MATEMATICĂ GIMNAZIUGREŞELI TIPICE LA REZOLVAREA PROBLEMELOR

AUTOR: PETRU GABRIEL SĂLĂGEANU. 101 PAGINI

PROBLEME CU MULŢIMI

Relaţiile principale din teoria mulţimilor sunt:

(A) Între două elemente: =; < ; > ; ; (B) Între două mulţimi: = ; ; (relaţie de incluziune nestrictă, respectiv

strictă). Se mai folosesc: , .

(C) Între un element şi o mulţime: (relaţie de apartenenţă)

Pentru a nu comite greşeli, trebuie să verificăm dacă

ceea ce se află la stânga semnului care indică relaţia, şi

ceea ce se află la dreapta semnului, corespunde cu regulile de mai

sus.

GREŞEALA

(1) 2 = { 2 }

REGULA ÎNCĂLCATĂ

Singura relaţie permisă între un element şi o mulţime este relaţia de

apartenenţă (nu de egalitate).

A fost încălcată regula C.

REZOLVARE CORECTĂ

2 { 2 } sau 2 = 2 sau { 2 } = { 2 } sau { 2 } { 2 }

GREŞEALA

(2) 0 0

Relaţia de apartenenţă nu poate fi scrisă decât între un element şi o

mulţime (nu între două elemente).

GREŞEALA

(3) 2 { 2 }

Relaţia de incluziune nu poate exista decât între mulţimi (nu între un element şi o

mulţime).

GREŞEALA

(4) { 2 } { 2 }

Relaţia de apartenenţă nu poate fi scrisă decât între un element şi o mulţime (nu

între două mulţimi).

GREŞEALA

(5) Ø Ø Mulţimea vidă (ne referim la cea din dreapta) nu are nici un element

(ca orice mulţime vidă...). Deci nici un element nu îi aparţine.

Mulţimea vidă este inclusă în orice mulţime, deci şi într-o mulţime vidă: Ø Ø.

Corect:

Ø = Ø sau

Ø Ø sau

Ø { Ø }

GREŞEALA

(6) A U B = A B = Ø

Greşeală evidentă, deoarece B nu trebuie să fie neapărat mulţimea vidă. Ea

poate fi nevidă şi inclusă în A, şi verifică relaţia de mai sus.

GREŞEALA

x2 – 5 = 0 x =

REGULA ÎNCĂLCATĂ

Forma incompletă a ecuaţiei de gradul II, din care lipseşte termenul în x,

de forma x2 = 7 se rezolvă direct: S = { – , }.

REZOLVARE CORECTĂx2 – 5 = 0 x2 = 5 x { – , }

La acest rezultat se poate ajunge:

Inuitiv : şi – ridicat la pătrat ne dă 5, deci şi x = – este soluţie.

Prin descompunere în factori: x2 – 5 = x2 – ( )2 =

= (x – )(x + ) = 0 x – = 0 sau x + = 0

x = sau x = – S = { – , }

Calculând soluţiile cu formula pentru ecuaţia de gradul II (în cazul formelor

incomplete, nu are rost să aplicăm această metodă, deoarece putem scrie

soluţiile direct).

Aplicând regula de mai sus.

Alt exemplu de rezolvare corectă: x2 = 4 x = 2 S = – 2, 2