1

Funcția arccosinus Funcția : 1;1f , ( ) cosf x x este o funcție periodică de

perioadă principală 0 2T . Din acest motiv , studiul proprietăților acestei funcții se va reduce la un interval de lungime 0T , de exemplu

0,2 .

Principalele valori ale funcției cosinus pe 0,2

Cadranul I

x 0 0 306 45

4 60

3 90

2

( ) cosf x x 1 32

22

12

0

Cadranul II

x 2 1203 3 135

4 5 150

6 180

( ) cosf x x 12

22

32

1

Cadranul III

x 7 2106 5 225

4 4 240

3 3 270

2

( ) cosf x x 32

22

12

0

Cadranul IV

x 5 3003 7 315

4 11 330

6

2 360

( ) cosf x x 12

22

32

1

2

Reprezentarea grafică a funcției : 0,2 1;1f , cosf x x

Reprezentarea grafică a funcției : 1;1f , cosf x x

Funcția : 1;1f , cosf x x nu este inversabilă . Vom

considera restricția funcției f la intervalul 0, cu valori în 1,1

pe care o notăm tot cu : 0, 1,1f , cosf x x

Tabelul de valori

x 0 6

4

3

2 2

3 3

4 5

6

cosx 1 32

22

12 0 1

2 2

2 3

2 1

Reprezentarea grafică

Se observă că orice paralelă 1,1y m , dusă printr-un punct

al codomeniului la axa Ox intersectează graficul în exact un punct , ceea ce arată că funcția este bijectivă .

3

Prin urmare această funcție este inversabilă . Inversa ei este funcția arccos : 1,1 0, definită prin arccos 0,y x ⇔

cos 1,1x y

Tabelul de valori

x 1 32

22

12

0 12

22

32

1

arccosx 56 3

4 2

3

2

3

4

6 0

1. Reprezentarea grafică

2. Intersecția cu axele : arccos (1,0)G Ox A ; arccos 0,2

G Oy B

3. Ecuația arccos 0x ⇔ 1x ; 4. Paritate : funcția arccos : 1,1 0, nu este nici pară , nici

impară . Are loc formula arccos( ) arccosx x , ( ) 1,1x

5. Simetria graficului : arccosG este simetric în raport cu 0,2

B

⇔ arccos(0 ) arccos(0 )2 2

x x , ( ) 1,1x

6. Monotonie : arccos pe 1,1 ⇔ 1 2( ) , 1,1x x , 1 2x x ⇨

1 2arccos arccosx x 7. Semnul funcției : ( ) 1,1x ⇨ arccos 0x ⇨ arccosG este

situat deasupra axa Ox ; 8. Concavitate/convexitate : arccos este convexă pe 1,0 ⇔

1 1 2 2 1 1 2 2arccos( ) arccos arccosq x q x q x q x , 1 2( ) , 1,0x x ,

4

1 2( ) , 0q q , 1 2 1q q ; definiția lui Jensen ⇨

1 2 1 2arccos arccosarccos2 2

x x x x

, 1 2( ) , 1,0x x ;

arccos este concavă pe 0,1 ⇔

1 1 2 2 1 1 2 2arccos( ) arccos arccosq x q x q x q x , 1 2( ) , 0,1x x ,

1 2( ) , 0q q , 1 2 1q q ; definiția lui Jensen ⇨

1 2 1 2arccos arccosarccos2 2

x x x x

, 1 2( ) , 0,1x x ;

0x este un punct de inflexiune pentru funcţia arccos adică punctul în care funcţia “trece” din convexă în concavă . 8.Bijectivitate : Funcţia arccos : 1,1 0, este bijectivă

deoarece orice paralelă la axa Ox dusă printr-un punct 0,y

“taie” graficul funcţiei într-un singur punct . 9.Inversabilitate : Deoarece funcţia este bijectivă ⇨ este inversabilă iar inversa ei este funcţia cos : 0, 1,1

cos(arccos )x x , ( ) 1,1x

arccos(cos )x x , ( ) 0,x

arcsin arccos2

x x , ( ) 1,1x

5

Exerciții

1) Determinați domeniul maxim D de definiție pentru funcția :f D , arccos 2 1f x x ;

2) Să se calculeze 1 1arcsin arccos3 3 ;

3) Să se arate că arcsin arccos2

x x , 1,1x

4) Să se arate că dacă 0,1x atunci 2arcsin arccos 1x x

5) Să se calculeze arccos cos5

6) Determinați domeniul maxim de definiție D pentru funcția :f D , în cazurile : a) arccos 1 2f x x ;

b) arccos2 1xf xx

; c) 2arccos 2f x x x ;

7) Să se calculeze : a) arccos 1 ; b) 1arccos2

; c) arccos0 ;

d) 3arccos2

; e) arccos1 ;

8) Să se arate că : a) arccos cos9 9 2 ;

b) arccos cos6 2 6 ; c) 3 1arccos arccos7 3 ;

d) 1 2arccos arccos2 3

;

e)

3 2arccos arccos3 2 2 2arccos4 2

;

6

Exerciții

1) Determinați domeniul maxim D de definiție pentru funcția :f D , arccos 2 1f x x ;

soluție arccos : 1,1 0, ⇨ 2 1 1,1x ⇔ 1 2 1 1x 1 ⇨

0 2 2x : 2 ⇨ 0 1x ⇨ 0,1D ∎

7

2) Să se calculeze 1 1arcsin arccos3 3 ;

soluție

Notăm 1 1arcsin arccos3 3

⇨ 1 1sin sin arcsin arccos3 3

1 1 1 1sin arcsin cos arccos cos arcsin sin arccos3 3 3 3

(*)

sin(arcsin )x x , ( ) 1,1x

⇨ 1 1sin arcsin3 3

cos(arccos )x x , ( ) 1,1x

⇨ 1 1cos arccos3 3

1cos arcsin ?3

1arcsin3

a ⇔ 1sin3

a

2 2sin cos 1a a ⇔ 2

21 cos 13

a

⇔ 2 1cos 1

9a ⇔ 2 8cos

9a

⇨ 2 2cos3

a (1)

Dacă 0,1x ⇨ arcsin 0x ⇔ arcsin 0,2

x

1 0,13

⇨ 1arcsin 0,3 2

⇔ 0,2

a

⇔cos 0a (2)

(1),(2) ⇨ 2 2cos3

a ⇔ 1 2 2cos arcsin3 3

8

1sin arccos ?3

Notăm 1arccos3

b ⇔ 1cos3

b

2 2sin cos 1b b ⇔ 2

2 1sin 13

b

⇔ 2 1sin 19

b ⇔ 2 8sin9

b ⇔

2 2sin3

b (1)

arccos : 1,1 0,

Dacă 1,0x ⇨ arccos ,2

x

iar dacă 0,1x ⇨

arccos 0,2

x

1 0,13

⇨ 1arccos 0,3 2

⇔ 0,2

b

⇨ sin 0b (2)

(1),(2)⇨ 2 2sin3

b ⇔ 1 2 2sin arccos3 3

(*)⇨ 1 1 2 2 2 2sin3 3 3 3

⇔ 1 8sin9

⇔sin 1 ⇔

arcsin12 ∎

9

3) Să se arate că arcsin arccos2

x x , 1,1x

soluție

Fie 0,1x ⇨ arcsin 0,2

x

și arccos 0,2

x

Notăm arcsin arccosx x ⇨ sin sin(arcsin arccos )x x

sin(arcsin ) cos(arccos ) cos(arcsin ) sin(arccos )x x x x (*) sin(arcsin )x x , ( ) 1,1x

cos(arccos )x x , ( ) 1,1x

cos(arcsin ) ?x

Notăm arcsin 0,2

x a

⇨ sin 0,1a x

2 2sin cos 1a a ⇔ 2 2cos 1x a ⇔ 2 2cos 1a x ⇨ 2cos 1a x

0,2

a

⇨cos 0a

⇨ 2cos 1a x ⇨ 2cos(arcsin ) 1x x sin(arccos ) ?x

Notăm arccos 0,2

x b

⇨cos 0,1b x

2 2sin cos 1b b ⇔ 2 2sin 1b x ⇔ 2 2sin 1b x ⇨ 2sin 1b x

0,2

b

⇨ sin 0b

2sin 1b x ⇨ 2sin(arccos ) 1x x (*) ⇨ 2 2sin 1 1x x x x ⇔ 2 2sin 1x x ⇔sin 1 ⇔

10

⇔ arcsin12 ⇨ arcsin arccos

2x x , ( ) 0,1x (1)

Dacă 1,0x ⇔ 1 0x ( 1) ⇨1 0x ⇔ 0,1x

Putem folosi deci demonstrația anterioară pentru că am demonstrat egalitatea pentru valori din intervalul 0,1

⇨ arcsin( ) arccos( )2

x x

arcsin( ) arcsinx x , ( ) 1,1x

arccos( ) arccosx x , ( ) 1,1x

⇨ arcsin arccos2

x x ⇔ arcsin arccos2

x x ⇔

arcsin arccos2

x x ( 1) ⇨ arcsin arccos

2x x ,

( ) 1,0x (2)

(1),(2)⇨arcsin arccos2

x x , ( ) 1,1x ∎

=>

11

4) Să se arate că dacă 0,1x atunci 2arcsin arccos 1x x

soluție

Dacă 0,1x ⇨ arcsin 0,2

x

Notăm arcsin 0,2

x a

⇔sin 0,1a x

2 2sin cos 1a a ⇔ 2 2cos 1x a ⇔ 2 2cos 1a x ⇔ 2cos 1a x

0,2

a

⇨cos 0a

⇨ 2cos 1a x ⇔ 2arccos 1a x ⇔ 2arcsin arccos 1x x ∎

12

5) Să se calculeze arccos(cos5) ; soluție arccos(cos )x x , ( ) 0,x

5 0, deci nu putem aplica formula pentru 5x .

Vom face o reducere la intervalul 0,

5 2 ⇨0 5 ⇨ arccos(cos(5 )) 5

cos(5 ) cos5 cos sin5 sin cos5 ( 1) sin 0 cos5

arccos( cos5) 5 ⇔ arccos(cos5) 5 ⇔

arccos(cos5) 2 5 ∎

=>

=>

13

6) Determinați domeniul maxim de definiție D pentru funcția :f D , în cazurile : a) arccos 1 2f x x ;

soluție arccos : 1,1 0, ⇨ 1 2 1,1x ⇔ 1 1 2 1x 1 ⇨2 2 0x : ( 2) ⇨1 0x ⇨ 0,1D ∎

14

b) arccos2 1

xf xx

;

soluție

arccos : 1,1 0, ⇨ 1,12 1xx

⇔ 1 1

2 1xx

⇔

12 1xx

(1) și 12 1xx

(2)

(1)⇔ 12 1xx

⇔ 2 1)0 12 1

xxx

⇔ 2 1 02 1

x xx

⇔ 3 1 02 1xx

3 1 0x ⇔3 1x : 3⇔ 13

x

2 1 0x ⇔2 1x : 2⇔ 12

x

x 12

13

3 1x 0 3a 2 1x 0 2a 3 12 1xx

/ 0

3 1 02 1xx

⇔ 11 1; ;2 3

notx D

(2)⇔ 12 1xx

⇔ 2 1)1 02 1

xxx

⇔ 2 1 02 1

x xx

⇔ 1 02 1xx

1 0x ⇔ 1x

2 1 0x ⇔2 1x : 2⇔ 12

x

x 1 12

1x 0 1a 2 1x 0 2a

12 1xx

0 /

15

1 02 1xx

⇔ 21, 1 ,2

notx D

⇨ 1 21, 1 ,3

D D D

∎

16

c) 2arccos 2f x x x ;

soluție arccos : 1,1 0, ⇨ 2 2 1,1x x ⇔ 21 2 1x x ⇔

21 2x x (1) și 2 2 1x x (2) (1) ⇔ 21 2x x ⇔ 20 2 1x x ⇔ 2 2 1 0x x

2 2 1 0x x ⇨ 2 24 ( 2) 4 1 1 4 4 0b ac ⇨

1 22 1

2 2bx xa

x 1 2 2 1x x 0 1a

⇨ 2 2 1 0x x ⇔ 1

notx D

(2) ⇔ 2 2 1x x ⇔ 2 2 1 0x x 2 2 1 0x x ⇨ 2 24 ( 2) 4 1 ( 1) 4 4 8 0b ac ⇨1 2,x x , 1 2x x

12 8 2 2 2 2(1 2) 1 2

2 2 2 2bx

a

22 8 2 2 2 2(1 2) 1 2

2 2 2 2bx

a

x 1 2 1 2 2 2 1x x 0 0 1a 2 2 1 0x x ⇔ 21 2,1 2

notx D

⇨ 1 2 1 2,1 2D D D ∎

17

7) Să se calculeze : a) arccos 1 ;

soluție arccos( 1) sau arccos( ) arccosx x ⇨ arccos( 1) arccos1 0 ∎

b) 1arccos2

;

soluție 1 2arccos2 3

sau

1 1 3 2arccos arccos2 2 3 3 3

∎

c) arccos0 ; soluție

arccos02

;∎

d) 3arccos2

;

soluție 3arccos

2 6

∎

e) arccos1 ; soluție arccos1 0 ∎

18

8) Să se arate că : a) arccos cos9 9 2 ;

soluție 9 2 ,3 ⇔2 9 3 2 ⇨0 9 2

⇨9 2 0, ⇨ arccos(cos(9 2 )) 9 2 (1)

Funcția cosinus este periodică de perioadă principală 0 2T ⇨cos(9 2 ) cos9 (2) (1),(2) ⇨arccos(cos9) 9 2 ∎

19

b) arccos cos6 2 6 ;

soluție 6 ,2 ⇔ 6 2 ⇨0 6 ⇨6 0, ⇨arccos(cos(6 )) 6 (1) cos(6 ) cos6 cos sin6 sin cos6 ( 1) sin 6 0

cos6 (2) (1),(2)⇨arccos( cos6) 6 ⇔ arccos(cos6) 6 ⇔arccos(cos6) 2 6 ∎

20

c) 3 1arccos arccos7 3 ;

soluție arccos pe 1,1 ⇔ 1 2( ) , 1,1x x , 1 2x x ⇨

1 2arccos arccosx x

Fie 13 1,17

x și 21 1,13

x

Presupunem 1 2x x ⇨ 3 17 3 ⇔3 3 1 7 ⇔9 7 (F) ⇨ 3 1

7 3 ⇨

3 1arccos arccos7 3 ∎

21

d) 1 2arccos arccos2 3

;

soluție

Fie 11 0,52

x și 22 0,(6)3

x ⇨ 0,(6) 0,5 ⇔ 2 13 2

⇨

2 1arccos arccos3 2

⇔ 1 2arccos arccos2 3

∎

22

e)

3 2arccos arccos3 2 2 2arccos4 2

;

soluție arccos este concavă pe 0,1 ⇔

1 2 1 2arccos arccosarccos

2 2x x x x

, 1 2( ) , 0,1x x

Fie 13

2x și 2

2 0,12

x ⇨

3 2 3 2arccos arccos2 2 2 2arccos

2 2

⇔

3 2arccos arccos3 2 2 2arccos4 2

∎