55

134. Fie a, b, c, d cifre nenule distincte. Să se determine valorile naturale ale sumei

.)c(ab,d)b(da,c)a(cd,b)d(bc,aS +++=

135. Să se demonstreze că mulŃimea A = {ba(a2 + a – 1) | a, b c N*} conŃine o infinitate de pătrate perfecte.

136. Pentru orice n c N* notăm cu Pn produsul divizorilor naturali ai lui n. Să se de-termine n dacă Pn = 10605.

137. Se consideră mulŃimea A = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}. Să se determine n c N*, n ≤ 9, pentru care A poate fi împărŃită în două mulŃimi disjuncte B şi C cu B 4 C = A şi s(B) = s(C), unde s(B), s(C) reprezintă suma elementelor din B, respectiv C, iar s(B) = n $ s(C).

138. Fie punctele A, B, C, D, E, F, G, H, I aşezate ca în figura alăturată. a) Câte pătrate se pot forma cu cele 9 puncte? b) Câte pătrate se pot forma cu cele 8 puncte rămase, dacă se elimină unul din cele 9 puncte? c) Care este numărul minim de puncte ce trebuie eliminate pentru a nu se putea forma niciun pătrat?

139. Să se determine numărul numerelor de trei cifre care au fiecare cifră pătrat per-fect.

140. Se consideră toate numerele de trei cifre, care au cifrele pătrate perfecte. a) Câte numere au toate cifrele diferite? b) Câte numere au câte două cifre egale?

141. Se consideră numerele 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28. În faŃa fiecărui număr se pune sem-nul „+” sau semnul „–„. a) Care este cel mai mare, respectiv cel mai mic număr natural ce se poate obŃine? b) Cum se obŃine rezultatul 499? c) Cum se obŃine rezultatul 407? d) Care este suma celor mai mari 6 numere ce se poate obŃine?

142. Fie n c N*. a) ArătaŃi că există numere n pentru care (2n – 1, 2n+1 + 1) = 1. b) ArătaŃi că există o infinitate de numere n pentru care (2n – 1, 2n+1 + 1) ! 1.

143. Să se determine perechile (a, b) de numere naturale pentru care [a, b] $ (a, b) = = 51 + (a, b).

144. Câte triplete (a, b, c) de numere întregi îndeplinesc condiŃia a2 + b2 + c2 = 50?

145. Fie k c N* fixat şi a(n) = nk(–1)n+2 – 1n)1(

n+−

, unde n c N*.

Fie A = a(1) + a(2) + … + a(200). Să se determine cea mai mică valoare a lui k pentru care A este cub perfect.

146. Să se demonstreze că pentru orice n c N, n ≥ 3, avem: A = B, unde:

A = 1 1 1

...1 2 3 4 (2n 1) 2n

+ + +⋅ ⋅ − ⋅

şi n2

1...

2n

1

1n

1B ++

++

+= .

A B C

D E F

G H I

56

ObservaŃie: Avem A = B < �� ��� ��

orin

n

1...

n

1

n

1+++ < 1 şi A >

2

1

n2

1...

n2

1

n2

1

orin

=+++��� ���� ��

.

147. Se ştie că )4ca,3bc,5ab( = 3. Să se determine numărul numerelor abc divizibile

cu 9. 148. Să se rezolve în numere naturale ecuaŃia nx(x + 1) = nx + 1.

149. Fie a, b, c cifre nenule astfel încât 1ab

c

1ca

b

1bc

a== .

Fie

+++

++

+=

ab2c3

1

cb2

1

ba

1A $ (ma + nb + pc). Să se demonstreze că

pentru orice m, n, p c Z aveam A c Z. 150. Să se rezolve în numere naturale ecuaŃia 4m – 2m+2 – 5 = 3n. 151. Fie numerele raŃionale nenule a, b, c invers proporŃionale cu b + c, c + a, a + b cu

proprietatea că ab3 + bc3 + ca3 = 4(ab + bc + ca). a) Să se determine tripletele (a, b, c). b) Să se determine n c N, n ≤ 13 pentru care an + bn + cn ≤ 200.

152. Să se determine numărul perechilor (x, y) de numere întregi pentru care x – y2 = = – |x| şi |x| ≤ 12.

153. DemonstraŃi că există cel puŃin două numere abcd pentru care abcd = 2)cdab( + .

154. Să se rezolve în numere naturale ecuaŃia ab + ba = 177.

155. Să se determine numărul soluŃiilor naturale ale ecuaŃiei 20

1

b

1

a

1=+ .

156. Să se determine a, b c Z dacă |ab| este pătrat perfect şi |a| + |b| = 20. 157. Să se determine a ştiind că ecuaŃia |2x| + |x + a| + |x – a| = 100 are o singură so-

luŃie.

158. Se consideră ecuaŃia nx

10...

x

3

x

2

x

1

10321

=++++ , unde x1, x2,…, x10, n c N*.

a) Să se demonstreze că pentru n ≥ 36 nu avem soluŃie b) Să se determine o soluŃie pentru n = 20.

159. Să se rezolve în numere întregi ecuaŃia 1anna

1

1n

a++=

+−

+.

160. Fie a, b, c, d, e cifre nenule şi fie A = ++++ )c(ab,de)b(ea,cd)a(de,bc)e(cd,ab

)d(bc,ea+ .

a) Să se determine min A şi max A. b) Să se determine elementele A c N.

161. Pe un cerc se scriu numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6 o singură dată. Este posibil ca suma oricăror trei numere vecine să fie cel puŃin egală cu 11?

162. Fie numerele a = 299, b = 599. Se scriu unele după altele cifrele lui a, respectiv b, obŃinându-se numărul A. Câte cifre are A?

57

163. Fie a = 2n3

14n6

+

+, n c Z. CalculaŃi cel mai mare număr întreg m şi cel mai mic

număr întreg p pentru care m < a < p. 164. Există numere naturale nenule diferite pentru care mediile aritmetică şi armonică

sunt tot numere naturale?

165. Fie x, y c Z* astfel încât 2x = 3y şi xy

yx 33 + c Z. Să se demonstreze că 30 | x + y.

166. Fie x, y c Z astfel încât x2 – 2x + y2 + 2y = 0. Să se demonstreze că |x| + |y| ≤ 4. 167. Să se rezolve în numere întregi ecuaŃia n(4n + 1)(2n + 1)(4n + 3) = 990.

168. Să se rezolve în numere întregi ecuaŃia .b

a

b

2a

1b

a=

++

−

169. Să se rezolve în numere naturale ecuaŃia 3n + 144 = m2. 170. Să se determine mulŃimile:

a) A =

∈+

∈ ZZ2

x3x

2; b) B =

∈

+∈ QQ

2x

3x

2.

171. Să se demonstreze că există o infinitate de numere naturale a pentru care numărul A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + a nu este pătrat perfect, unde n c N.

172. Fie n c N, n ≥ 3 şi fie x1, x2, …, xn c {! 1}. Fie a1 = x1x2, a2 = x2x3, …, an = xn–1xn, an = xnx1. a) Să se calculeze P = a1a2…an.

b) Fie S =

+++

++

++

+

−− 1

n

2n

3

1n

2

n

1 a

1a...

a

1a

a

1a

a

1a , unde n = 2m + 1.

Să se demonstreze că S ! 0 şi –(2m + 1) ≤ 2

S ≤ 2m + 1.

173. Demonstreze că există doar două poligoane convexe cu un număr prim de diago-nale.

174. Să se determine a, b c N* astfel încât 2

b

2a

b

a

−= .

175. Să se determine numerele ab pentru care raportul dinte diferenŃa cifrelor şi suma

lor este 1n

n

+, unde n c N*.

176. Pentru ce valori ale cifrelor numărul n = )a(3,b)b(4,a + se poate scrie ca fracŃie

zecimală finită. 177. Să se rezolve în numere întregi ecuaŃia: abc + 3ab + 2ac + bc + 6a + 3b + 2c + 5 = 0.

178. Să se determine numerele nenule a, b, c ştiind că ac

ca

cb

bc

ba

ab

+=

+=

+ şi a2 + b2 +

+ c2 ≤ 48.

179. Să se determine numerele ab dacă 22

)b(,0)a(,0 + c N.

58

180. Să se determine numerele abc dacă 222

)c(,0)b(,0)a(,0 ++ c N.

181. Fie n c N* şi numerele A = n4 – 3n3 + an2 + bn + c, B = nn. Să se determine un triplet (a, b, c) pentru care să avem A ≥ B pentru n c {1, 2, 3} şi A < B pentru n ≥ 4.

182. Fie n c N*. Să se determine a, b, c c Z* ştiind că a2n+1 = b – c + a, b2n+1 = c – a + b, c2n+1 = a – b + c.

183. Fie A = ...24

25

12

13

4

5+++ , unde A este suma a n termeni, n ≥ 2, obŃinuŃi după ace-

eaşi regulă. Să se demonstreze că A < n + 0,5. 184. Notând n! = 1 $ 2 $ … $ n pentru orice n c N*, să se demonstreze că (2n + 1)! >

> (2n $ n!)2 pentru orice n c N*. 185. Să se determine trei numere întregi direct proporŃionale cu trei numere întregi

pare consecutive, iar suma pătratelor lor este divizibilă cu 29.

186. DaŃi un exemplu de număr raŃional b

a, a, b c N*, astfel încât

b

a= 0, a1a2a3… şi ap

= ap+3 pentru orice p c N*. 187. Fie an = (–1)n $ n pentru orice n c N*. Să se calculeze:

a) S(n) = a1 + a2 + … + an; b) S(1) + S(2) + S(3) + … + S(100). 188. DeterminaŃi cel puŃin două triplete (a, b, c) de numere naturale pentru care

6

3c

4

2b

3

1a +=

+=

+ şi

3c

4

2b

4

1a

1

++

++

+ c N.

189. Fie numerele raŃionale a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e. Să se demonstreze că media aritmetică a ultimelor trei numere este cel puŃin egală cu media aritmetică a tuturor numerelor.

190. Fie numerele a, b, c astfel încât 0 ≤ a ≤ b ≤ c şi a + b + c = 3. Să se compare nu-merele A = 2ab + 3 şi B = 3a + 2b.

191. Să se determine trei numere prime a, b, c ştiind că a2 + b2 + c2 este număr prim. 192. Să se determine a, b c N* ştiind că 3 $ (a, b) + 2 $ [a, b] = 54. 193. Într-o clasă sunt minim 21 elevi şi maxim 32 elevi. La o lucrare, media clasei este

8,40, media fetelor este 8,50, iar media băieŃilor este 8,25. CâŃi elevi sunt în clasă?

194. Să se rezolve în numere întregi ecuaŃia: (x2 + x + 1)(y2 – y + 1) = 9. 195. Să se determine n c N* şi numărul prim p dacă A c N, unde:

A = 2 2n 2 p 3p

2n 3p

+ ++ .

196. Pentru orice n c N, n ≥ 2, notăm:

A(n) = 1 + n2 2

1...

2

1

2

1+++ , B(n) = 1 +

n2 3

1...

3

1

3

1+++ .

a) Să se demonstreze că A(n) $ B(n) < 3. b) Să se compare C = A(n) $ B(n + 1) cu D = A(n + 1) $ B(n).

197. Fie numerele raŃionale strict pozitive a, b, c pentru care a + b, b + c, c + a sunt

invers proporŃionale cu numerele c

a,

a

b, respectiv

b

c. Să se demonstreze că exis-

59

tă o infinitate de triplete (a, b, c) astfel încât pentru orice n c N, n ≥ 2, expresia

4n4n4n

2n2n2n

cba

cba+++

+++

++

++ este pătratul unui număr natural.

198. Fie numerele pozitive a, b, c astfel încât a2 + b2 + c2 ≤ 64. Să se demonstreze că a2 + b2 + c2 ≤ 512.

199. Să se demonstreze că există o infinitate de triplete (a, b, c) formate din numere întregi pentru care avem a + b = c + 1 şi a2 + b2 = c2 + 1.

200. Să se demonstreze că există o infinitate de triplete (a, b, c) formate din numere întregi pentru care avem a + b = c + 1 şi a3 + b3 = c3 + 1.

60

GGEEOOMMEETTRRIIEE

NOłIUNI TEORETICE

Problemele de geometrie pe care le veŃi întâlni în clasele gimnaziale pot fi împărŃite în urmă-toare categorii:

I) propoziŃii (probleme, teoreme) ce trebuie demonstrate: în principiu se cere să se veri-fice că o anumită figură are anumite proprietăŃi (care sunt indicate sau care trebuie găsi-te);

II) probleme de construcŃie: se solicită construirea unei anumite figuri cu anumite propri-etăŃi;

III) probleme de calcul (lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, arii, volume etc.). În cele ce urmează sunt prezentate diferite metode de rezolvare a problemelor din prima cate-gorie.

1. CongruenŃa segmentelor

Pentru a demonstra că două segmente sunt congruente este suficient să se arate că: � au aceeaşi lungime; � sunt laturi într-un triunghi isoscel (diferite de bază); � sunt laturi într-un triunghi echilateral; � sunt laturi opuse ale unui paralelogram; � sunt laturi neparalele într-un trapez isoscel; � sunt diagonalele unui trapez isoscel; � sunt înălŃimile sau medianele corespunzătoare laturilor congruente într-un triunghi isoscel; � sunt bisectoarele corespunzătoare laturilor congruente într-un triunghi isoscel; � sunt linii importante într-un triunghi echilateral; � sunt laturi omoloage în triunghiuri congruente; � sunt înălŃimi sau mediane (sau bisectoare) corespunzătoare laturilor (sau unghiurilor)

congruente în triunghiuri congruente; � sunt determinate de un punct de pe mediatoarea unui segment şi capetele segmentului; � reprezintă distanŃele de la un punct de pe bisectoarea unui unghi la laturile unghiului; � sunt raze în acelaşi cerc sau în cercuri congruente.

2. Mijlocul unui segment

Pentru a demonstra că un punct este mijlocul unui segment este suficient să arătăm că: � este punctul în care mediatoarea segmentului intersectează segmentul; � este piciorul medianei unui triunghi; � este punctul de intersecŃie al diagonalelor unui paralelogram (sau dreptunghi, sau pătrat,

sau romb).

3. CongruenŃa a două unghiuri

Pentru a demonstra că două unghiuri sunt congruente este suficient să arătăm că: � au aceeaşi măsură; � sunt unghiuri opuse la vârf; � sunt unghiuri formate de bisectoarea unui unghi cu laturile unghiului;

61

� sunt unghiuri ale unui triunghi echilateral; � sunt unghiurile de la bază ale unui triunghi isoscel; � sunt unghiuri opuse într-un paralelogram; � au acelaşi unghi complementar; � sunt unghiuri cu acelaşi suplement; � sunt unghiurile alăturate unei baze într-un trapez isoscel; � sunt unghiuri alterne interne (sau alterne externe, sau corespondente) formate de două

drepte paralele tăiate de o secantă; � sunt unghiurile corespunzătoare laturilor congruente din două triunghi congruente; � sunt unghiuri cu laturile paralele (ambele ascuŃite sau ambele obtuze); � sunt unghiuri cu laturile perpendiculare (ambele ascuŃite sau ambele obtuze).

4. Drepte perpendiculare

Pentru a demonstra că două drepte sunt perpendiculare este suficient să demonstrăm că: � măsura unui unghi format de cele două drepte este de 90°; � una reprezintă înălŃimea (sau mediatoarea) într-un triunghi, iar cealaltă reprezintă latura

corespunzătoare; � una este paralelă cu a treia dreaptă, iar alta este perpendiculară pe a treia dreaptă: a || b,

b ⊥ c u a ⊥ c; � reprezintă catete într-un triunghi dreptunghic; � reprezintă laturi alăturate într-un dreptunghi (sau pătrat); � reprezintă diagonalele unui romb (sau pătrat); � reprezintă o linie importantă într-un triunghi echilateral, iar cealaltă latura corespunză-

toare; � sunt paralele cu alte două drepte perpendiculare între ele; � sunt bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare.

5. Drepte paralele

Pentru a demonstra că două drepte sunt paralele este suficient să demonstrăm că: � dreptele nu se intersectează; � sunt paralele cu o a treia dreaptă; � sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă; � distanŃa dintre ele este constantă; � sunt laturi opuse într-un paralelogram (pătrat, romb, dreptunghi); � sunt bazele unui trapez; � una reprezintă linia mijlocie într-un triunghi, iar cealaltă latura corespunzătoare; � dacă sunt tăiate de o secantă se formează unghiuri alterne interne congruente, sau alterne

externe congruente sau corespondente congruente, sau interne (sau externe) de aceeaşi parte a secantei suplementare.

6. Triunghi isoscel

Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel este suficient să demonstrăm că: � are două laturi congruente; � are două unghiuri congruente; � are două înălŃimi congruente; � are două mediane congruente; � are două bisectoare congruente;

62

� are două linii mijlocii congruente; � două linii importante coincid.

7. Triunghi echilateral

Pentru a demonstra că un triunghi este echilateral este suficient să demonstrăm că: � are toate laturile congruente; � are două unghiuri cu măsura de 60°; � este un triunghi isoscel cu un unghi de 60°; � punctele remarcabile (centrul de greutate, ortocentrul, centrul cercului circumscris O,

centrul cercului înscris) coincid câte două; � are două axe de simetrie.

8. Triunghi dreptunghic

Pentru a demonstra că un triunghi este dreptunghic este suficient să demonstrăm că: � are două laturi perpendiculare; � are două unghiuri complementare; � lungimea unei mediane este jumătate din lungimea laturii corespunzătoare; � are aria egală cu semiprodusul lungimilor a două laturi.

9. Coliniaritatea punctelor

Pentru a demonstra că trei puncte A, B, C sunt coliniare este suficient să demonstrăm că: � AB + BC = AC; � B este mijlocul segmentului (AC); � dreptele AB şi AC sunt paralele cu altă dreaptă d; � punctele sunt aşezate de aceeaşi parte a unei drepte şi distanŃele de la puncte la acea

dreaptă sunt egale; � se formează două unghiuri adiacente suplementare; � dreptele AB şi AC sunt perpendiculare pe o altă dreaptă d.

10. ConcurenŃa dreptelor

Pentru a demonstra că două drepte sunt concurente este suficient să demonstrăm că: � dreptele au un punct comun; � dreptele reprezintă linii importante într-un triunghi; � dreptele reprezintă diagonalele unui patrulater convex.

11. Paralelogramul

Pentru a demonstra că un patrulater convex este paralelogram este suficient să demonstrăm că: � are laturile opuse paralele; � are laturile opuse congruente; � are două laturi opuse paralele şi congruente; � are unghiurile opuse două câte două congruente; � are două perechi de unghiuri alăturate suplementare; � diagonalele se înjumătăŃesc; � are un centru de simetrie.

63

12. Dreptunghiul

Pentru a demonstra că un patrulater convex este dreptunghi este suficient să demonstrăm că: � este paralelogram cu un unghi drept; � are trei unghiuri drepte; � diagonalele sunt congruente şi se înjumătăŃesc; � are două axe de simetrie.

13. Rombul

Pentru a demonstra că un patrulater este romb este suficient să demonstrăm că: � are toate laturile congruente; � este paralelogram cu două laturi alăturate congruente; � diagonalele sunt perpendiculare şi se înjumătăŃesc; � diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor din care pornesc.

14. Pătratul

Pentru a demonstra că un patrulater convex este pătrat este suficient să demonstrăm că: � este romb cu un unghi drept; � este dreptunghi cu două laturi alăturate congruente; � diagonalele sunt congruente, sunt perpendiculare şi se înjumătăŃesc.

15. Trapezul isoscel

Pentru a demonstra că un trapez este isoscel este suficient să demonstrăm că: � laturile neparalele sunt congruente; � unghiurile alăturate unei baze sunt congruente; � diagonalele sunt congruente.

ObservaŃii

1. Toate metodele indicare anterior se referă la cunoştinŃe prevăzute de programa actuală a claselor a VI-a şi a VII-a. Evident că mai sunt şi alte metode, care însă depăşesc nivelul ac-tualei programe.

2. Pentru a demonstra oricare dintre afirmaŃiile indicate prin numerele 1, 2, …, 15 este sufici-ent să se demonstreze doar una dintre afirmaŃiile indicate la punctul corespunzător.

3. Toate metodele indicate anterior constituie probleme ce se pot rezolva în clasă sau pot fi date ca teme.

4. Aceste metode se regăsesc în rezolvarea problemelor care urmează.

64

Capitolul I

DREAPTA

1. Fie punctele distincte A, B, C, D, E. Să se determine numărul dreptelor distincte determinate de aceste puncte.

2. Se consideră n puncte distincte, n c N, n ≥ 3. Să se determine numărul minim şi numărul maxim de drepte distincte determinate de aceste puncte, ştiind că nu toa-te sunt coliniare.

3. Fie A, B, C puncte distincte coliniare. Să se arate că: (AB + BC – AC) $ (AB + AC – BC) $ (AC + BC – AB) = 0.

4. Fie A, B, C, D puncte coliniare în această ordine. Să se demonstreze că: a) AC + BD = AD + BC; b) AC $ BD = AD $ BC + AB $ CD.

5. Fie punctele A, B, C, D astfel încât C, D c (AB) şi AC $ BD = AD $ BC. Să se demonstreze că D = C.

6. Fie punctele A, B, C, D coliniare, în această ordine. Să se demonstreze că AC + BD = 2 $ MN, unde M şi N sunt mijloacele segmentelor (AB) şi (CD).

7. Fie punctele A, B, C, D coliniare. Să se stabilească ordinea punctelor A, B, C, D pe dreapta d = AB dacă AB = a, AC = b, BD = c, BC = a + b, CD = a + b – c.

8. Fie punctele A, B, C, D coliniare în această ordine. Să se demonstreze că

.CD

1

AB

1BD

CD

BC

AB

AD

+⋅=+

9. Fie punctele distincte A, B, C pe dreapta d. Fie M mijlocul segmentului (AB). Să se determine lungimea segmentului (CM) dacă AC = a, BC = b.

10. Fie punctele coliniare distincte A, B, C şi fie M, N, P mijloacele segmentelor (AB),(BC), respectiv (AC). Să se demonstreze că segmentele (MN) şi (BP) au acelaşi mijloc.

11. Fie A, B, C, D puncte coliniare distincte în această ordine. Fie M, N, P, R mijloa-cele segmentelor (AB), (BC), (CD), (DA). Să se demonstreze că segmentele (MP) şi (NR) au acelaşi mijloc.

12. Fie punctele coliniare distincte O, A, B, C în această ordine, Fie M, N, P mijloa-cele segmentelor (BC), (CA), respectiv (AB). Să se afle valoarea raportului

.OCOBOA

OPONOM

++

++

13. Fie punctele C, D c (AB), C ! D, astfel încât AC $ AD = BC $ BD. Să se calcule-

ze .BC

AD

BD

AC+

90

SSOOLLUUŢŢIIII

ALGEBRĂ

Capitolul I. NUMERE NATURALE. DIVIZIBILITATE

1. Numerele nu pot avea decât câte 3 cifre. Din 733xyzabc =+ şi 337zyxcba =+ , notând

a + x = A, b + y = B, c + y = C rezultă 100A + 10B + C = 733, 100C + 10B + A = 337. Prin scădere rezultă A – C = 4, 101C + 10B = 333 şi deci B = 3, C = 3, A = 7. În final se obŃin nu-merele 302 şi 431.

2. ab2 xy3 2ba 3yx+ = + w 99(a + x) = 495 w a + x = 5. Perechile (a, x) sunt (1, 4), (2, 3),

(3, 2), (4, 1). Cum b şi y reprezintă orice cifră, problema are 4 $ 10 $ 10 = 400 soluŃii. 3. a) 102 = 62 + 82; b) 103 = 100 $ (1 + 9) = 102 + 302; c) 102n = 102n–2(62 + 82) = (6 $ 10n–1)2 + + (8 $ 10n–1)2; d) 102n+1 = 102n $ (1 + 9) = (10n)2 + (3 $ 10n)2. 4. a) 252 = 152 + 202; b) 253 = 252 $ (32 + 42) = (3 $ 25)2 + (4 $ 25)2; c) 252n = 252n–2 $ (152 + + 202) = (15 $ 25n–1)2 + (20 $ 25n–1)2; d) 252n+1 = 252n $ (32 + 42) = (3 $ 25n)2 + (4 $ 25n)2. 5. a) 3 $ (1030 – 1) = 3 $

��������

3130

997....29999....999 = u 29 cifre de 9; b) 4 $ (1050 – 3) = 4 $

⋅ ������������

5150

9988....399997....999 = u 48 cifre de 9; c) 5 $ (10n – 1) = �����

1n

995....499+

u n – 1 cifre de 9;

d) 8 $ (10n – 1) = �����

1n

992....799+

u n – 1 cifre de 9.

6. a) 26 + 27 + 26 = 26 $ 4 = 28 = (24)2 u n = 6. Se arată că 6 este unica soluŃie. b) 22a + 22a+1 + 22a = 22a $ 4 = 22a+2 = (2a+1)2. Se arată că m = 2a, n = 2a, a c N*. 7. 2n + 2n+1 + 2n+2 + 2n+3 = 2n $ 15; 2n $ 15 > 100 w n ≥ 3; 2n $ 15 < 200 u n ≤ 3. SoluŃia este n = 3. 8. 3(2a + 3b + 4c) – (5a + 4b + 3c) = 3 $ 29 – 34 u a + 5b + 9c = 53; 4(2a + 3b + 4c) – 3(5a + + 4b + 3c) = 4 $ 29 – 3 $ 34 u c – a = 2 u (a + 5b + 9c)(c – a) = 106. 9. n = 19a + b, b < 19 şi n = 13b + a, a < 13 u 3a = 2b. Deoarece b < 19, a < 12, pentru (a, b) avem soluŃiile (0, 0 ), (2, 3), (4, 6), (6, 9), (8, 12), (10, 15), (12, 18). Rezultă că n c {0, 41, 82, 123, 164, 205, 246}. 10. 1000a + 110b + c = 111a + 12b + 1773 u 889a + 98b + c = 1773. Dacă a ≥ 2 avem 889a + + 98b + c ≥ 1778 > 1773. Rezultă că a = 1 şi deci 98b + c = 884. Avem 98b ≥ 884 – 9 şi deci

b = 9. ObŃinem abbc = 1992 11. 4(10n + 6) = n + 60000 u n = 15384.

12. k2 = yxxy + = 11(x + y) u x + y = 11n2. Cum x + y ≤ 18 rezultă că x + y = 11 şi deci xy c

∈ {29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92}. 13.

������

1011

95...990...100a = u suma cifrelor lui a este 87; ��������

n1n

95...990...1000b+

= u suma cifrelor lui a

este 9n – 3.

14. cba3abc ⋅= u 97a = 299c + 20b u a ≥ 3c + 1. Dacă a = 3c + 1 rezultă 97 = 8c + 20b. Dacă a = 3c + 2 rezultă 20b + 8c = 194 u c c {3, 8} u b " N. Analog se arată că nici în cazu-rile a c {3c + 3, 3c + 4, 3c + 5, 3c + 6} nu avem soluŃie.

91

15. a) 111222 = 333 $ 334; b) 11111122222 = 33333 $ 33334; c) Fie ������

nn

2...2221...111 = 10n $ a +

+ 2a = =+

+ a2a19....999

n���

(9a + 1)a + 2a = 9a2 + 3a = 3a(3a + 1).

16. Vom nota cu u(n) ultima cifră a oricărui număr n c N*. Avem a = (3 + 32 + 33 + 34) + 34(3 + + 32 + 33 + 34) + … + 34n–4(3 + 32 + 33 + 34) = 120(3 + 34 + … + 34n–4) u u(a) = 0.

17. pabnabmab =+ u (100m + x)(100n + x) = 100p + x, unde x = ab u 10000mn + 100(m +

+ n) + x2 = 100p + x u u(x2 – x) = 0. Luăm x c {25, 76}.

18. a) y = x2 – x ≤ 9 u x c {1, 2, 3} u xy c {10, 22, 36}; b) y = x3 – x ≤ 9 u x c {1, 2} u

⇒ xy c {10, 26}; c) y = x4 – x ≤ 9 u x = 1 u xy = 10; d) x = y2 – y ≤ 9 u y c {1, 2, 3} u

⇒ xy c {22, 63}; e) x = y3 – y ≤ 9 u y c {1, 2} u xy = 62; f) x = y4 – y ≤ 9 u y = 1, x = 0

(fals).

19. xy = 11.

20. a = 830 – 7 $ 8(1 + 8 + 82 + … + 828) – 1 = 830 – 8(829 – 1) – 1 = 7; b = 91000 – 8 $ 9(1 + 9 + + 92 + … + 928) – 1 = 9100 – 9(999 – 1) – 1 = 8. Generalizare: A = xn – (x – 1)xn–1 – (x – 1)xn–2 – … – (x – 1)x – 1 = xn – (x – 1)x $ (1 + x + x2 + + … + xn–2) – 1 = xn – x(xn–1 – 1) – 1 = x – 1, unde x c N, n ≥ 2, n c N*.

21. Dacă abacc = n(n + 1)(n + 2) u n = xy , x ≥ 2, x ≤ 4. ObŃinem n = 22; 22 $ 23 $ 24 =

= 12144. 22. ab+c + ab + ac + 1 = 820 w (ab + 1)(ac + 1) = 22 $ 5 $ 41. Fie ab + 1 = x, ac + 1 = y. Din (x, y) c {(2, 420), (4, 205), (5, 164), (10, 82), (20, 41), (41, 20), (82, 10), (164, 5), (205, 4)} rezul-

tă x = 10, y = 82 sau x = 82, y = 10 u abc c {324, 342}. 23. Presupunem că n are 2k cifre, k c N*. Deoarece 5n < 10n şi 10n are 2k + 1 cifre, rezultă că 5n are 2k cifre sau 2k + 1 cifre. Cum n şi 5n au împreună un număr par de cifre, rezultă că 5n are tot 2k cifre. Dacă prima cifră a lui n este cel puŃin egală cu 2, atunci 5n are 2k + 1 cifre. Rezultă că prima cifră a lui n este 1. Analog se arată că prima cifră a lui n este 1 dacă n are 2k + 1 cifre, k c N. 24. Analog cu 23.

25. a) S(n) = a(1 + 11 + 111 + … + n

111...1���

) = 9

a(9 + 99 + 999 + … +

���

n

9...999 ) = 9

a[(10 – 1) +

+ (102 – 1) + … + (10n – 1)] = 9

a[10(1 + 10 + … + 10n–1) – n] =

9

a$

9

n91010 1n −−+

.

b) S(1) = a; S(2) = 12a; S(3) = 123a etc. 26. Dacă u(n) c {1, 3, 6, 8}, atunci u(2n + 1) c {3, 7} şi 2n + 1 nu este pătrat perfect. Dacă u(n) c {2, 4, 7, 9}, atunci u(3n + 1) c {7, 3, 2, 8} şi 3n + 1 nu este pătrat perfect. Rămâne u(n) c {0, 5} şi restul împărŃirii lui n la 5 este 0. 27. Dacă n = 2k + 3, atunci 2n + 4k = 22k+3 + 22k = 22k $ 9 = (3 $ 2k)2. Există şi alte soluŃii? 28. Fie a < b < c. Atunci există x, y c N*, x < y, astfel încât b = a + x, c = a + y. Rezultă că 13 $ 3n = 3a(1 + 3x + 3y), de unde x = 1, y = 2, n = a. ObŃinem b = a + 1, c = a + 2 şi deci a + c – – 2b = 0, de unde A = 0. Analog obŃinem A = 0 în cazurile a < c < b, b < a < c, b < c < a, c < < a < b, c < b < a. Dacă a = b < c, fie c = a + x, x c N*. ObŃinem 3a(2 + 3c) = 13 $ 3n, care nu are soluŃie în numere naturale etc.

92

29. Fie ���

n

1...111 = x. Atunci �

n

aa...a = ax şi 2n

111...1���

= ���

n

1...111 $ 10n + ���

n

1...111 = x(9x + 1) + x =

= 9x2 + 2x. Rezultă că A = 9x2 + 2x – ax este pătrat perfect pentru a = 2. Avem B = k2, k c N*, pentru b = 4. 30. Presupunem 0 ≤ m ≤ n. Atunci avem 2n ≤ 48 şi deci n ≤ 5. ObŃinem soluŃiile (0, 4), (0, 5), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (4, 4), (4, 5) şi încă 8 obŃinute prin permutări. 31. Cel mai mic număr natural care are suma cifrelor egală cu 36 este 9999, care însă nu este termen al şirului. Căutăm atunci cel mai mic număr de 5 cifre, care este termen al şirului şi are suma cifrelor 36. Cum acest termen are ultima cifră egală cu 5 sau 0, rezultă că numărul este 49995. 32. Numerele de două cifre sunt 17, 34, 51, 68, 85. Numerele de trei cifre sunt 517 şi 685. Ur-mătoarele numere sunt 6851 şi 68517. Cel mai mare număr cu proprietatea cerută este 68517. 33. Avem numerele 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 139, 265, 391, 526, 651, 913 etc. Nu există cel mai mare număr. De exemplu, putem lua numărul 1391391391391… . 34. a = 2n + 3, b = n + 2. 35. a = 3n + 2, b = n + 1. 36. b) A = x2n+1 – (x + 1) $ x2n + (x + 1) $ x2n–1 – (x + 1) $ x2n–2 + … +(x + 1) $ x – 1 = x2n+1 – – [(x + 1)(x2n – x2n–1 + x2n–2 – … – x] – 1 = x2n+1 – (x2n+1 + x2n – x2n – x2n–1 + x2n–1 + x2n–2 – … – – x2 – x) = x – 1. În cazul a) rezultă numărul 8. 37. a) Pentru n = 32 rezultă A = 64 $ 33 = 2112. b) A = 2n(2n + 1) – 2n(2n – 1) + (2n – 1)(2n – 2) – (2n – 2)(2n – 3) + … + 3 $ 2 – 2 $ 1 = = 2n(2n + 1 – (2n – 1)) + (2n – 2)(2n – 1 – (2n – 3)) + … + 2(3 – 1) u A = 2 $ [2n + (2n – 2) + + (2n – 4) + … + 2 + 1] u A = 4(1 + 2 + … + n) = 2n(n + 1).

38. Suma celor mai mici n numere naturale nenule distincte este 1 + 2 + 3 + … + n = 2

nn 2 +.

Deoarece 22

nn

2

4nn 22

=+

−++

, rezultă că avem doar soluŃiile (1, 2, 3, …, n – 1, n + 2),

(1, 2, 3, …, n – 2, n, n + 1). 39. Acelaşi procedeu ca la exerciŃiul 38. Se obŃin soluŃiile (1, 2, 3, …, n – 1, n + 3), (1, 2, 3, …, n – 2, n, n + 2), (1, 2, 3, …, n – 3, n – 1, n, n + 1). 40. Dacă a c {0, 3, 6, 9} rezultă că 3 | n. Dacă a c {0, 2, 4, 6, 8} rezultă 2 | n. Dacă a = 5 rezultă că 5 | n. Rămân de studiat n = 1. Avem 999999 = 7 $ 142857 şi

���

102

9....999 = M7 deoarece 102 =

= 6 $ 17. Cum 21 = M7 pentru a = 1 rezultă că 7 | n pentru a = 1. 41. a) Dacă x este impar, atunci [4, x] este număr par şi nu avem soluŃie. Fie x număr par. Dacă x = 4k, k c N*, obŃinem ecuaŃia 4k + 4k = 18 şi nu avem soluŃie. Dacă x = 4k + 2, k c N, avem ecuaŃia 4k + 2 + 2(4k + 2) = 18, de unde k = 1, x = 6. b) Dacă x = 2k + 1, avem 2k + 1 + 1 = 12 şi deci x = 11. Dacă x = 4k, avem 4k + 4 = 12 şi deci x = 8. Dacă x = 4k + 2, avem 4k + 2 + 2 = 12 şi deci x = 10. 42. Din 5n = 4 $ 5m + 25 rezultă n > m. Fie n = m + x, x c N*. ObŃinem 25 = 5m(5x – 4), de unde m = 2, x = 11 şi deci n = 3. 43. Din 3n = 6 $ 3m + 81 rezultă n > m şi deci n = m + x, x c N*. ObŃinem 81 = 3m+1(3x–1 – 2) şi deci m = 3, x = 2, n = 5.

44. a) Sn = 5(1 + 2 + … + n) + n $ 1 = .2

n7n5 2 + S'm = 3(1 + 2 + … + m) + m $ 10 =

= 23m 23m

.2

+ b) S'm ≥ Sn w 3m2 + 23m ≥ 5n2 + 7n u m ≥ n, n ≤ 4.

93

45. Avem an = 4n $ (1 + 4 + 16) = 21 $ 4n = 5 $ 4 $ 4n + 4n. Rezultă că restul împărŃirii lui an la 5 este restul împărŃirii lui 4n la 5. Dacă n = 2k + 1 avem 4n = 42k+1 = 4 $ (15 + 1)k = 4(M5 + 1) = = M5 + 4 şi deci restul este 4. Dacă n = 2k avem 4n = 16k = (15 + 1)k = M5 + 1 şi restul este 1. 46. Dacă n ≥ 1, m ≥ 1 avem u(15n) = 5, u(16m) = 1 şi atunci u(15n – 16m + 1) = 0. Cum penultima cifră a lui x = 15n – 16m + 1 nu este 0, avem 10 | 15n – 16m + 1 şi 100 P 15n – 16m + 1, adică 15n – – 16m + 1 nu este pătrat perfect. Dacă n = m = 0 avem x = 1. Dacă m = n = 1 avem x = 0. Dacă n = 1, m = 0 avem x = 15. Dacă n = 0, m = 1, avem x < 0. SoluŃiile sunt (0, 0) şi (1, 1). 47. Avem b > a şi deci b = a + k, k c N*. Rezultă 4a(4k – 1) = 3, de unde a = 0, k = 1, b = 1, x = = 1, c = 2.

48. Dacă avem n = k21 ak

a2

a1 p...pp ⋅⋅⋅ , unde p1, p2, …, pk sunt numere prime distincte, iar a1, a2, …,

ak c N*, atunci numărul divizorilor naturali ai lui n este dat de D = (a1 + 1)(a2 + 1)…(ak + 1). Ob-

servăm că avem a1 + 1 ≥ 2, a2 + 1 ≥ 2, …, ak + 1 ≥ 2. a) D = 4 u k = 1 sau k = 2. Avem n = p3 sau n = pq. Rezultă că n c {23, 33, 2 $ 3, 2 $ 5, 2 $ 7, 2 $ 11, 2 $ 13, 2 $ 17, 2 $ 19, 2 $ 23, 2 $ 29, 2 $ 31, 2 $ 37, 2 $ 41, 2 $ 43, 2 $ 47, 3 $ 5, 3 $ 7, 3 $ 11, 3 $ 13, 3 $ 17, 3 $ 19, 3 $ 23, 3 $ 29, 3 $ 31, 5 $ 7, 5 $ 11, 5 $ 13, 5 $ 17, 5 $ 19, 7 $ 11, 7 $ 13}. b) D = 6 u k = 1 sau k = 2 w n = p5 sau n = pq2 etc. c) D = 8 u n = p7 sau n = pq3 sau n = pqr, p, q, r numere prime etc.

49. În descompunerea numărului ab pot apare cel mult factorii primi 2, 3, 5. Dacă ab = 2n, atunci

n maxim este 6. Dacă ab = 2n $ 3p luăm n = 3, p = 2 sau n = 4, p = 1 sau n = 5, p = 1 sau n = 2, m = 1, p = 1. Numărul maxim de divizori este 12 şi se obŃine pentru 2n $ 3n $ 5p c {60, 72, 96}. 50. (ab + 1)(ac + 1)(ad + 1) = 765 = 32 $ 5 $ 7. Observăm că a ≥ 2. Fie b ≤ c ≤ d. Atunci 2 ≤ ab + 1 ≤ ≤ ac + 1 ≤ ad + 1. Fie ab + 1 = A, ac + 1 = B, ad + 1 = C. Pentru A, B, C avem soluŃiile (3, 3, 85), (3, 5, 51), (3, 15, 17), (5, 9, 17), de unde rezultă doar ab = 4, ac = 8, ad = 16. Pentru (a, b, c, d) obŃinem soluŃiile (2, 2, 3, 4), (2, 2, 4, 3), (2, 3, 2, 4), (2, 3, 4, 2), (2, 4, 2, 3), (2, 4, 3, 2). 51. Avem 3 | a, 3 | b, 7 | b, 7 | c, 11 | a, 11 | c, de unde 33 | a, 21 | b, 77 | c. Atunci c = 77. Pentru (a, b) avem cazurile (33, 21), (66, 21), (99, 21), (33, 21) (33, 42) (33, 63) (33, 84) (66, 63), (99, 42), (99, 84). 52. Observăm că (0, b) şi (a, 0) nu sunt soluŃii. Fie a ≥ b ≥ 1. Deoarece a | b + 1 avem a ≤ b + 1. Deci a – b c {0, 1}. Dacă a = b rezultă că a | a + 1 şi atunci a = b = 1. Dacă a = b + 1 rezultă că b | b + 2 şi deci b c {1, 2}. Dacă b = 1 rezultă a = 2, iar dacă b = 2 rezultă că a = 3. Avem în final soluŃiile (1, 1), (2, 1), (3, 2), (1, 2), (2, 3). 53. Fie n ≥ 2k. Atunci A = a(a + 2)n + (a + 2)2k = (a + 2)2k[a(a + 2)n–2k + 1]. Dacă n – 2k = 1 avem A = (a + 2)2k $ (a2 + 2a + 1) = [(a + 2)k $ (a + 1)]2. O soluŃie este deci n = 2k + 1. 54. Avem u(7n)4) = u(74n) = 1 u u(p) = 5 u p = 5 şi din 74n = 5764801 rezultă n = 2. 55. În membrul stâng numerele 1, 2, 3, …, n apar de n ori, n – 1 ori, …, o dată şi deci rezultă egalitatea. 56. Fie n = a + 1, a c N. Atunci A = 2n+3 $ 5n + 1 = 80 $ 10a + 1 = .89...888901...8000

1a2a����������

++

⋅= Cum

9 | A rezultă că 81 | A w 9 | �����

1a

89...888+

w 9 | a + 1 w a = 9k – 1, k c N w n = 9k, k c N.

57. Notăm ���

n

1...111 = x. Avem atunci a2x = bx şi a2 = b. Pentru (a, b) avem soluŃiile (1, 1), (4, 2),

(9, 3). 58. a) 2b = a3 + a2 + a + 1 w 2b = (a2 + 1)(a + 1) u a + 1 şi a2 + 1 sunt simultan de forma 2k. Pentru (a, b) avem soluŃiile (0, 0), (1, 2). b) Analog se obŃin soluŃiile (0, 0), (1, 1).

59. Fie A = �����

n2

ab...abab . Din 45 | A rezultă 5 | A, 9 | A. Din 5 | A rezultă b c {0, 5}. Din 9 | A

94

rezultă 9 | n(a + b). Dacă b = 0 rezultă 9 | na. Dacă 9 | n, atunci a este orice cifră nenulă. Dacă n ! M9, pentru 3 | n avem a c {3, 6, 9}, iar pentru n ! 3k avem a = 9. Dacă b = 5 rezultă că 9 | n(a + 5). Dacă n = M9, atunci a este orice cifră nenulă. Dacă n ! 3k, rezultă a = 4. Dacă 3 | n, 9 P n, luăm a c {1, 4, 7}. 60. Fie a =

���

n

1...111 . Avem A = 4a $ 10n–1 + 2a = 4a(9a + 1) + 2a = 36a2 + 6a = 6a(6a + 1) =

=

⋅

��������

nn

67...6666...666 .

61. Fie a = ���

n

1...111 . Avem A = 2a $ 102n + 3a $ 10n + a = a(2 $ 102n + 3$ 10n + 1). Divizorul de

2n + 1 cifre este 2 $ 102n + 3$ 10n + 1. 62. a) xyz = xy + z w (xy – 1)(z – 1) = 1 w xy = 2, z – 1 = 1. Avem soluŃiile (1, 2, 2), (2, 1, 2). Observăm că avem şi soluŃiile (0, y, 0), (x, 0, 0), x, y c N. b) SoluŃii particulare sunt (0, 0, 2), (0, 2, 0), (2, 0, 0). Pentru x ! 0, y ! 0, z ! 0, scriem ecuaŃia sub forma (x – 1)(y – 1)(z – 1) = 1, de unde rezultă soluŃia (2, 2, 2). 63. Fie d | 10n + 3, d | 15n + a. Atunci d | 3(10n + 3) – 2(15n + a) sau d | 2(15n + a) – 3(10n + + 3). Rezultă d | 2a – 9 pentru a ≥ 5 sau d | 9 – 2a pentru a ≤ 4. Luând d = 1 rezultă a c {4, 5}. 64. Deoarece m + 2, n + 1, n + 2 c N*, din enunŃ rezultă că există a, b c N* astfel încât n + 2 = = a(m + 2) şi m + 2 = b(n + 1), de unde n + 2 = ab(n + 1). Dacă a ≥ 2 sau b ≥ 2 rezultă că ab(n + 1) ≥ 2(n + 1) = 2n + 2 ≥ n + 2. ObŃinem a = b = 1 sau n = 0. În cazul a = b = 1 nu avem soluŃie. Dacă n = 0 rezultă m = 0. 65. Avem 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 3 $ 92 şi deci 1 ≤ (3k + 1)2 ≤ 3 $ 92 . ObŃinem k c {0, 1, 2, 3, 4} şi

atunci x2 + y2 + z2 c {1, 16, 49, 100, 169}. Rezultă xyz c {100, 608, 680, 806, 860}.

66. Din n + 2 | n + 7 rezultă n + 2 | n + 7 – (n + 2), adică n + 2 | 5. Rezultă n = 3, care verifică şi 3n + 2 | 6n + 15. 67. Fie A = n2 + n4 + n6 + …+ n2000 = n2(1 + n2 + n4 + … + n1998). Deoarece A este suma a 1000 de numere de aceeaşi paritate, rezultă că 2 | A pentru orice n c N*. Dacă 5 | n, atunci 10 | A. Presupunem că 5 P n. Fie B = 1 + n2 + n4 + … + n1998. Avem B = (1 + n2 + n4 + n6 + n8)(1 + + n10 + n20 + … + n1990). Fie C = 1 + n2 + n4 + n6 + n8. Dacă n = 5k ! 1, avem C = 1 + (M5 + 1) + + (M5 + 1) + (M5 + 1) + (M5 + 1) = M5 şi deci 5 | C. Dacă n = 5k ! 2, avem C = 1 + (M5 + 4) + + (M5 + 16) + (M5 + 64) + (M5 + 256) = M5 şi deci 5 | C. În concluzie 5 | A pentru orice n c ∈ N* şi deci 10 | A, pentru orice n c N*. 68. Fie a = 4. Avem A = 29n+4 $ 53n+1 + 1 = 2 $ 83n+1 $ 53n+1 + 1 = 2 $ 403n+1 + 1 = 2 $ (4 $ 9 + 4)3n+1 + + 1 = 2(M9 + 43n+1) + 1 = M9 + 26n+3 + 1 = M9 + 82n+1 + 1 = M9 + (9 – 1)2n $ 8 + 1 = M9 + + 8(M9 + 1) + 1 = M9 + M9 + 8 + 1 = M9. 69. Numărul este cel puŃin egal cu 6 $ 2 + 3 = 15. Se arată că numerele 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 nu îndeplinesc condiŃiile date. Numărul căutat este 22 deoarece 22 = 3 + 19 = 2 + 3 + 17 = = 5 + 5 + 5 + 7 = 2 + 5 + 5 + 5 + 5 = 2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 5 = 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 5 + 5. 70. Avem 27 |

���

n

3...333 w 9 | ���

n

1...111 w 9 | n. Atunci nmin = 9.

71. Dacă m şi n sunt impare, rezultă că 2 | mn – nm. Rezultă că unul dintre numere este par, adică este 2. Dacă n = 2, avem m2 – 2m = 1 şi rezultă m = 3. Dacă m = 2, rezultă 2n – m2 = 1, care nu are soluŃie. 72. 10 | a w u(23n) = 8 w 3n = 4k + 1, k c N*; 10 | b w u(7n) = 7 w n = 4m + 1, m c N*. ObŃinem 12m + 3 = 4k + 1 w 6m + 1 = 2k (imposibil). Singura soluŃie este n = 1. 73. Avem x2 + y2 + z2 c {1, 2, 13, 26}. Atunci rezultă că A = {100, 110, 101, 203, 230, 302, 320, 501, 510, 105, 150, 134, 143, 314, 341, 413, 431}.

95

74. Fie Dn = {1 = d1 < d2 < d3 < …< dm–1 < dm = n} mulŃimea divizorilor lui n, Avem d1dm = = d2dm–1 = d3dm–2 = … = dm–1d2 = dmd1 = n, iar d1 + d2 + d3 + …+ dm = n + 7. Rezultă că d2 + + d3 + …+ dm–1 = 6. Dar d2 ≥ 2, d3 ≥ 3, d4 ≥ 4, … ObŃinem d2 = 2, d3 = 4, n = 8. 75. Avem 170 = 132 + 1 şi atunci A = 1702n + 170n + a = (13 $ 13 + 1)2n + (13 $ 13 + 1)n + a = = M13 + 12n + M13 + 1n + a = M13 + a + 2 = M13 u a = 13k – 2, k c N*. 76. Dacă toate numerele ar fi numere impare, atunci suma lor este număr par mai mare decât 2 şi suma nu este număr prim. Unul dintre numere este 2. Exemple: (2, 3, 5, 7), (2, 3, 5, 13), (2, 5, 7, 17) etc.

77. Fie n = xyzt = a $ b $ c, unde a, b, c sunt numere prime cu a + b + c = 50, a < b < c. Rezultă

că a = 2, 3 ≤ b < c şi b + c = 48. Pentru (a, b, c) avem soluŃiile (2, 5, 43), (2, 7, 41), (2, 11, 37) şi deci n c {430, 574, 814}. Problema nu are soluŃie.

78. Dacă m21 am

a2

a1 p...ppn ⋅⋅⋅= , unde p1 < p2 < … < pm sunt numere prime a1, a2, …, am c N*,

atunci numărul divizorilor lui n este: D = (a1 + 1)(a2 + 1) … (am + 1). Avem a1 + 1≥ 2, a2 + 1 ≥ ≥ 2, …, am + 1 ≥ 2. a) Dacă D = 7, atunci m = 1 şi n = p6. Cel mai mic număr natural este 26, b) Dacă D = 8, atunci n = p7 sau n = pq2. Rezultă că n = min(27, 2 $ 32, 3 $ 22) = 12. c) Dacă D = 12, atunci n = p11 sau n = pq5 sau n = p2q3 sau n = pqr2, unde p, q, r sunt numere prime (distincte). Rezultă că n = min(211, 3 $ 25, 32 $ 23, 22 $ 3 $ 5) = 60. 79. Fie n ≥ 100, n = a3, n = 3b2, a, b c N*. Din a3 = 3b2 rezultă 3 | a3 şi deci 3 | a. Fie a = 3c, c c ∈ N*. Rezultă că 9c3 = b2. Din 9 | b2 rezultă b = 3d, d c N* şi atunci c3 = d2 = k6, k c N*, d = k3, a = 3b2 = 3 $ (3d)2 = 3 $ (3k3)2 = 27k6. Rezultă că nmin = 27 $ 26 = 1728.

80. Dacă x este cifră rezultă că y = z = x şi nu avem soluŃie. Dacă x = ab avem y = a + b ≤

≤ 18, 1 ≤ z ≤ 9. Rezultă că x + y + z = ab + a + b + z = 11a + 2b + z ≥ 11a + 2b + 1 şi 11a + + 2b + z ≤ 11a + 2b + 9. Din 11a + 2b ≤ 119 şi 11a + 2b ≥ 111 rezultă a = 9. ObŃinem 2b + + z = 21. Pentru (b, z) avem soluŃiile (9, 3), (8, 5), (7, 7), (6, 9). SoluŃia este x = 97. Dacă x =

= abc , rezultă a = 1, b c {0, 1}. Dacă x = c10 , atunci avem c10 + (1 + c) + z = 120, de unde 2c + z = 19. Pentru (c, z) obŃinem soluŃiile (5, 9), (6, 7), (7, 5), (8, 3), (9, 1). Rezultă că n c ∈ {106, 109}. 81. Avem pentru (n, m) soluŃiile (0, 0), (1,1), (2k, 0), k c N*. Fie n > m ≥ 2. Rămâne de analizat cazul n = 2k + 1, k c N*. Avem 32k+1 + 1 = 22m + b2 şi deci b = 2c. ObŃinem 32k + 32k–1 + … + 3 + + 1 = 22m–2 + c2 şi deci c = 2d + 1. Rezultă 32k–1 +32k–3 + … + 33 + 3 = 22m–4 + d(d + 1) u 5 $

⋅ 3(1 + 34 +38 + … + 32k–1) = 22m–5 +2

)1d(d + (imposibil, deoarece membrul drept nu este M15).

82. Avem soluŃiile (0, 0), (1, 2). Observăm că n "{2, 3, 4}. Fie n ≥ 5. Avem u(5n) = 5. Pentru m = 5k ± 1 avem u(m2 + 1) = u(25k2 ! 10k + 2) c {2, 7} şi nu există soluŃie. Observăm că m = = 5k nu este soluŃie, Pentru n = 2p avem 52p – m2 = 1 w (5p – m)(5p + m) = 1 u 5p – m = 5p + + m = 1 u m = 0 (fals). Pentru n = 2p + 1 şi m = 5k ! 2 rezultă 52p+1 = 25k2 ! 20k + 2 u ⇒ u(52p+1) = u(25k2 ! 20k + 2) u 5 = 2 sau 5 = 7 (fals). 83. Avem 6! $ 7! = 7! $ (2 $ 3 $ 4 $ 5 $ 6) = 7! $ (8 $ 9 $ 10) = 10! şi deci luăm m = 6, n = 10.

84. Avem ab = a + (a + 1) + (a + 2) + … + b w 10a + b = a + (a + 1) + (a + 2) + … + b w ⇔ 20a + 2b = (a + b) $ (b – a + 1) w a(a + 19) = b2 – b. Avem 20 ≤ a(a + 19) ≤ 252 şi deci 20 ≤ b(b – 1) ≤ 252, de unde 5 ≤ b ≤ 16. Se obŃin soluŃiile 15, 27.

166

= n 1 n 2 n 1 n 2 n 2 n 1

n n n 1 n 1

2 1 3 1 2 3 3 2 1

2 2 3 2 3

+ + + + + +

+ +

− − ⋅ − − +⋅ =

⋅ ⋅, D =

n 2 n 1

n 1 n

2 1 3 1

2 2 3

+ +

+

− −⋅ =

⋅

n 2 n 1 n 1 n 2

n 2 n

2 3 3 2 1

2 3

+ + + +

+

⋅ − − +

⋅.

Avem 1n1n

1n2n1n

32

12363

D

C++

+++

⋅

+−−⋅=

12362

322n1n1n

n2n

+−−⋅

⋅⋅

+++

+

13)12362(

2)12363(2n1n1n

1n2n1n

<⋅+−−⋅

⋅+−−⋅=

+++

+++

w 6n+2 – 2 $ 3n+2 – 2n+2 + 2 < 6n+2 – 3n+2 –3 $ 2n+2 + 3 w 2n+3 < 3n+2 + 1. Pentru n c {2, 3} ine-galitatea se verifică. Fie n = k + 3, k c N*. Avem 2n+3 = 2k+6 = 23 $ 2k+3 = 8 $ 2k+3 < 9 $ 2k+3 < < 9 $ 3k+3 = 3n+2 < 3n+2 + 1.

197. Avem b

)ac(c

a

)cb(b

c

)ba(a +=

+=

+w a2b(a + b) = b2c(b + c) = c2a(c + a) w a3b + a2b2 =

= b3c + b2c2 = c3a + c2a2. Dacă 0 < a ≤ b ≤ c avem a3b + a2b2 ≤ b3c + b2c2. ObŃinem a = b = c şi

atunci A = 24n

2n

4n4n4n

2n2n2n

a

1

a3

a3

cba

cba==

++

+++

+

+++

+++

. Luăm a = m

1, m c N*.

198. Deoarece a2 ≥ 0, b2 ≥ 0, c2 ≥ 0, avem a2 ≤ 64 şi deci a ≤ 8. Presupunem a ≥ b ≥ c. Atunci a3 + b3 + c3 ≤ a3 + ab2 + ac2 = a(a2 + b2 + c2) ≤ 8 $ 64 = 512. 199. Tripletele (1, n, n), (n, 1, n), n c Z sunt soluŃii. DemonstraŃi că nu mai sunt alte soluŃii. 200. (1, n, n), (n, 1, n), (n, –n, 0), n c Z sunt soluŃii.

GEOMETRIE

Capitolul I. DREAPTA

1. Dacă oricare trei puncte nu sunt coliniare obŃinem numărul maxim de drepte, anume 1 + 2

+ 3 + 4 = 10. În cazul a n puncte, n ≥ 2 , numărul maxim este 1 + 2 + … + (n – 1) = n(n 1)

2

−.

Dacă avem B c AC, D v AC, E v AC, avem 8 drepte: AB, AD, AE, BD, BE, CD, CE, DE. Dacă A, B, C, D sunt coliniare şi E v AB, avem 5 drepte: AB, AE, BE; CE, DE. Dacă toate punctele sunt coliniare, avem o singură dreaptă.

2. Dacă oricare 3 puncte nu sunt coliniare avem n(n 1)

2

− drepte. Dacă n – 1 puncte sunt coli-

niare şi unul nu este pe această dreaptă avem 1 + (n – 2) = n – 1 drepte. 3. Pentru oricare aşezare a punctelor A, B, C pe dreaptă, una din paranteze este nulă şi deci produsul este nul. De exemplu, pentru C c (AB) avem AC + CB – AB = 0. 4. Conform fig. 1 avem: a) AC + BD = (AB + BC) + (BC + CD) = (AB + + BC + CD) + BC = AD + BC. b) Fie AB = a, BC = b, CD = c. Avem AC = a + b, BD = b + c, AD = a + b + c. Atunci AD $ BC + AB $ $ CD = (a + b + c) $ b + ac = ab + b $ (b + c) + ac = = a(b + c) + b(b + c) = (a + b)(b + c) = AC $ BD. 5. Presupunem ordinea A – C – D – B (fig. 2). Notăm AC = a, CD = b, BD = c. Atunci AC $ BD = = AD $ BC w ac = (a + b)(b + c) w ac = ab + ac + + b2 + bc w b(a + b + c) = 0 (fals).

A B C D a b c

Fig. 1

A C D B a b c

Fig. 2

167

Dacă avem D c (AC) (fig. 3), atunci: AC $ BD = AD $ $ BC w (a + b)(b + c) = ac w b(a + b + c) = 0 (fals). Rămâne b = 0, adică C = D. 6. Fie AB = 2a.D = 2b, CB = 2x (fig. 4) Avem AC + BD = 2(a + x) + 2(b + x) = 2(a + b + 2x) = = 2 $ MN. 7. AB = a, AC = b, BC = a + b u A c (BC); CD = a + b – – c, BD = c u D c (BA). Ordinea este C – A – D – B (sau B – D – A – C).

8. AD BC BD BD

AB CD AB CD+ = + w

AD BD BD BC

AB CD

− −= w

AB CD

AB CD= .

9. Dacă A c (CB) (fig. 5), avem: CM = CB – MB = CB –

– AB 2CB AB

2 2

−= =

CB (CB AB) CA CB a b.

2 2 2

+ − + += =

Analog, pentru B c (AC) avem CM = 2

ba +.

Dacă C c (AM) (Fig. 6), avem CM = MA – CA =

= AB

2 – AC =

(AB AC) AC CB CA b a.

2 2 2

− − − −= =

Dacă C c (MB) 4 {M}, avem CM = b a

2

−. În toate cazurile avem CM =

| a b |.

2

±

10. Se analizează cazurile C c (AB), B c (AC), A c (BC). I. Luăm cazul B c (AC), P c (AB) (Fig. 7). Notăm AM = = BM = a, BN = CN = b, AC = 2(a + b), AP = CP = a + b.

Dacă Q este mijlocul lui (MN) avem MQ = a b

2

+, AQ = a +

+ a b 3a b

.2 2

+ += Dacă R este mijlocul lui (BP), avem PR =

a b

2

+, AR =

3a b

2

+.

II. Luăm apoi cazul B c (AC), P c [BC]. 11. Fie punctul O astfel încât A c (OB) (Fig. 8). Conform problemei 9) avem MN = ON – OM

= OC OB OA OB OC OA AC

2 2 2 2

+ + −− = = = PR. Atunci (MN) şi (PR) au acelaşi mijloc.

12. Avem OP = OA + AP = OA +

+ AB AB OA OA

2 2

+ += =

OA OB,

2

+=

OA OCON ,

2

+=

OB OCOM

2

+=

şi atunci OM ON OP

OA OB OC

+ +

+ +

OA OB OC1

OA OB OC

+ += =

+ +.

13. Presupunem C c (AD) (Fig. 10). Din AC $ AD = BC $ $ BD, rezultă că AC $ (AB – BD) = (AB – AC) $ BD w

A D C B a b c

Fig. 3

A B C

M

D

Fig. 4 N

A M

C Fig. 5

B

C M

A Fig. 6

B

A M B C

Fig. 7 N P

N P D

Fig. 8

M BV

C O A

B M C

Fig. 9

A PV

N O

A C D B

Fig. 10

168

⇔ AC $ AB – AC $ BD = AB $ BD – AC $ BD w AC = BD u AC + CD = BD + CD u AD =

= BC u AC AD 1 1

2.BD BC 1 1

+ = + =

14. Fie punctul O astfel încât A c (OB) (Fig. 11). Dacă P şi Q sunt mijloacele segmentelor (AB) şi

(MN), notând AB = a, avem OP = OA OB

2

+,

OQ = OM ON

2

+. Din OP = OQ rezultă OA + OB = OM + ON w 2 $ OA + AB = 2 $ OA +

+ OM + ON w a = ma + na w m + n = 1. 15. Dacă AB = a, avem AM = ma, AN = na, BM = (1 – m)a, BN = (1 – n)a. Atunci avem: a) m2a2 + n2a2 = (1 – m)2a2 + (1 – n)2a2 w 1 – 2m + m2 + 1 – 2n + n2 w m + n = 1. b) m2a2 + (1 – m)2a2 = n2a2 + (1 – n)2a2 w 2m2 – 2m + 1 = 2n2 – 2n + 1 w m2 – n2 – m + n = 0 w (m – n)(m + n –1) = 0 w m = n sau m + n = 1. 16. a) Avem AiAi+1 = 2 $ i – 1, 1 ≤ i ≤ 99. Atunci A1A100 = (2 $ 1 – 1) + (2 $ 2 – 1) + … + + (2 $ 99 – 1) = 2 $ (1 + 2 + … + 99) – 99 = 99 $ 100 – 99 = 9801; AiAj = A1Aj = A1Ai = 2 $ j – – 1 – (2 $ i – 1) = 2(j – i). b) Avem AiMi,j = Mi,jAj = j – i şi atunci A1Mi,j = A1Ai + AiMi,j = (2 $ 1 – 1) + (2 $ 2 – 1) + … + + [2 $ (i – 1) – 1] + (j – i)] = (i – 1)2 + j – i = i(i – 3) + j – 1. Rezultă că A1M1,j = A1M2,j = j – 3, A1M3,j = j – 1, A1M4,j = j + 3, A1M5,j = j + 9, A1M6,j = j + 18, A1M7,j = j + 27 etc. Dacă i ≥ 8, cum j > i, avem A1Mi,j ≥ 64 – 18 + 8 – 1 > 36. Din A1Mi,j = 36, pentru (i, j) avem soluŃiile (1, 39), (2, 39), (3, 37), (4, 33), (5, 29), (6, 18), (7, 9).

17. a) Avem AA1 = 2000

2, AA2 =

2

2000

2, AA3 =

3

2000

2, …, AAn =

n

2000

2. Atunci A4A5 =

= AA4 – AA5 = 4

2000

2 –

5

2000

2 =

5

2000

2=

125

2; A6A16 = AA6 – AA16 =

6

2000

2 –

16

2000

2 =

= 10

16

2000(2 1).

2

−b) AAn < 2 w

n

2000

2< 2 w 2n > 1000 w n ≥ 10.

18. Din ipoteza problemei avem figura 12. Notând AB = 2a, BC = 2b, rezultă că MB = MC = b, AM = MD = 2a + b, CN = ND = a, BN = NE = 2b + a, DE = 2b,

PM = PN = a b

2

+.

a) P c (MC) w MP < MC w a b

2

+ < b w a < b. Avem P = C w a = b, iar P c (CN) w a > b.

b) Avem AD

BE= n c N* w

4a 2b

2a 4b

+

+= n w a(2 – n) = b(2n – 1). Nu putem avea decât n = 1 şi

atunci a = b w AB = BC. c) Avem BD = 2(a + b), BR = DR = a + b w MR = a. Dacă b < a, atunci R c (CN). Dacă b = a, atunci R = C. Dacă b > a, atunci R c (MC). 19. Fie AB = ma, AC = na, CD = mb, BD = pb. a) Din AB = CD rezultă a = b. Atunci AC = = BD w na = pa, de unde n = p. b) Avem BC = (n – m)a, BC = (p – m)b, de unde rezultă că

b = n m

p m

−

−$ a. Atunci AC = 2 $ CD w na = 2m $

n m

p m

−

−$ a w n(3m – p) = 2n2. Luând p = 2m,

A M N B

Fig. 11

O

B C N D

Fig. 12

A E M

169

rezultă n = 2m şi avem tripletele (m, 2m, 2m), m c N*. 20. Sunt posibile 4 cazuri redate în figurile 13, 14, 15, 16.

Fie x lungimea segmentului (AD). Pentru Fig. 13 avem x = 2(m + n) < 20 w m + n < 10. Avem 2n + m < 20. Avem perechile (1, 1), (1, 2), …, (1, 8), (2, 1), (2, 2), …, (2, 7), (3, 1), (3, 2), …, (3, 6), (4, 1), (4, 2), …, (4, 5) etc. Pentru Fig. 14, 15, avem x = 2m + 2n – m = 2n + + m < 20. Pentru Fig. 16, avem x = 2(n – m) < 20 w n – m < 10. 21. a) Luăm N0 = P0 = A şi B = N20 = P15, deoarece 120 = 6 $ 20 = 8 $ 15. Atunci n = 20, p = 15. b) Avem c.m.m.m.c. al numerelor 6 şi 8 egal cu 24. Numerele naturale mai mici sau egale cu 120 divizibile cu 24 sunt: 0, 24, 48, 72, 96, 120. Atunci perechile (i, j) sunt (0, 0), (4, 3), (8, 6), (12, 9), (16, 12), (20, 15). c) Apar 5 segmente cu lungime 24, anume segmentele [N0N4] h ≡ [P0P3], [N4N8] h [P3P6], [N8N12] h [P4P9], [N12N16] h [P9P12] şi [N16N20] h [P12P15]. Pentru segmentul [N0N4], segmentul de lungime 2 este [N1P1]. Atunci vom avea în total 5 segmente: (N1P1), (N5P4), (N9P7), (N13P10), (N17P14). 22. a) Avem AN1 = a, AN2 = 2a, AN3 = 22a, …, ANn = 2n–1 $ a, AB = 2na. Din 2na = 256 = 28 rezultă că perechile (n, a) sunt (2, 64), (3, 32), (4, 16), (5, 8), (6, 4), (7, 2), (8, 1). b) Din 2i–1 $ a =

= 1

8$ 2n–2 $ a rezultă i – 1 = n – 5 şi deci i = n – 4. Perechile (i, n) sunt (1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8).

23. Dacă toate cele n puncte sunt coliniare, atunci oricare pereche de puncte formată din câte două puncte din cele n este soluŃie a problemei. Fie 2 ≤ m < n astfel încât m puncte sunt pe aceeaşi dreaptă d, iar celelalte n – m nu se află pe d. Atunci oricare două puncte din cele m formează o soluŃie a problemei. În cazul m = 1, două puncte din cele n – 1 îndeplinesc condiŃia cerută.

24. Avem AN1 = 1

3a, AN2 =

2

1

3a, AN3 =

3

1

3a, de unde rezultă AN20 =

20

1

3a. Atunci BN20 =

= 20

20 20

1 a(3 1)a 1

3 3

− − =

. Cum (320 – 1, 320) = 1, rezultă că valoarea minimă a lui a este 320.

25. a) Avem M0Mn = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2. Deoarece 143 < 144 = 122 ≤ n2 ≤ 182 = = 324 < 325, rezultă că n c {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}. b) Pentru n = 16 avem M0M16 = 256 şi atunci M0M = 128. Din (m – 1)2 < 128 < m2 rezultă că m = 12. 26. Fie AB = a, BC = b, CD = c (Fig. 17) a) Din AB + 3 $ BC + 5 $ CD = 4 $ AD, avem a + 3b + + 5c = 3(a + b + c), de unde a = c, adică AB = CD. b) Fie BM = x, CM = b – x. Avem AM $ MC = BM $

$ MD w (a + x)(b – x) = x(b – x + a), de unde x = b

2 şi deci M este mijlocul segmentului (BC).

27. Luăm AB = 12x, AC = 9x, AD = 11x (Fig. 18). Atunci CD = 2x, CN = x, AP = 6x, PC = 3x, NP = 4x. Rezultă că AB = 3 $ NP = 3 $ 3,5 = 10,5 cm.

D A

m n

Fig. 13 O

n mA

B C A D

Fig. 14

O B C

D A Fig. 15

O B C A D

Fig. 16

O B C

B

c

Fig. 17 A D

b a

C

Fig. 18

A P C

N B

D

170

28. Fie AB = a, BC = b, AM = BM = 2

a, BN = CN =

b

2. Avem trei cazuri date de a < b, a = b,

respectiv a > b. Fie a > b (Fig. 19). Fie E mijlocul lui (MN). Avem

MN = MB + BN = a b

2

+, ME = EN =

a b

4

+, AE =

= AM + ME = 3a b

4

+, PE = AE – AP =

3a b

4

+ –

– a b

2

+ =

a b

4

− şi deci E este mijlocul lui (PB).

29. Prin n puncte distincte şi oricare trei dintre ele necoliniare trec n(n 1)

2

− drepte. Cele m

puncte cu oricare trei necoliniare ar determina m(m 1)

2

− drepte, însă ele determină una singură.

Avem n(n 1)

2

− –

m(m 1)

2

− + 14 = 61 w (n – m)(n + m – 1) = 120. Cum n – m < n + m – 1,

pentru (n – m, n m – 1) avem perechile (1, 120), (2, 60), (3, 40), (4, 30), (5, 24), (6, 20), (8, 15), (10, 12), de unde pentru (n, m) avem soluŃiile (61, 60), (22, 19), (15, 10), (12, 2). 30. Dacă din cele 13 puncte, oricare trei puncte sunt necoli-niare, atunci numărul dreptelor este 1 + 2 + 3 + … + 13 = = 13 $ 14 : 2 = 91. Dacă avem exact trei puncte coliniare, atunci numărul dreptelor este 91 – 2 = 89. Dacă avem exact 4 puncte coliniare, atunci numărul dreptelor este 1 + 9 $ 4 : : 2 + (1 + 2 + 3 + … + 9) = 64. Dacă avem exact 5 puncte coliniare, atunci numărul dreptelor este 1 + 8 $ 5 : 2 + (1 + + 2 + … + 8) = 57. Dacă punctele A1, A2, A3 sunt coliniare, punctele A2, A4, A5, sunt coliniare, iar oricare două din celelalte 8 puncte împreună cu oricare punct dintre punctele A1, A2, A3, A4, A5 (Fig. 20) nu sunt puncte coliniare, atunci numărul dreptelor este 4 + (1 + 2 + … + 8) + 8 $ 5 : 2 = 60. Numerele sunt 89 şi 57.

Capitolul II. UNGHIURI

1. a) Notăm cu m('AOB) = x (în grade). Problema are soluŃie numai dacă x(1 + n + n + 2 + a + 5) = 180 w w x(2n + a + 6) = 180. Avem B, O, D coliniare w w (m + n + 2)x = 180 şi (a + 5 + 1)x = 180 w (n + 1)x = = 90 şi (a + 6)x = 180. Cum x | 90, x | 180, 10 < x < 40, rezultă că x c {15, 30}. Dacă x = 15 ave, n = 5, a = 6. Dacă x = 30 avem n = 2, a = 0 (fals). b) Pentru n = 5, a = 6, punctele B, O, D, respectiv punc-tele A, O, C sunt coliniare. Atunci 'MON, 'NOP, 'POR şi 'ROP sunt unghiuri drepte (Fig. 21).

Fig. 19

A M P B N C

E

A1

A2

A3 A4

A5

Fig. 20

N

O C

P

D R

A

B

M

Fig. 21

171

2. Notăm m('AOB) = a şi m('BOC) = b (în grade).

Avem a b

2

+ = 18° şi deci a + b = 36°. Rezultă că 4(a +

+ b) < 4a + 5b < 5(a + b), de unde 144° < 4a + 5b < 180°.

3. Avem m('AOE) = m('DOE) = 180 120

2

° − ° = 30°

(Fig. 22), m('AOB) = 90° – 60° = 30°, m('BOC) = = 150°, m('CON) = 150° : 2 = 75°, m('COP) = 120° : : 2 = 60°, m('NOP) = 135°. 4. Dacă C este punct interior unghiului 'AOD (Fig. 23)

avem m('AOC) = 3x, m('COD) = 2x, m('BOD) =4x

3.

Din 3x + 2x + 4x

3 = 85°, rezultă x = 15°. Atunci

m('AOC) = 60°. Dacă D ∈ Int('AOC), avem m('AOC) = 3n, m('AOD) = n, m('COD) = 2n,

m('BOD) =4n

3 < 2n = m('COD) (fals).

5. a) Fie m('AOC) = x, m('AOD) = m('BOD) = y. Avem x + 2y = 70° $ 2 = 140° şi x + y = 90°. ObŃinem y = 50°, x = 40°. b) Avem m('NOC) = 20°, m('BOP) = 25°, m('NOP) = = 140° – (20° + 25°) = 95°. 6. a) Din (2b)2 < 180, b c N rezultă bmax = 6 şi deci a = = 54. Unghiul cerut are măsura de (90° + 54°) : 2 = 72°.

b) Avem 1

1m

−

$ 54° +

11

n −

$ 90° = 108° (Fig. 25)

w3 2

2m n+ = , de unde m ≥ 2, n ≥ 3, m =

3n

2n 5−.

Din 2n – 5 | 3n, rezultă 2n – 5 | 2 $ 3n – 3(2n – 5) şi deci 2n – 5 | 15. Pentru (n, m) avem soluŃii-le (3, 9), (4, 4), (5, 3), (10, 2).

7. a) Măsura în grade a fiecărui unghi este 360 180

2n n= . Din n c N, n ≥ 2,

180

n c N, rezultă că

n c {2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180}. b) Măsurile unghiurilor congruente în cazurile de mai sus în grade sunt date de m c A, unde A = {90, 60, 45, 36, 30, 20, 18, 15, 12, 10, 9, 5, 4, 3, 2, 1}. Se cere ca ecuaŃia mp = 90, unde m c A, să aibă soluŃii naturale. ObŃinem m c {90, 45, 30, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 4, 3, 2, 1} şi atunci n c {2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, 90}. 8. a) Din a + b = c + d şi ab = cd rezultă ab = c(a + b – – c) w (a – c)(b – c) = 0 (Fig. 26). Cum a ! c, avem b = = c, a = d, m = n = 1. Toate expresiile au valoarea 1. b) Avem m('AOC) = m('BOD) = b. Dacă (OE şi (OF sunt bisectoarele unghiurilor 'AOC şi 'BOD avem

O A

B

D

C

Fig. 22 E P

N

O A

D C

Fig. 23

E B

D

Fig. 26

C

A O

B

B Fig. 24

C

N A D P

O

A

Fig. 25

N B

C O

P

4

Cuprins

EnunŃuri SoluŃii

ALGEBRĂ Capitolul I. NUMERE NATURALE. DIVIZIBILITATE .................................. 5 90

Capitolul II. NUMERE RAłIONALE POZITIVE ........................................... 13 100

Capitolul III. RAPOARTE ŞI PROPORłII ...................................................... 23 116

Capitolul IV. NUMERE ÎNTREGI ................................................................... 33 127

Capitolul V. PROBLEME RECAPITULATIVE .............................................. 39 136

Capitolul VI. PROBLEME PENTRU CONCURSURI ..................................... 47 147

GEOMETRIE

Capitolul I. DREAPTA ..................................................................................... 64 166

Capitolul II. UNGHIURI ................................................................................... 67 170

Capitolul III. CONGRUENłA TRIUNGHIURILOR ....................................... 70 173

Capitolul IV. PERPENDICULARITATE ......................................................... 72 175

Capitolul V. PARALELISM ............................................................................. 74 178

Capitolul VI. PROPRIETĂłI ÎN TRIUNGHIURI ........................................... 76 182

Capitolul VII. PATRULATERE. PARALELOGRAMUL ............................... 79 188

Capitolul VIII. DREPTUNGHI. ROMB. PĂTRAT. TRAPEZ ......................... 81 191

Capitolul IX. COLINIARITATE, CONCURENłĂ ......................................... 84 198

Capitolul X. INEGALITĂłI GEOMETRICE .................................................. 86 201

Capitolul XI. ARII ............................................................................................. 88 204

BIBLIOGRAFIE ........................................................................................................ 208