12-elemente de fizica nucleului si problema

12. Elemente de fizica nucleului 520

12. ELEMENTE DE FIZICA NUCLEULUI 12.1. Caracteristicile nucleului atomic Nucleul unui atom este încărcat cu întreaga sarcină electrică pozitivă a atomului şi ocupă centrul acestuia concentrând practic toată masa atomului. Nucleul este alcătuit din două tipuri fundamentale de particule stabile, protonul şi neutronul, numite nucleoni. Protonul are sarcina electrică e+ , masa de repaus egală cu 1836 mase electronice, numărul cuantic de spin 2/1 , iar momentul magnetic este

, unde NP 793,2 μ=μe

N m2eh

=μ este magnetonul nuclear.

Neutronul este o particulă neutră din punct de vedere electric, masa sa de repaus este practic egală cu masa protonului, numărul cuantic de spin este , iar momentul său magnetic este

2/1Nn 91,1 μ−=μ .

Numărul de protoni din nucleu numit număr atomic , determină numărul de ordine al elementului chimic căruia îi aparţine nucleul în tabelul periodic al lui Mendeleev. Numărul total de nucleoni este denumit număr de masă

Z

A , iar: ZAN −= (12.1)

reprezintă numărul de neutroni din nucleu. Ţinând cont de aceste notaţii, orice nucleu poate fi reprezentat sub forma , unde este simbolul elementului

chimic căruia îi aparţine nucleul. Un nucleu cu un număr de protoni şi de neutroni fixate se mai numeşte nuclid. Nuclizii cu acelaşi se numesc izotopi, cei cu acelaşi

XAZ X

ZN Z

A se numesc izobari iar cei cu acelaşi se numesc Ni fiizotoni ii cu ace i numere , dar având proprietăţ ferite . Nucliz leaş N şi Z zice di


(de exemplu, stabilitatea) se numesc iz . Iată câteva exemple de nuclizi: H11

este nucleul hidrogenului, He4 este nucleul heliului, Li8 este nucleul litiu

C12 este unul din izotopii carbonului.

În natură se întâlnesc toate eleme

omeri

ntele cu numă ic cuprins într

2 3

rul atom

lui,

e 1 l:

6

Zbţ(hidrogen) şi 92 (uraniu), cu excepţia a două elemente o inute artificia

techneţiu ( )Z = şi promeţiu 43 ( )61Z = . Elementele care au 92Z > , numite transuranie ucleare, sunt instabile ş timp de viaţă foarte mic. Până la mij

ne, obţ ţii n i au un

locul tabe iodic al elementelor, nucleele au aproxim

inute doar prin reac

lului per ativ acelaşi număr de protoni şi neutroni dar, pe măsură ce Z creşte, numărul neutronilor depăşeşte numărul protonilor, astfel încât la fi lul tabelului lui

Mendeleev se ajunge ca

na

6,1N= .

Masa unui nucleu atZ

ă în unităţi atomice de m să (a.m.u), reprezint

e că nucleele au un volum bine delimitat şi acceptând

, exprim a ă

că

n rul întreg cel mai apropiat de raportul dintre masa atomului căruia îi aparţine nucleul (se consideră că masa electronilor este neglijabilă în raport cu masa nucleului) şi 12/1 din masa izotopului C12

6 , care reprezintă tocmai unitatea

atomică de m kg1066,1amu1 27−⋅=

Constatându-s

umă

asă, .

nucleul are formă sferică, s-a ajuns, într-o primă aproximaţie, la o dependenţă a razei nucleului R de numărul de masă A de forma:

30 ArR = (12

, este raza unui nu siderat de asem

e poate astfel calc densitate medie a materiei nucleare

.2)

enea

luând

unde

1≅

( ) 15105,12,1r0−⋅÷∈ cleon, conm

ula o sferic. S

m104,r 150

−⋅

3kgm−1730

.nucl 102

3

r4

amu1

4

A⋅≅

π=

×=ρ .

3

3R

amu1

π(12.3)


Se poate observa cât de mare este densitatea nucleară în comparaţie cu densitatea substanţei în genere. (Plumbul, de exemplu, are densitatea

). 33 kgm109,13 −⋅=ρ

Momentul cinetic total al nucleului, Ir

, numit spin nuclear, reprezintă suma vectorială a momentelor cinetice orbitale şi de spin ale tuturor nucleonilor care compun nucleul. Cuplajul este de tip jj

rr− , cuplându-se, mai întâi, momentul

cinetic orbital şi de spin s pentru fiecare nucleon în parte, rezultând lr r

sjr

lrr+=

şi apoi prin însumarea tuturor momentelor nucleonice jr

se obţine spinul nuclear I

r:

. (12.4) ∑= ijr

Ir

Nucleul are şi un moment magnetic dipolar Iμr , asociat spinului nuclear I

r.

Orice nucleu prezintă o barieră de potential. În general, aceasta este o groapă de potential de înălţime finită, mărginită de o barieră propriu-zisă a cărei formă este determinată de tipul de particulă care părăseşte nucleul (proton, neutron, particule α ). Pentru protoni şi particule α , bariera de potenţial este de tip coulombian. La formarea unui nucleu se eliberează o cantitate de energie numită energie de legătură. Cu cât energia de legatură este mai mare, cu atât nucleul este mai stabil.

EΔ

Energia de legătură se calculează pornind de la defectul de masă care se înregistrează la formarea nucleului, calculat ca diferenţa dintre suma maselor nucleonilor care compun nucleul, luaţi ca particule libere, şi masa nucleului rezultat:

mΔ

( )Xnp A

ZMmZAZmm −−+=Δ . (12.5)

Atunci, conform relaţiei lui Einstein, energia de legătură a nucleului este:

. (12.6) 2mcE Δ=Δ

Dacă se defineşte energia de legătură per nucleon, ε :

AEΔ

=ε (12.7)


şi se reprezintă funcţie de numărul de masă A (Fig. 12.1) se constată că aceasta prezintă maxime pentru nucleele , care sunt foarte stabile. O16

8,C,He 126

42

Fig. 12.1

Cea mai mare energie de legătură per nucleon se atinge în jurul valorii

, 60A = MeV8,8max ≅ε,7, iar până la sfârşitul tabelului periodic, aceasta scade

lent, până la aproximativ . MeV6 Pentru a putea înţelege mai bine proprietăţile nucleelor trebuie discutate caracteristicile forţelor care acţionează între nucleoni, numite forţe nucleare. Forţele nucleare, care asigură constituirea şi stabilitatea nucleelor, nu sunt forţe de natură gravitaţională (forţa gravitaţională dintre doi nucleoni este de ordinul a ) şi deoarece acestea acţionează şi între particule fără sarcină, (neutron – neutron) sau între un neutron şi un proton, forţele nucleare nu pot fi nici de natură electrostatică. Se poate observa, de altfel, că doi protoni aflaţi la o distanţă aproximativă de se resping cu o forţă de ordinul a . S-a considerat deci că forţele nucleare sunt de o altă natură, iar interactiile dintre nucleoni au fost numite interacţii tari.

N102 26−⋅

m10 15− N2

Se poate estima care trebuie să fie ordinul de mărime al forţelor nucleare folosindu-se relaţiile de incertitudine ale lui Heisenberg. Astfel, considerându-se nucleonul localizat în interiorul nucleului, ceea ce revine la o nedeterminare în poziţie de ordinul , impulsul minim al nucleonului trebuie să fie de ordinul , ceea ce conduce la energia cinetică a unui nucleon,

m10r 150

−=

0r/h

( )MeV10~

2h

~Ec mr/

p

20 . În aceste condiţii, energia potenţială a unui nucleon


aflat în câmpul de forţe creat de ceilalţi nucleoni, trebuie să fie, în valoare absolută, cu mult mai mare de astfel încât nucleonul să fie puternic legat în nucleu.

MeV10

Ştiind că energia potenţială a unui electron din atom este de ordinul eV , ne putem da astfel seama că interactiile tari sunt cu mult mai puternice decât interacţiile electromagnetice întâlnite la nivel microscopic. Toate datele experimentale asupra nucleelor şi reactiilor nucleare au condus astfel la stabilirea unor caracteristici ale forţelor nucleare, cele mai importante dintre acestea fiind:

- forţele nucleare sunt forţe de atracţie independente de sarcina electrică; - forţele nucleare au o rază mică de acţiune ( )m105,1~ 15−⋅ şi prezintă caracter de saturaţie; - forţele nucleare depind de orientarea spinului nucleonilor; - nu sunt forţe centrale; ele depind însă de distanţa dintre nucleoni r după o lege de tipul nr − , cu n . 2>

Conform ipotezei lui Yukawa (1935), forţele nucleare sunt forţe de schimb, nucleonii schimbând între ei nişte particule instabile a căror masă este cuprinsă între masa electronică şi masa nucleonică şi de aceea au fost numite mezoni. Este vorba despre mezonii de tip π , numiţi pioni, care alcătuiesc un triplet . 0,, πππ −+

Interacţiile de schimb ale nucleonilor pot fi reprezentate prin reacţii de tipul:

(12.8)

nn

pp

np

pn

010

10

011

11

10

11

11

10

π+→

π+→

π+→

π+→

+

−

.

Trebuie menţionat că mezonii π au fost puşi în evidenţă abia 12 ani mai târziu de la data introducerii lor ca particule virtuale de către Yukawa, prezenţa acestora fiind detectată în radiaţia cosmică de către Powell, Lattes şi Ochiallini. S-a constatat că mezonii şi π au masa de repaus egală cu şi timpul de

viaţă de aproximativ iar mezonul are masa de repaus egală cu

+π

6,2 ⋅

−

s8−em 273

10 0π


em 264 , timpul său de viaţă fiind mai mic de . Numărul cuantic de

spin al pionilor este .

s104 16−⋅

0s = 12.2. Modele nucleare Studiile asupra proprietăţilor nucleelor şi fenomenelor nucleare, în general, au condus la elaborarea unor modele nucleare pe baza cărora să se poată explica unitar comportarea nucleelor. Există două modele nucleare clasice mai importante: modelul nuclear în picătură şi modelul păturilor nucleare precum şi un model care îmbină unele din caracteristicile celor două, dar explică şi alte proprietăţi ale nucleului decât acestea, şi anume, modelul generalizat al nucleului. Modelul nucleului în picătură, conform căruia nucleul are o comportare asemănătoare cu o picătură de lichid, se bazează pe următoarele proprietăţi ale nucleului: • Nucleul are un volum bine delimitat; • Numărul de nucleoni din unitatea de volum, distanţa medie dintre nucleoni şi

densitatea materiei nucleare au aceleaşi valori pentru toate nucleele; • Forţele de legătură dintre nucleoni sunt forţe cu rază mică de acţiune, ele

exercitându-se numai între un număr limitat de nucleoni; • Nucleonii din stratul superficial exercită o tensiune superficială, la fel ca

moleculele din stratul de la suprafaţa unei picături de lichid. Conform acestui model, nucleul este presupus a fi o picătură sferică de lichid nuclear incompresibil şi care este încărcat electric cu sarcină pozitivă. Pe baza modelului în picătură se pot explica apariţia energiei de legătură a nucleului precum şi reacţiile nucleare, fisiunea şi fuziunea. Nu se poate însă face nici un fel de evaluare asupra niveleleor energetice ale nucleului. Pentru obţinerea acestora şi confruntarea rezultatelor cu experienţa s-a elaborat modelul în pături. Acest model are la bază aserţiunea că fiecare nucleon se deplasează într-un potenţial mediu creat de toţi nucleonii. Acest potenţial este de forma unei gropi


simetrice dreptunghiulare în cazul nucleelor grele şi parabolice în cazul nucleelor uşoare. Stările staţionare ale nucleonilor aflaţi în groapa de potenţial a nucleului sunt caracterizate de un set de numere cuantice care sunt ataşate aceloraşi mărimi ca în cazul atomului: energie, moment cinetic orbital, moment cinetic de spin precum şi proiecţiile acestor momente pe o axă fixă. Aceasta revine la atribuirea unui set de numere cuantice pentru fiecare stare staţionară a unui nucleon. Momentele cinetice orbital şi de spin ale unui nucleon se cuplează conducând la momentul cinetic total al nucleonului j

r şi apoi printr-un cuplaj jj

rr− se obţine

momentul de spin al nucleului Ir

. Calculele conduc la concluzia ca nucleul este organizat în pături distincte de energie, numărul maxim de neutroni şi protoni dintr-o pătură fiind, în ordinea crescătoare a numărului păturii nucleare, dat de valorile: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, numite numere magice. Rezultatul absolut remarcabil al acestui model este faptul că nucleele pentru care sau/şi iau valori din şirul numerelor magice, au o largă răspândire naturală, fiind extrem de stabile. În schimb, nucleele pentru care sau N diferă cu o unitate faţă de unul din numerele magice, sunt instabile şi abundenţa lor naturală este redusă.

Z N

Z

Datorită faptului că anumite date experimentale nu au putut fi explicate doar cu ajutorul unuia din cele două modele anterior mentionate, s-a elaborat modelul generalizat sau modelul unificat al nucleului. După cum o arată şi numele său, acest model îmbină unele din caracteristicile celor două modele, unele proprietăţi ale nucleului fiind explicate cu ajutorul modelului în pături, în special comportarea nucleonilor din pătura externă, care este de tip uniparticulă, cât şi unele particularităţi specifice modelului în picătură (nucleul are un miez ai cărui nucleoni au o mişcare colectivizată). Cu ajutorul modelului unificat a fost explicată apariţia nivelelor energetice de rotaţie la nucleele cu pături externe incomplete, acestea fiind nuclee care nu prezintă simetrie sferică, precum şi existenţa spectrelor de vibraţie la unele nuclee. S-au obţinut, de asemenea, estimări mai exacte ale spinilor nucleari precum şi ale momentelor magnetice de dipol şi de cuadripol ale unor nuclee.


12.3. Transformări ale nucleului

Nucleele care îşi menţin structura şi proprietăţile o perioadă îndelungată de timp sunt catalogate drept stabile. Există însă nuclee care sunt instabile, fie în mod natural, caz în care avem de-a face cu o transformare a nucleului care poartă numele de radioactivitate naturală, fie instabilitatea nucleului este provocată de cauze externe, aşa cum este cazul reactiilor nucleare. Dacă instabilitatea nucleului se manifestă doar prin trecerea acestuia de pe un nivel energetic pe altul, atunci avem de-a face cu procese de excitare sau dezexcitare, după cum nucleul absoarbe sau emite o cantitate de energie. În cazul acestor procese, nucleul îşi menţine identitatea reprezentată simbolic prin notaţia

. XAZ

Toate procesele definite mai sus, numite, într-un cuvânt, transformări nucleare, au loc cu conservarea mărimilor fizice care definesc sistemul alcatuit din nucleele şi particulele implicate în proces, printre care enumerăm: energia, impulsul, sarcina electrică, spinul. În cele ce urmează vom discuta radioactivitatea naturală şi legile ei precum şi reacţiile nucleare.

12.4. Radioactivitatea naturală. Tipuri de dezintegrări. Familii radioactive. Legea dezintegrării

Radioactivitatea naturală desemnează orice fenomen de emisie spontană a diferitelor particule de către nuclee. Procesul propriu-zis, prin care un nucleu emite o particulă şi trece în alt nucleu mai stabil, se numeşte dezintegrare. Se cunosc trei tipuri de particule emise de nucleele radioactive: şi βα, γ . Dezintegrările şi conduc la schimbarea structurii nucleului, pe când radiaţia

preia doar excesul de energie din nucleu. α β

γ

Dezintegrarea constă în emisia de către nucleele grele, cu , a unei particule alcatuită din 2 protoni şi doi neutroni, notată . Particula

reprezintă de fapt un nucleu de heliu şi de aceea se mai notează şi cu .

α 210A >

He42

α42 α


Emisia unei particule α este o transformare nucleară care poate fi reprezentată prin formula de deplasare radioactivă:

. (12.9) α+→ −−

42

4A2X

AZ YX

Se consideră că particula α preexistă emisiei sale din nucleu, procesul de emisie propriu-zis constând într-o tunelare a barierei de potenţial a nucleului. Particulele au în urma emisiei energii cinetice de ordinul MeV , dar fiind particule grele , în urma ciocnirilor cu atomii substanţei pe care o străbat ele îşi pierd rapid energia. Se poate spune deci că particulele

α( 4A = )

α au o mare putere de ionizare, şi în consecinţă, sunt foarte puţin penetrante. În aer, de exemplu, parcursul al unei particule R α depinde într-o primă aproximaţie, de energia cinetică a particulei după legea:

( ) ( )MeVE3,0cmR 2/3α≅ . (12.10)

Se poate vedea că pentru de ordinul MeV parcursul în aer este de ordinul centimetrelor (pentru E

αE 1MeV=α , R = ). cm3,0

Dezintegrarea constă în emisia de către un nucleu a unei particule care

poate fi , care este un electron sau o particulă , care este antiparticula asociată electronului, şi anume pozitronul.

β−β +β

Aceste procese se pot reprezenta, în principiu, prin formula de deplasare radioactivă:

(12.11) .YX

YXA1Z

AZ

A1Z

AZ

+−

−+

β+→

β+→

Dezintegrările şi sunt însoţite, în general, şi de alte procese la care participă nucleul şi un electron din atom. Astfel, nucleul excitat rezultat în urma unei dezintegrări poate transmite surplusul de energie unui electron de pe pătura periferică a atomului care este astfel expulzat din atom. Acest proces se numeşte conversie internă. De asemenea, nucleul poate capta un electron de pe pătura internă a atomului, procesul numindu-se captură

−β +β

β

K .


Examinând relaţiile deplasărilor radioactive (12.11) şi ţinând cont de faptul că energia nucleelor este cuantificată, se poate trage concluzia că particulele şi

respectiv sunt monoenergetice. Experimental, însă, s-a constatat că spectrul

particulelor este continuu, acestea având orice energie cuprinsă între şi (Fig. 12.2).

+β

0

−β

β−

maxEβ

Fig. 12.2

S-a presupus astfel că particulele nu sunt singurele particule emise într-o astfel de dezintegrare şi s-a emis ipoteza (Pauli, 1931) că acestea sunt însoţite de nişte particule, botezate neutrini, care împart cu particula

±β

β energia rezultată în urma dezintegrării. Aceste particule, fără sarcină şi de masă practic nulă, sunt neutrinul electronic, notat , care însoţeşte dezintegrarea : 0

eν+β

(12.12) 0e

A1Z

AZ YX ν+β+→ +

−

şi antineutrinul electronic , care însoţeşte dezinte-grarea : 0e

~ν −β

. (12.13) 0e

A1Z

AZ

~YX ν+β+→ −+

Apariţia neutrinilor electronici este asigurată de existenţa proceselor de transformare a unui proton într-un neutron şi invers:

(12.14) .~pn

np0e

11

10

0e

10

11

ν+β+→

ν+β+→

−

+


Ulterior, descoperirea experimentală a neutrinilor electronici a validat acest model. Trebuie să menţionăm că numărul de ioni produşi de o particulă pe

unitatea de parcurs este în general, cu peste mai mic decât în cazul particulelor . Aceasta face ca particulele

β32 1010 ÷

α β , a căror energie este tot de ordinul , să fie mult mai penetrante decât particulele MeV α , parcursul lor fiind în metale

de ordinul milimetrului, iar în aer de ordinul zecilor de centimetri. Dezintegrarea γ . În majoritatea cazurilor, după o dezintegrare α sau β , nucleul rămâne excitat şi emite surplusul de energie sub formă de fotoni cu energia de ordinul MeV , adică în domeniul al radiaţiilor electromagnetice. γ Dezintegrarea γ se reprezintă prin legea de transformare:

(12.15) γ+→ XX AZ

*AZ

asteriscul indicând faptul că nucleul iniţial este excitat. Radiaţia este extrem de puţin ionizantă dar foarte penetrantă faţă de

radiaţia sau β , parcursul său în aer fiind de ordinul a iar în plumb doar de câţiva centimetri.

γ

α m102

Familii radioactive. Nucleul rezultat în urma unei dezintegrări radioactive poate fi, la rândul său, radioactiv şi prin dezintegrare să dea naştere unui alt nucleu radioactiv ş.a.m.d. Se obţine, în acest fel, o familie radioactivă alcatuită din nuclee instabile ce rezultă unul din altul, capul familiei dând numele acesteia. Se cunosc trei familii radioactive naturale, independente una faţă de alta: familia uraniului, având capul de serie izotopul , familia thoriului, cu capul de

serie şi familia actiniului care începe cu .

U23892

Th23290 Ac235

89

Există şi o familie radioactivă artificială, a neptuniului, care începe cu izotopul obţinut artificial . Np237

93

Legea dezintegrării. Dezintegrarea radioactivă este un act individual caracteristic fiecărui tip de nucleu radioactiv în parte. Fiind dat un ansamblu de nuclee radioactive de acelaşi tip nu se poate preciza când se va dezintegra fiecare nucleu în parte ci doar care este probabilitatea ca un nucleu din ansamblu să se dezintegreze în unitatea de timp. În acest sens dezintegrarea radioactivă este un fenomen cu caracter statistic, iar probabilitatea de dezintegrare în unitatea de


timp, notată cu λ , este o caracteristică a fiecărui tip de nucleu radioactiv şi de aceea ea se mai numeşte constantă de dezintegrare radioactivă. Pentru a vedea cum variază în timp numărul de nuclee radioactive datorită dezintegrării lor, să considerăm un ansamblu de N nuclee radioactive dintre care, în intervalul de timp d se dezintegrează un număr de nuclee dN inând cont de probabilitatea de dezintegrare în unitatea de timp

t , . Ţλ :

NdtdN

−=λ . (12.16)

se obţine:

dtNdN

λ−=

şi presupunând că la , prin integrare obţinem: 0NN,0t ==

( ) t0eNtN λ−= . (12.17)

Aceasta este legea dezintegrării radioactive care ne arată cum variază în timp numărul de nuclee nedezintegrate. Intervalul de timp după care numărul de nuclee radioactive scade la jumătate, numit timp de înjumătăţire, 2/1T , se obţine din condiţia

( )2

NTN 0

2/1 = ,

adică:

2/1T0

0 eN2

N λ−=

ceea ce conduce la:

λ

=λ

=693,02lnT 2/1 . (12.18)

Se observă că timpul de înjumătăţire 2/1T este o caracteristică a fiecărui tip de nuclee radioactive în parte şi ne arată că indiferent câte nuclee radioactive de un acelaşi tip ar cuprinde un ansamblu dat (desigur că numărul acestora trebuie să fie foarte mare pentru a se putea aplica legea dezintegrării, care este o lege cu caracter statistic) numărul acestora scade la jumătate în acelaşi interval de timp 2/1T .


Pentru fiecare specie de nuclee radioactive se defineşte timpul de viaţă mediu , ca fiind timpul mediu după care un nucleu de un anumit tip se dezintegrează:

τ

λ

=τ1 . (12.19)

O mărime importantă care trebuie definită pentru o substanţă radioactivă este activitatea care este dată de numărul de dezintegrări care au loc în unitatea de timp în substanţa respectivă. Ţinând cont de legea dezintegrării, activitatea este:

Λ

Λ

t0eN

dtdN λ−Λ=λ=−=Λ (12.20)

unde este activitatea substanţei la momentul iniţial. 00 Nλ=Λ

Unitatea de măsură pentru Λ în SI este dezintegrarea/secundă numită Becquerel dar pornind de la activitatea unui gram de radiu (Bq)( )s/dez107,3 10⋅ , s-a ales ca unitate specială 1Curie ( )Ci , ca fiind activitatea

unui gram de radiu, ; în practică se folosesc şi submultiplii acestei unităţi:

s/107,3Ci1 10⋅= dez

s/dez107,3Ci1,s/dez107,3mCi1 47 ⋅=μ⋅= ,

care sunt activităţi întâlnite uzual la sursele radioactive utilizate în laboratoarele de fizică nucleară. Urmărirea modului în care activitatea unei surse variază în timp conduce la determinarea constantei de dezintegrare λ pentru tipul de nucleu din care este preparată sursa. Se alege în acest scop un detector de radiaţii adecvat sursei care va indica apariţia unui puls în urma interacţiei unei particule rezultate din dezintegrarea unui nucleu şi care poate fi contorizat de o instalaţie de numărare aferentă. În acest fel, se determină numărul de pulsuri înregistrate în unitatea de timp, care reprezintă viteza de numărare R care, în condiţii experimentale fixate, este proporţională cu activitatea sursei şi, în conse-cinţă, prezintă aceeaşi lege de variaţie în timp:

( ) t0eRtR λ−= . (12.21)


Determinând viteza de numărare la diferite momente de timp şi reprezentând grafic în funcţie de timp, se obţine o dreaptă (Fig. 12.3):

Fig. 12.3

( )tRln

( ) ( ) t0RlntRln ⋅λ−= (12.22) care are panta ( )λ− .

În final, prezentăm ca exemplu, schema de dezintegrare a unuia dintre izotopii cei mai utilizaţi la fabricarea surselor γ radioactive folosite în

laboratoarele nucleare, şi anume izotopul (Fig. 12.4) Co6027

Fig. 12.4

Izotopul , printr-o dezintegrare , trece în izobarul care se

află într-o stare excitată şi prin emisia consecutivă a doi fotoni

Co6027

−β Ni6028

γ , ajunge în final

în starea fundamentală stabilă; timpul de înjumătăţire al izotopului este Co6027

ani 3,5T 2/1 = . Izotopii radioactivi sunt utilizaţi în multe domenii de activitate, printre care enumerăm geologia şi arheologia (datarea rocilor şi a fosilelor organice), medicina (scintigrafia, iradierea tumorilor maligne), industria (defectoscopia nedistructivă ce utilizează radiaţia γ ), agricultura şi industria alimentară (stârpirea micilor dăunători, sterilizarea alimentelor).


12.5. Reacţii nucleare

O reacţie nucleară constă într-o ciocnire dintre un nucleu şi o particulă

ţia nucleară se poate scrie simbolic sub forma:

(12.23)

(care poate fi şi un alt nucleu) în urma căreia rezultă un nou nucleu şi o altă particulă. Reac

bBaA +→+

unde A este a este particula proiectil, iar B şi b sunt nucleul, nucleul ţintă, şi

ă de energia de reacţie care se respectiv, particula rezultate din reacţie. O reacţie nucleară este caracterizat Qcalculează cu formula:

( ) ( ) 2bBaA cmMm ⋅+−+[MQ = ] . (12.24)

cleară este exotermă dacă ş utili ă la

acţi

ac nucleară în care un nucleu de fluor este omb

. (12.25)

Comparând această reacţie cu reacţia chimică în care un atom de fluor se

Reacţia nu i endotermă dacă 0Q < . 0Q > Scrierea reactiilor nucleare sub forma (12.23) este similară cu cea zatre ile chimice dar o diferenţă importantă între cele două tipuri de reacţii este dată de mărimea energiei de reacţie Q . Ca exemplu, să considerăm re ţiab ardat cu un proton:

119 →+ MeV 52,6OHF 42

16819 +α+

combină cu un atom de hidrogen conducând la obţinerea acidului clorhidric:

keV 38,0HFH1F 2 +→+ (122

.26)

ele două cazuri energia degajat

re sunt guvernate de legile de conservare a unor

constatăm că în c ă sub formă de caldură diferă cu peste trei ordine de mărime. Toate reacţiile nucleamărimi fundamentale, printre care menţionăm sarcina electrică, numărul total de nucleoni, energia, impulsul, momentul cinetic. Sunt şi alte marimi care se conservă într-o reacţie nucleară dar nivelul tratării abordate aici nu ne permite definirea acestora şi ca atare, nu le menţionăm.


Reacţiile nucleare se clasifică după diferite criterii, printre cele mai importante fiind: valoarea energiei particulelor care intră în reacţie, tipul acestor particule precum şi caracterul transformarii nucleare care are loc în cadrul reacţiei. Astfel, după primul criteriu menţionat, reactiile nucleare se clasifică în: a) reacţii nucleare la energii joase (de ordinul eV); b) reacţii nucleare la energii medii (până la câţiva MeV) şi c) reacţii nucleare la energii înalte (de ordinul GeV). După tipul de particule care intră în reacţie distingem: a) reacţii nucleare cu neutroni; b) reacţii nucleare cu particule încărcate şi c) reacţii nucleare cu fotoni . γ

În funcţie de caracterul transformării nucleare, se disting două categorii de reacţii nucleare mai importante: reacţia de fisiune şi reacţia de fuziune. Reacţia nucleară de fisiune este caracteristică nucleelor grele a căror instabilitate este determinată de conţinutul mare de protoni, care determină o creştere importantă a forţelor de respingere coulombiene, dar şi de numărul mare de neutroni. Pe baza modelului în picătură, se consideră că fisiunea nucleară este precedată de deformarea nucleului care se alungeşte şi care se rupe apoi în două fragmente de mase comparabile. Cea mai cunoscută reacţie de fisiune, şi prima din punct de vedere istoric, este reacţia de fisiune a . Această reacţie se produce în urma cooptării de

către nucleul de a unui neutron lent, având drept fază intermediară formarea nucleului compus care apoi se desface în două nuclee şi 2 sau 3 neutroni conform reacţiilor:

U23592

236U235

U

n3SrXeUnU 10

9338

14054

23692

10

23592 ++→→+

(12.27) . n2TeZrUnU 1

0137

529240

23692

10

23592 ++→→+

Fragmentele de fisiune sunt β radioactive şi printr-un lanţ de transformări trec în final în nuclee stabile, ca de exemplu:


MoNbZr 8742

min74T9741

h17T9240

2/12/1−− β

=

β

= ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

(12.28)

BaCs

Xe

ITe

13756

ani30T13755

min8,3T

min8,3T13754

min3,0T

min3,0T13753

min1T13752

2/12/1

2/12/1

2/12/1

−−

−−

−−

β

=

β

=

β

=

β

=

β

=

β

=

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

Reacţiile de fisiune sunt reacţii exoterme cantitatea de energie degajată în fiecare proces de fisiune fiind de aproximativ . Această energie este preluată sub formă de energie cinetică de către fragmentele de fisiune şi de către neutronii rezultaţi din reacţie, care apoi o disipă în substanţa pe care o străbat. Neutronii rezultaţi în urma unui act de fisiune pot genera, în anumite condiţii, noi acte de fisiune ajungându-se la producerea unei reacţii de fisiune în lanţ. În aceste condiţii, reacţia de fisiune se autoîntreţine, ajungându-se la eliberarea unei cantităţi de energie extrem de mari prin fisiunea completă a unei cantităţi de substanţă fisionabilă date. Astfel, s-a calculat că prin fisionarea completă a unui gram de se eliberează o cantitate de energie de aproximativ .

eV108

U23592 Mwh 30

Desfăşurarea controlată a unei reacţii de fisiune are loc într-un reactor nuclear, primul reactor nuclear folosind drept combustibil fiind realizat de

Enrico Fermi în 1942. Controlul reacţiei se realizează cu ajutorul unei substanţe, numite moderator, care preia o parte din energia neutronilor ducând la încetinirea (termalizarea) acestora. Puterea reactorului este reglată cu ajutorul unor materiale care absorb neutronii şi care se introduc controlat în miezul reactorului.

U23592

Un alt tip particular de reacţie nucleară îl constituie reacţiia de fuziune. Aceste reacţii, caracteristice nucleelor uşoare, sunt reacţii puternic exoterme, ele desfăşurându-se la temperaturi extrem de mari, de ordinul a , fiind numite reacţii termonucleare. La asemenea temperaturi, substanţa fuzionabilă se află în stare de plasmă, care este un amestec de nuclee şi electroni liberi, nucleele

K1010 97 ÷


având, la aceste temperaturi o energie suficient de mare încât străpungerea barierei de potenţial este asigurată şi reacţia să fie astfel amorsată. Reacţiile termonucleare se realizează în stelele din Univers, în particular în Soare, pe baza a două cicluri termonucleare mai importante: ciclul proton – proton şi ciclul carbon – azot. Într-una din variantele ciclului proton – proton, un nucleu de heliu se formează din 4 nuclee de hidrogen:

(12.29)

. HeH2He2

HeHH

eHHH

42

11

32

32

11

21

e21

11

11

+→

γ+→+

ν++→+ +

Energia totală eliberată pe ciclu este de aproximativ . Într-una din variantele ciclului carbon – azot, din 4 nuclee de hidrogen rezultă în final un nucleu de heliu, iar nucleul de carbon, care joacă rolul unui catalizator, se regăseşte la finalul ciclului:

MeV 25

(12.30)

.HeCNH

eNO

ONH

NCH

eCN

NCH

42

126

157

11

e15

715

8

158

147

11

147

136

11

e13

613

7

137

126

11

+→+

ν++→

γ+→+

γ+→+

ν++→

→+

+

+

Ciclul carbon – azot este însoţit, de asemenea, de degajarea unei mari cantităţi de căldură şi este caracteristic stelelor mai fierbinţi decât Soarele, în interiorul căruia temperatura este de aproximativ , şi căruia îi este caracteristic ciclul proton – proton.

K105,1 6⋅


Este de remarcat că pe măsură ce reacţia de fuziune autoîntreţinută într-o stea avansează în timp, cantitatea de substanţă fuzionabilă scade treptat până la un prag critic sub care autoîntreţinerea nu mai este posibilă şi reacţia termonucleară încetează iar steaua se stinge. Dificultatea majoră a realizării experimentale a unui reactor nuclear bazat pe reacţia de fuziune constă tocmai în imposibilitatea întreţinerii controlate a reacţiei pe o perioadă suficient de lungă de timp astfel încât aceasta să intre în regimul de autoîntreţinere. Date fiind, însă, rezervele imense de elemente uşoare în natură (hidrogen, deuteriu) precum şi numeroasele experimente realizate (puţine fiind însă raportate) care, deşi sofisticate, par a fi simplu de realizat, suntem îndreptăţiţi să credem că sursele de energie ale viitorului se vor baza pe reacţii de fuziune. Iată câteva exemple de reacţii de fuziune posibil a fi utilizate în acest scop:

(12.31)

.MeV 2,8NHC

MeV 4,8HeHnLi

MeV 2,3nHeHH

147

11

136

42

31

10

63

10

32

21

21

+→+

++→+

++→+


PROBLEME REZOLVATE

12.1. Ştiind că raza nucleelor este dată de formula empirică , unde

cm este raza unui nucleon şi A este numărul de masă al unui

nucleu, să se estimeze:

3/10ArR =

130 102,1r −⋅=

a) concentraţia nucleonilor în nuclee; b) densitatea materiei nucleare; c) distanţa medie dintre nucleoni. Rezolvare: a) Concentraţia nucleonilor – numărul de nucleoni din unitatea de volum –

se obţine împărţind numărul de nucleoni din nucleu la volumul nucleului:

( ).

m

nucleoni104,1102,114,34

3

r4

3

3Ar4

A

3R4

AVA

344

31530

30

3⋅≈

⋅⋅⋅=

π=

π=

π=

−

b) Densitatea materiei nucleare este

.m kg103,21066,1104,1mnVmA

Vm 3172744

NN −− ⋅≈⋅⋅⋅=⋅=

⋅==ρ

unde - masa unui nucleon – s-a luat aproximativ egală cu 1 u.a.m. Nm c) În nucleu fiecărui nucleon îi revine volumul V/A şi deci distanţa medie dintre nucleoni este

m102n1

AVd 1533 −⋅≈== .


12.2. Să se determine, din considerente statistice, impulsul limită al nucleonilor în materia nucleară dacă raza nucleelor verifică relaţia , unde

m este raza unui nucleon.

3/10ArR =

150 102,1r −⋅=

Rezolvare: Volumul maxim din spaţiul fazelor care corespunde nucleonilor din nucleu este

V3

p4 3maxπ

unde V este volumul substanţei nucleare. Divizând acest volum cu se obţine numărul de celule din spaţiul fazelor, în fiecare putându-se afla simultan doi protoni şi doi neutroni cu spini opuşi. Considerând numărul de protoni egal cu numărul de neutroni, avem

3h

4A

h3

p43

3max =

π,

de unde, ţinând cont că

3Ar4

3R4V

30

3 π=

π= ,

obţinem 1-193

20max s m kg103,19

r4hp −⋅=

π= .

12.3. Se cere să se determine energia de legătură a unui nucleu având acelaşi număr de protoni şi neutroni, dacă raza nucleului respectiv este de 1,5 ori mai mică decât raza nucleului Al27 . Rezolvare: Deoarece se obţine 3/1

0ArR =3/1

z0z ArR = ; 3/1Al0Al ArR =

unde = 27 este numărul de masă pentru Al. AlA


Prin ipoteză: 3/1

z

Al

z

AlAA

23

RR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ,

de unde . 8A z = Din enunţul problemei rezultă: ZZA z =− , şi deci:

42

AZ z == .

Elementul este deci . Be84

Prin definiţie, energia de legătură este: ( )[ ] 2

Nnp cMm ZAm ZE −−+=Δ .

Utilizând valorile:

pm = 1,007825 u.a.m.

nm = 1,008665 u.a.m.

BeM = 8,00531 u.a.m.

se obţine

( )( ) MeV 86J1038,1106,1103

00531,8008665,14007825,14E112728 =⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅−⋅+⋅=−−

12.4. Într-un minereu de uraniu raportul dintre numărul de nuclee de şi numărul de nuclee de plumb este 3. Evaluaţi vârsta minereului, admiţând că tot plumbul reprezintă descendenţa finală a seriei de transformări nucleare a uraniului . Timpul de înjumătăţire al este ani.

U238

9

Pb206

Pb206

238U U238 105,4 ⋅ Rezolvare: Notăm:

oN - numărul iniţial de nuclee,

UN - numărul de nuclee de uraniu,

PbN - numărul de nuclee de plumb

şi aplicăm legea dezintegrării radioactive:


t-oU e NN λ=

unde PbUo NNN += . Rezultă

( ) t-PbUU e NNN λ+=

care, prin împărţire la şi ţinând cont că PbN1/2T

2 ln=λ devine

t-

Pb

U

Pb

U 1/2T2 ln

e 1NN

NN

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= .

Prin logaritmare se obţine

tT

2 ln-1NN

lnNN

ln1/2Pb

U

Pb

U⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ,

de unde

ani101,1T2ln

NN

ln1NN

lnt 9

1/2Pb

U

Pb

U

⋅≈

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= .

12.5. O cantitate de 1g de emite particule α cu puterea de aproximativ

418 J / oră. Ştiind că timpul de înjumătăţire pentru izotopul radioactiv dat este de 1622 ani, să se determine energia cu care sunt emise particulele α.

Ra22688

Rezolvare: Fie formula puterii

tNE

tEp

Δ⋅== α

unde E este energia emisă în timpul t, este energia fiecărei particule α emise

şi ΔN – numărul de dezintegrări în timpul t. Se cunoaşte că αE

NNN o −=Δ

unde este numărul de nuclee rămase nedezintegrate după timpul t. t-o e NN λ=


Folosind formula de aproximare: , se găseşte x1e x −≈−

tT

2 lnNt NN1/2

oo =λ=Δ .

Dar

Ao N AmN =

unde m este masa de , A = 226 este numărul de masă şi Ra22688

126A kmol10022,6N −⋅= este numărul lui Avogadro.

Înlocuind în relaţia iniţială a puterii, se obţine:

t

E tT

2 lnNAm

p 1/2A α

=

de unde:

MeV 06,0J1082,8 2 ln N m

T A pE 15

A

1/2 =⋅== −α .

12.6. Se consideră dezintegrarea succesivă a două substanţe radioactive, cu constantele de dezintegrare şi 1λ 2λ . a) Să se găsească ecuaţia seculară:

2211 NN λ=λ cu condiţia ca de la începutul transformării să treacă un timp t care să respecte relaţia << t << , în condiţiile în care << . 2T 1T 2T 1T

b) Folosind ecuaţia seculară, în cazul transformării în , să se calculeze timpul de înjumătăţire al radiului dacă, după un anumit timp de la începutul transformării, raportul maselor celor două substanţe este 10 , iar timpul de înjumătăţire al radonului este 3,8 zile.

Ra226 Rn222

5,6/6

Rezolvare: a) Dacă nucleele care iau naştere ca rezultat al dezintegrării nucleelor

, sunt la rândul lor radioactive, atunci pentru descrierea celor două transformări succesive se scrie un sistem de două ecuaţii:

2N1N


( ) ( )tNdt

tdN11

1 λ−=

( ) ( ) ( )tNtN

dttdN

22112 λ−λ= .

Rezolvarea acestui sistem duce la rezultatul

( ) ( )texpNtN 1101 λ−=

( ) ( ) ( ) ([ ]texptexpN

texpNtN 2112

1012202 λ−−λ−

λ−λ)λ

+λ−=

unde şi sunt valorile lui şi pentru 10N 20N )t(N1 )t(N2 0t = .

Dacă >> ( << 1T 2T 1λ 2λ ) şi t << , avem: 1T

( ) 101 NtN ≈

( ) ( ) ( )[ ]texp1N

texpNtN 22

1012202 λ−−

λλ

+λ−=

Pentru = 0, ultima relaţie devine 20N

( ) ( )[ ]texp1NtN 2102

12 λ−−

λλ

≈ .

În cazul t >> ( >> 1), avem 2T t2λ

( ) 102

12 NtN

λλ

= ,

sau 2211 NN λ=λ .

b) Raportul maselor substanţelor este

5,610

222N226N

mm 6

Rn

Ra

Rn

Ra =⋅⋅

= ,

de unde


5,622610222

NN 6

Rn

Ra⋅⋅

=

Se scrie ecuaţia seculară: RnRnRaRa NN λ=λ sau

Rn

Rn

Ra

RaTN

TN

=

de unde

.ani 1600zile 000.574T

8,35,6226

10222TNN

T

Ra

6Rn

Rn

RaRa

≅=

⋅⋅⋅

==

12.7. Fotonii γ care însoţesc dezintegrarea a nucleelor au energie

=1,78 MeV. Se cere să se determine:

1−β Al2713

γE

a) densitatea nucleului de Al27 ; b) energia de legătură a unui nucleon în nucleul de Al27 ; c) raza nucleului de Al27 ; d) înălţimea barierei de potenţial electrostatice pe care o au de învins particulele

(se consideră neglijabilă raza electronului); 1−β

e) să se scrie ecuaţia de dezintegrare şi să se determine structura nucleului final; f) raza traiectoriei electronilor rezultaţi din dezintegrare, dacă aceştia pătrund într-

o cameră Wilson perpendicular pe câmpul magnetic constant cu inducţia magnetică B = 1T în care se află camera;

g) perioada rotaţiei electronilor în câmpul magnetic considerat, ştiind că energia lor este MeV100E 1 =−β ;

h) ce grosime de Pb este necesară pentru a micşora de 16 ori intensitatea fasciculului incident cunoscând coeficientul de atenuare liniară în Pb a radiaţiei

. 1cm 16,1 −=μ


Rezolvare: a)

( )317

3oAA33/1

o3

mkg103,1ARN4

A3N1

AR4

A3

3R4

u.a.m. AVM −⋅⋅=

π=⋅

π=

π==ρ

unde m1045,1R 15

o−⋅=

este raza unui nucleu şi AN - numărul lui Avogadro. Se observă că densitatea nucleului nu depinde de natura acestuia. b)

( )[ ]MeV 09,12

AMeV 931Mm ZAm Z

AW

W Alnplegnucl =

⋅−−+==

unde:

AlM = 27,9829 u.a.m.; = 1,007825 u.a.m.; = 1,008665 u.a.m. pm nm

c)

( ) m1035,431045,1271045,1ArR 153/13153/1153/1oAl

−−− ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=

d)

eAl

2.

1

o RRe Z e Z

41U

+πε=

unde: = 13 1Z

2Z = 1

m1035,4R 15Al

−⋅=

m/F10856,8 120

−⋅=ε .

Înlocuind, se obţine: V1089,6U 13−⋅=


e) . Nucleul rezultat este un izotop al Si şi are: γ++β→ − XAl 2714

2713

Z = 14 protoni A – Z = 13 neutroni.

f) Egalând forţa centripetă cu forţa Lorentz:

Bv ervm

e2ee =

se obţine:

Bevm

r ee=

unde:

ee m

E 2v

-β=

şi deci:

m1002,5B e

mE 2

m

E 2

B em

r 3e

e

e--

−ββ ⋅≅== .

g)

vr2T π

=

Din

B v er

mv 2=

se deduce:

mB e

rv=

şi, atunci, perioada rotaţiei electronului devine:

Bem 2T π

= .


Se observă că perioada rotaţiei particulelor încărcate electric într-un câmp magnetic constant nu depinde de viteza iniţială a acestora, ci numai de valoarea inducţiei magnetice a câmpului. Înlocuind, se obţine

s1057,31101,6

101,9 2T 1119-

31−

−⋅=

⋅⋅

⋅⋅π= .

h) . x-

0 e II μ=

Înlocuind 16II 0= , se obţine: xe

161 μ−= , sau , de unde xe16 μ=

m 02,0106,1693,042 ln 4x

2=

⋅

⋅=

μ= .

12.8. Să se demonstreze că procesul de formare a perechii electron-pozitron dintr-o cuantă γ nu poate avea loc în vid. Rezolvare: Dacă presupunem că formarea perechii electron-pozitron din cuanta γ s-ar observa în vid, atunci ar trebui satisfăcute teoremele de conservare ale energiei şi impulsului după cum urmează:

2

2e

2e

2

2e

2e

ee

c

v1

cm

c

v1

cmEEE

+

+

−

−+−

−

+

−

=+=γ .

Deci rezultă:

2

2e

e

2

2e

e

c

v1

cm

c

v1

cm

cE

p+

+

−

−

−

+

−

== γγ .

Pentru mărimea impulsurilor electronului şi pozitronului avem:


2

2e

eee

c

v1

vmp

−

−−−

−

= ;

2

2e

eee

c

v1

vmp

+

+++

−

= .

Deoarece

2

2e

ee

2

2e

ee

2

2e

e

2

2e

e

c

v1

Vm

c

v1

vm

c

v1

cm

c

v1

cm

+

++

−

−−

+

+

−

−

−

+

−

>

−

+

−

rezultă +− +>γ ee

ppp

care este o inegalitate imposibilă deoarece vectorii γp , −ep şi +e

p alcătuiesc un

triunghi. În concluzie, respectarea teoremei de conservare a impulsului presupune că în procesul de formare a perechii electron-pozitron dintr-o cuantă γ mai trebuie să participe o particulă. 12.9. Fie reacţia nucleară: . nCxBe 12

694 +→+

a) Să se identifice particula x. b) Să se calculeze masa particulei notată cu x, dacă energia de reacţie este Q = 5,64 MeV. c) Să se calculeze energia de legătură a particulei x. Se dau:

CM = 12 u.a.m.; = 1,008665 u.a.m.; nm

BeM = 9,012185 u.a.m.; = 1,007276 u.a.m. şi pm

2cMeV 478.931.m.a.u =

Rezolvare: a) . Aplicăm teoremele de conservare ale masei şi

sarcinii:

nCxBe 10

126

AZ

94 +→+


9 + A = 12 + 1 , deci A = 4 şi

4 + Z = 6 + 0 , deci Z = 2. Rezultă că este vorba despre o particulă . α4

2

b) Din ( ) ( )[ ] 2

nCBe cmMmMQ +−+= α , rezultă:

u.a.m. 0026,4

.m.a.u)12185,9008665,112478.931

64,5(MmMc

Qm BenC2

=

=−++=−++=α

c) Energia de legătură a particulei este: α4

2

( )( ) ( )( )

MeV. 27,27u.a.m. c4,0026)-1,00866521,007276(2

cmm 24m 2 cmm ZAm ZE

2

2np

2np

=⋅+⋅=

=⋅−−+=⋅−−+= αα

12.10. Să se calculeze energia de legătură corespunzătoare unui nucleon în nucleul , precum şi energia ce s-ar degaja la formarea a m = 10gr. din

protoni şi neutroni ? Se cunosc: = 238,07 u.a.m., = 1,00893 u.a.m.,

23892U 238U

Um pm

nm = 1,00812 u.a.m.

Rezolvare: Energia de legatură în MeV a nucleului este: 238U

( ) ( )[ ] MeV. 85,1851931MmZAmZMeV 931 .m.a.u mW np =⋅−⋅−+⋅=Δ=Δ

Energia de legătură corespunzătoare unui nucleon în nucleul de este: 238U

nucleonMeV / 78,7238

85,1851AW

==Δ .

Energia degajată la formarea unei mase m = 10 g de va fi: 238U


MeV 1086,46WANm

WNW 24At ⋅=Δ

⋅=Δ⋅= .

12.11. Nucleele radioactive artificiale şi au timpii de înjumătăţire TP = 14 zile şi TI = 7 zile. Considerând că la momentul iniţial numărul nucleelor radioactive de iod este de 2 ori mai mare decât numărul nucleelor de fosfor, să se calculeze după cât timp raportul dintre numărul nucleelor rămase ne dezintegrate se inversează.

32P 131I

Rezolvare: Din legea dezintegrării radioactive găsim

tP 0

tP 0P PT

2 lnP eNeNN

−λ− ⋅=⋅=

tI 0I IT

2 ln

eNN−

⋅= .

Făcând raportul lor tt

I 0

P 0

I

P IT2 ln

PT2 ln

eNN

NN +−

⋅=

şi deoarece, din enunţ

PI0I 0 N 2N = IP N 2N =

acesta devine: t2 ln

PT1

IT1

e 212

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

= .

Astfel, rezultă:

zile 28TT

T T 22tIP

PI

T1

T1

PI

=−

=−

= .


12.12. Un gram din cenuşă unui os găsit într-o săpătură arheologică produce Λ = 5 dez. β/min. Ştiind că un gram din cenuşa unui os actual produce Λ0 = 15 dez. β/min. şi că timpul de înjumătăţire al este T = 5650 ani, se

cere

*C146

1) vârsta osului; 2) ecuaţia reacţiei de dezintegrare a şi viteza relativistă a

electronului emis dacă el are energia cinetică WC = 156 keV, iar masa de repaus a electronului kg.

*C146

310 109m −⋅=

Rezolvare: 1) Din legea dezintegrării radioactive

t0e λ−Λ=Λ ,

se obţine

89512ln

lnT

lnt

00

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΛΛ

=λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΛΛ

= ani.

2) Ecuaţia reacţiei de dezintegrare este

Ne*C 147

01

146 +→− ,

iar energia cinetică relativistă este

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=−= 11

1cmcmmcW

22

cv

20

20

2c

de unde rezultă m/s. 8103,2v ⋅= 12.13. Din nucleele unui element A se formează prin dezintegrare nuclee ale unui element B, de asemenea radioactiv. Constanta radioactivă a elementului A este

, iar a elementului B este Aλ Bλ . Care este legea de variaţie în timp a numărului de nuclee din elementul B, dacă preparatul conţinea iniţial numai ( )0NA nuclee ale elementului A?


Rezolvare: Viteza de formare a elementului B este proporţională cu numărul de atomi ai elementului B existenţi la un moment dat şi numărul atomilor existenţi din elementul A, adică

AABBB N N t d

N dλ+λ−= .

Din legea dezintegrării radioactive avem: ( ) t-

AA Ae 0NN λ= , încât ecuaţia diferenţială ce descrie viteza de formare a elementului radioactiv B devine

( ) t-AABB

B Ae 0N N t d

N d λλ=λ+ .

Soluţia acestei ecuaţii este dată de soluţia generală a ecuaţiei omogene la care se adaugă o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Ecuaţia omogenă:

0N td

N dBB

B =λ+ ,

are soluţia generală t-

B Be CN λ= . Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene o căutăm de forma

t-B Ae KN λ= .

Introducând această expresie în ecuaţia neomogenă obţinem ( )AB

AA 0N K

λ−λλ

= .

Deci, soluţia generală a ecuaţiei neomogene este de forma ( ) t-

AB

AAt-B AB e

0N e CN λλ

λ−λλ

+= .

Din condiţiile iniţiale t = 0, ( ) 00NB = , rezultă pentru C expresia ( )

AB

AA 0N C

λ−λλ−

=

şi în final

( ) ( ) [ ]t-t-

AB

AAB BA e-e

0N tN λλ

λ−λλ

= .


12.14. Se consideră o succesiune de două dezintegrări radioactive A → B → C şi se presupune că Aλ << . Să se arate că după un timp mult mai mare decât durata medie de viaţă a celor mai stabile nuclee, raportul dintre cantitatea de element A şi cea de element B, rămâne constant în timp.

Bλ

Rezolvare: Din problema precedentă se ştie că

( ) ( ) ( )t-t-

AB

AAB BA e-e

0NtN λλ

λ−λλ

= .

Deoarece >> Bλ Aλ , << , deci putem neglija factorul

şi obţinem

tBe λ− tAe λ−

tBe λ−

( ) ( ) t-

AB

AAB Ae

0NtN λ

λ−λλ

= ,

sau

( ) ( )AB

AAB

tNtN

λ−λλ

= .

De aici rezultă: ( )( ) ttancons

tNtN

AB

A

A

B =λ−λ

λ= .

12.15. Un preparat conţine m = 10 mg pur, care se dezintegrează după

schema:

4720 Ca

ν+β+→ − ~ScCa 4721

4720

ν+β+→ − ~TiSc 47

2247

21 .

Cunoscând timpii de înjumătăţire ai şi , respectiv

=4,8 zile, =3,43 zile şi masa atomică a , M = 46,9694 u.a.m., să

se calculeze:

4720 Ca

4720 Ca

4721Sc

AT BT

1) activitatea iniţială a preparatului;


2) activitatea preparatului după t = 2 zile; 3) timpul t după care cantitatea de Sc atinge o valoare maximă.

Rezolvare: 1) Activitatea iniţială ce corespunde este 47Ca

0AA0 N λ=Λ ,

unde

AA T

693,0=λ ,

MmN

N AA0

⋅=

cu AN = numărul lui Avogadro, m = cantitatea iniţială de substanţă, M = masa atomică. Astfel:

s/dez1014,2M

mNT693,0 14A

A0 ⋅=

⋅⋅=Λ .

2) După un timp t, activitatea totală va fi suma activităţilor celor două substanţe şi : 47Ca 47Sc

( ) ( )tN tN BBAAt λ+λ=Λ ,

unde ( )tNA şi reprezintă numărul de atomi existenţi la momentul t. ( )tNB Din problema anterioară, avem

( ) t0AA Ae NtN λ−=

( ) [ ]tt

AB

0AAB BA e-e

N tN λ−λ−

λ−λλ

= ,

astfel că activitatea totală devine

[ ]

[ ]tt

AB

B0

t0

ttB

AB

0AAtA0At

BAA

BAA

e-e e

e-e N

eN

λ−λ−λ−

λ−λ−λ−

λ−λλ

Λ+Λ=

=λλ−λ

λ+λ=Λ


unde activitatea 0Λ este calculată la punctul 1.

Numeric: 1

A zile 1445,08,4

693,0 −==λ

1

B zile 202,043,3

693,0 −==λ ,

încât rezultă

Curie 59700345,1 0t =Λ⋅=Λ .

3) Timpul după care specia B atinge valoarea maximă este dat de

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

λ

λ−+λλ

λ−λ=

A02A

2BB0B0A0BA

AB N

NNN ln1t

care pentru = 0, devine B0N

zile 85,550,05

1,4 ln ln1tA

B

AB=

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λλ

λ−λ= .

12-elemente de fizica nucleului si problema

Documents