hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 tehnica frecvencelor...

218
1 Tehnica frecvenţelor înalte se referă la studiul şi aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare şi măsurare a câmpului electromagnetic, la proiectarea şi implementarea sistemelor electronice cu frecvenţe de operare 300Mhz1 GHz, sau până la 100 GHz - ingineria microundelor Termenul de microunde oarecum impropriu: Lungimea de undă corespunzătoare microundelor - λ în domeniul 1mm (f=300 GHz) - 30 cm (f = 1 GHz) λ > lungimea de undă ptr. f de THz λ < lungimea de undă ptr. f radio Limita dintre RF şi Microunde, este incertă şi în transformare continuă pe măsură ce tehnologia şi metodele de proiectare evoluează Cursul 1 Conţinutul cursului Unda plană ecuaţia undei, ortogonalitatea componentelor E şi H, câmpurile fizice, puterea transportată, viteza de fază şi de grup, reflexia şi transmisia, cazuri particulare Clasificarea mediilor de propagare Aspecte ale propagării undei în mediul liber -polarizarea undei, unde de suprafaţă, ionosferice, troposferice, efectul de umbrire, efectele precipitaţiilor Teoria liniilor de transmisie -propagarea undelor electromagnetice pe linii cu si fara pierderi, parametrii liniilor de transmisie, regimul de adaptare, undele de tensiune si de curent, cazuri particulare ale liniilor lungi -adaptarea si acordul impedanţelor, utilizarea diagramei Smith -transformatoare de adaptare, rezonanţa serie şi paralel

Upload: others

Post on 23-Sep-2019

33 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Tehnica frecvenţelor înalte –se referă la studiul şi aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare şi măsurare a câmpului electromagnetic, la proiectarea şi implementarea sistemelor electronice cu frecvenţe de operare 300Mhz→ 1 GHz, sau până la 100 GHz - ingineria microundelor

Termenul de microunde oarecum impropriu:• Lungimea de undă corespunzătoare microundelor - λ în

domeniul 1mm (f=300 GHz) - 30 cm (f = 1 GHz) • λ > lungimea de undă ptr. f de THz• λ < lungimea de undă ptr. f radio

Limita dintre RF şi Microunde, este incertă şi în transformare continuă pe măsură ce tehnologia şi metodele de proiectare evoluează

Cursul 1

Conţinutul cursului

• Unda planăecuaţia undei, ortogonalitatea componentelor E şi H, câmpurile fizice, puterea transportată, viteza de fază şi de grup, reflexia şi transmisia, cazuri particulare

• Clasificarea mediilor de propagare• Aspecte ale propagării undei în mediul liber

-polarizarea undei, unde de suprafaţă, ionosferice, troposferice, efectul de umbrire, efectele precipitaţiilor

• Teoria liniilor de transmisie -propagarea undelor electromagnetice pe linii cu si farapierderi, parametrii liniilor de transmisie, regimul de adaptare, undele de tensiune si de curent, cazuri particulare ale liniilor lungi-adaptarea si acordul impedanţelor, utilizarea diagramei Smith-transformatoare de adaptare, rezonanţa serie şi paralel

Page 2: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

• Ghiduri de undă -solutiile generale pentru modurile TEM, TE, TM-Ghidul de unda rectangular, modurile TE si TM, campurile fizice, puterea transportată, lungimea de undă, viteza de fază şi de grup-Ghidul coaxial (linia coaxială) modul TEM si modurile superioare-Ghidul circular, modurile TE si TM.-Ghidul plat ( stripline si microstrip), constanta dielectrica efectiva-Comportarea ghidurilor sub frecvenţa critică

• Dispozitive pasive-Cuplajul inductiv, capacitiv şi prin fante -Cuploare-Diafragma inductivă şi capacitivă -Fereastra rezonantă şi descărcătorul cu gaz -Comutatoare de antenă ptr. gama undelor centimetrice şi milimetrice

Obiective însuşirea cunoştinţelor şi abilităţilor pentru:

• a face distincţia între problematica circuitelor de joasăfrecvenţă si a celor de microunde

• a înţelege care sunt problemele curente şi tendinţele în propagarea undelor în mediul liber

• a aplica teoria propagării in cazul structurilor de propagare, linii şi ghiduri, utilizate in practică

• a face identificarea componentelor pasive de microunde• a înţelege semnificaţia parametrilor componentelor

pasive din domeniul frecventelor inalte• a înţelege principiile de masură caracteristice domeniului

frecventelor înalte • a dezvolta aplicaţii ale undelor de foarte înaltă frecventa.

Page 3: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

Cerinţe• Dorinţa de a învăţa• Prezenţă efectivă (nu doar fizică la curs şi laborator)• Minte deschisă• Seriozitate• Să vă străduiţi să comunicaţi corect cu cadrul didactic,

pornind de la premiza că el chiar vrea să vă înveţe ceva util

Ce să nu faceţi• Să nu dormiţi în timpul orelor• Să nu faceţi altceva decât vi se cere• Să nu încercaţi să fraieriţi cadrul didactic • Să nu (vă) minţiţi

Premize

Page 4: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

Rezultate aşteptate

Bibliografie selectivă

1.Casian-Botez, Irinel, Microunde ,Editura Lumen, Iaşi, 2006,2.D.Cojoc Amplificatoare de frecvenţă înaltă şi tranzistoare,

Ed.Cantemir,1994, Bucureşti3. E. Holzman, Essentials of RF and microwave grounding, Artech

House on Demand, 20064. Erik L. Kollberg, Microwave and milimeter-wave mixers, New York,

Institute of Electrical and Electronics Engineers, 19845. G. Lojewschi, Microunde.Dispozitive şi circuite, Ed.Teora 19956. M.Naforniţă, I.Naforniţă, Microunde, Ed Politehnica, 20027.T.Palade Tehnica microundelor, Ed.Genesis, Cluj Napoca, 19978. G.Rulea, Tehnica microundelor, Ed.Didactică şi pedagogică,19839. D. M Sazonov, Microwave circuits, Mir Publishers, Moscow, 19826.10. E. Tebeanu, Oscilatoare de microunde, Ed. Tehnică Bucureşti,

199011.The RF and microwave handbook, CRC Press, 200112 Microwave principles, Naval education and training professional

development and technology center, USA Navy, 1998

Page 5: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

Evoluţia fără precedent a telecomunicaţiilor din ultimul deceniu şi noile descoperiri tehnologice au impulsionat dezvoltarea ingineriei microundelor, care era cu precădere un domeniu al apărării.

Industria microundelor a fost revoluţionată de cererea ascendentă a sistemelor de comunicaţii pentru aplicaţii ca:– Telefonia mobilă– Televiziunea prin satelit– Reţelele de comunicaţii prin satelit bazate pe serviciile

BISDN ce includ transmisiile la distanţă de imagine, de voce şi de date (telemedicina, multimedia, videoconferinţa, învăţământul la distanţă)

– Căutare şi transmisie de date - Wireless paging– Sisteme de poziţionare globală Global positioning

system GPS şi Galileo– Radarele automatizate de evitare a coliziunilor aeriene

Două tipuri de arhitecturi pentru sistemele de transmisie prin satelit

Page 6: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Comunicaţiile viitorului necesită:

• bandă largă pentru transmisiile multimedia (videoconferinţe, telemedicină, televiziune de înaltă definiţie)

• capacitate mare de transmisie, pentru a face faţă unui număr tot mai mare de utilizatori, cu un trafic tot mai ridicat, cu solicitări crescânde de transfer de informaţie

Tehnologia microundelor este adecvată atât ptr. aplicaţiile recent apărute în comunicaţii cât şi ptr. radiolocaţie, deoarece permite:

• utilizarea unui mare număr de canale independente• o lăţime de bandă semnificativă ptr. comunicaţiile de

mare viteză

Microundele oferă o bandă absolută largă de frecvenţă menţinând relativ redusă variaţia benzii raportate la frecvenţa purtătoarei .

Aceasta permite transmisia mai multor canale de date şi de voce decât ar fi fost posibil cu o purtătoare de frecvenţă mai redusă sau transmisia în banda de bază.

Page 7: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

• Michael Faraday (1791 - 1867) are meritul de a fi introdus conceptul de câmp şi cel de acţiune, din aproape în aproape, cu viteză finită.

• James Clerk Maxwell (1831 - 1879) a dezvoltat conceptul de câmp, a aplicat ideile lui Faraday în domeniul electromagnetismului, aparţin lui. În 1864 Mawell a dezvoltat ecuaţiile matematice pentru descrierea fenomenelor electromagnetice prin abstractizarea şi generalizarea unor legi experimentale descoperite anterior de Coulomb, Faraday, Gauss1864 Existenţa undelor elmg. prezisă de Maxwell prin ec. sale

• Heinrich Rudolf Hertz (1857 - 1894) a construit în 1888 un aparat care demonstrează existenţa undelor electromagnetice

Spectrul de frecvenţă al undelor electromagnetice şi lungimile de undă asociate

Domeniul microundelor:UHF – ultrahigh frequency 0,3 GHz -3 GHzSHF-super high frequency 3 GHz -30 GHzEHF –extremely high frequency 30 GHz -300 GHz

Page 8: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

Deasupra frecvenţei de 300 GHz absorbţia radiaţiei electromagnetice de atmosfera pământului este atât de mare încât aceasta poate fi considerată opacă

Atmosfera devine din nou transparentă în domeniul infraroşu şi optic.

Orientate iniţial înspre aplicaţii militare RF şi microundele cunosc în prezent o triplă expansiune în aplicaţii:

• comerciale• ştiinţifice• pentru utilizatori individuali

Aplicaţiile şi-au pus amprenta şi asupra definirii benzilor de frecvenţă

Ca o consecinţă a variatelor aplicaţii , terminologia şi definirea benzilor de frecvenţă nu sunt pe deplin standardizateExistă diferenţe semnificative între notaţii atât în literatură, cât şi practice.

Atribuirea IEEE (de la L la W) are în prezent o largă răspândire în tehnică şi practică, în timp ce cea a armatei americane (de la A la N) nu a câştigat popularitate înafara comunităţii militare.

Pentru banda K există 2 definiţii în uz:• 18 GHz−26,5GHz• 10,9 GHz−36 GHz

Banda L are atribuiri diferite de frecvenţă în opinia IEEE şi a aplicaţiilor militare US:

• 0,39 GHz−2 GHz• 40 GHz−60 GHz

Page 9: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

Atribuirea benzilor de frecvenţă a) industrială şi IEEE; zonele haşurate indică variaţii găsite în literatură, zonele înnegrite indică frecvenţele ptr. care există un consens larg;Săgeţile indică definiţiile curente IEEE

Atribuirea benzilor de frecvenţă în armata americană

Page 10: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

Tendinţe

• Reorientarea de la înalta performanţă (aplicaţii militare) indiferent de preţul implicat înspre fezabilitate (ptr. aplicaţii comerciale) şi preţ de cost minim în condiţiile unei performanţe acceptabile

• Diversitatea aplicaţiilor şi mediilor operaţionale, acompaniată de o producţie de masă au împins tot mai sus limitele performanţelor produselor de microunde, la un cost din ce în ce mai redus.

• Reorientarea de la producţia mică la producţia de masă

• Aceasta a atras după sine reducerea costului de implementare a serviciilor cu fir şi fără fir în RF şi microunde.

• Dacă primele sisteme prin satelit erau în banda C (2,4-4,2GHz), proiectarea curentă este orientată spre banda K (Ku şi Ka).

• Aceasta a permis şi răspândirea terminalelor cu apertură redusă şi în zonele în care sistemele celulare nu există, implementarea lor fiind prea scumpă.

• Utilizarea unor tehnologii noi cu mare eficienţă spectrală.

• De exemplu utilizarea unei modulaţii de amplitudine în cuadratură 256-QAM în sistemul Spaceway în locul modulaţiei QPSK ar duce la creşterea vitezei de transmisie la 400Mb/s de la 100Mb/s şi la o capacitate totală de 17,6 Gb/s, faţă de 4,4 Gb/s în prezent adică de 4 ori mai mare pentru o aceeaşi bandă ocupată ca în prezent.

Page 11: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

• Este de aşteptat pe viitor să se utilizeze frecvenţe din ce în ce mai mari pe măsură ce spectrul de frecvenţă devine tot mai redus.

• Frecvenţele înalte vor permite utilizarea unor terminale mai reduse şi potenţial obţinerea unei mobilităţi mai mari.

Aplicaţii :

1. -istoric, militare de radiolocaţie Lungimile de undă mici permit realizarea unor fascicole înguste, ce pot fi direcţionate practic cu antene de dimensiuni suficient de mici, generând o rezoluţie adecvată a locaţiei ţintei

2.-comunicaţiile terestre la mare distanţă cît şi cele prin satelit, pentru voce şi imagini :

-comunicaţiile fără fir de voce şi de date, atât spre utilizatori individuali cât şi dinspre aceştia;

-protocoalele reţelelor LAN, ex Bluetooth lucrează în banda de 2,4 GHz

-servicii de internet wireless-protocoalele reţelelor MAN metropolitan area networks , ca de

ex. WIMAX (world wide interoperability for microwave acces) – în domeniile de 2,5 GHz şi 3,5 GHz

-protocoale care permit accesul mobil fără fir pe suprafeţe mari wide area mobile broadband wireless acces MBWA ,

Page 12: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

-comunicaţiile prin cablu, inclusiv sistemele prin cablu coaxial ptr. distribuţie video şi acces digital de bandă largă ;-comunicaţiile prin fibră optică ptr. mare şi mică distanţă ;-sistemele hibride, ca de exemplu cele fibră optică-coaxial ;-computere personale

3-sisteme radar :-în radiolocaţia şi urmărirea ţintei-evitarea aeriană automată a coliziunilor -monitorizarea meteorologică

4-aplicaţii de încălzire dielectrică bazate prin trecerea radiaţiei de microunde prin diferiţi dielectrici, inclusiv alimente:-sisteme industriale (de obicei la f 900 MHz) de uscare şi tehnici de procesare a semiconductoarelor care utilizează microundele pentru generarea plasmei-consum casnic (cuptorul cu microunde f 2450 MHz)

5-transmiterea puterii la distanţă mare – transmiterea energiei solare captate pe sateliţi înspre pământ

6-medicină tratamente

Propagarea undeiConceptul de propagare se referă la modul în care unda

electromagnetică se deplasează de la antena de emisie la recepţie.

-mijlocul de transport al energiei de la emiţător la receptor.

Transmisia informaţiei analogice sau digitale de la un punct la altul este cea mai răspândită aplicaţie în microunde.

Propagarea undei-prin mediul liber şi structuri ghidate:-Linii de transmisie-Ghiduri

Page 13: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

Avantajele propagării undelor la frecvenţele microundelor :

• Microundele , datorită frecvenţelor înalte permit benzi largi de frecvenţă, fără problemele ridicate de interferenţele în domeniul frecvenţelor joase

• O singură purtătoare poate manipula o cantitate uriaşă de informaţie

• Microundele se propagă de-a lungul unei linii drepte ca razele de lumină şi nu sunt curbate de ionosferă. Propagarea în linie dreaptă face posibilă transmisia prin sateliţi. Satelit de comunicaţii- staţie de retransmisie în microunde care leagă 2 sau mai multe emiţătoare şi receptoare terestre.

• Este posibilă proiectarea unor sisteme cu antene de dimensiuni rezonabile

• Comparativ cu undele elmg. de joasă f. energia microundelor este mai uşor de controlat, concentrat, direcţionat- util în gătit, uscat şi fizica diatermică.

În ingineria frecvenţelor înalte, practica curentă utilizează modelul empiric, bazat pe măsurători rezultat din ec. lui Maxwell.

• Ingineria mu şi RF tratează cazuri speciale ale fizicii particulelor încărcate electric şi interacţiunilor dintre ele prin intermediul undelor electromagnetice. Ramura ştiinţei care descrie fizica particulelor electrice- electromagnetismul.

• Electromagnetismul se ocupă cu forţa electromagnetică şi este bazată pe conceptul vectorilor intensitate a câmpului electric E(x,y,z,t), respectiv, magnetic intensitate H(x,y,z,t), introduşi ptr. a rezolva acţiunea la distanţă a sarcinilor electrice

• Ec. Lui Maxwell descriu câmpul în funcţie de surse sarcini şi curenţii asociaţi.

Page 14: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

Reprezentarea în domeniul timp a ecuaţiilor lui Maxwell

• În cinstea lui J.C. Maxwell, formele locale ale legilor generale ale fenomenelor electromagnetice sunt denumite ecuaţiile lui Maxwell.

• Studiul microundelor se bazează pe conceptul vectorilor intensitate a câmpului electric E(x,y,z,t) respectiv intensitate a câmpului magnetic H(x,y,z,t)

• conform teoremei lui Helmholtz orice vector al unui câmp poate fi unic definit prin rotorul şi divergenţa sa

Rotorul câmpului electric se notează cuşi se calculează în coordonate carteziene cu relaţia:

Divergenţa câmpului electric, notată ∇ ⋅ E, are în coordonate cartezieneexpresia:

∇ este simbolul operatorului matematic denumit "nabla" este vector şi are expresia formală:

E×∇

∂−

∂+

∂∂

−∂

∂+

∂−

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇y

Ex

Ek

xE

zE j

zE

yE i

EEEzyx

kjixyzxyz

zyx

E

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kji

z

E

y

E

x

E zyx

∂+

∂+

∂=⋅∇ E

Page 15: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

15

Mărimile de stare locale ce caracterizează câmpul sunt:

• intensitatea câmpului electric E, cu unitatea [V/m].

• inducţia magnetică B, cu unitatea [T].• inducţia electrică sau deplasarea electrică D, cu

unitatea [C/m2].• intensitatea câmpului magnetic H, cu unitatea

[A/m].

Mărimile de stare locale ce caracterizează corpurile sunt:

• ρe este sarcina electrică • ρm este sarcina magnetică • Je este densitatea curentului electric• Jm este densitatea curentului magnetic

Page 16: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

16

Legea inducţiei electromagneticesau (1.1)

Legea circuitului magneticsau (1.2)

Legea fluxului electricsau (1.3)

Legea fluxului magnetic

sau (1.4)

Aceste relaţii arată că variaţiile în timp ale unui câmp reprezintă sursa celuilalt

eD ρ=⋅∇ eD div ρ=

mB ρ=⋅∇ mB div ρ=

t ∂∂

+=×∇D

eJH

t ∂∂

+=D

eJHrot

t ∂∂

−−=×∇B

mJE t ∂

∂−−=

BmJErot

Ecuaţiile lui Maxwell ptr.vid

ED 0ε= m/F10.842,81036

1 1290

−≅π

≅ε

HB oµ=

t ∂∂

µ−−=×∇H

mJE 0

t ∂∂

ε+=×∇E

eJH 0

0ερ

=⋅∇ eE

0µρ

=⋅∇ mH

m/H10.566,1210..4 77o

−− ≅π=µ

Page 17: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

17

Undele electromagnetice sunt o soluţie specială a ec lui Maxwell, pe care se bazează ingineria microundelor. f(z – vt) se “deplasează” sau se “propagă” în timp cu sensul axei z, cu viteza v.

Un fenomen fizic descrisă de o astfel de funcţie poartă denumirea de "undă".

În inginerie, dependent de tehnologie –diferite circumstanţe ale electromagnetismului :

• La un capăt al spectrului sunt dispozitivele în stare solidă, unde legile electromagnetismului se aplică unui nr. restrâns de sarcini, împreună cu mecanica cuantică. Aici forţele aplicate sarcinilor individuale sunt importante

• La celălat capăt- aplicaţii în care lungimea undelor elmg.<< dimensiunile problemei şi elmg. se reduce la optică, unde sunt pe rol fenomenele undei plane

• In mijlocul spectrului sunt abordate structuri cu o dimensiune comparabilă cu lungimea undelor elmg. Câmpul elmg. este abordat ca o problemă matematică riguroasă de valori la graniţa de separare a mediilor.

Majoritatea aplicaţiilor în microunde sunt la mijlocul spectrului, cu conexiuni în ambele direcţii

În domeniul frecvenţelor înalte s-au dezvoltat descriptori de nivel înalt ai electromagnetismului şi discipline specializate : circuite, filtre, antene, ptr. rezolvarea problemelor inginereşti

Page 18: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

18

După postularea teoriei speciale a relativităţii nu este necesară nici o modificare a ec. lui Maxwell.Viteza luminii, derivată din aceste ec. este o constantă ptr. toate sistemele inerţiale de referinţă.

De obicei se restrânge investigarea ecuaţiilor lui Maxwell la cazul în care

variaţiile în timp ale câmpului electric şi magnetic sunt armonice

Mărimi vectoriale si fazorii atasati lorForma de variaţie în timp şi în spaţiu a unui câmp electric

monocromatic cu frecvenţa ω poate fi pusă sub forma (1.5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )zz

yyxx

t cos z ,y ,xEk

t cos z ,y ,xEjt cos z ,y ,xEit,z ,y ,x

φ+ω+

+φ+ω+φ+ω=E

Se preferă funcţiile de tip exponenţială complexă:(1.6)

Vectorului cu componente reale E din rel (1.5) i se poate ataşa vectorul E cu componente complexe:

(1.7)

Între vectorii E şi E există relaţia evidentă [vezi şi relaţia (1.6)]:

(1.8)

(1.9)

( ) ( ) ( ) 1j sin j cose j −=φ+ω+φ+ω=φ+ω ttt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )z

yx

t z

t y

t x

j

jj

e z ,y ,xEk

e z ,y ,xEje z ,y ,xEit ,z ,y ,xEφ+ω

φ+ωφ+ω

+

++=

( ) ( ) t,z ,y ,xERet,z ,y ,x =E

( ) ( ) ( ) ( )[ ] t j jz

jy

jx ee z ,y ,xEke z ,y ,xEjez ,y ,xEit ,z ,y ,xE zyx ωφφφ ⋅+⋅+⋅=

Page 19: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

19

Se introduc notaţiile:

(1.10)

cu ajutorul cărora (1.7) se rescrie sub forma:

(1.11) Vectorul din paranteza dreaptă a relaţiei (1.10) are componentele

complexe şi este un vector complex, nu depinde de variabila timp t

şi se notează cu E(x,y,z) :

(1.12)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) z

yx

jzz

jyy

jxx

ez ,y ,xE z ,y ,xE

;ez ,y ,xE z ,y ,xE ;ez ,y ,xE z ,y ,xEφ

φφ

⋅∆

⋅∆⋅∆

( ) ( ) ( ) ( )[ ] e z ,y ,xEkz ,y ,xEj z ,y ,xE it ,z ,y ,xE t jzyx

ω++=

( ) ( ) ( ) ( ) z ,y ,xE kz ,y ,xE j z ,y ,xE iz ,y ,xE zyx ++=

Vectorul complex , definit prin relaţia (1.12), poartă denumirea de fazor ataşat câmpului electric (cu intensitatea E(x,y,z,t)) . Spre deosebire de câmpul electric E, câmp fizic, fazorul nu depinde de variabila timp

(1.13)

Vectorului H i se ataşează fazorul astfel :

(1.14)

( ) ( ) ( ) ( ) z ,y ,xE kz ,y ,xE j z ,y ,xE iz ,y ,xE zyx ++=

( ) ( ) tzyxtzyx je , , Re , , , ω= EE

( ) ( ) tzyxtzyx je , , Re , , , ω⋅= HH

Page 20: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

20

În regim armonic, monocromatic, se pot obţine forme modificate ale ecuaţiilor lui Maxwell, în care intră fazoriiataşaţi mărimilor vectoriale

şi după simplificarea cu , posibilă deoarece rezultă forma complexă a ecuaţiei (1.1),

scrisă pentru fazori:

t

∂∂

−=×∇BE ( ) ( ) tt zyx

tzyx jω jω e , , Re

e , , Re BE

∂∂

−=×∇

( )[ ] ( )

( )[ ] t

tt

zyx

tzyxzyx

jω jω

e , , j Re

e

, , Ree , , Re

B

BE

ω−=

=

∂∂

−=×∇

( )[ ] ( )[ ] tt zyxzyx jω jω e , , j e , , BE ω−=×∇

0e j ≠ω t

t je ω

O formă simplificată de scriere a fazorilor este fără precizarea argumentelor spaţiale x, y şi z.

Ţinand cont şi de existenţa densităţilor de sarcină electrică, respectiv magnetică Je, Jm:

(1.15) (1.17)

(1.16) (1.18)

Ecuaţii- valabile numai în regim armonic monocromatic, cu frecvenţa ω.Ele sunt reprezentarea în domeniul frecvenţă a ecuaţiilor lui Maxwell

( ) ( )zyxzyx ,, j,, BE ω−=×∇

BE jω−=×∇

DJH jω+=×∇ e

eρ=⋅∇ D

mρ=⋅∇ B

BJmE j- ω−=×∇

Page 21: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

21

Avantajul utilizării fazorilor în locul vectorilor reali este

faptul că derivatele in timp se reduc la simple multiplicari.

• Vom verifica, mai întâi, că divergenţa rotorului unui vector oarecare

A este nulă:

( )

∂−

∂+

∂−

∂+

∂−

∂∂

=

=∂∂

∂∂

∂∂

⋅∇=×∇⋅∇

y

A

x

A

z xz y z

x xyxxyz

zyx

AAA

zA

AAAzy x

kji

A

Page 22: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Legea inducţiei electromagneticesau (1.1)

Legea circuitului magneticsau (1.2)

Legea fluxului electricsau (1.3)

Legea fluxului magnetic

sau (1.4)

Aceste relaţii arată că variaţiile în timp ale unui câmp reprezintă sursa celuilalt

eD ρ=⋅∇ eD div ρ=

mB ρ=⋅∇ mB div ρ=

t ∂∂

+=×∇D

eJH

t ∂∂

+=D

eJHrot

t ∂∂

−−=×∇B

mJE t ∂

∂−−=

BmJErot

Cursul 2

Ecuaţiile lui Maxwell ptr.vid

ED 0ε= m/F10.842,81036

1 1290

−≅π

≅ε

HB oµ=

t ∂∂

µ−−=×∇H

mJE 0

t ∂∂

ε+=×∇E

eJH 0

0ερ

=⋅∇ eE

0µρ

=⋅∇ mH

m/H10.566,1210..4 77o

−− ≅π=µ

Page 23: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

Undele electromagnetice sunt o soluţie specială a ec lui Maxwell, pe care se bazează ingineria microundelor. f(z – vt) se “deplasează” sau se “propagă” în timp cu sensul axei z, cu viteza v.

Un fenomen fizic descrisă de o astfel de funcţie poartă denumirea de "undă".

În inginerie, dependent de tehnologie –diferite circumstanţe ale electromagnetismului :

• La un capăt al spectrului sunt dispozitivele în stare solidă, unde legile electromagnetismului se aplică unui nr. restrâns de sarcini, împreună cu mecanica cuantică. Aici forţele aplicate sarcinilor individuale sunt importante

• La celălat capăt- aplicaţii în care lungimea undelor elmg.<< dimensiunile problemei şi elmg. se reduce la optică, unde sunt pe rol fenomenele undei plane

• In mijlocul spectrului sunt abordate structuri cu o dimensiune comparabilă cu lungimea undelor elmg. Câmpul elmg. este abordat ca o problemă matematică riguroasă de valori la graniţa de separare a mediilor.

Majoritatea aplicaţiilor în microunde sunt la mijlocul spectrului, cu conexiuni în ambele direcţii

În domeniul frecvenţelor înalte s-au dezvoltat descriptori de nivel înalt ai electromagnetismului şi discipline specializate : circuite, filtre, antene, ptr. rezolvarea problemelor inginereşti

Page 24: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

După postularea teoriei speciale a relativităţii nu este necesară nici o modificare a ec. lui Maxwell.Viteza luminii, derivată din aceste ec. este o constantă ptr. toate sistemele inerţiale de referinţă.

De obicei se restrânge investigarea ecuaţiilor lui Maxwell la cazul în care

variaţiile în timp ale câmpului electric şi magnetic sunt armonice

Mărimi vectoriale si fazorii atasati lorForma de variaţie în timp şi în spaţiu a unui câmp electric

monocromatic cu frecvenţa ω poate fi pusă sub forma (1.5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )z

yx

φ+ tω cos z y, x,k+

+φ+ tω cos z y, x,j+φ+ tω cosz y, x,i=z y, x,

z

yx

E

E EE

Se preferă funcţiile de tip exponenţială complexă:(1.6)

Vectorului cu componente reale E din rel (1.5) i se poate ataşa vectorulE cu componente complexe:

(1.7)Între vectorii E şi E există relaţia evidentă [vezi şi relaţia (1.6)]:

(1.8)

(1.9)

( ) ( ) ( ) 1j sin j cose j −=φ+ω+φ+ω=φ+ω ttt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zyx +t z

+t y

+t x

jjj e z ,y ,xk+e z ,y ,xj+e z ,y ,xi=t ,z ,y ,xE φωφωφω EEE

( ) ( ) t,z ,y ,xERe=t,z ,y ,xE

( ) ( ) ( ) ( )[ ] t j jz

jy

jx ee z ,y ,xk+e z ,y ,xj+ez ,y ,xi=t ,z ,y ,xE zyx ωφφφ EEE

Page 25: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

Se introduc notaţiile:

(1.10)

cu ajutorul cărora (1.7) se rescrie sub forma:

(1.11) Vectorul din paranteza dreaptă a relaţiei (1.10) are componentele

complexe şi este un vector complex, nu depinde de variabila timp t

şi se notează cu E(x,y,z) :

(1.12)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] e z ,y ,xEkz ,y ,xEj z ,y ,xE it ,z ,y ,xE t jzyx

ω++=

( ) ( ) ( ) ( ) z ,y ,xE kz ,y ,xE j z ,y ,xE iz ,y ,xE zyx ++=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) z

yx

jzz

jyy

jxx

ez ,y ,x z ,y ,xE

;ez ,y ,x z ,y ,xE ;ez ,y ,x z ,y ,xEφ

φφ

∆∆

E

EE

Vectorul complex , definit prin relaţia (1.12), poartă denumirea de fazor ataşat câmpului electric (cu intensitatea E(x,y,z,t)) . Spre deosebire de câmpul electric E, câmp fizic, fazorul nu depinde de variabila timp

(1.13)

Vectorului H i se ataşează fazorul astfel :

(1.14)

( ) ( ) ( ) ( ) z ,y ,xE kz ,y ,xE j z ,y ,xE iz ,y ,xE zyx ++=

( ) ( ) t je z ,y ,x ERe=t ,z ,y ,x ωE

( ) ( ) t jez ,y ,x HRe=t ,z ,y ,x ωH

Page 26: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

În regim armonic, monocromatic, se pot obţine forme modificate ale ecuaţiilor lui Maxwell, în care intră fazoriiataşaţi mărimilor vectoriale

şi după simplificarea cu , posibilă deoarece rezultă forma complexă a ecuaţiei (1.1),

scrisă pentru fazori:

t

∂∂

−=×∇BE ( ) ( ) tt zyx

tzyx jω jω e , , Re

e , , Re BE

∂∂

−=×∇

( )[ ] ( )

( )[ ] t

tt

zyx

tzyxzyx

jω jω

e , , j Re

e

, , Ree , , Re

B

BE

ω−=

=

∂∂

−=×∇

( )[ ] ( )[ ] tt zyxzyx jω jω e , , j e , , BE ω−=×∇

0e j ≠ω t

t je ω

O formă simplificată de scriere a fazorilor este fără precizarea argumentelor spaţiale x, y şi z.

Ţinand cont şi de existenţa densităţilor de sarcină electrică, respectiv magnetică Je, Jm:

(1.15) (1.17)

(1.16) (1.18)

Ecuaţii- valabile numai în regim armonic monocromatic, cu frecvenţa ω.Ele sunt reprezentarea în domeniul frecvenţă a ecuaţiilor lui Maxwell

( ) ( )zyxzyx ,, j,, BE ω−=×∇

BE jω−=×∇

DJH jω+=×∇ e

eρ=⋅∇ D

mρ=⋅∇ B

BJmE j- ω−=×∇

Page 27: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Avantajul utilizării fazorilor în locul vectorilor reali este

faptul că derivatele in timp se reduc la simple multiplicari.

• Vom verifica, mai întâi, că divergenţa rotorului unui vector oarecare

A este nulă:

( )

∂−

∂+

∂−

∂+

∂−

∂∂

=

=∂∂

∂∂

∂∂

⋅∇=×∇⋅∇

y

A

x

A

z xz y z

x xyzxyz

zyx

AAA

y

A

AAAz y x

kji

A

Avantajul utilizării fazorilor în locul vectorilor reali este

faptul că derivatele in timp se reduc la simple multiplicari.

• Vom verifica, mai întâi, că divergenţa rotorului unui vector oarecare

A este nulă:

( )

∂−

∂+

∂−

∂+

∂−

∂∂

=

=∂∂

∂∂

∂∂

⋅∇=×∇⋅∇

y

A

x

A

z xz y z

x xyxxyz

zyx

AAA

zA

AAAzy x

kji

A

Page 28: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

Efectuând calculele se găseşte imediat că:

Ţinând seamă de proprietatea de inversare a divergenţei şi derivării, cu

A = D obţinem:

Aplicăm proprietatea anterioară relaţiei (1.2):

( ) AA ∀≡×∇⋅∇ 0,

( )AA⋅∇

∂∂

=

∂∂

⋅∇t t

( ) 0DeJ =⋅∇∂∂

⋅∇t

+

0)tD J()H( e =

∂∂

+∇=×∇∇

Ţinand cont de relaţiile dintre vectori şi fazorii corespunzători obţinem:

În mod similar, din relaţia (1.1) obţinem:

Aceste relaţii se numesc ecuaţii de continuitateDe menţionat că:

0eJ =ωρ⋅∇ ej+

0)tB-J()E( m =

∂∂−∇=×∇∇

( ) 0BmJ =⋅∇∂∂

⋅∇t

+

ED=

ε= HB=

µ=

Page 29: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

Unda plană - model idealizat pentru undă, (când emiţătorul este de dimensiuni mult reduse în comparaţie cu distanţa de la acesta până la punctul în care se investighează câmpul). -dimensiunile considerate în planul perpendicular pe direcţia de propagare să fie mult reduse în comparaţie cu aceeaşi distanţă.

Sensul de propagare al energiei este dat de vectorul Poynting

• Prin tradiţie, ca axă de propagare se alege axa z. • Câmpul nu prezintă modificări în spaţiu după axele x şi y

(deoarece frontul de undă este plan) şi deci operatorii şi sunt identic nuli.

∗= ExH21S

∂∂ x∂

∂ y

(1.20)

Page 30: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

Fie mediul de propagare caracterizat de ε şi µ şi conductivitatea σ. Existenţa unei conductivităţi nenule

determină apariţia unor curenţi de conducţie.

• Se reaminteşte că operatorul Laplacian, ∇2, notat şi Δ, are în coordonate carteziene expresia:

• Fie ecuaţia (1.15) în care considerăm Jm zero.(1.21)

2

2

2

2

2

22

Δ

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

==∇

EJ e = σ

HE µω=×∇ -j

Aplicăm rotorul în ambii membrii ai ecuaţiei:

În absenţa sarcinilor libere adică şi ţinând cont de relaţia (1.16) obţinem:

Ecuaţia (1.21) se poate deci rescrie sub forma:

sau:

( ) ( ) ( )xHjEExEx 2 ∇ωµ−=∇−∇∇=∇∇

0 = esρ 0E =⋅∇

0 = j + 22 EEE µσω−µεω∇

0 =

j 1 + 22 EE

εωσ

−µεω∇

( )EjjE2 σ+ωεωµ=∇

Page 31: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

Se notează:(1.22)

Constanta k se numeşte "număr de undă"Obţinem astfel :

(1.23)

Ecuaţia este cunoscută sub numele de ecuaţia undei.

În mod similar din ecuaţia (1.16) se obţine

(1.24)

j 1 = 22

εωσ

−µεωk

0 = + 22 EE k∇

0 = + 22 HH k∇

În lipsa pierderilor şi

În vid unde ε=ε0 şi μ=μ0 obţinem

Se defineşte constanta de propagare γ prin relaţia:

(1.25)şi deci:

(1.26)

Constanta α, măsurată în [Np/m] sau [dB/m], se numeşte constantă de atenuare. Constanta β, măsurată în [rad/m], se numeşte constantă de fază.

σ = 0 µεω= 22k

00k µεω= 022

j 1 = = 222

εωσ

−µεω−−γ k

j 1 = j + = 2

εωσ

−µεω−βαγ

Page 32: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

• Fie:

• Având în vedere că şi deci şi

• Ecuaţia (1.23) se scrie sub forma:

• Ecuaţia vectorială este echivalentă cu următoarele trei ecuaţii scalare:

2

2

2

2

2

22

Δ

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

==∇

0 =

= yx ∂

∂∂∂ 0 =

=

2

2

2

2

yx ∂∂

∂∂

0 = + 22 EE k∇

( ) ( ) EkE jEiEkEjEiz zyxzyx =

22

2

++γ++∂∂

zz

yy

xx E

zE

EzE

EzE 2

2

22

2

22

2

2

=

=

=

γ∂∂

γ∂

∂γ

∂∂

;;

Soluţiile celor trei ecuaţii sunt:

z z

zzz

z y

zyy

z x0

zxx

E = EE

+ E= EE

e E EE

γ−γ−

γ−γ−

γ−γ−

0

+0

0

+0

+ o

e +e

e e +e =

Dar şi deci ,

scade o dată cu creşterea valorii coordonatei z, z > 0.Unda corespunzătoare este unda directă.

Deoarece sau valoare ce creşte

odată cu creşterea valorii coordonatei z, z > 0. Unda corespunzătoare este unda inversă ce apare datorită reflexiei.

zzz j e e = e β−α−γ− zz e = e α−γ−

z zz j e e = e βαγ zz e = e αγ

Page 33: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

Prima ecuaţie a lui Maxwell, (1.15) poate fi rescrisă sub forma:

dezvoltând determinantul din membrul stâng rezultă

În mediul de propagare infinit, omogen şi izotrop, nu apar

reflexii, şi soluţiile sunt:

(1.26)z

z0zz

y0yz

x0x EEE EEE e = e = e = γ−γ−γ− ;;

( )zyx

zyx

HkHjHi

EEEz

kji

j00 xE ++µω−=∂∂

=∇

j = 0 j = j = zyx

xy HH

zE

Hz

Eµω−µω−

∂∂

µω−∂

∂− ;;

Derivând expresiile (1.26) rezultă:

(1.28)

• Se poate deduce, prin împărţire cu Hx, respectiv cu Hy, din (1.28):

0 = j = j = zyxxy HHEHE ;; µωγµω−γ

j = = γ

µω−

x

y

y

x

HE

H E

(1.29)

Page 34: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

A doua ecuaţie a lui Maxwell, (1.16), se scrie sub forma particulară:

Singura relaţie interesantă ce se deduce este:

( ) ( ) + j =

0

00 xH zyx

yx

EkEjEi

HHz

kji

++σωε∂∂

=∇

0 = zE (1.30)

Observaţii• Deoarece şi ambele componente

sunt perpendiculare pe axa de propagare 0z.

• O astfel de undă, ale cărei componente E şi H sunt transversale pe direcţia de propagare se numeşte undă TEM transversal electromagnetică sau mod de propagare TEM. Unda plană este deci o undă TEM.

• Câmpurile E şi H sunt ortogonale nu numai pe direcţia de propagare , ci şi între ele.

• Din (1.29) rezultă:

(1.31)

0 = zE 0 = Hz

0 = yyxx H + EHE

Page 35: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

Cum , relaţia (1.31) este echivalentă cu:

• În unda plană componentele E şi H ale câmpului electromagnetic sunt ortogonale.

• Se pot roti axele de coordonate astfel încât 0x să fie paralelă cu E, iar axa 0y să fie paralelă cu H.

0 = HE ⋅

Page 36: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Cum , relaţia (1.31) este echivalentă cu:

• În unda plană componentele E şi H ale câmpului electromagnetic sunt ortogonale.

• Se pot roti axele de coordonate astfel încât 0x să fie paralelă cu E, iar axa 0y să fie paralelă cu H.

0 = HE ⋅

Avem deci:

• Raportul se exprimă în

şi deci are dimensiunea unei impedanţe. Impedanţa intrinsecă a mediului este:

zjz0 eeiEE β−α−=

zjz0 eejHH β−α−=

= AV

= A/mV/m

Ω

yx HE

β+αµω

γµω

jHE = Z

y

xm

j = j =

j -1

1 =

εωσ

⋅εµ=

HE

HE = Z

0

0

y

xm

Page 37: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

În cazul mediilor fără pierderi α=0 şi deci γ=jβ . şi deci:

• Componentele de câmp ale undei plane devin:

Cu Ym s-a notat admitanţa intrinsecă a mediului

= mZεµ

zj0eiEE β−=

zjmo eYjEH β−=

mm Z

1 = Y

• Impedanţa intrinsecă a vidului are valoarea:

(1.35)

• Pentru a determina câmpurile fizice E şi H ale undei plane vom considera pentru simplificare că E0 ,H0şi Ym sunt mărimi reale.

În conformitate cu relaţiile (1.8) respectiv (1.9) obţinem:

α indică descreşterea cu axa z, deci este constanta de atenuare

Ω≅πε

µ 377 120 = =

0

00m

Z

) ( cose = 0

ztz β−ωα−EiE

) ( cose = 0

ztY zm β−ωα−EjH

Page 38: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

Reprezentarea repartiţiei spaţiale a câmpurilor fizice poate fi realizată doar la un moment de timp specificat. Pentru

t = 0 rezultă zz cose =E 0

βα−Ei

zYj zm cose =H

0βαE

Componentele Ex şi Hy ale unei unde plane care se propagă fără a fi atenuate

• Termenul e-αz indică descreşterea de-a lungul axei z, motiv ptr care α este constanta de atenuare

• Dacă α = 0 unda este neatenuată în lungul axei z, aşa cum se arată în figura

Page 39: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

pentru relaţia (1.36) conduce la:

β−

π= α− zz

x 3

cose 0

EE

ωπ

=3

2

t

Lungimea de undă λ

-distanţa măsurată pe axa z între două treceri consecutive ale câmpului prin zero, în acelaşi sens

( ) [ ] 0 = cos = cos λβ−β−ωβ−ω ztzt

( ) ( ) ( )[ ] 0 = + cose = cos e + 0

0

λβ−ω⋅β−ω λα−α− ztzt zz EE

( )π−αα 2 cos = cos βπ

λ2 =

Page 40: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

• Ptr. un mediu fără pierderi λ-ca distanţă între două maxime consecutive.

• ca distanţă măsurată pe axa z după care modificarea de fază a câmpului este de 2π, la un moment de timp t dat.

• Lungimea de undă în vid se notează cu λo şi ţinând cont de relaţiile

este egală cu0

0

2 = kπ

λ

002

00002 = j = = µεωµεω−γ kk ; με = = 000 ωβ k

•Viteza luminii în vid este dată de :

• Pentru un mediu oarecare, fără pierderi σ=0, cu ε=ε0εr şi μ=μ0μr , lungimea de undă λ va fi diferită de λ0 din vid, egală cu:

• Termenul se numeşte factor de scurtare

• Se utilizează şi o relaţie de calcul adaptată domeniului microundelor (domeniu numit şi “centimetric”):

[ ] [ ] GHz = cm = 30 = ;00

ff

λλ

rrrrrr k µε

λ=

µε

π=

µεµεϖ

π=

εµϖ

π=

βπ

=λ 0

000

2222

m/s 103 με

1 = 8

00

⋅≅c

Termenul

rr

1µε

vT=λ0000

1f2T

2vµε

=µεω

ω=

βω

=βπ

π=

Page 41: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Unda plană în vid

• Relaţiile ce permit calculul expresiilor fazorilor E şi H în vid sunt:

• şi deci, expresiile câmpurilor fizice devin:

zkE 0 j0

e = −iE0

0 j

00

1 = e j = 0

mm

zkm Z

YEY ;−H

( ) zk- t ω cosi0

EE0

=

( )zk - tω cos Y 0m00E j =H

Viteza de fază şi viteza de grup

• Viteza de fază este, prin definiţie, viteza cu care ar trebui să se deplaseze un observator pentru a "vedea" aceeaşi fază a undei.

• În cazul propagării undei plane printr-un mediu omogen şi izotrop, fără pierderi (σ = 0),

• viteza de fază, într-un mediu omogen, izotrop şi fără pierderi, nu depinde de frecvenţa ω.

ztt = )( β−ωφ

0 = d d = d zt β−ωφ

βω =

dd =

tzv

f

= µεωβ

1 =µεf

v

Page 42: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

În vid relaţia devine:

• Viteza de grup este viteza de propagare a energiei. Considerând expresia vectorului Poynting, ea reprezintă energia transportată de undă în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă.

• Viteza de grup poate fi calculată şi cu relaţia:

• În vid • Se observă că pentru unda plană în vid . În concluzie,

pentru unda plană în vid

m/s 10 3 = =

1 = 8

00

⋅µε

cvf

d d1 =

d d =

ωββ

ωgv

= 00 µεωβ

c1

dd

=ωβ

În concluzie, pentru unda plană în vidadică viteza luminii c

Puterea transportată de unda plană printr-o suprafaţă normală pe direcţia de propagare

ixj=k

c = vv fg =

∗= ExH21S

Page 43: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

z220m2

1*zjzm0

zjz0 eEkY)eeYjE(x)eeiE(

21S α−β−α−β−α− ==

( )

⋅×=

∫ ∫∫ ∫∆

∆−

∆−∆ ∆

yd xd k 21RekSdxdyRe= P

2x

2x

2y

2y

*yx

x y

HE

Puterea activă P transportată de undă printr-o suprafaţă ∆S=(∆x). (∆y), normală pe direcţia de propagare este

Se substituie Ex şi Hy şi se obţine:

d de 21Re= 2 *

2

2

2

2

*00

α−

∆−

∆−

∫ ∫ yxYEEP zm

x

x

y

y

=2

0*00

EEE mm YY Re = Re *

S e Y Re2

E= y x e Y Re

2E

=P z 2 m

20z 2

m

20 ∆∆∆ α−α−

Page 44: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

P0 puterea activă în originea axelor de coordonate:

Puterea transportată descreşte exponenţial, constanta de atenuare a puterii având expresia:

Pentru ΔS=1,puterile transportate prin suprafaţa unitară:

S Y Re2

E =P m

20

0 ∆

e P=e P =P z 0

z2 0

pα−α−

2= αα p

m

20z

0 Y Re2

E =P ; e P= P 0(1)

p(1)(1)

α−

În absenţa pierderilor puterea P nu este atenuată şi avem:

• Ym este acum o mărime reală• Un caz particular îl reprezintă propagarea undei prin vid

cu

m

20 Y

2E

=P= P 0(1)(1)

SiemensYm3

0 10653,2120/1 −⋅≅π=

Page 45: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

Clasificarea mediilor de propagare omogene şi izotrope

EjJd ωε=

Ţinând cont de raportul km, constanta de propagare γ devine:

( ) βα−µεω−µεω−γ j + = k j 1 j = k j 1 = mm2

tDJ d ∂

∂=EJc σ=

jk j 1

1 j = Zm

m γωµ

=−

⋅εµ

=γωµ

= k ;

= j

= k mC

m εωσ

εωσ

εω EE

EJ

În funcţie de valoarea raportului km deosebim următoarele medii de propagare:

1) Dielectricii ideali nu există curenţi de conducţie (σ= 0) şi deci km = 0.

Dielectricul ideal nu prezintă pierderi, iar impedanţa intrinsecă a mediului este reală:

Vidul este un dielectric ideal pentru care şi

µεωβαµεωγ = , 0 = j = ;

µε

εµ = , = mm YZ

mm ZZ = Re

0 = kβ

[ ]Ωπ 120 = = ZZ mom

Page 46: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

Pentru cazul particular al dielectricilor ideali cu µr = 1, lungimea de undă se calculează cu relaţia:

1 2 =

1

2 =

2 = 2 =

000 rrrr k µεπ

µε⋅

µεωπ

µεωπ

βπ

λ

= 0

rr µε

λλ

0

1 = λε

λr

µεωβµεµεω

ωβω

1 =

dd1 =

1 =

= = gf

v v

Mediile pentru care viteza de fază nu este funcţie de frecvenţă păstrează forma unei unde compuse din mai multe componente armonice-“nedispersive”

Mediile pentru care viteza de fază este o funcţie de frecvenţă, forma undei compuse nu se mai păstrează ca urmare a propagării. Aceste medii

de propagare se numesc “dispersive”.

Page 47: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

2) Dielectricii cu pierderi mici km << 1.

Ptr.x<< 1- relaţia de aproximare

- au aceeaşi constantă de fază ca şi dielectricii ideali:

- au o atenuare a câmpului α ≠ 0

/2 1 1 xx −≅−

2

j 1 j = 2

j 1 j j 1 j =

εωσ

−µεω

−µεω≅−µεωγ m

mk

k

βαµεωεµσ

≅γ j + = j + 2

µεωβ =

Relaţiile de calcul pentru lungimea de undă, viteza de fază şi de grup rămân aceleaşi ca în cazul dielectricilor ideali.

Impedanţa intrinsecă a mediului - se aplică aproximarea, indicată mai înainte, precum şi aproximarea

valabilă pentru x<<1:

Al doilea termen este mult mai mic în modul decât primul, şi într-o primă aproximaţie

Constanta de atenuare are expresia:

x +1x 1

1≅

εµ

εµ

εµ

≅−

⋅εµ

≅ mm

mm kk

kZ 21 j + =

2j + 1

2j 1

1

εµ

≅mZ

2Z

2 mσ

=εµσ

≅α

Page 48: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

4) Conductorul ideal σ→ ∞ şi km→ ∞

• α = ∞, β = ∞ adâncimea de pătrundere este nulă, δ = 0.

• În conductorul ideal câmpul electromagnetic nu poate pătrunde.

• Impedanţa conductorului ideal este nulă. • Conductorul ideal este un scurtcircuit ideal

pentru câmpul electromagnetic

3.) Conductori reali au conductivitatea σ foarte mare

fiind caracterizaţi de 1<< km < ∞

Cu aproximarea

Cu atenuarea pozitivă:

α şi β sunt f.mari, egale numeric

εωσ

⋅µεω≅−−⋅µεω≅γmm

m kkk

2j + 1 j

j

j1 1 j j

2j1 = j −

±−

( ) ( )j + 1 2

2j + 1 j 1

2 j σµω±≅

−σµω±≅γ

mk

2

j + 2

j + σµωσµω=βα≅γ

2

= σµω=βα

Page 49: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

Exemplu Pentru cupru cu σ≅57,8⋅106 Ω– 1⋅ m–1 şi µr = 1 la frecvenţa

f = 1 GHz :

Adâncimea de pătrundere δ a câmpului electromagnetic este distanţa pentru care câmpul se atenuează de e = 2,1783 ori.

Factorul de atenuare este e–α z, înlocuind z = δ avem e–α z = e–1 :

Pentru cupru, la f = 1 GHz adâncimea de pătrundere este

4769

10 47,8 2

1041057,8102 = ⋅≅⋅π⋅⋅⋅⋅π

=βα−

σµωαδ

2 = 1 =

m 2,1 = m 10 2,1 m 1047,8

1 = 64- µ⋅≅⋅δ −

Pentru 10δ câmpul este practic nul, fiind atenuat cu

Pentru cazul considerat în exemplul numeric 10δ ≅ 21[µm]Impedanţa intrinsecă a unui mediu conductor Zmc

Zmc la f = 1 GHz pentru un conductor de cupru

Mediul conductor poate fi considerat practic ca un "scurtcircuit" pentru câmpul electromagnetic.

( ) ; 10 4,54 e 510 −δ⋅α− ⋅≅

( )j + 1 2 = j

=

j 1

j 11 =

σµω

σµω

−⋅

εµ

≅−

⋅εµ

mmm c kk

Z

( ) ( )

[ ] [ ]ΩΩ⋅≅

⋅≅⋅⋅

⋅π⋅⋅π

− m 11,7 = 10 1,17

j+ 110 0,83 j + 110 57,8 2

10 4 10 2 =

2

2-6

-79

mc

mc

Z

Z

Page 50: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

15

0 2 = 2 = →δπβπ

λ

σµω

2 = f

v

σµω

22 =gv

Mediul conductor este dispersiv deoarece vf este funcţie de frecvenţă

Pentru cupru β≅ 47,8.10 4 şi λ ≅ 13.10 – 6 [m] =13 [µm].

Page 51: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Observaţii -Materialele pentru care km ∈ (0,1 ÷ 10)- semiconductoare -Acelaşi mediu poate avea comportări diferite în funcţie de frecvenţă.

Comportarea pământului uscat la diferite frecvenţe

dielectric4,5⋅10-31GHz

semiconductor4,51MHz

conductor45001kHz

Clasificare kmf

4 ≅εr 1 ≅µ rσ = 10– 3[Ω– 1m– 1]

Apa de mare are σ ≅ 4 [Ω– 1m– 1], şi

La frecvenţa de 1 MHz valoarea constantei km este:

• Apa de mare este la această frecvenţă, un conductor destul de bun.

• Adâncimea de pătrundere corespunzătoare este δ ≅ 25 [cm].• La frecvenţa de 10 Hz adâncimea de pătrundere în

apa de mare este de

ori mai mare şi este de ~ 79 [m].

80 ≅ε r 1=µ r

1 >> 900 = 80 10

361 10 2

4 = 96 ⋅⋅

π⋅⋅π −

mk

56 10 = /1010

Page 52: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

Reflexia şi transmisia undei plane

Componentele undei directe, reflectate şi transmise ale câmpului electric, respectiv magnetic (luând în considerare şi sensul de propagare al energiei)

Page 53: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

Componentele E şi H tangente la suprafaţa de

separare sunt continue

Coeficientul de reflexie Γ la suprafaţa de separare

Coeficientul de transmisie prin suprafaţa de separare

E= + t0r0i0 EE

( ) 2mt0r0i01m Y E EE Y =−

i0

r0

EE

i0

t0

EET =

Ecuaţiile de continuitate ale componentelor tangente (z=0)

În absenţa pierderilor şi Aplicând succesiv inegalităţile cunoscute din operaţiile cu

module se deduce valoarea maximă a câmpului electric în mediul 1

T1 =Γ+2m1m TY)1(Y =Γ−Γ

12

12

21

21 = mm

mm

mm

mm

+ ZZ Z Z =

+ YY Y Y −−

Γ

12

2

21

122

mm

m

mm

m

+ ZZ

Z =

+ YY

YT =

11 j = βγ

22 j = βγ

Page 54: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

Valoarea minimă a câmpului în mediul 1

În mediul 1 apare o aşa numită undă staţionară. Unda staţionară este caracterizată de existenţa unor maxime (ventre) şi minime (noduri) de oscilaţie ale câmpului electromagnetic, de valoare şi amplasare fixe pe axa z.

( ) ( ) + 1 = e + e e +e E = 0

j j 0

1 j 1 j 01

ΓΓ≤Γ ββ−ββ−i

zzi

zzi

EEE

( ) + 1 E =E i0max1 Γ

i0max1 E 2 E ≤

( ) 1 = 1 =

= e e e +e =

00

j j 0

j+ j 01

Γ−Γ−

Γ−≥Γ ββ−ββ−

ii

zzi

zzi

EE

EEE

( ) 0 1 =0min1

≥Γ−i

EE

Raportul de undă staţionară

RUST sau din limba engleză SWR (stationary - wave ratio).

min1

max1

EE

= S

1 1 + 1

= = = min1

max1

min1

max1 ≤ΓΓ−Γ

, H

H

E

ES

[ )∞∈ 1, S

Page 55: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

Impedanţa de undă:

Aplicând inegalităţile cunoscute de la operaţiile cu module se poate demonstra că:

Minimelor câmpului electric le corespund minime ale impedanţei de undă, respectiv maximelor câmpului electric le corespund maxime ale impedanţei de undă.

Când avem o undă ce se propagă, numită şi undă progresivă, impedanţa de undă este egală cu impedanţa intrinsecă a mediului

zz

zz

mzz

zz

im

i

y

x Z EY

EHE

Z j j

j j

1 j j

j j

01

0

1

11 e e

e +e = e ee +e = = ββ−

ββ−

ββ−

ββ−

Γ−Γ

Γ−Γ

111 1

mmS ZZZ

S≤≤

Cazuri particulare

1. Medii adaptate Două medii de natură diferită care au Zm1= Zm2. Rezultă Γ=0 şi T=1Unda incidentă ajunge integral în mediul 2, astfel încât nu

se formează o undă staţionară. Există doar o undă progresivă.

2. Mediul 2 este un conductor ideal (cazul scurtcircuitului)

σ2→∞ (Zm2=0)

Din continuitatea componentelor tangenţiale şi ţinând cont de valorile coeficienţilor de reflexie şi de transmisie se obţine:

0 T ; 1 ≅−≅Γ

0 TE) 1(E EEE i0i 0r0i 0 01 ==Γ+=+=

Page 56: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

La suprafaţa unui conductor ideal , componenta tangenţială a câmpului electric este nulă.Deci liniile de forţă ale câmpului electric sunt normale la suprafaţa unui mediu conductor ideal.Din expresia intensităţii câmpului magnetic în mediul 1 obţinem:

• În mediul 1 apare o undă staţionară având câmpurile date de relaţiile:

• Aplicând relaţiilor anterioare formulele lui Euler obţinem:

( ) 0YE2EE Y = H 1mi0r0i01m01 ≠=Γ−

( ) ( ) zzimy

zzix E = Y H = EE ββ−ββ− − j j

01 j j

0e + e ; e e

cos 2 = ; sin j 2 =010

z EYHzE Eimyix ββ−

Câmpurile fizice corespunzătoare fazorilor Ex şi Hy sunt:

unde pentru simplificare am considerat că E0i este o mărime reală şi mediul 1 fără pierderi, adică Ym1 este mărime reală.

( ) ttzEz E it

ix sin j + cos sin j 2 Re = e sin j 2 Re = 0

j0

ωωβ−β− ωE

tz EY tzE imyix cos cos 2 = ; sin sin 2 =010

ωβωβ HE

cos2 Re cos2 Re = 0101

)sin(cos Hy tjωtz EYez EYim

tjim

ω+β=β ω

Page 58: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

Aspecte ale propagării undeiPolarizarea undei

Polarizarea este specifică undelor transversalePolarizarea este legată de modul în care direcţia de

oscilaţie se modifică în timpTipuri de polarizare

• Liniară sau plană• Circulară• Eliptică• Aleatoare

• Pentru polarizarea liniară orientarea câmpului este constantă în timp şi spaţiu.

• Vectorul câmp electric E oscilează în fiecare punct de pe direcţia de propagare pe o direcţie constantă în timp.

Dacă UEM se propagă în vid sau în mediu omogen şi izotrop fără sarcini libere, oscilaţia se face pe aceeaşi direcţie în

orice punct de pe direcţia de propagare (practic înatmosfera de joasă altitudine.)

Unde cu polarizare liniară:- unde cu polarizare verticală în cazul în care vectorul Erămâne tot timpul perpendicular pe suprafaţa de referinţă, care este, de obicei, pământul-unde cu polarizare orizontală, în cazul în care vectorul Erămâne tot timpul paralel cu suprafaţa de referinţă

Dacă se observă unda în direcţia de propagare , vectorul câmpului electric se deplasează de-a lungul unei linii, de unde şi denumirea.

Page 59: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

• Pentru polarizarea liniară diferenţa de fază între componentele pe axa x, respectiv pe axa y trebuie să fie un multiplu de π:

)φγ ωcos( Ee ERe 0x)φγ ωj(

0xx xzt ztE x +−== +−

)φγ ωcos( Ee ERe 0y)φγ ωj(

0yy yzt ztE y +−== +−

Nnnxy ∈π=φ−φ=φ∆

Fie două unde ortogonale care se propagă în direcţia axei z.

( ) ( ) ( )[ ] t j jy

jx ee z ,y ,xEjez ,y ,xEit ,z ,y ,xE yx ωφφ ⋅+⋅=

Page 60: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

• Se demonstrează că între două unde cu polarizare ortogonală, nu apare nici o interacţiune (interferenţă), chiar dacă au o aceeaşi frecvenţă ω. Astfel încât două unde ortogonale având o aceeaşi frecvenţă pot transporta informaţii distincte, fără a se perturba reciproc. Fie un mediu fără pierderi:

e Y E = e YE =

e E = e E = z j

m0y2z j

m0x1

z j 0y2

z j 0x1

β−β−

β−β−

− iHjH

jE iE

Unda rezultată prin suprapunerea celor două unde cupolarizare diferită are componentele date de relaţiile:

Deoarece

( ) ( ) e Y E j+ E i =H e E j + E i = E z j m0y0x

z j 0y0x β−β− −;

( ) ( )

−×× ββ−

2

0y

2

0x

z jm

*0x

*0y

z j 0y0x

*

E + E 21 =

= e Y E + E e E + E = 21

k

jijiHE

m2

0xz j

m*0x

zj 0x

*11 YE k

21 =e Y E j e E i

21 =H E

21 ββ− ××

( ) m

2

0yz j

m*0y

z j 0y

*22 YE k

21 =e Y E i e E j

21 =H E

21 ββ− −××

Page 61: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

Prin integrarea ultimei expresii se obţine concluzia că Pputerea transportată de unda rezultantă se exprimă prinsuma puterilor P1 şi P2, corespunzătoare celor două undecomponente cu polarizare ortogonală:

• Deoarece în acestă expresie nu apare o putere de interacţiune dintre unde, nu există influenţă reciprocă(interferenţă).

• O undă cu polarizare liniară poate fi generată cu o antenă simplă, ca de ex. un dipol, sau cu lasere.

**2211

* 21 +

21=

21 HEHEHE ×××

21 + PP = P

Undele polarizate circular au o amplitudine constantă a câmpului electric şi orientare a acestuia ce se roteşte

într-un plan transversal pe direcţia de propagare.

Componentele Ex respectiv Ey au aceeaşi amplitudine E0x= E0y şi un defazaj multiplu impar de π/2

Nnn221

xy ∈π+±=φ−φ=φ∆ )(

Page 62: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

• Cele două componente ale câmpului electric se rotesc în jurul axei de propagare în timp şi spaţiu.

• Oscilaţia rezultantă este constantă în orice moment dar direcţia de oscilaţie se roteşte cu viteza ω; vectorul câmpului electric descrie un cerc adică proiecţia curbei descrisă de vârful vectorului E pe planul x0y este un cerc.

• Dacă vectorul rezultant se roteşte în sens trigonometric, polarizarea circulară se numeşte pozitivă Dacă vectorul rezultant se roteşte în sens invers trigonometric, polarizarea circulară se numeşte negativă

• Dacă se are în vedere faptul că unda se propagă în lungul axei z cu viteza de fază vf constantă, vârful vectorului câmp electric descrie în spaţiu o elice înfăşurată pe un cilindru cu secţiunea circulară.

Undele polarizate circular pot fi generate de antene elicoidale sau de 2 surse liniare orientate perpendicular una pe cealaltă şi alimentate cu curent defazat cu 90 grade.

Page 63: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

O undă polarizată eliptic are un câmp electromagnetic ce trasează o elipsă în plan transversal, x-y pe măsură ce variază în timp. O undă polarizată eliptic are amplitudinea şi un defazaj multiplu impar de π/2 oyox EE ≠

Nn)n221(xy ∈π+±=φ−φ=φ∆

• Vârful vectorului câmp electric descrie în spaţiu o elice înfăşurată pe un cilindru cu secţiunea eliptică.

• Polarizarea liniară şi circulară sunt cazuri particulare ale polarizării eliptice

• Polarizările prezentate sunt deterministe, adică câmpul electric poate fi descris ca o funcţie de timp şi spaţiu. Dacă câmpul electromagnetic este aleatoriu, polarizarea se numeşte aleatoare.

Ex sunt undele radiate de soare şi stele.

Page 64: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

Propagarea în atmosferă

Propagarea undei are loc arareori în condiţiile ideale presupuse anterior.

Analiza comunicaţiilor în microunde trebuie să ţină cont de prezenţa

• pământului• ionosferei• precipitaţiilor atmosferice ca ceaţa, ploaia, zăpada şi

grindina• Cele două straturi ale atmosferei importante ptr.

propagarea undelor radio sunt troposfera şi ionosfera.• Troposfera este regiunea atmosferei neionizată, ce se

întinde de la suprafaţa pământului până la 15 km. La f. radar (100MHz-300GHz) troposfera influenţează semnificativ propagarea undelor.

• Ionosfera este stratul superior al atmosferei, de la altitudinea de 50 km până la raza pământului, aprox 6370 km. Aici ionizarea influenţează propagarea.

Page 65: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Undele se pot propaga deasupra pământului în mai multe moduri ilustrate şi în figură:

• unde de suprafaţă sau terestre (surface wave) - radiate orizontal, care se propagă de-a lungul suprafeţei Pământului, în păturile inferioare ale atmosferei

• unde radiate sub un unghi oarecare faţă de suprafaţa pământului,care la rândul lor, se subîmpart în:

• unde troposferice, (space wave) care se propagă prin troposferă respectând legea variaţiei câmpului electromagnetic cu distanţa

• unde ionosferice, (sky wave) care sunt puţin absorbite în păturile puţin ionizate ale atmosferei şi ajung la ionosferă unde în anumite condiţii, într-un interval limitat de frecvenţe (aprox.0-50 MHz) se produce refracţia lor

Moduri de propagare ale undelor

Page 66: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

Undele de suprafaţă• se propagă la frecvenţe joase (2-5MHz aprox) şi sunt

direcţionate de-a lungul suprafeţei pe care se propagă • Intensitatea variază cu frecvenţa şi în funcţie de

caracterul suprafeţei de propagare. • Pentru o frecvenţă dată, unda electromagnetică se

propagă mai departe la suprafaţa mării (2 MHz/0,5 Kw/800 km) decât deasupra pământului (2 MHz/0,5 Kw/320 km).

• Odată cu creşterea frecvenţei, curenţii de valori miciinduşi în mediu cresc, pierderile de căldură cresc şi ele, iar unda se propagă la distanţă mai mică.

• Unda terestră este polarizată vertical, adică câmpul eielectric este perpendicular pe suprafaţa Pământului. Componenta orizontală este absorbită datorităconductibilităţii Pământului.

• Deoarece propagarea undelor de suprafaţă depinde de conductivitatea pământului, unda este mai puternic atenuată decât în mediul liber.

Undele ionosferice

• sunt direcţionate către ionosferă.• sunt absorbite slab în păturile puţin ionizate ale

atmosferei şi ajung la ionosferă care le retransmite către pământ în anumite condiţii şi într-un domeniu de frecvenţă limitat (0-50MHz aprox)

• Propagarea lor este puternic dependentă de condiţiile ionosferei (de nivelul de ionizare) şi de frecvenţa semnalului

• Deoarece în ionosferă, ionizarea şi εr variază treptat, calea undelor radio prezintă o curbură lină şi nu o liniefrântă. Cu cât λ este mai mare şi cu cât ionizarea este mai puternică, cu atât mai curbat va fi traseul undei.

• undele nu sunt numai refractate, dar şi absorbite, absorbţia crescând odată cu λ.

Page 67: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

• înălţimea şi gradul de ionizare ale păturilorionosferei variază funcţie de zi, noapte, anotimpuri, drumul undelor spaţiale variază şi el, ceea ce explică fenomenul de extincţie al semnalului (fenomenul de „fading”).

• Din diagramele de propagare se poate trageconcluzia că pentru emisiile radio din cursulnopţii trebuie folosite frecvenţe joase. Pentruemisiile din cursul zilei, pentru aceleaşi distanţe, frecvenţa trebuie mărită.

• Atenuarea în atmosferă variază aleator în timp de la zero în atmosferă ideală (limpede) până lazeci de dB. Nivelul semnalului recepţionat suferămodificări, fluctuaţii rapide, numite scintilaţii şi lente (fading).

• Apare depolarizarea determinată de rotirea planului de polarizare al oscilaţiilor UEM la trecerea prin medii ionizate (efect Faraday) şi prin zone cu ploaie şi cristale de gheaţă.

Page 68: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

• Atenuarea şi depolarizarea sunt determinate de interacţiunea UEM cu particulele componente ale atmosferei: electroni şi ioni liberi, atomi şi molecule, vapori de apă, picături de apă (ploaie, ceaţă), particule de gheaţă, particule în suspensie (fum, freon) etc.

• Aceste interacţiuni depind mult de frecvenţaUEM, devenind deosebit de intense peste 10GHz, cu excepţia efectului Faraday.

Atenuări datorate absorbţiei moleculareO parte din energia UEM este absorbită de

moleculele diverselor gaze şi de apă (vapori) din atmosferă.

La anumite frecvenţe apar fenomene de rezonanţăşi absorbţia creşte foarte mult. Există:

- absorbţii de rezonanţă cu moleculele de apă(vapori) apar la circa 22.235GHz;

- absorbţii de rezonanţă cu moleculele de oxigenapar între 56.5GHz şi 65.2GHz;

- alte absorbţii de rezonanţă apar la peste 100GHz.

In afara frecvenţelor de rezonanţă absorbţiile pot fi neglijate, determinând atenuări sub 1dB.

Evident, frecvenţele de rezonanţă sunt cu maregrijă evitate.

Page 69: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

Scintilaţiile ionosferice

• La unghiuri de elevaţie mici, de ordinul a 5º, UEM parcurg trasee foarte lungi în ionosferă, zonă cu mari concentraţii de electroni liberi şi în general turbulentă. In ionosferă se producvariaţii rapide ale indicelui de refracţie şi deci direcţiile de propagare se modifică, astfel încât:-se modifică câştigul pe direcţia de propagare, deci nivelul semnalului recepţionat, deoarece antenele sunt directive-apar interferenţe între semnalele defazate (careau parcurs drumuri diferite) cu consecinţe învariaţii ale amplitudinii şi fazei oscilaţiei lareceptor.

• Turbulenţa ionosferică determină şi variaţiirapide ale absorbţiei de energie. Consecinţa acestor fenomene este căputerea semnalului demodulat prezintăvariaţii rapide, scintilaţii ionosferice de ordinul a multipli de 0.1dB.

• Aceste scintilaţii sunt cu atât mai mari cucât antenele sunt mai directive şi unghiurile de elevaţie mai mici.

• Ca urmare, se evită recepţia sub elevaţiimici sau se realizează proiecte speciale.

Page 70: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Undele troposferice

• constă dintr-o undă directă şi una reflectată.• Unda directă se propagă de la emiţător la

receptor pe o traiectorie aproape rectilinie, iar unda reflectată se datorează reflexiei de pământ.

• Undele troposferice respectă legile opticii. • Puterea undei scade pe măsură ce este radiată

de la emiţător la receptor, aşa cum s-a dedus anterior pentru unda plană.

kcose Z2E

P mz 2

2

m

0t

α−≈

Antena de transmisie şi cea de recepţie în mediul liber

t

2

rtr Pr4

GGP

πλ

=

Presupunând că antena este în mediul liber sau într-unul fără pierderi, puterea recepţionată de antena de recepţie este dată de ecuaţia de transmisie Friis, valabilă în cazul în care distanţa dintre antene r>2D2/λ, unde D este cea mai mare dimensiune a antenelor :

Page 71: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

•arată că puterea recepţionată scade cu 20 dB pe decadă proporţional cu distanţa.•Dacă propagarea nu este în mediul liber se introduce un factor de corecţie F, numit factor de atenuare, ptr. a lua în considerare efectele mediului

0

m

EEF =

2t

2

rtr FPr4

GGP

πλ

=

rGGWPWPo rttr π

λ+++=

4log20log10log101/log101/log1

• P este puterea în dB raportată la 1W (10logP(W)/1W)• G este câştigul • L0 este atenuarea în mediul liber• L0 se determină din nomograme sau cu relaţia

m0rttr LLGGPP −−++=Din motive practice, uzual P se exprimă în dB.

λπ

=r4log20L0

Flog -20Lm =

• Lm este atenuarea introdusă de mediu

Page 72: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

Efectul pământului

Propagarea undei pe căi multiple (multipathpropagation) îndepărtează semnificativ condiţiile de propagare de cazul ideal şi se referă la posibilitatea propagării undei pe diferite traiectorii de la emiţător la receptor.

Există 2 căi de propagare a undei:

• directă prin atmosferă • indirectă prin reflexie şi

refracţie la suprafaţa de separare între atmosferă şi pământ

Componentele reflectate şi refractate sunt uzual separate în:• Componenta coerentă – bine definită din punctul

de vedere al amplitudinii, fazei şi direcţiei de incidenţă.

• respectă legea de reflexie a lui Snell care cere ca unghiul de incidenţă şi reflexie să fie egale şi coplanare.

• Este o undă plană şi deci este unic specificată prin direcţia sa

• Componenta difuză sau incoerentă este determinată de natura aleatorie a suprafeţei de dispersie,care este deci nedeterministă.

• Nu este o undă plană • nu respectă legea de reflexie a lui Snell.

Page 73: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

Se defineşte factorul de atenuare care evidenţiazădiferenţele faţă de condiţiile propagării în mediul liber

Г este coeficientul de reflexie Fresnel- care ţine cont de proprietăţile electrice ale suprafeţei pământului

Acesta depinde de:• - permitivitatea complexă a suprafeţei εc

• - unghiul de incidenţă ψ• - tipul de polarizare al undei, respectiv polarizare

orizontală sau verticală

∆−θρΓ+= js eDS1F )(

• ρs este coeficientul de rugozitateţine cont de faptul că pământul nu este suficient de neted

pentru a produce o reflexie coerentă decât la un unghi de incidenţă foarte mic. Suprafaţa pământului are dealuri, vegetaţie, păduri , oceane cu valuri. Uzual distribuţia diferitelor obstacole pe suprafaţa pământului este gaussiană.

• D este factorul de divergenţă este semnificativ la unghiuri de incidenţă ψ foarte mici şi

ţine cont de împrăştierea razelor reflectate datorită curburii pământului în raport cu o suprafaţa plată.

Page 74: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

)RRR(2d21 −+

λπ

=∆

Geometria reflexiei sferice la suprafaţa pământului

• Δ este diferenţa de fază între unda directă şi cea reflectată:

Efectul de umbrire la o incidenţă sub un unghi θ

• S(θ) este o funcţie de umbrire

importantă la un unghi de incidenţă mic şi apare datorită efectului de umbrire geometrică - unda incidentă nu poate ilumina porţiunile umbrite de obiecte înalte

Page 75: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

Efectele precipitaţiilor

• Particulele de praf din atmosferă şi precipitaţiile influenţează propagarea undelor electromagnetice.

• -neneglijabilă la frecvenţe sub 10GHz -esenţială la frecvenţe mai mari de 10 GHz.

• Ploaia este factorul dominant -determină atenuare, diferenţe de fază, distorsionarea traiectoriei şi depolarizarea undelor electromagnetice.

• Ptr. semnalele analogice -influenţă în special peste 10 GHz, ptr cele digitale sub 3 GHz.

• Ploaia afectează legăturile terestre şi cele pământ satelit • Atenuarea determinată de ploaie:

• R intensitatea ploii (rainfall rate) –cantitatea de apă care cade pe unitatea de suprafaţă în unitatea de timp (măsurată în kg/m2s) sau

• înălţimea stratului de apă colectat în unitatea de timp exprimat în mm/oră

(ploaie slabă R = 0.25mm/oră, la una intensă R = 20mm/oră)

• γ(R) atenuarea specifică (pe unitatea de lungime) măsurată în dB/km, la o intensitate R a ploii;

)()()( RpRlRL em γ=

Page 76: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

• le este distanţa caracterizată prin ploaie de intensitate R;• p(R) probabilitatea de distribuţie cumulativă - procentul

de timp dintr-un an în care se realizează R mai mare decât o valoare dată (curba excedentului) -dependent de cantitatea totală de apă colectată într-un an (media pe mulţi ani) şi de raportul de apariţie a furtunii.

• Global, pe arii extinse -ploaia se caracterizează prin curbe de egală intensitate şi egală probabilitate (curbe care unesc punctele în care o intensitate dată depăşeşte un procent de timp pe an (de exemplu 0.01%).

• Aceste curbe sunt rezultatul medierii rezultatelor observaţiilor pe mulţi ani.

• Calculele riguroase ţin cont de distribuţia mărimii picăturilor de ploaie, de viteza picăturilor şi de indicele de refracţie.

• O formulă empirică:

baRR =γ )(a şi b sunt constante tabelate (CCIR, Report 564-2, 1982) şi diferă puţin în funcţie de polarizarea=6,9.10-5f2,03 pentru f<2,96GHz; b=0,851.f0,138 pentru f<8,5,GHz

Page 77: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

Propagarea undei electromagnetice prin structuri ghidate - linii de transmisie şi

ghiduri de undă• la f mari dimensiunile circuitelor devin comparabile cu

lungimea de undă (100 MHz - λ=300 cm)• Localizarea L,C, şi R"pure" nu mai este posibilă, apar

elementele de circuit "parazite". • Elementele "distribuite" în lungul structurii de transmisie.• 2 concepte de abordare:

• teoria liniilor de transmisie - propagarea unidimensională , fiecărei porţiuni infinitezimale de circuit i se asociază un circuit cu parametri concentraţi, cu valori infinit mici

• teoria ghidurilor- propagarea trididimensională, pornind de la ec.lui Maxwell

• Utilizarea segmentelor de linie : -circuite selective rezonante, filtre-circuite de adaptare-cuploare

Linia bifilară simetricăuzual ZC=300Ω

Linia coaxialăuzual ZC=50Ω sau ZC=75Ω

Linia plan paralelă

(microstripasimetrică)

Page 78: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

Ecuaţiile liniei de transmisie omogene în regim armonic

Linia este caracterizată de:• rezistenţa liniară pe unitatea de lungime R [Ω/m]; • inductivitatea pe unitatea de lungime, L [H/m];• conductanţa pe unitatea de lungime, G

[Siemens/m]; • capacitatea pe unitatea de lungime, C [F/m]

• Linia omogenă are R, G, L, C, σ, ε şi dimensiunile constante de-a lungul său - axa z

• Fie o linie omogenă, fiind date U şi I într-un punct al liniei de transmisie se pune problema determinării acestor variabile într-un punct oarecare pe linie, cunoscând parametrii liniei şi frecvenţa generatorului.

( ) ( ) ( ) ( )t

zCzGt

zLzR U

d + U d = I d ; I

d + I d = d∂

∂−

∂∂

− U

tωtω zz ItzUtz j j e Re = ) ,(I ; e Re = ) ,(U )()(

Se asociază în regimul armonic monocromatic cu frecvenţa ω, tensiunii U(z, t) şi curentului I(z, t), fazorii :

( ) ( ) ( ) ( )tdUzCdUzG

tzLzR

)U(

d + )(U d = I d ; I

d + I d = d∂+∂

+−∂∂

− U

Page 79: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

15

(1)

• Se derivează în raport cu z şi rezultă "ecuaţiile telegrafiştilor"

• Se substitue derivatele de ordinul întâi utilizând ecuaţiile anterioare:

(2)

• Se notează cu γ constanta de propagare:

( ) ( ) z UCGIz ILRU d j + = d ; d j = d ω−ω+−

( ) ( )UCG zIILR

zU j + =

d d ; j =

dd ω−ω+−

( ) ( )z

UCGzI

zILR

zU

d d j + =

dd ;

d d j =

dd 2

2

2

2

ω−ω+−

( ) ( ) ICGLRzIUCGLR

zU j + ( ) j =

dd ; j + ( ) j =

dd 2

2

2

2

ωω+ωω+

( ) ( ) j + = j + j = βαωω+γ CGLR

Ecuaţiile diferenţiale ale liniei omogene în regim armonic monocromatic –ecuaţiile undei

• Soluţiile acestor două ecuaţii sunt:

• Se consideră că la z = 0, U = U 0 şi I = I0

IzIU

zU =

dd ; =

dd 2

2

22

2

2

γγ

zzzz CCICCU zz 4

3

2

1

e + e = ; e + e = )()( γγ−γγ−

430210 + = ; + = CCICCU

Page 80: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

16

Impunând condiţiile iniţiale în ecuaţiile (1) obţinem:

• Se rezolvă sistemul anterior de ecuaţii cu necunoscutele C1 ÷ C4 şi

se obţin soluţiile:

( ) ( )

( ) ( ) 00 =

4

3

00 =

2

1

j + = e + e

j + = e C + e

UCGCC

ILRC

z

zz

z

zz

ωγγ−−

ωγγ−−

γγ−

γγ−

j + j +

= ; j + j +

=

j + j +

21

= ; j + j +

+ 21

=

2413

002001

LRCGCC

LRCGCC

ICGLRUCI

CGLRUC

ωω

=−ωω

=

ωω

ωω

Se defineşte impedanţa caracteristică a liniei şi se notează cu Z c expresia:

CGLRZc j +

j + = ωω

Înlocuind în expresiile constantelor C1 ÷ C4 impedanţa caracteristică

• Substituind soluţiile C1 ÷ C4 în expresiile I(z) şi U(z) obţinem ecuaţiile liniilor de transmisie sub formă exponenţială:

c

c

c

ccc

Z

IZUC

Z

IZUC

IZUC

IZUC

2 = ;

2

+ = ;

2 = ;

2 = 00

400

300

200

1

−−

−+

zczc IZU IZUzU 00 00 e

2 + e

2

+ = )( γγ− −

z

c

cz

c

c

Z

IZU

Z

IZUzI 00 00 e

2 e

2

+ = )( γγ− −

(7):

Page 81: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

17

Ecuaţiile sub forma hiperbolică:

2eezsh

zz γ−γ −=γ

zsh zch= )( 00 γγ IZUzU c−

zsh

zch

= )( 00 γγcc Z

UZ

UzI −

2eezch

zz γ−γ +=γ

Page 82: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Linia de transmisie de lungime infinităSe fixează originea într-un punct arbitrar în care tensiunea

se notează cu Ui şi curentul Ii

Se calculează U(z) şi I(z) aplicând relaţiile (7), U0 şi I0 se înlocuiesc cu Ui şi Ii

Cursul 6

Se evidenţiază partea reală respectiv partea imaginară a

constantei de propagare γ:

• Termenii ce descresc odată cu creşterea distanţei z corespund undelor directe.

• Termenii ce descresc de la sarcină spre generator corespund unor unde inverse, care apar datorită reflexiilor de pe sarcină

zz

c

icizz

c

ici

zzicizzici

Z IZU

Z IZ+U

zI

IZU IZUzU

j j

j j

e e 2

e e 2

= )(

e e 2

+ e e 2

+ = )(

βαβ−α−

βαβ−α−

−−

(9):

Page 83: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

Dacă linia este infinit lungă, nu există undă inversă şi egalând cu zero termenul corespunzător rezultă (10) :

0 = I Z U ici −c

i

i Z= I

U

În consecinţă impedanţa de intrare a liniei de lungime infinită, măsurată spre dreapta în planul AA' -Z c.Substituind (10) în ecuaţiile (9) rezultă:

zz

c

izzi Z

UzI UzU j j e e = )( ; e e = )( β−α−β−α− (11)

ZzIzU

c = )()(

(12)

CONCLUZII

1) O linie infinit lungă prezintă la intrarea sa o impedanţă egală cu impedanţa caracteristică.2) O linie terminată pe impedanţa caracteristică prezintă la intrarea sa, indiferent de lungime,. o impedanţă egală cu impedanţa caracteristică

Page 84: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

Linia de transmisie de lungime l

• Se consideră originea în sarcină• Se calculează U(z) şi I(z) pentru z = – l

considerând în ecuaţiile (7): U0 = Us, I0 = Is şi z = – l.

( ) l I Z+ l U = e I ZU

+ I Z+U

= scsl scslscs sh γch γ

2e

2lU γ−γ −

( ) l ZU

+ l I = Z

I ZU

ZI Z+U

= lIc

ss

l

c

scsl

c

scs sh γγche2

e2

γ−γ −−

Se consideră o linie fără pierderi, adică R = 0 şi G = 0. Din relaţia (6)

LC = = ωβγ jjCL = Zc

( ) l I Z + l U = I ZU

+ I Z+U

= lU scsl scsl scs β

− β−β sin jcos β e2

e2

jj

( ) l ZU + l I =

ZI ZU

Z

I Z+U = lI

c

ss

l

c

scsl

c

scs ββ−

− β−β sinjcose2

e2

jj

(13)

(14)

În aceste condiţii relaţia (13) devine

Page 85: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

Impedanţa de intrare, văzută spre dreapta, a segmentului

de linie B-B ' ÷ C-C ' este:

• Deoarece Us / Is = Zs

( ) ( )( ) l tg

IU j + Z

l tg Zj + IU

Z= l sin

ZU j + l cos I

l sin I Zj + l cos U =

lIlU = lZ

s

sc

cs

s

c

c

ss

scs

β

β

ββ

ββ

Se înlocuiesc impedanţele cu admitanţe Y(l) = 1/ Z(l), Yc = 1/ Zc şi Ys = 1/ Zs

( )l Y +Yl Y + Y

Y = lYsc

cs c β

βtgjtgj

(15)

(16)

tgj +

tg j = )(

l ZZl ZZ

ZlZsc

csci β

β+

Parametrii secundari ai liniei

C jG +

L jR + C L =

ωωωγ 1 1j

( ) ( ) j + = j + j = βαωω+γ CGLR

La frecvenţe mari, deoarece1 <<

L R

ω1 <<

C G

ω

ωω

ω≅

ω

ω

ω≅γC

G + L

R + C L C

G + L

R + C L j2j2

1jj2

1j2

1j

Se poate face aproximarea 211 x/ + x + ≅1 << x

.

Page 86: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

C L LC R +

CLG ω+

≅γ j

21

CL

CG

LR

CL

CG

LR

CL

CG

LR

CL

CGLRZc

ω

−ω

+≅

ω

+

ω

+≅

ω+

ω+

=ωω

jj1

j1:

j1

j1

j1

j + j + =

( ) L C + R YG Z

L CR YG Z cccc ,

2 ; j + +

21 ω≅β≅αω≅γ

Dacă este satisfăcută condiţia:

CG =

LR

L CR YL CLCR

LRL C c j + = j + = j

+ 1 j = 2

ωω

ω

ωγ

G R = RG R =

LC R =Y R c

L CR GL CR G = , = ; j + = ωβαωγ

j1

j1

j + j + =

CL

LR

LR

CL

CGLRZc =

ω+

ω+

=ωω

Page 87: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Regimul de adaptare

Fie o linie de transmisie de lungime infinită (pe care nu poate să apară unda inversă). Există numai undele directe de tensiune şi curent. Punând în (11) condiţia de linie de lungime infinită, rezultă:

Expresiile tensiunii şi curentului pe linie, ca funcţie de z şi t sunt:

(17)

zzc

zz YUzIUzU j 0

j 0

e e = )( ; e e = )( β−α−β−α−

În absenţa pierderilor α = 0, Y c este pur real şi cele două relaţii se simplifică la:

( )ztUtz cos = ),(0

β−ωU(18)

( )zt YUtz c cos = ) , (0

β−ωI

Relaţiile (18) corespund regimului de undă "progresivă" sau de "adaptare".

( )z t cos e U = ee e U Re = )t,z(U z 0

tjz j z 0 β−ωα−ωβ−α−

( )z t cos e Y UeeeIRe = )t ,z( z c0

tjzz0I β−ωα−ωβ−α−

Viteza de fază

Viteza de grup

rrf

c = LC1 = = v

µεβω

rrg LC

vµεβ

ω c = 1 = dd =

Lungimea de undă pe linie, λ, se determină cu relaţia:

rrrr

cLC µε

λ

µε⋅

ωπ

ωπ

βπ

λ 0 = 1 2 = 2 = 2 =

Dacă dielectricul dintre conductorii liniei are 1 = rµ

0 1 = λ

ελ

r

Termenul rε1/ Este "factorul de scurtare".

Page 88: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

Undele de tensiune şi curent pe linia de transmisieFie o linie de lungime finită, terminată pe impedanţa de

sarcină Zs, luând originea în sarcină U0=US ; I0=IS , relaţiile (7) devin:

zz

c

scszz

c

scs

scszz

Z I Z U

Z I + ZU

zI

I Z UzU

j j

z j z j scs

e e 2

e e 2

= )(

e e 2

+ e e 2

I Z+ U = )(

βαβ−α−

βαβ−α−

−−

(19)

Se notează:

−− 0

+0

= 2

; U= 2

U I Z U I + ZU scsscs

−−

− 0

0+

0

+0 = =

2 ; = =

2I

ZU

Z I Z U

IZU

Z I + ZU

cc

scs

cc

scs

( ) ( )( ) ( ) z

0 z +

0

z 0

z +0

e I = zI ; e I = zI

; e U = zU ; e U = zU γ−−γ−+

γ−−γ−+

Page 89: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

(20)

Relaţiile anterioare se scriu sub forma

( ) ( )zI zI = e e I e e I = I(z) z j z 0

z j z +0

−+βα−β−α− −−

Se definesc coeficienţii de reflexie, pentru tensiune şi curent, prin rapoartele

( )

( )

zu

zu U

UzUzUz 2 2

+0

0 e (0) = e

= = )( γγ

+

ΓΓ

( )( )

z 2i

z 2+0

0z 2

+0

0

i e (0)= e UU = e

I I =

zIzI= )z( γγ

−γ

+

ΓΓ

( ) ( )z U+ z U= e e U + e e U = )z(U z j z 0

z j z +0

−+βα−β−α−

Deoarece şi

Coeficientul de reflexie al undei de tensiune este egal cu coeficientul de reflexie al undei de curent

Se observă că în absenţa pierderilor avem:

Prezenţa undelor directe şi a undelor inverse conduce, prin suprapunerea lor, la apariţia regimului de undă staţionară-existenţa unor maxime şi minime de oscilaţie, cu poziţie fixă în lungul liniei (al axei z).

( ) ( ) =Γ=Γ zz iu ( )z Γ

( ) ( )z t cos U = e e U Re = t,z 0

t j z j 0U β+ω−ωβ−−

( ) ( )z t cos Y = t,z c 0UI β+ω−−

( ) ( )z t cos U = e e U Re = t,z 0

t j z -j 0U β−ω+ωβ++

( ) ( )z t cos Y = t,z c 0UI β−ω++

cZIU ++ = 00 cZIU −− = 00

Page 90: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

Se notează coeficientul de reflexie la z = 0, Γ0În absenţa pierderilor, tensiunea şi curentul pe linie rezultă din particularizarea relaţiilor (20)

Deoarece Coeficientul de reflexie va fi în dreptul sarcinii este:

( ) ( ) ( ) e e = )( ; e + e = j 0

j +0

j 0

j +0

zzzz IzIUzU ββ−ββ− Γ−Γ

U / I = Zs s s

( ) scs

cs

scs

scs

+ ZZ ZZ

I + ZU I Z U

Γ−−

ΓΓ−

= = = U

U = 0 = +

0

0

0

( )z

szz

cs

cs

+ ZZ Z Z

z j 2 j 2 0

j 2 e = e =e = βββ ΓΓ−

Γ

(26)

(25)

În absenţa pierderilor, tensiunea şi curentul pe linie rezultă din particularizarea relaţiilor (20)

S-a notat coeficientul de reflexie la z = 0, Γ0. deoareceCoeficientul de reflexie va fi în dreptul sarcinii:

( ) ( ) ( ) e e = )( ; e + e = j 0

j +0

j 0

j +0

zzzz IzIUzU ββ−ββ− Γ−Γ

U / I = Zs s s

( ) scs

cs

scs

scs

+ ZZ ZZ

I + ZU I Z U

Γ−−

ΓΓ−

= = = U

U = 0 = +

0

0

0

( )z

szz

cs

cs

+ ZZ Z Z

z j 2 j 2 0

j 2 e = e =e = βββ ΓΓ−

Γ

Page 91: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

Deoarece

Modulul coeficientului de reflexie nu se modifică în lungul liniei, ci doar faza acestuia.

Maximele şi minimele tensiunii şi curentului pe linie

1 = e j 2 zβ ( ) = z sΓΓ

( ) ( ) max+0

= + 1 UUzU sΓ≤ ( ) ( )min

+0

= 1 UUzU sΓ−≥

( ) ( ) max+0

= + 1 IIzI sΓ≤ ( ) ( )min

+0

= 1 IIzI sΓ−≥

Se defineşte raportul de undă staţionară

Cazuri particulare1) Linia terminată pe impedanţa caracteristică. Din

(26) se obţine:

Regimul liniei este cel de undă progresivă ca şi la linia de lungime infinită, adică de adaptare.

2) Linia terminată în scurtcircuit

Unda directă se reflectă integral, schimbându-şi faza cu 180° (adicăschimbă semnul).

[ )∞∈Γ−

Γ+=== ,1

11

min

max

min

max

s

s

II

UU

S

0 =0 sΓ=Γ

1 = = 0

−ΓΓ s

Page 92: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

Rezultă din relaţiile (25)

• Tensiunea pe linie, U(z,t) şi curentul pe linie, I(z,t), devin:

zYUzIzUzU c cos 2 = )( ; sin j 2 = )( +0

+0

ββ−

( ) ( ) tzYUtz tzUtz c cos cos 2 = , ; sin sin 2= , +0

+0

ωβωβ IU

3) Linia terminată în gol

Fazorii de tensiune şi curent pe linie se obţin înlocuind :

Undele de tensiune şi curent de pe linie

Există maxime şi minime de tensiune şi curent. În dreptulgolului din sarcină avem întotdeauna un nod de curent(nul) şi un ventru de tensiune.

Distanţa dintre două noduri de tensiune sau de curent consecutive este λ/2

TEMĂ : Reprezentarea tensiunii U şi curentului I

1 =

lim = = 0 Z + Z

Z ZZ cs

cs

ss

−∞→

ΓΓ

1 = = 0 sΓΓ

zYUzIzUzU c sin j 2 = )( ; cos 2 = )( +0

+0

β−β

tzYUtztzUtz c sin sin 2= ) ,( ; cos cos 2 = ) ,( +0

+0

ωβωβ I U

Page 93: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

Impedanţa de intrare a liniei de transmisie

Tangenta este periodică cu perioada π :

şi rezultă

tgj +

tg j = )(

l ZZl ZZ

ZlZsc

csci β

β+

( ) ( ) l + l tg= l + l tg)ltg(l tg ∆ββ∆β=π+β=β

π∆β = l πλβ 2 = /2 = λ∆ l

( ) ( ) Ζ n l Y = 2

n + l Y ; l Z = 2

n + l Z iiii ∈∀

λ

λ

Un segment de linie de lungime λ/2 păstreazăvaloarea impedanţei conectată la ieşirea sa, darinversează faza tensiunii şi a curentului din sarcină.

( ) α−πα cos = + cos ( ) α−πα sin = + sin Deoarece

Page 94: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

Coeficientul de reflexie poate fi scris ca o funcţiede lungimea l, punând în (26) z=-l

Cazuri particulare1) Segmentul de linie terminat în scurtcircuit

Impedanţa caracteristică este în absenţa pierderilor (sau înprezenţa unor pierderi foarte mici), o mărime reală

( ) ( )cs

csss

ls + ZZ

ZZlll

−Γβ−βΓΓΓ β− = ; 2sin j 2 cos = e = j 2

( ) ( )ll =/2+ ΓλΓ

( )∞ = 0 = ss YZ

( )

λπβ

l 2 tgZj =l tgZ j = lZ cci

,

0 > iX

Pentru

Pentru

0 Xi <

caracter inductiv

caracter capacitiv

λλλ

∈4

+ 2

,2

kkl

λλλλ

∈2

+ 2

,4

+ 2

kkl

Page 95: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

• Dacă rezultă

Un segment de linie de lungime λ/4 terminat prinscurtcircuit are impedanţa de intrare infinită.

( ) N , 4

1 + 2 = ∈λ kkl ∞ = iZ

( )

( )

λπ−β−

β−

l2 ctg = ctg =

ctg j =

cci

ci

YlYlB

lYlY

Page 96: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

15

2) Segmentul de linie terminat în golTrecând la limită în relaţia (15) pentru

/8 = λl

cici YYZZ j = ; j = −

∞→ sZ

( )

)l(jXl2 ctg Z

l ctg Zj =lZ

ic

ci

=

λπ−=

=β−

( ) lYlY ci tg j = β

Pentru segmentul de lungime terminat în scurcircuit

3) Variaţia impedanţei de intrare a liniei, la variaţiireduse ∆l ale lungimii l0. 1 << /

0ll∆

.

λ⋅

∆λ

∆∆ 0

00

= ~ ) (

l

lll

lZZ

i

i

Variaţia relativă a impedanţei, la mici modificări ale lungimiiliniei, este proporţională cu variaţia relativă la lungimea de undă pe linie (λ) a variaţiei lungimii liniei (∆l).La aceeaşi variaţie relativă Δl /l0 , cu cât l0 este mai mic, cu atâtvariaţia relativă a impedanţei de intrare este mai redusă.

Page 97: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

16

4) Variaţia impedanţei de intrare a liniei la variaţii

reduse Δω/ω0<< 1 ale frecvenţeiDacă pierderile sunt nule sau neglijabile

La aceeaşi variaţie relativă de frecvenţă , variaţia relativă a impedanţei de intrare este cu atât mairedusă cu cât lungimea iniţială a liniei este mai mică .

l ~ )(Z

Z 0

0i

i ω∆ω

L C = ωβ

Diagrama Smith pentru liniile omogene fără pierderi

cn

cn Y

YYZZZ = ; =

1= = ; 1 = = c

cc n

c

cc n Y

YY

ZZ

Z

cncn Y Y = Y Z Z= Z ⋅⋅ ;

tg j + 1 tgj + = )(lZ

lZlZs n

s ni β

β

tg j +

tgj + = )(lY1

lYlYs n

s ni β

β

Page 98: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

17

)( + )(

= + )( )(

=)( ; + )( )(

=)( lYYlYY

ZlZZlZ

lZzZZzZ

zic

ic

c i

ci

c i

ci −−Γ

−Γ

)( + 1)( 1

= 1 + )(1 )(

=)( lYlY

lZlZ

li n

i n

i n

i n −−Γ

Deci coeficientului de reflexie nu se modifică prin normalizareaimpedanţelor. El este invariant la normalizare.Normalizarea lungimilor l se obţine prin împărţirea acestora culungimea de undă λ.

)( 1)( + 1 = j + = )(

llXRlZ iii Γ−

Γ

ll j 2 e = )( β−ΓΓ

Se notează:λ

π−β−ϕl 4 = 2 = l

• Se înlocuiesc coordonatele polare (Γ,φ) cu coordonatelecarteziene (x, y) şi se notează:

( )( )

sin j + cos 1

sin j + cos + 1 = X j + R ii ϕϕΓ−

ϕϕΓ (39)

ϕΓϕΓ sin = ; cos = yx

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 22

22

+ 1 j 2+ 1 =

j + 1 j 1 j + 1 j + + 1 =

= sin j + cos 1

sin j + cos + 1 = j +

yxyyx

yxyxyxyx

XR ii

−−−

−−−−

ϕϕΓ−ϕϕΓ

(40)

( ) ( ) 2222

22

+ 1 2 = ;

+ 1 1 =

yxyX

yxyxR ii −−

−−

( ) ( )

2222

22

22

1 = 1 + 1 2 + 1 + 2

; 1+

+ 1

1 = +

1 + +

1 + 2 22

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

XXXyyxx

R

RR

Ry

R

RR

Rxx

−−

+

−−

Page 99: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

18

( ) 1 +

1 = + 1 +

22

2

ii

i

Ry

RR

x

( ) 2

22 1 =1 + 1

ii XXyx

−−

222 + = yxΓDeoarece sin2φ+cos2φ=1

SS + 1 1 = −

Γ

(43)

(41)

(42)

= + 1 1 = + 2

222 Γ

SSyx (44)

Page 100: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

19

Cercurile R ct au centrele de coordonateşi razele

Cercurile X>0 ct. au centrele de coordonateşi razele

Cercurile X<0 ct. au centrele de coordonateşi razele

Cercul X=0 are centrul de coordonate

şi rază infinită. El se confundă cu axa xx'.

Punctul A corespunde cel puţin unei valori infinite, este punctul de circuit deschis, adică de gol.

Punctul B corespunde valorilor R=0 şi X=0, reprezintăpunctul de scurtcircuit.

( )( )0 ,1 + ii RR 1 + 1 iR

iX1/

( )iX1/- 1,

( )iX1/ 1,

iX1/

( )∞± 1,

Variaţia unghiului ϕ este

Când Δl creşte, adică ne deplasăm pe liniede la sarcină spre generator Δl este pozitivceea ce înseamnă că Δ ϕ <0.

Unghiul ϕ variază orar (antitrigonometric) atunci când parcurgem linia de la sarcinăspre generator.

Unghiul ϕ variază antiorar trigonometricatunci când parcurgem linia de lagenerator înspre sarcină

l∆β−ϕ∆ 2 =

Page 101: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

20

• Cercul x2+y2=1 este cercul de rază maximă care corespunde cercului R=0 şi S infinit.

• Cercul S=1 se reduce la un punct, originea sistemului de coordonate

• Cercul S=a ct este tangent cu cerculR =a =S pe semiaxa pozitivă OX şi este tangent cu cercul R =1/S pesemiaxa negativă OX.

DeoareceO rotaţie completă pe un cerc corespunde uneilungimi normalizate l/λ =0,5 .

λπ−ϕ / 4 = l

Page 102: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

21

Exemplul 1

Fie o linie cu Zs=25-j25 Ω şi Zc=50Ω

Să se determine coeficientulde reflexie în dreptulsarcinii şi impedanţa de intrare Zi la distanţa

l=7,5 cm faţă de sarcinăştiind că λ=30cm.

Page 103: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

22

Exemplul 2

Fie aceaşi linie cu Zs=25-j25 Ω şi Zc=50Ω, ca în exemplul 1. Să se determine Zi la distanţa l=22,5 cm faţă de sarcină.

Page 104: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Cursul 7

Impedanţa de intrare a liniei de transmisie

Tangenta este periodică cu perioada π :

şi rezultă

tgj +

tg j = )(

l ZZl ZZ

ZlZsc

csci β

β+

( ) ( ) l + l tg= l + l tg)ltg(l tg ∆ββ∆β=π+β=β

π∆β = l πλβ 2 = /2 = λ∆ l

( ) ( ) Ζ n l Y = 2

n + l Y ; l Z = 2

n + l Z iiii ∈∀

λ

λ

βlsinIβl-jZcosU-=)+l (sin I Zj+ )+ l β(cos U=/2)+U(l scsc πβπλ

( ) lsinZU

j-lcos-I=)+l ( sin ZU

j + )+l ( cos I = /2+lIc

ss

c

ss ββπβπβλ

Se observă din relaţiile (14) că, deoarece

( ) α−πα cos = + cos ( ) α−πα sin = + sin

Page 105: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

Un segment de linie de lungime λ/2 păstreazăvaloarea impedanţei conectată la ieşirea sa, darinversează faza tensiunii şi a curentului din sarcină.

Coeficientul de reflexie poate fi scris ca o funcţiede lungimea l, punând în (26) z=-l

Cazuri particulare1) Segmentul de linie terminat în scurtcircuit

Impedanţa caracteristică este în absenţa pierderilor (sau înprezenţa unor pierderi foarte mici), o mărime reală

( ) ( )cs

csss

ls + ZZ

ZZlll

−Γβ−βΓΓΓ β− = ; 2sin j 2 cos = e = j 2

( ) ( )ll =/2+ ΓλΓ

( )∞ = 0 = ss YZ

( )

λπβ

l 2 tgZj =l tgZ j = lZ cci

Page 106: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

,

0 > iX

Pentru

Pentru

0 Xi <

caracter inductiv

caracter capacitiv

λλλ

∈4

+ 2

,2

kkl

λλλλ

∈2

+ 2

,4

+ 2

kkl

• Dacă rezultă

Un segment de linie de lungime λ/4 terminat prinscurtcircuit are impedanţa de intrare infinită.

( ) N , 4

1 + 2 = ∈λ kkl ∞ = iZ

( )

( )

λπ−β−

β−

l2 ctg = ctg =

ctg j =

cci

ci

YlYlB

lYlY

Page 107: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

2) Segmentul de linie terminat în golTrecând la limită în relaţia (15) pentru

/8 = λl

cici YYZZ j = ; j = −

∞→ sZ

( )

)l(jXl2 ctg Z

l ctg Zj =lZ

ic

ci

=

λπ−=

=β−

( ) lYlY ci tg j = β

Pentru segmentul de lungime terminat în scurcircuit

Page 108: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

Un segment de linie de lungime λ/4 terminat pringol are impedanţa de intrare nulă.

( ) 0=2

ctg jZ=4

2 ctg Zj =l ctg Zj =lZ ccci

πλ

λπβ

3) Variaţia impedanţei de intrare a liniei, la variaţiireduse ∆l ale lungimii l0. 1 << /

0ll∆

.

λ⋅

∆λ

∆∆ 0

00

= ~ ) (

l

lll

lZZ

i

i

Variaţia relativă a impedanţei, la mici modificări ale lungimii liniei, este proporţională cu variaţia relativă lalungimea de undă pe linie (λ) a variaţiei lungimii liniei(∆l).La aceeaşi variaţie relativă Δl /l0 , cu cât l0 este mai mic, cu atât variaţia relativă a impedanţei de intrare este mairedusă.

Page 109: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

4) Variaţia impedanţei de intrare a liniei la variaţii

reduse Δω/ω0<< 1 ale frecvenţeiDacă pierderile sunt nule sau neglijabile

La aceeaşi variaţie relativă de frecvenţă , variaţia relativă a impedanţei de intrare este cu atât mairedusă cu cât lungimea iniţială a liniei este mai mică .

l ~ )(Z

Z 0

0i

i ω∆ω

L C = ωβ

Diagrama Smith pentru liniile omogene fără pierderi

cn

cn Y

YYZZZ = ; =

1= = ; 1 = = c

cc n

c

cc n Y

YY

ZZ

Z

cncn Y Y = Y Z Z= Z ⋅⋅ ;

tg j + 1

tgj + = )(lZ

lZlZs n

s ni β

β

tg j +

tgj + = )(lY1

lYlYs n

s ni β

β

Page 110: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

)( + )(

= + )( )(

=)( ; + )( )(

=)( lYYlYY

ZlZZlZ

lZzZZzZ

zic

ic

c i

ci

c i

ci −−Γ

−Γ

)( + 1)( 1

= 1 + )(1 )(

=)( lYlY

lZlZ

li n

i n

i n

i n −−Γ

Deci coeficientului de reflexie nu se modifică prin normalizareaimpedanţelor. El este invariant la normalizare.Normalizarea lungimilor l se obţine prin împărţirea acestora culungimea de undă λ.

)( 1)( + 1 = j + = )(

llXRlZ iii Γ−

Γ

ll j 2 e = )( β−ΓΓ

Se notează:λ

π−β−ϕl 4 = 2 = l

• Se înlocuiesc coordonatele polare (Γ,φ) cu coordonatelecarteziene (x, y) şi se notează:

( )( )

sin j + cos 1

sin j + cos + 1 = X j + R ii ϕϕΓ−

ϕϕΓ(39)

ϕΓϕΓ sin = ; cos = yx

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 22

22

+ 1 j 2+ 1 =

j + 1 j 1 j + 1 j + + 1 =

= sin j + cos 1

sin j + cos + 1 = j +

yxyyx

yxyxyxyx

XR ii

−−−

−−−−

ϕϕΓ−ϕϕΓ

(40)

( ) ( ) 2222

22

+ 1 2 = ;

+ 1 1 =

yxyX

yxyxR ii −−

−−

( ) ( )

2222

22

22

1 = 1 + 1 2 + 1 + 2

; 1+

+ 1

1 = +

1 + +

1 + 2 22

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

XXXyyxx

R

RR

Ry

R

RR

Rxx

−−

+

−−

Page 111: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

( ) 1 +

1 = + 1 +

22

2

ii

i

Ry

RR

x

( ) 2

22 1 =1 + 1

ii XXyx

−−

222 + = yxΓDeoarece sin2φ+cos2φ=1

SS + 1 1 = −

Γ

(43)

(41)

(42)

= + 1 1 = + 2

222 Γ

SSyx (44)

Page 112: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

Cercurile R ct au centrele de coordonateşi razele

Cercurile X>0 ct. au centrele de coordonateşi razele

Cercurile X<0 ct. au centrele de coordonateşi razele

Cercul X=0 are centrul de coordonate

şi rază infinită. El se confundă cu axa xx'.

Punctul A corespunde cel puţin unei valori infinite, este punctul de circuit deschis, adică de gol.

Punctul B corespunde valorilor R=0 şi X=0, reprezintăpunctul de scurtcircuit.

( )( )0 ,1 + ii RR 1 + 1 iR

iX1/

( )iX1/- 1,

( )iX1/ 1,

iX1/

( )∞± 1,

Variaţia unghiului ϕ este

Când Δl creşte, adică ne deplasăm pe liniede la sarcină spre generator Δl este pozitivceea ce înseamnă că Δ ϕ <0.

Unghiul ϕ variază orar (antitrigonometric) atunci când parcurgem linia de la sarcinăspre generator.

Unghiul ϕ variază antiorar trigonometricatunci când parcurgem linia de lagenerator înspre sarcină

l∆β−ϕ∆ 2 =

Page 113: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

• Cercul x2+y2=1 este cercul de rază maximă care corespunde cercului R=0 şi S infinit.

• Cercul S=1 se reduce la un punct, originea sistemului de coordonate

• Cercul S=a ct este tangent cu cerculR =a =S pe semiaxa pozitivă OX şi este tangent cu cercul R =1/S pesemiaxa negativă OX.

DeoareceO rotaţie completă pe un cerc corespunde uneilungimi normalizate l/λ =0,5 .

λπ−ϕ / 4 = l

Page 114: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

• Un punct din diagramă M, reprezintă uncoeficient de reflexie şi o impedanţă

• Fie

• Dacă impedanţa de normalizare este Zc=50 Ω atunci valoarea denormalizatăcorespunzătoare este

MM

ϕΓ je MMM XRZ j + =

0,825 ON / OMM ==Γ

j 2 + 0,5 =MZ

o51 ≅ϕM

( ) [ ]Ω⋅ 100 j + 25 = 50 j 2 + 0,5 =MZ

Exemplul 1

Fie o linie cu Zs=25-j25 Ω şi Zc=50Ω

Să se determine coeficientulde reflexie în dreptulsarcinii şi impedanţa de intrare Zi la distanţa

l=7,5 cm faţă de sarcinăştiind că λ=30cm.

Page 115: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

Exemplul 2

Fie aceaşi linie cu Zs=25-j25 Ω şi Zc=50Ω, ca în exemplul 1. Să se determine Zi la distanţa l=22,5 cm faţă de sarcină.

Page 116: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

Diagrama Smith pentru admitanţă

tgj +

tg j = )(

l ZZl ZZ

ZlZsc

csci β

β+

( )l tg Y j +Yl tg Y j + Y

Y = lYsc

cs ci β

β

tg j + 1

tgj + = )(

lZlZ

lZs n

s ni n β

β

tg j +

tgj + = )(

lY1lY

lYs n

s ni n β

β

1 + )l(Y1 )l(Y

1 + )l(Z1 )l(Z = )l(

i

i

i

i −−=

−Γ

Page 117: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

Transferul maxim de putere activă de la generator la sarcină

ggg XRZ j + =

sss XRZ j + =

Numitorul minim în raport cumaximizează Ps

( ) ( )22+++

21=

21=

2

2

sgsg

gsss

XXRR

ERI RP

( )2 + sg XX

( )0= + ;

+

21= 2

2sg

sg

sgs XX

RR

REP

Puterea are un extrem acolo unde se anulează derivataexpresiei în raport cu RS adică pentru

Derivata a doua este negativă, puterea are un maximgs RR =

.

Page 118: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

15

Maximul se obţine pentru şi are valoarea:

*

2

max = , j = j + ; 4

gsggsss

gs ZZXRXR

R

EP −=

( ) ( )

+

21 =

21 = 22

2

2

sgsg

gsss

BBGG

IGGUP

++

sssggg BGYBGY j + = , j + =

0 = + sg BB gs GG =

*

2

max = , j = j + ; 4

= gsggssg

gs YYBGBG

G

IP −

Şi în domeniul frecvenţelor foarte înalte, condiţiade transfer maxim de putere activă de la generatorla sarcină este aceeaşi. Puterea activă disipată în sarcină în cazul în caregeneratorul este adaptat la linia de transmisie

Maximul se obţine ptr.

Regimul de adaptareutilizarea în exclusivitate a unor

elemente de circuit pur reactive, ce nu disipă putere activă

gc ZZ =

( ) iss PP 1 = 2Γ−

0 = sΓ

csg ZZZ = =

Page 119: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

16

Adaptarea cu un singur element reactiv

Page 122: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Cursul 8Diagrama Smith pentru admitanţă

tgj +

tg j = )(

l ZZl ZZ

ZlZsc

csci β

β+

( )l tg Y j +Yl tg Y j + Y

Y = lYsc

cs ci β

β

tg j + 1

tgj + = )(

lZlZ

lZs n

s ni n β

β

tg j +

tgj + = )(

lY1lY

lYs n

s ni n β

β

1 + )l(Y1 )l(Y

1 + )l(Z1 )l(Z = )l(

i

i

i

i −−=

−Γ

Page 123: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

Transferul maxim de putere activă de la generator la sarcină

ggg XRZ j + =

sss XRZ j + =

Numitorul minim în raport cu

maximizează Ps

( ) ( )22+++

21=

21=

2

2

sgsg

gsss

XXRR

ERI RP

( )2 + sg XX

( )0= + ;

+

21= 2

2sg

sg

sgs XX

RR

REP

Puterea are un extrem acolo unde se anulează derivataexpresiei în raport cu RS adică pentru

Derivata a doua este negativă, puterea are un maximgs RR =

.

Page 124: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

Maximul se obţine pentru şi are valoarea:

*

2

max = , j = j + ; 4

gsggsss

gs ZZXRXR

R

EP −=

( ) ( )

+

21 =

21 = 22

2

2

sgsg

gsss

BBGG

IGGUP

++

sssggg BGYBGY j + = , j + =

0 = + sg BB gs GG =

*

2

max = , j = j + ; 4

= gsggssg

gs YYBGBG

G

IP −

•Şi în domeniul frecvenţelor foarte înalte, condiţia de transfer maxim de putere activă de la generator lasarcină este aceeaşi. Puterea activă disipată în sarcină în cazul în caregeneratorul este adaptat la linia de transmisie

Maximul se obţine ptr.

Regimul de adaptare

-utilizarea în exclusivitate a unor elementele de circuitpur reactive, ce nu disipă putere activă

gc ZZ =

( ) iss PP 1 = 2Γ−

0 = sΓ

csg ZZZ = =

Page 125: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

Adaptarea cu un singur element reactiv

Page 128: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Adaptarea sarcinii cu două elementereactive

Page 130: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

Transformatorul de adaptare în λ / 4

Admitanţa de intrare a transformatorulde adaptare în λ / 4

Dacă generatorul este adaptat la linie, YC=Yg atunciadmitanţa segmentului de linie văzută spre stânga este .

2 =

4 2 = = πλ⋅

λπ

βθ t

ttt l ∞±θ

π→θ = tg

/2lim

dr

2t

ttdr t

tttdrti Y

Y = l tgY j + Y l tgY j + Y Y

/2lim = Y

ββ

π→θ

dr

2t

ist YY = Y1 = Y =

Page 131: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

Admitanţa caracteristică a transformatorului de adaptare

este

drdrstt YYYY = = ⋅

drdrstt ZZZZ = = ⋅

Se pot realiza linii de lungime λ/4 pentru care admitanţa (impedanţa) caracteristică este reală. Deoarece Yst estereală , este necesar să avem şi Ydr reală pentru ca să obţinem Yt reală

Page 132: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

Segmentul de linie în λ /4 de adaptare, cu admitanţa (impedanţa) reală:

drdrstt YYYY = = ⋅

R ∈drY

0 j + 1/ = 1 SY

0 j + = 2 SY

R 1 = ∈stY

/1 = SYt SZ t =

= SYtSZt 1/ =

Exemplu 5

Ω≅⋅= 61,24 75 50 ZZ=Z drstt

Page 133: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Transformatorul în λ/4 realizează teoretic o

adaptare perfectă la frecvenţele la care

2/π)1+n2(=πn + 2π

= lβ tt

Studiul comportării dispozitivului de adaptare în jurul frecvenţei (frecvenţelor) de adaptare "perfectă"

Fie sarcina reală, transformatorul poate fi cuplat deci direct pe sarcină YS=Ydr şi Yt=√ YSCoeficientul de reflexie introdus de transformator ca urmare a variaţiei frecvenţei, în jurul frecvenţelor de adaptare

( )2

1 + 2 π≅θ n

Y + 1Y - 1

= i

i iΓ

tt

tts

tti ll

YY

YY 2 = = tg j + Y tg j + Y

= t

s ⋅λπ

βθθθ

( ) ( )( ) ( )

( )( ) θ

θ

θ−−−Γ

tg2 j + + 1 1

= tg + j + + 1 tg j + 1

= + 1 1

= 2

2

sss

ss

tsst

tsst

i

i i YYY

YYYYYYYYYY

YY

1sin ≅θ 1 cos <<θ

( )2

1 + 2 π≅θ n

Page 134: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

cos 2

+ 1 θΓ≅Γ

c

s s i Y

Y

θ≅θ

cos1 tg ( ) ( )ss s YY + 1 / 1 = −Γ

( ) θ⋅

⋅Γ≅

θ

⋅Γ≅Γ

22 cos1

+ 1 4

+ 1

1 tg

+ 1 2

j + 1

1

s

s s

s

s s i

YY

YY

2 < cos

2 + 1

= πθθ⋅ΓΓ mm

s

ssM Y

Y

( )π

θ−ππ

θ−

π∆ m

m

ff 2 2 =

2

2

2 =

Fie un coeficient de reflexie cu maximul modulului ΓMîn banda de adaptare. Unghiul electric corespunzător θm se obţine ca soluţie a ecuaţiei (51)Banda relativă de frecvenţă Δf/f este dată de relaţia (52)

(52)

(51)

Page 135: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

Pentru transformatorul din exemplul 5 valoarea normată a admitanţei de sarcină este

Şi valoarea normată a admitanţei transformatorului de adaptare este

Dacă se cuplează sarcina de direct la linia se obţine un coeficient de reflexie în dreptul sarcinii:

Dacă se admite variaţia maximă a coeficientului de reflexie 1% adică

se obţine ecuaţia

2/3 YY

= YC

Ssn =

/36 = tY

0,2 = 50 + 7550 75 = −

Γs

sM ΓΓ 201 =

2 < , cos

36 2

32 + 1

= 201 π

θθ⋅ΓΓ mm ss

Soluţia este:

Banda de frecvenţă relativă în care modulul coeficientului de reflexie nu întrece valoarea de 0,01 este 6,4%.

Concluzia este că transformatorul asigură o adaptare de calitate bună doar într-o bandă de frecvenţe relativ redusă.

Este evident că adaptarea se realizează nu numai la frecvenţa f ci şi la frecvenţele 3f, 5f .... Banda relativă de frecvenţă în care este din ce în ce mai mică.

Astfel la frecvenţa 3f avem

π≅θ 0,484 m

0640,≅∆ ff

Mi Γ≤Γ

0,021 = /30,064 /3 ≅∆ ff % 6,4 < 2,1%

Page 136: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Linia de transmisie ca circuit rezonant

Fie pierderile foarte mici, lungimile l ale segmentelor relativ reduse, astfel încât şi se pot utiliza aproximările:

( ) ( )( ) lZlZ

lZ lZZ

lZU

lI

IZlUlIlUlZ

sc

csc

c

ss

scsi sh + ch

sh + ch =

sh + ch

l sh + ch =

=

γγγγ

γγ

γγ

1 <<α l

sin j + cos sh ; sin j + cos ch llll ll ll ββα≅γβαβ≅γ

( )( ) lZl Zl ZZ

lZl Zl ZZZlZ

scsc

cscsci tg + j + +

tg + j + + = ) (

βααβαα

Z = 0s ( )l l

llZll ZZ l Zl Z

ZlZ ccc

ccci tg j + 1

tgj + = tg j +

tg j + =

βαβα

βαβα

1) Rezonanţa seriePentru a obţine rezonanţă serie trebuie să fie îndeplinită

condiţia

În cazul ideal, al pierderilor nule, α=0, Zi=j Zctgβl deci

lungimea trebuie să satisfacă condiţiaDeoarece

se obţine

0 )l(Z rsi ≅

πβ n = l rsrs

0rs

2 = ωλπβ

r r

00

0rs

= ; 2

n = lµε

λλ

λω

ω

Page 137: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

Factorul de calitate Q se calculează cu relaţia

Se poate demonstra că Zi(ω)= Zs(ω) dacă se notează

Impedanţa unui circuit rezonant serie este în jurul

frecvenţei de rezonanţă ssCL / 1 = 0

ω

( )

2

0

2 4 + 1 =

ωω∆

ω QRZ ss 2 arctg = )( Arg0

ωω∆

ω QZs

R

L =Q

s

s0ω

αα

β lZ= R ; 2

= Q rscrs

Segmentul de linie terminat în scurtcircuit de lungime

cu factorul de calitate invers proporţional cu constanta de atenuare a liniei, α, este echivalent cu un circuit rezonant serie.

2) Rezonanţa paralel Pentru a obţine rezonanţa paralel este necesar ca la

frecvenţa de rezonanţă să fie îndeplinită condiţia

Această condiţie este îndeplinită în absenţa pierderilor α=0,Zi=j Zctgβl→∞ dacă :

2 n = l 0

rsωλ

∞→ )l(Z rpi

2 + n = lrprpπ

πβ

Page 138: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

Impedanţa unui circuit rezonant paralel este în jurul frecvenţei de rezonanţă :

Unde factorul de calitate este:

Dacă se notează:

( )4

1n2l )0(rp

ωλ+=adică

( ) Q 2 j + 1 G

1 Z

0p

p

ω

ω∆≅ω

p

p0

GC

= Q ω

000

0 2 = ; = ; 2

= β

πωα

α

βcp YlGQ

Se poate demonstra că linia de lungime

terminată în scurtcircuit se comportă ca un circuit rezonant paralel.

Observaţii1. Dacă sarcina liniilor anterior studiate este golul,

circuitele echivalente implementate la rezonanţă se inversează

( ) /4 1 + n2 = l 0rp ωλ

Page 139: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

1’

2

2’

1

1 1’

1 2

1’ 2’

1 1’

1

1’

1 1’

1 1’

1

1’

Tronsoanele de linie de lungime λ/4 şi λ/2 terminate în gol

sau în scurtcircuit şi circuitele rezonante echivalente.

/ 4λ/ 4λ

/ 2λ/ 2λ

Factorul de calitate este prin definiţie raportul dintre energia electromagnetică medie înmagazinată şi energia disipată într-o perioadă a semnalului, la frecvenţa de rezonanţă .

Există şi următoarele relaţii de calcul:

recomandată ptr. rezonanţa serie

recomandată ptr. rezonanţa paralel

unde X(ω) este reactanţa circuitului rezonant, R0 este rezistenţa de pierderi serie, la frecvenţa de rezonanţă şi B(ω) este susceptanţa circuitului rezonant şi G0 este conductanţa de pierderi paralel, la frecvenţa de rezonanţă .

0 = 0

0 )d(

)( d 2

= ωωω

ωω XR

Q

0 = 0

0 )d()( d

2 =

ωωωωω B

GQ

Page 140: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

3. Pentru diferitele tipuri de linii, literatura oferă atât relaţii de calcul exacte cât şi aproximări ale parametrilor caracteristici R,L,G şi C.

Tabelul de mai jos prezintă câteva aproximări ale parametrilor liniei ptr. linia (ghidul ) plan paralel, linia bifilară şi linia coaxială.

În relaţii w, a,b, D, b reprezintă dimensiuni în conformitate cu notaţiile din figură, μ, ε, σ se referă la mediul dielectric de separare şi μc, σc se referă la conductor.

Cu RS s-a notat rezistenţa superficială a conductorului, dată de relaţia:

c

cs

fRσµπ

=

Page 141: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Aproximări ale parametrilor

c

cs

fRσµπ

=

Linia bifilară simetricăSe utilizează pentru realizarea feederelor (linii de alimentare cu

energie) utilizate la construcţia antenelor

Se poate observa că planul MN este de potenţial nul. Cele două conductoare au, într-un plan de secţiune, potenţiale de valoare absolută egală dar de semne contrare faţă de masă.Curenţii din cele două conductoare au, în planul de secţiune, valori egale dar sensuri opuse.

Page 142: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

Dacă linia are cei doi conductori situaţi la o distanţă suficient de mare de masă (câteva lungimi de undă) atunci sunt utilizabile următoarele expresii de calcul, pentru dielectricul aer uscat

Dacă conductorii liniei sunt din cupru, atunci :

[ ]Ω 2 log 276 = adZ c

[ ]H/m 2

log 0,921= µadL

[ ]m / pF 2

log

12,06 =

adC

[ ] m / 16,6 = Ωµ

af

R

Linia coaxială este o linie de tip asimetric, potenţialul conductorului

exterior fiind cel al masei (nul). Relaţiile de calcul pentru coaxialul ce utilizează drept material pentru conductori cuprul sunt

[ ]Ωε

ln 138

= abZ

rc

[ ]H/m ln 0,46= µabL

[ ]m / pF log

24,1 =

ab

C rε

[ ] [ ] [ ]m / cm

+ cm

8,3 = Ωµ

ba

fR 11

Page 143: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

Alte aplicaţii ale liniilor

1.Circuitele de simetrizare - transformatoare "balun" (de la balanced-unbalanced) permit conectarea unor circuite (linii) nesimetrice cu circuite (linii) simetrice.

Ptr. o linie simetrică potenţialele conductorilor sunt egale şi de semne contrare, în timp ce potenţialul conductorului exterior al unei linii asimetrice este nul. Este deci necesară utilizarea un element defazor cu 180 grade ptr. tensiune şi curent ptr. a face trecerea între cele 2 sisteme.

Exemple sunt cuplarea:• liniei bifilare cu linia coaxială;• antenei dipol simetric la o linie de transmisie (feeder)

simetrică;• antenei dipol simetric la o linie de asimetrică;• liniei simetrice la o linie asimetrică prin aşa numitul

pahar de simetrizare în λ/4, cu variantele sale constructive

2.Liniile de întârziere realizează şi adaptarea generatorului şi/sau a sarcinii la linia de transmisie şi au de exemplu aplicabilitate în:

– Osciloscoapele de radiofrecvenţă şi microunde în realizarea unei întârzieri între momentul declanşării bazei de timp a osciloscopului şi aplicării semnalului la plăcile de deflexie pe verticală

– Formarea unor impulsuri scurte de durată stabilă , de obicei se utilizează linii terminat în gol

Page 144: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

Ghiduri plate

sunt constituite dintr-un substrat de dielectric subţire cuprins între 2 plane de masă, care încorporează conductorul (stripline) sau între conductor şi un singur plan de masă (microstrip)

Conductorcentral

Substratdielectric

Plan de masă

Plan de masă

Conductor

Substratdielectric

Substratul dielectric poate fi :• izotrop ca de exemplu alumină (Al2 O3 care este în mod

uzual utilizată), sticlă• Anizotrop, ca de exemplu safir, cuarţ, GaAs sau Si• cu proprietăţi magnetice –ca de exemplu ferite

Cel mai des utilizate dintre structurile de ghidare deoarecepermit realizarea circuitelor integrate ptr. microunde MIC inclusiv a celor monolitice MMIC

Page 145: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

• linia microstripuzuală

• ghid plat coplanar coplanar waveguide

• linie tip canal –slotline

• linie coplanară -coplanar stripline

• Odată substratul ales caracteristicile liniei sunt determinate prin lăţimea conductoarelor şi/sau spaţiile libere ale suprafeţelor superioare.

• Controlând dimensiunile metalizărilor se pot realiza -linii de transmisie-circuite de adaptare-componente pasive

• Cel mai des utilizată este linia MICROSTRIP• Ghidurile plate coplanare COPLANAR WAVEGUIDE-

uzuale la frecvenţele microundelor.• Structurile – SLOTLINE şi - COPLANAR STRIPLINE

sunt cel mai puţin utilizate în domeniul frecv. microundelor.

Page 146: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

În tehnologia microstrip pot fi implementate:• filtre• circuite rezonante• reţele de distribuţie• circuite de adaptare• cuploare• diplexoareSe pot adauga componente active prin conexiuni la stratul

conductor de masă, cu observaţia că la frecvenţe mari acestea introduc inductanţe parazite.

Modul de propagare este cvasi TEM, numit astfel datorită asemănării cu modurile TEM.

Liniile de câmp se închid nu numai prin dielectricul suportului, ci şi prin aer şi majoritatea puterii este concentrată în zona delimitată de lăţimea benzii microstripului

Figura

Exploatarea ghidului de undă microstrip se face numai în domeniul de frecvenţă ptr. care se propagă modul cvasi TEM.

Page 147: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

• Utilizând un substrat cu permitivitate mare şi ecranare se minimizează radiaţia.

• Impedanţa caracteristică a liniei microstrip este în domeniul 20-125 Ω.

• O impedanţă caracteristică de 50 Ω pe un substrat de alumină de 25 mil poate suporta puteri de ordinul kWîntr-o bandă largă de frecvenţe

• 1mil=25,4 μm unitate de măsură ptr.dimensiuni mici, uzuală în SUA, deci a mia parte dintr-un inch, 1 inch=25,4 mm

Majoritatea metodelor de proiectare utilizează:-o aproximare cvasistatică ptr. Zc la frecvenţe joase-un model de dispersie dependent de frecvenţă Zc(f)

ptr. frecvenţe mariDacă grosimea t a linie i este neglijabilă în raport cu

grosimea h a dielectricului, adică 0,005 t/h ≤

1 hwpentru

hw 1 0,04 +

wh12 + 1

1 2

1 + 2

1 + = 2

rref ≤

−εεε

(1)

(2)

Sunt aplicabile relaţiile:

[ ] 1 hwpentru ;

hw 0,25 +

wh 8ln 60 = Z

efc ≤Ω

ε(3)

Page 148: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

Lungimea de undă pe linie se calculează în funcţie de lungimea de undă în vid şi constanta dielectrică efectivă, cu relaţia:

1 hwpentru ;

wh12 + 1

1 2

1 + 2

1 + = rref ≥⋅

−εεε

[ ] 1 hwpentru ;

1,444 + hwln 0,667 + 1,393 +

hw

1 120 = Zef

c ≥Ω

⋅ε

π(5)

(4)

efε

λλ 0 = (6)

Organigrama procedurii de determinare a ZC şi εef

Page 149: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

Exemplul 1Se doreşte implementarea unei linii microstrip cu

impedanţa caracteristică Zc=90 Ω la frecvenţa de 10 GHz.

Se alege o linie microstrip cu dimensiunile h=1mm şi w=0,2mm, cu o grosime a metalizării t care îndeplineşte condiţia t/h≤0,005 realizată pe un suport de cuarţ având

Se calculează permitivitatea dielectrică efectivă aplicând relaţia (2) deoarece w/h=0,2<1 :

9,7=ε r

( ) 6,018 0,2 1 0,04 + 5 12 + 1

1 2

1 9,7 + 2

1 +9,7 = 2 ≅

⋅−

εef

• Se calculează apoi impedanţa caracteristică cu relaţia (3):

• Întrucât valoarea determinată ptr Zc este mai mare decât cea dorită trebuie mărită dimensiunea w la 0,22 mm, se recalculează εef apoi Zc .

• Se aplică în mod iterativ relaţiile (2) şi (3) pana când impedanţa caracteristică implementată are o eroare acceptabilă.

• Lungimea de undă pe linia microstrip la frecvenţa de 10 GHz este:

( ) [ ]Ω≅⋅⋅ 90,3 0,2 0,25 + 5 8ln 6,01860 = cZ

cm 1,22 6,018

3 ≅≅λ

Page 150: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

15

Dacă linia nu este de grosime t neglijabilă adică t/h > 0,005în relaţiile anterior prezentate lăţimea liniei, w, se substituie cu o lăţime "efectivă", wef, calculată cu:

(7)

(8)

Exemplul 2Dacă linia din exemplul 1 are grosimea t=50μmse poate aplica relaţia (7) deoarece

şi minimul dintre h/2 şi w/2 este

π≥

π

2w ,

2hmin t ,

21

hw ;

th 2ln + 1 t + w = wef

π≥

π

π

2w ,

2hmin t ,

21

hw ;

tw 4ln + 1 t + w = wef

π21 > 0,2 =

hw

t > m 100 = m 100 m, 500min µµµ

Cu wef/h=0,275 / 1<1 se calculează cu relaţiile (2) şi (3) εefşi ZC:

mm 0,2 > mm 0,275 = 0,05

1 2ln + 1 0,05 + 0,2 = wef

⋅π

( ) 6,093 0,275 1 0,04 +

0,27512 + 1

1 2

8,7 + 2

10,7 = 2 ≅

−εef

[ ]Ω≅

⋅⋅ 81,98

10,275 0,25 +

0,2751 8ln

6,01860 = cZ

Page 151: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Efectele dispersiei Zc(f) şi εef (f) se pot determina utilizând formule de calcul.

În figurile de mai jos sunt reprezentate caracteristicile de dispersie ale impedanţei caracteristice şi permitivităţii dielectrice corespunzătoare ptr. diferite tipuri de linii microstrip pe diferite substraturi, în funcţie de frecvenţă.

Se observă că Zc se modifică mai dramatic în funcţie de

frecvenţă decât εef

Caracteristicile sunt aproximativ plate până la frecvenţa de 10 GHz şi se modifică semnificativ de la frecvenţa de 70 GHz, care reprezintă maximul frecvenţelor de operare cu linii microstrip

Caracteristicile de dispersie ale Zc(f) şi εef (f) ptr. diferite tipuri de linii microstrip, pe diferite substraturi, în funcţie de f

-cu linie continuă ptr.substrat cu εr=2,33, h=31 mils, w=90 mils

-cu linie punctată ptr.substrat cu εr=10,2; h=25 mils, w=23 mils

-cu punct şi linie ptr.substrat cu εr=9; h=2,464; mils, w=2,5 mils

(1mil=0,0254mm=25,4 μm unitate de măsură ptr.dimensiuni mici, uzuală în SUA, deci a mia parte dintr-un inch 1inch=25,4 mm)

Page 152: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

Pe lângă dispersie la frecvenţe mari se complică proiectarea datorită:– pierderilor prin radiaţie– factorului de calitate redus– propagării şi a altor moduri.

Poate apare un cuplaj între modul cvasi-TEM al liniei microstrip şi cel mai mic mod care se propagă în substrat.

Există o relaţie ce aproximează frecvenţa la care acest cuplaj devine semnificativ.

Vor apare şi moduri superioare TE şi TM peste frecvenţa limită dată de relaţia:

Este posibilă evitarea formulelor prin programarea în CAD.

( )12h2cf

rc −ε

=

Ghiduri plate coplanare• au o linie de semnal şi două linii de masă pe un suport

dielectric cu o metalizare pe o parte.• implementate începând cu 1969 • mai greu acceptate deoarece nici până în prezent nu

există modele simple, de încredere, ca în cazul liniilor microstrip.

• Au caracteristici mai bune decât liniile microstrip. • Integrarea componentelor active este mai simplă,

deoarece nu necesită legături care străbat dielectricul.• Elementele parazite -mai reduse decât în cazul liniilor

microstrip, astfel încât sunt recomandate ptr. utilizare la frecvenţe înalte acolo unde minimizarea lor este principala preocupare în proiectare.

• Suportă 2 moduri fundamentale,unul dorit şi unul nedorit, dacă cele două trasee de masă nu au acelaşi potenţial.

Page 153: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

Ghiduri de undă

-orice structură fizică care ghidează undele electromagnetice.

-o structură metalică închisă (determinată de paralele la axa z) cu o secţiune fixă, ce conţine dielectric, ca în figura de mai jos.

Clasificarea ghidurilor după forma secţiunii transversale : • plan paralele• dreptunghiulare• circulare• eliptice• coaxiale• plate

-Ghidurile de undă au pierderi de putere mai mici decât la liniile şi sunt capabile să transmită puteri mai mari.

-Dezavantajele sunt masivitatea, greutatea şi banda limitată. Ori de cate ori este posibil se folosesc liniile microstrip- considerate şi ghiduri plate.

-Există o infinitate de soluţii distincte ptr. propagarea undelor elmg, numite moduri.

-Secţiunea şi dielectricul determină caracteristicile modurilor

-Într-un ghid de undă câmpul electromagnetic poate avea o infinitate de structuri.

Page 154: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

O anumită structură corespunde unor anumite condiţii la limită pe suprafaţa pereţilor şi se numeşte mod.

Fiecare mod este caracterizat de o frecvenţă de la care începe să se propage, într-un anume ghid, numită frecvenţă critică.

Se poate face o clasificare a modurilor ce se propagă în ghiduri în moduri:

• transversal electrice, notate TE (numite şi moduri H) care au componente ale câmpului electric doar în secţiune transversală (Ez =0).

• transversal magnetice, notate TM (numite şi moduri E) au componente ale câmpului magnetic doar în secţiune transversală (Hz =0)

• hibride, de tip EH şi HE- sunt prezente doar în anumite condiţii, ca de exemplu în ghidurile parţial umplute cu dielectric şi au toate componentele nenule. Modurile TE şi TM nu satisfac condiţiile la limită, sunt necesare soluţii mai complexe, ca o sumă dintre o undă TE şi o undă TM

Modurile EH sunt caracteristice câmpurilor transversale care sunt controlate mai mult de Hz decât de Ez- moduri LSE - longitudinal section electric.

Modurile HE sunt caracteristice câmpurilor transversale care sunt controlate mai mult de Ez decât de Hz -moduriLSM - longitudinal section magnetic

Modurile TEM nu se propagă decât în ghidurile coaxiale - deoarece ele necesită ptr. propagare fie mediul liber, fie două conductoare (ghidurile au în cazul general un singur conductor metalic în exterior).

Majoritatea tipurilor de ghiduri considerate în tehnică sunt omogene, astfel încât se vor aborda doar acestea.

• Se consideră un sistem de axe rectangulare- Axa longitudinală a ghidului este axa z. Axele x şi y sunt axele transversale.

• Vectorul Poynting complex este paralel cu direcţia longitudinală, cea în care se consideră că se propagă energia. ( )∗× HE 1/2 = S

Page 155: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

zt E + E = E

zt H + H = H

434214342143421434210=

*zz

ltransversavector

*zt

ltransversavector

*tz

zdupăvector

*tt

*z

*tzt )xHE(

21

+)xHE(21

+)xHE(21

+)xHE(21

=)H+H(x)E+E(21

=S

(1)

Se reaminteşte că:• Produsul vectorial este un vector normal pe planul

determinat de factori• Produsul vectorial a doi vectori coliniari este nul (sin 90°=0)• Produsul scalar a doi vectori ortogonali este nul (cos 90°=0)

⋅∫ ∫ yd xd k S 21Re= P

a b

0 0

Vectorii transversali din relaţia (1) au proiecţie nulă pe versorul k ,deci produsul lor scalar cu versorul k este nul (cos 90°=0). Primul termen din relaţia (1) este unicul termen care are contribuţie la propagarea puterii şi expresia (2) se reduce la:

(2)

Page 156: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Vectorii câmpului electric şi magnetic sunt:

( )

⋅×∫ ∫ yd xd k 21Re= P

a b*tt

0 0

HE (3)

)z ,y ,x( E + )z ,y ,x(E = )z ,y ,x(E zt

)z,y,x( H + )z,y,x(H = )z,y,x(H zt

0 = + 22 EE k∇

0 = + 22 HH k∇

ωεσ

−µεω

j 1 = 22k

(4)

(5)

Dependenţa de axa z este-pentru unda directă:-pentru unda inversă:

Se introduc funcţiile de repartiţie a câmpului electric şi magnetic

zzz j e e = e β−α−γ−

zzz j e e = e βαγ

[ ] zz yxyxzyx +++ e) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−eeE

[ ] zz yxyxzyx +++ e ) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−hhH

[ ] zyxyxzyx z e) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−−− eeE

[ ] zz yxyxzyx e) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−−− − hhH

Page 157: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

Ipoteze simplificatoare:• pereţii ghidului sunt perfect conductori • în ghid există un mediu dielectric omogen şi izotrop, cu

pierderile caracterizate de α, o valoare de cele mai multe ori neglijabilă fără sarcini electrice libere (ρv =0).deci ε şi μ sunt mărimi scalare, constante în timp.

• semnalul care se propagă este armonic (ca funcţie de ejωt) deci

yxzzyx tt +

= ;

+ =

+

+

=

∂∂

∂∂

∇∂∂

∇∂∂

∂∂

∂∂

∇ jikkji

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

22

+

= ;

+ =

+

+

=

yxzzyxtt

∂∇

∂∇

∂∇

γ−≡∂∂ z ( ) ( ) 2

2

2

=

γγ−⋅γ−≡∂

zPentru unda directă:

ω=∂∂ jt

( ) ( ) ( ) zz

zzt

e + j = e + γ−γ− µω−×γ−∇ hheek

( ) ( ) ( ) ( ) zz

zzt

e + j + = e + γ−γ− ωεσ×γ−∇ eehhk (11)

Hμω=E×•Ţ -j(10)

( ) ( ) 0 = e + zzt

γ−⋅γ−∇ eek

( ) ( ) 0 = e + zzt

γ−⋅γ−∇ hhk

Eωε=H×•Ţ j

0=Eε•Ţ.

0=Hμ•Ţ.

Legea inducţiei electromagnetice

Legea circuitului magnetic

Legea fluxului magnetic

Legea fluxului electric

(12)

(13)

Page 158: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

j- j = e( -e)( -

versalprod.trans0

z

ltransversa produs32143421321321321

zdupaprodus

Z

=coliniari.vect.prodltransversaprodus

ztzdupaprodus

t hμωhμω)×kγ xe•Ţ+×kγ xe•Ţ

Relaţia (15) se poate pune şi sub forma:

zt he j = µω−×∇

heke j = µω−×γ−×∇ zt

zz e = ke ( ) ( )ztzt ee = ∇×−×∇ kk

(14)

(15)

( ) he kk j= + e zt µω×γ∇× (16)

A doua ecuaţie a lui Maxwell (11) :

( ) ( ) ( )zzt + j = + eehhk εω×γ−∇

e j e j = )hk( xhh)k( xhzdupaprodus

Zal transversprodus0coliniari.vect.prod

z

ltransversaprodus

ztal transversproduszdupaprodus

t 32132132132143421321εω+εω×γ−∇+×γ−∇

=

Page 159: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

După axa z se separă :

Ţinând cont de faptul că şizt e j = h εω×∇

zz h = kh

( ) ( )ztztzt h k = h k = h ∇×−×∇×∇

( ) e j = h k + h k zt εω−×γ∇×

(18)

(19)

Se dezvoltă ecuaţia (12):

Ţinând cont de faptul că:ze = e = zz kkke ⋅⋅

0)ke.k()e.k(ee z0lariperpendicuvectori0lariperpendicuvectori

ztt =γ−γ−∇+∇==

Similar se dezvoltă relaţia (13) şi ţinând cont de faptul că

zt e = γ⋅∇ e (20)

zzz hh = = kkkh ⋅⋅

Ecuaţiile (16), (17), (18), (19), (20) şi (21) pot fi particularizate pentru cele trei tipuri de moduri, TE, TM şi TEM.

Ecuaţia undei pentru câmpul electric este:

zt h = γ⋅∇ h (21)

( ) ( ) ( ) 0 = e e + e k + e e + e z z

2z z

22t

γ−γ−γ−∇

Page 160: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

( ) 0 = e + k + e z22

z2t γ∇

( ) 0 = e + k + e 222t γ∇

(23)

( ) ( ) ( ) 0 = e + + e + 2 22 zz

zzt k γ−γ−γ−∇ hhhh

În mod similar pentru câmpul magnetic din ecuaţia undei se obţine:

0 = + 22 hh ct k∇

( ) 0 = h + k + h z22

z2t γ∇

(24)

(25)

(26)

Moduri transversal electrice, TE

Se notează expresia de mai jos cu kc , numărul de undă critic :

EcuaţiIe (26) şi (25) devin:

Aplicăm relaţiei (18) operatorul rotor transversal, la stânga, şi dezvoltăm dublul produs vectorial, ţinând cont de faptul că :

22222c + = + k = k γµεωγ

0 = h k + h z2cz

2t∇

0 = + 22 hh ct k∇

0 = ze

( ) ( ) 0 = = 2 hhh ttttt ∇−⋅∇∇×∇×∇

(29)

(30)

(31)

Page 161: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

Din relaţia (21):

Din (29):

Separând componentele transversale după axa x şi y, relaţia (30) se poate pune sub forma:

zt h = γ⋅∇ h

= 22 hh ct k−∇

( )ztc

hk

= 2

∇γ

−h (30)

xh

kh z

2c

x ∂∂γ

−=

yh

kh z

2c

y ∂∂γ

−=

(31)

(32)

Se pune în relaţia (19) şi se obţine

Această relaţie se multiplică vectorial la stânga cu versorul k şi se dezvoltă dublul produs vectorial:

0 = ze hek j = µω×γ

Deoarece şi se obţine:

( ) ( ) ( )[ ] hkkkeekkekk j = = ×µω⋅−⋅γ××γ

0 = ek ⋅ 1 = kk ⋅

( )h ke ×γ

µω− j = (33)

( ) ( )xyyxyx h i h j j = h j + h i xk j = e j + e i −γ

µω−

γµω

hx

y

y

x Zhe

he

= j = = γ

µω− (34)

Page 162: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

Se poate constata ortogonalitatea componentelor transversale e şi h din unda TE:

Raportul componentelor câmpurilor transversale este impedanţa de undă a modului TE sau a undei H:

Toate componentele câmpului electromagnetic pot fi exprimate în funcţie de o componentă, hz, singura componentă după axa z.

Rezolvarea unui mod TE direct, se face astfel: - se determină hz din relaţia (28). - din (30) se determină h- se determină e din (33).

0 = + = yyxx hehe h e ⋅ (35)

j = j = 22 kk

Zc

h−

µωγ

µω(36)

Pentru unda directă menţionând explicit semnul "+", se pot scrie:

Pentru a determina undele inverse se înlocuieşte în relaţiile (28), (30) şi (33) cu deoarece factorul de undă este

0 = + +2+2zczt hkh∇

( )+2

+ = ztc

hk

∇γ

−h

( )++ j = h ke ×γ

µω−

(37)

(38)

(39)

−γ γ+ z +e γ

0 = + 22 −−∇ zczt hkh

( )−− ∇γ

ztc

hk

= 2h

(40)

(41)

(42)( )−− ×γ

µω h ke j =

Page 163: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

Dacă se înlocuieşte în (38)

Comparând (41) cu (43) se obţine:

+ = ee− + = hh −−

+ = hh −−

( )+− ∇γ

− zt2c

h k

- = h (43)

( ) ( )−∇γ

−∇γ

− ztc

ztc

hk

hk

= = 2+

2+h

h = hz z+−

( )

γ−

γ−

z

z

z

+

+

e =

e =

h + hH

eE

( )

− γ−

γ−

z

z

z

e =

e =

h + hH

eE(44) (45)

Page 164: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Ghiduri de undă cu secţiune dreptunghiularăun conductor tubular cu secţiune dreptunghiulară, ai cărui

pereţi se realizează dintr-un material de înaltă conductivitate:

-aluminiu -cupru -cupru argintat pe suprafaţa interioară

• mediul interior dintr-un dielectric de bună calitate, vid sau aer uscat.

• Grosimea t a pereţilor este determinată doar din considerente de rezistenţă mecanică, adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic fiind neglijabilă

•Utilizate curent în construcţia emiţătoarelor şi receptoarelor de microunde

• Se numesc ghiduri "normale" cele care au raportul dimensiunilor ghidului :

Se consideră:• ghidul de lungime infinită• cu pereţii realizaţi dintr-un conductor ideal• în interiorul ghidului se presupune că este dielectric aerul

uscat, fără pierderi• constanta de atenuare este nulă, şi deci constanta de

propagare este pur imaginară:

• Din relaţia (27) se obţine

βγ j =

2 20

2 00

22 k = = β−β−µεωck

βγ−−µεωβ j = ; = = 220

200

2cc kkk

(46)

(47)

2 = ba

Page 165: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

• GUD poate propaga doar modurile TE, TM sau modurile hibride deoarece are o singură suprafaţă conductoare, ele. Nu poate propaga un mod TEM.

Condiţiile la frontieră sunt:• La suprafaţa unui conductor ideal , liniile de forţă ale

câmpului electric sunt normale • Componenta tangenţială a câmpului electric este nulă. • La suprafaţa unui conductor liniile de forţă ale câmpului

magnetic sunt tangenţiale.

• Componenta normală a câmpului magnetic este nulă.

Moduri TE în ghiduri de undă cu secţiune dreptunghiulară

Ecuaţia (26) ce permite determinarea componentei hz:

Datorită formei frontierei domeniului în care există unda , un dreptunghi cu laturile paralele cu axele, se caută o soluţie hz de forma:

0 = +

+

22

2

2

2

zczz hk

yh

xh

∂ (48)

)( )( = ) ,( ygxfyxhz ⋅

0)( )( d

)(d )( + d

)(d )( 22

2

2

2

=+ ygxfky

ygxfx

xfyg c

Page 166: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

Se împarte ecuaţia anterioară cu produsul f(x)g(y) :

• Primul termen al ecuaţiei de mai sus este o f numai de x• cel de-al doilea termen o funcţie numai de y. • Suma termenilor este o constantă, deci fiecare termen

trebuie să fie o constantă:

22

2

2

2

= d

)(d )(

1 + d

)(d )(

1ck

yyg

ygxxf

xf−

22

22

2

2

= d

)(d )(

1 ; = d

)(d )(

1yx k

yyg

ygk

xxf

xf−−

222 = + cyx kkk

(50)

(51)

Soluţiile ecuaţiilor (50) sunt:

ykCykCxkCxkCxf yyxx sin + cos = g(y) ; sin + cos = )( 4321(52)

( ) ( ) )( )(sin + cossin + cos=) ,( 421 ygxfykCykCxkCxkCyxh yy3xxz ⋅= (53)

Se impun condiţiile la limită la pereţii ghidului. Componenta de repartiţie transversală a câmpului magnetic nu poate avea componente normale la fiecare dintre pereţii ghidului 0 = h.nunde n este normala la frontiera domeniului, dirijată spre

interiorul ghidului, spaţiul unde există câmpul .

x

nnnn

y

a0

b

Page 167: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

( ) ( )

[ ]by

ygxfxfygk

hk

xc

xztc

x

0,

0= )(' )( +)(' )( j= j= 0 = 20 = 20 =

∈∀

⋅β

−∇⋅β

−⋅ jiiihn

( ) ( ) [ ]bygxfxfygk

x = ac

x = a 0,y 0,= )(' )( +)(' )( j = 2

∈∀⋅−β

−⋅ jiihn

Pentru că i.i=1 şi i.j=0 în expresia de mai sus termenul al doilea este nul şi rămâne doar :

0)x(f)y(g0x

' ==

0)x(f)y(gax

' ==

a=xpentru- Deoarece i=n

Dacă se exprimă h cu relaţia (30) şi se ţine cont că pentru x=0, n=i, se obţine relaţia:

0 = )(' = (x)' 0 = x = ax xff

021021 =+−=+−=== axxxxxxxxxx

' xcosCkxksinCkxcosCkxksinCk)x(f

Deoarece g(y) ≠0, relaţiile anterioare se reduc la:

( ) [ ] 0, 0,= )(' )( +)(' )( j = 0 = 20 = axygxfxfygk

yc

y ∈∀⋅β

−⋅ jijhn

0=ypentruj Deoarece =n

Page 168: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

( ) ( ) [ ]axygxfx fygk

y = bc

y = b 0, 0,= )(' )( +)(')( j = 2

∈∀⋅−β

−⋅ jijhn

0 = )(' = )(' 0 = y = by ygyg

În expresia de mai sus primul termen este nul şi condiţia se reduce la:

0)x(f)y(g0y

' ==

Expresia de mai sus are primul termen este nul şi condiţia se reduce la:

0)x(f)y(gby

' ==

Deoarece f(x)≠0 relaţiile anterioare se reduc la:

043043 =+−=+−=== byyyyyyyyyy

' ykcosCkyksinCkykcosCkyksinCk)y(g

b=ypentruj- căPentru =n

0 = k C + aksin C- ; 0 = k C x2x1x2

0 =k C + bksin C- ; 0 = k C y4y3y4

0 = = 42 CC 0 = bksin C= aksin C y3x1

0 = C = C 31 nu poate fi acceptată – câmp identic nulSoluţia

NN n ,b n = k ; m ,

a m = k yx ∈π∈π

222c mn b

n +a m = k

π

π

axmcosC)x(f 1

π=

byncosC)y(g 3

π=

Ecuaţiile anterioare se reduc la următoarele:

Soluţiile celor două ecuaţii de mai sus sunt

Unde m şi n sunt numerele de mod

Page 169: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Se notează cu H0 intensitatea câmpului magnetic 031 HCC =

b

y n cos a

x m cos H = )y ,x(h 0zππ

x h

k j = h z2c

x ∂∂β−

by n cos

ax msin

a m

kj H = )y ,x(h 2

c0x

πππβ

y h

k j = h z2c

y ∂∂β

− by nsin

ax m cos

b n

kj H = )y ,x(h 2

c0y

πππβ

xhyyhx hZe hZe − = ; =

by nsin

ax m cos

b n

kj Z H = )y ,x(e 2

ch0x

πππβ

by n cos

ax msin

a m

kj Z H = )y ,x(e 2

ch0y

πππβ−

(57)

(56)

(59)

(58)

(55)

Aplicând relaţiile (31) şi (32) şi considerând γ=jβ

• Condiţia de propagare a undei este ca faza ei să fie de forma:

• Această formă se obţine numai dacă β este o mărime reală, nenulă, adică dacă

• Din punctul de vedere al propagării unui mod, ghidul se comportă ca un filtru trece sus. Se introduce noţiunea de frecvenţă critică ωc prin relaţia

22

0022

c mn20 mn b

n a

m = k k =

π

π

−µεω−β

zt β−ω

22

0022

c mn20 b

n + a m > ; k > k

π

π

µεω

22

002c mn

2c mn b

n + a

m = =k

π

π

µεω

00

1cµε

=22

c mnc mn b n +

a m c = c k =

π

π

ω

Page 170: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

Condiţia de propagare prin ghid a unei unde cu frecvenţa f :

• Modul TE, caracterizat de numerele naturale m şi n se numeşte mod TEmn sau undă Hmn.

• Se observă, analizând relaţiile (55)-(59), că pentru m=n=0 se anulează toate componentele de câmp, cu excepţia componentei hz. Deoarece un câmp magnetic variabil în timp implică existenţa unui câmp electric variabil în timp se poate concluziona că în GUD nu se poate propaga modul TE00.

• Cea mai scăzută frecvenţă critică se obţine pentru m=1 şi n=0 şi corespunde modului TE10

22

c mnc mn

c mn b n +

a m

2c = k

2c =

2 =f

ππω

c mnc mn002c00

2 f >f > > ωωµεωµεω

În domeniul de frecvenţe:

acf

ac < < 2

se poate propaga numai modul TE10. Ecartul de frecvenţă în care se propagă acest singur mod este de o octavă. Octava este un domeniu de frecvenţă cuprins între o frecvenţă şi dublul acesteia. De exemplu: între 1 KHz şi 2 KHz, între 1 MHz şi 2 MHz, între 10 GHz şi 20 GHz.

Page 171: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

b n +

a m

2 = k2 =

fc =

22c mnc mn

c mn

πλ

ac 2 = 10λ

bc 2 = 01λ

/2= = 1001 cc a λλ

/2= = 1020 cc a λλ

Lungimile de undă critice corespunzătoare primelor patru moduriîn GUDN sunt date de relaţiile:

c mn0 < λλ

Lungimea de undă în ghid a modulului TEmn, la frecvenţa f,ce satisface condiţia de propagare

2

c mn

02

c mn

0

2

0

c mn0

2c mn

20n m

g mn

1

2=

f f 1

=

=

k k 1k

2 =kk

2=2=

λλ

π

λ

π

πβ

πλ

2c mn

0g mn

ff 1

=

λλ 2

c mn

0

0g mn

1

=

λ

λ−

λλ (64)

Page 172: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

=

k k 1k

=kk j

j=Z2

0

c mn0

02c mn

20

0h mn

µω

µω

2c mn

0

02

c mn00

0

f f 1

1 =

f f 1

=

εµ

−µεω

µω

π=εµ 120 = Z

0

00 m

2c mn

2c mn

0mh mn

f f 1

120 =

f f 1

Z =Z

π

(65)

• Se poate observa, analizând relaţiile (64) şi (65), că atunci când frecvenţa f descreşte apropiindu-se indefinit de mult de fcmn, lungimea de undă în ghid, λgmn şi impedanţa de undă Zhmn tind spre infinit. În concluzie unda nu se propagă pentru f<fcmn.

• Componentele fazorilor câmpurilor E şi H pot fi scrise, atât pentru unda directă, cu indicele (+), cât şi pentru unda inversă, cu indicele (-), ţinând cont de relaţiile (44), (45) şi (55)−(59).

Page 173: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

z j 2c

0x e b

y n cos a

x msin a m

k jH = H β± πππβ

± m

z j 2c

0y e b

y nsin a

x m cos b n

k jH = H β± πππβ

± m

z j 0z e

by n cos

ax m cos H = H β± ππ m

(66)

z j 2c

h0y e b

y n cos a

x msin a m

k j ZH = E β± πππβ

− m

z j 2c

h0x e b

y nsin a

x m cos b n

k j ZH = E β± πππβ m

Modulul dominant, TE10

ax cosH= h 0z

π

Deoarece sunt cunoscute doar solicitările electrice maxim admise (nu şi cele magnetice), se face notaţia:

aYEHaZHE hh

j = j = 0000 βπ

⇒πβ

axaZ

ax

aa

Ze hhy sin j H sin j H = 020

ππβ

−=ππ

π

β−

axaH

ax

aa

Hhx sin j sin j = 020

ππβ

=ππ

π

β

Page 174: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

ax sin E = e 0y

π

ax sin Y E = h h0x

π−

ax cos

a j Y E = h h0z

πβ

π(68)

220 =

π

−βa

k

cc f ff 2<< ( )acff cc 2/ = = 10

Condiţia de propagare a modului TE10 :

e ax sin E =E z j

0yβ± π m

z j h0x e

ax sin YE = H β± π mm

z j h0z e

ax cos

a jY E = H β± π

βπ m

Componentele fazorilor câmpurilor E şi H din modul dominant sunt:

(71)

Page 175: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

Reprezentarea liniilor de forţă ale câmpurilor E şi H este posibilă numai fixând momentul de timp. La momentul de timp t=0 Expresiile (72) ale câmpurilor fizice sunt

Expresiile câmpurilor fizice ale undei directe se scriu considerând E0 real

( ) z -t cosax

sin E= 0y βωπ

E

( )

z - t cos ax sin Y E = h0x βω

πH

( )z - t sin ax cos

a Y E= h0z βω

πβπ

H

z cosax

sin E= 0y βπ

E

z cos ax

sin Y E = h0x βπ

H

z sin ax

cos a

Y E= h0z βπ

βπ

H (73)

Expresiile (73) nu sunt dependente de variabila y, deci componentele câmpului electromagnetic sunt constante pe axa Oy. Structura de câmp este periodică în lungul axei y cu perioada . Ea se deplasează în sensul pozitiv al axei z, cu viteza de fază vf

Page 177: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

1.Lungimea de undă în ghid, impedanţa de undă şi variaţia lor cu frecvenţa

20

20

010g

a f 2c 1

=

a 2 1

=

λ

λ

λλ

0

10gmo

210c

mo10h

Z =

ff 1

Z = Zλ

λ

• Se observă din relaţii că pe măsură ce frecvenţa creşte,

propagarea se apropie tot mai mult de cea din spaţiul liber şi unda din ghid are tot mai mult caracteristicile unei unde TEM.

ExempluFie un ghid dreptunghiular normal a=5cm. Să se determine

λ0 , λg şi Zh la frecvenţele de 3,5 GHz, 5,9 GHz şi10GHz.Frecvenţa critică a modului dominant este 3 GHz. Modul dominat se propagă singur în domeniul de frecvenţă

de la 3 la 6 GHz.

010g λ→λ mo10h Z Z →

Page 178: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

2. Viteza de fază şi viteza de grup

• Se reaminteşte că viteza de fază este, prin definiţie, viteza cu care ar trebui să se deplaseze un observator pentru a "vedea" aceeaşi fază a undei, adică:

βω

==dtdzv f

( ) ( )c

ff

c

kkkkkv

ccc

f > / 1

= / 1

=

= = 22

00 22

0−−

ω

ωβω

• Viteza de grup este viteza de propagare a energiei transportate de unda electromagnetică şi este egală cu viteza de propagare a amplitudinii undei.

• Pentru medii dispersive viteza de grup nu se identifică cu viteza de fază şi este dependentă de frecvenţă.

• Se consideră una dintre componentele campului electromagnetic modulată în amplitudine.

tcos)tcosm1(EE 0 ωω∆+=

•ω este pulsaţia semnalului purtător•Δω este pulsaţia semnalului modulator•m este gradul de modulaţie în amplitudineSe descompune oscilaţia în trei componente armonice :

( )[ ] ( )[ ]t cos2

m E +t cos2

m E+t cosE= E 000 ω∆+ωω∆−ωω

Page 179: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

• Se presupune că aceste oscilaţii se propagă în ghid. Cele trei armonici au frecvenţe diferite, ω, ω-Δω şi ω+Δω , deci şi constante de fază diferite, respectiv

β, β-Δβ şi β+Δβ.• Unda corespunzătoare este de forma:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] z t cos2

m E +

+ z t cos2

m E+ z t cosE= E

0

00

β∆+β−ω∆+ω

β∆−β−ω∆−ωβ−ω

Într-o formă sintetică se poate scrie:

( ) ( ) ( )z t cos z t cosm E + z t cosE=E 00 β∆−ω∆β−ωβ−ω

( )[ ] ( )z t cos z t cos m + 1E= E 0 β−ωβ∆−ω∆

• Viteza de grup este viteza de propagare a amplitudinii undei, adică a anvelopei de modulaţie.

• Viteza de grup este viteza cu care ar trebui să se deplaseze un observator astfel încat să se constate o fază constantă a semnalului cand cele trei componente ale undei modulate se suprapun. Anvelopa are faza

0 = zd td ⋅β∆−⋅ω∆

Relaţia anterioară este valabilă numai la limită când deviaţia de frecvenţă dω este infinit mică, respectiv la o variaţie infinit mică a constantei de fază dβ

β∆ω∆

→ω∆→ω∆

lim= dtdz = v

00

g

Page 180: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

• În concluzie, viteza de grup adică viteza de transport a informaţiei de către unda modulată cu deviaţia de frecvenţă dω este:

• Pentru propagarea undei prin GUD se derivează expresiaconstantei de fază în raport cu ω şi se obţine:

ωββω

/dd1 =

dd = gv

220 = ckk −β

( ) ( )200

200

002

002

00

/1

d

/1

d

d d

ffffk ccc −

ωµε=

−µεω

ωµεω=

−µεω

ωµεω≅β

( ) cffcv cg < / 1 = dd = 2−

βω

• Viteza de grup este mai mică decât viteza luminii, ceea ce este în conformitate cu teoria relativităţii.

Observaţii• 1.Se observă că atunci cândşi deci propagarea se apropie, şi din acest

motiv, de propagarea undei prin spaţiul liber.

• 2.Pentru ceea ce corespunde faptului că unda cu

frecvenţa fc nu se mai poate propaga prin ghid.

∞→ f cvg →

cff → 0 →gv

Page 181: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

3.Puterea transmisă prin ghidul de secţiune dreptunghiulară în modul dominant

( )

⋅×∫ ∫a b

xy yxP0 0

* d d Re 21 = kHE

( )

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

π−π

⋅×

π−

π ββ−

a bh

a bh

a

o

b

o

zh

z

yxaxYEyx

axYE

yxaxYE

axEP

0 0

20

0 0

22

0

j *0

j 0

d d 2

/ 2 cos 1 2

= d d sin 2

=

= d d e sin e sin e R 21 = kij

220

20 1

4

= 4

=

ff

ZEa b

ZEa bP c

moh

Puterea transportată de unda directă a modului dominat, prin secţiunea transversală a ghidului:

Se notează cu Pm puterea maximă ce poate fi transmisă prin ghid:

mom Z

Ea bP

4

= 2

0

(74)

2

1 =

ff

PP cm

Page 182: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Concluzii practice:

Din relaţia anterioară se observă că pentru:• f>fc adică în banda de trecere a ghidului, puterea este reprezentată

prin puterea activă transmisă de-a lungul ghidului• f=fc puterea se anulează• f<fc nu se transmite putere activă în GUD. Puterea este reactivă

Exemplu• Să se determine puterea maximă ce poate fi

transmisă printr-un ghid dreptunghiular normal cu dimensiunea a=5cm, ştiind că dielectricul interior este aerul uscat, care se străpunge la .

kV/cm 27 0 ≅strE

( ) MW 6 = W 10 6 10 27 377 42,5 5 = 623 ⋅≅⋅⋅

⋅⋅

mmP

( ) MW 4,8 = 3/5 110 6 = 26 −⋅mP

mo

20

m Z 4 E a b

= Pξ

• Dacă se depăşeşte acest nivel de putere apare o descărcare electrică în ghid, la x=a/2, acolo unde intensitatea câmpului este maximă.

• În instalaţiile tehnice nu se ia în considerare E0str de 27 kV/cm, ci se adoptă un coeficient de siguranţă ξ

Pentru un coeficient de siguranţă de 0,2 se obţine Pmm=240kW. La f =5GHz Pm =192kW.

Page 183: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

4) Curenţii de deplasare şi de conducţie superficială

zyd a

xEt

j = E = D

= J β−πεωεω

∂∂ j

000 esinjj

π/2j ej = şi π/2= βλ/4 densitatea Jd se poate scrie şi:

( ) ( )/4λ z jβ 00

2 βj00 esinesin g/z

d yd axE

axEJ −−π−− π

εωπ

εω j= j= j=J

Page 184: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

La momentul t=0 la z=3λg/4, curenţii de deplasare sunt de intensitate maximă şi de sens contrar axei Oy. Deplasând

structura de câmp electric cu λg/4 în sensul pozitiv al axei z se obţin liniile curentului de deplasare indicate în figura de mai jos .

Pe lângă curenţii de deplasare din dielectric, în pereţii conductori apar curenţi de conducţie superficială.

Fie o secţiune în peretele ghidului de undă S=ΔhΔl limitată de un contur închis C conform figurii de mai jos.

∫∫ ⋅⋅SABCD

Sd J = d H l

La suprafaţa unui mediu conductor componenta normală a campului magnetic este nulă, campul fiind tangenţial. În conductor datorită valorii mari a conductivităţii campul magnetic se atenuează rapid. Deci se poate considera campulmagnetic la adincimea de patrundere a curenţilor superficiali nul (HDC=0).

Page 185: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

Curenţii de conducţie superficială închid curenţii de deplasare din dielectric, adică formează curbe închise. Densitatea de curent superficial se măsoară în [A/m].

lJl h) (Jlim l H S0h∆=∆∆=∆⋅

→∆

HnJ = ×S

Pentru conturul ABCD, cu AB =∆l şi BC = ∆h, foarte mici, astfel încât H şi J să fie constante se poate scrie:

Deoarece curentul J este refulat spre suprafaţă şi el devine curent "superficial. Deci H=Js şi

Page 186: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

Moduri TE superioare în ghidurile de undă cu secţiunea dreptunghiulară

Particularizarea ecuaţiilor (66) permite calculul câmpurilor fizice E şi H ale oricărui mod TEmn.

Modurile TEmo se obţin din modul TE10 prin multiplicarea cu m pe axa Ox. De exemplu modul TE20 se obţine prin multiplicarea cu 2 pe axa Ox a structurii campului TE10:

zchzz

zhx

zx

zy

z

chy

axakYEH

axHH

axYEH

ax

aHH

axEE

ax

akZHE

j 2

00

j 0

j 2c

0

j 0

j 2o

e 2 cos 2

j = ; 2 cos =

e 2sin = ; e 2sin 2 k j =

e 2sin = ;e 2sin 2 j =

β−

β−β−

β−β−

πβπ

π

π−

ππβ

πππβ−

Cu E0 real, la momentul t=0 expresiile câmpurilor fizice sunt :

zsa

xakYE

;zca

xYE;za

xE

chz

hxy

in 2cos 2

=H

os 2 sin = cos 2sin =

2

0

00HE

βπ

βπ

βπ

−βπ

Page 188: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

Moduri TM în ghidurile de undă cu secţiune dreptunghiulară

Modurile TM au funcţia de repartiţie şi hz=0. În ecuaţiile campului se substituie hz=0 şi se determină ez

(x,y) unica componentă a campului diferită de zero în direcţia de propagare, din ecuaţia:

0 = ) ,( +

) ,( +

) ,( 2

2

2

2

2

yxeky

yxex

yxezc

zz

∂∂

∂∂

(78)

0 ≠ze

)( )( = ) ,( ygxfyxez

care introdusă în (78) conduce, după împărţirea cu f(x)g(y)

0 = d

)(d )(

1 + x

)( )(

12

2

2

2

yyg

ygdxfd

xf

22

22

2

2

= d

)( d )(

1 ; = d

)( d )(

1yx k

yyg

ygk

xxf

xf−−

222 = + cyx kkk

Soluţiile ecuaţiilor (79) sunt de forma:

ykCykCygx kCxkCxf yyxx sin + cos = )( ; sin + cos = )( 4321

( )( )ykCykCxkCxkCyxe yyxxz sin + cos sin + cos = ) ,( 4321

Page 189: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

Se impun condiţiile la limită la pereţii ghidului. Pentru x=0, ez(0,y)=0 în calitate de componentă electrică tangenţială la suprafaţa conductorului ideal:

[ ] 0 = 0, , 0 = )( = ) (0, 11 CbyygCyez ⇒∈∀

0 = ] [0, , 0 = )( = 0) ,( 33 CaxxfCxez ⇒∈∀

Pentru y=0, ez(x,0)=0 în calitate de componentă electrică tangenţială la suprafaţa conductorului ideal:

yksin xksin E = )y ,x(e yx0z

Impunând condiţia la limită pentru x=a şi y=b se obţin

[ ] 0 = sin 0, 0 = sin sin = ) ,( 0 akby yk akEyae xyxz ⇒∈∀

[ ] 0 = sin 0, 0 = sin sin = ) ,( 0 bkax bk xkEbxe yyxz ⇒∈∀

N N n , b n = k ; m ,

a m = k yx ∈

π∈

π

b n +

a m = k

222c mn

π

π

b

y nsin a

x msin E = )y,x( e 0zππ

(81)

Pentru γ=jβ şi ez dat de (81) rezultă:

∂∂

∂∂β

− y e j+

x e i

k j = e j + e i zz

2c

yx

by nsin

ax m cos

am

k jE = )y ,x(e 2

c0x

πππβ−

byn

axm

bkEyxe

cy

cos

sin

n

j = ) ,( 20

πππβ−

Page 190: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

by n cos

ax msin

bn

k jY E = )y ,x(h 2

ce 0x

πππβ

byn

axm

am

kYEyxh

ce y

sin

cos

j = ) ,( 20

πππβ−

b

n a

mμ = k k = 22

oo22

mn c2omn

π

π

−εω−β

bn

am

2c =c = f ; f > f

22

c mnc mnc mn

+

λ

2c mn

0g mn

ff 1

=

λλ

f

f1

Y=

f

f1 με

=k k

= j j=Y

2c mn

mo2

c mn00

02c mn

20

00e mn

−ω

εω

εωβεω

( )2c mnm oe mn f/f 1 Z = Z −

Page 191: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

15

z j 2c

0x e b

y nsin a

x m cos a

m k jE = E β± πππβ

− m

z j 2c

0y e b

y n cos a

x msin b

n k jE = E β± πππβ

− m

z j 0z e

by nsin

ax msin E = E β± ππ± m

z j 2c

e0x e b

y n cos a

x msin b n

k j YE = H β± πππβ

± m

z j 2c

e0y e b

y nsin a

x m cos a m

k jYE = H β± πππβ mm

Modul dominant TM11

În cazul modurilor TM nici unul din numerele de mod nu poate fi nul, după cum rezultă analizând relaţiile ce permit calculul componentelor câmpurilor E şi H. Modul cu cea mai mică frecvenţă este TM11

5 2

= 4 + 1 2

= 1 + 1 2

= 222211 ac

aac

bacfc

( )

sin sin cos=

sin sin cos

20

20

zby

ax

akE

ztby

ax

akE

cx

cx

βπππβ

β−ωπππβ=

E

E

Page 192: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

16

( )

sin cos sin=

sin cos sin=

20

20

zby

ax

kE

ztby

ax

bkE

cy

c y

βππβ

β−ωπππβ

E

E

( )

cos sin sin =

cos sin sin =

0

0

zby

axE

ztby

axE

z

z

βππ

β−ωππ

E

E

( )

sin cos sin=

sin cos sin=

20

20

zby

ax

bkYE

ztby

ax

bkYE

cex

cex

βπππβ

β−ωπππβ

H

H

( )

sin sin cos=

sin sin cos=

20

20

zby

ax

akYE

ztby

ax

akYE

cey

cey

βπππβ

β−ωπππβ

H

H

Page 193: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

17

Ghidul de undă coaxial• Este un ghid cu două

conductoare distincte, motiv pentru care poate propaga modul transversal electric şi magnetic, TEM.

• Ghidul coaxial sau linia coaxială sunt de fapt identice.

• Atunci când tratăm coaxialul ca şi ghid de undă, urmărim determinarea componentelor câmpului electro-magnetic din dielectric.

• Se consideră dielectricul din ghid omogen şi cu constanta dielectrică εr.

• Nu se ţine cont de proprietăţile magnetice ale dielectriculuiμ=μ0

Ghidul coaxial

φ 2b

z

x

y

V0

φ 2a

Modul TEM în ghidul coaxial

Operatorii divergenţa şi Laplace pot fi exprimaţi şi în coordonate cilindrice:

ϕ∂∂

∂∂

∇∂∂

∇∂∂

ϕ∂∂

∂∂

∇ ϕϕ 1 +

= ;

+ =

+

1 +

=

rrzzrr rttr aakkaa

2

22

2

2

2

2

22

22

+ =

+

1+

1+

=

zzrrrrt

∂∇

ϕ∂

∂∂∂

∂∇

2

2

22

22

1+

1+

=

ϕ∂

∂∂∂

∂∇

rrrrt

Page 194: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

18

Se caută o soluţie a câmpului electromagnetic având ambele funcţii de repartiţie longitudinală nule ez=0, hz=0

În conformitate cu relaţia (33)

zt hμ ω j = −×∇ e

0 = e×∇ t

Deoarece rotorul unui gradient este nul câmpul transversal poate fi exprimat ca şi gradientul unei funcţii potenţial Φ(r,φ)

Φ∇− = te (90)

Se introduce relaţia (90) în ecuaţia undei (24) se obţine:

( ) ( ) 0 = Φ + Φ 0 = + 2222tcttc kkt ∇−∇−∇⇒∇ ee

Operatorii şi sunt liniari şi deci, succesiunea în care se

aplică poate fi schimbată

2t∇ t∇

( ) ( ) ( ) 0 = Φ + Φ 0 = Φ + Φ 2222ctctt kk tt ∇∇⇒∇∇∇

Deoarece zt e j = β⋅∇ e

( ) 0 = Φ 0 = ttt ∇−⋅∇⇒⋅∇ e

(91)

(92)0 = 2Φ∇ t

Introducând rezultatul obţinut în (91) se obţine:

( ) 0 = 2Φ∇ ct k

ceea ce înseamnă că funcţia kc2Φ(r,φ) este o constantă

Page 195: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

19

Funcţia de repartiţie Φ(r,φ) nu poate fi o constantă deoarece s-ar

reduce la zero câmpul E şi singura soluţie posibilă este

0 = 2ck 0 = = = 2

0022 22 β−εµεωβ− rc kk (93)

kk rr = = = 000 εεµεωβ

S-a considerat numai soluţia cu semnul "+", cealaltă soluţie cu semnalul "–", corespunzând undei inverse. Valoarea nulă a numărului de undă critic conduce la valoarea nulă a frecvenţei critice :

0 = 2

= cc kcfπ

(94)

(95)

Valoarea deosebită a ghidului coaxial (şi a ghidurilor cu două conductoare în general) este că poate propaga unde electromagnetice cu orice frecvenţă f>0, ca şi spaţiul liber

Câmpul radial nu depinde de φ ci doar de r , astfel încât funcţia potenţial nu depinde de , ci doar de r:

Φ(r,φ)= Φ(r) Relaţia (92), scrisă în coordonate cilindrice, cu operatorul identic nul

ϕ∂∂

0 = d

)( d + d

)( d 0 = d

)( d 1 +

d)( d

2

2

2

2

rr

rrr

rr

rrr ΦΦ

⇒ΦΦ

0 = d

)( d dd

Φ

rrr

r

Derivata unei constante este nulă, deci:

rC =

r d)r( dsau C =

r d)r( d r 1

1ΦΦ (96)

Page 196: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

20

Dacă se integrează relaţia anterioară (96) se obţine:

21 + ln = )( CrCrΦ

Conductorul exterior, de rază r=a, este conectat la masă, deci potenţialul său este nul. Se notează cu V0 potenţialul conductorului interior, de rază r=b. Punând aceste condiţii la limită în soluţia (96), obţinem sistemul de ecuaţii ce permite calculul constantelor C1 şi C2:

0 = + ln = )( 21 CaCaΦ

021 = + ln = )( VCbCbΦ

Soluţiile sistemului sunt:

ab

aVC

ab

VC

ln

ln = ;

ln = 0

20

1 −

Relaţia (90) se poate pune sub forma:

abar

Vrln

ln = )( 0Φ

0 d

)( Φ d = + r r ⋅−− ϕϕϕ a aaar

reer

din care se deduce că eφ=0

bar

V

abr

Vr

Cr

rerln

1 = ln

1 = = d

)( d = 001 −−Φ

− (98)

În coordonate cilindrice relaţia (87) se poate scrie sub forma:

hr

r Zhe

he

= j = = γ

µω− ϕ

ϕ

Page 197: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

21

mo0

0

00

0

0

00 1 = 1 =

=

= j j

= Zkh

e

rrrr

r

εε

µ

εεµεω

µω

ε

µω

β

µω

ϕ

bar

VYh r

ln 1 = 0

moεϕ

Componentele câmpurilor E şi H din unda directă şi din unda inversă sunt:

e ln

ε = ; e

ln = 00 ε j mo0 ε j 0 zkrrzkr

rr

bar

YV

bar

V mmϕ

±ϕ

± ± aHaE

(99)

(100)

Câmpurile fizice ale undei directe sunt date de expresiile:

( )zkt

bar

Vr r cos

ln = 0

0 ε−ωE

( )zkt

bar

YVr

mo cos ln

= 00 ε−ωϕH

Er

x

y

Repartiţia câmpului din coaxial, în modul TEM

0 = t

/2 = gz λ

În figura sunt reprezentate liniile de forţă ale celor două câmpuri la momentul t=0 şi z=λg/2

şi

Page 198: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

22

• Prin conductorul interior, respectiv exterior, circulă curenţi de radiofrecvenţă, refulaţi la suprafaţa conductorilor la r=a respectiv r=b . Sensul lor este evident opus, aşa cum este cazul celor doi conductori ai liniei de transmisiune.

• Densitatea de curent superficial, pentru conductorul interior, la r=beste:

zkrr

zkrrrsb

bab

YVbab

YVb

0

0

j mo0

j mo0

e ln

=

eln

=)(=

ε−

ε−ϕϕ

ε

ε××

k

aaHnJ

Hϕ(b)

µ = µo

Jsb b

Curentul superficial din conductorul interior

zrrzkrr

ba

YVb

bab

YV k j mo02

0

j mo0 00 e ln

2 = d e

ln = (z)I ε−

πε−+ επ

ϕε

zkrV j 0

0e = (z) U ε−+

ln 138 22ln 138 ln 60 = ln

2 =

(z)I(z)U =

dD

ba

ba

baZ

Zrrrr

moc ε

≅εεπ+

+

Integrand Jsb pe conturul conductorului de rază b se obţine unda de curent directă

Page 199: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

23

( ) 20

rmoa

b

2

0 2

rmo2

0a

b

2

0

*re V

baln

Y 2

21 == dr d

ba ln r

YV

21 = d r d r k H E R

21 = P

επϕ

ε

ϕ⋅× ∫ ∫∫ ∫ππ

ϕ

cZ

VP

2

0

21 =

rg

rg k ε

λλλ

επ

βπ

λλ 0

0

= = ; 2 = 2 = =

Page 200: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

1

Cursul 14Comportarea ghidurilor sub frecvenţa critică

1fff2 1

kkk = k k =

2

0

c00

2

0

cc

20

2c α=−

µεπ=−

−γ

1ffc >Dacă

Dintre cele două soluţii posibile doar cea cu "+" este admisă, pentru că unda scade cu distanţa faţă de locul de excitare. Fazorii câmpului au ca factor e-αz , o mărime reală şi faza câmpurilor fizice va fi ωt=2πft şi nu ωt-βz. Deci toate punctele considerate în lungul axei z vor fi în aceeaşi fază de oscilaţie la un moment dat.

tjzyy eeeE ω−α−= t cosee= t-

yy ωαE

Page 201: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

2

Dacă se introduce o antenă în câmp la o distanţă faţă de sursă în ea se induce o tensiune electromotoare, invers proporţională cu distanţa (deoarece campul este variabil în timp).

Dacă fc>>f raportul fc/f>>1 şi constanta de atenuare devine independentă de frecvenţă

ff

cfπ2α c.≅

Pe acest principiu se construiesc atenuatoarele subcritice, ca cel reprezentat în figură. El este format din 2 ghiduri coaxiale şi o porţiune circulară, de lungime variabilă.

Dacă se alege diametrul ghidului cilindric astfel încat frecvenţa sa critică să fie mult mai mare decat cea mai mare frecvenţă de lucru se obţine un atenuator subcritic liniar, deoarece

π2

0

ceEE −

=

[ ] elogzλπ2

EE

log20dBAc0

=−=

Atenuator subcritic

Page 202: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

3

De exemplu, dacă se alege fc a modului TM01 ce se excită în ghidul cilindric

şi se lucrează la o frecvenţă maximă de 2GHz, se poate obţine un atenuator liniar. Raza ghidului cilindric se obţine .

Atenuatoarele subcritice nu disipă puterea undei incidente, ci doar o reflectă, motiv ptr. care se numesc atenuatoare de reflexie.

GHz 20 fc ≥

cm6,320/405,2.30a =≥

Dispozitive pasive reciproce pentru microunde

Dispozitivele reciproce sunt cele pentru care sensul de circulaţie al puterii este indiferent, adică ele pot transmite putere în ambele sensuri:

• -excită câmp electromagnetic • -extrag energia

La interconectarea (excitarea) ghidurilor de undă de diferite tipuri se respectă două principii:

• -se utilizează un excitator ce produce un câmp electric (sau magnetic) într-o secţiune transversală a ghidului astfel încât liniile de câmp să coincidă ca direcţie cu cele ale modului dorit;

• -excitatorul generează în pereţii ghidului curenţi având o distribuţie şi o direcţie identică cu a curenţilor generaţi de unda ce se propagă în modul dorit

Page 203: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

4

Pentru excitarea ghidurilor de undă se pot utiliza• cuplajul capacitiv• cuplajul magnetic- inductiv• cuplajul prin fante de cuplaj

Cuplajul capacitiv

zcos axsinE=

0y βπE

Page 204: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

5

Dimensionarea cuplajului capacitiv

Conductorul central al coaxialului este amplasat la x=a/2 , deoarece ptr. modul TE10 câmpul electric Ey este acolo maxim şi are adâncime de pătrundere d<b.

• Cuplajul se amplasează într-un maxim şi de-a lungul axei z, astfel încat faţă de scurtcircuit să avem

)1n2(l g+=

zcos axsinE=

0y βπE

Din punctul de vedere al ansambului generator cablu coaxial, radiaţia de putere a antenei poate fi echivalată cu disiparea de putere într-o rezistenţă R0. Se poate demonstra că rezistenţa de radiaţie văzută la capătul coaxialului, echivalentă ansamblului antenă ghid este:

Se poate demonstra că rezistenţa de radiaţie văzută la capătul coaxialului, echivalentă ansamblului antenă ghid este:

2dktg)l(sin

abkZ2R o22

20

h0 β=

Pgen

Prad

Prefl Pgen

Prad= Pdis

Prefl

R0

Page 205: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

6

Se impune R0 la frecvenţa de lucru, astfel încât să se realizeze adaptarea rezistenţei de radiaţie cu cablul coaxial R0=Zc, adică cu impedanţa caracteristică a coaxialului.

Pentru a avea adaptare de putere şi la celălalt capăt al coaxialului ar trebui să se îndeplinească şi condiţia Zg=Zc.

În aceste condiţii puterea reflectată este nulă şi toată puterea generatorului este radiată înspre ghid.

Fiind alese R0 şi poziţia l în lungul ghidului se determină din expresia lui R0 adâncimea de pătrundere d a firului central al coaxialului

• Dacă se modifică frecvenţa generatorului se modifică k0, Zh şi deci R0 se îndepăr-tează de condiţia de adaptare, deoarece sinβl devine diferit de valoarea 1.

• Coeficientul de reflexie devine:

• Dacă se cunoaşte puterea radiată în ghid se poate determina amplitudinea câmpului electric din relaţia

c0

c0

ZRZRΓ

+−

=

220

20 1

4

= 4

=

ff

ZEa b

ZEa bP c

moh

Page 206: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

7

Expresiile câmpului electromagnetic în ghid ptr. undele directe cu funcţiile de repartiţie ale modului TE10

ax sin E = e 0y

π

ax sin Y E = h h0x

π−

ax cos

a j Y E = h h0z

πβ

π

Realizarea adaptării într-o bandă mai largă prin utilizarea a 2 pistoane de scurtcircuitare

Page 207: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

8

Dezavantajul major al acestor cuplaje este că produc intensificări locale ale câmpului electric, în special între vârful cuplajului şi peretele opus. La puteri mari aceasta creşte riscul conturnării.

De aceea se utilizează o formă rotunjită, ca o ciupercă sau ca un papuc.

Pgen

Prad

Prefl

Pentru excitarea unor moduri superioare se utilizează grupuri de excitatoare alimentate corespunzător ca fază, ca exemplul din figura de mai jos, pentru modul TE20.

Page 208: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

9

Cuplajul magnetic• Riscul intensificării câmpului electric la puteri mari şi

spaţii mici poate fi evitat prin utilizarea unor cuplaje inductive, sub forma unor semispire de dimensiuni neglijabile, amplasate acolo unde liniile câmpului magnetic ptr. un anume mod sunt maxime.

• Pentru TE10 cuplajul inductiv este amplasat ca în figură la x=a/2, y=b/2 şi z=0.

Cuplajul inductiv • nu poate asigura impedanţe mari şi deci adaptarea sa la

cablu coaxial este dificilă. • nu se poate regla ca dimensiuni în vederea adaptării

într-o bandă largă.

Astfel de cuplaje se folosesc la magnetroane ptr. extragerea energiei.

Page 209: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

10

Cuplajul prin fantă de cuplaj

n00ne Er32EP ε=α= tg

30tgm Hr

34HM −=α−=

O fantă de cuplaj de dimensiune r0 <<λg<λ0 se poate echivala cu un dipol electric de moment electric P şi un dipol magnetic de moment magnetic M, date de relaţiile următoare:

Momentul electric P radiază un camp electromagnetic ca o antenă de tip vergea, adică radiaţia dipolului electric este omnidirecţională.

La o anumită distanţă, intensitatea câmpului electric este aceeaşi, indiferent de direcţie.

Fanta circulară se comportă ca un ghid circular exploatat subcritic. Pentru a nu se introduce atenuări mari este necesar ca grosimea t<<λ0.

Page 210: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

11

Ghiduri cuplate prin fantă circulară şi schema lor echivalentă; Y este admitanţa fantei

β−≅ 3

0r8ab3jY

Cuplarea unei cavităţi rezonante printr-o fantă de cuplaj

Page 211: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

12

Cuploareformate din alăturarea a 2 ghiduri, unul prin care se injectează semnal, numit principal şi altul prin care se extrage semnal, numit secundar. Cele două ghiduri sunt cuplate prin fante de cuplaj

i

cd

PP

C =[ ]

i

cd

PPlog10dBC −=

[ ]ci

cd

PPlog10dBD =

ci

cd

PP

D =

i

tt P

PA = [ ]

i

tt P

Plog10dBA −=

[ ] DCPPlog10

PPlog10dBI

ci

cd

i

cd +=+−=

ci

i

PP

I =

Parametrii cuplorului

Page 212: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

13

Cuplorul-dispozitiv reciprocDacă se injectează semnal în portul 2, portul 4

devine port cuplat direct şi portul 3 devine port cuplat invers

Cuploare: • direcţionale – extrag energia într-un singur sens• bidirecţionale – extrag energia în ambele direcţii-

utilizate în radare şi sisteme de comunicaţii

Cuplorul ideal are • D=∞, Pci=0 ptr. toate frecvenţele• C, D, At constante într-o bandă cat mai largă de

frecvenţe

În funcţie de numărul şi forma fantelor de cuplaj există cuploare:

• Cu o fantă circulară (numit cuplor Bethe)• Cu 2 fante cap cruce (numit şi cuplor Moreno)• Cu fante multiple circulare • Cu fante de dimensiune λ/2• Implementate cu liniii microstrip

Page 213: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

14

Cuplorul direcţional

Unda incidentă într-un cuplor destinat să eşantioneze undele incidente

Unda reflectată într-un cuplor destinat să eşantioneze undele reflectate

Page 214: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

15

Unda reflectată într-un cuplor direcţional

Cuplor bidirecţional

Page 215: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

16

Cuplorul Bethe

adπsinjEE 0n =

+−=

adπcos

aπjk

adπsiniEH 0tg

+++ +=21

CCC

−−− += 21 CCC

0C =+ 0C ≠−

Efectul de directivitate se obţine în două condiţii :

Sau0C ≠+ 0C =−

10c10cf2ff ≤<

10cf32f ≥

Cuplorul Bethe

2

20

30

2K

3r4

ba20C

β+θ⋅

⋅⋅

⋅β

−= coslog

2

20

2

20

2K2K

20D

β−θ

β+θ

=cos

coslog

O versiune a cuplorului Bethe ptr. care se obţine directivitatea de orice tip, este cel care are axele rotite la unghiul θ şi fanta de cuplaj la x=a/2. Rotirea nu afectează polarizabilitatea electrică ci doar momentul magnetic.

Page 216: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

17

Exemple de cuploare

Model 58x2-E Dual Flanged

Model 58x4-N Quad Non-Flanged

General Specifications:

• Frequency:2 - 250 MHz• Coupling Range:40 - 55 dB; other values by request• Directivity:30 dB standard; 40 dB available by request• Typical VSWR:1.05 : 1• Output:RF standard; Average power DC and peak

power DC available by request• Loads:included in RF couplers

Page 217: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

18

Cuplor în tehnologie microstrip

Diafragama inductivă (A)

Diafragama capacitivă (B)

0

adπsin

11aλ

B2

gl <

−=

b2dπsin

1lnλb4B

2gC =

Page 218: hermes.etc.upt.rohermes.etc.upt.ro/teaching/tfi/tfi_prezentari.pdf · 1 Tehnica frecvencelor înalte se refer la studiul _i aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare

19

Fereastra rezonantă (C)

20

20

a21

1ba

a21

1ba

λ−

=

λ−

'

'

'

Dacă este îndeplinită condiţia

∞=ech

Z

FIGURE 6.14 Discontinuities. Waveguide discontinuities:(a) capacitive E-plane discontinuity, (b) inductiveH-plane discontinuity, (c) symmetrical inductive H-plane discontinuity, (d) inductive post discontinuity, (e) resonant

window discontinuity, (f) capacitive post discontinuity, (g) diode post mount, and (h) quarter-wave impedancetransformer; microstrip discontinuities: (i) quarter-wave impedance transformer, (j) open microstrip stub, (k) step,

(l) notch, (m) gap, (n) crossover, and (o) bend.