1

ox R2 3

4b’a’

a

b

c

volume simple

- Să se deseneze trei sfere așezate pe planul orizontal și tangente două câte două, în epură și axonometrie.

egale (R=3 cm)

-

-

-

P așezați ă ă și ăă ă

este sferele problemei precedente o sfer de raz 4 cm apoi s se construiasc sfera circumscris celor patru sfere

Să se deseneze trei sfere (R1=1,5, R2=2,5, R3=3,5) tangente două câte două și așezate pe planul orizontal.

Să se deseneze pe planul orizontal o sferă de rază 6 cm, să se așeze în interiorul ei în poziție de echilibru, trei sfere egale de rază 2cm și apoi să se construiască o sferă tangentă interior sferei mari și tangentă exterior sferelor mici.

Toate problemele se rezolvă așezând sferele în poziții convenabile, astfel încât să vedem adevărata mărime a segmentelor, precum și adevărata tangență. Folosim de asemenea locuri geometrice simple și rezolvarea finală se transformă într-o problemă de construcție plană

x o

a’

a

b

b’

m’

m

a’

b’

c’

d’m’

c

d

c’

d’

3

k1

k2

7

9

1

2

12

10

11

4

6

8

5

Privim dreapta astfel încât ea să devină ă ă

ă țț ș ă î

î ț ă ( ) ) i

ț )( ) ă ț ( )

ș c ț( ) ă ( ) se duc

ț ț

o dreapt frontal . Prin ea ducem un plan vertical care “taie” o felie din sfer . Punctele de intersec ie dintre cercul de sec iune i dreapt sunt punctele n care dreapta “ n eap ” sfera

1 - ducem paralel la 2,3,4 - lini de ordine perpendiculare pe pentru a afla noile proiec ii verticale 5 - diametrul paralel cu

, 6,7 - se afl diametrul sec iunii, 6 - seconstruie te cer ul de sec iune cu diametrul , 9,10 - se afl apoi , 11,12 -

proiec iile verticale ale punctelor de intersec ie

ab,

,

c,dc’,d’

(

(

oxox

a’,b’,m’ox k1,k2

k1,k2c’,d’

Intersec iț a unui segment de dreaptăcu o sferă

AB(a,b ;a’b’) cu centrul n M(m,m’)î

x o

a’

a

b

b’

m’

m

x o

m’

m

P’

P

a

a’

b’

b

c’

d

c

123

4

5

x o

c’

c

m’

mab

b’ a’

n’

n

9

1

4

2

3

5

7

8

6

Tangentă frontală dintr-un punct la o sferă M(m,m’) ( , ’)cu centrul n î C c c

Prin se duce un plan frontal care taie sfera după un cerc (roz). Din

ă

Mm’ se duce o

tangent la cercul roz

Sec ionareaț unei sfere cu centrul nî M(m,m’) (PP )’

țiunea în sferă este un cerc iar cele două diametre perpendiculare și sunt drepte particulare care se văd în adevărată mărime , fie în plan fie în vedere.

SecAB

CD

Intersecția unei sfere cu centrul nî M(m,m’)

x o

m’

m

Fețele prismei determină în sferă secțiuni circulare. Punctele de intersecție ale cercurilor cu muchiile prismei sunt punctele de intersecție căutate

x o

m’

m 1

23

4

1’4’

5’ 6’

cercul rosu

cercul verde