Drago-Ptru Covei

Gheorghe Caralicea-Mrculescu Vasile Lupulescu

MATEMATIC pentru institutori (nvatori)

Definitivat Licen Probleme date la concursul pentru ocuparea catedrelor vacante Probleme date la examenul de gradul II

Refereni tiinifici: Prof. univ. dr. George Vraciu Conf. univ. dr. Ion Chiriac

Tehnoredactare computerizat:

Drago-Ptru Covei

Editura: SITECH ISBN:

2005

-2-

-3-

Prefa

Aceast lucrare se adreseaz n mod special studenilor de la specializarea: Pedagogia nvmntului primar i precolar i are scopul de a constitui un sprijin considerabil n susinerea de ctre acetia a examenelor de licen i de definitivat. Din acest motiv s-a avut n vedere ca prin coninutul su lucrarea s acopere ,,Programa de perfecionare prin definitivat-partea de teoria mulimilor-, n vigoare, i extins pe cea de licen. Pentru ndeplinirea obiectivului, linia de conduit s-a ndreptat cu atenie spre prezentarea materialului tiinific de pe poziii de nelegere i independen fa de alte lucrri. Cunoaterea manualelor de liceu asigur parcurgerea lesnicioas a lucrrii. n aceeai idee, acolo unde suportul teoretic merge spre o accentuat abstractizare, au fost introduse exemple de exerciii rezolvate. Pentru fixarea cunotinelor fiecare capitol conine i un set de exerciii propuse spre rezolvare. Lucrarea poate fi utilizat cu folos i de ctre cei care ntr-un mod sau altul vin n contact, la un anumit moment, cu teorii ale matematicii.

-4-

-5-

Capitolul I. Elemente de logic matematic

Fiecare disciplin tiinific necesit un raionament clar i logic, precum i o exprimare riguroas i precis. Din acest punct de vedere, enunurile trebuie s fie lipsite de ambiguiti i contradicii.

Prin enun vom nelege orice text lingvistic n care se afirm ceva cu privire la unul sau mai multe obiecte. O astfel de afirmaie poate avea sau nu o anume semnificaie. Obiectul sau obiectele unui enun trebuie s aparin unui domeniu bine specificat, numit domeniul (mulimea) de referin al enunului. Din punct de vedere sintactic, la orice enun vom distinge: partea predicativ i subiectul sau subiectele. Subiectul sau subiectele unui enun reprezint obiectul sau obiectele la care se refer enunul. Un enun poate avea toate subiectele determinate sau poate avea unul sau mai multe subiecte nedeterminate.

n funcie de domeniul de referin, acelai enun poate fi adevrat sau fals sau nu i se poate stabili o valoare de adevr, adic este indecidabil. Enunul: p: "Mingea este rotund"

este adevrat dac domeniul de referin este fotbalul, este fals dac domeniul de referin este Rugby-ul i indecidabil dac domeniul de referin este Sportul.

Un enun cu toate subiectele determinate se numete propoziie dac este sau adevrat sau fals, nu i una i alta simultan. Un enun cu unul sau mai multe subiecte nedeterminate se numete predicat dac pentru orice valoare dat subiectelor nedeterminate devine propoziie. Subiectele nedeterminate ale unui predicat se numesc variabilele predicatului.

n funcie de numrul subiectelor nedeterminate distingem predicate cu o variabil (unare), cu dou (binare), etc.

Enunul p: "Oaia este carnivor"

are domeniul de referin zoologia iar partea predicativ const din textul ". . . este carnivor"

-6-

Enunul are un singur subiect determinat: "Oaia", deci reprezint propoziie.

Notaia p: semnific faptul c enunul " Oaia este carnivor " va fi reprezentat prin simbolul p.

Enunul p(x): "x este divizibil prin 2"

are domeniul de referin teoria numerelor iar partea predicativ const din textul

". . . este divizibil prin . . ." Enunul are dou subiecte:

"x" i "2", dintre care unul nedeterminat. Observm c dnd lui x valori enunul devine adevrat sau fals ns

nu i una i alta simultan, prin urmare este un predicat cu o variabil. Enunul

p(x,y): "x este divizibil prin y" este un predicat cu dou variabile avnd domeniul de referin teoria numerelor.

1. Elemente de calculul propoziiilor

Dup cum am vzut o propoziie este un enun cu toate subiectele determinate care este adevrat sau fals nu i una i alta simultan. Astfel de propoziii le numim propozitii simple.

O propoziie poate fi adevrat sau fals dac corespunde sau nu unei stri de fapt din domeniul su de referin. Calitatea unei propoziii de a fi adevrat sau fals se numete valoarea de adevr a propoziiei respective. Propoziiile simple le notm prin:

p, q, r, . . . n continuare, propoziiilor adevrate le atribuim valoarea de

adevr 1 iar propoziiilor false valoarea de adevr 0. Plecnd de la una sau mai multe propoziii simple prin aplicarea

unui numr finit de operatori (conectori) logici obinem alte propoziii numite propoziii compuse.

Exist patru operatori logici de baz: (citit non), (citit i), (citit sau) i (citit implic). Definiie. Fie p propoziie. Propoziia care se obine punnd

particula "nu" n faa prii predicative a propoziiei p se numete negaia propoziiei p i se noteaz prin simbolul p. Negaia propoziiei p este adevrat numai cnd p este fals.

-7-

Exemplu. " 2 este numr par " cu domeniul de referin mulimea numerelor naturale. Negaia lui p este

p: " 2 nu este numr par " p fiind o propoziie adevrat, pe cnd p este o propoziie fals.

Este uor s folosim un tabel de adevr pentru a verifica relaiile dintre valorile de adevr ale propoziiilor.

Tabelul de adevr pentru p n funcie de valoarea de adevr a lui p este:

p p

1 0 0 1

Definiie. Fie p, q propoziii. Propoziia care se obine punnd particula "i" ntre prile predicative se numete conjuncia propoziiilor p, q i se noteaz prin simbolul p q. Propoziia p q este adevrat numai cnd ambele propoziii sunt adevrate.

Exemplu. Propoziia "2 este numr par i 3 este numr par" cu domeniul de referin mulimea numerelor naturale este conjuncia propoziiilor: p: "2 este numr par" q: "3 este numr par", p fiind adevrat iar q fals.

Valoarea de adevr a propoziiei p q n funcie de valorile de adevr ale propoziiilor p, q este dat n tabelul:

p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Definiie. Fie p, q propoziii. Propoziia care se obine punnd particula "sau" ntre prile predicative se numete disjuncia propoziiilor p, q i se noteaz prin simbolul p q. Propoziia p q este adevrat numai cnd una din propoziii este adevrat.

Exemplu. Propoziia " 8 este multiplu de 2 sau 5 este numr ntreg" cu domeniul de referin mulimea numerelor naturale este disjuncia propoziiilor:

-8-

p: " 8 este multiplu de 2 " ; q: " 5 este numr ntreg ", p, q fiind adevrate. Valorea de adevr a propoziiei p q n funcie de valorile de

adevr ale propoziiilor p, q este dat n tabelul:

p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Definiie. Fie p, q propoziii. Exprimarea " p implic q " este o nou propoziie, numit implicaia propoziiilor p, q. Implicaia propoziiilor p, q se noteaz p q. Implicaia propoziiilor p, q este o propoziie fals cnd propoziia q este fals iar p este o propoziie adevrat i adevrat n celelalte cazuri.

Exemplu. Propoziia ,,x2 0 implic x = 0 " cu domeniul de referin mulimea numerelor reale este implicaia propoziiilor:

p: " x2 0 " ; q: " x = 0 " ea fiind o propoziie adevrat. Pentru exprimarea " p implic q " se mai folosete:

" dac p atunci q " " p este suficient pentru q " " q este necesar pentru p "

Valorea de adevr a propoziiei p q n funcie de valorile de adevr ale propoziiilor p, q este dat n tabelul:

p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Propoziia q p se numete reciproca propoziiei p q. Dac combinm propoziia p q cu propoziia q p, obinem o

nou propoziie creia i spune echivalena propoziiilor p, q. Echivalena propoziiilor se noteaz p q.

Definiie. Fie p, q propoziii. Echivalena p q este acea propoziie care este adevrat cnd p, q au aceeai valoare de adevr i este fals n rest. Propoziia p q se citete p dac i numai dac q .

-9-

Exemplu. Propoziia " x3 0 dac i numai dac x 0 " cu domeniul de referin mulimea numerelor reale este echivalena propoziiilor:

p: " x3 0 implic x 0 " ; q: " x 0 implic x3 0 " ea fiind o propoziie adevrat. Notm c echivalena p q este adevrat cnd p q i q p sunt adevrate. Pentru exprimarea " p dac i numai dac q " se mai folosete:

" p este necesar i suficient pentru q" " dac p atunci q, i invers "

Valoarea de adevr a propoziiei p q n funcie de valorile de adevr ale propoziiilor p, q este dat n tabelul:

p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vom nota prin A sau A (p, q, r,), B sau B (p, q, r,) propoziiile compuse (sau expresii logice) obinute prin aplicarea diferiilor operatori logici propoziilor simple p, q, r,.

A (p, q, r) : (p q) r . Calculul propoziiilor studiaz expresiile logice din punctul de

vedere al adevrului sau falsului lor n raport cu valorile logice ale propoziiilor simple care le compun.

O expresie logic A (p, q, r,...) care este adevrat indiferent de valorile de adevr ale propoziiilor p, q, r, se numete tautologie. Dac

A (p, q, r, ...) B (p, q, r,) este o tautologie atunci scriem A (p, q, r, ...) B (p, q, r, ) Dac A (p, q, r, ...) B (p, q, r,) este o tautologie scriem A (p, q, r, ...) B (p, q, r, )

Observaii: 1. Semnul este o operaie din care deducem valoarea de

adevr a propoziiei A B n timp ce indic legtura ntre propoziiile A (p, q, r,..), B(p, q, r,).

-10-

2. Semnul este o operaie din care deducem valoarea de adevr a propoziiei A B n timp ce indic legtura ntre propoziiile A (p, q, r,...), B (p, q, r,).

Exemple de tautologii : 1. legea terului exclus: p (p) 2. legea silogismului: [(p q) (q r)] (p r) 3. legea de reflexivitate: p p 4. legea idempotenei conjunciei: p p p 5. legea idempotenei disjunciei: p p p 6. legea dublei negaii: (p) p 7. legea de comutativitate a conjunciei: (p q) (q p) 8. legea de comutativitate a disjunciei: (p q) (q p) 9. legea de asociativitate a conjuncei:

[(p q) r] [p (q r)] 10. legea de asociativitate a disjuncei:

[(p q) r] [p (q r)] 11. Legile lui De Morgan:

(p q) (p) (q) (p q) (p) (q)

12. Legea de distributivitate a conjunciei: -n raport cu disjuncia: [p (q r)] [(p q) (p r)] 13. Legea de distributivitate a disjunciei : -n raport cu conjuncia:

[p (q r)] [(p q) (p r)] 14. (pq) ( qp) Demonstrm 1 :

p p p (p) 1 0 1 0 1 1

Demonstrm 2.

p q r pq qr (pq) (qr)] pr [(pq) (qr)] (pr) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1

-11-

2. Elemente de calculul predicatelor

Amintim c prin predicat se nelege un enun cu unul sau mai multe subiecte nedeterminate care depinde de o variabil sau de mai multe variabile i are proprietatea c pentru orice valori date variabilelor se obine o proproziie adevrat sau o propoziie fals.

Observaie. Ori de cte ori definim un predicat, trebuie s indicm i mulimile n care variabilele iau valori.

Exemplu. Predicatul

p(x): " x < 4, x R " are domeniul de referin mulimea numerelor reale iar partea predicativ const n textul

" este mai mic dect " Predicatul are dou subiecte: "x" i "4", dintre care unul nedeterminat, prin urmare, este un predicat cu o variabil.

Exemplu. Fie p(x, y) predicatul " 2x+y=2 ". Care sunt valorile de adevr ale

propoziiilor p(2,0) i p(1,0) ? Propoziia p(2,0) obinut atribuind lui x, y valorile x = 2, y = 0 este o propoziie fals, n timp ce propoziia p(1,0) obinut atribuind lui x, y valorile x = 1, y = 0 este o propoziie adevrat.

Exerciiu. Fie p(x) predicatul " x < 4, x R ". Care sunt valorile de adevr ale propoziiilor p(5) i p(4) ?

n general, un predicat cu n variabile x1, x2, . . ., xn este notat prin p(x1, x2, . . ., xn).

Fie p(x), q(x) predicate unare. Cu ajutorul operatorilor logici construim i alte predicate unare, anume:

p(x), p(x) q(x), p(x) q(x), p(x)q(x), p(x) q(x) Astfel, de exemplu, pentru predicatul p(x), p(x) este predicatul

cruia pentru fiecare valoare x = a i corespunde propoziia p(a). Strns legat de noiunea de predicat apare noiunea de

cuantificator. Distingem urmtoarele tipuri de cuantificatori: Definiie. Propoziia universal a lui p(x) este propoziia

" p(x) este o propoziie adevrat pentru orice valoare a lui x din domeniul de referin ". Notaia ( ) ( )xpx denot propoziia universal a lui p(x). Semnul se numete cuantificator universal. Pentru propoziia universal a lui p(x) se folosesc i exprimrile:

-12-

" pentru toi x, p(x) " " pentru fiecare x, p(x) ".

Exemplu. Orice elev din clasa a IX-a cunoate mulimea numerelor naturale.

Predicatul este p(x): " Orice elev cunoate mulimea numerelor naturale" Mulimea n care p(x) este adevrat este elevii clasei a IX-a.

Dac propoziia ))()()(( xqxpx este adevrat, atunci vom folosi notaia p(x) q(x) i citim: " p(x) implic q(x) ". Se mai spune, n acest caz, c predicatul q(x) este o consecin logic a predicatului p(x).

Exemplu. Considernd predicatele p(x): " x = 1 "

i q(x): " x3-1=0, xR "

cu domeniul de referin mulimea numerelor reale, avem p(x) q(x). Dac propoziia ))()()(( xqxpx este adevrat, atunci vom

folosi notaia p(x)q(x) i citim: " p(x) dac i numai dac q(x) ". Se mai spune, n acest caz, c predicatele p(x), q(x) sunt echivalente logic.

Exemplu. Considernd predicatele p(x): " x > 0, x R "

i q(x): " x3 > 0, x R "

cu domeniul de referin mulimea numerelor reale, avem p(x) q(x). Observaie. Relaiile de consecin logic i echivalen logic

pot fi definite i ntre predicate n-are, unde n 2, ntr-un mod asemntor. Definiie. Propoziia existenial a lui p(x) este propoziia

" exist cel puin un x din domeniul de referin astfel nct p(x) ". Notaia ( ) ( )xpx denot propoziia existenial a lui p(x) i este o propoziie adevrat cnd exist cel puin un element x0 din domeniul de referin astfel nct p(x0) este adevrat.

Semnul se numete cuantificator existenial. Pentru propoziia existenial a lui p(x) se folosete i exprimarea:

" exist x, p(x) " Exemplu. Dac considerm predicatul

p(x): " x+5=0, x R " cu domeniul de referin mulimea numerelor ntregi, atunci propoziia existenial lui p(x) este adevrat, deoarece pentru x = -5 )05)(( =+ xx astfel propoziia

p(-5): " -5+5=0 "

-13-

este adevrat. Considerm n continuare predicatul p(x) definit numai pentru un

numr finit de valori ale variabilei x, anume x1, x2, . . . , xn, atunci:

p(x) p(x1) p(x2) p(xn) i

p(x) p(x1) p(x2) p(xn)

innd cont de legile lui De Morgan (vezi paragraful 1 proprietatea 11), rezult p(x) p(x1) p(x2) p(xn) i p(x) p(x1) p(x2) p(xn)

Regulile de negaie stabilite mai sus, sunt valabile i n cazul general. Deci pentru orice predicat unar p(x) avem:

a) p(x) ( )x ( p(x)) b) ( )x ( p(x)) ( )x (p(x))

Exemplu. S considerm predicatul p(x): " )( Nx astfel nct x+1=2 "

a crui valoare de adevr este adevrul. Negaia ei este propoziia

p(x): " )( Nx , avem x+12" evident o propoziie fals.

Predicate binare. Fie p(x, y) un predicat binar. Folosind cuantificatorii is

'

putem forma predicatele unare:

y)x)p(x,( is ),()('

yxpx unde y este variabila acestor dou predicate. Din aceste predicate unare putem forma predicatele:

y)"x)p(x,y)(( is y)x)p(x,y)((y),x)p(x,y)((),,())(("'

yxpxy n continuare vom arta cum se deduc legile de negaie pentru predicatele binare, din legile de negaie pentru predicate unare.

Adic:

)),()()(()),()(()),()()(()'

)),()()(()),()(()),()()(()'b) )

b) )

yxpxyyxpxyyxpxyb

yxpxyyxpxyyxpxyadinbdin

dinadin

Analog se extind aceste rezultate la predicate n-are.

( )x

( )x)( x

)( x( )x

-14-

3. Teorem direct, teorem reciproc. Metoda demonstraiei prin reducere la absurd.

O teorem este o propoziie adevrat care stabilete c unul sau mai multe obiecte posed o proprietate, forma lor general fiind:

p(x1, x2, . . . , xn) q(x1, x2, . . . , xn), unde p(x1, x2, . . . , xn) se numete ipoteza teoremei iar q(x1, x2, . . . ,

xn) se numete concluzia teoremei. Teoremele care se accept fr demonstraie se numesc axiome. Demonstraia unei teoreme const n trecerea succesiv de la

ipotez la concluzie pe baza unor deducii logice. Demonstraia se face pe baza unor definiii i axiome cunoscute mai nainte. Adic: demonstraia teoremei p q este un ir finit de implicaii logice de forma:

p = p1, p1 p2, , pn-1 pn = q fiecare element al acestui ir fiind o implicaie adevrat. Dac mai multe teoreme au aceeai ipotez i concluzii diferite,

atunci ele pot fi nlocuite cu o teorem, care are ipoteza comun, iar drept concluzie, conjuncia concluziilor teoremelor.

Fie teorema p(x1, x2, . . . , xn) q(x1, x2, . . . , xn).

care exprim faptul c predicatul q(x1, x2, . . . , xn) este consecin logic a predicatului p(x1, x2, . . . , xn).

Dac i predicatul q(x1, x2, . . . , xn) este consecin logic a predicatului p(x1, x2, . . . , xn) atunci are loc teorema:

p(x1, x2, . . . , xn) q(x1, x2, . . . , xn) numit contrara teoremei date.

Exemplu. Considerm teorema: " Dac cel mai mare divizor comun a dou numere ntregi a, b este 1 atunci numerele nu pot fi amndou pare "

Ea este format din predicatele: p(x): " Dac cel mai mare divizor comun a dou numere ntregi a, b este 1 "

q(x): " atunci numerele nu pot fi amndou pare " Predicatul p(x) const din enunul:

" Dac cel mai mare divizor comun a dou numere ntregi a, b este diferit de 1 "

Predicatul q(x) const din enunul: " atunci numerele pot fi amndou pare "

-15-

Contrara teoremei date este: " Dac cel mai mare divizor comun a dou numere ntregi a, b este diferit de 1 atunci numerele pot fi amndou pare "

Fie teorema p(x1, x2, . . . , xn) q(x1, x2, . . . , xn),

putem forma: -teorema reciproc

q(x1, x2, . . . , xn) p(x1, x2, . . . , xn). -teorema contrar:

p(x1, x2, . . . , xn) q(x1, x2, . . . , xn). -teorema contrar reciprocei:

q(x1, x2, . . . , xn) p(x1, x2, . . . , xn) Datorit tautologiei:

(p q) ( q p) din calculul cu propoziii, teorema direct

p(x1, x2, . . . , xn) q(x1, x2, . . . , xn) este adevrat dac i numai dac contrara reciprocei sale

q(x1, x2, . . . , xn) p(x1, x2, . . . , xn) este adevrat. Acest lucru ne arat c pentru a demonstra

p(x1, x2, . . . , xn) q(x1, x2, . . . , xn) este totuna cu a demonstra

q(x1, x2, . . . , xn) p(x1, x2, . . . , xn) Acest raionament poart denumirea de metoda reducerii la absurd.

n rezumat, metoda reducerii la absurd se aplic dup urmtoarea schem: a) Etapa negrii concluziei. n aceast etap, se presupune c ceea ce avem de demonstrat nu este adevrat. b) Etapa contrazicerii. n aceast etap, pornind de la presupunerea fcut n etapa anterioar, printr-o serie de raionamente logice, se caut s se ajung la un rezultat care s fie contradictoriu cu un adevr (o axiom, o teorem etc.). c)Etapa deciziei. n aceasta, se pune ntrebarea: de unde s-a ajuns la contradicia din etapa a doua? Rspunsul este firesc innd seama de presupunerea fcut n etapa a) c ceea ce trebuia demonstrat nu este adevrat.

-16-

4.Exerciii

1.Care din enunurile urmtoare sunt propoziii i ce valori de adevr au: a) (2-1)(2+1)=22-1; b) Un numr ntreg a pentru care (a,2)=2 este numr par; c) 3>6; d) m()=900 este unghi drept.

2.Din propoziiile: p: 4=6

i q: 9

-17-

Capitolul II. Elemente de teoria mulimilor

1. Noiunea de mulime, relaia de incluziune, egalitatea mulimilor

Noiunea de mulime este fundamental n matematic, nu o definim pentru c nu o putem subordona unei noiuni mai generale. Vom apela n schimb la nelegerea ei intuitiv drept colecie de obiecte de natur oarecare bine distincte i bine determinate, conceput ca un tot unitar. Obiectele unei mulimi, pe care le vom numi elementele mulimii, pot fi de orice natur: literele alfabetului, puncte, linii, oameni, etc.

n concluzie se poate vorbi de mulimea punctelor din plan, mulimea literelor alfabetului, etc.

Mulimile sunt de obicei notate prin literele mari ale alfabetului (A, B, C, . . . , etc).

Relaia de apartenen. Pentru a pune in eviden faptul c x este un element al unei

mulimi A vom scrie "x A" i vom citi : "x aparine mulimii A". Dac x nu este un element al mulimii A atunci vom scrie "x A " i vom citi : "x nu aparine mulimii A".

Notaii pentru mulimi Mulimea A ale crei elemente ndeplinesc proprietatea P este

notat prin: A = {xx satisface P}

sau

A = {x: x satisface P} Exemplu.

A = {xN x

-18-

Sunt dou lucruri importante de observat: -unul este c mulimea n sine este un obiect diferit de elementele

ei. Mulimea este o colecie de obiecte i obiect, coninnd celelalte elemente.

-al doilea lucru de observat este c mulimea se analizeaz funcie de un element particular, i este posibil s decidem dac aparine sau nu elementelor mulimii.

Relaia de egalitate Fie A, B mulimi de numere reale date prin ecuaiile x2-1 = 0 i

x4-1 = 0 respectiv. n limbajul notaiilor avem

A ={x Rx2-1 = 0} i

B ={x Rx4-1 = 0} Reiese c A i B au aceleai 2 elemente, 1 i 1. Pentru astfel de mulimi ca A, B scriem A = B. Nu conteaz dac mulimile A, B sunt definite n feluri diferite. Deoarece ele au aceleai elemente, ele sunt egale, asta nseamn c ele sunt una i aceeai mulime.

Definiie. Despre mulimile A, B spunem c sunt egale (scriem A = B, dac orice element din A este element i n B i orice element din B este element i n A.

Exemplu. {3, 4, 2} = {3, 2, 4} cci " {3, 4, 2} " " {3, 2, 4} " reprezint aceeai mulime.

Acceptm existena mulimii fr nici un element i o numim mulime vid. Mulimea vid o notm prin semnul " ".

Semnul de egalitate " = " transmite ntre mulimi proprietile: 1. Reflexivitatea: A = A, A 2. Simetria: A = B B = A, A, B 3. Tranzitivitatea: (A = B B = C ) A = C, A, B, C n mod analog, scriem " A B " i citim " A diferit de B " dac nu

este adevrat c A = B, altfel, dac exist elemente n A care nu sunt n B sau exist elemente n B care nu sunt n A.

Relaia de incluziune. Definiie. Fie A, B mulimi. Dac toate elementele mulimii A

aparin i mulimii B spunem c mulimea A este inclus n mulimea B (sau c A este o submulime a lui B) (scriem A B) sau c B include A (scriem B A).

Exemplu. Dac A={1,2,3}, B={0,1,2,3,4} atunci AB. Cnd vrem s punem n eviden c B mai are i alte elemente dect ale lui A, folosim semnele de incluziune strict " " sau " " i scriem B A sau A B.

-19-

n exemplul de mai sus putem folosi semnul de incluziune strict. Observm c mulimile A, B sunt egale cnd oricare element din A este n B (deci A B) i oricare element din B este n A (deci B A). Rezult urmtoarea metod pentru a verifica egalitatea a dou mulimi A, B:

Artm c: A B, adic " x A x B " B A, adic " x B x A "

Semnul de incluziune " " transmite ntre mulimi proprietile: 1. Reflexivitatea: A A, A 2. Antisimetria: (A B B A) B = A, A, B 3. Tranzitivitatea: (A B B C ) A C, A, B, C Un mod convenabil pentru a observa relaiile dintre mulimi este

diagrama Venn-Euler. Reprezentm o mulime de referin U printr-o mulime de puncte dintr-un dreptunghi. Alte submulimi ale mulimii de referin sunt reprezentate prin mulimea punctelor din interiorul unui cerc. Pentru o submulime A a lui U, definim complementara lui A n raport cu U ca fiind mulimea acelor elemente din U care nu sunt n A, i o notm prin CU A.

Mulimea prilor unei mulimi Definiie. Fie A mulime. Mulimea care are ca elemente toate

submulimile lui A se numete mulimea prilor lui A i se noteaz cu P(A). Aadar:

P (A) ={X | X A} De observat este faptul c mulimea vid i mulimea total A

sunt elemente ale lui P (A). Exemplu. Dac A = {a, b, c} atunci: P (A) ={, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

2. Operaii cu mulimi.

Definiie. Fie A, B mulimi. Mulimea {x | (x A) (x B)} elementelor comune mulimilor A, B se numete intersecia dintre mulimea A i mulimea B i se noteaz prin A B.

CU A

A

-20-

Astfel: A B={x | (x A) (x B)}

Cu ajutorul diagramelor Venn-Euler intersecia a dou mulimi este reprezentat n poriunea haurat:

Dac mulimile A, B nu au elemente comune, atunci A B = i mulimile se numesc disjuncte.

Exemplu. Dac A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i B = {1, 2, 8, 9, 12, 34} atunci A B = {1, 2}.

Definiie. Fie A, B mulimi. Mulimea {x | (x A) (x B)} tuturor elementelor care aparin cel puin uneia din mulimile A sau B se numete reuniunea mulimilor A, B i se noteaz prin A B. Astfel:

A B = {x | (x A) (x B)} Cu ajutorul diagramelor Venn-Euler reuniunea a dou mulimi este reprezentat n poriunea haurat:

Exemplu. Dac A = {1, 2, 3, 8, 9} i B = {2, 4, 5, 6, 7,10,12,23} atunci A B={1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 12, 23}

Analog se definete intersecia i reuniunea unui numr finit de mulimi. De exemplu, dac A

iI (I este o mulime de indici) sunt mulimi, definim:

}jI, i i,j, A x Ax{xA

j},iI i,j, A x Ax{xA

jiiIi

jiiIi

=

=

U

I

Definiie. Fie A, B mulimi. Mulimea {x | (x A) i (x B)} se numete diferena dintre mulimea A i mulimea B i se noteaz A \ B.

Astfel, A \ B = {x| (x A) (x B)}

Cu ajutorul diagramelor Venn-Euler diferena a dou mulimi este reprezentat n poriunea haurat:

Exemplu. Dac A = {1,2,3,4,5,10,11} i B = {1,2,8,9,10} atunci A \ B={3,4,5,11}.

-21-

Definiie . Fie A, B mulimi. Diferena simetric a mulimilor A, B este mulimea

A B = ( A \ B) (B \ A) Exemplu. Dac A = {1,2,3,4,5,10} i B = {1,2,8,9,10} atunci A \ B={3,4,5}, B \ A={8,9}, deci A B = ( A \ B) (B \ A)={3,4,5,8,9}.

Teorem (Legile lui De Morgan). Fie A, B submulimi ale unei mulimi U. Atunci:

a) CU (CU (A)) = A, b) CU (A B) = CUA CUB, c) CU (A B) = CUA CUB.

Demonstraie. a) x CU (CU (A)) x CU A x A b) x CU (A B) x A x B x CU A x CU B x CU A CU B c) x CU (A B) x A B x A x B xCU A xCU B x CU A CU B

Produs cartezian Fie A, B mulimi i fie elementele a din A i b din B.

Prin definiie, perechea ordonat care are pe a ca prim element i pe b ca al doilea element este notat simbolic (a, b). Dou perechi ordonate (x, y) i (u, v) sunt egale dac i numai dac x = u i y = v. n acest sens, (1,2) (2,1), dei {1,2}={2,1}.

Definiie. Fie A, B mulimi. Mulimea tuturor perechilor ordonate (a, b) cu a din A i b din B se numete produsul cartezian al mulimilor A, B i se noteaz A B. Avem:

A B = {(a, b) a A i b B } Produsul cartezian al lui A cu A se mai noteaz cu A2. Exemplu. Fie A = {-1,0,2} i B = {0,3}. Atunci:

A B={(-1,0), (-1,3), (0,0), (0,3), (2,0), (2,3)} B A = {(0,-1), (0,0), (0,2), (3,-1), (3,0), (3,2)}

Se observ c A B B A egalitatea avnd loc numai pentru A = B. Definim produsul cartezian a n mulimi: Fie A1, A2, A3, . . . , An cele n mulimi. Atunci:

A1 A2 A3 . . . An = {(a1, a2, . . . ,an)a1 A1, a2 A2,..., an An} Dac A1= A2= A3= . . . =An=A atunci A1 A2 A3 . . . An

not

=

An.

-22-

Proprieti ale operaiilor cu mulimi. Fie A, B, C mulimi incluse ntro mulime U. Atunci: 1) A B CU B CU A; 2) CU U = ; 3) C =U. 4) reuniunea este comutativ: A B = B A

5) reuniunea este asociativ: (A B) C = A (B C) 6) dac A = B atunci A C = B C pentru orice mulime C.

7) A B = B A B. 8) intersecia este comutativ: A B = B A 9) intersecia este asociativ: (A B) C = A (B C)

10) dac A = B atunci A C = B C 11) A B = B A B. 12) A B = A CB B CA; 13) intersecia este distributiv fa de reuniune: A (B C) = (A B) (A C)

14) Intersecia este distributiv fa de scdere. A (B \ C) = (A B) \ (A C)

15) (A \ B) C = (A C) \ B B A 16) A \ (A \ B) = A B 17) A \ B = B \ A A = B 18) reuniunea este distributiv n raport cu intersecia . 19) A \ B = A CB Demonstrm ca model proprietile 1), 13), 18) i 19) 1) (AB) (x CU B) (A B) (xB)xAxCU A 13) Artm mai nti c A (B C) (A B) (B C). Fie x A (B C), deci x A i x B C. Dac x B, atunci x A B , deci x (A B) (A C).

Analog dac x C. Astfel A (B C) (A B) (A C).

Demonstrm incluziunea reciproc. Fie x (A B) (A C). Dac x (A B), atunci x B i x A, deci x B C. Dar x

A, prin urmare x A (B C). Analog se trateaz cazul x A C.

18) (A B) (A C) = [(A B) A] [(A B) C] = A [(A C) (B C)] = [A (A C)] (B C) = A (B C)

19) Fie x U, atunci: x A \ B (x A) i (x B) x A CB.

-23-

3.Exerciii

1.Care din urmtoarele propoziii sunt adevrate i care false: a) {1,2,3}={2,3,1}; b) 9{9}; c) {2};

d) {0}.

2.S se determine mulimile:

. ,

33132

)

; ,3

64 )

2

2

+

++==

+

==

Nnn

nnxNxBb

Nnn

nxNxAa

3.Determinai toate submulimile urmtoarelor mulimi: A={ , , }, B={9,10}.

4.Fie A={1,5} i B={2,3,6}. S se determine mulimile AB, AA, BA, BB.

5.S se determine mulimile A, B tiind c: a) A B={a,b,c,d,e}; b) A B={a,b}; c)d A \ B; d)B are mai puine elemente dect A.

-24-

Capitolul III. Relaii binare

Definiie. Se numete relaie ntre mulimile E, F orice submulime f a produsului cartezian E F.

Exemplu. Fie E = {2,4,6,8}, F = {3,5,7,9}. Produsul lor cartezian este: E F = {(2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (4,3), (4,5), (4,7), (4,9), (6,3), (6,5), (6,7), (6,9), (8,3), (8,5), (8,7), (8,9) }

Din mulimea E F alegem perechile ordonate care au proprietile: 1) suma elementelor fiecrei perechi ordonate este egal cu 9; 2) diferena dintre a doua component i prima component a fiecrei perechi ordonate este 1.

Submulimea f a produsului cartezian E F este f = { (4,5) }

Definiie. Diagonala unei mulimi E se definete ca fiind relaia ={(x, x)x E}

submulime a lui E E. Exemplu. Fie E = {2,4,6,8}. Produsul cartezian al lui E cu E

este: E E = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,4), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,6), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6), (8,8)} Diagonala mulimii E este

={(2,2), (4,4), (6,6), (8,8)} Definiie. Fiind dat o relaie f ntre E, F se numete domeniul

de definiie al lui f mulimea: Dom f = {x x E i (x, y) f pentru cel puin un y din F }

iar imaginea lui f mulimea: Im f = {y y F i (x, y) f pentru cel puin un x din E}. Relaia invers lui f se definete ca fiind urmtoarea submulime a

lui F E: f-1 = {(y, x) (x, y) f }.

Exemplu. Fie E = {2,4,6,8}, F = {3,5,7,9}. Produsul lor cartezian este: E F={(2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (4,3), (4,5), (4,7), (4,9), (6,3), (6,5), (6,7), (6,9), (8,3), (8,5), (8,7), (8,9) }

-25-

Din mulimea E F alegem perechile ordonate care au proprietatea:

"suma elementelor perechilor ordonate este egal cu 9". Avem : f = { (2,7), (4,5), (6,3) } f = {(x, y) X Y x + y=9 } Pentru acest exemplu

Dom f = {2, 4, 6} Im f = {7,5,3}

f-1 = {(7,2), (5,4), (3,6)} n cele ce urmeaz, pentru a marca faptul c (x, y) f, vom utiliza

notaia: x f y.

Definiie. O relaie de echivalen pe o mulime nevid E este orice semn " " ntre E i E care verific urmtoarele trei proprieti:

1) Reflexivitatea: x x, x E ; 2) Simetria: x y y x, x,y E; 3) Tranzitivitatea: (x y i y z) x z, x,y,z E. Exemplu. 1) Relaia de egalitate definit pe mulimi;

2) Relaia de congruen i de asemnare definit pe mulimea triunghiurilor.

Clase de echivalen. Fie E o mulime nevid pe care s-a definit o relaie de echivalen

notat " ". Fiecrui element x din E i putem asocia clasa sa de echivalen notat:

{ }xyyx = . Definiie. Mulimea

=

ExxE tuturor claselor de echivalen

n raport cu relaia "" se numete mulimea ct (sau factor) a lui E prin relaia "".

Teorem. Dou clase de echivalen sau coincid sau sunt disjuncte.

Demonstraie. Dac x y i z x (adic z x) atunci zy (din tranzitivitatea relaiei ). Din z y avem z y , adic x y . Analog rezult incluziunea invers de unde x = y . S presupunem acum c x nu este n relaie cu y i c x y . Atunci z x y implic (x z i z y) adic x y ceea ce este n contradicie cu presupunerea.

-26-

Definiie. O relaie de ordine pe o mulime E este o relaie " " ntre E i E care verific proprietile:

1) Reflexivitatea: x x, xE; 2) Antisimetrie: (x y i y x) x = y, x,yE ; 3) Tranzitivitate: (x y i y z) x z x,y,zE. Exemplu.

1) Relaia de incluziune definit ntre mulimi; Definiie. Numim mulime ordonat orice pereche (E, ) format dintr-o mulime nevid E i o relaie de ordine "" pe E. Notm E n loc de (E, ), n cazul n care nu exist pericol de confuzie privind "" .

Exemplu. 1)( N ,) este o mulime ordonat. Definiie. O relaie de ordine "" pe o mulime nevid E este o

relaie de ordine total dac pentru orice x, y din E avem sau x y sau y x. Exemplu. relaia "" definit pe N, Z,Q i R este o relaie de ordine total. Definiie. O mulime ordonat (E, ) se numete mulime total

ordonat dac relaia de ordine "" este total. Exemplu. 1)( N ,), ( Z ,) sunt mulimi total ordonate. Definiie. O relaie de ordine f a produsului cartezian E E este

numit de ordine parial, dac exist cel puin un element x din E i un element y din E, pentru care nu avem adevrat nici una din relaiile x f y sau y f x.

Exemplu. 1)n mulimea prilor unei mulimi relaia de incluziune nu este o

relaie de ordine total. Definiie. O relaie f ntre elementele unei mulimi este de ordine

strict dac nu este reflexiv, nu este simetric dar este tranzitiv. Exemplu. 1)ntr-o mulime de oameni, relaia f este urma al lui este

o relaie de ordine strict. Nu putem avea a este urma al lui a deci relaia nu este reflexiv. Dac avem a este urma al lui b, nu mai putem avea b este

urma al lui a. Aceasta spune c relaia nu este simetric. Dac a este urma al lui b i b este urma al lui c, atunci

spunem c a este urma al lui c. Relaia este deci tranzitiv.

-27-

Exerciii

1.Demonstrai c o relaie simetric i tranzitiv pentru care orice element satisface cele dou relaii, este i reflexiv.

2.Pe mulimea dreptelor din plan definim relaiile: a)Relaia f asociaz oricare dou drepte paralele sau identice; b)Relaia g asociaz oricare dou drepte perpendiculare. Care sunt proprietile i felurile relaiilor de mai sus?

3.Pe mulimea punctelor unei drepte d din plan definim relaiile: a)Relaia f asociaz oricare dou puncte cu condiia c primul este

la dreapta celui de-al doilea; b)Relaia g asociaz dou puncte astfel nct primul este identic

sau la stnga celui de-al doilea; Care sunt proprietile i felurile relaiilor de mai sus?

4.n cercul C(O,r) dou coarde oarecare sunt n relaia f dac sunt egal deprtate de centrul cercului. Demonstrai c aceast relaie este de echivalen.

5.n mulimea studenilor din Romnia considerm relaiile : a)Relaia f asociaz oricare dou persoane cu aceleai medii; b)Relaia g asociaz oricare dou persoane cu aceeai vrst; c)Relaia h asociaz oricare dou persoane care locuiesc n mediul

urban. Care sunt proprietile i felurile relaiilor de mai sus?

-28-

Capitolul IV. Funcii

1. Noiunea de funcie.

Definiie. Fie X, Y mulimi nevide. Se numete funcie definit pe X cu valori n Y orice relaie f ntre X, Y care verific urmtoarele condiii: F1) Dom f = X, adic pentru orice x X exist y Y astfel nct (x,y) f; F2) Relaia f este univoc, adic dac (x, y1) f i (x, y2) f atunci y1 = y2. n acord cu F2), pentru fiecare x X notm cu f(x) unicul element y Y astfel nct (x, y) f. Simbolul f(x) se numete valoarea lui f n punctul x, sau imaginea lui x prin f. O funcie se noteaz indicnd cele dou mulimi i legea de coresponden astfel:

f : X Y, f = f(x); f : X Y; f : x f(x); y = f(x), x X; y = f(x); f; Exemple. 1)Fie X mulimea tuturor oraelor din Romnia, iar B mulimea

tuturor judeelor din Romnia. Definim funcia f : X Y prin: oricrui ora i se asociaz judeul su. Pentru aceast funcie avem, spre exemplu, f(Tg-Jiu) = Gorj, f(Craiova) = Dolj, etc.

2)Fie P(X) mulimea tuturor prilor lui X. Definim f:P(X) P(X) prin f(A, B) = AUB.

Fie A X i B acea parte a lui Y care corespunde prin f lui A. Spunem c B este imaginea direct a lui A prin f i scriem f(A) = B. Dac imaginea lui X prin f const dintr-un singur element al lui Y, spunem c funcia f este constant. Astfel, conceptul de funcie trebuie neles ca un triplet format din domeniul de definiie, mulimea n care se iau valori i relaia dintre ele. Funciile f1 : E1 F1, f2 : E2 F2 sunt egale dac:

1) E1 = E2, 2) F1 = F2, 3) f1(x) = f2(x) pentru orice x E1.

-29-

Definiie. Fie U mulime i A submulime a sa. Definim 1A:U {0,1} prin:

=

AxAx

A pentru ,1pentru ,0

1

i o numim funcia caracteristic a lui A. Exemplu. Dac U = {1,2,3,4,5,6,7,8} atunci

lui A={2,4,5,7,8} i corespunde secvena

2. Moduri de a defini o funcie.

Exist dou moduri de a defini o funcie: a) Funcii definite sintetic. n multe cazuri funcia f : X Y poate fi definit numind pentru fiecare element n parte din X elementul ce i se asociaz din mulimea Y.

Exemplu. Fie X = {a, b, c, d} i Y=

{a, e, f}. Definim f:XY prin:

f (a) = a; f (b) = e; f (c) = a; f (d) = f f

n fig 1 sgeile indic legea de definire a funciei f de la mulimea X la mulimea Y.

x

a b c d f(x) a e a f

n tabelul alturat n prima linie sunt trecute elementele mulimii pe care este definit funcia, iar n linia a doua elementele din mulimea unde funcia ia valori.

b) Funcii definite analitic. O funcie f : X Y poate fi definit specificnd o proprietate (relaie) ce leag un element arbitrar x X de elementul f(x) din Y.

Exemplu. Dac E (x) = x3 atunci putem defini funcia f : R R, f(x) = x3.

a

b

c

d

a

e

f

0 1 0 1 1 0 1 1

-30-

3. Compunerea funciilor. Fie X, Y, Z mulimi nevide i f:XY, g:YZ funcii. Din definiia

funciei f deducem c pentru orice element x X exist un unic element notat f(x) din Y. Cum f(x) Y din definiia funciei g deducem c exist un unic element notat g(f (x)) din Z. Prin urmare perechii de funcii (f,g) i corespunde o nou funcie notat gf i numit funcia compus a lui f prin g care aplic pe X n Z.

Definiie. Funcia gf:XZ se definete prin (gf)(x) = g(f (x)), xX. Schematic funcia gf poate fi reprezentat cu ajutorul diagramei:

Exemplu. Dac f:RR i g:RR sunt definite prin f(x) = x + 5 i g(x) = 3 - x atunci gf:RR se definete prin (gf)(x) = g(f(x)) = 3 - (x + 5) = -2 - x.

Observaie 1. Dac notm cu y argumentul funciei g, iar funcia nsi cu g(y), atunci funcia compus se obine substituind argumentul y prin f (x), deci g(y) = g(f (x)) = (gf )(x)

Observaie 2. Dac gf are sens nu rezult c i fg are sens. Dac gf, fg au sens, atunci, n general fg gf;

Teorem. Compunerea funciilor este asociativ, adic pentru orice funcii f:XY, g:YZ i h:ZV avem (hg)f = h (gf).

4. Graficul unei funcii Definiie. Dac f:XY, atunci mulimea Gf={(x,y)y=f(x), xX}

XY se numete graficul lui f. Exemplu. Dac X={a, b, c, d}, Y={1, 2, 4} i f:XY prin

f(a)=2, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=4 atunci

Gf={(a,2), (b,1), (c,2), (d,4)}

4.1. Funcii numerice i reprezentarea grafic a lor

Definiie. f:XY se numete funcie numeric, dac X, Y sunt submulimi ale mulimii numerelor reale.

-31-

y1 y2

Exemplu. f:RR, f(x)=x+10 Fie f:XY funcie numeric i Gf graficul su. Fie xOy un sistem

de axe perpendiculare din plan. Dac (x,y) este un element din Gf, atunci i asociem punctul P(x,y) din plan (x abscisa, iar y ordonata punctului P). Mulimea tuturor punctelor din plan de coordonate x i y unde (x,y) este un element oarecare din Gf se numete reprezentarea geometric a graficului funciei f. Fr a face vreo confuzie n loc de reprezentarea geometric a unei funcii spunem graficul funciei f.

Exemplu. Dac X={1, 2, 3, 4}, Y={1, 2, 4} i f:XY prin f(1)=2, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=4

atunci Gf={(1,2), (2,1), (3,2), (4,4)}

Reprezentarea geometric a mulimii Gf este mulimea punctelor A(1,2), B(2,1), C(3,2), D(4,4) din figura:

5. Funcii injective, surjective, bijective. Inversa unei funcii.

Definiie. Spunem c o funcie f:XY este injectiv dac pentru orice dou elemente x1 ,x2X cu x1x2 f(x1)f(x2).

Exemple schematice. X Y f

10) f aplic pe X n Y. Cum x1x2 i f(x1)=f(x2) aplicaia nu este injectiv.

x1

x2

x3

-32-

1 2 3 4

5

y1 y2

1 2 3 4

a b c d

1 2 3 4

a b c d

x1

x2

x3

y1 y2 y3

f 20) f aplic mulimea X n mulimea Y. Avem

x1x2x3 f(x1) f(x2) f(x3) i deci aplicaia este injectiv.

Definiie. Spunem c f:XY este o funcie surjectiv dac pentru orice element yY exist cel puin un element xA astfel nct f(x)=y. Exemple schematice. X f Y

i) f:XY este o aplicaie surjectiv.

X Y f

ii) funcia f:XY nu este o aplicaie surjectiv deoarece elementul bY nu este imaginea prin f a nici unui element din X.

Definiie. O funcie f:XY simultan injectiv i surjectiv se numete funcie bijectiv.

Exemplu schematic. X Y f

Observm c oricrui element din X i corespunde un unic element din Y.

-33-

Pentru funciile f:XX, f(x)=x vom folosi notaiile 1X sau idX i citim funcia identic a mulimii X.

Inversa unei funcii Definiie. Spunem c f:XY este o funcie inversabil dac exist

o funcie g:YX astfel nct gf=1X i fg=1Y. Exemplu. Dac X={1, 2, 3, 4}, Y={a, b, c, d} i f:XY definit

prin f(1)=b, f(2)=a, f(3)=c, f(4)=d atunci exist funcia invers f-1:Y X definit prin f-1(b)=1, f-1(a)=2, f-1(c)=3, f-1(d)=4. Dac exist g cu proprietile din enun atunci g=1Xg=(gf)g=g(fg)=g1Y=g deci, inversa unei funcii dac exist este unic. Vom nota inversa funciei f cu f-1, ca n exemplul dat.

Definiie. Mulimea tuturor elementelor din X a cror imagine prin f este Y, spunem c formeaz imaginea reciproc prin f a lui Y i se noteaz cu f-1(Y). Din f(X)=Y urmeaz f-1(Y)X.

Observaie. Graficele funciilor f, f-1 sunt simetrice fa de prima bisectoare a axelor. ntr-adevr, fie y0=f(x0), deci x0=f-1(y0), punctul B(x0,y0)Gf, iar punctul A(y0,x0)Gf-1; deci punctele B(x0,y0) i A(y0,x0) sunt simetrice fa de prima bisectoare, deoarece prima bisectoare este chiar bisectoarea unghiului xOy.

6. Funcii monotone, funcii pare, funcii impare.

Definiie. Fie X, Y submulimi ordonate ale lui R. Spunem c f:XY este cresctoare (respectiv descresctoare) dac xy n X implic f(x)f(y) (respectiv f(x)f(y)) n Y. nlocuind peste tot "" cu "") obinem noiunile de funcie strict cresctoare (respectiv funcie strict descresctoare). Funciile cresctoare i funciile descresctoare alctuiesc la un loc clasa funciilor monotone. Clasa funciilor strict monotone se definete similar.

Exemplu. Funcia f:R+R+, f(x)=x+1 este o funcie strict cresctoare.

Observaie. Fie f:XR i M, NX submulimi nevide. Dac f este strict cresctoare pe M i N atunci f nu rezult c este strict cresctoare i pe MN.

ntr-adevr, funcia f(x)=x

1 , xR\{0} este un exemplu suficient.

Pe M=(-,0), N=(0,+) funcia este strict cresctoare, dar pe MN= R\{0}

-34-

nu este strict cresctoare cum ar fi de exemplu pentru -1f (1).

Fie DR o submulime real simetric fa de originea axelor i f:DR.

Definiie. Funcia f se numete funcie par dac f(-x)=f(x) pentru orice xD.

Exemplu. Funcia f:RR, f (x)=x 2 este o funcie par. Graficul su este simetric fa de axa Oy, adic (a,b)R2 aparinnd graficului, simetricul su (-a,b) fa de axa Oy aparine graficului.

Definiie. Funcia f se numete impar dac f(-x)=-f(x) pentru orice xD.

Exemplu. Funcia f:RR, f(x)=x3 este o funcie impar; Graficul unei funcii impare este simetric fa de originea axelor, adic (a,b)R2 aparinnd graficului, simetricul su fa de origine (-a,-b) aparine graficului. O funcie care nu ndeplinete condiiile de mai sus se numete funcie fr paritate.

7.Exerciii

1.Fie funcia f:RR definit prin:

( )

+

=

1 dac ,11 dac ,g ;:

0 dac ,0 dac ,13

;:

2

xx

xxxRRg

xx

xxxfRRf

Determinai gf, fg .

-35-

4. Fie funcia f:NN definit prin:

( )

=

=

13 0 ,1

na, daca lui acifrultimanadac

nfn ((

(

a)S se arate c f(n+4)=f(n); b)S se schieze graficul funciei f.

5. Fie funcia f:RR definit prin:

( )

+=

0n daca 00n daca )1( aan

nadef

Rezultatul din teorem se scrie aditiv astfel: ma+na=(m+n)a, n(ma)=(nm)a oricare ar fi m, nN.

5.Structura de grup

Definiie. Se numete grup o mulime nevid G, nzestrat cu o operaie algebric:

:MMM; (a,b)(a,b) care satisface urmtoarele condiii: G1) (a,(b,c))=((a,b),c), G2) eM astfel nct (a,e)=(e,a)=a, aM, G3)orice element din G este simetrizabil, adic: aG, aG astfel nct (a,a)=(a,a)=e. Dac n plus operaia algebric este comutativ, se spune c grupul este comutativ sau abelian. Exemplu. Fie G mulimea rdcinilor ecuaiei x3=1. Definim (nmulirea-notaia multiplicativ) prin:

:GGG; (a,b)ab, a,bG atunci (G, ) este grup abelian.

Subgrup. Definiie. Spunem c o submulime nevid H a grupului G este un

subgup al lui G, dac operaia algebric din G induce pe H o operaie algebric fa de care H este grup.

-41-

Exemplu. Fie 0n numr ntreg i nZ={nhhZ} mulimea multiplilor lui n. n aceste ipoteze nZ este subgrup al grupului (Z,+).

Teorem. Fie (G,) grup cu element neutru e i H o submulime nevid a sa. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1) H este subgrup al lui G, 2)

10) a,bH produsul ab, efectuat conform operaiei din G, este un element din H, 20)eH, 30) aH, inversul su a-1 n G, aparine lui H, 3) a,bH, a b-1 (sau a-1b) efectuat n G, aparine lui H. Demonstraie. Exerciiu Observaie. Dac G este un grup, atunci G nsui este un subgrup al lui G,

numit subgrupul total al lui G. De asemenea submulimea {e} a lui G este subgrup, numit subgrupul nul al lui G. Subgrupul total i subgrupul nul al lui G se numesc subgrupuri improprii ale lui G. Orice subgrup diferit de acestea se numete subgrup propriu.

Reguli de calcul ntr-un grup. Dac a1, a2, . . . ,an (n0) sunt elemente ale unui grup G (n notaie

multiplicativ) cu element neutru e, atunci (a1a2 . . . an)-1=an-1. . . a2-1a1-1

ntr-adevr, innd cont de asociativitatea operaiei multiplicative avem: (a1a2 . . . an)(a1a2 . . . an)-1=(an-1. . . a2-1a1-1) (a1a2 . . . an)=e. n particular (ab)-1=b-1a-1 iar dac a1=a2= . . . =an=a, atunci pentru

orice n0 are loc (an)-1=(a-1)n (1)

ntr-adevr, (an)-1=((a-1)-n)-1=((a-1)-1)-n=(a)-n=(a-1)n. Observaie. Relaia (1) se extinde i pentru n

-42-

a) (I, +) are o structur de grup. b) operaia "" este asociativ. c) operaia "" este distributiv n raport cu legea "+". Pentru a evidenia faptul c pe mulimea I s-au considerat dou

operaii vom nota (I,+,). Exemplu. Fie Z[i]={a+bia,bZ }. Dac definim:

+ : Z[i] Z[i] Z[i] prin (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i Z[i] i

: Z[i] Z[i] Z[i] prin (a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i Z[i] atunci (Z[i],+,) este inel.

Observaie. Dac mulimea I este format dintr-un singur element a atunci putem defini o singur structur de inel punnd a+a=aa=a. n acest caz a=1=0 iar I se numete inel nul. Un inel care conine cel puin dou elemente se numete inel nenul;

Observaie. Dac legea de compoziie "" a inelului I are proprietatea de comutativitate atunci inelul I se numete comutativ;

Observaie. Inelul I se numete unitar sau inel cu element unitate dac operaia de "" are element unitate.

Teorem. Fie (I,+, ) un inel. Dac 0 este element unitate pentru operaia "+" din I, atunci 0a=a0=0, pentru orice aI.

Demonstraie. Avem 0a=(0+0)a=0a+0a i deci adunnd la ambii membri ai

acestei relaii pe (0a), obinem 0a=0. Pentru cealalt egalitate scriem a0=a(0+0)=a0+a0 i deci adunnd n ambii membri pe -a0 se obine a0=0.

Dac (I,+,) este un inel unitar, atunci elementele lui I simetrizabile n raport cu operaia "" se numesc elemente inversabile sau uniti ale inelului I. Inversul sau simetricul lui a n raport cu legea "" se noteaz cu a

-1 iar n raport cu legea "+" se noteaz cu -a. Mulimea unitilor lui I se

noteaz cu U(I). Elementul unitate 1 al inelului I este unul din unitile inelului I i are rol de element neutru n grupul (U(I),).

Definiie. Elementul aI, se numete divizor la stnga (la dreapta) al lui zero dac exist bI, b0, astfel nct ab=0 (ba=0).

Dac inelul este comutativ, atunci ba=ab=0 i deci noiunile de divizor la stnga i divizor la dreapta al lui zero coincid.

Definiie. Un inel (I,+,) nenul, comutativ, unitar i fr divizori ai lui zero diferii de zero se numete domeniu de integritate sau inel integru.

Subinele Definiie. Fie (I,+,) un inel i S o submulime nevid a sa. S se

numete subinel al lui I dac operaiile din I induc pe S o structur de inel.

-43-

Din definiie rezult, n particular, c S este subgrup al grupului (I,+) i S este o parte stabil a lui I n raport cu operaia "". Prin urmare condiiile: S1)a-bS, pentru orice a,bS; S2)abS, pentru orice a,bS; sunt condiii necesare i suficiente pentru ca S s fie un subinel al lui I.

Observaie. Dac (I,+,) este un inel, atunci I i submulimea {0} a lui I este subinel.

7. Structura de corp.

Definie. Un inel (K,+,) unitar i care conine cel puin dou elemente se numete corp dac orice element nenul din K este inversabil fa de operaia "" din K.

Existena elementelor inversabile este asigurat de faptul c inelul admite element unitate n raport cu operaia "".

Faptul c elementul unitate al operaiei "" este diferit de elementul unitate al operaiei "+" este asigurat de faptul c inelul este diferit de inelul nul.

Exemplu. Fie 1,0d numr care nu se divide prin ptratul nici unui numr prim. Notm [ ] { }QbadbadQ += ,

Definim: [ ] [ ] [ ],: dQdQdQ + ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]dQvbuadvudba +++=+++ d

i [ ] [ ] [ ],: dQdQdQ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]dQbuavdbvaudvudba +++=++ d

Atunci [ ]( )+,,dQ este corp. Teorem. Orice divizor al lui zero ntr-un inel nenul I nu este

inversabil. Demonstraie. Fie a un divizor al lui zero la stnga, adic exist b0, bI astfel

nct ba=0. Dac a ar fi inversabil n I, atunci ar exista aI astfel nct aa= aa=1. Deducem c baa=0a=0=b lucru care intr n contradicie cu b0. n concluzie un corp nu are divizori ai lui zero diferii de zero.

-44-

Definiie. Un corp se numete comutativ dac "" este operaie comutativ.

Observaie. Deoarece orice corp este inel, toate proprietile inelelor rmn valabile n cazul corpurilor.

Subcorpuri. Definiie. O submulime nevid k a unui corp (K,+,) se numete

subcorp dac operaiile de nmulire i adunare de pe K induc pe k operaii algebrice mpreun cu care este corp.

Din definiie deducem: k mpreun cu operaia aditiv este subgrup n K, ceea ce este echivalent cu a) oricare ar fi x,ykx-yk iar din faptul c elementele din k\{0} formeaz subgrup al grupului elementelor nenule din K, avem: a)oricare ar fi x,yk\{0}xy-1k .

Exemplu. (Q,+, ) este subcorp al lui (R,+, ) Observaii. 1.Condiia x0 putea fi eliminat deoarece pentru x=0 se obine

totdeauna xy-1k. 2.Din definiia subcorpului rezult c orice subcorp conine

elementul nul i elementul unitate al corpului. Caracteristica unui corp. Fie K un corp i e elementul unitate la nmulire n K. Definiie. Caracteristica lui K este cel mai mic numr natural p>0

cu proprietatea : 0=pe=e+e++e, de p ori.

Dac nu exist nici un numr natural cu aceast proprietate vom spune c, corpul K este de caracteristic 0.

Teorem. Numrul p cu proprietatea de mai sus dac exist este prim.

Demonstraie. Dac p=p1p2, atunci pe=(p1e)(p2e) i pe=0, iar K fiind corp, se

obine p1e=0 sau p2e=0. Din proprietatea de minimalitate a lui p se obine sau p1=p sau p2=p. Se noteaz

=

=*

K

*

Nn 01n ,0

}01min{)( Kdef nNn

kc

Teorem. Orice domeniu de integritate are caracteristica 0 sau un numr prim p.

Demonstraie.

-45-

Fie K domeniu de integritate i presupunem caracteristica lui k de un numr prim c(K)=mn1c(K) ceea ce este absurd.

8.Exerciii

1.Pe R se definete legea de compoziie * : * :RRR, (x,y) x*y=xy+2ax+by

Determinai a,bR astfel nct legea de compoziie * s fie comutativ i asociativ.

2.Pe R se definete legea de compoziie * : * :RR R, (x,y) x*y=xy-4x-4y+20

Artai c (G,*) este monoid comutativ.

3.Pe R se definete legea de compoziie * : * :RR R, (x,y) x*y=ax+by+c; a,b,cR i ab 0.

Determinai valorile lui a,b,c pentru care (R,*) este grup cu elementul neutru 2005.

4.Fie a,b,cR. Pe R se definesc legile de compoziie i * : :RR R, (x,y) x y=ax+by-2, x,yR

*:RR R, (x,y) x * y=xy-2x-2y+c, x,yR care sunt valorile lui a,b,cR astfel nct (R, ,*) s fie corp?

5.Pe C se definete legea de compoziie * : * : CC C, (z1,z2) z1*z2=z1z2+i(z1+z2)-i-1

Se cere: a)Elementul neutru; b)Elementele simetrizabile; c)S se rezolve ecuaia z*(i-1)=3+i.

-46-

Capitolul VI. Analiza combinatorie

Teorem. Dac A este o mulime cu n elemente, iar B o mulime cu m elemente atunci AB are nm elemente, adic:

AB=AB Demonstraie.

Observm c pentru fiecare aA putem construi n perechi ordonate de forma (a,y), cu yB . Cum B are m elemente, numrul total de perechi ordonate este nm. Definiie. Fie A mulime cu n elemente. Mulimea A se numete ordonat dac fiecrui element al su i se asociaz un anumit numr de la 1 la n, numit rangul elementului, astfel nct la elemente diferite ale lui A corespund numere diferite.

1. Aranjamente Definiie. Dac A este o mulime cu n elemente atunci submulimile ordonate lui A avnd fiecare cte r elemente, unde 0 r n, se numesc aranjamente de n elemente luate cte r i se noteaz rnA . Teorem. Numrul aranjamentelor de n obiecte luate cte r este dat de ( )( ) ( )1...21 += rnnnnArn .

Demonstraie. n construcia unui aranjament de r -elemente dintr-o mulime A cu n elemente, la fiecare pas p se poate alege un element dintr-o mulime cu n (p 1) = n p + 1 elemente. Aplicm regula produsului A x B=AB i rezult ce era de demonstrat.

Observaie. Un calcul simplu conduce la

( )( ) ( ) ( )!!1...21rn

nrnnnn

r

=+4444 34444 21

unde n ! = n(n-1)321 (citete n factorial). Notaii: Prin convenie, punem 1 i 1 00

0== AAn . Cu aceste

notaii

( )!!rn

nArn

= , pentru 0 r n ; 0 ! = 1.

-47-

Exemplu. Numrul de moduri n care pot fi aezai 3 studeni pe 6 locuri este:

120456A36 == .

2. Permutri

Fie n 1, ntreg fixat. Aranjamentele de n elemente dintr-o mulime A cu n elemente (distincte) se numesc permutri ale mulimii A. Numrul Pn = ! nAnn = . Prin convenie, se extinde aceast formul i la cazul cnd A = , punnd P0 = 0 ! = 1. Exemplu. Cte moduri posibile de aezare a 9 oameni n jurul unei mese pot fi fcute ?

Soluie. Fie A = {a1, a2, , a9} mulimea celor 9 oameni. Notm cu X mulimea tuturor permutrilor i cu Y mulimea permutrilor din jurul meselor, din A. Definim funcia f : X Y stabilind c pentru orice permutare x1, x2, , x9, f(x1, x2, , x9) este permutare circular legnd x1 i x9 mpreun pentru a forma un cerc. Este clar c funcia f este bijectiv i cele 9 permutri:

x1 x2 x9, x2 x3 x9 x1, x9, x1, , x8

sunt corespondente permutrile circulare.

AvemY .40320 ! 899!

===

Analog, numrul aezrilor a n oameni n jurul unei mese este ( )!. 1

n

! = n

n

3. Combinri

Definiie. Fie A o mulime cu n elemente (n 1) i r fixat, 1rn . Se numete combinare de r elemente din A orice submulime a lui A avnd r elemente. Teorem. Numrul rnC de combinri de r elemente ale unei mulimi A cu n elemente este

( )( ) ( )( )! r-n !r

! !

1...21 nr

rnnnnC rn =+

= .

Demonstraie. Fie B = {a1, a2, , ar} o combinare fixat de r elemente din A. Putem asocia acestei combinri r ! aranjamente de r

-48-

elemente din A. n felul acesta, se obin toate aranjamentele. Aadar r! rn

r

n AC = de unde rezult formula din enun. Convenii. Vom extinde formula combinrilor i la cazul r = 0, prin 10 =nC (exist o singur submulime cu 0 elemente, anume ). De asemenea, 10 =nC . Aceste convenii sunt compatibile cu o convenie mai veche 0! = 1. Trebuie remarcat c natura elementelor mulimii A nu joac nici un rol pentru calculul lui knC (ceea ce explic absena mulimii A din notaie). De aceea, knC se mai citete combinri de n luate cte k. Exemplu. Se dau cinci puncte distincte ntr-un plan, oricare patru necoliniare. Cte patrulatere se pot forma avnd vrfurile n cele patru puncte ?

Soluie. Avem 51545545 === CCC patrulatere.

4. Principiul cuibului

Teorema 1. (Principiul cuibului). Dac n obiecte sunt plasate n m csue i n > m, atunci exist cel puin o csu care conine dou sau mai multe obiecte. Principiul cuibului vine de la un chinez care a spus: cnd pui porumbei n cuiburi cu mai muli porumbei dect cuiburi, atunci cel puin doi porumbei trebuie pui n acelai cuib. Exemplul 1. Printre cele cinci numere ntre 1 i 8, sunt cel puin dou din ele care adunate dau 9. Soluie. Putem divide mulimea {1,2, ,8} n patru submulimi distincte unde fiecare are dou elemente care adunate dau 9: {1,8}, {2,7}, {3,6}, {4,5}. Cnd selectezi cinci numere din aceste patru submulimi, cel puin dou din cele cinci numere selectate trebuie s fie din aceeai submulime. Suma elementelor fiecreia este 9. Exemplul 2. Aratm c n fiecare grup de doi sau mai muli oameni exist doi oameni care au acelai numr de prieteni (Este presupus c dac x este prietenul lui y atunci y este de asemenea prietenul lui x). Soluie. Presupunem c sunt n oameni n grup. Numrul prietenilor unei persoane x trebuie s fie ntre 0 i n-1. Dac exist o persoan x* care are n 1 prieteni, atunci oricine este prieten cu x*. Astfel 0 i n 1 nu pot fi ambele numrul de prieteni a unor oameni din

-49-

grup. Deci principiul cuibului ne spune c sunt cel puin dou persoane care au acelai numr de prieteni.

Teorema 2. Dac n obiecte sunt plasate n m csue, atunci

una din csue trebuie s conin cel puin

m

nobiecte, unde

m

ndenot cel mai mic ntreg sau egal cu

m

n (adic, partea ntreag a

lui m

n ) .

5. Relaia de probabilitate

Sunt multe probleme n viaa noastr zilnic legate de ans, posibilitate sau probabilitate. Cnd aruncm cu o moned putem avea dou posibiliti externe: Cap i Pajur. Dac moneda este adevrat ansa s avem pe partea extern Cap este 1 la jumtate sau 50 %. Cnd rotim o pereche de zaruri putem avea pe exterior o colecie de perechi de numere

ntre 1 i 6. ansa evenimentului de a arunca cu un zar 6 este de 61

, pe

amndou zarurile s avem 6 este 361

61

61

= ,(n acest caz spunem c rezultatul aruncrii cu un zar este independent de cellalt zar). Probabilitatea ca un eveniment A s se ntmple, este dat de:

PA =posibilecazuridetotalNr

favorabilecazuridetotalNr .

.

Exemplu. Presupunem c urna Ui conine ai bile albe i bi bile negre, i=1,2. Din fiecare urn extragem la ntmplare cte o bil. S se calculeze probabilitatea ca bila extras s fie alb.

Soluie. Observm c numrul cazurilor egal posibile este (a1+b1)(a2+b2) ntruct un eveniment elementar posibil este o pereche (m,n), unde m este bila provenit din U1 i n este bila provenit din U2. Fie acum A evenimentul ca bilele extrase s fie albe. Numrul cazurilor favorabile producerii lui A este a1a2 ntruct eveniment elementar favorabil lui A este o pereche (m,n) format cu o bil alb din U1 i o bil alb din U2.

-50-

Deci : )()( 221121

babaaaPA ++

=

6.Exerciii

1.Cte numere diferite se pot forma cu cifrele 0, 3, 5, 6, 7 dac fiecare astfel de cifr intr o singur dat?

2. Dintr-un grup de 6 persoane se aleg un rector, un prorector, i un secretar tiinific, fiind interzis cumulul de funcii. n cte moduri se poate face alegerea ?

3. Cte numere diferite se pot forma cu cifrele 0, 3, 5, 6, 7?

4.Artai c dac a1, a2, , ak sunt ntregi nu necesar distinci, atunci se pot gsi unele care adunate dau un numr multiplu de k.

5.Dndu-se zece numere a1, a2, a3, , a10 astfel nct 0 ai < 100, demonstrai c putem gsi submulimi A, B de forma suma elementelor din A s fie egal cu suma elementelor din B.

-51-

Capitolul VII. Mulimea numerelor naturale

1. Relaia de echipoten. Cardinalul unei mulimi.

Definiie. Fie A, B mulimi. Spunem c mulimile A, B sunt echipotente dac exist o funcie bijectiv f:AB.

Notm prin: A B

faptul c A, B sunt echipotente. Exemplu. Dac B={ a,b,c}, A={1,2,3} atunci f:AB definit prin

f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c este bijectiv, deci A,B sunt echipotente. Teorem. Simbolul " " este o relaie de echivalen. Demonstraie. Reflexivitatea: A A rezult din faptul c 1A:AA este bijectiv. Simetria: (A BB A) rezult din faptul c dac f:AB este

bijectiv atunci i f-1:BA este bijectiv. Tranzitivitatea: [(A B i B C)]AC rezult din faptul c dac

f:AB i g:BC sunt funcii bijective atunci i gf:AC este bijectiv. Relaia " " fiind reflexiv, simetric i tranzitiv este o relaie de

echivalen, deci mparte mulimile n clase de echivalen. Exemplu.

A1={a1}, A2={a2}, . . . , An={an}, . . . B1={ a1,b1}, B2={ a2,b2}, . . . , Bn={an,bn}, . . .

C1={ a1,b1,c1}, C2={ a2,b2,c2}, . . . , Cn={ an,bn,cn}, . . . Mulimile A1, A2, . . .,An, . . . formeaz o clas. Mulimile B1, B2, . . .,Bn, . . . formeaz o alt clas etc.

O clas de echivalen, definit de relaia de echipoten, se noteaz prin simbolul i se numete numr cardinal sau puterea fiecrei mulimi din clasa respectiv.

Dac mulimile A,B sunt echipotente, ele au aceeai putere i li se asociaz acelai numr cardinal.

Notm cardinalul mulimii A cu A. Prin definiie

A=B AB

-52-

2. Axiomele lui Peano

Mulimea numerelor naturale constitue un sistem (N,0,f) format dintr-o mulime N, un element fixat 0N al su i o funcie f:NN (numit funcie de succesiune) pentru care sunt satisfcute urmtoarele axiome: P1) nNf(n)0 (0 nu este succesorul nici unui numr natural) P2) n,mN, f(n)=f(m)n=m P3) (MN)(0M) (nMf(n)M)M=N

Elementul 0 poart numele zero. Axioma P3) st la baza demonstraiei prin inducie (primul principiu

de inducie). Teorem. Fie (N,0,f) un sistem Peano. Atunci:

1) yN, y0, xN astfel nct y=f(x); 2) Oricare ar fi tripletul (M,,g) format cu o mulime nevid M, un element M i o funcie g:MM exist o unic funcie h:NM, astfel nct h(0)= i hof=goh, adic h(f(x))=g(h(x)), xN. 3) Dac (M,,g) este de asemenea un sistem Peano, atunci f este funcie bijectiv.

Notm f(n)=n+.

Presupunem ndeplinite axiomele P1) P3) pentru o mulime N. Notm 0 + prin 1, 1+ prin 2, 2+ prin 3, . . . ceea ce conduce la:

N={0,1,2,3, . . . , n, . . . } Elementele mulimii N se numesc numere naturale. Numerele 0,

1, 2, 3, . . . se numesc respectiv zero, unu, doi, trei, . . . i sunt folosite pentru a exprima cantitatea de elemente pentru mulimile fr nici un element, cu un element, cu un element i nc un element, . . .

Axiomele P1)-P3) poart numele axiomele lui Peano i mai pot fi formulate astfel: P1) 0 nu este succesorul nici unui numr natural; P2) numere naturale diferite au succesori diferii;

P3)dac M este o submulime a lui N (M N), care conine pe 0 i dac conine pe n va conine i pe n+, atunci M=N

Observaii: Orice numr natural n afar de 0 este succesorul unui alt numr

natural numit precedent al lui n. n continuare notm N\{0} prin N*.

-53-

3. Operaii cu numere naturale.

Adunarea. Teorem. Exist o unic operaie algebric pe N (notat prin

+ i numit adunarea numerelor naturale astfel nct pentru orice m,nN s avem:

A1: 0 + m = m A2: n+ + m = ( n + m )+ Demonstraie. Probm unicitatea. Pentru aceasta s presupunem c

mai exist o operaie algebric pe N astfel nct sunt satisfcute A1 i A2.

Fie P={n Nn + m = n m, pentru orice mN}N Din A1 deducem c 0P (deoarece 0+0=0 i 0 0=0) iar din A2

deducem c dac nP, atunci n + + m = n + m

( n + m )+ = ( n m )+ ceea ce este adevrat (lucru rezultat din axioma P2 a lui Peano). Deci P=N, adic cele dou operaii coincid.

Teorem. Pentru orice m,nN avem: A01: n + 0 = n

A02: n + m + = ( n + m )+ Demonstraie. Fie P={mN m + 0 = m}N. Dac n A1 facem

pe m = 0, deducem c 0+0=0, adic 0P. Dac mP, (adic m + 0 = m), atunci m + + 0 = (m + 0) + = m +, adic m+P, deci P=N. Anolog se probeaz i a doua relaie.

nmulirea. Teorem. Exist o unic operaie algebric pe N notat i

numit nmulirea numerelor naturale astfel nct pentru orice m,n N s avem:

I1: m 0 = 0 I2: m n + = m n + m

n cazul n care nu exist pericol de confuzie, vom scrie nm=nm pentru n,mN.

Teorem. n,m N avem: I10: 0m = 0 I20: n + m = n m + m

Pornind de la observaia c o sum de de mai muli termeni, toi egali (de exemplu: 5+5+5+5), poate fi nlocuit prin scrierea ce reprezint produsul dintre numrul termenilor i termenul n sine (n exemplul nostru cu 45), s-a pus problema scrierii prescurtate a produsului a n numere egale

-54-

ca valoare (de exemplu: 5555). S-a convenit ca un asemenea produs s se nlocuiasc cu scrierea numrul dat numrul apariiilor sale (n exemplul nostru 54). Proprieti ale operaiilor cu numere naturale:

1) Adunarea este asociativ: ( n + p ) + r = n + ( p + r ), p,n,rN

2) Adunarea este comutativ: n + p = p + n, p,nN

3) p,n,rN, p + n = n + rp=r. 4) Dou numere naturale au suma zero dac i numai dac

amndou numerele sunt zero. 5) nmulirea este asociativ:

(np) r = n (p r), p,n,rN 6) nmulirea este comutativ:

n p = p n, p,nN 7) nmulirea numerelor naturale este distributiv fa de adunare :

m (n + p)=mn + m p, m,n,pN 8) nN n 1= n 9)Suma a p elemente toate egale cu n este egal cu pn.

Demonstrm ca exemplu proprietile 1), 2), 3), 7), 8) i 9): 1) Fie P={rN ( n + p ) + r = n + ( p + r ) n,mN}N. Pentru r = 0 avem ( n + p )+0 = n + p i p + 0 = p deci n + (p

+ 0) = n + p, prin urmare: (n + p) + 0 = n + (p + 0 ) = n + p i egalitatea este adevrat.

Artm c dac egalitatea este adevrat pentru r, va fi de asemenea adevrat pentru r +.

Avem (n + p) +r + = [(n + p) + r]+=[n + (p + r)]+ = n + (p + r)+= n + (p + r+) de unde totul este clar.

Din axioma P3) i cele de mai sus 1). 2) Fie P={nN n + p = p + n pN}N. Evident 0N. Demonstrm c dac nP atunci i n +P. ntr-adevr, n + + p = p + n + (n + p)+ = (p + n)+ iar din axioma

P2 avem n + p = p + n ceea ce este adevrat. 3) P={nN p + n = n + rp=r, p,nN}N. Observm c 0N. Presupunem nN i demonstrm c n+N. Egalitatea p+n+=r+n+

este echivalent cu ( p + n )+ = (r + n )+ , iar din axioma P2) deducem c

-55-

p + n = r + n p = r. Prin urmare proprietatea 3) este adevrat.

7) Fie P = {pN m (n + p) = mn + mp, m,nN}N. innd cont de I1 deducem c 0P. S presupunem acum c pP

i fie m,n N. Avem m (n + p +) = m ((n+p)+) = m (n+p)+m = mn + mp + m = mn + mp +, adic p +P de unde P=N. 8)ntr-adevr, n 1 = n 0+= n 0 + n = n

9)ntr-adevr, dup definiia nmulirii avem: n(1+) = n1+n = n + n = 2n

Dac suma Sp = n1+n2+ . . . +np, unde toi termenii sunt egali cu n este egal cu pn, atunci deducem c:

Sp+1 = Sp + n = np + n = np + = (p+1)n 1) Prin urmare, oricare ar fi p avem Sp = pn. Exerciiu. Ce structur algebric este (N,+) i (N, )?

4. Relaia de ordine n N

4.1. Relaia de ordine total Definiie. Pentru m,nN scriem m n (i spunem c m este mai

mic sau egal dect n sau c n este mai mare sau egal dect m) dac exist pN astfel nct m +p = n.

Proprietile relaiei " " Relaia " " este reflexiv: n n. Adevrat deoarece exist 0N

astfel nct n+0=n. Relaia " " este antisimetric: (nm i mn) m=n. Adevrat

deoarece exist numerele naturale p i q astfel nct m=n+p i n=m+q. Adunm ultimele dou egaliti:

m+n=m+n+p+q0=p+q. Numerele p i q fiind naturale, ultima egalitate este adevrat numai dac p=q=0.

Relaia " " este tranzitiv: (n m i m r) n r. Adevrat deoarece exist numerele naturale p, q astfel nct m=n+p i r=m+q. Adunm ultimele dou egaliti:

m+r=n+m+p+qr=n+(p+q) n r. Relaia "" fiind reflexiv, antisimetric, i tranzitiv este o relaie de ordine.

Observaie. n loc de m n se mai scrie n m. Teorem. Fiind date numerele naturale n, p are loc una i

numai una din relaiile: n p sau p n.

-56-

Demonstraie. Presupunem dat un numr natural n. Artm c relaia dat ordoneaz toate celelalte numere naturale n raport cu n, adic avem: n p sau p n. Folosim axioma P3 a lui Peano. Observm c 0 este ordonat n raport cu n, deoarece n = 0 + n n 0. Presupunem c un numr natural oarecare p este de asemenea ordonat n raport cu n, adic avem una din relaiile: n p sau p n. Artm c n acest caz i p + este ordonat n raport cu n. Dac n p atunci exist aN a.. p = n + a deci p +=(n + a)+ = n + a+ , prin urmare n p+. Cum "" este o relaie de ordine deducem c "" este o relaie de ordine total, astfel N este o mulime total ordonat.

Relaia de ordine total i adunarea Teorem. Fie m,n,p,qN. 1) Dac m+pn+p atunci mn i reciproc. 2) Dac mn i pq atunci m+pn+q.

Relaia de ordine total i nmulirea Teorem. Fie m,n,p,qN. 1) Dac mn atunci mpnp (p0) i reciproc. 2) Dac mn i pq atunci mpnq. Observaie. A scdea dintr-un numr natural N, numit, desczut,

un alt numr natural M, numit scztor, nseamn a gsi un al treilea numr natural A, numit rest sau diferen, care, adunat cu scztorul, s ne dea desczutul, scriem:

A = N M

4.2.Relaia de ordine strict Definiie. Pentru m,nN scriem m

-57-

O relaie "r" nereflexiv, nesimetric, i tranzitiv se numete relaie de ordine strict. n cazul nostru "< " este relaie de ordine strict. Relaia de ordine strict are aceleai proprieti ca relaia de ordine total introdus pe N n raport cu adunarea i nmulirea.

Observaie. n loc de m < n se mai scrie n> m. Teorem. Dac m,nN i m

-58-

Demonstraie. Fie qN astfel nct n=q+. Cum mn=mq+=mq+mm, rezult c mnm. Fie p=m+1. Atunci pn=(m+1)n=mn+n>mnm, deci pn>m.

Teorema mpririi. Oricare ar fi numerle a,bN, a b (b0), exist i sunt unice dou numere naturale q i r astfel nct a=bq+r i r

-59-

N*={1, 2, 3, . . . ,n, . . . } are cardinalul N* N={0, 1, 2, 3, . . . ,n, . . . } are cardinalul N*+1.

Rezult c N*=N*+1, deci N nu este finit. Definiie. O mulime A se numete numrabil dac este cardinal

echivalent cu mulimea numerelor naturale. O mulime care nu este numrabil se numete nenumrabil.

Teorem . Orice mulime infinit A conine o submulime numrabil.

Demonstraie. A infinit putem alege a1 n A. Deoarece A\{a1} putem alege a2 n A\{a1} i n general an n A\{a1, . . . ,an-1} pentru fiecare n2. Mulimea {a1,a2, . . .} astfel construit constitue o submulime numrabil a lui A.

Consecin. Dac A este o mulime infinit i B este o submulime finit a sa atunci A i A\B sunt mulimi cardinal echivalente.

Teorem. Dac A, B sunt numrabile i AB=, atunci AB este numrabil.

Demonstraie. Dac A={a1, a2, . . . }, B={b1,b2, . . . } atunci AB={a1,b1,a2,b2, . . . } este numrabil.

7. Sisteme de numeraie

Definie. Se numete sistem de numeraie totalitatea regulilor de reprezentare a numerelor folosind un anumit set de simboluri diferite, numit alfabet .

Dup felul de grupare i ordonare a semnelor se deosebesc dou sisteme de numeraie:

a) sisteme de numeraie nepoziionale. b) sisteme de numeraie poziionale.

a) Sisteme de numeraie nepoziionale. Cel mai cunoscut sistem de numeraie nepoziional este sistemul de numeraie roman care folosete urmtoarele semne (cifre romane):

I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Reguli de scriere cu cifre romane. n cadrul unui numr scris n sistemul roman nu pot s apar mai

mult de trei semne consecutive de acelai fel. De aceea: -orice semn pus la stnga altuia de valoare mai mare dect a lui, se

scade.

-60-

Astfel urmtoarele numere se scriu cu dou semne, primul reprezentnd un numr care se scade din al doilea:

IV IX XL XC CD CM 4 9 40 90 400 900 -orice semn pus la dreapta altuia de valoare mai mare sau egal

dect a lui, se adun. Un numr oarecare pn la 4000 se scrie alturnd numere scrise

mai sus ncepnd cu cel mai mare. Exemple. LXXXIV=50+10+10+10+4=84; MMCDXXVIII=2428. Pentru numere mai mari de 4000, indicm numrul miilor punnd

deasupra numrului de mii o linie, deasupra numrului zecilor de mii dou linii .a.m.d.

Exemplu.

b)Sisteme de numeraie poziionale. n sistemele de numeraie poziionale, un simbol din alctuirea unui numr (cifr) are valoare intrinsec dar i o valoare prin poziia pe care o ocup un numr. Aceasta implic existena unui simbol cu valoare intrinsec nul (zero). n unele din sistemele poziionale (spre exemplu babilonian) n care regulile o permit, este posibil s se renune la acest simbol. n continuare prezentm sistemul de numeraie indian care folosete urmtoarele semne (cifre arabe): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (de altfel fiind sistemul de numeraie folosit n prezent).

Principiul numeraiei de poziie. Fie a un numr natural, pe care l numim baz a sistemului de numeraie.

Teorem. Orice numr natural N poate fi scris sub forma N=xnan+xn-1an-1+ . . . +x1a+x0,

unde numerele xk sunt numere naturale care verific relaia 0 xk a 1, k=1,2, . . .,n i a>1.

Demonstraie. Admind c expresia exist vom nota Rk= xkak + xk-1ak-1 + . . . + x1a + x0

N-Rk= xnan + xn-1an-1 + . . . + xk+1ak+1 = Qkak+1 Qk i Rk sunt ctul i restul mpririi lui N la ak+1, fiindc avem

Rk (a 1) ak + (a 1) ak-1 + . . . + (a 1) a + (a 1) = ak+1- 1. Vom defini coeficienii xk din aproape n aproape, n ordinea descresctoare a indicilor, lund drept xn ctul mpririi lui N la an, drept xn a + xn-1

12410600=DCCDXXII4100=CIV

-61-

ctul mpririi lui N la an-1, drept xn a2 + xn-1a + xn-2 ctul mpririi lui N la an-2, etc. Se obine astfel singura soluie posibil dac aceasta exist. Or numerele xk introduse sunt realmente mai mici dect a, dac n a fost definit prin an N < an+1 fiindc dac una din mpriri este N = Qkak+1 + Rk, mprirea urmtoare este N = (Qka + xk)ak + Rk-1, de unde, Rk = xkak + Rk-1 < a

k+1, prin urmare xk < a.

n fine, ultima mprire, cea de la a, d pe x0 i demonstreaz c expresia obinut este apt s reprezinte pe N. Deci, exist o coresponden biunivoc ntre numerele N care verific a N < an+1 i irurile de n+1 numere xi, 0 xi < a . Supraliniind pentru a evita confuzia cu un produs, vom scrie

( )ann xxxxN )...( 011= Se spune c N este scris n baza a, iar dac a=10 vom spune c numrul este scris n baza zece.

Astfel am fundamentat ideea de scriere a unui numr natural n baza a :

( ) 0111

011 )...( xax...axaxxxxxN nnnnann ++++==

Teorem. Dac ( )amm xxxxN 011...= , ( )ann yyyyM 011...= , aN* atunci N1 se aplic algoritmul:

Se fac mpriri ntregi, succesive la baza a, pornind de la numrul ntreg care se convertete;

- n urma fiecrei mpriri se obine un ct i un rest; - noul ct este dempritul urmtoarei mpriri ntregi; - algoritmul se ncheie cnd se obine ctul 0; - resturile obinute, ncepnd cu ultimul i pn la primul,

reprezint cifrele numrului cutat. Demonstraie. Fie N numrul natural n baza 10 care se convertete n

baza a i fie reprezentarea n baza a obinut prin transformare de forma:

-62-

( )ann xxx 01... Algoritmul este corect dac se termin ntr-un numr finit de pai i dac:

=

=

n

i

iiaxN

0

Notm cu a1 ctul obinut dup prima mprire ntreag i cu x0 restul acestei mpriri; au loc relaiile x0 = N - a1a, cu a1 < N. Cu a2 ctul obinut dup a doua mprire ntreag (la baza a) i cu x1 restul acestei mpriri, au loc relaiile: x1 = a1 - a2a, a2 < a1. Analog pentru i=2,,n+1 au loc relaiile xi-1=ai -1 - aIa, ai < ai-1. Din irul de inegaliti ai < ai-1 (i = 2,,n) rezult finititudinea algoritmului. Fie ultimul rest, xn = an-an+1a, unde an+1 =0. Rezult N = x0 + a1a = x0 + x1a + a2a2 =. . .= x0+x1a1+x2a2 +... + xn-1an-1 + ana

n = x0a

0 + x1a1 +. . . + xn-1a

n-1+xnan .

Exemplu. S se treac numrul 327 din baza 10 n baza 4 Numr Baz Ct Rest

327 :4 81 3 81 :4 20 1 20 :4 5 0 5 :4 1 1 1 :4 0 1

Rezultatul obinut este 327 = 11013(4). Operaii ntr-un sistem de numeraie dat. n continuare vom stabili anumite reguli de efectuare a sumei,

produsului, scderii i mpririi a dou numere reprezentate n aceeai baz. Adunarea

Fie N i M dou numere scrise n aceeai baz a. Vom arta cum se va scrie n baza a numrul A = N + M numit suma lui N cu M.. Avem:

( ) 0111n

011 ...a )...( xaxxaxxxxxN nnnann ++++== respectiv

( ) 0111m

011 ...a )...( yayyayxyyyM mmmamm ++++== Dac n>m, atunci adunm la M, fr a-i schimba valoarea, expresia:

0...y unde ,... 11n1

11

1 ====+++ ++

+

mn

m

m

n

n

n

n yyayayay Atunci:

-63-

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0011222

111

......

yxayxayx

ayxayxayxMN iiin

nn

n

nn

++++++

++++++++=+

Dac toate numerele (xi + yi) sunt mai mici dect a, numrul A = N + M

se scrie: ( )( ) ( ) ( )( )( )....... 001111 aiinnnn yxyxyxyxyxA +++++=

Dac exist numere (xi + yi) mai mari sau egale cu a, vom scrie:

Atunci avem:

i vom nlocui: xi + yi prin zi, iar xi+1 + yi+1 prin xi+1 + yi+1 +1 Exemplu. Fie ( )( ) ( )( ) 7147M is 5376N 8

'8 ==

S aflm numrul A:

6+7=a+5=15 Scriem 5 i reinem 1 Aranjarea folosit: 7+4+1 = a+4=14 Scriem 4 i reinem 1 3+1+1=5 Scriem 5 5+7=a+4=14 Scriem 14

145457147 5376 +

( )( )814545 =ADeci

Scderea

Fie N i M dou numere scrise n aceeai baz a. Vom arta cum se va scrie n baza a numrul A = N M numit

scderea lui N cu M. Avem:

( ) 0111n

011 ...a )...( xaxxaxxxxxN nnnann ++++== respectiv

( ) 0111m

011 ...a )...( yayyayxyyyM mmmamm ++++== Pentru ca operaia s fie posibil este necesar s avem N M. Dac n>m, atunci scdem la N, fr a-i schimba valoarea, expresia: 0...y unde ,... 11n1111 ====+++ +++ mnmmnnnn yyayayay Atunci:

azayx iii

-64-

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0011222

111

......

yxayxayx

ayxayxayxMN iiin

nn

n

nn

+++

+++++=

Dac toate numerele (xI-yi) sunt definite, numrul A = N M se scrie: ( )( ) ( ) ( )( )( )....... 001111 aiinnnn yxyxyxyxyxA =

Dac exist vreo diferen (xi - yi) care nu se poate efectua nseamn c exist un numr i, astfel ca yi > xi caz n care scriem: ( ) ( ) ( ) ( ) iiiiiiiiiiii ayxaayxayxayx ++=+ ++++++ 111111 1 Dar: 0 < xi < yi < a ceea ce atrage 0 < a + xi - yi < a. Cifra unitilor de ordinul i din diferen este deci a + xi - yi , iar cifra unitilor de ordinul i+1 este micorat cu o unitate.

Exemplu. ( )( ) ( )( )88 5376M 14545 ie == siNF .S aflm numrul A: a+5-6=7 Scriem 7 reinem 1 Aranjarea folosit: a+4-(7+1)=4 Scriem 4 reinem 1 a+4-3=1 Scriem 1 reinem 1 a+4-5=7 Scriem 7 reinem 1 1-1=0 S-a terminat scderea 7147

5376 14545

Deci ( )( ) 7147A 8=

nmulirea

Fie N, M dou numere scrise n aceeai baz a. Vom arta cum se va scrie n baza a numrul A = NM. Avem: ( ) 011

1n011 ...a )...( xaxxaxxxxxN nnnann ++++==

respectiv ( ) 011

1m011 ...a )...( yayyayxyyyM mmmamm ++++==

Artm c nmulirea numerelor naturale scrise n aceeai baz se reduce la urmtoarele operaii: a) nmulirea numrului natural N cu o putere aj a bazei a; b) nmulirea numrului natural N cu un numr j cu proprietatea 0 j < a. c) adunarea n baza a.

-65-

a) ( )

( )ori - j

011

01

111jnj

011

)0...00...(...a a )...(

ann

jjn

jnnann

j

xxxx

axaxxaxxxxxNa

+

++

=

=++++==

adic am artat cum se face o nmulire de tipul a) b) Dac i i j sunt dou numere naturale < a, avem c ij < a2 iar dup teorema mpririi cu rest pentru numere naturale, avem:

ij = aq(i,j) + r(i,j), 0 r(i,j) < q(i,j), 0 q(i,j) < a ctul q(i,j) i restul r(i,j) mpririi numrului ij prin a depinznd de i i j. Fie acum j o cifr a sistemului de numeraie de baz a. Atunci:

( ) ( )( )( ) ( )

+

= =

+=

=+==

0 0

10 0

,,

,,

i i

ii

ii

m

i

m

i

iii

ii

ajaqajxr

ajxrjxaqjaxjN

Deci efectuarea produsului Nj n baza a revine la a face suma numerelor N1 i N2 reprezentate n baza a:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ...,,Nrespectiv

...,,,

1102

22101

++=

+++=

ajxqjxq

ajxrajxrjxrN

Astfel am vzut cum se face o nmulire de tipul b) Concluzionm c:

=

=

m

j

jj aNyMN

0

Adic produsul NM se poate efectua fcnd suma n baza a a numerelor Nyjaj, j=0,1,2, . . ., m. innd cont c Nyjaj= (Nyj)aj avem Nyj este o operaie de tipul b) i c (Nyj)aj este o operaie de tipul a).

Exemplu. Se consider N=3523 i M=500 scrise n baza 7. Se cere A = NM. Aflm numrul A:

53=27+1 Scriem 1 reinem 2 Aranjarea folosit: 2+52=17+5 Scriem 5 reinem 1 1+55=37+5 Scriem 5 reinem 3 3+53=27+4 Scriem 24 2455100

500 3523

( )( ) 2455100A 7= mprirea mprirea unui numr x numit demprit la un numr y numit

mpritor se reduce la gsirea numerelor q i r unice astfel nct: x = yq + r i r < y.

-66-

Fie x = an-1a

n-1 + an-2an-2 + . . . + a1a + a0 i

y = an-1an-1 + an-2an-2 + . . . + a1a + a0 numere scrise n baza a. Gsirea ctului (q) i restului (r) presupune parcurgerea etapelor : E1: Determinarea numrului de cifre a ctului;

E2: Determinarea primei cifre a ctului; E3: Determinarea altor cifre a ctului; E4: Aranjarea practic a operaiei;

E1. n cazul c: a) y > x, ctul este q = 0 i r = x; b) y = x, ctul este q = 1 i r = 0 Presupunem y < x.

Teorem. Dac exist dou numere q1 i q2 astfel ca yq1 x < yq2, ctul q verific q1 q< q2.

Demonstraie. Presupunem c exist dou numere naturale q1 i q2 astfel ca yq1 x < yq2.

Observm c q1 > q rezult q1 q + 1 sau yq1 y (q+1) > x, contradicie

cu definiia ctului; q2 q rezult yq yq2 > x, contradicie cu definiia

ctului. Deci, nu putem avea nici q1 > q i nici q2 q. Am demonstrat q1 q < q2. Teorem. Numrul cifrelor ctului q este numrul minim de 0 care trebuie scrise la dreapta lui y, pentru ca numrul obinut s fie superior lui x. Demonstraie. Notm cu r numrul minim de 0 pe care trebuie s le scriem la dreapta lui y pentru ca numrul y astfel obinut s fie s fie mai mare ca x. Numrul y este produsul lui y prin ar. Din alegerea lui r avem yar-1 x < yar care rezult q1 = ar-1 i q2 = ar ndeplinind condiiile din teorem. Ctul q are n baza a un numr de r cifre. E2. Calculm prima cifr a ctului cr-1.

Avem: cr-1a

r-1 q < ( cr-1+1) ar-1.

Cum toate numerele sunt naturale, avem: cr-1a

r-1 q < q+1 ( cr-1+1) ar-1

de unde :

-67-

cr-1ar-1y qy

-68-

8.Exerciii

1.Fie irul 1, 4, 7, 10, 13, . a)Completai irul cu nc doi termeni; b)Gsii al o sut-lea termen;

2.Calculai: 222-221-220- . . . -2-1

3.Demonstrai c nu exist kN* astfel nct 5n+7=k2, nN.

4.Demonstrai c printre n+1 numere naturale cel puin dou dau acelai rest prin mprirea la n.

5.Determinai a, b, c, d, e, fN astfel nct: ____________________________________

60195987324 fedcab =

-69-

Capitolul VIII. Divizibilitate pe N

1. Teorema fundamental a aritmeticii

Din teorema mpririi cu rest rezult c: a,b cu b 0, ! q,rN astfel nct a = bq + r i 0r n).

Exemplu. Pentru a stabili c 167 este numr prim, avnd 132167, va fi suficient s verificm c el se divide cu numerele 2, 3, 5, 7, 11. n continuare ne vom ocupa de cea mai important problem din domeniul numerelor prime: posibilitatea descompunerii oricrui numr n factori primi. Aceasta revine la a scrie n mod unic orice numr natural sub forma unui produs de numere prime.

Teorem. (Teorema fundamental a aritmeticii) Orice numr natural se scrie n mod unic ca produs de numere prime.

-70-

Demonstraie. Etapa 1: Artm c orice numr natural nenul se scrie ca un produs

de numere naturale prime. ntr-adevr, fie A mulimea numerelor naturale nenule ce nu se scriu ca produs de numere naturale prime. Dac prin absurd propoziia este fals, atunci A . A fiind submulime a lui N deducem c A are un cel mai mic element pe care-l notm prin m. Spre exemplu, m>1 i cum m nu este prim putem scrie m=xy cu 1

-71-

Observm c a = p1p2. . .pk+1 nu este divizibil prin p1, p2, . . .,pk deoarece ar rezulta c a1. Din rezultatele anterioare deducem c exist pN\{0,1} astfel nct pa.

Din presupunerea c p1, p2, . . .,pk sunt singurele numere prime deducem c exist i{1,2,. . .,k } astfel nct pi = p. Absurd deoarece a nu este divizibil prin pi. Deci