1

1. Metode de modelare a terenului de fundare (TF) 1.1 Modelul WINKLER

Se înlocuieşte terenul de fundare de sub construcţie, strict în gabaritul acesteia, cu dispozitive de contact discrete. Principii de baza:

• terenul devine un masiv rigid • modelare discretă (punctuală) • pentru 0dx → : modelare continuă • k – constant : k = ki

ki - lege liniară - lege neliniară

- lege neliniară cu cedare

2

Teren omogen

ks

EI

Teren neomogen

Definirea caracteristicii de rigiditate : „Coeficientul de pat” Winkler, Ks

yKp s ⋅= ; y

pK s = ; [ ]

3sL

FK

BKK s*

s ⋅= [*

sK ] 2L

F :

*sK reprezinta o caracteristica de sistem.

3

Ipoteză: .constK s =

Fundatie foarte rigida: ∞→EI y = const; Ks = const Cazul a: ⇒ px = const.

Cazul b / c: ⇒ px Kconst

( ) yxKp sx ⋅= ⇓

( ) .constxK s ≠ ⇓

( )yKK ss =

4

Fundatie foarte flexibila: 0EI →

y = y(x); Ks = const px = const.

( )xyKp sx ⋅= ⇓

( ) .constxK s ≠ ⇓

( )yKK ss = Fundatie cu o rigiditate EI comparabila cu rigiditatea TF

y = y(x); px = p(x)

( )xyKp sx ⋅= ⇓

.constK s =

5

Determinarea valorii Ks Pe teren, prin încercarea cu PLACA

S - aria placii s – tasarea placii Bp – latura sau diametrul placii

6

Relatii empirice de obtinere a valorii ks = f(ks0) pentru fundatii directe

Terzaghi: Ypământuri necoezive: ( )

2

2p

0ssB4

BBKK

+=

Ypământuri coezive: B

BKK

p0ss =

Relatii semi-empirice (TE: Es, ννννs)

**** ( ) B1

EK

2s

ss

⋅ω⋅ν−= ;

ω=ωB

L

****Vesiç: Yfundatii continue: 2s

s124

ss

1

E

EI

BE65,0BK

ν−⋅

⋅=⋅

Yradiere generale: ( )( ) 2

32

2

11

191,0

s

s

s

ss

E

E

EKh

ννν

−⋅

−−=⋅

7

Calcul invers (prin tasări măsurate sau calculate)

Ks = q/s

iss Σβ=

LBs

QK s ⋅⋅

=

8

1.2 Modelul BOUSSINESQ

E,

i

Terenul de fundare este un mediu continuu, elastic, omogen si izotrop. Se consideră comportarea globală fundaţie – teren pe întreaga zonă de influenta afundatiei. ⇓ Es, νs ⇓ Relaţiile din Teoria Elasticităţii

9

Qr

s0

s(r)

( )s

2s

E

1

r

Qrs

ν−⋅

π=

r∀ ; 0r ≠

0r = ∞→0s

10

dydx

Qq =

( )

ω⋅ν−⋅

=dx

dy

E

1dxqs

s

2s

0

s

2s

r E

1

r

dydxqs

ν−⋅

π⋅=

11

( ) ( )∫ ∫

− − η+ξ

ηξηξπ

ν−=

x

x

y

y22s

2s dd,q

E

1y,xs

12

Fundatie foarte rigida: ∞→EI

pmed

r

Q

s0 ss0=s(x,y)

R

p(x,y)

fA

Qq =

fmed A

Qqp ==

( )2

med

R

r1

p5,0y,xp

−

=

13

1.3 Modelul hibrid Se înlocuieşte semispaţiul cu resoarte definite de legi de constitutive care modeleaza comportarea semispaţiului.

r

Q

s0

p(x,y)

s(x,y)

sau

p(x,y)

( ) ( )∫ ∫− − +

−=x

x

y

ys

s ddp

Eyxs

22

2 ,1,

ηξηξηξ

πν

( ) ( )( )yxK

yxpyxs

s ,

,, =

⇓

( )y,xK s

14

Rezolvare numerică

( )xf x

( )xω

( )xp

ii-1 i+1

l

ks = ks(x) = ksi

15

( ) ( ) Bxqxf ⋅= [F/L] ( ) ( ) Bxpxp r ⋅= [F/L]

( ) lxfF ii ∆⋅= [F] ( ) iiii KlxpP ω⋅=∆⋅= [F]

ω⋅= sKp [F/L2] ⇓

ω⋅= KP [F]

ω= p

Ks [F/L3]

B

pK *

s = [F/L2]

B

PK i

i = [F/L]

16

i-1

l

M=EI/ρ; ρ - raza de curbură

ρ=f(ψr); ψr - rotirea relativă (sectională)

1i1ir +− ψ−ψ=ψ

l1ii

1i ∆ω−ω

=ψ −− ; l

i1i1i ∆

ω−ω=ψ +

+

⇓

l

2 1ii1ir ∆

ω−ω+ω−=ψ +−

rl ψ⋅ρ≅∆ ⇒ l

1 r

∆ψ

≅ρ

⇓

ρ⋅= 1

RM ii ; ( )ii EIR =

⇓

21ii1i

iil

2RM

∆

ω−ω+ω−= +−

17

2i1i2i

1i1il

2RM

∆

ω−ω+ω−= −−

−− ; 21ii1i

iil

2RM

∆

ω−ω+ω−= +−; 2

2i1ii1i1i

l

2RM

∆

ω−ω+ω−= ++

++

Ecuaţia de moment în nodul „i”:

i1ii MMlT −=∆⋅ + ⇒ l

MMT i1i

i ∆−

= +

Analog, în nodul „i-1”:

⇒ l

MMT 1ii

1i ∆−

= −−

Conditia de echilibru în nodul „i”:

iiii FPTT =+−−1 (1) 2 necunoscute: Pi, ωi

iii KP ω⋅= ; lBKK si ∆⋅⋅=

Relatia (1): f(ωi-1, ωi+1, ωωωωi, ωi+2, ωi+2) Pentru „n” noduri ⇒ „n”ecuatii cu „n+2” necunoscute (ωωωω0 si ωωωω-1) care se determină din condiţiile de capăt (nodul 1), unde M0 şi T0 se cunosc.

18

Nodul „1”

1110 FPTT =+−

l

MMT 01

0 ∆−

=

l

MMT 12

1 ∆−

=

( )0MRl

2M c12

2101 ==⋅

∆

ω−ω+ω−= ⇒ ωωωω0

02101

0 Rl

2M ⋅

∆

ω−ω+ω−= −

( )0Tl

MMTT c

0101 ==

∆−

== ⇒ ωωωω-1

19

Relaţia (1) se scrie în formă generală:

iiiiiiiiiii tedcba =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ ++−− 2112 ωωωωω în care: Pentru ni >>>> 1 Pentru n = 1

1ii Ra −+= 0ba 11 == ( )i1ii RRb +−= − 0ba 11 ==

4i1ii1ii lKRR4Rc ∆⋅+++= +− 4

121 lKRc ∆⋅+= ( )1iii RRd ++−= 21 Rd −=

1ii Re ++= 21 Re = 3

ii lFt ∆⋅= ( ) 2c

31c1 lMlFTt ∆⋅−∆⋅+=

20

ω

ω

ωω

=

n

i

2

1

n

i

2

1

t

t

t

t

M

M

M

M

ω

ω

ωω

=

n

i

2

1

n

i

2

1

t

t

t

t

M

M

M

M

3

3

3

0

0

3

ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ωn-3 ωn-2 ωn-1 ωn 1 • • • 2 • • • • 3 • • • • • • • • • •

n-3 • • • • • n-2 • • • • • n-1 • • • • n • • •