(2)⋅ {x x∈ {y y∈ - e-math.ro · 8. se dau cinci puncte distincte într-un plan α şi un al...

7

Varianta 1 I. (32puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Dintre numerele: ( ) ( ) 39,2;93,2;39,2 , cel mai mare este egal cu ....

2. Mulţimea formată cu numerele întregi din mulţimea: ( )

−= 4;5,0;

2

8;31,2;3A este egală

cu { }...

3. Valoarea absolută a numărului 37 −=a este egală cu....

4. Descompunerea în factori a expresiei: 22 814 yx − , este egală cu ....

5. Numărul maxim de drepte pe care-l pot determina patru puncte necoplanare este egal cu … 6. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 4 cm, 6 cm şi respectiv 8 cm este egală cu ... 7. Unghiul format de diagonala bazei cu diagonala unei feţe laterale la un cub este egală cu ... 0. 8. Numărul minim de puncte care determină un plan este egal cu ... II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. Fie 4

3=x şi 35

3=y . Calculând yx

11 + , obţineţi:

A. 2

3 B. 33 C.

20

39 D. 39

10. Calculând ( )2AB − pentru 532 +−= baA şi 523 +−= baB , obţineţi:

A. 105 +− ba B. ( )2ba − C. 10−+ ba D. ( )2ba + 11. Distanţa dintre planele ( )'' AABB şi ( )''DDCC ale prismei patrulatere regulate '''' DCBABCDA

este: A. 'AA B. 'BB C. AD D. AC 12. O piramidă triunghiulară are ca bază un triunghi echilateral cu latura de 10 cm. Muchia piramidei este de 13 cm. Calculând apotema piramidei obţineţi:

A. 12cm B. 8cm C. 35 cm D. 8 cm

III. (46puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. Fie expresia : { }2,1,2\,4

3

2

1:

244

2)(

22

2

−∈

−−

−

+−

+++= Rx

xxx

x

xx

xxE

a) Arătaţi că ( ) ( )2 2

2

xE x

x

−=

+. b) Calculaţi ( ) ( )22 −⋅ EE .

14. Fie mulţimile: { }41, <≤−∈= xxxA R şi { }243, ≤≤−∈= xyyB Z

a) Găsiţi elementele mulţimii B. b) Scrieţi mulţimea A sub formă de interval. c) Reprezentaţi mulţimea A pe axa numerelor reale. 15. a) Desenaţi două pătrate care au o muchie comună şi sunt situate în plane diferite. Pătratele MNPQ şi NPRT sunt situate în plane perpendiculare şi 10=MN cm. b) Calculaţi distanţa de la punctul R la mijlocul segmentului QT. c) Calculaţi tangenta unghiului dintre dreptele RQ şi QT. d) Calculaţi măsura unghiului dintre dreptele NQ şi TP.

8

Varianta 2

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Fie mulţimea A={x∈R | 2 ≤ x < 5}. Sub formă de interval, mulţimea A se scrie ...

2. Opusul numărului 52 este numărul …

3. Rezultatul calculului 2

1|2:|22 ⋅− este …

4. Descompunând în factori 12 −x se obţine ... 5. O prismă triunghiulară dreaptă ABCA’B’C’ are un număr de ... muchii. 6. Într-un paralelipiped dreptunghic lungimea este de 5 cm, lăţimea de 4 cm şi înălţimea de 3 cm. Suma tuturor muchiilor paralelipipedului este de ... cm. 7. Fie cubul ABCDA’B’C’D’ . Măsura unghiului format de muchiile AB si CC’ este de ...º 8. Se dau cinci puncte distincte într-un plan α şi un al şaselea în afara acelui plan. Numărul minim de plane determinate de aceste puncte (cu excepţia lui α) este ... II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. Fie 2

2 2)(

x

xxF

−= , unde *R∈x . Calculând ( )2F se obţine:

A. 2 B. 0 C. 1 D. -1

10. Calculând media geometrică a numerelor 2353 +=a si 2353 −=b se obţine:

A. 33 B. 32 C. 34 D. 3

11. O prismă dreaptă are înălţimea de 5cm şi baza un pătrat cu latura de 3 cm. Desfăşurarea pe un plan a suprafeţei laterală a prismei este un dreptunghi a cărui diagonală are lungimea de:

A. 13cm B. 409 cm C. 34 cm D. 16cm. 12. Pe planul pătratului ABCD de latură 3 cm se ridică perpendiculara în A pe care se ia punctul M

astfel încât 33=BM . Atunci distanţa AM este egală cu:

A. 22 cm B. 34 cm C. 33 cm D. 23 cm

III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. a) Folosind egalitatea:

+−=

+ 2

11

2

1

)2(

1

nnnn, unde n este un număr natural nenul, calculaţi

10199

1........

53

1

31

1

⋅++

⋅+

⋅=a . b) Arătaţi că

∈2

1;

3

1a .

14. Fie

+−

−

++−

+=

2

1

4:

442)(

22

2

xx

x

xx

x

x

xxE , unde }2;2{\ −∈ Rx .

a) Arătaţi că 2

2)(

2

+−=

x

xxxE . b) Calculaţi )0(E .

c) Arătaţi că: 26234)2( −=+−E .

15. a) Desenaţi un triunghi ABC şi perpendiculara SA pe planul triunghiului. Fie AB = 3 cm, AC = 4 cm, măsura unghiului A de 90º şi SA = 3 cm. b) Calculaţi lungimile segmentelor BC, SB, SC. c) Determinaţi măsura unghiului format de dreapta SB cu planul (ABC). d) Aflaţi lungimea distanţei de la punctul A la planul SBC.

9

Varianta 3

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Numărul numerelor întregi din intervalul [-5; 6] este egal cu ... 2. Soluţia reală a ecuaţiei 52 =−x este egală cu ...

3. Dintre numerele 2− şi 3− mai mare este numărul ...

4. Media aritmetică a numerelor 27 −=a şi 27 +=b este egală cu ...

5. Un tetraedru cu toate muchiile egale are muchia de lungime 7 cm. Suma tuturor lungimilor muchiilor tetraedrului este egală cu ... cm. 6. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’. Măsura unghiului format de muchiile AB şi C’D’ este de ...º 7. Un cub are muchia de lungime 9 cm. Diagonala cubului este egală cu ... cm. 8. Fiind date şapte puncte distincte într-un plan şi unul în afara planului, numărul maxim de drepte care se pot forma este ...

II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. Simplificând fracţia 22

2

++

x

xx prin 1+x se obţine:

A. 2

1+x B.

2

x C.

1+x

x D.

2

2x

10. Calculând: 37|37| −+− se obţine:

A. 7 B. 3 C. 0 D. 6

11. Fie prisma triunghiulară dreaptă ABCA’B’C’ cu muchia bazei AB de lungime 3 cm şi înălţimea

AA’ de lungime 173 cm. Atunci lungimea segmentului AB’este egală cu:

A. 29 cm B. 23 cm C. 26 cm D. 39 cm

12. Pe planul triunghiului echilateral ABC de latură 4 cm se ridică perpendiculara în A pe care se ia punctul M astfel încât MA = 2 cm. Distanţa MD, unde D este mijlocul laturii BC este egală cu:

A. 24 cm B. 34 cm C. 3 cm D. 4 cm


13. Fie mulţimile }2

5|{ ZZ ∈

−∈=

xxA şi }32{ <−∈= xxB R .

a) Determinaţi elementele mulţimii A . b) Găsiţi elementele comune mulţimilor A şi B.

14. Fie expresia 1

11:

11)(

22 −⋅

−+

++−+=

xxx

x

x

x

xx

xxE unde }1;0;1{\ −∈ Rx .

a) Arătaţi că 1

)(−

=x

xxE . b) Calculaţi )2(E şi )3(E . c) Calculaţi

)3(

1

)2(

1

EE− .

15. a) Desenaţi o piramidă triunghiulară VABC de vârf V şi bază triunghiul ABC.

Fie AB = 4 cm, 24=AC cm , 34=BC cm, 24=AV cm, unde dreapta AV este

perpendiculară pe planul (ABC). b) Calculaţi lungimile segmentelor VB şi VC. c) Calculaţi distanţa de la punctul B la dreapta VC. d) Calculaţi distanţa de la punctul B la planul (AVC).

10

Varianta 4

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului )23)(23( +− este ...

2. Numărul real 4

15 scris ca fracţie zecimală este egal cu ...

3. Mulţimea formată din numerele naturale ce aparţin intervalului [-6; 1] este egală cu {...}.

4. Fie 12

3)(

+=

xxF . Calculând F(-5) se obţine numărul ...

5. Un tetraedru cu toate muchiile egale are aria bazei egală cu 316 cm2. Atunci muchia

tetraedrului este egală cu … cm. 6. Dacă suma tuturor muchiilor unui cub este de 132 cm, atunci muchia cubului este de ... cm. 7. Fie ABCA’B’C’ o prismă triunghiulară dreaptă cu baza ABC triunghi echilateral. Dacă înălţimea prismei AA’ este de 8 cm şi latura bazei AB este de 3 cm atunci suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este egală cu ... cm. 8. Numărul de plane care se pot forma cu punctele A, B, C, D necoplanare este ... II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Mulţimea }63{ <−∈= xxA R este intervalul:

A. (-6; 6) B. (-3; 9) C. (3; 9) D. (6; 9) 10. Calculând valoarea expresiei 3|1||32|)( −++−= xxxE pentru 1−=x se obţine:

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 11. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ unde AB = 3 cm, BC = CC’ = 5 cm. Atunci perimetrul patrulaterului ABC’D’ este egal cu:

A. 296+ cm B. 266+ cm C. 2106+ cm D. 2104+ cm 12. Fie pătratul ABCD de latură 4 cm. Pe planul acestuia se ridică perpendiculara în punctul A pe

care se ia punctul M astfel încât AM = 24 cm. Atunci distanţa MC este egală cu:

A. 8 cm B. 16 cm C. 64 cm D. 28 cm


13. Fie numerele 232 ++=a şi 223

1 −−

=b .

a) Calculaţi numărul b. b) Determinaţi media aritmetică a numerelor a şi b.

14. Se consideră expresia: 3

6:

3

3

3

3)(

−

+−−

−+=

x

x

x

x

x

xxE , unde }3;0;3{\ −∈ Rx .

a) Arătaţi că 3

2)(

+=

xxE . b) Aflaţi numerele reale pentru care [ ]2)()( xExE = .

c) Găsiţi numerele întregi x astfel încât E(x) să fie număr întreg. 15. a) Desenaţi o piramidă patrulateră MABCD de bază ABCD şi vârf M. Se ştie că ABCD este dreptunghi, 3=MD cm, 6=MC cm, unde dreapta MD este perpendiculară pe planul (ABCD) şi triunghiul MDA este asemenea cu triunghiul BCM. b) Calculaţi lungimea segmentului (CD). c) Aflaţi lungimea segmentului (BC).

11

d) Calculaţi lungimea distanţei de la punctul O la dreapta (MB), unde O este punctul de intersecţie al diagonalelor în dreptunghiul ABCD.

12

Varianta 5

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Dintre numerele reale 6,3 şi 36 este iraţional numărul ...

2. Mulţimea { }2−≥∈= xxA R se scrie ca interval A = ...

3. Descompunerea în factori a expresiei 14 2 −x este ...

4. Raţionalizând numitorul fracţiei 347

1

+ se obţine numărul real ...

5. Punctul P este exterior planului trapezului ABCD, AB || CD. Dacă drepta BC se intersectează cu dreapta AD în punctul E, atunci dreapta de intersecţie a planelor (PAD) şi (PBC) este dreapta ... 6. În vârful A al dreptunghiului ABCD, cu latura AD = 8cm, se ridică perpendiculara PA pe planul dreptunghiului. Dacă PA = 8 cm, atunci distanţa de la P la dreapta DC este egală cu ... cm. 7. În cubul ABCDA’B’C’D’ măsura unghiului dintre dreaptele A’C’ şi BC este egală cu ...0 8. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ proiecţia dreaptei AC’ pe planul (ABB’A’) este dreapta ... II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Mulţimea { }5234 ≤+≤−∈= xxA R este egală cu intervalul:

A. [ ]1;3− B. [ ]1;2− C. [ ]2;2− D. [ ]3;6−

10. Fie expresia ( ) ( ) ( )22 3232 −−+= xxxE . Aplicând formule de calcul prescurtat expresia devine:

A. ( ) 28xxE = B. ( ) 0=xE C. ( ) xxE 24= D. ( ) 188 2 += xxE

11. Un dreptunghi de dimensiuni 3 cm şi 16 cm se îndoaie în aşa fel încât să formeze suprafaţa laterală a unei prisme drepte cu baza pătrat şi înălţimea de 3 cm. Aria bazei prismei este egală cu: A. 9 cm2 B. 64 cm2 C. 256 cm2 D. 16 cm2 12. Punctul M este exterior planului dreptunghiului ABCD, al cărui centru este O, iar P şi N sunt mijloacele segmentelor [MA], [BC]. Planul (PON) este paralel cu planul: A. ( )MDC B. ( )MBC C. ( )MDA D. ( )MAB


13. Fie numărul real

−⋅+

+−

=−

66

162

3

1

32

22

a

a) Aflaţi valoarea numărului a. b) Calculaţi media geometrică a numerelor a şi b, 332 +=b .

14. Fie ( )4

12

9

18

3

4

3

5 2

2 +−+⋅

−+−

−−

+=

x

xx

x

x

xxxE , unde { }3;3;4−−−∈ Rx

a) Arătaţi că ( )3

4

+−=

x

xxE , oricare { }3;3;4−−−∈ Rx

b) Determinaţi valorile întregi ale numărului a pentru care ( ) Z∈aE .

c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale, ecuaţia ( ) ( ) 12 =−− ExE . 15. a) Desenaţi un dreptunghi ABCD şi dreapta VA perpendiculară pe planul dreptunghiului.

Dreptunghiul ABCD are 510=AB cm şi 55=AD cm, iar 310=AV cm. Fie punctele F şi E pe diagonala BD astfel încât BDAF ⊥ şi BDCE ⊥ . b) Calculaţi distanţa de la punctul V la dreapta BD. c) Calculaţi distanţa de la punctul B la planul (VAF).

13

d) Calculaţi lungimea proiecţiei segmentului BC pe planul (VAF).

14

Varianta 6

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Dintre numerele reale 5− şi 7− mai mare este numărul ...

2. Rezultatul calculului 11244 − este egal cu ... 3. Descompunerea în factori a expresiei xx 35 2 + este ...

4. Rezultatul calculului ( ) 131322

−− este egal cu ...

5. Punctul P este exterior planului trapezului ABCD, AB || CD, iar planul (PAB) intersectează planul (PCD) după dreapta PQ. Dreapta PQ este paralelă cu planul ... 6. Numărul minim de puncte necoliniare care determină un plan este … 7. În centrul O al pătratului ABCD, cu latura 12=AB cm, se ridică perpendiculara PO pe planul pătratului. Dacă 6=PO cm atunci distanţa de la punctul P la dreapta AB este egală cu ... cm. 8. În cubul ABCDA’B’C’D’ măsura unghiului dintre dreaptele AD şi CC’este de ...0 II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. Rezultatul calculului 2222 4545 ⋅⋅− este egal cu: A. 75− B. 20 C. 60 D. 1

10. Dacă 23 +=x şi 23 −=y atunci media geometrică a numerelor x şi y este:

A. 3 B. 32 C.1 D. 2 11. Prisma dreaptă ABCDA’B’C’D’ are baza ABCD un pătrat cu latura de 5 cm, iar cea mai scurtă distanţă dintre punctele A şi D’, pe feţele laterale ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’ este de 17 cm. Înălţimea prismei este egală cu: A. 12cm B. 8cm C. 6cm D. 27cm 12. Punctele A, B, C aparţin unui cerc de centru O astfel încât m(∠ABC) = 1300, iar punctul D este exterior planului cercului. Dacă punctele M şi N sunt mijloacele segmentelor [DO] şi [DA] atunci măsura unghiului dintre dreptele MN şi OC este egală cu: A. 0100 B. 080 C. 0130 D. 065 III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. Fie numărul ( )1250:32

1

2

3 +

−−=x

a) Arătaţi că x este raţional. b) Aflaţi cel mai mare număr întreg mai mic decât 31 −x

.

14. a) Arătaţi că ( )( )13322 +−=−− xxxx .

b) Fie expresia ( )

+++⋅

−−−

−+=

4

41

32

3

3

2

2 x

xx

xxx

xxxE , unde { }3;1;4−−−∈ Rx .

Arătaţi că ( ) 1+= xxE , oricare { }3;1;4−−−∈ Rx .

c) Calculaţi suma ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20072006...6544321 EEEEES +++++++++= . 15. a) Desenaţi paralelogramul ABCD şi punctele P, Q, R exterioare planului paralelogramului de aceeaşi parte, astfel încât QA este paralelă cu RC şi cu PD, iar punctul B aparţine planului (PQR). b) Arătaţi că planul (BCR) este paralel cu planul (ADP). c) Arătaţi că PQBR este paralelogram. d) Dacă O şi L sunt centrele paralelogramelor ABCD şi PQBR, iar PD = 12 cm şi QA = 2 cm, calculaţi lungimea segmentului RC.

15

Varianta 7

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului.

1. Numărul raţional 5

19 scris sub formă zecimală este egal cu …

2. Numărul de numere naturale din intervalul [–3; 3] este egal cu … 3. Partea întreagă a numărului a = 2,83 este egală cu … 4. Fie expresia )12)(1()( +−= xxxE . Valoarea expresiei pentru x = 2 este egală cu …

5. Un tetraedru are un număr de ... vârfuri. 6. Dreptunghiurile ABCD şi CDPQ sunt situate în plane diferite. Dintre punctele B, C şi D, cel care aparţine planului (APQ) este punctul …. 7. Un trunchi de piramidă triunghiulară ABCA’B’C’ are un număr de … muchii. 8. Fie A şi B două puncte, astfel încât A aparţine unui plan α , iar B nu aparţine planuluiα . Ştiind că lungimea segmentului AB este de 5 cm, iar distanţa de la B la planul α este de 4 cm, atunci lungimea proiecţiei segmentului AB pe planul α este de ... cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Dacă a, b sunt numere raţionale şi 02 =+ ba atunci suma a + b este egală cu: A. –1 B. 0 C. 1 D. 2

10. Aproximând prin lipsă cu o zecimală 10 obţinem:

A. 3,0 B. 3,1 C. 3,2 D. 3,3 11. Fie ABCD un pătrat cu latura de 6 cm şi AC ∩BD={O}. Dacă SO este perpendiculară pe planul (ABC) şi SO = 4 cm, atunci distanţa de la S la dreapra AB este egală cu:

A. 2 3 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 4 cm.

12. Dacă A, B, C, D sunt puncte necoplanare, iar M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor AB, AC, BD, CD atunci patrulaterul MNPQ este: A. romb B. pătrat C. paralelogram D. trapez III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. a) Arătaţi că numărul ( )35:5233

2

35

1

532

3 −

+−

−−

−=x este raţional.

b) Arătaţi că numărul 299...7531 +⋅⋅⋅⋅⋅=y este iraţional.

14. Fie numerele reale 625−=a şi 625+=b .

a) Scrieţi numărul 10 ca suma de două numere iraţionale. b) Calculaţi (a – b)2. c) Calculaţi (a⋅b – 1)2007. 15. a) Desenaţi un cub ABCDA’B’C’D’ .

În cubul ABCDA’B’C’D’ cu latura de 2 cm, notăm cu M mijlocul segmentului AB, cu N mijlocul segmentului AD şi cu P mijlocul segmentului AA’. b) Calculaţi lungimea segmentului MN. c) Arătaţi că planul (MNP) este paralel cu planul (BDA’). d) Calculaţi sinusul unghiului format de dreptele PD’ şi MN.

16

Varianta 8


1. Inversul numărului 2

1 este numărul …

2. Transformând numărul 2,6 în fracţie ordinară ireductibilă obţinem …

3. Fie raportul x

x

2

5 2

, x ≠ 0. După simplificarea acestuia cu x obţinem raportul …

4. Partea fracţionară a numărului a = 8,38 este egală cu … 5. Unind două câte două patru puncte necoplanare putem obţine un număr de ... drepte. 6. În prisma dreaptă ABCA’B’C’ o dreaptă concurentă cu AB este dreapta … 7. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ măsura unghiului format de dreptele AB şi CC’ este de … o 8. Un trunchi de piramidă patrulateră are un număr de … vârfuri. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Fie E(x) = (x – 2)2 +x – 4. Valoarea expresiei pentru x = 3 este egală cu: A. 26; B. 8; C. 2; D. 6

10. Pătratul numărului real 231 ++=a este:

A. 6 B. 6326 +++ C. 526+ D. )632(26 +++

11. Dacă în triunghiul ABC avem AB = 1, AC = 2 , BC = 3 şi dreapta MC perpendiculară pe

planul (ABC), M∉(ABC), atunci măsura unghiului MAB este de: A. 450 B. 600 C. 900 D. 300 12. Fie cubul ABCDA’B’C’D’ . Planul paralel cu planul (BDC’) este planul: A. (AA’D) B. (AB’D’) C. (AD’C’) D. (DC’B) III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. Fie numerele 2737512 +−=a , 3

1:

3

1

33

2

+=b şi 5

81037,0 −⋅=c .

a) Arătaţi că 3a este număr raţional.

b) Arătaţi că b < c < a. 14. a) Rezolvaţi în R ecuaţia |x + 1| = 3. b) Determinaţi numerele reale x astfel încât | 2x – 1 | ≤ 6. c) Demonstraţi x2 + 10x + 26 > 0 ∀x∈R 15. a) Desenaţi un tetraedru ABCD.

Fie tetraedrul ABCD astfel încât BC = CD = BD = 3 cm şi AB = AC = AD = x cm. Dacă M este

mijlocul segmentului BC, E şi G sunt centrele de greutate ale triunghiurilor ABC şi ACD, iar suma

tuturor muchiilor tetraedrului este 63 cm:

b) aflaţi valoarea lui x; c) arătaţi că dreapta GE este paralelă cu planul (BCD); d) arătaţi că dreapta BC este perpendiculară pe planul (AMD).

17

Varianta 9


1. Dintre numerele 3,2 şi 3⋅ 2 numărul raţional este … 2. Fie mulţimea A = {x∈R x ≤ 2}. Cel mai mare număr din mulţimea A este egal cu …

3. Opusul numărului real 5− este numărul …

4. Valoarea absolută a numărului –8,2 este egală cu … 5. Numărul feţelor unui trunchi de piramidă hexagonală este … 6. În prisma dreaptă ABCDA’B’C’D’ o dreaptă necoplanară cu AB este dreapta … 7. În cubul ABCDA’B’C’D’ măsura unghiului format de dreptele AB’ şi A’B este de … o. 8. Un pătrat ABCD ale cărui diagonale au lungimea de 12 cm şi se intersectează în punctul O, se îndoaie de-a lungul dreptei AC până când dreapta DO este perpendiculară pe planul ( )ABC .

Distanţa BD după îndoire este egală cu …. cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Dacă a = 3⋅ 7 –2⋅ 15 şi b = 3⋅ 7 +2⋅ 15 . Atunci a⋅b este egal cu:

A. 3 B. 9 C. 2 30 D. 60

10. Amplificând cu 3⋅x expresia 32

4

+−

x

x se obţine:

A. 32

43 2

+−

x

x B.

xx

xx

96

1232

2

+−

C. 32

123 2

+−

x

xx D.

96

1232

2

+−

x

xx

11. Numărul maxim de drepte distincte determinate de 100 de puncte diferite din spaţiu este: A. 5050 B. 4950 C. 4850 D. 4050

12. Un tetraedru ABCD cu toate muchiile egale cu 2⋅ 3 cm, se secţionează cu un plan paralel cu

baza BCD prin punctul M, mijlocul laturii AB. Atunci aria triunghiului de secţiune este egală cu:

A. 3 B. 4 3 C. 3

34 D.

4

33


13. a) Calculaţi 22

22

35

59

−

−.

b) Dacă x∈[–2;3] şi y = 2x – 5, arătaţi că [ ]1;9−∈y .

14. a) Calculaţi 56

1

56

1

−+

+.

b) Demonstraţi că ( ) ( ) 0622 ≥++⋅+ yxyx , oricare ar fi x şi y∈R.

c) Demonstraţi că 75 +n este număr iraţional oricare ar fi n∈N. 15. a) Desenaţi un dreptunghi MNPQ cu MP∩NQ = {A} şi perpendiculara AB pe planul dreptunghiului.

Dacă dreptunghiul MNPQ are MN = 3 cm, NP = 4 cm şi AB = 5 cm, iar C este mijlocul lui PQ atunci: b) Calculaţi distanţa dintre punctele B şi P. c) Demonstraţi că dreapta AC este paralelă cu planul (BNP). d) Calculaţi distanţa de la punctul A la planul (BPQ).

18

Varianta 10 I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului.

1. Dintre numerele 5⋅ 2 şi 2⋅ 5 mai mare este …

2. Raţionalizând fracţia 13

1 se obţine fracţia …

3. Rădăcina pătrată a numărului 100 este egală cu … 4. Calculând (8x – 3x):(5x) obţinem … 5. În cubul ABCDA’B’C’D’ măsura unghiului dintre dreptele AD şi D’C este de ... 0 6. Un tetraedru ABCD are toate laturile cu lungimea de 8 cm. Aria unei feţe laterale este … cm2. 7. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ intersecţia dintre planele (ABCD) şi (BB’D’) este dreapta … 8. Fie triunghiul echilateral ABC cu AB = 4 cm şi SA perpendiculară pe planul (ABC), SA = 3 cm, atunci SB = … cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Mulţimea A ={x∈R –1 ≤ 2⋅x + 3 < 7} este egală cu: A. [–2; 2] B. (–2; 2) C. [–2; 2) D. (–2; 2] 10. Fie E(x) = (x – 5)⋅(x + 5) – (2x – 1)2 + 3x2. Folosind formulele de calcul prescurtat şi reducând termenii asemenea, se obţine: A. 4x – 26 B. – 4x – 23 C. –26 D. –24 11. Fie ABCA’B’C’ o prismă triunghiulară dreaptă cu toate muchiile egale cu 5 cm. Măsura unghiului format de dreptele A’C’ şi BC este egală cu: A. 900 B. 450 C. 600 D. 300 12. Suma lungimilor tuturor muchiilor unui cub este 84. Lungimea diagonalei bazei cubului este:

A. 7 3 B. 7 C. 14 D. 7 2

III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete. 13. Fe numerele reale a = 67 − şi b = 67 +

a) Calculaţi a⋅b

b) Demonstraţi că ba

11 + ∈(5; 6)

14. Fie E(x) =4

16822

23

−−−+

x

xxx, x∈R – {–2; 2}

a) Descompuneţi în factori 23 2xx + . b) Simplificaţi E(x) prin (x + 2). c) Pentru ce valori întregi ale lui a, E(a) este un număr întreg. 15. a) Desenaţi un triunghi ABC cu unghiul A de 90o şi AM perpendiculară pe planul triunghiului. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 4a cm, BC = 5a cm. Fie AD înălţimea triunghiu-lui ABC, D∈(BC), M∉(ABC), AM perpendiculară pe planul triunghiului şi MA = a cm, a ≠ 0. b) Calculaţi AD. c) Calculaţi distanţa de la punctul M la dreapta BC. d) Calculaţi distanţa de la punctul A la planul (MBC).

19

Varianta 11

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Partea întreagă a numărului 5,43 este ...

2. Dintre numerele 3 şi 9 , iraţional este numărul ... 3. Numărul numerelor naturale din intervalul ( ]2;3− este egal cu ...

4. Rezultatul calculului 7375 − este numărul ... 5. Piramida hexagonală are un număr total de ... muchii. 6. Muchia unui cub cu lungimea diagonalei egală cu 310 cm este egală cu ... cm. 7. O prismă are în total 9 muchii. Numărul feţelor sale laterale este egal cu ... 8. Pătratul ABCD şi triunghiul echilateral CDE sunt situate în plane diferite. Măsura unghiului dintre ED şi AB este egală cu ...0 II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Rezultatul calculului ( ) ( )33:75273122 −+− este:

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 10. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub. Unghiul dintre dreptele BC’ şi A’B este de: A. °30 B. °45 C. °60 D. °90

11. Calculând ( ) ( )( ) ( )631532 2 +−−+−− xxxxx vom obţine:

A. 1434 +− x B. 1534 +− x C. 1033 +− x D. 1432 +− x 12. Dacă pe planul triunghiului dreptunghic ABC cu lungimile catetelor 15=AB cm, 20=AC cm se ridică perpendiculara AM, 5=AM cm, atunci distanţa de la punctul M la BC va avea: A. 10 cm B. 11cm C. 12 cm D. 13 cm III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. a) Calculaţi ( ) ( )2232 −+− ba .

b) Dacă 05322222 =+−−+ baba , atunci calculaţi

+ba

32· ( )ab − .

14. Se consideră expresia ( )232

2

2

21

2

1:

4

42

2

1

2

1

xxxxx

xx

xxxE

+⋅

−−

−+++

++

−= , unde

{ }2;0;2\ −∈ Rx .

a) Arătaţi că ( )x

xE1= .

b) Determinaţi Ζ∈x astfel încât ( ) Ζ∈xE .

c) Rezolvaţi în R ecuaţia 3)( =xE .

15. a) Desenaţi un cub. Un cub ABCDA’B’C’D’ are muchia de 4 cm. Pe muchiile AA’ şi CC’ se consideră punctele M, respectiv N astfel încât 1' == NCAM cm. b) calculaţi lungimile segmentelor MC şi MN ; c) calculaţi aria triunghiului MNB; d) Calculaţi tangenta unghiului format de dreptele MN şi AC.

20

Varianta 12

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 7532 ⋅ este numărul …

2. Media geometrică a două numere este 32 . Produsul lor este egal cu …

3. Aproximarea prin lipsă cu o eroare mai mică de o zecime a numărului 2 este egal cu … 4. Descompusă în factori, expresia 122 ++ xx este egală cu ... 5. Dreapta a este perpendiculară pe planul α, iar dreapta b este inclusă în planul α. Măsura unghiului dintre dreptele a şi b este egală cu ...o

6. Distanţa dintre centrele de greutate ale bazelor prismei triunghiulare drepte ABCA’B’C’ cu lungimea muchiei laterale de 10 cm este de ... cm. 7. Numărul de diagonale ale unui paralelipiped dreptunghic este egal cu ... 8. Într-un tetraedru toate muchiile au lungimile egale cu 2 cm. Aria unei feţe este egală cu ... cm2. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Fie numărul ( ) ( )142 2 +−+= xxa . În urma efectuării calculelor, a este egal cu:

A. 82 +x B. xx 42 − C. 52 +x D. 2x

10. După simplificare, fracţia 44

2323

2

+−−+−xxx

xx devine

A.2

1−x

B. 2

1+x

C. 1

1+x

D. 1

1−x

11. Fie patru puncte distincte şi necoplanare. Câte drepte determinate de câte două dintre ele există? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. Într-un cub ABCDA’B’C’D’ cu muchia de 4 cm, distanţa de la A’ la BC este de:

A. 24 cm B. 4 cm C. 34 cm D. 3 cm


13. Fie mulţimile: { }512 ≤−∈= xxA R şi

<−<−∈= 1

2

121

xxB Ν

a) Determinaţi mulţimea A. b) Arătaţi că mulţimea B este inclusă în mulţimea A.

14. Fie expresia ( )

−−−

−+=

4935

1:2312

2

2

x

x

x

xxE ,

±±∈

3

2;

2

1\Rx .

a) Descompuneţi în factori expresia 49 2 −x .

b) Arătaţi că ( )1223

−+=

x

xxE .

c) Să se determine ∈m Z pentru care ( )∈mE Z.

15. a) Desenaţi un trapez isoscel şi un punct nesituat în planul trapezului.

În trapezul isoscel ABCD cu AB∥CD, AB = 20 cm, BC = CD = AD = 10 cm. Un punct M, nesituat în planul trapezului, este egal depărtat de vârfurile acestuia MA = MB = MC = MD = 13 cm. b) Determinaţi raza cercului circumscris trapezului. c) Calculaţi distanţa de la M la planul ABC. d) Aflaţi poziţia dreptei AB faţă de planul MCD.

21

Varianta 13

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 1227 − este egal cu …

2. Rezultatul calculului (7x + 3)2 este egal cu …

3. Media geometrică a numerelor 23 −=x şi 23 +=y este egală cu ...

4. Media aritmetică a numerelor 223 − şi 223 + este egală cu … 5. Numărul feţelor unui paralelipiped dreptunghic este egal cu ... 6. Diagonala unui cub cu muchia de 2 cm este egală cu ... cm. 7. Patru puncte distincte şi necoplanare determină un număr de plane egal cu ... 8. În prisma hexagonală regulată ABCDEFA’B’C’D’E’F ’ cu muchia bazei egală cu 3 cm, lungimea diagonalei AD este egală cu ... cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. Rezultatul calculului: 533225 +−−++ este

A. 0 B. 5 C. 2 D. 3

10. Perechile de numere reale (x, y) care îndeplinesc condiţia ( ) 021 2 =−++ yx sunt

A. ( )1;2− B. ( )2;1− C. ( )2;1 D. ( )2;1−−

11. M şi N sunt mijloacele muchiilor A’B’ şi respectiv B’C’ ale paralelipipedului dreptunghic ABCDA’B’C’D’ . Raportul dintre lungimile segmentelor BD şi MN este:

A. 21

B. 31

C. 3 D. 2

12. Într-o prismă triunghiulară ABCA’B’C’ cu baza un triunghi echilateral şi muchia bazei egală cu 8 cm, M şi N sunt mijloacele muchiilor laterale AA’, respectiv BB’. Lungimea segmentului MN este: A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13 Se dau mulţimile: { }21 <−∈= xxA R şi

<−<−∈= 1

2

435

xxB R .

a) Scrieţi mulţimea A sub formă de interval. b) Determinaţi elementele întregi ale mulţimii B care aparţin mulţimii A.

14.a) Arătaţi că ,1

2

34

622 +

=++

+xxx

x pentru orice { }1,3−−−∈Rx

b) Determinaţi numerele întregi a pentru care fracţia 34

622 ++

+aa

a reprezintă un număr întreg.

c) Arătaţi că ,71

1:

43

62

1

513

1

422

=+

+++−

−−+

− xxx

x

x

x

x pentru orice { }1,1,3−−−∈Rx

15. a) Desenaţi un tetraedru notat ABCD. În tetraedrul ABCD se notează cu G centrul de greutate al triunghiului ACD şi cu P centrul

de greutate al triunghiului BCD. b) Stabiliţi poziţia lui GP faţă de planul (ABC) c) Dacă AB = 12 cm, să se calculeze lungimea segmentului GP.

22

d) Dacă triunghiul ABC este echilateral cu AB = 12 cm şi DB = DC = 36 cm şi DA = 6 cm. Ştiind că şi M este mijlocul lui BC, arătaţi că dreptele DA şi MD sunt perpendiculare şi calculaţi aria triunghiului MAD.

23

Varianta 14

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Dintre numerele 1,5 şi 2,5 cel care aparţine intervalului ( )2;1 este numărul …

2. Descompusă în factori, expresia 94 2 −x este egală cu ...

3. După simplificare, expresia: 23

49)(

2

−−=

x

xxE ,

∈

3

2\Rx este egală cu …

4. Dintre numerele 12 + şi 13 + mai mare este … 5. M şi N sunt mijloacele muchiilor AA’ şi respectiv BB’ ale prismei triunghiulare ABCA’B’C’. Poziţia dreptei MN faţă de planul (ABC) este … 6. Numărul feţelor unei piramide patrulatere este ... 7. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 3 cm, 4 cm şi 12 cm este egală cu ... cm2. 8. Un cub are lungimea muchiei de 8 cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor este egală cu ... cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. După simplificare, fracţia 44

632 +−

−xx

x , x ∈R\{2}, devine

A. 2

1−x

B. 2

3−x

C. ( )22

3

−x D.

21+x

10. Soluţia ecuaţiei (x + 2)2 = (x + 2)(x – 3) + 20 este: A. x = 1 B. x = – 1 C. x = 2 D. x = – 2 11. Corpul care se obţine unind, două câte două, mijloacele muchiilor VA, VB, VC şi centrul de greutate al triunghiului ABC din piramida triunghiulară VABC este: A. tetraedru B. prismă C. cub D. piramidă patrulateră 12. În tetraedrul ABCD cu lungimile tuturor muchiilor egale cu 6 cm, M şi N sunt mijloacele muchiilor AB şi respectiv AC. Lungimea segmentului MN este de: A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. Se dă numărul 5033

173320

13209

1192

7⋅

+⋅

+⋅

+⋅

=a .

a) Calculaţi valoarea lui a. b) Stabiliţi dacă numărul a aparţine intervalului

53

;52

14. Se dă expresia ( )( )

82122

121

1422

121

)( 22

2

−−−−⋅

+−−

−+−+

−+=

xx

xx

x

x

x

xx

x

xxE ,

±−∈ 4;

2

1;2\Rx

a) Arătaţi că ( )( ) 252122 2 ++=++ xxxx . b) Arătaţi că ( )42

−−=

x

xxE .

c) Determinaţi elementele mulţimii A= { }ΖΖ ∈∈ )(xEx

15. a) Desenaţi o piramidă triunghiulară notată SABC. În piramida triunghiulară SABC, cu baza triunghiul echilateral ABC şi muchiile laterale

congruente, M şi N sunt mijloacele muchiilor BC respectiv AC, SA = 26 cm şi măsura unghiului dintre SM şi SA este egală cu 90o. b) Arătaţi că triunghiul SAC este dreptunghic. c) Calculaţi lungimea laturii AC.

24

d) Calculaţi măsura unghiului dintre dreptele SM şi AB.

25

Varianta 15 I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 6+15:3 este ... 2. Dintre numerele a = 6,3 şi b = 6,13 mai mare este numărul ... 3. Fie mulţimea { }12 ≤≤−∈= xxA R . Scrisă sub formă de interval mulţimea A este ...

4. După raţionalizarea numitorului, fracţia 5

5 devine ...

5. Piramida patrulateră regulată VABCD are VA = AB = 12 cm. Unghiul dintre dreptele VD şi BC are măsura de ... .�

6. Patru puncte necoplanare determină un număr de ... plane distincte. 7. Un con circular drept cu generatoarea de 13 cm şi înălţimea de 12 cm are raza de lungime ... cm. 8. Aria unei feţe a unui cub este 36 cm2. Suma tuturor muchiilor cubului este ... cm.


9. Calculând 3553 ++− , se obţine rezultatul:

A. 0 B. 52 C. 32 D. ( )532 +

10. Dacă ( ) ( )[ ] ( ) ( )2008200723 11323 −−−⋅−−−⋅−=a şi ( ) 12 63 −− −+=b , atunci partea

fracţionară a numărului a + 6b este egală cu:

A. 3

1− B. 3

2 C.

3

1 D. 0

11. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de 36 cm. Triunghiul A’BC’ are aria egală cu:

A. 327 cm2 B. 3216 cm2 C. 225 cm2 D. 354 cm2 12. Pe planul rombului ABCD, cu 16=BD cm şi ( ) �120=ABCm , se ridică perpendiculara

38=MA cm. Distanţa de la M la dreapta BD este de:

A. 8 cm B. 38 cm C.12 cm D. 68 cm


13. Fie expresia

−−

−++=

2

2

1

41:

1

21)(

x

x

x

xxE ,

−−∈ 1,

2

1,

2

1,1\Rx

a) Arătaţi că .12

1)(

−+=

x

xxE b) Arătaţi că [ ]2,2)(2 −∈mE , pentru orice număr natural 1≠m .

14. Considerăm mulţimile

∈

+∈= ZZ

12

6

xxA şi ( )( ){ }.13232 =−+∈= xxxB Z

a) Arătaţi că 1 este element comun al mulţimilor A şi B. b) Calculaţi suma elementelor mulţimii A. c) Scrieţi elementele mulţimii B. 15. a) Desenaţi un paralelipiped dreptunghic.

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are AA’ = 28 cm şi BC = 78 cm. Aria patrulaterului ABC’D’ este egală cu 192 cm2 . b) Arătaţi că AB = 8 cm. c) Calculaţi valoarea tangentei unghiului format de dreptele A’C şi AD.

26

d) Calculaţi distanţa de la punctul D la planul (A’BC).

27

Varianta 16

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 11 32 −− + este ... 2. Dintre numerele a = 6,33 şi b = 6,(3) mai mare este numărul ...

3. Fie mulţimea { }2≤∈= xxA R . Scrisă sub formă de interval mulţimea A =...

4. Valoarea absolută a numărului – 3,14 este egală cu ... 5. Paralelogramele ABCD şi CDEF sunt situate în plane diferite. Planul (BCF) este paralel cu planul …. 6. Un tetraedru are toate muchiile de lungime36 cm. Aria unei feţe a tetraedrului este de ... cm2.

7. Prisma hexagonală regulată ABCDEFA’B’C’D’E’F’ are AB = 6 cm şi AA’ = 36 cm.

Măsura unghiului dintre dreptele DE’ şi AB este de ... 0

8. Lungimea muchiei unui cub este de 6 cm. Diagonala cubului are lungimea de ... cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Rezultatul calculului 48375232 ++ este:

A. 325 B. 310 C. 324 D. 316

10. După raţionalizare, 155

6

+ devine:

A. 10

10365 + B.

10

6 C.

10

10365 − D.

10

10330 −

11. Dacă ABCDA’B’C’D’ este un cub, atunci unghiul dintre dreptele BD şi B’C’ are măsura de: A. �30 B. �45 C. �60 D. �75 12. Hexagonul regulat ABCDEF este înscris în cercul de centru O şi rază 4 cm. În O se ridică PO

perpendiculara pe planul (ABC), PO = 22 cm. Distanţa de la punctul P la latura AB este egală cu:

A. 4 cm B. 32 cm C. 34 cm D. 2 5 cm


13. a) Arătaţi că numărul 2

234 +=n se află în intervalul ( )23;4 .

b) Scrieţi un număr iraţional care aparţine intervalului ( )23;4 şi care este de forma n cu n

număr natural.

14. Se consideră expresia: ( )2

2

3422

12:

88

1

153

x

xx

xx

x

x

x

xxxx

xxE

++−+−

+−⋅

−−

−+= , { }1;0;1−−∈ Rx


1

+=

xxE . b) Arătaţi că ( )

2

1≠xE pentru orice { }1;0;1−−∈ Rx .

c) Determinaţi valorile lui x care satisfac relaţia ( ) 511 ≤+xE

.

15. a) Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’.

În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ cu AB = 6 cm, BC = 8 cm şi 210=CM cm unde M este mijlocul muchiei AA’.

b) Aflaţi lungimea muchiei AA’. c) Calculaţi distanţa de la punctul M la dreapta CD.

28

Varianta 17

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 2,28 + 12,22 este egal cu ... 2. Soluţia reală a ecuaţiei 25 =+x este numărul ... 3. Din vânzarea a 325 kg de mere se obţin 975 lei. Preţul unui kilogram este ...

4. Mulţimea { }NN ∈≤∈= x,xxM 100 are un număr de ... elemente.

5. Suma tuturor unghiurilor feţelor unui tetraedru este egală cu ...0 6. O prismă hexagonală are un număr de ... feţe laterale. 7. Suma lungimilor muchiilor unui cub este de 240 cm. Aria unei feţe a cubului este egală cu... cm2.

8. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ avem AA’ = BB’ = 34 cm şi BC = 4 cm.

Unghiul dintre BC’ şi AD are măsura de ... 0


9. Rezultatul calculului ( )2323

1 −−−

este:

A. 32− B. ( )322 − C. 22 D. ( )322 +−

10. Dacă ( ) xxxE −+−= 35)( 2 , atunci E(4) este:

A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 11. Pe planul triunghiului ABC cu AB = AC = 15 cm şi BC = 18 cm se ridică perpendiculara AM de

lungime 312 cm. Distanţa de la punctul M la dreapta BC este de:

A. 24 cm B. 512 cm C. 36 cm D. 15 cm

12. Tetraedrul ABCD are toate muchiile de lungimi egale. Unghiul dintre muchiile AB şi CD ale tetraedrului are măsura de: A. �60 B. 90� C. �45 D. �120 III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete. 13. Media aritmetică a două numere naturale este 7,5, iar media lor geometrică este 142 . a) Aflaţi suma celor două numere. b) Cât la sută reprezintă numărul mai mic din numărul mai mare ?

14. Se dă expresia 25

62:

5

2

525

6)(

2

2

2 −−+

+−

−−

−−=

x

xx

xx

x

x

xxE , unde

−−−∈ 5;

2

3;2;5Rx .

a) Arătaţi că ( )( ) 62322 2 −+=−+ xxxx .


2

−+=

x

xxE .

c) Aflaţi valorile întregi ale lui a pentru care .)( Z∈aE

15. a) Desenaţi o piramidă triunghiulară. Piramida triunghiulară ABCD are toate muchiile de lungime a cm. Punctul M este mijlocul laturii AC. b) Arătaţi că dreapta AC este perpendiculară pe planul (MBD).

c) Dacă aria triunghiului MBD este 4

281, arătaţi că a = 9.

d) Calculaţi distanţa de la punctul M la planul (BCD).

29

Varianta 18

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 8 – 4 : 2 este egal cu...

2. Dintre numerele 32 şi 3 mai mare este ...

3. Numărul numerelor iraţionale din mulţimea

− π;2;

3

1;2 este ...

4. Descompunerea în factori a expresiei 42 −x este ... 5. O prismă dreaptă are baza un pătrat de latură 6 cm şi diagonala unei feţe laterale de 10 cm. Lungimea înălţimii prismei este egală cu ... cm. 6. Suma muchiilor unui tetraedru cu toate feţele triunghiuri echilaterale de latură 10 cm este ... 7. Într-un cub '''' DCBABCDA , măsura unghiului dintre dreptele A’C’ şi AB este egală cu ...0

8. Lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 3 cm, 4 cm şi 5 cm este egală cu … cm II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Rezultatul calculului 3231822 ++ este:

A. 525 B. 219 C. 29 D. 44 10 . Dacă 1=− yx , atunci ( )( ) yyxyx 2−+− este egală cu: A. 1− B. 1 C. y21− D. 2−

11. Intersecţia dintre două plane distincte şi neparalele este: A. un plan B. o dreaptă C. un punct D. Φ 12. Pe planul rombului ABCD cu 10=BD cm şi ( ) �120=∠ABCm se ridică perpendiculara

10=MA cm. Lungimea segmentului MB este egală cu :

A.10 cm B. 310 cm C. 20 cm D. 210 cm


13. Fie { }2;0\,44

2)(

23

23

R ∈+−

−= xxxx

xxxE

a) Arătaţi că 2

)(−

=x

xxE , { }2;0\R∈x

b) Determinaţi Z∈x astfel încât Z∈)(xE .

14. Calculaţi:

a) ( )213 + .

b) 3131 +−− .

c) ( ) 12 ++aa + ( )4

11 +−aa , când

−∈2

1,1a .

15. a) Desenaţi un triunghi dreptunghic isoscel ABCcu �90)( =∠Am şi perpendiculara BD pe

planul ABC . b) Dacă 4=AB cm şi 3=BD cm, calculaţi DC . c) Demonstraţi că dreptele AD şi AC sunt perpendiculare.

d) Dacă E este mijlocul segmentului[ ],BC arătaţi că triunghiul ADE este dreptunghic.

30

Varianta 19

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 2:62+ este egal cu ... 2. Dintre numerele: ( )3,2 şi 3,2 mai mare este numărul ...

3. Descompunerea în factori a expresiei 94 2 −x este ...


2obţinem numărul ...

5. Lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 2 cm, 1 cm şi 3 cm este egală cu ... 6. Numărul tuturor muchiilor dintr-o piramidă hexagonală este ... 7. Dintre con şi piramidă, corpul de rotaţie este ... 8. Patru puncte necoplanare determină un număr de ... drepte. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. Dacă mulţimea

−−= 3;

4

1,1A , atunci Q∩A este :

A. Mulţimea vidă B.

−

4

1;1 C. { }3− D.

−− 3;

4

1;1

10. Media geometrică a numerlor 32−=a şi 32+=b este:

A. 2 B. 2 C. 1 D. 7 11. Fie triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC egală cu 10 cm şi ( )ABCM ∉ , astfel încât

25=== MCMBMA cm. Distanţa de la M la planul ( )ABC este :

A. 25 cm B.10 cm C. 210 cm D. 5 cm

12. Fie cubul ABCDA’B’C’D’ cu 22=AB cm. Perimetrul triunghiului CBA ′′ este egal cu:

A. 12 cm B. 6 cm C. 26 cm D. 212 cm III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. Fie .4

122),( 22 ++++= yxyyxyxE

a) Calculaţi: 2)2

1( +y

b) Demonstraţi că ∈∀≥ yxyxE ,),0),( ( R .

14. a) Calculaţi: ( )2ba −

b) Demonstraţi că 0;0;2 >>∀≥⋅

+ba

ba

ba

c) Fie =m110

21...

12

7

6

5

2

3 ++++ . Arătaţi că 20>m .

15. a) Desenaţi un pătrat ABCD şi perpendiculara AP în A pe planul pătratului.

b) Dacă 10=AB cm şi 25=AP cm, calculaţi distanţa de la P la dreapta BC . c) Calculaţi distanţa de laA la planul( )PBC .

d) Dacă M este mijlocul segmentului[ ]PD şi { }OBDAC =∩ , arătaţi că dreaptaMO este

paralelă cu planul ( )PBC .

31

Varianta 20

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 313 ⋅− este egal cu ... 2. Dintre numerele 2,7 şi 2,51 mai mare este numărul ... 3. Fie mulţimea { }20 <≤∈= xxA R . Scrisă sub formă de interval mulţimea A = ...

4. Media aritmetică a numerelor 32 şi 34 este ...

5. Descompunerea în factori a expresiei 125 2 −x este: ... 6. Numărul total de muchii ale unei piramide triunghiulare este de ... 7. În cubul ABCDA’B’C’D’ poziţia planelor ( )DBA ′′ şi ( )BDC′ este de plane ...

8. Lungimea muchiei unui cub cu diagonala de 36 cm, este de ... cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. Dacă ( ) 73232

+=+ a , atunci a este egal cu:

A. 2 B. -2 C. 1 D. 4 10. Suma numerelor întregi din intervalul [ )1,2− este:

A. -1 B. 1 C. -3 D. 0 11. În tetraedrul ABCD, numărul de muchii necoplanare cu AB este ... A. 1 B. 0 C. 4 D. 5 12. În paralelipipedul dreptunghic '''' DCBABCDA , M este mijlocul segmentului [ ]AB şi N

mijlocul segmentului [ ]DC ′′ . Dacă 26=MN cm atunci lungimea segmentului 'BC este:

A. 26 cm B. 12 cm C. 6 cm D. 23 cm III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete. 13. Fie numerele 13 −=a şi 13 +=b

a) Calculaţi ba ⋅

b) Arătaţi că numărul Q∈− 3a

b

14. Fie ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) { }4;3;2;1\;43

1

32

1

21

1 −−−−∈++

+++

+++

= R xxxxxxx

xE

a) Arătaţi că: ( )( )21

1

2

1

1

1

++=

+−

+ xxxx.

b) Calculaţi ( )2E .

c) Arătaţi că ( ) ( )( )41

3

++=

xxxE .

15. a) Desenaţi un triunghi dreptunghic ABCcu ( ) �90=∠Am şi de aceeaşi parte perpendicularele ,AA ′ ,BB ′ CC ′ pe planul triunghiului.

b) Dacă 22=AB cm şi 3=AC cm, calculaţi perimetrul triunghiului ABC.

c) Dacă 8=′AA cm, 4=′BB cm şi 2=′CC cm, demonstraţi că triunghiul CBA ′′′ este dreptunghic d) Dacă PNM ,, sunt mijloacele segmentelor [ ]AA ′ ,[ ]BB ′ şi respectiv [ ]CC ′ arătaţi că

triunghiul MNPeste echilateral.

32

Varianta 21


1. Scris ca număr zecimal, numărul raţional 8

5 este egal cu ...

2. Dintre numerele 52=a şi 25=b mai mare este numărul ...

3. Folosind formule de calcul prescurtat, ( )232 yx + este egal cu ...


1:18 este numărul ...

5. Numărul dreptelor determinate de oricare două dintre patru puncte necoplanare, este ... 6. O piramidă patrulateră VABCD are toate muchiile congruente şi AB = 6. Suma lungimilor tuturor muchiilor este … cm. 7. Paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile 6 cm, 8 cm, 24 cm are lungimea diagonalei de ... cm. 8. Numărul diagonalelor unei prisme patrulatere este egal cu ..... II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. Simplificând raportul 2510

252

2

+−−xx

x se obţine:

A. 5

5

+−

x

x B.

5

5

−+

x

x C.

8

2

+−

x

x D. 4

10. Rezultatul calculului ( )2436538 −− este :

A. 210 B. 231− C. 25 D. 7

11. Pe planul triunghiului echilateral ABC cu 34=AB cm, se ridică perpendiculara DA, DA = 8

cm. Lungimea segmentului DM, unde M este mijlocul laturii BC este:

A. 10 cm B. 36 cm C. 28 cm D. 18 cm

12. Trapezul ABCD cu AB || CD şi paralelogramul ABEF sunt situate în plane diferite şi au latura AB comună. Dacă MN este linie mijlocie în trapezul ABCD atunci:

A. ( )ABEMN ⊂ B. ( )ABEMN || C. ( ) }{OABEMN =∩ D. ( )ABEMN ⊥


13. Fie mulţimile:

≤−∈= 3

2

72|

xxA R şi

∈

++∈= ΖΖ

12

53|

x

xxB

a) Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea A. b) Determinaţi elementele mulţimii B.

14. Se condideră expresia : }4,2,1{\;43

126:1

1

121

1

12)(

2

2

−∈−−

−

+

+−−

−+−= Rx

xx

x

x

x

x

xxE

a) Arătaţi că: ( )( )41432 −+=−− xxxx .

b) Arătaţi că 22

4)(

+−=

x

xxE . c) Rezolvaţi în R ecuaţia

3

1)( =xE .

15. a) Desenaţi un cub. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia AB = 8 cm b) Calculaţi aria triunghiului D’AC. c) Demonstraţi că dreptele BD şi A’C sunt perpendiculare d) Calculaţi distanţa de la punctul O la dreapta AD’, unde }{OBDAC =∩ .

33

Varianta 22

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 5432 −⋅+ este egal cu ...

2. Dintre numerele 52−=a şi 53−=b mai mare este numărul ...

3. Media aritmetică a numerelor 32 + şi 32 − este egală cu ...

4. Rezultatul calculului ( )252 +x este ...

5. Numărul dreptelor determinate de patru puncte necoplanare este egal cu ... 6. Dacă ABCDA’B’C’D’ este un paralelipiped dreptunghic, atunci planele ( )'ADD şi ( )'BCB sunt ...

7. Numărul muchiilor unui cub este egal cu ... 8. Suma lungimilor muchiilor unei piramide triunghiulare cu toate muchiile congruente şi de lungime egală cu 4 cm este egală cu ... cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Mulţimea { }13 ≤<−∈= xxA R este egală cu:

A. ( ]3;5−− B.[ )3;5−− C.[ )4;2 D. ( ]4;2

10. Rezultatul calculului ( ) ( )223212 ++− este:

A. 249+ B. 2414− C. 249− D. 2414+ 11. Pe planul triunghiului echilateral ABC de latură AB = 6 cm se ridică perpendiculara MA, cu MA = 3 cm. Distanţa de la punctul M la dreapta BC este egală cu :

A. 6 cm B. 9 cm C. 6 cm D. 33 cm

12. Măsura unghiului format de muchiile AB şi DD’ ale unui cub ABCDA’B’C’D’ este egală cu … A. 45 0 B. 90 0 C. 0 0 D. 60 0 III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete. 13. Să se descompună în factori expresiile : a) ( ) ( ) ( )3533 −−−+− xxbxa

b) 122 −+ xx

14. Se consideră expresia ( ) xx

x

xxxE ⋅

+−+

−=

2:

4

1

2

12

, unde { }2;0±−∈ Rx .

a) Rezolvaţi ecuaţia 042 =−x , R∈x .


1

−+=

x

xxE .

c) Calculaţi ( )22 +E .

15. a) Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Dacă dimensiunile sale sunt AB = 12 cm, BC = 5 cm şi AA' = 13 cm, atunci:

b) Arătaţi că dreptele AB şi ''DC sunt paralele. c) Aflaţi lungimea diagonalei paralelipipedului. d) Calculaţi aria patrulaterului '' AACC .

34

Varianta 23

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 352 ⋅− este egal cu ...

2. Media geometrică a numerelor 53− şi 53+ este egală cu ...

3. Prin descompunerea în factori a expresiei 3625 2 −x obţinem ...


2

2 ++

+ xx

x este egal cu ...

5. Dacă suma tuturor lungimilor muchiilor unui cub este de 60 cm, atunci muchia cubului are lungimea de ... cm. 6. Măsura unghiului format de înălţimea unei piramide cu planul bazei este de ... 0 7. Numărul de plane determinate de patru puncte necoplanare este egal cu ... 8. Diagonala unei feţe laterale a unei prisme triunghiulare cu înălţimea de 8 cm şi cu baza un triunghi echilateral cu latura de 6 cm, are lungimea de ... II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Rezultatul calculului 50823 −+ este :

A.1 B. 3 C. 2 D. 0

10. Dacă 2=a şi 23−=b atunci suma ba + este :

A. 22 B. 22− C. 3− D. 2− 11. O prismă dreaptă ABCDA’B’C’D’ are baza ABCD pătrat cu latura de 6 cm şi înălţimea AA’ de 3 cm. Calculând distanţa de la punctul 'A la centrul bazei ABCD obţinem :

A. 15 cm B. 33 cm C. 53 cm D. 6 cm

12. O piramidă VABC are baza ABC triunghi echilateral cu latura de 18 cm şi muchiile VA, VB şi VC egale fiecare cu 12 cm. Calculând înălţimea piramidei obţinem :

A. 56 cm B. 36 cm C. 6 cm D. 12 cm


13. Se consideră numărul 3552 −+−=x .

a) Arătaţi că 112 =+− xx .

b) Calculaţi ( )20071−x .

14. Se dă expresia ( )xx

xx

xxxxxxE

9

44:

9

3

3

1

3

13

2

222 −++

−+

+−

−= , unde { }3,0,2,3−−−∈ Rx .

a) Arătaţi că ( ) .2

3

+=

xxE

b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi inecuaţia ( ) 342 <⋅− xEx .

c) Aflaţi numerele întregi a pentru care ( )aE reprezintă un număr întreg.

15. a) Desenaţi un cub. În cubul ABCDA’B’C’D’ , punctul M este mijlocul muchiei BC şi A’M = 12 cm. b) Arătaţi că 8=AB . c) Calculaţi aria triunghiului A’AM. d) Calculaţi valoarea tangentei unghiului format de diagonala A’C cu planul bazei (ABC).

35

Varianta 24

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 126 : 3 – 9 este ... 2. Media geometrică a numerelor 25 şi 1 este egală cu ...

3. Dacă 3ba = şi 3=b , atunci a este egal cu ...

4. Soluţia inecuaţiei 112 >−x , se obţine intervalul (...). 5. Fie cubul '''' DCBABCDA . Măsura unghiului dintre dreptele AB şi CC’ este ... 0 6. Numărul total al muchiilor unei piramide patrulatere este egal cu ... 7. Prisma triunghiulară regulată ABCA’B’C’ are baza ABC şi AB = 3 cm. Muchia B’C’ are ... cm. 8. Numărul minim de puncte necoliniare ce determină un plan este de ... II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Fie expresia 191014)( 2 −−++−= xxxxE . Pentru x = 4, valoarea lui E(x) este:

A. 27 B. 21 C. 7 D. 1

10. Suma numerelor 327548 +−=a şi 82532 +−=b este egală cu:

A. 58 B. 25 C. 33 D. 23 + 11. Pe planul pătratului ABCD de latură 12 cm se ridică perpendiculara SA = 5 cm. Lungimea distanţei de la S la dreapta CD este egală cu: A. 12 cm B. 5 cm C. 13 cm D. 17 cm 12. Un tetraedru se secţionează cu un plan paralel cu baza, ce trece prin mijocul unei muchii laterale. Valoarea raportului dintre aria triunghiului de secţiune şi aria triunghiului de la bază este: A. 0,5 B. 0,75 C. 0,25 D. 1


13. Se dă mulţimea A = ( )

−−− 112;169

49;

5

10;1008;09,0;

4

3;5,2;5;1

a) Calculaţi A ∩ Z şi A ∩Q. b) Calculaţi media aritmetică a elementelor din mulţimea A∩ ( R\Q ).

14. a) Să se determine valorile întregi ale lui x astfel încât ∈+

−+++−++3x2

87654321N

b) Verificaţi egalitatea ( ) ( ) ( ) 6x1x4x3x 2222 −=+++−+

c) Se dau numerele a = 20

1.....

3

1

2

11 ++++ şi b =

21

1.....

3

1

2

1 +++ . Calculaţi a – b.

15. a) Desenaţi o piramidă patrulateră regulată. Piramida patrulateră regulată VABCD are de vârful V şi baza pătratul ABCD de centru O.

Un plan paralel cu planul bazei piramidei intersectează muchiile laterale [VA],[VB],[VC],[VD] în punctele A’, B’, C’ şi respectiv D’ . b) Arătaţi că A’B’C’D’ este pătrat. c) Dacă 12'' =+ BAAB cm şi 72'''' =− DCBAABCD AA cm2, calculaţi AB şi A’B’ .

d) Dacă 33'=AA cm, 9=AB cm şi 3'' =BA cm, determinaţi distanţa dintre planele (ABC) şi

(A’B’C’ ).

36

Varianta 25

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 02 36 + este ... 2. Partea întreagă a numărului 2,73 este egală cu ... 3. Dacă a = 5, atunci 132 −a este egal cu ...

4. Într-o clasă sunt 28 de elevi. Dacă un sfert sunt băieţi, numărul fetelor din clasă este ... 5. Muchia unui cub are lungimea de 8 cm. Diagonala cubului are lungimea de ... cm. 6. Fie '''' DCBABCDA un paralelipiped dreptunghic. Măsura unghiului BCA' este egală cu ... 0 7. Într-o prismă distanţa dintre baze este egală cu 10 cm. Înălţimea prismei are lungimea de ... cm. 8. Un tetraedru în care toate feţele sunt triunghiuri echilaterale are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu 42 cm. Lungimea unei muchii este de ... cm..

II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Dintre numerele 3,23 ; 3,(23) ; 3,2(3) ; 3,22(3) cel mai mare este : A. 3,23 B. 3,(23) C. 3,2(3) D. 3,22(3) 10. Fie mulţimea A = { }1323 <+≤−∈ xx R . Multimea A este egală cu intervalul:

A. [-3;-1) B. [-3;-1] C. [-3;-2) D. (-3;2] 11. Punctul A aparţine dreptei d. Lungimea distanţei de la punctul A la dreapta d este: A. 5 cm B. 0 cm C. 0,5 cm D. nu se poate determina 12. Fie ABCD romb şi punctul P nu aparţine planului (ABC). Atunci: A. AB || (PCD) B. AB || (PBD) C. AB || (PAB) D. AB || (PCB) III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. a) Calculaţi media geometrică pentru numerele a = ( )213 + şi b = 324 − .

b) Calculaţi xxx −+++ 4962 , dacă – 3 < x < – 1.

14. Fie E(x) = 1

2

2

23

33

1

4

1

52

1

21−

−+

++−

−−

x-

x-:

x

x

x

x

x

x, unde x∈R\

±

2

3,1

a) Arătaţi că E(x) = 1

6

+x

b) Determinaţi x∈Z, astfel încât E(x)∈Z.

c) Dacă 21 =+x

x , calculaţi4

4 1

xx + .

15. a) Desenaţi un trapez ABCD, cu bazele AB şi CD, iar BT perpendiculară pe planul trapezului. Se ştie că AD = AB = 12 cm, BC = 16 cm şi DC = 24 cm. b) Dacă E este mijlocul segmentului DC stabiliţi natura patrulaterului ABED.

c) Dacă BT = 6 5 cm, calculaţi lungimea segmentului TD. d) Dacă EF este perpendiculară pe BC, ( )BCF ∈ , arătaţi că EF este paralelă cu planul (DBT).

37

Varianta 26 I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Dintre numerele 81 şi 14 este mai mare ... 2. Numerele naturale din intervalul ( ]2,3−=A sunt ...

3. În prisma triunghiulară dreaptă ''' CBABCA triunghiul ABC este echilateral iar muchiile AB şi 'CC sunt congruente .Măsura unghiului dintre dreptele C’B şi A’A este egală cu ...0

4. Raţionalizând numitorul fracţiei obţinem ...

5. Partea întreagă a numărului 26 este egală cu ... 6. Lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 4 cm, 3 cm şi respectiv 12 cm este egală cu ... 7. Un segment [AB] are mijlocul situat într-un plan α şi distanţa de la punctul A la planul α egală cu 2 cm. Distanţa de la punctul B la planul α este egală cu …. cm.

8. Aplicând formulele de calcul prescurtat pentru ( )232 +x obţinem ...

II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Mulţimea { }42 <≤−∈= xxA R scrisă sub formă de interval este:

A. (-2,4) B. (-2,4] C. [-2,4) D. [-2,4]

10. Rezultatul calculului 323552 −+++− este egal cu:

A. 4 B. 52 C. 452 + D. )35(2 +

11. Pe planul triunghiului echilateral ABC cu AB = 12 cm se ridică perpendiculara AM = 6 cm. Lungimea distanţei de la M la BC este:

A. 26 cm B. 36 cm C. 6cm D. 12 cm

12. Piramida triunghiulară VABC are muchiile laterale congruente, baza ABC triunghi echilateral, VA = 10 cm iar înălţimea VO = 6 cm. Atunci latura bazei (AB) are lungimea egală cu:

A. 8 cm B. 38 cm C. 34 cm D. 12 cm


13. Pentru 31+=x şi 31−=y calculaţi:

a) media geometrică a numerelor x şi y; b) valoarea expresiei 22 2 yxyx ++

14. Se dă expresia:

++

++++=

1

1

1)(

4246

24

xxxx

xxxE :

−+−−

− 1

2

1

1246

2

2 xxx

x

x, }1;1{\ −∈ Rx

a) Să se arate că ( )( )11

1)(

2

+−+=xx

xxE .

b) Să se determine valorile întregi ale lui x pentru care )(xE este număr întreg.

c) Rezolvaţi ecuaţia 1

2)(

++=

x

xxE

15. a) Desenaţi un cub ABCD A’B’C’D’. Dacă punctul M este mijlocul segmentului AD şi P este mijlocul segmentului AA’:

b) Demonstraţi că )''( CCBBPM .

c) Determinaţi măsura unghiului dintre dreptele PM şi A’C’ . d) Dacă AB = 12 cm calculaţi distanţa de la C la AD’

12

5

−

38

Varianta 27

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Soluţia reală a ecuaţiei 572 −=+x este egală cu ...

2. Media aritmetică a numerelor 3 2 2+ şi 3 2 2− este egală cu ... 3. Lungimea diagonalei unui cub cu muchia de 8 cm, este egală cu ... cm

4. Pe planul triunghiului echilateral ABC, de latură 2 cm, se ridică perpendiculara AD, 32=AD

cm. Distanţa dintre punctele D şi C este egală cu .... cm.

5. Rezultatul calculului xx 3

11 + , ,0≠x este egal cu raportul …

6. Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci intersecţia lor este ...

7. Rezultatul calculului 23725 −+ este egal cu ...

8. Dintre numerele 5 2 şi 2 6 mai mare este numărul ...

II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Fie mulţimea { }6|4| ≤−∈= xxA R . Scrisă sub formă de interval mulţimea A este egală cu :

A. (-2,10) B. (-2,10] C. [-2,10) D. [-2,10]

10. Efectuând calculele ( ) ( )( )3323321322

+−++ se obţine rezultatul

A. 832 + B. 24 C. 1634 + D.16

11. O piramidă triunghiulară cu toate muchiile egale cu 6 cm are înălţimea egală cu:

A. 62 cm B. 6 cm C. 26 cm D. 25 cm 12. O piramida patrulateră regulată VABCD cu AB = 12 cm şi înălţimea VO = 8 cm are muchia laterală VA egală cu:

A. 8 cm B. 342 cm C.10 cm D. 174 cm

III.(46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13 Fie 32

66

5

1

1

151:

1

5)(

2 −−⋅

+⋅−

−−+

=x

xx

xx

x

xxE ,

−∈

2

3;1;0;1\Rx


6

+=

xxE .

b) Determinaţi elementele mulţimii ( ){ }NN ∈∈= nEnA .

14. a) Folosind formulele de calcul prescurtat, calculaţi 2)3( −a .

b) Determinaţi valorile lui b pentru care ( ) 04 2 =−b

c) Fie a, b, c R astfel încât 0251016896 222 =+−++−++− ccbbaa . Arătaţi că: c2 = a2 + b2. 15. a) Desenaţi un romb ABCD şi perpendiculara AM pe planul rombului.

Ştiind că AB = 12 cm, m = 60 0 şi AM = 6 cm, aflaţi:

b) Distanţa de la M la C. c) Distanţa de la M la BD. d) Aria tiunghiului MBD.

∈

( )A

39

Varianta 28

I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului ( )3532 −− este egal cu ...

2. Numărul raţional x pentru care produsul 5⋅x este număr raţional, este egală cu ...

3. Descompunerea în factori a expresiei ab – a 2 este egal cu ...

4. Media geometrică a numerelor 324 − şi 324 + este … 5. Unghiul format de diagonala unei feţe a unui cub şi de o muchie laterală a acestuia are măsura egală cu ... grade. 6. Piramida patrulateră are un număr de … vârfuri 7. Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt 3 cm, 4 cm şi 5 cm. Atunci, suma lungimilor muchiilor sale este egală cu ... cm. 8. Un cilindru circular drept cu raza bazei 8 cm este secţionat cu un plan paralel cu planul bazei. Diametrul secţiunii are lungimea egală cu... cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Calculând ( )2433523 +−− se obţine:

A. 3627 − B. 362 −− C. 57− D. 2227 −

10. După simplificarea raportului 2510

252

2

++−xx

x se obţine:

A. 5

5

−+

x

x B.

10

1

+−

x

x C.

5

5

+−

x

x D.

x10

1

11. Pe muchia BB′ a cubului ABCDA′B′C′D′ se consideră un punct M astfel încât AM + MC′ să fie minimă. Dacă AB = 6 cm, lungimea segmentului BM este ... A. 3 cm B. 0 cm C. 6 cm D. 2 cm 12. Pe planul hexagonului ABCDEF, având latura de 4 cm, se ridică perpendiculara AM = 6 cm. Distanţa de la M la D este egală cu:

A. 14 cm B. 10 cm C. 72 cm D. 132 cm


13. a) Calculaţi: ( ) 755

3183,03225,0 −−

b) Calculaţi, raţionalizând numitorii fracţiilor: 15

2

32

3

−+

14. Fie mulţimile { }592 ≤−∈= xxA Z şi

<−<−∈= 2

2

537

xxB R

a) Determinaţi mulţimea A. b) Determinaţi mulţimea B . c) Determinaţi mulţimea *N∩B . 15. a) Desenaţi triunghiul ABC şi, de aceeaşi parte a planului, perpendicularele AA′ şi CC′. Pe planul triunghiului isoscel ABC, cu AB = AC = 20 cm şi BC = 32 cm, se ridică

perpendicularele AA′ şi CC ′, astfel încât AA′ = 312 cm şi CC ′ = 38 cm.

b) Calculaţi lungimea segmentului (A ′C ′). c) Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, calculaţi lungimea segmentului (A’I ).

40

Varianta 29 I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Scris sub formă de fracţie, numărul 5,(45) este ... 2. Numărul natural care aparţine intervalului [ – 2,3; 1 ) este …

3. Rezultatul calculului )25()62( ⋅ este egal cu ...

4. Media geometrică a numerelor 10 şi 40 este egală cu ... 5. Folosind formulele de calcul prescurtat, expresia ( 2a – 3 )2 este egală cu ... 6. În triunghiul ABC, fie M şi N mijloacele laturilor AB, respectiv AC, iar α⊂BC , α∉A . Poziţia dreptei MN faţă de planulα este ...

7. În cubul ABCDA’B’C’D’măsura unghiului dintre dreptele AD’ şi BC este de …. 0 8. Se consideră o piramidă patrulateră cu toate muchiile de lungime 6 cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei este egală cu... cm. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă. 9. Scrisă sub formă de interval, mulţimea A = { x∈R – 1 < x ≤ 2 } este:

A. [ – 1, 2 ) B. [ – 2, – 1 ] C. ( – 1, 2 ] D. ( – 1, 2 ) 10. Partea întreagă a numărului – 0,6 este:

A. 0 B. – 1 C. 0,6 D. 0,4 11. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu baza pătrat având latura de 6 cm şi muchia

laterală 32 cm, măsura unghiului format de dreptele AD şi BC′ este:

A. 45° B. 90° C. 30° D. 60° 12. Pe planul triunghiului echilateral ABC, cu latura de 6 cm, se ridică perpendiculara MA = 6 cm. Distanţa de la M la centrul de greutate al triunghiului ABC este egală cu:

A. 34 cm B. 26 cm C. 39 cm D. 212 cm.

III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete. 13. Calculaţi:

a) 162147128 ++−

b) 172

5

32

3

18

1 ++−

14. Fie expresia ( )12

63:

1321

11

125

22 −−+

++−

+−

+=

xx

x

xxxxxE pentru x∈R \ {–2; –1; –

2

1 ; 1}.

a) Arătaţi că: ( )( ) 132112 2 ++=++ xxxx .

b) Descompuneţi în produs de doi factori expresia: 12 2 −− xx .

c) Arătaţi că ( )2

1

+−=

x

xxE , oricare ar fi x∈R \ {–2; –1; –

2

1 ; 1}.

15. a) Desenaţi o prismă triunghiulară dreaptă cu baza triunghi echilateral şi notaţi-o ABCA′B′C′. În prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′, perimetrul bazei este 9 cm, iar distanţa de la B la dreapta AB′ este egală cu 2,4 cm. b) Calculaţi lungimea înălţimii [ BB′ ] a prismei. c) Dacă BB′ = 4 cm şi M este mijlocul segmentului [AB], calculaţi lungimea segmentului [C′M]. d) Arătaţi că dreapta AB este perpendiculară pe planul ( CC′M ) şi calculaţi aria triunghiului ABC′.

41

Varianta 30 I. (32 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. 1. Rezultatul calculului 2:416− este egal cu ...

2. Dintre numerele 3

5− şi 2

5− mai mare este numărul ...

3. După introducerea factorului sub radical numărul 52 este egal cu ...


1obţineţi fracţia ...

5. Numărul total de muchii ale unei prisme triunghiulare este de ... 6. În piramida VABC, M este mijlocul segmentului VB şi N este mijlocul segmentului VA. Poziţia dreptei MN faţă de planul ( )ABC este de dreaptă ...

7. Fie cubul DCBAABCD ′′′′ cu muchia de 8 cm şi { }OBDAC =∩ . Lungimea înălţimii piramidei

DCBAO ′′′′ este de ... cm. 8. Patru puncte necoplanare determină un număr de ... plane. II. (12 puncte) Scrieţi rezultatul corect lângă numărul din fa ţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.

9. Calculând 3535 ++− obţinem:

A. 52 B. 4− C. 6 D. 52−

10. Media aritmetică a numerelor xa −= 3 şi xb += 3 este A. 6 B. x C. 3 D. 0 11. În piramida SABCD numărul de muchii necoplanare cu SAeste: A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 12. Într-un cub DCBAABCD ′′′′ măsura unghiului format de DA ′ şi BC ′ este de: A. �45 B. �0 C. �30 D. �90 III. (46 puncte) Scrieţi rezolvările complete.

13. Fie numerele 32+=a şi 32

1

+=b .

a) Arătaţi că .32−=b

b) Calculaţi ( )200732−− ba

14. Fie ( )

−−

+

++−

+=

42:

442 2

2

2

32

x

x

x

x

xx

x

x

xxE ; { }2;0;2\ −∈ Rx .

a) Descompuneţi în factori: 442 ++ xx .

b) Arătaţi că ( ) ( )2

2

+−−=

x

xxxE .

c) Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care ( )2

41

+=⋅

xxE

x

15. a) Desenaţi trei puncte CBA ,, , aflate în planul α şi un punctD în afara planului.

b) Dacă AD este perpendiculară pe planulα , 2=AD cm, 3=BA cm, 32=CB şi 3=AC

cm, calculaţi lungimea segmentului [DB ]. c) Stabiliţi natura triunghiului ABC. d) Calculaţi distanţa de laA la planul( )BCD .

(2)⋅ {x x∈ {y y∈ - e-math.ro · 8. se dau cinci puncte distincte într-un plan α şi un al...

Documents