WF

A=qVe

Fig. 12.1

Tema 12.

EMISIA TERMOELECTRICĂ ŞI DISTRIBUŢIA TERMOELECTRONILOR DUPĂ VITEZĂ

În cele mai multe metale, atomii sunt aranjaţi în reţele cristaline. Distanţa dintre atomi, sau mai exact, dintre ionii pozitivi care formează reţeaua, este aproape egală cu diametrul atomilor neutri. Din această cauză, între electronii de valenţă ai atomilor vecini apar forţe de interacţiune puternice, astfel încât legătura dintre aceşti electroni şi restul atomilor slăbeşte. Astfel, reţeaua atomică, în cazul metalelor, este, de fapt, o reţea ionică. Se admite că totul se petrece ca şi cum electronii de valenţă s-ar mişca liber printre ionii reţelei, la fel cum se mişcă atomii unui gaz într-un corp poros. Iniţial, gazului electronic i s-a aplicat teoria cinetică a gazelor, cu distribuţia după viteze dată de legea lui Maxwell. Însă, din punct de vedere al mecanicii cuantice, mişcarea electronilor liberi diferă de cea considerată în teoria clasică, prin faptul că energia electronilor poate avea numai o serie de valori discrete, adică este cuantificată. Aceste valori ale energiei electronilor din cristal pot fi reprezentate printr-un sistem de nivele al căror număr pentru un cristal de dimensiuni obişnuite este extrem de mare, astfel încât nivelele vecine sunt situate foarte aproape unul de celălalt (fig. 12.1).

În conformitate cu principiul lui Pauli, pe un nivel energetic nu se pot afla mai mult de doi electroni, care se deosebesc prin orientarea momentelor lor cinetice proprii (momente de spin). Se ştie că proiecţia momentului cinetic de spin al electronului pe o direcţie privilegiată este cuantificată, ±sħ, unde numărul cuantic de spin s=1/2. Deci numărul

maxim de electroni aflaţi pe acelaşi nivel energetic poate fi 2, ale căror momente de spin sunt orientate antiparalel. Să presupunem că gazul electronic se găseşte la temperatura de zero absolut. După teoria clasică ar urma ca toţi electronii să fie în starea cu energie minimă, adică în repaus. Însă conform teoriei cuantice, nu pot exista decât câte doi electroni pe un nivel energetic, având spinul opus, astfel că electronii se vor distribui pe nivele energetice din ce în ce mai înalte, până la nivelul Fermi, WF. În fizica corpului solid s-a stabilit că unui cristal format din N atomi monovalenţi şi deci N electroni liberi, îi corespund N nivele energetice pentru gazul electronic. Având în vedere cele de mai sus, rezultă că pentru T=0 K cei N electroni

Distribuţia termoelectronilor 71

WWF

)(Wf1

2

1

1/2

Fig. 12.2

liberi vor ocupa câte doi un nivel energetic, astfel că la această temperatură numărul nivelelor ocupate va fi N / 2.

Funcţia Fermi-Dirac de distribuţie după energie a electronilor din metal (probabilitatea de ocupare), pentru T=0K, este reprezentată prin linia frântă notată cu 1, din figura 12.2, care arată că toate nivelele cu energii W<WF sunt completate cu electroni în mod identic (câte doi electroni de spin opus pe fiecare nivel), iar cele cu energie W>WF sunt complet libere. Pentru T≠0K, probabilitatea de ocupare a unui nivel variază conform

curbei 2 din fig. 12.2, astfel că, din cei N electroni, un număr dN se vor afla în stări cu energia cuprinsă între W şi dW , conform relaţiei

dWe

WCN

dN

kTWW F−

+=

1 (1)

unde nivelul energetic WF se numeşte nivelul Fermi şi reprezintă nivelul cel mai înalt de energie ocupat de electroni la T = 0 K, k este constanta lui Boltzmann iar C este o constantă ce depinde de volumul cristalului. Odată cu creşterea temperaturii, datorită energiei suplimentare dobândite pe seama energiei termice, un număr destul de mare de electroni liberi părăsesc nivelele din vecinătatea nivelului Fermi, trecând pe nivele superioare. Dacă energia cinetică a unor electroni devine mai mare decât lucrul de ieşire: ,eVqA ⋅= (fig.12.1), unde Ve este adâncimea gropii de potenţial iar q este sarcina elementară, aceşti electroni vor părăsi metalul.

La temperatura camerei, numai o parte neînsemnată a electronilor din metal au o energie cinetică suficientă, astfel încât să poată efectua lucrul de ieşire A, pentru a părăsi metalul.Dacă însă metalul (de exemplu, catodul unei diode cu vid) se aduce la o temperatură destul de înaltă, se produce o emisie puternică de electroni din metal. Acest fenomen se numeşte emisie termoelectronică. Pe măsură ce temperatura metalului creşte, un număr tot mai mare de electroni este capabil să învingă bariera de potenţial Ve şi să ajungă la suprafaţa metalului.

Dacă se aplică o tensiune electrică acceleratoare între catodul şi anodul unei diode cu vid, termoelectronii emişi de catod sunt antrenaţi spre anod, formând curentul electric. Dacă câmpul de accelerare este suficient de puternic, toţi electronii extraşi prin emisie termoelectronică vor ajunge la anod participând la producerea curentului electric. Se ajunge la fenomenul de saturaţie, iar intensitatea curentului de saturaţie depinde esenţial de temperatura metalului. Relaţia dintre curentul de emisie la saturaţie, şi temperatura metalului emiţător este dată de legea Richardson - Dushman:

FIZICĂ – Teme experimentale 72

,exp2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=⋅=

kTATaqnI (2)

în care : T – temperatura absolută a metalului emiţător; a – o constantă, aproape aceeaşi pentru toate metalele pure; A – lucrul mecanic de ieşire; n – numărul de electroni emişi în unitatea de timp de către suprafaţa metalului încălzit; q – sarcina elementară (1,6·10-19 C). Energiile cinetice, deci şi vitezele, celor n electroni care părăsesc suprafaţa metalică sunt foarte diferite, adică există o distribuţie a termoelectronilor după viteze. În prezenta lucrare ne propunem să stabilim distribuţia după criteriul viteză a electronilor ce părăsesc metalul prin emisie termoelectronică, folosind metoda potenţialului de frânare. Gazul electronic emis de catod poate fi considerat, într-o primă aproximaţie, ca un gaz ideal de particule clasice (de masă m şi sarcină -q), care, la echilibru termodinamic, se supune satisfăcător distribuţiei Maxwell după viteze. Suprafaţa metalică emiţătoare de electroni este catodul unei diode cu electrozi cilindrici, montată ca în figura 12.3. Circuitul de încălzire al catodului asigură trei temperaturi de lucru în funcţie de poziţia scurtcircuitoarelor C1 şi C2. Sursa de tensiune anodică alimentează circuitul anodic prin potenţiometrul P. Tensiunea şi curentul anodic pot fi măsurate cu voltmetrul V şi miliampermetrul A. Dacă tensiunea anodică este nulă, se constată un curent 0I în circuitul anodic, curent care se datorează electronilor ce părăsesc metalul cu energii cinetice suficient de mari. Aplicând o tensiune de frânare crescătoare, vom constata micşorarea corespunzătoare a curentului anodic. Această scădere a curentului anodic se datorează frânării termoelectronilor de către câmpul electric:

- pentru câmpuri de frânare mici vor fi opriţi electronii de viteze mici, curentul anodic fiind constituit din electroni cu viteze mari;

- pentru câmpuri de frânare mari vor ajunge la anod numai electronii de viteze foarte mari etc.

Un câmp de frânare creat de tensiunea U va opri toţi electronii care au viteza v dată de:

.2

2

qUmv≤ (3)

Distribuţia termoelectronilor 73

A

VP

R1 R2

C2C1

_

+ ~220 V

Fig. 12.3

Egalitatea din relaţia (3) arată că viteza unui termoelectron care abia mai

ajunge la anod este proporţională cu .U Pe această observaţie se bazează metoda de stabilire a distribuţiei termoelectronilor după criteriul viteză.

Dioda are anodul şi catodul sub formă de cilindri concentrici, în care raza

catodului este mică astfel încât acesta poate fi considerat practic filiform. Considerăm că emisia termoelectronilor este izotropă, adică aceştia sunt emişi la fel în orice direcţie radială. Neglijând mişcarea electronilor de-a lungul axei electrozilor, atunci distribuţia după viteze a termoelectronilor poate fi considerată ca o distribuţie Maxwell.

Probabilitatea elementară de a găsi un termoelectron cu viteza cuprinsă în intervalul (v, v+dv) este dată de legea de distribuţie a lui Maxwell după modulul vitezei:

,2

4 2223

2

dvvekT

mNdN kT

mv

t

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

−

ππ (4)

în care Nt este numărul total de termoelectroni emişi cu viteze în intervalul (0, +∞). Pentru a evidenţia această distribuţie vom căuta unele mărimi macroscopice măsurabile, care să fie proporţionale cu N, respectiv cu v.

Definiţia intensităţii curentului anodic:

FIZICĂ – Teme experimentale 74

,, INtqN

tQI ≈⇒

∆⋅

=∆

= (5)

precum şi relaţia:

,,2

2

UvqUmv≈⇒= (6)

ne conduc la ideea că examinarea distribuţiei:

,)( dvvfNdN

t

= (7)

este echivalentă cu examinarea distribuţiei:

),()( UdUfIdI

t

= (8)

unde tI reprezintă intensitatea curentului care ar fi fost produs de toţi electronii dacă viteza lor ar fi în intervalul (0, +∞). Intensitatea curentului anodic elementar determinat de electronii care au viteza cuprinsă în intervalul (v, v+dv) este:

),()()( UdUfIdvvft

Nq

tdNqdI t

t =∆

=∆

⋅= (9)

iar intensitatea curentului anodic produs de toţi termoelectronii cu viteza Umqv 2

≥

este:

( ) ( ) ( )( )

( )∫ ∫∞ ∞ −

==U

mq U

mq

kTqU

tt UUdeIqkT

UdUfIUI2 22

3/

4

π

π (10)

Relaţia de mai sus reprezintă, de fapt, o funcţie de forma:

),( UFI = (11)

deoarece integrala depinde de limita inferioară, deci de acea valoare a lui U care asigură egalitatea din relaţia (3). Ea reprezintă dependenţa curentului anodic faţă de valorile U ale tensiunii de frânare între anod şi catod. Derivând relaţia (10) în raport cu variabila U obţinem:

Distribuţia termoelectronilor 75

I

∆I

U ( )U∆

Fig. 12.4

( ) ( ).

/

4

23 UeI

qkTUddI kT

qU

t ⋅⋅⋅=−

π

π (12)

Dacă această relaţie este verificată, înseamnă că termoelectronii emişi de catod se supun distribuţiei Maxwell.

Se observă că funcţia de distribuţie de mai sus prezintă un maxim pentru valoarea:

.q

kTU M = (13)

În scopul verificării distribuţiei Maxwell se efectuează următoarele operaţii: 1. Se aplică cu ajutorul potenţiometrului P tensiuni de frânare între catod şi

anod, înregistrându-se valorile I şi U în tabelul nr.1. 2. Se reprezintă grafic )( UfI = (fig. 12.4). 3. Având în vedere că I este proporţional cu numărul de electroni ce străbat

circuitul în unitatea de timp, iar U este o mărime proporţională cu o anumită viteză a termoelectronilor, se va împărţi axa vitezelor ( )U în intervale egale ( )U∆ şi se vor nota variaţiile corespunzătoare I∆ în tabelul nr.2. Valorile I∆ sunt proporţionale cu numărul de electroni care au viteza cuprinsă în intervalul (v, v+∆v), corespunzător variaţiei tensiunii de frânare reflectată în intervalul ( U , U + ( )U∆ ).

4. Se reprezintă grafic valorile I∆ în funcţie de .U Trebuie observat că variaţiile I∆ sunt proporţionale cu raportul

I∆ / ( )U∆ , pentru

intervale ( ) .constU =∆ . În acelaşi timp, dacă se alege intervalul ( )U∆ din ce în ce mai mic, raportul

I∆ / ( )U∆ tinde la derivata (12), care la rândul său, conform relaţiei (8), este proporţională cu funcţia de distribuţie

)(~)( vfUf . Prin urmare, ultimul grafic obţinut reprezintă chiar graficul funcţiei de distribuţie Maxwell.

FIZICĂ – Teme experimentale 76

5. Din grafic se determină valoarea UM corespunzătoare maximului, din relaţia

(13) se calculează temperatura T a filamentului iar viteza cea mai probabilă vp se obţine ţinând seama de (6).

Tabelul nr.1 Tabelul nr.2

Întrebări

1. Ce valoare are spinul electronului ? 2. Cum se enunţă principiul lui Pauli ? 3. Ce reprezintă nivelul Fermi ? 4. Ce este emisia termoelectronică ? Care este deosebirea dintre efectul fotoelectric şi emisia termoelectronică ? 5. Cărei legi de distribuţie i se supun electronii liberi din metal? Dar termoelectronii emişi din metal? Scrieţi expresiile acestor legi.

6. Cum se aplică tensiunea anodică pe diodă ? Despre ce fel de polarizare este vorba ?

7. De ce este nevoie să trecem de la perechea de variabile (v, N) la perechea de variabile ( IU , ) ?

8. Verificaţi relaţia (12) din punct de vedere dimensional. 9. Deduceţi relaţia (13). 10. Deduceţi formula pentru a calcula viteza cea mai probabilă vp a termoelectronilor.

U

(V 21

) )(divI∆

U (V)

U

(V 21

) )(divI