39

Fundaţii continue de beton armat sub stâlpi Domenii de utilizare

a) fundaţiile izolate care nu pot fi extinse suficient în plan sau nu pot fi centrate sub stâlpi

b) conditiile de verificare a terenului de fundare la stari limita pentru fundatii izolate sub stalpi nu sunt indeplinite

40

Alcătuirea fundaţiilor

41

Armarea fundaţiilor Armătura de rezistenţă longitudinala rezultă din verificarea secţiunilor caracteristice la moment încovoietor şi forţă tăietoare. In cazul retelei de fundatii dispuse pe doua directii se face verificarea si la moment de torsiune. Armătura de rezistenţă transversala rezultă din verificarea la moment încovoietor şi forţă tăietoare a talpii fundatiei in secţiunea de incastrare in elevatie.

42

Calculul cu metode simplificate (predimensionare)

Se admite ipoteza distributiei liniare a presiunilor reactive(de contact)

1. Metoda grinzii static nedeterminata cu reazeme fixe

sau

a) ⇔ b)

43

2. Metoda grinzii static determinata

Se admite ipoteza: Ri = Ni

sau

44

Calculul cu metode exacte, cu luarea în considerare a interactiunii fundaţie - teren

I.Metode bazate pe modelul Winkler I.1 Metoda analitica

Grinda (fundatie) continuă pe o singură direcţie

Pentru calculul momentelor, forţelor tăietoare şi săgeţilor grinzii se porneşte de la ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate a unei grinzi care lucrează la încovoiere:

pdx

zdEI

4

4

=

unde: p = încărcarea pe unitatea de lungime (F/L) EI = rigiditatea grinzii.

pBp = unde: p = ks z B = lăţimea grinzii

0zBkdx

zdEI s4

4

=+ ⇒ 0zEI

Bk

dx

zd s4

4

=+

45

0zEI4

Bk4

dx

zd s4

4

=+

Se noteaza:

4 s

EI4

Bk=λ

⇒ 0z4dx

zd 44

4

=λ+

⇓

( ) ( )xsinCxcosCexsinCxcosCez 43

x21

x λ+λ+λ+λ= λ−λ

Constantele de integrare Ci, i=1÷4, se determină din condiţiile de margine. Grinda de lungime infinită încărcată cu o forţă concentrată

46

±∞=x M=0, T=0 ⇒ C1=C2=0

0=dy

dx ⇒ C3=C4

0=x

2P

=T ⇒ Bk2

P

EI4

BkEI8

P

EI8

P

EI8

PCC

ss4343

λ=λ=λλ=

λ==

⇓

)sin(cos2

- xxeBk

Pz x

s

λλλ λ +=

z - tasare )(2 1 xf

Bk

Pz

s

λλ= ( ) )xsinx(cosexf x-1 λ+λ=λ λ

θ - rotire θ = dz/dx

)(- 2

2

xfBk

P

s

λλθ = xsine)x(f x-2 λ=λ λ

M - moment -M/EI = d2z/dx2 ( )xfPlM e λ34

1= ; λ

1=le ( ) )xsin-x(cosexf x-

3 λλ=λ λ

T – forta taietoare -T/EI = d3z/dx3

( )xPfT λ421−= xλcose=)xλ(f xλ-

4

47

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 1 2 3 4 5

λx (-)

f(lx

) (-

)

f1f2f3f4

π

4

π

2π3π

4

48

λ4

π3

λ

π

λ4

π

λ2

π

49

Grinda de lungime infinită incărcată de mai multe forţe concentrate

( )∑ λλ=n

1i1i

s

xfPBk2

z ∑n

1ii3ie )x(fPl

4

1M

=

λ=

∑1

2

2

)(n

iii

s

xfPBk =

−= λλθ ∑1

4 )(2

1 n

iii xfPT

=

−= λ

50

Grinda de lungime infinită acţionată de un moment încovoietor

z - tasare z = M0 λ2 f2(λx) / ksB xsine)x(f x-2 λ=λ λ

θ - rotire θ = M0 λ3 f3(λx) / ksB ( ) )xsin-x(cosexf x-3 λλ=λ λ

M - moment M = M0 f4(λx) / 2 xλcose=)xλ(f xλ-4

T – forta taietoare T = - M0 λ f1(λx) / 2 ( ) )xsinx(cosexf x-1 λ+λ=λ λ

51

Grind ă de lungime finită Pentru folosirea funcţiilor determinate în cazul grinzii de lungime infinită, grinda de lungime finită se calculează prin metoda forţelor fictive.

Asupra grinzii de fundare considerată ca grindă infinită acţionează sistemul de încărcări Pi, i=1÷n, împreună cu forţele fictive Vi, i=1÷4 amplasate de o parte şi de cealaltă a grinzii cu valori astfel determinate încât starea de eforturi şi deformaţii în grinda de lungime finită să nu se modifice. Pentru determinarea forţelor fictive se impun condiţiile pentru capetele libere ale grinzii şi anume: MA=0; TA=0; MB=0; TB=0. Utilizând funcţiile ( )

i3 xλf şi ( )i4 xλf şi impunând condiţiile pentru capetele libere ale grinzii se obţin

patru ecuaţii liniare pentru determinarea valorilor forţelor fictive. Forţele Vi, i=1÷4 astfel obţinute se introduc în schema de încărcare a grinzii finite iar calculul deformaţiilor şi al eforturilor secţionale se poate face utilizând tabelele şi diagramele pentru grinda infinită.

52

Grinzi (fundatii) continue pe două direcţii

Ipoteza nodurilor articulate

Se repartizeaza pe cele două direcţii doar forţa concentrată Vi ce acţionează în nodul i. M ix şi M iy se transmit integral grinzilor pe care acţionează.

Condiţia de echilibru iyixi VVV +=

Condiţia de continuitate iyix zz = sk

pz = iyix pp =

Pentru i=1÷n: ⇒ 2n ecuaţii cu 2n necunoscute

53

Ipoteza nodurilor încastrate

Se repartizeaza pe cele două direcţii atât forţa concentrată Vi cât şi momentele Mix şi M iy.

Condiţiile de echilibru

+=+=

+=

ix_toriy_inciy

iy_torix_incix

iyixi

MMM

MMM

VVV

Condiţiile de continuitate

iyix zz = θix_inc = θiy_tor θix_tor = θiy_inc

Pentru i=1÷n: ⇒ 6n ecuaţii cu 6n necunoscute

54

I.2 Metode numerice Metoda diferenţelor finite

)z,x,B,k(fR isi ∆=

55

∆−=

∆∆

⇒

+

x

zz

x

z

dx

dz ii 1

211

2

2

112

2

2

2

2

1

x

zzz

xd

zd

x

zz

x

zz

xx

z

xx

z

dx

dzd

xd

zd

iii

iiii

∆+−=

∆−−

∆−⋅

∆=

∆∆=

∆

∆∆∆

=

=

−+

−+

⇒ Mi

32112

3

3

)(222

x

zzzz

dx

zd iiii

∆−+−= −−++

⇒ Ti

Eforturile secţionale în grinda de fundare pot fi calculate utilizând metoda diferenţelor finite. Metoda se poate aplica la grinzi continue pentru orice număr de stâlpi care aduc la fundaţie forţe axiale şi momente încovoietoare concentrate. Panta fibrei medii deformate a grinzii de fundare în secţiunea i se poate exprima în diferenţe finite cu relaţia:

∆−=

∆∆

⇒

+

x

zz

x

z

dx

dz ii 1

56

Pentru aceeaşi secţiune i expresiile derivatei de ordinul II şi respectiv de ordinul III se scriu sub forma:

211

2

2

112

2

2

2

2

1

x

zzz

xd

zd

x

zz

x

zz

xx

z

xx

z

dx

dzd

xd

zd

iii

iiii

∆+−=

∆−−

∆−⋅

∆=

∆∆=

∆

∆∆∆

=

=

−+

−+

32112

3

3

)(222

x

zzzz

dx

zd iiii

∆−+−= −−++

Determinarea valorilor eforturilor secţionale:

( )( )

( )( ) n2n1n1n2n3

n1nn1n2

Tzz2z2zx

EI

Mzz2zx

EI

=−+−∆

=+−∆

−−++

−+

Pentru o grinda de inaltime constanta, EI = R, i=1÷n Pentru inaltime variabila in lungul grinzii, (EI)i = Ri

57

Pentru rezolvare este recomandat ca numărul de intervale ∆x sa fie limitat la 10 (un număr de intervale mai mic decât 10 conduce la rezultate greşite iar unul mai mare decât 10 va mări volumul de calcul dar nu şi precizia soluţiei rezultate). Din considerente legate de rezolvarea numerică se recomandă ca ∆x să fie constant. Metoda diferenţelor finite aplicată la grinzi continue de fundare, rezemate pe un mediu elastic tip Winkler, necesită scrierea relaţiilor care exprimă momentul încovoietor în fiecare secţiune i, moment încovoietor egal cu zero la capetele grinzii şi, respectiv, a relaţiei care exprimă egalitatea între forţele ce acţionează pe direcţie verticală.

58

Metoda elementelor finite

LFF 21 +

LFF 21 +

313 eKF ⋅=

444 eKF ⋅=

59

iii FAP ⋅= Pi = forte/momente in nodul i Fi = forte/momente pe elementul asociat nodului i Ai = constanta a sistemului in nodul i

FAP ⋅= Conditia de echilibru global in forma matriceala, i = 1÷n

XBe ⋅= Conditia de compatibilitate a deplasarilor/deformatiilor in forma matriceala, i = 1÷n e / X = rotaţii (radiani) / translaţii B = matricea A transpusă, AT

XAe T ⋅=

eSF ⋅= S = matricea de rigidate globala a sistemului

( ) PASAX1T −=

TASA = matricea globală a sistemului

60

II. Metode bazate pe modelul Boussinesq

E,

i

Modelul Boussinesq este un semispaţiu ideal elastic, continuu, omogen si izotrop caracterizat prin: - modulul de (elasticitate) deformaţie liniară Es - coeficientul de contractie transversala (Poisson) νs.

61

Determinarea caracteristicilor Es şi ννννs Solicitări statice Teren omogen Modulul de deformaţie liniară Es - încercarea cu placa; - încercarea de penetrare statică cu con; - încercarea de penetrare dinamică standard; - în funcţie de modulul edometric M. Coeficientul de contractie transversala (Poisson) ννννs

Valori orientative Tipul de pământ νs Bolovănişuri şi pietrişuri 0.27 Nisipuri, nisipuri argiloase, nisipuri prăfoase 0.30 Prafuri, prafuri argiloase, argile nisipoase, argile prăfoase 0.35 Argile, argile grase 0.42

62

Teren stratificat

( )2_

01_ 1 medsnetmeds s

KKBpmE ν−⋅−⋅⋅⋅=

unde: m- coeficient de corecţie functie de z0; pnet- presiunea netă pe talpa fundaţiei; B- lăţimea tălpii fundaţiei; K1, K0- coeficienţi adimensionali functie de z0/B; s- tasarea absolută probabilă a fundaţiei, în metri.

∑∑ ⋅ν

=νi

isimed_s h

h

63

Solicitări dinamice

( )( )*

**2*

1

211

s

ssps vE

νννρ

−−+=

sau 2*ps vE ρ=

unde: - ρ - densitatea pământului; - vp - vitezele de propagare ale undelor primare; - vs - vitezele de propagare ale undelor secundare.

2v

v2

2v

v

2

s

p

2

s

p

*s

−

−

=ν

64

Metoda analitica „Jemocikin”

lBRi

⋅

p = presiunea de contact fundaţie-teren cu o distribuţie continuă; BL = n x (1 x B)

65

Sistemul real fundaţie - teren se substituie prin sistemul echivalent al unei grinzi flexibile rezemată pe un mediu deformabil prin intermediul unor bare rigide verticale articulate la capete si dispuse în centrul de greutate al fiecarei suprafeţe dreptunghiulare de dimensiuni în plan B x 1.

Ri = pi x B x 1 Ri – reactiunea in bara rigida i pi – presiunea constanta pe elementul de arie 1 x B

66

Determinarea forţelor Ri, i=1÷n, se face considerând separat deplasarile verticale ale capetelor superioare ale barelor, zi_fundatie şi deplasarile verticale ale capetelor inferioare ale barelor, zi_teren. Condiţia de continuitate: zi_fundatie = zi_teren

Deplasările zi_fundatie

ai

0

z0 z

0+a

itg

0

Necunoscute: Ri z0 şi θ0 din conditia impusa de incastrare la capat

67

∑∑

∑∑

=

=

=+−−+++++

=+−−+++++

=+−−+++++

=+−−+++++

m

jj

n

ii

m

j

n

i

npnnpnnnnnn

ppnn

ppnn

ppnn

aPaR

PR

tgazRRRR

tgazRRRR

tgazRRRR

tgazRRRR

11

11

00332211

303033333322311

202022233222211

101011133122111

0...

.....................................................................................................

0...

0...

0...

δθδδδδδ

δθδδδδδδθδδδδδ

δθδδδδδ

fundatie_ikteren_ikik zz +=δ δik = deplasarea în secţiunea i sub acţiunea unei sarcini unitare aplicate în secţiunea k.

2n ecuatii cu 2n necunoscute Ri , z0 şi θ0

68

Deplasarea grinzii, zik_fundaţie, produsă de reacţiunea Rk=1:

ak

ai

k i

zik_fundatie

ai/3

ai

ak

ak-a

i/3

zm

M

m

EI

zAriaMdx

EI

Mm m×=∫

AriaM =suprafaţa diagramei de momente M pentru grinda încastrată din sistemul de bază solicitată în punctul k de o forţă concentrată egală cu unitatea; zm = ordonata diagramei de moment m, rezultată din aplicarea unei forţe fictive egală cu unitatea în direcţia deplasării zik_fundatie, în punctul i, măsurată în dreptul centrului de greutate al diagramei M

−=⋅− 321

2

_2i

ki

fundatieik

aa

az

EI

ν ⇒

−

−=c

a

c

a

c

a

EI

cz iki

fundatieik

31

6

223

_

ν

unde: n

xc = cu n multiplu întreg de 0.5

69

Deplasarile zik_teren

( )rE

1Pz

s

2s

teren_ik ⋅⋅πν−

=

lB

1p

⋅=

⋅⋅ν−

π=

l

B,

l

xF

BE

11z

s

2s

teren_ik

l

B,

l

xF = valori date in tabele

70

Radiere generale de beton armat Fundaţiile tip radier se utilizează, de regulă, în următoarele situaţii: - terenuri cu rezistenţă scăzută care impun suprafeţe mari ale tălpii fundaţiilor; - terenuri dificile sau neomogene, cu risc de tasări diferenţiale; - prezenţa apei subterane impune realizarea unei cuve etanşe; - elementele verticale (stâlpi, pereţi) sunt dispuse la distanţe mici care fac dificilă realizarea (execuţia) fundaţiilor izolate sau continue; - radierul împreună cu elementele verticale structurale ale substructurii trebuie să realizeze o cutie rigidă şi rezistentă; - construcţii cu înălţime mare care transmit încărcări importante la teren. Soluţii constructive: a) radier general tip dală groasă, în care elementele verticale (stâlpi sau pereţi structurali) sunt rezemate direct pe acesta: • radier cu grosime constantă; hr ≥ 1/8 lmax • radier cu grosime variabilă; soluţia poate fi adoptată în cazul unei construcţii cu pereţi structurali din beton armat care transferă eforturi secţionale importante într-o anumita zonă a radierului.

71

1

Radier tip dală groasă

1-1

hr

h r1

Perete structural

h r2

72

b) radier general tip planşeu ciupercă

Perete perimetral

Capitel 1 1

stâlp

45o

Capitel cu o pantă a

1-1

stâlp

Capitel cu două pante

b 1-1

h r

h r

h r

73

c) radier tip placă şi grinzi hg/lmax=1/3÷1/6; hr/lmax=(1/15÷1/20)

74

d) radier tip placă cu vute

75

e) radier casetat

76

Principii generale de proiectare Proiectarea radierelor trebuie să ţină seama de compatibilitatea deformaţiilor terenului cu cele ale elementelor structurale. Calculul eforturilor secţionale (M, Q) în secţiunile caracteristice ale radierului se obţin de regulă cu programe de calcul care permit modelarea fenomenului de interacţiune fundaţie-teren.

În calculul radierelor trebuie luaţi în considerare numeroşi factori între care cei mai importanţi sunt: - rigiditatea şi geometria radierului, - mărimea şi distribuţia încărcărilor, - caracteristicile de deformabilitate şi de rezistenţă ale terenului, - etapele de execuţie.

În calcule, radierul poate fi considerat ca rigid sau flexibil. • Pentru radierele generale având forma dreptunghiulară în plan (LxB) şi grosimea uniformă (h) se defineste indicele de rigiditate, KG:

h2

B

h2

L

E

E

1

)1(12K

2

s2s

2

G ⋅

⋅⋅ν−

ν−π⋅=

Radierul poate fi considerat rigid dacă:

B

L

8K G ≤

77

• Pentru radiere încărcate de forţe concentrate care nu diferă cu mai mult de 20% între ele si stâlpii sunt dispuşi echidistant pe ambele direcţii, se defineşte coeficientul de flexibilitate, λ:

4

f

fs

EI4

bk=λ

Dacă bf este mai mare decât 1.75/λλλλ, atunci radierul poate fi considerat flexibil.

78

• Pentru structuri realizate din cadre şi pereţi portanţi se defineşte rigiditatea relativă, KR:

3s

CR BE

I'EK =

CI'E -rigiditatea construcţiei şi a radierului

12

ht'EI'EI'EI'E

3dd

caFC ++= ∑

FI'E - rigiditatea radierului

∑ caI'E - rigiditatea cadrelor td - grosimea diafragmelor hd - înălţimea diafragmelor

Dacă valoarea KR este mai mare de 0.5 atunci radierul poate fi considerat rigid.

79

Calculul cu metode simplificate pentru radiere rigide 1.Metoda reducerii încărcărilor în centrul de greutate al radierului

x

ey

N

z

p2

p3

p1

p4

1 2

34e

x

y

xI

eNy

I

eN

A

Np

y

x

x

y)41( ∑∑∑ ±±=÷

Se examinează radierul ca un întreg pe fiecare dintre cele două direcţii paralele cu axele x şi y. Metoda nu permite determinarea distribuţiei forţei tăietoare totale şi momentului încovoietor total în lungul secţiunii.

80

2. Metoda împărţirii radierului în fâşii de calcul

Fiecare fâşie de calcul este încărcată de forţele corespunzătoare stâlpilor ce reazemă pe fâşia respectivă. Se determină diagrama presiunilor de contact, admiţându-se o lege de variaţie liniară de tip Navier. Deşi poziţia rezultantei încărcărilor din stâlpi nu coincide cu poziţia centrului de greutate al rezultantei presiunilor de contact, valorile obţinute ale momentelor încovoietoare şi forţelor tăietoare în secţiunile semnificative pot fi folosite pentru armarea radierului.

81

Calculul cu metode exacte, cu luarea în considerare a interactiunii fundaţie - teren I.Metode bazate pe modelul Winkler I.1 Metoda analitica „Hetenyi” Ipoteza: Efectul unei forţe concentrate pe un radier flexibil se transmite radial prin radier si se amortizează relativ rapid, resimţindu-se asupra unei arii reduse din jurul ei.se admite suprapunerea liniara de efecte. Etapele calculului: • rigiditatea cilindrică D

)1(12

hED

2

3

ν−⋅⋅=

• raza de rigiditate

4

sk

DL =

• momentul pe direcţie radială Mr

µ−−

−=

L

rL

r'Z

)1(L

rZ

4

NM

3

4r

• momentul pe direcţie tangenţială Mt

µ−+

µ−=

L

rL

r'Z

)1(L

rZ

4

NM

3

4t

• săgeata z

=L

rZ

D4

NLz 3

2

unde: r = distanţa de la punctul considerat la încărcare Z3, Z’3, Z4 şi Z’4 = f(r/L)

•se trec momentele din coordonate polare în coordonate carteziene

θ+θ= 2t

2rx sinMcosMM

θ+θ= 2t

2ry cosMsinMM

•forţa tăietoare pe unitatea de lăţime de radier

−=L

r'Z

L4

NQ 4

82

83

1.2 Metode numerice Metoda diferenţelor finite pentru radiere flexibile Ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate se exprima prin diferenta finite

D

zkq

y

z

yx

z2

x

z s4

4

22

4

4

4 −=

∂∂+

∂⋅∂∂⋅+

∂∂

Pentru rezolvare se consideră puncte dispuse în nodurile unei reţele pătratice, la interdistanţe d, pe planul median al plăcii radier. Ecuaţiile in diferenţe finite depind de poziţia nodului de calcul în reţeaua de discretizare. Exprimându-se ecuaţiile diferenţiale pentru toate nodurile reţelei se obţine un sistem de ecuaţii care, prin rezolvare, conduce la obţinerea tasărilor în fiecare nod. Coeficienţii deplasărilor fiecărui nod în funcţie de poziţia faţă de nodul de calcul se noteaza cu indici după punctele cardinale. După ce se află tasările se poate calcula momentul încovoietor pe fiecare direcţie.

)]z2zz()z2zz[(d

DM asnave2ve −+ν+−+−=−

84

ea

n

v

s

nv ne

sesv

vv

nn

ee

ss

-8+20

-8

-8

-8

+2 +2

+2+2

+1

+1

+1

+1

a. b.

-8+19-8

-8 +2+2

+1 +1

+1

+1

c.

d.

-6+2 2-2-

+18-8

-8+2

+1

+1

+1

e.

f.

-3+2 + 2

-6+22-

2(1- )

-6+2

2-

2-

g.

-3+2 + 2

0.5(1- 2)

2(1- 2)

3-2 2

a

a

a

a

a

aa

85

D

Qdqd

zzzz)zzzz(2)zzzz(8z20

24vvsseennnvsvsenevsena

+=

=+++++++++++−

b

D

Qdqdzzz

)zz)(2()zz(2z)26()zzz(8z19

24

vvssee

nenvsvsenvsea

+=+++

++ν−+++ν+−+++−

c

D

Qdqdz

)zz)(2(z)26()zz)(224(z)348(

24

ss

svsesve2

a2

+=+

++ν−+ν+−++ν+ν+−+ν−ν−

d

D

Qdqdzz

z2)zz)(2(z)1(2)zz(8)zz)(26(z18

24

vvss

svnvsenevsena

+=++

+++ν−+ν−++−+ν+−+

e

D

Qdqdz)1(5.0z)zz)(2(

z)224(z)26(z)23(z)5.245.7(

24

vv2

sssvse

e2

sv2

a2

+=ν−+++ν−+

+ν+ν+−+ν+−+ν+ν+−+ν−ν−

f

D

Qdqd)zz)(1(5.0z)1(2)zzz)(23(

24

vvss2

sv2

vsa2 +=+ν−+ν−+++−ν−ν−

g

86

Metoda reţelei finite Radierul este discretizat într-un număr de grinzi cu rezistenţă la încovoiere şi torsiune. Rezistenţa la torsiune, caracterizată de modulul de forfecare G, este folosită pentru a lua în considerare voalarea plăcii. În terminologia elementelor finite, metoda reţelei finite foloseşte elemente neconforme deoarece compatibilitatea între deformaţiile elementelor este asigurată numai în noduri.

87

Metoda elementelor finite Radierul este modelat printr-un set de elemente interconectate la noduri, în timp ce pământul se modelează prin resoarte izolate.

Discretizarea radierului poate să nu fie doar izolată, ci să cuprindă şi restul structurii. Nodurilor structurii li se atribuie un număr de grade de libertate în funcţie de tipul analizei. În cazul în care radierul este discretizat prin elemente de tip placă, iar pământul prin resoarte, gradele de libertate sunt o translaţie pe direcţie verticală (tasarea) şi două rotaţii (după axele din plan).

88

II.Metode bazate pe modelul Boussinesq Metoda elementelor finite

89

III.Metode bazate pe modelul hibrid

Metoda analitica pentru radiere rigide

Deplasarea verticala: z=z0+θyx+θxy

90

Presiunea pe teren din forta N, având excentricităţile (ex) şi (ey), se obţine:

- se împarte suprafaţa radierului în n suprafeţe dreptunghiulare mici Ai, i=1÷n; - presiunea pi este constanta pe aria Ai, i=1÷n; - utilizând expresia generală:

∫∫ ξη−ξ−ηα⋅ξ⋅η= dd)y,x()(p)y,x(z pentru fortele discrete piA i, se alcătuieşte sistemul de ecuaţii, punând condiţia ca toate tasările sa fie egale cu unitatea:

nnn1nnjj

1jnii

1i1n1

11n

jnn1njjj

1jjii

1i1j1

11j

inn1nijj

1jiii

1i1i1

11i

n1n1nj1j

1ji1i

1i111

111

Ap...Ap...Ap...Ap1z

Ap...Ap...Ap...Ap1z

Ap...Ap...Ap...Ap1z

Ap...Ap...Ap...Ap1z

α++α++α++α==

α++α++α++α==

α++α++α++α==

α++α++α++α==

Soluţia sistemului{1ip }

reprezintă rigiditatea resoartelor Winkler, {k si}:

ii

isi p

1z

pk =

==

unde:

22

2

)()(

11

jijis

sij

yyxxE −+−⋅−=

πνα

; i ≠ j

i

ii

s

sii B

BL

E

)/(1 2 ωπ

να ⋅−=

xi, yi, xj, yj = coordonatele punctelor i şi j

L i ,Bi = laturile lungă, respectiv scurtă ale dreptunghiului de suprafaţă Ai

ω = coeficient de forma f(Li/Bi)

91

Cu valorile {ksi} astfel determinate, se scriu, ţinând seama de relaţia z=z0+θyx+θxy, condiţiile de echilibru static al radierului:

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

n

1

2iisixi

n

1iisiy

n

1iisioy

n

1iiisi

n

1iii

n

1iiisix

n

1

2iisiy

n

1iisiox

n

1iiisi

n

1iii

n

1iisix

n

1iisiy

n

1isio

n

1iisi

n

1ii

yAkθyxAkθyAkzeyAzkyAp

xyAkθxAkθxAkzexAzkxAp

yAkθxAkθAkzAzkAp

++=⋅==

++=⋅==

++===

N

N

N

Rezultă valorile ( 00z ), ( 0

xθ ) şi ( 0yθ ) care, introduse în relaţia z=z0+θyx+θxy, permit calculul

presiunilor pi : pi = ksi zi Presiunile distribuite (pi) corespund deformaţiilor terenului, ca mediu discret modelat prin resoarte. De la un anumit nivel de solicitare, în teren încep să apară zone plastice (pi ≥ ppl). Presiunea limită la care în pământ se produce cedarea generala sau locala se determină în funcţie de poziţia punctului de aplicare a încărcării N.

92

a) Încărcarea centrică Încărcarea totală critică are valoarea Pcr = pcrA în care A este aria totală a bazei radierului. b) Încărcarea excentrică Se admite că presiunea limită, plim la care terenul cedează local variază liniar între ppl pe conturul radierului şi o valoare pv, corespunzătoare centrului de greutate al suprafeţei radierului. Presiunea pv se calculează: pv=3ppl–2pcr Pentru a ţine seama de faptul că presiunile repartizate de radier nu pot depăşi presiunile limită de cedare locală a terenului, se procedează la rezolvarea iterativa a sistemului de ecuaţii care reprezinta condiţiile de echilibru static al radierului:

Valorile 00z , 0

xθ şi 0yθ se obţin din prima iteratie de rezolvare a sistemului de ecuatii.

Cu relaţia yxzz 0x

0y

00 ⋅θ+⋅θ+= se stabilesc valorile deplasărilor verticale ale radierului în punctele i,

i=1÷n;

Cu expresia ∫∫ ξη−ξ−ηα⋅ξ⋅η= dd)y,x()(p)y,x(z , în care se introduc coeficienţii de pat ksi cu valorile proprii fiecărui punct i, se determină presiunile pi, i=1÷n;

93

Valorile presiunilor pi se pot situa în unul din următoarele cazuri: 0 < pi ≤ pc,i pi > pc,i pi < 0

unde: - pi = presiunea corespunzătoare ariei Ai - pc,i=0.9plim,i - plim,i = presiunea limită corespunzătoare ariei Ai, determinată prin interpolare liniară între valoarea ppl şi pv, în funcţie de poziţia centrului ariei Ai şi punctul de aplicare al forţei exterioare N. Pentru toate suprafeţele Ai la care s-a îndeplinit condiţia pi > pc,i , se introduce pi=pc,i, în toţi termenii sistemului de ecuaţii. Se calculează:

∑ ⋅= ii,ci ApS

Se plafonează valorile ksi în funcţie de pc,i şi se corectează încărcarea exterioară la valoarea: N’=N - Si

94

Pentru toate suprafeţele Ai pentru care este îndeplinită condiţia pi < 0 , se anulează termenii corespunzători din sistem.

Cu aceste corecţii se rezolva sistemul de ecuaţii si se obtin valorile 1oz , 1xθ şi 1

yθ . Se reia procedura prezentată anterior până când pentru toate suprafeţele „ramase active” Ai se îndeplineşte condiţia 0 < pi ≤ pc,i. Cunoscând distribuţia finală a presiunilor la contactul radier general - teren de fundare, se pot calcula eforturile secţionale în secţiunile caracteristice ale radierului. Dacă încărcarea N este mare şi / sau cu excentricităţi mari, condiţia 0 < pi ≤ pc,i nu va putea fi îndeplinită pe un număr suficient de suprafeţe Ai astfel încât:

- fie nu se poate obţine condiţia de echilibru global - fie suprafaţa activă se reduce sub 50%.

În ambele situaţii se produce pierderea generală de stabilitate a terenului de fundare aflat sub radier prin refulare laterală, fenomen însoţit de tasări şi rotiri excesive ale fundaţiei.