1. ELECTROMAGNETISM

1.1. SARCINA ELECTRICĂ, INTERACŢIU-NEA ELECTROSTATICĂ

Dacă trecem prin păr un pieptene din material

plastic, vom observa că acesta va atrage cu uşurinţă mici bucăţele de hârtie. Punem astfel în evidenţă, pe cale experimentală, existenţa unui tip de interacţiune, denumită interacţiune electrostatică. Sursa interac-ţiunii electrostatice este sarcina electrică.

Cuvinte cheie Interacţiune electrostatică

Sarcina electrică Principiul conservării sarcinii

electrice Sarcina electrică elementară Sarcina electrică este un mod de

existenţă şi de organizare a materiei, care poate fi evidenţiat pe cale experimentală.

Interacţiunea electrostatică se manifestă prin existenţa unor forţe de interacţiune între corpurile electrizate.

Studiul experimental al sarcinilor electrice ne relevă următoarele proprietăţi ale aces-tora :

Sarcina electrică totală a unui sistem fizic izolat de exterior este constantă în timp. Această proprietate are importanţa unui principiu al fizicii, denumit princi-piul conservării sarcinii electrice.

Sarcina electrică conţinută de un corp electrizat este întotdeauna egală cu un multiplu întreg al sarcinii electrice elementare e.

Există două tipuri de sarcini electrice, denumite convenţional sarcini pozitive sau sarcini negative.

Sarcina electrică poate fi măsurată, mărimea fizică corespunzătoare se numeşte cantitate de sarcină electrică, are simbolul Q şi unitatea de măsură coulomb. Cou-lombul se defineşte ca fiind cantitatea de electricitate transportată de un curent electric cu intensitatea de un amper în timp de o secundă : 1C = 1A ⋅ 1s.

Sarcina electrică elementară are valoarea : e = 1,6⋅10-19 C.

1.2. LEGEA LUI COULOMB Dacă se studiază experimental un sistem format din două corpuri electrizate, si-tuate la o distanţă mult mai mare decât dimensiunile lor geometrice, se obţin urmă-toarele informaţii referitoare la forţa de interacţiune :

3

ea este proporţională cu cantitatea de electricitate a fiecăruia dintre corpuri

mărimea forţei este invers proporţională cu pătratul distanţei dintre centrele corpurilor

mărimea forţei depinde de natura mediu-lui în care sunt plasate corpurile

forţa are direcţia dreptei ce uneşte centre-le corpurilor

forţa este de atracţie dacă sarcinile corpu-rilor au semne opuse, sau de respingere în caz contrar

Toate aceste proprietăţi pot fi reprezentate prin următoarea relaţie matematică :

Fr

1 21 2

1 22

1 2

1 2, k q q

r r=

,

,

,

F1,2

r1,2+Q1

+Q2

Legea lui Coulomb

Constanta de proporţionalitate k depinde de natura mediului în care sunt pla-sate corpurile.

În Sistemul Internaţional constanta de proporţionalitate are forma :

k =1

4πε

unde ε se numeşte permitivitatea electrică absolută a mediului. Permiti-vitatea electrică se măsoară în F/m (farad pe metru). Permitivitatea electrică absolută a vidului are valoarea :

εo = 8,856 F/m Un mod uzual de a exprima permitivitatea electrică a unui mediu este acela de a arăta de câte ori este aceasta mai mare decât permitivitatea vidului, conform relaţiei:

ε = εr εo

unde εr se numeşte permitivitate electrică relativă a mediului considerat.

1.3. INTENSITATEA CÂMPULUI ELECTRIC

Să ne imaginăm următorul experiment : aducem într-o zonă vidă a spaţiului un corp electrizat şi observăm, în acest caz,

că asupra corpului nu acţionează forţe electrice. dacă aducem în apropiere un al doilea corp electrizat, vedem că de această dată

asupra corpurilor se exercită forţe electrice, deşi corpurile nu vin în contact direct. Concluzia este că :

Prezenţa sarcinii electrice într-un punct din spaţiu, determină modificarea proprietăţilor fizice ale spaţiului înconjurător.

4

Spaţiul cu proprietăţi fizice modi-ficate din preajma corpurilor încărcate electric a primit denumirea de câmp elec-tric, reprezentând şi el o formă de existen-ţă a materiei.

Cuvinte cheie Câmp electric

Intensitatea câmpului electric

Experimentul descris anterior oferă şi o soluţie în ceea ce priveşte modalitatea de a măsura câmpul electric :

măsurăm mai întâi forţa care acţionează asupra celui de-al doilea corp electrizat (denumit corp de probă)

împărţim apoi valoarea forţei la cantitatea de electricitate a corpului de probă. Definim astfel o mărime fizică

vectorială, independentă de corpul de probă, care caracterizează câmpul elec-tric generat de un corp electrizat într-un punct al mediului înconjurător. Această mărime fizică se numeşte intensitatea câmpului electric, se notează cu sim-

E

r

+Q

bolul E şi are relaţia de definiţie:

( )probaqFrE =

Adică : intensitatea câmpului electric într-un punct din spaţiu este mă-rimea fizică vectorială numeric egală cu forţa ce acţionează asupra unui corp de probă cu sarcină electrică egală cu unitatea, adus în acel punct.

În Sistemul Internaţional intensitatea câmpului electric se măsoară în volt pe metru : <E>SI = V/m. Reprezentarea grafică a câmpului electric se face utilizând liniile de câmp. Acestea se definesc după cum urmează :

sunt tangente în fiecare punct la vectorul intensitatea câmpului electric sunt orientate în acelaşi sens cu vectorul intensitate numărul de linii de câmp trasate pe unitatea de suprafaţă este proporţional cu

valoarea intensităţii câmpului electric.

1.4. INTENSITATEA CÂMPULUI ELECTRIC AL SARCINII PUNCTIFORME

Dacă dimensiunile geometrice ale corpului electrizat sunt foarte mici în compa-raţie cu distanţa de la care observăm câmpul său electric, corpul poate fi aproximat cu un punct material, denumit sarcină electrică punctiformă.

Fie o sarcină electrică punctiformă qp având vectorul de poziţie r0 şi un punct din spaţiu cu vectorul de poziţie r. Dacă aducem în acest al doilea punct o sarcină de

5

probă punctiformă q, putem scrie, conform legii lui Coulomb, expresia forţei ce acţi-onează asupra sarcinii de probă :

Fproba =1

4πε

( )

r r

r rr r

p

p

p

p

qq

−

−

−2 q rp-r

r rp

E(r)

Utilizând definiţia intensităţii câmpului electric rezultă :

p

p

p

qrrrr

rr −

−

−πε 241

p

proba

qF

rE ==

( )

Aceasta este expresia vectorului intensitatea câmpu-lui electric al unei sarcini electrice punctiforme. Un asemenea tip de câmp este denumit câmp cu simetrie radială deoarece valoarea intensităţii câmpului:

+

E r =−

14πε

q

pr r2

depinde doar de distanţa de la sarcina q la punctul considerat, şi nu de orientarea acestei distanţe:

E(r) = E(⎜r-ro⎜) = E(d) Rezultă de aici că în toate punctele unei suprafeţe sferice, concentrice cu sarcina q, intensitatea câmpu-lui electric are aceeaşi valoare numerică. În plus, vec-torul intensitate este orientat paralel cu raza sferei.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

Raportu l E/E0 în funcţie de raportu l d/d 0

Reprezentarea prin linii de câmp are aspectul unui număr de drepte ce se intersectează în punctul în care se află sarcina punctiformă. Sensul liniilor de câmp este orientat spre exterior dacă sarcina q este pozitivă, respectiv spre interior în caz contrar. Intensitatea câmpului electric scade invers pro-porţional cu pătratul distanţei până la sarcina electri-că care-l generează.

1.5. DISTRIBUŢII DE SARCINĂ ELECTRICĂ Să ne imaginăm un sistem format din două sfere electrizate, aşezate la o distanţă oarecare. Sarcina electrică a fiecărei sfere este un multiplu al sarcinii elementare. Deoarece valoarea sarcinii elementare este extrem de mică în comparaţie cu sarcina electri-

că care poate fi pusă în evidenţă prin metode experimentale obişnuite, rezultă că sar-cinile totale ale sferelor sunt constituite dintr-un număr imens de sarcini electrice elementare.

Cuvinte cheie Distribuţii discrete de sarcină Distribuţii continue de sarcină

6

Astfel, dacă o sarcină electrică de 1,6 µC s-ar distribui uniform într-un volum de 1 m3, fiecare dintre cei un miliard de mi-limetri cubi ai acestui volum ar conţine câ-te 10000 de sarcini electrice elementare. În aceste condiţii putem descrie repartizarea sarcinii printr-o funcţie matematică conti-nuă, deşi din punct de vedere microscopic

repartizarea sarcinii se face discontinuu. Vorbim în acest caz de o distribuţie conti-nuă de sarcină electrică. Distribuţiile continue de sarcină sunt caracterizate de mă-rimea fizică scalară denumită densitate de sarcină electrică. Relaţia de definiţie a densităţii de sarcină electrică este următoarea :

O

Mr-r2

r-r1 r r2

r1

q2

q1

( )Vd

dq=ρ r

Densitatea volumică de sarcină este mărimea fizică scalară numeric egală cu cantitatea de electricitate conţinută în unitatea de volum. Unitatea de măsură a densităţii volumice de sarcină se numeşte C/m3 (coulomb

pe metru cub). Revenind cu discuţia la sistemul celor două sfere electrizate, ne putem pune

problema de a determina intensitatea câmpului electric într-un punct M, situat la dis-tanţe mari faţă de cele două sfere. În acest caz putem considera cele două sfere ca do-uă corpuri electrizate punctiforme, ocupând poziţii bine determinate în spaţiu. Aceas-tă aproximaţie a realităţii nu mai corespunde unei distribuţii continue de sarcină, ci unei distribuţii discrete de sarcină electrică, care nu mai poate fi descrisă de o fun-cţie matematică continuă.

Calculul intensităţii câmpului electric se poate face în modul următor : presupunem că aducem în punctul M o sarcină de probă asupra acesteia vor acţiona simultan două forţe coulombiene :

Fr r

r rr r1

1

12

1

1

14

=−

−−πε

q qp

Fr r

r rr r2

2

22

2

2

14

=−

−−πε

q qp

rezultanta acestor forţe este : F = F1 + F2

intensitatea se calculează, conform definiţiei, ca raportul dintre forţa electrică rezultantă şi cantitatea de electricitate conţinută de sarcina de probă :

( )E r Fr r

r rr r r r

r rr r

= =−

−−

+−

−−q

q q

p

14

14

1

12

1

1

2

22

2

2πε πε

Comparând expresia obţinută cu expresia intensităţii câmpului electric generat de o sarcină punctiformă, obţinem :

E = E1 + E2Generalizând pentru o distribuţie discretă, formată din n sarcini punctiforme, se gă-seşte relaţia:

7

( ) ∑∑== −

−

−πε==

n

i i

i

i

in

ii

q1

21 4

1rrrr

rrErE

Această expresie reprezintă formularea matematică a teoremei de superpoziţie. care se enunţă astfel :

într-un punct din spaţiu, aflat în vecinătatea unei distribuţii de sar-cini electrice discrete, intensitatea câmpului electric este dată de suma vec-torială a intensităţilor câmpurilor electrice generate de fiecare dintre sarci-nile distribuţiei în acel punct.

Să discutăm acum modalitatea prin care se poate afla intensitatea câmpului electric al unei distribuţii continue de sar-cină. Vom considera pentru aceasta un corp macroscopic, electrizat, caracterizat de densitatea volumică de sarcină ρ(r). În continuare procedăm astfel:

împărţim volumul corpului electrizat în părţi de mici dimensiuni (elemente de

volum)

dEM

r ro

ro - r

dq

V

dV

calculăm sarcina electrică conţinută de un element de volum : dq = ρ(r) dV

aflăm intensitatea câmpului electric individual pe care-l determină în punctul M un anumit element de volum :

( )d dqE rr r

r rr r0

02

0

0

14

=−

−−πε

adunăm contribuţiile tuturor elementelor de volum :

( ) ( )V

V

d∫ −−

−

ρπε

=rrrr

rrrrE

0

02

00 4

1

Cu această relaţie putem calcula, în principiu, intensitatea câmpului electric în orice punct din vecinătatea oricărui corp electrizat.

1.6. FLUXUL INTENSITĂŢII CÂMPULUI ELECTRIC, TEOREMA LUI GAUSS

S

S' Să considerăm un câmp electric reprezen-tat prin linii de câmp şi două suprafeţe S şi S' (ca în figura alăturată). Ce au în comun cele două suprafeţe ?

După cum se poate constata nici mărimea suprafeţelor, nici orientarea lor nu sunt asemănătoare, dar, în schimb, ele sunt traversate de acelaşi număr de linii de

8

câmp. Spunem în acest caz că fluxul intensităţii câmpului electric prin cele două suprafeţe este egal. Ca reprezentare intuitivă fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă dată este egal cu numărul de linii de câmp ce traversează suprafaţa. Este evident că acest număr este cu atât mai mare cu cât :

numărul de linii de câmp aflate în zona suprafeţei este mai mare (adică cu cât intensitatea câmpului electric este mai mare)

mărimea suprafeţei este mai mare suprafaţa este astfel aşezată încât să intercepteze un număr mai mare de linii de

câmp Putem sintetiza aceste observaţii în următoarea

formulă matematică :

ds α

E

dΨ = E ds cos(α) unde :

dΨ este fluxul intensităţii câmpului electric prin suprafaţa elementară ds, suprafaţă suficient de mică pentru a putea considera că intensitatea câmpului elec-tric are aceeaşi valoare şi formează acelaşi unghi cu normala la suprafaţă în toate punctele acesteia

ds este aria suprafeţei considerate α este unghiul dintre normala la suprafaţă şi vectorul intensitatea câmpului elec-

tric Un mod mai compact de a scrie relaţia precedentă este următorul :

ds E

EE

E

E

dΨ = E⋅ds adică : fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă elemen-tară este dat de produsul scalar dintre vectorul intensitatea câm-pului electric şi vectorul suprafa-ţă.

Pentru a calcula fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă oareca-re, este suficient s-o împărţim în mici suprafeţe elementare, să calculăm fluxul prin fiecare dintre acestea şi să însumăm rezultatele :

Ψ = ⋅∫ E sdS

Fie sarcina q, aflată în interiorul suprafeţei în-chise S. Obţinem : Cuvinte cheie

Teorema lui Gauss d d qr

ds2Ψ = ⋅ =E s4πε

αcos

9

Deoarece, prin definiţie, elementul de unghi solid este dat de relaţia :

α

α2

dΩ ds1

ds2

q

ds

α1

E1

E2

E

q

d dsr

Ω =cosα

2

putem scrie :

d q dΨ Ω=4πε

Prin integrare obţinem :

Ψ Ω= =∫q d

4 40

4

πε πε

π

=q q4π

ε

Fie acum sarcina q plasată în exteriorul suprafeţei închise S. Avem :

d d d E ds E dsΨ = ⋅ + ⋅ = +E s E s1 1 2 2 1 1 1 2 2cos cos 2α α sau, ţinând cont că în definiţia elementului de unghi solid intervine suplementul un-ghiului α1 :

( )d E ds E ds

d q d q d

Ψ

Ψ Ω Ω

= − − +

= − + =

1 1 1 2 2 2

4 40

cos cosπ α α

πε πε

Să considerăm acum o distribuţie de sarcini discrete q1, q2,...qn. Conform teore-mei de superpoziţie :

( ) ( )E r E r==∑ ii

n

1

În acest caz formula fluxului intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă elemen-tară este :

( )

( ) ( )

d d

d d

ii

n

ii

n

Ψ

Ψ Ψ

= ⋅ = ⋅

=

=

=

∑

∑

E s E r s

r r

1

1

d

Integrând pe o suprafaţă închisă, obţinem:

Ψ Ψ==∑ ii

n

1

Deoarece Ψi = qi/ε atunci când sarcina este închisă în interiorul suprafeţei şi Ψi = 0 atunci când sarcina este în exterior, rezultă :

ε=

ε=Ψ ∑ int

j

,jint qq

Obţinem astfel expresia matematică a legii lui Gauss. În cazul în care distribuţia de sarcină este continuă, putem exprima sarcina aflată în interiorul suprafeţei printr-o integrală:

10

( )V

dqint ∫ρ= r V S

VS

V

dV Atribuind densităţii superficiale de sarcină o valoare nulă în afara volumului corpului electrizat, putem extinde integra-rea la întreg volumul mărginit de suprafaţa S :

( )SV

qint ∫ρ= r Vd

Utilizând şi relaţia matematică de definiţie a fluxului inten-sităţii câmpului electric, putem rescrie teorema lui Gauss sub forma integrală :

( )V

SV

ddS

∫∫ ερ

=⋅rsE Teorema lui Gauss sub formă integrală

Enunţul teoremei este următorul :

Fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este direct proporţional cu sarcina electrică aflată în interiorul suprafeţei, depin-de de proprietăţile electrice ale mediului, dar nu depinde nici de forma şi nici de mărimea suprafeţei închise.

Făcând apel la teorema Gauss-Ostrogradski (sau relaţia flux-divergenţă), putem scrie:

( )E s E⋅ = ∇ ⋅∫ ∫d dS VS

V

Înlocuind în expresia teoremei lui Gauss, se obţine : ( )

∇ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∫ ErρεVS

Vd 0

sau :

( ) ( )ε

ρ=⋅∇

rrE Teorema lui Gauss sub formă locală

Această relaţie reprezintă expresia matematică a teoremei lui Gauss sub formă locală, enunţul fiind următorul :

Divergenţa intensităţii câmpului electric este direct proporţională cu densitatea volumică de sarcină.

1.6.1. Câmpul electric al unui conductor liniar, foarte lung, încărcat electric

Considerăm un conductor electric rectiliniu, foarte lung, încărcat cu sarcină elec-trică.

11

Distribuţia de sarcină este descrisă prin densitatea liniară de sarcină, care are va-loare constantă de-a lungul conductorului. Ne propunem să determinăm intensitatea câmpului electric într-un punct situat la distanţa l faţă de conductor.

Conductorul fiind foarte lung, putem face urmă-toarele consideraţii, bazate pe simetria sistemului de sarcini:

valoarea intensităţii câmpului electric este aceeaşi în toate punctele egal depărtate de conductor :

E(r) = E(l) vectorul intensitatea câmpului electric este radial

(deci perpendicular pe conductor) Dacă utilizăm aceste proprietăţi de simetrie, putem rezolva problema pe care ne-am propus-o cu ajutorul teoremei lui Gauss. Vom proceda astfel :

mai întâi este necesar să ne stabilim o suprafaţă închisă S pentru calcularea fluxului intensităţii câmpu-

lui electric :

n

n

E

E h S l

S1

S2

( ) ( )Ψ = ⋅ = ⋅∫ ∫E s E nd d

S S

s

fluxul prin orice suprafaţă plană, perpendiculară pe conductor, este nul, deoare-ce :

E⋅n = E cos90° = 0 fluxul printr-o suprafaţă cilindrică, coaxială cu cilindrul, de înălţime h, poate fi

calculat astfel : ( ) ( )E n⋅ = =∫∫ ∫ds E l ds E l ds

SS Scilcil cil

sin 90o

cum toate punctele acestei suprafeţe cilindrice sunt egal depărtate faţă de con-ductorul liniar, intensitatea câmpului electric este constantă de-a lungul suprafeţei şi deci :

( ) ( )E n⋅ = = ⋅∫ ∫ds E l ds E l lhS Scil cil

2π

suprafaţa închisă o vom considera ca fiind formată din suprafaţa cilindrică la care ataşăm două suprafeţe plane (S1 şi S2) prin care fluxul este nul :

( ) ( ) ( ) ( )( )E s E s E s E s⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫d d d d lh

S S S Scil 1 2

2π E l

în al doilea rând trebuie calculată sarcina aflată în interiorul suprafeţei închise deoarece distribuţia de sarcină este uniformă, rezultă :

q = λh potrivit teoremei lui Gauss :

Ψ =qε

rezultând de aici :

12

( )E ll

=λπε2

Concluzia este aceea că intensitatea câmpului electric generat de un con-ductor liniar, foarte lung, este proporţională cu cantitatea de sarcină electrică distribuită pe unitatea de lungime a conductorului, invers proporţională cu dis-tanţa până la conductor şi depinde de natura mediului în care se găseşte conduc-torul.

1.6.2. Câmpul electric al unei suprafeţe plane, de mari dimensiuni, încărcată electric

Fie o suprafaţă plană, de mari dimensiuni, încărcată electric.

Distribuţia sarcinii electrice este descrisă prin densitatea superficială de sarcină σ, care are valoare constantă în toate punctele suprafeţei.

Ne propunem să determinăm intensita-tea câmpului electric într-un punct situat la distanţa h faţă de suprafaţă.

h

h

n

n

n E

E

E

S0

S0

Se pot face următoarele consideraţii le-gate de simetria distribuţiei de sarcină :

valoarea intensităţii câmpului electric este aceeaşi în toate punctele egal depărtate de suprafaţă :

E(r) = E(h) vectorul intensitatea câmpului electric

este orientat perpendicular pe suprafaţă În aceste condiţii :

fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă plană S0, paralelă cu su-prafaţa încărcată şi situată la distanţa h faţă de aceasta este :

( ) ( )( )

( )( )

( )( )E s E n⋅ = ⋅ = = =∫ ∫ ∫ ∫d ds E h ds E h ds E

S S S S0 0 0 0

0 0cos o h S

s

fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă cilindrică, perpendiculară pe suprafaţa încărcată, este :

( ) ( ) ( )E s E n⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫d ds E d

S S Scil cil cil

cos90 0o

dacă considerăm suprafaţa închisă formată din suprafaţa cilindrică mărginită de două discuri plane, paralele cu suprafaţa încărcată, aşezate simetric faţă de aceasta, de suprafaţă S0 fiecare, obţinem :

( ) ( ) ( )( )Ψ = ⋅ = ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫E s E s E nd d ds E h

S S Scil

2 20

0S

sarcina electrică conţinută în interiorul acestei suprafeţe este :

13

q = σ S0 conform teoremei lui Gauss rezultă :

( )2 00E h S S

=σ

ε

sau :

( )E h qS

= =σε ε2 2 0

Intensitatea câmpului electric generat de o suprafaţă plană de mari dimen-siuni este direct proporţională cu cantitatea de sarcină electrică distribuită pe unitatea de suprafaţă, depinde de natura mediului înconjurător, dar nu depinde de distanţa până la suprafaţa încărcată.

1.6.3. Câmpul electric al unei sfere electrizate

Considerăm o sferă de rază R încărcată electric. Distribuţia sarcinii electrice o caracterizăm prin densitatea volumică de sarcină :

ρπ

= =q q

RV 43

3

Dorim să determinăm expresia intensităţii câmpului electric în funcţie de distanţa r până la centrul sferei, atât în punctele cuprinse în in-teriorul ei, cât şi în cele aflate în exterior. Simetria distribuţiei de sarcină ne face să remarcăm următoarele aspecte:

direcţia liniilor de câmp este radială valoarea intensităţii câmpului electric de-

pinde doar de distanţa până la centrul sferei, nu şi de orientarea acesteia :

Sext

nre

Eext

Sint

R nri

Eint

E(r) = E(r) Considerând suprafaţa sferică Sint, de rază r < R, concentrică cu sfera încărcată, putem calcula fluxul intensităţii câmpului electric astfel :

Ψ = ⋅ = = =∫ ∫ ∫E sint int int int

int int int

d E ds E ds ES S S

4 2πr

Sarcina electrică conţinută în interiorul suprafeţei Sint este :

q r qR

r q rRint = ⋅ = =ρ

ππ

π43 4

3

43

3

3

3 3

3

Conform teoremei lui Gauss, rezultă :

14

E r q rRint 4

123

3πε

= ⋅

sau:

E qrRint =

4 3πε

adică: în interiorul sferei electrizate uniform, intensitatea câmpului elec-tric creşte liniar cu distanţa până la centrul sferei, fiind nulă în centru şi maximă pe suprafaţa acesteia.

Dacă luăm acum suprafaţa sferică Sext, de rază r > R, de asemenea concentrică cu sfera electrizată, obţinem :

Ψ = ⋅ =∫ E sextS

extd E rext

4 2π

Obţinem şi qext = q, deoarece în interiorul sferei Sext este conţinută întreaga sarcină electrică. Rezultă conform teoremei lui Gauss :

E r qext 4

2πε

=

sau :

E qrext =

4 2πε

adică: câmpul electric generat de o sferă uniform electrizată în spaţiul ce o înconjoară nu poate fi deosebit de câmpul electric al unei sarcini electrice punc-tiforme, încărcată cu aceeaşi cantitate de electricitate ca şi sfera, plasată în cen-trul sferei.

Reprezentarea grafică a intensităţii câmpului electric al sferei uniform electrizate în funcţie de distanţa până la cen-trul acesteia, arată că valoarea câmpului este maximă în ime-diata vecinătate a suprafeţei sferei.

0 1 2 3 4raportul r/R

inte

nsita

tea

cam

pulu

i

Expresia vectorială a in-tensităţii câmpului este:

( )Er

rr =

≤⎧

⎨⎪

⎩⎪

qR

qr

4

4

3

3

πε

πε

r R

r > R

15

1.7. LUCRUL MECANIC ÎN CÂMPUL ELEC-TRIC AL UNEI SARCINI PUNCTIFORME

ENERGIA POTENŢIALĂ A UNUI SISTEM DE DOUĂ SARCINI PUNCTIFORME

Ne propunem să studiem un sistem de două sarcini electrice punctiforme : q şi q'. Sarcina q este fixă, în timp ce sarcina q' se deplasează de-a lungul traiectoriei C, din punctul M în punctul N.

dr α

r rA'

rA

FA'

A

A' r

q' qq

A F

Fie un punct oarecare A al traiectoriei C, având vectorul de poziţie r. Forţa elec-trostatică ce acţionează asupra sarcinii q', în punctul A este :

F r= ⋅

qqr r'

4 2πε

Putem observa cu uşurinţă că atât valoarea, cât şi orientarea forţei F variază de-a lun-gul curbei C. Dorim să calculăm lucrul mecanic pe care-l face forţa electrostatică la deplasa-rea sarcinii q' din M în N. Deoarece forţa F este variabilă este necesar să împărţim traiectoria în porţiuni elementare, astfel încât, de-a lungul lor, să putem folosi apro-ximaţiile :

fiecare porţiune elementară poate fi considerată un segment de dreaptă forţa electrostatică este constantă ca valoare sau ca orientare pe fiecare porţiune

elementară În aceste condiţii lucrul mecanic elementar efectuat de forţa F, în cursul deplasă-rii AA' este :

( ) ( ) rrFrF dcos'AAdL ⋅=α⋅= sau:

rr drr

'qqdL ⋅πε

= 24

Observăm că :

16

( ) ( )

( )( )

r

r d d d d

dr

r

rd

rd

r

2

2

3

2

32

12

2

12

1 1

= ⋅ ⇒

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅

⋅= = −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

r r

r r r r r r r r

r r

d

d

⇒

Rezultă :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πε−=

rd'qqdL 1

4

Lucrul mecanic total se calculează prin însumarea valorilor obţinute pe toate porţiuni-le elementare :

N

M

N

M

r

r

r

rMN r

'qqr

d'qqL 14

14 πε

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πε−= ∫

sau :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε=

NMMN rr

'qqL 114

Lucrul mecanic efectuat de forţa electrostatică la deplasarea relativă a do-uă sarcini electrice punctiforme este proporţional cu cantitatea de electricitate a fiecăreia dintre sarcini, cu diferenţa între inversele distanţelor, iniţială şi finală, dintre sarcini, depinzând totodată de proprietăţile electrice ale mediului în care se află sarcinile. Lucrul mecanic nu depinde nici de forma traiectoriei urmate de sarcini, nici de legea de mişcare a acestora pe traiectorie.

Această ultimă proprietate a lucrului mecanic ne arată că forţa electrostatică este o forţă conservativă, iar câmpul electrostatic un câmp conservativ. După cum se ştie, într-un câmp conservativ este posibilă definirea unei energii poten-ţiale, a cărei valoare caracterizează sistemele de corpuri care interacţionează prin respectiva forţă conservativă. Se ştie de asemenea că în general variaţia de ener-gie potenţială este definită ca lucrul mecanic, luat cu semn schimbat, efectuat la schimbarea configuraţiei sistemului de corpuri, de către forţele conservative prin care interacţionează acestea :

LWW initialfinal −=− Dacă aplicăm această definiţie sistemului format din sarcinile q şi q', rezultă :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε−=−

NMMN rr

'qqWW 114

sau :

MM

NN r

'qqWr'qqW

πε−=

πε−

44

17

Cum cele două configuraţii , în care sarcinile sunt separate prin distanţele rN, respectiv rM, sunt configuraţii oarecare, rezultă :

constr'qqWN =

πε−

4

sau :

constr'qqWN +

πε=

4

Energia potenţială a unui sistem format din două sarcini electrice puncti-forme este proporţională cu cantitatea de electricitate a fiecăreia dintre ele, in-vers proporţională cu distanţa dintre ele şi depinde de proprietăţile electrice ale mediului, fiind definită până la o constantă aditivă arbitrară.

Prin operaţia denumită etalonare se poate fixa o valoare constantei

arbitrare. Astfel considerând că energia potenţială a sistemului de sarcini este nulă dacă distanţa dintre ele este foarte mare :

W(∞) = 0 rezultă :

( )r'qqW

πε=

4r

Energia potenţială a unui sistem de două sarcini electrice punctiforme

Dacă vectorii de poziţie ai celor două sarcini sunt r1, respectiv r2, obţinem :

1r−'

221 4 rπε

=qqW ,

Mai putem observa că : energia potenţială a unui sistem de sarcini este o mă-

sură a lucrului mecanic făcut pentru a stabili configuraţia respectivă, sarcinile aflându-se iniţial la distanţă foarte ma-

re una de alta

r q' q

r2r1

energia potenţială este o mărime care descrie întreg sistemul de sarcini împreu-nă cu mediul în care se găsesc acestea, şi nu doar una sau alta dintre sarcini.

1.8. POTENŢIALUL ELECTRIC Să studiem o distribuţie de sarcini electrice. Putem face afirmaţiile :

distribuţia de sarcini determină existenţa unui câmp electrostatic câmpul electrostatic determină forţa ce acţionează asupra unei sarcini de probă,

adusă într-un punct oarecare al câmpului această forţă face lucru mecanic la aducerea sarcinii în punctul considerat

18

lucrul mecanic efectuat nu depinde de traiectoria urmată şi de legea de mişcare a sarcinii de probă, dar depinde de poziţia iniţială şi finală a acesteia în raport cu dis-tribuţia de sarcină considerată

prin urmare, lucrul mecanic efectuat este doar o măsură a interacţiunii dintre sarcina de probă şi sarcinile electrice din sistem, conform relaţiei :

( )( )

( )( )

( )

( )rrErrF

r

r

r

r

dqdLN

M

N

M

pMN ⋅=⋅= ∫∫

sau :

( )( )

( )rrE

r

r

dqLN

M

pMN ⋅= ∫

dacă facem raportul dintre lucrul mecanic şi cantitatea de electricitate a sarcinii de probă, se obţine o mărime care caracterizează doar câmpul electrostatic al distribu-ţiei de sarcini şi se numeşte tensiune electrică :

( )( )

( )rrE

r

r

dq

LUN

Mp

MNMN ⋅== ∫

Tensiunea electrică între două puncte ale unui câmp electrostatic este mărimea fizică scalară numeric egală cu lucrul mecanic efectuat la de-plasarea unităţii de sarcină electrică între cele două puncte ale câmpului.

În Sistemul Internaţional de unităţi de măsură unitatea de măsură a tensiunii electrice este denumită volt :

1 V = 1 J/1 C (volt = joule/coulomb) Să alegem un punct de referinţă R. Pentru că lu-crul mecanic nu depinde de forma drumului urmat de corpul de probă, rezultă că :

A

N

R

M

LMAN = LMRN = LMR + LRN Inversând sensul deplasării corpului, lucrul mecanic îşi modifică semnul :

LMR = -LRM

Rezultă : LMAN = -LRM + LRN

sau : UMN = LMAN/qp = LRN/qp - LRM/qp

Să considerăm acum că punctul de referinţă R se află la distanţă foarte mare faţă de distribuţia de sarcini. În acest caz lucrul mecanic LRN sau LRM reprezintă lucrul mecanic necesar constituirii şi aducerii într-o anumită configuraţie a sistemului fizic format din distribuţia de sarcini şi corpul de probă. Cu alte cuvinte, acest lucru meca-nic reprezintă energia potenţială a acestui sistem fizic, luată cu semn schimbat :

LRN = -WN ; LRM = -WM

19

Rezultă :

p

N

p

MMN q

Wq

WU −=

Putem da următoarea definiţie : Se numeşte potenţial electric generat de o distribuţie de sarcini

într-un punct din spaţiu, mărimea fizică scalară numeric egală cu energia potenţială a sistemului format din distribuţia de sarcini şi unitatea de sarci-nă electrică plasată în acel punct :

( )pq

WV =r

Conform acestei definiţii : UMN = VM - VN

sau :

( )( )

( )rrE

r

r

dVVN

M

NM ⋅=− ∫

Unitatea de măsură a potenţialului electric este aceeaşi cu unitatea de măsură a tensiunii electrice. Vom discuta în cele ce urmează câteva cazuri particulare de distribuţii de sarcină electrică.

1.8.1. Potenţialul sarcinii punctiforme

Fie sarcina punctiformă q, caracterizată de vectorul de

poziţie r0. r-r0

q

O

r r0

M

Fie un punct M, cu vectorul de poziţie r. Dacă aducem în punctul M o sarcină de probă qp, energia potenţială a sistemului ce se formează este :

Wqq

=4πε

p

− 0r r

Conform definiţiei potenţialului, se poate scrie :

( )0

0 4

rrrr

−πε==

qqW,q;V

p Potenţialul electric al unei sarcini punctiforme

Rezultă de aici că potenţialul sarcinii q are o simetrie sferică, adică toate punctele din spaţiu situate la aceeaşi distanţă de sarcina q au acelaşi potenţial. Locul geometric al acestor puncte (o sferă de rază egală cu distanţa până la sar-cină) formează aşa-numita suprafaţă echipotenţială.

20

1.8.2. Potenţialul distribuţiei discrete de sarcină

Fie o distribuţie discretă de sarcină, con-stituită din sarcinile punctiforme q1 şi q2 (având vectorii de poziţie r1, respectiv r2). Fie şi punctul M cu vectorul de poziţie r.

Aducând o sarcină de probă qp de la infi-nit în punctul M, se face un lucru mecanic :

r-r2

q2

O

r-r1

q1

r r0

M

( )( )

( )rrE

r

dqLM

p ⋅= ∫∞

Conform teoremei de superpoziţie a intensită-ţii câmpului electric putem scrie :

E(r) = E1 (r) + E2 (r) Deci :

( )

( )( )

( )

( )( ) 2121 LLdqdqL

MM

pp +=⋅+⋅= ∫∫∞∞

rrErrErr

Observăm că lucrul mecanic total este suma dintre lucrul mecanic efectuat în câmpul generat de q1 (independent de prezenţa sarcinii q2) şi lucrul mecanic în câmpul lui q2 (de asemenea independent de prezenţa lui q1).

Deoarece sarcina de probă este adusă dintr-un punct de referinţă situat la infinit, rezultă că relaţia anterioară este echivalentă cu următoarea relaţie între energiile po-tenţiale :

-W = -W1 - W2Împărţind la cantitatea de electricitate a sarcinii de probă obţinem :

( ) ( ) ( )V q q V q V qr r r r r r; , , , ; , ; , 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2= + r Dacă generalizăm pentru un sistem format din n sarcini discrete, obţinem :

( ) ( ) ( ) (

( )

)

∑= −πε

=

+++=n

i i

inn

nnnnn

q,,qq,q;V

,q;V.....,q;V,q;V,,qq,q;V

1 02121

2221112121

4.... ....

.... ....

rrrrrr

rrrrrrrrrr

Potenţialul electric generat de o distribuţie discretă de sarcini elec-trice într-un punct al spaţiului este dat de suma algebrică a potenţialelor electrice pe care le generează fiecare dintre sarcinile distribuţiei, indepen-dent de prezenţa celorlalte, în acel punct.

Acest enunţ, ca şi formula matematică corespunzătoare, poartă denumirea de te-orema de superpoziţie a potenţialului electric.

21

1.8.3. Potenţialul distribuţiei continue de sarcină

Pentru a calcula potenţialul unei distribu-ţii continue de sarcini, procedăm în modul ur-mător:

r-r0

r0

r V

dV, dq

M

împărţim corpul electrizat în elemente de volum

calculăm sarcina electrică a fiecărui ele-ment de volum

dq = ρ(r)dV calculăm potenţialul generat de fiecare

element de volum în punctul M :

( ) ( )dVdq

rr

r r004

=−πε

adunăm, conform teoremei de superpoziţie, potenţialele date de toate elemente-le de volum:

( ) ( )( )

VV

dV ∫ −περ

=rr

rr0

0 4

Relaţia anterioară exprimă potenţialul unei distribuţii continue de sarcină.

1.9. LEGĂTURA ÎNTRE VECTORUL INTEN-SITATEA CÂMPULUI ELECTRIC ŞI POTENŢIA-

LUL ELECTRIC, PROBLEMA GENERALĂ A ELECTROSTATICII

Potenţialul electric V este o mărime care poate fi utilizată pentru a descrie cantitativ câmpul electric, la fel ca şi vectorul intensitatea câmpului electric E. Evident, cele două mărimi fizice nu pot fi independente, deoarece se referă la acelaşi fenomen fizic.

Am arătat deja că :

( )( )

( )

∫ ⋅=−N

M

dVV NM

r

r

rrE

Această relaţie poartă numele de relaţia integrală de legătură între intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric.

Diferenţa de potenţial între două puncte ele unui câmp electric este numeric egală cu circulaţia intensităţii câmpului electric pe curba care uneşte cele două puncte, luată cu semn schimbat.

22

Pe de altă parte, mai putem observa că : deoarece forţele electrostatice sunt forţe conservative, potenţialul electric este

din punct de vedere matematic o funcţie care admite diferenţială totală exactă :

( )V V dVM NV

V

M

N

− = − ∫ r

cu :

( ) ( )dV dV x y z Vx

dx Vy

dy Vz

dzr = = + +, , ∂∂

∂∂

∂∂

gradientul potenţialului este definit prin relaţia :

( )∇ = + +V Vx

Vy

Vz

r i j k∂∂

∂∂

∂∂

produsul scalar dintre gradientul potenţialului şi diferenţiala vectorului de pozi-ţie are expresia :

( ) ( )∇ ⋅ = + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ + + = + +V d V

xVy

Vz

dx dy dz Vx

dx Vy

dy Vz

dzr r i j k i j k∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

în aceste condiţii putem scrie :

( )( )

( )V V V dM N

M

N

− = − ∇ ⋅∫ r rr

r

cu ajutorul relaţiei integrale între intensitatea câmpului electric şi potenţial, re-zultă :

( ) ( )( )( )

( )E r r r

r

r

+ ∇ ⋅ =∫ V dM

N

0

sau : ( ) ( )E r r= −∇V

Această formulă este numită relaţia diferenţială sau locală de legătură între inten-sitatea câmpului electric şi potenţial. Putem enunţa :

Vectorul intensitatea câmpului electric este egal cu gradientul po-tenţialului electric, luat cu semn schimbat.

În concluzie :

Dacă cunoaştem expresia intensităţii câmpului electric, putem afla prin in-tegrare diferenţa de potenţial între oricare două puncte ale câmpului, iar dacă cunoaştem expresia potenţialului electric, putem, calculându-i gradientul, găsi intensitatea câmpului electric.

Aşa cum am arătat anterior, legea lui Coulomb are două caracteristici princi-pale :

Forţa de interacţiune între două sarcini punctiforme este invers proporţională cu pătratul distanţei dintre ele

23

Forţa de interacţiune este orientată de-a lungul dreptei ce uneşte sarcinile Consecinţele acestor două proprietăţi sunt :

Fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este proporţional cu cantitatea de electricitate conţinută în interiorul suprafeţei :

( ) ( )∇ ⋅ =E r

rρε

Forţele electrostatice sunt forţe conservative (câmpul electrostatic are caracter potenţial) :

( ) ( )E r r= −∇V Dacă înlocuim în prima ecuaţie intensitatea câmpului electric prin gradientul po-

tenţialului, obţinem : ( ) ( )( )ρε

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

rr i j k i j k= −∇ ∇ = − + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V V

xVy

Vz

Vx

Vy

Vz

sau : ( )ρε

∂∂

∂∂

∂∂

r= − − −

2

2

2

2

2

2V

xV

yVz

Utilizând notaţia : ∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

22

x y z+ + = ∇ (operatorul lui Laplace)

obţinem : ( )ε

ρ∇

r-=V 2

Această ecuaţie este numită ecuaţia lui Poisson şi este o consecinţă a ambe-lor proprietăţi ale forţei coulombiene.

Calculând rotorul intensităţii câmpului electric obţinem :

( )∇ × = −∇ × ∇ = −E

i j k

x

x

Vy z

V Vy

Vz

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

sau:

∇ × = − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =E i j k∂

∂ ∂∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

2 2 2 2 2 2

0Vy z

Vz y

Vz x

Vx z

Vx y

Vy x

(derivatele mixte de ordinul al doilea au valori egale indiferent de ordinea de derivare deoarece potenţialul electric admite diferenţială totală exactă).

24

Rezultă că perechea de proprietăţi ale forţei coulombiene se regăseşte într-o pereche de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul întâi, care privesc vectorul intensitatea câmpului electric :

( )∇ ⋅ =

∇ × =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Er

E

ρε0

sau într-o singură ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea, care se referă la potenţialul electric :

( )∇2 V = -

ρεr

Rezolvând primele două ecuaţii sau pe cea de-a treia, în condiţiile în care cu-noaştem repartizarea sarcinii electrice în interiorul domeniului de integrare, pre-cum şi valorile câmpului electric sau ale potenţialului, ca şi primele derivate ale acestora, pe frontiera domeniului de integrare, obţinem soluţia problemei gene-rale a electrostaticii. Teoria matematică ne asigură că această soluţie există şi este unică.

1.10. DIPOLUL ELECTRIC : POTENŢIALUL ŞI INTENSITATEA CÂMPULUI

Dipolul electric este un sistem format din două sarcini electrice

punctiforme q şi -q, aflate la o distanţă l, mult mai mică decât distanţa r de la care facem observarea.

Potenţialul electric în punc-tul M se poate scrie conform te-oremei de superpoziţie astfel :

r

r-

r+

O

l/2

-q

q θ

z

y

M

x

( )V qr

qr

r = −+ −4 4πε πε

( )

sau :

V q r rr r

r =−− +

− +4πε

dacă notăm cu θ unghiul făcut de raza vectoare r cu axa Oz, obţinem :

25

( )

r l r l r

r l r l r

+

−

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − −

22

2

22

2

22

2

22

2180

cos

cos

θ

θo

sau : r r lr+ −− = −2 2 2 cosθ

deoarece l << r putem face aproximaţiile : ( )( ) ( )r r r r r r r r

r r r+ − + − + − + −

+ −

− = − + ≈ − ⋅

≈

2 2

2

2r

rezultând :

( )V q lr

r =4 2πε

θcos

considerând distanţa l dintre sarcini ca un vector orientat de la sarcina negativă la sarcina pozitivă, observăm că :

r⋅l = rl cosθ deci :

( )V qr

r l r=

⋅4 3πε

Produsul dintre sarcina q şi vectorul l a primit numele de moment electric dipolar, fiind notat cu p :

p = ql Rezultă :

( ) 34 rV

πε⋅

=rpr

Se observă că potenţialul dipolului electric este caracterizat de o simetrie axială, în jurul axei dipolului. De asemenea în toate punctele unui plan perpen-dicular pe axa dipolului, trecând prin centrul acestuia, potenţialul electric este nul (p⋅r = 0). Se mai poate remarca că potenţialul de dipol fiind proporţional cu 1/r2 este mult mai slab decât potenţialul sarcinii punctiforme.

Pentru a calcula intensitatea câmpului electric al dipolului utilizăm relaţia :

E i j k= −∇ = − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V V

xVy

Vz

∂∂

∂∂

∂∂

putem scrie :

( ) 232224 zyx

zpypxpV zyx

++πε

++=

derivata parţială în raport cu x este :

26

( )( )

( )x

rrp

xV

zyx

xzpypxp

zyx

pxV

x

zyxx

53

252222

3222

43

4

4

223

4

πε⋅

−πε

=∂∂

++πε

⋅++−

++πε=

∂∂

rp

prin analogie, rezultă :

( )i j ki j k p r i j k∂

∂∂∂

∂∂ πε πε

Vx

Vy

Vz

p p pr r

x y zx y z+ + =+ +

−⋅

+ +4

343 5

În final, rezultă :

( ) ( )53 4

34 rr πε

⋅+

πε−=

rrpprE

Câmpul electric al dipolului este un câmp cu rază scurtă de acţiune, deoa-rece este proporţional cu inversul cubului distanţei dintre dipol şi punctul de ob-servare.

Cuvinte cheie Dipolul în câmp electric,

energia potenţială

Fie un câmp electric uniform şi omogen de in-tensitate E = iE (E = const). Conform relaţiei de le-gătură între potenţial şi intensitatea câmpului elec-tric, putem scrie :

( ) ( )( )

( )( )12

2

1

2

1

xxEEdxdx

x

x

x

−==⋅ ∫∫ rE21 xVxV =−

x O

E

-F

+q F l θ

–q

Dacă un dipol electric se află în acest câmp, energia sa potenţială este egală cu suma energiilor potenţiale ale celor doi purtători de sarcină :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1212 xVxVqxVqxqVWWW −=−+ =+= −+

( )xxqW 12 E−−=După cum se observă în figura alăturată, diferenţa dintre coordonatele x2 şi x1 este :

θ=− coslxx 12

Rezultă : Ep ⋅−=α−=θ−= cospEcosqlEW

Energia potenţială a unui dipol aflat în câmp electric extern este numeric ega-lă cu produsul scalar dintre momentul de dipol p şi intensitatea câmpului electric E, luat cu semn schimbat. Dacă direcţia şi sensul momentului de dipol coincid cu acelea ale intensităţii câmpului electric, energia potenţială are valoare minimă (ceea ce corespunde unei stări de echilibru stabil). Dacă sensurile celor doi vec-tori sunt opuse energia potenţială este maximă (echilibru instabil).

27

1.11. CONDENSATORI ELECTRICI

Condensatorii electrici sunt sisteme fizice constituite din doi con-ductori, izolaţi electric, încărcaţi cu sarcini electrice egale în modul şi de semn contrar.

Se poate constata experimental că raportul dintre sarcina electrică dis-tribuită pe unul dintre conductori şi dife-renţa de potenţial dintre acesta şi cel de-al doilea este o mărime constantă, care depinde doar de mărimea şi forma geo-metrică a conductorilor, de poziţia lor

relativă şi de proprietăţile electrice ale mediului. Suntem astfel îndreptăţiţi să caracterizăm condensatorul printr-o mărime fizică scalară, denumită ca-pacitate electrică şi definită matematic prin relaţia :

-q q

V+ V-

E

- +

Uq

VVqC =−

=−+

În Sistemul Internaţional capacitatea electrică se măsoară în farad:

1 11

F CV

=

Ne propunem în cele ce urmează să determinăm pe cale teoretică expresia capa-cităţii electrice a unor condensatori cu forme geometrice particulare.

1.11.1. Condensatorul plan

Condensatorul plan este un sistem fizic format din doi conductori plani, paraleli, având dimensiuni transversale mult mai mari decât distanţa ce-i desparte, separaţi printr-un mediu dielec-tric.

Intensitatea câmpului electric într-un punct P, aflat între cele două plăci, este suma vectorială între câmpul electric al

plăcii pozitive şi câmpul electric al plăcii negative :

O

N

M

h P

E-

E+

x

+q S

-q

E = E+ + E-Deoarece plăcile au dimensiuni mari în comparaţie cu distanţa dintre ele, putem aproxima câmpul electric al fiecăreia dintre ele cu câmpul generat de o suprafaţă pla-nă infinită, electrizată cu densitatea superficială de sarcină σ = q/S :

28

E E qS+ −= =

2ε

Ţinând cont şi de orientarea celor doi vectori, rezultă :

E qS

qS

qS

= + =2 2ε ε ε

Între plăcile unui condensator plan câmpul electric este uniform, adică valoa-rea şi orientarea intensităţii câmpului electric dintre plăcile condensatorului plan nu depind de poziţia punctului considerat.

Pentru a calcula tensiunea electrică UMN între cei doi conductori putem utiliza relaţia :

( )( )

( )

U dMNM

N

= ⋅∫ E r r

Deoarece tensiunea nu depinde de forma drumului de integrare, putem să alegem ca drum de integrare segmentul MN paralel cu liniile de câmp şi cu axa Ox. În aceste condiţii rezultă :

( )( )

( )

E r r⋅ = =∫ ∫d Edx qhSM

N h

0 ε

Utilizând relaţia de definiţie a capacităţii se obţine :

hS

UqCMN

ε==

Capacitatea electrică a condensatorului plan este proporţională cu suprafaţa conductorilor, invers proporţională cu distanţa dintre ei şi depinde de natura die-lectricului ce-i separă.

1.11.2. Condensatorul cilindric

Ox

N r2

M

-q

+q

E r1h

Condensatorul cilindric este al-cătuit din doi conductori cilindrici, de raze r1 şi r2, coaxiali, de lungime h mult mai mare decât cele două raze, separaţi printr-un mediu dielectric.

Intensitatea câmpului electric dintre con-ductori poate fi aproximată prin intensitatea unui conductor liniar foarte lung, cu densitatea liniară de sarcină λ = q/h :

( )E r qhr

=2πε

29

Câmpul electric are simetrie radială. De aceea, pentru a calcula tensiunea elec-trică UMN între conductori, putem alege un drum de integrare paralel cu axa radială Ox :

( )( )

( )

( )U d E x dx qhx

dx qh

rrMN

M

N

r

r

r

r

= ⋅ = = =∫ ∫ ∫E r r1

2

1

2

2 22

1πε πεln

Rezultă :

1

2

2

rrln

hU

qCMN

πε==

Putem observa că dacă r2 - r1 = d şi d << r1, r2 se poate face aproximaţia :

ln ln lnrr

r dr

dr

dr

2

1

1

1 11=

+= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈

1

şi :

dS

dhrC ε

=πε

≅ 12

unde S = 2πr1h este suprafaţa laterală a cilindrului interior. Rezultă că dacă razele ce-lor doi conductori cilindrici sunt foarte apropiate ca valoare, condensatorul cilindric se comportă ca un condensator plan.

1.11.3. Condensatorul sferic Condensatorul sferic este con-

stituit din doi conductori sferici, con-centrici, de raze R1, respectiv R2, sepa-raţi printr-un mediu dielectric.

N -q

Ox E

R1

R2

O M

+q

Într-un punct P situat între conductori, in-tensitatea câmpului electric corespunde aceleia calculate pentru spaţiul exterior al unei distribuţii sferice de sarcină (cea de pe conductorul in-terior):

( )E r qr

=4 2πε

Câmpul are simetrie sferică, iar tensiunea între conductori poate fi calculată urmând un drum de integrare de-a lungul axei radiale Ox :

( )( )

( )

U d qx

dx qR RMN

M

N

R

R

= ⋅ = = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ ∫E r r

4 41 1

21 21

2

πε πε

Rezultă :

21

114

RRU

qCMN −

πε==

30

1.12. ENERGIA CÂMPULUI ELECTRIC Fie un condensator plan, încărcat cu sarcina electrică q. Dacă suprafaţa armăturilor S este suficient de mare, iar distanţa x dintre ele este suficient de mi-că, fiecare dintre armături poate fi con-siderată ca un plan infinit, încărcat uni-form cu sarcină electrică. După cum am arătat anterior, intensitatea câmpului electric al unui astfel de plan este :

SqEε

=2

Între armături, intensitatea totală a câm-pului electric este suma intensităţilor create de fiecare dintre armături, iar în

afara armăturilor intensitatea câmpului electric este egală cu zero.

F

– q+q

x

E- E- E-

E+ E+ E+

În concluzie, în cazul unui condensator plan, câmpul electric este con-centrat doar în spaţiul dintre armături. Câmpul dintre armături este omogen şi uniform.

Forţa de atracţie cu care armătura pozitivă acţionează asupra armăturii negative este :

SqqEFε

== + 2

2

Lucrul mecanic efectuat de această forţă la deplasarea armăturii negative pe o distan-ţă dx este :

dxS

qdxEcosdxEdLε

−=−==2

1802

o

Lucrul mecanic total efectuat de forţa electrostatică la distanţarea celor două armături de la 0 la h este :

Shqdx

SqFdxL

hh

ε−=

ε−== ∫∫ 22

2

0

2

0

Forţa electrostatică este forţă conservativă. Prin urmare, lucrul me-canic pe care-l face în cursul unui proces, luat cu semn schimbat, este egal cu variaţia energiei potenţiale : – LAB = WB – WA.

Considerând că dacă plăcile se suprapun (x = 0) energia potenţială este egală cu zero, rezultă că energia potenţială a unui condensator plan are expresia :

ShqW

ε=

2

2

31

unde h este distanţa dintre armături, iar S suprafaţa acestora. Dacă mai ţi-nem cont că expresia capacităţii condensatorului plan este :

hSC ε

=

rezultă :

CqW2

2

= Energia potenţială a unui condensator

Energia electrostatică „acumulată” de un condensator electric este direct pro-porţională cu pătratul sarcinii electrice stocate în condensator şi invers proporţi-onală cu capacitatea electrică a condensatorului.

Se poate pune întrebarea : unde este repartizată această cantitate de energie ? În aparenţă, conform formulei precedente, energia s-ar găsi doar în zona în care există sarcină electrică, adică pe armăturile condensatorului. Nu es-te însă de neglijat observaţia conform căreia separarea de sarcină între cele două armături are ca efect modificarea proprietăţilor fizice ale spaţiului cuprins între armături (modificare care constă în apariţia câmpului electric). De aceea, este fi-resc să considerăm că energia electrostatică este repartizată în tot acest spa-ţiu cu proprietăţi fizice modificate.

Pornind de la această observaţie, vom încerca să exprimăm energia electrostatică în funcţie de intensitatea câmpului electric :

Sq

SqEEE

ε=

ε=+= −+ 2

2

SEq ε= ( )

V2222

2222 EShES

hESShqW ε

=ε

=ε

ε=

ε=

unde V este volumul spaţiului dintre armături.

Deoarece câmpul dintre armături este uniform, rezultă că şi energia electrosta-tică este repartizată uniform în volumul dintre armături. Pentru a măsura local distribuţia de energie electrostatică trebuie definită o nouă mărime fizică, denu-mită densitate de energie electrostatică.

Prin definiţie densitatea de energie electrostatică este numeric egală cu energia electrostatică conţinută în unitatea de volum : w = dW/dV. Conform acestei definiţii, putem scrie :

2

2EWw ε==

V Densitatea de energie a câmpului electrostatic

Densitatea de energie a câmpului electrostatic este direct proporţio-nală cu pătratul intensităţii câmpului şi depinde de natura mediului.

32

1.13. CONDUCTORI ÎN CÂMP ELECTRIC EXTERN

Substanţele conductoare se caracteri-

zează prin aceea că în structura lor se află un număr important de sarcini electrice libere, care se pot deplasa sub acţiunea unui câmp electric.

e

e

e

F'e

F'e

Fe

Eind

Eind

Eext

Eext

Eext

Fe

Astfel, conductorii metalici au o structură formată din ioni pozitivi, imobili, aşezaţi în nodurile reţelei cristaline şi din electroni, care pot circula liber în interiorul reţelei cristaline. Să urmărim ce se întâmplă dacă un conductor me-

talic este plasat într-un câmp electric extern : asupra electronilor şi a ionilor pozitivi vor acţiona

forţe electrice ionii sunt imobili şi, prin urmare, nu se vor depla-

sa sub acţiunea forţei electrice electronii, asupra cărora acţionează forţa :

Fe = -eEextse vor deplasa în sens contrar liniilor de câmp

deplasarea electronilor se face doar în interiorul reţelei cristaline, astfel încât zo-na în care liniile de câmp pătrund în conductor va căpăta un exces de sarcină negati-vă, iar zona în care liniile de câmp părăsesc conductorul se va încărca pozitiv (prin absenţa electronilor)

această deplasare şi separare de sarcină electrică este sursa unui nou câmp elec-tric: Eindus, de sens contrar câmpului exterior Eext

conform teoremei de superpoziţie : E = Eext + Eindus

iar : F = -eE = -eEext - eEindus = Fe + F'e

sau :

F = Fe - F'e mişcarea electronilor continuă în acelaşi sens cât timp Fe > F'e pe măsură ce separarea sarcinilor se amplifică forţa F'e creşte echilibrul va fi atins atunci când:

Fe = F'esau :

Eext = – Eindus ⇔ E = 0

33

la echilibru tensiunea electrică dintre două puncte oarecare din interiorul con-ductorului va fi :

( )

( )V V d1 2

1

2

0− = ⋅ =∫ E r

sau : V1 = V2 ⇔ V = const.

adică : potenţialul electric este constant în tot volumul unui conductor electric aflat în echilibru electrostatic.

De asemenea, tot în condiţii de echilibru şi tot în punctele din interiorul conduc-torului, este valabilă relaţia :

ρ = ε∇⋅E = 0

adică : densitatea de sarcină electrică este nulă în interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic.

Să ne ocupăm acum de punctele aflate pe suprafaţa conductorului : deoarece în interiorul conductorului

densitatea de sarcină electrică este nulă, dar cu toate acestea s-a produs separarea de sar-cină electrică, rezultă că suprafaţa conducto-rului este încărcată cu sarcină electrică pozi-tivă sau negativă, distribuţie de sarcină des-crisă prin densitatea superficială de sarcină σ

n En

Et

ds Ft σ

e-

în aceste condiţii, concluzia este aceea că intensitatea totală a câmpului electric de la suprafaţa conductorului nu este nulă

vectorul intensitatea câmpului electric poa-te avea două componente : - o componentă normală

- o componentă tangenţială, care determină acţiunea unor forţe ce duc la depla-sarea sarcinilor libere de-a lungul suprafeţei conductorului

în condiţii de echilibru deplasarea de ansamblu a sarcinilor electrice încetează, re-zultând de aici că forţele tangenţiale la suprafaţă trebuie să se anuleze :

Ft = 0 ⇔ Et = 0

deci : vectorul intensitatea câmpului elec-tric este normal la suprafaţa exterioară a unui conductor aflat la echilibru electrosta-tic.

ds

En

1

2

En

σ

dacă considerăm o suprafaţă cilindrică în-chisă, perpendiculară pe suprafaţa conductorului, având bazele paralele cu suprafaţa, aplicând teo-rema lui Gauss obţinem :

34

E sn d ds⋅ =

σε

sau :

εσ

=nE

deci : intensitatea câmpului electric în imediata apropiere a unui conductor aflat la echilibru electrostatic este proporţională cu densitatea superficială de sarcină.

diferenţa de potenţial dintre două puncte de pe suprafaţa conductorului se scrie astfel :

( )

( )

∫ ⋅=−2

121 rE dVV

alegând un drum de integrare de-a lungul suprafeţei şi având în vedere că vecto-rul intensitatea câmpului este perpendicular pe suprafaţă, rezultă:

En⋅dr = 0 sau :

V1 = V2 ⇔ V = const.

deci : toate punctele aflate pe suprafaţa unui conductor aflat la echilibru electrostatic au acelaşi potenţial electric (altfel spus, su-prafaţa conductorului aflat la echilibru elec-trostatic este o suprafaţă echipotenţială).

En

σ

ρ=0 E=0 V=ct

En

Eext

Rezumând observaţiile anterioare, putem afirma că, în prezenţa unui câmp electric extern şi a unui conductor electric neutru, se petrec urmă-toarele fenomene :

se produce o separare a sarcinilor poziti-ve şi negative, astfel încât suprafaţa conductorului se încarcă electric, dar in-teriorul său rămâne neutru

intensitatea totală a câmpului electric este nulă în interiorul conductorului şi nenulă la suprafaţă, fiind orientată perpendicular pe suprafaţă

potenţialul electric are aceeaşi valoare în toate punctele conductorului prezenţa conductorului perturbă câmpul electric iniţial

Electrizarea conductorului sub acţiunea câmpului electric extern se numeşte electrizare prin influenţă.

Faptul că intensitatea câmpului electric este nulă în interiorul unui conductor, indiferent de valoarea intensităţii câmpului electric extern, este cunoscut sub numele de ecranare electrostatică.

35

1.14. IZOLATORI ÎN CÂMP ELECTRIC Substanţele izolatoare se mai numesc şi dielectrici.

Dielectricii sunt formaţi din molecule, neutre din punct de vedere electric, care conţin totuşi sarcini electrice pozitive şi negative în număr egal. Spre deosebire de conductori, în interiorul unui dielectric, nu există practic sarcini electrice libere, ci doar sarcini electrice legate.

Moleculele dielectricilor pot fi de două tipuri : molecule nepolare, adică molecule cu structură simetrică, cum ar fi, de exem-

plu, molecula de metan (CH4). Datorită simetriei, în ab-senţa unui câmp electric extern, centrul de sime-trie al sarcinii electrice negative şi centrul de simetrie al sarcinii pozi-tive coincid. Dacă, însă, se aplică un câmp elec-tric extern, distribuţiile de sarcini pozitive şi de sarcini negative se de-formează, molecula alungindu-se în direcţia liniilor de câmp. Mole-

cula se polarizează, formându-se astfel un dipol electric. Momentul dipolar indus de câmpul electric extern este în general proporţional cu intensitatea acestuia:

H

C

H

H

H p

Eext

p = αεoE unde α se numeşte coeficient de polarizabilitate moleculară, iar εo reprezintă per-mitivitatea electrică a vidului.

moleculele polare, adică moleculele cu structură nesimetrică (cum ar fi mole-cula apei H2O). În acest caz distribuţiile de sarcini pozitive sau negative nu au acelaşi

centru de simetrie, astfel încât molecula po-lară are un moment de dipol permanent p. Dacă câmpul electric extern este absent, di-polii moleculari sunt orientaţi haotic, astfel încât suma proiecţiilor momentelor dipolare moleculare pe orice direcţie este nulă. În

prezenţa câmpului extern, dipolii moleculari au tendinţa de a se roti, ocupând poziţii paralele cu liniile de câmp. Suma proiecţiilor momentelor dipolare pe direcţia liniilor de câmp nu va mai fi nulă, fiind în general proporţională cu intensitatea câmpului electric extern.

pO H H

36

Orientarea dipolilor moleculari la stabilirea câmpului electric extern

p||p

E

⇒

p p||

Rezultă că, indiferent de natura polară sau nepolară a moleculelor lor, dielectricii expuşi câmpului electric au o comportare asemănătoare : suma pro-iecţiilor momentelor dipolare ale moleculelor lor pe direcţia câmpului extern es-te proporţională cu intensitatea câmpului electric extern : dP = ∑pi| | ∼ E

Putem defini mărimea fizică vectorială, numită vector polarizare,

prin relaţia :

P =ddPV

Mărimea vectorului polarizare reprezintă momentul dipolar total al unităţii de volum a dielectricului.

Putem scrie:

P = χεoE

Adică : într-un punct al unui dielectric aflat în câmp electric, vectorul polari-zare este proporţional cu intensitatea câmpului electric. Constanta de proporţio-nalitate χ se numeşte susceptibilitate electrică a dielectricului.

Deci, vectorul polarizare este proporţional cu intensitatea câmpului electric lo-cal, existând o relaţie de legătură cu valoarea intensităţii câmpului extern. Pentru a găsi această relaţie vom proceda astfel:

considerăm un condensator plan, ale cărui armături sunt încărcate cu sarcinile electrice +Q0 şi -Q0 (respectiv, cu densităţile superficiale de sarcină +σ0 şi -σ0)

introducem între plăci un material dielectric observaţiile experimentale făcute în acest caz arată că în absenţa dielectricului

intensitatea câmpului electric dintre armături este :

E00

0=

σε

37

devenind în prezenţa dielectricului :

E =σε

0

Ne punem întrebarea : de ce se modifică intensitatea câmpului electric la adu-cerea dielectricului între armături ? Pentru a răspunde, facem următoarele consideraţii :

în prezenţa câmpului extern dipolii moleculari se orientează paralel cu liniile de câmp

în acest mod, lângă faţa materialului dielec-tric aflată în vecinătatea plăcii pozitive vom găsi doar capete negative de dipol, în vreme ce faţa opusă cuprinde doar capete pozitive

rezultă că feţele dielectricului se încarcă electric, în timp ce volumul său rămâne neutru (această polarizare a feţelor dielectricului este similară unei deplasări de sarcină pozitivă de la placa pozitivă la placa negativă)

sarcina electrică localizată pe una dintre fe-ţe se poate calcula astfel:

Qp = Nq unde N este numărul dipolilor distribuiţi în drep-tul acestei feţe, iar q este sarcina electrică a unui

dipol

l l

Ep

E0

-Q0Q0

numărul dipolilor este : N = nV

unde n este numărul dipolilor din unitatea de volum, iar V este volumul stratului în-cărcat electric

volumul stratului încărcat este : V = Sl

unde S este suprafaţa armăturii, iar l este lungimea dipolului molecular Rezultă :

Qp = nSlq = nSp = SP unde p este momentul dipolar al moleculei şi P este mărimea vectorului polarizare

densitatea superficială de sarcină de polarizare este :

σ ppQ

SP= =

adică : vectorul polarizare este o măsură a câmpului electric al sarcinilor electrice legate (Ep = σp/εo = P/εo)

câmpul electric total se poate calcula, utilizând teorema de superpoziţie, ca su-ma dintre câmpul electric produs de sarcina de pe plăci (în absenţa dielectricului) :

E00

0=

σε

38

şi câmpul electric produs de sarcina de polarizare (tot ca şi cum mediul ar fi vidul) :

E Pp

p= =σ

ε ε0 0

astfel încât :

E E E pp total= − =

−=0

0

0 0

σ σ

εσ

ε

adică : intensitatea câmpului electric E este o măsură a efectului produs de sarcina totală, compusă din sarcina liberă de pe plăci şi sarcina legată din die-lectric

putem scrie şi :

E E E E P Pp= − = − = −0 0

0

0

0 0εσε ε

sau : ε σ0 0E P+ =

Observăm că factorul (εoE + P) este o măsură a câmpului electric al sar-cinii electrice libere, fapt pentru care s-a definit prin el o nouă mărime fizică vectorială, denumită vector deplasare sau vector inducţie electrică :

D = εoE + P în fine, utilizând relaţia între vectorul polarizare şi intensitatea câmpului elec-

tric, putem scrie şi :

E E E E P E Ep= − = − = −0 0

00

0

0εχε

ε

sau : E0 = E(1 + χ)

folosind relaţia găsită experimental, rezultă :

( )σε

σε

χ0

0

0 1= +

sau : ε = εo(1 + χ)

În concluzie : valoarea diferită a intensităţii câmpului electric, generat de o distribuţie de sarcini electrice libere, în interiorul unui material dielectric, comparativ cu câmpul generat de aceeaşi distribuţie de sarcini în vid, se datorea-ză polarizării dielectricului, diferenţa fiind cu atât mai pronunţată cu cât suscep-tibilitatea electrică a dielectricului este mai mare.

Să considerăm acum o sarcină electrică q introdusă în interiorul unui material dielectric şi o suprafaţă închisă S care înconjoară sarcina. Câmpul electric generat de sarcina q are ca efect polarizarea dielectricului. Sarcina totală cuprinsă în interiorul suprafeţei S este :

39

qt = q - qp

S Sarcina de polarizare este cuprinsă într-o „coajă” de grosime l (lungimea dipolului), mărginită de suprafaţa închisă S şi având vo-lumul :

V = Sl Valoarea sarcinii de polarizare este :

qp = nV q0 = nSlq0 = PS unde q0 este sarcina electrică a dipolului, n este concentraţia dipolilor moleculari, iar P este mărimea vectorului polarizare. Conform teoremei lui Gauss :

E s P s⋅ = = − = − ⋅∫ ∫d q q P S q dt

S Sε ε ε ε ε0 0 0 0 0

1

sau : ( )ε0E P s+ ⋅ =∫ d q

S

sau : D s⋅ =∫ d q

S

adică : fluxul vectorului inducţie electrică printr-o suprafaţă închisă este egal cu cantitatea de electricitate liberă cuprinsă în interiorul suprafeţei închise. Acesta este enunţul teoremei lui Gauss, sub formă integrală, pentru medii die-lectrice.

Dacă utilizăm relaţia flux-divergenţă, obţinem :

D s D⋅ = ∇ ⋅∫ ∫d dS SV

V

De asemenea : ( )q= d

S

ρ rV

V∫

Din cele două relaţii putem extrage expresia locală a teoremei lui Gauss :

∇⋅D = ρ

Densitatea de sarcină liberă este numeric egală cu divergenţa vectorului in-ducţie electrică.

40

1.15. CURENTUL ELECTRIC STAŢIONAR

Curentul electric este definit ca fiind mişcarea ordonată a purtăto-rilor de sarcină electrică.

Putem distinge mai multe tipuri de curent electric : curentul electric de convecţie, adică mişcarea ordonată a corpurilor macrosco-

pice, încărcate electric curentul electric de conducţie, adică mişcarea ordonată a sarcinilor electrice

microscopice, libere, din interiorul unei substanţe conductoare curentul electric de deplasare, adică efectul reorientării dipolilor electrici într-

un dielectric supus acţiunii câmpului electric fasciculele de particule încărcate electric care se deplasează în vid.

Natura purtătorilor de sarcină liberi depinde de mediul conductor.

Astfel, în metale, conducţia este realizată prin intermediul electronilor de conducţie. În soluţiile de electrolit, purtătorii de sarcină liberi sunt ionii pozitivi şi negativi. În fine, în semiconductori, la conducţie participă elec-tronii din banda de conducţie şi golurile din banda de valenţă.

1.15.1. Ecuaţia de continuitate

Ne vom ocupa de curentul electric de conducţie din interiorul unui conductor metalic. Cuvinte cheie

Viteza de drift Densitatea de sarcină de con-

ducţie Densitatea curentului de sar-

cini de conducţie

Din punct de vedere structural conductorul metalic este format din ioni pozitivi, care sunt supuşi unor mişcări de vibraţie în jurul nodurilor reţelei cristaline, şi din electronii de conducţie, care se pot deplasa liberi în interiorul reţelei cristaline.

Mişcarea electronilor de conducţie în interiorul reţelei cristaline este o mişcare de agitaţie termică, perfect dezordonată. Vom nota viteza electronului care participă la agitaţia termică cu vt. Dacă în interiorul conductorului există şi un câmp electric, atunci electronii de conducţie se vor afla şi sub acţiunea unor forţe electrice, care determină o mişcare or-donată, caracterizată de viteza vord, care se suprapune peste mişcarea dezordonată :

v = vt + vord Din punct de vedere macroscopic mişcarea sarcinilor libere este percepută ca o medie a mişcărilor individuale:

v v v= +t ord

41

Deoarece media vitezei termice este nulă, rezultă: v v= ord

Viteza medie a electronilor este rezultatul mişcării lor ordonate şi se numeşte viteză de drift :

v vd ord= şi are semnificaţia unei viteze (constante), comună tuturor purtătorilor mi-croscopici de sarcină.

Prezenţa sarcinilor electrice libere în interiorul conductorului este măsurată prin mărimea fizică scalară, denumită densitate volumică de sarcină de conducţie :

ρccdq

d=

V

Densitate de sarcină de conducţie este cantitatea de sarcină elec-trică de conducţie din unitatea de volum.

Nu trebuie confundată densitatea de sarcină de conducţie cu densitatea totală de sarcină electrică (care în general este nulă, deoarece conductorii sunt neutri din punct de vedere electric).

Mişcarea ordonată a sarcinilor electrice este caracterizată cantitativ printr-o mărime fizică vectorială, denumită densitate de curent, notată j şi definită ca fiind cantitatea de sarcină electrică care trece în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă normală pe viteza de drift. Conform acestei definiţii, putem scrie :

j dqdtdS

c

n=

Din figura alăturată observăm că toate sarcinile de conducţie aflate în interiorul volumului :

dV = dSn⋅vddt vor părăsi acest volum, prin suprafaţa dSn, în interva-lul de timp dt. Cantitatea de electricitate pe care o transportă este :

dqc = q0dN unde q0 este cantitatea de electricitate a unui purtător

de sarcină individual, iar dN este numărul purtătorilor de sarcină din volumul dV. Pu-tem scrie:

q0

vd

dSnvddt

dN = n dV unde n este numărul purtătorilor de sarcină din unitatea de volum. Rezultă :

j q ndS v dtdtdS

q nvn d

nd= =0

0

Factorul q0n reprezintă sarcina de conducţie din unitatea de volum, adică densitatea volumică de sarcină de conducţie ρc. Rezultă :

j = ρcvd

42

Vom încerca în continuare să determinăm care sunt consecinţele principiului conservării sarcinii electrice în cazul unui curent electric. Să considerăm un element de volum :

dV = dxdydz în interiorul unui conductor străbătut de curent elec-tric. Considerăm de asemenea un interval de timp dt,

şi facem bilanţul încărcării electrice a elementului de volum.

Cuvinte cheie Ecuaţia de continuitate Curent electric staţionar

Intensitatea curentului electric

Cantitatea de electricitate care pătrunde în elementul de volum este : ( ) ( ) ( )( )dtdSz,y,xjdSz,y,xjdSz,y,xj'dq zzyyxxc ++=

Cantitatea de electricitate care părăseşte elementul de volum este : ( ) ( ) ( )( )dtdSdzz,y,xjdSz,dyy,xjdSz,y,dxxj"dq zzyyxxc +++++=

Cantitatea de electricitate care se acumulează în elementul de volum, conducând la creşterea densităţii volumice de sarcină de conducţie este :

( ) ( )( ) cccc "dq'dqdt,z,y,xdtt,z,y,x −=ρ−+ρ V sau :

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )dxdydtz,y,xjdz

dzdxdtz,y,xjzdydzdtz,y,xjz,dxdydzt,z,y,x

z

y

x

c

−

−−−−=

z,y,xj

,dyy,xjy,dxxj

dtt,z,y,x

z

y

x

c

+−

+−+−=

ρ−

jx(x+dx,y,z)

jy(x,y,z)

jz(x,y,z)

jx(x,y,z)

jy(x,y+dy,z)

dz

dy

jz(x,y,z+dz)

dx dSz

+ρ

Putem observa că :

( ) ( )

( ) ( ) dtt

t,z,y,x...dtt

t,z,y,x

cc

c

c

∂∂ρ

≈ρ−⎟⎠⎞+

∂∂ρ

+t,z,y,x

dtt,z,y,x

c

c

⎜⎝⎛ρ=

=ρ−+ρ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) dzzjz,y,xjdzz,y,xj

dyyj

z,y,xjz,dyy,xj

dxxjz,y,xj...dx

xjjz,y,xjz,y,dxxj

zzz

yxy

xx

xz,y,xxxx

∂∂

≈−+

∂∂

≈−+

∂∂

≈−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

+=−+

Rezultă :

∂ρ∂

∂∂

∂

∂∂∂

c x y z

tdtdxdydz j

xdxdydzdt

jy

dydzdxdt jz

dzdxdydt= − − −

sau : ∂ρ∂

∂∂

∂

∂∂∂

c x y z

tjx

jy

jz

+ + + = 0

43

sau :

0=⋅∇+∂

∂ρj

tc Ecuaţia de continuitate

Conservarea sarcinii electrice implică faptul că suma dintre viteza de vari-aţie a densităţii volumice de sarcină de conducţie şi divergenţa densităţii de cu-rent este nulă în orice punct din interiorul unui conductor parcurs de curent elec-tric. Această lege poartă numele de ecuaţia de continuitate.

Dacă densitatea volumică a sarcinii electrice de conducţie este constantă în timp,

adică ∂ρ∂

c

t= 0, atunci starea de încărcare electrică a conductorului este staţionară, iar

curentul electric care străbate conductorul se numeşte curent electric staţionar. Ne rămâne din ecuaţia de continuitate egalitatea :

∇⋅j = 0 care reprezintă ecuaţia fundamentală a curenţilor staţionari, având enunţul :

Divergenţa densităţii de curent a curentului electric staţionar este nulă în toate punctele conductorului.

j

j

j

Vc

S

Dacă considerăm o suprafaţă închisă S şi calculăm integrala de volum a divergenţei densităţii de curent pe volumul mărginit de suprafaţa închisă, obţinem:

0=⋅∇∫S

dV

Vj

Utilizând teorema flux-divergenţă rezultă: j s⋅ =∫ d

S

0

Fluxul densităţii de curent prin orice suprafaţă închisă, din interio-rul unui conductor, este nul, dacă curentul electric considerat este staţionar.

Fluxul densităţii de curent printr-o suprafaţă dată se mai numeşte intensitatea curentului electric şi se notează cu litera I :

∫ ⋅=S

dI sj

Unitatea de măsură a intensităţii curentului electric se numeşte amper, fiind una din-tre unităţile fundamentale ale Sistemului Internaţional de unităţi de măsură. Utilizând noţiunea de intensitate a curentului electric, putem re-enunţa legea fundamentală a curenţilor staţionari, sub denumirea de prima teoremă a lui Kirchhoff :

Intensitatea unui curent electric staţionar prin orice suprafaţă închi-să (în particular suprafaţa ce mărgineşte un nod de circuit) este nulă.

44

1.15.2. Legile experimentale ale curenţilor electrici de conducţie

1.15.2.1. Legea lui Ohm Experimental se constată că între tensiunea electrică de la bornele

unui conductor şi intensitatea curentului electric care îl străbate există o re-laţie de proporţionalitate :

RI

U=

Constanta de proporţionalitate se numeşte rezistenţă electrică. Unitatea de măsură a rezistenţei electrice în Sistemul Internaţional se numeşte ohm :

1 11

Ω = VA

1.15.2.2. Legea rezistenţei electrice a unui conductor filiform

Experimental se constată că rezistenţa electrică a unui conductor fi-liform este : ⇒ proporţională cu lungimea conductorului l ⇒ invers proporţională cu aria secţiunii transversale a conductorului S ⇒ funcţie de natura materialului din care este confecţionat conducto-rul

Formula corespunzătoare este :

SlR

σ=

unde σ se numeşte conductivitate electrică a conductorului, fiind o constantă de ma-terial.

1.15.2.3. Legea variaţiei conductivităţii cu temperatura

Experimental se constată că la modificarea temperaturii conductivi-tatea unui conductor scade invers proporţional cu variaţia de temperatură:

T∆α+σ

=σ1

0

unde σ este conductivitatea la temperatura T, σ0 este conductivitatea la temperatura de referinţă T0, iar α se numeşte coeficient termic al conductivităţii şi este o con-stantă de material.

45

1.15.2.4. Legea lui Ohm pentru un circuit simplu

Un circuit simplu este format dintr-o sursă de curent electric, caracterizată de tensiunea electromotoare E şi rezistenţa in-ternă r, şi un conductor de rezistenţă elec-trică R, legate prin fire de conexiune de re-zistenţă electrică neglijabilă. Tensiunea electromotoare a sursei de curent este măsurată la bornele acesteia în

gol (adică în situaţia în care prin sursă nu trece curent electric), iar rezistenţa internă este măsurată în regim de scurtcircuit (când rezistenţa circuitului exterior este nulă), fiind definită de raportul:

E , r I

R

rIsc

=E

unde E este tensiunea electromotoare, iar Isc este intensitatea curentului de scurtcircu-it.

Experimentele arată că intensitatea curentului I, prin circuitul sim-plu, este numeric egală cu raportul dintre tensiunea electromotoare a sursei şi suma dintre rezistenţa internă şi rezistenţa electrică a circuitului exterior:

R+rI E

=

1.15.2.5. Legea lui Joule

Experimentele arată că trecerea unui curent electric printr-un con-ductor este însoţită, după un anumit interval de timp, de degajarea unei can-tităţi de căldură direct proporţională cu pătratul intensităţii curentului, cu rezistenţa electrică a conductorului şi cu intervalul de timp considerat :

W = I2Rt Folosind legea lui Ohm putem rescrie legea lui Joule şi sub forma următoare :

W = UIt sau :

tR

UW2

=

Puterea electrică disipată în circuit este :

UIt

WP ==

46

1.15.3. Teoria electronică a conducţiei în metale, forma locală a legii lui Ohm şi a legii lui Joule,

interpretarea energetică a legii lui Ohm pentru un circuit simplu

Se poate considera că electronii care se deplasează în interiorul unui conductor se află într-un câmp electric uniform E.

Forţa electrostatică care acţionează asupra unui electron are expresia:

fe = -eE Sub acţiunea acestei forţe electronii îşi măresc viteza. Pe de altă parte, mişcarea electronilor este împiedicată prin ciocnirile plastice pe care le su-feră cu ionii din nodurile reţelei cristaline. În ur-ma unei ciocniri plastice electronul se opreşte, după care este din nou accelerat de câmpul elec-

tric, suferă o nouă ciocnire ş.a.m.d. Pierderile de energie în urma acestor procese pot fi echivalate cu cele produse prin acţiunea unei forţe constante de rezistenţă fr, pro-porţională cu viteza de drift a electronilor şi orientată în sens opus. Staţionaritatea mişcării electronilor se realizează în momentul în care forţa de rezistenţă anulează forţa electrostatică :

E vd

fr fe

fe + fr = 0 ⇒ -eE - cvd = 0 rezultând :

v E Edec

= − = −µ

unde µ se numeşte mobilitate şi depinde de masa electronului şi de distanţa medie parcursă de acesta între două ciocniri consecutive. Deoarece viteza de drift depinde de densitatea de curent :

v jd

c=

ρ

(ρc fiind densitatea volumică de sarcină de conducţie), iar : ρc = -nee

unde ne este numărul de electroni de conducţie din unitatea de volum a materialului, rezultă :

j = eneµE sau :

j = σE adică :

Densitatea de curent electric într-un punct al unui conductor este proporţiona-lă cu intensitatea câmpului electric în acel punct.

47

Constanta σ, denumită conductivitate electrică, depinde atât de proprietăţile fizice ale electronului (masă, sarcină), cât şi de proprietăţile structurale ale con-ductorului, fiind, deci, o constantă de material.

Această expresie constituie forma locală a legii lui Ohm, aşa cum se poate ară-ta cu uşurinţă în modul următor :

luăm în discuţie o porţiune dintr-un con-ductor electric filiform

S

h

E j

U scriem tensiunea electrică la bornele aces-

tuia în funcţie de intensitatea câmpului electric uniform din interior :

U d= ⋅ =∫ E r

jS

Eh scriem intensitatea curentului din conduc-

tor în funcţie de densitatea de curent : I d= ⋅ =∫ j s

înlocuim expresiile densităţii de curent şi intensităţii câmpului electric în legea lui Ohm sub formă locală şi obţinem expresia integrală a acesteia :

U=RII σSh U=

hU

SI

⇒⇒σ=

Energia disipată sub formă de căldură prin lucrul mecanic al forţei de rezistenţă care acţionează asupra unui electron este :

dWe = frdh = cvddh Dar :

dh = vddt rezultând :

2d

e cvdt

dW=

Căldura totală rezultată prin frânarea a dN electroni este :

VdncvdNcvdt

dWedd

22 ==

Rezultă :

cEen

ceEcnvcn

dtddW e

ede

2222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

V

Observând că : n e

cn ce

e

2

= =µ σ

şi că raportul din membrul stâng are semnificaţia de căldură degajată în unitatea de timp, în unitatea de volum a conductorului (deci este o densitate de putere), obţinem :

p = σE2 = j⋅E adică :

48

Densitatea de putere disipată la trecerea curentului electric printr-un conductor este proporţională cu pătratul intensităţii câmpului electric din conductor. Această formulă este expresia locală a legii lui Joule.

Să cercetăm în continuare deplasarea unui electron pe un drum închis, într-un circuit electric simplu. Electronul se deplasează de la polul negativ al sursei (A) spre polul pozitiv (B), trecând prin punctul M. De-a lungul aces-tui traseu atât forţa electrostatică fe, cât şi forţa de rezistenţă fr efectuează lucru mecanic. Deoarece viteza electronului este constantă re-zultă :

fe

vd

frfi

fe fr

M

B A

Le,AMB + Lr,AMB = 0 Pentru a ajunge din punctul B în punctul A

electronul are nevoie de „ajutor”, deoarece atât forţa electrostatică, cât şi forţa de re-zistenţă se opun deplasării. „Ajutorul” constă într-o forţă de natură neelectrostatică, fi, numită forţă imprimată, care acţionează în sensul deplasării. Bilanţul lucrului me-canic este :

Li,BA + Le,BA + Lr,BA = 0 Adunând cele două relaţii, obţinem :

(Le,AMB+ Le,BA) + (Lr,AMB + Lr,BA) + Li,BA = 0 Suma (Le,AMB+ Le,BA) reprezintă lucrul mecanic al forţelor electrostatice de-a lungul unei curbe închise şi este, ca o consecinţă a faptului că forţa electrostatică este con-servativă, nul. Termenii (Lr,AMB + Lr,BA) reprezintă căldura medie, luată cu semn schimbat, generată prin acţiunea forţelor de rezistenţă la deplasarea unui electron pe curba închisă : -(Wo,AMB + Wo,BA). În aceste condiţii, vom rescrie relaţia precedentă astfel :

Li,BA = Wo,AMB + Wo,BASumând pentru toţi electronii antrenaţi de curentul electric, obţinem :

LBA = WAMB + WBAExprimând cele două cantităţi de căldură conform legii lui Joule, rezultă :

LBA = I2Rt + I2rt Unde : I este intensitatea curentului, R este rezistenţa electrică a circuitului exterior, r este rezistenţa internă a sursei, iar t este intervalul de timp cât trece curentul electric. Observând că It = qc, unde qc este sarcina totală de conducţie transportată în timpul t printr-o secţiune oarecare a circuitului, rezultă :

( )rRIqL

c

BA +=

Din punct de vedere dimensional, raportul LBA/qc are semnificaţia unei tensiuni elec-trice (nefiind totuşi o tensiune de natură electrostatică). De aceea el se numeşte tensi-une imprimată sau tensiune electromotoare şi se notează E :

c

BA

qL

=E

49

rezultând : E = I (R + r), adică chiar legea lui Ohm pentru un circuit simplu.

Concluzia celor discutate este că legea lui Ohm pentru un circuit simplu derivă din legea conservării energiei, arătând că energia cheltuită de sursa de cu-rent pentru întreţinerea deplasării sarcinilor electrice se regăseşte în căldura disi-pată în întreg circuitul la trecerea curentului electric.

Generalizarea acestei constatări este obiectul celei de-a doua teo-

reme a lui Kirchhoff, care arată că de-a lungul oricărei porţiuni închise de circuit electric suma algebrică a tensiunilor electromotoare egalează suma algebrică a căderilor de tensiune.

Mai putem arăta că :

( )

( )

( )

( ) ∫∫ ⋅=⇒⋅=

A

B

iA

BiiBA d

edL rfrf E

Raportul fi/e are semnificaţia intensităţii unui câmp electric neelectrostatic, numit câmp imprimat, astfel încât putem scrie :

( )

( )E = ⋅∫ E ri

B

A

d

adică : Tensiunea electromotoare a unei surse de curent electric este nume-

ric egală cu circulaţia intensităţii câmpului electric imprimat între bornele sursei.

1.16. ELECTROLIZA

Electroliza se produce la trecerea curentului electric printr-o soluţie de electrolit. În timpul procesului, la electrozi se separă componentele moleculei de electrolit (de exemplu, electroliza apei permite separarea oxigenului la anod şi a hidrogenului la catod).

Legile electrolizei au fost stabilite de Faraday.

Prima lege a electrolizei arată că masa de substanţă care se separă la un electrod este direct proporţională cu intensitatea curentului electric şi cu durata procesului : m = kIt. Constanta de proporţionalitate k se numeşte echivalent electrochimic.

A doua lege a electrolizei precizează că echivalentul electrochi-mic este direct proporţional cu masa molară a substanţei şi invers proporţi-onală cu valenţa acesteia : k = µ/(nF). Constanta de proporţionalitate se numeşte numărul lui Faraday şi are valoarea F = 96500 C/mol.

50

1.17. CÂMPUL MAGNETIC AL CURENŢILOR STAŢIONARI

Fenomenele magnetice sunt cunoscute încă din antichitate. Ele constau din in-teracţiunile, manifestate prin forţe de atracţie sau de respingere, între corpurile mag-netizate.

Se constată că prezenţa corpurilor magnetizate modifică proprietăţi-le fizice ale spaţiului înconjurător.

Spaţiul cu proprietăţi fizice modificate din jurul corpurilor magne-tizate este o formă de existenţă a materiei şi se numeşte câmp magnetic.

Câmpul magnetic poate fi pus în evi-denţă pe cale experimentală, utilizând, de exemplu, un ac magnetic. Deoarece poziţia în care se stabileşte acul magnetic depinde de aşezarea în preajma sa a corpurilor mag-netizate, rezultă că pentru a caracteriza can-titativ câmpul magnetic trebuie utilizată o mărime vectorială. Mărimea fizică vectoria-

lă folosită pentru a măsura câmpul magnetic se numeşte vector inducţie magnetică şi se notează B. S-a convenit ca orientarea vectorului inducţie magnetică să fie ace-eaşi cu a unui ac magnetic, sensul vectorului B fiind dinspre polul sud al acului mag-netic spre polul nord.

B

N S

În anul 1819, Öersted a făcut descope-rirea că un ac magnetic aflat în apropierea unui conductor parcurs de curent electric staţionar se orientează perpendicular pe di-recţia conductorului. A rezultat că, pe lângă corpurile magnetizate, curenţii electrici sta-ţionari sunt surse de câmp magnetic. Cu alte

cuvinte, există o legătură între fenomenele electrice şi fenomenele magnetice.

I

B

1.17.1. Legile experimentale ale câmpului magne-tic al curenţilor staţionari

1.17.1.1. Legea forţei electromagnetice, vectorul inducţie magne-tică

Se constată experimental că dacă un conductor rectiliniu, parcurs de

un curent electric staţionar, este adus într-un câmp magnetic uniform, asu-pra sa va acţiona o forţă având următoarele proprietăţi :

51

⇒ mărimea forţei este proporţională cu intensitatea I a curentului elec-tric din conductor ⇒ mărimea forţei este proporţională cu lungimea l a conductorului ⇒ mărimea forţei este proporţională cu sinusul unghiului α dintre lini-ile de câmp magnetic şi direcţia conductorului ⇒ mărimea forţei nu depinde de natura materialului din care este con-fecţionat conductorul ⇒ forţa este perpendiculară pe planul format de conductor şi direcţia liniilor de câmp

Expresia matematică corespunzătoare este : F ∼ Ilsinα

Conform observaţiilor experimentale relatate mai sus, putem afirma că valoarea constantei de proporţionalitate nu poate depinde decât de ca-racteristicile câmpului magnetic în care se află

conductorul. Rezultă de aici posibilitatea de a realiza o măsurătoare cantitativă a câmpului magnetic.

Cuvinte cheie Vectorul inducţia câmpului

magnetic

În acest sens, prin definiţie, inducţia câmpului magnetic se scrie ca :

B FIl

=sinα

adică : inducţia câmpului magnetic este mărimea fizică vectorială nu-meric egală cu forţa ce acţionează asupra unităţii de lungime a unui conductor parcurs de un curent electric staţionar cu intensitatea de 1 amper, aşezat perpendicular pe liniile de câmp magnetic.

În Sistemul Internaţional unitatea de măsură a inducţiei magnetice se numeşte tesla şi are următoarea relaţie de definiţie :

1T 1N=

1A 1m⋅

B F

I

În aceste condiţii, legea forţei electromag-netice se scrie sub forma :

F = BIlsinα exprimându-se vectorial astfel :

F = I l×B

Forţa electromagnetică ce acţionează asupra unui conductor li-niar aflat într-un câmp magnetic uniform este proporţională cu produ-sul dintre intensitatea curentului electric din conductor şi valoarea numerică a produsului vectorial dintre lungimea conductorului (orien-tată în sensul intensităţii curentului) şi vectorul inducţie magnetică, având direcţia şi sensul acestui produs vectorial.

52

1.17.1.2. Forţa Lorentz

Dacă un corp electri-zat, de mici dimensiuni, se deplasează în câmp magnetic de inducţie B, s-a constatat că asupra sa acţionează o for-ţă având următoarele caracte-ristici :

q v

B

f

⇒ mărimea sa este direct proporţională cu cantitatea de electricitate q cu care este încărcat corpul ⇒ mărimea sa este proporţională cu valoarea v a vitezei corpului ⇒ mărimea sa este proporţională cu inducţia magnetică B ⇒ mărimea sa este direct proporţională cu sinusul unghiului α dintre vectorul viteză şi vectorul inducţie magnetică ⇒ direcţia forţei este perpendiculară pe planul format de vectorul vite-ză şi vectorul inducţie magnetică

Expresia matematică corespunzătoare este : f = q v×B

Această forţă poartă numele de forţa Lorentz. Forţa electromagnetică este efectul însumării forţelor individuale care acţionează asupra purtăto-rilor de sarcină în mişcare din interiorul conducto-rului.

l

q

B

f v

F

S Să luăm în considerare un conductor parcurs de curent electric, plasat perpendicular pe liniile câmpului magnetic. Forţa Lorentz care acţionează asupra unui purtător de sarcină ce se deplasează cu o viteză egală cu viteza de drift este :

f = qv B dIntensitatea curentului electric din conductor se poate exprima de asemenea în funcţie de viteza de drift :

I = jS = ρ v S = nqv S c d dunde n este numărul purtătorilor de sarcină de conducţie din unitatea de volum a con-ductorului :

lSNn =

iar N este numărul total de purtători de sarcină din conductor antrenaţi de curentul electric. Din aceste relaţii rezultă :

53

f q INSl

qSB=

sau : Nf = BIl

relaţie ce probează afirmaţia anterioară.

Ţinând cont de echivalenţa între legea forţei electromagnetice şi legea forţei Lorentz, rezultă că aceasta din urmă poate fi utilizată de asemenea ca o relaţie de definiţie a vectorului inducţie magnetică.

1.17.1.3. Efectul Hall Fie conductorul parcurs de curentul I (figura alătura-tă). În prezenţa câmpului magnetic de inducţie B, forţe-le Lorentz care acţionează asupra electronilor de con-ducţie determină polarizarea electrică a feţelor inferioară şi superioară ale conductorului (efectul Hall). Separarea de sarcină are ca efect apariţia

unui câmp electrostatic de intensitate E. Polarizarea continuă până când forţa Lorentz care acţionează asupra unui electron este egalată de forţa electrostatică :

z

h

l I

E e- v

B

Fe

FL

U

vBEeEevBFF Le =⇒=⇒= Intensitatea curentului electric I depinde de viteza de drift a electronilor :

envSI = (e – modulul sarcinii electronului, n – concentraţia de electroni de conducţie, v - vite-za de drift, S – aria secţiunii transversale a conductorului, S = lh). Tensiunea între faţa superioară şi faţa inferioară poate fi calculată conform relaţiei :

∫∫∫∫ ====hhhh

dzenlhIBdz

enlhIBdzvBdzEU

0000

Rezultă :

enlIBU = Tensiunea generată prin efect Hall

Tensiunea Hall este direct proporţională cu intensitatea curentului electric şi cu inducţia câmpului magnetic, şi invers proporţională cu sarcina elementară, concentraţia de purtători de sarcină de conducţie şi lăţimea porţiunii de conduc-tor aflată în câmpul magnetic.

54

1.17.1.4. Forţa de interacţiune între conductorii paraleli parcurşi de curent electric staţionar, legea Biot-Savart

Să ne imaginăm următorul experiment :

I2I1 B

F2,1 F1,2

l

două conductoare rectilinii, foarte lungi, sunt aşeza-te paralel, la distanţa r unul faţă de celălalt

prin conductoare circulă curenţii electrici staţionari I1, respectiv I2

mediul în care sunt plasate conductoarele este omo-gen

Se poate constata studiind acest experi-ment că asupra celor două conductoare se exer-cită forţe egale în modul, paralele şi de sens contrar. Aceste forţe de interacţiune au urmă-toarele proprietăţi :

⇒ mărimea forţei este direct proporţională cu lungimea conductoarelor ⇒ mărimea forţei este direct proporţională cu fiecare dintre intensităţile curenţilor electrici din cele două conductoare ⇒ forţa este invers proporţională cu distanţa dintre conductoare ⇒ forţa este de atracţie dacă curenţii au acelaşi sens şi de respingere în caz contrar ⇒ forţa depinde de proprietăţile magnetice ale mediului ce înconjoară conductoarele

Aceste observaţii pot fi reunite într-o formulă matematică, care în Sistemul Internaţional se scrie sub forma :

l2

2121 r

IIF , πµ

=

Constanta de proporţionalitate µ se numeşte permeabilitate magnetică absolu-tă şi caracterizează proprietăţile magnetice ale mediului. În Sistemul Internaţional unitatea de măsură a permeabilităţii magnetice absolu-te este :

metruhenry

mH

==µ SI

Permeabilitatea magnetică absolută a vidului are valoarea : µ0 = 4π⋅10-7 H/m

Putem observa că raportul : FI l

,1 2 2

corespunde relaţiei de definiţie a unei inducţii magnetice B1, rezultând pentru aceasta expresia :

55

Cum în zona în care se desfăşoară experimentul nu au fost instalate alte surse de câmp magnetic şi cum B1 depinde de intensitatea curentului electric din pri-mul conductor, rezultă că această relaţie exprimă valoarea inducţiei câmpului magnetic generat de un conductor liniar foarte lung, parcurs de curent electric staţionar. Relaţia a primit denumirea de legea Biot-Savart şi se enunţă astfel : inducţia câmpului magnetic generat de un curent electric staţionar care străbate un conductor liniar foarte lung este proporţională cu intensitatea curentului electric, invers proporţională cu distanţa până la conductor şi depinde de proprietăţile magnetice ale mediului în care se află conductorul.

Inducţia câmpului magnetic generat de con-

ductor este perpendiculară pe planul format de con-ductor şi de perpendiculara coborâtă din punctul de observare pe conductor.

I

Linia de câmp magnetic are formă circulară, fiind cuprinsă într-un plan perpendicular pe direcţia conductorului. Sensul liniei de câmp este acelaşi cu sensul în care trebuie rotit un şurub drept, aşezat paralel cu conductorul, astfel încât să înainteze în sensul curentului electric.

1.17.2. Legea Biot-Savart-Laplace Vom compara două situaţii fizice diferite, caracterizate însă de legi asemănătoa-re formal :

în cazul unui conductor foarte lung, parcurs de curent electric staţionar cu inten-sitatea I, inducţia câmpului magnetic B generat de acesta la distanţa h are expresia :

B Ih

=µπ2

în cazul unui conductor foarte lung, încărcat electric cu densitatea liniară de sar-cină λ, intensitatea câmpului electric E la distanţa h are expresia :

Eh

=λπε2

Din figurile alăturate se observă că se pot face urmă-toarele asocieri :

I ⇔ λ (sursa câmpului) µ ⇔ 1/ε (proprietăţile mediului)

h ⇔ h

B r

dE

λ

dl α

h

r dE⊥

E

Eh

= λπε2

dE dr⊥ =

λπε

αl

4 2 sin

α

h

r dB

B

dB=?

B Ih

= µπ2

dl

j

56

Pe de altă parte, în cazul câmpului electric, valoarea intensităţii se obţine însu-mând contribuţiile tuturor micilor porţiuni de conductor, aproximate ca sarcini punc-tiforme. Contribuţia unei asemenea porţiuni de conductor la câmpul electric total es-te:

απελ

=⊥ sinr

dldE 24

unde dl este lungimea porţiunii de conductor considerate, r este raza vectoare a punc-tului de observare în raport cu elementul de volum, iar α este unghiul dintre conduc-tor şi raza vectoare. Deoarece câmpul magnetic al conductorului se obţine tot prin însumarea contri-buţiilor unor porţiuni foarte mici ale acestuia, putem face ipoteza că inducţia magne-tică elementară are expresia (obţinută cu ajutorul tabelului de asocieri) :

dB Idlr

= µπ

α4 2 sin

Exprimând intensitatea curentului în funcţie de densitatea de curent : I = jS

unde S este aria secţiunii transversale a conductorului, rezultă :

dB Sdlr

jr= µπ

α4 3 sin

Observăm că : produsul S dl este volumul porţiunii de conductor considerate : dV = S dl vectorul inducţie magnetică depinde de două mărimi vectoriale : j şi r cantitatea j r sinα reprezintă modulul produsului vectorial j × r sau r × j vectorul dB are acelaşi sens cu vectorul j × r

şi putem scrie în consecinţă :

Vdr

d 34rjB ×

πµ

=

Dacă extindem acest rezultat la cazul unui conductor oarecare parcurs de curent electric şi considerăm un element de volum dV având vectorul de poziţie r, precum şi un punct de observare M, având vectorul de poziţie r0, rezultă :

( ) ( )Vdd 3

0

00 4 rr

rrjrB

−

−×π

µ=

Adunând contribuţiile tuturor elementelor de volum ale conductorului se obţine inducţia câmpului magnetic în punctul M :

O

M

r0-

r0

dB j

r dV

( ) ( )∫

−

−×Vd3

0

0

rr

rrj

πµ

=V

0 4rB

Aceasta este expresia legii Biot-Savart-Laplace care permite, în principiu, determinarea inducţiei câmpului magnetic a oricărei distribuţii de curent electric staţionar.

57

1.17.2.1. Inducţia câmpului magnetic generat de un conductor li-niar finit

Fie un conductor de lungime finită lo,

ale cărui capete se văd din punctul de obser-vare M, aflat la distanţa h faţă de conductor, sub unghiurile α1, respectiv α2. Conductorul este străbătut de curentul electric staţionar I, a cărui densitate de curent este :

j IS

=

unde S este aria secţiunii transversale a con-ductorului. Fie un element de lungime dl. Conform legii Biot-Savart-Laplace inducţia magnetică elementară din punctul M, generată de ele-

mentul de lungime, este :

S

r α

dl

α1

M

dB j

l

l0

I

α2

dr

dB j r=

×µπ4 3 V

Inducţia magnetică este perpendiculară pe planul format de vectorul densitate de cu-rent j şi vectorul de poziţie r. Prin urmare, oricare ar fi poziţia elementului de lungi-me, vectorul inducţie magnetică are aceeaşi orientare. Rezultă că va fi suficient să in-tegrăm modulul vectorului dB :

dB jrr

Sdl=µπ

α4 3

sin

Observăm că :

putem exprima valoarea lui r în funcţie de h şi α :

r h=

sin α

putem exprima valoarea elementului de lungime dl tot în funcţie de h şi α : l=h h

dl h d hdctg ctg

sin sin

α ααα

αα

1

2 2

−

= −−

=

Rezultă :

dB

IS

hS hd I

hd= =

µπ

α

α

αα

µπ

α α4 42

2

2

sin

sinsin

sin

Integrând obţinem :

58

( )B Ih

d Ih

= = −∫µπ

α αµπ

α αα

α

4 41

2

1 2sin cos cos

deci : inducţia magnetică generată de un conductor liniar, de lungime finită, este direct proporţională cu intensitatea curentului electric din conductor, invers proporţională cu distanţa de la punctul de observare la conductor, depinde de unghiurile sub care se văd capetele conductorului din punctul de observare şi de proprietăţile magnetice ale mediului înconjurător.

Mai putem remarca că dacă lungimea conductorului este mare, unghiurile α1 şi α2 tind către valorile : α1 = 0, respectiv α2 = π, rezultând :

B Ih

=µπ2

adică exact expresia legii Biot-Savart.

1.17.2.2. Inducţia câmpului magnetic pe axul de simetrie al unei porţiuni de spiră circulară

dB⊥

(R2+z2)1/2

S dl

y

j

R α

x 90°-ϕ

z

dB

Considerăm o porţiune de spiră circula-ră, de rază R, parcursă de un curent electric de intensitate I. Alegem un sistem de axe de coordonate astfel încât :

originea se află în centrul spirei axa Oz este axa de simetrie a spirei axa Oy împarte spira în două porţiuni

egale Considerăm un punct de observare M, pe axa Oz. Vectorul de poziţie al acestuia es-te :

r0 = kz (k fiind versorul axei Oz) Alegem un element de volum dV = Sdl într-un punct oarecare al spirei.

Conform legii Biot-Savart-Laplace, inducţia magnetică în punctul M are expre-sia :

( )d dBj r r

r r=

× −

−

µπ4

0

03 V

Observăm că : pentru toate punctele spirei:

220 zR +=− rr

astfel încât, deoarece j ⊥ (r0 - r), rezultă :

59

dB jR z

Sdl=+

µπ4 2 2

componenta inducţiei magnetice paralelă cu axa Oz este :

( )dB dB IR z

dlII = =+

sin sinαµ

πα

4 2 2

unghiul α are aceeaşi valoare în orice punct al spirei, rezultând prin integrare :

( ) ( )B IR z

dl IlR z

l

=+

=+∫

µπ

αµ απ4 42 2

02 2sin sin

sinusul unghiului α se exprimă ca :

sin α =+

RR z2 2

iar : l = Rϕ0

unde ϕ0 este unghiul la centru care delimitează porţiunea de spiră, se obţine în final :

( )B B IR

R zz II= =

+

µ ϕ

π

20

2 2 3 24

componenta perpendiculară pe axa Oz este :

R

ydBy

dBxdB⊥-ϕ0/2

ϕ0/2

ϕ

( )dB dB⊥ = =cosα

π4

dB dBdB dB

x

y

Iz

R zdl

+

µ2 2 3 2

şi are, la rândul ei, componentele : ==

⊥

⊥

sincos

ϕϕ

deoarece dl = Rdϕ, rezultă prin inte-grare :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

B IzR

R zd IzR

R z

B IzR

R zd IzR

R z

IzR

R z

x

y

=+

=+

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=

=+

=+

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=

+

−

−

∫

∫

µ

πϕ ϕ

µ

π

ϕ ϕ

µ

πϕ ϕ

µ

π

ϕ ϕ µϕ

π

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

4 4 2 20

4 4 2 22

2

2 2 3 2

2

2

2 2 3 20 0

2 2 3 2

2

2

2 2 3 20 0

0

2 2 3 2

0

0

0

0

sin cos cos

cos sin sinsin

Deci, câmpul magnetic este orientat simetric faţă de porţiunea de spiră, iar în centrul acesteia (z = 0) este are direcţie paralelă cu axa Oz. În cazul în care spira este un cerc întreg unghiul ϕ0 este egal cu 2π rezultă :

Bx = By = 0

( )B IR

R zz =

+

µ 2

2 2 3 22

60

În centrul spirei inducţia câmpului magnetic este :

B IR0 2

=µ

Dacă câmpul magnetic este generat de o sarcină electrică q care se roteşte cu pe-rioada T pe un cerc de rază R, atunci intensitatea curentului electric echivalent este :

I qT

=

iar inducţia magnetică în centrul de rotaţie are valoarea :

B qRT

qR

= =µ µν

2 2

unde ν este frecvenţa de rotaţie.

1.17.3. Legea circulaţiei magnetice (legea lui Am-père)

Prin analogie cu relaţia de proporţionalitate între inducţia câmpului

electric D şi intensitatea câmpului electric E, D = εE, se poate defini o mă-rime denumită intensitatea câmpului magnetic, notată cu H : B = µH

De asemenea prin analogie cu circulaţia intensităţii câmpului elec-tric imprimat :

E = ⋅∫ E rd (numită şi tensiune electromotoare) se poate defini tensiunea magnetomo-toare ca fiind circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o anumită curbă :

F = ⋅∫ H rd Ne propunem ca în cele ce urmează să găsim modul în care depinde circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă închisă de curenţii electrici care generează câmpul magnetic.

Să considerăm pentru început un con-ductor liniar, perpendicular pe planul foii de hârtie, parcurs de curentul electric I.

α dl

r

dϕ

dlo

M

H I Fie de asemenea o curbă închisă C, care înconjoară conductorul. Circulaţia intensităţii câmpului mag-netic pe o porţiune mică a curbei, în jurul punctului M este :

dF = H⋅dl = H dl cosα Putem observa că :

dl0 = dl cosα unde dl0 este lungimea porţiunii de linie de câmp cuprinsă între laturile unghiului dϕ, care mărginesc şi segmentul de curbă dl. Deoarece linia de câmp este un cerc :

61

dl0 = r dϕ unde r este distanţa de la conductor la punctul M. Înlocuind în expresia circulaţiei in-tensităţii câmpului magnetic şi utilizând legea Biot-Savart, rezultă :

d

Ir rd I dF = =

µπµ

ϕπ

ϕ22

Integrând pe toată curba obţinem :

F = ⋅ = = = =∫∫ ∫H d I d I d I Il2 2 20

2

0

2

0

2

πϕ

πϕ ϕ

π

π π π

Circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă închisă, ce în-conjoară un conductor parcurs de curent electric, este numeric egală cu in-tensitatea curentului electric din conductor.

Fie acum conductorul aşezat în afara curbei închise. Circulaţia totală a intensităţii câmpului magnetic pe porţiunile de curbă delimitate de un-ghiul dϕ este :

dF = H1⋅dl1 + H2⋅dl2 sau :

dF = H1dl1cosα1 + H2dl2cosα2 Observând că α1 > 90° şi α2 < 90°, astfel încât

cosα1 < 0 şi cosα2 > 0, şi procedând la fel ca la calculul anterior, rezultă :

d I d I dF = − + =2 2

0π

ϕπ

ϕ

Integrând pe toată curba rezultă : F = 0

Circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă închisă este nu-lă dacă prin suprafaţa mărginită de curbă nu trece curent electric.

dl2

dl1

H2

H1

dϕ

I

Reunind cele două concluzii obţinute până acum, rezultă enunţul legii lui Ampère : circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă închisă nu depinde nici de forma, nici de dimensiunile curbei, fiind egală cu intensitatea curentului electric prin suprafaţa delimitată de curbă. Matematic putem scrie :

F = Iint

Utilizând relaţiile integrale care definesc circulaţia intensităţii câmpului magne-tic şi intensitatea curentului electric obţinem forma integrală a legii lui Ampère :

( )∫∫ ⋅=⋅cSc

dd sjlH

Dacă recurgem la teorema lui Stokes, mai putem scrie :

62

H dl

j

(C)

n

Sc

( )( )H H⋅ = ∇ ×∫ ∫

c Sc

l s⋅d d

Substituind în legea lui Ampère obţinem : ( ) ∫∫ ⋅=⋅×∇

cc SS

dd jsH s

sau :

jH =×∇

Forma locală a legii lui Ampère

Rotorul intensităţii câmpului magnetic într-un punct din spaţiu este egal cu densitatea de curent electric din acel punct.

1.17.3.1. Inducţia câmpului magnetic în interiorul unui solenoid foarte lung

Un solenoid (sau o bobină) poate fi

construită prin înfăşurarea unui fir con-ductor pe un miez (care uzual are formă cilindrică sau paralelipipedică). Solenoidul este caracterizat prin numărul total de spire, lungimea şi aria transversală, precum şi prin proprietăţile magnetice ale miezului său. Un solenoid lung este solenoidul de lungime mult mai mare decât dimen-siunile sale transversale. Dacă solenoidul este parcurs de cu-rent electric staţionar, liniile câmpului

magnetic generat vor fi curbe închise, fiecare dintre ele având o porţiune cuprinsă în interiorul solenoidului şi o alta aflată în exterior. Atunci când solenoidul este lung pu-tem face următoarele consideraţii:

P

M

O

N

h

I

I

B

în exteriorul solenoidului, în spaţiul infinit, densitatea liniilor de câmp este foar-te redusă (adică inducţia magnetică este practic nulă)

în interiorul solenoidului liniile de câmp sunt paralele atât între ele, cât şi cu axa de simetrie a solenoidului, inducţia magnetică fiind constantă în toate punctele unei linii de câmp În aceste condiţii, alegând conturul închis MNOPM putem scrie :

B l⋅ =∫ dM

N

0 deoarece inducţia magnetică este perpendiculară pe drumul de integrare

63

B l⋅ =∫ dN

O

0 deoarece inducţia magnetică este nulă

B l⋅ =∫ dO

P

0 din nou inducţia este perpendiculară pe drumul de integrare

B l⋅ = = =∫ ∫ ∫d Bdl B dl BP

M

P

M

P

M

cos0o h

Rezultă : B l⋅ =∫ d B

MNOPM

h

Intensitatea totală a curentului electric prin suprafaţa MNOP este : It = nhI

unde n este numărul de spire pe unitatea de lungime a solenoidului, iar I este intensi-tatea curentului electric prin solenoid. Conform legii lui Ampère rezultă egalitatea :

B = µnI

adică : inducţia magnetică în miezul unui solenoid lung este proporţională cu intensitatea curentului electric prin solenoid, cu numărul de spire pe unitatea de lungime a solenoidului, depinde de proprietăţile magnetice ale miezului, dar nu depinde de distanţa până la axa de simetrie.

Câmpul magnetic în interiorul solenoidului este prin urmare un câmp uniform, liniile de câmp fiind paralele şi echidistante.

1.17.4. Divergenţa şi fluxul inducţiei magnetice, potenţialul vector

Să considerăm câmpul magnetic generat de un conductor parcurs de curent elec-tric staţionar într-un punct M care are vectorul de poziţie r0. Să calculăm divergenţa inducţiei magnetice în acest punct :

( )∇ ⋅0 0B r Conform legii Biot-Savart-Laplace obţinem :

( ) ( ) ( )∇ ⋅ = ∇ ⋅× −

−= ∇ ⋅

× −

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∫ ∫0 0 00

03 0

0

034 4

B rj r r

r r

j r r

r rµπ

µπ

d dV VV V

sau:

( ) ( )∇ ⋅ = − ⋅ ∇ ×−

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∫0 0 00

034

B r jr r

r rµπ

dVV

Calculul se desfăşoară astfel :

64

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

∇ ×−

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=−

− + − + −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−

−−

− + − + −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

00

03

0

0

02

02

02

32

0

0

02

02

02

32

r r

r rx

yz z

x x y y z z

zy y

x x y y z z

∂∂

∂∂

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

∇ ×−

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=− − − + − −

− + − + −=0

0

03

0 0 0 0

02

02

02

52

3 30

r r

r rx

z z y y y y z z

x x y y z z

Se poate arăta în mod analog că şi celelalte două componente ale rotorului sunt nule, rezultând în final :

( ) 000 =⋅∇ rB Divergenţa inducţiei câmpului magnetic al curenţilor electrici staţi-

onari este nulă în orice punct al spaţiului. Dacă integrăm această relaţie pe un volum mărginit de o suprafaţă închisă obţi-nem :

( )∇ ⋅ =∫ B r dVV

0

Ţinând cont de teorema flux-divergenţă rezultă :

∫ =⋅S

d 0sB

Fluxul inducţiei magnetice generate de curenţii electrici staţionari prin orice suprafaţă închisă este nul.

I B

B

Această proprietate este o consecinţă directă a faptului că liniile câmpului magne-tic sunt curbe închise, astfel că numărul in-tersecţiilor acestora cu suprafaţa închisă es-te întotdeauna par sau nul.

Din punct de vedere matematic, am putea considera că divergenţa inducţiei magnetice este nulă deoarece aceasta se exprimă ca rotorul unei alte mărimi fizice, numită potenţial vector. În adevăr :

( )∇ ⋅ ∇ × = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =A ∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂∂∂x

Ay

Az y

Az

Ax z

Ax

Ay

z y x z y x 0

Rezultă că putem scrie : B = ∇×A

65

În aceste condiţii, cealaltă lege fundamentală a magnetismului, legea lui Ampère, de-vine :

( )[ ] ( )[ ]j H B A A= ∇ × = ∇ × = ∇ × ∇ × = ∇ ∇ ⋅ − ∇1 1 1 2

µ µ µA

Sau : ( ) jAA µ−=⋅∇∇−∇2

Concluzia este aceea că, similar cazului electrostaticii, legile fundamenta-le ale câmpului magnetic al curenţilor staţionari pot fi reunite într-o singură ecu-aţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea.

Câmpul magnetic fiind descris de potenţialul vector A se spune că are ca-racter rotaţional, spre deosebire de câmpul electrostatic, care fiind descris de un potenţial scalar are caracter potenţial.

1.17.5. Ecuaţiile fundamentale ale magnetostaticii, problema generală a magnetostaticii

Observaţiile experimentale făcute asupra câmpului magnetic al curenţilor staţio-nari au relevat două proprietăţi ale acestuia :

liniile de câmp sunt curbe închise inducţia magnetică a unui conductor foarte lung, parcurs de curent electric sta-

ţionar, este invers proporţională cu distanţa dintre punctul de observaţie şi conductor Consecinţele acestor două proprietăţi sunt :

divergenţa inducţiei magnetice este nulă : 0 0

S

=⋅⇔=⋅∇ ∫ sBB d

rotorul inducţiei magnetice este proporţional cu densitatea de curent :

( )∫∫ ⋅µ=⋅⇔µ=×∇CS

dd sjlBjBC

Utilizând potenţialul vector, cele două legi pot fi reunite într-una singură : ( ) jAA µ−=⋅∇∇−∇2

Rezultă din cele spuse problema generală a câmpului magnetic al cu-renţilor staţionari : în condiţiile în care se cunoaşte distribuţia spaţială a curen-tului electric, precum şi valorile inducţiei magnetice (sau ale potenţialului vec-tor) şi derivatelor sale pe frontiera domeniului de integrare, câmpul magnetic din orice punct se poate determina ca soluţie unică a unui set de două ecuaţii vecto-riale cu derivate parţiale de primul ordin, sau ca soluţie unică a unei ecuaţii vec-toriale cu derivate parţiale de ordinul doi.

66

1.18. ELECTRODINAMICA

1.18.1. Fenomenul de inducţie electromagnetică, legea lui Faraday

După efectuarea unui mare număr de experimente s-au putut trage următoarele concluzii :

Într-un circuit electric închis, în care nu este intercalată nici-o sursă de curent electric, circulă totuşi curent electric dacă, separat sau simultan: ⇒ suprafaţa circuitului este deplasată, rotită sau deformată în prezenţa unui câmp magnetic staţionar ⇒ sursa de câmp magnetic este deplasată în raport cu circuitul ⇒ câmpul magnetic nu este staţionar (adică variază în timp)

dacă circuitul electric nu este închis, în toate cazurile menţionate, la bornele sale apare o tensiune electrică

Acest tip de fenomene a primit numele de

inducţie electromagnetică.

Eind

Eind

v

v

v

v

f

f

f

B

B

B

Pentru a determina formula matematică a fenomenului de inducţie electromagnetică vom discuta următorul experi-ment :

o bară dintr-un material conductor este deplasată cu vi-teza constantă v într-o direcţie perpendiculară pe lungimea l a barei

deplasarea se face într-un câmp magnetic uniform, ale cărui linii de câmp sunt perpendiculare atât pe vectorul viteză, cât şi pe lungimea barei Măsurătorile efectuate arată că în această situaţie între capetele barei apare o diferenţă de potenţial electric. Se pot face următoarele consideraţii :

existenţa diferenţei de potenţial poate fi atribuită produ-cerii unei separări de sarcină electrică

această separare de sarcină se poate produce numai prin deplasarea sarcinilor electrice libere între capetele conductorului

cauza deplasării este forţa Lorentz : f = qv×B

pe măsură ce sarcinile electrice se deplasează în interiorul barei, unul dintre ca-petele ei se încarcă pozitiv, iar celălalt se încarcă negativ

67

ca urmare, se instalează în conductor şi un câmp electric indus Eind, astfel încât un purtător de sarcină se va afla atât sub acţiunea forţei Lorentz, cât şi sub acţiunea unei forţe electrostatice :

Fe = qEind atâta timp cât cele două forţe nu sunt egale separarea sarcinii continuă, iar câm-

pul electric se intensifică starea de echilibru (deci şi separarea maximă de sarcină) se stabileşte dacă forţa

Lorentz şi forţa electrostatică îşi fac echilibrul : qv×B + qEind = 0

sau : Eind = v×B

Termenul v×B are semnificaţia unui câmp electric imprimat, adică a unui câmp electric de natură neelectrostatică, sub acţiunea căruia se produce separa-rea de sarcină :

Eimpr = v×B Tensiunea electromotoare se defineş-te ca fiind circulaţia câmpului electric im-primat de-a lungul unei curbe. În cazul nostru, tensiunea electromotoare între punctele M şi N se poate calcula conform relaţiei :

( )

( )EMN imprM

N= ⋅E l ( )

( )

( )

M

Nd d= × ⋅∫ ∫ v B l

Considerând conturul închis MNPQM, constituit de poziţia iniţială a barei, traiec-toriile celor două capete şi poziţia finală, observăm că pe porţiunea NPQM nu exis-

tă purtători de sarcină liberi (ceea ce echivalează cu a lua v = 0), astfel încât putem scrie :

M Q

P N s

x

l

dl ds

dx

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( ) ( )

( )

( )v B l v B l v B l× ⋅ = × ⋅ + + + = ×∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫d d

M

N

N

P

P

Q

Q

M

M

N0 0 0 ⋅ d

Deci:

( ) ( )( )

( )E E= ⋅ = × ⋅ = × ⋅ =∫ ∫ ∫E l v B l v B limpr M

NMNd d d

Deoarece atât v cât şi B sunt vectori constanţi pe curba MN, rezultă :

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )v B l v B l v B l× ⋅ = × ⋅ = × ⋅∫ ∫d dM

N

M

N

În conformitate cu proprietăţile produsului mixt al vectorilor, putem scrie :

( )( )

( ) ( )v B l B v l× ⋅ = − ⋅ ×∫ dM

N

Vectorii B şi l nu depind de timp, iar v = dx/dt, astfel încât rezultă :

( )( )

( ) ( )[ ]v B l B x l B x× ⋅ = − ⋅ ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − ⋅ ×∫ d ddt

ddtM

Nl

Dar :

68

x l S s× = = ∫ dSMNPQM

Iar : ( )B x l B s⋅ × = ⋅ ∫ d

SMNPQM

Câmpul magnetic este uniform şi, prin urmare, constant pe suprafaţa SMNPQM, ceea ce implică :

B s B s⋅ = ⋅ =∫ ∫d dS SMNPQM MNPQM

Φ

Φ fiind fluxul de inducţie magnetică prin suprafaţa mărginită de conturul MNPQM. Concluzia acestui calcul poate fi scrisă sub o formă matematică mai condensată :

E = −ddtΦ

sau sub una mai explicită :

E l BimprC Sd d

ds

td

C⋅ = − ⋅∫ ∫

Tensiunea electromotoare indusă în lungul unei curbe închise este numeric egală cu viteza de variaţie a fluxului de inducţie magnetică prin suprafaţa mărgi-nită de curbă, luată cu semn schimbat.

Acesta este enunţul legii inducţiei electromagnetice, numită şi legea lui Faraday.

ds

B

dl

E (C)

Conform teoremei lui Stokes putem scrie :

( )E simprd d× ⋅E limprC SC⋅ = ∇∫ ∫

De asemenea, dacă considerăm că suprafaţa mărginită de contur nu variază în timp, iar inducţia magnetică depinde atât de timp cât şi de poziţia elementului de suprafaţă ds, pu-tem scrie :

ddt

dt

dS SC CB s B s⋅ = ⋅∫ ∫

∂∂

Cu aceste două observaţii se obţine relaţia locală :

∇ × = −E Bimpr t

∂∂

Intensitatea totală a câmpului electric este suma vectorială dintre intensitatea câmpu-lui electrostatic şi intensitatea câmpului imprimat :

E E E= +e static impr_ Deoarece :

∇ × =Ee static_ 0 Rezultă :

∇ × = ∇ × + ∇ × = ∇ ×E E E Ee static impr impr_

69

Sau :

∇ × = −E B∂∂t

relaţie care reprezintă forma locală a legii lui Faraday (sau legea Maxwell-Faraday). Forma integrală a acestei ecuaţii este :

E l B s⋅ = − ⋅∫ ∫d ddt

dC SC

1.18.1.1. Energia câmpului magnetic

Fie un circuit electric simplu, constituit dintr-o sursă de curent electric continuu, un re-zistor, un întrerupător şi conductoare de legătu-ră.

La închiderea circuitului, curentul electric, iniţial nul, va începe să crească, având la un moment dat valoarea i. Curentul electric ce trece prin conductoare-

le de legătură generează un câmp magnetic şi, implicit, un flux de inducţie magnetică prin suprafaţa mărginită de circuit.

R

B i

E0

k

S-a constatat că fluxul de inducţie magnetică prin suprafaţa cir-cuitului este proporţional cu intensitatea curentului electric, depinzând de asemenea de forma şi dimensiunile circuitului, ca şi de proprietăţile magnetice ale mediului înconjurător. Putem scrie :

Φ = Li unde constanta de proporţionalitate L înglobează informaţiile despre circuit şi mediu şi se numeşte inductanţa circuitului. În Sistemul Internaţional in-ductanţa se măsoară în henry, cu simbolul H.

În conformitate cu legea lui Faraday, dacă circuitul sau mediul nu se modifică în timp, rezultă că la variaţia intensităţii curentului electric din circuit se induce o tensi-une electromotoare :

( )E = − = − = −

ddt

d Lidt

L didt

Φ

adică : tensiunea electromotoare autoindusă într-un circuit electric închis este proporţională cu viteza de variaţie a intensităţii curentului electric din circuit. Această lege poartă numele de legea autoinducţiei.

Aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff în circuitul electric descris anterior, ob-ţinem :

E E0 + = Ri sau :

E0 − =L didt

Ri

În timpul (foarte scurt) dt prin circuit se transportă cantitatea de electricitate :

70

dq = i dt Înmulţind relaţia corespunzătoare teoremei lui Kirchhoff cu cantitatea de electricitate transportată prin circuit, obţinem :

E02idt Lidi Ri dt− =

Semnificaţia termenilor este următoarea : ⇒ E0idt : lucrul mecanic cheltuit de sursa de curent electric pentru transpor-

tarea prin circuit a sarcinii dq ⇒ Ri2dt : căldura degajată în rezistor la trecerea curentului electric i pe du-

rata intervalului de timp dt ⇒ Lidi : are semnificaţie fizică de energie, reprezentând diferenţa dintre

energia cedată de sursa de curent şi energia pierdută sub formă de căldură. Deoarece depinde de inductanţă, acest termen este în legătură cu câmpul magnetic generat de curentul din circuit şi poate fi considerat o măsură a energiei câmpului magnetic. Integrând termenul de energie magnetică, se obţine :

W Lidi LIm

I

= =∫0

2

2

adică : energia câmpului magnetic generat de un curent electric staţionar este proporţională cu pătratul intensităţii curentului şi cu inductanţa circuitului.

Ca şi energia câmpului electric, energia câmpului magnetic este repartiza-tă în întreg spaţiul ocupat de câmpul magnetic.

Putem demonstra această afirmaţie considerând un solenoid foarte lung, parcurs de curent electric staţionar. Inducţia câmpului magnetic din solenoid este :

B NIl

=µ

unde µ este permeabilitatea magnetică a miezului solenoidului, N este numărul de spire al solenoidului, iar I este intensitatea curentului electric prin fiecare spiră. Flu-xul de inducţie magnetică prin solenoid se obţine prin însumarea fluxurilor magnetice prin fiecare dintre spire :

Φ = NBS S fiind suprafaţa unei spire. Înlocuind în această relaţie expresia inducţiei magnetice obţinem :

Φ =µN S

lI

2

Rezultă de aici expresia inductanţei unui solenoid :

L N Sl

=µ 2

Energia câmpului magnetic este dată de relaţia :

W LI N SIl

NIl

Slm = = = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2 2 2 2

2 212

µ µµ

71

Observăm că Sl = V = volumul cuprins în interiorul solenoidului şi totodată zona în care câmpul magnetic este nenul. Deci :

W Bm = ⋅

2

2µV

Energia magnetică a unităţii de volum, numită şi densitate de energie magnetică, are expresia :

w W Bm

m= =V

2

2µ

adică : densitatea de energie magnetică într-un punct din spaţiu este proporţi-onală cu pătratul inducţiei magnetice şi invers proporţională cu permeabilitatea magnetică în acel punct.

1.18.2. Inducţia magnetoelectrică, curentul de de-plasare

Să analizăm o experienţă simplă :

se realizează un circuit electric închis, conţinând o sursă de curent electric alternativ, un condensator, con-ductoare de legătură şi un ampermetru

la închiderea circuitului, ampermetrul indică trece-rea unui curent electric, de intensitate i

în acelaşi timp un ac magnetic, plasat în apropie-rea circuitului, indică prezenţa câmpului magnetic Câmpul magnetic are linii de câmp închise. Putem cal-

cula circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe curba închisă C care este în acelaşi timp şi linie de câmp :

E i

H C

A

( )F = ⋅∫ H ld

C

În continuare, să considerăm în primul rând suprafaţa S1, mărginită de conturul C, care intersectează conduc-torul de legătură. Conform legii lui Ampère obţinem :

C

jc

S2

S1

H

( ) ( )F = ⋅ = ⋅∫ ∫H l jd c

C S1

= ≠sd i 0

Putem utiliza pentru integrare şi suprafaţa S2, mărginită tot de conturul C. Această suprafaţă trece printre armă-turile condensatorului şi nu intersectea-ză conductorii de legătură. Deoarece în

72

spaţiul dintre armăturile condensatorului se află un mediu dielectric, care nu permite trecerea curentului electric, rezultă că densitatea de curent în orice punct al suprafeţei S2 este nulă. Utilizând din nou legea lui Ampère, obţinem :

( ) ( )F = ⋅ = ⋅ =∫ ∫H l sd d

C S2

0 0

După cum se observă, cele două rezultate sunt contradictorii, ceea ce pune la îndoială valabilitatea legii lui Ampère şi, în general, a cunoştinţelor de magne-tism. Ce ar fi de făcut pentru a elimina contradicţia şi a găsi o expresie co-rectă a legii lui Ampère ?

Soluţia acestei probleme constă, formal, în a presupune existenţa

unui nou tip de curent electric, numit curent de deplasare, care trebuie să se bucure de următoarele proprietăţi : ⇒ densitatea totală de curent este suma dintre densitatea curentului de conducţie şi densitatea curentului de deplasare:

j j j= +c d ⇒ legea lui Ampère trebuie să includă contribuţia densităţii totale de cu-rent şi nu numai cea a densităţii de curent de conducţie:

( ) ( )H l j s⋅ = ⋅∫ ∫d dC SC

⇒ curentul de deplasare trebuie să aibă valori neglijabile în interiorul unui conductor parcurs de curent electric de conducţie:

( ) ( ) ( ) ( )j s j s j s j s⋅ = ⋅ + ⋅ ≈ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫d d d d

S cS dS cS1 1 1 1i

⇒ între plăcile condensatorului curentul de deplasare nu mai este neglija-bil, iar:

( ) ( )j s j s⋅ = ⋅ =∫ ∫d d

S dS2 2i

Dacă aceste condiţii sunt îndeplinite, contradicţia generată prin in-tegrarea pe suprafeţele S1 şi S2 este înlăturată, dar ne rămâne problema atri-buirii unui sens fizic noţiunii de „curent de deplasare”.

Explicaţia modernă a curentului de deplasare poate fi înţeleasă analizând evolu-ţia în timp a acumulării de sarcini de pe plăcile condensatorului şi a intensităţii câm-pului electric în spaţiul dintre ele :

fie un interval scurt de timp dt curentul electric de conducţie ic transportă în acest timp o sarcină dq = icdt pe

placa pozitivă densitatea superficială de sarcină creşte pe placa pozitivă cu cantitatea :

d dqS

σ =

S fiind aria suprafeţei plăci

73

modificarea densităţii de sarcină determină o variaţie a câmpului electric dintre plăci :

dE d=

σε

unde ε este permitivitatea electrică a dielec-tricului dintre armături. Având în vedere de-finiţia vectorului inducţie electrică D = εE, putem scrie :

dD dqS

=

dq i dt j Sdtd d

modificarea sarcinii electrice a armătu-rilor este echivalentă trecerii prin spaţiul din-tre armături a „curentului de deplasare” id, astfel încât :

= = Înlocuind în expresia vectorului inducţie electrică, rezultă :

j dDdtd =

ic ic

ic ic

E

E+dEσ+dσ -σ-dσ

id

-σ σ

Curentul de deplasare reprezintă de fapt viteza de variaţie a in-ducţiei câmpului electric dintre plăcile condensatorului.

Această concluzie se poate generaliza pentru cazul oricărui câmp electric varia-bil în timp şi spaţiu, obţinându-se :

j j D= +c t

∂∂

Noua formă a legii lui Ampère va fi :

( ) ( ) ( )H l j s D s⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫d d

td

C cS SC C

∂∂

sau :

( ) ( ) ( )H l j s D s⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫d d d

dtd

C cS SC C

Într-o formă simplificată se poate scrie :

F = +I ddt

eΦ

Tensiunea magnetomotoare de-a lungul unei curbe închise este numeric egală cu suma dintre intensitatea curentului electric de conducţie prin su-prafaţa mărginită de curbă şi viteza de variaţie a fluxului de inducţie elec-trică prin aceeaşi suprafaţă.

Această lege poartă denumirea de legea Maxwell-Ampère.

74

Se poate remarca că legea Maxwell-Ampère este asemănătoare legii Max-well-Faraday, în sensul că pune în evidenţă un fenomen de inducţie, şi anume apariţia tensiunii magnetomotoare într-un circuit magnetic în care variază fluxul de inducţie electrică. Din acest motiv legea Maxwell-Ampère se mai numeşte legea inducţiei magnetoelectrice (similar denumirii de „legea inducţiei elec-tromagnetice” în cazul legii Maxwell-Faraday)

Dacă se utilizează teorema lui Stokes :

( )( )( )

H l H s⋅ = ∇ × ⋅∫ ∫d dC SC

rezultă forma locală a legii Maxwell-Ampère :

∇ × = +H j Dc t

∂∂

1.19. ECUAŢIILE LUI MAXWELL Concluziile obţinute după studierea experimentală a fenomenelor electrice şi magnetice sunt cuprinse într-un grup de patru ecuaţii, numite în ansamblul lor ecuaţi-ile lui Maxwell. Merită remarcat faptul că meritul lui Maxwell a fost acela de a sinte-tiza în structura acestor ecuaţii un lung şir de rezultate experimentale şi de ipoteze fă-cute asupra naturii fenomenelor electromagnetice. În acest sens, contribuţia sa la dez-voltarea electromagnetismului poate fi comparată cu rolul pe care l-a avut Newton la edificarea mecanicii moderne sau Einstein la construirea mecanicii relativiste. Iată, pe scurt, forma matematică şi semnificaţia fizică a acestor ecuaţii :

forma locală :

∇ ⋅ =D ρ

forma integrală :

D s⋅ = ∫∫ d dSS

ρ VV

Ecuaţia Maxwell-Gauss Enunţ : fluxul de inducţie electrică printr-o suprafa-ţă închisă este numeric egal cu cantitatea de sarcină electrică conţinută în interiorul suprafeţei Semnificaţie : ecuaţia arată că sursa câmpului elec-trostatic o constituie sarcinile electrice libere, distri-buţia lor fiind descrisă de densitatea volumică de sar-cină liberă ρ.

forma locală :

∇ ⋅ =B 0

forma integrală :

B s⋅ =∫ dS

0

Enunţ : fluxul de inducţie magnetică printr-o su-prafaţă închisă este întotdeauna nul Semnificaţie : ecuaţia arată că nu există sarcină magnetică liberă. Cu alte cuvinte este imposibil să di-vizăm un magnet astfel încât să separăm un pol sud de un pol nord.

75

forma locală :

∇ × = −E B∂∂t

forma integrală :

E l B s⋅ = − ⋅∫ ∫d ddt

dC SC

Ecuaţia Maxwell-Faraday Enunţ : tensiunea electromotoare indusă de-a lungul unei curbe închise este numeric egală cu viteza de va-riaţie a fluxului de inducţie magnetică prin suprafaţa mărginită de curbă Semnificaţie : ecuaţia arată că un câmp magnetic va-riabil în timp este sursă de câmp electric neelectrostatic

forma locală :

∇ × = +H j D∂∂t

forma integrală :

H l j s D s⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫d d ddt

dC S SC C

Ecuaţia Maxwell-Ampère Enunţ : tensiunea magnetomotoare indusă de-a lun-gul unei curbe închise este numeric egală cu suma dintre intensitatea curentului electric de conducţie prin suprafaţa mărginită de curbă şi viteza de variaţie a fluxului de inducţie electrică prin aceeaşi suprafaţă Semnificaţie : ecuaţia arată că un câmp electric vari-abil în timp este sursă de câmp magnetic, dar şi cu-renţii electrici staţionari produc câmp magnetic

Acestor patru relaţii care sintetizează proprietăţile câmpului electromagnetic li se adaugă un număr de alte patru ecuaţii, care vor fi discutate în continuare:

(F E v B= + ×q )

Forţa Lorentz Semnificaţie : ecuaţia reprezintă, în fapt, relaţia de definiţie a intensităţii câmpului electric şi a inducţiei câmpului magne-tic, bazate, ca modalitate practică, pe măsurarea forţei ce acţi-onează asupra unei sarcini electrice de probă

D EB H

==

εµ

Semnificaţie : ecuaţiile reprezintă relaţii de material, care descriu legătura între mărimile ce caracterizează câmpul elec-tric (intensitatea E şi inducţia D) sau câmpul magnetic (inten-sitatea H şi inducţia B). În cazul cel mai general ε şi µ nu sunt simpli coeficienţi de proporţionalitate. În funcţie de natura substanţei considerate, ei pot fi mărimi tensoriale, iar valoa-rea lor poate depinde şi de intensitatea câmpului.

∂ρ∂t

+ ∇ ⋅ =j 0 Ecuaţia de continuitate Semnificaţie : ecuaţia de continuitate este expresia matema-tică a principiului conservării sarcinii electrice.

În principiu, în condiţiile în care distribuţiile de sarcini şi de curenţi electrici sunt cunoscute împreună cu constantele de material, ecuaţiile lui Maxwell permit de-terminarea valorilor câmpului electromagnetic în toate punctele spaţiului.

76

1.20. UNDE ELECTROMAGNETICE Să considerăm câmpul electromagnetic în vid. În acest caz nu există sarcini elec-trice libere şi nici curenţi electrici. Ecuaţiile lui Maxwell, adaptate la vid, au forma :

∇ ⋅ = ∇ × = −

∇ ⋅ = ∇ × =

D E B

B H D

0

0

∂∂

∂∂

t

t

Deoarece în vid : D EB H

==

εµ

0

0

ne rămâne :

∇ ⋅ = ∇ × = −

∇ ⋅ = ∇ × =

E E H

H H E

0

0

0

0

µ∂∂

ε∂∂

t

t

Să calculăm expresia : (∇ × ∇ )× E . Observăm că sunt posibile două căi de lucru

( ) ( )∇ × ∇ × = ∇ ∇ ⋅ − ∇ = −∇E E E2 2E ( )

( )

∇ × ∇ × = ∇ × −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

= − ∇ × = −

E H

H E

µ∂∂

µ∂∂

µ ε∂∂

0

0 0

2

2

t

0t t

Comparând rezultatele, obţinem :

∇ − =20 0

2

2 0E Eµ ε

∂∂t

Această ecuaţie este similară ecuaţiei de propagare a undelor :

∇ − =22

2

21 0E Ec t

∂∂

corespunzător unei viteze de fază :

c =1

0 0µ ε

În mod analog se poate obţine relaţia:

∇ − =20 0

2

2 0H Hµ ε

∂∂t

Concluzia este aceea că în vid, o perturbaţie electrică sau magnetică, produsă într-un anumit punct din spaţiu, se va propaga din aproape în aproape, cu viteza de fază c, prin intermediul câmpurilor electrice şi mag-netice variabile, care se generează reciproc. Ia naştere în acest mod o undă electromagnetică.

77

Fie în cele ce urmează o undă electromagnetică plană : ∂∂

µ ε∂∂

2

2 0 0

2

2 0E Ex t

− =

Se poate arăta că soluţia acestei ecuaţii (funcţia de undă) este de forma : ( )E E= u

unde : u x ct= −

Vom studia în continuare proprietăţile acestei soluţii : conform ecuaţiei :

( ) ( ) ( )∇ ⋅ = ⇒

−+

−+

−=E 0 0

∂∂

∂

∂∂

∂E x ct

xE x ct

yE x ct

zx y z

rezultă : ( )∂∂

E x ctx

x −= 0

sau : E consx t=

Deoarece unda electromagnetică se propagă doar graţie câmpurilor electrice şi mag-netice variabile, o componentă constantă nu prezintă importanţă, astfel încât putem alege :

E Ex y= ⇒ Ez= +0 E j k

Vectorul intensitatea câmpului electric al undei electromagnetice plane este perpendicular pe direcţia de propagare a undei.

Pentru simplificare vom folosi în continuare un sistem de axe de coordonate, astfel orientat încât vectorul E să fie paralel cu axa Ox :

E j= Ey conform ecuaţiei :

( )

∇ × = − ⇒

−

= −E Hi j k

Hµ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

µ∂∂0 0

0 0t x y z

E x ctt

y

rezultă : ( ) ( ) ( ) ( )∂∂

µ∂

∂∂

∂∂

∂E x ct

xH x ct

tH x ct

tH x ct

ty x y z−

= −−

+−

+−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟k i j0 k

sau : ( )

( )constH

tctxH

constHt

ctxH

yy

xx

=⇒=∂

−∂

=⇒=∂

−∂

0

0

78

( ) ( )x

ctxEt

ctxH yz

∂

−∂=

∂−∂

µ− 0

Din aceleaşi motive pe care le-am prezentat anterior, putem lua Hx = Hy = 0, astfel încât :

H k= Hz

Intensitatea câmpului magnetic este perpendiculară atât pe direcţia de propa-gare a undei electromagnetice, cât şi pe direcţia vectorului intensitatea câmpului electric.

Cei trei vectori care caracterizează unda electromagnetică c (viteza de fază), E şi H sunt perpendiculari doi câte doi, formând un triedru drept.

H

E

c Putem observa că : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∂∂

∂

∂∂

∂∂∂

E x ctx

E x ct

dE udu

ux

dE udu

tdE u

duut

cdE u

du

y y y

y y y

= =

= = −

−

−

sau : ( ) ( )∂∂

∂∂

E x ctx c

E x ctt

y y−= −

−1

Atunci : ( ) ( )

−−

=−

⇒ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⇒ =µ∂

∂∂

∂∂∂

µµ0 0

0

1 0 1H x ctt

E x ctx t

Hc

E Hc

Ez yz y z y

Înlocuind expresia vitezei de fază, se obţine :

H Ez y=εµ

0

0

Cum : E E E E E H H H H Hx y z y x y z= + + = = + + =2 2 2 2 2 2; z

rezultă :

H E=εµ

0

0

Intensitatea câmpului magnetic şi intensitatea câmpului electric ale unei unde electromagnetice sunt proporţionale.

Densitatea de energie magnetică a undei electromagnetice este ega-

lă cu densitatea de energie electrică, aşa cum rezultă din calculul următor :

79

w H E E wm e= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

µ µ εµ

ε02

0 0

0

20

2

2 2 2

Densitatea totală de energie a undei electromagnetice este : w w w w w Ee m e m= + = = =2 2 0

2ε

Să considerăm în continuare un element de volum dV = dxdydz, străbătut de unda electromagnetică. Notăm densitatea curentu-lui de energie al undei cu Y.

dz

dy dx

Y(x) Y(x+dx) Prin definiţie, densitatea curentu-

lui de energie reprezintă cantitatea de energie transportată de undă în unitatea de timp, normal prin unitatea de su-prafaţă :

Y dWdtdSn

=

În elementul de volum dV pătrunde în intervalul de timp dt cantitatea de energie: ( )dW Y x t dydzdt1 = ,

şi iese cantitatea de energie : ( )dW Y x dx t dydzdt2 = + ,

Bilanţul de energie arată că în urma acestor procese densitatea de energie din elemen-tul de volum trebuie să crească cu cantitatea :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]w x t dt w x t dW dWd

Y x t Y x dx t dydzdtdxdydz

, ,, ,

+ − =−

=− +1 2

V

Dezvoltând în serie şi limitându-ne la prima aproximaţie, rezultă : ∂∂

∂∂

wt

Yx

= −

Având în vedere că în cazul undei plane : ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂t

ut

ddu

c ddu x

ux

ddu

ddu

= = − = =;

putem rescrie relaţia între densitatea de energie şi densitatea curentului de energie sub forma :

c dwdu

dYdu

=

Integrând, obţinem : Y wc w= ⇒ =Y c

Deci : densitatea curentului de energie al undei electromagnetice este proporţional cu densitatea de energie a undei şi cu viteza sa de fază.

Mai putem observa că :

80

E H j k i i c× = × = = =E H w w w wy ze m2 2

0 0 0 0ε µ ε µ

Deci : Y E H= ×

Densitatea curentului de energie al undei electromagnetice mai poartă denumirea de vectorul Poynting. Vectorul Poynting poate fi cal-culat ca produsul vectorial dintre intensitatea câmpului electric al un-dei electromagnetice şi intensitatea câmpului ei magnetic.

1.20.1. Clasificarea undelor electromagnetice Formele şi manifestările radiaţiei electromagnetice sunt foarte numeroase. Cu toate acestea, elementul comun este interacţiunea radiaţiei cu sarcinile electrice sau, invers, generarea radiaţiei de către sarcinile electrice în mişcare. La frecvenţe relativ mici (sub 1012 Hz) interacţiunea radiaţie-sarcină are loc la nivelul electronilor de con-ducţie din metale sau al electronilor liberi şi ionilor din mediu. În acest caz, fenome-nele tipice sunt undele radio, undele radar sau microundele. Între 1012 Hz şi 1014 Hz (domeniul radiaţiilor infraroşii) interacţiunile privesc rotaţiile şi vibraţiile molecule-lor, ca şi oscilaţiile atomilor din nodurile reţelei cristaline. Fenomenele legate de tranziţiile pe care le suferă electronii componenţi ai atomilor corespund frecvenţelor începând cu domeniul vizibil şi terminând cu razele X. În fine, radiaţiile gamma sunt asociate fenomenelor la care participă sarcinile conţinute în nucleul atomic.

81

2. LUMINA

Există dovezi experimentale care permit să se afirme că lumina este formată din radiaţii electromagnetice cu lungimea de undă cuprinsă între 400 şi 700 nm.

2.1. NOŢIUNI DE FOTOMETRIE

SUBIECTIVITATEA PERCEPŢIEI VIZUALE

Cuvinte cheie Flux energetic şi flux luminos Intensitate energetică şi inten-

sitate luminoasă Iluminare energetică şi lumi-

noasă

Ochiul uman nu are aceeaşi sensibilitate faţă de lumină, indiferent de culoarea sau intensitatea ei. Vederea nocturnă este monocromă, iar cea di-urnă este policromă. În vederea diurnă, ochiul este sensibil la radiaţiile luminoase cu lungimea de undă între 400 (roşu) şi 700 (violet) nm, maximul de sen-sibilitate situându-se la 550 nm (verde).

Din punct de vedere obiectiv, orice radiaţie electromagnetică este caracterizată de densitatea curentu-lui de energie (vectorul Poynting). Cu toate acestea, ochiul uman nu este capabil să aprecieze ca la fel de intense radiaţii luminoase carac-terizate de aceeaşi valoare a densi-tăţii curentului de energie, dar care au frecvenţe (culori) diferite. Această caracteristică a ochiului poate fi măsurată şi reprezentată sub forma curbei de sensibilitate

spectrală relativă.

Sens

ibili

tate

spec

trală

rela

tivă

700 600 500 400

diurn

0,80

1,00

nocturn

0,60

0,40

0,20 λ (nm)

MĂRIMI ENERGETICE ŞI FOTOMETRICE

Deoarece orice radiaţie (undă) electromagnetică este caracterizată obiectiv prin energia pe care o transportă, în câmpul luminos se pot defini mărimi fizice măsurabi-le, care, de regulă, ţin cont de energia transportată de radiaţia luminoasă. Acestea se numesc mărimi energetice. Pe de altă parte, efectul pe care lumina îl produce asupra ochiului depinde atât de energia radiaţiei luminoase, cât şi de culoarea (lungimea de undă a acesteia). Radiaţii electromagnetice la fel de energetice, dar de lungimi de un-dă diferite nu sunt percepute la fel de intens, iar în afara domeniului 400 – 700 nm nu

82

sunt percepute deloc. De aceea, este necesar ca fiecărei mărimi energetice să-i asoci-em o mărime fotometrică corespunzătoare, care să ţină cont de efectul produs asu-pra ochiului uman. Mărimile energetice şi cele fotometrice sunt proporţionale printr-un factor care depinde de curba de sensibilitate spectrală a ochiului.

PRINCIPALELE MĂRIMI ENERGETICE Fluxul energetic este cantitatea de energie transportată de radiaţia lumi-noasă printr-o suprafaţă dată în unitatea de timp :

dtdW

e =Φ Fluxul energetic

Se măsoară în watt. Intensitatea energetică este fluxul luminos energetic emis de o sursă în uni-tatea de unghi solid :

ΩΦ

=dd

I ee Intensitatea energetică

Se măsoară în watt pe steradian. Iluminarea energetică este fluxul luminos energetic prin unitatea de suprafaţă :

dSd

E ee

Φ= Iluminarea energetică

Se măsoară în watt pe metru pătrat. Sensibilitatea spectrală relativă a ochiului, V, este raportul între fluxul energetic al unei radiaţii luminoase cu lungimea de undă de 550 nm şi fluxul energetic al unei radiaţii luminoase oarecare, care produc aceeaşi senzaţie vizua-lă :

e

eVΦΦ

= 0 Sensibilitatea spectrală relativă

Sensibilitatea spectrală relativă este o mărime adimensională, pozitivă şi subunitară.

Fiecare mărime energetică are un corespondent fotometric : flux energetic ⇔ flux luminos

intensitate energetică ⇔ intensitate luminoasă iluminare energetică ⇔ iluminare (luminoasă)

RELAŢIA ÎNTRE FLUXUL ENERGETIC ŞI FLUXUL LUMINOS

Fluxul luminos este direct proporţional cu fluxul energetic şi cu sensibilita-tea spectrală a ochiului :

Φ = KVΦeConstanta de proporţionalitate K se numeşte echivalent fotometric al radiaţiei şi are valoarea : K = 675 lm/W.

83

Intensitatea luminoasă I este mărime fizică fundamentală. Se măsoară în candele (cd).

Prin definiţie, candela este intensitatea luminoasă, într-o direcţie dată, a unei surse de radiaţie monocromatică cu frecvenţa de 540⋅1012 Hz şi care, în direcţia dată, are intensitatea energetică de 1/683 watt/steradian.

Unitatea de măsură a fluxului luminos se numeşte lumen (lm): 1 lm = 1 cd ⋅ 1 sr

Unitatea de măsură a iluminării se numeşte lux (lx): 1 lx = 1 lm / 1 m2

2.1.1. Sursa luminoasă punctiformă În cazul unei surse luminoase punctiforme, a cărei intensitate lumi-noasă nu depinde de direcţie, fluxul lu-minos total este :

E

Sursă luminoasă punctiformăI

r α α

Φ Φ = 4πI În cazul unei surse luminoase punctiforme, a cărei intensitate lumi-noasă nu depinde de direcţie, iluminarea unui punct aflat pe o anumită suprafaţă, la distanţa r, este :

α= cosrIE 2

2.2. DOVEZI EXPERIMENTALE ÎN SPRIJI-NUL IPOTEZEI NATURII ONDULATORII A FE-

NOMENELOR LUMINOASE În istoria fizicii au existat controverse privind natura fenomenelor luminoase. În acest sens, există două ipoteze :

Lumina este formată dintr-un flux de corpusculi (are natură corpusculară). Primul care a enunţat şi s-a folosit de această ipoteză a fost Isaac Newton.

Lumina este o undă (are natură ondulatorie) În decursul timpului au apărut mai întâi dovezi experimentale în sprijinul celei de-a doua ipoteze. Principalele fenomene care confirmă această teorie sunt : interfe-renţa, difracţia şi polarizarea.

84

2.2.1. Interferenţă Conform ipotezei privind natura ondulatorie, electromagnetică a fenomenelor luminoase şi a rezultatelor experimentale, se poate trage concluzia că efectul exercitat de lumină asupra ochiului sau aparatelor de măsură se datorează în principal compo-nentei electrice a câmpului electromagnetic. Din acest motiv, vectorul intensitatea câmpului electric al undei electromagnetice a primit denumirea de vector luminos. Unda luminoasă plană poate fi descrisă de ecuaţia :

E E= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0 2sin π

λtT

x

unde : E0 este amplitudinea vectorului luminos T este perioada undei luminoase λ este lungimea de undă a luminii, cu λ = cT c este viteza de fază a undei luminoase x este distanţa faţă de sursa de lumină t este momentul de timp Într-un punct fixat din spaţiu are loc o oscilaţie de ecuaţie :

E E= +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= =0 0 02 2sin π

ϕ ϕπλ

tT

cu x const

Măsurătorile arată că perioada de oscilaţie a undelor luminoase are valori extrem de mici: T ≅ 10-16 s. Din acest motiv nici-un instrument de măsură nu poate sesiza varia-ţia câmpului electric, ci doar efectul mediu al câmpului electric. Rezultă că responsa-bilă de „tăria” luminii este densitatea medie de energie a câmpului electromagnetic :

( )wT

w t dtt

T

= ∫1

0

Se ştie că densitatea de energie a câmpului electromagnetic al unei unde elec-tromagnetice depinde de intensitatea câmpului electric după relaţia :

w E E tT

= = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ε επ

ϕ202 2

02sin

Rezultă :

w ET

tT

dt ET

tT dtt

T T

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

∫ ∫ε π

ϕε

πϕ

02

20

0

02 0

0

2 1 2 2

2sin

cos

sau :

w Et =

ε 02

2

adică : densitatea medie de energie a câmpului luminos este proporţională cu pătratul amplitudinii vectorului luminos.

Ochiul uman este un instrument de măsură subiectiv, senzaţia de „tărie” fiind proporţională cu densitatea medie de energie electromagnetică, dar depinzând în mare

85

măsură de lungimea de undă (sau „culoarea”) luminii. De aceea în fotometrie se folo-seşte noţiunea de intensitate luminoasă :

20E~w~I t

Deci : intensitatea luminoasă este proporţională cu pătratul amplitudinii vec-torului luminos.

Fenomenul de interferenţă poate fi caracterizat astfel :

⇒ este observabil într-o zonă a spaţiului în cazul suprapunerii a două sau mai multe radiaţii luminoase care provin de la aceeaşi sursă de lumină.

⇒ câmpul de interferenţă (adică zona de suprapunere a radiaţiilor luminoase) are aspectul unui set de curbe, denumite franje de interferenţă, colorate în mod diferit dacă se foloseşte lumină albă sau de luminozitate diferită dacă se foloseşte lumină monocromatică. Pentru a explica fenomenul de interferenţă se porneşte de la teorema de su-perpoziţie a câmpurilor electrice. Astfel, intensitatea câmpului electric rezultant în punctul de suprapunere al undelor luminoase este :

E = E1 + E2Densitatea de energie luminoasă w este :

w E E Eε

= = + + ⋅212

22

1 22E E

Prin mediere în timp rezultă : w

E Ett t tε

= + + ⋅12

22

1 22 E E

Dacă termenul E E1 2⋅ t este nul interferenţa nu se observă pentru că intensitatea luminoasă va fi doar simpla însumare a intensităţilor luminoase ale celor două unde, iar franjele de interferenţă nu-şi fac apariţia. Din acest motiv termenul E E1 2⋅ t se numeşte termen de interferenţă.

Prima condiţie pentru ca termenul de interferenţă să fie nenul este aceea ca vectorii luminoşi E1 şi E2 ai celor două unde să nu fie perpendicu-lari unul pe celălalt. De aceea vom considera în continuare că vectorii lu-minoşi sunt paraleli :

E E E E1 2 1 2 1 2⇒ ⋅ = E E În consecinţă :

E E1 2 1 2 01 021

1

101

2

2

2022 2⋅ = = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥t t

t

E E E E tT

x tT

xsin sinπλ

ϕ πλ

ϕ

sau :

86

E E1 21 2

01 021

1

101

2

2

202

0

1 2 21 2

⋅ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥∫t

T

TE E t

Tx t

Tx dt

,sin sin

,

πλ

ϕ πλ

ϕ

unde T1,2 este perioada comună a celor două unde: T1,2 = n1T1 = n2T2. Observând că :

sin sin

cos cos

2 2

2 1 1 2 1 1

2

1

1

101

1

1

101

1 21

1 22

πλ

ϕ πλ

ϕ

π ϕ π

tT

x tT

x

tT T

tT T

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ϕ

unde :

ϕ πλ λ

ϕ ϕ ϕ πλ λ

ϕ ϕ12

2

1

101 02 2

2

2

1

101 022 2= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

x x x x;

şi considerând cantităţile ϕ1 şi ϕ2 constante în timp, rezultă două tipuri de soluţii : a) T1 ≠ T2 :

( )[ ]

E E1 201 02

1 2

1 21

1 2

1 22

1 2 0

01 02

1 2

1 2 1 1

1

2

2 1 1

2 1 1

2 1 1

2 1 1

22

2 1 1

1 2

⋅ =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

=− + −

−

t

T

E ET

tT T

T T

tT T

T T

E ET

n n

T T

,

,

sin sin

sin sin

,

π ϕ

π

π ϕ

π

π ϕ ϕ

π

( )[ ]

2

1 2 2 2

1 2

2

2 1 10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−+ + −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=sin sinπ ϕ ϕ

π

n n

T T

Deci : dacă perioadele celor două unde sunt diferite, termenul de interferenţă este nul !

b) T1 = T2 = T :

( )

E E1 201 02

10

20

01 021

2 2 01 021

24

24

4 2

⋅ = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

= −+ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

∫ ∫t

T TE ET

dt tT

dt

E ET

T

T

E E

cos cos

cossin sin

cos

ϕπ

ϕ

ϕπ ϕ ϕ

π ϕ

sau :

E E1 201 02 2

2

1

101 022

2⋅ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥t

E E x xcos πλ λ

ϕ ϕ

Se observă că de această dată termenul de interferenţă este, în general, nenul.

87

Deci : o altă condiţie necesară pentru a avea loc interferenţa este ca undele ca-re interferă să aibă perioade (sau frecvenţe) egale. De asemenea, condiţia ca ϕ1 şi ϕ2 să fie constante în timp, nu poate fi îndeplinită de două surse luminoase di-ferite, pentru care ϕ01 ± ϕ02 ≠ const. De aceea, singura posibilitate de a obţine experimental interferenţa este aceea ca razele de lumină care interferă să provină de la acelaşi punct al unei surse de lumină, caz în care ϕ01 - ϕ02 = 0.

În rezumat :

⇒ interferenţa luminii este pusă în evidenţă experimental dacă termenul de interferenţă este nenul E E1 2⋅ t ≠ 0. Pentru ca această condiţie să fie îndeplinită trebuie verificat un grup de criterii, care sunt următoarele :

⇒ vectorii luminoşi să aibă direcţii paralele ⇒ perioadele de oscilaţie ale undelor luminoase să fie egale ⇒ razele de lumină să provină de la acelaşi punct al sursei

Acest grup de criterii poartă denumirea generică de condiţiile de coerenţă, astfel încât, pe scurt, facem afirmaţia: pentru ca două unde lu-minoase să interfereze trebuie ca ele să fie coerente.

Să considerăm acum două raze de lumină coerente care de la sursă până în punc-tul de întâlnire au parcurs drumurile x1, respectiv x2. În acest caz termenul de interfe-renţă are expresia :

( )E E1 201 02 2 1

22

⋅ =−E E x x

cosπ

λ

Observăm că :

w w E Et t1 2

2012

022

4=

ε

Rezultând :

( )E E1 21 2 2 12

⋅ =−w w x xt t

επ

λcos

În aceste condiţii : ( )w w w w wx x

t t t t t= + +−

1 2 1 22 12

2cos

πλ

În funcţie de valoarea diferenţei de drum ∆x = x2 - x1 putem obţine două situaţii extreme :

⇒ dacă cos ,2 1 2 2π∆λ

π∆λ

π λx x k x k k= ⇒ = ⇒ = ∈∆ Z atunci :

( )w w w w wt t t t= + > +1 22

1 2 t

88

adică : dacă diferenţa de drum este egală cu un număr întreg de lungimi de undă atunci se obţine un maxim de interferenţă, intensitatea luminoasă fi-ind mai mare decât suma intensităţilor luminoase ale celor două unde.

⇒ dacă ( ) ( )cos ,2 1 2 2 1 2 12

π∆λ

π∆λ

πλx x k x k= − ⇒ = + ⇒ = + ∈∆ Zk

atunci :

( )w w w w wt t t t= − < +1 22

1 2 t

adică : dacă diferenţa de drum este egală cu un număr impar de semilungimi de undă atunci se obţine un minim de interferenţă, intensitatea luminoasă fiind mai mică decât suma intensităţilor luminoase ale celor două un-de.

În particular, dacă w wt t1 = 2 , maximele de interferenţă au o intensitate lumi-noasă de două ori mai mare decât simpla sumă a intensităţilor luminoase ale undelor, iar minimele de interferenţă sunt nule. În câmpul de interferenţă are loc o variaţie continuă a intensităţii luminoase între punctele de maxim şi punctele de minim.

Locul geometric al punctelor din câmpul de interferenţă care au iluminări egale formează o curbă denumită franjă de interferenţă. Franjele de maxim de interferenţă alternează cu cele de minim, formându-se o figură caracteristică, cu aspect striat.

Fenomenul de interferenţă nu presupune crearea sau distrugerea de ener-gie, cum ar lăsa impresia existenţa maximelor şi minimelor luminoase, ci doar simpla redistribuire a energiei undelor ce interferă.

Obţinerea experimentală a interferenţei este condiţionată de procesele prin care are loc emisia luminii. Acestea se produc la nivelul atomilor şi constau în dezexcitarea energetică a acelor atomi care anterior dobândiseră, pe o cale sau alta, o cantitate de energie suplimentară faţă de starea lor fundamentală. Procesele de dezexcitare durează un timp de aproximativ 10-8 s. În acest timp unda electromagne-tică emisă parcurge o distanţă:

d = c∆t = 3 108 m/s 10-8 s = 3 m Această perturbaţie electromagnetică cu extindere spaţială finită poartă denumirea de tren de unde. Lumina emisă de un corp se compune dintr-un număr foarte mare de trenuri de unde, a căror emisie are loc perfect dezordonat. Din acest motiv, la întâlni-rea trenurilor de unde provenind din dezexcitarea diferiţilor atomi ai sursei, condiţia privind constanţa în timp a diferenţei de fază nu poate fi îndeplinită. De aceea, pentru obţinerea interferenţei trebuie ca lumina care provine de la fiecare atom să fie diviza-

89

tă, iar componentele obţinute să parcurgă drumuri diferite înainte de a se reîntâlni în punctul de interferenţă.

Trenurile secundare de unde se suprapun şi se produce interferenţa

d

d d

d s2

s1

d

A

Trenurile secundare de unde nu se suprapun şi nu

are loc interferenţa

d

d d

d s2

s1

d

A

Pentru exemplificare, să urmărim evoluţia în timp a trenului de unde emis de atomul A. Acesta este divizat în două trenuri de unde secundare, având aceeaşi lungime d şi care parcurg drumurile s1, respectiv s2, înainte de a căpăta din nou aceeaşi direcţie de propagare. Dacă diferenţa de drum s1 - s2 este mai mică decât lungimea trenurilor de unde, atunci trenurile de unde se vor suprapune pe o anumită porţiune, ceea ce permi-te obţinerea interferenţei. În cazul contrar interferenţa nu se produce. Aceasta în-seamnă că dimensiunile dispozitivelor interferenţiale, şi implicit diferenţa de drum dintre fascicolele de lumină ce interferă, sunt limitate superior de o mărime denumită lungime de coerenţă.

2.2.2. Difracţie Fenomenul de difracţie poate fi caracterizat astfel :

⇒ este observabil ca urmare a trecerii luminii prin orificii de mici dimensiuni sau în cazul în care în calea razelor de lumină se plasează obstacole de mici dimensi-uni.

⇒ se manifestă prin aceea că la plasarea unui ecran în spatele obstacolului sau a fantei se obţine o imagine cu dimensiuni mult mai mari decât cele aşteptate, însoţită de franje de interferenţă.

Baza teoretică a explicării fenomenului de difracţie este principiul Huygens-Fresnel.

Acesta cuprinde următoarele afirmaţii :

90

toate punctele aflate pe frontul de undă (adică toate punctele având la un moment de timp dat aceeaşi fază de oscilaţie) sunt surse secundare de unde sferice

undele secundare ce se propagă în sens invers nu se iau în consideraţie

înfăşurătoarea undelor secunda-re, la un moment de timp ulterior, re-prezintă noul front de undă

undele secundare sunt coerente amplitudinea fiecărei unde se-

cundare este proporţională cu mări-mea ariei elementului de suprafaţă care o generează

M

S

t+dt t

efectul luminos într-un punct din spaţiu este rezultatul interferenţei tutu-ror undelor secundare ce sosesc în acel punct După cum se poate vedea din figurile alăturate, în cazul trecerii unei unde plane printr-un orificiu, efectul de „împrăştiere” produs de difracţie este mult mai accentuat dacă orificiul este îngust (cazul B), decât dacă el este larg (cazul A). Comparativ (ca-zul C) este prezentată propagarea în absenţa difracţiei.

C. Propagare fără difracţie B. Orificiu îngust A. Orificiu larg

2.2.3. Polarizarea luminii Undele electromagnetice sunt unde transversale, ceea ce înseamnă că direcţia de oscilaţie a vectorului luminos (vectorul intensitatea câmpului electric al undei) este perpendiculară pe direcţia de propagare. Atunci când direcţia de propagare este fixa-tă, vectorul câmp electric al undei poate avea orice orientare în planul perpendicular direcţiei de propagare. Deoarece emisia luminii se face la nivelul atomilor care com-pun sursa de lumină prin procese absolut aleatoare, rezultă că nu există o direcţie pre-ferenţială de orientare a vectorului luminos. Dacă am construi locul geometric al vâr-furilor vectorilor luminoşi ai undelor care compun un fascicul paralel de lumină natu-rală, am obţine un cerc. Spunem, în acest caz, că lumina este nepolarizată.

91

Prin anumite procedee experimentale există posibilitatea de a face ca undele care compun un fascicul paralel de lumină să aibă o orientare prefe-renţială a vectorului luminos. În aceste cazuri locul geometric al vârfurilor vectorilor luminoşi este o elipsă (situaţie în care lumina este parţial polari-zată), sau o dreaptă (caz numit lumină total pola-rizată).

E

c

B

Obţinerea luminii polarizate se poate face în mai multe moduri, dintre care se pot aminti: polari-zarea prin reflexie, polarizarea prin dublă refracţie şi utilizarea fenomenului de dicroism.

E E E

2.3. DOVEZI EXPERIMENTALE ÎN SPRIJI-NUL IPOTEZEI NATURII CORPUSCULARE A

FENOMENELOR LUMINOASE

2.3.1. Experimentul Franck-Hertz, ipoteza cuantelor de lumină

Experimentul Franck-Hertz a

fost conceput pentru a furniza infor-maţii asupra modului în care atomii absorb energie. Procesul fizic prin ca-re se transferă energie atomilor este ciocnirea inelastică dintre un elec-tron, accelerat în câmp electric, şi un atom. Pentru a obţine acest rezultat s-a folosit un dispozitiv experimental compus din următoarele elemente :

un tub de descărcare, vidat în prealabil şi apoi încărcat cu vaporii unui element chimic la presiune scă-zută (de exemplu, vapori de mercur)

doi electrozi, aflaţi în interiorul tubului de descărcare şi alimentaţi de la o sursă de curent continuu cu ajutorul unui montaj potenţiometric, prevăzut cu un reostat, pentru a asigura o tensiune electrică reglabilă

- +

- +v v Hg

e-

Hg e-e-

mAV

92

un circuit electric de încălzire a catodului tubului de descărcare un miliampermetru pentru măsurarea curentului electric de descărcare din tub şi

un voltmetru pentru măsurarea tensiunii dintre electrozi

Rezultatele experimen-tale pot fi sintetizate astfel :

⇒ dacă tubul este vidat curentul electric creşte pro-porţional cu puterea 3/2 a tensiunii aplicate

⇒ în prezenţa vaporilor, caracteristica curent-tensiune

prezintă maxime şi minime

I(mA)

4,9 9,8U(V)

caracteristica tubului vidat

caracteristica prevăzută

caracteristica reală

⇒ diferenţa de tensiune dintre minimele succesive depinde de natura vaporilor. Astfel, pentru vaporii de mercur această diferenţă are valoarea de 4,9 V.

⇒ minimele corespunzătoare valorilor mai ridicate ale tensiunii de alimentare sunt caracterizate de valori mai mari ale intensităţii curentului

⇒ până la apariţia primului minim de curent vaporii din tubul de descărcare nu emit lumină, dar apoi conţinutul tubului devine luminos. Lumina emisă de vaporii din tub este monocromatică.

⇒ raportul dintre frecvenţa luminii emise şi valoarea tensiunii electrice de acce-lerare corespunzătoare primului minim de curent este o constantă care nu depinde de natura chimică a vaporilor folosiţi

Interpretarea acestor rezultate este aceea că atomii absorb şi emit energie doar în cantităţi bine determinate, sau, altfel spus, atomii absorb sau emit energie numai în „porţii” a căror valoare depinde doar de natura atomului. Dacă această afirmaţie nu ar fi adevărată, caracteristica curent-tensiune a tubului de descărcare, în prezenţa vaporilor, ar fi trebuit să fie asemănătoare cu cea din ca-zul tubului vidat, cu deosebirea că prin transferul de energie de la electroni la atomi viteza medie a electronilor ar fi mai mică, ceea ce ar conduce la o creştere mai lentă a curentului din tub. Pe de altă parte, la tensiuni de accelerare mici, curba obţinută în prezenţa vaporilor se suprapune perfect peste curba corespun-zătoare vidului, ceea ce arată că prin ciocniri electronii nu pierd energie (ciocni-rile sunt perfect elastice). Primul minim de curent se explică prin aceea că atomii pot prelua (în cazul mercurului) o cantitate de energie :

ε = eU = 4,9 eV În urma ciocnirii electronii îşi pierd întreaga energie cinetică, ceea ce explică scăderea până aproape de zero a curentului. La tensiuni de accelerare mai mari electronii pierd aceeaşi cantitate de energie (4,9 eV), iar cantitatea de energie ci-netică pe care o păstrează creşte proporţional cu tensiunea, fapt care explică mă-rirea curentului din tub. La tensiunea de 9,8 eV, prin două ciocniri succesive, electronul poate pierde din nou întreaga sa energie cinetică, ceea ce explică apa-

93

riţia noului minim de curent. Deoarece nu toţi electronii suferă în mod obligato-riu două ciocniri consecutive, valoarea minimă a intensităţii curentului este mai ridicată decât în cazul minimului precedent.

Faptul că tubul devine luminos după apariţia primului minim de curent se poate explica prin aceea că atomii, după ce au absorbit energie, trec într-o stare excitată, instabilă, din care revin în starea fundamentală prin eliberarea energiei absorbite, sub forma radiaţiei luminoase.

O ipoteză firească este aceea că dacă atomii absorb energie în „porţii” bine stabi-lite, ei pierd energia tot în astfel de „porţii”. Cum eliberarea energiei are loc sub for-ma radiaţiei luminoase, rezultă că lumina este formată din „pachete” sau „porţii” de energie numite cuante de lumină sau fotoni.

Putem astfel spune că lumina are o structură corpusculară (ipoteză ca-re este în complet dezacord cu ipoteza naturii ondulatorii a luminii). Mai mult, există o legătură între energia fotonului şi o caracteristică specifică undelor lu-minoase : frecvenţa.

În adevăr, experimentul Franck-Hertz dovedeşte că raportul dintre tensiunea co-respunzătoare primului minim de curent şi frecvenţa radiaţiei luminoase emise este o constantă care nu depinde de natura chimică a vaporilor :

.constU=

ν

Înmulţind această relaţie cu valoarea sarcinii electronului şi notând constanta rezulta-tă cu h, obţinem :

hheU=

νε

⇒=ν

sau : ν=ε h

Deci : energia unui foton este proporţională cu frecvenţa radiaţiei lumi-noase a cărei constituent este.

Constanta de proporţionalitate h se numeşte constanta lui Planck şi are valoarea :

h = 6,62⋅10-34 Js Ipoteza cuantelor de lumină a fost formulată pentru prima oară de Max Planck, care a arătat că între mărimile caracteristice corpusculilor de lumină (energia şi im-pulsul) şi mărimile caracteristice unei unde (frecvenţa şi lungimea de undă) există re-laţiile :

ν=ε h Energia fotonului

94

λ=

hp Impulsul fotonului

2.3.2. Efectul fotoelectric extern Efectul fotoelectric extern este fenomenul prin care, ca urmare a

iluminării unui conductor, acesta emite electroni. Dispozitivul experimental cu ajutorul căruia se poate pune în evidenţă efectul fo-toelectric extern are următoarea alcătuire :

un tub de descărcare vidat, care con-ţine doi electrozi şi este prevăzut cu o fe-reastră transparentă prin care poate fi lu-minat catodul

un montaj electric care cuprinde o sursă de curent electric continuu şi un re-ostat, permiţând aplicarea unei tensiuni va-riabile la bornele tubului

un voltmetru pentru măsurarea tensi-unii la bornele tubului şi un miliamperme-

tru pentru măsurarea intensităţii curentului din tub

V

mAe-v K A

Experienţele efectuate cu lumină monocromatică au arătat că dacă efec-tul fotoelectric se produce, la tensiuni pozitive mari aplicate tubului curentul electric nu poate depăşi o anumită va-loare, denumită curent de saturaţie. Pe de altă parte, la aplicarea unei ten-siuni negative se poate obţine anularea

curentului dacă tensiunea depăşeşte o anumită valoare, numită tensiune de stopare.

ν2>ν1

Isat

E1

ν1>ν0

ν0

Uf2 Uf1 O

I

U

Trecerea curentului electric prin tub este dovada directă a faptului că elec-trodul iluminat emite electroni (când catodul nu este luminat curentul electric prin tub este nul indiferent de tensiunea aplicată).

Legile experimentale ale efectului fotoelectric pot fi formulate după cum urmea-ză :

I. Dacă efectul fotoelectric se produce, atunci intensitatea curentului de satu-raţie este proporţională cu fluxul de lumină monocromatică incident pe catod.

II. Pentru ca efectul fotoelectric să apară este necesar ca frecvenţa luminii mo-nocromatice folosite să fie superioară unei anumite valori, denumită „frecvenţă de prag”. Valoarea frecvenţei de prag depinde de natura materialului din care este confecţionat catodul.

95

III.Tensiunea de stopare este direct proporţională cu frecvenţa luminii mo-nocromatice folosite, dacă aceasta este superioară frecvenţei de prag.

IV.Emisia electronilor are loc practic simultan cu iluminarea catodului, dacă frecvenţa luminii este superioară frecvenţei de prag. Legile II şi III sunt reprezentate în graficul alăturat şi pot fi puse sub forma ma-tematică:

.constLeU extf =

ν+

Valoarea constantei nu depinde de natura catodului, fiind egală cu constanta lui Planck h. Rezultă :

νCs νNa νZn

eUf

ν α α α

Cs Na Zn fext eULh +=ν Constanta de material Lext se nu-meşte lucru mecanic de extracţie deoarece, dimensional, are semni-ficaţia de energie. Se observă că frecvenţa de prag depinde de lu-crul mecanic de extracţie conform relaţiei :

-LCs

-LNa

hLext

p =ν-LZn

Explicarea legilor experimentale ale efectului fotoelectric pe baza teoriei naturii ondulatorii a luminii eşuează, cu excepţia primei legi. În schimb, teoria corpusculară permite o explicaţie foarte simplă, formulată pen-tru prima oară de Einstein pe baza ipotezei cuantelor de lumină a lui Planck. Conform celor afirmate de Einstein termenul hν reprezintă energia unui foton. Acest foton su-feră o ciocnire plastică cu un electron al unui atom al materialului catodului. Fotonul este absorbit, iar în urma interacţiunii electronul se separă de atomul din care făcea parte şi poate părăsi materialul. Consumul de energie pentru smulgerea electronului din atom şi ieşirea din material este măsurat de lucrul mecanic de extracţie. Restul din energia dobândită de electron se regăseşte ca energie cinetică a acestuia. Legea con-servării energiei arată că :

2

2vmLh eext +=ν

Explicarea legilor efectului fotoelectric devine în acest moment extrem de facilă : I. Cu cât intensitatea luminii este mai mare cu atât numărul fotonilor incidenţi este

mai mare şi deci numărul de ciocniri şi cel de electroni eliberaţi creşte II. Dacă energia fotonului nu este suficientă pentru a smulge electronul din atom

este evident că efectul fotoelectric nu se poate produce. Deasemenea este evident că energia minimă necesară fotonilor depinde de natura atomilor materialului catodului

III.Conform teoremei variaţiei energiei cinetice, lucrul mecanic al forţelor electrice care acţionează asupra electronului aflat în interiorul tubului este o măsură a variaţiei

96

energiei sale cinetice. Curentul se anulează atunci când se anulează şi energia cinetică a electronilor:

fe eUvm

−=−2

02

astfel încât legea lui Einstein devine: fext eULh +=ν

având o formă identică cu legea experimentală a efectului fotoelectric IV.Interacţia foton-electron este un fenomen de foarte scurtă durată, ceea ce îm-

preună cu observaţia că viteza dobândită de electron are o valoare foarte mare, este în acord cu faptul că decalajul de timp între începerea iluminării catodului şi apariţia primilor fotoelectroni este extrem de scurt.

2.3.3. Radiaţia X de frânare

raze X

Radiaţiile X au fost obţinute pentru prima oară de Röntgen în anul 1895 într-un tub de descărcare alimentat la înaltă tensiu-ne (de la 10 până la 1000 kV). Analiza experimentală a radiaţiilor X a arătat că :

radiaţiile X nu sunt deviate de câmpu-rile electrice sau magnetice, şi deci nu au sarcină electrică generator de

tensiune radiaţiile X impresionează plăcile fo-tografice şi produc ionizarea gazelor

în condiţii adecvate se refractă sau se reflectă, pot interfera sau difracta, se pola-rizează, pe scurt, se comportă asemănător razelor de lumină

lungimea lor de undă este cuprinsă între 0,006 nm şi 12 nm

radiaţiile X sunt de fapt radiaţii elec-tromagnetice, ca şi radiaţiile luminoase Spectrele radiaţiilor X sunt, în gene-ral, spectre continue, dar, uneori, peste spectrul continuu se suprapune un spectru de linii, caracterizate de prezenţa unor pi-

curi de intensitate corespunzând unor lungimi de undă specifice materialului din care este confecţionat anodul.

λ(Å)

intensitate

0 0,2 0,4 0,6 0,8

97

Radiaţiile X cu spectru continuu se numesc radiaţii X de frânare, iar cele cu spectru de linii, radiaţii X caracteristice.

O observaţie interesantă a fost aceea că spectrul radiaţiilor X de frânare este ca-racterizat de o limită inferioară a lungimii de undă, care depinde invers proporţional de tensiunea de accelerare a electronilor din tubul de descărcare:

intensitate

λ(Å)

radiaţii X caracteristice

Radiaţii X de frânare

U~min

1λ

Apariţia radiaţiilor X de frânare poate fi justificată, utilizând modelul undelor electromagnetice, astfel :

⇒ electronii în mişcare sunt echiva-lenţi unui curent electric care generează un câmp magnetic

⇒ ciocnirea electronilor cu anodul are ca rezultat frânarea electronilor, şi, impli-cit, variaţia câmpului magnetic asociat curentului de electroni

⇒ câmpul magnetic variabil este sursa undelor electromagnetice care compun radiaţia X

⇒ spectrul continuu al radiaţiei X de frânare s-ar explica prin aceea că accelera-ţiile de frânare variază de la electron la electron, formând astfel un domeniu continuu de valori Această explicaţie nu poate însă oferi un motiv rezonabil pentru care lungi-mile de undă ale radiaţiei X de frânare să aibă o limită inferioară ! Prin urmare, teoria ondulatorie este incapabilă să justifice relaţia dintre valoarea minimă a lungimii de undă şi tensiunea de accelerare a electronilor. Conform teoriei cuantice, radiaţia X este formată din fotoni rezultaţi ca urmare a frânării electronilor. Procesul este „inversul” aceluia care are loc în cazul efectului fo-toelectric, în sensul că la interacţiunea electron-catod se generează un foton care preia o parte din energia cinetică a electronului (restul transformându-se în căldură) :

2

2vme≤ε

Deoarece energia cinetică a electronilor este cel mult egală cu lucrul mecanic făcut de câmpul electric de accelerare :

eUvme ≤2

2

iar, conform relaţiei lui Planck :

λ=ν=ε

hch

rezultă :

eUhc≤

λ

98

sau :

[ ] kVcunm23911C101,6

m/s103Js1062619-

834

==⋅⋅

⋅⋅⋅=≥λ

−

UU

,U

,eUhc

Această expresie teoretică este în deplin acord cu observaţiile experimentale. Spectrul caracteristic poate fi explicat într-o manieră asemănătoare cu cea utili-zată în cazul experimentului lui Franck şi Hertz: radiaţiile X caracteristice sunt rezul-tatul dezexcitării energetice a atomilor care au absorbit energie ca urmare a interacţi-unii cu electronii.

2.3.4. Efectul Compton

Efectul Compton este obser-vat ca urmare a împrăştierii radiaţii-lor X pe o placă subţire de grafit sau din alt material uşor (bor, parafină).

În cursul experimentului un fascicol para-lel de raze X monocromatice traversează plă-cuţa de grafit, fiind analizate la ieşire atât din punct de vedere al compoziţiei spectrale, cât şi al împrăştierii unghiulare. Legile experimenta-le ale efectului Compton arată că :

I. Radiaţia împrăştiată conţine şi raze X cu lungime de undă mai mare decât radia-ţia incidentă. Mai mult, creşterea lungimii de undă este proporţională cu cosinusul un-

ghiului de împrăştiere:

θ

raze X

detector

placă de grafit

( )θ−Λ=λ∆ cos1 II. Constanta de proporţionalitate, numită „lungimea de undă Compton”, este

o constantă universală (adică nu depinde de natura chimică a materialului îm-prăştietor) Valoarea experimentală a lungimea de undă Compton este :

Λ = 0,0024 nm Dacă se încearcă justificarea acestor legi experimentale utilizând teoria ondula-torie a radiaţiilor electromagnetice, rezultatul este un eşec (mai ales în ceea ce priveş-te apariţia radiaţiilor secundare a căror lungime de undă depinde de direcţia de îm-prăştiere). În schimb, utilizând teoria cuantică, rezultatul experimental poate fi expli-cat cu uşurinţă.

Compton a demonstrat teoretic legile efectului Compton, pornind de la următoarele ipoteze de lucru :

99

⇒ efectul Compton este rezultatul interacţiunii dintre fotoni şi electroni aparţi-nând atomilor plăcuţei împrăştietoare

⇒ în cazul lungimilor de undă compara-bile cu lungimea de undă Compton (λ≅0,01nm), energia fotonului este de ordinul

ϕ

θ

m , e-

m0 , e-

p = h/λ

p0 = h/λ0

ε = hν

ε0 = hν0

de mărime:

eV100,01nm

m/s103Js10626 5834

≅⋅⋅⋅

=ε

λ=ν=ε

−,

hch

⇒ această energie este de câteva zeci de mii de ori mai mare decât lucrul mecanic de extracţie întâlnit în cazul efectului fo-toelectric, iar ca urmare, în bilanţul energetic al interacţiunii foton-electron lucrul mecanic de extracţie poate fi neglijat

v

⇒ în aceste condiţii, interacţiunea foton-electron poate fi modelată ca o ciocnire perfect elastică între foton şi electronul liber, aflat în repaus

Dacă am considera că întreaga energie a fotonului se transferă electronului ca energie cinetică şi am calcula viteza electronului conform relaţiei din mecani-ca clasică :

2

2mv=ε

ar rezulta:

km/s000200kg109,1

eV10231-

5

.v ≅⋅⋅

=

Această valoare a vitezei este comparabilă cu viteza luminii şi, prin urma-re, legile mecanicii clasice nu mai pot fi considerate valabile. Din acest motiv energia totală a electronului trebuie calculată conform relaţiei lui Einstein :

2mcE = unde masa variază cu viteza după formula :

2

20

1cv

mm−

=

unde m0 este masa de repaus. În conformitate cu aceste consideraţii se pot scrie relaţiile pentru : - conservarea impulsului în cursul ciocnirii perfect elastice

vpp m+=0 - conservarea energiei în cursul ciocnirii perfect elastice

100

2200 mchcmh +ν=+ν

Relaţiile se pot rescrie ca :

⎩⎨⎧

−=ν−ν

=−2

02

0

0

cmmchh

mvpp

Ridicând la pătrat, obţinem :

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=νν−ν+ν

=θ−+⇒=⋅−+4

042

042

02222

02

220

220

220

220

22

22

cmmcmcmhhh

vmcosppppvmpp pp

Exprimând impulsul fotonului în funcţie de lungimea sa de undă şi scriind frecvenţa tot în funcţie de lungimea de undă, rezultă :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=λλ

−λ

+λ

=θλλ

−λ

+λ

40

420

42

0

22

2

22

20

22

22

0

2

2

2

20

2

22

2

cmmcmcmchchch

vmcoshhh

Împărţim a doua relaţie la c2, o scădem din prima şi obţinem :

( ) 20

220

2222

0

2

212 cmmcmcmvmcosh+−−=θ−

λλ

sau :

( ) 20

2202

222

0

2

2112 cmmcmcvcmcosh

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=θ−

λλ

Substituind masa electronului prin expresia sa relativistă, rezultă :

( ) 20

2202

2

2

2

220

0

2

211

12 cmmcmcv

cvcmcosh

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=θ−

λλ

sau :

( ) ( )20

20

0

2

1 cmmcmcosh−=θ−

λλ

Utilizând din nou ecuaţia corespunzătoare conservării energiei, rezultă :

( ) ( ν−ν=θ−λλ

hhmcosh00

0

2

1 )

Exprimând frecvenţa în funcţie de lungimea de undă, rezultă :

( ) ( )00

00

2

1 λ−λλλ

=θ−λλ

hcmcosh

sau, în final, expresia teoretică a legii efectului Compton :

( )θ−=λ−λ coscm

h 10

0

101

Această formulă teoretică este în foarte bună concordanţă cu legea experimentală. Prin calcul se poate găsi valoarea teoretică a lungimii de undă Compton, care este foarte apropiată de valoarea experimentală :

nm002420m/s103kg109,1

Js10626831-

34

0,,

cmh

=⋅⋅⋅

⋅==Λ

−

Razele X împrăştiate conţin şi radiaţii având aceeaşi lungime de undă ca şi radi-aţia incidentă, chiar dacă direcţia lor de propagare este schimbată. Explicaţia este aceea că fotonii pot interacţiona şi cu atomi, luaţi în întregul lor. Deoarece masa unui atom este de mii de ori mai mare decât a unui electron, lungimea de undă Compton asociată acestei interacţiuni este de câteva mii de ori mai mică decât cea corespunză-toare interacţiunii foton-electron, fiind practic neobservabilă.

2.4. CONCLUZII ÎN URMA STUDIULUI FE-NOMENELOR LUMINOASE

Există două modele distincte ale radiaţiilor luminoase : modelul ondulatoriu şi modelul corpuscular. Unele fenomene luminoase pot fi explicate utilizând ambele teorii (de exemplu, reflexia, refracţia, unele dintre legile radiaţiei termice). Alte fe-nomene luminoase pot fi explicate doar folosind modelul ondulatoriu (de exemplu, interferenţa, difracţia, polarizarea). În fine, există fenomene care nu pot fi explicate decât prin teoria fotonică (de exemplu, efectul fotoelectric, efectul Compton, legea distribuţiei spectrale a energiei radiate de corpul negru).

Această realitate ne face să susţinem că lumina este, la nivel de model, un dualism corpuscul-undă, în ciuda faptului că noţiunile implicate sunt contra-dictorii. În fond, aceste două concepte nu sunt decât nişte ipoteze simplificatoa-re, care expun o faţetă sau alta a unei realităţi fizice care este cu mult mai com-plexă. În acest context ar fi interesant de remarcat că aceeaşi radiaţie poate ma-nifesta atât proprietăţi ondulatorii, cât şi proprietăţi corpusculare, în funcţie de procesul la care ia parte (astfel, lumina vizibilă se comportă ca o undă într-un experiment de interferenţă, dar se comportă ca un flux de corpusculi în cazul efectului fotoelectric). Se poate afirma că un comportament ondulatoriu este de aşteptat atunci când energia luminoasă este mică comparativ cu energia caracteristică fenomenului studiat (de exemplu, dacă energia fotonului hc/λ este mică faţă de energia caracteristică kT a agitaţiei termice, atunci radiaţia ter-mică poate fi considerată de natură ondulatorie, limită în care legea lui Planck se confundă cu legea Rayleigh-Jeans). Comportamentul corpuscular se regăseş-te în cazul contrar (de exemplu, atunci când energia fotonului este comparabilă cu lucrul mecanic de extracţie în cazul efectului fotoelectric).

102

3. NOŢIUNI DE MECANICĂ CUANTICĂ

3.1. IPOTEZA LUI DE BROGLIE, EXPERI-MENTUL LUI DAVISSON ŞI GERMER

Modelul ondulatoriu privind natura fenomene-lor luminoase a deţinut întâietatea un lung interval de timp din istoria fizicii. După descoperirea unui grup de fenomene în care radiaţia luminoasă prezenta ca-racteristici corpusculare s-a dezvoltat modelul foto-nic, pentru ca în cele din urmă să se cristalizeze con-cepţia dualismului corpuscul-undă. Pornind de la

aceste fapte Louis de Broglie a emis ipoteza că unele fenomene considerate în mod tradiţional ca mărturii ale naturii corpusculare a materiei ar putea fi doar faţe-tele unui dualism corpuscul-undă. Astfel, s-ar putea atribui particulelor materiale proprietăţi ondulatorii, caracterizate de relaţii asemănătoare celor pe care Planck le-a considerat definitoare pentru fotoni. Conform acestei ipoteze, lungimea de undă aso-ciată unei particule (numită lungimea de undă de Broglie) se poate scrie ca :

Cuvinte cheie Ipoteza lui de Broglie

Lungimea de undă de Broglie Difracţia razelor X

mvh

=λ

unde 2

2

0 1cvmm −= este masa de mişcare a particulei, iar v este viteza de deplasare

a acesteia. În principiu undele de Broglie ar putea fi asociate oricărui corp material, dar confirmarea existenţei lor ar consta doar în participarea acestor corpuri la feno-mene de interferenţă sau difracţie. Pentru a evalua şansa de producere a unor aseme-nea fenomene trebuie să calculăm mai întâi lungimea de undă de Broglie. Pentru un electron accelerat la o tensiune U putem scrie :

eUmvmeUvmee

e 22

2

=⇒=

astfel încât :

eUmh

e2=λ

Luând valoarea U = 100 V pentru tensiunea de accelerare, rezultă :

nm 0,123m10231100V C101,6kg109,12

Js10626 1019-31-

34

=⋅≅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅=λ −

−

,,e

103

În cazul unui proton accelerat la aceeaşi tensiune, obţinem :

nm 0,00286m10862100V C101,6kg101,672

Js10626 1219-27-

34

=⋅≅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅=λ −

−

,,e

Se obser-vă că lungimea de undă de Broglie are valori foarte mici, chiar şi pentru mi-croparticule cum ar fi protonul sau electronul. Cum fenomenul de di-fracţie se produce

filtru de viteză

v e-

θ Ni

Detector de

electroni

în prezenţa unor obstacole având dimensiuni comparabile cu lungimea de undă, rezultă că observarea experimentală a undelor asociate se poate face doar cu particule având dimensiuni subatomice.

Lungimea de undă asociată electronilor este comparabilă cu dimensi-unile atomilor. De aceea un cristal ar putea fi folosit ca reţea de difracţie pentru electroni, spaţiile dintre atomii constituenţi ai cristalului jucând rolul fantelor re-ţelei.

Această idee a fost folosită de Davisson şi Germer pentru a pune în evidenţă di-fracţia electronilor. În experienţa pe care au efectuat-o aceştia difracţia electronilor are loc pe un cristal de nichel, aşezat în calea unui fascicol de electroni monoenergetici. Electronii se reflectă pe atomii întâlniţi în plane cristaline diferite şi sunt detectaţi cu un detector care se poate roti în jurul cristalului. Diferenţa de drum între două unde de Broglie reflectate pe două plane cristaline consecutive este :

δ = AB + BC Notând distanţa dintre planele cristaline cu d, se

obţine :

C

A

d θ/2

θ

2

ABBCθ

2

AB θ=θ=

cos

cosdcosθ

= ;cos

d

( )

Deci:

22

2

22 2

θ=

θ

θ

cosdcos

cosd

2

1=

θθ+

=δcos

cosd B

Maximul de difracţie de ordinul întâi se obţine dacă este îndeplinită condiţia :

104

eUmh

ee 2

=λ=δ

În aceste condiţii unghiul de difracţie verifică relaţia :

eUmdhcos

e222=

θ

În cazul nichelului d = 0,091 nm, iar pentru tensiunea de accelerare U = 54 V, unghi-ul corespunzător primului maxim de difracţie are valoarea teoretică :

°≅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅=θ

−

4754CC101,6kg109,12m109,12

Js10626219-31-11-

34,arccos

Această predicţie teoretică a fost confirmată experimental, înregistrându-se un maxim al curentului măsurat de detector pentru un unghi de difracţie de aproximativ 50°. Prin rezultatul experimental se confirmă ipoteza lui de Broglie, cel puţin pentru cazul microparticulelor. Proprietăţile ondulatorii ale microparticulelor constituie astăzi baza teoretică a construcţiei unor aparate, cum ar fi cele consacrate studiului coroziunii suprafeţelor (electronograful) sau structurii materiei (microscopul electronic).

3.2. RELAŢIILE DE NEDETERMINARE ALE LUI HEISENBERG

Să ne imaginăm un experiment de difracţie cu electroni. Aceştia sunt trimişi cu viteza v perpen-dicular pe un orificiu de mici dimensiuni. Pe un ecran plasat în spatele ori-ficiului se poate constata rezultatul difracţiei (pen-tru aceasta este suficient ca ecranul să fie acoperit cu o suprafaţă fluorescen-tă, astfel încât electronii care cad pe ecran să pro-voace scintilaţii vizibile în

întuneric). Frecvenţa cu care electronii ajung în diferite puncte ale ecranului este o măsură a rezultatului difracţiei. Se poate constata existenţa unui maxim principal de difracţie şi a unor maxime de difracţie de ordin superior, despărţite prin minime de difracţie. Ceea ce intrigă în acest experiment este că electronii pot ajunge în puncte ale ecranului care nu se află în dreptul orificiului. Lucrurile se petrec ca şi cum, tre-

distribuţie co-respunzătoare propagării rec-

tilinii

maxim de difracţie

minim de difracţie

a

∆vy

v α

v e-

y x

D

105

când prin orificiu, electronii ar dobândi o viteză suplimentară, perpendiculară pe vite-za iniţială. Notând această viteză suplimentară cu ∆vy, observăm că în cazul maxime-lor de difracţie de ordin superior :

α≅α>∆ vtgvvy (unghiul de difracţie este suficient de mic pentru a aproxima tangenta sa cu valoarea exprimată în radiani). Teoria fenomenului de difracţie arată că primul minim de di-fracţie se obţine într-o direcţie descrisă de relaţia :

aasin λ

≅α⇒λ

=α

Rezultă :

avvyλ

>∆

Conform ipotezei lui de Broglie :

vmh

e=λ

Rezultând :

avmvhve

y >∆

sau : havm ye >⋅∆

Deci : trecerea electronului prin orificiu (caracterizată de o nedeterminare a poziţiei sale ∆y = a) este însoţită de apariţia unei nedeterminări a impulsului său, cu cantitatea ∆py = me∆vy. Mai mult, produsul celor două nedeterminări (sau in-certitudini) trebuie să fie superior unei anumite valori :

hypy >∆⋅∆

Această relaţie poartă numele de relaţia de incertitudine (sau rela-ţia de nedeterminare) a lui Heisenberg pentru perechea de variabile im-puls-poziţie.

În mod evident sunt valabile şi relaţiile :

hzphxp

z

x

>∆⋅∆>∆⋅∆

Relaţiile de incertitudine ale lui Heisenberg sunt o consecinţă a com-portării ondulatorii a microparticulelor şi arată că impulsul şi poziţia microparti-culelor nu pot fi determinate simultan cu oricâtă precizie, chiar dacă aparatele de măsură ar fi capabile de o măsurătoare perfectă.

Putem încerca să evaluăm incertitudinea asupra poziţiei unui electron în două circumstanţe diferite :

⇒ într-un fascicul de electroni accelerat la tensiunea de 100 V

Luând eUmpp ex 2101000

3−==∆ , obţinem :

106

m0,123m10231100VC101,6kg1019210

Js10626 719-313-

34

µ=⋅≅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅≥∆ −

−

−

,,

,x

Evident această valoare este prea mică pentru a vorbi despre o nedeterminare a traiec-toriei fasciculului de electroni. În acest caz proprietăţile ondulatorii ale electronului nu sunt importante, iar acesta se comportă ca o particulă mecanică clasică.

⇒ electronul constituent al atomului de hidrogen Poziţia acestui electron este stabilită cu o precizie comparabilă cu diametrul atomului (10-10m). Prin urmare, incertitudinea privind viteza este :

m/s107m10kg1019

Js10626m10

61031

34

10 ⋅≅⋅⋅

⋅=

⋅≥∆ −−

−

− ,,

mhv

e

Pe de altă parte, viteza electronului poate fi determinată din condiţia de stabilitate pe orbită :

20

22

4 re

rvme

πε=

rezultând :

( ) m/s10252kg1019m1050F/m1085684

C101,64

6311012

219-

0

2

⋅≅⋅⋅⋅⋅⋅⋅π

⋅=

πε= −−− ,

,,,rmev

e

Se observă că în acest caz nedeterminarea vitezei este comparabilă cu însăşi valoarea vitezei ! Semnificaţia este aceea că în interiorul unui atom electronul nu mai are o comportare similară cu cea a particulelor ce se supun legilor mecanicii clasice. Prin urmare noţiunile de viteză sau de traiectorie îşi pierd sensul fizic !

Concluzia ar putea fi aceea că relaţiile de nedeterminare ale lui Heisenberg ne permit să ne stabilim o limită până la care comportarea unei mi-croparticule poate fi descrisă de legile mecanicii clasice şi dincolo de care trebu-ie găsite noi legi. Altfel spus, atunci când dimensiunile geometrice caracteristice fenomenului fizic studiat sunt comparabile cu lungimea de undă de Broglie, le-gile mecanicii clasice nu mai sunt aplicabile mişcării particulei.

Alături de relaţiile de nedeterminare poziţie-impuls există şi o rela-

ţie de incertitudine timp-energie: htE >∆⋅∆

O dovadă a valabilităţii acestei relaţii o constituie lărgimea liniilor spectrale ale radia-ţiilor emise de atomi. Astfel, un atom poate rămâne în starea energetică fundamentală un timp indefinit de lung. Eroarea făcută asupra duratei de când atomul se află în sta-rea fundamentală este complet nedeterminată :

∞→∆ 0t Rezultă, conform relaţiei lui Heisenberg, că imprecizia determinării energiei stării fundamentale este :

00 →∆E

107

Pe de altă parte, timpul de viaţă al unei stări energetice excitate este foarte scurt : s10 8−→∆t

În aceste condiţii imprecizia determinării energiei stării excitate este :

J10626s10

Js10626 268

34−

−

−

⋅=⋅

≥∆ ,,E

Această nedeterminare a frecvenţei se manifestă prin existenţa unui interval de frec-venţă ∆ν în care se pot încadra radiaţiile emise de atom :

( ) ( ) Hz108000 ±ν=∆

±−

=∆±−∆±

=ν∆±νhE

hEE

hEEEE

Această estimare teoretică se dovedeşte a fi în bun acord cu observaţiile experimenta-le.

3.3. INTERPRETAREA UNDELOR ASOCIATE, FUNCŢIA DE UNDĂ, ECUAŢIA LUI

SCHRODINGER Prima ipoteză privind semnificaţia undei asociate unei microparticule a fost ace-ea că microparticula este în fapt o suprapunere de unde plane care se propagă împre-ună, alcătuind un aşa-numit pachet de unde.

Ecuaţia pachetului de unde se scrie sub forma:

( ) ( )∫∆+

∆−

=Ψkk

kk

sinkat,x0

0

( )( )−ω dkkxtk

Fiecare dintre undele care compun pachetul de unde se propagă cu o viteză de fază pro-

prie (viteza de fază):

vg

( )kkv ω

=

în timp ce centrul pachetului de unde se deplasează cu o viteză, denumită viteză de grup, care se poate determina cu ajutorul relaţiei lui Rayleigh :

( )0k

g dkkdv ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

=

Conform ipotezei lui de Broglie putem scrie :

hpk;E

hh

hπ

=λπ

=π

=νπ

=πν=ω22222

Rezultă :

108

0pg dp

dEvdpdE

dkd

=⇒=ω

Energia unei particule este conform relaţiilor lui Einstein :

2

2

202

1cv

cmmcE−

==

iar impulsul se scrie ca :

2

20

1cvvmmvp

−

==

Rezultă :

23

2

20

1/

cv

vdvmdE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

23

2

20

23

2

2

2

2

0

2

20

111//

cv

dvm

cv

dvcvm

cv

dvmdp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

−

=

Prin urmare:

vdpdEv

pg ==

0

adică viteza de grup a pachetului de unde are aceeaşi valoare cu viteza de de-plasare a microparticulei.

Această constatare pare a întări ipoteza după care microparticula es-te alcătuită dintr-un pachet de unde. Totuşi, deşi promiţătoare în faza iniţia-lă această ipoteză este infirmată la propagarea microparticulelor în medii dispersive. În asemenea medii vitezele de fază ale undelor componente ale pachetului de unde sunt diferite între ele, ceea ce are ca urmare destrămarea cu timpul a acestuia. Destrămarea pachetului de unde ar corespunde dispa-riţiei particulei. Calculul timpului de destrămare al pachetului de unde dă o valoare mult mai mică decât timpul de viaţă al microparticulelor, ceea ce arată că ipoteza pachetului de unde este falsă.

La momentul actual, se foloseşte o altă ipoteză privind semnificaţia undelor asociate. Aceasta se bazează pe observaţiile făcute în cursul expe-rienţelor de difracţie cu electroni. Astfel, s-a constatat că rezultatele experi-enţelor erau aceleaşi indiferent dacă microparticulele se difractă simultan (sub forma unui flux intens) sau separat (una câte una), cu condiţia ca nu-mărul lor total să rămână acelaşi. În cazul difractării particulă cu particulă,

109

se poate observa cu claritate punctul de impact al acestora cu ecranul, com-portarea fiind din acest punct de vedere perfect compatibilă cu noţiunea de particulă. Cu toate acestea, distribuţia punctelor de impact alcătuieşte, pe măsura creşterii numărului de particule căzute pe ecran, figura caracteristi-că de difracţie. Figura de difracţie (şi deci comportamentul ondulatoriu) es-te până la urmă un efect statistic, reproductibil doar în cazul unui număr foarte mare de particule utilizate. Deci : unda asociată microparticulei nu este o undă în sensul clasic al cuvântului, pentru că o undă clasică ar in-teracţiona simultan cu toate punctele ecranului. Rezultă că undele asociate sunt doar reflectarea unor proprietăţi statistice ale colectivelor de micropar-ticule, motiv pentru care se numesc unde de probabilitate.

Interpretarea undei asociate ca undă de probabilitate presupune că funcţia de un-dă a microparticulei Ψ se află într-o anumită relaţie cu probabilitatea ca microparticu-la să ocupe o anumită poziţie în spaţiu. Această relaţie se poate scrie astfel:

( ) ( ) dxdydzt,z,y,xt,z,y,xd 2Ψ=P unde: este probabilitatea ca microparticula să se afle în interiorul ele-mentului de volum dxdydz, centrat în jurul punctului de coordonate x, y şi z. La rân-dul său reprezintă funcţia de undă, care, din punct de vedere matematic, poate lua valori în mulţimea numerelor complexe. Rezultă :

( t,z,y,xdP )

)( t,z,y,xΨ

( )dV

t,z,y,xd* P=ΨΨ=Ψ 2

adică : valoarea modulului pătrat al funcţiei de undă a microparticulei într-un punct dat din spaţiu şi la un anumit moment de timp reprezintă densitatea de probabilitate a prezenţei sale în acel loc şi la acel moment.

Semnificaţia pe care am atribuit-o funcţiei de undă implică următoarele proprie-tăţi matematice ale acesteia :

funcţia de undă trebuie să fie definită pe tot spaţiul funcţia de undă trebuie să fie continuă şi să aibă derivate continue în toate punc-

tele spaţiului funcţia de undă trebuie să fie finită în orice punct din spaţiu

Aceste proprietăţi conduc la concluzia că funcţia de undă este integra-bilă în modul pătrat :

( ) finitdxdydzt,z,y,xspatiultotpe

=Ψ∫2

Cum probabilitatea de a găsi particula într-un punct oarecare al spaţiului reprezintă evenimentul cert, rezultă că funcţia de undă trebuie să fie în plus şi normată :

( ) 12 =Ψ∫spatiultotpe

dxdydzt,z,y,x

Cunoaşterea expresiei concrete a funcţiei de undă a unei particule ne-ar permite determinarea într-o oarecare măsură a comportamentului ei ulterior, în limitele relaţii-

110

lor de nedeterminare ale lui Heisenberg. Stabilirea ecuaţiilor pe care le verifică fun-cţia de undă asociată particulei sau unui sistem fizic dat este obiectul unui nou tip de mecanică, denumită mecanică ondulatorie sau mecanică cuantică.

Ecuaţia fundamentală a mecanicii cuantice a fost postulată de Schrödinger sub forma următoare:

( ) ( ) ( ) ( )t

t,z,y,xiht,z,y,xz,y,xUt,z,y,xzyxm

h∂

Ψ∂π

=Ψ−Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

π 28 2

2

2

2

2

2

2

2

unde m reprezintă masa microparticulei, U energia sa potenţială, iar 1−=i . Această ecuaţie este considerată valabilă atâta vreme cât rezulta-

tele obţinute cu ajutorul ei nu vin în contradicţie cu faptele experimentale. Ecuaţia lui Schrödinger are o formă particulară, denumită ecuaţia staţionară a lui Schrödinger, corespunzătoare ipotezei că funcţia de undă se poate scrie ca :

( ) ( ) tiez,y,xt,z,y,x ωψ=Ψ Introducând această expresie în ecuaţia Schrödinger, obţinem :

( ) ( ) ( ) ( )z,y,xeiihz,y,xz,y,xUez,y,xzyxm

eh tititi

ψωπ

=ψ−ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

πωω

ω

28 2

2

2

2

2

2

2

2

sau :

( ) ( ) ( ) ( )z,y,xhz,y,xz,y,xUz,y,xzyxm

hνψ−=ψ−ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

π 2

2

2

2

2

2

2

2

8

Conform ipotezei lui de Broglie termenul hν reprezintă energia particulei, astfel încât putem scrie :

( ) ( ) ( ) ( )z,y,xEz,y,xz,y,xUz,y,xzyxm

hψ=ψ+ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

π− 2

2

2

2

2

2

2

2

8

Soluţiile acestei ecuaţii cu derivate parţiale care îndeplinesc condiţiile impuse funcţiei de undă se numesc funcţii proprii, iar valorile corespunzătoare ale energiei se nu-mesc valori proprii. Din acest motiv ecuaţia Schrödinger staţionară mai poartă nu-mele de ecuaţia cu valori proprii ale energiei.

Dacă un sistem fizic este descris de o funcţie de undă care este şi funcţie proprie a ecuaţiei Schrödinger staţionare, valoarea (măsurabilă) a energiei siste-mului este chiar valoarea proprie a energiei ce corespunde acestei funcţii proprii. Valorile proprii ale energiei pot fi discrete sau pot varia continuu în interiorul unui domeniu de valori permise.

Ca şi în cazul energiei, orice mărime fizică măsurabilă este în mecanica cuantică o valoare proprie sau o combinaţie de valori proprii ale unei anu-mite ecuaţii diferenţiale cu valori proprii.

111

3.4. PARTICULA ÎN GROAPA DE POTENŢIAL UNIDIMENSIONALĂ, INFINITĂ

Vom examina în cele ce urmează un exemplu simplu de utilizare a ecuaţiei Schrödinger staţionare pentru determinarea expresiei funcţiei de undă.

Să considerăm o microparticulă aflată într-o regiune a spaţiului de lungime l, în care ener-gia sa potenţială este nulă. În afara acestei regi-uni energia potenţială este infinit de mare. Par-ticula se poate deplasa doar în lungul axei Ox.

U→∞ U→∞

U=0

0 x

Un asemenea tip de distribuţie a energiei potenţiale se numeşte groapă de potenţial unidimensiona-lă infinită.

-l/2 l/2

Deoarece înălţimea gropii de potenţial este infinită, probabilitatea de a găsi par-ticula în exteriorul gropii este nulă. Rezultă :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−∈=Ψ ,ll,xpentrux

220 U

În interiorul gropii de potenţial energia potenţială a particulei este nulă, astfel încât ecuaţia Schrödinger staţionară se scrie sub forma :

( ) ( )xEx

xm

hΨ=

∂Ψ∂

π− 2

2

2

2

8

Putem pune ecuaţia sub forma : ( ) ( )x

hmE

xx

Ψπ

−=∂Ψ∂

2

2

2

2 8

Întâlnim trei cazuri de rezolvare ale ecuaţiei : ⇒ 0<E

Notând :

08 22

2

>α=π

−hmE

soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este : ( ) xx eAeAx α−α +=Ψ 21

Funcţia de undă trebuie să fie continuă în punctele x = ±l/2, astfel încât :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

α−α

αα−

0

0

22

21

22

21

ll

ll

eAeA

eAeA

Soluţia sistemului este A1 = A2 = 0, adică Ψ(x) = 0, soluţie fără sens fizic. ⇒ E = 0

Şi în acest caz se obţine soluţia fără sens fizic Ψ(x) = 0.

112

⇒ 0>E Notând :

08 22

2

>Ω=πhmE

ecuaţia diferenţială rezultată : ( ) ( )x

xx

ΨΩ−=∂Ψ∂ 2

2

2

are soluţia generală : ( ) ( )ϕ+Ω=Ψ xsinAx

în care A şi ϕ sunt două constante de integrare. Funcţia de undă trebuie să fie conti-nuă în punctele x = ±l/2, astfel încât :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ+Ω

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ+Ω−

02

02

lsinA

lsinA

Cum amplitudinea A nu poate fi nulă, soluţiile sistemului sunt :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=Ω

Ω=ϕ

02lsinA

l

Obţinem din a doua ecuaţie : N∈π=Ω n,nl

sau :

2

22

2

2

2

222 8

ln

hmE

ln π

=π

⇒π

=Ω

sau :

N∈= n,mlhnEn 2

22

8

Deci : valorile proprii ale energiei particulei sunt cuantificate (sau, altfel spus, energia particulei nu poate lua decât valori discrete).

Introducând valorile lui Ω şi ϕ în soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale, obţi-nem :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π

=Ψ21

2 lxnsinAnx

lnsinAx nnn

Conform condiţiei de normare :

( ) 12

2

2

222 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π

=Ψ ∫∫−

∞

∞−

l

lnn dxnx

lnsinAdxx

De aici :

113

∫∫−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

π−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+π

=

2

2

2

2

2

2

2

21

1

2

1

l

l

l

l

n

dxnx

lncosdxnx

lnsin

A

sau :

lAn

22 =

Rezolvarea ecuaţiei Schrödinger este finalizată în acest moment. Funcţiile pro-prii au expresia :

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞∈=Ψ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +π=Ψ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−∈=Ψ

,lx,x

l,lx,lxnsin

lx

l,x,x

n

n

n

20

22212

20

Starea fundamentală a sistemului fizic corespunde energiei minime, respectiv valorii minime a numărului cuantic n : n = 1. Valoarea energiei nivelului fundamental este :

2

2

1 8mlhE =

iar energia unei stări superioare este : 1

2EnEn = Densitatea de probabilitate a prezenţei particulei într-un punct al gropii de po-tenţial este dată de modulul pătrat al funcţiei de undă :

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

212 2

lxnsin

l=Ψ= x

dxxd

nP

Reprezentarea grafică a densităţii de pro-babilitate a prezenţei particulei într-un punct al gropii de potenţial arată că aceasta nu este uni-form distribuită. Localizarea particulei este asemănătoare prezenţei unei unde staţionare (punctele de densitate maximă de probabilitate corespunzând ventrelor undei staţionare, iar ce-le minim nodurilor). În mecanica clasică parti-

cula ar fi putut ocupa cu egală probabilitate orice punct al gropii de potenţial, rezul-tând o valoare constantă a densităţii de probabilitate :

1 0 1

0.5

1

dens

itate

de

prob

abili

tate

l = 2 n=1 n=2

( )

ldxxd 1

=P

114

Se observă că densitatea cuantică de probabilitate este în unele puncte dublul celei clasice, iar în altele este nulă. Dacă mai observăm că densitatea cuantică de probabi-litate se poate scrie şi ca :

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

π−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

π−

⋅= nxlncos

ll

nxlncos

ldxxd 211

2

212P

rezultă că situaţia clasică este limita soluţiei cuantice pentru cazul în care media ter-

menului ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

π nxlncos

l21 este nulă pe o distanţă ∆x oricât de mică, în jurul punctu-

lui considerat. Aceasta înseamnă că termenul xln

∆π2 reprezintă un număr relativ ma-

re de perioade ale funcţiei trigonometrice :

122>>π⋅=∆

π 'n,'nxln

De aici :

xl'nn

∆⋅=

Cum şi 1>>∆xl , rezultă :

1>>n

Deci : comportamentul cuantic al particulei se confundă cu comportamentul clasic atunci când valoarea numărului cuantic este foarte mare. Această afirma-ţie este echivalentă cu a spune că mecanica clasică este valabilă doar pentru par-ticulele care au energii cu mult mai mari decât energia stării fundamentale, res-pectiv energia caracteristică procesului la care participă.

Am arătat deja că în mecanica cuantică, atunci când valorile proprii ale energiei sunt discrete, energia particulei poate varia doar în salturi. În cazul nostru :

( )222

2

8n'n

mlhE 'nn −=∆ →

În mecanica clasică energia poate varia continuu. Matematic aceasta înseamnă că va-riaţia relativă de energie la o schimbare de stare poate tinde la zero :

0→∆EE

Variaţia minimă de energie, în cazul cuantic, corespunde creşterii numărului cuantic n cu o unitate. În această situaţie variaţia relativă de energie este :

( )22

221 121

nn

nnn

EE

n

nn +=

−+=

∆ +→

Analizând această expresie se confirmă din nou că aproximaţia clasică corespunde valorilor mari ale numărului cuantic n, când :

0122

1 =+

=∆

∞→

+→

∞→ nnlim

EElim

nn

nnn

115

4. ATOMUL

4.1. ISTORIC PRIVIND CONCEPŢIILE ŞI TEORIILE REFERITOARE LA ATOM ŞI

STRUCTURA SA Conceptul de „atom” a fost imaginat ca răspuns la întrebarea dacă o substanţă materială poate fi divizată oricât de mult sau nu. Acum circa 2500 de ani Leucip şi, apoi, Democrit au avansat ipoteza atomistă, adică cea a structurii discrete a materiei. „Atomul” (ceea ce în greacă însemna „cel indivizibil”) este, potrivit lui Leucip şi Democrit, constituentul fundamental al materiei. Teoria antică arăta că există patru tipuri de atomi: de „pământ”, de „apă”, de „aer” şi de „foc”. Proprietăţile fizice ale unei substanţe depindeau de proporţiile în care cele patru tipuri de atomi se combinau pentru a forma substanţa. Concepută în acest mod teoria atomistă a antichităţii era mai mult un model filo-zofic decât o teorie ştiinţifică, nefiind supusă rigorilor experimentale pe care le pre-supune validarea unei ipoteze ştiinţifice. Teoria atomistă a revenit în actualitate după mai mult de 2000 de ani, de data aceasta ca o teorie ştiinţifică motivată de progresele chimiei de la sfârşitul secolului al XVIII-lea. Legea proporţiilor multiple, formulată de Dalton în 1803, arăta că dacă două substanţe chimice simple pot forma mai mulţi compuşi chimici, atunci raportul maselor din prima substanţă care se combină cu aceeaşi cantitate din a doua substanţă este un raport de numere întregi şi simple (2/1, 3/2, 5/2, etc.). Pornind de la această lege Dalton a formulat ipoteza după care atomul este cea mai mică „cărămidă” consti-tutivă a unei substanţe chimice simple. Rapoartele menţionate sunt expresia proporţii-lor în care se combină atomii la formarea compuşilor chimici. În aceste consideraţii îşi are originea şi definiţia modernă a atomului, conform căreia :

Atomul este cea mai mică parte a unei substanţe chimice simple ca-re mai păstrează încă proprietăţile chimice ale substanţei respective. Chi-mia a adăugat conceptului de atom şi conceptul de „moleculă”, adică cea mai mică structură, formată din atomi, care păstrează încă proprietăţile chimice ale unui compus chimic.

În 1817, Avogadro utilizează teoria atomistă în studiile legate de fizica gazelor, enunţând legea care-i poartă numele :

Volume egale din gaze diferite, luate în aceleaşi condiţii de tempe-ratură şi presiune, conţin acelaşi număr de molecule (legea lui Avogadro).

Spre sfârşitul secolului XIX au apărut primele dovezi experimentale care negau caracterul indivizibil al atomului. Astfel, descoperirea fenomenului de electroliză şi experienţele făcute cu tuburi de descărcări electrice în gaze rarefiate au arătat cu cer-

116

titudine că în componenţa atomului se află sarcini electrice pozitive şi negative, sedi-ul sarcinii electrice negative fiind particulele denumite „electroni”. Legea electroli-zei:

qnF

m µ=

unde: m = masa de substanţă depusă la electrod µ = masa molară a substanţei n = valenţa substanţei q = cantitatea de electricitate transportată prin electrolit

F = constantă experimentală, numită „numărul lui Faraday”, egală cu 96500 Coulomb/mol

a permis estimarea sarcinii unui electron. Utilizând teoria atomistă putem susţine să substanţa depusă la electrod este formată dintr-un număr N de atomi, fiecare dintre ei de masă m0. Un mol de substanţă conţine un număr fixat de atomi, egal cu numărul lui Avogadro: NA. Cu aceste consideraţii, legea electrolizei se poate rescrie astfel :

A

A

NFn

Nqq

nFmNNm =⇒= 0

0

Termenul q/N reprezintă sarcina electrică medie transportată de fiecare atom, iar fac-torul F/NA este o constantă universală, cu semnificaţia de cantitate de electricitate şi valoarea :

C106,1molec/mol106,023C/mol96500 19

23−⋅=

⋅=

ANF

Rezultă de aici că, în funcţie de valenţa sa, fiecare atom participant la procesul de electroliză se încarcă şi transportă o sarcină electrică egală cu un multiplu al sarcinii elementare, e, luată fie cu semn pozitiv, fie cu semn negativ.

Experimentele efectuate ulterior de Thomson şi Millikan au dovedit că din atom se pot separa, în anumite condiţii, nişte particule, denumite electroni, având sarcina electrică e :

e = -1,6 10-19C şi masa me :

me = 9,1 10-31kg Masa electronului este de câteva mii de ori mai mică decât masa atomilor, ea re-prezentând doar a 1780-a parte din masa celui mai uşor atom (cel de hidrogen). Problema ulterioară care se punea în faţa fizicienilor era aceea de a găsi un mo-del structural, care să permită explicarea următoarelor date experimentale: ⇒ stabilitatea atomului şi proprietăţile sale chimice ⇒ capacitatea atomului de a absorbi sau emite radiaţii electromagnetice ⇒ proprietatea atomului de a absorbi cantităţi bine determinate de energie, precum şi emisia luminii sub forma spectrelor de linii ⇒ lărgimea şi intensitatea liniilor spectrale

117

Un prim model atomic mai cunoscut a fost cel imaginat de J. J. Thomson (modelul Thomson). Con-form acestuia, interiorul atomului ar fi fost umplut cu un „fluid” cu sarcină electrică pozitivă, caracterizat prin densitatea sa de sarcină. Notând raza atomului cu r şi sarcina sa pozitivă q = ne, unde n este numărul electronilor atomului, se poate calcula densitatea de sarcină a fluidului pozitiv astfel :

ρ

r

x

e-

343

rne

Vq

π==ρ

Atomul de hidrogen conţine un singur electron. Dacă acesta s-ar afla la distanţa x faţă de centrul atomului, forţa electrică care ar acţiona asupra sa ar fi proporţională cu cantitatea de sarcină electrică pozitivă aflată în sfera de rază x :

xconstxr

ex

xeFe ⋅=⋅

πε=

πε

ρπ

⋅= 3

0

2

20

3

443

4

Aceasta este expresia unei forţe elastice, care determină oscilaţia electronului, cu frecvenţa :

30

2

0 421

21

rme

mconst

ee πεπ=

π=ν

Undele electromagnetice generate de această oscilaţie ar avea lungimea de undă : 3

00

0 42 rme

cceπε

π=

ν=λ

Aproximând raza atomului ca r ≅ 10-10 m, putem calcula valoarea lungimii de undă :

nm118m10181m10kg109,1F/m1085684C101,6m/s1032 7330-31-12

19-

8

0 =⋅≅⋅⋅⋅⋅⋅π⋅⋅⋅π

=λ −− ,,

Această valoare a lungimii de undă este de acelaşi ordin de mărime ca şi lungimile de undă ale radiaţiilor luminoase emise sau absorbite de către atomii de hidrogen, consti-tuind din acest punct de vedere un argument pentru validarea modelului atomic al lui Thomson.

Pentru a confirma sau nu modelul lui Thomson, Rutherford a realizat un experiment în cursul căruia analiza împrăştierea particulelor alfa pe o foiţă de aur.

v

θ θ

α

Au Analizarea unghiurilor de împrăş-tiere putea oferi informaţii despre raza atomilor şi modul de distribuire al sar-cinii electrice pozitive în interiorul acestora. Experimentul utiliza particule alfa pentru că masa lor este comparabi-lă cu masa atomilor, astfel că traiecto-

118

riile particulelor alfa nu sunt perturbate de eventuala lor ciocnire cu electronii. Foiţa difuzantă era făcută din aur, singurul material care permitea ca grosimea foiţei să fie extrem de mică (circa 100 de diametre atomice). Rezultatele experienţei au fost neaşteptate. Estimările iniţiale, bazate pe modelul Thomson, indicau că, practic, toate particulele alfa incidente ar fi trebuit să se reflecte pe foiţă. În realitate doar una din zece mii de particule a fost reflectată, restul traver-sând foiţa aproape nedeviate. Interpretarea acestui

rezultat a fost că sarcina po-zitivă, şi odată cu ea practic întreaga masă a atomului, se află concentrată într-un vo-lum foarte mic comparativ cu volumul atomului. Faptul că doar o particulă alfa din zece mii este reflectată arată că „suprafaţa plină” a foiţei de aur este doar a zece mia parte din suprafaţa aparentă. Mai mult, cum foiţa era

compusă din 100 de straturi de atomi, rezultă că suprafaţa transversală efectivă a unui strat reprezintă a milioana parte a suprafeţei aparente. Con-cluzia este aceea că aria transversală a atomului este „plină” doar în propor-ţie de unu la un milion, sau că raza porţiunii din atom pe care o ocupă sar-cina pozitivă este de o mie de ori mai mică decât raza atomului. Volumul ocupat de sarcina pozitivă a atomului a fost denumit nucleu, iar raza aces-tuia are o valoare de circa 10-13 m.

v α Au

Pentru a explica de electronii rămân în vecinătatea nucleului, ceea ce asigură stabilitatea atomului, Rutherford a imaginat un nou model atomic, denumit modelul planetar sau modelul Rutherford.

Conform acestui model electronii se învârt în jurul nucleului aşa cum planetele sistemului so-lar se învârt în jurul Soarelui. Rolul forţei gravi-taţionale este preluat la nivel atomic de forţa de atracţie electrostatică dintre nucleul pozitiv şi electronii negativi. Pentru cel mai simplu dintre atomi, cel de hidrogen, condiţia de stabilitate pe orbită se poate scrie astfel:

nucleu pozitiv

e-

r Fe

anv

enem Fa = sau :

20

22

4 re

rvme

πε=

unde v este viteza electronului, iar r raza orbitei. Energia totală a electronu-lui se compune din energia cinetică şi energia potenţială electrostatică :

119

revmWWW e

pc0

22

42 πε−=+=

Eliminând viteza cu ajutorul condiţiei de stabilitate pe orbită, obţinem :

reW

0

2

8πε−=

Valoarea negativă a energiei totale indică că electronul se găseşte într-o stare legată, adică acesta nu poate părăsi atomul fără a primi energie din exterior.

Astfel, pentru a ioniza un atom de hidrogen (adică pentru a îndepărta electronul la o distanţă foarte mare de nucleu), luând ca rază a orbitei valoarea r = 10-10 m, este necesară o cantitate de energie :

( ) ( ) eV2788

00

2

0

2

,r

er

erWWW ≅πε

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πε

−−=−∞=∆

Valoarea astfel calculată era comparabilă cu datele obţinute experimental pentru hi-drogen : ∆W = 13,6 eV, ceea ce constituia un argument în favoarea validităţii mode-lului planetar. Cu toate acestea nici noul model nu era capabil să explice totalitatea datelor ex-perimentale. Astfel una dintre consecinţele teoretice decurgând din modelul planetar şi din legile electrodinamicii clasice era aceea că electronii unui atom aflându-se permanent în mişcare accelerată, pe orbite a căror rază nu este supusă niciunei con-strângeri, ar trebui să emită permanent radiaţie electromagnetică cu spectru continuu. Datele experimentale nu confirmă însă predicţia teoretică. Mai mult, spectrul de emi-sie observat experimental este un spectru de linii. În cazul atomilor de hidrogen lun-gimile de undă ale radiaţiilor emise se supun unei legi, determinate pe cale experi-mentală de Rydberg, de forma :

kn,n,k;nk

R >∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

λN22

111

unde R = 109678 cm-1 se numeşte constanta lui Rydberg. Liniile spectrale ale hi-drogenului se grupează în serii spectrale, corespunzător valorilor numărului întreg k (k = 1: seria Lyman, k = 2: seria Balmer, k = 3: seria Brackett, etc.). Dintre acestea, singura aflată în domeniul vizibil este seria Balmer. Un alt motiv de dezacord între teorie şi experienţă era şi acela al stabilităţii atomilor. Conform legilor electrodinami-cii clasice, prin emisia de radiaţie, energia unui electron ar trebui să scadă continuu, ceea ce s-ar reflecta în micşorarea razei orbitei sale. În cele din urmă electronul ar trebui să cadă pe nucleu, fapt care ar conduce la dispariţia atomului. Valoarea calcu-lată a timpului de viaţă al atomului era mult prea mică pentru a fi în acord cu datele experimentale care arată că atomii sunt foarte stabili.

Pentru a elimina contradicţiile dintre predicţiile teoretice şi datele experimentale Niels Bohr a conceput un nou model al atomului de hidro-gen, bazat pe un set de afirmaţii cunoscut sub numele de postulatele lui Bohr :

120

I. Modelul atomic planetar al lui Rutherford este valabil. Intenţia acestui pos-tulat este aceea de a pune în acord modelul cu datele care confirmă existenţa unui nu-cleu al atomului.

II. Există anumite orbite, numite orbite staţionare, cu proprietatea că electronii care le parcurg nu radiază energie electromagnetică. Scopul postulatului este ace-la de a asigura, din punct de vedere teoretic, stabilitatea atomilor. Trebuie menţionat că al doilea postulat este în direct dezacord cu primul postulat, pentru că modelul Rutherford este construit pe baza legilor fizicii clasice care ar implica pierderea de energie sub formă de radiaţie.

III.Atomul îşi modifică energia doar prin trecerea unui electron de pe o orbită staţionară pe alta, proces însoţit de emisia sau absorbţia unui foton a cărui ener-gie este egală în modul cu diferenţa dintre energiile celor două orbite staţionare : hν = Wf - Wi. Acest al treilea postulat permite explicarea existenţei spectrelor de linii şi a faptului că atomii absorb energie doar în cantităţi discrete.

IV.Momentul cinetic al electronului este cuantificat, după relaţia :

N∈π

= n;hnvrme 2

Dacă acest postulat este comentat prin prisma ipotezei lui de Broglie privind existenţa undelor asociate microparticulelor, observăm că :

rnvm

h&hnvrme

e π=λ⇒=λπ

= 22

adică : lungimea unei orbite staţionare este un număr întreg de lungimi de undă asociate electronului, sau, cu alte cuvinte, unda asociată unui electron de pe o orbită staţionară este o undă staţionară (ceea ce explică de ce nu se radi-ază energie).

În fine, postulatele lui Bohr trebuie completate cu afirmaţia : pen-

tru valori mari ale numărului cuantic n modelul Bohr trebuie să ofere rezultate comparabile cu cele ale fizicii clasice. Acest ultim postulat se mai numeşte principiul de corespondenţă, şi are rolul de a stabili limitele de demarcaţie dintre teoria cuantică şi teoria clasică, arătând că teoria clasică este un caz particular al teoriei cuantice.

Eliminând viteza între relaţia de cuantificare a momentului cinetic şi condiţia de stabilitate pe orbită, obţinem razele orbitelor staţionare :

20

22

emhnr

en π

ε⋅=

Prima orbită staţionară, numită şi prima orbită Bohr, corespunde numărului cuantic n = 1 şi are valoarea :

( )( ) m10530

C101,6kg109,1

F/m108568Js10626 10219-31-

12234

0−

−−

⋅≅⋅⋅⋅⋅π

⋅⋅⋅= ,,,r

121

Substituind valoarea razei unei orbite Bohr în expresia energiei totale a electronului, obţinem expresia energiei unei orbite staţionare :

2220

4 18 nh

emW en ⋅

ε−=

Energia primei orbite Bohr are valoarea : ( )

( ) ( ) eV613Js10626F/m1085688

C101,6kg109,1234212

219-31-

0 ,,,

W −≅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−=

−−

Conform postulatului al treilea al lui Bohr obţinem şi expresia frecvenţei fotonului absorbit sau emis la trecerea electronului de pe o orbită staţionară pe alta :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ε=−=ν 2232

0

4 118

1nkh

emWWh

eknkn

Deoarece ν = c/λ, rezultă expresia teoretică a legii lui Rydberg :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ε=

λ 22320

4 118

1nkhc

eme

kn

Valoarea constantei lui Rydberg se poate calcula, rezultând : 1

320

4

cm1092108

−≅ε

=hc

emR e

Toate aceste valori teoretice sunt foarte bun acord cu măsurătorile experimentale, ce-ea ce a făcut ca modelul Bohr, în ciuda inconsecvenţelor sale, să fie acceptat aproape fără rezerve. Extinderea modelului Bohr şi pentru alte tipuri de atomi decât cei de hidrogen s-a făcut doar cu preţul complicării modelului iniţial, prin introducerea a noi condiţii de cuantificare. Noul model a fost denumit modelul Bohr-Sommerfeld. Baza experi-mentală a acestui nou model este legea lui Moseley referitoare la radiaţia X caracte-ristică, emisă de atomii cu mai mulţi electroni :

( ) kn,n,k;nk

bZR k >∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

λN22

2 111

unde Z reprezintă numărul atomic (adică numărul de ordine al elementului în tabelul lui Mendeleev sau numărul de electroni al elementului), R este constanta lui Rydberg şi bk o constantă, aceeaşi pentru toate elementele chimice dacă valoarea lui k este aceeaşi. Această constantă poartă numele de constanta de ecranare. Legea lui Moseley a fost interpretată ca dovada existenţei unor grupuri de orbite staţionare, ca-racteristica comună unui asemenea grup fiind valoarea energiei. Un grup de orbite staţionare înconjoară nucleul şi „ţese” o pătură de electroni între nucleu şi orbitele ex-terioare grupului. Această pătură are o sarcină negativă care atenuează o parte din sarcina pozitivă a nucleului, astfel încât electronii exteriori se într-un câmp electric mai slab. Constanta de ecranare bk este tocmai măsura atenuării câmpului electric al nucleului de către păturile inferioare celei cu numărul de ordine k. Faptul că valoarea constantei de ecranare este aceeaşi pentru toate elementele chimice duce la concluzia că, indiferent de natura atomului, o pătură completă conţine acelaşi număr de elec-troni. Completarea atomului cu electroni ar trebui să se facă în ordinea crescătoare a

122

energiei, mai întâi păturile interioare şi apoi cele exterioare. Pătura de suprafaţă poate rămâne incompletă, iar electronii ei sunt responsabili pentru proprietăţile chimice ale atomului şi pentru emisia radiaţiilor luminoase. Modul în care se realizează această structură internă a atomului este concepută conform modelului Bohr-Sommerfeld ca rezultat al cuantificării a patru mărimi fizice:

1) Energia orbitelor staţionare, cuantificată utilizând numărul cuantic n, numit număr cuantic principal. Toate orbitele având acelaşi număr cuantic principal for-mează o pătură.

2) Momentul cinetic al orbitelor staţionare, cuantificat prin numărul cuantic orbital l. Valorile lui l sunt cuprinse între 0 şi n - 1. Forma orbitelor staţionare este eliptică, excentricitatea lor fiind cu atât mai mare cu cât valoarea numărului cuantic orbital este mai mare (orbita corespunzătoare condiţiei l = 0 fiind circulară). Numărul de orbite eliptice posibile pentru o valoare dată a numărului cuantic principal este egală cu n.

3) Dacă atomul este introdus într-un câmp magnetic exterior, proiecţia momentu-lui magnetic al electronului pe direcţia liniilor câmpului magnetic este de aseme-nea cuantificată. Numărul cuantic corespunzător se numeşte număr cuantic magne-tic. Numărul cuantic magnetic se notează cu m iar valorile sale sunt cuprinse între -l şi +l. Pentru o valoare dată a numărului cuantic orbital există 2l + 1 valori posibile ale numărului cuantic magnetic, corespunzătoare unor orientări spaţiale diferite ale orbi-tei electronului.

4) Chiar în absenţa unui factor perturbator liniile spectrale corespunzătoare emisiei luminoase a atomilor pot prezenta o structură de dublet. Această caracteristică a fost interpretată ca o dovadă a faptului că electronul posedă un câmp magnetic propriu, care are două orientări posibile, ca şi cum electronul s-ar putea roti în jurul axei sale de simetrie de la stânga la dreapta, sau de la dreapta la stânga. Ultima dintre mărimile fizice cuantificate este tocmai proiecţia câmpului magnetic propriu al electronului pe direcţia liniilor de câmp magnetic. Numărul cuantic corespunzător se numeşte număr cuantic de spin, iar valorile pe care le poate lua acesta sunt: s = ±1/2.

Ansamblul celor patru numere cuantice de-termină starea cuantică a electronului, iar, con-form principiului de excluziune al lui Pauli, în interiorul unui atom nu se pot întâlni doi elec-troni având toate cele patru numere cuantice egale.

Principalul succes al modelului Bohr-Sommerfeld a constat în aceea că a facilitat o destul de bună concordanţă între predicţiile teo-retice şi observaţiile spectrale experimentale,

precum şi faptul că a reuşit să explice aşezarea elementelor chimice în tabelul lui Mendeleev. Cu toate acestea, el rămâne, ca şi modelul Bohr, o teorie inconsecventă care îmbină fizica clasică cu postulatele care impun cuantificarea unor mărimi fizice (ceea ce este străin spiritului fizicii clasice). În plus, modelul Bohr-Sommerfeld eşu-ează în încercarea de a explica de ce anumite tranziţii cuantice sunt mai probabile de-cât altele (fapt reflectat de intensitatea luminoasă a liniilor spectrale) sau de ce alte

MeII

MeMII

M Bext

L

123

tranziţii cuantice sunt interzise (liniile spectrale care ar corespunde acestor tranziţii sunt absente din spectru). Din aceste motive modelul Bohr-Sommerfeld este conside-rat în zilele noastre ca depăşit. Modelele atomice actuale se bazează pe mecanica cuantică, ieşind din cadrul fi-zicii clasice şi renunţând la unele noţiuni tradiţionale, cum ar fi „orbita electronului”. Cel mai simplu atom, cel de hidrogen, este descris în mecanica cuantică de ecuaţia staţionară a lui Schrödinger :

( ) ( ) 048 222

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=Ψ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

++πε+Ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

πz,y,xW

zyxez,y,x

zyxmh

e

unde : Ψ(x,y,z) = funcţia de undă a electronului

2220

2

0

2

44 zyxe

re

++πε−=

πε− = energia potenţială a electronului

W = energia totală a electronului Introducând coordonatele sferice r, θ, ϕ în locul coordonatelor carteziene x, y, z ecua-ţia Schrödinger devine :

04

81112

0

2

2

2

2

2

222

2

=Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

πεπ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂Ψ∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂Ψ∂

θθ∂∂

θ+

∂Ψ∂

+∂

Ψ∂ Wr

eh

msin

sinsinrrrr

e

Dacă se scrie funcţia de undă ca un produs de trei funcţii de câte o singură variabilă : ( ) ( ) ( ) ( )ϕΦθΘ=Ψ rRz,y,x

şi se face separarea variabilelor, rezultă un set de trei ecuaţii diferenţiale :

02

2

=Φ+ϕΦ A

dd

012 =Θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θΘ

θθθ sin

ABddsin

dd

sin

04

82

0

2

2

2

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

πεπ

+−+ RWr

eh

mrRB

drdR

rdrRd e

unde A şi B sunt nişte constante. Pentru ca soluţia Ψ să îndeplinească condiţiile nece-sare unei funcţii de undă, constantele A, B şi W trebuie să aibă anumite valori, denu-mite valori proprii. De exemplu, prima ecuaţie are soluţia :

ϕ−±=Φ ACe Pentru ca funcţia de undă să fie periodică (rotaţia electronului cu unghiul 2π trebuie să îl aducă pe acesta în aceeaşi stare) este necesar ca valoarea constantei A să fie ega-lă cu pătratul unui număr întreg :

A = m2

astfel încât funcţiile proprii Φ au expresia : Z∈=Φ ϕ m;Ceim

m Deoarece funcţia de undă este normată, este necesar ca :

124

112

0

2

0

=ϕ⇒=ϕΦΦ ∫∫π

ϕ−ϕπ

deeCCd imim*mm

*mm

Sau :

π=

212

mC

Rezultă : ϕ

π=Φ im

m e21

Funcţia Φm este o funcţie proprie, iar m este numărul cuantic corespunzător acestei funcţii proprii. În mod analog se poate proceda şi cu celelalte două ecuaţii, numai că rezolvarea lor este cu mult mai dificilă din punct de vedere matematic. Mai importante chiar de-cât soluţiile acestor ecuaţii sunt, în ceea ce ne priveşte, condiţiile care trebuie îndepli-nite de valorile proprii şi semnificaţia fizică ce rezultă de aici. Astfel :

valorile proprii ale energiei sunt cuantificate:

2220

4 18 nh

emW en ⋅

ε−=

depinzând de numărul cuantic principal n = 1, 2,...Valorile proprii ale ener-giei sunt egale cu cele calculate conform modelului Bohr.

valorile proprii ale momentului cinetic orbital al electronului sunt şi ele cuantificate:

( )π

+=2

1 hllL

depinzând de numărul cuantic orbital l = 0, 1, ..., n - 1. Valoarea momentu-lui cinetic orbital obţinută utilizând mecanica cuantică este diferită de cea postulată de Bohr (L = lh/2π).

valorile proprii ale proiecţiei momentului cinetic orbital pe axa Oz sunt şi ele cuantificate:

π=

2hmLz

depinzând de numărul cuantic magnetic m = 0, ±1, ±2, ...±l. Momentul magnetic orbital al electronului este şi el cuantificat, fiind proporţional cu momentul cinetic orbital.

Spre deosebire de modelele semiclasice Bohr sau Bohr-Sommerfeld, în mecani-ca cuantică nu se mai poate vorbi despre „orbitele” electronilor, ci numai despre dis-tribuţia spaţială a probabilităţii prezenţei electronului. Aceasta este descrisă prin den-sitatea de probabilitate, egală cu modulul pătrat al funcţiei de undă. Distribuţia de probabilitate corespunzătoare fiecărei funcţii proprii se numeşte orbital. Funcţiile proprii corespunzătoare valorilor l = 0 au simetrie sferică. Reprezentând grafic pro-babilitatea ca electronul să se găsească la distanţa r faţă de nucleu, 4πr2|ψ|2, în funcţie de r, pentru diferite valori ale numărului cuantic principal n, obţinem curbe ale căror

125

maxime corespund razelor orbitelor Bohr. Aceasta înseamnă că orbita, ca noţiune cla-sică, reprezintă doar locul geometric al punctelor în care probabilitatea prezenţei elec-tronului este maximă.

Aplicarea metodelor mecanicii cuantice la studiul atomilor cu mai mulţi electroni sau al altor microsisteme a adus rezultate notabi-le, astfel încât astăzi această ştiinţă este în plină dezvoltare, în ciuda difi-cultăţilor matematice pe care le im-plică.

n = 1, l = 0

4πr2|ψ|2

r (nm) 0,0529 nm Putem reţine din această lungă istorie a conceptului de atom că fizica se dezvoltă treptat, recurgând la mo-dele valabile anumite perioade de timp şi renunţând apoi la cele care se dovedesc infirmate de experienţă. Mai putem reţine de aici faptul că modelele nu au pretenţia că descriu întocmai realitate, ci oferă doar o structură care poate explica unele din

fenomenele experimentale observate.

n = 2, l = 0

4πr2|ψ|2

0,22 nm r (nm)

4.2. NOŢIUNI PRIVIND NUCLEUL ATOMIC

4.2.1. Ipoteza structurii protono-neutronice a nucleului atomic

După cum s-a arătat anterior masa unui atom este concentrată aproape în totali-tate în nucleul atomului. Pentru exprimarea masei nucleelor atomice se utilizează o unitate de măsură specifică, denumită unitate atomică de masă.

O unitate atomică de masă (1 u.a.m.) este numeric egală cu a do-uăsprezecea parte din masa nucleului izotopului 12C. Masa atomică relati-vă este raportul dintre masa unui atom sau unui nucleu şi unitatea atomică de masă.

Valorile maselor atomice relative ale majorităţii elementelor chimi-ce prezintă particularitatea de a fi practic egale cu nişte numere întregi.

Această proprietate a sugerat ipoteza că nucleul atomic are o structură internă, fiind format dintr-un anumit număr de particule cu mase egale. Cel mai simplu nucleu este cel al atomului de hidrogen, motiv pentru care el se numeşte proton (de la grecescul

126

„protos” care înseamnă „primul”). Masa protonului este aproximativ egală cu unitatea atomică de masă :

mp = 1,00759 uam dar mult mai mare decât masa electronului :

mp = 1836,12 meSarcina protonului este egală în modul cu sarcina electronului, dar este pozitivă :

q = 1,6 10-19 C S-ar putea face ipoteza că nucleele atomice

sunt constituite dintr-un număr oarecare de protoni. În acest caz, pentru că atomul este neutru din punct de vedere electric, numărul de protoni ar trebui să fie egal cu cel de electroni. Cum numărul protonilor ar trebui să fie practic egal cu masa atomică relativă, iar cum numărul electronilor este egal cu numărul ato-mic Z, rezultă că masa atomică relativă ar trebui să

egaleze numărul atomic. În realitate, pentru majoritatea atomilor, numărul atomic re-prezintă doar aproximativ jumătate din masa atomică relativă. Rezultă de aici că pro-tonii nu pot fi singurii ocupanţi ai nucleului, fiind necesară prezenţa alături de ei şi a unor particule neutre, dar având mase comparabile cu protonii. Acest tip de particulă neutră a fost denumit neutron. Studiile ulterioare au permis identificarea neutronilor şi determinarea masei lor de repaus :

Cuvinte cheie Proton

Neutron Izotop Izobar

mn = 1,00898 uam Fiind enunţată iniţial ca o ipoteză, idea structurii protono-neutronice a nucleului ato-mic este astăzi considerată ca o certitudine deoarece a fost pe deplin confirmată expe-rimental. Notând cu A numărul întreg cel mai apropiat de masa atomică relativă, şi numindu-l număr atomic de masă, putem scrie :

A = Z + N unde Z este numărul electronilor sau al protonilor (egal cu numărul atomic al elemen-tului chimic) şi N este numărul neutronilor. Numărul de masă A şi numărul atomic Z sunt utilizate pentru identificarea element chimic. Notaţia standard pentru un element oarecare X este :

AXZAstfel, hidrogenul este simbolizat ca 1H1, oxigenul ca 16O8, etc. Ipoteza structurii protono-neutronice a permis explicarea cu uşurinţă a existenţei izotopilor şi izobarilor. Izotopii sunt elemente chimice cu proprietăţi chimice ase-mănătoare (care ocupă aceeaşi căsuţă a tabelului lui Mendeleev), dar care au mase atomice diferite. Exemple de izotopi pot fi: 12C6 şi 14C6. Izobarii sunt elemente chimi-ce diferite care au mase moleculare egale (14C6 şi 14N7). Conform ipotezei structurii protono-neutronice izotopii sunt nuclee care conţin acelaşi număr de protoni (de aici rezultând proprietăţile chimice asemănătoare), dar număr diferit de neutroni. Izobarii reprezintă nuclee care conţin acelaşi număr total de nucleoni (neutroni sau protoni), dar numere diferite de protoni.

127

4.2.2. Radioactivitatea, legea dezintegrării radioactive, legile de deplasare

Fenomenul de radioactivitate naturală a fost descoperit la sfârşi-

tul secolului trecut şi constă în emisia de radiaţii, asociată transmutării unor elemente chimice în alte elemente chimice.

Observaţiile experimentale arată că numărul atomilor care suferă dezintegrări radioactive este proporţional cu numărul de atomi nedezintegraţi şi cu intervalul de timp considerat :

NdtdN λ−= unde λ este o constantă care caracterizează materialul radioactiv, fiind nu-mită constantă de dezintegrare radioactivă. Această lege poartă numele de legea dezintegrării radioactive în formă diferenţială. Viteza de dezintegrare :

dtdN

=Λ

se mai numeşte activitate. În Sistemul Internaţional unitatea de măsură a activităţii se numeşte becquerel :

secunda1redezintegra 1Bq1 =

În mod uzual se foloseşte o unitate tolerată, denumită curie, existând relaţia :

1 Ci = 3,7 1010 Bq Legea diferenţială a dezintegrării radioactive se poate scrie şi sub forma :

Nλ−=Λ enunţându-se astfel : activitatea unui preparat radioactiv este proporţională cu numărul de atomi nedezintegraţi. Separând variabilele se poate scrie şi :

dtN

dNλ−=

Prin integrarea acestei relaţii se obţine :

tNNlndt

NdN tN

N

λ−=⇒λ−= ∫∫000

sau : teNN λ−= 0

adică : numărul atomilor nedezintegraţi scade exponenţial în timp. Aceas-ta este forma integrală a legii dezintegrării radioactive.

Deoarece activitatea preparatului este proporţională cu numărul de nuclee nedezintegrate, putem scrie şi :

128

te λ−Λ=Λ 0 Timpul după care activitatea unui preparat se reduce la jumătate se

numeşte timp de înjumătăţire şi se notează T1/2. Timpul după care activi-tatea scade de e ori se numeşte timp de viaţă şi se notează cu T.

Putem scrie :

λ=⇒Λ=

Λ λ− 22 210

0 21 lnTe /T /

λ=⇒Λ=

Λ λ− 10

0 Tee

T

Prin urmare, legea dezintegrării radioactive poate fi pusă şi sub una din formele ur-mătoare :

21200/Tt

Tt

e−−

⋅Λ=Λ=Λ Timpul de înjumătăţire al elementelor radioactive are valori extrem de variate, de la 1,5 10-4s pentru 218Po84 până la 4,5 109 ani pentru 238U92.

Legea dezintegrării radioactive are un caracter statistic deoarece nu prezice care anume atom se va dezintegra până la un anumit moment ulterior, ci numai care este probabilitatea ca el să se dezintegreze.

Primele tipuri de radiaţii nucleare care au fost descoperite au primit numele de radiaţii alfa, radiaţii beta şi radiaţii gamma. Studiul lor a permis identificarea ur-mătoarelor proprietăţi :

radiaţiile alfa sunt constituite din particule încărcate electric cu sarcina pozitivă q = 2e, având o masă de aproximativ 4 uam. Notaţia folosită pentru a identifica particulele alfa este : 4α2. Astăzi se ştie că particulele alfa sunt nuclee de heliu :

4α2 = 4He2 radiaţiile beta sunt constituite din particule încărcate electric cu sarcina pozitivă

sau negativă q = ±e. Masa acestor particule este mult mai mică decât cea a particu-lelor alfa. Notaţia folosită pentru a identifica particulele beta este : 0β±1. Astăzi se ştie că particulele beta sunt electroni sau pozitroni (antiparticula electronului) :

0β-1 = 0e-1 radiaţiile gamma sunt constituite din fotoni de înaltă energie. Ele nu au sarcină

electrică, iar masa lor este neglijabilă. Se consideră că sunt emise prin dezexcitarea energetică a nucleelor aflate într-o stare instabilă. Notaţia folosită pentru a identifica particulele gamma este : 0γ0. Aşa cum am menţionat deja, dezintegrarea radioactivă este însoţită de fenome-nul de transmutaţie, adică de schimbarea naturii chimice a elementului ce a suferit dezintegrarea. Transmutaţiile asociate dezintegrărilor alfa, beta şi gamma se supun unui grup de legi, denumite legile de deplasare, care se enunţă astfel :

Legea dezintegrării alfa : prin dezintegrare alfa un nucleu al unui element dat se schimbă într-un nucleu al elementului aflat cu două căsuţe

129

mai la stânga în tabelul lui Mendeleev, iar masa sa atomică scade cu patru unităţi:

AXZ → A - 4YZ - 2

Legea dezintegrării beta : prin dezintegrare beta pozitivă un nu-cleu al unui element dat se schimbă într-un nucleu al elementului aflat cu o căsuţă mai la stânga în tabelul lui Mendeleev, prin dezintegrare beta nega-tivă nucleul transmută într-un nucleu aflat cu o căsuţă la dreapta, iar masa sa atomică nu variază :

AXZ → AYZ ± 1

Legea dezintegrării gamma : dezintegrarea gamma nu schimbă nici sarcina, nici masa nucleului, dar îi modifică energia internă.

Legile de deplasare sunt foarte uşor de interpretat în lumina ipotezei structurii protono-neutronice a nucleului. Dacă acceptăm că particula alfa transportă doi pro-toni şi doi neutroni, atunci conservarea numărului de nucleoni implică relaţia :

24

24

−−+α→ Z

AZ

A YX demonstrându-se astfel legea dezintegrării alfa. Pentru justificarea dezintegrării beta s-a emis ipoteza, confirmată ulterior, că ne-utronul se poate transforma în proton prin emisia unui electron sau că protonul se transformă în neutron prin emisia unui pozitron sau capturarea unui electron. Astfel, putem scrie :

neutrino) (~no)antineutri ~(~

10

01

11

10

11

01

=++→

=++→ −

νν

νν

enp

epn

În primul caz prin transformarea neutronului în proton, electronul este expulzat din nucleu sub forma radiaţiei beta negative. În al doilea caz este expulzat pozitronul. Prin modificarea numărului de protoni din nucleu are loc transmutarea elementului radioactiv. Exemple de dezintegrări alfa sau beta întâlnite în natură sunt :

91234

10

90234

86222

24

88226

PaTh

RuRa

+β→

+α→

−

Există elemente radioactive cu timp de înjumătăţire foarte lung care prin dezin-tegrări alfa sau beta repetate dau naştere unui şir de descendenţi cu timp de înjumătă-ţire scurt şi sfârşesc prin a genera un element stabil care încheie familia radioactivă. Se cunosc la ora actuală trei familii radioactive naturale. Una dintre ele este familia 238U92, care după opt dezintegrări alfa şi şase beta generează elementul stabil 206Pb82.

130

4.2.3. Reacţii nucleare Reacţiile nucleare se produc cel mai adesea ca urmare a interacţiunii unui nucleu (denumit nucleu-ţintă) cu o particulă mai mică (denumită particulă-proiectil) pro-pulsată spre el. Reacţiile nucleare se pot produce fie pe cale naturală, fie pe cale arti-ficială. Forma generală a unei reacţii nucleare este :

a + X → b + Y unde a este particula-proiectil, X este nucleul-ţintă, iar particula b şi nucleul Y sunt produşii de reacţie. Reacţiile nucleare decurg cu respectarea unor legi de conservare : ⇒ conservarea numărului de nucleoni

AX + Aa = AY + Ab ⇒ conservarea sarcinii electrice

ZX + Za = ZY + Zb ⇒ conservarea energiei

mX c2 + ma c2 = mY c2 + mb c2 ⇒ conservarea impulsului

mX vX + ma va = mY vY + mb vb Reacţiile nucleare pot fi folosite pentru obţinerea unor izotopi artificiali, care au numeroase aplicaţii practice. De exemplu, fosforul radioactiv se poate obţine conform reacţiei :

1530

01

24

1327 *PnAl +→α+

Fosforul radioactiv se dezintegrează, cu un timp de înjumătăţire de 2,5 minute, con-form reacţiei :

01

1430

1530 nSi*P +→

Un alt caz de reacţie nucleară cu aplicaţii practice este cel folosit la construcţia reactoarelor nucleare. În reacţie un neutron provoacă fisiunea uraniului conform ecuaţiei :

energienKrBaUUn +++→→+ 01

3692

56141

92236

92235

01 3

Cei trei neutroni rezultaţi din reacţie pot provoca alte fisiuni, întreţinând astfel reac-ţia, iar căldura degajată este utilizată pentru generarea energiei electrice.

4.2.4. Forţe nucleare, defectul de masă, modele nucleare

Măsurarea maselor nucleelor a scos în evidenţă un aspect mai puţin aşteptat, acela că masa de repaus a nucleului este mai mică decât su-ma maselor de repaus ale componenţilor săi :

( ) npXmZAZmm

ZA −+≤

131

Diferenţa : ( )[ ]

ZA Xnp mmZAZmm −−+=∆

se numeşte defect de masă şi depinde de natura nucleului considerat. Conform relaţiei lui Einstein dintre masă şi energie, defectul de masă poate fi considerat ca o măsură a energiei eliberate la formarea nucleului din nucleonii indivi-duali, după formula :

2cmW ∆=∆

Cu alte cuvinte, se poate spune că defectul de masă este o măsură a energiei de legătură a nucleului.

Împărţind energia de legătură la numărul de nucleoni se obţine o mărime numită energia medie de legătură pe nucleon :

AWw ∆

=

Valoarea energiei medii de legătură pe nucleon oferă informaţii asupra stabilită-ţii nucleului (cu cât energia medie de le-gătură este mai mare, cu atât nucleul este mai stabil). Cele mai stabile sunt cel de

heliu (w = 7 MeV) şi cele de fier şi nichel (w = 9 MeV). Mai puţin stabile sunt nucle-ele cu număr de masă mic (pentru deuteriu w = 1,09 MeV) sau cele grele (pentru ura-niu w = 7,6 MeV).

A Ni Fe

Li

He

H w(MeV) 0

2

4

6

8

În funcţie de valoarea energiei medii de legătură pe nucleon se poate explica apariţia reacţiilor de fuziune nucleară (prin care două nuclee uşoare se unesc pentru a forma unul mai greu, proces însoţit de degajarea de energie) sau a celor de fisiune (procesul invers de „spargere” a unui nucleu greu în nuclee mai uşoare, cu eliberare de energie). Examinarea valorilor energiei medii de legătură arată că nucleele izobare au energii de legătură aproape egale. Acest fapt demonstrează că forţele de legătură care contribuie la formarea nucleului cheltuiesc cantităţi egale de lucru mecanic indiferent dacă produc apropierea a doi protoni, a doi neutroni, sau a unui proton şi a unui neu-tron.

Rezultă de aici că forţele de interacţiune dintre nucleoni sunt indepen-dente de sarcina electrică a acestora. Pe lângă această calitate forţele nucleare trebuie să mai îndeplinească şi următoarele condiţii: - să fie forţe de atracţie - să fie mai mari decât forţele electrostatice la distanţe comparabile cu diametrul nucleului atomic (în caz contrar prin acţiunea forţelor de respingere electrostati-că dintre protoni nucleul s-ar disocia) - să fie neglijabile comparativ cu forţele electrostatice la distanţe de ordinul de mărime al diametrului atomului (în caz contrar nucleele atomilor vecini s-ar uni)

132

Acest tip de forţe atractive, cu rază scurtă de acţiune, reprezintă cea de-a treia forţă fundamentală, alături de forţa gravitaţională şi forţa electri-că.

Forţele nucleare nu sunt cunoscute suficient de bine pentru a se putea edifica un model suficient de precis al structurii nucleului atomic. De aceea, pornind de la ob-servaţiile experimentale, s-au imaginat mai multe modele nucleare, dintre care le menţionăm pe cele mai cunoscute : modelul în picătură, modelul în pături şi mo-delul mixt. Modelul în picătură se bazează pe observaţia că raza nucleului cu numărul de masă A se poate exprima cu bună aproximaţie ca :

(m)1041 315 A,r −⋅= Rezultă de aici că densitatea materiei nucleare este aproape aceeaşi pentru toate nu-cleele. Situaţia este asemănătoare cu cea a unei picături de lichid, iar forţele nucleare pot fi asimilate ca mod de acţiune cu forţele de coeziune dintre moleculele lichidului. Stabilitatea nucleului se explică prin forţele cu care nucleonii aflaţi la suprafaţa pică-turii nucleare acţionează asupra nucleonilor interiori (similar presiunii interne într-un lichid). Modelul în picătură a fost utilizat cu rezultate destul de bune pentru a explica fi-siunea nucleară, văzută ca spargerea unei picături de lichid ca urmare a unei acţiuni externe. Modelul în pături este construit prin analogie cu modul în care se face aşezarea electronilor în pături în interiorul atomului. Indicaţia experimentală care stă la origi-nea acestui model este faptul că există unele nuclee mult mai stabile decât vecinele lor (aşa cum elementele chimice din grupa a VIII-a, care au toate păturile electronice complete, sunt mult mai stabile chimic decât celelalte). Deosebit de stabile sunt nu-cleele care conţin numere pare de protoni şi neutroni, cum ar fi : 4He2, 16O8, 40Ca20, 208Pb82. Predicţiile teoretice făcute conform modelului în pături se verifică cel mai bi-ne pentru nucleele uşoare şi pentru cele aflate în stare fundamentală. Modelul mixt sau colectiv reuneşte cele două modele discutate anterior, astfel încât în stare fundamentală nucleul are un comportament descris de modelul în pături, iar în stare puternic deformată se supune modelului în picătură. Acest model are cali-tatea că dă rezultate satisfăcătoare atunci când este folosit pentru explicarea dezinte-grărilor alfa.

133

Cuprins

1. Electromagnetism ................................................................................................... 3 1.1. Sarcina electrică, interacţiunea electrostatică.................................................. 3 1.2. Legea lui Coulomb .......................................................................................... 3 1.3. Intensitatea câmpului electric .......................................................................... 4 1.4. Intensitatea câmpului electric al sarcinii punctiforme..................................... 5 1.5. Distribuţii de sarcină electrică ......................................................................... 6 1.6. Fluxul intensităţii câmpului electric, teorema lui Gauss ................................. 8

1.6.1. Câmpul electric al unui conductor liniar, foarte lung, încărcat electric . 11 1.6.2. Câmpul electric al unei suprafeţe plane, de mari dimensiuni, încărcată electric 13 1.6.3. Câmpul electric al unei sfere electrizate................................................. 14

1.7. Lucrul mecanic în câmpul electric al unei sarcini punctiforme energia potenţială a unui sistem de două sarcini punctiforme ................................ 16 1.8. Potenţialul electric ......................................................................................... 18

1.8.1. Potenţialul sarcinii punctiforme.............................................................. 20 1.8.2. Potenţialul distribuţiei discrete de sarcină .............................................. 21 1.8.3. Potenţialul distribuţiei continue de sarcină............................................. 22

1.9. Legătura între vectorul intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric, problema generală a electrostaticii .......................................................................... 22 1.10. Dipolul electric : potenţialul şi intensitatea câmpului................................ 25 1.11. Condensatori electrici................................................................................. 28

1.11.1. Condensatorul plan ................................................................................. 28 1.11.2. Condensatorul cilindric........................................................................... 29 1.11.3. Condensatorul sferic ............................................................................... 30

1.12. Energia câmpului electric........................................................................... 31 1.13. Conductori în câmp electric extern ............................................................ 33 1.14. Izolatori în câmp electric............................................................................ 36 1.15. Curentul electric staţionar .......................................................................... 41

1.15.1. Ecuaţia de continuitate............................................................................ 41 1.15.2. Legile experimentale ale curenţilor electrici de conducţie..................... 45

1.15.2.1. Legea lui Ohm ................................................................................. 45 1.15.2.2. Legea rezistenţei electrice a unui conductor filiform ...................... 45 1.15.2.3. Legea variaţiei conductivităţii cu temperatura ................................ 45 1.15.2.4. Legea lui Ohm pentru un circuit simplu .......................................... 46 1.15.2.5. Legea lui Joule ................................................................................. 46

1.15.3. Teoria electronică a conducţiei în metale, forma locală a legii lui Ohm şi a legii lui Joule, interpretarea energetică a legii lui Ohm pentru un circuit simplu ............................................................. 47

1.16. Electroliza................................................................................................... 50 1.17. Câmpul magnetic al curenţilor staţionari ................................................... 51

1.17.1. Legile experimentale ale câmpului magnetic al curenţilor staţionari .... 51 1.17.1.1. Legea forţei electromagnetice, vectorul inducţie magnetică ........... 51

134

1.17.1.2. Forţa Lorentz.................................................................................... 53 1.17.1.3. Efectul Hall ...................................................................................... 54 1.17.1.4. Forţa de interacţiune între conductorii paraleli parcurşi de curent electric staţionar, legea Biot-Savart ................................................................ 55

1.17.2. Legea Biot-Savart-Laplace ..................................................................... 56 1.17.2.1. Inducţia câmpului magnetic generat de un conductor liniar finit.... 58 1.17.2.2. Inducţia câmpului magnetic pe axul de simetrie al unei porţiuni de spiră circulară .................................................................................................. 59

1.17.3. Legea circulaţiei magnetice (legea lui Ampère)..................................... 61 1.17.3.1. Inducţia câmpului magnetic în interiorul unui solenoid foarte lung63

1.17.4. Divergenţa şi fluxul inducţiei magnetice, potenţialul vector ................ 64 1.17.5. Ecuaţiile fundamentale ale magnetostaticii, problema generală a magnetostaticii..................................................................................................... 66

1.18. Electrodinamica.......................................................................................... 67 1.18.1. Fenomenul de inducţie electromagnetică, legea lui Faraday ................. 67

1.18.1.1. Energia câmpului magnetic ............................................................. 70 1.18.2. Inducţia magnetoelectrică, curentul de deplasare................................... 72

1.19. Ecuaţiile lui Maxwell ................................................................................. 75 1.20. Unde electromagnetice............................................................................... 77

1.20.1. Clasificarea undelor electromagnetice.................................................... 81 2. LUMINA ............................................................................................................. 82

2.1. Noţiuni de fotometrie..................................................................................... 82 2.1.1. Sursa luminoasă punctiformă ................................................................. 84

2.2. Dovezi experimentale în sprijinul ipotezei naturii ondulatorii a fenomenelor luminoase................................................................................................................. 84

2.2.1. Interferenţă.............................................................................................. 85 2.2.2. Difracţie .................................................................................................. 90 2.2.3. Polarizarea luminii.................................................................................. 91

2.3. Dovezi experimentale în sprijinul ipotezei naturii corpusculare a fenomenelor luminoase ........................................................................................... 92

2.3.1. Experimentul Franck-Hertz, ipoteza cuantelor de lumină...................... 92 2.3.2. Efectul fotoelectric extern....................................................................... 95 2.3.3. Radiaţia X de frânare .............................................................................. 97 2.3.4. Efectul Compton..................................................................................... 99

2.4. Concluzii în urma studiului fenomenelor luminoase .................................. 102 3. Noţiuni de mecanică cuantică ........................................................................... 103

3.1. Ipoteza lui de Broglie, experimentul lui Davisson şi Germer ..................... 103 3.2. Relaţiile de nedeterminare ale lui Heisenberg............................................. 105 3.3. Interpretarea undelor asociate, funcţia de undă, ecuaţia lui Schrodinger.... 108 3.4. Particula în groapa de potenţial unidimensională, infinită .......................... 112

4. ATOMUL.......................................................................................................... 116 4.1. Istoric privind concepţiile şi teoriile referitoare la atom şi structura sa ...... 116 4.2. Noţiuni privind nucleul atomic.................................................................... 126

4.2.1. Ipoteza structurii protono-neutronice a nucleului atomic..................... 126 4.2.2. Radioactivitatea, legea dezintegrării radioactive, legile de deplasare.. 128

135

4.2.3. Reacţii nucleare..................................................................................... 131 4.2.4. Forţe nucleare, defectul de masă, modele nucleare.............................. 131

136