2. punctul - utcluj.ro

PUNCTUL

9

2. PUNCTUL

2.1 Împărţirea spaţiului. Diedre. Octanţi. Triedre Sistemul de proiecţie

folosit în Geometria descriptivă este proiecţia paralelă, cu proiectantele perpendiculare pe două plane de proiecţie.

Se consideră două plane de proiecţie, reciproc perpendi-culare, planul orizontal [H] şi planul vertical [V]. Dreapta de intersecţie dintre ele, poartă în Geometria descriptivă, numele de linie de pământ şi se notează cu Ox.

Linia de pământ împar-te fiecare plan de proiecţie în două semiplane:

- Ha - semiplanul orizontal anterior – în faţa pla-nului vertical ;

- Hp - semiplanul orizontal posterior – în spatele planului vertical ;

[Ha]

[Vs]

[Hp]

[Vi]

O

C

Aa'

a

x

ax

ex

cx

E

B b'

c'e'

e

b

c

IV

III

III

bx

Fig.2.1 Împărţirea spaţiului în diedre

Om'

mmx

M

N

TU

un

x

n'

t' u'

ux

nx

tx

[Vi]

[Vs]

[Ha]

[Hp][B4]

[B2]

[B1]

[B3]

1

23

4

5

67

8

t

Fig.2.2 Împărţirea spaţiului în octanţi. Plane bisectoare

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

10

- Vs - semiplanul vertical superior – deasupra planului orizontal ; - Vi - semiplanul vertical inferior – sub planul orizontal. Spaţiul din jurul planelor de proiecţie este împărţit de către acestea în patru regiuni,

numite diedre şi numerotate cu cifre romane de la I la IV, ca în figura 2.1. Acestea sunt mărginite de semiplanele de proiecţie amintite mai sus.

Unghiurile diedre astfel formate pot fi împărţite în unghiuri egale cu ajutorul planelor bisectoare (fig.2.2). Acestea trec prin linia de pământ Ox şi sunt perpendiculare între ele. Notarea planelor bisectoare se face după diedrele pe care le străbat : [B1-3], [B2-4] şi sunt împărţite la rândul lor de axa Ox în semiplanele B1, B2, B3 şi B4.

Cele opt regiuni astfel formate şi delimitate de câte un semiplan de proiecţie şi un semiplan bisector poartă numele de octanţi şi se notează cu cifre arabe de la 1 la 8.

S-a arătat că un punct sau o dreaptă din spaţiu este determinată dacă se cunosc două proiecţii ale lor. Există cazuri când dubla proiecţie ortogonală nu asigură lămurirea precisă a formei şi poziţiei obiectului.

De aici a rezultat necesitatea introducerii celui de al treilea plan de proiecţie şi implicit, celei de a treia proiecţii. Acesta este perpendicular pe planul [H] şi [V], este numit plan lateral şi se notează cu [L].

Planul lateral [L] împreună cu planul [H] şi [V] împart spaţiul în opt triedre dreptunghice. Numerotarea acestora se face ca la diedre, pentru triedrele din partea stângă a planului lateral de proiecţie, apoi pentru restul de patru triedre, se numerotează în continuare, în acelaşi sens, având în vedere că triedrul V are în stânga triedrul I (fig.2.3).

Intersecţia planului lateral cu cele două plane de proiecţie, [H] şi [V], generează două axe de proiecţie : [H] [L] = Oy, [V] [L] = Oz şi un punct : [H] [V] [L] = O,

a

-z

a'

x O

[Ha]

-y

A

az

ax

a"

ay

[Hp]

[Vs]

[Vi]

[Lia]

[Lsp]

-x

z

y

III

III

IV

V

VI

VII

VIII

Fig.2.3 Împărţirea spaţiului în triedre

PUNCTUL

11

numit origine. Punctul O este numit origine deoarece de la acesta încep măsurătorile pe axe, împărţindu-le în două şi dând semnul lor astfel :

Ox : - semiaxa pozitivă x – în stânga lui O ; - semiaxa negativă x – în dreapta lui O ; Oy : - semiaxa pozitivă y – în faţa lui O ; - semiaxa negativă y – în spatele lui O ; Oz : - semiaxa pozitivă z – în partea de sus a punctului O ; - semiaxa negativă z – în partea de jos a punctului O. În funcţie de zona planului lateral la care se face referire, faţă de planul orizontal şi

vertical, acesta poate fi numit planul lateral superior (anterior sau posterior) (Lsa, Lsp) şi planul lateral inferior (anterior sau posterior) (Lip, Lia).

2.2 Epura punctului 2.2.1 Proiecţia dublu ortogonală a punctului Revenind la figura 2.1, aici sunt reprezentate patru puncte în cele patru diedre şi

respectiv proiecţiile lor pe planele de proiecţie [H] şi [V]. Planele de proiecţie fiind ortogonale, proiectantele sunt de asemenea ortogonale.

Acest sistem de proiecţie se numeşte dublu ortogonal sau sistem Monge. Fie punctul A situat în diedrul unu. Proiectanta verticală din A înţeapă planul

orizontal în a, punct numit proiecţia orizontală a punctului A, iar proiectanta orizontală din A înţeapă planul vertical în a’, punct numit proiecţia verticală a punctului A. Convenţional se notează punctele din spaţiu cu litere majuscule, A, B, C, E, iar proiecţiile lor cu litere mici, şi anume : proiecţiile orizontale cu a, b, c, e şi cele verticale cu a’, b’, c’, e’.

Planul [aAa’] este perpendicular pe linia de pământ, intersecţia cu aceasta notându-se cu ax (proiecţia ortogonală a punctului A pe axa Ox). Acelaşi plan intersectează planul de proiecţie orizontal după segmentul aax Ox, aax = Aa’, iar planul vertical de proiecţie după segmentul a’ax Ox, a’ax = Aa.

Poziţia punctului A în spaţiu este definită de coordonatele descriptive ale punctului. Acestea sunt :

- abscisa - segmentul Oax, de pe axa Ox; - depărtarea – distanţa de la punctul A la planul vertical, Aa’; - cota - distanţa de la punctul A la planul orizontal, Aa. Din punct de vedere al semnelor, toate punctele situate deasupra planului orizontal

(diedrul I şi II) au cotele pozitive şi toate punctele situate în faţa planului vertical (diedrul I şi IV) au depărtările pozitive.

Dacă se cunosc proiecţiile a şi a’ ale punctului A se poate afla poziţia spaţială a punctului, la intersecţia proiectantelor perpendiculare pe planele [H] şi [V] duse din punctele a şi a’, determinându-se o poziţie unică pentru punctul A în spaţiu. Rezultă că, prin dubla proiecţie ortogonală se realizează corespondenţa biunivocă a punctelor din spaţiu cu cele din plan.

Reprezentarea axonometrică a diedrelor (fig.2.1) este destul de aglomerată de linii, având în vedere că la reprezentarea unor elemente geometrice (drepte, plane, corpuri), care trebuie proiectate, acestea s-ar înmulţi foarte mult. Astfel, câmpul desenului ar fi foarte aglomerat şi deci, va îngreuna perceperea celor reprezentate. Pentru evitarea acestui neajuns, se roteşte planul [H] după săgeţile arătate în figura 2.1, în sensul acelor de ceasornic, în jurul axei Ox, până se suprapune peste planul [V]. În această situaţie, semiplanul orizontal anterior [Ha] se suprapune peste semiplanul vertical inferior [Vi], iar semiplanul orizontal posterior [Hp] se suprapune peste semiplanul vertical superior [Vs].


12

Desenul astfel obţinut se numeşte epură şi având în vedere că planele de proiecţie sunt considerate infinite, se convine ca în epură cele două plane să fie reprezentate numai prin linia de pământ Ox.

În figura 2.4 este reprezentată epura punctului A(a,a’) din diedrul I. Segmentele a’ax şi aax, care reprezintă cota, respectiv depărtarea punctului M, devin dreapta a’axa Ox, numită linie de ordine.

Se observă că după rotire, depărtările pozitive (punctele din diedrele I şi IV) se măsoară sub linia de pământ, iar cele negative (punctele din diedrele II şi III) deasupra ei. De asemenea, cotele pozitive (punctele din diedrele I şi II) se măsoară

deasupra axei Ox, iar cele negative (punctele din diedrele III şi IV) sub ea. Rezultă că, poziţia punctului în spaţiu în raport cu planele de proiecţie se poate

determina după semnul coordonatelor sale descriptive (tabelul 2.1).

Tabelul 2.1 coordonată \ diedru I II III IV

depărtare + - - + cotă + + - -

În figura 2.4 sunt reprezentate şi epurele punctelor din diedrele II, III, şi IV din

figura 2.1, respectând următoarea metodologie : - se trasează linia de pământ Ox ; - se stabileşte poziţia punctului bx (cx şi ex) astfel încât Obx abscisa punctului B ; - se trasează linia de ordine prin bx (cx şi ex) perpendiculară pe Ox ; - se măsoară depărtările şi cotele pe linia de ordine ţinând seama de semnul

acestora, rezultând proiecţiile orizontale şi verticale ale punctelor pe planele de proiecţie. Observaţie: În epură, prin schimbarea notaţiilor (a depărtării sau a cotei) se schimbă

nu numai poziţia punctului, ci chiar şi diedrul în care este situat punctul în spaţiu. 2.2.2 Tripla proiecţie ortogonală a punctului Considerând şi planul lateral de proiecţie (fig.2.3), un punct A din spaţiu va avea pe

lângă proiecţiile a şi a’ pe planele [H] şi [V], o a treia proiecţie pe planul lateral notată a” şi numită proiecţie laterală. Aceasta se determină prin intersecţia proiectantei dusă din A pe planul lateral [L] cu acest plan.

În acest caz, poate fi definită abscisa punctului ca distanţa de la acesta la planul lateral, Aa” = axO.

Planul [a’Aa”] este perpendicular pe axa Oz şi o intersectează în az (proiecţia ortogonală a punctului A pe axa Oz), iar planul [aAa”] este perpendicular pe axa Oy şi o intersectează în ay (proiecţia ortogonală a punctului A pe axa Oy).

Ansamblul liniilor de construcţie pentru cele trei proiecţii a, a’ şi a” şi axele triedrului determină paralelipipedul coordonatelor care are muchiile :

- abscisa : Aa” = aay = Oax = a’az ;

bxx ex cx

a'

a

b'bc

c'

e'

e

ax

[Vi]=[Ha][Vs]=[Hp]

B DII

E DIV

C DIIIA DI

O

Fig.2.4 Epura punctului în cele patru diedre

PUNCTUL

13

- depărtarea : Aa’ = a’’az = Oay = aax - cota : Aa = a’ax = Oaz = a”ay. Trecerea de la imaginea spaţială din

figura 2.3 la epura din figura 2.5 se face folosind acelaşi procedeu ca la epura a două plane de proiecţie. Se rotesc planele [H] şi [L] în sensurile indicate de săgeţi până se suprapun : [H] [V] [L]. Astfel, axa Oy se suprapune, o dată peste Oz, păstrându-şi notaţia, iar a doua oară peste Ox, fiind notată cu Oy1. De asemenea, se observă că punctul ay de pe axa Oy va avea în epură două puncte corespondente, ay pe axa Oy şi ay1 pe axa Oy1, obţinut prin rotirea planului [L]. Arcul de cerc ayay1, de rază egală cu depărtarea şi cu centrul în O, este proiecţia arcului de cerc după care se roteşte proiecţia a”, odată cu planul [L].

Poziţionarea punctelor într-unul din cele opt triedre este dată de semnele coordonatelor descriptive prezentate în tabelul 2.2.

Tabelul 2.2 coordonată \ triedru I II III IV V VI VII VIII

abscisă + + + + - - - - depărtare + - - + + - - +

cotă + + - - + + - - În tabelul 2.3 sunt reprezentate punctele A, B, C şi E situate în triedrele I, II, III şi

IV. Epurele punctelor (b) din tabel sunt însoţite de reprezentările spaţiale ale acestora (a) care, corelate cu sensurile în care se rotesc planele [H] şi [L], dau nu numai imaginea vizuală ci şi justificarea geometrică a construcţiilor din epură.

Epura punctelor se realizează respectând următoarea metodologie prezentată pentru punctul A (tab.2.3, figurile b) :

- se trasează linia de pământ Ox şi celelalte două axe ale epurei, Oy şi Oz ; - pe axa Ox se măsoară, din O, abscisa punctului A. Se obţine punctul ajutător ax şi

prin acesta se duce linia de ordine, perpendiculară pe Ox : - pe axa Oy se măsoară, din O, depărtarea punctului A. Se obţine punctul ajutător ay

şi prin acesta se duce o paralelă la Ox care intersectează linia de ordine în a – proiecţia orizontală a punctului A ;

- pe axa Oz se măsoară, din O, cota punctului A. Se obţine punctul ajutător az şi prin acesta se duce o paralelă la Ox care intersectează linia de ordine în a’ – proiecţia verticală a punctului A ;

- cu vârful compasului în O şi de rază Oay se descrie un arc de cerc în sens trigonometric şi la intersecţia cu Oy1 se obţine punctul ay1. Prin acesta se duce o perpendiculară pe Oy1 care intersectează paralela prin az, la Ox, în a” – proiecţia laterală a punctului A.

Pentru determinarea proiecţiei laterale a” se poate proceda şi la măsurarea depărtării punctului pe paralela la Ox prin az, pornind din az (spre dreapta dacă este pozitivă şi spre stânga dacă este negativă).

Epurele punctelor situate în triedrele V, VI, VII şi VIII se obţin în mod similar, ţinând seama de faptul că abscisele punctelor sunt negative şi se măsoară pe axa Ox,

a

a'

xO

az

ax

a"

ay1

z=-y

y=-z

y1

ay

abscisa

cota

depa

rtare

a

Fig.2.5 Epura punctului A

depă

rtare

a


14

pornind din O spre dreapta. În tabelul 2.3, figurile b, sunt reprezentate aceste epure, astfel : A1 TV, B1 TVI, C1 TVII, E1 TVIII.

Tabelul 2.3 Reprezentarea grafică a punctelor situate în cele opt triedre

a

a'

x

az

ax

a"

ay1

z

y

y1

O

ay

a

a'

xO

[Ha]

A

az

ax

a"

ay

[Vs][Lsp]

z

y

bb'

xO

[Hp]

B

bz

bx

b"

by

[Vs]

[Lsp]

y

z

b

b'

x

bz

bx

b"

by1

z

yy1

O

by

A TI A1 TV

a) b) a) b)

a1z

xa1y1

z

y

y1

O

a1y

a1x

a1

a1'a1"

B TII B1 TVI

a) b)

b1

b1'

x O [Hp]

B1

b1z

b1x

b1"

b1y

[Vs]

[Lsp]

y

z

xb1y1

z

y

y1O

b1'

b1

b1x

b1y

b1zb1"

a) b)

a1

a1'

xO

[Ha]

A1

a1x

a1"

a1y

[Vs][Lsa]z

y

a1z

E TIV E1 TVIII

c

c'

x O

[Hp]

cx

c"

cy

[Vi]

[Lip]

y

z

cz

Cc'

x cx

y

z

cz

cyc

cy1

Oy1

c"

xO

[Hp]

c1x

c1y

[Vi]

[Lip]

y

z

c1z

C1

c1

c"1

c'1

x

y

z

c1y1

Oy1

c1

c1x

c'1c"1

c1z

c1y

a) b) a) b)

C TIII C1 TVII

e

e'

xO

[Ha]

E

ez

ex

e"

ey[Vi]

[Lia]

z

y

xey1

y

y1

O

e' e"ez

ey

ex

e

z

xO

[Ha]

e1z

e1x

e1y

[Vi][Lia]

z

y

z

E1

e1

e'1

e"1

x

y

y1

O

e'1e"1

e1z

e1y e1

e1xe1y1

a) b) a) b)

PUNCTUL

15

Observaţii : - proiecţiile orizontală şi verticală ale unui punct se găsesc totdeauna pe linia de

ordine perpendiculară pe axa Ox, de o parte şi de alta a ei sau de aceeaşi parte, în funcţie de diedrul în care este situat punctul ;

- proiecţiile laterală şi verticală ale unui punct se află totdeauna pe o linie ajutătoare, paralelă cu axa Ox, de o parte şi de alta a axei Oz sau de aceeaşi parte a ei în funcţie de diedrul în care este situat punctul. Această aliniere a două câte două din proiecţiile unui punct A (a cu a’ şi a’ cu a”) constituie o verificare a corectitudinii efectuării construcţiilor geometrice din epură. - un punct A din spaţiu este determinat prin cele două proiecţii a şi a’. Astfel, el se va nota A(a,a’) şi se va citi punctul A de proiecţii a şi a’ ; - în probleme, pentru notarea coordonatelor numerice ale punctului, se va folosi modul de notare al punctelor de la geometria analitică, adică A(x, y, z), unde x abscisa, y depărtarea, z cota.

2.3 Poziţii particulare ale punctelor 2.3.1 Puncte situate în planele bisectoare Planele bisectoare sunt locul geometric al punctelor din spaţiu egal depărtate de planele de proiecţie [H] şi [V]. Punctele situate în planele bisectoare au cota şi depărtarea egale în modul.

În figura 2.2 punctele M şi T, situate în planul bisector [B1-3], au cota şi depărtarea egale şi de acelaşi semn, iar punctele N şi U, situate în planul bisector [B2-4], au cota şi depărtarea egale şi de semne contrare. Epura acestor puncte este reprezentată în figura 2.6.

2.3.2 Puncte situate în planele de proiecţie şi pe axe Pentru a se vedea ce se întâmplă cu coordonatele punctului atunci când este situat într-unul din planele de proiecţie, se consideră că punctul M din figura 2.3 este mobil şi se apropie pe rând de acestea. Se constată că i se anulează una din coordonate. Astfel, punctul M va avea proiecţia pe planul pe care se găseşte, confundată cu punctul însuşi, iar celelalte două proiecţii, situate pe două din axele de proiecţie. În figura 2.7 sunt reprezentate în spaţiu (a) şi transpuse în epură (b) puncte situate în planele de proiecţie, după cum urmează: - punctul A [H] are abscisa 0, depărtarea 0, cota =0 şi A a, a’ Ox, a” Oy ; - punctul B [V] are abscisa 0, depărtarea =0, cota 0 şi B b’, b Ox, b” Oz ; - punctul C [L] are abscisa = 0, depărtarea 0, cota 0 şi C c”, c Oy, c’ Oz.

Punctele situate pe axele de proiecţie sunt situate practic pe două plane de proiecţie concomitent. Acestea au două din proiecţii confundate cu punctul însuşi, iar a treia proiecţie situată în origine. În figura 2.7 sunt reprezentate trei puncte pe cele trei axe de proiecţie, astfel : - punctul E Ox, E e e’, e’’ O ; - punctul F Oy, F f f’’, f’ O ;

x

T B3

Omxnxtx ux

u = u'

n = n't

t'

m'

m

N B2

U B4

M B1

Fig.2.6 Epura punctelor situate în planele bisectoare


16

- punctul G Oz, G g g’’, g O .

2.4 Puncte simetrice 2.4.1 Puncte simetrice faţă de planele de proiecţie

ax = a'x

y

z

A = a ay = a"

B = b'

bx = b

bz = b"

C = c"

cy = c

cz = c'

E = e' = e

G = g' = g"

F = f = f"[H]

[V] [L]

O =e"=f '=gax = a'x

y

z

A = a ay = a"

B = b'

bx = b

bz = b"

C = c"

cy = c

cz = c'

E = e' = e

G = g' = g"

F = f

O =e"=f '=g f"y1

a) b)

Fig.2.7 Puncte situate în planele de proiecţie şi pe axe

a = a1

-z

xO

[Ha]

-y

A

ax= a1x= a2x

[Hp]

[Vs]

[Vi]

[Lia]

[Lsp] z

y

A3

A2

A1

a3x

a' = a2' a3'

a3

ay= a1y= a3y

a1z

az= a2z= a3z

a1'

a1"

a" = a3"

a2"

a2ya2

y1x ax= a1x= a2x

a' = a2'

a1'

O

z

a3'az= a2z= a3z

ay= a1y= a3y

a1z

a2ya2

a = a1

a3x

a" = a3"

a3

a2"

a1"

y

y1

a) b)

Fig.2.8 Puncte simetrice faţă de planele de proiecţie

PUNCTUL

17

Un punct A, situat în triedrul I, are trei puncte simetrice faţă de planele de proiecţie (fig.2.8). Acestea au câte două coordonate identice cu ale punctului A, iar a treia coordonată egală în valoare absolută, după cum urmează : - punctul A1 este simetricul punctului A faţă de planul orizontal, este situat în triedrul IV, are abscisa şi depărtarea punctului A, iar cota egală cu a punctului A, dar cu semn schimbat ; - punctul A2 este simetricul punctului A faţă de planul vertical, este situat în triedrul II, are abscisa şi cota punctului A, iar depărtarea egală cu a punctului A, dar cu semn schimbat ; - punctul A3 este simetricul punctului A faţă de planul lateral, este situat în triedrul V, are depărtarea şi cota punctului A, iar abscisa egală cu a punctului A, dar cu semn schimbat. 2.4.2 Puncte simetrice faţă de axele de proiecţie Punctul M, situat în triedrul I, are trei puncte simetrice faţă de axele de proiecţie (fig.2.9). Acestea au câte două coordonate egale în valoare absolută cu coordonatele punctului M, iar a treia coordonată identică, după cum urmează : - punctul M1 este simetricul punctului A faţă de axa Ox, este situat în triedrul III, are abscisa punctului M, iar cota şi depărtarea egală cu a punctului M, dar cu semn schimbat ; - punctul M2 este simetricul punctului M faţă de axa Oy, este situat în triedrul VIII, are depărtarea punctului M, iar abscisa şi cota egală cu a punctului M, dar cu semn schimbat ; - punctul M3 este simetricul punctului M faţă de axa Oz, este situat în triedrul VI, are cota punctului M, iar abscisa şi depărtarea egală cu a punctului M, dar cu semn schimbat.

m

-z

m'

xO

[Ha]

-y

M

mz= m3z

m"m1

[Hp]

[Vs]

[Vi]

[Lia]

[Lsp] z

y

mx= m1x

M3

M1m1"

m1y= m3y

m2x= m3x

m3"

m3'm3

M2

m1' m2'

my= m2y

m1z= m2z

m2"

m2

y1

xO

z

y

mx= m1x m2x= m3x

my= m2ym

m' m"m1y= m3ym1

m1' m1z= m2z

mz= m3z

m1"

m2

m2'm2"

m3'

m3

m3"

y1

a) b)

Fig.2.9 Puncte simetrice faţă de axele de proiecţie


18

2.4.3 Puncte simetrice faţă de planele bisectoare

Simetricul unui punct faţă de planul bisector al diedrului în care se găseşte rămâne în acelaşi diedru, având aceeaşi abscisă, iar depărtarea egală cu cota punctului de bază şi cota egală cu depărtarea acelui punct. Simetricul unui punct faţă de planul bisector al altui diedrului

decât cel în care se găseşte, este situat în diedrul opus faţă de axa Ox, având aceeaşi abscisă, iar depărtarea egală cu cota punctului de bază şi cota egală cu depărtarea acelui punct, ambele cu semn schimbat. În figura 2.10 simetricul punctului M, faţă de planul bisector [B1], este punctul M1, iar faţă de planul bisector [B4], este punctul M2. Punctul M şi M1 sunt situate în diedrul I, iar punctul M2, în diedrul III. 2.5 Probleme rezolvate 1. Să se construiască epura punctelor A(15,25,20), B(8,-8,25), C(20,-18,-20), E(25,10,-15) şi să se stabilească poziţia lor în spaţiu.

Rezolvare : Pentru construirea epurei se procedează astfel (fig.2.11) : - se trasează axele de coordonate Ox, Oy, şi Oz; - pe axa Ox se măsoară, începând din O, Oax = 15, abscisa punctului A. Prin ax se

duce linia de ordine, perpendiculară pe Ox ; - pe axa Oy se măsoară, începând din O,

Oay = 25, depărtarea punctului A. Prin ay se duce o paralelă la Ox care intersectează linia de ordine în a – proiecţia orizontală a punctului A ;

- pe axa Oz se măsoară, începând din O, Oaz = 20, cota punctului A. Prin az se duce o paralelă la Ox care intersectează linia de ordine în a’ – proiecţia verticală a punctului A ;

- cu vârful compasului în O şi de rază Oay se descrie un arc de cerc în sens trigonometric şi la intersecţia cu Oy1 se obţine punctul ay1. Prin acesta se duce o perpendiculară pe Oy1 care intersectează paralela prin az în a” – proiecţia laterală a punctului A. Epura punctelor B, C şi E se determină în

Om'

m

mx= m1x= m2x M

[Vs]

[Ha]

[B1]

x O

m1

M1m1'

x

M2

m2

m2'

m' = m2

m1'

m1

m = m2'

mx= m1x= m2x

a) b)

[B4]

Fig.2.10 Puncte simetrice faţă de planele bisectoare

a

b'=b"

x

az

ax

a"

ay1

z

y

y1O

(-z)

(-y)

bx= by1

a'

b

bz

by

cy

ax

cy1

c

c' cz

e

cxex

e' e"

ay1

ey

ez

ay

c"

Fig.2.11 Rezolvarea problemei 1

PUNCTUL

19

mod similar, cu observaţia că depărtările şi cotele negative se măsoară în sensul negativ al axelor Oy şi Oz. Analizând semnul coordonatelor punctelor rezultă că punctul A DI, punctul B DII, punctul C DIII şi punctul E DIV. 2. Să se construiască epura punctelor E(15,10,0), F(0,20,15), G(20,0,10) şi să se specifice poziţia lor faţă de planele de proiecţie . Rezolvare : Epura punctelor se realizează ca şi în cazul problemei 1 (fig.2.12). Deoarece s-a observat că fiecare punct are una din coordonate nulă, rezultă că ele sunt situate în planele de proiecţie, după cum urmează : punctul E [H], punctul F [L] şi punctul G [V]. 3. Să se construiască epura punctelor A(15,11,18), B(-15,11,18), C(15,18,11) şi să se analizeze particularităţile lor . Rezolvare : Epura punctelor este reprezentată în figura 2.13. Punctul A este situat în diedrul I. Analizând coordonatele punctelor, s-a stabilit că punctul B este simetricul punctului A faţă de planul lateral, deoarece are aceleaşi coordonate, cu semn schimbat la abscisă. De asemenea, punctul C este simetricul punctului A faţă de planul bisector [B1], având cota egală cu depărtarea, cxc’ = axa şi depărtarea egală cu cota, cxc = axa’, punctului A. 4. Să se reprezinte în epură cele trei proiecţii ale triunghiului ABC, ştiind că vârfurile lui sunt astfel situate în spaţiu : A [H], B Ox, C [L]. Stabiliţi coordonatele vârfurilor pentru exemplificare. Rezolvare : Punctele A şi C fiind situate în plane de proiecţie, au una din coordonate nulă ; se stabilesc următoarele coordonate : A(13,27,0) şi C(0,10,17). Dacă punctul B se află pe axa Ox, acesta are cota şi depărtarea nule. Pentru punctul B se stabilesc coordonatele : B(24,0,0). Se reprezintă în epură cele trei vârfuri ale truinghiului (fig.2.14) şi se unesc proiecţiile de acelaşi nume, obţinându-se proiecţiile triunghiului pe cele trei plane de proiecţie : [abc] – proiecţia orizontală, [a’b’c’] – proiecţia verticală şi [a”b”c”] – proiecţia laterală.

e

x e' = ex e" = ey1

z

y

y1

O

ey

f = fy

f"f ' = f z

g = gx

g" = gzg'


a

a'

x

az = bz

a" = b"z

y

y1

O

b

b'

bx

ay = by

c"c'

c

ax = cx

cy


ax = a'x

y

z

A = aay

B = b = b'

C = c"

cy = c

cz = c'

O = b"y1

a"



20

2.7 Probleme propuse 1. Să se construiască epura punctelor A(25,15,30), B(10,-20,10), C(30,-15,-30), E(5,15,-25) şi să se stabilească poziţia lor în spaţiu. 2. Să se construiască epura punctelor E(30,20,0), F(0,15,20), G(10,0,20) şi să se specifice poziţia lor faţă de planele de proiecţie . 3. Să se construiască epura punctelor A(20,15,25), B(20,15,-25), C(20,-25,-15) şi să se analizeze particularităţile lor . 4. Să se precizeze coordonatele punctelor A, B, C şi E, astfel încât acestea să aibă următoarea poziţie în spaţiu : A DI, B DII, C DIII şi E DIV. Reprezentaţi epura acestor puncte. 5. Să se precizeze coordonatele punctelor E, F, şi G, astfel încât acestea să aibă următoarea poziţie în spaţiu : E [H], F [V], şi G [L]. Reprezentaţi epura acestor puncte. 6. Fie punctul A(20,10,40). Să se reprezinte epura punctului A şi a punctelor simetrice faţă de : planul vertical (A1), axa Oy (A2) şi planul bisector [B1] (A3). 7. Se dau punctele A(10,35,25), B(60,0,30), C(30,0,0), E(30,-40,-40). Să se construiască epurele punctelor şi să se specifice poziţia lor în spaţiu. 8. Cum sunt situate în spaţiu punctele E şi F, dacă în epură proiecţiile lor de nume contrar coincid (e = f’, e’ = f) ? Exemplificaţi numeric. 9. Să se construiască epura unui punct A, situat la 20mm de planul lateral, în planul bisector al diedrului I. 10. Se dă punctul M(30,-20,40). Să se reprezinte epura punctului M şi a punctelor simetrice faţă de : planul orizontal (M1), axa Ox (M2) şi planul bisector [B2] (M3). 11. La ce distanţă se găseşte punctul A(30,25,10) fată de axa Ox ? Dar punctul M(30,-10,-15) ? 12. Să se construiască epura punctului A(20,y,30), ştiind că este situat la o distanţă l = 50mm, faţă de axa Ox. 13. Să se construiască epura triunghiului ABC, cunoscând coordonatele vârfurilor : A(60,10,30), B(10,30,10) şi C(40,20,50). 14. Să se reprezinte în epură cele trei proiecţii ale triunghiului ABC, ştiind că vârfurile lui sunt astfel situate în spaţiu : A [V], B Oy, C [H]. Stabiliţi coordonatele vârfurilor pentru exemplificare. 15. Să se reprezinte în epură cele trei proiecţii ale triunghiului EFG, ştiind că vârfurile lui sunt astfel situate pe axele de proiecţie : E Oy, F Oz, G Ox. Stabiliţi coordonatele vârfurilor pentru exemplificare. 16. Să se construiască epura triunghiului ABC, cunoscând coordonatele vârfului A(40,10,30) şi faptul că vârfurile B şi C sunt simetricele punctului A faţă de planul orizontal, respectiv vertical. Ce se poate spune despre poziţia triunghiului ABC în spaţiu ? Dar despre proiecţia sa pe planul lateral de proiecţie, [a”b”c”] ? 17. Să se construiască epura triunghiului MNS, cunoscând coordonatele vârfului M(20,15,25) şi faptul că vârfurile N şi S sunt simetricele punctului M faţă de planul lateral, respectiv vertical. Ce se poate spune despre poziţia triunghiului MNS în spaţiu ? Dar despre proiecţia sa pe planul orizontal de proiecţie, [abc] ? 18. Să se construiască epura unui punct A situat la distanţa de 30mm faţă de planul lateral şi la distanţa de 20mm faţă de planul vertical, ştiind că este situat în planul bisector al diedrului IV, [B4].

2. punctul - utcluj.ro

Documents