7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web

1/5

EXAMEN MECANIC 29.01.2013P1

P1. (3.6) Un corp de mas m este aruncat cu viteza iniial v 0 sub unghiul fa de orizontal, ca n figura din dreapta. Cu sistemul de axe ales ca n figur, s se calculeze: a) Ecuaia traiectoriei. b) Raza de curbur a traiectoriei n punctul de lansare.

c) Valoarea forei care acioneaz asupra corpului dup t = 2s, i orientarea ei. d) Dependena de timp a momentului cinetic i a momentului

forei (calculate fa de origine = punctul de aruncare). Verificai teorema momentului cinetic.

e) Locul unde cade corpul pe suprafaa orizontal aflat la distana h sub punctul de lansare i viteza n momentul ciocnirii cu suprafaa.

REZOLVARE

a) Micarea este n cmp gravitaional, fora (de greutate) este orientat vertical n jos (dea lungul axei y din figur). Putem scrie c: ( )ga ,0= . Pe direcia x nu acioneaz nici o for,

micarea este cu vitez constant (viteza iniial). tvx x0= . Pe direcia y : 2

2

0gt

tvy y += , cu

= cos00 vv x i = sin0vv y . Din prima ecuaie: oxvx

t = , i introducnd n a doua ecuaie:

20

2

00 2 xx

y vgx

vx

vy += .

b) Acceleraia g este orientat vertical n

jos. Direcia tangen ial este dat de direcia vitezei, iar direcia normal la traiectorie este cea perpendicular pe vitez. Din figur reiese c acceleraia normal se poate scrie ca = cosga n .

tiind cRv

a n2

= , rezult c

=

cos

20

gv

R

c) Cnd corpul se gsete n aer, asupra lui acioneaz doar fora de greutate, deci mgF = , orientat n jos.

d) Momentul cinetic: vmr L rr

r

= ; ( ).0

0 xy

yx

myvmxvkmvmv

yxk ji

L =

=

r

rrr

r

, adic

( ) .2 0

2

00

++= xoyyx v

gttvmgtvtmvkL

rr

Mrimea momentului forei este fora (mg ), nmulit cu braul forei ( x ) mgxM = . Ca i

7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web

2/5

vector: Fr Mr

rr

= ; ( ).00

0 xmgkmgyx

k jiM

r

rrr

r

=

= ; ( ).tmgvkM ox

rr

= Teorema momentului

cinetic spune ctL

Md

dr

r

= , iar ( ) ( )( ).d

d0000 xoyxyx vgtvmtgmvgtvmvkt

L +++= r

r

sau,

( ).d

d0 tmgvk

t

Lx

r

r

= QED.

e) La contactul cu solul, y = h . 2

2

0

gttvh y += i rezult timpul de cdere, iar distan a pe

orizontal o obinem din legea de micare pe Ox : tvD x0= . Viteza n momentul ciocnirii are dou componente: pe x : xx vv 0= , iar pe y : gtvv yy += 0 (cu timpul calculat nainte). Viteza n momentul ciocnirii este 222 yx vvv +=

__________________________ P2. (2.7) Un corp punctiform de mas m ce comprim cu x 0 un resort ideal de constant k se afl la

baza unei suprafee semicirculare de raz R. Resortul este lsat liber. S se calculeze: a) Fora care a fost necesar pentru comprimarea resortului cu x 0 i energia nmagazinat n resort.

b) Dependena de unghiul a: vitezei corpului, reaciunii normale, acceleraiei normale i acceleraiei tangen iale, dacmicarea are loc f r frecare.

c) La ce unghi se desprinde corpul de pe suprafaa semicircular? Care este

condiia ca s m s se desprind n punctul A ( = ) ?

REZOLVARE a) Fiind vorba de un resort comprimat pe distana x 0, fora este fora elastic, de mrime kx 0, iar

energia nmagazinat n resort este energia poten ial2

20kxU = .

b) ntrun punct oarecare de pe traiectoria semicircular, corpul are viteza v , i asupra lui acioneaz greutatea i reaciunea normal, ca n figur. Corpul

are accelera ie normal (pentru c traiectoria nu este linie dreapt ) i accelera ie tangen ial (pentru c viteza lui se modific (scade) n timp).

nmamgN = cos , tmamg = sin (am ales direcia tangen ial pe

direcia vitezei). Rv

a n2

= , iar viteza o obinem din conservarea energiei:

( )2

cos12

220 mvmgR

kx += .,,, Naav tn

c) Corpul se desprinde atunci cnd reaciunea normal devine zero (corpul nu mai este n contact cu suprafaa). Ca s se desprind n punctul de sus,

nmamgN =+ , cu N = 0, iar

nag = , adic Rgv =2 : aceasta este viteza minim pe care trebuie s o aib corpul pentru ca

desprinderea s aib loc n punctul de sus al traiectoriei semicirculare.

7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web

3/5

__________________________

P3. (1.8) Dependena de timp a accelera iei normale a unui corp care se mic pe o traiectorie circular este += t a n . S se calculeze: a) acceleraia tangen ial; b) dependen a de timp a spaiului parcurs;

c) fora care acioneaz asupra corpului.

REZOLVARE

a) Acceleraia normalRv

a n2

= , deci ( )+= tRv . Acceleraia tangen ial este tv

a t dd= ,

derivata mrimii vitezei, .......=ta .

b) dtds

v = , unde prin s am notat spaiul parcurs de corp. tvs dd = , adic ( ) ttRs dd += .

Integrm, ( ) +=t

ttRss 00 d ( )ts . c) maF = , cu 22 tn aaa +=

__________________________

EXAMEN MECANIC 29.01.2013P2

P1. (2.5) Dou particule de mas m i 2m se mic una spre cealalt, cu viteze diferite, ca n figura din dreapta. Dup ciocnirea lor perfect elastic, particula mare se oprete iar cea mic i continumicarea orizontal, cu viteza v . S se calculeze: a) unghiul ;b) vitezele iniiale ale particulelor, c) viteza centrului de mas a celor dou particule nainte i dup ciocnire. Date: m, , v

REZOLVARE n procesele de ciocnire, impulsul sistemului de dou corpuri se conserv, pentru c forele de la suprafaa de contact sunt fore interne (se anuleaz reciproc) iar timpul de ciocnire este foarte mic (forele externe nu pot modifica impulsul sistemului). Dac ciocnirea este i perfect elastic, avem i conservare de energie.

a) i b) vmvmvm rrr =+ 21 2 i 22

2

2

222

21 mvmvmv =+ . Scriind conservarea impulsului pe axe:

mvmmv =+ cos245cos1 ; 0sin245sin1 =+ mmv , avem trei ecuaii cu trei necunoscute, din care putem obine ,, 21 vv .

7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web

4/5

c) Viteza centrului de mas a sistemului este aceea i nainte i dup ciocnire, pentru c forele care intervin sunt doar fore interne. Dup ciocnire un corp st iar cellalt se mic cu viteza v .

32

02 vmm

mmvv cm =+

+= .

__________________________

P2. (5)Tamburul din figura din dreapta are mas M , moment de inerie I i raze r i R. Firele nf urate pe tambur sunt ideale iar corpurile pornesc din repaus. S se calculeze: a) accelera iile corpurilor b) tensiunile din fire. c) dependen a de timp a energiei cinetice a tamburului d) cte rota ii a efectuat tamburul n t secunde. Date: M, I, r , R, m

REZOLVARE

Firul din stnga este legat de tavan, deci nu se deplaseaz (este fix). La fel i pentru punctul de pe fir aflat n contact cu tamburul: este punct fix. Am notat cu a 1, accelera ia centrului de mas a tamburului.

a) i b) Din desenul din dreapta:

11 MaTTMg =+ ;

maTTmg =+ 1 =+ Ir TTR 1

r a =1

( )r Ra +=

,,,, 11 aaTT

c) Tamburul are o micare plan paralel, de translaie (a centrului de mas) i de rota ie (n jurul

centrului de mas). Energia lui cinetic este: 22

22 +=

IMvE

cmc , unde r v cm = iar t= .

d) Micarea de rota ie a tamburului este cu accelera ie unghiular constant , deci dependen a

de timp a unghiului de rota ie al tamburului se poate scrie: 2

2t= . Numrul de rota ii

efectuate n timpul t este =

2N .

__________________________

7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web

5/5

P3. (1.5) Un satelit artificial de mas m este lansat de la suprafaa Pmntului (M, RP) cu viteza v 0,

vertical n sus. S se calculeze:

a) La ce nlime h ajunge satelitul (h RP)

b) Ce impuls trebuie imprimat satelitului la nlimea maxim pentru ca s se roteasc n jurul

Pmntului, pe o traiectorie circular, la acea nlime?

Date: G, m , M , v 0, RP.

REZOLVARE

a) n cmp gravitaional, energia se conserv: energia total la suprafaa Pmntului:

PRGMmmv

2

20 trebuie s fie egal cu energia satelitului la nlimea h:

pRhGMm

+ (nu mai are

energie cinetic, este nlimea maxim la care ajunge satelitul). Din egalarea celor dou,

rezult h . b) Ca s se mite pe o traiectorie circular, la nlimea h , fora de greutate a satelitului trebuie

s fie egal cu cpma , unde cpa este accelera ia centripet a satelitului. ( ) cpma

hRGmM =

+ 2 ,

adic( ) ( )hR

vhR

GmM+

=+

2

2 . De aici obinem viteza satelitului pe orbita circular, deci impulsul

pe care trebuie sl primeasc este mvp = , pe direcia perpendicular pe raz.