UNITATI DE MASURA$1

TRANSFORMAREA MASURILOROE

N. N. BOTEZ

Extras din revista KNATURA No. 4/1934

1 9 3 4

TIPOGRAFIA (BUCOVINA)) I. E. TOROUTIII, BUCURESTI III

4

4

4

4

r

I

'We

rt.

t.

4

www.dacoromanica.ro

UNITATI DE MASURA$1 TRANSFORMAREA MASURILOR

0 lege naturals scrisa intro formula matematica are cu adev5rat valoarenumai cand cel care o cunoaste se poate servi de ea pentru a face calcule.

Pentru aceasta Ins este numaidecat nevoe sA se cunoasca nu numaimarimile (lungimi, forte, iuteli etc.) care infra in formula ci si unitatile de m5.=sura si modul de masurare pentru fiecare marime. De exempla este stint caforta centrifug5 este data de formula

v2(1) f = mr

in care f este forta, m este masa corpuluiui care se roteste, v iuteala lineara acestui corp si r raza cercului descris de corp. Dar nu trebue uitat c5 aceastaformula este adevarata numai in sistemul C. G. S. si once alt sistem construitasemenea cu C. G. S. (adica asa incat unitatea de forta sa fie aceia care d5unitatei de masse o niiscare cu acceleratia unu).

Dad sistemul C. G. S. ar fi singurul intrebuintat lucrul ar fi mai simplu:am sti odata pentru totdeauna ca formulele stint in sistemul C. G. S.

Dar masurile de toate zilele find mai obisnuite adesea n' servim si dede : fortele le spunem adesea in grame, iutelile in metri pe secunda sau inkm./ora. etc. Mai ales in electricitate se intampla acest lucru : calculele se facuneori pe unitati C. G. S. electrostatice, alte on in C. G. S. electromagnetice,alte on in sistemul practic international (volt, amper, ohm, farad, henry).

Din aceasta pricing se naste nevoia de a sti cum se Crete de la un felde unitati de masura la un alt fel de unitati.

0 problems care se pune astfel este aceasta :I. Cunoscand o formula intr'un sistem de unitati si presupunand ca

pastram aceeas forma a formulei dar schimbam toate unitatile de masura amarimilor din membrul al doilea se intreaba : ce numar si ce fel de unitateva corespunde pentru marimea din membrul intai ?

Raspunsul la amandoua aceste intrebari se ci5 prin acelas rationament side aceea le.am pus deodat5 intro singura problem&

S5 luam formula de mai sus. Ih sistemul C. G. S. lungimile se ma:soars cu centimetrul ; massele cu gramul.massa ; iutelile cu centimetrul pesecunda (cm/sec) ; si fortele cu dyna (si se mai stie data inteun loc oarecareacceleratia caderii este gcm/sec2 atunci un gram greutate in acel loc face g dyne).

Dar dad masuram lungimile in men, massele in kilograms, timpulin minute folosindu#ne tot de formula de mai sus atunci care va fi unitateade forta (cu alte vorbe cafe dyne face unitatea de forta aceasta noua ?).

W./

si

www.dacoromanica.ro

4 -Pentru a raspunde trebue sa cunoastem o teorema ajut5toare care zice :(Teorema). Numerile N $i n care reprezinla aceeas marime cand o masu-

ram respectiv cu unitatea UN si U,, sun! in raport in vers cu m5rimilelA /ilor UN U.

De exemplu avem o lungime pc care o masuram data cu centimetrulsi odata cu metrul. Putem afirma de mai inainte ca oricare ar fi acea lungime,numarul de metri cari o mascara va fi de o suta de on mai mic decal numarulde centimetri, care mascara' aceeas lungime (am afirmat de o suta de onfiindca metrul este de o suta de on mai mare de cat centimetrul).

Pentru a nu face confuzic in cele ce urrngaz5 trebue sa se tie bine minteca raportul a dott5 marimi inseamna raportul numerilor care reprezinta acele m5:rimi masurate cu aceeas unitale. In exemplul nostru raportul metrului cake cmeste 100 flinde5 metrul masurat cu centimetrul face 100 cm. si atunci raportul

100 cm.este 00.

1 cm.

Teorema noastra este o consecinta a unei reguli de trci simp15.In adevAr zicem 1 metal ..... face 100 cm.

N metri fac n cm.= N X 100

de uncle Nn

= 100Insa o suta nu este decal raportul intre metru centimetru ; data in

loc de metru zicem UN (adica unitatea care corespunde lui N) loc decentimetru (adica unitatea care corespunde lui n) avem regula :

U.U sau

N=--

UNUN

adica raportul numerilor care reprezinta aceeas marime este egal cu raportulinvers at unitatilor cu care masuram acea marime.

Aceasta teorema find demonstrate sa ne ,intoarcem la formula noastra.S5 insemnam cu M massa and este masurata cu kilogramulanass5 (adicanumarul kilogramelor); cu V tuteala cand masuram cu metrul si cu minutul ;cu R lungimea razei in metri ; cu. F forta in unitatile celc not (care pentrumoment ne sunt necunoscute).

Aplicand formula vorn avea :

deci

V2(2) F = M.V2 r

ImpArtind egalitatea (2)cu (1) avem : f== m X iv X TzDar tinand seama dc teorema demonstrata avem :

Urn (Uv \ 2 x. Uu_f UM Uv 1 U,

Unitatea Um a fost gramul=massa ; unitatea Um este kilogramulfimass5UM 1UM 1 C Off

,e

*I

=

n

sisi in

N n

x

.

U.

F Mm

=

11

rrnie

-

.

www.dacoromanica.ro

5U,Pentru raportul Uv mergem la definitia iutelci. Iuteala este spatiul irn

p5rtit la timp : (3) v = lo si (4) V Formula intai este pentru centimeirlpe secunda si a doua pentru metri pe minus.

Pupa teorema ajutatoare avem:U, VUv

si din cauza relatiilor (3) si (4) V o L XV 10 T

t Uto x UrDeci Uv lo T/ UL0 UtUnitatea U1 a Post cm.; unitatca UL este metrul; =_-UL 100' Unitatea

U, a Post secunda ; UT este minutul ; deci UT 60.(U, \ _60 `a 3600Atunci urmeaz5 kUv k 100 10.000

HR metruIn fine Ur cm.=_- 100.

1 3600X A 100

Asa dar T 1000 10.000---- ----- 0,036.Am aflat astfel cum putem transforma once numar dc dyne in node

unitali de Iota si Myers del :F = 0,036 f f = 0,036

Se yule de altfel de pe acum ca numArul F fiind mai mic ca f urmeazac5 unitatea cea nova de forts este mai mare ca dyna.

Pentru a sti exact marimea uniratei noi, ne servim tot de teorema ajut5toare si scriem :

U,adic5 pentru o marline (iuteala) dcrivata din marimilerfundamentale L $i

I 1000Ur F 36 27,77

Asa dar unitatea cea noua face 27,77 dyne.Observatie. Este de observat ca socoteala pe care am facut.o pentru

Dv(lungimea si timpul) o putcm incorpora in formula fortei centrifuge scriind

v2 m ( )2 m-

r r t r t2

M 1,2Si F = M = . T7?

Ff

M r Lo 2 t 2(T) Um(11-4) UR Ulo 2(EWA> UT 2.(17,-De uncle = ( m ) (To )' (0.

= y.

- = .

U; Lo

=

ca

1

-

_

si

UF

f = m. = . = A, 6'

R R

.=

).

X

V2

.-.. -, =--

v

f

F

1'

www.dacoromanica.ro

6F 1 1 X I 60X60 36= X 100 X X 1000f 1000 =- --= 0,036.

Aceasta socokala se mai poatc simplifica data scriem ceea cc se chiamaformula dimensiunilor; adica zicem forta f se calculeaza inmultind o masa m, cuo lungime la patrat 120; si impartind cu o lungime r si un Limp la patrat 12; insa olungime la patrat este o sufirafata si imparlita la o lungime face o lungime dcci in

1 02loc de r zicem o lungime I si atuncim. I.f = t2 sau (5) f = [in]. [1]. [1-2].

Parantezele se pun pentru a arata ca nu urmarim altccva in ultimaformula decal s aratam ca f se calculeaza inmultind o massa, cu o lungime,si cu un limp la puterea minus doi. Tot asa va fi si cu unitatile metru,minut, kilogram ; that intrebuintand in acest caz Iitcrile majuscule vom avea

(6) F [M]. [L]. [T-2]Dar m din (5) si M din (6) reprezinta una si aceias marline masurata

in doua feluri (cu doua unitati de masura). Tot asa f si F etc.Asa dar, dupa feorema ajutatoare :

F M Um U,(t) L(-1-)* t. 1:2 ( Um) ( UL ur ) -2In exeniplul nostru : Um =Ur4

I Ui 11000 Us. 100

vi - 2 UT 23600.( UT r ut -1 2 Uf

L UT

Deci F 1 1 36X 3600f 1000 X 100 1000 adica exact acclas remittal.De aici urmeaza regula : Daca vrem sa calculani raportul a doua numere F

f care reprezinta aceeas marline in doua sisteme de unitati, and cunoa ,clemformula dimensiunilor, facem asa : scriem formula dimensiunilor pentruambele numere F= M L T-2

f in. I. 1-2si apoi facem raportul

F M= _-.

f rn XL V)1

Apoi inlocuim flecare raport din membrul doi cu raportul Myers alunitatilor :

=U, U, I.11

.f UNI X X (u)Binc inteles regula aceasta foloseste numai cand cunoastem formula di=

mensiunilor ; cand n o cunoastem din memorie trebue sa o stabilim ceea cein definitiv revine tot la socoteala pe care am facut=o intai fora s amintimdespre dimensiuni.

4

100X100 1X1

r

T

'

1

=

si

.

r17

FUL

=

=

;

= I

www.dacoromanica.ro

-7La prima vedere s'ar parea ca aceste calcule sunt numeroase si grele.

Dar nu este asa. SA se observe ca sunt aceleas formule simple manuite infelurite chipuri. Cine calculeaza treipatru exemple le va stapani perfect siva ajunge s le Intrebuinteze aproape automat.

Sa mai luam un exemplu. Capacitatea electrica a unui conductor estedefinite prin formula :

C Vin care 0 sunt coulombi, V sunt volti si C stint farazi.

Sail prin aceeas formulac=

in care q stint unitati electrostatice C. G. S. de cantitate, c de capacitate, siv de potential. Pentru a trece de la C. G. S. la celelalte (la sistemul practic)

C Q v U1

UvX "-c q V = Uo X Uv

cunoscut ca un coulomb face 3 X 109 C. G. S. el. st.Ug 1U0 3X109

1 UvUv

$i un volt face C. S. G. el. st. Deci300 . 300Atunci urmeaza C 1 1 1

c 3.109 f` 300 32.10"A.,a dar numeral de coulombi este de 32.1011 on mai mic ca cel de

unitati C. G. S. cad : C 32. 10uDe aid urmeaza ca raportul unitatilor este invers :

Uc=

c32.1011Uc

adica tin farad face 32 X 10" de unitati C. G. S. electrostatice.Observant Sistemul de unitati electrice practice nu este legat in mod

simplu cu unitatile fundamentals de lungime, masse si limp ; de aceea nu e=xista pentru de formule de dimensiuni si prin urmare nu ne putem servi deobservarea relativa la transformarea masurilor cand se cunoaste formula di,mensiunilor.

Cu aces! prilej observant de asemenea ca deli unitatile electrostaticeC. G. S. au formule de dimensiuni si cele electromagnetice deasemenea daro marime care poarta acelas nume in cele daub sisteme nu are aceeas deft=nitie si (ca o consecinta) nici aceleas dimensiuni in ambele sisteme ; deci niciin acest caz nu putem aplica observatia relativa la dimensiuni pentru a cal=cula raportul intre o unitate electrostatice si una electrodinamica ci trebue sane adresam la metoda generals sau eventual la experienta.

vom scrie

Insa este

Deci

V

1=

t

.=,

C

. -

9-

=

=

www.dacoromanica.ro

Inca un exemplu. Coeficicntul de seltinductie se defineste in sistemulelectromagnetic C. G. S. prin egalitatea (formula)

T d I T dTE sau ddT Iin care E sunt unitati de potential, dT sunt secunde sisitate (weberi). Vrem sa trecem la sistemul practic :

Pentru asta tinem seams ca coeficientul de self in sistemul practic sedefineste prin aceeasi formula

dte. di

in care e sunt volt', dt sunt secunde si di sunt amperi.Atunci vom scrie :

L E d X XUe U Uidt di UE UT LT;

dI unitati de inten,

in loc de U1 am pus care este acelas lucru).Dar este cunoscut ca o unitate electromagnetica

Ut,.

uT

de potential face

10-8 volli ; deciU E

108. Raportul este egal cu unu fiindca unitateade limp a ramas aceeas (secunda) ; in fine e cunoscut ca un weber face 10

LT,amperi asa in cat L.T = 10. Avem deci :

L1

910X1

1 , 101 1

109 sau = L-109

Deci coeficientul de self in unitati practice (in henry) se va calculaimpartind cu 109 coeficientul in unitati electromagnetice.

Deci un henry (o unitate de self practica) valoreaza 109 unitati electro=magnetise.

Dar cu prilejul schimbarci unitatilor de masura se mai puneproblems. Fie iaras formula in C. G. S. a fortei centrifuge

v2f = m (dyne, grame,"Vsec, cm.).Dace socotim cu metrul, cu minutul, cu kilogramul.massa cu kilo.

gramul forth, formula mai poate ramane aceeas sau trebue modificath ?Zicem .asa : in once sistem de unitati am lucra, forta va fi proportionala

cu massa, cu iuteala la patrat si invers proportionala cu raza cercului..V2

(Deci kiloforta,nu poate fi decal F=K.MR kilomaSsa, m/min,m).in care K este un numb- fix (pentru sistemul de unitati ales) care ramanede determinar. Pentru a.1 determina scriem :

f dyne I m v2 I Um tUv \ 2 Ur(KM V2 r K Um. 1. k Utz /.

\

si a la

-8-=

:

I =

= A AdTI e

u.-1(

=

,

= = I

Deci formula

RFig kU

a..

1

IUI)

U,

* *

si

v

www.dacoromanica.ro

9-UM.

UV 2 TJde unde K UM. (dr;F Ur

=sau de oarece urmeazN

K (UvU-117)2 GI; 17)Ur

Pentru a calcula ne ducem la definilia iutelei (care :ste :imlung

e)teala si deci vom avealimpUv v 1 T UL UtU, "\7 t UT

LUIna 1 m. face 100 cm ; deci LT = 100 ; un minut face 60 secunde ; deci,Ur 1 UvDeci = 100 : 60 si (Uv)2 25UT 60. 3 9

Apoi : kilogr. mass face 1000 gr. massy ; deciUr U, cm 1 Ur dyna 1

UmUM

1 ' UR OF kilogr. 980.000(presupunSnd ca ne anim intr'un loc unde g = 980 cm /,.2) ;

25 1K = 1000 X X X 1 25Asa dar : 9 100 980.000 9X98000si deci formula va deyeni in noul sistem de unitali.

25 MV2F ( 00, (kilo, kilo, mirni,m).

Inca un exemplu. Fie formula1

e mv2 (ergi, grame, cm/sec)care arata ca energia miscare in ergi este jumAtate din produsul masseiin grame prin patratul iutelii in cm/sec (adica in C. G. S.).

Vrem sa masuram ins lungimile cu metrul, timpul tot cu secunda,(deci iuleala cu metrul pe secunda) si energia cu joule care este fixat asaca un joule face 107 ergi. Se pune intrebarea cum va fi formula :Scriem : E (jouli) 1 MV2

caulk', pe K. Pentru aceasta scriem :E K-111. ( )9

E m 2_ Ue UV 2De unde K =

e M' (v)-1-Td

deci

- 10 -

1002 = 104 ; deci

K = 10- X 1000 X 104 = 1Deci formula devine

E jouli = 1 M V2 (kilo,'/.0.Asa dar formula din C.G.S. rNmSne neschimbatS dad se socoteste in

metri, in secunde, in kilogrameomassA si in jouli.

thr=

(Uv

www.dacoromanica.ro