Autori:

Prof. dr. ing. VLADIMIR MĂRĂSCU KLEIN

Şef lucr. Ing. GEORGIANA LIMBĂŞAN

MODELAREA ŞI SIMULAREA SISTEMELOR DE

PRODUCŢIE

Braşov, 2013

1

Introducere

Datorită complexităţii situaţiilor existente în cadrul întreprinderilor, cerinţelor de

adaptare rapidă şi cu efort minim la variaţiile factorilor externi ei, elaborarea deciziilor care

trebuie luate într-un timp scurt, au crescut importanţa modelării deciziilor manageriale. În

acest context general se înscrie şi cursul intitulat Modelarea şi Simularea Sistemelor de

Producţie, care face o incursiune în tehnicile de modelare şi simulare folosite în procesul

optimizării deciziilor manageriale.

Cursul intitulat Modelarea şi Simularea Sistemelor de Producţie, prin tematica

abordată, pune la dispoziţia specialiştilor şi studenţilor secţiilor de specialitate o serie de

modele şi tehnici de simulare cu largă aplicabilitate în cadrul sistemelor de producţie (modele

pentru simularea sistemelor de aşteptare, a proceselor de stocare, modele dinamice, modele şi

tehnici de prognoză, modele pentru simularea sistemelor flexibile de producţie etc.), fără a

epuiza domeniul care este foarte vast.

Obiectivele cursului

Cursul intitulat Modelarea şi Simularea Sistemelor de Producţie are ca obiectiv

principal îmbogăţirea cunoştinţelor din sfera disciplinelor cu caracter aplicativ

economic, managerial ale studenţilor Programului de studii Inginerie Economică

Industrială, forma de învăţământ ID. În acest sens, la sfârşitul acestui curs,

studenţii vor fi capabili să:

opereze cu noţiuni precum: modelare, simulare, modele, tehnici de modelare şi

simulare, variabile, parametri, procese;

identifice variabilele şi parametrii pentru diferite tipuri de procese din sistemele

de producţie;

să scrie relaţiile matematice necesare realizării unui model matematic;

să opereze cu interfaţa pachetului software WinQSB pentru rezolvarea

modelelor matematice şi interpretarea rezultatelor simulării proceselor studiate.

Cerinţe preliminare

Cursul Modelarea şi Simularea Sistemelor de Producţie necesită cunoaşterea în

prealabil de către studenţi a noţiunilor specifice teoriei sistemelor, statisticii

matematice şi cercetării operaţionale.

Resurse

Parcurgerea primelor patru unităţi de învăţare nu necesită existenţa unor mijloace

sau instrumente de lucru. Următoarele unităţi de învăţare având ca subiecte

modelarea şi simularea diferitelor tipuri de procese existente în cadrul sistemelor

2

de producţie clasice sau flexibile, necesită utilizarea calculatorului având instalat

pachetul software WinQSB for Windows.

Structura cursului

Cursul Modelarea şi Simularea Sistemelor de Producţie este structurat în 10

unităţi de învăţare, fiecare unitate de învăţare cuprinzând: obiective, aspecte

teoretice privind tematica unităţii de învăţare respective, exemple, teste de

autoevaluare precum şi probleme propuse spre discuţie şi rezolvare în cadrul

activităţilor asistate stabilite. La sfârşitul fiecărei unităţi de învăţare sunt prevăzute

teste de evaluare / autoevaluare, urmate de răspunsurile corecte (doar pentru testele

de autoevaluare).

Durata medie de studiu individual

Parcurgerea de către studenţi a unităţilor de învăţare ale cursului de Modelarea şi

Simularea Sistemelor de Producţie (atât aspectele teoretice cât şi rezolvarea

testelor de autoevaluare şi rezolvarea problemelor propuse) se poate face în 2 -3 ore

pentru fiecare unitate.

Evaluarea

La sfârşitul semestrului, fiecare student va primi o notă, care va cuprinde: un test

grilă, ce va conţine întrebări teoretice din materia prezentată în cadrul acestui

material, test ce va deţine o pondere de 50% în nota finală şi notele aferente

susţinerii a două verificări (sub forma unor teste de laborator) pe parcursul

semestrului, note care vor reprezenta 50 % în nota finală.

Spor la treaba !

3

Cuprins

Introducere ................................ ................................ ................................ ................................ . 1

Chestionar evaluare prerechizite ................................ ................................ ............................... 6

Unitatea de învăţare 1 Aspecte generale privind modelarea şi simularea ................................ 7

1.1. Introducere................................ ................................ ................................ ........... 7

1.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ .......... 7

1.3.Noţiuni şi definiţii privind modelarea şi simularea ................................ .............. 7

1.4. Obiectivele simulării ................................ ................................ .......................... 12

1.5. Marcarea timpului în simulare ................................ ................................ .......... 13

1.5.1 Simularea cu ceas constant................................ ................................ .............. 13

1.5.2 Simularea cu ceas variabil................................ ................................ ............... 14

1.6. Clasificarea modelelor................................ ................................ ....................... 15

1.7. Clasificarea tehnicilor de simulare ................................ ................................ ... 17

1.8. Rezumat ................................ ................................ ................................ .............. 20

1.9. Test de autoevaluare/răspunsuri................................ ................................ ........ 21

Unitatea de învăţare 2 Etapele simulării sistemelor de producţie. ................................ .......... 22

2.1. Introducere................................ ................................ ................................ ......... 22

2.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ........ 22

2.3. Analiza şi sinteza sistemului ................................ ................................ .............. 22

2.4. Conceperea şi proiectarea modelului ................................ ................................ 24

2.5. Estimarea variabilelor şi parametrilor................................ .............................. 26

2.5.1 Culegerea datelor pentru simulare ................................ ................................ .. 26

2.6. Stabilirea variabilelor şi parametrilor ................................ .............................. 34

2.6.1 Stabilirea unor corelaţii între variabilele sistemului................................ ....... 36

2.6.2 Stabilirea limitelor admisibile ale variabilelor şi parametrilor ...................... 37

2.7. Rezumat ................................ ................................ ................................ .............. 40

2.8. Test de evaluare ................................ ................................ ................................ . 40

Unitatea de învăţare 3 Evenimente, strategii, funcţii obiectiv. ................................ ................ 41

3.1. Introducere................................ ................................ ................................ ......... 41

3.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ........ 41

3.3. Stabilirea evenimentelor care apar în sistem şi a relaţiilor dintre acestea ....... 41

3.4. Stabilirea unor strategii privind evoluţia evenimentelor sistemului.................. 44

3.4.1 Strategii de prevenire................................ ................................ ....................... 44

3.4.2Strategii de aşteptare ................................ ................................ ........................ 47

3.4 Stabilirea funcţiilor obiectiv ale sistemului ................................ ........................ 49

3.5 Rezumat................................ ................................ ................................ ............... 52

3.6. Test de autoevaluare/răspunsuri................................ ................................ ........ 52

Unitatea de învăţare 4 Elaborarea algoritmului, validarea modelului şi a programului. ...... 53

4

4.1. Introducere................................ ................................ ................................ ......... 53

4.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ........ 53

4.3. Elaborarea algoritmului şi scrierea programului de simulare ......................... 53

4.4. Validarea modelului şi a programului de calcul ................................ ............... 62

4.5. Rezumat................................ ................................ ................................ .............. 63

4.6. Test de evaluare ................................ ................................ ................................ . 63

Unitatea de învăţare 5 Modelarea şi simularea proceselor de aşteptare. ............................... 64

5.1. Introducere................................ ................................ ................................ ......... 64

5.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ........ 64

5.3. Modele matematice ale proceselor de aşteptare ................................ ............... 65

5.3.1 Proces de aşteptare cu o staţie, sosiri Poisson, servire exp onenţială ............. 66

5.3.2 Proces de aşteptare cu S staţii, sosiri Poisson, serviri exponenţiale............... 68

5.3.3 Proces de aşteptare cu o staţie, sosiri Poisson, servire exponenţială şi

lungime permisă limitată a şirului ................................ ................................ ........... 69

5.3.4 Proces de aşteptare cu o staţie, sosiri Poisson, servire după o distribuţie

normală s2 cunoscută ................................ ................................ .............................. 70

5.4. Simularea proceselor de aşteptare ................................ ................................ .... 71

5.4.1 Simularea cu ceas variabil................................ ................................ ............... 72

5.4.2 Simularea cu ceas constant................................ ................................ .............. 75

5.4.3 Simularea unui sistem de aşteptare cu interferenţa maşinilor ........................ 77

5.4.4 Simularea unui proces cu n staţii paralele ................................ ...................... 82

5.5. Rezumat ................................ ................................ ................................ .............. 85

5.6. Test de evaluare ................................ ................................ ................................ . 85

Unitatea de învăţare 6 Modelarea şi simularea proceselor de stocare ................................ ... 86

6.1. Introducere................................ ................................ ................................ ......... 86

6.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ........ 86

6.3. Elemente definitorii din teoria stocurilor ................................ .......................... 86

6.4. Modele de gestiune a stocurilor................................ ................................ ......... 89

6.4.1 Procese de stocare cu perioade egale şi cerere constantă ............................. 89

6.4.2 Proces de stocare cu perioade egale, cerere constantă şi posibilitatea

ruperii stocului................................ ................................ ................................ .......... 92

6.4.3 Procese de stocare cu cerere discretă ................................ ............................. 94

6.4.4 Procese de stocare a mai multor produse diferite ................................ ........... 94

6.5. Simularea unui proces de stocare ................................ ................................ ...... 95

6.6. Rezumat ................................ ................................ ................................ .............. 98

6.7. Test de autoevaluare / răspunsuri................................ ................................ ...... 99

Unitatea de învăţare 7 Modelarea dinamică................................ ................................ .......... 100

7.1. Introducere................................ ................................ ................................ ....... 100

7.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ...... 100

7.3. Aspecte generale ................................ ................................ .............................. 100

7.4. Modelarea dinamică ................................ ................................ ........................ 103

5

7.4.1 Definirea variabilelor modelului dinamic ................................ .................... 105

7.4.2 Întocmirea schemei grafice................................ ................................ ............ 106

7.4.3 Scrierea ecuaţiilor ................................ ................................ ......................... 108

7.5. Rezumat ................................ ................................ ................................ ............ 113

7.6. Test de evaluare ................................ ................................ ............................... 113

Unitatea de învăţare 8 Simularea dinamică ................................ ................................ ........... 114

8.1. Introducere................................ ................................ ................................ ....... 114

8.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ...... 114

8.3. Rezolvarea ecuaţiilor ................................ ................................ ....................... 114

8.4. Simularea dinamică ................................ ................................ ......................... 117

8.5. Rezumat................................ ................................ ................................ ............ 121

8.6. Test de evaluare ................................ ................................ ............................... 121

Unitatea de învăţare 9 Modele şi tehnici de prognoză................................ ........................... 122

9.1. Introducere................................ ................................ ................................ ....... 122

9.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ...... 122

9.3. Aspecte generale ................................ ................................ .............................. 122

9.4. Extrapolarea analitică ................................ ................................ ..................... 129

9.5. Extrapolarea fenomenologică................................ ................................ .......... 132

9.5.1 Modele de tip liniar................................ ................................ ........................ 132

9.5.2 Modele de tip exponenţial ................................ ................................ .............. 133

9.5.3 Modele de tip logaritmic ................................ ................................ ................ 135

9.5.4 Modele de tip hiperbolic ................................ ................................ ................ 135

9.6. Rezumat ................................ ................................ ................................ ............ 136

9.7. Test de autoevaluare/ răspunsuri................................ ................................ ..... 137

Unitatea de învăţare 10 Modelarea şi simularea sistemelor flexibile de producţie .............. 138

10.1. Introducere................................ ................................ ................................ ..... 138

10.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ .... 138

10.3. Modelarea cu reţele PETRI a sistemelor flexibile de producţie .................... 138

10.3.1 Modele cu reţele PETRI de tip CE................................ ............................... 145

10.3.2 Modele cu reţele PETRI de tip PT ................................ ............................... 146

10.4. Simularea cu reţele PETRI a sistemelor flexibile de producţie ..................... 147

10.4.1 Simularea cu reţele PETRI de tip PT fără arce multiple ............................. 148

10.4.2 Simularea cu reţele PETRI de tip PT cu arce multiple................................ 149

10.6. Rezumat ................................ ................................ ................................ .......... 151

10.7. Test de autoevaluare/ răspunsuri................................ ................................ ... 152

Bibliografie................................ ................................ ................................ ............................. 153

6

Chestionar evaluare prerechizite

Prezentul chestionar este destinat testării cunoştinţelor apriori ale studenţilor în

domeniul disciplinei curente.

1. Definiţi noţiunea de “sistem”.

2. Ce înţelegeţi prin “mărime de feed-back”?

3. Ce înţelegeţi prin mărime de intrare / ieşire?

4. Ce semnificaţie daţi sintagmei “obiectivul sistemului”?

5. Ce este variabila (caracteristica) statistică?

6. Ce este seria statistică?

7. Daţi un exemplu de relaţie matematică care să descrie o funcţie liniară.

8. Scrieţi relaţia matematică a mediei aritmetice / medianei.

9. Ce semnificaţie are conceptul “trend”?

10. Care sunt elementele componente ale unei serii cronologice?

7

Unitatea de învăţare U1. Aspecte generale privind modelarea şi

simularea

Cuprins

1.1 Introducere ................................ ................................ ................................ ................ 5

1.2 Competenţe. ................................ ................................ ................................ .............. 5

1.1. Introducere

Unitatea de învăţare 1 prezintă principalele noţiuni şi definiţii privind modelarea şi

simularea, obiectivele simulării, modul cum se marchează timpul în modelele de

simulare, precum şi o clasificare a modelelor şi tehnicilor de simulare.

1.2. Competenţele unităţii de învăţare

Obiectivul principal al acestei unităţi de învăţare este acela de a familiariza

studenţii cu noţiunile specifice modelării şi simulării. La sfârşitul acestei unităţi de

învăţare studenţii vor fi capabili să:

înţeleagă noţiunile cu care se operează în modelarea şi simularea diferitelor

procese;

identifice tipul ceasului utilizat în simulare;

deosebească categoriile de modele, după diverse criterii;

identifice tipurile de simulări utilizate în diverse situaţii.

Durata medie de parcurgere a primei unităţi de învăţare este de 3 ore.

1.3. Noţiuni şi definiţii privind modelarea şi simularea

Simularea este o tehnică de realizare a experienţelor cu ajutorul calculatorului

electronic, implicând utilizarea unor modele matematice sau logice ce descriu comportarea

sistemului real pe durata unui interval de timp, mic sau mare.

Tehnicile de simulare se utilizează, de regulă, în acele cazuri în care găsirea unei soluţii

analitice este imposibilă, iar experimentarea nemijlocită pe sistemul real este, dintr-un motiv

sau altul, neoperaţională.

La baza procesului de simulare stau metodele de descriere, modelare şi analiză a unor

sisteme reale (existente) ori în curs de realizare (proiectare).

8

Realitatea este reprezentată prin modele, iar simularea le foloseşte pentru studiul

realităţii.

Simularea presupune întotdeauna utilizarea modelului, ea reprezentând - în esenţă - o

manipulare a modelului.

În activitatea de simulare sunt implicate trei elemente importante şi anume: sistemul

real, modelul, calculatorul şi două relaţii: relaţia de modelare şi relaţia de simulare.

În figura 1.1 se prezintă sintetic procesul de trecere de la “sistemul real” la modelul de

simulare “modelul real”.

Figura 1.1

Modelul este un sistem material sau abstract, care, fiind pus în corespondenţă cu un alt

sistem dat anterior, va putea servi indirect studiului proprietăţilor acestui sistem mai complex

(original) şi cu care modelul prezintă o anumită analogie.

În general, modelul M al sistemului S este un alt sistem S’, din anumite puncte de

vedere echivalent cu S (S’ S) şi care poate fi studiat mai uşor decât S. Din determinarea pe

S’ a unor relaţii se deduc relaţii corespunzătoare pentru S. De obicei, echivalenţa lui S’ cu S

este mai mult aproximativă decât exactă!

Prin model se înţelege deci o imagine condensată a unui fenomen, o machetă a unei

realităţi complexe care există sau care urmează să fie construită.

Prin model de sistem se înţelege o reprezentare condensată şi simplificată a unui sistem

real sau imaginar în scopul de a prezice unele comportări din funcţionarea sa.

Modelul este o imagine mai mult sau mai puţin fidelă a sistemului real; el nu epuizează

sistemul real deoarece atunci s-ar putea substitui acestuia. Dar însăşi raţiunea modelării este

impusă de imposibilitatea reproducerii, în toată complexitatea sa, a sistemului. Este necesar

însă ca în cadrul modelului să fie reproduse aspectele, legile, relaţiile etc. esenţiale ale

sistemului, deoarece de modul cum acestea sunt cuprinse în model depinde utilitatea sa. Unui

sistem i se pot asocia diferite modele; de aceea un model nu poate fi adevărat sau fals; el

reprezintă mai bine sau mai puţin bine un sistem. Din această cauză criteriul practicii,

MODELUL

ABSTRACT

MODELUL

REAL SISTEMUL

REAL

DATE DIN

SISTEM

DATE ANALITICE

DATE SIMULATE

9

verificarea sau validarea modelului constituie o latură caracteristică definitorie a oricărui

model.

Modelarea înseamnă trecerea de la fenomenul real la modelul matematic, prin luarea

în considerare a aspectelor esenţiale şi prin neglijarea unor aspecte şi elemente, uneori destul

de importante, în scopul realizării unui studiu pe un model matematic mai simplu.

Trecerea de la un sistem real la modelul matematic corespunzător, iar de aici - eventual

- la un model fizic, este posibilă şi ca urmare a faptului că există diferite fenomene care sunt

descrise de aceleaşi tipuri de relaţii matematice, doar variabilele şi funcţiile având semnificaţii

diferite.

Acest aspect poate fi reprezentat prin schema din figura 1.2:

Figura 1.2.

Se pleacă de la anumit obiect notat cu O1. De la el se trece la un model matematic M1,

descris prin ecuaţiile E1. Uneori se aproximează E1 prin ecuaţiile liniare EL1. Există apoi un

alt obiect O2, pentru care se imaginează modelul M2, care conduce la ecuaţia E2, respectiv

EL2. Există posibilitatea ca ecuaţiile (EL sau E), corespunzând la două modele diferite, să

coincidă. În acest caz O2 modelează pe O1 şi invers.

Exemplu

De exemplu, micile oscilaţii ale unei mase suspendate de un resort elastic,

mişcarea pendulului şi oscilaţiile electrice dintr-un circuit acordat, reprezintă trei

fenomene total diferite între ele, care pot fi descrise prin relaţiile matematice

O3

M1

O2

O1

M2

M3

E1

E2

E3

EL1

EL2

EL3

10

(1.1), (1.2) şi (1.3), prezentate în continuare:

m kzd zdt

22 0 (1.1)

l gddt

22 0

(1.2)

L qd qdt C

2

21 0 (1.3)

Se poate observa cu uşurinţă că ecuaţiile de mai sus pot fi scrise sub

forma generală:

ax” + bx = 0 (1.4)

Tabelul 1.1

Termenii ecuaţiei Resort Pendul Circuit electric

a m l L

b k g 1/C

x z q

Termenii prezentaţi în tabelul 1.3.1 au următoarele semnificaţii:

pentru resort:

m - masa; k - constanta elastică; z - coordonata, în sensul mişcării

pentru pendul:

l - lungimea; g - acceleraţia gravitaţională; - unghiul de deviaţie;

pentru oscilaţii electrice: L - inductanţa; C – capacitatea; q - sarcina

electrică.

În concluzie, pentru exemplul de mai sus, având în vedere faptul că cele trei fenomene

pot fi descrise de aceeaşi relaţie matematică, rezultă că unele pot fi studiate cu ajutorul

celorlalte.

Daţi şi alte exemple de modele (exprimate prin relaţii matematice sau în alt

mod!) întâlnite în practica sistemelor de producţie.

Modelarea matematică presupune observarea fenomenelor (obţinerea datelor

necesare), elaborarea modelului în conformitate cu cea mai riguroasă teorie cunoscută,

elaborarea unui algoritm de rezolvare a modelului şi, în final, folosirea unui echipament de

calcul pentru a aplica algoritmul elaborat în vederea obţinerii soluţiei optime. Acest tip de

modelare este foarte dificil de implementat în practica studierii sistemelor de producţie,

datorită complexităţii acestora. De multe ori, se evită elaborarea modelului. În acest caz, se

procedează astfel:

11

în funcţie de informaţiile disponibile se elaborează algoritmul de calcul şi se

analizează soluţia obţinută;

dacă soluţia obţinută satisface criteriile considerate în analiză se trece la aplicare.

Dacă nu, se reiau observaţiile sau se re-elaborează algoritmul sau se încearcă elaborarea unui

model, corectându-se algoritmul de calcul în mod corespunzător.

Deci, pot exista cazuri în care modelul nici nu se mai elaborează. Numai dacă

elaborarea algoritmului nu a fost satisfăcătoare, se trece la elaborarea modelului. Este posibil

ca acest model să nu fie complet. După aplicarea algoritmului şi analiza unor rezultate,

modelul se completează, se aplică din nou algoritmul, se reanalizează rezultatele etc. În acest

caz avem de a face cu o modelare procedurală.

Modelarea procedurală este caracterizată prin acordarea unui prim rol, algoritmului

şi unuia secundar, modelului. Ea poate fi realizată în două stra tegii, şi anume:

modelarea generală, când se urmăreşte surprinderea tuturor cazurilor posibile;

modelarea pe tipuri de probleme (clase), când se aleg probleme frecvente din pra ctică

pentru care se elaborează un algoritm specific de rezolvare.

Avându-se în vedere că în modelarea procedurală nu se mai poate face o distincţie prea

clară între model şi algoritm, este necesar ca şi din punct de vedere teoretic să se acorde o

atenţie deosebită algoritmilor.

Algoritmul, în general, trebuie să îndeplinească trei condiţii:

universalitate (se referă la posibilitatea ca algoritmul să asigure prelucrarea unui

număr extrem de mare de date de intrare);

finitudine (se referă la timpul în care se furnizează rezultatele, care trebuie să fie

finit, iar din punct de vedere practic trebuie să fie cel mult de ordinul orelor);

determinism (cu excepţia algoritmilor vagi).

O clasificare a algoritmilor poate fi făcută astfel:

algoritmi exacţi, care au proprietatea:

X X 0 (1.5)

algoritmi aproximativi, care au proprietatea:

X X (1.6)

algoritmi euristici, reprezentând o căutare prin încercări bazate pe intuiţie şi experiment

care se îmbunătăţesc în general succesiv, cu proprietatea că, pentru un dat, nu există

siguranţa că se găseşte o soluţie X, astfel încât să se respecte proprietatea din relaţia 1.6.

În relaţiile de mai sus s-au utilizat următoarele notaţii:

X - vectorul - soluţie furnizat de algoritm;

X - vectorul adevăratei soluţii;

- vector al unor abateri admisibile, dinainte stabilite.

12

1.4. Obiectivele simulării

Obiectivul simulării unui sistem este de a putea emite o serie de predicţii asupra

comportării şi performanţelor sistemului respectiv, având la îndemână doar modelul de o

anumită natură a sistemului şi un set de informaţii cu privire la parametrii sau variabilele

dominante ce determină evoluţia sistemului.

Simularea trebuie să furnizeze informaţii asupra performanţelor sistemului studiat. După

ce a fost construit modelul sistemului şi a fost stabilită o anumită certitudine că respectivul

model este o reprezentare validă a realităţii, executarea unei serii de simulări pentru diverse

seturi de mărimi de intrare permite o înţelegere mai bună a sistemului real în diferite condiţii

de funcţionare.

În cele ce urmează simularea va fi înţeleasă ca o imitare a comportării sistemului

studiat, reprezentat prin modelul său, prezenţa variabilelor aleatoare în modelul respectiv

impunând experimentul repetat, cu caracter statistic. În felul acesta va fi posibilă obţinerea

unor adevărate instantanee privind comportarea sistemului la diferite momente şi în condiţii

variate.

Trebuie subliniat că, în general, simularea nu oferă soluţia optimă pentru sistemul

studiat, ci doar tabloul rezultatelor care s-ar obţine în timp şi în spaţiu, ca urmare a folosirii

variabilelor utilizate. Dar utilizarea acestei metode de studiu este destul de eficientă în

aplicarea tehnicilor de căutare de tip trial and error (încercare - eroare), urmărind

determinarea soluţiei satisfăcătoare (nu întotdeauna optimă).

Dacă modelarea matematică conduce la modele al căror studiu poate fi făcut analitic -

permiţând în aceste condiţii determinarea cu destulă exactitate a variantei de decizie care

trebuie utilizată - simularea oferă o imagine ce reprezintă prelungirea în timp şi spaţiu a

desfăşurării unui proces ale cărui coordonate definitorii se consideră cunoscute cel puţin

statistic din trecut şi care se presupune a funcţiona cel mai adesea în regim regulat sau

staţionar, adică fără modificări consistente ale caracteristicilor de bază.

În concluzie, simularea permite realizarea cel puţin a următoarelor obiective:

Prelungirea în timp şi spaţiu a desfăşurării unor procese pe baza unor ipoteze de l ucru

privind legile ce le guvernează (deci de variaţie a structurii, dacă este cazul, a parametrilor ce

caracterizează procesul şi a mărimilor de intervenţie asupra acestora), în scopul identificării

unor variante de intervenţie avantajoasă asupra desfăşurării ( funcţia praxiologică).

Identificarea unui model suficient de realist al unui sistem, utilizabil apoi în

conformitate cu cele menţionate la aliniatul de mai sus (funcţia gnoseologică).

Căutarea unor regimuri de funcţionare avantajoase, aproximând regimul optimal pe

baza experimentului statistic (funcţiile praxiologică şi gnoseologică în acelaşi timp).

13

Trebuie reţinut faptul că simularea poate ajuta efectiv la studiul unui sistem real sau la

proiectarea unui sistem, dar ea nu produce miracole dacă nu există date de intrare corecte,

modele corespunzătoare şi nu se cunoaşte setul de restricţii necesar.

1.5 Marcarea timpului în simulare

În orice model de simulare se introduce variabila de ieşire numită ceasul simulării, care

stabileşte - la fiecare pas - intervalul de timp în care se simulează procesul real. În tehnicile de

simulare a sistemelor de producţie se utilizează două tipuri de ceas pentru simulare:

ceas cu increment constant;

ceas cu increment variabil.

Modelele pentru simularea aceluiaşi sistem sunt diferite în funcţie de cele două tipuri

de ceas !

1.5.1 Simularea cu ceas constant

Simularea bazată pe metoda ceasului constant constă în a genera de fiecare dată o

creştere constantă t a ceasului şi a analiza apoi starea diferitelor elemente ale sistemului

generând toate evenimentele E posibile a se produce în intervalul de timp de lungime t. După

aceea se va genera o nouă creştere care se va adăuga ceasului, se va repeta analiza menţionată

etc.

Schema logică a modelului de simulare trebuie în acest caz să descrie în mod complet

evoluţia sistemului pe un interval de timp de lungime t; simularea sistemului pe un interval

mare de timp se va obţine repetând de un număr de ori suficient de mare algoritmul referitor

la intervalul de timp de lungime t (figura 1.3):

0 E1 E2 E 3 E 4 E5 E6

timp

t t t

T 0 T 1 T 2 T 3

Figura 1.3

Timpul total T de simulare a modelului va fi:

T = k t (t N; k = 0,1,2...) (1.7)

unde: k reprezintă numărul de iteraţii ale algoritmului de simulare.

Valoarea curentă a ceasului va fi:

Ti+1 = Ti + t (1.8)

14

Alegând t drept unitate de măsură a timpului (t = 1), ceasul variază luând un număr

de valori întregi, independente de evenimentele care apar şi de ordinea lor relativă.

Un model de simulare bazat pe metoda ceasului constant consideră grupul de

evenimente produse în intervalul [ T(k-1), Tk ] ca şi cum s-ar fi produs la momentul Tk. În

consecinţă, acest procedeu face ca grupul de evenimente care apar pe un interval de timp de

lungime t să fie sincronizat la momentul terminării acelui interval. Sincronizarea este

artificială şi ea depinde în mod esenţial de mărimea lui t. Micşorarea lui t duce la mărirea

timpului de calcul; mărirea lui t va micşora timpul de calcul dar va mări gradul de aproximare

al modelului.

1.5.2 Simularea cu ceas variabil

În cazul simulării bazată pe metoda ceasului variabil, valoarea creşterii este egală cu

lungimea intervalului de timp dintre apariţiile a două evenimente consecutive (figura 1.4).

0 E1 E2 E 3 E 4 E5 E6

timp

t 1 t2 t3 t 4 t 5 t6

T0 T1 T2 T 3 T 4 T5 T6

Figura 1.4

Timpul total T de simulare a modelului va fi:

T tii

n

1 (1.9)

Valoarea curentă a ceasului va fi:

Ti+1 = Ti + ti+1 (1.10)

Metoda bazată pe ceasul variabil presupune că apariţiile succesive de evenimente sunt

asociate în mod biunivoc cu schimbările succesive din sistem. Cu alte cuvinte, mărimea

creşterii ceasului este egală cu intervalul de timp de la starea actuală la momentul apariţiei

celui mai apropiat eveniment viitor; din această cauză metoda ceasului cu creştere variabilă se

mai numeşte şi regula (metoda) evenimentului următor.

Construcţia algoritmului de simulare a sistemului în cazul procedeului bazat pe ceas cu

creştere variabilă presupune că evenimentele care apar sunt împărţite în clase (tipuri)

distincte; apariţiile evenimentelor de un anumit tip implică un anumit gen de schimbări în

sistem. Algoritmul de simulare va produce în acest caz o istorie a stărilor sistemului în felul

următor: va înregistra toate evenimentele viitoare în ordinea impusă de evoluţia sistemului iar

după ce va mări ceasul cu intervalul de timp până la apariţia celui mai apropiat eveniment

următor va renunţa la evenimentele din trecut.

15

În concluzie, această metodă presupune în mod riguros considerarea tuturor

evenimentelor succesive, astfel încât la fiecare nouă apariţie corespunde o creştere a ceasului.

Să ne reamintim...

Pentru descrierea sintetică a conceptului de model, este necesar să punem în

evidenţă următoarele trei laturi:

modelul este o imagine incompletă a unui sistem existent sau care urmează

să fie construit;

modelul trebuie validat prin criteriul practicii în vederea determinării

gradului său de utilitate şi a aplicării sale;

modelul este manipulat în vederea prezicerii comportării în diferite situaţii a

sistemului studiat.

Simularea permite, în general:

structurarea mai bună a problemei investigată;

testarea diferitelor căi de acţiune care nu pot fi formulate explicit în cadrul

modelului;

determinarea formei funcţionale de exprimare a legăturilor dintre

fenomenele cercetate şi estimarea valorilor parametrilor modelului.

1.6 Clasificarea modelelor

Complexitatea şi diversitatea sistemelor a condus la necesitatea elaborării unor modele

foarte variate. Pentru sistematizarea mulţimii tipurilor de modele elaborate până în prezent, se

pot folosi o serie de criterii, prezentate după cum urmează:

I După natura fizică a elementelor modelului se disting:

a) modele fizice - conţin elemente de natură fizică;

Exemple

machetele instalaţiilor tehnologice

b) modele abstracte - includ elemente variabile ale căror legături sunt relaţii

funcţionale între acestea. Modelele abstracte pot fi calitative şi cantitative.

Exemple

Modele abstracte calitative: organigramele, diagrama cauză – efect, grafuri etc.

Modele abstracte cantitative (modele matematice): sunt formate exclusiv din

funcţii matematice particularizate.

Modelele matematice pot fi deterministe, statistice, aleatoare, vagi (fuzzy) sau mixte.

Modelele deterministe cuprind numai funcţii matematice deduse prin aplicarea unor

legi generale şi în care nu intervin variabile aleatoare.

16

Modelele statistice cuprind cel puţin o relaţie dedusă prin prelucrarea statistică a unor

date experimentale.

Modelele aleatoare implică utilizarea variabilelor aleatoare pentru descrierea

funcţionării sistemului. Ca exemplu se pot da modelele proceselor de aşteptare care apar mai

cu seamă în cadrul sistemelor de servire.

Modelele vagi (fuzzy) reflectă imprecizia sistemului studiat şi permit stabilirea

gradului de apartenenţă la o anumită proprietate.

Modelele mixte includ variabile aleatoare pentru descrierea relaţiilor din sistem şi

urmăresc determinarea parametrilor statistici ai mărimilor de ieşire, precum şi determinarea

unor funcţii matematice.

c) modele hibride - presupun interacţiunea dintre un sistem format din elemente fizice

şi un calculator electronic programat corespunzător

Exemplu

în întreprinderi se folosesc aparate de măsură şi control cuplate cu un

calculator electronic care este programat să adopte decizia de modificare a

parametrilor astfel ca să se realizeze în permanenţă un regim de funcţionare cât

mai economic.

Daţi exemple de alte modele din categoria celor fizice şi abstracte

II După natura matematică a relaţiilor ce descriu legăturile sistemului echivalent există:

a) modele liniare;

b) modele neliniare.

a) Modelele liniare sunt caracterizate prin aceea că atât restricţiile cât şi funcţiile

obiectiv sunt de gradul întâi. Ca exemplu se pot da modelele de programare liniară.

Exemplu: Este prezentat un model liniar al unei probleme de optimizare a

capacităţii. Prima linie reprezintă funcţia obiectiv, celelalte fiind restricţiile

problemei

[max] f = 115 x1 + 142 x2 + 97 x3

10 x1 + 5 x2 + 12 x3 10.800

7 x1 + 11 x2 + 8 x3 12.480

11 x1 + 14 x2 + 15 x3 9.600

12 x1 + 13 x2 + 10 x3 10.500

12 x1 + 13 x2 + 10 x3 7.200

b) Modelele neliniare sunt caracterizate prin aceea că restricţiile şi funcţiile obiectiv au

grad diferit de unu.

17

III După natura istoriei sistemului, există:

a) modele statice;

b) modele dinamice.

a) Modelele statice au parametrii independenţi de timp, iar soluţiile oferite trebuie

mereu actualizate. Ca exemplu se pot da modelele de încărcare a utilajelor.

b) Modelele dinamice sunt descrise prin funcţii de timp. Majoritatea sistemelor de

producţie se pretează a fi modelate cu ajutorul acestor modele, care aproximează mai fidel

realitatea obiectivă.

IV În funcţie de obiectul cercetării, modelele se clasifică în:

a) modele macroeconomice;

b) modele microeconomice.

a) Modelele macroeconomice au ca obiect de studiu sistemele de producţie agregate, la

nivel de întreprindere.

b) Modelele microeconomice au ca obiect de analiză sistemele elementare. Ca exemplu

pot fi date modelele proceselor de stocare, de aprovizionare etc.

V După modul de construire a modelului se disting:

a) modele cu increment fix;

b) modele cu increment variabil.

a) Modelele cu increment fix sunt cele care sunt utilizate în simularea cu ceas având

increment fix .

b) Modelele cu increment variabil sunt cele care sunt utilizate în simularea cu ceas

având increment variabil (metoda evenimentului următor).

VI După natura variabilelor modelele pot fi:

a) discrete;

b) continue.

a) Modelele discrete conţin variabile care pot fi puse în corespondenţă cu mulţimea

numerelor naturale sau cu o submulţime finită a acestor numere.

b) Modelele continue conţin variabile cu puterea continuului (mărimi care pot fi puse

în corespondenţă cu punctele intervalului [0, 1] ).

Scrieţi un sistem de ecuaţii / inecuaţii de gradul întâi. În ce categorie de modele se

putea încadra acesta?

1.7 Clasificarea tehnicilor de simulare

Ca şi modelele, tehnicile de simulare pot fi clasificate după mai multe criterii, astfel:

I După natura echipamentului utilizat, tehnicile de simulare se clasifică astfel:

a) simulare analogică;

b) simulare numerică;

18

c) simulare hibridă.

a) Simularea analogică este o tehnică de simulare care foloseşte sisteme (dispozitive)

ale căror legi de conduită sunt aceleaşi cu legile de conduită ale sistemului studiat.

Exemple: analogia dintre sistemul informaţional al unei societăţi comerciale şi

sistemul nervos al unui organism biologic, analogia dintre creşterea unui sistem

economic şi dezvoltarea unei culturi de microorganisme, analogia dintre sistemul

de aprovizionare al unei întreprinderi şi un sistem hidraulic cu intrări şi ieşiri etc.

Simularea analogică se poate clasifica, la rândul ei astfel:

simulare analogică directă;

simulare analogică indirectă.

Simularea analogică directă constă în stabilirea unei analogii directe între sistemul

original şi sistemul cu ajutorul căruia se efectuează simularea (denumit simulator). După

natura dispozitivelor utilizate, simularea analogică directă poate fi fizică, chimică, biologică

etc. Un exemplu de simulare fizică îl constituie machetele.

Simularea analogică directă nu este aplicată în prezent pentru analiza şi proiectarea

sistemelor de producţie sau economice.

Simularea analogică indirectă constă în folosirea unor elemente analogice modulare

(sumatoare, integratoare, amplificatoare etc.) interconectate astfel încât legea de funcţionare a

acestui ansamblu să fie aceeaşi cu cea a sistemului original. Această tehnică este utilizată în

studiul sistemelor a căror evoluţie se poate descrie prin ecuaţii diferenţiale. Ca exemplu pot fi

date sistemele de reglare automată continue ale maşinilor unelte.

b) Simularea numerică (denumită şi simulare matematică) constă în analiza şi studiul

sistemelor utilizând analogiile de calcul.

Simulările numerice se clasifică, la rândul lor, astfel:

simulare de tip joc;

simulare prin metoda Monte Carlo.

Simulare de tip joc presupune ataşarea la sistemul studiat a unui model care descrie

dependenţele logice dintre variabilele şi parametrii sistemului (deci un model determinist!).

La un ciclu de simulare, parametrii rămân constanţi iar variabilele se schimbă.

Simularea de tip joc poate fi dirijată sau aleatoare.

Simularea de tip joc dirijată: variabilele de intrare care intervin sunt deterministe

(deci model determinist - variabile deterministe);

Simularea de tip joc aleatoare: variabilele de intrare care intervin sunt de natură

aleatoare (deci model determinist - variabile aleatoare).

Simularea Monte Carlo ataşează la sistemul studiat un model aleator care utilizează

variabile aleatoare. În cadrul sistemelor de producţie, metoda Monte Carlo se utilizează în

19

studiul gestiunii stocurilor dintr-un depozit de materiale, repartiţiei optime a utilajelor,

proceselor de reparaţii etc.

c) Simularea hibridă constă în conectarea unui simulator analogic cu un calculator

numeric. Are avantajele rezolvării cu viteză ridicată a problemelor dinamice şi programării

rapide a unor probleme complicate. În prezent se utilizează mai mult în procesele chimice,

siderurgice etc., dar specialiştii prevăd o dezvoltare viitoare în simularea altor procese de

producţie precum şi în simularea proceselor economice.

II După natura algoritmilor utilizaţi, simularea poate fi:

a) deterministă;

b) aleatoare;

c) deterministă cu perturbaţii aleatoare.

a) Simularea deterministă este un proces de simulare în care atât variabilele (în cadrul

fiecărui ciclu de simulare) cât şi parametrii (de la un ciclu de simulare la altul) capătă valori

deterministe. Aceste valori sunt fie date, fie rezultate dintr-un algoritm care furnizează

rezultate predeterminabile.

b) Simularea aleatoare (Monte Carlo) este un procedeu de simulare în care cel puţin o

variabilă sau un parametru capătă valori aleatoare. Acest tip de simulare are aplicaţii

importante mai ales în studiul sistemelor microeconomice, cum sunt procesele de aşteptare,

procesele de stocare, activitatea de reparaţii, problemele de trafic etc.

c) Simularea deterministă cu perturbaţii aleatoare, spre deosebire de cea deterministă,

include şi mărimi aleatoare, care nu schimbă evoluţia generală a sistemului, dar conferă un

grad mai mare de realism.

III Din punct de vedere al raportului de simulare, tehnicile de simulare se clasifică

astfel:

a) simulare în timp real;

b) simulare în pseudotimp.

Raportul de simulare reprezintă raportul dintre timpul real şi timpul de simulare:

RT

TSreal

simulare (1.11)

a) Simularea în timp real este un procedeu în care raportul de simulare este echiunitar:

RT

TSreal

simulare 1 (1.12)

În cadrul sistemelor de producţie această situaţie nu este practic posibilă, datorită

timpului real mare.

b) Simularea în pseudo-timp constă în folosirea unui raport de simulare diferit de unu

(RS 1).

20

În sistemele de producţie se utilizează de obicei simulări mai rapide decât timpul real

(Tsimulare < Treal), deci rapoarte de simulare supraunitare:

RT

TSreal

simulare 1 (1.13)

De exemplu, operaţiile de inventariere din cadrul unei întreprinderi care au loc într-un

interval de cinci ani pot fi simulate într-o oră de timp calculator.

Se pot utiliza însă şi simulări mai lente decât timpul real (Tsimulare > Treal), când raportul

de simulare este subunitar:

RT

TSreal

simulare 1 (1.14)

Ca exemplu poate fi dat studiul procesului de muncă prin analizarea micromişcărilor

muncitorilor, în vederea stabilirii unor timpi de muncă preponderenţi.

IV După momentul efectuării simulării, se pot diferenţia:

a) ante-simulare;

b) post-simulare.

a) Ante-simularea se efectuează înainte de a avea loc funcţionarea reală a sistemului.

Este folosită la proiectarea sistemelor de producţie şi la prognozele economice.

b) Post-simularea se efectuează după ce a avut loc funcţionarea reală a sistemului de

producţie, deci se utilizează la analiza sistemelor care sunt în stare de funcţionare.

1.8. Rezumat

Simularea este o tehnică de realizare a experienţelor cu ajutorul calculatorului

electronic, implicând utilizarea unor modele matematice sau logice ce descriu

comportarea sistemului real pe durata unui interval de timp, mic sau mare;

Modelul este un sistem material sau abstract, care, fiind pus în corespondenţă cu un

alt sistem dat anterior, va putea servi indirect studiului proprietăţilor acestui sistem

mai complex (original) şi cu care modelul prezintă o anumită analogie;

Modelarea înseamnă trecerea de la fenomenul real la modelul matematic, prin luarea

în considerare a aspectelor esenţiale şi prin neglijarea unor aspecte şi elemente,

uneori destul de importante, în scopul realizării unui studiu pe un model matematic

mai simplu;

În tehnicile de simulare a sistemelor de producţie se utilizează două tipuri de ceas

pentru simulare:

ceas cu increment constant;

ceas cu increment variabil.

Complexitatea şi diversitatea sistemelor a condus la necesitatea elaborării unor

modele şi tehnici de simulare foarte variate.

21

1.9. Test de autoevaluare a cunoştinţelor

1. Simularea presupune rezolvarea unor modele matematice, cu utilizarea:

a. tabelelor matematice;

b. calculatorului electronic;

c. riglelor de calcul.

2. Modelul unui sistem de producţie este:

a. o machetă a unor utilaje;

b. un desen tehnic;

c. un sistem abstract, format dintr-un set de relaţii matematice.

3. Obiectivul simulării constă în:

a. emiterea unor predicţii asupra comportării sistemului respectiv;

b. calculul costurilor de producţie;

c. construirea unui model al sistemului.

4. La simularea utilizând ceas constant, intervalul de timp dintre două evenimente

consecutive este:

a. variabil;

b. aleator;

c. constant.

5. La simularea utilizând ceas variabil, intervalul de timp dintre două evenimente

consecutive este:

a. variabil;

b. aleator;

c. constant.

Răspunsurile testului de autoevaluare

1. b;

2. c;

3. a;

4. c;

5. a.

22

Unitatea de învăţare U2. Etapele simulării sistemelor de producţie

Cuprins

2.1. Introducere ................................ ................................ ................................ ............. 20

2.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ............ 20

2.1. Introducere

Realizarea unui experiment de simulare este un proces care se desfăşoară, de

obicei, în mai multe etape. Unitatea de învăţare conţine primele trei etape pentru

realizarea unui experiment de simulare.

2.2. Competenţe

După parcurgerea acestei unităţi de învăţare studenţii vor putea să:

stabilească componentele sistemului;

identifice sursele de date necesare conceperii modelului pentru simulare;

recunoască tipurile de date culese despre un sistem;

stabilească variabilele şi parametrii;

realizeze analiza corectitudinii datelor cu ajutorul testelor specifice;

opereze cu metodele de generare a numerelor aleatoare;

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 3 ore.

2.3. Analiza şi sinteza sistemului

Analiza sistemului constă în descompunerea lui în părţi componente Ci (i = 1,2...n), în

vederea înţelegerii naturii lui şi a trăsăturilor esenţiale.

Exemple

Componentele la nivelul unei secţii, pot fi locurile de muncă, la nivelul unei

întreprinderi, componentele pot fi departamentele sau serviciile sau secţiile etc.

În cazul exemplului dat, dacă facem referire la locurile de muncă, numărul n al

componentelor este mare, dar posibil de luat în calcul. La nivelul întreprinderii,

componentele nu mai pot fi locurile de muncă, deoarece numărul n este prea

mare. Componentele întreprinderii vor fi secţiile, obţinute prin agregarea

locurilor de muncă.

23

Daţi şi alte exemple de componente pentru diferite tipuri de sisteme.

Prin agregare se reduce volumul informaţiilor care se culeg şi se prelucrează, dar se

pierde din precizia rezultatelor obţinute.

Dacă se consideră mai puţine componente, sistemul va fi descris cu ajutorul unui număr

mai mic de variabile şi parametri de stare. Deşi predicţiile rezultate privitoare la evoluţia

sistemului vor fi lipsite de şansa de a se confirma pentru toate cazurile individuale, acest mod

de abordare este preferat în practică, în primul rând datorită expeditivităţii obţinerii

rezultatelor.

În practica managerială se folosesc diverse metode de agregare, care, în majoritatea

cazurilor, oferă o serie de avantaje: facilitarea adoptării deciziei, adoptarea unor decizii

operative în cazul apariţiei unor perturbaţii, precizie mare la nivel global datorită

compensărilor reciproce etc.

Trebuie însă ţinută seama că agregarea are şi o serie de dezavantaje: erori mari la nivel

ierarhic inferior, ignorarea unor relaţii între componentele agregate etc.

Utilizarea calculatoarelor electronice în tehnicile de simulare permite să se ajungă la un

grad mare de dezagregare, cu următoarele avantaje: corectitudine relativ mare la adoptarea şi

urmărirea deciziilor, precizie mare în transmiterea şi urmărirea realizăr ii obiectivelor etc.

Din cele expuse rezultă că este necesar să se găsească soluţia de compromis între

agregare şi dezagregare, respectiv este necesar să se găsească un grad raţional de agregare.

De exemplu, gradul de agregare a informaţiei gS

a al unui sistem de producţie se

defineşte, în general, ca un raport între cantitatea de informaţie CI* în ipoteza maximei

agregări posibile (când cantitatea de informaţie este minimă) şi cantitatea de informaţie CI a

soluţiei S adoptată, adică:

gCICIa

S *

(2.1)

Dacă se adoptă soluţia S* a maximei agregări posibile (CI

*=CI), atunci:

gCICIa

S* * 1 (2.2)

Dacă se adoptă o soluţie Sd a maximei dezagregări posibile (CI ), atunci:

gaSd 0 (2.3)

În concluzie, gradul de agregare va fi:

0 1 gaS (2.4)

Gradul de dezagregare gS

d se defineşte cu ajutorul relaţiei:

g gCICId

SaS 1 1

* (2.5)

24

Se observă că:

0 1 gdS (2.6)

Agregarea unui sistem se realizează atât prin agregarea componentelor, cât şi a relaţiilor

dintre componente.

În cazul simulării care utilizează un model matematic, aceasta constă în: agregarea

variabilelor şi a parametrilor, agregarea restricţiilor, agregarea resurselor, agregarea

consumurilor specifice, agregarea coeficienţilor funcţiei obiectiv şi eventual agregarea

criteriilor economice.

Pentru agregarea variabilelor se pot folosi diferiţi operatori (funcţii). În majoritatea

cazurilor, operatorii de agregare sunt simpli, de natură aditivă (medii aritmetice simple, medii

aritmetice ponderate etc.). În acest sens, agregarea se poate concepe în două moduri:

a) Se consideră o clasă superioară C care conţine două submulţimi astfel încât chiar

dacă adunarea elementelor din submulţimi distincte nu are sens, totuşi să aibă sens adunarea

acestora în cadrul clasei superioare C.

Exemplu

Pentru a exprima producţia fizică a unei unităţi economice constructoare de

maşini care produce strunguri şi maşini de frezat, nu are sens adunarea producţiei

fizice a celor două tipuri de maşini. Dacă se consideră o clasă superioară a

maşinilor unelte, adunarea devine posibilă.

b) Folosirea unor unităţi convenţionale, caz în care se defineşte o unitate etalon (de

exemplu, în cazul producţiei variate de tractoare se foloseşte CP). Agregarea se face în acest

caz după un criteriu, care poate fi de natură valorică sau fizică (greutate, putere etc.).

În alte cazuri se folosesc operatori de tip multiplicativ, cum ar fi media geometrică. Se

poate exemplifica acest operator în cadrul ritmului mediu de creştere a producţiei unei unităţi

economice, ca medie geometrică a ritmurilor anuale de creştere.

Sinteza sistemului este o etapă a proiectării, care permite compunerea, combinarea

elementelor necesare realizării sistemului complet, urmărindu-se totodată dacă acesta atinge

nivelul de performanţe propus.

2.4. Conceperea şi proiectarea modelului

În cadrul acestei etape, se impune atingerea unor obiective, şi anume:

Primul obiectiv îl constituie formularea problemei: trebuie să se precizeze întrebările

la care să se răspundă, ipotezele care trebuie testate şi efectele care trebuie estimate.

25

Al doilea obiectiv îl constituie colectarea şi prelucrarea primară a datelor. Pentru

aceasta trebuie să se răspundă la întrebările: care sunt datele necesare, de unde se obţin

acestea şi cum sunt ele introduse în model.

Dintre sursele de date se amintesc: documente şi rapoarte, generatoare de date,

experimentări etc. După obţinerea lor, datele primare pot fi organizate în fişiere, tabele ,

rapoarte etc. şi sunt prelucrate în vederea eliminării unora dintre ele care, în general, nu

caracterizează fenomenul din care provin.

Al treilea obiectiv îl constituie stabilirea modelului potenţial. A construi modelul

înseamnă a alege variabilele, parametrii şi relaţiile funcţionale corespunzătoare şi a preciza

algoritmul care conduce la determinarea elementelor de ieşire în funcţie de elementele de

intrare.

Este greu de stabilit reguli standard pentru construirea celui mai bun model al unei

probleme date. Alegerea poate fi făcută însă cu ajutorul unor jaloane, dintre care amintim:

Numărul de variabile care trebuie să fie incluse în model: un model cu un număr

prea mare de variabile va fi greu de manevrat, iar altul cu un număr prea mic de

variabile poate să piardă din vedere anumite aspecte ale problemei.

Eficienţa de calcul a modelului: timpul de calcul necesar pentru atingerea unui

anumit obiectiv trebuie să fie rezonabil de mic.

Timpul necesar programării: un model complex, cu multe variabile, necesită un

personal cu înaltă calificare şi un consum mare de timp. Limbajele specializate

reduc timpul de programare, însă reduc şi flexibilitatea modelului.

Scrieţi modelul matematic (funcţie obiectiv şi restricţii) pentru următoarea

problemă: Pentru a fabrica două produse P1 si P2 este necesar să se execute

operaţii de prelucrare pe trei maşini M1, M2 şi M3, în mod succesiv, ordinea

operaţiilor fiind indiferentă. Timpii unitari de execuţie sunt prezentaţi în tabelul

2.1. Se presupune că maşinile nu au timpi morţi, provocaţi de aşteptarea unui

produs aflat în curs de prelucrare la o altă maşină, datorită faptului că nu există

preferinţe în ordinea operaţiilor.

Tabelul 2.1

PRODUSUL Timp [minute]

M1 M2 M3

P1 11 7 6

P2 9 12 16

Condiţionările din procesul de producţie sunt :

- maşina M1 poate funcţiona cel mult 165 ore ;

- maşina M2 poate funcţiona cel mult 140 ore ;

26

- maşina M3 poate funcţiona cel mult 160 ore şi cel puţin 120 ore.

Beneficiul pentru o unitate de produs x1 este de 900 u.b pentru produsul P1 , iar

pentru produsul P2 beneficiul pentru o unitate de produs x2 este de 1000 u.b.

Să se determine câte unităţi x1 şi x2 din fiecare produs trebuie fabricate lunar,

pentru a obţine, în condiţiile date, un beneficiu total maxim .

Să ne reamintim...

Analiza sistemului constă în descompunerea lui în părţi componente Ci (i =

1,2...n), în vederea înţelegerii naturii lui şi a trăsăturilor esenţiale.

Sinteza sistemului este o etapă a proiectării, care permite compunerea,

combinarea elementelor necesare realizării sistemului complet, urmărindu-se

totodată dacă acesta atinge nivelul de performanţe propus.

Pentru construirea unui bun model pentru o anumită problemă, numărul de

variabile trebuie să fie adecvat complexităţii problemei de rezolvat, astfel încât

timpul necesar programării să nu fie prea mare şi flexibilitatea modelului să nu se

reducă.

2.5. Estimarea variabilelor şi parametrilor

În procesul de elaborare a modelelor de simulare, componentelor sistemului li se

asociază o serie de variabile şi parametri, unele dintre acestea fiind cunoscute (controlabile),

numite şi variabile / parametri de intrare, altele fiind necunoscute (necontrolabile), numite

variabile / parametri de ieşire. Aceste variabile sau parametri sunt de fapt date, care în funcţie

de natura lor, pot fi deterministe sau aleatoare.

2.5.1. Culegerea datelor pentru simulare

2.5.1.1 Surse de date

Simularea unui sistem existent, real, presupune colectarea unor date, unor informaţii

asupra evoluţiei trecute ale acestuia.

În simularea unui sistem de producţie, sursele de date pot fi:

istoria sistemului studiat;

măsurări asupra sistemului;

sisteme analoage;

generatoare de date.

Din primele trei surse prezentate mai sus se obţin date reale, pe când din cea de a patra

sursă prezentată se obţin date sintetice.

Când datele se obţin în urma unor măsurări asupra sistemului, denumite în limbaj

statistico-matematic selecţii, trebuie ulterior aplicată statistica matematică pentru analiză şi

interpretare.

27

Datele culese despre un sistem pot fi diferite ca natură a lor, una din clasificările

posibile fiind prezentată în continuare:

Date cinematice: sunt acele date care dau coordonate de referinţă în timp şi spaţiu.

Date dinamice: sunt date care variază în timp dar nu şi în spaţiu.

Date statice: spre deosebire de cele dinamice, acestea nu se modifică în timp.

Metodele de culegere a datelor depind de natura lor precum şi de dispozitivele de stocare a

datelor. Astfel, datele cinematice pot fi culese ON-LINE foarte rapid, datele dinamice sunt

culese periodic iar datele statice se culeg, în general, o singură dată.

Exemple

Date cinematice: datele referitoare la mişcările roboţilor dintr-o celulă

flexibilă

Date dinamice: datele referitoare la temperatura zilnică, la nivelul stocului

într-un depozit de materiale etc.

Date statice: datele referitoare la greutatea unui motor electric, la lăţimea

părţii carosabile a unei străzi etc.

Daţi exemple de date din cele trei categorii prezentate anterior.

2.5.1.2 Caracteristicile datelor empirice

Datele provenite din sursele prezentate mai sus constituie, pentru tehnica de

simulare, variabile care, după cum se ştie, pot fi deterministe sau aleatoare. Din punct de

vedere practic, se consideră variabile deterministe acele mărimi care au proprietatea

că, fiind dată o eroare admisibilă a , o probabilitate , foarte apropiată de 1 (de ex.

= 0,98), precum şi o valoare medie X , satisfac relaţia: p x x x x xa a( ) (2.7)

unde x este un rezultat al unei măsurători a variabilei analizate. În caz contrar,

variabila este aleatoare.

Dacă relaţia (2.7) este satisfăcută, atunci variabila x este considerată deterministă

şi va fi declarată în programul de simulare numai prin valoarea medie X .

Dacă relaţia (2.7) nu este satisfăcută, este necesar să se stabilească tipul repartiţiei

R a variabilei aleatoare x .

Pentru aceasta, este necesar să se mărească volumul selecţiei astfel încât să se

poată stabili tipul repartiţiei R în limitele preciziei necesare.

Se emite apoi o ipoteză asupra tipului repartiţiei (pentru variabile discrete,

repartiţia binomială, Pascal, hipergeometrică, iar pentru variabilele continue, repartiţia

normală, lognormală, exponenţială, gamma, beta etc.).

28

Se verifică în continuare ipoteza cu ajutorul testelor de semnificaţie: Kolmogorov,

2, Pearson, Henry etc. Dacă testul de semnificaţie nu este satisfăcut, se încearcă un alt

tip de repartiţie.

2.5.1.3 Analiza corectitudinii datelor

În simularea oricărui sistem un rol foarte important îl are corectitudinea datelor sau, cu

alte cuvinte, “curăţirea” datelor de acelea care produc perturbaţii în procesul normal al

simulării.

Datele culese despre evoluţia unui sistem pot fi afectate de erori având următoarele

cauze: metoda de măsurare, mijlocul de măsurare, mediu, operator. Erorile care apar pot fi:

Erori aberante (grosolane), care provin din neatenţia operatorului sau din

defecţiunile grave ale aparatelor de înregistrare. Eroarea ori valoarea aberantă diferă

semnificativ de restul valorilor xi i n culese. Ele pot să nu mai apară la o reluare a

procedurii de culegere. De asemenea, pot fi eliminate prin aplicarea unor teste statistice

corespunzătoare: Romanovski, Grubs, Irvin etc.

Exemplu

În cazul aplicării testului Irwin (denumit şi testul ), şirul de date xi se

ordonează crescător sau descrescător. Valorile susceptibile a fi aberante sunt cele

de la extremităţile şirului astfel obţinut. Pentru verificarea valorii suspecte xn se

calculează expresia:

x xS

n n 1 (2.8)

în care S este abaterea medie pătratică a şirului celor n date.

Comparând valoarea lui cu valoarea cr din tabelele lucrărilor de specialitate,

valoarea xn se elimină din şirul de date dacă:

cr (2.9)

Dacă valoarea xn a fost eliminată, se recalculează abaterea medie pătratică S

pentru cele n-1 valori rămase şi testul se aplică din nou, până când nu se mai

elimină date ale şirului.

Erori sistematice. În cursul operaţiei de culegere a datelor este posibil ca anumiţi

factori să aibă o acţiune constantă asupra rezultatelor xi care afectează toate datele. Acest tip

de erori sunt greu de depistat chiar dacă se repetă procesul de culegere. Asemenea factori pot

fi: reglarea incorectă a aparatului de măsurat, variaţia condiţiilor exterioare de mediu (de

exemplu, un aparat se poate utiliza la o temperatură diferită de cea la care a fost etalonat sau

reglat).

Datele afectate de astfel de erori pot fi depistate prin măsurarea aceleiaşi mărimi cu

metode diferite şi compararea rezultatelor obţinute.

Erori accidentale sau aleatoare. Aceste erori sunt acelea care au rămas după

eliminarea celor grosolane şi/sau sistematice. Apariţia lor se datorează unui complex de

29

factori a căror acţiune individuală nu poate fi sesizată nici în timpul culegerii datelor, nici

după aceea. Având caracter aleator, aceste erori se studiază cu ajutorul teoriei probabilităţilor,

care stabileşte în ce măsură influenţează ele estimaţiile adevăratelor valori ale mărimilor

măsurate.

Identificaţi tipurile de erori care pot să apară în timpul procesului de culegere a

datelor despre evoluţia temperaturii aerului în timpul unei săptămâni.

2.5.1.4 Generarea variabilelor aleatoare

În simularea oricărui sistem, existent sau în curs de proiectare, intervin variabile de

intrare/ieşire care urmează o anumită repartiţie statistică. Aşa cum s-a amintit, pentru

stabilirea repartiţiei este necesară executarea unei selecţii din care să fie deduse tipul

repartiţiei şi parametrii acesteia.

Odată acestea stabilite, prin simulare se pot genera valori ale acestor variabile aleatoare

cu ajutorul generatoarelor de date. Orice generare de valori ale variabilelor aleatoare are la

bază un generator de numere aleatoare uniform distribuite pe un interval dat (0, M), M fiind

un număr întreg. Dacă printr-un anumit procedeu se generează numere aleatoare întregi x,

uniform repartizate pe intervalul (0, M), M suficient de mare , atunci se pot obţine numere

aleatoare U uniform repartizate în intervalul (0,1) prin transformarea:

UxM x M , 0 (2.10)

Aceste numere sunt de fapt pseudoaleatoare, deoarece unele dintre ele se pot repeta. Ele

vor fi numite totuşi în continuare numere aleatoare.

Generatorul de numere aleatoare trebuie să satisfacă următoarele condiţii:

Să fie simplu şi rapid (să utilizeze o memorie redusă în calculator şi să aibă o viteză

de generare mare).

Să producă şiruri de numere oricât de lungi care să nu conţină repetiţii (perioada de

repetare să fie cât mai mare posibilă).

Să producă numere independente stocastic unul faţă de altul (numerele aleatoare să

nu fie autocorelate).

Să producă numere a căror repartiţie să fie uniformă pe intervalul (0,1). Acest lucru

se demonstrează cu ajutorul testelor de concordanţă (2, Kolmogorov etc.).

Să producă numere reproductibile, în sensul că dacă se porneşte generatorul cu

aceeaşi valoare iniţială trebuie să se obţină acelaşi şir de numere aleatoare. Condiţia este

necesară în scopul încercării programelor şi comparării rezultatelor.

Există mai multe metode de generare a numerelor aleatoare, şi anume:

Metode manuale: se utilizează dispozitive cum ar fi zaruri, rulete, urne cu bile etc.

Viteza de generare este redusă şi de aceea nu sunt folosite în simularea sistemelor de

producţie.

30

Metode fizice: se utilizează procese fizice intrinsec aleatoare, cum sunt, de exemplu,

zgomotul electronic sau radioactiv. Au avantajul unor parametri statistici foarte favorabili, dar

şi dezavantajul că şirurile de numere generate nu sunt reproductibile.

Metode de memorizare: se utilizează tabele de numere aleatoare (de exemplu tabelele

RAND , cu circa 106 numere) sau memoria internă/externă a calculatorului electronic. Au

avantajul reproductibilităţii, dar consumă multă memorie (la memoria internă) sau consumă

mult timp de lucru (la memoria externă).

Metode analitice: se utilizează un algoritm de calcul bazat pe o relaţie de recurenţă.

Se dau funcţiile fj aparţinând unei clase de funcţii F şi un şir iniţial u1, u2, ... , un. Pe baza

funcţiilor fj şi a şirului iniţial se pot genera numerele un+1, un+2, ..., uj . Un nou număr aleator

uj+1 se generează cu ajutorul relaţiei:

u f u u u

f F i n n nj j j j j n

j

1 1 1

1 2

,

, , , , ...., ...,

(2.11)

Deci, numărul uj+1 derivă din cele n numere precedente. Primul număr generat este:

u f u u un n n n 1 1 1, ,..., (2.12)

Şirul astfel obţinut este reproductibil şi are o perioadă finită (după un număr oarecare de

generări se reproduce şirul iniţial u1, u2, ..., ur, ceea ce conduce la generarea unui subşir care a

mai fost generat). Rezultă că într-un şir foarte mare de numere pseudoaleatoare există h

numere x1, x2, ... , xh cu proprietatea xi xj pentru orice i şi j aparţinând mulţimii 1, 2, ... , h.

În continuare însă, xh+1 = x1, xh+1 = x2 etc. Dacă se repetă la un moment dat s numere (s fiind

numărul de valori iniţiale), evident că se repetă întregul subşir de h numere.

Numărul h reprezintă lungimea intervalului de aperiodicitate. Lungimea perioadei este h

- s. Pentru a nu se obţine rezultate eronate este necesar ca şirul generat să nu depăşească

lungimea perioadei (h-s), adică:

N h s (2.13)

în care N reprezintă numărul maxim de cicluri necesar efectuării simulării.

2.5.1.5 Generarea variabilelor aleatoare cu repartiţie uniformă.

În programele de simulare a proceselor de producţie, generarea variabilelor aleatoare ocupă o

pondere relativ mare în timpul total de rulare pe calculator. Aceasta se datorează

numeroaselor evenimente perturbatoare care apar în desfăşurarea proceselor de producţie

care, de fapt, reprezintă de cele mai multe ori procese aleatoare.

Prin definiţie, numerele aleatoare sunt repartizate uniform într-un interval determinat

dacă funcţia de repartiţie nu diferă semnificativ de funcţia:

0, când x 0;

F(x) = x, când x ( 0, 1); (2.14)

1, când x 1.

31

Dintre metodele recurente pentru generarea numerelor aleatoare cu repartiţie uniformă

cel mai des sunt utilizate metodele congruenţiale, care folosesc teoria claselor de resturi.

Metoda congruenţială aditivă. Se dau r numere iniţiale: k1, k2, ... , kr şi se generează

numere întregi pseudoaleatoare prin formula recursivă:

k k k M i r ri i i r 1 1 2mod , , , ... (2.15)

Metoda congruenţială multiplicativă. Se porneşte de la un număr iniţial k1 , o

constantă multiplicativă a şi de la un număr k, dat. Întregii pseudoaleatori vor fi:

k a k M ii i 1 2 3mod , , , ... (2.16)

Metoda congruenţială mixtă. Se consideră două valori întregi constante a şi c, precum

şi o valoare iniţială kj. Întregii pseudoaleatori consecutivi sunt de forma:

k ak c M ii i 1 2 3mod , , , ... (2.17)

Obs.: metoda congruenţială multiplicativă este un caz particular al metodei mixte.

În relaţiile de mai sus, se scrie “a b ( mod M )” şi se citeşte “a este congruent cu b

modulo M” dacă a-b este un întreg multiplu de M.

În cazul limbajelor specializate pentru simulare, problema generatorului de date nu mai

cade în sarcina utilizatorului, deoarece fiecare astfel de limbaj are încorporat cel puţin un

generator de numere aleatoare.

2.5.1.6 Generarea variabilelor aleatoare cu repartiţie dată

Generarea numerelor aleatoare cu repartiţie dată se efectuează în două etape. În prima

etapă se generează numere aleatoare cu o repartiţie uniformă, iar în a doua etapă se aplică un

algoritm care asigură transformarea repartiţiei uniforme în repartiţia dată. Acest algoritm

depinde de natura repartiţiei - empirică sau teoretică - precum şi de natura variabilei - discretă

sau continuă. Din aceste puncte de vedere se pot aplica şapte metode de generare a numerelor

aleatoare cu o repartiţie dată, conform recomandărilor din tabelul 2.2:

Tabelul 2.2

Natura repartiţiei şi a vari abilei

Metoda utilizată

Empirică

Discretă Continuă

Teoretică

Discretă Continuă

Metoda jobenului Da Da Da Da

Metoda transformatei inverse - Rar Rar Da

Metoda respingerii Da Da Da Da

Metoda compunerii - - Da Da

Metoda compunerii - respingerii - - Da Da

Metode specifice repartiţiei date - - Da Da

Metode aproximative Da Da Da Da

Metoda jobenului este recomandabilă pentru acele tipuri de repartiţii la care

frecvenţa maximă este mult mai mare decât frecvenţa medie (figura 2.1).

32

Pentru a ilustra această metodă se consideră o variabilă aleatoare discretă de forma:

X = x x xf f f

n

n

1 2

1 2

...

...

(2.18)

unde fi reprezintă frecvenţa relativă a valorii xi, calculată cu ajutorul relaţiei:

fi = n

n

i

ii

n

1

(2.19)

unde ni este frecvenţa absolută a valorii xi.

Figura 2.1

Frecvenţele relative cumulate se pot calcula în acest caz cu ajutorul relaţiei de

recurenţă:

F0=0, F1=f1,; Fi=Fi-1+fi; Fn=1; i = 2, 3, ..., n (2.20)

Pentru a genera numere aleatoare respectând condiţiile exprimate în relaţia variabilei

aleatoare discrete X se poate folosi următorul algoritm de calcul numeric (care prezintă

analogii cu extracţia la întâmplare a unor bileţele dintr-o urnă sau joben):

Pasul 1. Se generează yi uniform repartizat în intervalul (0,1).

Pasul 2. Se compară yi cu Fi până când:Fi-1<yi< Fi, i = 1, 2, ...,n.

Metoda transformatei inverse se bazează pe acelaşi principiu ca metoda jobenului,

dar se aplică mai ales în cazul repartiţiilor continue, definite cu ajutorul unei singure funcţii

F(x) pe întreg domeniul de existenţă În acest scop se generează numere uniform repartizate

(0,1); numerele cu o repartiţie oarecare se obţin din relaţia:

x = F-1

() (2.21)

unde F-1

reprezintă inversa funcţiei de repartiţie.

Evident, metoda se poate aplica numai dacă această inversă se calculează uşor (cum

este cazul repartiţiilor liniară, exponenţială, Cauchy, Weibull, Pearson de tipul XI, arcsin,

geometrică etc.).

f(x)

Medie

x

c

33

Algoritmul de calcul pentru generarea unei valori de selecţie a variabilei aleatoare X

(care are funcţia de repartiţie F) este următorul:

Pasul 1. Se generează yi uniform repartizat în intervalul (0, 1).

Pasul 2. Se calculează X = F-1

(yi)

Metoda respingerii este recomandabilă în cazul când frecvenţa maximă este

apropiată de frecvenţa medie (figura 2.2):

Figura 2.2

Algoritmul general de generare a numerelor cu ajutorul acestei metode este următorul:

Pasul 1. Se calculează un majorant c al funcţiei f(x):

c Max [f(x)]. (2.22)

Pasul 2. Se generează un număr xi în intervalul [a, b] uniform repartizat ( a reprezintă

valoarea minimă a variabilelor xi, iar b valoarea maximă, valori care sunt în general cunoscute

sau se pot estima în orice proces de producţie).

Pasul 3. Se calculează f(x).

Pasul 4. Se generează un număr yi 0, c.

Pasul 5. Se compară yi cu f(xi).

Dacă yi f(xi) atunci se acceptă xi ca punct generat.

Dacă yi > f(xi), se respinge perechea (x i, yi) şi se reia algoritmul de la pasul 2.

Metoda compunerii utilizează următorul algoritm general de generare a numerelor

aleatoare:

Pasul1. Se generează perechi de numere aleatoare x1 şi x2 uniform repartizate pe

intervalul [0, 1].

Pasul 2. Se determină un număr aleator z, din ecuaţia x1 = H(z):

z=H-1

(x1). (2.23)

Pasul 3. Se determină un număr aleator y, din ecuaţia:

x2 = G(z, y), adică y = G-1

(z, x2). (2.24)

Se consideră că y este numărul generat, având legea prezentată.

Care sunt metodele cunoscute pentru generarea variabilelor aleatoare?

Realizaţi o clasificare a lor, precizând criteriul utilizat.

f(x)

Medie

x

c

34

2.6. Stabilirea variabilelor şi parametrilor

Variabilele sunt acele mărimi care se schimbă atât în cursul unui ciclu de simulare,

cât şi de la un ciclu la altul. În cazul în care în cadrul unui ciclu de simulare mărimea nu se

schimbă, ea constituie un parametru.

Parametrii sunt deci constanţi, în cadrul unui ciclu de simulare, dar se pot schimba de

la un ciclu de simulare la altul.

În cadrul unui sistem de producţie se întâlnesc variabile de decizie şi variabile de stare.

Variabilele de decizie sunt acelea asupra cărora analistul deţine un control complet şi,

în funcţie de valoarea lor la un moment dat, poate lua o decizie de continuare, oprire,

schimbare a rutei de parcurs etc. a procesului.

Variabilele de stare sunt dependente de cele de decizie şi descriu starea în orice

moment a unui element, component etc., ele neputând fi controlate direct de analist.

Pe de altă parte, tipurile de variabile care intervin în sistemele de producţie pot fi:

Xi - variabilă de intrare, care este o variabilă exogenă controlabilă (variabilă de dec izie);

Xp - variabilă perturbatoare, care este o variabilă exogenă necontrolabilă;

Xs - variabilă intermediară, care este o variabilă de stare;

Xe - variabilă de ieşire, care este o variabilă endogenă.

Schema generală a sistemului de producţie sub acţiunea variabilelor este redată în figura

2.3:

Xp

Xi Xe

Figura 2.3

În unele cazuri particulare, este posibil ca una din cele patru categorii de variabile să

lipsească.

Studiul de simulare se poate referi la analiza valorilor a p parametri asupra rezultatelor

obţinute. Se admite că pentru fiecare parametru i prezintă un interes deosebit numai ni valori

distincte. Rezultă că numărul de variante de simulare Nv este:

Nv i

p

in

1

(2.25)

Timpul de calcul al procedurilor de simulare Ts este:

T N C t n C ts vi

p

i

. . . .

1

(2.26)

XS

35

în care: C - numărul mediu de cicluri de simulare pentru o variantă;

t - timpul mediu de calcul pentru un ciclu de simulare.

Se constată că timpul de calcul poate ajunge uşor la valori prohibitive.

Exemplu

Dacă într-un proces de producţie intervin numai 5 parametri (p = 5), fiecare

parametru poate lua 10 valori (n1 = n2 = n3 = n4 = n5 = 10), numărul ciclurilor de

simulare pentru a se asigura precizia cerută este C = 1000 cicluri, iar timpul pe

ciclu este t = 0,1 sec., se obţine:

Ts = 105 x 10

3 x 10

-1 = 10

7 sec. 115 zile (2.27)

Chiar dacă se îmbunătăţesc performantele calculatorului, prin micşorarea

timpului de calcul de 100 ori, se obţine un timp de calcul al simulării :

Ts = 105 x 10

3 x 10

-3 = 10

5 sec. 11 zile (2.28)

ceea ce încă reprezintă o durată care nu convine din punct de vedere

practic. Rezultă că este oportună analiza şi a altor posibilităţi de reducere a

timpului necesar simulării.

În acest scop se procedează la o clasificare a parametrilor în trei clase, şi anume:

parametri de importanţă maximă;

parametri de importanţă medie;

parametri de importanţă redusă.

În funcţie de tipul parametrului, se determină numărul valorilor posibile care urmează a

fi luate în calcul, după cum urmează:

în cazul parametrilor de importanţă maximă, se iau în considerare toate valorile;

în cazul parametrilor de importanţă medie, se iau în considerare numai trei valori

caracteristice: maximă, medie şi minimă;

în cazul parametrilor de importanţă redusă, se ia în considerare numai o singură

valoare caracteristică (de obicei valoarea medie).

Exemplu

Pentru exemplul de mai sus, pe baza unei analize fenomenologice a

parametrilor sistemului se poate presupune că s-au stabilit următoarele: un

parametru este de importanţă maximă, trei parametri sunt de importanţă medie,

iar unul are o importanţă relativ redusă.

Timpul de calcul pentru simulare devine:

Ts = (101 x 3

3 x 1

1) x 10

3 x 10

-1 = 27 x 10

3 sec 7,5 ore (2.29)

Efectul clasificării prezentată mai sus este cu atât mai spectaculos cu cât

numărul de parametrii ai sistemului de producţie simulat este mai mare.

Identificaţi variabilele de decizie şi de stare pentru cazul procesului de

fabricaţie al inelelor de rulmenţi.

36

2.6.1 Stabilirea unor corelaţii între variabilele sistemului

Majoritatea relaţiilor dintre variabilele care descriu funcţionalitatea unui sistem sunt de

natură aleatoare. În plus, datorită erorilor de măsurare, chiar relaţiile deterministe au un

caracter aleator (evident mai puţin pronunţat decât în cazul relaţiilor de natura aleatoare).

Rezultă că este necesar să se analizeze gradul de dependenţă dintre toate variabilele sistemului

de producţie.

Evident că analiza poate fi redusă, în sensul de a se folosi analogiile cu alte cazuri

cunoscute. Dacă pe baza unor cercetări s-a dovedit independenţa a două variabile x şi y, iar în

sistemul analizat condiţiile sunt similare, se poate considera că această proprietate se

păstrează. Dacă a fost dovedită o anumită dependenţă pentru sisteme analoge cu cel studiat ,

se poate admite că această dependenţă se menţine.

Dacă se pot efectua măsurători, dar în număr restrâns, se poate introduce o corecţie a

funcţiei de dependenţă stabilită pentru sistemul analog, de forma:

y f x (2.30)

În sistemul analizat, fie variabilele X şi Y. Se poate admite , în baza analogiei dintre cele

două sisteme, că:

Y c f X (2.31)

Pentru a stabili constanta c se consideră o selecţie a perechilor de variabile (xi, yi) din

sistemul analog precum şi selecţia analogă corespunzătoare din sistemul analizat (Xi, Yi). Se

obţine:

y f

Y c f X

cYy

f xf X

i x

i i i

iii

i

i

i

.

.

(2.32)

unde s-a notat cu ci o valoare particulară a constantei c.

Pentru un număr n de măsurători, valoarea constantei c va fi:

c

c

ni

n

i

(2.33)

Cu cât se dovedeşte mai mult că variabila c nu are un caracter aleator pronunţat, cu atât

ipoteza este mai bună.

În cazul în care nu se pot stabili nici un fel de analogii între sistemul analizat şi alte

sisteme, se consideră mai întâi perechea de variabile (X, Y), efectuându-se o serie de

măsurători asupra valorilor xi şi yi corespunzătoare acestora. Se aplică apoi teoria corelaţiei,

calculându-se coeficientul de corelaţie.

Coeficientul corelaţiei simple de sondaj indică intensitatea interdependenţei liniare

dintre variabilele aleatoare normale X, Y şi este definit prin relaţia:

37

Rn x y y x

n x x n y y

x y

i i ii

n

i

ni

i

n

i

n

i ii

ni

i

ni

i

n,

11 1

1 1

22

1 1

2

2

(2.34)

Dacă acest coeficient este apropiat de 1, se conchide că există o corelaţie strânsă şi se

acceptă o dependenţă liniară.

Pentru valori mai mici, se încearcă alte tipuri de relaţii (de gradul doi, exponenţiale

etc.). În cazul în care coeficientul de corelaţie este nul se consideră că variabilele sunt

independente.

O particularitate a dependenţelor între unele variabile ale sistemelor constă în decalarea

apariţiei efectului faţă de apariţia cauzei.

Exemple

În cazul unor investiţii realizate la un moment dat, nu se constată o creştere

imediată a volumului producţiei. Această creştere poate fi înregistrată numai

după darea în funcţiune a noilor capacităţi de producţie şi atingerea parametrilor

proiectaţi. În această situaţie, datele culese sunt de forma (X t, Yt), unde t

reprezintă perioada în care s-au efectuat măsurătorile. Pentru şirul de perechi fără

decalaj (Xt , Yt) nu se constată o corelaţie bună. Din această cauză se încearcă a

se găsi corelaţii de forma (Xt, Yt+k), unde k reprezintă decalajul mediu dintre cele

două fenomene.

Se recomandă să se efectueze încercări în jurul valorii medii k pentru a se

stabili decalajul care conduce la cea mai bună corelaţie. În mod similar, în cazul

apariţiei unui eveniment perturbator Ep, este posibil ca efectele asupra

parametrilor de stare să apară după un timp p. De asemenea, chiar în cazul în

care efectele apar imediat, este posibil ca măsurile de înlăturare a consecinţelor

negative să fie amânate cu un interval de timp p .

Complexitatea sistemelor de producţie obligă însă la studiul dependenţei dintre mai

multe variabile. În acest scop este necesar să se aplice teoria corelaţiei multiple şi analiza

factorială.

2.6.2 Stabilirea limitelor admisibile ale variabilelor şi parametrilor.

În timpul evoluţiei sistemului de producţie, o serie de variabile sau de funcţii nu trebuie

să depăşească anumite limite date (de exemplu, nivelul resurselor disponibile), adică:

Xi < LiS

sau Xj LjS (2.35)

F(X1, X2, ...Xp) < LS

1,2...p (2.36)

F( X1, X2, ...Xq) LS

1,2...q (2.37)

38

În alte cazuri, dimpotrivă, se impune ca variabilele sau funcţiile să depăşească anumite

limite date, adică:

Xi > LIi sau Xj L

Ij (2.38)

F(X1, X2....Xp) > LI1,2...p (2.39)

F(X1, X2 ....Xq) LI1,2 ...q (2.40)

Există de asemenea posibilitatea de a impune atât o limită inferioară cât şi o limită

superioară, aceleiaşi variabile sau aceleiaşi funcţii , adică să se impună simultan restricţii de

tipurile de mai sus.

Stabilirea limitelor admisibile, inferioare sau superioare ale variabilelor, comportă două

etape:

În prima etapă se culeg informaţii cu aspect calitativ. Pe baza unui schimb de

informaţii cu alte sisteme (furnizori, beneficiari etc.) sau a unor date din interiorul sistemului,

se precizează cât de puternică este restricţia considerată. Din acest punct de vedere, restricţiile

se clasifică în:

restricţii rigide, la care nerespectarea într-un procent foarte mic conduce la o

penalizare foarte mare. Restricţiile rigide sunt de natură deterministă şi au forma (2.35) -

(2.40).

restricţii slabe, la care nerespectarea într-un procent mic conduce la o penalizare

mare (dar care nu tinde către infinit) şi numai la depăşirea cu un procent mare penalizările

devin foarte mari.

Restricţiile slabe sunt de natură probabilistică sau fuzzy. O restricţie de natură

probabilistică are de exemplu forma:

P L F x x x LIm m

sm m( ( , ... ) ), ... , ... , ...1 2 1 2 1 2 1 2 (2.41)

unde 1,2 ...m reprezintă o probabilitate dată adminisibilă.

Această restricţie se mai poate scrie şi în sens fuzzy, sub forma:

L F x x x LIm m

sm1 2 1 2 1 2, ... , , ,...( ... ) (2.42)

Există de asemenea posibilitatea de a se scrie relaţiile (2.41) sau (2.42) sub formă

deterministă, ataşând costuri de penalizare CP , care depind de depăşirea limitelor admisibile.

Evident, dacă limitele admisibile nu se depăşesc, costurile de penalizare CP sunt nule. Dacă o

limită superioara Lsj sau inferioară L

Ij este depăşită cu un anumit procent j

S sau j

I , atunci

penalizarea este o funcţie f de acest procent, respectiv:

C f sau C fpS

s jS

pI

I jI ( ) ( ) (2.43)

Deci în prima etapă se stabileşte numai faptul dacă restricţiile sunt rigide sau slabe.

În etapa a doua se culeg informaţii cu aspect cantitativ. Ţinându-se seama de natura

restricţiilor, se stabilesc parametrii caracteristici. În cazul restricţiilor rigide se stabilesc

limitele superioare Lsj sau inferioare L

Ij, iar în cazul restricţiilor slabe se stabilesc atât limitele

39

superioare L

S1,2,...m sau inferioare L

I1,2,...m cât şi probabilitatea limită admisibilă 1 2, ,...m.

Probabilitatea limită se stabileşte fie pe bază de apreciere, consultând mai mulţi specialişti, fie

pe baza unor analize statistice a datelor din perioadele precedente.

În cazul utilizării mulţimilor vagi (fuzzy) este necesar să se stabilească o serie de grade

de apartenenţă. În acest scop se pot folosi diverse funcţii (mai ales exponenţiale) ai căror

parametri se determină astfel ca să satisfacă unele condiţii impuse de specialişti.

Exemple

- o maşină unealtă, poate funcţiona lunar cel mult 180 ore;

- un anumit tip de produs aparţinând nomenclatorului de producţie al firmei

trebuie să ocupe cel mult X % şi cel puţin Y% din totalul producţiei pe o

anumită perioadă de timp;

- beneficiul total al firmei trebuie să aibă o valoare de Z unităţi monetare

etc.

Daţi exemple de alte tipuri de restricţii ce apar în diverse procese de

producţie.

Să ne reamintim...

Variabilele sunt acele mărimi care se schimbă atât în cursul unui ciclu de

simulare, cât şi de la un ciclu la altul.

Parametrii sunt constanţi, în cadrul unui ciclu de simulare, dar se pot

schimba de la un ciclu de simulare la altul.

În cadrul unui sistem de producţie se întâlnesc variabile de decizie şi

variabile de stare.

Există şi alte tipuri de variabile în cadrul sistemului de producţie , cum sunt:

variabila de intrare, variabila perturbatoare, variabila de ieşire.

Este necesar să se analizeze gradul de dependenţă dintre toate variabilele

sistemului de producţie, datorită faptului că majoritatea relaţiilor dintre variabilele

care descriu funcţionalitatea unui sistem sunt de natură aleatoare şi datorită apariţiei

erorilor de măsurare, caz în care, chiar relaţiile deterministe au un cara cter aleator.

În timpul evoluţiei sistemului de producţie, o serie de variabile sau de funcţii

nu trebuie să depăşească anumite limite date (de exemplu, nivelul resurselor

disponibile)

Modelele de simulare conţin aşadar variabile sau funcţii pentru care s -a

impus atât o limită inferioară cât şi o limită superioară.

40

2.7. Rezumat

o În simularea oricărui sistem, existent sau în curs de proiectare, intervin

variabile de intrare/ieşire care urmează o anumită repartiţie statistică.

o Pentru stabilirea repartiţiei este necesară executarea unei selecţii din care să

fie deduse tipul repartiţiei şi parametrii acesteia.

o Apoi, prin simulare, pot fi generate valori ale acestor variabile aleatoare cu

ajutorul generatoarelor de date. Orice generare de valori ale variabilelor aleatoare

are la bază un generator de numere aleatoare uniform distribuite pe un interval dat

(0, M), M fiind un număr întreg.

o Există mai multe metode de generare a numerelor aleatoare, cum ar fi:

metode manuale, metode fizice, metode de memorizare, metode analitice.

o Generarea numerelor aleatoare cu repartiţie dată se efectuează în două etape.

În prima etapă se generează numere aleatoare cu o repartiţie uniformă, iar în a doua

etapă se aplică un algoritm care asigură transformarea repartiţiei uniforme în

repartiţia dată.

Există mai multe metode de generare a numerelor aleatoare cu repartiţie

dată: metoda jobenului, metoda transformatei inverse, metoda compunerii, metoda

respingerii etc.

2.8. Test de evaluare a cunoştinţelor

1. Enumeraţi câteva dintre caracteristicile unui generator de numere aleatoare.

2. Care sunt diferenţele dintre datele dinamice, statice şi datele cinematice?

3. Ce fel de erori pot afecta corectitudinea datelor culese despre evoluţia unui

fenomen?

4. Ce înţelegeţi prin variabilă deterministă / variabilă a leatoare?

5. Câte metode de generare a variabilelor aleatoare cunoaşteţi?

6. Care sunt tipurile de restricţii ce se pun variabilelor şi parametrilor?

7. Care sunt diferenţele dintre variabilele de decizie şi variabilele de stare?

8. Care este diferenţa dintre variabilă şi parametru?

41

Unitatea de învăţare U3. Evenimente, strategii, funcţii obiectiv

Cuprins

3.1. Introducere ................................ ................................ ................................ ............. 39

3.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ............ 39

3.1. Introducere

Realizarea unui experiment de simulare este un proces care se desfăşoară, de

obicei, în mai multe etape. Unitatea de învăţare conţine alte etape pentru realizarea

unui experiment de simulare: Stabilirea evenimentelor care apar în sistem;

Stabilirea unor strategii privind evoluţia evenimentelor sistemului; Stabilirea

funcţiilor obiectiv ale sistemului.

3.2. Competenţe

După parcurgerea acestei unităţi de învăţare studenţii vor putea să:

înţeleagă modul de stabilire a evenimentelor care apar în sistem şi a relaţiilor

dintre acestea;

înţeleagă modul de stabilire a unor strategii privind evoluţia evenimentelor

sistemului;

înţeleagă modul de stabilire a funcţiilor obiectiv ale sistemului.

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 3 ore.

3.3. Stabilirea evenimentelor care apar în sistem şi a relaţiilor dintre acestea

Un element important al simulării îl constituie producerea şi eşalonarea în timp a

evenimentelor. Prin eveniment se înţelege modificarea cel puţin a unui parametru prin care se

descrie starea uneia sau a mai multor componente ale sistemului. Pregătirea simulării

sistemului presupune implicit definirea evenimentelor care intervin în evoluţia sistemului

studiat. Elaborarea schemei de simulare prin calcul necesită, în plus, specificarea

condiţionărilor (legăturilor) dintre evenimente.

În figura 3.1 se prezintă simbolurile grafice folosite pentru diverse tipuri de condiţionări

între evenimentele A şi B.

Evenimentele se pot clasifica după următoarele criterii:

natura evenimentelor;

42

natura condiţionărilor (legăturilor);

caracterul prelucrării;

posibilităţile de prevedere;

acţiunea asupra parametrilor de stare.

a) b)

c) d)

Figura 3.1

În funcţie de natura lor, evenimentele pot fi:

evenimente sistem, care reprezintă evenimente ale sistemului

Exemple

În categoria evenimentelor sistem pot fi incluse: intrarea unui material în stoc,

consumul unui material dintr-un depozit etc.

evenimente program, care reprezintă evenimente asociate programului de

prelucrare a datelor

Exemple

În categoria evenimentelor program pot fi incluse următoarele: imprimarea

parametrilor de stare ai componentelor sistemului la o perioadă predeterminată,

terminarea calculelor când un anumit test este satisfăcut etc.

Daţi exemple de alte evenimente care reprezintă evenimente ale unui sistem de

producţie şi de evenimente program.

În funcţie de natura condiţionărilor, evenimentele pot fi:

evenimente contigente, a căror apariţie este condiţionată de apariţia altor evenimente

(de exemplu, evenimentul “satisfacerea unei cereri” este condiţionat de evenimentul “apariţia

unei cereri”);

evenimente noncontigente, a căror apariţie nu este legată de apariţia altor evenimente

în sistem (de exemplu, evenimentul “apariţia unei cereri suplimentare pentru un anumit

produs” este independent de evenimentul “ achiziţionarea de către firmă a unor ca lculatoare”).

În funcţie de caracterul prelucrării asociate apariţiei evenimentului:

evenimente care nu necesită decizii, deci a căror prelucrare nu necesită decizii;

evenimente cu decizii, care la rândul lor pot fi:

B

B

A

A

B

B

A

A

43

Evenimente strict solidare (producerea lui A atrage după sine în mod sigur producerea

lui B - figura 3.1.a).

Exemplu

Evenimentul “intrarea în stoc a unei cantităţi dintr-un material” implică totdeauna

evenimentul “creşterea stocurilor materiale”.

Evenimentele parţial solidare ( producerea lui A poate determina cu o probabilitate

dată producerea lui B - figura 3.1.b).

Exemplu

Evenimentul “intrarea unui client într-un magazin” poate conduce uneori la

generarea evenimentului “servirea clientului”.

Evenimentele strict divergente (producerea lui A atrage după sine în mod sigur

anularea lui B - figura 3.1.c).

Exemple

Evenimentul “reducerea creditului” inhibă evenimentul “creşterea stocurilor de

materiale”; „creşterea dobânzilor la bănci” inhibă evenimentul „creşterea

solicitărilor pentru creditele de consum”.

Evenimente parţial divergente (producerea lui A poate determina cu o anumită

probabilitate anularea lui B - figura 3.1.d).

Exemplu

Evenimentul “premierea unui muncitor” poate inhiba în unele cazuri apariţia

evenimentului “neglijenţă în muncă”.

În modelele de simulare, între clasele de evenimente pot exista toate tipurile de

dependenţă precizate anterior (figura 3.2).

În funcţie de posibilităţile de prevedere, evenimentele pot fi:

evenimente previzibile (apariţia lor decurge după plan);

evenimente perturbatoare (apariţia lor nu poate fi stabilită anticipat şi care acţionează

de cele mai multe ori, în defavoarea obiectivelor sistemului).

Figura 3.2

E

G

F

B

D

A

C

44

În funcţie de acţiunea asupra variabilelor sau parametrilor de stare, evenimentele

pot fi clasificate astfel:

evenimente cu acţiune imediată , care modifică parametrii începând chiar din

momentul apariţiei lor.

Exemplu

Evenimentul “întreruperea curentului electric” modifică variabila “maşină-

unealtă”, trecând-o din starea “funcţionare” în starea “aşteptare”.

evenimente cu acţiune întârziată, care modifică parametrii numai după trecerea unei

perioade de timp.

Exemplu

Evenimentul “suplimentarea unei cereri pentru un produs”, modifică variabila

“mărimea stocului” conducând la necesitatea aprovizionării cu un surplus de

material, dar, până la momentul achiziţionării acestui surplus se poate consuma

din stocul existent .

Pentru a se uşura munca de construire a schemei logice a modelului de simulare este

util ca, în prealabil, să se construiască o listă care să cuprindă toate tipurile de evenimente

împreună cu tipurile de dependenţe dintre ele.

Daţi şi alte exemple de evenimente (de diferite tipuri) care pot să apară în

sistemele de producţie.

3.4. Stabilirea unor strategii privind evoluţia evenimentelor sistemului.

Strategiile reprezintă reguli de construire a diverselor succesiuni de variante privind

evoluţia parametrilor de stare ai sistemului de producţie. Decidenţii unui sistem de producţie

dispun de două grupe de strategii:

strategii de prevenire a evenimentelor perturbatoare;

strategii de aşteptare.

3.4.1 Strategii de prevenire.

Dacă se dispune de un minim de informaţii necesare, decidenţii preferă să aplice o serie

de strategii menite să prevină apariţia evenimentelor perturbatoare. În acest caz este necesar

să se stabilească strategiile posibile de prevenire SP a evenimentelor perturbatoare sau cel

puţin o selecţie a unor astfel de strategii.

Exemplu

În cazul unor utilaje, este posibil să se efectueze unele reparaţii înainte de a apare

defecţiunile. În această situaţie există însă un număr mare de strategii posibile

cum ar fi:

de a se efectua reparaţiile cu un decalaj mare de timp i , înainte de

45

momentul cel mai probabil al apariţiei defecţiunilor (ceea ce costă relativ mult,

dar conduce la o siguranţă mai mare în funcţionare);

de a se efectua reparaţiile cu un decalaj de timp i mai mic, înainte de acest

moment (ceea ce conduce la un cost mai redus al reparaţiilor, dar scade siguranţa

în funcţionare).

Din punct de vedere practic, numărul acestor strategii se poate reduce foarte mult,

considerând numai diverse decalaje de timp i’ între momentul efectuării reparaţiei şi

momentul apariţiei defecţiunilor. Se constată că, din punct de vedere practic, există un decalaj

max, care nu poate fi depăşit (deoarece frecvenţa reparaţiilor devine prea mare, deci costul

reparaţiilor ar fi prohibitiv). Ca valoare minimă a decalajului se poate lua, de exemplu, chiar

min = 0 (dacă s-ar considera valori negative atunci s-ar obţine de fapt strategii de aşteptare).

Având în vedere faptul că, din punct de vedere practic, nu se poate opera cu unităţi de timp

mai mici decât “ziua calendaristică”, numărul strategiilor posibile pentru exemplul prezentat

este, în general, de ordinul unităţilor (numai la utilajele cu ciclu mare de reparaţie ar putea

ajunge de ordinul zecilor).

În unele cazuri, strategiile posibile s-ar putea stabili cu ajutorul unui algoritm, constituit

din operaţii logice sau aritmetice. În cazul când numărul acestor strategii ar fi prea mare, se

pot genera numere aleatoare, cu ajutorul cărora să se extragă numai o selecţie a strategiilor

posibile.

În cadrul unei abordări mai generale a sistemului, se consideră mai multe strategii S1,

S2,...Sn cărora li se ataşează la fiecare moment probabilităţile p1(t), p2(t), ... pn(t) de a fi

aplicate. Rezultă astfel următoarea clasificare a strategiilor de prevenire SP:

Strategii necondiţionate de răspunsurile unor sisteme externe, care pot fi deterministe

sau aleatoare:

strategii deterministe, în cazul cărora se poate scrie relaţia:

pi(t) = 1 (3.1)

Aceste strategii, la rândul lor, pot fi:

strategii deterministe pure, dacă:

pi(t) = 1 , t (3.2)

unde t(0,T) este orizontul de timp;

strategii deterministe alternante după anumite reguli, dacă:

pi(t)=1; pj(t’) = 1; pk(t”)=1 etc. (3.3)

relaţia dintre (i,j,k,...) şi (t,t’, t”...) fiind bine precizată.

strategii aleatoare, care la rândul lor pot fi:

strategii aleatoare uniforme, dacă:

p t n i n ti 1

1 2, , ... , ; (3.4)

46

strategii aleatoare cu repartiţie dată (strategii mixte). Repartiţia dată poate fi:

- staţionară, dacă:

pi(t)= pi, i=1,2,...n; (3.5)

- nestaţionară, dacă:

pi(t) = i (t), i=1,2,...n, (3.6)

unde i reprezintă o funcţie oarecare.

Strategii condiţionate de răspunsurile unor sisteme externe:

strategii condiţionate în mod determinist, în cadrul cărora la fiecare răspuns al

sistemelor exterioare se aplică o anumită strategie;

strategii condiţionate în mod probabilistic, în cadrul cărora la fiecare răspuns al

sistemelor exterioare se pot aplica diverse strategii, fiecare având o anumită probabilitate.

Cunoscând strategiile posibile, se pune problema stabilirii consecinţelor Kp ale aplicării

fiecărei strategii. Aceste consecinţe constau fie în modificări ale probabilităţilor de apariţie a

evenimentelor perturbatoare, fie în modificări ale parametrilor de stare ai componentelor.

Cunoscând aceste consecinţe, trebuie calculate două feluri de costuri:

costul de aplicare al strategiei de prevenire (faţă de situaţia neaplicării acestor

strategii);

costul consecinţelor aplicării strategiei de prevenire (faţă de situaţia neaplicării

acestei strategii).

Exemplu

Se poate considera cazul reparaţiilor unor maşini, ca în exemplul

prezentat anterior. Costul aplicării strategiei de a se executa o reparaţie cu i zile

înainte de momentul cel mai probabil de apariţie a defecţiunilor se poate estima

considerând reducerea ciclului mediu de reparaţie T . Costul reparaţiilor creşte

deci în raportul: iT

T

. În schimb, probabilitatea de apariţie a defecţiunilor

înainte de efectuarea reparaţiei pd scade foarte mult pe măsură ce decalajul i

este mai mare. Trebuie stabilită deci o relaţie de forma:

pd = fd( i ) (3.7)

unde fd este o funcţie oarecare (discretă sau continuă, deterministă sau

aleatoare). Cunoscând şi penalizarea pentru apariţia unei defecţiuni, se pot calcula

valorile medii ale costurilor consecinţelor aplicării strategiei considerate.

În general, costurile de aplicare a unei strategii depind de frecvenţa de aplicare şi costul

mediu al realizării strategiei respective. Aplicarea unei strategii are unele efecte asupra

costurilor de producţie, conducând în majoritatea cazurilor la economii ale acestui ind icator.

Daţi exemple de strategii de prevenire pentru un sistem de producţie din sfera

dumneavoastră de activitate.

47

3.4.2 Strategii de aşteptare

În cazul când nu se dispune nici cel puţin de un minim de informaţii, se aplică

strategii de aşteptare a evenimentelor perturbatoare. Chiar dacă se aplică strategii de

prevenire, evenimentele perturbatoare tot vor apare! (evident cu o probabilitate mai mic ă).

Datorită apariţiei evenimentelor perturbatoare, vectorul de stare al sistemului nu se mai

găseşte în domeniul admisibil (deoarece se poate depăşi cel puţin una din limitele admisibile).

Decidentul trebuie să dispună în acest caz de o serie de strategii posibile de modificare SM,

care să-i permită readucerea parametrilor de stare în limitele admisibile.

Exemplu

O întreprindere şi-a propus ca volumul producţiei zilnice xi al unui anumit

produs să depăşească o anumită limită inferioară LiI

, adică:

x Li iI (3.8)

în condiţiile unui anumit coeficient al schimburilor (de exemplu c = 1 < 3). Dacă

însă, datorită unor perturbaţii, se realizează numai un volum xi* , cu proprietatea

că: xi*

< LiI

(3.9)

atunci întreprinderea dispune de strategia de a mări coeficientul schimburilor de

la 1 la maximum 3. Încercând cu c = 2 , variabila xi* se măreşte cu o cantitate

xi . Dacă: xi* + xi > Li

I (3.10)

atunci mărirea coeficientului schimburilor de la 1 la 2 constituie o strategie

posibilă de modificare a parametrilor sistemului.

Şi în acest caz există, în unele situaţii, un număr imens de strategii posibile, din

care însă se poate extrage numai o selecţie.

Există însă şi cazuri când, orice strategie s-ar aplica, sistemul nu mai poate fi readus în

limitele admisibile. Aceasta se întâmplă mai ales în cazul restricţiilor slabe de forma (2.38)

sau (2.39). Evident, în această situaţie, trebuie stabilite strategiile care realizează o depăşire

minimă a limitei admisibile.

În unele cazuri, strategiile SM de modificare a parametrilor de stare care permit

readucerea unor parametri în limitele admisibile, pot avea şi unele efecte nedorite asupra altor

parametri ai sistemului. Rezultă necesitatea de a se stabili pentru fiecare strategie consecinţele

KM asupra tuturor parametrilor de stare ai sistemului.

Pentru fiecare strategie de modificare SM se stabilesc costurile aferente CM, care se

compun din:

costuri de aplicare a strategiilor;

costuri corespunzătoare consecinţelor aplicării strategiilor.

Aplicarea unei strategii SM de modificare a sistemului la parametri admisibili are în

general un efect favorabil asupra costului de producţie, care poate fi interpretat ca o

“recompensă” aferentă unei anumite strategii.

48

Înainte de efectuarea simulării nu se cunosc nici probabilităţile Pp nici probabilităţile Pm

în care trebuie aplicate strategiile de prevenire SP, respectiv de modificare SM, astfel ca să se

obţină performanţe optime în cadrul sistemului. Aceste probabilităţi se pot însă stabili pe baza

unor date statistice din trecut sau pe bază de apreciere.

Aplicând una din metodele cunoscute ale teoriei deciziilor de grup se pot stabili

priorităţi de aplicare ale strategiilor de prevenire SP sau ale strategiilor de modificare SM. Pe

baza acestor priorităţi, se pot evalua apoi probabilităţile de aplicare a strategiilor. O metodă

mai rapidă de evaluare a acestor probabilităţi ar putea fi utilizarea relaţiei:

pNNii

(3.11)

în care:

pi - probabilitatea de aplicare a strategiei de prevenire sau modificare de rang i (Si);

Ni - numărul de specialişti care au exprimat preferinţe pentru strategia S i;

N - numărul total de specialişti.

Vectorii Pp şi Pm constituie vectori aleatori, având numai rol de iniţializare în program.

În timpul rulării programului, pe baza anumitor reguli de decizie, se vor alege strategiile de

prevenire SP sau de modificare SM care tind să optimizeze performanţele sistemului. Deci, în

final, vectorii aleatori Pp şi Pm se modifică, din care cauză elementele iniţiale ale acestor

vectori nu necesită o precizie mare.

Să ne reamintim...

Prin eveniment se înţelege modificarea cel puţin a unui parametru prin care

se descrie starea uneia sau a mai multor componente ale sistemului.

Pregătirea simulării sistemului presupune implicit definirea evenimentelor

care intervin în evoluţia sistemului studiat.

Elaborarea schemei de simulare prin calcul necesită, în plus, specificarea

condiţionărilor (legăturilor) dintre evenimente.

În cazul simulării sistemelor de producţie se pot defini mai multe categorii de

evenimente.

În modelele de simulare, între clasele de evenimente pot exista diferite tipuri

de dependenţă.

Construirea schemei logice a modelului de simulare este facilitată dacă , în

prealabil, se întocmeşte o listă care să cuprindă toate tipurile de evenimente

împreună cu tipurile de dependenţe dintre ele.

Strategiile reprezintă reguli de construire a diverselor succesiuni de varia nte

privind evoluţia parametrilor de stare ai sistemului de producţie.

Decidenţii dispun de două tipuri de strategii: strategii de prevenire şi strategii

de aşteptare.

49

3.5. Stabilirea funcţiilor obiectiv ale sistemului

Sistemul de producţie este, în majoritatea cazurilor, un sistem cu mai multe funcţii

obiectiv.

Exemple

La nivel microeconomic funcţii obiectiv pot fi:

costul de producţie;

beneficiul;

productivitatea muncii;

consumul de energie etc.

În prima etapă este necesară stabilirea tuturor acestor funcţii obiectiv.

În etapa a doua este necesară stabilirea formei funcţiei obiectiv (liniară, neliniară etc.)

precum şi a naturii acestei funcţii (deterministă, aleatoare etc.).

În cazul când funcţia obiectiv este deterministă, se stabilesc coeficienţii care intervin în

calculul acesteia. În acest scop se prelucrează o serie de date statistice (cheltuieli, preţuri,

consumuri specifice etc.).

În cazul în care natura funcţiei este aleatoare, în afara coeficienţilor menţionaţi mai sus,

se stabilesc coeficienţi de risc.

Aşa cum s-a arătat, trebuie stabilite consecinţele apariţiei evenimentelor perturbatoare

(care provoacă în unele cazuri depăşirea limitelor admisibile ale parametrilor de stare) asupra

funcţiilor obiectiv. De asemenea, trebuie să se precizeze legea după care variază funcţiile

obiectiv în cazul aplicării unor strategii de prevenire SP sau a unor strategii de modificare SM

a parametrilor de stare.

În cazul aplicării strategiilor de prevenire SP, efectul asupra funcţiilor obiectiv este

următorul:

o creştere a costurilor totale, datorată costului aplicării strategiilor de prev enire SP;

o reducere a probabilităţilor de apariţie a evenimentelor perturbatoare şi prin aceasta,

o reducere a costurilor.

Efectul global va fi acela de reducere a costurilor faţă de varianta nefolosirii strategiilor

de prevenire.

În cazul aplicării strategiilor de modificare SM, efectele asupra funcţiilor obiectiv sunt

următoarele:

o creştere a costurilor totale, datorată costurilor de aplicare a strategiilor de

modificare SM;

o reducere a costurilor, datorată readucerii sistemului în limitele admisibile.

Efectul global va fi, şi în acest caz, de reducere a costurilor faţă de neaplicarea

strategiilor de modificare.

În cazul în care este respectată condiţia independenţei criteriilor se consideră că există

proprietatea de aditivitate multidimensională, ceea ce permite construirea unei funcţii obiectiv

50

globală. În acest scop se stabilesc mai întâi coeficienţii de importanţă ai fiecărei funcţii

obiectiv, prin consultarea unui grup de specialişti. Apoi, prin aplicarea teoriei deciziilor de

grup şi teoriei deciziilor multidimensionale, se construieşte funcţia obiectiv globală.

În faza premergătoare rulării programului de simulare, se poate elabora un algoritm de

construire a funcţiei obiectiv globală. După efectuarea unui număr semnificativ de cicluri de

simulare prin care se estimează valorile tuturor funcţiilor obiectiv, devine posibilă, prin

aplicarea acestui algoritm, construirea funcţiei obiectiv globală.

Exemple

1: Presupunem că funcţia obiectiv este beneficiul întreprinderii.

Se presupune că, la un moment dat, stau la dispoziţie mai multe resurse

(materie primă, forţă de muncă, maşini-unelte, resurse financiare etc.) date în

cantităţi corespunzătoare. Cu ajutorul acestor resurse pot fi desfăşurate activităţi

de producţie. Se notează cu Pj, 1 j n , unul din produsele ce pot fi realizate şi

cu xj nivelul (cantitatea) necunoscut al acestui produs care trebuie determinat.

Se notează cu cj beneficiul pe care întreprinderea producătoare îl va avea

realizând şi valorificând o unitate din produsul Pj. În general, acest beneficiu este

pozitiv, dar poate fi şi negativ în cazul în care întreprinderea lucrează în pierdere

la acest produs.

Beneficiul adus de întregul nivel de producţie xj va fi egal cu ci xj , iar

pentru toate produsele întreprinderii considerate, acesta va fi notat cu f şi va avea

expresia:

f c x c x c x c x c xj j n n j jj

n

1 1 2 2

1... ... (3.12)

Problema care se pune este de a găsi acea variantă de producţie (sau acele

variante) care face ca funcţia f să fie maximă.

max f c xjj

nj

1 (3.13)

Aceasta va fi funcţia obiectiv a modelului matematic de simulare care descrie

problema economică a beneficiului întreprinderii.

2. Să admitem că funcţia obiectiv este costul de producţie.

Se presupune că în decursul a n luni trebuie realizate ri, 1 i n , unităţi

dintr-un anumit produs. Funcţionarea normală a întreprinderii permite un volum

de producţie de xi, 1 i n , unităţi pe lună. Din anumite considerente, se poate

prevede o producţie suplimentară de yi, 1 i n , unităţi lunare.

Costurile unitare de producţie sunt egale cu ci pentru producţia normală şi cu

ci pentru cea suplimentară, iar costurile unitare de stocare lunară sunt egale cu di

, 1 i n .

51

Trebuie să se stabilească cât anume trebuie să realizeze întreprinderea în orar

normal, cât în orar suplimentar şi cât anume să stocheze din producţie, pentru a

avea cheltuieli totale minime.

Se notează cu:

xi - o unitate din produsul Pi ce se realizează în orar normal în luna i;

yi - o unitate din produsul Pi ce se realizează în orar suplimentar în luna i;

Si - cantitatea din produsul Pi care se stochează în luna i.

Costul total al producţiei va fi:

f c x c y c x c y d Si i i i i ii

n

1 1 1 1

2 (3.14)

Costul total trebuie să fie cât mai mic, deci relaţia de mai sus devine:

min f c x c y c x c y d Si i i i i ii

n

1 1 1 1

2 (3.15)

Aceasta constituie funcţia obiectiv a modelului matematic de simulare a

problemei economice a costurilor minime de producţie.

Scrieţi modelul matematic (funcţia obiectiv şi restricţiile) pentru

următoarea aplicaţie:

Pentru a fabrica două produse P1 si P2 este necesar să se execute operaţii de

prelucrare pe trei maşini M1, M2 şi M3, în mod succesiv, ordinea operaţiilor

fiind indiferentă. Timpii unitari de execuţie sunt prezentaţi în tabelul 1. Se

presupune că maşinile nu au timpi morţi, provocaţi de aşteptarea unui produs

aflat în curs de prelucrare la o altă maşină, datorită faptului că nu există preferinţe

în ordinea operaţiilor.

Tabelul 1

PRODUSUL Timp [minute]

M1 M2 M3

P1 11 7 6

P2 9 12 16

Condiţionările din procesul de producţie sunt :

- maşina M1 poate funcţiona cel mult 165 ore ;

- maşina M2 poate funcţiona cel mult 140 ore ;

- maşina M3 poate funcţiona cel mult 160 ore şi cel puţin 120 ore.

Beneficiul pentru o unitate de produs x1 este de 900 u.b pentru produsul P1 , iar

pentru produsul P2 beneficiul pentru o unitate de produs x 2 este de 1000 u.b.

Să se determine câte unităţi x1 şi x2 din fiecare produs trebuie fabricate lunar,

pentru a obţine, în condiţiile date, un beneficiu total maxim .

52

3.6. Rezumat

Prin eveniment se înţelege modificarea cel puţin a unui parametru prin care se

descrie starea uneia sau a mai multor componente ale sistemului.

Strategiile reprezintă reguli de construire a diverselor variante privind evoluţia

parametrilor de stare ai sistemului, existând două grupe de strategii:

strategii de prevenire a evenimentelor perturbatoare;

strategii de aşteptare.

Simularea funcţionării sistemului se poate face în ipoteza aplicării unor strategii

de prevenire a apariţiei evenimentelor perturbatoare sau a unor strategii de

modificare a parametrilor de stare, în cazul unor abateri semnificativ de mari a

parametrilor de stare efectivi faţă de limitele admisibile.

Sistemul de producţie este un sistem, în majoritatea cazurilor cu mai multe

funcţii obiectiv, de aceea, în prima etapă a construirii modelului de simulare, este

necesar să se identifice toate funcţiile obiectiv, apoi forma şi natura funcţiei

obiectiv.

3.7. Test de autoevaluare a cunoştinţelor

1. Restricţiile rigide care sunt impuse limitelor admisibile ale variabilelor şi

parametrilor se caracterizează prin:

a. nerespectarea lor într-un procent mic duce la o penalizare mică;

b. nerespectarea lor într-un procent mic nu duce la penalizări;

c. nerespectarea lor într-un procent mic duce la o penalizare mare.

2. Evenimentele perturbatoare se caracterizează prin:

a. apariţia lor poate fi prevăzută cu certitudine;

b. apariţia lor nu poate fi prevăzută;

c. apariţia lor duce la stabilizarea sistemului.

3. Strategiile de prevenire se aplică atunci când:

a. nu se dispune de informaţii privind sistemul studiat;

b. se dispune de informaţii foarte puţine privind sistemul studiat;

c. se dispune de informaţii suficiente privind sistemul studiat.

4. În cazul aplicării strategiilor de prevenire, efectul asupra funcţiilor obiectiv va fi:

a. de creştere a costurilor totale;

b. de menţinere constantă a costurilor totale;

c. de reducere a costurilor totale.

3.8. Răspunsurile testului de autoevaluare a cunoştinţelor

1. c; 2. b; 3. c; 4. a.

53

Unitatea de învăţare U4. Elaborarea algoritmului, validarea

modelului şi a programului

Cuprins

4.1. Introducere ................................ ................................ ................................ ............. 51

4.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ............ 51

4.1. Introducere

Realizarea unui experiment de simulare este un proces care se desfăşoară, de

obicei, în mai multe etape. Unitatea de învăţare conţine ultimele două etape pentru

realizarea unui experiment de simulare: Elaborarea algoritmului şi scrierea

programului de simulare, şi, Validarea modelului şi a programului de calcul.

4.2. Competenţe

După parcurgerea acestei unităţi de învăţare studenţii vor putea să:

Înţeleagă modul de elaborare a algoritmului necesar scrierii programului pentru

simulare;

Opereze cu variabilele, parametrii programului de simulare

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 2 ore.

4.3. Elaborarea algoritmului şi scrierea programului de simulare

Pe baza informaţiilor obţinute în etapele precedente, se poate trece la simularea

funcţionării sistemului, în ipoteza aplicării unor strategii de prevenire a apariţiei

evenimentelor perturbatoare sau a unor strategii de modificare a parametrilor de stare, în cazul

unor abateri semnificativ de mari a parametrilor de stare efectivi faţă de limitele admisibile.

În figurile 4.1.a, 4.1.b şi 4.1.c este prezentată schema logică generală a evoluţiei stărilor

sistemului studiat. Paşii principali ai algoritmului de simulare a funcţionării sistemului sunt:

PASUL 1. Introducerea sau iniţializarea datelor de intrare. Aceste date pot fi :

mulţimea componentelor sistemului c;

vectorul de stare iniţială a componentelor sistemului S0 ;

repartiţiile variabilelor şi parametrilor sistemului R;

corelaţiile între variabilele sistemului C;

limitele admisibile ale parametrilor de stare L;

mulţimea evenimentelor previzibile E şi evenimentelor perturbatoare Ep

caracteristicile evenimentelor şi relaţiilor logice dintre acestea (Hi pentru E respectiv Hj

pentru Ep);

54

START

STOP

Citirea datelor de intrare

Generarea unor numere aleatoare pentru a stabili

intervalul de timp ti şi calculul timpului curent:

t’i = ti + ti

Generarea unor numere aleatoare pentru a

stabili evenimentele perturbatoare şi

caracteristicile acestora

Tipărirea

rezultatelor

I

Stabilirea

momentului la care

se pot amâna Ep

J

B

C

D

(1)

(2)

(3)

NU t’i < T

(29) DA

(4)

Există eveniment DA

planificat în intervalul

(t i , t’i) ?

NU

(5)

(6)

Există evenimente NU

perturbatoare Ep?

(8) (7) DA

DA Evenimentele NU

Ep se pot amâna ?

Figura 4.1.a.

55

(9)

DA

(10)

(11) Există NU

posibilitatea Smin

ij Sti

ij Smax

ij

amânării

(12) NU (21) DA

(16) (22)

(16) (23)

(16) (24)

DA DA

Nc N1 Nc N3

(16)(17) NU (25) NU

Figura 4.1.b

D

Modificarea parametrilor de

stare Sti

ij =Sti

i + Sti

ij

Generarea unor numere

aleatoare pentru a stabili

strategiile Sp

Generarea unor numere aleatoare

pentru a stabili strategiile Sm

Modificarea parametrilor de

stare: S*ti

ij = Sti

ij + Mti

ij

Modificarea parametrilor de stare

(ca la pasul 9)

Stabilirea valorilor funcţiilor

obiectiv FO şi FOG

Stabilirea valorilor funcţiilor

obiectiv FO şi FOG

Generarea unui nou vector de

probabilitate Pp.

Calculul mediei şi dispersiei

funcţiilor FO şi FOG

Generarea unui nou vector de

probabilitate Pm.

Calculul mediei şi dispersiei

funcţiilor FO şi FOG

C B

G H

E F

56

(18) (26)

DA DA

Nc N2 Nc N4

(19) NU (27) NU

(20) (28)

Figura 4.1.c

coeficienţii de probabilitate ;

strategiile posibile de prevenire a evenimentelor perturbatoare SP;

consecinţele aplicării strategiilor de prevenire asupra parametrilor de stare Kp ;

costurile aplicării strategiilor de prevenire Cp;

strategiile posibile de modificare a parametrilor de stare în cazul depăşirii limitelor

admisibile ale acestora SM;

consecinţele aplicării strategiilor de modificare Km;

costurile aplicării strategiilor de modificare Cm ;

funcţiile obiectiv ale sistemului FO;

funcţia obiectiv globală a sistemului FOG;

numărul de cicluri de simulare în diverse etape ale programului:

1. în cazul depăşirii limitelor admisibile:

- numărul iniţial de cicluri necesare estimării funcţiilor obiectiv N1;

Alegerea valorii optime a

funcţiilor FO sau FOG.

Alegerea strategiei optime de

prevenire.

Alegerea valorii optime a

funcţiilor FO sau FOG.

Alegerea strategiei optime de

modificare.

Stabilirea unor noi date iniţiale:

P’p, N

’3, N

’4 etc.

Stabilirea unor noi date iniţiale:

P’m, N

’1, N

’2 etc.

G E F H

I J

57

- numărul iniţial de cicluri necesare alegerii celei mai eficiente strategii de modificare

N2;

2. în cazul încadrării în limitele admisibile:

- numărul iniţial de cicluri necesare estimării funcţiilor obiectiv N3;

- numărul iniţial de cicluri necesare alegerii celei mai eficiente strategi i de prevenire N4;

perioada (orizontul) pentru care se efectuează simularea T;

diverse valori admisibile ale erorilor .

PASUL 2. Calculul timpului curent.

Dacă momentul considerat de model este t, atunci la următorul ciclu de simulare noul

moment t’ este dat de relaţia:

t t t' (4.1)

unde t reprezintă incrementul (creşterea) timpului. Efectuând succesiv acest pas se

obţine evoluţia calendarului.

Aşa cum s-a arătat în unitatea de învăţare U1, pentru a genera evoluţia calendarului se

pot folosi două metode:

metoda incrementului fix, la care creşterea t este prestabilită.

Dacă t este prea mic, este posibil ca mulţimea evenimentelor perturbatoare Ep să fie

vidă. Aceasta necesită creşterea cu un nou interval t şi reluarea ciclului. Testările sunt

reluate pentru un număr mare de intervale (deoarece t este mic), metoda devenind astfel

foarte costisitoare datorită timpului mare de calcul. Există însă avantajul unei analize

minuţioase şi riguroase a sistemului. Dacă incrementul t este prea mare, volumul calculelor

se reduce, dar precizia nu este satisfăcătoare. Mărimea intervalului t se stabileşte astfel ca

probabilitatea de apariţie a două evenimente perturbatoare de acelaşi tip, în intervalul (t, t +

t ), să fie nesemnificativă. Dacă pi t este probabilitatea amintită, condiţia care trebuie

satisfăcută este

p ti i2 , ()i (4.2)

în care i este un prag de semnificaţie admisibil dat.

Această relaţie este satisfăcută de o infinitate de intervale t . Evident însă că se alege

intervalul maxim t care satisface sistemul de inecuaţii 4.2.

metoda incrementului variabil, la care t are semnificaţia unui interval de timp

dintre două apariţii succesive a evenimentelor perturbatoare.

Incrementul t este generat uniform repartizat, astfel încât să se încadreze între o limită

minimă şi maximă:

t t tmin max (4.3)

În cazul în care se stabileşte o evoluţie a calendarului pentru mai multe componente c1,

c2, ..., ci , se vor utiliza incremente de timp t 1, t 2,... t i diferite, fiecare având o anumită

repartiţie.

58

PASUL 3. Se testează dacă momentul t’ se încadrează în perioada de simulare T:

t’ < T (4.4)

Dacă se încadrează (t’<T ), se trece la pasul 4.

Dacă nu se încadrează t T' , se trece la pasul 29.

PASUL 4. Se testează dacă există evenimente E planificate să se producă în

intervalul de timp ti .

Dacă există, se trece la pasul 9.

Dacă nu există, se trece pasul 5.

PASUL 5. Se generează numere aleatoare conform cu repartiţiile date pentru a se

stabili evenimentele perturbatoare Ep care apar precum şi anumite caracteristici Hj ale

acestora .

Aceste caracteristici Hj ale evenimentelor perturbatoare Ep, împreună cu caracteristicile

Hi ale evenimentelor planificate E, permit stabilirea efectelor S asupra parametrilor de stare

ai unor anumite componente ale sistemului de producţie.

De exemplu, pentru un atelier s-a stabilit frecvenţa relativă de apariţie a unei defecţiuni

la un utilaj fd , într-o anumită perioadă de timp t .

Se stabileşte mai întâi numărul de perioade în care se testează apariţia evenimentului

perturbator de mai sus, cu ajutorul relaţiei:

tdaca

t

tdaca

t

1 1 0 5

1 0 5

,

, (4.5)

unde

t

reprezintă partea întreagă a lui

t .

Se generează un număr aleator 1 0 1 ( , ). Dacă 1 < fd , se consideră că a apărut

evenimentul perturbator. Dacă 1 > fd , se repetă testul (se generează alt număr aleator 2 ).

Dacă 2 < fd , se consideră că a apărut perturbaţia. Dacă 2 < fd se repetă testul de

cel mult ori. Dacă nici după repetarea de ori a acestui test nu s-a obţinut la nici o generare

cazul:

i df (4.6)

atunci se consideră că evenimentul perturbator nu s-a produs în intervalul t .

Se trece la testarea apariţiei altor evenimente perturbatoare.

În urma apariţiei evenimentelor perturbatoare, starea unor componente se modifică în

consecinţă. De exemplu, componenta “muncitor” trece din starea “ocupat” în starea

“neocupat”, componenta “reper” trece din starea “în curs de prelucrare” în starea “aşteptare”

59

etc. Evident, toate aceste modificări, constând în diverse tipuri de relaţii, trebuie incluse în

program sub formă de instrucţiuni. Prin aplicarea acestor instrucţiuni, rezultă un vector de

modificare a parametrilor de stare S, ca o consecinţă a acţiunii atât a evenimentelor

perturbatoare Ep , cât şi a evenimentelor planificate E.

PASUL 6. Se testează dacă au existat evenimente perturbatoare Ep în intervalul de timp

t . Dacă a existat cel puţin un eveniment perturbator, se trece la pasul 7. Dacă nu a apărut

nici un eveniment perturbator, atunci se reia algoritmul de la pasul 2.

PASUL 7. Se testează dacă acţiunea de înlăturare a consecinţelor evenimentului

perturbator Ep se poate amâna. Dacă se poate amâna, se trece la pasul 8. Dacă nu se poate

amâna, se trece la pasul 9.

PASUL 8. Se stabileşte momentul p la care se poate amâna acţiunea de înlăturare a

consecinţelor evenimentului perturbator Ep. Această amânare este posibilă în doua cazuri:

când însăşi consecinţele evenimentului perturbator au loc cu

un decalaj p (cunoscut încă de la datele de intrare);

când consecinţele evenimentului perturbator au loc imediat, dar sistemul poate

funcţiona în bune condiţii dacă înlăturarea efectelor negative ale acestui eveniment nu

depăşeşte un decalaj admisibil p .

Cunoscând decalajul p se poate stabili momentul p la care se înlătură consecinţele

evenimentului Ep:

p i pt ' (4.7)

Mulţimea momentelor p se memorează, iar la fiecare reluare a pasului 4 se testează

dacă:

t ti p i ' (4.8)

unde ti şi t’i reprezintă două momente succesive.

PASUL 9. Se trece la modificarea parametrilor de stare. În cazul utilizării

incrementului de timp variabil, această modificare se efectuează conform relaţiei:

S S Sijt

it

ijti i i

' (4.9)

în care:

Sijti'

- vectori de stare ai componentei ci la momentul ti', când în intervalul ti au

apărut evenimente E sau Ep cu acţiune imediată, având caracteristicile Hi, respectiv Hj;

Siti

- vectori de stare ai componentei ci la momentul ti ; Sij

ti - modificările vectorilor de stare Sit, cauzate de evenimentele E sau Ep , având

caracteristicile Hi, respectiv Hj.

În cazul utilizării unui increment fix, se aplică relaţia:

t

ij

t

i

tt

ij SSS (4.10)

Succesiunea vectorilor de stare obţinută cu ajutorul acestui pas reprezintă evoluţia

stărilor sistemului.

60

PASUL 10. Se verifică dacă noii parametrii de stare (Sijti'

sau Sijt t) se încadrează în

limitele admisibile. Daca se încadrează, se trece la pasul 21. Dacă nu se încadrează, se trece la

pasul 11.

PASUL 11. Se testează dacă modificările parametrilor de stare pot fi efectuate în

momentul considerat sau dacă, din diverse motive, trebuie amânate. Dacă se amână, se trece

la pasul 8. Dacă nu se amână, se trece la pasul 12.

PASUL 12. Se generează numere aleatoare pentru a se stabili strategiile de modificare

SM a stărilor (în cazul când parametrii nu se încadrează în limitele admisibile).

În cazul unor strategii pentru care s-au obţinut cu o probabilitate aproape certă rezultate

cu eficienţă maximă, se poate renunţa la generarea numerelor aleatoare şi aplica direct

strategia respectivă (strategie pură).

PASUL 13. Se efectuează modificarea parametrilor de stare conform strategiilor SM

stabilite la pasul 12. În cazul utilizării metodei incrementului variabil se aplică relaţia:

S S Mijt

ijt

ijti i i* ' ' '

(4.11)

unde M ijti'

reprezintă modificările efectuate asupra parametrilor de stare conform

strategiilor SM la momentul (t’i).

În cazul utilizării incrementului fix se aplică relaţia:

S S Mijt t

ijt t

ijt t* (4.12)

Succesiunea vectorilor de stare obţinută la acest pas reprezintă o succesiune a

evoluţiilor posibile ale stărilor sistemului studiat. Numai după calculul funcţiei obiectiv şi

generarea unui număr N1 de evoluţii posibile ale stărilor se poate decide succesiunea preferată

din punct de vedere economic şi care respectă restricţiile sistemului.

PASUL 14. Se calculează valorile funcţiilor obiectiv corespunzătoare evoluţiei stărilor

sistemului, generată la pasul 13. Pentru fiecare evoluţie posibilă de succesiune a stărilor se

calculează funcţia obiectiv.

În cazul mai multor funcţii obiectiv se poate aplica un algoritm de construire a unei

funcţii obiectiv globală.

PASUL 15. Se testează dacă numărul ciclurilor efectuate depăşeşte valoarea N1. Dacă

da ( N Nc 1), se trece la pasul 16. Dacă nu ( N Nc 1), se reia algoritmul de la pasul 12.

Numărul N1 de evoluţii posibile se determină astfel ca să se asigure precizia necesară,

ţinând seama şi de economicitatea rulării programului de simulare. Din punct de vedere

practic, programul se iniţializează cu un număr N1 care satisface în primul rând din punct de

vedere al economicităţii programului şi se presupune că asigură o precizie acceptabilă. După

aceea, se poate testa precizia obţinută. Dacă testul nu este satisfăcut, se măreşte numărul N1 cu

un număr N1 de cicluri de simulare (de exemplu, N N1 101 , ). Suplimentarea

numărului de cicluri de simulare poate fi continuată până la obţinerea preciziei necesare.

PASUL 16. Se calculează media şi dispersia funcţiilor obiectiv pentru fiecare strategie

aplicată.

61

PASUL 17. Se generează un nou vector de probabilitate a strategiilor de modificare.

PASUL 18. Se testează dacă numărul ciclurilor depăşeşte N2. Dacă depăşeşte

( N Nc 2 ), se trece la pasul 19. Dacă nu depăşeşte, (Nc < N2), se reia algoritmul de la pasul

12.

PASUL 19. Se alege optimul funcţiei obiectiv (sau al funcţiei obiectiv globală) şi se

stabileşte strategia optimă de modificare SMopt.

PASUL 20. Se efectuează schimbări în datele de intrare conform strategiei adoptată la

pasul 19 (probabilitatea aplicării strategiilor de modificare SM, numărul de cicluri N1 şi N2

etc.) şi se reia algoritmul de la pasul 2.

PASUL 21. Se generează diverse strategii de prevenire SP, respectând probabilităţile

furnizate de datele de intrare.

PASUL 22. Se modifică parametrii de stare (ca la pasul 9).

PASUL 23. Se calculează funcţia obiectiv corespunzătoare fiecărei strategii de

prevenire SP generată la pasul 21, având consecinţele de la pasul 22.

PASUL 24. Se testează dacă numărul de cicluri este mai mic decât N3. Dac este mai

mic (Nc < N3) , se reia algoritmul de la pasul 21. Dacă nu este mai mic ( N Nc 3 ), se trece

la pasul 25.

PASUL 25. Se generează un nou vector de probabilitate a strategiilor de prevenire. Se

calculeaza valorile medii şi dispersiile funcţiilor obiectiv.

PASUL 26. Se testează dacă numărul de cicluri depăşeşte N4. Dacă depăşeşte

( N Nc 4 ), se trece la pasul 27.

Dacă nu depăşeşte (N Nc 4), se reia algoritmul de la pasul 21.

PASUL 27. Se alege optimul funcţiei obiectiv (sau al funcţiei obiectiv globală) şi se

stabileşte strategia optimă de prevenire SPopt. .

PASUL 28. Se efectuează schimbări în datele de intrare (probabilitatea aplicării

strategiilor de prevenire SP, numărul de cicluri de simulare N3 , N4 şi se reia algoritmul de

pasul 2.

PASUL 29. Se afişează rezultatele, care pot fi foarte variate:

- vectorii aleatori ai strategiilor de modificare;

- vectorii aleatori ai strategiilor de prevenire;

- media funcţiilor de eficienţă;

- dispersia funcţiilor de eficienţă;

- abaterea medie pătratică a funcţiilor de eficienţă;

- probabilităţile ca parametrii sistemului să fie sau nu în limitele normale;

- evoluţia parametrilor de stare ai sistemului în ipoteza aplicării unor anumite strategii.

Pentru scrierea programului de calcul al modelului de simulare există două posibilităţi:

62

să se folosească un limbaj general de programare (FORTRAN, COBOL , QBASIC,

TURBOPASCAL etc.);

să se folosească un limbaj special de programare (GPSS, CSMP, DYNAMO,

SIMUB, SIMSCRIPT, SIMULA etc.).

Deşi au unele dezavantaje (necesită o pregătire specială a programatorilor, rezolvă

numai anumite probleme, nu toate calculatoarele au compilatoare pentru ele etc.), facilităţile

de care dispun impun utilizarea cu precădere a acestor din urmă limbaje.

4.4 Validarea modelului şi a programului de calcul

Întrucât trebuie să reprezinte cu un grad acceptabil de fidelitate relaţiile existente între

elementele componente ale sistemului modelat, metodologia de construire a modelului

cuprinde în mod obligatoriu etapa de validare a acestuia, consecutivă construirii modelului şi

experimentării lui cu date pentru care există o apreciere a consecinţelor în funcţionare.

Astfel, modelul considerat ca reprezentare satisfăcătoare a unui sistem este rezultatul

unor iteraţii parcurgând de fiecare dată ciclul sistem - model - validare - sistem, reprezentat

schematic în figura 4.2.

În figură, S reprezintă sistemul modelat iar M1 , M2 , ... , Mk sunt modele ale sistemului

realizate succesiv ca urmare a necesităţilor de perfecţionare a reprezentării cerută de etapa de

validare a modelului (în acest caz, Mk reprezintă modelul care realizează reprezentarea

satisfăcătoare a sistemului).

Operatorii care reprezintă utilizarea informaţiilor obţinute direct de la sistem sau din

istoria evoluţiei sale în construirea modelelor M1 , ... , Mk s-au notat cu 1, 2, ... , k .

Cu i,i+1 s-a notat operatorul de utilizare a informaţiei obţinută de la modelul Mi pentru

construirea modelului Mi+1 (operator de învăţare). Cu i s-a notat operatorul de comparare a

rezultatelor obţinute pe modelul Mi cu cele de care se dispune pentru modelul considerat în

aceleaşi condiţii, precum şi de apreciere a calităţii reprezentării realizată de modelul Mi

(validarea modelului).

Validarea programului de calcul este una din etapele cele mai complexe. Cea mai

simplă cale de validare este testarea programului într-un caz particular în care soluţia este

cunoscută.

Datele de test vor fi astfel alese încât programul să fie parcurs pe toate ramurile, să

solicite toate subrutinele şi să editeze toate tipurile de rezultate.

Când acest lucru nu este posibil se vor compara rezultatele de ieşire cu cele obţinute din

observarea situaţiilor reale asemănătoare.

63

k

2

1 12 k-1,k

S M 1 M 2 . . . . Mk

1

2

k

Figura 4.2. Ciclul sistem - model - validare – sistem

4.5 Rezumat

Simularea funcţionării sistemului se face pe baza unui algoritm de simulare.

Simularea poate fi cu ceas variabil sau cu ceas constant.

Programul de calcul pentru simulare poate fi scris într-un limbaj general sau

special de programare.

Validarea programului de calcul este una din etapele cele mai complexe şi

obligatorii.

4.6 Test de evaluare a cunoştinţelor

1. Care este cea mai simplă cale de validare a programului de simula re?

2. Care sunt datele de intrare în schema logică a programului de simulare?

3. Care sunt metodele folosite în programul de simulare pentru a genera evoluţia

calendarului?

4. Ce efect au evenimentele perturbatoare asupra sistemului, şi cum se „marchează”

acestea în algoritmul de simulare?

5. În urma programului de simulare ce fel de rezultate se pot obţine?

64

Unitatea de învăţare U5. Modelarea şi simularea proceselor de

aşteptare

Cuprins

5.1. Introducere ................................ ................................ ................................ ............. 62

5.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ............ 62

5.1. Introducere

În cadrul sistemelor de servire, considerate ca subsisteme ale sistemelor de

producţie, apare adesea un consum de timp, inutil şi nedorit, al utilajelor,

resurselor sau oamenilor, consum care se datorează imposibilităţii de a corela

temporal diverse activităţi care se intercondiţionează. Iau astfel naştere procesele

de aşteptare.

Aşteptarea este intervalul de timp între momentul când a fost solicitată servirea şi

începutul efectuării acesteia într-un sistem de servire. Universalitatea acestui

proces şi creşterea gradului de complexitate au condus la studiul analitic al

proceselor de aşteptare în vederea proiectării cât mai eficiente a sistemelor de

servire. Un sistem de servire este considerat eficient dacă i se asigură un grad

ridicat de utilizare, iar servirea se realizează cu un timp minim de aşteptare.

Un proces de aşteptare se caracterizează prin trei elemente principale:

consumatorii, care solicită un serviciu;

şirul de aşteptare;

staţia de servire, care are rolul de satisface solicitările consumato rilor.

Unitatea de învăţare îşi propune prezentarea elementelor de bază aparţinând teoriei

aşteptării, precum şi prezentarea celor mai utilizate modele ce stau la baza

simulării unor procese de aşteptare ce apar în majoritatea sistemelor de producţie.

5.2. Competenţe

La sfârşitul acestei unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili să:

identifice principalele elemente ale unui sistem se aşteptare: consumatorii, care

solicită un serviciu, şirul de aşteptare şi staţia de servire, care are rolul de satisface

solicitările consumatorilor;

identifice situaţiile în care se impune simularea unui proces de aşteptare;

optimizeze, din punct de vedere economic, procesul de aşteptare considerat ca

ansamblu.

Durata medie de parcurgere a primei unităţi de învăţare este de 3 ore.

65

5.3. Modele matematice ale proceselor de aşteptare

Studiul unui proces de aşteptare se face cu ajutorul unui model de aşteptare.

Pentru a înţelege ce înseamnă un proces de aşteptare, sunt date în continuare câteva

exemple.

Exemple

Exemple de procese de aşteptare pot fi următoarele: utilajele care aşteaptă

nefolosite din lipsă de semifabricate, maşinile-unelte care aşteaptă să fie

reparate într-un atelier de reparaţii, paletele cu piese care aşteaptă să fie

prelucrate pe maşinile-unelte, clienţii care aşteaptă să fie serviţi la ghişeul

unei bănci etc.

Exemplificaţi şi alte procese de aşteptare întâlnite în practică.

Datele de intrare pentru un model de aşteptare sunt:

Ritmul sosirii consumatorilor.

Consumatorii sosesc la anumite intervale de timp, care pot fi:

egale;

neegale, dar determinate;

aleatorii, cu repartiţie cunoscută (o lege aproape generală a sosirilor

aleatoare este legea lui POISSON);

Numărul de staţii de servire .

În funcţie de numărul de staţii, se deosebesc trei situaţii:

o staţie de servire;

un număr finit de staţii de servire;

un număr infinit de staţii de servire.

Ritmul de servire.

Ritmul de servire poate fi:

constant;

variabil, dar determinat;

aleatoriu, cu repartiţie cunoscută ( o lege a servirilor, foarte des întâlnită în

cadrul sistemelor de producţie, este cea exponenţială);

Disciplina şirului de aşteptare.

Din observarea sistemelor de producţie reale rezultă că există diferite discipline de

aşteptare, dintre care se menţionează:

primul venit, primul servit (FIFO);

66

ultimul venit, primul servit (LIFO);

la întâmplare (SA - servire aleatoare);

cu priorităţi (SPR - servire prioritară).

Costul unei unităţi în sistem / perioada de timp;

Costul unui serviciu / perioada de timp.

Un model al unui proces de aşteptare se notează astfel:

A / S / c: ( L; d ) (5.1)

unde:

A - repartiţia timpului dintre două sosiri;

S - repartiţia timpului de servire;

c - numărul de staţii ale sistemului;

L - lungimea maximă a cozii;

d - disciplina şirului de aşteptare.

Studiul proceselor de aşteptare are ca scop final optimizarea, din punct de vedere

economic, a procesului considerat ca ansamblu. Întrucât poate exista o mare varietate de

procese de aşteptare, există şi un mare număr de modele, care se deosebesc între ele prin

datele de intrare: probabilităţile sosirilor şi servirilor, numărul de staţii de servire etc.

5.3.1 Proces de aşteptare cu o staţie, sosiri Poisson, servire exponenţială

Un caz foarte obişnuit este cel în care sosirile în sistem urmează legea lui Poisson iar

intervalele de timp de servire urmează legea exponenţială. Se formulează la început ipoteza că

ritmul sosirilor este mai mic decât ritmul servirilor; în ipoteza contrară, nu ar fi posibil un

regim stabil iar şirul de aşteptare ar deveni din ce în ce mai mare cu timpul t (figura 5.1):

Figura 5.1

Modelarea matematică permite determinarea următoarelor caracteristici:

numărul mediu de unităţi din sistem:

nm

1 (5.2)

numărul mediu de unităţi din şirul de aşteptare:

S

Sosirile

consumatorilor

Şirul de

aşteptare Plecările

consumatorilor

Staţia de

servire

67

2

1 (5.3)

timpul mediu de aşteptare din sistem:

tn

s

11

1 11

(5.4)

timpul mediu de aşteptare din şirul de aşteptare:

t f

11

11

2

(5.5)

probabilitatea pn ca în sistem să existe n unităţi:

ddt p t p t p t p t nn n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 0 (5.6)

Se caută funcţiile pn(t) care constituie soluţia sistemului diferenţial format de aceste

ecuaţii. În cazul particular în care probabilităţile pn sunt independente de timp (cazul cel mai

important întâlnit în realitate), se spune că procesul este staţionar şi permanent:

pn(t) = pn (5.7)

În relaţiile de mai sus s-au utilizat următoarele notaţii:

- ritmul mediu al sosirilor;

- ritmul mediu al servirilor;

= / - factor de utilizare (factor de servire).

Exemplu

O maşină de prelucrare prin electroeroziune dintr-o secţie de sculărie lucrează timp de

10 ore pe zi, putând prelucra 10 piese pe oră. Pentru prelucrarea pe maşină sunt aduse

70 de piese pe zi. În ipoteza că sosirea pieselor se face după o distribuţie Poisson şi

prelucrarea lor urmează o lege exponenţială, să se determine caracteristicile procesului

de aşteptare a pieselor pentru a fi prelucrate.

Problema de mai sus este de tipul: proces de aşteptare cu o staţie, sosiri Poisson,

servire exponenţială. Caracteristicile procesului de aşteptare se pot determina

utilizând pachetul informatic WinQSB – modulul Queuing Analysis , opţiunea

Simple M/M System . Modulul informatic necesită introducerea mai multor date,

printre care:

- numărul staţiilor de servire: o maşină de prelucrare prin electroeroziune;

- rata sosirii consumatorilor: numărul pieselor aduse pentru prelucrare: 70

piese / zi;

- rata servirii: timpul de lucru zilnic: 10 ore* 10 piese pe oră = 100

- etc.

Încercaţi să identificaţi la propriul loc de muncă două procese de aşteptare cu o

staţie, identificând datele de intrare corespunzătoare.

68

5.3.2. Proces de aşteptare cu S staţii, sosiri Poisson, serviri exponenţiale

Dacă cele S staţii care asigură servirea nu sunt ocupate când se prezintă o unitate, ea

este servită imediat; dimpotrivă, dacă cele S staţii sunt ocupate, unitatea trebuie să aştepte şi

se formează un şir de aşteptare (figura 5.2):

Figura 5.2

Modelarea matematică permite determinarea următoarelor caracteristici:

numărul mediu de unităţi din sistem:

n n pm nn

0

(5.8)

numărul mediu de unităţi din şirul de aşteptare:

( )!( / )

n S pS S S

pn

S

n S

1

2 01 1

(5.9)

numărul mediu de staţii neocupate:

( )S n pnn

S

0 (5.10)

timpul mediu de aşteptare din şirul de aşteptare:

tS S S

pf

S

! ( / )1 2 0 (5.11)

probabilitatea ca o staţie să aştepte:

p n SS S

pS

( )! ( / )

1 0 (5.12)

unde:

n - numărul de unităţi din sistem;

S - numărul de staţii de servire;

= / - intensitatea traficului, factor de servire sau factor de întreţinere;

1

2

S

Sosiri ale

consumatorilor

Şirul de

aşteptare

Staţiile de servire

Plecarea

consumatorilor

69

- ritmul mediu al sosirilor;

- ritmul mediu al servirilor;

pn - probabilitatea ca în sistem să existe n unităţi:

p pn

nn Sn 0 1

!, (5.13)

p pn

S Sn Sn n S 0

!, (5.14)

p0 - probabilitatea ca în sistem să existe 0 unităţi:

p SS S

nnn

S0

0

1

1

1

! ( / ) !

(5.15)

Exemplu

Proces de aşteptare cu patru staţii (patru case de marcat într-un supermarket),

ritmul sosirii clienţilor, = 6, ritmul servirilor pentru o staţie, = 2, disciplina de

aşteptare de tip FIFO.

Identificaţi la propriul loc de muncă un proces de aşteptare cu mai multe staţii,

definind şi datele de intrare corespunzătoare.

5.3.3 Proces de aşteptare cu o staţie, sosiri Poisson, servire exponenţială şi

lungime permisă limitată a şirului

Modelarea matematică permite determinarea următoarelor caracteristici:

numărul mediu de unităţi din sistem:

n

k k u

km

k k

k

1 11 1

2

1

1 ,

,

(5.16)

numărul mediu de unităţi din şirul de aşteptare:

n pm 1 0 (5.17)

timpul mediu de aşteptare din sistem:

tn n

pSm

a

m

k

1

(5.18)

timpul mediu de aşteptare din şirul de aşteptare:

70

t

n p n p

pfm

a

m

k

1 1

10 0

(5.19)

unde:

p0 - probabilitatea ca în sistem să fie 0 cereri;

pk - probabilitatea ca în sistem să fie k cereri;

k - lungimea maximă permisă a şirului de aşteptare.

Exemplu

Într-o secţie de prelucrări mecanice sunt folosite 6 maşini identice, care funcţionează

independent unele de altele. Avariile care se produc la aceste maşini sunt aleatorii, cu

distribuţie Poisson, având un ritm de defectare = 10 maşini / lună. Pentru repararea

lor secţia are trei mecanici, durata reparaţiilor fiind distribuită după o lege

exponenţială cu ritmul = 5 maşini / lună.

Problema de mai sus este de tipul: proces de aşteptare cu S staţii, sosiri Poisson,

servire exponenţială. Caracteristicile procesului de aşteptare se pot determina

utilizând pachetul informatic WinQSB – modulul Queuing Analysis , opţiunea

Simple M/M System. Modulul informatic necesită introducerea mai multor date,

printre care:

- numărul staţiilor de servire: trei mecanici;

- rata (ritmul) sosirii consumatorilor: = 10 maşini / lună;

- rata (ritmul) servirii: = 5 maşini / lună;

- numărul clienţilor potenţiali ai sistemului (consumatorii pot sosi într-un

număr limitat sau infinit): numărul maşinilor folosite în cadrul secţ iei = 6

etc.

5.3.4 Proces de aşteptare cu o staţie, sosiri Poisson, servire după o distribuţie

normală s2 cunoscută

Modelarea matematică permite determinarea următoarelor caracteristici:

numărul mediu de unităţi din şirul de aşteptare:

2 2 2

2 1S

(5.20)

numărul mediu de unităţi din sistem:

nmS

2 2 222 1

(5.21)

timpul mediu de aşteptare din şirul de aşteptare:

t fS

2 2

2 1

(5.22)

71

timpul mediu de aşteptare din sistem:

tn

Sm S

2 222 1

(5.23)

În mod asemănător se pot scrie modelele matematice pentru diferite cazuri particulare

de sisteme de aşteptare:

o staţie, sosiri Poisson, servire la intervale constante;

o staţie, sosiri Poisson, servire cu distribuţie arbitrară, mai multe fire de aşteptare;

o staţie, sosiri Poisson, servire exponenţială, clienţi luaţi la întâmplare;

o staţie, sosiri la intervale regulate, servire exponenţială etc.

Să ne reamintim...

Studiul unui proces de aşteptare se face cu ajutorul unui model de aşteptare.

Un model al unui proces de aşteptare se notează astfel:

A / S / c: ( L; d )

În care: A - repartiţia timpului dintre două sosiri;

S - repartiţia timpului de servire;

c - numărul de staţii ale sistemului;

L - lungimea maximă a cozii;

d - disciplina şirului de aşteptare.

Elementele definitorii ale unui proces de aşteptare sunt:

- Ritmul sosirii consumatorilor.

- Numărul de staţii de servire

- Ritmul de servire.

- Disciplina şirului de aşteptare.

- Costul unei unităţi în sistem / perioada de timp;

- Costul unui serviciu / perioada de timp.

Studiul proceselor de aşteptare are ca scop final optimizarea, din punct de

vedere economic, a procesului considerat ca ansamblu.

5.4. Simularea proceselor de aşteptare

Aplicarea simulării pentru studiul proceselor de aşteptare este recomandabilă, de obicei,

în următoarele situaţii:

când sistemul de servire are un număr mare de staţii cu o topologie complexă;

când repartiţiile timpilor de sosire / servire sunt de tip complex (gamma, Weibull

etc.) sau sunt amestecuri de repartiţii;

când mecanismul servirilor presupune existenţa unor priorităţi sau a unor restri cţii;

când prin studiul sistemului se urmăreşte realizarea unui obiectiv (a unei eficie nţe).

72

Se presupune că modelul procesului de aşteptare este de forma:

A / S / 1; ( , FIFO) (5.24)

unde:

A - repartiţia timpului dintre două sosiri consecutive;

S - repartiţia duratei de serviciu;

1 - numărul de staţii de serviciu;

- lungimea maximă a şirului de aşteptare;

FIFO - disciplina serviciului.

Se prezintă, mai întâi, două tehnici generale de simulare, una cu ceas variabil, cealaltă

cu ceas constant, cu scopul de a pune în evidenţă modul în care intervine tipul ceasului în

procesul de simulare. Alegerea metodei se face pe baza următoarelor criterii: precizia

necesară, efortul de calcul (timp de rulare, mărimea memoriei calculatorului) şi datele

disponibile (observaţiile s-au efectuat la intervale de timp constante sau “din eveniment în

eveniment”).

5.4.1. Simularea cu ceas variabil

Notaţiile utilizate sunt următoarele:

AT - intervalul de timp dintre două sosiri consecutive (variabilă aleatoare);

ST- durata unei serviri (variabilă aleatoare);

WT - timpul de aşteptare a unui client oarecare la coadă;

TWT - timpul total de aşteptare al tuturor clienţilor;

TID - timpul de neocupare a staţiei de servire;

TTID - timpul total de neocupare a staţiei de servire;

NS - numărul total de servicii care trebuie simulate;

ICOUNT - contor care numără serviciile.

Variabilele AT şi ST sunt variabile de intrare. Repartiţiile lor se presupun cunoscute,

iar parametrii acestor repartiţii sunt parametrii de intrare. Numărul total de servicii NS este de

asemenea un parametru de intrare.

Variabilele WT, TWT, TID şi TTID sunt variabile de ieşire. Cu ajutorul acestora pot fi

calculate şi următoarele variabile:

timpul mediu de aşteptare:

AWTTWTNS

(5.25)

timpul mediu de neocupare:

ATIDTTIDNS

(5.26)

La momentul începerii simulării, sunt satisfăcute următoarele condiţii iniţiale:

WT = TWT = 0 (5.27)

73

TID = TTID = 0 (5.28)

ICOUNT = 0 (5.29)

Schema logică a algoritmului de simulare se prezintă în fig. 5.3.

În blocul (1) se fac iniţializări conform (5.27 - 5.29) şi se citesc valorile parametrilor

de intrare.

În blocul (2) se generează un interval de timp de sosire (se simulează sosirea unui

client în sistem), iar în blocul (3) se calculează timpul de sosire ajustat.

În blocul (4) se generează un serviciu de durată ST, care se numără cu ajutorul

contorului ICOUNT.

În blocul (5) acest timp de serviciu se compară cu timpul de sosire ajustat AT şi ca

rezultat al comparării se determină evenimentul următor (care se va produce primul).

În continuare, dacă în blocul (5) s-a găsit ST > AT, atunci înseamnă că staţia de

serviciu este ocupată şi se trece la blocul (6).

În blocul (6) se ia timpul de lenevire al staţiei TID nul, se calculează timpul de

aşteptare WT al clientului care urmează să fie servit primul şi se adaugă la timpul total de

aşteptare TWT.

Dacă în blocul (5) se găseşte staţia neocupată (ST AT), atunci în blocul (7) se ia

timpul de aşteptare al clientului care va fi servit primul WT nul, se calculează timpul de

lenevire TID al staţiei şi se adună la timpul total de lenevire TTID.

În blocul (8) se decide dacă simularea se termină sau nu, iar în blocul (9) se calculează

parametrii de ieşire, cu relaţiile (5.25) şi (5.26), precum şi alte statistici necesare.

74

START

STOP

Iniţializări şi citirea parametrilor

de intrare

Generează AT

AT = AT - WT

Generează ST

ICOUNT=ICOUNT+1

WT = 0

TID = AT - ST

TTID = TTID + TID

TID = 0

WT = ST - AT

TWT = TWT + WT

Calculează parametrii de ieşire.

Afişează rezultatele.

ST>AT

ICOUNT < NS

(1)

(2)

(3)

(4)

DA (5) NU

(6) (7)

DA (8)

NU

(9)

Figura 5.3

Daţi valori concrete parametrilor de intrare (parametrii repartiţiilor pentru

variabilele AT şi ST), NS, WT, TWT, TID, TTID şi calculaţi timpul total de

aşteptare (blocurile 2 – 6).

75

5.4.2. Simularea cu ceas constant

Simularea bazată pe metoda ceasului cu increment constant constă în generarea unei

creşteri constante C a ceasului şi analizarea, apoi, a stării diferitelor elemente ale sistemului,

cu generarea tuturor evenimentelor posibile a se produce în intervalul de timp de lungime C.

Notaţiile utilizate sunt următoarele:

AT - intervalul de timp dintre două sosiri consecutive;

TAT - momentul ultimei sosiri;

ST - durata unui serviciu;

TST - momentul terminării ultimului serviciu;

WT - timpul de aşteptare al unui client oarecare;

TWT - timpul total de aşteptare a clienţilor;

TID - timpul de neocupare a staţiei de serviciu de la terminarea unui serviciu până la

începerea altui serviciu;

TTID - timpul total de neocupare a staţiei de serviciu;

NT - durata impusă simulării;

CLOCK - ceasul simulării;

C - incrementul ceasului;

I - varibilă întreagă care desemnează lungimea curentă a cozii.

Variabilele AT şi ST sunt variabile de intrare. Repartiţiile lor se presupun

cunoscute, iar parametrii acestor repartiţii sunt parametrii de intrare. Durata impusă simulării

NT este, de asemenea, un parametru de intrare.

Variabilele WT, TWT, TID, TTID, TAT şi TST sunt variabile de ieşire.

La momentul începerii simulării sunt satisfăcute următoarele condiţii iniţiale

WT = TWT = TAT = 0 (5.30)

TID = TTID = TST = 0 (5.31)

CLOCK = I = 0 (5.32)

Schema logică a algoritmului de simulare se prezintă în figurile 5.3.a şi 5.3.b.

Blocurile (1) - (4) precizează condiţiile iniţiale şi determină începerea simulării.

În blocul (5) se constată dacă staţia este liberă sau ocupată. Dacă este ocupată (TAT <

TST), atunci se continuă cu blocul (6): se măreşte coada cu o unitate (adică ultimul client sosit

se depune la coadă), se calculează durata aşteptării clientului şi se adună la timpul total de

aşteptare.

Blocul (7) compară ceasul cu momentul ultimei sosiri, iar dacă ceasul este anterior

ultimei sosiri atunci se măreşte ceasul cu valoarea constantă C, se generează o nouă sosire şi

se recalculează momentul ultimei sosiri (blocul (9)).

76

START

Iniţializări şi citirea

parametrilor

Generează AT

TAT = TAT+AT

CLOCK = CLOCK+C

I=I+1

WT=TST-TAT

TWT=TWT+WT

TID=TAT-TST

TTID=TTID+TID

TST=TAT

I = I - 1

CLOCK=CLOCK+C CLOCK=CLOCK+C

Generează ST

TST=TST+ST

Generează AT

TAT=TAT+AT

TAT < TST

II= = 0

CLOCK>TST-TID CLOCK>TAT

(1)

(2)

(3)

(4)

DA (5) NU

DA (10) NU

I = 0

(6) (11)

(12)

(7) (13 )

DA NU (8) DA NU (14)

(9) (15)

B A

Figura 5.3.a

77

STOP Calculează parametrii de

ieşire şi afişează rezultatele

CLOCK<NT

B A

(16)

DA

NU (17)

Figura 5.3.b

Dacă în blocul (5) s-a găsit staţia liberă, atunci se continuă cu blocul (10), care

constată dacă coada este vidă sau nu. În caz afirmativ (coada vidă), în blocul (11) se

determină timpul de neocupare (lenevire) al staţiei TID care se adaugă la timpul total de

lenevire TTID şi se reactualizează TST (momentul terminării ultimului serviciu) până la

valoarea TAT (momentul ultimei sosiri). În caz negativ (coada nevidă) în blocul (12) se

micşorează coada cu o unitate.

Blocul (13) compară din nou ceasul cu momentul terminării ultimului serviciu; dacă

acesta din urmă este ulterior ceasului, atunci se măreşte ceasul cu constanta C.

În blocul (15) se simulează un serviciu şi se adaugă durata acestuia la TST.

Blocul (16) decide dacă simularea continuă sau se opreşte.

Blocul (17) calculează parametrii de ieşire şi alte statistici care fac obiectul simulării.

De exemplu, se poate calcula durata totală a serviciilor cu relaţia:

SST = TST - TTID (5.33)

Daţi valori concrete parametrilor de intrare şi determinaţi timpul de neocupare

(lenevire) al staţiei (blocurile 2 - 11).

5.4.3. Simularea unui sistem de aşteptare cu interferenţa maşinilor

Se presupune că un sistem constă din N maşini care sunt deservite de M muncitori

(M<N).

Maşinile funcţionează automat (fără intervenţia permanentă a operatorului ), însă după

anumite perioade de funcţionare se defectează şi sunt reparate de către un muncitor. Dacă la

un moment dat numărul n al maşinilor defecte satisface condiţia n > M, atunci n - M maşini

vor aştepta. Timpul în care aşteaptă aceste maşini se numeşte timp de interferenţă. Problema

care se pune este să se găsească regimul optim de lucru al sistemului în sensul că să nu se

78

obţină pierderi nici din cauza nefolosirii capacităţii de reparaţie, nici din cauza creşterii

timpului de interferenţă. Această problemă se numeşte problema interferenţei maşinilor şi ea

corespunde unui model de forma:

. / . / . M: ( N - M ) (5.34)

Se prezintă în continuare un model de simulare pentru problema interferenţei

maşinilor, în cazul în care disciplina serviciului este FIFO. Algoritmul simulării este construit

pe principiul ceasului cu creştere variabilă, folosindu-se următoarea listă de variabile şi

parametrii:

N - numărul maşinilor;

M - numărul muncitorilor;

I - lungimea curentă a cozii , 0 I N - M;

K - numărul de muncitori liberi la un moment dat , 0 K M;

NB - numărul total de evenimente ce se cer a fi simulate;

RT - durata de funcţionare neîntreruptă a unei maşini;

ST - durata unei reparaţii ( variabilă aleatoare cu repartiţie cunoscută );

WT - durata aşteptării neîntrerupte (a maşinii care aşteaptă);

TID - durata timpului de “lenevire” a unui muncitor care începe un serviciu la un

anumit moment de timp;

T(J) - timpul total al maşinii J, 1 J N ( aceasta este un fel de ceas al maşinii J );

SS(J) - timpul total de reparaţii al maşinii J;

SR(J) - timpul total de funcţionare al maşinii J;

SW(J) - timpul total de interferenţă ( aşteptare ) al maşinii J;

TAT(L) - timpul total al muncitorului L, 1 L M ( aceasta este un fel de ceas al

muncitorului L );

SID(L) - timpul total de lenevire al muncitorului L;

TBS(L) - timpul total de lucru al muncitorului L;

0 dacă maşina J este în stare de funcţionare;

IX(J) = 1 dacă maşina J este în reparaţie;

-1 dacă maşina J este în aşteptare .

JM - maşina pe care o prelucrează programul de simulare la un moment dat, dintre

maşinile care sunt în funcţiune sau în reparaţie (maşina cu cel mai mic timp);

KM - maşina cu cel mai mare timp de aşteptare neîntrerupt;

LM - muncitorul care efectuează o reparaţie la un moment dat;

LA - primul muncitor care devine liber;

TMI - ceasul simulării (timpul maşinii JM );

TATM - timpul total al unui muncitor care efectuează o reparaţie la un moment dat (

timpul muncitorului LM );

79

TMK - timpul total al maşinii cu cel mai mare timp de aşteptare neîntreruptă ( timpul

total al maşinii KM );

ICOUNT - contor care numără evenimentele generate (acest contor împreună cu NB

defineşte condiţia de terminare a programului de simulare ) .

Întregii pozitivi N, M şi NB sunt parametri de intrare. ST şi RT sunt variabile

aleatoare de intrare, pentru care se presupune că există subrutine de generare; parametrii

repartiţiilor acestor variabile aleatoare sunt de asemenea parametri de intrare.

Variabilele SS(J), SR(J), SW(J), 1 J N şi SID(L), TBS(L),

1 L M sunt variabile de ieşire ale modelului de simulare.

Ceilalţi parametri descriu stări ale componentelor sistemului şi agenda sistemului ( de

exemplu IX(J), LM, LA, JM, KM ).

Condiţiile iniţiale sunt următoarele:

I = ICOUNT = 0, (5.35)

K = M, (5.36)

SS(J) = SW(J) = 0, 1 J N, (5.37)

TAT(L) = TBS(L) = SID(L) = 0,1 L M, (5.38)

IX(J) = 0, 1 J N, (5.39)

şi ele exprimă consecinţe ale stării sistemului în momentul pornirii maşinilor.

Algoritmul simulării este prezentat în schema logică din figurile 5.4.a şi 5.4.b.

În blocul (1) sunt făcute iniţializările şi sunt citite valorile parametrilor de intrare ( N,

M, NB ) şi parametrii variabilelor aleatoare ( RT şi ST ).

În blocurile (2) şi (3) se simulează începutul funcţionării maşinilor actualizând timpul

fiecărei maşini şi timpul total de reparaţie al fiecărei maşini.

Blocul (4) avansează ceasul TMI până la evenimentul următor stabilind maşina JM la

care s-a produs acest eveniment.

Dacă maşina JM s-a aflat până în acel moment în stare de funcţionare (blocul (5)),

IX(JM) = 0, înseamnă că ea la momentul TMI s-a oprit. De aceea în blocul (6) se alege

conform regulei FIFO muncitorul LM care are timpul total (ceasul) TAT cel mai scurt. Blocul

(7) decide dacă muncitorul LM este liber (K>0) sau nu (K=0). În ultimul caz blocul (8) pune

în aşteptare maşina JM (care nu poate fi reparată), deci coada se măreşte cu o unitate iar

muncitorul LM va fi primul muncitor LA care se eliberează.

80

(1)

(2)

(3)

(4)

=0 (5) =1

(6) (10)

= 0 (7) > 0 = 0 (11) > 0

K = ? I = ?

(12)

(8)

(9) (13)

(14)

B A

Figura 5.4.a

START

Iniţializări şi citirea

parametrilor de intrare

J = 2, N

Generează RT

T(J) = RT

SR(J) = RT

TMI=MIN T(J)

IX(J) 0

T(JM) = TMI

TATM=MIN TAT(L)

TATM=TAT(LM)

IX(JM)=0

IX(JM) = 1

I = I + 1

LA = LM

K = K+1 K = K+1

IX(JM) = 1

Generează ST

SS(JM) = SS(JM) + ST

TAT(LM) = T(JM) =

TMI+ST

TBS(LM) = TBS(LM) +

ST

TID = TMI - TATM

SID(LM) = SID(LM) +

TID

ICOUNT = ICOUNT + 1

TMK = MIN T(J)

IX(J) = -1

T(KM) = TMK

WT = TMI - TMK

SW(KM) = SW(KM) +

WT

Generează ST

T(KM) = TAT(LA) =

TMI+ST

SS(KM) = SS(KM) + ST

TBS(LA) = TBS(LA) +

ST

IX(KM) = 1

I = I - 1

ICOUNT = ICOUNT + 1

Genereazã RT

SR(JM) =

SR(JM)+RT

T(JM) = TMI + RT

ICOUNT =

ICOUNT+1

IX(JM) =?

81

A

(16)

<NB (15) =NB

B ICOUNT = ?

Figura 5.4.b

Dacă dimpotrivă în blocul (7) se găseşte că muncitorul LM este liber, atunci el poate

efectua reparaţia maşinii JM (blocul (9) simulează această reparaţie împreună cu toate

consecinţele sale).

Revenind la blocul (5), dacă până la momentul dat maşina s-a aflat în reparaţie

înseamnă că ea este pusă în stare de funcţionare la momentul TMI (fapt care se realizează în

blocul (10)).

Deci, terminându-se o reparaţie, în blocul (11) se decide dacă muncitorul eliberat

rămâne în continuare liber (I = 0) sau va efectua o nouă reparaţie.

Dacă I = 0, atunci se măreşte numărul muncitorilor care aşteaptă, cu o unitate (blocul

(12)).

Dacă dimpotrivă în blocul (11), I > 0, înseamnă că muncitorul eliberat este muncitorul

LA (precizat în blocul (8)). De aceea blocul (13) alege conform disciplinei FIFO maşina KM

care aşteaptă de cel mai mult timp, îi calculează timpul de aşteptare WT şi îl adaugă la timpul

total al ma-

şinii KM, apoi repară maşina KM simulând toate consecinţele acestei reparaţii.

În continuare, blocul (14) simulează funcţionarea maşinii JM împreună cu

consecinţele sale.

În blocul (15) se decide continuarea sau oprirea experimentelor de simulare. În cazul

opririi experimentelor de simulare se continuă cu blocul (16) care calculează parametrii de

ieşire ai modelului şi alte statistici care interesează în calculele următoare.

Daţi valori concrete parametrilor de intrare (N, M, NB, parametrii variabilelor

aleatoare: RT, ST) şi calculaţi timpul de aşteptare al muncitorului şi al maşinii

(blocurile 1 – 13, mergând pe varianta că muncitorul eliberat va efectua o nouă

reparaţie.

STOP

Calculează parametrii

de ieşire. Afişează

rezultatele.

82

5.4.4. Simularea unui proces cu n staţii paralele

Se prezintă în continuare un model de simulare de forma:

. / . / N: ( , FIFO) (5.40)

unde cele n staţii sunt presupuse paralele, repartiţiile serviciilor în aceste staţii fiind diferite. Sistemele

de aşteptare descrise de modelul de mai sus sunt diverse. De exemplu, un atelier de reparaţii cu N

muncitori şi N maşini care execută comenzile în ordinea sosirii poate fi descris de acest model. Lista

variabilelor şi parametrilor modelului este prezentată în continuare:

AT - intervalul de timp (aleator) dintre două sosiri;

ST(J) - durata unui serviciu (variabilă aleatoare) la staţia J,1JN

WT - timpul de aşteptare la coadă a unui client oarecare;

TID - timpul curent de lenevire al staţiei care începe un serviciu;

TAT - suma intervalelor de timp de sosire (momentul sosirii ultimului client);

TT(J) - timpul staţiei J la plecarea a ultimului client (ceasul staţiei J);

TTMIN- ceasul simulării (definit ca cel mai mic din ceasurile TT(J),1 J N;

L - staţia cu cel mai mic timp TT(J), (adică TTMIN = TT(L))

NS - numărul de sosiri care trebuie simulat (NS >>>N);

ICOUNT- contor care numără sosirile;

SST(J) - suma duratelor de serviciu ale staţiei J;

SWT(J) - suma aşteptărilor clienţilor serviţi de staţia J;

TTID(J) - timpul total de lenevire al staţiei J;

DIF - TAT -TTMIN.

Variabilele AT şi ST(J), 1 J N sunt variabile de intrare, parametrul NS este parametru de

intrare ( ca şi parametrii repartiţiilor variabilelor AT şi ST(J)), iar celelalte variabile sunt variabilele de

ieşire. Se presupune că la momentul iniţial există un client în sistem.

Condiţiile iniţiale sunt:

TAT = 0, (5.41)

TT(J) = 0, 1 J N; (5.42)

SST(J) = SWT(J) = TTID(J) = 0, (5.43)

1 J N.

Schema logică a modelului de simulare este prezentată în figurile 5.5.a şi 5.5.b, ea fiind

construită pe principiul ceasului variabil.

Blocul (1) citeşte parametrul NS şi parametrii variabilelor aleatoare de intrare şi fixează

condiţiile iniţiale.

În blocurile (2) şi (3) se generează N - 1 sosiri (un client se găseşte deja în staţie !) şi

reactualizează momentul ultimei sosiri TAT şi timpii de neocupare (lenevire) ai staţiilor.

Blocul (4) precizează că au avut loc N sosiri.

83

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

NS (9) > NS

ICOUNT=?

(10) (16)

DIF = ? (11) +

(12) (13)

= 0

A B

Figura 5.5.a

START

STOP

Iniţializări şi citirea

parametrilor de intrare

J = 2, N

J = 1, N

Generează AT

TAT = TAT + AT

ICOUNT = 1

Generează ST(J)

TT(J) = TTID(J) + ST(J)

SST(J) = SST(J) + ST(J)

TTMIN = MIN TT(J)

1 J N

TTMIN = TT(L)

ICOUNT = ICOUNT + 1

Generează AT

TAT =TAT + AT

DIF = TAT - TMIN

Calculează statistici.

Afişează rezultatele.

TID=DIF

TTID(L)=TTID(L)+

TID

WT= -DIF

SWT(L)=SWT(L)+

WT

84

A

(14)

B

(15)

Figura 5.5.b

În blocurile (5) şi (6) se simulează servirea primilor N clienţi precizând timpii staţiilor

TT(J), la sfârşitul serviciilor şi se reactualizând duratele de serviciu ale staţiilor.

Blocul (7) stabileşte valoarea ceasului (avansează ceasul până la momentul când a

avut loc evenimentul următor) şi maşina L care va efectua serviciul următor, iar blocul (8)

numără clientul care urmează să sosească.

Dacă în blocul (9) ICOUNT > NS atunci înseamnă că au fost deja simulate NS sosiri,

deci se continuă cu blocul (16).

Dacă dimpotrivă, în blocul (9) ICOUNT NS, atunci înseamnă că nu au fost încă

simulate NS sosiri şi se execută blocul (10), care generează o nouă sosire, reactualizează

momentul ultimei sosiri şi calculează diferenţa DIF.

Cu ajutorul semnului lui DIF (blocul (11)) se stabileşte dacă clientul sosit în blocul

(10) aşteaptă, caz în care se execută blocul (12), sau este servit, caz în care se execută blocul

(13); în acest ultim caz înseamnă că staţia L cu cel mai mic timp (ceas) a aşteptat (lenevit)

intervalul de timp DIF.

În continuare blocul (14) generează un nou serviciu şi reactualizează timpul total de

funcţionare al staţiei L.

Blocul (15) reactualizează ceasul staţiei L (care a efectuat ultimul serviciu) şi trece din

nou controlul la blocul (7).

Daţi valori concrete parametrilor de intrare (NS, parametrii repartiţiilor

variabilelor AT şi ST(J)) şi calculaţi durata de aşteptare a unui client la coadă

(blocurile 1 – 12).

Generează ST(L)

SST(L) = SST(L) +ST(L)

TT(L)=TTMIN+ST(L)

85

5.5. Rezumat

Datele de intrare principale ale unui model pentru procesele de aşteptare

sunt: ritmul sosirii consumatorilor, numărul de staţii de servire, ritmul de servire,

disciplina şirului de aşteptare;

Modelarea matematică a unui proces de aşteptare permite determinarea

următoarelor caracteristici: numărul mediu de unităţi din sistem, numărul mediu de

unităţi din şirul de aşteptare, timpul mediu de aşteptare din sistem, timpul mediu de

aşteptare din şirul de aşteptare;

Simularea proceselor de aşteptare se recomandă în următoarele situaţii:

când sistemul de servire are un număr mare de staţii cu o topologie

complexă;

când repartiţiile timpilor de sosire / servire sunt de tip complex (gamma,

Weibull etc.) sau sunt amestecuri de repartiţii;

când mecanismul servirilor presupune existenţa unor priorităţi sau a unor

restricţii;

când prin studiul sistemului se urmăreşte realizarea unui obiectiv (a unei

eficienţe).

Simularea proceselor de aşteptare se poate realiza pe baza metodei ceasului

cu increment constant, sau a ceasului cu increment variabil. Alegerea metodei se

face pe baza următoarelor criterii: precizia necesară, efortul de calcul (timp de

rulare, mărimea memoriei calculatorului) şi datele disponibile (observaţiile s-au

efectuat la intervale de timp constante sau “din eveniment în eveniment”).

5.6. Test de evaluare a cunoştinţelor

1. Un proces de aşteptare se caracterizează printr-unul din următoarele

elemente:

a. staţie de servire;

b. magazie de stocare;

c. sală de aşteptare.

2. Una din datele de intrare pentru un model al unui proces de aştept are este:

a. mărimea lotului de aprovizionare;

b. numărul de staţii de servire;

c. numărul de muncitori pe schimb.

3. Factorul de servire se determină cu relaţia:

a. = 1/

b. = 1/

c. = /

86

Unitatea de învăţare U6. Modelarea şi simularea proceselor de

stocare

Cuprins

6.1. Introducere ................................ ................................ ................................ ............. 84

6.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ............ 84

6.1. Introducere

În procesul de producţie intervin valori materiale (cantităţi) care intră în proces

(materii prime sau materiale) şi valori care ies din proces (produse finite). Aceste

valori materiale se constituie sub forma unor stocuri.

Stocul sau inventarul este o resursă de orice fel care are o valoare economică,

resursă caracterizată printr-o variaţie determinată de intrări şi ieşiri

Scopul menţinerii unui stoc S este acela de a satisface o cerere. Întrucât prin

satisfacerea cererii stocul se micşorează, este necesară reaprovizionarea lui, adică

realizarea unor intrări în stoc.

Unitatea de învăţare prezintă principalele noţiuni privind stocurile: definiţie, scop,

elemente definitorii etc. De asemenea face o scurtă incursiune în modelele folosite

pentru gestiunea stocurilor, precum şi a posibilităţilor de simulare a proceselor de

stocare. Unitatea de învăţare se finalizează cu un test de autoevaluare, urmat de

răspunsurile la întrebări.

6.2. Competenţe

La sfârşitul acestei unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili să:

identifice elementele definitorii ale unui proces de stocare;

identifice principalele aspecte la care trebuie să răspundă modelele de gestiune a

stocurilor;

opereze cu noţiunile specifice modelelor de gestiune a stocurilor;

optimizeze, din punct de vedere economic, procesul de stocare.

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 3 ore.

6.3. Elemente definitorii din teoria stocurilor

Stocul sau inventarul este o resursă de orice fel care are o valoare economică, resursă

caracterizată printr-o variaţie determinată de intrări şi ieşiri. Valoarea resursei S este o funcţie

de timp, S = S(t).

87

Scopul menţinerii unui stoc S este acela de a satisface o cerere. Întrucât prin

satisfacerea cererii stocul se micşorează, este necesară reaprovizionarea lui, adică realizarea

unor intrări în stoc.

Se notează cu a(t) rata intrărilor în stoc (cantitatea care intră în stoc în intervalul T de

timp la momentul t), cu b(t) rata ieşirilor din stoc şi cu r(t) rata cererii. Cererea nu se confundă

totdeauna cu ieşirea (ieşirea din stoc se poate realiza, de exemplu, din cauza deprecierii

produselor), însă de cele mai multe ori b(t) = r(t). Se notează cu S0 = S(0) valoarea stocului

la momentul iniţial t=0. Variaţia stocului este dată de relaţia:

S(t)= S0 + 0

t [a(t) - b(t)]dt (6.1)

Funcţia a(t) trebuie aleasă astfel încât să se realizeze un anumit obiectiv sau o eficienţă

dorită. Această eficienţă se defineşte în funcţie de costuri. Costurile sau cheltuielile ce se

efectuează pentru derularea procesului de aprovizionare, aducerea, depozitarea, stocarea

materialelor şi satisfacerea cererii de consum, se împart în următoarele categorii:

costul de lansare (Cl) – toate cheltuielile care se fac la începutul procesului de

stocare;

costul de stocare (Cs) – include toate cheltuielile efectuate pe timpul staţionării

resurselor materiale în stoc;

costul lipsei de stoc (penuriei) (Cp) – apare atunci când la un moment dat cererea de

consum este mai mare decât stocul existent, deci cererea nu poate fi satisfăcută integral sau

parţial.

În continuare sunt date exemple de costuri specifice unui proces de stocare.

Exemple

Costul de lansare: toate cheltuielile ce se fac la întocmirea comenzii,

trimiterea acesteia la furnizor, pregătirea livrării unei părţi din comandă,

cheltuielile de transport ale acesteia, deplasarea delegatului, beneficiarului

etc. În general aceste cheltuieli sunt fixe pe comandă şi se exprimă în

u.m./comandă.

Costul de stocare: cheltuieli cu primirea, recepţia, pentru transportul intern,

manipulare, depozitare propriu-zisă, conservare, pază, evidenţă, eventuale

deteriorări, cheltuieli determinate de imobilizarea fondurilor financiare în

materialele stocate. Se exprimă în u.m. / zi stocare.

Costul lipsei de stoc (penurie, lipsă, penalizare): amenzi, penalizări, generate

de întreruperea producţiei şi /sau cheltuieli suplimentare pentru satisfacerea

operativă a cererii din alte surse. Se exprimă în u.m. /zi cât lipseşte din stoc

materialul.

Daţi exemple de acţiuni orientate către obiectivul reducerea costurilor unui

proces de stocare.

88

Cele trei categorii de costuri alcătuiesc costul total în procesul de asigurare a resurselor

materiale necesare.

Costul total al stocării depinde de nivelul stocului şi de timp. Minimizarea acestui cost

total duce la o politică optimă de reaprovizionare.

În afară de variabilele a(t), b(t) şi r(t) amintite, în modelele de teoria stocurilor intervin

şi alte tipuri de variabile legate în special de mecanismul reaprovizionării, adică de

mecanismul intrărilor în stoc.

Reaprovizionarea se face la momente diferite de timp t0<t1< t2 ... în cantităţile q(t0),

q(t1), q(t2)... . Intervalele de timp Ti = ti+1 - ti , i = 0,1, 2, ... se numesc cicluri de

reaprovizionare. Variaţia stocului S(t) se reprezintă grafic prin segmente oblice, aşa cum se

prezintă în figura 6.1.

Pe axa orizontală, considerată ca axă a timpului, se notează momentele de

reaprovizionare, iar pe verticală se notează comenzile q(ti), care înseamnă cantităţile care intră

în stoc la momentele ti .

Această reprezentare grafică are în vedere condiţii simplificatoare: reaprovizionarea

instantanee şi cererea perfect ritmică.

În intervalele (s1 , t3 ) şi (s2 , t4 ) se produce lipsa de stoc. Lotul care se comandă, în

general, nu intră în stoc în momentul când a fost lansată comanda, ci după un anumit interval

de timp Li (i = 0,1,2...), numit interval de livrare (figura 6.2).

Comanda q(t1) se lansează la momentul t1 - L0 = T0 - L0 , când stocul atinge o valoare

critică P, numită nivel de reaprovizionare sau punct de comandă. S

q(t0) q( t1) q(t 2) q(t 3)

t0 t 1 t 2 s1 t3 s 2 t4 t

Figura 6.1

Mărimile L şi P pot fi presupuse cunoscute sau pot fi variabile de decizie, care trebuie

alese de decident în vederea realizării eficienţei optime.

89

Intervalul de timp dintre două comenzi consecutive se numeşte interval de control al

stocului. Momentul lansării comenzii este momentul când nivelul stocului S scade la valoarea

nivelului de reaprovizionare P.

Figura 6.2

6.4. Modele de gestiune a stocurilor

Problema gestiunii stocurilor constă în stabilirea unor reguli de aprovizionare astfel ca

în stoc să nu lipsească articole necesare procesului de producţie sau aprovizionării pieţei.

Un model de gestiune a stocurilor trebuie să răspundă la două întrebări:

când se comandă? (care sunt punctul de comandă şi perioada de reaprovizion are);

cât se comandă? (care este mărimea lotului de aprovizionare).

Se prezintă în continuare modelele unor procese de stocare care diferă între ele prin

variabilele de intrare.

6.4.1 Procese de stocare cu perioade egale şi cerere constantă (modelul

WILSON).

Acest model presupune un consum constant şi o aprovizionare instantanee. Principiul de

bază al acestui model constă în determinarea lotului de aprovizionare q care să minimizeze

costul total de gestiune a stocului.

Se fac următoarele ipoteze:

se cunoaşte cererea totală N şi perioada de gestiune ;

nu se admite lipsa de stoc;

costurile de lansare Cl şi de stocare Cs sunt cunoscute;

stocul mediu este q/2 şi pe perioada de reaprovizionare T cheltuielile de stocare se

evaluează la q

2 Cs T;

I(t)

S

q(t1) q(t2) q(t3) q(t0)

P

t0 T0 L0 t1 T1 t2 T2 t3 T3 t 4 t

90

punctul de comandă este egal cu zero.

Reprezentarea grafică a acestui proces de stocare se poate vedea în fig.6.3.

Costul total al gestiunii pe perioada va fi dat de relaţia:

C(q) = CqC T N

qls

2 (6.2)

Având în vedere că:

Nq T

(6.3)

relaţia (4.2) devine:

C(q) = N Cq

q Ce s.

2 (6.4)

S

q q q q

t0 t 1 t 2 t 3 t 4 t

T T T T

Figura 6.3

Impunând condiţia de minim C’(q) = 0, se obţine lotul optim de reaprovizionare:

q1 = 2 N C

Cl

s (6.5)

şi corespunzător, perioada de reaprovizionare:

T1 = 2 CN C

l

s (6.6)

91

Costul total minim va fi:

C(q) = 2 N C Ce s (6.7)

Exemplu

Un producător de accesorii pentru automobile primeşte o comandă de

120.000 de tablouri de bord, pe care trebuie să le livreze timp de un an (240 de

zile lucrătoare). În ce ritm trebuie el să-şi reaprovizioneze stocul, dacă nu i se

admite nici o întârziere în livrări ? Cererea constructorului de automobile are un

ritm constant, iar costurile sunt următoarele :

- costul de stocare Cs = 35 u.b. / zi * 240 zile = 8400 u.b.

- costul de lansare C l = 300.000 u.b. / comandă.

Să se determine elementele gestiunii optime.

Procesul de stocare din aplicaţia de mai sus este de tip model Wilson. Pentru

rezolvare, se propune utilizarea pachetului soft-ware WinQSB, modulul

Inventory Theory and System. Programul permite rezolvarea mai multor tipuri

de probleme, însă pentru această aplicaţie se impune introducerea datelor

conform opţiunii: Deterministic Demand Economic Order Quantity (Modelul

lotului economic, cu cerere cunoscută ).

Pentru modelul de mai sus datele de intrare sunt:

- mărimea cererii pentru perioada considerată (DEMAND PER YEAR): 120000;

- costul lansării comenzii (ORDER OR SETUP COST PER YEAR): 300000;

- costul de stocare (UNIT HOLDING COST PER YEAR) : 8400.

Se obţin următoarele rezultate :

ORDER QUANTITY (mărimea optimă a comenzii de aprovizionare): 2,927.70

MAXIMUM INVENTORY (nivelul maxim al stocului): 2,927.70

MAXIMUM BACKORDER (nivelul maxim al lipsei de stoc): 0

ORDER INTERVAL IN YEAR (mărimea ciclului de reaprovizionare): 0.0244

REORDER POINT (mărimea punctului de reaprovizionare): 0

TOTAL SETUP OR ORDERING COST (costul total de lansare): $ 12,296,341.00

TOTAL HOLDING COST (costul total de stocare): $ 12,296,341.00

TOTAL SHORTAGE COST (costul total al lipsei de stoc): 0

TOTAL MATERIAL COST (costul total cu materialele): 0

GRAD TOTAL COST (Costul total al sistemului): $ 24,592,682.00

92

6.4.2 Proces de stocare cu perioade egale, cerere constantă şi posibilitatea ruperii

stocului.

Fie Cp costul lipsei de stoc, Cl costul de lansare a comenzii şi Cs costul de stocare a

unui articol într-o unitate de timp. O astfel de gestiune se prezintă grafic în figura 6.4.

Pentru o perioadă T, costurile implicate în proces sunt:

- costul lansării unui lot: C l;

- costul stocării: 12 1SC Ts ;

- costul penalizării: 12 2( )q S C Tp

S

S

q

T 1 T 2 T 1 T 2 t

T T

Figura 6.4

Costul total pe intervalul de gestiune, pentru cele N/q perioade, va fi:

C(q,S) = C SC T q S C TNql s p

12

121 2 (6.8)

Dar:

Nq T

; TSqT1 ; T

q Sq

T2

şi prin înlocuire în relaţia (6.7), costul total devine:

C(q,s) = N C

qN S C T

qN q S C T

ql s p

2

2 22 2 =

93

= N C

qS Cq

q S Cq

l s p

2 2

2 2 (6.9)

Impunând condiţiile de minim:

CS 0 şi

Cq 0 , (6.10)

se obţine lotul optim:

q0 = 2 N C

CC CC

l

s

s p

p

(6.11)

şi corespunzător, perioada optimă de reaprovizionare:

T0 = 2CN C

C CC

l

s

s p

p

(6.12)

Costul total minim va fi:

C0 (q0 ) = 2 N C CC

C Cl sp

s p

(6.13)

sau

C0 = C1 , unde

CC C

p

s p .

Dar < 1, deci politica de aprovizionare care presupune existenţa lipsei de stoc

este mai convenabilă decât politica ce nu admite lipsa de stoc !

Cantitatea

CC C

p

s p se numeşte factor de indisponibilitate sau factor de penurie.

Utilizând programul WinQSB, rezolvaţi următoarele aplicaţii. Comentaţi

rezultatele obţinute. Introducerea datelor se va realiza în modulul prezentat la

pag. 89

1. Analizaţi şi comentaţi următoarele două cazuri A şi B, propuse spre rezolvare,

care consideră aceeaşi cerere anuală, şi acelaşi număr de zile necesar pentru

sosirea materialului la firmă după lansarea comenzii, costurile fiind însă diferite.

A B

Cererea anuală (units/year) 30000 30000

Număr zile an 365 365

Lead time (zile) 9 9

Costul de lansare (um/comandă) 50 3

Costul de stocare (um/unit/an) 2,60 45

94

6.4.3 Procese de stocare cu cerere discretă.

Se presupune că se cer din stoc, în fiecare unitate de timp, cu frecvenţa n, cantităţi de

aceeaşi mărime a şi că aprovizionarea se face prin comenzi de mărime q = k a , k = 1, 2 ... ( k –

numărul de cereri dintr-o perioadă). Intrarea în stoc are loc în acelaşi timp cu o ieşire.

Nivelul mediu al stocului este a k 1

2, iar costul pe unitatea de timp este:

C(k) = aC k nC

ks l

1

2 (6.14)

Prin derivare în raport cu k rezultă:

k = 2 nCaC

l

s (6.15)

Deci lotul de aprovizionare este:

q = k a (6.16)

Dacă k = 1, nu mai este necesară stocarea.

6.4.4 Procese de stocare a mai multor produse diferite.

Se presupune că se stochează n produse diferite, cu costurile de lansare Cli şi costurile

de stocare Csi , 1 i n. Se cere să se determine loturile de aprovizionare qi şi ciclurile de

reaprovizionare Ti 1 i n, pe un interval de gestiune, fiecare produs fiind cerut în total în

cantitatea Ni , 1 i n.

Costul total aferent fiecărui produs i este:

Ci (qi) = N Cq

qCi li

i

isi

2 (6.17)

iar costul total al stocării se defineşte ca fiind:

C(q1, ... ,qn) = C qi ii

n

1

(6.18)

Din condiţia de minim (derivatele parţiale egale cu zero) rezultă că loturile optime şi

ciclurile de reaprovizionare optime sunt:

qi = 2 N C

Ci li

si (6.19)

Ti = 2CN C

li

i si (6.20)

95

Utilizând programul WinQSB, rezolvaţi următoarele aplicaţii. Comentaţi

rezultatele obţinute. Introducerea datelor se va realiza în modulul prezentat la

pag. 89

1. Cererea anuală (365 zile lucrătoare) pentru un produs este de 17640 unităţi.

Costul de stocare Cs, pentru o unitate de produs, pentru întreaga perioadă este

de 36,5 u.m, iar costul de lansare a comenzii este Cl = 500 u.m /comandă. Se

cunoaşte că numărul de zile de la lansarea comenzii până la primirea

materialelor - durata de aşteptare a comenzii (Lead time) este de 9 zile. Să se

stabilească politica optimă de gestiune a stocului şi să se interpreteze rezultatele

obţinute.

2. Pentru depozitul de materiale al unei secţii de sculărie se cer anual (250 zile

lucrătoare) un număr de 6.000 repere de un anumit tip. Costul de lansare a

comenzilor de aprovizionare este Cl = 15.000 u.b., iar costul de stocare pentru

un articol este Cs = 2,5 u.b. / zi * 250 zile = 625 u.b. Să se determine elementele

gestiunii optime.

Să ne reamintim...

simularea are la bază un model de simulare care conţine variabile şi parametri;

variabilele se pot modifica în cazul unui ciclu de simulare;

în cazul variabilelor aleatoare trebuie stabilit tipul repartiţiilor;

parametrii rămân aceeaşi în cadrul unui ciclu de simulare, dar se pot modifica de

la un ciclu de simulare la altul;

în schemele de simulare se poate utiliza ceasul cu increment fix sau ceasul cu

increment variabil.

6.5. Simularea unui proces de stocare

Simularea are la bază un model care pune în evidenţă aproape toate elementele ce se pot

întâlni în construcţia modelelor de simulare pentru probleme legate de stocuri. Astfel, prin

intermediul modelului se poate obţine o variantă de plan pentru lansarea comenzilor,

momentele lansării comenzilor L şi momentele sosirii comenzilor T, împreună cu toate

cheltuielile CH, CD, CS, TC legate de procesul de reaprovizionare şi menţinere a stocului.

Lista variabilelor şi parametrilor modelului de simulare este următoarea:

H - costul de stocare; R - cererea din stoc pe unitate de timp;

D - costul lipsei de stoc; VI - nivelul curent al stocului;

S - costul de lansare; Q - mărimea optimă a comenzii;

96

CH - costul total de stocare; P - mărimea nivelului de reaprovizionare;

CD - costul total al lipsei de stoc; L - timpul de avans al lansării comenzii;

CS - costul total al lansării; BI - nivelul iniţial al stocului;

TC - cheltuieli totale de stocare; TT - perioada totală a simulării.

T - momentul intrării comenzii în stoc;

Mărimile H, D, S, Q, P, BI şi TT sunt parametrii de intrare, în timp ce variabilele

aleatoare R şi T sunt variabile de intrare care au repartiţii cunoscute.

Condiţiile iniţiale în momentul începerii simulării sunt următoarele:

TC = CH = CD = CS = 0

VI = BI;T = 0 (6.21)

CLOCK = 0

Schema logică a modelului de simulare se prezintă în figura 6.5.

In blocul (1) se introduc în memoria calculatorului valorile parametrilor de intrare şi se

fixează valorile iniţiale ale variabilelor de intrare, conform relaţiilor (6.21).

În continuare, blocul (2) generează o nouă cerere şi măreşte valoarea ceasului cu un

increment (se utilizează ceas cu increment constant).

Blocul (3) exprimă condiţia de terminare a simulării. Dacă simularea continuă, atunci

în blocul (4) se verifică dacă s-a atins momentul intrării în stoc a unei comenzi. În caz

afirmativ, se încarcă comanda Q în stoc (blocul (5)) şi se continuă cu blocul (6), în care se

satisface cererea R.

În continuare, în blocul (7) se cercetează nivelul stocului rămas. Dacă acesta este

negativ, atunci în blocul (8) se calculează costul stocului care lipseşte în unitatea de timp,

adică VI * D, îl adaugă la CD şi se readuce stocul la valoarea zero. Aici se observă că

modelul presupune existenţa lipsei se stoc, dar cererea nesatisfăcută nu se păstrează; ea intră

însă în calculul costului cauzat de lipsa de stoc.

În continuare, se execută blocul (9), care calculează costul stocării, VI*H, pe unitatea

de timp şi îl adaugă la costul total al stocării CH. Se trece apoi la executarea blocului (10),

care verifică dacă este nevoie să se lanseze o nouă comandă sau nu; în caz negativ se trece la

blocul (2) iar în caz afirmativ se execută blocul (11).

97

(1)

(2)

(3)

(13) DA

(4) DA

(14) (5)

NU

(6)

(7) < 0

VI = ?

0 (8)

(9)

(10) DA

P < VI

(11) NU

TCLOCK

(12)

Figura 6.5

STOP

Citirea parametrilor de

intrare. Iniţializări.

Generează R

CLOCK=CLOCK+C

TC=CH+CD+CS

VI = VI - R

CH=CH+VI*H

Calculează

parametrii de ieşire.

Afişează rezultatele. VI=VI+Q

CD=CD+VI*D

VI=0

CS = CS + S

Generează L

T = CLOCK + L

CLOCK TT

T = CLOCK

START

98

În blocul (11), se verifică din nou dacă la momentul respectiv soseşte o nouă comandă

sau nu; în caz negativ se trece la blocul (2) iar în caz afirmativ se execută blocul (12), care

lansează o nouă comandă, adăugându-i costul lansării S la costul total al lansării CS,

generându-i timpul de avans L şi determinându-i momentul T când ea va intra în stoc.

Revenind la blocul (3), dacă în acest bloc se decide că simularea este completă, se

execută blocul (13), în care se calculează costul total TC şi apoi blocul (14), în care se

calculează statistici ale modelului şi se imprimă rezultatele finale.

Cu o mică modificare, modelul poate fi adaptat şi pentru cazul când cererea

nesatisfăcută se păstrează. Modificarea constă în înlocuirea blocurilor 7, 8 şi 9 din figura 6.5

cu blocurile 7, 8 şi 9 din figura 6.6.

(7)

0 < 0

VI = ?

(9) (8)

Figura 6.6

Pentru schema logică din figura 6.5 daţi valori concrete parametrilor de intrare

(blocul 1). Mergând pe varianta „simularea continuă”, calculaţi care este costul total

de stocare, pe unitatea de timp (parcurgând blocurile 4 – 9).

6.6. Rezumat

Stocul sau inventarul este o resursă de orice fel care are o valoare economică,

resursă caracterizată printr-o variaţie determinată de intrări şi ieşiri;

Valoarea resursei S este o funcţie de timp, S = S(t);

Scopul menţinerii unui stoc S este acela de a satisface o cerere;

Costul total de stocare este compus din costul de lansare (Cl), care cuprinde

cheltuielile privind introducerea materialelor în stoc, costul de stocare (Cs), care

cuprinde cheltuielile datorate imobilizării fondurilor, cheltuielile de stocare

(depozitare, supraveghere etc.), eventualele pierderi datorate deprecierii bunurilor

din stoc şi costul lipsei de stoc (penuriei) (Cp), care cuprinde cheltuielile determinate

de lipsa de stoc (ruperea stocului apare atunci când cererea este superioară stocului).

O politică optimă de reaprovizionare presupune minimizarea costului total.

CD=CD+VI*D CH=CH+VI*H

99

6.7. Test de autoevaluare a cunoştinţelor

1. Scopul unui stoc este:

d. să micşoreze costurile de producţie;

e. să majoreze cheltuielile de aprovizionare;

f. să satisfacă o cerere a sistemului de producţie.

2. Pentru modelarea unui proces de stocare trebuie să se cunoască:

a. perioada de gestiune;

b. numărul de muncitori dintr-o secţie;

c. suprafaţa depozitului în care se păstrează stocul.

3. O politică de reaprovizionare convenabilă presupune utilizarea unui model:

a. fără ruperi (lipsuri) de stoc;

b. cu ruperi (lipsuri) de stoc;

c. cu stocuri foarte mari.

4. Simularea proceselor de stocare permite:

a. determinarea productivităţii muncii;

b. calcularea costurilor totale de stocare;

c. determinarea tipurilor de produse dintr-un stoc.

5. Costul total de stocare conţine:

a. costul de stocare, costul de lansare şi costul lipsei de stoc;

b. costul de lansare şi costul lipsei de stoc;

c. costul produselor stocate.

Răspunsurile testului de autoevaluare a cunoştinţelor

1. c;

2. a;

3. b;

4. b;

5. a.

100

Unitatea de învăţare U7. Modelarea dinamică

Cuprins

7.1. Introducere ................................ ................................ ................................ ............. 98

7.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ............ 98

7.1. Introducere

Obiectivul central al Dinamicii Sistemelor, ca metodă de abordare ştiinţifică a

problemelor în care timpul reprezintă un factor esenţial, este să ajute managerii să

determine politicile cu care aceştia vor controla eficient sistemele în funcţie de

perturbaţiile mediului înconjurător.

Pentru realizarea obiectivului său, Dinamica Sistemelor utilizează o serie de

metode, cum sunt: analiza de sistem, modelarea dinamică, simularea dinamică,

prezentate în cadrul unităţilor de învăţare U7 Şi U8. În cadrul metodelor se

urmăresc principalele elemente ale unui sistem dinamic, modul de realizare al unui

model dinamic şi etapele de realizare a unui model dinamic. De asemenea se

prezintă şi o schemă pentru simularea dinamică.

7.2. Competenţe

La sfârşitul acestei unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili să:

identifice obiectivele şi limitele sistemului studiat, elementele componente;

evidenţieze raporturile de interdependenţă dintre subsisteme , precum şi cu alte

sisteme din mediul înconjurător;

opereze cu noţiuni specifice dinamicii sistemelor (nivel, ritm, informaţie, nivel

dorit);

întocmească schema grafică a sistemului necesară modelării dinamice;

scrie ecuaţiile aferente sistemului studiat.

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 3 ore.

7.3. Aspecte generale

Sistemele de producţie, economice şi sociale au un comportament dinamic. Aceasta

înseamnă că, pe măsura scurgerii timpului, variabilele cu care se măsoară starea lor (nivelul

stocurilor, salariile, profiturile, rezervele valutare etc.) fluctuează în mod semnificativ.

Managerii unor astfel de sisteme au drept obiective principale inhibarea variaţiilor nedorite

şi/sau favorizarea variaţiilor benefice.

101

Exemplu

O firmă deţine un stoc de produse finite pe care îl diminuează prin vânzări şi

îl completează prin producţie. Astfel, stocul de produse finite creşte şi scade

în decursul timpului cu cantităţi însemnate.

Fie STOC.INIT şi STOC.FIN stocul la începutul, respectiv la sfârşitul unei

perioade de timp (o săptămână) şi fie PROD cantitatea de bunuri produsă în

perioada dată, iar LIV cantitatea livrată pe piaţă. În acest caz se poate scrie

relaţia:

STOC.FIN = STOC.INIT + PROD - LIV (7.1)

Referitor la exemplul de mai sus, se pot face următoarele observaţii:

Variaţia lui LIV de la o zi la alta este cel puţin una din cauzele modificării stocului;

PROD este supus unor influenţe aleatoare datorate posibilităţii defectării utilajelor,

dificultăţilor de aprovizionare cu materii prime etc. Acestea sunt, de regulă, cauze minore

într-un sistem bine organizat şi nu explică complet comportamentul acestuia;

PROD variază cel mai mult datorită deciziilor managerilor. De exemplu, dacă

stocul scade prea mult, managerul poate decide să mărească ritmul producţiei.

În concluzie, politica managerială afectează cel mai mult comportamentul dinamic al

unui sistem. Această politică se stabileşte, în general, în funcţie de modul în care informaţiile

externe, cum sunt cele referitoare la cererea pieţei, sintetizate în LIV sunt percepute de către

manager. Politicile, altfel spus regulile după care managerii îşi aleg deciziile, pot diminua

efectele pe care perturbaţiile externe le au asupra sistemului de producţie sau pot să le

accentueze.

Dinamica Sistemelor presupune utilizarea unor metode care decurg, în mod firesc, din

caracterul sistemic al acestei discipline. Aceste metode sunt, în principal, următoarele:

Analiza de sistem;

Modelarea dinamică;

Simularea dinamică.

Analiza de sistem constituie una din cele mai importante metode ale Dinamicii

Sistemelor. Ea permite definirea precisă a obiectivelor şi limitelor sistemului studiat, a

elementelor (subsistemelor) componente, a raporturilor de interdependenţă dintre susbsisteme

precum şi cu alte sisteme din mediul înconjurător.

Legăturile între subsistemele unei întreprinderi sunt de natură cibernetică şi trebuie

privite atât din punctul de vedere al factorului timp, cât şi din punctul de vedere al factorului

spaţiu. Acest lucru implică structurarea lor, în cadrul unor modele dinamice, pe nivele

ierarhice, cu punerea în evidenţă a funcţionalităţii fiecărui subsistem în parte şi a intercorelării

lor, cu posibilitatea luării unor măsuri de ordin organizatoric şi decizional care să conducă la o

funcţionare mai bună, în ansamblu, a întregului sistem.

102

Studiul relaţiilor dintre subsistemul de producţie şi celelalte subsisteme ale

întreprinderii, pune în evidenţă faptul că acesta se comportă ca un element de comandă şi

filtraj pentru celelalte subsisteme, cele din urmă intervenind ca elemente de reglare pe bucla

de reacţie a subsistemului de producţie.

Legăturile dintre subsisteme sunt de tip discret, adică transmiterea semnalelor (de

comandă) şi recepţionarea răspunsului (efectelor) se fac la anumite intervale de timp.

Alegerea perioadei de eşantionare (intervalul între transmiterea a două semnale consecutive)

este esenţială pentru o reprezentare corectă a sistemului real (aceeaşi perioadă constantă

pentru toate variabilele de stare are un efect de mediere asupra valorilor lor).

Exemplu

Caracterul dinamic al procesului de producţie implică studiul legăturilor sale

cu celelalte procese ale întreprinderii. În acest scop, întreprinderea este

considerată ca un sistem închis şi se va studia subsistemul producţie în

interacţiune cu celelalte subsisteme: aprovizionare-desfacere, logistică,

întreţinere - reparaţii, resurse umane, financiar-contabil, proiectare, calitate

etc.

Modelarea dinamică constă din alcătuirea unor sisteme de ecuaţii cu diferenţe

finite, cu ajutorul cărora se aproximează comportamentul continuu al sistemelor de producţie

studiate.

Prima etapă în modelarea dinamică o constituie delimitarea sferei de cuprindere a

obiectului modelat: sistemul de producţie. Se consideră apoi principalele funcţiuni şi activităţi

ale acestuia, precizându-se deci submodelele modelului general.

Următoarea etapă presupune stabilirea legăturilor dintre submodele realizând astfel o

primă rafinare a modelului. Această rafinare continuă, considerând elementele şi legăturile

într-un model. În felul acesta se poate realiza un model tipologic pentru toate întreprinderile,

indiferent de ramura industrială de care aparţin, pentru că el nu este determinat de

particularităţile tehnologice ale întreprinderii ci de caracterul comun al esenţei lor economice.

De aceea, înainte de alcătuirea modelului este necesară o analiză economică a procesului

studiat care începe cu evidenţierea specificului lui calitativ.

Dintre avantajele modelării dinamice reţinem următoarele:

reprezintă un instrument de tratare sistemică, globală a sistemelor de producţie

complexe, cu însuşirea de a cuprinde procesele de intercondiţionare reciprocă, precum şi pe

cele de reglare (feed-back);

evidenţiază relaţiile cantitative şi calitative din sistem şi permite găsirea, prin

simulare, a unor soluţii efective, operaţionale, chiar pentru probleme de foarte mare amploare;

103

oferă utilizatorilor posibilitatea unei abordări conversaţionale, în care decidentul

deţine un rol activ;

evită rigiditatea altor metode de modelare matematică, deoarece modelarea

dinamică este subordonată analizelor şi interpretărilor calitative.

Simularea dinamică utilizează modelele dinamice pentru a simula comportamentul

sistemelor studiate în vederea determinării strategiilor decizionale optime. Simularea se

efectuează pe intervale finite de timp prin modificări ale parametrilor sau schimbări ale

politicilor proprii modelelor simulate.

Daţi exemple de subsisteme, din cadrul sistemului de producţie, care

interacţionează cu subsistemul de fabricaţie.

7.4. Modelarea dinamică

Conceptul fundamental al modelării dinamice este ciclul informaţie - decizie - acţiune,

care constituie o buclă elementară de feed-back în care se identifică o cale directă: intrare

(decizie) - ieşire (starea sistemului), precum şi o cale de reacţie inversă: ieşire (starea

sistemului) - informaţie despre ieşire (eventual prelucrată) şi intrare (decizie). Dacă se ţine

seama de acţiunea tuturor factorilor existenţi la un moment dat, acest ciclu poate fi reprezentat

sub forma unei scheme clasice de reacţie (figura 7.1):

Informaţii despre

obiectivul

sistemului Decizii

Informaţii despre starea sistemului

Figura 7.1

O decizie comandă acţiunea asupra stării sistemului şi informaţia despre starea

sistemului se întoarce la punctul de decizie. Informaţia disponibilă la un moment dat,

fundamentează decizia curentă care comandă canalul de acţiune.

Exemplu

Comenzile de înlocuire a mărfurilor pentru a menţine un stoc într-un depozit

ilustrează structura circulară cauză - efect a unei bucle de reacţie (figura 7.2).

Decizia de comandă generează un flux de comenzi la furnizor, care livrează

bunurile în stoc. Informaţia despre stoc este intrarea pe baza căreia se

fundamentează decizia de comandă.

Starea sistemului

104

Informaţii despre

nivelul impus

(stocul dorit) Decizie de comandă

Informaţii despre nivelul stocului (stoc real)

Figura 7.2

În realitate, apar întârzieri între decizie şi acţiune precum şi în transmiterea informaţiei

care trebuie luată în considerare, în sensul de a se acţiona pentru aplicarea cât mai rapidă a

deciziei, respectiv înainte de a se modifica substanţial parametrii care au stat la baza adoptării

acesteia (figura 7.3).

Aceste întârzieri pot duce la următoarele situaţii:

decizia este luată în raport cu o stare anterioară a sistemului, dar afectează starea lui

actuală;

informaţia despre starea sistemului va afecta o decizie ulterioară stării pe care o

măsoară.

Obiectiv Decizie Decizie

Informaţie Informaţie

Figura 7.3

Descrierea matematică a comportării dinamice a unui sistem se face cu ajutorul unui

sistem de ecuaţii neliniare cu diferenţe finite ale cărui soluţii (valorile variabilelor de stare)

reprezintă evoluţia posibilă a sistemului real, în timp.

Activitatea de concepere a unui model dinamic se desfăşoară în mai multe etape:

Definirea variabilelor;

Întocmirea schemei grafice ( de tip FORRESTER);

Scrierea ecuaţiilor, conform schemei grafice realizată la etapa precedentă;

Rezolvarea ecuaţiilor cu ajutorul calculatorului electronic.

Starea sistemului

Întârziere

Nivelul stocului

Întârziere

105

7.4.1 Definirea variabilelor modelului dinamic

Într-un proces dinamic, variabilele pot fi în principal de două tipuri1:

variabile care reprezintă acumulări de cantităţi, măsurabile riguros la un moment

dat, numite niveluri (de exemplu,);

variabile care reprezintă procese în curs de desfăşurare, într-un anumit ritm,

măsurabile de regulă ca valori medii, numite fluxuri.

Exemple

Niveluri: nivelul producţiei, măsurat fizic sau valoric, nivelul profitului,

nivelul cifrei de afaceri;

Fluxuri: ritmul de fabricaţie, ritmul consumului, ritmul livrărilor etc.

Stabilirea variabilelor şi simbolizarea acestora:

Se consideră un sistem de producţie - stocare în care cu STOC se

notează cantitatea de produse aflată în stoc, cu PROD - ritmul producţiei într-

o perioadă de timp, iar cu CONS - ritmul consumului.

PROD şi CONS sunt variabile care determină creşterea, respectiv

descreşterea variabilei STOC, deci ele sunt variabile de flux. Ambele vor fi

măsurate, de exemplu, în [unităţi / săptămână]. Variabila STOC poate fi

măsurată în [tone], [bucăţi] sau, mai simplu, în [unităţi].

Pentru o perioadă de timp de DT săptămâni, rezultă că modificarea

efectivă a stocului va fi:

DT * (PROD - CONS) (7.2)

dacă PROD şi CONS rămân constante pe această perioadă de timp.

Pentru a introduce influenţa variabilei “timp”, după fiecare nume de variabilă

se pune un punct şi se scrie momentul de timp la care se referă. Astfel,

STOC.1 se referă la stocul din prima săptămână, STOC.2 la cel din a doua

săptămână ş.a.m.d.

Generalizând, se consideră trei momente succesive de timp J, K şi L. Lungimea

intervalului de timp dintre aceste momente este aceeaşi, şi anume DT săptămâni.

Valorile succesive ale stocului la aceste momente de timp sunt STOC.J, STOC.K şi

STOC.L. Deoarece producţia şi consumul se desfăşoară între aceste momente de timp, s-a

convenit să se noteze PROD.JK pentru ritmul producţiei în intervalul de timp de la J la K şi,

analog, CONS.JK pentru ritmul consumului de la J la K .

1 Între terminologia teoriei sistemelor şi cea utilizată la modelele dinamice există

următoarele analogii:

stare nivel (rezultatul acţiunii)

intrare ritm (decizie)

mărime de feed-back informaţie

obiectivul sistemului nivelul dorit

106

O ipoteză de bază este aceea că DT este ales astfel încât PROD şi CONS să nu se

schimbe în cursul acestui interval de timp.

Având în vedere cele de mai sus, se poate scrie ecuaţia:

STOC.K = STOC.J + DT * (PROD.JK - CONS.JK) (7.3)

aceasta fiind o ecuaţie de nivel.

Identificaţi variabilele care intervin în cazul unui sistem de stocare – livrare produse.

7.4.2 Întocmirea schemei grafice.

Întocmirea schemei grafice are la bază variabilele determinate în etapa precedentă

precum şi documentaţia care rezultă în urma analizei sistemului. Acestea vor fi materializate

pe o schemă grafică, schemă care va evidenţia structura sistemului şi principalele lui

componente. Simbolurile grafice utilizate la întocmirea schemei grafice se prezintă în figura

7.4.

Sursă infinită Flux de personal

Variabilă de stare (nivel) Flux de utilaje

Variabilă de decizie (ritm) Flux de materiale

Variabilă auxiliară Flux de informaţii

Flux de comenzi

Constantă $ $

Flux bănesc

107

Figura 7.4

La întocmirea schemei grafice trebuie avute în vedere următoarele reguli şi prec izări:

Succesiunea ritmurilor şi nivelurilor pe un flux dat este bine determinată: unui nivel

îi poate urma numai un ritm şi, reciproc, unui ritm îi poate urma numai un nivel.

Trebuie respectată compatibilitatea fluxurilor:

într-un nivel pot intra sau ieşi numai fluxuri de aceeaşi natură fizică;

într-un ritm sau ecuaţie auxiliară pot intra numai mărimi care au semnificaţia unor

informaţii.

Variabilele de ritm rămân constante pe durata unui interval, în timp ce variabilele

de nivel capătă valori distincte la momente diferite.

Formal, variabilele de nivel primesc un singur indice, iar variabilele de ritm primesc

indice dublu.

Constantele care intervin în modele au semnificaţie de informaţii, de aceea ele sunt

situate în fluxuri de acest tip.

Având în vedere cele prezentate mai sus, bucla de reacţie din figura 7.2 poate fi

reprezentată şi ca în figura 7.5.

Timp de ajustare T

Stoc dorit Xd Furnizor

Ritm de comenzi R

(Decizie de comandă)

Stoc real X

Figura 7.5

108

În modelarea dinamică, trecerea de la observare (analiză) la reprezentarea relaţiilor din

sistem se face prin recunoaşterea efectelor similare (şi nu prin recunoaşterea identităţilor de

valori sau a diferenţelor dintre ele).

Întocmiţi schema grafică pentru cazul unui sistem de stocare – livrare produse.

7.4.3 Scrierea ecuaţiilor.

Sistemul de ecuaţii este format din:

ecuaţii de stare (exprimă ritmul variaţiei stării);

ecuaţii auxiliare (exprimă dependenţa unei variabile de altă variabilă).

Bucla din figura 7.5 reprezintă un sistem de ordinul unu deoarece există numai o

singură variabilă de nivel (stocul). Schema ilustrează un sistem elementar de comandă a

stocului unde nu există nici o întârziere între comanda mărfurilor şi recepţionarea lor în

depozit.

Scopul sistemului este să menţină stocul dorit Xd care apare ca o constantă în procesul

de decizie.

Decizia asupra ritmului comenzilor este să aducă stocul real la stocul dorit. O politică

simplă de producţie ar putea fi atunci exprimată cu relaţia:

R k Xd X (7.4)

Factorul k va trebui să specifice cât de repede trebuie corectată eroarea de stoc. El va

trebui să asigure dimensionalitatea corectă a ecuaţiei, adică va trebui să aibă dimensiunea:

unitati / timp

unitati timp

1 (7.5)

Relaţia 7.4 mai poate fi scrisă sub forma:

RT

Xd X 1

(7.6)

în care T este numit timp de ajustare şi este măsurat, de exemplu, în săptămâni, luni etc.

Exemplu

Să presupunem că stocul dorit Xd = 1000 unităţi şi că T = 10 săptămâni. Cu

relaţia 7.6 se calculează ritmul. Astfel:

R X 1

101000 (5.7)

Dacă se ştie stocul iniţial, poate fi calculat ritmul iniţial al producţiei.

Se presupune că stocul iniţial este de 100 unităţi. Rezultă:

R 1

10 1000 100 90unitati

saptamina (7.8)

109

Dacă ritmul producţiei este acelaşi două săptămâni înainte de

recalculare, atunci se mai adaugă 2 x 90 = 180 unităţi de stoc, care se adaugă

la stocul iniţial, astfel că acesta va fi de 100 + 180 = 280 unităţi. Folosind

această nouă valoare a stocului, se obţine ritmul :

R 1

101000 280 72

unitatisaptamina

(7.9)

Dacă se consideră din nou două săptămâni, noul stoc la sfârşitul celor

patru săptămâni va fi 280 + 2 x 72 = 424 unităţi.

Ritmul în care stocul se apropie de valoarea dorită (1000 unităţi) este

proporţional cu (1000 – X).

R 1

101000 100 90

unitatisaptamina

(7.10)

Comportarea în timp a stocului este prezentată în figura 7.6 .

Stoc

[unităţi]

Xd

Timp

[săptămâni]

Figura 7.6

Un sistem de ordinul 2 are două variabile de nivel care reprezintă starea sistemului

(figura 7.7). Au fost adăugate mărfuri comandate şi nelivrate X 2 şi un ritm de primire P.

110

Timp de ajustare T

Stoc dorit Xd Furnizor

Ritm de comenzi R

(Decizie de comandă)

Mărfuri comandate

şi nelivrate X2

Ritm de

primire P

Figura 7.7

Combinaţia variabilei de nivel reprezentând mărfurile comandate X2 cu variabila de flux

reprezentând ritmul de primire P are efectul introducerii unei întârzieri între ritmul comenzii

şi ritmul primirii. O nouă valoare pentru mărfuri comandate se calculează pornind de la

vechea valoare, adăugând unităţile care au venit prin ritmul de comandă şi scăzând unităţile

care au ieşit prin ritmul de primire.

O întârziere de C săptămâni între ritmul de comandă R şi ritmul de primire P poate fi

determinată cu expresia:

P C X1

2unitati

saptamina (7.11)

Stoc X1

111

Expresia matematică a nivelului X1 se determină ţinând seama de expresia ritmului P.

Deoarece acesta depinde de X2 , înseamnă că X1 este o funcţie de X2 :

X k X k DTX kC1 121 (7.12)

X k X k DTXd X k

TX kC2 2

1 11

(7.13)

În general, un nivel X reprezintă un rezervor care acumulează debitele unor fluxuri R,

S, prin care creşte sau descreşte conţinutul rezervorului.

O nouă valoare a nivelului se calculează adăugând sau scăzând din valoarea

precedentă, schimbarea apărută într-un interval de timp:

x k x k DT R k S k 1 (7.14)

unde: x = nivel (unităţi);

x(k+1) = noua valoare a nivelului calculată la timpul k+1;

x(k) = valoarea nivelului la timpul precedent k;

DT = intervalul de timp k, k+1;

R = ritmul în care creşte nivelul I (unităţi / timp);

S = ritmul în care scade nivelul I (unităţi / timp).

În figura 7.8 este prezentată variaţia stocului pentru sistemul de ordinul 2 prezentat

mai sus.

În ecuaţia de nivel pot apare mai multe ritmuri. Intervalul DT este un parametru al

procesului de calcul şi nu un parametru al procesului real.

Ritmurile de flux ale sistemului măsurate în unităţi / timp ( de exemplu oameni / lună)

se acumulează în trepte în intervale de timp succesive de lungime DT. Intervalul DT poate fi

schimbat arbitrar fără să afecteze validitatea modelului. Toate celelalte ecuaţii în model sunt

formulate în termenii unităţii de timp de bază folosită în sistemul real.

X1

[unităţi]

Timp

[săptămâni]

Figura 7.8

112

Ecuaţiile de nivel descriu de fapt un proces de integrare de tip:

x x R St

00

dt (7.15)

de aceea nivelul se poate calcula numai dacă se cunosc condiţiile iniţiale.

Există două tipuri de ecuaţii de nivel:

Ecuaţii de nivel conservativ (acele nivele conţinând fluxuri care sunt, prin natura

lor, indestructibile, de exemplu produse, bani, comenzi e tc.).

Forma de bază a unei ecuaţii de nivel conservativ este:

NIVEL.K = NIVEL.J+DT(RITM.1+RITM.2+ ...) (7.16)

Ecuaţii de nivel neted (acele nivele care operează doar cu fluxuri de informaţii în

cazul cărora nu apare nevoia conservării lor).

Forma de bază a unei ecuaţii de nivel neted este:

NIVEL.K=NIVEL.J+DT*1/CAT*(RITM.JK-NIVEL.J) (7.17)

unde CAT reprezintă o Constantă de Ajustare a Timpului.

Ecuaţiile de ritm arată cum sunt comandate fluxurile în sistem. În aceste ecuaţii

apar nivelele şi constantele. Ecuaţia de ritm este calculată la timpul k, folosind informaţia

privind nivelele la timpul k, pentru a găsi debitele fluxurilor pentru intervalul k, k+1.

Forma unei ecuaţii de ritm este:

R k f nivele,constante (7.18)

unde f este o funcţie oarecare care descrie strategia de control a fluxului. Relaţiile 7.6 şi

7.10 reprezintă două exemple de ecuaţii de ritm. Aceste ecuaţii sunt expresii de strategie care

arată cum sunt luate deciziile implicite. Ele reflectă procesele de control care sunt implicate în

structura sistemului de reacţia de stare existentă în sistem.

Ecuaţiile de ritm nu pretind cunoaşterea unor valori iniţiale deoarece sunt complet

determinate de valorile iniţiale ale variabilelor de nivel.

Ecuaţiile auxiliare formează structura fină a unui ritm, în sensul că, de multe ori,

claritatea şi înţelesul unei ecuaţii de ritm pot fi accentuate împărţind-o în părţi care sunt scrise

ca ecuaţii separate (numite ecuaţii auxiliare).

Se presupune că stocul dorit este o variabilă care depinde de ritmul mediu al

desfacerii. Ecuaţia de ritm pentru comenzi şi ecuaţia auxiliară pentru stocul dorit ar putea fi:

R k AT X k X kd 1

(7.19)

X k w A kd (7.20)

În ultima ecuaţie w este o constantă iar A(k) este ritmul mediu al vânzărilor, adică un

nivel.

113

Ecuaţiile auxiliare trebuie evaluate după ecuaţiile de nivel de care depind. Când există

ecuaţii auxiliare, şi de obicei sunt numeroase, calculul se face în următoarea ordine: nivele,

auxiliare, ritmuri.

7.5. Rezumat

Sistemele de producţie, economice şi sociale au un comportament dinamic;

Modelarea dinamică constă din alcătuirea unor sisteme de ecuaţii cu diferenţe

finite, cu ajutorul cărora se aproximează comportamentul continuu al sistemelor de

producţie studiate;

Activitatea de concepere a unui model dinamic se desfăşoară în mai multe

etape: definirea variabilelor, întocmirea schemei grafice (de tip FORRESTER),

scrierea ecuaţiilor, conform schemei grafice realizată la etapa precedentă, şi

rezolvarea ecuaţiilor.

Variabilele modelului dinamic pot fi de două tipuri: niveluri şi fluxuri;

Schema grafică a sistemului studiat evidenţiază structura acestuia şi principalele

lui componente;

Scrierea ecuaţiilor modelului se face prin reprezentarea funcţiilor realizate de

sistem, nu prin reprezentarea elementelor lui.

Sistemul de ecuaţii este format din ecuaţii de stare şi ecuaţii auxiliare.

Ecuaţiile de ritm sunt complet determinate de valorile iniţiale ale variabilelor de

nivel;

Ecuaţiile auxiliare formează structura fină a unui ritm, adică o ecuaţie de ritm

poate fi împărţită în părţi care sunt scrise ca ecuaţii separate.

Ecuaţiile auxiliare trebuie evaluate după ecuaţiile de nivel de care depind.

7.6. Test de evaluare a cunoştinţelor

1. Care sunt metodele utilizate în dinamica sistemelor pentru studierea

comportamentului acestora în timp?

2. Care sunt etapele pe care le presupune modelarea dinamică?

3. Ce sunt ecuaţiile de stare?

4. Ce înţelegeţi prin ecuaţii auxiliare?

5. Ce stă la baza întocmirii schemei grafice?

6. Care este deosebirea între ecuaţiile de ritm şi cele de nivel?

7. Cum se face calculul când există ecuaţii auxiliare?

114

Unitatea de învăţare U8. Simularea dinamică

Cuprins

8.1. Introducere ................................ ................................ ................................ ........... 112

8.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ .......... 112

8.1. Introducere

În cadrul unităţii de învăţare U8 este prezentat modul de rezolvare a ecuaţiilor

pentru un sistem dinamic, precum şi procedura de calcul utilizată în simularea

dinamică.

8.2. Competenţe

La sfârşitul unităţii de învăţare U8 studenţii vor fi capabili s ă:

Opereze cu notaţiile specifice în cazul rezolvării ecuaţiilor unui model dinamic;

Realizeze schema de simulare dinamică.

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 2 ore.

8.3.Rezolvarea ecuaţiilor

Să ne reamintim...

Ecuaţiile sunt de mai multe tipuri: ecuaţii de stare, ecuaţii auxiliare, ecuaţii de

ritm şi ecuaţii de nivel;

Ecuaţiile de nivel pot fi : de nivel conservativ (acele nivele conţin fluxuri care

sunt, prin natura lor, indestructibile: bani, produse, comenzi) şi de nivel neted (acele

nivele care operează doar cu fluxuri de informaţii în cazul cărora nu apare nevoia

conservării lor);

Ecuaţiile de ritm sunt complet determinate de valorile iniţiale ale variabilelor de

nivel;

Ecuaţiile auxiliare formează structura fină a unui ritm, adică o ecuaţie de ritm

poate fi împărţită în părţi care sunt scrise ca ecuaţii separate.

Ecuaţiile auxiliare trebuie evaluate după ecuaţiile de nivel de care depind.

Atunci când există ecuaţii auxiliare, calculul se face în ordinea: nivele, auxiliare,

ritmuri.

Calculele se desfăşoară iterativ, fiind ordonate în timp de diferenţa de timp DT. În

limbajul Dinamicii Sistemelor a fost adoptată convenţia ca litera K după punctul care urmează

115

numelui de variabilă să desemneze momentul în care se efectuează calculul curent.

Corespunzător, J este utilizat pentru a desemna momentul la care a fost făcut calculul

precedent şi L pentru momentul următor. Ecuaţiile modelului dinamic sunt astfel scrise încât

nu necesită nici un alt moment în procesul de calcul. Calculul este limitat complet la timpul J,

intervalul JK, timpul K şi intervalul KL .

La începutul calculelor pentru timpul K sunt disponibile, din calculele precedente,

nivelele la timpul J şi ritmurile pe intervalul JK.

Exemplu

În figura 8.1 este prezentată o situaţie în care calculele precedente au fost

terminate la momentul t = 5 şi este gata să înceapă calculul stării sistemului

pentru perioada următoare 5 + DT.

În această figură sunt reprezentate două nivele N1.J şi N2.J şi trei

ritmuri pe intervalul de timp JK. Ritmul R1.JK este asociat fluxului de intrare

în cadrul nivelului N1 şi este singurul ritm care afectează acest nivel. Ritmul

R2I.JK este asociat fluxului de intrare în nivelul N2 , în timp ce ritmul R2E.JK

este asociat fluxului de ieşire din nivelul N2 .

Acestea sunt toate informaţiile disponibile calculului noilor valori ale

nivelelor la timpul K. Noile valori ale ritmurilor pe intervalul KL nu pot fi

calculate încă pentru că ele depind de nivelele încă necalculate pentru timpul

K.

Ritmurile constante pe intervalul JK acţionează asupra nivelelor

începând cu timpul J şi modifică nivelele după o pantă uniformă pe tot

parcursul intervalului. Noile valori ale nivelelor sunt calculate prin adăugarea

şi scăderea modificărilor specifice de ritmuri. Aceste modificări se calculează

prin înmulţirea ritmurilor cu DT.

Succesiunea calculării nivelelor nu are importanţă, deoarece fiecare

nivel depinde doar de propria sa valoare anterioară şi de ritmurile din

intervalul JK. Nici un nivel nu depinde de un alt nivel. Terminând calculul

nivelelor se ajunge la situaţia prezentată în figura 8.2, în care sunt

reprezentate nivelele la timpul K.

116

R2E.JK

N2.J

R2I.JK

N1.J R1.JK

5 5+DT 5+2DT 5+3DT 6 Timp

J K L

Figura 8.1

R2E.JK

N2.J

N2.K

R2I.JK

N1.K

N1.J R1.JK

5 5+DT 5+2DT 5+3DT 6 Timp

J K L

Figura 8.2

Deşi valorile sunt calculate pentru intervale discrete DT, natura ecuaţiilor de nivel şi

de ritm implică ritmuri constante, care la rândul lor implică o modificare continuă a nivelelor,

specificată în figură prin linii întrerupte.

117

Pornind de la nivelele de la timpul K se pot calcula ritmurile viitoare care reprezintă

decizia pe intervalul KL. Se observă că decizia viitoare este fundamentată pe informaţiile

curente, disponibile la timpul K, şi numai pe ele.

Întregul proces se repetă acum pentru următorul moment L. Pentru aceasta, primul pas

este de a avansa indicatorii de timp J, K, L cu un interval DT. Relativ la noua poziţie a lui K,

nivelele lui K devin nivelele lui J şi ritmurile KL devin ritmurile JK (figura 8.3).

Pentru momentul iniţial, când t = 0, apare o abatere de la secvenţa nivel - ritm a

calculului. Trebuie date valori iniţiale pentru toate nivelele. Ritmurile înainte de t = 0 nu sunt

considerate. Având nivelele deja fixate, se începe cu calculul ritmurilor pentru intervalul

0=0+DT, fiind apoi parcurs întregul ciclu de calcul al nivelelor şi ritmurilor.

R2E.KL

N2.K

R2I.K L

N1.K

R1.KL

5 5+DT 5+2DT 5+3DT 6 Timp

J K L

Figura 8.3

8.4. Simularea dinamică

Ideea de bază în simularea dinamică a sistemelor de producţie este aceea a

determinării valorilor în fiecare dintre momentele de timp cerute ale unui interval dat.

Diferenţele dintre două momente numerice de timp se numesc intervale de simulare şi

sunt egale cu DT unităţi de timp. Perioada scursă de la începutul simulării se notează cu TIMP

(TIME), iar durata totală impusă simulării se notează cu LUNGIME (LENGH).

Procedura de calcul în simularea dinamică are la bază următoarele reguli:

Deoarece nivelele depind de ritmuri şi nu de alte nivele, valorile lor curente se pot

calcula în orice ordine.

118

Ecuaţiile de ritm şi cele auxiliare se calculează pe baza valorilor anterioare ale

nivelelor.

O simulare poate include multe momente de timp, dar doar trei dintre acestea sunt

necesare pentru calcule. Acestea se notează cu J, K, L, iar perioadele care le separă prin JK şi

KL şi sunt egale cu DT perioade de timp.

În figura 8.4 se prezintă secvenţa de calcul corespunzătoare acestor momente de timp,

iar în figura 8.5 se prezintă procedura generală de calcul. Punctul K este considerat ca valoare

curentă şi, cunoscând nivelele la momentul K, pot fi determinate ritmurile pentru intervalul

KL.

Pasul n: J - K - L

Pasul n + 1: J - K - L

Timpul de simulare se deplasează apoi cu DT, astfel încât L, următorul moment,

devine K, noul timp curent.

Valorile calculate pentru vechiul K şi KL sunt renotate cu J şi JK. Cu ritmurile pentru

JK şi nivelele la momentul J se determină noile nivele la momentul K şi procesul se repetă.

Cu cât TIMPUL avansează, valorile calculate sunt stocate astfel încât, în final, ele să poată fi

reprezentate grafic sau tabelar în funcţie de timp.

Figura 8.4

Calculează nivele la momentul K

(momentul curent)

Calculează auxiliarele la momentul K şi

ritmurile pentru perioada KL

Avansează TIMPUL cu DT (se trece la L)

Re-notează K cu J, L cu K şi KL cu JK

Calculează nivelele pentru acest nou K

Determină noul moment L

119

Strategiile decizionale optime referitoare la un sistem de producţie pot fi perfecţionate,

atât din punct de vedere static cât şi din punct de vedere dinamic, cu ajutorul simulării

dinamice, deoarece aceasta permite:

luarea în considerare a aspectelor dinamice ale desfăşurării procesului de producţie;

posibilitatea evidenţierii diverşilor factori perturbatori pe o anumită perioadă de

timp (lipsă resurse umane, lipsă semifabricate etc.);

posibilitatea considerării oricăror alte legături cu diverse secţii ale întreprinderii şi

eventual cu alte întreprinderi;

verificarea strategiilor propuse şi alegerea unor strategii sub-optime;

analiza stabilităţii sistemului de producţie în timp etc.

Avantajul esenţial al aplicării simulării dinamice constă în posibilitatea de a stabili

evoluţia stării sistemului de producţie, toate variabilele modelului elaborat fiind funcţii de

timp.

DA

TIMP = LUNGIME ?

NU

Figura 8.5

Trebuie însă amintite şi o serie de dezavantaje care decurg din utilizarea modelării şi

simulării dinamice:

Sortează auxiliarele şi ritmurile

pentru a obţine o secvenţă calculabilă

Dacă TIMPUL = 0, fixează nivelele

la valorile lor iniţiale

Integrează pentru a obţine nivelele la momentul K

Calculează auxiliarele la momentul K şi

ritmurile pentru intervalul KL

Fixează TIMP = TIMP + DT

şi renotează toate variabilele

Afişează rezultate.

Sfârşit

120

necesitatea însuşirii tehnicilor de modelare dinamică de către personalul de

conducere al întreprinderii;

dificultăţi în stabilirea unei unităţi comune de măsură a producţiei realizată la

diversele locuri de muncă sau secţii;

durata relativ mare de pregătire a datelor şi de calcul în cazul când se urmăreşte o

analiză în unităţi naturale sau mai apropiate de cele naturale.

Pentru simularea dinamică a sistemelor, se pot utiliza limbaje de nivel înalt cum ar fi

FORTRAN, PL1 etc. sau limbaje de simulare speciale cum sunt DYNAMO (DYNAmic

MOdels) - pentru sisteme de management, DYSMAP (DYnamic System Modelling and

Analysis Package) - pentru sisteme de management, CSMP (Continous System Modelling

Program) - pentru sisteme tehnice etc.

Avantajele limbajelor de nivel înalt constau în marea lor disponibilitate şi flexibilitate

cu care pot fi utilizate pentru modelarea celor mai complicate reguli de decizie. Pe de altă

parte, rezultatele obţinute cu FORTRAN, de exemplu, sunt mult prea simple faţă de cele

obţinute prin utilizarea limbajelor DYSMAP şi CSMP, care au facilităţi grafice deosebite

pentru simularea dinamică a sistemelor.

De exemplu, compilatorul DYNAMO este un program care prelucrează cu ajutorul

calculatorului ecuaţiile unui model al unui sistem dinamic cu conexiune inversă. Rezultatele

simulării sunt date sub formă de tabele şi grafice, îndeplinind următoarele funcţii:

Realizează verificarea logică a ecuaţiilor şi listează mesajele de eroare. Multe erori

pot apare din cauză că setul de ecuaţii nu respectă conceptele modelului conexiunii inverse.

Recunoaşte numai modelele concepute în conformitate cu conceptele structurale ale

sistemului dinamic, grupând ecuaţiile de nivel şi ritm şi aranjând ecuaţiile auxiliare.

Programează modelul, adică ecuaţiile cu notaţiile lor algebrice sunt transformate în

instrucţiuni de operare detaliate ale calculatorului.

Execută calculul interactiv bazat pe instrucţiunile de comandă care dau intervalul

de calcul cât şi perioada de calcul, furnizează rezultatele simulării sistemului reprezentat de

model.

Pregăteşte şi editează forma tabelară şi grafică cerută.

121

8.5. Rezumat

Pentru rezolvarea ecuaţiilor calculele se desfăşoară iterativ, fiind ordonate în

timp de diferenţa de timp DT.

Simularea dinamică se efectuează pe intervale finite de timp prin modificări

ale parametrilor sau schimbări ale politicilor proprii modelelor simulate;

Simularea dinamică se realizează urmărind anumite reguli.

8.6. Test de evaluare a cunoştinţelor

1. Ce presupune din punct de vedere simulare dinamică rezolvarea sistemului de

ecuaţii?

2. Care sunt dezavantajele care decurg prin utilizarea modelării şi simulării

dinamice?

3. Care sunt avantajele care decurg din utilizarea simulării dinamice?

4. Enumeraţi şi detaliaţi regulile care trebuie urmate în simularea dinamică.

122

Unitatea de învăţare U9. Modele şi tehnici de prognoză

Cuprins

9.1. Introducere ................................ ................................ ................................ ........... 120

9.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ .......... 120

9.1. Introducere

Planificarea este una dintre funcţiile organizaţiei, prin care îşi stabileşte

obiectivele de realizat, mijloacele şi resursele necesare îndeplinirii lor. Planificarea

trebuie să ţină cont de resursele disponibile şi de rezultatele obţinute în trecut de

organizaţie. Planurile pot fi extrem de simple sau foarte complexe, principalele elemente

ce le diferenţiază fiind: orizontul de planificare şi gradul de detaliere. Din acest punct de

vedere se deosebesc: strategia organizaţiei, planul de afaceri, planul curent, etc. Strategia

organizaţiei precizează opţiunile majore ale acesteia pe intervale de timp relativ mari, fiind

apanajul conducerii de la cel mai înalt nivel. Implementarea şi elaborarea strategiei se

bazează pe viziunea de ansamblu asupra organizaţiei şi atitudinea anticipativă,

obiectivele strategice fiind stabilite pe baza unor analize, evaluări şi prognoze ale

principalilor factori de influenţă. În acest context general se înscrie şi tematica

prezentată în cadrul acestei unităţi de învăţare. Sunt prezentate elementele

definitorii ale seriilor cronologice, deoarece tehnicile de prognoză se bazează pe

seriile cronologice. Sunt prezentate modele de prognoză precum şi tehnici utilizate

în cadrul modelelor de predicţie.

9.2. Competenţe

La sfârşitul acestei unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili să:

identifice elementele definitorii ale unei serii cronologice;

identifice tipul trendului;

recunoască modelele de prognoză;

opereze cu diferite modele de prognoză.

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 3 ore.

9.3. Aspecte generale

Una din principalele responsabilităţi ale oricărei întreprinderi (firme, societăţi) este

planificarea viitorului ei. Această activitate de planificare constă în generarea unei serii de

predicţii privind evoluţia viitoare. Predicţia beneficiilor viitoare, a evoluţiei pieţei, a

necesarului de resurse sunt doar câteva exemple sugestive.

123

Aceste predicţii ale evoluţiilor viitoare sunt denumite prognoze. Prognozele s-au

dezvoltat în principal pentru a ajuta decidenţii să evalueze diverse strategii de lucru.

Una din tehnicile de bază de prognoză se bazează pe seriile cronologice. Caracteristica

principală a unui model de prognoză cu serie cronologică este bazarea lui pe date istorice (din

trecut). Seriile cronologice sunt datele statistice cel mai frecvent utilizate în practica

econometrică. Acestea permit estimarea relaţiilor dintre fenomenele economice, dar şi

prognozarea evoluţiei de viitor a variabilei dependente. În acest mod factorii de decizie au

posibilitatea adaptării măsurilor de politică economică în funcţie de obiectivele specifice.

Componentele unei serii sunt următoarele: trendul (tendinţa), fluctuaţiile ciclice, fluctuaţiile

neregulate şi fluctuaţiile sezoniere.

Trendul exprimă tendinţa generală de evoluţie pe termen lung a variabilei dependente,

tendinţă dată de nivelul istoric (din perioadele precedente) a valorilor seriei. Cauzele

principale ale prezenţei trendului într-o serie cronologică sunt : evoluţii demografice

(creşterea populaţiei), variaţii ale nivelului de preţ în economie, creşterea productivităţii

muncii datorită progresului tehnic etc. Determinarea trendului se face prin procedee obişnuite

de estimare , cea mai utilizată metodă fiind metoda celor mai mici pătrate.

Exemplu

- prognoza unei firme asupra beneficiilor din vânzări pentru anul următor

va trebui să se bazeze pe bilanţul vânzărilor din anul precedent.

- trend pozitiv: se poate constata că dacă volumul de vânzări al unui

magazin creşte continuu de-a lungul timpului, situaţia se datorează sporului

natural (pozitiv) al populaţiei din regiune. Dacă, volumul fizic al vânzărilor este

acelaşi pentru intervalul de timp considerat, valoarea mărfurilor comercializate

poate avea o tendinţă crescătoare datorită faptului că indicele de preţ manifestă o

tendinţă crescătoare.

Explicaţi de ce progresul tehnic – sursa principală a creşterii productivităţii

muncii – este o altă cauză a prezenţei trendului într-o serie cronologică.

Fluctuaţiile sezoniere sunt întâlnite mai frecvent în cazul seriilor trimestriale, lunare sau

săptămânale. Sunt uşor de previzionat datorită regularităţii apariţiei lor. Aceste fluctuaţii sunt

în general determinate de particularităţi de anotimp, obiceiuri de consum etc., fenomene ce

apar regulat în comportamentul individual sau al agenţilor economici.

124

Exemplu

- consumul de îngheţată şi băuturi răcoritoare înregistrează în fiecare vară

creşteri spectaculoase faţă de celelalte anotimpuri.

- volumul vânzărilor (în general) creşte foarte mult în perioada

premergătoare sărbătorilor, datorită obiceiurilor specifice indivizilor.

Fluctuaţiile neregulate au un caracter pur aleatoriu, neregulat şi sporadic. Sunt produse

în general de fenomene neprevăzute cum ar fi: greve, alegeri, războaie, condiţii

meteorologice, schimbări legislative etc. Datorită caracterului lor aleatoriu de cele mai multe

ori este practic imposibil de a determina cauza care le-a produs.

Exemplu

- numărul de turişti dintr-o staţiune poate să scadă semnificativ într-o

anumită perioadă de timp datorită condiţiilor meteorologice nefavorabile.

- declanşarea unei greve va determina scăderea volumului de producţie în

perioada respectivă.

Daţi şi alte exemple de fluctuaţii sezoniere şi neregulate.

Fluctuaţiile ciclice exprimă variaţiile valorilor seriei care revin la un anumit număr de

perioade, cu amplitudini şi frecvenţe diferite. Această componentă este frecventă în cazul

seriilor trimestriale, lunare, anuale (în cazul indicatorilor macroeconomici). Dintre cauzele

care pot determina ciclicitatea activităţii economice enumerăm: ritmuri diferite de evoluţie a

indicatorilor economici, caracterul intrinsec de ciclicitate al progresului tehnic etc. Aceste

cauze determină o evoluţie sinusoidală a economiei care înregistrează perioade de creştere,

recesiune, perioade de redresare şi de relansare a creşterii.

Exemplu

- urmând exemplul economiei, se disting patru faze de evoluţie ale

componentei ciclice ale unei serii de timp: perioada de creştere, cea de maximă

amplitudine, perioada de descreştere şi cea de minimă amplitudine.

Pentru practică, există o varietate de modele de prognoză, fiecare cu caracteristicile,

avantajele şi limitele sale. Un rezumat al acestor modele, cu precizarea orizontului de timp

pentru care se face prognoza, se prezintă în tabelul 9.1.

Dintre modelele prezentate în tabelul 9.1, cele mai utilizate în practică sunt modelul cu

medie mobilă, modelul cu ajustare exponenţială şi modelul cu descompunere.

125

Modelul cu medie mobilă utilizează media ultimelor n valori pentru a previziona

valoarea următoare a seriei cronologice. Expresia generală pentru calculul mediei mobile este:

MA A A A

Ntt t t t N

1 2 3 1

(9.1)

unde: Mt - media mobilă pentru perioada t;

At-1 - valoarea actuală pentru perioada t-1;

N - numărul de perioade de timp.

Modelul cu ajustare exponenţială utilizează suma ponderată a tuturor datelor din

trecut ale unei serii dinamice, cu ponderea cea mai mare plasată asupra celei mai recente date

valorice.

Ponderea este plasată datelor valorice în aşa fel încât să le confere acestora o

importanţă care scade exponenţial odată cu vechimea lor.

Tabelul 9.1

MODEL

DESCRIERE

ORIZONTUL DE

TIMP

Naiv Valoarea prognozată pt. perioada

următoare este egală cu valoarea actuală.

Scurt

Medie mobilă simplă Valoarea prognozată este o medie bazată

pe două sau mai multe date valorice

importante.

Scurt

Medie mobilă ponderată Valoarea prognozată este o medie bazată

pe două sau mai multe date valorice,

fiecăreia acordându-se o pondere diferită.

Scurt

Ajustare exponenţială Valoarea prognozată este o medie bazată

pe valoarea precedentă, valoarea

prognozei precedente şi un coeficient de

ajustare.

Scurt

De descompunere Valoarea prognozată se bazează pe o

analiză a următoarelor componente: trend

(tendinţă), ciclu, sezonalitate şi

neregularitate.

Lung

Regresie Valoarea prognozată se bazează pe relaţia

dintre variabila dependentă şi timp.

Mediu

Regresie multiplă Similar cu precedenta, cu excepţia că

modelul conţine două sau mai multe

variabile de predicţie.

Mediu

126

MODEL

DESCRIERE

ORIZONTUL DE

TIMP

Autoregresie O formă specială a regresiei multiple unde

fiecare din variabilele de predicţie are o

valoare legată de variabila dependentă.

Mediu

Se utilizează trei tipuri de bază de modele cu ajustare exponenţială:

modele cu un singur factor de ajustare;

modele cu doi factori de ajustare (includ efectele trendului);

modele cu trei factori de ajustare (includ efectele trendului şi efectele sezoniere).

Expresia generală a modelului cu ajustare exponenţială cu un singur factor de ajustare

este:

F F A Ft t t t 1 ( ) (9.2)

unde:

Ft+1 - valoarea prognozată pentru perioada t+1;

Ft - valoarea prognozată pentru perioada t;

At - valoarea actuală pentru perioada t;

- coeficient de ajustare (0 < < 1).

Expresiile generale ale modelului cu ajustare exponenţială cu doi factori de ajustare

sunt următoarele:

F Y F Tt t t t ( ) ( )1 1 1 (9.3)

T F F Tt t t t ( ) ( )1 11 (9.4)

F Y Tt t t 1 (9.5)

unde:

Yt - valoarea actuală pentru perioada t;

Yt-1 - valoarea actuală pentru perioada t-1;

Tt - trendul estimat pentru perioada t;

Tt-1 - trendul estimat pentru perioada t-1;

- coeficient de ajustare (0 < < 1);

- coeficient de ajustare pentru trend (0 < < 1).

Exemplu

O firmã producãtoare de maşini-unelte a vândut strunguri cu comandã numericã,

situaţia livrãrilor fiind prezentatã în tabelul 9.2

Sã se previzioneze valoarea vânzãrilor pentru anul urmãtor utilizând :

a. modelul cu medie mobilã, pentru n = 3 şi n = 5 ;

b. modelul cu ajustare exponenþialã, pentru = 0.2 şi = 0.5

127

Tabelul 9.2

ANUL NR. STRUNGURI

VÂNDUTE

1986 45

1987 79

1988 77

1989 81

1990 102

1991 124

1992 132

1993 156

1994 161

1995 168

1996 174

Rezolvare:

a. model cu medie mobilã, pentru n = 3. Se utilizează relaţia 9.1 şi se obţin

următoarele rezultate (tabelul 9.3):

Tabelul 9.3

Anul Valorile seriei Valori

prognozate

1998 45

1999 79

2000 77

2001 81 67

2002 102 79

2003 124 86.67

2004 132 102,33

2005 156 119,3

2006 161 137,33

2007 168 149,67

2008 174 161,67

b. modelul cu ajustare exponenţialã, pentru = 0.2

Se utilizează relaţia 9.2, în care: = 0.2, Ft este prima valoare a seriei Ft = 45,

128

At = Ft = 45

Astfel: Ft1+1 = F1 + 0,2 (A1- F1) = 45+ 0,2 (45-45) = 45,

Rezultă că valoarea prognozată pentru anul al doilea (1999) va fi 45

Pentru anul al treilea (2000) valoarea prognozată va fi:

F2+1 = F2 + 0,2 (A2 – F2) = 45 + 0,2 (79 – 45) = 51,8 ş.a.m.d. Rezultatele sunt

date în tabelul 9.4.

Tabelul 9.4

Anul Valorile seriei Valori

prognozate

1998 45

1999 79 45

2000 77 51,8

2001 81 56,84

2002 102 61,67

2003 124 69,74

2004 132 80,59

2005 156 90,87

2006 161 103,9

2007 168 115,32

2008 174 125,85

Pentru problema din exemplul anterior, determinaţi valorile prognozate pentru

model cu medie mobilă, n = 5.

Pentru problema din exemplul anterior, determinaţi valorile prognozate pentru

modelul cu ajustare exponenţială, = 0.5.

Una din problemele cele mai importante ale simulării o constituie setul modelelor de

prognoză, cu ajutorul cărora se simulează evenimente sau stări care vor avea loc. Modelele de

prognoză se pot clasifica după mai multe criterii:

după orizontul de timp la care se referă prognoza:

prognoze pe termen scurt;

prognoze pe termen mediu;

prognoze pe termen lung .

după sfera de cuprindere:

prognoze macroeconomice;

129

prognoze microeconomice.

după tehnicile utilizate:

prognoze extrapolate, care la rândul lor pot fi:

o analitice;

o fenomenologice;

prognoze euristice;

prognoze morfologice.

Scopul simulării cu modele de prognoză urmăreşte următoarele obiective:

prevederea cât mai exactă a comportării sistemului sau procesului;

precizarea tendinţelor de scurtă durată şi de lungă durată;

formularea modelului matematic al comportării sistemului printr-o funcţie:

y = f(t) (9.6)

Dintre tehnicile utilizate în cadrul modelelor de predicţie, una din cele mai importante

este extrapolarea, ea implicând o serie de noţiuni matematice care pot fi aplicate şi în cadrul

celorlalte tehnici. Extrapolarea, la rândul ei, poate fi analitică sau fenomenologică.

9.4. Extrapolarea analitică

Această metodă are la bază teoria prognozei asupra seriilor dinamice (cronologice) de

date. O astfel de serie reprezintă un şir de date ce caracterizează fenomenul sau procesul

studiat în diferite momente de timp.

Notând cu xt mărimea indicatorului X, ce caracterizează procesul la momentul t, atunci

expresia:

xt tt T

1 (9.7)

arată traiectoria procesului pe orizontul [1,T], tra iectorie descrisă prin indicatorul X.

Întrucât timpul este o variabilă ce nu are origine finită, punctul zero se alege în mod

arbitrar, în general acesta fiind primul moment de timp pentru care există o valoare concretă a

seriei dinamice. Cu aceste considerente, problema extrapolării se enunţă astfel: cunoscând

valorile {xt}, t = 1,2..., T, să se determine valorile {x t}, t = T+1, T+2, ..., T+, unde

reprezintă mărimea orizontului de prognoză.

În studiul de prognoză al oricărui sistem trebuie ţinută seama de trei factori importanţi:

trendul (tendinţa);

variaţiile periodice în jurul trendului;

influenţa factorilor aleatori.

Trendul cuantifică manifestarea tendinţei esenţiale de evoluţie a procesului,

subordonând sau anulând anumite trăsături sau direcţii neesenţiale care pot apare pe parcursul

evoluţiei.

130

În jurul trendului pot exista variaţii periodice, ciclice (figura 9.1) sau sezoniere

(figura 9.2), provenite de la alte fenomene ori procese din spaţiul în care se află procesul

studiat. Din această cauză, direcţia principală de evoluţie nu este întotdeauna liniară.

În spaţiul în care se găseşte procesul de studiat pot apare, de asemenea, o serie de

factori aleatori care influenţează fenomenul în cauză.

Producţia

[mii piese]

250

□

200

□ □ □

150 □

□

100 □ □

50

1990 91 92 93 94 95 96 97 [anul]

Figura 9.1

În aplicarea metodei, o importanţă deosebită o are construirea seriei dinamice de date,

element pe care se bazează prognoza. În general, este bine ca seria să conţină foarte multe

date, deoarece numai aşa este posibilă aproximarea cât mai corectă a evoluţiei viitoare a

fenomenului. Numărul minim de date din seria xt , poate fi dat în funcţie de orizontul

prognozelor, conform relaţiilor 9.8...9.10.

pentru prognoze pe termen scurt:

T 34 (9.8)

pentru prognoze pe termen mediu:

43 2T T (9.9)

pentru prognoze pe termen lung:

T 12 (9.10)

131

Producţia

[sute piese]

500 □

□

400

300 □ □

200 □ □

□ □

100

1 2 3 4 1 2 3 4 [trim.]

1990 1991 [anul]

Figura 9.2

Pentru identificarea şi reprezentarea analitică a trendului se parcurg următoarele patru

etape:

Alegerea clasei de funcţii matematice liniare F (polinominale, exponenţiale,

logaritmice etc.), care poate reprezenta în mod corespunzător trendul fenomenului.

Identificarea funcţiei f F care să aproximeze, pe intervalul [1,T] , cât mai bine

valorile xt tt T

1 :

f(t) xt , t = 1,2,..., T (9.11)

Funcţia continuă f trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

să reprezinte şirul dinamic cu erori sub anumite limite;

să conducă, prin extrapolare , la valori care să nu depăşească limitele admise;

să necesite un număr mic de operaţii de calcul.

În alegerea funcţiei f se ţine seama şi de distanţa d dintre vectorii xt tt T

1 şi

f t tt T( )

1 . Trendul fenomenului analizat este reflectat cel mai bine de funcţia f F

pentru care:

d x f t d x f tt t

t T

t

t Tt t

t T

t

t T

1 1 1 1

, ( ) min , ( ) (9.12)

Cea mai utilizată distanţă este cea euclidiană, definită prin:

d x y x yi ii

n

( , )

2

1

(9.13)

132

în care x şi y sunt vectori cu n componente xi, respectiv yi.

Stabilirea metodei de rezolvare a problemei de minim (9.12). Alegerea metodei

depinde atât de tipul clasei F, cât şi de alegerea distanţei d. De exemplu, în cazul în care d este

distanţa euclidiană, se va utiliza metoda celor mai mici pătrate.

Verificarea calităţii ajustării, care se realizează prin utilizarea unor indicatori

statistici: media aritmetică, abaterea medie pătratică, coeficienţii de corelaţie etc.

Care sunt etapele necesare identificării şi reprezentării analitice a trendului?

În general, trendul nu are o evoluţie liniară. Care sunt cauzele care determină

evoluţia neliniară a trendului?

9.5. Extrapolarea fenomenologică

Acest tip de extrapolare este utilizat cu precădere în cazul în care seriile de date

disponibile sunt relativ scurte. Se porneşte de la emiterea unor ipoteze asupra indicatorilor ce

caracterizează fenomenul sau procesul. Considerând că procesul este descris de funcţia

f R R: , continuã şi derivabilă pe R, atunci indicatorii de caracterizare a procesului sunt:

viteza de evoluţie (variaţie) ve :

vd f tdt y te

( )( ) 9.14

ritmul de creştere, rc :

ry ty tc ( )( ) 9.15

coeficientul de elasticitate a funcţiei , ce :

cdf tdt

f tte

( ):

( ) 9.16

În modelele care urmează variabila independentă este timpul t, dar ele se pot aplica şi

pentru situaţiile când variabila independentă are o altă semnificaţie.

9.5.1. Modele de tip liniar

Când procesul studiat are o viteză de evoluţie constantă, respectiv:

v y te ( ) 9.17

atunci trendul este descris de funcţia liniară:

y t t( ) 9.18

şi poate avea una din formele prezentate în figura 9.3:

133

y(t) y(t)

> 0 = 0

> 0 > 0

t t

a) b)

y(t)

< 0

> 0

t

c)

Figura 9.3

9.5.2. Modele de tip exponenţial

Când procesul studiat are viteza de evoluţie proporţională în orice moment cu nivelul

deja atins, atunci trendul este descris de o funcţie exponenţială. Într -adevăr, dacă:

v y t y te ( ) ( ) 9.19

sau:

ry ty tc ( )( ) 9.20

atunci trendul este descris de soluţia ecuaţiei diferenţiale:

y t k e t( ) 9.21

care este o funcţie exponenţială, având una din formele prezentate în figura 9. 4.

134

y(t)

= 0.9

= 0.1

t

Figura 9.4

În practică se întâlnesc şi modele la care exponenţiala are diferite forme particulare.

Dintre acestea amintim:

)7.9()(

)6.9()(

)5.9()(

figuraety

figuratty

figuraety

t

t

(t) y(t)

> 1 =1

> 0

e

0 < < 1

< 0

t t

Figura 9.5 Figura 9.6

y(t)

> 0

135

< 0

t

Figura 9.7

9.5.3. Modele de tip logaritmic

Acest tip de modele este caracterizat prin aceea că viteza de evoluţie a procesului

este dată de relaţia:

v y t te

( )

9.22

din care, prin integrare , rezultă soluţia:

y t t( ) ln 9.23

care este o funcţie logaritmică care descrie trendul sistemului (figura 9.8).

În practicã, este des utilizat şi modelul semi-logaritmic:

y t t( ) ln 9.24

având forma prezentată în figura 9.9:

y(t) > 0 y(t)

> 0

> 0

t 10-

t

Figura 9.8 Figura 9.9

9.5.4. Modele de tip hiperbolic

Când procesul studiat este de tip involutiv cu ritmul de forma:

ry ty t tc

( )( )

1

9.25

se obţine modelul:

y tkt( )

9.26

136

care este o funcţie hiperbolică (figura 9.10):

y(t)

> 0

> 0

t

< 0

> 0

Figura 9.10

Să se rezolve următoare problemă:

Consumul de energie electrică într-o secţie de montaj, timp de un an, este

prezentat în tabelul 9.5. să se previzioneze valoarea consumului de energie

electrică pentru perioada următoare, utilizând:

- modelul cu ajustare exponenţială, pentru = 0,5 şi = 0,9;

- modelul cu ajustare exponenţială în ipoteza existenţei unui trend.

Tabelul 9.5

LUNA CONSUMUL

[KW]

1 340

2 420

3 380

4 460

5 360

6 320

7 400

8 360

9 440

10 400

11 300

12 440

9.6. Rezumat

Caracteristica principală a unui model de prognoză cu serie cronologică este

bazarea lui pe date istorice (din trecut);

Cele mai utilizate modele de prognoză sunt: modelul cu medie mobilă,

137

modelul cu ajustare exponenţială şi modelul cu descompunere;

Dintre tehnicile de prognoză, una din cele mai importante este extrapolarea,

ea implicând o serie de noţiuni matematice care pot fi aplicate şi în cadrul celorlalte

tehnici. Extrapolarea, la rândul ei, poate fi analitică sau fenom enologică;

Extrapolarea analitică are la bază teoria prognozei asupra seriilor dinamice

(cronologice) de date. O astfel de serie reprezintă un şir de date ce caracterizează

fenomenul sau procesul studiat în diferite momente de timp;

Extrapolarea fenomenologică este utilizată cu precădere în cazul în care

seriile de date disponibile sunt relativ scurte.

9.7. Test de autoevaluare a cunoştinţelor

1. Modelele de prognoză se utilizează în cadrul unui sistem de producţie pentru:

a. planificarea evoluţiei viitoare;

b. stabilirea necesarului de materiale;

c. determinarea necesarului de resurse umane.

2. Modelul de prognoză cu ajustare exponenţială se utilizează pentru un termen:

a. lung;

b. mediu;

c. scurt.

3. Ponderea datelor valorice din cadrul unui model exponenţial scade exponenţial

odată cu:

a. numărul lor;

b. vechimea lor

c. complexitatea lor.

4. Extrapolarea analitică este o tehnică de prognoză bazată pe:

a. informaţii bursiere;

b. valori prognozate ale volumului vânzărilor;

c. serii cronologice de date.

5. Extrapolarea fenomenologică este o tehnică de prognoză care se utilizează atunci

când seriile de date sunt:

a. lungi;

b. scurte;

c. inexistente.

9.8. Răspunsurile testului de autoevaluare

1. a; 2. c; 3. b; 4. c; 5.b

138

Unitatea de învăţare U10. Modelarea şi simularea sistemelor

flexibile de producţie

Cuprins

10.1. Introducere ................................ ................................ ................................ ......... 136

10.2. Competenţe ................................ ................................ ................................ ........ 136

10.1. Introducere

Sistemul flexibil de producţie este constituit dintr-o grupă de maşini-unelte cu

comandă numerică (centre de prelucrare) comandate de un sistem central şi

echipate cu un sistem de transport comun şi automatizat, pentru semifabricate,

scule, piese, în vederea realizării unei producţii continue.

Din punct de vedere sistemic, sistemul flexibil de producţie reprezintă o combinare

a unui subsistem de prelucrare cu un grad dezvoltat de automatizare, cu un

subsistem logic automatizat (pentru transport a semifabricatelor între diferite

posturi, a alimentării automatizate a maşinilor, a schimbării sculelor, a controlului

pieselor) şi un sistem de comandă. În prima parte a unităţii de învăţare sunt

prezentate noţiuni generale despre modelarea sistemelor flexibile de producţie cu

reţele PETRI, iar a doua parte tratează problematica simulării cu reţele PETRI,

prezentând două tipuri de simulări. Unitatea de învăţare se finalizează cu un test de

evaluare a cunoştinţelor.

10.2. Competenţe

La sfârşitul acestei unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili să:

identifice elementele definitorii ale unei reţele PETRI;

opereze cu simbolurile grafice utilizate pentru modelarea sistemelor flexibile de

fabricaţie;

deosebească diferitele tipuri de modele utilizate în modelarea sistemelor

flexibile de fabricaţie;

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 3 ore.

10.3. Modelarea cu reţele PETRI a sistemelor flexibile de producţie

139

Una din cele mai importante metode de modelare a sistemelor flexibile de producţie,

în cadrul cărora se desfăşoară evenimente asincrone concurente, se bazează pe reţelele

PETRI.

Analiza unui model are ca obiective principale verificarea unor proprietăţi generale ale

modelelor din categoria respectivă de sisteme flexibile, precum şi verificarea unor proprietăţi

specifice modelului analizat. Confirmarea existenţei proprietăţilor atestă faptul că structura

modelului adoptat este corectă, iar infirmarea existenţei anumitor proprietăţi indică prezenţa

unor erori de modelare.

În cazul reţelelor PETRI, principalele proprietăţi verificate prin analiză sunt:

viabilitatea;

reiniţializarea;

limitarea.

Reţeaua este viabilă pentru un “marcaj iniţial” dacă pentru orice “marcaj” M

obţinut din cel iniţial şi pentru orice “tranziţie” t a reţelei există o “secvenţă” de tranziţii

“executabile” care include şi tranziţia t (o “tranziţie” modelează un eveniment din sistemul

flexibil). Prezenţa proprietăţii de viabilitate asigură faptul că în funcţionarea sistemului

flexibil nu vor apare blocaje care ar împiedica funcţionarea în continuare a sistemului flexibil.

Reţeaua este proprie sau reiniţializabilă dacă în orice marcaj M accesibil din cel

iniţial există o secvenţă de tranziţii care conduce din nou la marcajul iniţial. Această

proprietate asigură repetabilitatea unor succesiuni de comenzi emise de la un anumit nivel de

conducere din cadrul sistemului flexibil, repetabilitate care reprezintă o caracteristică a celor

mai multe sisteme de automatizare.

Reţeaua este limitată sau mărginită dacă numărul de simboluri de marcaj în orice

“poziţie” este limitat pentru oricare dintre variantele posibile de marcaje ( “poziţiile “

modelează condiţiile necesare pentru ca un eveniment să poată avea loc). Condiţia de limitare

constituie o garanţie a faptului că sistemul flexibil modelat este finit, respectiv că are un

număr finit de stări; absenţa acestei proprietăţi indică o eroare de modelare.

O reţea PETRI (RP) este un model grafic de tipul grafurilor orientate, cu două

categorii de noduri:

poziţii (care modelează condiţii);

tranziţii (care modelează evenimente).

Relaţiile dintre evenimentele care pot avea loc şi condiţiile necesare pentru ca anumite

evenimente să se producă efectiv sunt reprezentate prin arcele grafului, care stabilesc

legăturile orientate dintre poziţiile p şi tranziţiile t, precum şi dintre tranziţii şi poziţii, întrucât

prin producerea unui eveniment are loc modificarea atât a condiţiilor de apariţie a

evenimentului cât şi a celor care decurg din producerea evenimentului.

Poziţiile se reprezintă grafic prin cercuri, iar tranziţiile prin dreptunghiuri. Faptul că o

condiţie este îndeplinită se reprezintă grafic prin introducerea unui simbol în cercul poziţiei p

140

aferentă condiţiei respective; simbolul este un punct, prezenţa sau absenţa lui constituind

“marcajul “ poziţiei p, notat prin m(p). În transpunerea aspectului grafic al unei RP într-o

relaţie matematică, prezenţa punctului corespunde atribuirii valorii m(p) = 1, iar absenţa

punctului corespunde atribuirii valorii m(p) = 0 (figura 10.1).

Marcajele tuturor poziţiilor piP formează marcajul reţelei, transpus într-un vector a

cărui formă este prezentată în relaţia 10.1.

p1 p2

t1

p3 p 4

Figura 10.1

M

m pm p

m p

m p

i

n

( )( )...(...( )

)

12

(10.1)

în care: pi este mulţimea poziţiilor respective;

i =1, 2, ... , n

n este numărul elementelor mulţimii respective;

m(p i) 0,1 corespunde reţelelor binare.

În exemplul grafic din figura 10.1, întrucât punctele sunt reprezentate în p1, p2, rezultă

un “marcaj iniţial” M0 cu valorile: m(p1)=1, m(p2)=1, m(p3)=0, m(p4)=0, respectiv:

M0

1100

(10.2)

Producerea unui eveniment care poate avea loc este modelată prin “executarea”

tranziţiei corespunzătoare evenimentului, executare care implică schimbarea marcajelor

poziţiilor legate prin arce de tranziţia respectivă: toate poziţiile de la care sosesc arce nu vor

mai avea puncte (în RP binare), iar în toate poziţiile spre care pleacă arce vor fi introduse

141

puncte. De exemplu, prin executarea tranziţiei t1 din figura 10.1 se obţine marcajul din figura

10.2, cu vectorul M prezentat în relaţia 10.3.

Exemple

Exemplul corespunde unui centru de prelucrare CP dotat cu un robot R pentru

deservire. Dacă se consideră că:

p1 modelează condiţia aferentă informaţiei “CP este liber”;

p2 modelează condiţia aferentă informaţiei “robotul R a apucat piesa care

urmează să fie prelucrată”;

p3 modelează condiţia aferentă informaţiei “CP este încărcat”;

p4 modelează condiţia aferentă informaţiei “robotul R este liber”;

t1 modelează evenimentul aferent execuţiei comenzii de alimentare.

Figura 10.2

M1

0011

(10.3)

Alte exemple de structuri sunt prezentate în figurile 10.3 şi 10.4.

p1 p2 p3 p 1 p 2 p 3

t1 t1

p2

p1

p3

p4

t1

142

p4 p4

Figura 10.3

Reprezentările din figurile 10.1 10.4 corespund unor RP “neinterpretate”, în sensul

că reprezentarea este abstractă, fără nici o precizare a semnificaţiilor. În cazul RP

“interpretate” intervin etichete asociate poziţiilor şi tranziţiilor, explicând semnificaţia

acestora.

p 1 p 1

t1 t 1

p 2 p 3 p 2 p 3

Figura 10.4

Reluând schema din figura 10.1 şi semnificaţiile menţionate în aliniatul anterior, o

variantă interpretată a schemei este prezentată în figura 10.5.

CP liber p1 p 2 R cu piesa

t1 Execuţia comenzii de

alimentare a CP cu piesa

CP încărcat p 3 p 4 R liber

Figura 10.5

Relaţiile dintre condiţii şi evenimente, respectiv legăturile prin arce între poziţii şi

tranziţii pot fi transpuse matematic prin intermediul a două matrice de incidenţă “înainte”

143

(Pre) şi “înapoi” (Post). La aceste matrice liniile corespund poziţiilor, iar coloanele

tranziţiilor, pentru n poziţii şi m tranziţii dimensiunile matricelor Pre şi Post fiind n*m.

În cazul RP binare, elementele aij ale acestor matrice pot avea valorile 0 sau 1. Astfel,

în matricea Pre apare valoarea aij=1 dacă la tranziţia j soseşte un arc de la poziţia i şi apare

valoarea aij=0 în caz contrar. În matricea Post apare valoarea aij=1 dacă la poziţia i soseşte un

arc de la tranziţia j şi apare valoarea aij=0 în caz contrar.

Exemplu

Pentru RP binară ilustrată în figura 10.6, se pot scrie matricele prezentate în

tabelele 10.1 şi 10.2.

Tabelul 10.1 Tabelul 10.2

Pre t1 t2 t3 t4 Post t1 t2 t3 t4

p1 1 0 0 0 p1 0 0 1 0

p2 1 0 0 0 p2 0 0 0 1

p3 0 1 0 0 p3 1 0 0 0

p4 0 0 1 0 p4 1 0 0 0

p5 0 0 1 0 p5 0 1 0 0

p6 0 0 0 1 p6 0 0 1 0

Diferenţa dintre Post şi Pre reprezintă matricea de incidenţă C:

[C] = [Post] - [Pre] (10.4)

şi reflectă structura reţelei. Pentru RP binare, elementele gij ale acestei matrice

pot lua valorile -1,0 sau 1, deci gij-1, 0, 1. Pentru exemplul din figura 10.6,

matricea de incidenţă este prezentată în tabelul 10.3.

Tabelul 10.3

t1 t2 t3 t4

-1 0 1 0 p1

-1 0 0 1 p2

C = 1 -1 0 0 p3

1 0 -1 0 p4

0 1 -1 0 p5

0 0 1 -1 p6

144

Se constată că matricea Pre defineşte arcele de la poziţii la tranziţii, deci reflectă aplicaţia

P*T - 0, 1 - mulţimile P şi T fiind definite la început; matricea Post defineşte arcele de la

tranziţii la poziţii, reflectând aplicaţia T*P - 0, 1, iar matricea C defineşte toate arcele,

reflectând o relaţie F de dependenţă cauzală şi aplicaţia aferentă, respectiv:

F P T T P * * (10.5)

P T T P* * , , 1 0 1 (10.6)

Structura unei reţele Petri binară Rb poate fi definită prin cuadruplul:

R P,T,Pre,Postb (10.7)

iar a unei reţele Petri binară marcată Rbm , prin cuplul:

R R Mbm b , 0 (10.8)

M0 fiind marcajul original.

p1 p2

t1 t 4

p 3 p 4

t2

p 5 p 6

t3

Figura 10.6

145

1. Ce înţelegeţi prin „tranziţii”?

2. Ce înţelegeţi prin „poziţii”?

3. Care sunt deosebirile dintre matricea „Pre” şi matricea „Post”?

10.3.1 Modele cu reţele Petri de tip CE

Întrucât RP binare modelează evenimente dependente de condiţii care pot fi satisfăcute

sau nesatisfăcute, ele sunt denumite şi reţele Petri de tip CE (“condiţii - evenimente”). Există

mai multe variante de reţele Petri binare, unele dintre acestea fiind prezentate în continuare.

Astfel, dacă la o RP binară fiecare tranziţie este conectată la o singură poziţie de

intrare şi la o singură poziţie de ieşire, atunci RP reprezintă o “maşină de stare” (figura 10.7).

Dacă la o RP binară fiecare poziţie este conectată la o singură tranziţie de intrare şi la

o singură tranziţie de ieşire, atunci RP reprez intă un “graf de evenimente” (figura 10.8).

Dacă o RP binară este în acelaşi timp o “maşină de stare” şi un “graf de evenimente”,

atunci RP se reduce la un ansamblu de circuite disjuncte, de tipul celui prezentat în figura

10.9:

Se spune că o RP este pură dacă nu conţine “bucle elementare”, respectiv bucle

formate dintr-o poziţie p şi o tranziţie t, tranziţia având la intrare şi ieşire aceeaşi poziţie şi

reciproc, poziţia având la intrare şi ieşire aceeaşi tranziţie. Pentru ca asemenea situaţii să nu

aibă loc este necesar ca pentru toate elementele cu aceiaşi indici să existe relaţia 10.9.

p1 p 1

t1 t1

p2 p2

t2 t2

p3 p 3

t3 t4

t3

Figura 10.7 Figura 10.8

146

p 1

t 1

p 3 p2

t3 t 2

p 5 p 4

t 5 t 6

Figura 10.9

Pre(pi, tj) * Post(pi, tj) = 0 (10.9)

În cazul reţelelor pure, matricea C permite reconstituirea matricilor Pre şi Post, astfel

că relaţiile lui Rb şi Rbm de definiţie a unei RP binare pot fi înlocuite cu relaţiile:

Rb = (P, T, C) (10.10)

Rbm = (Rb, M0) (10.11)

10.3.2 Modele cu reţele Petri de tip PT

Reţelele de tip PT (poziţii-tranziţii) sunt de nivel superior celor de tip CE,

reprezentând o extensie a lor. În RP de tip PT nu mai intervine condiţia ca pentru posibilitatea

executării unei tranziţii să nu existe nici un punct în poziţiile de ieşire, această condiţie fiind

înlocuită prin cea de respectare a capacităţii maxime K(p) fixată pentru fiecare poziţie.

În cazul arcelor de capacitate 1 (cifră care în acest caz nu se notează pe schemă)

condiţia referitoare la poziţiile de intrare pentru ca o tranziţie t să fie executată este similară

cu cea din reţelele CE: în toate poziţiile de intrare în t să existe cel puţin un punct. Executarea

tranziţiei t are în reţelele PT acelaşi efect ca în reţelele CE, respectiv scăderea unui punct din

toate poziţiile de intrare şi adăugarea unui punct în toate poziţiile de ieşire. Un exemplu este

prezentat în figura 10.10:

147

p1 p2 p3 p 1 p 2 p3

t t

p 4 p 5 p 4 p 5

Figura 10.10

La reţelele de tip PT cu arc de capacitate n > 1 care soseşte la o tranziţie t de la o

poziţie p, pentru ca t să fie executabilă intervine condiţia ca p să conţină puncte n, întrucât un

arc de capacitate n echivalează cu n arce paralele între poziţiile p1, p2, ... , pn (cu câte un

singur punct) şi tranziţia t. Această condiţie poate fi considerată o “condiţie colaterală

implicită”.

Pe baza considerentelor expuse, structura unei reţele PT poate fi definită ca un

cvintuplu:

RPT = (P, T, F, K, L) (10.12)

iar o reţea PT marcată poate fi definită ca un sextuplu:

RPTm = (P, T, F, K, L, M 0) (10.13)

unde, în raport cu relaţiile anterioare:

F P T T P * * (10.14)

P T T P* * , , 1 0 1 (10.15)

în care: F = relaţia reflectată în elementele matricei [C]=[Post]-[Pre]

K = un vector ale cărui elemente definesc capacităţile de puncte ale tuturor

poziţiilor;

L = o aplicaţie F << N (N fiind mulţimea numerelor naturale) care defineşte

multiplicitatea fiecărui arc.

10.4. Simularea cu reţele PETRI a sistemelor flexibile de producţie

După modelarea unui subsistem dintr-un SFP prin intermediul unei RP urmează

efectuarea unor calcule care să permită analiza comportării modelului, deci punerea în

evidenţă a proprietăţilor sale.

Se consideră ca date iniţiale structura modelului - reflectată în matricele Pre, Post,

respectiv în matricea de incidenţă C - şi marcajul iniţial M0. Se determină apoi secvenţele

posibile de tranziţii şi evoluţia succesivă a marcajelor până la epuizarea tuturor stărilor

148

posibile ale reţelei, verificându-se dacă apar blocaje, dacă este obţinut din nou marcajul iniţial

după trecerea prin stările posibile sau dacă se ajunge într-o stare finală corespunzătoare

încheierii prevăzute a activităţilor stabilite pentru subsistemul modelat.

10.4.1 Simularea cu reţele Petri de tip PT fără arce multiple

În cadrul reţelelor de tip PT calculul unui nou marcaj M1 care rezultă din cel iniţial M0

prin executarea unei tranziţii tk executabile se efectuează cu relaţia:

M M col Post col e M col Ctk tk tk1 0 0 Pr (10.16)

unde coltk Post, coltk Pre, coltk C reprezintă coloana aferentă tranziţiei tk din matricile

Post, Pre respectiv C.

Pentru justificarea relaţiei (10.16) se consideră RP din figura (8.6) cu Pre, Post, C din

paragraful respectiv, marcajul reprezentat constituind marcajul corespunzător vectorului:

M0 = [1 1 0 0 0 0 ]t (10.17)

Conform celor prezentate anterior şi ilustrate în figurile 10.1 10.4 singura tranziţie

executabilă în reţeaua din figura 10.6 (pentru marcajul M0) este t1, iar executarea acestei

tranziţii conduce la scăderea unui punct din marcajul poziţiilor de intrare p1, p2 şi la adăugarea

unui punct la marcajul tranziţiilor p3, p4, pentru aceste patru poziţii rezultând marcajul din

figura 10.2. Ca urmare, rezultă marcajul:

M1 = [ 0 0 1 1 0 0 ]t (10.18)

Din relaţiile lui Pre şi Post din tabelele 10.1 şi 10.2 se constată că adăugarea unui

punct în p3 şi p4 corespunde sumei:

M0 + coltk Post (10.19)

iar scăderea unui punct din p1 şi p2 corespunde diferenţei:

M0 - coltk Pre (10.20)

Combinarea scăderii punctului din p1 şi p2 cu adăugarea unui punct în p3 şi p4 se

transpune în combinarea sumării şi scăderii din M0 a vectorilor colt1 Post şi colt1 Pre,

rezultând:

M1=M0+colt1 Post-colt1 Pre=[1 1 0 0 0 0 ]t + [0 0 1 1 0 0]

t

'-[1 1 0 0 0 0 ]t = [0 0 1 1 0 0]

t (10.21)

deci obţinându-se expresia (10.18).

Având în vedere că:

[C] = [Post] - [Pre] (10.22)

în locul relaţiei (10.21) poate fi folosită relaţia:

M1 = M0 + colt1 C= [1 1 0 0 0 0]t + [-1 -1 1 1 0 0]

t = [0 0 1 1 0 0]

t (10.23)

Cu marcajul M1 se constată din figura 10.6 că numai t2 poate fi executată şi rezultă

noul marcaj M2 prin relaţia:

M2 = M1 + colt2 C = [0 0 1 1 0 0]t + [0 0 -1 0 1 0]

t = [0 0 0 1 1 0]

t (10.24)

cu puncte în p4, p5. În această stare a reţelei poate fi executată tranziţia t3 şi se obţine:

149

M3 = M2 + colt3 C = [0 0 0 1 1 0]t +[1 0 0 -1 -1 1]

t = [1 0 0 0 0 1]

t (10.25)

cu puncte în p1, p6. Marcajul M2 permite executarea tranziţiei t4, care conduce la

marcajul:

M4 = M3 + colt4 C = [1 0 0 0 0 1]t + [0 1 0 0 0 -1]

t = [1 1 0 0 0 0]

t = M0 (10.26)

deci se regăseşte marcajul iniţial din (10.18).

În cazul reţelei elementar de simple din figura 10.6 rezultă “secvenţa posibilă de

tranziţii executabile” s:

s = t1* t2* t3* t4 (10.27)

prin intermediul tranziţiilor din această secvenţă fiind accesibile marcajele M1, M2, M3,

M4 = 0, secvenţa posibilă şi marcajele accesibile fiind determinate succesiv prin intermediul

relaţiei:

M’ = M + coltk C (10.28)

unde M’ este marcajul obţinut din M prin executarea tranziţiei tk. În formă condensată,

succesiunea tranziţiilor şi marcajelor poate fi exprimată prin relaţia:

M0t1M1t2M2t3M3t4M4 (10.29)

În toate marcajele M0 M4 intervin două puncte, deci reţeaua este “conservativă”, în

toate stările posibile suma punctelor fiind constantă. Reţeaua este de asemenea

“reiniţializabilă”, întrucât M4=M0 şi este “viabilă”, deoarece nu apar blocaje.

10.4.2 Simularea cu reţele Petri de tip PT cu arce multiple

Pentru analiza secvenţei de tranziţii posibile şi a marcajelor accesibile este considerată

reţeaua din figura 10.11, cu două poziţii şi cu capacităţile arcelor notate pe desen, intervenind

condiţia ca o tranziţie să fie executabilă numai dacă numărul de puncte din poziţiile de intrare

este cel puţin egal cu capacitatea arcelor care pleacă spre tranziţia respectivă.

p1

5 5

2 2

t1 t2 t3

3 1

3 5

p2

150

Figura 10.11

Folosind metodologia expusă, se obţin matricele:

Pre

5 2 00 1 5

12

pp (10.30)

Postpp

2 0 53 3 0

12

(10.31)

din ele rezultând:

Cpp

3 2 53 2 5

12

(10.32)

Din marcajul iniţial:

M051

(10.33)

există, printre altele, posibilitatea executării secvenţei de tranziţii:

S = t2*t2*t3*t1 (10.34)

Astfel, din M0 este executabilă tranziţia t2, rezultând marcajul:

M133

(10.35)

care se obţine prin relaţia:

M M col Ct1 0 251

22

33

(10.36)

Din M1, tranziţia t2 este din nou executabilă, rezultând marcajul:

M215

(10.37)

care se obţine prin relaţia:

M M col Ct2 1 233

22

15

(10.38)

Relaţia (10.38) atestă faptul că din M2 tranziţia t3 este executabilă, deoarece în p2

există un număr de puncte (5 puncte) egal cu capacitatea arcului dintre p2 şi t3 (egală cu 5

puncte), rezultând marcajul:

151

M360

(10.39)

care se obţine prin relaţia:

M M col Ct3 2 315

55

60

(10.40)

Din figura 10.11 se constată că pentru marcajul M3 singura tranziţie executabilă este

t1, prevăzută dealtfel în secvenţa (10.34), rezultând marcajul:

M433

(10.41)

care se obţine prin relaţia:

M M col C Mt4 3 1 160

33

33

(10.42)

Care sunt diferenţele dintre simularea cu RP fără arce multiple şi simularea cu RP cu

arce multiple?

10.6. Rezumat

Una din cele mai importante metode de modelare a sistemelor flexibile de

producţie, în cadrul cărora se desfăşoară evenimente asincrone concurente, se

bazează pe reţelele PETRI;

reţea PETRI (RP) este un model grafic de tipul grafurilor orientate, cu două

categorii de noduri:

poziţii (care modelează condiţii);

tranziţii (care modelează evenimente).

Relaţiile dintre evenimentele care pot avea loc şi condiţiile necesare pentru ca

anumite evenimente să se producă efectiv sunt reprezentate prin arcele grafului;

Relaţiile dintre condiţii şi evenimente, respectiv legăturile prin arce între poziţii şi

tranziţii pot fi transpuse matematic prin intermediul a două matrice de incidenţă

“înainte” (Pre) şi “înapoi” (Post). La aceste matrice liniile corespund poziţiilor, iar

coloanele tranziţiilor.

152

10.7. Test de evaluare a cunoştinţelor

1 Cu ajutorul reţelelor Petri se pot modela:

a) sisteme flexibile de producţie;

b) sisteme de stocare;

c) sisteme de ecuaţii liniare.

2 Evenimentele din cadrul unui sistem de producţie sunt reprezentate într-o reţea

Petri prin:

a) poziţii;

b) tranziţii;

c) puncte.

3 Matricea de incidenţă reprezintă:

a) suma dintre matricea Post şi matricea Pre;

b) diferenţa dintre matricea Post şi matricea Pre;

c) diferenţa dintre matricea Pre şi matricea Post.

4 O reţea Petri binară este caracterizată prin:

a) fiecare poziţie este conectată la o singură tranziţie;

b) fiecare poziţie este conectată la mai multe tranziţii;

c) fiecare tranziţie este conectată la mai multe poziţii.

5 La modelarea unui sistem cu reţele Petri:

a) trebuie să apară blocaje;

b) nu trebuie să apară blocaje;

c) apare blocaj numai la ultima tranziţie.

153

BIBLIOGRAFIE

1. BALTAC, V. Informatica programării producţiei întreprinderilor industriale, Editura

Academiei, Bucureşti, 1989.

2. DODESCU, GH., ODĂGESCU, I.ş.a. Simularea sistemelor, Editura Militară, Bucureşti,

1986.

3. DUGULEANĂ, L., Statistică, Editura Infomarket, Braşov, 2002.

4. ENCIU, G. Sisteme flexibile de producţie, Universitatea “Politehnica”, Bucureşti, 1994.

5. FORRESTER, J.W. Principiile sistemelor. Teorie şi autoinstruire programată, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1979.

6. IONESCU, GH., CAZAN, E., NEGRUŢĂ, A., Modelarea şi optimizarea deciziilor

manageriale, Editura Dacia, ClujNapoca, 1999

7. MĂRĂSCU – KLEIN, V., Modelarea şi simularea sistemelor de producţie, Editura

LUXLIBRIS, Braşov, 1997.

8. MIHOC, GH. ş.a. Modele matematice ale aşteptării, Editura Academiei, Bucureşti, 1976.

9. MOHORA, C. ş.a. Simularea sistemelor de producţie. Editura Academiei Române,

Bucureşti, 2001.

10. POPESCU, I., RĂDULESCU, D. Modelarea sistemelor de producţie, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1986.

11. RAŢIU-SUCIU, C. Modelarea şi simularea proceselor economice, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti,1995.

12. RĂDĂCEANU, E. Limbaje de simulare, Editura Militară, Bucureşti, 1981.

13. RUSU, C., BRUDARU, O. Proiectarea liniilor de fabricaţie flexibile, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1990.

14. STOICA, M. ş.a. Modelarea microeconomică, Editura Omegapres, Bucureşti, 1994.

15. STOICA, M. ş.a. Introducere în modelarea procedurală, Editura “Scrisul românesc”,

Craiova, 1989.

16. VĂDUVA, I. Simularea proceselor economice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1983.

17. VIŞINOIU, N., Statistică. Metode utilizate în economie, Editura LuminaLex, Bucureşti,

2001.