilor comune ochiurilor p,q. Dac qp IsiI au acelai sens prin
laturile comune, 0pqR ; dac au sensuri contrare 0pqR
Rezolvnd sistemul cu regula lui Cramer, se obin relaiile:
sistem
pEp
Ep
EI p
=
++
+
= ...2
21
1
pq se obine din prin eliminarea liniei q i coloanei p. Minomul se nmulete cu
( ) qp+1 . qppq =
-
TEOREMA RECIPROCITII Presupunem c ntr-o reea exist o singur t.e.m. E, situat pe latura k a ochiului p,
rezultnd pentru curentul de ochi qI expresia:
=pq
q EI
Dac t.e.m. se mut pe latura j a ochiului q se obine
=
pqp EI .
Se pot considera astfel curenii prin ochiuri nct numai ochiul q s treac prin latura j i numai ochiul p prin latura k.
( )( )
( ) ( )kjjkjkjp
kjkq
IIsiEEII
EEII
=
==
==
Deci:
Curentul produs ntr-o latur j a unei reele de o surs situat ntr-o alt latur k (fr alte surse) este egal cu curentul produs n latura k de aceeai surs legat n j.